Formula lui PlanckDe la Wikipedia, enciclopedia liber Salt la: Navigare, cutare

Spectrul radiaiei corpului negru Formula lui Planck (cunoscut i ca legea lui Planck pentru radiaia termic), este o expresie matematic, ce stabilete dependena intensitii radiaiei corpului negru de lungimea de und a radiaiei emise i de temperatura corpului emisiv. n conformitate cu legile radiaiei ale lui Kirchhoff, raportul ntre emisivitatea i absorbtivitatea unui material oarecare pentru radiaia electromagnetic este o funcie universal (adic independent de material) I(,T), de lungimea de und a radiaiei i de temperatura absolut T a materialului. Aceast funcie este numit i intensitatea radiaiei corpului negru. Formula lui Planck (1901) descrie explicit funcia I(,T):

unde:

este viteza luminii n vid , constanta lui Planck , constanta lui Boltzmann

Funcia I(,T) are dimensiunile unui flux energetic raportat la unitatea de lungime de und, conform ecuaiei dimensionale: [I]=([Energie]/([Timp][Lungime]^2))/[Lungime].

Aceast formul este pentru fizic de o importan central nu numai pentru faptul c este universal i reproduce fidel toate observaiile experimentale, ci pentru c, n interpretarea ei[1], apare pentru prima oar ipoteza existenei unei cuante de energie. Dezvoltarea n continuare a acestui concept a dus la naterea i dezvoltarea mecanicii i electrodinamicii cuantice, i a influenat profund viziunea tiinific asupra realitii fizice. Tabelul de mai jos cuprinde simbolurile principalelor mrimi i constante fizice utilizate n prezentul articol cu unitile lor de msur n SI i CGS Simbol Mrimea/constanta fizic intensitatea radiaiei corpului negru (radiana spectral), sau energia pe unitatea de timp pe unitatea de suprafa pe unitatea de unghi solid pe unitatea de frecven sau lungime de und (dup caz) frecvena lungimea de und kelvin (K) constanta lui Planck viteza luminii baza logaritmului natural, 2.718281... constanta lui Boltzmann Uniti SI Uniti CGS

Js-1m-2sr-1Hz- ergs-1cm-2Hz1 , sau Js-1m-2sr- 1sr-1,sauergs1 1 m-1 cm-2sr-1cm-1 hertz (Hz) metru (m) kelvin, (K) joulisecunde (Js) metru pe secund (m/s) adimensional jouli pe kelvin (J/K) hertz centimetru (cm) ergisecunde (ergs) centimetru pe secund (cm/s) fr dimensiune ergi pe kelvin (erg/K)

n acest articol sunt prezentate, dintr-o perspectiv istoric, argumentele care au condus la introducerea formulei lui Planck. O deducere analitic a formulei pe baza unor concepte de fizic clasic este imposibil; este ns important de a nelege ce considerente l-au condus pe Max Planck (o persoan cu vederi intelectuale conservatoare) s prezinte cuantele de energieceva nemaintlnit pn atunci ca o posibil explicaie pentru alura neobinuit a funciei I(,T) i s persevereze n a urmri aceast idee.[2] Pentru a descrie paii premergtori ipotezei cuantice, aceasta trebuie privit din pespectiva ansamblului conceptelor dominante ale fizicii de la sfritul secolului al XIX-lea.

Cuprins[ascunde]

1 Context istoric 2 Entropia radiaiei o 2.1 Definiii o 2.2 Formula lui Wien i entropia asociat 3 Modelul corpului negru

3.1 Argumente calitative 3.2 Energia medie absorbit de oscilator 3.3 Echilibrul oscilatorului 3.4 Din nou formula lui Wien 4 "Descoperirea" cuantelor o 4.1 Un "fit" o 4.2 Interpretarea formulei lui Planck o 4.3 Cazurile limit 5 Comentarii 6 Noteo o o o

7 Bibliografie

[modific] Context istoricUn progres major al fizicii de la sfritul secolului al XIX-lea a fost stabilirea ecuaiilor lui Maxwell i previziunea derivat din ele asupra existenei undelor electromagnetice. Acestea au fost puse direct in eviden de Heinrich Hertz n 1886. Din ecuaiile lui Maxwell se poate deduce c o micare oscilatorie a unei sarcini electrice (dipolul hertzian) genereaz radiaie electromagnetic. Pentru micile oscilaii armonice ale sarcinii, Hertz a artat [3][4] c puterea radiat este:

unde e este sarcina oscilatorului, l este amplitudinea oscilaiilor, i se presupune c >> l (lungimea de und a radiaiei emise este cu ordine de mrime mai mare dect amplitudinea oscilaiilor dipolului). Modelele care se refereau la structura materiei de la sfritul secolului al XIX-lea erau de acord c radiaia termic sau vizibil nconjurtoare este generat de oscilaii ale sarcinilor din atomi sau molecule. Alt direcie de progres considerabil era termodinamica. Al doilea principiu al termodinamiciiformulat de ctre Clausius i Lord Kelvina condus la introducerea entropiei ca o funcie de stare cu proprietatea remarcabil c ea nu poate descrete n procesele naturale ale sistemelor izolate. Max Planck era una din autoritile marcante n acest domeniu. n lucrrile din anii 1896-1900[5] interesul su era orientat spre extinderea conceptului de entropie la radiaia electromagnetic: procesul de emisie a radiaiei este ireversibil, n consecin o definiie corect a entropiei trebuie s fie dat astfel ca orice act de emisie a radiaiei s corespund unei creteri a ei. Entropia global a radiaiei ntr-o cavitate nchis a fost introdus de ctre Ludwig Boltzmann n 1884 (vezi articolele Entropia termodinamic (exemple simple) i Entropia radiaiei electromagnetice) n acelai timp, o serie de proprieti ale gazelor (ecuaia de stare, coeficienii de difuzie, etc.) au putut fi explicate prin teoria cinetic a lui James Clerk Maxwell i Ludwig Boltzmann. Ipoteza central era c gazele sunt un ansamblu de mici sfere solide, care se

supun mecanicii clasice dar n acelai timp au o distribuie a vitezelor i poziiilor haotice, constrnse numai de energia i volumul care le stau la dispoziie. Aceste constrngeri se dovedesc a fi suficiente pentru a determina distribuia maxwellian [6] a vitezelor moleculelor unui gaz n stare de echilibru. Un pas conceptual a fost fcut de Boltzmann: el identific entropia termodinamic (pn la o constant) cu logaritmul numrului de microstri accesibile moleculelor gazului atunci cnd parametrii exteriori sunt fixai (adic pentru o "macrostare" determinat)[7]. Forma celebr a acestei identificri este dat de formula:

unde k este o constant universal (constanta lui Boltzmann), relaie care are o validitate care depete cadrul teoriei cinetice.[8] Un rezultat cunoscut al lui L.Boltzmann (teorema H[7]) este csub o ipotez de dezordine molecularentropia S definit astfel (Mai precis, o cantitate (-H) care poate fi interpretat ca entropie n stri de neechilibru) are proprietatea c este monoton cresctoare n timp, pn cnd atinge un maximum, corespunztor unei stri de echilibru (adic unei distribuii maxwelliene a vitezelor), analog entropiei termodinamice. Aceast teorem remarcabil a fost primit cu scepticism: motivul este c ireversibilitatea macroscopic a evoluiei sistemelor naturale este n contradicie cu reversibilitatea n timp a legilor mecanicii clasice, presupuse c guverneaz micarea particulelor gazului. Una din criticile celebre ale interpretrii lui Boltzmann este datorit (1896) lui Ernst Zermelo, mai trziu matematician cunoscut pentru dezvoltarea teoriei mulimilor, la vremea aceea asistent al lui Max Planck: der Wiederkehreinwand[9] (n traducere liber: obiecia rentoarcerii). Dup acesta, dac particulele unui gaz se afl la momemntul t=0 toate n jumtatea stng a unui recipient i sunt lsate s evolueze liber, va aprea ntradevar dup un timp foarte scurt o micare aparent haotic n ntreg recipientul, dar aceasta este ea nsi instabil i, dup un timp suficient de lung, particulele se vor rentoarce, cel puin pentru un timp scurt, din nou n partea stng a recipientului. (Aceasta este o consecin a teoremei de recuren a lui Poincar[10]). Discuia iniiat atunci[11] [12] nu este nc ncheiat. Contient de aceste dificulti, Max Planck face un ocol mprejurul mecanicii statistice a lui Boltzmann pn n 1900.[1] (n rspunsul su la critica lui Zermelo,[11] Boltzmann s-a declaratironiconorat c lucrrilor lui li se acord n Germania atenie.) Boltzmann i Planck au fost ns unii n opoziia lor fa de curentul energetismului al lui Wilhelm Ostwald i G.F. Helm.[13][14] Energetismul este o poziie metafizic opus concepiei atomiste, potrivit creia conceptul primar n fizic este acela al energiei; ncercrile promotorilor si de a modifica prezentrile clasice ale mecanicii i termodinamicii au provocat replici violente din partea lui Boltzmann[15] i Planck.[16] Ct de mari erau influena energetismului i conflictele provocate de el n acea vreme poate fi inferat din tonul foarte iritat al articolelor lui Boltzmann i Planck.

n anii 1896-1900, metodele experimentale permiteau o determinare precis a funciei I(, T) pentru lungimi de und ntre 0,5 si 10 microni i temperaturi ntre ca. 600 K i 1500 K.[17][18] [19][20] Calitativ, rezultatele sunt artate n fig.1. n domeniul teoretic, un pas important fusese realizat[21] n 1894 prin formularea legilor de deplasare ale lui Wilhelm Wien, consecine exacte ale principiului al doilea al termodinamicii i ale ecuaiilor lui Maxwell. Dup ele, funcia I(, T) are o form cu totul special:

unde f este o funcie de o singur variabil. Consecinele acestei formule au fost confirmate de msurtori. Pentru comparaie cu articolele lui Max Planck, dac se raporteaz fluxul energetic (cf.(1.1)) i la unitatea de frecven = c/; atunci (2.3) devine:

unde g este o funcie de o singur variabil. Conform legilor lui Kirchhoff, funcia I(,T) (sau I(,T)) este legat n mod simplu de densitatea de energie u(,T) (sau u(,T)) a radiaiei corpului negru raportat la unitatea de lungime de und (sau de frecven):

i analog pentru u(,T). Inspirat de o lucrare (1888) a fizicianului rus V.A. Michelson (profesor de fizic la facultatea de meteorologie i agricultur din Moscova,[22] Wien a propus (1896)[23] o formul pentru I(, T) care reproducea bine datele cunoscute i avea forma cerut de legile de deplasare (2.3):

cu C i A constante. Funcia exponenial provine din distribuia maxwellian a vitezelor i din ipoteza lui Michelson c perioada de oscilaie a dipolului electric molecular este

legat de viteza moleculei. Dei argumentaia fizic pentru aceast formul este aparent neconvingtoare, ea a jucat un rol esenial n descoperirea cuantelor.

[modific] Entropia radiaieiPentru detalii, vezi: Entropia radiaiei electromagnetice.

[modific] DefiniiiO definiie natural a densitii spaiale pe unitatea de frecven a entropiei s(u,) a "radiaiei corpului negru"[24] se obine din relaia termodinamic:

unde T(u,) este soluia ecuaiei: u(,T) = u. Dac folosim expresia (2.4) din legile de deplasare ale lui Wien precum i relaia (2.5) i integrm (3.1) cu condiia la limit s(u=0)=0, obinem relaia mai precis:

cu g din (2.4). Prin analogie cu (2.5) definim pentru radiaia corpului negru fluxul de entropie (densitatea lui n raport de frecven) prin :

cu acelai h(x) din (3.2). Radiaia corpului negru este complet nepolarizat. Ea este echivalent[25][26] cu o superpoziie a dou raze independente, fiecare cu intensitatea I/2, polarizate perpendicular una pe cealalt; direcia de polarizare a uneia din ele poate fi aleas arbitrar n planul perpendicular pe direcia de propagare. Entropia fiecreia din aceste raze este L(I,)/2 Observm c ecuaiile (3.2) i (3.3) pot servi drept definiii ale entropiei i pentru o radiaie izotrop oarecare, cu frecvene n intervalul (,+d) i densitate de energie u, fr referire la "corpul negru" i chiar pentru un fascicol oarecare de raze, avnd intensitatea I i alctuit din componente de frecvene cuprinse ntre i +d. ntr-un articol separat artm c aceste definiii sunt n acord cu comportarea prezumtiv a entropiei n procesele ireversibile.

[modific] Formula lui Wien i entropia asociat

Formula lui Wien (2.6) ofer expresii explicite plauzibile pentru funcia s(u,) din (3.2). Din motive practice, rescriem formula n raport de frecven, cu noi constante:

de unde rezult:

i deci

(e0 =exp(1) reprezint baza logaritmilor naturali). Entropia total S corespunznd unui volum V i unui interval de frecvene este :

folosind definiia pentru densitatea de energie:u = (U)/(V ) unde U este energia total corepunztoare, putem scrie:

ntr-o publicaie celebr [27], Albert Einstein a dat n anul 1905 o interpretare neateptat acestei formule. [28]

[modific] Modelul corpului negruPentru detalii, vezi: Corp absolut negru.

[modific] Argumente calitativeS-a acreditat ideea pentru o perioad de civa ani (nainte de 1900), c formula lui Wien (2.6),(3.4) este exact i c trebuie gsit numai o justificare a ei microscopic convingtoare. Dou argumente calitative, hotrtoare pentru tratamentul teoretic al problemei, sunt datorate lui Max Planck: n primul rnd, faptul c, dup legile lui Kirchhoff, distribuia dup frecvene a intensitii radiaiei corpului negru este realizat de radiaia electromagnetic n echilibru termic cu orice material (la nici o frecven complet reflecttor[29]), nseamn c ea poate fi realizat i n echilibru cu un material ipotetic, format de exemplu dintr-un sistem de oscilatori armonici simpli, cu restricia ca

frecvenele lor proprii s acopere ntregul spectru. Aceast observaie permite studiul radiaiei corpului negru independent de un model exact atomic (care la vremea aceea nu exista). A doua observaie [30] este c - n contradicie cu ipoteza lui Michelson - este puin probabil ca perioada de oscilaie s depind de viteza "moleculei oscilatoare": dup teoria cinetic a gazelor, temperatura este legat de energia cinetic medie a moleculelor; ne putem imagina c, la aceeai temperatur, moleculele a dou materiale pot avea valori ale vitezei medii extrem de diferite, dac masele lor sunt corespunztor diferite; distribuia radiaiei la echilibru nu ar putea depinde numai de temperatur (dup Kirchhoff), dac perioadele de oscilaie ar depinde de vitez. De aceea, Max Planck consider c este suficient studiul unui oscilator armonic static plasat ntr-un cmp electromagnetic "haotic" (ntr-un sens de precizat). n cursul oscilaiei, energia lui scade prin emisie de radiaie, ceea ce poate fi privit din punct de vedere al mecanicii clasice) ca efectul unui coeficient de frecare. Aspectele legate de evaluarea acestui coeficient sunt discutate ntrun articol separat, i anume la: Rezonatorul lui Planck. Cmpul electric este acela al unei superpoziii incoerente de unde electromagnetice incidente, pe care pentru nceput le considerm polarizate [31] paralel cu axa oscilatorului:

Prin "incoeren" nelegem independena statistic a tuturor componentelor cmpului la poziiile diferiilor oscilatori[32]; folosind funcia (x) a lui Dirac[33] scriem aceasta:

Atunci

[modific] Energia medie absorbit de oscilatorEnergia Ua absorbit de oscilator n intervalul de timp (0,t) este:

Energia Ua nu are la prima vedere un semn definit, deoarece att E(t) ct i x'(t) sunt mrimi oscilante. Totui, Max Planck arat[34][35], dup un calcul lung ai crui pai principali sunt explicai ntr-un articol separat, c energia medie absorbit de un oscilator cu frecvena proprie 0 dup un timp t,suficient de mare fa de perioada proprie de oscilaie este:

Observm c nu apare dect componenta cmpului cu o frecven egal cu cea a oscilatorului Energia absorbit de oscilator are fluctuaii mari n jurul acestei valori. Un calcul complet analog al valorii medii a lui Ua2 [35] arat c:

unde este energia iniial medie. n situaia n care energia absorbit n intervalul (0,t) este mic fa de [32] se poate observa c n medie >> ()2, deci abaterea standard a energiei absorbite este mai mare dect media ei. Aceasta nseamn c la intraciunea oscilatorului cu radiaia, acesta poate att absorbi ct i emite energie radiant. Acesta este analogul clasic al fenomenului de emisie indus [36], ceea ce reprezint un concept central n domeniul fizicii laserilor. n realitate, oscilatorul este unul tridimensional i este influenat implicit i de componenta de-a lungul axei sale pe direcia cmpului electric al undelor electromagnetice incidente ce cad sub un unghi oarecare. Expresia final pentru energia absorbit este aceeai ca n (4.2 ), numai c mrimea A(0)2 trebuie inlocuit cu o mrime integral corespunztoare. n articolul Rezonatorul lui Planck, artm c expresia tridimensional pentru este

unde I(0,T) este intensitatea radiaiei cu frecvena 0 din cavitatea n care se afl oscilatorul. (La echilibru, este radiaia corpului negru la temperatura T).

[modific] Echilibrul oscilatoruluiPuterea emis de oscilator este dat de ecuaia (2.1).ntr-un timp t lung fa de perioada proprie, dar astfel inct energia sa iniial U s nu se modifice [32]:

Atunci cnd se atinge echilibrul, energia radiat este egal cu cea absorbit :folosind ecuaiile (4.2),(4.6) obinem relaia fundamental[37]:

unde U este energia medie a unui oscilator cu frecvena 0. Ne aflm acum la o rscruce[38]:(i)pe de o parte la orice valoare a lui I i frecven 0 corespunde o temperatur T, astfel nct I este intensitatea radiaiei corpului negru la acea temperatur i frecven. Ecuaia (4.7) ne ofer atunci energia medie a oscilatorilor n echilibru cu ea, dac cunoatem funcia I(,T). n particular, din Fig.1 vedem c oscilatorii cu frecvene proprii mari au o energie medie mic. (ii)Pe de alt parte, un oscilator armonic clasic este uns sistem cu dou grade de libertate, corespunznd energiei cinetice i celei poteniale:dup principiul echipartiiei energiei pe grad de libertate din teoria cinetic[6] energia medie a unui oscilator n echilibru termic este kT ,independent de frecvena sa proprie 0. Atunci putem privi ecuaia (4.7) ca determinnd pe I(,T) ca funcie de temperatur:

Aceasta este formula lui Rayleigh-Jeans care este evident greit la frecvene mari, unde crete indefinit ("catastrofa untraviolet")[39]. Din motive neclare - comentatorii [40] vd aici scepticismul lui fa de mecanica statistic - Planck ignor concluzia (4.8) i urmeaz numai prima alternativ: din forma curbelor din Fig.1 se pot deduce prin ecuaia (4.7) proprieti ale ansamblului oscilatorilor aflai n echilibru ca radiaia la temperatura T. Se poate calcula entropia S(U) a unui oscilator folosind (3.1):

. Dac cunoatem pe L(I), obinem din (4.9):

Max Planck incearc s obin restricii suplimentare asupra lui S(U) din principiul al doilea al termodinamicii: entropia total a sistemului de oscilatori i radiaie nu e numai staionar la echilibru, ci are un maximum: el arat [34] [32] c o condiie suficient pentru ca entropia total s aib un maximum acolo unde este staionar este::

Aceast condiie este netrivial pentru c implic numai entropia oscilatorilor.

[modific] Din nou formula lui Wien

Formula lui Wien (2.6) reproduce pri largi ale curbelor din fig.1. Folosind ecuaiile (3.3),(3.5) i (2.5) obinem funcia L(I):

. De aici, cu ajutorul lui (4.10) obinem entropia unui oscilator la temperatura T:

.Derivata a doua a acestei formule satisface cerina (4.11) i este remarcabil de simpl:

n lucrrile sale din 1899-1900 [34][30],Max Planck a ncercat s justifice aceast formul din consideraii generale; deoarece formula lui Wien prea confirmat de experien iar ecuaia (4.13) este att de simpl, nu e de mirare c el a crezut o vreme c ea reprezint "adevrul".

[modific] "Descoperirea" cuantelor[modific] Un "fit"La nceputul lui 1900, Lummer si Pringsheim [17]au anunat c msurtorile lor la lungimi de und mari par sa contrazic legea lui Wien: intensitatea radiaiei pe unitatea de frecven scade mai incet cu frecvena (ca 2) dect prevzut de Wien (ca 3). Aceasta l-a determinat pe Planck s caute modificri ale cantitii d2S/dU2(1,U), apropiate de (4.14), dar care s fie n acord cu datele experimentale (rmnnd negative,vezi ec.(4.11)). n iunie 1900, propune [41] urmatoarea formul, fara alt argumentaie dect c un "fit" acceptabil al datelor poate fi astfel obinut:

unde i sunt constante, care pot depinde de ; are dimensiuni de energie, iar de energie/grad Kelvin. Integrnd, i folosind (3.1), obinem:

unde -(/)ln d este constanta de integrare. Rezolvm aceast ecuaie pentru U:

Cernd ca U cnd T [42], si folosind (4.7), rezult c d=1 i:

Aceast formul trebuie s satisfac legile de deplasare ale lui Wien (2.4); deducem:=h i independent de ,iar h e o nou constant. Cu aceasta:

Cei doi parametri pot fi determinai din datele experimentale; aceast formul tinde la zero ca 2 cnd tinde la zero, iar cnd e mare, termenul exponenial domin n numitor i obinem formula lui Wien. Pn la identificarea =k (constanta lui Boltzmann), aceasta este versiunea raportat la frecven (vezi (2.4)) a formulei (1.1) a lui Planck.

Fig.2:Dependena de temperatur a radiaiei corpului negru la =24 (H.Rubens,F.Kurlbaum(1901)) cu diferite formule n 1900, Rubens i Kurlbaum[19] cu o metod foarte ingenioas, folosind benzile de absorbie n infraroul deprtat ale srii de buctrie, cuarului i fluoritei, au msurat dependena de temperatur a radiaiei corpului negru la frecvene foarte joase (lungimi de und de ca. 50 microni). Rezultatele au jucat un rol istoric i au artat c formula lui Planck (cunoscut autorilor dup terminarea experienelor) reprezint datele experimentale perfect. Un exemplu este dat in Figura 2 pentru fluorit: pe abscis este o msur a intensitii radiaiei (indicaiile unui galvanometru) iar pe ordonat este temperatura.

[modific] Interpretarea formulei lui Planck

Pentru Planck, succesul formulei (5.1) a nsemnat c nu e vorba numai de o "ntmplare" algebric fericit, ci c ea trebuie s aib o semnificaie mai adnc. Contribuia lui fundamental a fost nu stabilirea, ci interpretarea acestei formule. Aceasta se gsete ntr-o comunicare a sa scurt din decembrie 1900 [43] i, mai pe larg, n articolul su naintat n ianuarie 1901[1], care reprezint naterea mecanicii cuantice. Revenind la (5.2) i nlocuind =h i d=1, calculm acum entropia unui oscilator :

Integrnd de la U = 0 pn la U:

Pentru un ansamblu format din N oscilatori identici cu energia total UN obinem, folosind proprietatea de extensivitate a entropiei:

Introducem numrul

Cu aceasta:

Pentru N mare, reamintim formula asimptotic a lui Stirling:

atunci, pn la termeni de ordinul (ln N)/N,

Fig.3:R(100,10) este numrul de tablouri diferite care se pot construi cu 10 csue i astfel ca suma numerelor s fie 100 Observaia central este c , dac P este intreg, atunci cantitatea R(P,N) este numrul de moduri distincte n care P obiecte identice ("cuante") pot fi distribuite n N celule (oscilatori). Drept exemplu pentru o astfel de distribuie, sunt desenate n Fig.3 N = 10 celule in care sunt distribuite P=100 de "cuante" h[44]. O distribuie corespunde asocierii fiecrei celule unui numr cuprins intre 0 i P, astfel inct suma numerelor s fie P. Exist un mod simplu de a ne convinge de validitatea formulei pentru R(P,N): considerm dezvoltarea n serie:

i produsul :

Coeficientul aP este exact R(P,N): el este numrul de producte i astfel inct

cu

Dar dup formula lui Taylor:

Calculul derivatei duce la:

n acest punct, legtura ntre (5.9) i formula (2.2) "n spiritul" lui Boltzmann este evident: numrul de "stri accesibile sistemului atunci cnd parametrii exteriori sunt dai" se identific n mod natural cu numrul R(P,N) de moduri n care se pot distribui

UN/(h) = P cuante de energie la N oscilatori; un pas care poate prea temerar este c n (5.9) este chiar constanta lui Boltzmann k, aceeai care apare n teoria cinetic a gazelor. n analogul formulei (2.2) pentru gazele perfecte, constanta k are o valoare precis: este raportul R/NA, unde R este constanta gazelor perfecte (din legea pV=RT) i NA este numrul lui Avogadro de molecule ntr-o molecul-gram. Preul succesului formulei lui Planck este mare: numrul de stri accesibile unui sistem de N oscilatori cu frecvena i energia U nu este infinit, aa cum ar fi pentru oscilatori care ascult de mecanica clasic (unde energia variaz continuu): el se obine numarnd modurile n care se pot impri P=U/h cuante ntre cei N oscilatori. Implicaia este c un singur oscilator are numai energiile 0,h,2h,... n faa succesului experimental total al formulei, obiecia c argumentaia este oarecum contradictorie (am plecat de la analiza detaliat a unui oscilator n mecanica clasic, pentru care toate energiile sunt posibile i am ajuns la concluzia c numai anumite energii sunt posibile) i pierde din greutate. Acesta este nceputul "revoluiei cuantice". Max Planck a crezut un timp c se va putea gsi o justificare a formulei sale n cadrul coerent al mecanicii i electrodinamicii clasice, i c "cuantele" sunt numai un mod "efectiv" de descriere a unei realiti clasice mai adnci. Paii urmtori eseniali n dezvoltarea teoriei cuantelor, 4 ani mai trziu, sunt datorai lui Albert Einstein, care a luat existena cuantelor ad litteram, chiar independent de oscilatori i a artat[27] c ele reprezint o explicaie natural pentru efectul fotoelectric i pentru regula lui Stokes n fenomenele de fotoluminescen.Doi ani mai trziu, Einstein a artat c nivelele de energie discrete ale oscilatorilor permit o explicaie natural a dependenei de temperatur a cldurii specifice a solidelor[45].

[modific] Cazurile limitDei[40] Boltzmann a cunoscut i apreciat argumentele lui Max Planck n ""spiritul" mecanicii statistice, ntre conceptul de entropie original i modul n care Planck l aplic sunt diferene. n formularea original, numrtoarea strilor se face mprind "spaiul fazelor" al sistemului n celule mici si numrnd celulele compatibile cu constrngerile exterioare. Aceasta face ca entropia s conin un parametru arbitrar legat de dimensiunea celulei. n anumite calcule - ca de exemplu al energiei medii - dimensiunea celulei dispare si deci ea poate fi socotit orict de mic.Deasemenea, o privire atent[40] arat c, n teoria cinetic, entropia corespunde "celei mai probabile" distribuii de probabilitate a vitezelor, i nu numrului tuturor posibilitilor.[46] n cazul lui Planck, calculul numrului de posibiliti se face fr ambiguitate. [1] [35][40] Ne ateptm ca, atunci cnd h poate fi considerat ca foarte mic, formula lui Planck s redea rezultate ale mecanicii statistice clasice:nivelele energetice ale unui oscilator devin "practic" un continuum. Constanta h este "mic" dac "numrul de cuante" UN/(h) = P este mult mai mare decat numrul de oscilatori N. Folosind formula (5.7) de mai sus, vedem c :

din dSN/dUN = 1/T, deducem :

(acesta este rezultatul clasic pentru energia medie a unui sistem de oscilatori la temperatura T). Precum am vzut, aceasta duce la formula (4.8) a lui Rayleigh i Jeans. Deducem c motivul pentru care (4.8) este incorect este c h nu este arbitrar de mic. Formula (4.8) devine aplicabil cnd numrul de cuante pe oscilator e mare. Considerm acum cazul n care numarul de cuante P e mic fa de numarul de oscilatori N. Atunci energia medie a unui oscilator U = UN/N este mic fa de h. n formula (5.7), primul termen este dominant i putem scrie:

Primul termen este entropia sistemului de oscilatori care produce distribuia lui Wien, dac facem identificarea: b=k/h i h=ac3/4. Interpretarea nu este simpl n limbajul oscilatorilor: ne ateptm ca cele mai multe distribuii s corespund la cel mult "o cuant" pe oscilator; un calcul simplu arat c aceasta se intmpl numai dac i P2/N e mic, ceea ce e o restricie prea serioas. Albert Einstein a dat ns[27] o interpretare formulei (3.5) pentru entropia radiaiei n aceast limit. Comparnd entropiile radiaiei cu aceeai energie U i coninnd frecvene n acelai interval (,+) n dou incinte reflecttoare cu volumele V1 < V2 putem scrie:

Aceast formul poate fi comparat cu creterea entropiei unui gaz perfect constnd din P = U/h particule atunci cnd mrim brusc, fr variaie a energiei, volumul su de la V1 la V2. ntr-un limbaj legat de formula(2.2)[27], variaia de entropie este logaritmul probabilitii ca cele P particule s se gseasc n volumul V1 atunci cnd au la dispoziie ntreg volumul V2. De data asta ns, cele P particule sunt "cuante" ale cmpului electromagnetic! Interpretarea aceasta a mers mult peste inteniile lui Max Planck[47].

[modific] ComentariiArticolul prezint paii intelectuali imediat premergtori apariiei mecanicii cuantice. Manualele de mecanic cuantic nu urmresc n detaliu acest proces, unul din motive fiind inconsistena lui logic inerent. Chiar i Max Planck, n ediiile mai noi ale crii sale asupra teoriei radiaiei adopta prezentarea lui Albert Einstein din 1917 [36]. Aceasta

face uz de anumite concepte cuantice intrate ulterior n uz, ca acela de nivele de energie si stri staionare. Cea mai cunoscut descriere a "preistoriei" mecanicii cuantice (19951901) i a primilor ei pai (1905-1920) este aceea a lui L.Rosenfeld (1936); n timpurile mai noi, articolele lui M.J.Klein [48] cuprind o descriere vie a climatului intelectual din perioada 1895-1910 i pun accent asupra rolului remarcabil pe care l-au jucat consideratiile termodinamice in teoria incipienta a cuantelor. Cartea lui Kangro[20] este o surs bogat de detalii biografice asupra "actorilor" intelectuali principali i conine o bibliografie exhaustiv. n privina coninutului fizic, claritate deplin se poate obine ns numai din articolele originale ale lui Planck, care sunt redactate cu mare grij, i se pot citi cu efort normal (dn pcate numai in german).