Nicolae Sanda

luliana Chilom Maria Sas

M ate m atice- exercifii 9i probleme -

pentru clasa a Vll-a

4Booklet

Cuprins

Partea ITeste iniliale .................

ALGEBRA

Capitolul I1. Mullimea numerelor ralionale .................9

1.1. Numere ra{ionale ........ 91.2. Modulul qi opusul unui numir rafional .......... 10

1.3. Reprezentarea numerelor rafionale pe axa numerelor ...... 12

1.4. Aproximarea numerelor ralionale ................... 13

1.5. Compararea qi ordonarea numerelor rafionale .................. 14

!.6. Partea intreaga gi partea frac{ionard a unui numlr rafional ................. 16

2. Oper{ri cu numere rafionale ................. 18

2.1. Adunarea qi scdderea ............... ........................ 18

2.2. inmtirlirea gi impdrlirea ........... ........................ 20

2.3. Ridicarea la putere .......................232.4. Ordinea efectudrii operafiilor ......252.5. Eraalii de forma ax + b = 0, cu a, beQ, a * 0 .......... ......292.6. Probleme care se rezolv[ cu ajutorul ecuafiilor ..............".32

Evaluare sumativa ..............35

Capitolul II1. Mullimea numerelor rea1e........... ........... 40

1.1. Radacina pdtratd. a unui numdr natural pdtrat perfect...........................401.2. Extragerea radacinii pdtrate dintr-un numdr ralional nenegativ ..........411.3. Numere irafionale. Mulfimea numerelor reale .......... ........431.4. Reguli de calcul cu radicali. ........451.5. Numere reale: modul, parte infteagd, comparare Ei ordonare ..............46

2. Operalli cu numere rea1e........... .............492.1. Adunarea qi scdderea............... ........................49

2.2. inmulgirea qi impdrfirea ........... ........................ 50

2.3. Ralionalizarea numitorilor ...........512.4. Ridicarea la putere .......................53

2.5. Ordinea efectudrii operaliilor .,....542.6. Media geometrica a doud numere reale pozitive ..................................56

Evaluare sumativi.... ...........58

GEOMETRIE

Capitolul I. Patrulatere

1. Patrulatere convexe ............63

Matematicd pentru clasa a VII-a. Exercilii.t; prrflr., W

2. PNalelogramul ..............."....663. Dreptunghiul ............ ...........684. Rombul ............705. Pdtratul .............746. Trapezul ...........77

Evaluare sumativd.... ........... 80

Capitolul II. Arii qi perimetreArii qi perimetre ale triunghiurilor qi patrulaterelor studiate .......... 85

Evaluare sumativd ........,.....92

Capitolul III. Aseminarea triunghiurilor1. Segmente proportionale ............... ..........9j2. Teorema lui Thales ........... 1003. Linia mijlocie in triunghi qi trapez. Proprietafi .....1024. Triunghiuri asemenea................. .......... 103

Evaluare sumativ6.... ......... 106

Aplica{ii practice .................110

Exercitii ;i probleme recapitulative.......... ............... 118

Evaluare semestrial5 ..........lZ5

RIspunsuri................." ..........I29

Partea a II-a

ALGEBRA

Capitolul I. Calcul algebric

l. Utiliza;;ea literelor in calcule ............... 1602. Formule de calcul prescurtat ...............1643. Descompunerea in factori .................... 1684. Ecuafii de forma f = a, deQ .......... .....170

Evaluare sumativa ............. 171

Capitolul II. Ecuatii qi inecuatii1. EgalitAfi gi ecualii ..............175

1.1. Egahtafi. Proprietafi ale relatiei de egalitate ..................175I.2.Ecaatrii de forma ax + b = 0, a, be lR .......... ................... 176

2.InegalitAtj gi inecua{ii ........ 1802.1.Ine9a1it4fl............... .................... 1g02.2.Inecua[ii de forma ax + b ) 0, ((, 1,)), a, be lR cu xin2............ 192

3. Probleme cale se rezolva cu ajutorul ecuafiilor gi al inecuatiilor................. 1g3Evaluare sumativd .............. 196

capitolul rrl. Elemente de organizare a datelor Ei probabilititi

^1. Gruparea qi reprezentarea datelor........ ............... 191mlUAloebrn

-

2. Probabilitatea realizdrii unor evenimente .......--' I973. Reper cartezian.Imaginea geometricd din plan a elementelor

produsului cafiezian a doud mullimi ...'...'........' 199

4. Dependenfe func!iona1e.............. .....203Evaluare sumativd ........206

GEOMETRIE

Capitolul I. Relafii metrice in triunghiul dreptunghic

1. Proiecfii ortogonale .....21I2. Teorema inalfimii Ei teorema catetei ..'...'.......-'.213

3. Teorema lui Pitagora .-.217

Evaluare sumativa ........220

Capitolul II. Cercul

1. Definitie. Elemente in cerc ......'.......225

2. Unghi la centru. Mdsura arcelor. Arce congruente.

Coarde Ei arce de cerc .......'........"""227

3. Unghi inscris in cerc. Triunghi inscris in cerc. Patrulater inscris

in cerc .......229

4. Pozitrltle relative ale unei drepte fafa de un cerc. Triunghi circumscris

unui cerc ...23I5. Poligoane regulate """'2336. Lungimea cercului. Aria discului......'..."...... """236

Evaluare sumativd """"238Capitolul III. Nofiuni de trigonometrie

1. Unitdli de misurd pentru unghiuri """"""""""'2432. Rapoarteconstanteintriunghiuldreptunghic....'......'.... """'2443. Utilizarca elementelor de trigonometrie in rczolvarea

problemelor de geometrie ............... ...'........""""247Evaluare sumativd """'249

Matematicd pentru clas(l a VII-a. Exercitii,f; p"ofl"-, &

ALGEBRA

Capitolul I

L. Mul.timea numerelor rafionale

1.1. Numere raflonale

fa, Ie ; t; la, beZ, b + 0J multimea numerelor rationale;

Q* =Q - {0};q_ = {-reQ l". O}'Q* = {-xeQ l" t O}.

NcZcQ.Un numlr rafional poate fi rcprezentat atdt prin fractje ordinard, c0t gi prin fracfiezecimald (finita sau periodica). Din fraclia ordinard, prin impdrfirea numdrdtoruluila numitor, vom obline fracfia zecimald. Pentru transformarea din forma zecimald

in cea ordinard se procedeazd dapd cum unneaza (exemplificarea este pentru fracfiizecimale pozitive subunitare, a, b,e[ll, i, k, me IN*):

0, arar..,au

0, arar... au(brbr...b*) =arar...a*brbr...b* - atar...a*

99...900...0\-/J\----vJ

mk

t.Dafi cAte trei exemple de reprezentanfi (doua fraclii ordinare qi o fracfiezecirnald) pentru fiecare dintre numerele rationale urmdtoare:

_ a1a2.,,Qk

100...0'\____#k

a,a^ .,.4k0,(arar...a*) = ffi

\-J

k

'1 2a) -: b) :;'8 5

2.Datj cinci exemple de numere care sd fie:a) naturale;c) rafionale pozitive;e) rafionale negative;

b) intregi, dar nu qi naturale;d) rafionale, dar nu gi intregi;f) ra{ionale subunitare.

,)

c\ 2a'.' a'J

48d) _.

100'

5ge):.

44

g3. Sd se scrie sub formd de fracfie zecimald urmdtoarele numere rafionale:

,2'1 101 43 109'1 4532 '11 . . 28 5 5'l 81 50'l 63al_. '-: nl-. _.-.-:l0 l0 100 100 1000 1000 s 8 40 2s 32 20

'@

Matematicd. pentru clasa a VII-a. Exercilii,r; lroal"orn &

5 I I 83 7 58 1043. ,\ 7 55 75 109 7g7 703cr _. _.3 9 33 tI' 333' 999' ' 12 ts' n' 82' 7n' 825'

4. SA se scrie sub formd de fracfie ordinard ireductibild urmdtoarele numererafionale:

a) I,7; 2,45; 0,048; 15,2;9,005; 0,485

b) 0,(7); 0,(63); 0,(504); 24,(7 5); 5,(8); 2,(207)c) 0, 1 (6) ; 0,42(7 ): 0,7 (42); 6,43(8); 2,9(84); 1,36(t4t)

;i mulfimea5. .Se dd mullime ^

o = {;la, belN, a€Du, beDr}

, = {! l*, y. Z*, txt < 4, tyt < l}. n"t"r-inu1i:ly' ) -a) AnB; b) AnlN; c) BnZ; d)B*v,.

f x,dacdr>0

l-.r,dacd x < 0

0;

sunt numere intregi.

[-x,daci x < 0I

lxl = i O.dacd x=0I

I x.dac[r>0Proprietafi:. lxl ) 0, l-rl = 0 <+.r =. lxl = l- xl:. lxl = max(- a x);

1.2. Modulul qi opusul unui num[r rafional

valoarea absolutd sau modulul unui numdr ralional -r se noteazd: lxl.

Fie x si x, dinQ, * = f, ct b *0. x. = 9i- cu b,*0, i =l,3 unOe a, b, a,$i

sau (mai restrdns) l-rl =

. 1", ' xrl = lxrl

. lgl= l'llul lbllxr+xrl<lxrl+lxrl;k'r-*rl>txit-wj;lxl<q,4cQ* e-q<x<q.oricare numdr rafional nenul .r, are un opus notat - x, astfel inc0t suma lor este 0:"r+(-x)=(-x)+x=0.o

l. Pentru * = ,1, sd se determine:

a)tx-3t; "l'.fl' ol'-rllt d)12-xt: ,|]-"l2.Dali exemple de numere rafionale, doua pozitive gi doud negative, gtiind cd

b) mai mare decdt 5;

d) cuprins intre 2 9i 3;

3,2(5); f) mai mare decdt 5!.7

3. gtiind cd xe {- ,}, Tt * 5,3, 4,8}, precizafi valoarea lui, dacd:

modulul lor este:

a) mai mic decdt 1;

-3c) mar mrc decat -;

e) cuprins intre 3, 2(45) li

a)l,rl =-.xqix>--3;c)lrl =-xgi,r{-2;

d) aeA qi lal < 5;

c) aeA qi lal < 2;

b)l-xl =xgix14;;d)hl =xgix>-4.

b) aeA qi lal > 15;d) aeA $i 3 < lal < lA.

4. se da mulqimea A = [- 15.2; -8, - !,- 4.8r - 2', - 1.25;:.8; 4r 9, 1!2it 4' 3 4 s 3)

Determinati numerele ralionale a, in fiecare dintre situaliile urmdtoare:

5. Precizati opusul pentru fiecare dintre numerele de mai jos:

b) 7,(3) ; q 22't5

.9a)--;5

--={ . I Ff€/

d) - (- 0,(5)).

6.Se damullimea M ={- n: -7?:- 8,(2)r - s: -!;- o.s: 0; -L;[332Sd se determine elementele multimiiQ = {@,Dl-x qi y fiind elemente din M, numere opuse}.

J. Verificafi daca numerele x qi y sunt numere opuse:

a) x = \2.r7 +3.83) ' [- r], , =({- 3) '*,\ z)" \s s) 14'

r,rl;#;7,(3))

Matematicd pentru clasa a VII-a. Exerciliiq; proal"-" W

b) "r = 4' (I7,375 - 9,125) . l, r= [3,(15) - 2,(45)lll2 2 2--r?,C)X=J---.V=-5 3- 3 s'

d)x= s!- z!,"=51+21.2 s" 2 5

11

23'

oricarui numdr ra{ional x ti corespunde pe axa numerelor un punct qi numaiunul. Acest punct se va afla la distanta lxl fala de originea axei ;i va fi in dreaptaoriginii dacd numdrul x > 0, respectiv tn stdnga dccd x < 0. Numdrului zero ticorespunde chiar originea axei.

puncte:

@I. Sd se reprezinte pe axa numerelor urmdtoarele

1.3. Reprezentaxea numerelor rationale pe axa numerelor

, *(-;),{- +) "[i) ;, o(z!)'

D M(-1),{;),"[;) "

n[-;),c) M(- 3,5), N(2,5), P(1,75) qi ee I,25).

^25tr)x=21', nl)x=--: iv)"r=1.5.

2. Fie x un numdr ralional nenul, iar - x opusul sdu.a) dacd reprezentdm pe axa numerelor punctele A(x) gi A,(- x), ce putem spunedespre punctele A gi A,?b) sd se reprezinte pe axa numerelor punctele A("x) qi A,(_ x) pentru:

1) x = 3,2:

3. Fie x un numdr rafional nenul. Sd se reprezinte pe axa numerelor punctele A(x),B(- x), C(x + l), D(x - 2), E(2x) qi F'(l _ x) d,acd:

Ia)x=:'5

b),r = - 11-2

4.Prccizati coordonata x', a punctului P'(x) qtiind cd punctele P(x) qi P(x) sunt:a) simetrice fa!5 de origine iar x = - 3;

e) simetrice fatd de origine i* r = i,

l) simerrice fafs de punctul ^[- ;)

si x = 2;

g) simetrice fald de punctul A(5,5) si x = -/,35.

1.4. Aproximarea numerelor rafionale

Este un procedeu pe care-l aplicdmtn cazul tn care numerele nu trebuie precizatecu exactitate. Astfel, se alege o valoare apropiatd de numdrul ,,de aproximat" cereeste relevantd ;i avantajoasd tn contextul dat. Aproximarea se face prin lipsd sauprin adaos. Rotunjirea este aproximarea cea mai frecvent utilizatd, prin care se

opteazd pentru aproximarea prin lipsd sau prin ados tn funclie de numdrul celmai mic de subunitdli Ia care trebuie sd renunldm sau cu care sd completdm.

1. Aproximali prin lipsd cu cel mult o zecime numerele:

* J-t' 25'b) 1,98;

' j, d) 0,2t7; e) 43,03.

e) 25,902.

e)15,55.

2. Aproximafi prin adaos cu cel mult o sutime numerele:

t 4: ur IT; Q 12,33; d) 0,44e;40 1000'

t.Rotunjifi la unitali urmdtoarele numere rationale:

.l J; ur f ; c) 40,e8; d) 10,2;

tt

Matematicd pentru clasa a VII-a. Exerci1iil; prrfln-, W