219

9 .

ELEMENTE DE MECANICA ŞI FIZICA

CONTACTULUI CORPURILOR SOLIDE

9.1. Noţiuni de bază, definiţii

Problema contactului mecanic constituie o preocupare

importantă în practica inginerească. Marea majoritate a maşinilor,

instalaţiilor, structurilor mecanice etc, sunt realizate din mai multe

componente care sunt “legate” între ele, adică sunt în contact.

Condiţiile în care se realizează contactul sunt foarte diferite, de la caz

la caz. De exemplu, pentru batiuri, fundaţii, stâlpi de susţinere etc,

contactul se face fără apariţia unor deplasări relative. În cazul

sistemelor în mişcare situaţia este cu totul alta, deoarece corpurile au

contact cu altele, care sunt fie fixe, fie se mişcă şi ele, după o altă

traiectorie. Acest tip de contact duce la uzura şi reducerea treptată a

performanţelor sistemului respectiv, sau chiar la scoaterea lui din

folosinţă. Uzura componentelor este motivul principal pentru care

sistemele mecanice se defectează şi trebuie înlocuite.

Două sau mai multe domenii distincte (corpuri solide) se spune

că sunt în contact dacă există o suprafaţă comună care le separă şi nu

există transfer material de la un corp la altul. Contactul între corpuri

presupune îndeplinirea unei condiţii cinematice, adică viteza relativă

pe direcţia normalei la suprafeţele de contact este nulă şi a unei

condiţii dinamice, de continuitate a tensiunilor la traversarea

suprafeţei de contact (principiul acţiunii şi reacţiunii).

Contactul este un fenomen complex, nelinear, deoarece depinde

atât de proprietăţile elastice ale corpurilor care vin în contact, de

geometria lor, de condiţiile de rezemare etc dar şi de evoluţia

încărcărilor, adică starea finală a unei suprafeţe de contact depinde de

felul în care sunt aplicate sarcinile. De asemenea în timpul aplicării

sarcinilor se modifică (uneori fundamental), formele şi dimensiunile

suprafeţelor de contact, precum şi distribuţiile tensiunilor pe aceste

suprafeţe.

220

Generic, contactul între două corpuri are loc într-un punct, de-a

lungul unei linii sau pe un plan. Această clasificare îşi are rădăcinile

în idealizările făcute la modelare. Dacă cele două corpuri sunt

sferice, de exemplu, se consideră contactul ca fiind punctiform.

Contactul a doi cilindri de-a lungul generatoarei comune, se spune că

este linear. La fel, contactul a doi dinţi aparţinând la două roţi dinţate

aflate în angrenare. În realitate, dat fiind că cele două corpuri se

deformează, contactul are loc întotdeauna pe o suprafaţă, fie ea şi

foarte mică.

Contactul este menţinut de forţele care se transmit între cele două

corpuri. Aceste forţe se pot descompune pe direcţie perpendiculară

pe suprafaţa de contact şi pe direcţii paralele cu această suprafaţă.

Forţele normale produc o presiune de contact, iar cele tangenţiale

tind să ducă la alunecarea relativă a corpurilor. La limită, când

alunecarea începe, între componenta normală a forţei, P, şi cea

tangenţială (pe direcţia de alunecare), F, există relaţia F = P, unde

este coeficientul de frecare. Această lege a fost propusă cu patru

secole în urmă de către Amontov, iar frecarea de acest tip se

numeşte, prin jocul istoriei, frecare coulombiană. În treacăt fie spus,

atât timp cât corpul nu se mişcă, forţa de frecare nu este dată de

relaţia de mai sus, ea fiind, de fapt, nedefinită.

Cum forţele transmise de la un corp la celălalt sunt, de obicei,

considerabile şi cum, tot generic, suprafeţele de contact sunt mici,

presiunile de contact sunt foarte mari. Aceasta duce la tensiuni mari

în cele două corpuri în zona apropiată de suprafaţa de contact,

tensiuni care pot duce la curgere sau / şi la cedarea materialului.

Aceste tensiuni duc la ruperea de mici “aşchii” din material, deci la

uzură. Procesul are loc prin mai multe mecanisme, care se prezintă

sumar aici. Trebuie însă menţionat că el este de natură stohastică,

ceea ce a făcut ca până în prezent să nu existe o corelaţie clară între

modelele care determină câmpul de tensiuni din apropierea

contactului şi rata de uzură. Relaţiile care estimează uzura

componentelor de maşini, în condiţii date de încărcare, sunt total

empirice.

Chiar şi atunci când contactul are loc pe suprafeţe relativ mari,

de exemplu, în cazul ambreiajelor şi frânelor, tensiunile locale care

apar sunt tot foarte mari. Aceasta se datorează în principal faptului că

221

suprafaţa de contact este mare numai în aparenţă. În realitate, cele

două suprafeţe fiind rugoase, ele intră în contact numai pe o zonă

mică, acolo unde asperităţile se ating (şi se deformează). Suprafaţa

nominală de contact este, de fapt, suma acestor suprafeţe

microscopice de contact (ale asperităţilor) şi este mult mai mică decât

suprafaţa aparentă. Este interesant de observat, în acest context, că

valoarea forţei de frecare nu depinde de aria suprafeţei de contact, ci

de mărimea forţei totale transmisă prin contact. Observaţia este

interesantă, deoarece sugerează implicaţii referitoare la mecanismele

contactului, alunecării şi uzurii.

Clasificarea uzuală a tipurilor de contact se face din mai multe

puncte de vedere şi anume:

A. Din punctul de vedere al frecării dintre corpuri, există contact

fără frecare şi contact cu frecare. Contactul fără frecare este o

idealizare, care simplifică foarte mult abordarea teoretică a

fenomenului şi este aplicabil suprafeţelor bine lubrificate. Acest tip

de contact introduce doar o presiune normală la suprafeţele în

contact. Contactul cu frecare, propriu fenomenelor reale, introduce

pe lângă presiunea normală la suprafeţele de contact şi tensiuni

tangenţiale (sau forţe de frecare). Tensiunile tangenţiale, în general,

sunt într-o anumită relaţie cu tensiunile normale (presiunea de

contact) şi pot conduce la apariţia fenomenelor de aderenţă ("stick")

sau alunecare ("slip"). Contactul cu frecare, în general, ia în

considerare frecarea coulombiană şi este de tip elastic sau rigid.

Frecarea coulombiană elastică poate reprezenta fenomene de

aderenţă şi de alunecare, în timp ce frecarea coulombiană rigidă

modelează doar alunecarea.

B. Din punctul de vedere al modificării suprafeţei de contact la

aplicarea sarcinilor, există contactul conform şi contactul neconform.

Contactul conform se caracterizează prin faptul că suprafaţa iniţială

de contact (când nu este aplicată încărcarea), coincide cu suprafaţa

finală de contact (când este aplicată toată sarcina). Contactul

neconform, cel mai des întâlnit în realitate, nu respectă condiţiile

contactului conform. Astfel, spre exemplu, contactul iniţial punctual

între o bilă şi un plan rigid, se transformă într-o suprafaţă circulară,

în prezenţa unei forţe de apăsare, sau contactul iniţial pe o suprafaţă

dreptunghiulară, între o grindă simplu rezemată şi un corp

222

paralelipipedic rigid, se transformă în două suprafeţe dreptunghiulare

de suprafaţă totală mult mai mică.

C. Din punctul de vedere al comportării materialului, contactul

este elastic, atunci când comportarea materialului este linear elastică,

adică nu se depăşeşte limita de elasticitate şi elasto-plastic,

atunci când solicitarea materialului depăşeşte limita de elasticitate.

D. Din punctul de vedere al deplasării elementelor în contact,

există contact în domeniul deplasărilor mici, sau în domeniul

deplasărilor mari.

E. Teoria clasică a contactului este teoria lui Hertz. Aceasta se

bazează pe următoarele ipoteze:

a- suprafeţele care intră în contact sunt continue, netede (fără

rugozitate) şi fără frecare;

b- corpurile care mărginesc aceste suprafeţe sunt omogene,

izotrope şi ascultă de legea lui Hooke;

c- dimensiunile zonelor de contact (iniţial contactul este

punctiform sau linear), în prezenţa încărcărilor sunt mici, în

comparaţie cu dimensiunile corpurilor;

d- distribuţia tensiunilor în zona contactului se obţine din teoria

semispaţiului elastic a lui Boussinesq şi rezultă că tensiunile

tangenţiale în pata de contact sunt nule.

Acceptarea sau nu a teoriei lui Hertz, conduce la clasificarea

contactului în hertzian şi non-hertzian.

F. Funcţie de rigidităţile suprafeţelor care intră în contact, se

face clasificarea contactului de tip rigid-flexibil şi flexibil-flexibil.

Contactul rigid-flexibil se caracterizează prin faptul că una dintre

suprafeţele care intră în contact este mult mai rigidă decât cealaltă,

cum ar fi cazul contactului între matriţă şi piesa care se forjează.

Contactul flexibil-flexibil este propriu corpurilor care prezintă

rigidităţi comparabile.

Principalele aplicaţii ale analizei contactului se referă la

transmiterea eforturilor de la un corp la altul, pentru studiul

problemelor de uzură, de oboseală superficială, de durabilitate,

studiul problemei calităţii suprafeţelor, pentru determinarea

eforturilor de strângere la asamblările nituite, cu şuruburi, presate,

fretate etc.

223

Prezenţa contactului între piese este (sau poate fi) însoţită, în

general, de apariţia unor fenomene de transfer termic sau electric,

situaţii în care fenomenele mecanice se cuplează cu cele termice sau

electrice.

Clasificarea de mai sus se poate completa şi cu cea de contact

static şi contact dinamic. Contactul static este cel în care corpurile nu

au mişcări relative. Există numeroase situaţii practice în care astfel

de contact există; de exemplu, stâlpii clădirilor, fundaţii în contact cu

solul, suporţi ai diferitelor componente de maşini şi instalaţii etc.

Aceasta se mai numeşte şi problema de penetrare (indentare), în care

un poanson (penetrator sau indentor) apasă pe un semi-spaţiu elastic.

Poansonul transmite o forţă P către suport şi are contact cu acesta pe

o suprafaţă de contact A. Problema de calcul care se pune în astfel de

situaţii este:

- determinarea tensiunilor maxime în zona contactului;

- determinarea deplasărilor celor două corpuri.

Problema are mai multe variante, cum ar fi situaţia în care

ambele sau numai un singur corp este deformabil, sau când frecarea

dintre cele două corpuri se ia sau nu în considerare. Cele mai simple

cazuri de astfel de contacte sunt discutate în secţiunea următoare.

Contactul dinamic apare în cazul în care cele două corpuri se

mişcă relativ şi poate fi împărţit în contact cu alunecare şi contact cu

rostogolire. Contactul cu alunecare apare, de exemplu, în frâne,

ambreiaje şi lagăre, sau în regimul de pornire-oprire al maşinilor

rotative cu suspensie hidro- sau aero-dinamică. Acest tip de contact

este cel mai dezavantajos din punctul de vedere al uzurii. Problema

de calcul care se pune în cazul contactului cu alunecare este similară

cu cea definită mai sus pentru contactul static. Diferenţa constă în

distribuţia tensiunilor care apar în vecinătatea zonei de contact. Acest

aspect este discutat în secţiunea 9.3.

Contactul cu rostogolire este şi el frecvent întâlnit în practică, de

exemplu, la rulmenţi, lagăre de tip cuţit etc. Este un tip de încărcare

care duce la uzură mai mică decât contactul cu alunecare şi de aceea

este folosit în cazurile în care forţele transmise sunt mari, dar vitezele

relative ale suprafeţelor în mişcare sunt moderate. În cazurile în care

vitezele relative sunt mari, se urmăreşte evitarea contactului prin

folosirea suspensiei hidro- sau aero-dinamice. Se menţionează că în

224

majoritatea cazurilor de contact cu alunecare se foloseşte lubrifierea,

ceea ce este, în parte, tot un tip de suspensie hidro-dinamică (agentul

lubrifiant formează o “pană” hidro-dinamică separând efectiv cele

două suprafeţe).

Din punctul de vedere al calculului de corp solid (calcul de

rezistenţă), nu există o deosebire esenţială între contactul static şi cel

dinamic. Desigur, condiţiile pe frontieră sunt diferite, dar formularea

şi, în linii mari, rezultatele sunt similare. Aşa cum s-a sugerat mai sus

însă, problema contactului este mult mai complexă decât problema

de mecanică. Cum obiectivul principal este acela de a prezice şi

controla frecarea şi mai ales uzura, alte aspecte ale problemei,

dincolo de distribuţia tensiunilor din cele două corpuri, trebuie luate

în considerare. Acestea sunt aspectul termic şi mai ales cel chimic. O

cantitate semnificativă de energie este disipată în timpul contactului

dinamic, energie egală cu lucrul mecanic efectuat de forţa de frecare.

Această energie se transformă în căldură, care, dacă nu este disipată

eficient de cele două corpuri, duce la supraîncălzirea suprafeţei de

contact şi chiar la topirea ei (vezi supraîncălzirea frânelor la

automobile). Aspectul termic al problemei poate fi controlat la

proiectare prin diverse metode inginereşti. În multe cazuri, datorită

tensiunilor mari şi a temperaturii ridicate, suprafaţa de contact devine

un adevărat “reactor chimic.” Reacţia preponderentă este cea de

oxidare. Cum mulţi dintre oxizi sunt fie fragili, fie nu aderă bine la

materialul de bază, aceasta duce la formarea unui film care este uşor

de îndepărtat la următoarea trecere, sau care constituie un loc de

amorsare a fisurilor de suprafaţă, care se pot propaga apoi în substrat.

Multe alte reacţii chimice pot avea loc, în unele cazuri “produşii”

fiind cu totul neaşteptaţi. În tribologia modernă (ştiinţa care se ocupă

de studiul frecării şi uzurii), aceste reacţii chimice se folosesc în

avantajul proiectantului, adică, se caută ca produşii de reacţie să ducă

la reducerea coeficientului de frecare, cu toate implicaţiile aferente

asupra procesului termic şi mecanic.

Această sumară trecere în revistă a căutat să scoată în evidenţă

complexitatea ansamblului fenomenelor de contact, frecare şi uzură.

Scopul acestui capitol este limitat la prezentarea rezultatelor de bază

privind problema mecanică şi anume, tensiunile şi deplasările din

zona de contact şi tensiunile din interiorul corpurilor în contact. O

225

tratare mai avansată, dar în aceeaşi concepţie, se poate găsi în

tratatele de mecanică a contactului [1,2]. Cercetări privind legătura

dintre uzură şi studiul mecanicii contactului sunt prezentate în

tratatele de tribologie [3,4]. Această legătură este, însă, încă vagă.

Pentru elucidarea ei tribologia “tradiţională” va trebui să facă apel la

concepte de analiză statistică şi de fizica suprafeţelor. Primii paşi în

această direcţie au fost deja făcuţi [5,6].

9.2. Contactul mecanic fără frecare

În cele ce urmează se vor prezenta câteva dintre soluţiile de bază

ale problemei contactului corpurilor solide deformabile. Se va

considera, pentru început, cazul în care se presupune că nu există

frecare între cele două corpuri, cele două suprafeţe aflate în contact

putând aluneca liber în direcţie tangenţială. Aceasta este, desigur, o

aproximare destul de serioasă dacă modulul de elasticitate al

materialului celor două corpuri este diferit.

Formularea unei astfel de probleme se poate face precizând

presiunile pe suprafaţa de contact, deplasările în zona de contact, sau

forţa totală transmisă. Cazurile curent întâlnite în practică sunt cele în

care se precizează deplasările, cum ar fi în situaţia în care un poanson

rigid apasă pe un semi-spaţiu, şi cele în care tot ceea ce se cunoaşte

este forţa totală transmisă. Condiţiile pe frontieră, în afara zonei de

contact, sunt cele de suprafaţă liberă (tensiuni normale şi tangenţiale

zero), iar în cazul în care unul din corpuri este semi-infinit, se mai

impune şi condiţia ca tensiunile să scadă la zero la infinit.

9.2.1. Probleme în tensiuni pe frontieră

Problema în care se impun tensiuni pe zona de contact este

oarecum artificială, dar soluţia ei ajută la rezolvarea altor probleme,

mai apropiate de realitate.

Semi-spaţiu încărcat cu o forţă concentrată.

Această problemă a fost studiată de Boussinesq. Se consideră

varianta ei pentru stare plană de deformaţii, ca în figura 9.1. O forţă

uniform distribuită de-a lungul axei y, cu mărimea P/L pe unitatea de

lungime, acţionează asupra semi-spaţiului elastic z > 0. Deoarece

spaţiul se întinde la infinit în direcţia axei y, corpul este în stare

226

plană de deformaţie în această

direcţie. Condiţiile pe frontieră

sunt σzz = σxz = 0, pentru z = 0.

Pentru a defini forţa P, se

“taie” un cilindru cu raza r şi

centrul pe axa y şi se consideră

o sarcină uniform distribuită

normală pe suprafaţa nou

creată. Această sarcină uniform

distribuită trebuie să aibă

rezultanta egală cu P/L.

Soluţia acestei probleme [7] (starea de tensiuni în interiorul

corpului) este foarte simplă şi este schiţată în figura 9.1. Se consideră

un element de volum a cărui poziţie faţă de origine este dată, în

coordonate polare, de r şi . Tot în coordonate polare, singura

componentă nenulă a tensorului tensiune este componenta radială,

rr:

cosrL

P2rr , 0r . (9.1)

Tensiunea maximă se obţine de-a lungul axei z. Pe măsură ce

elementul de volum se apropie de origine, tensiunile cresc spre

infinit, proporţional cu 1/r. De fapt, acesta este motivul pentru care

forţa P/L a fost reprezentată prin “tăierea” cilindrului menţionat mai

sus: ca să nu se ajungă niciodată în origine şi deci pentru ca

tensiunile să rămână cu valori finite.

Semi-spaţiu încărcat cu forţe distribuite.

Se consideră configuraţia de forţe din figura 9.2.

Figura 9.2

Figura 9.1

227

Condiţiile pe frontieră sunt aceleaşi cu cele de la cazul

precedent, cu deosebirea că, dat fiind că se impun tensiuni de contact

şi nu forţe concentrate, nu mai este nevoie de a “decupa” zona din

jurul punctului în care acţionează forţele. Astfel, )x(pzz pentru

)a,a(x şi 0zz în afara acestui interval. Tensiunile tangenţiale

sunt zero pe întreaga suprafaţă. La fel ca mai sus, interesează valorile

tensiunilor din punctul M, de coordonate MM z,x .

Această problemă se poate rezolva prin “suprapunere de efecte”,

pe baza soluţiei obţinute pentru forţa concentrată. Este ca şi cum s-ar

împărţi intervalul (-a, a) în segmente mici dx şi pe fiecare dintre

aceste segmente acţionează o forţă concentrată echivalentă, cu

mărimea p(x) dx. Suma tensiunilor date în M de aceste forţe duce la

câmpul căutat. Soluţia se scrie:

dx)z)xx((

)xx)(x(pz2)z,x(

a

a

22

M

2

M

2

MMMMxx

;

dx)z)xx((

)x(pz2)z,x(

a

a

22

M

2

M

3

MMMzz

; (9.2)

dx)z)xx((

)xx)(x(pz2)z,x(

a

a

22

M

2

M

M

2

MMMxz

.

Se observă că acest câmp de tensiuni are valori finite în toate

punctele semi-spaţiului, chiar şi imediat sub zona de frontieră, pe

care se aplică forţele externe. De asemenea, tensiunile zz şi xx

calculate pentru )a,a(x si 0z sunt egale între ele şi egale cu

tensiunea de suprafaţă aplicată în acel punct, p(x). Această stare

triaxială de tensiuni “întârzie” curgerea plastică în zona imediat de

sub suprafaţa contact.

Un caz particular al acestui tip de încărcare este cel în care

sarcina este constantă, p)x(p , )a,a(x . Ca şi în cazul general,

tensiunile sunt finite în vecinătatea suprafeţei de contact şi scad spre

zero când x creşte. La o distanţă suficient de mare de origine (r > 3a),

soluţia converge spre cea pentru forţa concentrată, cu mărimea

a

a

dx)x(pL/P . Este interesant de observat că maximul tensiunii

228

principale este în punctul 2/az de pe axa de simetrie. Tot aici se

obţine şi maximul tensiunii de forfecare. Probabilitatea cea mai mare

de iniţiere a ruperii este deci undeva în interiorul materialului, la o

adâncime proporţională cu dimensiunea suprafeţei de contact, a.

Fisurile care se întâmplă să fie într-o astfel de poziţie faţă de

suprafaţă au şansele cele mai mari să crească şi apoi să ajungă la

suprafaţă, producând “separarea” unei aşchii de uzură.

9.2.2. Problema în deplasări pe frontieră

Problema formulată în deplasări este oarecum mai direct

relevantă pentru situaţii concrete. Ea constă în precizarea deplasării,

uz = care se impune în regiunea de contact, mai degrabă decât a

tensiunilor din acea regiune. Această situaţie corespunde “penetrării”

unui semi-spaţiu cu un poanson rigid.

Se consideră un poanson plan ca în figura 9.3. Distribuţia de

tensiuni din zona de contact a fost determinată de Nadai [8] şi este

dată de:

2

0

)a/x(1

p)x(p

, (9.3)

unde p0 se obţine din condiţia de normalizare

a

a

dx)x(pL/P ca

aL

Pp0

. Distribuţia deplasării δ şi a presiunii de contact p(x) sunt

reprezentate schematic în figura 9.3. Acestea sunt singulare la

colţurile poansonului

( ax ). Distribuţia

tensiunilor (şi a

deplasărilor) în interiorul

corpului se poate obţine

cu ecuaţia 9.2 şi cu

distribuţia 9.3.

Prezenţa singularităţilor

presiunii de contact este

un indiciu că cedarea

trebuie să înceapă la marginile poansonului. Aceasta se şi observă în

realitate la penetrările în materiale fragile. Distribuţia de tensiuni în

Figura 9.3

229

cazul penetrărilor în materiale ductile este, desigur, aceeaşi. Natura

materialului fiind însă diferită, curgerea plastică în zonele critice

previne ruperea fragilă.

Această soluţie rămâne neschimbată pentru poansoane cu

secţiune circulară. Singura diferenţă este că 20a2

Pp

, unde a este

acum raza poansonului.

9.2.3. Soluţia lui Hertz

Hertz a studiat problema contactului a doua corpuri de revoluţie

(sfere, elipsoizi sau cilindri), într-un context mai realist decât cele

discutate în § 9.2.1 [9]. Mai precis, condiţiile pe frontieră nu se referă

la deplasările sau tensiunile din zona de contact, ci la forţa totală

transmisă între cele două corpuri. Suprafeţele din afara contactului

rămân, ca mai sus, suprafeţe libere de tensiuni. Mai mult, ambele

corpuri sunt considerate deformabile şi pot fi din materiale diferite,

adică pot avea module de elasticitate diferite.

În aceste condiţii, soluţia trebuie să determine dimensiunile şi

forma suprafeţei de contact, distribuţia tensiunilor de contact,

distribuţia tensiunilor în interiorul corpurilor şi deplasarea totală a

punctului în care se aplică forţa exterioară. În cele ce urmează se

prezintă principalele rezultate corespunzând contactului a doua sfere

şi a doi cilindri, cu axele aliniate. În ambele cazuri, contactul este

considerat fără frecare. Soluţii pentru alte configuraţii geometrice se

pot găsi în [1, 2].

Contactul a două sfere.

Figura 9.4

230

Se consideră geometria din figura 9.4, în care două sfere cu raze

R1 şi R2 sunt în contact şi sunt încărcate (împinse unul spre altul) cu

forţa P. Corpurile sunt din materiale linear elastice, omogene şi

izotrope, cu constantele elastice E1, 1, respectiv E2, 2.

Soluţia acestei probleme se exprimă în funcţie de o rază

echivalentă, R şi un modul de elasticitate echivalent, E*, date de

formulele

21 R

1

R

1

R

1 ,

2

2

2

1

2

1

E

1

E

1

*E

1

. (9.4)

Faptul că în locul a patru constante elastice soluţia depinde

numai de două este un rezultat mai general din teoria elasticităţii,

stabilit de Dundurs [10]. Observaţia este valabilă pentru problemele

bi-dimensionale, în care apar două materiale izotrope diferite.

Se demonstrează că suprafaţa de contact, în acest caz, este

circulară (datorită simetriei axiale a problemei) cu raza 3/1

*E4

PR3a

. (9.5)

Distribuţia tensiunilor pe suprafaţa de contact este parabolică, de

forma

2

0 )a/r(1p)r(p , ar . (9.6)

Cum contactul este fără frecare, numai tensiunile normale la

suprafaţă (presiunea de contact) sunt specificate. Constanta p0

depinde de forţa totală, P, aplicată celor două corpuri şi rezultă din

condiţia de normalizare a distribuţiei p(r) şi anume

a

0

20a

P

2

3prdr2)r(pP . (9.7)

Se observă că p0 este presiunea medie pe suprafaţa de contact

multiplicată cu factorul 3/2.

Deplasarea relativă (apropierea) a centrelor celor două sfere, ,

este

3/1

2

2

*RE16

P9

, (9.8)

231

care indică o relaţie nelineară între forţa aplicată şi deplasarea

relativă a punctelor în care se aplică forţele (acţiune - reacţiune).

Caracterul nelinear al dependenţei provine din geometria contactului,

în ciuda faptului că răspunsul ambelor materiale este linear.

Examinarea distribuţiei tensiunilor din interiorul unuia dintre

corpuri duce la concluzii privind posibilitatea iniţierii fisurilor sau a

curgerii plastice. Distribuţia este prezentată schematic în figura 9.5.

Imediat sub suprafaţa de contact, tensiunile normale zz au variaţie

parabolică, similar cu p(r), din ecuaţia 9.6. Tensiunea normală -

unde este coordonata unghiulară măsurată în jurul lui z - (fig. 9.1 şi

9.2) are o variaţie similară, este nenulă la marginea suprafeţei de

contact, dar scade spre zero foarte repede, imediat în afara

contactului. Tensiunea normală radială rr este negativă (de fapt de

întindere, această anomalie

fiind datorată

inconsecvenţei de semne

din această figură) în

vecinătatea marginii

suprafeţei de contact.

Aceasta poate duce la

amorsarea unor fisuri

circulare (care urmează

conturul zonei de contact)

care sunt şi observate în

practică, în multe cazuri.

Distribuţia de tensiuni

de-a lungul axei z, sub

suprafaţa de contact, este

reprezentată şi ea în figura

9.5. Deoarece axa z este axă de simetrie, tensiunile de forfecare sunt

nule, deci axele z şi r sunt şi direcţii principale ale stării de tensiuni.

Ambele tensiuni normale, zz şi rr scad continuu cu distanţa de la

zona de contact. Totuşi, tensiunea tangenţială maximă (care este

diferenţa tensiunilor principale), 2/rrzzmax , atinge un

maxim, cu valoarea 0.31p0, la adâncimea z = 0.48a (pentru = 0.3).

Această valoare a lui max este cea mai mare din întregul câmp de

Figura 9.5

232

tensiuni, mai mare chiar decât cea de la marginea suprafeţei de

contact (z = 0, r = a). Aceasta indică faptul că la o forţă P suficient

de mare, curgerea plastică este de aşteptat să înceapă în acest punct

de sub suprafaţă.

Discuţia este oarecum paralelă cu cea de la § 9.2.1, unde se

făceau referiri la starea de tensiuni de sub o distribuţie constantă a

presiunii de contact (faţă de distribuţia parabolică din soluţia Hertz,

ecuaţia 9.6). În fapt, tensiunile de sub suprafaţa de contact din figura

9.5 sunt aproape identice cu cele obţinute în cazul unei presiuni de

contact constante.

Contactul a doi cilindri.

Cum în paragrafele precedente s-au făcut referiri la contactul

cilindrilor este necesar, pentru completitudine, să se particularizeze

soluţia Hertz şi pentru acest caz. Se consideră doi cilindri cu raze

diferite, din materiale linear elastice diferite, care sunt în contact de-a

lungul unei generatoare. Geometria este similară cu cea din figura

9.4, cu excepţia faptului că acum forţa este distribuită de-a lungul

întregii lungimi a cilindrilor (şi deci forţa este definită pe unitatea de

lungime, P/L). În acest caz problema este de stare plană de

deformaţii, spre deosebire de cea din cazul contactului sferelor, care

este o stare axial-simetrică de tensiuni.

Pentru această situaţie se obţin următoarele rezultate:

- lăţimea suprafeţei de contact

2/1

*LE

PR4a

; (9.9)

- distribuţia tensiunilor pe suprafaţa de contact (parabolică) 2

0 )a/x(1p)x(p , )a,a(x ; (9.10)

- constanta de normalizare

a

a

0aL

P2pdx)x(pL/P . (9.11)

Distribuţia tensiunilor pe suprafaţa de contact - şi sub aceasta -

este aproape identică cu cea pentru contactul între doua sfere (figura

9.5). De asemenea şi concluziile care se pot formula.

233

9.3. Contactul cu frecare

Două corpuri oarecare în contact interacţionează cu frecare.

Totuşi, în unele cazuri frecarea poate fi neglijată, de exemplu, cele în

care deplasările relative ale suprafeţelor în contact sunt mici sau nule.

Un exemplu este cel a doi cilindri sau două sfere de raze egale şi care

sunt realizate din acelaşi material. Acestea se deformează identic,

neexistând nici o tendinţă de deplasare relativă a celor două corpuri

în zona suprafeţei de contact.

Pe de altă parte, frecarea este importantă atâta timp cât există

mişcare relativă. Altfel, există o continuitate a deplasărilor între cele

două corpuri în zona de contact. Soluţia lui Hertz, de exemplu, a fost

obţinută în condiţiile în care nu există frecare şi deci cele două

suprafeţe în contact se pot deplasa relativ în direcţie tangenţială în

mod liber.

Este interesant de văzut, cel puţin calitativ, ce se întâmplă în

cazul în care se are în vedere frecarea. Pentru aceasta se consideră,

din nou, exemplul a doi cilindri de raze diferite, din materiale

diferite, care sunt în contact de-a lungul generatoarei (cazul stării

plane de deformaţie). Se încarcă acest ansamblu cu o forţa normală,

cu valoarea pe unitatea de lungime, P/L, pentru a stabili contactul.

Această forţă duce la o distribuţie parabolică de tensiuni normale la

suprafaţa de contact, p(x), descrise de ecuaţia 9.10. Distribuţia este

reprezentată în figura 9.6.

Se aplică apoi o forţă

tangenţială, cu valoarea, pe

unitatea de lungime, F/L. Această

forţă tinde să mişte cele două

corpuri în direcţia axei x. Se

presupune, pentru moment, că ea

nu duce la rostogolire. Care este

distribuţia tensiunilor tangenţiale

în zona de contact, tensiuni

introduse de forţa F/L ?. Pentru a

da un răspuns simplu la această

întrebare, se presupune că nu există alunecare în zona de contact.

Atunci, deplasarea relativă a celor două corpuri este nulă şi se poate

Figura 9.6

234

construi soluţia căutată simplu, observând similitudinea cu cazul

discutat în § 9.2.2. Este vorba de tensiunile corespunzătoare unei

distribuţii uniforme de deplasări pe suprafaţa de contact, fie ele

normale (ca în cazul § 9.2.2), fie tangenţiale. Soluţia este dată de

ecuaţia 9.3:

2)a/x(1a

L/F)x(

. (9.12)

Tensiunile tangenţiale τ(x) sunt singulare în vecinătatea

marginilor contactului, la ax şi sunt reprezentate în figura 9.6.

O discrepanţă poate fi imediat observată la această soluţie. Spre

marginile zonei de contact, tensiunile tangenţiale devin mai mari

decât cele normale şi deci relaţia )x()x( este îndeplinită

numai într-o zonă

)b,b(x , unde b < a.

Deci, în afara acestei zone

are loc alunecare.

Mai precis, imediat

după ce se aplică forţa

laterală F/L, alunecarea

începe de la marginea

zonei de contact, dar cele

două corpuri nu alunecă

încă unul faţă de celalalt în

totalitate, pentru că

regiunea centrală a

contactului este încă “lipită.”

Distribuţia tensiunilor în zona de contact în această situaţie poate

fi construită pe baza soluţiilor pentru cazurile cu deplasare prescrisă

(ecuaţia 9.12) şi cel cu forţă totală prescrisă (ecuaţia 9.10). În cazul

în care forţa este prescrisă, iar corpurile sunt libere să se deplaseze

relativ, ca în cazul încărcării normale, pentru )a,a(x şi al

încărcării tangenţiale, pentru )b,a(x şi )a,b(x , distribuţia

este parabolică. În cazul în care deplasarea relativă este prescrisă, ca

în cazul )b,b(x , distribuţia tensiunilor tangenţiale este dată de

ecuaţia 9.12. Situaţia este reprezentată în figura 9.7.

Figura 9.7

235

Dimensiunea, b, a zonei de contact fără alunecare se poate

determina din condiţia de normalizare a tensiunilor tangenţiale (x).

Suma lor trebuie să fie egală cu F/L, condiţie din care rezultă

P

F1ab

. (9.13)

Când forţa F creşte suficient pentru a reduce b la zero (F = P),

cele două corpuri alunecă relativ. Pentru F oricât de mic sub această

valoare critică, b > 0.

9.4. Contactul mecanic cu adeziune

Contactul adeziv are loc atunci când suprafeţele în contact au

rugozitate mică şi sunt curate. El se formează local şi în cazul

suprafeţelor rugoase, la contactul dintre asperităţi, aşa cum s-a

menţionat la § 9.1. Acest tip de contact este important, mai ales,

pentru că este atât de puternic încât ruperea lui implică smulgerea de

material din suprafaţa unuia dintre corpuri. Pentru a facilita

înţelegerea naturii acestui tip de contact, câteva noţiuni de fizica

suprafeţelor sunt utile.

Elemente de fizica suprafeţelor.

Se consideră un cristal perfect, de tipul celui din figura 9.8.a.

Liniile care unesc atomii reţelei reprezintă schematic legăturile dintre

atomii vecini, stabilite de potenţialul interatomic. Pentru a introduce

o suprafaţă de-a lungul planului A-A va trebui să se rupă toate

legăturile inter-atomice care străbat acest plan, ajungând astfel la

configuraţia din figura 9.8.b.

Este evident că un atom aflat

în planul suprafeţei are un număr

mai mic de legături cu vecinii

decât un atom din planul următor

sau unul din interiorul cristalului

perfect. Astfel, energia lui (suma

energiei de interacţiune cu

vecinii) va fi diferită de cea a

atomilor din planul secundar. Această diferenţă de energie se

defineşte ca “energie de suprafaţă” pe unitatea de arie a suprafeţei şi

Figura 9.8

236

se notează, de obicei, cu . Această mărime se măsoară în J/m2 şi are

valori tipice în jurul a 1 J/m2. În solide, ea este de cele mai multe ori

neglijată, în timp ce în lichide ea joacă un rol important.

Pe baza acestei mărimi se poate defini “tensiunea superficială”

ca fiind variaţia energiei suprafeţei cu aria. Cum energia totală a unei

regiuni de suprafaţă A este E = A, tensiunea superficială se poate

defini ca

A

AA

E

. (9.14)

Primul termen arată variaţia energiei prin simplul fapt că se

“adaugă” suprafaţa, în timp ce al doilea reprezintă variaţia energiei

asociată cu “întinderea” suprafeţei existente. Pentru a înţelege

diferenţa dintre cei doi termeni, se notează, ca în cazul lichidelor,

. Aceasta pentru că mărirea suprafeţei unui lichid implică

aducerea de noi atomi la suprafaţă, în timp ce legăturile dintre ei nu

sunt deformate, atomii în starea lichidă având suficientă mobilitate

pentru a se acomoda deformaţiilor impuse, rearanjându-se. Într-un

solid, atunci când suprafaţa (împreună cu întregul corp) este întinsă,

nu se aduc noi atomi pentru a participa la mărirea ariei suprafeţei, ci

legăturile inter-atomice dintre atomii de la suprafaţă sunt

distorsionate.

Un efect secundar, care apare atunci când se creează o suprafaţă,

este “relaxarea” distanţei inter-atomice dintre primul şi al doilea strat

atomic. Dimensiunea a din figura 9.8.b este diferită de a0 din figura

9.8.a. În ceea ce priveşte discuţia de faţă, acest efect este însă

secundar.

Adeziunea se poate explica pe baza figurii 9.8.b. Atunci când

două suprafeţe de tipul celor din această figură sunt aduse în

apropiere ele vor căuta să re-formeze legăturile interatomice libere.

Va apare astfel o atracţie care este “resimţită” la distanţe mult mai

mari decât a0. Odată aduse în contact, este practic imposibil de a mai

separa cele două corpuri, exact de-a lungul aceluiaşi plan A-A.

Pentru ca adeziunea să se facă simţită, suprafeţele trebuie să fie

suficient de curate. Suprafeţele expuse la mediu, chiar şi cele puţin

rugoase, sunt acoperite cu oxizi şi / sau compuşi moleculari, în

principal hidrocarbonaţi, din mediu.

237

În tehnologia modernă, în MEMS (micro-electro-mechanical

systems) sau în NEMS (nano-electro-mechanical systems) şi structuri

la scara nano, adeziunea este o problemă serioasă. Un element mobil

al unui MEMS, cum ar fi o membrană sau o bară suspendată, având

rol de rezonator sau de senzor balistic, odată ce intră în contact cu

unul din pereţii structurii, este imposibil de dezlipit şi întreg sistemul

este compromis.

Microscopul cu forţă atomică (AFM – atomic force microscope)

funcţionează pe baza acestei forţe de interacţiune, care duce la

aderarea suprafeţelor. Acest aparat, care funcţionează, în principiu,

ca un profilometru, are un vârf foarte ascuţit care este ţinut la o

distanţă dată de suprafaţă, prin sesizarea proximităţii ei. Dacă vârful

este prea aproape de suprafaţă, forţele de adeziune îl trag spre

aceasta, iar dacă este prea departe, elementul elastic care îl susţine se

relaxează. Astfel, se poate folosi o buclă de control care ţine vârful la

o distanţă de câţiva nanometri de suprafaţă, în timp ce aceasta se

deplasează lateral. Rezultatul este o imagine a suprafeţei.

Soluţia JKR.

Contactul a două corpuri elastice ale căror suprafeţe

interacţionează şi prin forţe de adeziune a fost studiat de Johnson,

Kendall şi Roberts [11]. Soluţia lor (soluţia JKR) este o extensie a

soluţiei Hertz, în care zona de contact arată ca în figura 9.9. Aici

corpurile vin în contact pe zona )a,a(x , aşa cum este prescris

prin soluţia Hertz, dar şi într-un inel de lăţime aad imediat în afara

zonei de contact Hertz.

Figura 9.9 Figura 9.10

238

Această zonă suplimentară de contact apare datorită forţelor de

adeziune. Practic acestea duc la deformarea locală a celor două

corpuri, astfel încât suprafaţa de contact creşte.

Dimensiunea zonei de contact, a*, variază cu forţa aplicată, P, ca

în figura 9.10. Cu linie întreruptă s-a reprezentat relaţia a-P pentru

contactul de tip Hertz. În soluţia JKR, cele două corpuri

intră în contact chiar şi fără ca nici o forţă să fie aplicată (P = 0).

Aceasta se numeşte “salt în contact” şi se datorează forţelor de

adeziune. Când se încearcă “ruperea” unui contact existent, nu este

suficient să se elimine forţa externă P (de compresiune), ci trebuie să

se aplice o forţă de tracţiune cu valoarea Pad.

Cele două mărimi caracteristice, Pad şi aad, sunt calculate în teoria

JKR şi au expresiile

R3Pad , (9.15) 3/1

2

ad*E4

R9a

, (9.16)

unde este energia de suprafaţă. Pentru 0 , se regăseşte soluţia

lui Hertz. Se poate vedea de asemenea că 3/1

adad

P

P

a

a

. (9.17)

9.5. Uzura

Motivaţia principală pentru care se studiază contactul corpurilor

solide provine din încercarea de a înţelege uzura. Uzura nu este un

singur proces, ci mai multe procese care se desfăşoară independent

sau în diferite combinaţii. Acestea includ nu numai procesele de tip

mecanic, descrise mai sus, ci şi procese chimice şi termice. Deşi

elementul principal al acestora este totuşi cel mecanic, în sensul că

fără contact şi fără o forţă de frecare uzura nu poate avea loc,

celelalte procese implicate joacă un rol important.

La ora actuală nu există o teorie unitară a fenomenelor implicate

în uzură şi nici o modalitate de a prezice valoarea coeficientului de

frecare, sau rata de uzură, pornind numai de la geometria, încărcarea

şi chimia suprafeţelor. Cunoaşterea stării de tensiuni din zona de

contact este insuficientă pentru a evalua uzura. Aceasta se datorează

239

în principal faptului că teoria corpului solid nu include criterii de

cedare a materialului (rupere, localizare a deformaţiei plastice, etc).

Din acest motiv singurele relaţii folosite pentru a prezice rata de

uzură, w (volumul de material îndepărtat pe unitatea de distanţă de-a

lungul direcţiei de mişcare relativă a celor două corpuri), sunt pur

empirice. O relaţie frecvent folosită, în cazul în care vitezele relative

sunt mici, este ecuaţia Archard:

H

PKw , (9.18)

unde P este forţa transmisă prin zona de contact, iar H este duritatea

suprafeţei (hardness). Constanta K se numeşte coeficientul de uzură

adimensional. Se poate defini şi un coeficient de uzură dimensional,

k, astfel încât

w = kP, (9.19)

unde k = K/H şi se măsoară în mm3/Nm. Exemple de valori ale lui k

sunt: 7x10-3

pentru oţel carbon pe oţel carbon, 10-4

pentru oţel de

scule pe oţel de scule, 1.7x10-5

pentru oţel inoxidabil pe oţel

inoxidabil.

Există mai multe mecanisme de uzură care sunt discutate în

tratatele de specialitate [3]. Aici se va menţiona numai faptul că, în

funcţie de valoarea forţei P şi de viteza relativă a corpurilor în

contact, v, un mecanism sau altul este dominant. De exemplu, pentru

oţel pe oţel, la P şi v mici (v < 0.1 m/s), mecanismul dominant este

uzura adezivă. Acest tip de uzură a fost descris mai sus şi implică

formarea şi ruperea zonelor microscopice de adeziune formate între

vârfurile asperităţilor care vin în contact direct. La forţe mici şi viteze

mari (v > 1 m/s), suprafaţa se oxidează. Oxizii sunt în general fragili

şi se exfoliază uşor. La forţe şi viteze mari se degajează o cantitate

importantă de căldură, ceea ce poate duce la topirea locală a

materialului şi deci la uzură pronunţată. Atunci când forţa de contact

este suficient de mare încât materialul curge plastic în zona de sub

suprafaţa de contact, uzura este de asemenea foarte pronunţată.

Bibliografie

1. Johnson, K.L., Contact Mechanics, Cambridge Univ. Press,

1985.

240

2. Jaeger, J., New Solutions in Contact Mechanics, Southampton,

2005.

3. Williams, J.A., Engineering Tribolog, Oxford Univ. Press,

1994.

4. Ling, F.F., Fundamentals of Surface Mechanics with

Application, Springer, 2002.

5. Suh, N.P., Tribophysics, Prentice-Hall, 1986.

6. Bushan, B. (Ed.), Fundamentals of Tribology and Bridging the

Gap Between the Macro - and Micro - / Nanoscale, Kluwer, 2001.

7. Timoshenko, S.P., Goodier, J.N., Theory of elasticity,

McGraw, 1970.

8. Nadai, A.I., Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. 2, p.

221, McGraw Hill, 1963.

9. Hertz, H., Miscellaneous Papers by H. Hertz (English

translation). Ed. By Jones and Schott, London, McMillan, 1896.

10. Dundurs, J., Effect of elastic constants on stress in a

composite under plane deformation, J. Composite Matls., Vol. 1, p.

310, 1967.

11. Johnson, K.L., Kendall, K., Roberts A.D., Surface energy

and the contact of elastic solids, Proc. Royal Soc. London, Vol.

A324, p. 301, 1971.

12. Sorohan, Şt., Constantinescu, I.N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Politehnica Press, Bucureşti, 2003.