fractali articol

8/19/2019 fractali articol

1/57

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE

FACULTATEA DE CIBERNETICĂ, STATISTICĂ

sI INFORMATICĂ ECONOMICĂ

LUCRARE DE DIPLOMĂ

Teoria fractalilor si

Teoria haosului

BUCUREsTI

!!"

Cuprins

Introducere############################################################### $


2/57

Capitolul 1. Ce su%t fractalii############################## '

(#(# Scurt istoric################################################################### '

(## Pri)ii fractali fai)osi################################################### *

(#+# Defi%itie######################################################################## (!

(#$ Di)e%siu%ea fractala ################################################### ((

Capitolul 2. Alicatii cure%te ale fractalilor######### (+

#(# A-a%ta.ele utili/arii fractalilor###################################### (+

## Eco%o)ie###################################################################### ($

#+# Astro%o)ie#################################################################### ('

#$# Meteorolo0ie################################################################# (*

#1# Di%a)ica flui2elor si chi)ia######################################### (3

#'# Fi/ica############################################################################# !

#*# 4rafica e calculator##################################################### (


3/57


4/57

Capitolul 5. Reali/area alicatiei########################## +"

1#(# Scoul alicatiei############################################################ +"

1## Descrierea i%terfetei###################################################### +"

1#+# Structura alicatiei######################################################## $!

1#+#(# Clasa Fractal################################################################# $!

1#+## Cur>a 2ra0o%ului######################################################### $

1#+#+# Coac fractal################################################################ $$

1#+#$# Setul Ma%2el>rot########################################################## $$

Concluzii################################################################### $3

Anexe######################################################################## 1(

A%e8a(#

Listafi0urilor#####################################################

1(

A%e8a#

Listare 2e co2sursa###########################################

1

Bibliografie############################################################### 13


5/57

Introducere"Se pare ca nimeni nu este indiferent fata de fractali. De fapt, multi privesc prima lor

întâlnire cu geometria fractala ca o experienta cu totul noua, atât din punct de vedere estetic,

cât si stiintific."

Be%oit Ma%2el>rot 7 6Fru)usetea fractalilor6, (3"'

Ri0la si co)asul au co%stituit e%tru )ate)aticie%ii a%tici ri%cialele u%elte utili/ate

9% stu2iul 0eo)etriei, al carei ari%te este co%si2erat si 9% /iua 2e a/i Eucli2 2i% Ale8a%2ria,

9%ca 2i% secolul I? 9# 5r#

sti) cu totii ca 0eo)etria eucli2ia%a este u% a%sa)>lu 2e le)e, corolare, teore)e si

2e)o%stratii, care foloseste 2oar atru %otiu%i fu%2a)e%tale@ u%ct, 2reata, la% si satiu, si

care se >a/ea/a e cele ci%ci a8io)e, e%u%tate 2e Eucli2 9% cartea sa 6 Elementele". Orice o>iectal )u%cii o)ului era scufu%2at si rere/e%tat 9% satiul (D, D, +D# Dar Natura, 9% i)e%sa ei

co)le8itate, %u s7a li)itat la a co%strui coruri 0eo)etrice 2oar 9% acest satiu att 2e

articular, a carui )asura este u% %u)ar 9%tre0 si )ai )ic 2ect +#

Pri-i%2 9% %atura, o>ser-a) i)a0i%i i)osi>il 2e 9%2esat 9%tr7o -i/iu%e eucli2ia%a,

recu) co%turul coastei Nor)a2iei, al crestei )u%tilor, al %orilor, chiar si >rocolli si co%oi2a,

care %u ot fi co%struite si 2efi%ite 0eo)etric la fel 2e usor#

Aaritia calculatorului a er)is atru%2erea 9% acest u%i-ers 9% care ri0la si co)asul %u

)ai su%t suficie%te e%tru rere/e%tarea u%or o>iecte rea co)le8e e%tru a utea fi i%te0rate

9%tr7o lu)e 0eo)etrica# Acesta este u%i-ersul fractalilor, 2efi%it i% (3*1 o2ata cu aaritia ri)ei

carti a lui Ma%2el>rot@ 6Les o>.ects fractales, for)e, hasar2 et 2i)e%sio%6#


6/57

Fii%2 ri)ele for)e 0eo)etrice %e>a/ate e li%ii 2rete sau li%iari/a>ile, fractalii au fost

co%si2erate ciu2ate%ii si a>a%2o%ate 2e )ate)aticie%i caci erau 2e/or2o%at 2e co)le8e#

Neli%iari, 2eci i)osi>il 2e co%struit ri% li%ii %e9%trerute, este %e-oie 2e calculator e%tru a fi

trasati#

Ma%2el>rot, co%si2erat 6Pari%tele 0eo)etriei fractale6, a i%-e%tat si %u)ele 2e "fractal" ,

care -i%e 2i% lati%escul 6 frangere" 7 a sar0e 9% fra0)e%te %ere0ulate# El %ota atetic@

"Deoarece "algebra" deriva din cuvântul arab "jabara" (a lega împreuna), între cuvintele

"fractal" si "algebra" este o contradictie etimologica."

Di% %efericire e%tru aceia 2i%tre %oi carora le lace sa co%trole/e lucrurile, )are arte

2i% lu)ea %aturala %u se co%for)ea/a cu usuri%ta ecuatiilor li%iare# For)ele %eli%iare,

6fractale6, su%t )ai 2e0ra>a re0ula 2ect e8cetie# Asa cu) su%ea Be%oit Ma%2el>rot 9% cartea

sa 64eo)etria fractala a %aturii6@ "orii nu sunt sfere, muntii nu sunt conuri, liniile de coasta

nu sunt cercuri, iar scoarta copacilor nu e neteda..." # Teh%icile %oastre )ate)atice au reurtat

u% )are succes 9% re/icerea fe%o)e%elor e8cetio%ale, care su%t aroae li%iare, cu) ar fi

traiectoriile ro (!((!h*( iectilelor, la%etelor si articulelor# Su>iecte )ai haotice :si i)e2iat

folositoare; cu) ar fi -re)ea, cutre)urele, cur0erea flui2elor si 2i%a)ica for)ati-a au 9%selat

co%sta%t re-i/iu%ile#

Fractalii %u ofera 9% )o2 %eaarat sera%ta ca ute) co%trola aceste fe%o)e%e

9%selatoare# Di% co%tra, 9%cee) sa 9%tele0e) ca haosul si i)re-i/i>ilul su%t )ult )ai uter%ic

i%cluse 9% %atura 2ect %e7a) i)a0i%at -reo2ata# Oricu), fractalii %e ofera i%stru)e%te

uter%ice e%tru )o2elarea si -i/uali/area siste)elor %eli%iare# % )a.oritatea ca/urilor, cu

a.utorul fractalilor ute) )o2ela asectul si structura lu)ii reale )ult )ai usor si )ai succi%t

2ect cu for)ele li%iare#

Capitolul 1

Ce sunt fractalii?


7/57

"!n ocii mintii, un fractal este un mod de a vedea infinitul."


8/57

folosi%ta 2%2 re/ultate 9% )a.oritatea ca/urilor# Presuu%erea ca, la i%fi%it, cur>ele 2e fat su%t

si)ilare 2retelor, ra)%e 9% icioare, 2esi aaritia i)i%e%ta a u%or for)e i)osi>il 2e suus

li%iaritatii a-ea sa /0u2uie iar )ate)atica#

Fi0# (#(# 7 Aro8i)area cur>elor cu li%ii ta%0e%te

Totul a 9%ceut 9% ("*1 c%2 )arele )ate)aticia% 0er)a% arl aierstrass a 2escris o

cur>a co%ti%ua care %u utea fi 2ifere%tiata, 2eci %u area sa ai>a %ici o ta%0e%ta# O )ulti)e 2e

cur>e ciu2ate au 9%ceut sa aara, 2e%u)ite 64alerie 2e )o%stri6#

1.2. ri!ii fractali fai!osi

"riung#iul lui Sierpins$i

Polo%e/ul acla- Sieri%si a or%it 2e la u% triu%0hi e care l7a 2i-i/at 9% atru artie0ale# Aoi a 2i-i/at cele trei arti )ar0i%ale 9% acelasi )o2, co%ti%u%2 rocesul la i%fi%it#

Fi0ura o>ti%uta este %u)ita 6Triu%0hiul lui Sieri%si6#

Fi0# (## 7 Triu%0hiul lui Sieri%si

U% alt )o2 2e co%structie a aceleiasi for)e or%este 2e la u% triu%0hi li%, 9% care

62ecua)6 0auri i2e%tice, 9% loc 2e a trasa li%ii# Re/ultatul este acelasi 2esi este %u)it 9% aceasta

)a%iera 6Sita lui Sieri%si6#


9/57

Fig. 1.3. - Sita lui Sierpinski

"Covorul lui Sierpinski" este o alta forma care a nedumerit matematicienii format la fel prin am!ele variate

Fig. 1.4. - Covorul lui Sierpinski 1

Fig. 1.5. - Covorul lui Sierpinski 2

Pri%ciala ro>le)a era le0ata 2e aria acestor fi0uri# Di% )o)e%t ce ele erau alcatuite

2i% se0)e%te 2e 2reata, care, )ate)atic, %u au %ici arie, %ici lati)e, )ate)aticie%ii au

co%-e%it ca aria fi0urilor este !, )ai )ult 9%sa 2eoarece %u uteau su%e ct este aria, 2aca %u ar

fi !#

Mate)aticia%ul italia% 4iuee Pea%o, 6rofesor e8traor2i%ar 2e calcul i%fi%ite/i)al6 la

U%i-ersitatea 2i% Tori%o, folosi%2u7se 2e Co-orul lui Sieri%si, a 2e)o%strat ca o cur>a

co%ti%ua, fara lati)e :si 2eci fara arie;, oate u)le o ortiu%e 2e satiu, 2eoarece la i%fi%it,

9%tre li%ii %u -a )ai ra)%e 2eloc satiu 0ol :cur>a 2e u)lere a satiului;# Cur>a -a a-ea

asa2ar aria atratului care o )ar0i%este, 2esi este alcatuita 9% co%ti%uare 2i% se0)e%te 2e

2reata#

raful lui Cantor

Mate)aticia%ul 0er)a% 4eor0 Ca%tor (G(H, cel care a 2e/-oltat si%0ur teoria seriilor, a

creat 9% ("** o for)a 2e%u)ita 6Praful lui Ca%tor6# Ea este co%struita 2i% fra0)e%tarea

se0)e%telor 2e 2reata u%i2i)e%sio%ale, co%ti%%2 la sfrsit 2oar u%cte 2e 2i)e%siu%e !, 2esi

este 9% co%ti%uare alcatuita 2i% se0)e%te 2e 2reata#

1


10/57

Fi0# (#'# 7 Praful lui Ca%tor

Curba lui %oc#

Mate)aticia%ul sue2e/ 5el0e ?o% ochGH, fasci%at 2e i%fi%it ca toti cole0ii sai 9%

ti)ul )arii cri/e 2i% )ate)atica, a co%struit 6cur>a li%iei 2e coasta6# El a or%it 2e la o 2reata

e care a 2ese%at u% triu%0hi e8terior# Pe fiecare se0)e%t 2e 2reata al aceleiasi for)e a 2ese%at

cte u% triu%0hi, s#a#)#2# Ase)a%ator, se oate crea Cur>a li%iei 2e coasta och si or%i%2 2e lau% atrat, sau 2e la u% triu%0hi echilateral e laturile caruia 2ese%a) triu%0hiuri echilaterale#

Fi0# (#*# 7 Cur>a lui och

Fi0# (#"# 7 Ful0ul 2e /aa2a och

Cur>a lui och 2a %astere la u% ara2o8 i%teresa%t# De fiecare 2ata c%2 u% %ou triu%0hi

este a2au0at fi0urii (, lu%0i)ea li%iei e-i2e%t creste# Totusi, aria i%terioara a cur>ei lui och

ra)%e )ai )ica 2ect aria cercului care trece ri% -rfurile triu%0hiului i%itial# O li%ie 2e

lu%0i)e i%fi%ita care 9%co%.oara o arie fi%ita#

Lu%0i)ea cur>elor este 2iferita, or%i%2 2e la tiul 2e 0e%erare# La ri)ul %i-el,

lu%0i)ea cur>ei 2i% fi0ura (( -a fi 2e atru trei)i 2i% se0)e%tul 2e 2reata, iar lu%0i)ea

2


11/57

cur>ei si)ilare 0e%erate cu u% atrat -a fi 2e ci%ci trei)i, a2ica (++, resecti- ('', 2aca

lu%0i)ea se0)e%tului i%itial este 2e (!!# Pe%tru a re/ol-a aceasta 2ificultate, )ate)aticie%ii au

i%-e%tat 2i)e%siu%ea fractala, re/e%tata 9% cele ce ur)ea/a#

La 9%ceutul secolului al 7lea, cercetarea 9% 2o)e%iul acestor cur>e co)le8e s7a

lo-it 2e o )are ie2ica@ calculul la>orios# Mate)aticie%ii tru2eau /ile si chiar lu%i, calcul%2 si

2ese%%2 e%tru a ro2uce %iste aro8i)atii foarte i%e8acte si sarace 9% 2etalii ale cur>elor

%eli%iare i%fi%it 2etaliate# Di% (31 %a 9% (3'!, li)itele calculului )a%ual au 9)ie2icat orice

roces serios 9% 0eo)etria co)le8itatii si i%fi%itului#

Aoi au aarut calculatoarele# La 9%ceut, %i)e%i %u s7a 0%2it sa foloseasca aceste

)asi%i scu)e, co%struite e%tru calcule co%ta>ile sau e%tru utili/ari )ilitare, 9% cercetarea

)ate)atica# Aoi, calculatoarele au 9%ceut sa atra0a ate%tia )ate)aticie%ilor, ri% fur%i/area

sutelor 2e /eci)ale ale %u)erelor J, e, sau ale ra2aci%ii atrate 2i% # Dar )ate)aticie%ii erau

9%ca %eli%istiti 2e >a/area calculelor e 6aro8i)ari6# Pri)ul care a 9%2ra/%it sa foloseasca

si)ularea e calculator a fost u% >iolo0@ Aristi2 Li%2e%)a=er, care a i%tro2us i2eea

6auto)atelor celulare6 e%tru a )o2ela 2e/-oltarea or0a%is)elor -ii# El era 9% secial i%teresat

2e 2e/-oltarea celulei si 2e )o2ele ra)ificate ale la%telor#

1.2.

&efinitie

#ractalii su%t rere/e%tari ale la%ului co)le8, 9%tr7o )a%iera recursi-a# U% o>iect

fractal este )ai 2ificil 2e surri%s 9% co)le8itatea sa, el %ecesita 2i% artea o>ser-atorului u%

efort i)a0i%ati-, o articiare )e%tala 2e %atura u%ui roces %esfrsit, care este 9%sasi ese%ta

fractalilor 7 ei 9si astrea/a for)a, i%2ifere%t ct 2e )ult a) )ari o rere/e%tare# % ter)e%ii cei

)ai 0e%erali, u% fractal 2e)o%strea/a o li)itaK o>iectul fractal este chiar li)ita acestui roces cu

%u)ar i%fi%it 2e oeratii#

Fractalii ot area foarte co)licati fata 2e for)ele 0eo)etrice clasice# Li%iile 2rete,

arcele 0ratioase, cur>ele, oli0oa%ele, etc#, au u% lucru 9% co)u%@ chiar 2aca u%ele %u su%t

2rete, ele su%t co%si2erate li%iare, 2atorita 2ifere%tierii :)ari%2 la i%fi%it fro%tiera lor, o>ti%e)

ta%0e%ta;# % ca/ul for)elor %eli%iare, )ari%2 la i%fi%it i)a0i%ea lor, o>ti%e) 9% co%ti%uare

2etalii co)le8e#


12/57

%sa, ei su%t 2e o>icei %iste rocese foarte si)le care ro2uc re/ultate co)licate#

Aceasta rorietate se tra%sfera si asura Teoriei 5aosului# Daca ce-a are re/ultate co)licate,

%u 9%sea)%a %eaarat ca a a-ut si u% i%ut co)licat# Este osi>il ca haosul sa se fi strecurat 9%

roces, ro2uc%2 re/ultate co)licate#

Fractalii su%t forme auto$similare, aceasta 9%se)%%2 ca structura 9%tre0ului siste) e

2eseori reflectata 9% fiecare ortiu%e a sa# U% siste) -a arata auto7si)ilar c%2 forte

ase)a%atoare actio%ea/a la )ai )ulte %i-ele ale scarii# Natura a>u%2a 9% for)e auto7si)ilare,

cu) ar fi li%iile 2e coasta, ra)urile care se asea)a%a cu coacii, -rful )u%tilor care are aceeasi

for)a ca 9%tre0ul )u%te, -alurile si %orii )ici su%t o relica a celor )ai )ari# si astfel ute)

caracteri/a 9%tr7u% )o2 %ou )e2iul 9%co%.urator#

1.4. &i!ensiunea fractala

O %otiu%e ele)e%tara c%2 2iscuta) 2esre fractali este dimensiunea fractala# For)al,

su%e) ca u% set este %72i)e%sio%al 2aca a-e) %e-oie 2e % -aria>ile e%tru a 2escrie

-eci%atatea u%ui u%ct# Aceasta %otiu%e a 2i)e%siu%ii este %u)ita 2i)e%siu%ea toolo0ica a

setului#

U%eori aar co%fu/ii cu ri-ire la 2i)e%siu%ea u%ei fi0uri# E-i2e%t, o li%ie are

2i)e%siu%ea (, u% la% 2i)e%siu%ea , u% cu> 2i)e%siu%ea +# Deseori se cre2e 9%sa ca o sfera

are 2i)e%siu%ea +, ea %eut%2 e8ista 2ect 9% satiu, %u si 9% la%# Dar sfera este

>i2i)e%sio%ala@ fiecare articica a ei arata ca o ortiu%e 2i% la% si 9%tr7o ortiu%e asa )ica, este

%e-oie 2oar 2e 2oua coor2o%ate e%tru a rere/e%ta u% u%ct#

%tr7o e8ri)are li>era, 2i)e%siu%ea fractala este o )asura a ct 2e 6co)licata6 este o

fi0ura auto7si)ilara# E8ista )ai )ulte 2efi%itii si )eto2e 2e a 2eter)i%a 2i)e%siu%ea fractala a

u%ei fi0uri#

%(3(3, )ate)aticia%ul 5aus2orff, a i%tro2us o %oua 2i)e%siu%e, 2i)e%siu%ea fractala

sau 2i)e%siu%ea 5aus2orff# Aceasta 2i)e%siu%e, )asoara %u)arul 2e )ulti)i 2e 2ia)etre )ai

)ici, %ecesare e%tru a acoeri o fi0ura# Daca acest %u)ar este 9%tre0, atu%ci 2i)e%siu%ea este

toolo0ica, altfel, 2i)e%siu%ea este fractala#


13/57

Besico-itch, 2e/-olt%2 lucrarile a%terioare ale lui 5aus2orff, a afir)at ca for)ele ar

utea a-ea 9%tra2e-ar 2i)e%siu%i fractio%are cu) ar fi (,+ sau ,1# Cur>e recu) cele ale lui

Sieri%si si ale lui och ar utea fi e8licate cu a.utorul aceste 2i)e%siu%i#

% )o2 co%cret, 2i)e%siu%ea 5aus2orffBesico-itch este 2efi%ita ca raortul 2i%tre

lo0arit)ul %u)arului 2e coii si lo0arit)ul )ari)ii se)i%tei coresu%/atoare fiecarei coii#

Pe%tru li%ia 2e coasta och triu%0hiulara -o) 0asi 2i)e%siu%ea fractala lo0$lo0+(,'(",

2eoarece su%t atru coii si fiecare este o trei)e 2i% )ari)ea se)i%tei, iar e%tru li%ia 2e coasta

atrata@ lo01lo0+(,$'#

Di)e%siu%ea fractala a rafului lui Ca%tor este lo0lo0+!#'+, 2eci acest o>iect are

2i)e%siu%ea )ai )are 2ect u%ctul :!; si )ai )ica 2ect li%ia :(;#

Di)e%siu%ea fractala a triu%0hiului lui Sieri%si este lo0:+;lo0:; (#1"1#

Pe%tru a fi clasificata oficial ca fractal, o for)a tre>uie sa ai>a 2i)e%siu%ea 5aus2orff7

Besico-itch )ai )are ca 2i)e%siu%ea sa toolo0ica tra2itio%ala#

Mu%tii, %orii, coacii, florile au 2i)e%siu%i 9%tre si +, si ute) 2e2uce )ulte 2oar 2i%

2i)e%siu%ea u%ui cor# Di)e%siu%ea fractala, asa cu) a 2e%u)it7o )ai tr/iu Ma%2el>rot, a

2e-e%it u% i%stru)e%t %ou 2e )asurare a satiului#

Capitolul 2

Aplicatii curente ale fractalilor si #aosului

"...!ntotdeauna au existat %one mari ale stiintei în care metodele analitice simple puteau

fi cu greu aplicate. #enomenele naturale erau prea complexe. !n legatura cu ele, oamenii


14/57

ridicau din umeri a %adarnicie si enuntau teorii calitative sau aproximatii grosolane, sau nu

emiteau nici o parere. &cestea sunt domeniile în care fractalii îsi gasesc o multime de aplicatii."

D#E# Tho)se%, Science e's, (3"*

2.1. A'anta(ele utilizarii fractalilor

Fractalii re/i%ta a%u)ite a-a%ta.e 2atorita carora su%t lar0 folositi 9% )o2elarea asectului si

co)orta)e%tului u%or siste)elor %aturale@

• Fractalii ot rere/e%ta cu usuri%ta forte si)ilare actio%%2 la )ai )ulte %i-eluri ale

scarii, 9% ti) ce 0eo)etria li%iara %u oate#

• Fractalii ofera 2eseori o )eto2a )ai co)acta 2e 9%re0istrare a i)a0i%ilor si 2atelor

co)le8e 2ect -ectorii li%iari#

• Cu a.utorul fractalilor, se ot 0asi cur>e fractale care sa aro8i)e/e u% set 2e 2ate

:recu) te)eraturi 9%re0istrate 9%tr7o a%u)ita erioa2a 2e ti), returile u%ei

actiu%i la >ursa 9%tr7u% i%ter-al 2e ti), etc#;

• Fractalii ot fi folositi e%tru a co%strui )o2ele folositoare ale u%or siste)ei)re-i/i>ile si haotice, u%2e ecuatiile li%iare 2au 0res#

Fractalii su%t folositi 9% 2i-erse 2iscili%e, recu)@ eco%o)ie, astro%o)ie, fi/ica si

2i%a)ica flui2elor, chi)ie, car2iolo0ie, or%itolo0ie, etc#

2.2. )cono!ie

Be%oit Ma%2el>rot si7a 9%te)eiat 0eo)etria fractala >a/%2u7se 9% ri%cial e si)ulareasa 9%cu%u%ata 2e succes a te%2i%tei returilor >u%urilor 2e co%su), iar a%ali/a ietei ra)%e u%a

2i%tre cele )ai atra0atoare alicatii ale 0eo)etriei fractale#

% eco%o)ie, ro>a>il cel )ai i)orta%t lucru este re/icerea 9%tr7u% )o2 ct )ai si0ur a

ceea ce se -a 9%t)la e iata 2ua o erioa2a 2e ti)# P%a rece%t, teoria 2o)i%a%ta folosita


15/57

9% acest sco era Teoria Portofoliului# Co%for) acesteia, ro>a>ilitatea schi)>arilor 2e e iata

uteau fi )o2elate ri% clootul lui 4auss@

Fig. 2.1. - #ro!a!ilitatea sc$im!arilor de pe piata

Presuu%%2 ca aceasta teorie este corecta, ute) co%chi2e ca schi)>arile foarte )ici

su%t si cele )ai frec-e%te, iar schi)>ari foarte )ari au loc e8tre) 2e rar# Acest lucru %u este

9%sa a2e-arat 9% ractica# Pe aceasta cur>a, ute) o>ser-a ro>a>ilitatea schi)>arilor rai2e

aroii%2u7se 2e !, schi)>ari care ot fi -a/ute lu%ar e iata# Rece%t, la ! 2e a%i 2e la

2escoerirea fractalilor, Be%oit Ma%2el>rot i%tro2uce o %oua teorie fractala care oate fi folosita

)ai eficie%t 2ect Teoria Portofoliului 9% a%ali/a ietei#

Co%si2era) u% a% 2e acti-itate 2e iata si rere/e%tarea 0rafica a retului 9% fiecare lu%a#

?o) o>ti%e o li%ie fr%ta cu suisuri si co>orsuri# Daca lua) u%a 2i% aceste lu%i si reali/a) u%

0rafic )ai 2etaliat e fiecare sata)%a, -o) o>ti%e o li%ie foarte si)ilara, cu suisuri si

co>orsuri# Daca 2etalie) cur>a 2i% ce 9% ce )ai )ult, e fiecare /i, ora, chiar )i%ut sausecu%2a, -o) o>ti%e aceleasi, %u)ai ca )ai )ici, suisuri si co>orsuri# Aceasta este auto7

si)ilaritatea Bro%ia%a#

%andel!rot a definit o metoda de a crea fractali pe !a&a descrierii de mai sus. 'l a !a&at-o pe o iteratie cu generator si a creat fractali care pot modela piata. (n Fe!ruarie 1)))

el a pu!licat *n Scientific merican c+tiva dintre acesti fractali alaturi de grafice ale pietei arat+nd c+t de asemanatori sunt.

(n aceasta metoda se porneste de la o forma numita generator. ,eneratorul tre!uie sa fie compus din 3 segmente de dreapta pentru a o!tine si cresterea si scaderea

pretului. e eemplu luam o linie fr+nta si *nlocuim fiecare segment c u linia fr+nta initiala o!tin+nd dupa un numar de pasi urmatorul grafic

Fig. 2.2.a

Fig. 2.2.!


16/57

Fig. 2.2.c - ,rafic fractal de modelare a pietei

comparativ cu un model al teoriei de portofoliu

Fig. 2.3. - ,rafic de modelare a pietei /0eoria de #ortofoliu

U%a 2i% re-elatiile )a.ore ale a%ali/ei fractale a ietei este )e)oria sau ersiste%ta e

iata# Mo2ele eco%o)ice tra2itio%ale iau 9% co%si2erare u% co%su)ator care traieste tot2eau%a 9% re/e%t, care ia 2eci/ii e >a/a returilor cure%te ale ietei si e 2ori%ta erfect ratio%ala 2e a

o>ti%e rofit 9% orice )o)e%t# %sa iata are att )e)orie e ter)e% lu%0, ct si e ter)e% scurt

si este ersiste%ta la fiecare scara osi>ila, 2e la ore la secole# A2e-aratul articia%t la

eco%o)ie 9si a2uce a)i%te si c%2 a o>ti%ut rofit )a8i), si c%2 si7a ier2ut >u%icul fer)a#+G+H

% 2o)e%iul ietei, ca si 9% alte 2o)e%ii 9% care fractalii si haosul 2au re/ultate, rareori se

2o-e2esc att 2e folositori e%tru pre%icere, e ct su%t e%tru simulare# Si)ularea fractala

oate )o2ela si re/ice %atura 0e%eral statistica a u%ui siste), fara a 9i re/ice co)ortarea 9%tr7u% a%u)it )o)e%t#

Pretul >u)>acului era su>iectul referat al lui Ma%2el>rot, 2eoarece e8istau 2ate

2iso%i>ile 2e7a lu%0ul a sute 2e a%i 2e co)ert# El re/e%ta 9%sa o co%sta%ta ciu2ata@ aceeasi

-ariatie 9%tr7o erioa2a 2e secole, ca si 9%tr7o erioa2a 2e /eci 2e a%i sau 2e cti-a a%i# El a

%u)it acest lucru invarianta de scara# Desi -aloarea -aria%tei 2i% scara ra)%e co%sta%ta,

aceasta este i)osi>il 2e re/is 9% orice )o)e%t si la orice )ari)e a scarii# Si)ularile lui

asura retului >u)>acului i% (31+ co%ti%ua sa re/ica cu e8actitate cantitatea de variatie 2i%

retul >u)>acului, att lu%ar ct si a%ual, 2ar %u ot reti%2e ca i%2ica retul >u)>acului 2i%

iulie !!"#

3


17/57

2.3. Astrono!ie

U%ul 2i%tre cei )ai fru)osi fractali )ate)atici a fost i%-e%tat 2e u% astro%o)# La

9%ceutul a%ilor (3'!, Michel 5e%o% 2e la o>ser-atorul 2i% Nisa 2i% Fra%ta a o>ser-at o

co)ortare tul>uratoare 9%tr7u% si)lu )o2el al stelelor care or>itea/a 9%tr7o 0ala8ie# Cte-a

2i%tre or>ite erau li%e si sta>ile, 9% ti) ce altele areau aroae aleatoare# La 9%ceut, a i0%orat

or>itele a%or)ale, cre/%2 ca ele aar 2atorita u%or erori 2e calcul i%e8lica>ile#

% cele 2i% ur)a, 5e%o% a 2escoerit ca acest ti 2e co)ortare haotica era o arte

ese%tiala a 2i%a)icii or>itelor stelare# Pla%etele, ca orice o>iect 2i% U%i-ers, se suu% le0ii

0ra-itatio%ale a lui Neto%# %sa 2esi le0ea lui Neo% are relati- si)la, oate fi 0reu 2e us

9% ractica, 2eoarece 9%tr7u% u%i-ers real, atractiile 0ra-itatio%ale ale altor la%ete si stele fac ca

or>ita la%etei a%ali/ate sa fie )ai uti% re-i/i>ila# Folosi%2 aro8i)atii, astro%o)ii ot

re/ice care -a fi traiectoria or>itelor corilor ceresti 2i% siste)ul %ostru solar sata)%a

-iitoare sau este 2oua/eci 2e a%iK u%ii 2i%tre ei cre2 9%sa ca %u ute) afir)a si0ur u%2e se -or

afla ele este u% )ilio% 2e a%i#

Tre>uie secificat 9%sa ca or>itele la%etelor %u su%t fractaliK ele se aroie se%si>il 2e

elise erfecte# Daca lasa) 9%sa o/itia la%etei %oastre su> a%u)ite co%2itii, 2escoeri) ca se

9%ca2rea/a 9% li)itele u%ei cur>e %u)ite >a/i% 2e atractie# Acesta, 2e cele )ai )ulte ori, este u%fractal#

5e%o%, 2ua ce a stu2iat )o2ele care e8licau co)ortarea tur>ule%ta a fe%o)e%elor

terestre, a ela>orat u% )o2el si e%tru or>itele la%etare# Desi 9% trecut %u era folosit, 2e%u)i)

acu) acel ti 2e )o2ele e care 5e%o% l7a folosit atractori stranii# Sre 2eose>ire 2e )o2elele

li%iare clasice, care ar sa re/ica e%tru tot2eau%a traiectoria fiecarui cor ceresc, ei ofera u%

a)estec 2e co)ortari %esi0ure# ?echile )o2ele 9si astrea/a caacitatea 2e a re-i/io%a e

ter)e% scurt, 2ar cercetari rece%te au aratat ca, e ter)e% lu%0, )o2ul 2e co)ortare al

siste)ului %ostru solar este cel uti% i%cert#

2.4 *eteorologie


18/57

Meteorolo0ii, ca si eco%o)istii, i%-estesc o ca%titate e%or)a 2e efort, >a%i si e%er0ie

9%cerc%2 sa re/ica ce se -a 9%t)la )i%e si sata)%a ur)atoare# A)>ele cate0orii fac sute

2e re-i/iu%i /il%ic, folosi%2 teorii >i%ecu%oscute, >a/ate e secole 2e calcule si cercetari, 2ar

2au 0res, re-i/iu%ile eco%o)ice si cele )eteorolo0ice fii%2 cu%oscute e%tru i%e8actitatea lor#

?re)ea oate fi re-i/io%ata suficie%t 2e >i%e e%tru cel )ult 2oua /ile, 2ar 2i%colo 2e aceasta,

re2ictiile su%t sla>e# Fractalii %u au fost 2e )are a.utor 9% .ocul re-i/iu%ii )eteorolo0ice, 2ar

au a.utat e8lic%2 2e ce aceasta %u 2a re/ultate#

%re0istrarile e ter)e% lu%0 ale 2atelor cli)aterice 2eseori re/i%ta cicluri auto7

reflectoare@ -aluri 2e arsita care 2urea/a cti-a a%i, u% 2ece%iu sau chiar secole 2e cal2ura#

%re0istrarile facute e flu-iul Nil 2e/-aluie erioa2e uscate 2e u% )ile%iu# ?iata 2e /i cu /i %e

su0erea/a ca ciclurile %ere0ulate 2e te)eratura au loc si 9% erioa2e 2e o lu%a, sau osata)%a# Fi0ura ur)atoare co%fir)a acest lucru#

Fi0# #$# 7 %re0istrarile e o erioa2a 2e '!! 2e /ile ale te)eraturilor

2i% Mi22lese8, statul ?er)o%t

Acest ti 2e 2ate este 0reu 2e caracteri/at ri% )eto2ele li%iare tra2itio%ale# Mo2elarea

ri%tr7u% -al si%usoi2al ar ier2e aare%ta 2e cicluri 9)>i%ate u%ul 9% altul, si acesta este toc)ai

asectul cel )ai i%teresa%t 2e )o2elat# Acest lucru se oate face aro8i)%2 2atele cu o cur>afractala, %u 9% scouri a%ticiati-e, re2icti-e, ci e%tru a su0era caracterul ese%tial al cur>ei#


19/57

Fi0# #1# 7 Aro8i)are fractala a fi0urii #$

% (3'(, E2uar2 Lore%t/, )eteorolo0 si )ate)aticia% la MIT, asio%at 2e stu2iul -re)ii,

a 2escoerit si a i%tro2us 9% istorie, or%i%2 2e la )o2elarea -re)ii e calculator, 6efectul

fluturelui6 si atractorul Lore%t/, re/e%tate 9% caitolul ur)ator#

4raficele fractale su%t cele )ai a2ec-ate rere/e%tari ale for)elor %ere0ulate ciclice,

re/e%te 9% seriile 2e 2ate co)le8e, ri-i%2 e-olutia 9% ti) a fe%o)e%elor %aturale si

eco%o)ice# Cutre)urele e-i2e%tia/a 2e ase)e%ea ri% seis)o0ra)a lor co)le8itate si for)eauto7si)ilare, 2eoarece u%2ele 2e a-erti/are si relicile lui su%t %iste cutre)ure 9% )i%iatura, iar

cutre)urul ri%cial este o erioa2a 2e acti-itate i%te%sa co%stituita 2i% su>erioa2e si)ilare#

Acti-itatea seis)ica este 0reu 2e )o2elat cu a.utorul cur>elor tra2itio%ale#

Alte fe%o)e%e usor 2e )o2elat cu a.utorul fractalilor su%t 2e>itele rurilor, e-olutia

retului u%ei actiu%i la >ursa, cursul -alutar, etc#

2.5. &ina!ica fluidelor si c#i!ia

Tur>ule%ta 9% 2i%a)ica flui2elor rere/i%ta starea 2e )iscare a u%ui flui2, caracteri/ata

2e schi)>ari haotice si stohastice# Aceasta i%clu2e 2ifu/ii, co%-ectii si -ariatii rai2e ale

resiu%ii si -ite/ei 9% ti) si satiu# Tur>ule%ta rere/i%ta 9%ca u% 2o)e%iu i%co%trola>il 2e

sa-a%ti, ea re/ist%2 tuturor aro8i)arilor li%iare si co%su)%2 foarte )ult ti) calculatoarelor#


20/57

Lore%t/ a fost u%ul 2i%tre cei )ai 9%-ersu%ati e8loratori ai a%ali/ei %eli%iare a flui2elor,

ri% atractorul Lore%/, re/e%tat 9% Caitolul +# Siste)ul 2e ecuatii 2i% care a 2eri-at Atractorul

Lore%t/ este %o%li%ear, tri2i)e%sio%al, si 2eter)i%istic# % 2i%a)ica flui2elor, atractorul Lore%t/

este u% )o2el realist al 6cli)ei6 tur>ule%te 2i%tr7u% cili%2ru )ic 2e flui2 9%chis, e )asura ce i

se alica o 9%cal/ire co%ti%ua la artea i%ferioara a cili%2rului# Cele trei -aria>ile ale siste)ului

coresu%2 -ite/ei flui2ului, te)eraturii si -ite/ei 2e )o2ificare a te)eraturii#

O )eto2a 2e si)ulare a )ai )ulte fe%o)e%e 2iferite 2i% fi/ica, chi)ie si electricitate

este agregarea limitata de difu%ie# La 9%ceutul si)ularii e calculator, se lasea/a 9% ce%trul

u%ui cerc o >ucata )ica 2e )aterie artificiala# Aoi calculatorul la%sea/a aleator, u%a 2ua alta,

articule 2i% .urul cercului care ratacesc la 9%t)lare, %a ies 2i% cerc sau a2era la alta

articula 9%tl%ita# Tretat, articulele -irtuale for)ea/a dendrite fractale orie%tate 2i% ce%trulcercului sre circu)feri%ta# Acestea re/i%ta trei rorietati 2e >a/a ale fractalilor@ auto7

si)ilaritate, 2i)e%siu%e fractala si lacu%e# Ele ier2 2i% 2e%sitate e )asura ce cresc 9%

2i)e%siu%e#

Fi0##'# 7 De%2rite fractale for)ate ri% a0re0area li)itata 2e 2ifu/ie$G$H

Procese fi/ice care 2au %astere la astfel 2e for)e su%t a0re0area ce%usii 9% cosuri,

2eu%erea /i%cului 9% celulele electrolitice, 2ifu/ia >ulelor 2e 0a/ ri% lichi2ele -scoase si

2escarcarile electrice 9% at)osfera# Aceste siste)e su%t 2earte 2e echili>ru, ele ri)i%2 si

2isi%2 ca%titati i)orta%te 2e e%er0ie# Si)ularea e calculator 9%toarce cu)-a rocesul real

e 2os, articulele artificiale 2elas%2u7se le%t 2i% e8terior sre i%terior, 9% ti) ce structura

2e%2ritica reala se for)ea/a rai2 2i% i%terior sre e8terior#

4


21/57

2.+. ,izica

E8ista atru clase fu%2a)e%tale 2e siste)e fi/ice@

7 siste)e li%iare co%ser-ati-e :e%2ul fara frecari care oscilea/a li>er;

7 siste)e %eli%iare co%ser-ati-e :e%2ul fara frecari, 9)i%s;

7 siste)e li%iare 2isiati-e :e%2ul care oscilea/a li>er 9%tr7o at)osfera care 9i

ou%e re/iste%ta;

7 siste)e %eli%iare 2isiita-e :e%2ul 9)i%s 9%tr7o at)osfera care 9i ou%e

re/iste%ta;#

Siste)ele %eli%iare au fost )ereu co%si2erate ciu2ate si )ai uti% i)orta%te# Siste)ele

%eli%iare 2isiati-e su%t chiar ire)e2ia>ile# Dar lu)ea reala este alcatuita toc)ai 2i% astfel 2e

siste)e, iar )o2elarea acestora se face toc)ai ri% atractori fractali haotici# Fi/icie%ii au a.u%s

la co%clu/ia ca o 0a)a lar0a 2e co)ortari co)le8e, u%ele 2e o )are re0ularitate, rasar acu)

2i% ceea ce 9%ai%te era 2oar haos# Multe siste)e fi/ice si chi)ice fluctuea/a ri%tr7o serie 2e

schi)>ari )a.ore 2e la or2i%ea li%iara la co)le8itatea haotica si 9%aoi# A 2oua le0e a

ter)o2i%a)icii are si o fateta surri%/atoare@ )ulte siste)e se auto7or0a%i/ea/a si creea/aso%ta% o or2i%e rorie acolo u%2e %u era %ici u% fel 2e or2i%e#

2.-. rafica pe calculator

Do)e%iul cel )ai lar0 9% care su%t folositi fractalii asta/i este 0rafica e calculator#

Multe sche)e 2e co)ri)are a i)a0i%ilor folosesc al0orit)i fractali e%tru a co)ri)a fisiere

0rafice la )ai uti% 2e u% sfert 2i% 2i)e%siu%ea ori0i%ala# Artisti ai 0raficii e calculator

folosesc for)e fractale e%tru a crea eisa.e si )o2ele i%tri%seciK ro2uctii ci%e)ato0raficei)orta%te 9i folosesc e%tru efecte seciale#


22/57

Fi0# #*# 7 Peisa. fractal

stii%ta, )ate)atica si teh%olo0ia %u )ai su%t 2o)e%iile lictisitoare, i%estetice si ri0i2e,

ci caata o fru)usete care face co)etitie artei#

Capitolul 3

"eoria #aosului

"Evolutia este aos cu reactie inversa."


23/57

siste)ului, ca ur)are a u%ei )ici schi)>ari %eerio2ice a%terioare# Suerse%si>ilitatea la

co%2itiile i%itiale este o %otiu%e cheie a teoriei haosului# Aceasta 9%sea)%a ca e-olutia

siste)ului este 2ee%2e%ta 2e starea i%itiala#

For)ele %ere0ulate si rocesele haotice a>u%2a 9% %atura# Astfel, fu)ul 2i%tr7o a%u)ita

sursa se ras%2este for)%2 o )ulti)e 2e -rte.uri, u% curs 2e aa este 9%-ol>urat 2i% cau/a

o>stacolelor, o %a-a sau u% a-io% lasa 9% ur)a o 2ra tur>ule%ta# I%sta>ilitate si haos 9%tl%i)

att 9% societate :olitica si ra/>oaie, >oli, fa)ilie si relatii sociale;, ct si 9% fe%o)e%e

co)le8e, recu) circuite electrice, erutii 2e o.ar, lasere, >ataile i%i)ii, acti-itatea electrica a

creierului, )eca%ica flui2elor, reactii chi)ice, sau 9% siste)e si)le recu) u% e%2ul#

Teoria haosului a 9%ceut ca u% su>2o)e%iu al fi/icii si al )ate)aticii, lucr%2 cu

structuri ale tur>ule%tei :u%a 2i%tre cele )ai 2ificile ro>le)e 2i% fi/ica; si auto7si)ilaritatea

for)elor 2i% 0eo)etria fractala# Ea a aarut la sfrsitul a%ilor '!, fu%2a)e%tata 2e

)ate)aticia%ul 2iferite %u)e, recu) 6Teoria haosului6, 6Teoria

co)le8itatii6, 6Procese stohastice6, etc#

Teoria -i/ea/a rocesele %aturale e8ri)ate su> for)a for)ulelor )ate)atice, calcule ce

erau i)osi>ile fara calculatoare# % calculul 2ifere%tial, siste)ele haotice su%t rere/e%tate ri%

ecuatii %eli%iare 2ifere%tiale, care se ocua cu fe%o)e%e %aturale recu) tur>ule%ta aei sau

iete fi%a%ciare# Sre 2eose>ire 2e ecuatiile li%iare care se co)orta re-i/i>il, siste)ele

haotice su%t rere/e%tate ri% ecuatii %eli%iare 2ifere%tiale care se schi)>a >rusc sau

2isco%ti%uu# %tr7o ecuatie %eli%iara, o )ica schi)>are 9%tr7o -aria>ila oate a-ea u% efect

2isroortio%at, chiar catastrofal asura celorlalte -aria>ile#

3.2. 0)fectul fluturelui0 Atractorul orentz

Si)ul%2 -re)ea e calculator 9% (3'(, E2ar2 Lore%t/ a -a/ut oortu%itatea 2e a

co)>i%a )eteorolo0ia cu )ate)atica# Mo2elul lui )ate)atic al -re)ii era co%stituit 2i%tr7u%

set 2e ( ecuatii 2ifere%tiale care rere/e%tau schi)>ari 9% te)eratura, resiu%e, i%te%sitatea


24/57

-%tului, etc# %tr7o /i, -r%2 sa reete o sec-e%ta i%teresa%ta 2i% )o2el, 2i% 2ori%ta 2e a sal-a

ti), a re9%ceut rocesul 2i% )i.loc# Datele 2i% aceasta rulare ar fi tre>uit sa fie i2e%tice cu

cele 2i% ri)a rulare, 2ar re/ultatul a fost surri%/ator@ 2esi au or%it si)ilar, sre fi%al au

2e-e%it co)let 2i-er0e%te, al 2oilea )o2el ier/%2 orice ase)a%are cu ri)ul 9% cte-a

6lu%i6# O i)a0i%e a acestor 2oua rulari este re/e%tata )ai .os@

Fi0# +#(# 7 4raficul o>ti%ut 2e Lore%t/ 9% si)ularea -re)ii

Lore%t/ a resuus ca a fost o eroare, fie c%2 a i%tro2us %u)erele, fie 9% 2erularea calculelor

2e catre calculator# Dua ce a cercetat tot rocesul, a 2escoerit sursa ro>le)ei@ e%tru a sal-a

satiu, i)ri)a%ta i%clu2ea %u)ai atru /eci)ale 2ua -ir0ula, 9% ti) ce 2atele 9% )e)oria

calculatorului era e8acte %a la a sasea /eci)ala# Lore%t/ a i%tro2us o 2ifere%ta 9%tre ri)a si a

2oua rulare, care %u s7a 2o-e2it a fi %ese)%ificati-a#

El a a.u%s la co%clu/ia ca ertur>atii e8traor2i%ar 2e )ici ale 2atelor se 9)>i%a cu

rai2itate, 2uc%2 la o schi)>are uriasa a -re)ii# Asa2ar, re-i/io%area -re)ii este e%tru

tot2eau%a 6co)ro)isa6# Daca )o2elul lui Lore%t/ s7ar ase)a%a 9%tru totul cu realitatea, atu%ci

o i%terfere%ta )i%uscula cu) ar fi >ataia 2e arii a u%ui fluture 9% A)a/o% ar utea )o2ifica

ra2ical -re)ea 9% Massachusettes# 6Efectul fluturelui6, cu%oscut )ai e8act ca dependenta

sensibila de conditiile initiale, este o rorietate co)u%a a siste)elor %aturale si sociale

co)le8e#

% co%clu/ie, Lore%t/ a areciat ca su%t i)osi>ile re-i/iu%ile recise 9% )eteorolo0ie

2atorita cu%oasterii aro8i)ati-e a le0ilor %aturii si a situatiei U%i-ersului la )o)e%tul i%itial#

#entru a preci&a modul *n care se aunge la $aos tre!uie stiut ca un regim regulat devine neregulat sau tur!ulent ca urmare a actiunii atractorilor stranii . n atractor poate fi un

punct o cur!a o suprafata sau mai adesea un fractal catre care converg traiectoriile i&vor+te din toate punctele care apartin vecinatatii sale.


25/57

Lore%t/ a o>ser-at 9% rere/e%tarea 0rafica a siste)ului sau 2e ecuatii ca re/ultatul se

)e%ti%ea )ereu e o cur>a, o sirala 2u>la# Erau cu%oscute %u)ai 2oua stari 2e or2i%e@ o stare

sta>ila, 9% care -aria>ilele %u se schi)>au %icio2ata, si co)orta)e%t erio2ic, 9% care siste)ul

i%tra 9%tr7o >ucla, reet%2u7se %e2efi%it# Ecuatiile lui Lore%t/ erau clar or2o%ate@ ur)areau

)ereu o sirala# Nu se oreau %icio2ata 9%tr7u% u%ct sta>il, 2ar 2i% )o)e%t ce %u reetau

)ereu acelasi lucru, %u erau %ici erio2ice# El a %u)it i)a0i%ea e care a o>ti%ut7o Atractorul

Lore%t/#

Fi0# +## 7 Atractorul Lore%t/

De ce u% set 2e ecuatii co)let 2eter)i%iste au acest co)orta)e%t& Rasu%sul re/i2a

9% %atura lor@ siste)ele %eli%iare, 2e altfel 2ificil 2e re/ol-at, su%t suuse teoriei haosului si

2eseori )a%ifesta co)orta)e%te e8tre) 2e co)le8e si haotice#

% (3'+, Lore%t/ a u>licat o lucrare care 2escria ceea ce 2escoerise, 9%sa 9%tr7u% .ur%al

)eteorolo0ic, e%tru ca era )eteorolo0# Di% aceasta cau/a, 2escoeririle lui Lore%t/ %u au fost

recu%oscute 2ect a%i )ai tr/iu, c%2 au fost re2escoerite 2e altii# Lore%t/ 2escoerise ce-a

re-olutio%ar, si acu) asteta la r%2ul lui sa fie 2escoerit 2e altii#

3.3. )xe!ple de siste!e #aotice

U% alt siste) 9% care se%si>ilitatea la co%2itiile i%itiale este e-i2e%ta este aruncarea unei

!onede# E8ista 2oua -aria>ile 9% acest e8eri)e%t@ ct 2e rai2 )o%e2a lo-este a)%tul, si ct

2e rai2 se 9%-rte# Teoretic, ar tre>ui sa fie co%trola>ile aceste -aria>ile 9% totalitate, recu) si

re/ultatul aru%carii# % ractica, este i)osi>il 2e co%trolat e8act ct 2e sus -a sari )o%e2a si ct

2e ree2e se -a roti# Se ot 9%ca2ra -aria>ilele 9%tr7u% i%ter-al a%u)e, 2ar este i)osi>il 2e


26/57

co%trolat astfel 9%ct sa se stie e8act ce fata -a arata )o%e2a# O ro>le)a si)ilara este

9%tl%ita 9% predictia populatiei biologice# Ecuatia ar fi si)la 2aca oulatia ar creste

i%2efi%it, 2ar efectul cala)itatilor si a resurselor 2e hra%a li)itate fac aceasta ecuatie i%corecta#

Cea )ai si)la ecuatie care co%si2era aceste asecte ar arata astfel@ opulatia anului viitor r

* populatia anului curent * (+ $ populatia curent).

(n aceasta ecuatie populatia este un numar *ntre si 1 unde 1 repre&inta populatia maima posi!ila iar repre&inta etinctia. este rata de crestere. Cum afectea&a acest

parametru ecuatia6 'vident pentru o rata mare populatia se va sta!ili&a la o valoare mare pentru o rata mica se va sta!ili&a la o valoare mica. ar ecuatia manifesta un comportament

socant dupa cum a demonstrat !iologul o!ert %a7 *n 1)8 sc$im!+nd rata de crestere *n ecuatie. 9a valori mici ale ratei de crestere populatia se va sta!ili&a *ntr-adevar la o singura

valoare de eemplu pentru o rata de 28 populatia va fi .:2)2. #e masura ce c reste rata populatia finala va creste si ea. ar c+nd rata a devenit mai mare dec+t 3 linia s-a descompus *n

doua. (n loc sa ram+na la un singur numar populatia oscila an dupa an *ntre doua valori. Cu fiecare c restere a ratei linia se !ifurca *n continuare p+na c+nd a aparut $aosul. #este o

anumita valoare a ratei de crestere devine imposi!il de pre&is comportamentul ecuatiei. sadar la *nceput re&ultatele se *nscriu pe o dreapta iar *n final manifesta o neregularitate $aotica.

uto-similaritatea faptul ca graficul are o copie eacta a sa ascunsa *n structura sa a devenit un aspect important al $aosului.

Fig. 3.3. - iagrama !ifurcatiei pentru ecuatia populatiei5G1H

Fractal a a.u%s sa 9%se)%e orice i)a0i%e care 2isu%e 2e auto7si)ilaritate# Bifurcatia

2ia0ra)ei ecuatiei oulatiei este u% fractal# Atractorul lui Lore%t/ este fractal# Cur>a lui och

este fractal#

iata este 2e ase)e%ea u% siste) i%sta>il si haotic, iar teoria haosului este si )ai

i%teresa%ta c%2 este alicata e-e%i)e%telor u)a%e, recu) >ursa 2e -alori# Teoreticie%ii

haosului au co)>atut 2irect teoria %eoclasica a >ursei 2e -alori, care resuu%ea ca astetarile

cu ri-ire la iata su%t 6ratio%ale6, a2ica o)%iscie%te 2esre -iitor#

5


27/57

Daca toate returile 2e e iata >u%urilor sau returile actiu%ilor cotate la >ursa

9%cororea/a cu%osti%te e8acte 2esre -iitor, atu%ci orice 9%cli%atie a >ursei ar fi total

acci2e%tala, %e9%se)%ata, a2ica %ici u% ret %u are le0atura cu -reu% altul, fie -iitor, fie trecut#

Dar u% asect crucial al istoriei u)a%itatii este ca toate e-e%i)e%tele su%t i%terco%ectate, orice

e-e%i)e%t eco%o)ic are efecte asura altora, si 2ua cu) a) aratat 9% Caitolul , iata are

)e)orie att e ter)e% scurt, ct si e ter)e% lu%0#

Siste)ul li%iar 9% care e8ista 2oar 2oi atractori@ cererea si oferta %u este suficie%t e%tru a

)o2ela structura %eli%iara, co)le8a, tur>ule%ta si -olatila secifica ietei# Pe%tru aceasta

tre>uie lasat u% al treilea atractor, care -a i%2uce haosul si structura fractala 9% siste)#

3.4. Caracteristicile siste!elor #aotice n analogie cu organizatiile

!anageriale

licat 9% (3"* cartea 6aos- a/ing & e' Science6 :65aos@ cre%2

o %oua stii%ta6;, u% >est7seller care a facut 2i% teoria haosului o )etafora e8tre) 2e oulara 9%

literatura 2e )a%a0e)e%t, fii%2 ri-ita ca 6%oua stii%ta6 a a2)i%istratiei# 'G'H 4leic %u a

i%-e%tat teoria haosului, %ici %u a co%tri>uit la artea ei stii%tifica, 2ar a scos7o 2i% o>scuritatea

.ur%alelor stii%tifice si a a2us7o 9% ochii u>licului lar0# E8ista )ulte carti, articole, .ur%ale,

i%stitute, fir)e 2e co%sulta%ta care fac 2i% teoria haosului %oua 6ara2i0)a6 e%tru alicareateoriei co)le8itatii 9% )a%a0e)e%tul afacerilor#

Sensibilitatea la conditiile initiale# Ca si 9% ca/ul e8eri)e%tului lui Lore%t/, u% siste)

co)le8 reactio%ea/a la 2iferite -aria>ile 9% )o2uri i)re-i/i>ile# Daca siste)ul este co)le8,

chiar si folosirea acelorasi 2ate 2e i%trare sau a u%ora si)ilare %u -a 2uce la aceleasi re/ultate#

Ireversibilitatea timpului # %tr7u% siste) co)le8, %u 9%tl%i) %icio2ata acelasi co%te8t

2e 2oua ori# O a%alo0ie folosita 2es e%tru a 2escrie acest lucru este@ 6Nicio2ata %u calci 2e2oua ori 9% acelasi ru#6, 9%tele0%2 ri% aceasta ca siste)ul %u este %icio2ata acelasi# Aa rului

se schi)>a 9% fiecare )o)e%t, recu) 9% )a%a0e)e%t, o strate0ie sau 2eci/ie %u -a fi %icio2ata

luata 9% acelasi co%te8t#

6


28/57

Atractorii stranii . n regim regulat devine neregulat sau tur!ulent ca urmare a actiunii atractorilor stranii. tractorii *n teoria $aosului sunt ca influenta gravitatiei seturi de valori

spre care sistemul migrea&a *n timp numiti si "insule de sta!ilitate". (ntr-o formula un atractor poate fi un singur punct fiat o colectie de puncte o or!ita complea sau un numar infinit de

puncte.

Atractorii ot fi asi)ilati lacurilor care a2u%a toate aele iesite 2i%tru7u% >a/i%

2eter)i%at, sau ot fi ce%tre 2e relucrare :co%su); care focali/ea/a cure%tii 2e )arfuri 2i%tr7o

a%u)ita /o%a# De%u)irea 2e stra%iu se 2atorea/a 2ificultatii 2e re/e%tare a atractorilor si

asectului lor curios# De re0ula, atractorii su%t fractali caracteri/ati ri%tr7o structura 0eo)etrica

co)le8a, %ere0ulata# Atractorul Lore%t/ este u% fractal cu 2i)e%siu%ea 5aus2orff curi%sa

9%tre si +#

Desi este )ai %eclar cu) atractorii stra%ii ot fi rere/e%tati 9%tr7o or0a%i/atie sociala,

este co%-i%0erea ca fiecare or0a%i/atie are 6atractori6 care 2uc la alterarea co)orta)e%tului

or0a%i/atiei 9% ti), 9% fu%ctie 2e ce forte sociale, eco%o)ice sau 2e alt fel co%2uc siste)ulcatre u% u%ct 2at si 2e i%teractiu%ea acestora#

Forme fractale# Orice arte a u%ui fractal, )arita, reflecta e8act 9%tre0ul# %

)a%a0e)e%t, se resuu%e ca 2iferite %i-ele ale or0a%i/atiei se asea)a%a cu altele, ca u% fractal

9% ierarhia )a%a0eriala# O for)a a structurii sociale oate fi e8a)i%ata 9% relatie cu

caracteristicile 9%tre0ului siste) la %i-el )acro si )icro#

Bifurcatii . Bifurcatia rere/i%ta aaritia >rusca a solutiilor 2iferite calitati- atu%ci c%2se )o2ifica) ara)etru 2i%tr7u% siste) %eli%iar# % orice or0a%i/atie, 2oua cai 2iferite ot

a2resa o ro>le)a 2iferit, co)le8itatea cresc%2# Aceasta este reco)a%2ata 2es ca o sursa 2e

creati-itate#

Atractia e%tru teoria haosului or%este 2i% -i/iu%ea teoreticie%ilor )a%a0e)e%tului si ai

or0a%i/atiilor sociale ca or0a%i/atiile su%t siste)e co)le8e, a2ati-e, %eli%iare, 2i%a)ice, care

au co)orta)e%t si)ilar cu siste)ele %aturale 7 2iferite %i-ele 2e sta>ilitate si haos#*G*H % )o2

si)ilar, co)orta)e%tul acesteia este i)re-i/i>il, fii%2 i)osi>il 2e re/is 6ura0a%e6 9%-iitorul 9%2eartat# Mai 2e0ra>a 2ect sa co%trole/e u% siste), u% )a%a0er ar tre>ui sa rofite 2e

co)le8itatea sa# Stace= afir)a ca )a%a0erii 9%-ata cu) sa faca fata a%8ietatii ce 9%soteste

aaritia haosului 9% siste)ul lor ri% a2otarea u%ui co%cet 6)istic6 2e 62istru0ere creati-a6#

7


29/57

Stace= 9%cheie 9%tr7o %ota o/iti-a, a-%2 co%-i%0erea ca 2esi re/ultatele e ter)e% lu%0 su%t

i)osi>il 2e re/is, tratarea eficie%ta a schi)>arilor si a ro-ocarilor 9% fiecare )o)e%t -or

2uce 9% fi%al la succes#

De%%ar2 afir)a 9% (33'@ 6La ce >u%a o stii%ta a haosului 2aca %u %e 9%-ata cu) sa

9%fru%ta) haosul si co)le8itatea& Nu la asta se refera )a%a0e)e%tul&6 % a%ali/a fi%ala,

aceasta este cea )ai i)orta%ta 9%tre>are# Daca u% )a%a0er %u oate co%trola sau forta u%

siste) 9%tr7o for)a oarecare 2e or2i%e, este )a%a0e)e%tul osi>il& Este el %ecesar&

Cu e8cetia ca/urilor secifice, recu) flu8urile )o%etare )o%2iale sau arit)ia

car2iaca care ot fi usor rere/e%tate %u)eric, este 2ificil 2e 2e)o%strat ca siste)ele sociale au

aceleasi trasaturi# Totusi, ca o )etafora sau a%alo0ie, teoria haosului este 2es folosita ca )i.loc

2e co%cetuali/are a teoriei )a%a0e)e%tului si altor siste)e sociale# Asa2ar, )a%a0erul eficie%t

se -a re0ati si -a asteta schi)>ari co%sta%te 9% siste)ul sau# Scourile lui -or fi %u u% set 2e

re/ultate, ci o serie 2e sce%arii co%ti%0e%te la care -a utea reactio%a 9% cel )ai scurt ti) 9%

-iitor#

Capitolul 4

"e#nici de reprezentare a fractalilor

"entru imaginatie, calculatorul poate fi un prieten foarte puternic. a si matematicile,

el nu numai ca largeste ori%ontul imaginatiei, dar o si disciplinea%a si o controlea%a."

Richar2 Dai%s, 6Ceasor%icul Or>6

% ulti)ii a%i, i%teresul 9% teoria haosului si 0eo)etria fractala s7a i%te%sificat, e )asura

ce oa)e%ii 2e stii%ta au 2escoerit as cu as ca )ulte 2i%tre rocesele 2i% U%i-ers ot fi

2escrise utili/%2 aceste teorii# I%2ustria 0raficii e calculator 9%cororea/a rai2 aceste teh%ici

e%tru a 0e%era i)a0i%i ui)itor 2e fru)oase, recu) si structuri %aturale realiste# Al0orit)ii

-ariati si re/ultate lor afisea/a o )are 2i-ersitate# O co)leta areciere a 0raficii fractale e


30/57

calculator %ecesita 9% reala>il re/e%tarea co%cetelor )ate)atice care stau la >a/a 0eo)etriei

fractale si o cu%oastere a alicatiilor stii%tifice a acestora, asecte re/e%tate 9% caitolele

rece2e%te#

For)ele fractale su%t aroae i)osi>il 2e trasat fara a.utorul calculatorului# For)ulele care

0e%erea/a fractalii su%t 2e )ulte ori relati- si)le, 2ar tre>uie calculate reetat, fiecare iteratie

utili/%2 re/ultatul rece2e%tei# Re/ultatele cele )ai recise su%t ati%se cu a.utorul

calculatorului# 4rafica e calculator facilitea/a 2e ase)e%ea co)aratiile 9%tre for)ele %aturale

si i)itatiile lor co)uteri/ate#

Ma.oritatea fractalilor su%t 0e%erati lu%2 u% set 2e 2ate si i%tro2uc%2u7le ca 2ate 2e

i%trare 9%tr7o ecuatie# Re/ultatul acestei ecuatii este aoi fur%i/at ecuatiei 2i% %ou, acest

fee2>ac reet%2u7se 2e u% %u)ar 2orit 2e asi sau %a c%2 co)orta)e%tul -alorilor 2e

i%trare este 2eter)i%at# Criteriile 2e orire a rocesului su%t 2iferite 9% fu%ctie 2e tiul 2e

fractal#

E8ista )ai )ulte teh%ici 2e rere/e%tare :atractorii stra%ii, e%tru siste)e haotice,

)eto2a Neto%7Rahso%, care se >a/ea/a e 0asirea solutiei u%ei ecuatii oli%o)iale, a0re0area

li)itata 2e 2ifu/ie, etc#;, IFS, Siste)e7L#

4.1. Siste!ul functiei iterati'e I,S

Co2urile IFS :Iterate2 Fu%ctio% S=ste); su%t utili/ate e%tru a 2escrie fractalii li%iari

:u% %u)e )ai corect ar fi fractali afi%i, 2atorita tra%sfor)arilor afi%e e care le folosesc;# U%

fractal li%iar este o i)a0i%e care oate fi 2efi%ita ri% coii ale ei 9%sesi create ri% tra%sfor)ari

afi%e# E8ista si alte tiuri 2e fractali care co%ti% for)e auto7si)ilare, cu) ar fi >i%ecu%oscutul

set Ma%2el>rot#

IFS 9%locuieste u% oli0o% cu alte oli0oa%e, e >a/a u%ui 0e%erator# La fiecare iteratie,

fiecare oli0o% este 9%locuit cu o -ersiu%e scalata, rotita si tra%slatata a oli0o%ului 9% 0e%erator#

Mate)atica 2i% satele fractalilor li%iari este surri%/ator 2e si)la, %ecesit%2 2oar

cu%osti%te 2e tra%sfor)ari li%iare# U% astfel 2e siste) 2e fu%ctie iterati-a este co)us 2i%tr7u%


31/57

set 2e tra%sfor)ari, care ot fi orice tra%sfor)are afi%a %or)ala# Si%0ura restrictie i)usa este

co%tractia tra%sfor)arii, a2ica tra%sfor)area a2uce 2oua u%cte )ai aroae u%ul 2e altul#

Fiecare tra%sfor)are are asociata o a%u)ita ro>a>ilitate 2e ale0ere, K su)a acestora

este (# Mo2ul 2e fu%ctio%are a siste)ului este ur)atorul@ se ale0e u% u%ct i%itial, si la fiecare

iteratie este aleasa o a%u)ita tra%sfor)are e >a/a ro>a>ilitatilor asi0%ate, iar u%ctele

re/ultate su%t 2ese%ate e foaieecra%#

Practic, e%tru a crea u% IFS e%tru o i)a0i%e 2orita, roce2eul este si)lu# Lua)

i)a0i%ea u%ei fru%/e, sre e8e)lu, o scala), roti) si tra%slata) %a c%2 aceasta -ersiu%e

)icsorata a i)a0i%ii i%itiale este curi%sa 9% i%teriorul i)a0i%ii )ari# Aceasta -a fi ri)a

tra%sfor)are a setului 2e tra%sfor)ari, (# % asul ur)ator, se -a lua 2i% %ou i)a0i%ea i%itiala,

se -a scala, roti, tra%slata astfel 9%ct sa ocue u% satiu 2i% for)a i%itiala, %eacoerit 2e

tra%sfor)area rece2e%ta# Surau%erea este 2e referat sa fie ct )ai )ica# Se reeta acest

roce2eu %a c%2 toata surafata i)a0i%ii este acoerita 2e coii )icsorate ale ei 9%sesi# Setul

2e tra%sfor)ari utili/ate 2e-i%e setul 2e tra%sfor)ari IFS e%tru rere/e%tarea fractala a

i)a0i%ii 2orite#

4.1.1. 6ocul pisicii

Dic Oli-er rou%e 9% cartea sa 6Fractali6"G"H u% .oc ractic >a/at e ri)ele cercetari

asura fractalilor e%tru a 9%tele0e cu) fu%ctio%ea/a calculatorul#

Pe%tru aceasta este %e-oie 2e cte-a foi 2e hrtie, u% creio%, o ri0la si o )%a si0ura e%tru a

crea u% fractal asectuos# Pasii su%t ur)atorii@

(# Dese%ati ce-a, 2e e8e)lu, o isica, 9% )i.locul u%ei foi 2e hrtie#

# Dese%ati trei coii cu 2i)e%siu%ile .u)atate 2i% cele ale ri)ului 2ese%#

+# Dese%ati trei coii 9% .urul acestora, 9% e8act acelasi ara%.a)e%t#

8


32/57

$# Co%ti%uati#

Pe )asura ce coiile 2e-i% tot )ai )ici, ele 2e-i% 2oar u%cte# Daca 2ese%ul este recis,

aceste u%cte for)ea/a >i%ecu%oscutul fractal 6Triu%0hiul lui Sieri%si6#


33/57

1. (ncercuiti trei puncte oarecare de pe o foaie de $+rtie si *n miloc desenati un punct.

2. legeti la *nt+mplare unul din punctele *ncercuite si desenati un punct la umatatea distantei dintre ultimul punct pe care l-ati desenat si acest punct.

3. epetati pasul doi pentru foarte mult timp. aca masurati umatatile distantelor cu o preci&ie considera!ila s-ar putea ca *n cele din urma sa vedeti din nou 0riung$iul lui

Sierpinski.

ele

teh%ici folosesc relatiile 0eo)etrice 2i%tre arti e%tru a 2efi%i u% fractal#

a>ilitate (, for)ea/a u% set 2e%s 9%

acesta#


34/57

Fi0# $## osper. #otentialul Sistemelor-9 de a crea

imagini realiste ale plantelor a fost demonstrat *n 1)8< de Smit$. (n 1)8) S&ilard si @uinton au aratat ca Sistemele 9indenma7er pot genera cur!e fractale. (n 1)


35/57

F Dese%ea/a o li%ie

Sre 2reata cu u% a%u)it u%0hi

7 Sre st%0a cu u% a%u)it u%0hi

fMer0i )ai 2earte fara a 2ese%a o

li%ie

Fi0# $#+# 7 Alfa>et L7Siste)

Pe%tru a 2escrie Cur>a lui och ri%tr7u% L7Siste) tre>uie sa sta>ili) co%2itiile i%itiale,

a8io)a si re0ula 2e ro2uctie#

Co!ponenta &escriere textuala&escriere

!ate!atica

Co%2itii i%itiale 1 lungimea liniei 1 inc$2 ung$iul de ) de grade

3 directia initiala dreapta

(; L (

; A 3!o

+; AI !o

A8io)a Dese%ea/a o li%ie# F

Re0ula 2e

ro2uctie

%locuieste fiecare li%ie cu o li%ie cu u%

atrat ri2icat i% ce%tru, latura lui fii%2

2e o trei)e 2i% lu%0i)ea li%iei#

e? 9 D 9E3

F - F-FGFGF-F

Fig. 4.4. - 9-Sistem pentru Cur!a lui Boc$


36/57

egula spune sa *nlocuim fiecare linie /sau fiecare F cu urmatoarea secventa de sim!oluri F-FGFGF-F. Sa aratam matematic cum creste fractalul lui Boc$

Iteratie I!aginea fractala sirul descriptor

A8io)a F

Pri)a

iteratieF7FFF7F

A 2oua

iteratie

F7FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7

FFF7F7F7FFF7F

A treia

iteratie

F7FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7FFF7F7F7

FFF7F7F7

FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7FFF7FF7FFF7F7F7

FFF7FF7

FFF7FF7FFF7F7F7FFF7FF7FFF7F7F7FFF7FF7

FFF7FF7

FFF7F7F7FFF7F7F7FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7

FFF7F7F7FFF7F

A atra

iteratie

F7FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7FFF7F7F7

FFF7F7F7


FFF7FF7


FFF7FF7


FFF7F7F7

FFF7F7F7FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7

FFF7F7F7

FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7FFF7FF7

FFF7F7F7


FFF7FF7

FFF7FF7FFF7F7F7FFF7F7F7FFF7F7F7FFF7FF7

FFF7FF7


37/57

FFF7F7F7FFF7FF7FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7

FFF7F7F7

FFF7F7F7FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7

FFF7FF7

FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7FFF7FF7

FFF7F7F7

FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7FFF7F7F7FFF7F7F7

FFF7FF7


FFF7FF7


FFF7F7F7

FFF7FF7FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7

FFF7FF7

FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7FFF7F7F7

FFF7F7F7

FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7FFF7F7F7FFF7F7F7

FFF7FF7

FFF7FF7FFF7F7F7FFF7F7F7FFF7F7F7FFF7FF7

FFF7FF7

FFF7F7F7FFF7FF7FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7

FFF7F7F7

FFF7FF7FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7

FFF7F7F7

FFF7F7F7FFF7FF7FFF7FF7FFF7F7F7FFF7F

Fi0# $#1#7 Desfasurarea rocesului L7Siste) e%tru Cur>a lui och

Capitolul 5

9ealizarea aplicatiei"!n plus fata de utilitatea ei în descrierea complexitatii lucrurilor naturale, geometria

fractala ofera o binevenita oca%ie pentru revitali%area educatiei matematice. onceptele

geometriei fractale sunt vi%uale si intuitive. #ormele implicate au o atractivitate estetica mare si

o mare diversitate a aplicatiilor. De aceea, geometria fractala ne poate ajuta sa ne opunem


38/57

impresiei ca matematica este arida si inaccesibila si îi poate motiva pe studenti sa învete despre

acest uimitor si captivant domeniu de studiu."

0artmut 1urgens, 0.2. eitgen si Dietmar Saupe, "3imbajul #ractalilor", Scientific

&merican, +445

5.1 Scopul aplicatiei

Su>iectul acestei lucrari 9l rere/i%ta fractalii si alicatiile lor cure%te si ractice 9%

2o)e%ii secifice ale stii%tei, asecte 2etaliate 9% caitolele rece2e%te# Scoul alicatiei

cure%te este 2e a i)le)e%ta si re/e%ta -i/ual u%ii 2i%tre fractalii 2escrisi 9% artea 2e teorie, 9%

li)>a.ul 2e ro0ra)are 6, 7isual Studio .et 8559#

U%ii 2i%tre fractalii i)le)e%tati su%t re/e%tati 9% Caitolul (, 9% ca2rul ri)ilor fractali

fai)osi# Lor li se a2au0a tiuri 2e la%te fractale, )o2elate ri% IFS#

5.2. &escrierea interfetei

I%terfata cu utili/atorul are 2oua co)o%e%te@ a%elul 2i% st%0a reali/ea/a 2ialo0ul cuacesta :-aria%te 2e fractal, 2ese%are, otiu%i 2e 2ese%are;, iar a%elul 2i% 2reata rere/i%ta

surafata e care -a fi 2ese%at fractalul# Ale0erea acestuia se face 2i% )e%iul Fractal# Me%iul

6A>out6 fur%i/ea/a i%for)atii teoretice 2esre fractali, recu) si i%structiu%i 2e utili/are a

alicatiei# La la%sarea 9% e8ecutie, toate co%troalele a%elului ( su%t 2e/acti-ate %a c%2 este

selectat u% fractal 2i% )e%iuK 9% acel )o)e%t, 2e-i% -i/i>ile si acti-e co%troalele %ecesare acelui

fractal#

Pri)ul 0rouBo8 co%ti%e >utoa%e ra2io ri% care este aleasa -aria%ta 2orita a fractalului,al 2oilea co%ti%e >utoa%ele co)a%2a e%tru 2ese%area as cu as sau auto)ata a fractalului

:Start, %ai%te, %aoi, Auto;, iar al treilea co%ti%e otiu%i 2e colorare :2oua colorDialo0 ri%

care se oate selecta culoarea creio%ului si a fu%2alului, si otiu%e 2e colorare i%terior, acolo

u%2e este ca/ul;#


39/57

Pa%elul este satiul 2e 2ese%are# Toate u%ctele si se0)e%tele fractalilor su%t

co%si2erate 9% fu%ctie 2e co%turul a%elului # O2ata 0e%erat 2ese%ul, acesta oate fi ri%tat

ael%2 2i% )e%iul Pri%tare@ 6Pri%tare i)a0i%e6# Tot aici, utili/atorul oate face setarile 2orite

e%tru a0i%a si i)ri)a%ta#

For)ularul ri%cial co%ti%e o -aria>ila 9%trea0a, tip, care, 9% fu%ctie 2e )e%iul si

-aria%ta 2e fractal selectata, caata o a%u)ita -aloare 9%trea0a, co2# La aasarea >utoa%elor 2e

co)a%2a :Start, %ai%te, %aoi, Auto;, ro0ra)ul -a -erifica )ai 9%ti -aloarea -aria>ilei ti, si

9% fu%ctie 2e aceasta, -a e8ecuta co2ul afere%t si tot 9% fu%ctie 2e acest co2, a%elul se -a

re2ese%a ri% aelarea fu%ctiei I%-ali2ate:;# Dese%area auto)ata se face e >a/a u%ui ti)er, care

are asociat e-e%i)e%tului 2e clic u% ha%2ler O%Tic:;#

Fi0# 1#(# I%terfata alicatiei

5.3. Structura aplicatiei

Alicatia se re/i%ta su> for)a u%ui roiect ?isual Stu2io #Net !!1, co%stituit 2i% 2oua

roiecte@ u% roiect 2e ti Class Li>rar=, %u)it Fractal, 9% care su%t stocate clasele ce

i)le)e%tea/a fractalii, si u% roiect 2e ti i%2os Alicatio%, %u)it Alicatie Lice%ta, 9%


40/57

care se afla fereastrafor)a ri%ciala :)ai%for); care aelea/a o>iecte 2e tiul claselor 2i%

Fractal# Asa2ar, roiectul Class Li>rar= fractal tre>uie i%clus ca referi%ta 9% roiectul i%2os#

Deoarece alicatia 9% si%e are scoul 2e a 0e%era si 2ese%a fractali, a)>ele roiecte au

%e-oie 2e co)o%e%ta Drai%0 a siste)ului, si 2e Collectio%s#4e%eric, care stochea/a li%iile

sau oli0oa%ele care for)ea/a fractalul 2e 2ese%at# Directi-ele utili/ate 2e roiectul Fractal

su%t@ S=ste), S=ste)#Collectio%s#4e%eric, S=ste)#Co)o%e%tMo2el, S=ste)#Data,

S=ste)#Drai%0, S=ste)#Te8t, acestora a2au0%2u7se 9% ca/ul roiectului i%2os

Alicatio%@ S=ste)#i%2os#For)s si Fractal#

5.3.1. Clasa ,ractal

Fiecare clasa ce i)le)ea%te/a u% fractal este 2eri-ata 2i% clasa u>lica, a>stracta,Fractal, care co%ti%e 2oua atri>ute :surafata 2e ti Recta%0le e care -a fi 2ese%at fractalul si

u% o>iect 2e ti Pe%, cu care -a fi 2ese%at acesta; si trei )eto2e a>stracte :Start:;, %ai%te:; si

%aoi:;;#

Clasele 2eri-ate 2i% aceasta i%itiali/ea/a ri% co%structorii lor atri>utele co)u%e contur

si segen cu 2atele ri)ite ca ara)etri, recu) si cele rorii, si i)le)e%tea/a )eto2ele

a>stracte ale clase ari%te Fractal# Fiecare clasa are o colectie rorie, u>lica, 2e se0)e%te sau

fi0uri 0eo)etrice care for)ea/a fractalul# Structura 0e%erala a fiecarei clase este ur)atoarea@

ublic class unfractal - #ractal

public override void Start()

public override void :nainte()

public override :napoi()

;

4e%erarea fractalului se face ri% i%sta%tierea u%ui o>iect 2e ti clasei resecti-e,

aelarea )eto2ei Start:; si aeluri reetate ale )eto2ei %ai%te:;# Procesul tre>uie 9%sa orit la


41/57

u% )o)e%t 2at, 9% fu%ctie 2e caacitatile rocesorului, 2eoarece 2ua u% %u)ar 2e asi

0e%erarea -a co%su)a toate )e)oria calculatorului#

5.3.2. Curba dragonului

Deoarece fractalii och, Sieri%si, Ca%tor au fost re/e%tati 9% caitolul (, 9% co%ti%uare

-or fi e8licate teh%icile folosite e alti 2oi fractali@ cur>a 2ra0o%ului si coacul fractal#

Aceasta cur>a fai)oasa :cu%oscuta si su> %u)ele 2e 2ra0o%ul 5arter75ei0ha= sau


42/57

alter%ati- sre st%0a si sre 2reata# Altfel sus, la fiecare asiteratie, 9%locui) fiecare

se0)e%t cu catetele cu care el ar for)a u% triu%0hi 2retu%0hic isoscel, orie%tate alter%ati-#

Fi0# 1## 7 Cur>a 2ra0o%ului as cu as

% alicatia 2e fata, acest lucru a fost reali/at astfel@ e%tru fiecare se0)e%t 2i% colectia

2e se0)e%te a clasei Dra0o%, se calculea/a a%taaK calcula) coor2o%atele -rfului triu%0hiului

2retu%0hic isoscel, folosi%2 fu%ctii tri0o%o)etrice si u%0hiul :ara%0le;, 2aca i%2icele

se0)e%tului 9% colectie este ar, sau :a7ra%0le;, 2aca i%2icele se0)e%tului 9% colectie este i)ar#Colectia 2e-i%e )ulti)ea acestor catete %oi#

Fu%ctia 9%ai%tea/a %a la asul ($, c%2 colectie co%ti%e (1'1 2e se0)e%te# Desi 9%

teorie %u e8ista li)ite ale calculatorului, li)ita 2e-i%e )e)oria 2iso%i>ila si rocesorul# Chiar

2aca acesta este u%ul 2i%tre fractalii care se 0e%erea/a cel )ai le%t, cel )ai ro>a>il %u ute)

2easi iteratia (1# Co2ul e%tru aceasta clasa este i%clus 9% A%e8a #

Fi0# 1#+# 7 Cur>a Dra0o%ului


43/57

5.3.3. Copac fractal

Acest fractal foloseste clasa Sa)%ta, 0estio%%2 o colectie 2e astfel 2e o>iecte# Colectia

este i%itiali/ata cu u% ele)e%t, si la fiecare as, e%tru fiecare o>iect sa)%ta 2i% colectie se

alica u% set 2e tra%sfor)ari# Fiecare sa)%ta are 3 u%cte si " se0)e%te# Tra%sfor)area co%sta

9% 9%locuirea fiecarui se0)e%t al se)i%tei cu o alta sa)%ta, scala fii%2 2e 2i% 2i)e%siu%ea

se0)e%tului i%itial, astr%2 u%0hiurile tiice se)i%tei si a%ta se0)e%tului# Co2ul e%tru

aceasta clasa este i%clus 9% A%e8ele + si $# Dua atru asi, -o) o>ti%e@

Fi0# 1#$# 7 Coac fractal

5.3.4. Setul *andelbrot

"cel mai complicat obiect din matematica..." (1on 0ubbard, +4rot, 2esi el a )ai fost o>ser-at cu )ulti a%i 9%ai%te 2e alti 2oi )ate)aticie%i#

Acest set este creat e la%ul co)le8, fiecare u%ct 2i% la% fii%2 i%clus sau %u 9% set#

% ciu2a co)le8itatii -i/uale, setul este 2eter)i%at 2e o for)ula recursi-a si)la@ C# : si

C su%t a)>ele %u)ere co)le8e;#

Fiecare u%ct 2i% la%ul co)le8, este luat si i%tro2us 9% for)ula@ ( ! !# Aoi

reeta) roce2eul, folosi%2 ( 9% for)ula@ ( !# Pri)a arte a for)ulei este )ereu


44/57

re/ultatul a%terior, iar a 2oua arte este acelasi %u)ar co)le8 i%itial !# 4e%eral, ute)

e8ri)a acest lucru ri% for)ula recursi-a@ n( n !#

Iter%2 acest roces, re/ultatele o>ti%ute fie -or ti%2e catre i%fi%it, fie -or ra)%e fi%ite#

Daca re/ultatul ra)%e fi%it, u%ctul ori0i%al aarti%e setului Ma%2el>rot# Daca re/ultatul ti%2e

sre i%fi%it, atu%ci u%tul %u aarti%e setului# Efectu%2 aceasta iteratie e%tru fiecare u%ct 2i%

la%ul co)le8, color%2 u%ctele 2i% set cu %e0ru si cele 2i% afara setului cu alte culori :e

>a/a %u)arului 2e iteratii efectuate %a la sta>ilirea 2aca u%ctul aarti%e sau %u setului;, -o)

o>ti%e o fi0ura i)resio%a%ta, %u)ita Fractalul Ma%2el>rot#

%ai%te 2e re/e%tarea al0orit)ului, este %ecesar a la)uri cte-a asecte@ e ce >a/a

su%e) ca u% u%ct aarti%e sau %u setului, care arte 2i% la%ul co)le8 este -i/ata si care este

%u)arul 2e iteratii %ecesar#

Pe%tru a sta>ili 2aca u% u%ct ti%2e la i%fi%it sau %u, s7a 2o-e2it ca 2aca )o2ulul

re/ultatului este )ai )are ca , atu%ci u%ctul iese 2i% setK 2aca )o2ulul este )ai )ic ca ,

u%ctul aarti%e setului# Asa2ar, alicatia -erifica acest lucru, fac%2 9%sa u% artificiu e%tru a

usura calculul@ -erifica 2aca atratul )o2ulului este )ai )are 2ect $ sau %u, sta>ili%2 astfel

aarte%e%ta la set#

Nu ute) 0e%era setul e%tru tot la%ul co)le8# Se cu%oaste fatul ca setul Ma%2el>rot

se afla curi%s 9%tre -alorile reale 7#( si (, si 9%tre -alorile i)a0i%are 7(# si (#, 2eci acestia

su%t ara)etrii cu care ute) 9%cee 0e%erarea 9%tre0ului set# Micsor%2 aceste i%ter-ale,

o>ti%e) re0iu%i 2etaliate ale setului#

U% %u)ar 2e iteratii foarte )are -a 9%ceti%i e-i2e%t ro0ra)ul la rulare, 2ar 1!7(!! 2e

iteratii -or 2a o acuratete 2ece%ta a i)a0i%ii#

Partea st%0a a ferestrei solicita utili/atorului coor2o%atele celor u%cte care 2eter)i%a

la%ul co)le8 folosit :2e%u)ite 9% co2ul ro0ra)ului ToLeft si Botto)Ri0ht# Fii%2 %u)ere

co)le8e, ele -or a-ea o arte reala si u%a i)a0i%ara;# De ase)e%ea, utili/atorul tre>uie sa

fur%i/e/e %u)arul 2e iteratii si 2aca 2oreste sau %u sa 9si colore/e fractalul# Acesta -a fi 2ese%at

9% artea 2reata a ferestrei, 9%tr7u% co%trol PictureBo8# PictureBo87ul are asociate i)a0i%i@


45/57

ictureBo8(#Bac0rou%2I)a0e, e care este 0e%erat fractalul, si ictureBo8(#I)a0e, e care -or

fi 2ese%ate 2retu%0hiurile selectate cu )ouse7ul#

Pro0ra)ul fu%ctio%ea/a e fire 2e e8ecutie# Pe%tru a or%i 2ese%area fractalului, tre>uie

selectat 2i% )e%iul Fractal su>)e%iul 6Start6# Tot aici 2ese%area oate fi orita ri% 6Sto6,

suse%2ata te)orar ri% 6Pause6 si reluata iar ri% 6Reluare6# 4e%erarea co)leta a setului -a

2ura cte-a secu%2e, 9% fu%ctie )ai ales 2e -ite/a rocesorului, 2e %u)arul 2e iteratii, 2e )o2ul

2e 0e%erare a i)a0i%ii# % roiectul 2e fata, i)a0i%ea este 2ese%ata i8el cu i8el, ceea ce ofera

fee27>ac co%sta%t utili/atorului, 2esi %u este cea )ai rai2a# Setul ar utea fi 0e%erat si e

coloa%e 2e i8eli, actuali/%2 i)a0i%ea e )asura ce %oi coloa%e su%t 0e%erate# 4e%erarea e

u% 0rafic >it)a 9% sate si afisarea 2irect a i)a0i%ii co)lete ar lasa i)resia 2e ro0ra)

suse%2at, si %u i7ar oferi utili/atorului acest fee27>ac#

O2ata 0e%erat fractalul, ro0ra)ul ofera osi>ilitatea celui ce 9l foloseste 2e a 6se .uca6

cu i)a0i%ea re/ultata# Detalii%2 fi0ura, -o) o>ti%e for)e 2i% ce 9% ce )ai sectaculoase, si -o)

o>ser-a ca artea rere/i%ta o coie a 9%tre0ului, 2o-e2i%2 rorietatea 2e auto7si)ilaritate a

fractalilor# Pute) )ari i)a0i%ea ri% >uto%ul oo)I%, si re-e%i la 2i)e%siu%ile i%itiale ri%

>uto%ul oo)Out# oo)I%, fac%2 o )arire ce%trata, %u oate fi folosit 2ect o 2ata :oo) 8;,

e%tru o>ser-area u%ei a%u)ite re0iu%i ut%2 selecta cu )ouse7ul u% 2retu%0hi care -a

rere/e%tat e tot co%trolul Picture>o8#


46/57

Fi0# 1#1# Setul Ma%2el>rot

Fi0# 1#'# Setul Ma%2el>rot colorat

Me%iul Fisier ofera osi>ilitatea 2e sal-are a i)a0i%ii, a ara)etrilor care au 0e%erat7o,

recu) si 9%carcarea 2i% fisier a u%or ara)etri 2oriti 2e utili/ator, sal-ati e-e%tual a%terior#

Su>)e%iul Start aelea/a fu%ctia I%itiali/are:;, 9% care se reiau 2atele 2i% te8t>o87uri,

aoi or%este firul 2e e8ecutie fir %e Threa2:%e Threa2Start:Dese%ea/a;;# Fu%ctiaDese%ea/a:; este cea care 0e%erea/a fractalul#

Co%for) e8licatiilor 2ate )ai sus, al0orit)ul 2e 0e%erare a acestui fractal este

ur)atorul@

(# citeste %u)arul 2e iteratii, 8!,=!,8(,=(

# calculea/a schi)>area i% 8 si = a i8elilor 2e e ecra%@ 28:8(78!;8i8eli si 2=:=(7

=!;=i8eli, u%2e 8i8eliictureBo8(#i2th si =i8eliictureBo8(#5ei0ht

+# c!ToLeft :u%ctul i%itial;

$# 2e la ! la 8i8eli7(


47/57

1# 2e la ! la =i8eli7(

'# i%set a2e-arat

*# cc!

"# 2e la ( la %r# iteratii

3# c(cVc

(!# cc(cK

((# 2aca WcWVWcWX$

a# i%setfalsK

># sta>ileste culoarea e >a/a iteratiei

c# >rea for

(# ccK

(+# 2aca aarti%e setului, colorea/a %e0ru

($# 2aca %u aarti%e setului, colorea/a altfel

(1# c!#i)a0i%ar72=K

('# c!#i)a0i%arToLeft#i)a0i%ar

+=. c!#real28K


48/57

Fi0# 1#* 7 Parte )arita a setului

Concluzii

">eometria fractala va va face sa vedeti totul diferit. ?iscati sa pierdeti imaginea din

copilarie a norilor, padurilor, galaxiilor, frun%elor, pietrelor, torentelor, covoarelor, carami%ilor

si a multor alte lucruri."

Michael Bar%sle=, 6Fractali retuti%2e%i6, (3""

4eo)etria fractala este fara 9%2oiala 6u%a 2i%tre )arile e-olutii a )ate)aticii secolului

al !7lea#6((G((H Ea ofera oa)e%ilor 2e stii%ta u% )o2el )ate)atic care 9)>ratisea/a

%ere0ularitatile 2i% %atura# Nu)arul )are al fractalilor 2i% %atura este suficie%t e%tru a .ustifica

stu2iul fractalilor# Recu%oasterea u%ui o>iect ca fractal oate a.uta 9%tele0erii co)orta)e%tului

11


49/57

sau#(G(H Multe fe%o)e%e %aturale ot fi 2escrise ri% co%cetele 0eo)etriei fractale# Pri%

ur)are, fractalii au 2e-e%it 2i% ce 9% ce )ai i)orta%ti# Ceea ce a 9%ceut ca u% ur co%cet

)ate)atic are acu) %u)eroase alicatii 9% stii%ta#

Fractalii au o lar0a la.a 2e )o2ele -i/uale fasci%a%te, 2i%tre care )ulte au alicatii

stii%tifice ractice#(+G(+H U%ele su%t referite 2ret 6cur>e ale 2ra0o%ului6, 9% ti) ce altele i)ita

e8act la%turi 2e )u%ti# Fractalii ot i)ita suisurile si co>orsurile ietei >u%urilor si ser-iciilor

si >ursei 2e -alori, )iscarile %ere0ulate ale articulelor )oleculare, acti-itatile seis)ice,

traiectoriile corilor ceresti, te)eraturile e o erioa2a 9%2elu%0ata 2e ti), sau cresterea

la%telor# si7au 0asit alica>ilitatea 9% 2o)e%ii 2i-erse, recu) fi/ica, >iolo0ie, sociolo0ie,

)eteorolo0ie, astro%o)ie, teoria haosului si )ai ales, eco%o)ie# Ma%2el>rot a folosit 0eo)etria

fractala chiar 9% stu2iul tra%s)isiei acustice a /0o)otelor si a 0ruurilor 0alactice#

Multe 2i%tre teh%icile )ate)atice au 0asit u% tere% soli2 9% i%2ustria 0raficii

co)uteri/ate e%tru crearea u%or i)a0i%i ui)itoare, recu) si a u%or structuri care i)ita fi2el

realitatea# Di% a%ii (33! fractalii su%t lar0 folositi, si cel )ai )ult 9% stii%ta i%for)aticii#

Pro2uctii ci%e)ato0rafice i)orta%te 9i folosesc e%tru efecte seciale, siste)ele 2e re2are

0rafica e calculator 9i folosesc e%tru a crea structuri %aturale, oa)e%ilor 2e stii%ta si

)ate)aticie%ilor le su%t i%2ise%sa>ili#

I%teresul cresc%2 9% 0rafica fractala a fost 2e ase)e%ea i%flue%tat 2e roliferarea

)icrocalculatoarelor uter%ice# Nu)eroase articole 2esre fractali au aarut 9% u>licatii

teh%olo0ice# Parte 2i% acest i%teres or%este 2i% %atura i)re-i/i>ila a a%u)itor fractaliK u%

asio%at oate etrece ore 9% sir e8lor%2 -arietatea for)elor e care le oate crea u% si%0ur

ro0ra)#($G($H

stii%ta, )ate)atica si teh%olo0ia %u )ai su%t 2o)e%iile lictisitoare, i%estetice si ri0i2e,

ci caata o fru)usete care face co)etitie artei#12

13

14


50/57

AnexeAnexa 1. ista figurilor

Capitolul 1

Fi0ura (#(# Aro8i)area cur>elor cu li%ii ta%0e%te

Fi0ura (## Triu%0hiul lui Sieri%si

Fi0ura (#+# Sita lui Sieri%si

Fi0ura (#$# Co-orul lui Sieri%si (

Fi0ura (#1# Covorul lui Sierpinski 2

Fi0ura (#'# Praful lui Ca%tor

Fi0ura (#*# Cur>a lui och

Fi0ura (#"# Ful0ul 2e /aa2a och

Capitolul 2

Fi0ura #(# Pro>a>ilitatea schi)>arilor 2e e iata

Fi0ura ## 4rafic fractal 2e )o2elare a ietei

Fi0ura #+# 4rafic 2e )o2elare a ietei :Teoria 2e Portofoliu;


51/57

Fi0ura #$# %re0istrarile e o erioa2a 2e '!! 2e /ile ale

te)eraturilor 2i% Mi22lese8, statul ?er)o%t

Fi0ura #1# Aro8i)are fractala a fi0urii #$#

Fi0ura #'# De%2rite fractale for)ate ri% a0re0area li)itata 2e2ifu/ie

Fi0ura #*# Peisa. fractal

Capitolul 3

Fi0ura +#(# 4raficul o>ti%ut 2e Lore%t/ 9% si)ularea -re)ii

Fi0ura +## Atractorul Lore%t/

Fi0ura +#+# Dia0ra)a >ifurcatiei e%tru ecuatia oulatiei

Capitolul 4

Fi0ura $#(# a och

Fi0ura $#1# Desfasurarea rocesului L7Siste) e%tru Cur>a lui och


52/57

Capitolul 5

Fi0ura 1#(# I%terfata alicatiei

Fi0ura 1## Cur>a Dra0o%ului as cu as

Fi0ura 1#+# Cur>a Dra0o%ului

Fi0ura 1#$# Coac fractal

Fi0ura 1#1# Setul Ma%2el>rot

Fi0ura 1#'# Setul Ma%2el>rot colorat

Fi0ura 1#*# Parte )arita a setului

BibliografieCarti:*anuale

&ic$ ;li'er 7 "Fractali 0, e2itura Teora, (33'

Benoit *andelbrot 7 6Fru)usetea fractalilor6, (3"'

/iculae


53/57

&a'e Sn7der 7 6 Aenoit andelbrot, #ractals and &stronomB 6, u>licat 9% 6Reflectio%s0= %oie)>rie, (33"# :htt@#u)ich#e2uYlo>rosreflectio%s(33"2s%=2er#+#ht)l;

*urra7 /. 9ot#bard - "aos @eorB $ DestroBing atematical Economics from Citin", u>licat 9% "@e #ree ar/et" , ?olu)ul ?I, Nu)arul +, Martie (3""#

:htt@)ises#or0free)aretZ2etail#as8&co%trol3';

aul Bour$e 7 "#ractals and omputer >rapics" , u>licat 9% I%terface Ma0a/i%e, Dece)>rie(33!

:htt@o/-i/#as#ua#e2u#auY>ourefractalsi%terface;

Adrese Internet

6I%tro2uctio% to Fractal Theor=6

htt@a0es#cs#isc#e2uYer0ree%ho%orsZthesisfractal#ht)l

6Di)e%siu%ea fractala6

htt@#)ath#su%=s>#e2uYscottBoo++(FractalZDi)e%sio%#ht)l

#eter lan - "0$e %andel!rot Set"

htt@#i%for)it#co)articlesarticle#as8&13"3"'[se\Nu)

6Fractali 9% C]6

htt@#co)o%e%ts%ote>oo#co)%ote>ooscsharfractals#as8

6I%tro2ucere 9% 4eo)etria Fractala6, Flori% Mu%tea%u

htt@#csc#)atco#ro(fract#ht)l

6Alicatii ale fractalilor# Eco%o)ie6

htt@li>rar=#thi%\uest#or0'$fullaa*#ht)l

!Teoria haosului si fractalii!, Honat$an %endelson 'lana Ilument$al

htt@#t%elle%#co)altchaos#ht)l

http://www.umich.edu/~lowbrows/reflections/1998/dsnyder.3.htmlhttp://www.math.sunysb.edu/~scott/Book331/Fractal_Dimension.htmlhttp://www.informit.com/articles/article.aspx?p=598986&seqNum=2http://www.componentsnotebook.com/notebooks/csharp/fractals.aspxhttp://www.csc.matco.ro/1fract.htmlhttp://www.math.sunysb.edu/~scott/Book331/Fractal_Dimension.htmlhttp://www.informit.com/articles/article.aspx?p=598986&seqNum=2http://www.componentsnotebook.com/notebooks/csharp/fractals.aspxhttp://www.csc.matco.ro/1fract.htmlhttp://www.umich.edu/~lowbrows/reflections/1998/dsnyder.3.html


54/57

6Teoria 5aosului@ O scurta i%tro2ucere6

htt@i)ho#co)0raechaoschaos#ht)l

6Ce este teoria haosului&6

htt@iit#ches#ua#e2us=ste)schaos#ht)l

a/ati e Siste)e7L6

[email protected]#>est#-h#%et.a-afractalsls=ste)s#sht)l

I)a0i%ile cu fractali folosite@

htt@local#as#ua#e2u#auY>ourefractals0aset

htt@#fractal#or0Beust/i.%s7Besturi%0s7Mo2elFractals7Useful7Beaut=#ht)

15G(H 1


55/57

16GH 1


56/57

27G(+H ic$olas H. ose ed. / 'athematical Sciences 0alendar /aleig$ ome #ress 1)


57/57

fractali articol

Documents

Transcript of fractali articol