European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de...

European Music Portfolio (EMP) Matematic: Moduri de transpunere a sunetelor n matematic

Manualul profesorului

Autori:

Peter Mall, Maria Spychiger, Rose Vogel, Julia Zerlik

Universitatea de muzic i de arte vizuale, Frankfurt (Main)

Universitatea Goethe, Frankfurt (Main)

Ianuarie 2016

Cu sprijinul Programului de nvare de-a lungul vieii al Uniunii Europene. Aceast publicaie reflect punctul de vedere al Consoriului de matematici i, Comisia nu poate fi considerate responsabil pentru orice utilizare pe care o pot avea informaiile coninute n prezenta.

European Music Portfolio Transpunerea sunetelor n matematic

2

Contribuitori:

Markus Cslovjecsek, Helmut Linneweber-Lammerskitten, Martin Guggisberg, Andreas Richard, Boris Girnat, Daniel Hug i Samuel Inniger (coala de educare a profesorilor, University of Applied Sciences Northwestern, Elveia)

Carmen Carrillo, Albert Casals, Cristina Gonzlez-Martn, Jssica Perez Moreno, Montserrat Prat i Laia Viladot (Universitat Autnoma de Barcelona, Spania)

Maria Argyriou, Maria Magaliou, Georgios Sitotis, Elissavet Perakaki, Katerina Geralis-Moschou (Asociaia greac a profesorilor de educaie muzical, Grecia)

Caroline Hilton, Jennie Henley, Jo Saunders i Graham F. Welch (Institutul de Educaie UCL, Marea Britanie)

Slvka Kopkov, Alena Pridavkov, Edita imkov i Jana Hudkov (Universitstes din Preov, Slovacia)

Raluca Sassu, Anamaria Ca tana i Mihaela Bucuta (Centrul de Cercetare n Psihologie, Universitatea Lucian Blaga dinSibiu, Romnia)

Peter Ludes (Universitatea Goethe, Frankfurt (Main), Germania)

Drepturi de autor 2016. Toate drepturile sunt rezervate.

Produs pentru Comenius Lifelong Learning Project (Proiectul de nvare continu

Comenius)

538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP

www.maths.emportfolio.eu
http://www.maths.emportfolio.eu/


3

Coninut

1 Introduction ...................................................................................................... 5

2 Moduri de transpunere inetrconectivitatea dintre muzic i matematic .... 7

2.1 Pai creativi pentru profesori i elevi ........................................................................... 7 2.2 Recunoaterea modelelor i producerea modelelor ................................................... 8 2.3 Muzica i matematica sunt sisteme de semne care se suprapun i interacioneaz .

......................................................................................................................................... 10

3 Bazele nvrii ................................................................................................ 15

3.1 De la sarcini la construcie ........................................................................................... 15 3.2 Percepie i aciune ....................................................................................................... 16 3.3 Efectuarea exeperimentelor ......................................................................................... 17

4 Aspecte educaionale i structura exemplelor ................................................ 19

4.1 Medii de predare i nvare ........................................................................................ 19 4.2 Rolul materialelor i spaiului ...................................................................................... 20 4.3 Structura exemplelor .................................................................................................... 21

5 Exemple .......................................................................................................... 25

5.1 Metode de transpunere n jurul colii......................................................................... 25 5.2 Srii ritmul: relaii de multiplicare i metrul ............................................................. 29 5.3 Btaia din palme a celui mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3 i 5 ............. 31 5.4 Numere cu rezonan ................................................................................................... 35 5.5 Dansuri unghiulare ....................................................................................................... 38 5.6 Twinkle, Twinkle Little Star ........................................................................................ 41

6 Concluzii ......................................................................................................... 45

7 Referine .......................................................................................................... 45


5

1 Introducere

Muzica i matematica mprtec o trstur ciudat: muli oameni cred c nu se pricep la una

sau cealalt (sau la ambele). Totui, Nu pot cnta sau Nu am neles niciodat matematica

nu i vor mpiedica s aib o carier de succes i nu ne vor schimba prerile pe care le avem fa

de ei.

Proiectul European Music Portfolio Sounding Ways into Mathematics = Portofoliul

European de Muzic Metode de transpunere n Matematic (EMP-Matematic) vizeaz o

nelegere diferit cu privere la aceast trstur. Toat lumea poate cta sau face muzic i toat

lumea poate folosi matematica. Ambele subiecte sunt pri integrale ale vieii i socitii noastre.

Ce trebuie mbuntit este abilitatea noastr de a oferi elevilor oportuniti ca s le plac.

Combinarea matematicii i a muzicii n activitatea din cadrul clasei nu este ceva nou. De

fapt, numrul de exemple publicate este n continu cretere. Din pcate muli cercettori s-au

axat doar pe folosirea muzicii pentru mbuntirea cunotinelor matematice, sau generale, i

chiar inteligena. Peter Hilton clarific acest punct n ceea ce privete matematica i muzica:

[] matematica, la fel ca muzica, merit fcut de dragul ei [...]. Aceasta nu este pentru a nega utilitatea grozav a matematicii; totui, aceast grozav utilitate, are tendina de a ascunde i de a deghiza aspectul cultural al matematicii. Rolul muzicii nu sufer o asemenea distorsionare, cci este n mod clar o art a crei practicare mbogete compozitorul, intrepretul i audiena, muzica nu trebuie s fie justificat de constribuia sa n anumite aspecte ale existenei umane. Nimeni nu ntreab, dup ascultarea unei simfonii a lui Beethoven, Care este utilitatea acesteia? n plus, matematica nu ctig nutilitate prin ignorarea valorii sale inerente ba din contr, o apreciere a matematicii i o nelegere a cantitii i dinamicii sale inerente este necesar pentru a o putea aplica efectiv (Gullberg, 1997, p. xvii).

EMP-Maths se adreseaz profesorilor de muzic i matematicc n egal msur, precum

i tuturor persoanelor interesate de explorarea lumii matematicii i muzicii.

Acest manual are trei pri principale. Prima, detaliaz interconexiunea dintre matematic

i muzic. ncepnd cu pai creativi, sublianiaz recunoaterea modelului ca fiind abilitatea

nucleu pentru ambele subiecte i n final, n cele din urm cuprinde mituri comune relativ la

faptul c muzica are caracter matematic i respectiv, c matematica are caracter muzical.

A doua parte se axeaz pe bazele nvrii i apoi mai profund pn la ntrebarea de ce

muzica i matematica ar trebui predate mpreun fr a cdea n capacana de a utiliza-o pe una

de dragul celeilalte. Crearea, percepia i aciunea, precum i efectuarea de experimente, sunt

cuvinte cheie luate n considerare.

A treia arte, care este nucleu acestui manual,e ste o compilaie de activiti care pot fi

folosite n cadrul slii de clas. Multe activiti i sugestii sunt deja disponibile. Noi urmrim s

ncurajm pe toat lumea s le foloseasc. Cele din acest manual subliniaz un numr de domenii

matematice i muzicale n scopul acoperirii unor domenii majore: cntatul, ascultatul, rezolvarea

problemelor, numere, msurtori i altele. Cu aceast abordare, dorim s legm proiectul de

subiecte nucleu din aria curricular a statelor participante: Germania, Grecia, Romnia, Slovacia,


6

Spania, Elveia i Regatul Unit. Toate exemplele sunt construite pe conceptul de modelelor de

design didactic.

Acest manual al profesorului prezint activiti cu coninuturi matematice i muzicale

diferite n scopul oferirii profesorilor de resurse, idei i exemple. Aceste activiti sunt proiectate

pentru a fi extinse, adaptabile la diferite contexte i ajustabile la nevoile fiecrui profesor i

studenii lor. Mai mult, aceste activiti nu sunt planificate ca s fie efectuate individual; o unitate

de nvare poate fi folosit pentru a fi neleas sau pot fi eventual dezvoltate n legtur cu

fiecare.

Pe lng manualul profesorului, proiectul furnizeaz un curs de dezvoltare profesional

continu (CPD), o pagin web (http://maths.emportfolio.eu) din care toate materialele pot fi

descrcate i o platform de colaborare online. O prezentare general a literaturii i cercetrii

conexe este disponibil n documente separate..1 Brourile suplimentare pentru profesori

furnizeaz materialele conexe i reprezint baza pentru cursurile CPD. Proiectul Sounding Ways

into Mathematics (Transpunerea sunetelor n matematic) este legat de proiectul EMP-Limbi

A Creative Way into Languages (O modalitate creativ n limbi)

(http://emportfolio.eu/emp/).

1 De asemenea consultai Literature Review (Hilton, Saunders, Henley, & Henriksson, 2015) i State of the

Art Paper (Saunders, Hilton, i Welch, 2015).


7

2 Metode de transpunere ale sunetelor interconexiunea de

muzic i matematic

2.1 Pai creativi pentru profesori i studeni

Deseori, nvarea i predarea care combin diferite discipline creaz noi abordri n rezolvarea

problemelor i ofer noi perspective referitoare la materialele pentru toate cele implicate. Prile

stabilite pot fi abandonate, mai ales cele care sunt viciate cu emoii negative, pentru a face loc

celor noi i mai bune.

Combinarea celor dou discipline, muzic i matematic n cadrul proiectului EMP-

Matmeatic furnizeaz coninuturi i metide din dou arii de studiu pentru a mbogi procesul

de predare i nvare. Din acest punct, noile combinaii pot fi create cu o selecie de exemple.

Acest manual are ca scop ghidarea profesorilor prin sarcini creative i simplificarea proceselor

obinuite.

Combinaia celor dou subiecte academice necesit creativitate. nelegem creativitate n

urmtorul sens:

- Selecii trebuie s fie fcute din coninutul i metodele disponibile pentru ambele discipline.

Aceste metode i coninutul trebuie s sprijine i s contribuie la dezvoltarea muzical i

matematic a elevilor. Pentru a fi creativi, conform lui Poincar (1948), trebuie s gsii o

nou combinaie (cf. Hmmer et al., 2011, pp. 178179) a coninutului dat.

- Pentru aceste noi combinaii, nu exist o practic standard aprobat pentru a realiza nsi

lecia. Pentru a fi creativ, conform lui Ervynck (1991), trebuie gsite noi ci care deviaz de

la ncercrile stabilite i ateptate (Hmmer et al., 2011, p. 179).

- Aceste noi ci dezvoltate nu vor fi creative dac acestea nu sunt adaptate (Sternberg & Lubart, 2000). Aici, a fi creativ nseamn abilitatea de a prezenta un rezultat neateptat i inventiv, care este discutabil adaptiv (Hmmer et al., 2011, p. 179).

Aceste aspecte ale creativitii (matematice i musicale) poate fi adaptat, pe de o parte,

pentru procesul creativ al activitilor de dezvoltare n proiectul EMP-Maths i, pe de alt parte,

pentru aciunile i gndirea tuturor profesorilor i elevilor care particip l aaceste activiti.

n general, cteva dintr-o multitudine de subiecte pot fi selectate pentru a fi cele dou

discipline conexe. Fiecare conexiune creaz noi metode prin combinarea matematicii cu muzica.

Cu siguran, aceste metode nu sunt standardizate. Simultan, apar noi ci de analiz adaptive

legate de subiectele matematic i muzic. Acest aspect a fost adugat la descrierea variaiilor n

contextul activitilor dezvoltate.

Activitile n sine ncadreaz procesul creativ pentru toi participanii. Noile metode

furnizeaz noi experiene pentru acei studeni care altfel, ar fi sceptici relativ la activitile

matematice i muzicale, i ajut la reducerea scepticismului. Mai mult, diferite abordri ajut la

depirea dificultilor existente i oferirea actorilor implicai spaiu pentru ctigarea de

experine n cele dou discipline ale muzicii i matematicii.


8

2.2 Recunoaterea i producerea de modele

Recunoaterea modelelor este o activitate uman de baz care este legat de contientizare.

Recunoaterea modelelor este, n primul rnd, acordarea ateniei la modelul de conectare

(Bateson, 2002, p. 16). Unele terorii susin c atenia este organizat ritmic (Auhagen, 2008,

p. 444). Atenia la, i contientizarea la, mecanismele de conectare poate fi observat la copii

foarte frecvent, i deseori includ expresii ale bucuriei: sritul corzii, sritul n bli cu noroi i

emiterea de zgomote ritmice cu bee n gard sunt activiti ale unei copilrii fericite. Capacitatea

uman de sincronizare ritmic, precum i recunoaterea modelelor, ncepe n copilria timpurie

i pare s fie ncurajat de sriturile copiilor pe genunchi (Fischinger & Kopiez, 2008, p. 459).

Oameni au capacitatea de a urma modele ritmice din prima. Experimentele cu copiii nou

nscui dovedesc faptul c acetia sunt capabili s diferenieze clicurile ritmice i non-ritmice

(Gembris, 1998, pp. 403f.). Mai nainte chiar, n timp ce plutesc n pntecul mamei, micarea

picioarelor prezint modele de tempo, care sunt n ritm cu btaia inimii mamei (Gruhn, 2005,

p. 126). Aceste abiliti muzicale ritmice au n comu faptul c bebeluii sunt capabili s

recunoasc modelele i s le repete, sau cum s-a exprimat Bjrn Merker, acetia pot s se

antreneze ntr-un ritm repetitiv (Merker, 2000, p. 59). Mai trziu, antrenamentul este evident

n nenumprate activiti, cele mai multe prin joac; de exempu, cu mingea n grupuri, n activiti

cu complexitate crescut cum sunt atunci cnd modelele ritmice ale limbii i rimelro sunt

nsoite de micri i n activitile de cntat.

Analiza modelelor i descrierea regulilor i proprietilor acestora este unul dintre scopurile matematicii, pe care Alan H. Schoenfeld (1992, p. 334) o caracterizeaz ca fiind un subiect viu care caut s neleag modelele care permit att lumea din jurul nostru, ct i mintea din noi. Keith Devlin merge pn la a descrie matematica ca fiind tiina modelelor: Abia n decursul ultimilor douzeci de ani sau aproximativ, a aprut o definiie a matematicii asupra creia majoritatea matematicienilor convine: matematica este tiia modelelor.(Devlin, 2003, p. 3) (Vogel, 2005, p. 445)

Un alt aspect important al recunoaterii modelelor este clasificarea sau despicarea (Jourdain,

2001, p. 163). Bucile sunt pachete mici de informaii pe care le putem manipula ca fiind o

unitate.2 Bucile sunt tratate ierarhic. Din buci mici sunt create buci mai mare. Din acestea,

sunt construite buci tot mai mari i aa mai departe. De exemplu, noi creem modele pentru a

despica. Ascultarea unei secvene constante de tonuri similare duce la construirea de grupuri de

dou sau trei (Auhagen, 2008, p. 439), i deci construirea de modele (ritmice). Asemnarea,

apropierea sau similaritatea comportamentelor sunt toate trsturi care permit recunoaterea

mental a modelelor. Nu numai c recunoatem modelele, dar de asemenea, noi le construim i

le dm sens.

De exemplu, semnificaia bucilor pentru interaciunea cu modelele (Vogel, 2005, p. 446)

devine important pe durata exploatrii modelelor geometrice. Pe durata exploatrii este

important ca elementele de baz sau unitile fenomenului s fie gsite (ibid.). Doar

2 De asemenea consultai Manualul profesorului pentru EMP-Maths Languages, pp. 2124:

http://emportfolio.eu/emp/images/stories/materials/EMP_Teachers_Handbook_Final_2012.pdf


9

identificarea acestor uniti debaz permite analiza matematic a ornamentelor complexe i

clarific fascinaiei matematicii.

Compozitorii folosesc aceast capacitate pentru a scrie piese polifonice pentru instrumente

monofonice. Acetia grupeaz tonurile ntr-un mod care nseamn c urechea i mintea noastr

aud dou sau mai multe voci diferite. Recunoaterea modelelor este o sarcin important

pentru a auzi sunetele (Bharucha & Mencl, W. Einar, 1996). Recunoaterea sunetelor

instrumentelor i echivalena octavelor este o sarcin de recunoatere a modelelor i este

abilitatea noastr de a clasifica tonurile n C, D, E, F, G, A i B ca o scar major i de a

recunoate aceeai melodie atunci cnd este cntat n diferite tonaliti. Aceasta arat c ritmul

i tonalitatea pot servi pentru introducerea spectrului n reprezentaii cu ritm constant

(Bharucha & Mencl, W. Einar, 1996, p. 149). Bharucha et al. Sugereaz faptul c asculttorii

vestici par s aib o reprezentare mult mai elaborat a tonalitilor i relaiilor lor (ibid., p. 148).

Cteva studii prezint c acest lucru este de asemenea important pentru abilitatea de a cnta la

prima vedere, fr pregtire (Fine, Berry, & Rosner, 2006; Waters, Underwood, & Findlay,

1997). Acesta este n special cazul abilitii de a preconiza urmtoarele tonuri din secven;

aceast abilitate este mai bun atunci cnd aceste tonuri fac parte din melodii tonale sau modele

bine cunoscute.

Nevoia pentru recunoaterea modelelor i sincronizare i are originea n natur. Animalele

mici care le vneaz pe cele mai mari, i sincronizeaz paii n scopul prinderii acestora

(Fischinger & Kopiez, 2008, p. 460), i cimpanzeii i sincronizeaz vocile pentru a mri distana

de la care acetia pot fi auzii (Merker, 2000).

Jocurile copilriei menionate mai sus, precum i activitile cum sunt sritul corzii, sritul

n blile cu ml i dansul sunt ocazii de a exersa coordonarea i recunoaterea modelelor

(Spychiger, 2015a).

Recunoaterea modelelor i gruparea ne permit s facem lucruri simultan: marul, nirarea,

aplaudarea i interpretatul simfoniilor. Efecutarea de activiti mpreun (i informarea celorlali

despre aceasta) ntrete grupul, atrage femelele i ine departe dumanii, att la un foc de tabr

recreaional, ct i n adncul junglei, unde cimpanzeii fac acelai lucru (Merker, 2000). Cnd

activitile sunt fcute n deplin sincronizare, acestea sunt mai glgioase i mai eficiente.

Gruparea este de asemenea o tehnic important care poate fi utilizat care poate fi folosit

pentru memorarea numerelor. Memoria de scurt durat a oamenilor este (n medie) capabil s

rein pn la apte itemi. Dac am avea de memorat numrul 1685175017561791, putem grupa

cifrele n 1685, 1750, 1756 i 1791, care sunt anii naterilor i morilor lui J.S. Bach i respectiv,

W.A Mozart. Dac nu gsim un exemplu convenabil ca acesta, grupai cte dou sau trei cifre

(ex. Pentru a memora numele de telefon). Acest lucru conecteaz domeniul ritmului, n care

tindem s grupm evenimentele cte dou sau trei. Activitile de grupare sunt unele dintre

exemplele incluse n manualul profesorului. Recunoaterea modelelor este nucleul

caracteristicilor mprtite de activitile matematice i muzicale.

n toate tipurile de activiti umane, oamenii arat cum sunt capabili nu numai de

recunoaterea modelelor, ci i de crearea sau producerea lor. Acest lucru ne conduce la modelul


10

ciclului de funcionare semiotic, care ofer integrarea acestor dou aspedte n comportamentul

uman, percepie i aciune, aa cum sunt explicate n capitolul urmtor (figura 1).

2.3 Muzica i matematica sunt sisteme de semne care se suprapun i

interacioneaz

Pitagora a fost unul dintre primii oameni care a descris sunetele i ritmul ca relaii matematice,

bazate pe sistemul de supratonuri. Aceast iluminare muzical a adugat valoare intelectual,

uman muzicii, care a fost n trecut o parte a lumii divine. De atunci, muzica este privit ca o

disciplin academic. Practica muzical a fost divizat n dou domenii profesionale ale

musicus i cantor [] n primul mileniu A.D. n scopul separrii elementelor emoionale ale

muzicii de cele intelectuale, i animalele de oameni (Spychiger, 1995, p. 54). Aceast

dicotomizare a dus n final la convingerea c muzica era de fapt un sistem matematic. n timp ce

partea intelectual a muzicii, partea care poate fi explicat din punct de vedere matematic,

aparine oamenilor, iar valoarea emoional a muzicii a sczut.

Aceast relaie dintre muzic i matematic a dus la ideea c muzica poate fi folosit la

creterea cunotinelor matematice, reuitele academice i inteligena, n general (Kelstrom,

1998). Cercetrile conexe au dus n final la descoperirea aa-numitului efect Mozart (Hilton,

Saunders, Henley, & Henriksson, 2015, p. 18), care spune c capacitatea inteletual poate fi

mrit prin ascultarea muzicii lui Mozart (Rauscher, Shaw, & Ky, 1995). De asemenea, studii au

fost executate pentru a demonstra efectul pozitiv al nvrii muzicale crescute la

comportamentul social, auto-concept, i motivaie (Costa-Giomi, 2004; Smolej Fritz & Peklaj,

2011). Dar toate aceste descoperiri au dovedit c beneficiile educaiei muzicale nu au fost mai

mari dect cele obinute prin practicarea regulat de activiti sportive (Simpkins, Vest, & Becnel,

2010).

Pitagora i muzica

Cea mai timpurie referire la descrierea muzicii cu simboluri matematice dateaz de la Pitagora

(Henning, 2009; Weber, 1991), care a descoperit principiile fizice care stau la baza muzicii

vestice. El a folosit monocordul pentru a face primele experimente i a descoperit c relaia

supratonurilor este constant i depinde de lungimea corzii. n plus, relaiile 2:3:4:5 ale primelor

patru supratonuri este de asemenea fundamental n geometrie i au fost folosite n mormintele

i piramidele egiptene (Weber, 1991, pp. 1920).

Dar, pe lng asta, sistemul armonic este mult mai complicat i dezvoltarea unei scri

moderne doar pe aceste principii este aproape imposibil (Hindemith, 1940). Doar intervalele

de octav, al cincilea, al patrule i al treilea sunt pri fundamentale ale sistemului de supratonuri.

Orice altceva este fie construit teoretic, fie luate pe parcursul anilor prin transculturalizare, dar

care nu poate fi explicat uor din cadrul sistemului de supratonuri.


11

Simboluri numerice n lucrrile lui J.S. Bach i a altora

O alt discuie important muzic-matematic trateaz folosirea simbolic a numerelor n

muzica baroc i a renaterii (Achermann, 2003; Egeler-Wittmann, 2004; Stoll, 2001a). O tehnic

predominant este tranziia numerilor prin numere n compoziii. Fiecare liter a fost conectat

la poziia sa din alfabet (a=1, b=2, etc.) i numele au fost calculate n sume. Numerele care

rezult au fost folosite pentru a determina numrul de msuri i / sau note per seciune. J.S.

Bach, de exemplu, a avut o legtur special cu numrul 14 (Buchborn, 2004). Un alt exemplu

al acestei tehnici, explicat de Stoll (Stoll, 2001a), a vzut ncorporarea numelor a doi oameni care

l-au sprijnit financiar pe compozitor ntr-o pies de muzic.

Chiar dac aceasta arat folosirea numerelor, a relaiilor i a matematicii de baz, aceasta

indic de asemenea dorina compozitorului de a transmite mesaje sau semnturi secrete,

cunoscute poate doar de ei. Aceasta este o dorin pe care i-o satisfac prin aplicarea gndirii

matematice pe durata procesului de compunere.

Numere, rnduri i simetrii muzica contemporan i nevoia de structur formal

Dup abandonarea sistemului armonic i a consecinelor sale formale la nceputul secolului 20,

compozitorii au nceput s caute noi sisteme de a oferi muzicii o structur formal distinct.

Prin urmare serialismul, a nceput primul s organizeze toi parametrii muzicali ( lungime,

dinamic i tonalitate) n jurul a 12 semitonuri. Totui, acest lucru nu a condus la o soluie pentru

structura formal a lucrrilor complete. Prin urmare, compoziiile seriale timpurii (ex. Mode de

valeurs et dintensits, a lui Messiaen, 1949) preau s nceap i s se termine fr niciun motiv;

puteau continua la nesfrit. Astfel, sistemul lui de ritmuri ireversibile a demonstrat nevoia de

simetrie n muzic; n prim instan, Messiaen nu a gsit nicio soluie pentru el nsui.

Mai trziu, Pierre Boulez, Luigi Nono i Karlheinz Stockhausen au dezvoltat sisteme care

au folosit iruri numerice predefinite ca principii de baz pentru compoziiile lor. Acetia au

folosit o metod pentru a calcula tabele de numere care nu numai c defineau aspecte ale notelor

singure (timp, ton, dinamic), dar de asemenea i aspecte ale structurii formale ale ntregii buci

(lungimea total, fraciile care indic msura, numrul de msuri) (Decroupet, 1995; Henning,

2009; Lehmann, 2009; Stoll, 2001b). La momentul respectiv, era foarte populare numerele lui

Fibonacci i Proporia de aur, care sunt legate ntre ele. Cu aceste tehnici, compozitorii au vrut

s restabileasc simetriile i regulile de ordin mai nalt n compoziiile lor, care au fost pierdute

odat cu abandonarea sistemului armonic i a simetriilor sale inerente. O alt abordare este

prezentat de Tom Johnson, care numr muzica (Nimczik, 2002).

Conexiunea dintre matematic i muzic, n acest caz, nu a fost pentru c mzica este

apropiat n mod special de matematic, ci pentru c parametrii muzicali pot fi transformai i

organizai folosind tehnici matematice, i vice versa. Sistemele de semne care stau la baza muzicii

(notaii) i matematicii (numere) sunt la un punct, compatibile. Relaiile matematice i simetriile

au fost folosite pentru a determina structura muzical.


12

Teorii semiotice n matematic i muzic

Teoriile semiotice semiotice au descris comunicarea ca un proces linear unde informaia a fost

direct transferat de la o persoan la alta. n schimb, Charles S. Pearce a dezvoltat clasificarea

triadic a procesului semiotic, cu sistemul subiect-obiect-semn. Totui, acest sistem definete

procesele de comunicare. Mai mult, muzica, nu a fost privit ca un sistem de semne, n primul

rnd pentru c nu toate semnific un obiect (Spychiger, 2001, p. 55), i de asemenea pentru

c nu este baza unui proces valid de comunicare.

Alfred Lang (1993) a ezvoltat un model semiotic bazat pe cum o persoan se raporteaz la

lume. Privete sistemele de semne ca baza a percepiei i aciunii umane ntr-un mod continuu,

dup cum este artat ntr-un ciclu de funcionare semiotic (figura 1).3 Aceast abordare neag

nevoia unei distincii dintre subiect i obiect, i n schimb difereniaz procesele care au loc n

interiorul persoanei i [] n afara persoanei (Spychiger, 2001, p. 57), folosind termenii de

presentant (n locul obiectului) i interpretant (n locul subiectului). Apoi, procesele mentale

muzicale au loc ntr-un mod circular; o percepie muzical (IntrO, ce intr) duce la o experien

muzical (IntrA, ce se ntmpl n interiorul persoanei) care poate evaca producia muzical

(ExtrO, ce iese din persoan n lume). Aceste aciuni muzicale se manifest apoi n afara unei

persoane ca cultur muzical (care este ExtrA, ibid., p. 58). Acest punct nchide ciclul, care apoi

creaz din nou noi oportuniti de percepie muzical (ca sgeile prezentate n figura 1).

Figura 1: Modelul psihologic general al relaiei persoanlume. Ciclul funcionrii semiotice (conform lui Lang, 1993)

experiencing, thinking, feeling, memory = experinmentarea, gndirea, simirea, memoria

perception in the action = percepie n aciune

person, world = persoan, lume

human culture, environment with all living creatures,objects = cultur uman, mediu cu toate creaturile vii, obiecte

3 Rezumat n Spychiger (2001, p. 56).


13

nelegerea muzicii ca un sistem de semne independent face posibil compararea de ctre

noi a acestui sistem cu alte sisteme, ex. cele matematice, fr a neglija motivul independent

pentru muzic. Putem cuta i gsi principii muzicale care pot fi explicate matematic. Muzica

este plim de simetrii i notarea este un sistem cu o acuratee matematic.

Cu gndirea linear lsat n trecut, au fost posibile mult mai multe sisteme de semne i mai

multe aspecte comunicative (gesturi, mimic) au putut fi observate ca sisteme de semne

independente. n comunicarea efectiv, toate aceste sisteme interacioneaz i construiesc un

fascicul semiotic (Arzarello, 2015). n teoriile educaionale moderne pentru predare i nvare,

aceste fascicule joac un rol important, deoarece, cu aceast abordare, procesul de predare i

interaciunea din sala de clas pot fi descrise mult mai precis.

Pentru c matematica i muzica sunt sisteme de semne adecvate i datorit teoriei

fasciculelor semiotice, proiectele interdisciplinare pot cpta un nou neles. Aa cum gesturile

i mimica completeaz comunicarea fonetic, matematica poate fi folosit pentru a explica

muzica, i vice versa. Pentru a-i da un ume simplu, folosim termenul metafor ex. principiul

matematic al celui mai mic multiplu comun este o descriere metaforic a proceselor poliritmice.

Vice versa, supratonurile sunt metafore pentru raporturile i fraciile de lungime constant.

Exact ca metaforele n versuri, metaforele nu reprezint chiar principiul de baz, dar ne ajut s

nelegem relaiile i principiile.

Chiar dac nu credem c muzica este un sistem matematic i vice versa, exist numeroase

conexiuni ntre ambele lumi (Bamberger, 2010; Brning, 2003; Christmann, 2011; Lorenz,

2003). Cu conceptul de fascicule semiotice, vrem s dezvoltm medii de nvare creative (aa

cum a fost prezentat mai detaliat n capitolul 4.1) pentru a aduce laolalt mai multe sisteme

semiotice.


15

3 Bazele nvrii

3.1 De la sarcini la construcie

Acest capitol ridic dou aspecte ale nvrii. Sarcinile simbolizeaz punctul de ncepere al

proceselor de nvare. Sarcinile pot fi caracterizate n aa fel nct acestea se vor referi mereu

la ceva care lipsete (Girmes, 2003, p. 6). n acest mod, sarcina va fi transformat ntr-o surs

de nvare, pentru c elevii vor avea nevoie s corecteze deficitul identificat. Bineneles, este

necesar s fac diferena ntre sarcinile de via i sarcinile la coal (cf. Girmes, 2003, p. 8).

Sarcinile de via apar n ntlnirea dintre om i lume fr ca cineva s formuleze o sarcin

pentru alii... (ibid.). Sarcinile n coal, aa-numitele sarcinile de nvare (ibid., p. 10), sunt

etapizate i proiectate profesional.

n procesul construciei sarcinilor, condiiile cadrului instituional i viziunea profesorului

asupra lumii devine operativ. Gradele de libertate unor asemenea sarcini pot fi de la sczute la

mrite. Gradele de libertate se refer la libertate de aciune acordat elevilor n timp ce execut

sarcina. Dac procedurile i rezultatele sunt definite exact, libertatea de aciune pentru elevi este

foarte sczut. Pe de alt parte, gradul de libertate la sarcinile deschise, care sunt ncorporate n

medii de nvare, este de obieci mare. Conform cunotineleor individuale anterioare, abilitilor

cognitive, interesele i motivaiile elevilor pot fi conduse n diferite modaliti atunci cnd se

proceseaz sarcinile. Aceste modaliti diferite conduc de obicei la rezultate diferite, care se afl

n intervalul de rezultate posibile.

Conceptul de construcie reprezint urmtorul proces de nvare. Acest concept subliniaz

activitatea proprie a persoanei individuale. Profesorul face sugestii, care sunt preluate de ctre

cei care nva pentru a sprijini construcia cunoaterii activ i auto controlat. Suplimentar,

inclusiv momentele situaionale ale situaiilor concrete de nvare se axeaz pe importana

proceselor de interaciune dintre profesori i elevi (Gerstenmaier & Mandl, 1995; Greeno, 1989)

n scopul adoptrii cadrelor instituionale, socio-culturale i motivaionale, precum i condiiile

prealabile volitive ale elevilor.

Confruntarea sarcinilor n matematic reprezint un aspect central al muncii educaionale

obinuite a profesorilor i elevilor. Ca rspuns la diversitatea elevilor, sarcinile sunt ordonate n

prezent ntr-o modalitate care le permite elevilor s aleg diferite abordri, ex. acetia pot fi

procesai la nivelul respectiv al elevilor i premizele lor matematice sau muzicale. Deseori, dup

o faz a ocuprii individuale cu o sarcin, abordrile singulare sunt discutate n grupuri mai mari.

Activarea elevilor, n sensul descoperirii matematicii sau muzicii, ocup primul plan.

Foarte des, abordarea lucrului n perechi permite (cf. Barzel, Bchter, & Leuders, 2007,

pp. 118123), n prim instan, individului s analizeze sarcina, neinfluenat de ideile altor elevi.

Se vrea ca etapa de perechi s fie un schimb cu partenerul de nvat; natura publicului limitat a

acestei faze ofer spaiu pentru ideile nefinalizate. Doar n ultima etap este introdus sala de

clas public. Aceasta este frecvent efectuat sub form de prezentri, care sunt apoi discutate

n plen. Aceast metod de tratare a sarcinilor conduce la construcii individuale de cunoatere,

care, n cadrul etapelor de pereche i de nprtire, pot fi dezvoltate ulterior n sub form de


16

discuie; n final, aceasta duce la procese constructive n colaborare. Conceptul de construcie

prin colaborare se refer la o construcie de cunoatere mprtit i obinut prin schimb social

(cf. Brandt & Hck, 2011).

Contrar nvrii matematice, nvarea muzical deseoeri ncepe cu procese de grup. n

cadrul grupului, nvarea muzical caracteristic prin intermediul interaciunii este posibil, ex.

cerin i rspuns (Spychiger, 2015a, p. 57). Experienele cu eficiena aciunilor individuale

versus fundalul aciunilor obnuite sunt importante n leciile muzicale. De exemplu, un individ

care cnt ntr-un cor ca parte a unui tot mai mare este capabil s obin expresivitate n

performaele obinuite (Spychiger, 2015a, p. 53). Mai mult, imitaia joac un rol important n

procesele muzicale de nvare, n special n timp ce predm / nvm pe cineva s cnte la un

instrument.

Ambele procese de nvare, n matematic precum i n muzic, se ntreptrund ntre polii

nvrii individuale i nvarea n grup ntr-o modalitate circular pentru a mbunti

abilitile de rezolvare a problemelor. mpreun, nvarea matematic i muzical ntr-un sens

constructivist poate fi descris ca un proces orientat spre aciune, situaional i social (cf.

Reinmann-Rothmeier & Mandl, 2001; Spychiger, 2015a).

Sarcinile de nvaare care sunt etapizate n activitile proiectului EMP prezint potenial

pentru principiile de construcie i construcie n colaborare i ocup abordrile metodice ale

matematicii i muzicii.

3.2 Percepie i aciune

Percepia i aciunea sunt elemente centrale n ciclul de funcionare semiotic, care desciru

interaiunea individ- lume: percepia ofer informaii persoanei n timp ce, prin aciune, persoana

interacioneaz cu lumea. n interiorul individului,percepia creeaz cunoatere i aciunea creaz

cultur n lume (see chapter 2.3, figure 1).

n educaia muzical, aceast unitate nu a fost mereu evident, pentru c timp de muli ani

educaia muzical nu a nsemnat mai mult dect lecii de cntat. Doar ncepnd cu anii 1920 (n

Germania), cu reforma lui Leo Kestenberg, educaia muzical s-a dezvoltat ca apoi s-i gseasc

un loc n comunitatea tiinific, devenind o preocupare n educaia profesorilor, precum i n

coli.

Cu toate acestea, pentru o lung perioad de timp, aciunea i percepia au fost aspecte

concurente n filosofia educaiei muzicale (Spychiger, 1997). Cunoscut n mod special este

discuia dintre Bennett Reimer i David Elliott. Reimer, pe de alt parte, a afirmat c

programele muzicale colare exist [doar] pentru a furniza comunitilor o varietate de servicii

sociale (Reimer, 1989, p. 24). Ca o consecin, el a vrut s ntreasc percepia (experienele

estetice) muzicii n cadrul curriculumului.

David Elliott, pe de alt parte, criticic prevalena mzicii clasice n curriculum i a

conceptelor de nvare corespondente, n special lipsa de acceptare a elementelor afective

(Elliott, 1987). mpreun cu Christopher Small, Elliott sprijin compunerea muzicii musicking


17

ca element central n sala de clas (Elliott & Silverman, 2014; Small, 1998). mpreun cu ciclul

de funcionare, Maria Spychiger prezint importana ambelor elemente aciune i percepie

pentru educaia muzical (Spychiger, 1997), aa cum a fost prezentat n modelul general pentru

viaa uman ca ntreg.

n educaia matematic modern, interaciunile percepiei i aciunii devin, de asemenea,

din ce n ce mai multe i mai importante. Niveluri diferite de comunicare vor lucra mpreun n

fascicule semiotice (Arzarello, 2015) i studenii folosesc cicluri de aciune i percepie pentru a

dezvolta nelegerea matematic.

Un element central al matematicii este observaia atent. Identificarea modelelor i traducerea

lor ntr-un sistem de semne este o sarcin matematic central. Repetiiile i deci, regulile pot fi

gsite prin observarea simbolurilor scrise. Aceste reguli sunt baza pentru ncursiunile n

matematic. Pe durata leciilor, studenii reconstituie aceast abordare, sarcinile matematice

servesc ca stimuli pentru activitile efectuate pe hrtie. Cu analizarea acestor activiti, bazat

pe percepie, regulile pot fi gsite i transformate n contientizare.

Descoperirea aspectelor matematice n fenomenele zilnice funcioneaz n aceeai manier.

Un proces de modelare transfer aspectele centrale ale situaiilor reale ntr-un model realist care

conine elementele structurale centrale ale situaiei reale. Aceasta este fundaia unui model

matematic. Aciunea foreaz copiii s descopere reguli matematice i principii structurale n sala

de clas. Aici, nvarea matematicii ar fi conceptul corespondent al musicking producerii

muzicii. Toate activitile prezentate combin elemente de aciune i percepie pentru a deschide

minile i de a ncuraja emoiile.

3.3 Acumularea experienei

Activitile dezvoltate n acest proiect au menirea de a deschide mediile de nvare n care

experienele matematice i muzicale pot fi formate. Coninuturile muzicale i matematice sunt

fuzionate. Acestea ar trebui s furnizeze descoperiri pentru ambele subiecte. Mediile de nvare

interdisciplinare ncadreaz acest coninut n mod diferit i deci permit experiene care nu sunt

posibile n situaiile de nvare orientate spre subiect.

Aa cum John Dewey (1925; 1980/1934) a neles-o, experiena este un eveniment

global, interactiv, care nu conine doar componente cognitive, ci i afective, emoionale i

emoionale (Neubert, 2008, pp. 234235). Adoptm abordarea lui i nu punem cogniia n

centrul nvrii, ci experiena. Mai nti, nante de reflecie i gndire, suntem cufundai n

emoii, percepie estetic i afiri situaionale curente (ibid., p. 235).

O secven este scoas intuitiv din irul evenimentelor (Spychiger, 2015b, p. 111), i este

transformat n experien din aceast subliniere. Experienele reale sunt o unitate limitat

temporar cu o cantitate emoional, un caracter descriptiv i un coninut care poate fi denumit:

Acele lucruri, despre care spunem atunci cnd ni le amintim, accea a fost o experien []

o ceart cu cineva care a fost cndva un cadru intim, o catastrof care n cele din urm putea

fi nlturat ntr-o clipit [], acea mas n restaurantul din Paris [] (Dewey, 1980/1934,

p. 37). Conform lui Dewey, experienele sunt marcate suplimentar de ctre caracterul lor


18

cumunicativ. Prin interaciune, oamenii pot participa la experiena altora i pot avea un potenial

ctig din alte perspectivele asupra experienelor proprii (cf. Neubert, 2008, p. 238).

stream of events = irul de evenimente

sequence taken out of the stream of events through reflection = secven extras din irul de

evenimente prin reflecie

an experience = o experien

conscious = contient

preconscious = precontient

subconscious/unconscious = subcontient/incontient

Pe fundalul lui Dewey, activitile EMP-Maths furnizeaz medii unde experienele sunt

posibile.

Activitile EMP-Maths sunt dezvoltate pentru a provoca ncurcarea evenimentelor

muzicale i matematice (vezi figura 2). Baza situaional pentru ca participanii s aib noi

experiene cu matematica i muzica, sau cu albele, este creat prin axarea pe o selecie singular

de evenimente, de exemplu prin reflecie i discuii n cadrul grupului. Aceast abordare poate

ajuta la modificarea imaginii incotiente a matematicii i a muzicii prin experiene din activitile

EMP-Maths.

Figure 2: Experience (Spychiger, 2015, p. 112)


19

4 Aspectele educaionale i structura exemplelor

4.1 Mediile de predare i nvare

Termenii predare i mediu de nvare au fost dezvoltai ntr-o perioad cnd erau

dezvvoltate alternativele la educaia centrat pe profesor. Cutarea de noi forme de predare i

nvare este deseori legat de schimbarea atitudinii fa de nsi nvarea. Astzi, abordrile

constructiviste ne modeleaz nelegerea nvrii. Ideea dominant a nvrii este c este un

proces de construcie situaional a cunoaterii, care este ncorporat n context i cultur

(Greeno, 1989). Mai mult, se presupune c nvarea este construit ntre elev i profesor

(Krummheuer, 2007, p. 62).

nvarea n cadrul mediilor de nvare, care sunt privite ca construcii ale cunoaterii, este

bazat pe principii de proiectare. Aceste principii i gsesc propria exprimare n diferite abordri

de instruire constructiviste. Exemple de asemenea abordri sunt abordarea de instruire ancorat,

abordarea flexibilitii cognitive i abordarea uceniciei cognitive. Aceste aborri, care dateaz din

anii 1990, au un aspect n comun: profesorii proiecteaz o camer de nvare n care elevii

sunt practic iniiai n gndirea i acionarea profesional. Aceste tipuri medii de predare i

nvare pot fi caracterizate n urmtoarea modalitate: Un mediu de nvare este un loc unde

oamenii pot folosi resursele pentru a nelege i construi soluii utile la probleme (Wilson, 1996,

p. 3). Definiia pentru acest tip de mediu de nvare constructivist este, conform lui Wilson

(1996, p. 5):

... un loc unde elevii pot lucra mpreun i se pot ajuta unul pe altul, pe msur ce folosesc o varietate de unelte i resurse de informaii, n cadrul ghidrii permise n activitile cu scop de nvare i de rezolvare a problemelor.

Aceast definiie prezint clar faptul c mediile de predare i nvare creaz spaii pentru elevi

i, n acelai timp, sunt proiectate de ctre profesor. Deci, nvarea n aceste medii este nc

instituionalizat, aa cum este anterior planificat i proiectat n mod specific, dar genereaz

specii creative pentru ca elevii s fac contact cu materialul ei nii.

Privitul instruciunilor ca un mediu subliniaz locul sau spaiul unde apare nvarea. Un mediu de nvare este compus din minimum un elev, un loc sau un spaiu unde elevul acioneaz folosind unelte i dispozitive, colecteaz i interpreteaz informaii, interacionnd poate cu alii, etc. (Wilson, 1996, p. 4).

n prezent, termenul de mediu de nvare apare deseori mpreun cu termenul a diferenia,

mai ales n combinaie cu diferenierea natural. Este important ca studenii/elevii s-i

gseasc propriile metode de a nva, ritmul propriu de nvare i propria metod de a-i crea

propriile revelaii individuale. n ultimul timp, termenul de construcie cu cooperare pare s fie

din ce n ce mai important. mpreun cu termenul de constrctucie n colaborare, realizarea

proiectului individual capt un caracter cultural (Brandt & Hck, 2011, p. 249).

n domeniul matematicii, este numit mediu de nvare substanial, mediul care are

urmtoarele aribute:


20

Substana matematic cu structuri i modele vizibile (cadrul profesional); orientarea ctre aspecte centrale; potenial cognitiv mare de activare; activitate orientat ctre coninuturile i procesele matematice; iniierea independenei tuturor elevilor; ncurajarea metodelor individuale de gndire i de nvare, precum i forma proprie de prezentare a elevilor; acces pentru toat lumea: activitatea matematic trebuie s fie posibil la nivel de baz, folosirea abilitii de a face conexiuni cu cunotinele anterioare; provocri pentru cursanii care nva repede cu probleme solicitante; facilitarea schimbului social i a comunicrii matematice (Hirt & Wlti, 2008, p. 14; translation by Peter Ludes).

Aceste caracterizri ale mediilor de nvare pot fi transferate activitilor din proiectul EMP-

Maths. Acestea ofer foarte des potenial nalt de activare cognitiv, care poate fin intensificat

de experiena fizic. Accentul rmne n mod clar pe activitatea proprie a studenilor. Activitatea

i experiena mutual creaz camere de descoperire pentru cursani, care integreaz procesul de

nvare individual cu interconexiunea matematicii cu muzica. n astefl de camere, care sunt

deschise pentru ideile copiilor, pot fi create noi medii de nvare. Dup cum arat Cslovjecsek

i Linneweber (2011), cursanii devin colaboratori substaniali n procesul de predare i nvare.

4.2 Rolul materialelor i al spaiului

Materialele sunt desemnate pentru numeroase procese diferite de nvare matematice.

Materialelele servesc ca unelte pentru imaginaie, iniierea de procese de gndire i facerea lor s

fie explicite (cf. Hlswitt, 2003, p. 24). Materialele vizualieaz gndurile matematice i ajut n

procesele de nvare. Structurile obiectelor matematice, ex. numere, sunt materializate.

Imaginile mentale pot fi construite de ctre activiti cu aceste materiale matematice, ex.

secvenele de micare sunt nlocuite cu imagini mentale (Vogel, 2014). nvarea muzical este

nsoit de sunet i instrumente muzicale, precum i de elemente vizuale i ritmuri. n acest mod,

materialele muzicale servesc ca parte a produciei muzicale. n cadrul teoretic, conceptul

imaginilor mentale este mai puin evideniat; ba din contr, interaciunea dintre elev i material

devine focalizat (Vogel, 2014, p. 231).

Conform lui Vygotsky, un material are funcia unui mediator:

Funciile mentale superioare exist de ceva vreme ntr-o form distribuit sau mprit, cnd elevii i mentorii acestora folosesc noi unelte culturale mpreun n contextul rezolvrii unor sarcini. Dup obinerea (n terminologia lui Vygotsky nseamn adecvat) unei varieti de unelte culturale, copiii devin capabili de folosirea independent a funciilor mentale superioare (Bodrova, E. & Leong, D.J., 2001, p. 9).

Materialele, i n special aciunile ghidate asociate cu materialele, reprezint un limbaj

tehnic, o abordare i o gndire funcional, o cultur axat pe subiect. Materialele pot deci, s

garanteze accesul la lumea axat pe subiect. n acelai timp, materialele ofer oportunitatea de a

include lumea elevilor (Vogel, 2014). Materialele ocup funcia de mediere n nvarea

matematic,precum i n nvarea muzical. Educaia timpurie ncepe deseori cu materialele de

joac ale copiilor (jucrii). Funciile sunt desemnate acestui material de joac n procesul de

nvare matematic sau muzical. Un set de obiecte este transformat ntr-o reprezentare a

numrului, alocarea aranjamentelor de pe mas fiind privit ca relaii de funcionale, i cratia

sau cana devin un instrument care scoate sunete.


21

Incluznd spaiul din crearea mediilor de nvare permite considerea corpului uman ca

fiind o a treia dimensiune. Individul se experimenteaz pe el nsui/ ea nsi ca o a treia

dimensiune. Seciunile de micare i aciune ale corpului pot fi interpretate matematic (Vogel,

2008). Micrile corpului, cum ar fi btutul din palme, pot fi mijloace de producie muzical.

4.3 Structura exemplelor

Acest manual al profesorului include ase exemple care dau o impresie a posibilitilor de

combinare a matematicii i muzicii n sala de clas. Structura data urmeaz un model de design

didactic. Modelele de design au fost prima oar dezvoltate de ctre Alexander et al. (1977), i au

fost apoi adoptate pentru aria de predare i nvare (Vogel, 2014, p. 232). Modelele de design

descriu probleme repetitive i furnizeaz soluii generalizate pentru acestea (Vogel &

Wippermann, 2011). Acest lucru este realizat printr-o structur formal care descrie (didactic)

situaiile (modelele) ntr-o modalitate deschis, dar totui standardizat. Exemplelel trebuie s

treac prin cteva revizii nainte s ajung n starea lor final.

Urmtoarele exemple, prezentate n capitolul cinci, sunt toate structurate n patru pri

principale, din care a treia, Implementarea, descrie coninutul activitii.

Figura 3: Structura continu a tuturor exemplelor din seciunea 5

Partea I: Prezentare general

Aceast seciune furnizeaz informaii generale referitoare la fiecare exemplu pentru a gsi uor

activiti adecvte pentru fiecare scop. Cuvintele cheie date i scurta descriere furnizeaz o

incursiune rapid n activitate. Ca multele exemple construite pe idei simple, profesorii pentru

clasele de avansai pot lucra cu aceast revizie i cu o scurt privire n seciunea trei. Dar nelund

n seamn o privire la variaiile n orice caz, pentru c noi considerm c aceasta este cea mai

important parte pentru dezvoltarea ulterioar.

Conectat cu acest manual este o list de aptitudini cheie i nsuiri eseniale pentru

matematic, dar i pentru muzic. Fiecare activitate este conectat la aceast colecie de subiecte,

pentru c acestea sunt prezentate n diferite documente oficiale ale tuturor statelor partenere.

Prezentare general

Titlu

Subiect

Cuvinte cheie

Scurt descriere

Atribuiri la colectarea de subiecte legate de matematic i muzic

Deliberri pregtitoare

Cerine preliminare n matematic

Cerine preliminare n muzic

Conexiuni ntre matematic i muzic

Implementare

Scopuri

Grupul int

Scala de timp

Abrodarea standard

Materiale, imagini, muzic

Alternative

Alternative

Abordri ulterioare n muzic

Abordri ulterioare n matematic


22

Partea II: Deliberrile preparatorii

Prin deliberrile preparatorii se asigur faptul c copiii au suficiente cunotine i abiliti

necesare pentru aceast activitate. Unele dintre acestea pot fi mai importante dect altele, dar

activitile sunt menite s fiue distractive i ar trebui s fie uor de manipulat de ctre copii fr

dificulti majore. V rugm s v asigurai c observai cu atenie aceast seciune.

Partea III: Implementarea

A treia seciune ofer scurte instruciuni referitoare la cum poate fi implementat n coal.

Abordarea standard oferot furnizeaz un ghid referitor la cum se poate ncepe. Urmeaz ideea

unuei traiectorii line.4 Este mai mult dect o introducere rapid i nu poste nlocui o pregtire

adecvat a leciilor i a subiectelor. n plus, scopurile, grupul int i scara de timp preconizat

ofer mai multe informaii detaliate care pot fi folosite pentru pregtirea activitii.

Partea IV: Alternative

Altenativele nu prezint doar abordri diferite pentru activitatea dat, dar mult mai mult dect

att, acestea se vor ca un deschiztor de drumuri ctre o lume a nvrii transversale a subiectului

dat al activitii. Activitile date n manualul profesorului sunt scurte i uoare intenionat.

Fiecare activitate poate fi privit ca o poart ntr-un nou univers de idei.

Exemplele prezentate n capitolul 5 sunt afiate n ablonul prezentat n figura 5. ablonul

folosete pictograme pentru o orientare rapid n cadrul prilor: Partea I, prezentarea general,

apare cu un ochi. Partea II, descrierea pregtitoare a cerielor preliminarii n matematic i muzic,

folosete imaginea unui carneel de notie. Aceast parte colecteaz de asemenea idei de fundal cu

privire la conexiunile dintre matematic i muzic, i este este cea mai intelectual parte a

prezentrii. Pictograma pentru partea III prezint o pies de puzzle. Acest lucru nseamn c

aceast activitate cu scopurile i caracteristicile sale este o contriubuie concret la idea

general din fundalul acestei abordri de nvare: transpunerea sunetelor n matematic sau

transpunerea matematicii n sunete. n final, pictograma pentru partea IV, prezint dou sgei

4 Liebetrau (2004, p. 9).

Partea I Prezentare general

Part IV - Alternative

Partea II Deliberri preparatorii

Part III Implementare

Figura 4: Structura exemplelor cu pictograme


23

orientate n direcii diferite. Sub acest paragraf, sunt date variaii ale activitii, nct profesorii

s dispun de mai mult de o modalitate de executare a acesteia, i poate, s-i ncurajm s

gseasc noi modaliti ei nii.

Figura 5: Sablonul exemplelor


25

5 Exemple

5.1 Metode de transpunere n sunete n jurul colii

Tem

Metodele de transpunere din jurul colii se refer la peisajele sonore, relaiile acestora i posibilele lor reprezentri.

Cuvinte cheie

Peisaje sonore (medii acustice), ascultare, cronologie, relaii

Scurt descriere

n aceast activitate, elevii vor asculta sunete din mediul colar, le vor aloca unei cronologii i vor exlora sunetele singuri.

Numirea temelor / nucleul muzicii i al matematicii

Muzic: Aprecierea muzicii i contientizarea fonetic prin ascultare,percepia difereniat a sunetelor; abilitatea de a descrie sunetele i zgomotele n conformitate cu aspecte variate; recunoaterea volatilitii sunetelor i a zgomotelor; notarea grafic

Matematic: Geometrie (lungime, transformare); msurare (lungime); numere (estimare i comparaie); orientare spaial; orientare temporal; ordonare; relaii(i/sau, nainte, dup, simultan, etc.); i teoria mulimilor

Aspecte preparatorii

Cerine de cunotine matematice

Aptitudini de baz n orientarea spaial i estimarea timpului i distanei.

Cerine de cunotine muzicale

Aptitudini de baz n contientizarea fonetic a sunetelor nconjurtoare.

Conexiuni dintre matematic i muzic (inclusiv beneficiile suplimentare ale nvrii)

Ascultarea unui sunet de mers i recunoaterea sunetelor nregistrate care conecteaz orientarea spaial i estimarea timpului i distanelor cu

contientizarea fonetic a sunetelor mediului.

Alocarea sunetului/evenimentului unui anumit moment n timp este legat de alocarea distanei /timpului n matematic. Crearea diagramelor n conformitate cu criteriile diferite (distan, surs, durat, intensitate) conduce la anumite aspecte ale teoriei mulimilor.


26

Implementarea activitii

Scopuri

mbuntirea abilitilor i capacitilor de ascultare ale elevului pentru a descrie sunetele. Dezvoltai o modalitate de nelegere a faptului c sunetele sunt de multe ori de moment i c percepiile i amintirile sunetelor sunt subiective. Asigurai-v c folosii corect cronologia i grupai sunetele n mulimi n conformitate cu criterii diferite. Gsii ordonri (cel mai apropiat pn la cel mai ndeprtat, cel mai zgomotos pn la cel mai slab, primul pn la ultimul, etc.).

Grupul int (vrsta studenilor, dimensiunea grupului, studeni speciali, etc.)

Vrste: 611 ani (+), pn la 30 de studeni. Discuiile pot avea loc de asemenea n grupuri mai mici.

Timp

30 de minute pentru abordarea standard

Activitate Abordare standard

Pregtire: Profesorul nregistreaz zgomotele produse de mers (pentru definiie, vezi resursele) n jurul colii. (cnd purtai pantofi zgomotoi, podelele i camerele vor suna ca o combinaie de multe alte sunete i zgomote ale mprejurimilor.)

1. n sala de clas, studenii ascult cu atenie nregistrarea. Ca i la ascultat, ei scriu sau deseneaz ce cred c aud pe nregistrare.

2. Colectarea rspunsurilor pe cartonae i discutarea acestora cu clasa de elevi. Sortai-le n diferite moduri (surs, form, distan, intensitate sonor, etc.) prin crearea de clustere i punerea lor n relaie cu celelalte.

3. Alocai sunetele cu cursanii cronologic, reprezentate pe o tabl sau pe podea, cu o line sau o sfoar i crlige de rufe. Discuia poate ncepe cu ordonarea sunetelor i mai trziu poate avea loc o discuie legat de ct timp exist ntre diferitele evenimente.

4. ncercai s scoatei acelai sunet produs de mers cu cursanii (acest lucru poate fi executat n orice alt zi).

Materiale, imagini, muzic Dispunerea spaial a materialelor

Propriile nregistrri, preferabil ale unui sunet produs de mers n jurul colii (v sugerm cu trie ca aceast plimbare s nu aib mai mult de dou minute)

Dispozitive de nregsitrare (aplicaii ale telefonului mobil, reportofoane, etc) (aplicaia recomandat de noi pentru telefonul mobil este soundOscope)


27

Alternative

Alternative

Facei o alt nregistrare (sau folosii una fcut de ctre cursani) i conparai-o cu prima care era zgomotul produs de pai. Ce este nou, ce este la fel i ce s-a schimbat? ncercai s introducei noi sunete i zgomote n prima cronologie.

Grupurile de cursani creaz / alctuiesc o nou nregistrare cu zgomotul produs de pai aproape de coal i o extind i-o exploreaz nconformitate cu abordarera standard (ex. n alt moment al zilei sau alte condiii meteo).

n clasele mai mari, dispozitivele de navigare GPS care urmresc i apoi afieaz o rut (ex. pe o hart online ca Google Maps) poate fi folosit.

mpri-i nregistrrile cu zgomotul produs de pai cu clasele de la alte coli.


Combinai sunetele variate cu un scor muzical i cntai-le cu instrumente. Folosii sunete individuale ca mostr pentru crearea unui ritm.

Inventai o notaie n scopul descrierii sunetelor. Inventai semnale diferite, adecvate pentru diferite sunete i dezvoltarea acestora.

Folosind un reportofon, sunetele tipice pot fi nregistrate. Cine cunoate locurile / sunetele din apropierea colii, cartierului i din ora? nafar de materiale, este posibil ntocmirea unui chestionar sau a unui joc de orientare, cu popsibila participare a altor clase de elevi i /sau prini.


Elevii vor desene hari ale zgomotelor scoase de pai i le vor compara.

Pregtii o hart i mprii-o n clustere sau puncte care sunt conectate de ci de acces. Cursanii vor ncerca s gseasc o cale pe hart care le permite acestora s traverseze fiecare cale o singur dat. Alternativ, ei gsesc cea mai scurt cale de a traversa fiecare punct de pe teritoriul colii. Dup aceea, acetia fac o nregistrare a acestei ci.

Msurai distana la care fntna, strada sau clopoelul colii poate (nc) fi auzit n diferite condiii (vreme, zgomot, or).

Colectai i identificai sunetele specifice mersului pe o perioad mai lung de timp i grupai-le n seturi. Cteva dintre ele vor fi total diferite, n timp ce altele se pot suprapune, ex. o autostrad pentru motociclete sau camioane este o invenie uman, pe cnd un curs de ap este natural. Att zgomotele cursului de ap, ct i cel al autostrzii sunt continui, dac nu te miti.

nregistrai aceleai zgomote produse de mers n timp ce variai ritmul cu pantofi cu talpa tare. Oprii-v i apoi mergei napoi.

Referine

Software soundOscope:

https://itunes.apple.com/ch/app/soundoscope/id494240165?mt=8

Cslovjecsek, Markus (et al.): Mathe macht Musik, Impulse zum musikalischen Unterricht mit dem Zahlenbuch 3 und 4, Klett und Balmer Verlag, Zug, 2004, p. 23, p. 69.
https://itunes.apple.com/ch/app/soundoscope/id494240165?mt=8


28

Westerkamp, Hildegard (1974): Soundwalking. In: Sound Heritage III/4. [http://www.sfu.ca/~westerka/writings%20page/articles%20pages/soundwalking.html, 29.1.2015]

Dietze, Lena (2000). Soundscapes Klanglandschaften, Soundwalks Klangspaziergnge. In: L. Huber & E. Odersky (Hrsg): Zuhren-Lernen-Verstehen (S. 92-103). Braunschweig: Westermann, Reihe Praxis Pdagogik.

Schafer, R. Murray (2010). Die Ordnung der Klnge. Eine Kulturgeschichte des Hrens. Mainz: Schott.

Schafer, R. Murray (1977). The Tuning of the World. New York: Knopf.

Schafer, R. Murray (1994). Soundscape: Our Sonic Environment and the Tuning of the World. Rochester, VT: Destiny Books.

Exemple de zgomote produse de mers pe YouTube


29

5.2 Srii pe ritm: relaii de multiplicare i msura

Tem

Aceast activitate folosete o aplicaie concret fizic, timbru i msur pentru a ncuraja copiii s foloseasc modelul i ritmul pentru a dezvolta o nelegere mai profund a relaiilor de multiplicare.

Cuvinte cheie

Msur, ritm, relaii multiplicative

Scurt descriere

Prin numrarea msurilor cu vocal i tare ntr-un cer, comninat cu elemente de percuie corporal, copiii i dezvolt ulterior nelegerea relaiilor de multiplicare. Att msura muzical, ct i relaiile de multiplicare vor fi evideniate n aceast activitate.


Muzic: Puls, msur i ritm; practical music making

Matematic: Gndirea matematic i efectuarea de conexiuni; comunicarea ideilor matematice; relaiile numerice nmulire, estimare

Aspecte pregparatorii

Cerine de cunotine matematice

Adunare, nmulire, modele


Coordonare fizic (btutul din palme / btaia din picior), ritm

Conexiuni ntre matematic i muzic (inclusiv beneficiile suplimentare ale nvrii)

Relaii de nmulire i msura muzical


Scopuri

nelegerea copiilor a relaiilor n nmulire i a msurii muzicale este dezvoltat

prin axarea pe grup i realizarea concret.

Grupul int (vrsta studenilor, dimensiunea grupului, studenii speciali, etc.)

Vrste: 7+ ani, activitate cu ntreaga clas de elevi

Timp

20+ minute


30


- Stai ntr-un cerc cu copiii. Explicai c fiecare copil va spune un singur numr

de la 1 la 4 n timp ce nconjoar sala de clas, acum, ncepei cu copilul din stnga dumneavoastr i facei nconjurul clasei, numrnd 1, 2, 3, 4; continuai pn ce fiecare copil din cerc a spus un numr (1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, etc.). Repetai acest proces i obinei un ritm.

- Dup ce copiii au prins gustul acestui joc, vei aduga ceva percuie corporal. Cerei copiilor cu numrul 1 s bat din palme la auzirea numrului lor i cerei copiilor cu numrul 4 s bat din picior. Atunci cnd facei nconjurul clasei, terminai la numrul 4? Pot copiii s explice de ce se ntmpl acest lucru?

- Este foarte probabil ca runda s nu se termine la 4. Dac acesta este cazul, cerei copiilor s preconizeze de cte ori trebuie s fac cercul ca s se termine la a 4? ncercai i vedei ce se ntmpl.

- Acum, ncercai aceeai activitate cu numere diferite (ex. 1, 2, 3, 4, 5 or 1, 2, 3). Este important ca copiii s fie ncurajai s preconizeze ce se va ntmpla i de ce nainte de ncercarea activitii. Au avut ei dreptate?

- Ce observ copiii despre diferitele msuri? Exist nite msuri pe care acetia le prefer? De ce se ntmpl acest lucru?

Materiale, imagini, muzic Dispunere spaial a materialelor

Resurse: Nu sunt solicitate resurse suplimentare.

Alte considerente: Aceast activitate ar trebuie desfurat ntr-o camer unde copiii au loc s stea ntr-un cerc i apoi s lucreze n perechi.

Alternative

Alternative

- Putei ntreba copiii pentru a aduga alte elemente de percuie corporal (ex.

lovituri cu palma, clicuri) la numerele care sunt situate ntre primele i ultimele numere).

- Clasa de elevi poate fi divizat n dou sau mai multe grupuri i activiatatea poate fi apoi repetat cu fiecare grup. Ce observ acetia n acest timp? A fost mai uor sau mai greu?

- Pe baza primei activiti, copilul 2 i copilul 3 rmn tcui, dar grupul nc trebuie s pstreze tempoul, aa c singurele sunete sunt pentru btile 1 i 4.


- Copiii pot crea propriul element de percuie corporal. - Copiii pot folosi instrumente n loc de numere i percuie corporal. - Pentru o mai mare provocare, copiii pot include pauze n performanele

acestora.


- Activiti bazate pe multipli, factori, cel mai mic multiplu comun i cel mai

mare factor comun

- Activiti care implic modele i secvene - Dezvoltarea ideilor de permutri i combinaii


31

5.3 Batei din palme cel mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3 i 5

Tem

Batei din palme cel mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3 i 5 este despre folosirea percuiei corporale i a diferitelor timbre corporale, superpoziii i conexiuni n scopul rspunderii la urmtoarele ntrebri: care este cel mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3 i 5?

Cuvinte cheie

Cel mai mic multiplu comun, percuie corporal, timbru corporal

Scurt descriere

n aceast activitate, elevii vor nva trei modele de ritm ale percuiei corporale, fiecare legate de numerele 2, 3 i 5. Apoi, acetia vor juca simultan fiecare model, numrnd de la 1 la 30 n scopul gsirii celui mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3 i 5. Ascultarea diferitelor timbre corporale i va lsa pe elevi s descopere nu numai cel mai mic multiplu comun, ci i ali multipli i relaiile dintre aceste numere.


Muzic: Executarea percuiei corporale; abilitatea de a ascuta diferite timbre corporale; recunoaterea timbrelor; urmrirea btii; citirea ritmului; imitarea ritmului; precizia ritmic i obinuit; i abilitatea de a executa i aculta diferite planuri de sunet n acelai timp

Matematic: Folosii raionamentul i dovada pentru a gsi cel mai mic multiplu comun; odinea; relaiile; numerotarea; multipi (i divizori); i conexiunile

Aspecte preparatorii

Cerine preliminate de cunotine matematice

Abilitile de baz n numrare i numerotare sunt solicitate. Nu este neecsar cunoaterea celui mai mic multiplu comun; l putei face cunoscut prin intermediul activitii.


Abilitile de baz n modele de ritm (citire i imitare) sunt solicitate. Nu este necesar cunoaterea percuiei corporale; o putei face cunoscut prin intermediul activitii.

Conexiunea dintre matematic i muzic (inclusiv beneficiile suplimentare ale nvatului)

Executarea unui model de ritm obinuit prin numerele de numrare (130) n timp ce urmai btaia este legat de precizia matematic, relaii, numrare, ordin i timp.

Divizarea grupelor clasei n trei linii, fiecare executnd diferite modele de ritm, i ascutarea de timbre corporale este de asemenea legat de simultaneitatea i interrelaiile dintre numere (multipli i divizori).


32

n aceast activitate,elevii trebuie s ncerce s rezolve o ntrebare matematic prin ascultarea aceluiai timbru, aa c este neecesar urmrirea aceleiai bti i trebuie s aib aceeai precizie a ritmului.

Simultaneitatea sunetului este legat de cel mai mic multiplu comun al anumitor numere.


Scopuri

Pentru a mbunti abilitile de executare i de ritm ale cursanilor; de a ascuta i de a recunoate acelai timbru n scopul gsirii soluiei la problem sau ntrebare; de a gsi cel mai mic multiplu comun i ali multipli ai anumitor numere; de a urmri btaia i ritmul cu precizie; i de a executa modele de ritm folosind percuia corporal

Grup int (vrsta studenilor, dimensiunea grupului, studeni speciali, etc.)

Vrste: 811 ani (+), pn la 30 elevi (folosii imitaia ritmului n locul citirii lor cu studeni speciali)

Timp

Dou sesiuni pentru a nelege toat activitatea. 30 minute pentru a gsi cel mai mic multiplu comun a dou numere (2/3; 2/5; 3/5) n loc de trei numere (2, 3, 5)

Activitate abordare standard

1. ncepei cu percuia corporal a numrului 2. Profesorul prezint copiilor o

percuie corporal de 30 de bti (vezi material) i explic nelesul fiecrui simbol. Dac nivelul elevilor este insuficient, este imposibil s nvee modelul de percuie corporal prin citirea acestuia. Asigurai-v c urmai btaia prin numrarea numerelor (de la 1 la 30). Multiplii lui 2 (2, 4, 6, 8, pn la 30) trebuie s coincid cu btaia din palme. Dac elevii nu pot citi scorul, profesorul i poate nva prin imitaie, aa nct s-i mbunteasc memoria ritmului. Din moment ce studenii nva prin percuie corporal, acetia trebuie s l execute n timp ce numr pn la 30 (urmnd btaia).

2. Urmai aceeai procedur cu percuia corporal a numrului 3 (vezi materiale). Observai c acum btaia din palme este bazat pe multipli ai numrului 3 (3, 6, 9, pn la 30).

3. Profesorul divizeaz grupul casei de elevi n dou linii (fa n fa). O linie formeaz percuia corporal a numrului 2, i cealalt execut percuia corporal a numrului 3. De fiecare dat cnd este un multiplu al numerelor 2 i 3, elevii vor bate din palme n acelai timp. Prima dat cnd acest lucru se ntmpl, acetia vor gsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 2 i 3. (la sfrit, putei face o list cu multiplii comuni pe care i-ai gsit ascultnd acelai timbru (btaia din palme).

4. Profesorul poate introduce percuia corporal a numrului 5 (vezi materiale) n ncercai s gsii, folosind aceeai procedur, cel mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3 i 5. Observai c percuia corporal pentru multiplii numrului 5 coincid de asemenea cu btaia din palme. Prin punerea fa n fa a dou linii, elevii pot urma cel mai mic multiplu comun al numerelor 2 i 5 (10) sau 3 i 5 (15).

5. n final, profesorul organizeaz studenii n trei linii, dou paralele i una perpendicular, i fiecare linie execut percuia corporal a unui numr (2, 3 sau 5). Cnd toi elevii bat din palme n acelai timp, acetia vor gsi cel mai mic


33

multiplu comun al numerelor 2, 3 i 5 (30). Este necesar numrarea pn la 30, urmrind btaia n scopul aflrii crui numr din cele trei linii coincide.

6. Profesorul poate proiecta o imagine a celor trei modele de ritm suprapuse (vezi materialele) pentru a arta care dintre numere coincid cu btaia din palme (astfel nct se vor afla multiplii comuni ai numerelor 2, 3 i 5).

Materiale, imagini, muzic dispunerea spaial material

Additional materials=materiale suplimentare

Symbols=simboluri

Slap chest=lovii pieptul

Clap your hands=batei din palme

Slap tights=lovii coapsa

Stamp your feet=batei din picior


34

Alternative

Alternative

Variaia #1: n loc de folosirea percuiei corporale, folosii notele do (picioare), mi (coapse), sol (palme) i do (piept). Conceptul corzilor apare n aceast variaie. Procedura va fi aceeai; totui, n loc de folosirea modelelor ritmurilor de percuie corporal, folosii modele melodice uoare cu nota sol pentru multiplii fiecrui numr.

De fiecare dat cnd nota sol este cntat, un multiplu este gsit. n timp ce cntai, este posibil spunerea numerelor, nct ele pot fi scrise pe tabl i profesorul poate le indica n timp ce urmrii btaia, sau oferii-v voluntar s facei acest lucru sau s le spunei cu voce tare n timp ce restul elevilor cnt modelul melordic al unui numpr (2, 3 sau 5).

Variaia #2: Folosind percuia corporal, studenii sunt poziionai ntr-un cerc. Acetia fac un pas ctre partea dreapt. De fiecare dat, un elev execut btaia pentru un model de ritm dat n timp ce se rostete tare numrul btii creia-i corespunde. De exemplu, dac acetia repet modelul ritmului pentru numrul 2, acetia vor realiza faptul c elevii care au rostit numrul 2, 4, 6 sau 8 au btut din palme. Aa c, acetia dunt multipli ai numrului 2. Dac repetam activitatea cu modelele de rim ale numerelor 3 sau 5 (ncepnd cu aceeai persoan de fiecare dat), putem descoperi multiplii comuni ai acestor numere.


Elevii pot crea un model mult mai complicat de percuie corporal prin modificarea timbrului de multipli.

Elevii pot crea un model melodic pentru fiecare numr i-l pot scrie. Schimbai coarda sau modificai nota care corespunde multiplilor.

Modificai prile corpului folosite pentru percuia corporal.

Folosii instrumente pentru a executa fiecare ritm pentru a avea attea timbre ct cele folosite n percuia corporal.


Schimbai numerele i gsii cel mai mic multiplu comun i ali multipli.

Dac alegei variaia #2, ncercai s construii un cerc perfect i vorbii despre geometrie.


35

5.4 Numere sonore

Tem

Activitatea numere sonore se refer la crearea diferitelor modele acustice cu ajutorul numerelor naturale.

Cuvinte cheie

Matematic: Numere, cifre, notarea poziional a unui numr n sistemul de

numere zecimale (notri prescurtate i avansate), descompunerea unui numr

Muzic: ritm, metru, metro-ritm

Descriere scurt

n aceast activitate, elevii vor inventa diferite tipuri de modele acustice pentru

numerele naturale i vor identifica i scrie numere natural compuse din n cifre n

funcie de reprezentaia lor custic.

Numirea tuturor subiectelor/nucleul muzicii i matematicii

Muzic: Elemente de muzic (puls, ritm); utilizarea instrumentelor musicale i cntat; cntat pe ritm (imitare)

Matematic: Numere (numere naturale, valori de poziie); numerotare; notarea

poziional a unui numr n sistemul zecimalelor

Cerine obligatorii de cunotine matematice

Abiliti de baz de numrare citirea i scrierea numerelor naturale n sistemul numerar zecimal, reprezentarea grafic a numerelor cu n-cifre

Cerine obligatorii de cunotine muzicale

Cunoaterea i nelegerea principiilor ecourilor (percuia corporal, instrumente muzicale ritmice pentru copii)

Conexiuni dintre matematic i muzic (inclusiv beneficiile suplimentare ale nvatului)

Ascultarea de diferite tipuri de sunete pentru uniti (zeci, sute, etc.) i numrarea lor pentru a conecta conceptele abstracte ale sistemului numeric poziional zecimal cu modelul acustic al numrului.

Crearea i folosirea sunetelor poate ajuta copiii s neleg regulile de baz ale sistemului numeric zecimal.

Numere sonore include elemente de combinatoric.

Numere sonore este conectat de cntatul la instrumente muzicale.


36


Scopuri

Dezvoltai ideea c numerele naturale pot fi reprezentate n diferite moduri (notaie scris, reprezentri grafice (simboluri), manipularea cu obiecte mici, modele acustice). mbuntii abilitile cursanilor atunci cnd se ajunge la transformarea unui model scris al numerelor ntr-unul acustic i vice versa.

Grup int (vrsta studenilor, dimensiunea grupului, studeni speciali, etc.)

Vrste: 79 ani (+); dou grupuri a cte 4 (+) studeni; sau lucrul n echipe

Timp

20 minute pentru abordarea standard

Activitate abordarea standard

- Profesorul scrie un numr de 3 cifre n notaia lui zeciman i n

reprezentarea sa grafic (ex. 235, // --- +++++).

- Profesorul apoi face ca numrul s sune folosind btaia din picior (2x), lovirea (3x) i btaia din palme (5x). Urmtorul numr este cntat i cursanii scriu folosind cifre i semne (reprezentarea grafic).

- Cursanii dintre fiecare grup inventeaz un set de sunete n scopul codrii reprezentrii acustice a numerelor naturale (ex. patru numere de cte 3-cifre). Acetia pot folosi diferite sunete (cntatul corporal, instrumente Orff, linguri, etc.).

- Cursanii din primul grup prezint (cnt) numerele folosind codul de sunete propriu inventat.

- Cursanii din al doiles grup scriu numerele sonore (sau deseneaz un model grafic al numerelor).

- Controlai soluia i discutai: ce numere au fost cntate (reprezentate), i ce tipuri de coduri au fost folosite?

- Discutai avantajele i dezavantajele diferitelor tipuri de reprezentare ale numerelor naturale (grafic, auditiv, zecimal). Comparai diferite reprezentri ale numerelor.

Materiale, imagini, muzic dispunerea spaial a materialelor

Hrtie, pix, tabl, instrumente Orff

Elevii stau n bncile lor i lucreaz n dou grupuri sau n perechi.


37

Alternative

Alternative

- Aceast activitate poate fi de asemenea executat n perechi (educaie prin

cooperare).

- Orice teme sau instrumente muzicale (bee, triunghiuri, tobe, cni i bile) pot fi alese pentru reprezentarea sunetelor.

- Semnele sunetelor vor face ca cursanii s cnte numerele folosind modelele de semne ale numerelor; de exemplu, 235 i // --- +++++.

- Activitatea poate de asemenea s fie efectuat cu un grup de elevi mai mari, n funcie de linia selectat a numerelor (de exemplu, peste 1,000, 10,000, etc.).

- Exist spaii pentru crearea diferitelor sarcini i alternatuve bazate pe abilitile i compentenele grupului int. Din punctul de vedere al grupului int, este posibil ajustarea flexibil a sarcinii pentru orice grup de vrst sau linie de numere.


Inventai sunete diferite pentru semne n modelele grafice ale numerelor naturale.

Inventai o notaie n scopul scrierii numrului (uniti, zeci, sute).

Prin folosirea instrumentelor Orff, facei un model acustic al numerelor pentru a crea ritmul.

Notai valorile care pot reprezenta locul valorii cifrelor n sistemul numerar zecimal (ex. un sfert de not = unu, jumtate de not = zece, nota ntreag = sut).


Prin aplicarea obinuit a activitii mai sus menionate din primul an al colii gimnaziale, un nou model atipic al numerelor naturale este creat, care este diferit de cele concrete (abac, cuburi, subiecte, reprezentare grafic) care sunt de obicei folosite. Pe durata procesului de realizare, este necesar dezvoltarea proprie a reprezentrii mentale a unui numr cu multe cifre. Un numr de sunete este dezvoltat n simbolul cifrei, care este pstrat n memorie i n final nregistrat folosind terminologia matematic. Executarea activitilor mai sus menionate dezvolt procesele superioare cognitive i implic funcii executive, n special memoria activ i redistribuirea.

Referine

HEJN, M., KUINA, F. 2001. Dt, kola, matematika. Konstruktivistickpstupy k vyuovn. Praha: Portl, 2001.

SONNESYN, G. Metodologie Grunnalget Model pojmovho vyuovn (Concept Teaching Model).

CSLOVJECSEK, M., LINNEWEBER-LAMMERSKITTEN, H. 2011. Snappings, Clappings and the Representation of Numbers. The New Jersey Mathematics Teacher. Vol. 69, Issue 1, pp. 10-12.


38

5.5 Dansuri utiliznd unghiurile

Tem

Diferitele tipuri de unghiuri sunt exprimate prin diferiele poziii ale braelor i picioarelor n dansuri coregrafiate.

Cuvinte cheie

Unghiuri, micri ale corpului, modele

Descriere scurt

Se va inventa un dans coregrafiat n mediul de nvare. Dansurile trebuie s

exprime diferite tipuri de unghiuri prin diferitele poziii ale braelor i

picioarelor. Coregrafia trebuie inventat cu ajutorul unor desene pe cartonae;

mai trziu, dansatorii trebuie s prezinte creaiile lor pe muzic potrivit.

Diferitele poziii ale picioarelor i braelor trebuie s fie fluente. n funcie de

cunotineele persoanelor participante, se pot introduce diferite tipuri de

unghiuri utiliznd pozele din mediul de nvare.

Numirea tuturor subiectelor/nucleul muzicii i matematicii

Comunicarea unor idei matematice utiliznd mai multe reprezentaii; tipuri de

unghiuri diferite; recunoaterea unui model; conectarea muzicii cu micrile

corpului; i rspunsul fizic la muzic

Aprecieri preparatorii

Cerine obligatorii de cunotine matematice

- Cunoaterea diferitelor tipuri de unghiuri: unghi drept, unghi ascuit, unghi

obtuz, unghi drept

- Elementele de baz a unghiurilor: Dou picioare formeaz aria unui unghi, dou arii a unui unghi adunate formeaz 360

n dansul unghiurilor atenia este pus pe brae i picioare. Aceste pri ale corpului sunt deosebit de portivite din cauza structurii lor unit. Sunt foarte utili

umerii i genunchii. Cu ajutorul acestora, braul superior i inferior i piciorul

superior i inferior pot fi aranjate astfel nct s apar figure geometrice ale unor unghiuri.

Cerine obligatorii de cunotine muzicale

Dansul este n centrul acestei activiti de nvare. Dansul este creat prin

micarea corpului i membrelor (brae i picioare).

Legtura dintre matematic i muzic (inclusiv beneficiile suplimentare ale

nvatului)

Muzica creaz modele de sunete, care reprezint diferite dispoziii i care se vor

transforma n figuri geometrice. Un unghi ascuit are un aspect diferit de un unghi obtuz. Acest lucuru poate fi exploata n dansul unghiurilor.


39

Implementarea actiovitii

Scopuri

- Identificarea modelelor de sunet n muzic -> dispoziii - Modelele de sunet se vor transforma n micri ale corpului (dans) - Transpunerea dispoziiilor (cauzate de muzic) n micri i astfel n micri

geometrice: n tipuri adecvate de unghiuri

Grup int (vrsta elevilor, mrimea grupului, elevi speciali, etc.)

Posibil cu copii, adolesceni i aduli tineri; se va allege muzica potrivit n funcie

de vrsta participanilor

Timp

n jur de trei ore, inclusiv reprezentaia


La nceputul experienei de nvare, trebuie s se clarifice felurile unghiurilor

(unghi drept, unghi ascuit, unghi obtuz, unghi de 180 grade, etc.). Copiii care

nu cunosc aceste tipuri de unghiuri pot fi ajutai cu ajutorul unor poze reprezentative.

Dup clarificarea acestei probleme, trebuie s v gndii cum s creai diferite

tipuri de unghiuri cu diferite micri ale braelor i picioarelor. Pentru punerea

n practic a acestor considerente putei utiliza figurine de carton. Unele tipuri de unghiuri pot fi reprezentate n mai multe feluri. Exprimarea prin dans poate

duce la tensiuni diferite atunci cnd micrile braelor i corpului au un character

special. n acelai timp trebuie s avei grij ca micrile braelor i corpului s poat fi puse n practic.

Dup ce ai gsit diferitele poziii posibile, trebuie s creai o coreografie. Pentru

coreografie, trebuie s ascultai muzica care este prezentat i trebuie s v

gndii care secvene de unghiuri se potrivesc cel mai bine muzicii, i care scoate

n eviden cel mai bine caracterul muzicii .

Materiale, poze, muzic Dispunerea spaial a materialelor

Este recomandat ca coregrafia s fie planificat la mas. Astfel trebuie utilizate

figurine de carton. Figurinele de carton trebuie s aibe articulaii care se mic

(vezi poza). Cu ajutorul acestor figurine, se pot crea diferite poziii dinamice. Coregrafia final poate fi documentat cu desene.

Goethe-Universitt Frankfurt - Institut fr Didaktik der Mathematik und der Informatik SoSe 2014 Modul L1M-AM: Didaktische Aspekte der elementaren angewandten Mathematik Prof.in Dr. R. Vogel / J. Zerlik Mathematisches Situationspattern

Mathematisches Situationspattern, Rose Vogel & Melanie Huth

auer- mathematischer Gehalt

Welche Konzepte/Vorstellungen auerhalb der Mathematik werden angesprochen? Beim Fitnesstanz wird Wissen und eine Vorstellung ber den eigenen Krper bentigt. Dazu zhlt vor allem das Wissen darber, welche Bewegungen umsetzbar sind. Da die Lernumgebung die Entwicklung einer Choreografie fordert, sollten die Bewegungen neben der Umsetzbarkeit auch ein sthetisches Gesamtbild ergeben. Dabei bentigen die Kinder sowohl die Koordination ber ihren Krper als auch motorische Fhigkeiten. Auerdem ist die Kreativitt von besonderer Bedeutung.

Verbindung der beiden Bereiche

In welcher Weise stehen die beiden Bereiche in Verbindung? Der Fitnesstanz lsst sich in mehreren Bereichen mit der Mathematik verbinden. Der mathematische Bereich Winkel ist beim Fitnesstanz in der Krperhaltung wieder zu finden. Arme und Beine knnen beim Fitnesstanz in verschiedene Positionen gebracht werden und stellen dann unterschiedliche Winkel dar. Jedoch ist zu beachten, dass bei jeder Position immer zwei Winkel zu sehen sind: der innere Winkel und der uere Winkel. Den Kindern ist bei der Bearbeitung der Lernumgebung frei gestellt, auf welchen der beiden Winkel sie sich konzentrieren (das Beispiel im Podcast fokussiert den inneren Winkel).

Material Welches Material wird verwendet? Beschreiben Sie die Materialien kurz (Skizzen, Bilder usw. , gegebenenfalls auch als Anlage) Podcast: Einfhrung in das Thema Winkel, Veranschaulichung durch Bilder bersicht ber die vorgestellten Winkelarten (Ausdruck) Sieben Pappmnnchen mit beweglichen Armen und Beinen

moveable((connec+on(for(example(with(bag(bracket(


40

Alternative

Alternative

Prezentai diferite figure geometrice sub forma unui dans. Figurile geometrice

pot fi prezentate de mai multe persoane. Astfel colurile pot fi reprezentate de

o singur persoan i vrfurile de conexiunea minilor i braelor acestor oameni.

Alte abordri n muzic

Calitatea muzicii poate fi exprimat prin diferite forme geometrice. De exemplu, o muzic rapid sau nalt poate fi exprimat cu triunghiuri. Omuzic mai lent,

mai armonioas poate fi reprezentat cu cercu

European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de...

Documents

Transcript of European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de...

Concorrencia n 001 2016 Cpl 01 Seop Cont Emp Eng Exec Serv Const Creche Proinfancia Cid Povo

Materialele Conferintei Stiintifico-practice CMP Chisinau Trecut, Prezent Si Viitor

Cuprins - mecc.gov.md · prin metode și tehnici specifice, ... CS3. Aplicarea metodelor CMP și FIFO la determinarea valorii curente a stocurilor; CS4.

ghid llp 2011 fisele actiunilor.pdf

PLAN CADRU DE MANAGEMENT AL MEDIULUI PENTRU …old.ms.ro/documente/Draft-POM-Health-Annex-EMP-v 2-RO_13123_13007.pdf · Proiectul de reformă a sectorului sanitar – Îmbunatăţirea

Număr proiect: LLP-LdV/VETPRO/2008/RO/006

Raport de activitate 2012 - oammr-iasi.rooammr-iasi.ro/wp-content/uploads/2015/01/2012_raport_de_activitate... · - programul EMP Nurse - Dezvoltarea profesionalizării asistenților

SĂ FIM COMPETITIVI ÎN EUROPA! LLP-LDV/IVT/2009/RO/032

PARURO - Gob...E mp. CU- 19 (K ayr o) Hu arc y Emp. CU-117 (40 Curvas) Ccarhuaca la Lla spay Emp. CU-1520 (Llaspay) Pachic te Emp. CU-1509 (Cementerio Molebamba). Emp. CU-1520 (Poques)

EIA&EMP DRMAP.Rezumat ceadir lunga EMP DRMAP... · 2010-04-30 · şi apă. De aceea este necesară construcţia unei fîntîne şi a veceului. Suplimentar se va construi Solul, geologia

BANCA MONDIALĂ / FONDUL GLOBAL DE MEDIU REPUBLICA … PMM Proiectul Biogaz.pdf · monitorizarea, formarea profesionala a personalului EMP (si/sau a ofiţerului de mediu/ a specialistului

European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...

Cursuri de fomare continuă- Comenius cofinanţat prin LLP Comenius şi FSE (POSDRU)

European Music Portfolio (EMP) Matematică “Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Booklet_RO.pdf · Ghidul profesorului Autori: Peter Mall, Maria Spychiger,

Proiect Num rul 511645-2010-LLP-IT-KA1-KA1SCR Situația la ... · Perioada de referință: 1 Noiembrie 2010 – 31 Octombrie 2012 Proiect Num ărul 511645-2010-LLP-IT-KA1-KA1SCR Acest

UNIVERSITATEA TEHNICĂ “GHEORGHE ASACHI”DIN IA ŞI ... UNIVERSITATEA TEHNICĂ “GHEORGHE ASACHI”DIN IA ŞI, ROMÂNIA LLP ERASMUS LA Erasmus –changing lives, opening minds

PORTOFOLIUL cetăţeanului european - elicitplus.eu · ELICIT – 510624-LLP-1-2010-1-FR-COMENIUS-CMP Page 3 hid pentru ortofoliul cetăţeanului european Alături de portofoliul

Îmbunătăţirea predării şi învăţării prin intermediul noilor ......Acest proiect Comenius a fost finanţat cu sprijinul Comisiei Europene Număr de referinţă 517726-LLP-1-2011-1-BE-COMENIUS-CMP

Curs10 - pub.ro I_12_slides_Microprogramar… · FE PUP(PUSH/POP) D RR STV CMP MUX [4] D 3:0 F XY [ E L&L STV CMP [4] Ceas S 0 S 1 SAU - NU OR i û, ZERO TS INC C n+4 C n Y[4] OE

EMP Draft 2