Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I

5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 1/55

Mărimi Fizice

Cuvântul fizică este de origine greacă și provine de la phisis care înseamnă natură, deci

fizica este știința naturii care studiază structura materiei, proprietățile generale și legile de

mișcare a acesteia (mecanice, termice, electromagnetice, atomice și nucleare) precum și

transformările reciproce ale acestor forme de mișcare care se numesc fenomene fizice. Fizica

propunându-și să studieze cele mai simple structuri ale lumii, să examineze legăturile

elementare și profunde ale armonicii universale se bazează pe concepte ce sunt extrem deabstracte și puțin accesibile demonstrării simple. Conceptele fizice sunt cantitative, ceea ce

necesită transcrierea matematică a legăturilor. Studiul se efectuează de obicei asupra unor

regiuni finite din univers, de dimensiuni variabile, delimitate astfel încât să interacționeze cu

exteriorul ca un întreg, numite sisteme fizice. Caracteristica fundamentală a sistemelor fizice

este materialitatea lor precum și existența lor obiectivă în timp și spațiu, ceia ce implică

mișcarea acestora. În fizica clasică, nerelativistă spațiul și timpul au un caracter absolut

(universal), sunt independente de distribuția materiei în univers. Spațiul se consideră 3D, omogen (are aceleași proprietăți în orice punct din spațiu), izotrop (proprietățile lui sunt

independente de direcții). Timpul ca formă de existență a materiei exprimând simultaneitate

sau succesiune este un continuum unidimensional și uniform (diferite momente de timp suntechivalente, egale), iar metrica este independentă de procesele fizice. În unele domenii ale

fizicii moderne (Teoria Relativității Restrânse, Teoria Gravitației, etc.) sunt analizate și reliefate

legăturile dintre spațiu și timp precum și dintre spațiu și distribuția în timp a materiei. Ca

exemplu: în fizica cuantică (care este cea de a doua parte a fizicii, prima fiind cea clasică) nu se

poate face o distincție clară între obiectul de cercetat, fenomen și instrumentul cu care se

observă. Aceasta face ca rezultatele observațiilor efectuate în condiții experimentale diferite să

nu poată fi unite într-o imagine unică. Numai daca (constanta lui Planc) tinde către 0 (zero) se

poate justifica descrierea obiectului de cercetat și a instrumentului de observat ca entități

distincte. Cercetările experimentale efectuate până acum au scos în evidență un număr mare de

particule elementare care sunt constituenți fundamentali ai materiei. Fenomenele care au loc în

natură pot fi descrise prin forțe ce se manifestă între aceste particule. Până în prezent seconsideră că exista 4 tipuri fundamentale de forțe:

Forța Gravitațională;

Forța Electromagnetică;

Forța Slabă;

Forța Tare.

Acestea intervin în diferite nivele de organizare a materiei:



Nivelul Cosmologic(108 m);

Nivelul Macroscopic(de ordinul metrilor);

Nivelul Molecular (10-8 m);

Nivelul Atomic(10-10 m);

Nivelul Nuclear (10-15 m);

Nivelul Particulelor Elementare (10-18 m).

Practic în urma studiilor teoretice și elementare efectuate în ultimii trei sute de ani, mai

mult în ult ima suta de ani, s-a ajuns la concluzia că la baza materiei din univers stă o structură

fundamentală de materie formată din 12 particule elementare și aceste 4 forțe fundamentale.

Cercetările efectuate asupra particulelor și asupra 3 forțe au condus la elaborarea Modelu lui

Standard (MS) în perioada anilor ‘70 valabil pentru particule și forțe. Model ce a fost foarte bine

testat atât teoretic cât și experimental și care a condus la prezicerea unor noi fenomene fizice

care și ele au fost verificate foarte bine din punct de vedere experimental. Forța rămasă în afara

MS este cea gravitațională. Introducerea ei din punct de vedere matematic sa dovedit extrem de

dificilă deoarece particula care se presupune a fi purtătoarea acestei forte (gravitonul) nu a fost

pusă în evidentă prin experiment, la fel ca și undele gravitaționale. Practic mecanica cuantică ce

exprimă și studiază comportarea lumii microscopice, subatomice și teoria generală a relativităţii

ce tratează lumea macroscopică sunt ca doi copii gemeni care nu reuşesc să se joace frumos împreună. Matematicienii nu au reuşit să facă aceste 2 teorii compatibile în cadrul MS, totuşi

lucrurile se simplifică mult deoarece particulele elementare având masa extrem de mică sau

deloc face ca această gravitaţie să fie neglijabilă sau să dispară. Numai când există materie mai

multă, cum suntem noi sau planetele, gravitaţia devine dominantă. Cu toate că forţa

gravitațională a rămas în afara MS totuşi acest model rămâne teoria cea mai perfectă verificată

şi experimental ce tratează comportamentul şi forța ce se manifestă între particulele

elementare. Dacă în urma experimentului de la Geneva bozonul Higgs nu va fi pun în evidenţă,

practic va trebui să se renunţe la această teorie şi să se elaboreze alta pentru a se putea explica

originea masei particulelor din univers.

For ța Gravitațională – este cea mai slabă dintre toate, iar ea este cea care menținepământul ca un întreg, leagă soarele şi planetele în sistemul solar şi stelele în galaxii. Această

forță este singura care dă atracţie între toate particulele la distanţe mari. Purtătorul acestei

forțe este gravitonul care până în prezent nu a putut fi pus în evidență experimental. Prin aceste

experimente de la Geneva se caută existenţa unor extra dimensiuni, adică conform teoriei

string-urilor (corzilor) pe lângă cele 4 dimensiuni și timpul ar mai exista încă 6, dar



datorită dimensiunilor lor extrem de mici ele nu pot fi sesizate, dar exista în lumea noastră. Ele

se manifestă cu precădere în lumea microparticulelor elementare. Pentru a întări existenţa lor,

fizicienii sau legat de gravitație care este cea mai slabă dintre toate forțele ori aceasta forță

familiară noua cu care ne întâlnim zi de zi nu are un efect complet asupra noastră, noi simţind-oca o forţă mult redusă. Fizicienii explică aceasta prin faptul că o parte din efectul ei este preluat

de aceste extra-dimensiuni, acest lucru se va putea verifica prin aceste experimente realizate laenergii foarte mari când este posibil să se deschidă porțile către alte dimensiuni. Astfel oparticulă existentă la un moment dat în spațiu 3D sa dispară şi să treacă în altă dimensiune sau o

particulă să vina din alta dimensiune și să apară în experiment pentru o scurtă perioadă.

For ța Electromagnetică – asigura existența atomilor, moleculelor și sistemelor cristaline

ca edificii stabile. Această forţă este de câteva ori mai puternică decât fora slabă, iar purtătorul

acestei forțe este fotonul. Domeniul de existenta sau acțiune fiind infinit la fel ca la cea

gravitațională. Forța ce apare între particule identice este de respingere.

For ța Slabă – este una de contact, apare la distanțe de ordinul 10-17 metri, pareinferioara dimensiunilor nucleare care este de ordinul 10-15 metri, iar intensitatea ei intr-unvolum elementar de dezintegrare este de 109 ori mai mica decât intensitatea forței tari, dar este

mult mai puternică decât forța gravitațională. Această forță nu poate forma stări stabile în

sensul în care forța gravitațională poate forma un sistem solar. Purtătorii acestei forțe sunt

bosonii Z şi W pentru a căror descoperire în anul 1983 sa acordat premiul Nobel.

For ța Tare sau Nucleară – leagă nucleonii împreună pentru a forma nucleele tuturor

elementelor din sistemul Mendeleev. Ea se manifestă între quarci, iar purtătorul acestei forțe

sunt gluonii. Practic în scara tăriei aleasă forței tari i se atribuie valoarea 1, iar gluonul este

particula ce mediază această forță. În experimentul de la Geneva se urmărește crearea plasmei

quarc – gluon care înseamnă temperaturi de aproximativ 100 mii ori mai mari decât cele dinsoare. Adică la asemenea temperaturi protonii se vor „topi” descompunându-se în quarci și

gluonii care mediază legătura dintre ei. În anul 2004 premiul Nobel pentru fizică a fost acordat

unor trei fizicieni pentru descoperirile lor remarcabile făcute la sfârșitul anilor ‘70 în domeniulforțelor tari. Practic ei au demonstrat că protonii sunt formaţi din doi quarci ce nu pot fi liberi iar

intre ei se manifestă această forţă tare care creste ca valoare dacă se depărtează quarcii, putândfi aproape nula daca ei sunt foarte apropiați. Este ca și cum masa noastră ar creste daca neam

depărta de pământ sau șansele de electrocutare cresc dacă ne depărtăm de o priză. Este normalsă fie aşa deoarece quarcii nu pot fi liberi iar ei sunt cei care pun bazele materiei.

<__>

Sistemele fizice prezintă proprietăți mecanice electrice, magnetice, cuantice etc. care pot

fi studiate în diverse etape:



Primă etapă este simplă, constă din observarea sau descrierea calitativă a sistemului saua fenomenului.

Cea de a doua etapă este reprezentată de către experiment care este provocat în modconștient cu scopul reliefării trăsăturilor esențiale ale interacțiunilor care determină procesul

fizic. Pe parcursul acestei etape se realizează o abordare cantitativă ainforma

țiilor prin

introducerea unor mărimi fizice caracteristice trăsăturilor, proprietăților, forțelor și

transformărilor sistemului.

Mărimile pot fi împărțite după mai multe criterii:

După scara la care se consideră fenomenele – macroscopică sau microscopică – avem mărimi

microscopice și respectiv macroscopice. În cadrul macrofizicii intervin de obicei mărimi

macroscopice: scalare, vectoriale si tensoriale în timp ce în microfizică intervin, în plus, specii

de mărimi complexe.

Din punct de vedere al introducerii lor într-un anumit domeniu al fizicii deosebim mărimi primitive si mărimi derivate. Mărimile primitive nu pot fi definite cu ajutorul altor mărimi,

introducerea lor se face fie nemijlocit prin experiență, fie prin postularea existenței unor

proprietăți fizice ce pot fi evidențiate ulterior în urma unor experiențe. Mărimile primitive sunt

în număr de 4 și cu toate că se introduc în cadrul mecanicii ele intervin în toate domeniile fizicii

deoarece reflectă proprietățile generale ale materiei. Ele sunt lungimea, timpul, forța și masa.

Mărimile derivate se definesc în funcție de cele primitive printr-o formulă sau relație de

definiție. În funcție de modul în care intervin în caracterizarea sistemelor fizice deosebim mărimi

de stare și mărimi de proces. Un grup de mărimi de stare al unui sistem fizic poate ficomplet sau incomplet.

Din punct de vedere al localizării în spațiu există mărimi globale și respectiv locale. În sfârșit putem deosebi mărimi fundamentale și secundare.

Unități de măsură

În studiul fizicii trecerea de la observarea calitativă a unui sistem sau fenomen la

cercetarea sa cantitativă (experiment) impune determinarea mărimilor fizice care caracterizează

sistemul sau procesul, adică efectuarea unor măsurători. A măsura o mărime înseamnă a o

compara pe cale fizică, directă cu o altă mărime de aceiași natură considerată ca unitate demăsură. Realizarea unei măsurători implică și existența unor instrumente de măsură precum și

o interacțiune între acestea și sistemul considerat. În sistemul internațional de unități (SI) există

3 clase de unități:



1. Unități fundamentale – unitățile a căror mărime și procedeu de măsură se alege

arbitrar, acestea corespund de regulă unor mărimi fizice reprezentând proprietăți

fundamentale în cadrul unui anumit domeniu. Ele sunt în număr de șapte: Mărimea Denumirea Simbol

Lungimea metru

Timpul secunda

Masa kilogram

Intensitatea curentului electric amper

Temperatura termodinamică Kelvin

Cantitatea de substanță molIntensitatea luminoasa candelă

2. Unități derivate – unitățile a căror mărime este definită cu ajutorul celor fundamentale;

3. Unitățile suplimentare sunt în număr de două:

Mărimea Denumirea Simbol

Unghiul Plan Radian

Unghiul Solid Steradian

Analiza dimensională a mărimilor fizice

Trecerea de la formula matematica la cea fizică impune înlocuirea mărimilor fizice prin

valorile lor măsurate. În urma acestei operații legile fizicii nu variază, adică își păstrează aceiași

formă. De regulă unitățile derivate se exprimă prin 2 sau 3 din unitățile fundamentale sausuplimentare, astfel toate mărimile derivate întâlnite în mecanică se pot exprima prin 3 mărimi

fundamentale: Lungimea L, Masa M și Timpul T. Exemplu energia cinetica ,

, astfel o marime din mecanică se poate scrie dimensional



unde este o funcție. O altă mărime fizică se poate scrie ca

, o formula fizică ce implică egalitatea mărimilor si va implica

egalitatea și între unitățile de măsura, adică .

Dacă în loc de unitățile avem altele atunci formula se va

putea scrie astfel . Dacă între cele 2

clase de unități există relațiile unde sunt numere

oarecare întregi sau fracționare atunci relația 2 devine

.

Matematic se poate arata că funcțiile și din relația 3 pot avea aceiași formă dacă

atât funcția cât și se scriu ca un produs de timpul

;

unde , pot fi fracționare, pozitive sau negative.

Ținând seama de ult imele 2 relații, relația 3 devine

sau ult imele 2 expresii sunt identice și astfel

se respectă principiul invarianței legilor fizicii față de schimbarea unităților de măsură numai

dacă sunt satisfăcute egalitățile ; ; . Aceste egalități

respect condiția de omogenitate a formulelor fizice.



Măsurarea mărimilor fizice. Concordanţa dintre teorie și rezultatele

experimentale.

Măsurarea unor mărimi fizice reprezintă în principiu compararea directă sau indirectă

a mărimii respective cu etalonul , în urma căreia se obține valoarea . Dacă se efectuează

masurători atunci se obțin valori diferite, dar apropiate între ele. Aceasta se datorează

faptului că fiecare măsurătoare experimental este afectată de erori. Valoarea cea mai”adevărată”, ”exactă” este dată de media aritmetică a setului de măsurători

pe de altă parte este afectată de o eroare absoluta definită astfel

.

Obs: nu este valoarea adevarata, ci o aproximare a acesteia.

Necunoscând valoarea exactă noi nu cunoaștem exact nici eroarea absoluta

dar putem întotdeauna evalua marginea superioară a erorii absolute.

Astfel se definește valoarea relativă deoarece

în practică se definește eroarea relativă, aparentă

deoarece în

expresia mediei aritmetice intervin valorile măsurătorilor ce sunt afectate de erori rezultă că și

această medie are o eroare. O măsură a erorii mediei aritmetice este eroarea pătratică a mediei

aritmetice ce are expresia astfel în

urma efectuării unei măsurători putem afirma cu un anumit grad de incertitudine că valoarea

mărimii este cuprinsă în intervalul .

Exemplu de calcul dimensional: ne propunem să deducem expresia energiei cinetice. Pe cale

experimentală s-a obținut că energia cinetică, dimensional, este proporțională cu masa și cu



viteza , deoarece s-a obținut că

pe de altă parte în SI unitatea de măsură în

același timp , iar astfel pe calea unității de

măsură s-a găsit că . Cum ambele relații

dimensionale reflectă aceeași mărime rezultă egalitatea lor:

Prin experiență: .

Vectori

Vectorul reprezintă o mărime caracterizată prin 4 elemente:

1. Direcție; 2. Sensul;3. Modulul (Valoarea numerică a lungimii sale); 4. Originea sau punctul de aplicație, asociată unei mărimi fizice;

Noțiunea de vector provine din latină și înseamnă purtător. Vectorii se notează:

(sau cu ) iar modulul se notează cu vectorii se pot

reprezenta, exprima în următoarele 2 forme:

1. Sintetică sau grafică, printr-un segment de dreapta orientată: Direcția; Sensul; Modulul; Originea.



2. Analitică, prin componentele vectorului după axele unui sistem cartezian

ortogonal de coordonate .

Proprietățile vectorului pe cele trei axe sunt date de componentele .

Vectorii a căror module sunt egale cu unitatea se numesc vectori unitate sau versori.

=1. Considerând că versorii celor trei axe: sunt , atunci

putem scrie că , prin urmare prin

compunerea acestor trei componente rezultă vectorul:

. Această relație este

numită expresia analitică a vectorului .

Modulul vectorului se exprimă prin relația: .

Proiecția unui vector pe o axă.

Fie axa și un vector care face unghiul cu aceasta

Proiecția vectorului pe axa se obține ducând perpendiculara din vârful vectorului pe

axa , se obține astfel vectorul și are următoarele caracteristici:



a. Direcția este dată de axa

b. Sensul:

a. Daca sensul pozit iv

b. Daca sensul negativ

c. Modulul

d. Punctul de aplicație este

Operații cu vectori.

2.1. Compunerea vectorilor.

A compune doi sau mai mulți vectori înseamnă a găsi un alt vector, numit vector

rezultant, care să înlocuiască, în efect, vectorii dați. Compunerea vectorilor se poate realiza

folosind fie metoda paralelogramului f ie metoda poligonului.

2.1.1. Compunerea vectorilor prin metoda paralelogramelor.

Adunarea vectorilor.

Compunerea vectorilor implică operații de adunare și respectiv de scădere a acestora.

Fie doi vectori și reprezentați geometric în spațiu și a caror direcții fac unghiul intre ele.

Într-un punct oarecare se vor construi vectorii echivalenți cu și , adică doi

vectori de același modul, sens și direcție ce au originea comună și care se obțin printr-o operațiede translație.

Vectorul rezultant sumă este vectorul și este definit prin și corespunde

diagonalii mari a paralelogramului. Acest vector are următoarele caracteristici:

1. Direcția este diagonala mare a paralelogramului;



2. Sensul de la la ;

3. Modulul ;

4.

Punctul de aplicație este originea .

Scăderea vectorilor.

Prin definiție diferența vectorilor și este un vector . Diferența a

doi vectori se poate considera ca fiind adunarea primului vector cu opusul celui de al doilea

vector, folosind de asemenea regula paralelogramului .

Vectorul diferența are urmatoarele caracteristici:

1. Direcția este dată de diagonala mică a paralelogramului;

2. Sensul este de la la ;

3. Modulul ;

4. Originea este punctul



2.1.2. Compunerea vectorilor prin metoda poligonului.

Fie vectorii ce au diferite direcții în spațiu.

Metoda poligonului constă în obținerea unui poligon ale cărui laturi sunt vectorii

ce se obțin prin construirea în vârful vectorului precedent a unui

vector paralel la următorul, de același modul, direcție și sens, iar fectorul rezultant se obține

unind originea primului vector cu vârful ult imului vector.

Această metodă este mai simpla decât regula paralelogramului, deoarece evită

încărcarea figurii cu paralelograme. Prin ambele metode vectorul rezultant obținut are aceiași direcție sens și modul.

Fie vectorul ;



Înmulțirea vectorului cu un scalar.

Fie vectorul și un scalar . Produsul dintre vectorul și scalarul

Caracteristicile acestui vector sunt:

1. Directia estea ceiasi ca a lui

2. Daca >0 acelasi sens cu

Daca <0 sens contrar lui

3. Modulul

4. Punctul de alpicatie este acelasi la a lui [11]

Produsul scalar a doi vectori.

Produsul scalar a doi vectori și care fac între ei un unghi este un produs scalar și

este egal cu expresia .

Din punct de vedere analitic, acest produs scalar se poate exprima astfel

Produsul vectorial.



Fie doi vectori ce fac intre ei un unghi . Produsul vectorial este un vector ce are următoarele

caracteristici:

1. Direcția este perpendiculara pe planul vectorilor și .

2. Sensul este dat de regula burghiului, rotind primul vector peste al doilea pe drumul celmai scurt

3. Modulul este dat de relația

4. Punctul de aplicație este același cu cel al vectorilor și [13]

Se poate vedea ca ).

Din punct de vedere analitic acești vectori pot f i exprimați ca un determinant

Dublul produs vectorial.

Fie trei vectori având originea comună în punctul . Prin definiție acest produs este un

vector . Vectorul este ortogonal pe vectorii și și este

coplanar cu vectorii și . Acest produs se poate scrie și altfel:



Produsul mixt.

Este definit astfel:

3. Elemente de analiză vectorială.

Fie un parametru oarecare și un vector a cărui valoare variază în funcție de acest

parametru. Prin urmare putem considera că vectorul este o funcție vectorială de parametrul

ce se poate exprima prin relația

Poziția în spațiu a unui punct oarecare aflat pe o curbă poate fi determinată prin

intermediul unui vector numit vector de poziție notat cu și care are expresia analitică

În cazul de fată pentru a putea introduce aparatul matematic, considerăm că acest vector este

vectorul cu ajutorul caruia indicam pozitiile sucesive a unui punct pe o curba oarecare C

Derivata unui vector.

Curba descrisa de vectorul se numeste hodograful vectorului . Creșterea

a vectorului este dată de expresia: , iar raportul

este un vector coliniar vectorului . Limita acestui raport, dacă există, se numește

derivata vectorului în raport cu parametrul , adică .



Dacă parametrul este timpul, atunci derivata se notează cu . Derivata vectorului în

raport cu parametrul este paralel cu tangenta în punctul la curba și se notează cu

(viteza). Modulul derivatei vectorului este:

Diferențiala unui vector.

Daca vectorul este o functie de mai multe variabile , atunci

diferențiala totală a vectorului are expresia:

, este derivata parțială a

vectorului în raport cu

Elementul de arc infinitezimal se notează cu și are expresia

și este introdus pentru deplasările infinitezimale unde este

elementul de arc și este versorul tangent la o curba oarecare .

Elementul de suprafață infinitezimală se notează cu si egal cu .

– aria unui element de suprafață infinitezimal de mică, iar este versorul normalei la

suprafața într-un punct al acesteia.

Elementul de volum infinitezimal este și la fel face parte sintrunvolum mai mare.

Integrarea unui vector.

Se realizează in mod analog ca și integrarea unei funcții.



1. Integrarea curbilinie (circulația vectorului ) are expresia:

dacă curba este deschisă, iar dacă curba este închisă, această integrală are expresia:

2. Integrala dublă (de suprafață) se mai numește fluxul vectorului prin suprafața

notat cu

Dacă suprafața este deschisă, atunci:

Dacă suprafața este închisă, atunci:

3. Integrarea triplă (de volum).

a. Operatori vectoriali diferențiali de ordinul

1. Operatorul sau Hamiltonian (operatorul lui Hamilton) are expresia:



2. Gradientul unei func ții este produsul dintre operatorul și

funcția și este, în final, un vector :

3. Divergen ța vectorului este produsul scalar dintre operatorul

și vector. Se notează cu:

4. Rotorul vectorului este produsul dintre operatorul și

funcția vectorială . Se notează cu:

5. Operatorul lui Laplace sau laplacian se notează cu

Relații utile:



a. Teorema Green – Gaus – Ostrogradski. Fluxul vectorului prin suprafața închisă

este egal cu integrala pe volumul limitat de suprafața din divergența vectorului

b. Teorema lui Stokes – Amper afirmă că circulația vectorului de-a lungul unui contur

închis este egală cu fluxul rotorului vectorului prin suprafața limitată de conturul

.

Mecanica

Mecanica este domeniul din fizică care studiază mișcarea mecanică a corpurilor, precum

și condițiile de echilibru ale acestora. Deplasarea unui corp are loc tot timpul în raport cu alte

corpuri. Fără aceste corpuri nu se poate vorbi de deplasare, care este totdeauna relativă .Mișcarea mecanică reprezintă fenomenul de schimbare a poziției unui corp, în timp, în raport cu

un sistem de referință ales. Prin sistem de referință (SR) se înțelege un ansamblu constituitdintr-un reper geometric și un ansamblu de ceasornice pentru măsurarea timpului. Reperul

geometric indică spațiul în care evoluează fenomenul, având dimensiuni și permite fixarea

poziției unui corp. În mod curent se folosește un reper ortogonal , constituit din

3 axe perpendiculare între ele, care se întâlnesc intr-un punct numit originea reperului. De

obicei cele 3 axe se notează cu . Sistemul de referință considerat fix (în



repaus) și sistemul de referință care are o mișcare de translație rectilinie și uniformă cu viteza

față de un sistem de referință fix, se numesc sistem de referință inerțial (SRI). Mișcarea unui

corp față de un sistem de referință fix se numește absolută, iar față de un sistem de referință

mobil (SRM) se numește relativă. De obicei se studiază mai întâi mișcarea unui corp ale cărui

dimensiuni și rotații proprii sunt neglijate, acest corp se numește punct material (P) și se

caracterizează doar prin masa sa.

Se numește traiectorie linia curbă descrisă de un mobil în timpul mișcării sale, adică locul

geometric al punctelor prin care trece mobilul. Traiectoria poate fi rectilinie sau curbilinie.

Poziția mobilului sau a unui punct material la un moment dat este determinată de

coordonatele sale, de exemplu într-un sistem de coordonate cartezian (SC) și

ortogonal sau astfel de vectorul de poziție ale cărui proiecții pe axele sunt

tocmai coordonatele .

Dacă poziția mobilului (PM) variază în timp asta înseamnă că și coordonatele punctului material

sunt funcții finite uniforme și continue în timp, adică:

va fi o funcție de timp.

Din punct de vedere al condițiilor în care se studiază mecanica putem spune că mișcarea

mecanică se împarte în 3 subdomenii:

1. Mecanica clasică – studiază mișcarea corpurilor având viteze mici în comparație cu viteza

luminii în vid în acest caz corpul se aproximează cu un punct material,



spațiul fizic este cartezian, omogen, izotrop și absolut, iar timpul este unidimensional,

uniform și absolut. 2. Mecanica relativistă – studiază mișcarea corpurilor ce au viteze comparabile cu viteza

luminii în vid. Spațiul și timpul sunt relative. 3. Mecanica cuantică – studiază mișcarea microparticulelor.

Mărimi fizice cinematice.

Cinematica studiază legile de mișcare a corpurilor fără să țină cont de cauzele care o

determină. Fie și pozițiile succesive a mobilului la momentele și , mobil ce se află pe

o traiectorie oarecare.

Vectorul deplasare este prin definiție și coincide ca direcție și lungime cu

secanta . Arcul reprezintă deplasarea curbilinie a mobilului în

intervalul de timp ea poate fi pozitivă sau negativă și nu coincide în general

cu distanța parcursă de mobil în intervalul . Cunoașterea mișcării pe traiectorie implică

cunoașterea direcției și sensului de mișcare a mobilului. Direcția este dată de tangenta la

traiectorie (de exemplu în ), iar sensul este dat de creșterea sau descreșterea arcului când

timpul crește. Astfel se definesc:

Viteza medie și are direcția vectorului deplasare.

Viteza instantanee sau momentană la limită când se obține

viteza instantanee care reprezintă limita raportului adică

. Deci vectorul viteză, prin

definiție, este derivata vectorului de poziție în raport cu timpul. După cum se vede,



vectorul vitezei momentane are direcția tangentei la traiectorie. Dacă se notează cu

sau versorul tangentei (în sensul creșterii lui ), atunci

prin urmare vectorul viteză poate fi scris astfel:

– viteza instantanee pe traiectorie.

Dacă – constat .

Deci vectorul viteză este tangent la traiectorie și este îndreptat în sensul mișcării. Într-un sistem

ortogonal cartezian vectorul viteza poate fi exprimat și în funcție de componentele sale pe

cele trei axe

.



În cazul mișcării rectilinii și uniforme direcția vectorului viteza este fixa.

Accelerația

Într-o mișcare curbilinie oarecare vectorul viteză poate varia atât ca direcție cât și ca

sens (respectiv mărime). O măsură a acestei variații este vectorul accelerație.

17* analog vectorului vitezei medii se definește vectorul accelerației medii

care are direcția vectorului variației .

Vectorul accelera ției instantanee sau momentană

Accelerația instantanee sau momentană reprezintă derivata de ordinul întâi a vitezei

sau derivata a doua a vectorului de poziție în raport cu timpul, iar prin definiție este:



În sistemul de coordonate cartezian ortogonal accelerația poate fi exprimată prin componentele

sale pe cele trei axe de coordonate

Modulul:

Se poate vedea că în timp ce viteza este totdeauna tangenta la traiectorie și orientată în sensul

mișcării, accelerația în mișcarea curbilinie este totdeauna orientată spre interiorul traiectoriei,

adică spre partea concavă a traiectoriei.

Daca se tine cont de expresia:

atunci accelerația instantanee devine:

adică este suma a doi vectori ce au același versor cu viteza și este orientat după tangenta la

traiectorie, se numește componenta tangențială a accelerației. Iar modulul



se datorează variației modulului vitezei. Cel de-al doilea vector este perpendicular pe tangentă,

se notează cu 26* și se numește componenta normală a accelerației având versorul

al normalei la tangenta în punctul al traiectoriei.

Dacă se notează cu – raza de curbură a traiectoriei în punctul atunci se demonstrează că:

și de asemenea se observa că:

Legile de mișcare (cinematice)

1. Legea spa țiului se numește legea generala a spațiului (în general este o integrala

nedefinită) și se determină din relația:

- legea generală a spațiului.

2. Legea vitezei



și se numește legea generală a vitezei.

Observații:

În cazul mișcării curbilinii generale cu vectorul accelerației constant se obține

pentru viteză expresia

Deoarece

În cazul mișcării rectilinii și uniforme, adică constant și

În cazul mișcării uniform variate, adică constant și constant

În cazul mișcării variate propriu-zisă 37*????



Mișcarea circulara

În cazul aceste mișcări, traiectoria mobilului este circulară și are raza constantă.

Mișcarea se caracterizează prin următoarele mărimi:

1. Unghiul la centru și se măsoară în radiani

2. Raza de curbură și se măsoară în metri

3. Arcul de curbură și se măsoară în metri - pentru unghiuri mici 39*.

4. Perioada se măsoară în secunde și este timpul necesar pentru a efectua o rotație

completă.

5. Frecventa reprezintă numărul de rotații efectuate de punctul material în unitatea de

timp

6. Viteza unghiulară și se mai numește viteza instantanee sau

momentană și se măsoară în

7. Viteza tangentă la traiectorie . Se

poate constata că legătura dinte și este

8. Accelerația tangențială , se mai

numește accelerația unghiulară sau instantanee. Vectorial se poate vedea că:



9. Accelerația normală sau centripetă. ;

.

în mișcarea circulară uniformă , iar expresia legii de mișcare se obține din

.

În mișcarea circulară uniform variată .

Elemente de dinamica punctului material

Dinamica este capitolul din mecanică care studiază mișcarea corpurilor ținând cont de

forțele care acționează și de masa acestora. Pe cale experimentală s-a ajuns la concluzia că toate

corpurile din natură prezintă doua proprietăți mecanice fundamentale:

Iner ția

Interac țiunea

Inerția este proprietatea unui corp de ași menține starea de repaus sau de mișcare

rectilinie uniformă, respectiv de a se opune la o acțiune exterioară care caută sa -i schimbe

starea de repaus sau de mișcare rectilinie și uniformă în care se află. Interacțiunea este proprietatea corpurilor de a acționa unu asupra altuia. Mărimea ce

măsoară această interacțiune este vectorul forță. Interacțiunea, respectiv forța se transmite de

la un corp la altul prin legături în mod direct sau la distanță prin intermediul câmpului fizic.

Mărimi dinamice

1. Impulsul

Reprezintă produsul dintre masa corpului și viteza sa:

este o mărime vectorială ce are aceiași direcție și același sens cu vectorul viteză și caracterizează

starea dinamică a unui corp.



2. For ța

Legea fundamentală a mecanicii afirmă că forța rezultantă aplicată punctului material

este egală cu derivata impulsului punctului material în raport cu timpul:

Această lege a doua a lui Newton este considerată atât ca principiu fundamental al mecanicii cât

și ca relație de definiție pentru noțiunea de masă și respectiv de forță. Aplicând regulile

derivatei

În mecanica clasică se presupune că masa punctului material nu variază în timp

este principiul fundamental al dinamicii clasice enunțat de către Newton.

Se definește impulsul forței:

În mecanica clasică este constant, rezultă:



Acțiunea forței asupra unui corp are doua efecte:

Efect dinamic, de modificare a stării de mișcarea a corpului (de accelerare sau încetinire)

Efect static, de modificare a formei sau dimensiunilor sale.

Forțele se pot clasifica în doua categorii

Forțe primare

Forțe secundare

Forțele primare sunt forțele existente în natură și sunt caracterizate prin anumite legi.

Exemple:

Forța de atracție gravitațională este forța ce se exercită de-a lungul liniei ce unește

cele două corpuri de masa și și care se află la distanța unu față de altul.

Greutatea unui corp Este definită ca și este forța cu care un corp de masa

este atras de către pământ. – accelerația gravitațională.

For ța de interac ție dintre două corpuri punctiforme cu sarcinile electrice și

aflate la distanța unu de celalalt:



și poate fi de respingere sau de atracție.

- permitivitatea electrică a mediului

For ța electromagnetică

For ța nucleară

Forțe secundare sunt forțele ce apar ca urmare a exercitării acțiunii forțelor primare.

Exemple:

For ța de inerție este forța cu care corpul se opune accelerării sale.

și are sensul opus vectorului accelerației.

For ța elastică. Dacă sub acțiunea unei forțe exterioare deformatoare un corp își

modifică forma și dimensiunile sale, atunci în interiorul său apar niște forțe interne a

căror rezultantă este egală în modul cu forța deformatoare și este de sens opus

acesteia

– alungirea

În conformitate cu legea lui Hoocke



– constanta de elasticitate a materialului.

– modulul lui Young

– deformarea elastică (alungirea sau comprimarea)

forța elastică este proporțională cu valoarea deformației și este orientată în sens

opus a creșterii acesteia , .

determină ca toate corpurile solicitate să revină sub acțiunea ei laforma inițială.

For ța de frecare. Frecarea este fenomenul de opunere a mediului înconjurător la

deplasarea relativă a unui corp. Acest fenomen conduce la apariția unei forțe de frecare

care este orientată în sens opus vitezei corpului. Această forță determină un lucrul

mecanic rezistent care se transformă în căldura, ceea ce determină micșorarea

randamentului mișcării. Expresia ei este

– Coeficientul de frecare la alunecare

- Forța normală de apăsare pe suprafața de contact dintre doua corpuri.

3. Presiunea



Presiunea raportul dintre mărimea forței exercitată normal și uniform pe

o suprafață și aria a acestei suprafețe. Dimensional

4. Momentul forței în raport cu un pol

Dacă un corp are o articulație fixă (un punct ) în jurul căreia se poate roti liber atunci

aplicând forța corpului el se va roti în jurul unei axe ce trece prin articulație, axă ce

este perpendiculară pe planul definit de articulație și corp.

Efectul de rotație al forței se exprimă prin mărimea fizică numită momentul forței în raport

cu polul și notată cu și este o mărime vectorială definită ca .

Momentul forței este egal cu produsul vectorial dintre vectorul de poziție și vectorul forță.

– brațul forței.

Brațul forței este perpendiculara coborâtă din pe dreapta suport a forței.

Obs: Dacă forța trece prin articulație, atunci momentul forței este egal cu

5. Momentul cinetic (sau momentul impulsului )

Dacă un punct material oarecare , are impulsul , iar poziția sa pe traiectorie se

exprimă față de un pol prin vectorul de poziție



atunci momentul cinetic se exprimă ca fiind produsul vectorial dintre vectorul de poziție și

impuls

sau

6. Lucrul mecanic L

Presupunem că punctul de aplicație a unei forțe oarecare (ce învinge o forțărezistentă) care acționează asupra unui punct material se deplasează de-a lungul unei traiectorii

curbilinii între două puncte și infinitezimal de apropiate. În general forța

.

lucrul mecanic elementar efectuat de această forță este egal cu produsul scalar dintre vectorul

și vectorul de deplasare infinitezimală .

– arată că depinde în general de drumul pe care se deplasează punctul de

aplicație a forței, adică și în nici un caz , ceea

ce înseamnă ca lucrul mecanic nu este o funcție de stare, numai în cazul lucrului mecanic vom

înțelege . Considerăm că are vectorul și are prin integrare obținem



lucrul mecanic total efectuat între punctele și este

și arată ca depinde de drumul pe care se deplasează punctul de aplicație a forței între cele

doua puncte. Dacă constant rezultă

– reprezintă variația vectorului de poziție a punctului de

aplicație.

forțele care au proprietatea că lucrul mecanic efectuat de ele între două puncte de ele nu

depinde de drumul (curba) pe care se deplasează punctele lor de aplicație se numesc forțe

conservative. Aceasta implică următoarea condiție matematică



rezultă că lucrul mecanic efectuat pe un contur închis de această forță este nul,

– afirmație valabilă doar în cazul forțelor conservative. Pe de altă parte folosind

teorema lui Stokes – Amper avem:

7. Puterea mecanică

Puterea mecanică reprezintă raportul dintre lucrul mecanic efectuat întrun interval

de timp și intervalul respectiv de timp . . Puterea instantanee (momentana)

prin definiție este:

sau

Energia mecanică

Energia mecanică este o mărime fizică ce exprimă capacitatea unui corp de a efectua

lucru mecanic când trece dintr-o stare în alta. Energia poate varia, ceea ce înseamnă că se

efectuează un lucru mecanic de către forțele exterioare ce determină această variație. Dacă

energia sistemului crește, adică lucrul mecanic efectuat este motor, daca



energia sistemului scade, ceea ce înseamnă că lucrul mecanic efectuat este rezistent. Energia

mecanică se exprimă sub două forme

Energia cinetică

Energia potențială

Energia cinetică este o mărime ce caracterizează starea de mișcare a unui punct material

și se notează cu sau expresia este

. Dacă asupra unui corp

acționează o forță ce determină o variație a vitezei pe distanța atunci pentru egal

constant

- teorema de variație a energiei cinetice. Această teorie afirmă ca lucrul mecanic efectuat

de către forța rezultantă aplicată punctului material este egala cu variația energieicinetice a punctului material.

Energia potențială. Relația a sugerat posibilitatea definirii unei funcții

astfel încât



se numește energia potențială a punctului de vector de poziție

prin urmare:

sau

Energia potențiala a punctului material într-un punct reprezinta lucrul mecanic cu sens

schimbat efectuat de catre fortele câmpului pentru a aduce punctul material din pucntul de

referința (infinit) în punctul considerat

- teorema de variație a energiei potențiale afirmă că lucrul mecanic efectuat de forțele din

sistem este egal și de semn opus cu variația energiei potențiale a acestuia.

În câmpul gravitațional

În câmpul forțelor elastice



Deoarece energia totală este formată de către suma dintre energia cinetica și cea potențială

rezultă:

- teorema de conservare a energiei mecanice. Când asupra unui punct material acționează

numai forțe conservative suma dintre energia cinetică si cea potențială rămâne constantă.

Oscilații

În general, prin oscilații înțelegem variația în timp și spațiu a mărimilor caracteristice

unui sistem fizic însoțit de o transformare a energiei dintr-o forma în alta. În funcție de natura

mărimilor caracteristice și a formelor de care se transformă distingem: oscilații mecanice,

electromagnetice, electromecanice, termice, nucleare, etc. Oscilațiile în care o anumită mărime

caracteristică revine la aceiași valoare după intervale egale de timp (perioada de

oscilație) se numesc oscilații periodice. Aceste oscilații satisfac relațiapentru oricare ar fi momentul considerat. În

funcție de numărul de parametri independenți ce caracterizează un corp sau un sistem de

corpuri distingem oscilații cu un număr finit de grade de libertate și cu un număr infinit de grade

de libertate. În fiecare clasă putem avea oscilații libere și oscilații întreținute (forțate).

Oscila țiile libere sunt oscilațiile apărute în urma acțiunii unui impuls inițial. Ele pot fi:

neamortizate, când asupra corpului de masă acționează doar forța elastică

, amortizate când pe lângă forțele elastice acționează și o forță de frânare

propoțională cu modulul vitezei corpului.

1*



Oscilațiile întreținute sunt oscilațiile rezultate în urma acțiunii din exterior asupra

corpului sau a sistemului fizic și a unei forțe periodice , pe lângă forța

elastică și forța de frânare .

Oscilațiile mecanice libere cu un singur grad de libertate. Mișcarea oscilatorie armonică.

Oscilațiile mecanice cu un singur grad de libertate reprezintă mișcarea unui corp de masa

(PM) deoparte și de alta a unui punct fix numit centrul de oscilație (centrul mișcării)

însoțită de o transformare a energiei potențiale în energie cinetică și reciproc.

Punctul material de masă se numește oscilator. Mărimile ?????:

1. Elongația (sau ) reprezintă distanța la un moment dat a oscilatorului față de

oscilație.

2. Amplitudinea reprezintă elongația maximă.

3. Perioada reprezintă timpul după care mișcarea se repetă identic

, iar este intervalul de timp ??

4. Frecvența este numărul de oscilații complete întro unutate de timp

5. Pulsația

Dacă asupra oscilatorului liber acționează numai o forță de tip elastic de tipul

avem oscilații libere neamortizate periodice, iar mișcarea se numește oscilatorie

armonică. În acest caz oscilatorul se numește oscilator armonic.

Dacă corpul de masă ce este prins de un arc cu alungirea absolută egală și este

lăsat liber, atunci în absența frecării el va efectua o mișcare oscilatorie între punctele

și . Forța elastică ce este orientată spre originea de oscilație va



imprima corpului o mișcare oscilatorie astfel încât asupra acestuia va acționa și o forță de inerție

orientată în sensul opus forței elastice. Ca urmare principiul fundamental al

dinamicii se va scrie . Mărimea caracteristică ce

variază în timp este elongația 4* k

constanta de elasticitate. 4*?? ecuația cinematică a osc armonic. Această ecuație fiind liniară și

omogenă. Matematica demonstrează că ea admite soluții de tipul ceia ce

face ca prin derivarea acestei funcții de două ori 5* și introducerea ei in (2) cu eliminarea 6* se

obține 7* care generează un sistem de doua ecuații f undamentale descrise de funcțiile 8*

soluția generală a ecuației ??? va fi o combinația a acestor 2 funcții 9* folosint relaiile de

transformare a lui Euler 10* ESTE MAI COMOD SĂ EXPRIMĂM soluția generală sub firmă

trigonometrică folosind funcțiile sinus și cosinus adică 11. Dacă se noteaza 12* dacă fi egal pi/2

oscilatorul se gaseste la depărtarea maximă de pozitia sa de echilibru atunci 13*. Viteza

respectiv accelerația oscilatorului se exprimă prin relațiile 14*valoarea maima a vitezei este 15*

respectv a acceleratiei 16* , energia oscilatorului este egală cu suma dintre energia cinetica si

potentiala la un moment dat 17* această relație ne demonstrează că

energia mecanică a oscilatorului armonic se conservă că și și ca și variază în

opoziție de fază. Aceasta se poate vedea din figura următoare: 18*

Reprezentarea fazorială a oscilațiilor sinusoidale.

Obținerea expresiilor de anumite mărimi ce caracterizează oscilațiile este adesea multușurată dacă se recurge la reprezentarea grafică. Una dintre metodele de reprezentare grafică a

oscilațiilor sinusoidale este metoda fazorială. Prin fazor se înțelege un vector de poziție care se

rotește în jurul originii, în planul cu o anumită viteză unghiulară . Pentru

reprezentarea fazorială a oscilațiilor de forma

se consideră drept fazor



un vector de modul egal cu amplitudinea care se roteşte în jurul originii cu viteza unghiulară

egală cu sau și care face la momentul inițial un unghi cu abscisa.

Compunerea a două oscilații paralele cu aceiași frecventă

Dacă PM este supus concomitent acțiunii a două sau mai multe forțe, acesta va efectua omișcare mai complicată, care rezultă din compunerea mișcărilor pe care le-ar avea punctul

material dacă asupra lui ar acționa numai câte una dintre forțele considerate. Dacă asupra

punctului materia de masă acționează succesiv forțele și după aceeași direcție,

atunci mișcările oscilatorii ale punctului material vor fi:

. Dacă cele

două forțe acționează concomitent atunci mișcarea oscilatorie a punctului material se scrie sub

forma unde este

amplitudinea mișcării oscilatorii rezultante iar este faza mișcării oscilatorii

rezultante și este faza inițială a mișcării oscilatorii rezultante. Prin reprezentarea fazorială a

celor două oscilații și compunerea vectorială a celor doi fazori după regula

paralelogramului de obține vectorul fazor rezultant de modul și faza inițială ce

caracterizează oscilația rezultantă. Cele două oscilați pot fin considerate ca proiecții ale

vectorilor și pe axa , iar vectorii și se rotesc în jurul punctului cu

viteza unghiulară .



Se poate vedea că amplitudinea rezultantă nu depinde numai de amplitudinile

oscilațiilor componente dar și de diferența de fază dintre fazele

inițiale ale oscilației. Astfel distingem trei cazuri particulare:

1. Dacă , adică cele două oscilații sunt în fază, în acest caz amplitudinea

rezultantă are valoarea maximă .

2. Dacă , adică oscilațiile sunt în opoziție de fază, iar

amplitudinea rezultantă are valoarea minimă .

3. Dacă cele două oscilații sunt perpendiculare, iar

amplitudinea rezultantă

Daca , atunci

Deoarece fazorul are modulul constant și se rotește cu viteza unghiulară rezultă

că mișcarea oscilatorie rezultantă este armonică ca și oscilațiile componente.

Compunerea oscilațiilor armonice perpendiculare. Figurile Lissajous.



Considerăm un corp de masă supus acțiunii concomitente a două forțe elastice

perpendiculare ca în figură.

Dacă sub acțiunea uni forțe elastice care acționează după

axa , corpul de masă efectuează o mișcare oscilatorie

, iar sub acțiunea forței elastice orientată după

axa elongația corpului este dată de , atunci, prin

eliminarea timpului (după calcule matematice laborioase), între cele două relații se obține

traiectoria corpului de oscilație ca fiind care

reprezintă ecuația unei elipse înscrise într-un dreptunghi cu laturile și respectiv , ca în

figură: elipsă defazată (axele sale nu coincid cu axele ) diferența de fază luând valori

arbitrare.

În acest caz distingem următoarele situații:

1. Dacă , adică , atunci oscilațiile și sunt în

fază şi ecuația elipsei ( devine un pătrat perfect.

În acest caz traiectoria corpului devine o dreaptă cu panta pozitivă

înscrisă într-un dreptunghi cu laturile și .

2. Dacă:



3. Dacă: , atunci

și traiectoria punctului material este o elipsă centrată (axele sale coincid cu axele )

4. Dacă: și , atunci traiectoria este un cerc

Dacă cele două pulsații ale oscilațiilor sunt diferite, adică , atunci traiectoria

rezultantă este mult mai complicată, iar traiectoria se închide numai dacă raportul pulsațiilor

este egal cu raportul a două numere întregi, adică . În funcție de valorile lui

și se obțin diverse curbe ce se numesc curbele lui Lissajous.



Mișcarea oscilatorie amortizată

Din cauza frecării sistemului oscilant cu mediul exterior, energia totală a oscilațiilor

descrește cu timpul și în consecință amplitudinea acestor oscilații va scădea treptat. Se spune că

în acest caz oscilațiile sunt amortizate sau disipatile. Ca urmare, în condiții reale, asupra corpului

de masa în afara forței elastice și a forței de inerție

acționează și o forță de frecare proporțională cu modulul vitezei

corpului pentru o mare clasa de fenomene fizice, unde este

constanta de elasticitate, iar reziztența mecanică a mediului, ambele constante fiind pozit ive.

Legea fundamentală a dinamicii și respectiv ecuația diferențială corespunzătoare va fi

. Înmulțind relația cu și notând – pulsația armonică proprie corpului oscilatoric

și se obține relația



relație ce reprezintă ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate efectuate de punctul material

de masa . Soluția generală a acestei ecuații conform teoriei ecuațiilor diferențiale din

matematică este de forma , - constante ce

se determină pe baza condițiilor inițiale, iar - soluțiile ecuațiilor caracteristice:

În funcție de valorile numerice ale parametrilor și se disting următoarele 3

situații:

1. Daca , adică forța de frecare este mai mare decât forța elastică, în acest caz

rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și soluția ecuației diferențiale are forma

ambele rădăcini fiind reale și negative, soluția nu-și schimbă semnul, iar

mișcarea este amortizată aperiodic. Iar tinde asimptotic către cu creșterea timpului

conform f igurii

2. Dacă , adică forța de frecare și cea elastică se echilibrează. În acest caz

rădăcinile ecuației caracteristice fiind reale, negative și egale, soluția ecuației diferențiale

este de forma mișcarea punctului material este de

asemenea aperiodică, iar scade tot expenențial la o data cu creșterea timpului, dar

mai pronunțat decât în cazul precedent, fiind numită mișcare aperiodică critică.



Dacă în acest caz forța de frecare este mai mică de cât cea elastică, iar mișcarea

este oscilatorie (radicalul fiind negativ), adică

rădăcinile ecuației

caracteristice sunt complex conjugate respectiv unde

. Soluția generala a ecuației diferențiale poate să fie scrisă astfel sub

următoare formă

Deoarece oricare ar f i constantele complexe și putem găsi două constante

și , astfel încât și și folosind de asemenea

relațiile de transformare a lui Euler pentru expresia din paranteză și utilizând aceleași

notații ca cazul oscilatorului armonic, soluția generală a ecuației diferențiale ia forma

, deci ea indică cum are loc o oscilație în

mod real, adică o oscilație amortizată. Se poate vedea că amplitudinea mișcării

oscilatorie este monoton descrescătoare, adică scade exponențial cu creșterea timpului

conform relației .

Pulsația mișcării oscilatorii amortizate se peate vedea că este diferită de pulsația

proprie a mișcării oscilator armonice. Această oscilație amortizată se mai numește și

pseudo oscilație.

Distanța dintre 2 maxime reprezentând perioada . Perioada mișcării oscilatorii amortizate

este dată de relația și se numește pseudo perioadă. Se observă că



această perioadă este mai mare decât perioada proprie a unui corp ce efectuează

o mișcare oscilator armonică și asupra căruia acționează numai forța elastică (nefiind supus

frecării).

Există câteva mărimi caracteristice amortizării :

Timpul de relaxare a oscilațiilor amortizate, notat cu reprezintă timpul după care

amplitudinea oscilațiilor scade de ori fată de momentul inițial, adică dacă

Decrementul logaritmic al amortizării notat reprezintă logaritlul natural al raportului

dintre două amplitudini succesive ale oscilațiilor amortizate.

Dacă se notează cu numărul de oscilații complete efectuate de oscilator în

perioada , în care amplitudinea mișcării scade de ori atunci rezultă că .

Mărimea se numește atenuare și caracterizează mișcarea amortizatorie.

Dacă atunci mișcarea este aperiodică, iar dacă , atunci mișcarea

este periodică.

Unde elastice.

Definim mediul elastic ca reprezentând un sistem de particule legate (molecule, atomi,ioni, etc.) care interacționează între ele. Dacă într-un punct al mediului elastic se produce operturbație (adică oscilează o particulă), aceasta se propagă din aproape în aproape în întreg



mediu sub formă de undă elastica, deci unda reprezintă o perturbație care se propagă din

aproape în aproape într-un mediu elastic prin intermediul unui câmp. Acest câmp poate fi uncâmp electromagnetic, un câmp al forțelor elastice, un câmp determinat de forțele de presiune

dintr-un gaz, etc.

Perturbația care se propagă în spațiu este în general o funcție de locul din spațiu și de

timp și dacă se notează cu mărimea perturbată, atunci

. Această mărime se numește funcția de undă,

acest poate fi o mărime vectorială (deplasarea mecanică, intensitatea câmpului electric sau

magnetic, etc.) sau o mărime scalară (presiunea, diferența de potențial, etc.). Locul geometric al

punctelor mediului până la care sa propagat unda la un moment dat , iar are aceiași

valoare constantă și se numește suprafață de undă sau front de undă. Adică:

Punctele unui front de undă oscilează în fază. În cazul unui mediu omogen și izotrop suprafețele

de undă generate de un punct sunt sferice, concentrice având centrul comun în sursa

perturbătoare. Dacă toate particulele situate într-un plan perpendicular pe direcția de

propagare a undei oscilează în fază, unda se numește plană. Undele reprezintă un transport de

energie nu și de substanță.

Ecuația undei plane monocromatice.

Presupunem că într-un punct a unui mediu elastic se afla o sursă de vibrații

cosinusoidale sau sinusoidale de forma



unde reprezintă viteza de propagare a undei, – elongația oscilației surse, –

amplitudinea oscilației, iar – pulsația. În cazul undelor plane energia se conservă

de-a lungul direcției de propagare ceea ce înseamnă ca amplitudinea ramâne constantă.

Punctul aflat la distanța va reproduce oscilațiile sursei după un timp necesar

undei pentru a parcurge distanța din în , fiind viteza de propagare a undei, deci punctul

va oscila după legea

, unde

reprezinta lungimea de undă, adică spațiul străbatut de undă timp de o perioadă.

Marimea se numește număr de undă, iar prin introducerea lui în ultima expresie

ecuația undei plane monocromatice divine . Notând

cu versorul directiei de propagare, iar prin vectorul de pozit ie al punctelor spațiului în care

se propagă unda plană, atunci se definește vectorul de undă având modulul ce

este orientat în direcția și sensul de propagare a undei prin relația , în acest caz

ecuația undei plane monocromatice ce se propagă în spațiu în direcția și sensul vectorului de

unda se scrie . Argumentul cosinusului se numește

faza undei și se notează . Suprafețele de undă sunt suprafețe de fază

constantă și sunt perpendiculare în medii izotrope pe direcția de propagare a undei. Într-adevăr

ecuația reprezintă ecuația undei plane sau a unui plan, în

fiecare moment, vectorul fi ind perpendicuar pe acest plan.



Ecuația diferențială a undei plane monocromatice.

În general ecuația diferențială a undelor se poate obține din ecuația fundamentală a

dinamicii scrisă pentru un element de masă infinitezimal, adică ceea ce

înseamnă că ecuația undelor este echivalentă cu ecuația fundamentală a dinamicii. Deoarece

pentru unda plană este mai comod sa obținem această ecuație diferențială, vom efectua mai

întâi derivata de ordin unu și doi a funcției de undă în raport cu timpul, iar apoi derivata de

ordin unu și doi a lui în raport cu . Astfel vom obține:

Raportând relația la relația

și reprezintă ecuația diferențială a undei plane care se propagă după axa . Această ecuație

admite soluția generală de forma , unde



reprezintă unda progresivă, iar se numește unda regresivă. Pentru

unda progresivă suprafețele echifazice (de fază constantă) date de constant se propagă cu

viteza dinspre sursă spre exterior, iar pentru unda regresiva suprafețele echifazice

se propagă cu viteza din exterior înspre sursa de undă aflată în punctul .

Ecuația undelor sferice.

În condiții reale unda se propagă în toate direcțiile și deci elongația punctelor materiale

ale mediului elastic la un moment dat depinde nu numai de ci și de și , adică

. Ecuația diferențială de propagare a undelor elastice în medii

omogene și izotrope, adică a undelor sferice se poate deduce prin generalizarea ecuației

diferențiale după celelalte două direcții și , astfel obținem:

Introducând operatorul lui Laplace , numit și adesea Laplacian,

ecuația diferențială a undelor sferice devine . Această ecuație diferențială

mai poate fi exprimată și prin introducerea operatorului lui D′ Alambert



Ceea ce ne permite sa scrie ca operatorul D′ Alambertian este , adică , unde:

Operatorul lui D′ Alambert numit și adesea D′ Alambert ian este un operator de ordinul doi ceacționează în spațiu cvadridimensional numit și spațiu lui Minkovski, idee care a fost preluată de

Einstein care a intuit că cea de a patra dimensiune este (energia sufletului), - viteza

luminii.

Tipuri de unde elastice. Viteza de propagare a undelor.

După orientarea direcției de oscilație a particulelor unui mediu elastic în raport cu

direcția de propagare a undei distingem două tipuri de unde elastice:

Unde longitudinale la care oscilațiile particulelor au loc în lungul direcției de propagare a

undei (ex: unda sonoră). Undele longitudinale se propagă sub forma unor dilatări și

comprimări succesive ale mediului elastic pe direcția de propagare a undei. Ele sepropagă atât în medii solide cât și în lichide sau gaze.

Unde transversale la care oscilațiile particulelor sunt perpendiculare pe direcția de

propagare a undei (ex: propagarea undei intr-o coardă vibrantă). Ele se propagă doar în

medii solide.

Viteza de propagare a undelor longitudinale în diferite medii are expresiile:

În solide , unde – modulul de elasticitate, – densitatea mediului.

În lichide expresia este asemănătoare, doar că în locul modulului de elasticitate trebuie

introdus modulul de compresibilitate: , unde – modulul de

compresibilitate.



În cazul gazelor modulul de elasticitate se înlocuiește cu presiunea : .

Expresia vitezei undelor transversale este asemănătoare cu cea de propagare a undelor

longitudinale în solide numai că în locul modulului de elasticitate trebuie luat modulul de

forfecare care este egal cu modulul de torsiune : . Deoarece

.

Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I

Documents

Transcript of Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I