ECUAIA CARE N-A PUTUT FI REZOLVAT

DIN ISTORICUL REZOLVRII ECUAIILOR ALGEBRICECUBICA. Forma general: Scipione dal Ferro (1465-1526) matematician italian. El i-a completat, probabil, educaia la Universitatea din Bologna (aceast prestigioas institutie, cea mai veche universitate aflat n funcie i n ziua de astzi). n 1496 dal Ferro a devenit unul dintre cei patru titulari ai catedrei de matematic a universitii i a continuat s activeze pe acest post pn la sfritul vieii. Dei mai multe surse

Figura1 l descriau ca fiind un mare algebrist, din opera sa n-a supravieuit nicio lucrare - nici sub form de manuscris, nici de tipritur.

ncurajat, poate, de Luca Pacioli care nu putuse s rezolve ecuaia cubic, dal Ferro reuete, n sfrit, s dea o mare lovitur, rezolvnd ecuaia cubic de forma . Acest lucru s-a ntmplat n jurul anului 1515. Dei ecuaia nu era sub forma general, ea deschidea drumul pentru descoperirile ce aveau s urmeze. Scipione dal Ferro nu s-a grbit s-i publice rezultatul epocal. inerea sub tcere a descoperirilor matematice a fost ceva obinuit pn n sec. al XVIII-lea. Cu toate acestea, el a divulgat soluia elevului i ginerelui su, Annibale della Nave, i cel puin unui alt student, veneianul Antonio Maria Fiore. Imaginea din figura 1 marcheaz casa unde s-a nscut dal Ferro. Bologna secolului al XVI-lea cunotea o cretere a interesului pentru matematic. Matematicienii i ali nvai erau implicai uneori n dezbateri i dispute publice care atrgeau mari mulimi de oameni. Antonio Maria Fiore, care fusese iniiat n secretul soluiei lui dal Ferro, era un matematician mediocru. Dup moartea lui dal Ferro (1526), nici el nu a publicat soluia imediat (chiar dac o trata ca i cum el ar fi fost cel ce se cuvenea s-o exploateze), ci s-a hotrt s atepte momentul protrivit - unul care s-i ngduie s-i fac un renume. Ocazia s-a ivit n cele din urm n 1535, iar Fiore l-a provocat pe matematicianul Niccol Tartaglia la un concurs public de rezolvri probleme. Cine era acest Tartaglia i de ce l-a ales Fiore pe el, dintr-o lung list de poteniali oponeni? Niccol Tartaglia (figura 2) se nscuse n Brescia, n anul 1499 sau 1500. Adevratul su nume de familie era Fontana, dar fusese poreclit Tartaglia (adica blbitul, datorit unor tieturi de sabie la gur, cptate la vrsta de 12 ani de la un soldat francez). Ca adult, purtase mereu barb, pentru a-i ascunde cicatricile care-l desfigurau. Tartaglia provenea dintr-o familie foarte srac. Tatl su, Michele, un curier potal, murise cnd Niccol avea n jur de ase ani, lsnd-o pe vduv i pe copiii ei ntr-o sfietoare mizerie.

Tartaglia fusese nevoit s-i intrerup leciile de scris i citit la litera K, deoarece familia lui nu mai avusese cu ce plti tutorele. Mai trziu, Tartaglia i-a descris astfel terminarea studiilor: Nu m-am ntors niciodat la un tutore, dar am continuat s studiez singur operele unor oameni mori, nsoit doar de fiica srciei, care se numete Srguin. n ciuda acestor circumstane nefavorabile, Tartaglia s-a dovedit a fi un matematician talentat. n cele din urm, n 1534 s-a mutat la Veneia ca profesor de matematic, dup ce petrecuse ceva vreme la Verona.

n memoriile sale matematice, Tartaglia afirma c n 1530 a reuit, dup eforturi considerabile, s rezolve ecuaia: . Aceasta fusese o provocare ce-i fusese lansat de un concetean de-al su din Brescia.Zvonurile despre pretenia lui Tartaglia c ar fi capabil s rezolve cubicele trebuie s fi ajuns la urechile lui Antonio Maria Fiore, dar acesta din urm a primit informaia cu sceptimism, creznd c Tartaglia o face pe grozavul. Convins c datorit cunoaterii secretului soluiei lui dal Ferro l poate invinge, Fiore l-a provocat. Puin timp mai trziu, ei au ajuns la o nelegere asupra condiiilor precise ale disputei. Fiecare parte avea s propun spre rezolvare oponentului su 30 de probleme.

Figura 2

Problemele urmau s fie sigilate i depuse la notarul Maestro Per lacomo di Zambelli. Dup ruperea sigiliilor, cei doi concureni aveau un termen de 40-50 de zile pentru rezolvarea lor. Ei au czut de acord ca acela care va rezolva mai multe probleme s fie socotit nvingtor i, pe lng onoruri, s primeasc o frumoas recompens pentru fiecare problem. Dup cum a reieit, Fiore nu avea dect o singur sgeat pentru arcul su - toate problemele pe care le propusese erau de forma , pentru care cunotea soluia de la dal Ferro. Pe de alt parte, lista lui Tartaglia cuprindea 30 de probleme diferite, fiecare de alt tip.

Data fixat a concursului a fost 12 februarie 1535. Diveri demnitari universitari i o parte din nalta societate intelectual a Veneiei au asistat, probabil, la el. Cnd problemele au fost prezentate celor doi adversari, s-a ntmplat ceva cu totul neateptat. Spre uimirea asistenei, Tartaglia a dat de cap tuturor problemelor care-i fuseser propuse n numai dou ore, iar Fiore nu a reuit s rezolve niciuna dintre problemele lui Tartaglia.

Aproximativ 20 de ani mai tarziu, vorbind despre acest eveniment, Tartaglia spune c motivul pentru care a fost n stare s rezolve cele 30 de probleme ntr-un interval att de scurt a fost c toate 30 erau legate de algebra necunoscutelor i a cuburilor egale cu numere (ecuaii de forma ). Tartaglia mai arat c, printr-un noroc, cu numai opt zile nainte de data fixat pentru a ridica de la notar cele 30 de probleme sigilate, descoperise regula general pentru asemenea ecuaii. De fapt, la o zi dup ce descoperise soluia pentru , Tartaglia o descoperise i pe cea a ecuaiei . Cum tia deja s rezolve ecuaia

Tartaglia nu mai era acum un profesor anonim de matematic - era o celebritate. Dar n Italia renacentist, nicio poveste, nici mcar una matematic, nu lua natere fr a trece prin momente melodramatice. Vestea despre ntrecerea dintre Tartaglia i Fiore s-a rspndit ca vntul prin toat Italia, ajungnd la urechile uneia dintre cele mai strlucite i controversate figuri ale sec. al XVI-lea - fizicianul, matematicianul, astrologul, cartoforul i filozoful Gerolamo Cardano (1501-1576) Chiar prin comparaie cu numeroase genii pline de culoare ale Renaterii, viaa lui Cardano (figura 3) frapeaz imediat imaginaia. ncurajat de cultivatul su tat, care n mai multe rnduri l-a consiliat chiar pe Leonardo da Vinci n probleme de geometrie, Gerolamo a studiat matematica, clasicii antici i medicina la universitiile din Pavia i Padova.

n anii studeniei, jocurile de noroc i-au fost principala surs de sprijin financiar. A jucat zaruri, cri i ah, transformndu-i n profit cunotinele de teoria probabilitilor. Ulterior, avea s-i transforme dependena de jocuri ntr-un volum interesantCartea despre jocurile de noroccea dinti lucrare de teoria probabilitilor. Figura 3 Avnd un glas foarte puternic i o atitudine agresiv, Cardano a reuit s se certe cu muli profesori, iar la sfritul studiilor, prima comisie i-a refuzat titlul de doctor n medicin. Doar dup nc dou runde a reuit s obin titlul.Din 1534 este numit profesor de matematic la Fundaia Piatti i ncepe s practice clandestin medicina. Ulterior ocup i postul de medic, devenind unul dintre cei mai bine - cunoscui practicieni europeni. Dup toate aparenele, competiiile i controversele i priau lui Cardano. Aceasta provenea, poate din pasiunea lui pentru jocuri de noroc. Plin de duh i cu limba ascuit, Cardano a ctigat multe dispute, att n timpul anilor de studenie, ct i ca savant matur. Nu-i de mirare c vetile despre disputa Tartaglia - Fiore i-au aprins curiozitatea. Pe atunci, lucra la cea de-a doua carte din domeniul matematicii, Practica aritmeticii generale i a msurrii simple, iar ideea de a include n aceasta soluia cubicei i s-a prut deosebit de atrgtoare. n cei civa ani care au urmat, Cardano a ncercat probabil zadarnic s descopere singur soluia. Dnd gre, s-a hotrt s trimit la Tartaglia un mesager pentru a-l convinge pe acesta s-i dezvluie formula. Dup mai multe schimburi de mesaje destul de lungi i caustice, n care Tartaglia a respins toate propunerile lui Cardano, el a sfrit prin a accepta invitaia de a-l vizita la Milano pe acesta din urm. Trucul care l-a nduplecat pe Tartaglia a fost promisiunea lui Cardano de a-l prezenta viceregelui i comandantului suprem spaniol din Milano, Alfonso dAvalos. Tartaglia scrisese o carte despre artilerie, iar un asemenea contact i putea asigura un frumos venit. La Milano, Cardano l-a supus pe Tartaglia unui adevrat tur de ncnttoare dovezi de ospitalitate continundu-i strdania de a-i smulge secretul. Dar Tartaglia a refuzat categoric - cel puin, pentru o vreme. El a respins pn i propunerea de a fi inclus n cartea lui Cardano un capitol care s-l proclame pe Tartaglia drept descoperitor al soluiei. Conform spuselor lui Tartaglia, el a sfrit prin a fi de accord s divulge secretul, dar numai dup ce Cardano i-a fcut jurmntul solemn c nu va publica descoperirile sale. Pe de alt parte, Ludovico Ferrari, pe atunci tnr secretar n casa lui Cardano, prezent la aceast discuie care a avut loc pe 25 martie 1539, susine c Geralamo Cardano n-a fcut nici un jurmnt de pstrare a secretului. Ferrari susine c Tartaglia dezvluise secretul doar din recunotin pentru ospitalitatea lui Cardano. Pn la urm cartea lui Cardano Practica aritmeticii generale - a aprut n mai 1539, fr soluia lui Tartaglia.Ludovico Ferrari (1522-1565) este urmtorul personaj central al acestei ntmplri tragicomice. El a ajuns n casa lui Cardano la vrsta de 14 ani venind de la Bologna. Cardano a descoperit repede talentele excepionale ale tnrului, aa c i-a asumat ntreaga responsabilitate a educaiei sale. Ferrari era ns, tot att de irascibil, pe ct era de ager. ntr-o ncierare, la vrsta de 17 ani, i-a pierdut degetele de la mna dreapt. ndat ce a aflat soluia lui Tartaglia, Cardano a reuit s-o demonstreze, apoi a nceput s se ocupe de ecuaii cubice mai generale. Simultan, beneficiind i de ncurajariile lui Cardano, sclipitorul Ferrari a reuit n 1540, s gseasc o frumoas soluie a ecuaiilor cuartice, precum . Maestrul i elevul erau acum pe picior de egalitate. Un zvon c dal Fero i lsase ginerelui su, Annibale della Nave, formula sa original ajunsese pn la Cardano. n 1543, Cardano i Ferrari au fcut un drum pn la Bologna, special pentru a se ntlni cu ginerele lui dal Ferro, cruia i fusese ncredinat lucrarea original a lui Scipione dal Ferro. Acolo, ei au avut ansa s obin direct de la surs, confirmarea faptului c dal Ferro ajunsese ntr-adevr, cu 20 de ani nainte, la aceeai soluie ca i Tartaglia. Chiar dac i-ar fi jurat ceva lui Tartaglia, Cardano se putea socoti acum eliberat de orice obligaii. La urma urmei, prin acel jurmnt formal, dac a avut loc, Cardano se angajase s nu dezvluie formula lui Tartaglia, nu pe cea a lui dal Ferro. n 1545, Cardano a publicat lucrarea pe care muli matematicieni o privesc ca reprezentnd nceputul algebrei moderne - Marea art sau regulile algebrei, cartea ntai - cunoscut sub numele de Ars magna (Marea art). Figura 4 arat frontispiciul crii. n aceast carte, Cardano investigheaza n detaliu ecuaiile

Figura 4 cubic i cuartic, mpreun cu soluiile lor. El demonstreaz, pentru prima dat, c soluiile pot fi negative, iraionale, iar n unele cazuri pot implica chiar i rdcini ptrate din numere negative - cantiti pe care el le numete sofistice i care, n sec. al XVII-lea aveau s primeasc denumirea de numere imaginare. Prima ediie din Ars magna a impresionat ntreaga Europ matematic i a fost imediat aclamat. Un singur matematician, Niccol Tartaglia a dat dovad de mai puin respect. Furia lui Tartaglia a fost inimaginabil. n mai puin de un an, el a publicat cartea - Diverse probleme i invenii - n care l acuz direct pe Cardano de sperjur (nclcarea jurmntului dat). Tartaglia folosea mpotriva lui Cardano limbajul cel mai ofensator. n replic la cartea lui Tartaglia, Ferrari a conceput o scrisoare de provocare la adresa lui Tartaglia. Ca rspuns la invitaia fcut de Ferrari la o disput public pe teme matematice, Tartaglia a declarat c ar accepta cu plcere o disput cu Cardano nsui. Tartaglia prefera s se lupte cu Cardano, a crui reputaie pe continent se afla ntr-o spectaculoas cretere, nu cu un tinerel fr merite deosebite, cum era Ferrari. Tentativele lui Tartaglia de a-l atrage pe Cardano n disput au euat lamentabil. n 1548, lui Tartaglia i s-a oferit postul de profesor de geometrie n oraul su natal, Brescia i este foarte probabil ca numirea s fie condiionat de infrngerea lui Ferrari, ntr-o disput public. Ca urmare, Tartaglia s-a vzut silit - de voie, de nevoie - s participe la o dezbatere cu Ferrari. Dezbaterea a avut loc la 10 august 1548, la Milano, ntr-o biseric. Toat protipendada milanez era de fa, inclusiv guvernatorul. Cardano fcuse n aa fel nct s lipseasc din ora n timpul dezbaterii.

n dou cri ulterioare, Tartaglia prezint relatri destul de confuze asupra confruntrii. n particular, blameaz asistena pentru c a fcut intervenii glgioase i c l-a mpiedicat s-i prezinte complet argumentele. Din alte surse se tie c Tartaglia renunase la disput nainte de ncheierea ei, imediat dup sfritul primei zile. Se mai tie c lui Tartaglia i s-a refuzat plata dup un an de predare la Brescia i c a fost nevoit s se ntoarc la modesta meserie de dascl la Veneia. Toate semnele indic, aadar c Tartaglia ar fi suferit o crunt i umilitoare nfrngere la Milano. Cardano menioneaz i el n scrierile sale, pe scurt, c Ferrari s-ar fi dovedit un adversar mult superior lui Tartaglia. Privindu-l pe triumftorul Ferrari, cariera lui a luat un avnt extraordinar. n urma victoriei repurtate, ofertele de angajare au nceput s curg. El a refuzat chiar i oferta de a-l instrui pe fiul mparatului, pentru funcia mai rentabil de agent fiscal al guvernatorului oraului Milano. Viaa sa avea s se termine ns pe neateptate, n mod tragic, la numai 43 de ani. La revenirea sa la Bologna, dupa 1556, Ferrari era nsoit de sora sa Maddalena, o vduv srman. Dei nu exist vreo dovad direct c ea l-ar fi otrvit in 1565, totui comportamentul i circumstanele vieii ei ulterioare ridic suspiciuni serioase. Maddalena s-a cstorit la dou sptmni dupa moartea lui Ferrari i i-a transferat soului su toi banii i toate proprietile motenite de la fratele su. n momentul n care Cardano a venit la Bologna ca s-i recupereze o parte din cri i nsemnri, nu a mai gsit nimic. Soul Maddalenei pusese stpnire pe tot, aparent cu intenia de a publica ceva material n numele fiului su dintr-o cstorie anterioar. ntreaga suit de evenimente dal Ferro - Tartaglia - Cardano - Ferrari rmne una dintre cele mai controversate afaceri din istoria matematicii. Cteva secole mai tarziu avea sa fie evideniat rolul pe care avea s-l joace rezolvarea ecuaiilor (algebrice) n formularea teoriei grupurilor ca limbaj oficial al simetriei din natur i arte. CVINTICA. Forma general: , Dup sclipitoarea realizare dal Ferro Cardano Ferrari, era firesc s se cread c ecuaia cvintic, de forma , putea fi, i ea, rezolvat printr-o formul. Cu ncrederea dat de Ars magna a lui Cardano, toi se ateptau ca soluia s apar n orice clip, aa c unele dintre minile cele mai ascuite s-au apucat s vneze aceast comoar. n cei 250 de ani de dupa moartea lui Cardano, istoria cutarii unei formule de rezolvare a cvinticii a fost supus eecului. Aceast istorie a nceput cu un alt bolognez, Rafael Bombelli (1526 - 1572), nscut exact n anul morii lui dal Ferro. Dupa ce a studiat cu mare admiraie Ars magna a lui Cardano, el a simit c expunerea acestuia nu fusese suficient de limpede. Ca urmare, i-a petrecut dou decenii scriind o carte important, numit LAlgebra. Spre deosebire de ali matematicieni italieni, Bombelli nu era profesor universitar, ci hidrotehnician. Cea mai original contribuie a sa o fost s realizeze ca nu putem evita rdcinile ptrate ale numerelor negative. Soluia ecuaiei cubice producea uneori, drept pas intermediar, o rdcin ptrat dintr-un numr negativ, chiar i atunci cnd rezultatul final era un numar real. Cardano, care fusese intrigat de aceste numere sofistice, a conchis c ele erau att de subtile, nct erau inutile, i cnd trebuia s le foloseasc n calcul, spunea c o face ignornd tortura mintal. Bombelli, pe de alt parte, a avut inspiraia s priceap c aceste noi numere, pe care le-a numit plus din minus, erau un vehicul necesar, care putea traversa abisul dintre ecuaia cubic ai crei coeficieni erau reali i soluiile finale care puteau fi tot numere reale. Rdcina ptrat a lui 1 a fost notat cu i n anul 1777, de ctre marele matematician elveian Leonard Euler. Numerele din noile trmuri dezvluite de lucrarea lui Bombelli sunt numite astzi numere complexe. n secolele urmtoare, dezlegarea enigmei cvinticii a devenit una dintre cele mai fascinante provocri din matematic. Din pcate, soluiile descoperite de dal Ferro i Ferrari( pentru ecuaia cubic, respectiv cea cuartic) nu erau de mare folos. De o necesitate acut era gsirea unei teorii mai cuprinzatoare a ecuaiilor n general, nu experimentarea cazurilor particulare. Avocatul francez Francais Vite (1540 - 1603) i astonomul englez Thomas Harriot (1560 - 1621 ) au fcut civa pai n direcia cea bun. Ei au introdus ameliorari att n notaia folosit pentru a descrie ecuaiile algebrice, ct i n metodele de rezolvare propriu-zise. Vite a fost i cel cruia i se datoreaz cuvntul coeficieni , folosit pentru a desemna numerele care descriu o ecuaie.

Prima ncercare serioas, dar tot euat, de a rezolva cvintica a fost facut de scoianul James Gregory (1638 - 1675). Gregory este cunoscut n special pentru telescopul cu reflexie pe care l-a inventat. n ultimul an al vieii (a murit la 36 de ani), el ncepuse s nu mai cread c era posibil gsirea vreunei formule pentru determinarea soluiilor ecuaiei cvintice. Cu toate acestea, a descoprit nite relaii ntre soluiile diverselor ecuaii i coeficienii lor. Urmtorul pas a fost fcut de contele german Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1651 - 1708). Om cu multe performane, mergnd de la sticlrie la algebr, acesta a elaborat o metod interesant. Ideea fundamental era simpl. Daca ecuaia cvintic putea fi redus cumva la ecuaii de un grad mai mic (cum ar fi cuartica sau cubica), atunci s-ar fi putut folosi soluiile cunoscute ale acestor ecuaii. n particular, Tschirnhaus a reuit prin anumite substituii ingenioase s scape de termenii si din ecuaie. Din pcate, mai rmnea un obstacol major n metoda lui Tschirnhaus, care a fost curnd observat de matematicanul i filozoful Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), iar Tschirnhaus, dupa un efort susinut depus pentru depirea lui, i-a recunoscut nfrngerea. Secolul al XVIII-lea a adus un interes rennoit i o viguroas serie de atacuri ale problemei. Francezul Etienne Bzout (1730 - 1783), care publicase mai multe lucrri asupra teoriei ecuaiilor algebrice, a adoptat metode oarecum similare cu ale lui Tschirnhaus, dar din nou fr succes. n acest punct, a intrat in curs cel mai prolific matematician al tuturor timpurilor. Leonhard Euler (1707 - 1783) a fost att de productiv, nct ar fi necesar un ntreg volum numai pentru a reproduce lista publicaiilor sale. Volumul lucrrilor lui de matematic i fizic matematic constituie circa o treime din toate lucrrile publicate n aceste domenii n ultimele trei sferturi ale sec. al XVIII-lea. Euler (figura 5) a emis ipoteza c soluia cvinticei ar putea fi exprimat n funcie de patru mrimi i a concluzionat pe un ton optimist: Se poate presupune c dac eliminarea ar fi facut cu grij, ea ar putea conduce la o ecuaie de gradul 4. Figura 5

n ciuda optimismului su, Euler nu a reuit s rezolve cvintica general. Ajunsese totui s arate c anumite cvinte particulare, cum ar fi

, pot fi rezolvate printr-o formul. Urmtorul la rnd a fost suedezul Erland Bring (1736 - 1798). De meserie, profesor de istorie la Universitatea din Lund,

Bring avea drept distracie favorit matematica. i ce alt enigm l putea atrage mai mult dect cvintica? El a fcut ceea ce prea a fi un pas uria spre gsirea soluiei. A gsit o transformare care putea reduce ecuaia cvintic general

la forma mult mai simpl

. Din pcate, aceast form mult mai scurt i aparent mult mai abordabil a continuat s prezinte un obstacol de netrecut i n plus, remarcabila transformare a lui Bring a trecut complet neobservat, urmnd a fi redescoperit n mod independent in sec. al XIX lea de ctre matematicianul englez George Birch Jerrard. Alte trei ncercari, fcute de matematicieni lucrnd simultan n trei ri diferite, au euat n a produce vreo soluie. Totui, lucrrile lor, de mare substan, au introdus n joc o nou i pasionant idee. n particular, ei au artat c proprietile permutrilor presupuselor soluii puteau avea ceva de spus n privina posibilitii soluionrii ecuaiei printr-o formul. Acesta a fost, din punct de vedere istoric, primul pas spre realizarea unei conexiuni ntre soluiile ecuaiilor i conceptual de simetrie. S luam, de exemplu, ecuaia ptratic

. Se poate arta uor c dac cele dou soluii ale ecuaiei, date de formula QUOTE

sunt notate i , atunci att suma

a soluiilor, ct i produsul lor pot fi exprimate n funcie de coeficienii a,b,c. Mai exact,

, iar

. Cu alte cuvinte n ecuaia

suma celor dou soluii este egal cu 9, iar produsul lor este egal cu 20. Formula de rezolvare, de mai sus, poate fi ea nsi exprimat ca o combinaie de

i

, astfel:

Ceea ce este important aici este c aceast expresie este simetric la schimbarea ntre ele a celor dou soluii

i

formula rmne neschimbt la permutarea acestora. ntrebarea pus de francezul Alexandre - Theophile Vandermode (1735 - 1796) i de englezul Edward Waring (1736 - 1798) a fost dac soluia cvinticii i, n general, a unei ecuaii de orice grad nu putea fi exprimat printr-o expresie asemanatoare, simetric. n principiu, acesta putea conduce la gsirea unei formule de rezolvare. Ideea a fost prelucrat de persoana pe care Napoleon Bonaparte o considera nalta piramid a tiinelor matematice - Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813). Lagrange (figura 6) s-a nscut la Torino, n Italia de astzi, dar familia lui era parial de origine francez pe linie patern, iar el se considera mai mult francez dect Italian. Tatl sau, care iniial fusese Figura 6

bogat, reuise s risipeasc toat averea familiei n jocuri de burs lsndu-i fiul fr nicio motenire. Ulterior, Lagrange i-a descris catastrofa economic drept cel mai bun lucru care i se ntmplase vreodat: Dac a fi motenit vreo avere, probabil nu mi-a fi btut capul cu matematica. n valoroasa sa lucrare (publicat la Berlin) Traite de la resolution numerique des equations de tous les degres ,Lagrange a trecut pentru prima oar n revist contribuia lui Bezout, Tschirnhaus i Euler. El a artat apoi c toate procedeele prin care se obinuser soluiile ecuaiilor liniar, ptratic, cubic i cuartic puteau fi nlocuite printr-un procedeu unitar. Aici a urmat ns o surpriz neplcut. Pentru gradele doi, trei i patru, ecuaiile fuseser rezolvate prin reducere la o ecuaie de ordin imediat inferior. Cnd s-a ncercat aplicarea aceluiai precedeu asupra cvinticei, s-a ntmplat ceva neobinuit. Ecuaia rezultant, n loc s fie o cuartic, s-a dovedit a fi la grad ase. Metoda care funcionase perfect pentru gradele doi, trei i patru euase complet n cazul cvinticei. Dezamgit, Lagrange a conchis: Este deci imposibil ca aceast metod s conduc la rezolvarea cvinticei - una dintre cele mai celebre i importante probleme ale algebrei.

Ca o cale de ieire din impas, Lagrange a introdus o metod mai general de analizare a permutrilor. Lagrange a fcut importanta descoperire c proprietiile ecuaiilor i rezolvabilitatea lor depinde de anumite simetrii ale soluiilor, obinute n urma permutrilor. Dar chiar i noile idei, aa deschiztoare de drumuri cum erau ele, s-au dovedit insuficiente pentru rezolvarea cvinticei. n aceeai perioad, mai exista o problem algebric discutat n cercurile matematice, iar ea a avut implicaii asupra ncercrilor de rezolvare a cvinticei. Intrebarea care se punea, era urmatoarea: Au oare toate ecuaiile (de orice ordin) cel puin o soluie? Dei muli matematicieni, inclusiv Leibniz, Euler i Lagrange au ncercat s dea un rspuns, concluzia definitiv a rmas n seama contabilului elveian Jean Robert Argand (1768 - 1822) i a brbatului recunoscut drept prinul matematicienilor - Johann Carl Friederich Gauss (1777 - 1855). Geniul lui Gauss (figura 7) fusese recunoscut nc de la vrsta de apte ani, cnd reuise s adune instantaneu n minte numerele naturale de la 1 la 100, obsevnd pur i simplu c totalul se obine din cincizeci de perechi de numere, fiecare pereche avnd suma egal cu 101. Figura 7

n dizertaia sa doctoral din 1799, Gauss a fcut prima demonstraie a ceea ce a devenit cunoscut ca teorema fundamental a algebrei - afirmaia c: Orice ecuaie de gradul n are exact n soluii (care pot fi numere reale sau complexe). Acea prima demonstraie coninea anumite lacune logice, dar el a mai fcut de-a lungul vieii nc trei demonstraii, toate logice. Demonstraia lui Argand, publicat n 1814, a fost de fapt, prima corect. Teorema fundamental a algebrei spune, fr ambiguitate, c ecuaia cvintic general trebuie s aib cinci soluii. Puteau fi ele gsite printr-o formul? n acelai an n care i-a publicat prima demonstraie a teoremei fundamentale, Gauss i-a exprimat scepticismul n legtur cu rezolvarea printr-o formul a ecuaiei cvintice. Dar ulterior, el a adugat o not interesant: Poate c nu va fi greu s se demonstreze, cu toat rigoarea, imposibilitatea pentru gradul cinci. Gauss nu avea s mai publice niciodat vreun rnd pe aceast tem. La fel ca n cazul cubicei i al cuarticei, seria final i concludent de ofensive mpotriva cvinticei a fost declanat tot de un italian. Paulo Ruffini (1765 - 1822) s-a nscut la Valentano, n Italia. Era fiul medicului Basilio Ruffini i al Mariei Francesca Ippoliti. Familia s-a mutat n Reggio

Figura 8 lng Modena, pe vremea cnd Ruffini avea zece ani, Modena fiind locul unde a studiat el matematica, medicina, literatura i filozofia, lundu-i diploma n 1788. Extraordinar de versatil, Ruffini (figura 8) a nceput s practice medicina i, n acelai timp, s predea matematic. El susinea a fi demonstrat c ecuaia cvintic general nu poate fi rezolvat printr-o formul implicnd doar simple operaii de adunare, scdere, nmulire, mprire i extragere de radicali. Aici trebuie s ne oprim o clip, pentru a aprecia implicaiile afirmaiei lui Ruffini. Formula de rezolvare a ecuaiei ptratice fusese esenialmente cunoscut nc din vremurile babiloniene. Formula cubicei fusese descoperit de dal Ferro, Tartaglia i Cardano. Ferrari dduse soluiile cuarticei. Toate aceste formule presupuneau aplicarea celor patru operaii aritmetice de baz i extrageri de radicali. Au urmat apoi dou secole i jumtate de ateptri nelate, n timpul crora civa dintre cei mai strlucii matematicieni au ncercat zadarnic s gseasc o asemenea formul pentru cvintic. Acum Ruffini pretindea c putea demonstra c, orict s-ar ncerca, ecuaia cvintic nu putea fi rezolvat printr-o formul de acest tip. Aceasta reprezenta o adevarat revoluie n modul de a gndi ecuaiile. Ruffini i-a publicat demonstraia ntr-un tratat n dou volume, intitulat Teoria generale delle equazioni, care a aprut n 1799. Demonstraia era ns extrem de complicat, raionamentul ntortocheat fcnd-o greu de urmrit pe parcursul celor 516 pagini ale tratatului. Deloc surprinztor, reacia lumii matematice a fost, n cel mai bun caz, una de scepticism i suspiciune. Cam prin anul 1801 Ruffini i-a trimis n repetate rnduri cte un exemplar din Teoria generale delle equazioni, lui Joseph Louis Lagrange, dar nu a primit nici un rspuns de la acesta, nefcnd niciodat vreo declaraie public despre demonstraia lui Ruffini. Din anumite comentarii pe care Lagrange i le-a fcut la btrnee savantului i farmacistului Gaultier de Claubry, putem deduce c, dei fusese n general impresionat de lucrarea lui Ruffini, nici mcar el nu era intelectualicete nclinat s accepte un concept att de revoluionar, precum imposibilitatea de a rezolva cvintica printr-o formul. Disperat, Ruffini a trimis demonstraia la Societatea Regal din Londra. A primit un rspuns politicos, care spunea c, dei civa membri care-i citiser lucrarea o gseau satisfctoare, politca societii nu era de a publica aprobri ale unor demonstraii. Singurul matematician distins care a acordat credit rezultatului lui Ruffini a fost AugustinLouis Cauchy (1789 1857). Productivitatea lui Cauchy a fost att de prodigioas (a publicat nu mai puin de 789 de lucrari), nct la un moment dat a trebuit s-i fondeze propria sa revist. ntr-o scrisoare primit de Ruffini cam cu ase luni nainte de moartea sa, Cauchy, n general rezervat cu complimentele, scria: Memoriul dumneavoastr asupra rezolvarii generale a ecuaiilor este o oper care mi-a prut totdeauna demn de atenia matematicienilor i care, n opinia mea, demonstraz complet insolvabilitatea ecuaiilor de grad mai mare decat patru.Mai adaug c lucrarea dumneavoastra asupra insolvabilitatii este tocmai titlul unei conferinte pe care am inut-o n faa mai multor membri ai Academiei. Chiar i cu aprecierea lui Cauchy, demonstraia lui Ruffini n-a devenit niciodat nici larg cunoscut, nici acceptat. Majoritatea matematicienilor continuau s gseasc argumentele lui Ruffini att de ncurcate, nct le era cu neputin s le judece corectitudinea. Lui Ruffini i se datoreaz o schimbare revolutionara n abordarea ecuaiilor. n loc s se mai ncerce rezolvarea cvinticei, eforturile aveau sa fie depuse n sens invers, pentru demonstrarea imposibilitii de rezolvare. Cnd ajungem astzi s evalum opera lui Ruffini, realizm c meritul lui nu este doar cel de a fi schimbat ideile asupra ecuaiei cvintice. Mai mult, a mpins cu un pas mai departe relaiile dintre soluiile cubicei i cuarticei i anumite permutri. Aceasta a marcat nceputul tranziiei de la algebra tradiional la algebra abstract, bazat pe teoria grupurilor. Ciudat, dupa moartea sa n aprilie 1822, realizrile i-au fost aproape uitate i, cu excepia lui Cauchy, matematematicienii care i-au urmat au trebuit sa-i redescopere ideile. Aceasta era situatia n momentul apariiei a doi tineri, poate cele mai tragice figuri din istoria matematicii. Norvegianul Niels Henrik Abel i francezul E'varistide Galois erau pe punctul s schimbe pentru totdeauna cursul algebrei. Matematicianul suedez Gosta MittagLeffler descria realizarile matematice ale lui Abel n cuvintele: Cele mai bune lucrri ale lui Abel sunt adevrate poeme lirice, de o sublim frumusee ridicate mult deasupra platitudinii vieii i provenind mai direct din esena sufletului dect creaiile oricrui poet obinuit. Matematicianul austriac Emil Artin scria despre Galois: nc din tinereea mea matematic, m-am aflat sub vraja teoriei clasice a lui Galois.Vraja aceasta m-a silit s revin la ea iari i iarsi de nenumarate ori. ntr-adevr, genialitatea celor doi ar putea fi comparata cu o supernov o stea explodnd, care pentru un scurt rstimp face s pleasc sclipirea miliardelor de stele din galaxia care o gzduiete.MATEMATICIANUL CHINUIT DE SRCIENiels Henrik Abel, s-a nscut pe 5 august 1802. Era al doilea fiu al unui pstor luteran, Sren Georg Abel, i al Annei Marie Simonsen, fiica unui comerciant maritim.

Niels Henrik a fost educat de tatl su, la vicariat pn la vrsta de 13 ani. Pastorul i-a asumat cu seriozitate responsabilitatea acestei educaii timpurii. Mai exact, a pregtit un manual scris de mn, pentru uzul copiilor si.

n 1815, Niels Henrik a fost trimis la coala Episcopal din Christiania (oraul Oslo de astzi). Aici a avut ca profesor de matematic un anume Hans Peter Bader care era o brut lipsit de inim, care-i teroriza pe copii i deseori i umplea elevii de vnti. Atunci, ca i n anii ulteriori, marea lui scpare de sub povara inevitabilelor plictiseli ale vieii a fost teatrul. Acolo, el uita de sine i se contopea cu personajele.

n noiembrie 1817 profesorul Bader a fost concediat i drept suplinitor, coala l-a angajat pe Bernt Michael Holmboe, el nsui absolvent al colii Episcopale, care era cu numai apte ani mai n vrsta dect Abel. Holmboe a introdus o nou program, care ncepea cu nelegerea deplin a simbolurilor matematice. Nu i-a trebuit mult ca s descopere c visul oricrui profesor de matematic se realizase n clasa lui avea pe mn un geniu. Dup ce a parcurs fluiernd programa standard, Abel a nceput, cu ncurajarea entuziast i inspiratoare a lui Holmboe, s se cufunde n lucrrile originale ale marilor matematicieni Euler, Newton, Laplace, Gauss i, mai ales, Lagrange.

n timpul ultimului su an de coal, Abel a fcut prima sa ncercare de a-i deschide aripile. Cu temeritatea care-i caracteriz doar pe tineri la prima lor aventur pe teritorii nefamiliare, el a ncercat nimic mai puin dect rezolvarea ecuaiei cvintice. Aceasta era problema cu care se luptaser timp de aproape trei sute de ani cei mai buni matematicieni ai Europei, iar acum un puti de liceu pretindea c ar fi rezolvat-o. Abel i-a artat soluia profesorului su Holmboe, care nu a gsit nimic greit n ea. Apoi acesta prezint soluia lui Abel unor confrai de la Universitatea din Christiana, dar nici acetia nu au gsit vreo eroare. Realiznd importana descoperirii, ei nainteaz lucrarea celui mai prestigios matematician scandinav al epocii - Ferdinand Degen din Copenhaga - pentru a fi publicat de ctre Academia Danez. Chiar dac nu a gsit nicio eroare n rezolvarea lui Abel, el i-a cerut acestuia s-i trimit o deducere mai detaliat a rezultatului su, precum i o ilustrare numeric a metodei. Era o msur de precauie, deoarece la urma urmelor, ansele ca un discipol al colii Episcopale s rezolve una dintre cele mai celebre probleme ale matematicii nu erau foarte mari. n timp ce ncerca s-o aplice n cazuri particulare Abel a descoperit, spre consternarea sa, c metoda era, de fapt, incorect. Departe ns de a semnala sfritul cutrii sale, acest impas temporar urma s-l conduc pe Abel spre o monumental izbnd: demonstrarea imposibilitii rezolvrii cu radicali a ecuaiilor algebrice de grad mai mare dect patru. Lui Degen, studiul ecuaiilor i se prea a fi un subiect steril. El i-a sugerat lui Abel s-i concetreze eforturile mai degrab asupra noului domeniu al integralelor eliptice. Abel ine seama de sfatul lui Degen i se ocup de studiul funciilor eliptice i cerceteaz integralele care i poart numele.

n 1823, Abel i public prima lucrare matematic. N-a fost un articol epocal. Nici al doilea articol nu a atras atenia n mod special. n schimb, al treilea articol al su ,,Soluia a dou propoziii prin intermediul integralelor definite intea spre ceea ce mult mai trziu avea s devin baza matematic a radiologiei moderne (pentru care fizicianul Allan Cormack i inginerul electronist Godfrey Hounsfield au primit n 1979 Premiul Nobel pentru Medicin).

ntre timp, profesorii si, Hansteen i Rasmussen, cutau nencetat ci de a-l sprijini pe Abel, n particular facilitndu-i cltoriile n strintate, pentru a-i lrgi orizontul. Dup ce un memoriu ctre Colegiul Academic a euat, Rasmussen i-a fcut lui Abel un dar personal, de o sut de taleri, pentru a putea cltori n Danemarca spre a-i ntlni pe Degen i pe ali matematicieni danezi. Abel i-a petrecul astfel vacana de var din 1823 la Copenhaga. Excursia la Copenhaga a mai avut un rezultat neateptat - Abel a ntlnit pe viitoarea sa logodnic Christine Kemp, poreclit Crelly. Dar Niels Henrik Abel nu s-a cstorit niciodat cu Christine.

Dup ncercarea sa de a gsi o formul de rezolvare a cvinticii, subiectul nu-i mai ieise niciodat din minte lui Abel. Dei nu ignora sfatul profesorului Degen, de a face studii de pionierat n dou alte domenii ale matematicii (funcii eliptice i integrale eliptice), obsesia cvinticei persista. La ntoarcerea sa de la Copenhaga, s-a hotrt deci s revad acest subiectul cu un ochi proaspt. Dar n loc s atace din nou problema n ideea de a gsi o formul, era acum hotrt s arate c ecuaia nu se putea rezolva printr-o formul. S ne amintim c exact asta pretindea Ruffini c ar fi demonstrat n perioada 1799 -1812, fr s bage de seam c demonstraia sa coninea o serioas lacun. Cum rezultatul lui Ruffini nu avusese parte de mult publicitate, Abel nu era la curent cu el in 1823. Dup cteva luni de lucru intens, studentul de 21 de ani din ndeprtata Norvegie a pus capt unei cutri vechi de trei secole. El a reuit s demonstreze, riguros, fr ambiguitate, c este imposibil de gsit o soluie a ecuaiei cvintice care s poat fi explicat sub forma unei formule simple, implicnd doar cele patru operaii aritmetice i radicalii. El a demonstrat c, n cazul ecuaiei cvintice generale i n cea al ecuaiilor de grade mai mare, nu poate fi repetat ceea ce se reuise cu ecuaiile ptratice, cubice i cuartice. Cu alte cuvinte, pur i simplu soluia cvinticei nu putea fi dat de o formul care s nglobeze doar coeficienii. Toate eforturile depuse de nenumrai matematicieni strlucii fuseser fr rezultat. Pe de alt parte, demonstraia lui Abel nu implic faptul c ecuaiile cvintice nu pot fi rezolvate, de exemplu, ecuaia , are soluia evident x=3. Mai mult, chiar ecuaia cvintic general, poate fi rezolvat, fie numeric, cu ajutorul calculatorului, fie introducnd mijloace matematice mai avansate, cum sunt funciile eliptice. Ceea ce a descoperit Abel a fost un neajuns fundamental al algebrei de baz, care se manifest la ncercrile de rezolvare a cvinticei. Pur i simplu, operaiile bine cunoscute de adunare, scdere, nmulire, mprire i extragere de radicali i ating limita utilitii lor atunci cnd se confrunt cu cvintica. Aceasta a fost o realizare monumental n istoria matematicii. Ea a schimbat ntreaga abordare a ecuaiilor, de la simple ncercri de gsire a soluiilor la necesitatea de a demonstra dac, n general, exist sau nu soluii de un anumit tip. Demonstraia se bazeaz pe metoda reducerii la absurd. Abel a presupus c cvintica este rezolvabil i n final a artat c aceast ipotez conduce la o contradicie logic. El era contient de nsemntatea descoperirii sale. Spre deosebire de lucrrile precedente, scrise n norvegian, el a fcut demonstraia nesoluionabilitii cvinticei n francez, spernd s atrag atenia principalilor matematicieni ai vremii. Hotrte s scoat articolul sub forma unei brouri, pentru a economisi din cheltuielile pentru tipar, a comprimat articolul intitulat - Memoriu asupra ecuaiilor algebrice n care se demonstreaz imposibilitatea rezolvrii ecuaiei generale de gradul cinci - la numai ase pagini. Un exemplar din versiunea aceasta, foarte prescurtat, a fost trimis i marelui matematician Carl Friederich Gauss. Se pare c Gauss nu s-a sichisit s deschid broura lui Abel. Cam n aceeai vreme, ngerii pzitori ai lui Abel, adic profesorii Hansteen i Rasmussen solicit guvernului norvegian o burs de cltorie pentru Abel, justificndu-i neobinuita cerere prin observaia c pentru acest talent extraordinar o edere n strintate acolo unde se afl cei mai de seam matematicieni, ar contribui nespus de mult la educaia lui tiinific i colar. De data aceasta, cei doi profesori reuesc s obin o burs modest pentru Abel.

Pleac, nsoit de trei prieteni mai nti la Berlin, unde l-a cunoscut pe inginerul constructor August Leopold Crelle, care avea o mare pasiune pentru matematic i avea s devin cel dinti admirator, prieten i binefctor al su. ntre timp profesorul Rasmussen a considerat c nu-i mai era cu putin s fac fa responsabilitilor didactice i obligaiilor sale publice, aa c a demisionat de la universitate, pentru a ocupa un post la Banca Norvegiei. Existau doi candidai poteniali pentru postul rmas vacant dup demisia lui Rasmussen: fostul profesor al lui Abel, Holmboe, de la coala Episcopal i tnrul Niels Henrik Abel. Membrii facultii l prefer pe Holmboe n detrimentul lui Abel pe motivul c acesta din urm nu se putea adapta la fel de uor capacitii de nelegere a tinerilor studeni precum un profesor mai experimentat, de aceea nefiind n stare s prezinte la fel de fructuos partea elementar a matematicii, care este principalul obiect al postului sus-menionat. Dei avea speranele spulberate i realiza ct de nesigur i este viitorul, Abel, cu nobleea care-l caracteriza, a depus toate eforturile pentru a-i pstra intact prietenia cu Holmboe. n ciuda acestor circumstane tulburi, perioada petrecut la Berlin s-a dovedit una dintre cele mai fericite perioade din viaa lui Abel. Era extrem de productiv, scriind lucrri importante asupra calculului integral i a teoriei nsumrii seriilor infinite. Abel i prietenii si nu pierdeau nici o ocazie de a merge la teatru - pasiunea lui Abel - i erau invitai la baluri sau organizau serate proprii. Acestea din urm, care erau uneori destul de zgomotoase, l deranjau pe faimosul filozof Hegel, care ntmpltor locuia n aceeai cldire. Abel i continu cltoria cu prietenii n Europa, la Freiberg, Boemia, Viena, nordul Italiei i Elveia, ajungnd la Paris n iulie 1826. Parisul era capitala matematic indiscutabil a lumii, iar Abel atepta cu nerbdare ocazia de a se ntlni cu giganii matematicii pe care-i venera. La urma urmelor lucrrile lui Cauchy, Laplace i Legendre constituiau principala lectur de sear a sa. n prima scrisoare trimis din Paris lui Hansteen, profesorul su de la universitate, Abel exclama exuberant: Am ajuns, n fine, n centrul tuturor dorinelor mele matematice, la Paris.Nu bnuia c vizita la Paris nu-i va aduce dect dezamgiri. Prima ncercare a lui Abel a fost de a se ntlni cu faimosul matematician Adrian-Marie Legendre (1752-1833). Din pcate, acesta se urca n trsur la sosirea lui Abel, cei doi apucnd s schimbe doar nite saluturi de politee. Civa ani mai trziu, Legendre avea s ajung s regrete c nu vorbise mai mult cu Abel pe cnd tnrul matematician se mai afla la Paris. n timpul primelor luni petrecute la Paris, Abel a lucrat nencetat la ceea ce avea s devin un adevrat tur de for, cunoscut astzi ca Teorema lui Abel. Dei teorema aceasta nu are legtur direct cu cvintica sau cu teoria grupurilor, datorit rolului decisiv pe care l-a jucat n viaa lui Abel, nici o biografie a sa n-ar fi complet fr ea. Teorema se ocup de o clas specific de funcii, numite funcii transcendente i reprezint o vast generalizare a unei relaii obinute anterior de Euler. Nu este nici o exagerare s afirmm c Teorema lui Abel a oferit, literalmente, noi perspective lumii matematice.

Originalitatea lui era evideniat, printre altele, de ndemnarea de care ddea dovad n ntoarcerea pe dos a problemelor. Lucrarea lui Abel s-a dovedit a fi una dintre cele mai lungi publicaii ale sale (ea umplea 67 de pagini n operele lui Figura 9complete). Aceast remarcabil lucrare, intitulat - Memoriu asupra unei proprieti generale a unei clase foarte extinse de funcii transcendente - coninea att teoria, ct i aplicaiile. Extrem de optimist, a depus-o la Academia Francez de tiine, pe 30 octombrie 1826. Aceasta era lucrarea, gndea el, care avea s-i fie paaportul spre recunoatere n lumea tiinific. Abel a fost efectiv prezent la Institutul Franei, la edina de prezentare a lucrrii. A ascultat cu un mare sentiment de mplinire atunci cnd secretarul academiei, matematicianul Jaseph Fourier (1768-1830), i-a fcut o scurt expunere. Cauchy i Legendre au fost imediat numii ca refereni, iar Cauchy a primit sarcina s redacteze un raport ctre academie. Abel i-a petrecut urmtoarele luni la Paris, ateptnd cu nerbdare verdictul. Ca ntotdeauna teatrul rmnea principala lui surs de amuzament i bucurie. Unul dintre compatrioii ntlnii de Abel la Paris era pictorul danez Johan Grbitz. El a realizat n iarna anului 1826 singurul portret autentic al lui Abel, pictat n cursul vieii sale (figura 9). Portretul zugrvete un tnr drgla, cu trsturi delicate. Dei mama lui Abel fusese o femeie de mare frumusee, niciunul dintre contemporanii si nu-l descriu ca artnd deosebit de bine. Mgulitorul portret ar putea reprezenta deci tendina de nfrumuseare a pictorilor vremii. Abel era extrem de optimist n ceea ce privete lucrarea naintat Academiei, fiind absolut convins c avea s urmeze un raport laudativ. La urma urmei, presupunea el, este cert c acei mari matematicieni aveau s recunoasc valoarea lucrrii. Ceea ce nu realiza ns era faptul c cei doi matematicieni, numii ca evaluatori, erau, din diferite motive, total nepotrivii pentru acea sarcin. Legendre avea n acel moment 72 de ani i i lipsea rbdarea s parcurg un manuscris lung, care era (cu propriile-i cuvinte) abia lizibil...scris cu o ceneal foarte subire, cu litere prost alctuite. Cauchy, pe de alt parte, era n apogeul fazei sale egocentrice. Rezultatul acestor circumstane nefericite a fost c Legendre nu i-a btut capul, iar Cauchy a rtcit memoriul undeva printre vrafurile sale de hrtii, uitnd de el. Abia doi ani mai trziu, Legendre avea s afle de coninutul manuscrisului, dintr-o coresponden cu Abel, ntors pe atunci n Norvegia. Alt persoan care s-a familiarizat cu lucrarea lui Abel a fost marele matematician german Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851). Pe 14 martie 1829, el i scrie cu neascuns entuziasm lui Legendre: Ce mai descoperire a fcut Herr Abel prin generalizarea integralei lui Euler! S-a mai vzut oare ceva asemntor pn acum? Cum este ns cu putin ca descoperirea aceasta, poate cea mai important din secolul nostru, s fi scpat ateniei dumneavoastr i a colegilor dumneavoastr, dup ce a fost comunicat Academiei cu peste doi ani n urm?. Scuza chioap, invocnd caracterul abia lizibil al manuscrisului, a fost prezentat de Legendre ca rspuns la aceast perplex ntrebare. Abel a mai petrecut dou luni la Paris, cu resursele tot mai sectuite, dispoziia din ce n ce mai proast i sntatea zdruncinat. Nu i-a mai fcut dect dou noi cunotine notabile. Una dintre ele era matematicianul Johann Dirichlet (1805-1859), care, dei mai tnr dect Abel, i fcuse deja un nume demonstrnd (mpreun cu Legendre) Marea Teorem a lui Fermat pentru cazul n=5. Cu alte cuvinte, demonstrase c nu exist numere ntregi x,y,z aa nct . A doua cunotiin a fost Jaques Frdric Saigey, editor al revistei de astronomie i matematic Bulletrin de Ferrussac, pentru care Abel scrisese mai multe articole.

Abel ncepuse s sufere de ceea ce credea el c este o simpl rceal, dar medicii francezi puseser diagnosticul de tuberculoz. Refuznd s recunoasc la acea vreme ct de grav i era starea de sntate, cu speranele spulberate i fondurile pe sfrite, Abel s-a hotrt s prseasc Parisul, plecnd spre Berlin. La scurt timp dup sosirea sa la Berlin, a czut la pat. Acestea erau primele semne de deteriorare rapid a sntii sale. Printr-un miracol, nici necazurile financiare, nici sntatea, care i se nrutesc vznd cu ochii nu l-au mpiedicat s-i finalizeze cea mai ampl publicaie de pn atunci - Cercetare asupra funciilor eliptice - care ocup 125 de pagini din volumul de opere complete. Lucrarea prezint o imens generalizare a funciilor trigonometrice obinuite, avnd importante ramificaii, chiar i nspre teoria numerelor. Bunul su prieten Crelle a ncercat s-l conving pe Abel s rmn la Berlin pn cnd i-ar fi putut obine un post acolo. Abel era ns obosit i chinuit de dorul de ar. Pe 20 mai 1827, greu ndatorat i fr nicio perspectiv de a-i gsi un post, s-a ntors la Christiania, n Norvegia. n ciuda dificultilor de ordin financiar i cu sntatea ubred, Abel s-a trezit cuprins de o frenetic dorin de a publica, cum nu mai cunoscuse niciodat nainte. n luna septembrie 1828 i apar dou lucrri asupra funciilor eliptice. Cea dinti repezenta prima parte din masivul Cercetare asupra funciilor eliptice, iar cealalt anuna rezultate obinute n acest domeniu de tnrul matematician german Jacob Jacobi. Apoi, pentru a nu fi ntrecut de Jacobi, Abel s-a grbit s publice i a doua parte a manuscrisului, cruia i-a adugat o not, menit s arate cum rezultatul lui Jacobi putea fi obinut din al lui. Mai mult, din perspectiva temei abordate n acest material, el a ncetat s mai lucreze la ceea ce ar fi trebuit s fie rspunsul su definitiv la ntrebarea: Care ecuaii algebrice pot fi rezolvate prin intermediul formulelor? Aceast ntrebare las ua deschis unui alt tnr genial - E'varistide Galois - pentru a da rspunsul i a introduce, cu acest prilej, teoria grupurilor. Recunoaterea geniului lui Abel ncepuse s se rspndeasc acum prin toat Europa. Legendre, care ncepuse s corespondeze att cu el, ct i cu Jacobi pe tema teoriei funciilor eliptice, a declarat c prin aceste lucrri, voi doi (Abel i Jacobi) vei fi aezai printre analitii cei mai de seam ai vremii noastre. ntre timp, starea sntii lui Abel se nrutete. n timpul chinuitoarelor nopi de nesomn, Abel a fost auzit blestemnd ntreaga tagm medical, pentru c nu ar fi fcut suficiente progrese care s-l poat ajuta. Abel avea s spun de mai multe ori c matematicianul Jacob Jacobi era persoana care putea pricepe cel mai bine valoarea operei lui. n prag de aprilie 1829, sntatea lui s-a deteriorat vizibil. Dup o noapte de chinuri, tnrul geniu norvegian i-a dat sufletul, pe 6 aprilie 1829 la orele 4 ale dup-amiezii, cu logodnica Crelly la cptiul su. Avea 26 de ani. Distrus, Crelly i scria doamnei Hansteen pe 11 aprilie: Abel al meu e mort! Am pierdut totul pe Pmnt. Nimic, nimic nu mi-a rmas!. Pe 8 aprilie 1829, netiind nc de moartea lui Abel, prietenul Crelle i-a scris plin de jubilaie i entuziasm de la Berlin: Acum, dragul i preiosul meu prieten, i pot aduce veti bune. Ministerul Educaiei a hotrt s te cheme la Berlin, ca s te angajezi aici. Abel a fost nmormntat n Holland, locul unde i petrecea adesea verile sau srbtorile de Crciun alturi de logodnica sa Crelly, pe 13 aprilie 1829. Prietenii su i-au pltit piatra de mormnt. n necrolog, Crelle a scris: Toat opera lui Abel e modelat de o excepional strlucire i for de gndire... Dificultile par s dispar n faa atacului victorios al geniului su. Dar nu numai marele su talent e cel care face dispariia lui extrem de regretabil. El s-a distins n egal msur, prin puritatea i nobleea caracterului i printr-o excepional modestie, pentru care persoana i-a fost la fel de ndrgit ca i geniul. Pe 28 iunie 1830, Academia Francez de tiine a anunat c Marele Premiu pentru Matematic avea s le fie conferit n comun lui Abel i Jacobi. Care a fost ns destinul memoriului parizian al lui Abel? n urma schimbului de scrisori dintre Jacobi i Legendre i a interveniei consulului norvegian la Paris, Cauchy a reuit s dezgroape n cele din urm manuscrisul, n 1830. Dar, vor mai trebui s treac nc 11 ani, pentru ca el s ajung la tipar. n sfrit, ca o concluzie aproape comic la aceast poveste a neglijenei, manuscrisul a disprut din nou n timpul procesului de tiprire pentru a reaprea abia n 1952, la Florena. n 2002, guvernul norvegian a instituit un fond de 22 de milioane de dolari pentru conferirea Premiului, Abel pentru matematic. Acesta este prezent n stilul Premiului Nobel de ctre regele Norvegiei. Primul premiu, n valoare de 816.000 de dolari, a fost acordat pe 3 iunie 2003 faimosului matematician francez Jean-Pierre Serre. Premiul Abel a adus, n sfrit, n atenia public numele matematicianului care a demonstrat c o anumit ecuaie nu poate fi rezolvat printr-o formul. n mod ironic, opera strlucit a celui mai srac matematician este celebrat printr-o recompens financiar uria. n toamna anului 1826, n timpul ederii lui Abel la Paris, un tnr matematician francez, necunoscut lui Abel, tria la distan de numai civa kilometri i ncepea s fie obsedat exact de aceeai problem care-l preocupase att de mult pe norvegian. Putea fi cvintica rezolvat printr-o formul? Sau, mai general, care ecuaii puteau fi rezolvate printr-o formul? Este vorba de E'varistide Galois care nu avea dect cincisprezece ani n perioada ederii lui Abel la Paris, dar ncepuse deja s devoreze cri de matematic de parc ar fi fost romane de aventuri. Din pcate, nu vom tii niciodat cum s-ar fi schimbat viaa acestor doi oameni cu stea n frunte n urma unei ntlniri dintre ei, care nu a avut loc niciodat. Un lucru este cert: dac se poate concepe o poveste i mai tragic dect a lui Abel, aceasta este cea a lui Galois.

MATEMATICIANUL ROMANTIC

n dimineaa zilei de 30 mai 1832, un singur glon tras de la o distan de 25 de pai l-a nimerit pe E'varistide Galois n stomac. Dei rnit mortal, el nu i-a dat sufletul. A rmas czut la pmnt pn ce un anonim l-a luat i l-a dus la spitalul Cochin din Paris. A doua zi, avndu-l alturi pe fratele su mai mic, Alfred, Galois a murit de peritonit. Ultimele lui cuvinte cunoscute au fost: Nu plnge; trebuie s-mi fac curaj ca s mor la 20 de ani.

Acesta a fost tristul sfrit al celui mai vizionar dintre toi matematicienii neverosimil combinaie dintre geniu, precum Mozart, i un romantic, precum Byron, totul inserat ntr-o poveste care rivalizeaz n jalea ei cu cea a lui Romeo i Julieta.

E'varistide Galois s-a nscut la 25 octombrie 1811. Tatl su, Nicolas-Gabriel Galois era un om educat care conducea pe vremea aceea o coal destul devestit de biei din Bourg-la-Reine (astzi o suburbie a Parisului) post pe care-l motenise de la bunicul lui E'varistide. Mama lui E'varistide, Adlade Marie Demande,fiica unui jurisconsult de la Facultatea de Drept din Paris, era ea nsi versat n studiile clasice.

Ca i Abel, E'varistide a fost educat nti acas. Mama, Adlade Marie le-a oferit copiilor si o solid pregtire n direcia studiilor clasice i religioase, transmindu-le totodat idei liberale.

n octombrie 1823, la vrsta de 12 ani, E'varistide i-a prsit casa printeasc, pentru a se duce la Liceul-internat Louis-le Grand din Paris. Aceast prestigioas instituie existase nc din secolul al XVI-lea i numra printre absolvenii ei, oameni ilutrii, precum revoluionarul Robespierre i romancierul Victor Hugo.

Elevii liceului ofereau o excelent reprezentare a ntregului spectru politic al societii franceze a timpului, fapt care furniza o reet sigur pentru tulburri. Revoltele, certurile dintre ei i dezordinile reprezentau normalitatea la Louis-le-Grand. Nesupunerea era alimentat i de disciplina mai mult dect militar impus elevilor. Spartanul program zilnic care ncepea la 5,30 dimineaa i se ncheia la ora 20,30 fix, era meticulos structurat i nu ngduia dect foarte puin timp liber. Tcerea era impus chiar i la mas, iar meniul era extrem de srccios.

n ciuda condiiilor umilitoare i a disciplinei inuman de stricte, primii doi ani ai lui E'varistide La Louis-le Grand au fost caracterizai de un considerabil succes. Pregtirea deosebit primit de la mama sa n domeniul studiilor clasice s-a oglindit curnd n distincii pentru latin i greac. La examenul concurs de cultur general, a primit i premiul pentru matematic. Cu toate acestea, mediul nefamiliar pentru Galois i-a spus cuvntul. Ca urmare, rezultatele lui colare au nceput s fie mai proaste. Toamna lui 1826 a fost martora primului eec umilitor al lui Galois. Era la clasa de retoric. Dei eforturile lui srguincioase, dar lipsite de entuziasm fuseser n general bine apreciate de profesorul su, noul director ultraconservator avea idei oarecum diferite. n rigida lui opinie, Galois era prea tnr pentru acea clas avansat, care cerea o judecat ce nu vine dect odat cu maturitatea. n ianuarie 1827, Galois a fost aadar silit, spre consternarea sa i a tatlui su, s repete a treia clas de liceu.

Experiena neplcut cu retorica s-a dovedit a fi o binecuvntare deghizat Galois a descoperit matematica. Figura 10 arat un portret al lui Galois cam din acea vreme, desenat de un coleg de clas.

Noul profesor de matematic Hippolyste Vernier, a hotrt s introduc o nou carte pentru Figura 10

studiul geometriei. Aceasta era Elemente de geometrie, a lui Legendre, care apruse pentru prima dat n 1794 i devenise rapid folosit n ntreaga Europ. Textul acesta, devenit astzi clasic, rupea oarecum plicticoasa tradiie euclidian a geometriei de liceu. Galois studiaz cu mult interes aceast carte i prin toamna lui 1827, i pierde complet interesul pentru orice altceva, devenind pasionat de matematic. Galois era, ntr-adevr, vrjit de matematic. A dat deoparte manualele obinuite i s-a dus direct la lucrrile originale. Galopnd de la un articol profesional de matematic la altul, s-a cufundat cu totul n memoriile lui Lagrange, Rezolvarea ecuaiilor algebrice i Teoria funciilor analitice. Aceast experien formativ l-a dus spre o ambiioas tentativ. Fr s fie la curent cu lucrrile lui Ruffini i Abel, a ncercat timp de dou luni s rezolve cvintica. Dar exact ca i tnrul norvegian, i el a crezut la nceput c gsise formula, doar pentru a fi dezamgit mai trziu, cnd a gsit o eroare n raionamentul su. Ca i n cazul lui Abel, acest eec minor n-a fcut dect s-l impulsioneze pe Galois spre chestiuni mai importante legate de rezolvabilitatea cvinticei. Din pcate, Galois n-a fost niciodat capabil s studieze metodic i s lucreze sistematic. Extrem de avansat n anumite subiecte, era lipsit de cele mai fundamentale baze n altele. Ignorndu-i lipsurile i neinnd seama de sfaturile profesorului su de matematic, Vernier, el a ncarcat plin de curaj, n iunie 1828, s ia cu un an mai devreme examenul de admitere la legendara E'cole Politehnique. Aceasta fusese fondat n 1794, drept principala instituie de pregtire a inginerilor i oamenilor de tiin. Lagrange, Legendre, Laplace i ali savani faimoi fcuser parte, la un moment sau altul, din corpul ei profesoral. coala era faimoas i pentru atmosfera ei liberal. Dac Galois ar fi trecut examenul, Politehnica ar fi fost terenul perfect pentru a-i ajuta spiritul gata s-i ia zborul. Aa cum era de ateptat, datorit pregtirii sale inadecvate, Galois a ratat examenul. Ateptarea nelat atunci a fost, poate, germenele sentimentului su de persecuie, care avea s creasc pn la dimensiuni clar paranoice. Silit s-i continue studiile la Liceul Louis le-Grand, Galois s-a nscris la clasa special de matematic a lui Louis-Paul- E'mile Richard. Richard s-a dovedit a fi pentru Galois, ceea ce fusese Holmboe pentru Abel un profesor i un susintor, furnizor de inspiraie i motivaie. Richard nu era un matematician strlucit, dar era la curent cu ultimele dezvoltri n domeniu. El a recunoscut de ndat capacitile neobinuite ale lui Galois i l-a ncurajat s se angajeze n cercetri originale, afirmnd plin de entuziasm c elevul acesta este net superior tuturor colegilor si. El a mai notat c elevul acesta nu studiaz dect matematica. Remarcnd nclinaiile deosebite ale lui Galois pentru matematic, Richard a pus deoparte 12 carnete cu temele de clas ale lui Galois. Aceste documente au sfrit prin a ajunge n biblioteca Academiei de tiine. Un alt matematician pe care Galois l-a ntlnit cam n aceeai perioad a fost Jaques-Franois Sturm (1803-1855). Sturm avea s fie mai trziu unul dintre puinii care s recunoasc imediat c ideile lui Galois erau diamante n stare brut.

n 1829, Galois i-a publicat primul articol matematic. Acest studiu relativ minor avea drept obiect fraciile continue. Ca o parantez, Abel a murit la cinci zile dup publicarea primului articol al lui Galois. Pentru Galois, aceast prim incursiune n cercetarea matematic s-a transformat curnd ntr-o explozie de noi idei. Tnrul de 17 ani era pe punctul de a revoluiona algebra. Dei Abel artase fr ambiguitate c ecuaia algebric general de gradul cinci nu putea fi rezolvat cu o formul ce implic numai operaii aritmetice i extrageri de rdcini, moartea sa prematur acestuia a lsat neclarificat o ntrebare mult mai important: Cum se determin dac orice ecuaie algebric (de gradul cinci sau mai mare) este sau nu rezolvabil cu o formul? S ne reamintim c multe ecuaii particulare erau, totui, rezolvabile. n principiu, demonstraia lui Abel lsa deschis posibilitatea s existe ecuaii particulare ale cror soluii s fie exprimate cu ajutorul unor formule.

Pentru a rspunde la ntrebarea rezolvabilitii, Galois nu trebuia numai s introduc conceptul fundamental de grup, dar i s formuleze o ntreag nou ramur a algebrei, cunoscut astzi drept teoria lui Galois. Drept punct de plecare, el i-a ales teoria ecuaiilor algebrice, pornind de acolo de unde o lsase Lagrange. S-a concentrat asupra relaiilor dintre prezumtivele soluii ale unei ecuaii algebrice i permutrile acestor soluii care las relaiile neschimbate.

Aici este ns punctul unde geniul su a luat cu adevrat problema pe cont propriu. Galois a izbutit s asocieze fiecrei ecuaii un fel de cod genetic al acelei ecuaii grupul Galois al ecuaiei i s demonsteze c proprietile acestui grup sunt cele care spun dac ecuaia este rezolvabil printr-o formul sau nu. Simetria a devenit conceptul cheie, iar grupul Galois era o msur direct a proprietilor de simetrie ale ecuaiei. Richard a fost att de impresionat de ideile lui Galois, nct a afirmat c c tnrul geniu ar trebui admis fr examen la E'cole Politehnique. Pentru a-i da lui Galois o ans de a-i realiza ambiiosul scop, el l-a ncurajat s-i expun teoria n forma a dou memorii, pe care s-a oferit s le duc personal marelui Cauchy, pentru a fi prezentate la Academia de tiine.

La mai mult de ase luni dup naintarea memoriilor, Cauchy trimitea academiei o scrisoare prin care arta c trebuia s prezinte un raport asupra lucrrii tnrului Galois, dar din motive de sntate nu poate participa la aceast edin i solicita reprogramarea pentru urmtoarea edin. Totui, la edina urmtoare Cauchy prezint numai propriul memoriu, fr a mai meniona lucrarea lui Galois.

n iunie 1829, Academia de tiine anuna stabilirea unui nou Mare Premiu pentru Matematic. Obosit s tot atepte verdictul lui Cauchy i aflnd de lucrarea lui Abel despre teoria ecuaiilor algebrice, Galois s-a decis s retrimit lucrarea, cu ceva modificri, pentru acest concurs. Lucrarea trimis la concurs de Galois (Asupra condiiilor ca o ecuaie s fie rezolvabil prin radicali) a fost de atunci socotit drept una dintre cele mai inspirate capodopere din istoria matematicii. Comitetul de premiere era format din matematicienii Legendre, Poisson, Lacroix i Poinsot. Pentru motive care nu sunt n ntregime clare, secretarul academiei, Fourier, a luat manuscrisul acas. El a murit cu dou luni mai trziu, iar manuscrisul nu a fost niciodat recuperat dintre hrtiile sale. Drept urmare, fr ca Galois s fi tiut absolut nimic, lucrarea prezentat de el n-a fost niciodat luat n considerare pentru decernarea premiului.n cele din urm, premiul i-a fost acordat lui Abel (postum) i lui Jacobi. Ne putem imagina furia lui Galois cnd a aflat n cele din urm c manuscrisul su fusese pierdut. Acum era convins c toate forele mediocrtii se uniser pentru a-i refuza o binemeritat reputaie.

Dac vara anului 1827 fusese relativ bun pentru Galois, importantul su manuscris fiind supus ateniei academiei, perioada urmtorilor doi ani a fost una dintre cele mai rele. Tatl su, liberalul Nicolas Gabriel Galois din poziia de primar n Bourg la Reine este contestat de o micare de dreapta. Vdit incapabil s in piept urtului scandal ce izbugnise, delicatul Nicolas Gabriel s-a sinucis prin asfixiere cu gaze. La o lun dup nmormntarea tatlui su, E'varistide Galois este nevoit s dea pentru a doua oar examenul de admitere la E'cole Politehnique. Cei doi examinatori, Charles Louis Dinet i Lefebure de Fourcy, incapabili s neleag nclinaia lui Galois de a calcula mintal i de a scrie pe tabl numai rezultatele finale, l-au trntit la examen pe unul dintre cele mai mari genii matematice ale tuturor timpurilor. Fiindc nu se admiteau dect maximum dou ncercri de intrare, Galois era acum silit s se nscrie la mai puin prestigioasa E'cole Normale. Pentru a fi admis la aceast coal, Galois trebuia s-i dea bacalaureatul n arte i tiine, pentru obinerea diplomei de liceu, apoi s treac un examen oral la matematic i fizic. Cu toate c la proba de fizic nu se descurc deloc, este totui admis la seciunea de tiine, pe baza rezultatelor la matematic, la nceputul anului 1830. Figura 11 arat primele pagini a dou dintre lucrrile de examen ale lui Galois matematic i fizic. Figura 11

Tot n cursul anului 1830, Galois are ceva satisfacii deoarece n importantul Buletin al lui Ferrusac apar trei dintre articolele sale dou asupra ecuaiilor i unul asupra teoriei numerelor. Primul articol este precursorul revoluionarei lui teorii a ecuaiilor. n acelai an, Galois l-a ntlnit pe Auguste Chevalier, care avea s devin cel mai bun prieten al su. Auguste i fratele su, Michael, l-au familiarizat pe Galois cu noile idei socialiste, inspirate de filozofia religios-egalitarist cunoscut drept Saint-Simonism. Conceptele socio-economice ale acestei ideologii se bazau n primul rnd pe completa eliminarea inegalitilor sociale. Dat fiind firea pasional a lui Galois, implicarea sa crescnd n activiti politice furtunoase nu putea s-i aduc dect necazuri.

n vara anului 1830 la Paris au loc puternice confruntri pe plan politic, care degenereaz n lupte de strad. Studenii de la E'cole Politehnique fceau istorie n aceste Trois Glorieuses (Trei Zile Glorioase), cci se angajaser n luptele din Cartierul Latin i mprejurrile acestuia. Spiritul i exploziva energie a celor Trois Glorieuses au fost magnific surprinse n pictura Libertatea conducnd Poporul (figura 12) a lui Eugne Delacroix (1798-1863).Pe msur ce se desfurau aceste fatidice evenimente, spre insuportabila lor frustare, Galois i colegii si de la E'cole Normale erau constrni s aud sunetele revoluiei din spatele ferestrelor i uilor barate. Directorul colii, Guigniault, a hotrt s utilizeze toate mijloacele, inclusiv o ameninare c va chema trupele de poliie, pentru a-i mpiedica pe elevi s participe la revolt.

Figura 12

Pe acest fond se nate un conflict ntre directorul colii i Galois care conduce n cele din urm la exmatricularea lui Galois de ctre ministrul Educaiei, la propunerea directorului colii. Dat afar din coal i liber s dea curs viselor sale liberale, Galois s-a nrolat n artileria grzii naionale. Galois nu avea acum nici un mijloc de existen. Ca s-i duc zilele, a nceput s dea lecii de matematic. S-a hotrt chiar s in un curs de algebr, dar nu a avut prea mare succes din cauza nivelului extrem de avansat.

Pe frontul cercetrii, un promitor eveniment s-a petrecut la nceputul lui 1831, numai pentru a se transforma ulterior ntr-o alt dezamgire. Lui Galois i s-a cerut s-i nainteze un nou memoriu la academie. Noua versiune a lucrrii intitulate Condiii pentru rezolvabilitatea ecuaiilor prin radicali urma s fie recenzat de Denis Poisson i Sylvestre Lacroix, dar nici acetia nu au dus aciunea la bun sfrit, amplificnd dezamgirea lui Galois.

ntre timp, evenimentele politice ncepeau s aib un mare impact asupra vieii lui Galois.n aprilie 1831 un numr de 19 artileriti din garda naional, care refuzaser s depun armele atunci cnd unitatea lor fusese desfiinat, printre care i Galois, fuseser arestai. Pn la urm, toi cei 19 au fost achitai . A urmat un banchet pentru a srbtori evenimentul. n timpul banchetului, la care a participat i faimosul scriitor Alexandre Dumas (1802-1870), s-au rostit mai multe toasturi. Unul dintre toasturi a fost rostit la adresa regelui Louis-Philippe, de ctre Galois, care l-a dus n faa judecii, dar n final a fost achitat datorit ambiguitii toastului. ntr-un fel sau altul, temperamentalul tnr de 19 ani era din nou liber pe strzi. ntre timp, ziarul Le Globe a decis s fac public povestea frustantei lui experiene cu academia. Un articol scris cel mai probabil de unul dintre fraii Chevalier, prieten cu Galois, ncepea descriind geniul acestuia i spunnd c el descoperise independent proprietile funciilor eliptice (care-l fcuser celebru pe Abel). Textul relata apoi ghinioanele avute de el cu memoriul asupra rezolvabilitii ecuaiilor algebrice. Poate c drept rspuns la aceast critic public a neglijenei academiei, Poisson i Lacroix au dat, n sfrit, verdictul cu privire la lucrarea lui Galois. Raportul lor era o bomb ei nu aprobau teoria lui Galois. Referenii fie c n-au reuit s neleag, fie, n cel mai bun caz, aveau prejudeci mpotriva inovatoarelor idei de teoria grupurilor ale lui Galois. Credeau c vor gsi n manuscris un criteriu simplu, bazat pe nite coeficieni care s le spun imediat dac orice ecuaie particular este rezolvabil printr-o formul sau nu. n loc de aceasta, ei se treziser n faa unui ntreg nou concept teoria grupurilor i a unor condiii bazate pe soluiile ecuaiei, considerate drept existente. Acest lucru era prea inovativ pentru a fi acceptat n 1831.

Sentina academiei era o lovitur nprasnic pentru Galois. nrit pe plan tiinific i predispus spre violen n cel politic, Galois vedea cum i relaia cu propria mam devenea neplcut de ncordat. De aceea,a prsit casa printeasc i a nchiriat o camer n Paris. Dar, necazurile nu vin niciodat singure. Se apropia Ziua Bastiliei (14 iulie 1831), iar republicanii fceau planuri pentru o mare demonstraie. Poliia a luat msuri preventive, arestnd muli activiti cunoscui, n noaptea de 13 spre 14 iulie. Galois a reuit s scape de arestare fie fiindc nu era pe lista neagr a poliiei, fie fiindc nu a dormit acas. Pe la amiaza zilei de 14 iulie, totui un grup de circa 600 de oameni, condus de Galois i de prietenul su Ernest Duchatelet, un student de la E'cole des Charles, a nceput s traverseze Pont Neuf. E'varistide purta uniforma grzii naionale (ilegal pe atunci) i era narmat pn-n dini (avnd cteva pistoale, o puc ncrcat i un pumnal). Poliia a intervenit cu repeziciune. Galois i prietenul su Duchatelet au fost arestai pe pod, la fel cum s-a ntmplat i cu ali lideri republicani. Galois a fost condamnat la ase luni nchisoare, iar prietenul su la trei luni nchisoare. n timpul deteniei Galois se apuc de butur i la un moment dat, datorit degradrii strii fizice i mintale, are tentativa de sinucidere. Numai intervenia rapid a deinuilor l-a mpiedicat pe Galois s-i duc pn la capt aceast intenie fatal. Atunci cnd nu era beat, Galois i petrecea de regul zilele plimbndu-se nencetat n jurul curii, de obicei adncit n gnduri. Serile erau dedicate unor glgioase adunri republicane i unor ceremonii patriotice n jurul steagului tricolor. Cu toate acestea, Galois a gsit timp s scrie o lung prefa pentru excepionalele sale memorii matematice. Aceasta era, n realitate, un aspru rechizitoriu al lumii tiinifice i al practicilor sale.

n prmvara lui 1832, Europa a fost mturat de o devastatoare epidemie de holer. Parisul a fost deosebit de grav lovit. Apa contaminat a rului Sena i cerea jertfa zilnic, de aproximativ o sut de mori. n parte, poate c datorit sntii sale fragile, dar mai probabil fiindc era o practic obinuit cu deinuii politici, Galois a fost transferat la un cmin de convalesceni. n acest cmin, cunoscut pe drept Casa de sntate, s-a ntmplat ceva dramatic: Galois s-a ndrgostit. Subiectul afeciunii sale nflcrate era tnra Stphanie Polerin du Motel, care tria n aceeai cldire a cminului de convalescen. Tatl ei era un ofier din armata lui Napoleon, iar fratele ei, care avea 16 ani pe atunci, avea s devin medic. Familia tinerei Stphanie ntreinea o strns legtur de prietenie cu proprietarul casei de convalescen.

Puine poveti de dragoste din istorie au avut consecine mai tragice. Probabil c iniial Stphanie s-i fi artat un oarecare interes pasionatului i inteligentului tnr, dar nu i-a trebuit mult ca s-i resping cu rceal avansurile. Soarta unuia dintre cele mai mari genii care au trit vreodat era pe cale de a fi pecetluit de o tnr care avea mai puin de 17 ani pe atunci.

Ajungem acum la partea cea mai interesant a povetii lui Galois la misterioasa lui moarte. Din punct de vedere matematic, pentru istoria teoriei grupurilor i aplicaia sa la simetrii, nu conteaz de ce a murit Galois sau cine l-a ucis. Totui, orice relatare a vieii acestui remarcabil geniu ar fi lacunar fr discutarea acestei chestiuni. n particular, exist izbitoare similitudini ntre vieile celor dou personaje din saga ecuaiei ce nu putea fi rezolvat Abel i Galois. Amndoi au fost educai de un printe i inspirai de un dascl talentat. Amndoi i-au pierdut tatl la o vrst fraged i au ncercat s rezolve aceleai probleme de notorie dificultate. Amndoi au fost victime ale aceleai conservatoare ierarhii matematice, nefericii n vieile lor i amndoi au murit tragic n floarea tinereii. Se cunoate aproape fiecare detaliu al circumstanelor morii lui Abel, n vreme ce moartea lui Galois este nvluit n mister, controvers i speculaie.

Cert este faptul c Galois a murit n ziua de 30 mai 1832 n urma unui duel. Pe 29 mai, n ajunul duelului, el a scris trei epistole unor prieteni. n primele dou, Galois se plnge c a fost provocat la duel de ctre doi tineri republicani, din aceeai tabr cu el. Se deduce c Galois a fost provocat la duel de ctre cei doi tineri din cauza tinerei Stphanie , mor ca victim a unei infame cochete i a doi naivi, pclii de ea, scria Galois n prima scrisoare.

A treia scrisoare este, din perspectiv tiinific, cea mai important, deoarece ea conine testamentul matematic al lui Galois. Deosebit de lung, adresat devotatului su prieten Auguste Chevalier, prezint rezumate concise ale coninutului faimosului memoriu respins de Poisson i Lacroix, precum i ale altor lucrri. El schieaz apoi ceea ce numim teoria lui Galois, adugnd cteva noi teme la coninutul manuscrisului original, naintat academiei. Ctre sfrit, Galois scrie prietenului su Auguste: N-am timp i ideile mele nu sunt suficient de dezvoltate n acest domeniu care e imens.

n final, ca i Abel naintea lui, el i pune ncrederea n judecata matematicianului german Jacobi sau Gauss, care s-i spun public prerea nu cu privire la adevrul, ci la importana cestor teoreme.

Un singur lucru mai rmsese de fcut s lase n ordine manuscrisele. El a trecut rapid prin toate studiile sale matematice i a fcut unele corecii i comentarii de ultim minut. Una dintre adnotri (figura 13) conine cel mai memorabil i cel mai trist citat: Je n'ai pas le temps N-am timp. Duelul a avut loc n primele ore ale dimineii de 30 mai 1832 ntr-o suburbie a Parisului. Circumstanele exacte ale acestei drame nu se cunosc. Conform raportului de autopsie, Galois a fost mpucat n stomac, din partea dreapt. Galois, rnit foarte grav este transportat la spital i moare a doua zi, 31 mai orele 10,00 a.m., iar certificatul de deces a fost semnat pe 1 iunie.

Se crede c adversarul su a fost un prieten mai vechi, Ernest Duchtelet, arestat o dat cu Galois pe Pont Neuf, dar acest lucru nu este cert. Civa biografi ai lui Galois au concluzionat c Galois fusese ucis de inamicii politici. Chiar i fratele su, Alfred Galois, susinea c fratele su fusese asasinat de Figura 13 poliie.

Exist ns i o alt teorie a conspiraiei. ntr-una dintre cele mai recente i mai extinse biografii ale lui Galois, italianca Laura Toti Rigatelli, matematician i istoric al matematicii, propune teza c faimosul duel n-ar fi avut loc, de fapt, niciodat. Ea a ajuns la concluzia c deprimatul i deziluzionatul Galois a decis s se sacrifice pentru cauza republican. Republicanii aveau nevoie de un cadavru ca s strneasc rebeliunea i el a oferit acest cadavru duelul era n ntregime regizat. n scenariul conceput de Toti Rigatelli, cea mai tare pies probatoare n spiritul ipotezei c Galois s-a sacrificat este, exprimarea sa, insistena asupra unei mori sigure, ce reiese din scrisorile lui ctre toi republicanii i ctre doi dintre prietenii si. Pe de alt parte, exist motive s credem c cel puin unul dintre adversarii lui Galois mnuia mult mai bine pistolul dect tnrul matematician. De aceea, este pe deplin de neles de ce se atepta Galois, la 20 de ani, la o moarte sigur. Fr a avea certitudinea, pn apariia unor dovezi solide n viitor, se crede c cei doi adversari ai lui Galois au fost Duchatelet i Faultrier, proprietarul casei de convalescen care ulterior s-a cstorit cu mama lui Stphanie, dup moartea tatlui Stphaniei, care a avut loc cam pe vremea cnd fiica sa, Stphanie s-a cstorit cu un profesor de limbi strine.

nmormntarea lui Galois a avut loc smbt, pe 2 iunie. Au luat parte mii de prieteni, membri ai Prietenilor Poporului i delegaii de studeni de la colile de drept i medicin. Din fericire, testamentul matematic al lui Figura 14 Galois i-a gsit locul binemeritat. Doi tineri fratele su, Alfred, i prietenul su, Auguste Chevalier i-au asumat misiunea de a se asigura c amintirea lui E'varistide i studiile sale matematice vor fi salvate de la uitare. (figura 14 prezint un portret al lui Galois, desenat din memorie de Alfred, n 1848). Cu scupulozitate, ei au adunat fiecare bucat de hrtie, au catalogat toate manuscrisele i au nmnat preioasa comoar matematicianului Joseph Liouville (1809 -1882). Acesta din urm, copleit de admiraie s-a adresat Academiei de tiine anunnd c ntre hrtiile lui E'varistide Galois a gsit o soluie pe ct de exact, pe att de profund a acestei frumoase teoreme referitoare la memoriile lui Galois n revista sa n 1846.

coala care l exmatriculase pe Galois i-a schimbat i ea sentimentele pn la urm.Cu ocazia celebrrii centenarului, E'cole Normale i-a cerut faimosului matematician norvegian Sophus Lie (1842-1899) s scrie un articol care s rezume impactul teoriei lui Galois asupra istoriei matematicii. Lie concluziona: Este deosebit de caracteristic pentru matematicieni c dou dintre cele mai profunde descoperiri fcute vreodat (teorema lui Abel i teoria ecuaiilor algebrice, a lui Galois) au rezultat din munca a doi geometri, dintre care unul, Abel, era n vrst de aprox. 22 de ani, iar cellalt, Galois, nu mplinise 20

n 1897, cnd marele matematician francez E'mile Picard(1856-1941) a evaluat realizrile matematice ale sec. al XIX-lea, a avut urmtorul lucru de spus despre Galois: Nimeni nu-l ntrece n originalitatea i profunzimea concepiilor sale.

Astzi ne ntrebm cu uimire, cum poate un instrument ca teoria grupurilor inventat pentru determinarea rezolvabilitii ecuaiilor algebrice s evolueze pn la nivel de limbaj descriptiv al tuturor simetriilor lumii?

Bibliografie1. Burtea Marius i Burtea Georgeta, Matematic manual pentru clasa a XII-a, Editura Carminis, Piteti, 2007

2. Mario Livio, Ecuaia care n-a putut fi rezolvat. Traducere din limba englez de Moroianu Mihnea. Editura Humanitas, Bucureti, 2007

Prezentare:

1. Gabriela Anghel Neg, elev cls. a XI-a A2.Daniel Andrei Cazacu, elev cls. a XI-a A3. Cristina Georgiana erban, elev cls. a XI-a A

4. Luminia Radu, elev cls. a XI-a A

Profesor coordonator,

Ion Dina, Colegiul Naional Matei Basarab BucuretiPAGE 3

_1382812813.unknown

_1382813475.unknown

_1382815926.unknown

_1390121561.unknown

_1390121568.unknown

_1390115567.unknown

_1390116418.unknown

_1382813488.unknown

_1382813163.unknown

_1382813222.unknown

_1382813377.unknown

_1382813083.unknown

_1382813036.unknown

_1382813055.unknown

_1382812949.unknown

_1382807691.unknown

_1382812208.unknown

_1382812641.unknown

_1382812673.unknown

_1382812359.unknown

_1382812391.unknown

_1382812331.unknown

_1382808313.unknown

_1382808396.unknown

_1382808031.unknown

_1382805234.unknown

_1382807194.unknown

_1382733856.unknown

_1382804236.unknown

_1382733855.unknown