Electromagnetism Aplicatii

of 124 /124
Corina FLUERAŞU Cezar FLUERAŞU ELECTROMAGNETISM APLICAłII.

Transcript of Electromagnetism Aplicatii

Page 1: Electromagnetism Aplicatii

Corina FLUERAŞU Cezar FLUERAŞU

ELECTROMAGNETISM

APLICAłII.

Page 2: Electromagnetism Aplicatii

PrefaŃă.

Prezenta lucrare conŃine exemple de aplicaŃii destinate cursului de Electromagnetism, predat la Facultatea de Inginerie Electrică din Universitatea Politehnică din Bucureşti. Conform noilor planuri de învăŃământ, acest curs este plasat în semestrul al doilea al anului II de studii. Lucrarea cuprinde 13 capitole, consacrate unor tipuri fundamentale de aplicaŃii din domeniul Electromagnetismului. Fiecare capitol conŃine un breviar, urmat de aplicaŃii reprezentative, dintre care cele mai multe sunt rezolvate complet. Lucrarea poate fi utilă şi specialiştilor şi studenŃilor în alte domenii ale ingineriei electrice. Prezentarea este realizată în spiritul şcolii româneşti de electrotehnică teoretică, fundamentată de acad. Remus RăduleŃ şi dezvoltată de profesorii Alexandru Timotin, Andrei ługulea, Augustin Moraru, C. I. Mocanu şi alŃii. Lucrarea nu îşi propune să se substituie unei lucrări de referinŃă – culegerea de probleme de Bazele Electrotehnicii - realizată sub îndrumarea profesorului Remus RăduleŃ în anul 1975, care rămâne un model, prin bogăŃia conŃinutului şi prin rigoarea prezentării. MulŃumim colegilor din Catedra de Electrotehnică din Universitatea Politehnică din Bucureşti, a căror colaborare, pe durata a numeroşi ani, a permis dezvoltatea unui spirit caracterizat de creativitate şi de rigoare ştiinŃifică. De asemenea, mulŃumim referenŃilor prezentei lucrări. Autorii.

Page 3: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag i

CUPRINSUL. 1 Câmpul electrostatic. .............................................................................................. 1

Breviar. ................................................................................................................................................... 1 Legea fluxului electric........................................................................................................................ 1 Teorema lui Coulomb......................................................................................................................... 1 Câmpul electric coulombian............................................................................................................... 1 PotenŃialul electric.............................................................................................................................. 2

Problema 1.1 -Câmpul unei sarcini punctuale .................................................................................. 2 Problema 1.2 -Câmpul produs de două sarcini punctuale................................................................. 3 Probleme propuse 1.3.............................................................................................................................. 3 Problema 1.4 -Câmpul unui fir rectiliniu.......................................................................................... 4 Problema 1.5 -Câmpul unui fir semicircular..................................................................................... 5 Problema 1.6 -Câmpul pe axa unui fir circular................................................................................. 6 Problema 1.7 -Câmpul pe axa unei coroane circulare ...................................................................... 6 Problema 1.8 -Câmpul unui plan infinit extins ................................................................................. 8 Problema 1.9 -Câmpul unui dublu strat de sarcini............................................................................ 9 Problema 1.10 -Câmpul unei sfere încărcate uniform în volum ....................................................... 10 Problema 1.11 -Câmpul unui fir infinit lung .................................................................................... 11 Problema 1.12 -Câmpul unui cilindru încărcat în volum.................................................................. 12 Problema 1.13 -Câmpul unei coaje sferice ....................................................................................... 13 Problema 1.14 -Câmpul unei coaje cilindrice................................................................................... 14 Problema 1.15 -Câmpul într-o cavitate sferică ................................................................................. 15 Problema 1.16 -Câmpul într-o cavitate cilindrică............................................................................. 16

2 Calculul capacităŃilor şi forŃelor electrostatice .................................................. 17 Breviar. ................................................................................................................................................. 17

Capacitatea electrică......................................................................................................................... 17 Energia electrostatică. ...................................................................................................................... 17 ForŃe electrostatice. .......................................................................................................................... 17

Problema 2.1 -Capacitatea condensatorului plan........................................................................... 17 Problema 2.2 -Capacitatea condensatorului cilindric ..................................................................... 18 Problema 2.3 -Capacitatea condensatorului sferic.......................................................................... 19 Problema 2.4 -Condensator plan cu dielectric neomogen............................................................... 19 Problema 2.5 -Condensator plan stratificat..................................................................................... 20 Problema 2.6 -ForŃa asupra unei plăci conductoare într-un condensator plan ................................ 21 Problema 2.7 -ForŃa asupra unui bloc paralelipipedic într-un condensator plan............................. 21 Problema 2.8 -ForŃa dintre un plan şi un semiplan ......................................................................... 22 Problema 2.9 -ForŃa dintre o prismă triunghiulară şi un plan(1)..................................................... 22 Problema 2.10 -ForŃa dintre o prismă triunghiulară şi un plan(2)..................................................... 23 Problema 2.11 -ForŃa dintre două plăci coplanare ............................................................................ 24 Problema 2.12 -ForŃa dintre două semiplane în unghi ...................................................................... 24 Problema propusă 2.13.......................................................................................................................... 25 Problema propusă 2.14.......................................................................................................................... 25

3 ReŃele de condensatoare ....................................................................................... 26 Breviar. ................................................................................................................................................. 26

CapacităŃi echivalente. ..................................................................................................................... 26 Problema 3.1 ......................................................................................................................................... 26 Problema 3.2 ......................................................................................................................................... 26 Problema 3.3 ......................................................................................................................................... 27 Problema 3.4 ......................................................................................................................................... 28 Problema 3.5 ......................................................................................................................................... 28 Problema 3.6 ......................................................................................................................................... 29

4 Metoda imaginilor electrice ................................................................................. 30 Breviar. ................................................................................................................................................. 30

CondiŃia de echilibru electrostatic în conductoare. .......................................................................... 30 Principiul metodei imaginilor electrice. ........................................................................................... 30 RelaŃiile lui Maxwell pentru capacităŃi............................................................................................. 30

Page 4: Electromagnetism Aplicatii

Pag ii

Problema 4.1 -Imaginea unei sarcini faŃă de un conductor plan ..................................................... 30 Problema 4.2 -Imaginile a două sarcini faŃă de un plan.................................................................. 31 Problema 4.3 -Imaginile unei sarcini între două plane conductoare ............................................... 32 Problema 4.4 -Imaginile unei sarcini dintr-un diedru drept............................................................ 32 Problema 4.5 -Capacitatea în serviciu a unei linii bifilare (1) ........................................................ 33 Problema 4.6 -Capacitatea în serviciu a unei linii bifilare (2) ........................................................ 34 Problema 4.7 -Capacitatea în serviciu a unei linii bifilare (3) ........................................................ 35 Problema 4.8 -Capacitatea în serviciu a unui cablu bifilar ecranat................................................. 37 Problema 4.9 -Imaginea unei sarcini faŃă de o sferă (1) ................................................................. 37 Problema 4.10 -Imaginea unei sarcini faŃă de o sferă (2) ................................................................. 38 Problema 4.11 -Sarcină electrică sub o cupolă semisferică .............................................................. 39 Problema 4.12 -Sarcină electrică deasupra unei cupole semisferice................................................. 39

5 Metoda separării variabilelor .............................................................................. 41 Breviar. ................................................................................................................................................. 41

EcuaŃiile lui Poisson şi Laplace pentru potenŃialul electrostatic....................................................... 41 Principiul metodei separării variabilelor. ......................................................................................... 41

Problema 5.1 -EcuaŃia lui Laplace în coordonate carteziene plane(1)............................................ 41 Problema 5.2 -EcuaŃia lui Laplace în coordonate carteziene plane(2)............................................ 43 Problema 5.3 -EcuaŃia lui Laplace în coordonate carteziene plane(3)............................................ 44 Problema 5.4 -EcuaŃia lui Laplace în coordonate polare(1)............................................................ 44 Problema 5.5 -EcuaŃia lui Laplace în coordonate polare(2)............................................................ 47 Problema 5.6 -EcuaŃia lui Laplace în coordonate carteziene 3D .................................................... 50

6 FuncŃii de variabilă complexă.............................................................................. 52 Breviar. ................................................................................................................................................. 52

FuncŃiuni analitice de variabilă complexă. ....................................................................................... 52 Utilizarea metodei funcŃiunilor de variabilă complexă pentru determinarea câmpurilor electrostatice plan-paralele. .................................................................................................................................... 52

Problema 6.1 -FuncŃiunea W=Az ................................................................................................... 52 Problema 6.2 -FuncŃiunea W=A(z-a2/z) ......................................................................................... 53 Problema 6.3 -FuncŃiunea W=C lnz ............................................................................................... 54 Problema 6.4 -FuncŃiunea W=jG lnz .............................................................................................. 55 Problema 6.5 -FuncŃiunea W=jAln[(z+a)/(z-a)] ............................................................................. 56 Problema 6.6 -FuncŃiunea W=A argch(z/c) .................................................................................... 58

7 Transformări conforme........................................................................................ 59 Breviar. ................................................................................................................................................. 59

Transformări conforme. ................................................................................................................... 59 Utilizarea metodei transformărilor conforme pentru determinarea câmpurilor electrostatice plan-paralele. ............................................................................................................................................ 59

Problema 7.1 -Câmpul la marginea unui condensator plan ............................................................ 60 Problema 7.2 -Câmpul deasupra unui planşeu conductor cu o treaptă ........................................... 65 Problema 7.3 -Câmpul în zona frontală a unui întrefier ................................................................. 67 Problema 7.4 -Câmpul într-un intrefier în trepte ............................................................................ 68 Problema 7.5 -Câmpul într-un întrefier cu crestături ...................................................................... 70

8 ReŃele de curent continuu..................................................................................... 73 Breviar. ................................................................................................................................................. 73

Teoremele lui Kirchhoff pentru reŃelele de curent continuu. ........................................................... 73 Metoda curenŃilor ciclici pentru reŃelele de curent continuu. ........................................................... 73 Metoda potenŃialelor la noduri pentru reŃelele de curent continuu. .................................................. 73 Metoda de echivalenŃă pentru reŃelele de curent continuu. .............................................................. 74

Problema 8.1 ......................................................................................................................................... 75 Problema 8.2 ......................................................................................................................................... 77 Problema 8.3 ......................................................................................................................................... 79 Problema 8.4 ......................................................................................................................................... 81 Problema 8.5 ......................................................................................................................................... 83 Problema 8.6 ......................................................................................................................................... 84 Problema 8.7 ......................................................................................................................................... 86 Problema 8.8 ......................................................................................................................................... 87 Problema 8.9 ......................................................................................................................................... 87 Problema 8.10 ....................................................................................................................................... 88

Page 5: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag iii

Problema 8.11 ....................................................................................................................................... 88 Problema 8.12 ....................................................................................................................................... 89 Problema 8.13 ....................................................................................................................................... 89 Problema 8.14 ....................................................................................................................................... 90 Problema 8.15 ....................................................................................................................................... 90 Problema 8.16 ....................................................................................................................................... 90 Problema 8.17 ....................................................................................................................................... 91

9 Câmpul magnetic staŃionar.................................................................................. 92 Breviar. ................................................................................................................................................. 92

Teorema lui Ampère......................................................................................................................... 92 Teorema Biot-Savart-Laplace. ......................................................................................................... 92

Problema 9.1 -Câmpul magnetic al unui fir infinit lung ................................................................. 92 Problema 9.2 -Câmpul magnetic al unui conductor cilindric ......................................................... 92 Problema 9.3 -Câmpul magnetic al unui conductor tubular ........................................................... 93 Problema 9.4 -Câmpul magnetic al unui cablu ecranat .................................................................. 94 Problema 9.5 -Câmpul magnetic al unei linii bifilare ..................................................................... 95 Problema 9.6 -Câmpul magnetic al unui ecran cilindric................................................................. 95 Problema 9.7 -Câmpul magnetic al unei spire plane (1)................................................................. 96 Problema 9.8 -Câmpul magnetic al unei spire plane (2)................................................................. 96 Problema 9.9 -Câmpul magnetic pe axa unei spire......................................................................... 97 Problema 9.10 -Câmpul unei bobine pe carcasă sferică ................................................................... 98 Problema 9.11 -Câmpul unei spirale plane ....................................................................................... 98 Problema 9.12 -Câmpul unui segment de conductor rectiliniu......................................................... 99 Problema 9.13 -Câmpul unei spire patrate...................................................................................... 100 Problema 9.14 -Câmpul pe axul unei bobine.................................................................................. 101

10 InductivităŃi. .................................................................................................... 102 Breviar. ............................................................................................................................................... 102

InductivitatăŃi proprii şi mutuale. ................................................................................................... 102 Problema 10.1 -Inductivitatea proprie a unei bobine toroidale....................................................... 102 Problema 10.2 -Inductivitatea unei bobine în cavitate.................................................................... 103 Problema 10.3 -Inductivitatea unei bobine între două ecrane......................................................... 103 Problema 10.4 -Inductivitatea unei bobine pe un tor ...................................................................... 104 Problema 10.5 -Inductivitatea unei linii bifilare ............................................................................. 104 Problema 10.6 -Inductivitatea interioară a unui conductor............................................................. 105 Problema 10.7 -Inductivitatea mutuală dintre un conductor rectiliniu şi un cadru dreptunghiular. 105 Problema 10.8 -Inductivitatea mutuală dintre un conductor rectiliniu şi un cadru triunghiular (1).106 Problema 10.9 -Inductivitatea mutuală dintre un conductor rectiliniu şi un cadru rombic. ............ 107 Problema 10.10 -Inductivitatea mutuală dintre două linii bifilare. .............................................. 107 Problema 10.11 -Inductivitatea mutuală dintre două spire coaxiale. ........................................... 108 Problema 10.12 -Inductivitatea unui electromagnet .................................................................... 108 Problema 10.13 -Inductivitatea de dispersie într-o crestătură ...................................................... 109 Problema propusă10.14-Inductivitatea mutuală dintre un conductor rectiliniu şi un cadru triunghiular (2)........................................................................................................................................................ 110 Problema propusă 10.15-Inductivitatea mutuală dintre un conductor rectiliniu şi o spiră circulară. .. 110

11 ForŃe şi circuite magnetice. ............................................................................ 112 Breviar. ............................................................................................................................................... 112

PermeanŃa şi reluctanŃa magnetică. ................................................................................................ 112 Teoremele lui Kirchhoff pentru circuitele magnetice..................................................................... 112 Teoremele forŃelor generalizate în câmpuri magnetice. ................................................................. 112

Problema 11.1 -ForŃa asupra unui conductor dintr-o nişă feromagnetică triunghiulară ................. 112 Problema 11.2 -ForŃa asupra unui conductor dintr-o nişă feromagnetică rectangulară .................. 113 Problema 11.3 -ForŃele dintre conductoarele unei linii bifilare ...................................................... 114 Problema 11.4 -ForŃa portantă a unui electromagnet (1) ................................................................ 114 Problema 11.5 -ForŃa portantă a unui electromagnet (2) ................................................................ 115 Problema 11.6 -Circuit magnetic C+T............................................................................................ 115 Problema 11.7 -Circuit magnetic E+I ............................................................................................. 116 Problema 11.8 -Circuit magnetic C+I............................................................................................. 117 Problema 11.9 -Electromagnetic de c.c. cu clapetă ........................................................................ 117 Problema 11.10 -Circuit magnetic E+I ........................................................................................ 118 Problema 11.11 -Circuit magnetic cu trei coloane....................................................................... 119

Page 6: Electromagnetism Aplicatii

Pag iv

Problema 11.12 -Electromagnet C+I ........................................................................................... 120 12 Linii electrice lungi. ........................................................................................ 121

Breviar. ............................................................................................................................................... 121 Parametrii liniilor electrice lungi:................................................................................................... 121 EcuaŃiile linilor electrice lungi. ...................................................................................................... 121 Linia fără pierderi (Rl=0, Gl=0):.................................................................................................... 121 Linii lungi în regim permanent sinusoidal...................................................................................... 122

Problema 12.1 -Parametrii unei linii monofazate ........................................................................... 123 Problema 12.2 -Propagarea pe o linie închisă pe un rezistor .......................................................... 124 Problema 12.3 -Propagarea pe joncŃiunea dintre două linii ............................................................ 125 Problema 12.4 -Decuplarea unei linii lungi de la altă linie............................................................. 126 Problema 12.5 -Cuplarea unei linii lungi la altă linie ..................................................................... 127 Problema 12.6 -Linii lungi cuplate printr-un rezistor în serie......................................................... 128 Problema 12.7 -Linii lungi cuplate printr-un rezistor în paralel ..................................................... 129 Problema 12.8 -Descărcător montat pe o linie lungă ...................................................................... 131 Problema 12.9 -Linii lungi cuplate printr-o bobină în serie............................................................ 132 Problema 12.10 -Linii lungi cuplate printr-un condensator în paralel ......................................... 134 Problema 12.11 -Cuplarea unei linii la o bobină în serie cu o linie ............................................. 136 Problema 12.12 -Cuplarea unei linii la o altă linie cu un condensator în paralel (1) .................. 138 Problema 12.13 -Cuplarea unei linii la o altă linie cu un condensator în paralel (2) .................. 139

13 Câmpul electromagnetic variabil în conductoare........................................ 141 Breviar. ............................................................................................................................................... 141

EcuaŃiile fundamentale. .................................................................................................................. 141 EcuaŃiile fundamentale în regim armonic....................................................................................... 141 Adâncimea de pătrundere a câmpului electromagnetic armonic. ................................................... 141 Puterea activă disipată în conductoare: .......................................................................................... 141

Problema 13.1 -Câmpul electromagnetic într-o tolă....................................................................... 141 Problema 13.2 -Efectul pelicular într-o tolă (1).............................................................................. 143 Problema 13.3 -Efectul pelicular într-o tolă (2)-Metoda iteraŃiei ................................................... 145 Problema 13.4 -Efectul pelicular într-o tolă (3)-Metoda adâncimii de pătrundere ......................... 146 Problema 13.5 -Efectul pelicular în conductorul cilindric circular (1) ........................................... 147 Problema 13.6 -Efectul pelicular în conductorul cilindric circular (2)-Metoda iteraŃiei................. 149 Problema 13.7 -Efectul pelicular în conductorul cilindric circular (3)-Metoda adâncimii de pătrundere ................................................................................................................................ 151 Problema 13.8 -Efectul pelicular într-o bară dintr-o crestătură ...................................................... 152

Page 7: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 1

1 Câmpul electrostatic.

Breviar. În acest capitol sunt propuse probleme de determinare a câmpurilor electrostatice în structuri simple, care permit utilizarea metodelor elementare, bazate pe formele integrale ale legilor câmpului electromagnetic.

Legea fluxului electric.

Fluxul electric printr-o suprafaŃă închisă este proporŃional cu sarcina electrică localizată în interiorul acelei suprafeŃe.

Fig. B1.1 Legea fluxului electric

qΣ=∫Σ

DdA (B1.1)

qΣ ΣΨ = (B1.2)

Teorema lui Coulomb.

Fig. B1.2 Teorema lui Coulomb

1 2 1 2 1212 21 12 2 3

0 12 0 12

1 1

4 4πε πε= − = =

q q q q

R R

RF F u (B1.3)

Câmpul electric coulombian.

Câmpul electric al unei sarcini electrice punctuale, situată în vid:

2 3

1 1

4 4R

q q

R Rπε πε= =u

RE (B1.4)

Câmpul electrostatic al unor distribuŃii ale sarcinii electrice :

Fig. B1.3 RelaŃia fundamentală a teoriei

coulombiene a câmpului electrostatic în vid.

3 30

1 1

4 4k

k

q q

R R

δπε πε

= +∑ ∫k

k

E R R (B1.5)

δq R E

qk

Rk

q1 q2

F12 F21

R12

dA

Σ

D

Page 8: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul electrostatic.

Pag 2

PotenŃialul electric.

0

0( ) ( )P

P

V P V P d= − ∫ E l (B1.6)

PotenŃialul câmpului unei distribuŃii de sarcini electrice situate în întregime la distanŃă finită:

1 1

4 4

δδ

πε πε= = +∑ ∑ ∫k

k k

q qV V

R Rk

k

(B1.7)

Problema 1.1 -Câmpul unei sarcini punctuale Să se determine variaŃia intensităŃii câmpului electric şi a potenŃialului produs de o sarcină punctuală (+q) în funcŃie de distanŃa R până la sarcina respectivă. Rezolvare. În conformitate cu formula (B.1.4), spectrul intensităŃii câmpului electric produs de o sarcină punctuală este radial, iar modulul variază direct proporŃional cu q şi invers proporŃional cu R2. PotenŃialul se calculează cu expresia (B.1.6), unde P0 este un punct arbitrar ales, pentru care valoarea potenŃialului se alege referinŃă.

Fig.1.1 Calculul potenŃialului

electric produs de o sarcină +q.

În cazul formulei (B.1.6), potenŃialul nedepinzând de parcursul ales, vom alege o curbă în lungul căreia să se poată calcula uşor produsul scalar E dl. Conform fig. 1.1, traseul P0P va fi format din P0A şi AP. P0A este un arc de cerc unde E⊥⊥⊥⊥dl , deci E dl=0 şi porŃiunea rectilinie AP unde Edl =Edl (deoarece cei doi vectori sunt paraleli). Deoarece pe porŃiunea AP, dl=dR expresia (B.1.6) devine:

0

00 0 0 0

1 1 1) ( ) ( )

4 4 4

R

0 2R

q dR q qV(P)=V(P V P K

R R R Rπε πε πε− = + − = +∫ (1.1)

De obicei, punctul de referinŃă în care potenŃialul este considerat nul se alege la infinit. Prin urmare, se obŃine expresia :

0

1

4

qV(R)=

Rπε (1.2)

Fig. 1.1.a VariaŃia intensităŃii câmpului electric

E şi a potenŃialului produs de o sarcină +q.

q

P0(R0)

P(R) A

dl

dl

+

+

V

E e

Page 9: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 3

Problema 1.2 -Câmpul produs de două sarcini punctuale. Să se studieze cum variază E şi V de-a lungul direcŃiei ce uneşte două sarcini punctuale încărcate cu (+q). DistanŃa dintre cele două sarcini este (2d).

Fig. 1.2 VariaŃia

intensităŃii câmpului electric şi a potenŃialului produs de două sarcini pozitive de-a lungul direcŃiei ce le uneşte.

Rezolvare. În fig. 1.2 se disting trei zone de-a lungul direcŃiei ce uneşte cele două sarcini. Pentru calculul vectorului intensitate a câmpului electric este necesară adoptarea unui versor de referinŃă al acestei direcŃii (e). De asemenea se va considera punctul de referinŃă necesar stabilirii distanŃelor geometrice în punctul în care este plasată sarcina q1. Rezolvarea se va face cu ajutorul superpoziŃiei (materialele fiind presupuse liniare). łinând seama de aceste considerente, expresia vectorului intensitate a câmpului electric pentru un punct curent caracterizat de distanŃa R faŃă de poziŃia sarcinii q1 (Ńinând seama de contribuŃia celor două sarcini q1 şi q2) pentru zonele I , II şi III sunt respectiv expresiile :

[ ] 1 22 2

1

4 ( 2 )

q qE

R R dπε

= + + I

0

E e = - e (1.3)

[ ] 1 22 2

1

4 (2 )

q qE

R d Rπε

= − − II

0

E e = e (1.4)

[ ] 1 22 2

1

4 ( 2 )

q qE

R R dπε

= + − III

0

E e = e (1.5)

Expresiile corespunzătoare pentru potenŃial, în cele trei zone sunt:

1 21

4 2

q qV

R d Rπε

+

+ I

0

= (1.6)

1 21

4 2

q qV

R d Rπε

+

− II

0

= (1.7)

1 21

4 2

q qV

R R dπε

+ −

III

0

= (1.8)

Probleme propuse 1.3 1- Aceaşi configuraŃie ca în cazul problemei (1.2), numai că q1 = q2 = -q. 2- Aceaşi configuraŃie ca în cazul problemei (1.2), numai că q1 = -q2 = q. 3- Aceaşi configuraŃie ca în cazul problemei (1.2), numai că -q1 = q2 = q

q1

I II III

q2 2d

+ +

e

V

E

Page 10: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul electrostatic.

Pag 4

4- Să se calculeze intensitatea câmpului electric într-un punct situat în zona III la o distanŃă „d” de poziŃia sarcinii q2. Aceaşi configuraŃie ca în cazul problemei 1.3.1.

5- Să se calculeze intensitatea câmpului electric într-un punct situat în zona III la o distanŃă „d” de poziŃia sarcinii q2. Aceeaşi configuraŃie ca în cazul problemei 1.3.2

6- Să se calculeze intensitatea câmpului electric într-un punct situat în zona III la o distanŃă „d” de poziŃia sarcinii q2. Aceeaşi configuraŃie ca în cazul problemei 1.3.3

7- Să se calculeze intensitatea câmpului electric într-un punct situat în zona I la o distanŃă „d” de poziŃia sarcinii q1. Aceeaşi configuraŃie ca în cazul problemei 1.3.1.

8- Să se calculeze intensitatea câmpului electric într-un punct situat în zona I la o distanŃă „d” de poziŃia sarcinii q1. Aceeaşi configuraŃie ca în cazul problemei 1.3.2

9- Să se calculeze intensitatea câmpului electric într-un punct situat în zona I la o distanŃă „d” de poziŃia sarcinii q1. Aceaşi configuraŃie ca în cazul problemei 1.3.3

10- Să se calculeze intensitatea câmpului electric într-un punct situat în vârful unei piramide drepte de înălŃime „d”. Baza piramidei este un pătrat şi în fiecare vârf al pătratului se află câte o sarcină q

11- Să se calculeze intensitatea câmpului electric într-un punct situat în vârful unei piramide drepte de înălŃime „d”. Baza piramidei este un pătrat şi în fiecare vârf al pătratului se află câte o sarcină –q. Fig. 1.3

Problema 1.4 -Câmpul unui fir rectiliniu Să se calculeze intensitatea câmpului electric produs în vid de un fir infinit lung încărcat cu o distribuŃie lineică a sarcinii electrice (ρl) într-un punct situat la distanŃa (a) de fir.

Fig. 1.4 Intensitatea câmpului electric

produs de un fir, infinit extins şi încărcat cu +ρl.

Rezolvare. Vectorul elementar dEv produs de un element de sarcină dq (aflat în elementul de lungime dl, unde dq=ρldl ) în punctul M este dat de expresia:

30

1

4

dqd

Rπε=vE R (1.9)

Vectorul câmpului Ev produs în punctul M de firul încărcat cu ρl este dat de expresia:

30

1

4l

C

dl

R

ρπε

= ∫vE R (1.10)

Acest vector se descompune pe cele două componente ale sale (Evn şi Evt ), date de expresiile:

30

1

4l

n

C

dlE R

R

ρπε

= ∫vn (1.11)

a

α2

α1

R

dEvt dEv

M dEvn

dl

ρl

Page 11: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 5

30

1

4l

t

C

dlE R

R

ρπε

= ∫vt (1.12)

Se pot observa relaŃiile:

2sin sin

t n

a a l asin = R ctg dl d

R aR l actg R a

α α αα α

α

= = = −

= = = (1.13)

łinând seama de aceste relaŃii, Evn are expresia:

2 10 0

sin (cos cos )4 4

2

1

l l

-

E da a

α

π α

ρ ρα α α α

πε πε= − = +∫vn (1.14)

iar Evt are expresia:

1 20 0

cos (sin sin )4 4

2

1

l l

-

E da a

α

π α

ρ ρα α α α

πε πε= − = −∫vt (1.15)

Cazuri particulare:

a) punctul M se află pe mediatoarea firului ( 21α α α= = )

0

cos ; 02

ρα

πε= =l

vtE Eavn (1.16)

b) firul este infinit lung ( 2 01α α= = )

0

; 02

ρπε

= =lvtE E

avn (1.17)

Se observă că la firul infinit lung câmpul electric este plan paralel, modulul lui depinzând de distanŃă, iar vectorul intensitate a câmpului electric este perpendicular pe direcŃia firului.

c) punctul M se află la unul din capetele firului ( 2;2

πα α α= =1 )

0 0

cos ; (1 sin )4 4

ρ ρα α

πε πε= = −l l

vtE Ea avn (1.18)

Problema 1.5 -Câmpul unui fir semicircular. Să se calculeze intensitatea câmpului electric produs de un fir sub formă de semicerc cu raza a, încărcat uniform cu ρl , în centrul semicercului.

Fig. 1.5 Câmpul electric produs de un

fir semicircular, încărcat uniform cu sarcină electrică

Rezolvare. Datorită simetriei figurii, se observă că acest câmp nu va avea decât componenta Ey , elementele componentei Ex anulându-se reciproc.

30

1cos sin

4l

x y

C

dlunde dl ad R a R a R a

R

ρθ θ θ

πε= = = = − = −∫vE R (1.19)

x

y

R

dEv

dEvy

dEvx

ρl dl

a

Page 12: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul electrostatic.

Pag 6

30 0 0

cos0

4 4l l

x

C

adR d

a a

πρ ρθ θθ

πε πε= = − =∫ ∫vxE (1.20)

30 0 00

sin

4 4 2l l l

y

C

adR d

a a a

πρ ρ ρθ θθ

πε πε πε= = − = −∫ ∫vyE (1.21)

Problema 1.6 -Câmpul pe axa unui fir circular Să se determine intensitatea câmpului electric şi potenŃialul într-un punct situat pe axa de simetrie a unei spire de rază (a) încărcată electric cu densitatea de linie ρl. Punctul este situat la distanŃa x de planul spirei.

Fig. 1.6 Calculul intensităŃii

câmpului electric produs de o spiră încărcată cu ρl

Rezolvare. Datorită simetriei pe care o prezintă problema, intensitatea câmpului electric va prezenta numai componenta după axa Ox, care se calculează astfel (dl = adθ ):

2

3 33 2 2 2 22 20 0 0 04 4 ( ) 2 ( )

l l lx

C

xadl xaR d

R x a x a

πρ ρ ρθ

πε πε ε= = =

+ +∫ ∫vxE (1.22)

PotenŃialul este: 2

1 12 2 2 22 20 0 0 0

1

4 4 ( ) 2 ( )

l l l

C

dl aadV

R a x x a

πρ ρ ρθπε πε ε

= = =+ +

∫ ∫ (1.23)

Dacă se calculează mai întâi potenŃialul, câmpul poate fi calculat cu expresia :

32 2 202 ( )

lx

aV xgradV E

x a x

ρε

∂= − =∂ +

E = - (1.24)

Dacă, dimpotrivă, am preferat să calculăm mai întâi intensitatea câmpului electric, potenŃialul se poate obŃine mai simplu folosind expresia :

0

3 2 22 2 2 00

1) ( )

22 ( )

Pl l

0

P x

xa aV(P)=V(P V dx

x ax a

ρ ρεε

− = ∞ + =++

∫ ∫EdR (1.25)

Problema 1.7 -Câmpul pe axa unei coroane circulare Să se determine intensitatea câmpului electric într-un punct curent pe axa de simetrie a unei coroane circulare de rază exterioară a şi rază interioară b. Coroana circulară este încărcată electric cu densitatea de suprafaŃă a sarcinii ρS. Punctul este situat la distanŃa x de planul spirei.

x

y

z

a R

dl

ρl

x

dEv

dEvx

M

Page 13: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 7

Fig. 1.7 Câmpul electric produs pe

axa de simetrie a unei coroane circulare încărcată uniform pe suprafaŃă,

Rezolvare. Datorită simetriei pe care o prezintă problema, intensitatea câmpului electric va prezenta numai componenta după axa Ox, care se calculează astfel:

2 2xR x R a dA d dρ ρ ρ θ= = + =

2

33 2 2 20 0 0

2 2 2 2 2 20 0

4 4 ( )

1

2 2

aS S

x

C b

a

S S

b

xdA dR d

R a

x x x

x x b x a

πρ ρ ρ ρθ

πε πε ρ

ρ ρε ερ

= = =+

= − = −

+ + +

∫ ∫ ∫vxE

(1.26)

Se observă următoarele cazuri limită: a) discul : a = a , b = 0 : câmpul este :

2 20

12

S x

x a

ρε

= −

+ vxE (1.27)

b) planul cu un orificiu : a = ∞ , b = b : câmpul este :

2 202

S x

x b

ρε

=+

vxE (1.28)

c) cazul planului infinit extins : a = ∞ , b = 0 : câmpul este uniform :

02Sρε

=vxE (1.29)

d) cazul spirei a = b + ε ( va trebui să se obŃină soluŃia problemei 1.6 ) Se vor considera primii doi termeni ai dezvoltărilor în serie:

1

1 1 12 1

εε ε

ε+ + −

+≃ ≃ (1.30)

( )2 2 2 2 2 2 220 0

2 2

2 2 2 20 0

2 22 2

1 11

2 2

1 1 1 11 1

2 22 11

S S

S S

x x

x b x a x b x b

x b

bbx b x bx bx b

ρ ρε ε ε

ρ ρεε εε

= − = − =

+ + + + + +

= − = − = + + ++ + +

vxE

x

y

z

R

dS

ρS

x

dEv

dEvx

M

a

b

Page 14: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul electrostatic.

Pag 8

2 22 2 2 20 0

2 2

3 32 2 2 22 20 0

1 1 11 1 1

2 21

( )

2 ( ) 2 ( )

S S

S l

bb x bx b x b

x b

x b x b

x b x b

ρ ρ εεε ε

ρ ε ρ

ε ε

= − = − + = + + + +

+

= =+ +

(1.31)

Problema 1.8 -Câmpul unui plan infinit extins Să se determine intensitatea câmpului electric şi potenŃialul produse de un plan infinit extins S, situat în vid. Planul infinit extins este paralel cu planul yOz şi este încărcat în mod uniform cu densitatea de suprafaŃă a sarcinii ρS. Rezolvare. Intensitatea câmpului electric într-un punct curent P situat la distanŃa x de plan a mai fost calculată în problema 1.7.c, unde s-a observat că E este orientat perpendicular pe suprafaŃa planului şi modulul său nu depinde de x. Deoarece problema are simetrie, se va aplica teorema lui Gauss pe o suprafaŃa închisă

1 2 3S S SΣ = ∪ ∪ a unei cutii paralelipipedice cu câte două suprafeŃe de tip S1 , S2 şi S3, ca în

fig. 1.8.

1 2 3 1

021

v

S S S S S

DdA E A qεΣ ΣΣ

Ψ = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫= DdA = DdA+ DdA+ DdA DdA (1.32)

Se poate observa că produsul scalar este : DdADdA = pe suprafaŃa S1

DdA = 0 pe suprafaŃa S2 DdA = 0 pe suprafaŃa S3

Fig. 1.8 Calculul intensităŃii

câmpului electric produs de un plan încărcat cu +ρS

łinând seama că: 0; 2S v SA E A Aρ ε ρΣ Σ= Ψ = =q

Rezultă :

0 0 02 2 2S S S

vI vII

ρ ρ ρε ε ε

= = = −vE E i E i (1.33)

PotenŃialul se va calcula cu expresia :

0

0( ) ( )P

P

V P V P − ∫= EdR (1.34)

Dacă se adoptă referinŃa potenŃialului pe suprafaŃa planului V(0) = 0, se obŃine :

y

x

z

Ev S1 S3

S2

S

ρS

A

I II

Page 15: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 9

00 0 0

00 0 0

( ) (0)2 2

( ) (0)2 2

x x xS

I

x x xS

II

xV P V EdR dx

xV P V EdR dx

ρ ρε ε

ρ ρε ε

− = − = − = −

− = − = − = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

S

0

S

0

= EdR

= EdR

(1.35)

VariaŃia lui Ev ( în raport cu versorul i ) şi cea a potenŃialului sunt reprezentate în fig. 1.8.a.

Fig. 1.8.a VariaŃia intensităŃii câmpului

electric şi potenŃialul produs de un plan înărcat cu +ρS

Problema 1.9 -Câmpul unui dublu strat de sarcini Să se determine intensitatea cîmpului electric şi potenŃialul în cele trei domenii determinate de două plane paralele infinit extinse, unul încărcat cu +ρS şi celălalt cu -ρS. DistanŃa dintre cele două plane este d .

Fig. 1.9 Calculul intensităŃii câmpului

electric produs de două plane, unul încărcat cu +ρS şi celălalt cu -ρS

Rezolvare. Rezolvarea se face uşor cu ajutorul teoremei superpoziŃiei :

În zona A : 1 20

) 02 2

Sρ ρε ε

= + = + =SA

0

E E E i(-

În zona B 1 20 0

)2 2

S Sρ ρ ρε ε ε

= + = + =SB

0

E E E i( i (1.36)

În zona C 1 20

) 02 2

Sρ ρε ε

= + = − =SC

0

E E E i(

Pentru potenŃial avem expresiile:

În zona A 1

0

0x

V(x)= V dx V− =∫1

În zona B 10 00 2 2

xS S x

V(x)= V dx Vρ ρε ε

− = −∫1 (1.37)

În zona C 10 00

02 2

d xS S

d

V(x)= V dx dx V dρ ρε ε

− − = −∫ ∫1

Rezultatele (1.36) şi (1.37) sunt prezentate în fig. 1.9.a.

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +++

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A B C

1 2

E E E

EEE

2E

+ρS -ρS

x

E

V

I II

Page 16: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul electrostatic.

Pag 10

Fig. 1.9.a VariaŃia intensităŃii câmpului

electric şi a potenŃialului produs de cele două plane unul încărcat cu +ρS şi celălalt cu -ρS.

Problema 1.10 -Câmpul unei sfere încărcate uniform în volum Să se determine potenŃialul şi intensitatea câmpului electric produs în vid de o sferă de rază (a), cu permitivitatea ε0, încărcată uniform cu o sarcină cu densitatea de volum ρV.

Fig. 1.10 Câmpul electric produs în vid

de o sferă încărcată uniform cu sarcină electrică.

Rezolvare.

Datorită simetriei, se va aplica teorema lui Gauss, suprafeŃele Σ fiind sfere concentrice cu sfera de rază a, (Σi în interiorul ei şi Σe în exteriorul ei). IntensităŃiile câmpurilor electrice pentru cele două domenii vor avea expresiile :

20

3

0 0

4

4

3 3 3

i i

i i i

i V i V iV i i

D dA E R

R R Rq E

ε π

π ρ ρρ

ε ε

Σ Σ

Σ

= =

= → = → =

∫ ∫ i

R

D dA

E u

(1.38)

20

3 33

2 20 0

4

4

3 3 3

e

e e e

e

V VV i i

e e

D dA E R

a aaq E

R R

ε π

ρ ρπρ

ε ε

Σ Σ

Σ

= =

= → = → =

∫ ∫ e

R

D dA

E u

(1.39)

Dacă vom considera originea potenŃialului la infinit (V(∞) = 0), potenŃialele în cele două domenii vor avea următoarele expresii:

a R

E V

Σi Σe

ρv Re

Ri

a

x

E V

d

1 2

A B C

Page 17: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 11

3 2 2

20 0 0

( ) ( )

( )3 3 2 6

i

i

M a

i i e

Ri Ri a

aV V V

R a

V M V d = 0+ E dR E dR E dR

a dR a RRdR

R

ρ ρ ρε ε ε

∞ ∞

= ∞ − = + =

= + = −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

E R

(1.40)

3 3

20 0

( ) ( )

3 3

e

e e

Me

e

R

V Ve

R R

V M V d = 0+ E dR

a adRE dR

R R

ρ ρε ε

∞ ∞

= ∞ − =

= = =

∫ ∫

∫ ∫

E R

(1.41)

Problema 1.11 -Câmpul unui fir infinit lung Să se determine intensitatea câmpului electric şi potenŃialul determinat de un fir infinit lung, încărcat cu ρl , cu ajutorul teoremei lui Gauss. Rezolvare. Tinând seama de rezultatul obŃinut în problema 1.4 (intensitatea câmpului electric nu are decât componentă perpendiculară pe direcŃia firului), produsul scalar DdA nu este diferit de zero decât pe suprafaŃa laterală a cilindrului.

Fig. 1.11 Calculul

intensităŃii câmpului electric şi al potenŃialului unui fir foarte lung încărcat cu +ρl.

Aplicând teorema lui Gauss pe o suprafaŃă închisă Σ a unui cilindru coaxial cu firul, care trece prin punctul curent considerat, obŃinem :

0 2l lS Sc S

D dA E R hε πΣ

= = =∫ ∫ ∫ ∫ D dA D dA+ D dA

0 02 2l V

lq h ER R

ρ ρρ

πε πεΣ = → = → = RE u (1.42)

PotenŃialul se obŃine prin integrarea în lungul conturului P0P şi are expresia :

0

0

0

( ) ( )

ln

0

0

P A B P

0 e e

P R A B

P Rl l

0 0 0

0 0B R

V P V P d V(P )- E dR E dR E dR

RdRV(P )- E dR V(P )- V(P )+

2 R 2 R

ρ ρπε πε

= − = − − =

= = =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

E R

(1.43)

Punctul P0 şi potenŃialul în acest punct pot fi alese arbitrar. Este de remarcat ca nu se poate alege originea potenŃialului la infinit. Uneori, se adoptă în mod tacit originea potenŃialului la distanŃa R0=1 faŃă de fir, încât expresia potenŃialului devine:

1

( ) lnl

0

V P2 R

ρπε

=

ρl ρl P0

A

B P

E

E

E

dl

dl

dl

Σ

Sl

Sc

Page 18: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul electrostatic.

Pag 12

Problema 1.12 -Câmpul unui cilindru încărcat în volum Să se determine intensitatea câmpului electric şi potenŃialul în cele două domenii delimitate în spaŃiu de un cilindru infinit lung, de rază a, cu permitivitatea ε0 şi încărcat în mod uniform cu o sarcină electrică cu densitatea de volum ρv . Rezolvare. Cele două domenii delimitate de cilindru sunt interiorul cilindrului şi exteriorul lui. Se va aplica teorema lui Gauss pe o suprafaŃă Σ cilindrică, coaxială cu cilindrul dat, care va trece prin punctul curent. Pentru calculul într-un punct curent Me aflat în exteriorul cilindrului, se scrie teorema lui Gauss pentru o suprafaŃă închisă Σe a unui cilindru de rază Re , coaxial cu cilindrul de rază a şi care are înălŃimea arbitrară h2. Această suprafaŃă închisă este formată din suprafaŃa laterală Sl şi suprafaŃa capacelor Sc .

Fig. 1.12 VariaŃia intensităŃii

câmpului electric şi a potenŃialului produs de un cilindru infinit extins, de rază a şi încărcat uniform cu ρv

Pentru zona exterioară cilindrului, aplicând teorema lui Gauss (Ńinând seama că produsul scalar De dA este diferit de zero numai pe suprafaŃa laterală Sl), se obŃine expresia intensităŃii câmpului electric.

0 2

2 22

20 0

2

2 2

l l

e e e

S Sc S

V VV e e

e e

D dA E R h

a aq a h E

R R

ε π

ρ ρρ π

ε ε

Σ

Σ

= = =

= → = → =

∫ ∫ ∫ ∫ e e e

R

D dA D dA+ D dA

E u

(1.44)

Analog, pentru zona din interiorul conductorului, obŃinem :

0 1

21

0 0

2

2 2

l l

i i i

S Sc S

V i V iV i i i

D dA E R h

R Rq R h E

ε π

ρ ρρ π

ε ε

Σ

Σ

= = =

= → = → =

∫ ∫ ∫ ∫ i i i

R

D dA D dA+ D dA

E u

(1.45)

Alegând pentru potenŃial originea V(M0)=V(a)=0 , se obŃine :

0

0

2 2

0 0

( ) ( )

ln2 2

e e

e

M R

e e

M a

R

V V

a

V M V M dR = 0 - E dR

a adR R

R a

ρ ρε ε

= − =

= − = −

∫ ∫

eE

(1.46)

h2

E V

Σe

Σi

ρv

a R

Page 19: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 13

0

2 20

0 0

( ) ( ) ( )2 4

i i

i

M R aV V

i i

M a R

V M V M dR = 0 - E dR RdR a Rρ ρε ε

= − = = −∫ ∫ ∫iE (1.47)

Problema 1.13 -Câmpul unei coaje sferice

O coajă sferică de grosime (b-a) şi de permitivitate ε0 este uniform încărcată cu densitatea de volum ρv a sarcinii electrice. Se cere să se determine variaŃia intensităŃii câmpului electric şi a potenŃialului în cele trei zone delimitate de coaja sferică (I în interiorul cojii, II în coajă şi III în exteriorul cojii). Rezolvare. Calculul intensităŃii câmpului electric se face cu ajutorul teoremei lui Gauss (problemă cu simetrie sferică). SuprafaŃa ΣI este o sferă, concentrică de rază curent R. łinând seama de problema 1.10, pentru EI se obŃine :

20 4

0 0I l

I I

I

D dA E R

q

ε πΣ Σ

Σ

= =

= → =

∫ ∫ ID dA

E

(1.48)

Analog pentru EII şi EIII se obŃine: 2

0

3 33 3

20

4

4( )

3 3

II Il

II

II II

vv II

D dA E R

R aq R a

R

ε π

ρρ π

ε

Σ Σ

Σ

= =

−= − → =

∫ ∫ IID dA

E

(1.49)

20

3 33 3

20

4

4 ( )( )

3 3

III III

III III

vv III

D dA E R

b aq b a

R

ε π

ρρ π

ε

Σ Σ

Σ

= =

−= − → =

∫ ∫ IIID dA

E

(1.50)

Fig. 1.13 Câmpul electric

produs de o coajă sferică încărcată uniform cu sarcină electrică.

Se observă : EI(a) = EII(a) ; EII(b) = EIII(b) Alegând pentru potenŃial V(0) = 0 , se obŃine:

I

II

III

ΣI

ΣII

ΣIII

ρv

ε0

a b R

V

E

Page 20: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul electrostatic.

Pag 14

0

0( ) ( ) 0IM R

I I I

M 00 0

V M V M =V(0)- E dR= − =∫ ∫IE dR (1.51)

0

2 2 32

0

( ) (0)

( )3 2 2

R Ra

II II

a a

v

V R V = 0 -0 -

a R aa

R

ρε

= − − =

= − + −

∫ ∫ ∫I IIE dR E dR E dR

(1.52)

00

0

2 2 3 3

0

( ) (0)

3 1( ) ( )

3 2

Ra b

III I II III

a b

b Rv

II III

a b

V R V dR - dR - dR =

= - dR E dR b a b aR

ρε

= −

− = − − − −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

E E E

E

(1.53)

Se poate verifica că VI (a) = VII(a) = 0 şi VII(b) = VIII(b)

Problema 1.14 -Câmpul unei coaje cilindrice

O coajă cilindrică de grosime (b-a), de lungime foarte mare şi cu permitivitatea ε0 este uniform încărcată cu densitatea de volum ρv a sarcinii electrice. Se cere să se determine intensitatea câmpului electric şi potenŃialul în cele trei zone delimitate de coaja cilindrică (I în interiorul cojii, II în coajă şi III în exteriorul cojii) Rezolvare. Calculul intensităŃii câmpului electric se face cu ajutorul teoremei lui Gauss (problemă cu simetrie cilindrică). SuprafaŃa ΣI este un cilindru coaxial de rază curent R. łinând seama de problema 1.12, pentru EI se obŃine :

0 2

0 0I l l

I I I I

S Sc S

I

D dA E R h

q

ε πΣ

Σ

= = =

= → =

∫ ∫ ∫ ∫ I I ID dA D dA+ D dA

E

(1.54)

Analog pentru EII şi EIII se obŃine:

0

2 22 2

0

2

( )( )

2

II l l

II

II

II II II II

S Sc S

vv II II

II

D dA E R h

R aq R a h

R

ε π

ρρ π

ε

Σ

Σ

= = =

−= − → =

∫ ∫ ∫ ∫ II II IID dA D dA+ D dA

E

(1.55)

Page 21: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 15

Fig. 1.14 Câmpul

electric produs de o coajă cilindrică încărcată uniform în volum

0

2 22 2

0

0 2

( )( )

2

II l l

III III III III

I S S

vv III III

III

D dA E R h

b aq b a h

R

ε π

ρρ π

ε

Σ

Σ

= = =

−= − → =

∫ ∫ ∫ III IIID dA D dA+

E

(1.56)

Se observă conservarea intensităŃii câmpului electric pe suprafeŃele de separaŃie: EI(a) = EII(a) ; EII(b) = EIII(b) Alegând originea potenŃialului la distanŃa (a), V(a) = 0 , se obŃine:

0

0( ) ( ) 0IM R

I I I

M a0 0

V M V M dR = V(a)- E dR= − =∫ ∫IE (1.57)

2 22

0

( ) ( ) ( ln )2 2 2

R R

vII II

a a

a R RV R V a dR = 0 - dR a

a

ρε

= − = − +∫ ∫IIE E (1.58)

2 22 2 2

0

( ) ( )

ln ( ) ln2 2 2

R b R

III II III

a a b

v

V R V a dR = 0 - dR E dR

a R R Ra b a

a b

ρε

= − − =

= − + − −

∫ ∫ ∫E E

(1.59)

PotenŃialul se conservă pe suprafeŃele de separaŃie : VI (a) = VII(a) = 0 şi VII(b) = VIII(b)

Problema 1.15 -Câmpul într-o cavitate sferică Să se calculeze intensitatea câmpului electric într-un punct P din interiorul unei cavităŃi sferice excentrice de rază ( a ) care se găseşte într-o sferă de rază ( b ) încărcată uniform cu densitatea de volum ρv şi cu permitivitatea ε0 . Rezolvare. Intensitatea câmpului electric din punctul P este suma vectorială a două câmpuri Ec şi Eg. Câmpul Ec este intensitatea câmpului electric în punctul P din interiorul unei sfere de rază b şi încărcat cu +ρv , iar Eg este intensitatea câmpului electric în acelaşi punctul P din interiorul unei sfere de rază a şi încărcat cu -ρv (problema 1.10, relaŃia 1.39).

RIII

RII

RI

III ΣIII

II ΣII

I ΣI

a

b

E V

R

ρv ε0

Page 22: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul electrostatic.

Pag 16

Fig. 1.15 Câmpul electric produs într-o

cavitate sferică dintr-un corp sferic încărcat uniform cu sarcină electrică.

1 20 03 3

v vc gO P O Pρ ρε ε

−= =

E E (1.60)

1 2 1 20 0

( )3 3

v vc g O P O P O O

ρ ρε ε

= + = − =

E E E E (1.61)

Se observă că acest câmp din interiorul cavităŃii este un câmp omogen (acelaşi în toate punctele cavităŃii), care nu depinde decât mărimea şi orientarea segmentului O1O2. În cazul particular al cavităŃii concentrice, când O1O2=0, se observă că E=0 (rezultat obŃinut în problema 1.13).

Problema 1.16 -Câmpul într-o cavitate cilindrică Să se calculeze intensitatea câmpului electric într-un punct P (oarecare) din interiorul unei cavităŃi cilindrice excentrice (de rază a ) care se găseşte într-un cilindru de rază (b) încărcat uniform cu densitatea de sarcină ρv şi cu permitivitatea ε0 .

Fig. 1.16 Câmpul electric produs într-o

cavitate cilindrică dintr-un cilindru încărcat uniform cu sarcină electrică.

Rezolvare. Intensitatea câmpului electric din punctul P este suma vectorială a două câmpuri, Ec şi Eg. Câmpul Ec este intensitatea câmpului electric (în punctul P) din interiorul unui cilindru de rază b şi încărcat cu +ρv , iar Eg este intensitatea câmpului electric (în acelaşi punctul P) din interiorul unui cilindru de rază a şi încărcat cu -ρv (problema 1.12, relaŃia 1.45).

1 20 02 2

v vc gO P O Pρ ρε ε

−= =

E E (1.62)

1 2 1 20 0

( )2 2

v vc g O P O P O O

ρ ρε ε

= + = − =

E E E E (1.63)

Se observă că acest câmp din interiorul cavităŃii este un câmp omogen (acelaşi în toate punctele cavităŃii), care nu depinde decât de mărimea şi orientarea segmentului O1O2. În cazul particular al cavităŃii coaxiale când O1O2=0 se observă că E=0 (rezultat obŃinut în problema 1.14).

P

O1 O2

b

ρv

ε0

P

O1 O2

b

ρv

ε0

Page 23: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 17

2 Calculul capacităŃilor şi forŃelor electrostatice

Breviar.

Capacitatea electrică.

Capacitatea electrică dintre două conductoare este mărimea pozitivă definită de raportul dintre sarcina unuia dintre conductoare şi diferenŃa de potenŃial dintre cele două conductoare.

1 1 2

1 2 12 21

q q q qC

V V U U U= = = =−

(B2.1)

Energia electrostatică.

Densitatea de volum a energiei electrostatice este dată de teorema energiei electromagnetice

e ew wδ δ δ= =∫D

D=0

E D E D (B2.2))

Pentru medii liniare:

ew =ED

2 (B2.3)

Energia electrostatică a unui condensator liniar este: 2 2

2 2 2e

CU qU qW

C= = = (B2.4)

ForŃe electrostatice.

• Prima teoremă a forŃelor generalizate în câmp electrostatic. ForŃa generalizată Xj care se exercită în câmpul electrostatic pe direcŃia de creştere a coordonatei generalizate xj este egală şi de semn contrar cu derivata parŃială a energiei electrostatice a sistemului în raport cu coordonata generalizată xj la sarcini constante.

ej

j q ct

WX

x=

∂= −∂

(B2.5)

• A doua teoremă a forŃelor generalizate în câmp electrostatic. ForŃa generalizată Xj care se exercită în câmpul electrostatic după direcŃia de creştere a coordonatei generalizate xj este egală cu derivata parŃială a coenergiei electrostatice a sistemului în raport cu coordonata generalizată xj la potenŃiale constante.

ej

j V ct

WX

x

=

∂=∂

(B2.6)

Problema 2.1 -Capacitatea condensatorului plan Să se calculeze capacitatea unui condensator plan, ale cărui armături sunt două suprafeŃe plane de arie A, între ele fiind un dielectric de grosime d şi de permitivitate ε.

Page 24: Electromagnetism Aplicatii

Calculul capacităŃilor şi forŃelor electrostatice

Pag 18

Rezolvare

Se aplică legea fluxului electric pe suprafaŃa Σ (Ńinându-se seama de calculul câmpului produs de un dublu strat de sarcini) şi se obŃine:

Fig. 2.1 Capacitatea unui

condensator plan

d DdA D A qΣ ΣΣ Σ

Ψ = = = ∆ = ∆∫ ∫ D A (2.1)

1 1S

q qqE D E

A A Aε ρ

ε∆

= = = = =∆

Dacă se admite câmpul uniform (se neglijează efectele de capăt), integralele se reduc la simple înmulŃiri. Tensiunea electrică dintre armături se obŃine prin integrare, şi rezultă apoi capacitatea :

2 21 1

12121 1

q d q AU d Edl Ed C C

A U d

εε

= = = = = =∫ ∫E l (2.2)

Problema 2.2 -Capacitatea condensatorului cilindric Să se calculeze capacitatea unui condensator ale cărui armături sunt doi cilindrii de raze a şi b (a<b), coaxiali şi de lungime l. Între armături se află un dielectric de permitivitate ε. Rezolvare

Se aplică legea fluxului electric pe o suprafaŃă Σ, de forma unui cilindru coaxial cu armăturile condensatorului. Se obŃine, dacă se neglijează efectele de capăt:

Fig. 2.2 Capacitatea unui

condensator cilindric

0

2 2

2 2

lat capS S

d d d D Rl q

q D qD E

Rl Rl

π

π ε πε

ΣΣ

Ψ = = + = =

= = =

∫ ∫ ∫ D A D A D A

(2.3)

Σ A

1

2

d

q1=q

q2=-q

E

l

a

R b

Σ q

- q

Page 25: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 19

2 2 2

12

1 1 1

1

12

ln2 2

2 2

ln lnl

qq dR bU d Edl

l R l a

q lC C C

b bUa a

πε πε

πε πε

= = = =

= = =

∫ ∫ ∫E l

(2.4)

unde Cl este capacitatea pe unitatea de lungime.

Problema 2.3 -Capacitatea condensatorului sferic Să se calculeze capacitatea unui condensator sferic ale cărui armături sunt două sfere metalice de grosime mică şi de raze a şi b (a<b). Dielectricul dintre armături are permitivitatea ε. Rezolvare Se aplică legea fluxului electric pe o suprafaŃă sferică concentrică cu armăturile:

Fig. 2.3 Capacitatea unui

condensator sferic

2

2 2

4

4 4

d D R q

q D qD E

R R

π

π ε πε

ΣΣ

Ψ = = =

= = =

∫ D A

(2.5)

2 2 2

12 21 1 1

1

12

1 1( )

4 4

4

qq dRU d Edl

R a b

q abC C

U b a

πε πε

πε

= = = = −

= =−

∫ ∫ ∫E l

(2.6)

Problema 2.4 -Condensator plan cu dielectric neomogen Se dă un condensator plan cu aria armăturilor egală cu A, distanŃa dintre armături (d) şi între armături un dielectric a cărui permeabilitate variază liniar de la valoarea εr1 la valoarea εr2. Să se calculeze capacitatea condensatorului (se va neglija efectul de margine) .

a

b

R

q

- q

Σ

E

Page 26: Electromagnetism Aplicatii

Calculul capacităŃilor şi forŃelor electrostatice

Pag 20

Fig. 2.4 Câmpul electric într-un

condensator plan cu dielectric neomogen.

Rezolvare. Aplicând teorema lui Gauss, se obŃine expresia intensităŃii câmpului electric:

( )0 0 1 2 1r r r r

qd q EA q E

A

x

d

εε

ε ε ε ε ε ε ε

ΣΣ

= = =

= = + −

∫ D A

(2.7)

Tensiunea între cele două armături ale condensatorului, respectiv capacitatea condenastorului sunt:

( )

22

0 0 2 1 11 01 2 1

0 2 1

2

1

ln

ln

dr

r r rr r r

r r

r

r

q dx q dU d

xA Ad

AC

d

εε ε ε ε εε ε ε

ε ε εεε

= = ==−+ −

−=

∫ ∫E l

(2.8)

Problema 2.5 -Condensator plan stratificat Un condensator plan are capacitatea de 600pF. Cu cât variază capacitatea condensatorului dacă se introduce între armături, paralel cu ele, o placă metalică a cărui grosime g′ este egală cu ¼ din distanŃa dintre armături ?. Să se studieze dacă poziŃia plăcii influenŃează rezultatul. (Se consideră condensatorul plan cu armăturile de suprafaŃă A şi distanŃa dintre ele g, conform fig. 2.2)

Fig. 2.5 Câmpul electric într-un

condensator plan stratificat.

Rezolvare. Prin introducerea plăcii se formează două condensatoare noi C1 şi C2. Noua capacitate a sistemului este C∗. Se constată că aceasta nu depinde de poziŃia plăcii metalice.

1 21 2

1 2

1 2

1 2

43 34

C CA A AC C C C

g x y C C

C C A AC C

C C x y g

ε ε ε

ε ε

= = = =+

= = = =+ +

(2.9)

C1

+ + + +

- - - -

g

- - - -

+ + + +

x y

C2

A

εr1 εr2

d

A + + + +

- - - -

Page 27: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 21

Problema 2.6 -ForŃa asupra unei plăci conductoare într-un condensator plan

Între două plăci metalice dreptunghiulare şi paralele, aflate la acelaşi potenŃial V1, se introduce parŃial, în mod simetric, o placă metalică în formă de triunghi echilateral, aflată la potenŃialul V2. PoziŃia relativă a plăcilor este caracterizată de distanŃele x şi g, ca în fig. 2.3. Să se determine forŃa care se exercită asupra plăcii triunghiulare, neglijând efectele de margine.

Fig. 2.6 ForŃa electrostatică asupra unui electrod triunghiular mobil.

Rezolvare.

Capacitatea este suma celor două capacităŃi egale conectate în paralel. 2

20 02 2 33

3 3

A xC A x C

g g

ε ε= = ⇒ = (2.10)

( )21 2 02 2 310

2 3U ct

V V xWW U C F

x g

ε

=

−∂ = = = > ∂ (2.11)

ForŃa este pozitivă, deci este îndreptată în sensul creşterii coordonatei x. Prin urmare, placa triunghiulară este atrasă între plăcile de potenŃial V1.

Problema 2.7 -ForŃa asupra unui bloc paralelipipedic într-un condensator plan

Un bloc paralelipipedic de metal are dimensiunile a, b, g (g=grosimea), iar sarcina lui electrică totală este nulă. Blocul este introdus parŃial între armăturile dreptunghiulare (cu dimensiunile a, b) ale unui condensator plan. DistanŃa dintre armături este d (d>g) iar diferenŃa de potenŃial între ele este U. Între armături se găseşte vid. Să se calculeze forŃa cu care este atras blocul între armături, ştiind că muchiile blocului şi ale armăturilor sunt paralele (se neglijează efectele de margine).

Rezolvare.

CapacităŃile “condensatoarelor” puse în evidenŃă în figură, respectiv capacitatea echivalentă, sunt:

[ ]

0 0 01 2 3

2 3 01

2 3

( )

( )( )

a b x ax axC C C

d m nC C a

C C b d g gxC C d d g

ε ε ε

ε

−= = =

= + = − ++ −

(2.12)

V1

V1 V1

V1

V2

V2

x

g

g

α

Page 28: Electromagnetism Aplicatii

Calculul capacităŃilor şi forŃelor electrostatice

Pag 22

Fig. 2.7 ForŃa electrostatică asupra unui

dielectric introdus într-un condensator plan.

22 01

02 2 ( )U ct U ct

aU gW CF U

x x d d g

ε

= =

∂ ∂ = = = > ∂ ∂ − (2.13)

ForŃa care apare este o forŃă ce atrage blocul paralelipipedic între armături, deoarece este îndreptată în sensul creşterii coordonatei generalizate x.

Problema 2.8 -ForŃa dintre un plan şi un semiplan Să se calculeze forŃa care apare între un plan şi un semiplan (cu cele două feŃe ale sale şi de dimensiuni a şi b), pe lăŃimea a, ştiind că diferenŃa de potenŃial dintre ele este U. Permitivitatea mediului izolant dintre ele este ε0 .

Fig. 2.8 ForŃa electrostatică între un

plan şi un semiplan perpendiculare.

Rezolvare. Se aproximează liniile de câmp prin segmente de dreaptă şi arce de cerc, încât să fie perpendiculare pe suprafeŃele conductoarelor. Se calculează capacitatea prin gruparea în paralel a capacităŃilor unor condensatoare elementare definite de tuburi de flux delimitate de către liniile de câmp.

0 0 0

0

42 ln(1 )

2( ) ( )2 2

bdA adR a bdC C dC

hh R h R

ε ε ε ππ π π

= = = = ++ +

∫ (2.14)

22 0

2

10

2 (1 )2

U ct U ct

abUW CF U

bh h hh

επ

= =

∂ ∂ = = = − < ∂ ∂ + (2.15)

ForŃa acŃionează astfel încât semiplanul este atras de plan (se opune creşterii coordonatei generalizate h).

Problema 2.9 -ForŃa dintre o prismă triunghiulară şi un plan(1)

Să se calculeze forŃa care apare între un conductor prismatic de lungime l (în secŃiune triunghi echilateral de latură a) şi o placă plană poziŃionată ca fig. 2.6, atunci când se află într-un dielectric de permitivitate ε0 şi tensiunea dintre ele este U.

R

dR

dA

a

b

h

C2

+ + + +

- - - -

d

C3

C1

m n

g

x

b-x

a

Page 29: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 23

Fig. 2.9 ForŃa

electrostatică asupra unui conductor prismatic triunghiular paralel cu un plan conductor.

Rezolvare. Se aproximează liniile de câmp prin segmente de dreaptă şi arce de cerc, încât să fie perpendiculare pe suprafeŃele conductoarelor. Se consideră două condensatoare C1 şi C2 conectate în paralel. Se calculează capacitatea prin gruparea în paralel a capacităŃilor unor condensatoare elementare definite de tuburi de flux delimitate de către liniile de câmp.

( )

0 0 01 1 1

0

/ 20 0

2

0

3ln 1

33 3

3ln 1

2 2(3 )3 3

a

a

dA ldy l adC C dC

hh y h y

ldx l aC

h ah a x x

ε ε ε ππ π π

ε ε ππ π π π

= = = = + + +

= = + + + + +

∫ (2.16)

21 2

20

12 2

2

6 1 30

(3 ) (6 5 )

U ct U ct

W CC C C F U

h h

alUF

h a h h a

επ π

= =

∂ ∂ = + = = ∂ ∂

= − + < + +

(2.17)

ForŃa acŃionează astfel încât conductorul prismatic este atras de plan (se opune creşterii coordonatei generalizate h).

Problema 2.10 -ForŃa dintre o prismă triunghiulară şi un plan(2)

Să se calculeze forŃa care apare între un conductor prismatic de lungime l (în secŃiune triunghi echilateral de latură a) şi o placă plană poziŃionată ca în fig. 2.7, atunci când se află într-un dielectric de permitivitate ε0 şi tensiunea dintre ele este U.

Fig. 2.10 ForŃa electrostatică asupra unui

conductor prismatic triunghiular paralel cu un plan conductor.

h

l

a

π/3

C1 C2

h

l

a

π/3

C1 C2

x

lx

ly

y

Page 30: Electromagnetism Aplicatii

Calculul capacităŃilor şi forŃelor electrostatice

Pag 24

Rezolvare. / 2

0 01 1 1

0

0 02 2 2

0

2

3 2ln 1

2 2 33

a

a

ldy ladC C dC

h h

ldx l adC C dC

hh x

ε ε

ε ε ππ π

= = =

= = = + +

∫ (2.18)

21 2

20

2

12 2

2

61 0

(3 2 )

U ct U ct

W CC C C F U

h h

alU hF

h h a

επ

= =

∂ ∂ = + = = ∂ ∂

= − + < +

(2.19)

ForŃa acŃionează astfel încât conductorul prismatic este atras de plan (se opune creşterii coordonatei generalizate h).

Problema 2.11 -ForŃa dintre două plăci coplanare Să se calculeze forŃa care apare între două conductoare de lungime l, de lăŃime b (de grosime neglijabilă) poziŃionate ca fig. 2.8, atunci când se află într-un dielectric de permitivitate ε0 şi diferenŃa de potenŃial dintre ele este U.

Fig. 2.11 ForŃa electrostatică între două

benzi conductoare paralele şi coplanare.

Rezolvare. Capacitatea dintre electrozi este formată din legarea în paralel a capacităŃilor situate de o parte şi de alta a planului celor două conductoare.

0 01 1 1

0

ln(1 )

2 2

bldx l bdC C dC

aa

ε ε ππ π π

= = = + + +

∫ (2.20)

21

20

12

2

2 10

( )

U ct U ct

W CC C F U

a a

blUF

a a b

επ

= =

∂ ∂ = = = ∂ ∂

= − < +

(2.21)

ForŃa acŃionează astfel încât cele două conductoare se atrag reciproc (se opune creşterii coordonatei generalizate a).

Problema 2.12 -ForŃa dintre două semiplane în unghi Să se calculeze forŃa care apare între două armături ale unui condensator prezentat în fig. 2.9, atunci când dielectric are permitivitate ε0 şi diferenŃa de potenŃial dintre ele este U.

l

a b

x

Page 31: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 25

Fig. 2.12 ForŃa electrostatică între două

benzi conductoare.

Rezolvare. Liniile de câmp se aproximează prin arce de cerc. Capacitatea între electrozi este :

0 0 0 ln(1 )c b c b

c c

dA adR a bC

R R c

ε ε εα α α

+ +

= = = +∫ ∫ (2.22)

22 0

2

11 0

2U ct U ct

aUW C bF U M

c

εα α α= =

∂ ∂ = = = − + < ∂ ∂ (2.23)

ForŃa acŃionează astfel încât cele două armături se atrag reciproc (se opune creşterii coordonatei generalizate α).

Problema propusă 2.13 Să se calculeze forŃa care apare între un conductor de lungime l (în secŃiune pătrată de latură a) şi o placă plană poziŃionată ca fig. 2.7, atunci când se află într-un dielectric de permitivitate ε0 şi diferenŃa de potenŃial dintre ele este U.

Fig. 2.13 ForŃa electrostatică asupra unui

conductor prismatic cu secŃiunea patrată paralel cu un plan conductor.

Problema propusă 2.14 Să se calculeze forŃa care apare între un plan şi un semiplan (cu cele două feŃe ale sale şi de dimensiuni a şi b), pe lăŃimea a, ştiind că diferenŃa de potenŃial dintre ele este U. Permitivitatea mediului izolant dintre ele este ε0 (fig. 2.11). Spre deosebire de problema 2.5, de data aceasta se va considera grosimea g a semiplanului.

Fig. 2.14 ForŃa electrostatică între un

plan şi un semiplan perpendiculare.

R

dR

dA

a

b

h g

h

l

a

C1 C2

b

c

R

α

a

Page 32: Electromagnetism Aplicatii

ReŃele de condensatoare

Pag 26

3 ReŃele de condensatoare

Breviar.

CapacităŃi echivalente.

Capacitatea echivalentă a unui sistem de condensatoare conectate în serie:

eS kk

C C=∑ (B3.1)

Capacitatea echivalentă a unui sistem de condensatoare conectate în paralel: 1 1

keS kC C=∑ (B3.2)

Problema 3.1 Pentru reŃeaua din fig. 3.1, se cer : CAB , CMN , tensiunile şi sarcinile condensatoarelor.

Fig. 3.1 C1= 1µF C2= 3µF C3= 6µF C4= 2µF Ub= 100V

Rezolvare.

3 4 12

3 4 1

6 41

11 2 1

1

42 2 2

3 4 3 3 4 4 3 4

43 4

4.5 0.82

0.82 10 100 0.82 10

82 18

0.54 10

4.5 13.5

0.27 10

ABAB MN

AB

MN MN MN

MN

C C C CC C F C F

C C C C

q C U C q

qU V U U U V

C

q C U C

q q C U C U U V U V

q q C

µ µ

− −

= + = = =+ +

= = ⋅ ⋅ = ⋅ =

= = = − =

= = ⋅

= → = → = =

= = ⋅

(3.1)

Problema 3.2 Pentru reŃeaua din fig. 3.2, se cer : CAB, CBD, CMN, tensiunile şi sarcinile condensatoarelor. Rezolvare.

4 52 3 7 6

4 5

41 8

4 4

1 1.2 10

AB BD

MN MN MN MN

C CC C C F C C C F

C C

C F q C U C q q

µ µ

µ −

= + = = + + =+

= = = ⋅ = =

(3.2)

N B

Ub

M

C2

A C1

C3

C4

Page 33: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 27

11 8 1

1

2 3

4 42 2 2 3 6

4 47 45 4 5 4 5

30 4 ;

30

0.6 10 30 0.3 10

0.6 10 0.3 10 15

AB AB

AB

BD

qU U V C F q q

C

U U U V

q C U q C U V q C

q C q q q C U U V

µ

− −

− −

= = = = =

= = =

= = = ⋅ = → = ⋅

= ⋅ = = = ⋅ = =

(3.3)

Fig. 3.2 C1= 4µF C2= 2µF C3= 2µF C4= 2µF C5= 2µF C6= 2µF C7= 1µF C8= 4µF Ub= 120V

Problema 3.3 Pentru reŃeaua din fig. 3.3 , se cer : CAB , CBD , CMN , tensiunile şi sarcinile condensatoarelor.

Fig. 3.3 C1= 1µF C2= 6µF C3= 3µF C4= 4µF C5= 4µF C6= 1µF q2= 0.6 10-4 C

Rezolvare.

4 522 3 6

2 4 5

42 2 3 6

10 6

0.6 10 10

DB

DB DB

C CqU V C C C F

C C C

q q C U U U U V

µ

= = = + + =+

= = ⋅ = = = =

(3.4)

4 43 6 1

4 41 4 5 4 5

0.3 10 0.1 10 20

0.2 10 5 0.2 10

ABq C q C U U V

q C U U V q q C

− −

− −

= ⋅ = ⋅ = =

= ⋅ = = = = ⋅ (3.5)

C4

C5 B

A

D

C1 C2

C3 C6

U

q2

M

N

A

B

D

C1 C2 C3

C4

C5

C6 C7

C8

U

Page 34: Electromagnetism Aplicatii

ReŃele de condensatoare

Pag 28

Problema 3.4 Având reŃeaua din fig. 3.4, se cer : CAB , CMN , tensiunile şi sarcinile condensatoarelor.. Rezolvare.

4 44 3 2 2 3

44 3 4 2

41 5

511 5

1 5

10 0.4 10 0.3 10

0.1 10 8

0.8 10

10 20 40

MN

MN MN MN

AB

U U U V q C q C

q C C C C C F

q C U C q q

qqU V U V U V

C C

µ

− −

= = = → = ⋅ = ⋅

= ⋅ = + + =

= = ⋅ = =

= = = = =

(3.6)

Fig. 3.4 C1= 8µF C2= 4µF C3= 3µF C4= 1µF C5= 4µF U4= 10V

Problema 3.5 În cazul reŃelei din fig. 3.5, se cer: CMN , CAN , tensiunile şi sarcinile condensatoarelor..

Fig. 3.5 C1= 5µF C2= 3µF C3= 8µF C4= 6µF C5= 10µF U4= 5V

Rezolvare. 4

4 4 1 2

12 3123 123 4

12 3

4123 123 123 3 3

1 2 4 123

44 5 5

10 0.6 10 8

4 10

0.4 10 5

5 10 5

10 1 10

MN

MN

AN AN

U V q C C C C F

C CC F U U V

C C

q C U q C U U V

U U V C C C F C F

U U V q C

µ

µ

µ µ

= → = ⋅ = + =

= = = =+

= = = ⋅ = =

= = = + = =

= = = ⋅

(3.7)

B C5

U2

C2 C4

A

M

C3

C1

U

N

B

C4 C2

A

M

C1

C5

C3

U

N

U4

Page 35: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 29

Problema 3.6 În cazul reŃelei din fig. 3.6 , se cer: CMN , CAN , tensiunile şi sarcinile condensatoarelor.

Fig. 3.6 1C1= 8µF C2= 6µF C3= 4µF C4= 4µF C5= 4µF q3= 0.4 10-4 C

Rezolvare.

433 4 3 4 34

3

2 34 34 2

4 42 2 2 3 2 1 5

1 5

10 0.4 10 2

8 20 4

1.2 10 1.6 10

20 40 2 80

AB MB

AB

MN MN

qU V U q q C C F

C

C C C F U U V C F

q C U C q q q C q q

U V U V C F U V

µ

µ µ

µ

− −

= = = → = = ⋅ =

= + = = = =

= = ⋅ = + = ⋅ = =

= = = =

(3.8)

N

Ub

M C1 A

B

C2

C3

C4

C5

Page 36: Electromagnetism Aplicatii

Metoda imaginilor electrice

Pag 30

4 Metoda imaginilor electrice

Breviar.

CondiŃia de echilibru electrostatic în conductoare.

• Pentru conductoarele omogene şi izoterme în echilibru electrostatic: - Intensitatea câmpului electric este nulă în conductoare. - Conductoarele sunt echipotenŃiale. - Intensitatea câmpului electric este normală pe suprafaŃa conductoarelor. - Sarcina electrică este repartizată pe suprafaŃă.

Principiul metodei imaginilor electrice.

Câmpul electrostatic al unui sistem de sarcini în prezenŃa unor conductoare poate fi reprezentat prin câmpul sarcinilor iniŃiale şi al unor sarcini fictive („imaginile electrice”) care suplinesc prezenŃa conductoarelor, prin aceea că suprafeŃele fostelor conductoare rămân echipotenŃiale.

RelaŃiile lui Maxwell pentru capacităŃi.

• Prima formă a relaŃiilor lui Maxwel:

1

n

j jk kk

V qα=

=∑ (B4.1)

• A doua formă a relaŃiilor lui Maxwell:

1

n

j jk kk

q Vγ=

=∑ (B4.2)

• A treia formă a relaŃiilor lui Maxwell

1

n

j jk jkk

q C U=

=∑ (B4.3)

Problema 4.1 -Imaginea unei sarcini faŃă de un conductor plan

O sarcină punctuală q este situată într-un dielectric omogen de permitivitate ε0, la distanŃa (d) de un conductor infinit, care ocupă spaŃiul din stânga. Să se determine intensitatea câmpului electric într-un punct oarecare P din dielectric şi densitatea sarcinilor induse de sarcina q pe suprafaŃa conductorului.

Fig. 4.1 Metoda imaginilor electrice faŃă de

un plan conductor.

Rezolvare. Folosind metoda imaginilor electrice se va înlocui efectul conductorului infinit (cu suprafaŃa echipotenŃială V=0) cu o sarcină q2= –q poziŃionată simetric (la distanŃa d) de suprafaŃa planului, ca în fig.4.1. PotenŃialul şi intensitatea câmpului electric în punctul P va fi determinat de cele două sarcini (se folosesc formulele coulombiene):

q1=q

q2=-q

d d

n

R1

R2 P

Page 37: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 31

1 23 3

0 1 2 0 1 2

1 1

4 4

q qV

R R R Rπε πε

= − = −

R RE (4.1)

Pe suprafaŃa conductorului:

1 20

1 10

4

qR R R V

R Rπε

= = → = − =

(4.2)

Se poate aproxima că la mare distanŃă avem:

1 23 3 3

0 1 2 04 2

1 2d R = R R

q qd

R R Rπε πε

= =

= − = −

1 2R - R n

R RE n

(4.3)

Pe de altă parte din legea fluxului electric rezultă expresia lui E:

00

SS Sd dA EdA dA

ρρ ε ρ

εΣ Σ Σ Σ

= ⇒ − = − ⇒ =∫ ∫ ∫ ∫ D A E n (4.4)

Prin identificarea expresiilor intensităŃii câmpului electric 4.3 cu 4.4, rezultă:

max3 3 2( )

2 2 2S S

qd qd qr d

R d dρ ρ

π π π= = = − = (4.5)

Sarcina totală a planului este:

( )

( )

2

332 2 20 0

32 2 2

0

2 2

2

2

S

qd qd dq dA dA d

R d

qdq

d

πρ ρρ θ

π π ρ

ρ

ΣΣ

= = − = − =+

−= − = −

+

∫ ∫ ∫ ∫

(4.6)

Problema 4.2 -Imaginile a două sarcini faŃă de un plan Două corpuri punctuale de sarcini egale q1 = q2 = q se găsesc la aceeaşi distanŃă d de un plan conductor infinit şi de aceeaşi parte a lui. DistanŃa dintre corpuri este 2d. Să se afle mărimea şi orientarea vectorului intensităŃii câmpului electric în punctul P situat la mijlocul distanŃei dintre cele două corpuri.. Rezolvare. Conductorul infinit este înlocuit de două sarcini, q4 = q3 = - q poziŃionate simetric faŃă de plan, în raport cu sarcinile date.

Fig. 4.2 Imaginile electrice ale unui sistem

de două sarcini faŃă de un plan conductor.

q1=q

q2=q

q3=-q

q4=-q

d

d

d d

n

E1

E2 E3

E4

E P

Page 38: Electromagnetism Aplicatii

Metoda imaginilor electrice

Pag 32

Conform fig.4.2 intensitatea câmpului electric este suma celor patru vectori. Modulele celor patru câmpuri au expresile:

1 2 1 2 3 42 20 0

1 2 3 4 3 2 20 0

1 1; 0;

4 4 5

42 cos

4 5 5 5 5

q qE E E E

d d

q qE

d d

πε πε

απε π ε

−= = + = = =

− −= + + + = ⋅ ⋅ ⋅ = =

E E

E E E E E n n n

(4.7)

Problema 4.3 -Imaginile unei sarcini între două plane conductoare

O mică sferă conductoare de rază (a) încărcată cu sarcina (q) este aşezată între doi pereŃi plani conductori, paraleli şi verticali. Să se calculeze diferenŃa de potenŃial dintre sferă şi aceste plane, ştiind că planele sunt la acelaşi potenŃial V=0 şi că raza sferei este mică în raport cu distanŃa dintre cei doi pereŃi plani.

Fig . 4.3 Imaginile electrice ale

unei sarcini situată între două plane conductoare paralele.

Rezolvare. Se va aplica metoda imaginilor, numai că de data aceasta imaginile sarcinilor faŃă de ambele plane vor creea două şiri infinite de sarcini imagini cu semnele alternative, ca în fig.4.3. Numai în felul acesta suprafeŃele celor două plane vor rămâne echipotenŃiale. ContribuŃia tuturor acestor sarcini la potenŃialul în origine este:

[ ]10 0 0

1 2 1 1 1 1 11 1 ... ln 2

4 2 4 2 3 4 4

i

i

q q qV

ic c cπε πε πε

=

= − = − + − + − + = −

∑ (4.8)

AdmiŃând că raza (a) a sferei este foarte mică în raport cu (c), potenŃialul total al sferei va fi:

0

1 1ln 2

4

qV

a cπε = −

(4.9)

primul termen fiind potenŃialul sferei mici (ca şi când nu ar exista planele conductoare) iar cel de al doilea termen reprezintă influenŃa celor două plane puse la pământ.

Problema 4.4 -Imaginile unei sarcini dintr-un diedru drept Să se determine câmpul produs de o sarcină punctuală situată în unghiul drept format de două plane infinite conductoare, precum şi sarcina indusă prin influenŃă electrostatică pe aceste plane.

q q q -q -q

c c 2c 2c 4c 4c

Page 39: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 33

Fig. 4.4 Imaginile electrice ale unei sarcini

situată într-un diedru drept conductor.

Rezolvare. Se aplică principiul imaginilor electrice. În ideea de a menŃine echipotenŃiale planele A şi B (care se intersectează şi au acelaşi potenŃial VA=VB=0) este necesar să se plaseze trei sarcini imagine după cum se vede în figură. PotenŃialul rezultant în punctul P va fi:

3 3 3 30 1 2 3 44

qV

R R R Rπε

= + − −

31 2 4RR R R (4.10)

Într-un punct oarecare al planului A, avem:

1 3 1 3 2 4 2 4

2 2 2 2 2 21 2

2 2

( ) ( )

R R a R R a

R a y b z R a y b z

= − = − = − =

= + − + = + + +

R R n R R n (4.11)

Intensitatea câmpului electric ia valoarea:

3 30 1 2

1 12

4

qa

R Rπε

= − −

E n (4.12)

şi prin comparaŃie cu relaŃia (valabilă pentru suprafaŃa unui conductor):

0

ε= SE n (4.13)

se obŃine expresia densităŃii sarcinii electrice:

3 31 2

1

2

qa

R Rρ

π

= − − S (4.14)

Sarcina totală indusă în întregul semiplan A este qA,, iar cea în semiplanul B este qB:

( ) ( )3 3

2 22 22 2 2 20

1 1

2

2 2

A

B

qaq dy

a y b z a y b z

b aq arc tg q q arc tg

a b

π

π π

∞ ∞

−∞

= − − = + − + + + +

= − = −

∫ ∫ (4.15)

Calculând suma qA+qB găsim:

2A B

b aq q q arc tg arc tg q

a bπ + = − + = −

(4.16)

ceea ce era de aşteptat şi constituie totodată o verificare a calculului.

Problema 4.5 -Capacitatea în serviciu a unei linii bifilare (1) Să se determine capacitatea în serviciu a unei linii bifilare ale cărei conductoare au raza (a) şi sunt dispuse ca în fig.4.5, în situaŃia în care q1+q2=0.

q1=q

q2=q q4=-q

q3=-q

a

b

n

A

B

x P

Page 40: Electromagnetism Aplicatii

Metoda imaginilor electrice

Pag 34

Fig. 4.5 Capacitatea în serviciu a unei linii

bifilare paralelă cu solul conductor.

Rezolvare. Se ştie că potenŃialul unui punct P din apropierea unei linii aeriene monofilare, în prezenŃa pământului (se Ńine seama de relaŃia 1.43), este dat de:

00

ln2

lP

rV V

R

ρπε

= + (4.17)

r fiind distanŃa dintre punctul P şi imaginea electrică a liniei faŃă de suprafaŃa pământului, iar R distanŃa dintre acelaşi punct şi linie. În cazul liniei bifilare din fig.4.5 potenŃialul în punctul P va fi (luând potenŃialul de referinŃă V0=0):

1 2 1 2

0 1 0 2 0 1 2

ln ln ln2 2 2

l l lP

r r r RV

R R R r

ρ ρ ρπε πε πε

= − = (4.18)

Prin deplasarea punctului P pe conductoarele (1) şi (2) se obŃin următoarele potenŃiale:

1 20 0

2 ( ) ( )ln ln

2 ( ) 2 2 ( )l lH H h a H h

V Va H h h H h

ρ ρπε πε

− += =

+ − (4.19)

DiferenŃa de potenŃial dintre conductoare va fi: 2

1 2 2 20

4 ( )ln

2 ( )l Hh H h

V Va H h

ρπε

−− =

+ (4.20)

iar capacitatea în serviciu:

0112 2

1 22 2

2

4 ( )ln

( )

S

lqC

Hh H hV V

a H h

πε= =

−−+

(4.21)

Problema 4.6 -Capacitatea în serviciu a unei linii bifilare (2) Calculul capacităŃii de serviciu a unei linii bifilare simetrice ale cărei conductoare au diametrele 2a, în prezenŃa pământului (linia (1) are sarcina q1 repartizată uniform, iar linia (2) are sarcina q2). Rezolvare. PotenŃialul într-un punct curent P din semispaŃiul superior are expresia:

1 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ln ln ln2 2

q r r q r RV P

l R R l R rπε πε

= − =

(4.22)

1

2

1’

2’

+ρl

+ρl

-ρl

-ρl

H

h

P

Page 41: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 35

Fig. 4.6 Capacitatea în serviciu a unei linii

bifilare paralelă cu solul conductor.

Atunci când punctul P se află pe conductorul (1) sau (2) se obŃin respectiv V1 sau V2:

2 2

1 2 12 2

2 4ln ln

2 2 24

q qh D a h DV V V

l l D ha h Dπε πε⋅ +

= = = −⋅+

(4.23)

Capacitatea de serviciu a unui conductor faŃă de pământ (V=0):

1 21 2

1 0 2 02 2

22

ln4

S S

q qlC C

h DV V V V

a h D

πε= = = =

⋅− −

+

(4.24)

Capacitatea în prezenŃa pământului V1-V2 = 2V1 şi este:

1 2 1 2 2

121 2

2 2

22 ln

4

2ln

4

S

q D hV V V

l a h D

q lC

D hV V

a h D

πε

πε

⋅− = =

+

= =⋅−

+

(4.25)

Problema 4.7 -Capacitatea în serviciu a unei linii bifilare (3) Să se determine capacităŃile în serviciu şi cele parŃiale ale unei linii bifilare ale cărei conductoare au acelaşi diametru 2a şi sunt plasate ca în fig.4.7 , în situaŃia q1+q2=0. Rezolvare. Se vor folosi relaŃiile lui Maxwell:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V p q p q

V p q p q

= +

= + (4.26)

cu p12=p21 şi q1+q2=0, dau:

1 21 2

1 11 12 2 22 21

112

1 2 11 22 12

1 1

1

2

S S

S

q qC C

V p p V p p

qC

V V p p p

= = = =− −

= =− + −

(4.27)

q1=q q2=-q

q4=q q3=-q

h

D

P

Page 42: Electromagnetism Aplicatii

Metoda imaginilor electrice

Pag 36

Fig. 4.7 Capacitatea în serviciu a unei linii

bifilare paralelă cu solul conductor.

Cum 2 2

11 12 21 2 2

22

( )1 2 1ln ln

2 2 ( )

1 2ln

2

D H hHp p p

l a l D H h

hp

l a

πε πε

πε

+ += = =

+ −

=

(4.28)

rezultă

1 22 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 ( ) 2 ( )ln ln

( ) ( )

S S

l lC C

H D H h h D H h

a D H h a D H h

πε πε= =

+ − + −+ + + +

(4.29)

12 2 2

2 2 2

2

( )4ln

( )

S

lC

D H hHh

a D H h

πε=

+ − + +

(4.30)

Pentru determinarea capacităŃilor parŃiale se folosesc relaŃiile:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

q V V

q V V

γ γ

γ γ

= +

= + (4.31)

sau

1 11 12 1 12 1 2 10 1 12 1 2

2 21 2 1 21 22 2 21 2 1 20 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

q V V V C V C V V

q V V V C V V C V

γ γ γ

γ γ γ

= + − − = + −

= − + + = − + (4.32)

de unde:

10 11 12 20 22 21 12 21 12C C C Cγ γ γ γ γ= + = + = = − (4.33)

Prin comparaŃie cu relaŃiile:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V p q p q

V p q p q

= +

= + (4.34)

se obŃin relaŃiile ce definesc coeficienŃii:

22 11 12 2111 22 12 21

11 22 12 21 12 21 12 21 12 21

p p p p

p p p p p p C C

γ γ γ γ

γ γ

= = = − = −∆ ∆ ∆ ∆

∆ = − = ⇒ = ⇒ = (4.35)

RelaŃiile (4.33) devin:

22 12 11 21 1210 20 12

p p p p pC C C

− −= = =

∆ ∆ ∆ (4.36)

Page 43: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 37

Problema 4.8 -Capacitatea în serviciu a unui cablu bifilar ecranat

Să se calculeze capacităŃile parŃiale şi în serviciu ale unui cablu ecranat, cu două conductoare de raze (a) aşezate simetric, având sarcini egale şi de semne contrare, într-un mediu de permitivitate ε0.

Fig. 4.8 CapacitatăŃile parŃiale şi în

serviciu ale unui cablu bifilar ecranat.

Rezolvare. Se utilizează metoda imaginilor, înlocuind învelişul conductor cilindric cu imaginile firelor faŃă de el, situate la distanŃa D faŃă de ax. Această distanŃă se determină din condiŃia ca punctele suprafeŃei cilindrice să rămână echipotenŃiale. Din egalarea potenŃialelor VA=VB =0 se obŃine că D=R2/d. În această situaŃie, obŃinem următoarele expresii pentru coeficienŃii de potenŃial:

2 2

11 22 00

2 2

12 21 20

1ln

2

1ln

2 2m

R dp p p

l ad

R dp p p

l d

πε

πε

−= = =

+= = =

(4.37)

CapacităŃile în serviciu vor avea expresiile:

01 2 2 2

02 2

012 1 2 2

02 2

21

2( )ln

( )

1

2( )2( )ln

( )

S Sm

S S

m

lC C

R d dp p

a R d

lC C

R d dp p

a R d

πε

πε

= = =−−+

= = =−−+

(4.38)

10 11 12 20 22 21 12 21 12C C C Cγ γ γ γ γ= + = + = = − (4.39)

22 11 12 2111 22 12 21

11 22 12 21 12 21 12 21 12 21

p p p p

p p p p p p C C

γ γ γ γ

γ γ

= = = − = −∆ ∆ ∆ ∆

∆ = − = ⇒ = ⇒ = (4.40)

Se obŃine:

010 20 4 4

03

2 2

0 2

12 21 4 4 2 22 20

3 2 2

21

ln2

2 ln2

2 ( )ln ln

2 ( )

m

m

m

lC C

R dp p

ad

R dl

pC C

R d d R dp p

ad a R d

πε

περ

= = =−+

+

= = =− −−

+

(4.41)

Problema 4.9 -Imaginea unei sarcini faŃă de o sferă (1) Se dă o sferă metalică, omogenă, de rază (a) plasată într-un dielectric omogen şi izotrop de permitivitate ε. La distanŃa D (D>a) de centrul ei se află o sarcină punctuală q1. Să se

1 2 1’ 2’

R D

d

Page 44: Electromagnetism Aplicatii

Metoda imaginilor electrice

Pag 38

calculeze câmpul şi potenŃialul în dielectric (prin metoda imaginilor) atunci când sfera este pusă la pământ (VΣ=0).

Fig. 4.9 Imaginea electrică a unei sarcini

faŃă de o sferă conductoare legată la pământ.

Rezolvare. Se caută în raport cu suprafaŃa sferei o imagine q2 astfel încât în câmpul rezultant al lui q1 şi q2 să avem VΣ=0. Scriem această condiŃie în punctele A şi B pentru a găsi expresia lui d şi q2.

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 10

4 4

1 10

4 4

A

B

q q q qV

R R D a a d

q q q qV

R R D a a d

πε πε

πε πε

= + = + = − −

= + = + = + +

(4.42)

Prin egalarea celor două relaŃii se obŃine: 2

2 1

a ad q q

D D= = − (4.43)

Se observă că poziŃia imaginii corespunde inversei geometrice în raport cu sfera a poziŃiei sarcinii q1. De asemenea q2 (care reprezintă suma sarcinilor de nume contrar induse pe sferă prin influenŃă) este <0 şi scade când creşte D. PotenŃialul şi câmpul într-un punct M din dielectric sunt:

1 23 3

1 2 1 2

1 1( ) ;

4 4

q a q aV M (M)

R D R R D Rπε πε

= − = −

R RE (4.44)

Problema 4.10 -Imaginea unei sarcini faŃă de o sferă (2) Se consideră sfera de rază (a) în aceeaşi situaŃie ca în problema 4.9, numai că de data aceasta se va considera sfera izolată şi neîncărcată electric (qΣ=0).

Fig. 4.10 Imaginea electrică a unei sarcini

faŃă de o sferă conductoare izolată.

Rezolvare. În acest caz potenŃialul sferei nu este nul (dar rămâne constant) iar suma sarcinilor induse prin influenŃă este nulă. Singura posibilitate de a satisface aceste condiŃii, Ńinând seama de problema 4.9 este ca, pe lângă sarcina q2 plasată la distanŃa d de centrul sferei, să plasăm în centrul sferei o a doua sarcină imagine q0 = - q2. În acest caz VΣ=const. şi qΣ=0. PotenŃialul şi intensitatea câmpului într-un punct M din dielectric vor fi:

D

d

a

R1 R2

q1 q2

M

A B q0

R0

D

d

a

R1 R2

q1 q2

M

A B

Page 45: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 39

1 2 03 3 3

1 2 0 1 2 0

1 1 1( ) ;

4 4

q a a q a aV M (M)

R D R D R R D R D Rπε πε

= − + = − +

R R RE (4.45)

Problema 4.11 -Sarcină electrică sub o cupolă semisferică O sarcină electrică punctuală (q) este situată sub o cupolă conductoare semisferică plasată pe solul conductor. Să se determine forŃa electrică exercitată asupra sarcinii.

Fig. 4.11 Sarcină electrică punctuală situată

sub o cupolă conductoare plasată pe solul conductor.

Rezolvare. Se determină succesiv următoarele imagini electrice ale sarcinii date q faŃă de conductoare:

- Imaginea q2 = -q, situată simetric faŃă de suprafaŃa solului, astfel încât suprafaŃa solului să fie echipotenŃială (se consideră potenŃialul solului V=0).

- Imaginea q3 a sarcinii q în raport cu suprafaŃa cupolei semisferice, în acord cu relaŃiile 4.43:

2

3

a aH q q

h h= = − (4.46)

- Imaginea q4=-q3 a sarcinii q3 în raport cu suprafaŃa solului. Prin aceasta, atât sfera (prin q1 şi q3, respectiv q2 şi q4) cât şi suprafaŃa solului (prin q1 şi q2, respectiv q3 şi q4) devin echipotenŃiale.

ForŃa rezultantă asupra sarcinii q este suma vectorială a forŃelor exercitate asupra sa de către cele trei sarcini imagine. łinând seama de semnele sarcinilor (s-a presupus că sarcina q este pozitivă, dar aceasta nu influenŃează rezultatul), dacă se alege sensul de referinŃă indicat în desen (spre sol), se obŃine:

2

12 13 14 2 2 20

1 1 1

4 (2 ) ( ) ( )

q a aF F F F

h h H h h H hπε

= − − = − − − + (4.47)

Problema 4.12 -Sarcină electrică deasupra unei cupole semisferice

O sarcină electrică punctuală (q) este situată deasupra unei cupole conductoare semisferice plasată pe solul conductor. Să se determine forŃa electrică exercitată asupra sarcinii.

q1=q

q2=-q

V=0

h

h

a

F

H

H

q3

q4

+

-

+

-

Page 46: Electromagnetism Aplicatii

Metoda imaginilor electrice

Pag 40

Fig. 4.12 Sarcină electrică punctuală situată

deasupra unei cupole conductoare plasată pe solul conductor.

Rezolvare. Se determină succesiv următoarele imagini electrice ale sarcinii date q faŃă de conductoare:

- Imaginea q2 = -q, situată simetric faŃă de suprafaŃa solului, astfel încât suprafaŃa solului să fie echipotenŃială (se consideră potenŃialul solului V=0).

- Imaginea q3 a sarcinii q în raport cu suprafaŃa cupolei semisferice, în acord cu relaŃiile 4.43:

2

3

a ah q q

H H= = − (4.48)

- Imaginea q4=-q3 a sarcinii q3 în raport cu suprafaŃa solului. Prin aceasta, atât sfera (prin q1 şi q3, respectiv q2 şi q4) cât şi suprafaŃa solului (prin q1 şi q2, respectiv q3 şi q4) devine echipotenŃiale.

ForŃa rezultantă asupra sarcinii q este suma vectorială a forŃelor exercitate asupra sa de către cele trei sarcini imagine. łinând seama de semnele sarcinilor (s-a presupus că sarcina q este pozitivă, dar aceasta nu influenŃează rezultatul), dacă se alege sensul de referinŃă indicat în desen (spre sol), se obŃine:

2

12 13 14 2 2 20

1 1 1

4 (2 ) ( ) ( )

q a aF F F F

H H H h H H hπε

= + − = + − − + (4.49)

q3

q4

V=0

h

h

a

F

H

H

q=q1

q2

+

-

+

-

Page 47: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 41

5 Metoda separării variabilelor

Breviar.

EcuaŃiile lui Poisson şi Laplace pentru potenŃialul electrostatic.

• În materiale omogene (ε=const), potenŃialul electrostatic satisface ecuaŃia lui Poisson :

ρε

∆ = − vV (B5.1)

• În domenii fără sarcini electrice de volum, potenŃialul electrostatic satisface ecuaŃia lui Laplace :

0 ( 0)ρ∆ = =vV (B5.2)

Principiul metodei separării variabilelor. În coordonate curbilinii ortogonale (x1, x2, x3), ecuaŃia lui Laplace pentru potenŃialul electrostatic V, este:

2 3 1 3 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

10

h h h h h hV V VV

h h h x h x x h x x h x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∆ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(B5.3)

Se caută o soluŃie particulară exprimată sub forma produsului a trei funcŃiuni, fiecare depinzând de câte o singură variabilă independentă, ceeace este posibil în anumite sieteme de coordonate curbilinii ortogonale [1]:

(1) (2) (3)1 2 3 1 2 3( , , ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅V x x x V x V x V x (B5.4)

După « separarea variabilelor », se obŃin trei ecuaŃii diferenŃiale, care admit ca soluŃii: (1) (1) (2) (2) (3) (3)

1 2 , 1( , ) ( , ) ( , , )k n k nV f k x V f n x V f k n x= = = (B5.5)

Valorile parametrilor k şi n compatibile cu datele problemei se numesc valori proprii, iar funcŃiunile f(1), f(2), f(3) se numesc funcŃiuni proprii. Pentru a satisface toate condiŃiile pe frontieră, se caută o soluŃie generală exprimată ca superpoziŃia unor soluŃii particulare:

(1) (2) (3)1 2 3( , , )

k n

V x x x f f f=∑∑ (B5.6)

Problema 5.1 -EcuaŃia lui Laplace în coordonate carteziene plane(1)

Să se determine potenŃialul într-un punct curent al domeniului plan paralel descris în fig. 5.1.

x/a

y/b

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fig. 5.1 Metoda

separării variabilelor pentru un domeniu de secŃiune rectangulară

Rezolvare. Se adoptă un sistem de axe cartesian, unde ecuaŃia potenŃialul este:

x

y

a

b V0

V=0

V=0

V=0

Page 48: Electromagnetism Aplicatii

Metoda separării variabilelor

Pag 42

2 2

2 20 0

V VV

x y

∂ ∂∆ = + =

∂ ∂ (5.1)

Se caută o soluŃie de tipul: ( , ) ( ) ( )V x y X x Y yλ λ λ= (5.2)

în care λ este un parametru care urmează a fi determinat ulterior. Înlocuind soluŃia de mai sus în ecuaŃia potenŃialului, obŃinem:

( ) ( )0 0

X Y X x Y yY X X Y

X Y X Yλ λ λ λ

λ λ λ λλ λ λ λ

+ = ⇒ + = ⇒ = −ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ (5.3)

Se observă că în membrul stâng figurează o expresie dependentă numai de x, în timp ce că în membrul drept figurează o expresie dependentă numai de y. Se spune că s-au separat variabilele, de unde şi numele metodei. Cele două expresii sunt egale indiferent de valorile variabilelor independente x şi y. Rezultă că aceste expresii trebuie să fie constante. S-a notat valoarea comună a constantei cu (-λ2). Prin această separare a variabilelor, se obŃin două ecuaŃii diferenŃiale ordinare, ale căror soluŃii vor fi (în funcŃiune de valorile parametrului încă nedeterminat λ):

20 0 0

20 0 0

; cos sin

; c s

XX A x B X A x B x

X

YY C y D Y C h y D h y

Y

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

= − → = + = +

= + → = + = +

ɺɺ

ɺɺ (5.4)

SoluŃia generală a ecuaŃiei (5.2), este, în general, superpoziŃia unor soluŃii particulare corespunzătoare valorilor convenabile ale parametrului λ:

( )

0 0 0 0( , ) ( )( )

cos sin ( )

V x y A x B C y D

A x B x C ch y C sh yλ λ λ λλ

λ λ λ λ

= + + +

+ + +∑ (5.5)

CondiŃiile pe frontierele domeniului sunt:

0( ,0) 0 (0, ) 0 ( , ) 0 ( , )V x V y V a y V x b V= = = = (5.6)

łimând seama de condiŃiile de pe frontierele domeniului, obŃinem valorile coeficienŃilor, deci şi soluŃia particulară:

0

0

0

( ,0) 0 , 0

(0, ) 0 , 0

( , ) 0 0 ; sin 0

V x D C

V y B A

kV a y A a

a

λ

λ

πλ λ

= → =

= → =

= → = = → =

(5.7)

Se constată că numai anumite valori ale parametrului λ sunt compatibile cu condiŃiile la limită. Aceste valori se numesc valori proprii. După eliminarea termenilor care nu convin, expresia soluŃiei se reduce la:

( , ) sinkk

k kV x y F x sh y

a a

π π= ⋅∑ (5.8)

Pe de altă parte, din datele problemei, respectiv din soluŃia provizorie (5.8) rezultă:

0( , )V x b V= (5.9)

0( , ) sin

k

kk

V

k kV x b F sh b x V

a a

π π= ⋅ =∑

(5.10)

Pentru a se putea egala aceste relaŃii, condiŃia (5.9) este considerată ca o funcŃiune de variabila x definită pe segmentul (0,a) şi este dezvoltată în serie Fourier. Egalitatea celor două serii implică egalitatea coeficienŃilor. Dezvoltând în serie Fourier, obŃinem:

Page 49: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 43

20 0

0 0

sin sin sina a

k kk

k k kV x V V xdx V xdx

a a a

π π π= → =∑ ∫ ∫ (5.11)

0

00

21 cos cos

2

aakV V ak k

x dx xa k a

π ππ

− = − ∫ (5.12)

Rezultă că vor exista numai termeni corespunzători valorilor impare ale indicelui k:

0 04 4impar impark k

V VV F

kk k sh ba

ππ π= → = (5.13)

Se obŃine:

0sin4 1

( , )impark

k kx sh yV a aV x ykk sh ba

π π

ππ

⋅= ∑ (5.14)

Problema 5.2 -EcuaŃia lui Laplace în coordonate carteziene plane(2)

Să se calculeze potenŃialul pentru configuraŃia din fig. 5.2.

Fig. 5.2 Metoda separării variabilelor

pentru un domeniu de secŃiune rectangulară

x/a

y/b

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rezolvare. Se observă că situaŃia prezentată de fig. 5.2 poate fi considerată o superpoziŃie dintre cea a problemei 5.1 şi o a doua obŃinută tot cu ajutorul primei doar cu translatarea condiŃiei:

0

0

( , )

( ,0)

y b F x b V

y b y F x V

= = +

′ = − = − (5.15)

Prin această shimbare de variabilă se obŃine:

0

0

sin4 1( , ) ( )

sin4 12 ( )

2 2

impar

impar

k

k

kxV k kaV x y sh y sh b y

kk a ash ba

kxV k b ka sh y ch b

kk a ash ba

ππ π

ππ

ππ π

ππ

= − − =

⋅= − ⋅

(5.16)

SoluŃia este:

V=0

x

y

a

b V0

V=0

-V0

Page 50: Electromagnetism Aplicatii

Metoda separării variabilelor

Pag 44

0sin ( )4 2( , )

2impark

k k bx sh yV a aV x y

kk sh b

a

π π

ππ

⋅ −=

⋅∑ (5.17)

Problema 5.3 -EcuaŃia lui Laplace în coordonate carteziene plane(3)

Să se calculeze potenŃialul pentru configuraŃia din fig. 5.3.

Fig. 5.3 Metoda separării variabilelor

pentru un domeniu de secŃiune rectangulară

Rezolvare. Deoarece zona de valori negative ale lui x corespunde şi pentru V(-x,b)=-V0.soluŃia pentru domeniul din fig. 5.4 este obŃinută dintr-o „coasere” şi nu prin superpoziŃie.

0sin4 1

( , )impark

k kx sh yV a aV x ykk sh ba

π π

ππ

⋅= ∑ (5.18)

Problema 5.4 -EcuaŃia lui Laplace în coordonate polare(1) Să se determine câmpul electric într doi semicilindri conductori, de rază „a”, cu neglijarea interstiŃiului.

Fig. 5.4 Metoda separării variabilelor pentru un sistem format de doi semicilindri

conductori. Rezolvare. Considerând

;l a d a>> << (5.19)

ecuaŃia potenŃialului în coordonate cilindrice este: 2 2

2 2 2

1 10 ( ) 0

V V VV r

r r r r zϕ∂ ∂ ∂ ∂

∆ = → + + =∂ ∂ ∂ ∂

(5.20)

Cum problema este o problemă plan paralelă (V nu variază după direcŃia lui z), soluŃia se caută sub forma produsului dintre două funcŃiuni, de fiecare dintre cele două variabile independente, de forma:

x a -a

b V=V0 V=-V0

V=0

V=0

V=0

y

a

+V0

-V0 l

d

a b

+V0

-V0

π 2π

ϕ

V

Page 51: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 45

( , ) ( ) ( )V r R rλ λ λϕ ϕ= ⋅Φ (5.21)

unde λ este un parametru care urmează a fi determinat ulterior. Aplicând metoda separării variabilelor se obŃine:

( ) ( )2

2 2

2

1 10

1 1 1( ) ( ) 0

R Rr

r r r r

rR Rr r r R

λ λ λ λ

λ λ λ λλ λ

ϕ∂ Φ ∂ Φ ∂

+ = ∂ ∂ ∂ ∂Φ + Φ =

∂ Φɺ ɺɺ

(5.22)

2

2 2

1 1( ) ( )

0 0

( )

R rR r R rRr rR R

r R rR

R

λ λ λλ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ

λ λ

λ λ

+ Φ + Φ+ = + =Φ Φ

+ Φ= = −

Φ

ɺ ɺɺ ɺɺ ɺ ɺɺ ɺɺ

ɺ ɺɺ ɺɺ (5.23)

Se obŃin două ecuaŃii diferenŃiale, pentru cele două funcŃiuni : 2 2

2

0

0

r R rR Rλ λ λ

λ λ

λ

λ

+ − =Φ + Φ =

ɺɺ ɺ

ɺɺ (5.24)

SoluŃiile sunt:

0 0 0

0 0 0

. 0

sin cos

. 0 ln

ptr R A r B r

C D

ptr R A r B

C D

λ λλ λ λ

λ λ λ

λ

λϕ λϕ

λ

ϕ

+ −≠ = +

Φ = +

= = +

Φ = +

(5.25)

SoluŃia generală este de forma superpoziŃiei soluŃiilor particulare pentru toate valorile posibile ale parametrului λ :

0 0 0 0

0

( , ) ( ln )( )

( )( sin cos )

V r A r B C D

A r B r C Dλ λλ λ λ λ

λ

ϕ ϕ

λϕ λϕ+ −

= + + +

+ + +∑ (5.26)

CondiŃiile pe frontieră au următoarele conseciŃe asupra coeficienŃilor relaŃiei (5.26): 1) FuncŃia este periodică în ϕ cu perioada 2π → C0=0 2) V(a,0)=0 ; V(a,π)=0

0 0 00

0 0 00

0

( , ) ( ln ) ( ) 0

( , ) ( ln ) ( ) 0

0 ; 0

V a o A a B D A a B a D

V a A a B D A a B a D

D D

λ λλ λ λ

λ

λ λλ λ λ

λ

λ

π

+ −

+ −

= + + + =→

= + + + =

→ = =

∑ (5.27)

3) FuncŃia trebuie să fie mărginită la ∝ pentru problema exterioară → Aλ=0

1

( , ) sine ke k

k

V r V r k r aϕ ϕ∞

=

= >∑ (5.28)

4) FuncŃia trebuie să fie mărginită în origine, pentru problema interioară → Bλ=0

1

( , ) sini ki k

k

V r V r k r aϕ ϕ∞

=

= <∑ (5.29)

Determinarea valorilor parametrului λ compatibile cu datele problemei (valori proprii): ( ,0) 0 sin 0

( , ) 0 sin 0

V r

V r

λϕπ λπ= → =

= → =

(5.30)

Sistemul (5.30) este verificat pentru λ=nunăr întreg=k.

Page 52: Electromagnetism Aplicatii

Metoda separării variabilelor

Pag 46

5) Pe suprafaŃa r = a soluŃia va fi de forma:

0,

1 0

(0, )( , ) sin ( )

( , 2 )e i kk

VV a F k f

V

ϕ πϕ ϕ ϕ

ϕ π π

=

∈= = =

− ∈∑ (5.31)

Din această ultimă condiŃie se determină constantele de integrare Fk :

2 22

10 0

2 2

0 010 0

( ) sin sin

1 cos 2sin sin

2

kk

kk

f k d F k d

kV k d V k d F d

π π

π π π

π

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

=

=

=

−− =

∑∫ ∫

∑∫ ∫ ∫ (5.32)

0 0

2

0 00

2 2

0

1 1 2cos cos

2

4

0

kk imp

V V

k k

k

V k V k Fk k

Vk impar

F kk par

π π

π

πϕ ϕ

π

=

− + − =

== =

(5.33)

Dar

0

0

4

0

4

0

e kke k

k ke

k

i kki k

k ki

k

VV a k impar

V F a kV k par

VV a k impar

V F a kV k par

π

π−

= == →

= =

= == →

= =

(5.34)

Rezultă

0

0

4 1( , ) sin

4 1( , ) sin

k

ek imp

k

ek imp

V aV r k

k r

V rV r k

k a

ϕ ϕπ

ϕ ϕπ

=

=

=

=

∑ (5.35)

sau

04 1( , ) sin

k

k imp

V rV r k

k rϕ ϕ

π<

= >

=

∑ (5.36)

În urma însumării seriei se obŃine:

02 2

2 2 sin( , )

V arV r arctg

a r

ϕϕ

π=

− (5.37)

Page 53: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 47

-0.75

-0.7

5

-0.75

-0.5

-0.5

-0.5

-0.25

-0.25 -0.25

00 0

0.25

0.25 0.25

0.5 0.5

0.50

. 75

0.75

0.7

5

0.75 0.75

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Fig. 5.4.a Liniile echipotenŃiale.

Intensitatea câmpului electric are componentele: 1

r

V VE E

r rϕ ϕ∂ ∂

= − = −∂ ∂

(5.38)

Rezultă 2 2

04 4 2 2

2 20

4 4 2 2

2 2

04 4 2 2

2 2 ( )sin

2 cos 2

2 2 ( )sin

2 cos 2

2 sin2

2 cos 2

re

ri

V a a rE

a r a r

V a a rE

a r a r

a a rVE

a r a rϕ

ϕπ ϕ

ϕπ ϕ

ϕ

π ϕ

+= + −

+ = − + −

−=

+ −

(5.39)

Pe suprafaŃa cilindrului , când r=a

0

0

2 1

sin

2 1

sin

0

re a

ri a

a

VE

a

VE

a

π ϕ

π ϕ

= = −

=

(5.40)

Densitatea superficială de sarcină este:

0 00 0

2 1( )

sins s re ri r a

Vdiv E E E

a

ερ ε ε

π ϕ== = − = (5.41)

Sarcina totală este infinită, ca şi capacitatea şi forŃa, din cauza interstiŃiului nul dintre cei doi electrozi.

Problema 5.5 -EcuaŃia lui Laplace în coordonate polare(2) Să se determine câmpul electric între doi semicilindri conductori, de rază (a), separaŃi de un interstiŃiu (spre deosebire de problema precedentă) în care se va considera o variaŃie continuă a potenŃialului între valorile V0 şi –V0.

Page 54: Electromagnetism Aplicatii

Metoda separării variabilelor

Pag 48

Fig. 5.5 Metoda separării variabilelor pentru un sistem format de doi semicilindri

conductori separaŃi de un interstiŃiu. Rezolvare. SoluŃia generală este aceeaşi ca la problema precedentă :

1

1

( , ) sin

( , ) sin

e ke k

k

i ki k

k

V r V r k r a

V r V r k r a

ϕ ϕ

ϕ ϕ

∞−

=

∞+

=

= >

= <

∑ (5.42)

1

1

( , ) sin

( , ) sin

e ke k

k

i ki k

k

V a V a k r a

V a V a k r a

ϕ ϕ

ϕ ϕ

∞−

=

∞+

=

= >

= >

∑ (5.43)

Din condiŃia la limită pe suprafaŃa r=a se determină constantele Fk :

2

0 0

0 0

0 0

( )sin sin

1 cos 2( )sin

2

2( )sin ( )sin

2

kk

kk

k kk k

f k d F k d

kf k d F d

f k d F F f k d

π π

π π

π π

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕ ϕ

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

π

=

−=

= → =

∑∫ ∫

∑∫ ∫

∑ ∑∫ ∫

(5.44)

( )

( )

0 0

0

0

0 000

00 00 2 2

0 0 0

0 00 02

200

2sin sin

1 sin2 sinsin

02 sin

1 1 4 sin

kk

k

k

kk

F V k d V k d

kV kV k d

k k

parV k

F V kimpk

k

ϕ π ϕ

ϕ

π

π ϕ

ϕϕ ϕ ϕ ϕ

π ϕ

ϕϕπ ϕϕ ϕ

ϕ π ϕ ϕ

ϕϕ

π ϕπ ϕ

= + +

−−+ = − =

= − − =

∑ ∫ ∫

(5.45)

łinând seama de relaŃia (5.44) se obŃine:

0 02

1 10

4 sin( ) sin sink

V kf F k k

k

ϕϕ ϕ ϕ

πϕ

∞ ∞

= =∑ ∑ (5.46)

Rezultă :

a

+V0

-V0 l a b

+V0

-V0

π 2π

ϕ

V

π-ϕ0 ϕ0

Page 55: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 49

0 02

0

0 02

0

4 sin

4 sin

e kk

i kk

V kV a k imp

k

V kV a k imp

k

ϕπϕ

ϕπϕ

+

= =

= = (5.47)

PotenŃialul este:

0 02

0

4 sin( , ) sin

k

kk imp

V k rV r k

k r

ϕϕ ϕ

πϕ<

= >

=

∑ (5.48)

iar componenta radială a intensităŃii câmpului electric rezultă:

0 0

0

4 sinsin

ker

k imp

V kV aE k

r r k r

ϕϕ

πϕ =

∂ = − = ∂ ∑ (5.49)

Deci :

0 0

0

0 0

0

4 sin( , ) sin

int

4 sin1( , ) cos

k

rk imp

k

k imp

extV k rE r k

r k r

V k rVE r k

r r r k rϕ

ϕϕ ϕ

πϕ

ϕϕ ϕ

πϕ

<

= >

<

= >

+ = ± −

∂= − = − ∂

∑ (5.50)

Câmpul pe suprafaŃa electrozilor este :

0 0

0

4 sin( , ) sinr

k imp

V kE a k

a k

ϕϕ ϕ

πϕ =

= ± ∑ (5.51)

0 0

0

4 sin( , ) sin

k imp

V kE a k

ϕϕ ϕ

πϕ =

= − ∑ (5.52)

Densitatea de suprafaŃă a sarcinii electrice pe conductoare este :

[ ]0 0

0

( ) ( , ) ( , )

8 sin( ) sin

s s re ri

sk imp

div E E a E a

V kk

a k

ρ ϕ ε ε ϕ ϕ

ε ϕρ ϕ ϕ

πϕ =

= = −

= ∑ (5.53)

Sarcina lineică se obŃine prin integrare : 0 0

0 0

0

0

0 0

0

0 0 0 0 02 2

0 0

0 02

0

8 sin( ) sin

8 sin 8 2sin coscos

8 sin 2

s sk imp

k imp k imp

k imp

V l kq S al d k d

k

V l k V l k kq k

k k

V l kq

k

π ϕ π ϕ

ϕ ϕ

ϕ

π ϕ

ε ϕρ δ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

πϕ

ε ϕ ε ϕ ϕϕ

πϕ πϕ

ε ϕπϕ

− −

= =−

=

= = =

= =

=

∑∫ ∫ ∫

∑ ∑

(5.54)

Capacitatea lineică între cele două conductoare este :

0 02

0 0

4 sin 2

2 k imp

V l kq qC

U V k

ε ϕπϕ =

= = = ∑ (5.55)

Page 56: Electromagnetism Aplicatii

Metoda separării variabilelor

Pag 50

Problema 5.6 -EcuaŃia lui Laplace în coordonate carteziene 3D

Să se determine câmpul electrostatic din interiorul unei cavităŃi paralelipipedice, cu dimensiunile din fig. 5.6, al cărei capac are potenŃialul V0, iar restul suprafeŃele au potenŃialul nul.

Fig. 5.6 Metoda separării variabilelor pentru

un domeniu paralelipipedic.

Rezolvare. Problema aceasta este o problemă tridimensională, soluŃia este de forma

( , , )V V x y z= (5.56)

În cazul metodei separării variabilelor:

( , , ) ( ) ( ) ( )V x y z X x Y y Z zλµ λµ λµλµ

=∑ (5.57)

EcuaŃia în coordonate cateziene este 2 2 2

2 2 20 0

0

V V VV

x y z

X Y Z

X Y Zλµ λµ λµ

λµ λµ λµ

∂ ∂ ∂∆ = = + + =

∂ ∂ ∂

+ + =ɺɺ ɺɺ ɺɺ (5.58)

2 2 2 2

2 2 2 2 2

0 0

0 0

X Y ZX X r r i

X Y Z

Y ZY Y r r i

Y Z

λµ λµ λµλ λ

λµ λµ λµ

λµ λµµ µ

λµ λµ

λ λ λ λ

λ µ µ µ µ

= − + = − + = + = = ±

= − = − + = + = = ±

ɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ

ɺɺ ɺɺɺɺ

(5.59)

Se obŃin trei ecuaŃii diferenŃiale pentru cele trei funcŃiuni de câte o variabilă :

2 2 2 2 2 2 2

2 2

( ) 0 ( ) 0Z

Z Z rZ

r

λµλµ λµ

λµ

λ µ λ µ λ µ

λ µ

= + − + = − + =

= ± +

ɺɺɺɺ

(5.60)

SoluŃiile ecuaŃiilor (5.59) şi (5.60) sunt:

0 0 0

0 0 0

00 00 00

0 0 0

0 0 0

2 2 2 2

sin cos

sin cos

X A x B

X A x B x

Y C y D

Y C y D y

Z E z F

Z E sh z F ch z

Z E sh z F ch z

Z E shz F chz

λ λ λ

µ µ µ

µ µ µ

λ λ λ

λµ λµ λµ

λ λ

µ µ

µ µ

λ λ

λ µ λ µ

= +

= +

= +

= +

= +

= +

= +

= + + +

(5.61)

x y

z

a

b

c

V0

Page 57: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 51

SoluŃia generală pentru o problemă tridimensională este superpoziŃia soluŃiilor particulare corespunzătoarelor tuturor valorilor posibile ale parametrilor λ şi µ:

( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( )

( )(

)( )

0 0 0 0 00 00

0 0 0 0

0 0 0 0

2 2 2 2

( , , )

sin cos

sin cos

sin cos sin

cos

V x y z A x B C y D E z F

A x B C y D y E sh z F ch z

C y D A x B x E sh z F ch z

A x B x C y

D y E shz F chz

µ µ µ µµ

λ λ λ λλ

λ λ µλ µ

µ λµ λµ

µ µ µ µ

λ λ λ λ

λ λ µ

µ λ µ λ µ

= + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ +

+ + + +

∑∑

(5.62)

Determinarea constantelor se face din condiŃile de pe frontieră:

0

0

00 0 0

0 0 0 ; 0

0 0 0 ; 0

0 0 0; 0; 0; 0

x V B B

y V D D

z V F F F F

λ

µ

µ λ λµ

= = ⇒ = =

= = ⇒ = =

= = ⇒ = = = =

(5.63)

Momentan, soluŃia generală este de forma:

( )0 0 00 0 0

2 20 0

( , , ) sin

sin sin sin

V x y z A C E xyz A x C y E sh z

C y A x E sh z A x C y E shz

µ µµ

λ λ λ µ λµλ λ µ

µ µ

λ λ λ µ λ µ

= + ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

∑ ∑∑ (5.64)

Din condiŃile x=a şi y=b se obŃine:

0

0

0 0; sin 0

0 0; sin 0

mx a V A a a m

an

x b V D b b nb

πλ λ π λ

πµ µ π µ

= = ⇒ = = = ⇒ =

= = ⇒ = = = ⇒ = (5.65)

2 2

2 2( , , ) sin sin

mn

mnm n

F

m n m nV x y z V sh c x y

a b a b

π ππ= + ⋅∑∑

(5.66)

( ) ( )

2 20

0 0 0 0

0 2

0 0

sin sin sin in

1 1 1 1

1 2 1 21 cos 1 cos

2 2

a b a b

mn

m n

a a

mn

m x n y m x n yV dx dy F dxdy

a b a b

abV

mn

m x n yF dx dy

a b

π π π π

ππ π

=

− − − − =

= − −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

(5.67)

020 2 2

2

2 2

0 ,16 1

16,mn mn

m n parV

F VVmnm n imp m nmn sh c

a b

ππ π

== =

= +

(5.68)

2 2

02 2 2

sin sin16

( , , )m n

m x n y m nshz

a b a bVV x y z

m nm n shc

a b

π π π π

π π π

+ =

⋅ ⋅ +

∑∑ (5.69)

Page 58: Electromagnetism Aplicatii

FuncŃii de variabilă complexă.

Pag 52

6 FuncŃii de variabilă complexă.

Breviar.

FuncŃiuni analitice de variabilă complexă.

O funcŃie w(z)=u(x,y)+jv(x,y) este analitică într-un domeniu dacă pentru orice punct z0 din domeniu admite dezvoltare în serie întreagă de z=z0, convergentă în vecinătatea lui z0. • CondiŃiile Cauchy-Riemann : u v u v

x y y x

∂ ∂ ∂ ∂= = −

∂ ∂ ∂ ∂ (B6.1)

• ConsecinŃă: părŃile reală şi imaginară ale unei funcŃiuni analitice sunt funcŃiuni armonice (satisfac ecuaŃia lui Laplace):

( , ) 0; ( , ) 0;xy xyu x y v x y∆ = ∆ = (B6.2)

Utilizarea metodei funcŃiunilor de variabilă complexă pentru determinarea câmpurilor electrostatice plan-paralele.

SoluŃia ecuaŃiei Laplace în plan poate fi căutată sub forma părŃii reale sau imaginare a unei funcŃiuni analitice w(z) numită potenŃial complex. • Dacă V(x,y) = v(x,y) :

( ) x y

dwE z E jE j

dz

∗ = + = −

(B6.3)

- linii echipotenŃiale: v(x,y) = const; - linii de câmp: u(x,y) ‚ const.

• Dacă V(x,y) = u(x,y) :

( ) x y

dwE z E jE

dz

∗ = + = −

(B6.4)

- linii echipotenŃiale: u(x,y) = const; - linii de câmp: v(x,y) ‚ const.

Prin metalizarea unor suprafeŃe echipotenŃiale, se obŃine câmpul electric între electrozi de forma respectivă.

Problema 6.1 -FuncŃiunea W=Az Să se studieze câmpul electric al cărui potenŃial complex este W=Az. Rezolvare.

a. A=Real

( )

( )

c x y y

u Ax ctW Az A x jy u jv

v Ay ct

dWE j jA jA E jE E A

dz

∗∗

= == = + = + →

= =

= = = − = + → = −

(6.1)

Câmpul electric complex este : 0; yE E A= = −x (6.2)

Page 59: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 53

b. A=Imag=jB

( )

0

( )

c x y x

u By ctW jBz Bj x jy jBx By u jv

v Bx ct

dWE j jjB B E j E E B

dz

∗∗

= − == = + = − = + →

= =

= = = − = + → = −

(6.3)

Câmpul electric complex este : ; 0yE B E= − =x (6.4)

Fig. (6.1) Studiul potenŃialului complex w(z)= Az.

Problema 6.2 -FuncŃiunea W=A(z-a2/z) Să se studieze proprietăŃile câmpului al cărui potenŃial complex este:

2

( )a

W A zz

= − (6.5)

A fiind o constantă reală. Rezolvare. Se operează asupra expresiei (6.5) astfel încât să putem identifica partea reală şi cea imaginară

( ) ( )

2 2

2

2

2

( ) ( )

cos sin cos sin

cos

sin

j j j

j

a aW A re A re e

re r

aAr j A j

r

au A r

rW u jv

av A r

r

ϕ ϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

−= − = − =

= + − −

= −

= + →

= +

(6.6)

Convenim să luăm partea reală a funcŃiunii W ca funcŃiune potenŃial u: 2

cosa

V u A rr

ϕ

= = −

(6.7)

SuprafaŃa echipotenŃială U=0 are ecuaŃia: 2 2 0r a− = (6.8)

care este ecuaŃia suprafeŃei unui cilindru de rază a. Pentru valori mari ale lui r, cosu Ar Ayα→ = (6.9)

linii echipotenŃiale

x

y

linii de câmp

Ex=-B

A=jB

linii echipotenŃiale

x

y

linii de câmp

Ey=-A

A=real

Page 60: Electromagnetism Aplicatii

FuncŃii de variabilă complexă.

Pag 54

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Fig. (6.2) Liniile de câmp

şi echipotenŃiale ale câmpului W=A(z-a2/z)

---- linii echipotenŃiale . . . linii de câmp → y ↓ x

RelaŃia (6.9) arată că la mare depărtare de axa cilindrului câmpul este practic uniform

; 0y x

UE A E

y

∂= − = − =∂

(6.10)

Intensitatea câmpului la suprafaŃa cilindrului este:

( )

2 22

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1

1 cos 2 sin 2

1 cos 2 sin 2 2 cos

jc

c

dW a aE A A e

dz z r

a aA jA

r r

E A A

α

α α

α α α

∗∗ = − = − + = − + =

= − + −

= + + =

(6.11)

Presupunând cilindrul metalic, fiindcă suprafaŃa lui este echipotenŃială, densitatea superficială a sarcinii electrice va fi:

2 coss cE Aρ ε ε α= = (6.12)

iar sarcina totală a cilindrului pe unitatea de lungime: 2 2

0 0

2 cos 0s sq dS ad aA dπ π

ρ ρ α ε α α= = = =∫ ∫ ∫ (6.13)

În consecinŃă avem de-a face cu câmpul unui cilindru metalic infinit lung, iniŃial neîncărcat cu sarcină electrică, introdus într-un câmp iniŃial uniform, cu intensitatea:

0E A= − (6.14)

Problema 6.3 -FuncŃiunea W=C lnz Să se studieze proprietăŃile câmpului al cărui potenŃial complex este:

lnW C z= (6.15)

în care C=real. Rezolvare.

( ) ( )ln ln ln

ln

jW C z C re C r j

u C rW u ju

v C

ϕ ϕ

ϕ

= = = +

== + →

=

(6.16)

Page 61: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 55

Spectrul câmpului este reprezentat în fig. 6.3.

Fig. (6.3) Spectrul câmpului W=C ln z

Fig.(6.3.a)

Un exemplu pentru situaŃia aceasta este cazul particular prezentat în fig.6.3.a, în care se metalizează razele ϕ=0 şi ϕ=π:

0

0 0V

V V

ϕϕ π

= =

= = (6.17)

łinând seama de relaŃia (6.16) şi vom considera

0 00 ln

V VV C C W zπ

π π= → = → = (6.18)

Intensitatea câmpului electric se determină imediat:

2 2

2

2 2

1 1 1c

x

x

dWE j jC jC jC

dz z z x jy

yE C

x yx jyjC

xrE C

x y

∗ ∗

= = = − = − = −

= ++ = − →

= − +

(6.19)

łinând seama de relaŃia (6.18) se obŃine:

02

0 0 00

02

1;

x

s n n

y

V xE

V Vr E D EV y r r

Er

επ ρ επ π

π

= = = = == −

(6.20)

Capacitatea lineică între liniile de câmp de raze (a) şi (b) este :

0 0 lnlab

V bC

a

επ

= (6.21)

Problema 6.4 -FuncŃiunea W=jG lnz Să se studieze proprietăŃile câmpului al cărui potenŃial complex este (G=real):

( ) ( )

( )( )

ln ln ln

1

ln 2

jW jG z jG re jG r j

u GW u jv

v G r

ϕ ϕ

ϕ

= = = +

= −= + → =

(6.22)

V=0 V=V0 linii de câmp

linii echipotenŃiale

Page 62: Electromagnetism Aplicatii

FuncŃii de variabilă complexă.

Pag 56

Fig. (6.4) Spectrul câmpului pentru W=jG ln z

Fig.(6.4.a) Caz particular : condensator

cilindric. Rezolvare. Un exemplu pentru situaŃia aceasta este cazul particular prezentat în fig.6.4.a, în care s-au presupus metalizate două suprafeŃe echipotenŃiale, de raze a şi b :

1 1

2 2

ln ln

ln ln

V G r G a

V G r G b

= =

= = (6.23)

Se constată că această funcŃiune reprezintă câmpul într-un condensator cilindric circular. Dacă se dă tensiunea între cele două conductoare :

2 1 lnln

b UU V V U G G

baa

= − → = − → = − (6.24)

atunci sarcina lineică a armăturii interioare este: 2

0

2lq dU G d Gπ

ε ε ϕ πεΓ

= = − = −∫ ∫ (6.25)

Dacă se dă sarcina lineică ql ,atunci:

2lq

Gπε

= − (6.26)

Capacitatea lineică este: 2 2

ln ln

ll

q GC

b bU Ga a

πε πε−= = =

− (6.27)

Problema 6.5 -FuncŃiunea W=jAln[(z+a)/(z-a)] Să se studieze potenŃialul complex dat de funcŃiunea:

lnz a

w jAz a

+=

− (6.28)

unde A şi (a) sunt reali. Rezolvare. Se separă părŃile reală şi imaginară :

ln argz a z a

w u jv jA jz a z a

+ + = + = + − −

(6.29)

Dar :

b

a

V2

V1

linii de câmp

linii echipotenŃiale

Page 63: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 57

1 2

1 21 2 2 2 2

1 2

arg arg( ) arg( )

2( )

1

z az a z a

z atg tg ay

tgtg tg x y a

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ

+= + − − = −

−− −

− = =+ + −

(6.30)

Rezultă :

2 2 2

2 2

2 2

2

( )ln

2 ( )

ayu A arctg

x y a

A x a yv

x a y

− = − + −

+ + = − +

(6.31)

Fig. (6.5) Definirea potenŃialului

complex şi liniile u=const şi v=const.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Familiile de curbe u=const şi v=const sunt cercurile lui Appolonius . Dacă se metalizează două echipotenŃiale, se obŃine câmpul electric dintre doi cilindri paraleli. Fie, spre exemplu, configuraŃia din fig. 6.5.a, în care doi cilindri paraleli, de raze R, se află la distanŃa 2D între cele două axe.

Fig. (6.5.a) Câmpul între doi cilindri paraleli.

Dacă se pune condiŃia ca una dintre echipotenŃiale să coincidă cu cercul de rază R şi cu centrul în x =D, se obŃine potenŃialul V al acestui cilindru. Tensiunea între cei doi cilindri este :

2 2

2 2

22 ln 1 1 1

D RU V A

R D

= = + − −

(6.32)

Dacă sarcina lineică a unui cilindru este ql , atunci :

2lq

Aπε

= (6.33)

iar capacitatea lineică între cele două conductoare este:

2 2

2 2

2

2ln 1 1 1

ll

qC

U D R

R D

πε= =

+ − −

(6.34)

În cazul particular al unor cilindri de diametru mic în raport cu distanŃa dintre axe (R<<D), se obŃine :

D D

R

V

-V

a -a

z-a

z+a

Page 64: Electromagnetism Aplicatii

FuncŃii de variabilă complexă.

Pag 58

( )22

2

2ln

lCD

R

πε

≃ (6.35)

Problema 6.6 -FuncŃiunea W=A argch(z/c) Să se studieze potenŃialul complex dat de funcŃiunea:

argz

w A chc

= (6.36)

unde A şi c sunt reali. Rezolvare. Este convenabil să se studieze funcŃiunea inversă :

w u jvz c ch c ch

A A

+= = (6.37)

de unde se obŃine:

cos

sin

u vx c ch

A Au v

y c shA A

= =

(6.38)

Prin eliminări, se obŃin ecuaŃiile liniilor u=const, 2 2

2 2 1x y

u uc ch c sh

A A

+ = +

(6.39)

respectiv v=const: 2 2

2 2 1

cos sin

x y

v vc c

A A

− = +

(6.40)

Se constată că liniile u=const sunt elipse, iar liniile v=const sunt hiperbole confocale cu primele .

Fig. (6.6) Liniile u=const şi v=const.

Fig. (6.6.a) Câmpul între două benzi plane

paralele. Ca aplicaŃie, se metalizează două echipotenŃiale extreme (v=0 şi v= A π/2), cărora li se atribuie potenŃialele 0, respectiv V0. Se obŃine astfel un sistem format din două benzi metalice paralele şi coplanare, de lăŃimi practic infinite, având două margini la distanŃa 2c. PotenŃialul complex este, deci :

0 argV z

w chcπ

= (6.41)

linii de câmp linii echipotenŃiale

c c

V=0 V0

x

y

u=const v=const

v=0

v=A π/2

v=A π

Page 65: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 59

7 Transformări conforme.

Breviar.

Transformări conforme. Transformarea conformă stabileşte o corespondenŃă între punctele din planele complexe z=x+jz şi ζ=ξ+jη. Dacă se cunoaşte soluŃia (potenŃialul complex) w din planul ζ, transformarea conformă furnizează soluŃia W din planul z:

( ) ( )w(ς)= w z W zς → (B7.1)

Utilizarea metodei transformărilor conforme pentru determinarea câmpurilor electrostatice plan-paralele.

ProprietăŃile transformărilor conforme. a) Dacă funcŃia ς(z) este olomorfă în DZ şi z(ς)este olomorfă în Dς, atunci:

- transformarea este biunivocă - transformarea este bicontinuă, ς(z) şi z(ς) sunt continue

b) Unghiurile dintre două curbe se păstrează. c) Liniile de câmp se transformă tot în linii de câmp, corespunzătoare aceleiaşi valori U şi liniile

echipotenŃiale se transformă tot în echipotenŃiale corespunzătoare aceleiaşi valori V. d) Teorema lui Riemann : Transformarea conformă DZ pe Dς este univoc determinată de trei

parametri. e) Transformarea mărimilor de câmp : Valorile numerice se conservă. ConsecinŃe :

1. Valorile potenŃialului se conservă, deci şi tensiunile se conservă 2. Valorile fluxurilor se conservă : 3. PermeanŃele geometrice se conservă, deci şi capacităŃile şi conductanŃele. 4. Energiile se conservă 5. Câmpurile nu se conservă. Se conservă V, ∆U dar nu se conservă distanŃele, deci

cz c

dE E

dzς

ς∗

= (B7.2)

f) Transformarea Schwartz-Christoffel permite transformarea conformă a interiorului unui poligon din planul (z) pe semiplanul superior al planului (ζ). Domeniul este mereu de aceeaşi parte a conturului, în raport cu sensul de parcurs :

Fig. B7.1 Transformarea Schwartz - Christoffel.

( )

( )

11

1 21

n

n

n

nk

n

nk

dzC

d

z C d C

απ

απ

ς ςς

ς ς ς

=

=

= −

= − +

∏∫ (B7.3)

y

x

η

ξ

A

A

B

B

C

C

D

D E

E

α1

α2

α3

α4

α5

a b

z ζζζζ

sens pozitiv

Page 66: Electromagnetism Aplicatii

Transformări conforme.

Pag 60

Problema 7.1 -Câmpul la marginea unui condensator plan Să se determine câmpul electric la marginea unui condensator plan (condensatorul lui Maxwell) cu distanŃa dintre armături 2d şi diferenŃa de potenŃial dintre armături 2V0.

Fig. 7.1 Câmpul electric la marginea unui

condensator plan.

Rezolvare : Modelul teoretic este (fig. 7.1.a): - se consideră câmpul plan paralel - se consideră condensatorul infinit în rest - se consideră simetria problemei şi putem în acest caz să studiem numai jumătate. Va trebui să calculăm V(x,y) pentru următoarea configuraŃie în planul xy (fig. 7.1.a).

Fig.(7.1.a) Model pentru calculul câmpului electric la maginea unui condensator plan.

Aplicând transformarea Schwartz-Cristoffel, domeniul aflat la stânga frontierei A B C A din planul z îi corespunde domeniul din planul ς din fig.7.1.a. CorespondenŃa punctelor (fig. 7.1.b) este:

Fig.(7.1.b) Transformarea Schwartz – Christoffel pentru calculul câmpului electric la

marginea unui condensator plan.

x

y

A←

→A B

B

C←

C A←

ξ

η

V0

V0

V=0

V=0

a b

z

ζ

+

2d

V=V0

V=-V0

V=0

d

V=V0

V=0 x

y

a b

d

V0

-V0

Page 67: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 61

punct z ς αk A ∞ ∞ B jd -1 − π C ∞ 0 + π

RelaŃia de transformare este :

( ) ( )

( )

1 1

1 1

1 1 2

1 2

11 0

1 1

ln

dz dzC C

d d

dzC z C d C

d

z C C

ςς ς

ς ς ςς ς

ςς ς ς

ς ς

− += + − =

+ += → = +

= + +

∫ (7.1)

Determinarea constantelor se face din corespondenŃa punctelor. • Pentru B :

( )

[ ]

1 2

1 2

jd=C 1 ln 11

C 1

z jdC

jd j C

ς

π

= → − + − + = −

= − + +

(7.2)

• Pentru C :

[ ]

1 2

1 2

=C 0 ln 00

C 1

zC

jd j C

ς

π∞

= ∞ → ∞ + + =

= − + +

(7.3)

RelaŃia (7.3) nu aduce mare lucru în plus, avem o relaŃie cu ajutorul căreia trebuie să determinăm două constante. Pentru punctul C se poate calcula :

2

1

2 1 1

22

1 1 1 101 0 1

1 1

1

1ln ln

z j

jz

z z z jd dz C d

edz C d C C C j

e

djd C j C

π

ςς

ς

ς ςς ς ς π

ς ς

ππ

+∆ = − = ⇔ =

+= = + = =

= → =

∫ ∫ (7.4)

Din relaŃia (7.3) rezultă :

1 2C C= (7.5)

Deci

[ ] 11 ln

d dz dz

d

ςς ς

π ς π ς +

= + + =

(7.6)

S-a aflat z(ς), dar nu se poate afla simplu ς(z) SoluŃia pentru ς este (fig. 7.1.c):

Page 68: Electromagnetism Aplicatii

Transformări conforme.

Pag 62

Fig.(7.1.c) PotenŃialul complex al câmpului

produs de doua plane conductoare coplanare.

00

ln0 0

ln ; ln ln0

U rVV

w(ς)= r j VV VV

θς ς θ

θ ππ θπ

= = == + → →

= ==

(7.7)

Rezultă (fig. 7.1.d):

[ ]

0( ) ln

1

1 ln

Vw

dz d

d

dz

ς ςπς

ς π ς

ς ςπ

=

+ = = + +

(7.8)

a b Fig.(7.1.d) Câmpul electric la marginea unui condensator plan.

Graficele sunt realizate cu ajutorul programelor Matlab prezentate în anexă.

Calculul câmpului:

( )

( )

( ) ( )0

0 0

0

00

1ln

1 1 1

1 1

cz

Ë

dW zdW d dw dE j j j

dz d dz d dz

V Vdw dj j j

jVd ddz d d dd

V j jE

d

ς ς ςς ς

ςς ς π π ς

ς ς ςς π ς π ς

ς ς

∗ ∗∗

∗ ∗∗

∗ ∗

= = = =

= = = = = + + +

− −

= =+ +

(7.9)

Calculul se face astfel: se alege ς, se află z şi apoi se calculează câmpul.

-1

linii de camp

linii echipotentiale

V0 V=0

r

θ

x

y

θ=π

Page 69: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 63

Exemple:

1) Câmpul pe planul median (corespunzător segmentului CA din fig.(7.1.b) a şi b). În acest caz:

z = x+ jy (y = 0) z = y

= + j ( = 0)ς µ η η ς µ→

→ = (7.10)

( ) ( )

( )

( )

0 0 0

0

0

111

1 ln1

1 ( )1 ln

x

czy

y

Ej j

E E E EE

dzE z x

dE xx

µς µ

ς ςπ

ς µµµ µ

π

=− −

= = → = −++ +

= + + == − ← ←

=+ = + +

(7.11)

µ 0 1 ∝ x -∝ 2d/π ∝ Ey/E0 -1 -1/2 0

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

0

1

2

3

4

5

Fig.(7.1.e) Intensitatea câmpului electric

pe planul median.

2) Câmpul pe armătura de sus – faŃa interioară (corespunzător segmentului BC din

fig.(7.1.b) a şi b).

( 1 0)

ln ln( ) ln

z = x+ jy (x < 0)

= + j ( = 0)

r r j

ς µ η η ς µ µς π

→ = − ≤ ≤

= − = +

(7.12)

( )

( )

( )1 ln1 ln

1 ln

ddz

x r r

dd dx jd r r j

ς ςπ π

ππ

= + + = − + → =+ = − + +

(7.13)

Page 70: Electromagnetism Aplicatii

Transformări conforme.

Pag 64

( ) ( )

( )

0 0 0

0

0

1 11

0

1 ln1

1

x

cz

y

real

x

y

Ej j

E E E EEr

r

Ed

E x r r

E r

ς

π

∗ ∗

=− −

= = → = −+ − −

=

← = − += − −

(7.14)

r 0 … 1 x -∝ … 0 Ey/E0 -1 … -∝

3) Câmpul pe armătura de sus – faŃa superioară (corespunzător segmentului AB din

fig.7.3 a şi b).

( 1)

z = x+ jy (x < 0)

= + j ( = 0)ς µ η η ς µ µ→ = −∞ ≤ ≤ − (7.15)

( )

( )

( )1 ln1 ln

1 ln

ddz

x r r

dd dx jd r r j

ς ςπ π

ππ

= + + = − + → =+ = − + +

(7.16)

( ) ( )

( )

0 0 0

0

0

1 11

0

1 ln1

1

x

cz

y

real

x

y

Ej j

E E E EEr

r

Ed

E x r r

E r

ς

π

∗ ∗

=− −

= = → = −+ − −

=

← = − += − −

(7.17)

r -∝ … 1 x -∝ … 0 Ey/E0 0 … ∝

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

0

1

2

3

4

5

Fig.(7.1.f) Intensitatea raportată a câmpului

electric pe o echipotenŃială din vecinătatea electrodului (se evidenŃiază “efectul de capăt”).

Page 71: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 65

Problema 7.2 -Câmpul deasupra unui planşeu conductor cu o treaptă

Să se determine câmpul electric uniform la distanŃă foarte mare, deasupra unui planşeu conductor care prezintă o treaptă cu înălŃimea h.

Fig. 7.2 Câmpul electric deasupra unei trepte.

Rezolvare :

Se transformă conform domeniul din planul (z) pe semiplanul superior din planul (ζ). Întrucât conturul este definit de trei puncte (punctele de la infinit A şi D sunt, în fond, aceleaşi), se pot alege arbitrar corespondentele tuturor celor trei puncte. Se obŃine următorul tabel de corespondenŃe necesare pentru aplicarea transformării Schwartz – Christoffel :

Punctul z ζ α A ∞ ∞ B jh -1 -π/2 C 0 +1 +π/2

Din formula lui Schwartz – Christoffel rezultă :

( ) ( )1 1

2 21 1

11 0

1

dzC C

d

ζς ς

ς ζ

− += + − =

− (7.18)

Prin integrare, se obŃine :

( )1 21 1 argz C ch Cζ ζ ζ= − + + + (7.19)

Din corespondenŃele punctelor B şi C rezultă cele două constante C1 şi C2. Se obŃine relaŃia de transformare :

( ) ( )1 1 arg 1 1 ln( 1 1)h h

z chζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζπ π= − + + = − + + + − + (7.20)

În continuare, se determină potenŃialul complex din planul transformat ζ. Deoarece acest câmp este omogen, se poate considera :

0( )w Eζ ζ= (7.21)

în care E0 este intensitatea câmpului la distanŃă foarte mare deasupra planşeului. Se poate raporta câmpul la această valoare, ceea ce revine la a adopta E0 = 1. De asemenea, este convenabil ca şi coordonatele (z) să fie raportate la lungimea de referinŃă (h). Se obŃine, astfel, corespondenŃa cerută :

( ) ( )1 11 1 arg 1 1 ln( 1 1)

1 1

1

zZ w w chw w w w w w

h

dZ w

dw w

π π

π

= = − + + = − + + + − +

+=

(7.22)

Ca şi în cazul precedent, formula nu poate fi inversată, încât nu se poate determina soluŃia sub forma w =w(z), însă aceasta nu este un mare impediment. Într-adevăr, spectrul câmpului poate fi obŃinut trasând liniile u=const (liniile de câmp) sau v=const (liniile echipotenŃiale).

A B

C D x

y

h

E0

V=0

A B C D

ξ

η

-1 1

z ζ

Page 72: Electromagnetism Aplicatii

Transformări conforme.

Pag 66

Aceasta se poate realiza simplu cu ajutorul programului Matlab :

u1=-4; u2=2; du=0.2;

v1=0; v2=2; dv=0.2;

%linii de camp

for u=u1:du:u2;

v=v1:dv:v2;

w=u+i*v; z=(sqrt(w-1).*sqrt(w+1)+log(w+sqrt(w-1).*sqrt(w+1)))/pi; x=real(z); y=imag(z);

plot(x,y,'k');

axis equal;

hold on;

end

%linii echipotentiale

for v=v1:dv:v2;

u=u1:du:u2;

w=u+i*v; z=(sqrt(w-1).*sqrt(w+1)+log(w+sqrt(w-1).*sqrt(w+1)))/pi; x=real(z); y=imag(z);

if v==0 plot(x,y,'k','LineWidth',2);

else plot(x,y,':k');

end

end

Cunoscătorii Matlab pot găsi rezolvări mai concise şi mai economice, folosind posibilităŃile limbajului de programare al acestei aplicaŃii. Cu toate acestea, am preferat (ca şi în celelalte exemple) soluŃii mai « directe », mai uşor de urmărit şi care pot fi transpuse mai simplu în alte limbaje de programare.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.5

1

1.5

Fig. 7.2.b Spectrul câmpului din

problema 7.2.

Este însă mai complicat de determinat câmpul electric într-un punct (Z0) dat. În fond, problema se reduce la rezolvarea ecuaŃiei :

0( ) ( ) 0F w Z w Z= − = (7.23)

O soluŃie iterativă folosind metoda Newton – Raphson este următoarea :

IniŃializare : W = valoare iniŃială //IteraŃii : Repetă

0( )

;

nou

nou nou

Z w Zw w

dZ

dw

err w w w w

−= −

= − =

cât timp err > eroarea admisibilă

Din acest mottiv, la prezentarea transformării conforme rezultante s-a adăugat şi formula care dă pe dZ/dw.

Page 73: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 67

Problema 7.3 -Câmpul în zona frontală a unui întrefier Să se determine câmpul electric în zona frontală a unui întrefier.

Fig. 7.3 Câmpul electric în zona frontală a unui întrefier.

Rezolvare : Întrefierul total este 2d dar, din motive de simetrie, se poate studia numai o jumătate din domeniu. Se transformă conform domeniul din planul (z) pe semiplanul superior din planul (ζ). Se pot alege arbitrar corespondentele tuturor celor trei puncte. Se obŃine următorul tabel de corespondenŃe necesare pentru aplicarea transformării Schwartz – Christoffel :

Punctul z ζ α A ∞ ∞ B jd -1 -π/2 C ∞ 0 +π

La stabilirea unghiului α corespunzător punctului C se constată că segmentul BC trebuie rotit cu 180° în sens trigonometric direct pentru a-l suprapune peste CD.

Din formula lui Schwartz – Christoffel rezultă :

( )1

121 1

11

dzC C

d

ζς ζ

ς ζ− +

= + = (7.24)

Prin integrare, se obŃine :

1 2

1 12 1 ln

1 1z C C

ζζ

ζ

+ −= + + + + +

(7.25)

Din corespondenŃele punctelor rezultă cele două constante C1 şi C2. Se obŃine relaŃia de transformare :

1 11( ) 2 1 ln

1 1

zZ

d

ζζ ζ

π ζ

+ −= = + + + +

(7.26)

În continuare, se determină potenŃialul complex din planul transformat ζ. Aceasta revine la a transforma domeniul din planul ζ în domeniul din planul w. SoluŃia a fost dată mai sus (relaŃia 7.8) :

00( ) lnw

V WVw e e

ππζ ζ ζ

π= ⇒ = = (7.27)

Înlocuind în relaŃia (7.26) rezultă Z(ζ(w)) =Z(w). Codul Matlab este similar celui de mai sus. În fond, singurul element care diferă este reprezentat de către formula de calcul a funcŃiunii de transformare (puse în evidenŃă cu caractere aldine). Aceasta permite realizarea unui program generic, căruia i se furnizează funcŃiunea care realizează transformarea conformă corespunzătoare (v . programele din anexă).

u

A

B

C

D

x

y

d

V=0

A B C D

ξ

η

-1

z ζ

V=V0

w v

V=V0

j

V=0

Page 74: Electromagnetism Aplicatii

Transformări conforme.

Pag 68

u1=-2; u2=1; du=0.1;

v1=0; v2=1; dv=0.1;

%linii de acmp

for u=u1:du:u2;

v=v1:dv:v2;

w=u+i*v; zeta=exp(w.*pi); z=2*(2*sqrt(zeta+1)+log((sqrt(zeta+1)-1)./(sqrt(zeta+1)+1)))/pi; x=real(z); y=imag(z);

plot(x,y,'k');

axis equal;

hold on;

end

%linii echipotentiale

for v=v1:dv:v2;

u=u1:du:u2;

w=u+i*v; zeta=exp(w.*pi); z=2*(2*sqrt(zeta+1)+log((sqrt(zeta+1)-1)./(sqrt(zeta+1)+1)))/pi; x=real(z); y=imag(z);

if ( v==1)|(v==0) plot(x,y,'k','LineWidth',2);

else plot(x,y,':k');

end

end

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

6

Fig. 7.3.b Spectrul câmpului din problema 7.3 şi intensitatea câmpului pe echipotenŃiala

V=V0/2. În figura de mai sus s-au reprezentat şi vectorii câmpului de pe una din liniile echipotenŃiale.

Problema 7.4 -Câmpul într-un intrefier în trepte Să se determine câmpul dintre electrozii din fig.7.4.a.

Fig. 7.4 Domeniul pentru calculul câmpului electric.

A

B

C D

x

y

d

V=0

z

V=V0

A

A B C D

ξ

η

q² 1

ζ

D c

Page 75: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 69

Rezolvare.

Se transformă conform domeniul din planul (z) pe semiplanul superior din planul (ζ). Se pot alege arbitrar corespondentele pentru trei puncte, iar al patrulea punct se va transforma în consecinŃă (pentru moment, se adoptă o coordonată q² <1 care va rezulta în urma calculului). Se obŃine următorul tabel de corespondenŃe necesare pentru aplicarea transformării Schwartz – Christoffel :

Punctul z ζ α A ∞ 0 +π B -j(c-d) q² +π/2 C 0 1 -π/2 D ∞ ∞

Din formula lui Schwartz – Christoffel rezultă :

( )11

1 2 221 1 2

1 1( 1)

dzC q C

d q

ζζ ς ζ

ς ζ ζ

−− −

= − − =−

(7.28)

Pentru integrare, se poate face schimbarea de variabilă :

22

1t

q

ζζ−=

− (7.29)

După efectuarea calculelor, se obŃine :

1 2

1 1 1ln ln

1 1

t qtz C C

t q qt

+ += − + − −

(7.30)

Pentru determinarea constantelor, se face apel la corespondenŃa punctelor : - Punctul A : acesta nu poate fi folosit. - Punctul B :

21 2

1( ) 1B Bz j c d q c d C C

qζ π

= − − → = ⇒ − = − +

(7.31)

- Punctul C :

20 1 0C Cz Cζ= → = ⇒ = (7.32)

- Punctul D : acesta nu aduce nimic nou. Mai este necesară o relaŃie, care însă nu mai poate fi obŃinută din corespondenŃa punctelor. Această relaŃie poate fi obŃinută impunând condiŃia ca integralele pe contururile din fig.7.4.a să fie egale :

Fig. 7.4.a Egalitatea între integralele pe două conture corespondente.

Linia dreaptă care uneşte în planul z cei doi electrozi, la distanŃă foarte mare de origine, corespunde unui semicerc de rază foarte mică care înconjoară punctul A din planul ζ. Din relaŃia 7.28 se obŃine, pentru aceste puncte:

A

B

C D

x

y z

A

B C D

ξ

η ζ

D

c

ζ=ρ e jθ

Page 76: Electromagnetism Aplicatii

Transformări conforme.

Pag 70

1 12

1 1 1 1; 1j

j

dz dze C C

d q d q eθ

θ

ζζ ρ ρ

ς ζ ζ ς ρ−

= → = →−

≪ ≃ (7.33)

Prin integrarea pe cele două contururi, rezultă :

1 1

0 0

1 j

j

dz j e cqdz d jc C d C

d q e

π π θ

θ

ρζ θ

ζ ρ π= → = → =∫ ∫ ∫ (7.34)

Din relaŃiile (7.31), (7.32) şi (7.34) rezultă :

1d

qc= < (7.35)

PotenŃialul complex din planul ζ este cel din cazul precedent (relaŃia 7.27, în care se poate considera W=w/V0, pentru a reprezenta câmpul în unităŃi relative) În consecinŃă, funcŃiunea care realizează transformarea conformă este :

2

2

1 1 1 1 1ln ln ; ;

1 1

1

z t qtZ t

d t q qt q

dZ

dW q

ζπ ζ

ζζ

+ + −= = − = − − −

−=

(7.36)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Fig. 7.4.b Spectrul câmpului şi câmpul pe unul din electrozii din problema 7.4.

Problema 7.5 -Câmpul într-un întrefier cu crestături Să se determine câmpul în interiorul unui întrefier cu crestături dreptunghiulare.

Fig. 7.5 Câmpul în interiorul unui întrefier cu crestături dreptunghiulare.

A

x

y

B

C

D

d

a

V0

V=0

z

C D A B C

ξ

η ζ

-1 1 q

D

A

Page 77: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 71

Rezolvare. Problema apare în special în studiul câmpului magnetic din intrefierul maşinilor electrice cu crestături dreptunghiulare şi cu circuitul magnetic cu permeabilitatea practic infinită. Din motive de simetrie, linia de câmp DA trece prin mijlocul crestăturii. De asemenea, în porŃiunea din întrefier de sub poli (porŃiunea BC) câmpul devine practic omogen, ceeace permite să se extindă domeniul până la infinit spre punctul C. Se obŃine, astfel, domeniul ABCDA reprezentat în partea mediană a figurii 7.5. Acesta se reprezintă conform pe domeniul din planul ζ reprezentat în partea dreaptă a figurii. De remarcat că liniile echipotenŃiale se transformă tot în linii echipotenŃiale, iar liniile de câmp tot în linii de câmp. Se pot alege arbitrar corespondentele pentru trei puncte, iar al patrulea punct se va transforma în consecinŃă (pentru moment, se adoptă o coordonată q >1 care va rezulta în urma calculului). Se obŃine următorul tabel de corespondenŃe necesare pentru aplicarea transformării Schwartz – Christoffel :

Punctul z ζ α A ∞ 1 +π B 0 q -π/2 C ∞ ∞ D -a+jd -1 +π/2

Din formula lui Schwartz – Christoffel rezultă :

1 1

2 21 1( ) ( 1)

1

dz qC q C

d

ζζ ζ

ς ζ

− −= − + =

+ (7.37)

Prin integrare se obŃine :

1 2

11ln ln ;

1 11

tjt qkz C jk C t

tt jk

ζζ

+ + −= + + =

− + −

(7.38)

unde s-a notat : a

kd= (7.39)

Pentru determinarea constantelor, se impune condiŃia referitoare la punctele D şi A. Întrucât mai este necesară o condiŃie, se aplică metoda prezentată la problema precedentă şi se obŃine :

11 1ln ln ;

1 11

tjz t qkZ jk t

td t jk

ζπ ζ

+ + −= = + =

− + −

(7.40)

iar coordonata transformatei punctului B rezultă : 21 2q k= + (7.41)

Aceeaşi funcŃiune poate fi prezentată şi sub forma :

2arg ( ) arg ( )

z tZ th t jk th j

d kπ = = +

(7.42)

În continuare, soluŃia pentru domeniul ζ se obŃine printr-o nouă transformare pe planul w, conform cu figura 7.5.b.

Page 78: Electromagnetism Aplicatii

Transformări conforme.

Pag 72

Fig. 7.5.b Transformarea conformă pe planul

w.

Această transformare e realizată de funcŃiunea :

0

cos( ) cos( )w

j j WV

ζ π π= = (7.43)

Codul Matlab poate fi următorul : u1=0; u2=4; du=0.1;

v1=0; v2=1; dv=0.1;

k= 4; % = a/d

q=1+2*k^2;

. . . . . zeta=cos(i*w.*pi); fi=sqrt((zeta-q)./(zeta+1)); z=2*(atanh(fi)+i*k*atanh(i*fi./k))/pi; . . . . .

(părŃile neschimbate faŃă de exemplele precedente nu au mai fost reprezentate).

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Fig. 7.5.b Spectrul câmpului şi câmpul pe unul din electrozii din problema 7.5.

C

D

A B C u

v w

j V0

V=0

Page 79: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 73

8 ReŃele de curent continuu.

Breviar.

Teoremele lui Kirchhoff pentru reŃelele de curent continuu.

• Prima teoremă a lui Kirchhoff : Suma algebrică a intensităŃilor curenŃilor electrici din laturile conectate la un nod este nulă

0bb n

I→

=∑ (B8.1)

I

1

I2 Ij

k I

Σ

n

Fig. B8.1 Prima teoremă a lui Kirchhoff.

• A doua teoremă a lui Kirchhoff : Suma algebrică a căderilor de tensiune de pe rezistoarele şi sursele de curent dintr-un ochi este egală cu suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale surselor din acest ochi.

( )Rb Gb bb o b o

U U E⊂ ⊂

+ =∑ ∑ (B8.2)

Pentru circuitele liniare:

( )b b Gb bb o b o

R I U E⊂ ⊂

+ =∑ ∑ (B8.3)

S-au utilizat următoarele notaŃii: b : indicii laturilor; B : numărul laturilor; n,m : indicii nodurilor; N : numărul nodurilor; o,p : indicii ochiurilor. O : numărul ochiurilor.

Fig. B8.2 A doua teoremă a lui

Kirchhoff.

Metoda curenŃilor ciclici pentru reŃelele de curent continuu. Necunoscutele sunt curenŃii ciclici I'p, p=1,O care ar circula în cele O ochiuri ale circuitului. EcuaŃiile sunt:

' ' '

1

; 1,..,O

op p op

R I E o O=

= =∑ (B8.4)

în care: R'pp = suma algebrică a rezistenŃelor din bucla (p)

R'po = suma algebrică a rezistenŃelor comune buclelor (p) şi (o) (cu p#o). Semnele sunt determinate în funcŃiune de sensurile de referinŃă ale celor doi curenŃi ciclici implicaŃi. Se constată că matricea coeficienŃilor [R'] este simetrică:

R'po = R'op E'o= suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale surselor de tensiune din bucla (o).

Metoda potenŃialelor la noduri pentru reŃelele de curent continuu. Necunoscutele sunt potenŃialele VN ale N-1 noduri în raport cu nodul de referinŃă (n=0. EcuaŃiile sunt:

<< Ib

URb UGb

Eb

o

Rb

Page 80: Electromagnetism Aplicatii

ReŃele de curent continuu.

Pag 74

1' '

1

; 1,.., 1N

nm m nm

G V J n N−

=

= = −∑ (B8.5)

în care: G'mm = suma algebrică a conductanŃelor laturilor legate la nodul (m)

G'nm = suma algebrică a conductanŃelor laturilor conectate între nodurile n şi m, cu semnul minus. Se constată că matricea coeficienŃilor [G'] este simetrică:

G'nm = G'mn J'n= suma algebrică a curenŃilor de scurt-circuit ai laturilor legate la nodul (n) şi a

curenŃilor din sursele de curent legate la acest nod. Se consideră pozitiv sensul orientat spre nod.

Eb/Rb= curentul de scurt-circuit al laturii (b).

Metoda de echivalenŃă pentru reŃelele de curent continuu.

• Teoremele rezistenŃelor echivalente : - Rezistoare conectate în serie :

eS bb

R R=∑ (B8.6)

- Rezistoare conectate în paralel :

1 1;eP b

b beP b

G GR R

= =∑ ∑ (B8.7)

• Teoremele generatoarelor echivalente:

B

R A B 0

U A B 0

A

Generator echivalent de tensiune

A

B

Fig. B8.3

IA B sc

R A B0

A

B

Generator echivalent de curent.

NotaŃii: UAB0 = tensiunea de mers în gol între bornele A şi B. RAB0 = rezistenŃa echivalentă între bornele A şi B a reŃelei pasivizate. IAbsc = curentul de scurt-circuit între bornele A şi B.

• Teoremele Helmholz-Thévenin şi Norton:

A

B

R A BU A B

IA B

Fig. B8.4 Teoremele Helmholz-Thévenin şi

Norton.

0

0

00

0 0 0

1 1; ; ;

ABAB

AB AB

ABsc ABAB ABsc AB AB

AB AB AB AB AB

UI

R R

I UU I G G

G G R R R

=+

= = = =+

(B8.8)

Page 81: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 75

Problema 8.1

Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.1 în care: E1=10V, R1=5Ω, Ig2=4A, R3=5Ω, E4=5V, R4=5Ω, R5=10Ω. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. Se aleg sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent. ReŃeaua de curent continuu din fig. 8.1 are 3 noduri şi 5 laturi, deci 5 necunoscute, care necesită 5 ecuaŃii Kirchhoff pentru calculul lor (dintre acestea 2 ecuaŃii vor fi Kirchhoff I şi 3 ecuaŃii Kirchhoff II). EcuaŃiile Kirchhoff I se vor scrie în nodurile 1 şi 2. În nodul 1

2 1 2gI I I= + (8.1)

În nodul 2

3 4 5I I I= + (8.2)

EcuaŃiile Kirchhoff II se vor scrie pe cele trei ochiuri O1, O2, O3.

1 2 1 1

1 4 3 3 4 4 1 1

4 5 5 4 4

gE U R I

E E R I R I R I

E R I R I

= −− = + −

= −

(8.3)

Fig. 8.1

Necunoscutele sistemului celor cinci ecuaŃii de mai sus sunt: I1=2A, Ug2=20V, I3=2A, I4=1A, I5=1A. Verificarea cu ajutorul bilanŃului de puteri compară puterea dezvoltată de surse cu puterea absorbită de rezistenŃe:

1 1 4 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 1 3 3 4 4 5 5

10 2 5 1 4 20 55

5 2 5 2 5 1 10 1 55

G g g

R

P E I E I U I W

P R I R I R I R I W

= − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = (8.4)

Metoda curenŃilor ciclici reduce numărul de ecuaŃii la numărul ochiurilor independente (3 ochiuri independente în cazul problemei 8.1). cu preŃul introducerii unor necunoscute auxiliare (care sunt curenŃii ciclici ce străbat ochiurile independente alese). După ce se rezolvă sistemul şi se obŃin valorile curenŃilor ciclici trebuie să se determine necunoscutele iniŃiale. Sistemul de ecuaŃii în funcŃie de curenŃii ciclici are forma:

1 1

2 2

3 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

gk kK O K O

gk kK O K O

gk kK O K O

R I R I R I U E

R I R I R I U E

R I R I R I U E

∈ ∈

∈ ∈

∈ ∈

′ ′′ ′′′+ ± ± ± = ±

′ ′′ ′′′± + ± ± = ± ′ ′′ ′′′± ± + ± = ±

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

(8.5)

Page 82: Electromagnetism Aplicatii

ReŃele de curent continuu.

Pag 76

Dacă se consideră cei trei curenŃi ciclici I′;I″;I′″ şi care au sensurile de referinŃă identice cu sensurile de parcurs de pe ochiurile O1; O2; O3 alese în cazul ecuaŃiilor Kirchhoff (fig.8.1), relaŃiile (8.5) devin:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 1

1 1 3 4 4 1 4

4 4 5 4

0

0

gR I R I I U E

R I R R R I R I E E

I R I R R I E

′ ′′ ′′′+ + ± + =

′ ′′ ′′′+ + + + − = − ′ ′′ ′′′± − + + =

(8.6)

Deoarece, pe latura 2 avem sursa ideală de tensiune Ig2=4A şi tot prin latura aceasta trece numai curentul ciclic I′ ,dar în sens contrar, deci se impune:

4I A′ = − (8.7) Pentru simplificarea calcului s-a avut grijă (la alegerea ochiurilor independente) ca prin sursa de curent să treacă un singur sens de parcurs pe ochi, posibil în cazul de faŃă. În caz contrar se măreşte sistemul de ecuaŃii cu o ecuaŃie. Necunoscutele sistemului (8.6) sunt

2, , gI I U′′ ′′′ (8.8)

łinând seama de valorile numerice sistemul (8.6) devine:

2(5) 4 (5) 10

(5) 4 (5 5 5) (5) 10 5

(5) (5 10) 5

gI U

I I

I I

′′⋅ − + + = ′′ ′′′⋅ − + + + − = − ′′ ′′′− + + =

(8.9)

Cu soluŃiile:

22 , 1 , 20gI A I A U V′′ ′′′= = = (8.10)

Va trebui să determinăm curenŃii I1, I3, I4, I5 din cunoaşterea curenŃilor ciclici:

1

3

4

5

( 4) 2 2

2

2 1 1

1

I I I A

I I A

I I I A

I I A

′ ′′= − − = − − − =

′′= =

′′ ′′′= − = − =

′′′= =

(8.11)

În cazul aplicării metodei potenŃialelor la noduri, vom lua în considerare necunoscutele auxiliare V1 şi V2 (cel de al treilea nod considerându-se legat la pământ). Sistemul de ecuaŃii (în funcŃie de potenŃialele nodurilor) are forma:

1 1 1

2 2 2

1 212

1 212

1 1

1 1

kgk

k N k k N k Nk k

kgk

k k N k N k Nk k

EV V I

R R R

EV V I

R R R

∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈

+ − = ± ±

− + = ± ±

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ (8.12)

În cazul nostru avem:

11 2

1 3 3 1

41 2

3 3 4 5 4

1 1 1

1 1 1 1

g

EV V I

R R R R

EV V

R R R R R

+ + − = + +

− + + + = +

(8.13)

Page 83: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 77

1 2

1 2

1 1 1 104

5 5 5 5

1 1 1 1 5

5 5 5 10 5

V V

V V

+ + − = + +

− + + + = +

(8.14)

Din sistemul (8.14) se obŃine:

1 220 10V V V V= = (8.15)

Din valorile potenŃialelor se obŃin necunoscutele problemei:

1 0 11

1

2 1 0

1 23

3

2 0 44

4

2 05

5

20 0 102

5

20 0 20

20 102

5

10 0 51

5

10 01

10

g

V V EI A

R

U V V V

V VI A

R

V V EI A

R

V VI A

R

− − − −= = =

= − = − =

− −= = =

− − − −= = =

− −= = =

(8.16)

Problema 8.2

Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.2 în care: E1=10V, R1=5Ω, Ig2=4A, R3=5Ω, E4=5V, R4=5Ω, Ig5=1A, R5=1Ω. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. Se aleg sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent. ReŃeaua de curent continuu din fig. 8.2 are 3 noduri şi 5 laturi, deci 5 necunoscute, care necesită 5 ecuaŃii Kirchhoff pentru calculul lor (dintre acestea 2 ecuaŃii vor fi Kirchhoff I şi 3 ecuaŃii Kirchhoff II). EcuaŃiile Kirchhoff I se aplică în nodurile 1 şi 2, iar ecuaŃiile Kirchhoff II se aplică celor trei ochiuri puse în evidenŃă de sensurile de parcurs):

Fig. 8.2

2 1 3

3 4 5

1 1 3 3 4 4 1 4

3 3 4 4 2 4

5 5 4 4 5 4

g

g

g

g g

I I I

I I I

R I R I R I E E

R I R I U E

R I R I U E

= += +

− + + = − + − = − − + =

(8.17)

Page 84: Electromagnetism Aplicatii

ReŃele de curent continuu.

Pag 78

SoluŃiile pentru cele cinci necunoscute ale sistemului sunt:

1

2

3

4

5

2

20

2

1

9

g

g

I A

U V

I A

I A

U V

=

=

=

=

=

(8.18)

Verificarea cu ajutorul bilanŃului de puteri compară puterea dezvoltată de surse cu puterea absorbită de rezistenŃe:

1 1 4 4 2 2 5 5

2 2 2 2 2 2 2 21 1 3 3 4 4 5 5

10 2 5 1 20 4 9 1 46

5 2 5 2 5 1 1 1 46

G g g g g

R g

P E I E I U I U I W

P R I R I R I R I W

= − ⋅ − ⋅ + ⋅ − = − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = (8.19)

Dacă se consideră cei trei curenŃi ciclici I′;I″;I′″ şi care au sensurile de referinŃă identice cu sensurile de parcurs de pe ochiurile O1; O2; O3 alese în cazul ecuaŃiilor Kirchhoff (fig. 8.2), relaŃiile (8.5) devin:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 3 4 3 4 4 1 4

3 4 3 4 4 2 4

4 4 4 5 5 4

g

g

R R R I R R I R I E E

R R I R R I R I U E

R I R I R R I U E

′ ′′ ′′′+ + + + + − = − ′ ′′ ′′′+ + + + − − = − ′ ′′ ′′′− − + + + =

(8.20)

Cu valorile din problema 8.2 avem:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

5

5 5 5 5 5 5 10 5

5 5 5 5 5 5

5 5 5 1 5

g

g

I I I

I I I U

I I I U

′ ′′ ′′′+ + + + + − + = − ′ ′′ ′′′+ + + + − − = − ′ ′′ ′′′− − + + + =

(8.21)

Deoarece, pe latura 2 avem sursa ideală de tensiune Ig2=4A şi tot prin latura aceasta trece numai curentul ciclic I′′ (în acelaşi sens), acelaşi raŃionament se face şi în cazul laturii 5, deci se rezultă:

4 1I A I A′′ ′′′= = (8.22)

Pentru simplificarea calcului s-a avut grijă (la alegerea ochiurilor independente) ca prin sursa de curent să treacă un singur sens de parcurs pe ochi. În caz contrar se măreşte sistemul de ecuaŃii cu o ecuaŃie. Necunoscutele sistemului (8.21) sunt

2 52 , 20 , 9g gI A U V U V′ = − = = (8.23)

Va trebui să determinăm curenŃii I1,I3,I4, din valorile curenŃilor ciclici:

1

3

4

( 2) 2

2 4 2

2 4 1 1

I I A

I I I A

I I I I A

′= − = − − =

′ ′′= + = − + =

′ ′′ ′′′= + − = − + − =

(8.24)

Sistemul de ecuaŃii (relaŃiile 8.12) în funcŃie de potenŃialele nodurilor 1 şi 2 au forma:

11 2 2

1 3 3 1

41 2 5

3 3 4 4

1 1 1

1 1 1

g

g

EV V I

R R R R

EV V I

R R R R

+ + − = + + − + + = + −

(8.25)

Page 85: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 79

1 2

1 2

1 1 1 104

5 5 5 5

1 1 1 51

5 5 5 5

V V

V V

+ + − = + +

− + + = + −

(8.26)

Din sistemul (8.26) se obŃine:

1 220 10V V V V= = (8.27)

Din valorile potenŃialelor se obŃin necunoscutele problemei:

1 0 11

1

2 1 0

1 23

3

2 0 44

4

5 2 0 5 5

20 0 102

5

20 0 20

20 102

5

10 0 51

5

10 0 1 1 9

g

g g

V V EI A

R

U V V V

V VI A

R

V V EI A

R

U V V R I V

− − − −= = =

= − = − =

− −= = =

− − − −= = =

= − − = − − ⋅ =

(8.28)

Problema 8.3

Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.3 în care: E1=20V, Ig2=5A, R2=2Ω, E3=15V, R3=5Ω, R4=3Ω, Ig5=1A, R5=2Ω. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. Se aleg sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent. ReŃeaua de curent continuu din fig. 8.3 are 3 noduri şi 5 laturi, deci 5 necunoscute, care necesită 5 ecuaŃii Kirchhoff pentru calculul lor (dintre acestea 2 ecuaŃii vor fi Kirchhoff I şi 3 ecuaŃii Kirchhoff II). EcuaŃiile Kirchhoff I se vor scrie în nodurile 1 şi 2.

E1

Ig2

R3

R4

Ig5Ug2

I1 I3

I4

R5

Ug5

E3

R21 23

(1) (2)

Fig. 8.3

EcuaŃiile Kirchhoff sunt:

Page 86: Electromagnetism Aplicatii

ReŃele de curent continuu.

Pag 80

2 1 3

3 5 4

3 3 4 4 1 3

3 3 4 4 2 2 2 3

4 4 5 5 5 0

g

g

g g

g g

I I I

I I I

R I R I E E

R I R I R I U E

R I R I U

= ++ =

+ = + + + − = + − =

(8.29)

SoluŃiile sistemului anterior

1

3

4

2

5

1

4

5

10

17

g

g

I A

I A

I A

U V

U V

==

= = =

(8.30)

Verificarea cu ajutorul bilanŃului de puteri compară puterea dezvoltată de surse cu puterea absorbită de rezistenŃe:

1 1 3 3 2 2 5 5

2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 3 4 4 5 5

20 1 15 4 30 5 17 1 207

2 5 5 4 3 5 2 1 207

G g g g g

R g g

P E I E I U I U I W

P R I R I R I R I W

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ − = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =(8.31)

Dacă se consideră cei trei curenŃi ciclici I′;I″;I′″ şi care au sensurile de referinŃă identice cu sensurile de parcurs pe ochiurile O1; O2; O3 alese în cazul ecuaŃiilor Kirchhoff (fig.8.3), relaŃiile (8.5) devin:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 4 3 4 4 1 3

3 4 2 3 4 4 2 3

4 4 4 5 5 0

g

g

R R I R R I R I E E

R R I R R R I R I U E

R I R I R R I U

′ ′′ ′′′+ + + + + = + ′ ′′ ′′′+ + + + + + − = ′ ′′ ′′′+ + + + − =

(8.32)

Pentru simplificarea calcului s-a avut grijă (la alegerea ochiurilor independente) ca prin sursa de curent să treacă un singur sens de parcurs pe ochi. În caz contrar se măreşte sistemul de ecuaŃii cu o ecuaŃie. Cu valorile din problema 8.3 avem:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

5

5 3 5 3 (5) 3 (1) 20 15

5 3 5 3 2 (5) 3 (1) 15

3 3 (5) 3 1 (1) 0

g

g

I

I U

I U

′+ + + + + = + ′+ + + + + + − = ′− − + + + =

(8.33)

Deoarece, pe latura 2 avem sursa ideală de tensiune Ig2=5A şi tot prin latura aceasta trece numai curentul ciclic I′′ (în acelaşi sens), la fel ca şi pe latura 5, deci se impune:

4 1I A I A′′ ′′′= = (8.34)

Necunoscutele sistemului (8.33) sunt

2 51 , 30 , 17g gI A U V U V′ = − = = (8.35)

Va trebui să determinăm curenŃii I1, I3, I4, din valorilecurenŃilor ciclici:

1

3

4

( 1) 1

1 5 4

1 5 1 5

I I A

I I I A

I I I I A

′= − = − − =

′ ′′= + = − + =

′ ′′ ′′′= + + = − + + =

(8.36)

Sistemul de ecuaŃii (8.12) funcŃie de potenŃialele nodurilor 1 şi 2 au forma:

Page 87: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 81

1

31 2 5

3 3 4 3

20

1 1 1g

V

EV V I

R R R R

=

− + + = + +

(8.37)

1

2 2

20

1 1 1 520 1 15

5 5 5 5

V V

V V V

= − + + = + − =

(8.38)

Din sistemul (8.38) se obŃine:

1 220 15V V V V= = (8.39)

Din valorile potenŃialelor se obŃin necunoscutele problemei:

2 1 0 2 2

1 2 33

3

1 5 3

2 04

3

5 1 0 5 5

20 0 2 5 30

20 15 154

5

15 05

3

15 0 2 1 17

g g

g

g g

U V V R I V

V V EI A

R

I I I

V VI A

R

U V V R I V

= − + = − + ⋅ =

− + − += = =

= −

− −= = =

= − + = − + ⋅ =

(8.40)

Problema 8.4

Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.4 în care: E1=10V, R1=10Ω, Ig2=3A, R3=20Ω, R4=5Ω, Ig5=1A. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. Se aleg sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent. ReŃeaua de curent continuu din fig. 8.4 are 3 noduri şi 5 laturi, deci 5 necunoscute, care necesită 5 ecuaŃii Kirchhoff pentru calculul lor (dintre acestea 2 ecuaŃii vor fi Kirchhoff I şi 3 ecuaŃii Kirchhoff II). EcuaŃiile Kirchhoff I se vor scrie în nodurile 1 şi 2.

E1

R1

Ig2

R3

R4

Ig5Ug2

I1 I3 I4

Ug5

1 2

3

(1) (2)

Fig. 8.4

EcuaŃiile Kirchhoff sunt:

2 1 3

3 5 4

g

g

I I I

I I I

= ++ =

(8.41)

Page 88: Electromagnetism Aplicatii

ReŃele de curent continuu.

Pag 82

1 1 3 3 4 4 1

3 3 4 4 2

4 4 5

0

0

g

g

R I R I R I E

R I R I U

R I U

+ + =

+ − = − =

(8.42)

SoluŃiile sistemului anterior

1

3

4

2

5

2

1

2

30

10

g

g

I A

I A

I A

U V

U V

==

= = =

(8.43)

Verificarea cu ajutorul bilanŃului de puteri compară puterea dezvoltată de surse cu puterea absorbită de rezistenŃe:

1 1 2 2 5 5

2 2 2 2 2 21 1 3 3 4 4

10 2 30 3 10 1 80

10 2 20 1 5 2 80

G g g g g

R

P E I U I U I W

P R I R I R I W

= − ⋅ + ⋅ + = − ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = (8.44)

Dacă se consideră cei trei curenŃi ciclici I′;I″;I′″ şi care au sensurile de referinŃă identice cu sensurile de parcurs pe ochiurile O1 ;O2; O3 alese în cazul ecuaŃiilor Kirchhoff (fig.8.4), relaŃiile (8.5) devin:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

5

(10 20 5) 20 5 (3) 5 (1) 10

20 5 20 5 (3) 5 (1) 0

5 5 (3) 5 (1) 0

g

g

I

I U

I U

′+ + + + + = ′+ + + + − = ′ − + − =

(8.45)

Pentru simplificarea calcului s-a avut grijă (la alegerea ochiurilor independente) ca prin sursa de curent să treacă un singur sens de parcurs pe ochi. În caz contrar se măreşte sistemul de ecuaŃii cu o ecuaŃie. Deoarece, pe latura 2 avem sursa ideală de tensiune Ig2=3A şi tot prin latura aceasta trece numai curentul ciclic I′′ (în acelaşi sens), acelaşi raŃionament se aplică şi pentru latura 5. Deci a rezultat:

3 1I A I A′′ ′′′= = (8.46)

Necunoscutele sistemului (8.45) sunt

2 52 , 30 , 10g gI A U V U V′ = − = = (8.47)

Va trebui să determinăm curenŃii I1, I3, I4, din cunoaşterea curenŃilor ciclici:

1

3

4

( 2) 2

2 3 1

2 3 1 2

I I A

I I I A

I I I I A

′= − = − − =

′ ′′= + = − + =

′ ′′ ′′′= + + = − + + =

(8.48)

Sistemul de ecuaŃii funcŃie de potenŃialele nodurilor 1 şi 2 au forma:

1 2

1 2

1 1 1 103

10 20 20 10

1 1 11

20 20 5

V V

V V

+ + − = + +

− + + = +

(8.49)

Din sistemul (8.49) se obŃine:

1 230 10V V V V= = (8.50)

Din valorile potenŃialelor se obŃin necunoscutele problemei:

Page 89: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 83

1 0 11

3

2 1 0

1 23

3

2 04

3

5 1 0

10 0 102

10

30 0 30

30 101

20

10 02

5

10 0 10

g

g

V V EI A

R

U V V V

V VI A

R

V VI A

R

U V V V

− + − += = =

= − = − =

− −= = =

− −= = =

= − = − =

(8.51)

Problema 8.5

Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.5 în care: E1=20V, R2=5Ω, Ig3=2A, R3=1Ω, R4=10Ω, Ig5=1A, R5=5Ω. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. Se aleg sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent. ReŃeaua de curent continuu din fig. 8.5 are 3 noduri şi 5 laturi, deci 5 necunoscute, care necesită 5 ecuaŃii Kirchhoff pentru calculul lor (dintre acestea 2 ecuaŃii vor fi Kirchhoff I şi 3 ecuaŃii Kirchhoff II). EcuaŃiile Kirchhoff I se vor scrie în nodurile 1 şi 2.

Fig. 8.5

Rezolvare. EcuaŃiile Kirchhoff sunt:

1 2 3

4 5 3

2 2 1

3 3 4 4 2 2 3

5 5 4 4 5

0

0

0

g g

g

g

I I I

I I I

R I E

R I R I R I U

R I R I U

+ + =+ =

= + − + = − + =

(8.52)

SoluŃiile sistemului anterior

13

25

4

68

45

51

g

g

I AU V

I AU V

I A

= − = = = =

(8.53)

Verificarea cu ajutorul bilanŃului de puteri compară puterea dezvoltată de surse cu puterea absorbită de rezistenŃe:

Page 90: Electromagnetism Aplicatii

ReŃele de curent continuu.

Pag 84

1 1 3 3 5 5

2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 3 4 4 5 5

20 6 8 2 5 1 99

5 4 1 2 10 1 5 1 99

G g g g g

R g

P E I U I U I W

P R I R I R I R I W

= − ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = (8.54)

Dacă se consideră cei trei curenŃi ciclici I′;I″;I′″ şi care au sensurile de referinŃă identice cu sensurile de parcurs pe ochiurile O1; O2; O3 alese în cazul ecuaŃiilor Kirchhoff (fig.8.5), relaŃiile (8.5) devin:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

5

5 5 (2) 0 (1) 20

5 5 1 10 (2) 10 (1) 0

0 10 (2) 10 5 (1) 0

g

g

I

I U

I U

′ − ± = ′− + + + − + = ′± − + + + =

(8.55)

Deoarece, pe latura 3 avem sursa ideală de tensiune Ig3=2A şi tot prin latura aceasta trece numai curentul ciclic I′′ (în acelaşi sens), acelaşi raŃionament pe latura 5, deci se impune:

2 1I A I A′′ ′′′= = (8.56)

Pentru simplificarea calcului s-a avut grijă (la alegerea ochiurilor independente) ca prin sursa de curent să treacă un singur sens de parcurs pe ochi. În caz contrar se măreşte sistemul de ecuaŃii cu o ecuaŃie. Necunoscutele sistemului (8.55) sunt

2 56 , 8 , 5g gI A U V U V′ = = = (8.57)

Va trebui să determinăm curenŃii I1,I2,I4, din cunoaşterea curenŃilor ciclici:

1

2

4

(6) 6

6 2 4

2 1 1

I I A

I I I A

I I I A

′= − = − = −

′ ′′= − = − =

′′ ′′′= − = − =

(8.58)

Sistemul de ecuaŃii funcŃie de potenŃialele nodurilor 1 şi 2 au forma:

1

2 2

20

12 1 10

10

V V

V V V

= = + − =

(8.59)

Din sistemul (8.59) se obŃine:

1 220 10V V V V= = (8.60)

Din valorile potenŃialelor se obŃin necunoscutele problemei:

1 02

2

3 1 2 3 3

1 02

2

1 3 2

2 04

4

5 1 0 5 5

20 04

5

20 10 1 2 8

20 01

10

2 4 6

10 01

10

10 0 5 1 5

g g

g

g g

V VI A

R

U V V R I V

V VI A

R

I I I A

V VI A

R

U V V R I V

− −= = =

= − − = − − ⋅ =

− −= = =

= − − = − − = −

− −= = =

= − − = − − ⋅ =

(8.61)

Problema 8.6

Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.6 în care: E1=5V, R1=10Ω, R2=5Ω, R3=5Ω, Ig4=5A, R4=1Ω, R5=5Ω. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic.

Page 91: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 85

Rezolvare. Se aleg sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent. ReŃeaua de curent continuu din fig. 8.6 are 3 noduri şi 5 laturi, deci 5 necunoscute, care necesită 5 ecuaŃii Kirchhoff pentru calculul lor (dintre acestea 2 ecuaŃii vor fi Kirchhoff I şi 3 ecuaŃii Kirchhoff II). EcuaŃiile Kirchhoff I se vor scrie în nodurile 1 şi 2.

E1

R1

R3

R4

R5

I1 I3 I5

Ig4Ug4

R2

I2

12 3

(1) (2)

Fig. 8.6

EcuaŃiile Kirchhoff sunt:

3 1 2

4 3 5

1 1 2 2 1

3 3 2 2 4 4 4

5 5 3 3 2 2

0

0

0

g

g g

I I I

I I I

R I R I E

R I R I R I U

R I R I R I

+ + = + =

− =− + + − =− − + =

(8.62)

SoluŃiile sistemului anterior sunt

1

2

3

4

5

1

1

2

20

3

g

I A

I A

I A

U V

I A

==

= −

= =

(8.63)

Verificarea cu ajutorul bilanŃului de puteri compară puterea dezvoltată de surse cu puterea absorbită de rezistenŃe:

1 1 4 4

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 5 5

5 1 20 5 105

10 1 5 1 5 2 1 5 5 3 105

G g g

R

P E I U I W

P R I R I R I R I W

= + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =(8.64)

Dacă se consideră cei trei curenŃi ciclici I′;I″;I′″ şi care au sensurile de referinŃă identice cu sensurile de parcurs pe ochiurile O1; O2; O3 alese în cazul ecuaŃiilor Kirchhoff (fig.8.6), relaŃiile (8.5) devin:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

(10 5) 5 (5) 5 5

5 5 5 1 (5) 5 5 0

5 5 5 (5) 5 5 5 0

g

I I

I I U

I I

′ ′′′ + − − =

′ ′′′− + + + + + − = ′ ′′′− + + + + =

(8.65)

Deoarece, pe latura 4 avem sursa ideală de tensiune Ig4=5A şi tot prin latura aceasta trece numai curentul ciclic I′′ (în acelaşi sens), deci se impune:

5I A′′ = (8.66) Necunoscutele sistemului (8.65) sunt

Page 92: Electromagnetism Aplicatii

ReŃele de curent continuu.

Pag 86

41 , 3 , 15gI A I A U V′ ′′′= − = − = (8.67)

Va trebui să determinăm curenŃii I1, I2, I3, I3 din cunoaşterea curenŃilor ciclici:

1

2

3

5

1

1 5 3 1

5 3 2

( 3) 3

I I A

I I I I A

I I I A

I I A

′= =

′ ′′ ′′′= − + + = − + − =

′′ ′′′= + = − =

′′′= − = − − =

(8.68)

Sistemul de ecuaŃii funcŃie de potenŃialele nodurilor 1 şi 2 au forma:

1 2

1 2

1 1 1 1 5

10 5 5 5 10

1 1 15

5 5 5

V V

V V

+ + + − = −

− + + = +

(8.69)

Din sistemul (8.69) se obŃine:

1 25 15V V V V= = (8.70)

Din valorile potenŃialelor se obŃin necunoscutele problemei:

1 0 11

3

1 02

2

2 13

3

4 2 0 4 4

2 04

3

5 0 51

10

5 01

5

15 52

5

15 0 1 5 20

15 03

5

g g

V V EI A

R

V VI A

R

V VI A

R

U V V R I V

V VI A

R

− + − += = =

− −= = =

− −= = =

= − + = − + ⋅ =

− −= = =

(8.71)

Probleme propuse

Problema 8.7 Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.7. Se cunosc următori parametri concentraŃi: E1=117V, R1=2Ω, E2=5V, R2=70Ω, R3=20Ω, R4=10Ω, Ig5=2A, Ig6=3A. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. S-au ales sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent. ReŃeaua de curent continuu din fig. 8.7 are 4 noduri şi 6 laturi, deci 6 necunoscute, care necesită 6 ecuaŃii Kirchhoff pentru calculul lor. În cazul aplicării metodei curenŃilor ciclici va fi nevoie de 3 ecuaŃii şi în cazul metodei potenŃialelor la noduri numărul de ecuaŃii va fi tot 3.

Page 93: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 87

R4

Ig5E1

R1

R3

E2

R2

Ig6

I4

I1

I3

I2

Ug5 Ug6

Fig. 8.7

SoluŃia este: I1=6A, I2=1A, I3 =5A, I4=4A, Ug5=-5V, Ug6=35V PG=PR=802W

Problema 8.8 Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.8. Se cunosc următorii parametri concentraŃi: E1=20V, Ig2=3A, R3=1Ω, E3=1V, Ig4=5A, R5=1Ω, E5=13V, R6=1Ω, E6=17V. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. S-au ales sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent. ReŃeaua de curent continuu din fig. 8.8 are 4 noduri şi 6 laturi, deci 6 necunoscute, care necesită 6 ecuaŃii Kirchhoff pentru calculul lor. În cazul aplicării metodei curenŃilor ciclici va fi nevoie de 3 ecuaŃii şi în cazul metodei potenŃialelor la noduri numărul de ecuaŃii va fi tot 3.

Ig4

E5 R5 R6E6

R3

E3

E1

Ig2I1

Ug4

I3

I5 I6

Ug2

Fig. 8.8

SoluŃia este: I1=7A, Ug2=10V, I3 =4A, Ug4=-30V, I5=2A, I6=2A PG=PR=802W

Problema 8.9 Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.9. Se cunosc următorii parametri concentraŃi: E1=10V, R1=5Ω, Ig2=4A, R2=1Ω, E4=20V, Ig3=1A, R3=5Ω. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic.

Page 94: Electromagnetism Aplicatii

ReŃele de curent continuu.

Pag 88

Rezolvare. S-au ales sensurile arbitrare pentru intensităŃile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent.

E1R1 I1

R2

Ig2

Ug2

Ug3

Ig3

R3

E4 I4

Fig. 8.9

SoluŃia este: I1=2A, Ug2=24V, I4 =1A, Ug3=15V PG=PR=41W

Problema 8.10 Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.10. Se cunosc următorii parametri concentraŃi: Ig1=4A, R1=5Ω, E2=20V, R2=10Ω, R3=10, Ig4=1A, R4=10Ω, E5=20V. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. S-au ales sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent.

Ig1R1

Ug1E2

R2

R3

R4

Ug4

Ig4

E5

I2

I5

I3

Fig. 8.10

SoluŃia este: Ug1=60V, I2 =-2A, I3 =2A, Ug4=10V, I5=-1A PG=PR=170W

Problema 8.11 Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.11. Se cunosc următori parametri concentraŃi: Ig1=6A, E2=20V, R3=4Ω, E3=6V, Ig5=3A, R5=1Ω, R4=10V. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. S-au ales sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent.

Page 95: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 89

Fig. 8.11

SoluŃia este: Ug1=20V, I2 =-2A, I3 =4A, Ug5=-7V, I4=1A PG=PR=83W

Problema 8.12

Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.12. Se cunosc următorii parametri concentraŃi: R1=1Ω, E1=14V, R2=5Ω, R3=1Ω, Ig3=2A, R4=4Ω, R5=3Ω, Ig5=1A. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. S-au ales sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent.

Fig. 8.12

SoluŃia este: I1=4A, I2 =2A, Ug3 =4V, Ug5=15V, I4=3A PG=PR=79W

Problema 8.13 Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.13. Se cunosc următorii parametri concentraŃi: Ig3=5A, R1=1Ω, E2=20V, R5=5Ω, E5=10V, R3=10Ω, R4=4Ω, Ig5=3A. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. S-au ales sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent.

Fig. 8.13

SoluŃia este: Ug1=25V, I2 =1A, I3 =1A, Ug4=2V, I5 =4A PG=PR=151W

Page 96: Electromagnetism Aplicatii

ReŃele de curent continuu.

Pag 90

Problema 8.14

Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.14. Se cunosc următorii parametri concentraŃi: R1=4Ω, E1=20V, R2=2Ω, Ig3=4A, R4=1Ω, R5=3Ω. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. S-au ales sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent.

Fig. 8.14

SoluŃia este: I1=2A, I2 =6A, Ug3 =15V, I5=1A, I4=3A PG=PR=100W

Problema 8.15 Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.15. Se cunosc următorii parametri concentraŃi: E1=20V, R2=4Ω, Ig3=3A, R4=2Ω, E4=18V, R5=10Ω.Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. S-au ales sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent.

Fig. 8.15

SoluŃia este: I1=2A, I2 =5A, Ug3 =10V, I5=1A, I4=4A PG=PR=142W

Problema 8.16 Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.13. Se cunosc următorii parametri concentraŃi: Ig1=5A, E2=20V, R3=5Ω, E3=10V, R4=10Ω, R5=5Ω, Ig5=3A . Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic.

Page 97: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 91

Rezolvare. S-au ales sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent.

Ig1

Ug1

E2

I2 R3 I3

E3

R4

R5

I4

Ig5

Ug5

Fig. 8.16

SoluŃia este: Ug1=20V, I2 =-1A, I3 =4A, Ug5=5V, I4 =1A PG=PR=135W

Problema 8.17 Să se calculeze reŃeaua din fig. 8.17. Se cunosc următori parametri concentraŃi: E1=10V, R2=10Ω, E2=30V, Ig4=1A, R3=10Ω, E5=25V, R5=5Ω. Verificarea rezultatelor se va face cu ajutorul bilanŃului energetic. Rezolvare. S-au ales sensurile arbitrare pentru intensitătile curenŃilor pe laturile unde nu sunt surse de curent şi sensurile arbitrare pentru căderile de tensiune la bornele surselor de curent.

Fig. 8.17

SoluŃia este: I1=1A, I2 =2A, Ug4 =-20V, I3=2A, I5=3A PG=PR=125W

Page 98: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul magnetic staŃionar.

Pag 92

9 Câmpul magnetic staŃionar.

Breviar.

Teorema lui Ampère. În regim staŃionar, tensiunea magnetomotoare în lungul unei curbe închise este proporŃională cu solenaŃia curenŃilor care înlănŃuie această curbă.

Sd NiΓ

Γ

= Θ =∑∫H l (B9.1)

Teorema Biot-Savart-Laplace. Intensitatea câmpului magnetic produs într-un mediu omogen cu permeabilitatea magnetică µ de către curentul electric dintr-un circuit închis (care ocupă o curbă Γ) este dată de relaŃia:

34v

i

Rπ Γ

×= ∫

dl RH (B9.2)

Fig. B9.1 RelaŃia lui Biot – Savart –

Laplace.

Problema 9.1 -Câmpul magnetic al unui fir infinit lung Să se determine intensitatea câmpului magnetic şi inducŃia magnetică produsă de un fir infinit lung, parcurs de un curent I (fig. 9.1). Rezolvare. Aplicând teorema lui Ampere (datorită simetriei de rotaŃie pe care o prezintă această problemă) pe curba închisă Γ, obŃinem:

2Sd Hdl I RH IπΓ

Γ Γ

= Θ = =∫ ∫ H l (9.1)

02

IH B H

π= = (9.2)

Fig. 9.1 Câmpul magnetic al unui fir

rectiliniu infinit lung parcurs de curent electric.

Problema 9.2 -Câmpul magnetic al unui conductor cilindric Să se determine câmpul magnetic produs de un conductor de rază a, parcurs de curentul I (repartizat uniform pe secŃiunea conductorului). Se vor observa cele două zone delimitate de respectivul conductor (I în interiorul conductorului şi II în exteriorul său,

I

dl H

R

B H Γ

R

Γ

i dl R Hv

Page 99: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 93

conform fig. 9.2; conductorul are permeabilitatea magnetică µ, iar domeniul II are permeabilitatea µ0).

Fig. 9.2 Câmpul magnetic produs de

un conductor cilindric infinit lung parcurs de un curent electric uniform repartizat pe secŃiunea conductorului.

Rezolvare. 2

22 2 2

22I I

I IR IRd R RH H

a a aπ π

π πΓ

= = =∫ IH l (9.3)

22I I

IRB H

aµ µ

π= = (9.4)

22II II

Id I RH I H

πΓ

= = =∫ IIH l (9.5)

0 0 22II I

IRB H

aµ µ

π= = (9.6)

Problema 9.3 -Câmpul magnetic al unui conductor tubular Să se determine câmpul magnetic produs de un conductor în formă de coajă cilindrică delimitată de raza interioară a şi de raza exterioară b (fig. 9.3) parcurs de un curent I, uniform repartizat pe secŃiunea conductorului (materialul cojii are permeabilitatea magnetică µ şi în rest este µ0).

Fig. 9.3 Câmpul magnetic produs de un

conductor în formă de coajă cilindrică, parcurs de curent electric uniform repartizat pe secŃiune.

Rezolvare.

0 2 0 0 0I I Id RH H BπΓ

= = = =∫ IH l (9.7)

I

a

b

I II III

R

B

H

I

a

a

ΓII

dl H

H

B

R

I II

Page 100: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul magnetic staŃionar.

Pag 94

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( )2

( ) ( )

( ) ( )

2 ( ) 2 ( )

II

II II

I R a R ad RH I

b a b a

R a R aH I B

R b a R b a

π ππ

π π

µπ π

Γ

− −= =

− −

− −= =

− −

∫ IIH l

(9.8)

022 2III III III

I Id I RH I H B

R Rπ µ

π πΓ

= = = =∫ IIIH l (9.9)

Problema 9.4 -Câmpul magnetic al unui cablu ecranat Să se determine câmpul magnetic produs de un cablu ecranat. Ccablul este parcurs de un curent I, iar ecranul este parcurs de un curent egal şi de sens contrar. Dimensiunile geometrice sunt date în fig. 9.4, iar curentul I este uniform repartizat pe secŃiunea conductoarelor. Rezolvare. Datorită configuraŃiei geometrice, se delimitează cele patru zone de calcul al câmpului magnetic :

22 22I

I IRd R H

a aπ

π πΓ

= =∫ IH l (9.10)

22II II

Id I RH I H

πΓ

= = =∫ IIH l (9.11)

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( )2

( ) ( )III

R b c Rd I I RH I

c b c b

ππ

πΓ

− −= − =

− −∫ IIIH l (9.12)

2

2 2( )

2 ( )III

I cH R

c b Rπ= −

− (9.13)

0 2 0 0IV IVd RH HπΓ

= = =∫ IVH l (9.14)

Fig. 9.4 Câmpul magnetic produs de

un cablu ecranat.

I

I

I II III IV

a b c

R

H

Page 101: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 95

Problema 9.5 -Câmpul magnetic al unei linii bifilare Să se determine câmpul magnetic produs de o linie bifilară parcursă de curentul I în planul determinat de cele două conductoare, ca în fig. 9.5.

Fig. 9.5 Câmpul magnetic produs de

o linie bifilară.

Rezolvare. Se observă cele trei zone de calcul al câmpului magnetic. Dacă se consideră poziŃia conductorului (1, cel din stânga) ca referinŃă pentru stabilirea distanŃelor şi se alege vectorul k (versorul axei Oz), se obŃine:

2 ( )I

I I

2πR R dπ= − + +

H k (9.15)

2 ( )II

I I

2πR d Rπ= + −

H k (9.16)

2 ( )III

I I

2πR R dπ= − −

H k (9.17)

Problema 9.6 -Câmpul magnetic al unui ecran cilindric Să se determine câmpul magnetic produs de un ecran parcurs de curentul I şi de grosime neglijabilă (detaliile geometrice sunt în fig. 9.6).

Fig. 9.6 Câmpul magnetic produs de un

ecran cilindric parcurs de curent electric.

Rezolvare. Se observă cele două zone de calcul ale câmpului magnetic.

0 2 0 0I Id RH HπΓ

= = =∫ IH l (9.18)

22II II

Id I RH I H

πΓ

= = =∫ IIH l (9.19)

H

a R

I

I II a

I I

H

d

x

y z

I I I

III

(1) (2)

Page 102: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul magnetic staŃionar.

Pag 96

Problema 9.7 -Câmpul magnetic al unei spire plane (1) Să se determine inducŃia magnetică produsă în O de circuitul din figura de mai jos, străbătut de curentul I (circuitul e situat în aer, unde µ=µ0 ) .

Fig. 9.7 Câmpul magnetic produs

de un circuit închis parcurs de curent.

Rezolvare. Se observă că pe porŃiunile rectilinii, dr şi R sunt paraleli, deci :

0d r R× = (9.20) Prin urmare, vor contribui doar integralele pe cele două porŃiuni semicirculare ale conturului, pe care dr şi R sunt ortogonali.

1 2

0 03 24 4 C C

I d r R I drB B

R R

µ µπ π ∪

×= ⇒ =∫ ∫ (9.21)

Câmpul magnetic rezultant din centrul O al celor două semicercuri este perpendicular pe planul în care este situat conturul, cu sensul pozitiv intrând în acest plan şi are valoarea:

1 2

0 0 02 2 2 2

04 4 4

C C

I dr dr I b a I a bB

b a b a ab

µ µ π π µπ π

− = − = − = > ∫ ∫ (9.22)

Problema 9.8 -Câmpul magnetic al unei spire plane (2) Să se determine câmpul magnetic produs în O de circuitul din figura de mai jos, străbătut de curentul I (circuitul e situat în aer, unde µ=µ0 ) .

Fig. 9.8 Câmpul magnetic produs

de un circuit închis parcurs de curent.

Rezolvare. Câmpul magnetic rezultant din centrul O al celor două semicercuri este perpendicular pe planul în care este situat conturul. Dacă se alege sensul pozitiv al normalei ieşind din acest plan, se obŃine:

a

dr I

R

I

b C1

C2

B

O

dr

dr

I

R

I

a

b

C1

C2

⊕⊕⊕⊕ B

O

Page 103: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 97

1 2

0 0 02 2 2 2

04 4 4

C C

I dr dr I b a I a bB

b a b a ab

µ µ π π µπ π

+ = + = + = > ∫ ∫ (9.23)

Problema 9.9 -Câmpul magnetic pe axa unei spire Să se determine intensitatea câmpul magnetic în punctul P situat la distanŃa d pe axa de simetrie a spirei, câmp produs de curentul I ce străbate spira de rază a.

Fig. 9.9 Câmpul magnetic pe

axa de simetrie a unei spire circulare parcursă de curent.

Rezolvare. ContribuŃia unui element de integrare este:

34

I d r RdH

Rπ×

= (9.24)

Aceasta se poate descompune în două componente, dintre care dHx este orientată după axul spirei, cu sensul orientat faŃă de sensul curentului după regula burghiului drept, iar dHt este paralelă cu planul spirei. Prin integrare, componentele dHt se compensează reciproc, încât numai componenta axială dă contribuŃie la câmpul total, care este integrala acesteia:

2

3 2 2

cos sin2

sin sin sin2 sin4 4 2

x

a

o

H dH dH dH

dr RI I IaH dr

R R R

π

πα α

πα α

απ πΓ

= = − =

= = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

(9.25)

Sau :

( )

2

32 22 2 2

sin ( )2

a a I aH d

R a da d

α = = ⇒ =+

+ (9.26)

Intensitatea câmpului pe ax, raportată la valoarea sa în centrul spirei H(0), este:

32 2

1

(0)1

H

Hd

a

= +

(9.27)

x

z a

y

dr

I

R

α

dH

dHx

dHt

π/2-α

H d

Page 104: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul magnetic staŃionar.

Pag 98

Problema 9.10 -Câmpul unei bobine pe carcasă sferică Să se determine intensitatea câmpul magnetic în centrul unei sfere de lemn de rază a, pe care sunt înfăşurate strâns şi într-un singur strat N spire care pot fi considerate paralele şi parcurse de curentul I .

Fig. 9.10 Câmpul magnetic în

centrul unei sfere de lemn bobinată într-un singur strat.

Rezolvare. În acord cu rezultatele problemei precedente, câmpul magnetic produs de o singură spiră de rază r al cărui plan e la distanŃa x de centrul sferei are expresia :

( )

2

32 2 22

I rH

x r=

+ (9.28)

Orientarea câmpului magnetic corespunde legii burghiului drept. Considerând n ca fiind numărul de spire pe unitatea de lungime:

;2

Nn dI I n dx

a= = (9.29)

Câmpul elementar produs de o felie de grosime dx din bobină, care conŃine un numar de spire (n dx) este:

( )

22 2 2 2 2 2

32 2 2

2 2

3

1

2

2

rdH I n dx dar x r a r a x

x r

I n a xdH dx

a

= + = → = −+

−=

(9.30)

Câmpul rezultant se obŃine prin integrare pe întreaga bobină: 2 2 2

3 30 0 0 0

12 2

2

1 2 21

3 3 3 2 3

a a a an I a x xH dH dx n I dx dx

a a a

N N IH n I n I I

a a

−= = = −

= − = = =

∫ ∫ ∫ ∫ (9.31)

Problema 9.11 -Câmpul unei spirale plane O spiră plană deasă, cu N spire, are diametrul exterior a şi e parcursă de curentul electric constant I. Să se calculeze intensitatea aâmpului magnetic H într-un punct al axei perpendiculare pe planul spirei care trece prin originea spirei.

I

a a

x dx

dH

di

⊗ di

r

Page 105: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 99

Fig. 9.11 Câmpul magnetic produs de o

spiră plană.

Rezolvare. Intensitatea câmpului magnetic produs de o spiră circulară cu raza r , parcursă de curentul I, la distanŃa x faŃă de planul spirei, este :

( )

2

32 2 22

I rH

x r=

+ (9.32)

Numărul de spire pe unitatea de lungime radială este n şi curentul printr-o spiră reprezentată de o coroană circulară de grosime dr este dI :

;N

n dI I n dra

= = (9.33)

Câmpul elementar produs de o astfel de spiră este :

( )

2

32 2 22

I n dr rdH

x r=

+ (9.34)

Deci intensitatea câmpului magnetic în punctul P(x) situat la distanŃa x faŃă de planul spirei este :

( )

2 2 2

3 2 22 2 20 0

ln2 2

a a I n r NI a a x aH dH dr

a x a xx r

+ += = = −

+ + ∫ ∫ (9.35)

Problema 9.12 -Câmpul unui segment de conductor rectiliniu

Să se determine contribuŃia unei porŃiuni (delimitată de unghiurile β1 şi β2 ) ale unui fir infinit lung, la intensitatea câmpului magnetic în punctul P situat la distanŃa d de firul parcurs de curentul I.

Fig. 9.12 Câmpul magnetic produs de un

segment de conductor rectiliniu.

⊗⊗⊗⊗ H β1

β2

β dl

R I

P(d,0,0)

d

I

a N spire

dH

α x

dr r

dI a

Page 106: Electromagnetism Aplicatii

Câmpul magnetic staŃionar.

Pag 100

Rezolvare. Formula Biot-Savart-Laplace este aplicabilă, în mod riguros, numai circuitelor închise. Cu toate acestea, în anumite situaŃii, cum ar fi cea a unui conductor rectiliniu de lungime infinită, ea poate fi aplicată dacă se admite că acest conductor face parte dintr-un circuit închis la o distanŃă suficient de mare, încât contribuŃia porŃiunii din conductor care închide circuitul să fie negiljabilă. În această abordare, problema se referă la contribuŃia la câmpul total a unui segment finit din conductor, dar rezultatul corect este cel care Ńine seama de contribuŃia întregului conductor. Uneori, se numeşte « câmp de calcul » o astfel de contribuŃie parŃială, care urmează să fie integrată în soluŃia completă.

O altă abordare posibilă a problemei este cea în care segmentul considerat este prelungit spre infinit prin două semidrepte care trec prin punctul de calcul P şi extremităŃile segmentului, apoi închis într-un mod oarecare pe la infinit. ContribuŃiile celor două semidrepte sunt evident nule. De altfel, o astfel de configuraŃie a fost utilizată în deducerea de cître Laplace a rezultatelor experimentale obşinute pe o astfel de configuraŃie de către Biot şi Savart.

Firul comsiderându-se infinit lung se poate utiliza teorema lui Biot-Savart-Laplace :

034

I d r RB

R

µπ

×= ∫ (9.36)

Pentru început se va studia contribuŃia la producerea câmpul magnetic a unui segment de dreaptă, delimitat de unghiurile β1 şi β2.

( )

( ) ( )

( )2

2

1

1

2

1 2

sin ; sin sinsin

1; 1 ;

sin

sin cos cos cos4 4 4

d dd r R dr R R

R

rctg ctg r d ctg dr d d

d

I I IH d

d d d

ββ

ββ

β π β ββ

π β β β ββ

β β β β βπ π π

× = − = = → =

− = − = = − =

= = − = −∫

(9.37)

În cazul particular al conductorului infinit lung se obŃine

1 20 ; ;2

IH

dβ β π

π= = = (9.38)

Problema 9.13 -Câmpul unei spire patrate Un fir foarte subŃire, sub formă de pătrat circumscris unui cerc de rază a, este parcurs de un curent electric cu intenstitatea I. Să se determine intensitatea câmpului magnetic H în centrul cercului.

Fig. 9.13 Câmpul magnetic produs de o

spiră conductoare patrată.

1

2

43

4

πβ

πβ

=

=

Rezolvare.

Intensitatea câmpului magnetic în centrul patratului este dată de suma celor patru laturi ale pătratului (toate laturile produc câmp magnetic în acelaşi sens).

I

β1 β2

2a

H

Page 107: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 101

( )1 2

2 24 cos cos 2 2

2 2 2

I I IH

a a aβ β

π π π

= ⋅ − = + =

(9.39)

Problema 9.14 -Câmpul pe axul unei bobine O bobină cilindrică de grosime neglijabilă, de lungime l şi de rază (a) este bobinată uniform cu N spire şi este parcursă de curentul I. Să se calculeze intensitatea câmpului magnetic într-un punct situat pe axa de simetrie a bobinei.

Fig. 9.14 Câmpul magnetic produs

de o bobină cu secŃiunea circulară într-un punct de pe axa bobinei.

Rezolvare. Intensitatea câmpului magnetic dat de o spiră de rază a într-un punct aflat pe axa sa de simetrie la distanŃa d de planul spirei este (conform problemei 9.9)

( )

2

3 22 2 2

sin2

2

Ia IaH

Ra d

α= =+

(9.40)

Se consideră o porŃiune de lungime dx din bobină. Aceasta poate fi asimilată unei spire parcursă de curentul dI, a cărei contribuŃie în punctul considerat este:

2 2sin ; sin

2 2

dI a NI NI adH dI dx dH dx

R l l Rα α= = ⇒ = (9.41)

SoluŃia se obŃine prin integrare. În acest scop, se exprimă toate mărimile variabile în funcŃiune de una singură, spre exemplu de α:

2

1

2

1

2

1 2

;sin sin

sin cos (cos cos )2 2 2

a aR x actg dx d

NI NI NIH d

l l l

π αα

π αα

α αα α

α α α α α−

= = ⇒ = −

−= = = +∫

(9.42)

Pentru un solenoid infinit lung (α1=α2=0) NI

Hl

= (9.43)

…… …….

⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗…… ……⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗

⊗⊗⊗⊗

a

dx

H

α1 α2

α

NI

l

dI

R

x

Page 108: Electromagnetism Aplicatii

InductivităŃi.

Pag 102

10 InductivităŃi.

Breviar.

InductivitatăŃi proprii şi mutuale. Inductivitatea proprie Ljj a unui circuit (j) este raportul (pozitiv) dintre fluxul total φj prin circuitul (j), produs de curentul acelui circuit (în sensul asociat după regula burghiului drept sensului curentului) şi curentul (ik) care îl produce, în situaŃia în care curenŃii în restul circuitelor sunt nuli :

0

0; 1,...k

jjj j

ijk j

L L ji =

∀ ≠

Φ= ≡ > = (B10.1)

Inductivitate mutuală Ljk (a primei bobine în raport cu a doua) este raportul dintre fluxul φj din bobina (j) şi intensitatea curentului ik ce alimentează bobina a doua, în situaŃia în care curenŃii în restul circuitelor sunt nuli :

0

0; , 1,...;m

jjk jk kj

ikm k

L j k L Li =

∀ ≠

><

Φ= = = (B10.2)

Fig. B10.1 Bobine cuplate magnetic.

Problema 10.1 -Inductivitatea proprie a unei bobine toroidale Să se determine inductivitatea proprie a unei bobine toroidale de lungime medie l, de secŃiune constantă A, prezentată în fig.10.1. Bobina are N spire parcurse de curentul I.

Fig. 10.1 Inductivitea unei bobine

toroidale.

Rezolvare.

Pentru calculul intensităŃii câmpului magnetic se aplică teorema lui Ampere pe curba Γ.

A

N I

Γ

* *

*

N1, i1

N2, i2

Nj, ij

Φj

Page 109: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 103

2

f

ft

NI NIH l NI H B

l lNI

B A Al

N NL A

I I l

µ

µ

µ

⋅ = → = → =

Φ = ⋅ = ⋅

ΦΦ= = =

(10.1)

Problema 10.2 -Inductivitatea unei bobine în cavitate Să se calculeze inductivitatea proprie a unei spire de rază R=a care se află într-o cavitate de forma unui disc de înălŃime δ făcută într-un mediu de permitivitate µ=∝ (fig.10.2). Spira este parcursă de curentul I.

Fig. 10.2 Inductivitatea unei

spire dintr-o cavitate.

Rezolvare. Se consideră că liniile de câmp magnetic sunt perpendiculare pe cele două suprafeŃe frontale ale cavităŃii. Din teorema lui Ampère aplicată pe curba Γ, rezultă:

0 0

22 0

0f

I IH I H B H

aIB A a L

δ µ µδ δ

µ πµ πδ δ

⋅ = → = = =

Φ = ⋅ = ⋅ = (10.2)

Problema 10.3 -Inductivitatea unei bobine între două ecrane Să se determine inductivitatea proprie a spirei de rază (a) aflată între două discuri de rază b (poziŃionate coaxial cu spira de raza a şi care este parcursă de curentul I). Între cele două discuri (de permitivitate µ=∝) distanŃa este δ (fig.10.3).

Fig. 10.3 Inductivitatea

unei bobine situată între două ecrane feromagneice.

Rezolvare. Dacă se notează cu Bi, respectiv Be, inducŃiile magnetice in interiorul, respectiv exteriorul spirei, din teorema lui Ampère , respectiv legea fluxului magnetic, rezultă :

x ° δ

µ=∞ I

2a

2b

x ° δ

µ=∞

I Γ

Page 110: Electromagnetism Aplicatii

InductivităŃi.

Pag 104

2 20

0 0 22 2 2

2 2 2 2 2 20 0

2 2

( )

( )

( ) ( )

i e

i

i e

B BI I b a

Bb

B a B b a

a I b a a b aL

b b

δ δ µµ µδ

π π

µ π µ πδ δ

+ = −→ =

= −

− −Φ = → =

(10.3)

Problema 10.4 -Inductivitatea unei bobine pe un tor Să se calculeze inductivitatea proprie a unei bobine cu N spire înfăşurate pe un inel de lemn care are secŃiunea dreptunghiulară (se neglijează pasul bobinei faŃă de celelalte dimensiuni fig.10.4).

Fig. 10.4 Inductivitatea unei

bobine.

Rezolvare. Din teorema lui Ampère aplicată pe un cerc de rază (r) dintr-un plan perpendicular pe axul inelului, rezultă:

0

20 0

22 2

ln2 2

a

f

b

NiNiH r Ni H B

r r

Ni N ccdr aL

r b

µπ

π πµ µπ π

⋅ = → = → =

Φ = → =∫ (10.4)

Problema 10.5 -Inductivitatea unei linii bifilare Să se determine inductivitatea proprie, pe unitatea de lungime a unei linii bifilare având conductoarele de raze a şi distanŃa d între axele lor de simetrie, parcursă de curentul I (ca în fig.10.5). Presupunând linia realizată dintr-un material neferomagnetic şi a<<d se va neglija fluxul magnetic din interiorul conductoarelor.

Fig. 10.5 Inductivitatea unei linii bifilare.

Rezolvare. InducŃiile magnetice la distanŃa x de conductorul din stânga sunt B1 (produsă de conductorul din stânga) şi B2 (produsă de conductorul din dreapta). Fluxul magnetic dintre două conductoare, pe o porŃiune de linie de lungime l este dată în relaŃia (10.5).

I I

d

2a

l B’

B’’

(1) (2)

a b

c

r Ni

Page 111: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 105

( )

0 01 2

0 0

0 0

2 2 ( )

1 1ln ln

2 2

ln ln

d ad a

ext aa

ext

I IB B

x d x

Il Ildx x d x

x d x

Il d dL

a Il a

µ µπ π

µ µπ π

µ µπ π

−−

= =−

Φ = + = − − −

ΦΦ = → = =

∫ (10.5)

Inductivitatea proprie a liniei se obŃine din raportarea fluxului magnetic dintre cele două conductoare la valoarea I a curentului ce le străbate (dacă se mai raportează în plus şi la lungimea l ,se obŃine inductivitatea pe unitatea de lungime).

Problema 10.6 -Inductivitatea interioară a unui conductor Să se calculeze inductivitatea proprie interioară pentru un conductor de rază a şi de lungime l care este parcurs de curentul I.

Fig. 10.6 Inductivitatea proprie interioară

a unui conductor.

Rezolvare.

Se aplică teorema lui Ampère pe curba Γ, care este o linie de câmp a lui H (un cerc de rază 0<r<a).

2 2

2 2

2 2 4 2 22

2 4 4

22 2 2

12

2 4 4 4 8 2 2 2

m m m

V

m m

VL

r Ir BH HrH I H W w dv w

a a

I r l a l I I LIW rldr I W

a a

µπ

π

µ µ µπ

π π π

= = = = =

Φ= = = ⇔ = =

∫ (10.6)

Prin identificarea celor două expresii ale energiei magnetice, rezultă că inductivitatea interioară proprie pentru un conductor este:

8int

lL

µπ

= (10.7)

iar pentru o linie formată din două conductoare, se înmulŃeşte cu 2.

28 4int,linie

l lL

µ µπ π

= ⋅ = (10.8)

Problema 10.7 -Inductivitatea mutuală dintre un conductor rectiliniu şi un cadru dreptunghiular.

Să se determine inductivitatea mutuală dintre un fir rectiliniu infinit lung parcurs de curentul I şi un circuit sub formă de dreptunghi, dimensiunile geometrice fiind precizate în fig.10.7.

a r

I

Page 112: Electromagnetism Aplicatii

InductivităŃi.

Pag 106

Fig. 10.7 Inductivitatea mutuală dintre un

conductor rectiliniu şi un cadru dreptunghiular.

Rezolvare. Din teorema lui Ampère aplicată pe o linie de câmp (un cerc de rază r situat într-un plan perpendicular pe conductor), rezultă:

0

0 0

22 2

ln ln2 2

a b

S a

IIr H I H BdS cdr

r r

Ic ca b a bL

a a

µπ

π π

µ µπ π

+

⋅ = = Φ = = =

+ += → =

∫ ∫ (10.9)

Problema 10.8 -Inductivitatea mutuală dintre un conductor rectiliniu şi un cadru triunghiular (1).

Să se determine inductivitatea mutuală dintre un fir rectiliniu infinit lung parcurs de curentul I şi un circuit sub formă de triunghi isoscel, dimensiunile geometrice sunt precizate în fig.10.8.

Fig. 10.8 Inductivitatea mutuală dintre un

conductor rectiliniu şi un cadru triunghiular

Rezolvare. Intensitatea câmpului magnetic se determină cu ajutorul teoremei lui Ampere pe o linie de câmp a acestuia (un cerc de rază r în plan perpendicular pe direcŃia firului şi concentric cu acesta). Pentru obŃinerea fluxului magnetic ce străbate suprafaŃa triunghiului isoscel, elementul de arie s-a calculat cu expresia ydr (y s-a obŃinut din asemănarea triunghiului mic - delimitat de raza r – şi triunghiul iniŃial).

( )

( )0 0

2 ; ;2

1 ln2 2

b h

S b

a r bI y r br H I H dS ydr dr

r a h h

Ia r b a b b hBdS dr L

hr h b

ππ

µ µπ π

+

−−⋅ = = = → = =

− + Φ = = → = − ∫ ∫ (10.10)

b h

a

I

r dr

y

I

a b

c

r dr

Page 113: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 107

Problema 10.9 -Inductivitatea mutuală dintre un conductor rectiliniu şi un cadru rombic.

Să se determine inductivitatea mutuală dintre un fir rectiliniu infinit lung parcurs de curentul I şi un circuit sub formă de pătrat de latură a (dimensiunile geometrice sunt precizate în fig.10.9).

Fig. 10.9 Inductivitatea mutuală dintre un

conductor rectiliniu şi un cadru rombic.

Rezolvare. Intensitatea câmpului magnetic se determină ca la problemele precedente. Calculul se face separat pentru fiecare din cele două triunghiuri formate (diferă expresia lui y în cele două cazuri).

( ) [ ][ ]

[ ] [ ]0

2 2

2

2 2

2

h h l

h l h

h l r h y r h l r l h dS ydr

h r h l y h l r dS ydr

r l h h l rL dr dr

r r

µπ

+

− ≤ ≤ → = − − = + − = ≤ ≤ + → = + − =

+ − + −= + =

∫ ∫

(10.11)

Problema 10.10 -Inductivitatea mutuală dintre două linii bifilare.

Să se determine inductivitatea mutuală dintre două linii bifilare coplanare şi paralele situate ca în fig.10.10, având conductoarele cilindrice de rază a (a<<d1 şi a<<d2).

Fig. 10.10 Inductivitatea mutuală

dinte două linii bifilare.

Rezolvare. Se presupune că prin linia bifilară din stânga trece un curent de intensitate I. InducŃia magnetică produsă într-un punct M situat între conductoarele celei de a doua linii, de curenŃii conductoarelor 1′ şi 1′′ ale primei linii sunt:

1 2

1’ 1’’ 2’ 2’’

I

d1 d2 d

x

b

h

l

I

r dr

a

y

Page 114: Electromagnetism Aplicatii

InductivităŃi.

Pag 108

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

2

0 1 0 1

1

0 1

1

0 1

1

1 201212

1 1 2

2 2

1 1

2

1 1

2

ln2

d a

S a

I IB B

d d x d x

IB B B

d d x d x

IBdS ldx

d d x d x

d d d dM

I l d d d d

µ µπ π

µπ

µπ

µπ

′ ′′= = −+ + +

′ ′′= + = −

+ + +

Φ = = −

+ + + + +Φ

= =+ +

∫ ∫ (10.12)

Problema 10.11 -Inductivitatea mutuală dintre două spire coaxiale.

Centrele celor două spire circulare paralele şi coaxiale se găsesc în aer la distanŃa d una faŃă de alta. Cunoscând razele a1 şi a2 ale celor două spire (situate ca în fig.10.11) să se calculeze inductivitatea mutuală dintre ele (se consideră a1<<a2). Rezolvare. Fie spira de rază a2 parcursă de curentul i. Expresia inducŃiei magnetice produsă de o spiră de rază a2 într-un punct la distanŃa d de planul ei, pe axa sa de simetrie, este:

Fig. 10.11 Inductivitatea mutuală dintre

două spire coaxiale.

( ) ( )

( )

2 2 220 02 1 213 3

2 2 2 22 22 2

2 20 1 2

32 2 22

2 2

2

i ia a aB B a

a d a d

a aM

i a d

µ µ ππ

µ π

= Φ = ⋅ =+ +

Φ= =

+

(10.13)

Deoarece a1 s-a considerat foarte mică, s-a putut admite că, în interiorul spirei de rază a1 inducŃia B este constantă, astfel încât fluxul magnetic care străbate această spiră se obŃine prin înmulŃirea inducŃiei cu aria.

Problema 10.12 -Inductivitatea unui electromagnet Un electromagnet de curent continuu are forma şi dimensiunile din fig.10.12, fiind bobinat cu N spire, parcurse de curentul i. Permeabilitatea miezului magnetic se consideră infinită (µ→∞). Să se determine inductivitatea utilă şi forŃa care acŃionează asupra armăturii electromagnetului.

a1

a2

d

i

Page 115: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 109

Fig. 10.12 Inductivitatea unui

electromagnet.

Rezolvare. Inductivitatea utilă a dispozitivului este:

2 20 0

2 20

( ) 1

2 21 1 1

02 2

m

m

i ct

cx c b xL N L W Li

a

WF N i c

x a

µ µδ

µδ=

−= Λ → = + =

∂ = = − > ∂

(10.14)

ForŃa electrodinamică atrage armătura spre interior.

Problema 10.13 -Inductivitatea de dispersie într-o crestătură Să se calculeze inductivitatea de dispersie a crestăturilor pentru o singură fază, într-o maşină electrică cu 2p poli, q crestături pe pol şi fază, şi Nq conductoare în crestătură (stăbătute de curentul i). Forma şi dimensiunile crestăturii sunt cele din fig.10.13

Fig. 10.13 Inductivitatea

de dispersie a unei crestături dintr-o maşină electrică.

Rezolvare. VariaŃia câmpului magnetic este cea din fig.10.13. Pe distanŃa h1 câmpul creşte datorită creşterii amper-spirelor, iar pe porŃiunea h3 datorită micşorării întrefierului. Expresia fluxului elementar este prezentată în relaŃia (10.15), precum şi expresia inductivităŃii de dispersie:

2 2

0

xx

x x x x xd N id L N di

ΦΦ = Λ → = = Λ∫ (10.15)

Dacă l este lungimea activă a conductoarelor în crestătură, atunci pentru:

x

b4

bx

b1

h1

h2

h3

h4

H

i

δ δ

a

b

x

i

N,i

c

Page 116: Electromagnetism Aplicatii

InductivităŃi.

Pag 110

( )

1 01 1

1 2 1 01

2 1 3 2 1 0

3 2 10

4 3 2 1 4

4 4 13

0 x x q

x x q

x x qx

x x q

x

ldx xx h d N N

b h

ldxh x h h d N N

b

ldxh h x h h h d N N

b

h h h x ldxd N N

x h h h h b

xunde b b b b

h

µ

µ

µ

µ

≤ ≤ Λ = =

≤ ≤ + Λ = =

+ ≤ ≤ + + Λ = =

+ + ≤ Λ = =

≤ + + +

= + −

(10.16)

Inductivitatea de dispersie este:

( ) ( )( )

( )

31 2

4

22 22

01 10 0 0

1 4 13

2

40

hh hq

d q q

h

q

N ldx ldx ldxL x N N

xh b b b b bh

ldxN

b

µ

= + + + + −

+

∫ ∫ ∫

(10.17)

Problema propusă10.14-Inductivitatea mutuală dintre un conductor rectiliniu şi un cadru triunghiular (2).

Să se determine inductivitatea mutuală dintre un fir rectiliniu infinit lung parcurs de curentul I şi un circuit sub formă de triunghi echilateral de latură a, dimensiunile geometrice sunt precizate în fig.10.14.

Fig. 10.14 Inductivitatea mutuală

dintre un conductor rectiliniu şi un cadru triunghiular

( )012

3ln 1

23

hL d h h h a

d

µ = + ⋅ + − = (10.18)

Problema propusă 10.15-Inductivitatea mutuală dintre un conductor rectiliniu şi o spiră circulară.

Să se determine inductivitatea mutuală dintre un fir rectiliniu infinit lung parcurs de curentul I şi o spiră circulară situată în acelaşi plan cu firul, dimensiunile geometrice sunt precizate în fig.10.15.

I

d

a

a

a

Page 117: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 111

Fig. 10.15 Inductivitatea mutuală

dintre un conductor rectiliniu şi un cadru circular.

2 212 0 0L a a rµ = − −

(10.19)

I

a

r0

Page 118: Electromagnetism Aplicatii

ForŃe şi circuite magnetice.

Pag 112

11 ForŃe şi circuite magnetice.

Breviar.

PermeanŃa şi reluctanŃa magnetică.

( )

2

1

1C

m Cm

f f

mm

HdlU dl

RA

R

µ= = =Φ Φ

Λ =

∫∫

(B11.1)

Fig. B11.1 Definirea reluctanŃei unui tub de

flux magnetic.

Teoremele lui Kirchhoff pentru circuitele magnetice.

0 0

0bb n

mb b b bb b

R N I

⊂ ⊂

Φ =

Φ =

∑ ∑ (B11.2)

Teoremele forŃelor generalizate în câmpuri magnetice.

• Prima teoremă a forŃelor generalizate în câmp magnetic. ForŃa generalizată Xj care se exercită în câmpul magnetic pe direcŃia de creştere a coordonatei generalizate xj este egală şi de semn contrar cu derivata parŃială a energiei magnetice a sistemului în raport cu coordonata generalizată xj la fluxuri magnetice constante.

mj

j ct

WX

xΦ=

∂= −∂

(B11.3)

• A doua teoremă a forŃelor generalizate în câmp magnetic. ForŃa generalizată Xj care se exercită în câmpul magnetic după direcŃia de creştere a coordonatei generalizate xj este egală cu derivata parŃială a coenergiei magnetice a sistemului în raport cu coordonata generalizată xj la curenŃi constanŃi.

mj

j I ct

WX

x

=

∂=∂

(B11.4)

Problema 11.1 -ForŃa asupra unui conductor dintr-o nişă feromagnetică triunghiulară

Să se calculeze forŃa asupra unui conductor rectiliniu, considerat infinit lung, parcurs de curentul i, situat într-o nişă dintr-un material feromagnetic (µFe=∞) ca în fig.11.1.

dl H B

1 2

(C)

Page 119: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 113

Fig. 11.1 ForŃa asupra unui conductor situat

într-o nişă feromagnetică unghiulară.

Rezolvare.

Din teorema lui Ampere aplicată pe curba închisă Γ se obŃine:

( )

20

2 2cos0 0

2 2

20

22 2

2ln

8 4 cos

10

4

m

h

m

h a

m

i ct

HixH i H W V

x

i i ll xdx hW

x h a

W i lF

a h a

α

µα

α

µ µαα α α

µα

=

= → = → =

= =−

∂= = ⋅ >∂ −

∫ (11.1)

Se constată că forŃa este de atracŃie (se opune creşterii lui a).

Problema 11.2 -ForŃa asupra unui conductor dintr-o nişă feromagnetică rectangulară

Să se calculeze forŃa asupra unui conductor rectiliniu, considerat infinit lung, parcurs de curentul i, situat într-o nişă dintr-un matrial feromagnetic (µFe=∞) ca în fig.11.2.

Fig. 11.2 ForŃa asupra unui conductor situat

într-o nişă feromagnetică

Rezolvare.

Din teorema lui Ampere aplicată pe curba închisă Γ se obŃine: 2

0

2 20 0

2

2

02 2

m

mm

i ct

HiH i H W V

i W i lW a l F

a

µδ

δµ µ

δδ δ=

= → = → =

∂= → = = >

(11.2)

Se constată că forŃa este de atracŃie (se opune creşterii lui a).

x i

a

δ Γ

l

x

µFe=∞

a h

Γ

α i

l

Page 120: Electromagnetism Aplicatii

ForŃe şi circuite magnetice.

Pag 114

Problema 11.3 -ForŃele dintre conductoarele unei linii bifilare Să se calculeze forŃa de interacŃiune dintre firele unei linii bifilare de curent continuu cu dimensiunile din fig.11.3.

Fig. 11.3 ForŃa între conductoarele unei linii

bifilare.

Rezolvare. Conform problemelor 10.5 şi 10.6, inductivitatea proprie a unei linii bifilare este prezentată în relaŃia (11.3) şi deci se poate calcula imediat Wm şi forŃa magnetică.

20

22 0 0

1 4ln4 2

1 14 0

2 4 2

m

m

i ct

l d LiL W

a

W l liaF i

d d a d

µπ

µ µπ π=

= + → =

∂= = = >∂

(11.3)

Se constată că forŃa este de respingere(nu se opune creşterii lui d).

Problema 11.4 -ForŃa portantă a unui electromagnet (1) Un electromagnet ca cel din fig. 11.4a, cu întrefierul normal este magnetizat de o bobină cu N spire, parcursă de curentul i are o forŃă portantă F. Dacă se taie oblic (fig.11.4b) capetele coloanelor şi armătura se află la aceeaşi distanŃă δ (măsurată pe verticală). Să se calculeze raportul de forŃe în cele două cazuri când în rest nimic nu se schimbă:

Fig. 11.4 ForŃa portantă a unui electromagnet

Rezolvare. În cazul (a) forŃa F are expresia:

20 0

0 0 0 0

2 2 2 20 0

2 2

22 2

04 4

m

mm a

i ct

HNiB H W V

N i W N i AW A F

µµ µ

δµ µ

δδ δ δ=

= = → =

∂= → = = − <

(11.4)

În cazul (b) forŃa F are expresia:

i

N,i

A

δ

Γ

i

N,i

A

δ Γ

a b

d

2a

i i

2a

Page 121: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 115

20

0 0 0 00

2 2 2 20 0

2 2 2 2

22 cos 2

04 cos 4cos

m

mm b

i ct

BNiB H W V

N i W N i AW A F

µ µδ α µ

µ µδ

δ α δ α δ=

= = → =

∂= → = = − <

(11.5)

Se observă co în cazul (b) forŃa este mai mare decât în cazul (a) şi ambele forŃe sunt de atracŃie (se opun creşterii intrefierului δ).

Problema 11.5 -ForŃa portantă a unui electromagnet (2) Să se calculeze fluxurile fasciculare ale circuitului magnetic din fig.11.5, precum şi intensităŃile câmpului magnetic din întrefier.

Fig. 11.5 Calculul unui circuit magnetic.

Rezolvare.

( )

( )

2 10 2 1

0 0 0

0 1 2

2 11 2

0 0 0

2 2

2 2

r r

f

f f

r r

l lR R R R

A A A

Ni R R R R

l lNi R R R

A A A

δ

δ

δ

δ δµ µ µ µ µ

δ δµ µ µ µ µ

−= = = =

Θ = = Φ + + +

−= Φ + + = Φ + +

(11.6)

[ ] [ ]

[ ]

0 0

1 2 1 2

0 1 2

2 2

2

fr rf f

r r

f rf

r

Ni A NiB

l l A l l

B NiH

l l

µ µ µ µδµ δµ

µµ δµ

ΦΦ ≈ = =

+ + + +

= =+ +

(11.7)

Problema 11.6 -Circuit magnetic C+T Să se calculeze fluxurile fasciculare ale circuitului magnetic din fig.11.6, precum şi intensităŃile câmpului magnetic din întrefier.

l2

i

N,i

A

δ

Γ

µr

µr

l1

Ni R0

R2

R1 R1

Rδ Rδ

Φf

a

b

Page 122: Electromagnetism Aplicatii

ForŃe şi circuite magnetice.

Pag 116

Fig. 11.6 Calculul unui circuit magnetic. Rezolvare.

101 2

1 20 01 2

1 21 2

0 0

23 3 2

2 22

3 3

2

3 3

ff f

f ff f

f ff f

Ni Ni Ni AR

R R

Ni NiB B

A AB BNi Ni

H H

δδ δ

µδ

µ µδ δ

µ δ µ δ

ΦΦ = = = Φ =

+

Φ Φ= = = =

= = = =

(11.8)

Problema 11.7 -Circuit magnetic E+I Să se calculeze fluxurile fasciculare ale circuitului magnetic din fig.11.7, precum şi intensităŃile câmpului magnetic din întrefier.

Fig. 11.7 Calculul unui circuit magnetic.

2Ni

a

δ A

µ=∞

µ=∞

2A

b

Ni

Rδ Rδ

Φf1

Φf2 Φf2

Ni 2Ni

Vm

Ni Ni

Ni

Rδ Rδ

Φf1

b

Φf2 Φf2

Ni

Rδ Rδ/2

Φf1

c

N,i

A

δ

a

µ=∞

δ A

µ=∞

A

Page 123: Electromagnetism Aplicatii

Electromagnetism - AplicaŃii

Pag 117

Rezolvare.

2 1 22 1

2 1 2 2 1 2 0 0

1 2

0 0

2 02

2 2

1 01

1 1

1 1 1

2

2 2

4 2

233

2 2

33

2

m

m m

mf

mf

V R RR R R R R R A A

Ni

A Ni A NiV V

V Ni ANi

R R

V Ni ANi

R R

δ δµ µ

µ µδ δ

µδ

µδ

Θ Θ Θ+ + = − + = =

Θ = = Θ

= − = −

Θ −Φ = = =

Θ +Φ = = =

(11.9)

Problema 11.8 -Circuit magnetic C+I Să se calculeze inductivitatea proprie a bobinei montate pe circuitului magnetic din fig.11.8.

Fig. 11.8 Inductivitatea proprie a unei bobine cu circuit magnetic.

Rezolvare.

InductivităŃile proprii se pot calcula pornind de la relaŃia de definiŃie L=Φ/Ι , iar metoda constă în următoarele:

1) Se consideră pe circuitul magnetic doar bobina a cărei inductivitate trebuie calculată şi se reprezintă schema echivalentă a circuitului magnetic, calculându-se reluctanŃa ce intervine în această schemă.

2) Se calculează reluctanŃa echivalentă a întregului circuit în raport cu bornele generatorului ce reprezintă bobina.

3) Se calculează inductivitatea bobinei cu relaŃia L=N2/Re unde N este numărul de spire al bobinei.

2202

2 2e

N ANR R L

Rδδ

µδ

= = = (11.10)

Problema 11.9 -Electromagnetic de c.c. cu clapetă Un electromagnet de curent continuu are forma şi dimensiunile din fig.11.9, fiind bobinat cu N spire, parcurse de curentul i. Permeabilitatea miezului magnetic se consideră ∞. Să se determine inductivitatea utilă (proprie) a bobinei.

N i

δ

µ=∞

a

µ=∞

A

B

Ni

Φf

b

A

B

Page 124: Electromagnetism Aplicatii

ForŃe şi circuite magnetice.

Pag 118

Fig. 11.9 Inductivitatea şi

forŃa unui electromagnet

Rezolvare. Aproximând lungimea întrefierurilor cu lungimea unui arcului mediu ce uneşte polul de armătură, se obŃine:

( )

1 1

1 2

0 0

220

2 2

2 2

c ch h a c

R Rc b c b

N c bNL

R R h a c

δ δ

δ δ

α α

µ µ

µα

+ + + + = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅= =

+ + +

(11.11)

Problema 11.10 -Circuit magnetic E+I Să se calculeze inductivităŃile proprii ale bobinelor montate pe circuitului magnetic din fig.11.10.

Fig. 11.10 Calculul inductivităŃilor proprii ale unor bobine pe circuit magnetic.

Rezolvare. Calculul inductivităŃii proprii a bobinei L1.

221 01

1 1

22

2 3 3e

R N ANR R L

δδ

µδ

= + = = (11.12)

Calculul inductivităŃii proprii a bobinei L2. 22

2 022 2

22

2 3 3e

R N ANR R L

δδ

µδ

= + = = (11.13)

a c

i

N,i

b

α

Rδ1

Ni

Rδ2

Φf

h

b’

N1i1