European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de...

50
European Music Portfolio (EMP) – Matematică: “Moduri de transpunere a sunetelor în matematică” Manualul profesorului Autori: Peter Mall, Maria Spychiger, Rose Vogel, Julia Zerlik Universitatea de muzică şi de arte vizuale, Frankfurt (Main) Universitatea Goethe, Frankfurt (Main) Ianuarie 2016 Cu sprijinul Programului de învăţare de-a lungul vieţii al Uniunii Europene. Această publicaţie reflect punctul de vedere al Consorţiului de matematici şi, Comisia nu poate fi considerate responsabilă pentru orice utilizare pe care o pot avea informaţiile conţinute în prezenta.

Transcript of European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de...

Page 1: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio (EMP) – Matematică: “Moduri de transpunere a sunetelor în matematică”

Manualul profesorului

Autori:

Peter Mall, Maria Spychiger, Rose Vogel, Julia Zerlik

Universitatea de muzică şi de arte vizuale, Frankfurt (Main)

Universitatea Goethe, Frankfurt (Main)

Ianuarie 2016

Cu sprijinul Programului de învăţare de-a lungul vieţii al Uniunii Europene. Această publicaţie reflect punctul de vedere al Consorţiului de matematici şi, Comisia nu poate fi considerate responsabilă pentru orice utilizare pe care o pot avea informaţiile conţinute în prezenta.

Page 2: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

2

Contribuitori:

Markus Cslovjecsek, Helmut Linneweber-Lammerskitten, Martin Guggisberg, Andreas Richard, Boris Girnat, Daniel Hug şi Samuel Inniger (Şcoala de educare a profesorilor, University of Applied Sciences Northwestern, Elveţia)

Carmen Carrillo, Albert Casals, Cristina González-Martín, Jèssica Perez Moreno, Montserrat Prat şi Laia Viladot (Universitat Autònoma de Barcelona, Spania)

Maria Argyriou, Maria Magaliou, Georgios Sitotis, Elissavet Perakaki, Katerina Geralis-Moschou (Asociaţia greacă a profesorilor de educaţie muzicală, Grecia)

Caroline Hilton, Jennie Henley, Jo Saunders şi Graham F. Welch (Institutul de Educaţie UCL, Marea Britanie)

Slávka Kopčáková, Alena Pridavková, Edita Šimčíková şi Jana Hudáková (Universitstes din Prešov, Slovacia)

Raluca Sassu, Anamaria Ca tana şi Mihaela Bucuta (Centrul de Cercetare în Psihologie, Universitatea “Lucian Blaga” dinSibiu, România)

Peter Ludes (Universitatea Goethe, Frankfurt (Main), Germania)

Drepturi de autor © 2016. Toate drepturile sunt rezervate.

Produs pentru Comenius Lifelong Learning Project (Proiectul de învăţare continuă

Comenius)

538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP

www.maths.emportfolio.eu

Page 3: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

3

Conţinut

1 Introduction ...................................................................................................... 5

2 Moduri de transpunere – inetrconectivitatea dintre muzică şi matematică .... 7

2.1 Paşi creativi pentru profesori şi elevi ........................................................................... 7

2.2 Recunoaşterea modelelor şi producerea modelelor ................................................... 8

2.3 Muzica şi matematica sunt sisteme de semne care se suprapun şi interacţionează . ......................................................................................................................................... 10

3 Bazele învăţării ................................................................................................ 15

3.1 De la sarcini la construcţie ........................................................................................... 15

3.2 Percepţie şi acţiune ....................................................................................................... 16

3.3 Efectuarea exeperimentelor ......................................................................................... 17

4 Aspecte educaţionale şi structura exemplelor ................................................ 19

4.1 Medii de predare şi învăţare ........................................................................................ 19

4.2 Rolul materialelor şi spaţiului ...................................................................................... 20

4.3 Structura exemplelor .................................................................................................... 21

5 Exemple .......................................................................................................... 25

5.1 Metode de transpunere în jurul şcolii......................................................................... 25

5.2 Săriţi ritmul: relaţii de multiplicare şi metrul ............................................................. 29

5.3 Bătaia din palme a celui mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3 şi 5 ............. 31

5.4 Numere cu rezonanţă ................................................................................................... 35

5.5 Dansuri unghiulare ....................................................................................................... 38

5.6 Twinkle, Twinkle Little Star ........................................................................................ 41

6 Concluzii ......................................................................................................... 45

7 Referinţe .......................................................................................................... 45

Page 4: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul
Page 5: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

5

1 Introducere

Muzica şi matematica împărtăşeşc o trăsătură ciudată: mulţi oameni cred că nu se pricep la una

sau cealaltă (sau la ambele). Totuşi, „Nu pot cânta” sau „Nu am înţeles niciodată matematica”

nu îi vor împiedica să aibă o carieră de succes şi nu ne vor schimba părerile pe care le avem faţă

de ei.

Proiectul ‘European Music Portfolio – Sounding Ways into Mathematics’ = Portofoliul

European de Muzică – Metode de transpunere în Matematică (EMP-Matematică) vizează o

înţelegere diferită cu privere la această trăsătură. Toată lumea poate câta sau face muzică şi toată

lumea poate folosi matematica. Ambele subiecte sunt părţi integrale ale vieţii şi socităţii noastre.

Ce trebuie îmbunătăţit este abilitatea noastră de a oferi elevilor oportunităţi ca să le placă.

Combinarea matematicii şi a muzicii în activitatea din cadrul clasei nu este ceva nou. De

fapt, numărul de exemple publicate este în continuă creştere. Din păcate mulţi cercetători s-au

axat doar pe folosirea muzicii pentru îmbunătăţirea cunoştinţelor matematice, sau generale, şi

chiar inteligenţa. Peter Hilton clarifică acest punct în ceea ce priveşte matematica şi muzica:

[…] matematica, la fel ca muzica, merită făcută de dragul ei [...]. Aceasta nu este pentru a nega utilitatea grozavă a matematicii; totuşi, această grozavă utilitate, are tendinţa de a ascunde şi de a deghiza aspectul cultural al matematicii. Rolul muzicii nu suferă o asemenea distorsionare, căci este în mod clar o artă a cărei practicare îmbogăţeşte compozitorul, intrepretul şi audienţa, muzica nu trebuie să fie justificată de constribuţia sa în anumite aspecte ale existenţei umane. Nimeni nu întreabă, după ascultarea unei simfonii a lui Beethoven, ‘Care este utilitatea acesteia?’ În plus, matematica nu câştigă înutilitate prin ignorarea valorii sale inerente – ba din contră, o apreciere a matematicii şi o înţelegere a cantităţii şi dinamicii sale inerente este necesară pentru a o putea aplica efectiv (Gullberg, 1997, p. xvii).

EMP-Maths se adresează profesorilor de muzică şi matematiccă în egală măsură, precum

şi tuturor persoanelor interesate de explorarea lumii matematicii şi muzicii.

Acest manual are trei părţi principale. Prima, detaliază interconexiunea dintre matematică

şi muzică. Începând cu paşi creativi, sublianiază recunoaşterea modelului ca fiind abilitatea

nucleu pentru ambele subiecte şi în final, în cele din urmă cuprinde mituri comune relativ la

faptul că muzica are caracter matematic şi respectiv, că matematica are caracter muzical.

A doua parte se axează pe bazele învăţării şi apoi mai profund până la întrebarea de ce

muzica şi matematica ar trebui predate împreună fără a cădea în capacana de a utiliza-o pe una

de dragul celeilalte. Crearea, percepţia şi acţiunea, precum şi efectuarea de experimente, sunt

cuvinte cheie luate în considerare.

A treia ăarte, care este nucleu acestui manual,e ste o compilaţie de activităţi care pot fi

folosite în cadrul sălii de clasă. Multe activităţi şi sugestii sunt deja disponibile. Noi urmărim să

încurajăm pe toată lumea să le folosească. Cele din acest manual subliniază un număr de domenii

matematice şi muzicale în scopul acoperirii unor domenii majore: cântatul, ascultatul, rezolvarea

problemelor, numere, măsurători şi altele. Cu această abordare, dorim să legăm proiectul de

subiecte nucleu din aria curriculară a statelor participante: Germania, Grecia, România, Slovacia,

Page 6: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

6

Spania, Elveţia şi Regatul Unit. Toate exemplele sunt construite pe conceptul de modelelor de

design didactic.

Acest manual al profesorului prezintă activităţi cu conţinuturi matematice şi muzicale

diferite în scopul oferirii profesorilor de resurse, idei şi exemple. Aceste activităţi sunt proiectate

pentru a fi extinse, adaptabile la diferite contexte şi ajustabile la nevoile fiecărui profesor şi

studenţii lor. Mai mult, aceste activităţi nu sunt planificate ca să fie efectuate individual; o unitate

de învăţare poate fi folosită pentru a fi înţeleasă sau pot fi eventual dezvoltate în legătură cu

fiecare.

Pe lângă manualul profesorului, proiectul furnizează un curs de dezvoltare profesională

continuă (CPD), o pagină web (http://maths.emportfolio.eu) din care toate materialele pot fi

descărcate şi o platformă de colaborare online. O prezentare generală a literaturii şi cercetării

conexe este disponibilă în documente separate..1 Broșurile suplimentare pentru profesori

furnizează materialele conexe şi reprezintă baza pentru cursurile CPD. Proiectul ‘Sounding Ways

into Mathematics’ (Transpunerea sunetelor în matematică) este legat de proiectul EMP-Limbi

‘A Creative Way into Languages’ (O modalitate creativă în limbi)

(http://emportfolio.eu/emp/).

1 De asemenea consultaţi ‘Literature Review’ (Hilton, Saunders, Henley, & Henriksson, 2015) şi ‘State of the

Art Paper’ (Saunders, Hilton, şi Welch, 2015).

Page 7: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

7

2 Metode de transpunere ale sunetelor – interconexiunea de

muzică și matematică

2.1 Paşi creativi pentru profesori şi studenţi

Deseori, învăţarea şi predarea care combină diferite discipline crează noi abordări în rezolvarea

problemelor şi oferă noi perspective referitoare la materialele pentru toate cele implicate. Părţile

stabilite pot fi abandonate, mai ales cele care sunt viciate cu emoţii negative, pentru a face loc

celor noi şi mai bune.

Combinarea celor două discipline, muzică şi matematică în cadrul proiectului EMP-

Matmeatică furnizează conţinuturi şi metide din două arii de studiu pentru a îmbogăţi procesul

de predare şi învăţare. Din acest punct, noile combinaţii pot fi create cu o selecţie de exemple.

Acest manual are ca scop ghidarea profesorilor prin sarcini creative şi simplificarea proceselor

obişnuite.

Combinaţia celor două subiecte academice necesită creativitate. Înţelegem creativitate în

următorul sens:

- Selecţii trebuie să fie făcute din conţinutul şi metodele disponibile pentru ambele discipline.

Aceste metode şi conţinutul trebuie să sprijine şi să contribuie la dezvoltarea muzicală şi

matematică a elevilor. Pentru a fi creativi, conform lui Poincaré (1948), trebuie să găsiţi o

nouă combinaţie (cf. Hümmer et al., 2011, pp. 178–179) a conţinutului dat.

- Pentru aceste noi combinaţii, nu există o practică standard aprobată pentru a realiza însăşi

lecţia. Pentru a fi creativ, conform lui Ervynck (1991), trebuie găsite noi căi care „deviază de

la încercările stabilite şi aşteptate” (Hümmer et al., 2011, p. 179).

- Aceste noi căi dezvoltate nu vor fi creative dacă acestea nu sunt adaptate (Sternberg & Lubart, 2000). Aici, a fi creativ înseamnă “ abilitatea de a prezenta un rezultat neaşteptat şi inventiv, care este discutabil adaptiv” (Hümmer et al., 2011, p. 179).

Aceste aspecte ale creativităţii (matematice şi musicale) poate fi adaptată, pe de o parte,

pentru procesul creativ al activităţilor de dezvoltare în proiectul EMP-Maths şi, pe de altă parte,

pentru acţiunile şi gândirea tuturor profesorilor şi elevilor care participă l aaceste activităţi.

În general, câteva dintr-o multitudine de subiecte pot fi selectate pentru a fi cele două

discipline conexe. Fiecare conexiune crează noi metode prin combinarea matematicii cu muzica.

Cu siguranţă, aceste metode nu sunt standardizate. Simultan, apar noi căi de analiză adaptive

legate de subiectele matematică şi muzică. Acest aspect a fost adăugat la descrierea variaţiilor în

contextul activităţilor dezvoltate.

Activitățile în sine încadrează procesul creativ pentru toți participanții. Noile metode

furnizează noi experienţe pentru acei studenţi care altfel, ar fi sceptici relativ la activităţile

matematice şi muzicale, şi ajută la reducerea scepticismului. Mai mult, diferite abordări ajută la

depăşirea dificultăţilor existente şi oferirea actorilor implicaţi spaţiu pentru câştigarea de

experinţe în cele două discipline ale muzicii şi matematicii.

Page 8: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

8

2.2 Recunoaşterea şi producerea de modele

Recunoaşterea modelelor este o activitate umană de bază care este legată de conştientizare.

Recunoaşterea modelelor este, în primul rând, acordarea atenţiei la modelul de conectare

(Bateson, 2002, p. 16). Unele terorii susţin că atenţia este organizată ritmic (Auhagen, 2008,

p. 444). Atenţia la, şi conştientizarea la, mecanismele de conectare poate fi observată la copii

foarte frecvent, şi deseori includ expresii ale bucuriei: săritul corzii, săritul în bălţi cu noroi şi

emiterea de zgomote ritmice cu beţe în gard sunt activităţi ale unei copilării fericite. Capacitatea

umană de sincronizare ritmică, precum şi recunoaşterea modelelor, începe în copilăria timpurie

şi pare să fie încurajată de săriturile copiilor pe genunchi (Fischinger & Kopiez, 2008, p. 459).

Oameni au capacitatea de a urma modele ritmice din prima. Experimentele cu copiii nou

născuţi dovedesc faptul că aceştia sunt capabili să diferenţieze clicurile ritmice și non-ritmice

(Gembris, 1998, pp. 403f.). Mai înainte chiar, în timp ce plutesc în pântecul mamei, mişcarea

picioarelor prezintă modele de tempo, care sunt în ritm cu bătaia inimii mamei (Gruhn, 2005,

p. 126). Aceste abilităţi muzicale ritmice au în comu faptul că bebeluşii sunt capabili să

recunoască modelele şi să le repete, sau cum s-a exprimat Björn Merker, aceştia pot “să se

antreneze într-un ritm repetitiv” (Merker, 2000, p. 59). Mai târziu, antrenamentul este evident

în nenumprate activităţi, cele mai multe prin joacă; de exempu, cu mingea în grupuri, în activităţi

cu complexitate crescută – cum sunt atunci când modelele ritmice ale limbii şi rimelro sunt

însoţite de mişcări – şi în activităţile de cântat.

“Analiza modelelor şi descrierea regulilor şi proprietăţilor acestora este unul dintre scopurile matematicii, pe care Alan H. Schoenfeld (1992, p. 334) o caracterizează ca fiind ‘… un subiect viu care caută să înţeleagă modelele care permit atât lumea din jurul nostru, cât şi mintea din noi”. Keith Devlin merge până la a descrie matematica ca fiind ştiinţa modelelor: „Abia în decursul ultimilor douăzeci de ani sau aproximativ, a apărut o definiţie a matematicii asupra căreia majoritatea matematicienilor convine: matematica este ştiiţa modelelor.”(Devlin, 2003, p. 3)” (Vogel, 2005, p. 445)

Un alt aspect important al recunoaşterii modelelor este clasificarea sau despicarea (Jourdain,

2001, p. 163). Bucăţile sunt pachete mici de informaţii pe care le putem manipula ca fiind o

unitate.2 Bucăţile sunt tratate ierarhic. Din bucăţi mici sunt create bucăţi mai mare. Din acestea,

sunt construite bucăţi tot mai mari şi aşa mai departe. De exemplu, noi creem modele pentru a

despica. Ascultarea unei secvenţe constante de tonuri similare duce la construirea de grupuri de

două sau trei (Auhagen, 2008, p. 439), şi deci construirea de modele (ritmice). Asemănarea,

apropierea sau similaritatea comportamentelor sunt toate trăsături care permit recunoaşterea

mentală a modelelor. Nu numai că recunoaştem modelele, dar de asemenea, noi le construim şi

le dăm sens.

De exemplu, semnificaţia bucăţilor pentru interacţiunea cu modelele (Vogel, 2005, p. 446)

devine importantă pe durata exploatării modelelor geometrice. „Pe durata exploatării este

important ca elementele de bază sau unităţile fenomenului să fie găsite “ (ibid.). Doar

2 De asemenea consultaţi Manualul profesorului pentru EMP-Maths Languages, pp. 21–24:

http://emportfolio.eu/emp/images/stories/materials/EMP_Teachers_Handbook_Final_2012.pdf

Page 9: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

9

identificarea acestor unităţi debază permite analiza matematică a ornamentelor complexe şi

clarifică fascinaţiei matematicii.

Compozitorii folosesc această capacitate pentru a scrie piese polifonice pentru instrumente

monofonice. Aceştia grupează tonurile într-un mod care înseamnă că urechea şi mintea noastră

„aud” două sau mai multe voci diferite. Recunoaşterea modelelor este o sarcină importantă

pentru a auzi sunetele (Bharucha & Mencl, W. Einar, 1996). Recunoaşterea sunetelor

instrumentelor şi echivalenţa octavelor este o sarcină de recunoaştere a modelelor şi este

abilitatea noastră de a clasifica tonurile în C, D, E, F, G, A şi B ca o scară majoră şi de a

recunoaşte aceeaşi melodie atunci când este cântată în diferite tonalităţi. Aceasta arată că “ritmul

şi tonalitatea pot servi pentru introducerea spectrului în reprezentaţii cu ritm constant”

(Bharucha & Mencl, W. Einar, 1996, p. 149). Bharucha et al. Sugerează faptul că “ascultătorii

vestici par să aibă o reprezentare mult mai elaborată a tonalităţilor şi relaţiilor lor” (ibid., p. 148).

Câteva studii prezintă că acest lucru este de asemenea important pentru abilitatea de a cânta la

prima vedere, fără pregătire (Fine, Berry, & Rosner, 2006; Waters, Underwood, & Findlay,

1997). Acesta este în special cazul abilităţii de a preconiza următoarele tonuri din secvenţă;

această abilitate este mai bună atunci când aceste tonuri fac parte din melodii tonale sau modele

bine cunoscute.

Nevoia pentru recunoaşterea modelelor şi sincronizare îşi are originea în natură. Animalele

mici care le vânează pe cele mai mari, îşi sincronizează paşii în scopul prinderii acestora

(Fischinger & Kopiez, 2008, p. 460), şi cimpanzeii îşi sincronizează vocile pentru a mări distanţa

de la care aceştia pot fi auziţi (Merker, 2000).

Jocurile copilăriei menţionate mai sus, precum şi activităţile cum sunt săritul corzii, săritul

în bălţile cu mâl şi dansul sunt ocazii de a exersa coordonarea şi recunoaşterea modelelor

(Spychiger, 2015a).

Recunoaşterea modelelor şi gruparea ne permit să facem lucruri simultan: marşul, înşirarea,

aplaudarea şi interpretatul simfoniilor. Efecutarea de activităţi împreună (şi informarea celorlalţi

despre aceasta) întăreşte grupul, atrage femelele şi ţine departe duşmanii, atât la un foc de tabără

recreaţional, cât şi în adâncul junglei, unde cimpanzeii fac acelaşi lucru (Merker, 2000). Când

activităţile sunt făcute în deplină sincronizare, acestea sunt mai gălăgioase şi mai eficiente.

Gruparea este de asemenea o tehnică importantă care poate fi utilizată care poate fi folosită

pentru memorarea numerelor. Memoria de scurtă durată a oamenilor este (în medie) capabilă să

reţină până la şapte itemi. Dacă am avea de memorat numărul 1685175017561791, putem grupa

cifrele în 1685, 1750, 1756 şi 1791, care sunt anii naşterilor şi morţilor lui J.S. Bach şi respectiv,

W.A Mozart. Dacă nu găsim un exemplu convenabil ca acesta, grupaţi câte două sau trei cifre

(ex. Pentru a memora numele de telefon). Acest lucru conectează domeniul ritmului, în care

tindem să grupăm evenimentele câte două sau trei. Activităţile de grupare sunt unele dintre

exemplele incluse în manualul profesorului. Recunoaşterea modelelor este nucleul

caracteristicilor împrătăşite de activităţile matematice şi muzicale.

În toate tipurile de activităţi umane, oamenii arată cum sunt capabili nu numai de

recunoaşterea modelelor, ci şi de crearea sau producerea lor. Acest lucru ne conduce la modelul

Page 10: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

10

ciclului de funcţionare semiotică, care oferă integrarea acestor două aspedte în comportamentul

uman, percepţie şi acţiune, aşa cum sunt explicate în capitolul următor (figura 1).

2.3 Muzica şi matematica sunt sisteme de semne care se suprapun şi

interacţionează

Pitagora a fost unul dintre primii oameni care a descris sunetele şi ritmul ca relaţii matematice,

bazate pe sistemul de supratonuri. Această iluminare muzicală a adăugat valoare intelectuală,

umană muzicii, care a fost în trecut o parte a lumii divine. De atunci, muzica este privită ca o

„disciplină academică”. Practica muzicală a fost divizată în două domenii profesionale ale

“musicus şi cantor […] în primul mileniu A.D.” în scopul separării elementelor emoţionale ale

muzicii de cele intelectuale, şi animalele de oameni (Spychiger, 1995, p. 54). Această

dicotomizare a dus în final la convingerea că muzica era de fapt un sistem matematic. În timp ce

partea intelectuală a muzicii, partea care poate fi explicată din punct de vedere matematic,

aparţine oamenilor, iar valoarea emoţională a muzicii a scăzut.

Această relaţie dintre muzică şi matematică a dus la ideea că muzica poate fi folosită la

creşterea cunoştinţelor matematice, reuşitele academice şi inteligenţa, în general (Kelstrom,

1998). Cercetările conexe au dus în final la descoperirea aşa-numitului efect Mozart (Hilton,

Saunders, Henley, & Henriksson, 2015, p. 18), care spune că capacitatea inteletuală poate fi

mărită prin ascultarea muzicii lui Mozart (Rauscher, Shaw, & Ky, 1995). De asemenea, studii au

fost executate pentru a demonstra efectul pozitiv al învăţării muzicale crescute la

comportamentul social, auto-concept, și motivație (Costa-Giomi, 2004; Smolej Fritz & Peklaj,

2011). Dar toate aceste descoperiri au dovedit că beneficiile educaţiei muzicale nu au fost mai

mari decât cele obţinute prin practicarea regulată de activităţi sportive (Simpkins, Vest, & Becnel,

2010).

Pitagora şi muzica

Cea mai timpurie referire la descrierea muzicii cu simboluri matematice datează de la Pitagora

(Henning, 2009; Weber, 1991), care a descoperit principiile fizice care stau la baza muzicii

vestice. El a folosit monocordul pentru a face primele experimente şi a descoperit că relaţia

supratonurilor este constantă şi depinde de lungimea corzii. În plus, relaţiile 2:3:4:5 ale primelor

patru supratonuri este de asemenea fundamentală în geometrie şi au fost folosite în mormintele

şi piramidele egiptene (Weber, 1991, pp. 19–20).

Dar, pe lângă asta, sistemul armonic este mult mai complicat şi dezvoltarea unei scări

moderne doar pe aceste principii este aproape imposibilă (Hindemith, 1940). Doar intervalele

de octavă, al cincilea, al patrule şi al treilea sunt părţi fundamentale ale sistemului de supratonuri.

Orice altceva este fie construit teoretic, fie luate pe parcursul anilor prin transculturalizare, dar

care nu poate fi explicat uşor din cadrul sistemului de supratonuri.

Page 11: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

11

Simboluri numerice în lucrările lui J.S. Bach şi a altora

O altă discuţie importantă muzică-matematică tratează folosirea simbolică a numerelor în

muzica barocă şi a renaşterii (Achermann, 2003; Egeler-Wittmann, 2004; Stoll, 2001a). O tehnică

predominantă este tranziţia numerilor prin numere în compoziţii. Fiecare literă a fost conectată

la poziţia sa din alfabet (a=1, b=2, etc.) şi numele au fost calculate în sume. Numerele care

rezultă au fost folosite pentru a determina numărul de măsuri şi / sau note per secţiune. J.S.

Bach, de exemplu, a avut o legătură specială cu numărul 14 (Buchborn, 2004). Un alt exemplu

al acestei tehnici, explicat de Stoll (Stoll, 2001a), a văzut încorporarea numelor a doi oameni care

l-au sprijnit financiar pe compozitor într-o piesă de muzică.

Chiar dacă aceasta arată folosirea numerelor, a relaţiilor şi a matematicii de bază, aceasta

indică de asemenea dorinţa compozitorului de a transmite mesaje sau semnături secrete,

cunoscute poate doar de ei. Aceasta este o dorinţă pe care şi-o satisfac prin aplicarea gândirii

matematice pe durata procesului de compunere.

Numere, rânduri şi simetrii– muzica contemporană şi nevoia de structură formală

După abandonarea sistemului armonic şi a consecinţelor sale formale la începutul secolului 20,

compozitorii au început să caute noi sisteme de a oferi muzicii o structură formală distinctă.

Prin urmare serialismul, a început primul să organizeze toţi parametrii muzicali ( lungime,

dinamică şi tonalitate) în jurul a 12 semitonuri. Totuşi, acest lucru nu a condus la o soluţie pentru

structura formală a lucrărilor complete. Prin urmare, compoziţiile seriale timpurii (ex. Mode de

valeurs et d’intensités, a lui Messiaen, 1949) păreau să înceapă şi să se termine fără niciun motiv;

puteau continua la nesfârşit. Astfel, sistemul lui de ritmuri ireversibile a demonstrat nevoia de

simetrie în muzică; în primă instanţă, Messiaen nu a găsit nicio soluţie pentru el însuşi.

Mai târziu, Pierre Boulez, Luigi Nono şi Karlheinz Stockhausen au dezvoltat sisteme care

au folosit şiruri numerice predefinite ca principii de bază pentru compoziţiile lor. Aceştia au

folosit o metodă pentru a calcula tabele de numere care nu numai că defineau aspecte ale notelor

singure (timp, ton, dinamică), dar de asemenea şi aspecte ale structurii formale ale întregii bucăţi

(lungimea totală, fracţiile care indică măsura, numărul de măsuri) (Decroupet, 1995; Henning,

2009; Lehmann, 2009; Stoll, 2001b). La momentul respectiv, era foarte populare numerele lui

Fibonacci şi Proporţia de aur, care sunt legate între ele. Cu aceste tehnici, compozitorii au vrut

să restabilească simetriile şi regulile de ordin mai înalt în compoziţiile lor, care au fost pierdute

odată cu abandonarea sistemului armonic şi a simetriilor sale inerente. O altă abordare este

prezentată de Tom Johnson, care ‘numără’ muzica (Nimczik, 2002).

Conexiunea dintre matematică şi muzică, în acest caz, nu a fost pentru că mzica este

apropiată în mod special de matematică, ci pentru că parametrii muzicali pot fi transformaţi şi

organizaţi folosind tehnici matematice, şi vice versa. Sistemele de semne care stau la baza muzicii

(notaţii) şi matematicii (numere) sunt la un punct, compatibile. Relaţiile matematice şi simetriile

au fost folosite pentru a determina structura muzicală.

Page 12: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

12

Teorii semiotice în matematică şi muzică

Teoriile semiotice semiotice au descris comunicarea ca un proces linear unde informaţia a fost

direct transferată de la o persoană la alta. În schimb, Charles S. Pearce a dezvoltat clasificarea

triadică a procesului semiotic, cu sistemul subiect-obiect-semn. Totuşi, acest sistem defineşte

procesele de comunicare. Mai mult, muzica, nu a fost privită ca un sistem de semne, în primul

rând pentru că nu toate “semnifică un obiect” (Spychiger, 2001, p. 55), şi de asemenea pentru

că nu este baza unui proces valid de comunicare.

Alfred Lang (1993) a ezvoltat un model semiotic bazat pe cum o persoană se raportează la

lume. Priveşte sistemele de semne ca baza a percepţiei şi acţiunii umane într-un mod continuu,

după cum este arătat într-un ciclu de funcţionare semiotic (figura 1).3 Această abordare neagă

nevoia unei distincţii dintre subiect şi obiect, şi în schimb diferenţiază procesele care „au loc în

interiorul persoanei şi […] în afara persoanei” (Spychiger, 2001, p. 57), folosind termenii de

‘presentant’ (în locul obiectului) şi ‘interpretant’ (în locul subiectului). Apoi, procesele mentale

muzicale au loc într-un mod circular; o percepţie muzicală (‘IntrO’, ce intră) duce la o experienţă

muzicală (‘IntrA’, ce se întâmplă în interiorul persoanei) care poate evaca producţia muzicală

(‘ExtrO’, ce iese din persoană în lume). “Aceste acţiuni muzicale se manifestă apoi în afara unei

persoane ca cultură muzicală” (care este ‘ExtrA’, ibid., p. 58). Acest punct închide ciclul, care apoi

crează din nou noi oportunităţi de percepţie muzicală (ca săgeţile prezentate în figura 1).

Figura 1: Modelul psihologic general al relaţiei persoană–lume. Ciclul funcţionării semiotice (conform lui Lang, 1993)

experiencing, thinking, feeling, memory = experinmentarea, gândirea, simţirea, memoria

perception in the action = percepţie în acţiune

person, world = persoană, lume

human culture, environment with all living creatures,objects = cultură umană, mediu cu toate creaturile vii, obiecte

3 Rezumat în Spychiger (2001, p. 56).

Page 13: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

13

Înţelegerea muzicii ca un sistem de semne independent face posibilă compararea de către

noi a acestui sistem cu alte sisteme, ex. cele matematice, fără a neglija motivul independent

pentru muzică. Putem căuta şi găsi principii muzicale care pot fi explicate matematic. Muzica

este plimă de simetrii şi notarea este un sistem cu o acurateţe matematică.

Cu gândirea lineară lăsată în trecut, au fost posibile mult mai multe sisteme de semne şi mai

multe aspecte comunicative (gesturi, mimică) au putut fi observate ca sisteme de semne

independente. În comunicarea efectivă, toate aceste sisteme interacţionează şi construiesc un

fascicul semiotic (Arzarello, 2015). În teoriile educaţionale moderne pentru predare şi învăţare,

aceste fascicule joacă un rol important, deoarece, cu această abordare, procesul de predare şi

interacţiunea din sala de clasă pot fi descrise mult mai precis.

Pentru că matematica şi muzica sunt sisteme de semne adecvate şi datorită teoriei

fasciculelor semiotice, proiectele interdisciplinare pot căpăta un nou înţeles. Aşa cum gesturile

şi mimica completează comunicarea fonetică, matematica poate fi folosită pentru a explica

muzica, şi vice versa. Pentru a-i da un ume simplu, folosim termenul metaforă ex. principiul

matematic al celui mai mic multiplu comun este o descriere metaforică a proceselor poliritmice.

Vice versa, supratonurile sunt metafore pentru raporturile şi fracţiile de lungime constantă.

Exact ca metaforele în versuri, metaforele nu reprezintă chiar principiul de bază, dar ne ajută să

înţelegem relaţiile şi principiile.

Chiar dacă nu credem că muzica este un sistem matematic şi vice versa, există numeroase

conexiuni între ambele lumi (Bamberger, 2010; Brüning, 2003; Christmann, 2011; Lorenz,

2003). Cu conceptul de fascicule semiotice, vrem să dezvoltăm medii de învăţare creative (aşa

cum a fost prezentat mai detaliat în capitolul 4.1) pentru a aduce laolaltă mai multe sisteme

semiotice.

Page 14: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul
Page 15: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

15

3 Bazele învăţării

3.1 De la sarcini la construcţie

Acest capitol ridică două aspecte ale învăţării. Sarcinile simbolizează punctul de începere al

proceselor de învăţare. Sarcinile pot fi caracterizate în aşa fel încât “acestea se vor referi mereu

la ceva care lipseşte” (Girmes, 2003, p. 6). În acest mod, sarcina va fi transformată într-o sursă

de învăţare, pentru că elevii vor avea nevoie să corecteze deficitul identificat. Bineînţeles, este

necesar să facă diferenţa între “sarcinile de viaţă” şi “sarcinile la şcoală” (cf. Girmes, 2003, p. 8).

“Sarcinile de viaţă” apar “în întâlnirea dintre om şi lume fără ca cineva să formuleze o sarcină

pentru alţii...” (ibid.). Sarcinile în şcoală, aşa-numitele “sarcinile de învăţare” (ibid., p. 10), sunt

etapizate şi proiectate profesional.

În procesul construcţiei sarcinilor, condiţiile cadrului instituţional şi viziunea profesorului

asupra lumii devine operativă. Gradele de libertate unor asemenea sarcini pot fi de la scăzute la

mărite. Gradele de libertate se referă la libertate de acțiune acordată elevilor în timp ce execută

sarcina. Dacă procedurile şi rezultatele sunt definite exact, libertatea de acţiune pentru elevi este

foarte scăzută. Pe de altă parte, gradul de libertate la sarcinile deschise, care sunt încorporate în

medii de învăţare, este de obieci mare. Conform cunoştinţeleor individuale anterioare, abilităţilor

cognitive, interesele şi motivaţiile elevilor pot fi conduse în diferite modalităţi atunci când se

procesează sarcinile. Aceste modalităţi diferite conduc de obicei la rezultate diferite, care se află

în intervalul de rezultate posibile.

Conceptul de construcţie reprezintă următorul proces de învăţare. Acest concept subliniază

activitatea proprie a persoanei individuale. Profesorul face sugestii, care sunt preluate de către

cei care învaţă pentru a sprijini construcţia cunoaşterii activă şi auto controlată. Suplimentar,

inclusiv momentele situaţionale ale situaţiilor concrete de învăţare se axează pe importanţa

proceselor de interacţiune dintre profesori şi elevi (Gerstenmaier & Mandl, 1995; Greeno, 1989)

în scopul adoptării cadrelor instituţionale, socio-culturale şi motivaţionale, precum şi condițiile

prealabile volitive ale elevilor.

Confruntarea sarcinilor în matematică reprezintă un aspect central al muncii educaţionale

obişnuite a profesorilor şi elevilor. Ca răspuns la diversitatea elevilor, sarcinile sunt ordonate în

prezent într-o modalitate care le permite elevilor să alegă diferite abordări, ex. aceştia pot fi

procesaţi la nivelul respectiv al elevilor şi premizele lor matematice sau muzicale. Deseori, după

o fază a ocupării individuale cu o sarcină, abordările singulare sunt discutate în grupuri mai mari.

Activarea elevilor, în sensul descoperirii matematicii sau muzicii, ocupă primul plan.

Foarte des, abordarea lucrului în perechi permite (cf. Barzel, Büchter, & Leuders, 2007,

pp. 118–123), în primă instanţă, individului să analizeze sarcina, neinfluenţat de ideile altor elevi.

Se vrea ca etapa de perechi să fie un schimb cu partenerul de învăţat; natura publicului limitat a

acestei faze oferă spaţiu pentru ideile nefinalizate. Doar în ultima etapă este introdusă sala de

clasă publică. Aceasta este frecvent efectuată sub formă de prezentări, care sunt apoi discutate

în plen. Această metodă de tratare a sarcinilor conduce la construcţii individuale de cunoaştere,

care, în cadrul etapelor de pereche şi de înpărtăşire, pot fi dezvoltate ulterior în sub formă de

Page 16: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

16

discuţie; în final, aceasta duce la procese constructive în colaborare. Conceptul de construcţie

prin colaborare se referă la o construcţie de cunoaştere împărtăşită şi obţinută prin schimb social

(cf. Brandt & Höck, 2011).

Contrar învăţării matematice, învăţarea muzicală deseoeri începe cu procese de grup. În

cadrul grupului, învăţarea muzicală caracteristică prin intermediul interacţiunii este posibilă, ex.

“cerinţă şi răspuns” (Spychiger, 2015a, p. 57). Experienţele cu eficienţa acţiunilor individuale

versus fundalul acţiunilor obşnuite sunt importante în lecţiile muzicale. De exemplu, un individ

care cântă într-un cor ca parte a unui tot mai mare este capabil să obţină expresivitate în

performaţele obişnuite (Spychiger, 2015a, p. 53). Mai mult, imitaţia joacă un rol important în

procesele muzicale de învăţare, în special în timp ce predăm / învăţăm pe cineva să cânte la un

instrument.

Ambele procese de învăţare, în matematică precum şi în muzică, se întrepătrund între polii

‘învăţării individuale” şi „învăţarea în grup” într-o modalitate circulară pentru a îmbunătăți

abilitățile de rezolvare a problemelor. Împreună, învăţarea matematică şi muzicală într-un sens

constructivist poate fi descrisă ca un proces orientat spre acţiune, situaţional şi social (cf.

Reinmann-Rothmeier & Mandl, 2001; Spychiger, 2015a).

Sarcinile de învaţare care sunt etapizate în activităţile proiectului EMP prezintă potenţial

pentru principiile de construcţie şi construcţie în colaborare şi ocupă abordările metodice ale

matematicii şi muzicii.

3.2 Percepţie şi acţiune

Percepţia şi acţiunea sunt elemente centrale în ciclul de funcţionare semiotică, care desciru

interaţiunea individ- lume: percepţia oferă informaţii persoanei în timp ce, prin acţiune, persoana

interacţionează cu lumea. În interiorul individului,percepţia creează cunoaştere şi acţiunea crează

cultură în lume (see chapter 2.3, figure 1).

În educaţia muzicală, această unitate nu a fost mereu evidentă, pentru că timp de mulţi ani

educaţia muzicală nu a însemnat mai mult decât lecţii de cântat. Doar începând cu anii 1920 (în

Germania), cu reforma lui Leo Kestenberg, educaţia muzicală s-a dezvoltat ca apoi să-şi găsească

un loc în comunitatea ştiinţifică, devenind o preocupare în educaţia profesorilor, precum şi în

şcoli.

Cu toate acestea, pentru o lungă perioadă de timp, acțiunea și percepția au fost aspecte

concurente în filosofia educației muzicale (Spychiger, 1997). Cunoscută în mod special este

discuţia dintre Bennett Reimer şi David Elliott. Reimer, pe de altă parte, a afirmat că

“programele muzicale şcolare există [doar] pentru a furniza comunităţilor o varietate de servicii

sociale” (Reimer, 1989, p. 24). Ca o consecinţă, el a vrut să întărească percepţia (experienţele

estetice) muzicii în cadrul curriculumului.

David Elliott, pe de altă parte, criticică prevalenţa mzicii clasice în curriculum şi a

conceptelor de învăţare corespondente, în special lipsa de acceptare a elementelor afective

(Elliott, 1987). Împreună cu Christopher Small, Elliott sprijină compunerea muzicii – musicking

Page 17: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

17

– ca element central în sala de clasă (Elliott & Silverman, 2014; Small, 1998). Împreună cu ciclul

de funcţionare, Maria Spychiger prezintă importanţa ambelor elemente – acţiune şi percepţie–

pentru educaţia muzicală (Spychiger, 1997), aşa cum a fost prezentată în modelul general pentru

viaţa umană ca întreg.

În educaţia matematică modernă, interacțiunile percepției și acțiunii devin, de asemenea,

din ce în ce mai multe și mai importante. Niveluri diferite de comunicare vor lucra împreună în

fascicule semiotice (Arzarello, 2015) şi studenţii folosesc cicluri de acţiune şi percepţie pentru a

dezvolta înţelegerea matematică.

Un element central al matematicii este observaţia atentă. Identificarea modelelor şi traducerea

lor într-un sistem de semne este o sarcină matematică centrală. Repetiţiile şi deci, regulile pot fi

găsite prin observarea simbolurilor scrise. Aceste reguli sunt baza pentru încursiunile în

matematică. Pe durata lecţiilor, studenţii reconstituie această abordare, sarcinile matematice

servesc ca stimuli pentru activităţile efectuate pe hârtie. Cu analizarea acestor activităţi, bazată

pe percepţie, regulile pot fi găsite şi transformate în conştientizare.

Descoperirea aspectelor matematice în fenomenele zilnice funcţionează în aceeaşi manieră.

Un proces de modelare transferă aspectele centrale ale situaţiilor reale într-un model realist care

conţine elementele structurale centrale ale situaţiei reale. Aceasta este fundaţia unui model

matematic. Acţiunea forţează copiii să descopere reguli matematice şi principii structurale în sala

de clasă. Aici, învăţarea matematicii ar fi conceptul corespondent al musicking – producerii

muzicii. Toate activităţile prezentate combină elemente de acţiune şi percepţie pentru a deschide

minţile şi de a încuraja emoţiile.

3.3 Acumularea experienţei

Activităţile dezvoltate în acest proiect au menirea de a deschide mediile de învăţare în care

experienţele matematice şi muzicale pot fi formate. Conţinuturile muzicale şi matematice sunt

fuzionate. Acestea ar trebui să furnizeze descoperiri pentru ambele subiecte. Mediile de învăţare

interdisciplinare încadrează acest conţinut în mod diferit şi deci permit experienţe care nu sunt

posibile în situaţiile de învăţare orientate spre subiect.

Aşa cum John Dewey (1925; 1980/1934) a înţeles-o, “experienţa” este un “eveniment

global, interactiv, care nu conţine doar componente cognitive, ci şi afective, emoţionale şi

emoţionale” (Neubert, 2008, pp. 234–235). Adoptăm abordarea lui şi nu punem cogniţia în

centrul învăţării, ci “experienţa”. Mai întâi, înante de reflecţie şi gândire, suntem cufundaţi în

emoţii, percepţie estetică şi afişări situaţionale curente (ibid., p. 235).

O secvenţă este scoasă intuitiv din “şirul evenimentelor” (Spychiger, 2015b, p. 111), şi este

transformat în experienţă din această subliniere. Experienţele reale sunt o unitate limitată

temporar cu o cantitate emoţională, un caracter descriptiv şi un conţinut care poate fi denumit:

“Acele lucruri, despre care spunem atunci când ni le amintim, „accea a fost o experienţă” […]

– o ceartă cu cineva care a fost cândva un cadru intim, o catastrofă care în cele din urmă putea

fi înlăturată într-o clipită […], acea masă în restaurantul din Paris […]” (Dewey, 1980/1934,

p. 37). Conform lui Dewey, experienţele sunt marcate suplimentar de către caracterul lor

Page 18: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

18

cumunicativ. Prin interacţiune, oamenii pot participa la experienţa altora şi pot avea un potenţial

câştig din alte perspectivele asupra experienţelor proprii (cf. Neubert, 2008, p. 238).

stream of events = şirul de evenimente

sequence taken out of the stream of events through reflection = secvenţă extrasă din şirul de

evenimente prin reflecţie

an experience = o experienţă

conscious = conştient

preconscious = preconştient

subconscious/unconscious = subconştient/inconştient

Pe fundalul lui Dewey, activităţile EMP-Maths furnizează medii unde experienţele sunt

posibile.

Activităţile EMP-Maths sunt dezvoltate pentru a provoca încurcarea evenimentelor

muzicale şi matematice (vezi figura 2). Baza situaţională pentru ca participanţii să aibă noi

experienţe cu matematica şi muzica, sau cu albele, este creată prin axarea pe o selecţie singulară

de evenimente, de exemplu prin reflecţie şi discuţii în cadrul grupului. Această abordare poate

ajuta la modificarea imaginii incoştiente a matematicii şi a muzicii prin experienţe din activităţile

EMP-Maths.

Figure 2: Experience (Spychiger, 2015, p. 112)

Page 19: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

19

4 Aspectele educaţionale şi structura exemplelor

4.1 Mediile de predare şi învăţare

Termenii „predare” şi „mediu de învăţare” au fost dezvoltaţi într-o perioadă când erau

dezvvoltate alternativele la educaţia centrată pe profesor. Căutarea de noi forme de predare şi

învăţare este deseori legată de schimbarea atitudinii faţă de însăşi învăţarea. Astăzi, abordările

constructiviste ne modelează înţelegerea învăţării. Ideea dominantă a învăţării este că este un

proces de construcţie situaţională a cunoaşterii, care este încorporată în context şi cultură

(Greeno, 1989). Mai mult, se presupune că învăţarea este construită între elev şi profesor

(Krummheuer, 2007, p. 62).

Învăţarea în cadrul mediilor de învăţare, care sunt privite ca construcţii ale cunoaşterii, este

bazată pe principii de proiectare. Aceste principii îşi găsesc propria exprimare în diferite abordări

de instruire constructiviste. Exemple de asemenea abordări sunt abordarea de instruire ancorată,

abordarea flexibilităţii cognitive şi abordarea uceniciei cognitive. Aceste aborări, care datează din

anii 1990, au un aspect în comun: profesorii proiectează o „cameră de învăţare” în care elevii

sunt practic iniţiaţi în gândirea şi acţionarea profesională. Aceste tipuri medii de predare şi

învăţare pot fi caracterizate în următoarea modalitate: “Un mediu de învăţare este un loc unde

oamenii pot folosi resursele pentru a înţelege şi construi soluţii utile la probleme” (Wilson, 1996,

p. 3). Definiţia pentru acest tip de mediu de învăţare constructivist este, conform lui Wilson

(1996, p. 5):

... un loc unde elevii pot lucra împreună şi se pot ajuta unul pe altul, pe măsură ce folosesc o varietate de unelte şi resurse de informaţii, în cadrul ghidării permise în activităţile cu scop de învăţare şi de rezolvare a problemelor.

Această definiţie prezintă clar faptul că mediile de predare şi învăţare crează spaţii pentru elevi

şi, în acelaşi timp, sunt proiectate de către profesor. Deci, învăţarea în aceste medii este încă

instituţionalizată, aşa cum este anterior planificată şi proiectată în mod specific, dar generează

specţii creative pentru ca elevii să facă contact cu materialul ei înşişi.

Privitul instrucţiunilor ca un mediu subliniază „locul” sau „spaţiul” unde apare învăţarea. Un mediu de învăţare este compus din minimum un elev, „un loc” sau un „spaţiu” unde elevul acţionează folosind unelte şi dispozitive, colectează şi interpretează informaţii, interacţionând poate cu alţii, etc. (Wilson, 1996, p. 4).

În prezent, termenul de „mediu de învăţare” apare deseori împreună cu termenul ‘a diferenţia’,

mai ales în combinaţie cu „diferenţierea naturală”. Este important ca studenţii/elevii să-şi

găsească propriile metode de a învăţa, ritmul propriu de învăţare şi propria metodă de a-şi crea

propriile revelaţii individuale. În ultimul timp, termenul de construcţie cu cooperare pare să fie

din ce în ce mai important. Împreună cu termenul de constrctucţie în colaborare, “realizarea

proiectului individual” capătă un “caracter cultural” (Brandt & Höck, 2011, p. 249).

În domeniul matematicii, este numit „mediu de învăţare substanţial”, mediul care are

următoarele aribute:

Page 20: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

20

Substanţa matematică cu structuri şi modele vizibile (cadrul profesional); orientarea către aspecte centrale; potenţial cognitiv mare de activare; activitate orientată către conţinuturile şi procesele matematice; iniţierea independenţei tuturor elevilor; încurajarea metodelor individuale de gândire şi de învăţare, precum şi forma proprie de prezentare a elevilor; acces pentru toată lumea: activitatea matematică trebuie să fie posibilă la nivel de bază, folosirea abilităţii de a face conexiuni cu cunoştinţele anterioare; provocări pentru cursanţii care învaţă repede cu probleme solicitante; facilitarea schimbului social şi a comunicării matematice (Hirt & Wälti, 2008, p. 14; translation by Peter Ludes).

Aceste caracterizări ale mediilor de învăţare pot fi transferate activităţilor din proiectul EMP-

Maths. Acestea oferă foarte des potenţial înalt de activare cognitivă, care poate fin intensificat

de experienţa fizică. Accentul rămâne în mod clar pe activitatea proprie a studenţilor. Activitatea

şi experienţa mutuală crează camere de descoperire pentru cursanţi, care integrează procesul de

învăţare individuală cu interconexiunea matematicii cu muzica. În astefl de camere, care sunt

deschise pentru „ideile” copiilor, pot fi create noi medii de învăţare. După cum arată Cslovjecsek

şi Linneweber (2011), cursanţii devin colaboratori substanţiali în procesul de predare şi învăţare.

4.2 Rolul materialelor şi al spaţiului

Materialele sunt desemnate pentru numeroase procese diferite de învăţare matematice.

Materialelele servesc ca unelte pentru imaginaţie, iniţierea de procese de gândire şi facerea lor să

fie explicite (cf. Hülswitt, 2003, p. 24). Materialele vizualiează gândurile matematice şi ajută în

procesele de învăţare. Structurile obiectelor matematice, ex. numere, sunt materializate.

Imaginile mentale pot fi construite de către activităţi cu aceste materiale matematice, ex.

secvenţele de mişcare sunt înlocuite cu imagini mentale (Vogel, 2014). Învăţarea muzicală este

însoţită de sunet şi instrumente muzicale, precum şi de elemente vizuale şi ritmuri. În acest mod,

materialele muzicale servesc ca parte a producţiei muzicale. În cadrul teoretic, conceptul

imaginilor mentale este mai puţin evidenţiat; ba din contră, interacţiunea dintre elev şi material

devine focalizată (Vogel, 2014, p. 231).

Conform lui Vygotsky, un material are funcţia unui mediator:

Funcţiile mentale superioare există de ceva vreme într-o formă distribuită sau „împărţită”, când elevii şi mentorii acestora folosesc noi unelte culturale împreună în contextul rezolvării unor sarcini. După obţinerea (în terminologia lui Vygotsky înseamnă „adecvat”) unei varietăţi de unelte culturale, copiii devin capabili de folosirea independentă a funcţiilor mentale superioare (Bodrova, E. & Leong, D.J., 2001, p. 9).

Materialele, şi în special acţiunile ghidate asociate cu materialele, reprezintă un limbaj

tehnic, o abordare şi o gândire funcţională, o cultură axată pe subiect. Materialele pot deci, să

garanteze accesul la lumea axată pe subiect. În acelaşi timp, materialele oferă oportunitatea de a

include lumea elevilor (Vogel, 2014). Materialele ocupă funcţia de mediere în învăţarea

matematică,precum şi în învăţarea muzicală. Educaţia timpurie începe deseori cu materialele de

joacă ale copiilor (jucării). Funcţiile sunt desemnate acestui material de joacă în procesul de

învăţare matematică sau muzicală. Un set de obiecte este transformat într-o reprezentare a

numărului, alocarea aranjamentelor de pe masă fiind privită ca relaţii de funcţionale, şi cratiţa

sau cana devin un instrument care scoate sunete.

Page 21: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

21

Incluzând spaţiul din crearea mediilor de învăţare permite considerea corpului uman ca

fiind o a treia dimensiune. Individul se experimentează pe el însuşi/ ea însăşi ca o a treia

dimensiune. Secţiunile de mişcare şi acţiune ale corpului pot fi interpretate matematic (Vogel,

2008). Mişcările corpului, cum ar fi bătutul din palme, pot fi mijloace de producţie muzicală.

4.3 Structura exemplelor

Acest manual al profesorului include şase exemple care dau o impresie a posibilităţilor de

combinare a matematicii ţi muzicii în sala de clasă. Structura data urmează un model de design

didactic. Modelele de design au fost prima oară dezvoltate de către Alexander et al. (1977), şi au

fost apoi “adoptate pentru aria de predare şi învăţare” (Vogel, 2014, p. 232). Modelele de design

descriu probleme repetitive şi furnizează soluţii generalizate pentru acestea (Vogel &

Wippermann, 2011). Acest lucru este realizat printr-o structură formală care descrie (didactic)

situaţiile (modelele) într-o modalitate deschisă, dar totuşi standardizată. Exemplelel trebuie să

treacă prin câteva revizii înainte să ajungă în starea lor finală.

Următoarele exemple, prezentate în capitolul cinci, sunt toate structurate în patru părţi

principale, din care a treia, Implementarea, descrie conţinutul activităţii.

Figura 3: Structura continuă a tuturor exemplelor din secţiunea 5

Partea I: Prezentare generală

Această secţiune furnizează informaţii generale referitoare la fiecare exemplu pentru a găsi uşor

activităţi adecvte pentru fiecare scop. Cuvintele cheie date şi scurta descriere furnizează o

incursiune rapidă în activitate. Ca multele exemple construite pe idei simple, profesorii pentru

clasele de avansaţi pot lucra cu această revizie şi cu o scurtă privire în secţiunea trei. Dar neluând

în seamnă o privire la variaţiile în orice caz, pentru că noi considerăm că aceasta este cea mai

importantă parte pentru dezvoltarea ulterioară.

Conectată cu acest manual este o listă de „aptitudini cheie şi însuşiri esenţiale” pentru

matematică, dar şi pentru muzică. Fiecare activitate este conectată la această colecţie de subiecte,

pentru că acestea sunt prezentate în diferite documente oficiale ale tuturor statelor partenere.

Prezentare generală

• Titlu

• Subiect

• Cuvinte cheie

• Scurtă descriere

• Atribuiri la colectarea de subiecte legate de matematică şi muzică

Deliberări pregătitoare

• Cerinţe preliminare în matematică

• Cerinţe prelşiminare în muzică

• Conexiuni între matematică şi muzică

Implementare

• Scopuri

• Grupul ţintă

• Scala de timp

• Abrodarea standard

• Materiale, imagini, muzică

Alternative

• Alternative

• Abordări ulterioare în muzică

• Abordări ulterioare în matematică

Page 22: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

22

Partea II: Deliberările preparatorii

Prin deliberările preparatorii se asigură faptul că copiii au suficiente cunoştinţe şi abilităţi

necesare pentru această activitate. Unele dintre acestea pot fi mai importante decât altele, dar

activităţile sunt menite să fiue distractive şi ar trebui să fie uşor de manipulat de către copii fără

dificultăţi majore. Vă rugăm să vă asiguraţi că observaţi cu atenţie această secţiune.

Partea III: Implementarea

A treia secţiune oferă scurte instrucţiuni referitoare la cum poate fi implementată în şcoală.

Abordarea standard oferotă furnizează un ghid referitor la cum se poate începe. Urmează ideea

unuei traiectorii line.4 Este mai mult decât o introducere rapidă şi nu poste înlocui o pregătire

adecvată a lecţiilor şi a subiectelor. În plus, scopurile, grupul ţintă şi scara de timp preconizată

oferă mai multe informaţii detaliate care pot fi folosite pentru pregătirea activităţii.

Partea IV: Alternative

Altenativele nu prezintă doar abordări diferite pentru activitatea dată, dar mult mai mult decât

atât, acestea se vor ca un deschizător de drumuri către o lume a învăţării transversale a subiectului

dat al activităţii. Activităţile date în manualul profesorului sunt scurte şi uşoare intenţionat.

Fiecare activitate poate fi privită ca o poartă într-un nou univers de idei.

Exemplele prezentate în capitolul 5 sunt afişate în şablonul prezentat în figura 5. Şablonul

foloseşte pictograme pentru o orientare rapidă în cadrul părţilor: Partea I, prezentarea generală,

apare cu un ochi. Partea II, descrierea pregătitoare a ceriţelor preliminarii în matematică şi muzică,

foloseşte imaginea unui carnețel de notițe. Această parte colectează de asemenea idei de fundal cu

privire la conexiunile dintre matematică şi muzică, şi este este cea mai intelectuală parte a

prezentării. Pictograma pentru partea III prezintă o piesă de puzzle. Acest lucru înseamnă că

această activitate – cu scopurile şi caracteristicile sale – este o contriubuţie concretă la idea

generală din fundalul acestei abordări de învăţare: transpunerea sunetelor în matematică sau

transpunerea matematicii în sunete. În final, pictograma pentru partea IV, prezintă două săgeţi

4 Liebetrau (2004, p. 9).

Partea I –Prezentare generală

Part IV - Alternative

Partea II – Deliberări preparatorii

Part III – Implementare

Figura 4: Structura exemplelor cu pictograme

Page 23: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

23

orientate în direcţii diferite. Sub acest paragraf, sunt date variaţii ale activităţii, încât profesorii

să dispună de mai mult de o modalitate de executare a acesteia, şi poate, să-i încurajăm să

găsească noi modalităţi ei înşişi.

Figura 5: Sablonul exemplelor

Page 24: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul
Page 25: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

25

5 Exemple

5.1 Metode de transpunere în sunete în jurul şcolii

Temă

‘Metodele de transpunere din jurul şcolii” se referă la peisajele sonore, relaţiile acestora şi posibilele lor reprezentări.

Cuvinte cheie

Peisaje sonore (medii acustice), ascultare, cronologie, relaţii

Scurtă descriere

În această activitate, elevii vor asculta sunete din mediul şcolar, le vor aloca unei cronologii şi vor exlora sunetele singuri.

Numirea temelor / nucleul muzicii şi al matematicii

• Muzică: Aprecierea muzicii şi conștientizarea fonetică prin ascultare,percepţia diferenţiată a sunetelor; abilitatea de a descrie sunetele şi zgomotele în conformitate cu aspecte variate; recunoaşterea volatilităţii sunetelor şi a zgomotelor; notarea grafică

Matematică: Geometrie (lungime, transformare); măsurare (lungime); numere (estimare şi comparaţie); orientare spaţială; orientare temporală; ordonare; relaţii(şi/sau, înainte, după, simultană, etc.); şi teoria mulţimilor

Aspecte preparatorii

Cerinţe de cunoştinţe matematice

Aptitudini de bază în orientarea spaţială şi estimarea timpului şi distanţei.

Cerinţe de cunoştinţe muzicale

Aptitudini de bază în conștientizarea fonetică a sunetelor înconjurătoare.

Conexiuni dintre matematică şi muzică (inclusiv beneficiile suplimentare ale învăţării)

Ascultarea unui sunet de mers şi recunoaşterea sunetelor înregistrate care conectează orientarea spaţială şi estimarea timpului şi distanţelor cu

conștientizarea fonetică a sunetelor mediului.

Alocarea sunetului/evenimentului unui anumit moment în timp este legată de alocarea distanţei /timpului în matematică. Crearea diagramelor în conformitate cu criteriile diferite (distanţă, sursă, durată, intensitate) conduce la anumite aspecte ale teoriei mulţimilor.

Page 26: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

26

Implementarea activităţii

Scopuri

Îmbunătăţirea abilităţilor şi capacităţilor de ascultare ale elevului pentru a descrie sunetele. Dezvoltaţi o modalitate de înţelegere a faptului că sunetele sunt de multe ori de moment şi că percepţiile şi amintirile sunetelor sunt subiective. Asiguraţi-vă că folosiţi corect cronologia şi grupaţi sunetele în mulţimi în conformitate cu criterii diferite. Găsiţi ordonări (cel mai apropiat până la cel mai îndepărtat, cel mai zgomotos până la cel mai slab, primul până la ultimul, etc.).

Grupul ţintă (vârsta studenţilor, dimensiunea grupului, studenţi speciali, etc.)

Vârste: 6–11 ani (+), până la 30 de studenţi. Discuţiile pot avea loc de asemenea în grupuri mai mici.

Timp

30 de minute pentru abordarea standard

Activitate – Abordare standard

Pregătire: Profesorul înregistrează zgomotele produse de mers (pentru definiţie, vezi resursele) în jurul şcolii. (cţnd purtaţi pantofi ‘zgomotoşi’, podelele şi camerele vor suna ca o combinaţie de multe alte sunete şi zgomote ale împrejurimilor.)

1. În sala de clasă, studenţii ascultă cu atenţie înregistrarea. Ca şi la ascultat, ei scriu sau desenează ce cred că aud pe înregistrare.

2. Colectarea răspunsurilor pe cartonaşe şi discutarea acestora cu clasa de elevi. Sortaţi-le în diferite moduri (sursă, formă, distanţă, intensitate sonoră, etc.) prin crearea de clustere şi punerea lor în relaţie cu celelalte.

3. Alocaţi sunetele cu cursanţii cronologic, reprezentate pe o tablă sau pe podea, cu o line sau o sfoară şi cârlige de rufe. Discuţia poate începe cu ordonarea sunetelor şi mai târziu poate avea loc o discuţie legată de cât timp există între diferitele evenimente.

4. Încercaţi să scoateţi acelaşi sunet produs de mers cu cursanţii (acest lucru poate fi executat în orice altă zi).

Materiale, imagini, muzică – Dispunerea spaţială a materialelor

Propriile înregistrări, preferabil ale unui sunet produs de mers în jurul şcolii (vă sugerăm cu tărie ca această plimbare să nu aibă mai mult de două minute)

Dispozitive de înregsitrare (aplicaţii ale telefonului mobil, reportofoane, etc) (aplicaţia recomandată de noi pentru telefonul mobil este ‘soundOscope’)

Page 27: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

27

Alternative

Alternative

Faceţi o altă înregistrare (sau folosiţi una făcută de către cursanţi) şi conparaţi-o cu prima care era zgomotul produs de paşi. Ce este nou, ce este la fel şi ce s-a schimbat? Încercaţi să introduceţi noi sunete şi zgomote în prima cronologie.

Grupurile de cursanţi crează / alcătuiesc o nouă înregistrare cu zgomotul produs de paşi aproape de şcoală şi o extind şi-o explorează înconformitate cu abordarera standard (ex. în alt moment al zilei sau alte condiţii meteo).

În clasele mai mari, dispozitivele de navigare GPS care urmăresc şi apoi afişează o rută (ex. pe o hartă online ca Google Maps) poate fi folosită.

Împărţăşi-ţi înregistrările cu zgomotul produs de paşi cu clasele de la alte şcoli.

Abordări ulterioare în muzică

Combinaţi sunetele variate cu un scor muzical şi cântaţi-le cu instrumente. Folosiţi sunete individuale ca mostră pentru crearea unui ritm.

Inventaţi o notaţie în scopul descrierii sunetelor. Inventaţi semnale diferite, adecvate pentru diferite sunete şi dezvoltarea acestora.

Folosind un reportofon, sunetele tipice pot fi înregistrate. Cine cunoaşte locurile / sunetele din apropierea şcolii, cartierului şi din oraş? Înafară de materiale, este posibilă întocmirea unui chestionar sau a unui joc de orientare, cu popsibila participare a altor clase de elevi şi /sau părinţi.

Abordări ulterioare în matematică

Elevii vor desene harţi ale zgomotelor scoase de paşi şi le vor compara.

Pregătiţi o hartă şi împărţiţi-o în clustere sau puncte care sunt conectate de căi de acces. Cursanţii vor încerca să găsească o cale pe hartă care le permite acestora să traverseze fiecare cale o singură dată. Alternativ, ei găsesc cea mai scurtă cale de a traversa fiecare punct de pe teritoriul şcolii. După aceea, aceştia fac o înregistrare a acestei căi.

Măsuraţi distanţa la care fântâna, strada sau clopoţelul şcolii poate (încă) fi auzit în diferite condiţii (vreme, zgomot, oră).

Colectaţi şi identificaţi sunetele specifice mersului pe o perioadă mai lungă de timp şi grupaţi-le în seturi. Câteva dintre ele vor fi total diferite, în timp ce altele se pot suprapune, ex. o autostradă pentru motociclete sau camioane este o invenţie umană, pe când un curs de apă este natural. Atât zgomotele cursului de apă, cât şi cel al autostrăzii sunt continui, dacă nu te mişti.

Înregistraţi aceleaşi zgomote produse de mers în timp ce variaţi ritmul cu pantofi cu talpa tare. Opriţi-vă şi apoi mergeţi înapoi.

Referinţe

Software ‘soundOscope’:

https://itunes.apple.com/ch/app/soundoscope/id494240165?mt=8

Cslovjecsek, Markus (et al.): Mathe macht Musik, Impulse zum musikalischen Unterricht mit dem Zahlenbuch 3 und 4, Klett und Balmer Verlag, Zug, 2004, p. 23, p. 69.

Page 28: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

28

Westerkamp, Hildegard (1974): Soundwalking. In: Sound Heritage III/4. [http://www.sfu.ca/~westerka/writings%20page/articles%20pages/soundwalking.html, 29.1.2015]

Dietze, Lena (2000). Soundscapes – Klanglandschaften, Soundwalks – Klangspaziergänge. In: L. Huber & E. Odersky (Hrsg): Zuhören-Lernen-Verstehen (S. 92-103). Braunschweig: Westermann, Reihe Praxis Pädagogik.

Schafer, R. Murray (2010). Die Ordnung der Klänge. Eine Kulturgeschichte des Hörens. Mainz: Schott.

Schafer, R. Murray (1977). The Tuning of the World. New York: Knopf.

Schafer, R. Murray (1994). Soundscape: Our Sonic Environment and the Tuning of the World. Rochester, VT: Destiny Books.

Exemple de zgomote produse de mers pe YouTube

Page 29: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

29

5.2 Săriţi pe ritm: relaţii de multiplicare şi măsura

Temă

Această activitate foloseşte o aplicaţie concretă fizică, timbru şi măsură pentru a încuraja copiii să folosească modelul şi ritmul pentru a dezvolta o înţelegere mai profundă a relaţiilor de multiplicare.

Cuvinte cheie

Măsură, ritm, relaţii multiplicative

Scurtă descriere

Prin numărarea măsurilor cu vocal şi tare într-un cer, comninată cu elemente de percuţie corporală, copiii îşi dezvoltă ulterior înţelegerea relaţiilor de multiplicare. Atât măsura muzicală, cât şi relaţiile de multiplicare vor fi evidenţiate în această activitate.

Numirea temelor / nucleul muzicii şi al matematicii

Muzică: Puls, măsură şi ritm; practical music making

Matematică: Gândirea matematică şi efectuarea de conexiuni; comunicarea ideilor matematice; relaţiile numerice – înmulţire, estimare

Aspecte pregparatorii

Cerinţe de cunoştinţe matematice

Adunare, înmulţire, modele

Cerinţe de cunoştinţe muzicale

Coordonare fizică (bătutul din palme / bătaia din picior), ritm

Conexiuni între matematică şi muzică (inclusiv beneficiile suplimentare ale învăţării)

Relaţii de înmulţire şi măsura muzicală

Implementarea activităţii

Scopuri

Înţelegerea copiilor a relaţiilor în înmulţire şi a măsurii muzicale este dezvoltată

prin axarea pe grup şi realizarea concretă.

Grupul ţintă (vârsta studenţilor, dimensiunea grupului, studenţii speciali, etc.)

Vârste: 7+ ani, activitate cu întreaga clasă de elevi

Timp

20+ minute

Page 30: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

30

Activitate – Abordare standard

- Staţi într-un cerc cu copiii. Explicaţi că fiecare copil va spune un singur număr

de la 1 la 4 în timp ce înconjoară sala de clasă, acum, începeţi cu copilul din stânga dumneavoastră şi faceţi înconjurul clasei, numărând 1, 2, 3, 4; continuaţi până ce fiecare copil din cerc a spus un număr (1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, etc.). Repetaţi acest proces şi obţineţi un ritm.

- După ce copiii au prins gustul acestui joc, veţi adăuga ceva percuţie corporală. Cereţi copiilor cu numărul 1 să bată din palme la auzirea numărului lor şi cereţi copiilor cu numărul 4 să bată din picior. Atunci când faceţi înconjurul clasei, terminaţi la numărul 4? Pot copiii să explice de ce se întâmplă acest lucru?

- Este foarte probabil ca runda să nu se termine la 4. Dacă acesta este cazul, cereţi copiilor să preconizeze de câte ori trebuie să facă cercul ca să se termine la a 4? Încercaţi şi vedeţi ce se întâmplă.

- Acum, încercaţi aceeaşi activitate cu numere diferite (ex. 1, 2, 3, 4, 5 or 1, 2, 3). Este important ca copiii să fie încurajaţi să preconizeze ce se va întâmpla şi de ce înainte de încercarea activităţii. Au avut ei dreptate?

- Ce observă copiii despre diferitele măsuri? Există nişte măsuri pe care aceştia le preferă? De ce se întâmplă acest lucru?

Materiale, imagini, muzică – Dispunere spaţială a materialelor

Resurse: Nu sunt solicitate resurse suplimentare.

Alte considerente: Această activitate ar trebuie desfăşurată într-o cameră unde copiii au loc să stea într-un cerc şi apoi să lucreze în perechi.

Alternative

Alternative

- Puteţi întreba copiii pentru a adăuga alte elemente de percuţie corporală (ex.

lovituri cu palma, clicuri) la numerele care sunt situate între primele şi ultimele numere).

- Clasa de elevi poate fi divizată în două sau mai multe grupuri şi activiatatea poate fi apoi repetată cu fiecare grup. Ce observă aceştia în acest timp? A fost mai uşor sau mai greu?

- Pe baza primei activităţi, copilul 2 şi copilul 3 rămân tăcuţi, dar grupul încă trebuie să păstreze tempoul, aşa că singurele sunete sunt pentru bătăile 1 şi 4.

Abordări ulterioare în muzică

- Copiii pot crea propriul element de percuţie corporală.

- Copiii pot folosi instrumente în loc de numere şi percuţie corporală.

- Pentru o mai mare provocare, copiii pot include pauze în performanţele acestora.

Abordări ulterioare în matematică

- Activităţi bazate pe multipli, factori, cel mai mic multiplu comun şi cel mai

mare factor comun

- Activităşi care implică modele şi secvenţe

- Dezvoltarea ideilor de permutări şi combinaţii

Page 31: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

31

5.3 Bateţi din palme cel mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3 şi 5

Temă

‘Bateţi din palme cel mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3 şi 5’ este despre folosirea percuţiei corporale şi a diferitelor timbre corporale, superpoziţii şi conexiuni în scopul răspunderii la următoarele întrebări: care este cel mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3 şi 5?

Cuvinte cheie

Cel mai mic multiplu comun, percuţie corporală, timbru corporal

Scurtă descriere

În această activitate, elevii vor învăţa trei modele de ritm ale percuţiei corporale, fiecare legate de numerele 2, 3 şi 5. Apoi, aceştia vor juca simultan fiecare model, numărând de la 1 la 30 în scopul găsirii celui mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3 şi 5. Ascultarea diferitelor timbre corporale îi va lăsa pe elevi să descopere nu numai cel mai mic multiplu comun, ci şi alţi multipli şi relaţiile dintre aceste numere.

Numirea temelor / nucleul muzicii şi al matematicii

Muzică: Executarea percuţiei corporale; abilitatea de a ascuta diferite timbre corporale; recunoaşterea timbrelor; urmărirea bătăii; citirea ritmului; imitarea ritmului; precizia ritmică şi obişnuită; şi abilitatea de a executa şi aculta diferite planuri de sunet în acelaşi timp

Matematică: Folosiţi raţionamentul şi dovada pentru a găsi cel mai mic multiplu comun; odinea; relaţiile; numerotarea; multipi (şi divizori); şi conexiunile

Aspecte preparatorii

Cerinţe preliminate de cunoştinţe matematice

Abilităţile de bază în numărare şi numerotare sunt solicitate. Nu este neecsară cunoaşterea celui mai mic multiplu comun; îl puteţi face cunoscut prin intermediul activităţii.

Cerinţe de cunoştinţe muzicale

Abilităţile de bază în modele de ritm (citire şi imitare) sunt solicitate. Nu este necesară cunoaşterea percuţiei corporale; o puteţi face cunoscută prin intermediul activităţii.

Conexiunea dintre matematică şi muzică (inclusiv beneficiile suplimentare ale învăţatului)

Executarea unui model de ritm obişnuit prin numerele de numărare (1–30) în timp ce urmaţi bătaia este legată de precizia matematică, relaţii, numărare, ordin şi timp.

Divizarea grupelor clasei în trei linii, fiecare executând diferite modele de ritm, şi ascutarea de timbre corporale este de asemenea legată de simultaneitatea şi interrelaţiile dintre numere (multipli şi divizori).

Page 32: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

32

În această activitate,elevii trebuie să încerce să rezolve o întrebare matematică prin ascultarea aceluiaşi timbru, aşa că este neecesară urmărirea aceleiaşi bătăi şi trebuie să aibă aceeaşi precizie a ritmului.

Simultaneitatea sunetului este legată de cel mai mic multiplu comun al anumitor numere.

Implementarea activităţii

Scopuri

Pentru a îmbunătăţi abilităţile de executare şi de ritm ale cursanţilor; de a ascuta şi de a recunoaşte acelaşi timbru în scopul găsirii soluţiei la problemă sau întrebare; de a găsi cel mai mic multiplu comun şi alţi multipli ai anumitor numere; de a urmări bătaia şi ritmul cu precizie; şi de a executa modele de ritm folosind percuţia corporală

Grup ţintă (vârsta studenţilor, dimensiunea grupului, studenţi speciali, etc.)

Vârste: 8–11 ani (+), până la 30 elevi (folosiţi imitaţia ritmului în locul citirii lor cu studenţi speciali)

Timp

Două sesiuni pentru a înţelege toată activitatea. 30 minute pentru a găsi cel mai mic multiplu comun a două numere (2/3; 2/5; 3/5) în loc de trei numere (2, 3, 5)

Activitate – abordare standard

1. Începeţi cu percuţia corporală a numărului 2. Profesorul prezintă copiilor o

percuţie corporală de 30 de bătăi (vezi material) şi explică înţelesul fiecărui simbol. Dacă nivelul elevilor este insuficient, este imposibil să înveţe modelul de percuţie corporală prin citirea acestuia. Asiguraţi-vă că urmaţi bătaia prin numărarea numerelor (de la 1 la 30). Multiplii lui 2 (2, 4, 6, 8, până la 30) trebuie să coincidă cu bătaia din palme. Dacă elevii nu pot citi scorul, profesorul îi poate învăţa prin imitaţie, aşa încât să-şi îmbunătăţească memoria ritmului. Din moment ce studenţii învaţă prin percuţie corporală, aceştia trebuie să îl execute în timp ce numără până la 30 (urmând bătaia).

2. Urmaţi aceeaşi procedură cu percuţia corporală a numărului 3 (vezi materiale). Observaţi că acum bătaia din palme este bazată pe multipli ai numărului 3 (3, 6, 9, până la 30).

3. Profesorul divizează grupul casei de elevi în două linii (faţă în faţă). O linie formează percuţia corporală a numărului 2, şi cealaltă execută percuţia corporală a numărului 3. De fiecare dată când este un multiplu al numerelor 2 şi 3, elevii vor bate din palme în acelaţi timp. Prima dată când acest lucru se întâmplă, aceştia vor găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 2 şi 3. (la sfârşit, puteţi face o listă cu multiplii comuni pe care i-aţi găsit ascultând acelaşi timbru (bătaia din palme).

4. Profesorul poate introduce percuţia corporală a numărului 5 (vezi materiale) în încercaţi să găsiţi, folosind aceeaşi procedură, cel mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3 şi 5. Observaţi că percuţia corporală pentru multiplii numărului 5 coincid de asemenea cu bătaia din palme. Prin punerea faţă în faţă a două linii, elevii pot urma cel mai mic multiplu comun al numerelor 2 şi 5 (10) sau 3 şi 5 (15).

5. În final, profesorul organizează studenţii în trei linii, două paralele şi una perpendiculară, şi fiecare linie execută percuţia corporală a unui număr (2, 3 sau 5). Când toţi elevii bat din palme în acelaşi timp, aceştia vor găsi cel mai mic

Page 33: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

33

multiplu comun al numerelor 2, 3 şi 5 (30). Este necesară numărarea până la 30, urmărind bătaia în scopul aflării cărui număr din cele trei linii coincide.

6. Profesorul poate proiecta o imagine a celor trei modele de ritm suprapuse (vezi materialele) pentru a arăta care dintre numere coincid cu bătaia din palme (astfel încât se vor afla multiplii comuni ai numerelor 2, 3 şi 5).

Materiale, imagini, muzică – dispunerea spaţială materială

Additional materials=materiale suplimentare

Symbols=simboluri

Slap chest=loviţi pieptul

Clap your hands=bateţi din palme

Slap tights=loviţi coapsa

Stamp your feet=bateţi din picior

Page 34: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

34

Alternative

Alternative

Variaţia #1: În loc de folosirea percuţiei corporale, folosiţi notele do (picioare), mi (coapse), sol (palme) şi do (piept). Conceptul corzilor apare în această variaţie. Procedura va fi aceeaşi; totuşi, în loc de folosirea modelelor ritmurilor de percuţie corporală, folosiţi modele melodice uşoare cu nota sol pentru multiplii fiecărui număr.

De fiecare dată când nota sol este cântată, un multiplu este găsit. În timp ce cântaţi, este posibilă spunerea numerelor, încât ele pot fi scrise pe tablă şi profesorul poate le indica în timp ce urmăriţi bătaia, sau oferiţi-vă voluntar să faceţi acest lucru sau să le spuneţi cu voce tare în timp ce restul elevilor cântă modelul melordic al unui numpăr (2, 3 sau 5).

Variaţia #2: Folosind percuţia corporală, studenţii sunt poziţionaţi într-un cerc. Aceştia fac un pas către partea dreaptă. De fiecare dată, un elev execută bătaia pentru un model de ritm dat în timp ce se rosteşte tare numărul bătăii căreia-i corespunde. De exemplu, dacă aceştia repetă modelul ritmului pentru numărul 2, aceştia vor realiza faptul că elevii care au rostit numărul 2, 4, 6 sau 8 au bătut din palme. Aşa că, aceştia dunt multipli ai numărului 2. Dacă repetaăm activitatea cu modelele de rim ale numerelor 3 sau 5 (începând cu aceeaşi persoană de fiecare dată), putem descoperi multiplii comuni ai acestor numere.

Abordări ulterioare în muzică

Elevii pot crea un model mult mai complicat de percuţie corporală prin modificarea timbrului de multipli.

Elevii pot crea un model melodic pentru fiecare număr şi-l pot scrie. Schimbaţi coarda sau modificaţi nota care corespunde multiplilor.

Modificaţi părţile corpului folosite pentru percuţia corporală.

Folosiţi instrumente pentru a executa fiecare ritm pentru a avea atâtea timbre cât cele folosite în percuţia corporală.

Abordări ulterioare în matematică

Schimbaţi numerele şi găsiţi cel mai mic multiplu comun şi alţi multipli.

Dacă alegeţi variaţia #2, încercaţi să construiţi un cerc perfect şi vorbiţi despre geometrie.

Page 35: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

35

5.4 Numere sonore

Temă

Activitatea ”numere sonore” se referă la crearea diferitelor modele acustice cu ajutorul numerelor naturale.

Cuvinte cheie

Matematică: Numere, cifre, notarea pozițională a unui număr în sistemul de

numere zecimale (notări prescurtate și avansate), descompunerea unui număr

Muzică: ritm, metru, metro-ritm

Descriere scurtă

În această activitate, elevii vor inventa diferite tipuri de modele acustice pentru

numerele naturale și vor identifica și scrie numere natural compuse din n cifre în

funcție de reprezentația lor custică.

Numirea tuturor subiectelor/nucleul muzicii și matematicii

Muzică: Elemente de muzică (puls, ritm); utilizarea instrumentelor musicale și cântat; cântat pe ritm (imitare)

Matematică: Numere (numere naturale, valori de poziție); numerotare; notarea

pozițională a unui număr în sistemul zecimalelor

Cerințe obligatorii de cunoștințe matematice

Abilităţi de bază de numărare – citirea şi scrierea numerelor naturale în sistemul numerar zecimal, reprezentarea grafică a numerelor cu n-cifre

Cerințe obligatorii de cunoștințe muzicale

Cunoaşterea şi înţelegerea principiilor ecourilor (percuţia corporală, instrumente muzicale ritmice pentru copii)

Conexiuni dintre matematică şi muzică (inclusiv beneficiile suplimentare ale învăţatului)

Ascultarea de diferite tipuri de sunete pentru unităţi (zeci, sute, etc.) şi numărarea lor pentru a conecta conceptele abstracte ale sistemului numeric poziţional zecimal cu modelul acustic al numărului.

Crearea şi folosirea sunetelor poate ajuta copiii să înţelegă regulile de bază ale sistemului numeric zecimal.

„Numere sonore” include elemente de combinatorică.

„Numere sonore” este conectată de cântatul la instrumente muzicale.

Page 36: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

36

Implementarea activităţii

Scopuri

Dezvoltaţi ideea că numerele naturale pot fi reprezentate în diferite moduri (notaţie scrisă, reprezentări grafice (simboluri), manipularea cu obiecte mici, modele acustice). Îmbunătăţiţi abilităţile cursanţilor atunci când se ajunge la transformarea unui model scris al numerelor într-unul acustic şi vice versa.

Grup ţintă (vârsta studenţilor, dimensiunea grupului, studenţi speciali, etc.)

Vârste: 7–9 ani (+); două grupuri a câte 4 (+) studenţi; sau lucrul în echipe

Timp

20 minute pentru abordarea standard

Activitate – abordarea standard

- Profesorul scrie un număr de 3 cifre în notaţia lui zecimană şi în

reprezentarea sa grafică (ex. 235, // --- +++++).

- Profesorul apoi face ca numărul să sune folosind bătaia din picior (2x), lovirea (3x) şi bătaia din palme (5x). Următorul număr este cântat şi cursanţii scriu folosind cifre şi semne (reprezentarea grafică).

- Cursanţii dintre fiecare grup inventează un set de sunete în scopul codării reprezentării acustice a numerelor naturale (ex. patru numere de câte 3-cifre). Aceştia pot folosi diferite sunete (cântatul corporal, instrumente Orff, linguri, etc.).

- Cursanţii din primul grup prezintă (cântă) numerele folosind codul de sunete propriu inventat.

- Cursanţii din al doiles grup scriu numerele sonore (sau desenează un model grafic al numerelor).

- Controlaţi soluţia şi discutaţi: ce numere au fost cântate (reprezentate), şi ce tipuri de coduri au fost folosite?

- Discutaţi avantajele şi dezavantajele diferitelor tipuri de reprezentare ale numerelor naturale (grafică, auditivă, zecimală). Comparaţi diferite reprezentări ale numerelor.

Materiale, imagini, muzică – dispunerea spaţială a materialelor

Hârtie, pix, tablă, instrumente Orff

Elevii stau în băncile lor şi lucrează în două grupuri sau în perechi.

Page 37: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

37

Alternative

Alternative

- Această activitate poate fi de asemenea executată în perechi (educaţie prin

cooperare).

- Orice teme sau instrumente muzicale (beţe, triunghiuri, tobe, căni şi bile) pot fi alese pentru reprezentarea sunetelor.

- Semnele sunetelor vor face ca cursanţii să cânte numerele folosind modelele de semne ale numerelor; de exemplu, 235 şi // --- +++++.

- Activitatea poate de asemenea să fie efectuată cu un grup de elevi mai mari, în funcţie de linia selectată a numerelor (de exemplu, peste 1,000, 10,000, etc.).

- Există spaţii pentru crearea diferitelor sarcini şi alternatuve bazate pe abilităţile şi compentenţele grupului ţintă. Din punctul de vedere al grupului ţintă, este posibilă ajustarea flexibilă a sarcinii pentru orice grup de vârstă sau linie de numere.

Abordări ulterioare în muzică

Inventaţi sunete diferite pentru semne în modelele grafice ale numerelor naturale.

Inventaţi o notaţie în scopul scrierii numărului (unităţi, zeci, sute).

Prin folosirea instrumentelor Orff, faceţi un model acustic al numerelor pentru a crea ritmul.

Notaţi valorile care pot reprezenta locul valorii cifrelor în sistemul numerar zecimal (ex. un sfert de notă = unu, jumătate de notă = zece, nota întreagă = sută).

Abordări ulterioare în matematică

Prin aplicarea obişnuită a activităţii mai sus menţionate din primul an al şcolii gimnaziale, un nou model atipic al numerelor naturale este creat, care este diferit de cele concrete (abac, cuburi, subiecte, reprezentare grafică) care sunt de obicei folosite. Pe durata procesului de realizare, este necesară dezvoltarea proprie a reprezentării mentale a unui număr cu multe cifre. Un număr de sunete este dezvoltat în simbolul cifrei, care este păstrat în memorie şi în final înregistrat folosind terminologia matematică. Executarea activităţilor mai sus menţionate dezvoltă procesele superioare cognitive şi implică funcţii executive, în special memoria activă şi redistribuirea.

Referinţe

HEJNÝ, M., KUŘINA, F. 2001. Dítě, škola, matematika. Konstruktivisticképřístupy k vyučování. Praha: Portál, 2001.

SONNESYN, G. Metodologie Grunnalget – Model pojmového vyučování (Concept Teaching Model).

CSLOVJECSEK, M., LINNEWEBER-LAMMERSKITTEN, H. 2011. Snappings, Clappings and the Representation of Numbers. The New Jersey Mathematics Teacher. Vol. 69, Issue 1, pp. 10-12.

Page 38: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

38

5.5 Dansuri utilizând unghiurile

Temă

Diferitele tipuri de unghiuri sunt exprimate prin diferiele poziții ale brațelor și picioarelor în dansuri coregrafiate.

Cuvinte cheie

Unghiuri, mișcări ale corpului, modele

Descriere scurtă

Se va inventa un dans coregrafiat în mediul de învățare. Dansurile trebuie să

exprime diferite tipuri de unghiuri prin diferitele poziții ale brațelor și

picioarelor. Coregrafia trebuie inventată cu ajutorul unor desene pe cartonașe;

mai târziu, dansatorii trebuie să prezinte creațiile lor pe muzică potrivită.

Diferitele poziții ale picioarelor și brațelor trebuie să fie fluente. În funcție de

cunoștinețele persoanelor participante, se pot introduce diferite tipuri de

unghiuri utilizând pozele din mediul de învățare.

Numirea tuturor subiectelor/nucleul muzicii și matematicii

Comunicarea unor idei matematice utilizând mai multe reprezentații; tipuri de

unghiuri diferite; recunoașterea unui model; conectarea muzicii cu mișcările

corpului; și răspunsul fizic la muzică

Aprecieri preparatorii

Cerințe obligatorii de cunoștințe matematice

- Cunoașterea diferitelor tipuri de unghiuri: unghi drept, unghi ascuțit, unghi

obtuz, unghi drept

- Elementele de bază a unghiurilor: Două picioare formează aria unui unghi, două arii a unui unghi adunate formează 360°

În dansul unghiurilor atenția este pusă pe brațe și picioare. Aceste părți ale corpului sunt deosebit de portivite din cauza structurii lor unită. Sunt foarte utili

umerii și genunchii. Cu ajutorul acestora, brațul superior și inferior și piciorul

superior și inferior pot fi aranjate astfel încât să apară figure geometrice ale unor unghiuri.

Cerințe obligatorii de cunoștințe muzicale

Dansul este în centrul acestei activități de învățare. Dansul este creat prin

mișcarea corpului și membrelor (brațe și picioare).

Legătura dintre matematică și muzică (inclusiv beneficiile suplimentare ale

învățatului)

Muzica crează modele de sunete, care reprezintă diferite dispoziții și care se vor

transforma în figuri geometrice. Un unghi ascuțit are un aspect diferit de un unghi obtuz. Acest lucuru poate fi exploata în dansul unghiurilor.

Page 39: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

39

Implementarea actiovităţii

Scopuri

- Identificarea modelelor de sunet în muzică -> dispoziții

- Modelele de sunet se vor transforma în mișcări ale corpului (dans)

- Transpunerea dispozițiilor (cauzate de muzică) în mișcări și astfel în mișcări geometrice: în tipuri adecvate de unghiuri

Grup țintă (vârsta elevilor, mărimea grupului, elevi speciali, etc.)

Posibil cu copii, adolescenți și adulți tineri; se va allege muzica potrivită în funcție

de vârsta participanților

Timp

În jur de trei ore, inclusiv reprezentația

Activitate – Abordare standard

La începutul experienței de învățare, trebuie să se clarifice felurile unghiurilor

(unghi drept, unghi ascuțit, unghi obtuz, unghi de 180 grade, etc.). Copiii care

nu cunosc aceste tipuri de unghiuri pot fi ajutați cu ajutorul unor poze reprezentative.

După clarificarea acestei probleme, trebuie să vă gândiți cum să creați diferite

tipuri de unghiuri cu diferite mișcări ale brațelor și picioarelor. Pentru punerea

în practică a acestor considerente puteți utiliza figurine de carton. Unele tipuri de unghiuri pot fi reprezentate în mai multe feluri. Exprimarea prin dans poate

duce la tensiuni diferite atunci când mișcările brațelor și corpului au un character

special. În același timp trebuie să aveți grijă ca mișcările brațelor și corpului să poată fi puse în practică.

După ce ați găsit diferitele poziții posibile, trebuie să creați o coreografie. Pentru

coreografie, trebuie să ascultați muzica care este prezentată și trebuie să vă

gândiți care secvențe de unghiuri se potrivesc cel mai bine muzicii, și care scoate

în evidență cel mai bine caracterul muzicii .

Materiale, poze, muzică – Dispunerea spațială a materialelor

Este recomandat ca coregrafia să fie planificată la masă. Astfel trebuie utilizate

figurine de carton. Figurinele de carton trebuie să aibe articulații care se mișcă

(vezi poza). Cu ajutorul acestor figurine, se pot crea diferite poziții dinamice. Coregrafia finală poate fi documentată cu desene.

Goethe-Universität Frankfurt - Institut für Didaktik der Mathematik und der Informatik – SoSe 2014 Modul L1M-AM:  „Didaktische  Aspekte  der  elementaren  angewandten  Mathematik“     Prof.in Dr. R. Vogel / J. Zerlik Mathematisches Situationspattern

© Mathematisches Situationspattern, Rose Vogel & Melanie Huth

außer- mathematischer Gehalt

Welche Konzepte/Vorstellungen außerhalb der Mathematik werden angesprochen? Beim Fitnesstanz wird Wissen und eine Vorstellung über den eigenen Körper benötigt. Dazu zählt vor allem das Wissen darüber, welche Bewegungen umsetzbar sind. Da die Lernumgebung die Entwicklung einer Choreografie fordert, sollten die Bewegungen neben der Umsetzbarkeit auch ein ästhetisches Gesamtbild ergeben. Dabei benötigen die Kinder sowohl die Koordination über ihren Körper als auch motorische Fähigkeiten. Außerdem ist die Kreativität von besonderer Bedeutung.

Verbindung der beiden Bereiche

In welcher Weise stehen die beiden Bereiche in Verbindung? Der Fitnesstanz lässt sich in mehreren Bereichen mit der Mathematik verbinden. Der mathematische Bereich Winkel ist beim Fitnesstanz in der Körperhaltung wieder zu finden. Arme und Beine können beim Fitnesstanz in verschiedene Positionen gebracht werden und stellen dann unterschiedliche Winkel dar. Jedoch ist zu beachten, dass bei jeder Position immer zwei Winkel zu sehen sind: der innere Winkel und der äußere Winkel. Den Kindern ist bei der Bearbeitung der Lernumgebung frei gestellt, auf welchen der beiden Winkel sie sich konzentrieren (das Beispiel im Podcast fokussiert den inneren Winkel).

Material Welches Material wird verwendet? Beschreiben Sie die Materialien kurz (Skizzen, Bilder usw. , gegebenenfalls auch als Anlage) Podcast: Einführung in das Thema Winkel, Veranschaulichung durch Bilder Übersicht über die vorgestellten Winkelarten (Ausdruck) Sieben Pappmännchen mit beweglichen Armen und Beinen

moveable((connec+on(for(example(with(bag(bracket(

Page 40: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

40

Alternative

Alternative

Prezentați diferite figure geometrice sub forma unui dans. Figurile geometrice

pot fi prezentate de mai multe persoane. Astfel colțurile pot fi reprezentate de

o singură persoană și vârfurile de conexiunea mâinilor și brațelor acestor oameni.

Alte abordări în muzică

Calitatea muzicii poate fi exprimată prin diferite forme geometrice. De exemplu, o muzică rapidă sau înaltă poate fi exprimată cu triunghiuri. Omuzică mai lentă,

mai armonioasă poate fi reprezentată cu cercuri și poligonuri dreptunghiulare

care se mișcă prin spațiu. În funcție de muzică pot fi create diferite tipuri de dans.

Alte abordări în matematică

Un element de bază pentru transpunerea și integrarea figurilor geometrice (arii de unghiuri, figure plane) este analiza elementelor central ale acestor figuri.

Înseamnă numărul și poziția vârfurilor și colțurilor. În acest fel, elementele

centrale pot fi învățate prin joacă și pot fi transpuse în diferite dansuri. Un pătrat

poate fi construit cu ajutorul a patru oameni care reprezintă colțurile, și, în

funcție de poziția brațelor lor, pot fi create dreptunghiuri, cu unghiuri drepte sau paralelograme cu diferite unghiuri.

Page 41: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

41

5.6 Twinkle, Twinkle Little Star

Temă

Utilizați cântatul pentru a explora simetria, tiparul, timpul și reflexia.

Cuvinte cheie

Ritm, reflexie, motiv, reflexie, transformare și simetrie

Scurtă descriere

Copii vor explora ceea ce se întâmplă atunci când transform muzica. Vor descoperi de asemenea faptul că există modele diferite, dacă pun accentul pe

ritm sau pe notele musicale. Acest lucru îi va ajuta să înțeleagă faptul că dacă se

concentrează asupra diferite aspect ale unei problem, aceasta va avea soluții diferite.

Numirea tuturor subiectelor/nucleul muzicii și matematicii

Puls și bătaie; punerea în practică a muzicii; compunere și improvizare utilizând

vocea; aprecierea muzicii; și conștientizare acustică prin ascultare și interpretare

Aprecieri preparatorii

Cerințe obligatorii de cunoștințe matematice

Modele și secvențe, și ceva experiență cu reflexii

Cerințe obligatorii de cunoștințe muzicale

Coordonare fizică (bătăi din mâini și din picioare), pulsație, utilizare vocii pentru cântat, ascultat

Legătura dintre matematică și muzică (inclusiv beneficiile suplimentare ale

învățatului)

Modele, secvențe, și transformări

Page 42: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

42

Implementarea activităţii

Scopuri

Copiii vor învăța despre simetrii, modele și motive în muzică și matematică.

Grup țintă (vârsta elevilor, mărimea grupului, elevi speciali, etc.)

Vârsta: 8+ ani. O clasă întreagă și muncă în perechi/grup

Timp

20+ minute

Activitate – Abordare standard

- Cântați cântecul cu toată clasa de câteva ori pentru a vă asigua de faptul că copiii

sunt familiarizați cu acesta. Poate fi de ajutor să scrieți cuvintele pe tablă sau pe o

hârtie să le poată vedea copii. Întrebați copiii dacă au observant un model sau o simetrie în melodie (modele de ritm, modele de melodie, forma A-B-A).

- Desenați melodia cu ajutorul liniilor, arătând urcușurile și coborâșurile.

- Acum, bateți din pălmi ritmul cu copiii și întrebați ce modele au observant de data

aceasta. Sunt aceleași sau sunt diferite de ceea ce au observant înainte?

- Apoi, rugați copiii să lucreze în perechi sau în grupuri mici. Copiii trebuie să aleagă

un motiv din cântec, folosind sau cântecul, sau melodia sau ritmul. Rugați copiii să creeze propria lor notare pentru a reprezenta motivul. Apoi copiii trebuie să

exploreze ceea ce se întâmplă când reflectă motivul și aceștia trebuie să deseneze această reflexive. S-ar putea ca copiii să dorească să utilizeze oglinzi pentru a

verifica dacă au desenat reflexia corect.După ce ați făcut acest lucru copiii trebuie să exerseze cântatul sau bătaia motivului împreună cu reflexia. S-ar putea sa fie mai

ușor dacă copiii încearcă să cânte melodia fără cuvinte.

Materiale, poze, muzică – Dispunerea spațială a materialelor

Resurse: Oglinzi, copii ale cântecelor

Alte cerințe: Această activitate trebuie organizată într-o cameră unde copiii au loc să stea în cerc. În cazul în care există o tablă copiii nu vor avea nevoie de copii ale cântecului.

Page 43: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

43

Alternative

Alternative

Există multe alte cântece care pot fi alese ca și punct de plecare , însă ceea ce

este important este să fie cântece foarte familiare copiilor și să aibe o structură

foarte simplă.

Alte abordări în muzică

Utilizați diferite versiuni ale cântecului, cum ar fi:

- A, B, C (cântec);

- Baa, Baa Black Sheep;

- A vous dirais je maman (versiunea originală);

- Alternative Mozart ale cântecului;

- Louis Armstrong’s What a Wonderful World (inspirată de melodie);

- Alegeți o temă și prezentanți o vesriune nouă a cântecului. De exemplu:

I came into school today

And I shouted “Let’s go play!”

Saw my friends and off we went

Round the playground, through the fence

I came into school today

And I shouted “Let’s go play!”

- Instrumentele pot fi utilizate pentru a explora diferitele transformări. t

Alte abordări în matematică

- Activitatea poate fi executată utilizând alte transformări (rotații și traduceri).

Putem face același lucru cu ritmuri și scoruri cum facem cu cuvintele?

- Ideea de utilizare a unui motiv și a unei transformări poate fi explorată utilizând desene pentru imagini de fundal sau hârtii de împachetat. Pot fi

exploatate și desene mai tradiționale cum ar fi cele utilizate în arta și deselnele islamice.

- Această activitate poate de asemenea să aibe ca și rezultat învățarea

combinațiilor și permutațiilor și poate fi un support pentru învățarea

fracțiilor.

- Ideile pot fi dezvoltate pentru includerea învățării secvențelor.

Page 44: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul
Page 45: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

45

6 Concluzii

Cu ajutorul acestui manual, evidențiem importanța muzicii și matematicii în viața de zi cu zi și

promovăm importanța egală a ambelor topici în mediul de învățământ. Muzica și matematica

sunt parteneri egali în abordarea unui învățământ interdisciplinar modern. Noi credem că, cu

ajutorul activităților prezentate în acest manual și pe website-ul proiectului, profesorii vor avea

posibilitatea să lucreze cu elevii și să devolte idei noi, nu doar în legătură cu matematica și

muzica, ci și în legătură cu alte combinații, după cum s-a prezentat în proiectul despre limbi.

Principala concluzie care izvorăște din combinația didactică a predării matematicii și muzicii

este faptul că apar tot mai multe idei în momentul în care ne concentrăm asupra aspectelor

comune a celor două sisteme de semne și inteligența umană (conform Gardner, 1983). Pe scurt,

există sunete în matematică, la fel cum există matematică în sunete.

În final, dorim să încurajăm pe toată lumea să se alăture proiectului participând la un curs

CPD, colaborând cu colegii cu ajutorul platformei online (http://maths.emportfolio.eu) și

împărtășind activitățile proprii.

Page 46: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul
Page 47: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

47

7 Referinţe

Achermann, E. (2003). Zahl und Ohr: Musiktheorie und musikalisches Urteil bei Johann Beer [Number

and ear: Music theory and musical judgment in the case of Johann Beer]. In F. van Ingen, H.-G.

Roloff, & U. Wels (Eds.), Jahrbuch für internationale Germanistik. Reihe A, Kongressberichte: Bd. 70. Johann

Beer. Schriftsteller, Komponist und Hofbeamter, 1655-1700 (pp. 255–275). Bern, New York: P. Lang.

Alexander, C., Ishikawa, S., Silverstein, M., Jacobson, M., Fiksdahl-King, I., & Angel S. (1977). A Pattern

Language. Towns, Buildings, Construction. New York: Oxford University Press.

Arzarello, F. (2015). Semiosis as a multimodal process, http://math.unipa.it/~grim/YESS-

5/arzarello%20relime.pdf.

Auhagen, W. (2008). Rhythmus und Timing. In H. Bruhn (Ed.), Rororo: 55661 : Rowohlts Enzyklopädie.

Musikpsychologie. Das neue Handbuch (pp. 437–457). Reinbek bei Hamburg: Rowohlt.

Bamberger, J. (2010). Music, Math and Science: Towards an integrated curriculum. Journal for Learning

through Music. Retrieved from http://music-in-education.org/articles/1-G.pdf

Barzel, B., Büchter, A., & Leuders, T. (2007). Mathematik Methodik. Handbuch für die Sekundarstufe I und II.

Berlin: Cornelsen Verlag Scriptor.

Bateson, G. (2002). Mind and nature: A necessary unity. Advances in systems theory, complexity, and the human

sciences. Cresskill, N.J.: Hampton Press.

Bharucha, J. J., & Mencl, W. Einar. (1996). Two Issues in Auditory Cognition: Self-Organization of

Octave Categories and Pitch-Invariant Pattern Recognition. Psychological Science, 7(3), 142–149.

doi:10.1111/j.1467-9280.1996.tb00347.x

Bodrova, E. & Leong, D.J. (2001). Tools of the Mind: A Case Study of Implementing the Vygotskian

Approach in American Early Childhood and Primary Classrooms. Genf: International Bureau of

Education. Retrieved from http://www.ibe.unesco.org/publications/innodata/inno07.pdf

Brandt, B., & Höck, G. (2011). Ko-Konstruktion in mathematischenProblemlöseprozessen –

partizipationstheoretische Überlegungen. In B. Brandt, R. Vogel, & G. Krummheuer (Eds.), Die

Projekte erStMaL und MaKreKi. Mathematikdidaktische Forschung am „Center for Individual Development and

Adaptive Education“ (IDeA) (pp. 245–284). Münster: Waxmann.

Brüning, S. (2003). Musik verstehen durch Mathematik. Überlegungen zu Theorie und Praxis eines

fächerübergreifenden Ansatzes in der Musikpädagogik. Verl. Die Blaue Eule, Essen.

Buchborn, T. (2004). 2+1+3+8=B+A+C+H? Zahlen im Werk Johann Sebastian Bachs. Musik &

Bildung, 36(95)(1), 36–41.

Christmann, N. (2011). Mathematik gestaltet (mit) Musik [Mathematics designs (with) music]. Der

Mathematikunterricht, 57(1), 13–23.

Costa-Giomi, E. (2004). Effects of Three Years of Piano Instruction on Children’s Academic

Achievement, School Performance and Self-Esteem. Psychology of Music, 32, 139-152.

Cslovjecsek, M., & Linneweber-Lammerskitten, H. (2011). Snappings, clappings and the representation

of numbers. The New Jersey Mathematics Teacher, 69(1).

Decroupet, P. (1995). Rätsel der Zahlenquadrate: Funktion und Permutation in der seriellen Musik von

Boulez und Stockhausen. Positionen: Beiträge zur Neuen Musik, (23), 25–29. Retrieved from

http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&db=rih&AN=1996-12042&site=ehost-live

Devlin, K. (2003). Mathematics: The Science of Patterns. New York: Owl Books.

Dewey, J. (1925). Experience and nature. Later Works, 1935-1953, Vol. 1. Carbondale: Southern Illinois

University Press.

Dewey, J. (1980/1934). Art as Experience. New York: Perigee Books. New York: Perigee Books.

Egeler-Wittmann, S. (2004). Magische Zahlen - historische Geheimnisse? Guillaume Dufays "Mon chier

amy". Musik & Bildung, 36(95)(1), 30–35.

Page 48: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

48

Elliott, D. J. (1987). Structure and Feeling in Jazz: Rethinking Philosophical Foundations. Bulletin of the

Council for Research in Music Education, (95), 13–38. doi:10.2307/40318198

Elliott, D. J., & Silverman, M. (2014). Music matters: A philosophy of music education (Second edition).

Ervynck, G. (1991). Mathematical creativity. Advanced mathematical thinking. In D. Tall (Ed.), Advanced

Mathematical Thinking (pp. 42–53). Dodrecht: Kluwer.

Fine, P., Berry, A., & Rosner, B. (2006). The effect of pattern recognition and tonal predictability on

sight-singing ability. Psychology of Music, 34(4), 431–447. doi:10.1177/0305735606067152

Fischinger, T., & Kopiez, R. (2008). Wirkungsphänomene des Rhythmus. In H. Bruhn (Ed.), Rororo:

55661 : Rowohlts Enzyklopädie. Musikpsychologie. Das neue Handbuch (pp. 458–475). Reinbek bei

Hamburg: Rowohlt.

Gembris, H. (1998). Grundlagen musikalischer Begabung und Entwicklung. Forum Musikpädagogik: Bd. 20.

Augsburg: Wissner.

Gerstenmaier, J., & Mandl, H. (1995). Wissenserwerb unter konstruktivistischer Perspektive. Zeitschrift

für Pädagogik, 41(6), 867–888.

Girmes, R. (2003). Die Welt als Aufgabe ?! Wie Aufgaben Schüler erreichen. In H. Ball (Ed.), Friedrich-

Jahresheft: Vol. 21. Aufgaben. Lernen fördern - Selbstständigkeit entwickeln (pp. 6–11). Seelze: Friedrich.

Greeno, J. G. (1989). A perspective on thinking. American Psychologist, 44(2), 134–141.

Gruhn, W. (2005). Der Musikverstand: Neurobiologische Grundlagen des musikalischen Denkens, Hörens und

Lernens (2., neu überarb. Aufl.). Olms Forum: Vol. 2. Hildesheim: Olms, G.

Gullberg, J. (1997). Mathematics: From the birth of numbers (1st ed.). New York: W.W. Norton.

Henning, H. (2009). Würfel, Sphären, Proportionen - Mathematik, die man "hören" kann [Cubes,

spheres, proportions - mathematics to be "heard"]. Der Mathematikunterricht, 55(2), 28–30.

Hilton, C., Saunders, J., Henley, J., & Henriksson, L. (2015). European Music Portfolio (EMP) – Maths : S

ounding Ways Into Mathematics. A Review of Literature. Retrieved from

http://maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Literature_Review_EMP_M.pdf

Hindemith, P. (1940). Unterweisung im Tonsatz. Band 1: Mainz: Schott.

Hirt, U., & Wälti, B. (2008). Lernumgebungen im Mathematikunterricht: Natürliche Differenzierung für

Rechenschwache bis Hochbegabte (1. Aufl.). Seelze-Velber: Kallmeyer.

Hülswitt, K. L. (2003). Material als Denkwerkzeug. Theorie und Praxis der Sozialpädagogik, (10), 24–27.

Hümmer, A., Münz, M., Müller Kirchof, M., Krummheuer, G., Leuzinger-Bohleber, M., & Vogel, R.

(2011). Erste Analysen zum Zusammenhang von mathematischer Kreativität und kindlicher

Bindung. Ein interdisziplinärer Ansatz zur Untersuchung der Entwicklung mathematischer

Kreativität bei sogenannten Risikokindern. In B. Brandt, R. Vogel, & G. Krummheuer (Eds.), Die

Projekte erStMaL und MaKreKi. Mathematikdidaktische Forschung am „Center for Individual Development and

Adaptive Education“ (IDeA) (pp. 175–196). Münster: Waxmann.

Jourdain, R. (2001). Das wohltemperierte Gehirn: Wie Musik im Kopf entsteht und wirkt. Heidelberg, Berlin:

Spektrum, Akad. Verl.

Kelstrom, J. M. (1998). The Untapped Power of Music: Its Role in the Curriculum and Its Effect on

Academic Achievement. NASSP Bulletin, 82(597), 34–43. doi:10.1177/019263659808259707

Krummheuer, G. (2007). Kooperatives Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule. In K.

Rabenstein (Ed.), Kooperatives und selbstständiges Arbeiten von Schülern. Zur Qualitätsentwicklung von

Unterricht (1st ed., pp. 61–86). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften.

Lang, A. (1993). Zeichen nach innen, Zeichen nach außen - eine semiotisch-ökonomische Psychologie

als Kulturwissenschaft. In P. Rusterholz & M. Svilar (Eds.), Welt der Zeichen - Welt der Wirklichkeit.

Referate der Münchenwiler Tagung und der Vorlesungsreihe des Collegium generale der Universität Bern im

Sommersemester 1992 (Vol. 38, pp. 55–85). Bern: Haupt.

Page 49: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

49

Lehmann, I. (2009). Fibonacci-Zahlen - Ausdruck von Schönheit und Harmonie in der Kunst [Fibonacci

numbers - expression of beauty and harmony in art]. Der Mathematikunterricht, 55(2), 51–63.

Liebetrau, P. (2004). Planung von gutem Unterricht. Ringvorlesung "Unterricht, der Schülerinnen und Schüler

herausfordert. Retrieved from http://www.uni-

kassel.de/ refsps/Ringvorlesung/vorlesung%20Liebetrau.pdf

Lorenz, J.-H. (2003). Rhythmus und Mathematik. Sache, Wort, Zahl, 31(56), 16–20.

Merker, B. (2000). Synchronous Chorusing and the Origins of Music. Musicae Scientiae, 3(1 suppl), 59–73.

doi:10.1177/10298649000030S105

Neubert, S. (2008). John Dewey (1859-1952). In B. Dollinger (Ed.), Klassiker der Pädagogik. Die Bildung der

modernen Gesellschaft (2nd ed., pp. 221–246). Wiesbaden: VS, Verl. für Sozialwiss.

Nimczik, O. (2002). There must be countless ways of counting. "Counting Keys" und "Counting Duets"

von Tom Johnson. Musik & Bildung, (1), 48–51.

Poincaré, H. (1948). Science and method. New York: Dover. New York: Dover.

Rauscher, F. H., Shaw, G. L., & Ky, K. N. (1995). Listening to Mozart enhances spatial-temporal

reasoning: towards a neurophysiological basis. Neuroscience Letters, 185(1), 44–47. doi:10.1016/0304-

3940(94)11221-4

Reimer, B. (1989). Music Education and Aesthetic Education: Past and Present. Music Educators Journal,

75(6), 22–28. doi:10.2307/3398124

Reinmann-Rothmeier, G., & Mandl, H. (2001). Unterrichten und Lernumgebungen gestalten. In A.

Krapp & B. Weidenmann (Eds.), Pädagogische Psychologie. Ein Lehrbuch (pp. 601–646). Weinheim.

Saunders, J., Hilton, C., & Welch, G. F. (Eds.). (2015). European Music Portfolio (EMP) – Maths: Sounding

Ways Into Mathematics. State of the Art Papers. Retrieved from

http://maths.emportfolio.eu/images/deliverables/State_of_the_Arts_EMP_M.pdf

Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense

making in mathematics. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on teaching and learning (pp. 334–

370). Old Tappan, NJ: Macmillan.

Simpkins, S. D., Vest, A. E., & Becnel, J. N. (2010). Participating in sport and music activities in

adolescence: the role of activity participation and motivational beliefs during elementary school.

Journal of youth and adolescence, 39, 1368-86.

Small, C. (1998). Musicking: The meanings of performing and listening. Music/culture. Hanover: University Press

of New England.

Smolej Fritz, B., & Peklaj, C. (2011). Processes of self-regulated learning in music theory in elementary

music schools in Slovenia. International Journal of Music Education, 29, 15-27.

doi:10.1177/0255761410389658

Spychiger, M. (1997). Aesthetic and praxial philosophies of music education compared: A semiotic

consideration. Philosophy of music education review, 5(1), 33–41.

Spychiger, M. (2015a). Lernpsychologische Perspektiven für eine grundschulspezifische Musikdidaktik.

In M. Fuchs (Ed.), Musikdidaktik Grundschule. Theoretische Grundlagen und Praxisvorschläge (1st ed.,

pp. 50–71). Esslingen: Helbling.

Spychiger, M. (2015b). Theorie-Praxis Bezug im Mentoring. Beispiele und pädagogische Interaktionen

in Praxisgesprächen. In C. Villiger (Ed.), Zwischen Theorie und Praxis. Ansprüche und Möglichkeiten in der

Lehrer(innen)bildung (pp. 109–130). Münster [u.a.]: Waxmann.

Spychiger, M. B. (1995). Rationales for Music Education: A View from the Psychology of Emotion.

Journal of Aesthetic Education, 29(4), 53. doi:10.2307/3333291

Spychiger, M. B. (2001). Understanding Musical Activity and Musical Learning as Sign Processes:

Toward a Semiotic Approach to Music Education. Journal of Aesthetic Education, 35(1), 53.

doi:10.2307/3333771

Page 50: European Music Portfolio (EMP) Matematică Moduri de ...maths.emportfolio.eu/images/deliverables/Teacher_Handbook_RO.pdf · 538547-LLP-1-CH-COMENIUS-CMP ... Aceste metode şi conţinutul

European Music Portfolio – Transpunerea sunetelor în matematică

50

Sternberg, R. J., & Lubart, T. I. (2000). The concept of creativity: Prospects and paradigms. In R. J.

Sternberg (Ed.), Handbook of creativity . Cambridge, UK: Cambridge University Press.

Stoll, R. W. (2001a). musik: wörter, töne zahlen. Neue Zeitschrift für Musik, (1), 42–47.

Stoll, R. W. (Ed.). (2001b). Neue Zeitschrift für Musik. CLXII/1 (January–February 2001): Magie der Zahl [The

magic of numbers] (Vol. 162). Mainz: Schott Musik International.

Vogel, R. (2005). Patterns - a fundamental idea of mathematical thinking and learning. Zentralblatt für

Didaktik der Mathematik, 37(5), 445–449. Retrieved from

http://subs.emis.de/journals/ZDM/zdm055a17.pdf

Vogel, R. (2008). Mathematik im Kindergartenalltag entdecken und erfinden – Konkretisierung eines

Konzepts zur mathematischen Denkentwicklung am Beispiel von Bewegung und Raum. In B. Daiber

& W. Weiland (Eds.), Impulse der Elementardidaktik. Eine gemeinsame Ausbildung für Kindergarten und

Grundschule (pp. 89–100). Hohengehren: Schneider Verlag.

Vogel, R. (2014). Mathematical Situations of Play and Exploration as an Empirical Research Instrument.

In U. Kortenkamp, B. Brandt, C. Benz, G. Krummheuer, S. Ladel, & R. Vogel (Eds.), Early

Mathematics Learning (pp. 223-236). Springer New York. Retrieved from

http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4614-4678-1_14

Vogel, R., & Wippermann, S. (2011). Dokumentation didaktischen Wissens in der Hochschule:

Didaktische Design Patterns als eine Form des Best-Practice-Sharing im Bereich von IKT in der

Hochschullehre. In K. Fuchs-Kittowski, W. Umstätter, & R. Wagner-Döbler (Eds.),

Wissensmanagement in der Wissenschaft (2nd ed., Vol. 2004, pp. 27–41). Berlin: Gesellschaft für

Wissenschaftsforschung e.V. c/o Inst. f. Bibliotheks- und Informationswissenschaft der Humboldt-

Universität zu Berlin. Retrieved from http://www.wissenschaftsforschung.de/JB04_27-41.pdf

Waters, A. J., Underwood, G., & Findlay, J. M. (1997). Studying expertise in music reading: Use of a

pattern-matching paradigm. Perception & Psychophysics, 59(4), 477–488. doi:10.3758/BF03211857

Weber, E. W. (1991). Schafft die Hauptfächer ab!: Plädoyer für eine Schule ohne Stress. Gümligen [etc.]: Zytglogge.

Wilson, B. G. (1996). Constructivist learning environments: Case studies in instructional design. Englewood Cliffs,

N.J.: Educational Technology Publications.