Elemente inginerie mecanica

download Elemente inginerie mecanica

of 91

Transcript of Elemente inginerie mecanica

CAPITOLUL 1. Elemente introductive9 PARTEA I CAPITOLUL 1 ELEMENTE INTRODUCTIVE 1.1.ELEMENTE GENERALE SCURT ISTORIC Aprutdincelemaindeprtatetimpuri,mecanicaesteoramuratiinelor naturii,carestudiazunadincelemaisimpleformedemicareamateriei,cunoscutsub denumireademicaremecanic,definitcamodificareaapoziieirelativeaunuicorp,sau parte a acestuia, fa de un alt corp, considerat ca reper (sistem de referin).Bazafenomenelorstudiatedemecanicoconstituiedounoiunifundamentale: materia i micarea. Conceptul de materie a avutn timp o evoluie complex.n antichitate, prin materie era considerat numai una din formele sale multiple de existen, substana.Aceast viziune simplist a fost continuu completat, odat cu noile descoperiri, iar celemairecentedescoperirindomeniulfiziciinucleare,radioactivitiiaratclarcnuau fostepuizatetoateformeledemanifestarealemateriei.Caracteristicadominantaspeciei umane,dedepireiautodepireafcutcaproblemelecerutededezvoltareacivilizaiei umanesfiedincencemaicomplexe,generndinevitabil,adugareadenoicapitole disciplinei. Utiliznd noi metode de cercetare i investigaie, dispunnd de aparatul matematic continuudezvoltatiperfecionat,mecanicaadevenitotiinindependent,capabils rspund celor mai complexe probleme ridicate de tehnica modern. Aprofundareastudiuluiacestornoidescoperiri,cesauconstituitndomeniiale disciplinei,afcutcaulteriordindisciplinamecanicssedesprindramurinoicumarfi: Mecanicarelativist,Mecanicacuantic,Mecanicaondulatorie,Mecanicafluidelor,cai disciplinecupronunatcaractertehnic-aplicativcumarfi:Mecanicamediuluicontinuu elastic, mai bine cunoscut sub denumirea de Rezistena materialelor, Macanisme i Organe de maini, Electrotehnica, Mecanica i construcia navei i lista poate continua.Asemntoraevoluatinoiuneademicare.nantichitate,bazelecunotinelorde mecanicaufostpusedeArhitasdinTareut(430365.e.n.),Aristotel(384322.e.n.),dar ntemeietorul staticii, prin teoriile sale asupra prghiilor, asupra unor probleme de echilibru, a compuneriiidescompuneriiforelorparalele,prindefinireacentruluidegreutate,poatefi consideratArhimededinSiracuza(287212.e.n.).Elstabileteilegiledebazale hidrostaticii. Legat de micare, timp de secole, a dominat n tiin concepia aristotelian.ConformlucrriisaleMecanica,Aristotelafirmc,uncorpcareseafln micare se oprete atunci cnd fora ce acioneaz asupra lui i nceteaz aciunea. Limitele acesteiteorii,bazatenprincipalpeobservareaufostdepitedeGalileoGalilei,considerat fondatoruldinamicii,fiindnvatulcareadescoperitlegeaineriei,legilecderiicorpurilor, legeaoscilaiilorpendului,legilemicriicorpurilorpeplannclinat,etc.nfruntnd misticismul, ideile nvechite scolastice i religioase, acesta introduce n mecanic metodele de cercetare tiinific i experimentale, nlocuind vechiul concept bazat numai pe observare. Nouametodconstnabstractizrialefenomenului(modelare)iapoiverificri experimentale. Lucrrile lui Galileo Galilei au fost continuate i extinse de o ntreag serie de marioamenidetiincumarfi:E.Torricelli(1608-1647),ucenicalluiG.Galilei,caresa ocupatnmoddeosebitdestudiulmicriifluideloripresiuniiatmosferice;SimonSteve (1548-1650),curezultatencompunereaforelor,apresiuniiapeipepereiivaselor;Cr. Huigens(16291695)elaboratorulteorieiondulatoriialuminii,celces-aocupatcustudiul pendulului,aciocnirilorcorpurilorelastice,aintrodusnoiuniledemomentdeinerie mecanic,acceleraiecentripet,centrifug,etc;V.Varignon(16541722)cunoscutpentru CAPITOLUL 1. Elemente introductive10 metodelesalegeometriceaplicatenmecanic,prindefinireaformelorfinalealerelaiilorlegate de noiunea de moment i teorema momentelor. Rezultatele cercettorilor lui Galilei i aurmailorluiaufostvalorificatedecelceesteconsideratprintelemecaniciiclasiceIsaac Newton(1642-1727),matematician,fizicianiastronomenglez,carenlucrarea PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMatematica(Principiilematematicealefilozofiei naturale),aprutla8mai1686,aexpusnmodsistematiciunitarnoiunileiprincipiile mecanicii alturi de teoria gravitii universale. n sens filozofic, micarea, ca i materia, este venic, necreabil i absolut, repaosul fiind relativ i temporar, micarea constituindu-se ca o nsusire esenial a materiei. Acestor nume ilustre ce au reprezentat etape n dezvoltarea primar a teoriilor mecanice maiputemaduga:LeonardodaVinci(1452-1519),pictor,savantiingineritalian,care printre altele s-a ocupat de studiul frecrii, al zborului, a demonstrat imposibilitatea existentei micriiperpetue;astronomulpolonezNicolaiCopernic(1473-1543)ceaartatcplanetele auodublmicare;mareleJohannesKepler(1571-1630)astronomgermancareastabilitc planeteleauomicareduptraiectoriielipticestabilindceleteilegiceleguverneazmicarea i care -i poart numele. TeoriileluiNewtonaufostpreluateidezvoltatedemulialioamenidetiin,dintre caresauremarcatmatematicianulelveianLeonhardEuler(1707-1783),matematicianul francezLouisdeLagrange(1736-1813),PierceSimondeLaplace(1749-1827),Denis Poisson(1781-1840),matematicianulirlandezWilliamRowanHamilton(1805-1865)ialtii care au adus pan aproape de perfeciune aceast tiin. Conceptelemecaniceaufostncontinuaredezvoltatedeomulimedenumeconsacrate ale tiinei. Astfel fizicianul francez Charles Coulomb (1736-1806) obine rezultate deosebite nstabilireaexpresieiforelorelectrostaticeimagnetice,nstudiulfrecrii,obinndlegile frecriiceipoartnumele,fizicianulenglezMichaelFaraday(1791-1867)cucompletarea studiului cmpurilor magnetice i fenomenele de electroliz. Continund rezultatele lui M. Faraday i modelul creat de el legat de cmpul magnetic, fizicianulscoianJamesClerkMaxwell(1831-1879)areuitsformulezelegilecmpului electromagnetic.FizicianulgermanHeinrichHertzcontinustudiulcmpurilormagnetice, obinnd rezultate deosebite ca i n studiul vibraiilor mecanice. Nu putem neglija numele lui AlbertEinstein(1879-1955)fiziciangermancareesteprinteleceleimaievoluateteorii, denumit de el teoria relativitii.Nuputemtrececuvedereacontribuianepocamodernladezvoltareamecanicii teoreticeiaplicateaunorsavanideorigineromncei-aucptatunrenumemondial, domeniilecucelemaimarireuitefiindndomeniulzborurilorideplasriicorpurilorn fluide. Lista poate ncepe cu Herman Oberth, savant nscut la Sighioara ale crui contribuii n domeniul zborurilor cosmice sunt unanim recunoscute. Henri Coand (1886-1972), inginer, omdetiin,constructordeavioane,pionieralaviaiei,autorapeste250deinvenii brevetate,cuaplicaiindiversedomenii.Esteconsideratprintelepropulsieicumotoarecu reacie, pune bazele propulsiei pe vertical a avioanelor, descoperitorul, teoreticianul efectului devieriiunuifluidnzonadecontactcuuncorpsaualtfluid,efectceipoartnumele.A desfurat o activitate deosebit i n numeroase alte domenii precum:-aparate de ochire pentru avioanele militare;-tun de aviaie fr recul; -nlocuirea metalelor din diverse construcii; -rezervoare de beton pentru combustibil; -cisterne de beton pentru transportul pe calea ferat; -instalaie solar pentru desalinizarea apei marine etc. CAPITOLUL 1. Elemente introductive11 Aurel Vlaicu (18821913), a construit unul din primele planoare romneti,A. Vlaicu 1909iavioanemonoplanare.A.VlaicuNr.I(1910)iA.VlaicuNr.II(1911)cucarea obinut performane de rsunet la vremea respectiv.TraianVuia(18721950)constructordemotoareiavioane,inventator,pionieral aviaiei mondiale, eminent om politic. Este primul om din lume care a construit i a zburat cu un avion mai greu dect aerul, T. Vuia Nr. I, ce a decolat numai cu mijloacele de bord, iar n 1918 realizeaz dou tipuri de elicoptere, prevzute cu aripi rotative. Grigore(Gogu)Constantinescu(18811965)consideratprintelesonicitii,(tiina transmiteriienergieiprinfluidecompresibile),savantdetaliemondialunanimrecunoscut pentru rezultatele tehnice deosebite ale aplicaiilor teoriei sale. AnghelSaligni(18541925),inginerconstructor,inventator,omdetiin, ntemeietorulinginerieiromneti,pionieraltiineiitehniciimondiale,ndeosebiprin soluiile noi n proiectarea i executarea construciilor de poduri i a construciilor industriale (portul Constana, silozurile de cereale ale portului Constana). Unuldinpionieriiproiectriiiutilizriistructurilordinconstruciidinbetonarmat, constructorulprimelorpoduricombinatedeoseaicaleferat(AdjudTg.Ocna),primele podurimetalicecuconsolefrculee(liniaferatFiliaiTg.Jiu).Ceamaiimportant realizareasaesteconcepereaiproiectareacomplexuluidepoduripestebraulBorceala FetetiipesteDunrelaCernavod,celmaimaredinEuropaialtreileadinlumelaacea vreme, cu o lungime total de 4088 m, inaugurat la 14 septembrie 1895. Nutrebuieneglijatefortulfcutdeingineriidinultimelegeneraii,caE.Carafoli,n domeniulconstrucieideavioane,precumidomnilorCaiusIacob,Gheorghetefan,Radu Voinea, Dumitru Mangeron, Octave Onicescu, Mihai Sofonea, pentru contribuiile domniilor lorndezvoltareateoreticamecanicii,precuminformareaidezvoltareacoliide mecanic din Romnia ultimilor decenii. Mulumescpeaceastcaleprofesorilormei,PetreSimaiMihaiTofandela universitatea,,TRANSILVANIA,,DINBRAOV,pentrumodulncarem-auajutatn formarea mea; primul prin uimitoarea simplitate a modului de predare a mecanicii i al doilea prin fascinaia rafinamentului calculului matematic, pentru care pstrez o recunotin unic. 1.2. PRINCIPIILE MECANICII

Deoarecemecanicaclasicesteotiinanaturii,nelaborareateoriilorei,iniiatorii, pornind de la realiti evidente, ce nu puteau fi demonstrate matematic au introdus mai multe principiisauaxiome.Acesteareprezintrealiticepotfievideniateexperimentaldarnuse potdemonstraimatematic.IsaacNewtonaenunatpentruprimadatnformfinal (utilizat i n prezent ) aceste principiile, pe care le-a denumit axiomele sau legile micrii. Legea I Principiul ineriei:Un corp i pstreaz starea de repaus (nemicare) sau de micare rectilinie i uniform atta timp ct nu intervin alte forte care s-i modifice aceast stare. Cele dou stri mecanice, starea de repaus i de micare rectilinie i uniform se numesc stri ineriale. Legea a-II-a Principiul aciunii:Variaia micrii este proporional cu fora ce produce modificarea, pstrnd sensul i direcia ei. Cum variaia vitezei n raport cu timpul este acceleraia, pe baza acestui principiu Isaac Newton a stabilit legea fundamental: CAPITOLUL 1. Elemente introductive12 F ma =Aceastaaratc,coeficientuldeproporionalitatentreforivariaiamicriieste masa corpului m. Prin aceasta Isaac Newton stabilea c variaia micrii nu depinde de viteza corpului i nici de aciunea simultan a altor fore, dacFeste o rezultant. Legea a-III-a Principiul aciunii i reaciunii. Aceastastabilestec,totdeaunalaoriceaciunecorespundeoreaciuneegalide sens contrar sau aciunile reciproce a dou puncte materiale sunt totdeauna egale i ndreptate n sens contrar. n lucrarea sa Newton definete ca fiind Corolarul I, un alt principiu de baz almecaniciiclasicedenumitprincipiulparalelogramuluiforelor.Conformacestuiprincipiu, dac asupra unui punct M acioneaz simultan dou fore 1Fi 2F efectul lor este acelai cu al aciunii unei singure foreF , avnd mrimea i sensul diagonalei paralelogramului construit pe cele dou fore .

Pentruaenunaacestelegi,Newtonaformulatoseriedeipotezesimplificatoare. Astfelprincorpmaterialsenelegeunpunctmaterial,iarmicarea,pentruaputeasfie studiat se raporteaz laun sistem de referin absolut i imobil.n legeaa-II-a masa m este considerat constant.Denumiriledeaciuneireaciunensensullegiia-III-asuntconvenionaledeoarece esteimpropriusseafirmecforeledeaciuneireaciuneifacechilibru,eleacionnd asupra a dou corpuri diferite. 1.3. MODELELE UTILIZATE N MECANIC Necesitatea de a obine metode ct mai generale de calcul matematic, capabile s poat acoperimareadiversitateafenomenelordinnaturaimpusrealizareunormodeledecalcul, capabilessesuprapunctmaifidelpesteevenimentele,determinrileexperimentale verificndrezultateleobinuteprincalculbazatepemodelulutilizat.Acestnoumodde gndireaaprutodatcuterecereadelagndireaaristoteliciscolasticaevuluimediu.Depirea acestui mod de gndire s-a realizat ntr-o perioad foarte lung de timp, iarfundamentelenouluimoddegndire,bazatpecercetareiverificareexperimentalaufost pusedeGalileoGalileiifinalizatedeIsaacNewton.nlucrareasafundamental ,,PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA, Newton definete primul model al mecanicii,punctul material. Realizarea modelelor n mecanic a fost impus de necesitatea de a simplifica pe de o partestudiulmicriimecanicentlnitntr-omarediversitatenjurulnostru,conferindo mare generalitate metodelor de studio. Pe de alt parte, realizarea modelelor permite utilizarea generalizat a unor calculelor matematice unice. n urma confirmrii rezultatelor obinute prin calcululmatematicdectrevalorileobinuteexperimentalsevalideazmodelulmatematic folositimetodicadecalculutilizat.nstudiulmicriimecanice,punctulmaterial substituie,fiepunctelematerialededimensiunifoartemici,avndformsfericderazarfoartemic,neglijabil,fiecorpuriledemaridimensiuni,ncazulparticularncaretoate aS =a +bb CAPITOLUL 1. Elemente introductive13 foreleceacioneazasupraluiaudreptelesuport,concurententr-unpunct.Acestpunct, (exemplu centrul de greutate) substituie corpul studiat. O mulime de puncte materiale dispuse la distane relativ mari, dar care interacioneaz ntre ele formeaz un sistem de puncte materiale. Dac ntr-un anumit spaiu delimitat de un domeniufinit,punctelematerialeinfinitdemicisuntdispusefoarteapropiatentreele, dispuseuniformiformnddiferitestructuricudispunereuniformnspaiu,astfelc detand orice volum elementar din orice poziie din spaiul dat, numrul de punctemateriale esteacelais-aufoarteapropiat,acestaconstituiecontinuulmaterial.Cualtecuvinte,n cadrulsistemelordepunctemateriale,dispunerealorspaialestediscret,iarncazul coninuuluidematerial(corpuri)dispunereaestecontinu.Acestmodelsemaidefineteca mediu continuu sau corp material continuu sau simplu corp. Dac punctele materiale ale unui corp i pstreaz poziia lor relativ i distana dintre ele constant, indiferent de sistemul de foreceacioneazasuprasaatuncicorpuldevineunnoumodel,respectivcorprigid,saucorp nedeformbil, sau mai simplu rigid. Corpulrealsuferdeformaiisubaciuneaforelorceacioneazasuprasa. Deformaiilesuntelastice,dac,dupncetareaaciuniicorpulirecaptformai dimensiunileiniialeirespectivplasticencazulncarecorpulnu-imairecaptformai dimensiunileiniiale.Porninddelaraportulcelortreidimensiunicuajutorulcrorastabilim volumul unui corp, n mecanic se mai utilizeaz i modele particulare ale corpurilor. Astfel, dacdoudinceletreidimensiunisuntneglijabilenraportcuatreia,atuncicorpulpoart numeledebar(dacesterigid),respectivfir,dacesteflexibil(nuopunerezistenla modificareaformei).Dacdoudintredimensiuniauvaloricomparabilentreeledarmult mai mari dect cea de a treia, atunci vorbim de suptafee materiale sau plci. Dac grosimea este att de mic nct placa se poate deforma uor, acest model poart numele de membran. Aceste modele de studiu se completeaz n funcie de posibilitile de micare ale punctului i rigidului cu dou situaii distincte :-a) punctul i rigidul liber ; -b) punctul i rigidul supus la legrturi. Un punct este liber dac poate ocupa orice punct n spaiu. Orice restricie geometric, constndnimposibilitateacapunctulssedesprinddeosuprafasaucurbconstituieo legtur mecanic iar punctul este supus la legturi. Dac trei puncte necoliniare oarecare ale unuicorpocupopoziieoarecaredetermintielepotocupadependentunuldealtulorice poziie nvecinat, atunci corpul este liber. Aceste modele rezolv toate problemele de micare mecanicdelacelemaigeneraleipnlacelemaisimplemicrialepunctuluisau rigidului. Pentru a defini micarea mecanic, definit ca modificarea poziiei n timp i spaiu s-a configurat un model fizic constnd dintr-un reper considerat fix sau mobil, purtnd numele de sistem de referin fix (absolut), respectiv mobil (relativ). CAPITOLUL 1. Elemente introductive14 CAPITOLUL 2 ELEMENTE DE CALCUL VECTORIAL 2.1. ELEMENTE GENERALE Deoarece, pe parcursul acestui curs, se utilizeaz n general mrimi vectoriale, cu care este necesar s se efectueze diferite operaii i calcule matematice,am considerat util ca, din multitudineaicomplexitateaaspectelordecalculvectorial dezvoltateladisciplineledematematicsfiereamintitepe scurt,operaiileiproprietilecevorfiutilizate.Omrime scalar, sau scalareste complet determinat prinvaloarea lor numeric.Aceasta,reprezintunnumrpozitivsaunegativ urmatdeunitateademsur,preciznddecteorieste cuprinsunitateademsurnmrimeadat.Exemple: distanadintredoupuncte(4metri),duratadetimp(2 secunde), temperatura (- 5 grade Celsius), etc. Omrimevectorialr ,estedefinitcompletdac suntprecizateceletreielemente:direcie,sensimodul.Direciavectorului,reprezint dreaptasuportpecareseaflpunctuldeaplicaieivrfulmrimiivectoriale.Lunddou puncte pe aceast dreapt A i B (fig. 2.1) prin sens se nelege modul de parcurgere al ei de la AlaBsauinvers.Modulul,sauscalarulvectoruluir ,esteunnumrrealcereprezint multiplul unitii de msur a mrimii vectoriale studiate.n sistem de coordonate cartezian un vector se poate descompune dup cele trei direcii alespaiuluicuajutorulproieciilorsalepeceletreiaxe.Prindefiniie,numimvectorde poziieaunuipunctnraportcuunsistemdereferin,vectorulcareuneteoriginea sistemuluicupunctuldat.Acestasenoteazcur .Pentrusimplificareascrieriiceletrei proiecii se noteaz uzual cu x, y i z. n cazul altor vectori, aceste trei litere apar ca indici la literacesimbolizeazmrimeastudiat.Spre exemplu, vectorul : x y zi j k = + + Conform figurii 2.2. x = proxr= r cos y = proyr= r cos 2.1. z = prozr = r cos Cosinusurileunghiurilorpecaredirecia vectoruluir lefacecuaxeleOx,OyiOzale sistemuluidereferin,notateuzualcu,,, poartnumeledecosinuidirectoriisebucur de proprietatea: 2 2 2cos cos cos 1 + + = B r A Fig. 2.1 Exemplu de mrime vectorial zpr ozr =z M k O j prOyr = y iproxr= x prOMr xFig. 2.2. Proiecia unui vectorrpe axele unui tetraedru regulat drept CAPITOLUL 1. Elemente introductive15 Vectorulr se scrie cu ajutorul proieciilor pe axele sistemului de referin cu relaiile: =cos cos cos r x i y j z k r i r j r k = + + + + 2.2. n acest caz modulul vectorului de poziier , de proiecii x, y i z este dat de relaia: r =2 2 2z y x + + 2.3. Condiiar =0estendeplinitdacinumaidacx=y=z=0,adicvectorulse reduce la un punct.Prin definiie numim versor, un vector de modul egal cu unitatea. Versorul vectorului r , se noteaz cu rui este dat de relaia: rrur= == 2 2 2x i y j z kx y z + + + +2.4. 2.2. POZIII PARTICULARE ALE VECTORILOR Fie doi vectori oarecare:

x y za a i a j a k = + + i r x i y j z k = + + Doisaumaimulivectorisuntparalelidac,proieciilelorpeceletreiaxeale sistemului de referin sunt proporionale. Prin aceast particularitate. Aceti vectori formeaz un fascicol de vectori paraleli.Dacr a , atunci: ctzayaxazyx= = = . 2.5.

Doi, sau mai muli vectori pot fi egali n modul, dac scalarii vectorilor respectivi sun egali.Doi,saumaimulivectoricareauaceiaidirecie,sensimodulsenumesc echipoleni.Cualtecuvintedoivectoriceauacelaimoduldacsuntparaleliiauacelai sens atunci ei sunt echipoleni. Matematic, condiia ce se poate scrie este c proieciile devin din proporionale egale: ax=x;ay=y;az=z;2.6. 2.3. OPERAII CU VECTORI. Operaiilecumrimilevectorialeaufostaprofundatencadruldisciplinelorde matematici,motivpentrucarencontinuaresev-afacemaimultotrecerenrevistalor, evideniind numai acele aspecte utilizate n cadrul disciplinei. CAPITOLUL 1. Elemente introductive16 2.3.1 Produsul unui vector cu un scalar v = a r Prinprodusulunuivectorcuunscalarseobinetotunvector.Fievectorulr i scalarula.Vectorulrezultat vaaveaaceeaidireciecur ,modululesteegalcumodulul luiramplificat cu scalarul a ( = a r ). Cnd a este pozitiv vectorii au acelai sens, iar dac a este negativ vectorii au sens contrar. 2.3.2. Adunarea i scderea vectorilor Prinadunareaiscdereaadoisaumaimulivectoriseobinntotdeaunamrimi vectoriale.Cums-astudiatidemonstratncadrulcursurilordematematic,nsumarea vectorialsepoaterealizaprinmaimultemetode.ncontinuaresuntprezentatecelemai utilizate metode grafice i analitice de calcul, utilizate pe parcursul acestei lucrri. 2.3.2.1. Metoda paralelogramului Se definete vectorul sumS , sau suma a doi vectori mrimea dat de relaia: S a b = + 2.7. i vectorul diferenD saudiferena a doi vectoria ib mrimea dat de relaia:

( ) D a b a b = = +2.8. Reprezentareacalcululuigraficasumeiidifereneiadoivectoriobinuteprin utilizarea metodei paralelogramului sunt redate n figura 2.3. Metodaconstnobinereaprintranslaiiiparalelismadoivectori,echipolenicei doivectoridaidaravndorigineacomun.Ducndapoiparaleleprinvrfurilecelordoi vectoriseobinevectorulsum,cereprezintdiagonalamareaparalelogramuluianterior obinut. Pentru calculul diferenei, se realizeazaceiaioperaie, deosebireaconstndnconstrucia graficavectoruluiacuvectorul-b ,respectndaceiairegul.De aceastdatrezultvectorul diferen,cereprezintdiagonala mic a aceluiai paralelogram. D=a - b S =a +ba - b b Fig. 2.3. Metoda paralelogramului CAPITOLUL 1. Elemente introductive17 2.3.2.2.Metoda triunghiului Metoda triunghiului, este o metod simplificat fa de metoda paralelogramului. Aceast metod, pornete de la observaia c laturile paralelogramului sunt congruente, doua cte dou. Ca atare diagonala paralelogramului este n acelai timp cea de a treia latur comuna a celor dou triunghiuri la care celelalte dou laturi sunt vectorii nsumai. n primul caz, se duce n vrful vectoruluiboriginea unui vector echipolent cu vectorula ; se unete originea vectoruluib cu vrful vectoruluiai se obine vectorul sumS b a = + . n cel de al doilea caz, ducnd n vrful vectoruluiaun vector echipolent cu vectorul b rezultaceiaisumS a b = + .Aceastdublegalitateprobeazproprietateade comutativitate a adunrii vectoriale. 2.3.2.3. Metoda poligonal Metoda poligonal, pornete de la observaia c vectorul rezultant obinut prin metoda triunghiului unete originea primului vector cu vrful celui de al doilea. n cazul a trei vectori, aplicndmetodatriunghiuluidedouori,rezultcsevaducenvrfulsumeiprimilordoi vectori originea vectorului echipolent cu al treilea vector al adunrii. Suma celor trei vectori , vafisegmentulorientatceuneteorigineaprimuluivectoralsumeicuvrfulvectorului echipolentcuceldealtreilea.Putemextinderezultatullaunsistemdenvectorioarecaren spaiu,repetndaceiaimetod.Vectorulrezultantvauniorigineaprimuluivectorcuvrful vectoruluiechipolent,corespunztorultimuluivectoralsumei.ncazulnsumrii,utiliznd metodapoligonal,atreisaumaimulivectoriavnddireciioarecarenspaiu,vectorul rezultantseobineastfel.Sepornetedelaprimulvectordinsistem,caresealegela ntmplares-audupoanumitmotivaie.ncontinuareseaeazsuccesiv,dupoordine impus sau aleatoriu aleas (proprietatea de comutativitate permite alegerea oricrei ordine de adunare a celor n vectori) originea vectorului echipolent celui de al doilea vector, n vrful su origineavectoruluiechipolentceluidealtreileaioperaiaserepetsuccesivcurestul vectorilor,respectndaceiairegul.Vectorulrezultantestesegmentuluneteoriginea primuluivectorcuvrfulechipolentuluiultimuluivectoripoartnumelederezultant notndu-se uzual cuR .

1V 2V 2V 3V1V 3V 4VR 4V Fig. 2.5. Metoda poligonal ba S b a = + ObFig. 2.4. Metoda triunghiului CAPITOLUL 1. Elemente introductive18 Deoareceprinnsumareavectorialutilizndmetodapoligonal,putemnsumaivectorii care au aceiai direcie i modul dar sens opus, metoda este valabil i n cazul cnd nusuntnumaiadunridaridiferenentreceinvectoricucareseopereaz.Reprezentarea grafic a acestei metode pentru patru vectori este redat n figura 2.5. 1 2 3 4R V V V V = + + + 2.3.2.4. Metoda proieciilor Metoda proieciilor este o metod ce pune bazele metodelor analitice ale calculului vectorial. n figura 2.6. este redat un sistem de n vectori iF , a cror rezultant iR F = este obinut pe cale grafic utiliznd metoda poligonal. Fa de acest sistem de vectori lum o dreapt oarecare () de versoru . Prin originea fiecruia din cei n vectori din nsumarea prin metoda poligonal i vrful ultimului vector, se duce cte un plan Ki perpendicular pe dreapta. Se noteaz n ordine cresctoare, cu Ai, intersecia celor n+1 plane cu dreapta. Conform rezultatelor anterioare, rezultanta celor n vectori iFai sistemului dat este: 1 2 3...n iR F F F F F = + + + + = 2.9. Analizndrezultatulgraficdinfig.2.6.,rezultc,segmentulA1An+1,reprezint proiecia pe dreaptaa rezultanteiR , notat cuprR . n mod identic rezult corelaia dintre proieciile forelor iFi segmentele determinate pe dreapta dat (relaia 2.10.).Apar evidente urmtoarele rezultate: K2 K3 K4 K1 Kn 2F3F Kn+1 1F

nF iR F = An A1A2 A3A4 An+1 Fig. 2.6. Reprezentarea grafic ametodei proieciilor. A1An+1 = pr RA1A2 = pr1FA2A3 = pr2F 2.10. . . AnAn+1 = prnF CAPITOLUL 1. Elemente introductive19 n plus, analiznd relaiile dintre segmentele de pe dreapta rezult: A1An+1 = A1A2 + A2A3 + A3A4 ++ An-1An AnAn+1 Seobservcnsumareasegmentelorsefacealgebric.nlocuindsegmentelecu proieciile echivalente, se demonstreaz c, proiecia pe o dreaptoarecare a rezultanteiRa unui sistem de n vectori 1F , 2F , , nF , este egal cu suma algebric a proieciilor celor n vectori pe dreapta dat. Aceasta se numete teorema proieciilor, iar matematic se exprim cu relaia: 1nnipr R pr F == 2.11. Acestrezultatsepoatevalorificadacconsidermtreidrepteconcurenteaxele triedrului ortogonal, Ox, Oy, Oz. Fa de acest sistem de axe se poate aplica de trei ori teorema proieciilor, fiecare vector putnd avea maxim trei proiecii, cte una pe fiecare ax.Dac vectorul este perpendicular pe una din axe, este evident c proiecia vectorului pe axarespectivestezero.Aplicndrelaia2.12.pefiecareax,rezultcntr-unsistemde coordonate cartezian cele trei proiecii ale rezultanteiRa unui sistem de fore, 1F ,2F, nF este egal cu suma algebric a proieciilor celor n vectori pe axele triedrului. Fcnd notaiile de mai jos: prOxR = Rx prOyR = Ry prOzR = Rz prOx1F = F1x prOy1F = F1y prOz1F = F 1z . . prOxnF = Fnx prOynF = Fny prOznF = Fnz i nlocuindu-le n relaiile 2.12. se obine: Rx = 1Fx + F2x + + Fnx = 1nixiF= Ry = 1Fy + F2y + + Fny = 1niyiF=2.12. Rz = 1Fz + F2z ++ Fnz = 1niziF= CAPITOLUL 1. Elemente introductive20 relaii n care nsumarea se face algebric. Considernd cei trei versorii, , i j k , ai celor 3 axe de coordonate Ox, Oy, Oz, conform fig. 2.2., orice vector iF va avea direcia dat de cele trei unghiuri, ,i i i .Aplicndproprietateaprodusuluiscalaradoivectori(rel.2.15.),cproieciaunui vector pe o dreapt este egal cu produsul scalar dintre vector i versorul dreptei respective, se obine: prOxiF = ii F = i iF cos i = Fix Dac notm cu , , i unghiurile pe care rezultantaRa sistemului de fore le face cu axele sistemului, atunci: Rx = R cos Ry = R cos Rz = R cos respectiv: Rx = R cos = F1cos 1 + F2cos 2 ++Fn cos n Ry = R cos = F1cos 1 + F2cos 2 ++Fn cos n2.13 Rz = R cos = F1cos 1 + F2cos 2 ++ Fn cos n PutemnacestmodscalculmanaliticrezultantasistemuluidevectoriR .Direcia luiReste dat de cele treicosinusuri directoare ale unghiurilor, , , pe care rezultanta le formeaz cu axele Ox, Oy, respectiv Oz, modulul fiind calculat conform relaiei 2.3., obinnd relaiile 2.14. RRRFx ix== cos ; RRRFy iy== cos ; 2.14. RRRFz iz== cos R = 2 2 2z y xR R R + + = 2 2 2) ( ) ( ) (iz iy ixF F F + + . CAPITOLUL 1. Elemente introductive21 Aplicaie.Treifore 1 2 3, , P P P suntdiagonalelefeelorparalelipipedului OABCDEFG, de laturi a, b, c. S se calculeze rezultanta celor trei fore.

Proiectnd cele trei fore n tabel sunt date proieciile lor. Cum s-a demonstrat x y zR R i R j R k = + +n care:

3 3 31 1 12 2 2 2 2 20 2 , 0 2 , 0 22 2 2 2( )2x ix y iy z izi i ix y zR F a a a R F b b b R F c c cR ai bj ck ai bj ckR R R R a b c= = == = + + = = = + + = = = + + = = + + = + + = + + = + + iar direciile pe care aceasta le face cu axele sistemului de referin sunt: 2 2 2 2 2 22cos2x ixR F a aR Ra b c a b c= = = =+ + + +; 2 2 2 2 2 22cos2y iyR Fb bR Ra b c a b c= = = =+ + + +; 2 2 2 2 2 22cos2iz zF R c cR Ra b c a b c= = = =+ + + + 2.3.3. Produsul scalar a doi vectori Produsulscalaradoivectorir iF ,notaticuformarestrns , r F esteprin definiie un scalar, dat de relaiile 2.15.: , r F =r F = r F cos ,2.15. fiindunghiulformatdecei2vectori,avndorigineacomun.Datoritparitiifunciei cosinus: Fora ixFiyFizF1P ab0 2P a0c 3P 0bc CAPITOLUL 1. Elemente introductive22 F P r A B d O

Fig.2.7. Calculul grafic alprodusului vectorial , r F = F r = F r cos(-) = r F cos =r F ce demonstreaz proprietatea de comutativitate a produsului scalar.Rezult n plus c, pentru doi vectori diferii de zero condiia de ortogonalitate este: F r =0 Utiliznd proieciile celor doi vectori, x y zr x i y j z kF F i F j F k= + + = + + analitic produsul scalar este dat de relaia: r F = x y zxF yF zF + + Pentru suma celor trei produse ale proieciilor celor doi vectori ai produsului scalar se poate utiliza termenul de trinomul produsului scalar a doi vectori.Dacu este versorul unei drepte , iarF un vector a crui dreapt suport intersecteaz dreapta sub un unghi , atunci: , u F =u F= u F cos = Fcos = prF 2.16. Aceasta reprezint o proprietate foarte mult utilizat n calculele analitice vectoriale, anume: prin produsul scalar dintre un vector i versorul unei drepte date se obine proiecia vectorului pe acea dreapt.2.3.4. Produsul vectorial a 2 vectori Prindefiniie,produsulvectorialP adoivectorioarecarenotaicur ,respectivF , este un vector dat de relaia: P r F = 2.17. avnddirecia(fig.2.7.)perpendicularpeplanul formatdinceidoivectori,origineacomuncucei doivectori,sensuldatderegulaburghiuluidrept, sauprinrotireaprimuluivectorpesteceldeal doilea pe drumul cel mai scurt, iar modulul este dat de relaia:

P = r F sin 2.18. esteunghiulformatdeceidoivectori.Direcia produsuluivectorialesteperpendicularpeplanul format de cei doi vectori. Din figura 2.7. rezult cCAPITOLUL 1. Elemente introductive23 r sin =d ncaredreprezintdistanadelaorigineaprimuluivectorladreaptasuportaceluideal doilea. Rezult: P = F d2.19. mai apare un rezultat geometric interesant. Fd reprezint, de dou ori aria triunghiului format deceidoivectoriconcureni.Aceastaaratc,modululprodusuluivectorialadoivectori esteegalcudublularieitriunghiuluiformatdeceidoivectori,oproprietateutilnunele demonstraii.Produsul vectorial, se poate calcula analitic, pornind de la proieciile celor doi vectori peaxelesistemuluidereferin,ajutoruldeterminantuluisimbolicsaucaracteristicmetod numitnlucrarecudenumireademetodadeterminantului.Peprimalinie,determinantul simbolic are n ordine cei trei versori ai sistemului de referin, pe a doua proieciile primului vectoralprodusuluiiarpeceadeatreiaproieciileceluidealdoilea.Proieciilepeaxeale sistemului de referin sunt minorii celor trei versori,, , i j k , ai determinantului simbolic.Rezult: x y zi j kr F x y zF F F = = (yFz - zFy)i+ (zFx - xFz)j+ (xFy- yFx) k2.20. 2.3.5. Dublul produs vectorial Dublulprodusvectorialatreivectoriw esteunvectoracruiexpresiematematic este:( ) w a b c = 2.21. Acesta se poate calcula prin utilizarea, de dou ori succesiv, a metodei determinantului simbolic, calculnd mai nti produsul vectorilor din parantez i apoi produsul dintre primul vector i produsul ultimilor doi. nmultesituaiineavantajeazcalcululdubluluiprodusvectorialatreivectori utilizndoaltrelaiedemonstratlamatematic.Aceastexpresieseobineprin descompunereadubluluiprodusvectorialdupdireciilevectorilordinparanteze,conform relaiei: ( ) ( ) w a c b a b c = 2.22. ce arat c dublul produs vectorial a trei vectori se poate descompune dup regula: produsul scalar dintre primului i cel de al treilea vector, dup direcia celui de al doilea, din care se scade produsul scalar dintre primul i al doilea vector dup direcia celui de al treilea. 2.3.6. Produsul mixt a trei vectori CAPITOLUL 1. Elemente introductive24 Produsul mixt a trei vectoria ,b ,c , se noteaz cu ( a ,b ,c ) i este dat de relaia: ( a ,b ,c ) =a (b c )2.23. nsensfizic,acestscalar,reprezintvolumulparalelipipeduluiconstruitcuajutorul celortreivectori,avndaceiaiorigine,fiindconsideraicamuchii.Oconsecinaacestui rezultatestecprodusulmixtnuseschimbcndceitreivectorisuntpermutaicircular.n consecin: a (b c ) =b (c a ) =c (a b ) 2.24. ce demonstreaz proprietatea de comutativitate a produsului mixt.O alt consecin este c produsul mixt este nul cnd cei trei vectori sunt coplanari. Expresia produsului mixt a trei vectori este dat de valoarea determinantului ce are pe cele trei linii proieciile celor trei vectori: ( a ,b ,c ) = x y zx y zx y za a ab b bc c c 2.25. Aplicaie. Se dau vectorii: 2 3 4 a i j k = + ,4 3 b i j k = + ,3 2 c i j k = + . Se cere s se calculeze: ) ?) ?) ?) ( ) ?) ( ) ?a a b cb a bc a bd a b ce a b c+ + = = = = = Rezolvare. a)a b c + + = 2 3 4 ( ) 4 3 ( ) 3 2 i j k i j k i j k + + + + + 4 j k = Pentrupunctulb),produsulscalarseobinecalculndtrinomulprodusuluiscalar, obinnd: (2 3 4 )( 4 3 ) 2 12 12 26 a b i j k i j k = + + = = Pentru calculul produsului vectorial de la punctul c) se vor utiliza cele dou metode. nprimulcaz,seefectueazprodusulvectorial,aplicndreguladistribuieiprodusului vectorial fa de operaia de adunare-scdere i aplicnd proprietile produsului vectorial al versorilor, , , i j krespectiv: CAPITOLUL 1. Elemente introductive25 0 i i j j k ki j kj k ik i j = = = = = = Utiliznd aceste relaiise obine: (2 3 4 ) ( 4 3 ) 8 6 3 9 4 16 7 2 5 a b i j k i j k ji ik ji jk ki kj i j k = + + = + + + = + + naldoileacaz,seaplicmetodadeterminantuluisimbolic,precizndsemnul corespunztor fiecreiproiecii al vectorilor dai se va obine: a b = 2341 43i j k( ( ( ( =(9 16) ( 4 6) (8 3) i j k + + + = 7 2 5 i j k + + Pentru dublul produs vectorial de la punctul d) se aplic relaia 2.22.a. respectiv: ( ) ( ) ( ) ,(2 3 4 ) ( 3 2 ) 2 9 8 19(2 3 4 ) ( 4 3 ) 26( ) 19(2 3 4 ) ( 26)( 4 3 ) 19 76 57 26 78 52( ) 45 154 109a b c a c b a b ca c i j k i j ka b i j k i j ka b c i j k i j k i j k i j ka b c i j k = = + + = = ` = + + = ) = + + = + + + = + Pentruprodusulmixtdelapunctule),secalculeazmaintiprodusulvectoriali apoi cel scalar obinnd: 1 4 3 ( 8 9) ( 2 3) ( 3 4)1 3 2( ) (2 3 4 ) ( ) 2 3 4 3i j kb c i j k i j ka b c i j k i j k = = + + + + + = + + = + + + = + = Acelairezultatseobine,nsmultmairapiddacsefoloseterelaia2.25. calculnd 2 3 41 4 31 3 2 =3 CAPITOLUL 1. Elemente introductive26 PARTEAa II a.STATICA npractic,ntlnimfoartemultesituaiincareunpunctsausistemdepuncte materiale,uncorpsausistemdecorpurisubaciuneaunuisistemdeforeacestearmnn echilibru sau repaus relativ. STATICA, este partea mecanicii care studiaz condiia necesar a fi ndeplinit de unpunct sau sisteme de puncte, un corp sau sisteme de corpuri, libere sau supuse unor legturi, astfel nct, sub aciunea unei fore sau sistem de fore, acestea s pstreze starea de echilibru pecareoaveaunaintedeaciuneaforelorsausistemelordefore.Calcululechilibruluise facepnnaintedeapariiamicrii.Astfel,dacmpingempentruadeplasaomaspe podeacuoforceomrimcontinuu,echilibrulsemeninepnlaovaloarelimitsau critic, ce corespunde valorii pentru care masa ncepe s se deplaseze.

CAPITOLUL 3. STATICA PUNCTULUI MATERIAL Studiaz punctele materiale n echilibru (fr existena micrii relative). Punctul material poate fi: liber, atunci cnd poate ocupa orice punct n spaiu sau supus la legturi, dac punctul este obligat s rmn pe o suprafa sau o curb dat. 3.1. STATICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER Fie M un punct material, asupra cruia acioneaz un sistem de n fore concurente, de rezultantR , dat de relaia: == + + + =nii nF F F F R12 1... iar reprezentarea grafic este redat n fig. 3.1. DacrezultantaR 0,punctulseva deplasadupdireciaaceleirezultante.Dac R =0,punctulrmnenechilibru.Spunemc subaciuneasistemuluideforedatpunctulse aflnechilibru.Analitic,utilizndteorema proieciilor,condiiadeechilibrustatical punctului material se scrie cu relaia 3.1., R = 2 2 2z y xR R R + + =03.1. respectiv, utiliznd relaiile 1.12. Rx = F1x + F2x + + Fnx = 1nixiF==0

1F 2F kF

nFR

Fig.3.1.Calcululrezultanteiunui sistem de vectori concureni CAPITOLUL 1. Elemente introductive27 A(m)B(m)C(m)DxyM(m1)F1F2F3 Ry = F1y + F2y + + Fny = 1niyiF==0 3.2. Rz = F1z + F2z ++ Fnz = 10niziF==

Dacsistemuldeforeestecoplanar(1F ,2F , nF aparinaceluiaiplan ),notnd direciile planului cu Ox i respectiv Oy, se obine condiia de echilibru a punctului n plan: Rx = F1x + F2x + + Fnx = 1nixiF==03.2.a. Ry = F1y + F2y + + Fny = 1niyiF==0 Dac sistemul de fore prezint cazul particular cnd cele n fore se gsesc pe aceeai dreapt (ax), dac notm axa cu Ox, condiia de echilibru va fi: Rx = F1x + F2x + + Fnx = 1nixiF==03.2.b. Aplicaie. Un punct material M de masm, esteatras de trei puncte demase m cu o forduplegealuiNewton.Ssedeterminerelaiantrebih.Dacceletreipunctese gsesc n vrfurile unui triunghi isoscel de baz b i nlime h, iar echilibrul se realizeaz la jumtatea lui h. PentruacalculaforeleF1,F2iF3se utilizeaz legea atraciei universale, obinnd: 1121 132 21224m mF kBMm m m mF k kAM hm mF kCM= = == Efectundcalculegeometricesimpledin triunghiul isoscel dat se obine: 2 22 21 11 2 2 2 2 214 4 24 , 4h bBM CM h bm m m mF k F kh b h b = + = + = =+ + Punctulmaterialfiindnechilibrunplanultriunghiului,seimpuncondiiilede echilibru plan 2.2.a.

Fig. 3.3.Aplicaie CAPITOLUL 1. Elemente introductive28 0 = ixF0 = iyF nlocuindnrelaiileanterioarecedefinesccondiiiledeechilibruplan,proieciile celor trei fore se obin relaiile urmtoare: 2 12 1 300x xy y yF FF F F = + = nlocuind proieciile forelor cu relaiile calculate anterior, se obine: 12 1 2 24 (cos cos ) 0 cos cos ,m mk F x F xh b = = =+ ce confirm rezultatul anterior, evident i datorit simetriei problemei. n aceste condiii: 33 1 2 1 2 11sin sin 2 2 2 sin sin2y y y y yFF F F F F FF = = + = = = = Deci se obine: 2 2 2 212 214 ( ) 1sin8 2k m m h b h bh k m m h + += = DinBMD Vse obine: 2 2sin sin ,hb h = =+ Egalnd expresiile celor dou relaii matematice obinute anterior rezult: 22 2222 2 2211 1,: 2 21bh b hhrespectivhb h bh++= =++ 232( 1 ) 2bh+ =2 2a b + CAPITOLUL 1. Elemente introductive29 3.2. STATICA PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEGTURI Cumsaartatanterior,prindefiniie,oricelegturmecanicreprezintorestricie geometric,punctulfiindobligatsrmntottimpulncontactcucurbasausuprafaade careestelegat.Componenteledinlegturreprezintreaciunea(rspunsul)legturiila aciuneaforelorceacioneazasupracorpuluistudiatpentrumeninereaechilibrului.De aceialegturilemaipoartdenumireadereaciuni.Catare,punctulmaterialareunnumr redus de grade de libertate fa de punctul liber. Att timp ct legtura se menine, punctul va rmne pe acea suprafa, sau curb n spaiu sau plan. Pentru a putea analiza statica punctului material supus la legturi este necesar s se introduc axioma legturilor. Pentru cazul general aceasta postuleaz c: orice legtur mecanic se poate substitui cu un echivalent mecanic constnd din fore sau momente corespunztoare. Fiind valabil att pentru punctul material ctipentruuncorpsausistemdepunctesaucorpuri,foreledinlegturimpiedic deplasrilensensulipedirecialor,iarmomentelecorespunztoaredinlegtursealeg astfelnctacesteasmpiedicerotireapedireciainsensullor.Pescurt,componentele legturiisealegastfelcaefectulrestrictivexercitatasuprapunctuluisaucorpuluide componentelor legturii s fie echivalent cu cel al legturii.Legturile pot fi clasificate dup mai multe criterii. Astfel, putem avea: -legturiunilaterale:cndlegturasemeninenumaintr-unsens,subaciuneaunei fore. Exemplu, o bil suspendat cu ajutorul unui fir de un punct considerat fix; -legturibilaterale:cnd,chiardacforaacioneaznambelesensuri,legturase menine. Exemplu, o bil suspendat cu ajutorul unui vergele rigide de un punct considerat fix Fieosuprafanspaiu(fig.3.3.)pecaresegseteunpunctmaterialM,asupra cruiaacioneazunsistemdeforeexterioarederezultantunicR .Punctulmaterial, rmne n echilibru dac legtura acioneaz cu o for 'R egal i de sens contrar luiR .Matematic, condiia revine la a scrie: R ='R 3.3. n R NRTR n = normala laplan; =plan normal ce conineR ;M = plan de tangen. T N 'R Fig. 3.3. Echilibrul punctului supus la legturi.DucemprinModreaptperpendicularpesuprafaadat,apoiunplantangent, perpendicularpenormal.Conformteoriilormatematiceaceastasenumetenormalala CAPITOLUL 1. Elemente introductive30 suprafa n punctul M, iar versorulei se noteaz cun . Normalani vectorulRformeaz unplancareseintersecteazcuplanuldupodirecienumittangentalasuprafan punctulM.Cumaceste2dreptesuntconcurentenMiperpendiculare,vectoriiR i 'R se potdescompunedupceledoudirecii,conformfig.3.3.rezultndrelaiilevectoriale evidente: N TR R R = +respectiv:R =T N + . Componentelelegturiiaunotaiiisemnificaiiunice.Astfel,N poartnumelede componenta normal a legturii, iar T componenta tangenial a legturii. Datorit direciei tangente la traiectorie, aceast component apare datorit interaciunii punctului cu suprafaa cu care se afl n contact. Condiia 3.3. devine: T NR R + = T N + Impunnd condiia de echilibru dup cele dou direcii perpendiculare, se obine: NTR NR T= =3.4. Pornind de la cele dou componente de descompunere a celor doua rezultate, ntlnim dou tipuri de legturi.Cazul1.DacT =0,legturaestefrfrecareisenumetelegturluciesau ideal. Acest lucru implic RT= 0. Condiia de echilibru devine: N = RN, deoarece echilibru are loc doar pe o singur direcie. Cazul2.DacT 0,avemlegturcufrecaresaulegturrugoassauaspr. Condiia de echilibru, scris prin descompunerea dup cele dou direcii este conform cu relaia 2.4..Aacumsaartatpelargncapitolulprecedent,poziiaunuipunctnspaiueste redatcuajutorulvectoruluidepoziier ,carensistemulcarteziandereferinaredrept coordonateceletreiproieciialevectoruluidepoziie,carenacestcazpoartnumelede coordonatele punctului, n numr de trei. Scrierea celor 3 condiii de echilibru n spaiu, Rx = Ry=Rz=0estedecisuficientpentruaputeadefinipoziiadeechilibruaunuipunct material. Aplicaia I.S se determine poziia de echilibru pentru un inel ce se poate mica pe un arc lucios sub aciunea forelorP iQ (fig.3.4.) n general, pentru rezolvarea problemelor de mecanic trebuie s se urmreasc dou aspecte de baz: - aspectul mecanic propriu-zis, ce const n static n nlocuirea legturilor cu echivalentul mecanic, precum i stabilirea condiiilor de echilibru static. -aspectulmatematic,constndncompletarearezultatelordinprimulaspectalproblemei, utilizndrezultateledelageometrie,trigonometrie,matematicanaliticisuperioar,etc, dup caz, obinnd condiii suplimentare ce ne ajut pentru rezolvarea problemei propuse. CAPITOLUL 1. Elemente introductive31 n cazul problemei date, analiznd aspectul mecanic, se nlocuiesc tensiunile din firele ideale, ce trec peste scripete ideale (pentru care componentele date de forele de frecare sunt nule) cu forele ce acioneaz la capetele lor, respectiv forelePiQ. Legtura dintre inelul dat i cadrul cu suprafa lucie fiind deci fr frecare se va echivala cu o singur reaciune N normallasuprafaadecontact,careseopuneaciuniicelorlaltedoufore,fiindevident coplanar cu ele. Condiia de echilibru plan a punctului scris vectorial este: 0 P Q N + + = Punnd condiia de echilibru plan a punctului (3.2.a) revine la: 0 = ixF0 = iyF Pentru proiectarea celor trei fore, pe sistemul de axe ales conform figurii 3.4. intervine aspectul matematic.Deoarece cele trei puncte, OAB, se gsesc pe un cerc, AB fiind diametru, atunci acest triunghi este dreptunghic n O. Totodat, arculAB este subntins de unghiul la centru , respectiv unghiul cu vrful pe cerc OAB egal cu/ 2 . Deci unghiul AOO1 devine: y NO Q R P Q A / 2 O1 B xP N Q P Fig.3.4. Aplicaie. 1( / 2 / 2) AOO = R ce reprezint unghiul pe care fora Q l face cu axa Oy iar condiia de echilibru revine la: CAPITOLUL 1. Elemente introductive32 N Q PQ P= + = )2 2sin(2sin0 )2 2cos(2cos Respectiv: cos sin 02 2sin cos2 2P QP Q N = + = Din prima ecuaie se obine c: tg / 2 =P/Q nlocuind,sin / 2 =tg( / 2 ) / 1 / 2 tg +icos / 2 =1 / 1 / 2 tg +se obine pentruNvaloarea: N=2 2P Q + Avnd n vedere c forele iP Q sunt tot timpul pe catetele triunghiului dreptunghic, iarN ipotenuza sa, cum se poate observa din metoda de nsumare vectorial grafic reprezentat alturat, rezultatul era mult mai lesne de obinut. CAPITOLUL 1. Elemente introductive33 AplicaiaII.TreicorpuridegreutiP,Q,Gsuntsuspendatedeunfiridealtrecut pestedoiscripeiidealifixainpuncteleAiBcanfigur.Ssegseascvaloarea raportului CBAC pentru poziia de echilibru a sistemului de corpuri. QP GQPGGPQAtt firele ct i scripeii, fiind ideale, se vor dezvolta numai tensiuni n lungul firelor care vor fi demodulegalecugreutilecorpurilordecaresuntlegate.Grafic,alegndoscarde reprezentareconvenabil,putemrezolvaproblemaconformdetaliuluib,dinfigurncare este redat soluia grafic a ecuaiei vectoriale0 P Q G + + = . Pentru rezolvarea analitic, se descompundupsistemuldeaxealesceletreifore,valorileobinutefiindredatetabelarn continuare.

Celetreiforefiindcoplanare,condiiiledeechilibrusereducedoarlacondiiaca rezultanta s fie nul, n planul forelor. Conform relaiilor 3.2.a, se obine: 31310 sin sin 00 cos cos 0ixiiyiF P QF P Q G === + == + =

2 2 22 2 2cos2cos2P G QPGQ G PQG + = + = Din condiii geometrice ns: Fora ixFiyFP sin P cos PQ sin Q cos QG0-G CAPITOLUL 1. Elemente introductive34 coscos ,cos =cosCD CD ACAC BC CB = = =2 2 22 2 22 2 2 2 2 2( )2( )2P G QQ P G QPGQ G P P Q G PQG+ + =+ + ; Avnd n vedere c, ntotdeauna 1 cos 1 , aceasta implic, 2 2 2 2 2 21 1,respectiv, -1 12 2P G Q P G QPG PG+ + , inegalitidincareseobincondiiilecaproblemasaibsens, ,,P Q G G Q P Q P G + + + ,condiiecaredinmetodagraficreprezintinegalitile din triunghiuri. 3.3.FRECAREA I LEGILE EI Frecarea apare ca o component suplimentar ntr-o legtur, n urma interaciunii mecanice a suprafeelor corpurilor n contact. Cel care n urma studiului a stabilit aceste legi ale frecrii a fost Coulomb, acestea fiind cunoscute i sub denumirile de legile lui Coulomb sau legile frecrii uscate. Pentru punerea n eviden a forei de frecare se utilizeaz un aparat special numit tribometru.n cazul frecrii umede, ntre cele dou suprafee aflate n contact este introdus o substan cu proprieti antifriciune adecvate numit lubrifiant, care modific comportamentul legturii, complexitatea acestui contact constituind domeniul de aplicare al unei tiine mult mai recent ce poart numele de TRIBOLOGIE, fiind tiina ce se ocup de studiul fecrii, ungerii, uzurii. I Prima lege a frecrii uscate Foradefrecaremaximdintresuprafeelencontactadoucorpurieste proporional cu reaciuneanormalpe suprafaa de contact n cazul unui punct material conform fig. 3.7., cele dou componente ale rezultantei forelor exterioare R sunt: RN dat de greutateaG,respectiv,componentadinplanuldetangenRT F ncareF estefora orizontal ce acioneaz asupra punctului n tendina de al deplasa. Fiind o legtur cu frecare, legturaesteechivalentcuoreaciunenormallasuprafaNicomponentadefrecareT. Cum toate forele sunt coplanare se studiaz echilibrul corpului pentru cazul particular de echilibru plan. Conform fig. 3.7. din triunghiul dreptunghicT Ntg = . Din condiia de echilibru de pe direcia vertical N=G, deciT Gtg = .Pentru meninerea n repaus a punctului este necesar ca: CAPITOLUL 1. Elemente introductive35 NR RTFT O RRN=G Fig. 3.7. Echilibrul cu frecare TT R Gtg = =F Aceastcondiieesterespectat pentru diverse valorialeluiFce ndeplinesccondiiaanterioar.CumG rmneneschimbat,rezultcpentru echilibru se modific numai unghiul . Valoarealimitmaxima unghiului,corespundemomentuluin caredacsemaimreteforade traciunecorpulncepessemite. Aceastvaloareextrema unghiuluisenoteazcuipoart numeledeunghidefrecare.Pentru aceastvaloaretg,senoteazcu(max=)isenumetecoeficientdefrecareuscat. Valorile lui se stabilesc experimental pentru diferite perechi de corpuri, ntlnite mai des n practic, avnd n vedere i calitatea celor dou suprafee n contact. Deci pentru orice valoare a unghiului cuprins ntre 0 i , echilibrul se menine. n cazul problemei spaiale a unuipunctsituatpeosuprafaoarecare,foraFdevineunvectorceareunpunctfix, punctul Mce poate aciona pe orice direcie.Aceste direcii formeaz un fascicol de drepte concurente. Valoric, unghiul limit fa de axa tangentei la suprafa n punctul respectiv fiind limitat n acest caz de pnza conic de semiunghi la vrf . Deci n cazul problemei spaiale limita direciei forei de frecareeste un con, numit con de frecare de semiunghi la vrf. Pentru oricare alt unghi echilibrul se pstreaz. A -II- alegea a frecrii uscate Mrimeaforeidefrecaredepindedematerialulnaturaicalitateasuprafeelorn contact.A -III- a legea a frecrii uscate Mrimea forei de frecare nu depinde de viteza relativ dintre suprafeele celor dou corpuri i nici de mrimea suprafeei de contact. CAPITOLUL 1. Elemente introductive36 CAPITOLUL 4.STATICA RIGIDULUI Numimrigiduncorppentrucaredistanadintredoupuncteoarecarealesalenuse modificsubaciuneaunorforeexterioarefinite,indiferentdevaloarealor.Rigidulesteun modelcaresimplificfoartemultrezolvareaproblemelordemecanic.ncazulstaticii corpurilor este necesar s definim i s studiem anumite noiuni specifice i proprietilor lor. 4.1. NOIUNI FUNDAMENTALE Spredeosebiredepunct,corpurilesuferdeformaiifoartemicisubaciunea sistemelor de fore exterioare, fiind considerate nedeformabile sau rigide. Dac aciunea unei fore asupra unui punct putea avea c efect deplasarea acestuia dup direcia forei respective, n cazul rigidului efectul forei poate avea c efect nu numai deplasri pe direcia forei dar i rotiri. Pentru a studia acest efect mai complex dat de aciunea unei fore asupra unui corp, sunt necesare definirea unor mrimi specifice.

4.1.1. Caracterul de vector alunector al forei Aceast proprietate arat c, dac schimbm punctul de aplicaie al unei fore ce acioneaz asupra unui rigid pe suportul su, efectul nu se schimb. Conform demonstraiei grafice din fig. 4.1, considerm n punctul B de pe dreapta suport a forei F un sistem de dou fore coliniare, egale n modul dar de sens contrar (fig. 4.1b), al cror efect reciproc asupra corpului este nul. Anulnd fora din A cu cea din B ce au acelai modul sunt coliniare dar de sens contrar , rmne o singur for n cu punctul de aplicare n B, egal i de acelai sens cu fora F cu punctul de aplicare n A. Ca atare, efectul rmne neschimbat, proprietatea fiind demonstrat. F F AAA F F BB a) F b)c) Fig. 4.1. Materializarea caracterului de vector alunector.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive37 4.1.2. Momentul unei fore n raport cu un punct Aceastmrimeestenecesarnstudiulechilibruluicorpuluintruct,spredeosebire depunctulmaterial,ncazulncareoforacioneazasupraunuicorpefectulpoatefinu numai o deplasare, c n cazul punctului material, dar i o rotire cu un unghi . Prin definiie, numim moment al unei foreFn raport cu un punct O notat cu OFMprodusul vectorial dintre vectorul de poziie al punctului de aplicaie al foreiFn raport cu unpunctalesOivectorulforei F .Relaiadecalculeste4.1.iar soluiagraficesteredatn fig.4.3.. OFM r F OA F = = 4.1. Conformproprietii produsuluivectorial,direciaeste perpendicular pe planul format de r iF ,sensulsedetermincu regulaburghiuluidrept (tirbuonului),saurotindprimul vectoralprodusuluir peste vectorulF pedrumulcelmai scurt.Modululmomentului OFMeste egal cu: OFM = OA F sin = F OA sin = F d4.2. n care d reprezint distana de la O la dreapta suport a foreiF . Modulul lui OFM , este egal cudublularieitriunghiuluideterminatdepunctulOivectorulF .Conformfig.4.3.. utiliznd un sistem de axe triortogonal fa de care, utiliznd teorema proieciilor, putem scrie: r x i y j z k = + + x y zF F i F j F k = + + Utiliznd determinantul simbolic se poate calcula analitic OFM : OFx y zi j kM x y zF F F== (y Fz - z Fy)i+ (z Fx - x Fz)j+ (x Fy - y Fx)k 4.3. Utiliznd vectorul linie i coloan se pot folosi relaiile urmtoare de calcul: F OFMrA B d O 'r C Fig. 4.3.Momentul unei fore n raport cu un punct. CAPITOLUL 1. Elemente introductive38 000Ox xOy y OFOz zM z y FM r F M z x FM y x F= =

Proprietile momentului unei fore n raport cu un punct 1) OFMeste nul n urmtoarele situaii : a) r= 0; b) F = 0; c)cei doi vectori sunt paraleli. 2) Dac schimbm punctul de aplicaie al foreiF pe o dreapt suport, OFMrmne neschimbat.Se poate demonstra cel mai simplu, aplicnd caracterul vector alunector al forei, sau pornind de la observaia c vectorul de poziier i dreapta suport rmn constante, direcia lui OFM rmneneschimbat,sensulrmneneschimbatiarmodululeste OFM =d F = constant.PentrudemonstraiamatematicsealegeunpunctCalcruivectordepoziien raportcupunctulOeste 'r canfigura4.3..Porninddelarelaiadedefiniie4.1.momentul forei este dat de relaia: 'OF M r F = ntriunghiulOCA,' r r CA = + .Deci' r r CA = .Aplicndproprietateade distributivitate a produsului vectorial fa de operaia de adunare i scdere se obine: 'OFM= ( ) r CA F r F CA F = =OFM . ( 0 CA F =deoarece = 0) 3)OdatcuschimbareapunctuluidereducereO,momentulforeiseschimb. Aceast proprietate arat caracterul de vector legat de punct al lui OFM .

OFM r F = i respectiv ,O FM r F = FA O 'r

rFig. 4.4. Variaia momentului unei fore n raport cu punctul de reducere. O Din triunghiul OOA, rezult c 'r OO r = + . nlocuind obinem: CAPITOLUL 1. Elemente introductive39 ,,' ' '' '' ( ) ( ) ),O FOFOFO FM r F OO r F r OO F r F OO FM OO F M M OO F= = + = + = + = = 4.4. Odat cu schimbarea punctului O, momentul forei n raport cu punctul O este egal cumomentul OFM dincaresescademomentulnraportcupunctulO,datdeforaFaplicat n O. Aplicaie:SsecalculezemomentulforeiFavndmodululde12KNicare acioneaznlunguldrepteiAB(delaAlaB)nraportcupunctulC.Suntcunoscute coordonatelepunctelorA(5,4,2),B(0,0,4) i C(4,5,0). (Fig. 4.5. coordonatele n cm) Pentrurezolvareaproblemei trebuie s se determine vectorul de poziie a punctului A fa de C, respectiv: ( ) ( ) ( )2C A C A C ACA x x i y y j z z ki j k r= + + + = + = Pentrucalcululversoruluiforei F, se calculeaz mai nti vectorulAB , ca ncazulprecedent,apoiversorulacestui vector, obinnd: 5 4 25 4 2 5 4 2 5 4 225 16 4 45 3 5AB ABAB i j kAB i j k i j k i j ku uAB= + + + += = = =+ + Deci: 5 4 2 412 ( 5 4 2 )3 5 5ABi j kF F u i j k += = = + . PentrucalcululmomentuluiforeiF,nraportcupunctulC,porninddeladefiniie (rel. 4.1.) i utiliznd pentru calcul produsului vectorial, determinantul simbolic se obine: ,4 4 4( 2 ) ( 5 4 2 ) 1 1 2 ( 2 8) ( 10 2) ( 4 5)5 5 55 4 24(6 8 9 )5C Fi j kM r F i j k i j k i j ki j k ( = = + + = = + + + + =

( )4 4 18136 64 815 5C FM= + + = dN cm yzxC(4,5,0)A(5,4,2)(0,0,4)BMc(F)FCAPITOLUL 1. Elemente introductive40 4.1.3. Momentul unei fore n raport cu o dreapt Numimmomentaluneiforenraportcuodreapt(FM)proieciapeaxaa momentuluiforeiF nraportcuunpunctoarecareceaparinedreptei(fig.4.6.).Se noteaz cuu versorul axei . Cum produsul scalar dintre un vector i un versor este proiecia vectorului pe acea dreapt, momentul unei fore n raport cu o dreapt se poate scrie c produs scalar dintre momentul forei n raport cu punctul O i versorul dreptei : F OFM u M = ( ) u r F= 4.5. ncontinuareseverificdacacestmomentseschimbfunciedepunctulalespe dreapt. Pentru aceasta se alege aleator un alt punct O1. Presupunem c n punctul O1 avem alt moment pe care l notm cu: 1'1( )F O FM u M u r F = = ; Conform figurii 4.6. este evident relaia vectorial imediat: u

F OM1FF

'FM A O1 1r r

OFM FM Fig 4.6.Calculul momentului unei fore n raport cu o dreapt

O 1 1r OO r = +'1 1[( ) ] ( ) ( ) M u OO r F u OO F u r F = + = + ; Deoarece u este paralel cuO O1, rezult c primul produs mixt este nul. Deci:

) ('F r u M = = M = u OFM cos = 1 OFM cos Aceastrelaie,aratcnfunciedesemnulvalorilorcos,scalarulMpoateavea acelaisenscuusausenscontrar.Caatare,deiunscalar,funciedesemnulcosinusului unghiuluidintreceidoivectori,isepoateasociacaracteruldevector.naplicaiilepractice inginereti, funcie de particularitile datelor problemei, determinarea momentului unei fore n raport cu o ax se poate realiza mult mai uor, proiectnd fora pe un plan perpendicular pe dreapta,fig.4.7.,plandusprinpunctulO.Pentrudeterminarearelaieidecalculconform fig. 4.7. sau folosit urmtoarele notaii: CAPITOLUL 1. Elemente introductive41 u F 2F

OFM FM d1F r 2r O 1r Fig 4.7. Calculul momentului unei fore n raport cu o dreapt cu ajutorul proieciei fortei pe un plan perpendicular pe dreapta dat. - plaul perpendicular pe dreapta , dus prin punctul O de pe dreapt; - este un plan perpendicular pe planul astfel nct fora F aparine planului ; = .Dreptele i

2 1F F F + = - 1r este proiecia vectorului de poziierpe planul ; iar 2reste proiecia luirpe planul ; 2 1r r r + = CudsenoteazdistanadelapunctulOladreaptasuportaproiecieiforeiF pe planul . n aceste condiii, pornind de la definiie rezult: FM =( )OFu M u r F = nlocuind vectoriiriFrezult: 0 0 01 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2[( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )FM u r r F F u r F u r F u r F u r F= = = = + + = + + + 6 4 7 48 6 4 7 48 6 4 7 48 Se aplic proprietatea c, dac ntr-un produs mixt cel puin doi vectori sunt paralei, atunci acel produs este nul. Cum u 2F , al doilea termen din dezvoltarea lui FM este nul, u 2r , deci i al treilea produs mixt este nul. Cum 2reste coliniar cu 2Fdeci i al patrulea produs mixt este nul. n aceste condiii: CAPITOLUL 1. Elemente introductive42 ) (1 1F r u MF = = u 1 1F r cos / Deoarece 1ri 1F aparin planului u , produsul celor doi vectori vor avea direcia paralel cu , deci / = 0. Deci, MF = 1 1F r = 1r 1F sin Cum 1r sin = d, rezult relaia final: =FMF1 d 4.7. Momentuluneiforenraportcuodreaptesteegalcumomentuldatdeproiecia forei pe un plan perpendicular pe dreapta n raport cu punctul n care dreapta neap planul deproiecie.Seobservcnaceastsituaieparticularmomentulforei 1F nraportcu dreaptaareacelaimodulcumomentulforei 1F nraportcupunctulO.Aceastaned avantajul c putem stabili prin aceasta definiie vectorul moment al unei fore cu o dreapt : momentul unei fore n raport cu o dreapt este egal cu produsul scalar dintre proiecia forei peunplanperpendicularpedreaptaidistanadelapunctuldeinterseciealplanuluide ctre dreapta i pn la dreapta suport a proieciei foreiF . Pentru sipificare este avantajos s se duc planul prin originea foreiF . 4.1.4. Cuplul de fore Sedefine[tecupluldeforeoperechededouforeegalenmodul,dispusedup direciiparaleleiavndsenscontrar.Cupluldeforeesteunvectorcereprezit\caefect, momentul rezultant al celor dou\foreF i - Fale cuplului n raport cu un punct oarecare. Pentru cuplul de fore semai utlizeaz\ denumirea prescurtat\ de cuplu. Conform fig. 4.8., momentul cuplului de fore ) , ( F FM este suma vectorial a momentelor forelorF i - FnraportcupunctulO,alesarbitrarnspaiu.Conformrelaiei4.1.momentulnraportcu punctul O al celor dou fore este: Dac se d factor comun foraF , obinem relaia final a momentului cuplului de fore:

( , )( )O F FM OA OB F BA F= = 4.8. deoarece, OA OB BA = nconcluzie,momentulcupluluidefore,esteunvector,dispusperpendicularpe planul format de cele dou fore. Sensul se determin cu regula burghiului drept, sau orice alt metod utilizat pentru stabilirea sensului unui produs vectorial. Modulul este constant ( , ) ( )( )O F F OF O FM M M OA F OB F OA F OB F = + = + = CAPITOLUL 1. Elemente introductive43 pentruunsistemdatdeforedepinzndnumaidemodululforeloridistanadintre dreptele suport ale celor dou fore Pornind de la definitie, modulul su este dat de relaia: ) , ( F FM = BA F sin MO O B - FF Ad Fig 4.8. Calculul momentuluicuplului de fore) , ( F FM Dar, cum rezult din fig. 4.8. ABd= sin ,i deciAB sin = d, (distana dintre dreptele suport). n consecin: ) , ( F FM = Fd 4.9. 4.1.4.1. Proprietile cuplului de fore 1)Sumaproieciilorforelorpeoricedirecieu dinspaiuestenul.Considerand versorulu , aa cum rezult din relaia 1.1, matematic proiectia fortelor cuplului se calculeaza cu ajutorul produsului scalar. Deci: 0 ) ( = = + u F u F u F u F 2)Momentulunuicupludeforeesteunvectorliber.Aceastproprietateeste demonstratdefaptulcmodululcupluldeforeesteconstantpentrudouforedate,fiind egal cu produsul scalar dintre modulul forei i distana dintre dreptele suport ale forelor. De asemeni relaia matematica de calcul a modulului nu depinde de pozitia lui O. 3)Fiindvectoriliberi,cupluriledeforesepotnsumavectorial,translatndtoti vectoriintr-unsingurpunctalesaleatorsaufunciedeomotivaiepractic,obinndun sistem de vectori concurenti n plan sau spatiu. Operaii legate de cuplurile de fore CAPITOLUL 1. Elemente introductive44 Conform proprietatii 3, dou sau mai multe cupluri de fore se pot nsuma vectorial, avnd cazul particular a n vectori concureni care va avea ntotdeauna c rezultant un vector unic. Calculul rezultantei se face utilizand una din metodele prezentate n capitolul 1. 4.1.5. Teoremele lui Varignon n cazul studiului staticii unui punct, sistemele de fore prezint o caracteristic dat de faptul c aceste fore trebuie s aib un punct comun, fiind deci un sistem de vectori concuteni. Acest caz particular de fore poarta umele de fore concurente. Teoremele lui Varignon se refer la calculul momentului unui sistem de fore concurente n raport cu un punct sau cu o dreapt. Fieunsistemdefore nF F F ,..., ,2 1concurentenpunctulAiunpunctOdiferitde punctul de concuren al forelor. Ne intereseaz s determinm momentul rezultant al acestui sistem de fore concurente. Un astfel de sistem de fore au o rezultant unicaR , obinut ca sumavectorialacelornforealesistemului.Pentruevaluareaefectuluisistemuluidefore concurente n raport cu un punct O, se pleac de la calculul rezultanteiR . nmulind vectorial ladreaptacur ,vectoruldepoziieapunctuluiAnraportcupunctulO,relaiadecalcula rezultantei se obine: nF F F R + + + = ...2 1 | r relaia devine:

nF r F r F r R r + + + = ...2 1, 4.11. sau folosind notaiile pentru momentul unei fore n raport cu un punct 2.6. obinem:

nF O F O F O R OM M M M + + + = ...21 4.12. acesta fiind cunoscuta n literatura de specialitate caprimateorem a lui Varignon. Relaiile 4.11. i 4.12. reprezint forme de transpunerea matematic a primei teoreme aluiVarignonceafirmcpentruunsistemdeforeconcurente,momentulrezultantein raportcuunpuncteste egalcusumavectoriala momentelorfiecreiforenraportcu punctulales.Utilizandacestrezultat,momntulunuisistemdenforeconcurente,sepoate calculamaisimplucuprodusulvectorialR r ,carensumeazprodsulvectorialalfiecarei fore n raport cu punctul ales ca reper. Pentru a calcula momentul sistemului de fore n raport cu o dreapt de versoru , vom proiectamomentelefiecareiforenraportcupunctulO,pedreaptadat.Pentruaceasta, relaia 4.10. o nmulim scalar cu versorulual dreptei. Rezult: u F r u F r u F r u R rn) ( ... ) ( ) ( ) (2 1 + + + = 4.13. sau folosind notaiile pentru momentul unei fore n raport cu o dreapt obinem: CAPITOLUL 1. Elemente introductive45 + + + = ...2 1) ( F F RM M MnFM. 4.14. Relaiile 4.13. i 4.14. reprezint forme de transpunerea matematic a celei de a doua teoremealuiVarignon,ceafirmcpentruunsistemdeforeconcurente,momentul rezultant n raport cu o dreapt este egal cu suma algebric a momentelor fiecrei fore n raport cu dreapta i este egal cu momentul rezultantei n raport cu dreapta dat. Prin aceasta,momntulunuisistemdeforenraportcuoax,putndu-secalculamaisimplucu ajutorul rezultantei. Cele dou teoreme la un loc sunt cunoscute ca teoremele momentului sau teoremeleluiVarignonisuntdepreferatnproblemelencareavemsistemedefore concurente. 4.1.6. Torsorul de reducere Dac n cazul punctului, efectul unui sistem de fore concurente ce acionez asupra sa senlocuiete,pentrusimplificare,curezultanta,ncazulcorpuluiseutilizeaznoiuneade torsordereducere,cucareserealizeazechivalareaefectuluiuneiforesausistemdefore ntr-un punct ales funcie de necesiti. Aceasta este motivat de faptul c fa de efectul unei foreasupraunuipunct,ceconstndeplasareapunctuluidupdireciaforei,ncazul rigiduluiaciuneauneiforepoateaveacaefectnunumaiodeplasaredariorotirea corpului. 4.1.6.1. Torsorul de reducere al unei fore ntr-un punct Pentrunceput,sepuneproblemascalculmefectuluneiforentr-unpunctalunui corp. Demonstraia se face grafic. Considerm corpul din figura 4.11.a. Asupra sa acioneaz foraF ,cupunctuldeaplicaienA.DorimsdeterminmefectulsunpunctulOal corpului. Pentru aceasta se duce prin punctul O, o dreapt , paralel cu, dreapta suport a luiF . Cu originea n O, se duc cele doua foreF i - F , care nu schimb cu nimic starea de solicitare a corpului, deoarece ele i anuleaz reciproc efectul. Dar foraFdin A i - Fdin

FA Fd OM OFOM O - F ab Fig. 4.11. Reducerea unei fore ntr-un punct. CAPITOLUL 1. Elemente introductive46 O, dau natere cuplului OMi o foraFcu originea n O. Deoarece cuplul OMeste unvectorliber,putemslconsidermcuorigineanO.Aacumsevededinfig.4.11.b, asupra corpului acioneaz n punctul O o for avnd acelai sens i direcie cu cea dat i un momentegalcumomentulforeinraportcupunctulO.PerecheadevectoriF i OM se numete torsorul de reducere al foreiFn raport cu punctul O. El se noteaz cu: =OOMF 4.15. i reprezint efectul forei n punctul dat. 4.1.6.2. Torsorul de reducere al unui sistem de fore ntr-un punct n cazul unui sistem de fore avantajul utilizrii noiunii de torsor de reducere, este mult mai evident. Prin definiie spunem c un sistem de fore oarecare ce acioneaz asupra unui corp se reduce ca efect ntr-un punct O al corpului la un torsor de reducere, format de perechea de vectoriRi OM . F1 F2 OM F1MOF2 F2 MOF1OMOFk

O RFnFk Fk MOFn Fn Fig. 4.12. Reducerea unui sistem de fore ntr-un punct

1 2... = n iOOR F F F FM = + + += 4.16.n care: inF O F O F O R O OM M M M M + + + = = ...21=iFOM

CAPITOLUL 1. Elemente introductive47 4.1.6.3. Invarianii torsorului de reducere O probem ce se pune cnd evalum efectul unui sistem de fore este s vedem dac sunt mrimi ale torsorului care rmn neschimbate odat cu schimbarea punctului de reducere. Aceste mrimi fiind cunoscute ca invarianii torsorului de reducere. ntruct, pentru un sistem de fore date ce acioneaz asupra unui corp, vom avea: OoRM= n care cum sa demonstrat c: R=iF ,) (i i OF r M = Dac considerm un alt punct de reducere O, torsorul de reducere devine:

( )iOO i iR FM r F == = 4.17. Din cele dou relaii, 4.16. i 4.17. rezult: R = ' R 4.18. ce arat c rezultanta sistemului de fore este primul invariant.Utiliznd relaia 4.4. OM, momentul rezultantei din O devine: ( )O i iM r F = Dar dup cum se vede din fig 4.13. putem scrie relaia vectorial: 'i ir r OO = pe care utiliznd-o n relaia momentului OM se obine: ( ) [( ) ] ( ) ' ''O i i i i i i i O iOM r F r OO F r F OO F M OO FM OO R = = = = + =

CAPITOLUL 1. Elemente introductive48 OM= R O O MO ' 4.19. Dorimscalculmproieciamomentului OM i'OM perezultantaR .Pentruaceasta utilizmproprietateaprodusuluiscalarefectund produsul cu versorul rezultantei: RRuR= ; RM=( )O R RM u u . Pentru'OMfie: RM' =( )O R RM u u =[( ' ) ][ ( ' ) ] O R R O R R RM OO R u u M u OO R u u = . Cum : RRuR= , rezult c cel deal doilea termen al lui RM' este nul,[ 0 ) ( = RRR O O ] deoarece avem un produs mixt n care doi termeni sunt identici. Rezult: RM' =' O O R RM R M R M M = = = ct 4.20. Indiferentdepunctuldereducere,proieciamomentuluirezultantpedirecia rezultanteiesteconstant.Aadaracestaesteceldealdoileainvariantaltorsoruluide reducere, respectiv proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei.Dacconsidermunsistemdecoordonatecartezian,rezultantasistemuluiR icele dou momente OMi OM vor avea proiecile: k R j R i R Rz y x + + =k M j M i M MOz Oy Ox O + + =k M j M i M Mz O y O x O O + + =' ' '' Atunci: z y xz Oz y Oy x OxO R O RR R RR M R M R MRRM u M M2 2 2+ + + + = = = =.z y xz z O y y O x x OO R O RR R RR M R M R MRRM u M M2 2 2' ' '' ' '+ + + + = = = O ri Ai ri O Fig.4.13.Variatiamomentului rezultantcuschimbareapunctuluide reducere.CAPITOLUL 1. Elemente introductive49 utiliznd relaia 4.20. rezult c: MOx Rx + MOy Ry + MOz Rz = z z O y y O x x OR M R M R M + + ' ' '= constant,4.21. cereprezint cel de al treilea invariant al torsorului de reducere. Deci, n cazul unui torsor de reducere sunt trei invariani, doi dintre ei sunt totdeauna independeni iar al treilea este dependent de primii doi. 4.1.6.4. Torsorul minimal i axa central ConsiderndunpunctdereducereO(fig.4.14.),seobservcceidoivectoriai torsoruluidereducereformeazunplan.nacestplan,descompunempeMOdupodirecie dat deRi a doua direcie cea perpendicular peR . Rezult c N R OM M M + = . Pentru a vorbideuntorsorminimal,sepornetedelafaptulcproiecialui OM peResteun invariant. Dinreprezentareagraficirelaialui OM rezultcpentruunsistemdeforedat, OMare valoarea minim egal cu RM , atunci cndMNestenul.Numimtorsorminimal min O alunuisistemdeforecafiindperechea de vectori format din: min( )iOR O R RR FM M u u == = 4.22. Torsorulminimalneajutca,pentruunsistemdeforedatscunoatemefectul minimal al acestuia. Acest rezultat este deoebit de util n cazul problemelor de optimizare. Astfel, dac ne punem problema realizrii unui sistem de legturi pentru un corp supus aciunii unui sistem de fore dat, este avantajos s putem cunoate torsorul forelor de legtur minim care pentru echilibru trebuie s echilibreze efectul forelor de legtur. Prin definiie, loculgeometricalpunctelorpentrucaretorsorulunuisistemdeforeesteminimalse numeteaxcentral.Pentrudeducerearelaieimatematicedecalculaaxeicentrale,se considerunpunctPaparinndacesteiaxe.Conformrelaiei(4.19.)momentultosoruluide reducere n P se scrie: R P O M MO P = Fier vectoruldepoziiealluiPnraportcuorigineasistemuluidereferinO. Atunci: k z j y i x r P O + + = = ,

MN MO O MRR Fig.4.14.Calculultorsorului minimal.CAPITOLUL 1. Elemente introductive50 undex,y,zsuntcoordonatelepunctuluiP,unpunctcurentdepeaxacentral.nraportcu acelai sistem de referin: k M j M i M MOz Oy Ox O + + = ; k R j R i R Rz y x + + = ; k M j M i M MPz Py Px P + + =

Atunci: [ ( )] [ ( )][ ( )]P O Ox z y Oy x zx y zOz y z Px Py Pzi j kM M x y z M yR zR i M zR xR jR R RM xR yR k M i M j M k= = + + = + + Cum axa central este dreapta suport a rezultanteiR , rezult c matematic aceast condiie de paralelism se poate scrie: ctRMRMRMzPzyPyxPx= = = Utiliznd rezultatele anterioare, ecuaia axei centrale devine: . ctRyR xR MRxR zR MRzR yR Mzx y Ozyz x Oyxx z Ox=+ =+ =+ 4.23. AceastaesteecuaiaaxeicentralepentruunsistemdeforederezultantR icuplu rezultant cu proieciile MOx,MOy,MOz. Aplicaie. Pentru sistemul de fore ce acioneaz asupra cubului din figur se cere s se calculeze:a) torsorul de reducere n punctul O i ecuaia axei centrale; b) torsorul de reducere n punctul C. Se dau: OA = AB = a; F1 =P 3; F2 = P 2 . Proiectnd cele trei fore pe axele sistemului, obinem: P P F Fx = = = 222222 2 313cos ,2= = = =aaOGBGP Fy Datorit simetriei cubului avem: = =i deci : 23 3 OG a a = = CAPITOLUL 1. Elemente introductive51 1 11cos 33XF F P P = = = 0 ) ( ) ( ) (1 11= + + + + + = = = k aP aP j aP aP i aP aPP P Pa a ak j iF r MOF Pentru a evita unele erori se recomand metoda tabelar, constnd n realizarea unui tabel c cel de mai jos, la care numrul de linii depinde de numrul de fore ale sistemului. Fix Fiy Fiz MOix MOiy MOiz F1 -P-P-P000 F2 -P-P0000 -2P-2P-P000 Ecuaia axei centrale se obine, nlocuind valorile obinute: z E D F1x FF1y G F1 y O F1zC F2 F2x xA F2yB Fig. 4.15. Aplicaie. Calculul torsorului de reducere. zx y Ozyz x Oyxx z OxRyR xR MRxR zR MRzR yR M+ =+ =+ PP y P xPP z P xPP z P y + = += + ) 2 ( ) 2 ( 02) 2 ( ) ( 02) 2 ( ) ( 0 Din care rezult: =+ =12 22212 222y x z xy x z y CAPITOLUL 1. Elemente introductive52 Sau: = + + = + 0 2 4 50 2 5 4z y xz y x Pentrutrasareaacesteiaxe,obinutcainterseciedeplane,vomfacepernd interseciacuplanelesistemuluidereferin.Astfel,pentrux=0,planulceconineaxa centralintersecteazplanulxOydupdreapta0 2 5 = z y ,iaraxelesistemuluinpunctele: x=0; y = 2; respectiv; x=0; z = 5. b) = = ==k P i aP Mk P j P i P F RCiO22 2k aP i aPP P Pak j iR C O M MO C = = = 22 20 0 R C O M MO O ='|Ru Aceast relaie confirm invariana lui RM . R Ou M ' =R Ru R O O u MO ) ( RRR O ORRMRRMO O = ) (' 4.1.4.7.Sisteme de fore echivalente Prin operaiile de echivalen se poate obine o simplificare a rezolvrii unor probleme sau,cumsademonstratncazulcuplurilordefore,efetulunuicupludatpoatefievaluatn acelai plan sau n plane paralele, prin deducerea unor cupluri echivalente.Deoarece efectul unui sistem de fore ce acioneaz asupra unui corp este mai complex decatasupraunuipunct,sedoretesimplificareacalculului.ncelemaimultecazuri,este foarteutilisenlocuescsistemeleoarecaredeforecusistemedeforemaisimple,cares producnoricepunctalcorpuluiacelaiefect.Pentruaceastaseaplicteoremade echivalen(VVC-83),conformcreiadousistemedeforeceacioneazasupraunui rigid, i produc n orice punct acelai efect mecanic sunt sisteme echivalente.Totpentrurealizareaunorsistemedeforeechivalentemaisimple,sepotaplica sistemului de fore mai multe operaii astfel ca sistemul de fore dat s rman echivalent cu el nsui. Aceste operaii se numesc operaii elementare (simple) de echivaleni constau n: -o for care acioneaz asupra rigidului poate fi deplasat n lungul suportului ei; -n sistemul de fore dat se pot aduga sau suprima perechi de fore egale n modul coliniare i de sens contrar; CAPITOLUL 1. Elemente introductive53 -dousaumaimulteforeconcurentepotfiechivalatesaunlocuitecurezultanta lor.-oforpoatefinlocuitprincomponentelesalepedireciilededescompunere date. Cumefectulunuisistemdeforentr-unpunctesteexprimatmatematiccuajutorul torsoruluidereducere,condiiadeechivalenadousistemeestecelesaibnorice punct al corpului acelai torsor de reducere 4.1.4.8. Cazuri de reducere al unui sistem de fore oarecare Conform celor demonstrate pn acum, orice sistem de fore se reduce ntr-un punct la untorsor.Cumsistemeledeforeceauacelaitorsorsuntechivalente,ncontinuaresevor stabiliprincipalelecazuriparticularealetorsorilordereducere.Stabilireacazurilorde reduceresefaceporninddelavalorileparticularepecarelepotaveaceledoucomponente ale torsorului de reducere: =OOMR Cazul I de reducereEstecazulcelmaisimpludereducere,atuncicandconformrelaiei4.24.celedou componente ale torsorului sunt nule: 0 = =OM R Daca torsorul de reducere are componentele nule, atunci corpul se afl n echilibru. n aceste conditii, rezulta c, condiia de echilibru pentru un corp, revine la: ==00OMR 4.24. Cazul II de reducereUrmtorul caz de reducere este dat de relaia: =00OMR4.25. Sistemuldeforearetorsorulcuosingurcomponent,R ,careproducedacse depetereaciuneadinlegturiodeplasareacorpuluidupdireciasa.Daccorpuleste liber,atuncielsevadeplasadupR .DacestelegatnpunctulO,legturatrebuies acioneze cu oforegal n modul cuRi s acioneze n sens contrar, stabilind echilibrul conform cazului 1 de reducere. Cazul III de reducerePentru acest caz de reducere, relaia este:CAPITOLUL 1. Elemente introductive54 =00OMR 4.26. Torsorul de reducere are o singur component, OM . Rezult c sistemul de fore este echivalent cu un cuplu de fore acionnd n punctul O; Acest cuplu poate fi realizat de orice cupluechivalentcu OM .Efectulacestuitorsor,corpulvaaveaomicarederotaie,dac reaciunea din legtur este depit, sau corpul este liber. Cazul IV de reducere 00OMR 4.27. n aceast situaie exist 2 cazuri: MO -R R d Fig. 4.16. Cazul 3 de reducere. Cazul a) 0 = OM R4.28. Torsorularedoucomponente,R i OM ,perpendiculare.Acestcazdereducereeste echivalent cu o forR acionnd n lungul axei centrale i un moment MO dat de un cuplu de fore Fi F, astfel nct,MO = Fd. n plus pentru acest caz paricular RM =0.Unexemplulconstitiuecorpulcare,aacumsevavedealacinematic,executo micare de roto-translaie plan. Cazul b)0 OM R4.29. Este cazul cel mai general, cnd sistemul de fore se reduce la o rezultant unic de-a lungulaxeicentraleiuncupluceformeazununghidiferitde90ocuaxacentral.Corpul execut o micare de rotaie suprapus cu o translaie n spaiu dup direcii oarecare. CAPITOLUL 1. Elemente introductive55 4.1.7. Sisteme particulare de fore Dac pn acum am prezentat modul n care se pot simplifica soluionarea unor probleme prin echivalarea lor cu un sistem echivalent, adesea, n practic, sistemul de fore prezint anumite particulariti, legate de proprietile mrimilor vectoriale ce le compun. 4.1.7.1.Sistemul de fore coplanare Este cel mai simplu i cel mai utilizat sistem de fore particulare. Pentru aceste sisteme de fore proprietatea ceconfer denumirea este c toate forele au dreaptele suport nacelai plan. n cazul general: k F j F i F Fiz iy ix i + + = Dacseconsideracestplan,cafiindplanuldefinitdeaxeleOxiOy,nacestcaz, rezultantaarenumaidoucomponentedupdireciiledefiniteanteriordatfiindc izF =0i deci: i ix iy x yR F F i F j R i R j = = + = + 4.30. Deci, rezultanta unui sistem de fore coplanare aparine aceluiai plan. n acelai timp, punctul de reducere aparinnd planului forelor, face c i vectorii de poziie s aparin planului. Deci: k j y i x ri i i + + = 0 Ca atare momentul rezultant devine: 1 11 10 ... 00 0O i i n nx z nx nzi j k i j kM r F x y x yF F F F= = + + [( ) ( )]O i iy i ixM x F y F k = cescoatenevidenoproprietateimportanasistemuluideforecoplanare,cmomentul rezultant este dispus perpendicular pe planul forelor: k M MO O = iar componentele torsorului de reducere sunt redate de relaia: ix iyO i i OR F i F jM r F M k = + = = 4.31. CAPITOLUL 1. Elemente introductive56 zMO Oy Fn F1 F2O R xFig. 4.17. Sisteme de fore coplanare. Conformrelaiei4.31.,componenteletorsoruluidereducerealunuisistemdefore coplanare prezint particularitatea c: rezultanta este dispus n planul forelor iar momentul estedispusdupodirecieperpendicularpeplanullor.Deci,ncazulsistemuluidefore coplanare, torsorul are dou componente totdeuna perpendiculare.Grafic acest caz de reducere este ilustrat n fig. 4.17. 4.1.7.2. Sistemul de fore paralele Este un sistem de fore particulare cu multe aplicaii practice. Particularitatea este dat de proprietate c toate dreptele suport ale forelor sunt paralele cu o direcie datu . n aceste condiii,u F Fi i = A F1Fn r1 F2 Fi u r2 O ri Fig. 4.18. Sisteme de fore paralele. ( )( )i i iOO i i i iR F F u F u R uM r F r F u = = = = = = = R u4.32. Dac n plus, se calculeaz produsul scalar al celor doi vectori ai torsorului de reducere rezult: ( ) ( )O i iR M R u r F u( = = 0

CAPITOLUL 1. Elemente introductive57 deoarece avem un produs mixt n care doi vectoriusunt identici,OR M . ce arat c ntodeauna cele dou componente sunt perpendiculare. 4.1.7.3.Axa central i centrul forelor paralele Pentru determinarea axei centrale, se alege un punct curent P, de coordonate x, y i z n raport cu sistemul de coordonate cu originea n punctul O de reducere a sistemului de fore care s aparin axei centrale. Conform relaiei 4.19. vom scrie momentul rezultant n acest punct: P OM M OP R = Dar: i iR F F u = = ; ( )O i i i iM r F r F u = = ;OP r = vectorul de poziie al punctului curent P de pe axa central.Deci: ( )P i i iM r F u r F u = =( ) ( )i i iF r u F r u ( )i i iF r F r u = Dinconcluziileanterioareamvzutcpentrusistemuldeforeparalele,proieciape rezultant a momentului rezultant OMeste nul, deci i0PM = . n aceste condiii, pentru c produsulvectorialsfienulrezultcceidoivectoriaiprodusuluisuntparaleli.Cumam vzut, matematic aceast condiie se poate scrie: i i iF r F r u = n care este un coeficient de proporionalitate, fiind un numr real. mprind aceast relaie cu iF , rezult ecuaia vectorial a axei centrale: i ii iF rr uF F= 4.33. cu ajutorul creia putem determina vectorul de poziier :

i ii iF rr uF F= aceasta fiind ecuaia vectorial a axei centrale scris cu ajutorul vectorului de poziie al unui punct curent. Analiznd aceast ecuaie vectorial se observ c pentru un sistem de fore dat i pentru un punct de reducere ales,CAPITOLUL 1. Elemente introductive58

i iCiF rrF= 4.34. rmne constant, deoarece toi termenii sunt constani. Rezult c aceast ecuaie reprezint ecuaia unui fascicul de drepte care trec printr-un punct fix al spaiului dat de aceast relaie. Acest punct fix poart numele de centrul forelor paralele, Crfiind vectorul su de poziie. 4.1.7.4. Proprieti ale axei centrale i centrului forelor paralele 1)Centrulforelorparalelenuseschimbcuschimbareadirecieiu .Demonstraia acesteiproprietiestedatdefaptulcexpresiacentruluiforelorparalelenudepindede versorulu . 2) Dac nmulim toate forele cu o constant k, centrul forelor nu se schimb. Pentru demonstraie,seconsidernoulvectordepoziiealcentruluiforelorparalele Or considerat diferit de Or , dat de relaia:i iOiF rrF= ; Utiliznd aceiai relaie de definiie, Or devine: ( )i i i i i iO Oi i ik F r k F r F rr rk F k F F = = = = ce demonstrez enunul formulat anterior.3)Dacschimbmpunctuldereducere,centrulforelorparalelenuseschimb, singuramodificarefiindcaotranslaiea sistemului de referin. Pentru demonstraie, se considerunpunctO O.FieAipunctulde aplicaiealforeiFi.Conformfig.4.19.,se poate scrie relaia vectorial: i i ir O O r r OO = + = Presupunemc O Or r .Plecnddela relaia de definiie i utiliznd relaia anterioar se poate scrie: ( ) ( )i i i i i i i iO Oi i i i iF r F r OO Fr F OO F OOr rF F F F F = = = = =Or OO Ai O ri ri

O Fig4.19.Constanacentruluide greutatecuschimbareapunctului originii sistemului de referin.CAPITOLUL 1. Elemente introductive59 Odat cu schimbarea punctului O, centrul forelor paralele rmne neschimbat, ntruct expresia s se modific c i n cazul unei translaii a sistemului de referin, deoarece: i ir r OO = iar centrul forelor paralele se modific dup aceiai regul: O Or r OO = 4.1.8. Aplicaii ale centrului forelor paralele. Centrele de greutate n practic, n studiul sistemelor de puncte, datorit razei foarte mari a Pmntului, se poateaproximacdousaumaimultecorpurisituatelasuprafaapmntuluisuntatrasede centrulpmntuluicuforecepotficonsiderateparalele.Deciforadegravitaiece acioneaz asupra a dou sau mai multe corpuri constituie un sistem de fore paralele. naceastsituaie,foreleparalelesenlocuiesccuforeledegreutate,Gi=mig,iar centrulforelorparalelepentruunsistemdepunctematerialedevinecentruldegreutateal sistemului de puncte materiale. Senoteazcu Cr coordonatacentruluidegreutatepentruunsistemdepuncteavnd masele mi i vectorii de poziie ir . i i i i i i i iCi i i iF r m g r g m r m rrF m g g m m = = = = 4.35. ntr-un un sistem de coordonate cartezian, se poate scrie: , C C C C i i i ir x i y j z k i j k r x i y j z k = + + = + + = + + 4.36. nlocuind relaiile 4.36. n 4.35., se obine:

i i i i i iCi i im x m y m zr i j km m m = + + 4.37. Prin identificare se pot scrie relaiile utilizate n rezolvarea problemelor de mecanic n determinarea centrelor de greutate: CAPITOLUL 1. Elemente introductive60 = == == =ii iCii iCii iCmz mzmy mymx mx4.38. Dar,ntuctM mi=reprezintmasatotalasistemuluidepuncte,seobine relaia: C i iM r m r = respectiv, cu ajutorul proieciilor pe axele sistemului: C i iC i iC i iM x M m xM y M m yM z M m z = = = = = = 4.39. Prin definiie ,,produsul dintre masa unui punct i distana pn la un reper poart numeledemomentstatic.Deaceeaacesteecuaii,fiesubformvectorial,fiepebaza proieciilorconstituieteoremamomentelorstatice.Aceastaafirmc,sumamomentelor statice ale unui sistem de corpuri de mase mi concentrate n punctele al cror vector de poziie este ir ,decoordonatexi,yi,zinraportcuunpunct(egalcusumaalgebricaproduselor scalare dintre masa fiecrui punct i vectorul de poziie al punctului n raport cu O), este egal cumomentulstaticalmaseitotaleapunctelorconcentratncentrullordegreutate.Deci numim momentstaticprodusuldintremasaunuicorpidistanapnlareperuldat.Aceste teoreme ne arat c, din punct de vedere static, efectul unui sistem de puncte materiale poate fiechivalatcuefectulunuipunctcearemasaegalcumasatotalasistemuluidepuncte, fiind plasat n centrul lor de mas. CAPITOLUL 1. Elemente introductive61 4.1.8.1. Centrul de greutate al corpurilor n cazul corpurilor, conform fig. 4.20., se divizeaz corpul dat ntr-un mare numr finit de de corpuri elementare de mas dm, al cror centru de mas fa de sistemul de referin dat estevectoruldepoziier .Considerndcorpulcontinuu,senlocuieteoperatorulde nsumarea algebric cu o nsumare mult mai fin, respectiv operatorul de integrare, rezultnd relaiavectorialdecalcul,acentruluidegrutate pentru un corp: DCDr dmrdm= Integrarea se face pe domeniul D, n care Dreprezint conturul corpului pentru care se face calculul centrului de greutate sau denumit i centru de mas. Utiliznd sistemul de coordonate cartezian din figur, n raport cu care vectorul de poziierare proieciile x, y, z, i nlocuindu-le n relaia anterioar de definiie se obine relaia 4.57., ce red relaiile de calcul a celor trei proiecii ale vectorului centrului de greutate pe axele sistemului de referin ales: D D DCD D Dx dm y dm z dmr i j kdm dm dm = + + 4.40. Coordonatele centrului de greutate C, n raport cu axele sistemului de coordonate cartezian dat, se noteaz uzual cu literele alfabetului grecesc( , ,) . Pe lng aceste notaii se mai utilizeaz i notaiile cu caracterele latine Cx , Cy , Cz .

DCDD DC CD DDCDx dmxdmr dm x dmr i j k ydm dmx dmzdm = = = + + = = == = 4.41. z y x dm rFig. 4.20. Calculul centrului de mas pentru un corp CAPITOLUL 1. Elemente introductive62 Aceste relaii 4.41. sunt relaiile generale utilizate pentru calculul centrului de greutate a unui corp. C i n cazul sistememlor de puncte materiale n cazul unui corp, dac se notez masa corpului cu mC, ce este dat derelaia:CDm dm = atunci, teorema momentelor statice pentru un corp, sunt date de relaiile 4.41.: C CDm r r dm = C C CDm x m x dm = = C C CDm y m y dm = = 4.42.C C CDm z m z dm = = Momentele statice i teoremele lor au o deosebit importan practic, deoarece prin aceste relaii s demonstrat c, din punct de vedere static efectul unui sistem de puncte sau corp se poate nlocui cu un punct matrial avnd masa egal cu masa sistemului de puncte sau corpuri, aceasta fiind plasat n centrul de greutate al corpului. Datorit avantajului acestei modaliti de simplificare a staticii sistemelor de puncte materiale i corpuri, n continuare vor fi prezentate forme particulare ale momentelor statice i teoremele lor. 4.1.8.2. Centrul de greutate al corpurilor omogene.Teorema momentelor statice pentru corpuri omogene Cum se tie, prin definiie, numim corp omogen acel corp pentru care n orice parte a corpului,unitateadevolumareaceeaigreutate.Semaipoatespunecacelcorparemasa uniform distribuit n ntreg volumul su. Pentru evidenierea matematic a acestei proprieti se definete funcia de densitate, sau densitate, raportul dintre masa unui corp i volumul su, ce se noteaz cu=(x, y, z) , purtnd i numele de greutatea unitii de volum a unui corp. Pentrucorpurileneomogeneaceastfunciepoateaveadiverseformedeexprimare funciedepunct.ncazulcorpuriloromogeneaceastfuncieesteconstantcupunctul.n aceast situaie: dV dmdVdmVm = = = ; Utiliznd aceast expresie a masei elementare dm n expresia centrului de mas dat de relaiile4.27.seobinexpresiilecentruluidemaspentruuncorpomogen,conformrelaiei 4.29.,attsubformvectorialctisubformscalarcuajutorulproieciilorcentruluide greutate pe axele sistemului de referin: CAPITOLUL 1. Elemente introductive63 D D DCD D Dr dV r dV r dVrdV dV dV = = = DCDDCDDCDx dVxdVy dVydVz dVzdV= == = = =4.43. Prin aceast modificarede variabilcentrul de mas se transform dintr-o proprietate de mas, ntr-o proprietate geometric devenind centru de simetrie. Procednd ca i n cazul corpurilor oarecare, se noteaz cu V,volumul corpului, ce se calculeaz cu relaia: DV dV = Cuaceastnounotaieprelucrndrelaiile4.42.,teoremamomentelorstaticepentru un corp omogen devin 4.44.: CDC CD DCDV x V x dVV r r dV V y V y dVV z V z dV = = = = = = = 4.44. cereprezintteoremamomentelorstaticepentruuncorpomogen,cearatcuncorp omogen poate fi substituit cu un punct material avnd ntreaga sa mas concentrat n centrul de simetrie. n mecanic n special, dar din ce n ce i n tehnic n general, corpurile, funcie decaracteristicilelorgeometricedatederaportuldintremrimilecaracteristice,lungimeaL, limealinlimeahacesteasempartntreitipuriprincipale.Astfeldacvalorile raportului dintre cele trei dimensiuni sunt comparabile atunci corpurile se numesc blocuri, iar relaiile anterioare 4.43. respectiv 4.44. ne dau modalitile de calcul a centrului de greutate i teorema momentelor statice.DacdimensiunileLilsuntmultmaimaridecth,atuncicorpurilepoartnumele deplci.Dach,estefoartefoartemic,conferindomaremaredeformabilitatecorpului, atunciacestecorpurisenumescmembrane.Dacdoarunadintredimensiunilecorpului respectiv L, este mult mai mare dect celelalte dou, atunci corpurile poart numele de bare, stlpi etc. Dac acestea se pot deforma foarte uor atunci aceste corpuri poart numele de fire. Pentruacestedoutipuridecorpuricugeometrieparticularsevordeducencontinuare expresiile centrelor de greutate i teoremele momentelor statice. CAPITOLUL 1. Elemente introductive64 4.1.8.3.Centruldegreutatepentrucorpuriomogeneplanetipplac,degrosime constant Considernd o plac omogen de grosime constant g, conform cu fig. 4.21., atunci elementul de volum de la corpurile tip bloc se poarte calcula cu relaia: dV g dA = Utiliznd aceast relaie centrul de greutate va fi calculat cu noua relaie vectorial: Cr dV r g dA g r dA r dArdV g dA g dA dA = = = = 4.45. Pentrucazulparticularalplcilorplanentodeaunasevaalegepentrucalculeun sistem de coordonate plan. n acest caz s-a ales planul xOy, un plan median al plcii, situat la distane egale de cele dou suprafee ce delimiteaz placa i paralel cu acestea. AdA dV g Fig. 4.21. Calculul centrului de greutate pentru o plac omoen de grosime constant. . n aceste condiii centrul de greutate se va afla n acest plan avnd coordonatele date de relaiile 4.46. CCx dAxdAy dAydA= == =4.46. CAPITOLUL 1. Elemente introductive65 n ambele relaii integrarea se realizeaz pe suprafaa A ce delimiteaz suprafaa plcii, fiind dat de relaia: AA dA = Cu aceast notaie teorema momentelor statice pentru o plac omogen de grosime constant devine: CAA r r dA = CACAA x A x dAA y A y dA = = = = 4.47. 4.1.8.4.Centruldegreutatepentrucorpuriomogene,detipbarcuseciune constant Datorit particularitii acestor tipuri de corpuri, considernd seciunea S, constant n lungul corpului, atunci elementul