1

Duala unei teoreme relativă la ortocentrul unui triunghi

profesor Ion Pătraşcu, Colegiul Naţional „Fraţii Buzeşti” Craiova – România

profesor Florentin Smarandache, University of New Mexico, Gallup, U.S.A.

În [1] am introdus noţiunea de transversală Bobillier relativă la un punct

oarecare din planul unui triunghi ; vom folosi această noţiune în cele ce

urmează.

Vom transforma prin dualitate în raport cu un cerc următoarea

teoremă relativă la ortocentrul unui triunghi.

Teorema 1. Dacă este un triunghi neisoscel, ortocentrul său şi

sunt ceviene ale triunghiului concurente în punctul diferit de

, iar sunt intersecţiile perpendiculalelor duse din respectiv pe

cevienele date, cu , respectiv , atunci punctele sunt coliniare.

Demonstraţie. Notăm cu ,

vezi Figura 1. Conform teoremei lui Ceva, forma trigonometrică, avem relaţia:

Observăm că:

Deoarece: ca unghiuri cu laturile perpendiculare, rezultă că

2

Totodată

Obţinem astfel că:

Analog găsim:

Aplicând reciproca teoremei lui Menelaus, găsim, ţinând seama de (1), că:

ceea ce arată că punctele sunt coliniare.

Observaţie. Teorema 1 este adevărată şi dacă triunghiul este

obtuzunghic, neisoscel. Demonstraţia se adaptează analog.

Teorema 2 (Duala Teoremei 1). Dacă este un triunghi, un punct

oarecare în planul său şi transversale Bobillier în raport cu a

triunghiului , iar o transversală oarecare în şi

perpendicularele în , respectiv pe , intersectează

transversalele Bobillier în punctele , atunci cevienele

sunt concurente.

Figura 1.

P

3

Demonstraţie. Transformăm prin dualitate în raport cu un cerc figura

indicată de enunţul acestei teoreme, adică Figura 2. Fie polarele

punctelor în raport cu cercul Dreptelor le vor

corespunde polii lor

Punctelor le corespund respectiv polarele lor concurente în

polul transversalei

Deoarece , înseamnă că

polarele şi sunt

perpendiculare, deci ,

însă trece prin , ceea ce

înseamnă că conţine înălţimea

din a triunghiului şi

analog conţine înălţimea din

şi conţine înălţimea din a

triunghiului . În consecinţă,

polul transversalei

este ortocentrul al triunghiului

În mod analog, punctelor

le corespund polarele la

care trec respectiv prin şi sunt concurente într-un punct ,

polul dreptei în raport cu cercul Având

înseamnă că polarele şi sunt perpendiculare, corespunde cevienei

iar trece prin polul transversalei , deci prin , cu alte

cuvinte este perpendiculara dusă din pe ; analog, ,

deci este perpendiculara dusă din pe Cevienei îi corespunde

Figura 2.

4

prin dualitatea considerată polul ei, care este intersecţia polarelor lui şi ,

adică intersecţia dreptelor şi , mai precis intersecţia dintre cu

perpendiculara dusă din pe ; notăm acest punct cu . Analog, obţinem

punctele şi Am obţinut astfel configuraţia din Teorema 1 şi Figura 1,

scrisă pentru triunghiul de ortocentru Deoarece din Teorema 1

avem că sunt coliniare, obţinem că cevianele sunt

concurente în polul transversalei în raport cu cercul şi

Teorema 2 este demonstrată.

Bibliografie

[1] Ion Pătraşcu, Florentin Smarandache: „Duala teoremei relativă la

dreapta lui Aubert”.

[2] Florentin Smarandache, Ion Pătraşcu: „The Geometry of Homological

Triangles”. The Education Publisher Inc., Columbus, Ohio, USA – 2012.