Diploma - Www.tocilar.ro

Vizitati www.tocilar.ro ! Arhiva online cu diplome, cursuri si referate postate de utilizatori.

Aspecte ale metodelor reologice electrice si mecanice

Cap. 1. Introducere în reologie

1.1. Obiectul reologiei

Reologia, ramură a fizicii, se ocupă cu studiul curgerii şi al deformaţiei în timp a

corpurilor, sub acţiunea forţelor aplicate asupra lor.

În stadiul actual al dezvoltării, noţiunea de reologie atât în teoria elasticităţii (unde

influenţa timpului nu intervine într-o măsură apreciabilă), plasticităţii, cât şi a vâscozităţii nu

a fost pronunţată decât o dată cu trasarea curbei caracteristice - şi măsurarea deformaţiilor

permanente.

Considerarea paralelismului sau aprecierea celor trei parametrii: tensiune ( şi );

deformare () şi timp (t şi ) în procesul de solicitare – deformare a sistemelor materiale s-a

constituit cauza actului de naştere al noţiunii de reologie, conferit de fapt în 1992 de către E.

C. Bingham prin lucrarea „Fluidity and plasticity”.

Fenomenul numit curgere, în contextul preocupărilor ştiinţifice ale reologiei, constă în

dezvoltarea continuă şi ireversibilă a deformării unui corp sub acţiunea unor forţe finite. În

solide, acest fenomen se numeşte curgere plastică, pe când în lichide se numeşte curgere

vâscoasă.

Domeniul este mult mai complex, dacă se ţine seama că el include aproape toate

aspectele investigării ştiinţifice ale deformării materiei, în timp scurt sau îndelungat sub

acţiunea unor solicitări generatoare de tensiuni interne.

Într-un sens mai larg, reologia vizează cunoaşterea aprofundată a reacţiei intime sau a

răspunsului materialelor la acţiunea unor forţe externe. Ea studiază deformaţia şi curgerea

materialelor la un nivel fenomenologic, adică considerând materialele ca medii continue, fără

a lua în consideraţie nici structura cristalină anizotropă, nici structura discretă a materialului.

Deci reologia este o ramură a fizicii aparţinând domeniului mecanicii cu implicaţii

importante în tehnică, care studiază comportamentul sistemelor materiale

şi deci implicit a materialelor şi substanţelor utile în industria alimentară, în contextul

parametrilor --t, ţinând cont de variaţia şi frecvenţa acestora.

La dezvoltarea reologiei stau două concepte de bază sau axiome principale:

Pagina 1 din 85


Prima axiomă – „Sub o solicitare de compresiune izotropă sau hidrostatică toate

sistemele materiale simple de la gaze şi până la solide se comportă în mod practic la fel, dacă

tensiunile nu devin exagerat de mari.”

II. A II-a axiomă – „Orice sistem material posedă (chiar dacă în măsură diferită) toate

proprietăţile reologice de bază ale elasticităţii, plasticităţii şi vâscozităţii.”

Oricare ar fi liniile de studiu ale reologiei, ea poate fi analizată sub următoarele

aspecte:

reologia experimentală – caracterizată prin determinarea calitativă şi cantitativă a

principalelor caracteristici ale elasticităţii, plasticităţii şi vâscozităţii în contextul --t, de

amplitudine şi frecvenţă diferită.

reologia teoretică – ce constituie o punte de legătură între elasticitate şi hidrodinamică

şi care s-a dezvoltat pe două direcţii: reologie liniară şi reologie neliniară.

reologia fenomenologică – se împarte în micro şi macroreologie. Macroreologia

consideră materialele omogene, izotrope şi lipsite de structura internă. Microreologia ţine

seama de structura specifică şi deduce proprietăţile reologice ale materialelor din

comportarea constituenţilor structurali.

Reologia consideră că orice corp real are în acelaşi timp proprietăţi elastice, vâscoase

şi plastice, diferitele corpuri deosebindu-se între ele prin măsura în care se manifestă aceste

proprietăţi în comportarea lor.

Ca urmare, „Reologia” studiază legătura între starea de tensiune şi starea de

deformaţie a unui corp, care generalizează pe cele corespunzătoare teoriei elasticităţii,

mecanicii fluidelor şi teoriei plasticităţii şi care se numesc ecuaţii (legi) reologice de stare. O

forţă sau un sistem de forţe aplicat unui corp conduce la mişcarea acestuia. Mişcarea corpului

poate consta din deplasări şi (sau) deformări. În general, deplasarea nu modifică deplasarea

relativă a elementelor ce formează corpul, dar modifică deformarea acestuia în raport cu un

sistem de referinţă exterior. Ea constă din translaţia sau (şi) rotaţia corpului. În alte condiţii

aplicarea unei forţe sau a unui sistem de forţe poate produce modificarea poziţiei relative a

elementelor constituente. Un corp este deformat atunci când, sub acţiunea solicitărilor se

modifică forma sau (şi) volumul. Deformarea în cazul solidelor are loc până la atingerea

echilibrului între forţele externe şi cele interne, în timp ce la fluide, prin aplicarea unei forţe

arizotrope şi neomogene nu se ajunge la o deformaţie în echilibru. Gradul de deformare se

schimbă continuu în timp. Deformaţia a cărei valoare creşte continuu şi nu se mai

recuperează după îndepărtarea forţei se numeşte curgere.

Pagina 2 din 85


Fluidele opun rezistenţe mici la deformare, iar forţele de frecare interne ce iau naştere

în timpul curgerii diminuează viteza de deformare. Sub acţiunea unei forţe, viteza de

deformare a fluidelor creşte până se stabileşte echilibrul cu forţa de frecare după care viteza

de deformare rămâne constantă.

Solidele sub acţiunea solicitărilor (până la o anumită limită) se pot deforma până la

atingerea echilibrului între forţele externe şi cele interne, iar după îndepărtarea forţelor

deformaţia se anulează. Această proprietate se numeşte elasticitate.

Proprietatea fluidelor de a opune rezistenţă la schimbarea ireversibilă a poziţiei

elementelor de volume constituente şi de a disipa energia mecanică sub formă de căldură se

numeşte vâscozitate. Deci corpurile posedă două proprietăţi intrinseci fundamentale:

elasticitatea şi vâscozitatea.

Elasticitatea este o proprietate specifică corpurilor solide, iar vâscozitatea este o

proprietate a corpurilor fluide. Foarte puţine materiale sau sintetice posedă numai o singură

proprietate. Astfel, cele mai multe lichide (lapte, smântână, iaurt, sucuri, mierea de albine,

etc.), topituri (unt, untură, margarină, etc.) curg sub acţiunea unei solicitări, întrucât posedă

viscozitate. După îndepărtarea solicitării exterioare o mică parte din deformaţie se

recuperează. Aceste corpuri lichide nu disipează întreaga energie de deformare, întrucât

posedă atributul unui solid, elasticitatea. Dar şi solidele se deformează ireversibil dacă o parte

suficient de mare acţionează un timp îndelungat. Această curgere este denumită „fluaj”.

Rezultă că solidele nu sunt numai elastice, ele posedă şi viscozitate. Toate corpurile la care

componenta elastică şi componenta vâscoasă se manifestă concomitent se numesc

vâscoelastice sau elastovâscoase.

Între răspunsurile extreme – deformaţia elastică şi curgere – există un spectru larg de

comportări, dintre care o deosebită importanţă prezintă comportarea plastică. La un corp

vâscoelastic, sub acţiunea solicitării de forfecare, proprietatea de elasticitate şi viscozitate se

manifestă succesiv în toată masa. Atunci când elasticitatea şi vâscozitatea se manifestă

succesiv la o solicitare continuu crescătoare, corpul se numeşte plastic.

Corpul plastic sub acţiunea unei forţe va curge ca un fluid, dacă forţa aplicată

depăşeşte o valoare critică; altfel comportându-se ca un solid. Toate corpurile plastice sunt

elastice sau rigide în domeniul solicitărilor mici ceea ce corespunde unei stări solide. Peste

valoarea critică a solicitării apare curgerea vâscoasă, deformaţia este nerecuperabilă şi

comportarea este specifică stării lichide. La corpurile plastice elasticitatea şi vâscozitatea se

manifestă simultan, dar la valori mici ale solicitării exterioare se manifestă preponderent

elasticitatea; peste valoarea critică devine dominantă vâscozitatea. Lichidele pur vâscoase, la

Pagina 3 din 85


tensiune constantă prezintă deformaţii nerecuperabile la orice valoare, funcţie de tipul de

solicitare, pe când solidele, peste limita de elasticitate se deformează nerecuperabil cu viteză

continuu descrescătoare.

Plasticitatea nu este o proprietate intrinsecă a corpurilor, ci un mod caracteristic de

comportare a acestora. Practic se consideră a treia proprietate reologică a corpurilor

deformabile, iar reologia studiază comportarea corpurilor ce posedă cel puţin una din

următoarele proprietăţi: elasticitate, plasticitate sau vâscozitate.

Solidele deformabile, lichidele şi gazele prezintă proprietăţi diferite dar au o teorie

matematică comună. Extinderea şi particularizarea acestor rezultate la corpurile elastice,

plastice şi vâscoase revin unor discipline tehnice aparte, conform

Pagina 4 din 85


Pagina 5 din 85


cu Fig. 1.1., iar în Fig. 1.2. se prezintă legătura dintre mecanică şi ştiinţele înrudite

(inclusiv reologia).

Trăsăturile caracteristice ale metodelor teoriei elasticităţii, ale teoriei rezistenţei

materialelor şi ale teoriei plasticităţii privind legătura şi diferenţa care există între ele sunt

prezentate în Fig. 1.3. În limbaj reologic, toate corpurile ”curg” indiferent de starea lor de

agregare.

Conceptele de stare solidă, lichidă şi gazoasă sunt tranzitorii; trecerea de la o star la

alta presupune o schimbare cantitativă a raportului între componenta elastică şi vâscoasă.

Starea gazoasă poate fi considerată stare lichidă cu viscozitate mică. În ansamblu,

toate cele trei stări, lichidă, solidă şi gazoasă pot fi privite ca aspecte ale unei stări fluide

generalizate ce are la bază atributul esenţial al stării lichide – vâscozitatea.

Răspunsul corpurilor la solicitările mecanice constituie preocuparea de bază a

reologiei şi în funcţie de proprietăţile acestora pot fi:

- neelastice (rigide) când deformaţia este egală cu zero;

- perfect elastice, când deformaţia este temporară şi recuperabilă;

- pur vâscoase, când deformaţia este permanentă şi nerecuperabilă;

- simultan elastice şi vâscoase, când deformaţia este parţial temporară, parţial

permanentă;

- succesiv elastice şi vâscoase când deformaţia este temporară sau (şi) permanentă;

- nevâscoase când deformaţia este permanentă pentru solicitare egală cu zero.

Procesul de curgere sau deformare a unui corp este descris de un set de ecuaţii în care

obligatoriu intervine o ecuaţie de comportare reologică. În ipoteza valabilităţii legii de

reciprocitate a tensiunilor tangenţiale (din teoria elasticităţii) sunt necesare 5 tipuri de ecuaţii

(12 ecuaţii):

- ecuaţia continuităţii;

- ecuaţia impulsului (3 componente);

- ecuaţia energiei;

- ecuaţia de comportare reologică (6 componente);

- ecuaţia de stare.

Primele trei ecuaţii rezultă pe baza principiilor de conservare şi au valabilitate

generală. Ecuaţia reologică şi ecuaţia de stare sunt specifice unui singur corp sau unei clase

de corpuri. Coeficienţii de material din aceste ecuaţii au valori dependente de natura

corpurilor şi se determină experimental.

Pagina 6 din 85


Curgerea este un proces cheie în majoritatea operaţiilor unitare specifice industriei

produselor alimentare. Apelul la reologie este indispensabil, dată fiind contribuţia acesteia la

elucidarea comportării în curgere a diverselor sisteme.

1.2. Conceptul de sistem reologic

Problematica şi domeniul reologiei precum şi principiile generale ale clasificării

proceselor reologice şi tehnicile de cercetare ale reologiei sunt bine definite, în schimb

conceptele elementare utilizate sunt nesigure şi unele chiar contradictorii.

Apariţia noilor domenii ale tehnicii, creşterea gradului de industrializare a

materialelor agroalimentare, au descoperit şi creat o varietate extrem de mare de sisteme

materiale, care din punctul de vedere al comportamentului (-(-t nu pot fi incluse în nici o

grupă a stărilor fizice din cadrul mecanicii clasice.

De exemplu, comportarea diverselor calităţi de aluat în procesul tehnologic pentru

obţinerea produselor de panificaţie şi cofetărie, curgerea produselor de tip lapte, smântână,

iaurt, unt, brânză în vederea ambalării, teoria hidrodinamică a utilajelor, etc. Din acest motiv

apariţia reologiei ca ştiinţă a devenit o necesitate.

Obiectul reologiei este deci deformaţia, tensiunea, legităţile dintre deformaţii şi

tensiune în domeniul elastic, vâscos şi plastic.

Ca sarcină principală ce îi revine reologiei este aceea de a găsi posibilitatea în orice

situaţia de trecere de la fenomenul idealizat la legităţile fenomenului real de deformare sau

solicitare a sistemelor materiale, studierea curgerii lente sau a „curgerii reci”, cercetarea

caracteristicilor sistemelor materiale ce depind de istoricul acestor sisteme, etc.

Ca urmare devine necesară introducerea conceptului de sistem reologic „independent

de starea fizică” şi de alte caracteristici ale materialului.

Sistemul reologic constituie obiectul de studia reologiei cu următoarele precizări:

- rolul hotărâtor la deformarea unui sistem reologic ce îl au forţele exterioare;

- din punct de vedere mecanic, un sistem reologic nu este un sistem izolat deoarece cu

cât deformaţia sa este mai mult reversibilă, cu atât lucrul mecanic este recuperabil;

- sistemul reologic este considerat macroreologic şi omogen sau cvasiomogen;

- comportamentul la deformare a sistemului reologic este determinat de compoziţia sa,

de trecutul său şi de modul de solicitare (tensiuni, mărimea lor şi mărimea vitezei de

deformare);

- se pot deosebi: o stare ereditară a sistemelor reologice când se are în vedere trecutul

acestora şi o stare unanimă, atunci când se ia în considerare starea de tensiuni existentă;

Pagina 7 din 85


- definirea stării după mărimea deformaţiei nu este posibilă în cazuri generale, ci

numai în cazuri individuale (starea de deformaţie este greu de definit);

- stările: deformabilă şi nederfomabilă trebuie înţelese ca noţiuni relative;

- ecuaţiile reologice care descriu starea sistemelor reologice şi a proceselor reologice

existente stabilesc legătura între tensiuni (cantităţi dinamice) şi deformaţii (cantităţi cinetice).

Aceste mărimi sunt legate între ele prin constante ale sistemelor materiale sau alţi

coeficienţi ce depind de condiţiile exterioare. Comportarea sistemelor reologice depinde nu

numai de mărimea şi caracterul deformaţiilor, a tensiunilor şi a derivatelor de timp şi ca

urmare ecuaţiile reologice au următoarea formă generală:

(σ, ε, σ, ε) = 0

Starea reologică a unui sistem material poate fi redată grafic în sistemul de coordonate

triunghiular, ce reprezintă cele trei forme de energie: cinetică, potenţială şi disipată (Fig. 1).

Punctul A reprezintă solidul euclidian sau lichidul lui Pascal unde tot lucrul furnizat de

forţele exterioare se transformă în energie cinetică. Punctul B reprezintă un corp perfect

elastic în stare de repaus. Punctul C reprezintă un lichid vâscos simplu la o stare de curgere

liniară şi „triunghiul comportărilor reologice”.

Aceasta oferă imaginea posibilităţilor de asociere a celor trei proprietăţi de bază ale

reologiei.

Dacă vârfurile triunghiului echilateral reprezintă sisteme materiale cu proprietăţi

unitare, atunci laturile reprezintă comportarea unor sisteme materiale ce posedă două

proprietăţi în diverse proporţii: vâscoplastic, vâscoelastic şi elastoplastic.

Starea unui sistem reprezentat prin punctul reologiei este:

măsura energiei cinetice;

măsura energiei potenţiale;

măsura energiei disipate.

Deci acesta este un corp cu o comportare vâsco-elasto-plastică.

1.3. Teorii şi metode de cercetare în reologie

În ştiinţa reologiei s-au dezvoltat două teorii de bază:

- teoria calitativă

- teoria cantitativă

Teoria calitativă leagă factorii dar într-o măsură mai mică, astfel încât corelaţiile

dintre ei nu pot fi exprimate în limbaj matematic. Progresele făcute în diverse domenii ale

Pagina 8 din 85


ştiinţei (matematică, chimie, fizică) a făcut posibil înlocuirea în mod gradual a teoriei

calitative cu cele cantitative.

Teoriile cantitative sau matematice sunt cauzale şi statistice. Teoria cantitativă

cauzală se ocupă cu un singur sistem material sau o cunoaştere perfectă a configuraţiei

sistemelor sau a particulelor sistemelor preconizând mişcarea lor viitoare pe baza trecutului

lor. Teoria cantitativă statistică se ocupă întotdeauna cu o mulţime de sisteme materiale a

căror locaţie în trecutul mişcării lor nu este în mod perfect cunoscut.

Pentru dezvoltarea celor două teorii – calitativă şi cantitativă – reologia ca ştiinţă şi-a

creeat două mari grupe de metode de cercetare:

a) Metoda microreologică utilizează ca aparat matematic interpretarea statistică

parcurgând trei etape principale:

- stabilirea scării microreologice de lucru pentru fiecare caz particular: granulă,

moleculă, atom, etc.

- precizarea legilor de interacţiune între particulele elementelor stabilite sau a

transferurilor între diferite componente ale unui mediu polifazic.

- deducerea cu ajutorul metodelor statistice a legilor de comportare a corpurilor la

scară macroscopică, singura posibilă a se verifica prin trăsături curente şi a se aplica în

practică.

b) Metoda fenomenologică sau macroreologică admite postulatul mediului continuu şi

are sarcina de a găsi toţi parametrii specifici ce caracterizează starea mediului în fiecare punct

şi în orice moment.

Scrierea legilor de comportare mecanică se poate face în mai multe feluri:

- pentru corpuri cu proprietăţi oarecum simple (cazul lichidelor vâscoase newtoniene)

- adaptarea unui model matematic

- scrierea unei ecuaţii de evoluţie cu ajutorul principiilor termodinamicii

Complexitatea fenomenului reologic şi insuficienta lui cunoaştere a permis un număr

mai mare de grade de libertate în alegerea ipotezelor, ceea ce a condus la elaborarea de

numeroase modele (matematice şi fizice) ce încearcă să simuleze cât mai corect fenomenele,

dar din această cauză au crescut considerabil şi deficienţele în găsirea unor soluţii generale în

determinarea parametrilor de calcul.

1.4. Elemente de hidraulică şi fenomenologia curgerii

1.4.1. Ecuaţia de continuitate

Pagina 9 din 85


Proprietăţile inerţiale sau gravitaţionale ale fluidelor şi solidelor deformabile

considerate ca medii continue se caracterizează prin masă.

În mecanica mediilor continue se presupune că masa este o funcţie continuă de volum

m = m(V) (1)

ceea ce înseamnă că masa unui corp ce are volumul nul este nulă, iar masa unui corp

este egală cu suma maselor părţilor corpului.

Mărimile fizice ce caracterizează corpul (de exemplu mărimile termodinamice)

şi care sunt proporţionale cu volumul se numesc mărimi extensive. În punctul de vector de

poziţie , la un moment t, se consideră masa concentrată de valoare m.

Dacă funcţia m = m(V) se poate deriva în acest punct şi dacă limita

= = ρ( ,t) (2)

este finită, atunci ρ( ,t) se numeşte densitate. Funcţia ρ( ,t) defineşte câmpul scalar al

densităţii şi dacă este cunoscută, atunci masa totală a corpului cu volumul V, la momentul t

este dată de integrala:

= ρ( ,t) dV (3)

Dacă se ţine cont de următoarele:

- într-un fluid aflat în mişcare, fie D*(t) domeniul finit ocupat de un volum

material, S*(t) – frontiera lui D*(t); Φ( , t) – un câmp scalar sau vectorial definit pe

domeniul ocupat de fluid, ( , t) – câmpul vitezelor definit pe acelaşi domeniu, dV –

elementul de volum, iar dA – aria elementului de suprafaţă dS*. Dacă versorul al normalei

exterioare la S*(t) este o funcţie continuă sau continuă pe porţiuni pe S*(t), iar Φ( , t) şi ( ,

t) au derivate parţiale de ordinul I continue pe D*(t) U S*(t), atunci există următoarele două

propoziţii:

a) Derivata în raport cu timpul, a integralei câmpului Φ pe domeniul D*(t) ocupat de

un volum material poate fi scrisă sub formele:

dV = dV (4)

dV = dV (5)

b) Teorema transportului. Derivata în raport cu timpul a integralei câmpului ρψ pe

domeniul D*(t) ocupat de un volum material este egală cu integrala derivatei în raport cu

Pagina 10 din 85


timpul a câmpului ρψ pe volumul de control D (un domeniu fix în raport cu reperul utilizat

pentru studiul mişcării unui fluid se numeşte volum de control. Frontiera unui volum de

control se numeşte suprafaţă de control) care coincide instantaneu cu D*(t), plus debitul

proprietăţii Ψ = ρψdV pe suprafaţa de control S al lui D:

= + (6)

Cu ajutorul formulelor (13) şi (14) în care Φ( ,t) = ρ( ,t) se obţine:

dV = 0 (7)

dV = 0 (8)

Conform lemei integralei nule, din relaţia (7) rezultă:

= 0 sau = 0 (9)

iar din relaţia (8) rezultă:

= 0 sau = 0 (10)

În coordonate carteziene, relaţiile (9) şi (10) devin:

= 0 (11)

= 0 (12)

Mişcarea unui fluid se numeşte permanentă şi cu densitate permanentă (sau staţionară

şi cu densitate staţionară) dacă:

şi ρ = ρ( ) (13)

Cu relaţiile (13), din ecuaţiile (9) şi (11) se obţin respectiv următoarele expresii ale

ecuaţiei de continuitate pentru un fluid compresibil aflat într-o mişcare permanentă şi cu

densitate permanentă:

sau div(ρ ) = 0 (14)

0 (15)

Un fluid se numeşte incompresibil dacă volumul V* al domeniului Di*(t) ocupat de

un volum material oarecare nu variază în timpul mişcării, deci dacă:

Pagina 11 din 85


(16)

Această condiţie poate lua şi o altă formă. Dacă Φ = 1 în formula (5) aceasta devine:

Integrala din membrul stâng reprezintă volumul Vi* al lui D*(t). Ţinând seama şi de

ecuaţia (10), condiţia (16) se mai scrie:

Aplicând lema integralei nule, se obţine . Admiţând că ρ < oo rezultă

că un fluid este incompresibil dacă în oricare punct al domeniului ocupat de fluid este

satisfăcută relaţia:

(17)

Cu relaţia (17) din ecuaţiile (10) şi (12) rezultă respectiv următoarele expresii ale

formei diferenţiale ale ecuaţiei de continuitate pentru orice mişcare a unui fluid

incompresibil:

sau (18)

(19)

În concluzie, expresia matematică a principiului conservării masei se numeşte ecuaţia

de continuitate iar pentru a deduce forma diferenţială a acestei ecuaţii s-a utilizat principiul

conservării masei ce se enunţă astfel: masa unui volum material nu variază în timp.

Pentru un fluid compresibil, expresia ecuaţiei de continuitate are forma:

(20)

În coordonate carteziene are forma:

(21)

în coordonate cilindrice are forma:

(22)

iar în coordonate sferice are forma:

Pagina 12 din 85


(23)

Pentru un fluid incompresibil, expresia ecuaţiei de continuitate are forma:

- în coordonate carteziene:

(24)

- în coordonate cilindrice:

(25)

- iar în coordonate sferice:

(26)

1.4.2. Ecuaţiile impulsului

În masa unui fluid se separă un element de volum fix, de formă paralelipipedică, cu

laturile Δx, Δy, Δz. Fluidul este în curgere nestaţionară. Direcţia de curgere este arbitrară,

deci are loc prin toate feţele paralelipipedului. Pe baza legii a doua a lui Newton, se

întocmeşte bilanţul impulsului.

Forţa de inerţie ce acţionează asupra unităţii de volum de fluid este dată de

variaţia impulsului în unitatea de timp , sau asupra întregului volum . Acest

produs are dimensiunile unei forţe. Deci bilanţul forţelor este echivalent cu bilanţul

impulsurilor.

Bilanţul elementului de volum este:

viteza de acumulare = viteza de intrare – viteza de ieşire + Σ forţe ce acţionează

a impulsului a impulsului a impulsului asupra elementului

Transferul impulsului în / şi din interiorul elementului de volum se face prin două

mecanisme: prin convecţie şi prin transfer molecular. Transferul de impuls prin convecţie are

loc prin deplasarea masei de fluid sub acţiunea unui gradient de presiune. Transferul

impulsului printr-un mecanism molecular este rezultatul forţelor cu frecare ce apar între

straturile de fluid adiacente ce curg cu viteze diferite.

Pagina 13 din 85


O zonă din masa de fluid în curgere laminară este împărţită în mai multe straturi

(haşurate) ce alunecă unul peste altul cu viteze inegale. Distribuţia vitezelor vx arată că în fig.

4 în masa fluidului este separat un paralelipiped a cărui vedere în planul xoy este reprezentată

prin dreptunghiul abcd. Transferul impulsului printr-un mecanism molecular se face după

direcţia Oy, de la straturile cu viteză mai mare către cele cu viteză mai scăzută. Impulsul se

transferă de la un strat la altul prin frecare. Tensiunea tangenţială pe care o exercită stratul 2

asupra lui 3 de pe suprafaţa ab a paralelipipedului este τ3. Stratul 3 exercită asupra stratului 2

o tensiune de sens contrar τ2. Tensiunea tangenţială exercitată de stratul 5 pe faţa cd asupra

stratului 6, adiacent este τ6 şi cea exercitată de stratul 6 asupra stratului 5 este τ5. Deoarece

impulsul se transmite după direcţia şi sensul axei y, tensiunea tangenţială la intrare în

elementul de volum este τ3 iar la ieşire τ6. Ambele tensiuni sunt orientate în acelaşi sens.

Tensiunile tangenţiale şi normale ce acţionează asupra unui element de volum în

direcţia x, sunt reprezentate în fig. 3.

Pagina 14 din 85


Viteza de acumulare a impulsului, după direcţia x, în volumul considerat este

dată de produsul dintre variaţia concentraţiei impulsului în unitatea de timp şi volum

.

Componentele impulsului pe direcţia x ce intră pe cele trei feţe prin convecţie, sunt

date de produsul între concentraţia impulsului pe unitatea de volum şi debitul volumic.

La intrare:

- pe faţa x (în planul yoz); ρvxvx|xΔyΔz;

- pe faţa y (în planul xoz); ρvxvy|yΔxΔz;

- pe faţa z (în planul xoy); ρvxvz|zΔxΔy;

şi pentru ieşire:

- pe faţa x: ρvxvx|x+Δx ΔyΔz;

- pe faţa y: ρvxvy|y+Δy ΔxΔy;

- pe faţa z: ρvxvz|z+Δz ΔxΔy;

Viteza cu care componenta x a impulsului intră prin transfer molecular prin feţele

paralelipipedului este dată de produsul dintre tensiunea tangenţială şi suprafaţă.

La intrare:

- pe faţa x: τxx|x ΔyΔz;

- pe faţa y: τyx|y ΔxΔz;

- pe faţa z: τzx|z ΔxΔy;

La ieşire:

Pagina 15 din 85


- pe faţa x: τxx|x+Δx ΔyΔz;

- pe faţa y: τyx|y+Δy ΔxΔz;

- pe faţa z: τzx|z+Δz ΔxΔy;

Era de aşteptat ca componentele tensiunii tangenţiale de pe două feţe opuse ale

paralelipipedului să fie orientate în sensuri opuse.

Totuşi reprezentarea lor în Fig. 6 este corectă. Spre exemplu, componenta τyx|y

reprezintă tensiunea exercitată de fluidul exterior asupra fluidului de pe suprafaţa

paralelipipedului şi componenta τyx|y+Δy reprezintă tensiunea pe care o exercită fluidul de

pe suprafaţa opusă a paralelipipedului asupra fluidului din exterior ceea ce este în Fig. 5.

Asupra elementului de volum mai acţionează după direcţia x forţa rezultată din presiunea

fluidului şi componenta forţei gravitaţionale (p|x - p|x+Δx)ΔyΔz + ρgxΔxΔyΔz.

Substituţia tuturor expresiilor în ecuaţia de bilanţ şi regruparea termenilor conduce la

expresia:

[ρvxvx|x ΔyΔz + ρvxvy|y ΔxΔz + ρvxvzv|z ΔxΔz] – [ρvxvx|x+Δx ΔyΔz +

ρvxvy|y+Δy ΔxΔz + ρvxvz|z+Δz ΔxΔy] + [τxx|x ΔyΔz + τyx|y ΔxΔz + τzx|z ΔxΔy] – [τxx|x+Δx ΔyΔz +

τyx|y+Δy ΔxΔz + τzx|z+Δz ΔxΔy] + (p|x – p|x+Δx)ΔyΔz + ρyxΔxΔyΔz

Împărţind cu ΔxΔyΔz, trecând la limită şi ţinând cont de modul seriei variaţiei şi

tensiuni:

Exemplu:

vy|y+Δy = vy + dy (27) şi τyx|y+Δy = τyx + dy (28)

şi atunci din scăderea termenilor rezultă:

= - (29)

Similar se pot scrie ecuaţiile pentru direcţiile y, respectiv z.

= -

(30)

= - (31)

Se observă că prima paranteză din partea dreaptă a ecuaţiilor este afectată de semnul

minus iar cea de a doua de semnul plus. Aceasta se datorează faptului că componentele

Pagina 16 din 85


vitezei de curgere au valori crescătoare în sensul pozitiv al axelor de coordonate, pe când

componentele tensiunii, în acelaşi sens, au valori descrescătoare. Limitele cu care se operează

conduc la derivate cu semne diferite.

Ecuaţiile se pot scrie într-o singură formă vectorială.

= - [ (ρvv) + ( τ)] - p + ρg (32)

unde = este un operator de derivare. (33)

Rezultă că viteza de creştere a impulsului pe unitatea de volum de fluid este egală cu

suma dintre viteza de transfer a impulsului prin convecţia vitezei de transfer sub acţiunea

forţelor de vâscozitate, a forţelor de presiune şi a forţelor gravitaţionale, toate raportate la

unitatea de volum.

Ecuaţiile mai pot fi aranjate şi altfel (de exemplu ecuaţia după direcţia ox):

+

(34)

Regrupând termenii se obţine:

(35)

Paranteza primului termen din partea stângă a ecuaţiei conţine derivata substanţială a

vitezei Dvx|dt; iar paranteza a doua este egală cu zero deoarece termenii reprezintă ecuaţia

continuităţii curgerii.

Forma finală a ecuaţiei impulsului, după direcţia ox va fi:

(36)

Pentru toate cele trei direcţii se scrie :

(37)

Pagina 17 din 85


(38)

(39)

Transcrierea ecuaţiei sub formă vectorială conduce la:

(40)

Formulele ecuaţiilor impulsului date de (38) şi (40) corespund ecuaţiilor continuităţii.

Ecuaţia continuităţii fără a ţine cont de forţele de inerţie şi greutate:

(40’)

Pentru un fluid necompresibil (lichidele) cu densitate constantă în timp şi în

spaţiul de curgere: rezultă:

(41)

Prin simplificare rezultă:

sau (42)

Condiţia poate fi satisfăcută numai dacă densitatea unui element de

fluid este constantă şi dacă acesta se deplasează odată cu fluidul, încât densitatea nu variază

nici în timp.

În primul caz prima formulă reprezintă bilanţul pentru un volum elementar fixat în

spaţiu şi a doua descrie schimbările ce au loc într-un volum ce se deplasează odată cu fluidul.

Ecuaţiile impulsului sunt valabile pentru orice fluid în curgere.

Ele pot fi particularizate dacă se foloseşte ecuaţia reologică de comportare a fluidului

studiat. Spre exemplu, pentru un fluid newtonian, după înlocuirea componentelor tensorului

tensiunilor, acestea iau forma:

Componentele tensorului tensiunilor în condiţii rectangulare pentru lichidul lui

Newton sau corp pur vâscos ce posedă numai vâscozitate:

Pagina 18 din 85


i = j; δij = 1 (43)

(44)

(45)

i ≠ j; δij = 0 (46)

(47)

(48)

(49)

Acest lucru se va demonstra separat.

Revenind la ecuaţiile noastre care iau forma:

(50)

(51)

(52)

Pagina 19 din 85


În cazul curgerii izoterme ρ şi η sunt constante şi din ultimele trei relaţii se obţin

ecuaţiile Navier-Stokes.

(53)

(54)

(55)

unde: (56)

(57)

Aceste ecuaţii pot fi restrânse într-o formă vectorială.

(58)

Fluidele ideale, de tip pascalian, sunt lipsite de vâscozitate şi pentru τ = 0 ecuaţiile

impulsului în coordonate rectangulare se reduc la:

(59)

(60)

(61)

Formula restrânsă este:

(62)

Ecuaţiile impulsului pot fi folosite pentru descrierea posibilităţilor de convertire a

unei forme de curgere în alta.

Se înmulţeşte ecuaţia impulsului cu viteza locală v.

(63)

Ecuaţia rezultată descrie viteza de variaţie a energiei cinetice pe unitatea de masă

pentru un element de volum ce se deplasează în sensul curentului.

Pagina 20 din 85


Se va transcrie această ecuaţie în altă formă şi unii termeni se vor despărţi în două

părţi şi astfel ecuaţia devine:

(64)

În unele cărţi de hidraulică ecuaţiile lui Navier şi Stokes, pentru mişcări laminare ale

fluidelor vâscoase incompresibile se introduce vâscozitatea cinematică υ = η/ρ şi câteva

notaţii diferite, astfel:

(65)

(66)

(67)

unde (68)

Forma vectorială a acestor ecuaţii este:

(69)

sau (70)

Acest sistem este format din trei ecuaţii cu derivate parţiale de ordin doi neliniare şi

conţin patru funcţii necunoscute vx, vy, vz, p.

Pentru determinarea acestora mai este necesară o relaţie, aceasta este ecuaţia de

continuitate:

(71) sau

Observaţie. Mişcarea laminară a unui fluid real (vâscos) este un proces ireversibil.

1.4.3. Vâscozitatea

Vâscozitatea este proprietatea fluidelor de a se opune deformării (mişcării), în special

a celor ce nu constituie reduceri ale volumului, datorită schimbului de molecule între

straturile alăturate de fluid.

Pagina 21 din 85


Astfel, apar tensiuni tangenţiale pe orice element de suprafaţă ce separă două porţiuni

de fluid între care există diferenţe de viteză.

Schimbul molecular între straturile alăturate este una din cauzele fenomenelor de

transfer al unor proprietăţi scalare sau vectoriale.

Vâscozitatea, manifestată prin tensiuni tangenţiale de frecare (rezistente datorită

frecării între straturi), este rezultatul transferului de cantitate de mişcare (mărime vectorială).

Această proprietate poate fi pusă în evidenţă prin experienţa următoare (Fig. 1).

Un lichid este situat între două plăci plane C1 şi C2, paralele între ele şi aflate la

distanţa Δh una de alta. Placa C1 este considerată infinită şi în stare de repaus ( ), iar

placa C2 de arie A se deplasează cu viteză în propriul ei plan. Deplasarea plăcii C2, asigură

mişcarea laminară a lichidului sub acţiunea forţei, dată de relaţia:

unde: - η este un coeficient de proporţionalitate;

- este viteza relativă a plăcilor.

La fluidele numite newtoniene datele experimentale arată că tensiunea tangenţială

(presupusă uniform distribuită pe suprafaţa A superioară a stratului de lichid aderent la placa

C2) are valoarea:

Se face ipoteza că relaţia rămâne valabilă când Δh 0 precum şi pentru două

straturi de lichid vecine 1 şi 2. Mai general, se admite că într-o mişcare paralelă a unui fluid,

adică într-o mişcare în care traiectoriile tuturor elementelor de fluid sunt drepte paralele între

ele, asupra unui element de suprafaţă ds paralel cu traiectoriile se exercită o tensiune

tangenţială având valoarea:

(72)

unde: - n este normala la ds.

Coeficientul η se numeşte vâscozitate dinamică iar sensul negativ arată că tensiunea

tangenţială este proporţională cu negativul gradientului de viteză. Relaţia (72) reprezintă

ipoteza lui Newton, iar fluidele ce ascultă de această lege se numesc lichide newtoniene.

Reprezentată în coordonate rectangulare, ecuaţia (72) este o dreaptă ce trece prin origine şi

are o pantă constantă, egală cu vâscozitatea dinamică a fluidului (Fig. 2), astfel că fluidele

Pagina 22 din 85


newtoniene pot fi definite şi ca acele fluide ce reprezintă la presiune şi temperatură constantă,

o curbă de curgere liniară ce trece prin originea sistemului de coordonate rectangulare.

Determinarea vâscozităţii dinamice a unui fluid newtonian se efectuează experimental

cu vâscozimetrul tip Höppler (prin determinarea timpului de cădere a unei bile de metal sau

sticlă, de un anumit diametru şi cu o anumită greutate într-un tub cilindric înclinat, în condiţii

ce asigură proporţionalitatea între vâscozitatea fluidului din tub şi viteza de cădere).

Vâscozitatea cinetică se determină cu vâscozimetrul de tip Höpple sau tip Vogel-

Ossag (prin determinarea timpului de curgere a uni volum dat de fluid printr-un tub capilar de

dimensiuni date şi compararea cu timpul de curgere necesar unui alt lichid de referinţă prin

acelaşi tub capilar) sau tip Ubbelahde (prin determinarea timpului de curgere sub acţiunea

greutăţii proprii a unui volum dat de lichid, printr-un tub capilar, în condiţiile formării unui

nivel suspendat al coloanei de lichid în curgere şi compararea cu timpul de curgere în aceleaşi

condiţii a altui lichid de referinţă).

Dimensional, pentru vâscozitatea dinamică se obţine:

Unitatea de măsură în SI este [N·p/m2]. Ca unitate de măsură se mai utilizează şi

poiseul, unde 1P = 0.1 N·s/m2. La 00C şi 1At, η = 1.791·10-3 N·s/m2 pentru apă şi η = 1.717

·10-5 N·s/m2 pentru aer.

În unele probleme practice (caracterizarea uleiurilor minerale ca lubrifianţi) se

foloseşte termenul de viscozitate cinematică υ, dată de relaţia:

în care: ρ – este densitatea fluidului.

Dimensional, se obţine pentru vâscozitatea cinematică:

Unitatea de măsură în SI este m2/s, folosindu-se şi unitatea numită stokes.

1 st = 1 cm2/s = 10-4 [m2/s]

Coeficientul de viscozitate (dinamică şi cinematică) variază cu temperatura în mod

diferit la lichide şi la gaze. La creşterea temperaturii, vâscozitatea lichidelor scade, pe când

cea a gazelor creşte.

Pagina 23 din 85


Vâscozitatea dinamică η variază foarte mult cu temperatura, dar foarte puţin cu

presiunea. Majoritatea fluidelor întâlnite în practică (apa, aerul) sunt fluide newtoniene.

Fluidele ce nu respectă relaţia lui Newton se numesc fluide nenewtoniene şi formează

obiectul de studiu al reologiei.

În Fig. 3 s-a prezentat grafic variaţia tensiunii tangenţiale τ în funcţie de cu

menţionarea unor tipuri de fluide newtoniene întâlnite în practică.

Pagina 24 din 85


Pagina 25 din 85


Pagina 26 din 85


Cap. 2. Fluide vâscoase cu comportare nenewtoniană

2.1. Introducere

Numeroase corpuri fluide prezintă abateri de la comportarea newtoniană, ce se

datorează următoarelor cauze:

- sistemele bifazice, de tipul sângelui, aluatul, vopselele, suspensiile de fibre, etc. La

acestea faza dispersă constituie o parte importantă din volum, iar sistemul bifazic în timpul

curgerii suferă modificări structurale.

- sistemele omogene macroscopice de tipul: uleiuri minerale cu viscozitate mare,

topituri de polimeri, etc., la care, sub acţiunea forţelor de forfecare, unităţile de curgere

(moleculele) suferă orientări.

La aceste fluide, în condiţii izoterme, dependenţa tensiune-viteză de deformare este

neliniară, iar vâscozitatea depinde de parametrii solicitării.

Astfel s-a definit vâscozitatea aparentă ηa, aceasta depinzând de viteza de forfecare:

unde: - este tensiunea de forfecare;

- este viteza de modificare a formei corpului.

Dependenţa vâscozităţii aparente de viteza de forfecare se datorează modificărilor de

structură ce apar în faza fluidă sub acţiunea solicitărilor. Modificarea structurii fluidului sub

acţiunea solicitărilor de forfecare constituie factorul principal al abaterilor de la comportarea

newtoniană.

Viteza cu care se modifică structura poate fi mai mică sau mai mare. Din această

cauză, unele corpuri îşi modifică vâscozitatea în timp, deşi parametrii solicitării rămân

constanţi.

Când viteza proceselor de modificare a structurii este suficient de mică pentru a putea

fi sesizată experimental, se zice că fluidul este dependent de timp. La aceste fluide

vâscozitatea depinde de mărime, durată şi istoria forfecării.

Fluidele a căror viscozitate, în condiţii izoterme şi izobare, variază funcţie de

parametrii solicitării şi de timp sau numai funcţie de parametrii solicitării se numesc fluide

nenewtoniene (sau fluide cu vâscozitate de structură).

Acestea por avea numai o componentă vâscoasă şi se împart în două grupe:

Pagina 27 din 85


- fluide dependente de timp, caracterizate prin aceea că viteza de forfecare într-un

punct dat este dependentă exclusiv de tensiunea de forfecare în acel punct.

- fluide dependente de timp sunt acelea la care viteza de forfecare este o funcţie de

mărimea şi durata tensiunii de forfecare şi de istoria forfecării.

2.2. Fluide nenewtoniene independente de timp

Aceste fluide sunt denumite în mod curent fluide vâscoase nenewtoniene sau fluide

pur vâscoase şi se clasifică în două categorii:

I. Cu prag de tensiune:

Sub acţiunea unei forţe mici manifestă comportare de corp elastic sau rigid, iar după

ce forţa atinge o anumită valoare, începe să se comporte ca un fluid vâscos. Deformaţia din

primul domeniu este recuperabilă, pe când în domeniul solicitărilor mari deformaţia devine

permanentă.

Comportarea de corp solid, elastic sau rigid şi comportarea de corp fluid vâscos

preponderent se manifestă succesiv. Tensiunea care marchează trecerea de la corp elastic la

corp vâscos poartă denumirea de prag de tensiune, prag de curgere sau limită de elasticitate şi

se notează cu τ0.

II. Fără prag de tensiune:

În această categorie sunt incluse majoritatea lichidelor nenewtoniene, făcând

abstracţie de componenta elastică.

Funcţie de dependenţa tensiune-viteză de forfecare (Fig. 1) se clasifică:

Curba 1 – fluidul lui Newton

Curba 2 – fluide pseudoplastice

Curba 3 – fluide dilatante.

Fie .

Prin logaritmare se obţine:

(73)

şi este aparent ecuaţia unei drepte a cărei pantă este egală cu unu, ceea ce este valabil

numai pentru fluide newtoniene, unde vâscozitatea este constantă şi independentă de

parametrii solicitării. Pentru fluide nenewtoniene, vâscozitatea aparentă ηa este funcţie de

viteza de forfecare.

Pagina 28 din 85


Curbele 2 şi 3 au, începând din origine, o porţiune liniară cu panta egală cu unu, ceea

ce denotă o comportare newtoniană, urmată de un domeniu neliniar, prin care se diferenţiază

comportarea dilatantă cu cea pseudoplastică, astfel:

- comportare pseudoplastică, pentru 0 < panta < 1;

- comportare dilatantă, pentru panta >1.

Deci măsura comportării nenewtoniene este dată de abaterea pantei de la unitate.

Deoarece panta curbelor de curgere, în coordonate logaritmice, constituie un criteriu

cantitativ al tipului de comportare reologică, a fost denumit indice de curgere şi este

considerat o proprietate fizică a corpului.

Corpurile pseudoplastice prezintă fenomenul de fluidizare; vâscozitatea este o funcţie

descrescătoare de viteza de forfecare.

Vâscozitatea corpurilor dilatante creşte o dată cu creşterea vitezei de forfecare;

manifestă tendinţă de îngroşare.

Mecanismul răspunzător de comportarea reologică a celor două fluide este diferit.

2.2.1. Fluide pseudoplastice

Corpurile pseudoplastice posedă vâscozitate dependentă de structură. Funcţie de

valoarea parametrilor solicitării , structura suferă modificări reversibile.

Vâscozitatea este descrescătoare cu viteza de forfecare, iar în domeniile extreme ale

parametrilor solicitării comportarea este newtoniană.

2.2.2. Fluide dilatante

Suspensiile de concentraţie mare, sub acţiunea forţelor de forfecare, devin rigide, ca

urmare a modificării porozităţii, respectiv a volumului.

Această proprietate de expansiune a volumului se numeşte dilatanţă şi caracterizează

corpurile a căror vâscozitate creşte cu viteza de forfecare (Fig. 2b) (rigidizarea acestora).

Pagina 29 din 85


Aceste corpuri fluide manifestă frontul de îngroşare. Din această categorie fac parte pastele

de amidon, mortarul şi unele emulsii.

2.2.3. Ecuaţii reologice

Corpurile fluide cu comportare nenewtoniană, posedă pe lângă componenta vâscoasă

şi o componentă elastică sau plastică.

Ecuaţiile ce caracterizează componentele tensiunii cu componenta deformaţiei sau (şi)

a vitezei de deformare şi proprietăţile corpurilor se numesc ecuaţii reologice sau constitutive

şi servesc la abordarea teoretică a problemelor de curgere.

Fluidele vâscoelastice omogene, incompresibile, supuse la forfecare simplă în regim

staţionar, au componentele tensorului tensiunilor exprimat prin trei ecuaţii:

(74)

unde: - este vâscozitatea aparentă dependentă de parametrii solicitării;

- prima funcţie a solicitărilor normale;

- a doua funcţie a solicitărilor normale (acestea descriu elasticitatea

corpului).

Fluidele nenewtoniene care posedă numai viscozitate sau sunt vâscoelastice, a căror

componentă elastică este neglijabilă, vor Avea prima şi a doua diferenţă a tensiunilor normale

egală cu zero, iar comportarea este descrisă de prim ecuaţie.

2.3. Fluide nenewtoniene care posedă numai componentă vâscoasă

2.3.1. Legea puterii

Cel mai simplu model reologic propus de Ostwald-deWaele are următoarea formă:

(75)

unde: - k este indicele de consistenţă, k = constant;

- n este indicele de curgere, n = constant.

Prin logaritmare se obţine o dreaptă, dar pe un domeniu larg de variaţie a parametrilor

solicitării, este reprezentată printr-o curbă.

Pagina 30 din 85


Din această cauză, legea puterii este aplicabilă pe domenii limitate de variaţie a

vitezei de forfecare, în care curba se poate asimila cu o dreaptă.

Se cunoaşte:

sau (76)

Deci pentru n = 1, ηa = k – constant – comportare newtoniană

n <1, ηa scade cu creşterea lui

n >1, ηa creşte cu creşterea lui , comportare dilatantă.

Se consideră o stare de referinţă şi care îi corespunde o vâscozitate η0.

Raportul între vâscozitatea aparentă ηa şi vâscozitatea corespunzătoare stării de referinţă η0,

conform relaţiei:

(77)

sau

sau prin intermediul relaţiei: .

şi

Deci sau şi introducând în relaţia (77) se obţine:

(78)

În ecuaţiile (77) şi (78) η0 poate fi determinat pentru , respectiv şi ambele

ecuaţii iau forme mai simple. Indicele de curgere n, pentru foarte multe corpuri fiind

subunitar, legea puterii (ecuaţiile 76 şi 77) sugerează o viscozitate infinită, când viteza de

forfecare tinde către zero. Acest inconvenient limitează utilizarea ei.

Legea puterii ia forma generalizată:

Pagina 31 din 85


(79)

în care: - este al doilea invariant al tensorului vitezei de deformare.

Forma acestuia este similară cu a celui de al doilea invariant al tensorului tensiunilor

sau al tensorului deformaţiilor.

Iτ1 = τ11 + τ22 + τ33

Iτ2 = τ11τ22 + τ22τ33 + τ33τ11 – (τ212 + τ2

23 + τ231)

Iτ3 = τ11τ22τ33 + 2τ12τ23τ31 – τ11τ223 – τ22τ2

13 – τ33τ212

Iγ1 = γ11 + γ22 + γ33

Iγ2 = γ11γ22 + γ22γ33 + γ33γ11 – (γ212 + γ2

23 + γ231)

Iγ3 = γ11γ22γ33 + 2γ12γ23γ31 – γ11γ223 – γ22γ2

31 – γ33γ212

iar în cazul de faţă are forma:

Legea puterii generalizate poate fi aplicată corpurilor supuse la solicitări multiple.

Pentru materiale solicitate la forfecare simplă de tensiunea τyx majoritatea derivatelor

din expresia invariantului se anulează şi se obţine:

(80)

iar legea generalizată se reduce la ecuaţia (77), în care η0 corespunde valorii .

După înlocuiri:

sau

2.3.2. Modelul Prandtl-Eyring

Pagina 32 din 85


Ecuaţia reologică a fost obţinută pe baza teoriei cinetice a lichidelor elaborată de

Eyring.

Pentru forfecare simplă modelul are forma:

(81)

unde: - k1 şi k2 sunt coeficienţi de material.

Modelul are avantajul că poate reproduce comportarea unor materiale nenewtoniene

cu ajutorul a două constante de material. Forma algebrică complicată îi limitează aplicaţia ei.

Pentru solicitări tridimensionale, exprimat în termeni de vâscozitate

(82)

conţine tot două constante de material, din care η0 este vâscozitatea la viteza de

forfecare egală cu zero.

Prin explicitarea ecuaţiei (81) funcţie de şi prin dezvoltarea în serie a funcţiei

hiperbolice şi reţinerea primilor doi termeni, se ajunge la modelul Steiger-Ory-

Rabinowitsch.

(83)

în care: - k3 şi k4 sunt coeficienţi de material.

2.3.3. Modelul Powell-Eyring

La viteze de forfecare foarte mici şi foarte mari, unele soluţii şi topituri se comportă

nenewtonian.

Vâscozitatea aparentă prezintă două valori limită:

- la viteze de forfecare egale cu zero;

- la viteze de forfecare foarte mari (Fig. 2).

Aceste vâscozităţi sunt coeficienţi de material şi corespund domeniilor de comportare

nenewtoniană.

Din modelele anterioare nu rezultă o valoare limită pentru viscozitate. Pe această bază

s-au propus modelele empirice care iau în considerare o astfel de comportare.

Modelul Powell-Eyring cu trei parametri este de forma:

(84)

Pagina 33 din 85


în care: - k1, k2, k3 sunt coeficienţi de material.

Pentru valori extreme ale parametrilor solicitării, modelul se simplifică.

La viteze mici de forfecare şi modelul devine:

(85)

ceea ce demonstrează o comportare newtoniană întrucât suma termenilor din

paranteză este o constantă şi egală cu vâscozitatea la viteze mici de forfecare

.

La viteze mari de forfecare şi ecuaţia (84) devine:

(86)

Din nou o comportare newtoniană pentru care: .

Comparând valorile limită ale vâscozităţii rezultă > , relaţia de ordine

specifică fluidelor pseudoplastice.

Vâscozitatea aparentă a corpurilor pseudoplastice, conform acestui model,

poate fi exprimată funcţie de cel de al doilea invariant al tensorului vitezei de deformare şi

de vâscozităţile limită şi .

(87)

dar este prea complicată algebric.

2.3.4. Modelul Ellis

Modelul conţine trei coeficienţi de material:

(88)

Modelul este extrem de flexibil, putând fi utilizat pentru un număr mare de corpuri.

Este mai puţin complicat decât legea puterii dar poate fi aplicat pe un domeniu mai larg de

variaţie a vitezei de forfecare.

- pentru n > 1 şi tensiuni mici sugerează comportare newtoniană.

Pagina 34 din 85


- pentru n < 1 şi tensiuni de forfecare mari, sugerează de asemenea comportare

newtoniană.

- pentru k2 = 0 se reduce la legea lui Newton.

- pentru k1 = 0 se obţine legea puterii.

O a doua variantă a modelului este:

(89)

în care: - este vâscozitatea la viteza de forfecare egală cu zero;

- este tensiunea la care vâscozitatea aparentă scade la jumătate.

2.3.5. Modelul Reiner-Philippoff

Modelul ţine cont de comportarea nenewtoniană la valori extreme ale vitezei de

forfecare. Conţine trei coeficienţi de material:

(90)

Vâscozitatea aparentă va fi dată de:

(91)

La valori extreme ale solicitării, ultima ecuaţie se simplifică:

τ 0

τ

demonstrând comportarea newtoniană.

Între valorile extreme ale vâscozităţii, curba conform ecuaţiei (88)

prezintă un punct de inflexiune de ordonată:

Toate modelele discutate până aici au caracter empiric sau semiempiric. Coeficienţii

de material depind de timp, presiune, compoziţie şi chiar de valorile parametrilor solicitării.

Dependenţa este dată în Fig. 3.

Pagina 35 din 85


unde: - Fig. 3a. este cu doi coeficienţi de material.

- Fig. 3b. este cu trei coeficienţi de material.

2.3.6. Alte modele

Majoritatea modelelor reologice dezvoltate în ultimul timp se referă la curgerile

fluidelor nenewtoniene şi sunt aplicabile la curgerea cu forfecare simplă.

Ecuaţiile reologice corelează tensiunea tangenţială cu viteza de forfecare şi parametrii

de material. Cele mai multe sunt explicitate în tensiuni sau vâscozităţi aparente.

La curgerea unui fluid nenewtonian, independent de timp prin tuburi circulare,

dacă nu există alunecare la perete, tensiunea de forfecare la perete se exprimă funcţie de

raportul între viteza medie de curgere şi diametrul tubului 8 . Cu ajutorul acestor modele s-

a definit un număr Reynolds generalizat, valabil pentru lichide nenewtoniene ce respectă

legea puterii şi s-au obţinut ecuaţii pentru calculul consumului de energie în amestecare şi a

coeficientului de frecare la curgere.

Câteva modele reologice exprimate funcţie de raportul 8 pentru fluide

pseudoplastice sunt date în tabelul 1, iar un grup de modele reologice este prezentat în tabelul

2.

Selectarea modelelor se face pe baza valabilităţii lor teoretice, a utilităţii lor în

rezolvarea problemelor de curgere şi a capacităţii lor de adaptare.

Pagina 36 din 85


2.4. Fluide nenewtoniene dependente de timp

Fluidele nenewtoniene independente de timp au vâscozitatea dependentă de

parametrii solicitării.

Un corp pseudoplastic sau dilatant, la o anumită valoare a vitezei de forfecare, îi

corespunde o vâscozitate independentă de timpul de solicitare şi de solicitările anterioare.

Aceasta datorită faptului că modificările structurale determinate de forfecare au loc cu viteză

foarte mare.

O altă categorie de corpuri la viteză de forfecare constantă, manifestă tendinţa de

modificare în timp a tensiunii de forfecare şi, respectiv, a vâscozităţii; comportarea depinzând

şi de istoria solicitărilor. Astfel de corpuri se numesc dependente de timp.

Procesele de modificare a structurii prin forfecare sunt lente. La scăderea vitezei de

forfecare sau în repaus, fluidele reversibile îşi refac structura iniţială, iar fluidele ireversibile

păstrează structura corespunzătoare mărimii şi duratei efortului de solicitare.

Se vor studia numai acele fluide nenewtoniene pentru care efectul timpului este

reversibil.

Funcţie de timp, la viteză de forfecare constantă, tensiunea ce solicită un corp cu

comportare nenewtoniană, poate rămâne constant sau suferă modificări.

Creşterea tensiunii tangenţiale în timp evidenţiază o comportare reopexică; scăderea

tensiunii corespunde comportării tixotrope.

2.4.1. Fluide tixotrope

Acestea pot avea în afara componentei vâscoase o componentă elastică şi o

componentă plastică.

Pagina 37 din 85


Solicitarea la forfecare în condiţii izoterme apare o scădere reversibilă dependentă de

timp a modulului de elasticitate, a pragului de curgere şi a vâscozităţii.

Corpurile tixotrope în repaus prezintă o structură sau o stare de gel. Prin forfecare

structura este distrusă şi corpul trece în stare fluidă. După un timp de stat în repaus, structura

se reface şi corpul revine la starea iniţială.

Energia consumată, când un corp lichid este supus la forfecare, serveşte la învingerea

forţelor de frecare datorită vâscozităţii şi la distrugerea structurii. Energia pentru

destructurare poate fi considerată energie potenţială întrucât este recâştigată sub o altă formă,

atunci când corpul în repaus îşi reface structura.

Se consideră un fluid tixotrop care la timpul t1 are vâscozitatea η1(Fig. 5).

De la timpul t1 până la timpul t2 este supus la forfecare cu viteza constantă .

Tensiunea scade datorită scăderii vâscozităţii de la la ,rămânând constant până la timpul

t3. Vâscozitatea fluidului scade în acest interval de timp până la valoarea η3. Prin solicitare la

o viteză de forfecare constantă şi mai mare decât cea anterioară, lichidul se destructurează şi

vâscozitatea scade.

Comportarea tixotropă este caracteristică pentru: suspensii de amidon, latexuri,fluide

biologice, soluţii de gelatină, albuş de ou, grăsimi, geluri de săpun, geluri de aluminiu, unt.

Cunoaşterea proprietăţilor reologice este necesară pentru procesele de prelucrare şi

pentru utilizarea lor.

2.4.2. Fluide reopexice (sau antitixotrope)

Fluidele dilatante manifestă o creştere izotermă reversibilă a vâscozităţii cu creşterea

vitezei de forfecare, fără dependenţă de timp.

Fluidele reopexice prezintă o comportare similară cu dependenţa de timp măsurabilă

(evidenţiată prin bucle de histerezis).

Pagina 38 din 85


Vâscozitatea unui fluid reopexic depinde de mărimea vitezei de forfecare şi durata

forfecării.

Un material reopexic, caracterizat printr-o stare de echilibru între procesele de

structurare şi destructurare, va avea vâscozitatea aparentă η1. La timpul t1 este solicitat cu o

viteză de forfecare constantă .Vâscozitatea creşte continuu şi la timpul t2 corespunzător

unei noi stări de echilibru, ajunge la valoarea limită η2 (Fig. 6a). Dacă la timpul t2 viteza de

forfecare este modificată instantaneu, la şi menţinută constantă vâscozitatea creşte din nou

şi la timpul t3 corespunzător echilibrului, ajunge la valoarea maximă η3. Variaţia vâscozităţii

aparente în timp la viteză de forfecare constantă este în Fig. 6b.

Comportări de acest fel au fost observate la suspensiile apoase formate din amidon şi

argilă.

2.5. Reprezentare generalizată a comportării reologice a fluidelor nenewtoniene

Fluidele nenewtoniene dependente sau independente de timp, la viteze de forfecare

mici au un domeniu de comportare newtoniană, domeniu care, în unele cazuri, poate fi foarte

restrâns.

Comportarea newtoniană se datorează lipsei de modificări în masa structurală

(pseudoplastice şi tixotrope) sau nestructurală (dilatante şi reopexice) a fluidului.

Toate lichidele nenewtoniene au vâscozitatea dependentă de structură şi din acest

punct de vedere pot fi considerate dependente de timp. Ele se deosebesc prin faptl că vitezele

de structurare şi destructurare, ca ordin de mărime, pot fi mai mari sau mai mici.

Ostwald sugerează o curbă generalizată de curgere (Fig. 7).

Pagina 39 din 85


Pe curba de curgere a lui Ostwald (curba 1) se disting patru domenii:

- dreapta OA – comportare newtoniană;

- dreapta AB – pseudoplastică;

- dreapta BC – dilatantă;

- după C – comportare newtoniană.

Comportarea newtoniană prezintă un punct de inflexiune B ce marchează trecerea de

la domeniul pseudoplastic la cel dilatant. Această curbă de curgere poate fi mai bine

generalizată, dacă între domeniile de comportare pseudoplastică şi dilatantă, se intercalează

un domeniu newtonian (curba 2). Aceasta este curba de curgere generalizată, conţine trei

domenii de comportare newtoniană şi explică toate tipurile de comportări reologice:

Fluidul newtonian. Un corp cu o curbă generalizată de curgere, la care modificarea

comportării după punctul A, apare la viteze de forfecare foarte mari, nerealizabile

experimental.

Lichid pseudoplastic. Corpul la care curba generalizată de curgere poate fi stabilită pe

cale experimentală până la o limită situată între A şi B2, în condiţii de curgere laminară.

Lichid dilatant. Materialul cu curba generalizată de curgere, pentru care primul

domeniu newtonian, domeniul pseudoplastic şi uneori , o parte din al doilea domeniu

newtonian, apar succesiv la viteze de forfecare mici şi nu pot fi separate pe cale

experimentală.

Corp plastic. Materialul cu curba generalizată de curgere la care primul domeniu de

comportare newtoniană se suprapune pe axa tensiunilor de forfecare, după care urmează

domeniul pseudoplastic.

Plasticul Bingham. Un corp cu curbă generalizată de curgere, la care primul domeniu

de curgere newtonian coincide cu axa tensiunilor, domeniul de comportare pseudoplastică

Pagina 40 din 85


este atât de redus încât primul domeniu newtonian pare să fie urmat imediat de cel de al

doilea domeniu newtonian. Domeniul dilatant nu poate fi obţinut pe cale experimentală.

Lichidul Ostwald. Corespunde unui material cu curbă generalizată de curgere, la care

al doilea domeniu de comportare newtoniană este atât de restrâns, încât se reduce la un punct

de inversie ce marchează trecerea de la domeniul pseudoplastic la cel dilatant.

Cap. 3. Modele reologice mecanice şi electrice

3.1. Modele mecanice

S-au introdus o serie de elemente mecanice simple cu ajutorul cărora se limitează fie o

tensiune, fie o deformaţie, fie viteza de deformaţie (Fig. 5.1.).

Asocierea lor cu celelalte modele mecanice lărgesc posibilităţile de modelare a

comportărilor reologice ale materialelor.

Patina lui Képés (Fig. 5.1.a.) este formată dintr-un corp cu frecare fără proprietăţi de

tensiune. Modelul este conceput în aşa fel încât forţa de frecare este proporţională cu

deplasarea (deformaţia):

- kf (γ) τ | γ | kf

Limitatoarele de deformaţie sunt elemente simple care nu permit unui model

să se deplaseze într-un sens sau în ambele sensuri decât până la o anumită limită. Spre

exemplu al treilea element (Fig. 5.1.b) limitează deplasarea în ambele sensuri la valoarea γ0 .

Atât timp cât limitatorul nu face contact, forţa este nulă, iar după realizarea contactului, forţa

poate deveni oricât de mare fără ca deplasarea γ să depăşească limitele – γ0 γ γ0 .

Limitatoarele de viteză (Fig. 5.1.c.) nu opun nici o rezistenţă la deformare

peste o anumită viteză limită . Chiar dacă forţa devine foarte mare, viteza limită nu poate fi

depăşită

Pagina 41 din 85


Pagina 42 din 85


3.2. Modele mecanice neliniare

Modelele mecanice analizate anterior – lichidul lui Maxwell, solidul lui Voigh-Kelvin

şi corpul Burgers sunt modele liniare, adică comportarea acestora este descrisă de o ecuaţie

diferenţială liniară.

Modelele mecanice ce au în componenţa lor un corp cu frecare, limitatoare de

deformaţii sau de viteză de deformaţie, sunt neliniare.

Cu ajutorul lor se reproduce comportarea corpurilor solide sau lichide.

Modelele din Fig. 5.2. corespund unor corpuri cu modul de elasticitate variabil

dependent de deformaţie.

O forţă crescătoare aplicată modelului „a”, deformează ambele arcuri. Dependenţa

între tensiune şi deformaţii este dată de expresia:

unde: - şi sunt complianţele la forfecare simplă a arcurilor.

Inversul modulului de elasticitate reprezintă complianţa la alunecare simplă JE.

Când deformaţia primului arc este blocată de limitatorul cu care este legat în

paralel – punctul B – în continuare se deformează numai al doilea arc şi panta dreptei se

modifică la , ceea ce echivalează cu o creştere a modulului de elasticitate.

Dreapta BC intersectează abscisa în punctul:

în care: - γk este deformaţia maximă a primului arc, respectiv, o mărime specifică

limitatorului de deformare.

Modelul din fig. 5.2.b este prevăzut cu un arc pretensionat. Limitatorul de deformaţie

nu permite primului arc să revină la starea sa naturală. Prin aplicarea unei forţe se deformează

numai al doilea arc (linia OB).

În punctul B, forţa aplicată egalează forţa de pretensionare a primului arc şi la forţe

mai mari se deformează ambele arcuri. Aceasta echivalează cu o scădere a modului de

elasticitate (dreapta BC).

Dreapta BC intersectează ordonata în τi :

Pagina 43 din 85


Notaţia τk corespunde forţei de pretensionare a primului arc τk = E1γk în care γk este

deformaţia iniţială impusă de limitator.

Modelele din fig. 5.3. redau comportarea a două corpuri lichide cu vâscozitatea

dependentă de parametrii solicitării. Comportarea neliniară se datorează limitatorului de

viteză de deformare şi corpului cu frecare.

Prin aplicarea unei forţe continuu crescătoare, viteza de deformare a ambelor

amortizoare creşte atâta timp cât viteza primului amortizor este mai mică decât .

Viteza totală de deformare este egală cu suma vitezelor individuale, ca în cazul

înserierii amortizoarelor:

Fracţia reprezintă o constantă şi comportarea este newtoniană (dreapta OB). Peste o

anumită limită a vitezei de forfecare, limitatorul menţine constantă viteza primului amortizor

şi panta creşte (dreapta BC). În acest caz corpul manifestă comportare dilatantă. Ecuaţia

dreptei BC va fi:

Modelul din fig. 5.3.b descrie un corp ce manifestă comportare pseudoplastică. La

solicitări mici, pentru care τ < τ0 , se deformează numai al doilea amortizor şi comportarea

este newtoniană (dreapta OB).

Pagina 44 din 85


Pagina 45 din 85


Când tensiunea depăşeşte pragul de curgere τ0 se vor deforma ambele amortizoare

(dreapta BC) şi se obţine:

în care primul termen din partea dreaptă a ecuaţiei reprezintă ordonata la origine τ i a

dreptei BC.

Corpurile cu componentă dilatantă şi pseudoplastică le corespund curbe cu panta

continuu crescătoare, respectiv descrescătoare.

Modelele mecanice ce descriu astfel de comportări se obţin prin înscrierea unei

infinităţi de cuplaje amortizor – limitator de viteză, respectiv amortizor – corp de frecare,

fiecare prevăzut cu câte un amortizor liber.

3.3. Corpuri vâscoelastoplastice

Numeroase cercetări experimentale au demonstrat că multe materiale naturale posedă

vâscozitate, elastice şi plasticitate în diverse proporţii.

Pentru a reda comportarea acestora la acţiunea solicitărilor exterioare, sunt necesare,

modele analogice formate cel puţin dintr-un arc, un amortizor şi o patină. Cel mai simplu

model de acest fel este al corpului Bingham (Fig. 5.4.a).

Spre deosebire de modelul plasticului Bingham acest model conţine un arc izolat.

F F

Fig. 5.5.

Un astfel de corp posedă elasticitate instantanee şi proprietatea de a se deforma vâscos

peste o anumită valoare a tensiunii.

O comportare plastică, ce posedă şi o slabă componentă elastică, a fost pusă în

evidenţă la curgerea prin conducte a soluţiilor apoase de carbonil.

Corpul Schwedoff este reprezentat prin modelul mecanic din fig. 5.4.b. Modelul este

format dintr-un element Maxwell în paralel cu o patină şi înseriate cu un arc izolat. Cu

ajutorul acestui model se reproduce comportarea soluţiilor de gelatină.

Pagina 46 din 85


Corpul Schofield-Scott Blair este dat de modelul mecanic din fig. 5.4.c, compus din

cinci modele elementare. Acesta a fost conceput în scopul reproducerii comportării aluatului.

3.4. Modele electrice

Modelele electrice permit o reglare foarte uşoară şi rapidă a tuturor parametrilor, iar

răspunsul se poate obţine imediat pe ecranul unui osciloscop. Modelarea electrică se face pe

baza celor mai simple legi ale electricităţii.

Exemple.

Analogia U – τ, Q – γ se bazează pe legea Ohm şi ecuaţia condensatorului electric.

în care: - U este tensiunea electrică;

- R este rezistenţa electrică;

- I este intensitatea curentului electric;

- C este capacitatea condensatorului;

- Q este cantitatea de electricitate.

Între un amortizor mecanic şi rezistenţa electrică există analogie, întrucât ambele

disipează o parte din energie sub formă de căldură, dar nu o acumulează.

Condensatorul electric este analog cu resortul mecanic, întrucât expresia energiei

acumulate de ambele dispozitive are aceeaşi formă (o acumulează şi apoi o cedează).

Gruparea mai multor elemente într-un model electric, pe baza acestei analogii, este

inversată în raport cu modelul mecanic. Două elemente mecanice legate în serie sunt similare

Pagina 47 din 85


cu două elemente electrice legate în paralel, deoarece tensiunea electrică este aceeaşi pentru

ambele, în timp ce cantitatea de electricitate Q şi intensitatea curentului I se însumează.

Analogia I – τ , U – γ rezultă din relaţiile:

în care: - t este timpul.

Gruparea elementelor electrice într-un model este similară cu gruparea elementelor

mecanice.

De exemplu, un model mecanic format dintr-un resort şi un amortizor, legate în

paralel, îi va corespunde un model electric format dintr-o rezistenţă şi o capacitate, legate în

paralel.

Analogia , se obţine pe baza ecuaţiilor:

în care: - L este inductanţa.

Energiile disipate de amortizor şi de rezistenţă, respectiv energiile acumulate în resort

şi în bobina de inducţie sunt date de expresii similare, ceea ce justifică analogiile de mai sus.

Gruparea elementelor după această analogie este identică cu cea a elementelor

mecanice, fără inversiune.

Analogia U – τ , I - γ este de forma:

Legea lui Ohm este comparabilă cu ecuaţia solidului Hooke supus la forfecare simplă,

pe când amortizorul este similar cu o bobină de selfinducţie. Gruparea elementelor electrice

într-un montaj, după ultima analogie, este inversată în comparaţie cu gruparea elementelor

mecanice.

Pagina 48 din 85


Cap. 4. Aplicaţii ale reologiei în domeniul curgerii fluidelor

4.1. Dinamici a modelului vâscoelastic având curgerea curbă nemonotonă

(După A. Marin şi C. Bălan)

4.1.1. Introducere.

În ultima decadă, investigaţiile experimentale şi teoretice asupra instabilităţilor

fluidelor vâscoelastice pun în evidenţă posibile legături între relaţiile constitutive a

oscilaţiilor în timp a materialului pur cu starea curgerii curbilinii regulate nemonotone şi

fenomene ca ţâşnituri, lovituri de perete şi lovituri repetate, vezi Schowalter (1988), Denn

(1990), Larson (1992). În acest context, studiul curgerii fluidelor în regimuri simple

reologice, testarea tensiunilor şi începutul despărţirii devin de o mare importanţă.

Cea mai simplă problemă dinamică asociată cu curgerea fluidelor vâscoelastice este

studiul unei mişcări izocorice produsă la început pe o suprafaţă plană cu viteză constantă în

Pagina 49 din 85


absenţa gradientului presiunii şi forţa masei. Dacă fluidul este pur Newtonian, această

instabilitate o mişcare dimensională (aşa numita problemă Rayleigh dacă fluidul este

nelimitat) este descrisă de ecuaţia căldurii (difuziune). O hotărâre asupra mişcării pentru

diferite relaţii constitutive vâscoelastice a fost studiat de: Ting (1963) – a doua ordine a

fluidului; Erdogan (1995) – a treia ordine a fluidului; Tanner (1962) – modelul diferenţial al

lui Oldroyd’s B, etc. Stabilitatea relaţiei constitutive cu curgere fermă curbilinie nemonotonă

(în special modelul Johnson şi Segalman) a fost studiat de Kolkka ş.a.(1988), Malkus ş.a.

(1989), Renardy (1995). Recent, instabilităţile în fluidele vâscoelastice şi instabilităţile pur

elastice în curgerile vâscometrice au fost trecute în revistă de Larson (1992), respectiv de

Shaqfeh (1996), şi două ateliere pe instabilităţile materialului au fost ţinute în 1995

(Universitatea din California) şi 1996 (Universitate din Cambridge).

Instabilitatea materialului intrinsec este asociat cu caracterul nemonoton de atunci a

funcţiilor materialului; în acest caz, este de aşteptat acea distribuţie a vitezei dezvăluind

ritmurile încărcărilor discontinui (punctele „bucle”) în spărtură (Fig. 1).

Scopul lucrării este să cerceteze regimul curgerii tranzitoriu în strat simplu subţire

Couette cu model vâscos pentru lichid cu suprafeţe curbe pentru funcţiile Reynolds – Re şi

Weisenberg – Wi. Lucrarea prezentă este focalizată în stabilirea procedurii numerice pentru

probleme sub cercetare, bazându-se pe expresia integrală a tensiunii tangenţiale ca funcţie a

istoriei deformaţiei. Suntem interesaţi în mod particular să stabilim influenţa produsului

ReWi la o distribuţie de viteză uniformă.

4.1.2. Exprimarea problemei.

Relaţia constitutivă în studiu este modelul diferenţial a trei constante cu derivate

independente obiectiv pentru supratensiunea T şi întinderea D:

(1)

cu λ1, λ2 şi η0 constantele materiale a curgerilor: λ1 este timpul de relaxare, λ2 este

timpul de întârziere şi η0 este vâscozitatea iniţială.

În (1),

(2)

este derivata timpului obiectiv (cu tensorul rotaţiei Ω) şi

(3)

Pagina 50 din 85


este derivata timpului material.

Parametrii a1, a2 definesc tipul derivatelor obiective pentru tensiunea

suplimentară respectiv pentru întindere; ai = ± 1 corespunde derivatei convecţiei superioare,

respectiv inferioare şi ai = 0 corespunde derivatei co – rotaţionale, vezi pentru detaliile Balan

şi Fosdick (1995). În această lucrare vom considera doar cazul a1 = a2 = a.

Dinamicile mişcării simplă uniformă Couette se descriu, în formă adimensională de

setul de două ecuaţii diferenţiale:

(4)

(5)

cu: ,

(6)

şi asociind iniţial şi condiţiile la limită:

(7)

În (4 7) y este direcţia normală a mişcării direcţiei; este tensiunea

tangenţială, γ este întindere şi v este componentă a vitezei, funcţii continui despre y şi timpul

t. Ecuaţia (4) este ecuaţia mişcării şi (5) este soluţia pentru mişcările vâscometrice (1); ρ este

densitatea masei şi k=λ1/ λ2 este parametrul materialului, vezi Bălan (1998).

Am introdus cantităţi nedimensionale:

(8)

În (8) V0 este magnitudinea pasului constant în aplicarea vitezei pe plan la

distanţa y = h. De aceea, dinamicile mişcării simple uniforme a modelului vâscoelastic

diferenţial (1) este dependentă de numerele Reynolds şi Weissenberg, la fel ca parametrul

materialului k şi tipul derivatei directe obiective este a constantei a. Ecuaţiile (4 - 6) cu

condiţiile (7) descriu matematic întinderea controlând experimentul reologic numit test de

„întindere”. În reometria curgerilor vâscoelastice viteza întinderii constante este considerată

Pagina 51 din 85


instalată instantaneu în gol, este un început de viteză liniar şi independent în relaţia

constitutivă. De aici, evoluţia timpului a tensiunii tangenţiale este caracterizată doar de

proprietăţile materialului mostrei, independent de deformaţie. Această prezumţie este

echivalentă cu această ipoteză a scării timpului asociindu-se cu ecuaţia mişcării (4) care este

neglijabilă în comparaţie cu relaţia constitutivă a scării timpului, respectiv .

Soluţia stării sigure a ecuaţiei (4 6) este dată de variaţia nemonotonă a

tensiunii tangenţiale contra vitezei întinderii dacă k < 1 / 9 şi (9).

Corespunzător soluţiei sigure a ecuaţiei (9) pentru tensiunea tangenţială

dizlocând două ramuri stabile şi un număr indefinit a posibilei stări a

distribuţiei vitezei admisibile în gol, vezi fig.1.

4.1.3. Începerea mişcării simple tangenţiale Couette.

Prin cuplarea (4), (5) şi (6) şi dezvoltând calculele derivatei spaţiale a tensiunii

tangenţiale, vom obţine în final o ecuaţie integral diferenţială, dezvăluind influenţa istoriei

deformaţiei în curgere. Derivatele de timp şi spaţiu au fost aproximate prin metoda diferenţei

finite, Godunov şi Reabenski (1977) şi integralele de timp au fost evaluate prin metoda

rectangulară. Cu creşterea calculelor timpului erorile devin mai importante şi precizia

descreşte. Problema majoră în obţinerea soluţiei numerice a ecuaţiei integral – diferenţiale

sunt calculele mari în timp (paşi mici de timp) şi memoria necesară în ordine pentru a asigura

o bună precizie pentru evaluarea integrării termenilor. Corelarea paşilor timpului cu reţeaua

spaţială densă a fost stabilită ca funcţia magnitudinii numărului Reynolds. În încheiere,

hotărâm să folosim în toate simulările o reţea spaţială cu 40 de paşi echidistanţi şi algoritmul

pasului timpului descrescător, procedură de început, iniţială calibrată în nişte soluţii analitice,

Pagina 52 din 85


cu această rezervă a prezenţei termenilor neliniari au fost neglijaţi. Facilităţile limitate ale

calculelor numerice, corespunzător folosirii unui PC – computer, ne-a determinat să

concentrăm investigaţiile asupra începerii mişcării simple tangenţiale Couette, în ordinea

dezvăluirii influenţelor numerelor Reynolds şi Weissenberg asupra aspectului regimului

transcendent.

În figura 2 este prezentat regimul transcendent a funcţiei numărului

Weissenberg la Re =1 şi în figura 3 este arătată influenţa numărului Reynolds în regimul

transcendent, Wi la început considerat constant, Wi =1. pentru fiecare simulare numerică

graficele sunt reprezentate în 10 secţiuni spaţiale, de la : (i) , cu ca

parametru şi (ii) ca parametru. Simulările numerice au fost făcute cu aceleaşi

valori a parametrilor a şi k, respectiv a = 0 şi k = 0,01.

Cum poate fi uşor observat din dependenţa , cu excepţia figurii 2a şi

figurii 3a, starea sigură nu a fost realizată în simulările noastre. Pentru tensiunile mici de la

partea superioară a planşei este remarcabilă şi întârzierea în propagarea tensiunii din partea

superioară în partea inferioară a figurii este proporţional cu produsul . Pe poziţia

tendinţelor mişcării a distribuţiei vitezei liniare pentru < 1. În cazul < 1, se

observă o descreştere abruptă a vitezei în vecinătatea părţii superioare a planşei, urmărindu-se

regiunea cepului (aproape cu viteză constantă) şi din nou o descreştere abruptă de la superior

la inferior pe planşă.

Pagina 53 din 85


Această distribuţie tranzitorie a vitezei este consecventă cu viteza constantă, arătată în

figura 1. existenţa a trei regiuni constante cu două ritmuri diferite a întinderii în interval, două

puncte a discontinuităţii pentru prima derivată a vitezei, a fost găsită recent de Georgiou şi

Vlassopoulos (1998), pentru relaţia constitutivă a curgerii curbilinii nemonotone.

Pagina 54 din 85


4.1.4. Remarci finale.

Simulările numerice a regimului tranzitoriu pun în evidenţă existenţa

discontinuităţilor în ritmul distribuţiei întinderii pentru >1. În acest domeniu, se

aşteaptă să se obţină coexistenţa vitezelor inferioare a întinderii sigure a valorii constante a

tensiunii tangenţiale, de aceea distribuţia vitezei constante se caracterizează prin existenţa

„buclelor”. Primele noastre rezultate sunt consecvente cu alte simulări numerice publicate.

Georgiou şi Vlassopoulos (1998), şi de asemenea cu câteva măsurări experimentale asupra

gelurilor, Bălan (1995). Sub această valoare critică, >1, comportarea este foarte

Pagina 55 din 85


asemănătoare cu modelele lineare vâscoelastice, figura 2a şi figura 3a,b; de asemenea, în

limita cazul Newtonian a fost obţinut, vezi comparaţia Vrentas şi Vrentas (1995).

Am considerat rezultatul la fel de remarcabil a lucrării prezente acest fapt a

dovedit similarităţi calitative între distribuţia vitezei la produsul constant , vezi pentru

comparaţie figura 2c şi figura 3c, şi implicit relevanţa acestui parametru pentru procesul sub

investigare.

Concluzie. În prezentul articol s-a făcut o analiză a modelului matematic de curgere în

regim neuniform a unui lichid vâscoelastic la curgerea pe o suprafaţă curbă.

4.2.Reometria capilară pentru studiul extrudării pastelor cu alunecare

(După J. Graczyk şi H. Buggisch)

4.2.1. Introducere.

A modela şi optimiza pasta de extruziune, comportarea curgerii materialelor trebuie să

fie cunoscută. În particular, comportarea alunecării curgerii pastei în lungul peretelui matriţei

sau la curgerea extrudării are o importanţă considerabilă, amândouă pentru modelarea

procesului şi obţinerea succesului practic.

Reometria capilară a fost îndelung folosită pentru a determina comportarea curgerii cu

alunecare a fluidelor. Metoda dezvoltată de Mooney (1931) a fost folosită frecvent pentru

multe fluide, incluzând pastele. Alte tehnici de măsurare au dezvoltate de atunci, cum ar fi

metoda capilară geamănă a lui Gleiβle şi Windhab (1985) şi metoda perforării dure, care a

fost folosită specific pastelor (Benbow şi Bridgwater, 1993; Halliday şi Smith, 1995).

Aceste metode au fost folosite în acest studiu pentru a determina viteza de alunecare a

peretelui în timpul extrudării cu pastă. Rezultatele au fost comparate cu acele obţinute

folosind altă tehnică reometrică capilară, metoda însemnării color, folosită aici ca metodă de

referinţă.

4.2.2. Metode reometrice capilare.

4.2.2.1. Metoda Mooney.

Metoda Mooney a determinării vitezei de alunecare a peretelui a fluidelor

incompatibile în curgerea laminară, staţionară, laminară în conducte a pus bazele asupra

acestei ipoteze a vitezei de alunecare a peretelui depinzând doar de tensiunea transversala a

peretelui(pentru caracteristicile peretelui constante). Curgerea volumetrică totală V în

conductă se compune din două componente: curgerea dreaptă volumetrică de alunecare vg şi

curgerea dreaptă volumetrică a curgerii transversale, vs. La tensiunea tangenţială constantă a

Pagina 56 din 85


peretelui τ, curgerea volumetrică prin conducte de diametre diferite este alcătuită din

componentele vs şi vg, aceasta variind cu diametrul conductei. Ecuaţia clasica dezvoltată de

Mooney (1) (sau versiunea uşor modificată a acestei ecuaţii (2))poate fi folosită la calculul

vitezei de alunecare a peretelui vg când tensiunea tangenţială este cunoscută.

(1)

= vg (2)

Aplicarea metodei Mooney pentru producerea pastelor trebuie să urmeze etapele:

curbele curgerii ς = f(v) sunt foarte întinse.

schimbarea relativă a curbelor curgerii de-a lungul axei tensiunii tangenţiale în timp

ce funcţia diametrului de pătrundere este foarte mică.

Ca rezultat, chiar mic, erorile inevitabile în măsurările tensiunii tangenţiale conduc

spre mari erori în viteza de alunecare vg calculată folosind metoda Mooney. Totuşi, nişte

erori singure nu justifică producerea acestor erori sistematice mari când se foloseşte această

metodă de a determina viteza de alunecare a pastelor. Numărul mare a rezultatelor

experimentale anormale sugerează un grup de câteva ipoteze afară de Mooney ce nu pot fi

aplicate pastei în extruziune. În particular, un efect nejustificat este contracţia suprafeţei

secţiunii transversale la intrarea matriţei (care este asociată cu schimbarea, cu diferenţe ale

tensiunii dependente geometric). Această contracţie adesea afectează formarea stratului

alunecător a peretelui şi creează efecte ale memoriei, producând diferite lungimi de intrare

pentru diferite intrânduri geometrice, care influenţează comportarea alunecării rotirii în

matriţare.

4.2.2.2. Capilaritate pereche.

Capilaritatea pereche a fost introdusă de Gleiβle şi Windhab (1995) ca aparat

experimental pentru a determina viteza de alunecare a peretelui. Planul constă în două matriţe

paralele cu diametre diferite dar raporturile lungime/diametru (L/D) constante. Diferenţa de

presiune este aceeaşi între intrândurile şi ieşirile celor două matriţe. Condiţiile la limită pentru

aplicarea metodei Mooney (echivalent tensiunii tangenţiale a peretelui pentru ambele matriţe)

trebuie să fie automat îndeplinite în capilaritatea pereche. Toate datele cerute pentru a calcula

viteza de alunecare a peretelui din ecuaţia Mooney poate fi obţinută dintr-un singur

Pagina 57 din 85

ς


experiment. Viteza curgerii volumetrice sau viteza extrudării este măsurată în ambele capilare

(sau într-un capilar şi în tub).

Sunt, în orice caz, probleme importante în aplicarea practică a capilarităţii pereche cu

pastele. Metoda este exactă doar când pierderea de presiune în intrândurile în ambele capilare

este neglijabilă. Pentru fluidele cu vâscozitate joasă aceasta poate fi îndeplinită, în special

dacă capilarele sunt suficient de lungi. Pentru paste, totuşi, în general nu este posibil să

primească capilare suficient de lungi; de aceea, trebuie să se determine intrarea corectă a

pierderii de presiune folosind, pentru moment, cunoscuta metodă Bagley (Bagley, 1957).

Aceasta a fost confirmată în experimente cu paste model alcătuite din hidroxid, oxid de

aluminiu (Pural NF) şi polidimetilsiloxane (ulei siliconic AK 1000000). Pierderea de presiune

este relativ înaltă la intrândul în capilar şi este în funcţie de diametrul matriţei. Deocamdată

este aşteptată o eroare în măsurările vitezei de alunecare a peretelui folosind capilaritatea

pereche, pentru că acolo sunt efectiv tensiuni tangenţiale diferite în cele două capilarităţi.

4.2.2.3. Perforarea în zona de intrare în matriţă.

O metodă simplă pentru determinarea vitezei de alunecare a peretelui poate fi

obţinută prin comportarea curgerii pastei când alunecă pe lângă perete în situaţia de

nealunecare. Aceasta poate fi dată prin schimbarea caracteristicilor matriţării fără schimbarea

nici unui alt aspect a geometriei curgerii. Pentru multe paste, aceasta poate fi desăvârşită prin

perforarea brută. Curgerea volumetrică în perforarea netedă se compune din două

componente: curgerea dreaptă volumetrică a alunecării şi curgerea dreaptă volumetrică a

curgerii tangenţiale . Curgerea volumetrică totală în perforarea brută rezultă doar din

curgerea tangenţială. Toate curgerile volumetrice depind doar de tensiunea tangenţială.

Pentru tensiunea tangenţială a peretelui constantă se poate compara cu curgerile volumetrice

şi vitezele de extrudare în două perforări. Aceste comparaţii permit unui calcul să

direcţioneze viteza alunecării pentru a rezulta tensiunea tangenţială a peretelui:

Vg=v-vr= (3)

şi viteza relativă a alunecării:

(4)

Pagina 58 din 85


Fig. 1a arată curbele tensiunii tangenţiale ς(v) pentru curgerea lină directă şi

perforările brute. Două cazuri speciale au fost arătate în figura 1b: acele paste au curgerea de

alunecare doar dreaptă şi acele paste se lipesc de perete chiar în perforarea lină a peretelui.

Toate cele trei curbe ale tensiunii tangenţiale au fost obţinute din paste compuse din Pural NF

suspendat în ulei siliconic, folosind perforări brute şi netede cu diametrul D=7 mm. Pasta cu

concentraţia solidă de 62wt.% în ulei siliconic AK 1000000 alunecă la perete în toate

cazurile, pasta cu 60% concentraţie solidă alunecă în unele cazuri şi pasta cu 55%

concentraţie solidă în viscozitate joasă a uleiului siliconic AK 1000000 aderă la perete.

4.2.2.4. Metoda marcării color.

Viteza de alunecare lângă perete a curgerii directe a pastelor din perforare poate fi

determinată prin experimente reometrice capilare marcate color. Procedura este arătată

schematic în figura 2. O cantitate mică (mai puţin de 0.05 wt. %) de pigment colorat este

adăugat unei părţi din pastă. Experimentele cu mai multe modele de pastă au verificat dacă

adăugarea de pigment a avut efecte neglijabile asupra proprietăţilor curgerii pastelor.

Pagina 59 din 85


Pasta a fost parţial extrudată din reometria capilară la viteza curgerii volumetrice

constantă. După întreruperea extruziunii, pastă a fost lăsată în matriţă şi pasta din tub a fost

înlocuită cu pastă colorată. Linia de separaţie între două paste colorate diferit a fost la intrarea

în matriţă (figura 2.a.). Extrudarea

s-a rezumat şi s-a întrerupt din nou după timpul specific, t. Din raporturile lungimii în

şuviţe colorate, se poate determina, pentru o viteză de extrudare cunoscuta, viteza de

alunecare. Dacă timpul de extrudare t=t1 este mai mic decât LD/vg, atunci linia de separaţie

între pasta colorată şi necolorată este localizată în interiorul matriţei (fig.2.b). Pentru a calcula

rezultatul curgerii/proceselor de alunecare, matriţarea trebuie să fie evidentă sau capabilă să

vadă începutul desprinderii alunecării. Viteza relativa de alunecare este:

(5)

Dacă pasta este incompresibilă se poate înlocui termenul (media curgerii

lungimii şuviţei pastei colorate în matriţare) cu lungimea extrudată Lex, care este mai uşor de

măsurat. Viteza de alunecare relativă este atunci:

Pagina 60 din 85


(6)

Dacă timpul de extrudare t = t2 este mai mare decât LD / vg, atunci linia de separaţie

va fi localizată în afara matriţei (fig. 2.c). Lungimea de alunecare efectivă LGe este atunci

egală cu lungimea matriţei LD, iar viteza de alunecare relativă este:

(7)

În acest caz a proiectării speciale, matriţarea separată nu este necesară. În principiu,

reometrele cu matriţă capilară poate fi folosită pentru experimente similare.

Viteza de alunecare relativă sau liniară poate fi legată de determinarea tensiunii

tangenţiale în reometria capilară.

4.2.3. Exemple de paste utilizate.

Fig. 3 arată exemple tipice de determinare a vitezelor de alunecare folosind metoda

marcării color pentru pastele model compuse din oxid de aluminiu (Pural) suspendat în

polidimetilsiloxan (ulei siliconic AK 1000000). Vitezele de alunecare au fost arătate ca

funcţie a tensiunii tangenţiale lângă perete (fig. 3a) şi viteza de extrudare (fig. 3b). Vitezele

de alunecare relative depind diferenţiat de concentraţia solidă a pastelor, aranjate pentru o

curgere foarte joasă (vgre1 < 0,1 şi c = 55%) până la foarte înalte (vgre1 = 1 şi c = 65%). În

interiorul firului concentrat examinat, fenomenul curgerii expus lateral în timpul extrudării

pastelor variază din curgerea tangenţială predominantă spre curgerea de alunecare simplă

(curgerea cu cep).

Rezultatele exemplului descrise în fig.4 arată viteza de alunecare pe lângă perete

pentru pastele model cu 60 wt. % şi 62 wt. % solide. Următoarele metode au fost folosite:

metoda Mooney (folosind matriţe cu D1 = 6 mm şi D2 = 3 mm);

capilaritatea pereche, cu şi fără corecţia presiunii de intrare (D1 = 6 mm şi D2 = 3

mm);

matriţe netede şi rugoase (D = 7 mm).

experimente marcate color (D1 = 6 mm şi D2 = 7 mm).

Pagina 61 din 85


Vitezele relative de alunecare sunt determinate folosind metoda Mooney şi

capilaritatea pereche în unele cazuri neideale. Acolo sunt diverşi indicatori a căror rezultate

de măsurare sunt influenţate de geometria de intrare şi de lungimea de intrare. Ca rezultat al

acestui efect de intrare, staţionar, sigur, fiecare curgere prin conductă este neîndeplinită la tot

interiorul matriţei, sau, dacă este realizat, este atins doar la distanţele lungi relative din

intrândul matriţei.

Erorile de adunare când se iveşte folosirea capilarităţii pereche din cauza diferitelor

pierderi de presiune la intrarea în cele două matriţe; ca rezultat vitezele de alunecare

determinate sunt mai mici decât acele obţinute folosind metoda clasică Mooney. Aplicând

corecţia presiunii de intrare (în cantităţi egale ambelor matriţe) se schimbă rezultatele valorile

tensiunii tangenţiale mici, dar nu are efect asupra vitezelor de alunecare relativă.

În contrast, matriţa brută şi metodele marcării color acelor produse rezultate sunt

aproape identice şi consecvente fizic complet, ambele indicând aceste metode ce sunt

favorabile pentru a studia procesele de alunecare în matriţa de extrudare.

Pagina 62 din 85


4.2.4. Concluzii

Metoda Mooney adesea nu este potrivită pentru paste. Motivele cele mai frecvente

pentru care metoda are lipsuri sunt:

curba curgerii totale ς=f(v) este dificil de determinat cu suficientă acurateţe. Ca

rezultat, apar erori mari în calculul vitezei de alunecare.

multe paste manifestă efecte de memorie.

Capilaritatea pereche de asemenea nu este potrivită pentru paste, deoarece diferite

presiuni de intrare în matriţe cu diametre diferite cauzează erori de măsurare.

Măsurările comparative folosite la matriţarea netedă şi rugoasă sunt efectiv pentru

paste lungi ca pastele să adere la perete în matriţarea brută. Este necesar testul independent

indiferent dacă materialul aderă la perete. De asemenea este necesar ca, curba curgerii ς=f(v)

să fie determinată cu acurateţe folosind ambele feluri de matriţare. Erorile generale de

măsurare au un impact mai mic în calcularea cu acurateţe a vitezei de alunecare folosind

această metodă comparativ cu metoda Mooney.

Metoda marcării color este binevenită pentru multe paste. Condiţia unică pentru

aplicarea cu succes a acestei metode sunt proprietăţile curgerii pastei neafectate de adăugarea

pigmentului colorat.

V. Acolo metoda nu este ideală pentru determinarea fenomenului de alunecare în

paste. Reometria capilară poate fi un succes; totuşi, trebuie folosită atent considerând

limitările sale şi proprietăţile materialului pastei la începutul articolului.

4.3. Reometrul melc elicoidal pentru măsurări în sisteme de grup

(După J. SĘK şi Z. Kembłowski)

4.3.1. Introducere

Proprietăţile reologice ale multor suspensii importante în timpul mixtării lor,

mărunţirii sau pompării. De asemeni, în reactoarele chimice şi biochimice proprietăţile

vâscoase a procesării suspensiilor pot afecta momentan, căldura şi fenomenul transportului

masei. De aceea este clară determinarea acestor proprietăţi este necesară din punct de vedere

a optimizării proceselor, monitorizare şi control.

Sistemele reometrice clasice cu tulburări capilare sau cilindrii coaxiali sunt de obicei

corespunzătoare pentru determinarea proprietăţilor reologice a suspensiilor. Particulele solide

pot opri curgerea în canalele înguste sau afectând lipsurile din rezultatele măsurătorilor. De

Pagina 63 din 85


asemenea, curgerea unidirecţională în sisteme similare nu trebuie să preîntâmpine separarea

fazelor suspensiilor datorită forţelor corpului ce pot produce iarăşi erori experimentale.

Pentru a obţine rezultate viabile a măsurătorilor proprietăţilor reologice a suspensiilor,

mai multe tipuri de reometre au fost dezvoltate şi deschise în literatură. Kemblowski ş.a.

(1998) a introdus reometrul în linie Rheohelix-1 cu sistemul de măsurare constând în rotaţia

melcului elicoidal în tubul de lucru. Sistemul a fost proiectat pentru monitorizări continuii şi

controlul proceselor. Se pare totuşi că sistemul de măsurare propus, plasat în tancul de

măsurare –cioc- poate fi apropiată măsurătorilor proprietăţilor reologice măsurate la

suspensii(vezi figura 1).

Kemblowski ş.a.(1988, 1998) dezvoltă de asemeni o teorie care se determină curba

curgerii a lichidului investigat. Totuşi modelul nu ia în calcul influenţa circulaţiei curgerii în

afara tubului de decantare înaintea rezultatului măsurătorilor.

În lucrare, avantajele sistemului mai sus menţionate vor fi înscrise precum şi ca nouă

aproximare pentru calculul vitezei tangenţiale şi a tensiunii tangenţiale în sistem va fi

prezentat. Consideraţiile au fost limitate la suspensii cu comportare Newtoniană care totuşi

nu poate fi încă determinată folosind reometrele clasice.

4.3.2. Avantajele sistemului de măsurare

Pagina 64 din 85


Pentru a preveni sedimentarea în timpul măsurătorilor suspensiile au o curgere

continuă. Circulaţia mediului poate fi realizată de pompe sau prin acţiunea mixtării directe a

unităţii de măsură – Kemblowski şi Kristiansen (1986). Sistemul cu melc elicoidal aparţine

celui de-al doilea grup. Sunt unele avantaje în comparaţie cu alte reometre produse unde au

fost folosite elemente de măsurare în formă de pală, turbină, ancoră etc.

După cum se ştie, melcul în tubul de decantare – în comparaţie cu alte tipuri de

dispozitive de mixtare – este în particular potrivit pentru amestecarea lichidelor vâscoase.

Cauzele acţiunii sale a circulaţiei lichidului în întreg rezervorul sunt utilizate pentru

prevenirea şi reînnoirea sedimentărilor. În geometria curgerii laminare se extinde la valori

prea înalte ale numărului Reynolds în comparaţie cu alte tipuri de amestecătoare. Care

rezultat curba curgerii pate fi determinată în limite largi a vitezei spaţiale.

Datorită modelului curgerii în canalul melcului, amestecarea intensivă este de

asemenea îndeplinită acolo. Aceste noi împiedicări separă fazele datorită forţelor

gravitaţionale şi centrifugale în spaţiul măsurării. De asemenea, geometria melcului poate fi

uşor adoptată la structura specifică a cercetării fluidului.

4.3.3. Determinarea curbei curgerii.

Pentru a determina curba curgerii folosind melcul elicoidal – sistemul tubului de

decantare, se obţin relaţiile pentru evaluarea vitezei medii tangenţiale şi tensiunii tangenţiale

medii în sistem. Asemenea teorie, bazat pe conceptul diametrului echivalent a fost deja

dezvoltat pentru sistemele în linie. Ţinând seama totuşi de posibilitatea măsurătorilor de grup

arătate în fig. 1, este necesar să se ia de altfel în calcul influenţa curgerii circulare înaintea

rezultatelor măsurătorilor. Curgerea poate fi inclusă în cazul lichidelor Newtoniene în

formula vitezei tangenţiale folosind teoria simplificată a extruziunii – Tadmor şi Klein

(1970). Pe baza acestei teorii profilul vitezei în direcţia perpendiculară a axei melcului poate

fi calculată folosind următoarea ecuaţie:

(1)

unde: N – viteza de rotaţie a melcului;

ds – diametrul melcului;

H – înălţimea canalului melcului;

θ – unghiul mediu al elicei;

y – sistemul de coordonate.

Pagina 65 din 85


Fracţia Qp/ Qd în ecuaţia (1) este o măsură a relaţiei dintre presiune şi curgerea

filiformă în canalul melcului. Este dependent asupra rezistenţei curgerii în sistem şi în

particular asupra curgerii între inele concentrice dintre pereţii tubului de decantare şi

rezervorul de măsurat.

Diferenţiind ecuaţia (1) şi asumând y = H se poate dezvolta dependenţa pentru

calculele vitezei tangenţiale la timpul de fugă al melcului:

(2)

unde H a fost înlocuit cu (ds - dr)/2.

Acest rezultat din ecuaţia (2) în acord cu modelul dezvoltării vitezei tangenţiale în

canalul melcului este o funcţie de raţia Qp / Qd care se referă la curgerea circulară în

măsurarea rezervorului poate influenţa rezultatele măsurărilor reometrice. Dependenţa vitezei

tangenţiale asupra acestui parametru este arătat în fig. 2.

Pentru a determina valoarea raţiei Qp / Qd se poate folosi formula descriind

caracteristica productivităţii melcului, şi descriind formula curgerii în inele concentrice.

Combinând aceste două posibilităţi, este posibil să se afle un punct din sistem – vezi Gonsior

(1998). Tensiunea tangenţială medie în sistemul de măsurare poate fi determinată utilizând

conceptul de moment M la arborele de rotaţie a amestecătorului ce poate fi exprimată ca:

Pagina 66 din 85


M = M1+M2 (3)

unde: M1 este momentul de torsiune rezultant la curgerea tangenţială

M2 este momentul de torsiune rezultant la curgerea între zona inelară a tubului.

Momentul M1 poate fi calculat din următoarea ecuaţie:

(4)

unde: ς este tensiunea tangenţială normală;

A1 este suprafaţa canalului melcului;

dr este diametrul tubului amestecătorului.

Suprafaţa canalului melcului poate fi calculată folosind formula dată în altă parte –

Kemblowski ş.a. (1988).

Pentru a găsi valoarea momentului M2 se presupune calculul acestui moment la

mersul în gol şi este dat de:

(5)

unde: A2 este suprafaţa secţiunii de curgere;

μ este vâscozitatea lichidului;

K1 este constanta geometrică definită prin:

(6)

unde: dt este diametrul interior al tubului de decantare.

În continuare se încearcă să se calculeze M2 ca moment rezultând curgerea

tangenţială a lichidului între cei doi cilindri coaxiali cu diametre dr şi ds având fiecare

înălţimea H1, rezultând momentul care are aceeaşi valoare dată de ecuaţia (5). M2 va fi deci

obţinut din următoarea ecuaţie:

(7)

unde: K2 poate fi calculat prin:

(8)

Pagina 67 din 85


Dacă momentele de ecuaţiile (5) şi (8) sunt presupuse a fi egale, pot fi comparate şi se

obţine valoarea H1 din egalitatea:

(9)

Considerând acum momentul M2 rezultat din curgerea tangenţială a fluidului cele

două suprafeţe a suprafeţei πdrH2 se poate calcula folosind următoarea formulă:

(10)

În baza consideraţiilor de mai sus momentul total poate fi obţinut însumând ecuaţiile

(4) şi (10) ce dau după rearanjare următoarea expresie:

, M=M1+M2 (11)

Tensiunea tangenţială normală în sistem poate fi calculată deci pe bazele măsurărilor

experimentale a torsorului din ecuaţia următoare:

(12)

4.3.4. Verificarea teoriei

Teoria prezentată a fost verificată pe bazele curbei curgerii experimentale a glicerinei

obţinută folosind reometrul Rheotest 2 cu un sistem de cilindri coaxiali. Noul sistem de

amestecător cu geometrie dată a fost folosit ca instrument şi pentru măsurarea momentului la

diferite viteze de rotaţie. Valorile înregistrate au fost folosite pentru determinarea vitezei

tangenţiale şi tensiunii tangenţiale utilizând ecuaţiile (2) şi respectiv (12). Sistemul de

măsurare a fost plasat în timpul măsurării în rezervorul de diametru db. Viteza de curgere a

lichidului circulator a fost calculată folosind formula dată – vezi Gonsior (1998). Pentru

amestecare valoarea raţiei Qp / Qd în sistem este necesară pentru prezicerea vitezei

tangenţiale. În cazul considerat raţia Qp / Qd a fost egală cu – 0.32.

Pagina 68 din 85


În fig. 3 rezultatele calculate au la bază teoria ce este în concordanţă cu datele

experimentale. Se poate observa că teoria prezentă dă oarecum mai uşor ,mai bune

aproximaţii mulţumitoare cu punctele experimentale.

4.4. Simulare numerică a curgerilor libere axisimetrice nenewtoniene pe suprafeţe

(După M. F. Tomé şi S. McKee)

4.4.1. Introducere

Simularea numerică a curgerii libere pe suprafaţă are importanţă în multe procese

industriale şi prezintă încă o provocare majoră. În general, curgerea este nesigură, ne –

Newtoniană, neizotermă şi posedă multiple suprafeţe libere. În completare, în probleme

similare ecuaţiile constitutive determină curgeri asemănătoare care pot fi rezolvate doar

numeric. Într-adevăr, dezvoltarea metodelor numerice pentru rezolvarea problemelor curgerii

libere pe suprafaţă au fost în aria cercetării intense în timpul ultimelor decade. În particular,

atenţia a fost acordată metodei originale MAC (Marker şi Cell) introdusă de Harlow şi Welch

(1965) în anii `60. Metoda MAC este tehnică cu diferenţe finite pentru rezolvarea

problemelor curgerii libere pe suprafeţe folosind variabile primitive a vitezei şi presiunii. O

trăsătură a metodei este folosirea unor particule de marcaj virtuale care furnizează localizarea

şi virtualizarea suprafeţei libere. Metoda MAC a fost dezvoltată de variaţi cercetători şi

Pagina 69 din 85


modificări variate au îmbunătăţit metoda ce a fost prezentată (e.g. Amsden şi Harlow, 1971;

Viecelli, 1971; Hirt şi Nichols, 1981; Miyata, 1986). Recent, Tome şi McKee (1994) introduc

metoda GENSMAC care este în versiunea de mai sus a metodei SMAC (Marker şi Cell

simplificat) şi este proiectată special pentru rezolvarea problemelor curgerii libere pe

suprafaţă în domenii bidimensională nerectangulară. Asemănătoare metoda SMAC, folosirea

GENSMAC cu diferenţe finite apropiate înaintea unei grile nesigure folosind viteze şi

presiuni variabile. Se poate conveni că, curgerile au multiple suprafeţe libere şi în timpul real

se pot considera măsurători cu pasul. Detalii a metodologiei folosite pot fi găsite şi în Tome

şi McKee (1994). Mai recent, Tome ş.a. (1996) au adoptat codul GENSMAC de mai sus

incluzând procedura pentru calcularea curgerilor bidimensionale a fluidului tangenţial subţire

(e.g. legea putere şi modelul Cross). În această lucrare am extins tehnica prezentată de Tome

ş.a. (1996) la curgerile asimetrice a fluidului Newtonian generalizat. Experimentale numerice

au demonstrat că această tehnică poate fi simulată într-adevăr curgerilor ne – Newtoniene ce

sunt prezentate.

4.4.2. Ecuaţii fundamentale

Considerăm curgerea axisimetrică şi folosim coordonatele cilindrice cu u = u(r,z,t)er

+ v(r,z,t)ez, unde er şi ez sunt respectiv vectorii unitate pe direcţiile r şi z. Notând cu L, U şi

v0 lungimea „tipică”, scările vitezei şi vâscozităţii, ecuaţiile determinând curgerea unui fluid

generalizat pot fi scrise ca:

(1)

(2)

(3)

unde: Re = UL / v0 şi indică asocierea numărului Reynolds şi respectiv

numărului Froude. Viteza tangenţială locală este dată de:

Pagina 70 din 85


Vâscozitatea v(q) poate fi orice funcţie reprezentând comportarea grosimii tangenţiale

a fluidului. În simulările ce vor fi prezentate mai târziu, vom folosi modelul Cross (Barnes

ş.a., 1989) dat de:

unde: m, v0, v∞ şi K sunt date de constante pozitive.

4.4.3. Metode de rezolvare

Pentru a rezolva ecuaţiile (1) – (3) folosim tehnica prezentată de Tome ş.a. (1996) şi

anume, particule marcate sunt folosite pentru a reprezenta fluidul, ecuaţiile sunt rezolvate

aproximativ, poziţiile particulelor marcate sunt date prin rezolvarea dr / dt = u şi dz / dt = v.

Ecuaţiile (1) – (3) se rezolvă astfel: pentru u(r,z,t0) să fie viteza domeniului ce satisface

ecuaţiile (1) – (3) şi condiţiile la limită. Viteza domeniului dată mai sus u(r,z,t) unde t = t0 +

δt este calculată de atunci prin următorii paşi:

1. Se calculează q(r,z,t0) şi v(q(u(r,z,t0))) folosind u(r,z,t0).

2. Pentru să fie domeniul de presiune care satisface condiţia presiunii

corecte pe suprafaţa liberă. Acest domeniu de presiune este calculat prin aplicarea condiţiei

tangenţiale normale n(σ.n) = 0 pe suprafeţe libere.

3. Se calculează cu aproximaţie domeniul de viteză din discretizarea

diferenţei finite a ecuaţiilor (1) şi (2):

(4)

(5)

cu: folosind direct condiţiile la limită pentru u(r,z,t0). Este

bine de arătat că posedă vorticitatea corectă la timpul t dar nu satisface relaţia (3).

Se scrie:

(6)

şi impunând:

Pagina 71 din 85


(7)

domeniul de viteză este obţinut unde vorticitatea şi masa sunt conservate.

4. Se rezolvă ecuaţia lui Poisson (7). Condiţiile la limită corecte pentru sunt

pe suprafaţa liberă şi asupra limitelor de rigiditate. Acestea sunt

tratate în mod similar cum este în codul GENSMAC.

5. Se calculează domeniul vitezei u(r,z,t) din (6).

6. Se calculează presiunea. Se poate arăta că această presiune este dată de:

(8)

7. Mişcarea particulei. Ultimul pas implică în mişcarea particulelor mărcii în noile lor

poziţii. Acestea sunt particule virtuale al căror coordonate sunt memorate şi redate mai sus la

finalul fiecărui ciclu calculat prin rezolvarea:

şi (9)

prin metoda Euler.

Paşii de la 1 la 7 sunt rezolvaţi prin metoda diferenţei finite. Detaliile ecuaţiilor

diferenţei finite implicate pot fi găsite în Grossi ş.a. (1999).

4.4.4. Condiţiile tensiunii suprafeţei libere

A trebuit să considerăm curgerile fluidului vâscos cu suprafaţă liberă considerate în

atmosferă pasivă (care poate fi luată la presiunea zero). În absenţa tensiunii suprafeţei,

componentele tensiunii normale şi tangenţiale trebuie să fie permanente în faţa oricărei

suprafeţe libere, pentru o suprafaţă similară:

şi (10)

unde n şi m indică tensorii normali şi tangenţiali la suprafaţă şi indică tensorul

tensiunii dat de:

unde indică tensorul identităţii şi d este tensorul ratei deformaţiei. Se indică n =

(nr, nz) şi m = (nz,-nr) ca vectori normali şi respectiv vectorii tangenţiali la suprafaţa liberă.

Atunci, condiţiile tensiunii (10) pot fi scrise ca:

Pagina 72 din 85


(11)

(12)

Pentru a aplica aceste condiţii am presupus că elementul de volum este suficient de

mic ca să poată fi exprimata suprafaţa liberă, local, printr-o suprafaţă plană care este oricare

paralelă cu una din axele de coordonate sau la un unghi de π / 4. Detaliile ecuaţiilor

diferenţiale finite corespunzătoare acestor aproximării sunt date în Grossi ş.a. (1999).

4.4.5. Exemple numerice

Un mare număr de procese de fabricaţie implică umplerea vasului cu un lichid

nenewtonian şi poate fi deschis adecvat prin a defini vâscozitatea ca fiind o funcţie de viteză

tangenţială. Pentru a optimiza producţia, este de ajutor să se simuleze procesul de umplere.

Pentru moment, fabricantul nu-şi doreşte să piardă din lichid. În cererea de a demonstra

capacitatea codului deschis în Secţiunile timpurii este bine să se folosească pentru a simula

umplerea vasului cilindric(fig.1a). În această problemă, fluidul este aruncat din gura

furtunului în vas la viteză uniformă. Se presupune că această viteză de umplere este suficient

de rapidă încât efectele termale pot fi neglijate. Prin ipoteza curgerii axisimetrice, domeniul

curgerii poate fi specificat aşa cum s-a arătat în fig. 1b.

Pentru a simula umplerea vasului au fost folosite următoarele date impuse:

Viteza fluidului la capătul furtunului: U = 1.0 ms-1

Diametrul gurii furtunului: D = 10mm

Fluidul a fost modelat prin modelul Cross definit de:

Pagina 73 din 85


Prin cântărirea parametrilor U, D şi v0 au fost folosite relaţiile Re = UD/v0 şi 1 /

Fr2 = 0,001. condiţia de nealunecare a fost aplicată pereţilor vasului a cărui condiţie de

alunecare liberă (condiţia de simetrie) a fost aplicată pe axele de simetrie. Domeniul curgerii

a fost definit prin cadrul L1 = 6cm, L2 = 5cm şi H = 7cm iar poziţia gurii de alimentare

a fost situată la 1cm deasupra vasului. Golul elementului de volum a fost

folosit, dând 60 x 80 elemente înăuntrul plasei.

Pentru a arăta că tehnica simulărilor fluidelor ne – Newtoniene prezentată în

această lucrare prezentăm trei simulări directe în care putem observa comportarea ne –

Newtoniană a modelării fluidului prin modelul Cross. Problema implică umplerea vasului

circular cu aceeaşi geometrie şi date de intrare; doar data privind vâscozitatea va fi diferită.

Pentru prima scurgere am folosit modelul Cross cu constanta K = 0, obţinând curgerea

Newtoniană cu vâscozitatea v = v0; pentru a doua scurgere am folosit modelul Cross cu

constanta K = 0,30 iar în a treia scurgere am prezentat curgerea Newtoniană cu vâscozitatea

v = v∞ ( în modelul Cross). În aceste scurgeri parametrii măsuraţi au fost aceeaşi pentru

fiecare scurgere, adică valorile furnizate de U, D şi v0. Figura 2 arată imaginile mai multor

curgeri în timpi diferiţi pentru aceste trei scurgeri, unde în prima coloană, avem rezultatele

primei scurgeri (curgere Newtoniană cu v = v0); în a doua coloană figurile rezultatelor

modelului Cross şi în a treia coloană rezultatele celei de-a treia scurgeri (curgere Newtoniană

cu v = v∞). Planurile arătate în fig. 2 sunt luate în acelaşi cadru de timp.

Aşa cum putem observa în fig. 2, comportarea curgerii fluidului ne – Newtonian

modelat după modelul Cross este intermediar între cele două curgeri Newtoniene având v =

v0 şi v = v∞. Într-adevăr, aşa cum am văzut în modelul Cross valoarea constantei K are o

influenţă directă asupra valorii vâscozităţii şi curgerea poate fi aproape Newtoniană v = v0

sau curgerea Newtoniană v = v∞ conform cu valoarea lui K.

De aceea, pentru a promova această metodă demonstrată în această lucrare poate face

faţă cu ecuaţiile demonstrative ale fluidului generalizat am prezentat mai multe calcule cu

modelul Cross unde parametrul K presupune valori variate(constantele rămase au fost

păstrate fixe). Mai specific, am considerat problema umplerii vasului deschisă mai sus şi

îndeplinind şase scurgeri pentru următoarele valori ale parametrului K: 0,0; 0,05; 0,10;

0,25;1,0 şi ∞.

Pagina 74 din 85


Pagina 75 din 85


Expunerile din fig. 3 ale unui singur instantaneu este luat din fiecare din aceste

scurgeri la timpul t = 40. Aşa cum se poate vedea din planuri, cea mai mare valoare a lui K la

finalul curgerii este curgerea Newtoniană cu v = v∞ (fig. 3, K = ∞). Aceste rezultate sunt

potrivite cu modelul Cross unde pentru valorile mari ale lui K, valoarea apropiată a

vâscozităţii este v∞ şi de aceea curgerea trebuie să fie apropiată de curgerea Newtoniană cu v

= v∞. Astfel rezultatele arătate în fig. 3 ne dă certitudinea că ele sunt corecte.

4.5. Metoda aditivă inelară pentru determinarea vitezei de curgere a fluidelor

vâscoplastice

(După J. David şi P. Filip)

4.5.1. Introducere

Calcularea completă a curgerii laminare absolute a fluidelor nenewtoniene prin

intermediul canalelor ca de pildă ţevile circulare şi inelare necesită de obicei amândouă în

determinarea condiţiilor curgerii şi a sarcinii deformaţiei şi în consecinţă, în proiectarea

utilizării echipamentului a acestor fluide. O analiză completă a acestei situaţii de curgere

serveşte ca o importantă introducere referitoare la studiul curgerilor mai complexe.

Curgerea în canale menţionată mai sus este adesea întâlnită în diverse procese

industriale ca de pildă în antrenarea transportului lichidelor în industria petrolului sau în

extruziune.

În toate aceste cazuri fluidele sunt folosite adesea ca eşantioane a comportării

reologice de tipul vâsco – elasto – plastic. De aceea restricţionăm în următoarele fluide ce pot

fi privite (sau mai bine zis aproximate) ca vâsco – elasto – plastic. În modelele trecute care

provin din proprietăţile reologice a acestor fluide, fiecare model caracterizează cu mai multă

eficienţă fluidele interioare clasificate pe familii individuale asemenea topirilor polimerilor şi

soluţiilor completării polimerilor, elastomerilor, pastelor, uleiurilor, antrenării fluidelor etc.

În contribuţia noastră concentrăm asupra curgerii prin coridoare inelare schimbând

seriile problemelor nerezolvabile chiar pentru fluidele incompresibile, izotermale. Curgerea

inelară este caracterizată de curgerea neomogenă a tensiunilor tangenţiale în regiunea inelară

în contrast cu distribuţia omogenă în curgerea prin fantă plată. Tensiunile tangenţiale sunt

generate prin:

- forţe de presiune impuse (curgere Poisson);

- aplicarea forţelor de curgere (curgere Couette);

- combinarea presiunii şi forţelor de tragere (curgerea Couette - Poiseuille);

Pagina 76 din 85


Fiecare din cele două forţe sunt în general compuse din două componente – axial şi

tangenţial – depinzând de acţiunea forţei respective. În timp ce nici o superpoziţie principală

nu rămâne în curgerile inelare Couette – Poiseuille, este necesar să se rezolve separat fiecare

combinaţie a ambelor curgeri Couette şi Poiseuille.

În plus, este dificil calculul unor curgeri ale fluidelor vâsco - plastice rezultând

probleme în determinarea zonelor în care nu se cunoaşte în mod curent deformarea curgerii.

De exemplu, în curgerea inelar – axială fără nici o limită de deplasare este întotdeauna o

curgere nedelimitată, furnizând acolo orice curgere în toate direcţiile.

Curgerea Couette este realizată de obicei prin moment de rotaţie a cilindrului interior

sau exterior sau de forţă individuală tangenţială aplicată în direcţia curentă spre cilindrii

individuali. Curgerea Poiseuille este generată prin mecanismele de pompare ce furnizează

fluidul. În practică, utilitatea soluţiei aranjamentelor curgerilor individuale este măsurată prin

„calitate” a relaţiei dinte viteza curgerii volumetrice şi forţele de acţiune în care, parametrii

reologici, geometrici şi cinematici sunt implicaţi. Pentru unele aranjamente (Bird ş.a. 1983;

David şi Filip, 1994 etc.) presiunea curgerii axiale cu mişcarea axială a cilindrului interior

(Lin şi Hsu, 1980; Weadhawa, 1996 ş. a.) folosirea modelelor reologice simple a câtorva

autori urmate în obţinerea relaţiei analitice explicite a vitezei de curgere fată de forţele de

conducere; majoritatea autorilor au obţinut relaţii sub formă de integrale definite necesitând

cuadratură numerică sau folosind diverse metode de calcul (ca FEM). Totuşi, soluţia cu aşa

însuşire (altfel foarte ingenioasă) va trece peste cele două lipsuri. În primul rând, cu o mică

schimbare a unor parametrii este necesar să se repete întreg procedeul de calcul respectând

unele probleme de neliniaritate şi astfel neprezicerea măsurii soluţiei schimbate. În al doilea

rând, spre deosebire de relaţiile analitice explicite, aceste soluţii numerice lipsesc direct din

problemele de această natură; în special nu este atât de evidentă influenţa măsurii individuale

asupra parametrilor.

Complexitatea problemelor a fost intensificată pentru cazul de aranjare a cilindrilor

excentrici (Davis şi Li, 1994; Luo şi Peden,1990 etc).

Avantajul aproximării analitice (dacă este posibil de cerut) faţă de metoda numerică

este evident şi pentru cazul fluidelor vâscoplastice (Anshus, 1974; David şi Filip, 1998 etc).

Situaţiile acestor tipuri de curgere manifestă aşa- numitele regiunile cepurilor unde nu se

produce deformaţia curgerii. Pregătirile pentru aceste curgeri cep(„dop”) pot fi determinate

prin reprezentarea criteriului de derivare analitic de la distribuţia tensiunii anterioare spre

studiul detaliat a câmpului de viteze.

Pagina 77 din 85


Însumând aceste paragrafe sunt încă o grămadă de probleme încă nerezolvate şi

schimbând nevoia de continuare a cercetării de bază în acest domeniu.

În practică în aceste tipuri de probleme practice sunt întâlnite în rezolvarea precisă.

Cu respect faţă de cererea de a continua viteza de curgere este necesar să se ştie vitezele de

curgere prin secţiunile transversale inelare arbitrare a întregului inel. O sugestie la felul cum

se poate calcula această viteză de curgere pentru fluide modelul Robertson - Stiff (pentru care

formulele legii-putere este un subcaz) este dat în secţiunea următoare.

Presupunem că curgerea este fermă, laminară, incompresibilă, izotermă şi axială cu

efecte finale neglijabile a cilindrilor interiori şi exteriori.

4.5.2. Formularea problemei

Înainte de a începe ipotezele, ecuaţia de echilibru este de forma:

(1)

cu condiţiile la limită

(2)

şi modelul Robertson – Stiff:

(3)

unde: P – reprezintă gradientul de presiune pe direcţie axială;

R(KR) – raza cilindrului exterior (interior);

ς0 – presiunea produsă.

S-a menţionat în Introducere că problema (1)-(3) a fost rezolvată pentru legea

putere a fluidului (ς=0) după Malik şi Shenoy (1991), şi pentru după David şi Filip

(1998). În ambele cazuri, în ciuda formei analitice a vitezelor de curgere q – este o necesitate

calculată cu parametrul λ (aici λR – anulările tensiunii tangenţiale) pentru a corespunde

Pagina 78 din 85


integral ecuaţia. Cunoaşterea acestui parametru permite să se determine viteza câmpului

dincolo de limita inelului.

Folosind transformările următoare:

(4)

problema (1) – (3) poate fi transformată la dimensiunile:

, (5)

(6)

(7)

(8)

unde: λ2 – este dimensiunea constantei de integrare.

Dacă λi, λ0 sunt valorile limită ale regimului de curgere, atunci pentru ecuaţia (5)

rezultă:

λ2=λiλ0 (9)

λi=λ0-T0 (10)

De aici obţinem – pentru cazul când impunem ca gradientul de presiune ajută la

scoaterea cilindrului interior – gradientul de viteză devine:

(11)

(12)

(13)

şi pentru cazul când impunem ca gradientul de presiune se spune scoaterii cilindrului

interior:

Pagina 79 din 85


(14)

(15)

(16)

Dacă dorim să calculăm rata volumetrică de curgere q1 pentru o secţiune

arbitrară inelară (K1R1, R1) a inelului iniţial este necesar să se realizeze

următoarele:

- ecuaţia echivalentă este asemănătoare pentru ambele inele (arbitrar şi original);

- localizarea tensiunii tangenţiale în formă dimensională este aceeaşi,

;

- condiţiile limită la cilindrii interiori şi exteriori în inelul arbitrar sunt posibile să se

obţină din relaţiile (1) şi (3) sau (14) – (16);

- valoarea q1 a vitezei de curgere pentru inelul arbitrar este posibil de calculat

folosind relaţiile analitice în Malik şi Shenoy (1991) şi David şi Filip (1998).

Pagina 80 din 85


4.5.3. Concluzii

Secţiunea de mai sus arată procedura cum este posibil să se determine analitic viteza

de curgere volumetrică în interiorul inelului arbitrar, dacă cunoaştem pentru inelul original

localizarea tensiunii tangenţiale nule sau valoare constantei de integrare λ2. Presupunem că

fluidul este după legea – putere sau după tipul Robertson – Stiff.

4.6. Curgerea nenewtoniană prin tuburi drepte având secţiunea transversală eliptică

(După Z. Matras şi W. Malec)

4.6.1. Introducere

Tuburi cu secţiunea transversală eliptică sunt folosite în mare măsură în industrie ca

părţi ale schimbătoarelor de căldură, reactoare chimice etc. Unii autori dau minim mai multe

moduri de a prezice pierderile de presiune în tuburile hidraulice netede în timpul curgerii

fluidului nenewtonian. Problema constatării modului simplu în care putem descrie curgerea

fluidului nenewtonian în tubul cu secţiunea transversală eliptică, de exemplu, încă există.

Autorii prezentului material au căutat crearea metodei, care poate fi o generalizare a

metodei folosită de obicei pentru a descrie curgerea newtoniană în tuburi netede într-una

nenewtoniană. Este posibil să se aplice formulele bine cunoscute ca 64/Re în regiunea

curgerii laminare sau în regiunea curgerii turbulente tip Blasius pentru a descrie curgerea

fluidului nenewtonian în tuburi cu secţiunea transversală eliptică. Putem determina aşa

numita „modificare a numărului Reynolds” şi „modificarea factorului de frecare” pentru a se

potrivi formulele clasice descrise în curgerea newtoniană.

4.6.2. Studiu

Metoda transformării originale arătată în lucrare pentru curgerea fluidului

nenewtonian în tuburi cu secţiunea transversală eliptică este analoagă cu curgerea fluidului

pseudo – Newtonian în tub imaginată ca şi cum ar curge în conducte de secţiune transversală

rotundă.

Ideea studiului este de a descrie curgerea nenewtoniană cu ajutorul formulelor

pseudonewtoniene:

(1)

şi

Pagina 81 din 85


(2)

unde:

(3)

şi

(4)

Acum putem înlocui sistemul de coordonate pseudonewtonian, cu altul – nenewtonian

– conform cu formulele:

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

unde:

(10)

Relaţiile dintre curgerea teoretică a fluidului nenewtonian în tubul cu diametrul D şi

curgerea reală în tubul eliptic sunt:

(11)

Pagina 82 din 85


(12)

(13)

(14)

4.6.3. Experiment

Dacă luăm în considerare relaţiile mai sus menţionate, putem formula criteriul

numerelor Re şi λ ce descriu curgerea fluidului nenewtonian în tuburi drepte cu secţiunea

transversală eliptică în limitele curgerii pseudonewtoniene.

Substituind ecuaţiile (5) – (7) în ecuaţiile (3) – (4) obţinem:

(15)

(16)

Datele experimentale în regiunea curgerii laminare au fost arătate în sistemul de

coordonate [Re, λ], în fig. 1.

Pagina 83 din 85


4.6.4. Concluzii

Metoda descrisă în lucrare permite înlocuirea curgerii fluidului nenewtonian prin

conducte cu secţiunea transversală eliptică aceasta analog cu fluidul Newtonian. Datele

comparaţiei obţinute de autori cu ecuaţia teoretică (1) sunt în concordanţă cu regiunea

curgerii laminare.

4.6.5. Nomenclatură

a,b – dimensiunile elipsei, [m];

D – diametrul tubului, [m];

K – indicele consecvenţă, [Kg sn-2/m];

n – indicele legii putere, [-];

L – lungimea între vârfurile manometrului, [m];

Δp – pierderea de presiune, [N/m2];

Q – viteza de curgere, [m3/s];

Re – numărul Reynolds, [-];

η – vâscozitatea dinamică, [Kg/(ms)];

λ – factorul de frecare a tubului neted, [-];

Pagina 84 din 85


ρ – densitatea fluidului, [Kg/M3];

Indice de jos:

e – secţiunea transversală eliptică (secţiunea transversală rotundă fără orice indice);

m – valoarea medie.

simboluri cu bold – fluid newtonian (pseudonewtonian)

simboluri normale – fluid nenewtonian.

Pagina 85 din 85

http://www.tocilar.ro/

Diploma - Www.tocilar.ro

Documents

Transcript of Diploma - Www.tocilar.ro