FUNCII CARDINALE I FUNCII INTEGRALE CIRCULARE EXCENTRICE

MIRCEA EUGEN ELARIU, FLORENTIN SMARANDACHE and MARIAN NIU

0. REZUMAT

Lucrarea prezint corespondentele din matematica excentric ale funciilor cardinale i integrale din matematica centric, sau matematica ordinar, funcii centrice prezentate i n introducerea lucrrii, deoarece sunt prea puin cunoscute, dei sunt utilizate pe larg n fizica ondulatorie.

n matematica centric, sunt definite sinusul i cosinusul cardinal, ca i cele integrale, att cele circulare ct i cele hiperbolice. n matematica excentric, toate aceste funcii centrice se multiplic de la unu la infinit, datorit infinitii de puncte n care poate fi plasat un punct,denumit excentru S(s, ), n planul cercului unitate CU(O,R =1) sau a hiperbolei unitate echilatere HU(O, a = 1, b =1). n plus, n matematica excentric apar o serie de alte funcii deosebit de importante, ca aex, bex, dex, rex .a care, prin mprirea lor cu argumentul , pot s devin i funcii circulare excentrice cardinale, ale cror primitive devin automat funcii circulare excentrice integrale.

Toate funciile supermatematice circulare excentrice (FSM-CE) pot fi de variabil excentric , care sunt funcii continue n domeniul

excentricitii numerice liniare s[-1,1], sau de variabil centric , care sunt continue pentru oricare valoare a lui s, adic

s [- , + ].

KEYWORDS AND ABBREVIATIONS

C-Circular , CC-C centric, CE-C Excentric, CEL-C Elevat, CEX-C Exotic, F-

Funcie, FMC-F Matematice centrice, M- Matematic, MC-M Centric, ME-M Excentric, S-Super, SM-S Matematic, FSM-F Supermatematice, FSM-CE-

FSMCirculare Excentrice, FSM-CEL-FSM-C Elevate, FSM-CEC-FSM-CE- Cardinale, FSM-CELC-FSM-CEL Cardinale

1. NTRODUCERE :

FUNCIA SINUS CARDINAL CENTRIC

n dicionar, cuvntul cardinal este sinonim cu principal, esenial, fundamental. n matematica centric, sau matematica ordinar, cardinal reprezint, pe de o parte, un numr egal cu numrul membrilor unei mulimi finite, denumit i puterea mulimii, iar, pe de alt parte, sub denumirea de sinus cardinal (sinc x) sau cosinus cardinal, (cosc x), este o funcie special, definit cu ajutorul funciei circulare centrice (FCC) sinx i, respectiv, cosx, utilizate frecvent n fizica ondulatorie (Fig.1) i a crui grafic, al sinusului cardinal, este denumit, datorit formei lui (Fig.2), i plaria mexican (sombrero).

Notat sinc x, funcia sinus cardinal este dat, n literatura de specialitete, n trei variante

(1) sinc x = {1, = 0

, . [, +]\0

,

sin

= 1

2

6+

4

120

76

5040+

8

362880+ []11 =

= (1)2

(2+1)!+=0 sinc

2=

2

, ( )

=

=

2= cosc x

,

(2) sinc x = sin

,

(3) sincax =

.

Este o funcie special deoarece primitiva ei, denumit sinus integral i notat Si(x)

(4) , Si(x) = sin

0 = sinc t. dt

x

0=

=

18

3+

5

600

7

35280+

9

3265920+ []11 =

= 3

3.3!+

5

5.5!

7

7.7!+ =

(1)2

(2+1)2(2)!+=0

Fig.1 Graficele funciilor circulare centrice sinus cardinal, n 2D, aa cum sunt cunoscute n literatur

Fig.2 Funcia sinus cardinal n 3D sau plaria mexican (sombrero)

nu poate fi exprimat exact cu ajutorul funciilor elementare, ci doar prin dezvoltri n serii de puteri, aa cum rezult din relaia (4).

Plot[1-Cos[x-Pi/2]/Sqrt[1 -Sin[x-Pi/2]^2],

{x,-Pi,2Pi}]

Plot[Evaluate[Table[1/24xSum[Sinc [2Pi(2 k-1) x],{k,n}],{n, 5}]], {x, 0, 1}]

Unda dreptunghiular i unda ptrat

0,5dex[(

2), S(1, 0)]

Fenomenul Gibbs pentru o und ptrat cu n= 5 i cu n = 10

Fig.3 Comparaie ntre funcia ptrat, derivat excentric i aproximarea ei prin dezvoltri n serii Fourier.

Ca urmare, derivata ei este

(5) , () = ( )

=

=

Funcia sinus integral Si[x] satisface ecuaia diferenial

(6) . () + 2()

+ . () = 0 f(x) = Si(x)

Fenomenul Gibbs apare la aproximarea funciei ptrate cu o serie Fourier continu i difereniabil (Fig.3 dreapta), operaie care nu mai are sens, odat cu descoperirea funciilor supermatematice circulare excentrice (FSM-CE), deoarece funcia derivat excentric de variabil excentric poate exprima exact

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

acest funcie dreptunghiular (Fig.3 sus ) sau ptrat (Fig,3 jos), aa cum se poate observa n graficele lor (Fig. 3 stnga).

Plot[SinIntegral[x],{x,-20,20} Plot3D[Re[SinIntegral[x+Iy]],

{x,-20,20},{y,-3,3}

Fig.4,a Graficul funcie sinus integral Si(x) comparativ cu graficul FSM-CE amplitudine excentric

1,57 aex[, S(0,6; 0)] de variabil excentric

Plot[SinIntegral[x] - (1.57 (x - ArcSin[0.6Sin[x + 0.3Pi]])/x),{x, 0, 40}]

Fig.4,b Diferena dintre sinus integral i FSM-CE amplitudine excentric F() =1,5 aex[, S(0,6; 0)] de variabil excentric

Funcia sinus integral (4) poate fi aproximat cu suficienta precizie, cu diferene maxime de sub 1 %, cu excepia zonei din

20 10 10 20

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

10 20 30 40

0.05

0.05

0.10

apropierea originii, de FSM-CE amplitudine excentric de variabil excentric

(6) F() =1,57 aex[, S(0,6; 0)], aa cum rezult din graficul din figura 4,b.

(7) 2. FUNCII SUPERMATEMATICE CIRCULARE

EXCENTRICE CARDINALE.

SINUS EXCENTRIC CARDINAL(FSM-CEC)

Ca toate celelalte funcii supermatematice (FSM) ele pot fi excentrice (FSM-CE), elevate (FSM-CEL) i exotice (FSM-CEX), de variabil excentric , sau de variabil centric 1,2, de determinare principal, de indice 1, sau de determinare secundar, de indice 2.

Plot[Evaluate[Table[{Sin[t-ArcSin

[s Sin[t]]]/t},{s, -1, 0}], {t,-4 Pi,4 Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{Sin[t-ArcSin[s

Sin[t]]]/t},{s, 0, +1}],{t,-4 Pi,4 Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{Sin[Pit-ArcSin[s Sin[Pi t]]]/(Pit)},{s, -1, 0}],{t,-Pi,Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{Sin[Pit-ArcSin [sSin[Pit]]]/(Pit)},{s,0,1}],{t,-Pi,Pi}]]

Fig.5,a Graficele FSM-CEC sexc1 [, S(s, )], de variabil

excentric

10 5 5 10

0.2

0.2

0.4

0.6

10 5 5 10

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

3 2 1 1 2 3

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

3 2 1 1 2 3

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

La trecerea din domeniul circular centric n cel excentric,

prin poziionarea excentrului S(s, ) n oricare punct din planul cercului unitate, toate funciile supermatematice se multiplic de la unu la infinit, adic, dac n MC exist cte o unic funcie, de un anumit gen, n ME exist o infinitate de astfel de funcii, iar pentru s = 0 se va obine funcia centric. Altfel spus, oricare funcie supermatematic conine att pe cele excentrice, ct i pe cea centric.

Plot[Evaluate[Table[{Sin[t+ArcSin[s

Sin[t]]-Pi]/t},{s,-1,0}],{t,-4Pi, 4Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{Sin[t+ArcSin[s

Sin[t]]-Pi]/t},{s,0,1}],{t,-4Pi, 4Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{Sin[Pit-ArcSin[s

Sin[Pit]]-Pi]/(Pit)},{s,-1,0}],{t,-Pi,Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{Sin[Pit-ArcSin[s

Sin[Pit]]-Pi]/(Pit)},{s, 0, 1}],{t,-Pi, Pi}]]

Fig.5,b Graficele FSM-CEC sexc2 [, S(s, )], de variabil

excentric

Notat sexc x i respectiv Sexc x, inexistent n literatura de specialitete, va fi dat, n cele trei variante, de relaiile

(8) sexc x = sex

= [ ,(,)]

, de variabil excentric i

(8) Sexc x =

=

[ ,(,)]

, de variabil centric .

10 5 5 10

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

10 5 5 10

0.6

0.4

0.2

0.2

3 2 1 1 2 3

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

3 2 1 1 2 3

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

(9) sexc x = sex

, de variabil excentric ,

notata i prin sexc x i

(9) Sexc x =

=

[,(,)]

, de variabil centric , notata

i prin Sexc x.

(10) sexca x =

=

, de variabil excentric ,

cu graficele din figura 5,a i

(10) Sexca x =

=

, de variabil centric ,

cu grafuicele din figura 5,b.

3. FUNCIILE SUPERMATEMATICE CIRCULAREEXCENTRICE SINUS I COSINUS ELEVATE

CARDINALE (FSM-CELC)

Funciile supermatematice circulare elevate (FSM-CEL) , sinus elevat sel i cosinus elevat cel, reprezint proiecia fazorului / vectorului = . = [, (, )].rad pe cele dou axe de coordonate XS i, respectiv, YS cu originea n excentrul S(s, ), axe paralele cu axele x i y care au originea n O(0, 0).

Dac cosinusul i sinusul excentrice sunt coordonatele

punctului W(x,y), fa de originea O(0, 0), de intersecie ale dreptei d

= d+ d , turnant n jurul punctului S(s, ), cosinusul i sinusul

elevate sunt aceleai coordonate fa de excentrul S(s, ), adic,

considernd originea sistemului de axe de coordonate XSY

rectangular drept/reper n S(s, ). De aceea, ntre ceste funcii exist

relaiile

(11) { = = + . = + . = + . = = + .

cel i cex

sel i sex

Fig. 6,a Comparaie ntre funcii supermatematice elevate i funcii excentrice

Plot[{Cos[t-ArcSin[0.4Sin[t]]]/t,(-0.4 Cos[t] +Sqrt[1-(0.4Sin[t])^2])

Cos[t]/t},{t,-2 Pi, 2 Pi}]

Plot[{Sin[t-ArcSin[0.4Sin[t]]]/t,(-0.4 Cos[t-Pi/2] +Sqrt[1-(0.4Sin[t-Pi/2])^2])

Sin[t]/t},{t,-2 Pi ,2 Pi}]

Fig. 6,b Funcii supermatematice elevate i funcii excentrice cardinale celc(x) i selc(x) de s = 0.4

Din aceast cauz, pentru = 0, adic excentrul S situat pe axa x > 0, sex = sel, iar pentru = /2, cex = cel, aa cum se poate observa n figura 6,a. In aceast figur au fost reprezentate, simultan, graficele funciilor elevate cel i sel, dar i graficele

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

6 4 2 2 4 6

1.0

0.5

0.5

1.0

6 4 2 2 4 6

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

funciilor cex i, respectiv, sex pentru comparaie i pentru relevarea elevaiei. Excentricitatea funciilor este aceeai, de s = 0,4, cu cea din

schia alturat i sel are =

2, iar cel are = 0.

Plot[Evaluate[Table[{(-sCos[t]+Sqrt[1- (s Sin[t])^2]) Cos[t]/t},

{s,-1,1}], {t,-3 Pi, 3 Pi}]

Plot[Evaluate[Table[{(-sCos[t-Pi/2] +Sqrt[1-(sSin[t-Pi/2])^2]) Sin[t]/t},

{s,-1,1}],{t,-3 Pi,3 Pi}]

Fig. 6,c Funcii supermatematice elevate excentrice cardinale celc(x) i selc(x)

Prin imprire cu , funciile elvate, date de relaiile (11), se

transform n funcii cosinus i sinus elvate cardinale, notate celc =

celc[,S] i selc = selc[,S], date de expresiile

(12) { = = [, (, )] =

.

= = [, (, )] = .

cu

graficele din figura 6,b i 6,c.

4. FUNCII SUPERMATEMATICE CIRCULAREEXCENTRICE CARDINALE

(FSM-CEC) NOI

n acest paragraf sunt prezentate funcii care sunt necunoscute n literatura matematicii centricele, nici ca atare i nici ca funcii cardinale sau integrale. Ele sunt funciile supermatematice excentrice

5 5

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

5 5

0.5

1.0

Plot[Evaluate[Table[{(t-0.1 s Sin[t])/t},

{s, -10, 0}],{t, -4 Pi, +4 Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{(t 0.1 s Sin[t])/t}, {s, 0, 10}],{t, -4 Pi, +4 Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{(t 0.1 s Sin[t])/t}, {s, -10, +10}],{t, -3 Pi, +3 Pi}]]

Fig.7,a Graficul funcie supermatematice circulare excentrice cardinal aexc()

Plot[Evaluate[Table[{ArcSin[0.1 s Sin[t]]/t},{s,-10,10}],{t,-4 Pi,4 Pi},ColorFunction->(Hue[2.72 #]&)]]

Fig.7,b Graficul funcie supermatematice circulare excentrice cardinal bexc()

10 5 5 10

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

10 5 5 10

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

5 5

0.8

1.0

1.2

1.4

amplitudine, beta, radial, derivat excentrice de variabil excentric [1], [2], [3], [4], [6], [7] cardinale precum i funciile cvadrilobe [5] cardinale.

Plot[Evaluate[Table[{(-0.1 s Cos[t]

+Sqrt[1-(0.1 s Sin[t])^2])/t},{s,-10,0}],{t,-

4 Pi,4 Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{(-0.1 s Cos[t]

+Sqrt[1-(0.1 s Sin[t])^2])/t},{s,0,10}],{t,-4

Pi,4 Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{(-0.1 s Cos[t] Sqrt[1-(0.1 s Sin[t])^2])/t},{s,-10,0}],{t,-4

Pi,4 Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{(-0.1 s Cos[t] Sqrt[1-(0.1 s Sin[t])^2])/t},{s, 0, 10}],{t,-4

Pi,4 Pi}]]

Fig.7,c Graficul funciilor supermatematice circulare excentrice cardinale rexc1,2 ()

Funcia amplitudine excentric aex cardinal, notat aexc(x) = aex[, S(s, )] , x , are expresia

(13) aexc () =

=

[,(,)]

=

arcsin [ sin( )]

i graficele din figura 7,a.

Funcie beta excentric cardinal va fi

10 5 5 10

0.5

0.5

10 5 5 10

0.5

0.5

10 5 5 10

0.5

0.5

10 5 5 10

0.5

0.5

Plot[Evaluate[Table[{(Sqrt[1-(0.1 s)^2 -0.2

s Cos[t]])/t},{s,-10,0}],{t, -4 Pi, 4 Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{(Sqrt[1-(0.1 s)^2 -

0.2 s Cos[t]])/t},{s,0,10}],{t,-4 Pi,4

Pi}]]

Fig.7,d Graficul funcie supermatematice circulare radial excentric cardinal Rexc()

Plot[Evaluate[Table[{(1-sCos[t]/Sqrt[1-(s Sin[t])^2])/t},{s,-1,0}],{t,-3 Pi,3 Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{(1-sCos[t]/Sqrt[1-(s Sin[t])^2])/t},{s, 0, 1}],{t,-3 Pi,3 Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{((1-sCos[t])/(1+(

s)^2 -2 s Cos[t]))/t},{s,-1,0}],{t,-3Pi,3

Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{((1-sCos[t])/

(1+(s)^2-2sCos[t]))/t},{s,0,10}],

{t,-3 Pi,3 Pi}]]

Fig.8,a Graficul funcie supermatematice circulare radial excentric cardinal dexc1()

(14) bexc() =

=

[,(,)]

=

arcsin [ sin( )]

,

cu graficele din figura 7,b.

10 5 5 10

0.5

0.5

10 5 5 10

1.0

0.5

0.5

1.0

5 5

1.0

0.5

0.5

1.0

5 5

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

Funcia radial excentric cardinal de variabil excentric are expresia

(15) rexc1,2 () =

=

[,(,)]

=

cos ()12sin ()

i

graficele din figura 7,c, iar aceeai funcie, dar de variabil centric are expresia

(16) Rexc(1,2) = 1,2

1,2=

[1,2,(,)]

1,2=

1+22 cos (1,2)

1,2

i graficele, pentru Rexc(1), din figura 7.d.

Fig.8,b Graficul funcie supermatematice circulare radial excentric cardinal Dexc (1)

O funcie supermatematic circular excentric cu largi aplicaii, ea reprezentnd funcia de transmitere a vitezelor i/sau a turaiilor tuturor mecanismelor plane cunoscute, este funcia derivat excentric dex1,2 i Dex1,2 care prin imprire / raportarea cu argumentele i, respectiv, , conduc la funciile corespondente cardinale, notate dexc1,2() i, respectiv Dexc(1,2) i de expresii

(17)

{

1,2 = 1,2

=

1,2[,(,)]

=

1.cos ()

122()

1,2 =1,2

1,2=

[1,2, (,)]

1,2 =

1+22.cos (1,2)

1,2

,

cu graficele din figura 8.

Deoarece Dex1,2 =1

1,2rezult c i Dex1,2 =

1

1,2

5 5

0.4

0.2

0.2

0.4

5 5

0.4

0.2

0.2

0.4

Funciile cvadrilobe siq i coq prin mprirea lor cu argumentul , conduc la obinerea funciilor cvadrilobe cardinale siqc i coqc de expresii

(18) { =

=

[,(,)]

=

cos ()

122()

=

=

[,(,)]

=

sin ()

122()

,

cu graficele din figura 9.

Plot[Evaluate[Table[{( Cos[t] /Sqrt[1-(0.1

s Sin[t])^2])/t},{s,0,10}],{t,-4 Pi,4 Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[{( Sin[t] /Sqrt[1-(0.1

s Cos[t])^2])/t},{s,0,10}],{t,-4 Pi,4 Pi}]]

Fig.9 Graficul funcie supermatematice cvadrilobe cardinal ceqc () i siqc()

Se tie ca, prin integrarea definit a funciilor cardinale centrice i excentrice, ntr-un cuvnt supermatematice, se obin funciile integrale corespunztoare.

Astfel de funcii supermatematice integrale sunt prezentate n continuare. Pentru excentricitate nul, ele degenereaz n funcii integrale centrice, in rest ele aparin noii matematici excentrice.

5. FUNCII SINUS INTEGRAL EXCENTRICE

Se obin prin integrarea funciilor sinus cardinal excentrice (13) i sunt

10 5 5 10

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

10 5 5 10

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(19) sie x = .

0 cu graficele din figura 10, pentru cele

de variabil excentric x .

Plot[Evaluate[Table[{SinIntegral[x-

ArcSin[s Sin[x]]]},{s,-1,0}],{x,-20,20}]]

Plot[Evaluate[Table[{SinIntegral[x-

ArcSin[s Sin[x]]]},{s,0,1}],{x,-20,20}]]

Plot[Evaluate[Table[{SinIntegral[x+ArcSi

n[sSin[x]]-Pi]},{s,-1,0}],{x,-20,20}]]

Plot[Evaluate[Table[{SinIntegral[x+Arc

Sin[sSin[x]]-Pi]},{s,0,1}],{x,-20,20}]]

Fig.10,a Graficul funcie sinus integral excentric sie1(x) i sie2(x)

Spre deosebire de funciile centrice corespondente, unde sinusul integral este notat cu Si(x), sinusul integral excentric de

variabil excentric a fost notat sie(x), fr majuscula S, care se va atribui, conform conveniei, doar FSM-CEC de variabil centric.

Funcia sinus integral excentric de variabil centric, notate Sie(x) se obin prin integrarea funciei supermatematice circulare excentrice sinus excentric cardinal de variabil centric (14) (20) Sexc(x) = Sexc[, S(s, )], astfel c ea este

20 10 10 20

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

20 10 10 20

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

20 10 10 20

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

20 10 10 20

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

(21) Sie(x) = [,(,)]

0, cu graficele din figura 10,b.

Plot[Evaluate[Table[SinIntegral[x+ArcTan

[sSin[x]/(1-sCos[x])]],{s,-1,0}],

{x,-4 Pi,4 Pi}]]

Plot[Evaluate[Table[SinIntegral[x+ArcTan

[sSin[x]/(1-sCos[x])]],{s,0,1}],

{x,-4 Pi,4 Pi}]]

Fig.10,a Graficul funcie sinus integral excentric sie1 (x)

6. C O N C L U Z I I

Lucrarea a scos n eviden posibilitatea multiplicrii nedefinite a funciilor cardinale i a celor integrale din domeniul matematicii centrice n cel al matematicicii excentrice sau al supermatematicii care

constitue o reuniune a celor dou matematici. Totodat, au fost ntroduse prin supermatematic, pe lng

funciile cardinale i integrale cu corespondente n matematica centric, o serie de funcii cardinale noi ce nu au corespondente n matematica centric.

Nici aplicaiile noilor funcii supermatematice cardinale i integrale, cu siguran, c nu se vor lsa prea mult ateptate.

10 5 5 10

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

10 5 5 10

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

Eugen LOR. 25(39), Fasc. 1-1980, pag. 189...196

[3] ELARIU, Mircea

Eugen

S U P E R M A T E M A T I C A Com.VII Conf. Interna. De Ing.

Manag. Si Tehn.,TEHNO95 Timioara, 1995, Vol. 9 :

Matematica Aplicat,. Pag.4164

[4] ELARIU, Mircea

Eugen

FUNCII SUPERMATEMATICE

CIRCULARE EXCENTRICE DE VARIABIL CENTRIC

TEHNO 98. A VIII-a Conferina de Inginerie Menagerial i Tehnologic, Timioara 1998,

pag 531..548

[5] ELARIU, Mircea

Eugen

QUADRILOBIC VIBRATION

SYSTEMS

The 11th International Conference on Vibration Engineering,

Timioara, Sept. 27-30, 2005, pag. 77 82

[6] ELARIU, Mircea Eugen

SUPERMATEMATICA.

Fundamente Vol.I

Ed.Politehnica, Timioara, 2007

[7] ELARIU, Mircea Eugen

SUPERMATEMATICA.

Fundamente Vol.II

Ed.Politehnica, Timioara, 2011 (Sub tipar)

www.supermathematica.com

www.supermatematica.ro www.eng.upt.ro/~mselariu

6. B I B L I O G R A F I E

[1] ELARIU, Mircea

Eugen

FUNCII CIRCULARE EXCENTRICE

Com. I Conferin Naional de Vibraii n Construcia de Maini, Timioara, 1978, pag.101...108

[2] ELARIU, Mircea

FUNCII CIRCULARE EXCENTRICE i EXTENSIA

Bul .t.i Tehn. al I.P. TV Timioara, Seria Mecanic, Tomul