Am intrat deja activ n mileniul III, n care facem alegeri i trim consecinele lor. Schimbrile cotidiene devin o realitate aproape inevitabil, iar lucrul cel mai permanent n viaa uman este continuitatea aproape nentrerupt a schimbrii. Trebuie s fim contieni de faptul c totul se schimb permanent i s percepem rupturile aprute ca normale sau mai puin dureroase. Totul n activitatea uman evolueaz. Aceast evoluie se face prin schimbri repetate sau prin salturi. Noutatea este o regul, o prezen constant n felul de a percepe lumea. Fr inovare nimic nu ar exista, deoarece nsi procesul viaa este bazat pe inovare. Anume viaa ne ofer cel mai bun serviciu atunci cnd ne pune piedici n cale. Anume datorit acestor obstacole de dezvoltm permanent, acumulm noi experiene i ne transformm permanent n ceea ce dorim s fim.

Puternic stabilit n realitile contemporane i cu implicaii n toate domeniile, matematica zilelor noastre devine tot mai mult modelul spre care privesc cu ncredere i interes celelalte tiine. Matematica a ptruns treptat din ce n ce mai mult n sfera conceptului de cultur general i de cultur de specialitate, lsnd puine sectoare lipsite de prezena ei.

Trecerea sistematic de la nvmntul informativ la cel formativ va fi posibil numai prin rezolvarea unui numr optimal de probleme i situaii probleme, utiliznd diverse strategii n rezolvarea lor, prin nsuirea unor metode spicifice anumitor clase de probleme.

Pentru nsuirea mai profund a materiei de Curriculum la matematic sunt propuse probleme i exerciii ce prezint un grad sporit de dificultate. Ele constituie subiecte pentru examenele de BAC, la olimpiade i alte concursuri.

n cursul contemporan de matematic din liceu un loc aparte l ocup parametrul. Parametrul este un puternic instrument de dezvoltare a gndirii logice, lrgete cu mult clasa problemelor i exerciiilor rezolvabile n liceu. Pentru elevii claselor de liceu nu prezint dificulti de a rezolva ecuaii de tipul ax = b, n mulimea numerelor ntregi. Problema se complic, atunci cnd coeficienii a,b,c depind de careva parametru. n cadrul rezolvrii problemelor cu parametru nu se cere pur i simplu de a rezolva ecuaia propus, ci i s se discute dup parametrul dat. Deci, la rezolvarea problemelor cu parametru, elevii trebuie s manifeste intuiie matematic, ingeniozitate, spirit inventativ, caliti care trebuie noi profesorii s le dezvoltm pe parcursul anilor de coal.

Voi ncepe cu rezolvarea ecuaiilor liniare care conin parametri. Nu prezint nici o problem rezolvarea n mulimea numerelor reale a ecuaiilor de forma ax = b, unde a, b depind de un parametru. Dac a = 0 i b = 0 atunci ecuaia ia forma 0x = 0 Atunci S = R, adic ecuaia admite o infinitate de soluii.

Dac a = 0 i atunci ecuaia ia forma 0x = b. Atunci S=

Dac i b oricare, atunci ecuaia admite o singur soluie

Exemplul 1.

S se rezolve ecuatia i s se discute dup parametrul real m.

Rezolvare:

EMBED Equation.3

Rezolvm ecuatia liniar obtinut:

Dac m = 0, ecuatia ia forma 0x = 2 Deci, S=

Dac m = 1, ecuatia ia forma 0x = 3 Deci, S= Dac atunci ecuatia va admite o soluie

Soluia obtinut trebuie s satisfac conditia . S verificm aceast conditie. Pentru aceasta rezolvm ecuatia :

Deci, pentru numitorul fractiei devine zero, ceea ce contravine conditiei de egalitate a unei fractii cu zero.

Rspuns : Dac S=

Dac

Rezolvati independent ecuatia:

Rspuns: Dac S= Dac atunci

S rezolvm o ecuaie cu parametru care se reduce la ecuaie liniar.

Exemplul 2

Determinai toate valorile reale ale parametrului m , pentru care ecuaia

EMBED Equation.3 nu are soluii.

Rezolvare:

EMBED Equation.3 Aceasta este o ecuaie liniar n raport cu 3x. Deci vom cerceta cazul cnd ecuaia liniar nu are soluii. i deoarece este o ecuaie exponenial, nu va avea soluii atunci cnd

Rspuns:

Rezolvai independent:

Determinai valorile reale ale parametrului m, pentru care ecuaia admite o singur soluie real. Determinai aceast soluie.

EMBED Equation.3 Ecuaia dat va admite o singur soluie atunci cnd

Rspuns : Pe intervalul dat soluia ecuaiei va fi

Exemplul 3.Pentru ce valori ale parametrului real a ecuaia va admite o soluie negativ ?

Rezolvare :

EMBED Equation.3 Aceasta este o ecuaie exponenial n raport cu 4x-2 , care se reduce la o ecuaie liniar i va avea o soluie atunci cnd

EMBED Equation.3 n acest interval ecuaia va admite soluia

EMBED Equation.3 S determinm valorile parametrului real a pentru care soluia obinut este negativ. Rezolvm sistemul:

Rspuns : pentru ecuaia va avea o soluie negativ.

n cadrul ecuaiilor cu parametru un loc aparte l ocup ecuaiile de gradul doi cu parametru. Rezolvnd mai multe ecuaii de gradul doi cu parametru am dedus unele condiii sau relaii dintre coeficienii ecuaiei i soluiile ei.

Fie ecuaia de gradul doi ax2 + bx + c =0, unde a, b, c sunt coeficieni care depind de parametri reali.

1. Ecuaia ptrat admite dou soluii reale distincte atunci cnd

2. Ecuaia ptrat admite o soluie real atunci cnd

3. Ecuaia ptrat admite dou soluii reale de acelai semn atunci cnd

4. Ecuaia ptrat admite dou soluii reale pozitive atunci cnd

5. Ecuaia ptrat admite dou soluiii reale negative atunci cnd

6.Ecuaia ptrat admite dou soluiii reale de semne opuse atunci cnd

7.Ecuaia ptrat admite dou soluii reale de semne opuse i soluia pozitiv mai mare dect soluia negativ dup modul atunci cnd

8. Ecuaia ptrat admite dou soluii reale de semne opuse i soluia negativ dup modul este mai mare atunci cnd :

9. Ecuaia ptrat admite dou soluii dintre care una este zero, iar cealalt este negativ atunci cnd :

10. Ecuaia ptrat admite dou soluii dintre care una este zero, iar a doua este pozitiv atunci cnd

Deseori se cere s se discute soluiile ecuaiei dup valorile parametrului. A discuta soluiile ecuaiei nseamn n general a stabili condiiile n care aceasta admite rdcini ntr-o mulime dat i a determina apoi numrul lor, semnele lor etc. n cazul cel mai frecvent mulimea dat este mulimea numerelor reale R, uneori mulimea numerelor complexe C.

Exerciiul 3S se rezolve ecuaia i s se discute soluiile ei dup parametrul real m .

Rezolvare:

1. Pentru m = 1 ecuaia ia forma

EMBED Equation.3 2. Pentru m + 2 = 0 adic pentru m = 2 , ecuaia se scrie astfel

3. S calculm valorile parametrului pentru cazul cnd soluiile ecuaiei vor fi egale : adic

Dac atunci ecuaia are o soluie

4. Dac

EMBED Equation.3 ecuaia va admite dou soluii reale distincte

5. S calculm valorile parametrului m din intervalul pentru care soluiile ecuaiei sunt reale i pozitive: adic

Deci, dac ecuaia are dou soluii reale pozitive.

6. S calculm valorile parametrului m din intervalul pentru care soluiile sunt reale i negative adic

Deci, pentru ecuaia are dou soluii reale negative.

7. S calculm valorile parametrului m din intervalul pentru care ecuaia admite soluii reale de semne opuse adic

Pentru ecuaia admite dou soluii reale de semne opuse.

Rspuns : Dac ecuaia nu admite soluii reale

Dac ecuaia are o soluie real

Dac ecuaia are dou soluii reale negative

Dac ecuaia are dou soluii

Dac ecuaia are dou soluii reale de semne opuse.

Dac m = 1 ecuaia are o singur soluie

Dac ecuaia are dou soluii reale pozitive.

Exist ns probleme a cror rezolvare impune cercetarea condiiilor n care o ecuaie admite soluii ntr-o submulime a mulimii numerelor reale, care rezult din condiiile problemei respective. Vom rezolva aceast problem n cazul cnd submulimea este un interval dat pentru ecuaia de gradul doi.

Exemplul 4.

Se d ecuaia . 1). S se discute soluiile ecuaiei , tiind c

2). Fr s se rezolve ecuaia , s se afle m astfel nct

Rezolvare: 1. Dac m = 2 ecuai ia forma

EMBED Equation.3 adic ecuaia are dou soluii x1 = 0 ; x2 = 4.2. Dac m = 0 ecuaia se transform n x2 + 2 = 0, care nu are soluii reale. Are soluii complexe.

3. Ecuaia va avea soluii reale atunci cnd adic

4. Dac ecuaia nu are soluii reale, adic are soluii complexe.

5. S calculm valorile parametrului m din domeniul pentru care ambele soluii sunt reale i pozitive.

6. S calculm valorile parametrului m din domeniul pentru care ambele soluii sunt reale i negative.

EMBED Equation.3 7. S calculm valorile parametrului m din domeniul pentru care ambele soluii sunt reale i de semne diferite.

Rspuns: I: Dac ecuaia are dou soluii negative

Dac ecuaia nu are soluii reale

Dac ecuaia are dou soluii reale pozitive

Dac m = 2, ecuaia are soluiile x1 = 0, x2 = 4Dac ecuaia are dou soluii de semne diferite

II. S calculm valorile parametrului m pentru care se satisface condiia

Efectum careva transformri cu expresia n rezultat avem . Conform relaiilor lui Viete obinem :

Rspuns II : Pentru este satisfcut condiia.

Exemplul 5.

S se determine toate valorile reale ale parametrului k pentru care ecuaia are soluii reale i diferite. Cte soluii a acestei ecuaii sunt situate n intervalul n dependen de parametrul k ?

Rezolvare :

Pentru ca soluiile ecuaiei s fie reale i distincte e necesar ca

Deci, pentru ecuaia va avea dou soluii reale distincte.

Conform relaiilor lui Viete avem :

Deoarece semisuma soluiilor ecuaiei este nseamn, c una din soluii este mai mare dect , iar cealalt mai mic ca , adic . Deci, intervalului i va aparine numai o soluie x1, fiind pozitiv. A doua soluie , atunci rezult , c ambele soluii sunt pozitive, adic . Deci, pentru n intervalul este situat numai o soluie, cea mai mic

Rspuns : Pentru n intervalul este situat o singur soluie

Exemplul 6.

Fie dat ecuaia : R. Pentru ce valori reale ale lui m ecuaia are o soluie unic?

Rezolvare :

Pentru ca ecuaia ptrat exponenial s admit o soluie unic e necesar s fie satisfcute urmtoarele condiii:

Rspuns: Pentru

EMBED Equation.3 ecuaia va admite o soluie unic.

Inecuaii cu o singur necunoscut cu parametruFie date dou funcii numerice f(x) i g(x) i fie D mulimea ce reprezint intersecia domeniilor de definiie a acestor funcii, adic . Dac se cere de aflat toate numerele x0 din D pentru care este just inegalitatea numeric

EMBED Equation.3 , atunci se spune c este dat o inecuaie cu o singur necunoscut . Mulimea D este numit domeniul valorilor admisibile al necunoscutei,( DVA ), iar x0 este soluie a inecuaiei.

n mod analog trebuie formulate i nelese problemele : s se rezolve inecuaiile f(x) > g(x), f(x) g(x), f(x) g (x). Mulimea soluiilor unei inecuaii reprezint , de regul, o mulime infinit de numere i de aceea verificarea ei este dificil. Unica metod, care garanteaz justeea rspunsului const n faptul, c la rezolvarea inecuaiilor trebuie efectuate astfel de transformri, nct s se pstreze echivalena inecuaiilor.

Dou inecuaii sunt echivalente dac mulimile soluiilor lor coincid.

Aducem afirmaiile de baz cu privire la echivalena inecuaiilor , care se formuleaz i se demonstreaz pe baza proprietilor inegalitilor numerice.

1. Inecuaiile f(x) > g(x) i f(x) g(x) > 0 sunt echivalente

2. Inecuaiile f(x) > g(x) i f(x) + a > g(x) + a sunt echivalente pentru orice a real.

3. Inecuaiile f(x) > g(x) i af(x) > ag(x) sunt echivalente pentru orice a pozitiv.

4. Inecuaiile f(x) > g(x) i af(x) < ag(x) sunt echivelente pentru orice a negativ.

5. Inecuaiile i f(x) > g(x) sunt echivalente pentru orice numr fixat a > 16. Inecuaiile i f(x )< g(x) sunt echivalente pentru orice numr fixat 0 < a < 17. Fie n un numr natural i pe mulimea A funciile y = f(x) i y = g(x) sunt nenegative. Atunci pe aceast mulime inecuaiile f(x) > g(x) i sunt echivalente.

8. Fie a un numr fixat din domeniul i pe mulimea A funciile y = f(x) i y = g(x) sunt pozitive. Atunci pe aceast mulime sunt echivalente inecuaiile i f(x ) > g (x).9. Fie a un numr fixat din domeniul (0;1) i pe mulimea A funciile y = f(x) i y = g(x) sunt pozitive. Atunci pe aceast mulime sunt echivalente inecuaiile i f(x) < g(x) .

10. Fie c pe mulimea M , care se conine n DVA al inecuaiei f(x) > g(x), funcia este pozitiv . Atunci pe aceast mulime snt echivalente inecuaiile i

Fiecare dintre inecuaiile de forma ax > b, ax < b, ax b, ax b , unde a i b sunt numere reale sau funcii de parametri, iar x este o necunoscut se numete inecuaie liniar cu o necunoscut cu parametru.

Considerm inecuaia ax > b , la rezolvarea creia vom deosebi urmtoarele cazuri : 1). Dac a > 0 atunci

2). Dac a < 0 atunci 3). Dac a = 0 i b < 0, obinem inecuaia 0x > b, care este verificat de orice valoare real a necunoscutei x.4). Dac a = 0 i b > 0, obinem inecuaia 0x > b, care nu are soluii.

Exemplul 1.

S se rezolve inecuaia :

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 .

Rezolvare:

Efectund unele transformri , inecuaia dat ia forma

Dac , atunci

Dac , atunci

Dac a = 1, atunci inecuaia ia forma 0x > 8, care nu are soluii

Dac a = 1 , atunci inecuaia devine 0x > 8 , care este verificat de orice x real.

Exemplul 2.

Pentru care valori ale parametrului k inecuaia este verificat de valorile necunoscutei ?

Rezolvare:

Vom considera funcia graficul creia reprezint o linie dreapt pentru orice valoare a parametrului k.

Se observ c pe segmentul , atunci i numai atunci, cnd

Efectund careva transformri necesare , obinem

Deci, pentru inecuaia este verificat de valorile necunoscutei

Rspuns:

Fiecare dintre inecuaiile de forma ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c 0 , ax2 + bx + c 0 ,unde a 0 se numete inecuaie de gradul doi sau inecuaie ptrat cu o necunoscut, iar a, b, c sunt numere reale sau depind de parametru.

Rezolvarea inecuaiilor ptrate cu parametri necesit cunoaterea profund a proprietilor trinomului ptrat

Exemplul 3.

De rezolvat inecuaia

Rezolvare:

Dac m = 1 atunci inecuaia ia forma

Dac R \ atunci soluiile inecuaiei vor depinde de valorile discriminantului i de valorile lui m 1 . Calculm discriminantul :

Determinm semnul discriminantului.

. Determinm semnul expresiei m 1 .

Depunem toate valorile obinute pe o dreapt:

+ + + + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + +

m 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 + + + + + + + +

Calculm rdcinile trinomului asociat inecuaiei: i

Rspuns : Dac

Dac

S=R

Dac m = 1

Dac

EMBED Equation.3

Exemplul 4Determinai valorile reale ale parametrului a , pentru care funcia este cresctoare pe R.Rezolvare :

O funcie este cresctoare pe R atunci cnd f ' (x) 0. f ' (x ) =

S determinm valorile reale ale lui a pentru care are loc inecuaia 0. Observm, c este o inecuaie ptrat cu parametru. Verificm pentru nceput

Dac a=1 avem c f '(x) =2 > 0. Deci, este realizat condiia problemei.

Dac a = 1 avem c f '(x) = 4x + 2, care nu este nenegativ pentru orice x real. Prin urmare, nu este realizat condiia problemei.

Dac R\ obinem c f '(x) 0

Am obinut, c f '(x) 0 pentru

Rspuns : Pentru f ' (x) 0 pentru orice valoarea real a lui x , adic f (x) este cresctoare.

Pentru lucrul independent:

1. Determinai valoarea maxim a parametrului real a , pentru care funcia este monoton descresctoare pe R.

2. Pentru care valori reale ale parametrului real a , funcia admite puncte critice ?

3. Fie funcia Determinai valorile lui m pentru care funcia f este descresctoare pe R.

4. Fie funcia determinai parametrul real m pentru care D = R.5. Pentru care valori ale parametrului real a ecuaia are o unic soluie?

Ciuga Maria, profesor de matematic,

Grad didactic nti

Liceul Teoretic M. Eminescu

or. Drochia

e-mail maria.ciuga@gmail.com

tel.mob. 069945020

tel. dom. 025224520

_1381507258.unknown

_1383979489.unknown

_1383991120.unknown

_1383992053.unknown

_1383992371.unknown

_1383993284.unknown

_1383995352.unknown

_1384609530.unknown

_1384609998.unknown

_1383995418.unknown

_1383993989.unknown

_1383995244.unknown

_1383995304.unknown

_1383994919.unknown

_1383995021.unknown

_1383993308.unknown

_1383992459.unknown

_1383992520.unknown

_1383992931.unknown

_1383993144.unknown

_1383992545.unknown

_1383992481.unknown

_1383992384.unknown

_1383992305.unknown

_1383992343.unknown

_1383992359.unknown

_1383992325.unknown

_1383992087.unknown

_1383992106.unknown

_1383992071.unknown

_1383991693.unknown

_1383991792.unknown

_1383991919.unknown

_1383992035.unknown

_1383991897.unknown

_1383991727.unknown

_1383991751.unknown

_1383991711.unknown

_1383991455.unknown

_1383991560.unknown

_1383991655.unknown

_1383991519.unknown

_1383991199.unknown

_1383991225.unknown

_1383991152.unknown

_1383990655.unknown

_1383990863.unknown

_1383991017.unknown

_1383991054.unknown

_1383990886.unknown

_1383990707.unknown

_1383990782.unknown

_1383990681.unknown

_1383990447.unknown

_1383990562.unknown

_1383990606.unknown

_1383990540.unknown

_1383982110.unknown

_1383990378.unknown

_1383990425.unknown

_1383988950.unknown

_1383984567.unknown

_1383981570.unknown

_1383981637.unknown

_1383981497.unknown

_1381511310.unknown

_1381574972.unknown

_1381587770.unknown

_1381589575.unknown

_1381589840.unknown

_1381651021.unknown

_1381651751.unknown

_1381652132.unknown

_1381652597.unknown

_1381651905.unknown

_1381651403.unknown

_1381649645.unknown

_1381649919.unknown

_1381589888.unknown

_1381589769.unknown

_1381589824.unknown

_1381589644.unknown

_1381588597.unknown

_1381589080.unknown

_1381589289.unknown

_1381589006.unknown

_1381588517.unknown

_1381588534.unknown

_1381588012.unknown

_1381577963.unknown

_1381587220.unknown

_1381587365.unknown

_1381578047.unknown

_1381577242.unknown

_1381577440.unknown

_1381577138.unknown

_1381512121.unknown

_1381568709.unknown

_1381572640.unknown

_1381574951.unknown

_1381571921.unknown

_1381513589.unknown

_1381568569.unknown

_1381513573.unknown

_1381511818.unknown

_1381512009.unknown

_1381512062.unknown

_1381511880.unknown

_1381511474.unknown

_1381511767.unknown

_1381511363.unknown

_1381508703.unknown

_1381510420.unknown

_1381511047.unknown

_1381511244.unknown

_1381510600.unknown

_1381509770.unknown

_1381510106.unknown

_1381509378.unknown

_1381507953.unknown

_1381508291.unknown

_1381508457.unknown

_1381508126.unknown

_1381507846.unknown

_1381507899.unknown

_1381507362.unknown

_1381490178.unknown

_1381496131.unknown

_1381504693.unknown

_1381505316.unknown

_1381505924.unknown

_1381506756.unknown

_1381505561.unknown

_1381504910.unknown

_1381505247.unknown

_1381504875.unknown

_1381497265.unknown

_1381504498.unknown

_1381504593.unknown

_1381497927.unknown

_1381496395.unknown

_1381497101.unknown

_1381496152.unknown

_1381492496.unknown

_1381493312.unknown

_1381494235.unknown

_1381494393.unknown

_1381494543.unknown

_1381495843.unknown

_1381494503.unknown

_1381494295.unknown

_1381493517.unknown

_1381493102.unknown

_1381493222.unknown

_1381492634.unknown

_1381490789.unknown

_1381491694.unknown

_1381491856.unknown

_1381491070.unknown

_1381490612.unknown

_1381490772.unknown

_1381490249.unknown

_1381408670.unknown

_1381410783.unknown

_1381412894.unknown

_1381489416.unknown

_1381489816.unknown

_1381490032.unknown

_1381485248.unknown

_1381412187.unknown

_1381412319.unknown

_1381411912.unknown

_1381409602.unknown

_1381409811.unknown

_1381410541.unknown

_1381409729.unknown

_1381409047.unknown

_1381409358.unknown

_1381408926.unknown

_1381401432.unknown

_1381402300.unknown

_1381402705.unknown

_1381406420.unknown

_1381402429.unknown

_1381401694.unknown

_1381401842.unknown

_1381401520.unknown

_1381398983.unknown

_1381399029.unknown

_1381399513.unknown

_1381399013.unknown

_1381398591.unknown

_1381398882.unknown

_1381398169.unknown