1/16/2015

1

Soluţia generală a ecuaţiei neomogene (3.142) este

formată din două componente: o componentă a regimului

liber xl(t) - soluţia ecuaţiei omogene (3.144) corespunzătoare

ecuaţiei (3.142) şi o componentă a regimului forţat

xf(t) - soluţia particulară a ecuaţiei neomogene (3.142).

Soluţia ecuaţiei omogene se determină cu relaţia (3.167)

)( x 0) , - (t = (t) xl

Soluţia particulară a ecuaţiei neomogene se determină prin

metoda variaţiei constantelor. Se scrie

q(t) 0) , - (t = (t) x f în care q(t) este un vector ce se va determina din condiţia

ca xf(t) din (3.217) să satisfacă ecuaţia (3.142).

. u(t) B + q(t) 0) , - (t A = (t) q 0) , - (t + q(t) 0) , - (t = (t) x f

Tinând seama de proprietatile matricei de tranzitie,

conform relatiilor (3.172), (3.173) rezulta

u(t) B 0) t,-( = u(t) 0)B ,-(t = (t)q

u(t) B + q(t) 0) ,-(t A = (t)q 0) ,-(t + q(t) 0) ,-(t A = (t) x

-1

f

. d )u( 0)B , - ( = q(t)t

(3.218)

Înlocuind (3.218) în (3.217) se obtine solutia regimului fortat

. d )u( 0)B ,-(t = d )u( 0)B ,-(0) ,-(t = (t) xtt

f (3.219)

Solutia generala a ecuatiei (3.142) va fi de forma

(3.220), numita formula variatiei constantelor.

1/16/2015

2

. d )u( 0)B ,-(t + )x( 0) ,-(t = (t)x + (t)x = x(t)t

fl (3.220)

Daca se utilizeaza expresia (3.161) a matricei de tranzitie,

solutia (3.220) a ecuatiei neomogene se poate scrie

. )dBu(e + )x(e = x(t) )-A(tt

)-A(t

(3.221)

Înlocuind x(t) din (3.220) sau (3.221) în ecuatia de iesire

(3.143) se obtin relatiile care exprima tranzitia intrare-iesire.

. Du(t) +] d )u( B 0) ,-(t + )x( 0) ,-(t [ C = y(t)t

. u(t) D +] )du( Be + )x( e [ C = y(t) )-A(tt

)-A(t

(3.222)

(3.223)

Daca momentul initial este τ = 0 si în plus x(0+) = 0,

conditiile initiale sunt nule, relatiile (3.221), (3.223) devin

)du( Be = x(t) )-A(tt

u(t) D + )dBu(e C = y(t) )-A(tt

(3.224)

(3.225)

Expresiile (3.220), (3.221) si (3.222), (3.223) furnizeaza

vectorul de stare si respectiv vectorul de iesire al sistemului

pentru orice t τ 0 plecând dintr-o stare initiala arbitrara x(τ),

pentru o marime u(t) aplicata la intrare pe intervalul [τ,t].

Relatiile (3.220) - (3.225) ramân valabile si pentru sistemele

monovariabile descrise în limbaj intrare-stare-iesire, matricele B

si C fiind înlocuite cu vectorii b si cT iar matricea D cu constanta

d, adica

)du( be + )x(e = x(t) )-A(tt

)-A(t

. du(t) +] d )(u be + )x(e[ c = y)t) ) - (t At

)-A(tT

(3.226)

(3.227)

1/16/2015

3

3.2.1.5. Matricea de raspuns la impuls.

Se considera un sistem monovariabil propriu (d = 0).

Se presupune τ = 0 si x(0) (conditii initiale nule). Atunci din

(3.226), (3.227) rezulta

d )u( b e = x(t) )-A(tt

0

. d )u( b e c = y(t) )-A(tt

0

T

(3.228)

(3.229)

Daca marimea de intrare u(t) este impulsul Dirac δ(t) se

stie ca

. f(0) = d )( )( f = d )( )( f-

t

0

(3.230)

Se noteaza cu h(t) raspunsul sistemului y(t) obtinut în

aceste conditii. Din (3.229) rezulta

În cazul sistemelor multivariabile proprii (D = 0), se

considera ca vectorul de intrare are toate componentele

egale cu impulsul Dirac

bec = h(t) AtT(3.231)

(t)1 = (t)

1

1

1

= u(t)

(3.232)

unde 1 este un vector Rm cu componente unitare.

Înlocuind (3.232) în (3.225) se obtine matricea

raspunsului la impuls, de dimensiune pxm

. BCe = h(t) At(3.233)

1/16/2015

4

Coloana de indice i a lui h(t) se determina aplicând un

impuls Dirac δ(t) la intrarea ui(t), celelalte intrari fiind

nule, si observând evolutia iesirilor y1(t), y2(t), ..., yp(t).

3.2.1.6. Matricea de transfer

Aplicând transformata Laplace directă, pentru condiţii

iniţiale nule x(0) = 0, τ = 0 în ecuaţiile (3.142), (3.143) se

obţine

BU(s))A - (sI = X(s)-1

. H(s)U(s) = D]U(s) + B)A - [C(sI = Y(s)-1

(3.234)

(3.235)

Ecuaţia (3.235) se obţine şi direct din relaţia (3.225) în

care se aplică transformata Laplace. Matricea H(s) de

dimensiuni p x m evidenţiată în ecuaţia de ieşire (3.235),

se numeste matrice de transfer, definită prin expresia

D + B)A - C(sI = H(s)-1

(3.236)

Elementele matricei de transfer H(s) sunt fracţii raţionale în

s cu numitorul de grad n şi numărătorul de grad m n.Matricea de transfer H(s) este transformata Laplace a

matricei de răspuns la impuls

(t)D + BCe L = D + B )A - (sI C = L{h(t)}= H(s) At-1

. (t)D + (t)BCe = {H(s)}L = h(t) At 1

(3.237)

Observaţie: În cazul sistemelor monovariabile matricea de

transfer se reduce la funcţia de transfer. În acest caz

(3.236) devine

. d + b)A - (sIc = H(s)-1T (3.238)

Exemplul 3.10. Se consideră sistemul dinamic liniar

multivariabil constant, definit de ecuaţiile

1/16/2015

5

xşi

.

. x

x

1-1

01 =

y

y

u

u

1-0

01 +

x

x

1-1-

64 =

x

x

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Să se calculeze matricea de transfer şi matricea de răspuns la impuls

ale acestui sistem. Se calculează (sI - A)-1 aplicând algoritmul

Leverrier­-Fadeev, pentru n = 2. Se scrie

4-s1-

61+s

2 + 3s - s

1 =

= 4-1-

61 + s

10

01

2 + 3s - s

1 = B + sB

(s)

1 = )A - (sI

2

201-1

2 = 2-0

02- tr

2

1- = )ABtr(

2

1- = ,

4-1-

61 = I + B A = B

3- = 1-1-

64 tr - = )AB( tr- = ,

10

01 = I = B

00110

111

Matricea de răspuns la impuls se calculează cu relaţia (3.237.b)

e8-e9e4+e3-

e6-e6e3+e2- =

2+3s-s

10-s

2+3s-s

2+s

2+3s-s

6-

2+3s-s

1+s

L = H(s)L = h(t)2tt2tt

2tt2tt

22

22

11

3.2.1.7. Transformări liniare în spaţiul stărilor.

Echivalenţa sistemelor dinamice.

xx

x

şi

.

Ecuaţia omogenă (3.144) exprimă o transformare liniară a

spaţiului stărilor X în el însuşi. A este matricea acestei

transfor­mări. Vectorii x si sunt exprimaţi în aceeaşi bază de

vectori din X. Dar spaţiul stărilor X admite o infinitate de baze de

vectori, toate legate între ele prin transformări liniare nesingulare.

Schimbarea bazei de vectori din X este echivalentă cu o

transformare liniară operată asupra vectorului de stare .

x

1/16/2015

6

Fie P o matrice (n x n) nesingulară care defineşte o transformare

a vectorului de stare sub forma x

0 P ,Px = x det~ (3.239)

unde x~ este noul vector de stare. Din (3.239) rezulta

. xP = x -1~ (2.340)

Daca în ecuatiile intrare-stare-iesire (3.142), (3.143) ale

sistemului dinamic liniar constant se înlocuieste x din

(3.240) acestea devin

u B + x A = x~~~~

u D + x C =y ~~~

(2.341)

(2.342)

D = D

CP = C

PB = B

PAP = A

-1

-1

~

~

~

~

(2.343)în care

)~

,~

,~

,~

( DCBA

)~

,~

,~

,~

(~ ),,,( DCBADCBA

Definitia 3.1. Doua sisteme dinamice (A,B,C,D) si

se numesc echivalente, notându-se

, daca exista o matrice nesingulara P astfel încât au loc relatiile

(3.243).

Se verifica usor ca ~ este o relatie de echivalenta, adica este

reflexiva, simetrica si tranzitiva. Se constata de asemenea ca

doua sisteme echivalente au aceeasi dimensiune.

Sistemele dinamice liniare invariante echivalente sunt

caracterizate prin invarianta polinomului caracteristic, a

matricelor de transfer, de raspuns la impuls si a

raspunsului liber la transformarile liniare nesingulare ale

vectorului de stare.

Se considera polinoamele caracteristice ale doua sisteme

echivalente. Sa se arate ca cele doua polinoame sunt

identice.

1/16/2015

7

A) - (sI = (s) det . )A - (sI = (s)~

det~ (3.245)

. (s) P x A) - (sI x P

PA) - P(sI )PAP - sPP(

)PAP - (sI )A - (sI (s)

-1

-1-1-1

-1

detdetdet

detdet

det~

det~

(3.246)

Din (3.246) rezulta ca sistemele dinamice echivalente au

aceeasi ecuatie caracteristica si deci aceleasi valori proprii.

matricile de transfer a doua sisteme echivalente

(s)H~

Fie H(s) si

D + B)A - C(sI = H(s)-1

. D + B)A - (sIC = (s)H-1 ~~~~~

(3.248)

Utilizând relatiile (3.243) se arata ca matricile de transfer H(s)

si sunt identice.

(s)H~

Astfel

H(s) D + B)A - C(sI D + PBP)A - P(sICP

D + PB)PAP - sPP(CP D + B)A - (sIC = (s)H

-1-1-1-1

-1-1-1-1-1

~~~~~

Astfel

(3.249)

În (3.249) s-a utilizat urmatorul rezultat din calculul matriceal,

AB = )(AB -1-1-1

AB = )(AB 1-1--1

(3.250)

Din (3.249) rezulta ca sistemele dinamice echivalente au

aceeasi matrice de transfer.

Deoarece matricea de raspuns la impuls h(t) este

transformata Laplace inversa a matricei de transfer din (3.249)

rezulta si invarianta matricei de raspuns la impuls a sistemelor

dinamice echivalente. Deci

. (t)h (t)D + (t) BeC (t)D + (t)B Ce h(t) tAAt ~~~ ~

(3.251)

Raspunsurile libere ale sistemelor dinamice echivalente

sunt exprimate de relatiile

1/16/2015

8

)x(Ce = (t)Cx = (t)y )-A(ti

. )(xeC = (t)xC = (t)y )-( tA ~~~~~

~

Tinând seama de relatiile (3.216), (3.239), (3.243) din (3.253)

se obtine

(3.253)

(t)y = )x( e C = )x( PP Pe CP

)Px( e CP )(x e C = (t) x C = (t)y

)-A( t1-)-A( t1-

)-( tPAP1-)-( t A -1

~~~~~~

(3.254)

Din (3.254) rezulta ca sistemele dinamice echivalente au

raspunsuri libere identice.

Proprietatile de invarianta ale sistemelor dinamice echivalente

conduc la urmatoarea concluzie importanta: alegerea

vectorului de stare pentru un sistem dinamic liniar constant

este arbitrara; oricare ar fi alegerea vectorului de stare tranzitia

cauzala „intrare-iesire” este independenta de alegerea

respectiva.

3.2.2. Sisteme multivariabile discrete

3.2.2.1. Ecuatii vectorial matriceale de stare ale

sistemelor multivariabile discrete

Un sistem multivariabil discret invariant în timp este descris

prin ecuatii vectorial-matriceale de stare de forma

diferentecu starede ecuatia - u(k)B + x(k)A = 1) + x(k dd

aialtitia ini) - condkx(

irisia ietecua - Du(k) + Cx(k) = y(k)

0

i

cu x(k) - vector de stare (n x 1); u(k) - vector de intrare (m x

1); y(k) - vector de iesire , (p x 1); Ad - matricea de stare, (n

x n); Bd - matricea de intrare (n x m); C - matricea de iesire

(p x n); D - matricea de cuplaj intrare-iesire (p x m); x(k0) -

vectorul conditiilor initiale ale starilor sistemului.

La sistemele « proprii », nu exista cuplaj direct

intrare-iesire, matricea D=0.

(3.295)

(3.296)

1/16/2015

9

Ecuatiile (3.295), (3.296) se pot reprezenta prin schema bloc

din fig. 3.21, în care ui(k), xj(k), yl(k) corespund respectiv

evolutiei unei intrari, a unei stari sau a unei iesiri oarecare.

Fig. 3.21

3.2.2.2. Solutia ecuatiei de stare. Matricea de tranzitie

Se presupune ca se cunoaste vectorul de stare al conditiilor initiale x(k0). Din ecuatia de stare

(3.295) se determina succesiv

. 1)-i+ku( B + 2)-i+ku( B A +...+ )ku( B A + )kx( A = i)+k( x

2)+ku( B + 1)+ku( B A + )ku( B A + )k( x A = 3)+k( x

1)+ku( B + )ku( B A + )kx( A = 1)+ku( B + 1)+kx( A = 2)+k( x

)ku( B + )k( x A = 1)+k( x

0d0dd0d-1i

d0id0

0d0dd0d2d0

3d0

0d0dd02d0d0d0

0d0d0

(3.297)

Notând k0 + i = k din ultima relatie (3.297) rezulta

k k ,u(i) B A + )k( x A = x(k) 0d-1i-k

d

-1k

k=i0

k-kd

0

0 (3.298)

j)-u(k B A + )kx( A = x(k) d-1j

d

k-k

1=j0

k-kd

00

sau

(3.299)

Relatia (3.298) (sau (3.299)) reprezinta solutia ecuatiei de stare

cu diferente si cuprinde doi termeni: primul

corespunde solutiei ecuatiei omogene - componenta

libera determinata de conditiile initiale x(k0);

1/16/2015

10

al doilea termen reprezinta solutia particulara a ecuatiei

neomogene - componenta fortata determinata de

marimea de intrare u(k).

Matricea Adk-k0 constituie matricea de tranzitie a sistemului

discret si are urmatoarele proprietati

A = A x A ; )k ,k( = )k ,k( )k ,k( ; I = A =

= (0,0) ; (k) = A = 0) (k, ; A = 0) ,k-(k = )k (k,

k-kd

k-kd

k-kd020112

0d

kd

k-kd00

020112

0

(3.300)

3.2.2.3. Tranzitia intrare-iesire. Matricea de

raspuns la impuls. Matricea de transfer

(3.301)

Înlocuind vectorul de stare x(k) din relatia (3.298) în

ecuatia iesirii (3.296) se obtine

k k u(k) D +] u(i) B 0) i,-1-(k + )kx( 0) ,k-(k [ C =

= u(k) D +] u(i) B A + )kx( A [ C = y(k)

0d

-1k

k=i00

di--1k

d

-1k

k=i0

k-kd

0

0

0

Daca marimea de intrare este impulsul unitar discret

1 k ,0 = (k) = u(k)

1 = (0) = u(0)

Relatia (3.301) exprima tranzitia intrare-iesire a unui sistem

multivariabil discret. În sistemelor monovariabile ecuatiile

(3.295) - (3.301) ramân valabile, matricele Bd ,C si D se

inlocuiesc cu vectorii bd, cT , espectiv cu marimea scalara d.

Pentru un sistem monovariabil discret propriu (d = 0),

considerand k0 = 0 si x(k0) = 0 relatiile (3.298), (3.301) devin

u(i) b 0) i,-1-(k = u(i) b A = x(k) d

-1k

0=id

i--1kd

-1k

0=i

. u(i) b 0) i,-1-(k c = u(i) b A c = y(k) d

-1k

0=i

Td

i--1kd

-1k

0=i

T

(3.302)

(3.303)

(3.304)

1/16/2015

11

atunci marimea de iesire y(k) se numeste raspunsul la

impuls al sistemului, sau secventa de ponderare, notat cu

h(k). Din (3.303) se obtine

b 0) 1,-(k c = b A c = h(k) dT

d-1k

dT (3.305)

În cazul sistemelor multivariabile proprii (D = 0), când

vectorul marimilor de intrare de dimensiune m x 1 are toate

componentele egale cu impulsul unitar discret

(k)

1

1

1

= u(k)

(3.306)

ecuatia iesirii (3.301) pentru k0 = 0, x(k0) = 0 devine

. B 0) 1,-(k C = B A C = h(k) = y(k) dd-1k

d

U(z)B + X(z)A = x(0))-z(X(z) dd

DU(z) + CX(z) = Y(z)

(3.307)

(3.309)

(3.308)

Relatia (3.307) defineste matricea de raspuns la impuls

h(k) al sistemului, sau matricea de ponderare, de

dimensiuni (p x m).

Aplicând transformata Z în ecuatiile intrare-stare-iesire

(3.295), (3.296) se obtine

Din relatia (3.308) se obtine transformata Z a solutiei

ecuatiei neomogene de stare

. U(z) B )A - (zI + x(0)z )A - I(z = X(z) d-1

d-1

d (3.310)

unde x(0) este valoarea initiala a vectorului de stare.

1/16/2015

12

În cazul în care U(z) = 0, (u(k) = 0, sistemul este izolat fata de

intrari) din (3.310) se obtine

(z)X = x(0) (z) = x(0)z )A - I(z = X(z) l-1

d (3.311)

care este transformata Z a solutiei ecuatiei omogene

corespunzatoare ecuatiei de stare (3.295).

Matricea (z) = )A - z(zI-1

d (3.312)

este transformata Z a matricei de tranzitie a sistemului

liniar discret (k) Z= (k,0) Z= (z) (3.313)

Matricea Φ(z) se poate exprima prin seria

1 > |z | ,) A - I(z z = ... + A z + A z + I =

= ... + (2) z + (1) z + (0) = (z)

1-d

2d

2-d

1-

-2-1 (3.314)

Pentru conditii initiale nule, x(0) = 0, k0 = 0 din ecuatia

(3.310) se obtine transformata Z a componentei fortate

a functiei de tranzitie a starilor

U(z)B)A-(zI = (z)X = X(z) d-1

df (3.315)

a carei original, tinând seama si de (3.312) - (3.314), este

. u(i) B0) i,-1-(k = u(i) B A = (k) x d

-1k

0=id

i--1kd

-1k

0=if (3.316)

Înlocuind X(z) din (3.315) în ecuatia iesirii (3.309) se obtine

(3.317)

În ecuatia (3.317) se pune în evidenta matricea (p x m)

H(z) care se numeste matricea de transfer

discreta a sistemului multivariabil

H(z)U(z) = U(z)D + B)A-C(zI = DU(z)+U(z)B)A-C(zI = Y(z) d-1

dd-1

d

1/16/2015

13

. D + B )A-I(z C = H(z) d-1

d (3.318)

Matricea de transfer discreta H(z) este transformata Z a

matricei de raspuns la impuls

D + B )A - (zI C Z = H(z) Z = h(k)

sau D + B CA Z= h(k) Z= H(z)

d-1

d-1-1

d-1k

d(3.319)

Algoritmul Leverrier-Fadeev permite calcularea matricei

inverse (zI - Ad)-1, fara a efectua operatia de inversare a

matricei. Se scrie

(z)

B(z) =

(z)

)A - I (z adj d

= )A-I(z

-1d

01-1n

-1nn +z+...+z+z = (z)

B +z B + ... + z B = B(z) 01-1n

-1n

(3.320)

(3.321)

(3.322)

unde Δ(z) este un polinom în z de grad n, polinomul

caracteristic al matricei caracteristice (zI - Ad), B(z) este un

polinom matriceal.

)B A( tr n

1 - =

I + B A = B

I + A = B

)B A( tr 1-n

1 - =

)B A( tr 2

1 - =

I + B A = B

I = B

)B A( tr - =

0d0

11d0

2-ndB3-n

1d1

2-nd2-n

-1n-1nd2-n

-1n

-1nd-1n

1-n

(3.323)

care se pot scrie si în forma

. 1-n i ,) B A ( tr i-n

1 - =

I = B ; 1-n < i , I + B A = B

idi

-1n1+i1+idi

(3.324)

1/16/2015

14

3.2.2.4. Sisteme esantionate. Discretizarea sistemelor

netede

În fig. 3.22 este prezentat un exemplu de proces continuu

comandat prin calculator. Procesul continuu este caracterizat

de matricele A, B, C, D. CNA si CAN reprezinta convertorul

numeric-analogic si respectiv convertorul analog-numeric.

ER0 este elementul de retinere de ordin zero.

Fig. 3.22

Se cauta relatiile între semnalele discrete în timp „vazute” de

calculator, u(kT) si y(kT).

Procesul continuu este descris prin ecuatiile de stare

(3.142), (3.143)

Du+ Cx =y

Bu + Ax = x

. Marimile la momen­tele kT (notate cu k pentru usurarea

scrierii) satisfac ecuatiile

etdiferen stare cu ecuatia de - (k)u B + x(k) A = 1)+(k x dd

iesirii ecuatia - Du(k)+Cx(k) = y(k)

(3.325)

(3.326)

Matricele Ad, Bd ale sistemului esantionat depind de

matricele A, B ale sistemului continuu si de perioada de

esantionare T

. ) T B, (A, f = B ,A dd(3.327)

1/16/2015

15

Pentru un sistem continuu descris de ecuatiile (3.142),

(3.143), cunoscând starea sa în momentul de esantionare

tk = kT, conform relatiei (3.221) se poate determina starea

la momentul de esantionare urmator tk+1 = (k+1)T

)dBu(e+)tx(e = 1)+x(k = )tx( )-tA(t

t

k)t-tA(

1+k1+k

1+k

k

k1+k (3.328)

Datorita elementului de retinere de ordin zero plasat la intrarea

procesului continuu marimea de intrare u(t) este mentinuta

con­stanta pe durata perioadei de esantionare T, deci

. t ,t ,constant = u(k) = )tu( = u(t) 1+kkk (3.329)

Efectuând schimbarea de variabila τ = σ - tk si tinînd

seama ca tk+1 - tk = T, din (3.328) se obtine

Bu(k)de+e = 1)+x(k )-A(TT

0

AT (3.330)

Comparând relatiile (3.325) si (3.330) se deduce prin identificare

Bde = B ; e = A)-A(T

T

0d

ATd (3.331)

Cu Ad si Bd date de (3.331) ecuatiile (3.325), (3.326) definesc un sistem

discret numit discretizantul cu pasul T (T > 0) al sistemului

continuu descris de ecuatiile (3.142), (3.143). Corespondenta între

cele doua sisteme este prezentata în fig. 3.23.

Fig. 3.23

1/16/2015

16

Din figurile 3.22 si 3.23 rezulta ca raspunsurile y(t) (sau x(t))

sunt cele ale unui sistem supus la o functie scara .)(tu

Matricele Ad si Bd pot fi evaluate pe baza proprietatii de

dezvoltare în serie a matricei exponentiale eAT, conform

urmatoarelor relatii

)(ATi!

1 = e = A

i

0=i

ATd

. B )(AT1)!+(i

1 T = B

i

0=id

(3.332)

(3.333)

Daca exista A-1 relatia (3.333) se poate scrie si sub forma

. B I) - A( A = B I) - e( A = B d-1AT-1

d (3.334)

Relatiile (3.332) - (3.334) se pot programa usor pe un

calculator numeric.

Exemplul 3.12. Se considera un servomotor de curent

continuu cu excitatie constanta (cu magnet permanent),

comandat pe indus, ce antreneaza o sarcina prin intermediul

unui reductor cu un unghi θ(t), fig. 3.24.Servomotorul este inclus într-un sistem de reglare cu

esan­tionare a pozitiei θ(t) comandat de calculator conform

structurii din fig. 3.22.

Fig. 3.24

Sa se determine ecuatiile de stare si functia de transfer ale

sistemului discret, „vazut” de calculator, corespunzator

sistemului continuu, servomotor precedat de elementul de

retinere de ordin zero.

1/16/2015

17

Se stabileste mai întâi functia de transfer a sistemului

(procesului) continuu în timp. Se neglijeaza inductanta

indusului si se considera momentul de inertie J si coeficientul

de frecare k1 reduse la arborele motor.

Se considera ca marimea de intrare u(t) este tensiunea aplicata

indusului si ca marimea de iesire y(t) este pozitia unghiulara θ(t)

a rotorului servomotorului.

Se scriu succesiv ecuatiile

a) ecuatia de tensiuni a indusului

(1)(1)

aaa k = e ; k + Ri = e + Ri = u (3.335)

e - tensiunea electromotoare indusa.

b) ecuatia de echilibru a cuplurilor

(2)(1)

1(2)

fam J + k = J + m = i k = m (3.336)

mm - cuplul electromagnetic; mf - cuplul de frecari,

proportional cu viteza unghiulara θ(1)(t).

Eliminând marimile intermediare din (3.335), (3.336) se

obtine ecuatia diferentiala

u R

k =

R

k + k + J a

(1)2

1(2)

. (t)u b = (t) a + (t) a0(1)

1(2)

(3.337)sau

Aplicând transformata Laplace si considerând θ(1)(0) =

θ(0) = 0 din (3.337) se obtine functia de transfer a

sistemului continuu (servomotorului)

. )a + (s s

b =

(s)U

(s) =

U(s)

Y(s) = H(s)

1

0

a

(3.338)

1/16/2015

18

Pentru a stabili ecuatiile de stare continue ale

servomotorului se pleaca de la ecuatia diferentiala (3.337)

si se aleg ca variabile de stare pozitia θ(t) si viteza

unghiulara θ(1)(t)

. (t)x = y(t) y(t) = (t)

(t)u b + (t)x a- = (t)x (t)x = (t)

(t)x = (t)x (t)x = (t)

1

a02122(1)

211

Modelul de stare continuu este dat de ecuatiile

u(t) b

0 +

x

x

a-0

10 =

x

x

02

1

12

1

. 0 = x(0) ; (t)x

(t)x0] [1 =y

2

1

(3.340)

.0] [1 = c ; b = b

0 = B ;

a-0

10 = A T

01

Deci

(3.340)

Pentru a calcula eAT se aplica de exemplu metoda transformatei

Laplace inverse

a+s

10

)a+s(s

1

s

1

= a+s0

1-s = ]A-[sI

1

1

1

-1

-1

e0

)e-(1a

11

= ]A-[sIL = e

ta-

ta-

1-1-1AT

1

1

(3.341)

Tinând seama de (3.341) din (3.331) se obtine

1/16/2015

19

e0

)e-(1a

11

= e = A

Ta-

Ta-

1ATd

1

1

. b =

)e - (1a

1

e a

1 +

a

1 - T

a

1

b = d

eb

e-(1a

b

=

= b

0 d

e0

e-(1a

11

= B d e = B

d

Ta-

1

Ta-21

211

0

)-(Ta-0

)-(Ta-

1

0T

0

0)-(Ta-

)-(Ta-

1

T

0

)-(T AT

0

d

1

1

1

1

1

1

(3.342)

(3.343)

Modelul discret al servomotorului, sub forma ecuatiilor

de stare cu diferente, care descrie comportarea acestuia

la momentele de esantionare este

. 0 = x(0) ; (k)x

(k)x ] 0 1 [ = y(k)

u(k)

e-1a

b

e + 1 - Taa

b

+ (k)x

(k)x

e0

)e-(1a

11

= 1)+(kx

1)+(kx

2

1

Ta-

1

0

Ta-12

1

0

2

1

Ta-

Ta-

1

2

1

1

1

1

1

(3.344)

Functia de transfer în z a sistemului esantionat descris prin modeluldiscret.

. b )A - I(z c = (z) H d-1

dT

d(3.345)

Se calculeaza matricea inversa (zI - Ad)-1 obtinându-se

-z

10

)-1)(z-(z1-z

1

= )A-(zI-1

d

(3.346)

1/16/2015

20

cu α = (1/a1)(1 - e-a1T) β = e-a1T.

Tinând seama de (3.340), (3.343) si (3.346) din (3.345),

dupa efectuarea calculelor si simplificarilor posibile, se

obtine

. )e -(z a

e - 1 -

1-z

T

a

b = (z) H Ta-

1

Ta-

1

0d

1

1

(3.347)

Functia de transfer discrete Hd(z) se poate determina

direct din functia de transfer H(s)

)a+(ss

b)Zz-(1 =

s

H(s))Zz-(1 = (z)H

12

0-1-1d

(3.348)

Din (3.348) se obtine pentru Hd(z) o expresie

identica cu (3.347).

3.3.1. Controlabilitatea sistemelor dinamice liniare

netede

Definitia 3.4 Un sistem dinamic liniar constant neted

(continuu în timp) caracterizat de ecuatiile (3.142), (3.143)

Du + Cx =y

Bu + Ax = x

se spune ca este complet controlabil din punct de

vedere al starilor daca, pentru orice τ, exista un vector de

intrare u(t) care transfera orice stare initiala x(τ) în orice

stare finala x(t1), oricare ar fi t1 > τ > 0, t1 finit.

De asemenea se spune ca un sistem descris de ecuatiile

(3.142), (3.143) este complet controlabil din punct de vedere al

iesirii daca exista un vector de intrare u(t) care sa transfere

orice iesire initiala y(τ), oricare ar fi τ, în orice iesire finala

y(t1), oricare ar fi t1 > τ > 0, t1 finit.

1/16/2015

21

Pentru studiul controlabilitaiti starii sistemelor dinamice

liniare constante se utilizeaza foarte frecvent urmatoarea

teorema a lui Kalman.

Teorema 3.3. Un sistem dinamic liniar constant (3.142),

(3.143) este complet controlabil din punct de vedere al

starii daca si numai daca matricea de controlabilitate Qc

de dimensiune n x nm este de rang n.

B]A ... AB [B = Q -1nc

(3.366)

Deoarece controlabilitatea starii sistemelor dinamice liniare

constante este caracterizata numai de perechea de matrice

(A, B) se mai spune ca sistemul (A, B, C, D) este de stare

complet controlabila daca perechea (A, B) este

controlabila. O pereche (A,B) este controlabila daca si

numai daca rang Qc = n.

Fie doua sisteme echivalente (A, B, C, D) ~ )~

,~

,~

,~

( DCBA

Utilizând relatiile (3.243) se obtine

.n = Q rang = Q

~ rang

~~~~~~

cc

PQ = BPA...PABPB =

= PBPAP...PAPPAP...PBPAPPB = BA...BAB = Q

c-1n

-1-1-1-1-1n

c

(3.376)

relatii care expliciteaza invarianta controlabilitatii la

transformarile liniare nesingulare ale vectorului de stare.

Daca pentru un sistem (3.142), (3.143) se poate gasi o

transfor­mare nesingulara P prin care sa se obtina

sistemul echivalent sub forma

u D +

x

...

x

CC =y ;u

0

...

B

+

x

...

x

A0

....

AA

=

x

...

x

= x

2

1

21

1

2

1

22

1211

2

1

~

~

~

~

~

~

~

(3.377)

1/16/2015

22

CC = C ,

0

...

B

= B ,

A0

.....

AA

= A 21

1}

22

1211} n1n1

~~~

(3.374)

dim x1 = n1 , atunci sistemul este partial controlabil.

În acest caz matricea de controlabilitate este

0

...................................

BA ... BA B

= Q

1-1n

111111

n}

c

1

~ (3.379)

Tinând seama si de (3.376), din (3.379) rezulta

B A...B AB rang =

= B~

A~...B

~ A

~B~

rang = Q~

rang = Q rang

11n-

111111

1n-cc = n1 (3.380)

adica în (3.377) numai perechea (A11, B1) este controlabila.

Rezulta ca în acest caz sistemul (3.142), (3.143) nu este

complet controlabil din punct de vedere al starii.

1~x

2~x

Din structura ecuatiilor (3.377) se constata usor ca vectorul x2

nu depinde de vectorul u nici direct, nici prin intermediul

componentelor vectorului , deci componentele vectorului,

nu sunt controlabile.

x~

1~x

Daca se calculeaza matricea de transfer a sistemelor

echiva­lente (3.142), (3.143) si (3.377) se obtine

. D + B )A - (sI C = D + B )A - (sI C = H(s) 1-1

111-1

(3.381)

Teorema 3.4. Orice sistem este echivalent (în spatiul starilor)

cu un altul având structura (3.377), în care sistemul (A11 , B1,

C1, D) este controlabil si echivalent intrare/iesire cu sistemul

initial.

1/16/2015

23

b~

Pentru un sistem monovariabil, a carui matrice de evolutie A

are polinomul caracteristic Δ(s) - (relatia (3.180)) i se poate

atasa o reprezentare de stare cu matricea A~

si vectorul b~

de forma

.

1

0

0

0

0

= b ,

-.........--

100000

..................

000100

000010

= A

1-n10

~~

(3.388)

Perechea

defineste forma canonica controlabila a unui sistem dinamic liniar monovariabil (vezi relatiile (3.6), (3.7), (3.8).

Se verifica usor ca matricea de controlabilitate a formei cano­nice controlabile este de forma

)~

,~

( bA

unui sistem dinamic liniar monovariabil (vezi relatiile (3.6),

(3.7), (3.8). Se verifica usor ca matricea de controlabilitate a

formei canonice controlabile este de forma

defineste forma canonica controlabila a

xx...xx1

xx...x10

xx...100

.............

x1...000

10...000

= Qc (3.389)

Fiind o matrice triunghiulara rezulta imediat ca rang Qc = n,

deci sistemul sub forma canonica controlabila (3.388) este de

stare complet controlabila.

)~

,~,~

,~

( dcbA T printr-o transformare liniara nesingulara a carei

matrice se determina cu relatia

Un sistem monovariabil (A, b, cT, d) de stare complet

controlabila poate fi adus la forma canonica controlabila

1/16/2015

24

bA...,Ab,b, bA....,,bA,b = P -1n -1-1n ~~~~~(3.390)

Într-adevar sistemele (A, b, cT, d), )~

,~,~

,~

( dcbA T

fiind echivalente, între perechile (A, b) )~

,~

( bA exista relatiile

. b P = b

A P = PA~

~

(3.391)

Se construiesc vectorii bA....,,bA,b -1n ~~~~~

care sub forma matriceala determina urmatoarea ecuatie în

care necunoscuta este matricea P

. bAAb...b P = bA...b Ab -1n-1n ~~~~~(3.392)

Deoarece perechea (A, b) este controlabila, din ecuatiile

(3.392) se obtine relatia (3.390).

Exemplul 3.13. Fie sistemul dinamic liniar constant

. x

x 1] [1 =y ;u

1

1 +

x

x

21

12 =

x

x

2

1

2

1

2

1

Sa se studieze controlabilitatea starii acestui sistem

determinând rangul matricei de controlabilitate.

. 2 =n < 1 = Q rang

det

c

0 = Q ; 31

31 = AB B = Q ;

3

3 =

1

1

21

12 = AB

cc

Rezulta ca sistemul nu este complet controlabil din punct

de vedere al starilor.

3.3.2 Observabilitatea sistemelor dinamice liniare.

3.3.2.1. Observabilitatea sistemelor dinamice liniare

netede

1/16/2015

25

Observabilitatea este o proprietate a sistemelor dinamice

care pune în evidenta posibilitatea determinarii unei stari prin

„prelucrarea” marimii masurate.

Definitia 3.7. Un sistem dinamic liniar constant (3.142),

(3.143) se spune ca este de stare complet observabila, daca

pentru orice τ, vectorul de stare x(τ) oarecare poate fi

complet determinat pe baza cunoasterii vectorului de iesire

y(t) pe un interval de timp [τ,t1], (t1 > τ 0).

Pentru aprecierea observabilitatii sistemelor liniare netede

se utilizeaza frecvent urmatoarea teorema:

Teorema 3.11. Un sistem dinamic liniar constant neted este

de stare complet observabila daca rangul matricei (np x n)

de observabilitate este n.

CA

CA

C

= Q

1-n

0 (3.431)

Deoarece observabilitatea starii sistemelor dinamice liniare

netede este caracterizata doar de perechea de matrice (A, C)

se mai spune ca sistemul (A, B, C, D) este de stare complet

observabila daca perechea (A, C) este observabila. O pereche

(A, C) este observabila daca si numai daca rang Qo = n.,

Fie doua sisteme echivalente (A, B, C, D) ~ )~

,~

,~

,~

( DCBAUtilizând relatiile (3.243) se obtin

1/16/2015

26

.n = Q rang = Q~

rang

~~

~~

~

~

00

PQ = P

CA

...

...

CA

C

=

PAP...PAPPAPCP

....

....

PAP CP

CP

=

AC

...

...

AC

C

=Q-1

c-1

-1n-1-1-1-1

-1-1

-1

-1n

0

(3.437)

Relatiile (3.437) expliciteaza invarianta observabilitatii la

transformarile liniare nesingulare ale vectorului de stare.

Daca pentru un sistem (3.142),(3.143) se poate gasi o astfel

de baza a spatiului starilor (sau o transformare liniara

nesingulara adecvata) încât aceste ecuatii sa poata fi scrise

în forma

xC =y

uB + xA + xA = x

uB + xA = x

11

22221212

11111

~

~~~

~~

(3.349)

. n = X~ dim

~

~~

~

~

~

21 ,0 c = C

B

...

B

= B ;

A A

.............

0 A

= A ;

x

...

x

= x

1

2

1n}

2221

11n}

2

1n} 222

3.340)

atunci sistemul este partial observabil.

În acest caz matricea de observabilitate este

1/16/2015

27

1111

2111

111

1

0~

n

0

AC

AC

AC

C

=Q (3.441)

Tinându-se seama de (3.437) si (3.441) rezulta

AC

AC

C

rang = Q rang = Q~

rang

1n-111

111

1

00

= n2 (3.342)

adica în (3.439) numai perechea (C1, A11) este observabila.

Rezulta ca în acest caz sistemul

(3.142), (3.143) nu este complet observabil.

Pentru un sistem monovariabil cu polinomul caracteristic

Δ(s) - (relatia (3.180)), i se poate asocia o reprezentare de

stare

ud + xc =y

ub + xA = x

T ~~~

~~~~

d = d ,00001 = c

b

....

b

b

= b ,

00000-

10000-

..................

00010-

00001-

= A

T

n

2

1

0

1

2-n

-1n

~~

~

~

~

~~

(3.444)

(3.445)

1/16/2015

28

care constituie forma canonica observabila a unui sistem

monovariabil. Matricea de observabilitate pentru sistemul

(3.444), (3.445) este

.

1xxxxx

01xxxx

..................

0...01..xx

0...00..1x

0...00..01

= Q~

0

(3.446)

Fiind o matrice triunghiulara, rezulta = n Q ~

rang0

Deci sistemul monovariabil în forma canonica

observabila este complet observabil.

Un sistem monovariabil (A, b, cT, d) de stare complet

observabila poate fi adus la forma canonica observabila

)~

,~,~

,~

( dcbA Tprin­tr-o transformare liniara nesingulara

a carei matrice se determina unic cu relatia

.

Ac

...

...

Ac

c

Ac

...

...

Ac

c

= Q Q = P

-1nT

T

T

-1nT

T

T -1

0

-1

0

~~

~~

~

~(3.447)

Relatia (3.447) se poate demonstra utilizând ecuatia (3.437).

Exemplul 3.15. Fie sistemul dinamic liniar constant

1/16/2015

29

. x

x1] [1 =y ;u

1

1 +

x

x

21

12 =

x

x

2

1

2

1

2

1

Sa se studieze observabilitatea starii acestui sistem determinând

rangul matricei de observabilitate

3] [3 = 21

121] [1 = Ac ;1] [1 = c

TT

0 = Q det ; 31

31 =

Ac

c = Q 0

T

T

0

2 = n < 1 = Q rang0

Rezulta ca sistemul nu este de stare complet observabila.