FILTRAREA DIGITALĂ (o sinteză pentru studenţi după Intoduction to Digital Filters, Julius O. Smith, Stanford University, California, USA) Filtrarea digitală este o metodă numerică (soft) de reducere a influenţei zgomotului asupra semnalelor utile, sau de eliminare sau extragere a unui semnal având o anumită frecvenţă dintr-un semnal mai complex. Metoda poate fi aplicată asupra semnalelor eşantionate şi memorate. Ea se realizează prin însumarea ponderată (cu coeficienţi reali sau complecşi) a eşantioanelor din orice moment de timp. Un filtru digital poate fi reprezentat ca un dispozitiv la intrarea căruia se aplică o secvenţă de numere, x, iar la ieşirea lui se colectează tot o secvenţa de numere, y (fig.1). x y

INTRARE secventa de numere

IESIREsecventa de numere

FILTRUDIGITAL

Fig.1

Frecvenţa de eşantionare, fs, a semnalului filtrat trebuie să respecte criteriul Nyquist, adică să

fie cel puţin egală cu dublul frecvenţei celei mai mari dintre frecvenţele semnalelor armonice elementare care compun semnalul. Frecvenţa fs/2 a fost denumită frecvenţă Nyquist. Dacă intervalul de timp dintre două eşantioane este Ts (Ts = 1/fs), atunci un semnal analogic de forma:

x(t) = A cos(ωt +Φ) (1)

după eşantionarea la intervale de timp Ts, devine un semnal discret care poate fi scris sub forma:

x(n) = A cos(ωnTs +Φ), n = 0, 1, 2, .... (2)

Eşantioanele x(n) vor reprezenta semnalele de intrare în filtrul digital, sub forma unui şir de numere. Pentru realizarea filtrării digitale, cu aceste eşantioane se pot face însumări ponderate, rezultând eşantioanele de ieşire, tot sub forma unui şir de numere, y(n). Ecuaţia diferenţială

Să considerăm, poate, cel mai simplu exemplu: o însumare cu coeficienţi de ponderare unitari a două eşantioane succesive din semnalul definit de funcţia (2), în care, pentru simplificare, vom considera un semnal cu amplitudinea unitară (A = 1) şi faza iniţială zero (Φ = 0).

)cos()( snTnx ω= (3)

Semnalul de răspuns (ieşire) al filtrului digital va fi:

)1()()( −+= nxnxny (4)

s

D

V

au

( ) [ ]ss TnnTny )1(cos)cos( −+= ωω

ezvoltând termenul al doilea şi grupând apoi termenii, se obţine:

( ) ( ) ( )sssss TnTTnTnTny ωωωωω sin)sin(cos)cos()cos( ++=

(5) ( ) [ ] ( ) ( ) )sin(sincos)cos(1 ssss nTTnTTny ωωωω ++=

om aduce acum expresia semnalului de răspuns al filtrului sub forma:

1

(6) [ ])(cos)()( ωθωω +⋅= snTGny

î D

Ase

R

θ

Ţ

i

E

t

n care:

G(ω) – câştigul filtrului în funcţie de frecvenţă θ(ω) − defazajul introdus de de filtru pentru semnalele cu diferite frecvenţe

acă dezvoltăm cosinusul sumei, ecuaţia (6) devine:

[ ] [ ] )sin()(sin)()cos()(cos)()( ss nTGnTGny ωωθωωωθω ⋅⋅−⋅⋅= (7)

tât ecuaţia (5) cât şi ecuaţia (7) reprezintă răspunsul filtrului. Coeficienţii funcţiilor cos(ωnTs) şi in(ωnTs) din cele două ecuaţii trebuie să fie identici. Din identificarea lor rezultă un sistem de două cuaţii cu două necunoscute, G(ω) şi θ(ω):

)cos(1)(cos)( sTG ωωθω +=

)sin(1)(sin)( sTG ωωθω +=−

ezolvarea sistemului conduce la următoarele soluţii:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

2cos2 sTG ωω (8)

( )2

sTωω −= (9)

inând seama de faptul că fπω 2= şi s

s fT 1

= , expresiile căştigului filtrului şi a defazajului

ntrodus de el ca funcţii de frecvenţă devin: (10) ⎞⎛ f

( ) ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⋅=sf

fG πcos2

f (11)

( )sf

f πθ −=

ste important de reţinut faptul că funcţiile precedente sunt valabile pentru 22

ss fff≤≤− , deoarece

rebuie îndeplinit criteriul Nyquist.

2

- /2π

f /2s f00

0

G f( )

θ( )f f /3s

1

Fig.2

2

În fig.2 sunt prezentate graficele celor două funcţii. Din graficul câştigului se vede că simpla adunare a două eşantione succesive realizează un filtru trece jos. În plus, pentru frecvenţe mai mici decât fs/3, filtrul introduce şi o amplificare a semnalului, acţionând ca un filtru activ. Pe întreg domeniul de frecvenţe acoperit, filtrul introduce un defazaj, liniar dependent de frecvenţă, al semnalului de ieşire în urma semnalului de intrare.

Acelaşi rezultat se obţine şi dacă se consideră cazul cel mai general al unui semnal cu amplitudinea A şi faza iniţială Φ. După eşantionare, eşantioanele n şi n+1 pot fi scrise sub formă complexă (polară):

( ) ( )Φ+= snTjAenx ω

E

s

F

1

a

ca

d

θ

m

(12)

( ) [ ]Φ+−=− sTnjAenx )1(1 ω

şantioanele semnalului de la ieşirea filtrului analizat şi mai sus vor avea forma:

( ) [ ] [ ] Φ−ΦΦ+−Φ+ +=+=−+= jTjnTjjnTjTnjnTj eeAeeAeAeAenxnxny sssss ωωωωω )1(1)()(

au, mai condensat:

( ) Φ−+= jTjnTj eeAeny ss 1)( ωω

olosindu-ne de una dintre relaţiile lui Euler, expresia din paranteză poate fi adusă sub forma:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

−−−−

2cos2 2222 s

TjTjTjTjTj Teeeee

ssss

sωωωωω

ω

stfel încât forma expresia finală a eşantioanelor semnalului de ieşire va fi:

⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛ −Φ+ s

sTnTj ωω (13)

⎦⎣ ⎠⎝⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

2cos2)( s eTAny ω

În general, un eşantion al semnalului de ieşire are forma dată de ecuaţia (12), completată cu âştigul filtrului G(ω) (care multiplică amplitudinea) şi defazajul introdus de filtru θ(ω) (care se daugă fazei iniţiale a semnalului):

([ ))()()( ωθωω +Φ+⋅= snTjeGAny ] (14)

Comparând ecuaţiile (13) şi (14) vom constata că expresiile câştigului filtrului, G(ω), şi efazajului introdus de el, θ(ω), au aceleaşi cu cele din relaţiile (8) şi (9).

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

2cos2 sTG ωω (8)

( )2

sTωω −= (9)

Expresia (14) poate fi scrisă sub forma: ( )[ ] ( )Φ+⋅⋅= snTjj AeeGny ωωθω)()(

Se poate observa că eşantionul de ieşire y(n) se obţine din eşantionul de intrare x(n) prin ultiplicarea lui cu o funcţie pe care o vom numi funcţie de transfer, H(ejωTs):

( ) )()( nxeHny sTj ⋅= ω

(15)

3

în care:

( ) )()( ωθω ω jTj eGeH s ⋅= (16)

avî

si

ar

C D Un Î

Îf

TSu

.

.

În ecuaţia (4) care descrie comportarea filtrului analizat anterior, apare suma a două eşantioane,

mbele de la intrarea filtrului: eşantionul actual, x(n) şi cel imediat precedent, x(n-1). Având în edere că un filtru digital operează cu un semnal eşantionat memorat sub forma unui şir de numere, n expresia semnalului filtrat pot să apară:

eşantioane prezente şi trecute de la intrare eşantioane prezente şi trecute de la ieşire

Ambele tipuri de eşantioane pot fi ponderate cu coeficienţi numerici pozitivi sau negativi, ubunitari sau supraunitari, reali sau complecşi. Cea mai generală ecuaţie pentru un eşantion de la eşirea filtrului digital poate fi scrisă sub forma:

)(...)2()1()(...)1()()( 211 NnyanyanyaMnxbnxbnxbny NMo −−−−−−−−++−+=

j şi bi fiind coeficienţii de ponderare. Astfel, în domeniul timp, orice filtru digital poate fi eprezentat printr-o ECUAŢIE DIFERENŢIALĂ:

(17) NM

)()()(10

jnyainxbnyj

ji

i −−−= ∑∑==

oeficienţii bi sunt coeficienţii de transfer direct, iar coeficienţii aj sunt coeficienţii de reacţie.

acă cel puţin un coeficient de reacţie este nenul atunci se spune despre filtru că este recursiv.

n filtru care acţionează identic în orice moment de timp şi care nu introduce componente spectrale oi în semnalul filtrat se numeşte filtru liniar invariant în timp – LTI.

n funcţie de natura coeficienţilor de ponderare, filtrele digitale LTI pot fi clasificate în: filtre reale – în care coeficienţii aj şi bi sunt reali filtre complexe – în care coeficienţii aj şi bi sunt complecşi

n funcţie poziţia temporală faţă de eşantionul de ieşire a eşantioanelor luate în calcul de filtru, iltrele LTI pot fi:

filtre cauzale – care utilizează numai eşantioane prezente şi trecute filtre non-cauzale – care utilizează şi eşantioane viitoare de la intrare

ransformata „z” criind expresiile complexe ale eşantionului actual al semnalului de intrare şi ale eşantioanelor rmătoare ale acestuia:

( ) ( Φ+= snTjAenx ω )

( ) ( ) sss TjTjnTj enxeAenx ωωω −−Φ+ ⋅=⋅=− )(1

( ) ( ) sss TjTjnTj enxeAenx ωωω 22 )(2 −−Φ+ ⋅=⋅=− (18)

..................................................................

( ) ( ) sss TjkTjknTj enxeAeknx ωωω −−Φ+ ⋅=⋅=− )(

..................................................................

4

vom observa existenţa factorului la o putere care depinde de „numărul de ordine” al eşantionului întârziat. Spunem că factorul exprimă întârzierea cu kT

sTje ω−

sTjke ω−s intervale de timp a

eşantionului care este în urma eşantionului actual. Dacă în locul variabilei complexe se introduce variabila reală z: sTje ω

sTjez ω= (19)

aml

e

t

Ea

C

T

T

c

tunci, pentru orice componentă armonică cu frecvenţa ω a unui semnal oarecare, eşantionul la omentul de timp (n-k)Ts poate fi obţinut din eşantionul la momentul de timp nTs prin multiplicarea

ui cu factorul : kz−

kznxknx −⋅=− )()(

(20)

Prin multiplicarea fiecărui eşantion x(nTs) al semnalului cu z la puterea corespunzătoare poziţiei şantionului în şirul de numere, se obţine TRANSFORMATA „z” a funcţiei:

∞

−n (21)

∑=

⋅≡0

)()(n

znxzX

Atunci când , transformata z se numeşte unilaterală, iar atunci când ),0[ +∞∈n ),( +∞−∞∈n , ransformata z se numeşte bilaterală.

O altă notaţie acceptată şi folosită pentru transformata z a semnalului x este . )()( zXxZ ≡

xemplu: fie un semnal de intrare eşantionat, reprezentat prin şirul de numere (vectorul) egale cu mplitudinile eşatioanelor sale la diferite momente de timp, distanţate între ele cu Ts.

x = [... 0 0 2 1 3 0 0 ...] n=0 n=1 n=2

onform definiţiei ei (21), transformata z unilaterală a acestui semnal va fi: 210 312)( −− ⋅+⋅+⋅= zzzzX

ransformata z este un operator liniar Dacă semnalul de intrare este o combinaţie liniară a mai multor semnale, atunci transformata z a acestuia va fi o combinaţie liniară a transformatelor z individuale:

{ } { } { } )()()()()()( 212121 zXzXnxZnxZnxnxZ ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅ βαβαβα (22)

eorema deplasării Transformata z a unui semnal întârziat este egală cu transformata z a semnalului neîntârziat multiplicată cu z la puterea „-” numărul intervalelor de întârziere:

{ } { } )()()( zXznxZzMnxZ MM ⋅=⋅=− −− (23)

Cunoscând acum transformata z şi proprietăţile ei, să o aplicăm filtrului studiat la începutul apitolului:

x(n) y(n)-1

)1()()( −+= nxnxny

z +

Fig.3

5

Schematic, filtrul care lucrează după acest algoritm poate fi reprezentat ca în fig.3. Dacă funcţiei care descrie funcţionarea filtrului îi aplicăm transformata z şi ţinem seama de

proprietăţile ei, vom obţine:

{ } { } { } { } { } { } { })()1()()()1()()1()()( 110 nxZznxZznxZznxZnxZnxnxZnyZ ⋅+=⋅+⋅=−+=−+= −−

sau

)()1()( 1 zXzzY ⋅+= −

tpi

sî

Î

fa

Ac

A

1

Cfa Ae

A

Se poate observa că transformata z a semnalului eşantionat de ieşire, Y(z), este egală cu

ransformata z a semnalului eşantionat de intrare, X(z), multiplicată cu un polinom în z. Forma olinomului este funcţie de care dintre eşantioanele semnalului de intrare contribuie la semnalul de eşire.

În general, se ştie că raportul dintre semnalul de la ieşirea unui bloc care prelucrează un emnal aplicat la intrarea sa şi semnalul de intrare defineşte funcţia de transfer a acelui bloc. Şi n cazul filtrului analizat mai sus, se poate spune că:

rapotul dintre transformata z a semnalului de ieşire şi transformata z a semnalului de intrare raprezintă transformata z a funcţiei de transfer a filtrului

)(zY (24)

)(

)(zX

zH =

n cazul exemplului nostru: 11)( −+= zzH (25)

Dar ce putem face dacă cunoaştem expresia polinomului reprezentând funcţia de transfer a iltrului? Dacă în ea se înlocuieşte z cu , se pot obţine două informaţii despre modul de acţiune l filtrului:

sTje ω

expresia în ω a funcţiei de transfer, din care va rezulta dependenţa de frecvenţă a modulului funcţiei de transfer şi a defazajului introdus de filtru la diferite frecvenţe

polii şi zerourile funcţiei de transfer, prin factorizarea polinomului în z.

stfel, dacă în expresia (25) a transformatei z a funcţiei de transfer a filtrului studiat se înlocuieşte z u , obţinem: sTje ω

sTjs eTjH ωω −+= 1)(

m demonstrat anterior că:

2

2cos2

s

s

TjsTj eTe

ωω ω −− ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=+

omparând expresia precedentă cu expresia funcţiei de transfer (16) vom obţine pentru câştigul iltrului, G(ω) şi pentru defazajul introdus de el, θ(ω), aceleaşi expresii cu cele deduse anterior prin lte modalităţi (expresiile (8) şi (9)), dar, de această dată, cu mult mai puţine calcule.

m arătat mai sus, ec.(17), că modul de acţiune a unui filtru poate fi descris prin intermediul unei cuaţii diferenţiale, care explicitată, este:

)(...)2()1()(...)1()()( 211 NnyanyanyaMnxbnxbnxbny NMo −−−−−−−−++−+=

plicînd acesteia transformata z se obţine:

{ } ( ) { } ( ) { })(...)(...)( 22

11

22

11 nyZzazazanxZzbzbzbbnyZ N

NM

Mo ⋅+++−⋅++++= −−−−−−

6

din care se poate scrie expresia transformatei z a funcţiei de transfer a filtrului ca RAPORT A DOUĂ POLINOAME exprimate în z:

)(...)( 22

11 zBzbzbzbbzY M

Mo ++++ −−−

Fî

R

dic1aff

E

Si

l0

x

FihA

(26) )(...1)(

)( 22

11 zAzazazazX

zH NN

=++++

== −−−

iltrele digitale pot fi combinate în serie şi în paralel. Având în vedere proprietăţile transformatei z, n cazul cel mai simplu a două filtre digitale se poate scrie că:

în cazul combinaţiei serie )()()( 21 zHzHzH ⋅= în cazul combinaţiei paralel )()()( 21 zHzHzH +=

ăspunsul la impuls. Convoluţia Răspunsul unui filtru la un semnal poate fi găsit şi dacă la intrarea sa se aplică un impuls unitar

e tip δ şi i se analizează răspunsul. Se ştie că o funcţie δ(t) ia valoarea 1 pentru t = 0, pe restul ntervalului ea fiind nulă (fig.4a). Se mai ştie că, din punct de vedere formal, o funcţie δ poate fi onsiderată ca o suprapunere de impulsuri infinit de înguste şi infinit de înalte a cărei integrală este . În sfârşit, se mai ştie că o analiză Fourier a funcţiei δ arată că în spectrul ei se regăsesc semnale rmonice cu toate frecvenţele de la la ∞− ∞+ (fig.4b). Datorită acestui fapt, dacă la intrarea unui iltru se aplică un impuls unitar de tip δ, la ieşire vom obţine răspunsul său la toate recvenţele.

0

1x

t

transformata Fourier

f

a) b)

Fig.4

xemplu

15,0 −⋅+= nynxnyx = δ y = h

Fig.5

ă considerăm un filtru digital (fig.5) pentru care un eşantion de eşire se calculează cu relaţia:

( ) ( ) ( )15,0 −⋅+= nynxny

a intrarea căruia se aplică un impuls unitar de tip δ la momentul t = . Eşantioanele semnalului de intrare vor fi:

(0) = 1, x(1) = 0, x(2) = 0, ... , x(j) = 0

iind vorba de un semnal particular, impuls unitar δ, aplicat la ntrare, vom folosi pentru semnalul de ieşire o notaţie particulară, (n), care să reprezinte răspunsul filtrului la impulsul unitar. stfel, eşantioanele semnalului de ieşire vor fi: Fig.6

0

1

x

t

0

1

y = h

t

7

( ) ( ) ( ) 105,0115,000 =⋅+=−⋅+= hxh

( ) ( ) ( ) 5,015,0005,011 =⋅+=⋅+= hxh

( ) ( ) ( ) 25,05,05,0015,022 =⋅+=⋅+= hxh

( ) ( ) ( ) 32 5,05,05,0025,033 =⋅+=⋅+= hxh

..............................................................

( ) ( ) ( ) nnnhnxnh 5,05,05,0015,0 1 =⋅+=−⋅+= −

Se observă imediat că răspunsul filtrului la impulsul unitar δ poate fi scris:

⎩⎨⎧

≥=

0npentru 0,50npentru 0

)( n

<nh

Din fig.6 se poate observa că funcţia de răspuns a filtrului descreşte monoton în timp. Ecourile semnalului de intrare se sting treptat în timp, ceea ce înseamnă că filtrul este stabil.

În general, dacă când 0)( →nh ∞→

)0()2()1()1()2()0()2( hxhxhxy

n ,se spune despre filtru că este stabil

Să presupunem că la intrarea unui filtru digital care are următorul răspuns la impulsul δ:

[ ] (3) (2) (1) (0)

1 1 1- 2 )(hhhh

nh =

aplicăm semnalul eşantionat:

[ ](5) (4) (3) (2) (1) (0)

1 1 2 2- 1- 0 )(xxxxxx

nx =

0

1

234

-4

-3-2-1

0

1234

-4-3-2-1

0

1234

-4

-3-2-1

0

1234

-4

-3-2-1

0

1234

-4

-3-2-1

0

1

234

-4

-3-2-1

x(0)h(i)

x(1)h(i)

x(2)h(i)

x(3)h(i)

x(4)h(i)

x(5)h(i)

n

n

n

n

n

n

x(0)

h(3)

x(1)

h(2)

x(2)

h(1)

x(3)

h(0)

0

1234

-4

-3-2-1

4x(n)

n

14 151311 1210987654321

SEMNALUL DE INTRARE

0

1234

-4-3-2-1

h(n)h(n)

n

RASPUNSUL FILTRULUILA IMPULSUL δ

RASPUNSUL FILTRULUILA IMPULSUL x(0)

RASPUNSUL FILTRULUILA IMPULSUL x(1)

RASPUNSUL FILTRULUILA IMPULSUL x(2)

RASPUNSUL FILTRULUILA IMPULSUL x(3)

RASPUNSUL FILTRULUILA IMPULSUL x(4)

RASPUNSUL FILTRULUILA IMPULSUL x(5)

Semnalul de intrare poate fi considerat ca o sumă de impulsuri infinit scurte, întârziate şi scalate (având amplitudini care pot fi diferite de 1). Fiecare impuls al semnalulului de intrare care trece prin filtru va determina la ieşire un răspuns de tip h(n), întârziat cu acelaşi interval de timp ca şi impulsul de la intrare şi scalat cu amplitudinea acestuia. Astfel, la un moment de timp bine determinat, la ieşire vor ajunge simultan mai multe impulsuri de răspuns de la diferite impulsuri de intrare. Amplitudinea impulsului de la ieşire în acel moment de timp va fi suma algebrică a tuturor contribuţiilor individuale care se suprapun.

În fig.7 sunt prezentate semnalul de intrare, semnalul de răspuns al filtrului la un impuls δ, precum şi semnalele de răspuns al filtrului la fiecare impuls de la intrare. Pe baza algoritmului de funcţionare descris mai sus se pot scrie expresiile individuale pentru fiecare eşantion al semnalului de ieşire. Astfel:

)0()0()0( hxy ⋅=

)0()1()1()0()1( hxhxy ⋅+⋅=

Fig.7 ⋅+⋅+⋅=

8

)0()3()1()2()2()1()3()0()3( hxhxhxhxy ⋅+⋅+⋅+⋅=

)0()4()1()3()2()2()3()1( )4( hxhxhxhxy ⋅+⋅+⋅+⋅=

)0()5()1()4()2()3()3()2( )5( hxhxhxhxy ⋅+⋅+⋅+⋅=

)1()5()2()4()3()3( )6( hxhxhxy ⋅+⋅+⋅=

)2()5()3()4( )7( hxhxy ⋅+⋅=

)3()5( )8( hxy ⋅=

În expresiile de mai sus nu am mai scris termenii în care cel puţin unul dintre eşantioanele care se înmulţesc este nul. Se observă că indicele eşantionului de ieşire este suma dintre indicele eşantionului de intrare şi indicele eşantionului din răspunsul la impulsul δ, pentru toţi termenii dintr-o sumă.

Fără mare greutate se observă, de asemenea, că se poate scrie o formulă generală pentru calculul valorilor eşantioanelor de ieşire. Dacă N este numărul eşantioanelor de intrare şi M este numărul eşantioanelor funcţiei de răspuns a filtrului la impulsul δ, această relaţie de calcul poate fi scrisă sub forma:

(27)

∑=

−⋅=M

jjnhjxny

0)()()(

Numărul eşantioanelor de ieşire este: N + M – 1

Relaţia precedentă reprezintă convoluţia dintre cele două şiruri de numere, astfel încât se poate spune că dacă la intrarea filtrului se aplică un semnl oarecare atunci:

semnalul de ieşire va fi CONVOLUŢIA dintre semnalul de intrare, x(n), şi funcţia de răspuns, h(n), a filtrului la impulsul unitar δ:

(28) )()()( nhnxny ∗=

RA

Co

(

Observaţie: din algebră se ştie că atunci când se înmulţesc două polinoame, şirul coeficienţilor termenilor polinomului produs este convoluţia dintre şirurile reprezentând coeficienţii celor două polinoame.

ăspunsul în frecvenţă m văzut că expresia transformatei z unilaterale (ec.21) a unui semnal eşantionat este:

∑∞

=

−⋅≡0

)()(n

nznxzX

sTjez ω=

onsiderând cazul cel mai general al transformatei z bilaterale şi făcând substituţia , bţinem ecuaţia:

(29) ∞→

−n

nTjTj ωω

care nu este altceva decât Transformata Fourier Discretă în Timp

DTFT) a semnalului x(n).

( ) ∑−∞→

⋅=n

ss enxeX )(

O proprietate importantă a transformatei z este aceea că făcând substituţia se obţine spectrul în frecvenţă al funcţiei originale.

sTjez ω=

9

Se ştie că operaţia de convoluţie în domeniul timp are drept corespondent produsul în domeniul frecvenţă. Astfel, operaţia de convoluţie care descrie modul de acţiune a unui filtru digital (ec.27) are drept corespondent în domeniul timp produsul transformatelor Fourier:

( ) ( ) ( )sss TjTjTj eHeXeY ωωω ⋅= (30) în care ( )sTjeH ω este transformta Fourier discretă în timp a funcţiei de răspuns a filului la impulsul δ:

( ) )(hDTFTeH sTj

ωω = (31)

D

R Mr

D

Răspunsul în frecvenţă al filtrului digital este Transformata Fourier Discretă în Timp (DTFT)a răspunsului filtrului la impulsul unitar δ.

in ec.(30) se poate concluziona că:

Răspunsul în frecvenţă al unui filtru liniar invariant în timp, ( )sTjeH ω , este raportul dintre spectrul în frecvenţă al semnalului de ieşire şi spectrul în frecvenţă al semnalului de intrare.

EZUMAT

odul în care un filtru digital poate acţiona asupra unui semnal eşantionat şi memorat, x(n), poate fi eprezentat în patru moduri:

NM

ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ

)(zH = FUNCŢIA DE TRANSFER

RĂSPUNSUL LA IMPULS UNITAR δ

RĂSPUNSUL ÎN FRECVENŢĂ

Răspunsul în frecvenţă al filtrului digital poate fi sc

( ) )()( ωθω ω jTj eGeH s ⋅=

acă forma explicită a acestuia este cunoscută, atun

câştigul la fiecare frecvenţă

defazajul introdus de filtru la fiecare frecven

10

)()()(10

jnyainxbnyj

ji

i −−−= ∑∑==

)(...)( 22

11 zBzbzbzbbzY M

Mo ++++ −−−

)(...1)( 22

11 zAzazazazX N

N

=++++

= −−−

)()()( nhnxny ∗=

ris sub for

ci din expr

θ (ţă

( ) )(hDTFTeH sTjω

ω =

ma:

esia ei pot fi calculate:

( )sTjeHG ωω =)(

( )[ ]sTjeH ωIm

( )[ ]sTjeH

arctg ωωRe

) =

Poli şi zerouri (analiză grafică) Să considerăm funcţia de transfer a unui filtru digital scrisă ca un raport de două polinoame în z (ec.26), pe care o rescriem sub forma:

NN

M

o

M

ooo zazaza

zbbz

bbz

bb

bzH −−−

−−−

++++

++++=

...1

...1)( 2

21

1

2211

Introducând notaţiile : bo = g şi gb

bb i

o

ii ==β , obţinem:

NN

MM

zazazazzzgzH −−−

−−−

++++++++

=...1...1)( 2

21

1

22

11 βββ (32)

Cele două polinoame de la numărător şi numitor pot fi factorizate. Să ne reamintim că un

polinom, P(x) de gradul k poate fi scris ca:

( ) ( ) ( ) ( )kxxxxxxxP −⋅⋅−⋅−= ...21

în care x1, x2, ... , xk sunt rădăcinile ecuaţiei P(x) = 0. Pentru a aduce polinoamele de la numărătorul şi numitorul funcţiei de transfer la forma de mai

sus, se dă factor comun z-M la numărător, respectiv z-N la numitor:

NNNN

MMMM

N

M

azazazzzz

zzgzH

++++++++

⋅⋅= −−

−−

−

−

......)( 2

21

1

22

11 βββ (33)

Dacă q1, q2, ... , qM sunt rădăcinile numărătorului şi p1, p2, ... , pN sunt rădăcinile numitorului, atunci, după factorizare, funcţia de transfer devine:

( ) ( ) (( ) ( ) (

))N

MN

M

pzpzpzqzqzqz

zzgzH

−⋅⋅−⋅−−⋅⋅−⋅−

⋅⋅= −

−

......)(

21

21 (34)

Forma finală a ei o vom obţine după efectuarea substituţiei : sTjez ω=

(35)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )N

TjTjTjM

TjTjTj

NTj

MTj

pepepeqeqeqe

eegzH

sss

sss

s

s

−⋅⋅−⋅−

−⋅⋅−⋅−⋅⋅= −

−

ωωω

ωωω

ω

ω

......)(

21

21

În cazul general, funcţia de transfer este complexă, de forma Re + jIm. Pentru fiecare frecvenţă ea va avea un modul ( )22 ImRe +

şi va introduce un defazaj ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

ReImarctgθ .

Astfel, funcţia de transfer pentru o frecvenţă dată poate fi reprezentată grafic ca un segment de dreaptă cu lungimea egală cu modulul ei, perpendicular pe planul complex z, în punctul de coordonate (Re, Im), aşa cum este arătat în fig.8.

jIm

Re

H(z)

planul z

0

Fig.8

11

Astfel, mulţimea valorilor lui H(z) va determina o suprafaţă vălurită, asemănătoare unei forme de relief variate, cu dealuri şi văi. Analizând ecuaţia (35) vom observa că dacă oricare dintre parantezele de la numărător se anulează, modulul funcţiei de transfer se anulează şi el. În aceste puncte suprafaţa este tangentă la planul z şi ele sunt denimite zerourile funcţiei de transfer. Vîrfurile „dealurilor”, care reprezintă maximele modulului funcţiei de transfer, sunt denumite polii funcţiei de transfer.

numărul zerourilor funcţiei de transfer este determinat de numărul M al eşantioanelor de intrare care sunt folosite în algoritmul de calcul

numărul polurilor funcţiei de transfer este determinat de numărul N al eşantioanelor de ieşire care sunt folosite în algoritmul de calcul

Se defineşte ordinul filtrului ca fiind numărul mai mare dintre M şi N. Se vede imediat că ordinul filtrului este determinat de gradul cel mai mare al polinoamelor de la numărătorul şi numitorul funcţiei de transfer.

În general soluţiile qi şi pj pot fi numere complexe, ceea ce înseamnă că putem lucra cu ele într-o reprezentare fazorială în planul complex. De asemenea, sTje ω poate fi reprezentat ca un fazor cu lungimea egală cu unitatea ( )1=sTje ω originea în originea planului complex şi orientat în funcţie de frecvenţa semnalului şi de timpul de eşantionare (fig.9).

Fieca

, având

re paranteză din expresia funcţiei de transfer (35) reprezintă diferenţa dintre fazorul unitar şi un vector de lungime qi sau pj.

Fig.9 Din expresia modulului funcţiei de transfer, G(ω), care reprezintă câştigul filtrului:

jIm

Re

x

01

1

-1

-1

ej Tsω

e -pj Tsω

pωTs

e -qj Tsω

pol q

zero

f = 0f f= /2s

f f= /4s

( )N

NTjTjTj

MTjTjTj

pepepe

qeqeqegzHG

sss

sss

−⋅⋅−⋅−

−⋅⋅−⋅−⋅==

ωωω

ωωω

ω...

...)(

21

21 (36)

se poate concluziona că:

răspunsul în amplitudine al filtrului este reprezentat de raportul dintre produsul modulelor vectorilor construiţi din zerouri până la punctul de pe cercul unitar determinat de frecvenţă şi timpul de eşantionare şi produsul modulelor vectorilor construiţi din poli până în acelaşi punct.

Analizând în continuare expresia funcţiei de transfer (36) vom observa că răspunsul în fază al filtrului poate fi calculat cu următoarea realaţie:

( ) ( )( ) ( ) (( ) ( ) ( M

TjTjTjM

TjTjTj

s

pepepe

qeqeqe

TMN

sss

sss

−∠−−−∠−−∠−

−−∠++−∠+−∠+

+−∠=

ωωω

ωωω ))

ωωθ

...

...

21

21 (37)

unde cu simbolul „ ” am notat unghiul format de vectorul corespunzător expresiei din paranteză cu axa Re (sau cu o dreaptă paralelă cu aceasta).

∠

Să ne reamintim că polii unui filtru reprezintă puncte de extrem ale filtrului, adică posibile puncte de instabilitate. Afirmaţia este susţinută şi de faptul că polii sunt determinaţi de rădăcinile polinomului de la numitor, iar termenii numitorului conţin semnale de la ieşire poderate cu

12

coeficienţii de reacţie. Din electronică (şi nu numai) se ştie că, în anumite condiţii, reacţia poate conduce la instabiltăţi ale sistemului. Se spune că:

un filtru este stabil dacă şi numai dacă toţi polii lui se află în interiorul cercului unitar din planul z.

Vom considera căteva exemple simple pentru a vedea modul de aplicare a metodei grafice de analiză.

Exemplul 1

Filtrul trece jos analizat anterior şi prin alte metode, a cărui funcţionare este descriă de ecuaţia:

)1()()( −+= nxnxny

etapa 1a – transformata z

)()1()()()( 11 zXzzzXzXzY ⋅+=⋅+= −−

etapa a 2a - funcţia de transfer

)()()1(

)()()( 11

zAzBzzz

zXzYzH ⋅=+== −−

Din analiza funcţiei de transfer observăm: filtrul este de ordinul 1 filtrul are un zero filtrul nu are nici un pol

etapa a 3a – rădăcinile polinoamelor

1 0)1()( 1 −=⇒=+= qzzB

zeroul filtrului este real, la frecvenţa fs/2

etapa a 4a – câştigul filtrului

din reprezentarea grafică pentru o frecvenţă oarecare f (fig.10), se poate calcula foarte uşor lungimea vectorului , care reprezintă modulul câştigului filtrului, G(ω):

1qe sTj −ω

( ) ( )

2cos4

cos12cos211

22

22

T

TTG ss

ω

ωωω

=

+=++=

jIm

Re

0 1

1

-1

-1

ej Tsω

ωTs

e -qj Tsω 1

q1zeroθ1

sau,

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

sfffG πcos2

care este identică cu ec.(10).

etapa a 5a – defazajul introdus de filtru

din aceeaşi reprezentare grafică, cunoscând relaţiile dintre unghiuri într-un cerc, se vede imediat că: Fig.10

21sTωθ = sau ( )

sfff πθ =1

13

Pentru a calcula defazajul total, la defazajul θ1 mai trebuie adăugat defazajul datorat factorului

din expesia funcţiei de transfer: sTjez ω−− =1

jIm

Re

01

1

-1

-1

ej 2π/

ωΤs = /2π

q1zero

θ = π/41

2

f f= /4s

sso f

fT πωθ 2−=−=

Astfel, defazajul total introdus de filtru va fi:

so f

fπθθθ −=+= 1

care este identic cu cel din ec.(11). În Fig.11 sunt prezentate construcţia grafică şi

rezultatele numerice pentru cazul particular, f = fs/4. Analizând rezultatele obţinute vom constata că

ele sunt aceleaşi cu cele obţinute prin celelalte metode de calcul.

Fig.11

Exemplul 2 Vom considera filtrul digital cu umătorul algoritm de calcul:

)1()1()()( −+−+= nynxnxny

Spre deosebire de filtrul precedent, la semnalul de ieşire contribuie (cu ponderea 1) şi eşantionul de la ieşire calculat cu un pas înainte.

etapa 1a – transformata z 11 )()()()( −− ⋅+⋅+= zzYzzXzXzY

etapa a 2a - funcţia de transfer

)()(

11

11

)()()( 1

1

zAzB

zz

zz

zXzYzH =

−+

=−+

== −

−

Din analiza funcţiei de transfer observăm: filtrul este de ordinul 1 filtrul are un zero filtrul are un pol

etapa a 3a – rădăcinile polinoamelor

1 01)( 1 −=⇒=+= qzzB

zeroul filtrului este real, la frecvenţa f = fs/2

1 01)( 1 =⇒=−= pzzA

polul filtrului este real, la frecvenţa f = 0

etapa a 4a – câştigul filtrului din repezentările grafice prezentate în fig.12 se calculează lungimile vectorilor rezultanţi: Fig.12

jIm

Re0 1

1

-1

-1

ej Tsω

ωTs

e -qj Tsω 1

q1zeroθ1

p1pol

x

e -pj Tsω1

θ2

2cos211

sTj Tqed sωω =−=

2sin212

sTj Tped sωω =−=

14

cu care se calculează expresia modulului funcţiei de transfer:

( )2

ctg2

1 sTddG ωω == sau

e

θ

occ

G f( )

⎞⎛ f

E

y

e

Y

e

H

emne

θ

d

t

f

tapa a 5a – defazajul introdus de filtru

( )22 1121πθπθθθω −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−= sau

f /2s f00

θ( )f f /4s

1

( ) ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=sf

fG πctg

π

Din reprezentările grafice din fig.13 se poate bserva că filtrul analizat este unul de tip trece-jos, u o particularitate interesantă: introduce un defazaj onstant de –π/2, indiferent de frecvenţă. Fig.13

- /2π

0( ) const. 2

=−=θ f

xemplul 3

)1()2()1()( −+−+−= nynxnxn

tapa 1a – transformata z 121 )()()()( −−− ⋅+⋅+⋅= zzYzzXzzXz

tapa a 2a - funcţia de transfer

)()(

11

11

1)()()( 11

1

2

1

21

zAzBz

zzz

zz

zz

zzz

zXzYz ⋅=

−+

=−+

⋅=−+

== −−−

−

−

−−

filtrul este de ordinul 1 filtrul are un zero filtrul are un pol

Din analiza funcţiei de transfer observăm că a este aceeaşi cu cea a filtrului din Ex.2, ultiplicată cu factorul . Acest factor

u influenţează câştigul filtrului deoarece sTje ω−− =1z

1=− sTjω , dar introduce un defazaj suplimentar,

sso f

fT πω 2−=−= . Acesta se adaugă defzajului

e 2π

− al filtrului din Ex.2, rezultând defazajul

otal: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

412

sffπθ , reprezentat grafic în

ig.14. Fig.14

- /2π

f /2s f0

θ( )ff /4s

-π

-3 /2π

15

ANEXĂ

0 0 0 x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6)

h(3) h(2) h(1) h(0)X X X X

y(0)

0 0 x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6)

h(3) h(2) h(1) h(0)X X X X

y(1)

0 x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6)

h(3) h(2) h(1) h(0)X X X X

y(2)

X(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6)

h(3) h(2) h(1) h(0)X X X X

y(3)

X(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) 0 0 0

h(3) h(2) h(1) h(0)X X X X

y(9)

“MASINA” DE CONVOLUTIE

Un filtru TRECE-JOS este un grup de puncteadiacente pozitive. Daca suma punctelor este 1, raspunsul filtrului la f = 0 Hz este egal cu 1.

Un filtru TRECE-SUS este un grup de puncteadiacente negative si unul pozitiv. Daca suma punctelor este 0, raspunsul filtrului la f = 0 Hz este egal cu 0.

Un filtru care are functia de raspuns la impulsh(n) = (n- i), lasa sa treaca neatenuate toate frecventele

δ

0

1

-1

h(n) = (n - 3)δ

n

0

1

-1

h(n)

n

0

1

-1

h(n)

n

16