F I L T R E

DORINA ISAR ALEXANDRU ISAR

F I L T R E

EDITURA POLITEHNICA TIMIŞOARA – 2003

DORINA ISAR ALEXANDRU ISAR

FILTRE

EDITURA POLITEHNICA TIMIŞOARA – 2003

CUPRINS PREFAŢA 9 CAPITOLUL 1. Introducere 11 1.1. Tipuri de filtre ideale 11

1.1.1.Filtrul trece jos ideal 11 1.1.2. Filtrul trece sus ideal 12 1.1.3. Filtrul trece bandă ideal 12 1.1.4. Filtrul opreşte bandă ideal 13

1.2. Aproximarea caracteristicilor filtrelor ideale 14 1.2.1. Aproximarea de tip maxim plat 15 1.2.2 Aproximarea de tip minimax a caracteristicii de modul a funcţiei de transfer a filtrului trece jos ideal 19

1.2.2.1. Polinoame Cebîşev 20 1.2.2.2 Determinarea aproximării Cebîşev în banda de trecere a filtrului trece jos ideal 23

1.2.3. Aproximarea caracteristicii de fază a filtrului trece jos ideal 29 1.3. Îmbunătăţirea RSZ prin filtrare liniară 32

1.3.1. O nouă modalitate de estimare a benzii echivalente de zgomot a unor filtre trece jos realizabile 34 1.3.2. Utilizarea filtrelor transversale pentru prelucrarea semnalelor periodice 44

CAPITOLUL 2. METODE DE SINTEZĂ A FILTRELOR 51 2.1. Filtre pasive 51

2.1.1. Sinteza diporţilor pur reactivi conectaţi între terminaţii neideale 51 2.1.2. Parametrii matriciali ai diporţilor pasivi 52 2.1.3. Parametrii de lucru ai diporţilor 53 2.1.4. Parametrii de repartiţie ai diporţilor 54 2.1.5. Sinteza propriuzisă 58 2.1.6. Proiectarea filtrelor pasive de tip Butterworth, Cebâşev sau Bessel 60

2.2. Filtre active 66 2.2.1. Structuri de filtre active de ordinul II cu un amplificator operaţional 66

2.2.1.1. Filtre active cu reacţie simplă 66 2.2.1.2. Filtre active cu reacţie multiplă 72

2.2.2. Elemente de analiza şi sinteza filtrelor active 75 2.2.2.1. Filtre active de ordinul I 76

6 Cuprins

2.2.2.2. Filtre active de ordinul II 78 2.2.2.3. Sinteza filtrelor active pe baza unui prototip pasiv 81 2.2.2.3.1. Metode de simulare a inductivităţilor 81 2.2.2.3.2. Implementarea filtrelor active folosind

inductivităţi simulate 87 2.2.2.3.3. Metoda de sinteză “LEAPFROG” 89

CAPITOLUL 3. Metode de echivalare a filtrelor numerice cu filtre analogice 96 3.1. Principalele cerinţe ale metodelor de echivalare 96 3.2. Metoda invarianţei răspunsului la impuls 97 3.3. Metoda de echivalare bazată pe aproximarea ecuaţiei diferenţiale care descrie filtrul analogic cu o ecuaţie cu diferenţe finite care descrie filtrul numeric echivalent 106 3.4. Echivalarea filtrelor analogice cu filtre numerice pe baza transformării biliniare 111 3.5. Benzi echivalente de zgomot ale unor filtre numerice 117

3.5.1. Filtru RFI de ordinul N 119 3.5.2. Filtru RII 123

3.6. Filtre numerice echivalente filtrelor analogice transversale 125 3.7. Mediatoare numerice ca filtre adaptate în timp discret 138

3.7.1. Utilizarea mediatoarelor numerice la prelucrarea semnalelor periodice în timp continuu 142

CAPITOLUL 4. Filtre liniare cu parametri variabili în timp 148 4.1. Filtre cu capacităţi comutate 148

4.1.1. Integratorul ideal cu capacităţi comutate 148 4.1.2. Metodă de sinteză a filtrelor cu capacităţi comutate 153

4.2. Filtre cu urmărire 159 4.2.1. Filtre cu urmărire cu capacităţi comutate 162

CAPITOLUL 5. Filtre numerice cu parametri variabili în timp 165 5.1. Filtre adaptive 165 5.2. Aplicaţii 175 CAPITOLUL 6. Filtre neliniare 180 6.1. Filtre numerice cu ordonare statistică 180 6.2. Construcţia unui filtru numeric median 182 6.3. Filtre morfologice 184

6.3.1. Filtre alternate secvenţial 188 6.4. Filtre neliniare folosite în domeniul unei transformări ortogonale 190

6.4.1. Transformarea wavelet discretă 191 6.4.2. Bazele matematice ale TWD 191

6.4.2.1. Filtre folosite pentru calculul TWD şi TWDI 199

Cuprins 7

6.4.2.2. Un algoritm de calcul al TWD 208 6.4.3. Utilizarea T.W.D. la compresia de date 211 6.4.4. Filtrarea adaptivă neliniarã în domeniul T.W.D. 212

6.4.4.1. Filtrul de tip wavelet shrinkage 213 6.4.4.2. Filtrul de tip hard-thresholding 219 6.4.4.3. Filtrul de tip soft-thresholding 226

CAPITOLUL 7. Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot prin filtrare adaptivă neliniară în domeniul TWD 234 7.1. Programe de simulare conţinând metoda adaptivă pentru îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot 234 7.2. Posibilităţi de îmbunătăţire a metodei de “de-noising” adaptiv 254

7.2.1. O nouă transformare wavelet discretă 258 7.2.2. Îmbunătăţirea RSZ prin filtrare neliniară adaptivă în domeniul T.W.D. în cazul semnalelor perturbate de zgomot multiplicativ 260

CAPITOLUL 8. Filtre şi eşantionare uniformă 263 8.1. Filtre “antialiasing” 263 8.2. O legătură între teoria eşantionării şi teoria funcţiilor wavelet 271 BIBLIOGRAFIE 275 ANEXA 281

PREFAŢĂ

Printre dispozitivele de bază folosite în electronică, filtrele ocupă un loc privilegiat, datorită frecventei lor utilizări. Nu există nici un echipament electronic a cărui structură să nu conţină cel puţin un filtru. Teoria filtrelor analogice a fost elaborată la începutul secolului XX. Dezvoltarea acestei teorii a fost stimulată de nece-sităţi practice. Una dintre acestea, poate cea mai importantă, a fost problema transmi-terii informaţiei pe canale afectate de zgomot. Există două tipuri de soluţie pentru această problemă: creşterea imunităţii la perturbaţii a semnalului emis prin codarea ca-nalului şi îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot, (RSZ), prin filtrarea semnalului recepţionat. Printre matematicienii care au adus cele mai de seamă contribuţii la rezolvarea acestei probleme prin filtrare se numără şi profesorul Norbert Wiener, care a activat la MIT. Ideile sale au fost puse în practică de doctorandul său, inginerul electronist Y. W. Lee, care le-a explicat pe înţelesul studenţilor şi tinerilor cercetători.

Obiectivul lucrării de faţă este o trecere în revistă a unor rezultate remarcabile obţinute în teoria şi practica filtrelor analogice sau numerice, liniare sau neliniare, cu parametrii constanţi sau variabili în timp. Nu este vorba despre o tratare exhaustivă. Se prezintă doar acele rezultate care pot fi utilizate, direct sau indirect, pentru creşterea RSZ. Se dă o importanţă specială tehnicilor de de-noising, propuse de profesorul de statistică de la Universitatea Stanford, David Donoho. Explicarea acestor metode, precum şi modificarea lor în scopul aplicării în comunicaţii, constituie principalul rezultat al tezei de doctorat al primului dintre autorii lucrării de faţă. În capitolul 1 se face o introducere în filtrarea semnalelor, prezentându-se noţiunile de bază, cum ar fi diferitele tipuri de filtre ideale sau tehnicile clasice de aproximare a caracteristicilor de frecvenţă. Este de fapt o reluare expeditivă a unor cunoştinţe predate studenţilor facultăţii de electronică şi telecomunicaţii din Timişoara, la cursul de Semnale Circuite şi Sisteme. Celelalte paragrafe ale capitolului 1 sunt inspirate din teza de doctorat menţionată mai sus. Ultimul paragraf al capitolului 1 propune o tehnică specială de creştere suplimentară a RSZ, care poate fi aplicată în cazul semnalelor periodice. Este vorba despre folsirea filtrelor transversale analogice.

Capitolul 2 este dedicat prezentării câtorva tehnici elementare de sinteză a filtrelor. Cunoştiinţe similare sunt oferite studenţilor facultăţii noastre la laboratorul de Semnale Circuite şi Sisteme. Se prezintă o metodă de sinteză a filtrelor pasive şi câteva metode de sinteză a filtrelor active cu unul sau mai multe amplificatoare operaţionale. Deşi nu tratează direct problema îmbunătăţirii RSZ, acest capitol este necesar deoarece prezintă noţiuni care sunt folosite în capitolele următoare pentru rezolvarea acestei probleme.

10 Prefaţa

La începutul capitolului 3 se arată modul în care poate fi construit un filtru numeric pornind de la un filtru analogic echivalent. Prezentarea acestor metode de echivalare este inspirată din cursul de Semnale Circuite şi Sisteme amintit mai sus. Pentru aprecierea îmbunătăţirii RSZ şi în cazul acestor filtre poate fi utilizată noţiunea de bandă echivalentă de zgomot. Paragraful 3.5, inspirat din teza de doctorat amintită mai sus, este dedicat calculului benzii echivalente de zgomot a unui filtru numeric. În paragraful următor se prezintă o modalitate de construcţie a unor filtre digitale cu răspunsuri în frecvenţă funcţii periodice de perioadă mai mică decât π2 , precum şi avantajele utilizării lor la prelucrarea semnalelor periodice în timp discret, perturbate aditiv de zgomot. În finalul capitolului 3 sunt analizate filtrele numerice adaptate.

Următoarele două capitole sunt destinate studiului filtrelor liniare cu parametrii variabili în timp continuu respectiv discret. La începutul capitolului 4 este prezentat principiul filtrelor cu capacităţi comutate. Apoi este studiată o categorie nouă de astfel de sisteme, filtrele cu urmărire. Aceste sisteme pot fi privite ca şi filtre adaptive în timp continuu. Se evidenţiază performaţele superioare ale acestor sisteme din punct de vedere al îmbunătăţirii RSZ în comparaţie cu filtrele liniare analogice.

În capitolul 5 se face o trecere în revistă rapidă a principiului filtrării adaptive, explicându-se modul în care pot fi implementate relaţiile lui Wiener. Se prezintă modul în care poate fi utilizat un astfel de sistem pentru creşterea RSZ.

Capitolul 6 este dedicat filtrării neliniare. De fapt se prezintă doar tehnici bazate pe utilizarea sistemelor neliniare cu neliniarităţi puternice. Se fac referiri la filtrele numerice cu ordonare statistică, la filtrele morfologice folosite pentru prelucrarea imaginilor numerice şi la filtrele neliniare aplicate în domeniul transformării wavelet discretă, propuse de David Donoho.

Capitolul 7 conţine principalele contribuţii ale acestei lucrări. El este inspirat din teza de doctorat amintită mai sus. După explicarea primei metode de denoising propusă de Donoho, se prezintă o variantă adaptivă a acesteia precum şi unele modalităţi de îmbunătăţire a acesteia. În toate capitolele lucrării de faţă a fost considerat cazul semnalelor perturbate aditiv de zgomot. Singura excepţie de la această regulă apare în paragraful 7.2.2, unde este considerat cazul zgomotului multiplicativ. Metoda descrisă în acest paragraf poate fi utilizată pentru diminuarea zgomotului de tip speckle, care perturbă imaginile de tip RADAR sau SONAR. Trebuie evidenţiat faptul că îmbunătăţirile RSZ realizate cu tehnicile descrise în capitolul 7, în special în cazul semnalelor puternic perturbate, nu pot fi obţinute folosind alte tehnici de filtrare, ca de exemplu cele prezentate în capitolele anterioare ale acestei cărţi.

Ultimul capitol, cel de-al optulea, deşi nu se referă la vreo tehnică de îmbunătăţire a RSZ, merită totuşi atenţie, făcând o legătură între trei domenii de cercetare foarte moderne: teoria eşantionării, teoria filtrării şi teoria funcţiilor wavelet.

Sperăm ca, prin conţinutul său, lucrarea de faţă să fie agreabilă studenţilor, doctoranzilor şi tinerilor cercetători. Autorii

CAPITOLUL 1. Introducere

Modificarea relativă a amplitudinilor componentelor armonice ale unui semnal periodic sau chiar eliminarea sau selectarea anumitor componente armonice reprezintă o operaţie de filtrare. Modificarea densităţii spectrale a unui semnal aperiodic, în sensul favorizării sau defavorizării unor segmente spectrale reprezintă de asemenea o operaţie de filtrare. În această lucrare se prezintă câteva aspecte ale teoriei filtrării punându-se accent pe utilizarea filtrelor la îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot, RSZ. 1.1. Tipuri de filtre ideale 1.1.1. Filtrul trece jos ideal Răspunsul în frecvenţă al unui filtru trece jos (FTJ) ideal destinat prelucrării semnalelor analogice este prezentat în figura 1.1.1.1.

Figura 1.1.1.1. Răspunsul în frecvenţă al unui filtru trece jos ideal.

Spectrul din domeniul cω<ω este neafectat de acest filtru dar componentele spectrale cu frecvenţe din exteriorul acestei benzi sunt anulate. Valoarea cω , ce separă benzile de trecere şi de blocare, este numită frecvenţă de tăiere. Se obişnuieşte să se introducă o mărime, numită atenuare, definită ca inversul modulului răspunsului în

Introducere - 1

12

frecvenţă. Pentru cazul din figura 1.1.1.1 atenuarea în banda de trecere este 1 iar în banda de oprire este infinită. Răspunsul la impuls al filtrului trece jos ideal este:

( ) ( )t

tsinth cTJ ⋅π

⋅ω=

(1)

Se constată că acest răspuns la impuls este nenul şi la momente negative. De

aceea filtrul trece jos ideal este un sistem nerealizabil. În consecinţă caracteristica de frecvenţă din figura 1.1.1.1. poate fi doar aproximată prin caracteristici de frecvenţă ale unor filtre realizabile. 1.1.2. Filtrul trece sus ideal Răspunsul în frecvenţă al unui filtru trece sus (FTS) ideal este prezentat în figura 1.1.2.1.

Figura 1.1.2.1. Răspunsul în frecvenţă al unui fitru trece sus ideal.

Răspunsul la impuls al acestui sistem este:

( ) ( ) ( )t

tsintth c

TS ⋅π⋅ω

−δ=

(2)

Nici acest sistem nu este cauzal şi deci nici realizabil. De aceea şi filtrele trece

sus ideale pot fi doar aproximate în practică. 1.1.3. Filtrul trece bandă ideal

Filtrarea trece bandă (TB) ideală a semnalelor în timp continuu se realizează cu un sistem cu răspunsul în frecvenţă de tipul celui prezentat în figura 1.1.3.1.

1.1 – Tipuri de filtre ideale

13

Figura 1.1.3.1. Răspunsul în frecvenţă al unui filtru trece bandă ideal.

Se remarcă prezenţa a două frecvenţe de tăiere, una inferioară şi una superioară. Expresia răspunsului la impuls al filtrului trece bandă ideal este:

( ) ( ) ( )t

tsint

tsinth 1c2c

TB ⋅π⋅ω

−⋅π⋅ω

=

(3)

În consecinţă nici filtrul trece bandă ideal nu este un sistem realizabil. 1.1.4. Filtrul opreşte bandă ideal

Răspunsul în frecvenţă al filtrului opreşte bandă (OB) ideal este prezentat în figura 1.1.4.1.

Figura 1.1.4.1. Răspunsul în frecvenţă al unui filtru opreşte bandă ideal.

Introducere - 1

14

Răspunsul la impuls al filtrului opreşte bandă ideal este:

( ) ( ) ( ) ( )t

tsint

tsintth 1c2c

OB ⋅π⋅ω

+⋅π⋅ω

−δ=

(4) În consecinţă nici filtrul opreşte bandă ideal nu este un sistem realizabil. 1.2. Aproximarea caracteristicilor filtrelor ideale

Ulterior se va arăta că pornind de la răspunsul în frecvenţă al unui filtru trece jos, se pot deduce, prin transformări ale variabilei frecvenţă, celelalte tipuri de răspunsuri în frecvenţă.

Cum caracteristicile ideale nu pot fi decât aproximate, trebuie găsită o modalitate de specificare a erorii de aproximare admisă şi apoi o modalitate de proiectare a filtrului ce se încadrează în limitele admise. În figura 1.2.1. se arată modul de definire al domenilor interzise pentru curba ( )ωH . Este reprezentată numai semiaxa pozitivă, ( )ωH fiind o funcţie pară.

Figura 1.2.1. Specificarea gabaritului admis pentru modulul răspunsului în frecvenţă

al unui filtru trece jos.

În domeniul ],0[ pω , numit bandă de trecere a filtrului eroarea admisă este 1ε .

În domeniul ),[ s ∞ω , numit bandă de blocare, eroarea admisă este 2ε . Domeniul ),( sp ωω se numeşte bandă de tranziţie. Pentru aproximarea caracteristicilor de modul

ale filtrelor trece jos ideale se folosesc de obicei două tipuri de aproximare: - aproximarea de tip maxim – plat, care conduce la construcţia filtrelor de tip Butterworth,

1.2. – Aproximarea caracteristicilor

15

( )

( )( ) ( )00iH0B HHminH ω−ω=ω

ω

(5) unde indicele i specifică filtrul trece jos ideal iar 0ω frecvenţa în jurul căreia se realizează aproximarea,

- aproximarea de tip mini – max, care conduce la construcţia filtrelor de tip Cebâşev,

( )[ ]

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ω−ω=ω

ωω∈ωωHHmaxminH i,)(HC

21

(6) 1.2.1. Aproximarea de tip maxim plat

Se consideră filtrul trece jos cu răspunsul în frecvenţă ( )ωH şi cu răspunsul la impuls funcţie reală. Cu notaţia:

( ) ( )22 FH ω=ω (7)

se poate scrie:

( ) ( ) ( )ω−⋅ω=ω HHF 2 (8)

sau mai general:

( ) ( ) ( ) ( )sHsHsHsF 22 −⋅== (9)

Se determină expresia funcţiei ( )2F ω care aproximează cel mai bine pătratul

modulului răspunsului în frecvenţă al filtrului trece jos ideal, în banda de trecere. Dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei ( )2F ω , într-un interval din jurul originii, este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21p

pp242

2 R0F!p

...0''F!2

0'F!1

0FF ω+ω++ω+ω+=ω +

(10)

Introducere - 1

16

Restul ( )21pR ω+ este cu atât mai mic cu cât p este mai mare. Pentru ca

( )2F ω să aproximeze cât mai bine pătratul răspunsului în frecvenţă al filtrului trece jos ideal este necesar ca viteza sa de variaţie în origine să fie cât mai mică. De aceea se pun condiţile:

( ) ( ) ( ) ( )0F...0''F0'F p===

(11)

şi relaţia (10) devine:

( ) ( ) ( )ω+=ω +1p2 R0FF (12)

Fiind vorba despre un filtru trece jos, se consideră că ( )2F ω are expresia:

( )1a...aa

1F 21p

2p21

p20

2

+ω⋅++ω⋅+ω⋅=ω

−−

În continuare se determină valorile coeficienţilor 1p,0k,a k −= , în aşa

fel încât să fie verificate condiţiile (11). Rezolvând sistemul de ecuaţii (11), în raport cu necunoscutele ka , se obţine:

0a...aa 1p21 ==== −

şi deci:

( )1a

1F p20

2

+ω⋅=ω

Dacă se consideră că pulsaţia de tăiere a filtrului trece jos este cω şi dacă se

impune condiţia:

( ) ( )20H

H c =ω

atunci se obţine:


17

( )21

1a1F p2c0

c =+ω⋅

=ω

adică:

p2c

01a

ω=

Deci:

( )1

1F p2

c

2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

=ω

De aceea se poate scrie:

( ) ( ) p2

cjs1

1sHsH

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+

=−⋅ (13)

În continuare se determină, pe baza relaţiei anterioare, expresia funcţiei de

transfer, H(s). Polii membrului drept sunt rădăcinile ecuaţiei:

π+π=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

sinjcos1js

p2

c

adică:

( ) ( ) 1p2k0;p2

1k22

sinjp2

1k22

coss cck −≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡π++πω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π++πω=

Jumătate din aceşti poli, cei din semiplanul stâng, aparţin funcţiei de transfer

H(s) (deoarece filtrul cu funcţia de transfer H(s) este cauzal). Cealaltă jumătate conţine polii funcţiei de transfer H(-s). În consecinţă, se poate scrie:

Introducere - 1

18

( )( )∏

=

−

ω= P

0kk

Pc

B

sssH

P

cu:

( ) ( ) 1p,...,1,0kp2

1k22

sinjp2

1k22

coss cck −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡π++πω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π++πω=

Figura 1.2.1.1. Dependenţele modulelor răspunsurilor în frecvenţă ale unor filtre Butterworth de ordinele 5 şi 7 cu pulsaţia de tăiere de 1 rad/s.


19

Aceasta este funcţia de transfer a filtrului trece jos de tip Butterworth de ordinul p. Polinomul de la numitorul acestei funcţii se numeşte polinom Butterworth de ordinul p. Pentru p de valoare 2 şi pentru 1c =ω se obţine polinomul Butterworth de

ordinul 2: ( ) 1s2ssP 2B2 +⋅+= , iar pentru p de valoare 3 şi aceeaşi frecvenţă de

tăiere polinomul Butterworth de ordinul 3: ( ) 1s2s2ssP 23B3 +⋅+⋅+= . În figura

1.2.1.1 se prezintă caracteristicile de frecvenţă, în banda de trecere, a unor filtre Butterworth de ordinele 5 şi 7, având pulsaţia de tăiere de 1 rad/s.

1.2.2 Aproximarea de tip minimax a caracteristicii de modul a funcţiei de transfer a filtrului trece jos ideal

Definiţie: O funcţie h(ω) este o aproximare de tip Cebîşev a unei funcţii f(ω)

în banda [ω1,ω2] dacă parametrii disponibili ai funcţiei h(ω) sunt aleşi astfel încât eroarea de aproximare:

( ) ωε

ωω∈ωmax

],[ 21

să fie minimizată.

Prin parametrii disponibili se înţeleg mărimile care determină funcţia h(ω), de exemplu coeficienţii săi dacă h(ω) este polinom.

Se presupune că |ε(ω)| are o valoare maximă la ω=ω01. Dacă această eroare

poate fi redusă, atunci aproximarea lui f(ω) prin h(ω) nu este o aproximare Cebîşev, deoarece conform definiţiei acestui tip de aproximare valoarea maximă a lui |ε(ω)| nu mai poate fi scăzută.

Variaţia erorii în ω01 este descrisă prin diferenţiala sa totală în acel punct:

( ) ( )∑= ∂

ωε∂=ωε

n

1jj

j

0101 dp

pd

(14)

unde pj sunt parametrii aproximării.

Valoarea oricărui maxim ε(ω01) poate fi redusă prin alegerea parametrilor pj. Dar reducând eroarea în ω01 se poate întâmpla să crească eroarea la o altă pulsaţie.

Se presupune că eroarea în ω01 s-a redus până la nivelul erorii în ω02. Se pot reduce în continuare simultan erorile în ω01 şi ω02?

Pentru a răspunde la această întrebare se calculează:

Introducere - 1

20

( ) ( )∑= ∂

ωε∂=ωε

n

1jj

j

0202 dp

pd

(15)

Trebuie determinate variaţiile dpj astfel încât dε(ω02)=dε(ω02). Acest lucru este

posibil dacă n≥2. În această ipoteză eroarea poate fi redusă simultan în punctele ε(ω01) şi ε(ω02) până când se atinge valoarea egală cu eroarea în punctul ω03. Deci erorile maxime pot fi reduse simultan dacă există mai multe ecuaţii de tipul ecuaţiilor (14) şi (15). Pot fi reduse simultan n erori maxime. Pe baza celor enumerate mai sus se poate formula următoarea:

Teoremă: O aproximare de tip Cebîşev este de tip ondulaţie constantă (echiriplă) în banda considerată, în sensul că eroarea de aproximare are maxime şi minime de mărime egală.

Dacă există n parametri ajustabili atunci eroarea de aproximare este nulă cel puţin în n puncte şi deci în banda considerată există un total de n+1 maxime şi minime. Aproximarea de acest tip poate fi realizată cu polinoame Cebîşev. 1.2.2.1. Polinoame Cebîşev

Definiţie: Se numeşte polinom Cebîşev de ordinul n polinomul Tn(x) de gradul n care are următoarele proprietăţi: 1. Tn este par (impar) dacă n este par (impar), 2. Tn are toate rădăcinile în intervalul –1<x<1, 3. Tn oscilează între valorile -1 şi +1 în intervalul -1≤x≤1, 4. Tn (1)=1.

Se poate demonstra următoarea: Teoremă: Notând cu xi punctele în care Tn(x) atinge valorile extreme ±1,

derivata lui Tn(x) poate fi exprimată cu ajutorul acestor puncte astfel:

( ) ∏−

=

−=1

2n

1i

2i

21

n )xx(xcdx

xdT , dacă n este par

(16)

( ) ∏−

=

−=2

1n

1i

2i

21

n )xx(cdx

xdT , dacă n este impar

(17)


21

Demonstraţie: Punctele de extrem ale lui Tn(x) sunt rădăcini ale ecuaţiei ( )

0dx

xdTn = . Deci punctele xi sunt rădăcini ale acestei ecuaţii şi sunt în număr de n-1.

Dacă n este par şi Tn(x) este par şi deci ( )

dxxdTn este o funcţie impară. Dacă xk este

unul din punctele xi atunci ( ) 0

dxxdT

kxx

n ==

. Dar ( )

kk xx

n

xx

n

dx)x(dT

dxxdT

−==

−= .

Deci şi –xk este unul din punctele xi. Cum dx

)x(dTn este o funcţie impară rezultă că are

ca şi rădăcină şi pe x0=0. Conform observaţiilor de mai sus rezultă că se poate scrie:

)xx()xx(...)xx()xx()0x(cdx

)x(dT1

2n1

2n111

n

−−+⋅−⋅⋅+⋅−⋅−⋅= , relaţie iden-

tică cu relaţia (16).

Dacă n este impar şi Tn(x) este impar şi deci dx

)x(dTn este o funcţie pară. Dacă xk este

unul din punctele xi atunci ( ) 0

dxxdT

kxx

n ==

. Dar datorită parităţii acestei derivate şi

( ) 0dx

xdT

kxx

n =−=

şi deci –xk aparţine mulţimii punctelor xi. Deci se poate scrie:

( ) )xx()xx(...)xx(xx)xx()xx(cdx

)x(dT

21n

21n22111

n−− +⋅−⋅⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= ,

relaţie echivalentă cu relaţia (17). Conform condiţiei (16) Tn(x) ia în punctele xi valorile ±1, deci Tn

2(x) ia în aceste puncte valoarea 1, adică Tn

2(xi)-1=0. Conform condiţiei (17), Tn2(1)-1=0. Deci

pentru n par, rădăcinile lui Tn2(x)-1 sunt: ±0, ±1, ±x1,…,±xn/2-1, adică se poate scrie:

∏−

=

−⋅−⋅⋅=−1

2n

1i

22i

2221

2n )xx()1x(xc1)x(T

(18)

Pentru n impar, rădăcinile lui Tn

2(x)-1 sunt: ±1, ±x1,…,±x(n-1)/2, şi deci:

Introducere - 1

22

∏−

=

−⋅−⋅=−2

1n

1i

22i

221

2n )xx()1x(c1)x(T

(19)

Din compararea relaţiilor (16) şi (18) respectiv (17) şi (19) se constată că:

1x1TM

dx)x(dT

2

2n2

2n

−−

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(20)

unde M este o constantă.

Relaţia (20) reprezintă o ecuaţie diferenţială cu ajutorul căreia se poate determina expresia polinomului Cebîşev de ordinul n. Relaţia (20) se mai poate scrie:

1x1)x(T

Mdx

dT2

2nn

−−

=

sau:

1x

dxM1T

dT22

n

n

−⋅=

−

(21)

Prin integrare în ambii membrii obţinem:

c)xarccosMcos()x(TcxarccosM)x(Tarccos n1n +⋅=⇔+⋅= (22) Când x∈[-1,1], arccos x∈[-π,0]. Dar Tn(x) trebuie să aibă n rădăcini în intervalul [-1,1] şi de aceea este necesar ca M=n. În sfârşit, deoarece Tn(1)=1, e necesar ca c=2πm. Alegând m=0, se obţine:

)xarccosncos()x(Tn ⋅= (23) Această formă de scriere nu pune însă în evidenţă faptul că Tn(x) este un polinom de gradul n. Notând arccos x=z, (23) se mai scrie:

Tn(x)=cos(nz)=cos[(n-1)z+z]=cos[(n-1)z]cos(z)-sin[(n-1)z]sinz

Pentru n→n+1, relaţia devine:


23

Tn+1(x)=cos(nz)cos z-sin(nz)sin z (24)

Tn-1(x)=cos[(n-1)z]=cos(nz)cos z + sin(nz)sin z (25) Adunând relaţiile (24) şi (25) se obţine:

)x(Tx2)zcos()nzcos(2)x(T)x(T n1n1n ⋅⋅=⋅=+ −+ (26)

Relaţia (26) dă o relaţie de recurenţă pentru determinarea polinoamelor Cebîşev.

1)0cos()x(T0 == (27)

x)xcos(arccos)x(T1 == (28)

1.2.2.2 Determinarea aproximării Cebîşev în banda de trecere a filtrului trece jos ideal

Se caută funcţia de transfer Ha(s) cu ajutorul căreia să se realizeze o aproximare Cebîşev în banda de trecere ω∈[-1,1] a caracteristicii de modul a filtrului trece jos ideal. Se determină:

2a

2n )j(H)(G ω=ω (29)

Se face aproximarea de tip Cebîşev pentru funcţia 1/Gn(ω2) în banda ω∈[-1,1]. Impunând condiţia:

21

)(G1max

2

2n

ε=−ω

, ω∈[-1,1]

rezultă că 1)(G

12

n

−ω

este un polinom Cebîşev cu ondulaţia maximă 2

2ε, adică:

)(T2

1)(G

1n2

2

2n

ω⋅ε=−ω

(30)

sau

Introducere - 1

24

)(T2

1

1)(G)(T2

1)(G

1

n2

22

nn2

2

2n ω⋅ε+

=ω⇔ω⋅ε+=ω

(31)

Dar,

1)(T21)]arccos(n[cos2

))]arccos(n(2cos[)]arccos(n2cos[)(T2n

2n2

−ω⋅=−ω⋅⋅=

=ω⋅⋅=ω⋅=ω

şi deci:

2)(T1

1

)1)(T2(2

1

1)(G 22n

22n

22

n ε−ωε+=

−ω⋅ε+=ω

sau:

)(T2

1

1)(G2n

22

2n

ω⋅ε+ε−=ω

(32)

S-a demonstrat anterior că Tn

2(±1)=1 şi că Tn2(x)≤1. Valorile extreme ale funcţiei

Gn(ω2) sunt:

21

1)(G 22

nmax ε−=ω şi

21

1

21

1)(G 22

22

nmin ε+=

ε+ε−=ω , ω∈[-1,1]

Abaterile acestei funcţii faţă de valoarea ideală, egală cu unitatea, nu sunt egale. Se preferă, pentru simplificarea calculelor să se adopte expresia:

)(T11)(G 2

n2

2n ωε+

=ω

(33)

În aceste caz, valorile extreme sunt:


25

1)(Gmax 2n =ω , 2

2n 1

1)(Gminε+

=ω , ω∈[-1,1]

Pentru determinarea polilor funcţiei de transfer Ha(s) se presupune adevărată relaţia:

)s(H)s(H)s(G aa2

n −⋅=− (34)

şi pentru s≠jω, adică:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε+

=−⋅

jsT1

1)s(H)s(H2n

2aa

(35)

Polii căutaţi sunt rădăcinile de parte reală negativă ale ecuaţiei:

0jsT1 2

n2 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ε+

(36)

sau ale ecuaţiilor:

εδ±=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛jsTn

(37)

Pentru rezolvarea acestor ecuaţii se introduce o nouă variabilă w astfel încât:

)w(chjs = , unde jvuw += şi ω+α= js

(38)

Se observă că:

)vcos()u(ch);vsin()u(sh)vsin()u(shj)vcos()u(ch

)jv(sh)u(shj)jv(ch)u(ch)jvu(chjjj

js

=ω−=α⇒⇒⋅+=

⋅+=+=α−ω=ω+α=

şi că:

Introducere - 1

26

⇒==+=+=−−

js)w(ch

2ee

2ee)jwcos(

ww)jw(j)jw(j

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

jsarccosjw şi ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

jschargw , adică ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛jschargj

jsarccos ,

Dar:

( ))chwarccosncos())w(ch(TjsT nn ⋅==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(39)

şi deci conform relaţiei (26):

)nw(ch))w(ch(chargn[ch

jschargnch

jschargjncos

jsarccosncos

jsTn

=⋅=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Deci:

)nw(chjsTn =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(40)

Relaţia (37) se mai scrie:

⎪⎩

⎪⎨⎧

ε±=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⇔

ε±=⋅ 1)vnsin()un(sh

0)vncos()un(chj)wn(ch

(41)

Soluţiile reale ale sistemului (41) sunt:

;2n

1k2vkπ⋅−=

ε⋅⋅−= 1sharg

n1)1(u k

k

(42)

( ) )vsin(ush kkk ⋅−=α ; )vcos()u(ch kkk ⋅=ω


27

adică:

( ) ;2n

1k2sin]1shargn11[sh k

kπ⋅−⋅

ε⋅⋅−−=α

]2n

1k2cos[1shargn1)1(ch k

kπ⋅−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

ε⋅⋅−=ω

Polii lui Ha(s) sunt obţinuţi din mulţimea de mai sus pentru sgnαk < 0. Se

observă că:

1]1sharg

n1[ch]1sharg

n1[sh 2

2k

2

2k =

ε⋅

ω+

ε⋅

α

(43)

Acest lucru demonstrează că polii lui Ha(s ) sunt dispuşi pe o elipsă ale cărei axe se confundă cu axele de coordonate ale planului complex. Conform relaţiei (33):

( ) ( )22n

2

2a2

2n

2

2a

)0(T1

1)0(H)(T1

1)j(H⋅ε+

=⇒ω⋅ε+

=ω

(44)

Deci:

)0(T11)0(H 2

n2a ε+

=

⎩⎨⎧

−±−

=π⋅=⋅=parndaca,1

imparndaca,0)

2ncos())0arccos(ncos()0(Tn

şi vom avea:

11

1)0(Ha == , pentru n impar şi2a

11)0(Hε+

= , pentru n par

Introducere - 1

28

Cu alte cuvinte, caracteristica de modul a funcţiei de transfer are în 0 o valoare extremă pentru valorile în banda de trecere şi aceasta este un maxim pentru n impar şi un minim pentru n par.

Definind lungimea de bandă în sens Cebîşev, ωc, pentru banda de trecere, ca fiind pulsaţia maximă la care caracteristica de modul a funcţiei de transfer ia ultima

valoare minimă din banda de trecere, adică 21

1ε+

, se constată că ωc=1. Această

afirmaţie este adevărată deoarece intervalul în care se face aproximarea este mărginit la valoarea 1 şi Tn(1)=1.

Pentru a analiza comportarea caracteristicii de modul în exteriorul benzii de trecere se observă că relaţia (23) se mai scrie:

)chargn(ch)(Tn ω⋅=ω (45) Deci, în banda de blocare:

))chargn(ch1lg(10)(T1

1lg20)j(Hlg20 22

2n

2a ω⋅ε+−=ωε+

=ω

)1lg(10)j(Hlg20 2

a ε+−= pentru ω=1

Pentru

)]chargn(chlg[20)j(Hlg201 a ω⋅⋅ε−≅ω⇒⟩⟩ω

Se poate demonstra că pentru n1n2)chargn(ch,1 ω⋅≅ω⋅⟩⟩ω − şi deci în banda de blocare:

ω⋅−⋅−−ε−==ω⋅⋅ε−≅ω −

lgn202lg)1n(20lg20]2lg[20)j(Hlg20 n1n

a

(46)

Se constată că partea asimptotică a creşterii atenuării este de 20⋅n dB/dec.


29

Figura 1.2.2.2.1. Caracteristica de modul a unui filtru Cebîşev de ordinul 5.

În figura 1.2.2.2.1 se prezintă caracteristica de modul a răspunsului în frecvenţă al unui filtru trece jos de ordinul 5 de tip Cebîşev.

1.2.3. Aproximarea caracteristicii de fază a filtrului trece jos ideal

După cum s-a mai arătat funcţia de transfer a filtrului trece jos ideal are expresia:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⟩ω≤ω

=ωω−

1,01,e

)(H0Tj

i

(47)

Definiţie: Se numeşte întârzierea de grup a unui filtru şi se notează cu D(ω),

expresia:

Introducere - 1

30

)j(Hargdd)(D ω⋅ω

−=ω (48)

unde H(jω) este funcţia de transfer a filtrului. Se observă că pentru filtrul trece jos ideal:

0i )(D τ=ω (49)

ceea ce demonstrează că în cazul unui filtru trece jos ideal răspunsul este întârziat faţă de excitaţie cu aceeaşi valoare, indiferent de frecvenţa excitaţiei. Dacă τ0=1(normarea întârzierii de grup), atunci:

sshsch1e)s(H s

i +== −

în banda de trecere.

Se doreşte aproximarea lui Hi-1(s) cu un polinom de gradul n în s, adică se

caută o aproximare de forma:

∑=

⋅= n

0i

ii

i

sb

1)s(H

(50)

Pentru ca aproximarea să conducă la un sistem stabil este necesar ca Hi

-1(s) să fie un polinom strict Hurwitz. S-a demonstrat la studiul stabilităţii că un astfel de polinom se poate descompune într-o sumă de polinoame, dintre care unul par M(s) şi unul impar N(s) astfel încât descompunerea în fracţie continuă a raportului M(s)/N(s) să aibă doar coeficienţi pozitivi.

Dar descompunerile în serie Taylor ale funcţiilor ch s şi sh s, în jurul punctului s=0 sunt:

…+++=!4

s!2

s1sch42

(51)

…+++=!5

s!3

ssssh53

(52)


31

Luând M(s)=ch s, şi N(s)=sh(s), descompunerea în fracţie continuă a lui M(s)/N(s) este:

++

++=

s7

1s5

1s3

1s1

)s(N)s(M

(53)

Deci polinomul M(s)+N(s) este stabil şi în acelaşi timp el reprezintă o

aproximare a lui es. În continuare se va considera reprezentarea lui es printr-un polinom, M(s)+N(s), de gradul n. Expresia (53) se scrie:

s1N2

1s7

1s5

1s3

1s1

)s(N)s(M

−+

+++

++=

…

(54)

Definiţie: Se numeşte polinom Bessel de ordinul n şi se notează Bn(s),

polinomul definit de următoarea formulă de recurenţă:

)s(Bs)s(B)1n2()s(B 2n2

1nn −− ⋅+⋅−= (55)

unde:

1)s(B0 = şi 1s)s(B1 += (56)

Storch a demonstrat următoarea teoremă: Teoremă: O aproximare Hurwitz pentru es este dată de:

0

n1i B

)s(B)s(H =−

(57)

unde Bn(s) este polinomul Bessel de ordinul n, iar b0=Bn(0).

Se poate demonstra că Bn(s) se poate pune sub forma:

Introducere - 1

32

∑=

⋅=n

0i

iin sb)s(B

(58)

cu:

!)in(!i2)!in2(b ini −⋅⋅

−= − (59)

Deci un filtru Bessel are expresia funcţiei de transfer de forma:

)s(Bb

)s(Hn

0=

1.3. Îmbunătăţirea RSZ prin filtrare liniară

Fie semnalul x(t), obţinut prin perturbarea aditivă cu zgomot alb de bandă limitată, nB(t), a semnalului util, s(t). Se consideră că banda zgomotului este B şi că densitatea sa spectrală de putere este N0.

Raportul semnal pe zgomot, RSZ, pentru semnalul x(t) este definit cu relaţia:

nB

si P

PRSZ =

unde cu Ps am notat puterea semnalului util iar cu PnB puterea zgomotului. După cum se vede definiţia este valabilă pentru semnale s(t) de energie infinită dar de putere finită.

Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot, poate fi realizată prin filtrarea semnalului x(t). Astfel, la ieşirea filtrului se obţine semnalul y(t) exprimat cu relaţia:

(t)n+u(t)y(t) 0B=

unde u(t) reprezintă răspunsul filtrului considerat la semnalul util s(t) iar nB0(t) reprezintă răspunsul aceluiaşi sistem, dar la semnalul aleator nB(t). RSZ la ieşirea filtrului este:

0nB

u0 P

PRSZ =

1.3. – Îmbunătăţirea RSZ

33

Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot se poate aprecia prin valoarea

parametrului χ definit astfel :

RSZRSZ

i

0=χ (60)

Admiţând că filtrul este ales în aşa fel încât:

PP su = (61) valoarea îmbunătăţirii raportului semnal pe zgomot este:

0n

u

BPP⋅

=χ

Densitatea spectrală de putere a semnalului nB0 este legată de densitatea spectrală de putere a semnalului nB, conform relaţiei:

nB2

0nB )H( Φ⋅ω=Φ

[Spă. ’87], unde cu H(ω) s-a notat răspunsul în frecvenţă al filtrului considerat. Deci:

)H(N= )( 200nB ω⋅ωΦ

Rezultă valorile pentru puterea semnalului aleator de la intrare:

π⋅

=ω⋅π

=ωωΦπ

= ∫∫ 2BN

d2N

d )( 21P 0

B

0

B nBnB

(62)

şi puterea semnalului aleator de la ieşire:

∫∫ ωω⋅π

=ωω⋅⋅π

=B

20

B

200nB d)H(

2N

d )H(N 21P

(63)

Introducere - 1

34

Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot este deci:

∫ ωωχ

B

2 d )H(B=

(64)

Deoarece χ este adimensional, rezultă că numitorul membrului drept al ultimei relaţii are dimensiune de frecvenţă. De aceea el poartă numele de bandă echivalentă de zgomot a filtrului cu răspunsul în frecvenţă H(ω). Deci filtrul cu răspunsul în frecvenţă H(ω) trebuie proiectat în aşa fel încât banda de trecere a filtrului să conţină banda semnalului util s(t) (prin urmare aceasta trebuie să fie cunoscută) şi să aibă o bandă echivalentă de zgomot cât mai mică.

Se observă astfel importanţa cunoaşterii benzii echivalente de zgomot a filtrelor analogice.

1.3.1. O nouă modalitate de estimare a benzii echivalente de zgomot a unor filtre trece jos realizabile

În continuare se consideră că semnalul sB(t) este de bandă limitată şi că spectrul

său are o valoare nenulă la ω = 0 (adică avem un semnal de tip "trece jos"). În acest caz H(ω) trebuie să caracterizeze un filtru trece jos. După cum se ştie cel mai frecvent se utilizează filtre trece jos de tip Butterworth, Cebîşev sau Bessel. Răspunsul în frecvenţă al unui filtru de tip Butterworth, cu pulsaţia de tăiere de 1 rad/s, de ordinul n, are proprietatea:

n2

2

+11)H(ω

=ω

(65)

În continuare se va aprecia banda echivalentă de zgomot a unor filtre de tip

Butterworth de diferite ordine. Pentru n = 1 relaţia (65) devine:

2

21 +1

1)(Hω

=ω

Banda echivalentă de zgomot a filtrului cu acest răspuns în frecvenţă este:


35

π=ω=ωω=ωω=

∞

∞

∞

∞

∞

∞∫∫ |

-2

-

21

-z arctg

+1dd)(HB 1

În această relaţie s-a considerat că semnalul n(t) este un zgomot alb de bandă nelimitată. În ipotezele paragrafului anterior (semnalul nB(t) zgomot alb de bandă limitată, B), s-ar fi obţinut:

2B 2arctg arctg

+ 1d

B |2B

2B-

2

2B

2B-

z1=ω=

ωω= ∫

Pentru n = 2, relaţia (2.1) devine:

+11)(H 42 ω

=ω

În această relaţie membrul drept se poate scrie:

+ω−ω

⋅+ω−ω

ω⋅−=ω 1+ 2

121

1+ 2221

+11

224

1+ 2 +1

21

1+ 2 +221

22 ωω⋅+

ωωω⋅+

Banda echivalentă de zgomot a filtrului cu acest răspuns în frecvenţă este:

Introducere - 1

36

+1+2

d21+

1+2 d

221

B 2

2B

2B-

2

2B

2B-

z2 ω−ωω

ω−ωωω−= ∫∫

1+2+ d

21+

1+2+ d

221+

2

2B

2B-

2

2B

2B-

ωωω

ωωωω

∫∫

Prima integrală din membrul drept se poate calcula astfel:

1+2d

22+

1+ 2d ) 2 2 (

21=

1+2d

2

2B

2B-

2

2B

2B-

2

2B

2B-

ω−ωω

ω−ωω−ω

ω−ωωω

∫∫∫

În continuare, se calculează pe rând:

4B22B4B22Bln12ln

12d)22(

2

22B

2B

22B

2B

2 +++−=+ω−ω=

+ω−ωω−ω

−−

∫

şi:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−−

==−ω

=+ω−ω

ω−

−

∫2

122

2B

arctg

21

22

2B

arctg2

21

22

arctg212

d 2B

2B

2B

2B

2

Se deduce analog:

21

22

2B

arctg

21

22+

2B

arctg 2 = 1+2+

d 2

2B

2B- ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+−

−ωω

ω∫


37

Ultima integrală, din relaţia de calcul pentru Bz2, se descompune în modul următor:

1+2+d

22

1+2+)d 22 (

21=

1+2+d

2

2B

2B-

2

2B

2B-

2

2B

2B-

ωωω−

ωωω+ω

ωωωω

∫∫∫

pentru care avem:

4B22B4B22Bln12ln

12d)22(

2

22B

2B

22B

2B

2 +−++=+ω+ω=

+ω+ωω+ω

−−

∫

Înlocuind toate aceste rezultate în relaţia de calcul a benzii echivalente de zgomot, forma finală pentru aceasta este:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−− 12

Barctg2

1+12

Barctg21 +

4+B22+B4 B22Bln

221=B

2

2

z2

Dacă se consideră că n(t) este zgomot alb de bandă nelimitată, atunci:

2=1

2Barctg

21+1

2Barctg

21+

+4+B22+B4 B22B ln

221 lim=

+1d=B

2

2

B4-

z2

π

⎭⎬⎫⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎪⎩

⎪⎨⎧ +−−

ωω

∞→

∞

∞∫

Se observă astfel că dacă se creşte ordinul filtrului de la 1 la 2, banda sa echivalentă de zgomot scade de 2 ori.

Introducere - 1

38

Fără îndoială că n poate fi crescut în continuare dar integralele care trebuiesc calculate conduc la calcule mult mai laborioase. De aceea în continuare se prezintă nişte margini (superioară şi inferioară) pentru benzile echivalente de zgomot ale filtrelor Butterworth de diferite ordine. Pentru valori exacte, obţinute prin integrare, se poate consulta articolul [Naf. ’92].

Figura 1.3.1 a). Caracteristica de modul a răspunsului în frecvenţă al unui filtru Butterworth de ordinul n;

b). caracteristica 20 log2)(H ω pentru un filtru Butterworth de ordinul n.


39

În figura 1.3.1a) este prezentată caracteristica de modul a răspunsului în frecvenţă a unui filtru Butteworth de ordinul n.

În figura 1.3.1 b) este prezentat graficul funcţiei 2)(H ω . Curbele notate cu II din

cele două figuri reprezintă caracteristicile reale iar curbele notate cu I sunt caracteristicile asimptotice. Curbele notate cu III au fost obţinute trasând paralele la caracteristicile asimptotice prin punctul (0,-3dB) în cazul figurii 1.3.1a) şi prin punctul (0, -6dB) în cazul figurii 1.3.1b). Observând figura 1.3.1a) se poate scrie:

1,logn201,0

= |)(H|log20 I⎩⎨⎧

>ωω−≤ω

ω

|)(H| log 20 |)H(| log 20 I ω≤ω

(66)

sau:

2I

2 )(Hlog 20|)H(| log 20 ω≤ω

(66), se poate scrie:

⎩⎨⎧

>ωω−≤ω

ω1,logn401,0

= )(Hlog20 2I

astfel că 20 log 2

I )(H ω reprezintă tocmai curba I din figura 1.3.1b). Trecând de la coordonatele logaritmice la coordonate liniare, constatăm:

⎩⎨⎧

ωω≤ω

ω1>,1,1

=)(H 2n-

2I

(67)

2

I2 )(H )(H ω≤ω (68)

Graficele acestor funcţii sunt prezentate în figura 1.3.2. Pe baza relaţiilor (67) şi (68) se poate scrie:

Introducere - 1

40

ωωωω≤ ∫∫ d)(H2=d)(HB 2I

2B

0

2I

2B

2B-

z

care pentru B > 2 devine:

= n2 - 1

1+12=) d+ d 2(B2B

1

1n2n22B

1

1

0z

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ωωωω≤ +−−∫∫

1n22B2

1n2n4=

1n21

n2 - 12B

+12=

1n21n2

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+−

S-a obţinut astfel că marginea superioară a benzii echivalente de zgomot a unui filtru trece jos Butterworth de ordinul n are expresia:

1n22B2

1n2n4Bz

1n2

sup −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=

+−

Dacă se consideră cazul în care B→∞ (n(t) este zgomot alb de bandă nelimitată),

atunci:

12n4n=Bzsup −

Revenind la figura 1.3.1a) notăm cu HIII(ω) caracteristica de modul a răspunsului în frecvenţă a unui filtru Butterworth de ordin n ideal care minorează caracteristica de modul H(ω) pentru filtrul real. Se observă din figură că putem scrie atât:

⎪⎩

⎪⎨⎧

ω−ω−

≤ω−ω

1> ,3log20n

1 ,3 |=)(H|g20lo III

cât şi:


41

|)(H| log 20|)H(| log 20 III ω≥ω sau:

|)(H| log 20|)H(| log 20 2III

2 ω≥ω

În această ultimă relaţie avem:

⎪⎩

⎪⎨⎧

ω−ω−

≤ω−ω

1> ,6logn40

1 ,6 =|)(H| log 20 2

III

Se constată astfel că 20 log 2

III )(H ω reprezintă tocmai curba III din figura 1.3.1b). Trecând de la coordonatele logaritmice la coordonate liniare, pentru ultima relaţie obţinem:

1 > , 2

1 ,21

=|)(H| 2n-2

III⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωω

≤ωω

Se mai observă că:

2I

2III )(H

21)(H ω=ω

Figura 1.3.2. O majorantă, I şi o minorantă, III, pentru caracteristica 2)(H ω , notată cu II

Introducere - 1

42

Membrul stâng al acestei relaţii reprezintă curba III iar membrul drept - curba I din figura 1.3.2. Deci:

2III

2 )(H21)H( ω≥ω

şi prin urmare:

sup2

III

2B

2B-

z Bz21=d)(HB ωω≥ ∫

S-a obţinut astfel şi marginea inferioară a benzii echivalente de zgomot a unui

filtru trece jos Butterworth de ordinul n:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=

+−

1n22B2

1n2n4

21Bz

1n2

inf

Când B→∞ expresia marginii inferioare devine:

1-n2n2=Bzinf

S-a demonstrat aşadar că:

supinf BzBzBz ≤≤

Trecând la limită în această relaţie pentru n → ∞, se obţine:

2Bz1 ≤≤

Valoarea relativ mare a lui Bzinf arată că utilizarea filtrării liniare nu conduce la rezultate remercabile atunci când RSZ al semnalului de prelucrat este mic. De aceea în aceste situaţii se recomandă utilizarea filtrelor neliniare [Ana., Ven. ’89], [Isa., Isa. ’92].


43

OBSERVAŢII O1. Dacă pulsaţia de tăiere a filtrului Butterworth ar fi fost ω0 (ω0 diferit de 1)

s-ar fi obţinut:

n2

0

2

1

1)(H

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω+

=ω

001 2

Barctg2=Bzω

ω

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω−ω⋅

ω+

+ω−ω+ω+ω⋅ω=

ω

ω−

ω

ω−

0

0

0

0

2B

2B

20

2B

2B2

2

02 12arctg

221212ln

221Bz

Aceste relaţii pot fi obţinute şi prin particularizările n = 1 şi respectiv n = 2 în

relaţia (8) din [Naf. ’92].

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ω⋅

−+ω=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ωω+ω=

ω

+−ω

ω

−∫ ∫2B

1n20

0

2B

n2s

0

0

0n21

12dd2Bz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ω⋅

−+ω=

ω

+− 2B

1n20i

0n211Bz

O2. Caracteristicile asimptotice depind doar de ordinul filtrului şi nu de tipul de

aproximare utilizat. De aceea marginea Bzs este aceeaşi şi pentru filtrele de tip Bessel. Se poate determina şi pentru acest tip de aproximaţie o margine inferioară pentru banda de zgomot, numai că expresia acesteia va fi diferită de Bzi deoarece în acest caz frecvenţa de tăiere depinde de ordinul filtrului. Metoda propusă ar putea fi utilizată şi în cazul aproximării de tip Cebîşev chiar dacă, în acest caz, caracteristica reală (curba II din figura 1.3.1a)) oscilează în jurul caracteristicii asimptotice (curba I) în banda de trecere. Având în vedere însă că amplitudinea oscilaţiilor este mică, metoda propusă conduce la rezultate bune.

Introducere - 1

44

Figura 1.3.3. Un exemplu de utilizare a filtrelor transversale pentru îmbunătăţirea

raportului semnal pe zgomot în cazul semnalelor periodice.

O3. Metoda de estimare a benzii echivalente de zgomot poate fi generalizată cu uşurinţă şi pentru cazul filtrelor de tip trece sus, trece bandă sau opreşte bandă, prin transformări de variabilă. Există o categorie de filtre analogice, filtrele transversale, prin a căror utilizare raportul semnal pe zgomot poate fi îmbunătăţit şi mai mult. Un exemplu este prezentat în figura 1.3.3.

Considerând că semnalul x(t) este un zgomot alb de bandă limitată, pentru tipul de filtru din figura 1.3.3, se obţine:

CB=

C2N

B2N

=0

0

π

πχ

1.3.2. Utilizarea filtrelor transversale pentru prelucrarea semnalelor periodice

După cum s-a văzut în ultima observaţie din paragraful precedent, în cazul semnalelor periodice filtrele transversale sunt superioare filtrelor clasice, din punct de vedere al îmbunătăţirii raportului semnal pe zgomot.


45

Figura 1.3.2.1. Schema bloc a unui filtru transversal.

În figura 1.3.2.1. se prezintă schema bloc a unui filtru transversal analogic. Se cunoaşte legătura dintre semnalele de intrare şi de ieşire:

)nx(ta...+)2x(ta+)x(ta+x(t)a=y(t) n210 τ−+τ−τ−

Luând transformata Fourier în cei doi membrii ai acestei relaţii, se obţine:

)X(ea + ... + )X(ea )X( a = )Y( njn

j10 ω⋅ω⋅+ωω τ⋅ω−ωτ−

Deci răspunsul în frecvenţă al filtrului transversal analogic este:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τπ+ωω

ωω τ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

τπ

ω∑ 2H=ea=)(H=)X()Y(

Tk

2 + j-

k

n

0=kT

şi se observă că răspunsul în frecvenţă al unui filtru analogic transversal este o funcţie periodică (ceea ce justifică şi graficele din figura 1.3.3). Dacă se impune condiţia:

ωτ−

τ+ω−τω−

−−ω ∑ j

)1n(j)kj(

n

0=kT e1

e 1 1 +n

1=e 1 +n

1=)(H

Introducere - 1

46

sau:

2 sin

21)+(n sin

e1 +n

1)(H 2n

j

T τω

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ τω

=ωτω−

(69)

făcând notaţia:

2x ωτ=

se observă că:

1 = x sin

]1)x +[(n sinlim1 +n

1= 2kH0xT →

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τπ

Astfel spectrul de amplitudini al semnalelor periodice, de perioadă τ, este

neafectat de prelucrarea acestor semnale cu mediatorul analogic. În cazul în care la intrarea unui astfel de sistem este adus un zgomot alb nB(t),

de bandă limitată B şi care are media nulă, la ieşirea acestui sistem se obţine un semnal aleator staţionar şi ergodic, nB0(t). Media acestuia se calculează ţinând seama că operatorul de mediere statistică E este liniar. Rezultă:

( ) k-tn E 1+n

1 )k-(tn 1+n

1E=(t)n En

0kBB

n

0=k0B ∑∑

=

τ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ τ

şi pentru că nB(t) este staţionar avem în continuare:

0 = 0 1n

1=(t)n En

0=k0B ∑+

Dispersia semnalului nB0(t) este:

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ τ∑ )k-(tn

1+n1E=(t)n E

2

B

n

0=k

20B


47

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

τ−τ−+τ− ∑∑∑≠==

)lt(n)kt(n)kt(nE)1+(n

1= BB

n

kl,0l

n

0k

2B

n

0=k2

)k-(tn )k-(tn E)1+(n

1 + )k-(tn E)1+(n

1= BB

n

0=k2

2B

n

0=k2 τττ ∑∑

(70)

Dar:

BBB nnn2n

2B P=(0)R= )k-(tn E =στ

Figura 1.3.2.2. Densitatea spectrală de putere a unui zgomot alb de bandă limitată.

În figura 1.3.2.2 se prezintă densitatea spectrală de putere, ϕnB, a semnalului

nB(t). Autocorelaţia acestui semnal aleator este:

Introducere - 1

48

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π=

π

πω

π

⋅−⋅

−

ω

ω

−

ω

−

∫∫

t2Bjt

2Bj0

2B

2B

tj0

tj2B

2B

0tj2B

2B

0nn

ee jt2

Nejt2

N=

)d(ejt2

N=de2N=(t)R

BB

2Bt

2Bt sin

2BN=

2Btsin

tN=

jt2

t 2Bsin 2j N

= 000

⋅πππ

Se constată că:

BBB nnn2n

2B P=(0)R= )k-(tn E =στ

0 Zk )( 0 = B2kR

BBnn −∈∀⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

(71)

În cazul în care banda zgomotului alb, B, este un multiplu întreg al pulsaţiei ω0 = 2π⁄τ, conform relaţiei (71) se obţine:

0B2k)p-(lR

=2k)-(lR=)k)-((lR=)l-(t)nk-(tEn

BB

BBBB

nn

0nnnnBB

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωπτττ

Deci, dacă se respectă condiţia:

0Zp ,p=B 0 −∈ω (72)

atunci relaţia (70) devine:


49

1n

P)t(nEP n20Bn 0B +

== (73)

Prin urmare se poate afirma că, dacă la intrarea unui mediator analogic se

aduce semnalul x(t):

n(t) + s(t) = x(t)

unde s(t) este un semnal periodic de perioadă τ şi n(t) un zgomot alb de bandă limitată, B, şi se respectă condiţia (72), atunci la ieşirea mediatorului se obţine un semnal y(t)care este de forma:

(t)n+u(t) = y(t) 0B

cu Ps = Pu şi o îmbunătăţire a raportului semnal pe zgomot de:

PP =

n

n

B0

Bχ

sau, folosind relaţia (73):

1 +n = χ (74) Se constată că îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot obţinută astfel este egală cu numărul liniilor de întârziere ale filtrului transversal folosit. OBSERVAŢII

O1. Având în vedere că p din condiţia (72) poate fi orice număr întreg nenul, această condiţie nu este prea restrictivă.

O2. Relaţia (74) arată că îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot introdusă cu metoda descrisă poate fi oricât de mare, principala limitare fiind impusă de complexitatea sistemului de filtrare obţinut.

O3. Caracteristica de fază a mediatorului analogic (relaţia (69)) este liniară pe porţiuni. Deci o dată cu creşterea ordinului filtrului transversal va creşte şi întârzierea introdusă de acesta.

O4. Construcţia unor sisteme de acest tip este dificilă datorită dificultăţii cu care se construiesc liniile de întârziere analogice. De obicei filtrele transversale analogice se construiesc cu ajutorul filtrelor transversale numerice [Naf., Isa. ’91] sau

Introducere - 1

50

cu ajutorul dispozitivelor de transfer de sarcină [Eze., Jen. ’92]. Liniile de întârziere pot fi realizate şi cu ajutorul filtrelor trece tot.

O5. Filtrul transversal este una din structurile de bază folosite în construcţia sistemelor cu parametrii variabili în timp, ca de exemplu a filtrelor adaptive. Această observaţie este importantă deoarece nici un semnal întâlnit în practică nu este pur periodic. Multe semnale cvasistaţionare (folosite frecvent în practică) pot fi privite însă ca o succesiune de semnale periodice pe porţiuni. Raportul semnal pe zgomot în aceste cazuri poate fi crescut prin utilizarea unor filtre transversale cu parametrii variabili în timp.

O6. Performanţa specificată de relaţia (74) este atinsă doar dacă zgomotul care trebuie înlăturat este alb. De îndată ce această condiţie nu mai este îndeplinită performanţele filtrului transversal devin mai slabe.

O7. Este evident că, pentru construcţia filtrului transversal este necesară cunoaşterea perioadei semnalului s(t), τ. Din păcate această mărime nu este întotdeauna cunoscută. În aceste cazuri poate fi utilizată detecţia sincronă.

CAPITOLUL 2. Metode de sinteză a filtrelor

Scopul acestui capitol este de a prezenta câteva aspecte referitoare la filtrele analogice, liniare şi invariante în timp. Deşi există o literatură bogată referitoare la sinteza filrelor pasive din care cităm doar [Mat., Dum., Sta., ’2001] în acest capitol se va prezenta o singură metodă de sinteză, poate cea mai simplă.

Se analizează în domeniul frecvenţă structurile de filtre pasive implementate prin reţele în scară conectate între terminaţii neideale.

Funcţiile de transfer ale filtrelor analizate sunt aproximări de tip Butterworth, Cebâşev sau Bessel ale unor filtre de tip trece jos, trece sus sau trece bandă ideale. 2.1. Filtre pasive 2.1.1. Sinteza diporţilor pur reactivi conectaţi între terminaţii neideale

Diporţii pur reactivi sunt reţele de elemente nedisipative: bobine şi condensatoare. Terminaţiile neideale sunt rezistenţe nenule de valoare finită. Considerând diportul D din figura 2.1.1.1, prin sinteză se urmăreşte determinarea unei scheme de implementare a diportului pe baza funcţiei de transfer:

H(s)=E(s)

(s)U2

(1)

Figura 2.1.1.1. Schema bloc a unui diport pur reactiv.

Analiza acestui diport poate fi făcută fără a ţine seama de structura internă, prin stabilirea legăturilor între transformatele U1, I1, U2 şi I2. Admiţând că două dintre aceste transformate sunt variabile independente, se pot exprima C 2

4 familii de relaţii de legătură între cele patru transformate.

D

I1 I2

U2 R2

R1

U1

Zin 1

E

2

2’1’

1

52 Metode de sinteză – 2

2.1.2. Parametrii matriciali ai diporţilor pasivi

Notând prin Mi matricea coloană formată din cele două transformate independente şi prin Md matricea coloană formată din cele două transformate dependente de primele două, legătura dintre cele patru transformate se poate exprima matricial prin relaţia:

Md = MpMi (2) unde prin Mp s-a notat matricea parametrilor. În tabelul 2.1.2.1 sunt prezentate caracterizările matriciale ale diporţilor folosind parametrii matriciali Z, Y şi A.

Tabelul 2.1.2.1. Caracterizările matriciale ale diporţilor folosind parametrii matriciali Z,Y şi A.

Mi Md Mp Definiţiile parametrilor Observaţii

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

II

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

UU

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

ZZZZ

Parametrii z:

=11Z0II

U

21

1

=;

=12Z0II

U

12

1

=

=21Z0II

U

21

2

=;

=22Z0II

U

12

2

=

Condiţia de reciprocitate

Z 12 = Z 21 -------------------

Condiţia de simetrie

Z 11 = Z 22

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

UU

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

II

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

yyyy

Parametrii y:

=11y0UU

I

21

1

=;

=12y0UU

I

12

1

=

=21y0UU

I

21

2

=;

=22y0UU

I

12

2

=


y 12 = y 21 -------------------

Condiţia de simetrie

y 11 = y 22

2.1. – Filtre pasive 53

Tabelul 2.1.2.1. Caracterizările matriciale ale diporţilor folosind parametrii matriciali Z,Y şi A (continuare).

Mi Md Mp Definiţiile parametrilor Observaţii

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2

2

IU

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1

1

IU

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

AAAA

Parametrii fundamentali:

=11A0IU

U

22

1

=−;

=12A0UI

U

22

1

=−

=21A0IU

I

22

1

=−;

=22A0UI

I

22

1

=−


A 11 A 22 -A 12 A 21 = 1

------------------- Condiţia de

simetrie A 11 = A 22

2.1.3. Parametrii de lucru ai diporţilor

Aceşti parametri sunt folosiţi la analiza diporţilor închişi pe terminaţii

neideale, facilitând analiza circuitelor pe baza funcţiilor lor de transfer. Considerând circuitul din figura 2.1.3.1, parametrii săi de lucru sunt impedanţa de intrare şi funcţia de transfer de la generator la sarcină.

Figura 2.1.3.1. Schema de conectare a diportului studiat.

Definiţie. Se numeşte funcţie de transfer de lucru şi se notează Γ(s) expresia:

( )g

s

2 ZZ

UE

21s ⋅⋅=Γ

(3)


Se observă că legătura dintre funcţia de transfer de lucru, Γ(s) şi funcţia de transfer în tensiune a circuitului:

( )2U

EsH = (4)

este:

( ) ( )sH1

ZZ

21s

g

s ⋅=Γ

(5)

Impedanţa de intrare în diport la poarta 1 se calculează cu relaţia:

( )( )sIsUZ

1

11in =

Definiţie. Se numeşte coeficient de transfer de neadaptare la poarta 1 şi se

notează ρin 1, expresia:

1ing

1ing1in ZZ

ZZ+−

=ρ

(6)

2.1.4. Parametrii de repartiţie ai diporţilor

Aceşti parametri sunt destinaţi analizei transferului de putere printr-un diport între generatorul de semnal şi sarcină. Neadaptarea la una din porţile unui diport se poate pune în evidenţă şi prin puterea reflectată la acea poartă.

Puterea refelectată la poarta 1 se poate considera ca fiind generată de către un generator conectat la poarta 2. De aceea, circuitul care conţine un diport poate fi reprezentat şi ca în figura 2.1.4.1.

Figura 2.1.4.1. Evidenţierea neadaptării în putere a diportului la ieşire.

D

I1 I2

U2

R01

U1E1

2

2’1’

1

E2

R02


Definiţie. Se numeşte matrice de incidenţă şi se notează cu [a] matricea coloană:

[ ]( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⋅

+⋅

=

022202

011101

RIUR1

21

RIUR1

21

a

(7)

Definiţie. Se numeşte matrice de reflexie şi se notează cu [b] matricea coloană:

[ ]( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅

−⋅

=

022202

011101

RIUR1

21

RIUR1

21

b

(8)

Definiţie. Se numeşte matrice de repartiţie şi se notează cu [s] matricea

definită prin:

[b] = [s][a] (9)

Ţinând seama de ultima definiţie, parametrii s pot fi exprimaţi în funcţie de parametrii de lucru ai aceluiaşi circuit după cum urmează:

11s)9(=

0aab

21

1

=

)8(),7(=

022

20111

0111

RIU

RIURIU

−=+−

= - 1inρ

(10)

12s)9(=

0aab

12

1

=

)8(),7(=

( )

( ) 011

1

022202

011101

RIU

RIUR21

RIUR21

−=+

−=

21

1Γ

(11)

Similar se pot deduce relaţiile:


s 21 = 12

1Γ

(12)

s 22 = - ρ 2in (13)

Definind matriceal puterea vehiculată prin diport cu formula:

[ ] [ ]21*2

*1 II

U

UP ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

(14)

se poate demonstra prin calcul, identitatea:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )babaP *T

*T −+= (15)

unde cu [ ]*Ta şi [ ]*Tb s-au notat transpusele matricilor formate cu conjugatele elementelor matricilor [a] şi [b].

Dacă se doreşte determinarea puterii disipate în diport, Pd, având în vedere că aceasta este pur reală, separând partea reală din membrul drept al relaţiei (15), se obţine:

Pd = [ ] [ ] [ ] [ ]bbaa *T

*T − (16)

Dar, în cazul diporţilor pur reactivi, este îndeplinită condiţia:

Pd = 0 (17) şi deci:

[ ] [ ] [ ] [ ]bbaa *T

*T − = 0 (18)

sau, ţinând seama de definiţia matricii [s]:

[ ] [ ] [ ][ ]( ) [ ][ ]( )asasaa *T

*T − = 0 (19)

adică:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]assaaa *T

*T

*T − = 0 (20)


sau:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ]ass1a *T

*T − = 0 (21)

unde cu [l] s-a notat matricea unitate. Această condiţie este îndeplinită dacă:

[ ] [ ]ss *T = [ ]1 (22)

Relaţia (22) conduce la condiţiile:

1ssss 21*2111

*11 =+ (23)

1ssss 22

*2212

*12 =+ (24)

care se mai scriu:

1ss 221

211 =+ (25)

1ss 2

222

12 =+ (26)

Înmulţind la stânga cu [s] şi la dreapta cu [s]-1 relaţia (22), se obţine:

[ ][ ]*Tss = [ ]1 (27)

condiţie din care decurg ecuaţiile:

1ssss *1212

*1111 =+ (28)

1ssss *

2222*2121 =+ (29)

Din relaţiile (25), (26), (28) şi (29) se constată că:

222

211

212

221 sscăşiss == (30)

Ţinând seama de relaţiile (10) şi (11), relaţia (30) se mai scrie:


2

12

)30(2

21

2

1in1111Γ

−=Γ

−=ρ

(31)

relaţie care permite stabilirea legăturii dintre parametrii de lucru ai unui diport nedisipativ. 2.1.5. Sinteza propriuzisă

Aşa după cum s-a arătat, în cazul diporţilor pur reactivi, caracterizaţi prin parametrii de repartiţie, este valabilă relaţia:

|S11| 2 + |S21| 2 =1 (32)

Ţinând însă seama de legătura dintre parametrii de repartiţie şi parametrii de lucru ai diporţilor relaţia (32) se poate scrie:

|ρ in1| 2 = 1 - |1/Γ 12| 2 (33) Dar legătura dintre funcţia de transfer Γ 12(s) şi funcţia de transfer H(s) este:

Γ 12(s) = (1/2) 12 R/R (1/H(s)) (34)

Relaţia (33) devine astfel:

|ρ in1(s)| 2 = 1 – 4(R1/R2)|H(s)| 2 (35) Pentru s = jω relaţia (35) se mai scrie:

ρ in1(s) ρ in1(-s) = 1 – 4(R1/R2)H(s)H(-s) (36) relaţie din care se poate determina coeficientul de reflexie la intrare ρ in1(s), pe baza căruia se poate calcula impedanţa de intrare:

Z in1(s) = R1(1 – ρ in1(s)) / (1 + ρ in1(s)) (37)

Diportul din figura 2.1.1.1 poate fi privit ca un uniport cu poarta 11’, rezistenţa R2 fiind ultimul său element. Un astfel de circuit poate fi sintetizat după impedanţa sa de intrare folosind metoda Cauer [Mat., Dum., Sta., ’2001]. Rezultatul obţinut va fi o


reţea în scară formată cu bobine şi condensatoare conectată în locul diportului din figura 2.1.1.1.

Modalitatea de sinteză prezentată este exemplificată în continuare prin determinarea schemei unui diport LC conectat între terminaţii unitare, cu funcţia de transfer:

H(s) = (1/2)(s2 + 2 s + 1) (38) Funcţia (36) devine, în acest caz particular:

ρ in1(s) ρ in1(-s) = 1 – [4(1/4) / (s2 + 2 s + 1)][1 / (s2 - 2 s + 1)] (39)

sau:

ρ in1(s) ρ in1(-s) = 1 – 1 / [(s2 + 1) 2 – 2s 2] = s 4 / (s 4 +1) (40) Deci:

ρ in1(s) ρ in1(-s) = [(± s 2) / (s2 - 2 s + 1)] [(± s 2) / (s2 + 2 s + 1)] (41)

Alegând:

ρ in1(s) = -(s 2) / (s2 + 2 s + 1)] (42)

se obţine, conform relaţiei (37):

Z in1(s) = (2s2 + 2 s + 1) / ( 2 s + 1) (43) sau:

Z in1(s) =( 2 s + 1) / (2s2+ 2 s + 1) (44) Circuitul cu impedanţa de intrare dată de relaţia (43) este prezentat în figura 2.1.5.1.

Figura 2.1.5.1. Schema diportului pasiv cu impedanţa de intrare specificată în relaţia (44).


Diportul cu funcţia de transfer dată este prezentat în figura 2.1.5.2.

Figura 2.1.5.2. Schema diportului pasiv cu funcţia de transfer specificată în relaţia (38).

Dacă s-ar fi ales pentru ρ in1(s) expresia:

ρ in1(s) = s 2 / (s2 + 2 s + 1) (45)

s-ar fi obţinut circuitul din figura 2.1.5.3.

Figura 2.1.5.3. O altă variantă de implementare a diportului considerat.

2.1.6. Proiectarea filtrelor pasive de tip Butterworth, Cebâşev sau Bessel

Filtrele de tip Butterworth, Cebâşev sau Bessel pot fi implementate pe baza funcţiilor lor de transfer, cu ajutorul unor reţele pur reactive conectate între terminaţii neideale. În telecomunicaţii, acetse filtre se conectează pe linii de impedanţă caracteristică cunoscută, Zc. Considerând această impedanţă pur rezistivă, conectarea filtrului pe linie se face după modelul din figura 2.1.1.1, valorile celor două rezistenţe R1 şi R2 fiind egale cu Zc. Pentru proiectarea acestor filtre se utilizează prototipuri normalizate în frecvenţă şi în impedanţă. Schemele unor filtre prototip normalizate în impedanţă, la valoarea Rg = Rs =1 Ω sunt prezentate în figura 2.1.6.1.

Valorile componentelor acestor scheme, corespunzătoare unor filtre trece jos de tip Butterworth, Cebâşev sau Bessel normalizate în frecvenţă, astfel încât să aibă valoarea pulsaţiei de tăiere ωs=1 rad/s, sunt date în tabelele 2.1.6.1, 2.1.6.2 şi 2.1.6.3. Valorile inductivităţilor sunt date în H, valorile capacităţilor sunt date în F iar ordinul filtrului este cuprins între 2 şi 10.

1

1’

2’

2

12

2

E

1

1

1’

2’

2

12

2

E

1


Figura 2.1.6.1. Filtre pasive în scară proptotip.

Tabelul 2.1.6.1 Filtre de tip Butterworth

C1 L2 C3 L4 C5 L6 C7 L8 C8 L10 n L1

’ C2’ L3

’ C4’ L5

’ C6’ L7

’ C8’ L9

’ C10’

2 1,4142 1,4142 3 1 2 1 4 0,7654 1,8478 1,8478 0,7654 5 0,6180 1,6180 2 1,6180 0,6180 6 0,5176 1,4142 1,9319 1,9319 1,4142 0,5176 7 0,4450 1,2470 1,8019 2 1,8019 1,2470 0,4450 8 0,3902 1,1111 1,6629 1,9616 1,9616 1,6629 1,1111 0,3902 9 0,3473 1 1,5321 1,8794 2 1,8794 1,5321 1 0,3473

10 0,3129 0,9080 1,4142 1,7820 1,9754 1,9754 1,7820 1,4142 0,9080 0,3129

Tabelul 2.1.6.2 Filtre de tip Cebâşev.

C1 L2 C3 L4 C5 L6 C7 L8 C8 L10 n L1

’ C2’ L3

’ C4’ L5

’ C6’ L7

’ C8’ L9

’ C10’

3 1,5963 1,0967 1,5963 5 1,7058 1,2296 2,5408 1,2296 1,7058 7 2,1666 1,1115 3,0926 1,1735 3,0936 1,1115 2,1666 9 1,7504 1,2690 2,6678 1,3673 2,7239 1,3693 2,6698 1,2690 1,7504


Tabelul 2.1.6.3. Filtre de tip Bessel.

C1 L2 C3 L4 C5 L6 C7 L8 C8 L10 n L1

’ C2’ L3

’ C4’ L5

’ C6’ L7

’ C8’ L9

’ C10’

2 1,5774 0,4226 3 1,2550 0,5029 0,1972 4 1,0598 0,5116 0,3181 0,1104 5 0,9303 0,4577 0,8812 0,2090 0,0718 6 0,8377 0,4116 0,3158 0,2364 0,1460 0,0505 7 0,7677 0,3744 0,2844 0,2378 0,1778 0,1104 0,0375 8 0,7125 0,3446 0,2735 0,2297 0,1867 0,1367 0,085 0,289 9 0,6678 0,3703 0,2547 0,2184 0,1859 0,1506 0,1111 0,0682 0,0230

10 0,6305 0,3008 0,2384 0,2066 0,1809 0,1539 0,1240 0,0911 0,0577 0,0187

Dacă se doreşte proiectarea unui filtru trece jos pe o linie cu impedanţa caracteristică diferită de 1, de exemplu cu impedanţa caracteristică egală cu R, atunci valorile din structura noului filtru Lk

’ şi Ck’, se obţin din valorile vechiului filtru Lk şi

Ck, prin denormalizare în impedanţă, cu formulele:

Lk’ = RLk ,k = n,1 (46)

şi:

Ck’ = Ck / R ,k = n,1 (47)

Dacă se doreşte proiectarea unui filtru trec jos cu pulsaţia de tăiere ωs

’, atunci valorile din structura noului filtru Lk

’’ şi Ck’’, se obţin din valorile vechiului filtru Lk şi

Ck, prin denormalizare în frecvenţă cu formulele:

Lk’’ = Lk / ωs

’ ,k = n,1 (48)

şi:

Ck’’ = Ck / ωs

’ ,k = n,1 (49)

Pornind de la filtre trece jos prototip, prin transformări de frecvenţă şi

reactanţă, se pot obţine filtre de tip trece sus, trece bandă sau opreşte bandă prototip, din care, prin denormalizare de impedanţă şi frecvenţă, se pot obţine filtre trece sus, trece bandă sau opreşte bandă, cu orice frecvenţă de tăiere (centrală) şi terminate pe orice rezistenţe de valoare egală.


Figura 2.1.6.2. Schimbările de variabilă şi de reactanţă care guvernează transformările

dintre diferite tipuri de filtre.


Transformările amintite mai sus sunt prezentate în figura 2.1.6.2. În continuare se dă un exemplu de proiectare a unui filtru opreşte bandă de

ordinul 6, cu Rg = Rs = 1 kΩ, cu o bandă ωs = 2π103 rad/s şi o frecvenţă centrală de 5kHz, pornind de la un prototip trece jos de tip Butterworth.

Deoarece:

ωs = 2π103 rad/s şi ωr = 10π103 rad/s atunci:

ωs / ωr = 1/5 = 0.2 (50)

Dacă se consideră pentru început că valoarea normată a pulsaţiei centrale a filtrului opreşte bandă este ωr n = 1 rad/s, valoarea normată a benzii sale de pulsaţii va fi:

ωs n = 0.2 rad/s Dar aceasta este chiar valoarea benzii de blocare a filtrului trece sus.

Considerând că 0ω = 1 rad/s, valoarea necesară benzii de trecere a filtrului trce jos, din care provine prin transformări de frecvenţă filtrul opreşte bandă, este:

ωTn = 20ω / ωs = 5 rad/s (51)

Având în vedere că prin transformările de frecvenţă (datorită trecerii trece jos-

opreşte bandă) unui sistem trece jos de ordinul m îi corespunde un sistem opreşte bandă de ordinul 2m, filtrului opreşte bandă considerat îi corespunde, folosind schema din figura 2.1.6.1.b) şi Tabelul 2.1.6.1, schema filtrului trece jos prototip din figura 2.1.6.3.

Figura 2.1.6.3. Schema filtrului trece jos prototip pentru exemplul de proiectare considerat.


Făcând denormalizarea de frecvenţă la 5 rad/s, valoarea capacităţii devine de 0.4 F iar valorile inductivităţilor devin de 0.2 H. Făcând transformarea trece jos-trece sus, se obţine filtrul cu frecvenţa de tăiere de 0.2 Hz prezentat în figura 2.1.6.4.

Figura 2.1.6.4. Schema filtrului trece sus obţinut

după denormalizarea de frecvenţă.

Făcând transformarea trece sus-opreşte bandă, se obţine filtrul cu pulsaţia

centrală de 1 rad/s şi banda de blocare de 0.2 rad/s cu schema prezentată în figura 2.1.6.5.

Figura 2.1.6.5. Schema filtrului opreşte bandă cu pulsaţia centrală de 1 rad/s.

Făcând denormalizarea de frecvenţă la ωr = 2π5000 rad/s şi denormalizarea de impedanţă la valoarea de 10000 Ω, se obţine schema filtrului final, prezentată în figura 2.1.6.6.

Figura 2.1.6.6. Schema filtrului proiectat.


2.2. Filtre active

În domeniul frecvenţelor joase este dificilă implementarea filtrelor pasive având în vedere valorile mari necesare pentru inductivităţi şi capacităţi, valori care implică un gabarit sporit al componentelor precum şi precizii scăzute ale valorilor acestora.

Din acest motiv, în domeniul frecvenţelor joase se preferă utilizarea filtrelor active. Acestea, pe lângă elementele active, folosesc şi componente pasive dar acestea pot fi doar rezistoare sau condensatoare.

Deoarece implementarea unui filtru de ordin superior se poate realiza prin metoda de conectare în cascadă a unor sisteme de ordinul I şi II, în continuare se vor prezenta câteva tipuri de filtre active de ordinul I şi II.

De multe ori este interesant modul în care este afectată valoarea parametrului P al filtrului de către valoarea (să o notăm cu x) a unei componente din schema sa. Pentru a aprecia dependenţa lui P de x se defineşte sensibilitatea parametrului P de valoarea x,

xPS , prin formula:

( )( )

xx

PP

xlnPlnSx

P ∂

∂

=∂∂=

(52)

De exemplu, dacă x

PS = 0,5 atunci variaţia de 2 % a lui x conduce la o modificare cu 1 % a lu P. 2.2.1. Filtre active de ordinul I

Aceste sisteme sunt caracterizate de funcţii de transfer de ordinul I. În cazul filtrelor de tip trece jos expresia funcţiei de transfer este următoarea:

( )

TJ0

TJ s1

AsH

ω+

=

(53)

Implementările tipice ale filtrelor trece jos de ordinul I sunt prezentate în

tabelul 2.2.1.1.

2.2 – Filtre active 67

Tabelul 2.2.1.1. Implementări tipice ale filtrelor trece jos de ordinul I. Valorile

parametrilor Denumire

Schema filtrului A

TJ0ω

1RR−

RC1

Integrator amortizat

1

2

RR1+

RC1

Integrator neinversor

Tabelul 2.2.1.2. Implementări tipice ale filtrelor trece sus de ordinul I. Valorile

parametrilor Denumire

Schema filtrului A

TS0ω

CC1−

RC1

Diferenţiator amortizat


Tabelul 2.2.1.2. Implementări tipice ale filtrelor trece sus de ordinul I (continuare).

1

2

RR1+

RC1

Diferenţiator neinversor

Funcţia de transfer pentru filtrul trece sus se obţine din funcţia de transfer a filtrului trece jos prin schimbarea de variabilă:

ss TS0TJ0 ω⋅ω⎯→⎯

adică:

( )s

1

AsHTS0

TS ω+

=

(54)

Schimbarea de variabilă specificată poate fi implementată făcând rocada între rezistoarele şi condensatoarele prezente în schemele din tabelul 2.2.1.1. Rezultă astfel schemele de filtre trece sus şi parametrii lor, prezentate în tabelul 2.2.1.2.

În continuare se prezintă câteva structuri de filtre active de ordinul II. 2.2.2. Filtre active de ordinul II

Expresiile principalelor funcţii de transfer ale sistemelor de ordinul II sunt prezentate în tabelul 2.2.2.1.


Tabelul 2.2.2.1. Expresiile principalelor funcţii de transfer ale sistemelor de ordinul II.

Tipul filtrului

Expresia funcţiei de transfer

Semnificaţia parametrilor Observaţii

T.J.

20

2

0

TJ

ss21

A

ω+⋅

ωξ⋅+

TJA = amplificarea în curent continuu

0ω = pulsaţia de tăiere ξ = gradul de amortizare

ξ Buteworth =

= 22

ξ Bessel =

= 23

T.S.

20

2

0

20

2

TS

ss21

sA

ω+⋅

ωξ⋅+

ω⋅

TSA = amplificarea la înaltă frecvenţă

0ω = pulsaţia de tăiere ξ = gradul de amortizare

T.B.

20

2

0

0TB

ss21

s2A

ω+⋅

ωξ⋅+

⋅ωξ⋅⋅

0ω = pulsaţia centrală

TBA = amplificarea la pulsaţia centrală

Q21⋅

=ξ = gradul de amortizare

Bf

Q 0= = factor de calitate

B = banda de frecvenţă la – 3 dB

O.B.

20

2

0

20

2

OB

ss21

s1A

ω+⋅

ωξ⋅+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+

TBA = amplificarea exterioară benzii de blocare

0ω = pulsaţia centrală ξ = gradul de amortizare

T.T

20

2

0

20

2

0TT ss21

ss21A

ω+⋅

ωξ⋅+

ω+⋅

ωξ⋅−

TTA = amplificarea în întreaga bandă

0ω = pulsaţia la care defazajul este

2π−

ξ = gradul de amortizare


Funcţiile de transfer de tip opreşte bandă şi de tip trece tot se pot sintetiza cu ajutorul celorlalte funcţii de transfer. Se observă că:

( ) ( )( )sHsHAss21

s

ss21

1AH TSTJ

20

2

0

20

2

20

2

0

OB +⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω+⋅

ωξ⋅+

ω+

ω+⋅

ωξ⋅+

⋅=

(55)

relaţie care conduce la forma de implementare a unui filtru opreşte bandă de ordinul II, aşa cum se observă şi din figura 2.2.2.1.

Figura 2.2.2.1. Forma de implementare a unui filtru opreşte bandă de ordinul II.

Aceeaşi expresie a funcţiei de transfer opreşte bandă poate fi pusă şi în forma:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω+⋅

ωξ⋅+

ωξ⋅

−⋅=

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω+⋅

ωξ⋅+

ωξ⋅

−

ω+⋅

ωξ⋅+

ω+⋅

ωξ⋅+

⋅=

20

2

0

0

20

2

0

0

20

2

0

20

2

0OB

ss21

2

1A

ss21

2

ss21

ss21AH

(56)

adică:


( ) ( )( )sH1AsH TBOB −⋅= (57)

cu implementarea din figura 2.2.2.2.

Figura 2.2.2.2. Forma de implementare a unui filtru opreşte bandă de ordinul II.

Referitor la funcţia de transfer trece tot, aceasta se poate sintetiza conform relaţiei:

TBTSTJ

20

2

0

20

2

20

2

0

0

20

2

0

TT

HHH

ss21

s

ss21

2

ss21

1H

−+=

=

ω+⋅

ωξ⋅+

ω+

ω+⋅

ωξ⋅+

ωξ⋅

−

ω+⋅

ωξ⋅+

=

(58)

cu implementarea din figura 2.2.2.3.

Figura 2.2.2.3. Forma de implementare a unui filtru trece tot de ordinul II.


2.2.2.1. Structuri de filtre active de ordinul II cu un amplificator operaţional

Cele mai cunoscute structuri de filtre active cu un amplificator operaţional sunt: structura cu reacţie simplă, cea cu reacţie multiplă şi cea cu amplificator neinversor. 2.2.2.1.1. Filtre active cu reacţie simplă

Una dintre modalităţile de caracterizare a diporţilor pasivi, de tipul celor din figura 2.2.2.1.1.1, este cu ajutorul parametrilor Y, conform sistemului de ecuaţii:

⎩⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=

2221212

2121111

UYUYIUYUYI

(59)

Figura 2.2.2.1.1.1. Un diport.

Structura de filtru activ cu reacţie simplă este prezentată în figura 2.2.2.1.1.2.

Figura 2.2.2.1.1.2. Schema unui filtru activ cu reacţie simplă.

Descrierea diporţilor D şi D’ din figura 2.2.2.1.1.2, pe baza parametrilor Y, folosind ecuaţii de tipul celor din sistemul (59), conduce la relaţiile:

D

I1 I2

UU

2

2’1’

1

D

Ui U-

+

IeI

I’

D

’Ii


e1211

22121'

UYUYIUYUYI

⋅+⋅=⋅+⋅=

(60) (61)

Tensiunea de ieşire a amplificatorului operaţional are transformata Laplace

( )sUe şi este legată de transformata Laplace a tensiunii de intrare ( )sUi prin relaţia:

( )sUe = - A ( ) ( )sUs 1⋅ (62)

unde A(s) este funcţia de transfer în buclă deschisă a amplificatorului operaţional.

Dacă se consideră că valoarea impedanţei de intrare a amplificatorului operaţional este infinită, atunci se poate scrie relaţia:

( ) ( ) 0sIsI ' =+ (63)

Eliminând din relaţiile (60), (61), (62) şi (63) mărimile U(s), I(s) şi I’(s), se

obţine expresia funcţiei de transfer a filtrului:

( )( )

( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )sYsYsYsA

1sY

sUsU

122211

21

i

e

−+=

(64)

Dependenţa de frecvenţă a amplificării în buclă deschisă a amplificatoarelor

operaţionale are aspectul din figura 2.2.2.1.1.3.

Figura 2.2.2.1.1.3. Caracteristica de frecvenţă a unui amplificator operaţional.

Având în vedere acest fapt, pentru frecvenţele joase o bună aproximare a relaţiei (64) este:


( )( )

( )( )sYsY

sUsU

12

21

i

e =

(65)

Relaţia (65) este o bună aproximare a expresiei funcţiei de transfer a filtrului

cu reacţie simplă în banda de frecvenţă în care valoarea minimă a lui |A(ω)| este încă suficient de mare. Lăţimea acestei de benzi depinde de tipul amplificatorului operaţional folosit: cu compensare internă sau cu compensare externă, de valoarea amplificării în buclă deschisă la frecvenţă nulă a amplificatorului operaţional, precum şi de valoare pretinsă a amplificării pentru filtru în banda de trecere a acestuia.

În tabelul 2.2.2.1.1.1 sunt prezentate câteva structuri pentru cuadripolii D şi D’, a căror utilizare conduce la obţinerea unor filtre de tip trece jos, trece sus sau trece bandă. Expresia funcţiilor de transfer ale filtrelor prezentate în tabelul 2.2.2.1.1.1. este stabilită pe baza relaţiei (65). În tabel apar două tipuri de diporţi. Parametrii Y ai acestora pot fi calculaţi pe baza parametrilor Y ai diporţilor în T şi π din figurile 2.2.2.1.1.4 şi 2.2.2.1.1.5. Figura 2.2.2.1.1.4 . Diport în T. Figura 2.2.2.1.1.5. Diport în pi. Pentru diportul în T:

T12Y = 0UU

I

12

1

==

( ) 221113211

1

ZIIZIZIZII

+=−+−=

( ) 1212

311

1

IZZZZZI

I

+−−

(66)

adică:

T12Y =323121

2

ZZZZZZZ

++

(67)

1’

1 2

2’

U U

Z1

Z2

Z3

I1 I2

1’

1 2

2’

U U

Z2

Z1

I1 I2Z3


şi:

T21Y = 0UU

I

21

2

==

( ) 221321132

2

ZIIZIZIZII

+=−+−=

( ) 2322

132

2

IZZZZZI

I

+−−

(68)

sau:

T21Y =323121

2

ZZZZZZZ

++

Pentru diportul în π:

π12Y = 0UU

I

12

1

== -

2Z1

(67’)

şi:

π21Y = 0UU

I

21

2

== -

2Z1

(68’)

Fig. 2.2.2.1.1.6. Diport în T podit.

În tabelul 2.2.2.1.1.1. sunt prezentaţi şi diporţi în T podit de tipul celui din figura 2.2.2.1.1.6. Acesta poate fi privit ca şi diportul obţinut prin conectarea în paralel a unui diport în T cu un diport în π în care Z1 = Z3 = ∞.

1’

1 2

2’

U U

Z1

Z2

Z3

I1 I2

Z4


Având în vedere că prin conectarea în paralel a doi diporţi cu parametrii Yk şi Yk

’ k= 1÷4, se obţine un diport cu parametrii ''kY daţi de relaţia:

Yk

’’ = Yk + Yk’ (69)

pe baza relaţiilor (66), (67) şi (68), se pot calcula parametrii Y ai diportului în T podit, obţinându-se, pentru schema din figura 2.2.2.1.1.6, valorile:

12Y = - 323121

2

ZZZZZZZ

++ -

4Z1

= 21Y

(70)

Tabelul 2.2.2.1.1.1. Diferite structuri pentru cuadripolii D şi D’. Filtru cu funcţia de transfer de tip trece jos Schema cuadripolului D

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

−= 3

2

443

2

3

212 Cs

CsRRR

CsR

Cs/1y

Schema cuadripolului D’

1

221

1

1

1'21

CsRRR

CsR

Cs/1y++

−=


3243432

2

3121

CCRR1s

R1

R1

C1s

CCRR1

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−

Ipoteza

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

4R1

R1

2C1

R1

R1

C1

3211


Tabelul 2.2.2.1.1.1. Diferite structuri pentru cuadripolii D şi D’ (continuare). Filtru cu funcţia de transfer de tip trece sus Schema cuadripolului D

222

1

112 R

1

Cs1

CsR

2

Ry −

+−=


221

1'21

Cs1

CsR

2

Ry

+−=


432

2

2

2

RRC1

RC1s2s

s

++−

Ipoteza –

Tabelul 2.2.2.1.1.1. Diferite structuri pentru cuadripolii D şi D’ (continuare). Filtru cu funcţia de transfer de tip trece bandă Schema cuadripolului D )Cs

RRCs

RRCs/1

(y 2

323

32

312 +

++

−=


1

1

'21

Cs1R

1y+

−=


232

22

1

RCCssCR21RCs2

++

Ipoteza

1

31

21

32

C2CR

R

CCRRR

=

===

R1 C1


2.2.2.1.2. Filtre active cu reacţie multiplă Structura cu reacţie multiplă este prezentată în figura 2.2.2.1.2.1.

Figura 2.2.2.1.2.1. Filtru activ cu reacţie multiplă.

Se reaminteşte faptul că tensiunea din centrul unei stele de admitanţe de tipul celei din figura 2.2.2.1.2.2 se poate calcula în funcţie de tensiunile din vârfurile stelei cu formula:

∑

∑

=

=

⋅= n

1kk

n

1kkk

c

Y

YUU

(71)

Figura 2.2.2.1.2.2. O stea de admitanţe.


Particularizând formula (71) pentru nodurile M şi N din figura 2.2.2.1.2.1, se

pot scrie relaţiile:

4321

3N4c1iM YYYY

YUYUYUU+++

⋅+⋅+⋅=

(72)

53

5e3MN YY

YUYUU+

⋅+⋅=

(73)

Legătura dintre tensiunile de intrare şi ieşire în amplificatorul operaţional este:

( ) ( ) ( )sUsAsU Ne ⋅−= (74)

unde A(s) reprezintă funcţia de transfer în buclă deschisă a amplificatorului operaţional.

Eliminând funcţiile UN(s) şi UM(s), din relaţiile (72), (73) şi (74), se obţine expresia funcţiei de transfer:

( )( )

( ) ( ) ( )( )[ ]234321534321543

31

i

e

YYYYYYYsA

1YYYYYYY

YYsUsU

−+++++++++

−=

=

(75)

Având în vedere o dependenţă de frecvenţă a amplificării în buclă deschisă a

amplificatorului operaţional folosit de tipul celei din figura 2.2.2.1.1.3, pentru frecvenţe joase, o bună aproximare a relaţiei (75) este:

( )( ) ( )4321534

31

i

e

YYYYYYYYY

sUsU

++++=

(76)

Relaţia (76) este o bună aproximare pentru relaţia (75) în aceleaşi condiţii în care relaţia (65) aproximează bine relaţia (64). Printr-o bună alegere a tipului rezistiv


sau capacitiv al admitanţelor Y1, Y2, Y3, Y4, şi Y5, expresia funcţiei de transfer (76) poate fi corespunzătoare unor filtre trece jos, trece sus sau trece bandă de ordinul II.

Formele generale ale acestor funcţii de transfer sunt prezentate în tabelul 2.2.2.1.2.1.

Tabelul 2.2.2.1.2.1. Formele generale ale funcţiilor de transfer pentru filtre trece jos,

trece sus sau trece bandă, de ordinul II. Tipul funcţiei de transfer

Expresia funcţiei de transfer Observaţii

trece jos 20

20

Tj

/s/s21A

ω+ωζ+

trece sus 20

20

Ts20

2

/s/s21A/s

ω+ωζ+⋅ω

TjA - amplificarea circuitului la joasă frecvenţă

0ω - pulsaţia de tăiere ζ - coeficientul de amortizare

TsA - amplificarea circuitului la înaltă frecvenţă

trece bandă 20

20

TB0

/s/s21A/s2

ω+ωζ+⋅ωζ

0ω - pulsaţia centrală a filtrului

TBA - amplificarea circuitului la pulsaţia 0ω B = 2 0ζω - banda circuitului la –3 dB

Tabelul 2.2.1.2.2. Modalităţile de implementare a diferitelor tipuri de funcţii de transfer realizabile folosind structura cu reacţie multiplă.

Tipul funcţiei de transfer 1y 2y 3y 4y 5y Observaţii

trece jos 1/R1 sC1 1/R3 1/R4 sC5

TjA = - R4/R1; 0ω = 5243 CCRR

1

ζ = 5243

5431

43

CCRR

CR1

R1

R1RR

21 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⋅


Tabelul 2.2.1.2.2. Modalităţile de implementare a diferitelor tipuri de funcţii de transfer realizabile folosind structura cu reacţie multiplă (continuare).

Tipul funcţiei de transfer 1y 2y 3y 4y 5y Observaţii

trece sus sC1 1/R2 sC3 sC4 1/R5 TsA = - C1/C4; 0ω =

4352 CCRR1

ζ = ( )

4352

4312

CCRRCCCR

21 ++⋅

trece bandă 1/R1 1/R2 sC3 sC4 1/R5

Dacă 2 BA20 ⋅≥ω atunci

TBA = 43

3

1

5

CCC

RR

+⋅ ;

B = 43

43

5 CCCC

R1 +⋅ ;

0ω = ( )21543 R||RRCC

1

În tabelul 2.2.2.1.2.2 sunt prezentate modalităţile de implementare a diferitelor tipuri de funcţii de transfer realizabile folosind structura cu reacţie multiplă. 2.2.2.2. Sinteza filtrelor active pe baza unui prototip pasiv Având în vedere prioritatea istorică a filtrelor pasive faţă de filtrele acrive, este interesantă utilizarea experienţei dobândite în cazul sintezei filtrelor pasive la sinteza filtrelor active. În cazul telecomunicaţiilor se utilizează filtre pasive care sunt diporţi pur reactivi conectaţi între rezistenţe de valoare finită, nenulă. Pentru sinteza filtrelor active pornind de la astfel de prototipuri este necesară simularea inductivităţilor sau a unor celule de elemente pasive folosind amplificatoare operaţionale. 2.2.2.2.1. Metode de simulare a inductivităţilor Diportul din figura 2.2.2.2.1.1. poate fi caracterizat pe baza parametrilor de transmisie A, B, C, D prin ecuaţiile:


⎩⎨⎧

⋅−⋅=⋅−⋅=

221

221

IDUCIIBUAU

(78)

Figura 2.2.2.2.1.1. Schema de conectare a unui diport.

Definiţiile parametrilor de transmisie rezultă din sistemul (78):

;IID;

UIC;

IUB;

UUA

0U2

1

0I2

1

0U2

1

0I2

1

2222 ====

−==−==

(79)

Impedanţa de intrare a diportului din figura 2.2.2.2.1.1 este:

DZCBZA

DI

UC

BI

UA

IDUCIBUA

IU

Z2

2

2

2

2

2

22

22

1

1in +⋅

+⋅=

+−⋅

+−⋅

=⋅−⋅⋅−⋅

==

(80)

După tipul legăturii dintre impedanţele de intrare şi cea de sarcină, diporţii se pot clasifica în următoarele categorii:

- convertor de imitanţă generalizat, G.I.C: el transformă imitanţa de sarcină într-o imitanţă de acelaşi tip (dacă sarcina este o impedanţă se obţine tot o impedanţă iar dacă sarcina este o admitanţă se obţine tot o admitanţă). Se obţine pentru:

sin ZDAZ;0CB ===

(81)

- invertor de imitanţă generalizat, G.I.V: el transformă impedanţa de sarcină într-o admitanţă de intrare şi reciproc. Se obţine pentru:


sin Z

1CBZ;0DA ===

(82)

Un caz particular de G.I.V. este giratorul. În cazul acestui tip de diport:

C1B =

O modalitate de implementare cu amplificatoare operaţionale a convertoarelor de imitanţă este prezentată în figura 2.2.2.2.1.2.

Figura 2.2.2.2.1.2. O implementare cu amplificatoare operaţionale a convertoarelor de imitanţă.

Dacă impedanţa de sarcină (Zs din figura 2.2.2.2.1.1) este Z5, atunci diportul considerat implementează un convertor de imitanţă generalizat, G.I.C. Dacă impedanţa de sarcină (Zs din figura 2.2.2.2.1.1) este Z4, atunci diportul considerat implementează un invertor de imitanţă generalizat, G.I.V. În continuare se demonstrează aceste afirmaţii presupunând că cele două amplificatoare operaţionale sunt ideale.

( )

12

1

21111A1A

IZZ1I

0ZIIZIVV

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=′⇒

⇒=⋅′++⋅⇔= −+

(83)


( )

23

4

32422A2A

IZZ1I

0ZIIZIVV

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=′′⇒

⇒=⋅′′++⋅⇔= −+

(84)

Dar:

0IIII 21 =′′++′+ (85) şi deci:

23

41

2

1 IZZI

ZZ

⋅=⋅−

(86)

adică:

2

1

4

3

1

2

ZZ

ZZ

II

⋅=−

(87)

În cazul în care impedanţa de sarcină este Z5 se constată că:

22A1A1 VVVV +−= ++ (88) Ţinând seama de faptul că:

−− = 2A1A VV şi de relaţiile (83) şi (84), rezultă că:

21 VV = (89) Dar:

522 ZIV ⋅−= (90)

Expresia impedanţei de intrare este:


( ) ( ) ( )

542

3187

51

290

1

289

1

1in Z

ZZZZ

ZII

IV

IVZ ⋅

⋅⋅

=⋅−===

(91)

Având în vedere că impedanţa de sarcină, Z5, se găseşte la numărătorul

membrului drept al relaţiei (91), este demonstrat faptul că diportul considerat este un G.I.C.

În cazul în care impedanţa de sarcină este Z4 se constată faptul că:

42

531

1

52

1

1in521 ZZ

ZZZI

ZIIVZZIV

⋅⋅⋅

=⋅

−==⇒⋅−= (92)

Având în vedere că impedanţa de sarcină Z4 se găseşte la numitorul membrului drept din relaţia (92), rezultă că diportul considerat are o admitanţă de intrare. Deci este vorba de un G.I.V. Se observă că indiferent dacă impedanţa de sarcină este Z4 sau Z5, expresia lui Zin este aceeaşi, dată de (92). Prin particularizarea impedanţelor Z1 ÷ Z5 pot fi obţinute diferite expresii pentru impedanţa de intrare. În acest mod pot fi simulate diferite tipuri de dispozitive pasive (ca de exemplu inductivităţi sau rezistenţe negative dependente de frecvenţă), folosind amplificatoare operaţionale. Dacă se face alegerea:

Z1 = R1, Z2 = R2, Z3 = R3, Z4 =4sC

1, Z5 = R5,

atunci:

2

5314in R

RRRsCZ

⋅⋅⋅=

(93)

Notând constanta LR

RRRC

2

5314 =⋅⋅⋅

, relaţia (93) devine:

sLZin = (94)

Se constată că în acest mod se poate simula o inductivitate, a cărei schemă este prezentată în figura 2.2.2.2.1.3.


Figura 2.2.2.2.1.3. Simularea unei inductivităţi.

Figura 2.2.2.2.1.4. Alt exemplu de simulare a unei inductivităţi.


Din necesitatea ca amplificatoarele operaţionale să aibă intrările polarizate,

inductivităţile simulate trebuie să aibă un terminal la masă. Se observă că se obţine tot o inductivitate dacă facem alegerea:

Z1 = R1, Z2 = 2sC

1, Z3 = R3, , Z4 = R4, Z5 = R5

În acest caz:

4

5312in R

RRRsCZ

⋅⋅⋅=

(95)

şi deci:

4

5312

RRRRC

L⋅⋅⋅

=

(96)

schema de sinteză fiind cea din figura 2.2.2.2.1.4.

2.2.2.2.2. Implementarea filtrelor active folosind inductivităţi simulate

Această metodă de implementare presupune existenţa unui prototip pasiv de filtrare în care inductivităţile să fie conectate cu un capăt la masă. Prin înlocuirea, într-o astfel de schemă, a inductivităţilor cu una din schemele din figurile 2.2.2.2.1.3 sau 2.2.2.2.1.4 se obţine filtrul activ dorit.

De exemplu, un filtru pasiv de ordinul III de tip trece sus cu pulsaţia de tăiere de 81 rad/s conectat între o sursă de semnal cu rezistenţa de ieşire de 1KΩ şi o sarcină de 1 KΩ este prezentat în figura 2.2.2.2.2.1.

Figura 2.2.2.2.2.1. Exemplu de filtru pasiv de ordinul III de tip trece sus.


Având în vedere că în schemă există două inductivităţi conectate la masă,

acestea pot fi înlocuite cu inductivităţi simulate. Folosind pentru sinteză schema din figura 2.2.2.2.1.4 şi alegând R1 = R3 = R4 = 1KΩ, R5 = 618Ω şi C2 = 100nF, se obţine pentru inductivitatea simulată, pe baza relaţiei (96), valoarea:

mH8,61H1061810

6181010L 43

67

=⋅=⋅⋅= −−

deci chiar valoarea dorită.

Figura 2.2.2.2.2.2. Schema filtrului activ de ordinul III.

Schema filtrului activ de ordinul III conectat între rezistenţa de sarcină şi sursă este prezentată în figura 2.2.2.2.2.2.


Dezavantajul filtrelor active implementate cu inductivităţi simulate este acela că utilizarea lor este restrânsă la structura de tip trece sus (având în vedere condiţia necesară ca un capăt al impedanţei să fie conectat la masă). 2.2.2.2.3. Metoda de sinteză “LEAPFROG” Filtrele pasive prototip utilizate în sinteza filtrelor active sunt reţele de reactanţe pure între terminaţii rezistive. O astfel de reţea are aspectul din figura 2.2.2.2.3.1.

Figura 2.2.2.2.3.1. Reţele de reactanţe pure între terminaţii rezistive.

Această reţea este caracterizată de ecuaţiile:

( )( )( ) 3423

2312

1211

YVVIZIIVYVVI

−=−=−=

(97)

Astfel de ecuaţii pot fi implementate şi cu sisteme liniare şi invariante în timp cu funcţii de transfer de forma –Y2k+1 şi Y2k, după cum se vede în figura 2.2.2.2.3.2.


Figura 2.2.2.2.3.2. Sistem liniar şi invariant în timp cu

funcţii de transfer de forma –Y2k+1 şi Y2k.

Ecuaţiile care caracterizează acest sistem sunt următoarele: ( )

( )( )

( )53

3

21

1

ii44

423i

ii22

211i

VVZV

VVYV

VVZV

VVYV

−=

+−−=

+−=−

−−=−

(98)

sau:

( )( )( )423i

ii22

211i

VVYV

VVZV

VVYV

3

21

1

−=

−=

−=

(99)

Se observă identitatea formală dintre ecuaţiile (97) şi (99) care are loc dacă

funcţiile ( ) ( )sIşisV kik sunt identice. Această identitate este formală neţinând cont

de dimensiunile fizice ale celor două funcţii. În cazul în care filtrul prototip este de tip trece jos, pentru celulele intermediare sunt valabile relaţiile:

1k21k2

k2k2 Ls

1YşiCs1Z

++ ⋅=

⋅=


Celulele schemei din figura 2.2.2.2.3.2 pot fi sintetizate cu amplificatoare operaţionale. Astfel, celulele care au în componenţă sumatoare şi blocuri cu funcţia de transfer ( )sZ k2 pot fi echivalate ca în figura 2.2.2.2.3.3.

Figura 2.2.2.2.3.3. Sintetizarea cu amplificatoare operaţionale: a).o celulă din schema din figura 2.2.2.2.3.2; b). rezultatul sintezei.

Relaţia intrare-ieşire a sistemului din figura 2.2.2.2.3.3 a) este:

( ) ( ) ( ) ( )2121 ii

k2iik2e UU

Cs1UUsZsU +⋅

=+⋅=

(100)

Relaţia intrare-ieşire a sistemului din figura 2.2.2.2.3.3 b) în care, în bucla de reacţie a integratorului este conectat un condensator cu capacitatea egală cu C2k/R este:

( ) ( )[ ] ( )k2

iiii

k2e Cs

UUUU

RR

Cs

1sU 21

21 ⋅+

=+−⋅⋅⋅

−=

(101)

Se observă identitatea formală a relaţiilor (100) şi (101). Celulele care au în componenţă sumatoare şi funcţii de transfer de forma

-Y2k+1(s) pot fi echivalate ca în figura 2.2.2.2.3.4.


Figura 2.2.2.2.3.4. Sintetizarea cu amplificatoare operaţionale: a).o celulă din schema din figura

2.2.2.2.3.2; b). rezultatul sintezei.


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )sUsULs1sUsUsYsU

2121 ii1k2

ii1k2e +⋅

−=+⋅−=+

+

(102)

Relaţia intrare-ieşire a sistemului din figura 2.2.2.2.3.4 b) în care, în bucla de reacţie negativă un condensator cu capacitatea egală cu L2k+1/R este:

( ) ( )

( ) ( )21

21

21

ii1k2

e

iiii

1k2

e

UU

RLs

1sU

UUR1

RU

RU

RL

s

1sU

+⋅⋅

−=⇒

⇒+−=−−=

⋅

+

+

(103)

Se observă identitatea formală a relaţiilor (102) şi (103). Având în vedere că la intrarea filtrului trece jos prototip apare o inductivitate

înseriată cu rezistenţa sursei de semnal, notată cu R0, expresia admitanţei Y1 este:

( )10

1 LsR1sY⋅+

=

(104)

celula de intrare se poate implementa ca în figura 2.2.2.2.3.5.


Figura 2.2.2.2.3.5. Implementarea celulei de intrare pentru schema din figura 2.2.2.2.3.2;

a). celula de intrare; b). rezultatul sintezei.


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )sUsULsR

1sUsUsYsU2121 ii

10ii1e +

⋅+−=+⋅−=

(105)

Relaţia intrare-ieşire a sistemului din figura 2.2.2.2.3.5 b) este:

( ) ( )

21 ii

10

10

e UUR1

RLs

1RR

RLs

1RR

sU+−=

⋅+

⋅⋅

(106)

adică:

( ) ( ) ( )2121 ii

10ii

10e UU

LsR1UU

LsRR

R1sU +⋅

⋅+−=+⋅

⋅+⋅−=

(107)

Se observă identitatea formală a relaţiilor (105) şi (107).


Celula de ieşire a filtrului trece jos prototip are aspectul din figura 2.2.2.2.3.6 a) dacă este vorba despre un filtru de ordin impar şi aspectul din din figura 2.2.2.2.3.6 b) dacă este vorba despre un filtru de ordin par.

Figura 2.2.2.2.3.6. Celula de ieşire a filtrului trece jos prototip: a) pentru un filtru de ordin impar şi b) pentru un filtru de ordin par.

Dacă este nevoie de un filtru de ordin impar atunci ultima celulă din figura 2.2.2.3.3.2 are funcţia de transfer –Y2m+1(s). Aceasta poate fi implementată cu aceeaşi structură ca şi cu cea cu care se iplementează celula care conţine funcţia de transfer –Y1(s). Dacă este nevoie de un filtru de ordin par atunci ultima celulă din figura 2.2.2.2.3.2 are funcţia de transfer Z2m(s).

Dar:

( )m2s

sm2 CRs1

RsZ

⋅⋅+=

funcţie de transfer care poate fi implementată cu un integrator amortizat. Se prezintă ca exemplu implementarea în tehnică leap-frog a filtrului de ordinul III de tip trece jos cu pulsaţia de tăiere de 1rad/s, al cărui filtru pasiv prototip este prezentat în figura 2.2.2.2.3.7.

Figura 2.2.2.2.3.7. Exemplu de implementarea în tehnică leap-frog a filtrului de ordinul III de tip trece jos

cu pulsaţia de tăiere de 1rad/s

Structura leap-frog corespunzătoare precum şi modul de proiectare sunt prezentate în figura figura 2.2.2.2.3.8.


Figura 2.2.2.2.3.8. Structura leap-frog corespunzătoare filtrului din figura 2.2.2.2.3.7 precum şi modul de

proiectare.

Avantajul metodei de sinteză leap-frog este acela că sensibilităţile parametrilor filtrelor cu componentele prezentate în schemă sunt mici. Dezavantajul major este acela că metoda permite implementarea eficientă doar a unor structuri de tip trece jos.

CAPITOLUL 3. Metode de echivalare a filtrelor numerice cu filtre analogice

O dată cu dezvoltarea tehnicii de calcul se pune tot mai fecvent problema înlocuirii sistemelor în timp continuu cu sisteme în timp discret, chiar şi în aplicaţiile semnalelor analogice. Datorită experienţei acumulate în proiectarea sistemelor în timp continuu, sunt de interes metodele de sinteză a sistemelor în timp discret bazate pe echivalarea acestora cu sisteme în timp continuu corespunzătoare. Dintre metodele de echivalare sunt de interes acelea care transferă principalele proprietăţi ale sistemului în timp continuu asupra sistemului în timp discret echivalent. 3.1. Principalele cerinţe ale metodelor de echivalare Principalele proprietăţi ale sistemelor în timp continuu care trebuie să se transfere asupra sistemelor în timp discret echivalente sunt:

1. Existenţa răspunsului în frecvenţă al sistemului, 2. Cauzalitatea sistemului considerat, 3. Stabilitatea sistemului considerat.

Dacă sistemul în timp continuu are răspuns în frecvenţă atunci axa imaginară a planului s aparţine regiunii de convergenţă a funcţiei de transfer a acestui sistem. Dacă sistemul în timp discret echivalent are răspuns în frecvenţă atunci cercul unitate din planul z aparţine regiunii de convergenţă a funcţiei de transfer a acestui sistem. Pentru ca existenţa răspunsului în frecvenţă a sistemului în timp continuu să asigure existenţa răspunsului în frecvenţă al sistemului în timp discret echivalent este deci necesar ca metoda de echivalare folosită să transforme axa imaginară a planului s în cercul unitate din planul z.

Dacă sistemul în timp continuu este cauzal şi stabil atunci polii funcţiei sale de transfer sunt situaţi în semiplanul stâng iar regiunea de convergenţă a acestei transformate se întinde spre dreapta. Dacă sistemul în timp discret echivalent este cauzal şi stabil atunci regiunea de convergenţă a transformatei z a răspunsului la impuls al sistemului se găseşte în exteriorul cercului unitate iar polii acesteia se găsesc în interiorul aceluiaşi cerc. Deci pentru ca stabilitatea şi cauzalitatea sistemului în timp continuu să asigure stabilitatea şi cauzalitatea sistemului în timp discret echivalent este necesar ca echivalarea să fie făcută în aşa fel încât semiplanul stâng al planului s să se transforme în interiorul cercului unitate din planul z iar semiplanul drept din planul s să se transforme în exteriorul cercului unitate din planul z.

Condiţiile formulate anterior presupun următoarea reprezentare grafică.

3.2. – Metoda invarianţei răspunsului la impuls 97

Figura 3.1.1. Legătura dintre planele s şi z impusă de o metodă de echivalare utilă.

În continuare se prezintă trei metode de echivalare a filtrelor numerice cu filtre analogice. 3.2. Metoda invarianţei răspunsului la impuls

Se determină expresia răspunsului la impuls ]n[hd al sistemului în timp discret echivalent sistemului în timp continuu, cu răspunsul la impuls ( )tha , conform figurii următoare.

Figura 3.2.1. Sistemul care stă la baza criteriului de echivalare a sistemului în timp continuu pe baza invarianţei răspunsului la excitaţia x(t).

98 Metode de echivalare – 3

Echivalenţa sistemelor cu răspunsurile la impuls ]n[hd şi ( )tha , bazată pe

invarianţa răspunsului la excitaţia x(t), constă în identitatea semnalelor de ieşire:

]n[y]n[y ad = (1)

Având în vedere relaţile :

]n[h]n[x]n[y dd ∗=

şi:

( ) nTtaa th)t(x]n[y =⋅=

transformatele z ale secvenţelor ]n[yd şi ]n[ya sunt date de expresile:

( ) ( ) ( )zHsXLZzY dnTt1

d ⋅= =− (2)

şi:

( ) ( ) ( ) nTta1

a sHsXLZzY =− ⋅= (3)

Relaţia (1) presupune egalitatea membrilor drepţi ai relaţilor (2) şi (3), pe baza

căreia se poate determina expresia funcţiei de transfer a filtrului numeric:

( ) ( ) ( ) ( ) nTt

1nTta

1

d sXLZsHsXLZ

zH=

−=

− ⋅=

(4)

respectiv răspunsul său la impuls:

[ ] ( ) ( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ⋅

==

−=

−−

nTt1

nTta1

1d sXLZ

sHsXLZZnh

(5)

Având în vedere că expresia lui ]n[hd depinde de excitaţia considerată, prin

intermediul transformatei Laplace X(s), este util să se determine expresia răspunsului


la impuls a sistemului în timp discret echivalent sistemului în timp continuu cu răspunsul la impuls ( )th a , pe baza invarianţei răspunsului la excitaţii simple.

Dacă ( ) ( )ttx δ= se vorbeşte despre echivalarea sistemului în timp discret cu sistemul în timp continuu considerat, pe baza invarianţei răspunsului la impuls. Dacă se admite că în acest caz la ieşirea convertorului de pe ramura de sus se obţine impulsul unitar în timp discret expresia lui [ ]nh d din ultima relaţie, devine:

[ ] ( )

( ) ( )

[ ] [ ] [ ] ( )nThnhnZnhZ

Z

tZnThZ

Z1LZ

sH1LZZnh

aaa1

nTt

a1

nTt1

nTta1

1d

==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

δ=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

δ=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ⋅

=

−

=

−

=−

=−

−

(6)

Deci răspunsul la impuls al sistemului în timp discret, ]n[h d , echivalent

sistemului în timp continuu cu răspunsul la impuls ( )th a pe baza metodei de echivalare care presupune invarianţa răspunsului la impuls este obţinut prin eşantionarea ideală a lui ( )th a , cu pasul T.

Dacă ( ) ( )ttx σ= se vorbeşte despre echivalare pe baza invarianţei răspunsului indicial. Dacă se admite că în acest caz la ieşirea convertorului de pe ramura de sus se obţine funcţia treaptă unitate în timp discret, expresia lui ]n[h d este în acest caz:

[ ]( )

( ) [ ]

[ ] ( ) ]n[rZz1Z

z11

nrZZ

nZtrZ

Z

s1LZ

ssH

LZZnh

a11

1

a1

nTta1

nTt1

nTta1

1d

⋅−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

−−

−

−

=−

=−

=−

−

(7)

unde cu ( )tra s-a notat răspunsul indicial al sistemului în timp continuu considerat. Se observă că în cazul echivalării pe baza invarianţei răspunsului indicial:


[ ] [ ]nhnh ad ≠

În continuare se determină expresia răspunsului indicial al sistemului în timp

discret echivalent, [ ]nrd .

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )nTrnrz1

zRz1Z

z1zH

ZzRZnr aa1a

11

)7(

1d1

d1

d ==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

== −

−−

−−−

(8)

Deci răspunsul indicial al sistemului în timp discret echivalent sistemului în

timp continuu cu răspunsul indicial ( )tra pe baza metodei invarianţei răspunsului indicial, se determină cu relaţia:

[ ] [ ]nrnr ad =

adică prin eşantionarea ideală cu pasul T a răspunsului indicial al sistemului în timp continuu.

În continuare se analizează legătura dintre planele s şi z creată de metoda de echivalare bazată pe invarianţa răspunsului la impuls. Această metodă este caracterizată de relaţia:

[ ] ( )nThnh ad = (9)

Ţinând seama de expresiile transformatelor Laplace şi z inverse, ultima relaţie poate fi pusă în forma:

( ) ( )∫ ∫ =

∞+σ

∞−σ

− ⋅π

=⋅π nTt

j

j

sta

1nd dsesH

j21dzzzH

j21

(10)

Pentru a se respecta cerinţa 1 referitoare la metodele de echivalare a sistemelor

în timp continuu cu sisteme în timp discret este necesar ca în membrul stâng să se integreze pe conturul cercului unitate iar în membrul drept pe axa imaginară. De aceea (10) se mai poate scrie:

( ) ( )∫ ∫=

∞

∞−=

− ⋅=⋅1z

j

jnTt

sta

1nd dsesHdzzzH

(11)

sau:


( ) ( )( )

( )

∫ ∫∑=

π+

π−

∞

−∞=

=1z

T1k2j

T1k2j

snTa

k

nd )e(dsH

T1)z(dzH

(12)

Făcând în membrul drept schimbarea de variabilă T2jkss π−→ , relaţia (12) devine:

( )∫ ∫ ∑=

π

π−

∞

−∞=

π−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=

1z

Tj

Tj

k

jkn2snTa

nd )ee(d

T2jksH

T1)z(dzH

(13)

sau:

( )∫ ∫ ∑=

π

π−

∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=

1z

Tj

Tj

k

snTa

nd )e(d

T2jksH

T1)z(dzH

(14)

Această relaţie este satisfăcută şi dacă sunt satisfăcute simultan condiţiile:

sTez = (15) şi:

( ) ∑∞

−∞== ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=

kaezd T

2jksHT1zH sT

(16)

Ultima relaţie exprimă legătura între planele s şi z, specifică metodei de

echivalare bazată pe invarianţa răspunsului la impuls, reprezentată grafic în figura următoare. Ţinând seama de faptul că:

[ ]ππ−∈Ω⋅ρ= Ω ,,ez j (17)

şi că:

ω+σ= js (18)


relaţia (15) devine: TjTj eee ωσΩ ⋅=⋅ρ

Egalând părţile reale şi imaginare din ultima relaţie se obţine:

Teσ=ρ (19)

şi:

Tω=Ω (20)

Pe baza relaţiilor (17) şi (20) se constată că se obţine o corespondenţă

biunivocă între planele s şi z pentru ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ−∈ω

T,

T.

Figura 3.2.2. Legătura dintre planele s şi z indusă de metoda de echivalare bazată pe invarianţa răspunsului la impuls.

Se constată că echivalarea sistemelor în timp continuu cu sisteme în timp discret bazată pe invarianţa răspunsului la impuls se realizează conform cerinţelor metodelor de echivalare, specificate în paragraful anterior, doar pentru sisteme în timp

continuu de bandă limitată, ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ−∈ω

T,

T. În această ipoteză legătura dintre

funcţiile de transfer ale sistemului în timp continuu echivalat şi a sistemului în timp discret echivalent este dată de relaţia (16). Pentru sisteme în timp continuu de bandă


nelimitată corespondenţa , implicată în relaţia (16) nu este biunivocă, motiv pentru care această relaţie nu poate fi folosită. În continuare se exemplifică această metodă de echivalare pe cazul unui filtru analogic care are doar poli simpli. Se consideră că expresia funcţiei de transfer a sistemului în timp continuu este:

( ) ∑= +

=N

1k k

ka ss

AsH

(21)

Răspunsul la impuls al acestui filtru este:

( ) ( )∑=

− σ⋅⋅=N

1k

tska teAth k

Deci răspunsul la impuls al sistemului în timp discret echivalent este:

[ ] ( ) [ ]∑=

− σ⋅⋅==N

1k

nTskad neAnThnh k

iar funcţia sa de transfer:

( ) ∑=

−− ⋅−⋅=

N

1k1Tskd ze1

1AzHk

Se constată că polii lui ( )zHd se pot obţine din polii lui ( )sHa , dacă aceştia

sunt simpli, folosind relaţia de legătură (15). În continuare se prezintă un exemplu de echivalare a unui filtru trece jos de

ordinul I în timp continuu cu un filtru trece jos în timp discret, folosind metoda de echivalare bazată pe invarianţa răspunsului la impuls. Răspunsul la impuls al sistemului în timp continuu este:

( ) ( )teAtht

a σ⋅⋅= τ−

Răspunsul la impuls al sistemului în timp discret echivalent este:

[ ] [ ]neAnhTn

d σ⋅⋅= τ−


Cele două răspunsuri la impuls sunt reprezentate grafic în figura următoare, pentru A=1 şi 1=τ .

Figura 3.2.3. Răspunsurile la impuls ale filtrului analogic de ordinul I

şi al filtrului numeric echivalent.

Funcţiile de transfer ale celor două sisteme sunt:

( )s1

AsHa

+τ

=

şi:

( )1

Td

ze1

AzH−τ

−⋅−

=


Expresile răspunsurilor în frecvenţă ale celor două sisteme sunt:

( )ω+

τ

=ωj1

1Ha

şi:

( )Ω−τ

−⋅−

=Ωj

Td

ee1

AH

Modulele celor două răspunsuri în frecvenţă pentru A =1, 1=τ şi T=1 sunt reprezentate în figura 3.2.4.

Figura 3.2.4. Modulele răspunsurilor în frecvenţă ale celor două sisteme, analogic (curba de jos)

şi digital (curba de sus) echivalente pe baza metodei invarianţei răspunsului la impuls.


Chiar dacă în domeniul timp calitatea echivalării pare bună, figura 3.2.4 dovedeşte că această metodă de echivalare nu are performanţe deosebite. La frecvenţe joase cele două caracterstici sunt cât de cât asemănătoare, dar pe măsură ce frecvenţa creşte calitatea echivalării scade tot mai mult. Motivul este nelimitarea în banda de frecvenţe a filtrului analogic. Din păcate toate sistemele analogice întâlnite în practică sunt de bandă nelimitată (deoarece au răspunsul la impuls de durată finită). În consecinţă metoda de echivalare bazată pe invarianţa răspunsului la impuls merită să fie utilizată în practică doar pentru sisteme în timp discret care urmează să prelucreze semnale de joasă frecvenţă. 3.3. Metoda de echivalare bazată pe aproximarea ecuaţiei diferenţiale care descrie filtrul analogic cu o ecuaţie cu diferenţe finite care descrie filtrul numeric echivalent Definiţia derivatei unui semnal analogic, x(t) este:

( ) ( )T

Ttxtxlimdtdx

0T

−−=→

de unde:

( ) ( )( )T

T1nxnTxlimdtdx

0TnTt−−=

→=

Dacă ]n[x reprezintă semnalul în timp discret obţinut prin eşantionarea ideală

a semnalului x(t) cu pasul T, atunci ultima relaţie se mai poate scrie:

T]1n[x]n[xlim

dtdx

0TnTt−−=

→=

În continuare se va folosi aproximarea:

T]n[x

T]1n[x]n[x

T]1n[x]n[xlim

0T

∆=−−≅−−→

care este cu atât mi bună cu cât T este mai mic. Raţionând recursiv se obţine relaţia:

[ ]nxT1

dtxd k

knTtk

k

∆≅=

(22)

3.3. – Aproximarea ecuaţiei diferenţiale 107

Ecuaţia diferenţială care caracterizează sistemul în timp continuu care trebuie echivalat este:

∑ ∑= =

⋅=⋅M

0k

N

0kk

k

kk

k

k dtxdb

dtyda

(23)

Aceasta poate fi echivalată pe baza relaţiei (22) cu ecuaţia:

[ ] [ ]∑ ∑= =

∆=∆M

0k

N

0k

kkkk

kk nx

Tb

nyTa

(24)

Aceasta este ecuaţia cu diferenţe finite care caracterizează sistemul în timp discret echivalent sistemului în timp continuu considerat. Se poate demonstra cu uşurinţă că diferenţa finită de ordinul k a unei secvenţe oarecare [ ]nu are expresia:

( ) [ ]∑=

−−=∆k

0p

pk

pk pnuC1]n[u

(25)

Luând în ambii membri ai ultimei relaţii trasformata z se obţine:

[ ] ( ) ( ) ( )( )∑=

−− −=−=∆k

0p

1ppk

pk z1zUzUzC1nuZ

(26)

Aplicând în ambii membri ai ecuaţiei (24) transformata z şi ţinând seama de

relaţia (24) se obţine:

( ) ( )∑ ∑= =

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −M

0k

N

0k

k1

k

k1

k Tz1bzX

Tz1azY

(27)

Pe baza relaţiei (23) se stabileşte expresia funcţiei de transfer a filtrului analogic de echivalat:

( )∑

∑

=

== M

0k

kk

N

0k

kk

a

sa

sbsH

(28)


Pe baza relaţiei (27) se stabileşte expresia funcţiei de transfer a filtrului numeric echivalent ( )zHd şi se constată că:

( ) ( )Tz1s

ad 1sHzH −−==

(29)

Legătura dintre planele s şi z impusă de această metodă de echivalare este:

Tz1s

1−−=

(30)

sau:

( ) ( ) ( ) ( )2222 TT1Tj

TT1T1

TjT11

sT11z

ω+σ−ω+

ω+σ−σ−=

ω−σ−=

−=

(31)

Notând părţile reală şi imaginară ale lui z cu x şi y relaţia (31) mai poate fi scrisă şi în forma:

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=ω+σ−

ω

=ω+σ−

σ−

yTT1

T

xTT1

T1

22

22

(32)

Eliminând Tω din cele două relaţii se obţine:

( ) ( )22

2

T141

T121xy

σ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

−+

(33)

Pentru 0=σ , ultima relaţie devine:

41y

21x 2

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

(34)

care descrie un cerc. În figura următoare este prezentată legătura dintre planele s şi z indusă de această metodă de echivalare.

3.3. – Aproximarea ecuaţiei diferenţiale 109

Figura 3.3.1. Legătura dintre planele s şi z indusă de metoda de echivalare bazată pe aproximarea ecuaţiei diferenţiale care descrie sistemul în timp continuu cu o ecuaţie cu diferenţe finite care descrie sistemul în

timp discret echivalent.

Relaţia (34) arată că axa imaginară a planului s se transformă în cercul de rază 0,5 şi de centru (0,5 , 0), din planul z.

Analizând ultima figură se constată că, deoarece semiplanul stâng al planului s se transformă în interiorul cercului de rază 0,5 şi de centru (0,5 , 0), care este interior cercului unitar, din planul z, un sistem stabil şi cauzal în timp continuu se transformă într-un sistem stabil şi cauzal în timp discret. Răspunsul în frecvenţă al sistemului în timp continuu se obţine calculând funcţia de transfer a acestuia pe axa imaginară. Răspunsul în frecvenţă al sistemului în timp discret se obţine calculând funcţia sa de transfer pe cercul unitate. Dar metoda de echivalare studiată în acest paragraf transformă axa imaginară a planului s în cercul, descris de relaţia (34) din planul z. În consecinţă această metodă nu respectă cerinţa 1 a metodelor de echivalare, prezentate mai sus. Pentu a determina pe baza relaţiei (29) legătura dintre răspunsurile în frecvenţă ale celor două sisteme este necesar ca z să fie simultan pe cercul unitate şi pe cercul descris de relaţia (34).

Această condiţie este descrisă doar de acele puncte din planul z situate în vecinătatea punctului (1 , 0). Pe baza relaţiei (32), acestor puncte le corespund valori foarte mici ale lui Tω . În acest caz:

Ω+≅Ω+Ω==→Ω

Ω j1sinjcosez0

j

(35)


şi :

Ω−≅=→Ω

Ω−− j1ez0

j1 (36)

Relaţia (29) devine, pentru valori mici ale lui Ω :

( ) ( )T

jjad HH Ω=ωω=Ω sau ( ) ( )ω=Ω ω=Ω aTd HH

(37)

Deci răspunsul în frecvenţă al sistemului în timp discret, pentru frecvenţe joase

(Ω mic), aproximează bine răspunsul în frecvenţă al sistemului în timp continuu echivalat. Condiţia ca Tω să fie foarte mic este îndeplinită dacă ω este foarte mic, deci metoda se recomandă la echivalarea sistemelor care lucrează la joasă frecvenţă, sau dacă T este foarte mic, adică dacă semnalul analogic de prelucrat se eşantionează, pentru discretizarea sa, cu o frecvenţă de eşantionare foarte mare. În continuare se reia exemplul din paragraful anterior. Filtrul trece jos de

ordinul I cu răspunsul la impuls ( ) ( )teAtht

a σ⋅= τ−

are funcţia de transfer

( )τ+τ=s1

AsHa . Funcţia de transfer a sistemului în timp discret echivalent este:

( )1

d

zT

1

TTA

zH−⋅

τ+τ−

τ+τ

=

iar răspunsul său la impuls este:

[ ] [ ]nTT

TAnhn

d σ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+τ

τ+τ=

În figura următoare se prezintă modulele răspunsurilor în frecvenţă ale celor două sisteme.

3.4. – Echivalarea filtrelor analogice 111

Figura 3.3.2. Modulele răspunsurilor în frecvenţă ale filtrului trece jos de ordinul I analogic şi numeric echivalent.

Comparând figurile 3.3.2 şi 3.2.4 se constată superioritatea metodei de echivalare bazată pe aproximarea ecuaţiei diferenţiale cu o ecuaţie cu diferenţe finite asupra metodei de echivalare bazată pe invarianţa răspunsului la impuls. 3.4. Echivalarea filtrelor analogice cu filtre numerice pe baza transformării biliniare În cazul acestei metode de echivalare legătura dintre planele s şi z este dată de relaţia:

1

1

z1z1

T2s −

−

+−⋅=

(38)


care reprezintă o transformare biliniară. Această legătură este impusă de rezolvarea numerică a ecuaţiei diferenţiale care descrie funcţionarea sistemului în timp continuu care trebuie echivalat. În continuare se justifică această afirmaţie. Fie sistemul analogic descris de ecuaţia diferenţială:

( ) ( ) ( )txbdt

tdyatya 010 =+

(39)

Funcţia sa de transfer este:

( )saa

bsH

10

0a +

=

(40)

Se poate scrie:

( ) ( )0

t

t

tydddyty

0

+ττ

= ∫

Pentru: nTt = şi ( )T1nt 0 −= se obţine:

( )( )

( )( )T1nydddynTy

nT

T1n

−+ττ

= ∫−

(41)

Integrala din membrul drept reprezintă aria de sub graficul funcţiei ( )ττ

ddy

cuprinsă între liniile verticale duse prin punctele de abscise (n-1)T şi nT şi poate fi

aproximată cu aria trapezului dreptunghic de bază mică ( )

( )T1nddy

−=τττ

, bază mare

( )nTd

dy=ττ

τşi înălţime T.

Folosind această aproximare, relaţia (41) devine:

[ ] ( )( )

( ) [ ]1nyd

dyd

dy2Tny nTT1n −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ττ+

ττ= =τ−=τ

(42)


S-a notat cu [ ]ny semnalul în timp discret obţinut prin eşantionarea cu pasul T a semnalului de la ieşirea sistemului analogic. Dar relaţia (39) mai poate fi pusă şi în forma:

( ) ( ) ( )tyaa

txab

dttdy

1

0

1

0 −=

Înlocuind în ultimele relaţii pe t cu nT respectiv cu (n-1)T se obţin relaţiile:

[ ] [ ] [ ]nyaa

nxab

n'y1

0

1

0 −= şi

[ ]1nyaa

]1n[xab

]1n['y1

0

1

0 −−−=−

care înlocuite în (42) conduc la:

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⋅+−+⋅−=−− 1nxnx

ab

1nynyaa

2T1nyny

1

0

1

0

S-a notat cu [ ]nx semnalul obţinut prin eşantionarea ideală cu pasul T a

semnalului de la intrarea sistemului de echivalat. Semnalul ]n[y reprezintă răspunsul sistemului numeric echivalent sistemului analogic considerat la semnalul [ ]nx . Ultima relaţie poate fi rescrisă în forma:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )1nxnxab

2T

aa

2T11ny

aa

2T1ny

1

0

1

0

1

0 −+⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

Luând în ambii membri ai ultimei relaţii transformata z se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )zXz1ab

2T

aa

2T1zYz

aa

2T1zY 1

1

0

1

01

1

0 ⋅+⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅ −−

de unde se poate calcula funcţia de transfer a sistemului în timp discret echivalent:


( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅+

=

−

−

⋅ 1

1

10

0d

z1z1

T2aa

bzH

(43)

Comparând relaţiile (40) şi (43) se constată că funcţiile de transfer ale celor

două sisteme sunt legate prin relaţia:

( ) ( )1

1

z1z1

T2s

ad sHzH−

−

+−⋅=

=

Deci legătura dintre planele s şi z indusă de metoda de echivalare bazată pe

rezolvarea numerică (folosind metoda trapezelor) a ecuaţiei diferenţiale care descrie sistemul de echivalat este cea descrisă de relaţia (38). Prin inversarea acesteia se obţine:

s2T1

s2T1

z⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

Expresia modulului lui z este:

22

22

2T

2T1

2T

2T1

z

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ+

=

(44)

Se constată următoarele implicaţii:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>⇒>σ=⇒=σ<⇒<σ

1z01z01z0

Legătura dintre planele s şi z specifică metodei de echivalare bazată pe

transformarea biliniară este reprezentată în figura următoare.


Figura 3.4.1. Legătura dintre planele s şi z indusă de metoda de echivalare bazată pe transformarea biliniară.

Se constată că această metodă respectă toate cerinţele specifice metodelor de echivalare a sistemelor în timp continuu cu sisteme în timp discret. Aşa după cum se poate vedea în figură, punctelor de pe axa imaginară din planul s le corespund punctele de cercul unitate din planul z:

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω⋅⋅=

+−⋅=ω Ω−

Ω−

2tgj

T2

e1e1

T2j j

j38

Deci:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω⋅=ω

2tg

T2

sau 2Tarctg2 ω=Ω

(45)

În consecinţă legătura dintre răspunsurile în frecvenţă ale celor două sisteme

echivalente este:

( ) ( )ω=Ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω=Ω

a2Tarctg2

d HH

(46)

Se constată că legătura dintre Ω şi ωeste neliniară, eroarea de aproximare a lui ( )ωaH prin ( )ΩdH fiind cu atât mai mare cu cât ωeste mai mare.


Reluând exemplul filtrului analogic trece jos de ordinul I considerat la prezentarea fiecărei metode de echivalare, se constată că răspunsul în frecvenţă al sistemului în timp discret echivalent este :

( )τ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+

τ=Ω

2tg

T2j1

AHd

(47)

În figura următoare se prezintă modulurile răspunsurile în frecvenţă ale

filtrului analogic de ordinul I şi ale filtrului numeric echivalent obţinut pe baza transformării biliniare, pentru cazul 1TA ==τ= .

Figura 3.4.2. Modulele răspunsurilor în frecvenţă ale filtrului trece jos de ordinul I analogic şi numeric

echivalent pe baza transformării biliniare.

3.5. – Benzi echivalente de zgomot 117

Comparând figurile 3.2.4, 3.3.2 şi 3.4.2 se constată superioritatea metodei de echivalare bazată pe transformarea biliniară asupra metodelor de echivalare bazate pe invarianţa răspunsului la impuls respectiv pe aproximarea ecuaţiei diferenţiale printr-o ecuaţie cu diferenţe finite. Acesta este motivul pentru care construcţia filtrelor numerice de tip Butterworth, Cebîşev sau Bessel se relaizează prin echivalarea filtrelor analogice corespunzătoare folosind metoda de echivalare bazată pe transformarea biliniară.

Pentru îmbunătăţirea preciziei metodei de echivalare bazată pe transformarea biliniară poate fi realizată o predistorsionare a răspunsului în frecvenţă al filtrului analogic de echivalat, înainte de echivalare, folosindu-se schimbarea de variabilă:

( )vechinou tgT2 ω=ω

3.5. Benzi echivalente de zgomot ale unor filtre numerice Considerând problema îmbunătăţirii RSZ pentru semnalele în timp discret prin filtrare numerică liniară, fie semnalul :

[n]n+s[n]x[n] B= unde s[n] este un semnal determinist de putere finită iar nB[n] este un zgomot alb de bandă limitată B şi de densitate spectrală de putere N0. Prin filtrarea semnalului x[n] cu sistemul cu răspuns la impuls h[n] se obţine semnalul y[n] :

[n]n+u[n]=y[n] 0B

unde :

h[n]s[n]u[n] ∗=

|)H(|)()( 2nB0nB Ω⋅ΩΦ=ΩΦ

[Bel.’90], [Cou.’84], [DeS.,Isa.’93], [Naf.,Câm.,Isa.’95]. La intrarea filtrului avem RSZ dat de relaţia :

PPRSZ

u

si =


iar la ieşire avem :

PPRSZ

n

u0

B0

=

îmbunătăţirea RSZ fiind :

PP

PP

RSZRSZ

0nB

u

s

u

i

0 ⋅==χ

Dacă filtrul este proiectat astfel încât :

su PP =

atunci îmbunătăţirea RSZ este :

PP

0nB

n=χ

Dar :

00-

nB NdN21

P =Ω⋅π

= ∫π

π

ΩΩπ

ΩΩ⋅π

= ∫⋅=∫π

π

π

π

d| )H( |2Nd|)H(N

21

P 2

-

020

-0nB |

de aceea :

ΩΩ

π=ΩΩ⋅

π

=χ

∫∫π

π

π

π

d| )H( |

2

d| )H( |2N

N 2

-

2

-

o

0

Numitorul membrului drept poartă numele de bandă echivalentă de zgomot a sistemului cu răspunsul în frecvenţă H(Ω).


În [Isa.’95] s-au calculat benzile echivalente de zgomot pentru câteva filtre numerice cu răspuns finit la impuls (RFI) de diferite ordine. În aceeaşi referinţă bibliografică s-au propus şi etape de proiectare a filtrelor RFI şi s-au făcut aprecieri asupra benzilor echivalente de zgomot pentru un filtru numeric cu răspuns infinit la impuls (RII). În continuare se prezintă doar calculele pentru benzile echivalente de zgomot pentru filtrele numerice RFI de ordinul N şi pentru filtrul RII de ordinul I. 3.5.1. Filtru RFI de ordinul N Ecuaţia cu diferenţe finite care descrie funcţionarea unui filtru RFI de ordinul N este cunoscută ca fiind :

N]x[na + ... + 1]x[na+ x[n]a= y[n] N10 −−

Răspunsul în frecvenţă al acestui sistem va fi :

Ω−Ω−Ω jNN

j10 ea +...+ ea +a = )H(

adică :

)sinNa...+ sinj(a N cosa +... cosa+a=)H( N1N10 Ω+Ω−Ω+ΩΩ

şi avem în continuare:

)sinNa+...+ sin(a + )N cosa+...+ + cosa+(a=)H( 2N1

2N10

2 ΩΩΩΩΩ

ceea ce se mai poate scrie şi sub forma :

( ) ( ) ( )2

k

N

0=k

2

k

N

0=k

2 ksinakcosaH ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Ω+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Ω=Ω ∑∑

(48)

Calculăm separat cele două sume :

( ) ( ) ( ) ( )ΩΩ+Ω=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Ω ∑∑∑∑≠

lcoskcosaakcosakcosa lk

N

kl,0=l

N

0=k

22k

N

1=k

2

k

N

0=k


( ) ( )+Ω=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Ω ∑∑ ksinaksina 22k

N

1=k

2

k

N

0=k

( ) ( )ΩΩ∑∑≠

lsinksinaa lk

N

kl,1=l

N

1=k

şi, revenind la relaţia (2.11), avem :

+) kcos + ksin ( a = )H(N

0k

222k

2 ∑=

ΩΩΩ

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ΩΩ+ΩΩ+ ∑∑≠

lsinksinlcoskcosaa lk

N

kl,1=l

N

1=k

sau :

∑∑∑≠===

ΩΩN

kl,0l

lk

N

0k

N

0k

2k

2 l)-(kcosaa +a =)H( (49)

Condiţia de egalitate a puterilor semnalelor deterministe de la intrarea şi ieşirea filtrului numeric se scrie :

ΩΩπ

=ΩΩΩπ ∫∫

π

π−

π

π−

d)S(21 d)S()H(

21 222

sau, ţinând cont de (49) :

P=d)S(l)-(kcosaa+d)S(a21

s

N

0k

2N

kl,0l

lk

N

0'k-

22k

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ΩΩ⋅ΩΩΩ

π ∑ ∫∑∑∫=

π

π−≠==

π

π

adică :

[0]R= d)S(]l)-[(kcos21 aa+a[0]R ss

2l

N

kl,0l

k

N

0k

N

0k

2kss ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΩΩΩ

π⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∫∑∑∑π

π−≠===


Dar :

[ ] [ ] [ ]lkRklRlkR21

de)S(21+de)S(

21

21

=]dl)-[(kcos)(S21

ssssss

l)-j(k2l)-j(k2

2

−=−+−=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ΩΩπ

ΩΩπ

=

ΩΩΩπ

∫∫

∫π

π−

Ω−π

π−

Ω

π

π−

De aceea :

[0]R= l]-[kRaa+[0]Ra ss

N

0kss

N

kl,0l

lkss

N

0k

2k ∑∑∑

=≠==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

(50)

sau :

l]-[kRaa= [0]Ra1 ss

N

kl,0l

lk

N

0kss

N

0k

2k ∑∑∑

≠===

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

Banda echivalentă de zgomot a filtrului RFI de ordinul N este :

∫∑∑∑∫π

π−≠===

π

π−

ΩΩ+πΩΩ d l)-(k cosaaa2=d)H(N

kl,0l

lk

N

0k

N

0k

2k

2

Dar :

( )[ ] lk;0lksinlk

1= ]l)-(ksind[l-k

1= dl)-(kcos ≠=Ω−−

ΩΩΩπ

π−

π

π−

π

π−∫∫

şi revenind la relaţia anterioară :

∑∫=

π

π−πΩΩ

N

0k

2k

2 a2 = d)H(

şi deci îmbunătăţirea RSZ este dată de :


∑=

χ N

0k

2k

N

a

1=

(51)

Rezultă că filtrul de ordinul N trebuie proiectat în aşa fel încât să se minimizeze suma pătratelor coeficienţilor cu constrângerea dată de relaţia (50). Un caz particular interesant este cel în care: a0 şi aN sunt diferiţi de 0 şi ak = 0 pentru k = 1÷N-1. În această situaţie :

Ω−Ω+Ω Nsinja cosNaa= )H( NNo

ΩΩ cosNa2a+a+a=)H( N0

2N

20

şi în acest caz, corespunzător relaţiei (50) :

( ) [N]Raa2=[0]Raa1 ssN0ss2N

20 −−

iar relaţia (51) devine :

2N

20

N aa1=+

χ

Algoritmul de proiectare al filtrului este următorul : 1. Se calculează Rss[0], Rss[N] şi RN = Rss[N]/Rss[0] . 2. Se alege valoarea lui χN dorită, în intervalul :

1 +R < < 1 NNχ

3. Valorile coeficienţilor a 0 şi aN vor fi :

2R

1+-R

R1+R

=a NN

NN

NN

NN

N,0

χχ

±χ−χ


OBSERVAŢII O1. Acest algoritm nu se poate aplica în cazul semnalelor s[n] la care

Rss[N] = 0. O2. Problema optimizării filtrului RFI de ordin N este una de extreme cu

legături. Într-adevăr, trebuie minimizată funcţionala :

∑=

N

0k

2kk a=)F(a

cu respectarea relaţiei (50). Condiţia de minim a funcţionalei fiind :

0=a2 0=a

)F(a N

0kk

k

k ∑=

⟨=⟩∂

∂

una dintre condiţiile care merită să fie verificată în proiectarea filtrului este :

0 =aN

0kk∑

=

(52)

O3. Banda echivalentă de zgomot a unui filtru RIF de ordinul N cu coeficienţi ak, k = 0÷N este deci :

aBN

0k

2kZN ∑

=

=

3.5.2. Filtru RII Un filtru RII de ordinul I este descris de ecuaţia cu diferenţe finite :

1]-s[na+ s[n]a=1]u[nb+ u[n]b 1010 −

Răspunsul său în frecvenţă este :

Ω−

Ω−

Ω j10

j10

eb+bea +a

= )H(

De aceea se poate scrie :


ΩΩ+

Ωcosb2b+b+ bcosa2a a+a

= )H(10

21

20

1021

202

Se obţine pentru banda echivalentă de zgomot :

∫∫π

π−

π

π−

ΩΩΩ

ΩΩ d cosb2b+ b+ bcosa2a + a+a

=d)H(=B10

21

20

1021

202

zRII

Făcând substituţia :

t= 2

tg Ω

se obţine:

1tdt

bbbb

t

aaaa

t

bbaa

2B 22

10

102

10

1022

10

10zRII +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

= ∫∞

∞−

Cu notaţiile :

γ−−

β−

α−

=bbaa

si =bbb+b

; =aaa+a

10

10

10

10

10

10

expresia benzii echivalente de zgomot devine :

∫∞

∞−

⋅βαγ 222

222

zRII t+1dt

+t+t2=B

Pentru aceasta se face descompunerea :

3.6. – Filtre numerice echivalente 125

( )( ) 1t11

+ +t

1=t1t

+t2

2

2

22

2

22

222

22

+−β−α

β−βα−β

+β+α

şi deci :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−β−α+

β+−βα−βγ ∫∫

∞

∞−

∞

∞− 1tdt

11

tdt

12=B 22

2

222

222

zRII

adică :

( ) ( ) =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−β−α+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

β−βα−βγ

∞

∞−∫∞

∞−

tarctg11

t1

td

12=B 2

2

22

222

zRII

( )( )( )

( )11+2=

11 +

12 = 2

22

2

2

2

222

−ββ−βαβπγ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−β−α

β−βα−βπγ

Deci banda echivalentă de zgomot a unui filtru RII de ordinul I este :

( )( )1++2=B

22

zRII ββαβπγ

Se pot calcula, în acelaşi fel, benzile echivalente de zgomot şi pentru filtre RII

de ordin superior. Astfel de filtre se utilizează în construcţia modulatoarelor sau a demodulatoarelor numerice, a multiplexoarelor numerice, a codoarelor în subbenzi, etc. Studiul acestor filtre se justifică şi pentru că ele pot fi utilizate drept filtre prototip pentru filtrele digitale adaptive. 3.6. Filtre numerice echivalente filtrelor analogice transversale Într-un paragraf anterior s-a prezentat modul în care se poate îmbunătăţi RSZ în cazul semnalelor periodice, analogice, perturbate aditiv de zgomot alb. Au fost


definite filtrele transversale analogice. Principala proprietate a acestor sisteme este periodicitatea răspunsului lor în frecvenţă. Datorită acestei proprietăţi ele pot fi proiectate în aşa fel încât răspunsul lor în frecvenţă să aibă maxime la pulsaţiile armonicelor semnalului util s(t). Şi spectrul semnalului periodic în timp discret este discret. De aceea şi în cazul semnalelor periodice în timp discret este utilă folosirea unor filtre numerice cu răspuns în frecvenţă periodic, de perioadă inferioară lui 2π. În continuare se prezintă modul în care pot fi construite filtre cu răspunsul în frecvenţă periodic de perioadă 2π/2N. Fie sistemul din figura următoare: x[n] y[n]

Figura 3.6.1. Sistem de supraeşantionare.

Legătura dintre semnalele x[n] şi y[n] este:

⎪⎩

⎪⎨

⎧⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

restin,0

2npentru,2nx

= y[n]

]Se calculează legătura dintre transformatele Fourier în timp discret ale

semnalelor x[n] şi y[n] :

Ω+−∞

−∞

Ω−∞

−∞

Ω−∞

−∞∑∑∑ +Ω )1p2(j

=p

p2j

=p

jn

=n

1]e+y[2p y[2p]e =y[n]e = )Y(

sau :

)X(2 = x[p]e= )Y( p2j

=p

ΩΩ Ω−∞

−∞∑

Trebuie menţionat faptul că semnalul y[n] se obţine prin intercalarea a câte unui zero între eşantioanele succesive ale semnalului x[n]. Un exemplu pentru generarea semnalului y[n] pornind de la semnalul x[n] este prezentat în figura următoare. Deci intercalând zerouri între eşantioanele răspunsului la impuls a unui filtru cu răspuns în frecvenţă H(Ω) se obţine răspunsul la impuls al unui sistem cu răspunsul în frecvenţă H(2Ω).

↑2


Figura 3.6.2. Exemplu de supraeşantionare.

În continuare se analizează sistemul obţinut prin conectarea în cascadă a două sisteme de tipul celui din figura 3.6.1., sistem care este prezentat în figura 3.6.3.

x[n] y[n] z[n]

↑2 ↑2

Figura 3.6.3. Conectarea în cascadă a sistemelor de supraeşantionare.

Se constată că :

⎪⎩

⎪⎨

⎧⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

restin,0

2npentru,2ny

= z[n]

Dar :


⎪⎩

⎪⎨

⎧⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

restin,0

2npentru,2nx

= y[n]

De aceea :

⎪⎩

⎪⎨

⎧⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

restin,0

4npentru,4nx

= z[n]

Legătura dintre transformatele Fourier în timp discret ale secvenţelor x[n] şi z[n] este :

+ 1]e+z[4p+z[4p]e=z[n]e= )Z( )1p4(j

=p

p4j

=p

jn

=n

Ω+−∞

−∞

Ω−∞

−∞

Ω−∞

−∞∑∑∑Ω

)X(4x[p]e

=3]e+z[4p+2]e+z[4p+

p4j

=p

)1p4(j

=p

)1p4(j

=p

Ω== Ω−∞

−∞

Ω+−∞

−∞

Ω+−∞

−∞

∑

∑∑

Deci intercalând câte trei zerouri între eşantioanele succesive ale răspunsului la impuls al unui filtru cu răspunsul în frecvenţă H(Ω) se obţine răspunsul la impuls al unui filtru cu răspunsul în frecvenţă H(4Ω). Dar funcţia H(2Ω) este periodică de perioadă 2π/2 iar funcţia H(4Ω) este periodică de perioadă 2π/4. De aceea se poate afirma că intercalând 2N-1 zerouri între eşantioanele succesive ale răspunsului la impuls ale unui filtru numeric cu răspunsul în frecvenţă H(Ω) se obţine răspunsul la impuls al unui sistem cu răspunsul în frecvenţă H(2NΩ), care este o funcţie periodică de perioadă 2π/2N. OBSERVAŢIE. Benzile echivalente de zgomot ale sistemelor cu răspunsurile în frecvenţă H(Ω),H(2Ω),...,H(2NΩ) sunt identice. Într-adevăr :

ΩΩΩΩ ∫∫ππ

π

d |)H(| = d |)H(| =B 22

0

2

-z


=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=ΩΩ ∫∫∫∫

π

π

π

π−

π

π

du |H(u)| du |H(u)| 21

2du |H(u)| = d |)H(| 2

2

0

20

2-

22

2

2

-

z2

2

0

22

0

2*2

0

22

0

22

0

B=du |H(u)| = du |H(u)| +du |(u)H| 21 =

= du |H(u)| +du |H(-u)| 21 =

∫∫∫

∫∫

πππ

ππ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

( )

∑ ∫∫∫−

−=

π+

π

π

π−

π

π

−

−

=ΩΩ12

2k

221k

2kN

22

2N

2N

-

1N

1N

N

N

du |H(u)| 21du |H(u)|

21 = d |)2H(|

Dar :

Zk )(, )2k-H(u = H(u) ∈∀π Făcând în ultima integrală schimbarea de variabilă v = u - 2kπ, se obţine :

z2

2

0

221)+(k

2k

B = dv|H(v)| =du |H(u)| ∫∫ππ⋅

π⋅

De aceea :

zzN

N2N

-

B= B221 = d |)2H(| ΩΩ∫

π

π

(53)

Să considerăm în continuare că trebuie prelucrat, pentru a i se îmbunătăţi RSZ,

semnalul x[n] :

n[n] + s[n] = x[n]

În această ultimă relaţie s[n] este un semnal periodic în timp discret de perioadă M. Semnalul s[n] are un spectru discret, armonicele sale fiind distanţate cu


2π/M între ele. Să presupunem că semnalul s[n] este de bandă limitată, pulsaţia maximă în spectrul său fiind P·(2π/M). Se poate construi un filtru numeric al cărui răspuns în frecvenţă să aibă maxime la pulsaţiile k(2π/M), k∈Z. Fie, în acest scop, filtrul numeric trece jos cu răspunsul în frecvenţă H(Ω). Se construieşte sistemul cu răspunsul în frecvenţă H(MΩ). Se constată că la pulsaţiile k(2π/M) valoarea răspunsului în frecvenţă al acestui filtru este :

H(0) = )(k2 H = M2Mk H π⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

adică maximă. Fie această valoare egală cu 1. Se constată faptul că toate armonicele semnalului s[n] trec nealterate prin filtrul cu răspuns în frecvenţă H(MΩ). Notând cu y[n] semnalul obţinut prin prelucrarea semnalului x[n] şi acceptând că acesta este de forma :

[n]n + u[n] = y[n] 0

se constată că dacă semnalul s[n], periodic de perioadă M, este prelucrat cu sistemul cu răspuns în frecvenţă H(MΩ) atunci :

su P= P

iar dacă semnalul s[n] este prelucrat cu sistemul cu răspuns în frecvenţă H(Ω) atunci :

su P< P

deoarece anumite armonici ale semnalului s[n] sunt atenuate de acest sistem. De aceea, în cazul sistemului cu răspuns în frecvenţă H(Ω) avem :

∫∫π

π−

π

π−

ΩΩ

π<ΩΩ

π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

d)(H

2

d)(H

2PP

PP

PP

RSZRSZ

221s

u

s

n

0n

u

1i

0

În cazul sistemului cu răspuns în frecvenţă H(MΩ), avem :


∫∫

∫

π

π−

π

π−

π

π−

ΩΩ

π=ΩΩ

π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=ΩΩ

π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

d)(H

2

d)(H

2PP

d)M(H

2PP

RSZRSZ

22Ms

u

2Ms

u

Mi

0

Deoarece :

1i

0

Mi

0

RSZRSZ

RSZRSZ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

se constată superioritatea sistemului cu răspuns în frecvenţă H(MΩ) asupra celui cu răspunsul în frecvenţă H(Ω), la prelucrarea semnalelor periodice de perioadă M, din punct de vedere al îmbunătăţirii raportului semnal pe zgomot, RSZ. Să considerăm în continuare ca exemplu semnalul :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π n

2cosn

4cosn

8cos = s[n]

Transformata Fourier în timp discret a acestui semnal este :

nj

=n

nj

=n

nj

=n

en2

cosen4

cosen8

cos = )S( Ω−∞

−∞

Ω−∞

−∞

Ω−∞

−∞⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ πΩ ∑∑∑

Pentru că avem următoarea pereche Fourier :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π↔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−π−∞

−∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−π−∞

−∞

Ω−∞

−∞

∑∑

∑n

M2j

=n

nM2j

=n

nj

=n

ee21

enM

cosnM

cos

rezultă :


e + e21 n

M2 cos

n+M2j

=n

nM2j

n ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡↔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ωπ−∞

−∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−π−∞

−∞=∑∑

Se cunoaşte că dezvoltarea în serie Fourier a distribuţiei δ2π(t) este :

e 21 = (t) jkt

=k2 ∑

∞

−∞π π

δ

Înlocuind t cu Ω−πM2

, ultima relaţie devine :

n -

M2j

=n2 e

21 =

M2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ωπ∞

−∞π ∑π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδ

iar pentru t luând valoarea ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω+π−

M2

se obţine :

e 21 =

M2 n +

M2j

-=n2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ωπ−

∞

∞π ∑π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−π−δ

De aceea :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδπ↔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

ππ M2+

M2 n

M2cos 22

iar transformata Fourier în timp discret a semnalului s(t) este :

⎭⎬⎫⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ωπ

δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδ+⎥

⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+πδ+

⎩⎨⎧

⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ωπ

δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδπΩ

πππ

πππ

+ 2

+ 2

4

+ 4

+ + 8

+ 8

= )S(

222

222

Puterea acestui semnal este :


23 =

21 +

21 +

21 = Ps

Transformata Fourier a răspunsului sistemului cu răspunsul în frecvenţă H(Ω) la semnalul s[n] este :

=⎭⎬⎫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππΩΩΩ

ππ

ππ

ππ

22

H 22

H

+ 44

H 44

H

+ 88

H 88

H = )H( )S( = )U(

22

22

22

+ 8

e+ 8

e 8

H = 28

Hjarg

28

Hjarg

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ π

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−

π⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ 4

e+ 4

e 4

H 24

Hjarg

24

Hjarg

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+ π

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−

π⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+ π

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−

π⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

2

e+ 2

e 2

H 22

Hjarg

22

Hjarg

Expresia semnalului u[n], rezultat din filtrarea lui s[n], devine :

2

Hargn 2

cos 2

H

4

Hargn 4

cos 4

H+ 8

Hargn 8

cos 8

H= u[n]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

Puterea semnalului de ieşire este :


⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π=

222

u 2H

4H

8H

21P

(54)

Să considerăm că sistemul cu răspuns în frecvenţă H(Ω) este un filtru de mediere cu răspunsul la impuls :

restin,0

1M0n,M1

= h[n]⎪⎩

⎪⎨

⎧ −÷=

Ω−

Ω−−

=

Ω− ⋅=Ω ∑ j

jM1M

0k

jk

e- 1e - 1

M1e

M1 = )H(

2 sin

2M sin

e

e M1 =

2j

2jM

Ω

Ω

Ω−

Ω−

Deci :

2 sin

2M sin

eM1= )H( 2

1)-j(M

Ω

Ω

ΩΩ−

Penru M = 15 se obţine :

2 sin

215 sin

e151 = )H( 7j

Ω

Ω

Ω Ω−

De aceea :


16 sin

1615 sin

e151=

8H 8

7j

π

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π π−

8 sin

815 sin

e151 =

4H 4

7j

π

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π π−

4 sin

415 sin

e151 =

2H 2

7j

π

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π π−

Astfel :

0.066 = 2

H ; 0,066 = 4

H ; 0,023 = 8

H ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

şi prin urmare avem, Pu = 4,62 10-3. Transformata Fourier a răspunsului sistemului cu răspuns în frecvenţă H(16Ω) la semnalul s[n] este :

+ + 8

)2H( + 8

)H(2= ))H(16S(= )U( 22⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ωπδπ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδππΩΩΩ ππ

+ + 4

)4H(+ 4

)H(4 + 22 ⎟⎠⎞


⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδπ ππ

= + 2

)8H(+ 2

)H(8+ 22⎭⎬⎫⎟⎠⎞


⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδπ ππ

+ 4

+ + 8

+ 8

H(0) = 222⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ωπδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδπ πππ

⎭⎬⎫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ωπδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−πδ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ωπδ πππ +

2+

2+ +

4 + 222


Expresia semnalului u[n] este :

n2

cos+n4

cos+n8

cos=u[n] πππ

iar puterea sa este Pu = 3/2. Banda echivalentă de zgomot a filtrului cu răspuns în frecvenţă H(Ω) este, conform observaţiei O3 din paragraful anterior, egală cu :

M1

M1B

1M

0k

2

z =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∑

−

=

Ţinând cont că valoarea lui M s-a considerat de 15, rezultă Bz = 1/15 . Considerând densitatea spectrală de putere a zgomotului n[n] , N0 =1, se obţine pentru raportul semnal pe zgomot, RSZ al semnalului x[n] :

1,5 = 123

= RSZi

La ieşirea sistemului cu răspuns în frecvenţă H(Ω) vom avea următorul RSZ :

0,435=1062,430=

301104,62=RSZ 3

3

0−

−

⋅⋅π

π

⋅

Deci sistemul cu răspuns în frecvenţă H(Ω) nu îmbunătăţeşte raportul semnal

pe zgomot. Pentru ieşirea sistemului cu răspuns în frecvenţă H(16Ω), RSZ este :

141,37 = 45 =

30123

= RSZ0 π

π

iar îmbunătăţirea RSZ realizată cu acest filtru dată de raportul :

94,247 = 1,5

141,37 = RSZRSZ

= i

0χ


Răspunsul la impuls al acestui filtru este prezentat în figura următoare.

Figura 3.6.4. Răspunsul la impuls al unui filtru numeric "echivalent" cu un mediator analogic alunecător.

OBSERVAŢII

O1. Filtrele din acest paragraf au fost numite echivalente cu filtre transversale analogice având în vedere că pot fi utilizate (la fel ca şi filtrele analogice amintite) la prelucrarea semnalelor numerice periodice. Cele două categorii de filtre se numesc echivalente deoarece ambele au răspunsuri în frecvenţă periodice (cele numerice cu perioadă submultiplu al lui 2π).

O2. Deşi durata răspunsului în frecvenţă H(2NΩ) este de 2N ori mai mare decât durata răspunsului la impuls a filtrului prototip H(Ω), numărul coeficienţilor nenuli ai celor două sisteme este acelaşi. De accea se poate afirma că nu apar complicaţii prea mari de calcul prin folosirea filtrelor propuse.

O3. Procedeul de generare al sistemului cu răspunsul în frecvenţă H(2NΩ) poartă numele de supraeşantionare deoarece răspunsul la impuls al filtrului cu răspunsul în frecvenţă H(2NΩ) poate fi privit ca fiind obţinut prin eşantionarea cu o frecvenţă de 2N ori mai mare decât frecvenţa de eşantionare folosită pentru obţinerea răspunsului la impuls al sistemului cu răspunsul în frecvenţă H(Ω).

O4. Inserarea de zerouri este utilizată şi pentru construcţia filtrelor conjugate în oglindă (Quadratur Mirror Filter) folosite în codarea subbandă [Mal.’94], [Kun.’84], [Bas.,Chi.,Cho.’95], [Blu.,Uns.’98], [Bol.,Hla.,Fei.’96], [Kla.,Hol.,Flo.’97].

O5. Sistemul folosit ca exemplu la sfârşitul acestui paragraf se numeşte mediator numeric alunecător [DeS.,Isa.’92], [Asz.’93].

O6. Alte proprietăţi ale filtrelor prezentate în acest paragraf sunt demonstrate în [Isa.’95(1)].

138 Metode de echivalare –3

3.7 Mediatoare numerice ca filtre adaptate în timp discret Ecuaţia cu diferenţe finite care caracterizează filtrul numeric, care la excitaţia si[n], răspunde cu semnalul s 0 [n] este:

[ ]∑=

−⋅N

0kik knsa = [ ]∑

=

−⋅M

0k0k knsb

(55)

Coondiţiile iniţiale se consideră nule.

Dacă singurul coeficient ak nenul este a0 atunci filtrul implementat este un sistem nerecursiv. Aceste filtre au proprietatea că răspunsul lor la impuls este de durată finită şi de aceea se mai numesc filtre cu răspuns finit la impuls (R.F.I.). Pentru a0 = 1, ecuaţia care descrie un astfel de sistem este:

[ ]ns0 = [ ]∑=

−⋅M

0kk knsb

(56)

Forma canonică I de implementare a sistemului descris de ecuaţia (56) este

prezentată în figura 3.7.1.

Figura 3.7.1. Forma canonică de implementare a unui filtru numeric R.F.I.

Pe baza figurii se constată că operaţiile de întârziere, cele de înmulţire cu constante şi cele de însumare se realizează pe direcţii transversale, de unde vine şi denumirea filtrelor care se implementează în acest mod.

Relaţia (56) conduce la următoarea expresie a răspunsului la impuls al filtrului transversal:

[ ]nh = [ ]∑=

−δ⋅M

0kk knb

(57)

din care se poate deduce expresia răspunsului în frecvenţă:

0b

D D D …

+ Mb1b 2b 1Mb −

[ ]ns0

[ ]nsi

3.7. – Mediatoare numerice 139

( )ΩH =∑=

Ω−⋅M

0k

jkk eb

(58)

Dacă coeficienţii bk au valoarea 1/M pentru k = 1M,0 − şi în rest sunt nuli se obţine ecuaţia cu diferenţe finite:

[ ]ns0 =(1/M) [ ]∑−

=

−1M

0ki kns

(59)

Având în vedere că semnalul [ ]ns0 se obţine din semnalul [ ]nsi , mediind

aritmetic ultimele M eşantioane ale acestuia, sistemul obţinut se numeşte mediator numeric. Răspunsul său la impuls este:

[ ]nh 0 =(1/M) [ ]∑−

=

−δ1M

0kkn

(60)

iar răspunsul său în frecvenţă este:

( )ΩH =(1/M)∑−

=

Ω−1M

0k

jke =(1/M) )2/sin(/)2/Msin(e 2/)1M(j ΩΩ⋅−Ω−

(61)

Pentru M = 4 răspunsul la impuls şi modulul răspunsului în frecvenţă ale

mediatorului numeric sunt prezentate în figura 3.7.2.

Figura 3.7.2. Caracteristicile mediatorului pentru M de valoare 4.

0 …

[ ]nh

…

41

-1 1 4 2 3 n 0

…

( )ΩH

…

2π π2π

Bandă de blocare

Ωπ−2


Se constată că mediatorul este un filtru trece jos, care la anumite frecvenţe introduce atenuări infinite. Poziţia pe axa frecvenţelor a acestora, precum şi atenuarea minimă în banda, de blocare pot fi fixate cu ajutorul constantei M.

Analizând ecuaţia (60), se constată că, sincron cu derularea temporală a eşantioanelor semnalului [ ]ns0 , are loc “alunecarea temporală” a mediei aritmetice a ultimelor M eşantioane ale semnalului [ ]nsi . De aceea sistemul prezentat este numit mediator alunecător.

Se consideră că trebuie transmisă secvenţa utilă [ ]nsi , de durată finită M, acoperită aditiv de zgomotul [ ]nni .

În scopul reducerii zgomotului din semnalul:

[ ]nx = [ ] [ ]nnns ii + (62) acest semnal este prelucrat de către sistemul nerecursiv în timp discret cu răspunsul la impuls h[n], obţinându-se semnalul y[n]:

[ ]ny = [ ] [ ]nnns 00 + (63)

unde [ ]ns0 reprezintă componenta utilă a semnalului y[n] iar [ ]nn 0 componenta sa aleatoare.

Problema este determinarea răspunsului la impuls h[n] al acelui sistem, care asigură la ieşirea sa un raport semnal pe zgomot maxim, la un moment de timp n0. Sistemul care satisface această condiţie se numeşte filtru adaptat la semnalul [ ]nsi . Semnalele [ ]nsi şi [ ]ns0 sunt de durată finită deci de putere nulă. Raportul semnal pe zgomot la ieşire trebuie să depindă de timp, pentru a putea fi maxim la momentul n0. Din aceste motive formula de calcul a raportului semnal pe zgomot la ieşire este:

[ ] [ ]nP/nsRSZ 0n200 = (64)

unde cu Pn0[n] s-a notat puterea zgomotului de la ieşire. Dar:

[ ]ns0 = [ ]nsi * [ ]nh = [ ] [ ]∑−

=

−⋅1M

0pi pnhps

(65)

Folosind inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwartz, se poate scrie:


[ ]ns20 [ ] [ ]⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤ ∑∑

−

=

−

=

1M

0p0

21M

0p

2i pnhps

(66)

Egalitatea are loc în ultima relaţie dacă:

h[n 0 -p] = a si[p] ∀ p = 1M,0 − (67)

unde a este o constantă. Deci sistemul care răspunde la semnalul [ ]nsi cu un semnal [ ]ns0 , maxim la momentul n0, este acela al cărui răspuns la impuls este:

h[n] = a si[n 0 -n] n = 00 n),1M(n −− (68)

Dacă n 0 = M-1, atunci:

h[n] = a si[M-1-n] n = 1M,0 − (69)

Se consideră că [ ]nn i este un semnal aleator de tip zgomot alb, ale cărui

eşantioane nu sunt corelate cu cele ale semnalului [ ]nsi şi sunt independente între ele. Se poate demonstra că, din toate sistemele nerecursive cu răspunsul la impuls de durată M, acela care asigură la ieşirea sa un raport semnal pe zgomot RSZ0 maxim este cel dat de relaţia (69).

De aceea, acesta este un filtru adaptat la semnalul [ ]nsi în ipoteza că acesta este perturbat aditiv de zgomot alb.

Dacă semnalul util de la intrarea filtrului adaptat are expresia:

si[n] = ⎩⎨⎧ −=

restîn,01M,0n,1

(70)

şi dacă constanta a este aleasă de valoare 1/M, atunci expresia răspunsului la impuls al filtrului adaptat la acest semnal este:

h[n] = ⎩⎨⎧ −=

restîn,01M,0n,M/1

(71)


Deci mediatorul alunecător este un filtru adaptat pentru semnalul definit de relaţia (70). Acest semnal este de durată finită şi amplitudine constantă. 3.7.1. Utilizarea mediatoarelor numerice la prelucrarea semnalelor periodice în timp continuu Un exemplu de sistem destinat îmbunătăţirii raportului semnal pe zgomot al semnalelor periodice în timp continuu, care foloseşte un mediator numeric în timp discret este prezentat în figura 3.7.1.1. Se analizează funcţionarea sistemului din figură în regim permanent. Semnalul ( )tsi este periodic de perioadă T0. Prin eşantionarea sa coerentă, se obţine semnalul ( )tsie , periodic de aceeaşi perioadă, fiecare dintre perioadele sale conţinând N eşantioane. Prin conversie analog numerică, se transformă semnalul ( )tsie în secvenţa numerică [ ]nsi care aproximează secvenţa [ ]nsie , rotunjind valoarea fiecărui eşantion al acesteia la cel mai apropiat număr întreg. Secvenţa [ ]nsi este periodică de perioadă N. Ea poate fi privită ca şi prelungirea prin periodicitate, cu perioada N, a unei secvenţe de durată finită, [ ]nsir . Aceasta poate fi descrisă cu relaţia:

[ ]nsir = [ ]0sir [ ]nδ + [ ]1sir [ ]1n −δ + ... + [ ]1Nsir − [ ]1Nn +−δ (72) Prelungirea prin periodicitate a secvenţei [ ]nsi poate fi descrisă prin convoluţia:

[ ]nsi = [ ]nsir * [ ]∑∞

−∞=

−δk

kNn

(73)

relaţie care se mai scrie:

[ ]nsi = [ ]0sir [ ]∑∞

−∞=

−δk

kNn + [ ]1sir [ ]∑∞

−∞=

−−δk

1kNn + ...

+ [ ]1Nsir − [ ]∑∞

−∞=

+−−δk

1NkNn

(74)

Folosind notaţia:

[ ]ns 1i = [ ]1sir [ ]∑∞

−∞=

−−δk

lkNn l = 1N,0 −

(75)


relaţia (74) se mai scrie:

[ ]nsi = [ ]ns 0i + [ ]ns 1i + ... + [ ]ns 1iN−

(76)

Secvenţa [ ]nsi se eşantionează prin înmulţire cu secvenţele [ ]npl definite prin:

[ ]npl = [ ]∑∞

−∞=

−−δk

lkNn l = 1N,0 −

(77)

obţinându-se secvenţele [ ]ns 1i .

Se observă că aceste secvenţe sunt astfel construite încât între două eşantioane nenule consecutive conţin N eşantioane nule. Eşantioanele nenule din secvenţa [ ]nsip

ocupă poziţiile p, p + N, p + 2N, etc. Compresia secvenţelor [ ]ns 1i presupune îndepărtarea eşantioanelor nule din aceste secvenţe, obţinându-se secvenţele [ ]ns 1d =

[ ]1nNs 1i + , l = 1N,0 − . Aceste secvenţe sunt semnale de amplitudine constantă, care sunt mediate, prin prelucrare cu sistemele cu răspuns la impuls h[n], obţinându-se secvenţele [ ]ns l0 , l = 1N,0 − . Procesul de interpolare al secvenţei [ ]ns 1d constă în înserarea între două eşantioane consecutive ale acesteia, a N-1 eşantioane nule, urmată de întârzierea secvenţei obţinute, cu l eşantioane, prin filtrarea acesteia, de către sistemul cu răspunsul la impuls δ[n-l], l = 1N,0 − . Prin însumarea secvenţelor [ ]ns 1e se obţine secvenţa [ ]ns0 . Prin conversia numeric analogică a acestei secvenţe se obţine semnalul s 0 (t) descris de relaţia:

s 0 (t) = s 0 [k] t ( )[ ]00 T1k,kT +∈ k∈Ζ (78)

În figura 3.7.1.2 sunt prezentate formele de undă care caracterizează sistemul

descris mai sus, în ipoteza că la intrare este adus un semnal sinusoidal şi că N = 4. Funcţionarea circuitului descris, în regim tranzitoriu poate fi înţeleasă, pe baza exemplului prezentat în figura 3.7.1.3, pentru o valoare a lui M egală cu 3. Pe baza acestui exemplu, se constată că regimul tranzitoriu al mediatorului durează 3T (în general MT), după care circuitul intră în regim permanent. Semnalul s 0 (t) aproximează în acest regim cu atât mai bine semnalul s i (t) cu cât N este mai mare.


Figura 3.7.1.2. Formele de undă care descriu funcţionarea

sistemului din figura 3.7.1.1.


În continuare, se determină îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot, introdusă de circuitul prezentat, în regimul său de funcţionare permanent. Deoarece în acest regim, conform figurilor 3.7.1.2 şi 3.7.1.3, semnalul util [ ]ns0 se obţine din semnalul [ ]nsi prin întârzierea acestuia cu M perioade, aceste semnale au aceeaşi putere. În continuare, se presupune că semnalul aleator de la intrare (suprapus aditiv peste [ ]nsi ) este un zgomot alb în timp discret cu eşantioanele independente între ele şi necorelate cu eşantioanele semnalului util. Considerând că dispersia acestui semnal este σ, puterea zgomotului de la intrare [ ]nni este σ2. Pentru calculul puterii zgomotului de la ieşire, [ ]nn 0 se poate folosi formula:

=σ20n M [ ] nn 2

0 - M2 [ ] nn 0 (79)

unde cu M s-a notat operatorul de mediere statistică. Având în vedere că operaţiile de eşantionare şi decimare şi interpolare sunt inverse, întreg sistemul din figura 3.7.1.1 este echivalent cu un mediator cu răspuns la impuls h[n]. De aceea ţinând seama de h[n] relaţia (79) se mai scrie:

=σ20n M ( ) [ ]

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −∑−

=

21M

0ki knnM/1 - ( ) [ ]

21M

0ki knnM/1 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −∑−

=

(80)

Dacă valoarea medie a zgomotului [ ]nn i este nulă, relaţia (80) devine:

=σ20n (1/M 2 )∑

−

=

1M

0kM [ ] knn 2

i − = (1/M 2 )(M 2σ ) = 2σ /M (81)

şi deci îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot realizată este de M.

CAPITOLUL 4. Filtre liniare cu parametri variabili în timp

În capitolele anterioare au fost prezentate doar filtre liniare şi invariante în timp. În acest capitol şi în capitolul următor vor fi prezentate filtre liniare variante în timp. În acest capitol se consideră cazul filtrelor analogice. 4.1. Filtre cu capacităţi comutate

O categorie importantă de filtre active este aceea a filtrelor cu capacităţi

comutate. În cazul acestora o parte din rezistenţele din schemă sunt înlocuite cu perechi condensator-comutator. 4.1.1. Integratorul ideal cu capacităţi comutate

În figura 4.1.1.1 se prezintă schema unui integrator ideal.

Figura 4.1.1.1. Schema unui integrator ideal.

Considerând amplificatorul operaţional din schema prezentată ca fiind ideal, se

poate scrie :

4.1. – Filtre cu capacităţi comutate 149

R)s(X

sC1

)s(Y −=

sau:

sCR1

)s(X)s(Y −=

de unde rezultă expresia funcţiei de transfer a sistemului din figura 4.1.1.1, care este:

sCR1)s(H −=

iar răspunsul său în frecvenţă:

CRj1)(H

ω−=ω

(1)

În continuare se prezintă principiul condensatorului comutat. Fie în acest scop

sistemul din figura 4.1.1.2a. Comutatorul K este comandat în aşa fel încât stă câte 2

Te

secunde pe poziţia 1, respectiv aceeaşi durată pe poziţia 2. Când K este pe poziţia 1, condensatorul C se încarcă cu tensiunea V1. Când comutatorul K este pe poziţia 2, condensatorul C se încarcă cu tensiunea V2. Deci transferul de sarcină între condensorul C şi sursa din dreapta (din figura 4.1.1.2a) este de valoare C(V1-V2). Deci în intervalul de timp Te/2 are loc o variaţie de curent de forma :

i=e

21

T)VV(C2 −

(2)

Dacă în locul condensatorului şi a comutatorului ar fi montată o rezistenţă, ca în figura 4.1.12. b), atunci prin acest circuit ar fi apărut, în acelaşi sens, curentul :

i = R

VV 21 − (3)

Deci rezistenţa R poate fi simulată cu ajutorul condensatorului comutat. Din identificarea membrilor drepţi ai relaţiilor (2) şi (3) se obţine:

150 Filtre liniare – 4

R = C2

Te

Figura 4.1.1.2. Principiul condensatorului comutat.

Deci valoarea rezistenţei simulate poate fi reglată prim modificarea frecvenţei de comandă a comutatorului K.

În figura 4.1.1.3 este prezentată schema unui integrator ideal cu capacităţi comutate.

Figura 4.1.1.3. Schema unui integrator ideal cu capacităţi comutate.

Atât timp cât comutatorul K stă pe poziţia 1, (Te/2 s), condensatorul C1 se încarcă, căderea de tensiune pe acest element fiind egală cu valoarea curentă a tensiunii x(t). Cât timp K se găseşte pe poziţia 2, tensiunea pe C1 se anulează (căderea de tensiune între bornele amplificatorului operaţional este nulă), sarcina înmagazinată în C1 transferîndu-i-se lui C.


Funcţionarea sistemului din figura 4.1.1.3 poate fi înţeleasă pe baza exemplului din figura 4.1.1.4. Pe intervalul [0, Te/2], tensiunea pe C1 atinge valoarea x(Te/2). La momentul Te/2, condensatorul C1 se descarcă, sarcina acumulată pe acesta, Q=C1 x(Te/2), fiind transferată condensatorului C. Această variaţie de sarcină produce căderea de tensiune pe condensatorul C, uc:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅==

2T

xC1C

CQu e

c

De aceea pe intervalul ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ee T,

2T

expresia semnalului de la ieşire este :

y(t) = -uc = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅−2

Tx

C1C e

apoi ciclul descris se repetă.

0 Te 2Te 3Te 4Te 5Te

Te/2 3Te/2 5 Te/2 7Te/2 9Te/2 11Te/2

x(t)

uc1(t)

-y(t)

t

t

t

Figura 4.1.1.4. Exemplu de funcţionare al sistemului din figura 4.1.1.3.


Admiţând că transferul de sarcină din capacitatea C1 în capacitatea C se realizează instantaneu, rezultă, conform figurii 4.1.1.4 că semnalul de ieşire, y(t), se modifică doar la momente discrete de timp. Din acest motiv, sistemul din figura 4.1.1.3

poate fi echivalat cu un sistem în timp discret. La momentul (n-1)Te+ 2Te sarcina

condensatorului C1 este q1[n-1] = C1x[n-1] iar sarcina condensatorului C, q2[n-1] = = Cy[n-1].

În intervalul ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +− e

ee nT,

2T

T)1n( , comutatorul K se află pe poziţia 2. La

momentul nTe sarcina condensatorului C1 este 0 iar sarcina condensatorului C este q2[n] = q2[n-1]-q1[n-1] = C y[n], adică:

C y[n] = C y[n-1]-C1 x[n-1] (5)

Aceasta este ecuaţia cu diferenţe finite care descrie sistemul în timp discret echivalent.

Luând în relaţia (5) transformata z, se obţine :

C Y(z) = C z-1 Y(z) – C1 z-1 X(z) de unde rezultă funcţia de transfer a sistemului în timp discret echivalent :

)z1(CC

)z1(CzC

)z(H)z(X)z(Y 1

1

11

−=

−⋅

−== −

−

(6)

Admiţând că metoda de echivalare a sistemului în timp continuu din figura

4.1.1.3 cu sistemul în timp discret descris de ecuaţia (5) este cea a invarianţei răspunsului la impuls, rezultă că variabilele z şi s sunt legate prin relaţia :

esTez = de aceea funcţia de transfer a sistemului din figura 3, conform relaţiei (6) este:

esT

1

e1CC

)s(H−

=

(7)


Se ştie că metoda de echivalare bazată pe invarianţa răspunsului la impuls conduce la rezultate bune pentru frecvenţe de eşantionare mari, deci pentru valori Te apropiate de zero.

Dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei esTe în jurul lui zero este :

esTe = esTe s=0 + Te s esTe s=0 + ...

Reţinând doar primii doi termeni ai dezvoltării rezultă :

esTe esT1+≅

Folosind această aproximare, expresia funcţiei de transfer (din relaţia (7)), H(s), devine:

H(s)=

e1

e

1

TCCs

1)sT1(1

CC

−=+−

(8)

Comparând relaţiile (1) şi (8) se constată faptul că grupul K, C1 din figura

4.1.1.3 echivalează rezistenţa R din figura 4.1.1.1 şi că :

R = e11

e

fC1

CT

⋅=

(9)

unde cu fe s-a notat frecvenţa cu care comută K.

Deci în condiţiile în care sunt valabile aproximaţiile făcute (frecvenţa fe mult mai mare decât frecvenţa maximă din spectrul semnalului x(t)) folosind sistemul din figura 4.1.1.3 se poate obţine un integrator ideal. 4.1.2. Metodă de sinteză a filtrelor cu capacităţi comutate

Rezultatul paragrafului anterior este foarte important având în vedere că orice sistem în timp continuu poate fi sintetizat utilizând forma canonică 1 de implementare, care este bazată pe folosirea integratoarelor ideale. În continuare se dă un exemplu de sinteză, care conduce la obţinerea filtrului activ universal.

Ne propunem să proiectăm un filtru de ordinul II, care să aibă ieşiri de tip trece-jos, trece-sus şi trece-bandă. Funcţia de transfer de tip trece-sus este:


HTS(s)=21

20

20

bsbsbsa

++

(10)

Conectând la ieşirea acestui filtru un integrator ideal se obţine un sistem global cu funcţia de transfer de tip trece-bandă:

HTB(s)= - 21

20

0

bsbsbRC1sa

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(11)

Conectând un nou integrator ideal se obţine sistemul global cu funcţia de transfer trece-jos de tipul :

HTJ(s)= 21

20

2

0

bsbsbRC1a

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(12)

Figura 4.1.2.1. Schema bloc a sistemului cu funcţia de transfer HTS(s).


Ecuaţia diferenţială corespunzătoare funcţiei de transfer din relaţia (10) este:

2

2

0212

2

0 dtxdayb

dtdyb

dtydb =++

(13)

Integrând de două ori această relaţie se obţine :

)t(xad)(ybd)(yb)t(yb 0

t t

2

t

10 =ττ+ττ+ ∫ ∫∫∞− ∞−∞−

(14)

Sistemul caracterizat de această ecuaţie este prezentat în figura 4.1.2.1.

Se constată că sistemul din figura 4.1.2.1 prezintă şi ieşiri de tip trece-bandă şi trece-sus. Schema obţinută poate fi redesenată, folosind un sumator cu trei intrări. Se obţine astfel sistemul din figura 4.1.2.2. Acesta poate fi construit cu amplificatoare operaţionale conectate în structură de amplificator, sumator, sau integrator.

În continuare amplificatoarele operaţionale utilizate în structurile mai sus amintite şi desenate în figura 4.1.2.3, se vor considera ideale.

Folosind figurile 4.1.2.2 şi 4.1.2.3, prin interconectarea corespunzătoare a blocurilor constitutive, se obţine structura filtrului activ universal prezentat, în figura 4.1.2.4.

Figura 4.1.2.2. Schema bloc a filtrului activ universal.


Figura 4.1.2.3. Construcţia blocurilor din figura 4.1.2.2 cu ajutorul amplificatoarelor operaţionale.

Din figurile 4.1.2.2 şi 4.1.2.3 se pot determina expresiile coeficienţilor funcţiilor de transfer din relaţiile (10), (11) şi (12). Rezultă :

40 Rb = ; 0a = ( )23

221

4311

21

432 RC

Rb;RRRR

RCRb;

RRRRR =

++

=++

(16)


Figura 4.1.2.4. Schema unui filtru activ universal.

Deoarece expresiile funcţiilor de transfer ale sistemelor de tip trece-sus, trece-bandă şi trece-jos de ordinul II sunt :

( )0

20

2

2TS

TS s2ssA

sHω+ξω+

⋅= ;

( )0

20

2TB0

TB s2ssA2

sHω+ξω+

ξω= ;

( )0

20

2

02

TJTJ s2s

AsH

ω+ξω+ω⋅

=

(17)

prin identificarea relaţiilor (17) cu relaţiile (10), (11) şi (12), pe baza relaţiilor (16) se obţine :

( );

RC1

RR

bb

;

RR

1

RR

1

ba

A 24

3

0

20

2

2

1

4

3

0

0TS ⋅==ω

+

+==

;RRRR

RR

21Q

43

21

1

4

++

⋅=ξ

=

(18)


( )2

1

4

3

200

20

TJ

1

2TB

0

0TB0

RR

1

RR

11

bRCa

A

;RRA

RC1

ba

A2

+

+=

ω⋅=

−=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=ξω

De obicei în schema filtrului activ universal se aleg:

RRRR 431 ===

Cu această observaţie parametrii celor trei funcţii de transfer devin:

2

TJ2

TB2

0

2

TS

RR1

2A;R

RA;

R2RR

Q;RC1;

RR1

2A+

=−=+

==ω+

=

(19)

În figura 4.1.2.5 este prezentată schema unui filtru activ universal realizat cu capacităţi comutate, [Hue. ’84].

Figura 4.1.2.5. Filtru activ universal realizat cu capacităţi comutate.

4.2. – Filtre cu urmărire 159

Parametrii acestui sistem sunt:

RR

A;

RR1

2AA 2TB

2

TJTS −=+

==

e1

02 f

CC

;R2RR

Q ⋅=ω+

=

(20)

Orice filtru cu capacităţi comutate poate fi sintetizat pornind de la forma

canonică de implementare, folosind modelul din exemplul anterior. 4.2. Filtre cu urmărire

Se numeşte filtru cu urmărire de tip trece-bandă acel filtru trece-bandă a cărui pulsaţie centrală este în permanenţă egală cu pulsaţia instantanee a semnalului determinist de la intrarea sa, [Isa. ’93 (1)].

Figura 4.2.1. Suprafaţa de modul a unui filtru cu urmărire de ordinul II.


Caracterizarea în domeniul frecvenţă a unui filtru cu urmărire de ordinul II poate fi făcută pe baza relaţiei:

( ) ( )( ) ( )tj2t

tjA2t,H

022

0

0

ξωω+ω−ωωωξ

=ω

respectiv cu ajutorul suprafeţelor ( )t,H ω şi ( ) t,Harg ω . În figura 4.2.1. se prezintă prima dintre aceste suprafeţe, pentru un filtru de ordinul II de tip Butterworth (cu factorul de amortizare de valoare 0,707) şi cu legea de variaţie a frecvenţei centrale

( ) tt0 =ω .

Figura 4.2.2. Caracteristica momentană de modul a filtrului cu suprafaţa de modul din figura 4.1.1

la momentul 1t p = .

În continuare se prezintă câteva secţiuni remarcabile prin aceste suprafeţe. Intersecţia dintre suprafaţa ( )t,H ω şi planul ( ) fixatp,Zp,Rt, p ∈∈ωω se

numeşte caracteristică momentană de modul.


Ea se notează ( )pt,H ω sau ( )p,H ωω cu ( )p0p tω=ω . Această curbă

descrie comportarea în domeniul frecvenţă a filtrului cu urmărire la momentul pt . În figura 4.2.2. se prezintă o caracteristică momentană de modul, corespunzătoare filtrului cu urmărire din figura 4.2.1 la momentul 1t p = .

Intersecţia dintre suprafaţa ( )t,H ω şi suprafaţa verticală a cărei urmă pe

planul ( )t,ω este curba de ecuaţie ( )t0ω=ω se numeşte caracteristică globală de

modul. Ea se notează cu ( )( )tH 0ω . Caracteristica globală de modul a filtrului considerat în figura 4.2.1. este prezentată în figura 4.2.3.

Figura 4.2.3. O porţiune din caracteristica globală de modul a filtrului cu urmărire considerat în figura 4.2.1.

Filtrele trece-bandă cu urmărire au următoarele proprietăţi: P1. Dacă momentele de timp pt şi qt sunt alese astfel încât raportul

pulsaţiilor instantanee ale semnalului de intrare calculate la aceste momente


( ) ( )piqi t/t ωω să fie egal cu β , atunci pulsaţia centrală a caracteristicii momentane a filtrului la momentul qt va fi de β ori mai mare decât pulsaţia centrală a caracteristicii momentane a filtrului la momentul pt .

P2. În condiţiile de la P1 banda la –3dB a caracteristicii momentane ( )q,H ωω

este de β ori mai mare decât banda la –3dB a caracteristicii momentane ( )p,H ωω . În practică banda de frecvenţă în care are loc procesul de urmărire nu poate fi

infinită. De aceea este raţional să se considere că această bandă este finită, de exemplu

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω∆+ωω∆−ω

2,

200

00 .

P3. În banda de urmărire modulul răspunsului în frecvenţă al unui filtru trece-bandă cu urmărire de ordinul II este maxim.

Această proprietate este exemplificată în figura 4.2.3. Această proprietate se poate reformula şi astfel:

P3’. Modulul caracteristicii globale de frecvenţă a unui filtru cu urmărire este o bună aproximare a modulului caracteristicii de frecvenţă a unui filtru trece-bandă

ideal în banda ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω∆+ωω∆−ω

2,

200

00 .

Pe baza proprietăţii P3’ se constatã cã filtrele cu urmãrire sunt filtre adaptate la semnale de tip “chirp”. 4.2.1. Filtre cu urmărire cu capacităţi comutate

Orice filtru cu urmărire este alcătuit dintr-un filtru comandat (în cazul de faţă realizat cu capacităţi comutate) şi dintr-un circuit de comandă care transformă pulsaţia instantanee a semnalului de la intrarea sa în semnal de comandă pentru filtrul cu capacităţi comutate. Legătura dintre frecvenţa de comutaţie a filtrului şi pulsaţia instantanee a semnalului de la intrarea sa este:

( ) ( )tCC

tf i1

2c ω=

Deci este necesar ca frecvenţa de comutaţie să fie un multiplu întreg al

frecvenţei instantanee a semnalului de intrare. Această funcţie o îndeplineşte un circuit cu calare de fază utilizat în regim de multiplicator de frecvenţă.

Deci circuitul de comandă poate fi unul cu calare de fază. Schema unui astfel de circuit este prezentată în figura 4.2.1.1.


În această figură este utilizat un filtru cu capacităţi comutate de tip MF 10 iar multiplicatiorul de frecvenţă este realizat cu ajutorul circuitului PLL de tip 565 şi cu ajutorul celor două numărătoare conectate în schemă de divizor de frecvenţă.

Banda de urmărire a acestui circuit este de aproximativ 1KHz, centrată pe frecvenţa de 400 Hz. Pentru semnale sinusoidale perturbate aditiv cu zgomot alb îmbunătăţirea RSZ realizată de acest circuit este de 35,2 dB.

În capitolul următor se studiază filtrele numerice cu parametri variabili în timp.

CAPITOLUL 5. Filtre numerice cu parametri variabili în timp În acest capitol se prezintă o categorie de filtre numerice cu parametri variabili în timp, filtrele adaptive. 5.1. Filtre adaptive Modelul unui sistem adaptiv este prezentat în figura 5.1.1.

Figura 5.1.1. Schema bloc a unui filtru adaptiv.

Semnalul de intrare [ ]nx este prelucrat în aşa fel încât semnalul de ieşire [ ]ny să semene cât mai mult cu semnalul model (de referinţă) [ ]nd . Deosebirea dintre semnalele [ ]nd şi [ ]ny este apreciată pe baza erorii medii pătratice [ ] nE 2ε . Cu E s-a notat operatorul de mediere statistică. Minimizarea acestei erori este realizată prin modificarea coeficienţilor filtrului utilizat. Un exemplu clasic de utilizare a filtrării adaptive este în “albirea” semnalelor aleatoare. În acest caz semnalul [ ]nx este un semnal aleator staţionar iar semnalul de referinţă, [ ]nd , este un zgomot alb. Pe durata procesului de adaptare coeficienţii filtrului numeric se modifică după achiziţia fiecărui nou eşantion al semnalului [ ]nx în aşa fel încât [ ] nE 2ε să scadă tot mai mult spre o valoare minimă. Procesul de adaptare se încheie în momentul în care se atinge această valoare minimă. După acest moment, indiferent care ar fi noile valori ale eşantioanelor

[ ]nxFiltru adaptiv

[ ]ny

--

[ ]nd

[ ]nε

166 Filtre numerice – 5

semnalului [ ]nx , valorile lui [ ] nE 2ε oscilează în jurul acestei valori minime. Un alt exemplu de aplicaţie a filtrelor adaptive este acela când răspunsul dorit este cunoscut ca fiind răspunsul unui sistem, care trebuie identificat, la o excitaţie cunoscută.

Identificarea sistemului poate fi realizată prin determinarea, la sfârşitul perioadei de adaptare, a coeficienţilor filtrului adaptat la a cărui intrare este adusă aceeaşi excitaţie ca şi la intrarea sistemului necunoscut şi al cărui răspuns dorit este răspunsul sistemului necunoscut. Pentru a descrie funcţionarea şi proprietăţile filtrelor adaptive se va presupune pentru început că toate semnalele din figura 5.1.1 sunt staţionare, că au funcţii de corelaţie finite şi că filtrul numeric este un sistem liniar şi invariant în timp, de tipul cu răspuns finit la impuls. În continuare se vor utiliza intercorelaţiile semnalelor [ ]nx şi [ ]nd , [ ]nrdx şi ale semnalelor [ ]nd şi [ ]ny , [ ]nrdy şi autocorelaţiile semnalelor

[ ]nx , [ ]nrxx , [ ]ny , [ ]nryy şi [ ]nd , [ ]nrdd , definite după cum urmează:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ;nkxkxEnr;nkykdEnr;nkxkdEnr xxdydx +=+=+=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] nkdkdEnr;nkykyEnr ddyy +=+=

O proprietate a intercorelaţiei semnalelor aleatoare, utilă în continuare, este:

[ ] [ ]nrnr −= βααβ

Deci autocorelaţia este funcţie pară.

Coeficienţii filtrului numeric (eşantioanele răspunsului său la impuls) se notează cu [ ]nw .Valoarea erorii medii pătratice este:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] kykdE2kyEkdEkykdEkE 2222 −+=−=ε (1)

deoarece operatorul de mediere statistică este liniar. Relaţia (1) se mai scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ]0r20r0rkE dyyydd2 −+=ε

sau pe baza transformării z inverse:

[ ] ( ) ( ) ( )( )∫ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=εz

dzzR2zRzRj2

1kE dyyydd2

(2)

5.1. – Filtre adaptive 167

Considerând ca şi contur de integrare cercul unitate, transformatele z devin transformate Fourier în timp discret, ( ) ( )ΩΩ yydd R,R şi ( )ΩdyR , [Bel., ’90]. Pentru aceste funcţii se pot folosi relaţii de tip Wiener-Hincin, putându-se scrie:

( ) ( ) ( )ΩΩ=Ω xx2

yy RWR

adică:

( ) ( ) ( ) 1zxx1z2

1zyy zRzWzR ==== (3)

Dar:

( ) ( ) ( ) 1z*

1z2 zWzWzW == =

şi:

( ) ( ) 1z1

1z* zWzW =

−= =

De aceea relaţia (3) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) 1zxx1z1

1zyy zRzWzWzR ==−

= = (4)

Relaţia:

( ) ( ) ( )ΩΩ=Ω dxdy RWR

se mai poate scrie şi sub forma:

( ) ( ) ( ) 1zdx1z1zdy zRzWzR === = (5)

[Lim., Opp., ’88]. Substituind relaţiile (4) şi (5) în relaţia (2) se obţine:

[ ] [ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )∫=

− −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

+=ε1z

dxxx1

dd2

zdzzWzR2zRzW

j210rkE

(6)


relaţie care exprimă eroarea medie pătratică pe baza expresiei funcţiei de transfer a filtrului numeric ( )zW . Fiind vorba despre un filtru cu răspuns finit la impuls se poate scrie:

( ) [ ]∑−

=

−=1L

0i

iziwzW (7)

Conform relaţiei (6) se constată că [ ] kE 2ε este o suprafaţă în spaţiul 1L +

dimensional [ ] [ ] [ ] [ ] 1Lw,...,1w,0w,kE 2 −ε . Prin procesul de adaptare se determină

acei coeficienţi [ ] 1L,0i,iw min −= care minimizează valoarea [ ] kE 2ε . Deci prin adaptare se realizează o deplasare pe suprafaţa amintită mai sus, din punctul iniţial de coordonate [ ] [ ] [ ] [ ] 1Lw,...,1w,0w,kE 000

2 −ε în punctul final de coordonate

[ ] [ ] [ ] [ ] 1Lw,...,1w,0w,kE minminmin2 −ε .

În prelucrarea adaptivă a semnalelor această sarcină (de adaptare) este un proces continuu de modificare a coeficienţilor filtrului (deci a lui ( )zW ) în situaţia în care celelalte cantităţi din relaţia (6) sunt lent variabile. Substituind (7) în (6) şi efectuând calculele se obţine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑ ∑−

=

−

=

−

=

−−+=ε1L

0i

1L

0m

1L

0ixdxxdd

2 iriw2mirmwiw0rkE (8)

Având în vedere că în această relaţie coeficienţii filtrului adaptiv apar doar la

puterile 1 şi 2 rezultă că suprafaţa de eroare este una pătratică. Notând cu R matricea de autocorelaţie a semnalului de intrare:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

0r...2Lr1Lr...

.

.

.

.

.

.

.

.

.2Lr...0r1r1Lr...1r0r

R

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

şi folosind notaţiile:


[ ][ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

1Lw...1w0w

W;

1Lr...1r0r

P

xd

xd

xd

se obţine forma matricială a relaţiei (8):

[ ] [ ] WP2RWW0rkE TTdd

2 −+=ε (9)

Fiind vorba despre o suprafaţă pătratică pozitivă (eroarea medie pătratică nu

poate fi negativă), e clar că ea are un minim. Pentru găsirea acestui punct este utilă cunoaşterea gradientului suprafeţei, în fiecare punct al acesteia. Vectorul gradient al suprafeţei de eroare se notează cu ∇ şi se defineşte cu relaţia:

[ ]( )( )[ ][ ]( )[ ]

[ ]( )( )( )[ ] ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

=∇

1LwkE

.

.

.1w

)k(E0wkE

2

2

2

Dar:

[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑

−

≠=

−−+=∂ε∂ 1L

lm0m

xdxxxx

2

lr2mlrmw20rlw2lwkE

[Ale., ’88]. Ţinând seama de paritatea funcţiei de autocorelaţie, pe baza ultimelor două relaţii rezultă că vectorul gradient poate fi exprimat în forma:


[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] ( )[ ]

[ ][ ]

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=∇

∑

∑

∑

−

=

−

=

−

=

1Lr...1r0r

2

1Lmrmw

.

.

.

1mrmw

mrmw

2

xd

xd

xd

1L

0mxx

1L

0mxx

1L

0mxx

sau ţinând seama de expresiile matricilor definite anterior:

P2RW2 −=∇

Minimul de pe suprafaţa de eroare este atins în punctul în care gradientul se anulează. Se poate deci scrie:

P2RW2 min =

Admiţând că matricea de autocorelaţie a semnalului de intrare este inversabilă se poate obţine matricea coeficienţilor optimi ai filtrului adaptiv:

PRW 1min

−= (10)

Filtrul cu aceşti coeficienţi este numit filtru Wiener.

Valoarea minimă a erorii medii pătratice este pe baza relaţiei (9):

[ ] [ ] minT

minTminddmin

2 WP2RWW0rkE −+=ε

sau pe baza relaţiei (10):

[ ] [ ] ( ) minT

minT1

ddmin2 WP2RWPR0rkE −+=ε − (11)


adică:

[ ] [ ] ( ) minT

minT1T

ddmin2 WP2RWRP0rkE −+=ε − (12)

Ţinând seama de simetria matricei de autocorelaţie, se poate demonstra că:

( ) 1T1 RR −− =

şi deci:

( ) IRRRR 1T1 == −−

unde cu I s-a notat matricea unitate. De aceea relaţia (11) devine:

[ ] [ ] minT

dd2

min WP0rkE −=ε (13)

Această relaţie exprimă legătura dintre valoarea minimă a erorii medii pătratice

şi vectorul coeficienţilor optimi ai filtrului adaptiv. Conform relaţiei (10), pentru determinarea coeficienţilor filtrului optim este

necesară cunoaşterea matricelor R şi P (care depind doar de semnalele [ ]nx şi [ ]nd ). În practică matricea R nu este de obicei cunoscută. De aceea de obicei această matrice se estimează. Pornind de la valoarea estimată a lui R şi de la o valoare iniţială a vectorului W se calculează o primă estimaţie a gradientului. Pe baza noului eşantion achiziţionat se face o nouă estimare a lui R. Pe baza relaţiei (10) se face o nouă estimare a lui W şi se calculează gradientul. În cazul în care noua valoare este mai apropiată de zero se consideră că estimarea lui W este în sensul corect şi se continuă în acelaşi fel. În caz contrar se estimează R în sens contrar şi se refac operaţiile enunţate mai sus.

În acest mod se derulează un algoritm de căutare a vectorului minW . Metodele de căutare ale minimului suprafeţei de eroare se bazează în general pe estimări locale ale gradientului erorii făcute după achiziţia fiecărui nou eşantion din

secvenţa [ ]nx . Înmulţind la stânga cei doi membrii ai relaţiei (10) cu 1R21 − se obţine:

PRWR21 11 −− −=∇

(14)

sau pe baza relaţiei (11):


∇−= −1min R

21WW

(15)

Relaţia (15) conduce la metoda de căutare a minimului de tip Newton. Notând cu [ ]kW vectorul coeficienţilor filtrului la momentul k se obţine:

[ ] [ ] [ ]kRkW1kW 1∇µ−=+ − (16)

unde [ ]k∇ reprezintă valoarea vectorului gradient la momentul k iar µ este un scalar care fixează viteza de convergenţă a vectorului [ ]kW spre vectorul minW . Forma vectorului [ ]kW este:

[ ]

[ ][ ]

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

1Lw...

1w0w

kW

k

k

k

La pasul k al algoritmului se calculează:

[ ] [ ] P2kRW2k −=∇ (17) Substituind (17) în (16) se obţine:

[ ] [ ] [ ]( )P2kRW2RkW1kW 1 −µ−=+ −

sau ţinând seama de relaţia (11) ultima relaţie se mai scrie:

[ ] ( ) [ ] minW2kW211kW µ+µ−=+ adică:

[ ] ( ) [ ] ( )∑=

+ µ−µ+µ−=+k

0l

lmin

1k 21W20W211kW


Deci:

[ ] ( ) [ ] ( )[ ] minkk W2110W21kW µ−−+µ−= (18)

Se constată că dacă este îndeplinită condiţia:

1210 <µ−< atunci şirul [ ]kW converge la limita minW . Considerând că matricea de autocorelaţie este unitară, relaţia (16) se poate scrie în forma:

[ ] [ ] [ ]kkW1kW ∇µ−=+ (19) Făcând notaţia:

[ ]

[ ][ ]

( )[ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

1Lkx...

1kxkx

kX

ieşirea filtrului adaptiv poate fi exprimată şi matricial:

[ ] [ ] [ ]kXkWky T= (20)

În continuare se estimează eroarea medie pătratică prin valoarea sa instantanee:

[ ] [ ]kkE 22 ε≅ε

Cu această aproximare gradientul la momentul k devine:


[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∂ε∂ε

∂ε∂ε

∂ε∂ε

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

≅∇

1Lwkk

.

.

.1w

kk

0wkk

2

1Lwk

.

.

.1wk

0wk

k

k

k

k

2k

22

2k

22

2k

22

(21)

Dar conform definiţiei erorii:

[ ] [ ] [ ]kykdk −=ε De aceea:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] 1L,0l;lkxlw

kylw

k )20(

kk

−=−−=∂∂−=

∂ε∂

şi relaţia (21) devine:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]kXk2

1Lwky

.

.

.1w

ky0w

ky

k2k

k

k

k

ε−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∂∂

∂∂∂∂

ε−≅∇

5.2. – Aplicaţii 175

Înlocuind această estimare a gradientului în relaţia (20), aceasta devine:

[ ] [ ] [ ] [ ]kXkkW1kW µε+=+ (22)

Această relaţie descrie algoritmul de căutare a coeficienţilor optimi ai filtrului adaptiv de tip LMS.

Convergenţa acestui algoritm este asigurată pentru:

1L

20max

<λµ<

(20)

unde maxλ reprezintă valoarea maximă a valorilor proprii ale matricei de autocorelaţie a semnalului de intrare, R, [Wid., Ste., ’85]. 5.2. Aplicaţii

În continuare se prezintă câteva rezultate de simulare ale unor filtre adaptive de tip LMS folosite pentru îmbunătăţirea RSZ. În primul experiment se consideră sistemul din figura 5.1.1. Filtrul propriuzis este de tip transversal. În figura 5.1.2. este prezentat semnalul ]n[d , în figura 5.1.3. semnalul ]n[x iar în figura 5.1.4. semnalul ]n[y . Anlizând ultima figură se constată că, după perioada de învăţare, semnalul de la ieşirea filtrului urmăreşte bine partea utilă a semnalului de la intrare, deşi acest semnal este nestaţionar. În acest regim permanent coeficienţii filtrului sunt cei prezentaţi în figura 5.1.5.

Figura 5.1.2. Semnalul de referinţă.


Figura 5.1.3. Semnalul de intrare.

Figura 5.1.4. Semnalul de ieşire.


Figura 5.1.5. Datele obţinute în urma rulării primului program de simulare.

Deci filtrul adaptiv de tip LMS din figura 5.1.1. realizează pentru semnalul din figura 5.1.3. o îmbunătăţire a raportului semnal pe zgomot de 6,59 ori. Dezavantajul schemei din figura 5.1.1. este necesitatea cunoaşterii semnalului de referinţă. De fapt această schemă se utilizează în aplicaţiile de identificare a sistemelor. La intrarea sistemului de identificat este adus semnalul ]n[x . La ieşirea sa se obţine semnalul

]n[d , care este folosit ca şi semnal de referinţă pentru filtrul adaptiv. În acest mod răspunsul la impuls al filtrului adaptiv în regim permanent va reprezenta o bună aproximare a răspunsului la impuls al sistemului de identificat. O structură mai bună de filtrare adaptivă pentru aplicaţiile de îmbunătăţire a raportului semnal pe zgomot este cea prezentată în figura 5.1.6, [Wid., Ste., ’85].

Figura 5.1.6. Schema de filtrare adaptivă folosită în cel de al doilea experiment.


Se constată că în acest caz nu mai este necesară cunoaşterea semnalului de referinţă, deoarece acesta este generat pornind de la semnalul de intrare, prin întârziere cu ajutorul blocului D.

În figura 5.1.7. se prezintă semnalul de intrare, în figura 5.1.8. semnalul de la ieşirea blocului D iar în figura 5.1.9. este prezentat semnalul de la ieşirea filtrului. În figura 5.1.10 sunt prezentate datele specifice pentru cel de al doilea experiment. A fost folosită o întârziere de 10 eşantioane.

Figura 5.1.7. Semnalul de intrare.

Figura 5.1.8. Semnalul de referinţă.


Figura 5.1.9. Semnalul de la ieşire.

Figura 5.1.10. Coeficienţii filtrului adaptiv în regim permanent şi valorile rapoartelor semnal pe zgomot.

Se constată că în cel de al doilea experiment îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot este de doar 2,16. Cu toate acestea schema din figura 5.1.6. trebuie preferată schemei din figura 5.1.1 deoarece nu este necesară cunoaşterea semnalului de referinţă.

CAPITOLUL 6. Filtre neliniare În acest capitol se prezintă câteva tipuri de filtre numerice neliniare. Există situaţii în care utilizarea filtrelor neliniare poate conduce la îmbunătăţiri mai mari ale raportului semnal pe zgomot decât dacă s-ar fi utilizat filtre liniare. 6.1. Filtre numerice cu ordonare statistică

Dacă )N()2()1( X,...,X,X este un şir de variabile aleatoare atunci prin ordonarea lor după valoare se obţine şirul de inegalităţi:

( ) ( ) ( )N21 X...XX ≤≤≤ (1)

Variabila aleatoare ( )iX se numeşte a i-a variabilă aleatoare în ordonare

statistică. Pe baza acestei ordonări se poate determina mediana secvenţei de variabile aleatoare considerată, folosind următoarea definiţie:

( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

ν=+

+ν== +νν

+ν

2Ndaca2XX

12Ndaca,XXmed 1

1

i

Considerând semnalul [ ]nx şi fereastra dreptunghiulară [ ]nw , de lungime N,

centrată pe momentul n, prin înmulţirea lor se obţine semnalul [ ]nx , care la momentul n are N eşantioane. Considerând că acestea ar reprezenta secvenţa de variabile aleatoare de mai sus, mediana acesteia este răspunsul "filtrului median" la semnalul [ ]nx , la momentul n. Deplasând fereastra [ ]nw peste semnalul [ ]nx , (prin centrarea

sa succesivă pe diferite momente de timp) se obţine răspunsul filtrului median la semnalul [ ]nx . În figura următoare se reprezintă câteva exemple de semnale precum şi răspunsurile unui filtru median, cu N de valoare 7, la aceste semnale.

Analizând figura 6.1.1 se constată că pentru semnale de intrare monotone, prin filtrare mediană nu se modifică forma semnalului. Aproximarea semnalelor monotone pe porţiuni prin filtrare mediană este afectată de erori. Acestea se manifestă la momentele de timp la care monotonia semnalului se schimbă. De asemenea se constată

6.1. – Filtre numerice cu ordonare statistică 181

eficienţa filtrului median la eliminarea zgomotului de tip impuls care perturbă aditiv semnalul de prelucrat. Este remarcabilă şi calitatea răspunsului indicial al filtrului median.

Figura 6.1.1. Câteva exemple de funcţionare a unui filtru median, N de valoare 7.

Tot pe baza ordonării statistice descrise de relaţia (1) pot fi obţinute diferite combinaţii liniare ale elementelor acesteia:

182 Filtre neliniare – 6

( )∑=

=n

1iiin XaT

(2)

cărora le corespund filtre cu ordonare statistică. Prin extragerea repetată a medianei poate fi obţinut un alt tip de filtru, numit filtru median recursiv. Legătura intrare-ieşire pentru un astfel de sistem este:

[ ] ( )ν+−ν−= ii1ii x,...,x,y,...,ymediy (3)

Pentru a combina avantajele filtrelor liniare cu cele ale filtrului median au fost concepute filtrele mediane hibride, caracterizate de următoarea legătură intrare-ieşire:

[ ] ( ) ( ) imi1 x,...,xmediy ϕϕ= (4) unde ( ) m,1k,x ik =ϕ , sunt răspunsurile a m filtre liniare la semnalul ix . De exemplu relaţia (4) poate lua forma:

[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ν

= ∑ ∑ν

=

ν

=+−

1j 1jjiiji x1,x,x1mediy

6.2. Construcţia unui filtru numeric median Pentru filtrarea mediană e necesar să se grupeze eşantioanele din fereastră în ordine crescătoare, pentru fiecare poziţie a ferestrei şi să se determine, prin comparaţii succesive, mediana secvenţei din fereastră. Considerând că semnalul de intrare [ ]nx are forma:

[ ] [ ] [ ]nxnxnx ad += (5)

unde [ ]nx d este un semnal util iar [ ]nx a o perturbaţie, răspunsul filtrului median poate fi pus în forma:

[ ] [ ] [ ]nynxny ad += (6)

6.2. – Construcţia unui filtru 183

unde [ ]nya reprezintă zgomotul de la ieşirea sistemului. Raportul semnal pe zgomot la intrarea în filtru se poate calcula cu relaţia:

[ ]

[ ]∑

∑

=

== M

0i

2a

M

0i

2d

i

ix

ixRSZ

(7)

iar la ieşire cu relaţia:

[ ]

[ ]∑

∑

=

== M

0i

2a

M

0i

2d

o

iy

ixRSZ

(8)

Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot obţinută este:

[ ]

[ ]∑

∑

=

===χ M

0i

2a

M

0i

2a

i

o

iy

ix

RSZRSZ

(9)

În stabilirea acestei formule s-a considerat că secvenţa [ ]nx este de durată limitată M. Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot realizată de sistemele liniare şi invariante în timp este invers proporţională cu banda echivalentă de zgomot a acestora. De obicei aceasta este cu atât mai mare cu cât ordinul filtrului este mai mic. O cale de creştere a ordinului filtrului fără a i se modifica răspunsul în frecvenţă este recircularea semnalului care trebuie filtrat. Această procedură presupune următorii paşi: 1. Prin filtrarea semnalului de intrare de durată limitată [ ]nx se obţine răspunsul

[ ]ny1 . 2. Folosind acelaşi filtru se prelucrează semnalul [ ]ny1 obţinându-se semnalul

[ ]ny2 . 3. Procedeul descris se repetă de câte ori se doreşte să fie crescut ordinul filtrului.

Un parametru al filtrului median care controlează îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot introdusă de acest sistem este lungimea ferestrei temporale folosite.


În continuare se propune o nouă tehnică de filtrare adaptivă. Aceasta presupune realizarea unei succesiuni de filtrări mediane cu recirculare. La sfârşitul fiecărei filtrări mediane cu recirculare, este scăzută lungimea ferestrei temporale şi o nouă filtrare mediană cu recirculare începe, pornind cu ultima secvenţă obţinută în filtrarea mediană cu recirculare anterioară. Lungimea primei ferestre temporale este aleasă de utilizator. De asemenea valoarea minimă a lungimii ferestrei poate fi aleasă. Filtrarea mediană adaptivă se încheie la sfârşitul filtrării mediane cu recirculare care foloseşte cea mai scurtă fereastră. Fiecare filtrare mediană cu recirculare ia sfârşit atunci când o nouă aplicare a acestui procedeu nu mai modifică valoarea vreunui eşantion. 6.3. Filtre morfologice

Această categorie de filtre neliniare, înrudite cu filtrele cu ordonare statistică se foloseşte în special în prelucrarea imaginilor. Cazul cel mai simplu este cel al imaginilor binare. Acestea pot fi descrise cu ajutorul teoriei mulţimilor. În continuare se trec în revistă principalii operatori morfologici folosiţi în prelucrarea imaginilor binare. Pentru construcţia acestor operatori se folosesc mulţimi specifice numite elemente structurante. În continuare elementul structurant se va nota cu K. O operaţie folosită frecvent la construcţia operatorilor morfologici este diferenţa de tip Minkovski. Se numeşte simetrica mulţimii K, nRxK ∈= şi se notează K mulţimea

Kx RxK n ∈∈−= . Se numeşte diferenţă de tip Minkovski între mulţimile A şi K şi se notează cu KA ÷ , mulţimea:

Kk kxK unde AKRxKA xxn ∈+=⊂∈=÷

[Pre. ’87]. Primul operator morfologic este cel de eroziune. Erodata mulţimii A în raport cu elementul structurant K este diferenţa de tip Minkovski dintre A şi K . Se notează:

AKRxKAAE xn

K ⊂∈=÷= (10)

Operatorul dual operatorului de eroziune este cel de dilatare. Pentru a defini

acest operator se foloseşte operaţia duală diferenţei de tip Minkovski. Această operaţie se numeşte adunare de tip Minkovski şi este definită cu relaţia:

∪Kk

kA KA∈

=⊕ (14)

6.4. – Filtre în domeniul unei transformări 185

Figura 6.3.1. Imaginea originală (stânga) şi erodata sa (dreapta) obţinută folosind un element structurant

pătrat cu latura de 2 pixeli.

Prin dualitate, dilatata mulţimii A, folosind elementul structurant K, este dată de adunarea de tip Minkovski a mulţimilor A şi K :

kAu ,Kk u, KA ∈∈∃=⊕ (17)

În figura următoare se prezintă un exemplu de dilatare a unei imagini.

Figura 6.3.2 Imaginea originală (stânga) şi dilatata sa (dreapta). S-a folosit un element structurant pătrat cu latura de 2 pixeli.

Folosind operatorii de erodare şi de dilatare poate fi introdusă o nouă categorie de operatori morfologici ale cărei elemente se numesc filtre de contrast. Rolul lor este de a întări contrastul unei imagini făcând ca anumiţi pixeli ai acesteia să-şi modifice brusc valorile. Fie imaginea f şi ( )21 f,f două imagini transformate verificând :

21 fff ≤≤


De obicei 1f este erodata lui f iar 2f dilatata lui f. Imaginea filtrată este:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧−>−−<−

→ rest in xf

xfxfxfxf pentru xfxfxfxfxf pentru xf

xf 212

211

În figura următoare se prezintă un exemplu de aplicare a operatorului filtru de contrast asupra unei imagini cu mai multe nivele de gri.

Figura 6.3.3. Un exemplu de aplicare a filtrului de contrast. În stânga imaginea originală. În dreapta

rezultatul filtrării.

Se remarcă îmbunătăţirea contrastului în special în zona contururilor.

Eroziunea şi dilatarea sunt transformări duale. Ele nu sunt însă inverse. Aceste două transformări ne permit construcţia unor transformări morfologice derivate, mai complexe cu proprietăţi superioare, printre care trebuie amintită proprietatea de idempotenţă. Printre acestea cele mai importante sunt transformările morfologice de închidere şi de deschidere. Fie X o imagine şi B un element structurant. Deschiderea morfologică e definită pentru imaginile binare cu relaţia :

( ) BBXX B ⊕÷= (18)

Pentru că operatorul dual operatorului de eroziune este cel de dilatare şi

reciproc se poate calcula închiderea mulţimii X în raport cu elementul structurant B, notoată cu XB cu ajutorul relaţiei:


( ) BBXX B ÷⊕= (19)

În figura următoare sunt prezentate rezultatele prelucrării cu operatorii de deschidere (în stânga) şi de închidere (în dreapta) a imaginii prezentate în stânga figurii 6.3.2.

Figura 6.3.4. Un exemplu de aplicare al operatorilor de deschidere şi de închidere asupra imaginii din stânga figurii 6.2.2.

Filtrele morfologice sunt secvenţe de operatori morfologici de bază care au

propiretatea de idempotenţă. Definiţie. Se numeşte compunere proprie, aplicaţia care asociază fiecărui

operator ψ operatorul ψψ , notat ψψ . Noţiunea de idempotenţă, ψ=ψψ , se poate descompune în două inegalităţi:

Definiţie. Fie ψ un operator crescător. Operatorul ψ este un sub-filtru dacă ψ≤ψψ . Operatorul ψ este un supra-filtru dacă ψ≥ψψ . Operatorul ψ est un filtru dacă ψ est idempotent, ψ=ψψ . [Ast., Kos., Neu. ’92].

Deşi nu există nici un motiv aparent ca supremumul, infimumul sau compoziţia a două filtre să fie un filtru totuşi :

Teoremă. (teorema de compunere a filtrelor) Fie φ şi ψ două filtre care verifică ψ≥φ . Atunci :

1. ψ≥ψφψ≥ψφ∧φψ≥ψφ∨φψ≥φψφ≥φ 2. φψ ψφ , φψφ şi ψφψ sunt filtre. 3. φψφ este cel mai mic filtru superior lui ψφ∨φψ şi ψφψ cel mai mare filtru inferior lui ψφ∨φψ .

Cu ∨ s-a notat supremumul iar cu ∧ s-a notat infimumul celor doi operatori. O demonstraţie a acestei teoreme poate fi găsită în [Pre. ’95].

Dacă se consideră relaţia de ordine obişnuită ≤ , pe mulţimea filtrelor, noţiunea de supremum este definită cu ajutorul următoarei teoreme:


Teoremă. Fie ( )iψ o familie de filtre. Cel mai mic filtru superior lui iψ∨ este cel mai mare element al clasei de transformări crescătoare închisă pentru sup şi compunerea proprie generată de ( )iψ [Sch., Mat. ’94]. 6.3.1. Filtre alternate secvenţial

Principiul care stă la baza construcţiei acestor filtre este iterarea deschidelor şi închiderilor de talie crescătoare. Fie ( )iγ o familie de deschideri şi ( )iφ o familie de închideri verificând :

iij I ji φ≤≤γ≤γ⇒≤

unde cu I s-a notat operatorul de identitate. Fie operatorii iiii s şi r,n,m definiţi după cum urmează:

iiiiiiiiiiiiii s ; r ; n ; m γφγ=φγφ=γφ=φγ= Cum orice deschidere este mai mică decât orice închidere de aceeaşi talie, se poate scrie :

ii φ≤γ Atunci, conform teoremei anterioare, se poate afirma că iiii s şi r ,m ,n sunt filtre. Propoziţia următoare demonstrează că ordinea de iterare a filtrelor contează. Propoziţie. Fie ( )p 1kki = întregi strict pozitivi astfel încât p1k iii =≤ . Atunci:

p112p iiii1pii mm mm...mm ==−

p1121pp iiiiii nnnn...nn ==−

O demonstraţie pentru această propoziţie poate fi găsită în [Sch., Mat. ’94]. Filtrele alternate secvenţial sunt definite de iteraţiile următoare :

121iii mm ... mmM −=

121iii nn ... nnN −=

121iii rr ... rrR −=


121iii ss ... ssS −= În particular pot fi scrise relaţiile următoare:

iiiiii NS şi MR γ=φ=

Figura 6.3.1.1. Un exemplu de utilizare a filtrelor morfologice. Aceste filtre se bucură de un număr mare de proprietăţi. Iată câteva relaţii referitoare la compunerea lor. Pentru ji ≤ :


ijjjijijij

ijjjijijij

NNNNN SSSSS

RRRRR MMMMM

=≤≤=

=≤≤=

Se poate pune întrebarea ce se întâmplă dacă se iterează filtrele im în ordine

descrescătoare. În acest mod se obţin filtrele morfologice secvenţiale transpuse:

i1-i21tii1-i21

ti

i1-i21tii1-i21

ti

ss ... ss S nn ... nn N

rr ... rrR mm ... mmM

==

==

Acestea au proprietăţi analoage filtrelor alternate secvenţial. Dacă se doreşte ca

un număr important de inegalităţi între filtre să devină egalităţi se utilizează filtrele alternate secvenţial simetrice:

itiii

tiii

tiii

tii SSS~ ; NNN~ ; RRR~ ; MMM~ ====

Aceste filtre au proprietatea:

( )j,isupijji M~M~M~M~M~ ==

În figura 6.3.1.1 se prezintă două exemple de utilizare a filtrelor alternate

secvenţial. În partea de sus este prezentată imaginea de filtrat, în mijloc se află imaginea obţinută prin filtrarea cu ajutorul unui filtru morfologic deschidere-închidere iar în partea de jos se poate vedea imaginea obţinută prin filtrarea cu un filtru morfologic închidere-deschidere.

În cele două exemple de filtrare din figura anterioară au fost folosite elemente structurante pătrate cu latura de 2 pixeli. 6.4. Filtre neliniare folosite în domeniul unei transformări ortogonale

O modalitate interesantă de filtrare a unui semnal este cea bazată pe prelucrarea unei transformate a acelui semnal. De exemplu, de multe ori, pentru filtrarea adaptivă a unui semnal se preferă strategia următoare: - se calculează o transformată ortogonală a semnalului de prelucrat, - se efectuează filtrarea adaptivă în domeniul transformatei, - se aplică, rezultatului obţinut la pasul anterior, transformarea ortogonală inversă, obţinându-se rezultatul filtrării.

O astfel de abordare are unele avantaje:


- prin transformarea ortogonală semnalul de prelucrat se decorelează, - filtrarea în domeniul transformatei poate necesita un număr redus de operaţii aritmetice. 6.4.1. Transformarea wavelet discretă

Cele mai folosite transformări ortogonale în astfel de aplicaţii sunt transformarea cosinus discretă, TCD şi transformarea wavelet discretă, TWD. O alternativă la filtrarea adaptivă în domeniul transformatei este filtrarea neliniară în acelaşi domeniu. În acest paragraf se vor face referiri la folosirea filtrării neliniare în domeniul TWD pentru îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot respectiv pentru compresia de date. 6.4.2. Bazele matematice ale TWD

Definiţie. Mulţimea de subspaţii Hilbert închise ZmmV ∈ ale lui ( )RL2 este o

analiză multirezoluţie a acestui spaţiu dacă elementele mV au următoarele proprietăţi:

i) ...VVV... 101 −⊂⊂ ,

ii) ( )RLV,0V 2

Zmm

Zmm =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−−−−−

∈∈∪∩ ,

iii) ( ) ( ) ( ) 1mm Vx2fVxf −∈⇔∈∀ ,

iv) Există o funcţie ( ) 0Vx ∈ϕ astfel încât mulţimea

( ) ( )Zn

m2m

n,m nx22x∈

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−ϕ=ϕ să fie o bază ortonormală a lui mV .

Funcţia ( )xϕ se numeşte funcţie de scalare.

Fie ( )tf0 un semnal din 0V . El are următoarea descompunere în baza ( ) ( )

Znn,0 ntt∈

−ϕ=ϕ :


( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

ϕϕ=n

n,0n,000 tt,tftf (20)

Fie ( )tf1 proiecţia lui ( )tf0 pe 1V . Această funcţie are următoarea

descompunere în baza ( ) ( )Zn

121

n,1 nt22t∈

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−ϕ=ϕ a lui 1V :

( ) ( ) ( ) ( )tt,tftf n,1n

n,101 ϕϕ= ∑∞

−∞=

(21)

Fie ( )tfm proiecţia lui ( )tf0 pe mV . Ea are următoarea descompunere în baza

( ) Znn,m t

∈ϕ a lui mV :

( ) ( ) ( ) ( )tt,tftf n,mn

n,m0m ϕϕ= ∑∞

−∞=

(22)

Semnalele ( ) ( ) ( )tf,...,tf,tf m21 sunt cele mai bune aproximări ale lui ( )tf0 cu

elemente ale spaţiilor m21 V,...,V,V (teorema lui Riesz). Dacă ( ) ( ) ( )te,...,te,te m21 sunt erorile medii pătratice de aproximare ale lui ( )tf0 cu funcţiile ( ) ( ) ( )tf,...,tf,tf m21 , atunci se poate scrie:

( ) ( ) ( )te...tete m21 ≤≤≤ (23)

Se observă că odată cu creşterea lui m calitatea aproximării descreşte.

Considerând că ( )tfm reprezintă aproximarea lui ( )tf0 de rezoluţie m se poate afirma că folosind diferite elemente ale mulţimii ZmmV ∈ se pot obţine aproximări de diferite rezoluţii ale lui ( )tf0 . De aceea această mulţime se numeşte analiză multirezoluţie a

lui ( )RL2 . Notând:

( ) ( ) [ ]nst,tf mn,m0 =ϕ

se poate stabili relaţia între secvenţele [ ]nsm şi [ ]ns0 pentru 0m > .


Descompunerea funcţiei ( )tn,1ϕ în baza ( ) Znn,0 t

∈ϕ a lui 0V este:

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−ϕ−ϕϕ=ϕl

n,1n,1 ltlt,tt (24)

Dar:

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−−−+ϕϕ=−ϕϕ duln2uu22lt,t *12

1

n,1 (25)

Cu notaţia:

( ) ( ) [ ]ln2hlt,tn,1 −=−ϕϕ

relaţia (24) devine:

( ) [ ] ( )∑∞

−∞=−ϕ−=ϕ

ln,1 ltln2ht

Deci:

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )∑∞

−∞=

−ϕ−=ϕ=l

0n,101 ltln2h,tft,tfns

Folosind relaţia (20) se obţine:

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=p

*01 pn2hpsns

Prin recurenţă se poate scrie:

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=− −=

p

*1mm pn2hpsns

(26)


Această relaţie a fost stabilită pentru întâia oară în [Mal. ’89 (1)] şi reprezintă una dintre formulele de bază pentru algoritmul Fast Wavelet Transform (FWT) de calcul al TWD. Transformarea descrisă de relaţia (26) este realizată de sistemul din figura 6.4.2.1.

Figura 6.4.2.1. Sistemul care calculează secvenţa [ ]nsm pornind de la secvenţa [ ]ns 1m− .

Pornind de la analiza multirezoluţie ZmmV ∈ a lui ( )RL2 şi considerând că

mW este complementul ortogonal al lui mV în 1mV − , se obţine descompunerea ortogonală a lui ( )RL2 , ZmmW ∈ . Se poate demonstra şi propoziţia următoare:

Propoziţia 1. Există o funcţie ( )tψ în 0W astfel încât: - mulţimea ( ) Znnt ∈−ψ este o bază ortonormală a lui 0W şi

- mulţimea ( ) ( )Zn

m2m

n,m nt22t∈

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−ψ=ψ este o bază ortonormală a lui mW pentru

orice m întreg. Funcţiile ( )tn,mψ se numesc "wavelet". Funcţia generatoare ( )tψ poate fi

exprimată cu ajutorul funcţiei generatoare ( )tϕ . Dacă funcţia ( )tϕ (din 0V ) se dezvoltă în baza lui 1V− în forma:

( ) [ ] ( )∑∞

−∞=

−ϕ=ϕn

nt2nct (27)

atunci:


( ) ( ) [ ] ( )∑∞

−∞=

+ϕ−−=ψn

n nt2n1c1t (28)

Eroarea de aproximare a semnalului ( )tf0 cu semnalul ( )tf1 este:

( ) ( ) ( )tftfte 101 −=

Se constată că:

( ) 11 Wte ∈ (29)

De fapt semnalul ( )te1 este proiecţia ortogonală a semnalului ( )tf0 pe subspaţiul 1W . Din acest motiv semnalul ( )tem poate fi descompus în baza de funcţii wavelet a lui mW în forma:

( ) ( ) ( ) ( )tt,tete n,mn

n,m1m ψψ= ∑∞

−∞=

(30)

Cu notaţia:

( ) ( ) [ ]ndt,te mn,m1 =ψ (31)

se deduce relaţia între secvenţele [ ]nd m şi [ ]nsm pentru 0m > . Descompunând semnalul ( )tn,1ψ în baza lui 0V , ( ) ( )

Znn,0 ntt∈

−ϕ=ϕ rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−ϕ−ϕψ=ψl

n,1n,1 ltlt,tt (32)

Dar:

( ) ( ) ( ) ( )dtltnt22lt,t *121

n,1 −ϕ−ψ=−ϕψ ∫∞

∞−

−−

(33)

sau:


( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−−−+ϕ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψ=−ϕψ duln2uu22lt,t *2

121

n,1 (33)

Folosind notaţia:

( ) ( ) [ ]ln2glt,tn,1 −=−ϕψ (34)

relaţia (31) devine:

( ) [ ] ( )∑∞

−∞=−ϕ−=ψ

ln,1 ltln2gt

(35)

şi:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=ψ=ψ=l

0*

n,10n,111 lsln2gt,tft,tend (36)

În general:

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=− −=

l

*1mm ln2glsnd

(37)

Relaţia (37) este implementată de sistemul din figura 6.4.2.2.

În figura 6.4.2.3 este prezentat sistemul care pornind de la secvenţa [ ]ns0 calculează secvenţele [ ]nsm şi [ ] [ ] [ ]nd,...,nd,nd 1m21 − .

REMARCĂ Formula lui [ ]ng depinde de formula lui [ ]nh . Se poate demonstra că:

[ ]ns 1m− [ ]ng* 2

[ ]ndm

Figura 6.4.2.2. Transformarea semnalului [ ]ns 1m− în semnalul [ ]nd m .


[ ] ( ) [ ]n1h1ng n1 −−= − (38)

Figura 6.4.2.3. Sistemul care transformă semnalul [ ]ns0 în semnalele

[ ]nsm , [ ] m,1k,nd k = .

S-a arătat deja că pornind de la descompunerea semnalului ( )tf0 în baza ortonormală a lui 0V , ( ) Znnt ∈−ϕ , se obţine aproximarea de rezoluţie m, ( )tfm şi eroarea de aproximare ( )tem . Reciproc, funcţia ( )tf0 poate fi obţinută pornind de la funcţiile ( )tfm şi ( )tem :

( ) ( ) ( )∑=

+=m

1kkm0 tetftf

(39)

Calculând produsul scalar al celor doi membri ai relaţiei (39) cu funcţiile

( )kt −ϕ se obţine:

[ ] [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−ϕψ+−ϕϕ=p

p,11l

l,110 kt,tpdkt,tlsks (40)


sau:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−+−=l p

110 kp2gpdkl2hlsks

În mod recursiv se poate demonstra că:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∞

−∞=

∞

−∞=− −+−=

pm

lm1m kp2gpdkl2hlsks

(41)

Folosind sistemul din figura 6.4.2.4 poate fi obţinută secvenţa [ ]ns0 pornind

de la secvenţele [ ] [ ] [ ]nd,...,nd,ns 11mm − .

Figura 6.4.2.4. Sistem care implementează transformarea inversă.

Sistemul din figura 6.4.2.3 calculează TWD a semnalului [ ]ns0 iar sistemul din figura 6.4.2.4 calculează transformarea wavelet discretă inversă (TWDI).


6.4.2.1. Filtre folosite pentru calculul TWD şi TWDI

Conform celor afirmate în paragraful anterior pentru calculul TWD şi TWDI este necesară cunoaşterea răspunsului la impuls ]n[h . Pe baza acestuia, folosind relaţia (38) poate fi calculat răspunsul la impuls corespunzător ]n[g .

Figura 6.4.2.5. Filtrul Daubechies 2; a). răspunsul la impuls şi b). răspunsul în frecvenţă reprezentat în intervalul [0,π].


Există câteva familii de filtre de tipul ]n[h . Figurile 6.4.2.5 – 6.4.2.13 conţin caracteristici ale filtrelor de acest tip, proiectate de Ingrid Daubechies şi prezentate în [Dau. ’88].



Figura 6.4.2.8. Filtrul Daubechies 5; a). răspunsul la impuls şi b). răspunsul în frecvenţă reprezentat în

intervalul [0,π].



intervalul [0,π].


Este vorba de 9 astfel de filtre. Lungimea răspunsului la impuls al filtrului Dau_i este de 2i, i=2,…,10. În figurile anterioare sunt reprezentate răspunsul la impuls al filtrului Dau_i şi răspunsul său în frecvenţă în intervalul [ ]π,0 .

În tabelul următor sunt daţi coeficienţii filtrelor Dau_i pentru i cuprins între 2 şi 10.

Tabelul 6.1. Coeficienţii corespunzători filtrelor de tip Daubechies i Coeficienţi 2 0.4830 0.8365 0.2241 -0.1294 3 0.3327 0.8069 0.4599 -0.1350 -0.0854 0.0352 4 0.2304 0.7148 0.6309 -0.0280 -0.1870 0.0308 0.0329 -0.0106 5 0.1601 0.6038 0.7243 0.1384 -0.2423 -0.0322 0.0776 -0.0062

-0.0126 0.0033 6 0.1115 0.4946 0.7511 0.3153 -0.2263 -0.1298 0.0975 0.0275

-0.0316 0.0006 0.0048 -0.0011 7 0.0779 0.3965 0.7291 0.4698 -0.1439 -0.2240

0.0713 0.0806 -0.0380 -0.0166 0.0126 0.0004 -0.0018 0.0004 8 0.0544 0.3129 0.6756 0.5854 -0.0158 -0.2840 0.0005 0.1287

-0.0174 -0.0441 0.0140 0.0087 -0.0049 -0.0004 0.0007 -0.0001 9 0.0381 0.2438 0.6048 0.6573 0.1332 -0.2933 -0.0968 0.1485

0.0307 -0.0676 0.0003 0.0224 -0.0047 -0.0043 0.0018 0.0002 -0.0003 0.0000

10 0.0267 0.1882 0.5272 0.6885 0.2812 -0.2498 -0.1959 0.1274 0.0931 -0.0714 -0.0295 0.0332 0.0036 -0.0107 0.0014 0.0020

-0.0007 -0.0001 0.0001 -0.0000

Există şi alte familii de filtre ]n[h , construite de alţi cercetători ca de exemplu Coifman. Câteva dintre acestea sunt prezentate în [Isa., Naf. ’98]. 6.4.2.2. Un algoritm de calcul al TWD

În [Dau. ’88] şi [Mey. ’92] sunt prezentate câteva exemple de funcţii de scalare cu suport compact. Evident acestea generează funcţii wavelet cu suport compact. De aceea semnalele [ ]nh şi [ ]ng vor fi de durată limitată. Pentru secvenţe [ ]ns0 de durată limitată TWD poate fi descrisă matricial. În continuare se prezintă pe

baza unui exemplu algoritmul de calcul al TWD. Secvenţa de intrare [ ]ns0 este descrisă de vectorul:


[ ][ ]

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1s...

7s8s

S

0

0

0

0

iar [ ]nh are durata 4. Primul pas al algoritmului de calcul al TWD este:

001 XMY =

cu:

00 SX =

şi:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

=

2h1h

3h0h

00

00

00

00

0h3h

1h2h

0h1h2h3h00003h2h1h0h0000

000h1h2h3h00003h2h1h0h0000000h1h2h3h00003h2h1h0h

M 0

Se obţine:


[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1d1s2d2s3d3s4d4s

Y

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Prin permutări rezultă:

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1d2d3d4d1s2s3s4s

Y

1

1

1

1

1

1

1

1

11

Elementele vectorului 1

1Y sunt secvenţele [ ]ns1 şi [ ]nd1 . Separând elementele acestor secvenţe se obţin vectorii 1

1X şi 21X cu:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]1d2d3d4dX;1s2s3s4sX 1111T2

11111T1

1 ==

Fie 1M matricea care reprezintă sfertul din stânga sus al matricei 0M . Cel de

al doilea pas al algoritmului FWT este descris cu relaţia:

1112 XMY =

Rezultatul este:


[ ][ ][ ][ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1d1s2d2s

Y

2

2

2

2

2

Prin permutări rezultă:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]1d2d1s2sY 2222T1

2 =

Separând elementele secvenţelor [ ]ns2 şi [ ]nd 2 se obţin vectorii 1

2X şi 22X

cu:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]1d2dX;1s2sX 22T2

222T1

2 ==

Folosind vectorii T1

2Y şi T2

1X se obţine vectorul Y cu:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]1d2d3d4d1d2d1s2sY 11112222T =

care reprezintă transformata FWT a vectorului 0S . Algoritmul pentru IFWT constă în aplicarea în ordine inversă a operaţiilor descrise mai sus. Bineînţeles în locul matricelor ,...M,M 10 se vor folosi matricele ,...M,M T

1T0

Acest algoritm a fost conceput de către Mallat. 6.4.3. Utilizarea T.W.D. la compresia de date Sistemele de compresie de date care folosesc transformări ortogonale se bazează pe decorelarea secvenţei de intrare (realizată de transformarea ortogonală respectivă). Dacă secvenţei [ ] 1N,0n,nx −= cu autocorelaţia [ ]nR x i se aplică o transformare ortogonală se obţine secvenţa [ ]ny cu autocorelaţia

[ ] 1M,0n,nR y −= , cu [ ] [ ]nRnR xy < .

Energia secvenţei [ ]ny este concentrată în M eşantioane cu NM < . De aceea pot fi transmise doar aceste eşantioane şi rezultă compresia. Notând cu T operatorul transformării ortogonale şi cu P operatorul de compresie se obţine sistemul pentru compresia secvenţei de durată şi energie finită din figura 6.4.3.1.


Figura 6.4.3.1. Sistemul folosit pentru compresia de date bazat pe o transformare ortogonală.

Pot fi scrise relaţiile: yTx;Pyy;Txy 1−=== (21)

Având în vedere că FWT este o transformare ortogonală rezultă că poate fi folosită pentru compresie. Rolul blocului P din schema de mai sus este de a selecţiona doar acele eşantioane ale semnalului y[n] care au valoarea superioară unui prag. Valoarea acestui prag se poate alege în aşa fel încât eroarea de aproximare a semnalului y[n] prin semnalul de la ieşirea blocului P să aibă o energie inferioară valorii de 1% din energia semnalului x[n]. Semnalul de la ieşirea blocului P reprezintă rezultatul compresiei. Acest semnal se transmite sau se memorează. Ultimul bloc din schema din figura 6.4.3.1. realizează reconstrucţia semnalului comprimat. Eroarea medie pătatică cu care acest semnal aproximează semnalul x[n] este mai mică decât 1% din energia semnalului x[n]. Factorul de compresie realizat poate fi calculat împărţind numărul eşantioanelor secvenţei de intrare la dublul numărului eşantioanelor nenule de la ieşirea blocului P. Trebuie considerat dublul numărului eşantioanelor nenule de la ieşirea blocului P deoarece acestea nu apar în succesiune şi deci este necesară atât codarea valorii lor cât şi codarea poziţiei lor.

Blocul P conţine de obicei un filtru neliniar. Acesta este unul dintre subiectele acestui capitol. El realizează filtrarea neliniară în domeniul TWD. Tot o schemă de forma celei din figura 6.4.3.1. este folosită şi pentru îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot folosind funcţiile wavelet. Procedura a fost introdusă de către Donoho, care a numit-o de-noising.

6.4.4. Filtrarea adaptivă neliniarã în domeniul T.W.D. Aşa după cum s-a arătat deja pentru de-noising se efectuează următorii trei paşi: 1. Se calculează TWD a semnalului n[k]+[k]x=x[k] u , unde cel de al doilea

termen reprezintă un semnal aleator de tip zgomot alb, obţinându-se, la iteraţia m semnalul [k]d+[k]d=[k]d

nux mmm .


2. Se filtrează cu un filtru neliniar adaptiv semnalul obţinut. 3. Se calculează TWDI a rezultatului obţinut. 6.4.4.1. Filtrul de tip wavelet shrinkage

Una dintre tehnicile de filtrare adaptivă neliniară în domeniul transformatei a fost introdusă de Donoho [Don. ’92], [Don. ’93] sub numele de "wavelet shrinkage". La baza acestei metode stă transformarea neliniară:

( )s|[i]d|[i]sgnd[i]d mmm −⋅→ (42)

unde s reprezintã un prag proporţional cu dispersia zgomotului n(t). Se observă că este vorba despre o filtrare adaptivă, parametrul s depinzând de semnalul n(t), prin intermediul dispersiei acestuia. Se constatã cã operatorul definit de relaţia (42) este unul neliniar. În figura 6.4.4.1.1 este reprezentată relaţia intrare-ieşire pentru filtrul descris de relaţia (42). Conform referinţelor bibliografice deja citate, metoda de de-noising propusă este eficientă eliminând aproape complet zgomotul dar distorsionând şi semnalul util. De aceea această metodă se aplică doar în cazul semnalelor x cu raport semnal pe zgomot mare (atunci când s este neglijabil în comparaţie cu dmxu[n]). În continuare se analizează metoda propusă. Relaţia (42) descrie schimbarea de variabilă aleatoare:

-s)|x(|sgnx=y ⋅ Se notează cu X variabila aleatoare care descrie comportarea statistică a semnalului dm[i] la momentul fixat i. Se consideră că semnalele dm[i] sunt de tip zgomot alb şi că variabila aleatoare X este distribuită gaussian (având media 0 şi dispersia σ2). Aplicând variabilei aleatoare X transformarea funcţională descrisă în figura 6.4.4.1.1 se obţine variabila aleatoare Y. Se determină pY(y) în funcţie de densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X, pX(x). Conform figurii 6.4.4.1.1 rezultă:

2

2X

1

1XY

dxdy

)x(p +

dxdy

)x(p = (y)p


Figura 6.4.4.1.1. Transformarea funcţională descrisă de relaţia (42).

unde:

) s,(- y, 1=dxdy

; sy = x s+x=y ); ,0( x

1

111

∞∈

−⇔−∞∈

şi:


),,s( y, 1=dxdy

s;y = x sx=y ); ,(0 x

2

222

∞−∈

+⇔−∞∈

De aceea se poate scrie:

s)+(ys)+(yp + y)(s)s(yp = (y)p XXY σ−σ− În figura 6.4.4.1.2 sunt prezentate cele două densităţi de probabilitate, pX(x) şi pY(y).

Figura 6.4.4.1.2. Densităţile de probabilitate ale variabilelor aleatoare X şi Y.

Se constată faptul că funcţia pY(y) este pară. Media acestei variabile aleatoare este:

0 =dy (y)py = m Y-

Y ∫∞

∞

fiind integrala pe un interval simetric a unei funcţii impare. În continuare se determină valoarea dispersiei variabilei aleatoare Y, pe baza dispersiei variabilei aleatoare X.

s-s


[ ]

dy s)(yp y dy s)(yp y

dy)sy()sy(p)ys()sy(py

dy (y)p y =

X2

sX

2s

XX2

-

Y2

-

2Y

++−=

=+σ++−σ−=

=σ

∫∫

∫

∫

∞

−∞−

∞

∞

∞

∞

(43)

Se calculează cele două integrale:

dy s)(yp y = I X2

s

-1 −∫

∞

Se face schimbarea de variabilă y-s = u şi avem:

+du (u)p u =du (u)p )s+(u = I X2

0

-X

20

-1 ∫∫

∞∞

du (u)ps +du (u)pu 2s + X2

0

-X

0

-∫∫∞∞

(44)

Dar:

21 = (0)F=du (u)p şi

2 =du (u)pu XX

0

-

2

X2

0

-∫∫∞∞

σ

unde cu FX(x) s-a notat funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X. Deci relaţia (44) devine:

2s +du (u)pu 2s +

2 = I

2

X

0

-

2

1 ∫∞

σ (45)

Urmează calculul lui:


dy s)+(ypy=I X2

s2 ∫

∞

−

Se face schimbarea de variabilă y + s = u şi avem:

du (u)pu=du (u)p)s(u =I X2

0X

2

02 −− ∫∫

∞∞

=du (u)p s +du (u)pu 2s X0

2X

0∫∫∞∞

−

2s +du (u)pu 2s

2 =

2

X0

2

∫∞

−σ

Deoarece funcţia pX(x) este pară, cu schimbarea de variabilă u = - v va rezulta:

dv (v)p v = dv v)(p v =du (u)pu X

0

-X

0

-X

0∫∫∫∞∞

∞

−−−

şi astfel I2 devine:

2s +du (u)pu 2s+

2=I

2

X

0

-

2

2 ∫∞

σ (46)

Pe baza relaţiilor (45) şi (46), pentru relaţia (43) avem:

2X

0

-

221

2Y sdu (u)up 4s+=I+I= +σσ ∫

∞

(47)

În continuare se calculează integrala din membrul drept al relaţiei (47):

=du eu 21=du (u)pu =I 2

2

2u0

-X

0

-3

σ−

∞∞∫∫ σπ

πσ−=⋅

σπσ−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

σπσ−

∞−

σ−

σ−

∞∫ 2

e2

= ed 2

=0

2

2

2

2

2u2

2u0

-

2


De aceea se obţine:

222Y s +

2 4s =

πσ−σσ

(48)

Trebuie determinată mulţimea valorilor lui s pentru care are loc relaţia:

22Y < σσ (49)

Pentru aceste valori, prin aplicarea transformării (42), se obţine un nou semnal

aleator (descris de variabila aleatoare Y la momentul i) a cărui putere este inferioară puterii semnalului dm[n] şi deci metoda propusă este eficientă.

Condiţiile (48) şi (49) conduc la relaţia:

0 < 2

4s s2

πσ−

Soluţiile acestei inegalităţi sunt localizate ca în figura 6.4.4.1.3.

Figura 6.4.4.1.3. Mulţimea valorilor lui s pentru care metoda "wavelet shrinkage" este eficientă.

S-a demonstrat în acest fel că valoarea minimă a deviaţiei standard a variabilei aleatoare Y este:

σσπ−πσ 0,6 = 2 =

minY (50)


şi că această valoare este obţinută pentru un prag s de valoare 0,797·σ. În consecinţă, aplicând transformarea din relaţia (42) semnalelor aleatoare dm[i] se obţin noi semnale aleatoare de putere (dispersie) inferioară celor iniţiale. De aceea se poate afirma că metoda propusă înlătură o parte din zgomotul conţinut în semnalele dm[i]. De aceea în referinţele bibliografice deja citate este utilizat termenul "de-noising". Conform relaţiei (50), cea mai mare reducere posibilă a puterii de zgomot, obtenabilă aplicând metoda propusă este de:

0,36 = ) 0,6 ( = 2

22

2

2minY

σσ

σσ

De aceea, în cel mai fericit caz, se poate vorbi de o îmbunătăţire a RSZ de 2,77

ori. Astfel, metoda propusă nu poate conduce la rezultate remarcabile decât în cazul unor semnale care au deja RSZ destul de mare. Referitor la distorsionarea semnalului dm[n] se poate afirma că acele eşantioane care au valori mari (mult mai mari decât s) nu sunt afectate de metoda propusă dar că acele eşantioane care au valori apropiate de s sunt puternic afectate de metoda propusă. Având în vedere că alegerea pragului s depinde de dispersia zgomotului n(t), σ2, rezultă că "wavelet shrinkage" este o metodă de filtrare neliniară adaptivă în domeniul TWD. Este clar că aplicarea relaţiei (42) presupune un volum de calcul mult inferior celui solicitat de algoritmul LMS [Isa. ’94(1)], [Isa. ’94(2)] sau de filtrarea Wiener multicanal [Naf. ’95], [Bov., Mar., Qua. ’94], [Che., Lin. ’94], [Shy. ’92]. 6.4.4.2. Filtrul de tip hard-thresholding O altă metodă de filtrare neliniară în domeniul TWD este propusă de Moulin în [Mou. ’94]. Această metodă se bazează pe o detecţie de prag. Transformarea care stă la baza acestei metode este:

⎪⎩

⎪⎨⎧ >

→restin,0

s]i[d],i[d [i]d mm

m

(51)

Filtrul neliniar descris în relaţia de mai sus a fost numit de către Donoho filtru

de tip hard-thresholding. Raţionând ca mai sus se consideră variabila aleatoare X distribuită gaussian cu media nulă şi dispersia σ2. Aceasta este transformată cu ajutorul relaţiei:


sx,0sx,x

=y ⎩⎨⎧

≤>

(52)

în variabila aleatoare Y. Se face caracterizarea statistică a acestei variabile aleatoare. Transformarea (52) este reprezentată grafic în figura 6.4.4.2.1.

Figura 6.4.4.2.1. Reprezentarea grafică a transformării descrise de relaţia (52).

Se observă că y este o funcţie strict monotonă de x pe intervalele (-∞, -s) şi (s, ∞). Din păcate această funcţie nu este inversabilă, de aceea neputându-se determina pY(y) pe baza lui pX(x), folosind relaţia:

k

kX

kY

dxdy

)(xp = (y)p ∑

În continuare se determină pY(y) pe baza funcţiei de repartiţie a variabilei aleatoare Y, FY(y):

y) Y P( = (y)FY ≤ Pe intervalul (- ∞, -s) variabilele X şi Y sunt identice. De aceea:

s) ,(y , (y)F = y) Y P( = (y)F XY −−∞∈≤

y

x

s

s

-s

-s


Pe intervalul [- s, 0) variabila aleatoare Y este identic nulă şi deci

s,0)[y , s)(F = s Y P = (y)F XY −∈−−≤ Pe intervalul [0, s) variabila aleatoare Y este identic nulă şi se poate deci scrie:

s)[0,y , (s)F = s) Y P( = (y)F XY ∈≤ Pe intervalul [s, ∞) variabilele X şi Y sunt identice. De aceea:

) [s,y , (y)F = y) X P( = (y)F XY ∞∈≤ În consecinţă, funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare Y are graficul din figura 6.4.4.2.2.

Figura 6.4.4.2.2. Graficul funcţiei de repartiţie a variabilei aleatoare Y.

Întrucât densitatea de probabilitate se poate obţine pe baza derivării funcţiei de repartiţie, operând în sensul distribuţiilor, pentru pY(y) se obţine graficul din figura 6.4.4.2.3. Deci:

s)(y (y)p ++ (y) ) s)(F - (s)F(+ s)y( (y)p = (y)p

X

xxXY

−σδ−−−σ

(53)

Se determină media mY a variabilei aleatoare Y:


( )∫∞

∞−

dyyyp = m YY

Figura 6.4.4.2.3. Densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare Y.

Deoarece:

s)(y(y)py + s)y( (y)yp = (y)Py XXY −σ−−σ

vom avea:

( ) dy)y(yp+ dy)y(yp=dyyyp = ms

X

s

XYY ∫∫∫∞−

∞−

∞

∞−

(54)

relaţia (54) devenind:

0 =dy (y)py dy (y)py = m Xs

sX-Y ∫−∫ −∞∞

deoarece cele două integrale sunt nule fiind integrale de funcţii impare pe intervale simetrice. În continuare se calculează dispersia variabilei aleatoare Y.

( )yYp

( )yFx

( ) ( )[ ] ( )ysFsF xx δ−−

-s s0

y


dy (y)p ydy )y(pydy (y)pydy )y(py

=dy (y)py+dy (y)py+dy )y(py=dy )y(py=

Y

s

s

2Y

2Y

s

2s

Y2

Ys

2s

sY

2s

Y2

Y22

Y

∫∫∫∫

∫∫∫∫

−

∞

∞−

∞−

∞−

∞

−

−

∞−

∞

∞−

−=+=

σ

sau:

dy (y)py2 = X

s

0

222Y ∫−σσ

Calculăm ultima integrală:

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛σ

σπ−

σπ ∫∫∫ σ−

σ− s

0

2y

22ys

0

2X

s

0

2 2

2

2

2

eyd21=dy e

21 y =dy (y)p y

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

πσ−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

πσ− ∫∫ σ

−σ

−σ

−σ

− s

0

2y

2ss

0

2y

s

0

2y

dyese2

= dyeye 2

= 2

2

2

2

2

2

2

2

( ) =−σ+π

σ−=σπ

σ+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

πσ−= σ

−σ

−σ

−

∫ )0(F)s(Fse2

dye21se

2 XX22

ss

0

2y

22s

2

2

2

2

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −σ+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

πσ= σ

−

21)s(Fse

2 X22

s2

2

Revenind, avem:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −σ−

πσ+σ=σ σ

−

21)s(F2se

22

X22

s22

Y2

2

În figura 6.4.4.2.4 se prezintă dependenţa de s a diferenţei 22

Y σ−σ dată de relaţia:


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −σ−

πσ=σ−σ σ

−

21)s(F2se

22

X22

s22

Y2

2

(55)

Figura 6.4.4.2.4. Dependenţa de s a diferenţei 22Y σ−σ .

Analizând figura 6.4.4.2.4 şi relaţia (55) se constată faptul că, oricare ar fi s pozitiv, 22

Y σ−σ < 0, ceea ce dovedeşte că metoda propusă realizează o îmbunătăţire a RSZ, indiferent de pragul folosit. Se observă de asemenea că:

00s

22Y =σ−σ

=

relaţie care confirmă justeţea calculului făcut. Se mai constată că:

2

s

22Y σ−=σ−σ

∞=

Cu alte cuvinte, 2

Yσ descreşte cu creşterea lui s între 2σ (pentru s=0) şi 0

(pentru s→∞). Deci pe baza acestei metode zgomotul dmn[i] ar putea fi redus oricât de mult. Din păcate o dată cu creşterea lui s sunt eliminate şi eşantioanele utile din semnalele dm[i], metoda producând distorsiuni ale părţii utile a semnalului de prelucrat. Pentru valori mici ale lui s aceste distorsiuni sunt nesemnificative, cea mai bună dovadă fiind aceea că această metodă este una dintre cele care se folosesc pentru compresia semnalelor în domeniul TWD [Isa., Asz. ’94], [Nar., Lou., Les., Dar. ’96], [Nas., Sap., Saw. ’97], [Ode., Bur. ’96].


Este util de determinat pragul s în scopul maximizării RSZ de la ieşirile celor două filtre propuse. Notând cu x[i] eşantioanele de semnal util de la intrarea filtrului neliniar şi cu y[i] eşantioanele de semnal util de la ieşire se constată că:

2Y

ee2

ii

1N

0i

2

ie

1N

0i

2

iiE

= RSZ ; E = RSZ ; y = E ; x=Eσσ∑∑

−

=

−

=

Dar, pentru metoda "wavelet shrinkage":

21N

0ii

1N

0i

2ie s+ x 2s x = E ∑∑

−

=

−

=

−

sau, cu notaţia:

1N

1N

0i

2i S x −

−

=

=∑

vom avea:

21Nie s+S 2s E = E −−

De aceea, în cazul acestei metode:

s + s 24

s+ S 2s E = RSZ

22

21Ni

e

σπ

−σ

− −

Se constată că pentru maximizarea acestei funcţionale după parametrul s este necesară cunoaşterea valorilor Ei şi SN-1, adică este necesară cunoaşterea expresiei analitice a lui x[n]. Rezultă că pentru cazul general valoarea optimă a pragului s poate fi fixată adaptiv, având ca şi criteriu de adaptare maximizarea lui RSZ. Concluzia este valabilă şi pentru cea de-a doua metodă de filtrare neliniară propusă. În consecinţă este de dorit ca eşantioanele dm[i] să fie tratate diferit în funcţie de valoarea lor. Cele mici ar fi util să fie prelucrate cu metoda bazată pe detecţia de prag iar cele mari să fie prelucrate pe baza metodei "wavelet shrinkage". De aceea în [Isa., Asz., Isa. ’95] se propune transformarea:


( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<↔

s]i[dpentru,s]i[d]i[dsgn

s]i[dpentru,0 [i]d

mmm

mm

(56)

Filtrul descris de această transformare se numeşte de tip soft-thresholding. În aceeaşi lucrare se prezintă rezultate experimentale obţinute pe baza aplicării metodei de îmbunătăţire a RSZ prin filtrare neliniară în domeniul TWD, descrisă de relaţia (56). Se constată că metoda este valabilă pentru o mare diversitate de semnale utile, că zgomotul este aproape complet înlăturat şi că semnalele utile nu sunt prea distorsionate. 6.4.4.3. Filtrul de tip soft-thresholding

Fie X variabila aleatoare de la intrare. Folosind estimatorul propus se obţine variabila aleatoare Y. Această transformare este prezentată în figura 6.4.4.3.1.

y

x

-s

s0

Figura 6.4.4.3.1. Transformarea propusă.

Legătura dintre funcţiile de repartiţie ale celor două variabile aleatoare este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ysyFysyFyF XXY σ++−σ−= Derivând această relaţie se obţine legătura dintre densităţile de probabilitate corespunzătoare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ysypysFsFysypypXXY XX σ++δ−−+−σ−=


Din acest motiv valoarea medie a variabilei aleatoare Y este:

( )∫∞

∞−

== 0dyyypmYY

În continuare se calculează dispersia acestei variabile aleatoare.

( ) ( )∫∫∞

∞−

++−=σ0

20

22 dysypydysypyXXY

Dar:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫ ∫

∫ ∫−

∞−

−

∞−

∞−

−

∞−

−++

=+=−

s2

s2

0 s22

sFsduupus2duupu

duupsudysypy

XXX

XX

şi:

( ) ( ) ( ) ( )( )sF1sduupus2duupudysypyXXXX

2

s s

2

0

2 −+−=+ ∫ ∫∫∞ ∞∞

Deci:

( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫∞ ∞

−+−+−=σs

2

s

22 sFsF1sduuups4duupu2XXXXY

Presupunând că X este o variabilă aleatoare gaussiană, având densitatea de probabilitate pX(x), primul termen al membrului drept al ultimei relaţii are valoarea:

( ) ( )( ) 2x

2

XX

2s

s

2x2

x2 e s

2sF1duupu σ⋅

−∞

⋅⋅π

σ+−σ=∫

şi:


( ) ( )spduuupXXX

s

2∫∞

σ=

În acest caz expresia dispersiei devine:

( )( ) ( ) ( )( )sF12sps2sF1s2XXXXXY

2222 −σ+σ−−=σ

În figura 6.4.4.3.2 este prezentată funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare Y

iar în figura 6.4.4.3.3 densitatea de probabilitate a acestei variabile aleatoare. În figura 6.4.4.3.4 este prezentată dependenţa dispersiei variabilei aleatoare Y de valoarea pragului s.

Figura 6.4.4.3.2. Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare Y.


Figura 6.4.4.3.3. Densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare Y.

Figura 6.4.4.3.4. Dependenţa dispersiei variabilei aleatoare Y de valoarea pragului s.

Analizând ultima figură se constată că pentru orice valoare a pragului s dispersia semnalului de la ieşire este inferioară dispersiei semnalului de la intrare. Cu alte cuvinte, oricare ar fi puterea zgomotului care perturbă aditiv semnalul util, de prelucrat, la ieşire se obţine un semnal util perturbat aditiv cu un zgomot cu o putere mai mică. Evident reducerea puterii zgomotului este cu atât mai importantă cu cât se foloseşte un prag de valoare mai mare. Pentru o valoare suficient de mare a pragului zgomotul perturbator poate fi practic rejectat. Se constată că nu există o valoare optimă a pragului (care să conducă la minimizarea puterii zgomotului de la ieşire) aşa ca în cazul filtrului de tip “wavelet shrinkage” (prezentat la începutul acestui paragraf). Mai degrabă, acest al treilea filtru neliniar are o comportare mai apropiată de cea a filtrului propus de Moulin, permiţând prelucrarea unor semnale cu raport semnal pe zgomot mult mai mic decât în cazul filtrului de tip “wavelet shrinkage”. Din nefericire odată cu


creşterea valorii pragului şi în cazul acestui al treilea filtru cresc şi distorsiunile semnalului util de la ieşire. De aceea, în continuare, pentru aprecierea ultimului estimator propus se analizează îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot pe care o poate realiza acest filtru neliniar. Această analiză este realizată în conformitate cu [Isa. ’97].

Semnalul de la intrarea filtrului de tipul “soft thresholding” este de forma:

[ ] [ ] [ ]nznxnx xu +=

unde zx[n] este un zgomot staţionar cu puterea 2

xσ . Dacă semnalele ]n[x u şi ]n[z x sunt necorelate atunci se poate scrie:

xu nxx PPP +=

Raportul semnal pe zgomot la intrare este egal cu:

2x

xi

uP

RSZσ

=

Semnalul de la ieşirea filtrului este de forma:

[ ] [ ] [ ]nznyny yu +=

iar RSZ la ieşire va fi:

2y

e

Y

uP

RSZσ

=

Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot realizată de filtrul de tip “soft

thresholding” este:

u

X

Y

u

x

2

2y

i

e

PP

RSZRSZ σ

σ==χ

Făcând ipoteza că şi semnalul util şi zgomotul de la ieşire sunt decorelate,

ultima relaţie devine:


2

2

2x

2y

Y

X

X

Y

P

P

σ

σ

σ−

σ−=χ

Puterile semnalelor de la intrare şi de la ieşire, Px şi Py, pot fi calculate

deoarece aceste semnale sunt accesibile măsurării. Puterea zgomotului de la intrare poate fi măsurată în absenţa semnalului util de intrare iar puterea zgomotului de la ieşire poate fi calculată folosind formula dedusă mai sus pentru orice valoare a pragului s.

Deci îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot χ este o funcţională de valoarea pragului s. Există posibilitatea ca această funcţională să aibă o valoare minimă pentru o anumită valoare a pragului s. Relaţia intrare-ieşire pentru filtrul de tip “soft-thresholding” poate fi pusă în forma:

[ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−<+>−

=skx,0

,skx,skx,skx,skx

ky

Puterea semnalului de la ieşirea acestui filtru este:

[ ] [ ]( ) [ ]( )∑ ∑∑= ==

++−==1

1

2

2

Y

N

1k

N

1k

222N

1kskxskx)ky(P

S-a notat cu 1N numărul de eşantioane a căror valoare este superioară lui s şi

cu 2N numărul de eşantioane din semnalul de ieşire a căror valoare este mai mică decât -s. Expresia puterii de la ieşire devine:

[ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) 221

N

1k

N

1k12

N

1k2

2N

1k1

2y

sNNkxkxs2

kxkxP

2

2

1

1

2

2

1

1

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

++=

∑ ∑

∑∑

= =

==

Dacă valoarea pragului s este suficient de mică se pot face aproximările:


[ ] [ ] 2Xx

N

1k

N

1kx2

21

2u

1

1

2

2

PPkxkx σ+≅≅+∑ ∑= =

şi:

[ ] [ ] [ ]∑∑∑===

−≅−N

1k

N

1k1

N

1k2 kxkxkx

1

1

2

2

Se notează această ultimă expresie cu α. Se poate scrie, de asemenea:

10cuNNN 21 <β<β≅+ Iată de ce puterea semnalului de la ieşire poate fi calculată cu formula:

2xy Nss2PP β+α+=

Incluzând şi distorsiunea semnalului util de la ieşire în categoria perturbaţiilor,

raportul semnal pe zgomot la ieşire poate fi calculat cu formula:

22

x

xy

xe

X

u

u

u

s2Ns

PPP

PRSZ

σ+α+β=

−=

(57)

Aceasta este formula pentru calculul RSZ la ieşire utilizată în restul acestui

capitol şi în capitolul următor. Valoarea maximă a acestui raport se obţine atunci când numitorul său este minim. Această situaţie apare atunci când pragul ia valoarea optimă, s0, dată de relaţia:

Ns0 β

α−=

Dacă sunt satisfăcute ipotezele făcute, atunci există o valoare optimă a pragului

pentru maximizarea raportului semnal pe zgomot la ieşire, în cazul filtrului de tip “soft-thresholding”.

Din nefericire această valoare optimă este dificil de calculat înaintea efectuării filtrării deoarece constantele α, β, şi N au valori care depind de forma de undă a semnalului util de la intrare precum şi de tipul de zgomot de la intrare.


De aceea a fost conceput un algoritm adaptiv pentru alegerea pragului care maximizează raportul semnal pe zgomot de la ieşirea filtrului de tip “soft-thresholding”.

Acest algoritm reprezintă subiectul articolului [Isa. ’97]. Etapele sale sunt următoarele: 1. Se calculează TWD a semnalului achiziţionat. 2. Se presupune cunoscută puterea semnalului util de la intrarea filtrului de tip “soft thresholding”. Această ipoteză este în acord cu formularea problemei îmbunătăţirii raportului semnal pe zgomot în telecomunicaţii (se cunoaşte puterea emiţătorului dar nu se cunoaşte puterea zgomotului care se suprapune peste semnalul util în canalul de telecomunicaţii). 3. Se calculează raportul semnal pe zgomot la intrare. 4. Se efectuează filtrarea cu filtrul de tip “soft-thresholding” utilizând o valoare mică pentru prag. 5. Se calculează raportul semnal pe zgomot la ieşire folosind relaţia (57). Se determină îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot realizată. Se memorează semnalul de ieşire obţinut precum şi valoarea îmbunătăţirii raportului semnal pe zgomot. 6. Se repetă etapa anterioară folosind aceeaşi valoare (mică) pentru prag. La intrarea filtrului este conectat de această dată semnalul obţinut la ieşire în iteraţia anterioară. Se memorează noul semnal de ieşire precum şi noua valoare obţinută pentru îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot. Aceasta se calculează folosind relaţia (57) pe baza valorii raportului semnal pe zgomot de la intrare calculată în etapa 2. 7. Se repetă etapa anterioară atât timp cât valoarea raportului semnal pe zgomot de ieşire creşte de la iteraţie la iteraţie. Algoritmul se încheie de îndată ce valoarea raportului semnal pe zgomot obţinută în etapa curentă este mai mică decât valoarea aceluiaşi parametru obţinută în etapa anterioară. Semnalul de ieşire va fi cel memorat la sfârşitul etapei anterioare. Valoarea raportului semnal pe zgomot va fi de asemenea cea înregistrată la sfârşitul etapei anterioare. 8. Se calculează TWDI a semnalului obţinut la sfârşitul etapei anterioare. În acest mod se obţine semnalul rezultat al prelucrării dedicate îmbunătăţirii raportului semnal pe zgomot.

Metoda propusă poate fi încă optimizată, prin selectarea acelei transformări undişoară discretă care se potriveşte cel mai bine cu semnalul util de prelucrat. Unele considerente pe care se poate baza o astfel de optimizare sunt prezentate în [Isa. ’97] şi în [Bor., Isa. ’97]. Alte lucrări pe această temă care merită să fie amintite sunt: [Ant., Gre., Nas. ’95], [Buc., Don. ’95], [Buc., Don. ’96], [Chi., Kol., Cul. ’96], [Coh., d’Al. ’95], [Coh., Kov. ’96], [Coif., Sai. ’96], [Gao. ’97], [Gao. ’97(1)], [Gao. ’97(2)], [Hil., Ogd. ’97], [Kol. ’96], [Lan., Guo., Ode., Bur., Wel. ’95], [Nas. ’94] şi [Pes., Ade., Pes., Hel. ’96]. Alte filtre neliniare interesante pentru prelucrarea în domeniul TWD sunt prezentate în [Pit., Ven. ’86(1)] şi în [Pit., Ven. ’86(2)].

CAPITOLUL 7. Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot prin filtrare adaptivă neliniară în domeniul TWD

Acest capitol, deşi nu se referă strict la filtrare, face obiectul lucrării de faţă

deoarece prezintă o alternativă la operaţia de filtrare. El este dedicat simulărilor metodei adaptive de îmbunătăţire a raportului semnal pe zgomot propusă la sfârşitul capitolului anterior. Aceste simulări au fost realizate cu ajutorul unor programe scrise în C, aplicate şi în [Asz, Isa., Isa. ‘99], dedicate acestui scop şi prezentate în anexă. 7.1. Programe de simulare conţinând metoda adaptivă pentru îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot Funcţiile acestor programe sunt: 1. Generarea unor semnale deterministe, care sunt semnalele utile de la intrarea sistemului de îmbunătăţire a raportului semnal pe zgomot. 2. Generarea unor semnale aleatoare, adică a zgomotelor care perturbă aditiv semnalele utile la intrarea în sistem. 3. Însumarea celor două tipuri de semnale generate anterior. 4. Aplicarea algoritmului adaptiv descris la sfârşitul capitolului anterior. Se afişează raportul semnal pe zgomot la intrare, raportul semnal pe zgomot la ieşire obţinut după ultima iteraţie şi îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot obţinută. Pentru funcţionarea corectă a acestui program este necesară specificarea funcţiei wavelet mamă pe baza căreia se doreşte calculul TWD directă şi inversă. Există şi posibilitatea evidenţierii distorsiunilor pe care le-a suferit semnalul util în procesul de prelucrare. 5. Identificarea deviaţiilor diferiţilor parametri ai semnalului util apărute în procesul de prelucrare.

În continuare se va prezenta fiecare dintre aceste funcţii. Semnalele utile care pot fi generate cu programele care constituie subiectul

acestui capitol sunt prezentate în figurile 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3, 7.1.4 şi 7.1.5. Parametrii tuturor acestor semnale pot fi modificaţi prin program conform

tabelului 7.1.1.

7.1 – Programe de simulare 235

Figura 7.1.1. Semnal sinusoidal. Figura 7.1.2. Semnal modulat în frecvenţă.

Figura 7.1.3. Tren de impulsuri dreptunghiulare. Figura 7.1.4. Tren de impulsuri gaussiene.

Figura 7.1.5. Tren de impulsuri de tip sinus cardinal.

236 Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot – 7

Tabelul 7.1.1. Parametrii semnalelor utile care pot fi modificaţi folosind programul de generare propus.

Tipul semnalului Parametrii care pot fi modificaţi Sinusoidal amplitudine, frecvenţă Modulat în frecvenţă

amplitudine, frecvenţă purtătoare, frecvenţă modulatoare. modulaţia de frecvenţă este liniară.

Dreptunghiular amplitudine, frecvenţă, factor de umplere, polaritate Gaussian poziţie, amplitudine, formă Sinus cardinal poziţie, amplitudine, formă

Fiecare dintre aceste semnale este caracteristic pentru o anumită aplicaţie din domeniul telecomunicaţiilor. De exemplu semnalul sinusoidal poate fi asociat cu modulaţia de fază, semnalul modulat în frecvenţă apare frecvent în radiolocaţie, semnalul de tip tren de impulsuri dreptunghiulare apare în comunicaţiile de date în banda de bază, semnalul de tip tren de impulsuri gaussiene apare în comunicaţiile de date fără interferenţă intersimbol iar semnalul de tip tren de impulsuri de tip sinus cardinal apare în comunicaţiile de date cu interferenţă intersimbol. Se poate afirma de asemenea că fiecare din semnalele din tabelul 1 descrie câte o clasă de semnale destul de largă. Aceste clase se diferenţiază între ele prin regularitatea elementelor lor, prin numărul lor de parametrii, etc.

Câte o realizare a semnalelor aleatoare care pot fi generate cu ajutorul acestui program este prezentată în figurile 7.1.6, 7.1.7, 7.1.8 şi 7.1.9.

Figura 7.1.6. Semnal aleator de tip zgomot alb gaussian.


Figura 7.1.7. Semnal aleator de tip zgomot uniform.

Figura 7.1.8. Semnal aleator de tip impuls.

Figura 7.1.9. Semnal aleator de tip salve de impulsuri.


Parametrii tuturor acestor semnale pot fi modificaţi prin program conform tabelului 7.1.2.

Tabelul 7.1.2. Parametrii semnalelor aleatoare perturbatoare care pot fi modificaţi folosind programul de

generare propus. Tipul semnalului Parametrii care pot fi modificaţi Zgomot alb Dispersia. Valoarea medie este nulă. Zgomot uniform Dispersia. Tren de impulsuri Dispersia. Numărul de impulsuri. Salve de impulsuri Dispersia. Numărul de salve. Lungimea unei salve.

Aceste semnale aleatoare modelează majoritatea tipurilor de zgomot care pot

apărea într-un canal de telecomunicaţii. Modelul de tip zgomot alb este cel mai des utilizat. Prezenţa zgomotului alb este inerentă funcţionării oricărui dispozitiv electronic. Zgomotele de tip tren de impulsuri respectiv salve de impulsuri apar de asemenea frecvent în practică [Tsi., Nik. ’98]. Este vorba mai ales de situaţiile în care semnalul util este perturbat încă de la sursă (de exemplu o convorbire telefonică este perturbată de zgomotul de fond datorat trecerii unui camion prin vecinătatea cabinei telefonice).

În figurile 7.1.10, 7.1.11, 7.1.12 şi 7.1.13 sunt prezentate exemple de perturbare aditivă a semnalelor utile din figurile 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3 şi 7.1.4 cu semnalele perturbatoare din figurile 7.1.6, 7.1.7, 7.1.8 şi 7.1.9.

În figurile 7.1.14, 7.1.15, 7.1.16 şi 7.1.17 se prezintă rezulatele aplicării metodei adaptive de îmbunătăţire a raportului semnal pe zgomot, propusă la sfârşitul capitolului anterior, pentru semnalele din figurile 7.1.10, 7.1.11, 7.1.12 şi 7.1.13.

Figura 7.1.10. Semnal sinusoidal perturbat aditiv de zgomot alb.


Figura 7.1.11. Semnal modulat în frecvenţă perturbat aditiv cu zgomot uniform.

Figura 7.1.12. Tren de impulsuri dreptunghiulare perturbat aditiv cu zgomot de tip tren de impulsuri.


Figura 7.1.13. Tren de impulsuri gaussiene perturbat aditiv de zgomot în salve de impulsuri.

Figura 7.1.14. Rezultatul aplicării metodei asupra semnalului din figura 7.1.10.


Figura 7.1.15. Rezultatul aplicării metodei adaptive de îmbunătăţire a raportului semnal pe zgomot

semnalului din figura 7.1.11.

Figura 7.1.16. Semnalul obţinut în urma aplicării metodei adaptive de îmbunătăţire a raportului semnal pe

zgomot semnalului din figura 7.1.12.


Figura 7.1.17. Semnalul obţinut în urma aplicării metodei adaptive de îmbunătăţire a raportului semnal pe

zgomot semnalului din figura 7.1.13.

Analizând ultimele patru figuri se constată că deşi semnalele de prelucrat

(prezentate în figurile 7.1.10, 7.1.11, 7.1.12, 7.1.13) aveau rapoarte semnal pe zgomot destul de mici (în special semnalele din figurile 7.1.12 şi 7.1.13) totuşi zgomotul a fost complet eliminat. De aceea metoda de îmbunătăţire a raportului semnal pe zgomot bazată pe TWD directă, filtrare cu filtru de tipul “soft-thresholding” şi TWDI este întâlnită în literatura sub denumirea “de-noising”.

Pe baza figurii 7.1.14 se poate afirma că semnalul sinusoidal a fost recuperat din zgomot aproape perfect.

Analizând figura 7.1.15 se constată că şi semnalul modulat în frecvenţă a fost bine curăţat de zgomot dar că metoda folosită a introdus o distorsiune de tipul modulaţie parazită de amplitudine. Totuşi trebuie remarcat că poziţia trecerilor prin zero ale semnalului util nu a fost afectată aproape de loc de prelucrarea efectuată.

Pe baza figurii 7.1.16 se poate afirma că metoda de de-noising utilizată nu afectează prea mult fronturile semnalului dreptunghiular. Această comportare este


remarcabilă pentru o metodă de creştere a raportului semnal pe zgomot care dă rezultate bune şi în cazul semnalelor netede (cum este de exemplu semnalul sinusoidal prezentat anterior).

Se poate remarca şi în acest caz distorsiunea de amplitudine de tipul modulaţie de amplitudine parazită care afectează palierele semnalului dreptunghiular. Această modulaţie parazită de amplitudine poate fi mult diminuată dacă se foloseşte o TWD directă invariantă la translaţii [Coif., Don.’95].

Analizând figura 7.1.17 se constată că metoda propusă funcţionează şi în cazul unor semnale perturbate intens de zgomot. Deşi (aşa cum se vede în figura 7.1.13) cel de-al doilea impuls gaussian este practic complet acoperit de zgomot totuşi acesta este corect recuperat. De asemenea trebuie remarcată distorsiunea nivelului de zero care se manifestă în partea din stânga a figurii 7.1.17.

Pentru o apreciere obiectivă a distorsiunilor de amplitudine introduse de metoda adaptivă de de-noising se prezintă în continuare în figurile 7.1.18, 7.1.19 şi 7.1.20 erorile de reconstrucţie (diferenţele de amplitudine dintre semnalele utile din structura semnalelor de la intrare şi semnalele obţinute la ieşire) corespunzătoare simulărilor cu rezultatele din figurile 7.1.14, 7.1.15 şi 7.1.16. Se constată valabilitatea concluziilor prezentate mai sus.

Pentru semnalul de intrare din figura 7.1.10, având semnalul reconstituit din figura 7.1.14, se constată că valoarea maximă a distorsiunii apare la trecerea prin zero a semnalului sinusoidal şi că ea reprezintă 15% din amplitudinea semnalului util de la intrare (figura 7.1.18).

Figura 7.1.18. Distorsiunea de amplitudine a semnalului sinusoidal în urma extragerii sale din zgomot alb.


Pentru eroarea de amplitudine prezentată în figura 7.1.19, deşi valoarea maximă a distorsiunii reprezintă 40% din amplitudinea semnalului util de la intrare totuşi şi în acest caz îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot este acceptabilă.

Figura 7.1.19. Distorsiunea de amplitudine a semnalului modulat în frecvenţă în urma extragerii sale din

zgomot uniform.

Figura 7.1.20. Distorsiunea de amplitudine a semnalului dreptunghiular în urma extragerii sale

din zgomot în impulsuri.


Pe baza graficului din figura 7.1.20 se constată prezenţa distorsiunii de tipul modulaţie parazită de amplitudine pe palierele semnalului dreptunghiular. De asemenea se remarcă buna localizare a fronturilor semnalului prelucrat în structura semnalului rezultat.

Au fost concepute câteva programe pentru a se putea aprecia măsura în care diferiţi parametrii ai semnalelor utile de la intrare au fost afectaţi de metoda de îmbunătăţire a raportului semnal pe zgomot propusă. Chiar dacă la semnalele reconstituite sunt prezente erori (inerente la orice reconstrucţie), în unele aplicaţii nu este necesară cunoaşterea cu precizie a nivelului semnalului. De aceea metoda este eficace pentru: A. Interpretarea corectă a nivelelor logice pentru semnalele întâlnite în transmisii de date, B. Determinarea trecerilor prin zero ale semnalului util de tip sinusoidal sau modulat în frecvenţă. A. S-a avut în vedere faptul că la o transmisie numerică va conta interpretarea corectă

a biţilor de informaţie utilă. Simulând un transfer de date numerice, avem de fapt o succesiune de nivele de tensiune corespunzătoare nivelelor logice. O alternanţă de 0 logic şi 1 logic este prezentată în figura 7.1.21. Perturbaţiile care pot apare pe un canal de comunicaţie sunt de obicei de tip aditiv, semnalul nedorit putând fi de tip zgomot alb (figura 7.1.6), semnal aleator cu distribuţie uniformă (figura 7.1.7), semnal aleator de tip impuls (figura 7.1.8) sau chiar semnal aleator de tip salve de impulsuri (figura 7.1.9) [Tsi., Nik. ’98]. Aceste perturbaţii, dacă nu sunt înlăturate sau cel puţin diminuate, pot da naştere la interpretări eronate ale nivelelor logice care poartă informaţia utilă. Metoda propusă este eficientă pentru diminuarea considerabilă a perturbaţiilor de orice tip. Exemple cu realizări ale semnalelor aleatoare perturbatoare suprapuse aditiv peste semnalul util precum şi semnalele rezultate în urma prelucrării sunt prezentate în figura 7.1.22, semnalul util rămânând cel din figura 7.1.21.

Figura 7.1.21. Semnalul util folosit în următoarea simulare.


Figura 7.1.22. a). Semnal util cu zgomot cu distributie normală cu un RSZi = 2 şi semnalul reconstituit;b). Semnal util cu zgomot alb (distribuţie gaussiană) cu un RSZi = 2 şi semnalul

reconstituit.


Figura 7.1.22. c). Semnal util cu zgomot în impuls şi semnalul reconstituit; d). Semnal util cu zgomot în salve de impulsuri şi semnalul reconstituit.


Pentru o transmisie de date interpretarea nivelelor de tensiune, la recepţie, se face eşantionând linia de date. În practică semnalul recepţionat se eşantionează în funcţie de poziţia bitului de start, fiind permisă o abatere de ± 20 % faţă de această poziţie.

În continuare se analizează efectul utilizării metodei de de-noising la transmisia de date. Se presupune că sistemul de de-noising este conectat la intrarea blocului de decizie din structura receptorului.

S-a realizat un program scris în limbaj C care determină punctele de eşantionare astfel: - se determină mijlocul primei semiperioade a semnalului util, - se determină perioada semnalului util, - pornind de la punctul corespunzător mijlocului semiperioadei semnalului util, cu o frecvenţă rezultată din valoarea perioadei semnalului util, se determina punctele de eşantionare, - în punctele astfel determinate se verifică valoarea semnalului reconstituit, - se compară aceste valori ale semnalului reconstituit cu valorile pe care le are semnalul util în punctele respective, - se stabileşte un prag de decizie, pentru 0 logic şi unul pentru 1 logic, - dacă valoarea semnalului reconstituit, într-un punct de eşantionare, este incorectă, se înregistrează într-un fişier de tip text atât valoarea eronată cât şi cumularea erorilor rezultate pentru 1.000.000 de verificări. S-au generat 25.000 de realizări independente suprapuse aditiv peste acelaşi semnal util prezentat în figura 7.1.21, pe fiecare realizare făcându-se 40 de determinări. Observând realizările prezentate în figura 7.1.22, a), b), c) şi d) se poate constata că metoda propusă înlătură perturbaţiile, rezultatul fiind un semnal determinist. Acesta este o reconstrucţie a semnalului util, la care însă fronturile au fost afectate. Pentru interpretarea nivelelor logice nu sunt însă probleme. Considerând ca scop interpretarea corectă a lui 0 logic şi 1 logic, se observă că erorile cele mai frecvente care pot apare datorită modulaţiei parazite în amplitudine sunt în cazul perturbaţiilor de tip zgomot alb (figura 7.1.22 b)). Din acest motiv verificările care s-au făcut au fost pentru acest tip de perturbaţie. Parametrul care a fost luat în considerare a fost RSZ. Astfel s-au obţinut rezultate experimentale care pun în evidenţă erorile pentru 1.000.000 de verificări, generând semnale de intrare cu RSZ = 2, RSZ=3 şi RSZ= 4. Erorile care au rezultat sunt înregistrate în fişiere, concluziile fiind următoarele: - la RSZ i = 2 avem 379 erori/1.000.000 verificări, adică o valoare a ratei erorilor sub 4 ⋅10-3 ; - la RSZ i =3 avem 43 erori/1.000.000 verificări, adică o valoare a ratei erorilor sub 5 ⋅10-4; - la RSZ i = 4 avem 3 erori/1.000.000 verificări, adică o valoare a ratei erorilor de 3 ⋅10-5.


La aplicarea metodei pentru un RSZ i = 5, după 1.000.000 verificări, nu s-a mai înregistrat nici o eroare. Comparaţia cu erorile determinate în [Lin., Sim. ’73], pentru diverse metode clasice de transmitere a datelor, este prezentată în tabelul 7.1.3:

Tabelul 7.1.3. Comparaţie între erorile obţinute prin aplicarea metodei propuse cu cele prezentate în literatura de specialitate.

RSZ Eroare maximă, prezentată în literatură Eroarea metodei propuse

RSZ =2 2,2 ⋅10-2 4 ⋅10-3 RSZ =3 7 ⋅10-3 5 ⋅10-4 RSZ =4 1,8 ⋅10-3 3 ⋅10-5

În cazul în care nu s-ar prelucra semnalul perturbat, pentru un RSZ =2, rezultă o medie a ratei erorilor având valoarea de 25 ⋅10-1. B. În cazul semnalelor modulate în frecvenţă se consideră drept semnal util un “chirp”, prezentat în figura 7.1.23. S-au luat în considerare cele 4 tipuri de zgomote enumerate în tabelul 7.1.2, iar figura 7.1.24 prezintă semnalul util afectat de perturbaţii, în fiecare caz apărând şi forma semnalului reconstituit rezultat prin aplicarea metodei propuse.

Figura 7.1.23. Semnal modulat în frecvenţă utilizat drept semnal util.

În continuare se prezintă modul în care poate fi estimată frecvenţa instantanee a semnalului util pe baza valorilor eşantioanelor semnalului perturbat aditiv de zgomot. Frecvenţa instantanee se estimează cu ajutorul metodei trecerilor prin zero [Boa., Rei. ’92]. După cum se observă din figura 7.1.24 trecerile prin zero ale semnalului util sunt puternic afectate de zgomotul perturbator. De aceea estimarea frecvenţei instantanee a


semnalului modulat în frecvenţă, pe baza metodei amintite, pentru semnalele prezentate în poziţiile de sus din figura 7.1.23, conduce la erori inacceptabil de mari.

Figura 7.1.24. Diferite perturbaţii cu semnale aleatoare ale semnalului util

prezentat în figura 7.1.22 precum şi semnalele rezultate în urma prelucrării: a). Semnal chirp cu zgomot gaussian având RSZi =2,7;

b). Semnal chirp cu zgomot uniform, având RSZi =2,37.


Figura 7.1.24 (continuare). Diferite perturbaţii cu semnale aleatoare ale semnalului util prezentat în figura 7.1.22 precum şi semnalele rezultate în urma prelucrării:

c). Semnal chirp cu suprapuneri de tip impuls. d). Chirp cu salve de impulsuri.

După prelucrarea semnalelor afectate de zgomot cu metoda de de-noising, s-au estimat erorile care apar la determinarea perioadei instantanee a fiecărui semnal în parte. Un program dedicat acestui scop determină:


- perioada instantanee (figura 7.1.25) a semnalului util, neafectat de perturbaţii, din figura 7.1.23; - calculează perioada instantanee a semnalului prelucrat cu metoda propusă, pentru fiecare realizare, numărul total de realizări fiind de 16; perioada instantanee pentru o realizare este prezentată în figura 7.1.26; - calculează variaţia în timp a erorii relative de estimare a perioadei instantanee pentru fiecare caz din cele 16 realizări; un exemplu pentru o realizare este prezentat în figura 7.1.27; - calculează variaţia în timp a mediei aritmetice a erorilor relative de estimare a perioadei instantanee (figura 7.1.28).

Figura 7.1.25. Variaţia temporală a perioadei instantanee a semnalului de test prezentat în figura 7.1.22.

Figura 7.1.26. Una dintre estimatele variaţiei în timp a perioadei corespunzătoare semnalului reconstituit

cu ajutorul metodei de “de-noising” propusă.


Figura 7.1.27. Variaţia în timp a erorii intermediare de estimare pentru semnalul reconstituit

cu ajutorul metodei de “de-noising” propusă.

Figura 7.1.28. Variaţia în timp a erorii medii de estimare a perioadei instantanee bazată pe metoda de de-

noising propusă. Media a fost efectuată pe 16 realizări ale semnalului reconstituit.


Această eroare medie s-a calculat ca şi medie aritmetică a erorilor intermediare de determinare a perioadei instantanee a 16 realizări ale semnalului reconstituit. Eroarea maximă rezultată este de 14 %. Această valoare este inferioară valorii erorii de estimare a perioadei instantanee obţinută în cazul aceluiaşi semnal util perturbat la fel, raportată în [Isa. ’93(1)]. Calităţile acestei metode de estimare a perioadei instantanee se recomandă în aplicaţii de genul celor de prelucrare a semnalului de tip Radar. 7.2. Posibilităţi de îmbunătăţire a metodei de “de-noising” adaptiv

Metoda prezentată determină adaptiv valoarea pragului filtrului de tip soft-thresholding utilizat. Ea nu face nici o precizare referitor la funcţia wavelet mamă care să fie folosită în cadrul TWD directă şi inversă utilizate. În exemplele considerate până aici au fost utilizate doar funcţile wavelet mamă introduse de I. Daubechies construite cu ajutorul funcţiilor Dau 2-Dau 10. Calitatea extragerii din zgomot a fiecărui semnal util depinde şi de funcţia wavelet mamă utilizată. Se poate face o armonizare între semnalul de prelucrat şi funcţia wavelet mamă folosită. În continuare se studiază dependenţa distorsiunilor de funcţia wavelet mamă folosită în cazul câtorva semnale mai des întâlnite în practică. Folosind aceaşi valoare pentru prag dar lucrând cu funcţii wavelet mamă diferite, se obţin numere diferite de coeficienţi ai TWD, utilizaţi la reconstrucţie, de la experiment la experiment. În cazul semnalului modulat în frecvenţă, pe care îl poate genera programul amintit la începutul acestui capitol, se obţine următorul tabel:

Tabelul 7.2.1. Dependenţa numărului de coeficienţi care se pot folosi la reconstrucţie de tipul funcţiei wavelet mamă.

N Numărul coeficienţilor folosiţi la reconstrucţie 2 28 3 25 4 27 5 27 6 29 7 32 8 37 9 35

10 64

7.2 – Posibilităţi de îmbunătăţire 255

S-au reprezentat grafic cazurile extreme (corespunzătoare lui N=3 şi N=10) în

figurile 7.2.1 şi 7.2.2. N reprezintă numărul de ordine al funcţiei wavelet mamă de tip Daubechies utilizată (Dau N).

Figura 7.2.1. Reconstrucţia cu număr minim de coeficienţi.

Figura 7.2.2. Reconstrucţia cu număr maxim de coeficienţi.

Semnalul reconstituit din 25 eºantioane


Se constată că distorsiunile sunt mult mai mici în cazul din figura 7.2.2. În cazul semnalului de tip tren de impulsuri dreptunghiulare (perturbat aditiv de zgomot uniform) se obţine tabelul 7.2.2.

Tabelul 7.2.2. Dependenţa de undişoara mamă folosită a numărului de coeficienţi utilizaţi pentru reconstrucţie.

N Număr de coeficienţi neanulaţi 2 15 3 16 4 13 5 11 6 18 7 19 8 32 9 32

10 65 În figurile 7.2.3 şi 7.2.4 se prezintă cazurile extreme.

Figura 7.2.3. Funcţionarea metodei de de-noising când se utilizează funcţia wavelet mamă Dau 5.


Figura 7.2.4. Funcţionarea metodei de de-noising când se utilizează funcţia wavelet mamă Dau 10.

Se constată că în cel de al doilea caz distorsiunile fronturilor sunt mult mai mici. Această concluzie este identică cu cea obţinută în cazul semnalului modulat în frecvenţă prezentat mai sus. Deci s-ar putea concepe un algoritm adaptiv care să minimizeze distorsiunile prin maximizarea numărului de coeficienţi folosiţi la reconstrucţie. Deoarece acest număr este cu atât mai mare cu cât ordinul funcţiei wavelet mamă folosită este mai mare rezultă avantajul utilizării funcţiilor wavelet mamă de ordin superior în aplicaţiile de de-noising. Acestea asigură şi viteza maximă de convergenţă a zgomotului din domeniul transformatei undişoară spre un zgomot alb aşa cum s-a demonstrat în [Bor., Isa. ’97]. După cum s-a arătat în capitolul în care a fost introdusă transformarea undişoară discretă, aceasta are 2 parametri: tipul funcţiei wavelet mamă şi numărul de iteraţii. Există şi TWD invariante la translaţii [Coi., Don. ’95] a căror utilizare conduce la diminuarea distorsiunilor de tip modulaţie de amplitudine parazită. Utilizarea unei astfel de transformări ar putea îmbunătăţi calitatea operaţiei de de-noising. În cazul rezultatelor prezentate până aici a fost folosită de fiecare dată TWD cu numărul maxim de iteraţii posibil. Această opţiune a fost impusă de necesitatea ca zgomotul care perturbă aditiv semnalul util să aproximeze cât mai bine un zgomot alb în domeniul transformatei.


7.2.1. O nouă transformare wavelet discretă Dacă raportul semnal pe zgomot al semnalului care trebuie prelucrat este prea mic atunci metoda de de-noising adaptivă, care face obiectul acestui capitol, nu poate elimina complet zgomotul. În figura 7.2.1.1. este prezentat un astfel de caz. În partea de sus a acestei figuri este reprezentată componenta utilă a semnalului achiziţionat. Forma de undă a acestuia este prezentată în cel de al doilea grafic din aceaşi figură (numărat de sus în jos). Raportul semnal pe zgomot al acestui semnal este de 1,18. Prin aplicarea metodei de de-noising adaptiv prezentată la sfârşitul capitolului trecut şi exemplificată în paragrafele anterioare din acest capitol se determină valoarea optimă a pragului s de 4,66. Raportul semnal pe zgomot obţinut este de 7,17. Acest semnal poate fi în continuare prelucrat pentru eliminarea completă a zgomotului. În acest scop a fost concepută o metodă de de-noising în patru paşi, bazată pe folosirea unei noi transformări wavelet discretă, numită transformarea wavelet discretă cu diversitate îmbogăţită, TWDDÎ. Aceşti paşi sunt: 1. Se aplică metoda de de-noising adaptivă folosind funcţia wavelet mamă de tip Dau 5 şi numărul maxim de iteraţii posibil (acest număr depinde de durata semnalului de prelucrat) şi se determină valoarea optimă a pragului, s. 2. Se calculează TWDDÎ a semnalului cu forma de undă reprezentată în cel de al

doilea grafic. 3. Se filtrează rezultatul folosind un filtru de tipul soft-thresholding, valoarea de prag

fiind cea stabilită la pasul 1. 4. Se calculează TWDDÎI a rezultatului pasului anterior.

La baza construcţiei TWDDÎ stă o metodă foarte modernă în telecomunicaţii, care presupune îmbogăţirea diversităţii semnalului de prelucrat. Această îmbogăţire poate fi realizată în domeniul spaţial, caz în care se folosesc mai multe antene pentru emisia, respectiv recepţia aceluiaşi semnal, sau în domeniul temporal, caz în care se recurge la supra-eşantionare. Având în vedere parametrii TWD, îmbogăţirea diversităţii acestei transformate, poate fi realizată prin calcularea sa pentru mai multe tipuri de funcţii wavelet mamă, respectiv pentru mai multe numere de iteraţii.

TWDDÎ presupune construcţia unei matrici ale cărei coloane reprezintă TWD calculate folosind diferite funcţii wavelet mamă. Pentru fiecare funcţie wavelet mamă se calculează mai multe TWD, fiecare corespunzând unui alt număr de iteraţii. De exemplu, pentru cazul prezentat în figura 7.2.1.1., pentru fiecare dintre funcţiile de tip wavelet mamă corespunzătoare filtrelor Dau 2,…, Dau 10, au fost calculate TWD cu câte 1,2,4 respectiv 8 iteraţii. Matricea TWDDÎ are în acest caz expresia:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nxTWDnxTWDnxTWDnxTWDnxTWDDÎ 8,10D4,2D2,2D1,2D=

Pe prima coloană a matricii din membrul drept al ultimei relaţii se găseşte TWD a semnalului considerat, calculată folosind funcţia wavelet mamă Dau 2 şi un număr de o iteraţie, pe a doua coloană se găseşte TWD a semnalului considerat,


calculată folosind funcţia wavelet mamă Dau 2 şi două iteraţii şi aşa mai departe. Matricea din membrul drept al ultimei relaţii are 36 de coloane. Pe ultima sa coloană se găseşte TWD a semnalului considerat, calculată folosind funcţia wavelet mamă Dau 10 şi un număr de 8 iteraţii.

Calculul TWDDÎI se face inversând TWD de pe fiecare coloană. În acest fel se obţine o nouă matrice cu 36 de coloane. Apoi se calculează, pe fiecare linie a noii matrice obţinute, media aritmetică a elementelor. În acest fel se obţine ca şi rezultat final al operaţiei de inversare un vector coloană.

Aplicând metoda de de-noising adaptiv cu diversitate îmbogăţită, descrisă mai sus, s-a obţinut semnalul reprezentat în ultimul grafic al figurii 7.2.1.1. Pentru filtrarea neliniară în domeniul TWDDÎ se filtrează cu filtrul de tip soft-thresholding, folosind valoarea optimă de prag, fiecare coloană a matricii [ ] nxTWDDÎ . Apoi se inversează această transformată.

Figura 7.2.1.1. Rezultatul aplicării metodei de de-noising adaptiv cu diversitate îmbogăţită.

Analizând figura se constată că zgomotul a fost practic complet eliminat şi că distorsiunile introduse nu sunt importante. Cea de a doua discontinuitate din semnalul util se regăseşte în semnalul reconstruit, aşa după cum se poate vedea în figură.


Raportul semnal pe zgomot obţinut la ieşire (în calculul acestuia s-a ţinut seama atât de zgomot cât şi de distorsiune) este de 24,02. În consecinţă aportul TWDDÎ la îmbunătăţirea RSZ este de 3,35 ori, pentru exemplul considerat. 7.2.2. Îmbunătăţirea RSZ prin filtrare neliniară adaptivă în domeniul T.W.D. în cazul semnalelor perturbate de zgomot multiplicativ Până aici s-a considerat că zgomotul perturbă aditiv semnalul util. Există însă cazuri, în special în telecomunicaţii, când zgomotul este multiplicativ. De exemplu semnalele de radar sunt perturbate de zgomotul de tip “speckle” care este multiplicativ. Metoda adaptivă de de-noising, care face obiectul acestui capitol, poate fi modificată pentru a fi utilizată şi în astfel de cazuri.

Figura 7.2.2.1. Primul exemplu de utilizare a metodei de de-noising adaptiv în cazul

zgomotului multiplicativ. RSZ la intrare este de 0,57. RSZ la ieşire este de 278,11.


Expresia semnalului achiziţionat este în acest caz:

[ ] [ ] [ ]nznuns ⋅= (1) unde u[n] reprezintă semnalul util iar z[n] reprezintă zgomotul. Se va considera că aceste două semnale sunt strict pozitive. Acesta este cazul, de exemplu la sistemele radar. Pentru a îmbunătăţi RSZ în acest caz se parcurg următorii paşi: 1. Se logaritmează semnalul ]n[s , obţinându-se semnalul ]n[l . Acesta va avea o

componentă utilă şi una perturbatoare, fiind de forma n[k]+[k]l=l[k] u . Componenta utilă este egală cu logaritmul lui ]n[u iar componenta perturbatoare cu logaritmul lui ]n[z .

2. Se aplică metoda de de-noising adaptivă, căreia îi este destinat acest capitol, obţinându-se o estimată a semnalului ]n[lu .

3. Se antilogaritmează rezultatul obţinut la pasul anterior.

Figura 7.2.2.2. Cel de al doilea exemplu de utilizare a metodei de de-noising adaptiv

în cazul zgomotului multiplicativ. RSZ la intrare este de 0,02. RSZ la ieşire este de 173,4.


În figurile 7.2.2.1, 7.2.2.2 şi 7.2.2.3 sunt prezentate rezultate ale aplicării acestei metode.

Figura 7.2.2.3. Cel de al treilea exemplu de utilizare a metodei de de-noising adaptiv în cazul zgomotului

multiplicativ. RSZ la intrare este de 3,45. RSZ la ieşire este de 207,56.

În cele trei figuri sunt reprezentate formele de undă ale semnalelor util (în partea de sus), achiziţionat (la mijloc) şi reconstruit (jos). Parametrii TWD folosite au fost: funcţia wavelet mamă Dau 9 şi un număr de patru iteraţii.

S-a considerat cunoscută puterea semnalului util uP],n[u , pe baza căreia s-a

calculat constanta ( )u10f Plog21P ⋅= , care s-a utilizat la calculul RSZ de ieşire (calcul

efectuat cu ajutorul relaţiei (57) din capitolul 6) în cadrul fiecărei iteraţii a metodei de de-noising adaptivă. Cantitatea

uxP din relaţia (57) din capitolul 6 a fost înlocuită cu

constanta fP . Experimentul a fost repetat de trei ori pentru a se dovedi că metoda de creştere a RSZ funcţionează bine într-o gamă largă de RSZ de intrare, situată în zona de valori foarte mici ale acestei mărimi.

CAPITOLUL 8. Utilizarea filtrelor în eşantionarea uniformă În acest capitol se prezintă câteva aplicaţii ale filtrării, prezentându-se atât binecunoscutele filtre antialiere cât şi o legătură între teoria eşantionării şi teoria funcţiilor wavelet. 8.1. Filtre “antialiasing” O problemă dificilă legată de eşantionarea semnalelor analogice este diminuarea efectului de “aliasing”, [Naf., Câm., Isa., ‘98]. Teorema eşantionării, WKS, presupune limitarea în banda de frecvenţe a semnalului analogic, care trebuie eşantionat astfel încât frecvenţa de eşantionare folosită să fie mai mare decât dublul frecvenţei maxime a spectrului semnalului de eşantionat. Din păcate, există situaţii în care valoarea maximă a frecvenţei din spectrul semnalului de eşantionat nu este cunoscută şi în consecinţă valoarea frecvenţei de eşantionare nu poate fi fixată apriori, pentru a fi respectate ipotezele teoremei WKS. În aceste cazuri se manifestă fenomenul de spuprapunere a termenilor din formula spectrului semnalului eşantionat. Acest fenomen se numeşte aliasing. El poate fi evitat prin limitarea într-o anumită bandă de frecvenţe a spectrului semnalului de eşantionat. Această limitare în bandă se realizează cu ajutorul filtrelor antialiasing.

Cazul filtrelor antialiasing de tip trece jos ideal este analizat în [Naf., Câm., Isa., ‘98]. Din păcate aceste filtre nu sunt relaizabile. În aceaşi lucrare este prezentată o margine superioară a erorii de aliasing. Aceasta este cea mai strânsă margine superioară a acestei erori. În [Isa., ’93] sunt prezentate şi alte margini superioare ale erorii de aliasing şi se face o ordonare a acestora, demonstrându-se afirmaţia anterioară.

O alternativă la filtrarea antialiasing este elaborarea unei teoreme de eşantionare care să nu pretindă limitarea într-o anumită bandă de frecvenţe a semnalului de eşantionat. Atfel de teoreme pot fi formulate cu ajutorul teoriei funcţiilor wavelet.

Pentru semnale de intrare cu frecvenţa maximă din spectru de valoare π, sistemul de implementare a teoremei WKS este prezentat în figura următoare, [Jer., 77].

264 Filtre şi eşantionare uniformă – 8

Figura 8.1. Sistemul de implementare a teoremei WKS.

Demonstraţia acestei teoreme se bazează pe faptul că mulţimea sinc(π(t-k))k∈Z este o bază ortonormală a spaţiului Hilbert al semnalelor de energie finită şi bandă limitată la π, Bπ

2. Această mulţime este generată prin translaţii cu întregi ale răspunsului la impuls al filtrului trece jos ideal )]t([csin)t(h π= .

Filtrul de reconstrucţie, cu răspunsul la impuls h(t) nu este cauzal. Dacă x(t) este de bandă nelimitată atunci răspunsul sistemului din figura 8.1. este doar o aproximaţie a semnalului de intrare datorită fenomenului de aliasing [Isa., 92].

Pentru eşantionarea semnalelor de bandă nelimitată, în practică se folosesc filtre antialiasing, aşa după cum se vede în figura 8.2. Filtrul de la intrare este un astfel de sistem iar cel de la ieşire este filtrul de reconstrucţie. Semnalul z(t) trebuie să fie de bandă limitată cu pulsaţia maximă din spectru de valoare π. Cea mai bună aproximare de medie pătratică a semnalului de intrare cu semnale de bandă limitată este proiecţia sa ortogonală pe spaţiul Bπ

2.

x(t) Lδ (t)1

(R)

h (t) h(t)z(t) u(t)

y(t)a 2

Figura 8.2. Sistem de prelucrare a semnalelor de bandă nelimitată.

Filtrul antialiasing care proiectează ortogonal semnalul de intrare pe acest spaţiu are răspunsul la impuls )t(h)t(h)t(h v

a −== , [Naf., Isa., Isa., 92]. Nici

H(ω)1

0π

ω

x(t) B

δ (t)

x(t)

2π

1

8.1. – Filtre “antialiasing” 265

sistemul cu răspunsul la impuls h(t), nici sistemul cu răspunsul la impuls hv(t) nu sunt cauzale. Sistemul de identitate propus în acest paragraf este prezentat în figura 8.3.

Figura 8.3. Sistem de reconstrucţie perfectă din eşantioane a unor semnale de bandă nelimitată.

Un rezultat important legat de eşantionarea semnalelor de bandă nelimitată este generalizarea teoremei WKS prezentată în următoarea propoziţie.

P1. Dacă g(t-k)k∈Z reprezintă o bază Riesz a unui subspaţiu Hilbert închis al spaţiului semnalelor de energie finită, V0 , atunci orice semnal din V0 poate fi reconstruit perfect folosind sistemul din figura 8. 3.

Demonstraţie Pentru orice semnal x(t) din V0 semnalul z(t) din figura 8.3 are expresia:

⟩−ττ⟨=ττ−τ=∗= ∫∞

∞−

)t(g),(xd)t(g)(x)t(g)t(x)t(z vv

Semnalul u(t) din figura 8.3 are expresia:

)kt()k(g),(x)kt()k(z)t()t(z)t(ukk

1 −δ⟩−ττ⟨=−δ=δ= ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

Semnalul de ieşire din figura 8.3, are expresia:

)kt(g)k(g),(x)t(g)t(u)t(yk

−⟩−ττ⟨=∗= ∑∞

−∞=

Membrul drept al ultimei relaţii reprezintă descompunerea semnalului x(t) în baza Riesz a lui V0, g(t-k)k∈Z . De aceea semnalul de ieşire este egal cu cel de intrare :

)t(x)t(y = (1) Propoziţia este demonstrată.

x(t)

δ (t)1

g (t) g(t)z(t) u(t)y(t)


Elementele spaţiului V0 pot fi semnale de bandă nelimitată. Aceste semnale pot fi perfect reconstruite din eşantioane cu ajutorul sistemului din figura 8.3. Astfel fenomenul de aliasing este evitat. Luând în considerare asemănarea dintre figurile 2 şi 3 filtrul cu răspunsul la impuls gv(t), va fi numit în continuare filtru antialiasing. Dacă semnalul x(t) din figura 8.3 nu este element al spaţiului V0 , dar este semnal de energie finită, atunci semnalul de ieşire reprezintă doar o aproximare. Deoarece y(t) reprezintă proiecţia ortogonală a lui x(t) pe V0 , acest semnal reprezintă cea mai bună aproximare de medie pătratică a lui x(t). Eroarea medie pătratică este egală cu diferenţa energiilor semnalelor x(t) şi y(t). Dacă g(t) este răspunsul la impuls al unui sistem cauzal atunci gv(t)=g(-t), este răspunsul la impuls al unui sistem anticauzal. Acesta este motivul pentru care este foarte important ca g(t) să aibă suport compact. În acest caz sistemul din figura 8.4, foarte asemănător cu sistemul din figura 8.3, poate fi utilizat pentru prelucrarea semnalelor de bandă nelimitată, elemente ale lui V0.

Figura 8.4. Un sistem cauzal de identitate.

Comparând semnalele din figurile 8.3 şi 8.4 se poate scrie:

)tt(zd)tt(g)(x)t(z 00v

1 −=ττ−−τ= ∫∞

∞−

)kt()tk(z)t()t(z)t(u 0k

111 −δ−=δ= ∑∞

−∞=

Dacă t0 este un întreg:

)tt(u)t(u 01 −=

x(t)

δ(t)1

g(t)z (t) u (t)

g (t-t ) 1 1 0

x(t- t )0

Filtru antialiasing

Filtru dereconstrucţie


Semnalul de ieşire din figura 8.4 are expresia:

)tt(x)tt()t(x)tt()t(y)t(g)tt()t(u)t(g)t(u 00001 −=−δ∗=−δ∗=∗−δ∗=∗

Deci fiecare semnal x(t) din V0 poate fi perfect reconstruit, folosind sistemul din figura 8.4, abstracţie făcându-se de o întârziere t0. Dacă t0 are o valoare superioară duratei răspunsului la impuls g(t), atunci filtrele care compun sistemul din figura 8.4 sunt cauzale. Diferite particularizări ale funcţiei g, conduc la noi teoreme de eşantionare pentru diferite spaţii Hilbert V0. Se obţin şi filtrele antialiasing corespunzătoare. În continuare se prezintă două exemple. O lucrare excelentă pe aceaşi temă este [Ben., 92]. Paragraful 5 al acestei lucrări "Regular Sampling and Frames" tratează reconstrucţia semnalelor eşantionate uniform. Dar analiza este efectuată doar pentru semnale de bandă limitată iar condiţia de cauzalitate a sistemelor de reconstrucţie nu este impusă.

A. Exemplul 1 (legat de teoria funcţiilor wavelet) Fie 1V0 spaţiul funcţiilor constante pe porţiuni :

( ) ( ) ( ) [ ] Zn,1n,nt.,cttx;RLtxV 201 ∈+∈=∈= (2)

O bază ortonormală a acestui spaţiu Hilbert este mulţimea 1g(t-k)k∈Z cu:

)1t()t()t(g1 −σ−σ= (3) Deoarece lungimea suportului funcţiei 1g(t) este egală cu 1, valoarea lui t0 din acest exemplu va fi de 1. Se poate observa că:

)t1(g)t(g 11 −=

Deci în acest exemplu filtrele antialiasing şi de reconstrucţie sunt identice. Structura filtrului antialiasing este prezentată în figura 8.5. Observaţii

1. Funcţia 1g(t) reprezintă funcţia de scalare care generează baza Haar din teoria funcţiilor wavelet, [Dau., 88].

Orice funcţie cu suport compact, folosită în teoria funcţiilor wavelet, de scalare sau wavelet mamă Ψ poate reprezenta răspunsul la impuls al filtrului de reconstrucţie din figura 8.4.


Figura 8.5. Structura filtrului antialiasing din exemplul A.

De asemenea orice funcţie de pre-scalare sau pre-wavelet, [Lem, Mal., 91], cu suport compact, poate fi răspunsul la impuls al filtrului de reconstrucţie din figura 8.4. Dificultatea este construcţia filtrelor antialiasing şi de reconstrucţie deoarece expresile analitice ale funcţiilor de scalare şi wavelet mamă sunt în general necunoscute în teoria funcţiilor wavelet. Un rezultat similar este prezentat în [Isa., 93 (1)], pentru cazul eşantionării multirată şi multicanal. 2. Acest exemplu este foarte important deoarece orice semnal în timp continuu, generat numeric, este membru al spaţiului 1V0 . 3. Semnalele din 1V0 sunt de bandă nelimitată. B. Exemplul 2 (legat de teoria filtrelor trece jos de ordinul întâi) Un filtru trece jos de ordinul întâi are răspunsul la impuls:

)t(e)/A()t( /t02 στ=ϕ τ−

În continuare se demonstrează că mulţimea 2ϕ(t-k)k∈Z este o bază Riesz a unui spaţiu Hilbert. Trebuie determinate două constante A şi B astfel încât:

B|)k2(ˆ|A 22

k≤π+ωϕ≤∑

∞

−∞=

(4)

Seria din ultima relaţie reprezintă spectrul semnalului obţinut prin eşantionarea

ideală cu pas unitar a autocorelaţiei semnalului 2ϕ(t). Expresia acestei funcţii este:

( ) τ−τ=ϕϕ

/|t|20 e2/A)t(R

Eşantionând această funcţie cu pas unitar se obţine semnalul în timp discret cu

transformata Fourier în timp discret :

integrator

Linie deîntârziere

-

δ(t-1)

t

-∞


)ecose21/()e1)(2/A()(R /2/1/220

τ−τ−τ−ϕϕ +Ω−−τ=Ω

Acesta este motivul pentru care folosind identitatea lui Poisson se obţine:

∑∞

−∞=

τ−τ−τ− +ω−−τ=π+ωϕk

/2/1/20

222 )ecose21/()e1)(2/A(|)k2(ˆ|

Valorile constantelor A şi B sunt:

)0(RB);(RA ϕϕϕϕ =π=

Fie 2V0 spaţiul Hilbert generat de mulţimea 2ϕ(t-k)k∈Z . Pentru acest spaţiu

mulţimea generatoare este o bază Riesz. Din nefericire suportul funcţiei 2ϕ(t) nu este compact. Dar orice bază Riesz poate fi transformată într-o bază ortonormală. Folosind notaţia :

∑∞

−∞=

π+ωϕ=ωk

22

22 |)k2(||)(m|

poate fi construită funcţia 2g(t), cu transformata Fourier :

)(m)/(ˆ)(g 222 ωωϕ=ω Această funcţie generează, prin translatare cu întregi baza ortonormală a spaţiului Hilbert 2V0, 2g(t-k)k∈Z , [Mal., Seg., 94]. Folosind ultima relaţie se obţine :

)ee1)](j1/([)(g j/12

ω−τ−−ωτ+α=ω

cu :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−τ

=ατ

−2

e1

2

Deci:


))]1t()t((e[)t(g /t2 −σ−σα= τ−

Sistemul cu acest răspuns la impuls are structura prezentată în figura 8.6.

Figura 8.6. Structura sistemului de reconstrucţie pentru exemplul B.

Analizând suportul funcţiei 2g(t) rezultă că pentru acest exemplu poate fi folosită valoarea lui t0 de 1. Expresia răspunsului la impuls al filtrului antialiasing este :

)t(g)t(g)e1())]t()t1((e[)t1(g 21/1/)t1(

2 −+α=σ−−σα=− τ−τ−−

Figura 8.7. Structura filtrului antialiasing pentru exemplul B.

δ(t-1)

Linie deîntârziere

-

Filtru trece jos

ατ e

tτ σ(t)

e1τ


OBSERVAŢII. 1. Semnalele din spaţiul 2V0 sunt de bandă nelimitată. 2. Rezultatul din acest exemplu poate fi comparat cu rezultatul obţinut în [Ben., 91]. Acest din urmă rezultat este mai general (spaţiul semnalelor de intrare din exemplul de faţă este inclus în spaţiul semnalelor de intrare din referinţa citată) dar rezultatul prezentat aici este mai util deoarece este prezentată şi implementarea sistemului de prelucrare. 3. Metoda prezentată în acest exemplu poate fi aplicată şi pentru cazul filtrelor trece jos de ordin superior. 4. În acest exemplu s-a prezentat o nouă funcţie de pre-scalare. 8.2. O legătură între teoria eşantionării şi teoria funcţiilor wavelet În acest paragraf se detaliază observaţia 1 din cadrul exemplului A din paragraful anterior. După cum s-a arătat în cadrul acestei observaţii orice funcţie de scalare sau wavelet mamă folosită în cadrul teoriei funcţiilor wavelet poate fi utilizată pentru construcţia filtrelor antialiasing respectiv de reconstrucţie folosite în propoziţia enunţată. În continuare se vor folosi funcţiile de scalare generate de filtrele Dau 2, … , Dau 10, prezentate în capitolul anterior.

Aceste funcţii de scalare generează prin translatări cu întregi spaţii de tip k0V , elemente ale unor analize multirezoluţie ale spaţiului semnalelor de energie finită. Aceste spaţii au proprietăţi de regularitate foarte importante. Printre elementele spaţiului k0V generat de filtrul Dau k, k=2, … , 10, se găsesc toate polinoamele de grad k, [Isa.’ Naf.’ 98]. În consecinţă pentru reconstrucţia perfectă a semnalelor de tip polinomial, de grad k, din eşantioanele lor, prelevate uniform, poate fi folosită schema din figura 8.4. Având în vedere că pentru semnalul:

( ) ∑=

⋅=L

0l

ll tatx

L

dacă se foloseşte pentru funcţia ( )tg expresia funcţiei de scalare ( )t

Lϕ , generată de

filtrul numeric Dau L , poate fi demonstrată relaţia:

( ) ( ) ( )kxkt,txLL =−ϕ

în schema din figura 8.4 nu mai este necesară folosirea filtrului antialiasing. Reconstrucţia perfectă, din eşantioane prelevate uniform, a semnalului ( )tx L , poate fi realizată cu ajutorul sistemului din figura 8.2.1.


Figura 8.2.1. Sistem de eşantionare ideală şi reconstrucţie perfectă a unui polinom de gradul L.

Această observaţie este foarte importantă deoarece orice semnal, ( )tx , întâlnit în practică, poate fi descris printr-o funcţie. Această funcţie poate fi aproximată oricât de bine, într-un anumit interval, prin partea polinomială a dezvoltării sale în serie Taylor. Această parte polinomială poate fi reconstruită exact, folosind sistemul din figura 8.2.1. De aceea funcţia considerată poate fi reconstruită, cu o eroare oricât de mică, în intervalul considerat, din eşantioanele sale prelevate uniform. Mai mult, suportul oricărei funcţii poate fi segmentat în diferite intervale, pe fiecare dintre acestea fiind valabilă o aproximare de precizie impusă a funcţiei considerate, realizată de partea polinomială de un anumit grad a dezvoltării sale în serie Taylor, pe acel interval. Un astfel de algoritm de segmentare este prezentat în [Asz., Isa., Isa., 99]. Folosind un astfel de algoritm, semnalul oarecare ( )tx poate fi aproximat cu relaţia:

( )

( )( )

( )

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈

∈∈

≅

.

.

.I t,tP

.

.

. I t,tPI t,tP

tx

lP

2P

1P

l

2

1

(5)

δ (t)1

g(t)u (t)1 ( )tx L

Filtru dereconstrucţie

( )txL

8.2. – Teoria eşantionării şi teoria funcţiilor wavelet 273

De exemplu semnalul din figura 8.2.2. poate fi aproximat cu polinoamele

descrise în tabelul 1.8.2.

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0-6 0

-4 0

-2 0

0

2 0

4 0

6 0

8 0

Figura 8.2.2. Un exemplu de semnal de eşantionat.

Tabelul 8.2.1. Un exemplu de segmentare polinomială a semnalului din figura 8.2.2. Numărul de

ordine al segmentului

Gradul polinomului corespunzător

Durata segmentului [număr de eşantioane]

1 0 128 2 5 128 3 6 128 4 7 256 5 9 64

Pe fiecare dintre intervalele lI semnalul ( )tx poate fi prelucrat cu un sistem de tipul celui din figura 8.2.1. În consecinţă aproximarea ( )tP

lP poate fi perfect

reconstruită din eşantioanele sale. Deci pe intervalul lI , semnalul ( )tx poate fi reconstruit din eşantioanele sale, prelevate uniform, cu precizia dată de aproximarea (5).

Singura problemă rămasă este inexistenţa expresilor analitice ale funcţiilor de scalare, necesare pentru construcţia sistemelor de identitate de tipul celui din figura 8.2.1. Răspunsul la impuls, notat cu g(t) în această figură, trebuie să fie identic, pe intervalul lI , cu funcţia de scară corespunzătoare filtrului numeric Dau lP . Dar expresia analitică a acestei funcţii de scară nu este cunoscută. Se ştie că funcţia de scară care ar corespunde filtrului numeric Dau 1 este funcţia de scară corespunzătoare funcţiei wavelet mamă de tip Haar, evocată în exemplul A, din paragraful anterior.


Expresia analitică a acestei funcţii de scară este prezentată în relaţia (3), din acest capitol.

De aceea în continuare se arată cum poate fi redusă schema din figura 8.2.1. la schema din figura 8.4. cu:

( ) ( )tgtg 1=

Prin derivarea polinomului ( )tPlP , de grad lP , se obţine polinomul )t(P 1Pl−

,

de grad 1Pl − . Derivând de lP ori polinomul ( )tPlP se obţine o funcţie constantă.

Aceasta poate fi perfect reconstruită din eşantioanele prelevate uniform, conform exemplului A din paragraful anterior.

În consecinţă, reconstrucţia cu precizie controlată a semnalului ( )tx din relaţia (5), pe intervalul lI , poate fi realizată cu ajutorul sistemului din figura următoare.

Figura 8.2.3. Sistem de reconstrucţie cu precizie controlată a unui semnal oarecare

din eşantioanele sale prelevate uniform.

Evident sistemul din figura anterioară este unul cu parametrii variabili în timp, fiind necesar ca acest sistem să fie controlat de algoritmul de segmentare amintit mai sus. Acest algoritm trebuie să specifice lungimea intervalului lI , pe care parametrii blocurilor de intrare şi ieşire ale sistemului din figura 8.2.3. trebuie păstraţi constanţi. De asemenea algoritmul de segmentare trebuie să specifice valoarea lP .

x(t)

δ (t)1

1g(t)z (t) u (t)Derivare

de Pl ori1 1 x(t)Integrare

de Pl ori

BIBLIOGRAFIE

[Ale. ’88] T. Alexander, Adaptive Signal Processing. Theory and Applications, Springer Verlag, New York, 1988. [Ana., Ven. ’89] Anastasios, Venetsanopoulos, Current Developments in Signal Processing with Applications to Sonar and Radar. Part II, University of Toronto, Toronto 1989. [Ant., Gre., Nas. ’95] A. Antoniadis, G. Gregoire, G. Nason, Density and Hazard Rate Estimation for Right Censored Data Using Wavelet Methods, Preprint laboratoire LMC-IMAG Grenoble, 1995 [Ast., Kos., Neu. ’92] J. Astola, L. Koskonen, Y. Neuvo, Statistical Properties of Discrete Morphological Filters. In Mathematical Morphology in Image Processing, ed. E. R. Dougherty, Chapter 3, pp. 93-120. [Asz. ’93] T. Asztalos, Using Digital Transversal Filters for Analog Signal Processing. Proceedings of the International Symposium on Signals, Circuits and Systems, SCS’93, Iaşi, Romania, 1993. [Asz., Isa., Isa. ’99] T. Asztalos, D. Isar, A. Isar, Adaptive Sampling Rate obtained using Wavelets, International Workshop on Sampling Theory and Applications, SampTA 99, August 11 -14, 1999, Trondheim, Norway. [Bas., Chi., Cho. ’95] S. Basu, C. H. Chiang, H. M. Choi, Wavelets and Perfect Reconstruction Subband Coding with Causal Stable IIR Filters, IEEE Transaction On Circuits and Systems II, vol. 42, No.1, January 1995. [Bel. ’90] M. Belanger, Traitement numérique du signal, Masson 1990. [Ben. ’92] J.J.Benedeto, Irregular Sampling and Frames in Wavelets-A Tutorial in Theory and Applications, C.K.Chui (ed) pp.445-507,Academic Press, Inc.1992. [Blu., Uns. ’98] T. Blu, M. Unser, Approximation Error for Quasi-Interpolators and (Multi-) Wavelet Expansions, Preprint France Telecom, 1998. [Boa., Rei. ’92] B. Boashash, A. Reilly, Algorithms for Time-Frequency Signal Analysis - Time Frequency Signal Analysis, B. Boashash (editor), pp.141-163, John Wiley 1992. [Bol., Hla., Fei. ’96] H. Bolcskei, F. Hlawatsch, H.G. Feitinger, Frame-Theoretic Analysis and Design of Oversampled Filter Banks, Proceedings of ISCAS-96, Atlanta 1996. [Bor. ’96] B. La Borde, New Fast Discrete Wavelet, Proceedings of TFTS’96, pp. 41-44, Paris 1996. [Bor., Isa. ’97] M. Borda, D. Isar, Whitening with Wavelets. Proceedings of “ECCTD. 97” Conference, Budapest, August 1997.

276 Bibliografie

[Bov., Mar., Qua. ’94] A.C.Bovik, P.Maragos,T.F.Quatieri, AM&FM energy detection and separation in noise using multiband energy operators, IEEE Transactions on signal processing, vol.41,no.12,december 1993. [Buc., Don. ’95] J. Buckheit, D. Donoho, Improved Linear Discrimination Using Time-Frequency Dictionaries. Technical Report, Stanford University, July 1995. [Buc., Don. ’96] J. B. Buckheit, D. Donoho, Time-Frequency Tillings which Best Expose the Non-Gaussian Behaviour of a Stochastic Process. Proceedings of the IEEE Conference “TFTS’96”, pp.1-4, Paris, July 1996. [Che., Lin. ’94] B. S. Chen, C. W. Lin, Multiscale Wiener Filter for the Restoration of Fractal Signals: Wavelets Filter Bank Approach. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 42, No. 11, pp.2972-2982, November 1994. [Chi., Kol., Cul. ’96] H. A. Chipman, E.D. Kolaczyk, R.E. Mc Culloch, Signal Denoising Using Adaptive Bayesian Wavelet Shrinkage, Proceedings of TFTS’96, pp. 225-228, Paris 1996. [Coh., d’Al. ’95] A. Cohen, J. P. d’Ales, Nonlinear Approximation of Stochastic Processes. În Wavelets and Statistics. A. Antoniadis si G. Oppenheim (editori), Springer Verlag, pp.129-132, 1995. [Coh., Kov. ’96] A. Cohen, J. Kovacevic, Wavelets: The Mathematical Background, Proceedings of the IEEE, vol.84, no. 4, April 1996, pp.514-521. [Coif., Don. ’95] R. R. Coifman, D. L. Donoho, Translation Invariant De-Noising. În Wavelets and Statistics. A. Antoniadis si G. Oppenheim (editori), pp.125-150, Springer Verlag 1995. [Coif., Sai. ’96] R. R. Coifman, N. Saito, The Local Karhunen-Loeve Bases. Proceedings of the IEEE Conference “TFTS’ 96", pp.129-132, Paris, July 1996. [Cou. ’84] F. de Coulon, Théorie et traitement des signaux. Presses polytechniques romandes. Lausanne 1984. [Dau. ’88] I. Daubechies, Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets. Comm. Pure Appl. Math., No. 41, pp.909-996, 1988. [DeS., Isa. ’93] A. De Sabata, A. Isar, Semnale Circuite şi Sisteme. Indrumator de laborator, Litografia UPT, 1993. [Don. ’92] D. L. Donoho, De-Noising via Soft Thresholding. Technical Report 409, Stanford University, November 1992. [Don. ’93] D. L. Donoho, Wavelet Shrinkage and W.V.D.-A Ten Minute Tour. Technical Report 416, Stanford University, January 1993. [Eze., Jen. ’92] J.E. Ezell, W. K. Jenkins ş.a., Adaptive Analog Signal Processing with Acoustics Charge Transport Filters. Proceedings of the IEEE International Symposium on Circuits and Systems, San Diego, CA., May, 1992. [Gao. ’97] H. Y. Gao, Wavelets Shrinkage Estimate for Heteroscedatic Regression Models. Preprint MathSoft, 1997. [Gao. ’97(1)] H.-Y. Gao, Threshold Selection in WaveShrink, Preprint MathSoft, 1997. [Gao. ’97(2)] H.-Y. Gao, Wavelet Shrinkage Denoising Using the Non-negative Garrote, Preprint MathSoft, 1997.

Bibliografie 277

[Hil., Ogd. ’97] M. L. Hilton, R. J. Ogden, Data Analytic Wavelet Threshold Selection in 2-D Signal Denoising, IEEE Trans. on S.P. vol. 45, no.2, February 1997, pp. 496-500. [Hue. ’84] L.P. Huelsman, P.E. Allen, Introduction to the theory and design of active filters, Prentice Hall, 1984. [Isa. ’92] A.Isar, A New Expression of the Aliasing Error Bound", International Conference, "ICEA 92", Tizi-Ouzu, 04-06 May 1992. [Isa., Isa. ’92] D.Isar, A. Isar, Adaptive Median Filter, International Conference " Signals, Circuits and Systems " Iaşi, România, 1992. [Isa. ’93] A. Isar, Nouvelles modalités de décomposition multirésolution. Quatorzieme Colloque GRETSI, Juan-Les Pins, pp.363-366, 13-16 Septembre 1993. [Isa. ’93(1)] A. Isar, Tehnici de măsurare adaptivă cu aplicaţii în aparatura de măsurare numerică. Teza de doctorat, Universitatea “Politehnica” Timişoara 1993. [Isa. ’94(1)] D. Isar, LMS Adaptive Filter for Frequency Modulated Signal Processing, Proceedings of the Symposium on electronics and telecommunications , vol.III, Timişoara, sept.29-30, 1994. [Isa. ’94(2)] D.Isar, The study of a LMS adaptive filter, Proceedings of the symposium on electronics and telecommunications, vol.III, Timişoara, sept. 29-30, 1994. [Isa., Asz. ’94] A.Isar, T.Asztalos, Using the fast wavelet transform for data compression, Proceedings of the symposium on electronics and telecom., vol.III, Timişoara, sept. 29-30, 1994. [Isa. ’95] D.Isar, Metode convenţionale de creştere a raportului semnal pe zgomot, Referat nr. 1 în cadrul pregătirii pentru doctorat, conducător ştiinţific Prof. dr. ing. Ioan Naforniţă. [Isa. ’95(1)] D.Isar, Metode moderne de creştere a raportului semnal pe zgomot, Referat nr. 2 în cadrul pregătirii pentru doctorat, conducător ştiinţific Prof. dr. ing. Ioan Naforniţă. [Isa., Asz., Isa. ’95] D.Isar, T.Asztalos, A.Isar, De-noising with wavelets, International Symposium SCS’95, Iaşi, România, 1995. [Isa. ’97] D. Isar. De-noising adaptatif. Seizieme Colloque GRETSI, pp.1249-1252, Grenoble, 15-19 Septembre 1997. [Isa., Naf. ’98]. A.Isar, I. Naforniţă, Reprezentări timp-frecvenţă. Editura “Politehnica”, Timişoara, 1998. [Kla., Hol., Flo. ’97] A. Kla., M. Holschneider, K. Flornes, Two-channel Perfect Reconstruction Filter Banks over Comutative Rings, propusă pentru publicare la IEEE Transactions on Signal Processing. [Kol. ’96] E.D. Kolaczyk, A Method for Wavelet Shrinkage Estimation of Certain Signals Using Corrected Thresholds, articol propus la revista Statistica Sinica. [Kun. ’84] M. Kunt, Traitement numérique des signaux. Traité d’Electricité de l’EPFL, vol. XX, 3-eme édition, Presses Polytechniques Romandes, 1984. [Lan., Guo., Ode., Bur, Wel. ’95] M. Lang, H. Guo, J. E. Odegard, C. S. Burrus, R. O. Wells, Nonlinear Processing of a Shift Invariant DWT for Noise Reduction.

278 Bibliografie

Proceedings of SPIE Symposium on Aerospace Sensing and Dual Photonics, Orlando, SUA. April 1995. [Lem, Mal. ’91] P.G.Lemarié-Rieusset, G.Malgouyres, Support des fonctions de base dans une analyse multi-résolution, Comptes Rendus de l’Academie de Sciences, Paris, tome 313, serie I, pp377-380, 1991 [Lin., Opp. ’88] J. S. Lim, A. V. Oppenheim (editori), Advanced Topics in Signal Processing. Prentice Hall, New Jersey 1988. [Lim., Sim. ’73] W.C. Lindsey, M. K. Simon, Telecommunication Systems Engineering, Prentice-Hall, New Jersey, 1973. [Mal. ’89(1)] S. Mallat, A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: the Wavelet Representation. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Inteligence, vol. II, No.7, pp.674-693, July 1989. [Mal. ’94] G. Malgouyres, Introduction a la théorie des ondelettes. Curs de vară, Timişoara 1994. [Mat., Dum., Sta. ’01] A. Mateescu, N. Dumitriu, L. Stanciu, Semnale şi Sisteme, Teora, Bucureşti, 2001. [Mey. ’92] Y. Meyer, Ondelettes et algorithmes concurents, Hermann, 1992. [Mou. ’94] P.Moulin, Wavelet Thresholding Techniques for Power Spectrum Estimation. IEEE Trans. on S.P., vol. 42, No.11, pp. 3126-3136, November 1994. [Naf., Isa. ’91] M.Naforniţă, D.Isar, Numerical Traking Filter, The International Conference "ICATE '91", Craiova , România, 1991. [Naf. ’92] I. Naforniţă, Banda echivalentă de zgomot a unor filtre, Conferinţa naţională de la Oradea, Mai, 1992. [Naf., Câm., Isa. ’93] M.Naforniţă, A.Câmpeanu, D.Isar, Tehnici experimentale de analiză statistică a semnalelor aleatoare ergodice şi staţionare, Conferinţa Naţională Oradea, România, 1993. [Naf., Isa., Isa. ’92] M. Naforniţă, A. Isar, D. Isar, A Generalization of the Sampling Theorem. Rev. Roum. Sci. Tehn.-Electrotehn. et Energ., 37, pp. 177-183, Bucarest 1992. [Naf. ’95] I. Nafornita, Prelucrarea adaptiva a semnalelor de telecomunicatii", 1995, note de curs. [Naf., Cam., Isa. ’95] I. Naforniţă, A. Câmpeanu, A. Isar, Semnale circuite şi sisteme. vol. I, Editura UPT, 1995. [Nar., Lou., Les., Dar. ’96] S. B. Narayanan, J. Mc. Loughlin, Les Atlas, J. Darapo, An Operator Theory Approach to Discrete Time-Frequency Distribution. Proceedings of the IEEE Conference “TFTS’96”, pp. 521-524, Paris 1996. [Nas. ’94] G. P. Nasson, Wavelet Regression by Cross-Validation. Preprint University of Bristol, March 1994. [Nas., Sap., Saw. ’97] G. P. Nason, T. Sapantias, A. Sawezenko, Statistical Modeling of Time Series using Non-decimated Wavelet Representations, Preprint University of Bristol, 1997. [Ode., Bur. ’96] J. Odegard, C. S. Burrus, New Class of Wavelets for Signal Approximation, Proceedings of ISCAS’96.

Bibliografie 279

[Pes., Ade., Pes., Hel. ’96] L. Pesu, E. Ademovic, J.-C. Pesquet, P. Helisto, Wavelet Packet Based Respiratory Sound Classification, Proceedings of TFTS’96, Paris, 1996, pp. 377-380. [Pit.,Ven. ’86(1)] I. Pitas, A. N. Venetsanopoulos, Nonlinear Mean Filters in Image Processing, IEEE Transactions on ASSP, vol. 14, no. 3, June 1986. [Pit., Ven. ’86(2)] I. Pitas, A. N. Venetsanopoulos, Edge Detectors on Nonlinear Filters, IEEE Transactions on PAMI, vol.8, no.4, July 1986. [Pre. ’87] F. Preteux, Description et intérprétation des images par la morphologie mathématique. Application a l’image médicale. These de doctorat d’Etat, Université Paris VI, 1987. [Pre. ’95] F. Preteux, La morphologie mathématique. Ses fondements: ensembliste, topologique, probabiliste. Cours fournit au département Signal et Image, INT-Evry, 1995. [Sch., Mat. ’94] M. Schmitt, J. Mattioli, Morphologie mathématique, Masson, Paris, 1994. [Shy. ’92] J.J.Shynk, Frequency-domain and multirate adaptive filtering, Signal Processing Magazine, january 1992. [Spă. ’87] A. Spătaru, Fondements de la théorie de la transmission de l’information. Presses Polytechniques Romandes, Lausanne, 1987. [Tsi., Nik. ’98] G.A. Tsihrintzis, G. L. Nikias, Modeling, Parameter Estimation and Signal Detection in Radar Clutter with Alpha-Stable Distributions, Preprint Univ. of Virginia, 1998. [Wid., Ste. ’85] B. Widrow, S.D. Stearns, Adaptive Signal Processing, Prentice Hall, 1985.

ANEXA Programul de denoising: #include<math.h> #include<string.h> #include<graphics.h> #include<stdlib.h> #include"frame.c" #define NR 512 #define NACT 512 double huge x[NR]; double huge y[NR]; static double huge z[NACT]; double huge temp[NACT]; int N=2; int ni=4; int filef=1; int nc=0; //numarul coeficientilor redusi la 0 int pas;//numarul iteratiilor facute ///variabile si functii pt grafica void initmodegr(void); void graph(int xo,int yo,int tabl); int amplmax=1; //amplitudine maxima char polar=1; //polaritate - implicit bipolar static double cd[20]; static double ci[20]; static double cid[20]; static double cii[20]; static double scara; static int r=0; static char s[20]; double *prag;

282 Anexa

static struct double ampl,df,prg; char type[15]; int No,pol; double alpha; double incr; env; void initinvc(void) int i; for(i=0;i<2*N;i++) if(i%2) cid[i]=cd[i]; else cid[i]=cd[2*N-2-i]; for(i=0;i<2*N;i++) cii[i]=pow(-1,i)*cid[2*N-1-i]; void initni(void) ni=(int)(pow(2.0,(int)(N/2+1))); void gprintf(char *msg) if(r==8)clrscr();r=0; gotoxy(1,r+1); printf("%s",msg); r++; void initc(void) int i; char buf[50]; switch(N) case 2 :cd[0]=0.4829629131445341; cd[1]=0.8365163037378079; cd[2]=0.2241438680420134; cd[3]=-0.1294095225512604; break; case 3 :cd[0]=0.332670552950; cd[1]=0.806891509311; cd[2]=0.459877502118; cd[3]=-0.135011020010; cd[4]=-0.085441273882;

Anexa 283

cd[5]=0.035226291882; break; case 4 :cd[0]=0.230377813309; cd[1]=0.714846570553; cd[2]=0.630880767930; cd[3]=-0.027983769417; cd[4]=-0.187034811719; cd[5]=0.030841381836; cd[6]=0.032883011667; cd[7]=-0.010597401785; break; case 5 :cd[0]=0.160102397974; cd[1]=0.603829269797; cd[2]=0.724308528438; cd[3]=0.138428145901; cd[4]=-0.242294887066; cd[5]=-0.032244869585; cd[6]=0.077571493840; cd[7]=-0.006241490213; cd[8]=-0.012580751999; cd[9]=0.003335725285; break; case 6 :cd[0]=0.111540743350; cd[1]=0.494623890398; cd[2]=0.751133908021; cd[3]=0.315250351709; cd[4]=-0.226264693965; cd[5]=-0.129766867567; cd[6]=0.097501605587; cd[7]=0.027522865530; cd[8]=-0.031582039318; cd[9]=0.000553842201; cd[10]=0.004777257511; cd[11]=-0.001077301085; break; case 7 :cd[0]=0.077852054085; cd[1]=0.396539319482; cd[2]=0.729132090846; cd[3]=0.469782287405; cd[4]=-0.143906003929; cd[5]=-0.224036184994; cd[6]=0.071309219267; cd[7]=0.080612609151; cd[8]=-0.038029936935; cd[9]=-0.016574541631; cd[10]=0.012550998556; cd[11]=0.000429577973; cd[12]=-0.001801640704;

284 Anexa

cd[13]=0.000353713800; break; case 8 :cd[0]=0.054415842243; cd[1]=0.312871590914; cd[2]=0.675630736297; cd[3]=0.585354683654; cd[4]=-0.015829105256; cd[5]=-0.284015542962; cd[6]=0.000472484574; cd[7]=0.128747426620; cd[8]=-0.017369301002; cd[9]=-0.044088253931; cd[10]=0.013981027917; cd[11]=0.008746094047; cd[12]=-0.004870352993; cd[13]=-0.000391740373; cd[14]=0.000675449406; cd[15]=-0.000117476784; break; case 9 :cd[0]=0.038077947364; cd[1]=0.243834674613; cd[2]=0.604823123690; cd[3]=0.657288078051; cd[4]=0.133197385825; cd[5]=-0.293273783279; cd[6]=-0.096840783223; cd[7]=0.148540749338; cd[8]=0.030725681479; cd[9]=-0.067632829061; cd[10]=0.000250947115; cd[11]=0.022361662124; cd[12]=-0.004723204758; cd[13]=-0.004281503682; cd[14]=0.001847646883; cd[15]=0.000230385764; cd[16]=-0.000251963189; cd[17]=0.000039347320; break; case 10 :cd[0]=0.026670057901; cd[1]=0.188176800078; cd[2]=0.527201188932; cd[3]=0.688459039454; cd[4]=0.281172343661; cd[5]=-0.249846424327; cd[6]=-0.195946274377; cd[7]=0.127369340336; cd[8]=0.093057364604; cd[9]=-0.071394147166;

Anexa 285

cd[10]=-0.029457536822; cd[11]=0.033212674059; cd[12]=0.003606553567; cd[13]=-0.010733175483; cd[14]=0.001395351747; cd[15]=0.001992405295; cd[16]=-0.000685856695; cd[17]=-0.000116466855; cd[18]=0.000093588670; cd[19]=-0.000013264203; break; for(i=0;i<2*N;i++) ci[i]=pow(-1,i)*cd[2*N-1-i]; sprintf(buf,"Valoarea lui N este %2d",N); gprintf(buf); initinvc(); void DWT(int n) int nn,i,k; double yt=0; nn=n; for(i=0;i<nn;i++) yt=0; if((i+1)%2) for(k=0;k<2*N;k++) yt+=z[(k+i)%nn]*cd[k]; y[i/2]=yt; else for(k=0;k<2*N;k++) yt+=z[(k+i-1)%nn]*ci[k]; y[(nn+i)/2]=yt; for(i=0;i<nn;i++) z[i]=y[i]; return; void rear(int n) int i;

286 Anexa

double *temp; temp=farcalloc(n,sizeof(double)); if(temp==NULL) printf("Eroare la alocarea memoriei\n"); exit(1); for(i=0;i<n;i++) *(temp+i)=z[i]; for(i=0;i<n;i++) if((i+1)%2) z[i]=*(temp+i/2); else z[i]=*(temp+(n+i)/2); farfree(temp); void iDWT(int n) int nn,i,k; double yt=0; nn=n; rear(ni); for(i=0;i<ni;i++) yt=0; if((i+1)%2) for(k=0;k<2*N;k++) yt+=z[(k+i+ni-2*(N-1))%ni]*cid[k]; y[i]=yt; else for(k=0;k<2*N;k++) yt+=z[(k+i+ni-1-2*(N-1))%ni]*cii[k]; y[i]=yt; for(i=0;i<ni;i++) z[i]=y[i]; ni*=2; return; void initz(int sens) int i; for(i=0;i<NACT;i++) if(sens) z[i]=x[i];

Anexa 287

else z[i]=y[i]; void WT(int sens) //sens=1 pt. sursa x[], 0 pt. y[] int n=NACT,i; // gprintf("Please be patience ! The DWT is calculating ... "); initz(sens); for(i=n;i>=ni;i/=2) DWT(i); // gprintf("The DWT is calculated ! Hit any key to continue ..."); void iWT(void) int n=NACT; // gprintf("Please be patience ! The iDWT is calculating ..."); initz(0); for(;ni<=n;) iDWT(n); gprintf("The iDWT is calculated ! Hit any key to continue ..."); void hidecursor(void); void showcursor(void); int sf(const void *a,const void *b); int sort(void) qsort((void *)temp,NR,sizeof(double),sf); return(0); int sf(const void *a,const void *b) double *k=(double *)a, *l=(double *)b; if((*k-*l)>0) return(1); return(-1); int redcoef(double pc) int i,k=0,signe=1; double absy;

288 Anexa

for(i=ni;i<NACT;i++) absy=fabs(y[i]); if(y[i]<0) signe=-1; else signe=1; if((absy-pc)>0) y[i]=signe*(absy-pc); else y[i]=0; k++; return(k); void saveenv(FILE *fp) int l; double px=0.0; for(l=0;l<NACT;l++) px+=x[l]*x[l]/NACT; fprintf(fp,"N=%d\n",N); fprintf(fp,"Tipul semnalului\t : %s \n",env.type); fprintf(fp,"Amplitudine\t\t : %3.3f\n",env.ampl); fprintf(fp,"Df factor\t\t : %3.3f\n",env.df); fprintf(fp,"Puterea semnalului este : %3.5f\n",px); fprintf(fp,"Pragul este\t\t : %3.3f\n",*prag); return; int savef(double pc, double tt) //int nc; FILE *fp; int i; if(filef) gprintf("Introduceti numele fisierului *.dat : "); showcursor(); scanf("%s",s); hidecursor(); strcat(s,".dat"); fp=fopen(s,"wt"); filef=0; saveenv(fp); fprintf(fp,"Raport S/Zg intrare : %3.7f\n",tt); else fp=fopen(s,"at"); fprintf(fp,"N=%d\n",N); fprintf(fp,"Pas : %2d \t Prag : %3.3f\n",pas,pc); nc=redcoef(pc); fprintf(fp,"Numarul coef. redusi la zero : %2d\n",nc); fclose(fp); return(nc);

Anexa 289

double saverez(double px) FILE *fp; int i; double sum=0.0,tt=0.0; for(i=0;i<NACT;i++) sum+=(temp[i]-y[i])*(temp[i]-y[i])/NACT; fp=fopen(s,"at"); fprintf(fp,"Eroarea medie patratica este : %3.7f\n",sum); if(sum>0.001) tt=px/sum; fprintf(fp,"Raport S/Zg iesire = %4.7f \n",tt); fclose(fp); return(sum); void achizs(double dfact,double A) int i; for(i=0;i<NACT;i++) x[i]=A*sin(3.141592/256*dfact*i); return; void achizc(double dfact,double A,double dincr) int i; for(i=0;i<NACT;i++) x[i]=A*sin(3.141592/256*(dfact+dincr*i/64)*i); return; void achizd(double dfact,double alpha, double A,int pol) int i; for(i=0;i<NACT;i++) if((i%((int)(NACT/dfact)))<((int)(alpha*NACT/dfact))) x[i]=A; else if(pol) x[i]=-A; else x[i]=0; return; double rnd(void) double nr; nr=rand()/(double)RAND_MAX; return(nr);

290 Anexa

double gauss(void) double v1,v2; double nr1,nr2,R,X,tp; v1=-sqrt(3/2.0); v2=-v1; tp=1.0; for(;tp>0.0;) nr1=rnd(); nr2=v1+(v2-v1)*rnd(); R=nr2/sqrt(nr1); X=R; tp=log(nr1)+R*R/3.0; return(X); double addnoise(double A) int i; double ni,np=0; for(i=0;i<NACT;i++) ni=A*gauss(); np+=ni*ni; x[i]+=ni; np/=NACT; return(sqrt(np)); void errorm(void) cadru_dbl(7,10,50,12,BLACK,BLUE); printf("\tApasati C,D sau S"); void hidecursor(void) _AH=01; _CH=0x20; geninterrupt(0x10); void showcursor(void) _AH=01; _CH=6; _CL=7; geninterrupt(0x10);

Anexa 291

double initxy(void) int i,k,l,pol=0; char c; double ampl=0,alpha=0.5,df=1.0,incr=1.0,prag1=0; int nrline=4; textmode(C80); mainframe(); cadru_dbl(6,6,70,10,BLACK,BLUE); printf("Apasati S pentru semnal Sinusoidal"); gotoxy(1,2); printf("Apasati D pentru semnal Dreptunghiular"); gotoxy(1,3); printf("Apasati C pentru semnal Modulat Chirp "); for(;((c=getch())!='s')&&(c!='S')&&(c!='d')&&(c!='D')&&(c!='c')&&(c!='C');) errorm(); if((c=='d')||(c=='D')) nrline+=2; cadru_dbl(5,5,75,7+nrline,BLACK,BLUE); gotoxy(1,1); printf("Introduceti numarul N (2..10) : "); scanf("%d",&N); gotoxy(1,2); printf("Introduceti amplitudinea semnalului : "); scanf("%lf",&ampl); env.ampl=ampl; amplmax=ampl; gotoxy(1,3); printf("Introduceti valoarea factorului df ( >=1 ): "); scanf("%lf",&df); env.df=df; gotoxy(1,4); printf("Introduceti dispersia zgomotului : "); scanf("%lf",&prag1); if((c=='d')||(c=='D')) gotoxy(1,5); printf("Introduceti valoarea factorului alpha ( <1 ): "); scanf("%lf",&alpha); gotoxy(1,6); printf("Specificati polaritatea (0-unipol. 1-bipol): "); scanf("%d",&pol); polar=(char)pol; if((c=='c')||(c=='C')) gotoxy(1,5); printf("Introduceti valoarea incrementului (0.125<incr<64 ): "); scanf("%lf",&incr); cadru_dbl(7,7,70,10,BLACK,BLUE); hidecursor(); gotoxy(1,1); printf("Valoarea lui N este %d",N); gotoxy(1,2); printf("Amplitudinea semnalului este de %f",ampl);

292 Anexa

switch(c) case 'd' : case 'D' : achizd(df,alpha,ampl,pol); strcpy(env.type,"Dreptunghiular"); env.alpha=alpha; env.pol=pol; break; case 's' : case 'S' : achizs(df,ampl); strcpy(env.type,"Sinusoidal"); break; case 'c' : case 'C' : achizc(df,ampl,incr); strcpy(env.type,"Chirp"); env.incr=incr; break; default : errorm(); showcursor(); return(prag1); void afismax(int n) int i; double max=0; for(i=n;i>n/2;i--) if(max<fabs(y[i-1])) max=fabs(y[i-1]); printf("Valoarea maxima pe scara %2d este %3.5f \n",NACT/n,max); if(n/2>=ni) afismax(n/2); else return; int savey(void) FILE *fp; int i; gprintf("Introduceti numele fisierului rezultat *.dat : "); showcursor(); scanf("%s",s); hidecursor(); strcat(s,".dat"); fp=fopen(s,"wt"); for(i=0;i<NACT;i++) fprintf(fp,"%f\n",y[i]); fclose(fp); return(1);

Anexa 293

void main(void) int i,k,l,j,maxc=0,contor; int redc[10]; char buf[50]; double pc=1.0,px=0.0,pe=0.0,py=0,tt=1.0,tt1,old=0.0; pc=initxy(); for(l=0;l<NACT;l++) px+=x[l]*x[l]/NACT; temp[l]=x[l]; sprintf(buf,"puterea semnalului este : %3.5f",px); pe=addnoise(pc); hidecursor(); cadru_dbl(1,14,60,24,BLACK,BLUE); window(2,15,59,22); gprintf(buf); sprintf(buf,"puterea zgomotului este : %3.5f",pe*pe); gprintf(buf); *prag=pe*0.8; tt=px/(pe*pe); sprintf(buf,"Raport S/Zg intrare %4.7f ",tt); gprintf(buf); for(contor=0;contor<10&&(old<tt);contor++) pas=contor+1; initni(); initc(); if(contor) WT(0); else WT(1); // *prag=pe*sqrt(2*log(NACT)/(NACT*log(2))); savef(*prag,tt); iWT(); tt1=saverez(px); if(tt1>0.001) old=tt; tt=px/tt1; sprintf(buf,"Pas = %2d\t Raport S/Zg out = %4.7f ",pas,tt); gprintf(buf); else gprintf("Putere zgomot iesire nesemnificativ"); *prag=*prag*0.8; // prag functie de disp. zg. getch(); // end of for loop savey();

294 Anexa

showcursor(); gprintf("Apasati o tasta"); getch(); initmodegr(); cleardevice(); graph(55,115,0); //se afiseaza x[] graph(55,355,1); //se afiseaza y[] getch(); closegraph(); ///graphics functions void initmodegr(void) int gd,gm,errc; gd=VGA; gm=VGAHI; //detectgraph(&gd,&gm); //initgraph(&gd,&gm,"c:\\bc20\\bgi"); initgraph(&gd,&gm,""); errc=graphresult(); if(errc!=grOk) gprintf("Erroare la initializarea modului grafic !!"); gprintf("Apasa o tasta"); getch(); window(1,1,80,25); clrscr(); exit(1); void coordsys(int xo,int yo) char s[40]; int i; setlinestyle(SOLID_LINE,0xFFFF,THICK_WIDTH); line(xo-20,yo,xo+550,yo); line(xo,yo-90,xo,yo+90); setlinestyle(DASHED_LINE,0xFFFF,NORM_WIDTH); line(xo,yo-70,xo+530,yo-70); line(xo,yo+70,xo+530,yo+70); setlinestyle(SOLID_LINE,0xFFFF,NORM_WIDTH); moveto(xo+7,yo-95); itoa(amplmax,s,10); outtext(s); moveto(xo+7,yo+72); outtext("-"); outtext(s); for(i=0;i<=500;i+=100)

Anexa 295

line(xo+i,yo-3,xo+i,yo+3); moveto(xo+i-10,yo-25); itoa(i,s,10); outtext(s); moveto(xo+540,yo-25); outtext("n"); void graph(int xo,int yo, int tabl) char s[50]; int i; int left,top,right,bottom; setcolor(WHITE); setbkcolor(BLACK); left=5;right=635; if(tabl) top=245; bottom=465; else top=5; bottom=225; setlinestyle(SOLID_LINE,0xFFFF,THICK_WIDTH); moveto(left,top); lineto(right,top); lineto(right,bottom); lineto(left,bottom); lineto(left,top); setlinestyle(SOLID_LINE,0xFFFF,NORM_WIDTH); settextstyle(SMALL_FONT,HORIZ_DIR,2); setusercharsize(3,2,2,1); coordsys(xo,yo); moveto(xo,yo); setlinestyle(SOLID_LINE,0xFFFF,THICK_WIDTH); for(i=0;i<512;i++) if(tabl) lineto((int)(xo+i),(int)(yo-(int)(70*y[i]/amplmax))); else lineto((int)(xo+i),(int)(yo-(int)(70*x[i]/amplmax))); if(!tabl) moveto(xo+150,yo+75); outtext("The input sequence"); else sprintf(s,"The output sequence"); moveto(xo+150,yo+80); outtext(s);

296 Anexa

Sursa pentru “frame.c” #include<stdio.h> #include<alloc.h> #include<dos.h> #include"cadrdbl.c" void mainframe(void) int i; window(1,1,80,25); textbackground(GREEN); textcolor(BLACK); clrscr(); for(i=0;i<3680;i+=2) pokeb(0xB800,(i+160),178); Sursa pentru “cadrdbl.c” : #include<stdlib.h> #include<conio.h> cadru_dbl (int xlt,int ylt,int xrb,int yrb,int backc,int bordc) int i; window(1,1,80,25); textbackground(bordc); textcolor(BLACK); gotoxy(xlt,ylt); putch(201); for(i=0;i<(xrb-xlt);i++) putch(205); putch(187); for(i=0;i<(yrb-ylt);i++) gotoxy(xlt,ylt+1+i); putch(186); gotoxy(xrb+1,ylt+1+i); putch(186); putch(219); gotoxy(xlt,yrb); putch(200); for(i=0;i<(xrb-xlt);i++) putch(205); putch(188); putch(219);

Anexa 297

gotoxy(xlt+1,yrb+1); for(i=0;i<(xrb-xlt+2);i++) putch(219); window(xlt+1,ylt+1,xrb,yrb-1); textbackground(backc); textcolor(WHITE); clrscr(); gotoxy(1,1); return;

F I L T R E

Documents

Transcript of F I L T R E