“ Exista vreo motivatie mai buna decat succesul ? ”

Ion Tiriac

5Ecuatii liniare de ordin superior

Bungee jumping

Bungee jumping sau saritura cu coarda elastica este unul dintre cele maispectaculoase sporturi extreme, o sfidare a gravitatiei care necesita mult curaj,experienta si rezistenta. Practicantul sare de la o inaltime de zeci de metri, fiindasigurat cu o coarda elastica, fixata de glezna.

1

Sa presupunem ca cel care dorestesa faca bungee jumping alege un podaflat la o distanta de 174 m de apa. Arelegata de picioare o coarda cu lungimea100 m. Consideram pozitia pana undeajunge coarda prinsa de pod ca fiind 0si masuram pozitia picioarelor in tim-pul sariturii prin intermediul functiei𝑥(𝑡), care este o functie de timpul 𝑡.Evident in momentul in care saritorulse afla pe pod avem 𝑥(0) = −100. Dis-tanta creste atunci cand e in cadere,prin urmare viteza este pozitiva iaratunci cand e tras inapoi de coardaviteza este negativa. Se stie ca accel-eratia gravitationala 𝑔 este constanta.Astfel ca forta care ii impinge in joscorpul are valoarea 𝑚𝑔.

Atunci cand sare de pe pod forta de rezistenta a aerului creste proportionalcu viteza sa si reprezinta o forta de sens opus miscarii sale, de valoare 𝛽𝑣, unde𝛽 este o constanta si 𝑣 este viteza miscarii sale.

Conform legii lui Hooke referitoare la actiunea resorturilor coarda de bungeeva exercita o forta asupra saritorului proportionala cu distanta parcursa dincolode lungimea naturala a corzii. Astfel forta cu care coarda il impinge inapoi sepoate exprima ca

𝑏(𝑥) =

{0, daca 𝑥 ≤ 0,

−𝑘𝑥, daca 𝑥 > 0.

Numarul 𝑘 este constanta de elasticitate a corzii si reprezinta modul in carecoarda influenteaza ecuatia. E nevoie de o coarda cu o constanta 𝑘 suficientde mare care sa il opreasca pe cel care sare inainte de a atinge apa dar nudintr-odata, pentru a nu-l vatama. Prin urmare esti interesat sa afli distantala care vei cadea, dincolo de lungimea naturala a corzii, ca functie de constantade elasticitate a corzii.

Pentru a afla asta trebuie sa rezolvi ecuatia diferentiala obtinuta in confor-mitate cu cele spuse mai sus. Forta 𝑚𝑥

′′care apasa asupra asupra corpului tau

este data de

𝑚 · 𝑥′′(𝑡) = 𝑚 · 𝑔 + 𝑏(𝑥(𝑡)) − 𝛽 · 𝑥′(𝑡)

Aici 𝑚𝑔 este greutatea ta iar 𝑥′este viteza ta. Constanta 𝛽 a fortei de rezistenta

a aerului depinde de multi factori, incluzand hainele pe care le porti. Aceastaeste o ecuatie neliniara dar ascunde doua ecuatii liniare in interiorul ei.

Cand 𝑥(𝑡0) < 0, ecuatia devine

𝑚 · 𝑥′′(𝑡) = 𝑚 · 𝑔 − 𝛽 · 𝑥′(𝑡)

2

si dupa punctul unde lungimea naturala a corzii se termina avem ecuatia

𝑚 · 𝑥′′(𝑡) = 𝑚 · 𝑔 − 𝑘 · 𝑥(𝑡) − 𝛽 · 𝑥′(𝑡)

Sa stii putina matematica este periculos !! Toata modelarea matematica demai sus este doar o aproximare a situatiei reale. De exemplu, presupunereaca forta de rezistenta a aerului este liniara se poate aplica doar vitezelormici. Mai mult, resorturile se pot comporta neliniar la oscilatii mari astfelca legea lui Hooke e doar o aproximare. Nu-ti pune viata in pericol pentruo aproximare a unui tip care a trait acum 200 de ani !

Remarca:

Ecuatii liniare de ordin superior

Ecuatii liniare omogene cu coeficienti constanti:

𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦(𝑛−1) + . . . + 𝑎𝑛−1𝑦

′ + 𝑎𝑛𝑦 = 0

unde 𝑎𝑖 ∈ R, 𝑖 = 1, 𝑛.

Algoritm:∙ scriem polinomul caracteristic

𝑝(𝜆) = 𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆𝑛−1 . . . + 𝑎𝑛−1𝜆 + 𝑎𝑛

∙ aflam radacinile, reale sau complexe, ale ecuatiei caracteristice: 𝑝(𝜆) = 0.∙ pentru orice radacina obtinem un element al sistemului fundamental de

solutii, conform urmatorului tabel:

radacina solutia generata

𝜆 = 𝑎 𝑒𝑎𝑥

𝜆1 = 𝜆2 = . . . = 𝜆𝑘 = 𝑎 𝑒𝑎𝑥, 𝑥𝑒𝑎𝑥, 𝑥2𝑒𝑎𝑥. . . , 𝑥𝑘−1𝑒𝑎𝑥

𝜆 = 𝛼 + 𝛽𝑖, 𝜆 = 𝛼− 𝛽𝑖 𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥, 𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥{𝜆1 = 𝜆2 = . . . = 𝜆𝑘 = 𝛼 + 𝛽𝑖

𝜆𝑘+1 = 𝜆𝑘+2 = . . . = 𝜆2𝑘 = 𝛼− 𝛽𝑖

{𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥, 𝑥𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥 . . . , 𝑥𝑘−1𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥

𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥, 𝑥𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥 . . . , 𝑥𝑘−1𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥

𝜆 = 0 1

𝜆1 = 𝜆2 = . . . = 𝜆𝑘 = 0 1, 𝑥, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘−1

3

∙ solutia generala a ecuatiei liniare omogene va fi

𝑦(𝑥) = 𝐶1 · 𝑦1(𝑥) + 𝐶2 · 𝑦2(𝑥) + . . . + 𝐶𝑛 · 𝑦𝑛(𝑥),

unde 𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑛 sunt cele 𝑛 solutii liniar independente ale sistemului funda-mental.

Ecuatii liniare neomogene cu coeficienti constanti:

𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦(𝑛−1) + . . . + 𝑎𝑛−1𝑦

′ + 𝑎𝑛𝑦 = 𝑓(𝑥)

Algoritm:

∙ aflam solutia generala 𝑦(𝑥) a ecuatiei omogene atasate

𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦(𝑛−1) + . . . + 𝑎𝑛−1𝑦

′ + 𝑎𝑛𝑦 = 0

∙ solutia generala a ecuatiei neomogene va fi

𝑦(𝑥) = 𝑦(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥)

unde 𝑦𝑝(𝑥) este o solutie particulara a ecuatiei neomogene care poate fi aflatafolosind metoda variatiei constantelor.

Ideea metodei:�

daca 𝑦(𝑥) = 𝐶1 · 𝑦1(𝑥) +𝐶2 · 𝑦2(𝑥) + . . .+𝐶𝑛 · 𝑦𝑛(𝑥) este o solutie generalaa ecuatiei omogene atasate cautam o solutie particulara de tipul

𝑦𝑝(𝑥) = 𝐶1(𝑥) · 𝑦1(𝑥) + 𝐶2(𝑥) · 𝑦2(𝑥) + . . . + 𝐶𝑛(𝑥) · 𝑦𝑛(𝑥)

obtinuta prin transformarea constantelor in functii care depind de 𝑥.�

aceste functii 𝐶1(𝑥), 𝐶2(𝑥), . . . , 𝐶𝑛(𝑥) se afla rezolvand sistemul functionalliniar: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦1 + 𝐶′

2(𝑥) · 𝑦2 + . . . + 𝐶′

𝑛(𝑥) · 𝑦𝑛 = 0

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦′

1 + 𝐶′

2(𝑥) · 𝑦′

2 + . . . + 𝐶′

𝑛(𝑥) · 𝑦′

𝑛 = 0

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦′′

1 + 𝐶′

2(𝑥) · 𝑦′′

2 + . . . + 𝐶′

𝑛(𝑥) · 𝑦′′

𝑛 = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦(𝑛−2)1 + 𝐶

′

2(𝑥) · 𝑦(𝑛−2)2 + . . . + 𝐶

′

𝑛(𝑥) · 𝑦(𝑛−2)𝑛 = 0

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦(𝑛−1)1 + 𝐶

′

2(𝑥) · 𝑦(𝑛−1)2 + . . . + 𝐶

′

𝑛(𝑥) · 𝑦(𝑛−1)𝑛 = 𝑓(𝑥)

in care necunoscutele sunt derivatele acestora, iar apoi se integreaza solutiileobtinute

∙ sistemul de mai sus se poate rezolva folosind, spre exemplu, regula Cramercaci determinantul sau este wronskianul

∆ =

𝑦1 𝑦2 . . . 𝑦𝑛

𝑦′1 𝑦′2 . . . 𝑦′𝑛

. . . . . . . . . . . .

𝑦(𝑛−1)1 𝑦

(𝑛−1)2 . . . 𝑦

(𝑛−1)𝑛

= 0

4

si acesta este nenul deoarece 𝑦1(𝑥), 𝑦2(𝑥), . . . , 𝑦𝑛(𝑥) sunt liniar independente.

Cazuri particulare:

∙ in anumite situatii speciale, daca observam un sablon in forma termenuluiresponsabil de neomogenitate 𝑓(𝑥), putem construi direct forma unei solutiiparticulare

∙ aceasta solutie particulara va depinde de cativa coeficienti care se aflainlocuind solutia construita in ecuatia diferentiala data�

vezi problemele rezolvate∙ aveti mai jos formele particulare ale lui 𝑓(𝑥) si structura unei solutii par-

ticulare 𝑦𝑝(𝑥), sugerata de aceste forme

1. daca 𝑓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥𝑃𝑚(𝑥) unde 𝑃𝑚 este un polinom de grad 𝑚 si 𝛼 nu esteradacina a ecuatiei caracteristice, atunci:

𝑦𝑝(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥𝑄𝑚(𝑥)

pentru 𝑄𝑚 un polinom de grad 𝑚 care trebuie determinat.2. daca 𝑓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥𝑃𝑚(𝑥) si 𝛼 este o radacina multipla de ordin 𝑘 a ecuatiei

caracteristice, cautam:𝑦𝑝(𝑥) = 𝑥𝑘𝑒𝛼𝑥𝑄𝑚(𝑥)

3. daca 𝑓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 [𝑃𝑚(𝑥) cos𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 sin𝛽𝑥] si 𝛼+ 𝑖𝛽 nu este o radacinaa ecuatiei caracteristice, cautam:

𝑦𝑝(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 [𝑅𝑚(𝑥) cos𝛽𝑥 + 𝑆𝑚(𝑥) sin𝛽𝑥]

4. daca 𝑓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 [𝑃𝑚(𝑥) cos𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 sin𝛽𝑥] si 𝛼 + 𝑖𝛽 este o radacinamultipla de ordin 𝑘 a ecuatiei caracteristice, cautam:

𝑦𝑝(𝑥) = 𝑥𝑘𝑒𝛼𝑥 [𝑅𝑚(𝑥) cos𝛽𝑥 + 𝑆𝑚(𝑥) sin𝛽𝑥]

Probleme rezolvate

Problema 1. Gasiti solutiile generale ale urmatoarelor ecuatii liniare:

a) 𝑦𝑖𝑣 − 5𝑦′′ + 4𝑦 = 0,

b) 𝑦′′′ − 6𝑦′′ + 12𝑦′ − 8𝑦 = 0,

c) 𝑦𝑖𝑣 + 5𝑦′′ + 4𝑦 = 0.

5

Solutie: a) Pentru ecuatia omogena 𝑦𝑖𝑣 − 5𝑦′′ + 4𝑦 = 0 scriem ecuatiacaracteristica:

𝑟4 − 5𝑟2 + 4 = 0𝑟2=𝑡⇒ 𝑡2 − 5𝑡 + 4 = 0

⇒ (𝑡− 1) (𝑡− 4) = 0

astfel

𝑟2 = 1, 𝑟2 = 4 ⇔𝑟1,2 = ±1, 𝑟3,4 = ±2.

Intrucat cele patru radacini sunt reale si distincte construim solutia generala aecuatiei de mai sus

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑒2𝑥 + 𝑐4𝑒

−2𝑥.

b) Sa scriem ecuatia caracteristica atasata

𝑟3 − 6𝑟2 + 12𝑟 − 8 = 0 ⇔ (𝑟 − 2)(𝑟2 − 4𝑟 + 4

)= 0

⇔ (𝑟 − 2)3

= 0.

Obtinem o radacina tripla care genereaza urmatoarea forma a solutiei generale,conform tabelului

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

2𝑥 + 𝑐3𝑥2𝑒2𝑥

=(𝑐1 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3𝑥

2)𝑒2𝑥.

c) Ecuatia caracteristica va fi

𝑟4 + 5𝑟2 + 4 = 0𝑟2=𝑡⇒ 𝑡2 + 5𝑡 + 4 = 0

⇒ (𝑡 + 1) (𝑡 + 4) = 0

deci

𝑟2 = −1, 𝑟2 = −4 ⇔𝑟1,2 = ±𝑖, 𝑟3,4 = ±2𝑖.

Radacinile sunt complexe si distincte si vor genera solutia

𝑦 (𝑥) = 𝑐1cos𝑥 + 𝑐2sin𝑥 + 𝑐3cos 2𝑥 + 𝑐4sin 2𝑥.

Problema 2. Gasiti formulele solutiilor generale ale urmatoarelor ecuatiiliniare neomogene:

a) 𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 3𝑒2𝑥,

b) 𝑦′′′ + 2𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥.

6

Solutie: a) Scriem ecuatia omogena atasata acestei probleme 𝑦′′−𝑦′−2𝑦 = 0care va avea ca ecuatie caracteristica

𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0 ⇔(𝑟 − 2) (𝑟 + 1) = 0 ⇒ 𝑟1 = 2, 𝑟2 = −1.

Solutia generala a ecuatiei omogene va fi

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥.

E necesar sa observam ca functia 𝑓 (𝑥) = 3𝑒2𝑥 are 𝛼 = 2 care e radacina pentruecuatia caracteristica (𝑟1 = 2), astfel suntem sfatuiti sa cautam solutii particu-lare de forma

𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑥1 · 𝑒2𝑥 · 𝑐

Calculam:

𝑦′𝑝 (𝑥) = 𝑐 (1 + 2𝑥) 𝑒2𝑥,

𝑦′′𝑝 (𝑥) = 4𝑐 (1 + 𝑥) 𝑒2𝑥.

si substituim in ecuatia neomogena, pentru a obtine

4𝑐 (1 + 𝑥) 𝑒2𝑥 − 𝑐 (1 + 2𝑥) 𝑒2𝑥 − 2𝑐𝑥𝑒2𝑥 = 3𝑒2𝑥 |: 𝑒2𝑥 ⇔

4𝑐 (1 + 𝑥) − 𝑐 (1 + 2𝑥) − 2𝑐𝑥 = 3

⇒ 𝑐 = 1 ⇒ 𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑥𝑒2𝑥

In cele din urma putem afisa solutia generala a ecuatiei date

𝑦 (𝑥) = 𝑦 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥)

= 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑥𝑒2𝑥.

b) Ecuatia omogena 𝑦′′′ + 2𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 0 admite ecuatia caracteristica

𝑟3 + 2𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0 ⇔ (𝑟 − 1) (𝑟 + 1) (𝑟 + 2) = 0

⇒ 𝑟1 = 1, 𝑟2 = −1, 𝑟3 = −2,

si solutia generala𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒

𝑥 + 𝑐2𝑒−𝑥 + 𝑐3𝑒

−2𝑥.

Pentru a afla o solutie particulara 𝑦𝑝(𝑥) exploram doua metode de lucru

Metoda 1: Termenul care este responsabil de neomogenitate 𝑓 (𝑥) = 2+𝑒𝑥 +sin𝑥 trebuie vizualizat ca fiind

2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥

pentru a putea utiliza cazurile particulare studiate in prima parte a acestei fisede seminar:

2 = 2 · 𝑒0·𝑥 ⇒ 𝛼 = 0

𝑒𝑥 = 𝑒1·𝑥 ⇒ 𝛼 = 1

sin𝑥 = 𝑒0·𝑥 sin (1 · 𝑥) ⇒ 𝛼 = 0 ± 1 · 𝑖.

7

Una dintre valori (𝛼 = 1) este si radacina a ecuatiei caracteristice, asadarsolutia particulara pe care trebuie sa o cautam va fi de forma

𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑎 + 𝑐𝑥𝑒𝑥 + 𝛼 cos𝑥 + 𝛽 sin𝑥.

Calculam acum:

𝑦′𝑝 (𝑥) = 𝑐𝑒𝑥 + 𝑐𝑥𝑒𝑥 − 𝛼 sin𝑥 + 𝛽 cos𝑥,

𝑦′′𝑝 (𝑥) = 2𝑐𝑒𝑥 + 𝑐𝑥𝑒𝑥 − 𝛼 cos𝑥− 𝛽 sin𝑥,

𝑦′′′𝑝 (𝑥) = 3𝑐𝑒𝑥 + 𝑐𝑥𝑒𝑥 + 𝛼 sin𝑥− 𝛽 cos𝑥

si inlocuim aceste rezultate in ecuatia neomogena pentru a obtine coeficientii:

𝑎 = −1 𝑐 =1

6, 𝛽 = −1

5, 𝛼 =

1

10,

care conduc la solutia particulara

𝑦𝑝 (𝑥) = −1 +1

6𝑥𝑒𝑥 +

1

10cos𝑥− 1

5sin𝑥,

In final, solutia generala a problemei este

𝑦 (𝑥) = 𝑦 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥) =

= 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑒−2𝑥 − 1 +

1

6𝑥𝑒𝑥 +

1

10cos𝑥− 1

5sin𝑥.

Metoda 2: Vom folosi metoda variatiei constantelor, care reprezinta abor-darea generala si va da rezultate atunci cand prima metoda nu functioneaza

Solutia generala a ecuatiei omogene

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑒−2𝑥

impune cautarea unei solutii particulare de forma

𝑦 (𝑥) = 𝑐1(𝑥)𝑒𝑥 + 𝑐2(𝑥)𝑒−𝑥 + 𝑐3(𝑥)𝑒−2𝑥

care inlocuita in ecuatia initiala va da sistemul⎧⎪⎨⎪⎩𝑐′

1(𝑥) · 𝑒𝑥 + 𝑐′

2(𝑥) · 𝑒−𝑥 + 𝑐′

3(𝑥) · 𝑒−2𝑥 = 0

𝑐′

1(𝑥) · 𝑒𝑥 + 𝑐′

2(𝑥) · (−𝑒−𝑥) + 𝑐′

3(𝑥) · (−2𝑒−2𝑥) = 0

𝑐′

1(𝑥) · 𝑒𝑥 + 𝑐′

2(𝑥) · 𝑒−𝑥 + 𝑐′

3(𝑥) · 4𝑒−2𝑥 = 2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥

Determinantul acestui sistem este wronskianul

∆ = 𝑊 (𝑒𝑥, 𝑒−𝑥, 𝑒−2𝑥) =

𝑒𝑥 𝑒−𝑥 𝑒−2𝑥

𝑒𝑥 −𝑒−𝑥 −2𝑒−2𝑥

𝑒𝑥 𝑒−𝑥 4𝑒−2𝑥

= −6𝑒−2𝑥 = 0

iar ceilalti determinanti dati prin regula Cramer sunt

8

∆𝑐′1(𝑥)=

0 𝑒−𝑥 𝑒−2𝑥

0 −𝑒−𝑥 −2𝑒−2𝑥

2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥 𝑒−𝑥 4𝑒−2𝑥

= −𝑒−3𝑥(2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥)

deci

𝑐′1(𝑥) =−𝑒−3𝑥(2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥)

−6𝑒−2𝑥=

1

6(2𝑒−𝑥 + 1 + 𝑒−𝑥 sin𝑥)

iar apoi prin integrare se obtine 𝑐1(𝑥). Se poate observa ca dificultatea tehnica aacestei metode apare de obicei in momentul integrarii, necesare la ultimul pas.

∆𝑐′2(𝑥)=

𝑒𝑥 0 𝑒−2𝑥

𝑒𝑥 0 −2𝑒−2𝑥

𝑒𝑥 2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥 4𝑒−2𝑥

= −3𝑒−𝑥(2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥)

si

𝑐′2(𝑥) =−3𝑒−𝑥(2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥)

−6𝑒−2𝑥=

1

2(2𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥 + 𝑒𝑥 sin𝑥)

∆𝑐′3(𝑥)=

𝑒𝑥 𝑒−𝑥 0

𝑒𝑥 −𝑒−𝑥 0

𝑒𝑥 𝑒−𝑥 2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥

= −2(2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥)

si

𝑐′3(𝑥) =−2(2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥)

−6𝑒−2𝑥=

1

3(2𝑒2𝑥 + 𝑒3𝑥 + 𝑒2𝑥 sin𝑥)

Apoi se determina 𝑐2(𝑥), 𝑐3(𝑥) pentru ca in final sa se obtina forma lui 𝑦𝑝(𝑥)conform metodei variatiei constantelor.

Problema 3. Rezolvati ecuatia Cauchy:⎧⎨⎩ 𝑦(𝑖𝑣) − 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥

𝑦 (0) = 𝑦′ (0) = 𝑦′′ (0) = 𝑦′′′ (0) = 0

Solutie: Ecuatia caracteristica este:

𝑟4 − 1 = 0 ⇔(𝑟2 − 1

) (𝑟2 + 1

)= 0 ⇔ (𝑟 − 1) (𝑟 + 1) (𝑟 − 𝑖) (𝑟 + 𝑖) = 0

deci:

𝑟1 = 1, 𝑟2 = −1, 𝑟3 = 𝑖, 𝑟4 = −𝑖

vor genera solutia:

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3cos𝑥 + 𝑐4sin𝑥.

9

Pentru functia 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 + 𝑥 = 𝑒0·𝑥(𝑥3 + 𝑥

)evident 𝛼 = 0 nu este o

radacina a ecuatiei caracteristice, prin urmare

𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑

Incepem sa calculam:𝑦′𝑝 (𝑥) = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐,

𝑦′′𝑝 (𝑥) = 6𝑎𝑥 + 2𝑏, 𝑦′′′𝑝 (𝑥) = 6𝑎, 𝑦𝑖𝑣 (𝑥) = 0.

pentru a le substitui in ecuatia neomeogena si a obtine:

𝑎 = −1, 𝑏 = 0, 𝑐 = −1, 𝑑 = 0

deci solutia particulara este

𝑦𝑝 (𝑥) = −1 · 𝑥3 + 0 · 𝑥2 − 1 · 𝑥 + 0

= −𝑥3 − 𝑥.

iar solutia generala e

𝑦 (𝑥) = 𝑦 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥) =

= 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3 cos𝑥 + 𝑐4 sin𝑥−𝑥3 − 𝑥.

Pentru a rezolva problema Cauchy trebuie sa folosim conditiile initiale pentrua identifica constantele 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4 :

𝑦 (0) = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3,

𝑦′ (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 − 𝑐2𝑒

−𝑥 − 𝑐3 sin𝑥 + 𝑐4 cos𝑥− 3𝑥2 − 1 ⇒ 𝑦′ (0) = 𝑐1 − 𝑐2 + 𝑐4 − 1,

𝑦′′ (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 − 𝑐3 cos𝑥− 𝑐4 sin𝑥− 6𝑥 ⇒ 𝑦′′ (0) = 𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐3,

𝑦′′′ (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 − 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3 sin𝑥− 𝑐4 cos𝑥− 6 ⇒ 𝑦′′′ (0) = 𝑐1 − 𝑐2 − 𝑐4 − 6.

Folosind𝑦 (0) = 𝑦′ (0) = 𝑦′′ (0) = 𝑦′′′ (0) = 0

se obtine ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 = 0

𝑐1 − 𝑐2 + 𝑐4 = 1

𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐3 = 0

𝑐1 − 𝑐2 − 𝑐4 = 6

cu solutia

𝑐1 =7

4, 𝑐2 = −7

4, 𝑐3 = 0, 𝑐4 = −5

2.

In concluzie, ecuatia Cauchy are solutia:

𝑦 (𝑥) =7

4𝑒𝑥 − 7

4𝑒−𝑥 − 5

2sin𝑥−𝑥3 − 𝑥,

sau echivalent:

𝑦 (𝑥) =7

2cosh𝑥− 5

2sin𝑥− 𝑥3 − 𝑥.

10

Probleme propuse

Problema 1. Aflati solutiile generale ale urmatoarelor ecuatii liniare:

a) 64𝑦(8) + 48𝑦(6) + 12𝑦(4) + 𝑦(2) = 0,

b) 𝑦𝑖𝑣 − 3𝑦′′′ + 5𝑦′′ − 3𝑦′ + 4𝑦 = 0.

Problema 2. Aflati solutiile generale ale urmatoarelor ecuatii liniare neomo-gene cu coeficienti constanti:

a) 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 1 + 𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥,

b) 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 sin𝑥,

c) 𝑦𝑖𝑣 − 4𝑦′′ = 1,

d) 𝑦′′′ − 𝑦′′ = 𝑥.

f) 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥

g) 𝑦′′ − 4𝑦 = 𝑒2𝑥(11 cos𝑥− 7 sin𝑥)

h) 𝑦′′ − 2𝑦′′ = 𝑒𝑥((4 − 4𝑥) cos𝑥− (6𝑥 + 2) sin𝑥)

i) 𝑦′′′ − 𝑦′′ + 𝑦′ − 𝑦 = cos𝑥

j) 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒3𝑥(𝑥2 + 𝑥)

k) 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 6𝑥2 − 10𝑥 + 2

11

Bibliografie

[1] Dennis. G. Zill. A First Course in Differential Equations with ModelingApplications, Brooks/Cole, 2013.

[2] Octavian Lipovan. Matematici speciale: Ecuatii diferentiale si teoria cam-purilor, Editura Politehnica, 2007.

[3] R Negrea. Curs Matematici speciale, 2020.

[4] C Hedrea. Notite seminar, 2020.