E & M
description
Transcript of E & M
E & M
NUMERE COMPLEXE
“Matematica, este ceea ce începe, ca şi Nilul în modestie şi se termină
în magnific”
61
2
9
4
E & M
1. Mulţimea numerelor complexe
2. Numere complexe în formă algebrică
3. Reprezentarea în plan4. Modulul unui număr
complex5. Conjugatul unui număr
complex
6. Interpretarea geometrică a conjugatului7. Proprietăţile numerelor
complexe conjugate8. Operaţii cu numere
complexe9. Puterile lui “i”10.Ecuaţii de gradul al II-lea
cu numere complexe11. Numere complexe în
formă trigonometrică12.Utilizarea numerelor
complexe in realitate13. Teste de verificare
CUPRINS
N – mulţimea numerelor naturaleZ – mulţimea numerelor întregiQ – mulţimea numerelor raţionaleI – mulţimea numerelor iraţionaleR – mulţimea numerelor realeC – mulţimea numerelor complexe
Mulţimea numerelor complexe
ℂ= { z=a+bi /a,b ∊R,i*i=-1}
Numere complexe în formă algebrică
Se numesc numere complexe
numerele de forma z=a+bi unde a,b ∊
R,iar i² =1.
∗a- partea reală
∗a = Rez∗bi- partea imaginară
∗bi = Imz → b= coeficientul părţii
imaginare
→ i= unitate imaginară
Reprezentarea în plan
z= a+bi ∊ ℂ A (a,b)
Afixul punctului “a”
Punctul din plan corespumzător numărului complex
?
Exemplu
Z= 3-4i —› A(3,-4)
y
x3
-4A
Modulul unui numar complexDefiniţie: z= a+bi ℂ ∊ atunci
Observaţie: Modulul unui număr complex reprezintă distanţa de la punctul plan corespunzător numărului complex până la originea axelor.
Interpetarea geometrică a unui număr complex
Z=a+bi —›(a,b) y
x
A
Ba
b
0
∆OAB T. M(B)=90 ˚ Pitagora : OA²=OB²+AB² OA²=a²+b²
}
=» OA = IzI
1) IzI ∊ R (modulul oricărui număr complex este număr real)
2) IzI ≥ 0, z ∊ ℂ
3) IzI=0; z=0 (a=0, b=0)4) Iz1*z2I = Iz1I * Iz2I, z1,z2 ∊ ℂ 5) Iz1/z2I = Iz1I/ Iz2I
E & M
Definiţie: Dându-se numărul complex z=a+bi, a,b ∊ R, i²=-1, prin conjugatul lui z înţelegem un alt număr complex z care se află cu formula z=a-bi.
Exemplu
Z1= 2+6i => Z1=2-6i
Z2= -1-5i => Z2= -1+5i
Z3= 8i => Z3=-8i
Z4= 5 => Z4=5
y
x
A
B
Z=a+bi -> A(a,b)
Z=a-bi -> A(a,-b)
a
b
-b
PROPRIETĂŢILE NUMERELOR COMPLEXE CONJUGATE
1.|z|=|z| |z|=√a²+b² |z|= √a²+(-b)²= √a²+b² 2. z+z'= z+ z‘ z-z‘= z - z‘ z*z‘= z * z‘ z/z‘= z / z‘ ; z‘ ≠ 0
3.Dacă z ∊ ℂ atunci z ∊ R ⇔ z=z4. z*z=|z|²
Operaţii cu numere complexe
Fie z= -2+5i şi z’=4-3i
1.Adunareaz+z’= -2+5i+4-3i=2+2i
2.Scăderea z-z’= -2+5i-(4-3i)= -
2+5i-4+3i z-z’= -6+8i
12
3 i 4
c) z*z’=(-2+5i)(4-3i)= =-8+6i+20i-15i²=
= 7+26i
3.Înmulţirea
a) 3*z=3(-2+5i)=-6+15ib) -2z+4z’=-2(-2+5i)+4(4-3i)= =4-10i+16-12i=
=20-22i
4.Împărţirea
z/z’= (-2+5i)/(4-3i ) se amplifică cu conjugatul în cazul nostru 4+3i =(4+3i)(-2+5i)/(4-3i)=(-8+20i-6i-15)/(16+9)= =14i-23/25= (-23/25)+(14i/25)
z’/z= (4-3i ) / (-2+5i)
-se amplifică cu conjugatul în cazul nostru -2-5iz’/z=(4-3i)(-2-5i)=(-8-20i+6i+15i²)/29
=(-23-14i)/29= =(-23/29)-(14i/29)
z²=? Se utilizează formulele: (a+b)²=a²+2ab+b²; (a-b)²=a²-2ab+b²; (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
z²=(-2+5i) ²=(5i-2) ² =25i²-20i+4=20i-21
z’ ³=(4-3i)³ =4³-3 *4² * 3i+3*4*9i ²
-3³i³ =64-144i-108-27i ³=-44-144i-27(-i) =-44-144i+27i= -44-114i
Puterile lui i iª= 1, dacă a=4*p; iª= i, dacă a=4*p+1; iª=-1, dacă a=4*p+2; iª=-i, dacă a=4*p+3;
1
2
3
4iz
8
6
10
ECUAŢII DE GRADUL AL II-LEA CU NUMERE COMPLEXE
Fie ax²+bx+c=0; a,b ∊R,a≠0; Se calculează ∆=b²-4ac; Daca ∆<0=>x=x’∊ ℂ, conjugate x,x’=(-b+i√-∆)/2a;
Descompunerea trinomului de gradul al II-lea în produs de factori de
gradul I F(x)=ax²+bx+cSe calculează rădăcinile x’,x’’
=>f(x)= ax²+bx+c=a(x-x’)(x-x’’)
SCRIEREA ECUAŢIEI DE GRADUL AL II-LEA CUNOSCÂNDU-I RĂDĂCINILE
Se dau x’,x’’ ∊ ℂSe cere ecuaţia de gradul al II-lea
Calculăm s=x’+x’’ p=x’*x’’=> Ecuatia x² -sx + p=0
E & M
Numere complexe în formă trigonometrică
Dacă z=a+bi; a,b∊R, i²=-1
Z →A(a,b)r=|z|=√a²+b²; r≥0t= (Ox,^OA);t= argumentul redus al numărului complex;t= arctg b/a+kπ; k=0 dacă t ∊ C1 k=1 dacă t ∊ C2 sau C3 k=2 dacă t ∊ C4
=>z=r(cos t + i sin t) Forma trigonometrică
A
x
y
0 a
b
r
Obs: r=|z| r≥0 t=arg.z∊[0,2 π)-r şi t se numesc coordonate polare ale punctului “A”; r = raza polară; t=unghi sau argument polar
Exemple
Z=-1→A(-1,0)r=√a²+b²=√1=1;t= arctg 0/-1+kπ;k=1=>t= 0+π= πz=r(cos t + i sint );z=cos π + i sin π.
A 0
y
xt
Operaţii cu numere complexe în formă trigonometrică
1. Înmultireaz’=r’(cos t’+i sin t’); r’≥0; t’∊[0,2
π)z’’=r’’(cos t’’+i sin t’’); r’’≥0;
t’’∊[0,2 π)z’*z’’=r’*r’’[cos(t’+t’’)+i
sin(t’+t’’)]; r’*r’’≥0, t’+t’’∊[0,2 π)
2. Ridicarea la putereDacă z=r(cos t + i sin t); r≥0, t ∊[0,2 π), a ∊ N* =>=> zª=rª(cos at + i sin at ); rª≥0, at ∊[0,2 π)
3. Formula lui Moivre-este un caz particular al ridicării la putere pentru situaţia când r=1=> z=cos t +i sin t(cos t+i sin t)ª=cos at +i sin at;
4. Împărţireaz’=r’(cos t’+isin t’); r’≥0;
t’∊[0,2 π)z’’=r’’(cos t’’+isin t’’);
r’’≥0; t’’∊[0,2 π)z’/z’’=r’/r’’[cos(t’-t’’)+i
sin(t’-t’’)]
Utilizarea numerelor complexe în realitate
Numerele complexe se
utilizează în circuitele electrice
de curent alternativ.
Teste de verificareVă propunem nişte teste pentru verificarea cunoştiinţelor:
1.Testul Nr.1 3.Fişa de lucru Nr.1
2.Testul Nr.2 4. Fişa de lucru Nr.2
Realizat de: Magdalena Apetrii Elena Ciocan
E & M