Geometrie analitica

110
GEOMETRIE ANALITICĂ Capitolul 5 VECTORI LIBERI #1. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi Fie E spaţiul tridimensional al geometriei elementare. 3 1.1. Definiţii. Pentru oricare două puncte considerăm segmentul orientat . 3 , E B A AB AB AB A B Punctul A se numeşte originea, iar B se numeşte extremitatea (vârful) segmentului orientat. Dacă originea şi extremitatea coincid, se obţine segmentul orientat nul. Dreapta determinată de A şi B se numeşte dreapta suport a lui AB şi se notează cu AB. Această dreaptă este unic determinată doar dacă ; pentru segmentul orientat nul, dreapta suport este nedeterminată. Două segmente orientate se numesc coliniare dacă dreptele suport coincid; se numesc paralele dacă dreptele suport sunt paralele. AB Se numeşte lungimea (norma, modulul) unui segment orientat AB , lungimea segmentului neorientat , distanţa de la punctul A la punctul B. Un segment orientat are lungime nulă doar dacă el este segmentul nul. Două segmente neorientate de aceeaşi lungime se numesc segmente congruente. ] [ AB Două segmente orientate nenule se numesc echipolente dacă au aceeaşi direcţie, sens şi lungime. Două segmente nule vor fi considerate totdeauna echipolente. Dacă AB este echipolent cu CD , atunci vom scrie CD AB ~ . Se poate arăta uşor că BD AC CD AB ~ ~ (vezi figura). D C B A Doi vectori care au acelaşi sens au automat aceeaşi direcţie; deci doi vectori sunt echipolenţi d.n.d. au sensul şi lungimea identice. 1.2. Teoremă. Relaţia de echipolenţă definită pe mulţimea segmentelor orientate este o relaţie de echivalenţă. Cap.V. Vectori liberi 108

description

Geometrie analitica

Transcript of Geometrie analitica

Page 1: Geometrie analitica

GEOMETRIE ANALITICĂ

Capitolul 5

VECTORI LIBERI

#1. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi Fie E spaţiul tridimensional al geometriei elementare. 3

1.1. Definiţii. Pentru oricare două puncte considerăm segmentul

orientat .

3, E∈BA

AB →

AB

AB

AB

♦ Punctul A se numeşte originea, iar B se numeşte extremitatea (vârful) segmentului orientat. Dacă originea şi extremitatea coincid, se obţine segmentul orientat nul. ♦ Dreapta determinată de A şi B se numeşte dreapta suport a lui AB şi se notează cu AB. Această dreaptă este unic determinată doar dacă ; pentru segmentul orientat nul, dreapta suport este nedeterminată. Două segmente orientate se numesc coliniare dacă dreptele suport coincid; se numesc paralele dacă dreptele suport sunt paralele.

A B≠

♦ Se numeşte lungimea (norma, modulul) unui segment orientat AB , lungimea segmentului neorientat , distanţa de la punctul A la punctul B. Un segment orientat are lungime nulă doar dacă el este segmentul nul. Două segmente neorientate de aceeaşi lungime se numesc segmente congruente.

][ AB

♦ Două segmente orientate nenule se numesc echipolente dacă au aceeaşi direcţie, sens şi lungime. Două segmente nule vor fi considerate totdeauna echipolente.

Dacă AB este echipolent cu CD , atunci vom

scrie CDAB ~ . Se poate arăta uşor că

BDACCDAB ~~ ⇔ (vezi figura).

DC

BA

Doi vectori care au acelaşi sens au automat aceeaşi direcţie; deci doi vectori sunt echipolenţi d.n.d. au sensul şi lungimea identice.

1.2. Teoremă. Relaţia de echipolenţă definită pe mulţimea segmentelor orientate este o relaţie de echivalenţă.

Cap.V. Vectori liberi 108

Page 2: Geometrie analitica

Demonstraţie. Relaţia de echipolenţă este reflexivă, simetrică şi tranzitivă (temă, verificaţi!). Definiţie. Clasele de echivalenţă ale segmentelor orientate ale relaţiei de echipolenţă se numesc vectori liberi. Direcţia, sensul şi lungimea care coincid pentru segmentele orientate echipolente ce definesc un vector liber se vor numi direcţia, sensul şi respectiv lungimea vectorului liber. Notaţii. Vectorii liberi vor fi notaţi cu litere mici supraliniate …,,, cba , iar în desen vor fi reprezentaţi printr-unul dintre segmentele orientate echipolente ce reprezintă clasa lor. Din acest motiv, vectorii liberi se vor nota şi prin …,,CDAB . 1.3. Definiţii. Un segment orientat determină un vector liber (o clasă de echipolenţă), şi spunem că este un reprezentant al vectorului liber determinat, şi

scriem AB AB →

∈ . ♦ Definim lungimea (norma) unui vector liber a (sau AB ), ca fiind lungimea unui

reprezentant al său, şi vom nota această normă prin ABa , sau d A . B( , )

Un vector liber de lungime unu se numeşte versor sau vector unitate. Vectorul liber de lungimea zero se numeşte vectorul nul şi se notează cu 0,

reprezentat de segmentul orientat 3, E∈∀AAA ; direcţia şi sensul lui sunt nedeterminate.

♦ Doi vectori liberi a şi b sunt egali şi scriem a b= , dacă reprezentanţii lor sunt echipolenţi (deci dacă au aceeaşi direcţie, sens şi lungime).

♦ Vectorii liberi a şi b care au aceeaşi direcţie se numesc vectori coliniari; scriem

ba (vezi fig.1). Doi vectori coliniari de aceeaşi lungime dar cu sensuri opuse, se

numesc vectori opuşi; vom nota opusul unui vector liber a, prin −a (vezi fig.2). ♦ Trei vectori liberi se numesc coplanari d.n.d. admit reprezentanţi coplanari (vezi

fig.3)

b

a a

a− a

cb

Fig3Fig2Fig1

♦ În cele ce urmează, notăm cu V mulţimea tuturor vectorilor liberi din spaţiul

. Fixăm în un punct O numit origine. E3 E3

Geometrie analitică 109

Page 3: Geometrie analitica

Oricărui punct îi corespunde un vector liber şi numai unul 3 E∈M V∈r de

reprezentant OM . Reciproc, oricărui vector liber V∈r , îi corespunde un unic punct , astfel încât 3 E∈M rOM ∈ . Vectorul liber OMr = se numeşte vectorul de poziţie

al punctului M faţă de originea O. Astfel, mulţimile şi V sunt în corespondenţă biunivocă, bijecţia fiind unic

determinată prin fixarea originii O. E3

1.4. Mulţimea V a vectorilor liberi din spaţiul se poate organiza ca un grup aditiv comutativ, definind adunarea acestora prin regula triunghiului (regula paralelogramului).

E3

Definiţie. Fie V∈ba, doi vectori liberi şi un punct arbitrar fixat. Construim

punctele astfel încât 3 E∈O

3 , E∈BA OA şi

bAB∈ . Vectorul liber c reprezentat de segmentul orientat OB se numeşte suma vectorilor a şi b şi se notează c a b= + sau OB OA AB= + (vezi figura).

a∈

Vectorii liberi a şi b, c a b= + sunt vectori coplanari. Rsumei a 2 vectori liberi se numeşte regula triunghiului. Adunarea vectorilor liberi VV +→×∈ baba ),:+ (compoziţie internă bine definită: vectorul liber c a b= + npunctului O, originea reprezentantului cOB =∈OB (Temă, v Teoremă. Adunarea vectorilor liberi are următoadetermină o structură de grup abelian pe mulţimea vect)( +V,

1) asociativitate: V∈∀++= cbacbacb ,,,)()++a ( 2) 0 este element neutru : ∀ ∈ ; + = + =a a aV , 0 0 a

3) opusul lui a este simetricul lui a a: ,∀ ∈V a a( )+ − 4) comutativitate: ∀ . ∈ + = +a b a b b a, , ,V

Observaţii. 1. Comutativitatea adunării justifică determinarea sumei a doi vectori necoliniari prin regula paralelogramului: se desenează

bOBaOA ∈∈ , şi se fixează punctul C ca intersecţia dintre paralela la OA dusă prin B şi paralela la OB dusă prin A; segmentul orientat OC este reprezentantul lui b+a (vezi figura).

b

O

B

b

O

b

bac += B

A

110

egula de deter

V∈ este o u depinde de erificaţi !).

rele proprietăorilor liberi: ;

a a( )= − + = 0

a a

A

bac +=

a

Cap.V. Ve

minare a

lege de alegerea

ţi, care

;

C

ctori liberi

Page 4: Geometrie analitica

2. Asociativitatea adunării permite generalizarea regulii triunghiului, obţinând suma a mai mult de doi vectori prin regula poligonului plan.

3. În grupul abelian V ecuaţia are

o soluţie unică b−abaxnot=−+= )( , numită

diferenţa dintre vectorul a şi vectorul b (vezi figura). Dacă a∈OA , şi b∈OB , atunci b−aBA∈ .

a

b

x a b= −

A

BO

axb =+

1.5. Fie corpul scalarilor R (corpul numerelor reale) şi fie V grupul aditiv abelian al vectorilor liberi. Definim o lege de compoziţie externă, care permite înmulţirea unui vector liber cu un scalar, după cum urmează: Definiţie. Se numeşte produsul dintre vectorul liber V∈a şi scalarul t , vectorul

R ∈at , definit astfel:

a) dacă 0 ≠a şi t , atunci ≠ 0 at este vectorul care are aceeaşi direcţie cu a , lungimea egală cu at şi sensul dat de cel al lui a sau contrar lui a ,

după cum t sau t ; > 0 < 0 b) dacă t sau = 0 0 =a , atunci 0=at .

Se observă că vectorii liberi at şi a sunt colineari.

1.6. Teoremă. Înmulţirea vectorilor liberi cu scalari are următoarele proprietăţi: 1) V∈∀=⋅ aaa ,1 ; 2) V, ∈∀∈∀= atsastats R,,)()( ; 3) distributivitate faţă de adunarea scalarilor

V∈∀∈∀+=+ atsatasats ,,,)( R ; 4) distributivitate faţă de adunarea vectorilor

V∈∀∈∀+=+ batbtatbat ,,,)( R .

Demonstraţie. 1)-3) temă. 4) Fie a∈OA şi bAB∈ . Atunci ba +∈OB . Fără a restrânge generalitatea, presupunem t şi fie astfel încât > 0 3, E∈′′ BA atA ∈′O şi

)( batBO +∈′ . Din asemănarea , (latură-unghi-latură) rezultă ∆OA ∆OA B′ ′B ~

BAAB ′′ şi ABtBA =′′ , deci bt∈′BA′ şi btatBO +∈′ . În final avem

bt+atbat =+ )( . Cazul t se tratează analog. < 0

Observaţie. Proprietăţile adunării vectorilor liberi (structura de grup abelian) şi proprietăţile înmulţirii vectorilor liberi cu scalari din teorema 1.6 arată că V este un spaţiu vectorial peste corpul R al numerelor reale.

Geometrie analitică 111

Page 5: Geometrie analitica

#2. Coliniaritate şi coplanaritate Fie V spaţiul vectorial real al vectorilor liberi. Presupunem cunoscute noţiunile de subspaţiu vectorial, dependenţă şi independenţă liniară, bază şi dimensiune, coordonate şi izomorfism de spaţii vectoriale. 2.1. Definiţie. Dat fiind un vector nenul }0{\V∈a , se numeşte versorul lui

a vectorul unic determinat de lungime 1 (temă, verificaţi !) aa

a 10 = .

Ştim că doi vectori din V se numesc colineari dacă dreptele lor suport sunt paralele. Cu ajutorul noţiunii introduse mai sus, putem da o formulare echivalentă a noţiunii de colinearitate: Teoremă. Dacă vectorii a şi b sunt coliniari şi a , atunci există un unic număr real t astfel încât

≠ 0b ta= .

Demonstraţie. Dacă 0=b , alegem t . Dacă 0= ba = , alegem . Deci presupunem

1=t0≠≠ ba şi putem scrie 00 , bbba =aa = . Vectorii a şi b sunt

colineari, deci versorii a b0, 0 sunt fie egali, fie opuşi. Dacă 00 ba = avem

b b b b a b a= = =−

0 0

1a

şi deci 1−= abt , iar pentru 00 ba −= , rezultă 1−−= abt .

Corolar. Dat fiind un vector nenul }0{\V∈a , mulţimea

},{ 1 atbtb =∈∃∈= RVV

a tuturor vectorilor coliniari cu a , formează cu adunarea şi înmulţirea cu scalari reali a vectorilor liberi un spaţiu vectorial unidimensional.

Deci, doi vectori liberi sunt coliniari doar dacă sunt dependanţi liniar; doi vectori liberi necoliniari sunt totdeauna liniar independenţi. Demonstraţie. Se verifică uşor că este un subspaţiu vectorial al lui V; fiind nenul, 1 Va este un vector liniar independent; folosind teorema, a generează pe . V1

2.2. Ştim că trei vectori din V se numesc coplanari dacă admit reprezentanţi

paraleli cu un plan dat. putem da o formulare echivalentă a noţiunii de coplanaritate:

Teoremă. Vectorii V∈cba ,, sunt coplanari dacă şi numai dacă ei sunt liniar dependenţi. Demonstraţie. Presupunem că cba ,, sunt liniar dependenţi, adică ∃ nu toţi nuli cu proprietatea

∈r st,, V

ra . Fără a restrânge generalitatea, fie t ; împărţind sb tc+ + = 0 ≠ 0

CapV. Vectori liberi 112

Page 6: Geometrie analitica

relaţia prin t, aceasta devine blak +=cr ts /−=

, unde , . Deci

reprezentanţii

t/ lk −=

bOBaOA ∈∈ , , OC satisfac relaţia

OCOC

c∈

OBlOAk += , adică se află în planul determinat de OA şi OB . Reciproc, descompunând reprezentantul cOC ∈ , coplanar cu reprezentanţii OBaOA ∈∈ , , obţinem

OFOEOC += (vezi figura) unde astfel încât R∈∃ lk, OBlOFOAk == , ;OE rezultă relaţia blakc += , deci cei trei vectori liberi sunt linear dependenţi.

B

F C

AE O

b

Corolar. Daţi fiind vectorii liberi necolineari V∈ba , , mulţimea

},,{ 2 bsarcsrc +=∈∃∈= RVV

a tuturor vectorilor coplanari cu a şi b , formează cu adunarea şi înmulţirea cu scalari reali a vectorilor liberi un spaţiu vectorial bidimensional. Demonstraţie. este un subspaţiu vectorial al lui V (temă, verificaţi !), iar V2 { , este o mulţime liniar independentă care generează pe .

}a b

V2

2.3. Deoarece dependenţa liniară a trei vectori liberi este echivalentă cu coplanaritatea, rezultă că orice trei vectori liberi necoplanari sunt liniar independenţi. Un asemenea sistem determină o bază a spaţiului V deci putem formula următoarea Teoremă. Spaţiul vectorial real V al vectorilor liberi din are dimensiunea 3. E3

În cele ce urmează, vom nota acest spaţiu prin V . 3

Demonstraţie. În V există trei vectori liniar independenţi: oricare trei vectori necoplanari cb,,a . Aceştia generează pe V, deoarece pentru un vector arbitrar V∈d ,

considerând reprezentanţii dODcOCbOBaOA ∈∈∈∈ ,,, , şi proiectând vectorul

OD pe vectorii COBOAO ′′′ ,, , are loc descompunerea COBOAOOD ′+′+′= unde

R∈=′=′==′ mlkOCmCOOBlBOOAkAO ,,,,, , deci rezultă cmblakd ++= . Fie }, cba ,{ este o bază fixată în şi r s3 V t,, sunt coordonatele unui vector

3V∈d în raport cu această bază; atunci vom scrie d r şi identificăm st,)( , ),,( tsrd ≡ . Putem caracteriza în funcţie de coordonate operaţiile cu vectori liberi şi proprietăţile acestora: pentru 3,1,),,( 3 =∈= itsrd iiii V , avem 1) d d ; r r s s t t1 2 1 2 1 2 1 2+ = + + +( , , )

Geometrie Analitică 113

Page 7: Geometrie analitica

2) k ; d kr ks kt1 1 1 1= ( , , )

3) 21212121 ,, ttssrrdd ===⇔= ; 4) vectorii 21 ,dd sunt coliniari d.n.d. coordonatele lor sunt proporţionale; 5) vectorii 321 ,, ddd sunt coplanari d.n.d. coordonatele unuia sunt combinaţii liniare de coordonatele celorlalţi doi; spre exemplu, pentru 213 dldkd += , avem:

R∈+=+=+= lkltkttlsksslrkrr ,,,, 213213213 .

#3. Proiecţii ortogonale

Fie ∆ o dreaptă, V∈a un vector liber

şi aAB∈2π

} ∆=′ ∩

un reprezentant al acestuia. Planele şi duse prin A şi B şi perpendiculare pe

∆ intersectează dreapta ∆ respectiv în punctele (vezi figura).

{A 21 }{, π∆=′π ∩BSe poate arăta prin consideraţii de

geometrie sintetică faptul că vectorul liber BA ′′ nu depinde de alegerea reprezentantului

aAB∈ , deci depinde efectiv doar de vectorul liber a (temă !). Acest lucru conduce la următoarea 3.1. Definiţie. Vectorul liber ′A B′ determinat prin construcţia de mai sus, se numeşte proiecţie ortogonală a vectorului AB=a pe dreapta ∆ şi se notează apr∆ .

Observaţii. 1. Vectorul proiecţie ortogonală apr∆ a vectorului a pe dreapta ∆ nu depinde decât de vectorul liber a şi de direcţia dreptei ∆, deci dacă şi

sunt două drepte paralele, atunci 1∆ 2∆

aprapr21 ∆∆ = .

Dacă u este un vector nenul care dă direcţia dreptei ∆, atunci putem vorbi de proiecţia ortogonală a lui a pe vectorul liber u , pe care o notăm cu apr u . Deci pentru un vector nenul }0{\3V∈u fixat, s-a definit practic o transformare

3,)( V∈∀= aaprapr uu33 ,: VV →pru . Aceasta este o transformare liniară (temă, verificaţi că upr este funcţie aditivă şi omogenă !).

2. Fie }0{\3V∈u şi versorul său,

( 1, 00 =⋅= uuuu ). 0u

Pentru orice 3V∈a , vectorul este

coliniar cu 0u şi deci există un număr real pr

definit de relaţia:

au

a

0u

apr u au

pr

B'

A'

B

A

apr u

CapV. Vectori liberi 114

Page 8: Geometrie analitica

.pr 0uaapruu ⋅=

Acest număr se numeşte mărimea algebrică a proiecţiei ortogonale apr u a vectorului liber a pe u (vezi). Deci pentru un vector nenul }0{\3V∈u fixat, am definit astfel o transformare

33 ,pr)(pr,:pr VV ∈∀=→ aaauuu R .

Aceasta este o transformare liniară definită pe spaţiul vectorilor liberi V cu valori în corpul numerelor reale R considerat ca spaţiu vectorial peste el însuşi (temă, verificaţi că

3

upr este aplicaţie aditivă şi omogenă !). 3.2. Definiţii. Fie }0{\, 3V∈ba , O şi reprezentanţii 3E∈ bOBaOA ∈∈ , .

♦ Se numeşte unghiul dintre vectorii a şi b , unghiul determinat de segmentele orientate (reprezentanţii) ϕ∈[ , ]0 π

OA şi OB ; vezi figura.

B

AO

ϕ Se observă că definiţia unghiului format de vectorii liberi a şi b nu depinde de alegerea punctului O, deci definiţia dată este corectă.

♦ În cazul în care unul dintre cei doi vectori este nul, unghiul ϕ dintre π∈[ , ]0 a şi b este nedeterminat.

♦ Doi vectori nenuli a şi b se numesc ortogonali dacă unghiul dintre ei este . Prin definiţie, vectorul liber nul 2/π 0 va fi considerat ortogonal pe orice vector.

a

aupr

ϕ

Cu ajutorul noţiunii de unghi a doi vectori liberi putem exprima numărul a

upr în funcţie de lungimea

a a vectorului liber a şi de unghiul ϕ dintre a şi b

(vezi figura), ϕ= cosaa

upr .

Definiţie. Fie π un plan, }0{\3V∈a şi aAB∈

′A

. Prin punctele A şi B ducem drepte perpendiculare pe planul π şi notăm cu şi punctele în care acestea întersectează planul π. Vectorul liber

′BBA ′′ nu depinde de segmentul AB ci numai de

vectorul liber a . Din acest motiv vectorul liber ′A B ′ se numeşte proiecţia ortogonală a vectorului a pe planul π, şi se notează aπpr .

Observaţii. Ca şi în cazul proiecţiei pe o dreaptă, proiecţia ortogonală a vectorului a pe planul π coincide cu proiecţia sa pe orice alt plan paralel cu acesta. În plus, dat fiind un plan π, procedeul de mai sus defineşte un endomorfism al spaţiului vectorilor liberi V , 3

333 ,)(,: VVV ∈∀=→ πππ aapraprpr , a cărui imagine este spaţiul vectorial bidimensional ataşat planului π.

Geometrie Analitică 115

Page 9: Geometrie analitica

#4. Produs scalar în V 3

Pentru doi vectori liberi arbitrari nenuli }0{\, 3V∈ba , vom nota unghiul format de aceştia prin ϕ . ],0[ π∈ 4.1. Teoremă. Funcţia < definită prin RVV →×>⋅⋅ 33:,

==

∈ϕ⋅>=<

0sau 0 ,0

}0{\, ,cos, 3

ba

bababa

pentru

pentru V

este un produs scalar pe spaţiul vectorilor liberi . V3

Demonstraţie. Sunt de verificat pentru funcţia proprietăţile unui produs scalar: comutativitatea, omogenitatea, distributivitatea faţă de adunare şi pozitivitatea.

>⋅⋅< ,

Demonstrăm omogenitatea, lăsând celelalte proprietăţi drept exerciţiu. Fie t . Dacă

R∈0=a , sau 0=b , sau t , are loc relaţia 0= ><>=< batbat ,, (ambii membri

ai egalităţii fiind nuli). Dacă 0 , atunci unghiurile formate de >t b cu vectorii a şi

at coincid, tt = şi avem ><=⋅=ϕ⋅ batbatbat ,coscos ϕ>=< bat , .

Pentru t , unghiurile formate de 0< b cu vectorii a şi at sunt suplementare, deci cosinusurile lor sunt opuse; folosind t−=t rezultă relaţia.

Observaţii. 1. Teorema arată că este spaţiu vectorial euclidian. V3

2. Are loc relaţia 2, aaa >=< , deci putem calcula lungimea unui vector

liber 3 V∈a folosind produsul scalar, prin relaţia ><= aaa , .

3. Relaţia cosϕ ≤ 1 implică inegalitatea Cauchy-Schwarz baba ≤>< , .

4. Doi vectori liberi sunt ortogonali d.n.d. produsul lor scalar este nul. 4.2. Fie 3321 },, V⊂eee{ o bază în spaţiul vectorilor liberi, şi fie 3, V∈ba doi vectori arbitrari. Exprimând în coordonate aceşti doi vectori,

332211332211 , ebebebbeaeaeaa ++=++= , putem determina o formulă comodă de calcul a produsului scalar, în ipoteza că valorile acestuia pe vectorii bazei sunt cunoscute:

>=<+><+><+><+><+><

+><+><+><>=++++>=<<

333323231313

323222221212

313121211111

332211332211

,,,,,,

,,,,,

eebaeebaeebaeebaeebaeeba

eebaeebaeebaebebebeaeaeaba

><><><><><><><><><

=

3

2

1

332313

322212

312111

321

,,,,,,,,,

),,(bbb

eeeeeeeeeeeeeeeeee

aaa .

Cap.V. Vectori liberi 116

Page 10: Geometrie analitica

Matricea pătrată din membrul drept poartă numele de matrice Gram a familiei de vectori },, 321 eee{ . Relaţia de mai sus arată că dacă se cunosc matricea Gram a bazei şi coordonatele a doi vectori, produsul scalar al acestora este perfect determinat. Se observă că în cazul unei baze ortogonale, matricea Gram este matrice diagonală, deci are o forma extrem de convenabilă pentru calcule. Considerând o bază ortonormată

3},,{ V⊂kji (o bază formată din versori reciproc ortogonali), matricea Gram devine matricea unitate

=

><><><><><><><><><

100010001

,,,,,,,,,

kkjkikkjjjijkijiii

.

Coordonatele unui vector în raport cu o asemenea bază se numesc coordonate euclidiene. Baza ortonormată {, , }i jk este caracterizată prin egalitatea de sus, care poate fi rescrisă sub forma tabelului cu valorile produsului scalar pe această bază:

100010001

,

kji

kji>⋅⋅<

În acest caz, expresia de mai sus a produsului scalar al vectorilor 3321321 V∈++=++= kbjbibb,kajaiaa

devine extrem de simplă, fiind numită şi expresia canonică a produsului scalar:

332211, babababa ++=>< .

Observaţii. 1. Coordonatele euclidiene ale unui vector a reprezintă exact proiecţiile ortogonale ale lui kajaiaa 321 ++= pe cele trei axe de coordonate (considerate cu direcţia şi sensul date de versorii { respectiv), adică au loc relaţiile

, , }i jk

>≡<=>≡<=>≡<= kaaajaaaiaaa kji ,pr,,pr,,pr 321 .

2. Tot în cazul bazei ortonormate, norma euclidiană a vectorului a are expresia mult simplificată (temă, verificaţi):

23

22

21, aaaaaaa ++=><== .

3. Unghiul dintre vectorii nenuli }0{\3321321 V∈++=++= kbjbibb,kajaiaa

este dat de formula

],0[,,cos2

32

22

12

32

22

1

332211 π∈ϕ++++

++=

><=ϕ

bbbaaa

bababababa .

Se observă că vectorii a şi b

3 = sunt perpendiculari (ortogonali) dacă şi numai dacă are

loc relaţia . 032211 ++ bababa

Geometrie Analitică 117

Page 11: Geometrie analitica

#5. Produs vectorial Fie 3, V∈ba doi vectori arbitrari în spaţiul vectorilor liberi. Pentru

}0{\, 3V∈ba vom nota cu ϕ unghiul dintre π∈[ , ]0 a şi b . 5.1. Definiţie. Se numeşte produsul vectorial dintre vectorii a şi b , vectorul liber

, ,0

, ,sin

⋅ϕ⋅⋅

=×colinearibapentru

inecolinearbapentruebaba

unde e este un versor perpendicular pe a şi b care are sensul dat de regula mâinii drepte pentru tripletul ordonat }, eba ,{ , (vezi figura).

e

ba ×

a

b

ϕ

Produsul vectorial dintre doi vectori liberi determină o aplicaţie bilineară antisimetrică definită pe cu valori în . V V3× 3 V3

Teoremă. Produsul vectorial are următoarele proprietăţi: 1) a b b a× = − × (anticomutativitate), 2) ta (omogenitate), b ta b a tb t( ) ( ) ( ),× = × = × ∈ R

3) a b (distributivitate), c a b a× + = × + ×( )222

c

4) 2, ><−=× bababa (identitatea Lagrange),

5) a a a× = × =0 0, 0

6) ⇔0b =×a a şi b sunt coliniari 7) dacă a şi b nu sunt coliniari, atunci ba× = aria paralelogramului

construit pe doi reprezentanţi cu origine comună ai vectorilor a şi b (vezi figura de mai sus).

Demonstraţie. Proprietăţile 1), 2), 3), 5), 6), 7) le lăsăm ca temă. Pentru a obţine identitatea Lagrange, înmulţim cu

22ba identitatea si . Apoi

ţinând cont de definiţia produselor scalar şi vectorial, rezultă relaţia.

n co2 1ϕ ϕ= − s2

Cap.V. Vectori liberi 118

Page 12: Geometrie analitica

5.2. Fie { o bază ortonormată în V . Se observă că versorul , , }i jk 3 k al bazei ortonormate poate fi ales în două moduri (care diferă prin sens, jik ×±= ). Fixăm sensul versorului k , convenind kj =×i ; atunci, folosind definiţia produsului vectorial şi proprietăţile din teoremă, obţinem tabelul (unde produsul se realizează în ordinea “linie × coloană”)

×−

−−

i j

i k

j k

k j i

0

0

0

k

j

i

De asemenea, relativ la această bază ortonormată, doi vectori arbitrari a şi b se descompun 3321321 V∈++=++= kbjbibb,kajaiaa , şi efectuând calculele corespunzătoare, obţinem expresia canonică a produsului vectorial,

kbabajbabaibababa )()()( 122131132332 −+−+−=× sau încă, simbolic,

321

321

bbbaaakji

ba =× .

5.3. Dublu produs vectorial.

Se numeşte dublu produs vectorial al vectorilor 3,, V∈cba , vectorul w a . b c= × ×( )

caw

b

( , )L b c

Exprimând vectorii cba ,, în baza ortonormată {i jk, , } şi folosind expresiile canonice ale produselor scalar şi vectorial, rezultă (temă, verificaţi), relaţia

cbab ><−> ,( .cacba =<×× ,) Din relaţie se poate observa că vectorul dublu produs vectorial w este coplanar cu vectorii b şi c (ceea ce implică cb ×w⊥ ), şi perpendicularitatea vectorului dublu produs vectorial w pe vectorul a (vezi figura).

Observaţii. 1. Ordinea parantezelor este esenţială în calculul dublului produs vectorial: produsul vectorial nu este asociativ, deci în general

a b c a b c× × ≠ × ×( ) ( ) . 2. Dublul produs vectorial se poate calcula folosind expresia simbolică:

><><=××

cabacbcba,,

)( .

Geometrie Analitică 119

Page 13: Geometrie analitica

5.4. Exemple. 1. Se dau vectorii

kjiCBjiCAikAO 532,,3 +−=+=−= . Să se găsească vectorii de poziţie ai punctelor şi să se calculeze lungimea a înălţimii din A a triunghiului ABC.

CBA ,, Ah

Soluţie. Verificăm în prealabil că punctele A,B,C nu sunt coliniare (!). Cum vectorii CA şi CB nu au coordonatele proporţionale, deci nu sunt vectori colineari, rezultă afirmaţia. Obţinem coordonatele vectorilor de poziţie ale vârfurilor triunghiului:

)1,1,2(2

)4,4,4(444

)1,0,3(3

−−⇒−−=−=

−⇒+−=+−=

−⇒−=−=

CkjiCBOBOC

BkjiCBCAOAOB

AkiAOOA

.

Înălţimea AD a triunghiului ABC coincide cu înălţimea paralelogramului construit pe reprezentanţii vectorilor BA şi BC . Obţinem succesiv

);5,3,2(),5,4,1( −−≡+−=−−≡+−= OCOBBCOAOBBA

)1,1,1(5)5,5,5(532541 −=−≡

−−−−=×kji

BCBA ,

3835,38,35 =

×===×

BC

BCBAADBCBCBA .

2. Se dau vectorii: 3,, V∈−=−=−+= jiwikvkjiu . a) Să se determine dublul produs vectorial al vectorilor wv ,, .u b) Să se calculeze acelaşi dublu produs vectorial folosind formula

wvuvwuwvu ><−>=<×× ,,)( . c) Să se determine un vector a care este perpendicular pe u şi este coplanar cu v şi w (adică aparţine spaţiului liniar generat de v şi w ). Soluţie. a) Identificăm vectorii liberi cu tripletele coordonatelor lor relativ la

baza canonică ortonormată },, kji{ : )0,1,1(),1,0,1(),1,1,1( −≡−≡−≡ wvu . Prin calcul direct, obţinem

)1,1,1(011101 ≡++=

−−=× kji

kjiwv ,

şi apoi dublul produs vectorial, ( ) )0,2,2(22111111 −≡−=−=×× ji

kjiwvu .

Cap.V. Vectori liberi 120

Page 14: Geometrie analitica

b) Aplicând formula wvuvwuwvu ><−>=<×× ,,)( , avem jiwvu 22)0,2,2()0,1,1()2()1,0,1(0)( −=−=−⋅−−−⋅=××

c) Se observă că dublul produs vectorial wvuvwuwvua ><−>=<××≡ ,,)(

are exact proprietăţile cerute în enunţ, fapt confirmat de egalitatea de mai sus: membrul stăng al egalităţii este ortogonal atât pe u , cât şi pe wv × (fiind produsul vectorial al acestor vectori), iar cel drept aparţine subspaţiului ),( wvL , fiind combinaţie liniară de generatorii subspaţiului. Mulţimea tuturor soluţiilor problemei este subspaţiul generat de })22({, jiaL −≡a .

#6. Produs mixt

6.1. Definiţie. Fie 3,, V∈cba trei vectori liberi. Se numeşte produsul mixt al

acestor vectori, numărul real >× cba,< . Teoremă. Produsul mixt are următoarele proprietăţi: 1) >×>=<×>=<×< acbbaccba ,,, 2) >×<−>=×< bcacba ,, 3) R∈∀>×>=<×>=<×< tctbacbtacbat ,,,, 4) >×<+>×>=<×+< dcbdcadcba ,,,

5)><><><><

>=××<dbcbdacadcba

,,,,, (identitatea lui Lagrange)

6) 0, >=×< cba dacă şi numai dacă cei trei vectori sunt liniar dependenţi, adică are loc una din următoarele situaţii:

(i) cel puţin unul din vectorii a este nul; b c, ,

(ii) doi dintre vectori sunt coliniari; (iii) vectorii a sunt coplanari. b c, ,

Demonstraţie. Temă 1,…,5. 6) Fie 0, >=×< cba . Dacă 0=a sau 0=× cb , rezultă 0=b sau 0=c sau vectorii cb , coliniari, deci (i) sau (ii). Admitem deci

}0{\, 3V∈× cba , şi 0, >=×< cba . Folosind proprietatea 1), rezultă în mod analog că fie unul din vectori este nul (i), fie doi din vectori sunt colineari (ii), fie

}),({ cbLacba ∈⇔×⊥ , deci vectorii sunt coplanari (iii). Afirmaţia reciprocă este imediată în cazul (i), uşor de demonstrat folosind 1) în cazul (ii), iar în cazul (iii) folosim echivalenţele

0,}),({ >=×⇔<×⊥⇔∈ cbacbacbLa .

Observaţie. Dacă vectorii liberi }0{\,, 3V∈cba sunt necoplanari, atunci modulul produsului mixt reprezintă volumul paralelipipedului ce se poate construi pe reprezentanţi cu origine comună ai celor trei vectori (vezi figura). Într-adevăr, notând

Geometrie Analitică 121

Page 15: Geometrie analitica

cb ×

b

ca

ϕ

θ

, ),(),,( cbacb ×∠=ϕ∠=θputem scrie

=ϕ⋅θ±=ϕ×=ϕ×>=×< )cos()sin(coscos, acbacbcbacba

. pedparalelipiam_bazaparalelogr hA ⋅±= pedparalelipiV±=

6.2. Fie { o bază ortonormată. Descompunând trei vectori liberi relativ la această bază,

, , }i jk

3321321321 V∈++=++=++= kcjcicc,kbjbibb,kajaiaa , produsul lor mixt are expresia canonică

321

321

321

,cccbbbaaa

cba >=×< .

Pe baza acestei formule, majoritatea proprietăţilor din teorema 6.1 se pot demonstra făcând uz de proprietăţile determinanţilor de ordinul trei (temă). 6.3. Se observă că ordinea celor trei vectori în calculul produsului lor mixt este esenţială; în cazul în care aceştia sunt necoplanari (deci produsul lor mixt este nenul), ei determină o bază în V ; cum în acest caz produsul lor mixt poate fi sau pozitiv, sau negativ, putem da următoarea

3

Definiţie. Spunem că o bază 3},, V⊂cba{ este orientată pozitiv/negativ dacă

produsul mixt >×< cba, este pozitiv/negativ. Spre exemplu, identificând vectorii bazei ortonormate canonice 3},, V⊂kji{

ce au cordonatele asociate )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( ≡≡≡ kji , remarcăm că 1, >=×< kji , deci },, kji{ este o bază orientată pozitiv.

Exemplu. Trei vectori 3,, V∈cba sunt coplanari dacă şi numai dacă

determinantul matricii Gram al acestor vectori este identic nul. Într-adevăr, conform observaţiei 8.2 şi teoremei 8.2 (punctul 6), cei trei vectori sunt coplanari (liniar dependenţi) doar dacă volumul paralelipipedului determinat de aceştia este nul,

0,0, 22pedparalelipipedparalelipi =>×=<⇔>=×<±= cbaVcbaV .

Cap.V. Vectori liberi 122

Page 16: Geometrie analitica

Dar, exprimând vectorii relativ la baza canonică, kcjcicc,kbjbibb,kajaiaa 321321321 ++=++=++=

şi considerând matricea transpusă a acestora şi matricea lor Gram

><><><><><><><><><

=

==

ccbcaccbbbabcabaaa

Gcccbbbaaa

cbaA t

,,,,,,,,,

,],,[

321

321

321

avem

GAAAA

AAAcbaVtt det)(detdetdet

detdet)(det, 222pedparalelipi

=⋅=⋅=

⋅==>×=<

În concluzie, coplanaritatea celor trei vectori revine la anularea determinantului Gram.

#7. Probleme propuse

1. Se dau vectorii ikvkj −=+= ,2u . a) Calculaţi produsul vectorial vuw ×= al vectorilor u şi v . b) Determinaţi dacă vectorii u şi v sunt colineari (linear dependenţi) sau nu.

În cazul când cei doi vectori sunt linear independenţi completaţi familia },vu{ la o bază a spaţiului V . 3

c) Determinaţi ariile paralelogramului şi triunghiului determinate de reprezentanţi adiacenţi ai vectorilor liberi u şi v .

R. a) kjikji

vuwvu +−=−

=×=−≡≡ 2101210),1,0,1(),2,1,0( . b) Nu, fiindcă

0≠× vu . Familia },, wvu{ reprezintă o nouă bază ! ( , 6u v w >= ≠ 0< × ). c) 2/32/62/,6 amparalelogrtriunghiamparalelogr ====×= AAvuA .

2. Se dau vectorii , ,u i k v k j w i= + = − = − + 2 j a) Calculaţi produsul mixt >×< wvu , . b) Determinaţi dacă vectorii wvu ,,

3

sunt coplanari (linear dependenţi) sau nu. Formează cei trei vectori o bază în V ? Este această bază pozitiv orientată ?

c) Să se determine volumele paralelipipedului, prismei triunghiulare şi tetraedrului ce au reprezentanţi ai vectorilor wvu ,, ca muchii adiacente.

R. a) 3021110101

,),0,2,1(),1,1,0(),1,0,1( −=−

−>=×<−≡−≡≡ wvuwvu .

Geometrie Analitică 123

Page 17: Geometrie analitica

b) Nu sunt coplanari, deoarece 03, ≠−>=×< wvu

3

; fiind trei vectori linear independenţi în spaţiul tridimensional V , aceştia determină o bază, care este negativ orientată, deoarece 03, <−>=×< wvu . c) 2/13/,2/32/,3, prismatetraedrupedparalelipiprismapedparalelipi =====>×<= VVVVwvuV .

3. Se dau punctele . )1,1,0(),2,1,1(),1,2,1(),1,1,2( −−−−− DCBAa) Arătaţi că punctele date sunt coplanare.

b) Calculaţi aria paralelogramului ce are drept laturi adiacente reprezentanţi ai vectorilor liberi AB şi AC , ca normă de produs vectorial. Verificaţi că se obţine acelaşi rezultat, folosind identitatea lui Lagrange. R. a) coplanare DCBA ,,, 0, >=×⇔< ADACAB , iar ultima egalitate are loc. b) Notând ACbABa == , , aria cerută este 33333 =−−−=× kjiba .

Altfel, folosind identitatea lui Lagrange (de la produse vectoriale), obţinem

33, 222=><−=× bababa .

4. Se dau vectorii 3,,2 V∈++=−λ=+= kjicjibkia , unde λ . R∈

a) Aflaţi valoarea parametrului astfel încât vectorii λ cba ,, să fie coplanari. b) Aflaţi valoarea parametrului λ astfel încât vectorii b şi c să fie ortogonali. c) Pentru aflaţi proiecţia 1−=λ apr b a vectorului a pe vectorul b , precum şi

mărimea algebrică abpr a acestei proiecţii.

d) Pentru , determinaţi înălţimea paralelipipedului construit pe reprezentanţii vectorilor

0=λcba ,, , perpendiculară pe baza formată de reprezentanţii

vectorilor a , b . e) Pentru λ , determinaţi un vector 2= d perpendicular pe a şi coplanar cu

vectorii cb, .

R. a) a coplanarib c, , 10, =λ⇔>=×<⇔ cba ; b) 10, =λ⇔>=<⇔⊥ cbcb . c) Identificănd )0,1,1(),1,0,2( −−≡≡ ba , obţinem

222,pr ;)0,1,1(

22

,,

−=−

=><

=+≡−−−

≡><><

=bbaajib

bbbaapr bb .

d) paralelipiped paralelogram_baza/ , /h V A a b c a b= = < × > 1/ 5× = .

e) Un asemenea vector este dublul produs vectorial kjicba 472)( −−=×× . 5. Să se verifice proprietăţile: a) identitatea lui Jacobi: 3V∈∀=××+××+×× cbabacacbcba ,,,0)()()( . b) identitatea vectorială a lui Lagrange:

2 2 22, ,a b a b a b a b< > + × = ⋅ ∀ ∈ 3V, .

c) 3V∈∀>=−−<+>−−<+>−− dcbadbacdacbdcba ,,,,0,,, .<

Cap.V. Vectori liberi 124

Page 18: Geometrie analitica

6. Se dau trei vectori 3,, V∈cba . Să se verifice că următoarele proprietăţi

sunt echivalente: a) cba ,, admit reprezentanţi ce formează laturile unui triunghi; b) au loc relaţiile accbba ×=×=× .

7. Se dau trei vectori 3,, V∈cba . Să se verifice că următoarele proprietăţi

sunt echivalente: a) vectorii a−b şi cb − sunt colineari; b) are loc relaţia 0=×+×+× accbba .

Arătaţi că dacă vectorii satisfac oricare din cele două proprietăţi, atunci ei sunt coplanari.

8. Considerăm o bază a spaţiului vectorilor liberi, 3},, V⊂cba{ şi cu ajutorul acesteia construim familia de vectori

>×<×

=′>×<

×=′

>×<×

=′cba

baccba

acbcba

cba,

,,

,,

.

a) Arătaţi că aceşti vectori determină o nouă bază în V (numită baza reciprocă asociată bazei

3

},, cba{ ). b) Determinaţi produsele scalare dintre vectorii celor două baze. c) Aflaţi reciproca bazei canonice ortonormate 3},, V⊂kji{ .

d) Verificaţi că are loc relaţia 1,, >=′×′′<⋅>× cbacba< . e) Orice vector 3V∈v admite descompunerea

ccvbbvaavv >′<+>′<+>′=< ,,, . f) Baza },ba ,{ c este reciproca bazei },, cba ′′′{ , adică au loc relaţiile

>′×′′<

′×′=

>′×′′<

′×′=

>′×′′<

′×′=

cbabac

cbaacb

cbacba

,,

,,

,.

g) Verificaţi că au loc relaţiile 3, >=′+′+′++< cbacba , 0=′×+′×+′× accbba .

R. a) },, cba{ bază 0, >≠×<⇔ cba . Obţinem 0,, 1≠>×>=<′×′′< −cbacba , deci },,{ cba ′′′ bază. b) Prin calcul, rezultă relaţiile

1,,, >=′>=<′>=<′< ccbbaa , 0,,,,,, >=′>=<′>=<′>=<′>=<′>=<′< bcaccbabcaba .

Aceste relaţii determină unic vectorii },, cba ′′′{ : doar tripletul de vectori },, cba ′′′{ definit în enunţ satisface aceste proprietăţi (temă, verificaţi). c) Baza duală bazei canonice este chiar ea însăşi, deci },, kji{ . d) Prin calcul direct, folosind proprietăţile operaţiilor cu vectori. e) Se determină coeficienţii descompunerii

cnbmalv ++= prin înmulţirea relaţiei respectiv cu cba ′′′ ,, , şi folosind relaţiile de la punctul b). f) Prin calcul direct, folosind punctul b) şi definiţia bazei reciproce.

Geometrie Analitică 125

Page 19: Geometrie analitica

Capitolul 6

DREAPTA ŞI PLANUL ÎN SPAŢIU

#1. Reper cartezian În cele ce urmează vom considera spaţiul tridimensional format din puncte al geometriei elementare, şi spaţiul vectorial de dimensiune trei al vectorilor liberi din spaţiu. Fixând un punct O , putem stabili corespondenţa bijectivă între cele două mulţimi:

E3

V3

3 E∈

333 ,)(,: EVE ∈∀=ϕ→ϕ MOMMOO .

Astfel fiecărui punct M din îi corespunde în mod unic un vector E3 3V∈= OMr , numit vectorul său de poziţie.

De asemenea, fixând o bază ortonormată 3},,{ V⊂= kjiB , putem stabili izomorfismul dintre spaţiile vectoriale şi 3 V 3 R

33

3 ),,,()(,: VV ∈++=∀=ψ→ψ kzjyixrzyxrBB R , care asociază fiecărui vector liber, coordonatele sale relativ la baza B.

Compunând cele două aplicaţii, se observă că prin fixarea punctului O în , şi a bazei ortonormate

E3

},,{ kji=B în , deci a unui reper cartezian V3 },k,;{ jiOR =3 R∈

, fiecărui punct M din Îi corespunde în mod unic tripletul . În cele ce urmează coeficienţii ataşaţi punctului M, determinaţi prin relaţia

3 Eyx ,,

),,( zyxz

kzjyixOM ++= , se vor numi coordonatele carteziene ale vectorului OM relativ la reperul

},,;{ kjiOR =

3E∈M. Vom identifica prin bijecţia şi punctul

cu imaginea sa ψ , notând: .

33 R≡E

,()) = xM

33: RB →ϕψ EO

),,( zyxM3),(( RB ∈ϕ zyO

1.1. Definiţii. a) Dat fiind un reper cartezian },,;{ kjiOR = , punctul O se va

numi originea reperului, baza },,{ kji=B , baza reperului, iar bijecţia se va numi sistem de coordonate cartezian. 3

3: RB →ϕψ EO

b) Dreptele orientate de versorii i j ce conţin originea O se vor numi axe de coordonate, şi se vor nota respectiv cu Ox .

k, ,

Oy Oz, ,

c) Planele determinate de câte două axe diferite de coordonate se numesc plane de coordonate şi se vor nota cu . xOy yOz zOx, ,

Observaţii. 1. Coordonatele carteziene ( ale punctului M reprezintă

mărimile algebrice ale proiecţiilor ortogonale ale vectorului ),, zyx

OM pe cele trei axe de coordonate, adică OMOzpr=zOMyOMx OyOx ,pr,pr == .

Cap.VI. Dreapta şi planul în spaţiu 126

Page 20: Geometrie analitica

2. Ca mulţimi de puncte în , axele de coordonate sunt caracterizate respectiv prin ecuaţiile

33 R≡E

Oxy

zOy

z

xOz

x

y: , : , :

==

==

==

0

0

0

0

0

0 .

3. Cele trei plane de coordonate sunt caracterizate respectiv prin ecuaţiile xOy z yOz x zOx y: , : , := =0 0 0= .

4. Cum un reper cartezian },,;{ kjiOR = determină în mod unic axele de coordonate şi reciproc, vom nota uneori reperul prin Ox . În cele ce urmează considerăm spaţiul înzestrat cu un reper cartezian fixat

Ox Oy Oz, , yz

E3 },,; kji{OR = .

#2. Ecuaţiile dreptei în spaţiu În spaţiul euclidian , o dreaptă poate fi determinată de: 3 E (i) un punct şi un vector liber nenul; (ii) două puncte distincte; (iii) intersecţia a două plane. 2.1. Dreapta determinată de un punct şi un vector nenul. Considerăm

♦ punctul M , unde ),,( 0000 zyx kzjyixOMr o

not

0000 ++== ,

r

r

v

0

Μ

Μ0

Ο

♦ vectorul liber nenul }0{\3V∈++= kcjbiav . Acestea determină dreapta ∆ care trece prin punctul şi are direcţia dată de vectorul

M 0

v (vezi figura). Fie şi 3E∈),,( zyxM

OMrnot= . Atunci punctul aparţine dreptei ∆ dacă şi

numai dacă vectorii ),,( zyxM

MM 0 şi v sunt colineari, condiţie care se rescrie

0)( 0 =×− vrr . Această ecuaţie în se numeşte ecuaţia vectorială a dreptei ∆ definită de un

punct şi o direcţie (vector liber) V3

M 0 v date. Vectorul v se numeşte vector director al dreptei.

Observaţii. 1. Orice vector }0{\})({vLw ∈ este de asemenea vector director. 2. Coliniaritatea vectorilor 0rr − şi v se rescrie ⇔∈− })({0 vLrr

vtrrt =−∈∃ 0,R , deci se obţine o altă formă a ecuaţiei vectoriale a dreptei ∆,

0 ,r r t v t= + ∈ R . (1) La rândul ei, în coordonate, aceasta este echivalentă cu următoarele trei ecuaţii în , 3 R

R∈

+=+=+=

ttczztbyytaxx

,,

0

0

0

, (2)

Geometrie Analitică 127

Page 21: Geometrie analitica

numite ecuaţiile parametrice ale dreptei ∆. Eliminând variabila t din aceste ecuaţii, se obţine următorul şir de rapoarte egale, numit ecuaţiile carteziene ale dreptei ∆ în , 3 R

czz

byy

axx 000 −

=−

=−

. (3)

Convenim că anularea unui numitor atrage după sine anularea numărătorului corespunzător, şi că ecuaţiile sunt date efectiv de egalarea produsului mezilor cu extremii în proporţiile formate. Spre exemplu, dacă 0 , ecuaţiile carteziene devin ecuaţiile unei drepte paralele cu planul :

=ayOz

=−−−=

0)()( 00

0

zzbyycxx

iar dacă 0 , ecuaţiile carteziene devin ecuaţiile unei drepte paralele cu axa O== ba z:

==

0

0

yyxx

.

2.2. Dreapta determinată de două puncte distincte. Două puncte distincte

21MMv =

Μ2

Μ1

Ο

21322221111 ,),,(),,,( MMzyxMzyxM ≠∈ E , determină în mod unic o dreaptă ∆ care le conţine. Aflăm ecuaţiile acesteia folosind ecuaţiile (3), alegând, spre exemplu,

şi 10 MM =

),,( 1212122 zzyyxx −−−≡1MMv = (vezi figura); obţinem ecuaţiile carteziene ale dreptei ∆ ce trece prin punctele : 21 , MM

x x

x x

y y

y y

z z

z z

−−

=−−

=−−

1

2 1

1

2 1

1

2 1

. (4)

În ceea ce priveşte dreapta ca intersecţie a două plane, punctele acesteia vor satisface sistemul de două ecuaţii ale celor două plane (descrise în #3) care au drept intersecţie dreapta. Asemenea sisteme au fost deja prezentate mai sus (ecuaţiile (3),(4) şi exemplele particulare). 2.3. Dreapta orientată. Dată fiind o dreaptă ∆ în spaţiu, putem stabili pe aceasta două sensuri de parcurgere - notate cu (+) şi (–).

Numim dreaptă orientată o dreaptă ∆ împreună un sens de parcurgere al acesteia (care va fi sensul pozitiv pe dreaptă).

Dacă este precizat un vector director v al dreptei (2.1), sensul pozitiv al dreptei va fi indicat de acest vector, iar dreapta orientată va fi dată de cuplul (∆, v ). Definiţii. a) Dacă pe o dreaptă orientată (∆, v ) considerăm un punct arbitrar

, numim partea pozitivă a dreptei ∆, mulţimea de puncte ∆∈0M

},0{ 0 vtMMtM =>∃∆∈=∆+ ,

Cap.VI. Dreapta şi planul în spaţiu 128

Page 22: Geometrie analitica

iar cea negativă, },0{ 0 vtMMtM =<∃∆∈=∆− .

b) Se numeşte versor director sau direcţie orientată al dreptei orientate (∆, v ), versorul

vve 1−=

asociat vectorului director v al acesteia. c) Se numesc unghiurile directoare ale dreptei orientate (∆, v ), unghiurile

formate de versorul director α β γ, , e respectiv cu axele de coordonate Ox OzOy,, .d) Se numesc cosinusurile directoare ale dreptei orientate (∆, v ), coordonatele

>=<γ>=<β>=<α kejeie ,cos,,cos,,cos ale versorului director e relativ la baza { . , , }i jk

Observaţii. 1. Axele de coordonate sunt exemple de drepte orientate pe care

există ca punct distins originea O; spre exemplu, ), iOx( are drept semiaxă pozitivă mulţimea de puncte }0,{ >==+ titOMMOx .

2. Cosinusurile directoare α β ale unei drepte orientate (∆,γ, , v ) satisfac relaţia

1coscoscos 222 =γ+β+α . Acest lucru rezultă folosind descompunerea versorului e relativ la baza ortonormată {, , }i jk , după cum urmează

,coscoscoscoscoscos

,,,

kjikkejjeiie

kkejjeiiee

γ+β+α=γ+β+α=

=><+><+>=<

şi exprimând faptul că norma euclidiană a versorului )cos,cos,(cos γβα≡e este 1.

#3. Ecuaţia planului în spaţiu În spaţiul euclidian , un plan poate fi determinat de: 3 E (i) un punct conţinut în plan şi un vector liber nenul normal la plan; (ii) trei puncte necolineare;

(iii) un punct conţinut în plan şi doi vectori liberi necolineari ce admit reprezentanţi incluşi în plan;

(iv) o dreaptă şi un punct exterior dreptei, incluse în plan; (v) două drepte concurente incluse în plan; (vi) două drepte paralele incluse în plan. Vom determina în fiecare caz ecuaţia planului respectiv. 3.1. Planul determinat de un punct şi un vector liber nenul normal la plan.

În cele ce urmează, considerăm: ♦ un punct , conţinut în planul π; 30000 ),,( E∈zyxM ♦ vectorul liber nenul }0{\3V∈++= kcjbian normal la planul π.

Geometrie Analitică 129

Page 23: Geometrie analitica

Dreapta ∆ care trece prin punctul şi care are direcţia vectorului 0M n se numeşte normala la planul π prin , iar vectorul nenul 0M n se numeşte vector normal al planului π.. Se observă că planul π este unic determinat de condiţiile (vezi figura).

π⊥∆π∈ ,0M

π

0M

M

Un punct aparţine planului π dacă şi numai dacă 3),,( E∈zyxM nMM ⊥0 , sau echivalent

0,0 >=< nMM , (1) condiţie numită ecuaţia vectorială a planului π. Ţinând cont că

M M x x i y y j z z k0 0 0= − + − + −( ) ( ) ( 0) , această ecuaţie, rescrisă în coordonate carteziene conduce la ecuaţia carteziană a planului π ce trece prin şi este perpendicular pe direcţia M 0 n :

a x x b y y c z z( ) ( ) ( )− + − + − =0 0 0 0. (2) Observaţii. 1. Notând în ecuaţia (2) , aceasta se rescrie )( 000 czbyaxd ++−=

0=+++ dczbyax , (3) numită ecuaţia carteziană generală a unui plan. Se observă că 0≠v conduce la faptul că nu toţi coeficienţii sunt nuli. Reciproc, ecuaţia (3) cu această condiţie satisfăcută are cel puţin o soluţie ( , , care satisface deci relaţia

cba ,,,x y z0 0 0)

z0d ax by c= − − −0 0 ; înlocuind în (3), rezultă ecuaţia planului sub forma (2).

2. Remarcăm că în ecuaţia (3) coeficienţii celor trei variabile sunt exact coeficienţii vectorului normal, ),,( cban ≡ . De asemenea, observăm că înmulţind ecuaţia (3) cu un scalar real nenul, ecuaţia obţinută descrie acelaşi plan; de aceea cei patru coeficienţi ai ecuaţiei poartă numele de parametri neesenţiali ai acesteia, şi că ecuaţia unui plan este unică făcând abstracţie de un factor multiplicativ.

dcba ,,,

3. Satisfăcând o ecuaţie de forma (3), orice plan este format din punctele ce formează mulţimea de nivel constant a funcţiei 3),,( E∈zyxM })0({1−=π f

33 ),,(,),,(: RRR ∈∀+++=→ zyxdczbyaxzyxf,f . 4. Planele de coordonate se obţin uşor folosind ecuaţia (2). Spre exemplu, pentru planul alegem xOy knOM == ),0,0,0(0 şi obţinem ecuaţia . Folosind ecuaţia (3) se observă că orice plan paralel cu are o ecuaţie de forma

constant. Analog se pot obţine ecuaţiile planelor şi ale planelor paralele cu acestea (temă).

z= 0xOy

yOz=z zOx,

Cap.VI. Dreapta şi planul în spaţiu 130

Page 24: Geometrie analitica

5. Folosind (3) şi forma vectorului normal la plan, planele perpendiculare pe planele xO , , xOy yOz z au ecuaţiile (temă) respectiv de forma

ax by d by cz d ax cz d+ + = + + = + + =0 0, , 0

0

. 6. Folosind observaţia anterioară şi condiţia , se obţin ecuaţiile planelor care trec prin axele de coordonate Ox care au respectiv forma

0=⇒π∈ dOOzOy, ,

by cz ax cz ax by+ = + = + =0 0, , . 7. Folosind condiţia în (3), obţinem ecuaţia unui plan care trece prin origine, de forma

0=⇒π∈ dO

ax by cz+ + = 0. 3.2. Planul determinat de trei puncte necolineare.

Fie punctele necolineare 3,1,),,( 3 =∈ izyxM iiii E . Planul π ce conţine aceste

puncte are drept vector normal 03121 ≠×= MMMMn

3), E∈zy

321 ,, MM

, care este vector nenul, fapt ce rezultă din necolinearitatea celor trei puncte. Alegând în formula (1) spre exemplu

, obţinem ecuaţia vectorială a planului prin trei puncte date ce reprezintă condiţia ca un punct să aparţină planului (deci condiţia de coplanaritate a punctelor M , echivalentă cu coplanaritatea vectorilor

10 MM =,(xM, M

1 1M M M M 2 1, , M M3 , vezi figura):

1 1 2 1 3, 0M M M M M M< × >= (4) n

M2

M

M3

M1

sau, rescriind produsul mixt din relaţia (4) în coordonate, obţinem ecuaţia planului prin trei puncte date sub formă de determinant,

0

131313

121212

111

=−−−−−−−−−

zzyyxxzzyyxxzzyyxx

. (5)

Se poate arăta că ecuaţia este echivalentă cu cea obţinută prin anularea următorului determinant de ordinul 4 (preferată uneori din motive mnemotehnice):

1 1 1

2 2 2

3 3 3

11

011

x y zx y zx y zx y z

= . (6)

Observaţie. Dacă se cunosc mărimile algebrice ale segmentelor determinate de plan pe axele de coordonate, segmente care au un capăt în originea O iar celălalt respectiv în punctele de intersecţie cu axele ("tăieturile", vezi figura),

),0,0(),0,,0(),0,0,( 321 cMbMaM

Geometrie Analitică 131

Page 25: Geometrie analitica

ale planului respectiv cu axele de coordonate Ox , folosind formula (5) rezultă ecuaţia planului prin tăieturi

OzOy,,

z

M3(0,0,c)

M1(a,0,0) x

y

M2 (0,b,0)

x

a

y

b

z

c+ + − =1 0. (7)

3.4. Planul determinat de un punct şi doi vectori necoliniari.

Considerăm în cele ce urmează: ♦ punctul conţinut în planul π; 30000 ),,( E∈zyxM♦ vectorii liberi necolineari }0{\, 3222111 V∈++=++= kcjbiavkcjbiau , ce admit reprezentanţi conţinuţi în planul π.

Aplicăm formula (5), cu , iar punctele şi sunt alese

astfel încât

),,( 00001 zyxMM =),,( 3333 zyx),,( 2222 zyxM M

v∈MMuMM ∈ 3121 , (vezi figura).

Evident cele două segmente orientate sunt conţinute în planul π (temă, verificaţi), iar

3121 , MMMM

),,(),,(),,,(),,( 131313222121212111 zzyyxxcbazzyyxxcba −−−=−−−= .

M0

u M

v

Atunci formula (5) produce ecuaţia carteziană a planului π ce conţine punctul şi reprezentanţi ai vectorilor liberi necolineari

0Mv, :u

0

222

111

000

=−−−

cbacba

zzyyxx (8)

Se observă că anularea determinantului din formula (8) revine la a exprima prima linie a sa ca o combinaţie liniară de următoarele două linii ( }),({0 vuLMM ∈ ), deci ecuaţia planului se poate rescrie sub formă parametrică

R∈

++=++=++=

tstcsczztbsbyytasaxx

,,

210

210

210

(9)

Numerele reale se numesc parametri. Când parcurg mulţimea numerelor reale, punctul parcurge toate punctele planului π.

ts,,(x

ts,), zyM

Cap.VI. Dreapta şi planul în spaţiu 132

Page 26: Geometrie analitica

Observaţii. 1. Cazul când planul π este dat de o dreaptă ∆ şi un punct exterior dreptei, ambele conţinute în plan se reduce la cazul 3.4, considerând

0Mu

vectorul director al dreptei, iar 10MMv = , unde este un punct oarecare al dreptei (ale cărui coordonate satisfac ecuaţiile acesteia).

∆∈1M

2. Cazul când planul π este dat de două drepte concurente conţinute în acesta, se reduce la cazul 3.4, considerând un punct M aflat pe una din drepte, iar drept vectori liberi

0

vu , , vectorii directori ai celor două drepte. 3. Cazul când planul π este dat de două drepte paralele conţinute în π, se reduce la cazul 3.4, considerând un punct aflat pe una din drepte,

21,∆∆

10 ∆∈M u vectorul director al uneia dintre drepte (vector care dă direcţia ambelor drepte !), iar

NMv 0= , unde este un punct oarecare al celeilalte drepte. 2∆∈N 3.5. Plan orientat. Se observă că următoarele alegeri produc aceeaşi orientare:

♦ alegerea uneia dintre cele două feţe ale planului; ♦ alegerea unui sens pe (o dreaptă) normală la plan; ♦ alegerea unui sens de rotaţie în plan, urmat de aplicarea regulii mâinii drepte!

Definiţie. Se numeşte plan orientat un plan π considerat împreună cu o alegere a sensului pe normală, sens fixat printr-un vector liber n ; pe scurt, un plan orientat este un cuplu (π, n ), unde vectorul n este normal la plan. Observaţii. 1. Notăm faţa ce corespunde sensului ales (pozitiv) cu "(+)", iar cea opusă cu "(–)". 2. Planele xO sunt orientate respectiv de versorii y yOz zOx, , ji ,, .k

3. Dacă planul π este dat prin ecuaţia , acesta separă spaţiul în două submulţimi convexe, numite subspaţii:

0),,( =+++≡ dczbyaxzyxf

}.0),,(),,{(

}0),,(),,{(

≥=π

≤=π

+

zyxfzyx

zyxfzyx

Se observă că aceste mulţimi sunt închise şi convexe, şi că avem 3; E=π∪ππ∩π=π +−+− .

4. Fie 1π şi două plane având ecuaţiile generale respectiv 2π01111 =+++ dzcybxa şi

02222 =+++ dzcybxa . Reuniunea planelor 1π şi π este mulţimea (închisă) de puncte 2

}0))((),,{( 2222111121 =++++++=π∪π dzcybxadzcybxazyx . 5. În cazul în care şi nu sunt nici paralele, nici confundate (deci vectorii

lor normali 1π 2π

),,,,( 22221111 cbcba= (a=),nn sunt necolineari, 021 ≠× nn ), intersecţia planelor 1π şi este o dreaptă ∆ ale cărei puncte satisfac sistemul liniar 2π ),,( zyxM

=+++=+++

.00

2222

1111

dzcybxadzcybxa

Geometrie Analitică 133

Page 27: Geometrie analitica

Condiţia 021 ≠× nn conduce la faptul că sistemul este compatibil 1-nedeterminat. Vectorul nenul

≡=×=

22

11

22

11

22

11

222

11121 ,,baba

acac

cbcb

cbacbakji

nnv

produce direcţia dreptei (deci este vector director al acesteia). Ecuaţiile carteziene canonice ale perpendicularei comune rezultă acum uşor, având drept date un punct

al dreptei (un punct ale cărui coordonate satisfac sistemul), şi vectorul director

∆∆

0M v al acesteia.

6. Pentru a afla poziţia relativă a unor drepte şi/sau plane se rezolvă sistemul format de ecuaţiile acestora, şi se interpretează geometric rezultatul. După cum sistemul este incompatibil, compatibil determinat, compatibil simplu sau dublu nedeterminat, intersecţia este mulţimea vidă (paralelism !), punct , dreaptă sau plan. 3.7. Fascicule de plane. Definiţii. a) Dată fiind o dreaptă ∆, se numeşte fascicul de plane concurente mulţimea planelor ce conţin această dreaptă; dreapta ∆ se numeşte axa fasciculului. Dacă avem λπ

0:, 1111121 =+++ππ∩π=∆ dzcybxa , 0: 22222 =+++π dzcybxa ,

atunci un plan arbitrar din fascicul are ecuaţia 0)()( 22221111 =+++++++ dzcybxatdzcybxas

ts,, unde

coeficienţii reali nu se anulează simultan. Presupunând spre exemplu , prin împărţire la s, se obţine ecuaţia fascicolului redus (numit astfel deoarece din fascicul lipseşte planul ), de forma

0≠s2π

R∈=+++++++ rdzcybxardzcybxa ,0)()( 22221111 . b) Dată fiind o direcţie furnizată de un vector nenul ),,( cban ≡ , se numeşte

fascicul de plane paralele. mulţimea planelor ce au ecuaţia de forma R∈λ=λ+++ ,0czbyax .

Se observă că aceste plane au acelaşi vector normal n , deci sunt efectiv paralele.

#4. Unghiuri în spaţiu

Vom determina în cele ce urmează formule de calcul ale unghiurilor: ♦ dintre două drepte orientate, ♦ dintre două plane orientate, ♦ dintre o dreaptă orientată şi un plan orientat.

Cap.VI. Dreapta şi planul în spaţiu 134

Page 28: Geometrie analitica

4.1. Unghiul dintre două drepte orientate. Fie ),(),,( 21 vu ∆∆ două drepte orientate având vectorii directori kcjbiavkcjbia 222111 , ++=++=u .

Se va numi unghiul dintre dreptele orientate ),(),, 21 vu ∆∆( , unghiul α dintre vectorii lor directori u şi v (vezi figura).

v

u ∆1

∆2

α

Acesta este deci dat de relaţia

],0[,,cos22

22

22

21

21

21

212121 π∈α++++

++=

><=α

cbacbaccbbaa

vuvu .

Putem verifica (temă) următoarele caracterizări analitice ale perpendicularităţii şi paralelismului a două drepte:

1) 00, 21212121 =++⇔=>⇔<∆⊥∆ ccbbaavu .

2) 2

1

2

1

2

11 0

cc

bb

aavu ==⇔=×⇔2∆∆ .

4.2. Unghiul dintre două plane orientate. Fie planele π , având respectiv ecuaţiile 1 2π

a x b y cz d1 1 1 1 0+ + + = , a x , b y c z d2 2 2 2 0+ + + =orientate implicit de vectorii normali ),,(),,,( 22221111 cbancban == (vezi figura).

n

n

π2

π1

2

1

α

Planele şi sunt paralele sau confundate dacă şi numai dacă vectorii lor normali sunt coliniari, adică

1π 2πn n , deci au coeficienţii proporţionali. 1 2 0× =

Ele nu sunt confundate, dacă ecuaţiile lor nu diferă printr-un factor multiplicativ nenul. Prin urmare, şi sunt paralele, dacă există un număr real

astfel încât să avem relaţiile 1π 2π

}0{\R∈k ( . 21222111 ),,,(),, kddcbakcba ≠=

Planele şi coincid dacă astfel încât 1π 2π }0{\R∈∃k),,,(),,,( 22221111 dcbakdcba = .

Geometrie analitică 135

Page 29: Geometrie analitica

Dacă planele π şi nu sunt paralele sau confundate, fie ∆ dreapta după care acestea se intersectează. Un plan π perpendicular pe ∆ taie cele două plane după laturile unui unghi α, unghiul diedru al planelor şi . Constatăm că putem determina relativ uşor unghiul θ dintre vectorii

1 2π

1π 2π

1n şi 2n , unghiul format de normalele celor două plane, (suplementar sau egal cu unghiul α), deci obţinem

, unde cos cosα = ± θ

],0[,,cos22

22

22

21

21

21

212121

21

21 π∈θ++++

++=

><=θ

cbacbaccbbaa

nnnn ,

în funcţie de sensul vectorilor normali. Dacă planele sunt orientate de vectorii normali 1n şi 2n , atunci spunem că unghiul determinat mai sus este unghiul celor două

plane orientate. În particular, avem θ

00, 2121212121 =++⇔=><⇔π⊥π ccbbaann . 4.3. Unghiul dintre o dreaptă orientată şi un plan orientat.

Considerăm dreapta orientată ),( v∆ , şi planul orientat ),nπ( , unde ),,(),,,( 321321 nnnnvvvv ≡≡ . Prin definiţie unghiul

ππ−∈α

2,

2 format între dreapta ∆ şi planul π, este

unghiul dintre dreaptă şi proiecţia ∆' a acesteia pe plan. În cazul π∆ , considerăm , altminteri

dreapta intersectează planul într-un punct (conţinut în proiecţia ∆').

0=α

vn

θ α

π

Constatăm că putem determina relativ uşor unghiul dintre vectorii ],0[ π∈θ v şi n (dintre dreapta ∆ şi normala la planul π), unghi complementar unghiului α, deci obţinem sin , unde θ=α cos

],0[,cos2

32

22

12

32

22

1

332211 π∈θ++++

++=θ

nnnvvv

nvnvnv .

Observaţii. 1. Se observă că 0α d.n.d. unghiul dintre > v şi n este ascuţit. 2. Dacă dreapta ∆ este paralelă cu planul π sau conţinută în plan, constatăm

că: 1 1 2 2 3 3 sau , 0v n v n v n v nπ π∆ ∆ ⊂ ⇔ < >≡ + + = .

3. Dacă dreapta ∆ este perpendiculară pe planul π, avem:

3

3

2

2

1

10},0{0nv

nv

nvnv ==⇔=×⇔π∈θ⇔=α⇔π⊥∆ .

#5. Distanţe în spaţiu

Vom determina în cele ce urmează formule de calcul ale distanţei:

♦ de la un punct la o dreaptă sau de la un punct la un plan, ♦ dintre două drepte.

Cap.VI. Dreapta şi planul în spaţiu 136

Page 30: Geometrie analitica

5.1. Distanţa de la un punct la o dreaptă. Se dau punctul A şi dreapta ∆ de ecuaţii carteziene

c

zzb

yya

xx 000 −=

−=

−. (*)

Ne propunem să determinăm distanţa de la punct la dreaptă. Pentru aceasta, observăm că din ecuaţiile dreptei ies în relief vectorul director al acesteia

),( ∆Ad

),,( cbav = şi un punct al dreptei, (ale cărui coordonate satisfac sistemul de ecuaţii (*)).

∆∈)0,,( 00 zyx),( ∆=′ AdAA

v

C A'

A

B

B

Dacă (coordonatele sale satisfac ecuaţiile (*)), atunci evident .

∆∈Ad 0),( =∆A

Dacă , atunci este mărimea înălţimii (vezi f

paralelogramului de bază BC determinat de segmentele orientate

∆∉A ),( ∆Ad AA ′

BA şi BC ∈ este raportul dintre aria paralelogramului şi lungimea bazei. A

formulele de calcul cunoscute, rezultă formula de calcul a distanţei de la pundreapta ∆,

),( ∆Ad

v

vBAAd

×=∆);( .

Observaţii. 1. Formula are loc şi în cazul . ∆∈A

2. Are loc relaţia d , deci distanţa este

mică distanţă de la punctul A la punctele dreptei ∆.

),(inf);( MAdAM ∆∈

=∆ );( ∆Ad

5.2. Distanţa de la un punct la un plan. Se dau punctul planul π de ecuaţie . Ne propunem să determinăm

de la punct la plan.

,( 0 yxAax by cz d+ + + = 0

),( πAd

AAAd ′=π),(

π

A

A'

Dacă , atunci evident . π∈A 0);( =πAdDacă , fie proiecţia punctului A pe planul π (vezi

obţinut prin intersecţia unicei drepte ∆ de vector director π∉A ),,( zyxA ′′′′

),,( cbav ≡ cepunctul A (perpendiculara prin A pe plan), cu planul π. Atunci distanţa de laA la planul π este AA ′=π)A,(d . Prin calcul se obţine (temă, verificaţi):

Geometrie Analitică

igura) a

v , deci plicând

ctul A la

cea mai

şi distanţa

), 00 z

figura), conţine punctul

137

Page 31: Geometrie analitica

222

000);(cba

dczbyaxAd

++

+++=π . (**)

Observaţii. 1. Formula (**) are loc şi în cazul . π∈A

2. Distanţa este cea mai mică distanţă de la punctul A la punctele planului π, adică are loc relaţia

);( πAd

),(inf);( MAdAdM π∈

=π .

5.3. Distanţa dintre două drepte. Perpendiculara comună a două drepte oarecare din spaţiu. Se dau două drepte cu vectorii directori respectiv 21,∆∆

}0{\, 321 V∈vv . Ne propunem să determinăm distanţa dintre cele două drepte.

),( 21 ∆∆d

Dacă dreptele sunt confundate (sistemul reunit al ecuaţiilor lor este compatibil nedeterminat) sau concurente (sistem unic determinat), atunci evident d . 0),( 21 =∆∆ Dacă dreptele sunt paralele (sistem incompatibil, cu rangul matricii coeficienţilor = 1), atunci, alegând un punct de pe prima dreaptă, aplicând 5.1, putem calcula distanţa .

11 ∆∈A)2,(),( 121 ∆=∆∆ Add

Dacă dreptele sunt oarecare (sistem incompatibil, cu rangul matricii coeficienţilor egal cu 2) sau concurente, atunci vectorii 21 ,vv sunt necolineari, şi deci

021 ≠×= vvn este un vector normal la ambele drepte, ce determină direcţia normală comună unică a celor două drepte. Aceasta este direcţia perpendicularei comune a celor două drepte, unica dreaptă ce se sprijină pe ambele drepte şi este ortogonală pe acestea. ⊥∆

Ecuaţiile perpendicularei comune sunt furnizate de sistemul de două ecuaţii al următoarelor două plane şi , la intersecţia cărora aceasta se află:

⊥∆

21

1A

π π

♦ planul ce conţine un punct al primei drepte şi reprezentanţi ai vectorilor liberi

1π 1∆∈

1v şi n ; ♦ planul ce conţine un punct al celei de-a doua drepte şi reprezentanţi ai vectorilor liberi

2π 22 ∆∈A

2v şi n (vezi figura).

π

⊥∆2∆

Deci un punct aparţine perpendicularei comune dacă şi numai dacă coordonatele sale satisfac sistemul de

ecuaţii

3E),,( ∈zyxM

⊥∆

.0

0

>=×<

>=×<

,

,

22

11

nvMA

nvMA

Apoi, intersectând cu dreptele şi , se onumite picioarele perpendicularei comune, iar d

⊥∆ 1∆ 2∆

22 )( B=∆ 1B1 ,d ∆ .

138

1v

n2v

1v

2v

′π ′′

1∆

A2

A1

bţin respectiv punctele , istanţa dintre şi este

21 , BB

21∆ ∆

Cap.VI. Dreapta şi planul în spaţiu

Page 32: Geometrie analitica

Observaţii. 1. Distanţa dintre cele două drepte şi se poate calcula şi direct, fără a fi necesară determinarea în prealabil a perpendicularei comune şi a intersecţiei acesteia cu cele două drepte. Fixând două puncte, , distanţa dintre dreptele ∆ şi este distanţa dintre planele π şi determinate respectiv de

1∆ 2∆

⊥∆

2 ∈A′

211 , ∆∆∈Aπ ′′),( 21 ∆∆d 1 2∆

211 ,, vvA şi 2,v1,v2A . Remarcăm că prin construcţie avem π′∆π ′′∆π ′′⊂∆π′⊂∆ 2121 ,,, .

1v

1∆

2∆

2v

π′

π ′′

h

A2

A1

Atunci pararalelipipedul ce are drept muchii adiacente 21 AA şi reprezentanţi de origine ai vectorilor liberi 1A 21 ,vv (paraleli cu bazele, vezi figura), are bazele conţinute în cele două plane paralele, iar înălţimea sa are lungimea

bazaAVhdd /),(),( pedparalelipipedparalelipi21 ==π′′π′=∆∆ .

Folosind formulele de calcul ale volumului şi ariei, obţinem

21

212121

,),(

vv

vvAAd

×

>×<=∆∆ .

2. Putem determina picioarele ale perpendicularei comune - şi de aici

distanţa dintre cele două drepte 21, BB

211 ,( BBd ∆

B2 ) =∆

21 , B

şi perpendiculara comună ca

dreaptă determinată de punctele , astfel: Folosind ecuaţiile vectoriale 2.1(1) ale celor două drepte, considerăm două puncte arbitrare fixate

şi punctele mobile

⊥∆

2211 , ∆∈∆∈ AA∆

∆∈

∆∈

,)(

,)(

22

111

OCsC

OCtC

)(s

∈+=

∈+=

.,)(

,)(

222

11

R

R

svsOAs

tvtOAt

1∆Când parametrii t şi s parcurg dreapta reală, cele două puncte parcurg respectiv dreptele . Cele două puncte coincid

),( 21 CtC

21 ,∆∆

B2

B1

C1(t)

C2(s)

⊥∆

2

Geometrie Analitică 139

Page 33: Geometrie analitica

respectiv cu picioarele perpendicularei comune doar atunci când vectorul liber determinat de segmentul orientat )()( 21 sCtC satisface condiţiile de ortogonalitate pe cei doi vectori directori (vezi figura)

>=<

>=<

,0,)()(

0,)()(

221

121

vsCtC

vsCtC

sistem liniar de două ecuaţii în necunoscutele t şi s. Soluţiile sunt parametrii corespunzători punctelor căutate şi avem C . Atunci are

ecuaţia vectorială

00 , st

2B=02101 )(,)( sCBt = ⊥∆

.R∈,211 += tBBtOBOM , iar distanţa dintre drepte este

2121 ),( BBd =∆∆ .

3. Are loc relaţia ),(inf);(

21

21 BAddBA

∆∈∆∈

=∆∆ ,

deci distanţa este cea mai mică distanţă dintre două puncte aflate respectiv pe cele două drepte.

);( 21 ∆∆d

#6. Probleme propuse

1. Determinaţi dreapta ∆ în următoarele cazuri, ştiind că: a) trece prin punctele . )0,1,1(),2,0,1( −BA b) conţine punctul C şi are vectorul director )1,0,1( ik 2−=v . Determinaţi ecuaţiile parametrice ale dreptei. c) este normală la planul π şi conţine punctul . 03: =− yx )3,0,1(D d) se află la intersecţia planelor . 013:;0: 21 =−−π=−π zxyx R. a) Folosim ecuaţia dreptei prin 2 puncte date,

=+−=−

⇔−−

=−−

=−

⇔−−

=−−

=−−

.02201

22

10

01

zyxzyx

zzzz

yyyy

xxxx

AB

A

AB

A

AB

A

b) Folosim ecuaţia dreptei ce trece printr-un punct C dat si are direcţia dată de vectorul director v :

)(1

10

021:

321

tzyxv

zzv

yyv

xx CCC =−

=−

=−−

⇔−

=−

=−

∆ .

Pentru a afla ecuaţiile parametrice egalăm cu t şirul de rapoarte; obţinem R∈++−=∆ t),1,0,12(),,(: ttzyx .

c) Datorită perpendicularităţii, drept vector director al dreptei putem considera vectorul n normal la planul π , )0,3,1( −≡n , şi folosim ecuaţia dreptei ce trece printr-un punct D dat si are direcţia dată de vectorul director n ; obţinem

03

30

11: −

=−−

=−

∆zyx .

Cap.VI. Dreapta şi planul în spaţiu 140

Page 34: Geometrie analitica

d) Pentru a afla ecuaţiile canonice ale dreptei rezolvăm sistemul 21 π∩π=∆

R∈++=⇔

=−−=−

ttttzyxzx

yx),,13,13(),,(

0130

.

Extragând t din fiecare relaţie, rezultă )(1

03

13

1 tzyx=

−=

−=

− .

2. Să se determine planul π în următoarele cazuri, ştiind că: a) conţine punctele necolineare . )1,1,0(),0,1,0(),1,0,1( CBAb) conţine punctul şi reprezentanţi ai vectorilor )1,0,1( −D ijviku 2, +=−= . c) conţine punctul şi are vectorul normal )2,1,0(E kjin +−= 2 . d) este perpendicular pe dreapta şi conţine punctul . zyx −=−=∆ 13: )3,2,1( −F

e) conţine dreapta ∆ şi punctul G .

=+=

1:

xzyx

)1,1,0( −

R. a) Folosim ecuaţia planului prin 3 puncte CBA ,,

0

1110101011011

0

1111

: =⇔=π

zyx

zyxzyxzyxzyx

CCC

BBB

AAA .

b) Folosim ecuaţia planului ce trece printr-un punct D dat şi conţine reprezentanţi a două direcţii v,u date.

0012101

1010: =−

+−−⇔=

−−−π

zyx

vvvuuu

zzyyxx

zyx

zyx

DDD

c) Folosim ecuaţia planului ce trece prin punctul dat şi are vectorul normal )2,1,0(E

),,(2 321 nnnkjin ≡+−= dat,

1 2 3: ( ) ( ) ( ) 0 2 0E E En x x n y y n z z x y zπ − + − + − = ⇔ − + = . d) Planul conţine punctul F şi are drept vector normal exact vectorul director al

dreptei ∆; ecuaţiile dreptei se rescriu 10

11

3/1013:

−−

=−

=−

⇔−=−=zyxzyx∆ , deci

vectorul normal la plan este )1,1,3/1( −≡n . Folosind ecuaţia unui plan ce conţine un punct (F) dat, de vector normal dat (folosim multiplul n3 , mai comod în calcul), obţinem . e) Planul π determinat de punctul G şi vectorii 0 1433: =++π z y - x

vuw ×= şi GH , unde )1,0,1(),0,1,1( ≡−≡ v

01 =

u sunt vectorii normali ai planelor din sistemul de ecuaţii al dreptei, iar H este un punct al dreptei, spre exemplu . Se obţine .

)1,0,0(H2−x: +−π zy

Variantă. Acel plan din fasciculul 0)1()(: =−+λ+−πλ zxyx

Geometrie Analitică 141

Page 35: Geometrie analitica

ce conţine dreapta, care trece prin punctul G; condiţia , conduce la , şi înlocuind în ecuaţia fascicolului, rezultă .

λπ∈G1 =+z

2/1−=λ0

3

2: −−π yx3. Să se determine planul π în următoarele cazuri, ştiind că:

a) conţine axa Oz şi punctul A(1,2,-3) b) este perpendicular pe axa Oz şi conţine punctul B(0,1,2) c) determină pe axele Ox,Oy,Oz segmente de mărime algebrică respectiv

. ,2,1 ==−= cbaR. a) Conţinând axa Ox, planul are o ecuaţie de forma ; condiţia conduce la l ; alegem şi rezultă 0 . b) Fiind perpendicular pe axa Oy, planul are o ecuaţie de forma ; condiţia conduce la

. c) folosind ecuaţia planului prin tăieturi, obţinem

0: =+π mylx=− y

0 B

π∈Am2−=

2=z

1−=m 2:π x=− cz:π π∈

:2 π⇒=c

0 =660 +⇔ x - 23 z y - 13

=−+z

21: +−

πyx .

4. Să se determine planul π care conţine dreptele

. zyxzyx =−=∆==∆ :;: 21

R. Cele 2 drepte determină un plan doar dacă sunt ori concurente, ori paralele. Vectorii directori ai celor două drepte )1,1,1(),1,1,1( 21 −≡≡ vv au produsul vectorial nenul, deci dreptele nu sunt paralele. Intersecţia lor, obţinută din sistemul de 4 ecuaţii

=−===

zyxzyx

este punctul , deci dreptele sunt concurente şi determină un plan π care le conţine. Astfel, π este determinat de punctul A şi vectorii

)0,0,0(A

21 ,vv :

zxzyx

=⇔=−

−−−π 0

111111

000: .

5. Determinaţi planul π care conţine dreptele

1 21 2: 1; :

2 2x yx y z − − −

∆ = − = + ∆ = =2z .

R. Verificăm dacă dreptele sunt paralele sau concurente. Vectorii directori ai celor două drepte sunt )2,2,2(),1,1,1( 21 −≡−≡ vv

1A (!) şi au produsul vectorial nul, deci sunt

paralele şi determină un plan. Alegem , şi atunci π este determinat de punctul A

221 )0,2,1(,)1,0,0( ∆∈−∆∈− A

1 şi vectorii 21 AA şi 1v 1: =−π zx; obţinem .

6. Determinaţi planul π ştiind că acesta conţine dreapta şi este

perpendicular pe planul .

=−=

∆1

:zxyx

12: =−π′ yx

R. Planul conţine dreapta, deci aparţine fascicolului π şi este ortogonal pe planul doar dacă se anulează produsul scalar dintre vectorul său normal

0)1()(: =−−λ+−λ zxyxπ′

),1,1( λ−−λ+≡n şi vectorul normal )0,2 π′,1( −≡′n al planului . Obţinem 0 3 32:3 =+π⇒−=λ -z y -x .

Cap.VI. Dreapta şi planul în spaţiu 142

Page 36: Geometrie analitica

7. Se dau punctele , planele π , şi dreapta

)2,1,0(),1,0,1( BA − 1: =− yx ' : 1 0x yπ + + =

zyx −==∆ : . Să se determine următoarele proiecţii şi simetrice indicate mai jos: a) (simetricul punctului A faţă de punctul B); AsimD B=b) . ' ',A pr A A simπ π′ ′′= = Ac) C AsimCApr ∆∆ =′′=′ , .d) ∆=∆ ′′∆=∆′ ππ simpr , .

R. a) Punctul B se află la mijlocul segmentului determinat de punctele , deci avem relaţiile

DA,

)5,2,1(5,2,12

,2

,2

−⇒==−=⇔+

=+

=+

= Dzyxzzzyyyxxx DDDDA

BDA

BDA

B .

b) Proiecţia A' a punctului A pe planul π' se află la intersecţia dintre plan şi dreapta prin A de vector director egal cu vectorul normal la plan, ' (1,1,0)n ≡

C

; obţinem . Simetricul căutat este de fapt simetricul punctului A faţă de proiecţia A'.

Procedând ca la punctul a), rezultă . c) Proiecţia C' a punctului A pe dreapta ∆ se află la intersecţia dintre dreaptă şi planul ce conţine punctul A şi are vectorul normal egal cu vectorul director al dreptei ∆; obţinem .

. Simetricul căutat este de fapt simetricul punctului A faţă de proiecţia C'. Procedând ca la punctul a), rezultă . d) Alegem două puncte distincte E şi F pe dreapta ∆, spre exemplu ; procedând ca la punctul b) determinăm proiecţiile ale acestora pe planul π, şi apoi simetricele ale acestora faţă de planul π. Atunci este dreapta de ecuaţii:

)1,1,0( −−′A

)1,1,0( −−′A

FE ′

)1,2,1( −−−′′A

)3,4,3( −′′C,1,1(),0,0,0( −F/1,2/3(),0,2 ′F

)1

)2,2,2( −′

∆′

)1,21 −

,

E/−

)1,2/1( −′E0,2(),0, ′′F1,1( −′′E

zyxzyx−=+=−⇔

−−

=+

=− 2/12/1

10

12/1

12/1 ,

iar dreapta ∆ este dreapta de ecuaţii ′′ FE ′′′′

zyxzyx−=+=−⇔

−−

=+

=− 11

10

11

11 .

8. Se dau punctele , planul π şi dreapta )2,1,0(),1,0,1( BA − 2: =− yx

zyx −=−=−∆ 321: . Să se afle următoarele distanţe:

a) distanţa dintre cele două puncte; ),( BAdb) distanţa dintre punctul A şi planul π; ),( πAdc) distanţa dintre punctul A şi dreapta ∆. ),( ∆Ad

R. a) Distanţa între cele două puncte este 11))1(2()01()10(),( 222 =−−+−+−=BAd ;

b) vectorul normal la planul π este )0,1,1( −≡n ; aplicând formula distanţei de la un punct la un plan, rezultă

Geometrie analitică 143

Page 37: Geometrie analitica

22

0)1(1

201),(

222=

+−+

−−=πAd .

Temă: aflaţi aceeaşi distanţă, ca distanţa dintre punctul A şi proiecţia sa pe plan. c) Vectorul director al dreptei este )1,3/1,1( −−≡v ; alegem un punct al acesteia

; distanţa este înălţimea paralelipipedului de bază paralelă cu )0,3/2,1(C ),( ∆Ad v şi muchii paralele cu vectorii CA şi v , raportul dintre aria paralelipipedului şi lungimea bazei. Avem deci

1914

3/193/14);( ==

×=∆

v

vCAAd .

Temă: aflaţi aceeaşi distanţă, ca distanţa dintre punctul A şi proiecţia sa pe dreaptă. 9. Se dau punctele

)2,2,(),3,1,1(),1,3,1(),1,1,3( α−−−−−− DCBA . Aflaţi parametrul α astfel încât acestea să fie coplanare, apoi aflaţi planul π care conţine cele patru puncte. R. Condiţia de coplanaritate a punctelor revine la coplanaritatea vectorilor

ADACAB ,, , dată de anularea produsului lor mixt; rezultă 1:,3 =++π−=α zyx .

10. Calculaţi următoarele unghiuri:

a) unghiul α dintre dreptele 0

1:,1: 21zyxzyx =−=∆==−∆ ;

b) unghiul β dintre planele π ; zyxzy 21:,: 21 +−=π=

c) unghiul γ dintre dreapta zyx==

−−

∆01

21:0 şi planul . 2:0 =π x

R. a) Vectorii directori sunt )0,1,1(),1,1,1( 21 −≡≡ vv/0arccos π==

, iar α este unghiul dintre aceştia; aplicând formula, rezultă 2 , deci dreptele au direcţii perpendiculare. b) Vectorii normali la plane sunt respectiv

α

)2,1,1(),1,1,0( 21 −≡−≡ nn ; aplicând formula, rezultă )2/3arccos(−π=β . c) Vectorul director al dreptei este (1/ 2,0,1)v ≡ , iar vectorul normal al planului este

)0,0,1(≡n ; aplicând formula, rezultă arcsin(1/ 5)γ = . 11. Determinaţi ecuaţiile parametrice ale dreptei ∆ care trece prin punctul

şi este perpendiculară pe dreptele , ştiind că acestea au direcţiile date respectiv de vectorii

)0,3,2(A 21 ,∆∆)1,0,1(1 ≡u şi )2,1,1(2 −≡u .

R. Dreapta de direcţie )1,3,1(21 −−≡×uu ce trece prin A, de ecuaţii

R∈+−+−=⇔==−−

=−−

∆ ttttzyxtzyx ),,33,2(),,()(13

312: .

Cap.VI. Dreapta şi planul în spaţiu 144

Page 38: Geometrie analitica

12. Se dau dreptele ∆ . Aflaţi perpendiculara comună a acestora şi distanţa d dintre ele.

zyxzyx =−=∆==− :;1: 21

),( 21 ∆∆⊥∆R. Direcţiile celor două drepte sunt respectiv )1,1,1(),1,1,1( 21 −≡≡ vv , deci direcţia normalei va fi dată de vectorul

)2,0,2(21 −≡×= vvn . Alegând punctele , planele determinate de 2211 )0,0,0(,)0,0,1( ∆∈∆∈ AA nvA ,, 11 şi

nvA ,, 22 furnizează ecuaţiile perpendicularei comune

=−+−=

=++=+−

∆⊥ .02/14/1

0212

:zx

yzyxzyx

Distanţa este înălţimea paraleleipipedului format cu muchii paralele cu ),( 21 ∆∆d

2v121 ,,vAA şi baza paralelogramul cu muchiile paralele cu 21,vv , deci

.22

222,

/),(21

2121pedparalelipipedparalelipi21 ==

×

>×<===∆∆

vv

vvAAAVhd baza

Altfel, folosind ecuaţiile parametrice ale celor două drepte, considerăm punctele

11 ),,1()( ∆∈+= ttttC şi . 22 ),,()( ∆∈−= ssssCSegmentul C este inclus în perpendiculara comună doar dacă vectorul )()( 21 sCt ⊥∆

),,1()()( 21 tststssCtC −−−−−≡ este ortogonal pe cei doi vectori directori; din anularea celor două produse scalare, rezultă sistemul

=−=

=−−=−−

4/14/1

013013

st

tsts

,

iar punctele corespunzătoare )4/1,4/1,4/3()4/1(11 −−=−= CB şi

)4/1,4/1,4/1()4/1(22 −== CB sunt picioarele perpendicularei comune . Dreapta este exact perpendiculara comună, deci obţinem

⊥∆ 21BB

=−+−=

⇔−−

=+

=−

∆⊥ .02/14/1

2/14/1

04/1

2/14/1:

zxyzyx

Distanţa este exact distanţa dintre punctele , deci ),( 21 ∆∆d 21 , BB2/2),(),( 2121 ==∆∆ BBdd .

Geometrie analitică 145

Page 39: Geometrie analitica

Capitolul 7

SCHIMBĂRI DE REPERE ÎN SPAŢIU

Mulţimea izometriilor (transformărilor ce păstrează distanţa) spaţiului formează un grup, pe care îl vom nota cu Iz. Cu ajutorul acestui grup, se introduce noţiunea de grup de congruenţă a figurilor din spaţiul punctual E , două figuri fiind congruente, dacă una se obţine din cealaltă printr-o izometrie a grupului.

3E

3

Rotaţiile în jurul dreptelor ce trec prin origine şi simetriile faţă de planele ce conţin originea sunt transformări ortogonale (care păstrează produsul scalar); ele păstrează originea, induc transformări liniare ale spaţiului , iar matricile lor relativ la orice bază ortonormată a spaţiului sunt matrice ortogonale.

V3

V3

Orice izometrie este de forma , unde T este o translaţie, iar S este o asemenea transformare ortogonală.

STJ =

Vom considera în cele ce urmează izometrii care acţionează doar asupra reperelor carteziene (identificate cu sistemul de axe de coordonate pe care îl determină), şi lasă pe loc punctele spaţiului . 3E Definiţie. Fie o izometrie ce transformă reperul cartezian

STJ =},,;{ kjiOR = în noul reper

)}(),(),();({)( kSkjSjiSiOTORJR =′=′=′=′==′ . Izometria J se numeşte deplasare (sau izometrie pozitivă) dacă baza { ,

este orientată pozitiv şi antideplasare (sau izometrie negativă) în caz contrar. , }′ ′ ′i j k

Exemple. Izometrii pozitive sunt translaţiile, rotaţiile în jurul unei drepte şi simetria în raport cu o dreaptă; izometrii negative sunt simetria în raport cu un plan şi simetria în raport cu un punct.

Observaţii. 1. Grupul Iz este necomutativ. Spre exemplu, T , pentru aplicaţiile

TSS ≠

),,(),,(),,,1(),,( zxyzyxSzyxzyxT −=+= , căci aplicate punctului (1,0,0) produc imaginile diferite . )0,2,0()0,1,1( ≠

2. Izometriile elementare, generatoare ale grupului Iz, sunt simetria în raport cu un plan oarecare şi translaţia; prin compunerea acestora se obţin: ♦ rotaţia în jurul unei drepte - compunere de simetrii relative la două plane ce conţin dreapta şi formează un unghi egal cu jumătate din unghiul de rotaţie; ♦ simetria relativă la o dreaptă - compunere de simetrii relative la două plane ce conţin dreapta şi formează un unghi drept; ♦ simetria relativă la un punct - compunere de simetrii relative la trei plane reciproc ortogonale ce se intersectează în acel punct.

Cap.VII. Schimbări de repere în spaţiu 146

Page 40: Geometrie analitica

3. Translaţia este de asemenea compunere a două simetrii faţă de plane paralele, ambele normale pe vectorul de translaţie OAv = , unul din plane trecând prin A, iar celălalt prin A', unde AO ′= 2 .OA

#1. Translaţia şi rotaţia reperului cartezian

1.1. Definiţie. Se numeşte translaţie a reperului cartezian Ox de vector liber

yzvxO′, deplasarea a reperului astfel ca axele noului reper

să fie paralele şi de acelaşi sens cu cele ale reperului Ox , iar TJ = OxyzR =

zyR ′′′=′ yz OOv ′= .

Observaţii. 1. Folosind notaţiile din Cap. VI, #1, observăm că translaţia T de vector OO ′ , duce reperul },,;{ kjiOOxyzR == în },,;{ kjiOzyxOR ′′′′=′′′′=′ , unde

i

k j

),,();,,( zyxzyxM ′′′

OO ′

kj

i

MO′

OM

z'

′ ′

y'

x'

O'

z

ψ

x

Ο

})(,)(,)();({)( kkTkjjTjiiTiOTORTR ==′=′==′=′==′ = . 2. Fie coordonatele originii a noului reper

relativ la . Fie un punct care are coordonatele ( relativ la R şi relativ la R'. Aceste coordonate satisfac relaţiile (datorită egalităţii evidente

),,( cbaOxyz

'O )(RTzyxOR =′′′′=′),, zyxR =

), z′3E∈M

,( yx ′′

OM OO= ′ + O M′ exprimate în coordonate faţă de R, vezi figura de mai sus),

−=′−=′−=′

+′=+′=+′=

czzbyyaxx

czzbyyaxx

T :

rescrise vectorial

=

′′′

+

′′′

=

cba

zyx

zyx

cba

zyx

zyx

T :

numite ecuaţiile translaţiei T de repere carteziene de vector ),,( cbaOOv ≡′= . Aceste ecuaţii admit scrierea matriceală:

Geometrie analitică 147

Page 41: Geometrie analitica

=

′′′

+

′′′

=

cba

zyx

zyx

cba

zyx

zyx

T100010001

100010001

: ,

de unde se vede clar că translaţiile sunt izometrii pozitive , unde iar .

J S T= IdS =01detdet 3 >== IS

1.2. Definiţie. Se numeşte rotaţie a reperului cartezian , deplasarea

a reperului R astfel ca , iar versorii directori ai noului reper să se obţină din cei ai reperului iniţial R prin intermediul unei

transformări liniare ortogonale pozitive.

OxyzR =SJ =OR =′

OO =′zyx ′′′′

Observaţii. 1. Printr-o rotaţie S, reperul },,;{ kjiOR = este dus în reperul

},,;{ kjiOR ′′′′=′ , dat de )}(),(),(;)({ kSkjSjiSiOOSOR =′′=′==′=′ = ,

unde transformarea asociată , este un endomorfism ortogonal de determinant pozitiv; deci S produce practic trecerea de la baza ortonormată

33 : VV →S

},,{ kji=B în baza ortonormată }k ′,,{ ji ′′=′B din spaţiul . Descompunând noua bază B' relativ la baza iniţială B, avem

V3

>′<+>′<+>′=<≡′

>′<+>′<+>′=<≡′

>′<+>′<+>′=<≡′

kkkjjkiikkSk

kkjjjjiijjSj

kkijjiiiiiSi

,,,)(

,,,)(

,,,)(

adică, formal,

( , , ) ( , , )i j k C i j k′ ′ ′= , unde

, , ,

, , ,

, , ,

ti i i j i k

C j i j j j

k i k j k k

′ ′ ′< > < > < >

′ ′ ′= < > < > < > ′ ′ ′< > < > < >

k

este matricea transformării ortogonale a izometriei S. Condiţia ca baza B' să fie ortonormată, asemeni bazei B, este echivalentă cu

relaţiile , deci matricea C este o matrice ortogonală; S având determinant pozitiv, avem det .

CCICCCC ttt =⇔== −13

1=C

2. Dacă un punct are coordonatele ( relativ la reperul şi relativ la , atunci condiţia

satisfăcută de rotaţia S şi exprimarea vectorului

3E∈M ),, zyx)OxyzR = ),,( zyx ′′′ (RSzyxOR =′′′′=′ OO =′

OM relativ la cele două baze conduce (ţinând cont de relaţia dintre baze) la legătura dintre coeficienţii punctului M:

: t

x x xS y C y y C y

z z z

′ ′ ′ ′= ⇔ = ′ ′

x

z (*)

numite şi ecuaţiile rotaţiei S.

Cap.VII. Schimbări de repere în spaţiu 148

Page 42: Geometrie analitica

3. Dacă ) este o transformare ortogonală de matrice C, aceasta induce prin formula (*) o schimbare de reper ce păstrează originea, o izometrie pozitivă în cazul (rotaţie) şi negativă, dacă 1det (rotaţie compusă cu o simetrie faţă de un plan ce conţine originea).

( 3VEndS ∈

1det =C −=C

4. O izometrie formată dintr-o rotaţie S de matrice asociată C urmată de o translaţie T de vector

STJ =

B′′=′′′≡′=′ ][),,( OOcbaOO tv poartă numele de roto-translaţie . O astfel de transformare duce reperul },,;{ kjiOOxyzR == în reperul

)}(),(),();({)( kSkjSjiSiOTORJzyxOR =′=′=′=′==′′′′=′ . Dacă un punct are coordonatele relativ la reperul şi

relativ la atunci acestea satisfac ecuaţiile roto-translaţiei J:

3E∈MR′

),,( zyx OxyzR =),,( zyx ′′′ )(RJzyxO =′′′′=

: t

x x a x xJ T S y C y b y C y b

z z c z z

′ ′ ′ ′+ ′ ′ ′ ′= = + ⇔ = ′ ′ ′ ′+

a

c− .

5. O izometrie formată dintr-o translaţie T de vector TSJ =

B][),,( OOcbaOOv t ′=≡′= urmată de o rotaţie S de matrice asociată C se va numi de asemenea roto-translaţie; aceasta duce reperul },,;{ kjiOOxyzR == în reperul

)}(),(),();({)( kSkjSjiSiOTORJzyxOR =′=′=′=′==′′′′=′ . Dacă un punct are coordonatele relativ la reperul şi

relativ la atunci acestea satisfac ecuaţiile roto-translaţiei J :

3E∈MR′

),,( zyx OxyzR =),,( zyx ′′′ )(RJzyxO =′′′′=

: t

x x a x xJ S T y C y b y C y b

z z c z z

′ ′ − ′ ′= = + ⇔ = ′ ′ −

a

c

.

Prima observaţie din preambulul capitolului arată că în general avem T , deci ordinea compunerii rotaţiei cu translaţia de reper cartezian este esenţială.

TSS ≠

Exemple. 1. Rotaţia de unghi α a reperului Oxyz în jurul axei Oy, respectiv în jurul axei Ox, are ecuaţiile

′′′

αα−

αα=

zyx

zyx

cos0sin010

sin0cos, respectiv ,

′′′

ααα−α=

zyx

zyx

cossin0sincos0001

unde şi sunt coordonatele unui punct arbitrar M relativ la reperul Oxyz şi respectiv relativ la reperul rotit Ox'y'z'. Cum transformarea este ortogonală şi

, aceasta este o izometrie pozitivă.

),,( zyx

1=

),,( zyx ′′′

det A2. Rotaţia de unghi α a reperului Oxyz în jurul axei Oz are ecuaţiile

′′′

ααα−α

=

zyx

zyx

1000cossin0sincos

,

Geometrie analitică 149

Page 43: Geometrie analitica

adică, detaliind pe componente,

α′+α′=α′−α′=

′=cossinsincos

;yxyyxx

zz .

Izometria dată de rotaţia de unghi α a reperului Oxyz în jurul axei Oz (în planul xOy) urmată de translaţia de vector jbia ′+′=v are ecuaţiile

α′+α′+′=α′−α′+′=

′=.cossin

sincos;

yxbyyxax

zz

3. Simetria S a reperului Oxyz faţă de planul determinat de originea O şi vectorii ji , (planul xOy), are ecuaţiile

zzyyxx ′−=′=′= ,, ; se constată că ) , , deci S este o izometrie negativă. ,( 12 IIdiagA −= 1det −=A

4. Drept cazuri particulare, obţinem în planul , următoarele

transformări de repere carteziene care duc reperul 32 ExOyE ⊂≡

}},{ ji=;{OxOyR == B în reperul )}}( jSj =′),({);({)( iSiOTORJyOxR =′=′=′==′′′=′ B :

4.1. Roto-translaţia reperului canonic în plan, , formată dintr-o rotaţie S de unghi θ , deci de matrice asociată

STJ =),( xOOx ′∠=

cos sinsin cos

Cθ θθ θ

− =

,

urmată de o translaţie T de vector B′′=′′≡′=′ ][),( OObaOOv t . Dacă un punct are coordonatele relativ la reperul şi relativ la atunci acestea satisfac ecuaţiile roto-translaţiei J :

2E∈MJyOx =′′′

),( yx xOyR = ),( yx ′′)(RR =′

: tx x a x xJ T S C C

ay y b y y b

′ ′ ′ ′+ = = ⇔ = ′ ′ ′ ′+

.

Drept cazuri particulare de roto-translaţii în plan, avem rotaţia de unghi θ , pentru ),( xOOx ′∠= )0,0(),(, =′′≡′= bavId tT , de ecuaţii

: tx x xJ S C C

y y y′ ′

= = ⇔ = ′ ′

xy

;

translaţia T de vector B′′=′′≡′=′ ][),( OObaOOv t , care se obţine pentru , şi are ecuaţiile 2,0, IAIdS ==θ=

′′

=

′′

′′

+

′′

=

=

ba

yx

yx

ba

yx

yx

TJ :

4.2. Roto-translaţia reperului canonic în plan, , formată dintr-o translaţie T de vector

TSJ =

B][),( OObaOO t ′=≡′=

),( yx

v urmată de o rotaţie S de unghi

a reperului R, deci de matrice asociată Dacă un

punct are coordonatele relativ la reperul şi relativ la atunci acestea satisfac ecuaţiile roto-translaţiei J :

),( xOOx ′∠=θ

2E∈M(JyOxR =′′′=′

θθ−

cossin

A .

R ),( yx ′′

θθ

=sincos

xOy=)R

: tx x a x xJ S T C C

y y b y y′ ′ −

= = + ⇔ = ′ ′ −

ab

.

Cap.VII. Schimbări de repere în spaţiu 150

Page 44: Geometrie analitica

Se constată (vezi observaţia din preambulul capitolului) că şi în acest caz avem în general T , deci ordinea compunerii rotaţiei cu translaţia de reper cartezian este esenţială.

TSS ≠

#2. Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric în spaţiu

Dintre schimbările de reper din spaţiul care nu se realizează prin intermediul unei izometrii, vom descrie trecerea la reperul cilindric şi la cel sferic.

E3

Fie spaţiul raportat la un reper cartezian Ox . Orice punct este determinat de tripletul ordonat ( , , unde (vezi figura): E3 yz

)OzzyxM \ ),,( 3E∈ ,ρ θ z

θ

ρ

z M

M' x y

z

Ο

♦ ρ este distanţa de la origine la proiecţia ′ a punctului M pe planul xO M y

♦ θ este măsura unghiului dintre semidreptele Ox şi OM . ′ Definiţie. Numerele reale (ρ θ ) se numesc coordonate cilindrice ale punctului M în spaţiu. Relaţia dintre coordonatele cilindrice şi cele carteziene este dată de următoarele formule de trecere de la reperul cartezian la cel cilindric:

, ,z

x

y

z z

===

ρ θρ θcos

sin

.

(1)

Observaţii. 1. Dacă , atunci ecuaţiile de trecere de

la reperul cartezian la cel cilindric (1) asigură o corespondenţă biunivocă R×π×∞∈θρ )2,0[),0(),,( z

Ozzyxz \),,()2,0[),0(),,( 3E∈→×π×∞∈θρ R , între mulţimile şi mulţimea de puncte .Transformarea inversă, care ale asociază unui punct M de coordonate carteziene coordonatele sale cilindrice ( ,

R×π×∞ )2,0[),0(

),, zθρ

Oz\3E),,( zyx

R×π×∞∈θρ→∈ )2,0[),0(),,(\),,( 3 zOzzyx E este dată de relaţiile

=

+=ρ

zzyx 22

(2)

Geometrie analitică 151

Page 45: Geometrie analitica

cu unghiul dat de relaţiile θ

+=θ

+=θ

22

22

sin

cos

yxy

yxx

(3)

sau, echivalent, (4)

<=π>=π

≠+π=θ

,0,0,2/30,0,2/

0),/(arctg

yxyx

xxyk

unde pentru M în cadranul I, k pentru M în cadranele II şi III, şi pentru M în cadranul IV.

0=k 1= 2=k

2. Fixând una din cele trei coordonate cilindrice ale unui punct şi lăsând

celelalte două să varieze, obţinem o suprafaţă în spaţiul (numită suprafaţă de coordonate), după cum urmează:

3E

♦ pentru : cilindru circular drept de rază cu generatoarele paralele cu Oz. 0ρρ = 0ρ♦ pentru : semiplan deschis mărginit de Oz, ce formează cu xOz unghiul θ . 0θθ = 0

♦ pentru : planul paralel cu xOy aflat la cota z , mai puţin punctul ( , . z z= 0 z= 0 , )00 0z

3. Fixând două din cele trei coordonate cilindrice ale unui punct şi lăsând

cealaltă coordonată să varieze, obţinem o curbă în spaţiul (numită curbă de coordonate), după cum urmează:

3E

♦ pentru : o semidreaptă deschisă paralelă cu xOy cu marginea pe Oz. 00 , zz =θ=θ♦ pentru : un cerc de rază cu centrul dispus pe axa Oz, aflat într-un

plan paralel cu xOy. 00 ρ,ρzz == 0ρ

♦ pentru : o dreaptă perpendiculară pe planul xOy. 00 θ,θρρ ==

4. Curbele de coordonate şi suprafeţele de coordonate sunt reciproc ortogonale. Considerăm punctul din şi versorii

M ( , , )ρ θ z Oz\3E

zeee ,, θρ care sunt tangenţi la liniile (curbele) de

coordonate ce trec prin punctul M (vezi desenul). Aceşti versori sunt doi câte doi ortogonali, deci

formează o bază ortonormată orientată pozitiv în V . Deci

3

},,);,,({ zeeezM θρθρ este un reper ortonormat

mobil, numit în cele ce urmează reper cilindric. Trecerea de la reperul cartezian },kjO l,; i{ a reperul cilindric },,);,,({ zeeezM θρθρ este dată de

formulele

ik

ρrθr

zr

j

x

y

z

M

O

Cap.VII. Schimbări de repere în spaţiu 152

Page 46: Geometrie analitica

=

θ+θ−=

θ+θ=

θ

ρ

.

cossin

sincos

ke

jie

jie

z

Temă: folosind că bazele celor două repere (cartezian şi cilindric) sunt ortonormate, deci coeficienţii vectorilor noii baze sunt cosinusurile unghiurilor formate de aceştia cu vechea bază, deduceţi relaţiile de mai sus. #3. Trecerea de la reperul cartezian la cel polar în plan

Considerând (deci excluzând punctele din care nu fac parte din planul şi identificând , obţinem reperul polar în . Orice punct

poate fi localizat prin cuplul ordonat ( , unde (vezi figura):

0=z 3E

),θxOy

) 2E∈2ExOy ≡ 2E

}{\,( OyxM ρ

x O

y M ρ

θ

♦ ρ este distanţa de la origine punctul M ♦ θ este măsura unghiului dintre semidreptele Ox şi . OM

Definiţie. Numerele reale (ρ ) se numesc coordonate polare ale punctului M în plan. Relaţia dintre coordonatele polare şi cele carteziene este dată de următoarele formule de trecere de la reperul cartezian la cel polar:

θ,

θρ=θρ=.sin

cosyx

(5)

Observaţii. 1. Dacă ) , atunci ecuaţiile de trecere de la

reperul cartezian la cel polar (5) asigură o corespondenţă biunivocă 2,0[),0(),( π×∞∈θρ

}{\),()2,0[),0(),( Oyx 2E∈→π×∞∈θρ , între mulţimile şi mulţimea de puncte . Transformarea inversă, care asociază unui punct M de coordonate carteziene coordonatele sale polare

)2,0[),0( π×∞ }{\3 OE,(x )y

),( θρ , )2,0[),0(),(}{\),( π×∞∈θρ→∈ Oyx 2E

este dată de relaţia 22 yx +=ρ (6) cu unghiul dat de relaţiile (3) sau (4). θ

Geometrie analitică 153

Page 47: Geometrie analitica

2. Fixând una din cele două coordonate polare ale unui punct şi lăsând celelaltă să varieze, obţinem o curbă în spaţiul (numită curbă de coordonate),

după cum urmează:

E

♦ pentru , o semidreaptă deschisă cu extremitatea în O; 0θ=θ♦ pentru : un cerc de rază cu centrul în O. 0ρρ = 0ρ

3. Curbele de coordonate ale reperului polar sunt reciproc ortogonale.

Considerăm punctul din şi versorii

),( θρM }{\ O2E

zee θρ , care sunt tangenţi la curbele de coordonate

ce trec prin punctul M; aceştia sunt ortogonali, deci formează o bază ortonormată orientată pozitiv în V . Deci 2

},({ θρM ,); θρ ee este un reper ortonormat mobil, numit în

cele ce urmează reper polar. Trecerea de la reperul cartezian }, jO l; i{ a reperul polar },);,( θρθρ eeM{ este dată de formulele

ρeθe

x O

y

M

θ+θ−=

θ+θ=

θ

ρ

jie

jie

cossin

sincos

Temă: folosind că bazele celor două repere (cartezian şi polar) sunt ortonormate, deci coeficienţii vectorilor noii baze sunt cosinusurile unghiurilor formate de aceştia cu vechea bază, deduceţi relaţiile de mai sus.

#4. Trecerea de la reperul cartezian la reperul sferic în spaţiu Fie un punct , având coordonatele carteziene ( . Un alt set de coordonate care caracterizează poziţia punctului M în spaţiu, este tripletul ordonat de numere reale ( , , unde (vezi figura):

Oz\3E

)

)

MO

M ∈),, zyx

,rϕ θ

ϕ

θ

O

r

M'

M

x

y

z

♦ r reprezintă distanţa dintre origine şi punctul M,

,( MOd

♦ este unghiul dintre semidreptele Ox şi , unde este proiecţia punctului M θ ′

M ′ pe planul , xOy♦ este unghiul dintre semidreptele Oz şi OM. ϕ

Definiţie. Numerele reale (r ) se numesc coordonatele sferice ale punctului M în spaţiu. Relaţia dintre coordonatele sferice şi cele carteziene ale punctului este dată de următoarele formule de trecere de la reperul cartezian la cel sferic:

, ,ϕ θ

Cap.VII. Schimbări de repere în spaţiu 154

Page 48: Geometrie analitica

ϕ=θϕ=θϕ=

.cossinsincossin

rzryrx

(7)

Considerând , aceste formule asigură o corespondenţă biunivocă între domeniul specificat şi mulţimea de puncte .

)2,0[),0(),0(),,( π×π×∞∈θϕrOz\3E

Observaţii. 1. Dacă , atunci ecuaţiile de

trecere (7) de la reperul cartezian la cel sferic asigură o corespondenţă biunivocă între mulţimile şi mulţimea de puncte prin asocierea

)2,0[),0(),0(),,( π×π×∞∈θϕr

Oz\3E)2,0[),0(),0( π×π×∞Ozzyxr \),,()2,0[),0(),0(),,( 3E∈→π×π×∞∈θϕ .

Transformarea inversă, care ale asociază unui punct M de coordonate carteziene coordonatele sale sferice , ),,( zyx ),,( θϕr

)2,0[),0(),0(),,(\),,( 3 π×π×∞∈θϕ→∈ rOzzyx E

este dată de relaţiile

++=

)/arccos(

222

rzzyxr (8)

şi unghiul dat de relaţiile (3) sau (4). θ

2. Fixând una din cele trei coordonate sferice ale unui punct şi lăsând celelalte două să varieze, obţinem o suprafaţă în spaţiul (numită suprafaţă de coordonate), după cum urmează:

3E

♦ pentru r : o sferă cu centrul în origine din care au fost scoşi polii; r= 0

♦ pentru : un semiplan deschis, mărginit de axa Oz, ce formează cu xOz unghiul ;

0θθ =

0θ ♦ pentru ϕ : semicon cu axa de simetrie Oz, din care s-a scos punctul O (vârful

său). ϕ= 0

3. Fixând două din cele trei coordonate sferice ale unui punct şi lăsând cealaltă coordonată să varieze, obţinem o curbă în spaţiul (numită curbă de coordonate), după cum urmează:

3E

ik

ρr

j

ϕr

θr

O

M

z z

y y

x

ϕrik

ρr

θrM

j

x

O

♦ pentru : o semidreaptă deschisă cu marginea O;

0ϕ0 , =ϕθ=θ

♦ pentru : un cerc cu centrul pe axa Oz, aflat într-un plan paralel cu xOy;

00 rr,zz ==

♦ pentru : un semicerc deschis, cu capetele pe axa Oz simetrice faţă de origine.

00 θθ,rr ==

4. Curbele de coordonate (deci şi suprafeţele de coordonate) sunt reciproc ortogonale. Considerăm punctul din şi versorii ),,( θϕrM Oz\3E θϕ eeer ,,

3

care sunt tangenţi la liniile de coordonate ce trec prin punctul M; aceştia sunt doi câte doi ortogonali, deci formează o bază ortonormată orientată pozitiv în V .

Geometrie analitică 155

Page 49: Geometrie analitica

Se constată că },,);,,( θϕθϕ eeerM r{ este un reper ortonormat mobil, numit în cele ce urmează reper sferic. Trecerea de la reperul cartezian },,; kjiO{ la reperul sferic },,);,,( θϕθϕ eeerM r{ este dată de formulele

e i j

e i j

e i j

r = + +

= + −

= − +

k

k

sin cos sin sin cos

cos cos cos sin sin

sin cos .

ϕ θ ϕ θ ϕ

ϕ θ ϕ θ ϕ

θ θ

ϕ

θ

#5. Probleme propuse

1. Fie punctele , raportate la reperul cartezian Oxyz . Rotim acest reper, obţinând sistemul rotit Ox ′ , cu axele precizate după cum urmează:

)3,0,0(),0,2,0(),0,0,1( CBAyz′ ′

♦ Oz are direcţia şi sensul înălţimii OO ′ a tetraedrului OABC; ′♦ este paralelă cu ′O A , unde este piciorul înălţimii duse din A în

triunghiul ABC; Oy′ ′ ′A

♦ Ox este aleasă astfel încât sistemul Ox să fie orientat pozitiv. ′ yz′ ′ ′Determinaţi matricea rotaţiei şi direcţia care este invariantă faţă de această rotaţie (subspaţiul propriu real de dimensiune 1 al rotaţiei, privită ca transformare liniară).

R. Versorul k ′6 =

asociat axei Oz este normal la planul ABC; ecuaţia acestuia este şi obţinem

′0236 −++ zyx )7/2,7/3,7/6(≡′k . Versorul j′ este colinear şi

de acelaşi sens cu vectorul AA ′ ; acesta din urmă este ortogonal pe k ′ şi pe vectorul BC ; ţinând cont de sens, j′ rezultă prin normarea vectorului kBC ′× ; rezultă

)12,18,13(6371

−≡′j . Ultimul versor este )147,98,0(31213

1−≡′×′=′ kji .

Matricea de schimbare de bază (care coincide cu matricea rotaţiei) este

=

31213/147637/127/231213/98637/187/30637/137/6

C , iar direcţia invariantă (direcţia axei de rotaţie)

este cea asociată vectorului propriu ce corespunde valorii proprii λ a matricii C (temă, determinaţi această direcţie).

1=

2. Relativ la reperul cartezian Oxyz considerăm dreapta 22

: zyx =−

=∆ . Un

nou reper Ox are drept versor yz′ ′ ′ ′i versorul director al dreptei ∆, versorul ′j este perpendicular pe ∆ şi aparţine planului , iar versorul yOz ′k este ales a.î. },, kji ′′′{ să fie o bază ortonormată pozitiv orientată. Aflaţi formulele de schimbare de reper.

R. Normând vectorul director al dreptei, obţinem )3/2,3/2,3/1( −≡′ ti ; versorul ′j fiind în planul , este de forma yOz 1),,,0( 22 =+≡′ cbcbj t , iar din

Cap.VII. Schimbări de repere în spaţiu 156

Page 50: Geometrie analitica

ortogonalitatea pe ∆, rezultă , deci alegem cb = )2/2,2/2,0(tj ≡′ ; rezultă al

treilea versor )1,13

1−≡′×′=′ jik ,4(

2−t , iar matricea de schimbare de bază este

],,[ kjiC ′′′= iar formulele de schimbare de reper sunt t . ),,(),,( zyxCzyx t ′′′=

4,2/3 =z

13

23arctgarctg =

xy

=z

3. a) Se dă punctul ( )4;3/5;3 πA în coordonate cilindrice. Aflaţi coordonatele carteziene ale acestuia.

b) Se dă punctul în coordonate carteziene. Aflaţi coordonatele cilindrice ale acestuia.

)5,3,2( −−B

c) Se dă punctul ( )4/7;3/2;3 ππC în coordonate sferice. Aflaţi coordonatele carteziene ale acestuia.

d) Se dă punctul în coordonate carteziene. Aflaţi coordonatele sferice ale acestuia.

)5,4,3( −−D

e) Se dă punctul în coordonate polare. Aflaţi coordonatele carteziene ale acestuia.

( 6/7;2 πE )

f) Se dă punctul în coordonate carteziene. Aflaţi coordonatele polare ale acestuia.

)3,4(−F

R. a) Avem 4,3/5,3 =π=θ= zρ . Atunci rezultă

sin,2/3cos −=θρ==θρ= yx .

b) Avem . Deci 5,3,2 −==−= zyx ; proiecţia punctului pe

planul aflându-se în cadranul II, rezultă xOy −π=θ , iar . 5−

22 =+=ρ yx

c) Avem 4/7,3/2,3 π=θπ=ϕ=r , şi prin urmare

4/23cossin =θϕ= rx , 4/23sinsin −=θϕ= ry , 2/3cos −=ϕ= rz .

d) Avem , de unde obţinem 5,4,3 −==−= zyx 25222 =++= zyxr şi . Rezolvând sistemul 4/3)/ π=rzarccos(=ϕ

θ⋅⋅=

θ⋅⋅=−⇔

θϕ=θϕ=

sin)2/2(254

cos2/2253sinsincossin

ryrx

, rezultă 54arcsin−π=θ .

e) Obţinem 3)2/3(2 −=−⋅=x şi , deci coordonatele carteziene ale punctului E sunt

1)2/1(2 −=−⋅=y)1,3( −−=

arccos( 4 / 5)= −),( yx

n(3/ 5). f) Coordonatele polare ale

punctului F sunt . 5, arcsir θ π= = − 4. Să se rescrie următoarele ecuaţii în coordonate cilindrice şi sferice

a) , )()( 2222222 yxazyx +=−+b) ( . 222222222 8)() yxbyxzyx =+++

R. a) În coordonate cilindrice: ; în coordonate sferice: . b) În coordonate cilindrice ; în

coordonate sferice, .

22222 )( ρ=−ρ azρ( 2

θ22

ϕ=ϕ 2222 sin2cos ar2r

θρ=+ 2sin2) 22222 bzϕ= sinsin2 22b

Geometrie analitică 157

Page 51: Geometrie analitica

Capitolul 8

CONICE

#1. Generalităţi Conicele sunt curbe plane ce se pot obţine prin intersecţia unui con cu un plan. Studiem aceste figuri geometrice în planul (spaţiul punctual bidimensional), pe care îl considerăm raportat la un reper cartezian

E2

},; jiO{ ; prin fixarea acestuia, la fel ca în cazul identificării , vom face identificarea . Astfel vom putea descrie figuri geometrice (în particular conicele) prin ecuaţii şi inecuaţii carteziene.

33 R≡E 2

2 R≡E

În cele ce urmează considerăm o funcţie polinomială oarecare de gradul 2 în

necunoscutele x y, (numită şi formă pătratică afină) , RR →2:g0,222),( 2

22212

211002010

22212

211 ≠+++++++= aaaayaxayaxyaxayxg .

1.1. Definiţie. Se numeşte conică sau curbă algebrică de ordinul al doilea, mulţimea de puncte din plan ale căror coordonate anulează forma g,

}0),(,),(),({ 2 =∈=Γ yxgyxyxM R (1)

Vom nota conica prin : , ; deci punctele conicei satisfac o ecuaţie de tipul =Γ g x y( ) 0

0222 002010

22212

211 =+++++ ayaxayaxyaxa . (2)

Observaţii. 1. Ecuaţia (2) se rescrie matriceal

01

)1,,(

000201

202221

101211

=

yx

aaaaaaaaa

yx , (2')

unde notăm a . 022001102112 ,, aaaaa ===

2. Cei şase coeficienţi din ecuaţia generală a unei conice se numesc parametri neesenţiali. Împărţind ecuaţia prin unul dintre aceştia (nenul), rămân cinci coeficienţi, numiţi parametri esenţiali. Din acest motiv pentru a afla ecuaţia unei conice sunt suficiente cinci condiţii (spre exemplu, conica să treacă prin cinci puncte distincte date).

a a a a a a11 12 22 10 20 00, , , , ,

Date fiind punctele 5,1),, =iyx iii (M , acestea determină o unică conică de ecuaţie carteziană (2), în cazul în care cele cinci puncte satisfac condiţia de "independenţă conică"

Γ

Cap.VIII. Conice 158

Page 52: Geometrie analitica

0

11111

11111

11111

2

552

52

5

442

42

4

332

32

3

222

22

2

112

12

1

2

552

555

442

444

332

333

222

222

112

111

2

552

555

442

444

332

333

222

222

112

111

≠++

yxyxyxyxyxyxyxyxyxyx

yxxyxyxxyxyxxyxyxxyxyxxyx

yxyyxyxyyxyxyyxyxyyxyxyyx

Conica care trece prin cele cinci puncte are ecuaţia (sub formă de determinant): Γ

0

111111

552

5552

5

442

4442

4

332

3332

3

222

2222

2

112

1112

1

22

=

yxyyxxyxyyxxyxyyxxyxyyxxyxyyxxyxyxyx

,

numită şi ecuaţia unei conice prin cinci puncte date.

3. Topologic, conicele sunt mulţimi închise în deoarece este preimaginea mulţimii închise { prin funcţia continuă .

2R Γ = −g 1 0( )

RR⊂}0 R →2:g Exerciţiu. Aflaţi conica care trece prin punctele , unde

şi punctul E se află în unul din următoarele cazuri: Γ EDCBA ,,,,

)1,1(),1,1(),1,1(),1,1( −−−− DCBAa) , b) )256/25;81/25(E )2,0(E , c) , d) , e) , f) . )0,0(E )1,0(E )0,2/1(E )2/1,0( −E

Soluţie. a) 1)4/5()3/5(

: 2

2

2

2

=+Γyx (elipsă), b) (cerc), 2: 22 =+Γ yx

c) Γ (pereche de drepte concurente), 0: 22 =− yxd) (pereche de drepte paralele), e)Γ (hiperbolă), 01: 2 =−Γ y

22

134: 22 =− yxf) (hiperbolă conjugată, v.1.3.2, obs.5) 143: =+−Γ yx

1.2. Fascicul de conice. Definiţie. Fie miyxgii ,1,0),(: ==Γ o familie finită de conice. Atunci

mulţimea conicelor care au ecuaţia de forma 0),(),(:~

11 =++Γ yxgayxga mm… , unde , se numeşte fascicul de conice determinat de familia de conice R∈maa ,,1 …

mgi ,1:Γ iyxi ,0),( == . Observaţii. 1. Pentru mk ,1∈ şi }{\,1,0,1 kmlaa lk ∈∀== , avem , conicele din familia dată fac parte din fasciculul determinat de acestea.

kΓ=Γ~

Geometrie analitică 159

Page 53: Geometrie analitica

2. Nu totdeauna Γ reprezintă o conică. Spre exemplu, pentru familia de conice Γ , obiectul geometric descris de ecuaţia

~

1Γ 0:,0: 221 =+−=+ xyxy

~ 00)(1)(1: 22 =⇔=+−⋅++⋅Γ xxyxy reprezintă o dreaptă (simplă), deci nu este conică.

Exerciţiu. Aflaţi fasciculul de conice care este generat de conicele (pereche de drepte paralele) şi (axa Ox).

21 : 1xΓ − = 0

0

.

22 : yΓ =

Soluţie. Fasciculul căutat are ecuaţia: 2 2 2 2: ( 1) 0, , , 0a x by a b a bΓ − + = ∈ + >R

Se observă că acest fascicul conţine în plus elipse, cercuri şi hiperbole.

Teoremă. a) Fasciculul de conice circumscrise unui patrulater are ecuaţia ABCD

R∈=+Γ 2121 ,,0))(())((:~ aaBDACaCDABa , unde pentru , s-a notat prin ( expresia care se anulează din ecuaţia generală a dreptei MN.

2, ENM ∈ )MN

b) Fasciculul de conice circumscrise unui triunghi are ecuaţia ABCR∈=++Γ 321321 ,,,0))(())(())((:~ aaaCBCAaBCBAaACABa ,

c) Fie conica şi fie ∆ o dreaptă care taie conica în punctele A şi B. Atunci conicele care taie în punctele A şi B, şi sunt tangente la în aceste puncte (deci sunt "bitangente" la Γ ), formează fasciculul:

0),(: =Γ yxg 0: =++ cbyaxΓΓ

ΓR∈=+++Γ 21

221 ,,0)(),(:~ aacbyaxayxga .

Exerciţiu. a) Aflaţi fasciculul de conice care trec prin punctele

)1,1(),1,1(),1,1(),1,1( DCBA −−− . b) Aflaţi fasciculul de conice circumscrise triunghiului ABD, unde

)0,0(),1,1(),1,1( DBA −−− . c) Determinaţi conicele bitangente la cercul Γ în punctele 2: 22 =+ yx

)1,1(),1,1( −−− CB .

Soluţie. a) Obţinem ecuaţiile , . Atunci fasciculul căutat are ecuaţia:

01:,0:;01: =−=+=+ xCDyxACxAB0: =− yxBD

R∈=−+−Γ 2122

22

1 ,,0)()1(:~ aayxaxa . b) Ecuaţiile laturilor triunghiului sunt: , 0:,0:;01: =−=+=+ yxBDyxADxABdeci ecuaţia fasciculului este:

R∈=−+−+++−Γ 32122

321 ,,,0)())(1()1)((:~ aaayxayxxaxyxa . c) Avem , deci ecuaţia fasciculului conicelor bitangente la în B şi C este . Se observă că pentru obţinem o parabolă, .

01: =+yBC−+ 22

1 )2( yxa:~Γp

Γ

R∈=++Γ 212

2 ,,0)1(:~ aaya2/)3( 2 −= xy

21 aa −=

Cap.VIII. Conice 160

Page 54: Geometrie analitica

1.3. Conice date prin ecuaţie carteziană canonică. Orice conică se poate încadra în unul din următoarele tipuri de mulţimi

(însoţite de exemple de conice din acestea date prin ecuaţii carteziene): 1.3.1. Elipsă. Conica dată printr-o ecuaţie canonică de forma

)0(,1: 2

2

2

2

>>=+Γ baby

ax

E (3)

este o elipsă. Introducem următoarele noţiuni asociate elipsei Γ (vezi desenul): E

2dir∆

C

B

D

),( yxM

A

1dir∆

y

x

cax /2−=

O 1F 2F

cax /2=

• a - semiaxa mare iar b - semiaxa mică ale elipsei (3) • - distanţa focală a elipsei, unde 1 2( , ) 2d F F c= 22 ba −=c

• 1<=ace - excentricitatea elipsei

• - vârfurile elipsei, DCBA ,,, ),0(),,0(),0,(),0,( bDbCaBaA −−• - focarele elipsei, de coordonate 21, FF )0,( c±

• - dreptele directoare ale elipsei, de ecuaţii 21,∆∆cax

2

±=

• Ox, Oy - axele de simetrie ale elipsei Γ E

• - produsul dintre excentricitate şi distanţa de la un focar la dreapta cbp /2= directoare cea mai apropiată. Observaţii. 1. Punctele pot fi descrise de ecuaţiile parametrice ale elipsei:

EyxM Γ∈),(

θ=θ=

Γsincos

:byax

E , unde . [0, 2 )θ π∈

2. Elipsa E dată de ecuaţia (3) este locul geometric al punctelor , care satisfac relaţia

2),( EyxM ∈

aMFMF 221 =+ (=const.)

Geometrie analitică 161

Page 55: Geometrie analitica

3. Elipsa E dată de ecuaţia (3) este locul geometric al punctelor , care satisfac una din relaţiile

2),( EyxM ∈

eMdMF

=∆ ),( 1

1 sau eMdMF

=∆ ),( 2

2 .

4. Ataşând unui punct coordonatele sale polare relative la reperul polar cu polul în focarul şi semiaxă

polară semidreapta , au loc formulele de trecere de la coordonatele carteziene la aceste coordonate polare

EyxM Γ∈),()2,0[),( * π×∈θρ +R )0,(1 cF

xF1

θρ=θρ+=

sincos

ycx

, unde . [0, 2 )θ π∈

Înlocuind în ecuaţia (1) a elipsei, sau ţinând cont de proprietatea din obs. 3, rezultă ecuaţia polară a elipsei

θ+=ρ

cos1 ep , unde . [0, 2 )θ π∈

5. În cazul , ecuaţia (3) descrie tot o elipsă, cu semiaxa mare b, semiaxa mică a, distanţa focală

0>> ab22 abc −= , focarele , şi dreptele

directoare ∆ .

),0(2,1 cF ±

cb /2±y:2,1 =

6. În cazul particular , ecuaţia (3) devine 0>== rba222 ryx =+ , (3')

şi reprezintă ecuaţia redusă a unui cerc - a cercului de centru O şi rază r. Se observă uşor că, în acest caz, distanţa focală devine şi focarele coincid cu originea

; observaţia 2 are loc, punctele cercului satisfac relaţia , deci 0=c

OFF == 21 rMO 22 =rMO = (=const.).

Acest lucru reflectă faptul că cercul descris de ecuaţia (3') este locul geometric al punctelor egal depărtate (la distanţa ) faţă de originea O . 0>r )0,0( Exemple Următoarele ecuaţii reprezintă elipse date prin ecuaţie carteziană canonică:

1162

,19

,14

22222

2

=+=+=+yxyxyx ;

iar cele de mai jos, cercuri (privite ca elipse particulare, de semiaxe egale): .32;1 2222 =+=+ yxyx

1.3.2. Hiperbolă. Se numeşte hiperbolă, conica dată printr-o ecuaţie canonică de forma

)0,0(,1: 2

2

2

2

>>=−Γ baby

ax

H (4)

Introducem următoarele noţiuni asociate hiperbolei Γ (vezi desenul): H

• a - semiaxa mare a hiperbolei • b - semiaxa mică a hiperbolei • - distanţa focală a hiperbolei, unde 1 2( , ) 2d F F c= 2 2b= +c a

Cap.VIII. Conice 162

Page 56: Geometrie analitica

H ′Γ

H ′Γ

B

),( yxM

A 1F

y

x

1∆ 2∆

O 2F

2D

1D

• c - excentricitatea hiperbolei 1>=a

e

BA, )0,(),0,( aBaA −

21, FF )0,( c±

xabyD ±=:2,1

21,∆∆cax

2

±=

H

• - vârfurile hiperbolei, • - focarele hiperbolei, de coordonate

• , asimptotele hiperbolei

• - dreptele directoare ale hiperbolei, de ecuaţii

• Ox, Oy - axele de simetrie ale hiperbolei Γ , unde Ox este axa transversă iar Oy este axa netransversă a hiperbolei (4)

• - produsul dintre excentricitate şi distanţa de la un focar la dreapta cbp /2= directoare cea mai apropiată.

Observaţii. 1. Punctele pot fi descrise de ecuaţiile parametrice ale hiperbolei:

EyxM Γ∈),(

R∈

=±=

Γ ttby

taxH ,

shch

: .

2. Hiperbola E dată de ecuaţia (4) este locul geometric al punctelor , care satisfac relaţia 2),( EyxM ∈

aMFMF 221 =− (=const.)

3. Hiperbola E dată de ecuaţia (4) este locul geometric al punctelor , care satisfac una din relaţiile 2),( EyxM ∈

eMdMF

=∆ ),( 1

1 sau eMdMF

=∆ ),( 2

2 .

4. Ataşând unui punct M coordonatele sale polare relative la reperul polar ce are polul în focarul şi semiaxa

Hyx Γ∈),()2,0[),( * π×∈θρ +R )0,(1 cF

Geometrie analitică 163

Page 57: Geometrie analitica

polară semidreapta , au loc formulele de trecere de la coordonatele carteziene la aceste coordonate polare

xF1

θρ=θρ+=

sincos

ycx

, unde . )2.0[ π∈θ

Înlocuind în ecuaţia (4) a hiperbolei, sau ţinând cont de proprietatea din obs. 3, rezultă ecuaţiile polare ale hiperbolei

θ−=ρ

cos1 ep , pentru

−∈θ

e1,1cos ,

θ+−

=ρcos1 ep , pentru

−−∈θ

e1,1cos .

5. Ecuaţia

)0,0(,1: 2

2

2

2

' >>=+−Γ baby

ax

H (4')

descrie tot o hiperbolă, numită hiperbola conjugată hiperbolei (4). Aceasta are semiaxele b şi a, focarele , vârfurile , aceleaşi asimptote

cu ale hiperbolei (4), axa transversă Oy, axa netransversă Ox şi dreptele directoare .

),0(2,1 cF ± ),0(),,0( bDbC −

cby /: 22,1 ±=∆

6. În cazul particular , ecuaţiile (2) şi (2') devin 0>= ba222

', : ayxHH =±Γ ∓ , (4")

iar hiperbola se spune că este echilateră. 7. Prezentăm o serie de exemple de hiperbole date prin ecuaţie carteziană canonică:

6;16;19

;173

;14

22222

222

22

=−=+−=+−=−=− yxyxyxyxyx .

Remarcăm că ultimele două hiperbole sunt echilatere iar a treia şi a patra hiperbolă sunt hiperbole conjugate. 1.3.3. Parabola.

Conica dată printr-o ecuaţie canonică de forma (5) )0(,2: 2 >=Γ ppxyP

este o parabolă. Definim următoarele noţiuni asociate parabolei (vezi desenul): PΓ• - distanţa focală a parabolei (5) 2/p• - excentricitatea parabolei (5) 1=e• - vârful parabolei,; )0,0(O

0;

2pF - focarul parabolei;

• Ox - axa transversă a parabolei (5), axă de simetrie a parabolei; • Oy - axa tangentă la parabola (5)

• - dreapta directoare a parabolei, de ecuaţie ∆2px −= .

Cap.VIII. Conice 164

Page 58: Geometrie analitica

),( yxM

y

x

O

0,

2pF

Observaţii. 1. Punctele pot fi descrise de ecuaţiile parametrice ale parabolei:

PyxM Γ∈),(

R∈

==

Γ tty

ptxP ,

2/:

2

.

2. Parabola E dată de ecuaţia (5) este locul geometric al punctelor , care satisfac relaţia 2),( EyxM ∈

),( ∆= MdMF . 3. Ataşând unui punct M coordonatele sale polare

relative la reperul polar cu polul în focarul şi semiaxă polară semidreapta , au loc formulele de trecere de la coordonatele carteziene la aceste coordonate polare

Hyx Γ∈),()2,0[),( * π×∈θρ +R )0,(1 cF

xF1

θρ=θρ+=

sincos

ycx

, unde . )2.0[ π∈θ

Înlocuind în ecuaţia (5) a parabolei, sau ţinând cont de proprietatea din obs. 3, rezultă ecuaţia polară a parabolei

θ−=ρ

cos1p , θ . )2,0[ π∈

4. Ecuaţia redusă (5') )0(,2: 2

' >−=Γ ppxyP

descrie tot o parabolă, simetrica parabolei (5) relativ la axa Oy. Aceasta are aceeaşi axă de simetrie cu parabola (5) şi focarul . )0;2/( pF −′

5. Ecuaţia redusă (5") )0(,: 2

" ≠=Γ aaxyP

descrie tot o parabolă, ce are axa de simetrie Oy, focarul în punctul şi dreapta directoare de ecuaţie .

)4/;0( aF4/: ay −=∆

6. Prezentăm o serie de exemple de parabole date prin ecuaţie carteziană canonică:

2222 4;3;5;7 xyxyxyxy −==−== . Geometrie analitică 165

Page 59: Geometrie analitica

1.3.4. Pereche de drepte (paralele, concurente sau confundate), care au ecuaţia carteziană redusă având una din formele

)0,0(,0: 2

2

2

2

>>=−Γ baby

ax

)0(,: 22 ≥=Γ aax )0(,: 22 ≥=Γ aay

Prezentăm o serie de exemple de conice-perechi de drepte date prin ecuaţie carteziană canonică:

0;0;16;1;073

222222

=====− yxyxyx .

Se observă că prima pereche este de drepte concurente, următoarele două perechi sunt de drepte paralele, iar ultimele două perechi, de drepte confundate.

1.3.5. Punct dublu, care are ecuaţia carteziană redusă de forma

)0,0(;02

2

2

2

>>=+ baby

ax .

Se observă că ecuaţia canonică de mai sus descrie originea . )0,0(OExemple. Următoarele ecuaţii reduse descriu originea:

.0;064

2222

=+=+ yxyx

1.3.6. Mulţimea vidă are ecuaţia carteziană redusă având una din formele

)0,0(;0;0;01 22222

2

2

2

>>=+=+=++ babyaxby

ax .

Exemple. Următoarele ecuaţii reduse descriu mulţimea vidă (privită ca tip de

conică):

.05;01;01212

2222

=+=+=++ yxyx

Prima conică este o elipsă imaginară, ultimele două, perechi de drepte imaginare paralele.

În cele ce urmează vom descrie procedura urmată pentru a încadra o conică dată prin ecuaţie carteziană generală de forma (2), într-unul dintre tipurile 1.2.1-1.2.6 descrise mai sus, deci pentru a determina tipul conicei.

În acest scop se aplică o rototranslaţie de reper cartezian, care realizează trecerea de la reperul cartezian la un reper orientat pozitiv (numit reper canonic). Relativ la acest nou reper, ecuaţia asociată conicei va avea forma canonică, fiind una din ecuaţiile de tipul 1.2.1-1.2.6, tipuri reprezentate (cu excepţia mulţimii vide) şi în tabelul următor.

xOy yOx ′′′),( ′′′ yx 0=g

Cap.VIII. Conice 166

Page 60: Geometrie analitica

222 ryx =+

12

2

2

2=+

by

ax

12

2

2

2=−

by

ax

pxy 22 =

022 =− ax

02

2

2

2=−

by

ax

02 =x

02

2

2

2=+

by

ax

Punct

Pereche de drepte confundate

Pereche de drepte concurente

Pereche de drepte paralele

Conice degenerate Conice nedegenerate

Parabolă

Hiperbolă

Elipsă

Cerc

Se observă prin calcul direct că prin trecerea de la reperul originar xOyjiO ≡},;{ la cel canonic yOxjiO ′′′≡′′′ },;{ , polinomul asociat conicei se

schimbă din în , unde g' este tot o formă pătratică afină. g x y( , )

),( yxg ′′′

Se poate verifica prin calcul direct că în urma acestei schimbări de reper cartezian, rămân neschimbate următoarele numere ataşate polinomului g x , y( , )

22112221

1211

000201

202221

101211

,, aaIaaaa

aaaaaaaaa

+==δ=∆ . (6)

Acestea se numesc invariaţii metrici ai conicei, deoarece recalcularea lor pentru polinomul conduce la numerele ∆ egale respectiv cu , deci neafectate de schimbarea de coordonate.

),( yxg ′′′ I ′δ′′ ,, I,,δ∆

Exemplu. Considerăm schimbarea de reper compusă din translaţia T de vector

:J S T xOy x O y′ ′ ′= →

[ ] (tv OO′= ≡B 2 / 2, 2 / 2)− − , urmată de rotaţia S de matrice

−=

πππ−π

=2/22/22/22/2

4/cos4/sin4/sin4/cos

A ,

ce induce schimbarea de coordonate ( descrisă de relaţia ),(), yxyx ′′

−−

+

′′

−=

2/22/2

2/22/22/22/2

yx

yx

.

Aplicând această transformare de coordonate, polinomul )2(22),( 22 ++−+−= yxyxyxyxg

Geometrie analitică 167

Page 61: Geometrie analitica

devine )2(2),( 2 xyyxg ′−′=′′′ ; se observă că acelaşi rezultat se obţine aplicând întăi rotaţia S, şi apoi translaţia de vector [ ] ( 1,0tv OO ′′= ≡ −B ) . Invarianţii conicei date

0),(0=),(: =′′′⇔Γ yxgyxg , deci ai parabolei xy ′=′Γ 2: 2

g′ se obţin prin calcul direct, folosind formulele (6)

aplicate funcţiilor g şi :

211,01111

,42211

111111

=+==−

−=δ−=

−−−−−−−

=∆ I ;

220,02000

,4002020

200=+=′==δ′−=

−=∆′ I ,

deci avem II ′=δ′=δ∆′=∆ ,, . 1.4. Definiţie. Se numeşte centru de simetrie al unei conice Γ (în cazul în care acesta există), un punct din plan faţă de care conica, privită ca o mulţime de puncte, este o figură geometrică simetrică. În acest caz conica se numeşte (pe scurt) conică cu centru. Exemplu. Conica admite drept centru de simetrie punctul . Într-adevăr, dacă , atunci şi , simetricul său faţă de punctul C, satisface de asemenea ecuaţia conicei (temă, verificaţi). Deci o dată cu un punct arbitrar, pe conică se află şi simetricul acestuia faţă de centrul de simetrie C.

062: 22 =+−+Γ yxyxΓ∈),( yxM)3,1( −C )6,2( yxM −−−′

Putem determina uşor dacă o conică admite sau nu centru de simetrie, iar în caz afirmativ putem calcula coordonatele acestuia, pe baza următorului rezultat: Teoremă. Conica : , admite centru de simetrie dacă şi

numai dacă invariantul

=Γ g x y( ) 0 ),( 00 yxC

δ = al acesteia este nenul; în acest caz, acesta este

unicul punct critic al funcţiei g, iar coordonatele sale sunt soluţiile sistemului liniar

a a

a a11 12

12 22

=++≡∂∂

=++≡∂∂

.021

021

202212

101211

ayaxayg

ayaxaxg

(7)

Demonstraţie. Determinantul acestui sistemului liniar este exact δ, deci sistemul admite soluţie unică ) doar dacă 0 . Rămâne de arătat că punctul C este centru de simetrie al conicei. Într-adevăr, efectuând translaţia

,( 00 yx

y+0

≠δ ),( 00 yx

x x x y y= + ′ =0 , ′, ecuaţia conicei devine (temă, verificaţi): 0),(2 00

22212

211 00

=+′+′+′+′′+′ yxggygxyayxaxa yx , (8)

Cap.VIII. Conice 168

Page 62: Geometrie analitica

unde am notat g Simetria faţă de punctul C

(devenit origine în noul sistem de coordonate !) revine la a verifica faptul că, o dată cu un punct al conicei, aceasta conţine şi simetricul al punctului M faţă de punctul C (ale cărui coordonate în noul sistem sunt (0,0)). Însă condiţia

se rescrie

g

xx y g

g

yx yx y0 00 0 0 0= =

∂∂

∂∂

( , ), ( .

)'

, )

,'( yxM ),( yxM ′−′−′

Γ∈′M0),(2 00

22212

211 00

=+′−′−′+′′+′ yxggygxyayxaxa yx , (8')

iar (8) şi (8') au loc simultan doar dacă este satisfăcută relaţia Γ∈∀=′+′ )','(,0

00yxMgygx yx ;

cum punctul M a fost ales arbitrar pe conică, această ultimă relaţie are loc doar dacă punctul satisface sistemul de ecuaţii din enunţ. ),( 00 yxC Observaţii. 1. Conice cu centru sunt: cercul, elipsa, hiperbola, perechea de drepte concurente, un punct şi mulţimea vidă. Ecuaţia unei asemenea conice redusă la centru este de forma

a x a xy a y g x y112

12 222

0 02 0′ + ′ ′ + ′ + =( , ) , unde termenul liber este legat de invarianţii conicei prin relaţia

g x y( , )0 0 =∆δ

.

2. În cazul δ = funcţia g nu are punct critic, deci conica Γ nu admite centru de simetrie. Conica fără centru este parabola.

≠0,∆ 0,

0,

0

0

3. În cazul δ = funcţia g are o dreaptă de puncte critice, deci conica Γ are o dreaptă de centre. Conicele cu o dreaptă de centre sunt perechile de drepte paralele sau confundate şi mulţimea vidă.

=0,∆

1.5. Definiţie. Fie : , o conică şi ∆, δ invarianţii calculaţi cu formula (6). Atunci

=Γ g x y( )

♦ Dacă δ > (elipsă, mulţime vidă) spunem că Γ are gen eliptic. 0

♦ Dacă (hiperbolă, pereche de drepte concurente) spunem că Γ are gen hiperbolic.

δ < 0

♦ Dacă δ = (parabola, drepte paralele sau confundate, mulţime vidă) spunem că Γ are gen parabolic.

0

♦ Dacă 0 , spunem că Γ este conică nedegenerată. ≠∆♦ Dacă 0 , spunem că Γ este conică degenerată. =∆

Exemplu. Fie conica : , , ai cărei coeficienţi satisfac relaţiile

, a a . Notăm

=Γ g x y( )

a12 0= a11 22 0= = ≠ ρ= a

a10

a

a

a

a

2

20

2

00 +

− . Evident, ,

deci conica este de gen eliptic şi admite centru de simetrie C.

02 >=δ a

Distingem următoarele cazuri

a) Dacă ρ > 0, atunci Γ este un cerc cu centrul C şi de rază a

a

a

a− −

10 20, ρ .

Geometrie analitică 169

Page 63: Geometrie analitica

În acest caz avem (temă), deci Γ este nedegenerată. 04 ≠ρ−≡∆ ab) Dacă ρ = , atunci Γ este degenerată ( 0 ) şi se reduce la centrul de simetrie C. 0 =∆c) Dacă ρ < 0, atunci , , conică nedegenerată (cerc imaginar). Γ Φ= 0≠∆

#2. Reducerea la forma canonică a ecuaţiei unei conice Considerăm o conică Γ descrisă de ecuaţia generală 2E⊂

0222),(: 0020102

22122

11 =+++++≡Γ ayaxayaxyaxayxg . (9) Ne propunem ca printr-o schimbare de reper ce constă dintr-o rotaţie compusă cu o translaţie (mişcare rigidă, rototranslaţie), să obţinem reperul canonic al conicei Γ. Vom descrie în continuare modul în care se află ecuaţiile schimbării de reper (de coordonate), determinate de matricea rotaţiei şi vectorul de translaţie.

Examinând ecuaţia (9) distingem următoarele situaţii: 1) Dacă a , atunci se face mai întâi o rotaţie, folosind unul din procedeele 2.1 şi 2.2 descrise mai jos.

12 0≠

2) Dacă a , atunci se face o translaţie. Aceasta se determină diferit , după cum conica este cu centru sau nu. În primul caz, originea se mută în centrul C al conicei (deci translaţie de vector

12 0=

OC ); în al doilea caz, ecuaţiile translaţiei se determină efectuând restrângeri de pătrate şi/sau grupări de termeni liniari. 2.1. Metoda valorilor proprii. Descriem algoritmic această metodă. Fie conica Γ dată de ecuaţia (9).

1. Ataşăm ecuaţiei (9) forma pătratică 2

2221

121122212

211 ),(,),(2)( R∈=∀

≡++= yxv

yx

aaaa

yxyaxyaxavQ ,

unde notăm a . Coeficienţii formei Q determină invariantul δ şi genul conicei. 2112 a=

2. Matricei a formei Q îi ataşăm polinomul caracteristic

=

2221

1211

aaaa

A

δ+λ−λ=λ−

λ−=λ I

aaaa

PA2

2221

1211)(

şi îi aflăm rădăcinile (valorile proprii ale matricii A) şi . Deoarece matricea A este simetrică, acestea sunt reale.

λ1 λ2

3. Distingem următoarele situaţii disjuncte: ♦ λ şi λ au semne contrare ⇒ conica este de gen hiperbolic; 1 2 ⇒<δ≡λλ 021

♦ λ şi λ au acelaşi semn ⇒ conica este de gen eliptic; 1 2 ⇒>δ 0♦ una din rădăcini este zero conica este de gen parabolic. ⇒=δ⇒ 0

4. Rezolvăm sistemele de ecuaţii liniare

=λ−+=+λ−

0)(0)(

2221

1211

iii

iii

baaabaaa

pentru 2,1=i , aflând coordonatele vectorilor proprii v şi v , ),( 111 ba= ),( 222 ba=

Cap.VIII. Conice 170

Page 64: Geometrie analitica

care în cazul valorilor proprii distincte sunt (datorită simetriei matricii A) ortogonali. În cazul când avem valoare proprie dublă, ortogonalizăm, folosind procedeul Gram-Schmidt familia celor doi vectori.

5. Normăm familia ortogonală , şi obţinem astfel baza ortonormată . În cazul δ , aceştia reprezintă versorii axelor de simetrie ale conicei.

21 ,vv},{ 21 ee 0≠

6. Construim matricea a rotaţiei, formată din coordonatele versorilor aşezate pe coloane, cu rezerva că dacă determinantul acesteia este negativ (-1), vom înlocui în matrice prima coloană prin opusul ei (obţinând astfel

pentru matricea ortogonală R, deci matrice de rotaţie). Ecuaţiile rotaţiei (ecuaţiile schimbării de reper cartezian dată de rotaţie) exprimă legătura între coordonatele ataşate vechiului reper şi cele ale reperului rotit

:

],[ 21 eeR =},{ 21 ee

,(x)O′=

1det =R

(OyOx ′′)y xOy

′′

=yx

Ryx . (10)

7. Pe baza acestor relaţii înlocuim în forma pătratică Q coordonatele ( cu expresiile acestora relativ la coordonatele noi. Expresia formei Q devine canonică,

), yx

221

22

21 ,)( R∈′+′=∀′λ+′λ= eyexvyxvQ ,

iar versorii noii baze { dau direcţiile noilor axe Ox′, respectiv Oy′. De asemenea, înlocuim în ecuaţia conicei coordonatele date de relaţiile (10) şi obţinem ecuaţia conicei relativ la sistemul rotit :

}, 21 ee

2

),( yxyOx ′′

λ λ1 22

10 20 002 2′ + ′ + ′ ′ + ′ ′ + ′ =x y a x a y a 0

2

. (11)

Observaţii. 1. În cazul când ambele valori proprii sunt nenule ( , conică cu centru), putem restrânge pătratele în ecuaţia (9), forţând în prealabil factorii comuni λ , grupăm termenii sub forma

0≠δ

λ1,

0)()( 202

201 =+′−′λ+′−′λ ayyxx . (12)

Se constată că ) sunt exact coordonatele centrului C de simetrie al conicei relativ la reperul rotit (temă, verificaţi). Se observă, examinând ecuaţia (12), că prin efectuarea translaţiei de vector

,( 00 yx ′′

Ox′ yCxy ′′′′′ ),( 00 yx ′′=OC , dată de relaţiile

′−′=′′′−′=′′

′′

+

′′′′

=

′′

0

0

0

0

yyyxxx

yx

yx

yx

,

obţinem ecuaţia canonică a conicei, 02

22

1 =+′′λ+′′λ ayx . (13) 2. În expresia canonică (13) termenul liber satisface relaţia (temă,

verificaţi). Atunci, ţinând cont de faptul că sunt rădăcinile ecuaţiei δ∆= /a

21 ,λλ02 =δ+λ−λ I ,

rezultă că în cazul conicelor cu centru, ecuaţia canonică se poate determina cunoscând doar invarianţii acesteia , fără a mai fi necesară aflarea rototranslaţiei .

I,,δ∆yCxyOxxOy ′′′′′′

3. Tot în cazul conicelor cu centru, pentru a obţine expresia canonică (13), putem efectua întâi translaţia de vector yCxxOy ′′ OC , cu coordonatele centrului

Geometrie analitică 171

Page 65: Geometrie analitica

C date de soluţia unică a sistemului (7), şi apoi aplicând rotaţia dată de metoda valorilor proprii.

yCxyCx ′′′′′′

021 =λλ=δ

δ

ππ

)4/)4/

yO ′′

yOx ′′′′′′

4. Observăm că în cazul unei conice fără centru (având ), doar una dintre cele două valori proprii poate fi nulă, deoarece g fiind polinom de grad 2, forma pătratică Q asociată conicei este nenulă. În acest caz, după aplicarea metodei valorilor proprii şi efectuarea rotaţiei, putem grupa termenii din ecuaţia (8) a conicei astfel: formăm un pătrat perfect (ca mai sus, forţând valoarea proprie nenulă factor în prealabil), iar conţinutul parantezei va fi o nouă coordonată şi grupăm termenul liniar rămas forţând coeficientul monomului de grad I factor, iar conţinutul parantezei va fi cealaltă nouă coordonată. Egalităţile obţinute reprezintă exact ecuaţiile translaţiei sistemului rotit având ca rezultat sistemul canonic.

Exemplul 1. Determinaţi ecuaţia canonică a conicei 2 2: 2 4 2 6x xy y xΓ − + + − = 0 ,

şi formulele rototranslaţiei ce deplasează reperul iniţial în cel canonic. Soluţie. Conica dată este nedegenerată ( 0∆ ) şi fără centru ( ). Deoarece monomul este prezent în ecuaţia conicei, este necesar să aplicăm o rotaţie asupra reperului ; în acest scop aplicăm metoda valorilor proprii. Obţinem valorile proprii λ şi vectorii proprii (versorii bazei ortonormate ce produc direcţiile noilor axe de coordonate)

2 ≠−= 0=xy2−xOy

,0 2λ= 21 =

)1,1(22),1,1(

22

21 −== ee ,

deci matricea de rotaţie este

π

−π=

−==

cos()4/sin(sin()4/cos(

2/22/22/22/2],[ 21 eeR ,

iar trecerea de la sistemul de coordonate la cel nou, rotit este descrisă de relaţiile

xOy x

( ) /

( ) /

x x x x yR

y y y x y

′ ′ ′= − = ⇔ ′ ′ ′= +

2

2.

Înlocuind în ecuaţia conicei relativ la , obţinem ecuaţia relativ la noul reper, xOy0322: 2 =−′−′+′Γ yxy ,

care se rescrie, restrângând pătratul şi grupând termenii liniari rămaşi, )2(2)1(: 2 −′−=−′Γ xy .

Cele două paranteze din ecuaţie sunt exact expresiile noilor coordonate, respectiv , de unde rezultă ecuaţiile translaţiei : 2,1 −′=′′−′=′′ xxyy yOx ′′

+

′′′′

=

′′

−′=′′−′=′′

12

12

yx

yx

yyxx ,

de vector )1,2(≡′′OO , coeficienţii fiind exprimaţi relativ la baza ortonormată . },{ 21 ee

Cap.VIII. Conice 172

Page 66: Geometrie analitica

În final, ecuaţia canonică a conicei (relativ la reperul ) este yOx ′′′′′′

xy ′′−=′′Γ 2: 2 , ecuaţia unei parabole aflată în semiplanul din stânga al axei , cu axa de simetrie

şi cu vârful în O . Folosind formulele rotaţiei şi translaţiei şi relaţia yO ′′′′

xO ′′′′ ′′ RR t=−1

(matricea R fiind ortogonală), ecuaţiile rototranslaţiei ce deplasează reperul iniţial în reperul canonic, sunt

yOxxOy ′′′′′′

−=

′′′′

12

2/22/22/22/2

yx

yx

.

Exemplul 2. Determinaţi ecuaţia canonică a conicei

016443: 2 =−+−−Γ yxxyx , şi formulele rototranslaţiei ce deplasează reperul iniţial în cel canonic. Soluţie. Conica Γ este nedegenerată ( 0∆ ), admite centru de simetrie ( 0 ) şi este de gen hiperbolic (δ ). Forma pătratică asociată conicei

1 ≠=0<4 ≠−=δ 4−=

22 ),(,43)( R∈=∀−= yxvxyxvQ

are matricea , cu valorile proprii λ şi vectorii proprii

ortonormaţi

−=

0223

A 4,1 21 =λ−=

−=

=

51,

52,

52,

51

21 ee , deci matricea de rotaţie este

−−

−=−=

51

52

52

51

],[ 21 eeR ,

unde am opus primul versor pentru a avea satisfăcută condiţia (o altă posibilitate ar fi fost să considerăm ] ). Atunci ecuaţiile rotaţiei

sunt

1det =R,[ 12 eeR =

yOxxOy ′′

′−′=

′+′−=⇔

′′

=

)2()5/1(

)2()5/1(

yxy

yxxyx

Ryx

iar în sistemul ecuaţia conicei devine yOx ′′ 015

85

144 22 =−′−′+′−′ yxyx .

Restrângând pătratele după forţarea factorilor comuni 4 respectiv -1, ecuaţia se rescrie

01093

58

5474

22

=+

+′−

+′ yx .

Expresiile din paranteze fiind noile coordonate, efectuăm translaţia reperului ′ ′xOy

−−

+

′′′′

=

′′

+′=′′

+′=′′

5/8)54/(7

5/8

)54/(7yx

yx

yy

xx

în punctul C (centrul conicei) ale cărui coordonate relativ la reperul xO sunt ′ y′)5/8),54/(7( −− ; ecuaţia conicei relativ la noul reper este yCx ′′′′

Geometrie analitică 173

0193/10186/5

22

=−′′

+′′

−yx ,

Page 67: Geometrie analitica

deci conica este o hiperbolă (conjugată) având C drept axă transversă, şi semiaxele y ′′186/5,93/10 == ab . Formulele rototranslaţiei sunt yCxxOy ′′′′

−−

=

′′′′

5/8)54/(7

yx

Ryx t .

2.2. Metoda roto-translaţiei. Putem determina rotaţia sistemului de coordonate, şi în alt mod, aflând unghiul θ cu care se roteşte reperul dat. Matricea R a schimbării de bază (ce duce versorii reperului iniţial în cei ai reperului rotit) este ortogonală, de determinant +1, având pe coloane coordonatele versorilor rotiţi relativ la baza iniţială. Remarcăm că bazele fiind ortonormate, coeficienţii noilor versori sunt exact cosinuşii directori ai direcţiilor lor, deci

θθθ−θ

=cossinsincos

R .

Folosind acest fapt, următoarea teoremă permite determinarea matricii de rotaţie prin intermediul unghiului de rotaţie θ. Teoremă. Fie conica cu centru astfel încât în ecuaţia conicei avem (deci apare monomul ). Atunci efectuând rotaţia reperului iniţial

cu unghiul θ ce satisface ecuaţia

Γ : ( , )g x y = 0a12 0≠

yOx ′′xy

xOy

( )sin ca a a11 22 122 2 2− =θ θos , (14)

ecuaţia conicei în sistemul rotit nu mai conţine monomul ′xy . 0),(: =′′′Γ yxg ′ Demonstraţie. După efectuarea rotaţiei de unghi θ descrisă de relaţiile

θ′+θ′=θ′−θ′=

cossinsincos

yxyyxx

,

forma pătratică afină are drept coeficient pentru monomul xy expresia (temă, verificaţi) , identic nulă, având în vedere relaţia din ipoteză.

),( yxg ′′′−= ( 22 aa θ+θ′ 2cos22sin)2 121112 aa

Observaţie. Din teoremă rezultă prin calcul direct (temă, verificaţi), că pentru o conică cu centru unghiul de rotaţie θ poate fi obţinut de asemenea folosind relaţia

2211

1222tgaa

a−

=θ .

Folosind apoi relaţia 2122tg

tt

−=θ , unde t , şi relaţiile θ= tg

2 2

1sin , cos1 1

tt t

θ θ= =± + ± +

,

rezultă matricea de rotaţie R. CapVIII. Conice 174

Page 68: Geometrie analitica

Teoremă. Fie conica fără centru , astfel încât în ecuaţia conicei avem a . Atunci efectuând rotaţia cu unghiul θ ce satisface ecuaţia

Γ : ( , )g x y = 0xxOy12 0≠ yO ′′

1211 / tg aa−=θ , (14') ecuaţia conicei în sistemul rotit nu va mai conţine monomul ′. ′xy

Demonstraţie. Folosind , se verifică (temă) că formulele (14) şi (14') sunt echivalente.

02122211 =−≡δ aaa

Observaţii. 1. După aplicarea rotaţiei, reperul canonic se obţine printr-o

translaţie, fie restrângând pătratele şi/sau grupând termenii liniari rămaşi, ori translatând originea O în centrul conicei (soluţia a sistemului liniar (7), derivat din ecuaţia conicei relativ la reperul rotit).

2. Putem determina natura unei conice doar din studiul invarianţilor acestora, pe baza tabelului următor:

Condiţii satisfăcute de invarianţi Conica Γ δ > 0 Punct dublu

∆ = 0

δ = 0 Reuniune de drepte (paralele sau confundate), sau mulţimea vidă

δ < 0 Reuniune de drepte concurente Dacă în plus I = 0, drepte perpendiculare

0<∆I Elipsă

∆ ≠ 0

0>δ 0I∆ > Mulţimea vidă

δ = 0 Parabolă δ < 0 Hiperbolă

Dacă în plus I = 0 , hiperbolă echilateră

Exemplu. Determinaţi natura şi genul conicei 0101096: 22 =++−Γ yyxyx ,

apoi reduceţi ecuaţia conicei la forma canonică folosind metoda roto-translaţiei.

Soluţie. Invarianţii conicei sunt

09331

,2500105010593

031=

−−

=δ−==∆ −−

,

deci conica este o parabolă. Deoarece a , efectuăm o rotaţie al cărei unghi θ este soluţia ecuaţiei ; rezultă

12 0≠3/1 =θtg/ tg 1211 ⇔−=θ aa 101sin,10/3cos =θ=θ / ,

deci matricea de rotaţie este

−=

10/310/110/110/3R ,

Geometrie analitică 175

Page 69: Geometrie analitica

iar formulele rotaţiei sunt

′+′=

′−′=⇔

′′

=

)3()10/1(

)3()10/1(

yxy

yxxyx

Ryx

.

Ecuaţia conicei relativ la sistemul rotit este . Regrupând

termenii, obţinem ecuaţia echivalentă

yOx ′′ 032 =′+′+′ yxy

−′−

49x=

Γ

23

2

+′: y .

Deci coordonatele noi, asociate sistemului translatat sunt date de relaţiile

acestora cu cele ale sistemului vechi:

yOx ′′′′′′

49,

23

+′=′′ yy −′=′′ xx , de unde rezultă

ecuaţiile translaţiei yOxyOx ′′′′′′′′

+

′′′′

=

′′

2/34/9

yx

yx

.

Originea este exact vârful parabolei, care are coordonatele şi . Faţă de reperul ecuaţia conicei este canonică,

O ′′4/9(

)0,0(),( =′′′′ yx)2/3,),( −=′′ yx yOx ′′′′′′

xy ′′−=′′Γ 2: , şi deoarece , conica se află în semiplanul stâng al sistemului de coordonate . 0≤′′x

#3. Intersecţia dintre o dreaptă şi o conică

3.1. Ne propunem să determinăm intersecţia dintre conica

şi o dreaptă dată parametric, . Înlocuind coordonatele punctului de pe dreaptă în ecuaţia conicei, rezultă ecuaţia în necunoscuta t (variabila care fixează poziţia punctului pe dreapta ):

Γ∩∆~

+ ltx( 0

∆~

0),(: =Γ yxg R∈+=∆ tmtyyx ),,),(:~0

0),()(),( 002

00=+++ yxgmggltmlQt yx , (*)

unde Q este forma pătratică asociată formei afine g, şi am notat

gg

xx y g

g

yx yx y0 00 0 0 0= =

∂∂

∂∂

( , ), ( ., )

)

Distingem următoarele cazuri: 1. Dacă 0Q , atunci ecuaţia (12) este de gradul doi şi notăm cu ),( ≠ml

,(),(4)( 002

00yxgmlQgmgl yx

not⋅−+=τ

discriminantul acestei ecuaţii. ♦ Dacă 0 , atunci ecuaţia (*) are două rădăcini reale t şi dreapta taie conica în două puncte .

>τ 21 t≠

21 AA ≠♦ Dacă 0 , atunci ecuaţia (*) are rădăcinile confundate şi dreapta intersectează conica în două puncte confundate şi se numeşte tangenta la conică în .

=τ21 AA = 1A

♦ Dacă 0 , atunci ecuaţia (*) nu are soluţii reale, deci nu intersectează conica. <τ ∆~

2. Dacă 0Q , atunci ecuaţia (*) are gradul întâi. Distingem subcazurile: ),( =ml♦ Dacă 0 atunci (*) are o soluţie unică , deci taie conica într-

un singur punct. 00≠⋅+⋅ yx gmgl 0t ∆~

Cap.VIII. Conice 176

Page 70: Geometrie analitica

♦ Dacă 0 şi , atunci ecuaţia (*) nu are soluţii, deci

dreapta nu taie conica. 00=⋅+⋅ yx gmgl g x y( , )0 0 0≠

♦ Dacă 0 şi , ecuaţia (*) este identic satisfăcută, deci

, şi deci conica reprezintă o pereche de drepte. 00=⋅+⋅ yx gmgl g x y( , )0 0 0=

Γ⊆∆~

Observaţii. 1. Din orice punct exterior conicei Γ se pot duce cel mult două

tangente la Γ. 2. Dacă şi nu sunt simultan nule, tangenta la conică în

punctul are ecuaţia (temă, verificaţi) Γ∈),( 000 yxA g gx0

, y0

=0A

( ) ( )x x g y y gx y− + −0 00 00.

Această ecuaţie se poate obţine şi prin dedublarea ecuaţiei conicei cu coordonatele punctului , deci efectuând următoarele substituţii în ecuaţia conicei:

0),(: =Γ yxgΓ∈),( 000 yxA

→∈+→

+→+→

.2/)(

2/)(2/)( 00

0

0

02

02

kkyxxyxy

yyyxxx

yyyxxx

R

Se numeşte normala la conică în punctul , dreapta care trece prin şi este perpendiculară pe tangentă; această dreaptă are ecuaţia

0A 0A

00

00

yx gyy

gxx −

=− .

3.2. Definiţie. Fie Γ o conică nedegenerată şi fie o direcţie în planul conicei dată de vectorul nenul ),( mlv ≡ . Direcţia ),( mlv ≡ se numeşte direcţie asimptotică pentru conica Γ dacă satisface relaţia

02),( 22212

211 =++≡ malmalamlQ .

O dreaptă a cărei direcţie este direcţie asimptotică taie conica în cel mult un punct. Observaţii. Privind existenţa direcţiilor asimptotice ale unei conice nedegenerate date, examinând ecuaţia ale cărei soluţii sunt acestea, distingem următoarele cazuri:

0),( =mlQ

♦ 0δ (hiperbolă) ⇒ există două direcţii asimptotice distincte ( . < ),(),, 2211 mlml♦ 0δ (elipsă) ⇒ nu există direcţii asimptotice. >♦ 0δ (parabolă) ⇒ direcţie asimptotică dublă ) , cea a axei de simetrie. = ,( ml

3.3. Definiţie. Se numeşte asimptotă a unei conice nedegenerate Γ , o dreaptă

care nu taie conica şi a cărei direcţie este asimptotică. ∆~

Teoremă. Dacă ),( mlv ≡ este o direcţie asimptotică a conicei nedegenerate

, atunci ecuaţia carteziană a asimptotei asociate este 0),(: =Γ yxg0=+ yx mggl , (17)

unde am notat ygg

xgg yx ∂

∂=

∂∂

= , .

Geometrie analitică 177

Page 71: Geometrie analitica

Observaţii.

♦ Hiperbola are două asimptote care trec prin centrul conicei. ♦ Elipsa nu are direcţie asimptotică, deci nu are asimptotă. ♦ Parabola admite o direcţie asimptotică ),( mlv ≡ pentru care ecuaţia (17)

reprezintă o identitate, deci parabola nu are asimptotă.

#4. Pol şi polară

4.1. Se dau punctul şi conica 200 ),( E∈yxA

0222),(: 0020102

22122

11 =+++++≡Γ ayaxayaxyaxayxg (18) Definiţii. a) Se numesc dedublări, substituţiile

+→→

2/)( 00

02

02

yxxyxyyyyxxx

şi

→∈+→+→

kkyyyxxx

R2/)(2/)(

0

0

b) Se numeşte dedublata ecuaţiei de gradul doi g x în punctul

, ecuaţia y( , )= 0

),( 00 yxA⇔=++++++++ 0)()()( 000200100220012011 ayyaxxayyayxxyaxxa

0),(2)()( 0000 00

=+−+− yxggyygxx yx . (18') c) În cazul când coeficienţii şi nu sunt simultan nuli ecuaţia (18') este

cea a unei drepte . Această dreaptă se numeşte polara lui A în raport cu conica Γ, iar punctul A se numeşte polul dreptei ∆ .

0xg

~

0yg

∆~

Observaţie. Polara unui punct A în raport cu o conică Γ nu depinde de sistemul de coordonate cartezian ales, relativ la care raportăm cele două figuri. 4.2. Teoremă. Dacă este polara punctului faţă de conica

, atunci: ∆~ ),( 00 yxA

Γ: ( , )g x y = 01) Punctul A aparţine conicei d.n.d. se află pe polara sa relativ la conică. ∆~

În acest caz, polara punctului A este tangenta la conică dusă prin A. 2) Dacă şi este polara lui B faţă de conică, atunci . ∆∈ ~),( yxB ∆̂ ∆∈ ˆA Demonstraţie. 1) Avem . Atunci ecuaţia (16') a polarei punctului A devine ecuaţia tangentei în A la conică, ( ) 2)

Ecuaţia (16') a polarei a punctului A faţă de conică este simetrică relativ la coordonatele punctelor şi , de unde afirmaţia din enunţ.

0),(),( 0000 =⇔Γ∈ yxgyxA

∆~

),( 00 yxA ∆∈ ~),( yxB

( )x x g y y gx y− + −0 00 00.=

Cap.VIII. Conice 178

Page 72: Geometrie analitica

Observaţii privind dreptele polare relativ la conicele nedegenerate ( ). 0≠∆Se dă conica nedegenerată Γ . : ( , )g x y = 0

1. Ecuaţia (16) a polarei punctului faţă de conica Γ se rescrie: ∆~ ),( 00 yxA

. (18") 0)()(:~000200102002201210012011 =++++++++∆ ayaxaayaxayayaxax

Atunci, dată fiind o dreaptă 0 din plan, polul asociat acesteia relativ la conica Γ se determină din sistemul de două ecuaţii (care reflectă faptul că polara a punctului A coincide cu dreapta ∆ ):

:ˆ =++∆ cbyax ),( 00 yxA

∆~ ˆ

cayaxa

bayaxa

aayaxa 000200102002201210012011 ++

=++

=++

.

2. Corespondenţa care asociază unui punct polara sa relativ la conică

este biunivocă între următoarele mulţimi: ∆→ ~A

♦ dacă , între \{centrul conicei C} şi {dreptele din plan}\{dreptele care trec prin C}

δ ≠ 0 2E

♦ dacă δ = , între \{ punctele de pe axa parabolei } şi {dreptele din plan}\{axa parabolei}.

0 2E

3. Fie două puncte din plan astfel încât dreapta AB satisface următoarele

proprietăţi: BA,

♦ nu conţine centrul conicei, în cazul când avem δ ≠ , 0

♦ nu are direcţia axei parabolei, dacă δ = . 0Atunci polarele celor două puncte se intersectează în polul dreptei AB.

BA,

În particular, dacă sunt două puncte ale conicei, atunci tangentele duse la conică prin cele două puncte se intersectează în polul dreptei AB (vezi figura).

BA,

BA,

Reciproc, dacă dintr-un punct exterior unei conice se duc tangente la conică, punctele de tangenţă determină polara acestuia.

B

A

∆ polară Γ

P (pol)

4. Dacă trei puncte sunt colineare şi determină dreapta care

satisface condiţiile din observaţia precedentă, atunci polarele punctelor sunt concurente şi se intersectează în polul dreptei .

CBA ,, ∆̂C,BA,

∆̂ 5. Fie punctele de intersecţie ale unei drepte variabile ce trece prin

punctul fix A, cu conica Γ. Atunci locul geometric al punctelor cu proprietatea este un segment de dreaptă conţinut în polara a punctului A faţă de conică.

BB ′′′,

BAB′ /M ≠ A

BMBMA ′′′=′′ / ∆~

Geometrie analitică 179

Page 73: Geometrie analitica

Observaţii privind dreptele polare relativ la conicele degenerate ( ). 0=∆Se dă conica degenerată . Privind poziţia polarelor faţă de conică, distingem cazurile:

Γ: ( , )g x y = 0

♦ Dacă δ ≠ , atunci polara oricărui punct trece prin centrul conicei. 0

♦ Dacă δ = , atunci toate polarele sunt paralele. 0

#5. Diametru conjugat cu o direcţie dată 5.1. Definiţie. Fie conica Γ şi o direcţie în plan dată de vectorul nenul

: ( , )g x y = 0),( mlv ≡ . Se numeşte diametrul conicei conjugat direcţiei Γ ),( mlv ≡

dreapta 0:~ =+∆ yx gmgl , (20)

unde am notat prin g derivatele parţiale ale funcţiei g. gx, y

Teoremă. Dacă direcţia ),( mlv ≡ nu este asimptotică relativ la conica

, atunci locul geometric al mijloacelor corzilor conicei Γ care au direcţia Γ: ( , )g x y = 0

v este inclus în diametrul conjugat acestei direcţii dat de ecuaţia (20) (vezi figura).

v

A

B

∆conjugată

Demonstraţie. Direcţia v nefiind asimptotică, fascicolul de drepte paralele de direcţie v intersectează conica (unele în două puncte), deci locul geometric are sens. O asemenea dreaptă, ce trece pritr-un punct are ecuaţiile parametrice ),( 00 yxP

R∈++= tmtyltxyx ),,(),( 00 . Punctele de intersecţie ale dreptei cu conica corespund valorilor t şi ale parametrului care satisfac ecuaţia

21, PP 1 t2

0),()(),( 002

00=+++ yxgmggltmlQt yx .

Pentru comoditatea calculului impunem ca punctul să coincidă cu mijlocul ),( 00 yxP

+

++

+≡

++

2,

22,

221

021

02121 ttmyttlxyyxxM

al segmentului , ceea ce revine la condiţia ; dar fiind rădăcinile

ecuaţiei de gradul 2 de mai sus, iar punctul M un mijloc de coardă arbitrară de direcţie 21PP 021 =+ tt 2,1t

v , rezultă anularea coeficientului termenului de gradul 1 al ecuaţiei, deci 0

00=+ yx mggl ;

mijlocul P=M fiind arbitrar, acesta satisface ecuaţia l . 0=+ yx mgg

Cap.VIII. Conice 180

Page 74: Geometrie analitica

5.2. Observaţii privind diametrii conjugaţi

1. În particular, dacă punctele de intersecţie ale diametrului conjugat unei direcţii

BA,v faţă de conică, atunci tangentele duse la conică prin cele două puncte

au direcţia BA, v (vezi figura anterioară). Reciproc, dacă ducem tangentele de direcţie v la conică, atunci punctele de

tangenţă determină diametrul conjugat direcţiei v relativ la conică. 2. Dată fiind conica Γ , privitor la poziţia diametrilor conjugaţi faţă

de Γ , distingem cazurile: : ( , )g x y = 0

2.1. Dacă δ ≠ , diametrii conjugaţi cu direcţii arbitrare formează un fascicul concurent de drepte vârful în centrul conicei.

0

2.2. Dacă (parabolă), deoarece există numerele α u proprietatea (temă, verificaţi), diametrii conjugaţi cu direcţii arbitrare

formează un fascicul de drepte paralele de ecuaţii

δ = ≠0,∆α+= xg

0 , cR∈ββ yg

⇔∈µ=µ+ R,0xg ⇔∈µ=µ++ R,01211 yaxa . R∈µ=µ++ ,02212 yaxa

♦ Examinând coeficienţii variabilelor din ecuaţie, observăm că acest fascicul paralel are direcţia fixă

yx,)11,( 120 aaw −≡ sau, echivalent, ),( 12220 aaw −≡ .

♦ Evident axa de simetrie a parabolei este un diametru (căci punctele sale înjumătăţesc coardele perpendiculare pe aceasta) şi, fiind una din dreptele fascicolului, are tot direcţia 0w ; ea este diametrul conjugat direcţiei

(perpendiculare pe axă) ),( 12110 aawv ≡= ⊥ .

♦ Remarcăm că direcţiei axei de simetrie 0w=v nu-i corespunde nici un diametru conjugat, căci ecuaţia a g reprezintă mulţimea vidă (temă, verificaţi). a gx y12 11 0− =

5.3. Diametri conjugaţi unul altuia.

Fie diametrul conjugat direcţiei 0:~ =+∆ yx gmgl ),( mlv ≡ relativ la conica cu centru Γ . Observăm că direcţia acestuia este dată de vectorul : ( , )g x y = 0

))(,( 12112212 malalamaw +−+≡ . Vectorul ),( mlw ′′≡′ determină aceeaşi direcţie dacă are coeficienţii proporţionali cu cei ai vectorului w ,

0)()( 221211

12112212

=′+′+′+′⇔+−′

=+′

mmamlmlalamala

mmala

l .

Din simetria acestei relaţii relativ la ( , )m≡v l şi ),( mlw ′′≡′ , rezultă că diametrul conjugat direcţiei vectorului ),( mlw ′′≡′ are direcţia ( , )m≡v l .

Deci conjugarea induce pentru conicele cu centru o relaţie simetrică relativ la direcţii. În acest sens se poate formula următoarea

Definiţie. Doi diametri ale căror direcţii ),(),,( mlvmlv ′′≡′≡ satisfac relaţia 0)( 221211 =′+′+′+′ mmamlmlala (21)

se numesc diametri conjugaţi unul altuia.

Geometrie analitică 181

Page 75: Geometrie analitica

Observaţie. Ecuaţia (21) este dedublata ecuaţiei care determină direcţiile asimptotice ),( ml≡v ale conicei,

02),( 22212

211 =++≡ malmalamlQ ,

prin urmare orice asimptotă are drept direcţie conjugată propria sa direcţie.

#6. Axele de simetrie ale unei conice 6.1. Definiţie. Se numeşte axă de simetrie a conicei Γ o dreaptă care are proprietatea ca simetricul oricărui punct de pe conică în raport cu , se află tot pe conică. dacă simetricul în raport cu D al fiecărui punct din Γ aparţine tot lui Γ .

∆~

∆~

Vom determina în continuare direcţiile axelor de simetrie ale unei conice cu

centru . 0),(: =Γ yxg Fie ),ml(w ≡ o direcţie ortogonală pe axa de simetrie. Axa de

simetrie reprezintă exact diametrul conjugat direcţiei w , deoarece conţine mijloacele corzilor de direcţie w . Prin urmare, axa de simetrie are ecuaţia şi direcţia dată de vectorul de componente . Acest vector este ortogonal pe

0=+ yx gmgl),( 12112212 malamala +−−

w dacă şi numai dacă produsul scalar al celor doi vectori este nul. Această condiţie conduce la ecuaţia ce determină direcţiile axelor de simetrie ale conicei Γ,

0)()( 22122211 =−+− lmalmaa . (19)

Deşi aparent ecuaţia determină direcţia normală la axă, numele dat ecuaţiei este justificat. Anume, se observă că o dată cu o soluţie ),( mlw ≡ , ecuaţia acceptă şi soluţia ),( lm−≡v , ortogonală pe w . Rezultă că vectorii v şi w determină cele două direcţii ale axelor de simetrie ortogonale.

6.2. Ecuaţiile axelor de simetrie

Se dă conica Γ . În vederea obţinerii ecuaţiilor axelor de simetrie, distingem cazurile:

: ( , )g x y = 0

1. Dacă , atunci Γ are un centru de simetrie ale cărui coordonate sunt soluţiile sistemului liniar

δ ≠ 0 ),( 00 yxC

==

00

y

x

gg

,

şi două axe de simetrie de direcţii 2,1),,( =≡ imlv iii ce satisfac ecuaţia (19). Deoarece cele două direcţii sunt ortogonale, ecuaţiile axelor de simetrie sunt produse fie ca ecuaţii ale unor diametri reciproc conjugaţi, deci de forma , fie

ca drepte ce trec prin centru şi au direcţiile date de cei doi vectori, deci de forma

0=+ yixi gmgl

ii myy

lxx 00 −

=− .

Punctele de intersecţie dintre conică şi axele de simetrie se numesc vârfurile conicei .

Cap.VIII. Conice 182

Page 76: Geometrie analitica

2. Dacă δ = şi , (deci conica Γ este parabolă), ştim că direcţia axei parabolei este ( , (sau ( , ). Cum axa de simetrie este diametrul conjugat direcţiei perpendiculare ( , (sau ( , ), obţinem ecuaţia axei parabolei

0a12 −

∆ ≠ 0)a11 )

)

a a22 12−a a11 12) a a21 22

01211 =+ yx gaga

care admite forma echivalentă 02221 =+ yx gaga .

Intersecţia dintre axa de simetrie şi parabolă se numeşte vârful parabolei.

#7. Probleme propuse 1. Sub influenţa unei forţe, punctul material M se mişcă pe cercul

0202422 =−−++ yxyx . Acţiunea forţei încetează când M ajunge în poziţia . Aflaţi traiectoria urmată mai departe de punctul material.

)4,6(−

R. Traiectoria este inclusă în tangenta prin M la cerc; prin dedublare, .

∆~

03634:~ =+−∆ yx 2. Pentru fiecare din conicele următoare, să se calculeze invarianţii metrici şi coordonatele centrului. Să se afle ecuaţia conicei redusă la centru.

a) ; 036422: 221 =+−−+−Γ yxyxyx

b) Γ ; 03642: 222 =+−−−− yxyxyx

22c) . 04222:3 =−++++Γ yxyxyx

R. a) ; elipsa 3,1,26 ==δ−=∆ I2 2

152 /(3 5) 52 /(3 5)

x y′′ ′′+ =

+ −;

b) ; hiperbola 0,2,23 =−=δ−=∆ I 1)22/(23)22/(23

22

=′′

−′′ yx ;

c) ; perechea de drepte paralele . 2,0 ==δ=∆ I 42 =′′x 3. Să se reducă ecuaţiile următoarelor conice la forma canonică şi să se construiască conicele corespunzătoare:

a) ; 022416245 : 221 =−+−+−Γ yxyxyx

b) Γ ; 01116242411: 222 =++++− yxyxyx

c) . 0642: 223 =+−+−Γ yyxyx

R. a) Elipsa 1366

22

=′′

+′′ yx ; b) Hiperbola

22 1

4x y′′

′′− = ; c) Parabola xy ′′=′′ 22 .

Geometrie analitică 183

Page 77: Geometrie analitica

4. Să se stabilească poziţia dreptei faţă de conica Γ în următoarele cazuri: ∆~

a) ; 036432:;07:~ 22 =+−−−−Γ=−−∆ yxyxyxyx~b) ; 0456722:);1,2(),(: 22 =−++−−Γ+−+=∆ yxyxyxttyx~c) . 01322:);1,21(),(: 22 =+−+++Γ−+=∆ yxyxyxttyx

R. a) Secantă; b) Exterioară; c) Tangentă.

5. Să se afle polul axei Oy şi polara punctului faţă de conica )2,1( −A01732: 22 =+−−−Γ yxyx .

R. Coeficienţii ecuaţiei dreptei polare (obţinute prin dedublarea ecuaţie conicei cu coordonatele polului ) trebuie să fie proporţionali cu ai ecuaţiei axei

; rezultă . b) Prin dedublare cu A, rezultă polara .

),( 00 yxM7,4/19( −M0: =xOy

:~ −−∆ yx))4/

013 = 6. Aflaţi ecuaţia axei de simetrie a conicei şi ecuaţia diametrului conjugat:

016422 22 =−+−++ yxyxyx

a) axei Ox b) direcţiei )3,1( −≡v . R. ; a) 012201211 =++⇔=+ yxgaga yx 1:~);0,1( =+∆≡ yxOxv ;

~b) . 0722: =++∆ yx 7. Să se determine centrul, axele şi vârfurile conicei

035621210419416: 22 =−−+++Γ yxyxyx~

. R. C elipsă, 4 vârfuri: ;082:;0142:~),6,4( 21 =−+∆=+−∆− yxyx

)346,324( ±±− , . )2,4(),10,12(− 8. Să se demonstreze că:

a) polara oricărui punct de pe o dreaptă faţă de o conică, conţine polul acelei drepte; b) polul oricărei drepte care trece printr-un punct dat este situat pe o dreaptă fixă,

care este exact polara punctului dat. R. Se foloseşte relaţia dintre coordonatele polului şi cele ale unui punct de pe polara asociată, furnizată de ecuaţia polarei.

9. Să se discute în funcţie de parametrii natura conicelor R∈ba,0122)1(2)1(: 22 =−−+++−+−Γ abyaxyabxyxa .

R. Invarianţii conicelor au expresiile: 2,1),122)(1( 2222 −=−−=δ−++=∆ Ibabaa .

Pentru distingem cazurile degenerate: • pentru , două drepte concurente; pentru , pereche de drepte paralele; pentru

, un punct. Pentru ∆ (cazul nedegenerat) avem elipsă, parabolă sau hiperbolă, după cum respectiv δ sau δ .

0=∆

2, 2 +a

0,1 ≠−= ba

0<

•2b

0,1 =−= ba •11 2 =−≠a 0

,0≠> 0=δ

Cap.VIII. Conice 184

Page 78: Geometrie analitica

Capitolul 9

CUADRICE

#1. Sfera

Reamintim că date fiind două puncte 2,1),,,( =izyxA iiii în spaţiul raportat la reperul cartezian

3 E{ , distanţa dintre acestea este dată de formula ;, , }O i jk

2

122

122

1221 )()()(),( zzyyxxAAd −+−+−= .

1.1. Definiţie. Fie punctul C şi . Se numeşte sfera de centru C şi rază r mulţimea punctelor cu proprietatea d C .

3000 ),,( E∈zyx

3E∈M0>r

M r( , )=

Observaţii. 1. Punctul aparţine sferei de centru C x si rază r daca şi numai dacă distanţa de la M la centrul C al sferei este r (vezi figura), deci dacă coordonatele sale satisfac relaţia

3),,( E∈zyxM y z( , ,0 0 0)

. (1) 22

02

02

0 )()()( rzzyyxx =−+−+−

Într-adevăr, punctul M aparţine sferei dacă şi numai dacă au loc relaţiile echivalente

⇔=−+−+−⇔= rzzyyxxrMCd 20

20

20 )()()(),( (1).

Astfel, această sferă este descrisă analitic prin })()()(,),,(),,({ 22

02

02

03 rzzyyxxzyxzyxM =−+−+−∈=Σ R

sau, pe scurt, 22

02

02

0 )()()(: rzzyyxx =−+−+−Σ . Ecuaţia de mai sus se numeşte ecuaţia carteziană implicită a sferei Σ de centru

şi rază r. ( , ,x y z0 0 0)

Putem rescrie această ecuaţie sub formă parametrică

Geometrie analitică 185

Page 79: Geometrie analitica

(2)

+=+=+=

urzzvuryyvurxx

cossinsincossin

0

0

0

cu u drept parametri (vezi figura). ]2,0[],,0[ π∈π∈ vEcuaţia (2) se poate rescrie sub formă vectorială r r (3) r u vi u v j u k= + + +0 (sin cos sin sin cos )

unde am notat

),,(),, 0000 zyxOCrz ≡=,( yxOMr ≡=

d

. 2. Dezvoltând polinomul de gradul doi din ecuaţia (1), observăm că acesta este

de forma: , (4) 0222222 =++++++ dczbyaxzyx

cu parametri reali. Reciproc, ecuaţia (4) se rescrie dcba ,,,( ) ( ) ( )x a y b z c+ + + + + =2 2 2 ρ, + + −a b c2 2 2 ρ = ,

şi, notând cu Σ mulţimea de puncte descrise de ecuaţia (4), distingem cazurile: ♦ dacă ρ > 0, atunci Σ este o sferă de centru C , rază ),,(),,( 000 cbazyx −−−= r ; = ρ♦ dacă ρ = 0, atunci Σ ={( ; , , )}− − −a b c

♦ dacă ρ < 0, atunci Σ este mulţimea vidă. În primul caz, deci pentru , ecuaţia 0222 >−++ dcba

0222222 =++++++ dczbyaxzyx (5) se numeşte ecuaţia carteziană generală a sferei.

3. Din punct de vedere topologic, o sferă Σ este o mulţime marginită si închisă, deci compactă. Ea separă spaţiul în două submulţimi disjuncte: interiorul sferei Σ (notat ) şi exteriorul sferei Σ (notat

), vezi figura. Remarcăm că dacă sfera are centrul şi raza r , avem

3 E

, 00 z

int Σext Σ

,( 0xC )y > 0

}0),,(),,{(

}0),,(),,{(

>=Σ

<=Σ

zyxfzyx

zyxfzyx

ext

int

2

unde . 220

200

3 )()()(),,(,: rzzyyxxzyxff −−+−+−=→ RRSfera Σ este închisă şi mărginită (deci compactă) şi conexă, şi sunt deschise şi conexe, int este convexă, şi Σ sunt simplu conexe, iar un segment ce are capetele în int şi respectiv intersectează în mod necesar sfera (temă, verificaţi).

int Σ ext ΣΣΣ

int Σext Σ

4. O sferă este determinată de patru puncte necoplanare 4,1),,,( =izyxA iiii

(care satisfac deci condiţia 0, 413121 >=×< AAAAAA ), astfel: un punct aparţine sferei dacă satisface (spre exemplu) ecuaţia sferei în forma normală

),,( zyxA

Cap.IX. Cuadrice 186

Page 80: Geometrie analitica

qpznymxzyx =+++++Σ 222: unde parametrii sunt nedeterminaţi; deoarece cele 4 puncte aparţin sferei, avem satisfăcute condiţiile

qpnm ,,,

4,1,: 222 ==+++++Σ iqpznymxzyx iiiiii . Condiţia de compatibilitate a sistemului reunit de 5 ecuaţii (determinantul caracteristic nul, conform teoremei Rouche), conduce la ecuaţia sferei prin 4 puncte necoplanare (denumită şi ecuaţia sferei sub formă de determinant)

0

11111

:

4442

42

42

4

3332

32

32

3

2222

22

22

2

1112

12

12

1

222

=

++++++++++

Σ

zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx

. (5')

5. Ecuaţiile parametrice (2) ale sferei de centru C şi rază r se pot rescrie, pentru

),,( 000 zyxθ=π−ϕ= vu ,2/ :

ππ−∈ϕπ∈θϕ+=θϕ+=θϕ+=

],2/,2/[),2,0[,sinsincoscoscos

0

0

0

rzzryyrxx

ecuaţii folosite în geodezie ( unghi de ascensie, altitudine). Substituind în (2) =ϕ

2,

2vtgqutgp == , se obţin ecuaţiile parametrice raţionale ale sferei

∈+−

+=

+++=

++−

+=

.,,1

)1()1)(1(

4)1)(1(

)1(2

2

2

0

220

22

2

0

Rqppprzz

qprpqyy

qpqrpxx

1.2. Dreaptă tangentă la sferă; plan tangent la sferă. Definiţie. Fie sfera Σ de centru C şi rază r . ),,( 000 zyx > 0

a) O dreaptă se spune că este tangentă unei sfere dacă aceasta intersectează sfera într-un punct dublu (două puncte confundate).

∆~

b) Se numeşte plan tangent la sfera S în punctul al acesteia, locul geometric al tuturor dreptelor tangente la sferă în punctul A.

),,( zyxA ′′′

Ecuaţia planului tangent la sferă rezultă prin dedublarea ecuaţiei (1) a sferei cu coordonatele punctului , obţinând ( ', ', ')A x y z

0))(())(())(( 2000000 =−−′−+−′−+−′− rzzzzyyyyxxxx

sau echivalent, prin dedublarea ecuaţiei carteziene generale (5) a sferei, 0)()()( =+′++′++′++′+′+′ dzzcyybxxazzyyxx .

Geometrie analitică 187

Page 81: Geometrie analitica

Observaţii. 1. Dat fiind planul π şi sfera Σ de centru C şi rază r, poziţia relativă a planului faţă de sferă se determină în funcţie de distanţa de la centrul sferei la plan, astfel:

),( π= Cdd

♦ dacă , atunci planul este secant sferei, şi taie sfera după un cerc; în particular, dacă 0 , cercul de secţiune este un cerc mare al sferei;

rd <=d

♦ dacă , atunci planul este tangent sferei, şi taie sfera după un punct dublu, punctul de tangenţă;

rd =

♦ dacă d , atunci planul este exterior sferei şi nu o intersectează. r>2. Dată fiind dreapta şi sfera Σ de centru C şi rază r, poziţia relativă a

dreptei faţa de sferă se determină în funcţie de distanţa de la centrul sferei la dreaptă, astfel:

∆~

)~,( ∆= Cdd

♦ dacă , dreapta este secantă sferei, şi taie sfera după două puncte; în particular, dacă 0 , punctele de intersecţie sunt diametral opuse;

rd <=d

♦ dacă , dreapta este tangentă sferei, şi taie sfera după un punct dublu, punct de tangenţă;

rd =

♦ dacă d , dreapta este exterioară sferei şi nu o intersectează. r> Exemplu. Aflaţi planul π tangent sferei în punctul

acesteia şi determinaţi poziţia dreptei

3: 222 =++Σ zyx

)1,1,1(A′ 32

x y z= −:∆ = faţă de sferă.

Soluţie. Prin dedublarea ecuaţiei sferei cu coordonatele punctului A' , rezultă

ecuaţia planului tangent în A' la sferă, 3: =++π zyx .

Aducând ecuaţia sferei la forma (1), obţinem centrul sferei C şi raza )0,0,0( 3=r . Cum distanţa de la C la dreapta ∆ este exact ~ 3 (temă, verificaţi), rezultă că dreapta este tangentă sferei.

Altfel, intersectăm dreapta cu sfera: coordonatele intersecţiei satisfac simultan ecuaţiile dreptei şi ecuaţia sferei, deci sistemul

=++

−==

33

222 zyxzyx

algebric de gradul doi, cu soluţia unică (verificaţi !) punctul dublu . Deci dreapta este tangentă sferei în A' şi în particular este conţinută în planul π, care este tangent sferei în A'.

)1,1,1(A′

#2. Elipsoidul

În cele ce urmează, vom studia o serie de suprafeţe particulare descrise de ecuaţii algebrice de gradul doi în necunoscutele ( , , numite generic cuadrice. În raport cu un sistem de coordonate privilegiat (convenabil ales), ecuaţiile cuadricelor au o formă simplă, numită în cele ce urmează ecuaţie redusă sau ecuaţie canonică. Un exemplu de cuadrică, sfera, a fost deja prezentat în #1.

, )x y z

Cap.IX. Cuadrice 188

Page 82: Geometrie analitica

2.1. Definitie. Se numeşte elipsoid, cuadrica cu ecuaţia redusă de forma

3E⊂Σ

012

2

2

2

2

2

=−++cz

by

ax , (6)

unde sunt numere reale strict pozitive, numite semiaxele elipsoidului Σ. cba ,,

Observaţii. 1. Putem deduce forma elipsoidului, studiindu-i simetriile şi intersecţiile cu axele şi planele de coordonate. Deoarece ecuaţia (6) rămâne neschimbată în urma aplicării simetriilor

),,(),,(),,,(),,(),,,(),,(

,,(),,(

zyxzyxzyxzyxzyxzyx

yxzyx

−→−→

−→−−−→ ),z

,

rezultă că elipsoidul este simetric respectiv faţă de originea O (numită şi centrul elipsoidului) şi planele de coordonate

(care din acest motiv se numesc plane principale ale elipsoidului). Ecuaţia (6) rămâne neschimbată şi în urma aplicării simetriilor

zOxyOzxOy ,,

1: 2

2

2

2

2

2

=++Σc

z

b

y

a

xElipsoidul

O

z

y

x

),,(),,(),,,(),,(),,,(),,( zyxzyxzyxzyxzyxzyx −−→−−→−−→ , deci elipsoidul este simetric respectiv faţă de axele de coordonate (care din acest motiv se numesc axele elipsoidului).

OzOyOx ,,

2. Intersecţiile dintre elipsoid şi planele de coordonate sunt elipsele

=

=−+

=

=−+

=

=−+

.0

01

0

01

0

01 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xcz

by

ycz

ax

zby

ax

.

De asemenea, intersecţiile dintre elipsoid şi plane paralele cu planele de coordonate sunt elipse; spre exemplu, intersecţia cu planul (unde ) este elipsa hz = ],[ cch −∈

],[,01

/)(/)( 2222

2

2222

2

cchhz

chcby

chcax

−∈

=

=−−

+− .

3. Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului (6) sunt

π∈π∈===

]2,0[],,0[,cossinsincossin

vuuczvubyvuax

4. Elipsoidul intervine în mecanică (spre exemplu, elipsoidul de inerţie), geodezie şi topografie (pentru masurători terestre), etc. 2.2. Teoremă. Elipsoidul este o multime compactă în . 3 E

Geometrie analitică 189

Page 83: Geometrie analitica

Demonstraţie. Din ecuaţia (6) obţinem inegalităţile 11 2

2

2

2

2

2

≤−−=cz

by

ax şi analog,

condiţiile 1,1 2

2

2

2

≤≤cz

by

], ×− aa

3 ER⊂}0{

. Deci un punct oarecare al elipsoidului se află inclus în

paralelipipedul [ , şi prin urmare elipsoidul este o mulţime mărginită în . El este şi mulţime închisă, fiind preimaginea a mulţimii închise prin funcţia polinomială (deci continuă) ,

3],[],[ E⊂−×− ccbb})0({1−ff RR →3:

12

2

2

2

−++cz

by),,( zyxf 2

2

ax

= . Deci elipsoidul este mulţime compactă în . 3 E

2.3. Teoremă. Intersecţia dintre un elipsoid şi un plan poate fi o elipsă, un punct sau mulţimea vidă. Demonstraţie. O asemenea intersecţie este o curbă dată de ecuaţii de gradul doi, deci o conică. Elipsoidul fiind mulţime compactă, şi intersecţia sa cu un plan (submulţime închisă a elipsoidului) este tot compactă, deci această conică este compactă, în particular mărginită. Singurele conice mărginite fiind elipsa, un punct si mulţimea vidă, rezultă afirmaţia.

#3. Hiperboloizii 3.1. Definiţie. Se numeşte hiperboloid cu o pânză, cuadrica cu ecuaţia redusă de forma

3E⊂Σ

12

2

2

2

2

2

=−+cz

by

ax , (7)

unde sunt numere reale strict pozitive, numite semiaxele hiperboloidului cu o pânză Σ.

cba ,,

Observaţii.

1. Hiperboloidul cu o pânză are aceleaşi simetrii ca şi elipsoidul şi are patru vârfuri. Intersecţiile sale cu planele zOy şi zOx sunt respectiv hiperbolele

=

=

=−

00

1 2

2

2

2

2

2

ycz

ax

xcz

by

= 12

2

iar intersecţiile sale cu planele (paralele cu xOy) sunt

elipse. R∈= hhz ,

Cap.IX. Cuadrice 190

1: 2

2

2

2

2

2

=−+Σc

z

b

y

a

x

z

Hiperboloidul

Ox

y

cu o pânză

Page 84: Geometrie analitica

2. Din punct de vedere topologic, hiperboloidul cu o pânza este o mulţime nemărginită (deci necompactă) şi închisă, conexă, neconvexă, ne-simplu conexă în spaţiul . 3E

3. Hiperboloidul cu o pânza este o suprafaţă dublu riglată; prin fiecare punct al său trece un plan care taie hiperboloidul după două drepte distincte. Această proprietate face ca hiperboloidul cu o pânză să fie folosit în construcţii industriale - ca model pentru turnuri de răcire, coşuri de fum, etc, şi în realizarea arborilor necoliniari (roţi dinţate hiperbolice) - în transmisia rotaţiilor.

4. Hiperboloidul cu o pânză (7) admite ecuaţiile parametrice

π∈∈===

].2,0[,,sh sinch cosch

vuuczvubyvuax

R

Înlocuind ,2

,)2/()2/(

2vtgq

ushuchuthp =≡= folosind

2sh ,

2

uudefuudef eeueeu−− +

=+

=ch

şi relaţiile derivate , 1 sh ch 22 =− uu

21ch

2u sh,

)2/(th11

2ch 1

2u ch 2

22 −

=−

=+

=u

uu

)2/(th-11)2/(thch 2

2

uuu +

= , )2/(th-1)2/(th2sh 2

2

uuu = ,

obţinem ecuaţiile parametrice raţionale ale hiperboloidului cu o pânză,

∈±∈−

=

+−+

=

+−−+

=

.},1{\,1

2)1)(1(

)1(2)1)(1()1)(1(

2

22

2

22

22

RR qpppcz

qpqpby

qpqpax

3.2. Definiţie. Se numeşte con, cuadrica dată de o ecuaţie redusă de forma

3E⊂Σ

)0,,(,02

2

2

2

2

2

>=−+ cbacz

by

ax . (8)

Observaţii. 1. Conul descris de ecuaţia (8) se mai numeşte şi conul asimptot

al hiperboloidului cu o pânză (7), Denumirea acestei cuadrice decurge din calitatea pânzelor celor două suprafeţe de a se apropia una faţă de cealaltă la infinit.

2. Ca utilizări, conul este folosit, spre exemplu, pentru transmiterea mişcării de rotaţie între doi arbori necoliniari prin intermediul a două roţi dinţate conice.

Geometrie analitică 191

Page 85: Geometrie analitica

3. Din punct de vedere topologic, conul are aceleaşi proprietăţi cu ale hiperboloidului cu o pânză, cu excepţia faptului că un con este simplu conex. 3.3. Definiţie. Se numeşte hiperboloid cu două pânze, cuadrica ce admite o ecuaţie redusă de forma

3E⊂Σ

12

2

2

2

2

2

=+−−cz

by

ax , (9)

unde sunt numere reale strict pozitive, numite semiaxele hiperboloidului Σ. cba ,,

Observaţii. 1. Hiperboloidul cu două pânze are aceleaşi simetrii ca şi hiperboloidul cu o pânză şi are două vârfuri care sunt situate pe axa Oz. Intersecţiile sale cu planele zOy şi zOx sunt respectiv hiperbolele

=

=+−

0

12

2

2

2

yxcz

by

,c

=

=+

0

12

2

2

2

cz

ax

Privind intersecţiile sale cu planele (paralele cu xOy) distingem

cazurile: R∈= hhz ,

♦ dacă ) , intersecţia este mulţimea vidă;

( ch −∈

♦ dacă } , se obţin cele două vârfuri ale hiperboloidului cu două pânze;

,{ cch −∈

♦ dacă ch > , intersecţiile sunt elipsele

=

+−

hzbccha

x/)( 2222

2

=− cchy .1

/)( 2222

2

1: 2

2

2

2

2

2

−=−+Σc

z

b

y

a

x

cu două pânze

Hiperboloidul

O x

y

z

2. Din punct de vedere topologic, hiperboloidul cu două pânze este mulţime nemărginită şi închisă, neconvexă, neconexă, simplu conexă în spaţiul . 3E

3. Hiperboloidul cu două pânze admite ecuaţiile parametrice sh cos sh sin , , [0, 2 ]

ch

x a u vy b u v u vz c u

π=

= ∈ = ±

R

sau, înlocuind ,2

,)2/()2/(

2vtgq

ushuchuthp =≡= se obţin ecuaţiile parametrice raţionale

.},1{\,

11,

)1)(1(4

)1)(1()1(2

2

2

22

22

2

RR ∈±∈

−+

=+−

=

+−−

=qp

pqcz

qppqby

qpqpax

Cap.IX. Cuadrice 192

Page 86: Geometrie analitica

4. Conul dat de ecuaţia (8) se mai numeşte şi conul asimptot al hiperboloidului cu două pânze (9).

#4. Paraboloizii

4.1. Definiţie. Se numeşte paraboloid eliptic, cuadrica ce admite o ecuaţie redusă de forma

3E⊂Σ

)0,(,2

2

2

2

>+= baby

axz . (10)

Observaţii. 1. Paraboloidul eliptic admite drept plane de simetrie planele de coordonate zOx şi zOy, numite şi plane principale. De asemenea, acesta admite axa Oz drept axă de simetrie (numită axa principală a paraboloidului) şi este tangentă la planul xOy în originea O a sistemului de coordonate (numit vârful paraboloidului).

zb

y

a

x=+Σ

2

2

2

2

:Paraboloidul eliptic

z

y x

2. Paraboloidul eliptic intersectează planele de coordonate zOx şi zOy respectiv după parabolele

=

=

=

0

2

2

x

z

yaxz

= 0

2

2

by

Privind intersecţiile sale cu planele (paralele cu xOy) distingem cazurile: R∈= hhz ,♦ dacă 0 , intersecţia este mulţimea vidă; <h♦ dacă 0 (planul xOy), se obţine vârful paraboloidului eliptic; =h

♦ dacă 0 , intersecţia este elipsa >h

=

=+

.

2

2

2

2

hz

hby

ax

3. Topologic, paraboloidul eliptic este mulţime nemărginită şi închisă, neconvexă, conexă şi simplu conexă în . 3E

4. Paraboloidul eliptic admite ecuaţiile parametrice

π∈∈=

==

]2,0[,,sincos

2 vuuzvubyvuax

R

sau, înlocuind ,2

, vtgqup == se obţin ecuaţiile parametrice raţionale

.,,,

1211

22

2

2

R∈

=+

=

+−

=qp

pzq

pqby

qqapx

5. Paraboloidul eliptic este folosit în industria confecţiilor, astrofizică (în proiectarea antenelor telescopice), etc.

Geometrie analitică 193

Page 87: Geometrie analitica

4.2. Definiţie. Se numeşte paraboloid hiperbolic sau şa, cuadrica ce admite o ecuaţie redusă de forma

3E⊂Σ

)0,(,2 2

2

2

2

>−= baby

axz . (11)

Observaţii. 1. Paraboloidul hiperbolic are aceleaşi plane şi axe de simetrie ca şi paraboloidul eliptic.

zb

y

a

x=−Σ

2

2

2

2

:

O

z

y x

Paraboloidul hiperbolic

2. Paraboloidul hiperbolic intersectează planele de coordonate zOx şi zOy respectiv după parabolele

=

=

=

=

0

2

2

x

z

yaxz −

0

2

2

by

şi se observă că acestea au concavitatea orientată diferit (prima în sensul axei Oz, căci de-a lungul ei avem ), iar cealaltă în sens opus sensului axei Oz). Privind intersecţiile sale cu planele (paralele cu xOy) distingem cazurile:

0≥zR∈= hhz ,

♦ dacă 0 , intersecţia este hiperbola ≠h

=

=−

hz

hby

ax

2

2

2

2

, care are axa transversă

paralelă cu Ox sau cu Oy, după cum sau h . 0> 0<h♦ dacă 0h (planul xOy), se obţine perechea de drepte concurente în O, =

=

=

+

0

.0

zby

ax

by

ax

3. Topologic, şaua are aceleaşi calităţi ca ale paraboloidului eliptic. 4. Paraboloidul hiperbolic admite ecuaţiile parametrice

2 2

u ch u sh sh , ch , 0,

x a v x a vy b u v y b u v u vz u z u

= = = = > = = −

R∈ ,

sau, înlocuind ,2

, vthqup == se obţin ecuaţiile parametrice raţionale

2

22

22 2

2 2

2111 , , 0

2 1, ,1 1

pqq x ax apqq p q

pq qy b z p y bp z pq q

+ == −− > ∈ ± + = = = =

− −

R, \ { 1}

5. Paraboloidul hiperbolic este o suprafaţă dublu riglată, motiv pentru care este

folosit în construcţii industriale ca model pentru acoperişuri.

Cap.IX. Cuadrice 194

Page 88: Geometrie analitica

#5. Alte tipuri de cuadrice În paragrafele anterioare am trecut în revistă principalele tipuri de cuadrice nedegenerate. Vom prezenta în continuare celelalte tipuri de cuadrice, indicând în fiecare caz forma ecuaţiei canonice aferente. Definiţii. a) Se numeşte cilindru circular, cuadrica dată de o ecuaţie de forma

3E⊂Σ

222 ayx =+ , (12) unde a este un număr real strict pozitiv, numit raza cilindrului Σ.

b) Se numeşte cilindru eliptic, cuadrica dată de o ecuaţie de forma 3E⊂Σx

a

y

b

2

2

2

2 1 0+ − = , (13)

unde a, b sunt numere reale strict pozitive, numite semiaxele cilindrului eliptic Σ.

1:2

2

2

2

=+Σb

y

a

x Cilindrul eliptic

z

y

x

12

2

2

2=−

a

x

b

y

O

Cilindrul hiperbolic

z

y

x

c) Se numeşte cilindru hiperbolic, cuadrica dată de o ecuaţie de forma 3E⊂Σ

012

2

2

2

=−−by

ax , (14)

unde a, b sunt numere reale strict pozitive, numite semiaxele cilindrului hiperbolic Σ. d) Se numeşte cilindru parabolic, cuadrica dată de o ecuaţie de forma 3E⊂Σ

y p2 2= x, (15) unde p este un număr real nenul.

Observaţii. Celelalte cuadrice (majoritatea degenerate) sunt:

♦ pereche de plane concurente, x

a

y

b

2

2

2

2 0− = ;

♦ pereche de plane paralele, x a ; 2 2 0− =♦ pereche de plane confundate , x ; 2 0=

♦ dreaptă, x

a

y

b

2

2

2

2 0+ = ;

Geometrie analitică 195

Page 89: Geometrie analitica

♦ punct, 02

2

2

2

2

2

=++cz

by

ax ;

♦ mulţime vidă, x

a

y

b

z

c

2

2

2

2

2

2 1+ + + = 0 (elipsoid imaginar) sau x

a

y

b

2

2

2

2 1 0+ + =

(cilindru eliptic imaginar) sau (pereche de plane imaginare). 022 =+ ax

#6. Cuadrice riglate

Există cuadrice Σ al căror plan tangent într-n punct al acestora, conţine cel puţin o dreaptă inclusă în Σ. Exemple remarcabile sunt: cilindrii (circular, eliptic, hiperbolic, şi parabolic), conul, hiperboloidul cu o pânză şi paraboloidul hiperbolic. Acestea pot fi generate prin mişcarea unei drepte ce se sprijină pe o curbă dată.

3E⊂

Pe de altă parte, elipsoidul şi hiperboloizii pot fi generaţi prin mişcarea unei elipse, iar paraboloizii a unei parabole ce se sprijină pe o curbă dată. Relativ la prima categorie de cuadrice, putem formula următoarele 6.1. Definiţii. a) Se numeşte suprafaţă riglată, o suprafaţă care poate

fi generată prin mişcarea unei drepte ∆ care se sprijină pe o curbă Γ. În acest caz, dreapta se numeşte generatoarea rectilinie a suprafeţei riglate, iar curba Γ se numeşte curbă directoare a suprafeţei Σ.

3E⊂Σ~

∆~

b) O cuadrică se numeşte dublu riglată dacă prin fiecare punct al său trec două drepte distincte conţinute în cuadrică. Se poate arăta că orice cuadrică, care are proprietatea că o dată cu un punct al ei conţine o întreagă dreaptă ce trece prin acel punct, este cuadrică riglată, şi reciproc. Teoremă. Hiperboloidul cu o pânză şi paraboloidul hiperbolic sunt cuadrice dublu riglate. Demonstraţie. Folosind una dintre ecuaţiile canonice ale hiperboloidului cu o pânză,

+

−=

+

−⇔=−−+

by

by

cz

ax

cz

ax

cz

by

ax 11 012

2

2

2

2

2

,

rezultă clar că familiile de drepte }~{}~{ ∞λ ∆∪∈λ∆ R şi }~{}~

∞µ ∆′∪∈µ∆ R{

sunt conţinute în hiperboloid, dreptele având respectiv ecuaţiile

: 1 1 0, : 1x z y x z y x z ya c b a c b a c bλ λ λ ∞

∆ + − + = − − − = ∆ − = + =

0

01:~,011:~ =−=−∆′=

+−

−µ=

−µ−+∆ ∞µ b

ycz

ax

by

cz

ax

by

cz

ax

şi mai mult, că reuniunea fiecărei familii de drepte (ca mulţime de puncte) acoperă întreg hiperboloidul cu o pânză. Numim aceste familii generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o pânză.

Cap.IX. Cuadrice 196

Page 90: Geometrie analitica

În ceea ce priveşte paraboloidul hiperbolic dat prin ecuaţia canonică

+

−=⇔−=

by

ax

by

axz

by

axz 2

2

2

2

observăm că ecuaţia acestuia este satisfăcută de familiile de drepte }~{}~{ ∞λ ∆∪∈λ∆ R şi }~{}~

∞µ ∆′∪∈µ∆ R{ ,

care deci sunt conţinute în paraboloid,

0:~;01:~ =−=∆=−

−λ=λ−+∆ ∞λ b

yaxz

by

axz

by

ax

0:~;01:~ =+=∆′=−

+µ=µ−−∆ ∞µ b

yaxz

by

axz

by

ax

şi care, ca şi în cazul hiperboloidului cu o pânză, generează cuadrica.

Observaţii. 1. Translatând în origine oricare din cele două familii de generatoare ale hiperboloidului cu o pânză obţinem o singură familie de generatoare ale conului asimptot al acestuia. Astfel conul apare ca o suprafaţă (simplu) riglată.

2. Se poate arăta că suprafeţele dublu riglate pot fi doar un plan, un hiperboloid cu o pânză sau un paraboloid hiperbolic.

3. Familiile de generatoare au o serie de proprietăţi deosebit de utile în

aplicaţii. Iată câteva dintre acestea. Au loc următoarele proprietăţi ale celor două familii de generatoare ale hiperboloidului cu o pânză sau ale paraboloidului hiperbolic:

♦ Oricare două drepte ce aparţin aceleiaşi familii sunt necoplanare. ♦ Oricare două drepte ce aparţin la familii diferite sunt coplanare (în cazul

paraboloidului hiperbolic, în mod necesar concurente). ♦ Direcţiile a trei drepte din aceeaşi familie sunt necoplanare.

#7. Cuadrice descrise prin ecuaţia generală

Identificând spaţiul punctual tridimensional cu spaţiul vectorial tridimensional format din triplete de numere reale prin fixarea unui reper cartezian

E33R

},,;{ kjiO , putem descrie cuadricele prin ecuaţii algebrice de gradul doi, de forma

(15) 0222222

),,(

00302010231312

233

222

211

=++++++++++≡

azayaxayzaxzaxyazayaxazyxg

unde presupunem , adică măcar un coeficient al termenilor de grad doi este nenul.

2 2 2 2 2 211 22 33 12 13 23 0a a a a a a+ + + + + ≠

Geometrie analitică 197

Page 91: Geometrie analitica

7.1. Definiţii. a) Fucţia din membrul stâng al ecuaţiei (15) se mai numeşte formă pătratică afină.

RR →3:g

b) Se numeşte cuadrică sau suprafaţă algebrică de ordinul al doilea mulţimea de nivel constant

}0),,(,),,(),,({ 3 =∈=Σ zyxgzyxzyxM R ,

În cele ce urmează, vom nota cuadrica Σ dată prin ecuaţia carteziană (15) pe scurt, prin . 0),,(: =Σ zyxg

Exemple. 02,01,012

22222

2 =−+=−−=−−+ zzyxzyx .

Observaţie. Din punct de vedere topologic, orice cuadrică este mulţime închisă în , deoarece este preimaginea prin funcţia continuă

a mulţimii închise { .

)0(1−=Σ g3

3 R≡ERR →3:g R⊂}0

În continuare vom determina o mişcare rigidă în spaţiu (o roto-translaţie; o

izometrie pozitivă), care să transporte reperul cartezian natural OxyzkjiO ≡},,;{ relativ la care cuadrica are ecuaţia (15), în reperul zyxOkjiO ′′′′≡′′′ },,;{ relativ la care ecuaţia cuadricii să fie cât mai simplă posibil. Astfel putem încadra cuadrica într-unul din tipurile descrise anterior prin ecuaţii carteziene:

♦sferă, ♦elipsoid, ♦hiperboloid (cu o pânză sau cu două pânze), ♦paraboloid (eliptic sau hiperbolic), ♦con, ♦cilindru (circular, eliptic, hiperbolic sau parabolic), ♦pereche de plane (secante, paralele sau confundate), ♦dreaptă, ♦mulţime formată dintr-un singur punct, ♦mulţimea vidă. Noul reper se va numi reper canonic, iar ecuaţia simplificată a

cuadricii faţă de acesta (care este de tipul celor descrise în #1-#5), ecuaţia canonică (sau redusă). În cele ce urmează vom determina rototranslaţiile care deplasează reperul originar (natural) în reperul canonic.

zyxO ′′′′

zyxOOxyz ′′′′

Invarianţii unei cuadrice. Asociem ecuaţiei (15) a cuadricei Σ, matricile

=

00030201

30333231

20232221

10131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

A şi , unde

=

333231

232221

132111

aaaaaaaaa

A 3,0,, == jiaa jiij .

Se poate verifica faptul că numerele următoare sunt invariante la rototranslaţiile de reper Oxyz : zyxO ′′′′

Cap.IX. Cuadrice 198

Page 92: Geometrie analitica

TrAIaaaa

aaaa

aaaa

JAA =++==δ=∆ ,,det,det3332

2322

3331

1311

2221

1211.

Aceste numere se numesc invarianţi ai cuadricei Σ, depind doar de cuadrica Σ, şi sunt utile în clasificarea acesteia în unul din tipurile enumerate mai sus. Determinantul ∆ descrie natura cuadricei. Anume, cuadrica se numeşte: - degenerată, dacă ; ∆ = 0 - nedegenerată, dacă ∆ ≠ . 0 Excluzând mulţimea vidă, cuadricele se pot clasifica după natura lor în: ♦ cuadrice nedegenerate: sfera, elipsoidul, hiperboloizii şi paraboloizii; ♦ cuadrice degenerate: conul, cilindrii, perechile de plane, dreapta şi punctul. Exemplu. În cazul sferei, în ecuaţia (15) avem coeficienţi de o formă particulară, anume:

0,0 231312332211 ===≠=== aaamaaa 0)/()/()/()/( 00

230

220

210 >−++≡ρ mamamama ,

iar invarianţii acesteia rezultă prin calcul: 00

234 3,3,,0 amImJmm +===δ≠ρ−=∆ . Centrul sferei este punctul C , iar raza )/,/,/( 302010 mamama −−− r . Se poate verifica (temă) că punctul C este centru de simetrie al sferei. Ne propunem să aflăm cuadricele care admit centru de simetrie, pe scurt, cuadricele cu centru.

= ρ

7.2. Cuadrice cu centru de simetrie. Ca şi în cazul conicelor, centrul de simetrie al unei cuadrice Σ , este punct critic al funcţiei g, deci soluţia sistemului liniar

0),,(: =zyxg

=+++=+++=+++

=

==

000

0

00

30332313

20232212

10131211

azayaxaazayaxaazayaxa

g

gg

z

y

x

(16)

unde am notat zgg

ygg

xgg zyx ∂

∂=

∂∂

=∂∂

= ,, .

Examinând compatibilitatea acestui sistem, distingem cazurile: ♦ de ⇒ sistemul liniar este compatibil unic determinat. Soluţia este dată

de coordonatele centrului de simetrie al cuadricei, care poate fi sferă, elipsoid, con sau hiperboloid cu o pânză sau cu două pânze.

tA = ≠δ 0

♦ 0,02212

1211 ≠=κ=δaaaadef

şi unicul determinant caracteristic al sistemului este

nenul ⇒ sistemul liniar este incompatibil (cele trei plane ale căror ecuaţii formează sistemul se intersectează doar câte două, după trei drepte paralele). Cuadrica este în acest caz paraboloid eliptic sau hiperbolic.

♦ 0 şi unicul determinant caracteristic al sistemului este nul ⇒ sistemul liniar este compatibil simplu nedeterminat (cele trei plane ale căror ecuaţii formează sistemul se intersectează după o dreaptă, numită dreaptă de centre).

,0 ≠κ=δ

Geometrie analitică 199

Page 93: Geometrie analitica

Cuadrica este în acest caz un cilindru circular, eliptic sau hiperbolic, sau plane concurente.

♦ δ = , sistemul are cei doi determinanţi caracteristici nenuli şi este de rangul întâi ⇒ sistemul liniar este incompatibil (cele trei plane ale căror ecuaţii formează sistemul sunt paralele). Cuadrica este în acest caz un cilindru parabolic.

0

♦ δ = , sistemul are cei doi determinanţi caracteristici nuli şi este de rangul întâi ⇒ sistemul liniar este compatibil dublu nedeterminat (cele trei plane ale căror ecuaţii formează sistemul sunt confundate). Cuadrica are un plan de centre şi este formată din două plane paralele distincte sau confundate.

0

Exemplu. Se dă cercul Γ care este tangent axei Oz şi are centrul în punctul

. Aflaţi ecuaţia, invarianţii şi centrul cuadricei Σ care conţine punctele , cercul Γ şi axa Oy.

)0,0,1(D0,1,1(A − )1,1,0(),B

Soluţie. Având centrul pe axa Ox şi fiind tangent axei Oz, cercul Γ se află în planul xOz, la intersecţia dintre planul şi cilindrul circular drept de ecuaţie

0: =yxOz

01)1( 22 =−+− zx . Deoarece intersecţia cuadricei cu planul xOz este cercul Γ, ecuaţia cuadricei are forma

0)()1)1(( 22 =δ+γ+β+α+−+− zyxyzx Cum este conţinută în cuadrică, rezultă , iar din condiţia rezultă 1 . Prin înlocuirea parametrilor rezultă ecuaţia cuadricei . Invarianţii cuadricei sunt

0: == zxOy∈BA,

00)( =δ=β⇒=δ+βyyβα ,Σ ,3 −=γ=α

3 +−+ zyzxyδγ,,

02: 22 =−Σ xx

1,25,

41

02/102/102/3

02/31,

41

0001012/1002/102/3102/31

=−=−=−

−=δ==∆

−−

−−

IJ

deci cuadrica este nedegenerată ( 0∆ ) cu centru ( ). Sistemul (15) care furnizează centrul cuadricei este în acest caz

≠ 0≠δ

===

=+−=−

=−+

10/35/3

10/1

0203

0232

zyx

zyzx

yx

deci centrul cuadricei este C . (1/10;3 / 5;10 / 5)

#8. Reducerea la forma canonică a ecuaţiei unei cuadrice

Prezentăm în continuare etapele ce trebuiesc parcurse pentru determinarea ecuaţiei canonice a unei cuadrice dată prin ecuaţia carteziană

.0222222),,(:

00302010

2313122

332

222

11

=++++++++++≡Σazayaxa

yzaxzaxyazayaxazyxg

Dacă cel puţin unul din numerele a a este nenul, atunci se efectuează o rotaţie a sistemului de coordonate Oxyz determinată de forma pătratică

a12 13 23, ,zyxO ′′′

Cap.IX. Cuadrice 200

Page 94: Geometrie analitica

3231312

233

222

211 ),,(,222)( R∈=∀+++++= zyxvyzaxzaxyazayaxavQ ,

folosind coeficienţii acesteia, după cum urmează: 1. Se construieşte matricea simetrică ataşată acestei forme patratice,

=

332313

232213

131211

aaaaaaaaa

A

2. Se determină valorile proprii λ λ ale matricii (care sunt reale) şi vectorii proprii corespunzători; bazele subspaţiilor proprii de dimensiune cel puţin doi se ortogonalizează folosind procedeul Gram-Schmidt. Se obţine o bază ortogonală a spaţiului vectorial .

λ1 2, , 3

3R3. Prin normarea acestei baze rezultă baza ortonormată },,{' 321 eee=B

1det −=R

. Matricea R care conţine coordonatele versorilor noii baze, aşezate pe coloane este ortogonală, deci ; pentru a fi matrice de rotaţie, dacă fie se schimbă ordinea a doi din vectorii bazei, fie se consideră în locul unuia din vectori, opusul său; în final, .

1det ±=R

1det =R4. Folosind formulele de schimbare de coordonate de la

sistemul iniţial la cel rotit zyxOOxyz ′′′

′′′

=

zyx

Rzyx

aflăm prin înlocuire în ecuaţia cuadricei , ecuaţia acesteia în sistemul rotit, . Se observă că rotaţia a redus forma pătratică Q la expresia canonică

0),,(: =Σ zyxg0),,(: =′′′′Σ zyxg

23

22

21)( zyxvQ ′λ+′λ+′λ= ,

iar direcţiile axelor sistemului rotit sunt date exact de versorii zyxO ′′′ 321 ,, eee .

II. Dacă a a , se face o translaţie (prin restrângerea pătratelor şi gruparea termenilor liniari rămaşi) şi eventual o rotaţie (dacă după acest proces mai rămân doi termeni de grad I). În sistemul de coordonate obţinut ecuaţia cuadricei are forma canonică.

a12 13 23 0= = =

Exemplu. Să se obţină ecuaţia canonică a cuadricei

2 2 2: 2 2 2 2 6 4x y z xy xz yz x y zΣ + + − + − − + − + =14 0 . Soluţie. Forma pătratică asociată are matricea

yzxzxyzyxvQ 222)( 222 −+−++=

=

−−−

111111

111A ,

şi are valorile proprii reale , prima valoare proprie fiind dublă. 3,0 21 =λ=λ

Geometrie analitică 201

Page 95: Geometrie analitica

Ortogonalizăm baza ( a subspaţiului primei valori proprii, obţinând familia de vectori ortogonali ; a doua valoare proprie are subspaţiul propriu generat de vectorul ( .

)1,1,0(),0,1,10,1,1(,1,1 −

)1;2/1;2/1(), −)1

Normăm sistemul ortogonal obţinut şi apoi, prin reunirea celor două baze de subspaţii proprii, rezultă baza ortonormată },,{' 321 eee=B a cărei matrice asociată R relativ la vechea bază are determinantul 1, deci este matricea de rotaţie,

−−

=3/16/203/16/12/1

3/16/12/1R .

Relaţiile de trecere la noul sistem de coordonate sunt

′+′=

′−′+′=

′+′−′=

′′′

=

zyz

zyxy

zyxx

zyx

Rzyx

31

62

31

61

21

31

61

21

.

Ecuaţia cuadricei relativ la noul sistem de coordonate va fi 2 23 2 2 4 3 14 0 3( 2 / 3) 2 2( 5 /z x z z x′ ′ ′ ′ ′+ − + = ⇔ − = − + 2)

Ţinând cont de expresiile din paranteze, efectuăm translaţia dată de formulele

zyxOzyxO ′′′′′′′′′′′

2 / 32 5( , , ) , , 03 2

5 / 2

x xx y z x y z y y

z z

′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′= − + ⇔ = + ′ ′′ −

.

Prin înlocuire în ecuaţia cuadricei relativ la sistemul de coordonate O , rezultă ecuaţia relativ la O ,

zyx ′′′

zyx ′′′′′′′′ xz ′′−=′′ 2223 , de unde rezultă forma canonică

xz ′′−=′′3

222 .

Deci cuadrica este un cilindru parabolic, cu generatoarele paralele cu axa O . y ′′′′

#9. Intersecţia unei cuadrice cu o dreaptă sau cu un plan Considerăm o cuadrică şi o dreaptă 0),,(: =Σ zyxg

R∈+++=∆ tntzmtyltxzyx ),,,(),,(:~000 .

Intersectând cele două figuri geometrice, din sistemul de ecuaţii format rezultă ecuaţia algebrică în necunoscuta t,

0),,()(),,( 0002

000=++++ zyxgnggmgltnmlQt zyx , (16)

unde s-au folosit notaţiile

mnanlalmanamalanmlQ 2313122

332

222

11 222),,( +++++= , ),,(),,,(),,,( 000000000 000

zyxggzyxggzyxgg zzyyxx === . Cap.IX. Cuadrice 202

Page 96: Geometrie analitica

9.1. Observaţii. Privitor la soluţiile t ale acestei ecuaţii, distingem cazurile: 2,1

1. ⇒ ecuaţia (16) este o ecuaţie de gradul doi. 0),,( ≠nmlQ♦ Dacă , atunci există

rădăcinile reale distincte t ce corespund punctelor distincte în care dreapta intersectează cuadrica.

0),,(),,(4)( 0002

000>⋅⋅−++≡ zyxgnmlQnggmglq zyx

21 t≠ A 21 A≠

♦ Dacă , atunci există două soluţii confundate t care corespund unui punct dublu de tangenţă în care dreapta intersectează cuadrica. În acest caz dreapta se numeste tangentă la cuadrică. Se observă că există o familie întreagă de tangente în A la cuadrică, iar dreapta este una dintre acestea.

q = 0 t1 = 2

=

,

z0

21 AAA ==

♦ Dacă , atunci ecuaţia (16) nu are radacini reale, deci dreapta nu intersectează cuadrica.

q < 0

2. ⇒ ecuaţia (16) este o ecuaţie de gradul întâi. Distingem subcazurile:

0),,( =nmlQ

♦Dacă , atunci ecuaţia admite soluţie unică, deci există un unic punct de intersecţie dintre dreaptă şi cuadrică.

lg m g ngx y z0 0 00+ + ≠

♦Dacă lg si , atunci ecuatia nu are soluţii, deci dreapta nu intersectează cuadrica.

m g ngx y z0 0 00+ + g x y z( , , )0 0 0 0≠

♦Dacă lg si g x atunci ecuaţia (16) devine o identitate, deci dreapta este conţinută integral în cuadrică.

m g ngx y z0 0 00+ + = y z( , , )0 0 0 0=

În continuare considerăm un punct astfel încât cel puţin unul dintre numerele g g să fie nenul.

Σ∈),,( 000 zyxAgx y0 0

, ,

Teoremă. O dreaptă de direcţie ∆~ ),,( nmlv ≡

∆∩ ~ este tangentă la cuadrica

în punctul dacă şi numai dacă are loc relaţia 0),,(: =Σ zyxg Σ∈),, 000 zy(xA0

000=++ zyx nggmgl . (17)

Demonstraţie. Dreapta trece prin punctul A şi are direcţia ∆~ v , deci ecuaţiile sale parametrice sunt ; intersecţia dreptei cu cuadrica Σ, determinată de ecuaţia (16) produce un punct de tangenţă (rădăcina dublă

) doar dacă are loc relaţia (17).

R∈+++=∆ tntzmtyltxzx ),,,()(:~000y,,

t= 0

Observaţie. Notând ),,( grad000 zyxA

gggg = , condiţia (17) revine la

ortogonalitatea vectorilor A

g grad şi v , adică 0, grad >=< vg , de unde se vede că

vectorul A

g grad

∈A

este întotdeauna perpendicular pe suprafaţa Σ în punctul

corespunzător . Σ Exemplu. Calculând , constatăm că dreapta este tangentă la sfera în punctul . Dar are vectorul director

∆∩Σ~

12 =zx 01:~ =−=−∆ zyx

∆~: 22 ++Σ y )1,0,0(A)0,1,1(),,( nmlv ≡ , iar )2,0,0 grad (=

Ag , şi se constată uşor că relaţia (17) are loc.

Geometrie analitică 203

Page 97: Geometrie analitica

9.2. Plan tangent la o cuadrică. Teoremă. Locul geometric al tuturor dreptelor tangente la cuadrica Σ în

punctul acesteia este un plan de ecuaţie carteziană Σ∈),,( 000 zyxA( ) ( ) ( )x x g y y g z z gx y− + − + −0 0 00 0

0z =0

. (18) Acest plan se numeste planul tangent la cuadrica Σ în punctul A.

Demonstraţie. Eliminând parametrii l din sistemul format din ecuaţiile dreptei şi condiţia (17), rezultă (18).

tnm ,,,t∈R0 0 0: ( , , ) ( , , ),x y z x lt y mt z nt∆ = + + +

Observaţie. Ecuaţia (18) poate fi obţinută şi prin dedublarea ecuaţiei

cuadricei cu coordonatele punctului ; deci ecuaţia planului tangent se poate rescrie (temă, verificaţi că ecuaţiile (18) şi (19) sunt echivalente)

0),,(: =Σ zyxg Σ∈),,( 000 zyxA

(19) +++++++ )()( 00130012033022011 xzzxaxyyxazzayyaxxa . 0)()()()( 000300200100023 =+++++++++ azzayyaxxayzzya Exemplu. Planul tangent la cuadrica în punctul acesteia

se obţine din ecuaţia (18): avem 02: 2 =−+Σ zxy

Σ∈−− )1,1,1(A )2,1,1( grad −−=A

g şi rezultă 04202)1()1()1()1()1(: =+−+⇔=⋅−+−⋅++−⋅+π zyxzyx ;

altfel, folosim ecuaţia (19), şi prin dedublare avem: 042021)]1()1[(

21: =+−+⇔=−⋅+−⋅+⋅−π zyxzxy .

9.3. Definiţii. a) Spunem că o cuadrică Σ este netedă, dacă putem construi în fiecare punct al acesteia, planul tangent. Σ∈),,( 000 zyxA

b) Se numeşte normala la cuadrică în punctul al acesteia, dreapta ce conţine punctul A şi este perpendiculară pe planul tangent în A.

Σ∈),,( 000 zyxA

Observaţii. 1. Netezimea cuadricii Σ în punctul revine la ne-anularea vectorului în punctul A.

Σ∈),,( 000 zyxA),,( grad

000 zyx gggg =

2. Ecuaţiile normalei la cuadrică în punctul sunt (temă): Σ∈),,( 000 zyxA

x x

g

y y

g

z z

gx y

−=

−=

−0 0

0 0 z

0

0

. (20)

3. Un plan intersectează o cuadrică ∑ :g x după punctele ale căror coordonate satisfac sistemul algebric de ordinul 2:

0: =+++π dczbyax),, zy

y z( , , )= 0(xM

ax by cz d

g x y z

+ + + ==

0

0( , , ) .

γ+β+α= yxz

α=

,,( yxgxz

. Substituim (spre exemplu, presupunând c ) necunoscuta

, în ecuaţia a doua. Rezultă sistemul

echivalent , deci intersecţia dintre plan şi cuadrică reprezintă

de fapt intersecţia dintre planul dat şi un cilindru cu generatoarele paralele cu axa Oz, deci o conică, o dreaptă sau mulţimea vidă.

≠ 0

cdcbca /,/,/ −=γ−=β−=α

=γ+β+αγ+β+

0)yxy

Cap.IX. Cuadrice 204

Page 98: Geometrie analitica

#10. Probleme propuse

1. Se dă sfera . 011462: 222 =−+−+++Σ zyxzyxa) Aflaţi centrul şi raza cercului Γ aflat la intersecţia planului 02122: =+−−π zyx

cu cuadrica Σ. b) Aflaţi sfera Σ care este simetrică sferei Σ faţă de planul π. ′c) Determinaţi planul care este tangent sferei Σ, ştiind că acesta conţine dreapta π′

. 063:~ =−−=−−∆ zxyxR. a) Restrângând pătratele în ecuaţia sferei, obţinem centrul C şi raza

. Distanţa de la C la planul π este ( 1,3, 2)− −

5=r54)2()1(2/21432),( 222 <=−+−++−−−=π= Cdd ,

deci planul este secant sferei; notând cu C centrul cercului de intersecţie, cu A un punct al cercului, şi prin r raza acestuia, aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul

dreptunghic CC , rezultă raza cercului de secţiune

Γ

Γ

AΓ 322 =−=Γ drr . Centrul al cercului se află la intersecţia planului π cu dreapta prin C care

este perpendiculară pe π (proiecţia lui C pe π); se obţine ; ecuaţiile cercului Γ sunt date de sfera de centru , rază , şi planul π, la intersecţia cărora acesta se află.

ΓC)3/14;3/13;3/11(−ΓC

ΓC Γr

b) Raza sferei simetrice coincide cu cea a sferei Σ, dar centrul ei este simetricul C ' al punctului C faţă de planul π, deci faţă de C ; prin calcul rezultă

, deci ecuaţia sferei simetrice relativ la planul π este .

Γ

)3/22;3/17;3/19(−′C()3/19(: 2 −++Σ′ yx 25)3/22()3/17 22 =−+ z

c) face parte din fascicolul de plane ce conţin dreapta dată, deci are ecuaţia de forma ; condiţia de tangenţă este echivalentă cu condiţia

π′0)6(3: =−−λ+−−π′ zxyx

( , ) {(2 3) /d C rπ λ′ = ⇔ ∈ ± 5}; înlocuind valorile obţinute pentru λ rezultă doua soluţii posibile pentru ecuaţia planului . π′

2. Aflaţi sfera Σ tangentă în punctele respectiv la

dreptele

)1,0,1(),1,0,1( 21 −− AA

001:~,1

01:~

21−

==+

∆+==−∆zyxzyx 1 .

R. Centrul C al sferei se află la intersecţia planelor π1 ce trece prin A1 normal pe , π

1~∆

2 ce trece prin A2 normal pe şi planul π2~∆ 3 mediator al segmentului (plan ce

trece prin mijlocul segmentului , perpendicular pe direcţia 21AA

21AA 2A1A ). Obţinem , iar raza )0,0,0(C 2) =,( 1= ACdr , deci ecuaţia sferei este Σ . 2: 2 =+ yx 22 + z

3. Determinaţi sfera Σ în fiecare din următoarele cazuri, cunoscând că:

a) este tangentă la planul şi are centrul . : 0x zπ + = )3,0,2( −Cb) conţine punctele O . )0,0,1(),0,1,0(),1,0,0(),0,0,0( DBAc) este tangentă la planul în punctul şi este tangentă la 01: =++π′ yx )0,0,1(−E planul π . 0: =++′′ zyx

Geometrie analitică 205

Page 99: Geometrie analitica

R. a) Raza este 2/1),( =π= Cdr , deci ecuaţia sferei este 2/1)3()2(: 222 =+++−Σ zyx .

b) Folosim ecuaţia sferei sub formă de determinant; rezultă . c) Din prima condiţie, rezultă că centrul C al sferei se

află pe dreapta ce trece prin E şi este perpendiculară pe planul , deci are forma . Poziţia punctului C pe această dreaptă este dată de

condiţia de unde rezultă

0: 222 =−−−++Σ zyxzyx

0,,1()00,0,1( tttttC −=+++−

),(),( π ′′= CdECd

π′)

{( 2 6) / 2}t∈ − ± . Înlocuind aceste valori ale lui t în coordonatele lui C, rezultă două soluţii: 1,2 ( ( 4 6) / 2, ( 2− ± − ± 6) / 2)C ; razele sunt distanţele de la centrele

respective la punctul E, deci rezultă 1,2 3r = ± 2 ; în final, ecuaţiile celor două

sfere-soluţii sunt: 2 2 2

1,2 : ( ( 4 6) / 2) ( ( 2 6) / 2) ( 3 2)x y zΣ − − ± + − − ± + = ± 2 .

4. Aflaţi cercul Γ de centru C ce determină pe dreapta

un segment de lungime l . )1,1,1(Γ

4=42:~ +=+=∆ zyxR. Cercul se află (în calitate de cerc mare) la intersecţia sferei Σ de centru şi rază egală cu raza a cercului, şi planul π ce conţine centrul şi dreapta . Raza

cercului este

ΓC∆~Γr ΓC

=+∆= Γ22 )2/()~,( lCdΓr 32)22( 22 =+ 2

)2 =

. Deci ecuaţiile cercului Γ sunt . 121()1()1(:,02: 22 −+−+−Σ=+− zyxzyxπ

5. În fiecare din cazurile următoare, aflaţi tipul, centrul şi forma canonică a

cuadricei: a) Σ ; 015222: 222 =−−−−−+− xzxyzxyzyxb) ; 087141611272: 22 =−−−+−Σ zyxzy

2c) Σ 0564842: =−+−−+ xyzxzxyy2d) 02: =−+Σ zxy

222e) Σ . 01412842265: =+−+−+−−++ zyxzxyzxyzyx2

R. a) hiperboloid cu o pânză, 116/3316/338/33

:),0;4/5;4/5(22

=′′

+′′

−′′

Σ−zyxC ;

b) paraboloid hiperbolic, fără centru, xzy ′′=′′

+′′

− 2828

:22

Σ ; e) hiperboloid cu două

pânze, , )1,0,1(C 123

: 222

=′′−′′

−′′

Σ zyx .

6. Aflaţi planul π de direcţie normală )1,0,1( −≡v care este tangent la cuadrica

zyx 29

: 22

=+Σ .

R. Ecuaţia planului este de forma . Intersecţia cu cuadrica este dată de sistemul format din ecuaţia planului şi cea a cuadricei; din condiţia de soluţie unică (rădăcină dublă) rezultă 2d , deci planul .

0: =+−π dzx

:π/9−= 9 / 2 0x z− − =

Cap.IX. Cuadrice 206

Page 100: Geometrie analitica

7. Se dă paraboloidul hiperbolic yzx=−Σ

49:

22

.

a) Aflaţi generatoarele cuadricei ce trec prin punctul şi unghiul acestora. )0,1,3(A b) Aflaţi prin dedublare planul tangent π la cuadrică în punctul A. ′ c) Determinaţi normala la cuadrică în punctul A. ∆′ d) Verificaţi dacă planul intersectează cuadrica după generatoarele de la punctul a). π′

R. a) Generatoarele sunt drepte cu ecuaţiile de forma R∈++=∆ tctbtatzyx ),,1,3(),,(:~ ;

intersectând cu Σ rezultă relaţia

R∈∀=

−+

− ttbatca ,0

32

492

22

,

Din anularea coeficienţilor polinomului în t, rezultă , deci se obţin două direcţii, date de vectorii ; rezultă ecuaţiile parametrice ale generatoarelor, ;

3/2;3/2 acab ±==)2,2,3( ±

∈± tt),2,1 R++=∆ ttzyx 2,33(),,(:~

unghiul dintre acestea este cel format de vectorii directori, deci arccos( . )17/9b) Prin dedublare, rezultă planul tangent . 332: =−π′ yxc) Direcţia normalei este dată de normala la , de direcţie π′ )0,3,2( −≡n , deci

R∈+−+=∆′ tttzyx ),0,13,32(),,(: .

8. Determinaţi ecuaţia suprafeţei generate de elipsa mobilă

R∈

=

=+ babx

azyE ,,1625:

22

care se deplasează paralel cu ea însăşi şi se deformează, sprijinindu-se pe hiperbola fixă

=

=+−

.0

1925:

22

z

xyH

R. Faptul că elipsa se sprijină pe hiperbolă, revine la compatibilitatea sistemului

==+−

==+

.0,1925

,1625

22

22

zxy

bxazy

Condiţia de compatibilitate se obţine eliminând din sistem, şi este dată de relaţia b . Folosind ecuaţiile elipsei, rezultă prin înlocuirea parametrilor în relaţie ecuaţia suprafeţei căutate:

zyx ,,)1(92 += a

116259

:222

=−−Σzyx ,

care descrie un hiperboloid cu două pânze.

Geometrie analitică 207

Page 101: Geometrie analitica

ALGEBRĂ LINIARĂ

Index de noţiuni

acoperire liniară, 6,10 adunarea vectorilor, 3 algoritm

de diagonalizare, 72 de ortogonalizare Gram Schmidt,27 pentru găsirea unei baze Jordan, 76

aplicaţia identitate, 39 asociativitate, 1,3 automorfism 2, 39, 50 bază, 10

Jordan, 76 ortogonală, 24 ortonormată, 23, 24

câmp, 2 celulă Jordan, 74 combinaţie liniară, 6 complement ortogonal, 25

rel. la o formă biliniară, 94 complexificatul

unui spaţiu vectorial real, 30 unui endomorfism, 61

comutativitate, 1 congruenţă, 57 coordonate

euclidiene, 24 ale unui vector, 13

corp comutativ, 2 criteriul lui Sylvester, 104 defectul unei transformări liniare, 44 dependenţă liniară, 9 determinantul unui endomorfism, 49,68 diagonalizare, 69 dimensiunea unui sp. vectorial, 11 distanţă, 22

euclidiană, 22 distributivitate, 2, 3, 18 dualul unui spaţiu vectorial, 41

ecuaţie caracteristică, 66 element

invers, 1 neutru, 1 opus, 1 simetric, 1

endomorfism, 39,2 antihermitian, 52 antisimetric , 55 diagonalizabil, 69 hermitian, 52 jordanizabil, 74 nilpotent, 50 simetric, 55 unitar, 53

expresie analitică a unei forme biliniare, 92 canonică a unei forme pătratice, 96

familie de vectori ortogonală, 22, 25 ortonormată, 22

forma diagonală, 69 Jordan, 75

formă biliniară, 91 antisimetrică, 91 degenerată, 93 nedegenerată, 93 simetrică, 91

formă canonică (endomorfisme), 69, 74 dedublată, 93 Jordan 74 liniară, 39, 91 polară, 93

formă pătratică, 93 negativ definită, 103 negativ semidefinită, 103

208

Page 102: Geometrie analitica

formă pătratică

pozitiv definită, 103 pozitiv semidefinită, 103 nedefinită, 104

funcţie de matrice, 85 de endomorfism, 85

grup, 1 abelian (comutativ), 1 aditiv, 1 multiplicativ, 1

grupul liniar general, 50 translaţiilor, 56

imaginea unei transformări liniare, 42 independenţă liniară, 9 indice de inerţie, 104 inegalitatea Cauchy-Schwarz, 19 intersecţia a două subspaţii, 7 inversa unei transformări liniare, 46 involuţie, 50 izometrie, 56

pozitivă, 57 izomorfism, 2, 17, 39 înmulţire cu scalari, 3 liniar dependenţă, 9 liniar independenţă, 9 matrice

adjunctă, 54 antihermitică, 54 diagonalizabilă, 69 hermitică, 54 jordanizatoare, 77 unitară, 54

matricea asociată unei familii de vectori, 15 de schimb. a bazei (de trecere), 16 diagonalizatoare (modală), 73 exponenţială, 85 Frobenius, 87 unei forme biliniare, 92 unei forme pătratice, 94 unei transformări liniare, 47

matrici asemenea, 49 mărimea algebrică a proiecţiei 24 metoda

Gauss, 96 Jacobi, 100 valorilor proprii, 102

metrică, 22 morfism (omomorfism)

de grupuri, 2 de spaţii vectoriale, 39

multiplicitate a unei valori proprii algebrică, 70 geometrică, 70

mulţime de vectori linear dependentă, 11 linear independentă, 11

normă, 20 euclidiană, 21

nucleul unei forme pătratice, 93 unei transformări liniare, 42

omomorfism de grupuri, 2 operator liniar, 39 polinom

de matrice, 82 de endomorfism, 82

polinom caracteristic al unei matrici, 66 al unui endomorfism, 68

polinoamele Legendre, 29 pozitivitate, 19 procedeul de ortog. Gram-Schmidt, 26 produs scalar

hermitic, 18 real, 19

proiecţie (transformare liniară), 50 proiecţia unui vector, 24 rangul

unei forme biliniare, 93 unei forme pătratice, 93 unei transformări liniare, 44 unui endomorfism, 49

reprez. reală a unei transf., 61

209

Page 103: Geometrie analitica

scalar, 3 serie

de matrice, 85 de endomorfism, 85

signatura unei forme pătratice, 104 simbolul lui Kronecker, 23 simetrie, 19 sistem

caracteristic, 65 de coordonate, 13

spaţiu Hilbert, 21 prehilbertian, 21

spaţii vectoriale izomorfe, 17 spaţiu vectorial, 3

aritmetic, 4 euclidian, 18, 19 finit dimensional, 10 infinit dimensional, 10

spectrul unui endomorfism, 64 structură

complexă , 50, 52 produs, 50 tangentă, 50

subgrup, 2 impropriu, 2

submulţime de vectori linear dependentă, 9 linear independentă, 9 ortogonală, 22 ortonormată, 22

subspaţii suplementare, 8 subspaţiu vectorial, 5

generat, 6 impropriu, 6 propriu, 6

suma a două subspaţii, 7 sumă directă, 8 tensor covariant de ordin doi, 91

teorema Cayley-Hamilton, 83 completării, 14 lui Gauss, 96 lui Grassmann, 14 inerţiei, 104 înlocuirii, 13 lui Jacobi, 100 lui Pitagora, 25 rangului (pt.transf.lin.), 44 lui Steinitz, 13 lui Sylvester, 104

transformare liniară, 39 adjunctă, 52 nilpotentă, 50

transformare liniară ortogonală, 55 transpusă, 55 unitară, 53

translaţie, 56 unghi format de doi vectori, 21 urma

unei matrici, 66 unui endomorfism, 68

valoare proprie a unui endomorfism, 64 a unei matrici, 65

vector, 3 coordonatele unui ~, 13 izotrop, 95 principal, 75 propriu al unui endomorfism, 64 propriu al unei matrici, 65

vectori ortogonali, 22 ortog. rel. la o formă biliniară, 94 ortog. rel. la o formă pătratică, 94

versor, 21 wronskian, 33

210

Page 104: Geometrie analitica

GEOMETRIE ANALITICĂ

Index de noţiuni

adunarea vectorilor liberi, 110 asimptotele unei hiperbole, 177, 163 axa parabolei, 183 axe de

coordonate, 126 simetrie ale unei conice, 182

baza unui reper cartezian, 126 bază

negativ orientată, 122 ortogonală, 117 ortonormată, 117 pozitiv orientată, 122 reciprocă, 125

centru de simetrie al unei conice, 168 unei cuadrice, 199

centrul sferei, 185 cerc, 162

imaginar, 170 cilindru

circular, 195 eliptic, 195 semiaxele unui ~, 195 hiperbolic, 195 parabolic, 195

clasificarea conicelor (tabel), 167, 175 con, 191

asimptot, 191, 192 conică, 158

centru de simetrie al unei ~, 168 cu centru (de simetrie), 168 degenerată/nedegenerată, 169 ecuaţia generală, 158 ecuaţia prin 5 puncte, 159 invarianţi ai unei ~, 167 normala la ~, 177 tangenta la ~, 176, 177

coordonate carteziene, 126 cilindrice, 151 euclidiene ale unui vector, 117 polare, 153 sferice, 154

cuadrică, 185 centru de simetrie al unei ~, 199 cu centru (de simetrie), 199 degenerată/nedegenerată, 199 dreaptă normală la ~, 204 dublu riglată, 196 ecuaţia generală a unei ~, 197 invarianţi ai unei ~, 198 natura unei ~, 198 plan tangent la ~, 204 riglată, 196

curbă algebrică de ordinul doi, 158 directoare, 196

curbe de coordonate, 152, 154, 155 dedublare, 178 deplasare, 146 diametru conj. cu o direcţie dată, 180 diferenţa a doi vectori liberi, 111 direcţia

axei de simetrie (conice), 182 normală comună a 2 drepte, 138

direcţie asimptotică, 177 distanţa

dintre două drepte, 138 de la un punct la o dreaptă, 136 de la un punct la un plan, 137

dreapta, 127, 195 ecuaţiile dreptei (carteziene, parametrice), 127

ec. vectorială a dreptei, 127

211

Page 105: Geometrie analitica

dreapta orientată, 128

cosinusuri directoare ale ~, 129 direcţie orientată a unei ~, 128 parte pozitivă a unei ~, 128 sens pozitiv al unei ~, 128 unghiuri directoare ale unei ~, 129 versor director al unei ~, 129 normală la o cuadrică, 204 vector director al ~, 127, 134

dreaptă suport al unui vector, 108 tangentă la o cuadrică, 203

echipolenţă, 108 ecuaţie

canonică a unei conice, 166 canonică a unei cuadrice, 198 dedublată, 145 generală a unei conice, 158 generală a unei cuadrice, 197

ecuaţiile rotaţiei, 148 roto-translaţiei, 149 translaţiei, 147

elipsă, 161-162 elipsoid, 189 expresia canonică a produsului scalar, 117 vectorial, 119 extremitatea unui vector, 108 fascicul de conice, 159 fascicul de plane, 134 forma canonică a ecuaţiei unei

conice, 166 cuadrice, 198

formă pătratică afină, 158, 198 generatoare rectilinie, 196 genul unei conice, 169, 175

eliptic, 169 hiperbolic, 169 parabolic, 169

hiperbolă, 162-164 hiperboloid cu o pânză, 190-191 hiperboloid cu două pânze, 192

identitatea lui Jacobi, 127 Lagrange, 118, 121, 124

inegalitatea Cauchy-Schwartz. 116 intersecţia a două plane, 133 invarianţi metrici ai unei

conice, 167 cuadrice, 198-199

izometrie pozitivă, 146 înmulţirea unui vector cu un scalar, 111 lungimea unui vector liber, 109 matrice Gram (a fam. de vectori), 123 metoda

rototranslaţiei, 174 valorilor proprii, 170

mulţimea vidă (conice), 166 (cuadrice), 196

natura unei cuadrice, 199 norma euclidiană, 117 normala

la conică, 177 la cuadrică, 204 la plan, 130

originea spaţiului euclidian, 109 unui reper cartezian, 126 unui segment orientat, 108

parabolă, 164-165 paraboloid

eliptic, 193 hiperbolic (şa), 194

parametri esenţiali ai ecuaţiei unui plan, 130 unei conice, 158

perechi de drepte (conică), 166 de plane (cuadrică), 195

perpendic. comună a două drepte, 138 ecuaţiile ~, 138 picioarele ~, 138

212

Page 106: Geometrie analitica

plan, 129

ecuaţia planului (carteziană, s.f. de determinant, vectorială, prin tăieturi, prin trei puncte, ec. parametrice) 130-132 normala la ~, 130 ~ orientat, 133 ~ tangent la o cuadrică, 204 vectorul normal la ~, 130

plane de coordonate, 126 pol, polară 178 produse în V 3

dublu produs vectorial, 119 ~ scalar, 116 ~ mixt, 121 ~ vectorial, 118

proiecţie ortogonală, 114 pe o dreaptă, 114 pe un plan, 115 pe un vector liber, 114

punct (conică), 166 (cuadrică), 196

raza sferei, 185 regula

triunghiului, 110 paralelogramului, 110

reper cartezian, 126 originea unui ~, 126 baza unui ~, 126

reper cilindric, 152 polar, 154 sferic, 156

reprezentant al unui vector liber, 109 rotirea reperului cartezian, 148 rototranslaţie

în plan, 150 în spaţiu, 149

segment orientat dreapta suport a unui ~, 108 lungimea unui ~, 108

segmente orientate: coliniare; echipolente; paralele, 108 sens pozitiv pe o dreaptă, 128 sensul unui vector, 109 sfera, 185-187 sistem de coordonate, 126 suma a doi vectori liberi, 110 suprafaţă

algebrică de ordinul doi, 198 riglată, 196

suprafeţe de coordonate, 152, 155 şa (v. paraboloid hiperbolic), 194 tangenta la o conică, 176, 177 transformări ortogonale, 146 translaţia reperului cartezian, 147 unghiul diedru a două plane, 136 unghiul format de

doi vectori, 115 două plane orientate, 135 două drepte orientate, 135 dreaptă şi un plan, 136

vârful unui segment orientat, 108 parabolei, 183

vârfurile unei conice, 182 vector de poziţie al unui punct, 110, 126 director al unei drepte, 126 vector liber, 109

direcţia unui ~, 109 înmulţirea unui ~ cu un scalar, 111 lungimea şi sensul unui ~, 109

vector normal la plan, 130 nul; unitar 109

vectori liberi, 109 colineari 109, 112 coplanari, 109, 112 egali; opuşi 109 ortogonali, 115

versor, 109, 112 al unui vector liber nenul, 112

213

Page 107: Geometrie analitica

Bibliografie

[1] E.Arghiriade, Curs de algebră superioară, Editura Didactică şi Pedagogică, 1963. U: II8905.

P: TIII10857. [2] Gh.Atanasiu, Gh.Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică, diferenţială şi ecuaţii

diferenţiale, Editura All, Bucureşti, 1994; 1996. U: II38657, 1998. U: 39368. [3] Gh.Atanasiu, Gh.Pitiş, M.Cazacu, V.Grosaru, Culegere de probleme de geometrie analitică şi diferenţială,

Tipografia Universităţii din Braşov, 1980. U: III15589. [4] Gh.Atanasiu, E.Stoica, Algebră liniară, geometrie analitică, Editura Fair Partners, Bucureşti, 2003. [5] V.Balan, Algebră liniară, geometrie analitică, Editura Fair Partners, 1999. U: 39499. [6] V.Balan, S.Dinu, Geometrie Analitică – Elemente de teorie şi probleme, Editura Printech, 2003. [7] V.Balan, S.Dinu, Geometrie Analitică – Elemente de teorie şi probleme (ed. II), Editura Bren, 2004. [8] M.Bercovici, S.Rimer, A.Triandaf, Culegere de probl. de geometrie analitică şi diferenţială, Editura

Didactică şi Pedagogică, 1973. U: I20442. P: TIII20792. [9] M.Bodnariu, Elemente de algebră, Editura Printech, 1998. [10] N.Boja, Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială, ecuaţii diferenţiale: culegere de probleme,

Editura Politehnicii din Timişoara, 2001. U: II39565. [11] V.Brânzănescu, O. Stănăşilă, Matematici speciale, Editura ALL, Bucureşti, 1994. [12] F.Bucur, Algebră liniară, geometrie analitică, Litografia Institutului de Construcţii Bucureşti, 1971.

U: II23383. [13] S.Chiriţă, Probleme de matematici superioare, Editura Didactică şi Pedagogică, 1989. U:II35784.

P: TIII38955. [14] N.Ciorănescu, M.Roşculeţ, Culegere de probleme de algebră şi analiză matematică, Editura Tehnică, 1959.

U: II6262. T:III6747. [15] C.Coşniţă, I.Sager, I.Matei, I.Dragotă, Culegere de probleme de geometrie analitică, Editura Didactică şi

Pedagogică, 1963. [16] I.Creangă, Gh.Gheorghiu, A.Haimovici, M.Haimovici, O.Mayer, Curs de geometrie analitică: pentru uzul

institutelor tehnice, Editura Tehnică, 1951. U: II3632. [17] I.Creangă, C.Reischer, Algebră liniară, Editura Didactică şi Pedagogică, 1970. U: II17295.

P: TIII19311. [18] I.Crişan, A.Lare, Culegere de probleme de geometrie analitică, Editura Didactică şi Pedagogică, 1971.

U: II18018. [19] Gh.Dodescu, Metode numerice în algebră, Editura Tehnică, 1979. U:II27981. P: TII20754. [20] O.Dogaru, M.Doroftei, Algebră liniară, Geometry Balkan Press, 1998. [21] O.Dogaru, M.Doroftei, Geometrie analitică şi difernţială, Cursuri Universitare 13, Geometry Balkan Press,

2001. [22] L.Drăguşin, C.Drăguşin, C.Radu, Calcul integral şi ecuaţii diferenţiale, Editura Style, 1996. [23] M.A.Geanău, Probleme de algebră, Editura Printech, 1997. [24] Gh.Gheorghiev, R.Miron, D. Papuc, Geometrie analitică şi diferenţială, Editura Didactică şi Pedagogică,

1968-1069. U: II13538. [25] Gh.Th.Gheorghiu, Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială şi programare, Editura Didactică şi

Pedagogică, 1977. U: II25541. [26] Gh.Th.Gheorghiu, Elemente de algebră şi geometrie analitică, Editura Didactică şi Pedagogică, 1961.

U: II8079. [27] Gh.Th.Gheorghiu, Geometrie analitică şi diferenţială, Editura Didactică şi Pedagogică, 1969.

U: II14354. [28] I.Glazman, Iu.Liubici, Alg. liniară pe spaţii finit dimensionale, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, 1980.

U: II28752. [29] A.Haimovici, Grupuri de transformări, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968. [30] A.Ioanoviciu, N.Mihăileanu, M.Silişteanu Milovaru, M.Neumann, I.Peterfi, L.Stanciu, P.Stanciu, Culegere

de probleme de geometrie analitică şi diferenţială, Editura Didactică şi Pedagogică, 1979. U: II17158.

[31] C.Ionescu-Bujor, Geometrie analitică şi diferenţială, Institutul Politehnic Bucureşti, 1950. U: III7673.

[32] C.Ionescu-Bujor, O.Sacter, Exerciţii şi probleme de geometrie analitică şi diferenţială, Editura Didactică şi Pedagogică, 1963. U: II9022.

[33] O.Kreindler, Geometrie analitică şi diferenţială, Editura I.P.B., 1950. U: III8196. [34] A.Leonte, G.Vraciu, Elemente de calcul matriceal cu aplicaţii, Editura Tehnică, Bucureşti, 1975.

U: II22658.

214

Page 108: Geometrie analitica

[35] E.Mănzatu, Probleme de geometrie analitică, Academia Militară, Bucureşti, 1979. [36] N.Mihăileanu, Geometrie analitică, proiectivă şi diferenţială, Editura Didactică şi Pedagogică, 1971.

U: II18522. [37] N.Mihăileanu, Geometrie analitică, proiectivă şi diferenţială: complemente, Editura Didactică şi

Pedagogică, 1972. U: II19686. [38] N.Mihăileanu, Lecţii complementare de geometrie, Editura Didactică şi Pedagogică, 1976. [39] R.Miron, Geometrie analitică, Editura Didactică şi Pedagogică, 1976. U: II24293. [40] P.S.Modenov, Geometrie analitică, Editura Tehnică, 1957. U: II5663. [41] E.Murgulescu, Geometrie analitică şi diferenţială, Editura Didactică şi Pedagogică, 1974.

U: II8904. [42] E.Murgulescu, N.Donciu, Culegere de probleme de geometrie analiticăşi diferenţială, Universitatea

"Politehnica" Bucureşti, 1971. U: II18509. [43] E.Murgulescu, N.Donciu, V.Popescu, Geometrie analitică în spaţiu şi geometrie diferenţială - culegere de

probleme, Editura Didactică şi Pedagogică, 1974. U: II21167. [44] E.Murgulescu, S.Flexi, O.Kreindler, O.Sacter, Geometrie analitică, Editura Didactică şi Pedagogică, 1962.

U: II8904; 1965. U: II10530. [45] E.Murgulescu, S.Flexi, O.Kreindler, O.Sacter, M.Târnoveanu, Geometrie analitică şi diferenţială, Editura

Didactică şi Pedagogică, 1965. U: II10530. [46] Al.Myller, Curs de geometrie analitică, Editura Seminarului Matematic Iaşi, 1936. U: II2171. [47] Al.Myller, Geometrie analitică, Editura Didactică şi Pedagogică, 1972. U: II19632. [48] V.Obădeanu, Elemente de algebră liniară şi geometrie analitică, Editura Facla, 1981. U: II29956. [49] V.Olariu, O.Olteanu, Analiză matematică, Editura Semne, 1998. U: II38622. [50] D.Pompeiu, Geometrie analitică (curs), Editura Matac, 1938. U: III15093. [51] I.Pop, Gh.Neagu, Algebră liniară şi geometrie analitică în plan şi în spaţiu, Editura Plumb, Bacău, 1996. [52] I. Popescu, Probleme de matematici superioare, Editura Didactică şi Pedagogică, 1964. [53] I.I. Popescu, G.G.Vrănceanu, C.Tudor, Matematici superioare, Editura Didactică şi Pedagogică, 1964.

U: II10135. [54] T.V. Postelnicu, M.I.Stoka, G.G.Vrănceanu, Culegere de probleme de geometrie analitică şi diferenţială,

Editura Tehnică, 1970. U: II17159. [55] C.Radu, Algebră liniară, geometrie analitică, Editura Fair Partners, 2004. [56] C.Radu, Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială, Editura ALL, 1996. U: II38657. [57] C.Radu, C.Drăguşin, L.Drăguşin, Algebră liniară, analiză matematică, geometrie analitică şi diferenţială,

Editura Fair Partners, 2000. [58] C.Radu, C.Drăguşin, L.Drăguşin, Aplicaţii de alg., geometrie şi matematici spec., Editura Didactică şi

Pedagogică, 1991. U: II36960. [59] M.Roşculeţ, Algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Editura Tehnică, 1987.

U: II33881. [60] O.Sacter, Despre conice şi alte curbe, Editura Tehnică, 1955. [61] M.Sarian, Conice: elemente geometrice, Universitatea "Politehnica" Bucureşti, 1936. U: III8968. [62] N.Soare, Curs de geometrie, Editura Universităţii Bucureşti, 1996. U: II38760. [63] N.Soare, A.M.Panait, L.Preda, I.Soare, Metoda transformărilor geometrice, Editura Gimnasium,

Târgovişte, 2002. [64] Şt.Staicu, Aplicaţii ale calculului matriceal în mecanica solidelor, Editura Academiei, 1986. U: II33045.

P: TIII36932. [65] I.Stamate, Culegere de probleme de matematici superioare, Editura Didactică şi Pedagogică, 1971.

U: II18621. [66] O. Stănăşilă, Analiză liniară şi geometrie, vol.1, Editura ALL Educaţional, Bucureşti, 2000. [67] I.D.Teodorescu, Geometrie şi elemente de algebră liniară, Editura Didactică şi Pedagogică, 1965.

U: II10973; 1967 (culegere de probleme). U: II12858; 1971 (culegere de probleme). U: II18461; 1972. U: II19190.

[68] N.Teodorescu, Metode vectoriale în fizica matematică, Editura Tehnică, 1954. U: II4186. [69] O.Tino, E.Murgulescu, V.Bănărescu, Exerciţii şi probleme pentru cursul de geometrie analitică în şcolile

tehnice superioare, Litografia Tip. Înv. Buc. U: II5720. [70] A.Turtoi, Geometrie, Editura Universităţii Bucureşti, 1996. U: II38665. [71] Gh.Ţiţeica, Culegere de probleme de geometrie analitică, Tipogr. C. Reg. F. Gobl. Fiii S.A. 1939.

U: II2233. [72] Gh.Ţiţeica, Curs de geometrie analitică, Editura Facultăţii de Ştiinţe Bucureşti, 1929. U: 16294; 1932-1933.

U: III8198; 1934-35. U: III8188. [73] Gh.Ţiţeica, Geometrie analitică, Litografia Ştefănescu 1901. U: II12622. [74] C.Udrişte, Algebră liniară geometrie analitică, Geometry Balkan Press, 1996. U: II38947.

P: III44125; Cursuri Universitare 11, Geometry Balkan Press, 2000.

215

Page 109: Geometrie analitica

[75] C.Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993.

U: II3765. P: III41318 [76] C.Udrişte, Probleme de algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială, Editura Didactică şi Pedagogică,

1976. [77] C.Udrişte, O.Dogaru, Geometrie analitică, Universitatea "Politehnica" Bucureşti, 1991, 1992.

P: TIII40425. [78] C.Udrişte, C.Radu, C.Dicu, O.Mălăncioiu, Algebră, geometrie analitică şi şi ecuaţii diferenţiale, Editura

Didactică şi Pedagogică, 1982. U: II31252. P: TIII35426. [79] C.Udrişte, C.Radu, C.Dicu, O.Mălăncioiu, Probleme de algebră, geometrie analitică şi ecuaţii diferenţiale,

Editura Didactică şi Pedagogică, 1981. U: II30464. P: TIII32351, P: TIII34988. [80] S.Vasilache, Elemente de teoria mulţimilor şi a structurilor algebrice, Editura Academiei, 1956.

U: II5352. [81] Ge. Vraciu, Algebră liniară, Editura Universităţii din Craiova, 1994. [82] Gh.Vrănceanu, Curs de geometrie analitică şi proiectivă, Tipogr. C. Reg. F. Gobl.Fiii. S.A. 1944-45.

U: II3361. [83] Gh.Vrănceanu, Geometrie analitică şi proiectivă, Editura Tehnică, 1954. U: II4347. [84] Gh.Vrănceanu, Geometrie analitică, proiectivă şi diferenţială, Editura Didactică şi Pedagogică, 1961.

U: II7740; 1962. U: II8645; 1968. U: II13307; 1974. U: II22068. [85] Gh.Zapan, Curs de geometrie analitică, aplicaţii, Autografia Şc. de Artilerie, Geniu şi Marină 1919.

U: II2786. [86] ***, Cuadrice, Univ. Bucureşti 1922. U: II17971. [87] ***, Dicţionar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, 1974. [88] ***, Geometrie analitică, Univ. Bucureşti. U: II222. [89] ***, Mica enciclopedie matematică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1980.

= Cărţi editate în limbi străine. =

[90] L.Bianchi, Lezioni di geometria analitica, Pisa: Enrico Spoerri 1970. U: II139. [91] E.Bortolotti, Lezioni di geometria analitica, Bologna, Nicola Zanichelli, 1923. U: II70. [92] R.M.Bowen, C.C.Wang, Introduction to Vectors and Tensors, vol. 1-2, Plenum Press, New York, 1976. [93] A.Burdun, Culegere de probleme de algebră şi geometrie analitică, Univ. Minsk, 1989. [94] G.Castelnuovo, Lezioni di geometria analitica, Editura Societa Anonima D.Alighieri, 1938. U: II3140;

1931. U: III15025. [95] N.Coburn, Vector and Tensor Analysis, Mc. Millan Co., 1955. U: II31239. [96] J.Dieudonne, Linear Algebra and Geometry, Paris, Hermann, 1969. [97] A.Dubrovin, S.P.Novikov, A.T.Fomenko, Geometrie contemporană, Ed. Nauka, Moscova, 1979 (l. rusă). [98] C.V.Durell, A concise on geometrical conics, MacMillan, 1927. U: II1004. [99] C.H.Edwards, D.E.Penney, Calculus and Analytic Geometry, Prentice Hall, 1982. U: II16313. [100] N.V.Efimov, E.R.Rosendorn, Linear Algebra and Multidimensional Geometry, Mir Publ., 1975.

U: II24141. P: III32360. [101] C.W.Evans, Engineering Mathematics, Chapman & Hall Eds., 1992. [102] M.Farkas, I.Farkas, Introduction to Linear Algebra, Ed.Kiado, Budapest, 1975. U: II35994 [103] G.Hadley, Linear Algebra, Add. Wesley, 1972.U: II36067 [104] G.Hadley, Mathematics for Engineering, Technology and Computing Sciences, Prentice Press, 1970,

U: II26011. [105] J.W.Harris, H.Stocker, Handbook of Mathematics and Computational Science, Springer-Verlag, 1998. [106] G.E.Hay, Vector and Tensor Analysis, Dover Publ., 1953. U: II27976. [107] A.Howard, Elementary Linear Algebra, J.Wiley & Sons, 1987. U: II36206. [108] A.Howard, C.Rorres, Applications of Linear Algebra, John Wiley & Sons, 1984. U: II36159. [109] A.Jeffrey, Mathematics for Engineering and Scientists, V.N.R.International Eds., 1989. [110] P.K.Kenshaft, Linear Mathematics.U: II36195. [111] D.V.Kletenik, Problemes de geometrie analitique, Editura Mir, 1969. U: II14574. [112] W.Klingenberg, Lineare Algebra und Geometrie, Springer-Verlag, Berlin, 1990. [113] E.Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, J.Wiley & Sons, New York, 1962. U: II37192. [114] A.D.Myskis, Introductory Mathematics for Engineers, Mir Publ., 1975. U: II22920. [115] P.V.O’Neill, Advanced Engineering Mathematics, Wadsworth Eds., 1991. [116] A.V.Pogorelov, Analytic Geometry, Mir Publishers, Moscow, 1961. [117] I. Proskurakov, Culegere de probleme de algebră liniară, Editura Nauka, Moscova, 1978.

U: II28443. P: TII21426 (l. rusă).

216

Page 110: Geometrie analitica

[118] P.H.Selby, Practical Algebra, John Wiley & Sons, 1974, U: II36187. [119] L.Smith, Linear Algebra, Springer Verlag, 1978. U: II26153. [120] M.V.Sweet, Algebra, Geometry and Trigonometry in Science, Engineering and Mathematics, Ellis

Horwood Ltd., 1984.U: II36163. [121] O.N.Ţuberbiller, Probleme şi exerciţii de geometrie analitică, Editura Nauka, 1970 (l.rusă). [122] C.Udrişte, Problems of Linear Algebra, Analytic and Differential Geometry, Differential Equations,

University Lectures Series 10, Geometry Balkan Press, Bucharest 2000. [123] C.Udriste, V.Balan, Analytic and Differential Geometry, University Lectures Series 7, Geometry Balkan

Press, Bucharest 1999. [124] C.Udriste, V.Balan, Linear Algebra and Analysis, University Lectures Series 12, Geometry Balkan Press,

Bucharest 2001. [125] C.Udrişte, I.Boca, Linear Algebra, University Lectures Series 8, Geometry Balkan Press, Bucharest 1999. [126] E.Young, Vector and Tensor Analysis, M.Dekker, 1993.

= Cărţi editate în tipografia U.P.B. =

[127] I.Bacalu, G.Budianu, R.F.Constantin, Matematici, Sinteze, 1992. [128] V.Balan, Algebră liniară şi geometrie analitică, 1999. [129] V.Balan, N.Bîlă, Geometrie diferenţială, culegere de exerciţii şi probleme, 1998, P: TIII45014. [130] V.Balan, A.Suciu, Algebră liniară, Culegere de probleme de algebră liniară, 1999. [131] L.Brânzănescu, Curs de algebră şi geometrie, 1990. P: TIII39235. [132] L.Brânzănescu, R.Minculescu, Algebră: culegere de probleme, 1991. P: TIII40800. [133] L.Brânzănescu & al., Geometrie analitică şi diferenţială: culegere de probleme, 1992. [134] M.Cârnu, Spaţii vectoriale, 1991. P: TIII40940. [135] E.Cioară, Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială, 1991. P:TIII40030. [136] E.Cioară, Algebră liniară. Culegere de probleme, 1996. P: TIII44534. [137] A.Colojoară, Algebră liniară, 1990. P: TIII39578. [138] M.Craiu, A.M.Neagu, G.Toma, Probleme de algebră şi geometrie, 1979. P: TIII33536. [139] F.Gândac, S.Corbu, Culegere de probleme de alg. liniară şi geometrie analitică, 1981. [140] M.Geanău, Lecţii de algebră liniară, 1993. [141] E.Grecu, Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială şi programare liniară, 1995. [142] E.Grecu, Culegere de probleme de algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială şi programare liniară,

1995. [143] E.Grecu, Culegere de probleme de algebră liniară şi programare, 1979. [144] E.Grecu, Curs de geometrie analitică, 1997. [145] E.Grecu, Probleme rezolvate de geometrie analitică, 1997. [146] E.Murgulescu, S.Flexi, O.Kreindler, O.Sacter, M.Târnoveanu, Geometrie analitică şi diferenţială.

U: II10530. [147] E.Murgulescu, N.Donciu, Culegere de probleme de geometrie analitică şi diferenţială, 1971.

U: II18509. [148] A.Niţă, O.Stănăşilă, Seturi de probleme (algebră, geometrie, ecuaţii diferenţiale), 1988. [149] C.Radu, C.Drăguşin, L.Drăguşin, Aplicaţii de algebră, geometrie şi matematici speciale, Universitatea

"Politehnica" Bucureşti, 1991. U: II36960. [150] C.Radu, A.Zlătescu, Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială, 1992. [151] C.Udrişte, Linear Algebra, 1992. P: TIII42992. [152] C.Udrişte, Problems of Algebra, Geometry and Diff. Equations, 1992. [153] C.Udrişte, O.Dogaru, Algebră liniară, 1991, 1993. P: TIII4024. [154] C.Udrişte, O.Dogaru, Geometrie analitică, 1991, 1992. P: TIII40425. NOTĂ. La sfârşitul citărilor se află cotele la care pot fi identificate lucrările, la bibliotecile: • P - Biblioteca Universităţii Politehnica Bucureşti, (Localul Polizu, CaleaGrivitei, nr. 132, corp I, etaj 2, camera 210), tel.

402.39.82, 312.70.44, 6503132; e-mail: [email protected], URL http://www.library.pub.ro/ contact.htm • U - Biblioteca Universităţii din Bucureşti, Str. Academiei 14, Facultatea de Matematică, etaj II,

tel: 314.35.08 / int. 206, 213, e-mail: [email protected], URL http://www.bcub.ro.

217