E & M

31
E & M NUMERE COMPLEXE

description

Numere complexe. E & M. “ Matematica , este ceea ce î ncepe , ca ş i Nilul î n modestie ş i se termin ă î n magnific ”. 1. 6. 9. Numere complexe. 4. 2. E & M. Cuprins. Mul ţ imea numerelor complexe Numere complexe în formă algebrică Reprezentarea în plan - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of E & M

Page 1: E  &  M

E & M

NUMERE COMPLEXE

Page 2: E  &  M

“Matematica, este ceea ce începe, ca şi Nilul în modestie şi se termină

în magnific”

61

2

9

4

Page 3: E  &  M

E & M

Page 4: E  &  M

1. Mulţimea numerelor complexe

2. Numere complexe în formă algebrică

3. Reprezentarea în plan4. Modulul unui număr

complex5. Conjugatul unui număr

complex

6. Interpretarea geometrică a conjugatului7. Proprietăţile numerelor

complexe conjugate8. Operaţii cu numere

complexe9. Puterile lui “i”10.Ecuaţii de gradul al II-lea

cu numere complexe11. Numere complexe în

formă trigonometrică12.Utilizarea numerelor

complexe in realitate13. Teste de verificare

CUPRINS

Page 5: E  &  M

N – mulţimea numerelor naturaleZ – mulţimea numerelor întregiQ – mulţimea numerelor raţionaleI – mulţimea numerelor iraţionaleR – mulţimea numerelor realeC – mulţimea numerelor complexe

Mulţimea numerelor complexe

ℂ= { z=a+bi /a,b ∊R,i*i=-1}

Page 6: E  &  M

Numere complexe în formă algebrică

Se numesc numere complexe

numerele de forma z=a+bi unde a,b ∊

R,iar i² =1.

∗a- partea reală

∗a = Rez∗bi- partea imaginară

∗bi = Imz → b= coeficientul părţii

imaginare

→ i= unitate imaginară

Page 7: E  &  M

Reprezentarea în plan

z= a+bi ∊ ℂ A (a,b)

Afixul punctului “a”

Punctul din plan corespumzător numărului complex

?

Page 8: E  &  M

Exemplu

Z= 3-4i —› A(3,-4)

y

x3

-4A

Page 9: E  &  M

Modulul unui numar complexDefiniţie: z= a+bi ℂ ∊ atunci

Observaţie: Modulul unui număr complex reprezintă distanţa de la punctul plan corespunzător numărului complex până la originea axelor.

Page 10: E  &  M

Interpetarea geometrică a unui număr complex

Z=a+bi —›(a,b) y

x

A

Ba

b

0

∆OAB T. M(B)=90 ˚ Pitagora : OA²=OB²+AB² OA²=a²+b²

}

=» OA = IzI

Page 11: E  &  M

1) IzI ∊ R (modulul oricărui număr complex este număr real)

2) IzI ≥ 0, z ∊ ℂ

3) IzI=0; z=0 (a=0, b=0)4) Iz1*z2I = Iz1I * Iz2I, z1,z2 ∊ ℂ 5) Iz1/z2I = Iz1I/ Iz2I

Page 12: E  &  M

E & M

Page 13: E  &  M

Definiţie: Dându-se numărul complex z=a+bi, a,b ∊ R, i²=-1, prin conjugatul lui z înţelegem un alt număr complex z care se află cu formula z=a-bi.

Page 14: E  &  M

Exemplu

Z1= 2+6i => Z1=2-6i

Z2= -1-5i => Z2= -1+5i

Z3= 8i => Z3=-8i

Z4= 5 => Z4=5

Page 15: E  &  M

y

x

A

B

Z=a+bi -> A(a,b)

Z=a-bi -> A(a,-b)

a

b

-b

Page 16: E  &  M

PROPRIETĂŢILE NUMERELOR COMPLEXE CONJUGATE

1.|z|=|z| |z|=√a²+b² |z|= √a²+(-b)²= √a²+b² 2. z+z'= z+ z‘ z-z‘= z - z‘ z*z‘= z * z‘ z/z‘= z / z‘ ; z‘ ≠ 0

3.Dacă z ∊ ℂ atunci z ∊ R ⇔ z=z4. z*z=|z|²

Page 17: E  &  M

Operaţii cu numere complexe

Fie z= -2+5i şi z’=4-3i

1.Adunareaz+z’= -2+5i+4-3i=2+2i

2.Scăderea z-z’= -2+5i-(4-3i)= -

2+5i-4+3i z-z’= -6+8i

12

3 i 4

Page 18: E  &  M

c) z*z’=(-2+5i)(4-3i)= =-8+6i+20i-15i²=

= 7+26i

3.Înmulţirea

a) 3*z=3(-2+5i)=-6+15ib) -2z+4z’=-2(-2+5i)+4(4-3i)= =4-10i+16-12i=

=20-22i

Page 19: E  &  M

4.Împărţirea

z/z’= (-2+5i)/(4-3i ) se amplifică cu conjugatul în cazul nostru 4+3i =(4+3i)(-2+5i)/(4-3i)=(-8+20i-6i-15)/(16+9)= =14i-23/25= (-23/25)+(14i/25)

z’/z= (4-3i ) / (-2+5i)

-se amplifică cu conjugatul în cazul nostru -2-5iz’/z=(4-3i)(-2-5i)=(-8-20i+6i+15i²)/29

=(-23-14i)/29= =(-23/29)-(14i/29)

Page 20: E  &  M

z²=? Se utilizează formulele: (a+b)²=a²+2ab+b²; (a-b)²=a²-2ab+b²; (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

z²=(-2+5i) ²=(5i-2) ² =25i²-20i+4=20i-21

z’ ³=(4-3i)³ =4³-3 *4² * 3i+3*4*9i ²

-3³i³ =64-144i-108-27i ³=-44-144i-27(-i) =-44-144i+27i= -44-114i

Page 21: E  &  M

Puterile lui i iª= 1, dacă a=4*p; iª= i, dacă a=4*p+1; iª=-1, dacă a=4*p+2; iª=-i, dacă a=4*p+3;

1

2

3

4iz

8

6

10

Page 22: E  &  M

ECUAŢII DE GRADUL AL II-LEA CU NUMERE COMPLEXE

Fie ax²+bx+c=0; a,b ∊R,a≠0; Se calculează ∆=b²-4ac; Daca ∆<0=>x=x’∊ ℂ, conjugate x,x’=(-b+i√-∆)/2a;

Page 23: E  &  M

Descompunerea trinomului de gradul al II-lea în produs de factori de

gradul I F(x)=ax²+bx+cSe calculează rădăcinile x’,x’’

=>f(x)= ax²+bx+c=a(x-x’)(x-x’’)

SCRIEREA ECUAŢIEI DE GRADUL AL II-LEA CUNOSCÂNDU-I RĂDĂCINILE

Se dau x’,x’’ ∊ ℂSe cere ecuaţia de gradul al II-lea

Calculăm s=x’+x’’ p=x’*x’’=> Ecuatia x² -sx + p=0

Page 24: E  &  M

E & M

Page 25: E  &  M

Numere complexe în formă trigonometrică

Dacă z=a+bi; a,b∊R, i²=-1

Z →A(a,b)r=|z|=√a²+b²; r≥0t= (Ox,^OA);t= argumentul redus al numărului complex;t= arctg b/a+kπ; k=0 dacă t ∊ C1 k=1 dacă t ∊ C2 sau C3 k=2 dacă t ∊ C4

=>z=r(cos t + i sin t) Forma trigonometrică

A

x

y

0 a

b

r

Obs: r=|z| r≥0 t=arg.z∊[0,2 π)-r şi t se numesc coordonate polare ale punctului “A”; r = raza polară; t=unghi sau argument polar

Page 26: E  &  M

Exemple

Z=-1→A(-1,0)r=√a²+b²=√1=1;t= arctg 0/-1+kπ;k=1=>t= 0+π= πz=r(cos t + i sint );z=cos π + i sin π.

A 0

y

xt

Page 27: E  &  M

Operaţii cu numere complexe în formă trigonometrică

1. Înmultireaz’=r’(cos t’+i sin t’); r’≥0; t’∊[0,2

π)z’’=r’’(cos t’’+i sin t’’); r’’≥0;

t’’∊[0,2 π)z’*z’’=r’*r’’[cos(t’+t’’)+i

sin(t’+t’’)]; r’*r’’≥0, t’+t’’∊[0,2 π)

2. Ridicarea la putereDacă z=r(cos t + i sin t); r≥0, t ∊[0,2 π), a ∊ N* =>=> zª=rª(cos at + i sin at ); rª≥0, at ∊[0,2 π)

Page 28: E  &  M

3. Formula lui Moivre-este un caz particular al ridicării la putere pentru situaţia când r=1=> z=cos t +i sin t(cos t+i sin t)ª=cos at +i sin at;

4. Împărţireaz’=r’(cos t’+isin t’); r’≥0;

t’∊[0,2 π)z’’=r’’(cos t’’+isin t’’);

r’’≥0; t’’∊[0,2 π)z’/z’’=r’/r’’[cos(t’-t’’)+i

sin(t’-t’’)]

Page 29: E  &  M

Utilizarea numerelor complexe în realitate

Numerele complexe se

utilizează în circuitele electrice

de curent alternativ.

Page 30: E  &  M

Teste de verificareVă propunem nişte teste pentru verificarea cunoştiinţelor:

1.Testul Nr.1 3.Fişa de lucru Nr.1

2.Testul Nr.2 4. Fişa de lucru Nr.2

Page 31: E  &  M

Realizat de: Magdalena Apetrii Elena Ciocan

E & M