Didactica specialitatii

Didactica specialitatiiDidactica specialitatii

• NOTIUNI DE PROCESAREA NOTIUNI DE PROCESAREA SEMNALELOR SI METODE SEMNALELOR SI METODE MATEMATICE FOLOSITE IN MATEMATICE FOLOSITE IN SIMULAREA UNOR FENOMENE SIMULAREA UNOR FENOMENE DIN FIZICA (Propagarea undelor si DIN FIZICA (Propagarea undelor si pulsurilor in medii elastice)pulsurilor in medii elastice)

Seria FOURIER si aplicatii Seria FOURIER si aplicatii in simularea unor in simularea unor

fenomene ale fiziciifenomene ale fizicii• SFTSFT

( ) ( )f t f T t

0( ) ( cos sin )n n

nf t A n t B n t

00

0

0

1( )

2( ) cos , 0

2( ) sin , 0

T

T

n

T

n

A f t dtT

A f t n t dt nT

B f t n t dt nT

Seria FOURIER si aplicatii Seria FOURIER si aplicatii in simularea fenomenelor in simularea fenomenelor

fiziciifizicii• SFESFE

cos2

sin2

in t in t

in t in t

e en t

e en t

i

2 2 2 2

in t in t in t in tin t in tn n n n

n n

in t in tn n

A iB A iBe e e eA B e e

i

C e C e

( ) in tn

nf t C e

Cazul semnalelor Cazul semnalelor armonicearmonice

Seria Fourier a unui semnal Seria Fourier a unui semnal nesinusoidalnesinusoidal

• Semnal dreptunghiularSemnal dreptunghiular

parn,0

imparn,n

1B0dttncos

T

1A

............................................................................

0dtt2sinT

1B0dtt2cos

T

1A

1tsin

T

1B0dttcos.1

T

1A

2

1dt0dt1

T

1A

n

2/T

0n

2/T

02

2/T

02

2/T

01

2/T

01

T

2/T

2/T

00

...t7sin7

1t5sin

5

1t3sin

3

1tsin

1

2

1

...t5sinBt3sinBtsinB2

1)t(f 531

Spectrul obtinut pe Spectrul obtinut pe calculatorcalculator

Aplicatii in electrostaticaAplicatii in electrostatica

• Rezolvarea unor ecuatii de tip Rezolvarea unor ecuatii de tip Laplace in probleme cu valori pe Laplace in probleme cu valori pe frontierafrontiera

0

Ecuatie Poisson

Ecuatie Laplace

Problema 2D a potenţialului• IpotezaIpoteza Potentialul este independent de una din Potentialul este independent de una din

coordonate (linie de transmisie lunga si coordonate (linie de transmisie lunga si uniforma)uniforma)

y

x0 a

= 0 = 0

= 0

y/a = 0.5

y/a = 0.1

= V

2 2

2 20

( , ) ( ) ( )

( ) ( )

0, 0,

, 0, 0

0,

( , ) sin( )

sin( )

i x y

y

yn n n n

n

x y

x y X x Y y

X x Y y e e

x x a

V y x a

daca y

x y A e x

nA e x

a

x y( )

1

n

An en

y

a

sin n x

a

• AAnn se determină din condiţia se determină din condiţia =V =V pentru y=0 şi 0pentru y=0 şi 0 ≤≤ xx ≤≤ aa

An4 V

n

1 pentru n impar

0 pentru n par

x y( )4 V

n

1

ne

n ya sin

n xa

impar

Seria Fourier

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

11

0

x 0.1a( )

V

1 x 0.1 a( )

V

2 x 0.5 a( )

V

3 x 0.5 a( )

V

10 x

a

y

a0.1

y

a0.5

n 1 3 919 V 10 a 10

Calculul erorilorCalculul erorilor

NumNumăăr r termenitermeni

Eroare Eroare (%) (%)

33 46.646.6

55 12.612.6

77 3.43.4

99 0.530.53

NumNumăăr r termenitermeni

Eroare Eroare (%)(%)

33 3.793.79

55 0.190.19

77 00

99 00

y = 0.1 y = 0.1 · a· a y = 0.5 y = 0.5 · a· a

eroarea i 1 i

i

AprecieriAprecieri• Pentru valori mici ale lui y sunt necesari Pentru valori mici ale lui y sunt necesari

mulmulţţi termeni din seriei termeni din serie

• Pentru yPentru y≥≥a/a/ numai primii termeni sunt numai primii termeni sunt

semnificativi, potensemnificativi, potenţţialul se apropie de ialul se apropie de

forma asimptoticforma asimptoticăă dat datăă de primul termen de primul termen

1 x y( )4 V

e

ya

sin x

a

Ecuaţii Laplace Ecuaţii Laplace 3D3D• IpotezIpotezăă cutie dreptunghiularcutie dreptunghiulară cu feţele la potenţial ă cu feţele la potenţial

nul, exceptând suprafaţa nul, exceptând suprafaţa zz == c de potenţial c de potenţial V(x)V(x)

= 0 = 0

= 0

x = a

y = b

z = c

x

y

z = V(x,y)

Conditii pe frontiera:Conditii pe frontiera:

(x,y,z)=V(x) pentru z=c(x,y,z)=V(x) pentru z=c

(x,y,z)=0 pentru y=0,y=b(x,y,z)=0 pentru y=0,y=b

(x,y,z)=0 pentru x=0,x=a(x,y,z)=0 pentru x=0,x=a

I n m( )

0

a

xsin n( ) x( ) V x( )

d

0

b

ysin m( ) y( )

d

x y z( )

1

n 1

m

A n m( ) sin n( ) x( ) sin m( ) y( ) sinh n m( ) z( )

A n m( )4 I n m( )

a b sinh n m( ) c( )

n( )na

m( )m

a n m( )

n2

a2

m2

b2

unde:

Serie Fourier dubla:

f x y z( )

1

5

n 1

5

m


g x y( ) f x y 1( )

g

f x y z( )

1

3

n 1

3

m


g x y( ) f x y 1( )

g

f x y z( )

1

5

n 1

5

m


g x y( ) f x y 5( )

g

f x y z( )

1

3

n 1

3

m


g x y( ) f x y 5( )

g

f x y z( )

1

5

n 1

5

m


g x y( ) f x y 6( )

g

f x y z( )

1

3

n 1

3

m


g x y( ) f x y 6( )

g

f x y z( )

1

5

n 1

5

m


g x y( ) f x y 7( )

g

f x y z( )

1

3

n 1

3

m


g x y( ) f x y 7( )

g

f x y z( )

1

5

n 1

5

m


SIMULAREA UNOR SIMULAREA UNOR FENOMENE DIN FIZICAFENOMENE DIN FIZICA

• Metoda dezvoltarii in serie a solutiei Metoda dezvoltarii in serie a solutiei folosita in simularea propagarii undelor folosita in simularea propagarii undelor si pulsurilor in medii elastice omogene si si pulsurilor in medii elastice omogene si neomogeneneomogene

Bibliografie:Bibliografie:1.Ultrasonic pulse propagation in inhomogeneous one-1.Ultrasonic pulse propagation in inhomogeneous one-

dimensional media; dimensional media; N.CretuN.Cretu,P.P.Delsanto,G.Nita,C.Rosca,M.Scalerandi,I.,P.P.Delsanto,G.Nita,C.Rosca,M.Scalerandi,I.SturzuSturzu

J.Acoust.Soc.AmJ.Acoust.Soc.Am; 104 (1),July 1998,pag 57-63 ; 104 (1),July 1998,pag 57-63 2.Pulse propagation in finite elastic inhomogeneous 2.Pulse propagation in finite elastic inhomogeneous

media; media; N.CretuN.Cretu, G.Nita; , G.Nita; Computational Materials Computational Materials ScienceScience, Elsevier, Elsevier, , 31(2004), pag.329-336 31(2004), pag.329-336

Transformata Fourier a Transformata Fourier a unei functiiunei functii

( , ) ( , )

1( , ) ( , )

2i t

U x t transformataFourier U x

U x U x t e dt

1.Metoda dezvoltarii in serie a solutieiEcuatia undelor:

elongatia)t,x(u,0t

u

v

1

x

u2

2

22

2

Transformata Fourier a lui

)t,x(unotata cu:

),x(u~

dte)t,x(u),x(u~ ti

Dacã introducem (2) in (1) vom avea o ecuatie pentru transformata Fourier:

0u~vx

u~

2

2

2

2

(2)

(1)

(3)

0n

nn x)(c),x(u~

n

0n2n

2n

2nn2

21n

1nn

xc)2n)(1n(

xcn)1n(x

u~

xcnx

u~

n2

2

2n

n

0nn2

2

2n

c)2n)(1n(

1

vc

deci

0xcv

c)2n)(1n(

Relatie de recurenta pentru coeficienti

.......4

12

2

3

02

2

2

c2n

cv6

c1n

cv2

c0n

Unde:

Conditiile initialeConditiile initiale

• Puls GaussianPuls Gaussian u t( ) A ea t

2

u1 t( ) A e0.1 a t

2

u2 t( ) A e0.01 a t

2

100 60 20 20 60 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u t( )

u1 t( )

u2 t( )

t

Puls gaussian in timp2ateA)t,0(u

a4

2

a4

22)

a2

it(a)t

a

i2t(a

ti2atti

ea

A),0(u~

dteeAdteA

dteeAdte)t,0(u),0(u~

a4

2

0

0

ea

Ac

c),0(u~

deci

Dar c1?

Tinem cont de dezvoltarea in serie si prin urmare:

0x1 x

u~c

( / )2

2

( , )

( , ) ( , )

(0, )

at i t x v

i x ati t v

i xv

u x t Ae e

Ae dtu x u x t e dt e

e u

01 cv

ic

Discretizarea mediului, Discretizarea mediului, iteratii succesiveiteratii succesive

)1k(1

nk

)k(1n

1N

0n

N

1n

1nk

)k(nk

)k(0

)1k(0

N

0n

nk

)k(nk

)k(0

c)(c)1n(

)(nc)x('u~

c)(c)x(u~

Pentru stratul k:

Imaginea unui puls Imaginea unui puls Gaussian in timpGaussian in timp

• Imaginea unui puls Gaussian in timp Imaginea unui puls Gaussian in timp obtinuta prin metoda iteratiilor succesive obtinuta prin metoda iteratiilor succesive si metoda dezvoltarii in serie a solutiei.si metoda dezvoltarii in serie a solutiei.

Alte metode matematice Alte metode matematice folosite in simularifolosite in simulari

•Metoda diferentelor finiteMetoda diferentelor finite

•Metoda elementului finitMetoda elementului finit- In final se ajunge tot la - In final se ajunge tot la recurente si iteratii recurente si iteratii succesive datorita succesive datorita discretizarii mediuluidiscretizarii mediului

Didactica specialitatii

Documents

Transcript of Didactica specialitatii