Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

328
UNIVERSITATEA TITU MAIORESCU Facultatea de Ştiinţa şi Tehnologia Informaţiei Conf. univ. dr. VALENTIN GÂRBAN Lect. univ. dr. Asist. univ.drd. SIBICEANU MARIANA ZANFIR VERONICA Curs pentru învăţământul la distanţă BUCUREŞTI – 2008

Transcript of Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Page 1: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

UNIVERSITATEA TITU MAIORESCU Facultatea de Ştiinţa şi Tehnologia Informaţiei

Conf. univ. dr.

VALENTIN GÂRBAN

Lect. univ. dr. Asist. univ.drd.

SIBICEANU MARIANA ZANFIR VERONICA

Curs pentru învăţământul la distanţă

BUCUREŞTI – 2008

Page 2: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

2

UNIVERSITATEA Titu MAIORESCU BUCUREŞTI Facultatea Ştiinţa şi Tehnologia Informaţiei Învăţământ la Distanţă

ALGEBRĂ ŞI GEOMETRIE Algebra este una din disciplinele de pregătire fundamentală care, pentru profilul INFORMATICĂ, este impusă de către Agenţia Naţională pentru Asigurarea Calităţii în Învăţământul Superior (ARACIS) ca esenţială pentru pregătirea studenţilor şi pentru depăşirea procedurilor de evaluare şi acreditare. Modul de prezentare a acestui material are în vedere particularităţile învăţământului la distanţă, la care studiul individual este determinant. Pentru orice nelămuriri faţă de acest material vă rugăm să contactaţi tutorele de disciplină care are datoria să vă ajute oferindu-vă toate explicaţiile necesare. Disciplina de Algebră (semestrul I) îşi propune următoarele obiective specifice:

Formarea la studenţi a capacităţilor de a raţiona modern matematic; Identificarea corectă a tuturor dimensiunilor unei probleme matematice

precum şi a procedurilor ce pot fi utilizate pentru rezolvarea acestora; O comparaţie critică a metodelor de rezolvare evidenţiind, eventual, calea

optimă de soluţionare; Stabilirea de conexiuni cu celelalte discipline de factură matematică atât în

faza de formulare- reformulare a problemei cât şi în ceeace priveşte modalităţile de rezolvare.

Vă precizăm de asemenea că, din punct de vedere al verificărilor şi al notării, cu adevărat importantă este capacitatea pe care trebuie să o dobândiţi şi să o probaţi de a rezolva toată tipologia de probleme aplicative aferente materialului teoretic prezentat în continuare. De aceea vă recomandăm să parcurgeţi cu atenţie toate problemele rezolvate, să rezolvaţi problemele propuse şi de asemenea să nu ocoliţi testele de autoevaluare; fiţi convinşi că examenul final apelează la tipurile de probleme prezente în secţiunile menţionate anterior.

SUCCES! Coordonator disciplină: Conf. univ. dr. Valentin GÂRBAN Tutore: Asist. univ. drd. Veronica ZANFIR

Page 3: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

3

MODULUL I

SISTEME DE ECUAŢII LINIARE În acest modul ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Sisteme algebrice liniare neomogene; Sisteme algebrice liniare omogene; Compatibilitatea sistemelor algebrice liniare; Proceduri de rezolvare a sistemelor algebrice liniare; Cazurile de nedeterminare şi modul de obţinere a soluţiei optime; Utilizarea calculatoarelor numerice pentru soluţionarea sistemelor

algebrice liniare; Cunoaşterea şi utilizarea programelor de calcul dedicate soluţionării

sistemelor de ecuaţii liniare. Materialul trebuie parcurs în ordinea sa firească prezentată în continuare, inclusiv în porţiunea referitoare la aplicaţii. Metoda de studiu trebuie să fie cea specifică disciplinelor matematice, cu utilizarea expresă a adnotărilor făcute cu creionul pe tot parcursul textului. Vă recomandăm să vă constituiţi un caiet de probleme şi, pentru fiecare tip de exerciţiu, să vă fixaţi algoritmul de rezolvare pe etape. Rezolvaţi cât mai complet problemele propuse şi cele conţinute în testul de autoevaluare. Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestui modul este de 6 ore.

Page 4: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

LECŢIA I.1

DEFINIREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE. METODE FUNDAMENTALE DE REZOLVARE

În această lecţie ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Definirea sistemelor algebrice liniare; Forme echivalente de scriere a sistemelor algebrice liniare; Conexiuni între diversele reprezentări ale sistemelor algebrice liniare; Proceduri fundamentale de rezolvare a sistemelor algebrice liniare; Algoritmizarea procedurilor de soluţionare a sistemelor algebrice liniare;

Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestui modul este de 3 ore.

LI.1.1. MODURI DE SCRIERE A SISTEMELOR. DEFINIŢII Forma desfăşurată de scriere a unui sistem de m ecuaţii cu n necunoscute este următoarea:

4

m

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

......

...............................................

n n

n n

m m mn n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

în care cu şi ,ij ia b 1,2,...,i m= 1,2,...,j n= sunt elemente dintr-un corp comutativ K. Corpul K poate fi, de exemplu, corpul R al numerelor reale, corpul Q al numerelor raţionale, corpul C al numerelor complexe, corpul pZ al claselor de

Page 5: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

resturi în raport cu numărul prim p etc. Elementele se numesc coeficienţii necunoscutelor, iar se numesc termenii liberi. Anume, este coeficientul lui

ija

ib ija

jx din ecuaţia i, iar este termenul liber al ecuaţiei i. ib Forma concentrată de scriere este:

1

; 1,2,...,n

ij j ij

a x b i m=

= =∑

Sistemul se poate scrie şi sub forma matriceală: A X B⋅ = în care:

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...; ;

... ... ... ... ... ......

n

n

m m mn n m

a a a x ba a a x b

A X

a a a x b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

B

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Elementele 1 2, ,..., nx x x se numesc necunoscutele sistemului, care urmează a se găsi în corpul K, pe când şi , aflate tot în K, se consideră cunoscute. ija ib

Numim soluţie a sistemului un şir ordonat de elemente din K: 0 0 01 2, ,..., nx x x

care puse în locul necunoscutelor 1 2, ,..., nx x x

15

, fac ca toate ecuaţiile sistemului să fie satisfăcute. Rezultă următoarea clasificare a sistemelor:

– Un sistem se numeşte compatibil dacă are cel puţin o soluţie. În acest caz el se zice compatibil şi determinat dacă are o singură soluţie şi compatibil şi nedeterminat dacă are cel puţin două soluţii.

– Sistemul se numeşte incompatibil dacă nu are nici-o soluţie. De exemplu următorul sistem este incompatibil:

2 34 6

x yx y+ =⎧

⎨ + =⎩.

Rezolvarea unui sistem înseamnă a stabili dacă este compatibil sau incompatibil, iar în caz de compatibilitate rezolvarea sistemului presupune găsirea tuturor soluţiilor sale. Printre metodele de rezolvare menţionăm „metoda lui Cramer”, explicată în manualul de algebră de clasa a-XI-a. Această metodă se aplică în cazul particular când sunt îndeplinite următoarele condiţii: în scrierea matriceală a sistemului, A X B⋅ = , matricea A este pătratică (deci numărul de ecuaţii este egal cu numărul de necunoscute) şi determinantul matricei A este nenul. În acest caz, după cum se ştie, sistemul este compatibil şi determinat.

5

Page 6: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

LI.1.2. METODA ELIMINĂRII SUCCESIVE PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE

Să considerăm mai întâi următorul sistem:

6

⋅ ⋅ ≠( )

1 1 1

2 2 21 2; ... 0

... n

n n n

a x ba x b

a a a

a x b

=⎧⎪ =⎪∗ ⋅⎨⎪⎪ =⎩

,

care este, bineînţeles, compatibil şi determinat, având soluţia:

1 21 2

1 2, ,..., n

nn

bb bx x xa a

= = =a

.

Pe de altă parte să remarcăm că asupra unui sistem se pot efectua o serie de transformări care nu-i schimbă mulţimea de soluţii. Astfel de transformări sunt numite transformări echivalente. Menţionăm trei tipuri de transformări echivalente care vor fi folosite în cele ce urmează:

I. Schimbarea ordinii ecuaţiilor. II. Înmulţirea unei ecuaţii cu un factor nenul. III. Înmulţirea unei ecuaţii cu un factor oarecare (nul sau nenul) spre a se

aduna la o altă ecuaţie. Este evident că transformările enumerate mai sus nu schimbă mulţimea de soluţii, adică sunt transformări echivalente. Importanţa lor este relevată în următoarea:

Teoremă Printr-un şir de transformări de tipul I, II, III, orice sistem liniar poate fi adus la o formă asemănătoare cu sistemul (*).

Demonstraţie Admitem pentru început ipoteza că , coeficientul lui 11a 1x din prima ecuaţie, este nenul. Pentru rolul pe care-l va avea acest element, îl numim pivot.

Aplicăm sistemului transformări de tipul I, II sau III prin care vom face ca 1x , care apare în prima ecuaţie, deoarece coeficientul său, , este nenul, să nu

mai apară în celelalte ecuaţii. De exemplu, pentru a face ca 11a1x să nu mai apară în

a doua ecuaţie, se înmulţeşte ecuaţia a doua cu , (transformare de tipul II deoarece este nenul), apoi se înmulţeşte prima ecuaţie cu spre a o aduna la a doua (transformare de tipul II).

11a11a 21( a− )

În general, pentru a face să dispară 1x din ecuaţia i, se înmulţeşte ecuaţia i cu apoi se înmulţeşte prima ecuaţie cu spre a o aduna la ecuaţia i. Transformând astfel toate ecuaţiile sistemului, el va căpăta forma:

11a 1ia

Page 7: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

7

i

m

(1) (1) (1) (1) (1)11 1 12 2 1 1 1

(1) (1) (1) (1)22 2 2 2 2

(1) (1) (1) (12 2

... ...

... ...

........................................................................

... ...

j j n n

j j n n

i ij j in n

a x a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + + + =

+ + + + =

+ + + + = )

(1) (1) (1) (1)2 2

........................................................................

... ...m mj j mn na x a x a x b

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪ + + + + =⎩

S-au marcat cu indicele superior (1) noii coeficienţi şi termeni liberi ai ecuaţiilor. Deşi prima ecuaţie a rămas neschimbată, pentru uniformitate, au fost marcaţi la fel şi coeficienţii şi termenul liber ai acestei ecuaţii. Spunem că am realizat prima iteraţie asupra sistemului. În principiu în această nouă formă sistemul se reduce la cel format din ultimele 1m − ecuaţii: dacă se rezolvă acesta din urmă atunci prima ecuaţie serveşte la determinarea lui 1x .

Se poate stabili nu numai formula, dar şi o regulă simplă de calculare a coeficienţilor şi termenilor liberi pentru noua formă a sistemului, în afară de cei din prima ecuaţie, care aşa cum am menţionat, rămân neschimbaţi.

11 1 12 2 1 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2 11

... ... ( )

... ...

................................................................

... ...

.....................

j j n n i

j j n n

i i ij j in n i

a x a x a x a x b a

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b a

+ + + + + = ⋅ −

+ + + + + =

+ + + + + = ⋅

1 1 2 2

...........................................

... ...m m mj j mn n ma x a x a x a x b

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪ + + + + + =⎩

+

Deoarece ecuaţia i se înmulţeşte cu urmând apoi să se adune acesteia prima ecuaţie înmulţită cu

11a1( ia )− rezultă că noul coeficient al lui jx în ecuaţia i

se poate calcula cu formula: . Se observă următoarea regulă

de calculare a lui : ducând o săgeată care uneşte pivotul cu elementul care urmează a fi transformat, această săgeată este diagonala dreptunghiului marcat în figură; potrivit formulei, cu ajutorul acestui dreptunghi, se poate calcula

ca diferenţa dintre produsul elementelor de pe diagonala care conţine pivotul şi produsul elementelor de pe cealaltă diagonală. Din cauza acestei reguli geometrice, această metodă de rezolvare a sistemelor se mai numeşte şi metoda dreptunghiului.

(1)11 1 1ij ij i ja a a a a= −

(1)ija 11a ija

(1)ija

Aşa cum am făcut ca 1x să rămână numai în prima ecuaţie, putem face ca

2x să apară numai în a doua ecuaţie cu condiţia ca , noul coeficient al lui (1)22a

2x din ecuaţia a doua, să fie nenul. Şi aşa mai departe.

Page 8: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Să revenim asupra ipotezei asumate mai sus, anume că este nenul. Dacă este nul înseamnă că

11a11a 1x nu apare în prima ecuaţie. Dacă apare într-o

altă ecuaţie, de exemplu în a doua, atunci schimbând între ele prima şi a doua ecuaţie (deci o transformare de tipul I) se ajunge că în noua formă a sistemului este îndeplinită condiţia că este nenul. 11a

Dacă după a doua iteraţie coeficientul este nul atunci căutăm o ecuaţie (în afară de prima) în care coeficientul lui

(1)22a

2x este nenul şi o schimbăm cu a doua (sau reordonăm oricum ecuaţiile astfel ca să aducem acea ecuaţie pe locul doi) şi continuăm procesul de iteraţie.

Se poate întâmpla ca 2x să nu apară în nici o ecuaţie în afară de prima, aşa încât pe a doua coloană nu poate fi ales nici un pivot. În această situaţie schimbăm ordinea necunoscutelor trecând necunoscuta 2x pe ultimul loc şi se continuă procesul de iteraţie cu noua formă a sistemului.

Să mai remarcăm că în formele succesive pe care le capătă sistemul putem să nu mai menţionăm necunoscutele. În fond se modifică numai coeficienţii necunoscutelor şi termenii liberi, adică matricea extinsă, ( )A B , a sistemului, care suferă transformări (numite iteraţii) succesive. Din cele spuse mai sus rezultă următoarele reguli de calculare a unei iteraţii:

– Se stabileşte pivotul.

– Elementele de pe linia pivotului se transcriu neschimbate.

– Elementele de pe coloana pivotului (în afară de pivot) se înlocuiesc cu 0.

– Toate celelalte elemente (care nu sunt nici pe aceeaşi linie nici pe aceeaşi coloană cu pivotul) se transformă după regula dreptunghiului. Schema derulării iteraţiilor asupra matricei extinse este următoarea:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 21 2 ...A B A B A B→ → → →

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )11 1, 1 1, 1

( ) ( ) ( )22 2, 1 2, 2

( ) ( ) ( ), , 1 ,

( ) ( )1, 1 1,

( ) ( ), 1 ,

...... ... ...

...

r rr r r n

r rm r m n

a a

a a

+ + +

+

0 ... 0 ...

0 ... 0 ...... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... ...

0 0 ... 0... ... ... ...

0 0 ... 0

r r r rr n

r r rr n

rr r r rr r r r r n

a a a b

a a a b

A B a a a

+

+

+→ =

( )

( )

( )1

( )

...

...

r

rr

rr

rm

b

b

b

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8

Page 9: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Să observăm acum că dacă după r iteraţii procesul de iteraţie nu se mai

poate continua atunci blocul marcat din matricea ( ) ( )( )r rA B este nul.

Într-adevăr, dacă, de exemplu, ar fi nenul, atunci alegându-l pe acesta drept pivot s-ar putea continua procesul de iteraţie. Dacă pe prima coloană a acestui bloc ar fi un element nenul, făcând o schimbare de linii s-ar ajunge în situaţia că este nenul. Dacă prima coloană a blocului este nulă, dar un element de pe a doua coloană a blocului este nenul, atunci schimbăm ordinea necunoscutelor aducând necunoscuta

( )1, 1

rr ra + +

( )1, 1

rr ra + +

2r + pe locul 1r + şi atunci prima coloană a blocului ar deveni nenulă.

Se poate scrie forma pe care a căpătat-o sistemul după cele r iteraţii: ( ) ( ) ( ) ( )

11 1 1, 1 1 1, 1( ) ( ) ( ) ( )

22 2 2, 1 1 2, 2

( ) ( ) ( ) ( ), 1 1 ,

( )1

...

.................................................................

...

0

0

r r rr r n n

r r rr r n n

r r rrr r r r r r n n r

rr

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

b

b

+ +

+ +

+ +

+

+ + + =

+ + + =

+ + + =

=

= ( )2

( )

..............................................................

0

rr

rmb

+

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎩

r

r

r

Observăm că: dacă cel puţin unul dintre elementele: este nenul atunci sistemul este incompatibil. Aşadar, dacă cel puţin unul dintre termenii liberi de pe liniile pe care nu s-a ales pivot este nenul, atunci sistemul este incompatibil.

( )1

rrb +

( ) ( )2 ,...,r r

r mb b+

În caz contrar, adică dacă ( ) ( ) ( )1 20, 0,..., 0r r r

r r mb b b+ += = =

n r

, vom arăta că sistemul este compatibil şi-i vom determina toate soluţiile.

În primul rând să constatăm că în acest caz din sistem putem păstra numai primele r ecuaţii.

Mai departe să împărţim cele n necunoscute în două clase: primele r, care corespund coloanelor pe care s-au ales pivoţi, le numim necunoscute principale, iar celelalte le numim necunoscute secundare. Atribuim necunoscutelor secundare valori arbitrarii: 1 1 2 2, ,...,r r nx x x+ + −= λ = λ = λ pe care le înlocuim în sistem.

Păstrând în membrul stâng numai necunoscutele principale, sistemul devine:

9

Page 10: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

10

r

r

rb

1

2

r

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 1, 1 1 1, 2 2 1, 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2, 1 1 2, 2 2 2, 2

( )

...

...................................................................................

r r r rr r n n r

r r r rr r n n r

rrr r

a x a a a b

a x a a a b

a x

+ + −

+ + −

= − λ − λ − − λ +

= − λ − λ − − λ +∗∗

( ) ( ) ( ) ( ), 1 1 , 2 2 ,...r r r

r r r r r n n r ra a a+ + −

⎧⎪⎪⎨⎪⎪ = − λ − λ − − λ +⎩

Deoarece coeficienţii necunoscutelor sunt nenuli (ei se obţin prin produse ale pivoţilor) rezultă că sistemul a căpătat forma (*), aşa cum s-a menţionat în enunţul teoremei. Putem scrie soluţia generală a sistemului:

1 11 1 12 2 1,

2 21 1 22 2 2,

1 1 2 2 ,

1 1

2 2

...

...... ...

...

... ...

n r n r

n r n r

r r r r n r n r r

r

r

n n

x c c c cx c c c c

x c c cxx

x

− −

− −

− −

+

+

= λ + λ + + λ +⎧⎪ = λ + λ + + λ +⎪⎪⎪ = λ + λ + + λ +⎪⎨ = λ⎪⎪ = λ⎪⎪⎪ = λ⎩

c

unde am notat:

( ) ( ) ( ) ( )1, 1 2, 1 1, 1

11 12 1, 1( ) ( ) ( ) ( )11 11 11 11

, ,..., ,r r r r

r r n rn rr r r

a a a bc c c ca a a

+ + −−= − = − = − = ra

etc.

Denumirea de „soluţie generală” semnifică faptul că orice soluţie a sistemului are forma de mai sus, adică se obţine prin fixarea valorilor

ale necunoscutelor secundare. Într-adevăr, sistemul scris sub forma (**) are o singură soluţie.

1 2, ,..., n r−λ λ λ

Soluţia generală a sistemului se poate scrie şi sub forma matriceală:

1 1 2 2 0... n r n rX X X X X− −= λ + λ + + λ +

unde am notat:

Page 11: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

11

00

0

r

cc

c

11 12 1, 1

21 22 2, 2

1 2 ,1 2 0

... ... ... ...

, , ..., ,1 0 00 1 0... ... ... ...0 0 1

n r

n r

r r r n rn r

c c cc c c

c c cX X X X

−−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

⎟⎟⎟

Observăm că în timp ce 0X este soluţie a sistemului (ea se obţine dând tuturor necunoscutelor secundare valoarea zero) celelalte matrice coloană:

nu sunt soluţii decât în cazul când matricea 1 2, ,..., n rX X X − 0X este nulă. În încheiere să observăm că dacă numărul r al necunoscutelor principale

(care este egal cu numărul pivoţilor sau cu numărul iteraţiilor) este egal cu n, numărul total al necunoscutelor, atunci nu mai sunt necunoscute secundare şi deci sistemul este determinat. Numărul necunocscutelor secundare, , se numeşte gradul de nedeterminare al sistemului.

n r−

LI.1.3 EXEMPLE

A) Să se rezolve sistemul:

2 32 3

3 24 2 2

x y zx y zx y zx y z

1

20

+ − =⎧⎪ + + =⎪⎨ − + =⎪⎪ − − =⎩

Rezolvare:

2 1 3 1 2 1 3 1 6 0 14 21 2 1 3 0 3 5 5 0 3 5 5

( )3 1 2 2 0 5 13 1 0 0 64 284 2 2 0 0 8 8 4 0 0 64 28

384 0 0 2640 192 0 1800 0 64 280 0 0 0

A B

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= ⇒ ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− −⎜ ⎟ ⎜

⎞⎟⎟⇒⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟ ⎜

Cele trei iteraţii s-au calculat după regula de calculare a iteraţiilor: – Linia pivotului se transcrie. – Elementele de pe coloana pivotului (în afară de pivot) se înlocuiesc cu 0.

Page 12: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

– Celelalte elemente se transformă după regula dreptunghiului. După trei iteraţii procesul de iterare s-a încheiat, el nu mai poate fi

continuat. Deoarece pe unica linie pe care nu s-a ales pivot termenul liber este nul

rezultă că sistemul este compatibil. Numărul de necunoscute principale este egal cu numărul pivoţilor, adică

trei, care este egal cu numărul tuturor necunoscutelor. Deci toate necunoscutele sunt principale, adică sistemul este determinat.

După a treia iteraţie sistemul a ajuns la următoarea formă:

384 264192 180

64 28

xyz

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

care are soluţia:

111615167

16

x

y

z

⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

B) Să se rezolve sistemul:

2 3 02 4 3 4

4 5 3 2

x y z t132

x y z tx y z tx y z t

− + + =⎧⎪ − + − =⎪⎨ + − + =⎪⎪ − + + =⎩

Rezolvare:

1 2 3 1 0 1 2 3 1 02 4 1 3 1 0 0 5 5 1

( )1 1 1 4 3 0 3 4 3 34 5 3 2 2 0 3 9 2 2

A B

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞⎜ ⎟ ⎜− − − −⎜ ⎟ ⎜= ⇒⎜ ⎟ ⎜− −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝

⎟⎟⇒⎟⎟⎟− ⎠

3 0 1 9 6 45 0 0 120 930 3 4 3 3 0 45 0 105 330 0

12

15 15 3 0 0 15 15 30 0 15 15 3 0 0 0 0 90

⎛ ⎞ ⎛− − − ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. ⎜

După trei iteraţii procesul de iterare s-a încheiat. Deoarece pe singura linie pe care nu s-a ales pivot termenul liber este nenul rezultă că sistemul este incompatibil.

Page 13: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

De remarcat faptul că după prima iteraţie elementul de pe linia a doua şi coloana a doua a devenit nul deci nu s-a putut considera drept pivot. Tot pe coloana a doua dar linia a treia se află numărul 3 care, fiind nenul, se poate lua drept pivot. Linia a treia s-a copiat neschimbată pe locul doi iar transformata liniei a doua a trecut pe locul doi astfel încât pivoţii să apară pe diagonală.

C) Să se rezolve sistemul:

13

14

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 3 6 34 3 2 2

6 2 2 8 3

x x x x xx x x x x

x x x x x

+ − − + =⎧⎪ − + − + =⎨⎪ + + − + =⎩

Rezolvare:

( )2 3 1 6 1 3 2 3 1 6 1 34 1 3 2 2 1 0 14 10 20 0 106 2 2 8 3 4 0 14 10 20 0 10

28 0 16 24 14 120 14 10 20 0 100 0 0 0 0 0

A B⎛ − − ⎞ ⎛ − −⎜ ⎟ ⎜= − − ⇒ − −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝⎛− − − − ⎞⎜ ⎟⇒ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎟⇒⎟⎟− ⎠

După două iteraţii procesul de iterare s-a încheiat. Sistemul este compatibil deoarece pe singura linie pe care nu s-a ales pivot termenul liber este nul. Sunt două necunoscute principale: 1x şi 2x corespunzătoare primelor coloane pe care s-au ales pivoţi. Celelalte trei necunoscute sunt secundare şi lor le atribuim valori arbitrarii:

3 4 5, ,x x x= α = β = γ

Obţinem astfel soluţia generală a sistemului:

1

2

3

4

5

4 6 17 7 2

5 10 57 7 7

x

x

xxx

⎧ = − α + β − γ +⎪⎪⎪ = α + β +⎪⎨⎪ = α⎪ = β⎪⎪ = γ⎩

37

.

Page 14: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Notând: 1 2 3 0

4 6 17 7 2

5 10 07 7, , ,01 0

00 110 0

X X X X

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

3757000

⎞⎟⎟⎟⎟=⎟⎟⎟⎟⎟⎠

0

soluţia se

poate scrie sub forma matriceală: 1 2 3X X X X X= α + β + γ + unde am notat cu X matricea coloană a necunoscutelor.

LI.1.4. Exemple propuse

EI.1.1. Să se rezolve sistemul algebric liniar

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

1 2 3 5 6

1,5 3,2 6 4 0,3 0,823,6 2,5 1,8 0,6 2 0,593 5 0,7 1,4 4,2 3,92

2 3 1,8 11 1,913,2 0,5 2,5 1,1 3,8 4,6 1,89

5 0,5 3 4 0

x x x x x xx x x x

x x x x xx x x x x

x x x x x xx x x x x

− + + + + =⎧⎪ − + − − + =⎪⎪ − + − − = −⎪⎨ − + − + =⎪⎪− + + + + + =⎪

− + + + − = −⎩⎪ , 24

1

EI.1.2. Pentru sistemul algebric anterior aplicaţi metoda Gauss. EI.1.3. Fie sistemul algebric liniar Ax = b unde A si b sunt explicitate mai jos

1 2

1 11 2

1 1 1

A= n

n n nn

a a a

a a a− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

L

M M O M

L

1

11

1

n

bb

b −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

a) Să se calculeze det (A) b) În ce condiţii matricea A este nesingulară c) Pentru A nesingulară să se determine inversa sa d) În situaţia de la c) determinaţi soluţia sistemului algebric liniar.

14

Page 15: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

LECŢIA I.2

SISTEME DE ECUAŢII LINIARE OMOGENE În această lecţie ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Definirea sistemelor algebrice liniare omogene; Forme echivalente de scriere a sistemelor algebrice liniare omogene; Calculul rangului unei matrice; Existenţa soluţiei nenule; Teoreme fundamentale pentru discuţia compatibilităţii sistemelor algebrice

liniare; Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestui modul este de 3 ore.

LI.2.1. SISTEME OMOGENE

Clasificarea sistemelor omogene Un sistem se numeşte omogen dacă toţi termenii săi liberi sunt nuli. Este uşor de văzut că dacă termenii liberi sunt nuli atunci ei rămân nuli şi în decursul iteraţiilor. Ca urmare atunci când rezolvăm un sistem omogen nu este nevoie să mai menţionăm coloana termenilor liberi, de vreme ce ea rămâne neschimbată. Atribuind tuturor necunoscutelor valoarea zero obţinem, evident, o soluţie a sistemului numită soluţia banală. Prin urmare un sistem omogen nu poate fi incompatibil, de vreme ce are cel puţin o soluţie. Deosebim însă două cazuri: sistemul poate fi determinat sau nedeterminat. Mai precis, un sistem omogen este:

– determinat, dacă admite numai soluţia banală. – nedeterminat, dacă admite cel puţin o soluţie nebanală.

Sistem fundamental de soluţii

Să mai observăm că în scrierea matriceală a soluţiei generale a unui sistem omogen coloana 0X , care este întotdeauna o soluţie a sistemului, în cazul sistemului omogen aceasta este tocmai soluţia banală. Ca urmare forma matriceală a soluţiei generale a unui sistem omogen este următoarea:

15

Page 16: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

1 1 2 2 ... n r n rX X X X− −= λ + λ + + λ

Se vede că în cazul sistemului omogen nu numai 0X , dar şi celelalte coloane: sunt soluţii ale sistemului. De exemplu, 1 2, ,..., n rX X X − 1X se obţine pentru: . Spunem că soluţia generală X (în cazul sistemelor omogene) este o combinaţie liniară a soluţiilor

1 21, 0, , 0n r−λ = λ = λ =K

1 2, ,..., n rX X X − . Soluţiile 1 2, ,..., n rX X X − ale unui sistem omogen au următoarele

proprietăţi care definesc noţiunea de sistem fundamental de soluţii: – Numărul lor este egal cu gradul de nedeterminare al sistemului. – Soluţia generală a sistemului este o combinaţie liniară a soluţiilor

. 1 2, ,..., n rX X X −

Sistemul omogen ataşat unui sistem oarecare

Dat fiind sistemul liniar scris sub forma matriceală AX B= lui îi ataşăm sistemul omogen, având aceeaşi matrice a coeficienţilor, iar coloana B a termenilor liberi o înlocuim cu coloana nulă: 0AX = .

Între soluţiile generale ale celor două sisteme liniare există următoarea legătură: Dacă 0X este o soluţie (particulară) a sistemului neomogen atunci soluţia generală a sistemului neomogen se obţine adunând soluţia sa particulară

0X cu soluţia generală a sistemului omogen. Într-adevăr, dacă este o soluţie oarecare a sistemului omogen, adică X ′0AX ′ = , atunci 0X X X′= + este o soluţie a sistemului neomogen, deoarece :

( )0 0 0AX A X X AX AX B B′ ′= + = + = + = .

Reciproc, dacă X este o soluţie a sistemului neomogen, adică AX B= , atunci notând 0X X X′ = − , avem pe de o parte 0X X X′= + iar pe de altă parte

este soluţie a sistemului omogen: X ′

( )0 0 0AX A X X AX AX B B′ = − = − = − = .

LI.2.2. RANGUL MATRICELOR. CALCULUL RANGULUI Definiţii, notaţii Notăm ( , ; )M m n K mulţimea matricelor de tip ( ),m n formate cu elemente

din corpul comutativ K. O matrice de tip ( ),m n înseamnă o matrice care are m linii şi n coloane. Dacă m n= , atunci spunem că matricea este pătratică de ordinul n. Notăm ( ; )M n K mulţimea matricelor pătratice de ordinul n. O matrice de tip se poate scrie sub forma desfăşurată: ( ,m n)

16

Page 17: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

sau sub forma concentrată: ( ); 1,2,..., ; 1,2,...,ijA a i m j n= = = , în care am specificat elementul generic al matricei A, adică elementul situat pe linia i şi coloana j. De exemplu, matricea unitate de ordinul n se scrie sub forma

concentrată astfel: în care ( )n iI = δ j1;0;ij

i ji j=⎧

δ = ⎨ ≠⎩ este cunoscut sub numele

de simbolul lui Kronecker. Dacă matricea A este o matrice pătratică atunci ei i se asociază un element

din corpul K numit determinantul matricei A, notat ( )det A sau A , care se calculează după regulile explicate în manualul de Algebră de clasa a XI-a. Pe de altă parte dintr-o matrice de tip oarecare ( ),m n se pot extrage matrice pătratice de ordin r care ordin nu depăşeşte nici numărul liniilor şi nici numărul coloanelor.

Definiţie Se numeşte minor de ordinul r al matricei A determinantul unei matrice

pătratice de ordinul r obţinute prin intersectarea a r linii cu r coloane din matricea A. Aşa cum am spus, numărul r nu poate să depăşească nici numărul m al liniilor nici numărul n al coloanelor matricei A : min( , )r m n≤ . Evident, minorii de ordinul 1 sunt elementele matricei A. Numărul tuturor minorilor de ordinul r este

. r rm nC C⋅

Definiţie Se numeşte rangul matricei A şi se notează ( )rang A , numărul natural r care îndeplineşte următoarele două condiţii:

1. Există un minor de ordinul r nenul. 2. Toţi minorii de ordinul 1r + sunt nuli.

Evident că matricea nulă nu are rang în sensul definiţiei. Prin convenţie atribuim acestei matrice rangul zero. Deoarece numărul minorilor unei matrice este, aşa cum s-a menţionat, foarte mare, pentru calculul rangului unei matrice vom elabora un algoritm care nu foloseşte în mod nemijlocit definiţia. Există totuşi unele clase de matrice pentru care rangul se poate stabili fără dificultate.

Exemplu Matricea

17

Page 18: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

, ;

1 0 ... 0 0 ... 00 1 ... 0 0 ... 0... ... ... ... ... ... ...0 0 ... 1 0 ... 00 0 ... 0 0 ... 0... ... ... ... ... ... ...0 0 ... 0 0 ... 0

m n rE

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

18

are rangul egal cu r.

Într-adevăr, sunt îndeplinite cele două condiţii din definiţia rangului: – Există un minor de ordinul r nenul, anume cel format cu primele r linii

şi r coloane. – Orice minor de ordinul 1r + conţine cel puţin o linie în afară de primele

r, care este nulă. Minorul respectiv este deci nul. –

Algoritmul de calculare a rangului La fel ca şi în cazul sistemelor vom considera o serie de transformări ce se pot efectua asupra unei matrice fără a-i schimba rangul. Anume:

I. Schimbarea ordinii liniilor sau coloanelor. II. Înmulţirea unei linii sau a unei coloane cu un factor nenul. III. Înmulţirea unei linii cu un factor oarecare (nul sau nenul) spre a o

aduna la o altă linie. Analog pentru coloane. Faptul că aceste transformări nu schimbă rangul unei matrice rezultă din

definiţia rangului şi din proprietăţile determinanţilor. Propoziţie

Printr-un şir de transformări de tipul I, II, III orice matrice nenulă de tip se poate aduce la forma . ( ,m n) , ;m n rE

Demonstraţie Fie A o matrice nenulă de tip ( ),m n şi presupunem că . Această ipoteză nu este restrictivă deoarece dacă

11 0a ≠

11 0a = prin schimbări de linii şi coloane (transformări de tipul I) se poate aduce în locul lui a11 un element nenul.

Mai departe, pentru a face ca pe locul lui să apară zero, se fac următoarele transformări:

21a

– Se înmulţeşte linia a doua cu 11a (transformare de tipul II deoarece 11 0a ≠ ).

– Se înmulţeşte prima linie cu ( )21a− spre a o aduna la a doua – (transformare de tipul III).

În mod analog se poate proceda şi cu celelalte elemente de pe prima coloană, astfel încât matricea capătă forma următoare:

r

m-r

n-r

r

Page 19: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

(1) (1) (1)11 12 1

(1) (1)(1) 22 2

(1) (1)2

...

0 ...... ... ... ...

0 ...

n

n

mnm

a a a

a aA

a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Prima linie este identică cu prima linie din matricea A. Transformările avute în vedere sunt aceleaşi ca acelea folosite pentru rezolvarea sistemelor astfel că elementele care nu se află nici pe aceeaşi linie nici pe aceeaşi coloană cu pivotul se transformă după aceeaşi regulă a dreptunghiului. 11a

Dar pe lângă transformările folosite la rezolvarea sistemelor se pot face transformări şi asupra coloanelor. De exemplu, prima coloană se poate înmulţi cu

(1)11

1a

, deci o transformare de tipul I. Efectul acestei transformări este că pivotul se

înlocuieşte cu 1, iar toate celelalte elemente ale matricei rămân neschimbate. Mai departe se înmulţeşte prima coloană cu ( )(1)

12a− şi se adună la a doua coloană

(transformare de tipul III). Efectul este înlocuirea lui cu 0, toate celelalte elemente ale matricei rămânând neschimbate. La fel se poate proceda şi cu celelalte elemente de pe linia pivotului (în afară de pivot).

(1)12a

În concluzie putem formula următoarele reguli de calculare a iteraţiilor specifice pentru determinarea rangului:

– Pivotul se înlocuieşte cu 1. – Elementele de pe linia pivotului precum şi cele de pe coloana pivotului

se înlocuiesc cu 0. – Toate celelalte elemente se transformă cu regula dreptunghiului. În iteraţiile ulterioare se poate lucra numai cu blocul obţinut prin

excluderea liniilor şi coloanelor pe care s-au ales deja pivoţi. Procesul de iteraţie se încheie atunci când acest bloc devine nul. Evident că în acel moment matricea a căpătat forma în care r este numărul iteraţiilor şi în acelaşi timp rangul matricei.

, ;m n rE

Exemplu Să se calculeze rangul matricei:

2 3 1 5 4 61 3 0 4 3 43 1 2 2 1 42 4 2 2 2 0

4 2 1 6 3 7

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Rezolvare:

19

Page 20: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−−−−−−

−−−−−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−−−=

10108280121214214010101131102231

20

30000001

736124022242412213434031645132

A

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 8 0 8 8 0 0 1 0 0 00 0 8 0 8 8 0 0 0 0 0 00 0 14 0 14 14 0 0 0 0 0 0

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⇒− − −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜− − −⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Rezultă că ( )rang 3A = .

LI.2.3. TEOREMA LUI KRONECKER ŞI CAPELLI Fie sistemul liniar scris sub forma matriceală AX B= având m ecuaţii şi n necunoscute. Atunci:

– Sistemul este compatibil dacă şi numai dacă ( )rang rangA B A= .

– În caz de compatibilitate, notând ( )rang rangr A B A , sistemul este determinat dacă r n

= == , iar dacă r n< atunci gradul de nedeterminare

(numărul necunoscutelor secundare) este n r− . Demonstraţie

Reamintim că rezolvarea sistemului se face efectuând asupra matricei extinse un şir de transformări pe care le-am numit iteraţii.

(1) (1) ( ) ( )( ) ( ) ... ( )r rA B A B A B⇒ ⇒ ⇒ ⇒

( )( ) ( ) ( ) 111 1, 1 1,( )( ) ( ) ( ) 222 2, 1 2,

( )( ) ( ) ( ), , 1 ,

( )1

( )

0 ... 0 ...

0 ... 0 ......... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... ...0 0 ... 0 0 ... 0

...... ... ... ... ... ... ...0 0 ... 0 0 ... 0

rr rr n

rr r rr n

rr r r rr r r r r nr

r

rm

ba a aba a a

ba a ab

b

+

+

+

+

⎛⎜⎜⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎜

r ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎠

.

Page 21: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Aşa cum am menţionat transformările efectuate asupra matricei A precum şi asupra matricei extinse ( )A B nu schimbă rangul: ele sunt transformări de tipul

I, II, III efectuate numai asupra liniilor. Deci: ( )rang rang rA A= şi

( ) ( ) ( )( )rang rang r rA B A B= .

Dar ( )rang rA r= deoarece sunt îndeplinite cele două condiţii din definiţia rangului.

Pe de altă parte se observă că ( ) ( )( ) ( )1rang 0r r r

rA B r b += ⇔ = ,

ceea ce demonstrează punctul I din enunţul teoremei. ( ) ( )2 0,..., 0r r

mrb b+ = = Afirmaţia de la punctul II se bazează pe faptul că numărul natural r care este numărul necunoscutelor principale (numărul pivoţilor) este egal cu rangul comun al matricelor A şi ( )A B . Q.E.D.

Cazul sistemelor omogene Dacă sistemul AX B= este omogen, adică 0B = , atunci el nu poate fi incompatibil deoarece orice sistem omogen are soluţia banală. Distingem deci în acest caz două situaţii:

– Sistemul este determinat dacă admite numai soluţia banală. – Sistemul este nedeterminat dacă are cel puţin o soluţie nebanală. După teorema anterioară cunoscând rangul matricei A putem deduce dacă

sistemul are numai soluţia banală sau are cel puţin o soluţie nebanală: – Sistemul are numai soluţia banală dacă rangul matricei coeficienţilor

este egal cu numărul necunoscutelor. – Sistemul are cel puţin o soluţie nebanală dacă rangul matricei este strict

mai mic decât numărul necunoscutelor. Prezintă interes cazul când numărul n de ecuaţii este egal cu numărul de

necunoscute. În acest caz matricea coeficienţilor este pătratică şi deci determinantul ei este singurul minor de ordin n. Aşadar:

Un sistem omogen de n ecuaţii cu n necunoscute admite soluţii nebanale dacă şi numai dacă determinantul matricei coeficienţilor este nul.

LI.2.4. EXEMPLE PROPUSE

EI.2.1. Fie sistemul algebric liniar Ax = 0 unde A este explicitat mai jos

1 2

1 11 2

1 1 1

A= n

n n nn

a a a

a a a− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

L

M M O M

L 1

e) Să se calculeze det (A)

21

Page 22: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

f) În ce condiţii matricea A este nesingulară g) Pentru A nesingulară să se determine inversa sa h) În situaţia de la c) determinaţi soluţia sistemului algebric liniar.

22

n

, 24

EI.2.2. Pentru sistemul algebric dat anterior fie cazul particular . Să se determine soluţia sistemului dat 1 2 1na a a a−≠ ≠ ≠ =L

EI.2.3. Fie matricea A dată în EI.2.1. Să se determine rangul acesteia. Discuţie.

TEST DE AUTOEVALUARE

E.AevI.1. Se consideră sistemul algebric liniar

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

1 2 3 5 6

1,5 3,2 6 4 0,3 0,823,6 2,5 1,8 0,6 2 0,59

3 5 0,7 1,4 4,2 3,922 3 1,8 11 1,91

3,2 0,5 2,5 1,1 3,8 4,6 1,895 0,5 3 4 0

x x x x x xx x x x xx x x x x

x x x x xx x x x x x

x x x x x

− + + + + =⎧⎪ − + − − + =⎪⎪ − + − − = −⎪⎨ − + − + =⎪⎪− + + + + + =

− + + + − = −⎩⎪⎪

a) Să se scrie sistemul algebric liniar dat sub forma matriceală Ax=b; b) Să se determine forma Gauss a matricei A; c) Să se determine rangul matricei A; d) Să se rezolve sistemul dat folosind în mod expres forma Gauss a matricei

A. E.AevI.2. Pentru sistemul algebric dat anterior să se analizeze compatibilitatea utilizând metoda Kronecker -Capelli. E.AevI.3. Fie sistemul algebric liniar Ax = b unde A si b sunt explicitate mai jos

Page 23: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

1 1 1 11 2 3 4

A=1 4 9 161 8 27 64

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1525

125

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a) Să se calculeze det (A); b) Să se determine inversa matricei A; c) Să se rezolve siatemul algebric dat folosind metoda Cramer.

E.AevI.4. Fie sistemul algebric liniar Ax = b unde A si b sunt explicitate mai jos

1 1 1 11 2 3 4

A=1 4 11 8 1 4

αα

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

0000

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a) Să se calculeze rangul matricei A, discuţie după parametrul dat; b) Cât este soluţia sistemului dacă rang (A)=4? c) Discuta ţi compatibilitatea sistemului în raport cu parametrul α.

Bibliografie I

1. Udrişte C., şa., Probleme de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, EDP Bucureşti, 1981.

2. Ion D.I., R. Nicolae, Algebra, EDP Bucureşti, 1982. 3. Flondor D., N. Donciu, Algebră şi analiză matematică, EDP Bucureşti,

1979.

23

Page 24: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

MODULUL II

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL În acest modul ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Calculul inversei unei matrice folosind sisteme algebrice liniare ataşate; Matrice polinomiale; Formulele Newton; Un algoritm eficient de inversare matriceală (Krîlov), pretabil

implementării pe calculator numeric; Matrice structurate pe blocuri; Operaţii cu matrice structurate pe blocuri.

Materialul trebuie parcurs în ordinea sa firească prezentată în continuare, inclusiv în porţiunea referitoare la aplicaţii. Metoda de studiu trebuie să fie cea specifică disciplinelor matematice, cu utilizarea expresă a adnotărilor făcute cu creionul pe tot parcursul textului. Vă recomandăm să vă constituiţi un caiet de probleme şi, pentru fiecare tip de exerciţiu, să vă fixaţi algoritmul de rezolvare pe etape. Rezolvaţi cât mai complet problemele propuse şi cele conţinute în testul de autoevaluare. Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestui modul este de 5 ore.

24

Page 25: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

LECŢIA II.1

METODE DE CALCUL A INVERSEI MATRICEALE Parcurgând această lecţie ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Determinarea inversei matriceale folosind sisteme algebrice liniare; Matrice polinomiale; Polinoame matriceale; Teorema Cayley –Hamilton;; Algoritmul Krîlov pentru calculul polinomului caracteistic şi a adjunctei.

Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestui modul este de 3 ore.

LII. 1.1. CALCULUL INVERSEI UNEI MATRICE PĂTRATICE PRIN METODA

SISTEMELOR LINIARE

Reamintim că inversa unei matrice pătratice de ordinul n, ( ij )A a= este o

altă matrice pătratică de ordinul n, ( )ijX x= care îndeplineşte condiţia:

nA X I⋅ = . Matricea X care să îndeplinească condiţia menţionată există dacă şi numai dacă şi în acest caz ea este unic determinată şi îndeplineşte şi

condiţia ( )det 0X ≠

nX A I⋅ = . Ea se notează 1A− . Considerăm cunoscut faptul că matricea A este inversabilă (adică

şi ne propunem să calculăm inversa ei. Relaţia ( ) )det 0A ≠ nA X I⋅ = se scrie dezvoltat astfel:

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ... 1 0 ... 0

... ... 0 1 ... 0.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... 0 0 ... 1

n n

n n

n n nn n n nn

a a a x x xa a a x x x

a a a x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

25

Page 26: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Egalând cele elemente ale matricei produs din membrul stâng cu elementele corespunzătoare ale matricei din membrul drept se obţine un sistem liniar de ecuaţii cu necunoscute: elementele

2n

2n 2n ijx ale matricei căutate X. Aşadar calculul inversei matricei A se reduce la rezolvarea acestui sistem liniar. El prezintă unele particularităţi care fac ca rezolvarea lui să fie foarte simplă.

Pentru început să scriem ecuaţiile care egalează elementele de pe prima coloană a matricei produs din membrul stâng cu elementele primei coloane a matricei din dreapta:

11 11 12 21 1 1

21 11 22 21 2 1

1 11 2 21 1

... 1... 0

................................................... 0

n n

n n

n n nn n

a x a x a xa x a x a x

a x a x a x

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

.

Observăm că în aceste n ecuaţii intervin numai necunoscutele aflate pe prima coloană a matricei X, în număr de n, deci aceste ecuaţii formează un subsistem.

Matricea coeficienţilor necunoscutelor este tocmai matricea A pe care vrem s-o inversăm. . Dacă scriem ecuaţiile care egalează elementele celei de a doua coloane a matricei produs din membrul stâng cu elementele celei de a doua coloane a matricei din dreapta, obţinem iarăşi un subsistem având ca necunoscute elementele de pe a doua coloană a matricei căutate X. Matricea coeficienţilor necunoscutelor este tot matricea A, dar coloana termenilor liberi este a doua coloană a matricei nI . Aşadar rezolvarea sistemului de ecuaţii cu necunoscute se reduce la rezolvarea a n sisteme fiecare de câte n ecuaţii cu n necunoscute.

2n 2n

Deoarece toate aceste sisteme au aceeaşi matrice a coeficienţilor, ele se pot rezolva simultan: ataşăm matricei A nu numai o coloană de termeni liberi ci coloanele celor n sisteme, care constituie laolaltă matricea nI .

Folosind metoda eliminării succesive expusă în capitolul anterior urmează ca acestei matrice extinse să se aplice nişte transformări numite iteraţii:

( ) ( ) ( ) ( )(1) (1) (2) (2) ( ) ( )... n nn n n nA I A I A I A I⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =

26

Page 27: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( ) ( ) ( )( )11 12 111 11 12 1( ) ( ) ( )( )

21 22 221 22 222

( ) ( ) ( )( )1 2

...0 ... 0 ...1 0 ... 0...0 1 ... 0...0 ... 0

... ... ... ..... ... ... ...... ... ... ...... ... ... ...0 0 ... 1...0 0 ...

n n nnn n

n n nnnn

n n nnnnnn n n

b b ba b b bb b bb b ba

b b ba

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 1

....n n nnb b b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ultima matrice s-a obţinut din penultima împărţind prima linie la , a

doua la şi aşa mai departe. Folosind prima coloană de termeni liberi obţinem forma finală la care a ajuns primul sistem după cele transformări:

( )11

na( )22na

1n +

11 21 1 11

11 21 1 21

11 21 1 11

1 0 ... 00 1 ... 0

...........................................0 0 ... 1

n

n

n

x x x bx x x

x x b

⋅ + ⋅ + + ⋅ =⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ + ⋅ + + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ + ⋅ + + ⋅ =⎝ ⎠

b,

adică

11 11

21 21

1 1

........

n n

x bx b

x b

=⎧⎪ =⎪⎨⎪⎪ =⎩

.

Scriind formele finale ale celorlalte sisteme obţinem că ij ijx b= pentru

orice i şi j, adică ( )1ijA X b− = = .

Aşadar schema algoritmului este următoarea: Se ataşează matricei A matricea nI . Acestei matrice extinse i se aplică

transformări astfel că în final pe locul matricei A va apare matricea 1n + nI . În acel moment, pe locul ocupat iniţial de nI va apare matricea căutată 1A− :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1) (1) (2) (2) ( ) ( ) 1... n nn n n n nA I A I A I A I I A−⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ .

Observaţie Dacă ( )det 0A = , adică rang A n< , atunci procesul de iteraţie se încheie după mai puţin de n iteraţii şi cel puţin unul dintre sisteme apare ca incompatibil. Prin urmare nu este nevoie să verificăm în prealabil dacă

: dacă această condiţie nu este îndeplinită algoritmul dă ca rezultat faptul că matricea A nu are inversă.

( )det 0A ≠

27

Page 28: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Exemplu

Ne propunem să calculăm inversa matricei , având

elementele în corpul claselor de resturi modulo 5.

2 4 1 21 3 2 43 1 3 44 0 1 3

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

2 4 1 2 1 0 0 0 2 4 1 2 1 0 0 01 3 2 4 0 1 0 0 0 2 3 1 4 2 0 03 1 3 4 0 0 1 0 0 0 3 2 2 0 2 04 0 1 3 0 0 0 1 0 4 3 3 1 0 0 2

A B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⇒ ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 0 0 0 1 2 0 0 4 0 0 0 1 2 0 00 2 3 1 4 2 0 0 0 2 0 4 2 2 3 00 0 1 4 4 0 4 0 0 0 1 4 4 0 4 00 0 4 2 1 2 0 4 0 0 0 1 0 2 4 4

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⇒ ⇒⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⇒⎟⎟⎟⎠

( )14

4 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 4 3 0 00 2 0 0 2 4 2 4 0 1 0 0 1 2 1 20 0 1 0 4 2 3 4 0 0 1 0 4 2 3 40 0 0 1 0 2 4 4 0 0 0 1 0 2 4 4

I A−

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⇒ ⇒ =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

LII.1.2. MATRICE POLINOMIALE, POLINOAME MATRICEALE. TEOREMA HAMILTON-CAYLEY

Definiţii. Exemple O matrice polinomială înseamnă o matrice alcătuită din polinoame.

Pentru cerinţele dezvoltării acestui capitol ne putem mărgini la matricele polinomiale pătratice de ordin oarecare n. O astfel de matrice se poate scrie în felul următor:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

nij

n n nn

p p pp p p

P p

p p p

⎛ λ λ λ ⎞⎜ ⎟λ λ λ⎜ ⎟λ = = λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ λ⎝ ⎠

28

Page 29: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

în care este un polinom având coeficienţii într-un corp comutativ K.

( ) (0) (1) (2) ( )2 ... r rij ij ij ij ijp p p p pλ = + ⋅ λ + ⋅ λ + + ⋅ λ

Numărul natural r nu este exact gradul polinomului: el este cel mai mare dintre gradele polinoamelor ( )p λ . Aceasta înseamnă că pentru unele polinoame

, elementul poate fi nul. ( )ijp λ ( )rijp

Notând ( )( )( ) kkijP p= matricea constituită din coeficienţii de grad k ai

tuturor polinoamelor putem scrie matricea ( )ijp λ ( )P λ sub forma:

(0) (1) (2) 2 ( )( ) ... r rP P P P Pλ = + ⋅ λ + ⋅ λ + + ⋅ λ

care este un polinom având drept coeficienţi matricele ( ) ( ) ( )0 1, ,..., nP P P şi care din acest motiv se numeşte polinom matriceal. Aşadar orice matrice polinomială se poate scrie sub forma de polinom matriceal şi, fireşte, invers: de la forma de polinom matriceal se poate trece la forma de matrice polinomială.

Între cele două forme remarcăm totuşi următoarea deosebire: în forma de polinom matriceal variabila λ se poate înlocui atât cu un element din corpul K, dar şi cu o matrice pătratică de ordinul n pe când în forma de matrice polinomială variabila λ se poate înlocui numai cu un element din corpul K.

Exemple 1) Fie ( ) 2

0 1 2 ... rrf a a a aλ = + ⋅ λ + ⋅ λ + + ⋅ λ un polinom cu coeficienţi

scalari (adică elemente din corpul K). Acestui polinom i se poate ataşa un polinom matriceal care se poate scrie şi sub forma matriceală:

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )2 2

0 1 2 2

0 ... 00 ... 0... ... ... ...0 0 ...

... .

f n

rn n n n r n

ff

P f I

f

a I a I a I a I a I

⎛ λ ⎞⎜ ⎟λ⎜ ⎟λ = λ ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

= ⋅ + ⋅ ⋅ λ + ⋅ ⋅ λ + ⋅ ⋅ λ + + ⋅ ⋅ λ

După cum am menţionat, în forma de polinom matriceal, variabila λ se poate înlocui cu o matrice pătratică de ordinul n, să zicem A , şi obţinem:

( ) 20 1 2 ... r

f nP A a I a A a A a A= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅r

Convenim să notăm simplu ( )f A această matrice (în loc de ) şi observăm următoarea regulă de înlocuire a unei matrice A într-un polinom scalar: se înlocuieşte variabila cu matricea A, iar termenul liber se înmulţeşte cu matricea

( )fP A

nI .

29

Page 30: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

2). Fiecărei matrice pătratice A de ordinul n i se asociază polinomul matriceal de gradul unu: ( )A nP Aλ = − λ ⋅ I a cărui formă matriceală este:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...( )

... ... ... ......

n

nA n

n n nn

a a aa a a

P A I

a a a

− λ⎛ ⎞⎜ ⎟− λ⎜ ⎟λ = − λ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− λ⎝ ⎠

.

Determinantul acestei matrice este un polinom (scalar) de gradul n în variabila λ, care se notează ( )Aϕ λ şi se numeşte polinomul caracteristic al matricei A. Coeficientul de gradul n al acestui polinom este, după cum se poate observa, ( . )1 n−

Pentru uniformitate scriem acest polinom sub forma:

( ) ( ) ( ) ( )21 21 2 1( 1) 1 1 ... 1n nn n n n

A n n−− −

−ϕ λ = − ⋅ λ + − σ ⋅ λ + − σ ⋅ λ + + − σ ⋅ λ + σ ,

unde am notat coeficientul de gradul rσ n r− al polinomului caracteristic, cu

semnul alternat ( . )1 r−Acest polinom joacă un rol important în calculul matriceal şi de aceea

prezintă interes modalităţile de calculare a coeficienţilor săi. În primul rând să observăm că

( ) ( )0 detn A Aσ = ϕ = .

Pe de altă parte, din formula de definiţie a dezvoltării determinanţilor rezultă că termenul de gradul 1n − al polinomului se obţine din produsul elementelor de pe diagonala matricei nA I− λ ⋅ , adică din produsul:

. Rezultă că: ( ) ( ) (11 22 ... nna a a− λ ⋅ − λ − λ)

1 11 22 ... nna a aσ = + + + ,

care este suma elementelor de pe diagonala matricei A. Această sumă se notează şi se numeşte urma matricei A. ( )Tr A

În general se calculează după următoarea regulă: este suma minorilor de ordin r ai matricei A care au diagonala suprapusă peste diagonala matricei A. După cum se observă această regulă este îndeplinită de

1σ şi de . nσ

Teorema Hamilton-Cayley Pentru orice matrice A, este îndeplinită egalitatea: ( ) 0A Aϕ = .

Demonstraţie Egalitatea din enunţ se poate scrie desfăşurat astfel:

30

Page 31: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( ) ( ) ( ) ( )1 21 21 2 11 1 1 ... 1n n nn n n

n n nA A A A− −− −−− + − σ ⋅ + − σ ⋅ + + − σ ⋅ + σ ⋅ 0I =

)

.

în care 0 din membrul drept înseamnă matricea pătratică nulă de ordinul n. Considerăm matricea ( nA I ∗− λ ⋅ adică adjuncta matricei ( )nA I− λ ⋅ .

Potrivit metodei complemenţilor algebrici de calculare a inversei unei matrice pătratice rezultă:

( ) ( ) ( )1detn n

nnA I A

A I∗− λ ⋅ ⋅ − λ ⋅ =

− λ ⋅I I .

Folosind notaţia introdusă anterior, ( ) ( )detA nA Iϕ λ = − λ ⋅ , egalitatea de mai sus se poate scrie astfel:

( ) ( ) ( )n n A nA I A I I∗− λ ⋅ ⋅ − λ ⋅ = ϕ λ ⋅ .

În această ultimă egalitate ambii membri sunt matrice polinomiale. Variabila λ nu se poate înlocui cu o matrice. Dar matricele polinomiale pot fi scrise ca polinoame matriceale în care variabila λ poate fi înlocuită cu matricea A. În membrul stâng se obţine matricea nulă din cauza factorului ( )nA I− λ ⋅ . Membrul drept devine tocmai ( )A Aϕ . Q.E.D.

Aplicaţie Relaţia demonstrată oferă o formulă de calculare a inversei unei matrice pătratice în funcţie de puterile ei. Presupunem cunoscut faptul că matricea A este inversabilă. Înmulţind ambii membri ai egalităţii cu matricea ( ) 0A Aϕ = 1A− se obţine:

( ) ( ) ( )11 21 11 1 ... 1n nn n

n n nA A I−− −−− + − σ ⋅ + + − σ ⋅ + σ ⋅ 1 0A− = .

De unde:

( ) ( ) ( )11 1 21

1 1 1 ... 1n nn nn n

nA A A−− − −

−− I⎡ ⎤= − ⋅ + − + + − ⋅ σ ⋅⎣ ⎦σ

.

Observaţii 1) Deşi formula obţinută exprimă inversa unei matrice în funcţie de puterile ei (până la ), aplicarea ei întâmpină o dificultate: ea presupune cunoaşterea coeficienţilor polinomului caracteristic.

1n −

Regula de calcul a lor, pe care am enunţat-o în secţiunea precedentă este practic aplicabilă pentru valori mici ale lui n şi anume cel mult egal cu 4. În secţiunea următoare vom elabora o metodă de calculare a coeficienţilor polinomului caracteristic.

31

Page 32: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

2) Condiţia că este implicată în formula de calculare a lui ( )det 0A ≠1A− : la numitor apare , care după cum se ştie este tocmai nσ ( )det A .

LII.1.3. FORMULELE LUI NEWTON

Valorile proprii ale unei matrice

În această secţiune vom dezvolta o metodă de calculare a coeficienţilor polinomului caracteristic:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1det 1 1 ... 1n nn n

A n nA I − −−ϕ λ = − λ ⋅ = − ⋅ λ + − σ ⋅ λ + + − σ ⋅ λ + σn

Notăm rădăcinile polinomului 1 2, ,..., nλ λ λ ( )Aϕ λ . Ele se numesc valorile proprii ale matricei A şi îndeplinesc relaţiile lui Viète:

1 21 2

1 2 1

1 2 1 3 1 2

1 ...

1 2

......

....................................

...

.........................................

rr

n

n n

i i i ri i i n

n n

≤ < < < ≤

λ + λ + + λ = σ⎧⎪λ λ + λ λ + + λ λ = σ⎪⎪⎪⎨ λ λ λ = σ⎪⎪⎪⎪λ λ λ = σ⎩

Deoarece ( )1 Tr Aσ = rezultă din prima formulă că:

( )1 2 ... Trn Aλ + λ + + λ = .

Deci: suma valorilor proprii ale unei matrice este egală cu urma

matricei. Valorile proprii ale unei matrice au şi următoarea proprietate interesantă:

Propoziţie Dacă sunt valorile proprii ale matricei A atunci sunt valorile proprii ale matricei

1 2, ,..., nλ λ λ 1 2, ,...,r r rnλ λ λ

rA . Demonstraţie

Din relaţia: ( ) ( )

( )1 2 3 2 2 2 ...

rr r ri n i n i n

r r r r ri i i i

A I A I A I

nA A A A− − − − −

− λ ⋅ = − λ ⋅ = − λ ⋅ ×

× + ⋅ λ + ⋅ λ + + ⋅ λ + λ ⋅ I

şi ţinând seamă că determinantul produsului de matrice este produsul determinanţilor matricelor se obţine:

32

Page 33: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( ) ( )

( )1 2 3 2 2 2

det det

det ...

r ri n i n

r r r r ri i i i

A I A I

nA A A A I− − − − −

− λ ⋅ = − λ ⋅ ×⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤× + ⋅ λ + ⋅ λ + + ⋅ λ + λ ⋅⎣ ⎦

sau:

( ) ( ) ( )1 2 3 2 2 2det . ...rr r r r ri A i i i i i nA

rA A A A− − − − −⎡ ⎤ϕ λ = ϕ λ ⋅ + ⋅ λ + λ + + ⋅ λ + λ ⋅⎣ ⎦I .

Aşadar, dacă , atunci ( ) 0A Iϕ λ = ( ) 0rA Iϕ λ = . Q.E.D.

Să notăm în continuare 1 2 ...r rr nS r= λ + λ + + λ . Deoarece sunt

valorile proprii ale matricei 1 2, ,...,r r r

nλ λ λrA înseamnă că sumele se pot calcula cu

uşurinţă: rS

( )Tr rrS A= . Vom stabili în continuare că dacă aceste sume sunt

cunoscute atunci calculul coeficienţilor rσ este foarte simplu.

Propoziţie Între sumele şi coeficienţii rS rσ sunt valabile următoarele relaţii:

( )

( ) ( )

1 1

2 1 2 2

3 1 2 2 1 3

11 1 2 2 1 1

11 1 2 2 1 1

02 0

3 0.................................

... 1 0..................................

... 1 1 0

rrr r r r r

n nn n n n n

SS SS S S

S S S S r

S S S S n

−− − −

−− − −

− σ =⎧⎪ − σ + σ =⎪⎪ − σ + σ − σ =⎪⎪⎨⎪ − σ + σ − + σ + − σ =⎪⎪⎪

− σ + σ − + − σ + − σ =⎪⎩

cunoscute sub numele de formulele lui Newton. Demonstraţie

Să exprimăm în două moduri derivata (formală, neavând semnificaţie topologică) polinomului . În primul rând, ( )Aϕ λ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

' 11 21

1

1 1 1 ... 1

... 1

n n n rn nA r

n

n n n r− −− −

ϕ λ = − λ + − − σ λ + + − − σ λ +⎡ ⎤⎣ ⎦+ + − σ

1n r− −

Pe de altă parte scriind: ( ) ( ) ( )( ) ( )1 21 ...nA nϕ λ = − λ − λ λ − λ λ − λ , putem

recalcula derivata polinomului caracteristic folosind regula de derivare a produsului:

33

Page 34: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1

...n

A A A AA

n ii=

ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ′ϕ λ = + + + =λ − λ λ − λ λ − λ λ − λ∑ .

Câtul ( )A

i

ϕ λλ − λ

urmează să-l calculăm folosind schema lui Horner:

nλ 1n−λ 2n−λ … n r−λ … 0λ

( )1 n− σ ( ) 1

11 n−− σ ( ) 221 n−− … ( )1 n r

r−− σ … nσ

( )1 n− ( )1 ni− λ

( ) 1

+ +

11 n−+ − σ

( ) 21 ni− λ

( ) 1

11 ni

−+ − σ λ( ) 2

21 n−+ − σ

( ) ( ) 1 111 1n nr r

i i− −− λ + − σ λ +

( ) 2 221 ...n r

I− −+ − σ λ + +

r

( ) ( )1

11 1n r n rr I

− + −−+ − σ λ + − σ

…( )A iϕ λ

Coeficientul de grad al derivatei polinomului se obţine

însumând după i coeficientul de grad

1n r− − ( )Aϕ λ

1n r− − al câtului ( )A

i

ϕ λλ − λ

, care se află în

coloana lui : n r−λ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 11 21 2 1

11 2 1

1 1 2 2 1 1

1 1 1 ... 1 1

1 1 1 ... 1 1

nn n n n r n rr r r

i i i r ii

n n n n r n rr r r rS S S S n

− − − + −− −−

=− − − + −

− − −

⎡ ⎤− λ + − σ λ + − σ λ + + − σ λ + − σ =⎣ ⎦

= − + − σ + − σ + + − σ + − σ

∑ r

r

σ

r− =

În cealaltă expresie a derivatei coeficientul de grad este

. 1n r− −

( ) ( )1 n rrn r−− −

Deci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 11 1 2 2 1 11 1 1 ... 1 1

1

n n n n r n rr r r r

n rr

S S S S n

n r

− − − +− − −

− + − σ + − σ + + − σ + − σ

= − − σ

Înmulţind ambii membri ai acestei relaţii cu ( )1 n− şi trecând totul în membrul stâng se obţine:

( ) ( )11 1 2 2 1 1... 1 1 0r r

r r r r rS S S S r−− − −− σ + σ − + − σ + − σ = .

adică tocmai relaţia generică din enunţ. Q.E.D.

34

Page 35: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Exemplu

Fie matricea: ,

2 1 3 03 1 2 43 4 2 41 2 1 3

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

având elementele în corpul claselor de resturi modulo cinci. Ne propunem să calculăm polinomul caracteristic al matricei A folosind formulele lui Newton şi apoi inversa matricei A.

Mai întâi calculăm puterile matricei A:

2

1 0 4 14 0 4 43 3 0 14 3 2 1

A A A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; ; 3 2

0 4 2 44 3 4 31 3 1 04 2 3 3

A A A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

4 3

2 0 1 12 4 4 24 3 1 11 4 0 4

A A A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

din care apoi obţinem: 1 Tr 3S A= = ; 22 Tr 2S A= = ; ;

.

33 Tr 2S A= =

44 Tr 1S A= =

Înlocuind în formulele lui Newton se obţine: 1 3σ = ; ; ; şi deci:

2 1σ = 3 3σ =

4 3σ =

1 3 2 3 21 2 3 4 4

4

3 0 4 30 3 2 01 3 2 20 4 0 34 0 4 0

A A A A I A A A I−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − σ + σ − σ = + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟σ⎜ ⎟⎝ ⎠

LII.1.4. ALGORITMUL LUI KRÂLOV Teoremă

Dată fiind matricea pătratică A de ordinul n considerăm şirul de operaţii:

1A A= 1 11Tr( )1

p A= 1 1 1 nB A p I= −

2 1A AB= 2 21 Tr( )2

p A= 2 2 2 nB A p I= −

35

Page 36: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

3 2A AB= 2 3

1 Tr( )3

p A= 3 3 3 nB A p I= −

……..… ………….… ……….........…

1n nA AB −= 1 Tr( )n np An

= n n nB A p In= −

Pentru orice sunt îndeplinite relaţiile: 1,2,...,r = n

( ) 11 rr rp −= − σ ;

( ) ( )11 21 1 1... 1 1r rr r r

r rB A A A A I−− −−= − σ + σ − − σ + − σr n

n

.

Demonstraţie Folosim metoda inducţiei. – Etapa de verificare:

( ) ( ) ( )1 11 1 1Tr Tr 1p A A −= = = σ = −

( )111 1 1 1 11n nB A p I A I A I= − = − σ = + − σ .

– Etapa de demonstraţie: Ipoteza: Pentru orice k r , <

( ) 11 kk kp −= − σ ,

( ) ( )11 21 2 1... 1 1k kk k k

k kB A A A A I−− −−= − σ + σ − + − σ + − σk n .

Concluzia

( ) 11 rr rp −= − σ ,

( ) ( )11 21 2 1... 1 1r rr r r

r rB A A A A I−− −−= − σ + σ − + − σ + − σr n .

Demonstraţie

( ) ( )( 21 2 31 1 2Tr Tr Tr ... 1 rr r r

r r r rrp A AB A A A A A−− − −− −

⎡= = = − σ + σ − + − σ⎢⎣

( )

2 +

) ( )( )1 11 21 1 2 11 Tr ... 1r rr r r

r n rI A A A A− −− −− −

⎤+ − σ = − σ + σ − + − σ =⎥⎦

36

Page 37: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

.

( ) 11 1 2 2 1 1 1 2 2... 1 ...r

r r r r r r rS S S S S S S−− − − −= − σ + σ − + − σ = − σ + σ − +

1 2 2 ...

rr

( ) ( ) ( ) [11 11 1 1r r r

r r r r r rS r r S S S−− −

⎡ ⎤+ − σ + − σ − − σ = − σ + σ − +⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 11 1 1 0 1 1r r r r r

r rS r r r− −⎤+ − σ + − σ − − σ = − − σ = − σ⎦

În penultima egalitate am folosit egalitatea generică din formulele lui Newton:

( ) ( )11 1 2 2 1... 1 1 0r r

r r r r rS S S S r−− −− σ + σ − + − σ + − σ = .

Începutul şi sfârşitul din şirul de egalităţi de mai sus dă:

de unde rezultă relaţia cerută:

( ) 11 rr rrp r−= − σ

( ) 11 rr rp −= − σ .

Pentru a doua egalitate: 1 2 3

1 1 2 ...r r rr r r n r r nB A p I AB p I A A A A− − −

− ⎡= − = − = − σ + σ −⎣ +

...

rn

( ) ( ) ( )2 1 1 1 22 1 1 21 1 1r r r r r r

r r n r nA I I A A A− − − − −− −

⎤+ − σ + − σ − − σ = − σ + σ − +⎦

( ) ( )111 1r

r rA I−−+ − σ + − σ . Q.E.D.

Aplicaţie Din teorema de mai sus, folosind teorema Hamilton-Caylay, rezultă:

( ) ( ) ( )11 21 2 1... 1 1 0n nn n n

n nB A A A A I A−− −−= − σ + σ − + − σ + − σ = ϕ =n n A

n

.

Pe de altă parte din 1n n n n n nB A p I AB p I−= − = − se obţine: 1n n n nAB B p− = + I adică:

11

1n

nA B

p−

−= .

Observaţie Ţinând seamă de expresia lui 1nB − egalitatea de mai sus este identică cu

cea rezultată din teorema Hamilton-Caylay. Important este însă faptul că 1nB − şi deci şi 1A− se obţine prin algoritmul descris în teorema de mai sus.

Exemplu

Ne propunem să calculăm inversa matricei 5 1 33 0 40 2 2

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

37

Page 38: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

1

5 1 33 0 40 2 2

A A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

( )1 1Tr 3p A= = 1

2 1 33 3 40 2 5

B−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2

7 4 46 5 116 10 18

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 21 Tr( ) 152

p A= = 2

8 4 46 10 116 10 3

B− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

3 2

28 0 00 28 00 0 28

A AB−⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

3 31 Tr( ) 283

p A= = − 3 3 3 3 0B A p I= − =

Se observă că s-a verificat relaţia 3 0B = şi s-a obţinut:

12

3

8 4 41 1 6 10 11

286 10 3

A Bp

−− −⎛ ⎞

− ⎜ ⎟= = − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

LII.1.5. PROBLEME PROPUSE PP.II.1.5.1 Pentru matricea

1,5 3, 2 6 4 1 0,33,6 2,5 1,8 0,6 0 2

3 5 0,7 1,4 4,2 01 2 3 1,8 11 0

3,2 0,5 2,5 1,1 3,8 4,65 1 0,5 0 3 4

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −

= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

să se determine inversa folosind metoda bazată pe sisteme liniare. PP.II.1.5.2 Fie matricea reală

2 4 1 21 3 2 43 1 3 44 0 1 3

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cu elemente din corpul claselor de resturi modulo 7. Să se determine inversa folosind metoda bazată pe tabloul extins.

38

Page 39: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

PP.II.1.5.3 Fie matricea reală 2 1 3 03 1 2 43 4 2 41 2 1 3

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cu elemente din corpul claselor de resturi modulo 5. Să se determine polinomul caracteristic folosind formulele Newton şi apoi să se determine inversa sa.

39

Page 40: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

LECŢIA II.2

MATRICE STRUCTURATE În această lecţie ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Definirea matricelor structurate pe blocuri; Operaţiile uzuale cu matrice structurate pe blocuri; Calculul rangului unei matrice structurate pe blocuri; Rezultate referitoare la rangul matricelor compuse prin operaţiile

elementare; Teoreme fundamentale referitoare la rang matriceal.

Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestui modul este de 3 ore.

L.II.2.1 OPERAŢII CU MATRICE ÎMPĂRŢITE ÎN BLOCURI

Înmulţirea matricelor cu ajutorul blocurilor

Convenim să marcăm astfel: ( , )m n

A faptul că A este o matrice de tip ( ) adică având m linii şi n coloane.

,m n

După cum se ştie pentru ca două matrice să se poată aduna ele trebuie să aibă acelaşi tip. Rezultatul adunării este o matrice de acelaşi tip cu matricele care se adună.

( , ) ( , ) ( , ), (

m n m n m n)A B A⎛ ⎞→ +⎜ ⎟

⎝ ⎠B

În ceea ce priveşte înmulţirea, pentru ca să se poată efectua produsul AB trebuie ca numărul coloanelor primei matrice să fie egal cu numărul liniilor celei de a doua matrice, iar rezultatul înmulţirii lor are atâtea linii câte are prima matrice şi atâtea coloane câte are a doua matrice:

( , ) ( , ) ( , )m n n p m pA B A⎛ ⎞→⎜ ⎟

⎝ ⎠B

40

Page 41: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Fie matricea A de tip ( şi să-i împărţim cele m linii într-un număr r de grupe:

),m n

1 2 ... rm m m m= + + +

şi analog cele n coloane:

1 2 ... sn n n n= + + +

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

L

L

L L L L

K

m1

m2

mr

M

... Trasând linii despărţitoare între grupele de linii şi de coloane matricea apare împărţită în submatrice numite blocuri sau celule:

ns n2 n1

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

s

s

r r rs

A A AA A A

A

A A A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

în care ( , )i j

ijm nA este blocul aflat la intersecţia grupei i având linii cu grupa im j

având coloane. Aşa cum s-a menţionat, tipul acestei matrice este . jn ( ),i jm n

Fie acum o altă matrice B, de tip ( ),n p , astfel că se poate efectua produsul AB şi să considerăm o astfel de împărţire în blocuri a acestei matrice încât să se îndeplinească următoarea condiţie: gruparea liniilor lui B coincide cu gruparea coloanelor lui A. Deci:

1 2 ... sn n n n= + + + ,

iar

1 2 ... tp p p p= + + + ,

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

t

t

s s st

B B BB B B

B

B B B

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

41

Page 42: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Dacă în loc de blocurile ijA şi ijB ar fi scalari atunci s-ar putea obţine o matrice:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

t

t

s s s

C C CC C C

C

C C C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠t

de tip ( ) . Dar deoarece 1

, în care s

ij ik kjk

r t C A B=

=∑ şi ij ijA B sunt matrice, se pun

două probleme: în primul rând dacă se pot efectua produsele lk kjA B , iar în al doilea rând dacă aceste produse se pot aduna. Deoarece ikA are tipul ( ), , iar i k kjm n B are tipul rezultă că se pot efectua aceste produse. Pe de

altă parte matricea produs este de tip ( ,k jn p )

( ),I jm p care nu depinde de k. Aşadar toţi termenii sumei care-l definesc pe sunt matrice de acelaşi tip, deci se pot aduna.

ijC

Pe de altă parte să considerăm matricea produs AB pe care s-o împărţim în blocuri după următoarea grupare a liniilor şi coloanelor: 1 2 , ;rm m m m= + +K

1 2 tp p p p= + K . Se pune problema dacă această matrice coincide cu matricea C, formată din blocurile menţionate mai sus. Răspunsul este afirmativ, dar demonstraţia formală ar fi destul de încâlcită şi nu ar aduce nimic nou în înţelegerea rezultatului care trebuie reţinut: Două matrice se pot înmulţi cu ajutorul blocurilor dacă gruparea coloanelor primei matrice coincide cu gruparea liniilor celei de a doua matrice. Rezultatul este o matrice împărţită în blocuri având atâtea linii de blocuri câte are prima matrice şi atâtea coloane de blocuri câte are a doua matrice.

Exemple Pentru o matrice oarecare A de tip ( ),m n se pot considera următoarele celulări remarcabile:

1) Celularea pe linii. Cele m linii ale matricei A se împart în m grupe, câte o linie în fiecare grupă în timp ce coloanele se înglobează, toate n, într-o singură grupă. Matricea A va avea aşadar m linii de blocuri şi o singură coloană de blocuri:

1

2

...

m

a

aA

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

42

Page 43: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

în care este linia i a matricei A. ( 1 2 ...i i imia a a a∗ = ⋅ ⋅ ) 2) Celularea pe coloane. De această dată se înglobează toate cele m linii într-o singură grupă iar cele n coloane se distribuie în n grupe, câte o coloană în fiecare grupă. Matricea A va avea o singură linie de blocuri:

( )1 2 ... nA a a a∗ ∗ ∗= ,

blocurile fiind coloanele matricei A:

1

2

...

j

jj

mj

a

aa

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

3) Celularea într-un singur bloc. Grupăm atât cele m linii într-o singură grupă cât şi cele n coloane într-o singură grupă. Matricea A va avea o singură linie şi o singură coloană de blocuri, adică va fi constituită dintr-un singur bloc:

( )A A= .

4) Celularea trivială. Grupăm cele m linii în m grupe, câte una în fiecare grupă şi la fel, cele n coloane le distribuim în n grupe, câte una în fiecare grupă. Blocurile vor fi toate matrice cu o singură linie şi o singură coloană, în fond tocmai elementele matricei A.

Aplicaţii I) Considerăm pentru matricea A, de tip ( ),m n , celularea pe linii iar pentru matricea B, de tip , deci care se poate înmulţi cu A, celularea pe coloane. Înmulţirea se poate face cu ajutorul blocurilor deoarece atât coloanele matricei A, cât şi liniile matricei B sunt înglobate într-o singură grupă.

( ,n p)

2

n

a b∗ ∗( )1 1 1 2 11

2 2 1 2 21 2

1 2

...

......

... ... ... ... ......

n

nn

m m m m

a b a b a ba

a a b a bAB b b b

a a b a b a b

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

După cum se vede blocurile matricei produs sunt tocmai elementele acestei matrice, adică s-a obţinut celularea trivială. Din această exprimare a produsului a două matrice citim faptul că elementul de pe linia i şi coloana j a produsului a două matrice se obţine înmulţind linia i a primei matrice cu coloana j a celei de a doua matrice. II) Să calculăm acelaşi produs AB, dar considerând matricea A celulată pe coloane şi matricea B celulată pe linii. Înmulţirea se poate efectua cu ajutorul

43

Page 44: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

blocurilor deoarece atât coloanele primei matrice cât şi liniile celei de a doua matrice sunt grupate în n grupe, câte una în fiecare grupă. Rezultatul va avea o singură linie de blocuri (cât are prima matrice) şi o singură coloană de blocuri (cât are a doua matrice), adică matricea produs va fi alcătuită dintr-un singur bloc:

( ) (1

21 2 1 1 2 2... ...

...n n

n

b

b )nAB a a a a b a b a b

b

∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ +

.

Unicul bloc al matricei produs este scris ca suma a n matrice, una oarecare dintre ele fiind:

( )1 1 1 2 11

2 1 2 2 22* * 1 2

1 2

...

......

... ... ... ... ......

k k k k k kpk

k k k k k kpkk k k k kp

mk mk k mk k mk kp

a b a b a baa b a b a ba

a b b b b

a a b a b a b

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Această matrice are însuşirea că este de rang cel mult unu. Deci, produsul a două matrice se poate exprima ca suma a n matrice de rang cel mult unu. III) Pentru aceeaşi înmulţire a matricelor A şi B să considerăm pentru prima matrice celularea trivială, iar pentru a doua matrice celularea pe linii.

Coloanele primei matrice, la fel ca şi liniile celei de a doua matrice sunt grupate în n grupe, câte una în fiecare grupă, deci se poate face înmulţirea cu ajutorul blocurilor:

11 12 11 211 12 1 1*

21 22 221 22 2 2* 1 2

1 2 * 1 21 2

......

......... ... ... ... ... .......................................

... ...

n nn

nn n

m m mn n m m mn

a b a b a ba a a ba b a b a ba a a b

AB

a a a b a b a b a

∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗

+ + +⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠⎝ ⎠ nb ∗

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Matricea produs este acum constituită dintr-o singură coloană de blocuri, aceste blocuri fiind tocmai liniile matricei produs. Observăm că: Liniile matricei produs sunt combinaţii liniare de liniile celei de a doua matrice. Pentru linia i a produsului, coeficienţii combinaţiei liniare sunt elementele de pe linia i a primei matrice. IV) Efectuăm acelaşi produs AB luând pentru prima matrice celularea pe coloane, iar pentru a doua celularea trivială. Liniile primei matrice, la fel ca şi coloanele celei de a doua matrice sunt grupate în n grupe, câte una în fiecare, deci se poate efectua înmulţirea cu ajutorul blocurilor:

44

Page 45: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( )

()

11 12 1

21 22 2*1 *2 *

1 2

11 21 1 12 22 21 2 1 2

1 21 2

...

......

... ... ... ......

...

... .

p

pn

n n np

n nn n

p p np np

b b b

b b bAB a a a

b b b

b a b a b a b a b a b a

b a b a b a

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + + + + + +

+ + + +

K K

K

Avem acum informaţii despre coloanele matricei produs şi anume că ele sunt combinaţii liniare de coloanele primei matrice. Pentru coloana j a produsului coeficienţii combinaţiei liniare sunt elementele coloanei j a celei de a doua matrice. V) Pentru efectuarea produsului AB considerăm pentru matricea A celularea pe linii, iar pentru matricea B să considerăm celularea „într-un singur bloc”. Atât coloanele primei matrice, cât şi liniile celei de a doua matrice sunt înglobate într-o singură grupă deci se poate efectua înmulţirea cu ajutorul blocurilor:

( )

1 1

2 2

... ...

m m

a a

a aAB B

a a

∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

B

B

B

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

De aici rezultă că liniile matricei produs se obţin înmulţind (la stânga) liniile primei matrice cu cea de a doua matrice. VI) Efectuăm produsul AB luând pentru prima matrice celularea „într-un singur bloc”, iar pentru a doua celularea pe coloane. Înmulţirea se poate face cu ajutorul blocurilor:

( )( ) ( )1 2 1 2... ...p pAB A b b b Ab Ab Ab∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= =

de unde citim: coloanele produsului a două matrice se obţin înmulţind prima matrice (la stânga) cu coloanele celei de a doua matrice.

LII.2.2. UN ALT MOD DE SCRIERE A SISTEMELOR LINIARE

Fie sistemul liniar AX B= . Alegând pentru matricea A celularea pe

coloane, înmulţirea AX se poate efectua cu ajutorul acestora. În fond, rezultatul

45

Page 46: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

înmulţirii este o singură coloană, care se obţine înmulţind unica coloană a lui X cu linia celor n coloane ale matricei A:

1 21 2 ... Bn nx a x a x a∗ ∗ ∗+ + + = .

Scris sub această formă, compatibilitatea sistemului are următoarea semnificaţie: coloana B a termenilor liberi se poate scrie ca o combinaţie liniară de coloanele matricei A.

Rangul produsului a două matrice Propoziţie

( ) ( )rang min rang , rangAB A B≤ .

Demonstraţie Inegalitatea din enunţ este echivalentă cu două inegalităţi:

( )rang rangAB B≤ şi ( )rang rangAB A≤ .

Pentru a demonstra pe prima pornim de la matricea B căreia-i aplicăm un şir de transformări ajungând în final la matricea AB:

11

22

11 12 11 2

1 21 2

0... 0...

...0...0

... ...0 ...

nn

n n

m m mn n

bbbb

bB ABba b a b a b

AB

a b a b a b

∗∗

∗∗

∗∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ → → →⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Să observăm că prin aceste trei transformări rangul nu creşte ci cel mult se micşorează.

În prima transformare se adaugă matricei B, celulată pe linii, încă m linii nule. În a doua, liniile nule se înlocuiesc cu combinaţii liniare de primele n linii. Fiind vorba de acele transformări de tipul III, prin această transformare rangul rămâne iarăşi neschimbat. Pe de altă parte observăm că ultimele linii constituie tocmai matricea produs AB.

În a treia transformare se înlocuiesc primele n linii cu linii nule. Prin această transformare rangul s-ar putea să scadă, dar în orice caz nu poate să crească.

În ultima transformare se renunţă la primele n linii nule, transformare care nu modifică rangul. Rezultă că:

46

Page 47: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( )rang rangB AB≥ .

A doua inegalitate se demonstrează în mod analog. Q.E.D

LII.2.3. PROBLEME PROPUSE PP.II.2.3.1 Fie sistemul algebric liniar AX = B unde A şi B sunt

explicitate mai jos 1 2

3

A AA

O A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

BB

B⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

şi unde

1 3 2

3 1 21 2 1 2 1

, 0 1 2 ,2 2 0 1 5

1 0 0A A A

−⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥

⎤⎥− −⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥⎣ ⎦⎦

2−

1 2

0 01 5

, 12 1

1 6B B

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

a) Ce dimensiuni are blocul nul din A? b) Ce dimensiuni are solu ţia X? c) Scrieţi matricea X structurată pe blocuri compatibile dimensional cu

celelalte matrici din sistemul liniar dat; PP.II.2.3.2 Pentru sistemul algebric liniar dat anterior să se dea rezolvarea cea mai potrivită folosind în mod expres structurarea pe blocuri a matricilor componente. PP.II.2.3.3 Fie matricea A de forma generală 1 2

3

A AA

O A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

în care blocurile din diagonala sunt nesingulare. Daţi un algoritm de calcul al matricei inverse care să ţină cont de structura bloc triunghiulară.

TEST DE AUTOEVALUARE

TAev.II.1 Pentru matricea A explicitată în continuare

47

Page 48: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

1 1 21 0 22 5 3

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

să se determine inversa folosind metoda bazată pe sisteme liniare. TAev.II.2 Fie matricea reală

2 4 1 21 3 2 43 1 3 44 0 1 3

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cu elemente din corpul claselor de resturi modulo 7. Să se determine inversa folosind metoda bazată pe tabloul extins.

TAev.II.3 Fie matricea reală 2 1 3 03 1 2 43 4 2 41 2 1 3

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cu elemente din corpul claselor de resturi modulo 7. Să se determine polinomul caracteristic folosind formulele Newton şi apoi să se determine inversa sa.

TAev.II.4 Fie sistemul algebric liniar AX = B unde A şi B sunt explicitate mai jos

1 2

3

A AA

O A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

BB

B⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

şi unde

1 3 2

0 1 21 2 1 2 1

, 0 1 2 ,0 1 1 1 0

1 2 1A A A

−⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥− −⎣ ⎦

⎤⎥⎦

2−

1 2

0 11 0

, 02 1

1 0B B

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

d) Ce dimensiuni are blocul nul din A? e) Ce dimensiuni are solu ţia X? f) Scrieţi matricea X structurată pe blocuri compatibile dimensional cu

celelalte matrici din sistemul liniar dat; TAev.II.5 Fie matricea A de forma generală

48

Page 49: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

1

2 3

A OA

A A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

în care blocurile din diagonala sunt nesingulare. Daţi un algoritm de calcul al matricei inverse care să ţină cont de structura bloc triunghiulară.

TEST DE CONTROL

TC.2.1 Se consideră sistemul algebric liniar

1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4 5

5 3 6 22 2

7 48 1

1,5 2,5 3 1,5

x x x xx x x xx x x x

x x xx x x x x

− + + =⎧⎪ + − − =⎪⎪ − − + − = −⎨ + − = −⎪⎪ + + + + =⎪⎩

53

a) Să se scrie sistemul algebric liniar dat sub forma matriceală Ax=b; b) Să se determine forma Gauss a matricei A; c) Să se determine rangul matricei A; d) Să se rezolve sistemul dat folosind în mod expres forma Gauss a matricei A.

TC.2.2 Pentru sistemul algebric dat anterior să se analizeze compatibilitatea utilizând metoda Kronecker -Capelli.

TC.2.3 Fie sistemul algebric liniar Ax = b unde A si b sunt explicitate mai jos

1 0 1 11 1 3 4

A=1 1 9 161 1 27 64

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

11

11

b

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

a) Să se calculeze det (A); b) Să se determine inversa matricei A; c) Să se rezolve siatemul algebric dat folosind metoda Cramer.

TC.2.4 Fie sistemul algebric liniar Ax = b unde A si b sunt explicitate mai jos

49

Page 50: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

1 1 1 01 2 3 0

A=1 4 2 01 8 1

αα α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

0000

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a) Să se calculeze rangul matricei A, discuţie după parametrul dat; b) Cât este soluţia sistemului dacă rang (A)=4? c) Discuta ţi compatibilitatea sistemului în raport cu parametrul α.

TC.2.5 Pentru matricea A explicitată în continuare 1 1 21 5 22 1 0

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

să se determine inversa folosind metoda bazată pe sisteme liniare. TC.2.6 Fie matricea reală

2 1 1 31 2 1 01 0 3 20 0 1 3

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cu elemente din corpul claselor de resturi modulo 4. Să se determine inversa folosind metoda bazată pe tabloul extins.

TC.2.7 Fie matricea reală din exemplul precedent. Să se determine polinomul caracteristic folosind formulele Newton şi apoi să se determine inversa sa.

TC.2.8 Fie sistemul algebric liniar AX = B unde A şi B sunt explicitate mai jos

1

3

A OA

O A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

BB

B⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

şi unde

1 3 2

0 0 21 1 0 0 1

, 0 0 2 ,0 2 1 0 0

1 2 0A A A

−⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎤⎥⎦

2−

1 2

0 11 0

, 10 1

1 0B B

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

g) Ce dimensiuni are blocul nul din A? 50

Page 51: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

h) Ce dimensiuni are solu ţia X? i) Scrieţi matricea X structurată pe blocuri compatibile dimensional cu

celelalte matrici din sistemul liniar dat; TC.2.9 Fie matricea A de forma generală

1

3

A OA

O A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

în care blocurile din diagonala principală sunt nesingulare. Daţi un algoritm de calcul al matricei inverse care să ţină cont de structura bloc.

Bibliografie

1. Udrişte C., şa., -Probleme de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale,

Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 2. Ion D.I., R. Nicolae, -Algebra, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1982. 3. Flondor D., N. Donciu, -Algebră şi analiză matematică-culegere de

probleme, vol I Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978. 4. Otlăcan E., -Algebră superioară-îndrumar teoretic şi culegere de

probleme, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureşti, 1995. 5. Mânzatu E., Gârban V. –Algebră cu aplicaţii rezolvate la calculatorul

electronic, Editura Academiei Militare, Bucureşti, 1982.

51

Page 52: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

MODULUL III

CALCUL VECTORIAL Parcurgând acest modul ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Noţiunile de vector şi scalar; Operaţiile fundamentale de adunare a vectorilor şi de înmulţire cu scalari; Spaţii, subspaţii; Baze pentru spaţii şi subspaţii; Coordonate ale vectorilor în baze specificate; Schimbarea de baze; Produsul scalar; Produsul vectorial; Produs mixt.

Materialul prezentat are o logică matematică corectă, cu o înlănţuire firească a noţiunilor; de aceea se recomandă parcurgerea sa completă, în ordinea dată, inclusiv în porţiunea referitoare la aplicaţii. Metoda de studiu trebuie să fie cea specifică disciplinelor matematice, cu utilizarea expresă a adnotărilor făcute cu creionul pe tot parcursul textului. Vă recomandăm să vă constituiţi un caiet de probleme şi, pentru fiecare tip de exerciţiu, să vă fixaţi algoritmul de rezolvare pe etape. Rezolvaţi cât mai complet problemele propuse şi cele conţinute în testul de autoevaluare. Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestui modul este de 6 ore.

1

Page 53: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

LECŢIA III.1

NOŢIUNI FUNDAMENTALE REFERITOARE LA VECTORI ŞI SPAŢII VECTORIALE

În această lecţie ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Noţiunile de vector şi scalar; Operaţiile fundamentale de adunare a vectorilor şi de înmulţire cu scalari; Spaţii, subspaţii; Baze pentru spaţii şi subspaţii; Coordonate ale vectorilor în baze specificate; Schimbarea de baze;

Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestui modul este de 2 ore.

LIII.1.1 NOŢIUNEA DE VECTOR Noţiunea de vector se defineşte prin trei atribute ale sale: direcţia, mărimea şi sensul. În acest context cele trei atribute sunt considerate noţiuni primare, ele nu se definesc, precizăm doar că au înţelesul pe care le atribuie vorbirea obişnuită. Pentru elaborarea calculului vectorial folosim următoarea fixare a cadrului noţiunii de vector: orice vector se reprezintă printr-o săgeată în spaţiul fizic în care trăim. O săgeată oferă o direcţie bine determinată, o mărime (lungimea săgeţii) şi un sens, indicat de vârful săgeţii. Vectorul nu se identifică cu săgeata care-l reprezintă deoarece săgeata are încă un atribut pe lângă cele trei ale vectorului şi anume punctul de aplicaţie. Totuşi vectorul se identifică cu clasa tuturor săgeţilor care au aceeaşi lungime, direcţie şi sens.

Orice punct al spaţiului (fizic) este punctul de aplicaţie al unei săgeţi care reprezintă un vector dat. Pe de altă parte, dacă fixăm punctul de aplicaţie, există

2

Page 54: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

o singură săgeată care reprezintă un vector dat. Aşadar mulţimea (clasa) săgeţilor care reprezintă un vector dat are atâtea elemente câte puncte are spaţiul. Fixând un punct O al spaţiului, mulţimea vectorilor (pe care o notăm cu) se poate identifica cu mulţimea săgeţilor care au punctul de aplicaţie (sursa) în O. Într-un alt context, de exemplu în mecanică, este nevoie să se atribuie vectorului şi atributul de punct de aplicaţie. De pildă dacă două forţe au aceeaşi mărime şi direcţie şi sensuri contrare, ele vor avea efect nul dacă au acelaşi punct de aplicaţie şi un efect nenul dacă au puncte diferite de aplicaţie. În astfel de situaţii pentru a deosebi vectorul care se identifică cu o săgeată (având deci şi punct de aplicaţie) de cel în care se face abstracţie de punctul de aplicaţie (aşa cum se face în calculul vectorial) se obişnuieşte să se numească acesta din urmă vector liber. În alte situaţii este util să se identifice săgeţile care au punctul de aplicaţie pe o anumită dreaptă, obţinându-se astfel o altă noţiune de vector numit vector glisant(alunecător).

Convenţie de notaţie În calculul vectorial se operează simultan cu două feluri de mărimi: vectoriale şi numerice (care se mai numesc şi scalare).

Pentru a nu fi nevoie să se precizeze de fiecare dată natura mărimilor cu care se operează se obişnuieşte să se adopte o notaţie care să distingă mărimile vectoriale de cele scalare. Foarte adesea se marchează cu o săgeată sau o liniuţă orizontală deasupra literelor care desemnează vectori. În expunerea care urmează vom folosi litere greceşti pentru a desemna mărimi scalare şi litere latine pentru mărimi vectoriale: , ,..., , Rα β λ ξ∈ şi . , ,..., , ,a b u v w∈V

LIII.1.2 ADUNAREA VECTORILOR ŞI ÎNMULŢIREA VECTORILOR CU NUMERE. PROPRIETĂŢI

Adunarea vectorilor: definiţie, proprietăţi

Se poate defini în două moduri suma a doi vectori ,u v∈V : – Regula paralelogramului:

u

v u+v

Fig. 3.1

– Regula triunghiului:

3

Page 55: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

u

v

u + v

Fig. 3.2

Se reprezintă vectorul v prin săgeata care are originea în capătul săgeţii care-l reprezintă pe u . Vectorul u v+ este reprezentat de săgeata care are originea comună cu originea lui u şi capătul comun cu capătul lui v. Evident că ambele reguli conduc la acelaşi rezultat.

Proprietăţile adunării 1. Comutativitatea: . Regula paralelogramului conţine deja o

simetrie relativ la vectorii u şi v. u v v u+ = +

2. Asociativitatea: ( ) ( ) . u v w u v w+ + = + +

u

v

wv+w

u+v

(u+v)+w

u+(v+w)

Fig. 3.3

3. Elementul de efect nul: Completăm mulţimea cu un element pe care-l notăm θ∈V definit ca vectorul reprezentat de o săgeată care are originea şi capătul în acelaşi punct. Folosind regula triunghiului este evident că = şi u uu u+ θ θ + = pentru orice u∈V .

4. Elementul opus: Vectorului u îi asociem vectorul ( )u− reprezentat de săgeata care originea în capătul lui u şi capătul în originea lui u. Folosind regula triunghiului este evident că şi

. ( )u u+ − = θ

( )u u− + = θÎn concluzie: Mulţimea V a vectorilor cu operaţia de adunare, ( este

grup abelian. ),+V

Înmulţirea vectorilor cu numere

4

Page 56: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Definiţie Notăm v lungimea unui vector V . Pentru orice Rα∈ şi v∈V definim vectorul vα astfel: – direcţia lui vα coincide cu direcţia lui v. – v a vα = . – Sensul lui vα este acelaşi cu al lui v dacă 0α > şi opus lui v dacă

0α < . Rămâne de analizat cazul când 0α = , în care nu se precizează sensul. Dar

din faptul că 0 0v v= = 0 , rezultă că 0v = θ şi deci vectorul 0 nu are direcţie şi nici sens.

v

Proprietăţi 1. . ( )u v u vα + = α + α2. u+ β . ( )u uα + β = α

u uαβ =3. )α β . ( ) (4. 1u u= .

Demonstraţie

O A C

D

B

u

vu+v

αu

αv

α(u+v)

αu+αv

D’

Fig. 3.4

Pentru a demonstra prima proprietate să presupunem că 0 (şi chiar ) şi să observăm că triunghiurile OAB şi OCD sunt asemenea, deoarece:

α >1α >

u vOC CDOA u v AB

α α= = α = α = = , iar AB fiind paralelă cu CD rezultă că unghiul

A este egal cu unghiul C.

5

Page 57: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Din asemănarea triunghiurilor rezultă că unghiurile AOB şi COD sunt egale, adică OD trece prin B. Rezultă că vectorii ( )a u v+ şi au aceeaşi direcţie şi sens.

uα +αv

Din asemănarea celor două triunghiuri mai rezultă că , iar pe de altă parte

CD AB= α( )CD u v u v AB= α + = α + = α . Deci vectorii şi

au şi aceeaşi mărime. ( )u vα +

au av+ Cu modificări corespunzătoare ale figurii se demonstrează egalitatea vectorilor ce intervin în proprietatea 1) şi pentru cazul când , precum şi atunci când este între zero şi unu.

0α <α

Pentru proprietatea 2) să observăm că vectorii ( )uα + β şi au aceeaşi direcţie cu vectorul u . Dacă

uα + βuα şi β au acelaşi semn atunci vectorii

şi au acelaşi sens, iar ( )uα + β uα + βu α + β = α + β de unde rezultă

( )u u u u u u u uα + β = α + β = α + β = α + β = α + βu u

. Ultima egalitate se bazează pe faptul că vectorii α şi β au acelaşi sens. Dacă α şi β au semne contrare atunci, pe de o parte α + β = α − β , iar pe de altă parte vectorii având sensuri opuse(şi, aşa cum am spus, aceeaşi direcţie) rezultă că:

( ) ( ) ( )( ) ( ) .

u u u u u u u

u u u

α + β = α − β = α − β = α − β =

= α − β = α + β = α + β

La fel, în relaţia din proprietatea 3), vectorii ( )uαβ şi au aceeaşi direcţie cu u. În plus,

( uα β )( ) ( )u u u uα β = α β = α β = αβ = αβ u . Evident că au

acelaşi sens sau sens contrar faţă de u după cum α şi β au acelaşi semn sau sunt de semne contrarii.

În relaţia 4) vectorii u şi 1 au aceeaşi direcţie şi acelaşi sens (deoarece ), iar

u1 0> 1 1u u= = u . Q.E.D.

În concluzie, mulţimea V împreună cu cele două operaţii , are structură de spaţiu vectorial.

LIII.1.3 SUBSPAŢII, BAZE, COORDONATE

Definiţie

Se numeşte subspaţiu al spaţiului vectorial V o submulţime U a lui V care are proprietăţile:

1. Dacă ,u v U∈ atunci u v U+ ∈ . 2. Dacă u U∈ atunci u Uα ∈ pentru orice α∈ .

Evident că întregul spaţiu v, precum şi submulţimea formată numai din vectorul nul, , sunt subspaţii. Ele sunt exemple banale, dar trebuie menţionate în lista tuturor subspaţiilor, listă care va fi completată în continuare.

θ

6

Page 58: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Subspaţii de dimensiune 1

Fie d o dreaptă din spaţiu şi să notăm dV mulţimea vectorilor reprezentaţi de săgeţi situate pe dreapta d. Ţinând seamă de modul cum s-au definit operaţiile de adunare a vectorilor şi de înmulţire a numerelor cu vectori se deduce fără dificultate că dV este subspaţiu.

Evident că dacă dreptele d şi d ′ sunt paralele atunci d = dV V , iar dacă d şi nu sunt paralele atunci d ′ dV şi dV au un singur vector în comun: vectorul nul, . θ Considerăm acum un vector nenul a din subspaţiul dV . Din definiţia subspaţiului (şi de fapt se poate constata cu uşurinţă şi direct) pentru orice a∈ avem . Interesant este că este adevărat şi reciproc: Dacă , atunci există (şi este unic) un număr astfel încât u

daα ∈V du∈Vα au= .

O Ad

u

aP

Fig. 3.5

Într-adevăr, fixând punctul O pe dreapta d orice vector se reprezintă printr-o săgeată bine determinată având originea în O. Fie OA săgeata care reprezintă vectorul fixat a şi OP săgeata care reprezintă vectorul u. Avem:

unde u = αa OPOA

α = ± cu semnul (+ ) sau (− ) după cum vectorul u are acelaşi

sens sau sens opus faţă de a. Aşadar toţi vectorii subspaţiului dV se pot exprima cu ajutorul unui singur vector, vectorul a. Spunem că mulţimea formată de vectorul a constituie o bază a subspaţiului. Numărul α , bine determinat, care îndeplineşte condiţia

, se numeşte coordonata vectorului u în baza constituită de unicul vector a. u = αa

Orice vector, în afară de vectorul nul, poate să constituie o bază. Prezintă interes cazul în care baza este alcătuită dintr-un versor, adică un vector care are lungimea egală cu unitatea de lungime folosită. Există doi versori ai subspaţiului corespunzând celor două sensuri ale dreptei d.

În cazul unei astfel de baze coordonata unui vector este chiar lungimea vectorului, luată cu semnul + sau – după cum vectorul are acelaşi sens sau sensul opus vectorului bazei.

Subspaţiile dV au baze formate dintr-un singur vector, motiv pentru care ele se numesc subspaţii de dimensiune 1. Orice subspaţiu de dimensiune unu este de forma dV în care d este o dreaptă având direcţia vectorului bazei. Prin

7

Page 59: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

urmare sunt atâtea subspaţii de dimensiune egală cu unu câte direcţii sunt în spaţiu.

Subspaţii de dimensiune 2

Fie π un plan şi să notăm πV mulţimea vectorilor reprezentaţi de săgeţi situate în planul π . Faptul că mulţimea πV constituie un subspaţiu rezultă nemijlocit din definiţiile operaţiilor de adunare a vectorilor şi de înmulţire a vectorilor cu numere. Evident că dacă şi π ′π sunt două plane paralele atunci ′π = πV V iar dacă şi nu sunt paralele atunci notând cu d dreapta lor comună, atunci subspaţiile

π ′ππV şi ′πV vor avea în comun vectorii din subspaţiul

:d ′ ′π π π∩=I πV V V V . Să considerăm acum doi vectori necolineari, a şi b, în subspaţiul πV . Faptul că a şi b sunt necolineari înseamnă, din punct de vedere geometric, că nu pot fi reprezentaţi de săgeţi situate pe aceeaşi dreaptă iar din punct de vedere algebric, necolinearitatea înseamnă că nu există nici un număr astfel că

sau . Vom arăta că oricare ar fi un vector λ

a = λb ab = λ u π∈V există şi sunt unice numerele α şi β astfel încât u a b= α +β .

O a

b

A

B u

P

P1

P2

u1

u2

Fig. 3.6

Fixând un punct O al planului orice vector din πV se reprezintă printr-o săgeată bine determinată având originea în punctul O. Aşa cum se vede din figură vectorii şi u sunt reprezentaţi respectiv de săgeţile OA, OB, OP. ,a b

Paralela dusă prin P la OB taie dreapta OA în 1P iar paralela dusă prin P la OA taie dreapta OB în . Din regula paralelogramului rezultă că în care şi sunt vectorii reprezentaţi respectiv de săgeţile şi .

2P 1 2u u u= +

1u 2u 1OP 2OPDar şi a sunt vectori reprezentaţi de săgeţi având ca suport aceeaşi

dreaptă şi conform exemplului anterior există un număr 1u

α astfel încât 1u a= α . Analog există un număr β astfel încât 2u b= β . Rezultă că u a b= α + β .

8

Page 60: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Pentru a demonstra unicitatea numerelor α şi β presupunem că ar exista şi astfel încât . De aici rezultă că ′α ′β u a′ ′= α + β b ( ) ( )a b′ ′α − α + β − β = θ .

Dacă ar fi atunci: 0′α − α ≠ a b′β − β

= −′α − α

adică a ar fi colinear cu b.

În concluzie, orice vector din subspaţiul πV se exprimă în mod unic ca o combinaţie liniară a vectorilor fixaţi a şi b. Din acest motiv spunem că vectorii a şi b constituie o bază a subspaţiului πV . Numerele α şi , coeficienţii combinaţiei liniare u a , se numesc coordonatele vectorului u în baza constituită de vectorii a şi b.

βb= α +β

Prezintă interes cazul când vectorii bazei sunt versori ortogonali. În acest caz, baza se numeşte ortonormată. Un exemplu remarcabil de bază ortonormată este aceea constituită din versorii axelor unui sistem de axe ortogonale xOy . Aceşti versori au o notaţie consacrată: , respectiv i

rjr

. În prezentarea acestui exemplu vom adopta celălalt stil de marcare a vectorilor: cu săgeată deasupra literei ce desemnează vectorul respectiv.

O x

y

P(x,y)

ir

jr

Fig. 3.7

Folosind punctul O ca origine a săgeţilor orice vector este determinat de un punct al planului care reprezintă capătul săgeţii.

Relativ la sistemul de axe xOy orice punct P este determinat la rândul său de coordonatele sale carteziene x şi y.

Folosind baza constituită de vectorii irşi j

r, coordonatele vectorului de

poziţie al punctului oarecare P (adică ale vectorului OPuuur

) sunt tocmai coordonatele carteziene ale punctului P. Obţinem astfel legătura dintre calculul vectorial şi geometria analitică: Coordonatele vectorului de poziţie ale punctului P în baza constituită de versorii unui sistem de coordonate carteziene sunt tocmai coordonatele carteziene ale punctului P. În plus, coordonatele vectorului reprezentat de săgeata 1 2P P se obţin scăzând coordonatele carteziene ale sursei din coordonatele carteziene ale capătului vectorului.

9

Page 61: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Subspaţiile πV au baze formate din doi vectori şi de aceea ele se numesc subspaţii de dimensiune doi. Orice subspaţiu de dimensiune doi (având deci o bază constituită din doi vectori, să zicem a şi b) este de forma πV şi anume π este planul determinat de vectorii a şi b.

Subspaţii de dimensiune 3 Fie trei vectori necoplanari: . La fel ca şi în plan se poate arăta că orice vector se poate exprima în mod unic ca o combinaţie liniară de vectorii

şi din acest motiv spunem că vectorii constituie o bază. Coeficienţii scrierii unui vector ca o combinaţie liniară de vectorii bazei se numesc, la fel, coordonatele vectorului în acea bază.

, ,a b c

, ,a b c , ,a b c

Orice sistem de trei vectori necoplanari constituie o bază . Potrivit terminologiei adoptate mai înainte, deoarece spaţiul vectorial

1 2 3, ,e e eV are

baze formate din trei vectori înseamnă că el are dimensiunea trei. La fel ca şi în cazul spaţiilor bidimensionale prezintă interes bazele constituite din versori ortogonali doi câte doi, numite baze ortonormate. Folosindu-ne de baza ortonormată constituită din versorii axelor unui sistem de coordonate carteziene ortogonale obţinem aceleaşi reguli care fac legătura dintre geometria analitică şi calculul vectorial, reguli care au fost formulate mai sus pentru geometria analitică plană.

Oxyz

L.III.1.4 PROBLEME PROPUSE

PP.III.1.4.1 Să se arate că 3 vectori necoliniari , ,a b cr r r

pot forma un triunghi dacă . Să se exprime vectorii aşezaţi pe medianele 0a b c+ + =

r r r

,AM BNuuuur uuur

şi ale triunghiului CPuuur

ABC cu ajutorul vectorilor şi a BC=r uuur

b CA=r uuur

şi să se arate că ,AM BN

uuuur uuur şi pot forma un triunghi. CP

uuur

PP.III.1.4.2 În trapezul isoscel ABCD (cu baza mare AB ) se cunosc vectorii: , , a AB=

r uuurb AD=r uuur

BC b=uuur

şi 60A = o . Să se scrie vectorii

în funcţie de , , ,DC BC AC BDuuur uuur uuur uuur

arşi br

.

10

Page 62: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

PP.III.1.4.3 Să se arate că dacă 1 2, ,r r rr ur ur

sunt vectorii de poziţie a trei puncte coliniare 1 2, ,M M M , atunci există un scalar α astfel încât:

( )1 1r r rα α= + −r ur u

2r

(ecuaţia vectorială a dreptei 1 2M M ). PP.III.1.4.4 Să se determine valorile parametrilor reali şi pentru

care vectorii următori sunt coliniari: m n

2 3a i j n= − + + kr r r r

şi 6 2b mi j k= + +r r r r

. PP.III.1.4.5 Să se determine valoarea parametrului real α astfel încât

vectorii următori să fie coplanari: 1 2 3V i j k= + −ur r r r

, , . Pentru

2 2 2V i j= − +uur r r

kr

kr

3V i jα= − +uur r r

α astfel determinat să se afle relaţia de dependenţă liniară dintre cei trei vectori.

L.III.1.5 TEST DE AUTOEVALUARE

TAev.III.1.5.1 În hexagonul regulat ABCDEF se cunosc vectorii şi . Să se exprime cu ajutorul lor vectorii: a AB=

r uuur b BC=

r uuur

, , , , , , , ,AC AD CD DE EF FA BD BE BFuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

. TAev.III.1.5.2 În triunghiul ABC se cunosc vectorii: , a BC=

r uuurc AB=r uuur

şi . Să se afle vectorul b CA=

uuur1AA

uuur situat pe bisectoarea interioară, cu ajutorul

vectorilor . , ,a b cr r r

TAev.III.1.5.3 Să se demonstreze că patrulaterul ale cărui vârfuri au vectorii de poziţie: 1: 5 2A r i j k= + −

ur r r r4k

C r i j k= − + +ur r r r

4: 2 6 2D r i j k= + −ur r r r

j

, , , , este paralelogram.

2: 3B r i j= − +ur r r r

3: 2 3 TAev.III.1.5.4 Ştiind că 2 3p i= −

ur r r, şi 2q i j= +

r r r, să se afle

componentele vectorului după direcţiile vectorilor şi 9 4a i= +r r

jr

pur

qr

(coordonatele lui în baza {ar },p q

ur r a spaţiului bidimensional respectiv).

TAev.III.1.5.5 Ştiind că 3 2p i j k= − +ur r r r

, 2q i j= − + − kr r r r

şi , să se afle componentele vectorului 2r i j= + −

r r r3kr

k11 6 5v i j= − +r r r r

după

direcţiile vectorilor , şi (coordonatele lui pur

qr

rr

vr

în baza { }, ,p q rur r r

a spaţiului tridimensional respectiv).

11

Page 63: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

LECŢIA III.2

OPERAŢII CU VECTORI În această lecţie ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Produsul scalar al vectorilor; Produsul vectorial al vectorilor; Produsul mixt pentru trei vectori; Produsul dublu vectorial.

Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestui modul este de 4 ore.

LIII.2.1. PRODUSUL SCALAR: DEFINIŢIE, PROPRIETĂŢI, FORMULA DE CALCUL.

Definiţia produsului scalar Pentru fiecare pereche de vectori ,u v∈V se asociază numărul

(cos ,u v u v u v⋅ = )) numit produsul scalar al vectorilor u şi v.

Prin înţelegem cosinusul unghiului dintre vectorii u şi v, iar (cos ,u v u înseamnă lungimea vectorului u. Aşa cum am procedat şi în secţiunea precedentă folosim acelaşi semn atât pentru lungimea (sau mărimea) vectorilor, cât şi pentru valoarea absolută a numerelor; contextul ne fereşte de confuzii.

Se pot întâlni mai multe notaţii pentru produsul scalar. În acest capitol vom nota produsul scalar prin u v⋅ eventual cu omisiunea punctului. De remarcat că operaţia astfel definită nu este o operaţie internă deoarece fiecărei perechi de vectori se asociază nu tot un vector ci un scalar, un număr. Din definiţia produsului scalar se vede că dacă unul dintre vectorii u şi v este nul atunci produsul lor scalar este nul. Altfel, dacă vectorii u şi v sunt ambii nenuli atunci produsul lor scalar este nul dacă şi numai dacă vectorii sunt ortogonali.

Dacă vectorii nu sunt ortogonali atunci produsul scalar este un număr strict pozitiv sau strict negativ după cum unghiul dintre ei este ascuţit sau obtuz.

12

Page 64: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Interpretare geometrică Să observăm următoarea interpretare geometrică a produsului scalar:

( )uu v u pr v⋅ = ⋅ sau ( )vu v v pr u⋅ = ⋅ ,

adică produsul scalar se obţine prin înmulţirea lungimii unui vector cu lungimea proiecţiei celuilalt pe el.

vu

pru(v)

Fig. 3.8 Din punct de vedere geometric proiecţia vectorului v pe vectorul u este o lungime, deci este un număr pozitiv. Dar prin ( )upr v înţelegem această lungime luată cu semnul plus sau minus după cum unghiul dintre vectorii u şi v este ascuţit sau obtuz, adică după cum ( )cos ,u v este pozitiv sau negativ.

Se ia deci semnul plus sau minus după cum proiecţia vectorului v pe vectorul u (considerată ca vector) are acelaşi sens sau sens contrar vectorului u.

Proprietăţi ale produsului scalar

Vom demonstra următoarele proprietăţi ale produsului scalar: 1. (comutativitatea). u v v u⋅ = ⋅2. 2u v+ ⋅ (distributivitatea faţă de adunare). ( )1 2 1u v v u v⋅ + = ⋅

u v u vα ⋅ = α = α3. )u v⋅ . ( ) ( ) (4. 0 şi 0u u⋅ = dacă şi numai dacă uu u⋅ ≥ = θ . Ultima proprietate este evidentă din definiţia produsului scalar. Prima proprietate rezultă din faptul că funcţia cosinus este o funcţie pară,

valoarea ei nu se schimbă dacă se schimbă semnul unghiului. Demonstrăm proprietatea a doua: ( ) ( )1 2 1 2uu v v u pr v v⋅ + = + =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1u u u uu pr v pr v u pr v u pr v u v u v= + = + = ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦ 2⋅ . Proprietatea a treia: ( ) ( ) ( )cos , cos ,u v u v u v u u vα ⋅ = α α = α α .

Considerăm în continuare două cazuri după cum α este pozitiv sau negativ. Dacă este pozitiv atunci α α = α , iar uα are nu numai aceeaşi direcţie

cu u, dar şi acelaşi sens astfel încât ( ) ( )cos , cos ,u v u vα = . Dacă este negativ atunci, pe de o parte α α = −α iar pe de altă parte uα

are sensul opus lui u astfel încât unghiul dintre uα şi v este suplementul

13

Page 65: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

unghiului dintre u şi v şi deci ( ) ( )cos , cos ,u v u vα = − . În concluzie rezultă că în ambele cazuri ( ) ( )cos , cos ,u v u vα α = α . Reluând egalităţile de mai sus obţinem: ( ) ( ) ( ) (cos , cos , cos ,u v u v u v u v u u v u vα α = α α = α α = α )⋅ .

uαu (α < 0)

v

Fig. 3.9

O formulă de calcul a produsului scalar

Să considerăm o bază ortonormată, de exemplu aceea formată din versorii axelor de coordonate carteziene ortogonale . Aceşti versori au o notaţie consacrată: ,

Oxyzir

jrşi kr

.

x

y

z

ir

jrk

r

Fig. 3.9

Pentru a înlesni parcurgerea altor cărţi care folosesc calculul vectorial utilizăm aici cealaltă convenţie de notaţie în care vectorii sunt marcaţi cu o săgeată. Ţinând seamă că ,i

rjrşi k

r sunt versori ortogonali şi din comutativitatea

produsului scalar rezultă: 1i i j j k k⋅ = ⋅ = ⋅ =r rr r r r

şi 0i j j i⋅ = ⋅ =r r r r

0i k k i⋅ = ⋅ =r rr r

0j k k j⋅ = ⋅ =r rr r

. Fie coordonatele lui u1 2 3, ,u u u r şi coordonatele vectorului v1 2 3, ,v v v r în baza i ,

rjr

, adică: kr

1 2 3u u i u j u k= + +rr rr şi 1 2 3v v i v j v k= + +

rr rr . Folosind proprietăţile II şi III precum şi produsele scalare ale vectorilor ,i

rjrşi obţinem

următoarea formulă pentru calculul produsului scalar a doi vectori în funcţie de coordonatele lor într-o bază ortonormată.

kr

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v⋅ = + +r r

14

Page 66: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

LIII.2.2. PRODUSUL VECTORIAL: DEFINIŢIE, PROPRIETĂŢI, FORMULA DE CALCUL

Definiţia produsului vectorial

Pentru orice pereche de vectori u şi v din spaţiul vectorial se construieşte vectorul în felul următor: u v×

– direcţia lui u v× este perpendiculară pe planul determinat de vectorii u şi v;

– mărimea lui u v× este dată de formula: ( )sin ,u v u v u v× = ; – sensul lui u v× este dat de regula şurubului drept.

Observăm că dacă unul dintre vectorii u şi v este nul, sau dacă sunt colineari atunci ei nu definesc un plan. Dar pe de altă parte în aceste cazuri lungimea lui u este egală cu zero, deci uv× v× este vectorul nul, , care nu are nici direcţie şi nici sens, deci nu se simte lipsa planului determinat de cei doi vectori.

θ

Tot din expresia lungimii produsului vectorial se vede că acestea sunt

singurele cazuri când u v : dacă vectorii u şi v sunt ambii nenuli şi necolineari atunci u v .

× = θ× ≠ θ

Spre deosebire de produsul scalar, rezultatul înmulţirii vectoriale este un vector, adică produsul vectorial este o operaţie internă pe V .

Interpretarea geometrică a lungimii produsului vectorial

h'

u'

v

Fig. 3.11

După cum se vede din figură, ( )sin ,u v u v u v u h× = = şi reprezintă aria paralelogramului determinat de cei doi vectori. Aşadar, lungimea produsului vectorial a doi vectori este numeric egală cu aria paralelogramului determinat de cei doi vectori. Aşa cum s-a menţionat şi în titlu, este vorba aici numai de un atribut al produsului vectorial şi anume lungimea sa. Produsul vectorial este un vector care pe lângă lungime are şi direcţie şi sens.

Proprietăţile produsului vectorial 1. (antisimetria). u v v u× = − ×2. )u v× (omogenitatea). ( ) ( ) (u v u uα × = × α = α

15

Page 67: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

3. 2v+ × (distributivitatea faţă de adunare). ( )1 2 1u v v u v u× + = ×

)

Demonstraţie Prima proprietate rezultă din regula care determină sensul produsului

vectorial: sensul în care se roteşte v pentru a se suprapune peste u, cu un unghi mai mic decât 180 este opus sensului de rotire a lui u pentru a se suprapune peste v.

o

Pentru proprietatea a doua să considerăm numai una din cele două egalităţi şi anume: (u v u vα × = α × şi vom demonstra că vectorii din cei doi membri ai egalităţii au aceeaşi direcţie, lungime şi sens.

Direcţia lui (u v)α × este aceeaşi cu direcţia lui u v× . Pe de altă parte planul determinat de vectorii uα şi v este acelaşi cu planul determinat de vectorii u şi v, deci vectorul ( )u vα × are direcţia perpendiculară pe planul determinat de vectorii u şi v, ca şi u v× , deci vectorii ( )u vα × şi au aceeaşi direcţie.

(u vα × )

În ce priveşte lungimea, să remarcăm mai întâi că dacă 0 atunci unghiul dintre şi v este acelaşi cu unghiul dintre u şi v, iar dacă 0 atunci unghiul dintre şi v este suplementul unghiului dintre u şi v.

α >uα α <uα

Ambele unghiuri dau deci aceeaşi valoare prin funcţia . Deci: sin( )sin ,u v u v u vα × = α α = | ( ) ( )sin ,u v u v u v u vα = α × = α ×

v ).

Vectorii şi au evident acelaşi sens dacă 0 . Dacă atunci pe de o parte sensul lui

( )uα × (u vα × α >0α < ( )u vα × este opus lui u v . Pe de altă

parte sensul lui fiind opus lui u rezultă că sensul de rotire a vectorului ×

uα uα pentru a se suprapune peste v este opus sensului în care trebuie să se rotească u pentru a se suprapune peste v. Înseamnă că sensul lui ( )u vα × este opus sensului lui u adică are acelaşi sens cu v× ( )u vα × .

Demonstraţia distributivităţii este mai complicată. Ea este prezentată în cele ce urmează.

Demonstraţia distributivităţii produsului vectorial

faţă de adunare Se va efectua demonstraţia în mai multe etape:

Etapa I Reducem demonstraţia la cazul când u este versor. Presupunem deci că egalitatea este adevărată atunci când u este versor. Dacă u nu este versor atunci există un număr

( )1 2 1u v v u v u v× + = × + × 2α , astfel încât u , în care uu′= α ′

16

Page 68: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

este versor: uα = iar 1uu

′ = u . Înseamnă că ( )1 2 1u v v u v u v2′ ′ ′× + = × + × şi

deci: ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2u v v u v v u v v u v u v′ ′ ′ ′× + = α + = α × + = α × + ×⎡ ⎤⎣ ⎦ =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1u v u v u v u v u v u v′ ′ ′ ′= α × + α × = α × + α × = × + × 2

Etapa II Fie u un versor reprezentat printr-o săgeată (pe care o notăm tot cu u) şi notăm planul perpendicular pe u trecând prin sursa lui u. Pentru orice vector v reprezentat printr-o săgeată având aceeaşi sursă cu u, notăm proiecţia vectorului v pe planul π . Vom arăta că: u v

πv′

u v′× = × .

uv

π

v’ u× v = u× v’

Fig. 3.12

Linia punctată din figură fiind paralelă cu suportul lui u rezultă că vectorii (săgeţile) sunt în acelaşi plan. Înseamnă că planul determinat de u şi v este acelaşi cu planul determinat de u şi

, ,u v v′v′ , deci u v× şi au aceeaşi

direcţie. Cât priveşte lungimea, ţinând seamă că unghiul dintre u şi v este drept, adică

u v′×′

( )sin ,v u v v′= , rezultă: ( ) ( )sin , sin ,u v u v u v u v u v u v′ ′ ′× = = = = u v′= × .

Pe de altă parte din figură se vede că sensul în care trebuie rotit u pentru a se suprapune peste v este acelaşi cu sensul în care se roteşte u pentru a se suprapune peste v , chiar dacă v se află în semispaţiul opus lui u faţă de planul

. Deci u şi ′

π v× u v′× au acelaşi sens. Etapa III

Ne propunem să arătăm că dacă v′ se află în planul π , atunci u v′× se obţine din prin rotirea sa cu 90 în jurul lui u în sens trigonometric privit din semispaţiul în care se află u.

v′ o

17

Page 69: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

u

π

v’ u× v’

Fig. 3.13

În fond, deoarece u este perpendicular pe u rezultă că se află în planul . Pe de altă parte u

v′× u v′×π v′× este perpendicular şi pe v′ , iar sensul este cel

care corespunde rotirii lui v în sens trigonometric, privit din semispaţiul în care se află u. În ce priveşte lungimea,

′( )sin ,u v u v u v v′ ′ ′ ′× = = deoarece 1u = ,

iar u şi sunt perpendiculari. v′

Etapa IV Vom demonstra distributivitatea înmulţirii vectoriale a lui u faţă de adunarea vectorilor din planul : π ( )1 2 1u v v u v u v2′ ′ ′ ′× + = × + × . Vectorii , şi sunt două laturi alăturate şi diagonala unui paralelogram. În etapa anterioară am arătat că

1v′ 2v′ 1v v′ + 2′

1u v′× , 2u v′× şi se obţin prin rotirea cu un unghi drept a acestor laturi şi a diagonalelor. Ele vor fi tocmai laturile şi diagonala paralelogramului rotit, deci:

( )1 2u v v′ ′× +

( )1 2 1u v v u v u v2′ ′ ′× + = × + × ′ .

u

v'1v'2

v'1+v'2

u× v'1

u× v'2u× (v'1 +v'2)

Fig. 3.14

Etapa V În această ultimă etapă vom demonstra relaţia:

( )1 2 1u v v u v u v× + = × + × 2

18

Page 70: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

în care u este un versor. Notăm 1v′ , 2v′ , ( 1 2v v )′+ proiecţiile vectorilor , ,

, pe planul . Evident, ( )1v 2v

1v v+ 2 2π 1 2 1v v v v′ ′ ′+ = + şi: din etapa II rezultă

( ) ( ) (1 2 1 2 1 2u v v u v v u v v′ )′ ′× + = × + = × + . Cum 1v′ şi 2v′ sunt vectori din planul , conform etapei V rezultă că π ( )1 2 1u v v u v u v2′ ′ ′ ′× + = × + × .

Aplicând din nou etapa II, obţinem: 1 2 1 2u v u v u v u v′ ′× + × = × + × . Q.E.D.

Formula de calcul a produsului vectorial

Considerăm baza ortonormată formată din versorii ir

, jr

, ai unui sistem de axe ortogonale Oxyz şi notăm respectiv coordonatele vectorilor , respectiv în această bază, adică:

kr

1 2 3, ,u u u 1 2 3, ,v v vur vr 1 2 3u u i u j u k= + +

rr rr , . Din faptul că 1 2 3v v i v j v k= + +

rr rr ir

, jr

, kr

sunt versori ortogonali şi din proprietăţile demonstrate rezultă: i i j j k k× = × = × = θ

r rr r r r, i j j i k× = − × =

rr r r r,

j k k j× = − × =r rr r

ir

, k i i k j× = − × =r rr r r

. Folosind apoi distributivitatea produsului vectorial faţă de adunare se obţine:

u v×r r

( ) ( )1 2 3 1 2 3u i u j u k u i v j v k= + + × + +r r r r rr

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 3u i v i u i v i u i v k= × + × + ×r r r r r r

( ) ( )+

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 2 3u j v i u j v j u j v k+ × + × + ×r r r r r r

( ) ( )+

( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 2 3 3u k v i u k v j u k v k+ × + × + ×r r r r r r

=

( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= × + × + ×r r r r r r

+

( )( ) ( )( ) ( )( )2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ × + × + ×r r r r r r

+

+( )( ) ( )( ) ( )( )3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k× + × + × =r r r r r r

( ) ( ) ( )2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1u v u v i u v u v j u v u v k= − − − + −r r r

. Ultimul rezultat se poate scrie sub formă de determinant, astfel că se obţine formula:

2 2 3

1 2 3

i j ku v u u u

v v v

⎢ ⎥⎢ ⎥

× = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

rr r

r r .

19

Page 71: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

LIII.2.3. PRODUSUL MIXT, PRODUSUL DUBLU VECTORIAL

Produsul mixt

Definiţie Pentru orice triplet de vectori ur , vr , wr din spaţiul vectorial V se

asociază numărul ( )u v w× ⋅r r r numit produsul mixt al vectorilor , , , care se

notează ( ) . ur vr wr

, ,u v wr r r

Deci pentru a obţine produsul mixt a trei vectori se înmulţesc vectorial primii doi iar vectorul rezultat se înmulţeşte scalar cu al treilea.

Interpretare geometrică Produsul mixt are următoarea interpretare geometrică: valoarea sa

absolută este volumul paralelipipedului determinat de cei trei vectori. Într-adevăr, ( ) ( ) ( ), , cos ,u v w u v w u v w u v w= × ⋅ = × ⋅ ⋅ ×

r r r r r r r r r r r r .

urvr

wr

ur × vr

α

h

Fig. 3.15

Presupunem că unghiul dintre şi u v w×

r r r este ascuţit, aşa cum apare în figură. În acest caz unghiul dintre şi u v w×

r r r este complementul unghiului dintre şi planul bazei paralelipipedului. Deci

αwr ( )cos , sinw u v w w h× = α =

r r r r r , înălţimea paralelipipedului. Cum u v×r r reprezintă aria bazei, se obţine că

este egal cu volumul paralelipipedului. ( , ,u v wr r r )Dacă unghiul dintre este obtuz atunci suplimentul acestui unghi

este egal cu complementul lui şi u v w×

r r r

α şi deci ( )cos , sinw u v w w h× = − α =r r r r r .

Produsul mixt este egal tot cu volumul paralelipipedului luat însă cu semnul minus.

Formula de calcul Pentru a stabili formula de calcul să considerăm o bază ortonormată,

şi pentru a fixa ideile fie baza constituită din versorii ir

, jr

, kr

ai axelor

20

Page 72: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

rectangulare şi fie Oxyz 1 2 3 1 2 3 1, ,u u i u j u k v v i v j v k w w i= + + = + + = +r rr r r rr r r r

. Reamintim că 2 3w j w k+ +

rr

( ) ( )2 3 3 2 1 3 3 1u v u v u v i u v u v j× = − − − +r rr r ( )1 2 2 1u v u v k+ −

r.

Pe de altă parte din formula de calcul a produsului scalar rezultă: ( ) ( ) ( ) ( ) (1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1, ,u v w u v w w u v u v w u v u v w u v u v= × = − − − + −r r r r r r ) .

S-a obţinut ca rezultat tocmai dezvoltarea determinantului de ordinul trei având pe linii coordonatele celor trei vectori:

( )1 2 3

1 2 3

1 2

, ,u u u

u v w v v vw w w

=r rv

3

Proprietăţi Din formula de calcul, folosind proprietăţile determinanţilor, se

deduc imediat următoarele proprietăţi ale produsului mixt: 1. Produsul mixt îşi schimbă semnul dacă se schimbă doi factori între ei. De

exemplu, ( ) ( ), , , ,u v w v u w= −r r r r r r

2. Produsul mixt nu se schimbă dacă se efectuează permutări circulare ale factorilor: ( ) ( ) ( ), , , , , ,u v w v w u w v u= =

r r r r r r r r r . 3. Produsul mixt este liniar în fiecare din cei trei factori. De exemplu:

( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,u u v w u v w u v wα + β = α + βr r r r r r r r r r .

4. dacă şi numai dacă u( )1, , 0u v w =r r r r , vr şi wr sunt coplanari. Acest lucru

rezultă din interpretarea geometrică a produsului mixt.

Produsul dublu vectorial Folosind proprietăţile operaţiilor cu vectori, precum şi formulele de calcul se pot demonstra numeroase identităţi. Unele dintre ele se folosesc foarte frecvent în alte discipline, de exemplu: matematici speciale, fizică sau mecanică. Dintre aceste identităţi recomandăm să se demonstreze şi să se reţină următoarele:

( ) ( ) ( )u v w u w v v w u× × = ⋅ − ⋅r r r r r r r r r ;

( ) ( ) ( )u v w u w v u v× × = ⋅ − ⋅r r r r r r r r wr ;

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,u v w t u v t w u v w t× × × = −r r rr r r r r r r r r ;

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,u v w t u v t v v w t u× × × = −r r rr r r r r r r r r ;

21

Page 73: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( ) ( ) ( )( ) ( )( )u v w t u w v t u t u w× ⋅ × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =r r rr r r r r r r r r . .

. .u w u tv w v t

rr r r

rr r r .

Prima identitate se verifică folosind coordonatele celor trei vectori într-o bază ortonormată şi formulele corespunzătoare de calcul. Pe baza primei identităţi se demonstrează cu uşurinţă celelalte patru. Primele două identităţi relevă faptul că produsul vectorial este o operaţie internă neasociativă. Pentru a reţine aceste două identităţi observăm că: produsul dublu vectorial, în fiecare din cele două asocieri, este o combinaţie liniară de vectorii din paranteză; coeficienţii combinaţiei liniare sunt produsele scalare ale celorlalţi doi vectori, începându-se cu produsul scalar dintre primul şi ultimul vector. Identităţile din a treia şi a patra expresie exprimă faptul că acelaşi produs vectorial de produse vectoriale se poate scrie în două moduri: fie ca o combinaţie liniară de vectorii din prima paranteză, fie ca o combinaţie liniară de vectorii din a doua paranteză. Coeficienţii sunt produsele mixte ale celorlalţi trei vectori, începându-se cu produsul mixt al vectorilor extremi. Ultima este cunoscută sub numele de identitatea lui Lagrange.

22

Page 74: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

L.III.2.4 PROBLEME PROPUSE

PP.III.2.4.1 Să se demonstreze identităţile:

a) ( ) ( ) ( )2 2 2 22a b a b a b+ + − = +r r r r

;

b) ( )22 2a b a b a b× + ⋅ = ⋅r r r r 2 , unde a

r şi b

r sunt vectori din , iar 3 a a=

rşi

b b=r

. c) Să se demonstreze identitatea lui Lagrange:

( ) ( ) ( ) (

( ) ( )

2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

2 21 2 2 1 1 2 2 1

l m n l m n l l m m n n l m l m

m n m n n l n l

+ + ⋅ + + − + + = −

+ − + −

) +

k

.

PP.III.2.4.2 Se dau vectorii: 3 6a i j= − −r r r r

, 4 5b i j k= + −r r r r

kr

şi

. Să se calculeze 3 4 12c i j= − +r r r ( )prc a b+r

r r.

PP.III.2.4.3 Se dau vectorii mur

şi nr

, cu 2, 3m n= = şi ( ),6

m n π=

ur r.

Dacă şi , să se determine: 3 2a m= −r ur r

n 2b m n= +r ur r

a) Unghiul ( ),a br r

; b) Lungimea diagonalelor şi aria paralelogramului paralelogramului

construit pe vectorii şi br

. ar

PP.III.2.4.4 Se dau vectorii: 2a i j k= − +r r r r

kkr

kr

, , şi .

3 2b i j= + −r ur r r

7 14 13c i j= + −r r r

5d i j= − + +ur r r

a) Să se arate că , ,a b cr r r

sunt coplanari; b) Să se stabilească ce fel de triedru formează vectorii , ,a b d

r r ur.

PP.III.2.4.5 Se dau vectorii: 2 3 4a i j k= − +r r r r

, 2b i m j k= + −r r r r

5kr

şi . Să se determine scalarul m astfel încât vectorii să fie

coplanari. 3c i j= − +

r r r, ,a b cr r r

23

Page 75: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

L.III.2.5 TEST DE AUTOEVALUARE

TAev.III.2.5.1 Ştiind că 2, 5a b= = şi ( ) 2,3

a b π=

r r, să se afle pentru ce

valoare a coeficientului α vectorii 17p aα= + bur r r

br

k

şi sunt perpendiculari între ei.

3q a= −r r

TAev.III.2.5.2 Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de forţa , ştiind că punctul său de aplicaţie se deplasează liniar între

punctele 3 2 5F i j= − −

ur r r r

( )2, 3,5A − şi ( )3, 2, 1B − − . TAev.III.2.5.3 Să se calculeze volumul paralelipipedului construit pe vectorii: , şi 2l a b c= + −

r r r rm a= − +ur r r

b c2 3n b= +r r r

, ştiind că volumul paralelipipedului construit pe vectorii , ,a b c

r r r este egal cu 3 unităţi.

TAev.III.2.5.4 Se dau vectorii: a i j= −r r r

, b j k= −r r r

şi . Să se calculeze:

c i k= +r r r

a) Volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori; b) Înălţimea paralelipipedului corespunzătoare bazei construită pe a

r şi b

r.

TAev.III.2.5.5 Fie punctele: ( ) ( ) ( )1, 1,2 , 2,1, 1 , 3, 2, 1A B C− − − − şi ( )1,4,2D . Să se calculeze volumul tetraedrului ABCD şi lungimea înălţimii

coborâte din vârful B .

M.III TEMĂ DE CONTROL TC.III.1 Dacă punctul M împarte segmentul 1 2M M în raportul , atunci vectorul său de poziţie

krr

se exprimă în funcţie de vectorii de poziţie ai

punctelor 1M şi 2M prin formula: 1 21

r krrk

+=

+

ur ur

r

.

TC.III.2 Se dau punctele: ( ) ( ) ( ) ( )1,1,1 , 0,2,0 , 3,2,1 , 10,4,2A B C D şi ( )2,5,6E .

a) Să se cerceteze dacă vectorii ,AB ACuuur uuur

şi ADuuur

sunt coplanari; b) Să se descompună vectorul DE

uuur după vectorii ,AB AC

uuur uuur şi AE

uuur.

TC.III.3 Se dau punctele: ( ) ( ) ( )12, 4,3 , 3,12, 4 , 2,3, 4A B C− − − .

a) Să se afle vectorii , ,AB BC CAuuur uuur uuur

şi lungimile laturilor triunghiului ABC ; b) Să se arate că triunghiul AOC este dreptunghic;

24

Page 76: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

c) Să se calculeze produsul scalar AB BC⋅uuur uuur

; d) Să se calculeze produsul vectorial AB AC×

uuur uuur;

e) Să se afle aria triunghiului ABC ; f) Să se afle lungimea înălţimii AA′ a triunghiului ABC ; g) Să se afle versorii bisectoarelor interioare ale triunghiului ABC .

TC.III.4 Să se găsească un versor perpendicular pe planul determinat de punctele: ( ) ( ) ( )0,0,0 , 3, 2,3 , 2,1,1O A B− . TC.III.5 Să se găsească un vector x

r perpendicular pe doi vectori daţi,

şi 2 3a i j= − +r r r

kr

2 3b i j k= − +r r r r

şi satisfăcând condiţia: ( )2 7 1x i j k 0⋅ + − =r r r r

. TC.III.6 Să se calculeze volumul paralelipipedului construit pe vectorii: a) , , 3a p q r= − +

r ur r r2 3b p q= + −

r ur rrr

2c p q r= + +r ur r r

, ştiind că sunt versori perpendiculari între ei;

, ,p q rur r r

b) , , 3 5a m= +r ur

nr

n2b m n= −r ur r

2 7c m= +r ur r

, ştiind că 1 ,2

m n= = 3 şi

( ), 13m n = our r

5

wr

;

c) , , 2a u v= − +r r r u

b u w= −r r ur

c v w= +r r ur

, ştiind că şi .

1, 2, 3u v w= = =

( ) ( ) ( ), 90 , , 60 , , 4u v u w v w= =o or r r ur r ur

5= o

TC.III.7 Fie trei vectori oarecare. Să se calculeze produsele mixte:

, ,a b cr r r

( ), ,a b c a b c+ + +r r r r r r

, ( ), ,a a b a b c+ + +r r r r r r

, ( ), ,a b b c c a+ + +r r r r r r

. Ce devin

aceste produse mixte dacă devin versorii , ,a b cr r r

, ,i j kr r r

? TC.III.8 Să se demonstreze că dacă vectorii , ,a b b c c a× × ×

r r r r ur r sunt

coplanari, atunci ei sunt şi coliniari. TC.III.9 Să se demonstreze relaţiile: a) ( ) ( ) ( ) 0a b c b c a c a b× × + × × + × × =

r r r r r r r r r;

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )u a b c u b c a u c a b⋅ × + ⋅ × + ⋅ × =r r r r r r r r r r r r ( ), ,a b c u

r r r r.

TC.III.10 Să se demonstreze că, oricare ar fi vectorii , are loc relaţia:

, ,a b cr r r

( )1, , , ,2 2 2 4

a b b c c a a b c⎛ ⎞+ + +

=⎜ ⎟⎝ ⎠

r r r r r rr r r

.

25

Page 77: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Bibliografie

1. Udrişte C., ş.a., -Probleme de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.

2. Flondor D., N. Donciu, -Algebră şi analiză matematică-culegere de probleme, vol I, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978.

3. Mânzatu E. – Probleme de geometrie analitică, Editura Academiei Militare, Bucureşti, 1979.

4. Otlăcan E., -Algebră superioară-îndrumar teoretic şi culegere de probleme, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureşti, 1995.

5. Mânzatu E., Gârban V. –Algebră cu aplicaţii rezolvate la calculatorul electronic, Editura Academiei Militare, Bucureşti, 1982.

26

Page 78: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

MODULUL IV

SPAŢII VECTORIALE Parcurgând acest modul, format din două lecţii, ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Definiţia spaţiului vectorial, exemple; Dependenţă şi independenţă liniară, sistem de generatori ai unui spaţiu

vectorial; Bază, dimensiune, proprietăţi ale bazei, coordonatele unui vector într-o

bază dată; Schimbarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei, matricea de

trecere de la o bază la alta; Subspaţii vectoriale, dimensiunea subspaţiului generat de un sistem de

vectori; Sume, intersecţii şi sume directe de subspaţii vectoriale;

Materialul prezentat are o logică matematică corectă, cu o înlănţuire firească a noţiunilor; de aceea se recomandă parcurgerea sa completă, în ordinea dată, inclusiv în porţiunea referitoare la aplicaţii. Metoda de studiu trebuie să fie cea specifică disciplinelor matematice, cu utilizarea expresă a adnotărilor făcute cu creionul pe tot parcursul textului. Vă recomandăm să vă constituiţi un caiet de probleme şi, pentru fiecare tip de exerciţiu, să vă fixaţi algoritmul de rezolvare pe etape. Rezolvaţi cât mai complet problemele propuse şi cele conţinute în testul de autoevaluare. Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestui modul este de 6 ore.

77

Page 79: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

LECŢIA IV.1

NOŢIUNI FUNDAMENTALE REFERITOARE LA SPAŢIILE VECTORIALE

Parcurgând această lecţie ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Definiţia spaţiului vectorial, exemple; Dependenţă şi independenţă liniară, sistem de generatori ai unui spaţiu

vectorial; Bază, dimensiune, proprietăţi ale bazei, coordonatele unui vector într-o

bază dată; Schimbarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei, matricea de

trecere de la o bază la alta. Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestei lecţii este de 4 ore.

L.IV.1.1 Definiţie, exemple Definiţie Reamintim că spaţiu vectorial peste corpul comutativ K înseamnă o mulţime V care are două operaţii:

– Una internă, notată cu semnul (+), care îndeplineşte proprietăţile grupului abelian.

– Alta externă, notată cu semnul ( . ), punct, care poate fi omis, având operatorii în corpul K. Această operaţie trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

( )( )( ) ( )

1. .

2. .

3. .4. 1 .

x y ax ay

x ax ay

x xx x

α + = +

α + β = +

αβ = α β

=

pentru orice ,x y V∈ şi orice , Kα β∈ . Simbolul „1” din proprietatea 4) înseamnă elementul neutru al înmulţirii din corpul K. Elementele din V se numesc vectori, iar cele din corpul K se numesc scalari. Pentru a nu fi nevoie să precizăm de fiecare dată care litere desemnează vectori şi care litere desemnează scalari folosim următoarea convenţie de notaţie: vectorii îi notăm cu litere latine, iar scalarii îi notăm cu litere greceşti.

78

Page 80: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Exemple 1. V =V = spaţiul vectorilor fizici, reprezentaţi de săgeţi, corpul scalarilor

fiind corpul R al numerelor reale. Operaţiile şi proprietăţile acestora au fost definite, respectiv demonstrate, în capitolul “Calculul vectorial”.

2. ( ), ;V M m n K= = mulţimea matricelor de tip ( ),m n formate cu elemente din corpul comutativ K. Considerăm bine cunoscute operaţiile de adunare a matricelor şi de înmulţire a matricelor cu scalari, precum şi proprietăţile acestora, care definesc structura de spaţiu vectorial.

3. ( )1, ;nV K M n K= = = mulţimea matricelor coloană, de lungime egală cu n. Este un caz particular remarcabil al spaţiului ( ), ;V M m n K= .

4. [ ]1 2, , , nV K X X X= K = mulţimea polinoamelor de n nedeterminate

1 2, , , nX X XK având coeficienţii în corpul comutativ K. Adunarea polinoamelor şi înmulţirea polinoamelor cu elemente din K (un caz particular de polinoame, anume cele de grad zero) îndeplinesc condiţiile din definiţia spaţiului vectorial.

5. Obţinem un şir de spaţii vectoriale luând K R= , iar în loc de V oricare din şirul descendent de mulţimi: (0) (1) (2) ( ) ( )[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ]... ... [ ] ... [ ]n

na b a b a b a b a bC C C C C R X R∞⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ X

],

în care înseamnă mulţimea funcţiilor reale definite pe intervalul [ de n ori derivabile şi cu derivate continui. Faptul că acestea sunt spaţii vectoriale are următoarea semnificaţie: adunând două funcţii din sau înmulţind un număr real cu o funcţie din se obţine tot o funcţie din .

)(],[

nbaC ,a b

)(],[

nbaC

)(],[

nbaC )(

],[n

baC

L.IV.1.2 Dependenţă liniară, bază, teorema dimensiunii

Vectori liniar independenţi Definiţie

Vectorii 1 2, , , nx x K x din spaţiul vectorial V peste corpul K se numesc liniar independenţi dacă îndeplinesc următoarea condiţie:

1 1 2 2 1 2... 0, 0,..., 0n n nx x xα + α + + α = θ⇒ α = α = α = .

Evident că orice combinaţie liniară care are toţi coeficienţii nuli este egală cu vectorul nul. Condiţia de liniar independenţă a unui sistem de vectori exprimă faptul că o combinaţie liniară a acestora nu poate fi nulă decât atunci când toţi coeficienţii combinaţiei liniare sunt egali cu zero. Dacă vectorii 1 2, , , nx x K x nu sunt liniar independenţi atunci ei se numesc liniar dependenţi. Aceasta înseamnă că: există scalarii 1 2, , , nα α αK , nu toţi nuli, astfel încât . 1 1 2 2 n nx x xα + α + + α =K θ

79

Page 81: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Exemple 1. În spaţiul orice sistem de trei vectori necoplanari, u , , sunt

liniar independenţi. Într-adevăr, dacă

v vr wr

0u v wα + β + γ =r r r şi dacă , de exemplu,

, atunci am avea: 0α ≠ u vβ γ= − −

α αr r wr adică uv s-ar afla în planul determinat de

şi . vr wr

Pe de altă parte orice sistem de patru vectori: uv , vr , , sunt liniar dependenţi. Într-adevăr, presupunând că

wr tr

uv , vr , wr sunt necoplanari, ei constituie o bază şi deci se poate scrie ca o combinaţie liniară de u , , t

r v vr wr : , de unde rezultă t u v= α + β + γ

r r r wr t u v w− α − β − γ = θr r r r . Am găsit o combinaţie

liniară nulă a vectorilor , , uv vr wr , tr

în care nu toţi coeficienţii sunt nuli (coeficientul lui este egal cu unu). Deci vectorii t

ruv , vr , , sunt liniar

dependenţi. wr t

r

2. În spaţiul vectorial ( ), ;V M m n K= să considerăm matricele ; 1,2, , ; 1,2, ,ijE i m j= =K K n unde ijE înseamnă matricea în care elementul de

pe linia i şi coloana j este egal cu unu şi toate celelalte elemente sunt egale cu zero. Numărul acestor matrice este, fireşte, egal cu m, n. O combinaţie liniară a lor înseamnă

,ij ij

i j

Eα∑ care este tocmai matricea având pe linia i şi coloana j

elementul , altfel spus, matricea de element generic . Deci din

rezultă că toate elementele matricei sunt nule, adică toţi

coeficienţii combinaţiei liniare sunt nuli.

ija ija

,

0ij iji j

Eα =∑

3. În spaţiul menţionăm doar că notăm în loc de nV K= ie iiE :

1 2 1

1 00 1

, , ...,... ... ...0 0

e e e

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

00

1

4. În spaţiul [ ]1 2, , , nV K X X X= K orice sistem de monoame este un sistem liniar independent: în fond, o combinaţie liniară de monoame înseamnă un polinom ai cărui coeficienţi sunt tocmai coeficienţii combinaţiei liniare. Ori dacă un polinom este nul înseamnă că toţi coeficienţii săi sunt nuli. În particular în spaţiul K[X] monoamele: sunt liniar independente.

21, , , , ,nX X XK K

Pe de altă parte polinoamele: 21 22 3 5 , 1 2f X X f X= − + = + ,

23 3 5f X X= − + − sunt liniar independente deoarece: 1 2 3 0f f f+ + = .

80

Page 82: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Sistem de generatori ai unui spaţiu vectorial Definiţii

O submulţime V' a lui V se numeşte subspaţiu dacă îndeplineşte următoarea condiţie: orice combinaţie liniară de vectori din V' se află tot în V'. Este uşor de observat că dacă V' este subspaţiu atunci este o parte stabilă faţă de operaţiile spaţiului şi, cu operaţiile induse, constituie un spaţiu vectorial. De exemplu, pentru un sistem de vectori notăm [ ]1 2, , , nx x xK mulţimea combinaţiilor liniare ale vectorilor 1 2, , , nx x K x . Evident că această mulţime constituie un subspaţiu. El se numeşte subspaţiul generat de vectorii

1 2, , , nx x xK . Dacă subspaţiul generat de vectorii 1 2, , , nx x K x este egal cu întreg spaţiul V atunci sistemul de vectori 1 2, , , nx x K x se numeşte sistem de generatori ai spaţiului V. În acest caz spunem că spaţiul V este finit generat. Faptul că vectorii 1 2, , , nx x K x constituie un sistem de generatori ai spaţiului V se exprimă astfel: „Pentru orice x∈V există 1 2, , , n Kα α α ∈K , astfel încât: 1 1 2 2 n nx x x= α + α + + αK x ”. Prin urmare faptul că 1 2, , , nx x K x constituie un sistem de generatori înseamnă că toţi vectorii spaţiului se exprimă ca nişte combinaţii liniare ale acestora.

Exemple 1. Am demonstrat în capitolul 3 că daţi fiind trei vectori necoplanari a, b,

c, toţi vectorii spaţiului se exprimă ca nişte combinaţii liniare ale acestora. Prin urmare orice sistem de trei vectori necoplanari constituie un sistem de generatori.

Pe de altă parte, dacă vectorii a, b, c sunt coplanari atunci ei nu constituie un sistem de generatori deoarece vectorii care nu sunt conţinuţi în planul vectorilor a, b, c nu pot fi combinaţii liniare de ei.

2. În spaţiul ( ), ;V M m n K= aceleaşi matrice ijE care au servit mai înainte ca exemplu de sistem liniar independent constituie şi un sistem de generatori În fond, dacă , atunci ( ijA = α )

,ij ij

i j

A E= α∑ . La fel, în spaţiul matricele

coloană constituie un sistem de generatori.

nV K=

1 2, , , ne e eK

3. În spaţiul [ ]1 2, , , nV K X X X= K monoamele constituie un sistem (infinit) de generatori. În fond orice polinom este o combinaţie liniară de monoame.

81

Page 83: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Baze ale unui spaţiu vectorial. Coordonate Definiţie

Se numeşte bază a spaţiului vectorial V un sistem de vectori 1 2, , , nx x xK care îndeplineşte următoarele două condiţii:

1. Sunt liniar independenţi. 2. Constituie un sistem de generatori ai spaţiului V.

A doua condiţie asigură că orice vector se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor 1 2, , , nx x xK : 1 1 2 2 n nx x x x= α + α + + αK . Prima condiţie asigură că în această scriere coeficienţii 1 2, , , nα α αK ai acestei combinaţii liniare sunt unic determinaţi de vectorul x. Într-adevăr, dacă am avea şi 1 1 2 2 n nx x x= β + β + + βK x , atunci ar rezulta:

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 n n nx x x x− = θ = α −β + α −β + + α −βK x , iar din faptul că vectorii

1 2, , , nx x K x sunt liniar independenţi deducem: 1 1 2 20, 0,α − β = α − β = 0.n nα − β =

Aşadar dacă vectorii 1 2, , , nx x K x constituie o bază atunci orice vector x se scrie în mod unic ca o combinaţie liniară de vectorii bazei:

1 1 2 2 n nx x x= α + α + + αK x . Coeficienţii 1 2, , , nα α αK fiind unic determinaţi de vectorul x se numesc coordonatele vectorului x în baza 1 2, , , nx x xK .

Exemple 1. Am arătat că în spaţiul orice sistem de trei vectori necoplanari

constituie şi un sistem liniar independent şi un sistem de generatori. Deci ei constituie o bază. Mai precis, denumirea de bază pe care am atribuit-o, în capitolul 3, unui sistem de trei vectori necoplanari, corespunde cerinţelor definiţiei pe care am formulat-o mai sus pentru noţiunea de bază.

2. În spaţiul ( ), ;V M m n K= matricele ijE constituie atât un sistem de generatori cât şi un sistem liniar independent, deci acest sistem de matrice constituie o bază. La fel, vectorii constituie o bază a spaţiului 1 2, , , ne e eK nK .

Coordonatele unui vector (deci ale unei matrice) în această bază sunt tocmai elementele care alcătuiesc matricea respectivă. La fel ca şi în spaţiul ne aşteptăm ca şi în acest spaţiu să existe mai multe baze. Printre ele, baza formată din matricele ijE , având proprietatea pe care am menţionat-o, se numeşte baza canonică a spaţiului. În particular baza formată din vectorii

se numeşte baza canonică a spaţiului 1 2, , , ne e eK nV K= . 3. În spaţiul [ ]1 2, , , nV K X X X= K monoamele constituie o bază.

Coordonatele unui vector (deci ale unui polinom) în această bază sunt tocmai coeficienţii polinomului. De aceea această bază se numeşte baza canonică a spaţiului [ ]1 2, , , nK X X XK .

82

Page 84: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Teorema dimensiunii Dacă spaţiul V are un sistem finit de generatori atunci oricare două baze ale spaţiului au acelaşi număr de elemente.

Demonstraţie. Fie 1 2, , , mx x xK şi două baze ale spaţiului V şi presupunem, prin reducere la absurd, că

1 2, , , ny y yK

m n≠ . Două situaţii sunt atunci posibile: sau , sau . Considerăm cazul când mm n< m n> n< . Cum vectorii

1 2, , , mx x K x constituie o bază, orice vector se poate scrie ca o combinaţie liniară de ei. În particular vectorii : 1 2, , , ny y yK

1 11 1 21 2 1 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

...

.......................................................

...

m m

m m

n n n mn m

y x x xy x x x

y x x x

⎧ = α + α + + α ⋅λ⎪ = α + α + + α ⋅λ⎪⎨⎪⎪ = α + α + + α ⋅λ⎩

2

n

Căutăm necunoscutele scalare 1 2, , , nλ λ K λ

y

care să verifice ecuaţia vectorială:

1 1 2 2 0n ny y yλ + λ + + λ =K

Din egalităţile de mai sus combinaţia liniară 1 1 2 2 n ny yλ + λ + + λK se poate exprima în funcţie de 1 2, , , mx x xK :

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

( ... )( ... )..........................................( ...

n n

n n

m m mn n m

xx

x

α λ + α λ + + α λ +α λ + α λ + + α λ +

α λ + α λ + + α λ = θ)

Ţinând seama că vectorii 1 2, , , mx x xK sunt liniar independenţi această ecuaţie vectorială este echivalentă cu un sistem de m ecuaţii scalare ce constau în anularea coeficienţilor vectorilor 1 2, , , mx x xK din această combinaţie liniară:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

... 0

... 0............................................

... 0

n n

n n

m m mn n

α λ + α λ + α λ =⎧⎪ α λ + α λ + α λ =⎪⎨⎪⎪α λ + α λ + α λ =⎩

Acest sistem este omogen şi are m ecuaţii şi n necunoscute. Rangul matricei coeficienţilor nu poate să depăşească numărul m al liniilor.

Pe de altă parte ipoteza de reducere la absurd prevede că . Conform teoremei Kronecker –Capelli sistemul este nedeterminat, deci admite cel puţin o soluţie nebanală. Deci există un sistem de scalari

m n<

0 0 01 2, ,..., nλ λ λ nu toţi nuli, care

83

Page 85: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

verifică ecuaţiile sistemului, care sistem este echivalent cu ecuaţia vectorială: . 1 1 2 2 , , 0n ny y yλ + λ λ =K

Dar aceasta înseamnă că vectorii sunt liniar dependenţi, ceea ce contrazice faptul că ei formează o bază. Deci ipoteza că este falsă. În mod analog se respinge şi ipoteza . Q.E.D.

1 2, , , ny y yK

m n<m n>

Observaţii 1. Din această teoremă rezultă că numărul vectorilor unei baze reprezintă

o caracteristică a spaţiului. Acest lucru dă consistenţă următoarei definiţii: Se numeşte dimensiunea spaţiului V numărul vectorilor unei baze din

V. În spaţiul , subspaţiile d şi π au fost numite subspaţii de dimensiune

unu respectiv doi. Observăm că această denumire corespunde sensului noţiunii de dimensiune precizat mai sus.

L.IV.1.3 Formula de schimbare a coordonatelor la schimbarea bazei

Forma matriceală Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi două baze ale acestui spaţiu: 1 2, , , nx x xK şi . Orice vector x al spaţiului va avea unele coordonate în prima bază şi alte coordonate în a doua bază.

1 2, , , ny y yK

1 1 2 2 n nx x x= ζ + ζ + + ζK x

1 1 2 2 n nx y y= η + η + + ηK y

Ne propunem să stabilim formule care să permită calculul coordonatelor η în funcţie de coordonatele ξ şi invers, a coordonatelor ξ în funcţie de coordonatele . η

În acest scop să scriem vectorii în funcţie de vectorii bazei 1 2, , , ny y yK

1 2, , , nx x xK .

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

...

.............................................

...

n n

n n

n n n nn

y x xy x x

y x x

= α + α + + α⎧⎪ = α + α + + α⎪⎨⎪⎪ = α + α + + α⎩ n

xx

x

.

Coeficienţii acestor combinaţii liniare formează o matrice pătratică:

84

Page 86: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

T

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α α⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

.

care se numeşte matricea de trecere de la baza 1 2, , , nx x K x la baza . După cum se observă, această matrice se alcătuieşte plasând pe

coloane coordonatele vectorilor în baza 1 2, , , ny y yK

1 2, , , ny y yK 1 2, , , nx x xK . Relaţiile care exprimă vectorii 1 2, , , nx x K x ca nişte combinaţii liniare de

1 2, , , nx x K x se pot scrie sub formă matriceală astfel:

( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n ny y y x x x T= ⋅K K

În această relaţie, în membrul drept se înmulţeşte o matrice linie formată din vectori cu o matrice pătratică formată din scalari. Înmulţirea se face folosind operaţia externă, de înmulţire a scalarilor cu vectori. Notând cu S matricea de trecere de la baza înapoi la baza 1 2, , , ny y yK

1 2, , , nx x K x ea va îndeplini relaţia corespunzătoare:

( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n nx x x y y y S= ⋅K K

Folosind ultimele două relaţii se obţine:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , , , , . , , ,n n nx x x y y y S x x x T= =K K K S⋅ ⋅

adică matricea produs T⋅ S joacă rolul matricei de trecere de la baza 1 2, , , nx x xK la ea însăşi. Dar această matrice nu poate fi decât matricea unitate, din cauza unicităţii scrierii vectorilor ca nişe combinaţii liniare a vectorilor unei baze, în acest caz baza 1 2, , , nx x xK .

Aşadar, de unde rezultă că matricea T este invesabilă şi matricea de trecere S este tocmai inversa matricei

nT S I⋅ =1:T S T= . Relaţiile:

1 1 2 2 1 1 2 2;n n n nx x x x x y y= ζ + ζ + + ζ = η + η + + ηK K y

)

,

se pot scrie şi ele sub formă matriceală astfel:

( ) (

1 1

2 21 2 1 2... ; ...

... ...n n

n n

x x x x x y y y

ξ η⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜

⎞⎟ξ η⎜ ⎟ ⎜= =

⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜

⎟⎟⎟⎟ξ η⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Înlocuind în a doua relaţie matricea linie ( )1 2, , , ny y yK în funcţie de matricea linie ( )1 2, , , nx x xK obţinem:

85

Page 87: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( )

1

21 2 ...

...n

n

x y y y

η⎛ ⎞⎜ ⎟η⎜=⎜⎜ ⎟⎜ ⎟

⎟⎟

η⎝ ⎠

= ( )1 2, , , nx x x T⋅K

2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

1

2

...

n

η⎛ ⎞⎜ ⎟η⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟η⎝ ⎠

adică: 1 1

2

... ...

n n

T

ξ η⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ξ η⎜ ⎟ ⎜=⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ξ η⎝ ⎠ ⎝

, de unde:

1 1

2 21

... ...

n n

T −

η ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟η ξ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟η ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

În concluzie: dacă T este matricea de trecere de la baza ( )1 2, , , nx x xK , la baza nouă ( )1 2, , , ny y yK , atunci ea este inversabilă şi matricea de trecere de la baza nouă la baza veche este 1T − . Matricea de trecere de la coordonatele vechi, ξ, la coordonatele noi, η, este 1T − iar matricea de trecere de la coordonatele noi, η, la coordonatele vechi, ξ, este T.

( )

( )

1

21 2

1 1

1

21 2

, ,...,...

, ,...,...

n

n

n

n

x x x

T T T

y y y

− −

ξ⎛ ⎞⎜ ⎟ξ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ξ⎝ ⎠

↓ ↑ ↓ ↑

η⎛ ⎞⎜ ⎟η⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟η⎝ ⎠

T

După cum se observă, în relaţiile matriceale deduse, vectorii bazei se plasează într-o matrice linie, iar coordonatele se plasează într-o matrice coloană:

86

Page 88: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 211 2 1 2

1 1

2 211 2 1 2

... ...... ...

... ...... ...

n n

n n

n n

n n

y y y x x x T T

x x x y y y T T

η ξ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜

⎞⎟η ξ⎜ ⎟ ⎜= ⋅ =

⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜

⎟⎟⎟⎟η ξ⎝ ⎠ ⎝

ξ η⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ η⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ η⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Forma matriceală a formulelor este sintetică şi înlesneşte efortul de reţinere a lor. Această formă are însă dezavantajul că nu exprimă nemijlocit vectorii bazelor şi coordonatele vectorilor prin intermediul matricelor şi a operaţiei de înmulţire a matricelor. Forma concentrată care va fi prezentată în continuare încearcă să rezolve acest neajuns.

Forma concentrată a lui Einstein Pornim de la următoarea convenţie de notaţie: în elementul generic al unei matrice indicele liniei îl plasăm sus, iar indicele coloanei îl plasăm jos. De exemplu, în matricea linie ( )1 2, , , nx x xK notaţia elementelor corespunde acestei convenţii: indicele reprezintă coloana şi este plasat jos.

Dar în matricea coloană,

1

2

...

n

ξ⎛ ⎞⎜ ⎟ξ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ξ⎝ ⎠

,

notarea elementelor nu corespunde acestei convenţii deoarece indicele reprezintă linia şi deci ar trebui să fie plasat sus. Prin urmare vom schimba modul de scriere a coordonatelor plasând indicii sus: 1 2, , , nξ ξ ξK . În ce priveşte matricea T, elementul generic al acesteia îl vom nota i

jα în care, repetăm, indicele superior, i, reprezintă linia, iar indicele inferior, j, reprezintă coloana. De exemplu, 4

3α reprezintă elementul de pe linia patru şi coloana trei din matricea T. Să mai notăm cu i

jβ elementul generic

al matricei IT − . Cu aceste modificări ale notaţiilor cele patru formule , de transformare a

vectorilor bazelor şi de transformare a coordonatelor, se scriu astfel:

87

Page 89: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

1 1

1 1

; ;

; .

n nj i i

i i j jj j

n nj i i

i i j jj j

y x

x y

= =

= =

= α η = β ξ

= β ξ = α η

∑ ∑

∑ ∑

j

j

j

În sfârşit în aceste formule, suprimăm semnul de sumare, înlocuindu-l prin convenţia: dacă se repetă un indice, unul superior şi celălalt inferior, atunci se subînţelege sumarea după acel indice luând valori de la 1 la n. Formulele devin:

; ;

; .

j i i ji i j j

j i ii i j j

y x

x y

= α η = β ξ

= β ξ = α η

L.IV.1.4 Proprietăţi ale bazei Propoziţia 1

Orice sistem liniar independent de vectori din spaţiul vectorial finit generat V se poate completa până la o bază a spaţiului.

1 2, , , rv v vK

Demonstraţie Vom construi o bază care conţine vectorii . 1 2, , , rv v vK

Spaţiul V fiind finit generat, el admite o bază finită 1 2, , , nx x xK . Considerăm, în prima etapă, sistemul de vectori . Dacă

acest sistem este liniar independent atunci se ia în a doua etapă sistemul , adică se reţine vectorul

1 2 1, , , ,rv v v xK

1 2 1 2, , , , ,rv v v x xK 1x . Dacă este liniar dependent atunci, în a doua etapă se consideră sistemul adică nu se reţine vectorul 1 2 2, , , ,rv v v xK

1x . În etapa a treia, în fiecare din cele două cazuri, adăugăm vectorul 3x după

ce s-a reţinut sau s-a exclus vectorul 2x . Vectorul 2x se reţine sau nu după cum sistemul (având ca ultim vector pe 2x ) este liniar independent sau liniar dependent.

În etapa , ultimul vector adăugat fiind 1n + nx , acesta se reţine sau nu, după aceeaşi regulă ca şi în etapele doi şi trei. S-a obţinut astfel un sistem de vectori:

1 21 2, , ..., , , , ...,sr i i iv v v x x x

despre care vom arăta că îndeplineşte cele două condiţii din definiţia bazei. Din construcţie sistemul este liniar independent: nu s-ar fi reţinut vectorul

six dacă sistemul ar fi liniar dependent.

88

Page 90: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Să revenim acum la etapa întâia şi să considerăm cazul când este liniar dependent, deci atunci când 1 2 1, , , ,rv v v xK 1x nu se reţine în şir.

Înseamnă că există scalarii: 1 2, , , şi rα α αK β , nu toţi nuli, astfel încât . În mod sigur 1 1 2 2 1 0v v xα + α + + β =K 0β ≠ deoarece dacă atunci am

avea , de unde ar rezulta că toţi ceilalţi coeficienţi α sunt nuli. Rezultă:

0β =

1 1 2 2 0r rv v vα + α + + α =K

1 21 1 2 ... r

rx v vα α α= − − − − v

β β β

adică dintre vectorii 1 2, , , nx x K x cei care nu se reţin în şirul

1 21 2, , , , , , ,sr i i iv v v x x xK K se pot scrie ca nişte combinaţii liniare de vectorii deja

reţinuţi. Vom arăta acum că orice vector x se scrie ca o combinaţie liniară de vectorii

1 21 2, , , , , , ,sr i i iv v v x x xK K . În primul rând x se poate scrie ca o

combinaţie liniară de vectorii bazei 1 2, , , :x nx xK 1 1 2 2 n nx x x x= α + α + + αK . Împărţim suma din membrul drept în două părţi: o parte cuprinzând termenii care conţin acei vectori ix care au fost reţinuţi în şirul

1 21 2, , , , , , ,sr i i iv v v x x xK K şi altă parte cu acei ix care nu au fost reţinuţi în şir:

1 2

1 1 2 21 , ,...,

k ks

s

n n i i j jk j i i i

x x x x x= ≠

= α + α + + α = α + α∑ ∑K x

În suma a doua, toţi vectorii jx , fiind cei care nu au fost reţinuţi în şirul

1 21 2, , , , , , ,sr i i iv v v x x xK K , se pot scrie, aşa cum am stabilit, ca nişte combinaţii

liniare de vectorii din acest şir. Făcând înlocuirile şi reducerile de termeni asemenea se obţine o combinaţie liniară de

1 21 2, , , , , , ,sr i i iv v v x x xK K . Q.E.D.

Observaţie Din propoziţia demonstrată mai sus rezultă că o bază a unui spaţiu vectorial se poate caracteriza ca un sistem liniar independent maximal (adică un sistem liniar independent care nu este strict conţinut în alt sistem liniar independent).

Într-adevăr, fie 1 2, , , nx x K x o bază şi să presupunem că există vectorul v astfel că sistemul 1 2, , , ,nx x xK v este liniar independent. Rezultă, conform propoziţiei 1 că există o bază care conţine aceşti vectori. Această bază ar avea

vectori, ceeace contrazice teorema dimensiunii, deoarece în spaţiul V există deja baza

1n +1 2, , , nx x K x care are n vectori.

Prin urmare o bază este un sistem liniar independent căruia dacă-i mai adăugăm un vector, sistemul îşi pierde calitatea de liniar independenţă.

89

Page 91: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Criteriu Dacă numărul vectorilor unui sistem liniar independent este egal cu

dimensiunea spaţiului atunci acel sistem de vectori constituie o bază. Într-adevăr, fie n dimensiunea spaţiului şi fie un sistem liniar

independent. Conform propoziţiei 1, există o bază care conţine vectorii . Respectiva bază nu poate să mai conţină alţi vectori în afară de deoarece numărul lor ar întrece dimensiunea spaţiului.

1 2, , , nv v vK

1 2, , , nv v vK

1 2, , , nv v vK

Propoziţia 2 Din orice sistem de generatori ai unui spaţiu vectorial V se poate extrage o bază.

Demonstraţie Fie un sistem de generatori ai spaţiului V . Avem de demonstrat că o parte a acestor vectori formează o bază.

1 2, , , mv v vK

Două situaţii sunt posibile: sau sistemul este liniar independent, sau este liniar dependent. Dacă este liniar dependent atunci el constituie o bază, şi deci demonstraţia propoziţiei este încheiată.

Dacă sistemul este liniar independent atunci există nişte scalari , nu toţi nuli, astfel încât:1 2, , , ma a aK 1 1 1 1 0m mv v vα + α + + α =K .

Renumerotând eventual vectorii putem presupune că . Se poate atunci scrie:

0ma ≠

11 21 2 ... m

m mm m m

v v v −1v −

αα α= − − − −

α α α,

ceea ce înseamnă că vectorii 1 2 1, , , mv v v −K constituie un sistem de generatori. Acestui nou sistem de generatori i se aplică acelaşi tratament ca

sistemului iniţial, ducând, fie la găsirea unei baze, deci la încheierea demonstraţiei, fie la eliminarea unui vector din sistemul de generatori. Dat fiind că numărul vectorilor sistemului iniţial este finit, rezultă că după un număr finit de paşi se ajunge la o bază. Q.E.D.

Observaţie O bază se poate caracteriza ca un sistem minimal de generatori, adică un sistem de generatori din care dacă se exclude un vector, noul sistem de vectori nu mai are calitatea de sistem de generatori. Într-adevăr, fie 1 2, , , nx x K x o bază şi presupunem, prin reducere la absurd, că suprimând unul dintre vectorii bazei, noul sistem ar fi încă sistem de generatori. Pentru a fixa ideile, renumerotând eventual vectorii bazei putem presupune că vectorul suprimat este chiar nx . Propoziţia 2 ne asigură că din sistemul de vectori 1 2 1, , , nx x x −K se poate extrage o bază. Această bază ar avea

90

Page 92: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

cel mult vectori. Am ajuns la o contradicţie cu teorema dimensiunii deoarece în spaţiul V există o bază cu n vectori:

1n −1 2, , , nx x xK .

Criteriu Dacă numărul vectorilor unui sistem de generatori este egal cu dimensiunea spaţiului, atunci acel sistem de generatori constituie o bază. Într-adevăr, conform propoziţiei 2, din acest sistem de generatori se poate extrage o bază. Dar dacă prin aceasta s-ar suprima cel puţin un vector s-ar ajunge la o bază care ar avea mai puţini vectori decât dimensiunea spaţiului, cea ce este absurd.

L.IV.1.5 PROBLEME PROPUSE

PP.IV.1.5.1 Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi S o mulţime nevidă. Definim { }:F f f S V= → , ( )( ) ( ) ( ) ( ), ,f g x f x g x f g F+ = + ∀ ∈ , ( )( ) ( ) ( ) ( ), ,tf x tf x t K x S= ∀ ∈ ∀ ∈ . Să se arate că F este spaţiu vectorial peste K.

PP.IV.1.5.2 Fie { }, 0V x x x= ∈ > . Pentru ( ) ,x y V∀ ∈ şi ( )s∀ ∈ ,

definim x y xy⊕ = , ss x x= . Să se arate că ( ), ,V ⊕ este spaţiu vectorial peste . PP.IV.1.5.3 Să se arate că vectorii următori sunt liniar independenţi în 3 : a) ( ) ( ) ( )1 2 30,2,1 , 1,0,1 , 1,3,5v v v= = = ; b) ( ) ( ) ( )1 2 31,1,1 , 1,1,0 , 0,1, 1v v v= = − = − . PP.IV.1.5.4 Arătaţi că următoarele familii de vectori sunt baze ale

spaţiului vectorial 3 : a) ( ) ( ) ( )1 2 32,2, 1 , 1,1,2 , 1, 1,0v v v= − = = − ; b) ( ) ( ) ( )1 2 31,1,1 , 1,1,0 , 0,1, 1v v v= = − = − ; PP.IV.1.5.5 Arătaţi că vectorii următori formează o bază pentru şi

determinaţi coordonatele vectorului

4

( )2,1,3,4v = în această bază: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 42,3,4,1 , 3, 1,1, 2 , 1,2, 3,4 , 5, 7,6, 7v v v v= = − − = − − = − − .

PP.IV.1.5.6 Să se stabilească formulele de transformare a coordonatelor când se trece de la o bază { }1 2 3, ,B v v v= , la alta, { }1 2 3, ,B v v v′ ′ ′ ′= , în spaţiile vectoriale menţionate, unde:

1) ( ) ( ) ( )1 2 31,2,1 , 1, 2,1 , 0,1,1v v v= − = − = , ( ) ( ) ( )1 2 31, 1,1 , 0,1, 1 , 1,1,0v v v′ ′ ′= − = − = , în 3 ; 2) 2

1 2 31, ,v v t v= = = tt , în spaţiul vectorial al polinoamelor cu

coeficienţi reali, de grad cel mult 2.

2 21 2 31 , 1 ,v t v t v t′ ′ ′= − = + = −

91

Page 93: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

L.IV.1.6 TEST DE AUTOEVALUARE

TAev.IV.1.6.1 Să se arate că mulţimea ( )m nM K× a matricelor de tipul

cu elemente din corpul K m n× ( )sau K = este spaţiu vectorial peste corpul K în raport cu adunarea matricelor şi cu înmulţirea dintre un element din K şi o matrice. Să se arate că matricele:

0 . . . 0 . . . 0. . . . . . . . .0 . . . 1 . . . 0. . . . . . . . .0 . . . 0 . . . .

iji

E

j

=

constituie o bază a lui ( )m nM K× şi că dim ( )m nM K m× n= . TAev.IV.1.6.2 Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n şi

{ }1 2, ,..., nB u u u= , { }1 2, ,..., nB v v v′ = şi { }1 2, ,..., nB w w w′′ = , trei baze diferite ale sale. Fie matricea de trecere de la baza ijS s= B′ la baza B şi ijT t= matricea de trecere de la baza B′′ la baza B′ Să se arate că este matricea de trecere de la baza

S T⋅B′′ la baza B .

TAev.IV.1.6.3 Fie în 4 familiile de vectori { }1 2 3 4, , ,B v v v v= şi { }1 2 3 4, , ,B u u u u′ = , unde:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41,2, 1,0 , 1, 1,1,1 , 1,2,1,1 , 1, 1,0,1v v v v= − = − = − = − − şi ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 42,1,0,1 , 0,1,2,2 , 2,1,1,2 , 1,3,1,2u u u u= = = − = .

Să se arate că fiecare familie este o bază pentru 4 şi să se determine coordonatele vectorului în fiecare bază. Să se determine matricea de trecere de la baza

(2,1, 1,3w = − )}{ 1 2 3 4, , ,B v v v v= la baza { }1 2 3 4, , ,B u u u u′ = şi să se

verifice coordonatele lui w în cele două baze cu ajutorul matricei de trecere. TAev.IV.1.6.4 Fie [ ]3 X spaţiul vectorial al polinoamelor cu coeficienţi reali, de grad cel mult 3, în nedeterminata X . Arătaţi că fiecare din sistemele de polinoame: a) { }2 31, , ,B X X X= ;

b) { }2 2 2 31 , , , 2B X X X X X X′ = + + + ;

c) ( ) ( ) ( )2 31 1 11, , ,

1! 2! 3!X X X

B⎧ ⎫− − −⎪ ⎪′′ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

;

92

Page 94: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

este o bază pentru . Să se reprezinte polinomul [ ]3 X 3 2 1f X X X= − − + ca o combinaţie liniară cu coeficienţi reali în fiecare dintre cele trei baze. Să se determine matricea de trecere între fiecare două dintre cele trei baze.

TAev.IV.1.6.5 Fie vectorii ( ) ( ) ( )1 2 31 ,0,2 , ,1,0 , 2 ,1,v i i v i v i i= − = = − din

. Să se calculeze:3 ( ) ( )( ) ( )( )1 1 21 2 2 3 1 2 3w i i v iv i iv v= + + + + − −1 2⎡ ⎤⎣ ⎦ şi Să se rezolve ecuaţia în ( )2 1 22 1 3w v i v i= − + + 3v x : ( )1 22 1v ix i v− = − .

TAev.IV.1.6.6 Fie un spaţiu vectorial de dimensiune n peste corpul K V( ) sau K = . Să se arate că dacă vectorii sunt liniar independenţi, atunci şi vectorii b a sunt liniar independenţi.

1 2, ,..., na a a

1 1 2 1 2 1 2, ,..., ...n nb a a b a a a= = + = + + +

93

Page 95: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

LECŢIA IV.2

SUBSPAŢII VECTORIALE. OPERAŢII CU SUBSPAŢII

VECTORIALE Parcurgând această lecţie ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Subspaţii vectoriale, dimensiunea subspaţiului generat de un sistem de vectori;

Sume, intersecţii şi sume directe de subspaţii vectoriale; Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestei lecţii este de 2 ore.

L.IV.2.1 Subspaţiul vectorial generat de un sistem de vectori

Acest paragraf oferă încă un criteriu puternic pentru verificarea liniar

independenţei vectorilor, în particular pentru baze, în spaţii finit generate. Considerăm o bază 1 2, , , nx x K x

n

x

x

în spaţiul vectorial V şi un sistem oarecare de vectori, despre care nu se presupune nici că este liniar dependent nici sistem de generatori. Ei se scriu, fireşte, ca nişte combinaţii liniare de vectorii bazei:

1 2, , , mv v vK

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...............................................

...

n n

n n

m m m nm

v x x xv x x

v x x

= α + α + + α⎧⎪ = α + α + + α⎪⎨⎪⎪ = α + α + + α⎩

.

Plasând, ca de obicei, coordonatele celor m vectori pe coloane, se formează o matrice de tip ( ) : ,n m

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

m

m

n n nm

A

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α α⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

.

Pe de altă parte vectorii generează un subspaţiu, pe care l-am notat [

1 2, , , mv v vK

]1 2, , , mv v vK . El este constituit din mulţimea combinaţiilor liniare a

94

Page 96: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

vectorilor . Între acest subspaţiu şi matricea A există următoarea legătură:

1 2, , , mv v vK

Teoremă [ ] ( )1 2dim , , , rangmv v v A=K .

Demonstraţie. Fie [ ]1 2dim , , , mr v v v= K . Înseamnă că orice bază a subspaţiului

are r vectori. Ne propunem să demonstrăm că [ 1 2, , , mv v vK ] ( )rang A r= . Aşa cum am spus vectorii nu constituie un sistem de generatori ai spaţiului V. Dar ei constituie, bineînţeles, un sistem de generatori pentru subspaţiul generat de ei, adică

1 2, , , mv v vK

[ ]1 2, , , mv v vK . Comform Propoziţiei 2, din acest sistem de generatori se poate alege o bază a subspaţiului

formată, aşa cum am spus, din r vectori. [ 1 2, , , mv v vK ] Renumerotând vectorii , putem presupune că vectorii bazei sunt chiar primii r vectori: . Renumerotarea vectorilor modifică matricea A în sensul schimbării ordinii coloanelor ei. Dar aceasta nu modifică rangul matricei A.

1 2, , , mv v vK

1 2, , , rv v vK 1 2, , , mv v vK

Pentru a demonstra că ( )rang A r= , vom verifica cele două condiţii din definiţia rangului. Deoarece vectorii sunt liniar independenţi (ei constituind o bază) rezultă că ecuaţia vectorială

1 2, , , rv v vK

1 1 2 2 0r rv v vλ + λ + + λ =K

în necunoscutele scalare are numai soluţia banală: 1 2, , , rλ λ λK 1 0,λ =

1 20, 0, , 0rλ = λ = λ =K

Înlocuind în această ecuaţie vectorială pe prin combinaţii liniare de

1 2, , , rv v vK

1 2, , , nx x K x ecuaţia devine:

( )( )

( )

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

......

..........................................

r r

r r

n n nr r n

xx

x

α λ + α λ + + α λ +α λ + α λ + + α λ +

α λ + α λ + + α λ = θ

Vectorii 1 2, , , nx x K x fiind liniar independenţi, ca vectori ai unei baze, ecuaţia vectorială scrisă sub această formă este echivalentă cu următorul sistem de n ecuaţii scalare:

95

Page 97: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

... 0

... 0..............................................

... 0

r r

r r

n n nr r

α λ + α λ + + α λ =⎧⎪α λ + α λ + + α λ =⎪⎨⎪⎪α λ + α λ + + α λ =⎩

.

Acest sistem liniar şi omogen este echivalent cu ecuaţia vectorială, deci are numai soluţia banală. Deci este un sistem determinat.

Conform teoremei Kronecker-Capelli rangul matricei coeficienţilor este egal cu numărul necunoscutelor, adică r. Înseamnă că matricea coeficienţilor are un minor de ordinul r nenul. Dar matricea coeficienţilor sistemului este blocul matricei A format cu primele r coloane Aşadar matricea A are un minor de ordinul r nenul şi astfel prima condiţie din definiţia rangului este îndeplinită. Rămâne de demonstrat condiţia a doua: că orice minor de ordinul 1r + este nul. Fie un astfel de minor şi să notăm 1rM + 1 2 1, , , rj j j +K coloanele din matricea A, ce definesc acest minor. Vectorii 1 2 1, , , rj j j +K sunt liniar dependenţi, deoarece sunt în număr de r + 1 şi . Deci ecuaţia vectorială: [ 1 2, , , mDim v v v r=K ]

θ1 2 11 2 1...

rj j r jv v v++λ + λ + + λ =

în necunoscutele scalare are cel puţin o soluţie nebanală. 1 2, , , rλ λ λK

Înlocuind în această ecuaţie vectorială vectorii prin combinaţiile lor liniare de

1 2 1. ,...,

rj j jv v v+

1 2, , , nx x K x ecuaţia devine:

( )( )

( )

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1 1 1 2 1 1 1

2 1 2 2 2 1 2

1 2 1

...

...

......................................................

...

r

r

r

j j j r

j j j r

nj nj nj r n

x

x

x

+

+

+

+

+

+

⎧ α λ + α λ + + α λ +⎪⎪ α λ + α λ + + α λ +⎪⎨⎪⎪α λ + α λ + + α λ = θ⎪⎩

Folosind iarăşi liniar independenţa vectorilor 1 2, , , nx x K x deducem că această ecuaţie vectorială este echivalentă cu sistemul de n ecuaţii scalare ce constau în anularea celor n coeficienţi ai vectorilor 1 2, , , nx x xK

2 1

1 2 1

1 2 1

1 1 1 2 1 1

2 1 2 2 2 1

1 2 1

... 0

... 0

......................................................... 0

r

r

r

j j j r

j j j r

nj nj nj r

+

+

+

+

+

+

α λ + α λ + + α λ =⎧⎪α λ + α λ + + α λ =⎪⎨⎪⎪α λ + α λ + + α λ =⎩

Acest sistem omogen este echivalent cu ecuaţia vectorială care, aşa cum am spus, are soluţii nebanale. Înseamnă că rangul matricei coeficienţilor este 96

Page 98: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

strict mai mic decât numărul necunoscutelor, care este 1r + . Deci toţi minorii de ordin ai acestei matrice sunt nuli. 1r +

Dar această matrice este alcătuită din coloanele 1 2 1, , , rj j j +K ale matricei A. Rezultă că toţi minorii de ordin r + 1 ai matricei A, definiţi de aceste coloane sunt nuli. În particular este nul şi minorul 1rM + pe care l-am considerat mai sus. Q.E.D.

Criteriu Dacă rangul matricei coeficienţilor unui sistem de vectori este egal cu numărul vectorilor atunci vectorii sunt liniar independenţi. Într-adevăr, potrivit teoremei, rangul acestei matrice este egal cu dimensiunea subspaţiului generat de vectori. Ori, dacă dimensiunea este egală cu numărul generatorilor înseamnă că aceşti generatori constituie o bază, deci sunt liniar independenţi

L.IV.2.2 Sume şi intersecţii de subspaţii. Sume directe

Suma subspaţiilor Fie şi două subspaţii ale spaţiului vectorial V peste un corp comutativ K. Numim suma celor două subspaţii submulţimea:

1V 2V

{ }1 2 1 2 1 1 2 2; ,V V x x x x V x V+ = = + ∈ ∈ .

Este uşor de verificat că această submulţime verifică următoarele proprietăţi:

– este subspaţiu; – este cel mai mic subspaţiu care conţine 1V şi 2V în sensul că orice

subspaţiu care conţine 1V şi 2V conţine şi subspaţiul 1 2V V+ . Din acest motiv el se mai numeşte şi subspaţiul generat de 1 2 şi V V . Se poate spune că în acest fel am definit o operaţie internă în mulţimea ( )S V a subspaţiilor lui V, operaţia de adunare a subspaţiilor. Această operaţie

are următoarele proprietăţi, care se verifică fără dificultate: – comutativitatea: 1V V V V+ ; 1 2 2+ =– asociativitatea: ( ) ( )1 2 3 1 2 3V V V V V V+ + = + ; – elementul de efect nul: subspaţiul { }θ .

Menţionăm că aceste proprietăţi definesc structura de monoid comutativ. Asociativitatea dă sens sumei a trei sau mai multe spaţii, care se putea defini şi direct:

1 1

;n n

i i ii i

V x x x V= =

i⎧ ⎫⎪ ⎪= = ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∑ .

97

Page 99: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Putem considera suma unei familii oarecare de subspaţii, ( )i i IV ∈ , în care mulţimea I este infinită:

;i i ii I i I

V x x x V∈ ∈

i⎧ ⎫⎪ ⎪= = ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∑ ,

cu precizarea că în suma care-l defineşte pe x numai un număr finit de termeni diferă de vectorul nul, . θ

Intersecţia subspaţiilor Operaţia duală operaţiei de adunare a subspaţiilor, în sensul relaţiei de incluziune, este operaţia de intersecţie:

{ }1 2 1 2; ,V V x x V x V= ∈ ∈I .

Este uşor de verificat că intersecţia este o operaţie internă pe mulţimea ( )S V a subspaţiilor lui V şi că această operaţie satisface proprietăţile

monoidului comutativ, elementul de efect nul fiind spaţiul total V. Intersecţia este operaţia duală sumei faţă de relaţia de incluziune a subspaţiilor în sensul că , pe când suma subspaţiilor şi este cel mai mic dintre subspaţiile care conţin şi pe şi pe intersecţia este cel mai mare dintre subspaţiile conţinute deopotrivă şi în şi în . Orice subspaţiu care este conţinut şi în şi în este conţinut în .

1V 2V1V 2V 1V VI 2

1V 2V1V 2V 1 2V VI

Asociativitatea intersecţiei dă sens intersecţiei a trei sau mai multe elemente. Dar se poate defini şi direct intersecţia unei familii oarecare, finite sau infinite, de subspaţii:

{ }; ,i ii I

V x V i I x V∈

= ∈ ∀ ∈ ∈I

Sume directe de subspaţii Suma familiei de subspaţii ( )i i IV ∈ se zice directă dacă este îndeplinită

următoarea condiţie: ,

, {i jj I j i

i I V V∈ ≠

∀ ∈ = θ}∑I .

În cazul a două subspaţii, şi suma lor este directă dacă 1V 2V{ }1 2V V∩ = θ . În cazul a trei subspaţii, , şi , suma lor este directă dacă

fiecare din ele are în comun cu suma celorlalte două numai vectorul nul: 1V 2V 3V

( ) { } ( ) { } ( ) { }1 2 3 2 1 3 3 1 2, ,V V V V V V V V V+ = θ + = θ + = θI I I .

După cum se vede, suma directă nu este o altă sumă decât suma definită mai înainte. Relaţia dintre subspaţii decide dacă suma lor este sau nu directă, aşa cum se vede destul de clar în cazul a două subspaţii.

98

Page 100: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Exemple I. În spaţiul al vectorilor reprezentaţi de săgeţi (vezi Capitolul „Calculul vectorial”) pentru orice vector v subspaţiul generat de v, notat [ ]v , este alcătuit din vectorii situaţi pe aceeaşi dreaptă cu v. Daţi fiind doi vectori necolineari, suma subspaţiilor 1 şi v v2 [ ] [ ]1 2v v+ este planul determinat de cei doi vectori şi această sumă este directă , deoarece dreptele suport ale celor doi vectori au în comun numai vectorul nul, . θ Dacă sunt coplanari, dar doi câte doi necolineari, atunci suma lor, este planul pe care-l determină. Suma nu este directă deoarece, de exemplu, [

1 2 3, şi v v v[ ] [ ] [ ]1 2v v v+ + 3

]1v se află în întregime în subspaţiul [ ] [ ]2v v+ 3

3

care este planul determinat de cei trei vectori. Cu toate acestea, aşa cum am văzut mai sus, suma a oricare două dintre ele este directă. Dacă sunt necoplanari, atunci suma subspaţiilor

este directă. La fel este directă suma dintre fiecare din subspaţiile [

1 2 3, şi v v v[ ] [ ] [ ]1 2v v v+ +

] [ ] [ ]1 2 3, ,v v v şi subspaţiul generat de ceilalţi doi vectori. II. Fie V un spaţiu finit generat şi 1 2, , , nx x K x o bază în acest subspaţiu. Suma subspaţiilor: [ ] [ ] [ ]1 2 3, , ,v v vK este directă. Într-adevăr, pentru fiecare indice i, vectorii din subspaţiul [ ]ix sunt de forma i ix a x= , iar cei din subspaţiul

jj i

x≠

⎡ ⎤⎣ ⎦∑ sunt de forma j jj i

x x≠

= α∑ . Un vector comun x al celor două subspaţii

ar implica egalitatea: j j ij i

ix x≠

α = α∑ sau, j j i ij i

x x≠

α − α = θ∑ . Din liniar

independenţa vectorilor 1 2, , , nx x K x rezultă că toţi coeficienţii combinaţiei liniare din membrul stâng sunt nuli, în particular 0iα = , adică vectorul comun

. i ix x= α = θ

Dimensiunea sumei de subspaţii O proprietate importantă a sumei directe este că se poate alcătui o bază a sumei directe de subspaţii punând la un loc vectorii bazelor subspaţiilor. Acest fapt urmează să-l stabilim în cele ce urmează.

Lemă

Suma de subspaţii este directă dacă şi numai dacă: din 1

n

ii

V=∑

1

n

ii

x=

= θ∑ ;

i ix V∈ rezultă ; 1,2, ,ix i n= θ = K .

99

Page 101: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Demonstraţie

Presupunem că suma este directă şi că este îndeplinită relaţia:

;

1

n

ii

V=∑

1

n

ii

x=

= θ∑ i ix V∈ . Rezultă că pentru orice , ij i

i x x≠

= − j∑ . Pe de altă parte, din

definiţia sumei directe, oricare ar fi i, ,

{ }i jj I j i

V V∈ ≠

= θ∑I . Cum i ix V∈ şi

j jj i j i

x V≠ ≠

− ∈∑ ∑ , egalitatea lor conduce la ix = θ .

Reciproc, presupunem că din relaţia 1

n

ii

x=

= θ∑ cu i ix V∈ rezultă ix = θ ,

pentru orice i şi ne propunem să demonstrăm că suma 1

n

ii

V=∑ este directă. Orice

vector x care se află în { }i jj i

V V≠

= θ∑I va fi pe de o parte de forma i ix x V= ∈

iar pe de altă parte de forma j jj i j i

x x≠ ≠

= ∈ V∑ ∑ . Scăzând cele două egalităţi

obţinem: . Rezultă j ij i

x x≠

− = θ∑ ix = θ , şi deci x = θ . Q.E.D.

Menţionăm următoarea consecinţă: orice vector x al unei sume directe

se scrie în mod unic sub forma 1

n

ii

V=∑

1

n

ii

x x=

=∑ .

Într-adevăr, dacă 1

n

ii

x x=

′=∑ atunci: (1

n

i ii

)x x x=

′− = θ = −∑ x

θ

şi din lema

anterioară rezultă pentru orice i. i ix x′− =

Propoziţie

Fie o sumă directă de subspaţii şi presupunem că avem câte o bază

în fiecare din subspaţii. Atunci, punând la un loc vectorii bazelor celor r subspaţii se obţine o bază a subspaţiului sumă.

1

r

ii

V=∑

Demonstraţie

Fie 1 2, , , mx x xK o bază în ; o bază în o bază în . Din definiţia sumei de subspaţii rezultă că:

1V 1 2, , , ny y yK 2 1 2; ; , , , pV z zK K z

rV 1 2, , , mx x xK ,

100

Page 102: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

1 2 1 2, , , , , , ,ny y y z z zK K p , constituie un sistem de generatori pentru . 1 2 rV V V+ + +K

Rămâne de demonstrat liniar independenţa lor. Dacă:

( ) ( )( )1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2

m m n n

p p

x x x y y y

y z y z y z

α + α + + α + β + β + + β +

+ + + + = θ

K K

K

+K

θ

atunci, din lema demonstrată , sumele din toate parantezele sunt nule deoarece prima paranteză este un vector din , a doua un vector din , ş.a.m.d. 1V 2V

Din şi din liniar indepndenţa vectorilor 1 1 2 2 m mx x xα + α + + α =K

1 2, , , mx x xK rezultă că toţi coeficienţii α sunt nuli. Analog se deduce că şi coeficienţii β şi toţi ceilalţi sunt nuli. Q.E.D.

Consecinţă

Dacă suma 1

r

ii

V=∑ este directă atunci .

1 1

dim dimr r

i ii i

V V= =

=∑ ∑Propoziţie

Pentru orice pereche de subspaţii avem: 1 şi V V2

( ) ( )1 2 1 2 1 2dim dim dim dimV V V V V V+ = + − I .

Demonstraţie Fie 1 2, , , rx x K x o bază a subspaţiului ( )1 2V VI . Fiind un sistem liniar independent se poate completa până la o bază a lui cu vectorii şi la o bază a lui cu vectorii . Punând la un loc vectorii

1V 1 2, , , ry y yK

2V 1 2, , , nz z zK , ,x y z ei constituie un sistem de generatori pentru ( )1 2V V+ . Rămâne să arătăm că ei sunt liniar independenţi. Dacă

1 1 1

r m n

i i j j k ki j k

x y z= = =

α + β + γ =∑ ∑ ∑ θ

y

,

atunci:

1 1 1

n r m

k k i i j jk i j

z x= = =

γ = − α − β∑ ∑ ∑ .

101

Page 103: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Membrul stâng este un vector din , iar membrul drept este un vector din . Egalitatea lor înseamnă că ambii sunt în . Deci există nişte scalari

astfel încât:

2V1V 1V VI 2

x

1 2, , , rδ δ δK

1 1

n r

k k i ik i

z= =

γ = δ∑ ∑ , de unde: 1 1

r n

i i k ki k

x z= =

δ − γ =∑ ∑ θ

n

.

Dar, cum vectorii 1 2 1 2, , , , , , ,rx x x z zK zK

θ

θ

n

constituie bază a lui rezultă că toţi coeficienţii combinaţiei liniare din membrul stâng sunt nuli. În particular, toţi coeficienţii γ sunt nuli.

2V

Din egalitatea rezultă atunci

1 1 1

r m n

i i j j k ki j k

x y z= = =

α + β + γ =∑ ∑ ∑

1 1

r m

i i j ji j

x y= =

α + β =∑ ∑Ţinând seamă acum că vectorii: 1 2 1 2, , , , , , ,rx x x y yK K y , constituie o

bază a lui , rezultă că şi coeficienţii 1V α şi β sunt nuli. Q.E.D

L.IV.2.4 PROBLEME PROPUSE

PP.IV.2.4.1 a) Să se arate că mulţimea funcţiilor ( ): ,f a a− → care satisfac condiţia ( ) ( ) ( ) ( ), ,f x f x x a a− = ∀ ∈ − este un subspaţiu al spaţiului tuturor funcţiilor reale definite pe intervalul ( ),a a− (Subspaţiul funcţiilor reale pare);

b) Să se arate că mulţimea funcţiilor ( ): ,f a a− → care satisfac condiţia ( ) ( ) ( ) ( ), ,f x f x x a− = − ∀ ∈ − a este un subspaţiu al spaţiului tuturor funcţiilor reale definite pe intervalul ( ),a a− (Subspaţiul funcţiilor reale impare).

PP.IV.2.4.2 Fie S o submulţime din 3 , formată din vectorii: a) ( ) ( ) ( ) (1 2 3 4,1 ,3 2 , 1 ,0, , 1, 1 ,2 3 , 2 2 ,0, 2v i i i v i i v i i v i= − + − = − = − + + = − + − )i ; b) ( ) ( ) ( )1 2 35 2 ,0,1 , 1 ,2 , , 3 4 ,4 2 ,1v i i v i i i v i i= − − = − − + = − + + i . Să se stabilească dimensiunea subspaţiului generat de submulţimea S şi să se precizeze care vectori din submulţime pot constitui o bază, în fiecare caz în parte. PP.IV.2.4.3 Se consideră următoarele familii de vectori din : 3

a) ( ) ( ) ( )1 2 32,1,0 , 1,2,3 , 5, 2,1v v v= = = − − ;

102

Page 104: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

b) ( ) ( ) ( )1 2 31,1,2 , 1,3,0 , 2,0,3u u u= = − = . Fie [ ]1 1 2 3, ,L v v v= şi [2 1 2 3, , ]L u u u= , subspaţiile generate de fiecare familie de vectori. Să se determine: dim 1L , dim 2L , dim ( )1 2L L+ , dim ( )1 2L L∩ precum şi câte o bază pentru fiecare din subspaţiile respective.

PP.IV.2.4.4 Fie subspaţiile vectoriale W şi U generate de vectorii: a) ( ) ( ) ( )1 2 31,1,1 , 0,3,1 , 2, 1,1w w w= = = −

);

b) . ( ) (1 21, 2,4 , 2,4, 8u u= − = − −1) Să se verifice dacă admit sumă directă şi, în caz afirmativ, să se

determine suma lor directă; 2) Să se găsească descompunerea vectorului ( )5, 7,13v = − pe aceste

subspaţii. PP.IV.2.4.5 Fie vectorii: ( ) ( ) (1 2 31,0,1 , 1,1,0 , ,2,1v v v )α= = = din 3 ,

unde α ∈ este un parametru. Să se determine α astfel încât subspaţiul W generat de cei trei vectori să aibă dimensiunea 2. Să se scrie forma generală a vectorilor din W şi să se indice toate subspaţiile astfel încât

.

31W ⊂

31W W= ⊕

PP.IV.2.4.6 Să se arate că mulţimile ( ) ( ){ }1 21,5,3 , 2,0,6U u u= = = şi

( ) ( ){ }1 21,7, 3 , 4,5,12W w w= = − − = generează acelaşi subspaţiu în . 3

L.IV.2.5 TEST DE AUTOEVALUARE

TAev.IV.2.5.1 Să se precizeze care dintre următoarele mulţimi din 3 sunt subspaţii vectoriale şi, în caz afirmativ, să se stabilească dimensiunea subspaţiului: 1) ( ){ }3

1 2 3 1 2 3, ,A x x x x x x= ∈ = = ;

2) ( ){ }31 2 3 1 3, , 0B x x x x x= ∈ = = .

TAev.IV.2.5.2 Fie ( )0C spaţiul vectorial real al funcţiilor reale şi

continue. Să se precizeze care dintre următoarele submulţimi ale lui ( )0C sunt liniar dependente, respectiv liniar independente şi să se stabilească dimensiunile subspaţiilor generate. 1) { }2, ,ax ax axe xe x e ;

2) ( ){ }, ,x xe e ch x− ;

103

Page 105: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

TAev.IV.2.5.3 Fie S o submulţime din 3 formată din vectorii: 1) ( ) ( ) ( )1 2 31,0,1 , 1,0, 1 , 3,0,3w w w= = − − = ;

2) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41,1,1 , 1, 1,1 , 0,0,1 , 1, 1,2u u u u= − = − = = − . În fiecare caz, să se stabilească dimensiunea subspaţiului generat şi să se

specifice care vectori din submulţime pot constitui o bază. Care sunt ecuaţiile carteziene ale fiecărui subspaţiu ?

TAev.IV.2.5.4 Fie subspaţiile vectoriale W şi U generate de vectorii: a) ( ) ( ) ( )1 2 32,1,0,1 , 2, 1, 1, 1 , 3,0,2,3w w w= = − − − − = ; b) ( ) ( ) ( )1 2 31,1,2, 1 , 0, 1, 1,2 , 1,2,1, 5u u u= − = − − = − − .

Să se determine: dim W, dim U, dim ( )W U+ , dim ( )W U∩ , precum şi câte o bază pentru fiecare subspaţiu. TAev.IV.2.5.5 Fie subspaţiile [ ]1 1,..., kL x x= , [ ]2 1,..., kL y y= . Să se determine : dim 1L , dim 2L , dim( )1 2L L+ , dim( )1 2L L∩ , precum şi câte o bază pentru fiecare subspaţiu în fiecare din cazurile următoare: a) ( ) ( ) ( )1 2 30,1,1,1 , 1,1,1,2 , 2,0,1,1x x x= = = − ;

( ) ( )1 21,3,2, 1 , 1,1,0, 1y y= − − = − ; b) ( ) ( ) ( )1 2 32, 5,3,4 , 1,2,0, 7 , 3, 6,2,5x x x= − = − = − ; ( ) ( ) ( )1 2 32,0, 4,6 , 1,1,1,1 , 3,3,1,5y y y= − = = .

TAev.IV.2.5.6 Se consideră ( ) ( ) (1 2 31,3,0, 1 , 2,5,1,5 , 1,2,1,3x x x )= − = = şi fie [1 1 2 3, , ]L x x x= subspaţiul generat de cei trei vectori în . Să se afle subspaţiul , astfel încât

4

42L ⊂ 4

1 2L L⊕ = (suma este directă; 2L cu această proprietate se numeşte subspaţiul suplementar lui 1L ).

L.IV TEMĂ DE CONTROL

TC.IV.1 Fie V mulţimea tuturor şirurilor f de numere reale: ( ) ( )( )0 1 2, , ,..., ,... , ,n if a a a a a i= ∈ ∀ ∈ . Dacă α ∈ şi ,f g V∈ , unde

, atunci definim adunarea şi înmulţirea cu scalari a şirurilor de numere reale prin:

( ) (0 1 2 0 1 2, , ,..., ,... , , , ,..., ,...nf a a a a g b b b b= = )n

( )0 0 1 1, 2 2, ,..., ,...n nf g a b a b a b a b+ = + + + + ; ( )0 1 2, , ,..., ,..nf a a a a .α α α α α⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Să se arate că V este spaţiu vectorial peste corpul în raport cu legile de

compoziţie: internă: ( ): , ,V V V f g f g+ × → → + ;

104

Page 106: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

externă: ( ): , ,V V f fα α⋅ × → → ⋅ . TC.IV.2 Fie [ ] ( ), saunK X K = mulţimea polinoamelor de grad cel

mult n în nedeterminata X, cu coeficienţi în K. Să se arate că mulţimea [ ]nK X este spaţiu vectorial peste corpul K în raport cu adunarea polinoamelor şi cu înmulţirea dintre un element din K şi un polinom. Să se arate că polinoamele:

, 2 31, , , ,..., nX X X Xconstituie o bază a lui [ ]nK X şi că dim [ ] 1nK X n= + . Fie [ ] (, )K X K sau= spaţiul vectorial al tuturor polinoamelor în nedeterminata X. Să se arate că polinoamele: 2 31, , , ,..., ,...nX X X Xconstituie o bază a lui [ ]K X şi că dim [ ]K X = ∞ .

TC.IV.3 Fie spaţiul vectorial real al polinoamelor în cos5V x de grad cel

mult 4. Să se arate că familiile { }2 3 41,cos ,cos ,cos ,cosB x x x= x şi

{ }1,cos ,cos 2 ,cos 3 ,cos 4B x x x′ = x sunt baze ale lui . Să se determine schimbarea de coordonate care permite trecerea de la baza B la baza

5VB′ .

TC.IV.4 Fie ( )3

0 00 0;

0

xM A M A y x y z

u z

⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ = = +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

. Să se arate că:

a) Mulţimea M este un subspaţiu vectorial al lui ; ( )3M

b) Matricele A0 0 3

02 0 0

1 1

−= − , ,

0 0 11 03 0 0

B =0 0 11 0 0

3 0 0C0

−= −

constituie o bază a spaţiului M. TC.IV.5 Să se precizeze care dintre următoarele mulţimi din sunt

subspaţii vectoriale şi, în caz afirmativ, să se stabilească dimensiunea subspaţiului:

3

1) ( ){ }31 2 3 1 2 3, , 5 0A x x x x x x= ∈ − + = ;

2) ( ){ }31 2 3 1 2 3, , 5 4B x x x x x x= ∈ − + = ;

TC.IV.6 Fie spaţiul vectorial real al funcţiilor reale şi continue.

Să se precizeze care dintre următoarele submulţimi ale lui sunt liniar dependente, respectiv liniar independente şi să se stabilească dimensiunile subspaţiilor generate.

( )0C

( )0C

1) ( ) ( ){ }sin ,cosx xα α ;

105

Page 107: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

2) ( ) ( ){ }21,cos 2 ,sinx x .

TC.IV.7 Fie S o submulţime din 3 formată din vectorii: 1) ( ) ( ) ( ) (1 2 3 4,0,1 , 1 ,0, , 1 2 ,0,1 , 0, ,0w i w i i w i i w i= − = − = − + = ) ;

2) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41,0,1 , ,0, , 0, , , , ,2u u i i u i i u i= = = = i i . În fiecare caz, să se stabilească dimensiunea subspaţiului generat ,

respectiv şi [ ]1 2 3 4, , ,W w w w w= [ ]1 2 3 4, , ,L u u u u= şi să se specifice care vectori din submulţime pot constitui o bază. Care sunt ecuaţiile carteziene ale fiecărui subspaţiu ? De asemenea, să se determine subspaţiul sumă şi subspaţiul intersecţie al celor două subspaţii, dimensiunea şi câte o bază pentru fiecare.

W L+W L∩

TC.IV.8 Fie subspaţiile [ ]1 1 2 3, ,L x x x= , [ ]2 1 2 3, ,L y y y= . Să se determine : dim 1L , dim 2L , dim( )1 2L L+ , dim( )1 2L L∩ , precum şi câte o bază pentru fiecare subspaţiu, în cazul: ( ) ( ) ( )1 2 32,3,11,5 , 1,1,5,2 , 0,1,1,1x x x= = = ;

( ) ( ) ( )1 2 32,1,3,2 , 1,1,3,4 , 5,2,6,2y y y= = = . Să se stabilească dacă 4

1 2L L+ = şi să se descompună vectorul după formula (2,0,0,3z = ) 1 2, ,z x y x L y L= + ∈ ∈ .

TC.IV.9 Să se precizeze care dintre următoarele submulţimi din sunt subspaţii vectoriale şi, în cazul răspunsului afirmativ, să se precizeze şi dimensiunea sa:

3

1 21 2: , :

1 2 1 1 1 1x y z x y zD D − −= = = =

− − −;

1 2: 0, :P x y z P x y z+ + = − − =1 . TC.IV.10 În se consideră subspaţiile vectoriale: şi

. Pentru fiecare să se fixeze câte o bază şi să se determine câte un subspaţiu vectorial suplimentar (subspaţiul vectorial suplimentar al unui subspaţiu dat este un subspaţiu care în sumă directă cu cel dat dă, în cazul de faţă, pe ). Să se găsească o bază a sumei

3 : 2 0P x y z+ − =: 2 2 0Q x y z− + =

3 P Q+ şi o bază a intersecţiei . P Q∩

Bibliografie

1. Udrişte C., şa., -Probleme de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.

2. Udrişte C., -Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993.

106

Page 108: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

3. Ion D.I., R. Nicolae, -Algebra, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.

4. Flondor D., N. Donciu, -Algebră şi analiză matematică-culegere de probleme, vol I, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978.

5. Otlăcan E., -Algebră superioară-îndrumar teoretic şi culegere de probleme, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureşti, 1995.

6. Mânzatu E., Gârban V. –Algebră cu aplicaţii rezolvate la calculatorul electronic, Editura Academiei Militare, Bucureşti, 1982.

107

Page 109: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

108

MODULUL V APLICAŢII LINIARE, VALORI ŞI VECTORI PROPRII. Parcurgând acest modul, format din două lecţii, ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Definiţia aplicaţiei liniare, operaţii cu aplicaţii liniare, exemple; Matricea asociată unei aplicaţii liniare, schimbarea sa la schimbarea

bazelor, nucleul şi imaginea unei aplicaţii liniare; Izomorfisme de spaţii vectoriale finit generate; Valori şi vectori proprii ai unui operator liniar, polinom caracteristic,

subspaţii proprii, baze formate din vectori proprii; Funcţii de matrice, operatori de structură simplă; Endomorfisme diagonalizabile, endomorfisme jordanizabile, celule Jordan; Forma canonică diagonală şi forma canonică Jordan, operatori nilpotenţi.

Materialul prezentat are o logică matematică corectă, cu o înlănţuire firească a noţiunilor; de aceea se recomandă parcurgerea sa completă, în ordinea dată, inclusiv în porţiunea referitoare la aplicaţii. Metoda de studiu trebuie să fie cea specifică disciplinelor matematice, cu utilizarea expresă a adnotărilor făcute cu creionul pe tot parcursul textului. Vă recomandăm să vă constituiţi un caiet de probleme şi, pentru fiecare tip de exerciţiu, să vă fixaţi algoritmul de rezolvare pe etape. Rezolvaţi cât mai complet problemele propuse şi cele conţinute în testul de autoevaluare. Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestui modul este de 8 ore.

Page 110: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

109

LECŢIA V.1

APLICŢII LINIARE Parcurgând această lecţie ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Definiţia aplicaţiei liniare, operaţii cu aplicaţii liniare, exemple; Matricea asociată unei aplicaţii liniare, schimbarea sa la schimbarea

bazelor, nucleul şi imaginea unei aplicaţii liniare; Izomorfisme de spaţii vectoriale finit generate;

Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestei lecţii este de 4 ore.

L.V.1.1 Aplicaţii liniare Definiţie

Fie V şi V ′ două spaţii vectoriale peste acelaşi corp comutativ K. Se numeşte aplicaţie liniară o funcţie :f V V ′→ având următoarele proprietăţi:

1. ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (aditivitatea). 2. ( ) ( )f x f xα = α (omogenitatea).

Cele două proprietăţi exprimă faptul că funcţia f păstrează cele două operaţii ale structurii de spaţiu vectorial, adică este ceea ce numim homomorfism, sau morfism de spaţii vectoriale. Altfel spus, morfismul, în cazul spaţiilor vectoriale, poartă acest nume specific de aplicaţie liniară. Din cele două condiţii din definiţia aplicaţiei liniare se deduce cu uşurinţă relaţia:

( ) ( ) ( )f x y f x f yα + β = α + β ,

numită condiţia de liniaritate. Ea este chiar echivalentă cu cele două condiţii deoarece acestea se pot deduce lesne din condiţia de liniaritate.

Această relaţie exprimă faptul că f păstrează combinaţiile lineare. De aceea se numeşte aplicaţie „liniară”. Evident că o aplicaţie liniară păstrează orice combinaţie liniară, nu numai combinaţiile liniare de doi vectori.

Exemple I. Fie A o matrice de tip ( ),m n formată cu elemente dintr-un corp comutativ ( ) ( ), , ; şi , ;K V M n p K V M m p K′= = . Cu ajutorul matricei A se poate defini o funcţie

: ( , ; ) ( , ; )f M n p K M m p K→ ,

Page 111: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

110

în felul următor ( )f X A X= ⋅ unde am notat cu X o matrice oarecare de tip( ),n p . Tipul matricelor A şi X permite efectuarea produsului A⋅X, iar rezultatul este o matrice de tip ( ),m p .

Din proprietăţile operaţiilor cu matrice rezultă că funcţia f este liniară. Într-adevăr:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2 ;

.

f X X A X X AX AX f X f X

f X A X AX f X

+ = + = + = +

α = α = α = α

Acest exemplu dezvăluie bogăţia noţiunii de aplicaţie liniară: orice matrice defineşte o aplicaţie liniară.

1. Considerăm ( ) ( 1)[ , ] [ , ]: n na b a bD C C −→ definită prin operaţia de derivare.

Proprietăţile operaţiei de derivare asigură că această funcţie este o aplicaţie liniară.

2. La fel, funcţia ( )( ) ( )( ) ( 1)[ , ] [ , ]: ; d

xn na b a b a

I C C I f x f t t+→ = ∫ este o aplicaţie

liniară.

Operaţii cu aplicaţii liniare Cu aplicaţiile liniare se pot defini diverse operaţii.

– Adunarea. Dacă f şi g sunt aplicaţii liniare definite pe V cu valori în V’ atunci funcţia f g+ definită prin ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + este tot o aplicaţie liniară definită pe V cu valori în V ′

– Înmulţirea cu scalari. Pentru orice aplicaţie liniară f definită pe V cu valori V ′ funcţia fα definită prin ( )( ) ( )f x f xα = α este tot o aplicaţie liniară definită pe V cu valori înV ′ .

– Compunerea aplicaţiilor liniare . Dacă :f V V ′→ şi :g V V′ ′′→ sunt aplicaţii liniare atunci funcţia gf definită prin: ( ) ( )( )g f x g f x= este o aplicaţie liniară definită pe V cu valori în V ′′ . Demonstrarea afirmaţiilor de mai sus constă în verificarea celor două condiţii din definiţia aplicaţiei liniare, lucru ce nu prezintă dificultăţi, astfel că este lăsată ca exerciţiu. Notăm ( )Hom ,k V V ′ mulţimea aplicaţiilor liniare definite pe V cu valori în V ′ . Din cele de mai sus rezultă că adunarea este o operaţie internă iar înmulţirea cu scalari este o operaţie externă pe această mulţime. Dacă V' = V atunci în loc de ( )Hom ,k V V ′ se scrie ( )Endk V (mulţimea endomorfismelor lui V). Pentru această mulţime, operaţia de compunere a aplicaţiilor liniare este o operaţie internă. Verificând proprietăţile care definesc structurile de spaţiu vectorial, inel, algebră peste un corp, se demonstrează fără dificultate următoarea:

Page 112: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

111

Propoziţie

1. Adunarea şi înmulţirea cu scalari definesc pe mulţimea ( )Hom ,k V V ′ o structură de spaţiu vectorial peste corpul K.

2. Adunarea şi compunerea definesc pe mulţimea ( )Endk V o structură de inel.

3. Adunarea, înmulţirea cu scalari şi compunerea definesc pe ( )Endk V o structură de algebră peste corpul K. Aceasta înseamnă că pe lângă faptul că este inel şi spaţiu vectorial, sunt satisfăcute relaţiile ( ) ( ) ( )f g fg f gα = α = α .

L.V.1.2 Matricea unei aplicaţii liniare. Schimbarea sa la schimbarea bazelor

Aplicaţii liniare între spaţii finit dimensionale Fie :f V V ′→ o aplicaţie liniară între două spaţii vectoriale finit generate peste acelaşi corp comutativ K. Dacă 1 2, , , nx x xK este o bază în V şi 1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ o bază în V’ atunci vectorii: ( ) ( ) ( )1 2, , , nf x f x f xK sunt în V ′ şi deci se scriu, în mod unic, ca nişte combinaţii liniare de vectorii 1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ :

( )( )

( )

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

m m

m m

n n n mn m

f x x x x

f x x x x

f x x x x

′ ′ ′= α + α + + α

′ ′ ′= α + α + + α

′ ′ ′= α + α + + αKKKKKKKKKKKKKK

S-a format astfel o matrice:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

m m mn

A

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α α⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

numită matricea aplicaţiei liniare f în raport cu bazele 1 2, , , nx x xK din V şi 1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ din V ′ . Această matrice se alcătuieşte plasând pe coloane

coordonatele vectorilor ( ) ( ) ( )1 2, , , nf x f x f xK în baza 1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ . Folosind matricea A, relaţiile vectoriale care exprimă vectorii ( ) ( ) ( )1 2, , , nf x f x f xK în funcţie de vectorii 1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ se pot scrie sub

formă matriceală:

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2, , , , ,...,n mf x f x f x x x x A′ ′ ′=K .

Page 113: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

112

Matricea A este la rândul ei determinată de cele două baze.

Propoziţie Dacă

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1, , , , ,...,n mf x f x f x x x x A′ ′ ′=K ;

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 2, , , , ,...,n mf x f x f x x x x A′ ′ ′=K ,

atunci 1 2A A=

Demonstraţie Scăzând membru cu membru cele două relaţii rezultă:

( )( )1 2 1 20 , ,..., mx x x A A′ ′ ′= − ,

unde 0 din membrul stâng înseamnă matricea linie formată cu m vectori, toţi egali cu vectorul nul din spaţiul V ′ . Notând ijγ elementul generic al matricei

( )1 2A A− putem scrie:

11 1 21 2 1... m mx x x′ ′ ′θ = γ + γ + + γ .

Din liniar independenţa vectorilor 1 2, , ..., mx x x′ ′ ′ rezultă că: 11 21 10, 0, , 0mγ = γ = γ =K adică prima coloană a matricei 1 2A A− este nulă. La

fel se arată că şi celelalte coloane ale matricei 1 2A A− sunt nule şi în consecinţă 1 2A A= . Q.E.D.

Utilitatea matricei unei aplicaţii liniare Fie 1 2, ,..., nξ ξ ξ coordonatele cunoscute ale vectorului x din V şi ne propunem să aflăm coordonatele 1 2, ,..., m′ ′ ′ξ ξ ξ ale vectorului ( )f x din V ′ folosind matricea A. Din liniaritatea funcţiei f rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2n n n nf x f x x x f x f x f x= ξ + ξ + + ξ = ξ + ξ + + ξ =K K

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1

2 21 2 1 2, , , , ,..., .

... ...n m

n n

f x f x f x x x x A

ξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′= = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

K

Page 114: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

113

Pe de altă parte, ( )

1

21 2( , ,..., ).

...m

m

f x x x x

′ξ⎛ ⎞⎜ ⎟′ξ⎜ ⎟′ ′ ′=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′ξ⎝ ⎠

.

Din unicitatea scrierii vectorului ( )f x ca o combinaţie liniară de vectorii bazei ( )1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ se obţine:

1 1

2 2

... ...

m n

A

′ξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ξ ξ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Aşadar, coloana coordonatelor vectorului ( )f x se obţine prin înmulţirea matricei A cu coloana coordonatelor lui x.

Observaţii 1. Rezultatul obţinut mai sus are următoarea semnificaţie: este suficient să

cunoaştem imaginile ( ) ( ) ( )1 2, , , nf x f x f xK ale vectorilor bazei, pentru ca să putem deduce imaginile prin f ale tuturor vectorilor din V. Într-adevăr, cunoaşterea matricei A înseamnă cunoaşterea vectorilor ( ) ( ) ( )1 2, , , nf x f x f xK .

2. În paragraful anterior am menţionat că mulţimea ( )Hom ,k V V ′ a aplicaţiilor liniare de la V la V ′ are o structură de spaţiu vectorial peste corpul K. Asociind fiecărei aplicaţii liniare o matrice de tip ( ),m n se defineşte o funcţie de la spaţiul ( )Hom ,k V V ′ la spaţiul ( ), ;M m n K al matricelor de tip ( ),m n formate cu elemente din corpul comutativ K. Este uşor de verificat că această aplicaţie este liniară: sumei 2f f+ îi corespunde suma 1 2A A+ a matricelor corespunzătoare, iar aplicaţiei fα îi corespunde produsul Aα dintre scalarul α şi matricea A corespunzătoare lui f. Observaţia anterioară atestă că această aplicaţie este injectivă: nu pot exista două aplicaţii liniare definite de aceeaşi matrice din moment ce matricea determină aplicaţia liniară care a definit-o. Dar această aplicaţie este şi surjectivă deoarece oricare ar fi matricea A, de tip ( ),m n , relaţia :

1 1

2 2

... ...

m n

A

′ξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ξ ξ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

Page 115: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

114

defineşte o aplicaţie liniară de la V la V ′ . Aşadar spaţiul ( )Hom ,k V V ′ este izomorf cu spaţiul ( ), ;M m n K . În cazul V V′ = obţinem că algebra ( )Endk V este izomorfă cu algebra

( );M n K a matricelor pătratice de ordinul n.

Formula de schimbarea a matricei unei aplicaţii lineare la schimbarea bazelor

Din felul cum a fost construită matricea A, ea depinde de bazele 1 2, , , nx x xK din V şi 1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ din V ′ . Mai mult, propoziţia anterioară afirmă

că matricea A este chiar determinată de aceste baze. Ne propunem să aflăm ce devine matricea A atunci când se schimbă bazele. Fie 1 2, , , ny y yK o nouă bază în V şi 1 2, ,..., my y y′ ′ ′ o nouă bază în V ′ . Să notăm T matricea de trecere de la baza 1 2, , , nx x xK la baza 1 2, , , ny y yK şi S matricea de trecere de la baza 1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ la baza 1 2, ,..., my y y′ ′ ′ . Să mai notăm cu B matricea aplicaţiei liniare f în raport cu bazele 1 2, , , ny y yK din V şi

1 2, ,..., my y y′ ′ ′ din V’. Din definiţiile matricelor T, S, A şi B rezultă relaţiile:

( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n ny y y x x x T=K K

( ) ( )11 2 1 2, ,..., , ,...,m my y y S x x x−′ ′ ′ ′ ′ ′=

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2, , , , ,...,n mf x f x f x x x x A′ ′ ′= ⋅K

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2, , , , ,...,n mf y f y f y y y y B′ ′ ′= ⋅K

Notăm ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2, ,..., , , ,n nf y y y f y f y f y⎡ ⎤ =⎣ ⎦ K . Prin această

notaţie precizăm că aplicarea funcţiei f unei matrice (linie) formate din vectori înseamnă aplicarea funcţiei f vectorilor acestei matrice. Avem:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , , ,..., , ,...,n n nf y f y f y f y y y f x x x T⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦K .

Să remarcăm mai departe că vectorii matricei linie ( )1 2, , , nx x x T⋅K sunt combinaţii liniare de vectorii 1 2, , , nx x xK . Când se aplică funcţia liniară f acestor combinaţii liniare, ea se aplică numai vectorilor acestor combinaţii liniare, deci:

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2, ,..., , , ,n nf x x x T f x f x f x T⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ K

Aşadar,

Page 116: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

115

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

1 2 1 2

11 2 1 2

, , , , , ,

, ,..., , ,..., .

n n

m n

f y f y f y f x f x f x T

x x x A T y y y S A T−

= ⋅ =

′ ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

K K

Dar deoarece, ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2, , , , ,...,n mf y f y f y f y y y B′ ′ ′=K din propoziţia demonstrată mai sus, rezultă că:

1B S A T−= ⋅ ⋅ .

Formula de transformare a matricei unui operator liniare la schimbarea bazei

Dacă V V′ = atunci, aşa cum am precizat în paragraful anterior, morfismul f se numeşte endomorfism. El poartă numele specific de operator liniar în cazul spaţiilor vectoriale. În cazul când f este operator liniar (deci V V ′= ) se ia, fireşte, aceeaşi bază în V atât în rol de domeniu de definiţie al funcţiei f cât şi în rol de codomeniu. Aşadar, ( )1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ ( )1 2, , , nx x x= K ( ) ( )1 2 1 2, ,..., , ,...,m ny y y y y y′ ′ ′ ′ ′ ′= şi în consecinţă S T= . Ca urmare formula de transformare a matricei unui operator liniar al unui spaţiu vectorial atunci când se schimbă baza spaţiului, devine:

1B T A T−= ⋅ ⋅ .

Scrierea formulelor sub forma concentrată

Fie :f V V→ un operator liniar al spaţiului vectorial V şi { }1 2, , , nx x xK

o bază în V. Notăm jiα elementul generic al matricei A a operatorului f în baza

{ }1 2, , , nx x xK .

Coordonatele unui vector x în această bază le notăm 1 2, , , nξ ξ ξK , adică: i

ix x= ξ ,

potrivit convenţiei conform căreia, dacă se repetă un indice, unul superior şi altul inferior, atunci se înţelege sumarea după acel indice. Relaţia matriceală: ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2, , , , ,...,n nf x f x f x x x x′ ′ ′=K A se scrie sub forma concentrată astfel:

( ) ji i jf x x= α .

Dacă 1 2, , , ny y yK este o nouă bază notăm jiβ elementul generic al matricei

B a operatorului f în această nouă bază, adică:

( ) ji i jf y y= β .

Page 117: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

116

Notăm ,j ji iγ χ elementul generic al matricei T, respectiv 1T − , în care T

este matricea de trecere de la baza { }1 2, , , nx x xK la baza { }1 2, , , ny y yK adică:

;j ji i j i i jy x x y= γ = χ .

Rezultă: ( ) ( ) ( )j j j jk k li i j i j i j k i j k if y f x f x x y= γ = γ = γ α = γ α χ . Pe de altă

parte, ( ) li i lf y y= β . Din unicitatea scrierii vectorului ( )if y ca o combinaţie

liniară de vectorii bazei ( )1 2, , , ny y yK rezultă că pentru orice indici i şi l este îndeplinită egalitatea:

jl k li i j kβ = γ α χ ,

care reprezintă tocmai forma concentrată a relaţiei matriceale 1B T AT−= .

L.V.1.3 Izomorfismul spaţiilor vectoriale finit generate Nucleul şi imaginea unei aplicaţii liniare Nucleul

Fie :f V V ′→ o aplicaţie liniară. Pentru orice submulţime M' a lui V ′ se notează:

( ) ( ){ }1 ;f M x V f x M− ′ ′= ∈ ∈

numită preimaginea submulţimii M ′prin f. Trebuie să distingem între această fumcţie definită pe mulţimea părţilor lui V ′ cu valori în mulţimea părţilor lui V, numită funcţia preimagine, şi inversa lui f, care se notează tot 1f − , definită însă pe V ′ cu valori în V, numai atunci când funcţia f este bijectivă. Este uşor de verificat că dacă M' este un subspaţiu al lui V ′ , atunci

( )1f M− ′ este subspaţiu al lui V.

În particular numim nucleul aplicaţiei f , care se notează Kerf preimaginea subspaţiului nul al lui V ′ : { }( )1Kerf f − ′= θ în care ′θ este vectorul nul din V ′ . Mai precis,

( ){ }Ker ,f x V f x ′= ∈ = θ

care, aşa cum am spus, este subspaţiu al lui V. Nucleul poate oferi o informaţie interesantă despre aplicaţia liniară şi anume: aplicaţia liniară f este injectivă dacă şi numai dacă nucleul său conţine numai vectorul nul.

Page 118: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

117

Într-adevăr, dacă f este injectivă, atunci cum ( )f ′θ = θ , din ( )f x ′= θ rezultă că x ′= θ şi deci { }Kerf ′= θ . Reciproc, presupunem că { }Kerf = θ . Dacă ( ) ( )1 2f x f x= , atunci ( )1 2f x x ′− = θ , adică 1 2 Kerx x f− ∈ de unde

1 2x x− = θ şi deci 1 2x x= . Aşadar f este injectivă.

Imaginea Funcţia f permite şi definirea unei alte funcţii, notată tot f, care are ca domeniu de definiţie mulţimea părţilor lui V şi drept codomeniu mulţimea părţilor lui V ′ . Dacă M este o submulţime a lui V atunci imaginea lui M prin f se defineşte astfel: ( ) ( ){ };f M f x x M= ∈ sau ( ) ( ){ }; există , astfel încâtf M y V x M f x y= ∈ ∈ =

Această funcţie se numeşte funcţia imagine directă. Este uşor de verificat că dacă M este subspaţiu al lui V atunci ( )f M este subspaţiu al lui V ′ . În particular, luând pentru M spaţiul total V, imaginea sa se numeşte imaginea lui f şi se notează Imf. Mai precis,

( ) ( ){ }Im ;f f V f x x V= = ∈ .

Chiar dacă funcţia f nu este liniară, surjectivitatea ei înseamnă Imf V ′= .

Determinarea nucleului Să considerăm acum cazul când spaţiile V şi V ′ sunt finit generate. Fie

1 2, , , nx x xK o bază în V, ( )1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ o bază în V ′ şi ( )jiA = α matricea lui f în raport cu cele două baze.

Notând X coloana coordonatelor 1 2, , , nξ ξ ξK ale vectorului x V∈ , condiţia Kerx f∈ este echivalentă cu 0A X⋅ = unde cu 0 am notat coloana nulă.

Aşadar determinarea nucleului aplicaţiei f se reduce la rezolvarea sistemului omogen 0A X⋅ = .

Dimensiunea subspaţiului Kerf este tocmai gradul de nedeterminare al sistemului, adică. rangn A− . O bază a subspaţiului înseamnă tocmai un sistem fundamental de soluţii, care se determină, de exemplu, folosind metoda eliminării succesive.

Determinarea imaginii Din definiţia imaginii lui f se deduce uşor că acesta este subspaţiul lui V’ generat de vectorii ( ) ( ) ( )1 2, , , nf x f x f xK : ( ) ( ) ( )1 2Im , , , nf f x f x f x= ⎡ ⎤⎣ ⎦K .

Coloanele coordonatelor acestor vectori, în baza 1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ a lui V ′ sunt tocmai coloanele matricei A. Conform unei teoreme din capitolul precedent, dimensiunea acestui subspaţiu este egală cu rangul matricei A.

Page 119: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

118

Se poate determina o bază a subspaţiului folosind procedeul general de extragere a unei baze dintr-un sistem de generatori. Din dimensiunile deduse ale imaginii şi nucleului rezultă următoarea teoremă.

Teoremă

dim dim Ker dim ImV f f= +

Interpretarea sistemelor de ecuaţii liniare

Fie : 'f V V→ un operator liniar care în raport cu bazele 1 2, , , nx x xK şi

1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ ale celor două spaţii este reprezentat de matricea A de tip ( ),m n . Notând, ca mai sus, cu X coloana coordonatelor 1 2, , , nξ ξ ξK ale

vectorului x∈V , coloana coordonatelor lui ( )f x b= este AX. Aşadar ecuaţia vectorială ( )f x ′= θ care are drept mulţime de soluţii nucleul lui f se scrie sub forma: 0AX = , adică un sistem liniar şi omogen. Cu alte cuvinte soluţia sistemului omogen 0AX = este subspaţiul ( )1f − ′θ .

În acest context, semnificaţia faptului că aplicaţia f este injectivă este că sistemul omogen 0AX = este determinat, adică are numai soluţia banală. Prin urmare rangul matricei A este egal cu numărul n al coloanelor sale.

Dacă mB K∈ , atunci sistemul AX B= este echivalent cu ecuaţia vectorială ( )f x b= unde b V ′∈ este vectorul ale cărui coordonate în baza

1 2, ,..., mx x x′ ′ ′ sunt elementele coloanei B. Prin urmare mulţimea soluţiilor sistemului neomogen AX B= este tocmai { }( )1f b− .

Dacă 0X este o soluţie particulară a sistemului neomogen AX B= , atunci, după cum se ştie, soluţia generală a sistemului neomogen este suma dintre 0X şi soluţia generală a sistemului omogen. Altfel spus, mulţimea

{ }( )1f b este 0 Kerx f+ unde 0x V∈ este vectorul ale cărui coordonate sunt elementele coloanei 0X .

Compatibilitatea sistemului AX B= înseamnă că vectorul b se află în subspaţiul Imf al lui V ′ . Reamintim că acest subspaţiu este generat de vectorii din V’ care au drept coordonate elementele coloanelor matricei A, adică ( ) ( ) ( )1 2, , , nf x f x f xK .

Surjectivitatea lui f înseamnă că Im f V ′= , adică:

( ) ( ) ( )1 2dim , , , dimnf x f x f x V m′= =⎡ ⎤⎣ ⎦K

Page 120: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

119

Cum ( ) ( ) ( )1 2dim , , , rangnf x f x f x A=⎡ ⎤⎣ ⎦K rezultă rangA m= adică este egal cu numărul liniilor matricei A. În acest caz, şi teorema Kronecker-Capelli ne asigură că sistemul AX B= este compatibil oricare ar fi coloana mB K∈ .

Reamintim că dacă 0X este o soluţie a sistemului AX B= , atunci soluţia generală se obţine adunând la 0X soluţia generală a sistemului omogen 0AX = . Acest lucru este exprimat de următoarea egalitate:

{ }( )10 Kerf b x f= + ,

unde 0x este vectorul din V având drept coordonate elementele coloanei 0X , iar b este vectorul din V ′ având drept coordonate elementele coloanei B.

Izomorfismul spaţiilor vectoriale Pentru ca aplicaţia liniară :f V V ′→ să fie un izomorfism trebuie să fie atât injectivă cât şi surjectivă. Am stabilit mai sus că pentru aceasta este necesar ca :

rang A n= (numărul coloanelor) = m (numărul liniilor), adică matricea A trebuie să fie pătratică de ordinul n şi inversabilă.

Este uşor de verificat că în acest caz matricea 1A− defineşte o aplicaţie liniară de la V ′ la V care este chiar inversa aplicaţiei liniare f. Aşadar, două spaţii vectoriale finit generate sunt izomorfe dacă şi numai dacă au aceeaşi dimensiune. Este atunci convenabil ca pentru orice număr natural n să fixăm un spaţiu concret şi anume nV K= . Tot ce derivă din structura de spaţiu vectorial a lui

nK este valabil pentru orice alt spaţiu vectorial de dimensiune n peste corpul K.

Page 121: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

120

L.V.1.4 PROBLEME PROPUSE

PP.V.1.4.1 Să se cerceteze care din funcţiile: 1) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3

1 2 1 2 3 1 2 3: , cos , sin , , , ,x x x x x x x x x x→ = =T T ;

2) ( ) ( )3 31 2 3 1 2 3 1 2 3: , 3 7 5 ,2 4 3 , 3 2x x x x x x x x x x→ = − − − + + − − −T T ,

( )1 2 3, ,x x x x= este transformare liniară ? În caz afirmativ să se determine ( )Ker T , ( )Im T şi ( ) ( )ImKer ⊕T T .

PP.V.1.4.2 Să se determine matricea asociată transformării liniare, în raport cu bazele canonice ale spaţiilor vectoriale, în fiecare dintre cazurile:

a) ( )3 3: , x ix→ =T T , ( )1 2 3, ,x x x x= ;

b) ( ) ( ) ( )2 2 2 2: , tK K A A× ×→ =T M M T ;

c) ( ) ( )2 21

: ,1i

K z zi×

⎡ ⎤→ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

T M T .

Să se determine apoi rangul şi defectul lui T . PP.V.1.4.3 Fie 3 3: →T o aplicaţie definită prin:

( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3, , 5x x x x x x x x x x= + − − + − +T , unde ( ) 31 2 3, ,x x x x= ∈ . Să se

arate că T este endomorfism şi să se scrie matricele ataşate lui T în baza canonică şi în baza ( ) ( ) ( )1 2 31,1,1 , 1,1, 1 , 1, 1, 1v v v= = − = − − . Să se determine

( )Ker T , ( )Im T , câte o bază pentru fiecare dintre aceste subspaţii şi să se calculeze ( ) ( )ImKer ⊕T T .

PP.V.1.4.4 Fie endomorfismul 3 3: →T , astfel încât ( ) ( )0,0,1 2,3,5=T , ( ) ( )0,1,1 1,0,0=T , ( ) ( )1,1,1 0,1, 1= −T . Să se determine

matricea endomorfismului T în baza canonică. PP.V.1.4.5 Fie aplicaţia ( )3

2: →T M definită prin:

( ) 1 2 2 31 2 3

1 3, ,

0x x x x

x x xx x+ −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠T , unde ( ) 3

1 2 3, ,x x x ∈ .

a) Să se arate că T este aplicaţie liniară şi să se determine ( )Ker T , ( )Im T , câte o bază pentru fiecare dintre aceste subspaţii şi să se calculeze ( ) ( )ImKer ⊕T T ;

b) Să se scrie matricea lui T în bazele canonice din 3 şi ( )2M .

Page 122: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

121

L.V.1.5 TEST DE AUTOEVALUARE

TAev.V.1.5.1 Fie nP spaţiul vectorial complex al funcţiilor polinomiale de grad cel mult n. Să se arate că funcţia

( ) ( ) ( ) ( ): , 3 ,n nP P p x p x p x x→ = + − ∀ ∈T T , este o transformare liniară. Să se cerceteze dacă T este injectivă. TAev.V.1.5.2 Fie endomorfismul 3 3: →T dat prin matricea:

1 1 21 0 11 0 1

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

, în raport cu baza canonică a lui 3 . Să se arate că

vectorii ( ) ( ) ( )1 2 31,2,3 , 3,1,2 , 2,3,1v v v= = = formează o bază în 3 şi să se determine matricea lui T în raport cu această bază. TAev.V.1.5.3 Fie aplicaţia [ ] [ ]2 2:f X X→ , ( )f P X P P′= ⋅ + , unde P′ este derivata polinomului [ ]2P X∈ . Să se arate că f este

endomorfism şi să se scrie matricea sa în bazele { }21, ,B X X= şi

{ }22,1 ,B X X′ = + .

TAev.V.1.5.4 Fie transformarea liniară 3 3: →T , definită prin: ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b= = =T T T , unde ( ) ( ) ( )1 2 35,3,1 , 1, 3, 2 , 1,2,1a a a= = − − =

şi ( ) ( ) ( )1 2 32,1,0 , 1,3,0 , 2, 3,0b b b= − = − = − − . Să se determine matricea transformării liniare T :

a) în baza { }1 2 3, ,a a a ; b) în baza canonică { }1 2 3, ,e e e ; c) în baza { }1 2 3, ,b b b .

TAev.V.1.5.5 Fie aplicaţiile liniare: 3 21 : →T şi 2 4

2 : →T , definite prin:

( ) ( )1 1 2 3 1 3 1 2 3, , ,x x x x x x x x= + + −T şi ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , ,2y y y y y y y y= + −T ,

unde ( ) 31 2 3, ,x x x ∈ şi ( ) 2

1 2,y y ∈ . Să se determine produsul 2 1oT T şi

matricele operatorilor liniari 3 21 : →T , 2 4

2 : →T şi 3 42 1 : →oT T

în baza canonică.

Page 123: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

122

LECŢIA V.2 VALORI ŞI VECTORI PROPRII AI UNUI OPERATOR

LINIAR Parcurgând această lecţie ve ţi dobândi cunoştinţe referitoare la:

Valori şi vectori proprii ai unui operator liniar, polinom caracteristic, subspaţii proprii, baze formate din vectori proprii;

Funcţii de matrice, operatori de structură simplă; Endomorfisme diagonalizabile, endomorfisme jordanizabile, celule Jordan; Forma canonică diagonală şi forma canonică Jordan, operatori nilpotenţi;

Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi acestei lecţii este de 4 ore.

L.V.2.1 Valori proprii şi vectori proprii ai unui operator

Noţiunea de vector propriu Fie :f V V→ un operator liniar al spaţiului vectorial finit generat V peste corpul comutativ K. Dacă 1 2, , , nx x xK este o bază a lui V, atunci operatorului i se asociază matricea A astfel încât:

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n nf x f x f x x x x= ⋅K K A. Dacă se schimbă baza în V atunci se schimbă şi matricea A. Ea se

transformă în matricea 1B T AT−= , unde T este matricea de trecere de la baza 1 2, , , nx x xK la noua bază.

Ne propunem să găsim o nouă bază, 1 2, , , nv v vK în care matricea B a operatorului f să fie o matrice diagonală:

1

2

0 ... 00 ... 0... ... ... ...0 0 ... n

B

λ⎛ ⎞⎜ ⎟λ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

.

Din relaţia de definiţie a matricei B, şi anume:

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n nf v f v f v v v v B= ⋅K K ,

deducem că vectorii 1 2, , , nv v vK ai noii baze trebuie să îndeplinească condiţiile:

Page 124: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

123

( )( )

( )

1 1 1

2 2 2

...

n n n

f v vf v v

f v v

⎧ = λ⎪ = λ⎪⎨⎪⎪ = λ⎩

,

care conduc la următoarea noţiune: Definiţie

Se numeşte vector propriu al operatorului f un vector v care îndeplineşte următoarele două condiţii:

1. v ≠ θ ; 2. ( )f v v= λ .

Prin urmare problema găsirii unei baze în care matricea operatorului să aibă forma diagonală se reduce la găsirea vectorilor proprii.

Calculul vectorilor proprii Fie 1 2, , , nξ ξ ξK coordonatele vectorului v în baza 1 2, , , nx x xK adică

1 1 2 2 n nv x x x= ξ + ξ + + ξK . Condiţia v ≠ θ înseamnă că nu toate coordonatele 1 2, , , nξ ξ ξK sunt nule.

Pe de altă parte, coloana coordonatelor vectorului ( )f v , aşa cum s-a stabilit, se obţine înmulţind matricea A cu coloana coordonatelor lui v. Deci condiţia ( )f v v= λ este echivalentă cu:

( )

1 1 1

2 2 2

00

de unde, ... ... ... ...

0

n

n n n

A A I

ξ ξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ ξ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= λ − λ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ ξ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Ultima relaţie matriceală este forma matriceală a unui sistem liniar şi omogen de n ecuaţii cu n necunoscute: 1 2, , , nξ ξ ξK .

Prima condiţie înseamnă că sistemul este nedeterminat, ceea ce, după teorema Kronecker- Capelli, revine la:

( )det 0nA I− λ = .

Acest determinant a fost pus în evidenţă în capitolul 2 şi s-a observat că este un polinom de gradul n în λ, ce a fost numit polinomul caracteristic al matricei A, notat ( )Aϕ λ . Rădăcinile polinomului ( )Aϕ λ au fost numite valorile proprii ale matricei A. Am ajuns deci la următorul rezultat: scalarul λ din definiţia vectorului propriu nu poate fi un scalar oarecare: el trebuie să fie o rădăcină a polinomului caracteristic al matricei A.

Page 125: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

124

S-a conturat deci metoda de calculare a vectorilor proprii, şi anume: – Se calculează valorile proprii 1 2, , , nλ λ λK ale matricei A a

operatorului. – Pentru fiecare valoare proprie iλ se rezolvă sistemul liniar şi omogen:

( )

1

2

00

... ...

0

i n

n

A I

ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− λ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ξ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Fiecare soluţie nebanală a sistemului reprezintă coordonatele unui vector propriu iv care îndeplineşte condiţia: ( )i i if v v= λ . Evident că sistemul, fiind nedeterminat, are o infinitate de soluţii. Anume, dacă iv este un vector propriu atunci pentru orice scalar α , vectorul vα este vector propriu corespunzător aceleiaşi valori proprii iλ .

Observaţii 1. Deşi valorile proprii ale unui operator se definesc şi se calculează

folosind matricea operatorului într-o bază, ele nu depind de bază. Într-adevăr, dacă 1 2, , , ny y yK este o altă bază şi T este matricea de trecere de la baza

1 2, , , nx x xK la baza 1 2, , , ny y yK iar B matricea lui f în noua bază atunci, ţinând seamă că determinantul produsului de matrice este produsul determinanţilor matricelor, obţinem:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1

det det det

det det det det .

B n n n

n n A

B I T AT T I T T A I T

T A I T A I

− − −

⎡ ⎤ϕ λ = − λ = − λ = − λ =⎣ ⎦

= − λ = − λ = ϕ λ

2. Acelaşi lucru este valabil şi pentru vectorii proprii: vectorii proprii iv , corespunzători valorii proprii iλ , au drept coordonate în baza 1 2, , , nx x xK soluţiile sistemului liniar şi omogen:

( )

1

2

00

... ...

0

i n

n

A I

ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− λ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ξ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Înmulţind această ecuaţie matriceală la stânga cu 1T − ea devine:

Page 126: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

125

( ) ( )

1 1

2 21 1 1 1

0 00 0

sau... ...... ...

0 0

i n i n

n n

T ATT I T B I T− − − −

ξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− λ = − λ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

adică

1

21

...

n

T −

ξ⎛ ⎞⎜ ⎟ξ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ξ⎝ ⎠

, care este coloana coordonatelor lui iv în noua bază

1 2, , , ny y yK , este soluţie a sistemului care dă coordonatele vectorului propriu corespunzător valorii proprii iλ folosind noua bază, 1 2, , , ny y yK şi matricea B a lui f în această nouă bază. Deci folosind o altă bază vom obţine aceiaşi vectori proprii.

Subspaţiul vectorilor proprii corespunzători unei valori proprii Fie λ o valoare proprie a unui operator liniar f al spaţiului vectorial V. Observăm că mulţimea vectorilor proprii corespunzători valorii proprii λ nu constituie un subspaţiu deoarece, din definiţia vectorului propriu, această mulţime nu conţine vectorul nul, θ .

Să notăm Vλ mulţimea vectorilor proprii corespunzători valorii proprii λ, la care se adaogă şi vectorul nul. Este uşor de verificat că Vλ constituie un subspaţiu pe care-l vom numi subspaţiul vectorilor proprii corespunzători valorii proprii λ.

Vectorii acestui subspaţiu sunt definiţi de relaţia ( )f x x= λ .

Exemplu Reamintim că termenul liber al polinomului caracteristic al matricei A este

detn Aσ = . Înseamnă că operatorul f reprezentat de matricea A admite valoarea proprie 0λ = dacă şi numai dacă det 0A = . Se observă că numai în acest caz sistemul

( )

1

2

00

0.... ...

0

n

n

A I

ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ξ ⎝ ⎠⎝ ⎠

are soluţii nebanale. Subspaţiul 0V , al vectorilor proprii corespunzători valorii proprii 0λ = , constituit, aşa cum am spus mai sus, din mulţimea soluţiilor ecuaţiei vectoriale ( )f x = θ , este tocmai nucleul operatorului f, care a fost notat Kerf.

Page 127: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

126

L.V.2.2 Baze formate din vectori proprii. Funcţii de matrice de structură simplă

În cazul când cunoaştem valorile proprii ale matricei A a operatorului f într-o bază 1 2, , , nx x xK a spaţiului V, adică rădăcinile 1 2, , , nλ λ λK ale polinomului ( )Aϕ λ se pot determina toţi vectorii proprii ai operatorului. Pentru fiecare valoare proprie iλ alegem un vector propriu vi care îndeplineşte condiţia ( )i i if vλ = λ numit vector propriu asociat valorii proprii iλ . Vom arăta că în

anumite condiţii vectorii obţinuţi formează o bază a spaţiului V. Teoremă

Vectorii proprii corespunzători la valori proprii distincte sunt liniar independenţi.

Demonstraţie Fie 1 2, , , rλ λ λK valori proprii distincte între ele şi 1 2, , , rv v vK vectori proprii corespunzători. Este de demonstrat că pentru orice număr natural 1r ≥ vectorii 1 2, , , rv v vK sunt liniar independenţi. Folosim metoda inducţiei.

Etapa de verificare Pentru 1r = fie 1v un vector propriu corespunzător valorii proprii 1λ . Din definiţia vectorului propriu, rezultă că 1v ≠ θ . Dacă sistemul format numai din vectorul 1v ar fi liniar dependent ar însemna că există un scalar nenul α astfel încât: 1vα ≠ θ . Înmulţind ambii membri ai egalităţii cu 1−α (care există din moment ce α este nenul), se obţine: 1v ≠ θ , ceea ce contrazice definiţia vectorului propriu. Din demonstraţia de mai sus este util de reţinut faptul că orice vector nenul constituie un sistem liniar independent. Singurul vector care constituie un sistem liniar dependent este vectorul nul. Etapa de demonstraţie

Ipoteza Orice sistem de r vectori proprii 1 2, , , rv v vK ce corespund la r valori proprii distincte 1 2, , , rλ λ λK sunt liniar independenţi.

Concluzia Orice sistem de 1r + vectori proprii 1 2 1, , , rv v v +K corespunzând la 1r + valori proprii distincte 1 2 1, , , r+λ λ λK sunt liniar independenţi.

Demonstraţie Pentru a demonstra liniar independenţa vectorilor 1 2 1, , , rv v v +K pornim de la relaţia:

Page 128: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

127

( )1 1 2 2 1 1r r r rv v v v+ +α + α + + α + α = θ ∗K

Aplicăm funcţia liniară f ambilor membri ai egalităţii. Ţinând seamă de liniaritatea lui f şi de faptul că ( )f θ = θ obţinem:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1r r r rf v f v f v f v+ +α + α + + α + α = θK .

Deoarece ( ) , 1,2, , 1j j jf v v j r= λ = +K ultima egalitate devine:

1 1 1 2 2 2 1 1 1r r r r r rv v v v+ + +α λ + α λ + + α λ + α λ = θK .

Înmulţim prima egalitatea ( )∗ cu ( )1r+−λ şi o adunăm la ultima:

( ) ( ) ( )( )

1 1 1 1 2 2 1 2 1

1 1 1 1 .r r r r r r

r r r r

v v v

v+ + +

+ + + +

α λ − λ + α λ − λ + + α λ − λ +

+α λ − λ = θ

K

Ultimul termen este, evident, nul, iar egalităţii:

( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 2 1r r r r r rv v v+ + +α λ − λ + α λ − λ + + α λ − λ = θK

i se poate aplica ipoteza. Rezultă că ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 10; 0, , 0r r r r r+ + +α λ − λ = α λ − λ = α λ − λ =K . În membrul stâng al fiecărei egalităţi paranteza este nenulă deoarece

valorile proprii sunt distincte între ele. Deci: 1 20, 0, , 0raα = α = =K . Înlocuind aceşti coeficienţi în egalitatea: 1 1 2 2 1 1r r r rv v v v+ +α + α + + α + α = θK , se obţine: 1 1r rv+ +α = θ . Urmând acelaşi raţionament ca în etapa de verificare, adică folosind faptul că 1rv + , ca vector propriu , este nenul, deducem că 1 0r+α = . Aşadar, pornind de la egalitatea 1 1 2 2 1 1r r r rv v v v+ +α + α + + α + α = θK am ajuns la concluzia că toţi coeficienţii combinaţiei liniare din membrul stâng sunt nuli, adică vectorii vi sunt liniar independenţi. Q.E.D.

Consecinţă Dacă polinomul caracteristic ( )Aϕ λ are n rădăcini distincte, 1 2, , , nλ λ λK , atunci vectorii proprii corespunzători, 1 2, , , nv v vK constituie o bază. Într-adevăr, din teorema anterioară, rezultă că vectorii 1 2, , , nv v vK sunt liniar independenţi. Numărul lor fiind egal cu dimensiunea spaţiului rezultă că vectorii constituie o bază.

Definiţie Un operator liniar se zice de structură simplă dacă admite o bază formată din vectori proprii. Din cele de mai sus rezultă că dacă operatorul are n valori proprii distincte, atunci el este de structură simplă.

Page 129: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

128

Notând cu A matricea operatorului în baza 1 2, , , nx x xK şi cu T matricea de trecere de la baza 1 2, , , nx x xK la o bază 1 2, , , nv v vK formată din vectori proprii, atunci matricea B a operatorului în noua bază este:

1

2

0 ... 00 ... 0... ... ... ...0 0 ... n

B

λ⎛ ⎞⎜ ⎟λ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

.

Pe de altă parte se îndeplineşte relaţia: 1B T AT−= . Rezultă că matricea A se poate scrie sub forma: 1A TBT −= .

Funcţii de matrice de structură simplă În cazul când matricea A este matricea unui operator de structură simplă (convenim atunci ca matricea însăşi s-o numim de structură simplă) se pot calcula cu uşurinţă diverse funcţii de matricea A. În primul rând să observăm că:

2 1 1 2 1A A A TBT TBT TB T− − −= ⋅ = ⋅ =

şi în general, 1k kA TB T −= . Evident că

1

2

0 ... 0

0 ... 0... ... ... ...

0 0 ...

k

kk

kn

B

⎛ ⎞λ⎜ ⎟

λ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

.

Aşadar se pot calcula cu uşurinţă puterile matricei A. Putem trece acum de la funcţia putere (naturală) la o funcţie polinomială. Anume, fie ( ) 2

0 1 2m

mu x x x x= α + α + α + + αK un polinom cu coeficienţi scalari (adică în corpul K). Prin ( )u A înţelegem:

( )

( ) ( )

20 1 2

1 1 2 1 10 1 2

2 1 10 1 2

mn m

mm

mn m

u A I A A A

TT TBT TB T TB T

T I B B B T T u B T

− − − −

− −

= α + α + α + + α =

= α + α + α + + α =

= α + α + α + + α = ⋅ ⋅

K

K

K

Pe de altă parte este uşor de văzut că:

Page 130: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

129

( )

( )( )

( )

1

2

0 ... 00 ... 0... ... ... ...0 0 ... n

uu

u B

u

⎛ λ ⎞⎜ ⎟λ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

.

În cazul când ( )u x este o serie ( ) 20 1 2

mmu x x x x= α + α + α + + α +K K

formula de mai sus este valabilă pentru toate sumele parţiale ale seriei, pe care le notăm, ( ) 2

0 1 2m

m mu x x x x= α + α + α + + αK anume: ( ) ( ) 1m mu A T u B T −= ⋅ ⋅

cu

( )

( )( )

( )

1

2

0 ... 00 ... 0... ... ... ...0 0 ...

m

mm

m n

uu

u B

u

⎛ λ ⎞⎜ ⎟λ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

.

În cazul când corpul K are o structură topologică, aşa cum este cazul corpurilor Q, R, C sau un corp p-adic această structură este aplicată în mod natural şi mulţimii de matrice, astfel încât se pune problema convergenţei şirului de matrice ( )mu A . De exemplu, în cazul K R= seria numerică

( ) 2 31 1 11 ...1! 2! 3!

u x x x x= + + + + ,

este convergentă pentru orice x R∈ având ca sumă numărul xe . Şirul de matrice ( )mu B este evident convergent, deoarece şirurile numerelor de pe diagonală

sunt convergente şi anume, limita acestui şir de matrice este:

1

2

0 ... 0

0 ... 0... ... ... ...

0 0 ... n

e

e

e

λ

λ

λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Aşadar seria de matrice : 2 31 1 1 ...1! 2! 3!nI A A A+ + + + este convergentă şi

suma acestei serii, pe care o notăm Ae este:

Page 131: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

130

1

2 1

0 ... 0

0 ... 0... ... ... ...

0 0 ... n

A

e

ee T T

e

λ

λ−

λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Analog, 1

23 5 1

sin 0 ... 00 sin ... 01 1 1sin ...... ... ... ...1! 3! 5!0 0 ... sin n

A A A A T T −

λ⎛ ⎞⎜ ⎟λ⎜ ⎟= − + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

L.V.2.3 Simetrii, proiecţii, sume directe În paragraful anterior am stabilit o clasă de operatori de structură simplă: cei care au n valori proprii distincte. Nu toţi operatorii îndeplinesc această condiţie, din două motive:

– în cazul când corpul scalarilor nu este algebric închis polinomul caracteristic nu are întotdeauna toate rădăcinile în acest corp, nu se descompune în factori de gradul întâi;

– chiar dacă polinomul caracteristic se descompune în factori liniari, s-ar putea ca unele rădăcini să fie multiple. În cele ce urmează vom prezenta unele clase de operatori care, deşi au valori proprii multiple sunt de structură simplă.

Simetrie Se numeşte simetrie a spaţiului vectorial V peste corpul K un operator liniar f care are proprietatea că 2

Vf I= = aplicaţia identică a spaţiului V. Această proprietate mai este numită şi involuţie. Dacă λ este o valoare proprie a unui astfel de operator, atunci 2λ este valoare proprie a operatorului VI , adică a matricei nI . Dar toate valorile proprii ale matricei nI sunt egale cu 1. Rezultă 2 1λ = adică toate valorile proprii ale lui f sunt egale cu 1 sau cu –1.

Propoziţie Orice simetrie este un operator de structură simplă.

Demonstraţie Fie f o simetrie a spaţiului V. Să notăm 1V spaţiul vectorilor proprii

corespunzători valorii proprii 1λ = şi 1V− spaţiul vectorilor proprii corespunzători valorii proprii 1λ = − . Pentru orice x V∈ este îndeplinită egalitatea:

Page 132: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

131

( )( ) ( )( )1 2 1 21 1; ,2 2

x x x x f x x x f x x= + = + = − − .

Deoarece ( )2f x x= , rezultă că:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

21 1 2

22

1 1 ;2 2

1 1 ,2 2

f x f x f x x f x x f x

f x f x f x x x

= + = + = =

= − − = − = −

adică 1 1x V∈ şi 2 2x V∈ . Înseamnă că 1 2V V V= + . În plus, suma este directă. Într-adevăr, dacă 1 2x V V∈ I , atunci din 1x V∈

rezultă ( )f x x= , iar din 2x V∈ rezultă ( )f x x= − . Deci ( )f x = θ de unde: ( ) ( )x f x f= = θ = θ .

O bază a lui 1V este formată din vectori proprii corespunzători valorii proprii 1λ = , iar o bază a lui 2V este formată din vectori proprii corespunzători valorii proprii 1λ = − . Deoarece suma 1 2V V V= + este directă, punând la un loc bazele celor două subspaţii se obţine o bază a spaţiului V. Deci există o bază formată din vectori proprii. Q.E.D.

Interpretare geometrică Fie = spaţiul real tridimensional al vectorilor fizici reprezentaţi de săgeţi şi presupunem că pentru o simetrie f a spaţiului, subspaţiul 1V are dimensiunea doi, adică se identifică cu un plan, iar 1V− are dimensiunea egală cu unu, fiind generat de un vector v. Vectorii din planul V sunt lăsaţi pe loc de către f, pe când cei colineari cu v sunt transformaţi în opuşii lor. Dacă fixăm punctul O ca sursă a tuturor săgeţilor, vectorii se identifică cu punctele spaţiului, vectorii de poziţie ai punctelor spaţiului.

Aplicaţia f transformă punctele spaţiului în simetricele lor faţă de planul 1V , dar în direcţia vectorului v. Dacă v este perpendicular pe planul 1V , atunci

avem de-a face cu simetria propriu zisă (ortogonală) faţă de planul 1V .

V1

O

P

P1

P2

P’

v

Page 133: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

132

Fig. 5.1

Proiecţii Numim proiecţie a spaţiului vectorial V peste corpul K un operator liniar f având proprietatea 2f f= Această proprietate este cunoscută şi sub numele de idempotenţă. Dacă λ este o valoare proprie a proiecţiei f şi v un vector propriu corespunzător, atunci pe de o parte ( )f v v= λ , iar pe de altă parte, din 2f f=

rezultă ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2f v f v f f v f v f v v= = = λ = λ = λ . Deci 2v vλ = λ , adică

( )2 vλ − λ = θ . Cum v ≠ θ rezultă 2 0λ − λ = şi deci sau 1λ = sau 0λ = . Aşadar

orice proiecţie are numai două valori proprii: 0 şi 1. Propoziţie

Orice proiecţie este operator de structură simplă. Demonstraţie Să notăm 1V subspaţiul vectorilor proprii corespunzători valorii proprii

1λ = şi 0V subspaţiul vectorilor proprii corespunzători valorii proprii 0λ = . Pentru orice x V∈ este îndeplinită condiţia:

( ) ( )1 0 1 0; ,x x x x f x x x f x= + = = − .

Să observăm că 1 1x V∈ şi 0 0x V∈ . Într-adevăr,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

21 1 0

20

;

0

f x f f x f x f x x f x f x f x

f x f x f x f x x

= = = = = − =

= − = − = θ =

Înseamnă că 1 0V V V= + . Să arătăm că suma este directă. Dacă

1 0x V V∈ I , atunci din 1x V∈ rezultă ( )f x x= , iar din 0x V∈ rezultă ( )f x = θ . Deci x = θ . La fel ca şi în cazul simetriilor, punând la un loc bazele celor două subspaţii, care sunt formate din vectori proprii, se obţine o bază a lui V formată din vectori proprii. Q.E.D.

Interpretare geometrică Dacă este spaţiul tridimensional reprezentat de săgeţi având sursa într-un punct fixat O proiecţia va avea semnificaţia geometrică cunoscută. Într-adevăr, dacă pentru o proiecţie f a acestui spaţiu 1V este un plan trecând prin punctul O, iar 0V este subspaţiul generat de un vector v atunci pentru orice vector al spaţiului, ca vector de poziţie al unui punct oarecare P, imaginea sa prin f este exact proiecţia lui P pe planul 1V în direcţia vectorului v.

Page 134: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

133

Dacă vectorul v este perpendicular pe planul 1V , atunci obţinem proiecţia obişnuită (perpendiculară) pe planul 1V .

Sume directe şi proiecţii Am văzut că dacă se dă o proiecţie f a spaţiului V, ea determină o descompunere a spaţiului V în sumă directă de două subspaţii: 1 0V V V= + . Subspaţiul 1V este definit de ecuaţia vectorială ( )f x x= , adică este subspaţiul vectorilor care rămân neschimbaţi prin operatorul f. Convenim să numim acest subspaţiu subspaţiul pe care se efectuează proiecţia. Subspaţiul { }( )1V − θ este definit de ecuaţia ( )f x = θ , adică este nucleul lui f. Este subspaţiul în direcţia căruia se efectuează proiecţia. Aşa cum se observă în interpretarea geometrică există mai multe proiecţii pe un subspaţiu dat, de exemplu pe planul 1V . Anume sunt atâtea proiecţii câte direcţii sunt neparalele cu planul 1V . Acest lucru se poate generaliza la un spaţiu oarecare.

Propoziţie Orice descompunere 1 0V V V= + în sumă directă determină proiecţia f pe subspaţiul 1V în direcţia subspaţiului 0V . Operatorul 1vg f= − este tot proiecţie, şi anume pe subspaţiul 0V în direcţia subspaţiului 1V .

Demonstraţie Din definiţia sumei directe orice vector x se scrie în mod unic sub forma

1 0x x x= + , unde 1 1 0 0,x V x V∈ ∈ . Definim funcţia f prin: ( ) 1f x x= . Evident că dacă 1 0y y y= + este descompunerea lui y, atunci unica

descompunere a lui x y+ este ( ) ( )1 1 0 0x y x y x y+ = + + + , de unde rezultă că ( ) ( ) ( )1 1f x y x y f x f y+ = + = + . Pe de altă parte deoarece 1 0x x xα = α + α

rezultă că ( ) ( )1f x x f xα = α + α . Aşadar f este un operator liniar.

V1

O v

P

P’

Page 135: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

134

Tot din definiţia sumei directe, mai precis din unicitatea scrierii lui x sub forma 1 0x x x= + cu 1 1 0 0,x V x V∈ ∈ , rezultă că 1x x= dacă şi numai dacă 1x V∈ şi 0x x= dacă şi numai dacă 0x V∈ . Deci dacă 1x V∈ , atunci ( )f x x= , iar dacă

0x V∈ , atunci ( )f x = θ .

Ca urmare, ( ) ( )( ) ( ) ( )21 1f x f f x f x x f x= = = = adică f este o proiecţie.

Evident că spaţiul proiecţiei f este 1V , iar direcţia proiecţiei f este subspaţiul 0V . Operatorul 1Vg f= − este proiecţie:

( )22 21 1 2 1 2 1V V V Vg f f f f f f g= − = − + = − + = − = . Spaţiul proiecţiei g este determinat de ecuaţia ( )g x x= adică ( )x f x x− = , care este echivalentă cu ( )f x = θ care defineşte direcţia proiecţiei

f. Direcţia proiecţiei g este dată de ecuaţia ( )g x = θ , adică ( )x f x− = θ , care este echivalentă cu ( )f x x= şi deci defineşte spaţiul proiecţiei f. Q.E.D.

Propoziţia anterioară se generalizează la descompunerea într-o sumă directă finită de subspaţii.

Teorema 1 Orice descompunere 1 2 pV V V V= + + +K în sumă directă de subspaţii defineşte o familie de proiecţii 1 2, , , pf f fK , astfel încât:

1. Spaţiul proiecţiei lui if este iV . 2. Direcţia proiecţiei lui if este subspaţiul '

iV obţinut prin excluderea lui iV din suma în care este descompus întregul spaţiu V.

3. 0i j Vf f⋅ = pentru i j≠ . 4. 1 2 1n Vf f f+ + + =K .

Demonstraţie. Pe baza propoziţiei anterioare condiţiile (1) şi (2) definesc proiecţiile

1 2, , , nf f fK . Afirmaţia 3 rezultă din faptul că direcţia proiecţiei if , care este nucleul

lui fi, conţine spaţiile de proiecţie ale tuturor celorlalte proiecţii. Din definiţia sumei directe orice vector x V∈ se scrie în mod unic sub

forma 1 2 px x x x= + + +K cu 1ix V∈ . Evident, ( )i i if x x= şi ( )i jf x = θ pentru i j≠ .

De aici rezultă: ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2

1 2 . Q.E.D.p p p

p

f f f x f f f x x x

x x x x

+ + + = + + + + + + =

= + + + =

K K K

K

Page 136: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

135

Subspaţii invariante Fie f un operator liniar al spaţiului vectorial V. Un subspaţiu V ′ al lui V se numeşte subspaţiu invariant pentru f dacă ( )f V V′ ′⊂ . Aşadar pentru orice

( ),x V f x V′ ′∈ ∈ . De exemplu, pentru orice valoare proprie λ, subapaţiul Vλ este un subspaţiu invariant pentru f.

Teorema 2 Fie 1 2 pV V V V= + + +K o descompunere în sumă directă a lui V şi if un operator liniar al lui iV . Aceşti operatori definesc un operator liniar al lui V astfel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2p p pf x f x x x f x f x f x= + + + = + + +K K . În aceste condiţii polinomul caracteristic al lui f este produsul polinoamelor caracteristice ale operatorilor 1 2, , , pf f fK .

Demonstraţie Să considerăm câte o bază iB în fiecare subspaţiu iV şi să notăm Ai matricea operatorului if în baza iB . După cum se ştie, reunind bazele iB se obţine o bază B a lui V. Din felul cum se alcătuieşte matricea unui operator într-o bază dată rezultă că matricea lui f în baza B este următoarea:

1

2

0 ... 00 ... 0... ... ... ...0 0 ... p

AA

A

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Diagonalele blocurilor iA sunt suprapuse peste diagonala matricei A. În concluzie, atunci când se scade λ pe diagonala matricei A, el se va scade pe diagonalele tuturor blocurilor iA . Pe de altă parte determinantul unei matrice formate din blocuri pătratice pe diagonală este produsul determinanţilor acestor blocuri. Ca urmare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2det det det detp

p

A n k k p k

A A A

A I A I A I A Iϕ λ = − λ = − λ − λ − λ =

= ϕ λ ϕ λ ϕ λ

K

K

unde am notat dim .i ik V= Q.E.D.

Page 137: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

136

L.V.2.4 Forma canonică Jordan

Celule Jordan Se numeşte celulă Jordan de ordinul m asociată lui λ următoarea matrice pătratică de ordinul m:

1 0 ... 0 00 1 ... 0 00 0 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 10 0 0 ... 0

λ⎛ ⎞⎜ ⎟λ⎜ ⎟⎜ ⎟λ

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

.

Ea se poate scrie sub forma: mJ I Nλ = λ + în care N este matricea pătratică de ordinul m având elementele de pe prima paralelă la diagonala principală egale cu 1 şi toate celelalte elemente egale cu 0. Ne propunem să calculăm diverse funcţii analitice având ca argument o astfel de matrice, adică sumele unor serii convergente de puteri ale acestei matrice. Începem cu puterile matricei mJ I Nλ = λ + . Deoarece termenii mIλ şi N comută între ei, se poate aplica formula binomului lui Newton:

1 1 2 2 2 1 1( ) ...k k k k k k k k km m k k k kJ I N I C N C N C N C N− − − −

λ = λ + = λ + λ + λ + + λ + ,

astfel încât problema se reduce la calcularea puterilor matricei N. Fie A o matrice pătratică oarecare de ordinul m, pe care o scriem celulată pe

coloane şi căutăm efectul înmulţirii la dreapta a acestei matrice cu matricea N:

( ) ( )1 2 1 2 1

0 1 0 ... 0 00 0 1 ... 0 00 0 0 ... 0 0

... 0 ...... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 0 10 0 0 ... 0 0

m mA N a a a a a a∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Aşadar coloanele matricei A sunt deplasate cu un pas către dreapta, iar prima coloană devine coloana nulă. Luând în locul matricei A matricea N, vedem că efectul înmulţirii lui N cu N este deplasarea paralelei de 1, cu un pas către dreapta. Acelaşi lucru se

Page 138: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

137

întâmplă dacă în locul matricei A luăm o putere a lui N, astfel că rN va avea toate elementele egale cu zero în afară de cele de pe paralela r la prima diagonală care este ocupată cu 1. Rezultă că pentru , 0kk m N≥ = , deci:

1 1 2 2 2 1 1 1...k k k k m k m mm k k kJ I C N C N C N− − − − + −

λ = λ + λ + λ + + λ .

Ţinând seamă de descrierea pe care am dat-o puterilor matricei N rezultă că kJλ va avea pe diagonala principală kλ , pe prima paralelă la diagonală

1 1kkC −λ , pe a doua paralelă 2 2k

kC −λ şi aşa mai departe.

Pe de altă parte, notând ( ) kf λ = λ , avem: ( )1 ( )!

r m r rkC f

r−λ = λ . Aşadar,

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

2 1

3 2

4 3

1 1 1 1... ( )1! 2! 2 ! 1 !

1 1 10 ... ( )1! 3 ! 2 !

1 10 0 ... ( )4 ! 3 !

( )... ... ... ... ... ...

10 0 0 ...1!

0 0 0 ... 0

m m

m m

m m

f f f f fm m

f f f fm m

f f fm m

f J

f f

f

− −

− −

− −

λ

⎛ ⎞′ ′′λ λ λ λ λ⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟

′λ λ λ λ⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟

λ λ λ⎜ ⎟− −⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′λ λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎜ ⎟⎝ ⎠

Egalitatea de mai sus este valabilă şi în cazul când în locul funcţiei ( ) kf λ = λ se ia un polinom, precum şi atunci când ( )f λ este o serie, cu

condiţia să avem asigurată convergenţa seriilor reprezentate de elementele matricei. De exemplu, pentru 4m = se poate scrie:

3

1 1sin cos sin cos2! 3!

10 sin cos sin1 1 2!sin ...1! 3! 0 0 sin cos

0 0 0 sin

J J Jλ λ λ

⎛ ⎞λ λ − λ − λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ − λ⎜ ⎟

= − + = ⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ⎜ ⎟⎜ ⎟

λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 139: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

138

Operatori nilpotenţi Un operator f al spaţiului V se numeşte operator nilpotent dacă există un număr natural r, astfel încât 0r

Vf = . De exemplu, dacă matricea operatorului într-o bază a spaţiului V are forma:

12 13 1, 1 1

23 2, 1 2

3, 1 3

1,

0 ...0 0 ...0 0 0 ...... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 00 0 0 ... 0 0

n n

n n

n n

n n

a a a aa a a

a aA

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

atunci, deoarece 0nA = , rezultă 0rVf = .

Propoziţie Dacă f este un operator nilpotent al spaţiului V , anume 0m

Vf = , atunci există o bază a spaţiului în care matricea J a operatorului este constituită din blocuri Jordan asociate lui 0λ = dispuse pe diagonală, având dimensiunile

1 2, , , pn n nK , astfel încât 1 2 dimpn n n n V+ + + = =K . Demonstraţie Mai întâi să remarcăm că dacă 0λ = atunci celula Jordan.

mJ I Nλ = λ + devine 0J N= . Pentru 1,2,3m = celula 0J N= va fi respectiv:

( )0 1 0

0 10 , , 0 0 1

0 00 0 0

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ne propunem să găsim o bază a spaţiului V în care matricea operatorului nilpotent f să aibă forma:

1

2

0 ... 00 ... 0... ... ... ...0 0 ... p

NN

J

N

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

în care iN este o matrice de forma descrisă mai sus, având ordinul in . După cum se ştie coloanele matricei J a operatorului în baza căutată reprezintă coordonatele imaginilor prin f ale vectorilor acestei baze. Notând cu

iV subspaţiul generat de vectorii corespunzători coloanelor ce definesc blocul Ni, rezultă că acest subspaţiu este invariant faţă de f, iar 1 2 pV V V V= + + +K este sumă directă. În plus, notând cu 1 2, , , ;k iv v v k n=K vectorii bazei căutate

Page 140: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

139

corespunzători coloanelor blocului iN dispuşi în ordine inversă, aceştia îndeplinesc condiţiile: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1, , , ,k k kf v v f v v f v v f v−= = = = θK . Aşadar baza căutată trebuie să fie formată din grupuri de vectori de forma:

( ) ( ) ( )2 1, , , , kv f v f v f v−K , în care 1.ik n= − Reamintim că dacă A este matricea operatorului f într-o bază oarecare şi B este coloana coordonatelor unui vector b V∈ atunci mulţimea ( )1f b− se determină rezolvând sistemul liniar AX B= : orice coloană X care verifică sistemul este constituită din coordonatele unui vector ( )1x f b−∈ . În particular,

( )1Kerf f −= θ se obţine rezolvând sistemul omogen 0AX = . În plus,

dimKer rang .f n A= −

Din inegalităţile: 2rang rang rang 0mA A A≥ ≥ ≥ =K rezultă atunci: 2dimKer dimKer dimKer mf f f n≤ ≤ ≤ =K . Pe de altă parte este evident că :

( )1 1Ker Kerr rf f f− − = .

Pe baza celor de mai sus putem elabora programul de construire a bazei căutate. În primul rând se calculează Kerf rezolvând sistemul 0AX = . Soluţia generală 1X B= va avea atâţia parametri cât este dimensiunea lui Kerf, adică gradul de nedeterminare al sistemului. Pentru calculul vectorilor lui 2Kerf care nu sunt în Kerf avem de rezolvat sistemul AX B= , un sistem liniar şi neomogen de astă dată. Pentru uniformitatea construcţiei care urmează notăm 0 KerU f′ = .

Condiţiile de compatibilitate ale sistemului, exprimate în relaţii liniare ale parametrilor coloanei B , vor determina un subspaţiu, al lui 0 KerU f′ = , pe care-l notăm 1U . În acest subspaţiu alegem o bază pe care o completăm până la o bază a lui 0 KerU f′ = cu vectorii (proprii) 1 2, , , pu u uK . Aceştia sunt vectori proprii liniar independenţi, care nu au preimagine (imagine inversă). Nu există nici un vector x astfel încât ( )f x să fie o combinaţie liniară a acestora. Fiecare din vectorii 1 2, , , pu u uK va defini o celulă Jordan de dimensiune unu. Pentru fiecare vector u al bazei lui 1U alegem o soluţie a ecuaţiei ( )f x u= , rezolvând sistemul corespunzător 1AX B= în care 1B este coloana

coordonatelor lui u. Aceşti vectori generează un subspaţiu 1U ′ care are aceeaşi dimensiune ca şi 1U . Este uşor de verificat că aceste soluţii (vectori) împreună cu vectorii bazei lui Kerf constituie un sistem liniar independent, şi anume o bază a subspaţiului 2Kerf . Notăm 2B coloana coordonatelor unui vector

Page 141: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

140

oarecare din subspaţiul 1U ′ . Coloana 2B va avea atâţia parametri cât este dimensiunea lui 1U , care este egală cu dimensiunea lui 1U ′ .

Pasul următor, de determinare a subspaţiului ( )3 1 2Ker Kerf f f−= este în

principiu asemănător celui care a dus la determinarea lui 2Kerf . Condiţiile de compatibilitate ale sistemului 2AX B= care sunt relaţii liniare între parametrii care definesc coloana 2B , vor determina un subspaţiu,

2U al lui 1U ′ , în care alegem o bază pe care o completăm până la o bază a lui 1U ′ cu vectorii: 1 2, , , qv v vK . Nici o combinaţie liniară a acestor vectori nu are preimagine. Fiecare din aceşti vectori iv determină subspaţiul bidimensional generat de vectorii liniar independenţi iv şi ( )if v , care vor defini o celulă Jordan bidimensională. Vor fi q celule bidimensionale, tot aşa cum vectorii

1 2, , , pu u uK definesc cele p celule unidimensionale. Fiecare vector al bazei lui 2U defineşte matricea coloană 2B corespunzătoare.

Alegem câte o soluţie a sistemului 2AX B= . Aceste soluţii generează subspaţiul 2U ′ care are aceeaşi dimensiune ca şi 2U . Notăm 3B coloana coordonatelor unui vector oarecare din 2U ′ . Coloana 3B va avea atâţia parametri cât este dimensiunea lui 2U ′ . Se trece apoi la etapa următoare pentru determinarea celulelor Jordan de dimensiune trei etc. După fiecare etapă numărul parametrilor coloanei 1iB + , care este egal cu dimensiunea subspaţiului iU scade cu atâtea unităţi, cu cât se diminuează dimensiunea lui iU faţă de iU ′ , adică cu numărul celulelor de dimensiune i. Se porneşte de la 0dim dimKer .U f′ = . Q.E.D.

Teorema de descompunere a lui Jordan Pentru orice operator linear f al spaţiului V peste un corp algebric închis K există o bază în care matricea operatorului are forma:

1

2

0 ... 0

0 ... 0

... ... ... ...0 0 ...

p

J

JJ

J

λ

λ

λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

în care 1 2, , , pλ λ λK sunt valorile proprii, nu neapărat distincte ale operatorului f, iar

iJλ este celulă Jordan corespunzătoare valorii proprii iλ .

Page 142: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

141

Demonstraţie Fie A matricea operatorului f într-o bază a spaţiului V şi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 21 ... rn m m m

A rϕ λ = − λ − λ λ − λ λ − λ ,

polinomul caracteristic al operatorului f. Valorile proprii 1 2, , , rλ λ λK sunt distincte, având respectiv multiplicităţile 1 2, , , pm m mK , astfel încât

1 2 rm m m n+ + + =K . Descompunerea în factori liniari a polinomului caracteristic se bazează pe

faptul că, prin ipoteză, corpul K este algebric închis.

Notăm ( ) ( )( ) i

Ai m

i

gϕ λ

λ =λ − λ

; 1,2, ,i r= K . Deoarece aceste polinoame sunt

prime între ele există polinoamele ( ) ( ) ( )1 2, , , rh h hλ λ λK , astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1r rh g h g h gλ λ + λ λ + + λ λ =K .

În polinomul din membrul stâng şi în cel din membrul drept se poate înlocui variabila λ cu o matrice pătratică, reţinând faptul că termenul liber se înmulţeşte cu matricea unitate. Înlocuim pe λ cu matricea A:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 r r nh A g A h A g A h A g A I+ + + =K .

Înmulţind la dreapta cu o matrice coloană X oarecare de ordinul n, obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 r rh A g A X h A g A X h A g A X X+ + + =K .

Interpretăm coloana X ca fiind alcătuită din coordonatele unui vector oarecare x în baza considerată, iar coloana ( ) ( )i ih A g A X coloana coordonatelor unui vector ix .

Coloana coordonatelor vectorului ( ) ( )1 imi V if x− λ este:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0i im mi n i i i i n i i AA I h A g A X h A A I g A X h A A X− λ = − λ = ϕ = ,

unde am ţinut seamă de faptul că matricele ( ) ( ) şi i ih A g A comută şi că:

( ) ( ) ( )imi i Agλ − λ λ = ϕ λ .

Aşadar ( ) ( )1 imi V if x− λ = θ , adică ( )Ker 1 im

i i Vx f∈ − λ . Notăm

( )Ker 1 imi i VV f= − λ

Am obţinut faptul că orice vector x al spaţiului V se scrie sub forma: 1 2 1;r ix x x x x V= + + + ∈K , adică 1 2 rV V V V= + + +K . Să arătăm că această

sumă este directă.

Page 143: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

142

Fie 1 2 rx x x+ + + = θK cu Ker( 1 ) imi i Vx f∈ − λ . Vom arăta că toţi

termenii sunt nuli. Anume, vom arăta că 1x = θ . Notăm 1 2 3 rx x x x x= = − − − −K .

Deoarece polinoamele :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 2 3 şi ... rm m m m

rh kλ = λ − λ λ = λ − λ λ − λ λ − λ

sunt prime între ele, rezultă că există polinoamele ( ) ( ) şi u vλ λ astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( )+ 1u h v kλ λ λ λ = .

Înlocuind pe λ cu A în această egalitate şi înmulţind ambii membri cu coloana X a coordonatelor vectorului x, obţinem:

( ) ( ) ( ) ( )X u A h A X v A k A X= +

Dar ( ) 0h A X = deoarece 11 1Ker( 1 )m

Vx x f= ∈ − λ . Observăm că matricele produsului:

( ) ( ) ( ) ( )2 32 3 ... rm m m

n n r nk A A I A I A I= − λ − λ − λ comută. Pentru fiecare 2,3, ,j r= K notând jX coloana coordonatelor vectorului

( )1 jmj j Vx Ker f∈ − λ este îndeplinită condiţia: ( ) 0jm

j n jA I X− λ = . Rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 32 3 2 3... ... 0.rm m m

n n r n rk A X A I A I A I X X X= − λ − λ − λ − − − − =

Aşadar, ( ) ( ) ( ) ( )X + 0X u A h A v A k A X= = adică x = θ . Arătăm acum că subspaţiile iV sunt invariante faţă de f. Într-adevăr, dacă x∈Vi atunci notând X matricea coloană a coordonatelor vectorului x, obţinem:

( ) ( ) , 0 0i im mi n i n n nA I AX A A I X A− λ = − λ = =

adică ( ) if x V∈ , ceea ce înseamnă că subspaţiul iV este invariant faţă de f. Notând fi restricţia operatorului f la iV , această restricţie este deci un operator al lui iV . Dacă x este un vector propriu al lui if , atunci este vector propriu şi pentru f şi deci trebuie să corespundă uneia din valorile proprii ale lui f. Presupunând că x este vector propriu corespunzător valorii proprii jλ cu j i≠ , deducem că { }i jx V V∈ = θI , adică x = θ , ceea ce este o contradicţie. În

concluzie, singura valoare proprie a lui if este iλ şi deci polinomul

caracteristic al lui if este de forma ( ) ( ) ( )1 i in ni iϕ λ = − λ − λ .

Pe de altă parte, deoarece suma 1 2 rV V V V= + + +K este directă, potrivit unei teoreme din paragraful anterior, rezultă că polinomul caracteristic al lui f

Page 144: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

143

este produsul polinoamelor caracteristice ale operatorilor if . Rezultă că

( ) ( ) ( )1 i im mi iϕ λ = − λ − λ .

Observăm că operatorul iViii fg 1λ−= este nilpotent deoarece im

ig este nul pe Vi. Putem deci aplica propoziţia anterioară şi obţinem o bază a lui Vi în care matricea lui ig este constituită din blocuri Jordan plasate pe diagonală, toate corespunzătoare valorii proprii 0λ = . În aceeaşi bază matricea lui

iViii gf 1λ+= se obţine din matricea lui ig căreia i se plasează iλ pe diagonală, adică se obţin celule Jordan corespunzătoare valorii proprii iλ = λ . Bazele spaţiilor astfel obţinute, puse la un loc, vor forma baza căutată a lui V. Q.E.D.

L.V.2.5 PROBLEME PROPUSE

PP.V.2.5.1 Să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii şi vectorii proprii ale următoarelor endomorfisme:

a) 2 21 : →T , ( ) ( )1 1 2 1 2 1 2, 2 5 , 2x x x x x x= − + +T ;

b) 3 32 : →T , ( ) ( )2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , 2 2 3 , , 3x x x x x x x x x x x x= − + + + + −T ;

c) 3 33 : →T , ( ) ( ) ( )( )3 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3, , 1 , 1 ,z z z z i z i z z iz iz z= + + − + − +T .

PP.V.2.5.2 Fie endomorfismul: 3 3: →T , definit astfel: ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3, , 4 5 7 , 4 9 , 4 5x x x x x x x x x x x= − + − + − +T .

a) Să se determine subspaţiile invariante corespunzătoare valorilor proprii şi câte o bază pentru fiecare subspaţiu;

b) Să se arate că vectorii care generează aceste subspaţii formează o bază a lui 3 şi să se scrie matricea endomorfismului în această bază.

PP.V.2.5.3 Fie : n n→T un endomorfism şi λ o valoare proprie a sa. Să se arate că endomorfismul 2T admite pe 2λ ca valoare proprie.

PP.V.2.5.4 Să se determine valorile proprii, vectorii proprii şi să se cerceteze dacă matricele următoare pot fi diagonalizate:

a) 0 1 11 0 11 1 0

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

; b) 4 6 03 5 03 6 1

B⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

; c) 1 0 3

3 2 33 0 1

C− −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

.

În fiecare caz afirmativ să se determine matricea diagonalizatoare T şi forma diagonală a matricei date.

Page 145: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

144

PP.V.2.5.5 Să se determine valorile proprii, vectorii proprii şi să se cerceteze dacă matricele asociate endomorfismelor următoare sunt jordanizabile:

a) 3 3: →A , 0 1 00 0 12 5 4

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

;

b) 4 4: →B ,

2 0 0 01 3 1 10 0 0 11 1 0 2

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

.

Să se determine bazele faţă de care endomorfismele au forma canonică Jordan, matricele de jordanizare şi forma canonică Jordan în fiecare caz.

L.V.2.6 TEST DE AUTOEVALUARE

TAev.V.2.6.1 Să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii, vectorii proprii precum şi multiplicităţile algebrice şi geometrice ale valorilor proprii pentru următoarele endomorfisme:

a) 4 41 : →T , ( ) ( )1 1 2 3 4 1 3 4 2 1 3 4, , , 2 6 2 ,2 , 3 ,2x x x x x x x x x x x= − − − +T ;

b) 2 22 : →T , ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 2 1 2, 3 ,2 1z z i z z iz i z= + − + −T ;

c) 4 43 : →T ;

( ) 1 2 4 1 2 3 4 3 43 1 2 3 4

3 4

3 4 2 ,4 5 2 4 ,3 2 ,, , ,

3 2x x x x x x x x x

x x x xx x

− + − − + −⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

T .

TAev.V.2.6.2 Să se stabilească dacă endomorfismele următoare sunt diagonalizabile sau nu şi în caz afirmativ să se găsească o bază în care acestea au forma diagonală: a) 3 3

1 : →T , ( ) ( )1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , 5 3 2 ,6 4 4 ,4 4 5x x x x x x x x x x x x= − + − + − +T ;

b) 3 32 : →T , ( ) ( )2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , 3 4 ,4 7 8 ,6 7 7x x x x x x x x x x x x= − + − + − +T ;

c) 4 43 : →T ,

( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 43 1 2 3 4

1 2 3 4

, , ,, , ,

x x x x x x x x x x x x

x x x xx x x x

+ + + + − − − − −⎛ ⎞= ⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

T .

Page 146: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

145

TAev.V.2.6.3 Să se determine bazele faţă de care endomorfismele următoare au forme canonice (diagonală sau Jordan):

a) 3 3: →T , 1 0 3

3 2 33 0 1

T− −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

;

b) 3 3: →T , 6 6 151 5 51 2 2

T−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

TAev.V.2.6.4 Transformarea liniară 4 4: →T este definită în baza canonică a spaţiului vectorial 4 prin matricea:

6 9 5 47 13 8 78 17 11 81 2 1 3

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

a) Să se calculeze valorile proprii, multiplicitatea lor algebrică şi geometrică şi vectorii proprii ai endomorfismului T ;

b) Să se determine subspaţiile invariante nebanale ale lui T ; c) Să se determine baza faţă de care endomorfismul T are forma

canonică Jordan precum şi forma canonică Jordan a sa. TAev.V.2.6.5 Se dau vectorii: ( ) ( ) ( )1 2 31,1,0 , 1,2,1 , 2,3,2v v v= = = . a) Să se determine transformarea liniară 3 3: →T , având valorile

proprii 1 2 31, 3, 3λ λ λ= = = − şi vectorii proprii 1 2 3, ,v v v ; b) Să se determine valorile proprii şi vectorii proprii pentru transformarea

liniară 2 9= −U T I , unde I este transformarea identică; c) Pentru ce valori , ,α β γ avem: 3 2 0α β γ+ + + =T T T I ?

M.V - TEMĂ DE CONTROL

TC.V.1 Fie spaţiile vectoriale reale: [ ]{ }: , continuV f a b f= → ã şi

[ ]{ }: , g derivabilW g a b= → ã . Să se arate că funcţia

( ) ( ) ( ): , , ,x

a

P V W g P f g x f t dt a x b→ = = ≤ ≤∫ , este liniară (Trecerea la

Page 147: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

146

integrala nedefinită sau primitivă). Să se cerceteze dacă aplicaţia liniară P este injectivă şi surjectivă.

TC.V.2 a) Fie V spaţiul vectorial real al funcţiilor polinomiale reale şi endomorfismele:

( ): ,D V V D f f ′→ = şi ( )( ) ( )0

: , ,x

P V V P f x f t dt a x b→ = ≤ ≤∫ .

Să se arate că vidD P =o , dar D nu este o bijecţie. b) Fie V un K - spaţiu vectorial şi :V V→T un endomorfism. Să se arate că ( )Ker T şi ( )Im T sunt invariante în raport cu T .

TC.V.3 Fie endomorfismul 3 3: →T dat prin matricea:

1 0 10 1 11 2 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

,

în raport cu baza ( ) ( ) ( )1 2 31,1,0 , 1,0,1 , 0,1,1v v v= = = . Să se arate că vectorii

( ) ( ) ( )1 2 31,2,3 , 2,1,3 , 1,1,1w w w= = = formează o bază în 3 , să se determine matricea de trecere de la baza { }1 2 3, ,v v v la baza { }1 2 3, ,w w w şi apoi matricea lui T în raport cu baza { }1 2 3, ,w w w .

TC.V.4 Spaţiul vectorial V este suma directă a subspaţiilor 1V şi 2V , adică { }1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , iar =0 0, =0V V V v v v V v V v v v v= + = + ∈ ∈ + ⇒ = . Să se arate că operatorul ( ) ( ) 1,P V v v∈ =L L dacă 1 2v v v= + , numit operatorul de

proiecţie paralelă cu 2V a spaţiului V pe 1V este operator liniar şi că 2P P= . TC.V.5 Fie [ ]2 X spaţiul vectorial al polinoamelor cu coeficienţi reali,

de grad cel mult 2 şi aplicaţiile: [ ]3

2:A X→ , ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 3 1 2 3 1 2 32 1 2 2A v v v v v v v X v v v X= + + + − + + + −

[ ] [ ]2 2:D X X→ , ( )D P P′= , unde ( ) 31 2 3, ,v v v v= ∈ şi P′ este derivata

polinomului [ ]2P X∈ . a) Să se arate că A şi D sunt transformări liniare; b) Să se arate că A este inversabilă şi să se construiască inversa sa; c) Să se determine transformarea produs D Ao şi matricea acesteia în

bazele canonice din 3 şi [ ]2 X . TC.V.6 Fie :V U→T un operator liniar, unde ,V U sunt K - spaţii

vectoriale de dimensiune n , respectiv m . Să se arate că: a) dim dimKer +dimImV = T T ; b) T este surjectiv dimIm =dimU⇔ T = ; c) T este injectiv dimKer =0⇔ T .

Page 148: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

147

TC.V.7 Să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii, vectorii proprii precum şi multiplicităţile algebrice şi geometrice ale valorilor proprii pentru următoarele endomorfisme:

a) 3 31 : →T , ( ) ( )1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3, , 2 2 ,5 3 3 , 2x x x x x x x x x x x= − + − + − −T ;

b) 3 32 : →T ,

( )2 2 2 23 3 3 3

2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , ,i i i i

z z z z z z z e z e z z e z e zπ π π π

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

T

c) 4 43 : →T , ( ) ( )3 1 2 3 4 1 1 4, , , ,0,0,x x x x x x x= +T ;

d) 3 34 : →T , ( ) ( )4 1 2 3 2 1 2 1 2 3, , , 4 4 , 2 2x x x x x x x x x= − + − + +T .

TC.V.8 Fie endomorfismul: 4 4: →T , definit astfel: ( ) ( )1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3, , , , 4 2 ,2 2 , 2x x x x x x x x x x x x x x x x= − + + − + + − + +T

a) Să se determine polinomul caracteristic, valorile proprii şi vectorii proprii ai endomorfismului;

b) Să se determine matricea A a endomorfismului în baza canonică; c) Să se determine o bază a lui 4 în care matricea A a endomorfismului

să aibă forma Jordan ( )1J T A T−= ⋅ ⋅ ;

d) Să se calculeze nJ şi nA , unde n∈ . TC.V.9 Să se determine valorile proprii, vectorii proprii şi să se cerceteze

dacă matricele următoare pot fi diagonalizate:

a) 0 1 01 1 10 1 0

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

; b) 7 4 14 7 14 4 4

B−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

; c)

1 0 0 10 1 0 00 0 1 21 0 2 5

C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

În fiecare caz afirmativ să se determine matricea diagonalizatoare T şi forma diagonală a matricei date.

TC.V.10 Să se determine valorile proprii, vectorii proprii şi să se cerceteze dacă matricele asociate endomorfismelor următoare sunt jordanizabile:

a) 4 4: →A

0 2 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

;

Page 149: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

148

a) 4 4: →B ,

3 1 0 04 1 0 0

7 1 2 117 6 1 0

B

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

;

b) 4 4: →C ,

1 2 3 40 1 2 30 0 1 20 0 0 1

C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Să se determine bazele faţă de care endomorfismele au forma canonică Jordan, matricele de jordanizare şi forma canonică Jordan în fiecare caz.

Bibliografie

1. Udrişte C., şa., -Probleme de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.

2. Ion D.I., R. Nicolae, -Algebra, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.

3. Flondor D., N. Donciu, -Algebră şi analiză matematică-culegere de probleme, vol I Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978.

4. Otlăcan E., -Algebră superioară-îndrumar teoretic şi culegere de probleme, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureşti, 1995.

5. Mânzatu E., Gârban V. –Algebră cu aplicaţii rezolvate la calculatorul electronic, Editura Academiei Militare, Bucureşti, 1982.

Page 150: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

MODULUL 6

ELEMENTE DE TEORIA NUMERELOR

6.1.Teorema împărţirii cu rest; relaţia de divizibilitate;numere prime 6.2. Cel mai mare divizor comun a două numere 6.3. Algoritmul lui Euclid

6.1 Teorema împărţirii cu rest; relaţia de divizibilitate; numere prime

Punctul de plecare în structurarea aritmetică a numerelor întregi îl constituie teorema cunoscută sub numele de Teorema împărţirii cu rest, având următorul enunţ: Date fiind numerele întregi m şi n în care n este nenul, există şi sunt unice numerele q şi r care îndeplinesc condiţiile:

; 0 1= + ≤ ≤ −m nq r r n .

Subliniem faptul că teorema afirmă pe de o parte existenţa numerelor q şi r, iar pe de altă parte unicitatea lor. Existenţa are la bază algoritmul de împărţire bine cunoscut. În ce priveşte unicitatea, dacă numerele îndeplinesc aceleaşi condiţii ca numerele q şi r, atunci:

1 şi q0 (n q −

1r1 1)m m q r r= − = + − ⇒

1r r n q q⇒ − = − 1 . În această egalitate membrul stâng este strict mai mic decât n , deoarece este modului diferenţei a două numere pozitive strict mai mici

decât n . Pe de altă parte, membrul drept nu poate fi strict mai mic decât n decât dacă , adică dacă membrul drept este nul. Dar în acest caz şi membrul stâng este nul, adică .

1q q=1r r=

Cazul 0r = conduce la noţiunea de divizibilitate: DEFINIŢIE

Spunem că n divide m (notăm acest lucru n|m) dacă există un număr întreg q astfel încât m = qn. Se mai spune că n este divizor al lui m sau că m este multiplu al lui n, sau că m este divizibil prin n. Din definiţia relaţiei de divizibilitate rezultă următoarele proprietăţi ale acesteia: I) reflexivitatea: n|n;

5

Page 151: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

II) tranzitivitatea: dacă n|m şi m|k, atunci n|k; III) dacă n|m şi m|n, atunci m = ± n; IV) dacă n|m, atunci n m≤ . Remarcăm că dacă 0 , atunci luând , se îndeplineşte relaţia

oricare ar fi n. Deci, orice număr este divizor al lui zero, adică orice număr divide pe zero sau zero este multiplu al oricărui număr.

m = 0q =m qn=

Pe de altă parte, dacă 0 , atunci singurul număr m pentru care relaţia n|m poate fi satisfăcută este . Singurul număr care-l are pe zero ca divizor, deci care este divizibil prin zero, este numai zero.

n =0m =

Numerele 1 şi –1 au fiecare numai doi divizori: ± 1. Oricare alt număr n în afară de 0, 1, –1 are cel puţin patru divizori: ± 1 şi

± n numiţi şi divizori improprii. Ceilalţi divizori pe care i-ar mai putea avea numărul n se numesc divizori proprii. Evident că orice divizor propriu al lui m are valoarea absolută strict mai mică decât valoarea absolută a lui m.

Numerele m şi n au aceiaşi divizori dacă şi numai dacă m = ± n. În acest caz spunem că ele sunt asociate.

DEFINIŢIE Un număr întreg p se zice că este număr prim dacă este diferit de 0, 1, –1 şi nu are alţi divizori în afară de divizorii improprii. Altfel spus, nu are divizori proprii. Un număr care nu este prim se numeşte număr compus. Evident că dacă n este un număr compus, atunci el se poate scrie ca produsul a doi divizori proprii, fiecare având valoarea absolută strict cuprinsă între unu şi valoarea absolută a lui n. Numărul 2 este cel mai mic număr prim şi este singurul număr prim care este număr par. Toate celelalte numere prime sunt, fireşte, impare. De aceea preferăm ca în loc să spunem că un număr prim este diferit de 2 îi menţionăm calitatea sa de a fi impar. Următoarea teoremă pune în evidenţă o proprietate esenţială a numerelor prime.

TEOREMĂ Dacă numărul prim p divide produsul a două numere nenule a şi b, atunci p divide cel puţin unul din cele două numere.

DEMONSTRAŢIE Deoarece relaţia de divizibilitate m|n rămâne valabilă când se schimbă semnul lui m sau al lui n, este suficient să se demonstreze teorema pentru numerele întregi pozitive.

Prin reducere la absurd presupunem că ar exista numere prime pentru care teorema nu este adevărată şi că numărul prim p este cel mai mic dintre acestea. În plus, numărul prim p fiind fixat, dintre toate perechile de numere a, b pentru

6

Page 152: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

care teorema nu este valabilă presupunem că am ales acea pereche pentru care produsul ab este minim.

Putem considera că numerele a şi b sunt strict mai mici decât p. Într-adevăr, dacă , aplicând teorema împărţirii cu rest obţinem două numere naturale q şi r care îndeplinesc condiţiile:

a p≥

; 0a pq r r p= + < < ,

unde am ţinut seamă că a nu este divizibil cu p. Rezultă că numărul: este divizibil prin p, deoarece produsele ab şi pbq

sunt divizibile prin p. Aşadar numărul a poate fi înlocuit cu numărul r care este strict mai mic decât p. La fel se poate proceda şi cu numărul b. În concluzie, putem admite că .

( )rb a pq b ab pbq= − = −

2ab p< Relaţia p ab înseamnă că există un număr natural c astfel încât ab = pc şi

deoarece rezultă c < p. Dacă numărul c nu este prim, atunci există un număr prim q care divide pe c, adică există un număr h astfel încât c = hq. Evident, q < c < p şi din minimalitatea lui p rezultă că pentru numărul prim q este adevărată teorema. Deci, din faptul că q|ab rezultă q|a sau q|b. În cazul când q|a, avem: ab = qsb = pc = phq de unde rezultă ph = sb, adică p|sb, în care, evident, sb < ab. Din minimalitatea produsului ab rezultă că p|s sau p|b, adică p|a sau p|b, ceea ce contrazice presupunerea făcută.

2ab p<

QED OBSERVAŢIE

Proprietatea enunţată în teorema precedentă este valabilă numai pentru numerele prime. Numerele compuse nu au această proprietate. Într-adevăr, dacă n este un număr natural compus, atunci n = ab, în care a şi b sunt divizori proprii, deci a < n şi b < n. Dacă n|a sau n|b, atunci ar rezulta n , respectiv

. a≤

n b≤TEOREMĂ

Orice număr întreg diferit de 0, 1, –1 se poate descompune în produs de numere prime, iar această descompunere este unică, în afara semnului acestora.

DEMONSTRAŢIE Teorema afirmă două lucruri: pe de o parte existenţa, iar pe de altă parte unicitatea descompunerii.

Demonstrăm mai întâi existenţa descompunerii. Prin reducere la absurd presupunem că ar exista numere care nu se pot descompune în produs de numere prime şi fie n numărul cu cea mai mică valoare absolută dintre acestea.

Evident că numărul n nu poate fi prim. Dar numărul n nu poate fi nici compus, deoarece în acest caz el s-ar scrie ca produs de două numere, n = ab,

7

Page 153: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

numerele a şi b având fiecare valoarea absolută strict mai mică decât valoarea absolută a lui n. Din minimalitatea lui n rezultă că numerele a şi b se pot descompune în produs de numere prime şi se obţine astfel descompunerea lui n.

În ce priveşte unicitatea presupunem că pe de o parte , iar pe de altă parte

1 2... rn p p p=1 2... sn q q q= , unde şi i jp q sunt numere prime nu neapărat

distincte. Vom arăta că şi că . Presupunem r . În egalitatea

r s= = ; 1,2,...,i iq p i± = r s≤

1 2 1 2... ...r sp p p q q q=

pe baza teoremei precedente, fiecare factor din membrul stâng (fiind număr prim) se poate simplifica cu un număr din membrul drept, cu care este asociat. Schimbând numerotarea factorilor din membrul drept şi înlocuind unii dintre aceşti factori cu asociaţii lor, putem considera . După simplificare, relaţia anterioară devine:

; 1,2,...,i iq p i= = r

s

p

1 21 ...r rq q q+ += ± .

Deoarece nici un număr prim nu poate fi divizor al lui unu rezultă că în membrul drept nu poate să apară nici un factor prim. Deci:

. şir s=

1 1 2 2, ,..., r rq p q p q= ± = ± = ±QED

OBSERVAŢIE Uneori este util să punem în evidenţă factorii primi distincţi din descompunerea lui n, astfel că această descompunere se scrie în felul următor:

1 21 21 2 ... ; , ,...,k

kkn p p p Nαα α ∗= α α α ,

în care 1 2, ,..., kp p p sunt numere prime distincte. Descompunerea lui n este unică în afara înlocuirii unora din factorii primi cu opuşii lor. În plus, putem considera că numerele prime 1 2, ,..., kp p p sunt strict pozitive dacă scriem pe n sub forma:

1 21 21 2 ... ; , ,...,k

kkn p p p Nαα α ∗= ± α α α ∈ ,

unde se pune semnul plus sau minus după cum n este pozitiv sau negativ.

6.2 Cel mai mare divizor comun a două numere DEFINIŢIE

Se numeşte cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b numărul pozitiv d, notat (a,b), care are următoarele proprietăţi:

8

Page 154: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

şi

şi

d a d b

c a c b c d⇒

Numerele a şi b se spune că sunt prime între ele dacă (a,b) = 1. EXEMPLE

1. Deoarece orice număr se află printre divizorii lui zero, rezultă că (a,0) = |a| oricare ar fi numărul întreg a. Deci, numărul zero este prim numai cu numerele 1 şi –1. 2. Pentru orice număr întreg a, avem: (a,±1) = 1. Deci, orice număr este prim cu numerele 1 şi –1. 3. Dacă a|b, atunci (a,b) = |a|. 4. Dacă p şi q sunt două numere prime distincte, atunci (p,q) = 1, adică sunt prime între ele.

OBSERVAŢIE Deoarece din m|n rezultă |m| ≤ |n|, condiţiile din definiţia lui (a,b) arată că acesta este, aşa cum indică numele, cel mai mare dintre divizorii comuni ai numerelor a şi b.

6.2.1 O metodă de calculare a celui mai mare divizor comun a două numere

Unicitatea descompunerii unui număr n (diferit de 0, 1, –1) ca produs de puteri de numere prime pozitive permite identificarea tuturor divizorilor lui n. Anume, dacă şi d|n, atunci d poate avea ca factori primi numai numerele

1 21 21 2 ... ; , ,...,k

kkn p p p Nαα α ∗= ± α α α ∈

1 2, ,..., kp p p sau opusele lor. Deci:

1 21 2 ... ; 0 ; 1,2,...,k

i ikd p p p iββ β= ± ≤ β ≤ α = n .

Dacă 1 2, ,..., kp p p sunt factorii primi pozitivi comuni numerelor m şi n, atunci:

1 2 1 21 11 2 1 2... ; ... ; , ; ( , ) 1k k

i ik km p p p m n p p p n N m nα βα α β β ∗= ± = ± α β ∈ =1 1

n

i

.

Rezultă că orice divizor propriu comun numerelor m şi n este de forma: 1 2

1 2 ... ; 0 min( , ); 1,2,...,ki i ikd p p p iγγ γ= ± ≤ γ ≤ α β = .

Fireşte, cel mai mare dintre divizorii comuni se obţine când exponenţii iau toţi valoarea maximă, adică min( , )i iγ = α β . S-a obţinut astfel regula de calculare a celui mai mare divizor comun a două numere, bazată pe descompunerea acestora în factori primi: este produsul factorilor primi (pozitivi) la puterea cea mai mică.

9

Page 155: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

DEFINIŢIE Se numeşte cel mai mic multiplu comun al numerelor a şi b numărul:

[ , ]( , )

aba b

a b= .

Aşa cum indică denumirea, numărul [a,b] este cel mai mic dintre multiplii comuni ai celor două numere.

Într-adevăr, notând: d = (a,b), 1 1,aa bd d

= = b , avem:

21 1

1 1 1 1ab a b d a b d ab a bd d

= = = = .

Deci, [a,b] este multiplu şi al lui a şi al lui b. Fie acum m un multiplu comun al numerelor a şi b. Din a|m rezultă un

număr întreg h care îndeplineşte condiţia: m=ah. Din b|m rezultă |m=ah şi cum ( rezultă |h, adică h este de forma .

1b)1,b a =1 1b 1h b h′=

Deci, 1 [ , ]abm ah ab h h a b hd

′ ′= = = = ′ , adică m este multiplu al lui [a,b].

PROPRIETĂŢI ALE RELAŢIEI DE DIVIZIBILITATE I. Dacă m|ab şi (m,a) = 1, atunci m|b.

Într-adevăr din (m,a) = 1 rezultă că m nu are factori comuni cu a. Pe de altă parte, din m|ab rezultă că toţi factorii lui m se află în descompunerea lui ab, deci m|b. III. Dacă a|m, b|m şi (a,b) = 1, atunci ab|m.

Într-adevăr, [a,b]|m şi din (a,b) = 1 rezultă [a,b] = ± ab.

6.3 Algoritmul lui Euclid Oricare ar fi numerele întregi a şi b există şi este unic cel mai mare divizor comun al lor. În plus, se pot găsi două numere întregi u şi v astfel încât: (a,b) = ua + vb. (Expresia ua + vb, adică suma numerelor a şi b înmulţite cu nişte numere întregi se numeşte combinaţie liniară a numerelor a şi b).

DEMONSTRAŢIE Unicitatea se deduce din faptul că dacă două numere d şi îndeplinesc amândouă cele două condiţii din definiţia celui mai mare divizor comun al numerelor a şi b, atunci rezultă atât d| , cât şi |d, adică d = ± . Dar cum numerele d şi sunt pozitive înseamnă că d = .

d ′

dd ′ d ′′

′d ′ d

Unicitatea justifică folosirea articolului hotărât în denumirea „cel mai mare divizor comun”. El este în fapt cel mai mare dintre divizorii comuni pozitivi ai celor două numere.

10

Page 156: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

În ce priveşte existenţa, deoarece exemplul 1 de mai sus justifică teorema pentru cazul când a sau b este nul, putem considera că numerele a şi b sunt amândouă nenule. În plus, deoarece orice număr are aceiaşi divizori ca şi opusul său, putem considera că numerele a şi b sunt strict pozitive şi că a > b.

11

Page 157: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Din teorema împărţirii cu rest rezultă că există numerele astfel încât: 1 1,q r

1 1 1; 0a bq r r b= + ≤ < .

Dacă , atunci rezultă b|a şi deci (a,b) = b. Dacă , atunci împărţim pe b la şi obţinem:

1 0r =1r

1 0r ≠

1 2 2 2 1; 0b r q r r r= + ≤ < .

Continuând să împărţim împărţitorul la rest, acesta scade cu cel puţin o unitate când se trece de la o operaţie la cea următoare, astfel că după un număr de n împărţiri se ajunge că . Ultimele trei împărţiri arată astfel: 0nr =

12

2

1

a

4 3 2

3 2 1

2 1 .

n n n n

n n n n

n n n

r r q rr r q rr r q

− − −

− − −

− −

= += +=

Se observă din acest algoritm că ultimul rest nenul, adică divide succesiv resturile anterioare: , deci este divizor comun al numerelor a şi b.

1nr −

2 3 4 2 1, , ,..., , , ,n n nr r r r r b− − −

Pe de altă parte, dacă c|a şi c|b, atunci parcurgând pas cu pas, de sus în jos etapele algoritmului, obţinem succesiv că numărul c divide: . 1 2 1, ,..., nr r r −

Deci îndeplineşte cele două condiţii din definiţia celui mai mare divizor comun.

1nr −

Din penultima relaţie a algoritmului se poate exprima , care este (a,b), ca o combinaţie liniară de resturile anterioare, adică şi . Folosind relaţia antepenultima, se poate exprima în funcţie de resturile anterioare, astfel că

se exprimă ca o combinaţie liniară de resturile şi . Continuând acest proces, se ajunge la exprimarea lui ca o combinaţie liniară de a şi b.

1nr −

3nr −

nr

2nr −

nr2nr −

1nr − 2− 3−

1nr −QED

Page 158: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

CAPITOLUL 2

GRUPURI, INELE, CORPURI; DEFINITII, EXEMPLE

2.1 Definiţii, notaţii DEFINIŢIE Se numeşte grup o mulţime G în care este definită o operaţie internă:

,x y G x y G∀ ∈ ⇒ ∈o

având următoarele proprietăţi: 1) asociativitatea: ( ) ( );2) element neutru: ; ;3) element simetric: , ; .

x y z x y ze G x G e x x e xx G x' G x x x x e

=∃ ∈ ∀ ∈ ⇒ = =

′ ′∀ ∈ ∃ ∈ = =

o o o o

o o

o o

Dacă, în plus, operaţia are proprietatea de comutativitate, adică: ,x y G x y y x∀ ∈ ⇒ =o o ,

atunci grupul se numeşte grup comutativ. OBSERVAŢII

I. Spre deosebire de modul standard în care este prezentată definiţia de mai sus (considerată bine cunoscută), în general, pentru simplitate, se renunţă la precizarea apartenenţei elementelor, de exemplu: ,x y G∈ , atunci când aceasta este de la sine înţeleasă din context. În plus, se foloseşte, de regulă, numai cuantificatorul existenţial , iar când nu apare nici un cuantificator se subînţelege cuantificatorul universal ( .

( )∃)∀

II. Când este vorba de un grup abstract (adică în care nu se precizează natura elementelor) operaţia se notează cu diferite simboluri, cum ar fi: etc. În grupuri concrete se folosesc de regulă două notaţii:

, ,∗ •o

- notaţia aditivă, cu semnul +. În acest caz, grupul se mai numeşte grup aditiv. Elementul neutru se notează atunci cu 0 , numindu-se elementul nul, iar simetricul unui lui x se numeşte opusul lui x şi se notează –x. Ca exemple menţionăm: (Z,+); (Q,+); (R,+); (C,+);

sau θ

- notaţia multiplicativă în care se foloseşte punctul ca semn al operării sau lipsa oricărui semn. În acest caz grupul se mai numeşte grup multiplicativ. Elementul neutru se notează de regulă cu 1 şi se numeşte elementul unitate al grupului, iar simetricul lui x se mai numeşte inversul lui x şi se notează 1x− . 13

Page 159: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Exemple de astfel de grupuri sunt: (Q*,·); (R*,·); (C*,·) în care semnul a înseamnă că din mulţimea respectivă s-a exclus elementul nul.

De regulă, în ambele cazuri grupul este comutativ, c

ste

um este în toate exemp

este finit, adică are un număr finit de elemente, atunci lele menţionate.

III. Dacă grupul Gnumărul elementelor sale se notează G sau ord(G) şi se numeşte ordinul grupului G.

DEFINIŢIE el o mulţime A cu două operaţii interne, una notată aditiv,

iar cea

asociativă; ru, notat 1;

Se numeşte inlaltă notată multiplicativ, astfel încât:

- (A,+) este grup abelian; - operaţia de înmulţire este - operaţia de înmulţire are element neut - înmulţirea este distributivă faţă de adunare, adică:

( ) ; ( ) ; , ,x y z xy xz x y z xz yz x y z A+ = + + = + ∀ ∈ .

OBSERVAŢII ea structurii de inel este comutativă, atunci inelul A se I. Dacă înmulţirnumeşte inel comutativ. De exemplu, ( , , ); ( , , ); ( , , ); ( , , )Z Q R C+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ sunt toate inele comutative. Mulţimea matrice te cu numere reale, notată ( )n

lor pătratice de ordinul n, formaM R , cu operaţiile cunoscute, de adunare şi de înmulţire

a matricelor, formează el care nu este comutativ. II. Din definiţia inelului rezultă că faţă de adu

un innare fiecare element x al

format mai

inelului are un simetric numit, aşa cum am menţionat, opusul lui x, care se notează –x. Faţă de operaţia de înmulţire nu toate elementele inelului au simetric (numit invers). Se poate deduce cu uşurinţă că elementul nul al inelului nu are invers. De aici rezultă că într-un inel unele elemente sunt inversabile, iar altele nu. Elementele inversabile ale unui inel se numesc unităţile inelului. Este uşor de demonstrat că mulţimea unităţilor unui inel A, mulţime notată A* este grup faţă de operaţia de înmulţire a inelului, numit grupul unităţilor inelului. De exemplu, în inelul numerelor întregi, grupul unităţilor estenu din două elemente: ±1. În inelele ( , , ); ( , , ); ( , , )Q R C+ ⋅ + ⋅ + ⋅ grupul unităţilor se obţine eliminând elementul nul. În ( ) , )n R + ⋅ grupul ( )*n

inelul necomutativ (MM R al unităţilor este constituit din mulţimea matrice

determinantul nenul. III. În cazul c

lor care au

ând grupul unităţilor inelului A este format din toate elementele nenule ale inelului, atunci inelul se numeşte corp. De exemplu, inelele ( , , ); ( , , ); ( , , )Q R C+ ⋅ + ⋅ + ⋅ sunt corpuri, iar inelele Z şi ( )nM R nu sunt corpuri.

14

Page 160: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

2.2 Inelul claselor de resturi modulo n

2.2.1 Congruenţa modulo n Pentru fiecare număr întreg x notăm x mulţimea tuturor numerelor întregi care dau acelaşi rest la împărţirea cu numărul natural nenul n. Această mulţime se numeşte clasa de congruenţă modulo n a lui x. Evident că oricare două astfel de clase sunt disjuncte, adică n-au nici un element în comun. Pe de altă parte, reuniunea tuturor claselor de congruenţă modulo n este egală cu întreaga mulţime Z a numerelor întregi. Cu alte cuvinte, mulţimea Z este împărţită în n clase de congruenţă, corespunzătoare celor n resturi care se pot obţine la împărţirea cu numărul natural n. Notăm nZ mulţimea care are ca elemente aceste clase. Mulţimea nZ are deci n elemente.

EXEMPLE I. Pentru 2n = , mulţimea Z se împarte în două clase: clasa numerelor pare (care dau restul zero la împărţirea cu 2) şi clasa numerelor impare (care dau restul unu la împărţirea cu 2). II. Pentru toate numerele întregi sunt congruente, deci ele se constituie într-o singură clasă.

1n =

Două numere întregi, x şi y, care se află în aceeaşi clasă de congruenţă modulo n se spune că sunt congruente modulo n. Această relaţie se exprimă în felul următor: (mod. )x y= n . Se poate deduce cu uşurinţă că:

(mod. ) ( )x y n n x= ⇔ y− . (2.1)

OBSERVAŢIE Relaţia de congruenţă exprimată sub forma (2.1) are sens şi pentru . De remarcat că relaţia de congruenţă modulo zero este relaţia de egalitate, deoarece numărul zero îl divide numai pe zero. Două numere întregi sunt congruente modulo zero dacă şi numai dacă ele sunt egale.

0n =

În cazul 1n = toate numerele întregi sunt congruente, deoarece numărul unu divide orice număr întreg. La antipod se află cazul în care nu există două numere congruente distincte, deoarece singurul număr care este divizibil cu zero este zero însuşi.

0n =

Orice element al unei clase este numit reprezentant al clasei respective sau că reprezintă acea clasă. De exemplu, pentru , orice număr par reprezintă clasa numerelor pare, în timp ce orice număr impar reprezintă clasa numerelor impare.

2n =

În general se preferă să facem o alegere a câte unui reprezentant din fiecare clasă. O astfel de alegere defineşte ceea ce numim un sistem complet de resturi modulo n. Cea mai des folosită modalitate de alegere este să se ia ca reprezentant al unei clase, restul pe care-l dau toate numerele acelei clase la

15

Page 161: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

împărţirea cu numărul natural n. Deoarece acest rest poate fi orice număr cuprins între zero şi n – 1, înseamnă că un sistem complet de resturi este mulţimea constituită de numerele: 0, 1, 2,…, n – 1. Cu această alegere mulţimea nZ se poate reprezenta astfel:

{ }0,1,..., 1nZ n= − .

Elementele lui nZ se pot identifica astfel:

{ };k x qn k q Z= = + ∈ .

Uneori se preferă ca să se ia n ca reprezentant al clasei multiplilor lui n, adică al clasei numerelor care dau restul zero la împărţirea cu n, caz în care mulţimea nZ se poate reprezenta astfel:

{ }1, 2,...,nZ n= .

Sistemul complet de resturi este atunci mulţimea formată din numerele: 1, 2,…, n.

2.2.2 Adunarea şi înmulţirea claselor de congruenţă modulo n Clasele se pot aduna după următoarea regulă:

x y x y+ = + .

Să observăm că adunarea claselor, deşi se efectuează cu ajutorul unor reprezentanţi ai celor două clase, clasa care se obţine ca rezultat nu depinde de reprezentanţii aleşi în cele două clase. Într-adevăr,

(mod. ) şi (mod. ) ( ) şi ( ) ( )

[( ) ( )] (mod. ) .

x x n y y n n x x n y y n x x y y

n x y x y x y x y n x y x y

′ ′ ′ ′ ′ ′= = ⇔ − − ⇒ − + − ⇔

′ ′ ′ ′ ′ ′⇔ + − + ⇔ + = + ⇔ + = +

La fel se efectuează operaţia de înmulţire a claselor:

xy xy= .

Este uşor de verificat că aceste două operaţii definite pe mulţimea nZ îndeplinesc condiţiile prevăzute în definiţia inelului comutativ.

TEOREMĂ Grupul *

nZ al unităţilor inelului nZ este constituit din clasele reprezentate de numere prime cu n.

DEMONSTRAŢIE Observăm mai întâi că dacă un reprezentant x al unei clase modulo n este prim cu n, adică (x,n) = 1, atunci toate numerele din acea clasă sunt prime cu n. Într-adevăr, dacă y se află în aceeaşi clasă cu x, atunci diferenţa este y x−

16

Page 162: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

divizibilă cu n. Dacă y nu ar fi prim cu n, atunci ar avea un factor comun propriu, să zicem d, cu n. Numărul d va divide atunci şi pe x, adică x şi n ar avea un factor comun propriu şi deci x nu ar mai fi prim cu n. Dacă x este prim cu n, adică (x,n) = 1, atunci o proprietate a celui mai mare divizor comun ne asigură că există două numere întregi u şi v astfel că: 1 = (x,n) = ux + vn, deci:

1 ux vn ux vn ux= + = + = v , adică x reprezintă o clasă inversabilă. Reciproc, dacă x reprezintă o clasă inversabilă, atunci există un număr întreg u astfel încât produsul ux este congruent cu 1, adică n divide diferenţa ux – 1. Dacă x ar avea un divizor propriu d comun cu n, atunci acesta ar divide atât pe x, cât şi diferenţa ux – 1 (care este multiplu al lui n) şi deci divide şi pe 1, ceea ce contrazice definiţia divizorului propriu.

2.3 Subgrupuri, grupuri ciclice, teorema lui Lagrange

2.3.1 Definiţii În definiţiile şi faptele elementare de teoria grupurilor pe care le vom prezenta în cele ce urmează vom folosi notaţia multiplicativă în grupul G.

DEFINIŢIE Se numeşte subgrup al grupului G o submulţime nevidă H G⊂ având următoarele proprietăţi:

1

,

.

h k H hk H

h H h H−

∈ ⇒ ∈

∈ ⇒ ∈

Prima condiţie din definiţia subgrupului exprimă faptul că submulţimea H este o parte stabilă a lui G, faţă de operaţia internă a grupului G. Pe baza acesteia putem considera că operaţia grupului G este o operaţie internă pe submulţimea H, numită şi operaţia indusă pe H de operaţia lui G. Evident că operaţia indusă pe H este şi ea asociativă, ca şi operaţia considerată pe întreaga mulţime G. În plus, dacă grupul G este comutativ, atunci şi operaţia indusă pe H este comutativă. Pentru ca submulţimea H, cu operaţia indusă să fie grup trebuie să fie îndeplinite celelalte două condiţii: să aibă element neutru şi fiecare element din H să aibă inversul tot în H. Aceste condiţii nu sunt obligatoriu îndeplinite numai pe baza ipotezei că H este parte stabilă. De exemplu, mulţimea a numerelor naturale nenule este o parte stabilă a grupului aditiv (Z,+) al numerelor întregi, dar nu îndeplineşte cele două condiţii menţionate ale structurii de grup. Deşi mulţimea (Z,+) are element neutru, acesta neaflându-se în submulţimea , proprietatea elementului neutru nu este îndeplinită pentru operaţia indusă pe .

*N

*N*N

17

Page 163: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Mulţimea a tuturor numerelor naturale (inclusiv zero) este iarăşi parte stabilă şi de data asta are element neutru, deoarece numărul zero se află în această mulţime. Dar proprietatea elementului simetric nu este îndeplinită deoarece, deşi fiecare element din are un opus în (Z,+), în general acesta nu se află în . Singurul element din care are opusul tot în este zero.

N

NNN N

Condiţia a doua din definiţia subgrupului exprimă faptul că pentru orice element din H, inversul său se află tot în H, adică se îndeplineşte proprietatea elementului simetric. În plus, această condiţie asigură şi existenţa elementului neutru: luând în prima condiţie , obţinem . 1

1 2 şi h h h h−= = 1hh e H− = ∈ Aşadar, un subgrup este o submulţime nevidă a grupului G, care faţă de operaţia indusă este grup.

2.3.2 Teorema lui Lagrange Dacă H este subgrup al grupului G, m=|H|, n=|G|, atunci m|n.

DEMONSTRAŢIE Pentru orice element x al grupului G considerăm mulţimea

{ ; }xH xh x H= ∈ . Deoarece elementul neutru e al grupului se află în H, rezultă că x însuşi se află în această mulţime, deoarece x xe= , deci reuniunea mulţimilor xH dă întreaga mulţime G. Submulţimile xH au următoarele două proprietăţi: I) pentru orice element x din G mulţimea xH are m elemente. Într-adevăr, în mulţimea H se află m elemente şi dacă 1 2xh xh= atunci, compunând la stânga ambii membri ai acestei egalităţi cu inversul lui G, se obţine ; 1 2h h= II) dacă submulţimile xH şi yH au un element în comun, atunci aceste submulţimi coincid. Într-adevăr,

. Dacă u este un element oarecare al mulţimii xH, atunci: , deci

1 2, ;z xH yH h h H∈ ∩ ⇒ ∃ ∈ 1,z xh=2 1z xh xh yh= ⇒ =

12 1u xh yh h h−= = ∈

2

yH xH yH⊆ . La fel se demonstrează şi incluziunea inversă. Aşadar, submulţimile xH sau sunt disjuncte sau coincid. Prin urmare, mulţimea G, având n elemente, este împărţită în clase disjuncte, toate având acelaşi număr de elemente, şi anume: m elemente, ca şi H. Dacă i este numărul acestor clase, atunci n = mi, de unde rezultă m|n.

QED

2.3.3 Ordinul unui element Pentru un element oarecare a al grupului finit G notăm:

{ }2 3[ ] , , ,...a a a a= .

Deoarece grupul G este finit, elementele acestei mulţimi nu pot fi toate distincte, deci există i > j, astfel încât , de unde rezultă . ia a= j i ja e− =

18

Page 164: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Fie . Acest număr natural se numeşte ordinul elementului a şi-l notăm ord(a). Folosind acest număr putem descrie mai precis submulţimea [a], şi anume:

*min{ ; }km k N a= ∈ = e

{ }2 3 1, , ,..., ,m ma a a a e−=[ ]a a =

i a

. Se poate deduce cu uşurinţă faptul că cele m elemente menţionate ale acestei submulţimi sunt distincte, din cauza minimalităţii lui m şi că puterile lui a, mai mari decât m, se regăsesc printre acestea. Deci, submulţimea [a] are m elemente. În plus, această submulţime satisface condiţiile din definiţia subgrupului. Într-adevăr, compunerea elementelor din [a] se efectuează prin adunarea modulo m a exponenţilor, deci submulţimea [a] este o parte stabilă a lui G faţă de operaţia grupului. Pe de altă parte, observăm că pentru un element

, deci este îndeplinită şi a doua condiţie din definiţia subgrupului.

( ) 1;1 [ ]i i ma i m a a

− −≤ ≤ ⇒ = ∈

Subgrupul [a] se numeşte subgrupul generat de elementul a. Ordinul acestui subgrup este tocmai ordinul elementului a. Din teorema lui Lagrange rezultă: Ordinul oricărui element al grupului divide ordinul grupului.

2.3.4 Grupuri ciclice DEFINIŢIE

Se numeşte grup ciclic un grup G în care există un element g astfel încât [g] = G. Elementul g se numeşte generator al grupului G.

EXEMPLE I. Pentru orice număr natural n grupul (Zn,+) este ciclic. Într-adevăr, putem considera ca generator clasa reprezentată de numărul întreg 1, deoarece orice clasă modulo n se obţine prin compunerea (în sensul operaţiei de adunare) clasei lui 1 cu ea însăşi de un număr de ori. Evident, compunând de n ori această clasă cu ea însăşi, se obţine elementul nul al grupului. Deci [1] = Zn. II. Tot pentru orice număr natural n mulţimea Un a rădăcinilor complexe ale ecuaţiei zn = 1 formează un grup ciclic faţă de operaţia de înmulţire

a numerelor complexe. Într-adevăr, notând 2cos isinn nπε = + 2π , acest număr

complex este rădăcină a ecuaţiei zn = 1 şi toate cele n rădăcini ale acestei ecuaţii

sunt numerele: 2 2cos isin ; 1,2,..., ; 1k nk k k nn nπ πε = + = ε = , prin urmare

. [ ] Gε =

OBSERVAŢIE Se observă că aceste două grupuri, având acelaşi număr de elemente, diferă numai prin modul cum sunt notate elementele lor (la primul elementele sunt: 1, 2,..., 0n = , iar la al doilea elementele sunt: ) şi prin 1 2 3, , ,..., 1nε ε ε ε =

19

Page 165: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

modul cum este notată operaţia (primul este grup aditiv, iar al doilea este multiplicativ). Modul cum se compun elementele este acelaşi în cele două grupuri. Într-adevăr, în grupul elementele se compun prin adunarea modulo n a exponenţilor, iar în grupul (Z elementele

nU kε, )n + k se compun tot prin

adunarea modulo n a numerelor k. Acest lucru se confirmă în cazul general.

TEOREMĂ Două grupuri ciclice de acelaşi ordin sunt izomorfe. DEMONSTRAŢIE

Fie G şi H două grupuri ciclice de acelaşi ordin n. Pentru simplitatea demonstraţiei vom folosi notaţia multiplicativă în cele două grupuri. Dacă g este generatorul grupului ciclic G şi h al lui H, atunci:

{ } { }1 2 1 2, ,..., ,...,n nG g g g h h h e′= = = =; ,e H =

; 1,i i

g

( )

h=

,...,

,

unde am notat e, elementul neutru din G, respectiv H. Evident, compunerea în ambele grupuri se face prin adunarea modulo n a exponenţilor.

e′

Fie funcţia : ; 2f G H→ =f g h i( )i j

n)

=( k

. Evident, funcţia f este

bijectivă. Ea este şi morfism: ) ( ) (k i j i jf g g f= =g h h h f g f g= = unde k = (i+j) (mod.n).

QED CONSECINŢĂ

Dacă ordinul unui grup G este un număr prim p, atunci G este izomorf cu grupul ciclic Zp. Într-adevăr, dacă a este un element al lui G diferit de elementul neutru, atunci ordinul lui a fiind diferit de unu şi fiind divizor al numărului prim p trebuie să fie egal cu p, adică G este grup ciclic având ca generator pe a. Din teorema precedentă grupul G fiind ciclic de ordinul p, este izomorf cu Zp.

2.3.5 Generatorii unui grup ciclic de ordinul n TEOREMĂ

Fie G un grup ciclic de ordinul n notat multiplicativ şi g un generator al

său. Atunci ordinul elementului ;1 eg k≤ ≤

k

st( , )

nnk n

G

e k . În particular, condiţia

necesară şi suficientă ca elementul să fie generator al grupului G, adică

, este ca numărul k să fie prim cu n.

gkg⎡ ⎤ =⎣ ⎦

DEMONSTRAŢIE Demonstrăm mai întâi teorema pentru cazul când (k,n) = k, adică numărul k este un divizor al lui n. Notăm cu m câtul împărţirii lui n la k, adică n = mk.

20

Page 166: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Din definiţia ordinului unui element rezultă că ordinul lui este chiar m, deoarece elementele:

kg

( ) ( ) ( ) ( )1 2 32 3, , ,...,mk k k k k k k mk ng g g g g g g g g= = = = = e=

sunt distincte, elementul g fiind un generator al grupului G. În cazul general, notând şi astfel încât n d şi

rezultă:

( , )d k n=k dg g

,n k′ ′kg

n′= k dk′=

( )kk dk d dg g g g′′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎡= = ⇒ ⎤ ⊂ ⎤∈ ⇒⎣ ⎦ ⎣ ⎣⎦ ⎦

e

. Pe de altă parte, o proprietate a celui mai mare divizor comun asigură că

există numerele întregi u şi v astfel încât , de unde, ţinând seamă că , rezultă:

d uk vn= +ng =

( ) ( ) ( )u v ud uk vn uk vn k n k k d ug g g g g g g g g g+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= = = = ∈ ⇒ ⊂ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Aşadar elementele şi generează acelaşi subgrup, deci au acelaşi ordin. Dar, deoarece d este un divizor al lui n, ordinul lui este câtul împărţirii lui n la . Într-adevăr, notând acest cât, avem: şi

cea mai mică valoare a numărului natural h pentru care este .

kg

)n

dgdg

( ,d k= d ′ n dd ′=

h d ′=( )hdg e=

QED.

2.4 Produsul direct de grupuri şi produsul direct de inele

Fiind date două grupuri G şi H, amândouă notate moltiplicativ, cu elementul neutru e, respectiv , pe mulţimea numită produsul cartezian al mulţimilor G şi H se consideră operaţia «pe componente», şi anume:

e′

,

{( , ); , }G H x h x G h H× = ∈ ∈

( , )( ) ( , )x h x xx hh′ ′=h′ ′ . Este uşor de verificat că această operaţie definită pe produsul cartezian

îndeplineşte proprietăţile structurii de grup. Acest grup se numeşte produsul direct al celor două grupuri. Elementul neutru al produsului direct este perechea

şi inversa perechii (x,h) este perechea ( , )e e′ 1 1( , )x h− − . Dacă grupurile G şi H sunt comutative, respectiv finite, atunci produsul lor direct este comutativ, respectiv finit.

Acelaşi lucru este valabil în cazul a două inele A şi B. Notând aditiv şi multiplicativ operaţiile în cele două inele, pe produsul cartezian A B× se consideră operaţiile de adunare şi de înmulţire pe componente, adică:

şi . Aceste operaţii definite pe ( , ) ( , ) ( , )a b a b a a b b′ ′ ′ ′+ = + + ( , )( , ) ( , )a b a b aa bb′ ′ ′ ′=

A B× îndeplinesc proprietăţile structurii de inel. Elementul neutru al înmulţirii din A B× este perechea (1,1) unde am notat cu 1 atât elementul neutru al lui A, cât şi cel al lui B.

21

Page 167: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

TEOREMĂ Grupul unităţilor lui A B× este produsul direct dintre grupul unităţilor lui

A şi grupul unităţilor lui B, adică: * *( ) *A B A B× = ×

DEMONSTRAŢIE Dacă , atunci , deci există ,

astfel încât şi . Rezultă că , adică şi deci perechea (a,b) este inversabilă, . Ca

urmare,

*( , )a b A B∈ ×1aa′ = bb′ =

1)b −

* * *( )

* **, a A b B∈ ∈( , )(a b a

a A b B′ ′∈ ∈) (1,1)′ =

( )A B ∗∈ ×1 , ) ( ,b aa bb′ ′ ′=

( , )a b( , ) (a b a′ ′ = ,A B A B× ⊆ × .

Reciproc, dacă , atunci există perechea astfel încât . Dar ( şi deci aa , , adică

. Prin urmare,

*( , ) ( )a b A B∈ ×, )( , )a b a b′ ′ =( )

( , )a b′ ′1= bb( , )( , ) (1,1)a b a b′ ′ =

* *, a A b B∈ ∈( , )aa bb′ ′

* *

′ 1′ =*A B A B×× ⊆ .

QED

2.5 Teorema chineză Dacă (m,n) = 1, atunci funcţia:

: ; ( ) (mn m n mn m n, )f Z Z Z f x x x→ × =

în care x este un număr întreg oarecare, iar , ,mn m nx x x reprezintă clasa lui x modulo mn, m, n, respectiv, este un izomorfism de inele.

DEMONSTRAŢIE Să observăm mai întâi că funcţia f este corect definită, în sensul că deşi ea

operează cu un reprezentant modulo mn al unei clase, anume numărul întreg x, perechea ( , )m nx x nu se schimbă dacă se înlocuieşte x cu un alt număr y aflat în aceeaşi clasă modulo mn ca şi x. Într-adevăr,

( ) ( ), ( )

, ( , ) ( , )mn mn

m m n n m n m n

y x mn x y m x y n x y

x y x y x x y y

= ⇒ − ⇒ − − ⇒

⇒ = = ⇒ =

Funcţia f astfel definită este un morfism de inele. Într-adevăr, ( ) (( ) ) (( ) ,( ) ) ( ,( , ) ( , ) ( ) ( )( ) (( ) ) (( ) ,( ) ) ( , )( , )( , ) ( ) ( )

mn mn mn m n m m n n

m n m n mn mn

mn mn mn m n m m n n

m n m n mn mn

f x y f x y x y x y x y x yx x y y f x f y

f x y f xy xy xy x y x yx x y y f x f y

+ = + = + + = + += + = +

= = = == =

) =

De remarcat că până în acest stadiu al demonstraţiei nu s-a folosit faptul că numerele m şi n sunt prime între ele. Este nevoie de această ipoteză pentru a arăta că funcţia f este bijectivă.

22

Page 168: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

De fapt, domeniul şi codomeniul funcţiei f fiind mulţimi finite cu acelaşi număr de elemente, şi anume mn, este suficient să se demonstreze numai injectivitatea.

Dar funcţia f este injectivă: ( ) ( ) ( , ) ( , ) ,

( ), ( ),( , ) 1 ( ) ( )mn mn m n m n m m n n

mn mn

f x f y x x y y x y x y

m x y n x y m n mn x y x y

= ⇒ = ⇒ = = ⇒

⇒ = − = ⇒ − ⇒ =

QED OBSERVAŢIE Inversarea funcţiei f înseamnă rezolvarea sistemului de ecuaţii în x

(număr întreg) cu parametrii întregi a şi b:

m m

n n

x ax b

=⎧⎨ =⎩

Acest sistem de congruenţe are soluţii oricare ar fi numerele întregi a şi b dacă şi numai dacă numerele m şi n sunt prime între ele. Într-adevăr, numai în acest caz funcţia f fiind surjectivă, dat fiind un element oarecare

există (şi este unică) o clasă modulo mn, reprezentată de un număr întreg x, astfel încât: ( , ) din m n m na b Z Z×

( ) ( , )mn m nf x a b= , adică m mx a= şi n nx b= . Soluţia sistemului se obţine folosind nişte numere u şi v care îndeplinesc

condiţia: um + vn = (m,n) = 1, din care rezultă: 1m = (um + vn)m = (vn)m şi 1n = (um + vn)n = (um)n. Pentru x = avn + bum avem:

xm = (avn + bum)m = (avn)m = am(vn)m = am1m = am şi

xn = (avn + bum)n = (bum)n = bn(um)n = bn1n = bn .

2.6 Caracteristica lui Euler

2.6.1 Definiţii DEFINIŢIE Se numeşte caracteristica lui Euler numărul, notat φ(n), al claselor

modulo n reprezentate de numere prime cu n. Am demonstrat că dacă un reprezentant al unei clase modulo n este un număr prim cu n, atunci toţi reprezentanţii acelei clase sunt numere prime cu n. De aceea putem vorbi de clase prime cu n.

EXEMPLE I. Dacă n = p este un număr prim, atunci dintre numerele 1, 2,…, p

singurul care nu este prim cu p este însuşi p. Deci, φ(p) = p – 1.

23

Page 169: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

II. Dacă în care p este număr prim, atunci numerele cuprinse între unu şi n care nu sunt prime cu n sunt multiplii lui p, şi anume: p, 2p, 3p,…,

kn p=

k1kp p p− = . Numărul acestora este 1kp − . Deci numărul claselor prime cu n este

diferenţa 1kkp p −− . Aşadar, ( ) 1 11k kp p k kp pp

− ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

ϕ = .

III. Dacă este descompunerea lui n în produs de puteri de factori primi distincţi, atunci:

1 21 2 ... k

kn p p pαα α=

1 2

1 1( ) 1 1 ... 1k

n n 1p p p

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ϕ = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞⎟

α

Într-adevăr, din teorema chineză rezultă că .

Pe de altă parte, am remarcat mai sus că ( )

1 21 2

* * * *... kk

n p p pZ Z Z Zα α= × × ×

nϕ este ordinul grupului *nZ . Prin

urmare,

( )1 2 1 21 2 1 2

1 2

1 2

1 1( ) ... 1 1 ... 1

1 1 1 1 1 ... 1 .

k kk k

k

k

n p p p p p pp p p

np p p

α αα α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ϕ = ϕ = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=⎟

2.6.2 Proprietăţi ale caracteristicei lui Euler I. Ordinul grupului unităţilor inelului nZ este egal cu ( )nϕ . Într-adevăr, elementele inversabile ale inelului nZ sunt clase reprezentate

de numere prime cu n, iar numărul acestor clase este, prin definiţie, ( )nϕ . II. ( )nϕ este numărul generatorilor unui grup ciclic de ordinul n. Într-adevăr, dacă G este un grup ciclic de ordinul n având ca generator

elementul g, atunci elementele care generează grupul sunt cele de forma în care 1 ≤ m ≤ n şi (m,n) = 1. Numărul acestora este

mg( )nϕ .

III. Dacă G este un grup ciclic de ordinul n, atunci acest grup are elemente de ordinul d numai dacă d este un divizor al lui n. În acest caz elementele de

ordinul d sunt elementele de forma ( )mndg , în care 1 ≤ m ≤ d şi (m,d) = 1.

Numărul acestora este ( )dϕ . Într-adevăr, din teorema lui Lagrange, ordinul unui element al unui grup

finit divide ordinul grupului. Deci, grupul G nu poate avea elemente de ordinul d decât dacă d este divizor al lui n.

24

Page 170: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Pe de altă parte, dacă d este un divizor al lui n, atunci rezultă că ;

1 ≤ h ≤ n are ordinul d dacă şi numai dacă

hg

( , )n d

h n= . Notând , aceasta

înseamnă că şi , în care (m,d) = 1, adică

( , )h n d ′=

h md ′= n dd ′= ( )mndgh d mg g ′= = cu

1 ≤ m ≤ d şi (m,d) = 1. IV. Pentru orice număr natural n este adevărată egalitatea:

( )d n

n d= ϕ∑ .

Într-adevăr, dacă n este ordinul unui grup ciclic, atunci elementele sale se grupează după ordinele lor, care sunt divizori ai lui n. Pentru fiecare divizor d al lui n, numărul elementelor de ordinul d este ( )dϕ .

2.6.3 Reciproca teoremei chineze Teorema chineză afirmă că dacă numerele naturale m şi n sunt prime între

ele, atunci grupul m nZ Z× este izomorf cu mnZ şi deci este ciclic. Vom arăta că este valabilă şi reciproca acestei teoreme, în sensul că

m nZ Z× este izomorf cu mnZ numai în cazul când m şi n sunt prime între ele. Ca urmare, grupul m nZ Z× este ciclic dacă şi numai dacă m şi n sunt prime între ele.

TEOREMĂ Dacă numerele naturale m şi n nu sunt prime între ele, atunci grupul

m nZ Z× nu este ciclic şi deci nu este izomorf cu mnZ .

DEMONSTRAŢIE Fie p un număr prim care divide atât pe m, cât şi pe n şi fie câturile

respective, adică: , . Pentru orice k = 1, 2,…, p – 1 numărul reprezintă un element de ordinul p din grupul aditiv

, m n′ ′m pm′= n pn′= km′

mZ . Într-adevăr, ordinul clasei lui este km′

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1m m pm p p p

km m km pm k p m k p′

= = = =′ ′ ′ ′

= .

Analog, numerele ; h = 1, 2,…, p – 1 reprezintă clase de ordinul p din grupul aditiv

hn′nZ . Rezultă că perechile de numere ( , în număr de

reprezintă elemente de ordinul p în grupul , )km hn′ ′

m n2( 1)p − Z Z× . Dar dacă m nZ Z× ar fi un grup ciclic, atunci pentru divizorul p al

ordinului acestui grup am avea numai ( ) 1p pϕ = − elemente de ordinul p. QED

25

Page 171: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

2.7 Teoremele Fermat, Euler, Wilson TEOREMA FERMAT Dacă p este număr prim, atunci pentru orice număr întreg x avem:

(mod. )px x p=

DEMONSTRAŢIE Grupul *

pZ are ordinul ( ) 1p pϕ = − şi deci ordinul oricărui element al grupului divide 1p − . Ca urmare, orice clasă nenulă, ridicată la puterea 1p −

)

dă ca rezultat clasa unitate, aceasta fiind clasa lui unu. Rezultă că pentru orice număr întreg nedivizibil cu p este adevărată congruenţa: 1 1(mod.px p− = .

Înmulţind această congruenţă cu numărul oarecare x (care poate fi şi multiplu de p) se obţine relaţia din enunţ.

QED TEOREMA EULER Dacă (m,n) = 1, atunci ( ) 1(mod. )nm nϕ = .

DEMONSTRAŢIE Ordinul grupului *

nZ este ( )nϕ , ca urmare, orice element al grupului, ridicat la puterea ( )nϕ dă elementul neutru al grupului. Elementele grupului sunt reprezentate de numerele m care sunt prime cu n.

QED TEOREMA WILSON Dacă p este un număr prim, atunci ( 1)! 1(mod. )p p− = − .

DEMONSTRAŢIE Teorema se verifică lesne pentru p = 2. Putem deci considera că p este un

număr prim impar. Elementele grupului *

pZ sunt reprezentate de numerele: 1, 2, 3,…, p – 1 dintre care numai primul şi ultimul element este propriul său invers, deoarece în corpul pZ ecuaţia 2 1x = nu poate avea mai mult de două rădăcini. Prin urmare, celelalte clase, în număr de p – 3 (care este par), sunt grupate două câte două, inverse una alteia, deci produsul acestora dă elementul unitate al grupului *

pZ , reprezentat de numărul unu. Deci produsul ( 1)!p − modulo p se reduce la produsul dintre primul şi ultimul factor, care produs este congruent cu –1 modulo p.

26

Page 172: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

CAPITOLUL 3

STRUCTURA GRUPURILOR ABELIENE FINITE

3.1 Grupul factor; morfisme de grupuri Am remarcat că procedura prin care grupul aditiv al numerelor întregi Z

este împărţit în clase de congruenţă modulo n se poate aplica unui grup abelian oarecare folosind un subgrup al său. În cazul grupurilor finite această împărţire în clase de congruenţă în raport cu un subgrup a condus, printre altele, la teorema lui Lagrange.

Ne vom ocupa în continuare de structura de grup a mulţimii claselor de congruenţă ale unui grup abelian în raport cu un subgrup al său.

3.1.1 Grupul factor Fie A un grup abelian, notat aditiv, şi B un subgrup al său. Relaţia de

congruenţă modulo B între elementele lui A se defineşte astfel: (mod. )x y B x y= ⇔ − B∈ .

Se notează A/B mulţimea claselor de echivalenţă corespunzătoare acestei relaţii. Clasa în care se află elementul x al grupului se notează x şi se defineşte astfel:

{ ; }x x B x b b B= + = + ∈ .

Oricare din elementele clasei lui x se numeşte reprezentant al acestei clase. Dacă y este unul dintre aceştia, atunci x = y(mod.B) şi y + B = x + B.

În cazul când A este grupul aditiv Z al numerelor întregi, iar B este subgrupul nZ al multiplilor numărului natural n, congruenţa modulo B este tocmai congruenţa modulo n. Mulţimea claselor Z/nZ a fost notată nZ .

La fel cum se adună clasele modulo n se pot aduna şi clasele lui A modulo B, adică elementele lui A/B:

x y x y+ = +

Deşi clasa sumă se obţine cu ajutorul unor reprezentanţi ai celor două clase rezultatul nu se schimbă dacă se folosesc alţi reprezentanţi din cele două clase. În plus, la fel ca şi în cazul adunării din nZ , adunarea definită pe mulţimea A/B a claselor modulo B îndeplineşte proprietăţile grupului abelian. Elementul neutru este clasa lui θ, constituită din elementele subgrupului B. Clasa opusă clasei reprezentate de x este clasa reprezentată de opusul –x al lui x.

27

Page 173: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Grupul astfel definit, A/B, se numeşte grupul factor al lui A prin subgrupul B. Dacă grupul A este finit, având n elemente, iar B are m elemente, atunci m este un divizor al lui n şi numărul claselor modulo B este câtul m/n. Deci ordinul grupului grupul factor este m/n.

Funcţia : / ; ( )k A A B k x x→ =

este evident surjectivă şi este un morfism. Acest morfism surjectiv se numeşte surjecţia canonică definită de subgrupul B.

3.1.2 Morfisme de grupuri Fie acum :f A A′→ un morfism de grupuri abeliene finite. Este uşor de

verificat că mulţimea { }Ker ; ( )f x A f x A′= ∈ = θ ⊆

este subgrup al lui A, iar mulţimea

{ }Im ( );f f x x A A′= ∈ ⊆ este subgrup al lui A′ . Primul se numeşte nucleul lui f, iar celălalt se numeşte imaginea lui f.

Aceste subgrupuri determină calitatea lui f de a fi injectiv (monomorfism), surjectiv (epimorfism) sau bijectiv (izomorfism) în felul următor:

estemonomorfism Ker { }esteepimorfism Im

f ff f A

⇔ =′⇔ =θ

TEOREMĂ Grupul factor A/Ker f este izomorf cu Im f. În particular, dacă f este

epimorfism, atunci G/Ker f este izomorf cu A′ . DEMONSTRAŢIE Considerăm funcţia:

: / Ker Im ; ( ) ( ) ImA f f x f x f ′Aϕ → ϕ = ∈ ⊆ .

Deşi imaginea prin φ a unei clase de congruenţe modulo B se defineşte folosind un reprezentant x al acestei clase, rezultatul nu se schimbă dacă se foloseşte un alt reprezentant. Într-adevăr,

(mod.Ker ) ; Ker ( ) ( ) ( ) ( )y x f y x z z f f y f x f z f x= ⇔ = + ∈ ⇒ = + = .

Funcţia φ este un morfism:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x y f x y f x f y xϕ + = ϕ + = + = + = ϕ + ϕ y . Funcţia φ este surjectivă, deoarece din definiţia mulţimii Im f, un element

din această mulţime este de forma ( )f x pentru un x din A. Dar din definiţia lui φ imaginea prin φ a clasei lui x este tocmai ( )f x .

28

Page 174: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Funcţia φ este monomorfism: Ker ( ) ( ) Kerx x f x x f x∈ ϕ ⇔ ϕ = θ ⇔ = θ ⇔ ∈ ⇔ = θ ,

unde am notat tot θ elementul neutru al grupului factor A/Ker f. Q.E.D.

3.2 Sume directe de subgrupuri Fie a un element al grupului abelian finit A, notat aditiv, şi n un număr

întreg oarecare. Dacă n este strict pozitiv, atunci notăm na rezultatul compunerii (adunării) lui a cu el însuşi de n ori. Dacă n este strict negativ, atunci na este rezultatul compunerii lui –a cu el însuşi de –n ori. În plus, 0a înseamnă elementul neutru θ al grupului A.

Cu aceste notaţii, dacă numărul natural nenul n îndeplineşte condiţia , spunem că n este anulator al elementului a. Evident, ordinul lui a, care

este cel mai mic anulator al lui a, divide orice anulator. na = θ

Anulatorul unei submulţimi a lui A înseamnă un număr care este anulator pentru toate elementele submulţimii. De exemplu, ordinul grupului finit A este anulator al lui A.

Dacă A1, A2,…, Ar sunt subgrupuri ale lui A, atunci spunem că A este suma directă a acestor subgrupuri şi scriem: 1 2 ... rA A A A= ⊕ ⊕ ⊕

1 2 ...a a a= + + +, dacă orice

element a al lui A se scrie în mod unic sub forma: . ;r ia a A∈ i

r

2

Unicitatea înseamnă că 1 2 1 1 2 2... ; , ,...,r i i ra a a a a A a a a a a a′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + + ∈ ⇒ = = = .

Evident că această condiţie este echivalentă cu unicitatea scrierii lui θ sub forma respectivă, în sensul că

1 2 1 2... ; , ,...,r i i ra a a a A a a a+ + + = θ ∈ ⇒ = θ = θ = θ .

EXEMPLU Dacă 1A A A′= × ′ este produsul cartezian a două grupuri 1A′ şi 2A′ , atunci

notând: { } { }1 1 1 1 2 2 2( , ); , ( , ); 2A a a a A A a a a A′ ′= = θ ∈ = = θ ∈

acestea sunt subgrupuri ale lui A izomorfe cu 1A′ , respectiv 2A′ şi 1 2A A A= ⊕ . Exemplul prezentat se poate generaliza în sensul propoziţiei care urmează. PROPOZIŢIE Fie A1, A2,…, Ar subgrupuri ale grupului A şi fie 1 2 ... rA A A A′ = × × ×

1 2 ... r

. Grupul A este sumă directă a subgrupurilor A1, A2,…, Ar ( A A A A= ⊕ ⊕ ⊕

1 2 ...r r

) dacă şi numai dacă funcţia 1 2: ; ( , ,..., )A A x x x′ x x xϕ → ϕ = + + + este izomorfism.

DEMONSTRAŢIE Evident că funcţia φ este un morfism. Surjectivitatea lui φ înseamnă că

fiecare element din A se poate scrie ca o sumă de r termeni, câte unul din fiecare

29

Page 175: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

din cele r subgrupuri. Injectivitatea lui φ este echivalentă cu unicitatea acestei scrieri. QED.

TEOREMA 1

Fie A un grup abelian de ordinul n şi descompunerea în factori primi a lui n. În aceste condiţii, pentru orice i = 1, 2,…, r mulţimea Ai formată din elementele lui A care au drept ordin o putere a lui pi este subgrup al lui A. În plus,

1 21 2 ... rk k k

rn p p p=

1 2 ... rA A A A= ⊕ ⊕ ⊕ .

DEMONSTRAŢIE Fie , ; ord( ) , ord( )h

ikix y A x p y p∈ =

k k k k h hi i i i ip x p y p p x−± = + = ⋅ + θ = θ

= . Putem presupune h ≤ k şi atunci: , deci Ai este un subgrup. ( )p x y

A doua afirmaţie o demonstrăm prin inducţie după numărul r de factori primi ai ordinului grupului. Evident, teorema este adevărată pentru r = 1.

Presupunând-o adevărată pentru grupuri care au ordinul divizibil prin cel mult r – 1 factori primi distincţi, să notăm: . 1 2 1

1 21 2 1... ;r rk k k krrn p p p n p−

−= =Deoarece rezultă că există numerele întregi u şi v astfel că

. Notăm A1 submulţimea elementelor lui A care au ca anulator pe n1. Se verifică la fel ca mai sus că A1 este subgrup al lui A. Analog, A2.

1 2( , ) 1n n =

1 2 1un vn+ =

Orice element x din A se scrie astfel:

1 2 1 2 1( ) 2x un vn x un x vn x x x= + = + = + ; 1 1 2 2,x un x x un x= = .

Dar . La fel se arată că x2 se află în A1. Deci, orice element x din A se poate scrie ca o sumă de termeni, unul din A1, iar celălalt din A2. Această scriere este unică, deoarece dacă cu

2 1 1 2 1 2n x un n x unx x A= = = θ⇒ ∈

2 2

1 2x x+ = θ1 1,x A x∈ A∈ 1 2, atunci x x= − şi

1 1 1 2 1 1 1 1 21 ( ) ( )x x un vn x un x vn x= ⋅ = + = + − = θ ,

deoarece n1 este anulator pentru x1 şi n2 pentru x2. Rezultă şi . 2 1x x= − = θPrin urmare, 1 2A A A= ⊕ , în care A1 are ca ordin pe n1 divizibil prin cel

mult r – 1 factori primi distincţi. Deci, A1 se descompune în sumă directă de r – 1 subgrupuri, fiecare având ca anulator o putere a unuia dintre numerele prime p1, p2,…, pr.

QED

OBSERVAŢIE Dacă un grup este ciclic, atunci cel mai mic anulator al grupului este

ordinul său. Dacă subgrupurile A1, A2,…, Ar sunt ciclice atunci, din teorema chineză, rezultă că şi suma lor directă (izomorfă cu produsul direct) este ciclic. În general însă, aceste subgrupuri nu sunt ciclice.

30

Page 176: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

3.3 Grupuri abeliene de ordinul pm TEOREMĂ Orice grup de ordinul este o sumă directă de subgrupuri ciclice,

toate având ca ordine diverse puteri ale lui p, anume:

mn p=

1 21 2, ,..., ; ...srr r

sp p p r r r+ + + = m .

Descompunerea este unică dacă r1 ≥ r2 ≥ … ≥ rs. DEMONSTRAŢIE Demonstrăm teorema prin inducţie după ordinul grupului A. Fie x1 un element de ordin maxim 1rp . Grupul factor 1/[ ]A x va avea

ordinul strict mai mic decât al lui A şi deci acesta se descompune în sumă directă de subgrupuri ciclice:

1 2 3/[ ] [ ] [ ] ... [ ]sA x x x x= ⊕ ⊕ ⊕ ,

în care generatorii au respectiv ordinele r2 ≥ r3 ≥ … ≥ rs. Pentru fiecare i = 2, 3,…, s vom găsi un reprezentant al clasei lui ix de

ordinul irp , adică de acelaşi ordin cu clasa sa modulo [x1].

Faptul că ordinul lui este irix p înseamnă că 1[ ]ir

ip x x∈ , adică există un număr natural k astfel încât 1

irip x kx= . Putem presupune , deoarece 1rpk ≤ 1rp

este ordinul lui 1x , deci şi anulatorul lui 1x . Numărul k se poate scrie sub forma în care p nu este divizibil cu p. Evident, r ≤ r1. rk p= t

Ordinul lui tx1 este egal cu ordinul lui 1x , deoarece t este prim cu ordinul

lui 1x . Rezultă că ordinul lui este 1 rkx p tx= 11r rp − . Aşadar ordinul lui

1ir

ip x = kx este 1r rp − . Deci, ordinul lui ix este . Dar din maximalitatea lui r1 rezultă ri + r1 – r ≤ r1, adică r – ri ≥ 0.

1i ir rr r p + −=1p p − r r

Relaţia 1ir

ip x kx= devine: de

unde rezultă că ordinul lui 1 1sau ( )i i i i ir r r r r r r

i ip x p p tx p x p tx− −= −

1ir r

= θ

ix p tx− ir− este cel puţin egal cu p . Dar ordinul (în A) al lui 1

ir rix p tx−− nu poate depăşi ordinul clasei sale modulo [x1], care

este irp . Deci, ordinul lui 1ir r

ix p− tx− ir este p . Putem deci presupune că ordinul lui ix este irp pentru i = 2, 3,…, s. Vom

arăta că 1 2[ ] [ ] ... [ ]sA x x x= ⊕ ⊕ ⊕ . Pentru orice element x din A avem:

1 2 3 2 2 3 3

2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3

/[ ] [ ] [ ] ... [ ] ...... [ ] ...

s s s

s s s

x A x x x x x k x k x k x

sx k x k x k x k x x x k x k x k x k x∈ = ⊕ ⊕ ⊕ ⇒ = + + + ⇒

⇒ − − − − = ∈ ⇒ = + + + +

31

Page 177: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

în care se poate lua , deoarece irik p≤ ix are ordinul irp .

Rămâne să arătăm că scrierea lui x este unică. Dar dacă avem atunci, aplicând surjecţia canonică, obţinem: 1 1 2 2 ... s sk x k x k x+ + + = θ

2 2 3 3 ... s sk x k x k x+ + + = θθ

2

, de unde rezultă . Înlocuind în relaţia obţinem . QED

1 20, 0,..., 0sk k k= = =1 1k x = θ1 1 2 2 ...k x k x k+ + + s sx =

EXEMPLU Orice grup de ordinul 8 = 23 este izomorf cu unul din următoarele trei

grupuri: 8 4 2 2 2, ,Z Z Z Z Z Z× × ×

din care numai primul este ciclic.

32

Page 178: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

CAPITOLUL 4

GRUPUL UNITĂŢILOR INELULUI nZ

În acest capitol dăm răspuns la următoarea întrebare: pentru care valori ale lui n grupul al unităţilor inelului este un grup ciclic. Zn

∗8 Zn

4.1 Cazul când modulul n este număr prim TEOREMĂ Pentru orice număr prim p grupul este ciclic. Z p

∗8

DEMONSTRAŢIE Grupul are Z p

∗8 ( ) 1p pϕ = −1

elemente şi deci ordinele elementelor grupului sunt divizori ai lui p −

Z p

. Fie d un astfel de divizor. Elementele de ordinul d sunt rădăcini ale polinomului , iar acest polinom are cel mult d rădăcini, deoarece inelul este corp.

1dX −

În cazul când există un element de ordinul d, fie acesta x, atunci rădăcinile polinomului vor forma un subgrup ciclic constituit din elementele:

care sunt distincte. Elementele de ordin d ale acestui subgrup ciclic sunt în număr de

1dX −12, ,..., dx x x =

( )dϕ , şi anume: sunt acele puteri ale lui x care au exponentul prim cu d. Elementele de ordinul d ale grupului fiind printre aceste puteri, rezultă că: dacă există un element de ordinul d, atunci numărul acestora este

Z p∗8

( )dϕ . Deci pentru fiecare divizor d al lui 1p − numărul elementelor de ordinul d

este care este fie zero, fie ( )o d ( )dϕ . Evident că:

( 1)( ) 1

d po d p

= −∑ .

Pe de altă parte:

( 1)( ) 1

d pd p

ϕ = −∑ .

Deoarece 0 ( ) ( )o d d≤ ≤ ϕ , rezultă că pentru fiecare divizor d al lui 1p − trebuie ca să fie egal cu ( )o d ( )dϕ .

33

Page 179: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

În particular, pentru , 1d p= − ( 1) ( 1)o p p− = ϕ −1

care fiind nenul, există cel puţin un element de ordinul p − al grupului şi deci acest grup este ciclic.

Z p∗8

QED

4.2 Cazul când n este puterea unui număr prim

4.2.1 Subcazul când p este impar În continuare vom extinde rezultatul la valorile lui n de forma: în

care r este un număr natural oarecare, iar p este un număr prim impar, adică diferit de 2.

rn p=

Vom începe cu unele fapte de analiză combinatorie. LEMA Puterea maximă a numărului prim p care divide produsul k! este:

2 3( ) ...kk k kE pp p p

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

în care parantezele drepte indică partea întreagă a numărului cuprins între ele. DEMONSTRAŢIE În produsul k! numărul factorilor multipli ai lui p este partea întreagă a

câtului lui k prin p. Când calculăm puterea lui p cuprinsă în k! trebuie să adăugăm numărul factorilor divizibili cu p2, care este partea întreagă a câtului dintre k şi p2 etc.

QED

LEMA Oricare ar fi numărul prim impar p şi numărul natural k ≥ 2 avem:

( )2kkE p <

DEMONSTRAŢIE

2 3 2 3

2

( ) ... ...

1 1 1 1 ... 1 1 21

kk k k k k kE pp pp p p p

k kp p p pp

p

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= + + + ≤ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎛ ⎞= + + + = ⋅ = ≤⎜ ⎟ −⎝ ⎠ −

k k

=

QED

34

Page 180: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

TEOREMĂ Pentru orice număr natural r şi număr prim impar p grupul este ciclic. *Z rp

DEMONSTRAŢIE Deoarece grupul este ciclic există un număr x a cărui clasă modulo p

generează acest grup. Din teorema lui Fermat numărul p divide diferenţa , adică

*Z p

11 1px − − 1px tp= +− . Considerăm două cazuri: dacă t nu este divizibil prin p, atunci luăm y = x; dacă t este divizibil prin p, adică 1 1p 2x t p− ′= + , atunci luăm . Evident că în acest din urmă caz numărul y se află în aceeaşi clasă modulo p ca şi x, deci clasa sa generează grupul . În plus, observăm că:

(1y = + )p x*Z p

( ) ( )1 2 2 21 11 1 ( 1) ... 1 1 ... 1p

p pp p p C p p p C p s−− −+ = + − + + = + − + + = + p

1 ph

hp

)rp

,

în care s nu este divizibil prin p. Ca urmare,

( ) ( )11 1 2 21 (1 )(1 ) 1pp py p x sp t p p s t p st p−− − ′ ′ ′= + = + + = + + + = + ,

unde h nu este divizibil cu p, deoarece p nu este multiplu de p. Aşadar în ambele cazuri există un număr y a cărui clasă modulo p generează grupul şi

în care h nu este divizibil cu p.

*Z p1 1py − = +

Vom arăta că numărul y modulo pr generează grupul . Fie m un număr

natural astfel că , adică pr divide diferenţa . Rezultă

atunci că şi p divide această diferenţă, adică şi deoarece clasa lui

y generează grupul ciclic , care are ordinul

*Z rp

)p

(1 mod my =

*Z p

1my −

(1 mod my =

1p − înseamnă că 1p − divide m, adică ( 1 . Prin urmare: )lm p= −

( )( 1) 1 2 2 2

3

(1 ) 1llm p l p l k k

l lk

y y y hp l hp C h p C h p− −

=

= = = + = + ⋅ + +∑ k .

În această dezvoltare termenul al doilea conţine factorii l şi p, iar al treilea conţine factorii l şi p2. Deoarece h nu este divizibil prin p înseamnă că al treilea termen conţine o putere strict mai mare a lui p decât al doilea. Aceeaşi proprietate o au şi termenii următori, deoarece:

( 1)( 2)...( 1)!

kk k k kl

pC h p l l l l k hk

= − − − + ⋅ ,

35

Page 181: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

de unde se vede că pentru k ≥ 3 acest termen conţine factorul l, iar din lema

precedentă puterea lui p care divide fracţia !

kpk

are exponentul cel puţin egal cu

32 2 2k kk − = ≥ . Acest exponent fiind număr întreg este deci cel puţin egal cu doi.

Rezultă că diferenţa care este divizibilă prin pr are un termen care conţine o putere a lui p strict mai mică decât toţi ceilalţi. Prin urmare, acest termen trebuie să fie divizibil cu pr şi deci l este divizibil prin

1my −

1rp − . Înseamnă că exponentul este divizibil cu , care este ordinul grupului

. Deci acest grup este ciclic. QED ( 1)m p= − l )1( 1rp p− −

*Z rp

CONSECINŢĂ Dacă 2 în care p este număr prim impar, atunci grupul este

ciclic.

rn p= *Zn

Într-adevăr, grupul este izomorf cu , iar acesta din urmă

este izomorf cu , deoarece grupul are un singur element. Ca urmare,

grupul fiind ciclic, rezultă că şi este ciclic.

*2

Z rp* *2Z Z rp

×*Z rp

*2Z

rp*Z rp

*2

Z

4.2.2 Subcazul p = 2 Pentru r = 1 şi pentru r = 2 acest grup este ciclic. Vom arăta că pentru

r ≥ 3 acest grup nu este ciclic. TEOREMĂ Dacă r ≥ 3, atunci: I. Toate elementele grupului au ordinul cel mult egal cu . Ca

urmare, grupul nu este ciclic, deoarece ordinul său este .

*2

Z r22r−

1(2 ) 2r r−ϕ =II. Subgrupul generat de clasa numărului 5 are ordinul şi este

constituit din clasele modulo 2r reprezentate de numerele de forma 4k + 1. 22r−

DEMONSTRAŢIE Orice element din grupul este reprezentat de un număr impar care se

poate scrie sub forma

*2

Z r

14x k= ± . Observăm că:

( ) ( )( )

1 0 2 1

3 2 2

2 22 2 3 2 2 4

1 22

2 2 5 23 2

2 1, 2

2 1,..., 2 1,r r

r

x x h x x h

x x h x h−

= = + = =

= = + = +

1,+

ceea ce demonstrează prima afirmaţie. 36

Page 182: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Pentru a doua afirmaţie a teoremei, fie m un număr natural astfel că 5m = 1 modulo 2r, adică 2r divide diferenţa 5m – 1. În dezvoltarea:

2 2 2 4 35 (1 2 ) 1 2 2 2 .m mm mm C C= + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +6 ..

termenul al doilea conţine ca factor pe 2 la putere strict mai mică decât următorii. Ca urmare, pentru ca 5m – 1 să fie divizibil cu 2r este necesar ca m să fie divizibil cu , deci ordinul clasei lui 5 este . 22r− 22r−

QED

4.3 Cazul general TEOREMĂ Grupul este ciclic numai dacă: n = 2, n = 4, n = pr, n = 2pr, în care p

este un număr prim impar.

*Zn

DEMONSTRAŢIE S-a demonstrat mai înainte că este ciclic dacă n = pr sau n = 2pr în

care p este număr prim impar şi că nu este ciclic dacă n = 2r; r ≥ 3.

*Zn

Să arătăm că în toate celelalte cazuri grupul nu este ciclic. *Zn

Fie descompunerea în factori primi a lui n, în care k ≥ 2, iar dacă unul din factorii primi este 2, atunci exponentul său este strict mai mare ca unu.

1 21 2 ... krr r

kn p p p= ⋅ ⋅ ⋅

Deoarece 1 21 2 şi ... krr r

kp p p⋅ ⋅ sunt prime între ele, rezultă că:

r1 321 2 3

* * *p ...

Z este izomorf cu Z Z r rr kk

n p p p⋅ ⋅ ⋅× .

Din formula de calculare a caracteristicei lui Euler rezultă că ordinele celor două grupuri ce alcătuiesc produsul direct sunt numere pare, deci au ca factor comun pe 2. Din reciproca teoremei chineze rezultă că acest produs direct nu este un grup ciclic.

QED

4.4 Generatori ai unui grup ciclic Când lucrăm cu un grup ciclic ne interesează să avem un generator al

acestuia. Fie G un astfel de grup, notat multiplicativ, de ordinul n. Dacă se cunoaşte un generator g al grupului, atunci putem determina toţi

generatorii grupului: sunt elementele de forma , în care k este un număr natural mai mic decât n şi prim cu n. Numărul acestora este egal cu ordinul φ(n) al grupului unităţilor inelului

kg

nZ .

37

Page 183: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Dacă 1 21 2

1 2

( ) 1 1 1... , atunci 1 1 ... 1rk k kr

r

nn p p pn p p

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ϕ= = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ p

⎞− ⎟

⎠ este

proporţia generatorilor în mulţimea G, adică probabilitatea ca alegând la întâmplare un element al lui G, acesta să fie un generator. Se observă că această probabilitate nu depinde de exponenţii k1, k2,…, kr, ci numai de factorii primi distincţi p1, p2,…, pr ai lui n.

În cazul când nu cunoaştem nici un generator al grupului şi vrem să obţinem unul, alegem la întâmplare un element al grupului şi verificăm dacă este un generator. Cu probabilitatea menţionată mai înainte el va fi un generator.

Pentru a verifica dacă un element x din G este generator ar trebui să calculăm puterile lui x până la puterea n – 1 şi să constatăm că nici una nu este egală cu elementul neutru al grupului.

Ţinând seamă de teorema lui Lagrange, este suficient să verificăm acest lucru numai pentru acei exponenţi care sunt divizori proprii ai lui n, deoarece exponentul cel mai mic, e, pentru care ex este elementul neutru al grupului G este ordinul elementului x.

Putem să reducem şi lista acestor exponenţi (constituită din divizorii

proprii ai lui n) limitându-ne la cei maximali, adică ; 1,2,...,ii

nd ip

= = r .

Într-adevăr, pentru orice divizor propriu d al lui n există cel puţin un indice i = 1, 2,…, r pentru care ik

ip nu divide pe d. Rezultă atunci că d divide pe di, care este cel mai mare divizor propriu al lui n care nu este divizibil prin ik

ip . Ca urmare, dacă dx este elementul neutru al lui G, atunci la fel va fi şi idx .

În concluzie, pentru a verifica dacă x este generator al grupului G, se calculează elementele: 1 2, ,..., rd d dx x x şi dacă toate aceste sunt diferite de elementul neutru al grupului G, atunci x este generator.

EXEMPLU. Grupul al unităţilor corpului claselor de resturi modulo 29 are n = 28 = 22·7 elemente, iar divizorii proprii maximali ai lui n sunt: d1 = 4, d2 = 14.

*29Z

Pentru a verifica dacă x = 2 modulo 29 este generator folosim algoritmul exponenţierii modulare, efectuând în acest scop ridicări succesive la pătrat:

0 1 2 32 2 2 2 2 2 22, 2 4, 4 16, 16 5x x x x x= = = = = = = = − ,

de unde rezultă: , deci x = 2 este generator.

1 24 14 8 4 22 16 1, 2 2 ( 5) 16 4 1d dx x + += = ≠ = = = − ⋅ ⋅ = − ≠1

Pentru x = 5 avem: 0 1 2 32 2 2 2 2 2 25, 5 4, 4 16, 16 5x x x x x= = = = − = = = = − ,

38

Page 184: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

39

1de unde rezultă: şi deci x = 5 nu este generator.

1 24 14 8 4 25 16 1, 5 5 ( 5) 16 ( 4)d dx x + += = ≠ = = = − ⋅ ⋅ − =

Page 185: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

CAPITOLUL 5

CORPURI FINITE

5.1 Caracteristica unui corp Dat fiind un corp comutativ oarecare F, considerând funcţia , în

care , iar pentru , k(n) este rezultatul adunării lui 1 cu el însuşi de n ori dacă n este număr natural strict pozitiv şi rezultatul adunării lui –1 cu el însuşi de –n ori dacă n este strict negativ.

:k Z F→(0) 0k = 0n ≠

Este uşor de verificat relaţia: pentru orice numere întregi m şi n, adică funcţia k este un morfism de la grupul aditiv (Z,+) la grupul aditiv (F,+).

( ) ( ) (k m n k m k n+ = + )

,)

După nucleul acestui morfism corpurile se împart în două clase. A) Corpuri de caracteristică nulă, sunt acelea în care , adică

funcţia este un monomorfism. Funcţia aplică inelul Z în subinelul al lui F izomorf cu Z. Cel mai mic subcorp al lui F va fi izomorf cu corpul Q al numerelor raţionale. În particular un astfel de corp nu poate fi finit. Corpurile Q, R, C sunt din această categorie.

Ker {0}k =k k ( )k Z

B) Corpuri de caracteristică nenulă sunt acelea pentru care subgrupul . Ca orice subgrup al grupului ciclic Z el va fi tot ciclic, generat de

un număr natural n. Acesta este cel mai mic număr natural nenul m cu proprietatea .

Ker {0}k ≠

( ) 0k m =Numărul n trebuie să fie un număr prim, deoarece dacă

, atunci 0 ( , de unde rezultă sau , deoarece şi sunt într-un corp. Aceasta ar contrazice

minimalitatea lui n.

n u v= ⋅( ) 0=0 ; 0u n v n< < < <

( ) 0k v =) ( ) (k n k u k v= = ⋅

( )k vk u

( )k u

Numărul prim p care generează subgrupul al lui Z se numeşte caracteristica lui F. El este cel mai mic număr natural m nenul, astfel că elementul 1 adunat cu el însuşi de m ori dă elementul zero al lui F. Pe de altă parte, orice număr natural m, pentru care este un multiplu al lui p deoarece subgrupul Ker k este generat de p.

Ker k

0( )k m =

Imaginea morfismului k este în acest caz izomorfă cu grupul factor Z/pZ, adică grupul claselor modulo p, pe care-l notăm Zp. El are şi structură de inel care este corp. Obişnuim să identificăm acest corp cu imaginea morfismului, spunând că F conţine, ca subcorp, corpul Zp. Acesta este cel mai mic subcorp al lui F şi se numeşte subcorpul prim al lui F.

40

Page 186: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Fireşte, pentru fiecare număr prim p, corpul Zp este corp de caracteristică p.

5.2 Numărul elementelor unui corp finit Pentru orice subcorp al corpului F se poate considera în mod

natural structura de spaţiu vectorial a lui F peste corpul k. În particular, orice corp finit F este spaţiu vectorial peste subcorpul său prim, care este

k F⊂

pZ în cazul când caracteristica lui F este numărul prim p.

Dacă în plus, corpul F de caracteristica p este finit, atunci el va avea o bază finită: x1, x2,…, xn peste Zp. Rezultă că numărul elementelor unui corp finit de caracteristică p este de forma pn, în care n este un număr natural nenul.

Folosind acelaşi principiu, putem spune câte elemente poate să aibă orice subcorp k al corpului F. Fireşte, dacă p este caracteristica lui F, având deci np elemente, atunci tot p va fi şi caracteristica lui k, astfel încât k va avea mp elemente, cu . Dar ţinând seamă că F are structură de spaţiu vectorial peste k, deducem că numărul

m n≤np al elementelor lui F este o putere d a numărului

mp al elementelor lui k, în care d este dimensiunea lui F peste k. Aşadar,

( )dn m mdp p= p= , de unde rezultă n = md, adică m este un divizor al lui n.

În concluzie, dacă F are np elemente, atunci orice subcorp k al lui F va avea mp elemente, în care m este un divizor al lui n.

5.3 Extinderea unui corp finit Am arătat că orice corp finit de caracteristică p are elemente, în

care n este un număr natural nenul. Vom arăta că pentru orice număr natural n, un astfel de corp F, având elemente, efectiv există.

nq p=

nq p=Considerăm 1

1 1...n nn nf x a x a x a−

−= + + + +

p

un polinom având coeficienţii în corpul comutativ Z . Polinomul f defineşte o relaţie de echivalenţă în mulţimea [ ]pZ x a tuturor polinoamelor cu coeficienţi în pZ , numită congruenţa modulo f, şi anume: sunt congruente modulo f dacă diferenţa u – v este divizibilă cu f

, [pu v Z x∈ ]

(mod. ) ( )u v f f u v= ⇔ = .

Se verifică uşor că aceasta este o relaţie de echivalenţă. Ca urmare, mulţimea [ ]pZ x a polinoamelor cu coeficienţi în pZ se împarte în clase de echivalenţă numite clase de congruenţă modulo f. Fiecare clasă este formată din polinoame congruente între ele modulo f.

41

Page 187: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Notăm mulţimea care are ca elemente aceste clase de congruenţă. Reamintim că în cazul mulţimii

fG

nZ a claselor de congruenţă modulo n, se consideră mulţimea de numere {0, 1, 2,…, n – 1}, în care se găseşte câte un reprezentant şi numai unul al fiecărei clase.

Analog, şi pentru mulţimea a claselor de congruenţă de polinoame modulo f considerăm mulţimea formată din polinoamele de grad cel mult n – 1 (n fiind gradul lui f ) şi identificăm mulţimea de clase cu mulţimea acestor polinoame:

fG

fG

10 1 1{ ... ;n

f nG u Z−−= = α + α θ + + α θ α ∈ }i p ,

în care egalitatea acestor mulţimi trebuie citită în sensul că fiecare clasă de polinoame (element din ) se identifică cu reprezentantul său din mulţimea de polinoame de grad cel mult n – 1. Dacă g este un polinom al clasei, atunci reprezentantul său de gradul cel mult n – 1 este restul împărţirii lui g la f. Acest rest nu se schimbă dacă se înlocuieşte polinomul g cu altul din aceeaşi clasă cu el.

fG

La fel ca şi în nZ clasele de polinoame se pot aduna şi înmulţi şi pentru aceasta ne servim de polinoame ce reprezintă clasele respective. Se adună, respectiv se înmulţesc polinoamele ce reprezintă clasele respective şi se reţine din rezultat restul împărţirii la f, care va fi un polinom de gradul cel mult n – 1 în simbolul θ.

Aceste operaţii îndeplinesc condiţiile cerute de structura de inel comutativ: sunt amândouă asociative şi comutative, înmulţirea este distributivă faţă de adunare, polinomul nul (care reprezintă clasa tuturor polinoamelor divizibile cu f ) are efect nul faţă de adunare, iar simetricul faţă de adunare al clasei reprezentate de polinomul u este clasa reprezentată de polinomul –u. Polinomul reprezintă clasa care are efect nul pentru operaţia de înmulţire.

0 1 2 11 ( 1, ... 0)nu −= α = α = α = = α =

Reamintim că inelul nZ al claselor de congruenţă modulo n este corp dacă şi numai dacă n este număr prim.

O situaţie similară întâlnim şi în cazul inelului . fG

TEOREMĂ Inelul este corp dacă şi numai dacă f este polinom ireductibil. fG

DEMONSTRAŢIE Dacă f nu este ireductibil, atunci ( ) ( ) ( )f x u x v x=

( )u θ)v θ

, în care u şi v sunt polinoame de grad cuprins între 1 şi n – 1, deci şi reprezintă două clase, ambele nenule. Produsul u este egal cu zero, deoarece restul împărţirii lui la

( )v θ( ) (θ ⋅( )( ) ( ) ( )u x v x f x= f x este nul. Înseamnă că ( ) şi sunt u θ ( )v θ

42

Page 188: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

divizori ai lui θ în inelul şi deci acest inel nu este corp. Reciproc,

presupunem că f este ireductibil şi fie nenul (fiind şi de grad strict mai mic decât n va reprezenta o clasă nenulă). Deoarece f este ireductibil rezultă că

fG

( ( )

10 1 1( ) ... n

nu −−θ = α + α θ + + α θ

, ( )) 1f x u x = , unde ( ( ), ( ))f x u x înseamnă cel mai mare divizor comun al polinoamelor ( )f x

( ) ( ) (x b

)a x

şi . ( )u x

) ( ) 1x f x+ =

( )a x( )a x ( )

Folosind algoritmul lui Euclid pentru polinoame se pot găsi polinoamele şi astfel încât: ( )a x ( )b x

a x u ,

în care putem presupune că gradul lui este strict mai mic decât n (înlocuind, eventual pe cu restul împărţirii lui la ( f x

fG( ) fu Gθ ∈

nq p=

( )np

nP x x:

şi se modifică corespunzător ). ( )b x

Înlocuind în această relaţie pe x cu θ, element din , obţinem: , ceea ce înseamnă că elementul nenul are ca invers pe

. QED. ( ) ( ) 1a uθ ⋅ θ =( )a θ

5.4 Proprietăţi ale corpului Gf TEOREMĂ Corpul are următoarele proprietăţi: fG

1. Numărul elementelor lui este . fG

2. Corpul este constituit din rădăcinile polinomului . fG x= −3. AUTOMORFISMELE LUI FROBENIUS: Funcţia ;f fG Gϕ →

( ) pu uϕ =

p

este un automorfism al corpului care lasă pe loc elementele lui fGZ şi numai pe acestea. Ordinul acestui automorfism în grupul automorfismelor

lui este n, adică automorfismele fG 2 3,..., n, , Idϕ ϕ ϕ ϕ =

f

)n= θ

sunt distincte între ele. 4. Elementul u al corpului G este o rădăcină a lui f. Celelalte

rădăcini sunt: şi deci

= θ2 3,p p θ (1

,...,np p−

θpθ fG,θ θ conţine toate cele n rădăcini ale lui f.

DEMONSTRAŢIE 1. Corpul fG conţinând subcorpul pZ (format din polinoamele de grad

zero în θ) are structură de spaţiu vectorial peste pZ .

Fiecare element din fG are forma: , adică este

combinaţie liniară, cu coeficienţii în

10 1 1... n

nu −−= α + α θ + + α θ

pZ , a elementelor: ale lui 21, , ,..., n−θ θ θ 1

43

Page 189: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

fG . Deci aceste n elemente constituie un sistem de generatori ai spaţiului vectorial fG .

Acest sistem de vectori este şi liniar independent, deoarece orice combinaţie liniară a lor, cu coeficienţi - nu toţi nuli - în pZ , este un element nenul al lui fG .

Deci, dimensiunea lui fG ca spaţiu vectorial peste pZ este n, de unde

rezultă că numărul elementelor lui fG este . nq p=

2. Grupul multiplicativ *fG al lui fG

p

având elemente rezultă că pentru orice element u ≠ 0 al acestui grup, ordinul său este un divizor al ordinului al acestui grup, conform teoremei lui Lagrange. Aşadar numărul este multiplu al ordinului oricărui element u ≠ 0, adică:

. Aceasta înseamnă că toate cele elemente nenule ale corpului

1np −

1−1−

npnp

npu 1n −1 1− =

sunt rădăcini ale polinomului . 1np − −1xfG

Rezultă că toate cele np elemente ale corpului fG

n

(inclusiv elementul

nul) sunt rădăcini ale polinomului 1( 1)n np p ( )x x x x P− − = − x

= . Rădăcinile acestui polinom sunt distincte, deoarece derivata sa

nu are nici o rădăcină. Rădăcinile multiple ale lui trebuie să fie rădăcini ale derivatei sale.

1( ) 1 1n − − =

)x

n pp x=nP x′(nP

Pe de altă parte, polinomul de gradul nP np nu poate avea mai mult decât np rădăcini. Prin urmare, corpul fG este constituit din mulţimea rădăcinilor

polinomului . ( )nP x3. Să observăm mai întâi că pentru orice elemente u şi v din fG avem:

. Într-adevăr, ( )u v v+ = +p pu p

)( )( ) (1

1

1 2 ... 1, iar !

pp p p k p k k k

p pk

p p p p ku v u v C u v Ck

−−

=

− − − ++ + =∑( )+ =

este divizibil cu p (caracteristica corpului fG ), deoarece produsul k! nu este divizibil cu p. Ca urmare, toţi termenii binomului lui Newton sunt nuli în afară de cei pentru care k = 0 şi k = p.

De remarcat că relaţia este valabilă în orice corp de caracteristică p, iar aceasta înseamnă că ridicarea la puterea p este un endomorfism nu numai pentru operaţia de înmulţire (deci pentru grupul

( ) p pu v u v+ = + p

44

Page 190: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

multiplicativ *fG

( )u

al corpului), ci şi pentru grupul aditiv, deci este un endomorfism al corpului.

Acest endomorfism este automorfism, deoarece este injectiv. Într-adevăr, . (De fapt, se poate arăta că orice endomorfism

nenul al unui corp finit este un automorfism). ( ) 0 0pu v u v u v− = ⇒ − = ⇒ =

Notăm φ acest automorfism. El se numeşte automorfismul lui Frobenius. Elementele care nu se schimbă prin acest automorfism, adică cele care au proprietatea uϕ = , ceea ce înseamnă sunt rădăcini ale polinomului pu = u

px x− . Elementele subcorpului pZ al lui fGp

îndeplinesc această condiţie.

Altele nu mai pot fi deoarece polinomul x x− nu poate avea mai mult decât p rădăcini.

i jϕ = ϕDacă ; 1 ≤ i < j ≤ n, atunci j i Id−ϕ = . Notând , vom

avea:

r j i= − < n

( ) ;rp;r

f fGu u u G u u uϕ ⇔ = ∀ ∈= ∀ ∈ , adică toate cele np elemente ale

lui fG sunt rădăcini ale polinomului rpx x− care are gradul strict mai mic decât

np . Deci, nu este posibil ca i jϕ = ϕ ; 1 ≤ i < j ≤ n, adică automorfismele 2 3, , ,..., nϕ ϕ ϕ ϕ sunt distincte.

Pe de altă parte, ( )nn pu u u uϕ = ⇔ = , iar această din urmă egalitate este

îndeplinită de toate elementele lui fG , adică n Idϕ = . Prin urmare, ordinul automorfismului φ este n. 4. Fie u un element al corpului fG care este rădăcină a polinomului f

adică ( ) 0f u = . Rezultă:

[ ] ( )11 1

( 1)1 1

11 1

0 ( ) ...

...

( ) ( ) ... (

pp n nn n

np p n p p p pnn

p n p n p pn n

f u u a u a u a

u a u a u a

u a u a u a f u

−−

−−

−−

= = + + + +

= + + + + =

= + + + + = )

=

adică este rădăcină a lui f. puAşadar dacă u este rădăcină a lui f, atunci şi este rădăcină a lui f şi

acest lucru este valabil pentru orice polinom cu coeficienţii în pu

pZ . Pornind de la faptul că este rădăcină a lui f deducem că

sunt rădăcini ale lui f. Evident, , deoarece pentru orice element u al lui

u = θ2 3

, ,p p pθ θ θnpθ = θ

npu = ufG .

,...

Rădăcinile sunt distincte. Într-adevăr, dacă ar fi ; 1 ≤ i < j ≤ n, notând am avea:

2 3

1 2 3, , ,...,np p p p

nu u u u= θ = θ = θ = θ = θ

i ju u= r j i= − < n

45

Page 191: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( ) ( ) ( )i j rϕ θ = ϕ θ ⇔ ϕ θ = θ

0 1 2 ...= α + α θ + α θ + + α

0 1

0 1

( )

r ruϕ = ϕ α + α

= α + α ϕ

= α + α θ

, ceea ce înseamnă că pentru orice avem: 2 1

1n

n fu G−− θ ∈

0 1

2

2

...

( )

...

n

r r

−θ + + α

θ + α ϕ θ

+ α θ + +

( )( ) ( )

11

2 11

2 11

...

; ,

n

r nn

n rn u Id r

−−

−−

θ =

+ + α ϕ θ =

α θ = ⇔ nϕ = <

ceea ce nu este adevărat. Aşadar polinomul f are n rădăcini în fG , iar pe de altă parte, elementele

lui fG

nP sunt toate rădăcini ale polinomului . Rezultă că

polinomul este divizibil prin polinomul f. Acest lucru este valabil pentru orice polinom ireductibil de gradul n cu coeficienţii în

( )np

nP x x x= −

pZ . QED.

TEOREMĂ

Factorii ireductibili ai polinomului sunt toate polinoamele ireductibile, cu coeficienţi în

( )np

nP x x x= −

pZ , de gradul d, în care d este un divizor al lui n.

DEMONSTRAŢIE Am arătat mai înainte că orice polinom ireductibil de gradul n cu

coeficienţii în pZ , divide polinomul . Vom arăta că acest lucru este valabil pentru orice polinom ireductibil al cărui grad este un divizor d al lui n.

nP

( )(1 1d

Într-adevăr, dacă n = dm, atunci:

) ( )2 ( 1)...d d n d d1 1n nd 1p p p− = − =

1k p= + +

( )1

( ) 1

1 1

n dp pnP x x x= − =

= −

dP

p p p p−+ + + = − k1)d

)k −

− +2 .d dp + +

(( 1)

1 (

1d d

k

p px x

− −

− =

+ +

nP

,

unde am notat . Rezultă: (.. np −

1)2 ( 1)3 ( 1)( 1)... ,d d dp p px x x− − −+ + +

adică polinomul divide polinomul oricare ar fi divizorul d al lui n. Dacă g este polinom ireductibil de gradul d (având coeficienţii în pZ ), atunci g divide

care la rândul lui divide . Deci g divide . dP nP nPReciproc, fie g un polinom ireductibil de gradul m cu coeficienţi în pZ ,

care divide polinomul . nPDeoarece toate rădăcinile lui sunt în nP fG rezultă că rădăcinile lui g sunt

în fG . Fie µ una din rădăcinile lui g.

46

Page 192: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Mulţimea:

{ }2 10 1 2 1... ;m

g m iG v Z−−= = α + α μ + α μ + + α μ α ∈ p

este un subcorp al lui fG , având mp elemente. Rezultă atunci că m divide n.

CONSECINŢĂ Orice corp având elemente este izomorf cu nq p= fG .

DEMONSTRAŢIE Într-adevăr, corpul F este constituit din rădăcinile polinomului , printre

care se află şi rădăcinile lui f, deoarece este divizibil cu f. Evident, corpul F, de caracteristică p, conţine un corp izomorf cu

nPnP

pZ , pe care-l identificăm cu pZ . Fie θ una din rădăcinile lui f. Submulţimea

{ }2 10 1 2 1... ;n

f n iG u Z−−= = α + α θ + α θ + + α θ α ∈ p

F

a lui F este un subcorp, având tot elemente ca şi F, deci . QED. nq p= fG =

Deoarece nu există două corpuri neizomorfe având acelaşi număr de elemente, identificăm un corp finit prin precizarea numărului q al elementelor sale, adică obişnuim să notăm un corp finit în care , iar n este un număr natural nenul şi p un număr prim.

nq p=

qF nq p=

5.5 Formula de recurenţă pentru calcularea numărului de polinoame ireductibile cu coeficienţi în Zp

Notăm numărul polinoamelor ireductibile de gradul n având coeficienţii în corpul

nNpZ .

Corpul are elemente care sunt rădăcinile polinomului

. Acesta, la rândul său, este produsul tuturor polinoamelor ireductibile de gradul d în care d parcurge mulţimea divizorilor lui n.

qF

x−

nq p=

( )np

nP x x=

Pentru un divizor d, produsul polinoamelor ireductibile de gradul d are gradul . Aşadar, dd N⋅ n

dd n

p d N= ⋅∑ . Se obţine deci următoarea formulă de

recurenţă:

,

1 nn d

d n d n

N p d Nn <

⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ .

47

Page 193: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

48

În particular, dacă n este un număr prim, atunci singurul divizor al lui n strict mai mic decât n este , iar numărul polinoamelor ireductibile cu coeficienţii în

1d =pZ de gradul unu este p. Deci:

n

np pN

n−= .

Page 194: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

CAPITOLUL 6

RĂDĂCINA PĂTRATĂ ÎNTR-UN INEL DE CLASE DE RESTURI

Se obişnuieşte ca rezolvarea ecuaţiei 2x a= să se descompună în două probleme distincte:

1) stabilirea faptului dacă are sau nu soluţii; 2) găsirea soluţiilor în cazul când ştim că acestea există. Dacă n = p este un număr prim atunci, aşa cum vom arăta, dispunem de

algoritme polinomiale pentru problema rezolvării ambelor probleme. Aceste algoritme se pot aplica şi în cazul corpurilor finite, precum şi inelelor claselor de resturi pentru care grupul unităţilor este ciclic.

În schimb, chiar şi pentru un număr de forma n = pq (ştiind că este de această formă dar fără a se cunoaşte numerele prime p şi q) nu se cunosc algoritme polinomiale pentru nici una din cele două probleme. Mai mult, problema a doua este echivalentă, polinomial, cu aflarea factorilor primi p şi q.

În continuare ne vom ocupa de rezolvarea celor două probleme pentru cazul când n = p este un număr prim.

6.1 Simbolul lui Lagrange

6.1.1 Definiţii, proprietăţi Fie p un număr prim impar (p ≠ 2) şi n un număr întreg oarecare. Simbolul

lui Lagrange se notează np

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

şi ia următoarele valori:

– zero, dacă n este un multiplu al lui p; – unu, dacă n nu este multiplu al lui p şi ecuaţia 2 (mod. )x n= p are

soluţii; – minus unu, dacă n nu este multiplu al lui p şi ecuaţia 2 (mod. )x n p= nu

are soluţii. O serie de proprietăţi ale simbolului lui Lagrange conduc la elaborarea

unui algoritm polinomial pentru a stabili dacă ecuaţia 2 (mod. )x n= p are sau nu soluţii. În cazul că ecuaţia are soluţii se mai spune că n este un pătrat modulo p.

49

Page 195: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Să observăm mai întâi că simbolul lui Lagrange, np

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, nu depinde decât

de clasa modulo p a lui n. Mai precis, dacă , atunci (mod. )m n p= m np p

⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠.

PROPOZIŢIE 1

2 (mod. )pn n p

p

−⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠.

DEMONSTRAŢIE

Remarcăm mai întâi că exponentul 12

p − este un număr întreg, deoarece

numărul prim p este impar (prin definiţia simbolului lui Lagrange se exclude cazul numărului prim p = 2).

Dacă n este un multiplu al lui p atunci, evident, 1

2p

n−

este şi el multiplu de p, deci membrul drept este egal cu zero. Membrul stâng este, în acest caz, prin definiţie egal cu zero.

Dacă n nu este multiplu de p să ţinem seamă că grupul *pZ este ciclic şi

fie g un generator al acestui grup. Notăm tot g numărul cuprins între zero şi 1p − care reprezintă clasa g.

Din definiţia generatorului rezultă că există un număr 1 ≤ k ≤ p – 1 astfel încât . (mod. )kn g p=

Dacă numărul k este par, k = 2h, atunci ecuaţia 2 2 (mod. )hx n g p= = are o

soluţie, şi anume: hx g= şi deci 1np

⎛ ⎞=

⎝ ⎠⎜ ⎟ . Pe de altă parte,

112 ( ) 1(mod. )p

ph pn g

−−= = din teorema lui Fermat. Deci se verifică relaţia din

enunţ în acest caz. Dacă numărul este impar, atunci ecuaţia 2 1k h= + 2 (mod. )x n= p nu

poate avea soluţie pentru că dacă rx g= ar fi o astfel de soluţie, atunci 2 2 2 1(modr h . )x g g += = p , de unde ar rezulta că 1p − divide diferenţa

. Dar acest lucru nu este posibil deoarece numerele 2 (2 1)r h− − 1p − şi 2r sunt

pare, iar este impar. Deci 2 1h − 1= −np⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟ .

50

Page 196: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Pe de altă parte, 1 1 1 1(2 1) ( 1)2 2 2 2 1(mod. )

p p p ph h pn g g g g− − − −+ −= = = = − p .

Ultima egalitate se bazează pe faptul că ecuaţia 2 1x = în corpul pZ are numai

soluţiile 1x = şi 1x = − , iar 1

2 1(mod. )p

g p−

≠ , deoarece ( 1) / 2p − este strict mai mic decât 1p − . QED

CONSECINŢĂ

Oricare ar fi numerele întrege m şi n avem: m n m mp p p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Într-adevăr, 1 1 1

2 2 2( ) (mod.p p pm n m nm n m n p

p p

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)p

.

6.1.2 Simbolul lui Lagrange pentru n=2 Prin teorema anterioară se reduce calculul simbolului lui Lagrange al unui

număr n presupus foarte mare la simbolurile Lagrange ale factorilor lui n care sunt mai mici.

Primul pas în aplicarea acestui principiu este să considerăm descompunerea 2sn = t , în care t este un număr impar şi să reducem problema calculului simbolului lui Lagrange la cazul când n = t este un număr impar. Pentru aceasta trebuie ştiut simbolul lui Lagrange al lui n = 2.

TEOREMĂ 2 182 ( 1)

P

p

−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

DEMONSTRAŢIE Grupul al unităţilor corpului este ciclic şi are ordinul

care este divizibil cu 8, deoarece este produsul a două numere pare consecutive (deoarece p este impar). Înseamnă că grupul ciclic

conţine un singur subgrup ciclic de ordinul 8. Fie ω un generator al acestui subgrup. Avem: , dar .

2*p

F

1)( +

8ω =

2pF

2 1 ( 1)p p p− = −

1

2*p

F

4 1ω = −Pe de altă parte, notăm:

2 2

7

18 0

0; dacă este par: {0,1, 1}; ( ) ; ( )

( 1) ; dacă este impar

jn p

j

nf Z f n G f j

n−

=

⎧⎪→ − = = ω ∈⎨⎪ −⎩

∑ F .

51

Page 197: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Observăm că ( )f j depinde numai de clasa modulo 8 a lui j şi la fel şi . Prin urmare, indicele de sumare din expresia lui G parcurge de fapt mulţimea celor 8 clase de congruenţă modulo 8.

Putem explicita suma G:

( ) (3 5 7 3 3(1) (3) (5) (7) ( ) 2G f f f f= ω + ω + ω + ω = ω − ω − −ω + −ω = ω − ω )3

8

,

de unde rezultă: , deoarece şi .

( ) ( )22 3 2 4 62 4 2G ⎡ ⎤= ω − ω = ω − ω + ω =⎣ ⎦2ω

4 1ω = −6 4 2ω = ω ω = −

Ca urmare,

( )1 1 11

2 12 2 22 28 2 2 2p p pp

p pG G G G G Gp

− − −−− ⎛ ⎞

= = = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

G ,

unde am ţinut seamă că are caracteristica p şi deci , iar 2pF 12 1p− =

12 22

p

p

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

în . 2pF

Observăm că pentru orice număr natural impar j avem: 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

1 1 1 18 8 8 8

( 1) ( 1) ( 1)8 8 8

( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1) ( 1) ( ).

p p j p j p

pp j j j

f p f pj

f j

− − − −−

− − −

⋅ = − − = − =

⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

Egalitatea ( ) ( ) ( )f p f pj f j⋅ = este evident adevărată şi când j este un număr par.

Folosind iarăşi faptul că are caracteristica p şi că [ (2pF )] ( );pf j f j= ∀j

pj =

,

obţinem:

7 7 7

0 0 0

7

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,

p

p j pj

j j j

pj

j

G f j f j f p f pj

f p f pj f p G

= = =

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= ω = ω = ω⎢ ⎥⎣ ⎦

= ω = ⋅

∑ ∑ ∑

unde am ţinut seamă că atunci când j parcurge cele opt clase modulo opt, la fel face şi pj, deoarece p este prim cu modulul 8.

52

Page 198: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Comparând cele două expresii ale lui , obţinem: pG2 122 ( ) ( 1)

p

f pp

−⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠. QED

CONSECINŢĂ Numărul 2 este un pătrat modulo p dacă şi numai dacă 1(mod.8)p = ± .

Într-adevăr, dacă 8 3p k= ± , atunci: 22 64 24 9 1

8 1k k± + −

= −1

22 ( 1) ( 1)p

p

−⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠, iar

dacă 8 1p k= ± , atunci: 22 64 116 1 11

822 ( 1) ( 1) 1k kp

p

± + −−⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Deoarece, după teorema lui Dirichlét, numerele prime sunt egal repartizate în clasele modulo n (prime cu n), rezultă că pentru un număr prim p luat la întâmplare, sunt şanse egale ca 2 să fie sau să nu fie un pătrat modulo p.

O altă consecinţă a teoremei este: 1

2 1; 4 11 ( 1)1; 4 1

p p kp kp

− = +⎧⎛ ⎞− = − = ⎨⎜ ⎟ − = −⎝ ⎠ ⎩

adică –1 este un pătrat modulo p dacă şi numai dacă 1(mod.4)p = . Invocând iarăşi teorema lui Dirichlét, rezultă că luând la întâmplare un număr prim p sunt şanse egale ca ecuaţia 2 1 0x + =

2 1 să aibă sau să nu aibă soluţii modulo p,

respectiv ca polinomul x + să fie sau să nu fie reductibil. Ţinând seamă de rezultatul anterior privind simbolul lui Lagrange al lui 2,

obţinem următoarea schemă care caracterizează cele patru clase impare modulo 8:

p 2p

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1p

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

8k + 1 1 1 8k – 1 1 –1 8k – 3 –1 1 8k + 3 –1 –1

6.1.3 Corpuri gaussiene În continuare să considerăm cazul 4 1p k= − , adică acela în care ecuaţia

2 1 0x + = nu are soluţii în pZ . Printre acestea se află: 3, 7, 11, 19, 23, 31,…

53

Page 199: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Deoarece polinomul nu are rădăcini în 2 1f x= + pZ înseamnă că acest polinom este ireductibil şi corpul se poate realiza ca fiind corpul claselor de

polinoame cu coeficienţi în 2p

F

pZ modulo f :

{ }22; , , 1f pp

F G u Z= = = α + βθ α β∈ θ = − .

Este normal ca în loc de θ să scriem i, aşa cum se notează simbolul imaginar din corpul numerelor complexe.

Deci:

{ }22i; , , i 1 i [i]p p pp

F u Z Z Z Z= = α + β ⋅ α β∈ = − = + ⋅ = p ,

adică se reprezintă la fel ca inelul întregilor lui Gauss: 2pF [i] iZ Z Z C= + ⋅ ⊂

cu deosebirea că în loc de Z se ia pZ în care p este de forma . 4 1k −Este vorba aici nu numai de o asemănare formală a lui

, dar primul se obţine din al doilea în felul următor: grupul

pZ este subgrup al lui 2 [i] cu [i]pp

F Z Z=

[i]Z , iar grupul factor este izomorf cu 2[i] p pZ F= .

Realizarea corpului ca 2pF fG diferă de acesta prin inversarea ordinii

operaţiilor (de adjuncţionare a lui i şi de factorizare), adică fG se obţine factorizând mai întâi grupul Z prin subgrupul pZ iar apoi, grupului factor obţinut, având şi structură de corp, i se adjuncţionează rădăcina i a polinomului ireductibil . 2 1f x= +

Schema celor două căi este deci următoarea:

i [i]

i[i] i i [i].

p f p p p

p p p

Zp Z Z Z G Z Z Zp Z

Z Zp Z Z Z Z Z Z Z Zp Z

⋅ ⊂ → = → = + ⋅ =⋅

+ ⋅⋅ ⊂ → = + ⋅ → = + ⋅ =⋅

6.1.4 Teorema reciprocităţii

Teoremele anterioare reduc calculul lui np

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

la cazul când n este un

număr natural impar mai mic decât p. Mai departe, dacă 1 21 2 ... sr r r

sn q q q= este descompunerea lui n în factori primi (impari) atunci, deoarece

1 21 2 ...

sr rsqn q q

r

p p p p⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, problema calculului lui np

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

se reduce la calcul

54

Page 200: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

simbolurilor de forma qp

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, în care q este factor prim impar mai mic decât p.

Este avantajos dacă se schimbă p cu q, deoarece atunci numărul p se poate înlocui cu restul împărţirii sale la q. Această posibilitate este afirmată de teorema care urmează.

TEOREMĂ ( 1)( 1)

4( 1)p qq p

p q

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

DEMONSTRAŢIE Potrivit teoremei, cele două simboluri sunt egale cu excepţia cazului când

numerele p şi q sunt amândouă de forma . 4 1k −Fie m un număr natural nenul astfel încât 1(mod. )mp q=

1m q= −. De exemplu,

având în vedere teorema lui Fermat, se poate lua . Deoarece q este un divizor al lui , care este ordinul grupului ciclic

, rezultă că acest grup conţine un subgrup bine determinat de ordinul q. Fie

un generator al acestui grup, adică

1mp −*

mpF

Fξ∈ *mp

2 3, , ,..., 1qξ ξ ξ ξ = sunt rădăcinile

ecuaţiei 1 0qx − = . Notăm:

1

0m

qj

pj

jG Fq

=

⎛ ⎞= ξ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ .

Vom demonstra egalitatea: 1

2 2( 1)q

G q−

= − . Remarcăm mai întâi că în expresia lui G fiecare termen rămâne

neschimbat dacă j se înlocuieşte cu un număr congruent cu j modulo q. Pe de altă parte, dacă în suma G indicele j se înlocuieşte cu jk în care k

este un număr prim cu q, atunci se va schimba numai ordinea termenilor în G şi nu suma G însăşi. Transformarea este o bijecţie a lui j j→ k qZ dacă numărul k nu reprezintă clasa nulă a lui pZ . În particular, luând , obţinem: 1= −k

1

0

qj

j

jGq

−−

=

⎛ ⎞−= ξ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ .

Să mai remarcăm faptul că termenul lui G corespunzător lui 0j = este nul.

55

Page 201: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Deci: 1 1 1 1

2

1 1 1 1

1 1 2(1 ) (1 )

1 1 1

1

q q q qj k j jk

j k j k

q qj jk j k

j k j

j k j jkG GGq q q q

j jk j k kq q q q q

− − − −− −

= = = =

− −− −

= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥= = ξ ⋅ ξ = ξ ξ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −= ξ ξ = ξ = ξ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑1 1 1 1

1 1 1

,q q q q

j k k

− − − −

= = =∑∑ ∑ ∑ j k−

unde am ţinut seamă că simbolul lui 2j este egal cu unu. Reintroducerea în sumă a valorii nu are nici un efect, deoarece

Indicele lui Lagrange al lui zero este nul. Pe de altă parte, pentru 0k =

0j = suma

devine: 1 1

0 1

1 1 0q⎞q q

j j

k k

k kq q q

− −

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− − ξ =⎟⎠

∑ξ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

∑ , deoarece jumătate din cele

clase nenule modulo q sunt pătrate şi jumătate nu sunt. Deci:

1q −

1 12 (

0 0

1 q qj k

k j

kGq q

− −−

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= ξ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ 1 ) .

Pentru suma devine: 1k ≠ 2G1

2 (

0

1 qj k

j

kGq q

−−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞−= ξ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ 1 ) , unde

exponentul (1 )j k− va parcurge toate cele q clase modulo q, atunci când j parcurge valorile 0, 1, 2,…, q – 1. Deci, sub semnul sumă se va obţine suma tuturor celor q rădăcini ale polinomului 1qx − , care, după prima formulă a lui Viète, este nulă. Deci:

112 0 2

0

1 1 ( 1)qq

j

j

G qq q

−−⋅

=

⎛ ⎞⎛ ⎞−= ξ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ .

De aici rezultă, pe de o parte:

( )1

1 ( 1)( 1)1 22 2 42 ( 1) ( 1)

pq p qp

p qG G G q Gp

−− − −− ⎡ ⎤ ⎛ ⎞

= = − = −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

G ,

iar pe de altă parte: 1 1 12

0 0 0

q q qp pj pj pj

j j j

j p j p pjG Gq q q q

− − −

= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ξ = ξ = ξ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ p

q.

Din cele două evaluări ale lui Gp rezultă egalitatea din enunţ. QED.

56

Page 202: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

6.2 Problema existenţei rădăcinii pătrate modulo n Aşa cum am menţionat această problemă înseamnă a stabili dacă pentru

un număr întreg a dat, ecuaţia 2 (mod. )x a= n are sau nu are soluţii. Dacă n = p este un număr prim, atunci simbolul lui Lagrange şi egalitatea

12 (mod. )

na ap

−⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠n oferă un algoritm polinomial pentru rezolvarea acestei

probleme. Teorema reciprocităţii aduce, în plus, simplificări substanţiale ale calculării simbolului lui Lagrange.

Dacă n nu este prim, atunci dispunem, aşa cum vom vedea în continuare, numai de un test polinomial care rezolvă numai cu o anumită probabilitate problema.

6.2.1 Simbolul lui Iacobi Pentru orice număr întreg a şi un număr natural impar se

defineşte:

1 21 2 ... rk k k

rn p p p=1 2

1 2...

rk k

r

a a a an p p p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k

numit simbolul lui Iacobi.

PROPRIETĂŢI 1. Simbolul lui Iacobi se exprimă în funcţie de simbolurile lui Lagrange. Fireşte, în cazul când n = p este un număr prim, atunci simbolul lui Iacobi coincide cu simbolul lui Lagrange.

2. Simbolul lui Iacobi depinde numai de clasa modulo n a lui a, deoarece

(mod. ) (mod. ) ; 1,2,...,ii i

b a bb a n b a p i r ap p n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n

.

3. Egalitatea ab a bn n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ n

⎞⎟⎠

rezultă imediat din definiţie şi din

proprietăţile simbolului lui Lagrange.

4. Dacă numărul a are un factor comun cu n atunci 0an

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Urmează alte proprietăţi ale simbolului lui Iacobi a căror demonstraţie nu este imediată.

PROPOZIŢIE 2 182 ( 1)

n

n

−⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

57

Page 203: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

DEMONSTRAŢIE Să observăm mai întâi că membrul drept depinde numai de clasa modulo

8 a numărului impar n. Într-adevăr, dacă , atunci: 8m k= + n

2 2

2 2 2

1 122 8 8

1 (8 ) 1 64 16 18 8 8

12(4 ) ( 1) ( 1) .8

m n

m k n k kn n

nk kn− −

− + − + + −= =

−= + + ⇒ − = −

2=

Clasele modulo 8 ale numerelor impare sunt în număr de patru, şi anume: reprezentate de numerele ±1şi ±3.

Produsul a două numere aflate în clasele ±1 este tot într-una din aceste două clase. În schimb, produsul a două numere aflate în clasele ±3 nu se află în nici una din aceste clase, ci se află într-una din clasele ±1. În sfârşit, produsul a două numere, unul aflat într-una din clasele ±1, iar celălalt într-una din clasele ±3 se află într-una din clasele ±3.

Membrul drept din egalitatea de demonstrat, 2 18( 1)

n −

− , este ±1, după cum clasa lui n modulo 8 este una dintre ±1 sau una dintre ±3. Pe de altă parte, dacă

în care numerele prime impare nu sunt neapărat distincte, atunci clasa modulo 8 a lui n este produsul claselor modulo 8 ale celor r factori. Ca

urmare,

1 2... rn p p p=

2 18( 1)

n

− 1−

= ± după cum numărul factorilor ip aflaţi într-una din clasele ±3 este par sau impar.

Din egalitatea 1 2

2 2 2 2...rn p p p

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

, în care 2 1ip

⎛ ⎞= ±⎜ ⎟

⎝ ⎠ după cum

clasa modulo 8 a lui ip este una din clasele ±3, rezultă că 2 1n

⎛ ⎞ = ±⎜ ⎟⎝ ⎠

după cum

numărul factorilor ip aflaţi într-una din clasele ±3 este par sau impar. Deci, 2 182 ( 1)

n

n

−⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

. QED

Această propoziţie reduce calculul simbolului lui Iacobi mn

⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ la cazul

când numărul m este, ca şi n, un număr impar. Vom arăta că în acest caz numerele a şi n pot să-şi schimbe locul.

PROPOZIŢIE

Dacă m şi n sunt numere impare, atunci: ( 1)( 1)

4( 1)m nm n

n m

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

58

Page 204: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

DEMONSTRAŢIE

Membrul drept din relaţia de demonstrat este nm

⎛⎜⎝ ⎠

m⎞⎟ după cum numerele

m şi n sunt amândouă în clasa lui –1 modulo 4 sau nu. Fie 1 2 1 2... ; ...s rm q q q n p p p= = descompunerile în factori primi nu

neapărat distincţi ale numerelor impare m şi n. Avem: ,

t

ji j

qmn p

⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏ ⎟⎟ , în care i

ia valorile 1, 2,…, s, iar j ia valorile 1, 2,… r. Una din proprietăţile simbolului lui Lagrange se exprimă prin relaţia:

( 1)( 1)4( 1)

i jq pji

j i

pqp q

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎟ , care înseamnă că ji

j i

pqp q

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠m ⎟ după cum

numerele impare şi iq jp sunt amândouă în clasa lui –1 modulo 4 sau nu.

Rezultă că mn m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n

) după cum numărul perechilor de numere prime

aflate ambele în clasa lui –1 modulo 4 este par sau impar. ( ,i jq pNumărul acestor perechi este produsul dintre numărul factorilor lui m

congruenţi cu –1 modulo 4 şi numărul factorilor lui n congruenţi cu –1 modulo 4. Evident că acest produs este impar dacă şi numai dacă ambii factori sunt impari, adică dacă şi numai dacă atât numărul factorilor lui m congruenţi cu –1 modulo 4, cât şi numărul factorilor lui n congruenţi cu –1 modulo 4 sunt numere impare.

Dar deoarece clasa lui m modulo 4 este produsul claselor factorilor săi înseamnă că m se află în clasa lui –1 modulo 4 dacă şi numai dacă numărul factorilor lui m congruenţi cu –1 modulo 4 este impar. La fel şi pentru n. Deci,

mn m

⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mn ⎞⎟ după cum numerele m şi n sunt amândouă congruente cu

–1 modulo 4 sau nu. QED.

OBSERVAŢII 1. Aceste două propoziţii conduc la un algoritm polinomial de calculare a

simbolului lui Iacobi, care poate fi folosit şi pentru calculul simbolului lui Lagrange. Pentru calculul simbolului lui Lagrange dispunem de formula

12 (mod. )

pm mp

−⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠p , care oferă tot un algoritm polinomial, dar volumul de

calcul este mult mai mare.

59

Page 205: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

2. Dacă m este un pătrat modulo n, unde n este un număr natural impar,

atunci, evident, 1mn

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, deoarece 2m m m

n n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

. Reciproca nu este

adevărată. Aşadar, dacă 1mn

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

, atunci putem spune cu certitudine că m nu

este un pătrat modulo n. Dar dacă 1mn

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, atunci nu putem trage nici o

concluzie. Dacă de exemplu, este produsul a două numere prime impare atunci, pe de o parte, m este pătrat modulo n dacă şi numai dacă m este atât

pătrat modulo p, cât şi pătrat modulo q. Pe de altă parte,

n pq=

1m mn p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mq

adică 1mn

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

atât atunci când m este pătrat, atât modulo p cât şi modulo q (deci

când este şi pătrat modulo n), cât şi atunci când nu este pătrat nici modulo p şi nici modulo q (şi deci nici modulo n).

Evident că dacă se cunosc numerele prime p şi q putem afla, prin

calcularea simbolurilor lui Lagrange ,m mp q

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎟ dacă m este sau nu un pătrat

modulo n. Dar nu s-a elaborat până în prezent un algoritm polinomial prin care

să se stabilească dacă m este sau nu un pătrat modulo n ştiind că 1mn

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Se

crede că această problemă este polinomial echivalentă cu problema descompunerii lui n în factori primi, pentru care nu s-a elaborat încă un algoritm polinomial.

6.3 Algoritmul de rezolvare a ecuaţiei x2=a(mod.p) Prin calcularea simbolului lui Lagrange se presupune că s-a găsit că a este

un pătrat modulo p şi ne propunem să-i găsim rădăcinile. Fireşte, dacă x = r este una din rădăcini, atunci cealaltă este x = – r.

Fie s şi t numerele naturale care satisfac egalitatea 1 2sp t− = , în care t este un număr impar. Deci s este cel mai mare exponent al lui 2 care divide

1p − . Evident, s ≥ 1, deoarece p este un număr impar. Notăm 1

2 (mod. )t

r a p+

= . Considerăm cunoscut un număr natural n care nu este pătrat modulo p,

adică 1

2 1(mod. )p

n p−

= − şi notăm . Rezultă şi: (mod. )tb n n=12 1(mod. )

sb p

−= −

( ) ( )1 1 12 21 2 1 1 2 1(mod. )

s s pta r a a a p

− − −− − += = = .

60

Page 206: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

61

Construim şirul de numere naturale 1 2, ,..., sr r r astfel că pentru fiecare

să avem: . Va rezulta atunci, pentru s = i că

, adică .

1,2,...,i =1 2 1(msa r− =

s

r

( )21 2 1(mod. )s i

ia r p−

− =2 (mod. )sr a p=od. )p

Pentru i = 1 se ia care îndeplineşte condiţia ( ) . 1r =121 2

1 1(mod. )s

a r p−

− =Presupunem că pentru un indice avem numărul natural care

îndeplineşte condiţia: ( ) .

i s<

)p

ir21 2 1(mod.

s i

ia r−

− =

Rezultă , în care se ia zero sau unu.

Fie . Avem:

( )121 2 1 ( 1) (mod. )

s ii

ia r p− −

ε− = ± = −1

iε2

1i

i ir rb−

+ =

( ) ( ) ( )1( 1) 1 122 22 21 2 1 2 1 2

1 ( 1) ( 1) 1(mod. )s is i s ii s

i i i ii i ia r a r b a r b p

− −− + − − −ε ε ε ε− − −+ = = = − − = .

QED.

OBSERVAŢIE Toate operaţiile algoritmului sunt polinomiale cu excepţia găsirii

numărului n care să nu fie un pătrat modulo p. Singura metodă cunoscută de a găsi un astfel de număr este să se ia un număr la întâmplare şi să se testeze dacă este sau nu un pătrat modulo p prin calcularea simbolului lui Lagrange. Şansa ca un număr ales la întâmplare să nu fie pătrat modulo p, este ½, astfel că repetarea alegerii lui n se consideră o cale acceptabilă de a găsi unul care să nu fie pătrat modulo p. Dar nu există un algoritm polinomial determinist de găsire a unui număr care să nu fie pătrat modulo p.

Page 207: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

MODULUL 7

GRUPURI, INELE, CORPURI; DEFINITII, EXEMPLE

7.1. Definiţii, notaţii 7.2. Inelul claselor de resturi modulo n 7. 3. Subgrupuri, grupuri ciclice, teorema lui Lagrange 7. 4. Produsul direct de grupuri şi produsul direct de inele 7. 5. Teorema chineză 7. 6. Caracteristica lui Euler 7. 7.Teoremele Fermat, Euler, Wilson

7.1 Definiţii, notaţii DEFINIŢIE Se numeşte grup o mulţime G în care este definită o operaţie internă:

,x y G x y G∀ ∈ ⇒ ∈o

având următoarele proprietăţi: 1) asociativitatea: ( ) ( );2) element neutru: ; ;3) element simetric: , ; .

x y z x y ze G x G e x x e xx G x' G x x x x e

=∃ ∈ ∀ ∈ ⇒ = =

′ ′∀ ∈ ∃ ∈ = =

o o o o

o o

o o

Dacă, în plus, operaţia are proprietatea de comutativitate, adică: ,x y G x y y x∀ ∈ ⇒ =o o ,

atunci grupul se numeşte grup comutativ. OBSERVAŢII

I. Spre deosebire de modul standard în care este prezentată definiţia de mai sus (considerată bine cunoscută), în general, pentru simplitate, se renunţă la precizarea apartenenţei elementelor, de exemplu: ,x y G∈ , atunci când aceasta este de la sine înţeleasă din context. În plus, se foloseşte, de regulă, numai cuantificatorul existenţial , iar când nu apare nici un cuantificator se subînţelege cuantificatorul universal ( .

( )∃)∀

1

Page 208: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

II. Când este vorba de un grup abstract (adică în care nu se precizează natura elementelor) operaţia se notează cu diferite simboluri, cum ar fi: etc. În grupuri concrete se folosesc de regulă două notaţii:

, ,∗ •o

- notaţia aditivă, cu semnul +. În acest caz, grupul se mai numeşte grup aditiv. Elementul neutru se notează atunci cu 0 , numindu-se elementul nul, iar simetricul unui lui x se numeşte opusul lui x şi se notează –x. Ca exemple menţionăm: (Z,+); (Q,+); (R,+); (C,+);

sau θ

- notaţia multiplicativă în care se foloseşte punctul ca semn al operării sau lipsa oricărui semn. În acest caz grupul se mai numeşte grup multiplicativ. Elementul neutru se notează de regulă cu 1 şi se numeşte elementul unitate al grupului, iar simetricul lui x se mai numeşte inversul lui x şi se notează 1x− . Exemple de astfel de grupuri sunt: (Q*,·); (R*,·); (C*,·) în care semnul stea înseamnă că din mulţimea respectivă s-a exclus elementul nul.

De regulă, în ambele cazuri grupul este comutativ, cum este în toate exemplele menţionate. III. Dacă grupul G este finit, adică are un număr finit de elemente, atunci numărul elementelor sale se notează G sau ord(G) şi se numeşte ordinul grupului G.

DEFINIŢIE Se numeşte inel o mulţime A cu două operaţii interne, una notată aditiv,

iar cealaltă notată multiplicativ, astfel încât: - (A,+) este grup abelian; - operaţia de înmulţire este asociativă; - operaţia de înmulţire are element neutru, notat 1; - înmulţirea este distributivă faţă de adunare, adică:

( ) ; ( ) ; , ,x y z xy xz x y z xz yz x y z A+ = + + = + ∀ ∈ .

OBSERVAŢII I. Dacă înmulţirea structurii de inel este comutativă, atunci inelul A se numeşte inel comutativ. De exemplu, ( , , ); ( , , ); ( , , ); ( , , )Z Q R C+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ sunt toate inele comutative. Mulţimea matricelor pătratice de ordinul n, formate cu numere reale, notată ( )nM R , cu operaţiile cunoscute, de adunare şi de înmulţire a matricelor, formează un inel care nu este comutativ. II. Din definiţia inelului rezultă că faţă de adunare fiecare element x al inelului are un simetric numit, aşa cum am menţionat, opusul lui x, care se notează –x. Faţă de operaţia de înmulţire nu toate elementele inelului au simetric (numit invers). Se poate deduce cu uşurinţă că elementul nul al inelului nu are invers. De aici rezultă că într-un inel unele elemente sunt inversabile, iar altele nu. Elementele inversabile ale unui inel se numesc unităţile inelului. Este uşor de demonstrat că mulţimea unităţilor unui inel A, mulţime notată A* este grup faţă de operaţia de înmulţire a inelului, numit grupul unităţilor inelului.

2

Page 209: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

De exemplu, în inelul numerelor întregi, grupul unităţilor este format numai din două elemente: ±1. În inelele ( grupul unităţilor se obţine eliminând elementul nul. În inelul necomutativ grupul

, , ); ( , , ); ( , , )Q R C+ ⋅ + ⋅ + ⋅n( ( ) ,M R + ⋅)

( )*nM R al unităţilor este constituit din mulţimea matricelor care au determinantul nenul. III. În cazul când grupul unităţilor inelului A este format din toate elementele nenule ale inelului, atunci inelul se numeşte corp. De exemplu, inelele sunt corpuri, iar inelele Z şi ( , , ); ( , , ); ( , , )Q R C+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ( )nM R nu sunt corpuri.

7.2 Inelul claselor de resturi modulo n

7.2.1 Congruenţa modulo n Pentru fiecare număr întreg x notăm x mulţimea tuturor numerelor întregi care dau acelaşi rest la împărţirea cu numărul natural nenul n. Această mulţime se numeşte clasa de congruenţă modulo n a lui x. Evident că oricare două astfel de clase sunt disjuncte, adică n-au nici un element în comun. Pe de altă parte, reuniunea tuturor claselor de congruenţă modulo n este egală cu întreaga mulţime Z a numerelor întregi. Cu alte cuvinte, mulţimea Z este împărţită în n clase de congruenţă, corespunzătoare celor n resturi care se pot obţine la împărţirea cu numărul natural n. Notăm nZ mulţimea care are ca elemente aceste clase. Mulţimea nZ are deci n elemente.

EXEMPLE I. Pentru 2n = , mulţimea Z se împarte în două clase: clasa numerelor pare (care dau restul zero la împărţirea cu 2) şi clasa numerelor impare (care dau restul unu la împărţirea cu 2). II. Pentru toate numerele întregi sunt congruente, deci ele se constituie într-o singură clasă.

1n =

Două numere întregi, x şi y, care se află în aceeaşi clasă de congruenţă modulo n se spune că sunt congruente modulo n. Această relaţie se exprimă în felul următor: (mod. )x y= n . Se poate deduce cu uşurinţă că:

(mod. ) ( )x y n n x= ⇔ y− . (2.1)

OBSERVAŢIE Relaţia de congruenţă exprimată sub forma (2.1) are sens şi pentru . De remarcat că relaţia de congruenţă modulo zero este relaţia de egalitate, deoarece numărul zero îl divide numai pe zero. Două numere întregi sunt congruente modulo zero dacă şi numai dacă ele sunt egale.

0n =

3

Page 210: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

În cazul 1n = toate numerele întregi sunt congruente, deoarece numărul unu divide orice număr întreg. La antipod se află cazul în care nu există două numere congruente distincte, deoarece singurul număr care este divizibil cu zero este zero însuşi.

0n =

Orice element al unei clase este numit reprezentant al clasei respective sau că reprezintă acea clasă. De exemplu, pentru , orice număr par reprezintă clasa numerelor pare, în timp ce orice număr impar reprezintă clasa numerelor impare.

2n =

În general se preferă să facem o alegere a câte unui reprezentant din fiecare clasă. O astfel de alegere defineşte ceea ce numim un sistem complet de resturi modulo n. Cea mai des folosită modalitate de alegere este să se ia ca reprezentant al unei clase, restul pe care-l dau toate numerele acelei clase la împărţirea cu numărul natural n. Deoarece acest rest poate fi orice număr cuprins între zero şi n – 1, înseamnă că un sistem complet de resturi este mulţimea constituită de numerele: 0, 1, 2,…, n – 1. Cu această alegere mulţimea nZ se poate reprezenta astfel:

{ }0,1,..., 1nZ n= − .

Elementele lui nZ se pot identifica astfel:

{ };k x qn k q Z= = + ∈ .

Uneori se preferă ca să se ia n ca reprezentant al clasei multiplilor lui n, adică al clasei numerelor care dau restul zero la împărţirea cu n, caz în care mulţimea nZ se poate reprezenta astfel:

{ }1, 2,...,nZ n= .

Sistemul complet de resturi este atunci mulţimea formată din numerele: 1, 2,…, n.

7.2.2 Adunarea şi înmulţirea claselor de congruenţă modulo n Clasele se pot aduna după următoarea regulă:

x y x y+ = + .

Să observăm că adunarea claselor, deşi se efectuează cu ajutorul unor reprezentanţi ai celor două clase, clasa care se obţine ca rezultat nu depinde de reprezentanţii aleşi în cele două clase. Într-adevăr,

(mod. ) şi (mod. ) ( ) şi ( ) ( )

[( ) ( )] (mod. ) .

x x n y y n n x x n y y n x x y y

n x y x y x y x y n x y x y

′ ′ ′ ′ ′ ′= = ⇔ − − ⇒ − + − ⇔

′ ′ ′ ′ ′ ′⇔ + − + ⇔ + = + ⇔ + = +

La fel se efectuează operaţia de înmulţire a claselor:

xy xy= .

4

Page 211: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Este uşor de verificat că aceste două operaţii definite pe mulţimea nZ îndeplinesc condiţiile prevăzute în definiţia inelului comutativ.

TEOREMĂ Grupul *

nZ al unităţilor inelului nZ este constituit din clasele reprezentate de numere prime cu n.

DEMONSTRAŢIE Observăm mai întâi că dacă un reprezentant x al unei clase modulo n este prim cu n, adică (x,n) = 1, atunci toate numerele din acea clasă sunt prime cu n. Într-adevăr, dacă y se află în aceeaşi clasă cu x, atunci diferenţa este divizibilă cu n. Dacă y nu ar fi prim cu n, atunci ar avea un factor comun propriu, să zicem d, cu n. Numărul d va divide atunci şi pe x, adică x şi n ar avea un factor comun propriu şi deci x nu ar mai fi prim cu n.

y x−

Dacă x este prim cu n, adică (x,n) = 1, atunci o proprietate a celui mai mare divizor comun ne asigură că există două numere întregi u şi v astfel că: 1 = (x,n) = ux + vn, deci:

1 ux vn ux vn ux= + = + = v , adică x reprezintă o clasă inversabilă. Reciproc, dacă x reprezintă o clasă inversabilă, atunci există un număr întreg u astfel încât produsul ux este congruent cu 1, adică n divide diferenţa ux – 1. Dacă x ar avea un divizor propriu d comun cu n, atunci acesta ar divide atât pe x, cât şi diferenţa ux – 1 (care este multiplu al lui n) şi deci divide şi pe 1, ceea ce contrazice definiţia divizorului propriu.

7.3 Subgrupuri, grupuri ciclice, teorema lui Lagrange

7.3.1 Definiţii În definiţiile şi faptele elementare de teoria grupurilor pe care le vom prezenta în cele ce urmează vom folosi notaţia multiplicativă în grupul G.

DEFINIŢIE Se numeşte subgrup al grupului G o submulţime nevidă H G⊂ având următoarele proprietăţi:

1

,

.

h k H hk H

h H h H−

∈ ⇒ ∈

∈ ⇒ ∈

Prima condiţie din definiţia subgrupului exprimă faptul că submulţimea H este o parte stabilă a lui G, faţă de operaţia internă a grupului G. Pe baza acesteia putem considera că operaţia grupului G este o operaţie internă pe submulţimea H, numită şi operaţia indusă pe H de operaţia lui G. Evident că operaţia indusă pe H este şi ea asociativă, ca şi operaţia considerată pe întreaga

5

Page 212: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

mulţime G. În plus, dacă grupul G este comutativ, atunci şi operaţia indusă pe H este comutativă. Pentru ca submulţimea H, cu operaţia indusă să fie grup trebuie să fie îndeplinite celelalte două condiţii: să aibă element neutru şi fiecare element din H să aibă inversul tot în H. Aceste condiţii nu sunt obligatoriu îndeplinite numai pe baza ipotezei că H este parte stabilă. De exemplu, mulţimea a numerelor naturale nenule este o parte stabilă a grupului aditiv (Z,+) al numerelor întregi, dar nu îndeplineşte cele două condiţii menţionate ale structurii de grup. Deşi mulţimea (Z,+) are element neutru, acesta neaflându-se în submulţimea , proprietatea elementului neutru nu este îndeplinită pentru operaţia indusă pe .

*N

*N*N

Mulţimea a tuturor numerelor naturale (inclusiv zero) este iarăşi parte stabilă şi de data asta are element neutru, deoarece numărul zero se află în această mulţime. Dar proprietatea elementului simetric nu este îndeplinită deoarece, deşi fiecare element din are un opus în (Z,+), în general acesta nu se află în . Singurul element din care are opusul tot în este zero.

N

NNN N

Condiţia a doua din definiţia subgrupului exprimă faptul că pentru orice element din H, inversul său se află tot în H, adică se îndeplineşte proprietatea elementului simetric. În plus, această condiţie asigură şi existenţa elementului neutru: luând în prima condiţie , obţinem . 1

1 2 şi h h h h−= = 1hh e H− = ∈ Aşadar, un subgrup este o submulţime nevidă a grupului G, care faţă de operaţia indusă este grup.

7.3.2 Teorema lui Lagrange Dacă H este subgrup al grupului G, m=|H|, n=|G|, atunci m|n.

DEMONSTRAŢIE Pentru orice element x al grupului G considerăm mulţimea

{ ; }xH xh x H= ∈ . Deoarece elementul neutru e al grupului se află în H, rezultă că x însuşi se află în această mulţime, deoarece x xe= , deci reuniunea mulţimilor xH dă întreaga mulţime G. Submulţimile xH au următoarele două proprietăţi: I) pentru orice element x din G mulţimea xH are m elemente. Într-adevăr, în mulţimea H se află m elemente şi dacă 1 2xh xh= atunci, compunând la stânga ambii membri ai acestei egalităţi cu inversul lui G, se obţine ; 1 2h h= II) dacă submulţimile xH şi yH au un element în comun, atunci aceste submulţimi coincid. Într-adevăr,

. Dacă u este un element oarecare al mulţimii xH, atunci: , deci

1 2, ;z xH yH h h H∈ ∩ ⇒ ∃ ∈ 1,z xh=2 1z xh xh yh= ⇒ =

12 1u xh yh h h−= = ∈

2

yH xH yH⊆ . La fel se demonstrează şi incluziunea inversă. Aşadar, submulţimile xH sau sunt disjuncte sau coincid.

6

Page 213: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Prin urmare, mulţimea G, având n elemente, este împărţită în clase disjuncte, toate având acelaşi număr de elemente, şi anume: m elemente, ca şi H. Dacă i este numărul acestor clase, atunci n = mi, de unde rezultă m|n.

QED

7.3.3 Ordinul unui element Pentru un element oarecare a al grupului finit G notăm:

{ }2 3[ ] , , ,...a a a a= .

Deoarece grupul G este finit, elementele acestei mulţimi nu pot fi toate distincte, deci există i > j, astfel încât , de unde rezultă . ia a= j

e

i ja e− = Fie . Acest număr natural se numeşte ordinul elementului a şi-l notăm ord(a). Folosind acest număr putem descrie mai precis submulţimea [a], şi anume:

*min{ ; }km k N a= ∈ =

{ }2 3 1, , ,..., ,m ma a a a e−=[ ]a a =

i a

. Se poate deduce cu uşurinţă faptul că cele m elemente menţionate ale acestei submulţimi sunt distincte, din cauza minimalităţii lui m şi că puterile lui a, mai mari decât m, se regăsesc printre acestea. Deci, submulţimea [a] are m elemente. În plus, această submulţime satisface condiţiile din definiţia subgrupului. Într-adevăr, compunerea elementelor din [a] se efectuează prin adunarea modulo m a exponenţilor, deci submulţimea [a] este o parte stabilă a lui G faţă de operaţia grupului. Pe de altă parte, observăm că pentru un element

, deci este îndeplinită şi a doua condiţie din definiţia subgrupului.

( ) 1;1 [ ]i i ma i m a a

− −≤ ≤ ⇒ = ∈

Subgrupul [a] se numeşte subgrupul generat de elementul a. Ordinul acestui subgrup este tocmai ordinul elementului a. Din teorema lui Lagrange rezultă: Ordinul oricărui element al grupului divide ordinul grupului.

7.3.4 Grupuri ciclice DEFINIŢIE

Se numeşte grup ciclic un grup G în care există un element g astfel încât [g] = G. Elementul g se numeşte generator al grupului G.

EXEMPLE I. Pentru orice număr natural n grupul (Zn,+) este ciclic. Într-adevăr, putem considera ca generator clasa reprezentată de numărul întreg 1, deoarece orice clasă modulo n se obţine prin compunerea (în sensul operaţiei de adunare) clasei lui 1 cu ea însăşi de un număr de ori. Evident, compunând de n ori această clasă cu ea însăşi, se obţine elementul nul al grupului. Deci [1] = Zn. II. Tot pentru orice număr natural n mulţimea Un a rădăcinilor complexe ale ecuaţiei zn = 1 formează un grup ciclic faţă de operaţia de înmulţire

7

Page 214: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

a numerelor complexe. Într-adevăr, notând 2cos isinn nπε = + 2π , acest număr

complex este rădăcină a ecuaţiei zn = 1 şi toate cele n rădăcini ale acestei ecuaţii

sunt numerele: 2 2cos isin ; 1,2,..., ; 1k nk k k nn nπ πε = + = ε = , prin urmare

. [ ] Gε =

OBSERVAŢIE Se observă că aceste două grupuri, având acelaşi număr de elemente, diferă numai prin modul cum sunt notate elementele lor (la primul elementele sunt: 1, 2,..., 0n = , iar la al doilea elementele sunt: ) şi prin modul cum este notată operaţia (primul este grup aditiv, iar al doilea este multiplicativ). Modul cum se compun elementele este acelaşi în cele două grupuri. Într-adevăr, în grupul elementele se compun prin adunarea modulo n a exponenţilor, iar în grupul (Z elementele

1 2 3, , ,..., 1nε ε ε ε =

nU kε, )n + k se compun tot prin

adunarea modulo n a numerelor k. Acest lucru se confirmă în cazul general.

TEOREMĂ Două grupuri ciclice de acelaşi ordin sunt izomorfe. DEMONSTRAŢIE

Fie G şi H două grupuri ciclice de acelaşi ordin n. Pentru simplitatea demonstraţiei vom folosi notaţia multiplicativă în cele două grupuri. Dacă g este generatorul grupului ciclic G şi h al lui H, atunci:

{ } { }1 2 1 2, ,..., ; , ,...,n nG g g g g e H h h h h e′= = = = = = ,

unde am notat e, elementul neutru din G, respectiv H. Evident, compunerea în ambele grupuri se face prin adunarea modulo n a exponenţilor.

e′

Fie funcţia : ; ( ) ; 1,2,...,i if G H f g h i→ = =( ) (i j k

n)

. Evident, funcţia f este

bijectivă. Ea este şi morfism: ) ( ) (k i j i jf g g f g= = h h h f g f g= = unde k = (i+j) (mod.n).

QED CONSECINŢĂ

Dacă ordinul unui grup G este un număr prim p, atunci G este izomorf cu grupul ciclic Zp. Într-adevăr, dacă a este un element al lui G diferit de elementul neutru, atunci ordinul lui a fiind diferit de unu şi fiind divizor al numărului prim p trebuie să fie egal cu p, adică G este grup ciclic având ca generator pe a. Din teorema precedentă grupul G fiind ciclic de ordinul p, este izomorf cu Zp.

8

Page 215: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

7.3.5 Generatorii unui grup ciclic de ordinul n TEOREMĂ

Fie G un grup ciclic de ordinul n notat multiplicativ şi g un generator al

său. Atunci ordinul elementului ;1 este ( , )

k ng k nk n

≤ ≤ . În particular, condiţia

necesară şi suficientă ca elementul să fie generator al grupului G, adică

, este ca numărul k să fie prim cu n.

kgkg⎡ ⎤ =⎣ ⎦ G

e=

DEMONSTRAŢIE Demonstrăm mai întâi teorema pentru cazul când (k,n) = k, adică numărul k este un divizor al lui n. Notăm cu m câtul împărţirii lui n la k, adică n = mk. Din definiţia ordinului unui element rezultă că ordinul lui este chiar m, deoarece elementele:

kg

( ) ( ) ( ) ( )1 2 32 3, , ,...,mk k k k k k k mk ng g g g g g g g g= = = = =

sunt distincte, elementul g fiind un generator al grupului G. În cazul general, notând şi astfel încât n d şi

rezultă:

( , )d k n=k dg g

,n k′ ′kg

n′= k dk′=

( )kk dk d dg g g g′′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎡= = ⇒ ⎤ ⊂ ⎤∈ ⇒⎣ ⎦ ⎣ ⎣⎦ ⎦

e

. Pe de altă parte, o proprietate a celui mai mare divizor comun asigură că

există numerele întregi u şi v astfel încât , de unde, ţinând seamă că , rezultă:

d uk vn= +ng =

( ) ( ) ( )u v ud uk vn uk vn k n k k d ug g g g g g g g g g+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= = = = ∈ ⇒ ⊂ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Aşadar elementele şi generează acelaşi subgrup, deci au acelaşi ordin. Dar, deoarece d este un divizor al lui n, ordinul lui este câtul împărţirii lui n la . Într-adevăr, notând acest cât, avem: şi

cea mai mică valoare a numărului natural h pentru care este .

kg

)n

dgdg

( ,d k= d ′ n dd ′=

h d ′=( )hdg e=

QED.

7.4 Produsul direct de grupuri şi produsul direct de inele

Fiind date două grupuri G şi H, amândouă notate moltiplicativ, cu elementul neutru e, respectiv , pe mulţimea numită produsul cartezian al mulţimilor G şi H se consideră operaţia «pe componente», şi anume:

e′

,

{( , ); , }G H x h x G h H× = ∈ ∈

( , )( ) ( , )x h x xx hh′ ′=h′ ′ .

9

Page 216: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Este uşor de verificat că această operaţie definită pe produsul cartezian îndeplineşte proprietăţile structurii de grup. Acest grup se numeşte produsul direct al celor două grupuri. Elementul neutru al produsului direct este perechea

şi inversa perechii (x,h) este perechea ( , )e e′ 1 1( , )x h− − . Dacă grupurile G şi H sunt comutative, respectiv finite, atunci produsul lor direct este comutativ, respectiv finit.

Acelaşi lucru este valabil în cazul a două inele A şi B. Notând aditiv şi multiplicativ operaţiile în cele două inele, pe produsul cartezian A B× se consideră operaţiile de adunare şi de înmulţire pe componente, adică:

şi . Aceste operaţii definite pe ( , ) ( , ) ( , )a b a b a a b b′ ′ ′ ′+ = + + ( , )( , ) ( , )a b a b aa bb′ ′ ′ ′=

A B× îndeplinesc proprietăţile structurii de inel. Elementul neutru al înmulţirii din A B× este perechea (1,1) unde am notat cu 1 atât elementul neutru al lui A, cât şi cel al lui B.

TEOREMĂ Grupul unităţilor lui A B× este produsul direct dintre grupul unităţilor lui

A şi grupul unităţilor lui B, adică: * *( ) *A B A B× = ×

DEMONSTRAŢIE Dacă , atunci , deci există ,

astfel încât şi . Rezultă că , adică şi deci perechea (a,b) este inversabilă, . Ca

urmare,

*( , )a b A B∈ ×1aa′ = bb′ =

1)b −

* * *( )

* **, a A b B∈ ∈( , )(a b a

a A b B′ ′∈ ∈) (1,1)′ =

( )A B ∗∈ ×1 , ) ( ,b aa bb′ ′ ′=

( , )a b( , ) (a b a′ ′ = ,A B A B× ⊆ × .

Reciproc, dacă , atunci există perechea astfel încât . Dar ( şi deci aa , , adică

. Prin urmare,

*( , ) ( )a b A B∈ ×, )( , )a b a b′ ′ =( )

( , )a b′ ′1= bb( , )( , ) (1,1)a b a b′ ′ =

* *, a A b B∈ ∈( , )aa bb′ ′

* *

′ 1′ =*A B A B×× ⊆ .

QED

7.5 Teorema chineză Dacă (m,n) = 1, atunci funcţia:

: ; ( ) (mn m n mn m n, )f Z Z Z f x x x→ × =

în care x este un număr întreg oarecare, iar , ,mn m nx x x reprezintă clasa lui x modulo mn, m, n, respectiv, este un izomorfism de inele.

DEMONSTRAŢIE Să observăm mai întâi că funcţia f este corect definită, în sensul că deşi ea

operează cu un reprezentant modulo mn al unei clase, anume numărul întreg x, perechea ( , )m nx x nu se schimbă dacă se înlocuieşte x cu un alt număr y aflat în aceeaşi clasă modulo mn ca şi x. Într-adevăr,

10

Page 217: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( ) ( ), ( )

, ( , ) ( , )mn mn

m m n n m n m n

y x mn x y m x y n x y

x y x y x x y y

= ⇒ − ⇒ − − ⇒

⇒ = = ⇒ =

Funcţia f astfel definită este un morfism de inele. Într-adevăr, ( ) (( ) ) (( ) ,( ) ) ( ,( , ) ( , ) ( ) ( )( ) (( ) ) (( ) ,( ) ) ( , )( , )( , ) ( ) ( )

mn mn mn m n m m n n

m n m n mn mn

mn mn mn m n m m n n

m n m n mn mn

f x y f x y x y x y x y x yx x y y f x f y

f x y f xy xy xy x y x yx x y y f x f y

+ = + = + + = + += + = +

= = = == =

) =

De remarcat că până în acest stadiu al demonstraţiei nu s-a folosit faptul că numerele m şi n sunt prime între ele. Este nevoie de această ipoteză pentru a arăta că funcţia f este bijectivă.

De fapt, domeniul şi codomeniul funcţiei f fiind mulţimi finite cu acelaşi număr de elemente, şi anume mn, este suficient să se demonstreze numai injectivitatea.

Dar funcţia f este injectivă: ( ) ( ) ( , ) ( , ) ,

( ), ( ),( , ) 1 ( ) ( )mn mn m n m n m m n n

mn mn

f x f y x x y y x y x y

m x y n x y m n mn x y x y

= ⇒ = ⇒ = = ⇒

⇒ = − = ⇒ − ⇒ =

QED OBSERVAŢIE Inversarea funcţiei f înseamnă rezolvarea sistemului de ecuaţii în x

(număr întreg) cu parametrii întregi a şi b:

m m

n n

x ax b

=⎧⎨ =⎩

Acest sistem de congruenţe are soluţii oricare ar fi numerele întregi a şi b dacă şi numai dacă numerele m şi n sunt prime între ele. Într-adevăr, numai în acest caz funcţia f fiind surjectivă, dat fiind un element oarecare

există (şi este unică) o clasă modulo mn, reprezentată de un număr întreg x, astfel încât: ( , ) din m n m na b Z Z×

( ) ( , )mn m nf x a b= , adică m mx a= şi n nx b= . Soluţia sistemului se obţine folosind nişte numere u şi v care îndeplinesc

condiţia: um + vn = (m,n) = 1, din care rezultă: 1m = (um + vn)m = (vn)m şi 1n = (um + vn)n = (um)n. Pentru x = avn + bum avem:

xm = (avn + bum)m = (avn)m = am(vn)m = am1m = am şi

xn = (avn + bum)n = (bum)n = bn(um)n = bn1n = bn .

11

Page 218: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

7.6 Caracteristica lui Euler

7.6.1 Definiţii DEFINIŢIE Se numeşte caracteristica lui Euler numărul, notat φ(n), al claselor

modulo n reprezentate de numere prime cu n. Am demonstrat că dacă un reprezentant al unei clase modulo n este un număr prim cu n, atunci toţi reprezentanţii acelei clase sunt numere prime cu n. De aceea putem vorbi de clase prime cu n.

EXEMPLE I. Dacă n = p este un număr prim, atunci dintre numerele 1, 2,…, p

singurul care nu este prim cu p este însuşi p. Deci, φ(p) = p – 1. II. Dacă în care p este număr prim, atunci numerele cuprinse între

unu şi n care nu sunt prime cu n sunt multiplii lui p, şi anume: p, 2p, 3p,…,

kn p=

k1kp p p− = . Numărul acestora este 1kp − . Deci numărul claselor prime cu n este

diferenţa 1kkp p −− . Aşadar, ( ) 1 11k kp p k kp pp

− ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

ϕ = .

III. Dacă este descompunerea lui n în produs de puteri de factori primi distincţi, atunci:

1 21 2 ... k

kn p p pαα α=

1 2

1 1( ) 1 1 ... 1k

n n 1p p p

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ϕ = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞⎟

α

Într-adevăr, din teorema chineză rezultă că .

Pe de altă parte, am remarcat mai sus că ( )

1 21 2

* * * *... kk

n p p pZ Z Z Zα α= × × ×

nϕ este ordinul grupului *nZ . Prin

urmare,

( )1 2 1 21 2 1 2

1 2

1 2

1 1( ) ... 1 1 ... 1

1 1 1 1 1 ... 1 .

k kk k

k

k

n p p p p p pp p p

np p p

α αα α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ϕ = ϕ = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=⎟

7.6.2 Proprietăţi ale caracteristicei lui Euler I. Ordinul grupului unităţilor inelului nZ este egal cu ( )nϕ . Într-adevăr, elementele inversabile ale inelului nZ sunt clase reprezentate

de numere prime cu n, iar numărul acestor clase este, prin definiţie, ( )nϕ . II. ( )nϕ este numărul generatorilor unui grup ciclic de ordinul n.

12

Page 219: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Într-adevăr, dacă G este un grup ciclic de ordinul n având ca generator elementul g, atunci elementele care generează grupul sunt cele de forma în care 1 ≤ m ≤ n şi (m,n) = 1. Numărul acestora este

mg( )nϕ .

III. Dacă G este un grup ciclic de ordinul n, atunci acest grup are elemente de ordinul d numai dacă d este un divizor al lui n. În acest caz elementele de

ordinul d sunt elementele de forma ( )mndg , în care 1 ≤ m ≤ d şi (m,d) = 1.

Numărul acestora este ( )dϕ . Într-adevăr, din teorema lui Lagrange, ordinul unui element al unui grup

finit divide ordinul grupului. Deci, grupul G nu poate avea elemente de ordinul d decât dacă d este divizor al lui n.

Pe de altă parte, dacă d este un divizor al lui n, atunci rezultă că ;

1 ≤ h ≤ n are ordinul d dacă şi numai dacă

hg

( , )n d

h n= . Notând , aceasta

înseamnă că şi , în care (m,d) = 1, adică

( , )h n d ′=

h md ′= n dd ′= ( )mndgh d mg g ′= = cu

1 ≤ m ≤ d şi (m,d) = 1. IV. Pentru orice număr natural n este adevărată egalitatea:

( )d n

n d= ϕ∑ .

Într-adevăr, dacă n este ordinul unui grup ciclic, atunci elementele sale se grupează după ordinele lor, care sunt divizori ai lui n. Pentru fiecare divizor d al lui n, numărul elementelor de ordinul d este ( )dϕ .

7.6.3 Reciproca teoremei chineze Teorema chineză afirmă că dacă numerele naturale m şi n sunt prime între

ele, atunci grupul m nZ Z× este izomorf cu mnZ şi deci este ciclic. Vom arăta că este valabilă şi reciproca acestei teoreme, în sensul că

m nZ Z× este izomorf cu mnZ numai în cazul când m şi n sunt prime între ele. Ca urmare, grupul m nZ Z× este ciclic dacă şi numai dacă m şi n sunt prime între ele.

TEOREMĂ Dacă numerele naturale m şi n nu sunt prime între ele, atunci grupul

m nZ Z× nu este ciclic şi deci nu este izomorf cu mnZ .

DEMONSTRAŢIE Fie p un număr prim care divide atât pe m, cât şi pe n şi fie câturile

respective, adică: , . Pentru orice k = 1, 2,…, p – 1 numărul , m n′ ′

m pm′= n pn′= km′

13

Page 220: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

reprezintă un element de ordinul p din grupul aditiv mZ . Într-adevăr, ordinul clasei lui este km′

( , ) ( , ) ( , ) ( , )p

1m m pm p p

km m km pm k p m k p′

= = = = =′ ′ ′ ′

.

Analog, numerele ; h = 1, 2,…, p – 1 reprezintă clase de ordinul p din grupul aditiv

hn′nZ . Rezultă că perechile de numere ( , în număr de

reprezintă elemente de ordinul p în grupul , )hn′ ′km

m n2( 1)p − Z Z× . Dar dacă m nZ Z× ar fi un grup ciclic, atunci pentru divizorul p al

ordinului acestui grup am avea numai ( ) 1p pϕ = − elemente de ordinul p. QED

7.7 Teoremele Fermat, Euler, Wilson TEOREMA FERMAT Dacă p este număr prim, atunci pentru orice număr întreg x avem:

(mod. )px x p=

DEMONSTRAŢIE Grupul *

pZ are ordinul ( ) 1p pϕ = − şi deci ordinul oricărui element al grupului divide 1p − . Ca urmare, orice clasă nenulă, ridicată la puterea 1p −

)

dă ca rezultat clasa unitate, aceasta fiind clasa lui unu. Rezultă că pentru orice număr întreg nedivizibil cu p este adevărată congruenţa: 1 1(mod.px p− = .

Înmulţind această congruenţă cu numărul oarecare x (care poate fi şi multiplu de p) se obţine relaţia din enunţ.

QED TEOREMA EULER Dacă (m,n) = 1, atunci ( ) 1(mod. )nm nϕ = .

DEMONSTRAŢIE Ordinul grupului *

nZ este ( )nϕ , ca urmare, orice element al grupului, ridicat la puterea ( )nϕ dă elementul neutru al grupului. Elementele grupului sunt reprezentate de numerele m care sunt prime cu n.

QED TEOREMA WILSON Dacă p este un număr prim, atunci ( 1)! 1( )mod.p p− = − .

14

Page 221: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

DEMONSTRAŢIE Teorema se verifică lesne pentru p = 2. Putem deci considera că p este un

număr prim impar. Elementele grupului *

pZ sunt reprezentate de numerele: 1, 2, 3,…, p – 1 dintre care numai primul şi ultimul element este propriul său invers, deoarece în corpul pZ ecuaţia 2 1x = nu poate avea mai mult de două rădăcini. Prin urmare, celelalte clase, în număr de p – 3 (care este par), sunt grupate două câte două, inverse una alteia, deci produsul acestora dă elementul unitate al grupului *

pZ , reprezentat de numărul unu. Deci produsul ( 1)!p − modulo p se reduce la produsul dintre primul şi ultimul factor, care produs este congruent cu –1 modulo p.

15

Page 222: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

16

Page 223: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

MODULUL 8

STRUCTURA GRUPURILOR ABELIENE FINITE

8.1.Grupul factor; morfisme de grupuri 8.2.Sume directe de subgrupuri 8.3.Grupuri abeliene de ordinul pn

8.1 Grupul factor; morfisme de grupuri Am remarcat că procedura prin care grupul aditiv al numerelor întregi Z

este împărţit în clase de congruenţă modulo n se poate aplica unui grup abelian oarecare folosind un subgrup al său. În cazul grupurilor finite această împărţire în clase de congruenţă în raport cu un subgrup a condus, printre altele, la teorema lui Lagrange.

Ne vom ocupa în continuare de structura de grup a mulţimii claselor de congruenţă ale unui grup abelian în raport cu un subgrup al său.

8.1.1 Grupul factor Fie A un grup abelian, notat aditiv, şi B un subgrup al său. Relaţia de

congruenţă modulo B între elementele lui A se defineşte astfel: (mod. )x y B x y= ⇔ − B∈ .

Se notează A/B mulţimea claselor de echivalenţă corespunzătoare acestei relaţii. Clasa în care se află elementul x al grupului se notează x şi se defineşte astfel:

{ ; }x x B x b b B= + = + ∈ .

Oricare din elementele clasei lui x se numeşte reprezentant al acestei clase. Dacă y este unul dintre aceştia, atunci x = y(mod.B) şi y + B = x + B.

În cazul când A este grupul aditiv Z al numerelor întregi, iar B este subgrupul nZ al multiplilor numărului natural n, congruenţa modulo B este tocmai congruenţa modulo n. Mulţimea claselor Z/nZ a fost notată nZ .

La fel cum se adună clasele modulo n se pot aduna şi clasele lui A modulo B, adică elementele lui A/B:

x y x y+ = +

Page 224: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Deşi clasa sumă se obţine cu ajutorul unor reprezentanţi ai celor două clase rezultatul nu se schimbă dacă se folosesc alţi reprezentanţi din cele două clase. În plus, la fel ca şi în cazul adunării din nZ , adunarea definită pe mulţimea A/B a claselor modulo B îndeplineşte proprietăţile grupului abelian. Elementul neutru este clasa lui θ, constituită din elementele subgrupului B. Clasa opusă clasei reprezentate de x este clasa reprezentată de opusul –x al lui x.

Grupul astfel definit, A/B, se numeşte grupul factor al lui A prin subgrupul B. Dacă grupul A este finit, având n elemente, iar B are m elemente, atunci m este un divizor al lui n şi numărul claselor modulo B este câtul m/n. Deci ordinul grupului grupul factor este m/n.

Funcţia : / ; ( )k A A B k x x→ =

este evident surjectivă şi este un morfism. Acest morfism surjectiv se numeşte surjecţia canonică definită de subgrupul B.

8.1.2 Morfisme de grupuri Fie acum :f A A′→ un morfism de grupuri abeliene finite. Este uşor de

verificat că mulţimea { }Ker ; ( )f x A f x A′= ∈ = θ ⊆

este subgrup al lui A, iar mulţimea

{ }Im ( );f f x x A A′= ∈ ⊆ este subgrup al lui A′ . Primul se numeşte nucleul lui f, iar celălalt se numeşte imaginea lui f.

Aceste subgrupuri determină calitatea lui f de a fi injectiv (monomorfism), surjectiv (epimorfism) sau bijectiv (izomorfism) în felul următor:

estemonomorfism Ker { }esteepimorfism Im

f ff f A

⇔ =′⇔ =θ

TEOREMĂ Grupul factor A/Ker f este izomorf cu Im f. În particular, dacă f este

epimorfism, atunci G/Ker f este izomorf cu A′ . DEMONSTRAŢIE Considerăm funcţia:

: / Ker Im ; ( ) ( ) ImA f f x f x f ′Aϕ → ϕ = ∈ ⊆ .

Deşi imaginea prin φ a unei clase de congruenţe modulo B se defineşte folosind un reprezentant x al acestei clase, rezultatul nu se schimbă dacă se foloseşte un alt reprezentant. Într-adevăr,

(mod.Ker ) ; Ker ( ) ( ) ( ) ( )y x f y x z z f f y f x f z f x= ⇔ = + ∈ ⇒ = + = .

Page 225: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Funcţia φ este un morfism:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x y f x y f x f y xϕ + = ϕ + = + = + = ϕ + ϕ y . Funcţia φ este surjectivă, deoarece din definiţia mulţimii Im f, un element

din această mulţime este de forma ( )f x pentru un x din A. Dar din definiţia lui φ imaginea prin φ a clasei lui x este tocmai ( )f x .

Funcţia φ este monomorfism: Ker ( ) ( ) Kerx x f x x f x∈ ϕ ⇔ ϕ = θ ⇔ = θ ⇔ ∈ ⇔ = θ ,

unde am notat tot θ elementul neutru al grupului factor A/Ker f. Q.E.D.

8.2 Sume directe de subgrupuri Fie a un element al grupului abelian finit A, notat aditiv, şi n un număr

întreg oarecare. Dacă n este strict pozitiv, atunci notăm na rezultatul compunerii (adunării) lui a cu el însuşi de n ori. Dacă n este strict negativ, atunci na este rezultatul compunerii lui –a cu el însuşi de –n ori. În plus, 0a înseamnă elementul neutru θ al grupului A.

Cu aceste notaţii, dacă numărul natural nenul n îndeplineşte condiţia , spunem că n este anulator al elementului a. Evident, ordinul lui a, care

este cel mai mic anulator al lui a, divide orice anulator. na = θ

Anulatorul unei submulţimi a lui A înseamnă un număr care este anulator pentru toate elementele submulţimii. De exemplu, ordinul grupului finit A este anulator al lui A.

Dacă A1, A2,…, Ar sunt subgrupuri ale lui A, atunci spunem că A este suma directă a acestor subgrupuri şi scriem: 1 2 ... rA A A A= ⊕ ⊕ ⊕

1 2 ...a a a= + + +, dacă orice

element a al lui A se scrie în mod unic sub forma: . ;r ia a A∈ i

r

2

Unicitatea înseamnă că 1 2 1 1 2 2... ; , ,...,r i i ra a a a a A a a a a a a′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + + ∈ ⇒ = = = .

Evident că această condiţie este echivalentă cu unicitatea scrierii lui θ sub forma respectivă, în sensul că

1 2 1 2... ; , ,...,r i i ra a a a A a a a+ + + = θ ∈ ⇒ = θ = θ = θ .

EXEMPLU Dacă 1A A A′= × ′ este produsul cartezian a două grupuri 1A′ şi 2A′ , atunci

notând: { } { }1 1 1 1 2 2 2( , ); , ( , ); 2A a a a A A a a a A′ ′= = θ ∈ = = θ ∈

acestea sunt subgrupuri ale lui A izomorfe cu 1A′ , respectiv 2A′ şi 1 2A A A= ⊕ . Exemplul prezentat se poate generaliza în sensul propoziţiei care urmează.

Page 226: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

PROPOZIŢIE Fie A1, A2,…, Ar subgrupuri ale grupului A şi fie 1 2 ... rA A A A′ = × × ×

1 2 ... r

. Grupul A este sumă directă a subgrupurilor A1, A2,…, Ar ( A A A A= ⊕ ⊕ ⊕

1 2 ...r r

) dacă şi numai dacă funcţia 1 2: ; ( , ,..., )A A x x x′ x x xϕ → ϕ = + + + este izomorfism.

DEMONSTRAŢIE Evident că funcţia φ este un morfism. Surjectivitatea lui φ înseamnă că

fiecare element din A se poate scrie ca o sumă de r termeni, câte unul din fiecare din cele r subgrupuri. Injectivitatea lui φ este echivalentă cu unicitatea acestei scrieri. QED.

TEOREMA 1

Fie A un grup abelian de ordinul n şi descompunerea în factori primi a lui n. În aceste condiţii, pentru orice i = 1, 2,…, r mulţimea Ai formată din elementele lui A care au drept ordin o putere a lui pi este subgrup al lui A. În plus,

1 21 2 ... rk k k

rn p p p=

1 2 ... rA A A A= ⊕ ⊕ ⊕ .

DEMONSTRAŢIE Fie , ; ord( ) , ord( )h

ikix y A x p y p∈ =

k k k k h hi i i i ip x p y p p x−± = + = ⋅ + θ = θ

= . Putem presupune h ≤ k şi atunci: , deci Ai este un subgrup. ( )p x y

A doua afirmaţie o demonstrăm prin inducţie după numărul r de factori primi ai ordinului grupului. Evident, teorema este adevărată pentru r = 1.

Presupunând-o adevărată pentru grupuri care au ordinul divizibil prin cel mult r – 1 factori primi distincţi, să notăm: . 1 2 1

1 21 2 1... ;r rk k k krrn p p p n p−

−= =Deoarece rezultă că există numerele întregi u şi v astfel că

. Notăm A1 submulţimea elementelor lui A care au ca anulator pe n1. Se verifică la fel ca mai sus că A1 este subgrup al lui A. Analog, A2.

1 2( , ) 1n n =1 2 1un vn+ =

Orice element x din A se scrie astfel:

1 2 1 2 1( ) 2x un vn x un x vn x x x= + = + = + ; 1 1 2 2,x un x x un x= = .

Dar . La fel se arată că x2 se află în A1. Deci, orice element x din A se poate scrie ca o sumă de termeni, unul din A1, iar celălalt din A2. Această scriere este unică, deoarece dacă cu

2 1 1 2 1 2n x un n x unx x A= = = θ⇒ ∈

2 2

1 2x x+ = θ1 1,x A x∈ A∈ 1 2, atunci x x= − şi

1 1 1 2 1 1 1 1 21 ( ) ( )x x un vn x un x vn x= ⋅ = + = + − = θ ,

deoarece n1 este anulator pentru x1 şi n2 pentru x2. Rezultă şi . 2 1x x= − = θPrin urmare, 1 2A A A= ⊕ , în care A1 are ca ordin pe n1 divizibil prin cel

mult r – 1 factori primi distincţi. Deci, A1 se descompune în sumă directă de

Page 227: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

r – 1 subgrupuri, fiecare având ca anulator o putere a unuia dintre numerele prime p1, p2,…, pr.

QED

OBSERVAŢIE Dacă un grup este ciclic, atunci cel mai mic anulator al grupului este

ordinul său. Dacă subgrupurile A1, A2,…, Ar sunt ciclice atunci, din teorema chineză, rezultă că şi suma lor directă (izomorfă cu produsul direct) este ciclic. În general însă, aceste subgrupuri nu sunt ciclice.

8.3 Grupuri abeliene de ordinul pm TEOREMĂ Orice grup de ordinul este o sumă directă de subgrupuri ciclice,

toate având ca ordine diverse puteri ale lui p, anume:

mn p=

1 21 2, ,..., ; ...srr r

sp p p r r r+ + + = m .

Descompunerea este unică dacă r1 ≥ r2 ≥ … ≥ rs. DEMONSTRAŢIE Demonstrăm teorema prin inducţie după ordinul grupului A. Fie x1 un element de ordin maxim 1rp . Grupul factor 1/[ ]A x va avea

ordinul strict mai mic decât al lui A şi deci acesta se descompune în sumă directă de subgrupuri ciclice:

1 2 3/[ ] [ ] [ ] ... [ ]sA x x x x= ⊕ ⊕ ⊕ ,

în care generatorii au respectiv ordinele r2 ≥ r3 ≥ … ≥ rs. Pentru fiecare i = 2, 3,…, s vom găsi un reprezentant al clasei lui ix de

ordinul irp , adică de acelaşi ordin cu clasa sa modulo [x1].

Faptul că ordinul lui este irix p înseamnă că 1[ ]ir

ip x x∈ , adică există un număr natural k astfel încât 1

irip x kx= . Putem presupune , deoarece 1rpk ≤ 1rp

este ordinul lui 1x , deci şi anulatorul lui 1x . Numărul k se poate scrie sub forma în care p nu este divizibil cu p. Evident, r ≤ r1. rk p= t

Ordinul lui tx1 este egal cu ordinul lui 1x , deoarece t este prim cu ordinul

lui 1x . Rezultă că ordinul lui este 1 rkx p tx= 11r rp − . Aşadar ordinul lui

1ir

ip x = kx este 1r rp − . Deci, ordinul lui ix este . Dar din maximalitatea lui r1 rezultă ri + r1 – r ≤ r1, adică r – ri ≥ 0.

1i ir rr r p + −=1p p − r r

Relaţia 1ir

ip x kx= devine: de

unde rezultă că ordinul lui 1 1sau ( )i i i i ir r r r r r r

i ip x p p tx p x p tx− −= −

1ir r

= θ

ix p tx− ir− este cel puţin egal cu p . Dar ordinul

Page 228: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

(în A) al lui 1ir r

ix p tx−− nu poate depăşi ordinul clasei sale modulo [x1], care

este irp . Deci, ordinul lui 1ir r

ix p tx−− este irp .

ixPutem deci presupune că ordinul lui este irp pentru i = 2, 3,…, s. Vom arăta că A 1 2[ ] [ ] ... [ ]sx x= ⊕ x⊕ ⊕ .

Pentru orice element x din A avem:

1 2 3 2 2 3 3

2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3

/[ ] [ ] [ ] ... [ ] ...... [ ...

s s s

]s s s s

x x x x x k x k x k xx Ax k x k x k x k x x x k x k x k x k x

∈ = ⊕ ⊕ ⊕ ⇒ = + + + ⇒

− − − − = ∈ ⇒ = + + + +⇒

în care se poate lua , deoarece irik p≤ ix are ordinul irp .

Rămâne să arătăm că scrierea lui x este unică. Dar dacă avem atunci, aplicând surjecţia canonică, obţinem: 1 1 2 ... s sk x x k x+ + + =2k θ

2 2 3 3 ... s sk x k x k x+ + + = θθ

2

, de unde rezultă . Înlocuind în relaţia obţinem . QED

1 20, 0,..., 0sk k k= = =1 1k x = θ1 1 2 2 ...k x k x k+ + + s sx =

EXEMPLU Orice grup de ordinul 8 = 23 este izomorf cu unul din următoarele trei

grupuri: 8 4 2 2 2, ,Z Z Z Z Z Z× × ×

din care numai primul este ciclic.

Page 229: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

MODULUL 9

GRUPUL UNITĂŢILOR INELULUI nZ

9.1.Cazul când modulul n este număr prim 9.2.Cazul când n este puterea unui număr prim 9.3.Cazul general 9.4.Generatori ai unui grup ciclic

În acest capitol dăm răspuns la următoarea întrebare: pentru care valori ale

lui n grupul al unităţilor inelului este un grup ciclic. Zn∗8 Zn

9.1 Cazul când modulul n este număr prim TEOREMĂ Pentru orice număr prim p grupul este ciclic. Z p

∗8

DEMONSTRAŢIE Grupul are Z p

∗8 ( ) 1p pϕ = −1

elemente şi deci ordinele elementelor grupului sunt divizori ai lui p −

Z p

. Fie d un astfel de divizor. Elementele de ordinul d sunt rădăcini ale polinomului , iar acest polinom are cel mult d rădăcini, deoarece inelul este corp.

1dX −

În cazul când există un element de ordinul d, fie acesta x, atunci rădăcinile polinomului vor forma un subgrup ciclic constituit din elementele:

care sunt distincte. Elementele de ordin d ale acestui subgrup ciclic sunt în număr de

1dX −12, ,..., dx x x =

( )dϕ , şi anume: sunt acele puteri ale lui x care au exponentul prim cu d. Elementele de ordinul d ale grupului fiind printre aceste puteri, rezultă că: dacă există un element de ordinul d, atunci numărul acestora este

Z p∗8

( )dϕ . Deci pentru fiecare divizor d al lui 1p − numărul elementelor de ordinul d

este care este fie zero, fie ( )o d ( )dϕ . Evident că:

Page 230: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( 1)( ) 1

d po d p

= −∑ .

Pe de altă parte:

( 1)

( ) 1d p

d p−

ϕ = −∑ .

Deoarece 0 ( ) ( )o d d≤ ≤ ϕ , rezultă că pentru fiecare divizor d al lui 1p − trebuie ca să fie egal cu ( )o d ( )dϕ .

În particular, pentru , 1d p= − ( 1) ( 1)o p p− = ϕ −1

care fiind nenul, există cel puţin un element de ordinul p − al grupului şi deci acest grup este ciclic.

Z p∗8

QED

9.2 Cazul când n este puterea unui număr prim

9.2.1 Subcazul când p este impar În continuare vom extinde rezultatul la valorile lui n de forma: în

care r este un număr natural oarecare, iar p este un număr prim impar, adică diferit de 2.

rn p=

Vom începe cu unele fapte de analiză combinatorie. LEMA Puterea maximă a numărului prim p care divide produsul k! este:

2 3( ) ...kk k kE pp p p

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

în care parantezele drepte indică partea întreagă a numărului cuprins între ele. DEMONSTRAŢIE În produsul k! numărul factorilor multipli ai lui p este partea întreagă a

câtului lui k prin p. Când calculăm puterea lui p cuprinsă în k! trebuie să adăugăm numărul factorilor divizibili cu p2, care este partea întreagă a câtului dintre k şi p2 etc.

QED

LEMA Oricare ar fi numărul prim impar p şi numărul natural k ≥ 2 avem:

( )2kkE p <

Page 231: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

DEMONSTRAŢIE

2 3 2 3

2

( ) ... ...

1 1 1 1 ... 1 1 21

kk k k k k kE pp pp p p p

k kp p p pp

p

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= + + + ≤ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎛ ⎞= + + + = ⋅ = ≤⎜ ⎟ −⎝ ⎠ −

k k

=

QED

TEOREMĂ Pentru orice număr natural r şi număr prim impar p grupul este ciclic. *Z rp

DEMONSTRAŢIE Deoarece grupul este ciclic există un număr x a cărui clasă modulo p

generează acest grup. Din teorema lui Fermat numărul p divide diferenţa , adică

*Z p

11 1px − − 1px tp= +− . Considerăm două cazuri: dacă t nu este divizibil prin p, atunci luăm y = x; dacă t este divizibil prin p, adică 1 1p 2x t p− ′= + , atunci luăm . Evident că în acest din urmă caz numărul y se află în aceeaşi clasă modulo p ca şi x, deci clasa sa generează grupul . În plus, observăm că:

(1y = + )p x*Z p

( ) ( )1 2 2 21 11 1 ( 1) ... 1 1 ... 1p

p pp p p C p p p C p s−− −+ = + − + + = + − + + = + p

1 ph

hp

)rp

,

în care s nu este divizibil prin p. Ca urmare,

( ) ( )11 1 2 21 (1 )(1 ) 1pp py p x sp t p p s t p st p−− − ′ ′ ′= + = + + = + + + = + ,

unde h nu este divizibil cu p, deoarece p nu este multiplu de p. Aşadar în ambele cazuri există un număr y a cărui clasă modulo p generează grupul şi

în care h nu este divizibil cu p.

*Z p1 1py − = +

Vom arăta că numărul y modulo pr generează grupul . Fie m un număr

natural astfel că , adică pr divide diferenţa . Rezultă

atunci că şi p divide această diferenţă, adică şi deoarece clasa lui

y generează grupul ciclic , care are ordinul

*Z rp

)p

(1 mod my =

*Z p

1my −

(1 mod my =

1p − înseamnă că 1p − divide m, adică ( 1 . Prin urmare: )lm p= −

( )( 1) 1 2 2 2

3(1 ) 1

llm p l p l k kl l

ky y y hp l hp C h p C h p− −

=

= = = + = + ⋅ + +∑ k .

Page 232: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

În această dezvoltare termenul al doilea conţine factorii l şi p, iar al treilea conţine factorii l şi p2. Deoarece h nu este divizibil prin p înseamnă că al treilea termen conţine o putere strict mai mare a lui p decât al doilea. Aceeaşi proprietate o au şi termenii următori, deoarece:

( 1)( 2)...( 1)!

kk k k kl

pC h p l l l l k hk

= − − − + ⋅ ,

de unde se vede că pentru k ≥ 3 acest termen conţine factorul l, iar din lema

precedentă puterea lui p care divide fracţia !

kpk

are exponentul cel puţin egal cu

32 2 2k kk − = ≥ . Acest exponent fiind număr întreg este deci cel puţin egal cu doi.

Rezultă că diferenţa care este divizibilă prin pr are un termen care conţine o putere a lui p strict mai mică decât toţi ceilalţi. Prin urmare, acest termen trebuie să fie divizibil cu pr şi deci l este divizibil prin

1my −

1rp − . Înseamnă că exponentul este divizibil cu , care este ordinul grupului

. Deci acest grup este ciclic. QED ( 1)m p= − l )1( 1rp p− −

*Z rp

CONSECINŢĂ Dacă în care p este număr prim impar, atunci grupul este

ciclic. 2 rn p= *Zn

Într-adevăr, grupul este izomorf cu , iar acesta din urmă

este izomorf cu , deoarece grupul are un singur element. Ca urmare,

grupul fiind ciclic, rezultă că şi este ciclic.

*2

Z rp* *2Z Z rp

×*Z rp

*2Z

rp*Z rp

*2

Z

9.2.2 Subcazul p = 2 Pentru r = 1 şi pentru r = 2 acest grup este ciclic. Vom arăta că pentru

r ≥ 3 acest grup nu este ciclic. TEOREMĂ Dacă r ≥ 3, atunci: I. Toate elementele grupului au ordinul cel mult egal cu . Ca

urmare, grupul nu este ciclic, deoarece ordinul său este .

*2

Z r22r−

1(2 ) 2r r−ϕ =II. Subgrupul generat de clasa numărului 5 are ordinul şi este

constituit din clasele modulo 2r reprezentate de numerele de forma 4k + 1. 22r−

Page 233: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

DEMONSTRAŢIE Orice element din grupul este reprezentat de un număr impar care se

poate scrie sub forma

*2

Z r

14x k= ± . Observăm că:

( ) ( )( )

1 0 2 1

3 2 2

2 22 2 3 2 2 4

1 22

2 2 5 23 2

2 1, 2

2 1,..., 2 1,r r

r

x x h x x h

x x h x h−

= = + = =

= = + = +

1,+

6 ..

ceea ce demonstrează prima afirmaţie. Pentru a doua afirmaţie a teoremei, fie m un număr natural astfel că 5m = 1

modulo 2r, adică 2r divide diferenţa 5m – 1. În dezvoltarea: 2 2 2 4 35 (1 2 ) 1 2 2 2 .m m

m mm C C= + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

termenul al doilea conţine ca factor pe 2 la putere strict mai mică decât următorii. Ca urmare, pentru ca 5m – 1 să fie divizibil cu 2r este necesar ca m să fie divizibil cu , deci ordinul clasei lui 5 este . 22r− 22r−

QED

9.3 Cazul general TEOREMĂ Grupul este ciclic numai dacă: n = 2, n = 4, n = pr, n = 2pr, în care p

este un număr prim impar.

*Zn

DEMONSTRAŢIE S-a demonstrat mai înainte că este ciclic dacă n = pr sau n = 2pr în

care p este număr prim impar şi că nu este ciclic dacă n = 2r; r ≥ 3.

*Zn

Să arătăm că în toate celelalte cazuri grupul nu este ciclic. *Zn

Fie descompunerea în factori primi a lui n, în care k ≥ 2, iar dacă unul din factorii primi este 2, atunci exponentul său este strict mai mare ca unu.

1 21 2 ... krr r

kn p p p= ⋅ ⋅ ⋅

Deoarece 1 21 2 şi ... krr r

kp p p⋅ ⋅ sunt prime între ele, rezultă că:

r1 321 2 3

* * *p ...

Z este izomorf cu Z Z r rr kk

n p p p⋅ ⋅ ⋅× .

Din formula de calculare a caracteristicei lui Euler rezultă că ordinele celor două grupuri ce alcătuiesc produsul direct sunt numere pare, deci au ca factor comun pe 2. Din reciproca teoremei chineze rezultă că acest produs direct nu este un grup ciclic.

QED

Page 234: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

9.4 Generatori ai unui grup ciclic Când lucrăm cu un grup ciclic ne interesează să avem un generator al

acestuia. Fie G un astfel de grup, notat multiplicativ, de ordinul n. Dacă se cunoaşte un generator g al grupului, atunci putem determina toţi

generatorii grupului: sunt elementele de forma , în care k este un număr natural mai mic decât n şi prim cu n. Numărul acestora este egal cu ordinul φ(n) al grupului unităţilor inelului

kg

nZ .

Dacă 1 21 2

1 2

( ) 1 1 1... , atunci 1 1 ... 1rk k kr

r

nn p p pn p p

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ϕ= = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ p

⎞− ⎟

⎠ este

proporţia generatorilor în mulţimea G, adică probabilitatea ca alegând la întâmplare un element al lui G, acesta să fie un generator. Se observă că această probabilitate nu depinde de exponenţii k1, k2,…, kr, ci numai de factorii primi distincţi p1, p2,…, pr ai lui n.

În cazul când nu cunoaştem nici un generator al grupului şi vrem să obţinem unul, alegem la întâmplare un element al grupului şi verificăm dacă este un generator. Cu probabilitatea menţionată mai înainte el va fi un generator.

Pentru a verifica dacă un element x din G este generator ar trebui să calculăm puterile lui x până la puterea n – 1 şi să constatăm că nici una nu este egală cu elementul neutru al grupului.

Ţinând seamă de teorema lui Lagrange, este suficient să verificăm acest lucru numai pentru acei exponenţi care sunt divizori proprii ai lui n, deoarece exponentul cel mai mic, e, pentru care ex este elementul neutru al grupului G este ordinul elementului x.

Putem să reducem şi lista acestor exponenţi (constituită din divizorii

proprii ai lui n) limitându-ne la cei maximali, adică ; 1,2,...,ii

nd ip

= = r .

Într-adevăr, pentru orice divizor propriu d al lui n există cel puţin un indice i = 1, 2,…, r pentru care ik

ip nu divide pe d. Rezultă atunci că d divide pe di,

care este cel mai mare divizor propriu al lui n care nu este divizibil prin ikip . Ca

urmare, dacă dx este elementul neutru al lui G, atunci la fel va fi şi idx . În concluzie, pentru a verifica dacă x este generator al grupului G, se

calculează elementele: 1 2, ,..., rd d dx x x şi dacă toate aceste sunt diferite de elementul neutru al grupului G, atunci x este generator.

EXEMPLU. Grupul al unităţilor corpului claselor de resturi modulo 29 are n = 28 = 22·7 elemente, iar divizorii proprii maximali ai lui n sunt: d1 = 4, d2 = 14.

*29Z

Pentru a verifica dacă x = 2 modulo 29 este generator folosim algoritmul exponenţierii modulare, efectuând în acest scop ridicări succesive la pătrat:

Page 235: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

0 1 2 32 2 2 2 2 2 22, 2 4, 4 16, 16 5x x x x x= = = = = = = = − ,

de unde rezultă: , deci x = 2 este generator.

1 24 14 8 4 22 16 1, 2 2 ( 5) 16 4 1d dx x + += = ≠ = = = − ⋅ ⋅ = − ≠1

1

Pentru x = 5 avem: 0 1 2 32 2 2 2 2 2 25, 5 4, 4 16, 16 5x x x x x= = = = − = = = = − ,

de unde rezultă: şi deci x = 5 nu este generator.

1 24 14 8 4 25 16 1, 5 5 ( 5) 16 ( 4)d dx x + += = ≠ = = = − ⋅ ⋅ − =

Page 236: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii
Page 237: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

MODULUL 10

CORPURI FINITE

10.1. Caracteristica unui corp 10.2. Numărul elementelor unui corp finit 10.3. Extinderea unui corp finit 10.4. Proprietăţi ale corpului Gf

10.5. Formula de recurenţă pentru calcularea numărului de polinoame ireductibile cu coeficienţi în Zp

10.1 Caracteristica unui corp Dat fiind un corp comutativ oarecare F, considerând funcţia , în

care , iar pentru , k(n) este rezultatul adunării lui 1 cu el însuşi de n ori dacă n este număr natural strict pozitiv şi rezultatul adunării lui –1 cu el însuşi de –n ori dacă n este strict negativ.

:k Z F→(0) 0k = 0n ≠

Este uşor de verificat relaţia: pentru orice numere întregi m şi n, adică funcţia k este un morfism de la grupul aditiv (Z,+) la grupul aditiv (F,+).

( ) ( ) (k m n k m k n+ = + )

,)

După nucleul acestui morfism corpurile se împart în două clase. A) Corpuri de caracteristică nulă, sunt acelea în care , adică

funcţia este un monomorfism. Funcţia aplică inelul Z în subinelul al lui F izomorf cu Z. Cel mai mic subcorp al lui F va fi izomorf cu corpul Q al numerelor raţionale. În particular un astfel de corp nu poate fi finit. Corpurile Q, R, C sunt din această categorie.

Ker {0}k =k k ( )k Z

B) Corpuri de caracteristică nenulă sunt acelea pentru care subgrupul . Ca orice subgrup al grupului ciclic Z el va fi tot ciclic, generat de

un număr natural n. Acesta este cel mai mic număr natural nenul m cu proprietatea .

Ker {0}k ≠

( ) 0k m =Numărul n trebuie să fie un număr prim, deoarece dacă

, atunci 0 ( , de unde rezultă sau , deoarece şi sunt într-un corp. Aceasta ar contrazice

minimalitatea lui n.

n u v= ⋅( ) 0=0 ; 0u n v n< < < <

( ) 0k v =) ( ) (k n k u k v= = ⋅

( )k vk u

( )k u

Numărul prim p care generează subgrupul al lui Z se numeşte caracteristica lui F. El este cel mai mic număr natural m nenul, astfel că elementul 1 adunat cu el însuşi de m ori dă elementul zero al lui F. Pe de altă

Ker k

Page 238: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

parte, orice număr natural m, pentru care este un multiplu al lui p deoarece subgrupul Ker k este generat de p.

( ) 0k m =

Imaginea morfismului k este în acest caz izomorfă cu grupul factor Z/pZ, adică grupul claselor modulo p, pe care-l notăm Zp. El are şi structură de inel care este corp. Obişnuim să identificăm acest corp cu imaginea morfismului, spunând că F conţine, ca subcorp, corpul Zp. Acesta este cel mai mic subcorp al lui F şi se numeşte subcorpul prim al lui F.

Fireşte, pentru fiecare număr prim p, corpul Zp este corp de caracteristică p.

10.2 Numărul elementelor unui corp finit Pentru orice subcorp al corpului F se poate considera în mod

natural structura de spaţiu vectorial a lui F peste corpul k. În particular, orice corp finit F este spaţiu vectorial peste subcorpul său prim, care este

k F⊂

pZ în cazul când caracteristica lui F este numărul prim p.

Dacă în plus, corpul F de caracteristica p este finit, atunci el va avea o bază finită: x1, x2,…, xn peste Zp. Rezultă că numărul elementelor unui corp finit de caracteristică p este de forma pn, în care n este un număr natural nenul.

Folosind acelaşi principiu, putem spune câte elemente poate să aibă orice subcorp k al corpului F. Fireşte, dacă p este caracteristica lui F, având deci np elemente, atunci tot p va fi şi caracteristica lui k, astfel încât k va avea mp elemente, cu . Dar ţinând seamă că F are structură de spaţiu vectorial peste k, deducem că numărul

m n≤np al elementelor lui F este o putere d a numărului

mp al elementelor lui k, în care d este dimensiunea lui F peste k. Aşadar,

( )dn m mdp p= p= , de unde rezultă n = md, adică m este un divizor al lui n.

În concluzie, dacă F are np elemente, atunci orice subcorp k al lui F va avea mp elemente, în care m este un divizor al lui n.

10.3 Extinderea unui corp finit Am arătat că orice corp finit de caracteristică p are elemente, în

care n este un număr natural nenul. Vom arăta că pentru orice număr natural n, un astfel de corp F, având elemente, efectiv există.

nq p=

nq p=Considerăm 1

1 ...n nf x a x −= + +

p

1n na x a−+ + un polinom având coeficienţii în corpul comutativ Z . Polinomul f defineşte o relaţie de echivalenţă în mulţimea [ ]pZ x a tuturor polinoamelor cu coeficienţi în pZ , numită congruenţa modulo f, şi anume: sunt congruente modulo f dacă diferenţa u – v este divizibilă cu f

, [pu v Z x∈ ]

Page 239: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

(mod. ) ( )u v f f u v= ⇔ = .

Se verifică uşor că aceasta este o relaţie de echivalenţă. Ca urmare, mulţimea [ ]pZ x a polinoamelor cu coeficienţi în pZ se împarte în clase de echivalenţă numite clase de congruenţă modulo f. Fiecare clasă este formată din polinoame congruente între ele modulo f.

Notăm fG mulţimea care are ca elemente aceste clase de congruenţă. Reamintim că în cazul mulţimii nZ a claselor de congruenţă modulo n, se consideră mulţimea de numere {0, 1, 2,…, n – 1}, în care se găseşte câte un reprezentant şi numai unul al fiecărei clase.

Analog, şi pentru mulţimea fG a claselor de congruenţă de polinoame modulo f considerăm mulţimea formată din polinoamele de grad cel mult n – 1 (n fiind gradul lui f ) şi identificăm mulţimea fG de clase cu mulţimea acestor polinoame:

10 1 1{ ... ;n }f n iG u Z−

−= = α + α θ + + α θ α ∈ p ,

în care egalitatea acestor mulţimi trebuie citită în sensul că fiecare clasă de polinoame (element din fG ) se identifică cu reprezentantul său din mulţimea de polinoame de grad cel mult n – 1. Dacă g este un polinom al clasei, atunci reprezentantul său de gradul cel mult n – 1 este restul împărţirii lui g la f. Acest rest nu se schimbă dacă se înlocuieşte polinomul g cu altul din aceeaşi clasă cu el.

La fel ca şi în nZ clasele de polinoame se pot aduna şi înmulţi şi pentru aceasta ne servim de polinoame ce reprezintă clasele respective. Se adună, respectiv se înmulţesc polinoamele ce reprezintă clasele respective şi se reţine din rezultat restul împărţirii la f, care va fi un polinom de gradul cel mult n – 1 în simbolul θ.

Aceste operaţii îndeplinesc condiţiile cerute de structura de inel comutativ: sunt amândouă asociative şi comutative, înmulţirea este distributivă faţă de adunare, polinomul nul (care reprezintă clasa tuturor polinoamelor divizibile cu f ) are efect nul faţă de adunare, iar simetricul faţă de adunare al clasei reprezentate de polinomul u este clasa reprezentată de polinomul –u. Polinomul reprezintă clasa care are efect nul pentru operaţia de înmulţire.

0 1 2 11 ( 1, ... 0)nu −= α = α = α = = α =

Reamintim că inelul nZ al claselor de congruenţă modulo n este corp dacă şi numai dacă n este număr prim.

O situaţie similară întâlnim şi în cazul inelului fG .

TEOREMĂ Inelul fG este corp dacă şi numai dacă f este polinom ireductibil.

Page 240: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

DEMONSTRAŢIE Dacă f nu este ireductibil, atunci ( ) ( ) ( )f x u x v x=

( )u θ)v θ

, în care u şi v sunt polinoame de grad cuprins între 1 şi n – 1, deci şi reprezintă două clase, ambele nenule. Produsul u este egal cu zero, deoarece restul împărţirii lui la

( )v θ( ) (θ ⋅( )( ) ( ) ( )u x v x f x= f x este nul. Înseamnă că ( ) şi sunt

divizori ai lui θ în inelul u θ ( )v θ

fG şi deci acest inel nu este corp. Reciproc,

presupunem că f este ireductibil şi fie u nenul (fiind şi de grad strict mai mic decât n va reprezenta o clasă nenulă). Deoarece f este ireductibil rezultă că

11

n−θ0 1( )θ = α + α θ

1

...+ + nα −

( ( ), ( ))f x u x = , unde ( ( ), ( ))f x u x înseamnă cel mai mare divizor comun al polinoamelor ( )f x şi . ( )u x

Folosind algoritmul lui Euclid pentru polinoame se pot găsi polinoamele şi astfel încât: ( )a x ( )b x

( ) ( ) ( ) ( ) 1a x u x b x f x+ = ,

în care putem presupune că gradul lui este strict mai mic decât n (înlocuind, eventual pe cu restul împărţirii lui la

( )a x( )a x ( )a x ( )f x şi se modifică

corespunzător ). ( )b xÎnlocuind în această relaţie pe x cu θ, element din fG , obţinem:

, ceea ce înseamnă că elementul nenul ( ) ( ) 1a uθ ⋅ θ = ( ) fu Gθ ∈ are ca invers pe . QED. ( )a θ

10.4 Proprietăţi ale corpului Gf TEOREMĂ Corpul fG are următoarele proprietăţi:

1. Numărul elementelor lui fG este . nq p=

2. Corpul fG este constituit din rădăcinile polinomului . ( )np

nP x x x= −3. AUTOMORFISMELE LUI FROBENIUS: Funcţia : ;f fG Gϕ →

( ) pu uϕ = este un automorfism al corpului fG care lasă pe loc elementele lui

pZ şi numai pe acestea. Ordinul acestui automorfism în grupul automorfismelor

lui fG este n, adică automorfismele 2 3,.., , ., n Idϕ ϕ ϕ ϕ = sunt distincte între ele. 4. Elementul u al corpului = θ fG

( np =

este o rădăcină a lui f. Celelalte

rădăcini sunt: şi deci )2 3,p p pθ

1, ,...,

np −θ θ θ θ θ fG conţine toate cele n

rădăcini ale lui f.

Page 241: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

DEMONSTRAŢIE 1. Corpul fG conţinând subcorpul pZ (format din polinoamele de grad

zero în θ) are structură de spaţiu vectorial peste pZ .

Fiecare element din fG are forma: , adică este

combinaţie liniară, cu coeficienţii în

10 1 1... n

nu −−= α + α θ + + α θ

pZ , a elementelor: ale lui 21, , ,...,θ θ θ 1n−

fG . Deci aceste n elemente constituie un sistem de generatori ai spaţiului vectorial fG .

Acest sistem de vectori este şi liniar independent, deoarece orice combinaţie liniară a lor, cu coeficienţi - nu toţi nuli - în pZ , este un element nenul al lui fG .

Deci, dimensiunea lui fG ca spaţiu vectorial peste pZ este n, de unde

rezultă că numărul elementelor lui fG este . nq p=

2. Grupul multiplicativ *fG al lui fG

p

având elemente rezultă că pentru orice element u ≠ 0 al acestui grup, ordinul său este un divizor al ordinului al acestui grup, conform teoremei lui Lagrange. Aşadar numărul este multiplu al ordinului oricărui element u ≠ 0, adică:

. Aceasta înseamnă că toate cele elemente nenule ale corpului

1np −

1np −1np −

1 1npu − = 1n −

fG sunt rădăcini ale polinomului . 1np − −1x

Rezultă că toate cele np elemente ale corpului fG

n

(inclusiv elementul

nul) sunt rădăcini ale polinomului 1( 1)n np p ( )x x x x P− − = − x

= . Rădăcinile acestui polinom sunt distincte, deoarece derivata sa

nu are nici o rădăcină. Rădăcinile multiple ale lui trebuie să fie rădăcini ale derivatei sale.

1( ) 1 1nn p

nP x p x −′ = − =( )nP x

Pe de altă parte, polinomul de gradul nP np nu poate avea mai mult decât np rădăcini. Prin urmare, corpul fG este constituit din mulţimea rădăcinilor

polinomului . ( )nP x3. Să observăm mai întâi că pentru orice elemente u şi v din fG avem:

. Într-adevăr, ( ) p pu v u v+ = + p

)( )( ) (1

1

1 2 ...( ) , iar !

pp p p k p k k k

p pk

p p p p ku v u v C u v Ck

−−

=

− − − ++ = + + =∑ 1

Page 242: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

este divizibil cu p (caracteristica corpului fG ), deoarece produsul k! nu este divizibil cu p. Ca urmare, toţi termenii binomului lui Newton sunt nuli în afară de cei pentru care k = 0 şi k = p.

De remarcat că relaţia este valabilă în orice corp de caracteristică p, iar aceasta înseamnă că ridicarea la puterea p este un endomorfism nu numai pentru operaţia de înmulţire (deci pentru grupul multiplicativ

( ) p pu v u v+ = + p

*fG al corpului), ci şi pentru grupul aditiv, deci este un

endomorfism al corpului. Acest endomorfism este automorfism, deoarece este injectiv. Într-adevăr,

. (De fapt, se poate arăta că orice endomorfism nenul al unui corp finit este un automorfism). ( ) 0 0pu v u v u v− = ⇒ − = ⇒ =

Notăm φ acest automorfism. El se numeşte automorfismul lui Frobenius. Elementele care nu se schimbă prin acest automorfism, adică cele care au proprietatea ( )u uϕ = , ceea ce înseamnă sunt rădăcini ale polinomului pu = u

px x− . Elementele subcorpului pZ al lui fGp

îndeplinesc această condiţie.

Altele nu mai pot fi deoarece polinomul x x− nu poate avea mai mult decât p rădăcini.

Dacă i jϕ = ϕ ; 1 ≤ i < j ≤ n, atunci j i Id−ϕ = . Notând , vom

avea:

r j i= − < n

( ) ;rp;r

f fGu u= ∀ ∈u G u u uϕ ⇔ = ∀ ∈ , adică toate cele np elemente ale

lui fG sunt rădăcini ale polinomului rpx x− care are gradul strict mai mic decât

np . Deci, nu este posibil ca i jϕ = ϕ ; 1 ≤ i < j ≤ n, adică automorfismele 2 3, , ,..., nϕ ϕ ϕ ϕ sunt distincte.

Pe de altă parte, ( )nn pu u u uϕ = ⇔ = , iar această din urmă egalitate este

îndeplinită de toate elementele lui fG , adică n Idϕ = . Prin urmare, ordinul automorfismului φ este n. 4. Fie u un element al corpului fG care este rădăcină a polinomului f

adică ( ) 0f u = . Rezultă:

[ ] ( )11 1

( 1)1 1

11 1

0 ( ) ...

...

( ) ( ) ... (

pp n nn n

np p n p p p pnn

p n p n p pn n

f u u a u a u a

u a u a u a

u a u a u a f u

−−

−−

−−

= = + + + +

= + + + + =

= + + + + = )

=

adică este rădăcină a lui f. puAşadar dacă u este rădăcină a lui f, atunci şi este rădăcină a lui f şi

acest lucru este valabil pentru orice polinom cu coeficienţii în pu

pZ .

Page 243: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Pornind de la faptul că este rădăcină a lui f deducem că sunt rădăcini ale lui f. Evident, , deoarece pentru

orice element u al lui

u = θ2 3

, , ,.p p pθ θ θ .. unpθ = θ

npu =fG .

Rădăcinile sunt distincte. Într-adevăr, dacă ar fi ; 1 ≤ i < j ≤ n, notând am avea:

2 3

1 2 3, , ,...,np p p p

nu u u u= θ = θ = θ = θ = θi ju u= r j

( )r

i= − < n

( ) ( )i jϕ θ = ϕ θ ⇔ ϕ θ = θ2 1

1... nn fu G−

−+ + α θ ∈, ceea ce înseamnă că pentru orice

avem: 0 1 2= α + α θ + α θ

( )( ) ( )

10 1 1

2 10 1 2 1

2 10 1 2 1

( ) ...

( ) ...

... ; ,

r r nn

r r r nn

n rn

u

u Id r

−−

−−

−−

ϕ = ϕ α + α θ + + α θ =

= α + α ϕ θ + α ϕ θ + + α ϕ θ =

= α + α θ + α θ + + α θ = ⇔ nϕ = <

ceea ce nu este adevărat. Aşadar polinomul f are n rădăcini în fG , iar pe de altă parte, elementele

lui fG sunt toate rădăcini ale polinomului . Rezultă că polinomul este divizibil prin polinomul f. Acest lucru este valabil pentru orice polinom ireductibil de gradul n cu coeficienţii în

( )np

nP x x x= −

p

nPZ . QED.

TEOREMĂ

Factorii ireductibili ai polinomului sunt toate polinoamele ireductibile, cu coeficienţi în

( )np

nP x x x= −

pZ , de gradul d, în care d este un divizor al lui n.

DEMONSTRAŢIE Am arătat mai înainte că orice polinom ireductibil de gradul n cu

coeficienţii în pZ , divide polinomul . Vom arăta că acest lucru este valabil pentru orice polinom ireductibil al cărui grad este un divizor d al lui n.

nP

Într-adevăr, dacă n = dm, atunci:

( )( ) ( )2 ( 1)1 1 1 1 ...n nd d d d n d d 1p p p p p p p−− = − = − + + + + = − k1)d

)k −

,

unde am notat . Rezultă: 2 (1 ...d d nk p p p −= + + + +

( )(( 1)

1 1 ( 1)2 ( 1)3 ( 1)( 1)

( ) 1 1

1 1 ... ,

n d

d d d d d

p p kn

p p p p p

P x x x

x x x x x

− − − − −

= − = − =

= − + + + + +

adică polinomul divide polinomul oricare ar fi divizorul d al lui n. Dacă g este polinom ireductibil de gradul d (având coeficienţii în

dP nPpZ ), atunci g divide

care la rândul lui divide . Deci g divide . dP nP nP

Page 244: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Reciproc, fie g un polinom ireductibil de gradul m cu coeficienţi în pZ , care divide polinomul . nP

Deoarece toate rădăcinile lui sunt în nP fG rezultă că rădăcinile lui g sunt în fG . Fie µ una din rădăcinile lui g.

Page 245: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Mulţimea:

{ }2 10 1 2 1... ;m

g m iG v Z−−= = α + α μ + α μ + + α μ α ∈ p

este un subcorp al lui fG , având mp elemente. Rezultă atunci că m divide n.

CONSECINŢĂ Orice corp având elemente este izomorf cu nq p= fG .

DEMONSTRAŢIE Într-adevăr, corpul F este constituit din rădăcinile polinomului , printre

care se află şi rădăcinile lui f, deoarece este divizibil cu f. Evident, corpul F, de caracteristică p, conţine un corp izomorf cu

nPnP

pZ , pe care-l identificăm cu pZ . Fie θ una din rădăcinile lui f. Submulţimea

{ }2 10 1 2 1... ;n

f n iG u Z−−= = α + α θ + α θ + + α θ α ∈ p

F

a lui F este un subcorp, având tot elemente ca şi F, deci . QED. nq p= fG =

Deoarece nu există două corpuri neizomorfe având acelaşi număr de elemente, identificăm un corp finit prin precizarea numărului q al elementelor sale, adică obişnuim să notăm un corp finit în care , iar n este un număr natural nenul şi p un număr prim.

nq p=

qF nq p=

10.5 Formula de recurenţă pentru calcularea numărului de polinoame ireductibile cu coeficienţi în Zp

Notăm numărul polinoamelor ireductibile de gradul n având coeficienţii în corpul

nNpZ .

Corpul are elemente care sunt rădăcinile polinomului

. Acesta, la rândul său, este produsul tuturor polinoamelor ireductibile de gradul d în care d parcurge mulţimea divizorilor lui n.

qF

x−

nq p=

( )np

nP x x=

Pentru un divizor d, produsul polinoamelor ireductibile de gradul d are gradul . Aşadar, dd N⋅ n

dd n

p d N= ⋅∑ . Se obţine deci următoarea formulă de

recurenţă:

,

1 nn d

d n d n

N p d Nn <

⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ .

Page 246: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

În particular, dacă n este un număr prim, atunci singurul divizor al lui n strict mai mic decât n este , iar numărul polinoamelor ireductibile cu coeficienţii în

1d =pZ de gradul unu este p. Deci:

n

np pN

n−= .

Page 247: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

MODULUL 11

RĂDĂCINA PĂTRATĂ ÎNTR-UN INEL DE CLASE DE RESTURI

11.1. Simbolul lui Lagrange 11.2. Problema existenţei rădăcinii pătrate modulo n 11.3. Algoritmul de rezolvare a ecuaţiei x2=a(mod.p)

Se obişnuieşte ca rezolvarea ecuaţiei 2x a= să se descompună în două

probleme distincte: 1) stabilirea faptului dacă are sau nu soluţii; 2) găsirea soluţiilor în cazul când ştim că acestea există. Dacă n = p este un număr prim atunci, aşa cum vom arăta, dispunem de

algoritme polinomiale pentru problema rezolvării ambelor probleme. Aceste algoritme se pot aplica şi în cazul corpurilor finite, precum şi inelelor claselor de resturi pentru care grupul unităţilor este ciclic.

În schimb, chiar şi pentru un număr de forma n = pq (ştiind că este de această formă dar fără a se cunoaşte numerele prime p şi q) nu se cunosc algoritme polinomiale pentru nici una din cele două probleme. Mai mult, problema a doua este echivalentă, polinomial, cu aflarea factorilor primi p şi q.

În continuare ne vom ocupa de rezolvarea celor două probleme pentru cazul când n = p este un număr prim.

11.1 Simbolul lui Lagrange

11.1.1 Definiţii, proprietăţi Fie p un număr prim impar (p ≠ 2) şi n un număr întreg oarecare. Simbolul

lui Lagrange se notează np

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

şi ia următoarele valori:

– zero, dacă n este un multiplu al lui p; – unu, dacă n nu este multiplu al lui p şi ecuaţia 2 (mod. )x n= p are

soluţii; – minus unu, dacă n nu este multiplu al lui p şi ecuaţia 2 (mod. )x n p= nu

are soluţii.

Page 248: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

O serie de proprietăţi ale simbolului lui Lagrange conduc la elaborarea unui algoritm polinomial pentru a stabili dacă ecuaţia 2 (mod. )x n= p are sau nu soluţii. În cazul că ecuaţia are soluţii se mai spune că n este un pătrat modulo p.

Să observăm mai întâi că simbolul lui Lagrange, np

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, nu depinde decât

de clasa modulo p a lui n. Mai precis, dacă , atunci (mod. )m n p= m np p

⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠.

PROPOZIŢIE 1

2 (mod. )pn n p

p

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

DEMONSTRAŢIE

Remarcăm mai întâi că exponentul 12

p − este un număr întreg, deoarece

numărul prim p este impar (prin definiţia simbolului lui Lagrange se exclude cazul numărului prim p = 2).

Dacă n este un multiplu al lui p atunci, evident, 1

2p

n−

este şi el multiplu de p, deci membrul drept este egal cu zero. Membrul stâng este, în acest caz, prin definiţie egal cu zero.

Dacă n nu este multiplu de p să ţinem seamă că grupul *pZ este ciclic şi

fie g un generator al acestui grup. Notăm tot g numărul cuprins între zero şi 1p − care reprezintă clasa g.

Din definiţia generatorului rezultă că există un număr 1 ≤ k ≤ p – 1 astfel încât . (mod. )kn g p=

Dacă numărul k este par, k = 2h, atunci ecuaţia 2 2 (mod. )hx n g p= = are o

soluţie, şi anume: hx g= şi deci 1np

=⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟ . Pe de altă parte,

112 ( ) 1(mod. )p

ph pn g

−−= = din teorema lui Fermat. Deci se verifică relaţia din

enunţ în acest caz. Dacă numărul este impar, atunci ecuaţia 2 1k h= + 2 (mod. )x n= p nu

poate avea soluţie pentru că dacă rx g= ar fi o astfel de soluţie, atunci 2 2 2 1(modr h . )x g g += = p , de unde ar rezulta că 1p − divide diferenţa

Page 249: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

2 (2 1r h− − ) . Dar acest lucru nu este posibil deoarece numerele 1p − şi 2r sunt

pare, iar este impar. Deci 2h −1 1np

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Pe de altă parte, 1 1 1 1(2 1) ( 1)2 2 2 2

p

g−

= 1(mod. )p p ph h pn g g g p

− − −+ −= = = − . Ultima egalitate se bazează pe faptul că ecuaţia 2 1x = în corpul pZ are numai

soluţiile şi 1x = − , iar 1

2 1(mod. )p

g p−

≠ , deoarece ( 1) /1x = 2p − este strict mai mic decât 1p − . QED

CONSECINŢĂ

Oricare ar fi numerele întrege m şi n avem: m n m mp p p

⎛ ⎞⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ .

Într-adevăr, 1 1 1

2 2 2( ) (mod. )pp p pm n m nm n m n

p p p

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ .

11.1.2 Simbolul lui Lagrange pentru n=2 Prin teorema anterioară se reduce calculul simbolului lui Lagrange al unui

număr n presupus foarte mare la simbolurile Lagrange ale factorilor lui n care sunt mai mici.

Primul pas în aplicarea acestui principiu este să considerăm descompunerea 2sn = t , în care t este un număr impar şi să reducem problema calculului simbolului lui Lagrange la cazul când n = t este un număr impar. Pentru aceasta trebuie ştiut simbolul lui Lagrange al lui n = 2.

TEOREMĂ 2 182 ( 1)

P

p

−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

DEMONSTRAŢIE Grupul al unităţilor corpului este ciclic şi are ordinul

care este divizibil cu 8, deoarece este produsul a două numere pare consecutive (deoarece p este impar). Înseamnă că grupul ciclic

conţine un singur subgrup ciclic de ordinul 8. Fie ω un generator al acestui subgrup. Avem: , dar .

2*p

F

)( +

8ω =

2pF

2 1 (p p− = −1 1)p

1

2*p

F

4 1ω = −Pe de altă parte, notăm:

Page 250: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

2 2

7

18 0

0; dacă este par: {0,1, 1}; ( ) ; ( )

( 1) ; dacă este impar

jn p

j

nf Z f n G f j

n−

=

⎧⎪→ − = = ω ∈⎨⎪ −⎩

∑ F .

Observăm că ( )f j depinde numai de clasa modulo 8 a lui j şi la fel şi . Prin urmare, indicele de sumare din expresia lui G parcurge de fapt mulţimea celor 8 clase de congruenţă modulo 8.

Putem explicita suma G:

( ) (3 5 7 3 3(1) (3) (5) (7) ( ) 2G f f f f= ω + ω + ω + ω = ω − ω − −ω + −ω = ω − ω )3

8

,

de unde rezultă: , deoarece şi .

( ) ( )22 3 2 4 62 4 2G ⎡ ⎤= ω − ω = ω − ω + ω =⎣ ⎦2ω

4 1ω = −6 4 2ω = ω ω = −

Ca urmare,

( )1 1 11

2 12 2 22 28 2 2 2p p pp

p pG G G G G Gp

− − −−− ⎛ ⎞

= = = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

G ,

unde am ţinut seamă că are caracteristica p şi deci , iar 2pF 12 1p− =

12 22

p

p

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

în . 2pF

Observăm că pentru orice număr natural impar j avem: 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

1 1 1 18 8 8 8

( 1) ( 1) ( 1)8 8 8

( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1) ( 1) ( ).

p p j p j p

pp j j j

f p f pj

f j

− − − −−

− − −

⋅ = − − = − =

⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

Egalitatea ( ) ( ) ( )f p f pj f j⋅ = este evident adevărată şi când j este un număr par.

Folosind iarăşi faptul că are caracteristica p şi că [ (2pF )] ( );pf j f j= ∀j

pj =

,

obţinem:

7 7 7

0 0 0

7

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,

p

p j pj

j j j

pj

j

G f j f j f p f pj

f p f pj f p G

= = =

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= ω = ω = ω⎢ ⎥⎣ ⎦

= ω = ⋅

∑ ∑ ∑

Page 251: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

unde am ţinut seamă că atunci când j parcurge cele opt clase modulo opt, la fel face şi pj, deoarece p este prim cu modulul 8.

Comparând cele două expresii ale lui , obţinem: pG2 122 ( ) ( 1)

p

f pp

−⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠. QED

CONSECINŢĂ Numărul 2 este un pătrat modulo p dacă şi numai dacă 1(mod.8)p = ± .

Într-adevăr, dacă 8 3p k= ± , atunci: 22 64 24 9 1

8 1k k± + −

= −1

22 ( 1) ( 1)p

p

−⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠, iar

dacă 8 1p k= ± , atunci: 22 64 116 1 11

822 ( 1) ( 1) 1k kp

p

± + −−⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Deoarece, după teorema lui Dirichlét, numerele prime sunt egal repartizate în clasele modulo n (prime cu n), rezultă că pentru un număr prim p luat la întâmplare, sunt şanse egale ca 2 să fie sau să nu fie un pătrat modulo p.

O altă consecinţă a teoremei este: 1

2 1; 4 11 ( 1)1; 4 1

p p kp kp

− = +⎧⎛ ⎞− = − = ⎨⎜ ⎟ − = −⎝ ⎠ ⎩

adică –1 este un pătrat modulo p dacă şi numai dacă 1(mod.4)p = . Invocând iarăşi teorema lui Dirichlét, rezultă că luând la întâmplare un număr prim p sunt şanse egale ca ecuaţia 2 1 0x + =

2 1 să aibă sau să nu aibă soluţii modulo p,

respectiv ca polinomul x + să fie sau să nu fie reductibil. Ţinând seamă de rezultatul anterior privind simbolul lui Lagrange al lui 2,

obţinem următoarea schemă care caracterizează cele patru clase impare modulo 8:

p 2p

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1p

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

8k + 1 1 1 8k – 1 1 –1 8k – 3 –1 1 8k + 3 –1 –1

Page 252: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

11.1.3 Corpuri gaussiene În continuare să considerăm cazul 4 1p k= − , adică acela în care ecuaţia

2 1 0x + = nu are soluţii în pZ . Printre acestea se află: 3, 7, 11, 19, 23, 31,…

Deoarece polinomul nu are rădăcini în 2 1f x= + pZ înseamnă că acest polinom este ireductibil şi corpul se poate realiza ca fiind corpul claselor de

polinoame cu coeficienţi în 2p

F

pZ modulo f :

{ }22; , , 1f pp

F G u Z= = = α + βθ α β∈ θ = − .

Este normal ca în loc de θ să scriem i, aşa cum se notează simbolul imaginar din corpul numerelor complexe.

Deci:

{ }22i; , , i 1 i [i]p p pp

F u Z Z Z Z= = α + β ⋅ α β∈ = − = + ⋅ = p ,

adică se reprezintă la fel ca inelul întregilor lui Gauss: 2pF [i] iZ Z Z C= + ⋅ ⊂

cu deosebirea că în loc de Z se ia pZ în care p este de forma . 4 1k −Este vorba aici nu numai de o asemănare formală a lui

, dar primul se obţine din al doilea în felul următor: grupul

pZ este subgrup al lui 2 [i] cu [i]pp

F Z Z=

[i]Z , iar grupul factor este izomorf cu 2[i] p pZ F= .

Realizarea corpului ca 2pF fG diferă de acesta prin inversarea ordinii

operaţiilor (de adjuncţionare a lui i şi de factorizare), adică fG se obţine factorizând mai întâi grupul Z prin subgrupul pZ iar apoi, grupului factor obţinut, având şi structură de corp, i se adjuncţionează rădăcina i a polinomului ireductibil . 2 1f x= +

Schema celor două căi este deci următoarea:

i [i]

i[i] i i [i].

p f p p p

p p p

Zp Z Z Z G Z Z Zp Z

Z Zp Z Z Z Z Z Z Z Zp Z

⋅ ⊂ → = → = + ⋅ =⋅

+ ⋅⋅ ⊂ → = + ⋅ → = + ⋅ =⋅

11.1.4 Teorema reciprocităţii

Teoremele anterioare reduc calculul lui np

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

la cazul când n este un

număr natural impar mai mic decât p. Mai departe, dacă 1 21 2 ... sr r r

sn q q q= este descompunerea lui n în factori primi (impari) atunci, deoarece

Page 253: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

1 21 2 ...

sr rsqn q q

r

p p p p⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, problema calculului lui np

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

se reduce la calcul

simbolurilor de forma qp

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, în care q este factor prim impar mai mic decât p.

Este avantajos dacă se schimbă p cu q, deoarece atunci numărul p se poate înlocui cu restul împărţirii sale la q. Această posibilitate este afirmată de teorema care urmează.

TEOREMĂ ( 1)( 1)

4( 1)p qq p

p q

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

DEMONSTRAŢIE Potrivit teoremei, cele două simboluri sunt egale cu excepţia cazului când

numerele p şi q sunt amândouă de forma . 4 1k −Fie m un număr natural nenul astfel încât 1(mod. )mp q=

1m q= −. De exemplu,

având în vedere teorema lui Fermat, se poate lua . Deoarece q este un divizor al lui , care este ordinul grupului ciclic

, rezultă că acest grup conţine un subgrup bine determinat de ordinul q. Fie

un generator al acestui grup, adică

1mp −*

mpF

Fξ∈ *mp

2 3, , ,..., 1qξ ξ ξ ξ = sunt rădăcinile

ecuaţiei 1 0qx − = . Notăm:

1

0m

qj

pj

jG Fq

=

⎛ ⎞= ξ ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ .

Vom demonstra egalitatea: 1

2 2( 1)q

G q−

= − . Remarcăm mai întâi că în expresia lui G fiecare termen rămâne

neschimbat dacă j se înlocuieşte cu un număr congruent cu j modulo q. Pe de altă parte, dacă în suma G indicele j se înlocuieşte cu jk în care k

este un număr prim cu q, atunci se va schimba numai ordinea termenilor în G şi nu suma G însăşi. Transformarea este o bijecţie a lui j j→ k qZ dacă numărul k nu reprezintă clasa nulă a lui pZ . În particular, luând , obţinem: 1= −k

1

0

qj

j

jGq

−−

=

⎛ ⎞−= ξ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ .

Să mai remarcăm faptul că termenul lui G corespunzător lui 0j = este nul.

Page 254: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Deci: 1 1 1 1

2

1 1 1 1

1 1 2(1 ) (1 )

1 1 1

1

q q q qj k j jk

j k j k

q qj jk j k

j k j

j k j jkG GGq q q q

j jk j k kq q q q q

− − − −− −

= = = =

− −− −

= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥= = ξ ⋅ ξ = ξ ξ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −= ξ ξ = ξ = ξ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑1 1 1 1

1 1 1

,q q q q

j k k

− − − −

= = =∑∑ ∑ ∑ j k−

unde am ţinut seamă că simbolul lui 2j este egal cu unu. Reintroducerea în sumă a valorii nu are nici un efect, deoarece

Indicele lui Lagrange al lui zero este nul. Pe de altă parte, pentru 0k =

0j = suma

devine: 1 1

0 1

1 1 0q⎞q q

j j

k k

k kq q q

− −

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− − ξ =⎟⎠

∑ξ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

∑ , deoarece jumătate din cele

clase nenule modulo q sunt pătrate şi jumătate nu sunt. Deci:

1q −

1 12 (

0 0

1 q qj k

k j

kGq q

− −−

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= ξ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ 1 ) .

Pentru suma devine: 1k ≠ 2G1

2 (

0

1 qj k

j

kGq q

−−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞−= ξ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ 1 ) , unde

exponentul (1 )j k− va parcurge toate cele q clase modulo q, atunci când j parcurge valorile 0, 1, 2,…, q – 1. Deci, sub semnul sumă se va obţine suma tuturor celor q rădăcini ale polinomului 1qx − , care, după prima formulă a lui Viète, este nulă. Deci:

112 0 2

0

1 1 ( 1)qq

j

j

G qq q

−−⋅

=

⎛ ⎞⎛ ⎞−= ξ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ .

De aici rezultă, pe de o parte:

( )1

1 ( 1)( 1)1 22 2 42 ( 1) ( 1)

pq p qp

p qG G G q Gp

−− − −− ⎡ ⎤ ⎛ ⎞

= = − = −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

G ,

iar pe de altă parte: 1 1 12

0 0 0

q q qp pj pj pj

j j j

j p j p pjG Gq q q q

− − −

= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ξ = ξ = ξ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ p

q.

Din cele două evaluări ale lui Gp rezultă egalitatea din enunţ. QED.

Page 255: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

11.2 Problema existenţei rădăcinii pătrate modulo n Aşa cum am menţionat această problemă înseamnă a stabili dacă pentru

un număr întreg a dat, ecuaţia 2 (mod. )x a= n are sau nu are soluţii. Dacă n = p este un număr prim, atunci simbolul lui Lagrange şi egalitatea

12 (mod. )

na ap

−⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠n oferă un algoritm polinomial pentru rezolvarea acestei

probleme. Teorema reciprocităţii aduce, în plus, simplificări substanţiale ale calculării simbolului lui Lagrange.

Dacă n nu este prim, atunci dispunem, aşa cum vom vedea în continuare, numai de un test polinomial care rezolvă numai cu o anumită probabilitate problema.

11.2.1 Simbolul lui Iacobi Pentru orice număr întreg a şi un număr natural impar se

defineşte:

1 21 2 ... rk k k

rn p p p=1 2

1 2...

rk k

r

a a a an p p p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k

numit simbolul lui Iacobi.

PROPRIETĂŢI 1. Simbolul lui Iacobi se exprimă în funcţie de simbolurile lui Lagrange. Fireşte, în cazul când n = p este un număr prim, atunci simbolul lui Iacobi coincide cu simbolul lui Lagrange.

2. Simbolul lui Iacobi depinde numai de clasa modulo n a lui a, deoarece

(mod. ) (mod. ) ; 1,2,...,ii i

b a bb a n b a p i r ap p n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n

.

3. Egalitatea ab a bn n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ n

⎞⎟⎠

rezultă imediat din definiţie şi din

proprietăţile simbolului lui Lagrange.

4. Dacă numărul a are un factor comun cu n atunci 0an

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Urmează alte proprietăţi ale simbolului lui Iacobi a căror demonstraţie nu este imediată.

PROPOZIŢIE 2 182 ( 1)

n

n

−⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Page 256: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

DEMONSTRAŢIE Să observăm mai întâi că membrul drept depinde numai de clasa modulo

8 a numărului impar n. Într-adevăr, dacă , atunci: 8m k= + n

2 2

2 2 2

1 122 8 8

1 (8 ) 1 64 16 18 8 8

12(4 ) ( 1) ( 1) .8

m n

m k n k kn n

nk kn− −

− + − + + −= =

−= + + ⇒ − = −

2=

Clasele modulo 8 ale numerelor impare sunt în număr de patru, şi anume: reprezentate de numerele ±1şi ±3.

Produsul a două numere aflate în clasele ±1 este tot într-una din aceste două clase. În schimb, produsul a două numere aflate în clasele ±3 nu se află în nici una din aceste clase, ci se află într-una din clasele ±1. În sfârşit, produsul a două numere, unul aflat într-una din clasele ±1, iar celălalt într-una din clasele ±3 se află într-una din clasele ±3.

Membrul drept din egalitatea de demonstrat, 2 18( 1)

n −

− , este ±1, după cum clasa lui n modulo 8 este una dintre ±1 sau una dintre ±3. Pe de altă parte, dacă

în care numerele prime impare nu sunt neapărat distincte, atunci clasa modulo 8 a lui n este produsul claselor modulo 8 ale celor r factori. Ca

urmare,

1 2... rn p p p=

2 18( 1)

n

− 1−

= ± după cum numărul factorilor ip aflaţi într-una din clasele ±3 este par sau impar.

Din egalitatea 1 2

2 2 2 2...rn p p p

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

, în care 2 1ip

⎛ ⎞= ±⎜ ⎟

⎝ ⎠ după cum

clasa modulo 8 a lui ip este una din clasele ±3, rezultă că 2 1n

⎛ ⎞ = ±⎜ ⎟⎝ ⎠

după cum

numărul factorilor ip aflaţi într-una din clasele ±3 este par sau impar. Deci, 2 182 ( 1)

n

n

−⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

. QED

Această propoziţie reduce calculul simbolului lui Iacobi mn

⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ la cazul

când numărul m este, ca şi n, un număr impar. Vom arăta că în acest caz numerele a şi n pot să-şi schimbe locul.

PROPOZIŢIE

Dacă m şi n sunt numere impare, atunci: ( 1)( 1)

4( 1)m nm n

n m

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Page 257: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

DEMONSTRAŢIE

Membrul drept din relaţia de demonstrat este nm

⎛⎜⎝ ⎠

m⎞⎟ după cum numerele

m şi n sunt amândouă în clasa lui –1 modulo 4 sau nu. Fie 1 2 1 2... ; ...s rm q q q n p p p= = descompunerile în factori primi nu

neapărat distincţi ale numerelor impare m şi n. Avem: ,

t

ji j

qmn p

⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏ ⎟⎟ , în care i

ia valorile 1, 2,…, s, iar j ia valorile 1, 2,… r. Una din proprietăţile simbolului lui Lagrange se exprimă prin relaţia:

( 1)( 1)4( 1)

i jq pji

j i

pqp q

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎟ , care înseamnă că ji

j i

pqp q

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠m ⎟ după cum

numerele impare şi iq jp sunt amândouă în clasa lui –1 modulo 4 sau nu.

Rezultă că mn m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n

) după cum numărul perechilor de numere prime

aflate ambele în clasa lui –1 modulo 4 este par sau impar. ( ,i jq pNumărul acestor perechi este produsul dintre numărul factorilor lui m

congruenţi cu –1 modulo 4 şi numărul factorilor lui n congruenţi cu –1 modulo 4. Evident că acest produs este impar dacă şi numai dacă ambii factori sunt impari, adică dacă şi numai dacă atât numărul factorilor lui m congruenţi cu –1 modulo 4, cât şi numărul factorilor lui n congruenţi cu –1 modulo 4 sunt numere impare.

Dar deoarece clasa lui m modulo 4 este produsul claselor factorilor săi înseamnă că m se află în clasa lui –1 modulo 4 dacă şi numai dacă numărul factorilor lui m congruenţi cu –1 modulo 4 este impar. La fel şi pentru n. Deci,

mn m

⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mn ⎞⎟ după cum numerele m şi n sunt amândouă congruente cu

–1 modulo 4 sau nu. QED.

OBSERVAŢII 1. Aceste două propoziţii conduc la un algoritm polinomial de calculare a

simbolului lui Iacobi, care poate fi folosit şi pentru calculul simbolului lui Lagrange. Pentru calculul simbolului lui Lagrange dispunem de formula

12 (mod. )

pm mp

−⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠p , care oferă tot un algoritm polinomial, dar volumul de

calcul este mult mai mare.

Page 258: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

2. Dacă m este un pătrat modulo n, unde n este un număr natural impar,

atunci, evident, 1mn

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, deoarece 2m m m

n n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

. Reciproca nu este

adevărată. Aşadar, dacă 1mn

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

, atunci putem spune cu certitudine că m nu

este un pătrat modulo n. Dar dacă 1mn

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, atunci nu putem trage nici o

concluzie. Dacă de exemplu, este produsul a două numere prime impare atunci, pe de o parte, m este pătrat modulo n dacă şi numai dacă m este atât

pătrat modulo p, cât şi pătrat modulo q. Pe de altă parte,

n pq=

1m mn p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mq

adică 1mn

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

atât atunci când m este pătrat, atât modulo p cât şi modulo q (deci

când este şi pătrat modulo n), cât şi atunci când nu este pătrat nici modulo p şi nici modulo q (şi deci nici modulo n).

Evident că dacă se cunosc numerele prime p şi q putem afla, prin

calcularea simbolurilor lui Lagrange ,m mp q

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎟ dacă m este sau nu un pătrat

modulo n. Dar nu s-a elaborat până în prezent un algoritm polinomial prin care

să se stabilească dacă m este sau nu un pătrat modulo n ştiind că 1mn

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Se

crede că această problemă este polinomial echivalentă cu problema descompunerii lui n în factori primi, pentru care nu s-a elaborat încă un algoritm polinomial.

11.3 Algoritmul de rezolvare a ecuaţiei x2=a(mod.p) Prin calcularea simbolului lui Lagrange se presupune că s-a găsit că a este

un pătrat modulo p şi ne propunem să-i găsim rădăcinile. Fireşte, dacă x = r este una din rădăcini, atunci cealaltă este x = – r.

Fie s şi t numerele naturale care satisfac egalitatea 1 2sp t− = , în care t este un număr impar. Deci s este cel mai mare exponent al lui 2 care divide

1p − . Evident, s ≥ 1, deoarece p este un număr impar. Notăm 1

2 (mod. )t

r a p+

= . Considerăm cunoscut un număr natural n care nu este pătrat modulo p,

adică 1

2 1(mod. )p

n p−

= − şi notăm . Rezultă şi: (mod. )tb n n=12 1(mod. )

sb p

−= −

( ) ( )1 1 12 21 2 1 1 2 1(mod. )

s s pta r a a a p

− − −− − += = = .

Page 259: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Construim şirul de numere naturale 1 2, ,..., sr r r astfel că pentru fiecare

să avem: . Va rezulta atunci, pentru s = i că

, adică .

1,2,...,i =1 2 1(msa r− =

s

r

( )21 2 1(mod. )s i

ia r p−

− =2 (mod. )sr a p=od. )p

Pentru i = 1 se ia care îndeplineşte condiţia ( ) . 1r =121 2

1 1(mod. )s

a r p−

− =Presupunem că pentru un indice avem numărul natural care

îndeplineşte condiţia: ( ) .

i s<

)p

ir21 2 1(mod.

s i

ia r−

− =

Rezultă , în care se ia zero sau unu.

Fie . Avem:

( )121 2 1 ( 1) (mod. )

s ii

ia r p− −

ε− = ± = −1

iε2

1i

i ir rb−

+ =

( ) ( ) ( )1( 1) 1 122 22 21 2 1 2 1 2

1 ( 1) ( 1) 1(mod. )s is i s ii s

i i i ii i ia r a r b a r b p

− −− + − − −ε ε ε ε− − −+ = = = − − = .

QED.

OBSERVAŢIE Toate operaţiile algoritmului sunt polinomiale cu excepţia găsirii

numărului n care să nu fie un pătrat modulo p. Singura metodă cunoscută de a găsi un astfel de număr este să se ia un număr la întâmplare şi să se testeze dacă este sau nu un pătrat modulo p prin calcularea simbolului lui Lagrange. Şansa ca un număr ales la întâmplare să nu fie pătrat modulo p, este ½, astfel că repetarea alegerii lui n se consideră o cale acceptabilă de a găsi unul care să nu fie pătrat modulo p. Dar nu există un algoritm polinomial determinist de găsire a unui număr care să nu fie pătrat modulo p.

Page 260: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

MODULUL 12

CURBE ELIPTICE

12.1 Definiţii, notaţii 12.2 Forme reduse ale ecuaţiei unei curbe eliptice 12.3 Operaţia de adunare a punctelor unei curbe eliptice 12.4 Curbele eliptice supersingulare definite peste Z2 12.5 Curbele eliptice nesupersingulare definite peste Z2 12.6 Curbele eliptice definite peste Z3 12.7 Curbele eliptice definite peste Z5 12.8 Metode generale pentru determinarea grupului unei curbe eliptice 12.9 Relaţii de recurenţă pentru calculul multiplului unui punct 12.10 Ordinul grupului unei curbe eliptice 12.11 Cazuri particulare remarcabile privind ordinul grupului unei curbe eliptice

Curbele eliptice au fost puse în evidenţă de foarte multă vreme, ele

furnizând obiecte remarcabile ale Geometriei algebrice. De dată mai recentă, cam din 1985 s-a remarcat utilitatea lor în criptografie. Până în prezent, au fost deja folosite în testarea primalităţii, în descompunerea în factori a numerelor mari, precum şi în proiectarea sistemelor criptografice.

Pentru că ne interesează în primul rând utilitatea acestor curbe în criptografie, vom avea în vedere aproape exclusiv cazul cel mai adecvat, şi anume: al curbelor eliptice definite peste corpuri finite.

12.1 Definiţii, notaţii O curbă eliptică Γ peste corpul comutativ F se defineşte printr-o ecuaţie de forma:

2 3 21 3 2 4y a xy a y x a x a x a+ + = + + + 6 , (12.1)

în care coeficienţii sunt elemente ale lui F. Se cere ca aceşti coeficienţi să fie astfel încât ecuaţia să nu admită soluţii singulare, adică perechi de elemente x şi y ale lui F care să satisfacă atât ecuaţia (7.1), cât şi cele două ecuaţii obţinute din aceasta prin derivare în raport cu x şi cu y. În general, o pereche (x,y) de elemente ale lui F se mai numeşte punct al planului şi se notează de obicei cu litere mari: P, Q,… Dacă perechea (x,y) este notată cu P, atunci spunem că elementele x şi y sunt coordonatele lui P.

2F

61

Page 261: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Se notează mulţimea punctelor ale căror coordonate satisfac ecuaţia (7.1), la care se adaugă un simbol O numit punctul de la infinit. Dacă un alt corp K îl conţine pe F, atunci Γ se poate considera curbă şi peste corpul K şi deci are sens mulţimea

( )FΓ

)(KΓ . Fireşte, această mulţime conţine mulţimea . ( )FΓ

12.2 Forme reduse ale ecuaţiei unei curbe eliptice O transformare a planului în el însuşi definită prin ecuaţii de forma: 2F

1 1 11 2 2 1

2 2 2;

x x yy x y

′ ′= α + β + γ⎧α 0β − α β ≠⎨ ′ ′= α + β + γ⎩

(12.2)

se numeşte transformare afină a planului. Evident că printr-o transformare afină ecuaţia (12.1) a curbei se poate modifica şi vom căuta acele transformări care conduc la ecuaţii mai simple. De regulă când aplicăm transformarea (12.2) ecuaţiei (12.1), revenim la vechile notaţii ale variabilelor, adică scriem din nou x în loc de x′ şi y în loc de . Spunem pe scurt că înlocuim în ecuaţia (12.1) pe x cu

y′

1 1x yα + 1β + γ şi y cu 2 2x yα + 2β + γ Avem în vedere următoarele situaţii:

12.2.1 Cazul când caracteristica lui F este diferită de 2 şi de 3

Înlocuind în ecuaţia (12.1) pe y cu ( 1 312

y a x a− + ) , din această ecuaţie

vor dispărea termenii în xy şi y astfel că ecuaţia (12.1) va căpăta forma:

2 3 22 4y x a x a x a= + + + 6 . (12.3)

În acest caz putem da o formulare mai precisă condiţiei ca ecuaţia (7.3) să nu aibă puncte singulare, condiţie cerută prin definiţia curbei eliptice. Anume, sistemul din care se obţin punctele singulare este:

2 3 22 4

22 43 2 0

2 0

y x a x a x a

x a x ay

⎧ = + + +⎪⎪ + + =⎨⎪ =⎪⎩

6

(12.4)

iar acest sistem are soluţii dacă şi numai dacă polinomul din membrul drept al ecuaţiei (12.3) are rădăcini multiple. Aşadar în cazul când caracteristica lui F este diferită de 2 ecuaţia (12.3) este ecuaţia generală a unei curbe eliptice, dacă polinomul din membrul drept nu are rădăcini comune cu derivata sa. Mai menţionăm că dacă, în plus, caracteristica lui F este diferită nu numai

de 2, ci şi de 3, atunci prin transformarea de înlocuire a lui x cu 23ax − , în

membrul drept al ecuaţiei (12.3) va dispare termenul în 2x . 62

Page 262: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Ca urmare, dacă F are caracteristica diferită şi de 2 şi de 3, atunci ecuaţia generală a unei curbe eliptice este:

2 3y x ax= + + b , (12.5)

în care coeficienţii a şi b trebuie să fie astfel încât polinomul din membrul drept să nu aibă rădăcini multiple.

12.2.2 Cazul când caracteristica lui F este 2 De astă dată dacă în ecuaţia (12.1) atât , cât şi sunt nuli, curba Γ va avea puncte singulare. Într-adevăr, în acest caz ecuaţia obţinută prin derivarea ecuaţiei (12.1) în raport cu y va fi verificată pentru orice x şi y şi sistemul din care se obţin punctele singulare devine:

1a 3a

2 3 2

2 42

2 40 3 2

y x a x a x a

x a x a

⎧ = + + +⎪⎨

= + +⎪⎩

6 (12.6)

care are soluţii într-o extensie adecvată a corpului F. Aşadar coeficienţii şi din ecuaţia (12.1) nu pot fi amândoi nuli. Sunt posibile atunci următoarele două subcazuri.

1a 3a

12.2.2.1 Subcazul numit nesupersingular, în care a1 este diferit de zero

În acest caz înlocuind pe x cu 3

1

axa

− în ecuaţia (12.1) aceasta devine:

3 22 3 3 3

1 3 2 41 1 1

a a a ay a y x a y x a x a x aa a a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + = − + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

36

1

sau 2 3 21 2 4y a xy x a x a x a′ ′+ = + + + 6′ . În această ultimă ecuaţie înlocuind pe y cu

31a y şi pe x cu 2

1a x şi împărţind ecuaţia cu 61a , aceasta capătă forma:

2 3 22 4y xy x a x a x a+ = + + + 6 . Înlocuind în această ultimă ecuaţie pe y cu

se obţine următoarea formă: 4y a+

2 3 2y xy x ax+ = + + b

0

, (12.7)

care este forma generală a ecuaţiei unei curbe eliptice nesupersingulare. Este uşor de verificat că această curbă are puncte singulare dacă şi numai dacă b . =

12.2.2.2 Subcazul numit supersingular, în care a1 = 0 Înlocuind în acest caz pe x cu 2x a− ecuaţia (12.1) capătă forma:

2 33 ;y a y x ax b a+ = + + ≠3 0 , (12.8)

63

Page 263: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

care este forma generală a ecuaţiei unei curbe eliptice supersingulare. Este uşor de verificat că oricare ar fi coeficienţii a şi b şi nenul, curba nu poate avea puncte singulare.

3a

În concluzie, fără a pierde generalitatea, ne putem limita la următoarele forme reduse ale ecuaţiilor curbelor eliptice: a) 2 3 2

2 4y x a x a x a= + + + 6 dacă F are caracteristica diferită de 2. Polinomul din membrul drept nu trebuie să aibă rădăcini multiple. Dacă, în plus, F are caracteristica diferită şi de 3, atunci se poate considera , adică forma redusă a ecuaţiei unei curbe eliptice este:

2 0a =2 3y x ax= + + b ;

b) 2 3 2 ;y xy x ax b b+ = + + ≠ 0 sau 2 33 3;y a y x ax b a+ = + + ≠ 0, dacă F

are caracteristica egală cu 2. Aceste două mulţimi de curbe sunt disjuncte.

12.3 Operaţia de adunare a punctelor unei curbe eliptice

Pentru definirea operaţiei de adunare pe mulţimea trebuie menţionat rolul convenţional al „punctului de la infinit” notat cu O. Următoarele grupe de reguli definesc această operaţie.

( )FΓ

12.3.1 Reguli convenţionale (în care intervine punctul O) I. Convenţia elementului neutru. Pentru orice punct P al curbei, avem: O + P = P + O = P, (12.9) relaţia fiind adevărată şi pentru P = O. Aşadar punctul O are rolul de element neutru al operaţiei. II. Convenţia elementului opus. Dacă 1x şi sunt coordonatele unui punct P ≠ O al curbei, atunci înlocuind în ecuaţia curbei pe x cu

1y1x se obţine o ecuaţie de gradul doi în y,

pentru care este una din soluţii. Fie cealaltă soluţie. Notăm –P punctul având coordonatele

1y 2y1x şi . Cu această notaţie postulăm: 2y

P + (–P) = (–P) + P = O, (12.10) adică punctul notat –P se comportă în această operaţie ca opusul lui P. Elementul se poate preciza în funcţie de forma redusă a ecuaţiei pe care o folosim.

2y

- Dacă folosim forma redusă 2 3 22 4y x a x a x a= + + + 6 (deci în

cazul când caracteristica lui F este diferită de 2), atunci . 2 1y y= −

64

Page 264: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

- Dacă folosim forma redusă 2 3 2 ;y xy x ax b b+ = + + ≠ 01

1

(când F are caracteristica 2 şi curba este nesupersingulară), atunci şi deci

. 1 2y y x+ =

2 1y y x= + - Dacă folosim forma redusă 2 3

3 3;y a y x ax b a+ = + + ≠ 03

3

(când F are caracteristica doi şi curba este supersingulară), atunci şi deci

. 1 2y y a+ =

2 1y y a= + Remarcăm faptul că dacă două puncte diferite de O ale curbei au aceeaşi abscisă, atunci ele sunt sau opuse unul altuia sau coincid. (Aceste situaţii nu sunt disjuncte: de exemplu, dacă ecuaţia curbei este 2 3 2

2 4y x a x a x a= + + + 6 şi 1x este o rădăcină a polinomului din membrul drept, atunci punctul de coordonate

1P1x şi 0 este propriul lui opus).

Deci în deducerea formulelor de adunare a punctelor diferite de O avem de considerat două cazuri, după cum abscisele lor sunt distincte (caz în care punctele sunt distincte) şi cazul în care abscisele sunt egale. În acest din urmă caz, dacă punctele sunt distincte, atunci ele sunt opuse unul altuia şi deci se aplică convenţia menţionată pentru adunare. Aşadar dacă abscisele celor două puncte ce urmează a se aduna sunt egale, atunci vom considera numai situaţia când cele două puncte coincid. Pentru deducerea formulelor de adunare a punctelor diferite de O vor trebui folosite pe rând cele trei forme reduse ale ecuaţiei curbei.

12.3.2 Adunarea punctelor curbei când caracteristica lui f este diferită de 2

Ecuaţia curbei este în acest caz: 2 3 22 4y x a x a x a= + + + 6 . Fie ( )1 1,x y ,

( 2 2, )x y coordonatele punctelor , respectiv ale curbei şi ne propunem să determinăm coordonatele

1P 2P

3x şi ale opusului sumei . 3y 1 2P P+ Sunt de considerat două cazuri, după cum abscisele celor două puncte sunt diferite sau egale.

12.3.2.1 Cazul x1 ≠ x2

Punctele distincte şi determină o dreaptă care intersectează curba în punctele şi şi încă într-un punct , bine determinat, deoarece ecuaţia curbei are gradul trei. Se defineşte .

1P 2P1P 2P 3P

+ =1 2P P P− 3 Pentru determinare coordonatelor 3x şi ale lui considerăm ecuaţia dreptei determinate de punctele distincte şi :

3y2P

3P1P

(2 11

2 1

y yy y x xx x

−− = −−

)1 . (12.11)

65

Page 265: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Înlocuind pe y din această ecuaţie în ecuaţia (12.3) a curbei, aceasta devine:

( )2

3 22 11 1 2

2 1

y yy x x x a x a x ax x

⎛ ⎞−+ − = + +⎜ ⎟−⎝ ⎠4 6+ . (12.12)

Această ecuaţie de gradul trei are evident rădăcinile 1x şi 2x , deoarece şi sunt puncte ale curbei, astfel că a treia rădăcină se obţine din prima formulă a lui Viète:

1P2P

2

2 13 1

2 1

y y2 2x x x a

x x⎛ ⎞−= − −⎜ ⎟−⎝ ⎠

− . (12.13)

Înlocuind în relaţia (12.11) se obţine:

(2 13 1 3 1

2 1

y yy y x xx x

−= + −−

)

2

2

3

. (12.14)

Aşadar coordonatele punctului sunt date de relaţiile (12.13) şi (12.14). Menţionăm că punctul nu este exact suma , ci este opusul acesteia. Pentru a obţine coordonatele sumei se înlocuieşte cu .

3P

1P +3P 1P P+

P 3y 3y− În cazul când caracteristica lui F este diferită şi de 3, atunci în aceste formule se poate lua . 2 0a =

12.3.2.2 Cazul când x1 = x2

Aşa cum am menţionat, în acest caz avem de considerat numai situaţia când şi este egal cu , adică punctele şi coincid. 1y 2y 1P 2P Tangenta la curbă în punctul va intersecta curba (de gradul trei) în punctul , ca punct dublu, şi deci o va mai intersecta încă într-un punct bine determinat . Se defineşte suma .

1P

1 1P P1P

3P P+ = − Ecuaţia implicită a curbei este: 2 3 2

2 4( , ) 6f x y y x a x a x a= − − − − şi pentru ecuaţia tangentei în , aplicând formula: 1P

1 11 1( ) ( )y xy y f x x f′ ′− + − 0= . Se obţine astfel ecuaţia tangentei:

( ) ( ) ( 21 1 1 1 2 1 42 3 2y y y x x x a x a− ⋅ + − ⋅ − − − =) 0

1P

. (12.15)

Remarcăm că dacă , atunci şi deci potrivit regulii enunţate mai înainte. Aşadar, considerând din ecuaţia (12.15) se poate explicita y, şi anume:

1 0y = 1P = − 1 1P P O+ =1 0y ≠

(21 2 1 4

11

3 22

x a x ay y x xy

+ += + − )1 (12.16)

66

Page 266: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

pe care înlocuindu-l în ecuaţia (12.3) a curbei aceasta devine:

( )22

3 21 2 1 41 1 2

1

3 22

x a x ay x x x a x a x ay

⎛ ⎞+ ++ − = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

4 6+ . (12.17)

Această ecuaţie de gradul trei are rădăcina dublă 1x x= şi deci a treia rădăcină se obţine iarăşi din prima formulă a lui Viète:

22

1 2 1 43

1

3 2 22

x a x a1 2x x a

y⎛ ⎞+ += ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

− − (12.18)

care, înlocuit în (12.16), dă pe : 3y

(21 2 1 4

3 1 3 11

3 22

x a x ay y x xy

+ += + − )

1

. (12.19)

Formulele (12.18) şi (12.19) dau coordonatele opusului punctului . Pentru a obţine coordonatele sumei (care se mai scrie ) se înlocuieşte

cu opusul său, adică .

1 1P P+1P P+ 12P

3y 3y− În cazul când caracteristica lui F este diferită şi de 3, atunci în formulele (12.18) şi (12.19) se poate lua . 2 0a =

12.3.3 Adunarea punctelor când F are caracteristica 2 şi curba este nesupersingulară

Ecuaţia curbei este în acest caz: 2 3 2 ;y xy x ax b b+ = + + ≠ 0 . Precizăm că în cazul corpurilor de caracteristică 2 adunarea se confundă cu scăderea şi deci vom folosi numai semnul adunării.

12.3.3.1 Cazul x1 ≠ x2

Înlocuind, ca mai înainte, (2 11

2 1

y yy y x xx x

+= + ++

)1 în ecuaţia curbei

aceasta devine:

( ) ( )2

3 22 1 2 11 1 1 1

2 1 2 1

y y y yy x x x y x x x axx x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ++ + + ⋅ + + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦b+ .

Această ecuaţie de gradul trei în x are două rădăcini cunoscute, 1x şi 2x , iar a treia rădăcină o aflăm folosind prima formulă a lui Viète:

2

2 1 2 13

2 1 2 1

y y y y1 2x x x

x x x x⎛ ⎞+ += + + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

a+ , (12.20)

de unde se obţine:

67

Page 267: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

(2 13 1 3 1

2 1

y yy y x xx x

+= + ++

)

1

1

. (12.21)

Precizăm iarăşi că pentru a obţine suma se înlocuieşte cu .

1P P+ 3y3 3y x+

12.3.3.2 Cazul x1 = x2

Avem de efectuat suma care se mai scrie . Se consideră atunci tangenta în la curba de ecuaţie implicită

1P P+ 12P

1P 2 3 2( , )f x y xy x ax b= + + + +y .

Ecuaţia tangentei este: ( )1 1x+ ⋅ + ( ) ( 21 1 1y y x x y x+ ⋅ +

1P

) 0= , unde am ţinut seamă că F are caracteristica 2. Dacă , atunci opusul va avea a doua coordonată egală cu

, adică aceeaşi ca şi , deci , de unde rezultă că . 1 0x =

1

1P−1 1y x y+ = 1P 1P = − 1 1P P O+ =

Dacă , atunci se poate explicita x din ecuaţia tangentei şi înlocuindu-l în ecuaţia curbei aceasta devine o ecuaţie de gradul trei care are ca rădăcină dublă pe

1 0x ≠

1x :

( ) ( )2

3 21 11 1 1 1 1 1

1 1

y yy x x x x y x x x x axx x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b .

A treia rădăcină o obţinem folosind iarăşi prima formulă a lui Viète:

2 2 3 2

2 21 1 1 1 1 1 13 1 1 1 12 2

1 1 1 1

y y y x y x axx x x a x xx x

2 bx x

⎡ ⎤ + + += + + + + = + = +⎢ ⎥⎣ ⎦

(12.22)

şi apoi din ecuaţia tangentei rezultă:

( )2 2

2 21 1 1 1 1 13 1 3 1 1 3 1 1 1

1 1

y x y x y xy y x x y x y x x xx x+ += + + = + ⋅ + + = + ⋅

2

31x

+ . (12.23)

Pentru a se obţine punctul se înlocuieşte cu . 12P 3y 3 3y x+

12.3.4 Adunarea punctelor când f are caracteristica 2, iar curba este supersingulară

Ecuaţia redusă a curbei în acest caz este: 2 33 3; 0y a y x ax b a+ = + + ≠ .

12.3.4.1 Cazul x1 ≠ x2

Înlocuind (2 11

2 1

y yy y x xx x

+= + ++

)1 în ecuaţia curbei aceasta devine:

68

Page 268: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

( ) ( )2

32 1 2 11 1 3 1 1

2 1 2 1

y y y yy x x a y x x x ax x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ++ + + ⋅ + + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦x b+ ,

de unde se obţine la fel ca mai înainte:

2

2 13

2 1

y y1 2x x x

x x⎛ ⎞+= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

+ ; (12.24)

şi

(2 13 1 3 1

2 1

y yy y x xx x

⎛ ⎞+= + +⎜ ⎟+⎝ ⎠) . (12.25)

12.3.4.2 Cazul x1 = x2

Din ecuaţia implicită a curbei: 2 33( , )f x y y a y x ax b= + + + + se obţine

ecuaţia tangentei în punctul la curbă: 1P ( ) ( ) ( )21 3 1 1 0y y a x x x a+ ⋅ + + ⋅ + = , de

unde înlocuind (21 )1

3y y x x

a+= + +1

x a în ecuaţia curbei, aceasta devine:

( ) ( )22 2

31 11 1 3 1 1

3 30x a x ay x x a y x x x ax

a a⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ++ + + ⋅ + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b =

Ecuaţia are rădăcina dublă 1x x= , iar a treia rădăcină este:

22 4

1 13 2

3 3

2x a x axa a

⎡ ⎤+= =⎢ ⎥⎣ ⎦

+ (12.26)

şi

(21

3 1 3 13

x ay y x xa+= + + ) , (12.27)

dacă . 1 2P P= În ambele cazuri, pentru a se obţine suma, se înlocuieşte cu . 3y 3 3y a+

Tabelul prezintă lista formulelor de adunare a punctelor unei curbe

eliptice. Operaţia definită pe mulţimea a punctelor unei curbe eliptice are, evident, proprietăţile de comutativitate, are element neutru, şi anume punctul O de la infinit şi pentru orice punct P s-a definit opusul său. Ca să fie grup mai trebuie proprietatea de asociativitate. Această proprietate este adevărată, dar

( )FΓ

69

Page 269: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

70

verificarea ei presupune un calcul destul de amplu. Există şi alte demonstraţii ale asociativităţii, dar care nu vor fi prezentate în această expunere.

Page 270: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Ecuaţia curbei 1 2 1( )P P P P+ ≠ 2 1 1 12P P P+ =

22 1

3 1 22 1

y yx x xx x

⎛ ⎞−= − −⎜ ⎟−⎝ ⎠

221

3 11

3 22

x ax xy

⎛ ⎞+= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3y x ax b= + + (car. F > 3)

( )2 13 1 3 1

2 1

y yy y x x x x

−= − − −− ( )

21

3 1 3 1x 1

32

x ay y xy+= − − −

22 1

3 1 2 22 1

y yx x x ax x

⎛ ⎞−= − − −⎜ ⎟−⎝ ⎠

221 2 1 4

3 1 21

3 2 22

x a x ax x ay

⎛ ⎞+ += − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 2

2 4 6y x a x a x a= + + + (car. F = 3)

( )2 13 1 3 1

2 1

y yy y x x x x

−= − − −− ( )

21 2 1 4

3 1 3 11

3 22

x a x ay y x x y

+ += − − −

22 1 2 1

3 1 22 1 2 1

y y y yx x x a x x x x

⎛ ⎞+ += + + + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

23 1 2

1

bx xx

= + 2 3 2 ; 0y xy x ax b b+ = + + ≠

(car. F = 2; nesupersingular) ( )2 1

3 1 3 1 32 1

y yy y x x x x x

+= + + ++

22 1 1

3 1 3 31

y xy x x x x+= + ⋅ +

22 1

3 1 22 1

y yx x xx x

⎛ ⎞+= + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

4 21

3 23

x axa+=

2 33 3; 0y a y x ax b a+ = + + ≠

(car. F = 2; supersingular) ( )2 1

3 1 3 1 32 1

y yy y x x a x x

⎛ ⎞+= + + +⎜ ⎟+⎝ ⎠( )

21

3 1 3 1 33

x ay y x x a a+= + + +

Page 271: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

12.4 Curbele eliptice supersingulare definite peste Z2 Ecuaţia generală a unei astfel de curbe este 2 3

3 3; 0y a y x ax b a+ = + + ≠ , în care condiţia înseamnă , deoarece 3 0a ≠ 3 1a = 2Z are numai două elemente. Se obţin următoarele 4 curbe:

2 3 2 31 2

2 3 2 33 4

: ; : 1;

: şi : 1.

y y x y y x

y y x x y y x x

Γ + = Γ + = +

Γ + = + Γ + = + +

12.4.1 Curba Γ1 În afară de punctul O celelalte puncte se obţin dând lui x valorile 0 şi 1. Pentru 0x = obţinem două valori pentru y, şi anume: şi , iar pentru 1 0y = 2 1y =

1x = ecuaţia în y nu are nici o soluţie în 2Z . Punctele obţinute pentru 0x = sunt, potrivit definiţiei, opuse unul altuia. Aşadar, curba are trei puncte şi deci grupul acestei curbe este izomorf cu 3Z .

12.4.2 Curba Γ2 De data asta ecuaţia în y nu are soluţii pentru 0x = şi are două soluţii pentru 1x = . Grupul curbei este din nou izomorf cu 3Z .

12.4.3 Curba Γ3 Atât pentru 0x = , cât şi pentru 1x = ecuaţia în y are două soluţii. Prin urmare, grupul curbei are 5 puncte O: (0,0); (0,1); (1,0) şi (1,1). Punctul al doilea şi al treilea sunt opuse unul altuia şi la fel ultimele două. Ordinul grupului fiind egal cu numărul prim p = 5 înseamnă că grupul este izomorf cu 5Z .

12.4.4 Curba Γ4 Ecuaţia în y nu are soluţii nici pentru 0x = şi nici pentru 1x = . Prin urmare, curba are numai un singur punct şi anume punctul O.

12.5 Curbele eliptice nesupersingulare definite peste Z2

Ecuaţia generală a unei astfel de curbe este 2 3 2 ; 0y xy x ax b b+ = + + ≠ , în care condiţia înseamnă 1b , deci se obţin numai două curbe: 0b ≠ =

2 3 2 3 21 2: 1 : 1y xy x y xy x xΓ + = + Γ + = + + .

72

Page 272: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

12.5.1 Curba Γ1 Pentru 0x = ecuaţia în y are o singură soluţie şi se obţine punctul (0,1) care este propriul său opus. Pentru 1x = ecuaţia în y are două soluţii şi se obţin punctele (1,0) şi (1,1) care nu sunt fiecare propriul său opus, adică ele nu sunt elemente de ordinul 2. Deoarece grupul are 4 elemente el este izomorf sau cu 4Z sau cu 2 2Z Z× . În cazul al doilea ar trebui ca toate elementele în afară de O să aibă ordinul doi, ceea ce nu este adevărat. Deci, grupul curbei este izomorf cu 4Z .

12.5.2 Curba Γ2 Pentru 0x = ecuaţia în y are o singură soluţie, iar punctul pe care-l defineşte este propriul său opus. Pentru 1x = ecuaţia în y nu are nici o soluţie. Prin urmare, grupul curbei are două elemente şi deci este izomorf cu 2Z .

12.6 Curbele eliptice definite peste Z3 Ecuaţia generală a unei astfel de curbe este 2 3 2y x ax bx c= + + + , deci sunt de considerat în total 33 = 27 ecuaţii. Dintre acestea reţinem numai pe acelea în care polinomul din membrul drept nu are rădăcini multiple. Pe de altă parte ne putem restrânge la un număr mai mic de ecuaţii folosind transformări ale coordonatelor. Înlocuind pe x cu x + m în ecuaţie, coeficientul lui 2x rămâne tot a, iar al lui x devine 2am + b. Sunt deci de considerat două cazuri, după cum sau , în acest din urmă caz .

0a = 0a ≠1a = ±

Dacă 0 , iar b şi c iau independent valorile zero şi ±1, se obţin următoarele 9 polinoame în membrul drept al ecuaţiei curbei:

a =3x , 3 1x ± , 3x x± ,

3 1x x± ±

2 3y x= ±

. Primul are, evident, rădăcini multiple, dar şi următoarele două, deoarece . Celelalte au derivata egală cu ±1 şi deci nu au rădăcini multiple. Aşadar în acest caz reţinem 6 ecuaţii de curbe eliptice: şi

.

3 1 (x ± =

1x ±

3

mc 0

1)x ±2 3 x±y x=

Dacă 0 , atunci luând , se poate considera coeficientul lui x ca fiind nul şi obţinem ecuaţiile de forma: . Dacă polinomul din membrul drept va avea rădăcina dublă 0

a ≠ / 2m b= −2 3 2y x x= ± + c =

x = , iar dacă , atunci polinomul din membrul drept nu are rădăcini multiple. Deci reţinem 4 ecuaţii de curbe eliptice: .

1c = ±

2 3 2 1y x x= ± ± În următorul tabel precizăm grupurile definite de aceste curbe.

73

Page 273: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Nr. Ecuaţia curbei Punctele curbei Grupul curbei

1 2 3y x= + x O; (0,0); (–1,1); (–1,–1) 4Z

2 2 3y x= − x O; (0.0); (1,0); (–1,0) 2 2Z Z×

3 2 3 1y x x= + + O; (1,0); (0,1); (0,–1) 4Z

4 2 3 1y x x= + − O; (1,1); (1,–1); (–1,0) 4Z

5 2 3 1y x x= − + O; (0,1); (0,–1); (1,1); (1,–1); (–1,1); (–1,–1) 7Z

6 2 3 1y x x= − − O {O} 7 2 3 2 1y x x= + + O; (0,1); (0,–1); (1,0); (–1,1); (–1,–1) 6Z

8 2 3 2 1y x x= + − O; (1,1); (1, –1) 3Z

9 3 3 2 1y x x= − + O; (0,1); (0,–1); (1,1); (1,–1) 5Z

10 2 3 2 1y x x= − − O; (–1,0) 2Z

Pentru ultimele 6 curbe ordinul grupului determină tipul său, având în vedere teorema de structură a grupurilor abeliene finite. Dar primele 4 grupuri au fiecare câte 4 elemente şi în acest caz trebuie să distingem între cele două tipuri: grupul 4Z şi 2 2Z Z× , ultimul fiind cunoscut sub numele de grupul lui Klein. Numai al doilea este izomorf cu grupul lui Klein, deoarece toate cele 4 puncte ale grupului sunt, fiecare, propriul său opus. De remarcat marea diversitate a grupurilor obţinute, atât ca ordin al grupului cât şi ca tip. Această diversitate creşte enorm o dată cu numărul elementelor corpului F. De aceea curbele eliptice sunt utile în proiectarea sistemelor criptografice.

12.7 Curbele eliptice definite peste Z5 Pentru corpurile de caracteristică strict mai mare decât 3, cum este 5Z , ecuaţia generală a curbelor eliptice este: 2 3y x ax= + + b . Sunt deci 25 de ecuaţii, din care trebuie eliminate cele pentru care membrul drept are rădăcini multiple. Vom atribui lui a succesiv valorile: 0, ±1, ±2. Dacă 0 , atunci singura valoare a lui b pentru care polinomul în x are rădăcini multiple este . Excluzând-o pe aceasta, obţinem 4 curbe eliptice:

a =0b =

2 3 2 31; 2±y x= ±1

y x= . Dacă 1, derivata polinomului din membrul drept este a = ± 23x ± care nu are rădăcini în 5Z şi deci oricare ar fi b acest polinom nu are rădăcini multiple. Deci, obţinem zece ecuaţii de curbe eliptice: 2 3 ;y x x= ± 2 3y x 1;x= ± ±

2 3 2x ±y x= ± .

74

Page 274: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Dacă 2 , derivata este a = ± 23 2x ± , care are rădăcinile: 1x = ± , dacă şi 2a = 2x = ± , dacă 2 . Înlocuind aceste rădăcini în polinomul din dreapta

pentru , el devine: , care se anulează pentru . Deci, pentru rămân numai trei ecuaţii de curbe eliptice:

a = −1± ±2=a 2 b+ 2b = ±

2a = 2 3 2 3y x= +2 ;xb

2 1y x x= + ± . Pentru polinomul din dreapta devine: ± ± , care se anulează respectiv pentru b . Deci, pentru , obţinem încă trei ecuaţii de curbe eliptice:

2a = − 3 1+1= ± 2a = −

2 3y x= − 2 3x y2 ; 2x= − 2x ± . S-au obţinut deci 20 de ecuaţii de curbe eliptice. Următorul tabel precizează grupurile acestor curbe.

Nr. Ecuaţia curbei Punctele curbei Grupul curbei

1 2 3 1y x= + O; (0,1); (0,–1); (–1,0); (2,2); (2,–2) 6Z

2 2 3 1y x= − O; (0,2); (0,–2); (1,0); (–2,1); (–2,–1) 6Z

3 2 3 2y x= + O; (–1,1); (–1,–1); (2,0); (–2,2); (–2,–2) 6Z

4 2 3 2y x= − O; (1,2); (1,–2); (2,1); (2,–1); (–2,0) 6Z

5 2 3y x= + x O; (0,0); (2,0); (–2,0) 2 2Z Z×

6 2 3y x= − x O; (0,0); (1,0); (–1,0); (2,1); (2,–1); (–2,2); (–2,–2) 2 4Z Z×

7 2 3 1y x x= + + O; (0,1); (0,–1);(–1,2); (–1,–2); (2,1); (2,–1); (–2,1); (–2,–1) 9Z

8 2 3 1y x x= + − O; (0,2); (0,-2);(1,1); (1,–1); (2,2); (2,–2); (–2,2); (–2,–2) 9Z

9 2 3 1y x x= − + O; (0,1); (0,-1);(1,1); (1,–1); (–1,2); (–1,–2); (–2,0) 8Z

10 2 3 \ 1y x x= − + − O; (0,2); (0,–2);(1,2); (1,–2); (–1,2); (–1,–2); (2,0) 8Z

11 2 3 2y x x= + + O; (1,2); (1,–2); (–1,0) 4Z

12 2 3 2y x x= + − O; (1,0); (–1,1); (–1,–1) 4Z

13 2 3 2y x x= − + O; (–2,1); (–2,–1) 3Z

14 2 3 2y x x= − − O; (2,2); (2,–2) 3Z

15 2 3 2y x= + x O; (0,0) 2Z

16 2 3 2y x= − x O; (0,0); (1,2); (1,–2); (–2,1); (–2,–1) 6Z

17 2 3 2 1y x x= + + O; (0,1); (0,–1);(1,2); (1,–2); (–2,2); (–2,–2) 7Z

18 2 3 2 1y x x= + − O; (0,2); (0,–2);(–1,1); –1,–1); (2,1); (2,–1) 7Z

19 2 3 2 2y x x= − + O; (1,1); (1,-1); (2,1); (2,-1) 5Z

20 2 3 2 2y x x= − − O; (–1,2); (–1,–2); (–2,2); (–2,–2) 5Z

75

Page 275: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Exemplificăm pentru prima curbă din tabel felul cum se obţin punctele curbei. Mai întâi precizăm că elementele lui 5Z care au rădăcini pătrate sunt: 0, 1 şi –1. Primul are o singură rădăcină pătrată, al doilea are rădăcinile pătrate ±1, iar al treilea are rădăcinile pătrate ±2. Elementele ±2 nu au rădăcini pătrate, deci ecuaţiile nu au soluţii. 2 2y = ± Pentru 0x = ecuaţia devine: , care are rădăcinile ±1, deci se obţin punctele (0,1) şi (0,–1) care, potrivit convenţiei, sunt opuse unul altuia: (0,1) + (0,–1) = O.

2 3 1y x= + 2 1y =

Pentru 1x = ecuaţia devine care nu are rădăcini. Pentru 2 2y = 1x = − ecuaţia devine: care are o singură rădăcină, , şi se obţine punctul (–1,0) care este propriul său opus: (–1,0) + (–1,0) = O. Pentru

2y 0= 0y =2x = ecuaţia

devine care are rădăcinile ±2, de unde se obţin punctele (2,2) şi (2,–2) care sunt opuse unul altuia. Pentru

2y = 42x = − ecuaţia devine care nu are

rădăcini.

2y = −2

Aşadar, curba are 6 puncte: cele 5 menţionate mai înainte împreună cu punctul O de la infinit. Potrivit teoremei de structură a grupurilor abeliene finite, dacă ordinul grupului nu este divizibil prin pătrate (cum este cazul lui 6), atunci grupul este ciclic, deci grupul primei curbe din tabel este izomorf cu 6Z . Curbele 1-4 şi 13-20 din tabel, având ca ordin numere nedivizibile cu pătrate, sunt ciclice. În cazul când grupul este ciclic, cum este primul din tabel, ne interesează să găsim un generator al acestuia. Pentru a stabili dacă punctul (0,1) este generator îl adunăm cu el însuşi până obţinem ca rezultat opusul său, adică (0,–1). Pentru a găsi coordonatele 3x şi ale punctului (0,1) + (0,1) = 2·(0,1)

se folosesc formulele:

3y22

13 1

1

x a32

2xy

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= − şi ( )21

3 1 31

32

x ay y x xy+= − − −x 1 în

care şi şi . Se obţine: şi , adică tocmai opusul lui (0,1). Deci 2·(0,1) = –(0,1), de unde rezultă 3·(0,1) = O, adică ordinul lui (0,1) este 3 şi deci acest punct nu este generator.

1 0x = 1 1y = 0a = 3x 0= 3 1y = −

Pornind cu punctul (2,2), adică luând în aceste formule şi , se obţine: , deci s-a obţinut punctul

(0,–1) care nu este opusul lui (2,2). Putem spune că ordinul acestui punct este strict mai mare decât 3 (şi divizor al lui 6), deci acest punct este un generator.

1 1 2x y= =0a = 3 34 4 0, 2 3( 2) 1x y= − = = − − − = −

Pentru a afla punctul 3·(2,2) = 2·(2,2) + (2,2) = (0,–1) + (2,2) se folosesc

formulele: 2

2 13 1 2

2 1

y y x xx x

⎛ ⎞−= − −⎜ ⎟−⎝ ⎠ şi (2 1

3 1 32 1

y yy y x xx x

−= − − −−

x )1 , în care

, , . 1 0x = 1 1y = − 2 2 2x y= =

76

Page 276: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Se obţine: , , adică punctul (–1,0), ceea ce era de aşteptat pentru că acesta este singurul punct nenul care este propriul să opus.

( )213 3 2 2 1x −= ⋅ − = − 1

3 1 3 2 ( 1) 0y −= − ⋅ − =

Pentru curbele 5-12 din tabel trebuie să stabilim dacă sunt sau nu ciclice. Grupul curbei 5 nu este ciclic, deoarece toate cele trei elemente nenule sunt fiecare propriul său opus, deci au ordinul doi. Rezultă că acest grup este izomorf cu grupul lui Klein, 2 2Z Z× . Grupurile de la curbele 11 şi 12 au tot 4 elemente fiecare, dar elementele nenule ale acestora nu au toate ordinul doi, deci aceste grupuri sunt ciclice, izomorfe cu 4Z . Grupurile curbelor 6, 9 şi 10 au fiecare 8 elemente, deci fiecare din aceste grupuri este de una din formele: 2 2 2Z Z Z× × , 2 4Z Z× sau 8Z . Primul are toate elementele nenule de ordinul doi, al doilea are doar 4 şi ultimul are un singur element de ordinul doi. Aşadar grupul curbei 6 este izomorf cu 2 4Z Z× , iar celelalte două sunt izomorfe cu 2Z . Au rămas grupurile 7 şi 8 care au fiecare câte 9 elemente, deci un astfel de grup este sau ciclic, adică izomorf cu 9Z sau este izomorf cu 3 3Z Z× . Calculând ordinul diverselor elemente aşa cum s-a arătat mai sus, se deduce că amândouă aceste grupuri sunt ciclice.

12.8 Metode generale pentru determinarea grupului unei curbe eliptice

Dacă Γ este o curbă eliptică peste corpul F determinarea grupului urmează, în principiu modul cum s-a procedat pentru

( )FΓ2Z , 3Z şi 5Z .

Mulţimea punctelor curbei se obţine înlocuind pe x din ecuaţia curbei succesiv cu elementele corpului F. Pentru fiecare element 0x al lui F se obţine o ecuaţie de gradul doi în y. Dacă această ecuaţie are două rădăcini distincte, atunci obţinem două puncte ale curbei care sunt opuse unul altuia. Dacă ecuaţia are două rădăcini egale, se obţine un punct care este propriul său opus, adică are ordinul 2. Dacă ecuaţia în y nu are nici o soluţie, atunci curba nu are nici un punct de abscisă 0x . În cazul când caracteristica lui F este diferită de 2 ecuaţia curbei Γ are forma generală , unde 2 ( )y f x= 3 2 3

2 4 6( ) sau f x x a x a x a x ax= + + + + + b . Dacă este un corp de clase de resturi, atunci pentru rezolvarea ecuaţiei

se foloseşte simbolul lui Lagrange şi algoritmul de calculare a rădăcinii pătrate. Dacă F este o extindere (finită) a unui

pF Z=

0( )y f x2 =

pZ , având

elemente atunci pentru rezolvabilitatea ecuaţiei se verifică dacă

nq p=

[ ]1

2 1q−

=0( )f x (se foloseşte exponenţierea modulară) şi în caz că această condiţie este

77

Page 277: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

îndeplinită rădăcinile pătrate ale lui 0( )f x se află printr-un algoritm asemănător celui din pZ . În ce priveşte numărul punctelor grupului nu există o formulă generală pentru exprimarea acestuia. Putem spune totuşi că numărul maxim de puncte s-ar obţine atunci când pentru toate cele q valori ale lui 0x ecuaţia în y are două rădăcini distincte. Grupul ar avea atunci 2q + 1 elemente. Această performanţă este atinsă de curba Γ3 supersingulară definită peste (ea are 5 puncte şi este definită prin ecuaţia ) şi de a cincea curbă din tabelul celor 10 curbe eliptice definite peste (ea are 7 puncte şi este definită prin ecuaţia:

). Nici una din cele 20 de curbe eliptice definite peste nu atinge această performanţă (ar trebui să aibă 11 puncte).

2F Z=2 3y y x+ = +

3F Z=1= − +

x

2 3y x x 5F Z=

Numărul minim de puncte (diferite de punctul de la infinit) al unei curbe eliptice este zero. Aceasta se întâmplă atunci când pentru toate valorile lui 0x ecuaţia în y nu are nici o soluţie. Pentru se află în această situaţie curba supersingulară de ecuaţie . Pentru semnalăm curba cu numărul 6 din tabelul corespunzător, definită de ecuaţia: .

2F Z=3 1x+ +4Γ 2y y x+ =

0(

3F Z=2 3 1y x x= − −

În cazul caracteristicii diferite de 2 putem aprecia valoarea medie statistică a ordinului grupului unei curbe eliptice. Pornind de la faptul că elementele nenule ale corpului se împart în două clase egale – cele care sunt şi cele care nu sunt pătrate – elementul )f x are şanse egale să fie sau să nu fie un pătrat. Deci jumătate din cele q – 1 valori ale lui 0x vor conduce la ecuaţii în y care vor avea fiecare două soluţii. Aşadar valoarea medie a numărului elementelor grupului unei curbe eliptice este aproximativ egală cu q, numărul elementelor corpului F. Aşa cum arată exemplele prezentate mai sus marea împrăştiere privind ordinul grupului se manifestă şi în ce priveşte tipul acestuia. Grupuri de acelaşi ordin pot fi de tipuri foarte diferite. Procedeul cel mai frecvent folosit pentru stabilirea tipului curbei constă în calcularea ordinului diverselor puncte ale curbei, luate la întâmplare. Dacă se cunoaşte ordinul grupului şi găsim un punct al cărui ordin este egal cu ordinul grupului, deducem că grupul este ciclic, iar acel punct este un generator al grupului. Putem atunci identifica toţi ceilalţi generatori. Ordinul unui punct se obţine adunând acel punct cu el însuşi de atâtea ori până se ajunge la opusul său, adică atunci când abscisa devine egală cu cea a punctului cu care s-a pornit. Se poate stabili o relaţie de recurenţă pentru adunarea succesivă a unui punct cu el însuşi.

78

Page 278: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

12.9 Relaţii de recurenţă pentru calculul multiplului unui punct

Considerăm, pentru simplitate, cazul când curba are ecuaţia . Notând 2 3y x ax= + + b 1 1,x y coordonatele punctului al curbei şi 1P ,n nx y

coordonatele punctului folosim formulele 1nP2

2 13 1 2

2 1

y yx x xx x

⎛ ⎞−= − −⎜ ⎟−⎝ ⎠,

2 13 1

y yy yx x

−= − −−

,n n

32 1

(x − 1)x pentru calculul coordonatelor punctului ,

luând

1( 1)n P+ ⋅

x y în loc de 2 2, x y :

2

11 1

1

nn n

n

y yx x xx x+

⎛ ⎞−= − −⎜ ⎟−⎝ ⎠; ( )n x+ 1n >1

1 1 1 11

nn

n

y yy y xx x+

−= − − −−

; .(12.28)

Pentru 1n = se folosesc formulele de calculare a coordonatelor lui : 12 P⋅

22

12 1

1

3 22

x ax xy

⎛ ⎞+= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; (21

2 1 21

32

x ay y x xy+= − − − )1 . (12.29)

Dacă se lucrează cu ordine foarte mari ale corpului F, deci şi al grupului curbei, aşa cum cere siguranţa sistemelor criptografice, atunci în loc să calculăm succesiv multiplii unui punct până ajungem să găsim ordinul său, s-ar putea să ne intereseze anumiţi multipli (foarte mari) ai punctului. Folosim atunci procedeul „multiplicării modulare”, bazat pe exprimarea factorului de multiplicare în baza 2. Calculăm atunci succesiv multiplii prin formule de recurenţă deduse din formulele (12.29):

12n P⋅

22

13 2

2n

n nn

x ax xy+

⎛ ⎞+= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; (2

1 13

2n

n n nn

x ay y xy+ ++= − − − )nx , (12.30)

în care ,n nx y sunt coordonatele punctului . 112n P− ⋅

12.10 Ordinul grupului unei curbe eliptice Exemplele prezentate mai sus arată că grupurile curbelor eliptice prezintă o mare diversitate atât în ce priveşte tipul, cât şi în privinţa ordinului. Nu se poate da o formulă care să ofere ordinul unui astfel de grup. Totuşi, dacă se cunoaşte ordinul N al unei curbe eliptice Γ pe corpul finit F, atunci se poate determina ordinul grupului ( )KΓ pentru orice extensie finită K a lui F. Avem în vedere cazul general sub aspectul că F este un corp finit oarecare şi notăm q numărul elementelor sale (adică F nu este, ca în exemplele anterioare

79

Page 279: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

un corp de clase de resturi, pZ , faţă de un număr prim p). Corpul cuprinzător, K,

al lui F va avea numărul de elemente de forma . Dacă p este caracteristica lui F, atunci q însuşi va fi o putere a lui p.

nq

Menţionăm în plus, că pentru orice număr natural n, nenul, există o extensie K a lui F având elemente şi orice două astfel de extensii sunt izomorfe.

nq

Dată fiind curba Γ definită pe corpul F, pentru orice număr natural nenul n, curba va fi evident definită peste extinderea K a lui F, având elemente. Fie

ordinul grupului

nqnN ( )KΓ . În particular, . Se obţine şirul de numere

naturale , evident crescător. Următoarea teoremă arată că termenii acestui şir se pot calcula dacă se cunoaşte primul termen .

1N N=

N N=nN

î

TEOREMA LUI HASSE

Fie seria formală de puteri 1

1

( , ) en

nn

N TnZ T

=⋅∑

Γ = numită funcţia zeta a curbei Γ. Este adevărată următoarea egalitate:

21( , )

(1 )(1 )aT qTZ TT QT

− +Γ =− −

, (12.31)

în care . În plus, este îndeplinită egalitatea: , adică polinomul de la numărătorul fracţiei din relaţia (7.31) are sau rădăcini complexe nereale, sau reale şi egale.

1a q N= + − 2 4a ≤ n

Demonstraţia se găseşte în cartea lui I. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer Verlag, 1986. Vom arăta în continuare cum se foloseşte această teoremă pentru a determina numerele în funcţie de N. nN

COROLAR Pentru orice număr natural nenul n este îndeplinită egalitatea:

1n nnN q= + − α − αn

q

, (12.32)

în care α este una din rădăcinile polinomului , adică: 2T aT− +( ) ( )21 1 1aT qT T T− + = − α ⋅ − α .

DEMONSTRAŢIE Precizăm mai întâi că expresia „serie formală” din enunţul teoremei lui Hasse se referă la faptul că nu ne interesează convergenţa acestor serii, ci numai operaţiile algebrice cu acestea. Astfel, dacă u este o serie de puteri atunci eu

80

Page 280: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

înseamnă 0

1!

n

n

un

=∑ , iar logaritmarea seriilor înseamnă inversa operaţiei de

exponenţiere, adică, prin definiţie, . În plus, vom folosi faptul că ln eu u=

1

1ln(1 ) n

n

un

=

− = −∑ u . Ţinând seamă de aceste relaţii, logaritmând egalitatea

(1.31), obţinem: 2

1

1 1 1

1 1 ) (1 )ln ln(1 )(1 ) (1 )

1 1 1 1 .

nn

n

n n n n n n n n n nn

n n n n

aT qT TN Tn T q T qT

T T q T N qn n n

=∞ ∞ ∞

= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + ⋅ − α= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦⎣ ⎦

= − α − α + α ⇒ = + − α − α

∑ ∑ ∑ ∑1

(1(1 )

1 n

TT

Tn

=

− α

+

Observăm că pentru formula obţinută devine: 1n =1 1N q q= + − α − α = + −1 a , ceea ce rezultă şi din definiţia lui a. Q.E.D.

De remarcat faptul că teorema lui Hasse conţine şi afirmaţia că de unde rezultă:

2 4a q≤

1

12 2

1

2 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)

q a q q q N q

q q N q q

q N q

− ≤ ≤ ⇔ − ≤ + − ≤

⇔ + − ≤ ≤ + + ⇔

⇔ − ≤ ≤ +

Cum curba Γ este definită pentru orice extensie K a lui F, având elemente, formula obţinută este valabilă pentru orice n, adică:

nq

( ) ( )2 21 1n n

nq N q n− ≤ ≤ + ≥; 1. (12.33)

Când n sau q sunt foarte mari (ceea ce este cazul curbelor eliptice folosite

în criptografie), putem considera ( )21nq ± ≈ nq

5

, de unde rezultă că numărul

punctelor unei curbe eliptice variază în limite neglijabile în jurul numărului elementelor corpului. Inegalităţile (7.33) sunt îndeplinite de curbele eliptice definite peste

. Într-adevăr, pentru q = 2 (şi n = 1) limitele sunt 2 3, , F Z Z Z= ( 22 1± ) , adică

1 şi 5. Cele 6 curbe eliptice peste 2Z au ordinele: 1, 2, 3, 3, 4, 5. Pentru q = 3 (şi, fireşte, n = 1) cele 10 curbe definite peste 3Z au ordinele cuprinse între 1 şi 7 şi tocmai acestea sunt limitele date de teorema lui Hasse.

81

Page 281: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Pentru q = 5 cele 20 de curbe definite peste 5Z au ordinele cuprinse între

2 şi 9, iar limitele rezultate din teorema lui Hasse sunt ( 25 1± ) , adică 2 şi 10.

12.11 Cazuri particulare remarcabile privind ordinul grupului unei curbe eliptice

În formula 1n nnN q= + − α − αn

q

q

numerele complexe α şi conjugatul său sunt rădăcinile polinomului unde pe de o parte , în care N este ordinul grupului , iar pe de altă parte . Ne interesează cazul limită când , când cele două rădăcini vor fi deci reale şi egale. Observăm că:

2T aT− +( )FΓ

1a q N= + −q2 4a ≤

2 4a =

( )22 4 2a q a q N q= ⇔ = ± ⇔ = ±1

q

.

Rezultă că această relaţie nu se poate îndeplini decât dacă q este un pătrat perfect, mai precis, o putere pară a caracteristicii corpului. Oricum dacă q este un număr prim p relaţia nu poate fi satisfăcută. 2 4a = Căutăm atunci cazul cel mai simplu şi ne propunem să găsim condiţia ce trebuie să o îndeplinească curba eliptică Γ definită peste

2q p=pZ astfel ca

această curbă, considerată peste extinderea K a lui pZ având elemente, să îndeplinească condiţia:

2pq =

( ) ( )2 2 2

2 1 1 1N q p p= ± = ± = + ± 2 p . (12.34)

Deoarece 2 22 1N p= + − α − α2 , relaţia (12.34) este echivalentă cu:

2 2 2 pα + α = ± . Dar 2 2 2 2( ) 2 2aα + α = α + α − αα = − pp p

şi deci relaţia (12.34) este echivalentă cu: . Sunt deci posibile două cazuri: sau

. Primul se respinge, deoarece a este număr întreg, iar p este număr prim. Rămâne numai situaţia , adică .

2 2 2a p− = ±

0a =

2 4a =0a =

1 1N N p= = + Condiţia este îndeplinită, în cazul 1N p= + 2p = de curbele supersingulare Γ1 şi Γ2, pentru 3p =

3

de primele 4 curbe din tabelul celor 10 curbe eliptice definite peste Z şi în cazul p = 5 de primele 4 şi a 16-a din tabelul celor 20 de curbe eliptice definite peste 5Z . Reţinem deci cazul , care este consistent, în sensul că există curbe definite peste

0a =pZ care îndeplinesc această condiţie. În acest caz una din

rădăcinile polinomului este 2 +T aT− q i pα = şi deci:

82

Page 282: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

2 2

2

0; 4 1

i ( i) 2 ; 4

2 ; 4 2

n nn n n n

n

n m

p p n

p n m

= ±⎧⎪⎪⎡ ⎤α + α = + − = =⎨⎣ ⎦⎪⎪− =⎩ .

m

+

(12.35)

În concluzie, dacă o curbă Γ definită peste corpul pZ are 1p + elemente, atunci:

2

2

1; 4 1

1 2 ; 4

1 2 ; 4 2

n

nn

nn

n

p n m

N p p n m

p p n m

⎧ + =⎪⎪

= + + =⎨⎪⎪ + − = +⎩ .

±

(12.36)

83

Page 283: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

84

Page 284: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

MODULUL 13

EXEMPLE REMARCABILE DE SISTEME CRIPTOGRAFICE

13.1 Introducere 13.2 Noţiuni generale privind sistemele criptografice 13.3 Sistemul Rivest Shamir Adleman (RSA) 13.4 Sistemul Rabin 13.5 Sistemul ElGamal 13.6 Semnătura digitală bazată pe RSA 13.7 Sistemul de semnǎturi digitale Feige-Fiat-Shamir 13.8 Sistemul standardizat de semnături digitale 13.9 Parole 13.10 Scheme de alocare a secretelor 13.11 Sisteme criptografice bazate pe curbe eliptice

13.1 Introducere Având în vedere dezvoltarea accentuată a tehnologiilor din domeniul calculatoarelor şi comunicaţiilor se impune o analizare periodică a algoritmilor de criptare prin prisma posibilităţilor de implementare a acestora, precum şi a noilor cercetări ştiinţifice în domeniul criptologiei. Dinamica actuală a criptografiei este marcată de următoarele două aspecte, unul privind parametrii algoritmilor de criptare consacraţi, folosiţi, iar pe de altă parte, în ce priveşte crearea de noi algoritmi de criptare, bazate pe noi modele matematice. În ce priveşte alegerea parametrilor algoritmilor de criptare, în practica criptografică se ţine seamă, pe de o parte, de creşterea performanţelor tehnicii de calcul, atât sub aspectul dispozitivelor cât şi sub aspectul programelor, iar pe de altă parte, de rezultatele cercetării din domeniul criptanalizei. Ascensiunea performanţelor tehnicii de calcul dă posibilitatea unor atacuri în forţă a sistemului criptografic, adică angajarea unor operaţii apreciate, ca volum de calcul, ca fiind de nivel exponenţial, adică de ordinul de complexitate al cheii. Ca urmare, pentru securitatea sistemului, se cere ca numerele folosite să fie din ce în ce mai mari. De exemplu, dacă la implementarea sistemului

1

Page 285: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

cunoscut sub numele RSA se aprecia ca suficient de mari numerele având cam 200 de cifre, astăzi se recomandă peste 500 de cifre. Alegerea parametrilor ţine seamă, în practica criptografică, de semnalele venite din domeniul criptanalizei. Anumite restricţii pe care, întâmplător, nu le îndeplinesc parametrii, fac ca sistemul să fie vulnerabil. Ca urmare, în alegerea acestor parametri, astfel de situaţii trebuie evitate. De exemplu, tot în cazul sistemului RSA, cele două numere prime care prin înmulţire dau cheia publică, trebuie să fie nici prea apropiate ca mărime şi nici prea depărtate. Pe de altă parte, deşi se consideră utilă elaborarea de noi modele matematice de încriptare, practica simte o mai mare siguranţă în folosirea algoritmilor deja folosiţi, standardizaţi, care sunt sub controlul cercetărilor din domeniul analizei criptografice. De exemplu, folosirea curbelor eliptice în proiectarea sistemelor criptografice, care a fost propusă cu oarecare timiditate acum 20 de ani, este afirmată din ce în ce mai insistent în ultimii zece ani, prin rezultatele recente ale cercetării ştiinţifice a acestor obiecte matematice. Faţă de sistemul RSA, curbele eliptice, prin diversitatea pe care o prezintă, oferă un grad mai mare de siguranţă, în condiţiile în care numerele ce determină parametrii sunt mult mai mici. Ca urmare, pentru a mări performanţele practicii criptografice trebuie să se acţioneze pe aceste două direcţii: pe de o parte, familiarizarea cu algoritmii care au primit confirmarea practicii, la care să se ţină pasul cu semnalele de analiză criptografică în ce priveşte alegerea parametrilor, iar pe de altă parte, abordarea unor noi instrumente şi modele matematice.

13.2 Noţiuni generale privind sistemele criptografice

13.2.1 Criptografia modernă Deşi criptografia, în sensul restrâns al cuvântului, ca metodă de transmitere secretă a mesajelor, are o istorie foarte veche, criptografia modernă, guvernată de chei publice, a început acum aproape 30 de ani. Nota dominantă a criptografiei moderne constă în implicarea net amplificată a matematicii. Totuşi instrumentele matematice care stau la baza criptografiei moderne sunt de mult cunoscute. Ceea ce a făcut posibilă punerea în valoare a instrumentului matematic în crearea criptografiei moderne este tehnica actuală de prelucrare electronică a datelor. Aşadar trebuie subliniat de la început că performanţele unui sistem criptografic modern se bazează pe două competenţe înrudite: matematica şi informatica. Criptografia modernă cunoaşte o dinamică foarte accelerată pe măsura dezvoltării matematicii şi a informaticii. Deşi noţiunile şi relaţiile de bază ale instrumentului matematic al criptografiei cu chei publice sunt vechi, în ultimii 30 de ani s-a elaborat un număr enorm de lucrări în această direcţie, unele aducând clarificări şi implicaţii spectaculoase în probleme clasice ale matematicii. 2

Page 286: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

13.2.2 Schema generală a unui sistem criptografic Istoria criptografiei consemnează sisteme care pot fi amuzante prin latura lor rudimentară, dar şi ingenioasă. Nu este locul să ilustrăm cu astfel de exemple. Menţionăm numai faptul că în criptografia clasică se pot distinge două feluri de sisteme: unele folosesc instrumente matematice (mai mult sau mai puţin rudimentare), iar altele nu o folosesc de fel. Pentru tema acestei expuneri interesează sistemele care folosesc matematica. Schema unui sistem criptografic constă din două mulţimi M (mulţimea unităţilor de mesaj) şi C (mulţimea unităţilor de cifru) şi o funcţie inversabilă

:e M C→ numită funcţia de încriptare. Notaţia e pentru această funcţie este iniţiala cuvântului englezesc „encrypting”. Inversa funcţiei e se notează d şi se numeşte funcţia de decriptare. În multe cazuri cele două mulţimi, M şi C, coincid.

13.2.3 Tipuri remarcabile de sisteme criptografice clasice EXEMPLU. În cele mai vechi sisteme criptografice M = C = mulţimea literelor alfabetului folosit, iar funcţia e este o permutare circulară a literelor alfabetului, aşezate într-o ordine alfabetică. Funcţia d este în acest caz permutarea circulară inversă a literelor alfabetului. Siguranţa unui astfel de sistem, când a fost folosit, s-a bazat pe faptul că funcţiile d şi e au fost secrete, cunoscute numai de către cel care transmitea şi de cel care primea mesajul. Este de înţeles că un mesaj astfel cifrat nu putea fi înţeles de cineva care nu avea habar de criptografie. Dar dacă se ştie că se foloseşte o permutare circulară a literelor alfabetului, atunci nu este greu de găsit, chiar prin încercări, cheia de descifrare. Schema are şi variante îmbunătăţite, în sensul creşterii siguranţei, în care se ia în locul unei permutări circulare, o permutare oarecare a literelor alfabetului. Dacă N este numărul literelor alfabetului (de exemplu, N = 26 în alfabetul englezesc) atunci, trecând de la permutări circulare la permutări oarecare, numărul cheilor creşte de la N la N!. În felul acesta se descurajează încercarea de spargere a sistemului pe calea exhaustivă, a încercărilor. Un pas remarcabil în direcţia implicării matematicii îl constituie considerarea ca unităţi de mesaj nu literele, ci grupuri de litere, numite multigrafuri. Identificând o literă cu numărul ei de ordine în alfabetul cu N litere, s-au deschis, în criptografia clasică, două clase de sisteme criptografice diferite, cu grad sporit de siguranţă. I. Un multigraf având k litere poate fi identificat cu un vector din spaţiul de dimensiune k peste inelul claselor de resturi modulo N (numit, acest spaţiu, modul, dacă inelul nu este corp, adică dacă numărul N nu este prim). Mulţimea M = C a mesajelor fiind un astfel de spaţiu, se pot folosi ca funcţii de criptare şi decriptare transformările liniare. 3

Page 287: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

O transformare liniară este determinată de o matrice pătrată inversabilă de ordinul N având ca elemente clase modulo N. Funcţia inversă este dată de inversa matricei. În ipoteza că matricea folosită este cunoscută numai de către cel care trimite şi cel care primeşte mesajul, sistemul prezintă un grad sporit de siguranţă prin numărul mare al acestor matrice inversabile. Pe de altă parte, operaţiile de criptare şi de decriptare cer un volum redus de lucru. II. Modalitatea mai adecvată criptografiei moderne este identificarea unui k-graf cu numărul scris în baza N ale cărui cifre sunt tocmai numerele de ordine ale literelor grafului. De exemplu, pentru k = 3, trigraful DCE se identifică cu numărul 3 + 2N + 4N2, unde am considerat că literele A,B,C,D,E,… au ca numere de ordine 0,1,2,3,4,… Numerele ce reprezintă k-grafurile cresc exponenţial cu lungimea k a multigrafului, ceea ce face să crească siguranţa sistemului. Ca funcţii de criptare se pot folosi funcţii uşor inversabile ale corpului de clase de resturi în raport cu un număr prim p cuprins între şi . De exemplu, înmulţirea cu un factor nenul al corpului. Aceste funcţii cer un volum redus de calcul, sunt foarte numeroase şi sunt uşor inversabile.

1kN − kN

13.2.4 Complexitatea calculului Calculatoarele moderne au ajuns la astfel de performanţe încât, în general, nu este nevoie să ne preocupăm de volumul de operaţii cerute de diverse activităţi, cum ar fi procesarea unui text, a unor date etc. Dar criptografia modernă, prin natura ei, lucrează la limita acestor performanţe. De aceea sistemele criptografice trebuie analizate şi din acest punct de vedere, al complexităţii încifrării, descifrării, precum şi acela al „spargerii cifrului”. Analiza complexităţii calculului a devenit un capitol foarte important al criptologiei moderne, stufos din punct de vedere al noţiunilor cu care operează, precum şi al relaţiilor dintre acestea, cu o problematică dinamică şi subtilă. Pentru expunerea de faţă ne mărginim la o abordare mai grosieră a complexităţii calculului, atât cât este necesar pentru evaluarea practică a sistemelor criptografice. Punctul de plecare în acest demers îl constituie noţiunea de operaţie elementară. Privită în contextul operaţiilor aritmetice cu numere se porneşte de la faptul că aceste operaţii (adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea, exponenţierea) se reduc la adunări de numere scrise în baza doi. În acest context se consideră operaţie elementară acţiunea prin care se decide dacă o cifră a sumei a două numere, scrise în baza doi, este zero sau unu. Pe baza acestei convenţii rezolvarea unei probleme, însoţită de algoritmul corespunzător, necesită un anumit număr de operaţii elementare. Acest număr reprezintă complexitatea problemei. Am putea spune mai exact că este vorba de complexitatea algoritmului de rezolvare a problemei respective, deoarece diferite algoritme de rezolvare a aceleiaşi probleme necesită în general numere

4

Page 288: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

diferite de operaţii elementare. Următoarele exemple pot constitui baza evaluării complexităţii calculului şi pentru alţi algoritmi.

EXEMPLE 1) Evident că adunarea a două numere scrise în baza doi având k cifre comportă exact k operaţii elementare. Acelaşi rezultat se obţine şi pentru scădere a două numere. Deci adunarea sau scăderea a două numere comportă un număr de operaţii elementare egal cu numărul maxim de cifre al numerelor care se adună. 2) Pentru înmulţirea a două numere m şi n, primul având k cifre, iar al doilea l cifre în baza doi se foloseşte următorul algoritm. Se porneşte cu numărul

, având toate cifrele nule şi . Apoi pentru fiecare i = 1, 2,..., l se ia (adică se deplasează spre stânga cu un pas cifrele lui şi se ia

0 0p =2im =

i

0m = m1im −

1i

1im −p p=

i i

1

dacă cifra i a lui n este nulă, iar dacă această cifră este nenulă se ia ip p − m= + . Aşadar, pentru fiecare i (adică la fiecare din cele l etape) se fac

sau zero sau k operaţii elementare. Produsul celor două numere este lp , adică se obţine după l etape, fiecare constând în cel mult k operaţii elementare. Deci, numărul de operaţii elementare este cel mult egal cu produsul kl. Acelaşi lucru este valabil şi pentru împărţire. Rezultă că înmulţirea sau împărţirea a două numere comportă cel mult [ operaţii elementare. Această evaluare este mai grosieră, dar este mai simplă, exprimând faptul că la înmulţirea a două numere mari, având cam acelaşi număr de cifre, complexitatea calculului nu depăşeşte pătratul numărului de cifre al celor două numere.

]

n

i

2( , )k lmax

3) Algoritmul lui Euclid aplicat unor numere mari având cam acelaşi număr k de cifre, constă din cel mult k împărţiri, fiecare constând din cel mult

operaţii elementare. Aşadar, algoritmul lui Euclid comportă cel mult operaţii elementare. Aceasta este o evaluare grosieră. Dacă se ia în considerare faptul că numerele care se împart scad la fiecare etapă a algoritmului, se obţin cel mult operaţii elementare.

2k 3k

2k 4) Reducerea lui m modulo n nu comportă nici o operaţie dacă m < n şi constă din împărţirea lui m la n în caz contrar. Aşadar reducerea lui m la n necesită cel mult operaţii elementare, unde k este numărul cifrelor lui m. 2k 5) Pentru exponenţierea modulo n considerăm o clasă modulo n reprezentată de un număr a care este cel mult egal cu , având k cifre şi exponentul m având l cifre, ambele în baza doi.

1n −

Pentru a calcula se foloseşte următorul algoritm: se porneşte cu şi , dacă prima cifră a lui m este zero şi , dacă prima cifră a lui m este unu. Apoi, pentru fiecare i = 2, 3,..., l se ia redus modulo n şi , dacă cifra i a lui m este nulă şi redus modulo n

modulo ma11b a=

ie e=

1e = 1e a=2

1i ib b −=1i− 1i ie e b−=

5

Page 289: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

dacă cifra i a lui m este egală cu unu. Deci, fiecare etapă necesită cel mult două înmulţiri, fiecare având cel mult operaţii elementare şi două reduceri modulo n fiecare având cel mult operaţii elementare, deci în total cel mult

operaţii elementare.

2k22k

26k În concluzie pentru a calcula am modulo n sunt necesare cel mult 6k2l operaţii elementare, în care k este numărul cifrelor lui n, iar l este numărul cifrelor lui m. DEFINIŢIE. Date fiind două funcţii , :f g → spunem că ( )f O g= , dacă există o constantă reală C astfel încât ( ) ( )f x Cg x≤ pentru orice 0x x≥ .

EXEMPLU. Dacă f este un polinom de gradul k având coeficientul director , atunci pentru avem: 0a > C > a ( ) kf x Cx≤ , pentru 0x x> , deoarece

( ) akf xlim

n x→∞= , deci ( )kf O x= . În general, dacă f este o combinaţie liniară de

puteri reale ale lui x în care axα este termenul cu exponentul maxim al lui x, atunci ( )af O x= .

OBSERVAŢII I. Relaţia ( )f O g= exprimă comportarea funcţiilor f şi g pentru valori mari ale lui x, şi anume că raportul dintre f şi g nu depăşeşte o constantă. Aşa cum arată exemplele de mai sus, prin această relaţie se apreciază, pentru valori mari ale lui x, creşterea lui f prin creşterea unei funcţii mai simple g. II. Deşi în relaţia f ( )O g= se foloseşte semnul de egalitate, aceasta nu este o relaţie de echivalenţă deoarece nu este simetrică. De exemplu,

(2 )3 , dar nu este adevărată relaţia (3x O x= )2x O x= . Relaţia ( )f O g= este însă reflexivă şi tranzitivă, adică este o relaţie de preordine. Simetrizarea ei defineşte relaţia de echivalenţă:

1 2 2 2( ) ( ) ( )g g O g g O g= Θ ∧ =1g =

2 ;C ∈

1

x

1C

2)g

,

care se mai exprimă şi astfel:

1 2 1 2 1 2 2( ) , ( ) ( ) ( )g g R C g x g x C g= Θ ⇔ ∃ ≤ ≤ .

Evident că dacă , atunci 1 (g = Θ 1 2( ) ( )f O g f O g= ⇔ = . Pentru evaluarea complexităţii calculului prezintă interes cazul funcţiilor

, care îndeplinesc, evident, relaţia . Dacă variabila x este un număr natural n, iar a este un număr natural fixat, atunci funcţia reprezintă numărul cifrelor lui n scris în baza a. Rezultă că nu are importanţă baza folosită pentru relaţia

*1 2 1: ; ( ) log ( ), log ( ); , 0bR R g x x x a b+ → = =

1 2( )g g= Θ( ) [log ]ag n n=

( )

2( )x,g g a g >

+1

f O g= . Putem folosi mereu logaritmul natural.

6

Page 290: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Din punctul de vedere al complexităţii calculului se disting două clase importante, şi anume: - dacă şi funcţia ( ) (ln ) ;g n n Rα= α∈ ( )f n reprezentând numărul de operaţii elementare (complexitatea calculului) îndeplineşte condiţia

( )f O g= , atunci spunem că volumul de calcul este polinomial; - dacă şi funcţia ( ) ;g n n Rα= α∈ ( )f n reprezentând numărul de operaţii elementare (complexitatea calculului) îndeplineşte condiţia ( )f O g= , atunci spunem că volumul de calcul este exponenţial. În practică se au în vedere valori atât de mari ale lui n încât operaţiile de complexitate polinomială pot fi efectuate de către calculatoarele disponibile într-un timp rezonabil, iar cele de nivel exponenţial nu pot. Ca urmare, algoritmii de cifrare şi descifrare trebuie să fie puteri ale numărului de cifre ale lui n, iar algoritmii cunoscuţi necesari pentru spargerea cifrului trebuie să fie o putere a numărului n însuşi. În practica demersurilor matematice se obişnuieşte să se reducă rezolvarea unei probleme la rezolvarea alteia care pare mai simplă. În contextul aplicării matematicii în criptografie rezolvarea unei probleme înseamnă de regulă găsirea unui algoritm a cărui complexitate să fie polinomială. Aceasta conduce la următoarea ierarhizare a problemelor, ierarhizare specifică criptologiei: Spunem că o problemă A se reduce polinomial la o altă problemă B, (notăm aceasta PA B≤ ), dacă există un algoritm de complexitate polinomială care permite rezolvarea problemei A pornind de la o soluţie a problemei B. Aceasta înseamnă, bineînţeles, că problema A este mai grea decât B, din moment ce rezolvarea problemei B asigură şi rezolvarea problemei A. Prezintă interes cazul când problemele A şi B sunt polinomial echivalente, adică PA B≤ şi

PB A≤ . De exemplu, ştiind că n este un număr compus, problema descompunerii lui este polinomial echivalentă cu problema rezolvării ecuaţiei 2 modulo x a n= , ştiind că această ecuaţie are soluţie. O altă problemă echivalentă cu problema descompunerii lui n (ştiind că n este produsul a două numere prime necunoscute p şi q) este problema găsirii unui număr d astfel ca ed să fie congruent cu 1 modulo ( 1)( 1)p q− − . Un alt exemplu remarcabil îl constituie problema cunoscută sub numele problema RSA, care înseamnă găsirea numărului natural m strict mai mic decât n astfel că , cunoscând numerele c, e, n şi faptul că n este produsul a două numere prime impare. Această problemă se reduce, evident, polinomial la problema precedentă, deci şi la problema descompunerii lui n. Dar nu se cunoaşte dacă RSA este echivalentă cu problema descompunerii lui n, adică nu s-a găsit încă un algoritm de complexitate polinomială, care să descompună numărul n folosind o soluţie polinomială a problemei RSA.

moduloem c= n

7

Page 291: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

13.3 Sistemul Rivest Shamir Adleman (RSA) Securitatea acestui sistem se bazează pe faptul că până în prezent nu s-a elaborat un algoritm polinomial pentru descompunerea în factori a numerelor. Totuşi nu s-a demonstrat echivalenţa dintre invulnerabilitatea sistemului la atacul pasiv şi problema descompunerii în factori, nici în ipoteza că se ştie că numărul de descompus este produsul a două numere prime.

13.3.1 Cheia publică, cheia privată Principala funcţie a sistemului este transmiterea pe canale publice de comunicare de mesaje între utilizatorii sistemului care asigură confidenţialitatea mesajului în condiţiile în care cheia de încifrare (cheia publică) este cunoscută de toţi utilizatorii, iar cheia de descifrare (cheia privată) este cunoscută numai de destinatarul mesajului.

8

Page 292: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Fiecare utilizator, notat A, îşi construieşte cele două chei, cea publică şi cea privată, prin următoarele operaţii: I) alege două numere prime p şi q, care trebuie să îndeplinească anumite condiţii, printre care, deocamdată precizăm că ele trebuie să fie relativ mari, să aibă cam acelaşi ordin de mărime, totuşi să nu fie prea apropiate; II) calculează n = pq şi ordinul

( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)( 1)n pq p q p qϕ = ϕ = ϕ ϕ = − −

al grupului unităţilor inelului nZ . Aici φ este funcţia caracteristică a lui Euler; III) alege un număr 2 ( )d≤ < nϕ care este prim cu ( )nϕ şi calculează numărul natural ( )ne < ϕ care reprezintă clasa inversă a lui

modulo ( )d nϕ . Acest număr este obţinut prin aplicarea algoritmului lui Euclid perechii de numere d şi ( )nϕ . Algoritmul dă ca rezultat numerele întregi e şi a care îndeplinesc condiţia:

( ) 1e d a n⋅ + ⋅ ϕ = . Dacă d nu este număr natural strict mai mic decât ( )nϕ , atunci se înlocuieşte cu restul împărţirii la ( )nϕ . Fireşte, prin aceasta se modifică numărul întreg a. Complexitatea calculului cerut de algoritmul lui Euclid este cel mult de ordinul cubului numărului de cifre ale lui n, adică este mai mic decât . ( )3logO n În urma acestor operaţii a obţinut cheia publică formată din perechea de numere (n,e) şi cheia privată constituită din tripletul de numere (p,q,d). Cheia publică este făcută cunoscută tuturor utilizatorilor care vor să transmită mesaje utilizatorului A. Pentru confidenţialitatea mesajului este necesar ca cheia privată să fie cunoscută numai de către utilizatorul A.

13.3.2 Cifrarea mesajelor Utilizatorul B care vrea să transmită un mesaj m lui A efectuează următoarele operaţii: I. Exprimă mesajul m printr-un număr natural . De exemplu, dacă mesajul este un text format cu un alfabet având N simboluri (litere), atunci m este numărul, scris în baza N, ale cărui cifre sunt tocmai numerele de ordine ale literelor textului. În cazul scrierii textului în limba engleză, se foloseşte un alfabet constituit din 26 litere, dispuse în ordinea A,B,C,... astfel că aceste litere se pot identifica prin numerele lor de ordine, respectiv 0,1,2,... Textul constituit din cuvântul BEACH se identifică cu numărul , ţinând seamă că literele B,E,A,C,H au, respectiv, numerele de ordine: 1,4,0,2,7 în alfabet. Aceasta este una din numeroasele posibilităţi de a identifica un text cu un număr.

1m n< −

2 31 4 26 0 26 2 26 7 26m = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 4

În continuare putem deci admite că mesajul m este el însuşi un număr natural strict mai mic decât n.

9

Page 293: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

II. Calculează cel mai mic număr natural c care este congruent cu . Numărul c este mesajul cifrat pe care utilizatorul A îl transmite

prin canale publice de comunicaţie utilizatorului A. modulo em n

n

De remarcat că deşi numerele m şi e sunt mari (ele se pot considera de acelaşi ordin de mărime ca şi n), algoritmul de exponenţiere modulară are complexitatea cel mult . ( )3logO n

13.3.3 Descifrarea mesajelor Pentru a recupera mesajul (numărul) m din mesajul cifrat c utilizatorul A calculează . Numărul m va fi unicul reprezentant al clasei lui

, care este cuprins între zero şi n – 1. modulo dc

n modulo dc Într-adevăr, dacă m este prim cu n, atunci clasa sa modulo n se află în grupul multiplicativ al unităţilor inelului claselor de resturi modulo n, care grup având ordinul

*Zn

( )nϕ , din teorema lui Lagrange rezultă ( ) 1(mod )nm nϕ = şi deci:

1 ( ) ( ) ( ) (mod. )d ed a n n ac m m m m m n− ⋅ϕ ϕ ⋅ −= = = ⋅ = .

Dacă numărul m, strict mai mic decât n nu este prim cu n, atunci este divizibil sau cu p sau cu q şi evident, nu poate fi divizibil cu amândouă. Dacă m este divizibil cu p (şi nu cu q), atunci este divizibil şi el cu p şi deci diferenţa este divizibilă cu p.

edmedm − m

q

)

m

Pe de altă parte, din faptul că m nu este divizibil cu q rezultă , adică q divide diferenţa şi deci şi diferenţa ,

deoarece:

1 1(mod )qm − = 1 1qm − − edm m−

1 ( ) ( )

( 1) ( 1) ( ) ( 1)

( 1) ( 1

( 1) ( 1)(...)

ed ed n a

p q a q

m m m m m m

m m m m

− ϕ ⋅ −

− ⋅ − ⋅ − −

− = − = − =

= − =

Ca urmare, produsul n divide diferenţa şi deci .

pq= edm −(mod. )edm m n≡

13.3.4 Observaţie Din analiza de mai sus rezultă că pentru a obţine numărul m din numărul

redus modulo n este suficient ca numerele e şi d să fie astfel încât să fie divizibil şi prin p – 1 şi prin q – 1, adică să fie divizibil prin cel mai mic multiplu comun, [

ec m= 1ed −

1, 1]p q− − al acestora. Prin urmare, numerele e şi d pot reprezenta clase inverse una alteia în inelul claselor de modul [ 1, 1]p q− − , care este strict mai mic decât ( 1)( 1)p q− − .

10

Page 294: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

13.3.5 Siguranţa sistemului

13.3.5.1 Siguranţa sistemului faţă de atacul pasiv al adversarului Atacul pasiv asupra unui sistem criptografic de transmitere a mesajelor înseamnă încercarea de a descifra mesajul cifrat c având la dispoziţie numai informaţiile oferite de cheia publică. Mai precis, pentru a descifra mesajul c trebuie rezolvată următoarea problemă numită problema RSA: Să afle numărul natural m strict mai mic decât n cunoscând numerele naturale n, e, c şi că: - numărul n este produsul a două numere prime impare p şi q, acestea însă fiind necunoscute; - numărul e este prim cu produsul ( 1)( 1)p q− − şi

. (mod )em c n= Evident că dacă se pot afla factorii primi p şi q ai lui n atunci, procedând la fel ca utilizatorul A, se determină numărul d care oferă descifrarea. Cu alte cuvinte problema RSA, adică spargerea acestui sistem criptografic, se reduce la problema descompunerii în factori a unui număr n printr-un algoritm de complexitate polinomială. Nu se cunoaşte o altă cale de a se rezolva problema RSA în afară de aceea de a se folosi numărul d. Se crede că o astfel de cale nu există, dar nu s-a reuşit încă o demonstraţie a acestui fapt. Interesant este faptul că problema găsirii numărului d, care să producă descifrarea mesajelor, este echivalentă cu problema descompunerii lui n. Acesta este conţinutul teoremei care urmează.

TEOREMĂ. Problema găsirii numărului d care îndeplineşte relaţia 1(mod. ( ))de n= ϕ este computaţional echivalentă cu problema descompunerii în

factori a numărului n. DEMONSTRAŢIE. Din cele de mai sus rezultă că dacă se cunosc

numerele prime impare p şi q (care fac parte din cheia privată a utilizatorului A), atunci se poate obţine d printr-un algoritm polinomial. Este algoritmul lui Euclid pe care-l foloseşte utilizatorul A pentru a obţine cheia de descifrare d. Reciproc, să presupunem cunoscut numărul d din enunţul teoremei, adică există un număr natural k astfel încât 1 ( )de k n− = ⋅ ϕ , unde ( ) ( 1)( 1)n p qϕ = − − , care este evident un număr par, deoarece numerele prime p şi q sunt impare. Fie r exponentul maxim al lui 2 care divide produsul ( )nk ⋅ ϕ . Se poate atunci scrie

, în care u este un număr natural impar bine determinat. ( ) 2rk n⋅ ϕ = u Grupul al unităţilor inelului , de ordinul *Zn Znn ( ) ( 1)( 1)n p qϕ = − −

* *şi Zp q

, este izomorf cu produsul cartezian . Grupurile fiind ciclice putem considera nişte generatori g, respectiv h ai celor două grupuri astfel că grupul

*Z p × *Zq Z

11

Page 295: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

*Z Zp ×

1

*q )

1

se identifică cu mulţimea perechilor , în care 1 , ( ,i ja g h= 1i p≤ ≤ −

j q≤ ≤ − . Evident, 1

1 21; 1p

pg g−

− = = − şi analog pentru h. Notând s, t exponenţii maximi ai lui 2 care divid 1p −

2, respectiv ,

obţinem două numere naturale impare v şi w astfel că: 1q −

1 sp v− = şi . Deoarece

1 2tq w− =1− şi divid , rezultă 1q − ( ) 2rk n⋅ ϕ =p u , iar v şi w divid pe u. s r≤

Fie s t≥ . Rezultă , deoarece u este divizibil prin v

şi prin w. Deci, pentru orice element a al grupului , avem: . Pe de altă

parte, , şi anume: este unu când i este par şi –1 când i este impar.

Cât priveşte , acesta este egal cu 1 pentru orice j dacă . În cazul

când lucrurile stau la fel ca şi pentru g. Prin urmare, , adică diferă atât de perechea (1,1) cât şi de perechea (–1,–1) pentru exact jumătate din elementele a ale lui , în timp ce . Probabilitatea de a găsi un astfel de a este deci ½ şi deci prin încercări repetate îl putem găsi.

( ) ( )21,

s sui jg h=

2 1a =

21

u=

*Zn

a

2s ua =

t12s ua

1

s<

1= ±

pq=

( )2si

s

1u−

h

1= ±

( )12s

j−

g

t =

u

*Zn

Aşadar n divide , dar nu divide nici unul din factori. Rezultă că cel mai mare divizor comun al numerelor n şi (care se află prin algoritmul lui Euclid), va fi un factor propriu al lui n, adică p sau q. QED

2 1 ( 1)( 1)a a a− = − +1−

Deoarece nu s-a găsit încă o cale de a rezolva problema RSA fără a se folosi numărul d, iar cunoaşterea lui d, aşa cum am arătat, este echivalentă (computaţional) cu problema factorizării, se consideră că această problemă, care înseamnă de fapt spargerea sistemului criptografic RSA, este tot atât de grea ca şi problema descompunerii în factori primi a numărului n. În această situaţie analiza criptografică a sistemului RSA s-a axat pe problema descompunerii în factori a unui număr foarte mare n, chiar şi în ipoteza că se ştie că el este produsul a două numere prime impare, necunoscute însă. Rezultatele obţinute până în prezent nu au dus la elaborarea unui algoritm (polinomial) de descompunere în factori a unui astfel de număr n suficient de mare. În schimb s-au obţinut numeroase algoritme demne de luat în seamă, care permit descompunerea în factori, prin algoritmi computaţional realişti, a numerelor n care îndeplinesc anumite condiţii. Distingem două clase de astfel de algoritmi.

A. Algoritme de complexitate polinomială care descompun numere mari n care îndeplinesc anumite condiţii.

A1. Algoritmul împărţirii directe la numere prime. Acesta este cel mai simplu algoritm şi descompune numere mari de forma n , în care unul din factorii primi p sau q este suficient de mic. Se poate aplica cu

12

Page 296: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

succes pentru a depista factori primi de o formă cunoscută, de exemplu numerele Mersenne. A2. Algoritmul ρ al lui Pollard. Acesta depistează factori primi ai lui n mai mari decât cei care se pot obţine prin algoritmul A1, dar totuşi, nu oricât de mari. A3. Algoritmul 1p − al lui Pollard se aplică numerelor

pentru care n pq= 1p − sau are factorii primi suficient de mici. 1q − A4. Algoritmul sitei pătratelor. Acesta descompune numere de forma , în care p şi q sunt suficient de apropiate. n pq= B. Algoritme care nu necesită restricţii pentru numărul n dar, deşi sunt de complexitate exponenţială, această complexitate creşte destul de încet în raport cu n în sensul că exponentul lui n deşi este o funcţie de n creşte foarte încet, aşa cum ar fi ln(ln(lnn))). B1. Algoritme care folosesc corpurile de numere algebrice. B2. Algoritme care folosesc curbele eliptice peste corpuri finite. Pentru numere foarte mari, cele mai eficiente sunt cele care folosesc curbele eliptice. Ca urmare, pentru siguranţa sistemului, în alegerea parametrilor p şi q trebuie să se ţină seamă de vulnerabilităţile constituite de cele două clase de algoritme de descompunere. Faţă de algoritmele din clasa A trebuie evitate particularităţile corespunzătoare, şi anume: numerele p sau q să nu fie de o formă cunoscută, să nu fie prea mici, deci să aibă cam acelaşi ordin de mărime, totuşi să nu fie nici prea apropiate, iar factorii primi ai numerelor 1p − şi să nu fie prea mici. 1q − Faţă de algoritmele din clasa B singura măsură de siguranţă este să crească ordinul de mărime al numărului n. Aşa cum am menţionat, prin aceasta se micşorează eficienţa sistemului, în sensul că operaţiile de cifrare şi de descifrare ating limitele mijloacelor electronice de calcul.

13.3.5.2 Alte tipuri de atacuri În afară de încercarea de a se descoperi cheia privată din cheia publică, problemă pentru care nu s-a găsit un algoritm de complexitate polinomială, practica acestui sistem criptografic a scos la iveală o serie de alte vulnerabilităţi care folosesc şi alte informaţii decât cele oferite de cheia publică.

Ele sunt importante de ştiut pentru că se pot evita prin alegerea adecvată a parametrilor sistemului.

13.3.5.2.1 Cazul când exponentul e al încriptării este mic Sistemul RSA are de înfruntat dificultatea volumului mare de calcul necesar încriptării şi decriptării, de aceea se caută parametrii care măresc eficienţa acestor operaţii.

13

Page 297: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

De exemplu, este util să se aleagă exponenţi foarte mici, iar cel mai mic posibil, deoarece numerele 1p −

1)( şi sunt pare, este e = 3. Condiţia ca e = 3

să fie prim cu produsul (1q −

1)p q− − este ca numerele p şi q să fie de forma . După teorema lui Dirichlet jumătate din numerele prime îndeplinesc

această condiţie. 3k −1

3

3

Dacă un utilizator trimite acelaşi mesaj m către trei alţi utilizatori care au acelaşi exponent de încriptare, dar module diferite, atunci cineva care interceptează mesajele cifrate , ,

poate calcula numărul aplicând algoritmul (polinomial) de rezolvare a sistemului de ecuaţii

1 2, , n n n3(mod.c m=

)i

1 1)n3

od.i

32 2(mod. )c m n=

33 (mod. )c m n= m

(mx c

3

n= ; i = 1, 2, 3 conform teoremei chineze, deoarece . Mai departe, pentru a obţine mesajul m trebuie calculată rădăcina cubică a soluţiei

31 2 3m n n n<

x m= . Există mai multe atacuri asemănătoare care, pentru a se evita, se folosesc două soluţii. Una dintre acestea este ca să nu se trimită acelaşi mesaj la mai mulţi utilizatori care au acelaşi exponent de încriptare. O metodă mai subtilă este ca numărului m să i se adauge un număr de cifre puse la întâmplare, după care se încriptează. Fireşte, destinatarul mesajului trebuie să ştie că ultimele cifre (în număr ştiut) trebuie eliminate.

13.3.5.2.2 Cazul când spaţiul mesajelor este redus Încriptarea cere un volum mic de calcule dacă se folosesc numere mici drept mesaje, care însă se înmulţesc cu o putere corespunzătoare a lui 2. Dacă, de exemplu, pentru volumul mesajelor de transmis sunt suficiente numere cu 10 cifre în baza doi şi ordinul de mărime al numărului n este 21000, atunci se completează numărul m ce se cere transmis cu 990 zerouri. Dacă acest lucru este cunoscut de cineva care vrea să descifreze mesajul, nu are decât să încerce toate numerele care pot fi mesaje.

13.3.5.2.3 Atacuri în care se foloseşte maşina de încriptare sau decriptare

În sistemul RSA cheia privată se consideră că nu este disponibilă celui care vrea să spargă codul. Practica a arătat că există posibilitatea ca să se obţină de la maşina de decriptare rezultatul decriptării unor numere c oferite maşinii ca mesaje cifrate.

Dacă cineva vrea să descifreze mesajul cifrat trimis utilizatorului A şi interceptat procedează astfel: Alege la întâmplare un număr x, calculează „mesajul cifrat” şi determină maşina de descifrare a utilizatorului A să-l descifreze. Va primi rezultatul mx din care obţine , calculele făcându-se, bineînţeles, modulo n.

ec m=

( ) (mod. )e e e ec cx m x mx n′ = = =

)x1(m x m−=

14

Page 298: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Atacuri similare se pot evita programând maşina de descifrat să respingă de la descifrare mesajele recunoscute ca frauduloase.

13.3.5.3 Pseudoatacuri Literatura a pus în evidenţă unele demersuri care numai aparent ar putea sparge sistemul. Una din aceste idei porneşte de la faptul că funcţia ( ) ef x x= fiind o funcţie bijectivă definită pe grupul unităţilor inelului claselor modulo n bijectivă trebuie să aibă un ciclu adică, ridicând succesiv la puterea e, se va ajunge, după un număr de k paşi la (mod. )

kex x= n . Dacă ex c m= = , atunci se

poate recupera 1

(mod. )kex m

−= n

1)

. Uneori se pot obţine şi factorii p şi q ai lui n. Deşi ideea este corectă ea nu are importanţă practică, deoarece ordinul de mărime al numărului de încercări, k, este exponenţial. În fond tot aşa se poate presupune că se pot ghici numerele p şi q.

13.4 Sistemul Rabin

13.4.1 Cifrarea şi descifrarea mesajelor Siguranţa acestui sistem se bazează pe inexistenţa unui algoritm polinomial pentru calcularea rădăcinii pătrate modulo n în cazul când n nu este un număr prim. După cum vom arăta în continuare această problemă este computaţional echivalentă cu problema descompunerii în factori primi. La fel ca în cazul sistemului RSA utilizatorul A îşi alege două numere prime p şi q suficient de mari şi calculează produsul . Numărul n constituie cheia publică, cunoscută de toţi utilizatorii, iar cheia privată este constituită din perechea de numere p şi q.

n pq=

Utilizatorul B care vrea să transmită mesajul m lui A calculează numărul , cifrarea mesajului m, pe care-l transmite lui A. 2 (mod. )c m n=

Pentru a recupera mesajul m din mesajul cifrat c utilizatorul calculează rădăcinile pătrate ale lui c modulo p şi rădăcinile pătrate ale lui c modulo q. Folosind apoi relaţia pe care o obţine din algoritmul lui Euclid aplicat numerelor p şi q obţine cele patru resturi pătratice modulo n ale lui c, adică: . Mesajul m va fi unul dintre aceste 4 resturi. Are de făcut o alegere.

1 1( , )c c−

2(apc b± ±

2 2( , )c c−1ap bq+ =

qc

De menţionat că pentru calculul resturilor pătratelor în raport cu un număr prim p se dispune de un algoritm de complexitate polinomială în raport cu p. Acest algoritm necesită un număr b care nu este rest pătratic modulo p. Nu avem un algoritm polinomial pentru găsirea unui astfel de număr, dar alegerea la întâmplare şi verificarea dacă este sau nu un rest pătratic este o cale eficientă, deoarece probabilitatea ca un număr natural mai mic decât p să fie un rest

15

Page 299: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

pătratic este ½. Pentru a se verifica dacă un număr este sau nu rest pătratic modulo p se dispune de un algoritm polinomial. În cazul când numărul p este de forma 4 3p k= + se poate folosi următoarea formulă de calculare a rădăcinii pătrate a lui c modulo p:

14 (mod. )

p

c c p+

= ± .

Într-adevăr, ( ) ( )21 1 1 1

2 14 2 2 2p p p p

pc c c c c m c m+ + − −

−= = ⋅ = ⋅ = ⋅ = c . De remarcat faptul că jumătate din numerele prime sunt de forma

4 3p k= + .

13.4.2 Siguranţa sistemului Un atac pasiv ar însemna aflarea rădăcinii pătrate a unui număr, modulo numărul compus n. Nu se cunoaşte altă soluţie a acestei probleme decât cea folosită în decriptarea mesajului, soluţie bazată pe cunoaşterea factorilor primi p şi q al căror produs este n. Aşadar, problema aflării rădăcinii pătrate modulo n se reduce polinomial la descompunerea în factori a numărului n. În secţiunea anterioară am arătat că şi siguranţa sistemului RSA, formulată ca „problema RSA” se bazează tot pe nerezolvabilitatea problemei descompunerii în factori a numărului compus n, dar nu este echivalentă cu aceasta. Spre deosebire de problema RSA, problema spargerii sistemului Rabin, adică problema extragerii rădăcinii pătratice modulo n, aceasta este echivalentă cu problema descompunerii numărului compus n. TEOREMĂ. Dacă se dispune de un algoritm polinomial de extragere a rădăcinii pătratice modulo n, atunci se poate elabora un algoritm, tot polinomial, pentru descompunerea în factori a numărului n. DEMONSTRAŢIE. Într-adevăr, alegând la întâmplare un număr natural x, prim cu n, algoritmul de extragere a rădăcinii pătratice oferă o rădăcină modulo n a lui , fie aceasta y (şi o dată cu aceasta –y). 2(mod. )a x n= Se ştie că dacă a este prim cu n şi este un rest pătratic modulo n, atunci a are patru rădăcini distincte, dintre care două sunt x şi –x, iar celelalte două sunt diferite de acestea. Dacă y diferă de x şi de –x, atunci înseamnă că n nu divide nici x y− , nici x y+ în timp ce divide produsul lor, deoarece 2 2x y= . Ca urmare, cel mai mare divizor comun al numerelor n şi x y− , care se poate afla prin algoritmul lui Euclid (algoritm polinomial), va fi un divizor propriu al lui n adică p sau q. Dacă se întâmplă că sau , atunci se repetă procedeul cu un alt număr prim cu n în locul lui x. Probabilitatea ca un număr x ales la

y x= y = −x

16

Page 300: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

întâmplare să conducă la soluţia problemei este ½, deci repetarea este o soluţie eficientă. Faptul că numărul x ales la întâmplare nu este prim cu n nu este un eşec, deoarece în acest caz înseamnă că am găsit un factor prim al lui n. QED. Tipurile de atacuri semnalate faţă de sistemul RSA sunt în general valabile şi pentru sistemul Rabin, şi soluţiile de evitare sunt cam aceleaşi.

Dintre acestea ne oprim asupra posibilităţii ca cineva să acceseze maşina de decriptare a utilizatorului A şi să obţină de la această maşină o rădăcină pătrată a numărului în care x este ales la întâmplare. Cu probabilitatea ½ rezultatul obţinut diferă de x şi de –x şi atunci, la fel ca în demonstraţia teoremei precedente, va afla factorii lui n. Dacă nu a nimerit-o cu x, repetă operaţia cu alt număr în locul lui x sau tot cu x.

2a x=

Soluţia de prevenire a unui astfel de atac este convenţia ca un număr de cifre binare ale mesajului m să fie adăugate aleatoriu, acestea repetându-se. La descifrare se ţine seamă că aceste grupuri care se repetă trebuie eliminate. În acest fel se rezolvă şi problema alegerii care trebuie să se facă la decriptare între cele patru resturi pătratice: cu foarte mare probabilitate numai unul dintre resturi va conţine redundanţa respectivă. În plus, maşina de descifrare trebuie să fie programată astfel încât să nu returneze un rezultat dacă ultimul set de cifre nu este repetat.

13.5 Sistemul ElGamal Acest sistem se bazează pe faptul că nu s-a descoperit încă un algoritm polinomial pentru rezolvarea problemei logaritmilor discreţi.

13.5.1 Cifrarea şi descifrarea mesajelor Fiecare utilizator A îşi alege un număr prim p de mărime corespunzătoare, un generator g al grupului şi un număr natural suficient de mare a. Cheia

publică este constituită din tripletul (

*Z p

, , )ap g g , iar cheia privată o constituie numărul a. Un utilizator B care vrea să trimită mesajul m (sub formă de număr) lui A alege la întâmplare un număr natural k şi calculează: şi trimite lui A perechea de numere (u,v).

, ak ku mg v g−= =

Pentru a recupera numărul m utilizatorul foloseşte numărul a şi calculează şi apoi produsul , care este chiar m: . Fireşte,

calculele sunt făcute modulo p.

av auv a ak akuv mg g m−= =

13.5.2 Siguranţa sistemului Atacul pasiv înseamnă problema găsirii lui ştiind g, şi . Aceasta este problema cunoscută sub numele de problema Diffie-Hellman. Evident că aceasta se reduce la problema logaritmilor discreţi care se

akg ag kg

17

Page 301: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

formulează astfel: cunoscând g şi , să se afle a. Fireşte, calculele se fac modulo p, iar pentru rezolvarea acestor probleme se cere un algoritm de complexitate polinomială. Nu s-a găsit o demonstraţie a echivalenţei celor două probleme, dar se crede că ele sunt computaţional echivalente.

ag

2r

13.5.3 Eficienţa sistemului Sistemul ElGamal are dezavantajul că cifrarea şi descifrarea mesajelor, uzând de operaţia de exponenţiere, cer un volum foarte mare de calcul.

Pentru a reduce volumul de calcul există tentaţia de a lua valori cât mai mici pentru p sau să se ia acelaşi p şi g pentru un grup mare de utilizatori, astfel că se pot folosi puterile de exponent ca o bancă de date. Totuşi, progresele obţinute în rezolvarea problemei logaritmilor discreţi, mai ales prin alcătuirea unei tabele de logaritmi, cer, pentru siguranţa sistemului, valori mari ale lui p (peste 1000 de cifre binare).

13.6 Semnătura digitală bazată pe RSA

13.6.1 Mecanismul semnăturii digitale În condiţiile în care mesajele se transmit pe canale publice, se impun măsuri de siguranţă care să prevină distorsionarea comunicării prin intervenţia unui adversar activ. S-au găsit soluţii care să îndeplinească următoarele cerinţe: - să prevină modificarea mesajului prin interceptarea, alterarea şi retransmiterea lui de către o altă entitate; - să certifice adevărata origine a mesajului, în sensul de a oferi siguranţa că mesajul este transmis de către cel ce se declară ca atare ca transmiţător al mesajului. Semnătura digitală însoţeşte mesajul m (care este reprezentat de un număr) cu un mesaj de volum mult mai mic, dedus din m printr-o funcţie public cunoscută H(m). În cadrul sistemului RSA, în care fiecare utilizator are cheia publică formată din numerele (n,e) în care e este prim cu φ(n), se poate stabili un număr mare h, dar mult mai mic decât n, iar H(m) să fie reducerea h a lui m. Utilizatorul B care vrea să transmită mesajul m lui A procedează în felul următor: - cifrează mesajul m folosind cheia publică a lui A, adică

; (mod. )Aem Ac m n=

- calculează s = H(m), adică semnătura mesajului m;

- cifrează semnătura s calculând: ( )(mod. ) (mod. )ABed

s B Ac s n n= ;

- transmite lui A perechea de numere (cm,cs).

18

Page 302: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Utilizatorul A efectuează următoarele operaţii: - descifrează mesajul cifrat cm folosind cheia sa privată nA, adică:

; ( )( ) (mod. ) (mod. )AA Add e

m Ac m n n= =A m

B

- calculează semnătura mesajului m, adică s = H(m); - descifrează semnătura cifrată cs, folosind cheia sa privată dA şi cheia publică eB a lui B:

( )( )

( )

( ) (mod. ) (mod. )

( (mod. )) (mod. ) (mod. ) (mod. )

( (mod. ) (mod. ) ;

BA

BAB A

BB

eds A B

edd eB A A

edB B

c n n

s n n n n

s n n s

=

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

- compară rezultatul obţinut cu cel calculat mai înainte, s = H(m). Acceptă semnătura numai dacă cele două rezultate coincid.

13.6.2 Eficienţa mecanismului semnăturii digitale Deşi mecanismul are unele vulnerabilităţi şi imperfecţiuni, cel puţin în

principiu el îndeplineşte funcţiile unei semnături în sensul clasic al cuvântului, şi anume:

a) semnătura s = H(m) este asociată mesajului (numărului) m. Deşi funcţia H este publică, cunoscută de toţi care au acces la canalele de transmitere a informaţiilor, numărul s nu poate fi calculat decât de cel care ştie numărul m. Fireşte că în general funcţia H care transformă numărul m într-un număr mult mai mic nu este injectivă. Sunt mai multe numere m care conduc la aceeaşi semnătură s. Dar a găsi un număr m care să dea aceeaşi valoare pentru s = H(m) este cam de aceeaşi dificultate cu a ghici pur şi simplu numărul s. Prin urmare, numărul s este legat de mesajul m la fel cum semnătura obişnuită se pune pe un document;

b) semnătura identifică originea mesajului, adică pe cel care a trimis mesajul. Aşa cum am menţionat, utilizatorul B nu trimite semnătura s în clar, ci în prealabil o cifrează. Una din etapele încifrării numărului s este calcularea lui

(mod. )BdBs n , iar pentru aceasta este nevoie de cheia privată a lui B. Numai

utilizatorul B poate efectua această etapă a cifrării semnăturii s a lui m. Un alt utilizator C care cunoaşte mesajul m şi deci poate calcula semnătura s = H(m), nu poate să trimită lui A mesajul ca fiind din partea lui, deoarece nu cunoaşte numărul dA;

c) mecanismul de semnătură digitală descris mai sus asigură confidenţialitatea în sensul că nimeni nu poate descifra semnătura cifrată cs decât utilizatorul A căruia-i este destinat mesajul. Pentru descifrarea lui cs este nevoie de cheia privată dA a lui A;

19

Page 303: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

d) aşa cum cineva care a semnat un document în sensul obişnuit al cuvântului nu se poate dezice de faptul că-şi asumă prevederile respectivului document, cel puţin, nu poate să nege că a semnat documentul, la fel, utilizatorul B nu poate pretinde că nu este autorul mesajului m trimis către A. Numai utilizatorul B cunoaşte numărul nB folosit la încifrarea semnăturii s.

13.6.3 Siguranţa semnăturii digitale Acest mecanism de semnătură digitală funcţionând în cadrul sistemului

RSA are aceleaşi vulnerabilităţi pe care le are sistemul însuşi, care se bazează pe nerezolvabilitatea computaţională a descompunerii numerelor în factori primi.

În afară de aceasta mecanismul mai conţine următoarea imperfecţiune: dacă (mod. )Bd

B As n n> , atunci utilizatorul A nu mai recuperează numărul s decât redus modulo nA. Dacă A Bn n> , atunci nu apare această imprecizie. Utilizatorul B poate preveni acest neajuns căutând ca în cazul când A Bn n> să modifice cumva mesajul, adăugând unităţi de mesaj redundante, adică fără valoare informaţională, astfel încât (mBd od. )Bs n să devină mai mic decât nA.

13.7 Sistemul de semnǎturi digitale Feige-Fiat-Shamir

13.7.1 Platforma sistemului Pentru toţi utilizatorii sistemului este disponibilă aceeaşi funcţie

în care înseamnă mulţimea şirurilor de lungime finită oarecare, formate din simboluri binare, adică zero şi unu. Avem în vedere faptul că orice număr poate fi identificat cu şirul cifrelor sale în baza doi. Aşadar putem considera că domeniul de definiţie al funcţiei h este mulţimea numerelor naturale, astfel că funcţia h transformă numere în general foarte mari, care reprezintă mesaje, în numere tot mari, dar de mărime strict mai mică decât 2k, în care numărul k, arbitrar ales, este fixat. Putem lua ca exemplu, în rolul funcţiei h, reducerea modulo 2k.

*2: Z Zkh → 2

)

*2Z

Pe această platformă urmează ca fiecare utilizator A să-şi elaboreze cheia privată şi cheia publică.

13.7.2 Cheia publică, cheia privată Cheia privată a utilizatorului A constă din două numere prime p şi q foarte

mari, un număr natural k, suficient de mare, dar mult mai mic decât numărul de cifre binare ale mesajului m ce urmează a fi semnat, şi un sistem de k numere

( 1 2, ,..., ks s s s= prime cu produsul . Deci cheia privată este tripletul (p,q,s).

n pq=

Pentru cheia publică utilizatorul A are de calculat numerele . Pentru acest calcul se serveşte de numerele p şi q (pentru 2; 1,2,...,i iv s i−= = k

20

Page 304: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

operaţia de inversare). Evident, numerele , care formează vectorul sunt, ca şi

iv( 1 2, ,..., kv v v v= ) is , cuprinse între 0 şi n – 1. Cheia publică a lui A, cu

ajutorul căreia i se trimit mesaje semnate, este tripletul (n,k,v).

13.7.3 Semnarea mesajelor şi verificarea semnăturii Utilizatorul A care trimite lui B mesajul m îl semnează în felul următor: - alege la întâmplare un număr a cuprins între 0 şi n – 1 şi calculează

. Numărul a conferă caracterul aleatoriu sistemului, care măreşte invulnerabilitatea sistemului;

2(mod. )u a n=

- transformă mesajul m (care este un număr cuprins între 0 şi n – 1), în şirul cifrelor sale în baza doi şi completează acest şir cu şirul cifrelor lui u în baza doi. Notăm acest şir m m u= . Folosind apoi funcţia h calculează vectorul

format din k cifre binare, 1 2 2( ) ( , ,..., ) Zkkm e e e= = ∈e h . De exemplu, dacă h este

funcţia de reducere modulo 2k, atunci şirul e este constituit din ultimii k termeni ai şirului m ;

- folosind acest vector şi vectorul s din cheia privată, A calculează

numărul 1

(modik

ei

i

. )a s n=

= ⋅∏s , adică se înmulţeşte modulo n numărul a cu acele

componente si ale vectorului s pentru care ; 1ie =- Semnătura mesajului m este perechea ( ,e s ) formată din vectorul e şi

numărul s . Această semnătură însoţeşte mesajul cifrat al mesajului m, care se transmite lui B.

Pentru a verifica autenticitatea semnăturii utilizatorul B efectuează

următoarele operaţii: calculează numărul 2

1

k

i=∏ (mod. )ie

iu s v n′ = . Acesta trebuie

să fie chiar u, deoarece: 2

2

1 1 1

2 22

1 1

(m

i i−

od. ) (mod. )

(mod. ) (m ).

i i i

i i

k k ke e ei i i

i i ik k

e e

i i

u s v n a s v n

a s s n u n

= = =

= =

⎛ ⎞′ = ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= =

∏ ∏ ∏

∏ ∏ od.

Dar B nu are de unde să ştie acest lucru, şi nici nu are de unde să ştie numărul u. În schimb el poate calcula ( )h m u şi deoarece u trebuie ca ′ u′ =

( ) ( )h m u h m u e′ = = şi această egalitate este criteriul de validare a semnăturii.

21

Page 305: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

13.7.4 Siguranţa sistemului Orice utilizator C poate imita semnătura lui A pe propriul său mesaj m

dacă dispune de vectorul ( 1 2, ,..., k )s s s s= constituit din numere strict mai mici decât n şi prime cu n.

Cheia publică a lui A oferă vectorul astfel că . Aflarea lui si din această relaţie presupune două operaţii modulo n: inversarea şi calcularea rădăcinii pătrate. Prima se poate efectua prin algoritmul lui Euclid. A doua, aşa cum am arătat, este computaţional echivalentă cu problema descompunerii în factori a numărului n, problemă pentru a cărei rezolvare nu se dispune încă de un algoritm polinomial.

( 1 2, ,..., kv v v v= )

2

t+

2i iv s−=

Sistemul oferă facilităţile unei semnături în sensul clasic, adică asigură autenticitatea mesajului (că nu a fost modificat), identificarea sursei, precum şi previne tentaţia de nerecunoaştere a semnăturii.

Spre deosebire de sistemul de semnături digitale bazat pe RSA, acesta conţine elementul aleatoriu, în alegerea numărului a, ceea ce măreşte invulnerabilitatea sistemului.

13.8 Sistemul standardizat de semnături digitale În anul 1991 Institutul Naţional de Standarde şi Tehnologii al guvernului

S.U.A. a adoptat un sistem de semnături digitale ce urmează a fi prezentat în continuare.

13.8.1 Platforma sistemului La fel ca şi în cazul sistemului Feige-Fiat-Shamir se consideră o funcţie h

care transformă mesajele m, identificate cu numere scrise în baza doi, în numere de mărime cel mult egală cu 2159. Deci pentru orice mesaj m, numărul h(m) scris în baza doi, are cel mult 160 de cifre. Sistemul se bazează pe inexistenţa, în prezent, a unui algoritm polinomial pentru rezolvarea problemei logaritmilor discreţi.

13.8.2 Cheia publică, cheia privată Fiecare utilizator A îşi stabileşte cheia publică şi cheia privată efectuând

următoarele operaţii: - alege un număr prim q astfel că . De remarcat că numărul

h(m) coincide atunci cu reducerea sa modulo q;

159 1602 q≤ <

- alege un număr t cuprins între zero şi opt şi un număr prim p care îndeplineşte condiţiile: şi p – 1 este divizibil cu q; 511 64 512 642 2t p+ < <

- alege un generator g al subgrupului ciclic de ordinul q al grupului .

(Observaţie: grupul este ciclic de ordinul p – 1 şi deoarece q divide acest ordin, grupul va avea un singur subgrup de ordinul q, şi anume: acest subgrup

*Z p*Z p

22

Page 306: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

este constituit din elementele 1

; 1,2,...,p iqa i− ⋅

= q , în care a este un generator al grupului ; g poate fi oricare din aceste elemente în afară de cel pentru care

i = q, de exemplu

*Z p1p

qa−

. Deci, dacă dispunem de un generator a al grupului , atunci avem această metodă de a obţine generatorul g. În caz contrar se ia un

element oarecare x al grupului şi se calculează

*Z p

*Z p

1pqx−

. Dacă rezultatul diferă de 1(mod.p), atunci g = x. Probabilitatea ca un element x luat la întâmplare să

poată fi în locul lui g este aproximativ 160

512 642

2 t+ );

- alege un număr a; 0 < a < q şi calculează y = ga(mod.q). Numărul a constituie cheia privată a utilizatorului A, iar cheia publică este constituită din numerele: p, q, g, y.

13.8.3 Semnarea mesajelor şi verificarea semnăturii Pentru a semna mesajul m utilizatorul A efectuează următoarele operaţii: - ia la întâmplare un număr k; 0 < k < q şi calculează numărul ,

pe care-l reduce apoi modulo q. Numărul astfel obţinut, pe care-l notăm r este strict mai mic decât q. Numărul k reprezintă componenta aleatoare a semnăturii;

(modk . )g p

- calculează numărul h(m), care este strict mai mic decât q (deci coincide cu clasa sa modulo q) şi apoi 1( ( ) )(mod. )s k h m ar q−= + . Inversarea lui k se obţine prin algoritmul lui Euclid aplicat numerelor k şi q;

- semnătura pe care o aplică A pe mesajul m este perechea de numere (r,s), amândouă strict mai mici decât q.

Utilizatorul B căruia i se trimite mesajul m cu semnătura (r,s) şi dispunând de numerele p, q, g, y care constituie cheia publică a lui A verifică semnătura prin următoarele operaţii:

- calculează numerele: h(m), , ; 11 ( ) (mod. )u s h m q−= 1

2u s−= r

q

- calculează . Va trebui să obţină: 1 2 . )(mod. )u uv g y p q= ⋅ (mod

( (

(mod.

u u

s h m

y= ⋅1 2

1 ) )

(mod. )(mod. )

(mod. )(mod. )

)(mod. ) .

ar

k

v g p q

g p

g p q r

− +

=

= =

= =

Deci, dacă obţine v = r, atunci acceptă semnătura, iar în caz contrar o respinge.

23

Page 307: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

13.8.4 Siguranţa sistemului Pentru ca cineva să poată imita semnătura (r,s) a lui A pe propriul mesaj

m, are de rezolvat următoarea problemă: să determine numărul a (pentru a construi numărul s), cunoscând g, ca generator al grupului ciclic de ordinul q al lui , şi . Aceasta este problema logaritmilor discreţi, pentru care algoritmii elaboraţi au complexitatea de ordinul rădăcinii pătrate a numărului p.

*Z p (mod. )ay g p=

Disponibilităţile tehnice ale implementării sistemului limitează mărimea lui p la 21024. Pe de altă parte, creşterea performanţelor calculatoarelor, precum şi perfecţionarea algoritmelor de rezolvare a problemei logaritmilor discreţi cer, pentru siguranţă, ca valoarea lui p să treacă de 2800. După cum se vede, marja de disponibilitate a parametrilor se micşorează.

13.9 Parole

13.9.1 Comparaţia cu semnăturile digitale Parolele fac parte din grupa de sisteme criptografice de identificare a unei

entităţi. Operaţia de identificare se clarifică mai bine dacă se compară cu autentificarea mesajelor (de exemplu, prin semnături digitale), faţă de care prezintă deosebiri esenţiale.

- În timp ce semnăturile digitale asigură autenticitatea originii mesajelor, identificarea se ocupă cu verificarea identităţii celui care participă la comunicaţie.

- În operaţia de identificare, verificarea identităţii celui care pretinde că o are se face în momentul când pretinde această identitate, iar cel care verifică identitatea decide imediat în consecinţă asupra măsurii ce se ia, de exemplu, se acceptă accesul la un terminal sau nu. În cazul semnăturii digitale, verificatorul primeşte mesajul, deci efectuează operaţiunea de comunicare şi apoi se asigură de faptul că originea mesajului este cea declarată sau că nu a fost alterat mesajul de alţi utilizatori ai canalelor de comunicaţie.

Identificarea prin parole are o largă utilizare, în foarte multe situaţii. Dar pentru a ne fixa ideile să avem în vedere limitarea accesului la resursele unui calculator. Printr-un sistem de parole se acceptă accesul la anumite fişiere celor care cunosc anumite parole în prealabil alocate şi pe care le tastează. După felul în care funcţionează sistemul, deosebim două situaţii:

- parolele celor care li se permite accesul sunt stocate într-un fişier setat cu protecţie atât la citire, cât şi la modificare. Utilizatorul tastează parola, iar calculatorul compară parola tastată cu parolele din fişier, acceptând sau nu accesul, după cum parola tastată se află sau nu în listă. Neajunsul unui astfel de sistem este accesul privilegiat al unor utilizatori (administratori de sistem) la fişierul cu parole;

24

Page 308: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

- în loc să se stocheze parolele, acestea rămân secrete, ştiute de utilizatori (fiecare parola sa), iar calculatorul stochează numai transformările acestor parole printr-o regulă (funcţie) care odată implementată nu mai poate fi cunoscută de nimeni. Calculatorul transformă parola tastată şi o caută în lista transformatelor parolelor. Totuşi aceste funcţii pot fi cunoscute dacă ele sunt practic neinversabile. Spre deosebire de alte utilizări ale sistemelor criptografice, folosirea parolelor nu cere posibilitatea inversării acestor funcţii.

13.9.2 Funcţii ce se pot folosi pentru transformarea parolelor I. Polinomul lui Purdi (1974) ilustrează foarte bine această clasă de

funcţii. Este vorba de funcţia:

24 24

* *

2 17 2 3 3 2 64 *1 2 3 4 5

: Z Z ;

( ) ; 2 59; Z

p p

i p

f

f x x a x a x a x a x a p a+ +

= + + + + + = − ∈

despre care se poate arăta că este inversabilă, dar este foarte greu de inversat. Deşi se lucrează cu numere relativ mari, calcularea valorilor funcţiei f, deci obţinerea transformatei ( )f x a parolei x este incomparabil mai simplă decât inversarea lui f.

II. Ridicarea la pătrat modulo p este o funcţie inversabilă. Dar dacă în locul lui p se ia un număr compus, de exemplu n = pq, atunci calcularea rădăcinii pătrate este echivalentă cu descompunerea lui n. În acelaşi timp, funcţia f, adică ridicarea la pătrat, este uşor de calculat. Pentru ca descompunerea în factori să nu fie practic fezabilă trebuie ca numerele p şi q să fie suficient de mari.

Vom analiza extinderea ridicării la pătrat la ridicarea la o putere primă.

13.9.2.1 Ridicarea la putere în corpuri finite Se notează un corp finit având q elemente şi grupul său

multiplicativ având q – 1 elemente. După cum se ştie, acest grup este ciclic şi notăm g unul din generatorii săi. Acest element are proprietăţile:

qF *qF

{ }* ;1 1 ; 1 ( 1)i jqF g i q g q= ≤ ≤ − = ⇔ − j

t

.

Dat fiind un număr prim p el determină numerele naturale n şi t astfel încât , iar t nu este divizibil prin p, adică 1 nq p− = np este cea mai mare putere a lui p care divide ordinul al grupului . 1q − *

qF

Funcţia este evident un morfism al grupului şi pentru orice număr natural r notăm:

* *: ; ( ) pp q q ph F F h x x→ = *

qF

{ }*Im( ) ;rr p

r p qH h x x F= = ∈

25

Page 309: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

care este, evident, subgrup al lui . *qF

Menţionăm în plus, că pentru orice element x al grupului se notează [x] subgrupul ciclic generat de elementul x. Funcţia are unele proprietăţi pe care le punem în evidenţă.

*qF

ph

TEOREMĂ. Subgrupurile rH formează un şir descrescător care staţionează:

*1 2 1 2... ...q n nF H H H H H+ += = =Ù Ù Ù Ù n

Pentru r strict mai mic decât n subgrupul rH este generat de elementul rpx g= şi are n rp t− elemente, iar pentru r ≥ n subgrupul rH nu mai depinde de r.

El este generat de elementul npx g= şi are t elemente.

Pentru r strict mai mic decât n restricţia morfismului hp la rH are un nucleu format din p elemente, iar restricţia lui hp la nH este automorfism.

Ordinul automorfismului hp în grupul automorfismelor lui nH este egal cu ordinul clasei lui p în grupul unităţilor inelului claselor de resturi modulo t.

DEMONSTRAŢIE. Pentru orice număr natural avem: r n≤

{ };1r rp i n r p

rH g i p t g− ⎡ ⎤= ≤ ≤ = ⎣ ⎦ ,

deoarece orice element din imaginea rH a lui trebuie să fie o putere a lui g

care să aibă drept exponent un multiplu al lui

rph

rp . Acest grup are n rp t−

r n≤

elemente, deoarece elementele sunt distincte. Pentru evident că incluziunile grupurilor

;1g i

r

rp i ≤ ≤ n rp − tH sunt stricte, deoarece şirul n rp t− al

ordinelor acestor subgrupuri este strict descrescător. Pentru r < n nucleul restricţiei lui hp la rH este constituit din elementele

ale lui ;1rp i n rg i p −≤ ≤ t rH care au proprietatea . Dar ( ) 1;1

rp i n rh g i p t−= ≤ ≤

( ) 1 1

1 1

1;1 1

; 1,2,..., ,

r rp i n r p i n r

n r n r

h g i p t g p t p i

p t i i p tk k p

+− +

− − − −

= ≤ ≤ ⇔ = ⇔ ⇔

⇔ ⇔ = =

deci acest nucleu are p elemente. Nucleul restricţiei lui hp la nH este format din elementele

ale lui

;1np ig i≤ ≤ t

nH care au proprietatea că . Dar ( ) 1;1np i i t= ≤ ≤ph g

( ) 1 11;1 1 ;1 ;1n np i p i n n

ph g i t g p t p i i t t pi i t i t+ += ≤ ≤ ⇔ = ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ = ,

26

Page 310: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

deoarece t este prim cu p. Deci, nucleul are un singur element, anume care este elementul neutru al grupului

np tgnH , de unde rezultă că restricţia morfismului

hp la acest grup este un automorfism. Ordinul acestui automorfism în grupul automorfismelor lui nH este cel

mai mic număr natural r care are proprietatea . Dar: ( ) ; ;n nr p i p i

ph g g i t= ∀ 1 i≤ ≤

( )( )

; ;1 ; ;1

; ;1 ( 1).

n n n r nr p i p i p i p ip

n n r n r

h g g i i t g g i i t

p t p i p i i i t t p

+

+

= ∀ ≤ ≤ ⇔ = ∀ ≤ ≤

⇔ − ∀ ≤ ≤ ⇔ −

Rezultă că r este ordinul clasei lui p în grupul unităţilor inelului claselor de resturi modulo t, grup care are φ(t) elemente, unde funcţia φ este caracteristica lui Euler. QED.

13.9.2.2 Observaţii I. Dacă p este caracteristica lui Fq atunci n = 0, iar automorfismele

sunt tocmai automorfismele lui Frobenius, al căror ordin este egal cu gradul extinderii Fq peste Fp.

rph

II. Deoarece prezintă posibilitatea de inversare automorfismele pot fi folosite în proiectarea sistemelor criptografice.

rph

III. Proprietăţile funcţiei hp, puse în evidenţă în paragraful anterior, se bazează numai pe faptul că grupul multiplicativ este ciclic. Ca urmare, aceste proprietăţi sunt valabile şi în alte grupuri ciclice. De exemplu, grupul unităţilor inelului claselor de resturi modulo pn sau 2pn în care n este un număr natural, iar p este un număr prim.

*qF

13.10 Scheme de alocare a secretelor Unele situaţii ale practicii gestionării datelor cer ca accesul la anumite

informaţii să fie atribuit nu unui singur utilizator, ci unui grup de utilizatori. Formularea generală a problemei este următoarea: anumite fişiere să fie accesibile numai dacă se tastează parolele unui număr de t utilizatori.

O soluţie simplă o prezintă cazul când t = n şi atunci administratorul îşi fixează un număr S < m şi atribuie ca parole numerele S1, S2,…, St strict mai mici decât m, astfel că . Calculatorul va da acces la anumite fişiere numai dacă parolele introduse la tastatură, în număr de t, îndeplinesc condiţia menţionată.

1 2 ... (mod. )tS S S S m+ + + =

S-au propus multe alte instrumente matematice pentru rezolvarea acestei probleme şi în continuare vom descrie două dintre ele.

27

Page 311: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

13.10.1 Folosirea polinomului de interpolare al lui Lagrange Administratorul are n utilizatori şi vrea ca la anumite fişiere să aibă acces

numai grupuri de cel puţin t utilizatori. În acest scop alege un număr prim p suficient de mare şi un număr S < p.

Ia apoi la întâmplare numerele a1, a2,…, ap strict mai mici decât p, cu care

construieşte polinomul 1

00

( ) ;t

ii

i

f x a x a−

=

=∑ S=

)

. Acest polinom constituie cheia

sa secretă. Cei n utilizatori sunt indexaţi cu numerele x = 1, 2, …, n şi pentru fiecare

utilizator x alocă parola . ( ) (mod. )xS f x p=Dacă se adună t utilizatori x1, x2,…, xt, atunci se dispune de punctele

distincte ( , ( )i ix f x , toate aflate pe curba de ecuaţie , deci polinomul f, de gradul t – 1, se poate determina prin formula lui Lagrange:

( )y f x=

1 1 ;

( )i

tj

xi ji j t j i

x xg x S

x x= ≤ ≤ ≠

−=

−∑ ∏ .

Aşadar, calculatorul este programat să calculeze polinomul g folosind indicii x1, x2,…, xt şi parolele corespunzătoare

1 2, ,...,

tx xS S Sx

t

ale celor t generatori. Dacă se obţine g = f, atunci se deschid fişierele solicitate.

13.10.2 Folosirea ecuaţiilor liniare Acelaşi rezultat se obţine dacă fiecare din cei n utilizatori i = 1, 2,…, n

primeşte ca parolă o ecuaţie liniară cu coeficienţi întregi de forma: astfel că toate ecuaţiile admit ca soluţie un anumit

punct . 1 1 2 2 ...i i it ta x a x a x b+ + + =

( )0 0 01 2, ,..., tQ x x x

Dacă oricare t din cele n ecuaţii sunt independente, atunci ele vor avea ca unică soluţie punctul Q. Calculatorul este deci programat să rezolve sistemul oferit de cele t parole şi dacă acest sistem are o singură soluţie, şi anume Q, atunci deschide fişierele solicitate.

Problema este deci de a găsi n vectori în spaţiul de dimensiune t, astfel că oricare t dintre ei să fie liniar independenţi. Termenii liberi se determină astfel ca ecuaţia respectivă să admită pe Q ca soluţie.

13.11 Sisteme criptografice bazate pe curbe eliptice Sistemele prezentate mai sus operează într-un corp de clase de resturi, mai

precis în grupul multiplicativ al acestuia. Se uzează de proprietatea acestuia de a fi grup ciclic.

În cadrul criptanalizei s-au elaborat numeroase algoritme sau s-au perfecţionat altele existente, pentru rezolvarea problemelor necesare pentru

28

Page 312: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

spargerea codurilor. Această evoluţie a avut şi are ca rezultat restrângerea domeniului parametrilor şi împingerea lor către valori din ce în ce mai mari, ceea ce îngreuiază operaţiile de cifrare şi de descifrare. Se pune din ce în ce mai acut problema găsirii de alternative la sistemele existente, pentru a se înlocui, în perspectiva că nu vor mai fi practicabile.

S-a remarcat că grupul multiplicativ poate fi înlocuit cu un grup ciclic sau, mai general, cu un grup abelian finit.

*Z p

În acest sens, în 1985, Koblitz şi Miller au avansat ideea că în viitor vor fi preferate curbele eliptice în locul grupurilor . Ei înşişi au remarcat, după 10 ani, că această cerinţă bate la uşă mai repede decât s-au aşteptat.

*Z p

Curbele eliptice prezintă două avantaje: - oferă o mare varietate de grupuri abeliene finite. În loc de un singur

grup, şi anume , pentru fiecare număr prim p, curbele eliptice oferă foarte multe grupuri (curbe eliptice) pentru fiecare p;

*Z p

- deşi calculele necesare pentru cifrare şi descifrare sunt ceva mai complicate, cele necesare pentru spargerea sistemului sunt încă mult mai grele.

În cele ce urmează vor fi prezentate unele sisteme descrise mai înainte, cu deosebirea că în locul grupului se foloseşte grupul unei curbe eliptice. *Z p

13.11.1 Sistemul Diffie-Hellman Se consideră o curbă eliptică E definită peste corpul finit Fq. Punctele

acestei curbe formează un grup abelian finit, cu notaţie aditivă consacrată. Acest grup în general nu este ciclic, iar ordinul său este aproximativ egal cu q (mai

precis, este cuprins între ( ) ( )2 21 şi 1q q− + ).

Trebuie precizat că se pot considera punctele curbei E în orice extindere finită a lui Fq. Ordinul grupului creşte exponenţial cu numărul n. Dar pentru

simplitatea acestei prezentări ne restrângem la punctele din Fq ale curbei, iar în locul lui Fq considerăm chiar corpul de bază Zp.

nqF

Platforma sistemului este constituită din curba eliptică E definită pe Zp şi dintr-un punct Q al acesteia, punct de ordin suficient de mare.

Cu ajutorul mecanismului ce va fi prezentat, fiecare pereche de utilizatori, A şi B, poate stabili un număr care să constituie cheia secretă (simetrică) pentru un schimb reciproc de mesaje.

Cei doi utilizatori îşi aleg câte un număr natural, kA, respectiv kB şi A transmite către B punctul , iar B transmite către A punctul . Folosind apoi numerele alese, utilizatorul A obţine punctul , iar A obţine acelaşi punct . Ei pot considera drept cheie secretă, de exemplu, abscisa punctului P.

Ak Q⋅

Q

Bk Q⋅Q⋅A BP k k= ⋅

B Ak k⋅ ⋅

29

Page 313: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Un intrus C care vrea să afle cheia secretă P stabilită de cei doi are de rezolvat următoarea problemă: să afle , cunoscând şi . Aceasta este problema cunoscută sub numele problema Diffie-Hellman.

A Bk k Q⋅ ⋅ Ak Q⋅ Bk Q⋅

O cale de a rezolva această problemă este de a afla numerele kA şi kB cunoscând şi , adică să rezolve mai întâi problema numită problema logaritmilor discreţi în subgrupul ciclic generat de Q.

Ak Q⋅ Bk Q⋅

Aşadar, problema Diffie-Hellman se reduce la problema logaritmilor discreţi. Dar nu se ştie dacă aceasta este singura cale de a rezolva problema Diffie-Hellman. Cu alte cuvinte nu s-a stabilit încă dacă cele două probleme sunt polinomial echivalente. Se crede că cele două probleme ar fi echivalente, adică spargerea acestui sistem criptografic ar fi tot atât de grea ca şi problema logaritmilor discreţi.

13.11.2 Procedeul ElGamal de transmitere a mesajelor Punctul transmis de A către B (punct care poate fi considerat

cunoscut de toţi utilizatorii) poate fi folosit de utilizatorul B pentru a trimite lui A mesajul exprimat printr-un punct M al curbei eliptice.

Ak Q⋅

Anume, utilizatorul B alege un număr natural a la întâmplare şi trimite lui A perechea de puncte: ( ) . , AaQ M ak Q+

Pentru a afla mesajul M utilizatorul A înmulţeşte primul punct al perechii cu numărul kA (ştiut numai de el) şi-l scade din al doilea. În mod analog procedează şi A dacă vrea să transmită un mesaj către B.

Un intrus C, care vrea să afle mesajul M are de rezolvat problema Diffie-Hellman: cunoscând aQ şi Ak Q să afle Aak Q .

13.11.3 Semnătura digitală realizată cu ajutorul curbelor eliptice

Algoritmul standard al semnăturii digitale poate fi transpus folosind curbele eliptice.

Platforma sistemului este constituită de o curbă eliptică E peste Zp şi un punct Q al acesteia al cărui ordin este un număr prim cunoscut q.

Fiecare utilizator A alege un număr a, astfel că 1 1 care constituie cheia sa privată şi oferă drept cheie publică punctul P = aQ al curbei eliptice.

a q< < −

Pentru a semna mesajul m utilizatorul A se foloseşte de funcţia H care transformă orice mesaj m într-un număr H(m) strict mai mic decât q şi efectuează următoarele operaţii:

- alege la întâmplare un număr . Acest număr reprezintă componenta aleatoare a semnăturii pentru mesajul m. Folosind acest număr calculează punctul kQ şi notează r prima coordonată a punctului obţinut;

1 1k q< < −

- calculează ( )1 ( ) (mod. )s k H m ar q−= + ;

30

Page 314: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

- perechea de numere (r,s) constituie semnătura dată de A pentru mesajul m.

Utilizatorul B, care primeşte mesajul m, verifică semnătura lui A prin următoarele operaţii:

31

r- calculează H(m) şi numerele: ; 1 11 2( ) şi u s H m u s− −= =

- calculează punctul ; 1 2V u Q u P= +- acceptă semnătura dacă prima coordonată a lui V este r.

Page 315: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

32

Page 316: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

MODULUL 14

ASPECTE PRIVIND CRIPTANALIZA ALGORITMILOR PUBLICI

14.1 Introducere 14.2 Unele clase de numere prime 14.3 Teste de primalitate

14.1 Introducere Sistemele criptografice cu chei publice se bazează pe faptul că algoritmul

de încriptare, public cunoscut de participanţii la sistemul de comunicaţii, se poate aplica pe calculatoarele obişnuite în timp acceptabil, în timp ce decriptarea nu se poate face având la dispoziţie numai cunoştinţele legate de algoritmul de încriptare. Numai destinatarul mesajului încriptat, având informaţii suplimentare, celor ce constituie algoritmul de încriptare, informaţii pe care le păstrează secrete, poate decripta mesajul. Prin aceasta se deosebeşte criptografia modernă de criptografia clasică.

În sistemele criptografice clasice cunoaşterea cheii de încriptare permite deducerea cheii de decriptare. Astfel de chei se numesc chei simetrice. Siguranţa transmiterii mesajului, de exemplu în sensul păstrării confidenţialităţii acestuia se bazează pe faptul că atât cheia de încifrare, cât şi cheia de descifrare au un regim secret: ele nu trebuie cunoscute decât de cel care transmite şi cel care primeşte mesajul.

În urma progreselor înregistrate în practica şi teoria sistemelor criptografice s-a ajuns la elaborarea şi implementarea, acum 30 de ani, a unor sisteme cu chei asimetrice. Într-un astfel de sistem, cunoaşterea cheii de încriptare nu permite, numai prin această cunoaştere, descoperirea cheii de decriptare. Pentru decriptare sunt necesare informaţii suplimentare la care nu mai are acces publicul, ci sunt cunoscute şi ţinute secrete de către destinatarul mesajului.

Până în prezent s-au elaborat şi se aplică o mare diversitate de algoritmi de încriptare şi există şi o clasificare foarte nuanţată a acestora, după obiectivul pe care-l urmăresc, confidenţialitatea fiind doar unul dintre ele. În această expunere nu abordăm întreaga gamă de sisteme criptografice, ci ne mărginim la

1

Page 317: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

cele care au ca scop principal asigurarea confidenţialităţii informaţiilor. De fapt vulnerabilitatea celor mai multe sisteme criptografice, adică ceea ce interesează criptanaliza, se bazează cam pe aceleaşi probleme: descompunerea în factori a numerelor mari şi problema logaritmilor discreţi.

14.2 Unele clase de numere prime Numeroase demersuri de analiză criptografică operează cu numere prime.

Sunt utile numerele prime de o anumită formă, de care ne vom ocupa în această secţiune.

14.2.1 Numere prime Mersenne Pornim de la faptul că dacă a şi n sunt numere naturale şi d este un divizor

propriu al lui n, adică n = dm, atunci avem următoarea descompunere în factori:

. (14.1) ( )( 2 (1 1 1 1 ...n dm d d d ma a a a a a −− = − = − + + + + )1)d

k

Rezultă de aici că pentru ca să fie un număr prim este necesar ca numărul n să fie prim. Aceasta nu este însă şi o condiţie suficientă. De exemplu, 211–1 = 2047 = 23·89.

1na −

Pe de altă parte, dacă n este un număr impar, adică n = 2k + 1, atunci:

, (14.2) ( )2 1 2 21 1 ( 1) 1 ...n ka a a a a a++ = + = + − + − +

ceea ce reprezintă o descompunere a numerelor de forma când n este un număr impar.

1na +

PROPOZIŢIA (9.1) Dacă numărul prim impar p divide , atunci: 1na −I) sau p divide în care d este un divizor al lui n, diferit de n (dar

poate fi şi d = 1); 1da −

II) sau p este de forma: 1p n k= ⋅ + în care k este un număr natural. În acest caz, dacă n este impar, atunci k este par, adică p este de forma

2 1p n h= ⋅ + .

DEMONSTRAŢIE Remarcăm mai întâi că afirmaţia că p divide este echivalentă cu

. Pe de altă parte, dacă b şi c sunt două numere naturale astfel că şi , atunci în care .

Într-adevăr, există numerele întregi u şi v astfel că şi deci:

.

1na −

od. )1(mod. )na =1(mod. )ba p=

d bu cva a += =

pp p1(mod. )ca =

( ) 1(modu vca⋅ =

1(mda = ( , )d a b=bvd au= +

( ) . )ba p

2

Page 318: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Din teorema lui Fermat (cea mică) rezultă că p divide , adică . Din ipoteză avem şi , deci în care

. Deci p divide .

1 1pa − −(mod. )a p1 1(mod. )pa − =

( , 1)d n p= −p 1(mod. )na p= 1d =

1da −Distingem două situaţii: - numărul d este diferit de n. Ne aflăm în cazul I din enunţul propoziţiei; - divizorul d este chiar n. Rezultă , adică n divide ( , 1)n n p= − 1p − .

Înseamnă că există un număr natural k astfel că 1p kn− = , de unde 1p kn= + . Pe de altă parte, deoarece p este impar, rezultă că 1p − este par. Ca urmare, din relaţia 1p kn− = , dacă n este impar, atunci k trebuie să fie un număr par. QED.

CONSECINŢA (14.1.1) Pentru ca numărul să fie prim este necesar ca n să fie număr prim

impar şi a = 2. Reciproc, dacă a = 2 şi n este un număr prim impar, atunci orice divizor prim al lui este de forma:

1na −

2 1n − 2 1p n k= ⋅ + în care k este un număr natural.

Într-adevăr, dacă a > 2, luând d = 1 în formula (14.1), obţinem un divizor al lui , şi anume: , deci nu este număr prim. Pe de altă parte, luând a = 2, evident că pentru n = 2 avem care este prim. Dacă n > 2 are un divizor propriu d, atunci formula (14,1) cu a = 2 oferă divizorul propriu al lui 2 , deci nu este număr prim.

1na − 1 1a − ≠

n −

1na −

2n −

21 2 1 3na − = − =

2 1d − 1 1Aşadar, pentru ca 2 să fie număr prim este necesar ca n însuşi să fie

număr prim şi deci impar, deoarece n > 2. Ne aflăm în cazul II al propoziţiei precedente, de unde rezultă că divizorii proprii ai lui în care n este număr prim impar sunt de forma

1n −

22 1n −

1p n k= ⋅ + . QED.

DEFINIŢIE Se numesc numere prime Mersenne numerele prime de forma 2 (în

care n este un număr prim). 1n −

Consecinţa anterioară oferă procedeul de a verifica dacă un număr de forma în care n este un număr prim, este un număr Mersenne. Anume, trebuie să căutăm eventualii divizori primi ai lui printre numerele prime de forma , care nu depăşesc rădăcina pătrată a lui .

2 1n −

22 1n −

1n k⋅ + 2 1n −EXEMPLE 1. Pentru n = 11 divizorii primi ai lui 211–1 = 2047 sunt de forma:

care nu depăşesc partea întreagă a rădăcinii pătrate a lui 2047, adică 46. Numerele de forma 2 cel mult egale cu i46 sunt: 23 şi 45 din care numai 23 este prim. Observăm însă că 23 este un divizor al lui 2047, anume: 2047 = 23·89 şi deci 211–1 = 2047 nu este un număr prim.

2 11 1k⋅ ⋅ +11 k⋅ ⋅

3

Page 319: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

2. Pentru n = 13 divizorii primi ai lui 213–1 = 8191 sunt de forma 2·13·k cel mult egale cu 91 şi aceste sunt: 27, 53, 79. Dintre acestea numai ultimele două sunt prime şi ele nu divid pe 8191. Deci, 8191 este un număr prim Mersenne.

4

Page 320: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

14.2.2 Numere prime Fermat DEFINIŢIE Numerele prime de forma se numesc numere prime Fermat. Pentru

n = 1, 2, 4, 8 avem: care fiind prime sunt deci numere Fermat. Pentru n = 3, numărul care nu este un număr prim.

2 1n + 5, 17,

2 1n + =2 1 3, 257n + =

9Scriind pe n sub forma 2sn = ⋅ t

2s k

în care este un număr impar, din formula (14.2) rezultă:

2 1t k= +

(14.3) ( ) ( )( )( )2 12 2 2 2 2 .2 22 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ... 2

s s s s skn t

+⋅ ⋅+ = + = + = + − + − +

Valoarea minimă a primului factor din această descompunere se obţine pentru s = 0, caz în care el este egal cu 2. Deci primul factor este strict mai mare decât unu.

Dacă numărul impar t este strict mai mare decât unu (deci t ≥ 3), atunci al

doilea factor este: 2 2

2 ( 1) 12 2

2 1 2 22 1 2 2

s ss

s s

t tt

⋅ ⋅− −+ > =

+ ⋅1> şi deci numărul nu

poate fi prim.

2 1n +

Prin urmare, pentru ca numărul să fie un număr prim Fermat este necesar ca n să fie de forma

2 1n +2sn = . Nu toate valorile naturale ale lui s definesc

numere prime. Am remarcat că pentru s = 0, 1, 2, 3 numărul este număr prim.

Putem considera deci, în continuare, s ≥ 4. 2 1s +

La fel ca în cazul numerelor Mersenne se poate restrânge mulţimea numerelor prime care ar putea să dividă , înlesnind astfel, alcătuirea listei de numere prime Fermat.

22s

+1

11

PROPOZIŢIA (14.2)

Dacă p este număr prim impar care divide ; s ≥ 2, atunci p este de forma:

22s

+22sp h+= ⋅ + în care h = 1, 2, …

DEMONSTRAŢIE

Faptul că p divide înseamnă că 22s

+1 )22 1(mod.s

p= − . Din teorema lui

Fermat rezultă 12 1p (mod. )p− = şi deci 1

22 1(mod. )p

p−

= ± , deoarece ecuaţia 2 1 0x − = în corpul Zp are rădăcinile ±1.

5

Page 321: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

Fie 12 ,2

s pd −⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ . Din definiţia celui mai mare divizor comun rezultă

că există numerele întregi u şi v astfel încât: 122

s pd u −= ⋅ + ⋅ v , de unde

rezultă:

( ) ( )1 12 22 22 2 2 2 ( 1) ( 1)s s

vp puu vd u− −⋅ + ⋅

= = = − ± 1v = ± .

Dacă d ar fi un divizor propriu al lui 2s , adică , atunci:

, ceea ce contrazice relaţia

2 ; sd s′ ′=

2 1(mod.

s<

1′

= )2 2 22 2 ( 1)s s s s sd ′− −⋅= = ± 2s

p= − .

Prin urmare, 2sd = şi deci 2s divide 12

p − , de unde rezultă că 12s+

divide p – 1. Cum s ≥ 2 înseamnă că p – 1 este divizibil cu 23 = 8.

Una din proprietăţile simbolului lui Legendre este: 2 182 ( 1)

p

p

−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, care

ia valoarea +1, deoarece 2 1 1 ( 18 8

p p p− −= ⋅ + ) în care p – 1 este divizibil cu 8,

iar p + 1 este un număr par. Deci 2 1p

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Pe de altă parte, 1

22 2 (mod.p

)pp

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, de unde rezultă 1

22 1(mod.p

)p−

= şi

deci 1

42 1(mod.p

)p−

= ± , deoarece ecuaţia 2 1 0x − = are rădăcinile ±1 în corpul Zp.

Folosind iarăşi faptul că 22 1(mod.s

)p= − , deducem, la fel ca mai sus, că 12 divide

4s p − , adică 22s+

1

divide p – 1. Prin urmare, numărul prim p este de

forma: 22sp h+= ⋅ + . QED.

EXEMPLU

Pentru 4s =2h h⋅ +

divizorii lui sunt de forma: Dintre aceştia, cei care sunt mai

mici decât rădăcina pătrată a lui 65537 sunt: 65, 129, 193. Numai 193 este prim şi se verifică faptul că nici el nu divide pe 65537. Deci, este un număr prim.

2 162 1 2 1 65537s

+ = + =1, 2,...h

162

2 62 1 1 64 1; s h+ ⋅ + = = ⋅ + =

1+

6

Page 322: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

14.2.3 Rezultate pentru criptanaliză Înlesnirile prezentate în ultimele două secţiuni pentru găsirea de numere

prime Mersene şi Fermat sunt substanţiale, dar ele sunt departe de a rezolva problema determinării acestor numere. În exemplul anterior, pentru a valida calitatea de număr prim Fermat a lui 216+1=65537 a trebuit o listă de trei numere, din care numai unul a fost prim şi a trebuit verificat dacă nu cumva divide pe 65537. Dar făcând numai un pas mai departe, adică pentru a stabili dacă 232+1 este prim, trebuie alcătuită o listă de cam 500 de candidaţi divizori.

Deci nu se poate merge mai departe decât folosind calculatoare din ce în ce mai performante şi căutând şi algoritme mai rafinate, care cer un volum mai mic de calcul. Nu se cunoaşte dacă mulţimea numerelor Mersenne este finită sau dacă mulţimea numerelor Fermat este finită.

S-au întocmit însă liste de numere prime Mersenne şi numere prime Fermat foarte mari. Ele sunt importante pentru criptanaliză din două puncte de vedere.

În primul rând, raritatea lor face posibilă găsirea ca factori primi ai numărului n = pq, folosit în sistemul criptografic RSA, dacă p sau q este un număr Mersenne sau Fermat. Deci pentru a se evita un astfel de atac, în alegerea numerelor p şi q trebuie evitate numerele prime de aceste tipuri.

În al doilea rând, forma specială a acestor numere prime, presupunând că sunt prime cu n = pq, face posibilă găsirea ordinului lor în *

nZ , care va fi sau divizor al lui p – 1 sau al lui q – 1, deoarece pe de altă parte se recomandă, din alte motive de securitate, ca numerele p – 1 şi q – 1 să nu aibă cel mai mare divizor foarte mare. Dat fiind că ordinul unui număr prim Fermat sau Mersenne ar putea fi foarte mare, este utilă cunoaşterea unui divizor mare a lui p – 1 în găsirea numărului prim p.

14.3 Teste de primalitate

14.3.1 Numere pseudoprime DEFINIŢII, PROPRIETĂŢI Teorema lui Fermat ne asigură că dacă n este un număr prim, atunci

oricare ar fi numărul b prim cu n avem: . Ca urmare, dacă găsim un număr întreg prim cu n, care nu îndeplineşte această egalitate, tragem concluzia că numărul n nu este prim.

1 1(mod. )nb − = n

Nu putem spune nimic despre n atunci când găsim un număr b care îndeplineşte respectiva egalitate. Constatăm numai că n se comportă, în relaţia cu b, ca un număr prim.

Se spune că n este pseudoprim de bază b dacă nu este prim şi totuşi îndeplineşte egalitatea

7

Page 323: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

. (14.4) 1 1(mod. )nb − = n

De exemplu, numerele b = ±1 îndeplinesc această egalitate oricare ar fi numărul impar n. De aceea aceste „baze” se numesc triviale.

Fireşte că pentru un număr pseudoprim n ne interesează mai ales numerele prime cu n care nu sunt baze, deci care ne permit să tragem concluzia corectă el nu este prim.

Faptul că un număr b este sau nu bază depinde numai de clasa sa modulo n, mai precis, grupul unităţilor inelului Zn este reuniunea a două submulţimi disjuncte: *

nZ B B′= ∪ , în care B este constituit din clasele care sunt baze, iar B′ din clasele care nu sunt. Cu cât B′ este mai numeroasă, cu atât avem mai multe şanse ca să găsim o clasă care nu este bază, din care să tragem concluzia corectă că n nu este prim.

PROPOZIŢIA (14.3) Dacă B′ are cel puţin un element, atunci B′ conţine cel puţin jumătate din

clasele prime cu n. DEMONSTRAŢIE Într-adevăr, fie c un element fixat din B′

)

, adică o clasă modulo n pentru care nu se îndeplineşte egalitatea respectivă, deci şi fie b un element oarecare din B, adică .

1 1(mod. )nc − ≠ n1 1(mod.nb n− =

Avem: , deci bc se află în 1 1 1 1( ) 1(mod. )n n n nbc b c c n− − − −= = ≠ B′ . În acest fel s-a definit o funcţie θ de la B la B′ : . Evident că

această funcţie este injectivă, deoarece este înmulţirea cu elementul fixat b al grupului unităţilor inelului Zn. Prin urmare, imaginea funcţiei θ are acelaşi număr de elemente ca şi domeniul B al funcţiei, iar pe de altă parte, această imagine este inclusă în

( )b bθ = c

B′ . Rezultă că B′ trebuie să aibă cel puţin atâtea elemente ca şi B. QED.

CONSECINŢA (14.3.1) Dacă n este un număr compus şi în grupul unităţilor inelului Zn există cel

puţin o clasă c care nu este bază, atunci probabilitatea ca un număr prim cu n luat la întâmplare să nu fie bază (deci să conducă la concluzia corectă că n nu este prim) este cel puţin ½.

Dacă se iau la întâmplare r numere prime cu n, probabilitatea ca toate să fie baze (deci să nu ne permită să tragem concluzia corectă că n nu este prim) este mai mică decât ( . 1/ 2)r

8

Page 324: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

14.3.2 Numere Carmichael Propoziţia anterioară oferă un test probabilistic destul de eficient de

primalitate, dar cere o ipoteză asupra lui n: să existe măcar un număr b, prim cu n, astfel că relaţia să nu fie îndeplinită. 1 1(mod. )nb − = n

n

*

Neputând arăta că orice număr compus îndeplineşte această ipoteză, ne punem problema să identificăm situaţia contrară: să găsim numere compuse n pentru care orice număr b prim cu n este bază, adică . Un astfel de număr se numeşte număr Carmichael. Următoarea propoziţie dă posibilitatea de a recunoaşte astfel de numere.

1 1(mod. )nb − =

PROPOZIŢIA (14.4) Dacă numărul n este divizibil prin pătratul unui număr prim p atunci el nu

este număr Carmichael. În plus, dacă n este produs de numere prime distincte, atunci condiţia necesară şi suficientă ca n să fie un număr Carmichael este ca pentru orice divizor prim p al lui n, numărul p – 1 să dividă pe n – 1.

DEMONSTRAŢIE Dacă în care r ≥ 2 şi m este prim cu p, atunci rn p m= ⋅ * *

rm mpZ Z Z= ×

*rp

adică grupul unităţilor lui Zn conţine ca subgrup grupul unităţilor inelului Z ,

care este ciclic de ordinul . 1( 1rp p− − )

n

Cum r ≥ 1 rezultă că acest subgrup ciclic are ordinul divizibil cu p, deci el conţine un element g de ordinul p. Prin urmare, există în Zn o clasă inversabilă g (reprezentată de un număr prim cu n) care are ordinul p în grupul unităţilor lui Zn.

Deoarece trebuie ca ordinul lui g, adică p, să dividă , ceea ce nu este posibil.

1 1(mod. )ng − =11 rn p m− = −

Dacă în care numerele p1, p2,…, pr sunt distincte, atunci: 1 2... rn p p p= ⋅

1 2* *...

rp p* *n pZ Z Z= × Z× × de unde rezultă că pentru fiecare divizor prim pi al lui n

grupul unităţilor inelului Zn conţine ca subgrup grupul *ipZ care este ciclic de

ordinul . Acesta conţine un element de ordinul , reprezentat de un număr gi prim cu n.

1−ip 1i −p

Dacă n este un număr Carmichael, atunci pentru orice i numerele gi trebuie să îndeplinească relaţia , de unde rezultă, dat fiind că ordinul lui gi este , că 1 divide n – 1.

1 1(mod. )nig − = n

1ip − ip −Reciproc, dacă pentru fiecare i = 1, 2,…, r numărul divide n – 1,

atunci n – 1 este divizibil prin cel mai mic multiplu comun al numerelor ; i = 1, 2,…, r . Dar orice element din produsul direct

1ip −

1 2

1ip −*

rp* * * ...n p pZ Z Z= × Z×× are

9

Page 325: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

ca ordin un divizor al celui mai mic multiplu al ordinelor ; i = 1, 2,…, r subgrupurilor. Prin urmare, pentru orice număr b, prim cu n, clasa sa modulo n va avea ca ordin, în grupul unităţilor modulo n, un divizor al lui n – 1 şi deci

. Deci, n este un număr Carmichael. QED

1ip −

1(mq −

1 1(mod. )nb − =

n =

n p− =

)

n

1)

EXEMPLU Numărul 561 = 3·11·17 este un număr Carmichael, deoarece n – 1 = 560

este divizibil prin numerele: 3 – 1 = 2, 11 – 1 = 10, 17 – 1 = 16. PROPOZIŢIA 9.5 Orice număr Carmichael are cel puţin trei factori distincţi. DEMONSTRAŢIE Dacă , atunci pq

1 1 1 ( 1) 1 od.q pq q q q p q p− = − + − = − + − = − ,

adică ( 1p − divide diferenţa . Pe de altă parte, dacă n este un număr Carmichael, atunci

( 1) ( 1)n q− − −1p − divide , de unde rezultă că 11n − p − divide

. Acest lucru nu este posibil dacă p > q. QED. 1q −

1 (1/ 2)r−

Din propoziţia anterioară rezultă că numerele de forma folosite în sistemul criptografic RSA nu sunt numere Carmichael. Deci testul de primalitate ne va da conduce cu uşurinţă la concluzia că n nu este un număr prim, ceea ce din punct de vedere al analizei criptografice nu este o informaţie utilă, acest lucru este deja ştiut.

n = pq

De fapt un test de primalitate serveşte în primul rând la confirmare faptului că este prim un anumit număr care ne aşteptăm să fie prim. Din acest punct de vedere, dacă n este pseudoprim pentru r baze luate la întâmplare, deducem că: sau este număr Carmichael sau, dacă nu, cu probabilitatea de cel puţin este un număr prim. Din acest motiv, testul nu este eficient pentru primalitate.

14.3.3 Numere Euler pseudoprime DEFINIŢIE Numărul compus impar n se spune că este Euler pseudoprim dacă orice

număr b prim cu n îndeplineşte condiţia:

1

2 (mod. )n bb

n

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

n , (14.5)

în care în membrul drept este simbolul lui Iacobi. Se spune că n este tare pseudoprim de bază b.

Dacă numărul impar n este un număr prim, atunci în membrul drept este simbolul lui Legendre, care îndeplineşte relaţia (14.5). Rezultă că dacă găsim un 10

Page 326: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

număr b prim cu n care nu îndeplineşte relaţia (14.5), atunci tragem concluzia că n nu este prim.

Dacă se îndeplineşte această relaţie pentru un număr b, prim cu n, nu putem trage nici o concluzie sigură. Putem spune că n „ar putea” să fie număr prim sau că „a trecut un test de primalitate”, comportându-se ca un număr prim.

Dacă b este un număr prim cu n care îndeplineşte relaţia (14.5), atunci spunem că n este Euler pseudoprim de bază b. De exemplu, orice număr impar n este Euler pseudoprim de bază b = 1. Acelaşi lucru este valabil şi pentru . 1b = −

PROPOZIŢIA 14.6 Orice număr impar n este Euler pseudoprim de bază . 1b = −DEMONSTRAŢIE Fie în care 1 2... rn p p p= ip ; i = 1, 2,…, r sunt numere prime impare nu

neapărat distincte. Din definiţia simbolului lui Iacobi avem:

1 2

1 1 1 ...p

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

1

rn p p⎞− − −⎛ ⎞ = ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎠.

Pe de altă parte, pentru orice număr prim impar ip simbolul lui Iacobi 1

ip⎛ ⎞−⎜⎝ ⎠

⎟ este simbolul lui Lagrange 1

ip⎛ ⎞−⎜⎝ ⎠

⎟ iar acesta, la rândul său este egal cu

12( 1)ip −

− . Observăm că pentru orice număr natural impar m, avem: 1

2( 1) 1m−

− = ± după cum m este de forma 4k + 1 sau 4k – 1. Prin urmare, dacă m este un număr

impar, atunci: 1

2( 1)m−

− este clasa modulo 4 a lui m, identificată respectiv cu 1 sau cu –1.

Dar operaţia de reducere modulo 4 comută cu operaţia de înmulţire. Ca urmare, deoarece factorii din membrul drept al egalităţii

1 2

1 1 1 ...rn p p p

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛− − − −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

1 ⎞⎟⎠ sunt clasele modulo 4 ale numerelor prime impare

1 2, , ..., rp p p înseamnă că membrul drept, care este produsul acestor clase este clasa modulo 4 a produsului 1 2... rp p p n= , iar aceasta la rândul ei este

reprezentată de 1

2( 1) 1n−

− = ± . QED. Numerele ±1 care sunt baze pentru orice număr impar n se numesc baze

triviale.

PROPOZIŢIA 14.7 Dacă numărul impar n este Euler pseudoprim de bază b, atunci el este şi

pseudoprim de bază b.

11

Page 327: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

DEMONSTRAŢIE Dacă n este Euler pseudoprim de bază b, atunci el îndeplineşte relaţia

(14.5). Ridicând la pătrat ambii membri ai acestei egalităţi şi ţinând cont că membrul drept este ±1, obţinem: , adică relaţia (14.4), care atestă că n este pseudoprim de bază b. QED.

1 1(mod. )nb − = n

Propoziţia semnifică faptul că relaţia (14.5), ca test de primalitate, este cel puţin tot atât de eficient ca şi cel oferit de relaţia (14.4). Dacă un număr b nu trece testul reprezentat de relaţia (14.4), atunci nu trece nici pe cel al relaţiei (14.5). Altfel spus, dacă prin testul (14.4) găsim că numărul n nu este prim, atunci acest rezultat îl obţinem şi prin testul dat de (14.5). Reciproca nu este, aşa cum vom arăta, adevărată.

PROPOZIŢIA 14.8 Dacă numărul impar n este Euler pseudoprim, atunci relaţia (14.5) nu este

îndeplinită pentru cel puţin jumătate din clasele inversabile modulo n. DEMONSTRAŢIE La fel ca în propoziţia 14.3 se demonstrează că dacă numărul impar n este

compus şi există cel puţin un număr b prim cu n care nu îndeplineşte relaţia (14.5), atunci această relaţie va fi falsă pentru cel puţin jumătate din numerele b prime cu n.

Rămâne numai să demonstrăm că pentru orice număr impar compus n există cel puţin un număr b, prim cu n, care nu îndeplineşte relaţia (14.5). Altfel spus, pentru numerele Euler pseudoprime nu există analogul numerelor Carmichael.

Considerăm mai întâi cazul când n este divizibil prin pătratul unui număr prim p. La fel ca în propoziţia 14.3 se arată că grupul unităţilor inelului Zn conţine un element de ordinul p, reprezentat de un număr b prim cu n. Dacă b îndeplineşte relaţia (14.5), atunci din propoziţia precedentă deducem că îndeplineşte relaţia (14.4). Rezultă atunci că ordinul p al clasei lui b divide n – 1. Acest lucru nu este posibil din moment ce n este divizibil cu p. În cazul când n este produsul unor numere prime impare distincte, considerăm p unul dintre acestea şi notăm m astfel că n = pm. Evident, m nu este divizibil cu p.

Fie g un număr care reprezintă un generator al grupului unităţilor modulo p. Evident, g nu este un pătrat modulo p şi deci, din proprietăţile

simbolului lui Lagrange, rezultă 1gp

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Deoarece numerele p şi m sunt prime între ele, din teorema chineză rezultă că există un număr b care îndeplineşte condiţiile: şi

. (mod. )b g p=

1(mod. )b m=Din definiţia simbolului lui Iacobi obţinem:

12

Page 328: Fundamentele Algebrice Ale Informaticii

1 1b b b b gn pm p m p m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− .

Dacă am avea 1

2 1(mod )n

b−

= − n , ar însemna că n divide diferenţa 1

2 1n

b−

+

şi deci şi m divide această diferenţă, deoarece n = pm, deci 1

2 1(mod )n

b m−

= − .

Dar acest lucru nu este posibil, deoarece . Deci, 1(mod. )b m=1

2 1(mod )n

b n−

= . Prin urmare, numărul b nu îndeplineşte relaţia (14.5) QED.

OBSERVAŢIE Reciproca propoziţiei 2.5 nu este adevărată. Într-adevăr, dacă n este un număr Carmichael, atunci oricare ar fi un număr b prim cu n, numărul n este pseudoprim de bază b, în timp ce n este Euler pseudoprim de bază b numai pentru cel mult jumătate din numerele b prime cu n.

13