DANIEL C. IOANUniversitatea \Politehni a" Bu urestiCIRCUITE ELECTRICEREZISTIVEBreviare teoreti e si probleme

Editura2000

DANIEL C. IOANCIRCUITE ELECTRICE REZISTIVEBreviare teoreti e si problemeReferenti stiinti i: Conf.dr.ing. Irina MunteanuS.l. dr. ing. Gabriela Ciuprina

Editura, 2000Bu uresti

2

PrefataLu rarea Cir uite ele tri e rezistive se adreseaza n primul rand studentilorde la fa ultatile de prol ele tri : ele trotehni a, ele troni a, automati a si al- ulatoare, ele troenergeti a sau instalatii ele tri e, dar ea este de un real folos naprofundarea unostintelor pentru ori e student din nvatamantul superior tehni si stiinti , inginerilor, tehni ienilor sau zi ienilor. Multe apitole pot folositede elevii ultimelor lase din li eele teoreti e sau de spe ialitate, mai ales pentrupregatirea examenului de ba alaureat sau a admiterii la fa ultate, la dis iplinaFizi a.Volumul reprezinta rezultatul unei experiente dida ti e ndelungate n atedrade Ele trotehni a a Universitatii Politehni a din Bu uresti. El a fost elaborat nperioada 1970-1980 si a fost mbunatatit ulterior, prin dire ta intera tiune u ze ide generatii de studenti are au urmat ursul de Bazele ele trotehni ii, semestrulntai din anul al II-lea de studiu.De izia de a pune lu rarea la dispozitia publi ului larg se datoreaza pe deo parte rea tiei extrem de pozitive din partea elor are au folosit ontinutulei n pregatirea lor stiinti a si tehni a fundamentala, iar pe de alta parte so-li itarilor din partea noilor generatii de studenti, preparatori si asistenti, de aavea la dispozitie un material dida ti are sa permita studiul individual, ntr-omaniera e ienta.Lu rarea trateaza ntr-o maniera originala teoria ir uitelor ele tri e rezistiveliniare si neliniare, din pun tul de vedere al apli atiilor pra ti e. Continutullu rarii este stru turat n patru apitole.Primul apitol este dedi at fundamentelor teoriei ir uitelor ele tri e: e ua-tiile lui Kir hho, puterea transferata de elementele de ir uit, formularea matri- eal-topologi a a e uatiilor fundamentale si o tre ere n revista a prin ipalelore uatii onstitutive ale elementelor ideale de ir uit ele tri .Al doilea apitol al lu rarii se refera la ir uitele ele tri e rezistive lini-are, insistandu-se asupra metodelor de analiza a a estor ir uite: metode bazatepe transgurari, metoda e uatiilor lui Kir hho atat n urenti at si n ten-siuni, metoda urentilor i li i, metoda potentialelor nodurilor pre um si meto-dele Thevenin-Norton. Un paragraf spe ial este dedi at ir uitelor nere ipro e, u surse omandate liniar sau ampli atoare operationale u rea tie negativa.Capitolul se n heie u un paragraf dedi at teoremelor generale ale ir uitelorrezistive neliniare, um sunt teorema superpozitiei si ea a re ipro itatii.Capitolul al treilea este dedi at analizei ir uitelor rezistive neliniare. Suntprezentate: metoda dreptei de sar ina, analiza ir uitelor u ara teristi i liniarepe portiuni, metoda mi ilor variatii dar si metodele iterative pentru analiza a es-tor ir uite. Capitolul se n heie u un paragraf dedi at teoremelor generale ale ir uitelor rezistive neliniare.In ultimul apitol se trateaza ateva probleme si tehni i spe iale utilizaten studiul ir uitelor rezistive, um sunt metoda grafurilor de uenta si analizai

senzitivitatilor.Prin ipalele trasaturi ara teristi e si de originalitate ale lu rarii on-stau n: e are paragraf este al atuit dintr-un breviar teoreti n are sunt sinte-tizate prin ipalele unostinte ne esare abordarii apli atiilor, denitii, for-mule, metode si tehni i, fara a in lude demonstratii omplete, urmat de oserie de probleme ilustrative propuse, a aror rezolvare se poate fa e u unefort de al ul numeri redus; spre deosebire de alte ulegeri similare, a entul este pus pe ntelegerea on eptelor fundamentale, are din experienta noastra dida ti a ridi a di- ultati, hiar da a sunt aparent simple: sensuri de referinta pentru urentisi tensiuni, onventii de semn, reguli de aso iere a sensurilor, deosebireadintre elementele reale si ele ideale de ir uit ele tri , formularea ore taa ir uitelor u elemente ideale, on eptul de e hivalenta n teoria ir uite-lor, modelarea aproximativa, alegerea metodelor optime de analiza, analizatopologi a a ir uitelor, et ; hiar da a autorul nu este adeptul retetelor de rezolvare a problemelor, nlu rare sunt prezentate mai multi algoritmi de rezolvare, aso iati hiar unormetode simple, n vederea dezvoltarii gandirii algoritmi e a studentilor,abordare foarte apre iata de a estia; problemele propuse au fost alese u grija dintre a elea are au o maximarelevanta pentru apli atiile pra ti e, ntalnite n viata de zi u zi a ingine-rilor, motiv pentru are a entul a fost pus pe ir uite ele troni e, ele tri erezistive, atat liniare at si neliniare; prin par urgerea sistemati a a lu rarii, ititorul nvata sa-si formuleze singurprobleme interesante, are nu presupun al ule numeri e ompli ate si ausolutii exprimabile prin numere ntregi; a entul este pus pe ir uitele rezistive, n vederea apatarii deprinderiloresentiale ne esare analizei ir uitelor, urmand a ulterior a estea sa e usorextensibile la azul ir uitelor n regim variabil; un alt a ent este pus pe rezolvarea manuala rapida, hiar si prin metodeaproximative, a o alternativa la analiza automata u programe de al- ul de tip SPICE, n vederea apatarii deprinderilor ne esare ntelegeriifun tionarii si depanarii unor ir uite ele troni e omplexe, usurand astfelpar urgerea ursului de Dispozitive si ir uite ele troni e.Aparitia a estei lu rari nu ar fost posibila fara olaborarea unor studenti,tehni ieni si tinere adre dida ti e. Dorim sa adu em pe a easta alemultumiri-le noastre domnului Matei Dorian, are a realizat partea gra a n primul ma-nus ris al lu rarii si studentilor: ii

Merode Costin-Catalin; Radules u Marius-Cristian; Blujdea Gabriel; Sabareanu Robert-Petru, are au realizat tehnoreda tarea nala a manus risului, folosind instrumenteleXg si LATEX sub Linux, n Laboratorul de Metode Numeri e (LMN) din atedrade Ele trotehni a a Universitatii Politehni a din Bu uresti.Multumim deasemenea referentilor stiinti e Conf. Dr. ing. Irina Munteanusi sefei de lu rari Dr. ing. Gabriela Ciuprina, pentru atenta itire a lu rarii.

iii

iv

CuprinsPrefata iii1 Fundamentele teoriei ir uitelor ele tri e 11.1 E uatiile lui Kir hho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Puteri transferate de elementele de ir uit . . . . . . . . . . . . . 141.3 Matri e de in identa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Elemente ideale de ir uit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Cir uite ele tri e rezistive liniare 432.1 Teoreme de e hivalenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Metoda e uatiilor lui Kir hho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3 Metoda urentilor i li i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4 Metoda potentialelor nodurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.5 Metodele Thevenin si Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.6 Cir uite ele tri e liniare nere ipro e . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.7 Teoremele ir uitelor rezistive liniare . . . . . . . . . . . . . . . . 1053 Cir uite ele tri e rezistive neliniare 1153.1 Cir uite liniare u un dipol neliniar . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2 Elemente u ara teristi i liniare pe portiuni . . . . . . . . . . . . 1263.3 Metoda mi ilor variatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.4 Metode iterative pentru analiza ir uitelor rezistive neliniare . . . 1433.5 Teoremele ir uitelor rezistive neliniare . . . . . . . . . . . . . . . 1544 Probleme spe iale ale analizei ir uitelor rezistive 1734.1 Metoda grafurilor de uenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.2 Cal ulul senzitivitatilor ir uitelor rezistive . . . . . . . . . . . . . 184Bibliograe 195v

CUPRINS

vi

Capitolul 1Fundamentele teoriei ir uitelorele tri e1.1 E uatiile lui Kir hhoBREVIARElementul dipolar de ir uit reprezinta un domeniu spatial a arui intera tiuneele tri a u exteriorul se realizeaza prin intermediul a doua parti disjun te alesuprafatei sale, numite borne (g. 1.1).borna2borna1

E.D.C.Fig. 1.1.Prin ir uit ele tri (sau retea ele tri a) vom ntelege o multime de elementedipolare one tate pe la borne (g. 1.2).Intr-un ir uit nu are importanta asezarea elementelor, i doar modul de o-nexiune dintre ele; astfel ir uitul din gura 1.2 este e hivalent u el din -gura 1.3. Din a est motiv, se spune a n teoria ir uitelor ele tri e spatiul estenzestrat u o stru tura topologi a si nu u una metri a (distantele, unghiurile,lungimile nu au importanta).T inand ont de observatia anterioara, stru tura unui ir uit este ara terizata omplet de graful G al ir uitului.Graful unui ir uit este al atuit dintr-o multime de pun te, numite noduri are reprezinta bornele elementelor de ir uit, unite prin ar e de urba numitelaturi, a estea reprezentand elementele dipolare.Numarul laturilor se va nota n ontinuare u L iar numarul nodurilor unuigraf se va nota u N.Graful din gura 1.4 este aso iat ir uitului din gura 1.2 si are L=5, N=4.1

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE(1)

(2) (4)

(3)

E 1E 3 E 5

E 2

E 4

Fig. 1.2. E 1

3E

E 2

(3)

E 4

(2)

(4)

(1)

E5Fig. 1.3.Pentru a reprezenta onexiunile unui element avand bornele polarizate (nee- hivalente) se utilizeaza grafurile orientate, la are e are latura este mar ata uo sageata. Doua grafuri sunt e hivalente da a au a elasi numar de laturi, iar la-turile sunt one tate similar. Da a ele doua grafuri sunt orientate atun i laturile orespondente trebuie sa e orientate similar. Pentru ara terizarea antitativaa intera tiunii ele tri e a unui element dipolar u exteriorul se utilizeaza douamarimi zi e: urentul si tensiunea ele tri a.1. Intensitatea urentului ele tri este o marime1 2

(4)

(3)

(2)

4 5

(1) 3Fig. 1.4.zi a s alara (pozitiva sau negativa) aso iata unui sensde referinta mar at de-a lungul elementului (g. 1.5).Ea se noteaza u i (sau I, da a este onstanta n timp)si se masoara n amperi [A.Sagetile mar ate n gura 1.5 nu reprezinta sensulreal al urentului i sensul de referinta al a estuia.La s himbarea sensului de referinta se s himba semnulintensitatii urentului; astfel, pentru intensitatile i1 si i2mar ate n gura 1.6 se poate s rie:k

k k

latura k

iE

iE

iE

i Fig. 1.5.i1 = i2:Curentul se masoara u un aparat dipolar numit ampermetru, are se one -teaza n ir uit asfel n at sa e strabatut de urentul masurat. Ampermetrulmasoara urentul e-l par urge de la borna sa "plus" la borna "minus". Se poate onsidera a e are sens de referinta pentru urent reprezinta un simbol pentru2

1.1. ECUATIILE LUI KIRCHHOFFampermetru, indi and si felul n are a esta este montat n ir uit. Pentru re-prezentarea urentilor e strabat elementele dipolare ale unui ir uit ele tri seutilizeaza graful de urent GI (g. 1.7) are este un graf orientat, u laturileorientate onform sensurilor de referinta ale intensitatilor urentilor.Se va evita utilizarea expresiilor: " urentul dintr-un ir-i 1 i 2E.D.C.Fig. 1.6. uit", " urentul pe un element de ir uit", a eptate indexpresiile: " urentii dintr-un ir uit"; " urentul e strabateun element de ir uit". Este obligatoriu a ori e referire laintensitatea unui urent sa e pre edata de alegerea sensu-lui de referinta al a estuia. Curentii ori arui ir uit ele tri sunt supusi unor restri tii. A este restri tii sunt generate deprima teorema a lui Kir hho are arma a: suma algebri a a intensitatilor urentilor din laturile e on ura la un nod al ir uitului este egala u zero:alg:Xk2(j) ik = 0: (1.1)In a easta suma se tre u plus urentii e para-

G i

i 3 (4)(1)

(2)

(3)

i

i i1 2

4i 5

Σ

Fig. 1.7.ses nodul si u minus urentii e intra n nod.Se spune a un graf de urent GI este onsistentda a valorile intensitatilor din laturile sale satis-fa prima e uatie a lui Kir hho (1.1). Conse intaprin ipala a primei e uatii a lui Kir hho onstan faptul a suma aritmeti a a urentilor e intrantr-un nod este egala u suma aritmeti a a urenti-lor e parases nodul. Pentru gura 1.7 se poatearma a: pentru nodul (1): i4 = i1 + i3; pentru nodul (3): i4 + i5 = 0.Prin s aderea a estor relatii rezulta:i5 = i1 + i3 sau i1 + i3 + i5 = 0:Se onstata a suma algebri a a urentilor e parases o suprafata n hisa este nula. A easta armatie este o alta onse inta a primei e uatii a lui Kir hho:alg:Xk2fjg ik = 0: (1.2)S-a notat u fjg se tiunea j, are reprezinta o multime de laturi prin elimina-rea arora graful ir uitului (initial onex) sa devina ne onex, iar reintrodu ereaori arei laturi n graf sa restabileas a onexiunea grafului. Se tiunea reprezinta,3

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEdin pun tul de vedere al teoriei grafurilor o suprafata n hisa, urmand a laturileunei se tiuni sa e laturile grafului interse tate de a ea suprafata n hisa.Suprafata n hisa se onsidera orientata n sensul normalei exterioare, urmand a pe laturile unei se tiuni sa oexiste sensul de referinta al urentului din gra-ful GI si sensul de orientare al suprafetei (din interior spre exterior). In sumaalgebri a (1.2) se tre u plus urentii din laturile se tiunii, la are sensul dereferinta al urentului oin ide u sensul de orientare al se tiunii ( urentii eparases se tiunea) si se tre u minus urentii din laturile se tiunii la are sensulde referinta al urentului este opus sensului de orientare al se tiunii ( urentii eintra n se tiune).E k

u

u AB

A BFig. 1.8.2. Tensiunea ele tri a este o marime zi a s alara(pozitiva sau negativa) aso iata unei pere hi ordonate deborne. Ea se noteaza u u (sau U, da a este onstanta ntimp) si se masoara n volti [V. Pentru ordonarea pere- hii de borne se utilizeaza "sensul de referinta al ten-siunii" (g. 1.8), are reprezinta o urba orientata avand a extremitati bornele ntre are se al uleaza tensiunea.S himbarea sensului de referinta al tensiunii determinas himbarea semnului tensiunii; astfel, pentru gura 1.9se poate s rie: u1 = u2:Tensiunea se masoara u un aparat dipolar numitu 1

u 2A BFig. 1.9. voltmetru, are se one teaza n ir uit astfel n at bor-nele sale sa e puse n onta t u pun tele ntre are sedoreste a se determina tensiunea. Voltmetrul masoaratensiunea orientata de la borna "plus" la borna sa "mi-nus".Se poate onsidera a e are sens de referinta pen-

u 5

u 2

u 3

u 4

u 1

(4)

(3)

(2)

(1) Fig. 1.10. tru tensiune reprezinta un simbol pentru voltmetru, in-di and felul n are a esta este montat n ir uit.Pentru reprezentarea tensiunilor la bornele elemen-telor dipolare ale unui ir uit ele tri se utilizeaza grafulde tensiune GU (g. 1.10), are este un graf orientat ulaturile orientate onform sensurilor de referinta ale ten-siunilor ele tri e.Tensiunea ele tri a ind o marime zi a aso iata uneipere hi de borne, are sens sa se vorbeas a despre tensiu-nea ntre doua noduri ntre are nu exista one tat ni iun element dipolar. De exemplu, u32 este tensiunea ntre nodurile (3) si (2) dingura 1.10. 4

1.1. ECUATIILE LUI KIRCHHOFFGraful de tensiune GU poate extins pana la un graf omplet e ontine olatura ntre ori are pere he de noduri.Se va evita utilizarea expresiilor: "tensiunea dintr-un ir uit", "tensiuneadintr-un element de ir uit", a eptate ind expresiile: "tensiunile unui ir uit","tensiunea la bornele unui element de ir uit". Se re omanda evitarea dubleisageti pentru mar area unei tensiuni (g. 1.11.a), preferandu-se nlo uirea usimpla sageata (g. 1.11.b). Tensiunile unui ir uit sunt supuse restri tiilor gu-vernate de a doua e uatie a lui Kir hho. A easta e uatie se refera la on eptula. b.

u u

+ -Fig. 1.11.de bu la, e reprezinta o multime de laturi are al atuies o urba n hisa orien-tata u un sens de par urs.Portiunea de bu la uprinsa ntre doua no-,

)

Sensul de par-curs al buclei [j]

referinta al tensiunii u k

u m

u k

u 2u 1

Sensul de Fig. 1.12.duri su esive se identi a u latura orespunza-toare din graful de tensiune GU , urmand ape a ea latura sa oexiste sensul de referintaal tensiunii si sensul de par urs al bu lei ( eledoua sensuri putand identi e sau nu).A doua teorema a lui Kir hho arma a:suma algebri a a tensiunilor laturilor uneibu le este egala u zero:alg:Xk2[juk = 0: (1.3)In a easta suma, se tre u plus tensiunile e au sen-

AB

u

u

uu

u

u 1

5

32

4

6Fig. 1.13.sul de referinta identi u sensul de par urs al bu lei (u1,uk n gura 1.12), si u minus tensiunile e au sensul dereferinta opus sensului de par urs al bu lei (u2, um ngura 1.12).Se spune a un graf de tensiune GU este onsistentda a valorile tensiunilor laturilor satisfa a doua e uatiea lui Kir hho (1.3). O onse inta a elei de-a douae uatii a lui Kir hho (1.3) este faptul a tensiunea ntre ele doua noduri este egala u suma algebri a a tensiunilor de pe o ale orientata e leaga ele doua noduri, indiferent are este a easta ale. De exemplu, n gura5

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE1.13: u1 = u2 + u3 u4;u1 = u5 + u6:O alta onse inta onsta n faptul a e arui nod al unei retele i se poateaso ia o marime zi a, numita potential ele tri are este denita a tensiuneade la nodul respe tiv la un nod de referinta mar at a n gura 1.14.vi = ui0 ; vj = uj0:Potentialul se masoara, a si tensiunea, u voltmetrul, one tand borna sa"minus" la nodul de referinta. Potentialul nodului de referinta este prin denitienul. Tensiunea ntre doua noduri uij se exprima, on-i0u j0u

nodul dereferinta

u ij

(j)(i)

(0)

i jv v

Fig. 1.14. form primei onse inte a teoremei a doua Kir hho, a diferenta dintre potentialul nodului de ple are vi sipotentialul nodului de sosire vj.uij = vi vj: (1.4)La s himbarea nodului de referinta se modi a toatepotentialele (printr-o translatie) dar tensiunile ramaninvariante la a easta transformare. Din a est motiv sespune a potentialele sunt denite pana la o onstantaaditiva.In ontinuare sunt prezentate o serie de denitii utile apli arii e uatiilorKir hho.Se numeste arbore al unui graf G, un subgraf GA u N noduri ale arui laturinu formeaza bu le (g. 1.15).ramura

Graf Arbore Coarbore

G GA CG

coarda

)

)

Fig. 1.15. Fig. 1.16.Se numeste oarbore al grafului G, subgraful GC e se obtine prin eliminarealaturilor unui arbore. Laturile arborelui se numes ramuri iar laturile oarboreluise numes oarde. Un graf G u L laturi si N noduri ontine N-1 ramuri si L-N+1 oarde. Un graf poate avea mai multi arbori si oarbori(g. 1.16).6

1.1. ECUATIILE LUI KIRCHHOFFTensiunile din ramuri sunt independente din pun tul de vedere al elei de-adoua e uatii Kir hho (pot alese arbitrar fara sa ontrazi a e uatia, deoare earborele nu ontine ni i o bu la).Tensiunile din oarde pot al ulate n mod univo , apli and a doua e uatieKir hho, n fun tie de tensiunile din arbore, deoare e e are oarda n hide ateo bu la.A este observatii permit sa se arme a pentru o retea se pot s rie (L-N+1)e uatii Kir hho II independente, pe un sistem de bu le fundamentale, ge-nerate e are de ate o oarda si n rest de ramuri.Curentii din laturile unui oarbore sunt independenti din pun tul de vedere alprimei e uatii Kir hho (pot alesi arbitrar fara sa ontrazi a e uatia Kir hhoI, deoare e nu se pot forma se tiuni doar din oarde).Curentii din arbore pot al ulati n mod univo n fun tie de urentii din oarbore, apli and prima e uatie Kir hho, deoare e e are ramura genereaza ose tiune al atuita din a ea ramura si n rest din oarde.A este observatii permit sa se arme a pentru o retea se pot s rieN-1 e uatiiKir hho I independente pe un sistem de se tiuni fundamentale, generatee are de ate o ramura si n rest de oarde. E uatiile Kir hho pentru urenti,s rise n N-1 noduri distin te, indiferent are sunt a estea, al atuies un sistemde e uatii liniar independente.

7

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEPROBLEME1.1.1. Sa se reprezinte grafurile ir uitelor din gura 1.1.1 si sa se determineparametrii topologi i L si N.b. c.a.

d. f.e.Fig. 1.1.1.1.1.2. Sa se determine lasele de e hivalenta n multimea de grafuri din gura1.1.2.G 1 G 3

G 2 G 4

G 5 G 6G 7Fig. 1.1.2.1.1.3. Sa se determine lasele de e hivalenta ale multimii de grafuri orientatedin gura 1.1.3.1.1.4. Sa se al uleze intensitatile urentilor din grafurile de urent GI repre-zentate n gura 1.1.4, presupunand a ele sunt aso iate a eluiasi ir uit ele tri .8

1.1. ECUATIILE LUI KIRCHHOFFG

1 G 3G 2

G 4 G 5 G 6Fig. 1.1.3.a. b. c.

I II

4I

I =-1A5 I =1A1

I =-2A4 I =4A3

I =-4A2

I =6-2A

II

5I1

6

4

I2

I 3

I5 16I

I

32Fig. 1.1.4.1.1.5. Sa se ompleteze grafurile de urent din gura 1.1.5 apli and primae uatie Kir hho si sa se veri e apoi e uatiile pentru diferite se tiuni.

-5A 3A

1A -2A

2A

-1A-3A-1A

d. e. f.

2A

1A

5A3A -1A

2A

1A

4A

1A -3A

4A

2A

c.a. b.Fig. 1.1.5.1.1.6. Sa se al uleze tensiunile ele tri e din grafurile GU prezentate n gura1.1.6, presupunand a grafurile sunt aso iate a eluiasi ir uit ele tri .1.1.7. Sa se ompleteze grafurile de tensiune din gura 1.1.7 si sa se veri erezultatul apli and a doua e uatie Kir hho pe alte bu le ale ir uitului.1.1.8. Sa se al uleze tensiunile din grafurile prezentate n gura 1.1.8 nfun tie de potentialele nodurilor. 9

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEU 5U 4

U 2

3U

U 1

U 2U 1 U 5

U 4 3U3V

6V

2V

(4)

(2)

(1)

(3)

5V1V

c.b.

(1)

(2)

(4)

(3)

(1) (3)(2)

(4)

a. Fig. 1.1.6.5V

3V

2V

-2V 2V

3V

3V 2V 2V

2V3V

3V

-5V

-1V 2V

3V

a. b. c.

f.e.d. Fig. 1.1.7.-5V0V 0V 2V

-3V

0V

2V

5V

3V2V -3V 3V

a. b. c.Fig. 1.1.8.1.1.9. Sa se al uleze potentialele nodurilor la grafurile de tensiune prezen-tate n gura 1.1.9 si sa se ompleteze a este grafuri.1.1.10. Sa se al uleze potentialele nodurilor la grafurile de tensiune din -gura 1.1.10, presupunand, pe rand, e are nod a nod de referinta.1.1.11. Sa se determine toti arborii grafurilor din gura 1.1.11.10

1.1. ECUATIILE LUI KIRCHHOFF3V 3V2V

-5V

2V2V

5V3V

a. b. c.Fig. 1.1.9.3V

5V

2V

-1V

a. b. c.

5V2V

5V

3V

2VFig. 1.1.10.a. b. c. d.

e. f.Fig. 1.1.11.11

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE1.1.12. Considerand a grafurile din gura 1.1.12, sunt grafuri de urent, sase aleaga pe oardele unui oarbore urenti arbitrari si sa se al uleze urentiidin ramuri.a. b. c. d. e.Fig. 1.1.12.1.1.13. Presupunand a grafurile din gura 1.1.13, sunt grafuri de tensiune,sa se aleaga pe ramurile unui arbore tensiuni arbitrare si sa se al uleze tensiuniledin oarde. Sa se veri e rezultatele apli and e uatia Kir hho II pe alte bu lede at ele fundamentale.

a. b. c.

d. e.Fig. 1.1.13.1.1.14. Sa se determine are din grafurile reprezentate n gura 1.1.14 suntgrafuri de urent onsistente (la are e uatiile Kir hho I sunt veri ate).2A

7A

4A2A

5A3A

2A

3A4A 5A

a. b. c.

-3A-3A2A

-1A1A

0AFig. 1.1.14.12

1.1. ECUATIILE LUI KIRCHHOFF1.1.15. Sa se determine are din grafurile reprezentate n gura 1.1.15 suntgrafuri de tensiune onsistente (la are e uatiile Kir hho II sunt veri ate).a. b. c.

2V

3V -1V7V

3V

3V

5V 4V3V

2V2V

-2V

-2V5V-2VFig. 1.1.15.

13

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE1.2 Puteri transferate de elementele de ir uitBREVIARElementele dipolare de ir uit ele tri sunt apabile sa absoarba, de la reteauadin are fa parte, energie ele tri a pe are o pot nmagazina sau disipa sub alteforme de energie; deasemenea ele pot livra energie ele tri a ir uitului. Transferulde energie ele tri a se realizeaza pe la borne iar puterea transferata de unelement dipolar (masurabil n Wati) satisfa e relatia:p = ui: (1.5)Pentru a unoaste sensul transferului energeti (de la element spre retea sauinvers) este ne esara unoasterea semnului produsului ui si a modului n are aufost alese sensurile de referinta ale tensiunii u si ale urentului i.Cele patru moduri n are se pot aso ia sensurile de referinta ale tensiunii si urentului la un element dipolar se mpart n doua ategorii numite reguli deaso iere a sensurilor.Regula de aso iere a sensurilor de la re eptoare (g. 1.17) orespunde azuluin are tensiunea si intensitatea urentului au a elasi sens de referinta fata deborne. In a est az sensul onventional al puterii p este de la ir uit spre element.p p

u

iA B

u

iA BFig. 1.17.Regula de aso iere a sensurilor de la generatoare (g. 1.18) orespunde azuluin are tensiunea si intensitatea urentului au sensuri de referinta opuse fata deborne. In a est az sensul onventional al puterii p este de la element atre ir uit.

p p

u

iA B

u

iA BFig. 1.18.Determinarea sensului real al transferului de energie se fa e dupa urmatoarele14

1.2. PUTERI TRANSFERATE DE ELEMENTELE DE CIRCUITreguli, reprezentate n gura 1.19.semnul lui p=ui regula de aso iere sensul real de transfer alputerii+ re eptoare absorbita de element+ generatoare produsa de element- re eptoare produsa de element- generatoare absorbita de element|p|=|ui| |p|=|ui| |p|=|ui| |p|=|ui|

iu

ui>0 ui<0

iu

ui<0

iu

iu

ui>0 Fig. 1.19.Puterile transferate de elementele unui ir uit ele tri satisfa o e uatie de onservare data de teorema Tellegen. Da a doua grafuri, unul de urent GI siunul de tensiune GU , sunt e hivalente a grafuri orientate, atun i:LXk=1 ukik = 0: (1.6)Da a ele doua grafuri sunt e hivalente doar a grafuri neorientate atun irelatia (1.6) ramane valabila u onditia a suma sa e algebri a. Conventia desemn adoptata onsta n onsiderarea semnului plus pentru laturile u sensurileaso iate onform regulii de la generatoare si a semnului minus n az ontrar. In onse inta da a grafurile GU si GI sunt aso iate a eleiasi retele ele tri e, sumaalgebri a a puterilor transferate de toate elementele retelei este nula.algXk=1;L pk = 0: (1.7)Conditia de e hivalenta a grafurilor orientate reprezinta faptul a reteaua areadoptata, pentru toate elementele, regula de aso iere a sensurilor de la re eptoare.Rezulta de i a n ori e ir uit ele tri , n ori e moment suma aritmeti a aputerilor onsumate este egala u suma puterilor generate.Relatia (1.6) este valabila si atun i and se onsidera tensiunile uk ale unui ir uit C1 si urentii ik ai unui ir uit C2, u onditia a ir uitele C1 si C2 saadmita a elasi graf G ( ir uitele au a eeasi stru tura topologi a). In a est az15

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEprodusul ukik se masoara tot n Wati dar nu reprezinta o putere transferata i o"pseudoputere". In on luzie se poate spune a teorema lui Tellegen garanteazanu numai bilantul puterilor, i si pe el al pseudoputerilor.PROBLEME1.2.1. Sa se determine regulile de aso iere a sensurilor la dipolii din gura1.2.1 si sa se al uleze puterile transferate si sensul a estora.1A

3V

2A

-5V

-4A

-6V

-2A

4V

3A

6V

2A

10V

-1A

-2V

-2A

-4V

a. b. c. d.

e. f. g. h.Fig. 1.2.1.1.2.2. Sa se al uleze intensitatile urentilor la dipolii din gura 1.2.2.V=8V

B

AV=-3V

20W10W 30W10W

5V 2V-4V

a. b. c. d.Fig. 1.2.2.1.2.3. Sa se al uleze tensiunile la bornele dipolilor din gura 1.2.3.1.2.4. Sa se ompleteze grafurile de urent GI si grafurile de tensiune GUdin gura 1.2.4 si sa se indi e regulile de aso iere a sensurilor pentru laturilegrafurilor. Sa se ompare suma puterilor absorbite de elemente u suma puterilor16

1.2. PUTERI TRANSFERATE DE ELEMENTELE DE CIRCUIT10W

d.

-2A10A

3W

c.

5W

-1A

b.

20W

2A

a. Fig. 1.2.3.generate de elemente, pentru e are pere he de grafuri.10V

2A4A

2V

-5V

10V-1A2A

5A

10V

-20V

3V2A 1A

3A

5A

-2A

3A

a. b.

2V 3V

c. d.Fig. 1.2.4.1.2.5. Sa se genereze un graf G u L laturi si N noduri. Pe un arbore al a estuigraf sa se aleaga tensiuni arbitrare si sa se ompleteze graful Gv. Sa se aleaga urenti arbitrari n laturile unui oarbore si sa se ompleteze graful de urent GI ,astfel n at sensurile de referinta sa e aso iate dupa regula de la generatoare.Sa se veri e teorema Tellegen determinandu-se pentru e are latura sensul realal puterii.Apli atie:a) N=3, L=6;b) N=4, L=7; ) N=5, L=8.17

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE1.3 Matri e de in identaBREVIARPentru reprezentarea numeri a a stru turii ir uitelor ele tri e se utilizeazamatri ele de in identa (sau apartenenta). A estea se numes si matri e topo-logi e deaore e des riu topologia ir uitelor si au valori ale elementelor 0, +1sau 1. In ontinuare, se adopta urmatoarea onventie de numerotare a laturi-lor: primele (N-1) laturi apartin unui arbore, iar elelalte (L-N+1) laturi apartinunui oarbore.Matri ea de in identa a laturilor la noduri A0 este o matri e u L oloane si N linii avand elementele:aij = 1, da a latura j iese din nodul (i);aij = 1, da a latura j intra n nodul (i);aij = 0, da a latura j nu este in identa la nodul (i).Matri ea A0 se des ompune n doua submatri i:A0 = [A0a; A0 ;n are A0a ontine primele (N-1) oloane, aso iate laturilor din arbore, iar A0 ontine ultimele (L-N+1) oloane, aso iate laturilor din oarbore. Da a din ma-tri ea A0 se elimina o linie, se obtine o matri e A numita matri e redusa deapartenenta a laturilor la noduri.Matri ea de in identa a laturilor la bu lele fundamentale B este omatri e u L oloane si (L-N+1) linii avand elementele:bij = 1, da a latura j apartine bu lei [i si are sensul de referinta identi usensul de par urs al bu lei;bij = 1, da a latura j nu apartine bu lei [i si are sensul de referinta opussensului de par urs al bu lei;bij = 0, da a latura j nu apartine bu lei [i.Matri ea B se des ompune n doua submatri i:B = [Ba; B ;n are Ba ontine primele (N-1) oloane, aso iate laturilor din arbore, iar B ontine (L-N+1) oloane aso iate oarborelui. Da a bu lele fundamentale, gene-rate e are de atre o oarda, sunt numerotate n ordinea data de oardele arele genereaza, atun i: B = [Ba; U (1.8)unde U este matri ea unitate de ordinul (L-N+1).Matri ea de in identa a laturilor la se tiunile fundamentale D esteo matri e u L oloane si (N-1) linii avand elementele:dij = 1, da a latura j apartine se tiunii fig si are sensul de referinta identi u sensul de orientare a se tiunii; 18

1.3. MATRICE DE INCIDENT Adij = 1, da a latura j apartine se tiunii fig si are sensul de referinta opussensului de orientare a se tiunii;dij = 0, da a latura j nu apartine se tiunii fig.Matri ea D se des ompune n doua submatri i:D = [Da...D ;n are Da ontine (N-1) oloane, orespunzatoare laturilor din arbore, iar D are (L-N+1) oloane, orespunzatoare laturilor din oarbore. Da a se tiunilefundamentale, generate e are de ate o ramura, sunt numerotate u numereleramurilor e le genereaza, atun i: D = [U ...D ; (1.9)n are U este matri ea unitate de ordinul (N-1).Matri ele A, B si D au liniile independente, rangul matri ilor A si D este(N-1) iar rangul matri ei B este (L-N+1).Matri ea B este ortogonala fata de matri ele A si D:BAT = 0; BDT = 0; (1.10)n are s-a notat u MT transpusa matri ei M.Da a B = U si Da = U atun i:Ba = DT = F: (1.11)Submatri ea F = Ba u (L-N+1) linii si (N-1) oloane este matri ea deapartenenta a ramurilor arborelui la bu lele fundamentale, egala si de semn opus u transpusa matri ei de apartenenta a orzilor la se tiunile fundamentale si senumestematri e redusa de onexiune (sau matri ea apartenentelor esentiale).Prima e uatie a lui Kir hho se s rie matri eal, pentru noduri, sub forma:Ai = 0; (1.12)iar pentru se tiunile fundamentale ale unui ir uit sub forma:Di = 0; (1.13)n are matri ele A si D sunt matri ele de apartenenta ale grafului de urent iari = [i1; i2; :::; iLT este ve torul urentilor din laturile ir uitului.A doua e uatie a lui Kir hho se s rie matri eal, pentru bu lele fun-damentale ale unui ir uit, sub forma:Bu = 0; (1.14)19

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEn are matri ea B este matri ea de apartenenta pentru graful de tensiune iaru = [u1; u2; :::; uLT este ve torul tensiunilor din laturile ir uitului.Matri ele oloana, u L elemente, ale urentilor i si tensiunilor u se pot des- ompune: i = " iai # ; u = " uau # ;n are ia si ua reprezinta urentii, respe tiv tensiunile din ramuri, iar i si u reprezinta urentii, respe tiv tensiunile din oarde.Intr-un graf onsistent de urent, urentii din arbore se exprima, n bazarelatilor (1.13) si (1.9), n fun tie de ei din oarbore, u relatia (valabila pentruDa = U): ia = D i sau i = BT i : (1.15)Ultima relatie este valabila da a graful de urent este e hivalent u graful detensiune (aso ierea sensurilor de referinta este fa uta dupa regula de la re eptoarepentru toti dipolii).Intr-un graf onsistent de tensiune, tensiunile din oarbore se exprima, n bazarelatilor (1.14) si (1.8) n fun tie de ele din arbore, u relatia (valabila pentruB = U): u = Baua sau u = DTua: (1.16)Ultima relatie este valabila doar da a graful de tensiune este e hivalent u elde urent.Tensiunile laturilor se exprima n fun tie de potentialele nodurilor u relatia(1.4), are pentru ntreg ir uitul are urmatoarea forma matri eala, valabilaatun i and GU si GI sunt ordonate similar:u = ATv; (1.17)n are v = [v1; v2; :::; vN1T este ve torul potentialelor nodurilor, presupunandnodul N a nod de referinta.Se poate arma a ori are din relatiile (1.12), (1.13), (1.15) reprezinta formematri eale e hivalente al e uatiilor Kir hho I, iar relatile (1.14), (1.16), (1.17)reprezinta forme matri eale ale e uatilor Kir hho II.Teorema lui Tellegen (1.6) apata urmatoarea forma matri eala:uT i = 0: (1.18)20

1.3. MATRICE DE INCIDENT APROBLEME1.3.1. Sa se s rie matri ele de apartenenta A, B, D pentru grafurile repre-zentate n gura 1.3.1.a. b. c. d.

f.e. Fig. 1.3.1.1.3.2. Sa se stabileas a matri ele reduse de onexiune pentru grafurile pre-zentate n gura 1.3.1.1.3.3. Sa se reprezinte grafurile e au urmatoarele matri e de apartenenta:A = 26664 1 1 0 1 0 01 0 1 0 0 10 1 1 0 0 00 0 0 1 1 0 37775B = 264 1 0 1 1 0 1 0 00 1 1 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0 1 0 375D = 26666664 1 0 0 0 0 1 1 0 00 1 0 0 0 1 1 0 00 0 1 0 0 1 0 1 00 0 0 1 0 1 0 1 10 0 0 0 1 1 0 1 1 37777775F = 26664 0 0 0 0 0 10 1 0 0 1 11 0 1 0 1 01 0 0 1 0 0 377751.3.4. Sa se al uleze intensitatile urentilor din grafurile de urent reprezen-tate n gura 1.1.5, utilizand matri ele D si B.21

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE1.3.5. Sa se al uleze tensiunile din grafurile de tensiune reprezentate n -gura 1.1.7 utilizand matri ele Ba si D.1.3.6. Sa se al uleze tensiunile din grafurile de tensiune reprezentate n -gura 1.3.2 n fun tie de potentialele nodurilor, utilizand matri ea de apartenentaA.2V 3V 5V 2V 3V -3V

5V

2V-4V

a. b. c.Fig. 1.3.2.1.3.7. Pornind de la matri ea A sa se al uleze matri ile de apartenenta A',B si D. A = 26664 1 0 1 0 0 1 00 1 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 00 0 0 1 0 0 1 37775A = 264 1 0 1 1 00 1 0 1 00 0 1 0 1 375A = " 1 1 1 0 00 1 0 0 1 #22

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUIT1.4 Elemente ideale de ir uitBREVIARElementele ideale de ir uit reprezinta on epte fundamentale ale teoriei ir u-itelor ele tri e, ele ind denite a elementedipolare e impun o anumita restri tietensiunii si intensitatii urentului, restri tie e poarta numele de e uatia on-stitutiva ara teristi a sau de fun tionare a elementului ideal. Elementeleideale, prin faptul a au e uatiile ara teristi e extrem de simpli ate, nu tre-buie onfundate u elementele reale de ir uit, n s himb sunt utile n modelareaa estora.1. Rezistorul ideal este un element dipolar la are tensiunea la borneeste fun tie univo a de intensitatea urentului e-l strabate (rezistorul ontrolatn urent) sau la are intensitatea urentului este fun tie univo a de tensiune(rezistorul ontrolat n tensiune). Da a relatia dintre tensiune si urent este orelatie liniara, atun i elementul se numeste rezistor liniar. In gura 1.20.a esteprezentat simbolul rezistorului neliniar, iar n gura 1.20.b este prezentat simbolulrezistorului liniar.i

u

i

u

a. b.Fig. 1.20.E uatia onstitutiva a rezistorului neliniar, invariant n timp este:u = f(i); (1.19)pentru azul rezistorului ontrolat n urent, si respe tivi = g(u); (1.20)pentru azul rezistorului ontrolat n tensiune. In azul rezistorului liniar:u = Ri;i = Gu: (1.21)Marimile R si G = 1=R se numes rezistenta, respe tiv ondu tanta rezistoruluisi sunt parametrii ara teristi i ai elementului. Relatiile (1.19) si (1.21) suntvalabile pentru sensurile de referinta prezentate n gura 1.20. In azul s himbarii23

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEi

u u

i

a. b.Fig. 1.21.sensurilor de referinta se modi a n mod orespunzator e uatiile. De exemplu,n azul prezentat n gura 1.21: E uatiile de fun tionare au forma :u = f(i); (1.22)pentru rezistorul neliniar ontrolat n urent,i = f(u); (1.23)pentru rezistorul neliniar ontrolat n tensiune si:u = Ri;i = Gu; (1.24)pentru rezistorul liniar.Cazuri parti ulare:a) rezistorul u rezistenta nula R = 0, are are e uatia de fun tionare:u = 0; (1.25)se numeste ondu tor perfe t si are simbolul din gura 1.22.a;b) rezistorul u ondu tanta nula G = 0, are are e uatia de fun tionare:i = 0; (1.26)se numeste izolator perfe t si are simbolul prezentat n gura 1.22.b.a. b.Fig. 1.22.Puterea absorbita de un rezistor liniar este:p = ui = Ri2 = Gu2 (1.27)24

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITsi este pozitiva da a rezistenta rezistorului este pozitiva. Rezistoarele u rezisten-ta pozitiva R > 0 sunt elemente pasive disipative.2. Bobina ideala este un element dipolar la are tensiunea la borne esteegala u derivata n raport u timpul a unei fun tii. Valoarea ' a a estei fun tiise numeste ux de intensitatea urentului ele tri prin element. Da a uxuldepinde liniar de intensitatea urentului, atun i bobina se numeste liniara, azn are tensiunea la borne este proportionala u viteza de variatie n timp a urentului. Simbolul bobinei neliniare este prezentat n gura 1.23.a, iar el albobinei liniare n gura 1.23.b.i

u

i

u

a. b.Fig. 1.23.E uatia onstitutiva a bobinei neliniare invariante n timp este:u = d'(i)dt ; (1.28)iar n azul parti ular al bobinei liniare ' = Li, de i:u = Ldidt; (1.29)n are L este parametrul ara teristi al bobinei, numit indu tivitate. E uatiile(1.28) si (1.29) sunt aso iate sensurilor de referinta din gura 1.23 si trebuies modi ate o data u modi area sensurilor de referinta. De exemplu, pentrugura 1.24 ele au forma:i

u

i

u

a. b.Fig. 1.24.u = d'(i)dt ; (1.30)25

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEn azul bobinei neliniare si: u = Ldidt; (1.31)n azul bobinei liniare.In azul n are urentul este onstant n timp, bobina ideala se omporta aun ondu tor perfe t (u = 0), situatie e are lo si atun i and indu tivitateaeste nula.Puterea absorbita de o bobina ideala este:p = ui = Lididt = ddt Li22 ! = dWdt ; (1.32)pozitiva (bobina absoabe energie) sau negativa (bobina genereaza energie), dupa um energia indu torului W = Li2=2 reste sau s ade n timp. Din a est motivse spune a bobina este element pasiv, a umulator de energie, avand a marimede stare intensitatea urentului.3. Condensatorul ideal este un element dipolar la are intensitatea uren-tului este egala u derivata fata de timp a unei fun tii. Valoarea a estei fun tiiq se numeste sar ina de tensiunea ele tri a la bornele elementului. Da a sar inadepinde liniar de tensiune, atun i ondensatorul se numeste liniar, az n are urentul este proportional u viteza de variatie a tensiunii la borne. Simbolul ondensatorulului neliniar este prezentat n gura 1.25.a, iar el al ondensato-rului liniar n gura 1.25.b.i

u

i

u

a. b.Fig. 1.25.E uatia onstitutiva a ondensatorului neliniar invariant n timp este:i = dq(u)dt ; (1.33)iar a ondensatorului liniar invariant n timp este:i = Cdudt ; (1.34)n are C este parametrul ara teristi al ondensatorului numit apa itate. E ua-tiile de fun tionare sunt valabile n azul sensurilor de referinta prezentate n26

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITi

u

i

u

a. b.Fig. 1.26.gura 1.25 si trebuies modi ate orespunzator, n azul s himbarii sensurilorde referinta. De exemplu, pentru gura 1.26 e uatiile sunt:i = dq(u)dt ; (1.35)pentru ondensatorul neliniar si: i = Cdudt ; (1.36)n azul ondensatorului liniar.Da a tensiunea la bornele ondensatorului este onstanta n timp, atun ia esta se omporta a un izolator perfe t (i = 0), situatie e are lo si atun i and apa itatea ondensatorului este nula.Puterea absorbita de un ondensator ideal este:p = ui = Cududt = ddt Cu22 ! = dWdt ; (1.37)pozitiva ( ondensatorul absoarbe energie) sau negativa ( ondensatorul debiteazaenergie), dupa um energia ondensatoruluiW = Cu2=2 reste sau s ade n timp.Condensatorul este un element pasiv a umulator de energie, avand a marime destare tensiunea la borne.4. Generatorul ideal de tensiune este un element pasiv dipolar la aretensiunea la borne nu depinde de intensitatea urentului prin element (putand n s himb fun tie de timp). Simbolurile utilizate pentru generatorul ideal detensiune sunt prezentate n gura 1.27; borna din dreapta se numeste borna"plus", iar ea din stanga borna "minus".u

e

ua. b.

eFig. 1.27.27

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEE uatia onstitutiva a generatorului ideal de tensiune, pentru sensul tensiuniiadoptat n gura 1.27, este: u = e(t); (1.38)n are marimea e este parametrul ara teristi al generatorului ideal de tensiunesi se numeste tensiune ele tromotoare. Da a tensiunea la borne are sensul dereferinta de la borna minus la borna plus a generatorului a n gura 1.28, atun ie uatia de fun tionare devine: u = e(t): (1.39)u

eFig. 1.28.Generatorul de tensiune ele tromotoare nula are e uatia de fun tionare u = 0si n onse inta se omporta a un ondu tor perfe t.Puterea transferata pe la bornele unui generator ideal de tensiune este:p = ui = ei; (1.40)putand pozitiva sau negativa, n fun tie de sensul urentului. Deoare e a estelement poate produ e energie se spune a generatorul ideal de tensiune este unelement a tiv.5. Generatorul ideal de urent este un element dipolar la are intensitatea urentului e-l strabate nu depinde de tensiunea la bornele elementului. Simbolulutilizat pentru generatorul ideal de urent este prezentat n gura 1.29 (borna dindreapta se numeste borna "plus", iar borna din stanga se numeste borna "minus"a generatorului).j iFig. 1.29.E uatia onstitutiva a generatorului ideal de urent, pentru sensul de referintaadoptat n gura 1.29, este: i = j(t); (1.41)n are marimea j este parametrul ara teristi al generatorului ideal de urentsi se numeste urent ele tromotor. Da a intensitatea urentului are sensul dereferinta opus dublei sageti a n gura 1.30, atun i e uatia de fun tionare devine:i = j(t): (1.42)28

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITi

jFig. 1.30.Generatorul ideal de urent e are urentul ele tromotor nul are e uatia defun tionare i = 0 si n onse inta se omporta a un izolator perfe t.Puterea transferata pe la borne de un generator ideal de urent este:p = ui = uj; (1.43)putand negativa sau pozitiva, n fun tie de tensiunea apli ata la borne. Ge-neratorul ideal de urent este de i un element a tiv din pun t de vedere energeti .6. Generatoarele omandate sunt generatoare ideale de urent sau ten-siune al aror urent ele tromotor respe tiv tensiune ele tromotoare sunt fun tiide intensitatea urentului sau de tensiunea ele tri a dintr-o latura a ir uitului,alta de at a eea n are se a a elementul omandat. Se deosebes patru tipuride surse omandate liniar ( u simbolurile din gura 1.31), ale aror e uatii defun tionare sunt: u2 = i1; (1.44)pentru sursa de tensiune omandata n urent (g 1.31.a),u2 = u1; (1.45)pentru sursa de tensiune omandata n tensiune (g 1.31.b),i2 = i1; (1.46)pentru sursa de urent omandata n urent (g 1.31. ), sii2 = i1: (1.47)pentru sursa de urent omandata n tensiune (g 1.31.d).Pentru ele patru tipuri de surse omandate, parametrii ara teristi i sunt:[ rezistenta de transfer; oe ientul de transfer al tensiunii; oe ientulde transfer al urentului si [S ondu tanta de transfer. Coe ientii de transfer si sunt adimensionali.7. Bobinele uplate reprezinta un sistem de bobine u proprietatea a uxul din e are depinde de urentii prin toate bobinele sistemului. E uatia defun tionare a bobinei k dintr-un sistem de m bobine uplate este:uk = ddt'(i1; i2; :::; im): (1.48)29

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEj

i

d.

e

i

a.

e u

b.

i i

j

c.

u u2

1

2

21 2

1

u 1Fig. 1.31.In azul bobinelor uplate liniar, uxul este o ombinatie liniara a urentilor,iar e uatia de fun tionare devine:uk = mXj=1Lkj dijdt ; (1.49)n are suma este aritmeti a pentru orientarile prezentate n gura 1.32, si anumeda a aso ierea sensurilor se fa e dupa regula de la re eptoare si da a toti urentiiau sensurile de referinta intrand n borna polarizata. Parametrii unui sistem debobine liniare uplate sunt indu tivitatile Lkj e al atuies o matri e patratade ordin m numita matri ea indu tivitatilor. Termenii diagonali ai matri ii Lse numes indu tivitati proprii, iar termenii nediagonali se numes indu tivitatimutuale.*

u

i1 ikij i

k

* * *

i2

*

mFig. 1.32.Da a sensurile de referinta nu sunt onform elor din gura 1.32, atun ie uatia de fun tionare se modi a n mod orespunzator, suma devenind o sumaalgebri a. 30

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITRegula de determinare a semnului termenului j din a easta suma, sebazeaza pe observatia a, ori e urent ij are intra intr-o borna polarizata indu e,prin uplaj, n bobina k o tensiune la borne Lkj(dij=dt), u sensul de referintaorientat de la borna polarizata atre ealalta borna (prin abuz de limbaj se spune a ea intra n borna polarizata). Da a intensitatea ij iese din borna polarizata,atun i ea indu e n bobina k o tensiune la borne Lkj(dij=dt) u sensul de referintaorientat de la ealalta borna spre borna polarizata (prin abuz de limbaj se spune a iese din borna polarizata). A easta regula de semn este exempli ata n gura1.33 n are se onstata a semnul tensiunii induse depinde de sensul de referintaal urentului indu tor (i1) dar nu depinde de sensul de referinta al urentuluiindus (i2).U12

L12i1U

12

L12i1

*

*

*

*

a. b.Fig. 1.33.Mar ajele pentru bornele polarizate nu au semni atie zi a dar ele sunt ne- esare n azul sistemelor de bobine uplate, deoare e ele denes valoarea (maiexa t semnul) indu tivitatilor mutuale, urmand a s himbarea unei borne po-larizate la bobina k sa determine modi area semnului tuturor indu tivitatilormutuale (de uplaj) ale bobinei k (sunt afe tate linia k si oloana k din matri ea[Lij, a indu tivitatilor u ex eptia termenului diagonal).Formularea ore ta a ir uitelor u elemente ideale. Cu ajutorul ele-mentelor ideale de ir uit prin onexiuni pe la borne se al atuies ir uite ele -tri e. Nu ori e mod de onexiune a elementelor ideale este permis n teoria ir u-itelor; trebuie avut grija a e uatiile de fun tionare sa e ompatibile u e uatiileKir hho. Da a ele sunt in ompatibile, analiza ir uitului este fara sens, nee-xistand o solutie are sa veri e e uatiile ir uitului. Da a un ir uit ele tri ontine generatoare ideale de tensiune e al atuies bu le, atun i, pentru valoriarbitrare ale tensiunilor ele tromotoare, a estea pot n ontradi tie u e uatiaa doua a lui Kir hho. Da a un ir uit ontine se tiuni al atuite din generatoareideale de urent, atun i, pentru valori arbitrare ale urentilor ele tromotori, a es-tea pot n ontradi tie u prima e uatie a lui Kir hho. Cir uitele e ontinbu le de generatoare ideale de tensiune sau se tiuni de generatoare ideale de u-rent se numes ir uite u generatoare n ex es. Atun i and generatoarele nex es ontravin e uatiilor lui Kir hho ir uitul este in ompatibil. Chiar da a31

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEgeneratoarele n ex es nu ontravin e uatiilor lui Kir hho, totusi analiza unuiastfel de ir uit nu poate ompleta deoare e el nu are solutie uni a: urentii dingeneratoarele ideale de tensiune n ex es si tensiunile din generatoarele ideale de urent n ex es sunt marimi arbitrare (nu pot determinate din e uatiile ir ui-tului). In a est az se spune a ir uitul este nedeterminat. Conditia a ntr-un ir uit sa nu existe generatoare n ex es este a ir uitul sa aiba un arbore nramurile aruia sa se a e toate generatoarele ideale de tensiune, iar generatoareleideale de urent sa se a e n oarbore. La analiza unui ir uit n vederea deter-minarii generatoarelor n ex es nu trebuie uitat faptul a izolatorul perfe t este ungenerator ideal de urent (j = 0), iar ondu torul perfe t este un generator idealde tensiune (e = 0). Analiza ir uitelor u generatoare ompatibile n ex es seredu e la analiza ir uitelor fara generatoare n ex es, prin nlo uirea generatoa-relor ideale de tensiune n ex es ( ate unul pentru e are bu la) u generatoareideale de urent, avand urenti ele tromotori nedeterminati si prin nlo uireageneratoarelor ideale de urent n ex es ( ate unul pentru e are se tiune) ugeneratoare ideale de tensiune avand tensiuni ele tromotoare nedeterminate.Bilantul puterilor n retelele ele tri e este o onse inta dire ta a teoremeilui Tellegen si a e uatiilor onstitutive ale elementelor si reprezinta e uatia deegalitate ntre suma puterilor debitate de generatoarele retelei Pg si puterile ab-sorbite de elementele pasive P . Pentru retelele liniare e uatia de bilant este: Pg = P ; (1.50)unde: Pg = ngtPk=1 ekik + ng Pk=1 ukjk;P = nRPk=1Rki2k + ddt nCPk=1 Cku2k2 + nLPk=1 nLPm=1 Lkmikim2 ; (1.51)n are ngt este numarul generatoarelor ideale de tensiune, ng este numarul ge-neratoarelor de urent, nR este numarul rezistoarelor, nC este numarul ondensa-toarelor, iar nL este numarul bobinelor din retea. Primele doua sume sunt sumealgebri e, onventia de semn ind prezentata n gura 1.34. In azul a. termeniise onsidera u semnul plus, iar in azul b. ei se onsidera u semnul minus.Sumele orespunzatoare rezistoarelor, ondensatoarelor si indu tivitatilor pro-prii sunt sume aritmeti e dar termenii orespunzatori indu tivitatilor mutuale se onsidera n suma algebri a, onventia de semn ind semnul plus atun i and eidoi urenti au a eeasi pozitie fata de bornele polarizate (ambii intra sau ambii ies a n gura 1.35.a, 1.35.b) si semnul minus atun i and ei doi urenti au pozitiiinverse fata de bornele polarizate (unul intra si altul iese a n gura 1.35. ) .32

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITke

ik

uk

e

ku

ki

k

j k

a. b.

kj Fig. 1.34.*

kmk

k

*

i

L m

m

L

i

LLkm L

*k

k

i*

m

mi

L

*

i

L

*k

k km m

m

LL

i

a. b. c.Fig. 1.35.PROBLEME1.4.1. Sa se reprezinte gra variatia intensitatii i n fun tie de tensiunea ula bornele rezistorului neliniar, pentru diverse sensuri de referinta, pornind de lafaptul a gra ul din gura 1.4.1.a orespunde sensurilor din gura 1.4.1.b.1.4.2. Sa se determine marimile ne unos ute orespunzatoare rezistoarelorliniare din gura 1.4.2.1.4.3. Sa se al uleze tensiunea u(t) la bornele unei bobine ideale presu-punand a ea este par ursa de unul din urentii:a) i(t) = I0sin(!t);b) i(t) = I0et= ; ) i(t) = I0;da a uxul bobinei '(i) este dat de una din fun tiile:a) ' = a1 ar tga2i+ L0isin(!0t);b) ' = ia+ bjij; ) ' = a th(bi);d) ' = L0i1 + sin(!0t);e) ' = Li: 33

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEu

id.

i

u

u

i

u

i

u

ie.

b. c.

a. Fig. 1.4.1.I=2A

U=?

R=10Ω

a.

U=?

R=5 I=3AΩ

b.U=10V

R=2 I=?Ω

c.

V2

Ω

=?

I=3AR=10

V=2V1

V=2V

Ω I=?R=5

V =3V V=-3V21

Ω I=?R=3

1g. h. i.

U=10V

I=2AR=?

e.

R=5Ω

U=20V

I=?

d.U=10V

R=? I=1A

f.Fig. 1.4.2.34

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITSa se exprime tensiunea la bornele bobinei pentru ele patru modalitati deaso iere a sensurilor de referinta ale tensiunii si urentului. Sa se al uleze pute-rea transferata pe la bornele bobinei.1.4.4. Sa se al uleze intensitatea urentului ele tri e strabate o bobinaideala, da a a easta are la borne tensiunea:a) u(t) = U0sin(!t);b) u(t) = U0et= ; ) u(t) = U0;d) u(t) = 0;atun i and uxul bobinei '(i) este dat de una din fun tiile:a) ' = a ar tg(bi);b) ' = Li:Sa se al uleze puterea transferata pe la bornele bobinei. Sa se dis ute rezul-tatul n fun tie de onstanta de integrare.1.4.5. Sa se al uleze intensitatea urentului e strabate un ondensator idealalimentat la tensiunea:a) u(t) = U0sin(!t);b) u(t) = U0et= ; ) u(t) = U0;atun i and sar ina ondensatorului q(u) depinde de tensiunea u onform relatii-lor:a) q = a1 ar tg(a2u);b) q = au1 + sin(!0t) ; ) q = Cu:Sa se al uleze puterea transferata pe la bornele ondensatorului.1.4.6. Sa se al uleze tensiunea la bornele unui ondensator strabatut de urentul:a) i(t) = I0sin(!t);b) i(t) = I0et= ; ) i(t) = I0;d) i(t) = 0;presupunand a sar ina ondensatorului q(u) depinde de tensiune onformrelatiilor:a) q = a1 ar tg(a2u);b) q = Cu:Sa se al uleze puterea transferata pe la borne, dis utandu-se n fun tie de onstanta de integrare. 35

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE1.4.7. Sa se al uleze marimile ne unos ute la generatoarele ideale prezentaten gura 1.4.3.V=?

E=2V J=2A

I=?

J=1A

I=?

J=?

I=2A

E=?

U=20V

E=?

V=3VV=2V

E=5V

U=?

E=10V

U=?a. b. c. d.

h.g.f.e.

1 2

Fig. 1.4.3.1.4.8. Sa se al uleze puterile transferate pe la bornele generatoarelor dingura 1.4.4 si sa se indi e sensul a estora.E=2V

I=1A

U=2V

J=3A

E=5V

I=2A I=5A

E=-10V

J=-1A

U=5V

J=2A

U=3V

a. b. c.

d. e. f.Fig. 1.4.4.1.4.9. Sa se al uleze tensiunile la bornele bobinelor liniare uplate magneti prezentate n gura 1.4.5.1.4.10. Sa se studieze in uenta pe are o are asupra e uatiilor modi areapozitiei unei borne polarizate la bobinele din gura 1.4.5.1.4.11. Sa se al uleze puterea absorbita de pere hile de bobine uplate pre-zentate n gura 1.4.5. 36

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITL2

i1 i2

L12*

1

u1

u i2

1 2

u

1 1i*

*12

LL

u

2

i2

2

1 1i

*

LL

uu2

*L12

a. b. c.

2

L 1L

* Fig. 1.4.5.1.4.12. Sa se determine onditiile are trebuie ndeplinita de indu tivitatileproprii si mutuale ale unui sistem de bobine, astfel n at energia aso iata siste-mului sa e pozitiva, ori are ar semnele urentilor.1.4.13. Sa se al uleze tensiunile la bornele bobinelor liniare uplate prezen-tate n gura 1.4.6, pentru:i1 = I01sin(!t); i2 = I02 os(!t);L1 = L2 = 0:1H; L12 = L1=2.*

2

1 u

*

L1 L

12L

a.

*

1 2

1 u

*

L1 L

12L

u

b.

1i i i i

22u

2 2Fig. 1.4.6.1.4.14. Sa se al uleze intensitatile urentilor prin bobinele liniare uplatedin gura 1.4.6, pentru:u1 = U01sin(!t); u2 = U02 os(!t);L1 = L2 = 0:1H; L12 = L1=2.Problema va rezolvata in doua variante:a) i1(0) = 0; i2(0) = 0;b) i1(0) = I10; i2(0) = I20.Sa se al uleze puterea absorbita de sistemul de bobine.1.4.15. Sa se determine parametrii elementelor ideale ale retelelor din gura1.4.7, stiind a a este retele admit drept grafuri de tensiune si urent grafurile37

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEreprezentate n a eeasi gura. Sa se veri e bilantul puterilor.

1

R2

RE

E

R

10V

20V -10V

2A

1A-2A -1A

2J1 3

J

2

1

G Gu i

d.

-6V

4V2V

G G

2A

-5A

3A

J1

E1

E2

J21R 2R

u i

11R

R2

J

E2

E 10V-20V

Gu

-2A

4A 5A

Gi

RJE

10V

Gu

1A 2A

Gi

c.

b.

a.

Fig. 1.4.7.1.4.16. Sa se determine generatoarele n ex es din retelele prezentate n -gura 1.4.8. Care sunt onditiile pe are trebuie sa le ndeplineas a parametriigeneratoarelor pentru a retelele sa e ompatibile ?1.4.17. Se onsidera retelele prezentate n gura 1.4.9. Pentru e are reteasa se determine un arbore n ramurile aruia se a a doar generatoare ideale detensiune. Apli and a doua teorema a lui Kir hho, sa se determine tensiuniledin oarde. Prin apli area e uatiilor de fun tionare ale elementelor din oarde,sa se determine urentii din oarbore si apoi urentii din ramuri. Sa se veri ebilantul puterilor. 38

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITa. b. c.Fig. 1.4.8.1.4.18. Se onsidera retelele prezentate n gura 1.4.11. Pentru e are reteasa se determine un oarbore n oardele aruia se a a doar generatoare ideale de urent. Prin apli area primei teoreme a lui Kir hho, sa se determine urentii dinarbore. Apli and e uatiile ara teristi e ale elementelor din ramuri sa se al u-leze tensiunile din arbore. Sa se determine tensiunile din oarbore. Sa se veri ebilantul puterilor.1.4.19. Sa se reprezinte grafurile omplete de tensiune si urent ale retelelorreprezentate n gura 1.4.10. Sa se veri e bilantul puterilor. Pentru rezolvare seva folosi algoritmul onvenabil dintre ei prezentati n problemele 1.4.9 si 1.4.11.

39

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEG=0

10

R=0

10

Ω20

-20V

10V

20 V

10V Ω

Ω

2

4V4

Ω

ΩΩ

-2V1Α

2 Ω

0

c. d.

5V

40V

10V

10V

10

20V

Ω

20Ω

g.

R2=1Ω

220Ω

R =E1=2V 3

=10 Ω

5 Ω=

E2=4V

R1

E2

E =-5V3

=5V

J=10A=10V1E

Ω1=1

R =13 ΩR

R

a. b.

10V

20

40V

ΩΩΩΩ

Ω

5V

1010

10

10V

10V

20

10

3 5VΩ

Ω

Ω

Ω

e. f.

Fig. 1.4.9.40

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITG=0

R=0

4A

6A

2V4V 2A

a.

4A

2A6A2V10Ω

b.

420V

Ω

2Ω

6Ω10V

c.Fig. 1.4.10.

3V

2V

4A 10

20

2A

20V

10 Ω

10Ω 5A

10V

Ω

Ω

e.3A

5

4A

Ω

G=010Ω 10 Ω

6A

2V

2A

G=0

20

10

5A

-2A3A

Ω

Ω10 Ω

10V

c.

J=2A

G=0 J=4A

1

2

R=21 ΩR=4

2Ω

4A

2A

6A

-8A

2V10Ω

20 Ω

d.

b.a.

Fig. 1.4.11.41

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE

42

Capitolul 2Cir uite ele tri e rezistive liniare2.1 Teoreme de e hivalentaBREVIARDoua elemente dipolare de ir uit ele tri sunt e hivalente da a au e uatii ara teristi e identi e, respe tiv da a elementele impun a eeasi relatie ntre ten-siunea la borne si urentul prin element.U 0

1∆I 0

UG.R.

B

AI∆

∆2

3

I

U

∆Fig. 2.1.Un element dipolar de ir uit ele tri se numeste generator real da a repre-zentarea gra a a e uatiei ara teristi e n planul U, I este o dreapta e interse -teaza ambele axe (dreapta gura 2.1).Elementele rezistor liniar ideal, generator ideal de tensiune si generator idealde urent sunt azuri limita ale generatorului real si anume: dreapta 1 tre eprin origine; dreapta 2 este paralela u axa urentului, respe tiv dreapta 3paralela u axa tensiunii. In azul izolatorului perfe t dreapta se identi a uaxa tensiunii, iar n azul ondu torului perfe t ea se identi a u axa urentului.Interse tia dreptei ara teristi e a unui generator real u axele determina ei doi parametri ara teristi i ai generatorului. Tensiunea de mers n gol estetensiunea U0 = U(0) pentru un urent nul prin generator. Curentul de s urt ir uit43

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREeste urentul I0 e strabate generatorul real atun i and tensiunea la bornele saleeste nula.Generatorul real admite s hemele e hivalente al atuite din elemente idealeprezentate n gura 2.2.UU 2

U 1

a. b. c.

I

UG.R.

B

A

I 1

I 2

IE

R

A

B

U

I

JR

B

A

Fig. 2.2.Cir uitul dipolar realizat dintr-un generator ideal de tensiune nseriat u unrezistor (g. 2.2.b) se numeste generator real de tensiune. Un generator realde tensiune ara terizat de parametrii (E,R), n are E se numeste tensiune ele -tromotoare a generatorului real de tensiune, iar R se numeste rezistenta internaa generatorului real de tensiune.Cir uitul dipolar realizat dintr-un generator ideal de urent n paralel u unrezistor (g. 2.2. ) se numeste generator real de urent. Un generator realde urent este ara terizat de parametrii (J,R) n are J se numeste urentulele tromotor al generatorului, iar R se numeste rezistenta sa interna.Urmatoarele armatii permit evidentierea e hivalentei ntre elementele intro-duse. Un generator real este e hivalent u un generator real de tensiune da a ten-siunea de mers n gol a generatorului real este egala u tensiunea ele tromotoarea generatorului real de tensiune U0 = E iar rezistenta interna a generatoruluireal de tensiune este egala u raportul dintre tensiunea de mers n gol si urentulde s urt ir uit R = U0=I0. Pentru demonstrarea a estei armatii, este su ientsa se apli e a doua teorema a lui Kir hho n gura 2.2.b:U = U1 + U2 = E RI; (2.1)obtinandu-se e uatia de fun tionare a generatorului real de tensiune are esteo fun tie ana al arei gra este o dreapta e interse teaza axele n pun teleU0 = E si I0 = U0=R.Analizand e uatia de fun tionare (2.1) rezulta a un generator real de tensiunedegenereaza ntr-un generator ideal de tensiune da a rezistenta interna R = 0,sau poate degenera ntr-un rezistor da a tensiunea ele tromotoare E se anuleaza.Din a est motiv se spune a generatorul ideal de tensiune are rezistenta internanula. 44

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT AUn generator real este e hivalent u un generator real de urent avand urentulele tromotor egal u urentul de s urt ir uit al generatorului real si rezistentainterna egala u raportul dintre tensiunea de mers n gol si urentul de s urt ir uitR = U0=I0. Pentru demonstratie, se apli a prima teorema a lui Kir hho n gura2.2. : I = I1 + I2 = J UR; (2.2)obtinandu-se e uatia de fun tionare a generatorului real de urent, a o fun tieana al arei gra este o dreapta avand taieturile : I0 = J si U0 = RJ .Analizand relatia (2.2) rezulta a un generator real de urent poate degenerantr-un generator ideal de urent da a rezistenta interna R ! 1 ( ondu tantainterna G = 1=R se anuleaza), sau poate degenera ntr-un rezistor atun i andse anuleaza urentul ele tromotor J = 0. Din a est motiv se spune a rezistentainterna a unui generator ideal de urent este innita.Ca o onse inta a a estor armatii rezulta teorema de e hivalenta dintreun generator real de tensiune si un generator real de urent are arma a ir uitele din gura 2.2.b si 2.2. sunt e hivalente da a au a eeasi rezistentainterna si da a: J = E=R;E = RJ: (2.3)Conditia de e hivalenta dintre ele doua generatoare este o onse inta a tranzi-tivitatii relatiei de e hivalenta sau poate obtinuta prin identi area relatiilorde fun tionare (2.1) si (2.2).Importanta pra ti a a teoremelor de e hivalenta onsta n faptul a, da a senlo uieste ntr-o retea un element dipolar (sau o subretea dipolara) u un elemente hivalent, atun i urentii si tensiunile din restul retelei nu se modi a. A eastaobservatie permite simpli area retelelor ele tri e prin transgurari su esive.Generatoare reale de tensiune one tate n serie. Un grup de n genera-toare reale de tensiune u parametrii (Ek; Rk) k=1...n, one tate n serie (g. 2.3)este e hivalent u un generator real de tensiune avand tensiunea ele tromotoare:E = nXk=1Ek (2.4)si rezistenta interna: R = nXk=1Rk: (2.5)Suma (2.4) este algebri a, n sensul a se tre u plus termenii Ek da a aua elasi sens u tensiunea ele tromotoare e hivalenta E si se tre u minus tensiu-nile ele tromotoare are au sens opus.T inand ont a un generator real de tensiune degenereaza ntr-un rezistor idealsau ntr-un generator ideal da a E=0 sau respe tiv da a R=0, rezulta a relatia45

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREE 2E 1 E n R nR 2R 1

A Ba.

E R

A Bb.Fig. 2.3.(2.4) permite al ulul tensiunii ele tromotoare e hivalente n azul generatoarelorideale one tate n serie, iar relatia (2.5) permite al ulul rezistentei e hivalenten azul rezistoarelor one tate n serie.Generatoare reale de tensiune one tate n paralel. Un grup de n gene-ratoare reale de tensiune u parametrii (Ek; Rk), k=1...n, one tate n paralel (g.2.4) este e hivalent u un generator de tensiune avand tensiunea ele tromotoare:E = nXk=1 EkRknXk=1 1Rk (2.6)si rezistenta interna: R = 1nXk=1 1Rk : (2.7)Suma de la numaratorul relatiei (2.6) este algebri a, n sensul a se tre uplus tensiunile ele tromotoareEk da a au a elasi sens u tensiunea ele tromotoaree hivalenta E si se tre u minus tensiunile ele tromotoare are au sensuri opusetensiunii ele tromotoare e hivalente.

A A

B B

R 1 R 2

E 2E 1

R n

E n

a. b.

R

EFig. 2.4.Relatia (2.6) exprima faptul a tensiunea ele tromotoare e hivalenta E este46

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT Amedia ponderata a tensiunilor Ek u ponderile Gk = 1=Rk:E = nXk=1EkGknXk=1Gk : (2.8)Cu notatia G = 1=R, rezulta pentru ondu tanta interna expresia:G = nXk=1Gk; (2.9)1R = nXk=1 1Rk : (2.10)Prezinta interes pra ti urmatoarele azuri parti ulare:a) rezistoare one tate n paralel (Ek=0):G = nXk=1Gk; E = 0; (2.11)b) rezistente interne egale (Rk = R0):E = 1n nXk=1Ek; R = R0n ; (2.12)situatie n are tensiunea ele tromotoare e hivalenta este media aritmeti a a ten-siunilor ele tromotoare Ek, iar rezistenta interna este de n ori mai mi a de at eaa e arui rezistor; ) una din rezistentele interne nula (R1 = 0; G1 !1):E = E1; R = 0; (2.13)d) mai multe rezistente interne nule genereaza o nedeterminare e se expli aprin faptul a reteaua este in ompatibila da a tensiunile ele tromotoare suntdiferite;e) azul a doua surse one tate n paralel (n=2):E = E1R2 + E2R1R1 +R2 ; R = R1R2R1 +R2 : (2.14)Din azul parti ular rezulta a un generator ideal de tensiune ele tromotoareE, one tat n paralel u un generator real, este e hivalent u generatorul ideal detensiune ele tromotoare E. Armatia este valabila si pentru ondu torul perfe tdeoare e a esta este un az parti ular de generator ideal de tensiune (g. 2.7.a).47

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREGeneratoare reale de urent one tate n paralel. Un grup de n gene-ratoare reale de urent u parametrii (Jk; Rk), k=1...n, one tate n paralel (g.2.5) este e hivalent u un generator real de urent avand urentul ele tromotor:J = nXk=1 Jk (2.15)si ondu tanta interna: G = nXk=1Gk; (2.16)sau e hivalent 1R = nXk=1 1Rk : (2.17)Suma (2.15) este o suma algebri a, n are termenii Jk se tre u plus da a aua elasi sens fata de urentul ele tromotor e hivalent J si u minus n az ontrar.R 1 R 2

J 1 J 2

R n

J n

R

B

A

b.

J

A

B a. Fig. 2.5.T inand ont a un generator real de urent degenereaza ntr-un generatorideal de urent atun i and Gk = 0 (Rk ! 1), rezulta a relatia (2.15) poate utilizata la al ulul urentului ele tromotor e hivalent generatoarelor ideale de urent one tate n paralel.Generatoare reale de urent one tate n serie. Un grup de n genera-toare reale de urent u parametrii (Jk; Rk), k=1...n, one tate n serie (g. 2.6),este e hivalent u un generator real de urent avand urentul ele tromotor:J = nXk=1 JkRknXk=1Rk (2.18)si rezistenta interna: R = nXk=1Rk: (2.19)48

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT ASuma de la numaratorul relatiei (2.18) este o suma algebri a n sensul a setre u plus urentii Jk da a sunt n sensul urentului e hivalent J si u minusn az ontrar.J 2J 1

R 2R 1

J n

R n

A BR

J

b.a.

A BFig. 2.6.Relatia (2.18) exprima faptul a, pentru generatorul e hivalent, urentul ele -tromotor este media ponderata a urentilor ele tromotori Jk, avand drept ponderirezistentele Rk.Se onstata a, atun i and se onsidera n generatoare ideale de urent nserie (Rk !1), relatia (2.18) genereaza o nedeterminare are poate expli ataprin faptul a a est ir uit este in ompatibil pentru urenti ele tromotori diferiti.Da a un singur generator are rezistenta interna innita (este generator ideal),atun i urentul ele tromotor e hivalent este egal u urentul ele tromotor al a es-tui generator iar rezistenta interna e hivalenta este innita. Rezulta a un ge-nerator ideal de urent J one tat n serie u un generator real este e hivalent u generatorul ideal de urent J (g. 2.7.b). Armatia este valabila si pentruizolatorul perfe t are este un az limita al generatorului ideal de urent.E

A

B

a.

G.R.

A

B

E

JA Bb.

G.R.BA

JFig. 2.7.In anumite situatii, on eptul de element dipolar de ir uit nu este su ient sieste ne esara utilizarea elementului multipolar de ir uit ele tri , denit a un do-meniu spatial e intera tioneaza ele tri u exteriorul prin intermediul a n borne.Cara terizarea starii unui multipol se fa e u ajutorul elor n urenti I1, I2,...,In,unde k=1...n, inje tati n borne si a elor (n-1) tensiuni U1n, U2n,...,Un1;n.E hivalenta ntre doi multipoli trebuie nteleasa n sensul a ei impun a eeasirelatie ntre urentii si tensiunile la borne.49

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREE hivalenta stea-poligon omplet. Conditia a un multipol u n borne, u o stru tura interna n stea (g. 2.8.a), sa e e hivalent la borne u un multipolavand stru tura interna de tip poligon omplet (g. 2.8.b) este:Gkj = GkGjnXi=1Gi ; (2.20)Ekj = Ek Ej: (2.21)j nE

R j n

E k jR k j

1jR

E j 1

R k n

E k n

E 1k

R 1k

E n1

I j

I n

I k

R n1

I 1

(k)

(1)

(n)

(j)b.

R 1

I 1

R n

E nE 1

I k

I n

E j

R j

R k

E k

U k j

(1)

(j)a.

(n)

I j

(k)Fig. 2.8.Relatiile (2.20), (2.21) permit transgurarea unei stele ntr-un poligon ompletprin eliminarea nodului entral. In azul n are steaua este pasiva (nu ontinegeneratoare) atun i si poligonul va pasiv si va avea ntre nodurile k si j unrezistor de ondu tanta Gkj = 1=Rkj , a arei valoare se al uleaza u relatia(2.20).Valorile date de relatia (2.21) pentru tensiunile ele tromotoare ale poligo-nului nu sunt singurele posibile, problema transgurarii din stea a tiva n poligon omplet a tiv neavand solutie uni a.In azul parti ular n=3 transgurarea stea-triunghi se fa e u relatiile:G12 = G1G2G1 +G2 +G3 ; E12 = E1 E2;G23 = G2G3G1 +G2 +G3 ; E23 = E2 E3; (2.22)G31 = G3G1G1 +G2 +G3 ; E31 = E3 E1;50

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT Asau n fun tie de rezistente:R12 = R1R2 +R2R3 +R3R1R3 ;R23 = R1R2 +R2R3 +R3R1R2 ; (2.23)R31 = R1R2 +R2R3 +R3R1R1 :Da a rezistentele din bratele stelei sunt egale atun i R = 3RY .Problema transgurarii stea-poligon omplet are totdeauna solutie pe andproblema inversa a transgurarii poligon-stea are solutie doar n azul parti ularn=3.Pentru transgurarea triunghi-stea (g. 2.9) se apli a relatiile:R1 = R31R12R12 +R23 +R31 ; J1 = J12 J31;R2 = R12R23R12 +R23 +R31 ; J2 = J23 J12; (2.24)R3 = R23R31R12 +R23 +R31 ; J3 = J31 J23:12J 3 1J

32J

32R 3 1R12R

(1)

(2) (3)

a.

R2

R1J 2J 1

J 3

R3

(2) (3)

(1)

b.Fig. 2.9.Faptul a ori e stea poate transgurata n poligon omplet are importantadeoare e n a est fel ori e nod al unei retele poate eliminat si, prin transgurarirepetate, ori e retea ele tri a poate redusa, fata de doua borne, la un generatore hivalent. A easta metoda are permite al ulul urentului e strabate o la-tura a unui ir uit prin redu erea restului ir uitului la generatorul e hivalent ealimenteaza a ea latura se numestemetoda generatoarelor e hivalente. Pen-tru al ulul urentilor si tensiunilor din elelalte laturi ale ir uitului se par urgedrumul invers, al uland din aproape n aproape tensiunile si urentii.51

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREMetoda generatoarelor e hivalente este e ienta, mai ales atun i and laturilesunt one tate serie, paralel si intereseaza urentul printr-o singura latura.Pentru exploatarea rezultatelor obtinute n a esta metoda sunt utilizate rela-tiile prezentate n ontinuare.Relatia divizorului de tensiune permite al ulul tensiunilor la bornele adoua rezistoare R1 si R2, one tate n serie, n fun tie de tensiunea totala apli ata(g. 2.10a). U1 = U R1R1 +R2 ;U2 = U R2R1 +R2 : (2.25)R 1

R 1

R 2

R 2

U 2

U 1I 1 I 2

U

I

a. b.Fig. 2.10.Relatia divizorului de urent permite al ulul urentilor e strabat douarezistoareR1 siR2, one tate n paralel, n fun tie de urentul total I (g. 2.10.b).I1 = I R2R1 +R2 ;I2 = I R1R1 +R2 : (2.26)Observatii asupra relatiilor de e hivalenta:Relatiile de e hivalenta ntre retelele ele tri e pot de mai multe feluri, ntrea este relatii putandu-se stabili hiar o ordine, unele ind mai ne, altele maigrosiere.Relatia de e hivalenta ea mai na este exempli ata de ir uitele din gura2.11.a si 2.11.b. Cele doua ir uite au a eeasi matri e de apartenenta a laturilorla noduri si au a eleasi elemente pe laturile orespondente. Cele doua retele nupot deosebite una de ealalta n teoria ir uitelor, a easta relatie de e hivalentaind o relatie de identitate. 52

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT ACir uitul reprezentat n gura 2.11. se deosebeste de el din gura 2.11.aprin faptul a numerotarea laturilor este fa uta n alt mod, fara a sensurilede referinta, onexiunea sau elementele din laturi sa e s himbate. Cir uitul dingura 2.11. este e hivalent u el din gura 2.11.a, dar u o relatie de e hivalentamai slaba de at identitatea denita anterior. In a est nou az, doua ir uite se onsidera e hivalente da a matri ea de in identa a unuia se obtine din matri eade in identa a eluilalt prin permutarea oloanelor.Un al treilea tip de e hivalenta, mai slab de at ele anterioare, este evidentiatn ir uitul din gura 2.11.d, are se deosebeste de ir uitul din gura 2.11.a prinordinea adoptata la numerotarea laturilor, dar mai ales prin faptul a sensurilede referinta ale laturilor nu oin id la laturile orespondente. In a est az matri- ile de in identa pentru grafurile neorientate (obtinute prin eliminarea semnelorelementelor matri ilor de in identa) sunt e egale, e se obtin una din alta prinpermutarile oloanelor.R c

R a R b+

R a R b+E

J

R a

R b R c

E E

EE

J

d. e. f.

R a

R b-U c JE

j.

a. b. c.

J

R a

R b2

ER b2

R a

R c

I 1

I 2 I 3R b

E

JU c

I 1 I 2

R a

R c

R b

I 3

I 2

R c

R aR b

I 3E J

E

J

1I

R bR a+

R c

E JR a

R c

R b

-E J

R b

R a

R c

I 3

I 2I 1 E

J

h.

i.

g. Fig. 2.11.Din pun tul de vedere al generatoarelor, se poate deni o noua relatie de53

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREe hivalenta pornind de la observatia a sageata tensiunii ele tromotoare si dublasageata a urentului ele tromotor si pot s himba sensurile, u onditia sa ses himbe semnul parametrului E sau J iar urentii si tensiunile ir uitului nu semodi a. Din a est pun t de vedere ir uitul din gura 2.11.a si el din gura2.11.e sunt e hivalente.O alta relatie de e hivalenta ntre ir uite se poate obtine da a se onsi-dera a o lasa de e hivalenta ontine toate ir uitele e difera unul de elalalt,doar printr-o subretea (eventual dipolara), iar toate ir uitele dintr-o lasa dee hivalenta au a eleasi tensiuni si a eiasi urenti n exteriorul subretelei trans-gurate.Da a o lasa de e hivalenta se desparte n sub lase la are onditia de e hiva-lenta este a suma puterilor onsumate de rezistoare sa e a eeasi, atun i seobtine o relatie de e hivalenta mai na.De exemplu, ir uitele din gurile 2.11.a, f, g si h sunt e hivalente n sensuldenit anterior, subreteaua transgurata ind latura din stanga ir uitului. Da an onditia de e hivalenta se impune a puterea onsumata sa nu se modi e,atun i ir uitele a, f, g sunt e hivalente, n s himb ir uitul h fa e parte din alta lasa de e hivalenta.Dintre e hivalentele pe la borne evidentiate de teoremele prezentate anterior,numai e hivalentele denite de generatoarele de tensiune serie si generatoarelede urent paralel satisfa onditia a elementul e hivalent disipa a eeasi puteren rezistoare a elementele initiale. A easta onditie nu este ndeplinita n azule hivalentei generator de tensiune - generator de urent, sau al e hivalentelordenite de generatoarele de tensiune paralel - generatoarele de urent serie.Din a eeasi ategorie de relatii de e hivalenta fa e parte si e hivalenta indusade teorema lui Vas hy (enuntata n paragraful 3.5). Cir uitul din gura 2.11.ieste e hivalent u ir uitul din gura 2.11.a, nodul superior ind e hivalent usteaua elor trei generatoare.Un ultim fel de relatie de e hivalenta este generat de teorema substitutiei(g. 2.11.j). Spre deosebire de e hivalentele anterioare, ele generate de teoremasubstitutiei sunt mai slabe, deoare e urentii din ele doua ir uite, initial e hi-valente, nu se mai pastreaza egali da a parametrul unui element de ir uit semodi a simultan la ele doua ir uite (g. 2.11.a, j).54

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT APROBLEME2.1.1. Sa se determine generatorul real de tensiune e hivalent generatoruluidin gura 2.1.1 si sa se reprezinte gra e uatia sa de fun tionare.2.1.2. Sa se determine generatorul real de urent e hivalent generatorului dingura 2.1.2 si sa se se reprezinte gra e uatia sa de fun tionare.2.1.3. Sa se demonstreze a e uatia de fun tionare a elementului dipolarreprezentat n gura 2.1.3 nu depinde de pozitia omutatorului K.20

B

A

5A ΩFig. 2.1.1. A

B

20V

Ω5Fig. 2.1.2. E

RJ

b

aK

B

AFig. 2.1.3.2.1.4. Sa se determine generatoarele e hivalente dipolului din gura 2.1.4.a,a arui e uatie de fun tionare este reprezentata gra n gurile 2.1.4.b-h.h.g.f.e.

a. b. c. d.

U

I5V

U

I2A

U

I-5V

U

I

-0,1A

-10V

I

A

B

U

U10V

I5A

-2A

5V

U

I

I10mV

100nAU

Fig. 2.1.4.2.1.5. Sa se determine generatoarele e hivalente dipolului din gura 2.1.5 a arui e uatie de fun tionare se onsidera reprezentata gra n gurile 2.1.4.b-h.2.1.6. Sa se demonstreze relatiile (2.5) - (2.10).55

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREUI

A

BFig. 2.1.5.2.1.7. Sa se demonstreze relatiile (2.18) si (2.19).2.1.8. Sa se demonstreze relatiile (2.20) si (2.21.2.1.9. Sa se demonstreze relatiile (2.24).2.1.10. Sa se determine generatoarele reale de urent si de tensiune e hiva-lente elementelor dipolare reprezentate n gura 2.1.6.R

a.

J

E

A

B

R 1

R 2

J

c.

EA

B

R 1

R 2

EJ

b.

A BFig. 2.1.6.2.1.11. Se onsidera pe rand toate ombinatiile de ate doua elemente dinlista prezentata n gura 2.1.7. Sa se determine e uatia de fun tionare si s hemae hivalenta a pere hii de elemente onsiderate, one tate n serie.R

a.

E

b.

J

c. d.

e.

R 1E 1

f.

R 2

J 2

g.Fig. 2.1.7.56

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT A2.1.12. Sa se rezolve problema 2.1.11 onsiderand elementele one tate nparalel.2.1.13. Sa se al uleze rezistenta e hivalenta ntre bornele A si B pentruretelele rezistive din gura 2.1.10.2.1.14. Sa se determine rezistentele e hivalente ntre pere hile de borne A-B,B-C, A-C pentru ir uitele reprezentate n gurile 2.1.8.a-f.R 2R 2

R 1

C

BA

R R R

A B C

b.

e.

c.

f.

a.

d.

R 3

4RR 2

R 1R

B

A

R R

R

C

R

R

BA RR

RR

R BA

RR

R

RR R

RR

C

BAFig. 2.1.8.2.1.15. Sa se al uleze rezistenta RAB pentru diferite pozitii ale omutatoa-relor din ir uitul reprezentat n gura 2.1.9.K

KA

B

12

3KR

RR

RR

R

R

RFig. 2.1.9.2.1.16. Sa se determine generatoarele e hivalente fata de bornele A si B aleretelelor din gurile 2.1.11 si 2.1.12. 57

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE30 Ω 30 Ω 30 Ω

A

B

10 Ω 10 Ω 10 Ω

A B

R RR

2R RR

Bn

A1 2 m

R RR 1

Ω1

Ω3

Ω2

Ω

ΩΩ1

A

B

1

32 Ω

R R RA B

R R R

R

R

RR R

R

RR

BA

j.

b.

d.

f.

i.

l.

h.

e.

a.

c.

g.

k.

3 Ω3 Ω 3 Ω

BA

Ω20,2S

A B

0,3S

1G =0,2S ΩR=4

A B

G =2S1G =3S

2

A B

Ω

Ω

3Ω

Ω10

A

B

6

2 R R R

RR

A

BFig. 2.1.10.58

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT A5Ω10V 20V

A A BB

10Ω 10Ω5V

Ω10

Ω10

A B

20V

40V20 Ω

30 Ω60VBA

10Ω

10Ω

4A

A B2A

Ω5Ω10 BA

20V2A

10 Ω

10 ΩA B

20V

Ω200Ω20

1A

A

Bi.

g.

e.

c.

a.

A B

40VΩ

20V

20

Ω20

Ω10

5 Ω 5 Ω

50V

10VBA

100V

Ω10

Ω20

A

10A

B

10 Ω0,1SA B

2A

40 ΩΩ20A B

50V2A

Ω20

Ω203A

10V

BA

j.

h.

f.

d.

b.

A 5 Ω 10 ΩB

10V

20V

2A

A B

1A

o. p.

5A

m.

k.

n.

l.

Fig. 2.1.11.59

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE5 ΩA B

2A

10Ω

10Ω

ΒΑ

5V

1 Ω

BA2A

10V

Ω10

Ω10

Ω10Ω10

10 Ω

10Ω2A

5V

BA

e.

c.

a.

d.

b.

10VA B

2A

A B10V 5A

2V BA

2A

BA

1V

10Af.

g. h.Fig. 2.1.12.2.1.17. Sa se al uleze rezistentele e hivalente ntre bornele A si B pentru ir uitele innite din gura 2.1.13.A

B2

n-1R4R2RR

A

B

A

B

b.a.

c.

R 1

R 2 R 2 R 2

R 1 R 1

R 2 R 2 R 2

R 1 R 1 R 1

Fig. 2.1.13.60

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT A2.1.18. Sa se determine generatoarele e hivalente de urent fata de pere hilede borne A-B, B-C, A-C pentru ir uitele din gura 2.1.14.C

A

E R

JB

A B

C20V

10V

Ω201A

Ω2010

20V

10

b. c.

a.

B2A

Ω

Ω10

C

A

ΩΩ

1A

10V

!0

Fig. 2.1.14.2.1.19. Sa se determine generatoarele e hivalente de tensiune fata de pere- hile de borne A-B, B-C, A-C pentru ir uitele din gura 2.1.14.2.1.20. Sa se al uleze rezistenta e hivalenta ntre bornele A si B apli and ongurarea stea-poligon n ir uitele din gurile 2.1.15.a- .A

B

20 Ω

30 Ω

50Ω10Ω

10Ω

20 ΩΩ10

10Ω

10 Ω

30Ω10Ω

20 Ω

10 Ω

C

BA

10 Ω

20 Ω

10 Ω

A B10 Ω

10 Ω20Ω

Ω20

Ω20

a. b. c.Fig. 2.1.15.2.1.21. Sa se determine generatorul e hivalent ntre bornele A si B apli and61

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREtransgurarea stea-poligon n ir uitele din gurile 2.1.16.a- .10V

10

10

10

10 20

Ω

Ω

ΩΩ

Ω

20 Ω1A

10V

20 Ω 50 Ω Ω20

10V20VΩ60

10V 20 Ω

60 Ω

10V

A B

Ω10

1A 10 Ω 10V

10 Ω

BAΩ10

10 Ω Ω10

10V

b.a.

c.Fig. 2.1.16.2.1.22. Sa se transgureze ir uitele triunghi reprezentate n gura 2.1.17 n ir uite stea.2.1.23. Sa se determine generatoarele e hivalente de urent si tensiune fatade bornele A si B pentru ir uitele din gura 2.1.18.2.1.24. Sa se determine intensitatile urentilor si tensiunile la ir uitele dingura 2.1.19, prin al ulul rezistentei e hivalente la bornele generatorului si apoi u ajutorul relatiilor divizorului de urent si de tensiune.2.1.25. Fie grafurile prezentate n gura 2.1.20. Sa se prezinte lista trans-gurarilor serie, paralel sau stea-poligon e trebuie efe tuate pentru a redu e grafulla o latura ntre doua noduri. Se vor onsidera pe rand diferite pere hi de noduri.2.1.26. Apli and metoda generatoarelor e hivalente, sa se al uleze intensi-tatea urentului I pentru ir uitele din gura 2.1.21. Pornind de la urentul I sase determine apoi eilalti urenti.2.1.27. Fie doua rezistoare avand rezistentele R1 si R2 one tate n serie. Sase al uleze si sa se reprezinte gra eroarea relativa "r(R1) = (RaRe)=Re e se62

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT AR R

R

R

RR

J

J

R

R

E

R

10V20Ω

10 Ω

RR

R

E2A

10 Ω

10Ω

a. b.

d. e. f.

c.

Fig. 2.1.17.fa e asupra rezistentei e hivalente Re atun i and se presupune n ir uit numairezistenta Ra=R2.2.1.28. Fie doua rezistoare avand rezistentele R1 si R2, one tate n paralel.Sa se al uleze si sa se reprezinte gra eroarea relativa "r(R1) = (Ra Re)=Re e se fa e asupra rezistentei e hivalente Re atun i and se presupune n ir uitnumai rezistenta Ra=R2.2.1.29. T inand seama de solutia problemelor 2.1.27 si 2.1.28, sa se al ulezevaloarea aproximativa a rezistentei e hivalente ntre bornele A si B n ir uiteledin gura 2.1.22.2.1.30. Fie un generator real de tensiune u parametrii (E,r) la bornele aruiaeste one tata o rezistenta de sar ina R. Sa se al uleze eroarea relativa e se fa easupra urentului de sar ina "I = (I Ia)=I si asupra tensiunii "U = (U Ua)=Usi sa se reprezinte gra a este erori n fun tie de rezistenta R, atun i and senlo uieste generatorul real u un generator ideal u tensiune ele tromotoare E(se neglijeaza rezistenta interna r a n gura 2.1.23.b).2.1.31. Fie un generator real de urent u parametrii (J,r), la bornele aruiaeste one tata o rezistenta de sar ina R. Sa se al uleze eroarea relativa e se fa easupra urentului de sar ina "I = (I Ia)=I si asupra tensiunii "U = (U Ua)=Usi sa se reprezinte gra a este erori n fun tie de ondu tanta de sar ina G=1/R,atun i and se nlo uieste generatorul real de urent u un generator ideal de u-rent (se neglijaza ondu tanta interna a n gura 2.1.24.b).2.1.32. Fie un generator real avand tensiunea de mers n gol U0=10V si u-rentul de s urt ir uit I0=10mA. Sa se determine valorile rezistentelor de sar ina63

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE10 Ω

10 Ω

10V

10V

1A 10Ω10V

A

B

20VA

B

Ω10

40V

10Ω

5A

10 Ω

20 Ω

1A

10V

1A

Ω

A

B10V

10Ω10

10Ω

10Ω

10ΩA

B

10 Ω

1A

10V10Ω

10 Ω 10 Ω

10V

5V

10 Ω

10 Ω10 Ω

Ω10

10 Ω

A

B

10Ω10V

Ω10

B

A

10Ω

5V

Ω10

10V

Ω60

10V60 Ω

30 Ω

10V

60 Ω

30Ω

10 Ω

30Ω

10ΩB

A

b.a.

c. d.

e. f.

g. Fig. 2.1.18.64

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT A10 Ω

10V

Ω1020 Ω

Ω10

2A

10 Ω20 Ω

40 Ω10 Ω Ω10

50VΩ1520Ω 30 Ω

10 Ω5A

Ω5Ω7

Ω3

Ω5

Ω10

30 Ω

20 Ω 10V

10 Ω

20 Ω

20 Ω10V

Ω40

20 Ω

Ω20

30Ω

10 Ω

50 Ω

10 Ω

10 ΩΩ20

1A

a. b. c.

d.

f. g.

e.

Fig. 2.1.19.(1)

(2)

12

3 (1)

12

(2)

(3)

3

54(1) (2)

(3)

4 53

1

6

2

(1) (2)

(4)(3)

6

25

1

4

3

(2)

(3) (4)

(1) 1

32

6

4

5

5

(1) (2)

(3) (4)

73

6

4

2

1(1) (2)

(3) (4)

45 76

8

1

32

(1) (2)

(3) (4)

81

3

2 4

(5)5

6 7

9

a. b. c. d.

e. f. g. h.Fig. 2.1.20.65

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE

I

20V

Ω2010 Ω

60VI

Ω2010V

5 Ω

Ω5I

Ω1A

10

20V

30I 10V

10

15

Ω

ΩΩ

20V

10 Ω

5 Ω

Ω10

20 Ω1A

Ω10

10V

c.

e.

10V

1A

I

2010Ω

Ω

Ω1010 Ω

10

10V

Ω

a.

d.

1V

10

IΩ2 10V

Ω5Ω

b.

f. Fig. 2.1.21.1Ω

1Ω

1Ω1KΩ 1KΩ

1MΩ

1MΩ

A

B

A

B

1K Ω

1M Ω

1 ΩΩ1M

Ω1KA

B

1K Ω

1 Ω 1M Ω

a. b. c.Fig. 2.1.22.66

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT AE

r

U R

I

U R

I

E a

a

a. b.Fig. 2.1.23.J

U R

I

rJ

U R

I

a

a. b.Fig. 2.1.24.R e pot one tate la bornele a estui generator pentru a eroarea de aproximarentre a est dipol si un generator ideal de tensiune sa e mai mi a de at 1%.2.1.33. In e onditii referitoare la rezistenta R generatorul din problema2.1.32 poate aproximat u un generator ideal de urent, astfel n at eroarearelativa sa e mai mi a de at 1% ?2.1.34. Sa se determine relatiile aproximative ale divizorului de tensiunesi de urent apli abile n azul n are ele doua rezistente satisfa inegalitateaR1 R2. Care este eroarea de al ul e apare atun i and se opereaza u a esterelatii ?2.1.35. Sa se determine generatoarele ideale e pot aproxima fun tionareageneratoarelor reale din gura 2.1.25.2.1.36. Sa se al uleze valorile aproximative ale urentilor si tensiunilor din ir uitele reprezentate n gura 2.1.26. 67

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE5V

Ω5

1K Ω 1mA10KΩ

1A

5V

10 Ω

10V

1Ω1KΩ

e.

100Ω1M10mA

Ω 100V

100KΩ

100 Ω

10V 1V

1KΩ 1Ω

Ω10K

1KΩ

1KΩ

1 Ω

10V

1 Ω 1M Ω

a.

1A10 Ω 10K Ω

b. c.

d.f.

g.h.Fig. 2.1.25.

10V

1K Ω

2 Ω

1Ω1M

10V

1K

Ω

Ω1MΩ 1 Ω

1KΩ 1MΩ10mA 1 Ω1MΩ10

1KΩ

1AΩ

1Ω

1Ω10V

1KΩ

1M Ω1A

1Ω

Ω1K Ω1

a. b. c.

d. e. f.Fig. 2.1.26.68

2.2. METODA ECUATIILOR LUI KIRCHHOFF2.2 Metoda e uatiilor lui Kir hhoBREVIARProblema fundamentala a analizei unui ir uit ele tri rezistiv onsta ndeterminarea intensitatii urentilor Ik, pentru k=1,...,L si a tensiunilor Uk, pentruk=1,...,L n toate laturile, onsiderand unos uta topologia ir uitului (s hemaele tri a) si parametrii elementelor Rk; Ek; Jk, pentru k=1,...,L.Pentru determinarea parametrilor topologi i L si N este ne esara denirea on eptului de latura si a elui de nod. Intr-o prima a eptiune se va ntelegeprin latura un element ideal de ir uit, iar prin nod se ntelege o borna la are on ura el putin doua laturi. In a easta a eptiune pentru ir uitul din gura2.11.a parametrii topologi i sunt L0 = 5; N0 = 4:O alta a eptiune este a eea n are latura este onsiderata a o multime deelemente ideale one tate n serie, iar prin nod se ntelege o borna la are on ura el putin trei laturi. In a easta a eptiune, ir uitul din gura 2.11.a areL1 = 3 laturi si N1 = 2 noduri.Un alt mod n are este posibila denirea a estor on epte onsta n a eptarea a latura, e a generatorului real de tensiune (g. 2.12.a), are poate degeneran generator ideal de tensiune atun i and R = 0 sau n rezistor and E = 0,e latura de tip generator real de urent (g. 2.12.b), are poate degenera ngenerator ideal de urent atun i and G = 0. In a easta a eptiune ir uitul dingura 2.11.a are L2 = 3 laturi siN2 = 3 noduri. O modalitate e ienta de denirea laturii standard este ea din gura 2.12. , n are rezistorul este ara terizatprin rezistenta R sau ondu tanta G.R K

G K

EK

J K

IK

KU

I

K

J K

GK

U K

R IKK

KE

U K

a. b. c.Fig. 2.12.Se onstata a parametrii topologi i L si N ai unui ir uit depind de tipul latu-rii standard adoptate n denirea on eptului de latura. Pentru analiza retelelorrezistive liniare u metoda generala a e uatiilor lui Kir hho se rezolva un sistemformat din 2L e uatii algebri e liniare, a arui solutie reprezinta urentii Ik sitensiunile Uk din laturile retelei. A est sistem este al atuit din (N 1) e uatii69

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREindependente e reprezinta prima teorema a lui Kir hho, (L N + 1) e uatiiindependente e reprezinta a doua teorema a lui Kir hho:algXk2(n) Ik = 0; n = 1; 2; :::; (N 1); (2.27)algXk2[bUk = 0; b = 1; 2; :::; (LN + 1); (2.28)iar restul de L e uatii reprezinta e uatiile de fun tionare ale laturilor retelei,respe tiv pentru laturile de tip generator real de tensiune (g. 2.12.a):Uk = RkIk Ek; (2.29)iar pentru laturile de tip generator real de urent (g. 2.12.b):Ik = Jk + GkUk: (2.30)Sub forma matri eala, e uatiile (2.27)-(2.30) devin:Ai = 0;Bu = 0;i+ u = ; (2.31)n are A este matri ea redusa de apartenenta a laturilor la noduri, B este ma-tri ea de apartenenta a laturilor la bu lele fundamentale, i este ve torul oloanaal urentilor, u este ve torul oloana al tensiunilor, iar , si sunt matri i e ontin parametrii elementelor de ir uit.Datorita dimensiunii mari a sistemului de e uatii de mai sus, si anume 2Le uatii u tot atatea ne unos ute, a easta metoda nu este utilizata n al ululmanual. Pentru mi sorarea dimensiunii sistemului se utilizeaza urmatoarele douavariante ale metodei e uatiilor lui Kir hho: analiza retelelor n raport u urentiisi analiza n raport u tensiunile.Analiza retelelor n raport u intensitatile urentilor se fa e eliminandtensiunile din sistemul (2.27)-(2.29):algXk2(n) Ik = 0; (2.32)algXk2[bRkIk + algXk2[bUk = algXk2[bEk; (2.33)unde: n=1, 2, ..., (N-1) si b=1, 2, ..., (L-N+1). Sistemul obtinut are L e uatii u L ne unos ute si anume urentii din laturi I1; I2; :::; IL, u ex eptia urentilor70

2.2. METODA ECUATIILOR LUI KIRCHHOFFdin generatoarele ideale de urent prin are urentii sunt unos uti Ik = Jk dartensiunile Uk la borne sunt ne unos ute. E uatia (2.33) poarta numele de a douateorema a lui Kir hho sub forma parti ulara. Cele trei sume e intervinn relatia (2.33) sunt algebri e, n sensul a termenii respe tivi se adauga u plusda a sensurile de referinta ale urentului Ik, ale tensiunii la bornele generatoarelorde urent Uk, respe tiv ale tensiunii ele tromotoare Ek ale generatoarelor idealede tensiune oin id u sensul de par urs al o hiului (I1, I4, U2 si E3 n gura2.13) si se adauga u minus n az ontrar (I3, U5 si E4 n gura 2.13).U

ER

I

E

R

I

UI

R

5

4

44

3

3

3

21

1

Fig. 2.13.Pentru s rierea sub forma matri eala a e uatiilor referitoare la urenti, se onsidera a reteaua ontine NGC generatoare de urent. Da a laturile se nu-meroteaza astfel n at generatoarele de urent sa e situate pe ultimele laturi,atun i e uatiile (2.31) se pot s rie sub forma:Ai = A1...A2 " i1i2 # = 0; (2.34)Bi = B1...B2 " u1u2 # = 0; (2.35)n are ve torul oloana al urentilor i = [I1; I2; :::; ILT si ve torul oloana altensiunilor u = [U1; U2; :::; ULT sunt partitionati n omponentele ve toriale i1si u1 orespunzatoare laturilor e nu ontin generatoare de urent si respe tivi2 si u2 orespunzatoare elor NGC generatoare ideale de urent. Da a ve torul urentilor ele tromotori este j atun i:i2 = j = 0BB J1...JNGC 1CCA : (2.36)71

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREE uatiile de fun tionare ale laturilor e nu ontin generatoare de urent sunt:u1 = Ri1 e; (2.37)n are R este matri ea diagonala a rezistentelor laturilor si e este ve torul oloanaal tensiunilor ele tromotoare de tensiune. Inlo uind (2.36) n (2.34) si (2.37) n(2.35) rezulta urmatoarea forma matri eala a e uatiilor:A1i1 = A2jB1Ri1 +B2u2 = B1e; (2.38)sau sub forma blo : " A1 0B1R B2 # " i1u2 # = " A2jB1e # : (2.39)Da a ir uitul nu ontine generatoare de urent sau da a este posibila trans-formarea a estora n generatoare de tensiune atun i NGC = 0, iar e uatiile (2.38)devin: ( Ai = 0BRi = Be; (2.40)sau sub forma blo matri eala:" ABR # i = " 0Be # : (2.41)Pentru analiza manuala a unui ir uit ele tri rezistiv liniar ompatibil, uajutorul metodei teoremelor lui Kir hho n raport u urentii, trebuie par urseurmatoarele etape ale algoritmului metodei:1. Se determina parametrii topologi i: numarul de noduri N , numarul de laturiL si numarul de bu le fundamentale O = LN +1; n a est sens este utilatrasarea grafului G al retelei, tinand seama de faptul a elementele one taten serie pot onsiderate a apartinand a eleiasi laturi;2. Se aleg sensurile de referinta si se noteaza intensitatile urentilor I1; I2; :::; IL si tensiunile la bornele generatoarelor de urent U1; U2; :::; UNGC;3. Se s rie prima e uatie a lui Kir hho (2.32) n toate nodurile u ex eptiaunuia arbitrar;4. Se aleg sensurile de par urs pentru O=L-N+1 bu le independente. Bu- lele independente pot "o hiurile" (similar o hiurilor unei plase, in azulretelelorplane), n azul retelelor plane, sau bu lele fundamentale generatede oardele unui oarbore. In a est ultim az arborele se va alege ast-fel n at sa ontina toate laturile generatoare ideale de tensiune si sa nu ontina generatoare de urent. Este ne esar a sistemul de bu le sa ontina72

2.2. METODA ECUATIILOR LUI KIRCHHOFFtoate laturile retelei ( onform onditiei de independenta) si este preferabil a e are bu la sa ontina at mai putine rezistoare (pentru simpli arearezolvarii sistemului);5. Se s rie a doua e uatie a lui Kir hho sub forma parti ulara (2.33) par- urgand e are bu la de doua ori, la prima tre ere urmarind rezistoarele sigeneratoarele de urent, iar la a doua tre ere urmarind generatoarele idealede tensiune. La ambele tre eri aderile de tensiune pe rezistoare RkIk, ten-siunile Uk la bornele generatoarelor de urent si tensiunile ele tromotoareEk se adauga u plus sau minus dupa um sensurile marimilor Ik, Uk siEk oin id sau nu u sensul de par urs al bu lei;6. Se rezolva sistemul format din ele L e uatii algebri e liniare determinan-du-se ne unos utele si anume urentii din laturi I1; I2; :::; IL si tensiunileU1; U2;...,UNGC la bornele generatoarelor de urent. In rezolvarea sistemului se vatine seama a intensitatile urentilor din generatoarele de urent sunt datede urentii ele tromotori ai a estor generatoare Ik = Jk;7. Se aleg sensurile de referinta, se noteaza si se al uleaza tensiunile la bor-nele elementelor, n fun tie de urenti, apli and e uatiile de fun tionare aleelementelor respe tive;8. Pentru veri area solutiei obtinute se pot apli a urmatoarele metode:- se veri a prima teorema a lui Kir hho n ultimul nod sau pe ose tiune;- se veri a a doua teorema a lui Kir hho pe o bu la pe are ea nu afost s risa;- se veri a bilantul puterilor:LXk=1RkI2k = LXk=1EkIk + NGCXk=1 UkJk: (2.42)In e uatia (2.42) suma din membrul stang este aritmeti a n timp e sumeledin membrul drept sunt algebri e, n sensul a termenii se adauga u semnul plusda a satisfa regulile de aso iere ale sensurilor din gura 2.14.a si se adauga usemn minus da a sensurile de referinta sunt a n gura 2.14.b.Tehni i pentru redu erea efortului de al ul n metoda e uatiilor luiKir hho:1. Rezistoarele one tate n serie sau paralel pot e hivalate de la n eput uun singur rezistor, urmand a n nal sa se apli e relatiile divizorului de ten-siune sau respe tiv de urent pentru determinarea tensiunilor si urentilor;73

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREE

J

U k

k

Ikk E

J

U k

k

Ikk

a. b.Fig. 2.14.2. Generatoarele reale de urent vor nlo uite u generatoarele e hivalentede tensiune mi sorand n a est fel numarul de laturi, de i si dimensiuneasistemului;3. Laturile a tive one tate n serie sau hiar n paralel pot nlo uite u ungenerator real de tensiune e hivalent;4. O varianta a metodei, e redu e foarte mult efortul de al ul, se bazeazape observatia a da a n etapa 2 a algoritmului se noteaza u I1; I2; :::; I0 urentii din oarde iar urentii din arbore se noteaza dire t pe gura, asume algebri e de urenti de oarda, atun i etapa 3 este inutila, iar sistemulde e uatii ontine (L-N+1) ne unos ute, n lo de L ne unos ute. Alegereaarborelui se fa e astfel n at sa ontina toate laturile generatoare ideale detensiune si sa nu ontina generatoare de urent.Analiza retelelor n raport u tensiunile se fa e eliminand intensitatiledin sistemul (2.27)-(2.30), obtinandu-se un sistem u L e uatii si anume:algXk2(n)GkUk + algXk2(n) Ik + algXk2(n)Jk = 0) (2.43)algPk2[bUk = 0 (2.44) u n=1, 2,...,(N-1) si b=1, 2,...,(L-N+1).E uatia (2.43) este unos uta sub numele de prima teorema a lui Kir- hho sub forma parti ulara.Ne unos utele sistemului (2.43)-(2.44) sunt n numar de L. A estea sunt ten-siunile la bornele laturilor u ex eptia laturilor generatoare ideale de tensiune, la are tensiunea este unos uta Uk = Ek, n s himb urentul Ik este ne unos ut.74

2.2. METODA ECUATIILOR LUI KIRCHHOFFE uatia (2.43) poarta numele de prima teorema a lui Kir hho sub formaparti ulara, iar sumele e intervin n ea sunt algebri e, adaugandu-se u plustermenii GkUk; Ik; Jk da a sensurile de referinta ale marimilor Uk; Ik si Jk intran nod ( a de exemplu, U5; I4; J5, n gura 2.15) si u minus n az ontrar.I

U

GI

6J

1G U

1

2

3

3

4U5

J5 Fig. 2.15.In apli area a estei metode, generatorul real de tensiune se onsidera al atuitdin doua laturi one tate n serie, o latura rezistor si o latura generator idealde tensiune. Pentru a evita introdu erea unui nod suplimentar ntre rezistorsi generatorul ideal de tensiune este preferabil, n a est az, sa se nlo uias atoate generatoarele reale de tensiune prin generatoare reale de urent e hivalente.Da a ir uitul ontine NGT generatoare de tensiune si laturile se numeroteazaastfel n at a este generatoare sunt plasate n ultimele laturi, atun i matri ele dein identa se partitioneaza:A = A1...A2 ; B = B1...B2 ; (2.45)iar ve torii urentilor si tensiunilor vor :i = [I1; I2; :::; ILT = i1...i2T ;u = [U1; U2; :::; ULT = u1...u2T ;u2 = [E1; E2; :::; ENGT T = e:75

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARECu a este notatii forma matri eala a e uatiilor este:B1u1 = BLe;A1Gu1 +A2i2 = A1j; (2.46)n are G este matri ea diagonala a ondu tantelor laturilor si j este ve torul oloana al urentilor ele tromotori. Forma blo -matri eala a e uatiilor (2.46)este : " B1 0A1G A2 # " u1u2 # = " B2eA1j # : (2.47)Da a ir uitul nu ontine generatoare de tensiune, NGT = 0, atun i e uatiile(2.46) devin: Bu = 0;AGu = Aj; (2.48)sau sub forma blo matri eala:" BAG # u = " 0Aj # : (2.49)Pentru analiza manuala a unui ir uit ele tri rezistiv liniar se par urg urma-toarele etape ale algoritmului metodei teoremelor lui Kir hho n raport u tensiunile:1. Se determina parametrii topologi i: numarul de noduri N , numarul de laturiL si numarul de bu le fundamentale O = L N + 1. La determinareaparametrilor topologi i L si N, trebuie tinut seama de faptul a elementele one tate n serie trebuie onsiderate a apartinand unor laturi diferite,dar elementele one tate paralel pot onsiderate a apartinand a eleiasilaturi;2. Se aleg sensurile de referinta si se noteaza tensiunile U1; U2; :::; UL, la bor-nele laturilor si urentii I1; I2; :::; INGT e strabat generatoarele ideale detensiune;3. Se s rie prima teorema a lui Kir hho sub forma parti ulara (2.43) pe toatenodurile u ex eptia unuia arbitrar. La s rierea relatiei (2.43) trebuie tinutseama de faptul a ele trei sume sunt algebri e, urmand a pentru unnod laturile rezistenta sa ontribuie u GkUk, laturile generator ideal detensiune sa ontribuie u urentul Ik, iar laturile generator ideal de urentsa ontribuie u Jk; semnul plus se adopta atun i and sensul de referintaal marimii Uk; Ik respe tiv Jk intra n nod, iar semnul minus n az ontrar;76

2.2. METODA ECUATIILOR LUI KIRCHHOFF4. Se alege un sistem de bu le independente, pe are se s rie a doua teoremaa lui Kir hho sub forma generala (2.44). Pentru a easta este util grafulde tensiune redus al retelei n are sunt notate tensiunile U1; U2; :::; UL. Las rierea a estor (L-N+1) e uatii se va tine seama de faptul a tensiunile labornele generatoarelor ideale de tensiune sunt unos ute Uk = Ek si asuma (2.44) este o suma algebri a ;5. Se rezolva sistemul format din ele L e uatii algebri e liniare, determinan-du-se ne unos utele si anume tensiunile U1; U2; :::; UL, la bornele tuturorlaturilor u ex eptia tensiunilor de la bornele generatoarelor ideale de ten-siune, la are ne unos utele sunt urentii I1; I2; :::; INGT ;6. Pornind de la tensiunile determinate n etapa anterioara se al uleaza uren-tii din laturile retelei initiale apli and e uatiile de fun tionare ale laturilorrespe tive;7. Se veri a solutia obtinuta apli and una din urmatoarele metode:- se veri a prima teorema a lui Kir hho pe ultimul nod;- se veri a teorema a doua a lui Kir hho pe o bu la e nu fa e partedin sistemul de bu le independente ales;- se veri a bilantul puterilor (2.42).Pentru redu erea efortului de al ul se pot utiliza urmatoarele tehni i:1. Laturile one tate serie, paralel sau mixt se nlo uies u generatoare e hi-valente de urent;2. Generatoarele reale de tensiune se nlo uies u generatoare reale de urente hivalente, mi sorand n a est fel numarul de laturi de i si dimensiuneasistemului;3. Da a n etapa 2 a algoritmului se noteaza u U1; U2; :::; U(N1) tensiunile dinlaturile unui arbore, iar tensiunile din oarde se noteaza dire t pe gura asume algebri e ale tensiunilor de ramuri, atun i etapa 4 a algoritmului esteinutila, iar numarul e uatiilor din sistem s ade de la L la (N 1). Alegereaarborelui se fa e astfel n at a esta sa ontina toate laturile generatoare detensiune si sa nu ontina generatoare de urent.77

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREPROBLEME2.2.1. Sa se s rie sistemul de e uatii aso iat metodei generale a teoremelorlui Kir hho (2.27)-(2.30) pentru ir uitele din gura 2.2.1.E

R

JR

1

1

2

R 1

R 2

EJ R

3 E 1

R 1

R 2

R 3

E 3

E 4

J

R1 2

RJ

E 4R 1

R 2R 3E 2 R 4

E 5

J 4

J 1

R 3

R 2 R5

d.

R 2

R 1R

E3

3

E 1

a.b. c.

e. f.

g. Fig. 2.2.1.2.2.2. Sa se analizeze ir uitele din gura 2.2.2 u ajutorul metodei lui Kir- hho n raport u urentii. Se va veri a bilantul puterilor.2.2.3. Sa se analizeze ir uitele reprezentate n gura 2.2.2 u ajutorul me-todei e uatiilor lui Kir hho n raport u urentii utilizand tehni ile de redu erea efortului de al ul.2.2.4. Sa se analizeze ir uitele reprezentate n gura 2.2.2 u ajutorul me-todei e uatiilor lui Kir hho n raport u tensiunile. Se va veri a solutia uajutorul bilantului puterilor. 78

2.2. METODA ECUATIILOR LUI KIRCHHOFF60V 10V 60V

Ω40 Ω10 Ω20150V

10

100V

ΩΩ

270V

Ω10

10 Ω 230VΩ

1020

180V

310V

10

140V

80V10 Ω 10 Ω

10 Ω

ΩΩ10

10

Ω50V 40V

20 Ω

10

10 Ω

10 Ω

Ω 6 ΩΩ 4

214V

Ω20

150V 10 Ω

100V

10 Ω

Ω5

20V

Ω10

250V

200500V

100 Ω

Ω

Ω10100V

20 Ω

100V

10V

Ω10

40 Ω

4A

40V

10 Ω

20V

10 Ω

10V

20Ω

Ω10 50V

3A

10Ω20 Ω

10 Ω

35V

a. b.

c.d.

e.f.

g.h.Fig. 2.2.2.79

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE2.2.5. Sa se analizeze ir uitele reprezentate n gura 2.2.2 u ajutorul meto-dei teoremelor lui Kir hho n raport u tensiunile utilizand tehni ile de redu erea efortului de al ul.2.2.6. Sa se s rie forma matri eala a e uatiilor Kir hho n raport u urentiipentru ir uitele reprezentate n gura 2.2.1.2.2.7. Sa se s rie forma matri eala a e uatiilor Kir hho n raport u tensiu-nile pentru ir uitele reprezentate n gura 2.2.1.2.2.8. Sa se analizeze u ajutorul metodei e uatilor lui Kir hho ir uiteleale aror parametri au fost determinati n problema 1.4.13. Pentru rezolvare seva apli a a ea varianta a metodei are este ea mai avantajoasa pentru problemarespe tiva.2.2.9. Sa se analizeze ir uitele reprezentate n gurile 1.4.9, 1.4.11 si 1.4.10 u ajutorul metodei e uatiilor lui Kir hho.2.2.10. Sa se analizeze u ajutorul metodei e uatiilor lui Kir hho ir uitelereprezentate n gura 2.1.21.2.2.11. Generati ir uite ele tri e avand parametrii topologi i N;L impusisi apoi pornind de la tensiuni de ramuri si urenti de oarde arbitrari, al ulatidupa modelul din problema 1.4.13, determinati parametrii elementelor. Analizatiapoi ir uitele generate u ajutorul metodei teoremelor lui Kir hho.80

2.3. METODA CURENTILOR CICLICI2.3 Metoda urentilor i li iBREVIARMetoda urentilor i li i este o metoda sistemati a de rezolvare a proble-mei fundamentale a analizei ir uitelor rezistive liniare. Ea este o metoda desubstitutie n are ne unos utele prin ipale sunt urentii i li i, adi a un setde O = L N + 1 urenti tivi are par urg e are ate o bu la dintr-un setde bu le fundamentale. Da a se noteaza matri ea oloana a urentilor i li i ui0 atun i matri ea urentilor ir uitului este:i = BT i0; (2.50)n are B este matri ea de apartenenta a laturilor la bu le. Deoare e relatia(2.50) permite determinarea urentilor din toate laturile ir uitului n fun tie de urentii i li i, metoda urentilor i li i redu e problema analizei unui ir uit ladeterminarea urentilor i li i de i la rezolvarea unui sistem liniar u O = LN+1 e uatii, redu and n a est fel efortul de al ul. Pentru determinarea sistemuluide e uatii aso iat a estei metode, se presupune latura standard a ir uitului deforma elei din gura 2.16. In a easta situatie, pe langa marimile ara teristi elaturii Uk, Ik intervin tensiunea URk si urentul IRk prin rezistor, ntre a esteaexistand relatiile : Ik = IRk + Jk;Uk = URk Ek;sau sub forma matri eala:I k I Rk

Jk

R kE k

URk

UkFig. 2.16.i = iR + j; (2.51)u = uR e; (2.52)unde:i = [I1; I2; :::; ILT ; iR = [IR1; IR2; :::; IRLT ;u = [U1; U2; :::; ULT ; uR = hUR1; UR2; :::; URLjiT ;j = [J1; J2; :::; JLT ; e = [E1; E2; :::; ELT :Da a se apli a a doua teorema a lui Kir hho:Bu = 0 (2.53)81

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREsi se tine seama de e uatiile de fun tionare ale rezistoarelor:UR = RIR; (2.54)n are R = diag (R1; R2; :::; RL) este o matri e patrata e ontine pe diagonalarezistentele, atun i rezulta e uatia urentilor i li i: BRBT i0 = B(e+Rj), sauutilizand notatiile R0 = BRBT ; e0 = B(E +RJ) :R0 i0 = e0 (2.55)Din analiza elementelor matri ii R0 rezulta a R0ij = R0ji reprezinta sumarezistentelor de pe laturile omune bu lelor i si j, suma onsiderata u plus sauminus, dupa um sensurile bu lelor i si j oin id sau nu n laturile omune. Ele-mentul Ej al matri ii e0 reprezinta suma algebri a a tensiunilor ele tromotoareale generatoarelor ideale de tensiune de pe o hiul j la are se adauga tensiunileele tromotoare e hivalente generatoarelor de urent de pe a el o hi, transformaten generatoare de tensiune. Un az degenerat l reprezinta o hiurile n are existalaturi e ontin doar generatoare ideale de urent (Gk = 0; Rk !1 ). Datoritarezistentei innite e uatia aso iata o hiului respe tiv nu are sens, n s himb u-rentul i li din o hiul respe tiv va impus de generatorul ideal de urent. Pentruanaliza manuala a unui ir uit ele tri rezistiv liniar se par urg urmatoarele etapeale algoritmului metodei urentitor i li i:1. Se determina parametrii topologi i: numarul de noduri N, numarul de laturiL si numarul de bu le fundamentale O = LN +1 pentru ir uitul n aregeneratoarele reale de urent au fost e hivalate u generatoare de tensiune;2. Se alege un sistem de bu le independente notate u I10; I20; :::; I00 pentru are se mar heaza sensurile de par urs. La alegerea bu lelor trebuie avutgrija a prin e are generator ideal de urent sa trea a o singura bu lasi nu mai multe, iar pe o bu la sa se a e un singur generator de urent.Pentru alegerea bu lelor fundamentale se poate utiliza un arbore are nu ontine generatoare de urent, urmand a e are oarda sa n hida o bu lafundamentala;3. Se s rie sistemul de e uatii al metodei urentilor i li i:8><>: R011I 01 +R012I 02 + ::::::R01OI 0O = E 01:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::R0O1I 01 +R0O2I 02 + ::::::R0OOI 0O = E 0Osistem are ontine O e uatii u O ne unos ute;4. Se elimina e uatiile degenerate orespunzatoare bu lelor e ontin genera-toare de urent, substituindu-le u e uatii de forma Ik0 = Jk, n aresemnul se determina n fun tie de orientarea sensului de par urs al o hiuluiIk0 fata de urentul ele tromotor Jk;82

2.3. METODA CURENTILOR CICLICI5. Se al uleaza termenii diagonali R0ii din matri ea sistemului, a suma arezistentelor de pe bu la;6. Se al uleaza termenii nediagonali R0ij = R0ji a suma a rezistentelor depe laturile omune bu lelor i si j, suma luata u semnul plus n azul n are sensurile de par urs ale bu lelor oin id n laturile omune si luate usemnul minus n az ontrar;7. Se al uleaza termenii liberi E 0j , a suma algebri a a tensiunilor ele tromo-toare ale generatoarelor de tensiune de pe bu la j, onventia de semn inda eeasi a la teorema a doua a lui Kir hho sub forma parti ulara;8. Se rezolva sistemul de e uatii algebri e u una din metodele algebrei liniaredeterminandu-se urentii i li i I 01; I 02; :::; I 0O;9. Se aleg sensurile de referinta si se noteaza urentii din laturile ir uituluiI1; I2; :::; IL;10. Se al uleaza urentii din laturi a sume algebri e ale urentilor i li i estrabat latura respe tiva;11. Se veri a solutia prin apli area teoremei a doua a lui Kir hho pe o bu la,alta de at ele par urse de urentii i li i sau prin veri area bilantului deputeri.Pentru estimarea efortului de al ul n metoda urentilor i li i este util sa seobserve a sistemul e trebuie rezolvat are LN +1NGC ne unos ute n areNGC este numarul generatoarelor de urent. Din a est pun t de vedere metoda urentilor i li i este avantajoasa fata de metoda teoremelor lui Kir hho.83

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREPROBLEME2.3.1. Sa se s rie e uatiile urentilor i li i pentru ir uitele din gura 2.3.1.E 1

R 2

R 1E 3

R 310 Ω

10 Ω10 Ω

10 Ω

10V

10V

10V

10V 10 Ω

1A Ω5

10V

Ω5

5V

10 Ω

10 Ω

10 Ω

5Ω

5Ω5V10V

10V

10 Ω

10 Ω

10 Ω 10 Ω10 Ω

10 Ω

10 Ω

10 Ω

10 Ω

e. f.

10V

5V

10V

10V

20Ω

1A

10 Ω

10V

c.

d.

b.a.

10V Fig. 2.3.1.2.3.2. Sa se al uleze urentii din laturi n fun tie de urentii i li i la ir u-itele din gura 2.3.2.2A 3A

-1A

3A1A

-2A2A 3A

1A

a. b. c.Fig. 2.3.2.2.3.3. Sa se analizeze ir uitele din gura 2.3.3 u ajutorul metodei urentilor i li i si sa se veri e bilantul puterilor.84

2.3. METODA CURENTILOR CICLICI200V350V

10Ω100 Ω

50 Ω

10

10

105V

5

ΩΩ

ΩΩ

90V

3A

Ω10

Ω10

Ω10Ω10

5A 3A 1A

180V3A

Ω1

5V10 Ω

10 Ω 10V

10 Ω

10V

210V

Ω

5 Ω 5A 2A

3A

10 Ω

25V

Ω5

1A 4A

50 Ω

25 Ω10V

30 Ω

5

20V40V

60V

Ω

Ω5

Ω15

10 Ω10 Ω

10Ω

10Ω10Ω

10Ω

10V 10V

1A3A

90V

a. b.

c. d.

e. f.

g.h.Fig. 2.3.3.2.3.4. Sa se analizeze u ajutorul metodei urentilor i li i ir uitele ale arorparametri au fost determinati n problema 1.4.13.2.3.5. Sa se analizeze u ajutorul metodei urentilor i li i ir uitele repre-zentate n gurile 1.4.9, 1.4.11 si 1.4.10.85

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE2.4 Metoda potentialelor nodurilorBREVIARMetoda potentialelor nodurilor este o metoda sistemati a de analiza a ir ui-telor rezistive liniare, n are ne unos utele prin ipale sunt potentialele nodu-rilor.Da a se noteaza u v = [V1; V2; :::; VN1T ve torul potentialelor nodurilor,presupunand ultimul potential nul, atun i ve torul tensiunilor la bornele laturiloreste: u = AT v; (2.56)unde A este matri ea redusa de in identa a laturilor la noduri. Deoare e relatia(2.56) permite determinarea tensiunilor n toate laturile ir uitului n fun tie depotentiale, metoda potentialelor redu e problema analizei unui ir uit la determi-narea potentialelor prin rezolvarea unui sistem liniar de (N-1) e uatii, redu andn a est fel efortul de al ul fata de metoda teoremelor lui Kir hho. Da a sepresupune latura standard de forma elei reprezentate n gura 2.16, atun i suntvalabile relatiile (2.51),(2.52) si pornind de la prima teorema a lui Kir hho:Ai = 0 (2.57)si e uatiile de fun tionare ale rezistoarelor:iR = GuR; (2.58)n are G = diag (G1; G2; :::; GL), se obtine sistemul potentialelor nodurilorAGATv = A(j + Ge), are, utilizand notatiile G0 = AGA, J 0 = A(j + Ge) apata forma: G0 v = j 0 : (2.59)Analizand elementelematri iiG0 rezulta aG0ij = G0ji reprezinta suma ondu -tantelor laturilor e unes nodurile i si j, suma luata u semn s himbat, iar G0iireprezinta suma ondu tantelor laturilor e on ura la nodul i. Elementul J 0i alve torului J', reprezinta suma algebri a a urentilor de s urt ir uit ai laturilor e on ura la nodul i. Curentii de s urt ir uit se onsidera u plus atun i andsagetile generatoarelor nteapa nodul si u minus n az ontrar. Din a est motivelementele J 0i se numes inje tiile de urent n nod si nu trebuie onfundate usuma urentilor din laturile ir uitului, are este nula onform primei teoreme alui Kir hho. Laturile de tip generator ideal de tensiune sunt laturi degenerate(R = 0; G ! 1) si trebuie tratate aparte n adrul a estei metode. Pentruanaliza manuala a unui ir uit ele tri rezistiv liniar se par urg urmatoarele etapeale algoritmului metodei potentialelor la noduri:86

2.4. METODA POTENTIALELOR NODURILOR1. Se determina parametrii topologi i: numarul de noduri N si numarul delaturi L;2. Se alege nodul de referinta analizand distributia n retea a laturilor de tipgenerator ideal de tensiune ( u rezistenta nula pe latura). Da a nu existaastfel de laturi este preferabil a nodul de referinta sa e ales nodul elmai stufos (la are vin ele mai multe laturi). Da a exista o singura laturagenerator ideal de tensiune, atun i nodul de referinta se alege la una dinbornele a estui generator (g. 2.17.a). Da a laturile generatoare ideale detensiune formeaza un subgraf onex (g. 2.17.b.), atun i nodul de referintase alege a apartinand a estui subgraf. Da a laturile de tip generator idealde tensiune formeaza subgrafuri ne onexe atun i nodul de referinta se alege a apartinand subgrafului u ele mai multe generatoare (g. 2.17. ).a. b. c.Fig. 2.17.Da a multimea laturilor de tip generator ideal de tensiune al atuiestesubgrafuri ne onexe atun i, se elimina u ajutorul teoremei lui Vas hy ge-neratoarele e fa parte din subgrafurile e nu ontin nodul de referinta( a n gura 2.18 e se refera la reteaua din gura 2.17. ). Se onstata a eliminarea e arui generator determina aparitia a doua "pseudo-noduri" one tate printr-un ondu tor perfe t, e pot onsiderate un singur nod.In felul a esta, u e are generator eliminat s ade u o unitate numarul denoduri N ;3. Se noteaza potentialele nodurilor V1; V2; :::; VN1 u ex eptia nodului de refe-rinta aruia i se atribuie potentialul V0 = 0;4. Se s rie sistemul de e uatii liniare satisfa ut de potentialele nodurilor:8><>: G011V1 +G012V2 + ::::::::::+G01;N1VN1 = J 01:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ;G0N1;1V1 + ::::::::::::+G0N1;N1VN1 = J 0N187

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE e ontine (N 1) e uatii u (N 1) ne unos ute.U=V -V

V =0E

E

E

E

E

011

02

V =E2 2

V1

1E

=E1

Fig. 2.18.5. Se elimina e uatiile degenerate orespunzatoare nodurilor la are on ura la-turi de tip generator ideal de tensiune nlo uindu-se u e uatii de forma Vi =Ei e se determina tinand ont de faptul a la a ele noduri potentialelesunt impuse de generatoarele ideale de tensiune ( a n gura 2.18).6. Se al uleaza termenii diagonali ai matri ii G0ii a suma ondu tantelorlaturilor e on ura la nodul i. Condu tanta unei laturi reprezinta inversulrezistentei e hivalente a laturii pasivizate. Prin pasivizarea unei laturi sentelege nlo uirea generatoarelor prin rezistenta lor interna;7. Se al uleaza termenii nediagonali ai matri ii G0ij = G0ji a ind suma ondu tantelor laturilor e one teaza dire t nodul i u nodul j, suma ese onsidera u semnul minus;8. Se al uleaza termenii liberi Jk 0 a suma algebri a a urentilor de s urt ir- uit ai laturilor e on ura la nodul k. In a easta suma se onsidera u plustermenii orespunzatori generatoarelor a aror sageata nteapa nodul si uminus n az ontrar;9. Se rezolva sistemul de e uatii u una din metodele algebrei liniare, deter-minandu-se potentialele V1; V2; :::; VN1;10. Se aleg sensurile de referinta ale tensiunilor la bornele laturilor si se al u-leaza a este tensiuni a diferenta de potential Uij = Vi Vj ;11. Se aleg sensurile de referinta ale urentilor din laturi, se noteaza u I1,I2,...,IL si se al uleaza a esti urenti n fun tie de tensiunea la borne, apli ande uatia de fun tionare a laturii. Curentii din generatoarele ideale de ten-siune se determina n reteaua initiala, prin apli area primei teoreme a luiKir hho; 88

2.4. METODA POTENTIALELOR NODURILOR12. Se veri a solutia prin apli area primei teoreme a lui Kir hho n nodul dereferinta sau prin veri area bilantului puterilor.Pentru a estima efortul de al ul n a easta metoda se onstata a sistemulde e uatii e trebuie rezolvat are N 1 Ngt e uatii, n are Ngt reprezintanumarul de laturi de tip generator ideal de tensiune. Din a est pun t de vederea easta metoda este avantajoasa fata de metoda teoremelor lui Kir hho si maiavantajoasa de at metoda urentilor i li i, da a N Ngt 1 L N Ng + 1, unde Ng este numarul generatoarelor ideale de urent.PROBLEME2.4.1. Sa se s rie e uatiile potentialelor la noduri pentru ir uitele reprezen-tate n gura 2.4.1.2.4.2. Sa se analizeze ir uitele din gura 2.4.1 u ajutorul metodei potentia-lelor la noduri si sa se veri e bilantul puterilor.2.4.3. Sa se analizeze u ajutorul metodei potentialelor la noduri ir uiteleale aror parametri au fost determinati n problema 1.4.13.2.4.4. Sa se analizeze u ajutorul metodei potentialelor nodurilor ir uiteledin gurile 1.4.9, 1.4.11 si 1.4.10.2.4.5. Sa se analizeze ir uitele din gura 2.4.1 u metoda sistemati a deanaliza are ne esita un efort de al ul minim.89

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE40V

10V 10 Ω20Ω

210V

20

10 10 30

Ω

ΩΩ

50V 50V20V

Ωa. b.

4 Ω Ω

30V

1Ω

20V

2 Ω

5

10Ω

5 Ωc.

10

70V

10

Ω

Ω 60V

40V

10

10Ω

10

Ω

80VΩ

30V

d.

254V

204V

1060V Ω

Ω Ω

Ω

4

4 Ω 6 Ω

10Ω

10

6

e.

30V 20

10 5

35V10 5

ΩΩ

Ω Ω

Ω

30V

f.

25

50

ΩΩ

ΩΩ

150V

10

20V

5

Ω

Ω

100V 10

g.

100V

50

20

Ω

Ω

100V

20Ω 320V

Ω400V

200V

100Ω

100

50 80V

Ω

h.

10

10

40V

Ω

Ω

Ω 30V

50V

Ω10

20

Ω

20Ω

10 Ω 10

Ω10

20V20V10 Ω

60V 10

60V 10

60V

Ω

Ω

Ω10

10

Ω10Ω10

Ω

20V

i.

j.k.Fig. 2.4.1.90

2.5. METODELE THEVENIN SI NORTON2.5 Metodele Thevenin si NortonRelatia lui Thevenin exprima urentul printr-o rezistenta RAB (g. 2.19.a)a unei retele liniare: IAB = UAB0RAB +RAB0 ; (2.60)n are UAB0 este tensiunea de mers n gol a retelei (g. 2.19.b), iar RAB0 esterezistenta e hivalenta a retelei pasivizate (g. 2.19. ).IA

B

Retea

activaliniara R

Retea

activaliniara

B

A

UAB

0B

A

pasivizataRetea

RAB 0

a. b. c.

AB Fig. 2.19.Pentru al ulul urentului dintr-o latura a unui ir uit se par urg urmatoareleetape ale algoritmului Thevenin:1. Se aleg bornele A si B pe latura n are intereseaza urentul u onditia antre bornele alese pe latura respe tiva sa nu existe surse;2. Se elimina rezistorul RAB (nlo uindu-l u un izolator perfe t) si se al u-leaza tensiunea de mers n gol UAB0 u una din metodele sistemati e de ana-liza (metoda Kir hho, metoda urentilor i li i sau metoda potentialelornodurilor). Se onstata a reteaua e trebuie analizata are u o latura maiputin de at ea initiala;3. Se pasivizeaza reteaua si se al uleaza rezistenta e hivalenta RAB0 ntrebornele A si B ( u rezistorulRAB0 eliminat). Pentru pasivizare se nlo uies generatoarele u rezistentele lor interne a n gura 2.20.Fig. 2.20.Pentru al ulul rezistentei e hivalente RAB0 se utilizeaza una din urmatoa-rele metode: 91

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREa. Transgurari serie-paralel, stea-triunghi sau triunghi-stea;b. Se alimenteaza ir uitul pasiv u un generator ideal de tensiune ele tro-motoare E si se al uleaza urentul absorbit de retea u ajutorul uneimetode sistemati e de analiza (g. 2.21.a), urmand a RAB0 = E=I;JRetea

pasivizataReteapasivizata

b.

B

A

U

a.

E

B

A I Fig. 2.21. . Se alimenteaza ir uitul pasiv u un generator ideal de urent ele tro-motor J si se al uleaza tensiunea U la bornele AB u ajutorul uneimetode sistemati e de analiza (g. 2.21.b), urmand a RAB0 = U=J ;d. Se al uleaza urentul de s urt ir uit Is AB al retelei (g. 2.22.b),urmand a rezistenta retelei pasivizate sa e:RAB0 = UAB0Is AB : (2.61)4. Se al uleaza urentul IAB u relatia (2.60);5. Se al uleaza tensiunea la bornele rezistentei RAB u relatia:UAB = RAB IAB: (2.62)Relatia lui Norton permite al ulul tensiunii la bornele unui rezistor de ondu tanta GAB dintr-o retea liniara (g. 2.22.a):UAB = Is ABGAB +GAB0 ; (2.63)n are Is AB este urentul de s urt ir uit al retelei (g. 2.22.b), iar GAB0 =1=RAB0 este ondu tanta e hivalenta a retelei pasivizate (g. 2.22. ).Algoritmul metodei Norton uprinde urmatoarele etape:1. Se aleg bornele A si B pe latura n are intereseaza tensiunea astfel n atntre a estea sa nu existe o sursa i doar un element pasiv;2. Se s urt ir uiteaza bornele A si B prin nlo uirea rezistorului dintre ele uun ondu tor perfe t si se al uleaza urentul de s urt ir uit Is AB prin a el ondu tor u una din metodele sistemati e de analiza;92

2.5. METODELE THEVENIN SI NORTONRetealiniaraactiva

Retealiniaraactiva pasivizata

ReteaGU

a.

AB AB

G

c.b.

B

A A

B

ABIsc

B

A

AB 0Fig. 2.22.3. Se pasivizeaza reteaua prin nlo uirea generatoarelor u rezistentele lor in-terne (g. 2.20) si se al uleaza ondu tanta e hivalenta GAB0 = 1=RAB0 u una din metodele prezentate la pun tul 3 al algoritmului Thevenin;4. Se al uleaza tensiunea UAB la bornele rezistorului de ondu tanta GAB urelatia (2.63);5. Se al uleaza intensitatea urentului prin rezistorul de ondu tanta GAB urelatia: IAB = GAB UAB: (2.64)Metodele Th evenin si Norton permit atat al ulul urentului at si al tensiuniila bornele unui rezistor. Alegerea uneia sau alteia dintre ele doua metode se fa edin onsiderente topologi e n vederea mi sorarii efortului de al ul. De exemplu,la ir uitele de tipul elui prezentat n gura 2.23.a este avantajoasa apli areametodei Thevenin, pe and la ir uitele de tipul elui prezentat n gura 2.23.beste avantajoasa metoda Norton.R.L.A. 1 R.L.A. R.L.A. 12 R.L.A.

2

A B A

BFig. 2.23.Pro edand n a est mod, la al ulul marimiiUAB0 sau Is AB se onstata a eledoua subretele R:L:A:1 si R:L:A:2 fun tioneaza independent, lu ru e mi soreazaefortul de al ul.Deoare e metodele Thevenin si Norton pun n evidenta generatoarele e hi-valente de tensiune (UAB0 ; RAB0 ) si respe tiv de urent (Is AB ; GAB0), a estemetode sunt utile n azul n are se studiaza urentul printr-un rezistor la diferitevalori ale rezistentei (g. 2.24). In a easta situatie metodele Thevenin si Nortonsunt net avantajoase fata de metodele sistemati e de analiza.93

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREretealiniaraactiva

B

ABR

A

A

U

R

AB

AB

0

0

ABR

B

ABscI

GAB

B

A

ABGFig. 2.24.Teorema transferului maxim de putere arma a puterea P disipatade un rezistor de rezistenta RAB one tat ntr-o retea este maxima atun i andrezistenta RAB este egala u rezistenta e hivalenta a retelei pasivizate RAB0:maxRAB P (RAB) = P (RAB0) (2.65)

94

2.5. METODELE THEVENIN SI NORTONPROBLEME2.5.1. Sa se al uleze intensitatea urentului I la ir uitele reprezentate ngura 2.5.1, apli and metoda teoremei Thevenin.20Ω

I

20V

20Ω

10Ω

20V

a.

100V

10Ω

I

b.

1A 10Ω

10Ω

Ω120V

I

10Ω20Ω

c.

20Ω

20ΩFig. 2.5.1.2.5.2. Sa se al uleze tensiunea U la ir uitele reprezentate n gura 2.5.2,apli and metoda teoremei Norton.1A

10 Ω

10V

40V

Ω Ω 1AUΩ Ω

40V

U

b.

20Ω20Ω

10Ω10V

10V

10 10

c.

10Ω

20 20

a.

20V Fig. 2.5.2.2.5.3. Sa se al uleze intensitatea urentului prin rezistoarele a aror ten-siune la borne este U, apli and metoda teoremei Norton la ir uitele reprezentaten gura 2.5.2.2.5.4. Sa se al uleze intensitatea urentului si tensiunea la bornele rezistoa-relor notate u R din ir uitele reprezentate n gura 2.5.3. Se va apli a metoda ea mai avantajoasa dintre metodele Thevenin sau Norton.2.5.5. Sa se al uleze urentii si tensiunile la bornele rezistoarelor R repre-zentate n gura 2.5.3 atun i and R = 10 si R = 20:2.5.6. In azul ir uitelor din gura 2.5.3 sa se al uleze rezistenta R, astfeln at ea sa disipe putere maxima. Cat este a easta putere?95

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREΩΩ

Ω

Ω 2A

Ω

50Ω

10

2 A

Ω1A

1A

10

10V

10

10V

10

10V

5Ω

c.

10Ω

a.

10Ω

10V

20

10V

20Ω

d.

10

5Ω10V

5V

Fig. 2.5.3.2.5.7. Ce rezistenta trebuie one tata ntre bornele A si B ale ir uitelor dingura 2.1.22 pentru a ea sa disipe putere maxima?2.5.8. Sa se al uleze intensitatea urentului I la ir uitele reprezentate ngura 2.1.21 u ajutorul metodei Thevenin sau Norton. Ce valoare trebuie saaiba rezistenta par ursa de urentul I pentru a ea sa disipe putere maxima? Sase determine valoarea a estei puteri.96

2.6. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE NERECIPROCE2.6 Cir uite ele tri e liniare nere ipro eBREVIARCir uitele ele tri e are ontin surse omandate nu satisfa teorema de re- ipro itate, motiv pentru are ele fa parte din ategoria retelelor nere ipro e.Analiza ir uitelor liniare e ontin astfel de surse se poate fa e utilizand me-todele sistemati e de rezolvare: metoda teoremelor lui Kir hho, metoda urentilor i li i sau metoda potentialelor nodurilor.Pentru apli area a estor metode se utilizeaza algoritmii prezentati n paragra-fele anterioare fa and abstra tie, initial, de ara terul omandat al surselor. Dupa e au fost s rise e uatiile, nainte de rezolvarea sistemului liniar se adauga o nouaetapa n algoritmi, si anume exprimarea tensiunilor ele tromotoare si a urentilorele tromotori e orespund surselor omandate n fun tie de ne unos utele prin i-pale ale metodei: urentii din laturi n metoda teoremelor lui Kir hho raportatala urenti; tensiunile n metoda Kir hho referitoare la tensiuni; urentii i li i nmetoda urentilor i li i si potentialele nodurilor n metoda potentialelor noduri-lor. Pentru a easta se exprima marimile de omanda n fun tie de ne unos uteleprin ipale ale problemei, utilizand e uatiile de fun tionare ale laturilor de o-manda si apoi se tre ne unos utele nou aparute din membrul drept n membrulstang al e uatiei. In urma a estei operatii, de regula, matri ea urentilor i li isau a potentialelor de noduri si pierde simetria, lu ru e expli a nere ipro itatea ir uitului e ontine surse omandate.Efortul de al ul n a easta etapa este mai mi , da a la ir uitele e ontinsurse omandate n urenti se apli a metoda teoremelor lui Kir hho raportatala urenti sau metoda urentilor i li i, iar la ir uitele e ontin generatoare omandate n tensiuni se apli a metoda lui Kir hho raportata la tensiuni saumetoda potentialelor nodurilor.Analiza ir uitelor u generatoare omandate se poate fa e utilizandmetodateoremelor Thevenin sau Norton, dar u anumite restri tii impuse la al ululrezistentei retelei pasivizateRAB0 si anume pasivizarea retelei onform gurii 2.20se apli a doar surselor independente, nu si elor omandate. A est lu ru fa e im-posibil al ulul rezistentei RAB0 u ajutorul metodei transformarii serie-paralel,ind ne esara apli area uneia din elelalte trei metode de al ul a rezistenteiRAB0 , prezentate n algoritmul Thevenin.Observatii referitoare la ir uitele u surse omandate:a. Cir uitele e ontin doar rezistoare liniare si surse omandate liniar admit asolutie a problemei de analiza solutia banala (toti urentii si toate tensiunilesunt nule). Din a easta observatie rezulta a sursele omandate liniar nu pot "surse de urent" ntr-un ir uit ele tri , doar generatoarele independentepot avea a est statut. 97

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREb. Un ir uit e ontine rezistoare liniare si surse omandate liniar este e hi-valent fata de ori e pere he de borne A, B u un rezistor. Este posibil arezistenta e hivalenta RAB sa e negativa, hiar da a toate rezistentele aurezistenta pozitiva.Pe baza a estor observatii rezulta a generatoarele omandate avand e uatiade fun tionare liniara se aseamana u rezistoarele si nu u generatoarele in-dependente. . Un ir uit u rezistente stri t pozitive si generatoare independente e nusunt n ex es are solutie uni a, dar nu se poate arma a elasi lu ru despreun ir uit e ontine si surse omandate.d. Conform teoremei substitutiei, un generator independent poate nlo uit u un generator omandat, a easta ind una din tehni ile de generare aproblemelor u surse omandate. Apli and teorema substitutiei n a est feleste posibil sa se piarda uni itatea solutiei.Una din apli atiile ele mai importante ale surselor omandate onsta n mo-delarea unei omponente ele troni e fre vent ntalnita n apli atii, numita am-pli ator operational. Ampli atorul operational are simbolul prezentat ngura 2.25.a, simbol e pune n evidenta doua borne de intrare notate u + (in-trarea neinversoare) si (intrarea inversoare), o borna de masa, o borna de iesirenotata u O si doua borne de alimentare, avand potentialele +Va si respe tivVa.R

R

i

o

U iU 0 U 0

U 0

+

U

A u

A u

+Va -Va

+

-

a.

O

c.

b.

-

UiO

0 i

+

-

iO

i0Fig. 2.25.98

2.6. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE NERECIPROCEComportarea ampli atorului operational ntre bornele de intrare este asema-natoare u ea a unui rezistor de rezistenta Ri (rezistenta de intrare). Intre bornade iesire si borna de masa, ampli atorul operational se omporta a un generatorde tensiune omandat n tensiunea de intrare, n serie u o rezistenta de iesireRo. Coe ientul de transfer A0 al sursei omandate, se numeste "ampli area nbu la des hisa" a ampli atorului operational.Deoare e rezistenta de intrare Ri este mult mai mare de at rezistentele uzualedintr-un ir uit ele troni , iar rezistenta de iesire Ro este mult mai mi a de atrezistentele din restul ir uitului, deseori se utilizeazamodelul simpli at al ampli- atorului operational onstand ntr-o sursa de tensiune omandata n tensiune,prezentat n gura 2.25. si obtinut presupunand Ri =1 si Ro = 0.Spe i ampli atoarelor operationale este si faptul a ampli area n bu lades hisa este foarte mare, A > 105. A est lu ru permite a n anumite azuri (deexemplu n ir uitele u rea tie negativa) sa se poata presupune A0 !1. Pentru a ntr-un ir uit n are oe ientul A0 tinde spre innit sa se obtina tensiuninite este ne esar a ui sa tinda atre zero. In a est model, numit ampli atoroperational perfe t, poarta de intrare are proprietati u totul spe iale, impunandanularea atat a tensiunii at si a urentului, pe and la poarta de iesire atattensiunea at si urentul pot avea ori e valoare. In ultima instanta, urentul sitensiunea de iesire sunt stabilite de restul ir uitului si nu de elementul onsiderat.Modelul perfe t al ampli atorului operational pune n evidenta doua elementedipolare de ir uit omplet degenerate, numite nulator si norator.Nulatorul este elementul dipolar (g. 2.26.a) avand e uatiile de fun tionare:( u = 0;i = 0: (2.66)u

a.

u

b. c.

O

-

+

ii Fig. 2.26.Noratorul este elementul dipolar de ir uit ele tri u simbolul prezentat ngura 2.26.b la are tensiunea la borne u si urentul i pot avea ori e valoare.Cu ajutorul a estor elemente de ir uit, ampli atorul operational poate modelat prin s hema e hivalenta prezentata n gura 2.26. . Pere hea de elementedegenerate e al atuies a easta s hema e hivalenta se numeste nulor.99

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREPROBLEME2.6.1. Sa se stabileas a onditiile de e hivalenta ntre elementele de ir uitprezentate n gura 2.6.1.δ

b.

2

2

d.

22

i 2

c.

2

2

i

22

i 2

γ

i

1R

1R

i1

a.

R1

RuuR

R1u1

R

α u 1u

βi1

1

uR

u1

u1

1Fig. 2.6.1.2.6.2. Sa se determine elementul e hivalent gruparii serie a unui nulator uunul din elementele ideale: rezistor, ondu tor perfe t, izolator perfe t, generatorideal de tensiune, generator ideal de urent si norator. Sa se rezolve problema n azul gruparii paralel a elementelor ideale.2.6.3. Sa se determine elementul e hivalent gruparii serie a unui norator uunul din elementele ideale: rezistor, ondu tor perfe t, izolator perfe t, generatorideal de tensiune si generator ideal de urent. Sa se rezolve problema n azulgruparii n paralel a a estor elemente ideale.2.6.4. Sa se determine rezistenta e hivalenta ntre bornele A si B pentru ir uitele reprezentate n gura 2.6.2.2.6.5. Sa se analizeze ir uitele reprezentate n gura 2.6.3 u ajutorul me-todelor sistemati e de analiza. 100

2.6. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE NERECIPROCEu1

iδ

A

R

Bα u1

a.

Ri

B

iβ

A

b.

A 3R 1R

2R

α u1

d.

B

i

A R1

βi

R2

B

1u

Ai R δi

B

βi

c.

B2RR

u

γi

A

e. f.Fig. 2.6.2.10

10

10

10

1010

10J= I

2

a.

c. d.

30V

20I

E=20 I30V

U

b.

J=201 U

U

30

5

E=2 U1A

5V

20V

50V

200

5

Ω

Ω

Ω

Ω

ΩΩΩ

Ω

Ω

Ω

Ω

ΩFig. 2.6.3.101

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE2.6.6. Cir uitul reprezentat n gura 2.6.4.a poarta numele de ampli atorinversor u rea tie negativa. A est ir uit poate e hivalat u s hema din gura2.6.4.b. Utilizand s hema e hivalenta a ampli atorului operational prezentatan gura 2.25.b, sa se determine rezistenta de intrare e hivalenta Rie, rezistentade iesire e hivalenta Roe si ampli area A a ir uitului. Sa se determine valo-rile a estor parametri da a se utilizeaza s hema e hivalenta a ampli atoruluioperational prezentata n gura 2.25.b. Care este valoarea ampli arii A, atun i and ampli area n bu la des hisa A0 tinde atre innit?R S

-

+

R R

E u

2 1

a.

1 u 2

E RR ie R oe1u 2u

A 1u

S

b.Fig. 2.6.4.2.6.7. Sa se al uleze rezistenta e hivalenta de intrare Rie, rezistenta e hiva-lenta de iesireRoe si ampli area e hivalentaA pentru ir uitul de tip ampli atorneinversor prezentat n gura 2.6.5.-

+u 2

Eu1

R 2 R1Fig. 2.6.5.Cal ulele vor efe tuate utilizand, pe rand, ele trei modele ale ampli atorului102

2.6. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE NERECIPROCEoperational reprezentate n gurile 2.25.b, 2.25. si 2.26. .2.6.8. Sa se al uleze tensiunile de iesire U2 pentru ir uitul sumator repre-zentat n gura 2.6.6.a si ir uitul de diferenta reprezentat n gura 2.6.6.b. Seva utiliza s hema e hivalenta a ampli atorului operational prezentata n gura2.25. , iar n nal se va dis uta azul n are A0 !1.2R

E 2

E 1

R1-

+u 2

R1

2E

2RE 1

R-

+u 2

R

a. b.Fig. 2.6.6.2.6.9. Sa se al uleze rezistenta de intrare, rezistenta de iesire si ampli a-rea ir uitului repetor reprezentat n gura 2.6.7. Sa se al uleze eroarea are sefa e asupra tensiunii de iesire atun i and se adopta modelul perfe t pentru am-pli atorul operational, da a parametrii ampli atorului operational au valorileRi = 10M, A0 = 105, R0 = 10:-

+u 2

E

RS=100KΩFig. 2.6.7.2.6.10. Sa se arate a ir uitele reprezentate n gura 2.6.8 pot simula urma-toarele tipuri de surse omandate: (a) sursa de tensiune omandata n urent, (b)sursa de urent omandata n urent, ( ) sursa de urent omandata n tensiune.S-a notat u Rs rezistenta de sar ina one tata la bornele sursei omandate iar u i1 si u1 marimile de omanda. Cal ulele vor efe tuate u ajutorul s hemeie hivalente din gura 2.25. , la are se va presupune A0 !1 .103

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARERS

R2u S

-

+

R1i

i2

-

+

R S

u1

c.

-

+

R1i

2R

i2

a. b.Fig. 2.6.8.2.6.11. Cir uitele uadripolare prezentate n gurile 2.6.9.a si b se numes onvertoare de negativare INIC, respe tiv UNIC. Sa se stabileas a relatia dintremarimile de intrare i1; u1 si marimile de iesire i2; u2. Sa se arate a rezistentae hivalenta ntre bornele de intrare A si B este opusul rezistentei one tate ntrebornele de iesire. Se va utiliza modelul perfe t al ampli atorului operational.2i

2i

-

+

R

R

R2u

u

1i

1

S

INIC

a.

A

B

-

+

RR

2u

UNIC

b.

i1

B

Au1Fig. 2.6.9.2.6.12. Sa se al uleze erorile e se fa asupra marimilor de iesire ale ir ui-telor prezentate n gurile 2.6.4 - 2.6.9 atun i and se utilizeaza pentru ampli- atorul operational modelul u nulor n lo ul s hemei din gura 2.25. .2.6.13. Pornind de la observatia a un norator poate substituit u ungenerator de urent avand urentul ele tromotor nedeterminat sa se genereze unalgoritm de analiza u metoda potentialelor de noduri pentru ir uite e ontinnoratori. 104

2.7. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE LINIARE2.7 Teoremele ir uitelor rezistive liniareBREVIARIn a est paragraf sunt analizate a ele teoreme ale ir uitelor ele tri e liniare are pun n evidenta orelatii ntre solutia problemei de analiza si datele a esteiprobleme. In a est fel se pune n evidenta modul n are depind urentii sitensiunile unui ir uit de parametrii retelei.Teorema liniaritatii arma a da a un ir uit ele tri ontine rezistoareliniare, surse omandate liniar si un singur generator independent, atun i toatetensiunile si urentii retelei vor depinde liniar de parametrul generatorului.2

2

URetea liniarafara surse

U

I

ERetea liniarafara surse

a.

U1

1I

b.

0I

0JFig. 2.27.Utilizand notatiile din gura 2.27, teorema liniaritatii are forma:I1 = Gt E; I2 = Ai J ;U1 = Au E; U2 = Rt J; (2.67)n are s-au pus n evidenta oe ientii de proportionalitate Gt ( ondu tanta detransfer), Au ( oe ientul de transfer al tensiunii), Ai ( oe ientul de transfer al urentului) si Rt (rezistenta de transfer). Cei patru oe ienti de transfer, numitisi transmitante, sunt parametrii ara teristi i ai retelei fata de ele doua porti,nedepinzand de marimile de ex itatie E sau J.Teorema raspunsurilor maxime arma a pentru ir uitele e ontin nu-mai rezistoare u rezistente pozitive, oe ientii de transfer n tensiune sau urentau modulul subunitar: jAuj 1 ; jAij 1; (2.68)de i tensiunile unui ir uit rezistiv alimentat de la o singura sursa nu depases tensiunea de alimentare: jU1j jEj iar urentii nu depases urentii de alimen-tare jI2j jJ j.Apli and teorema substitutiei (paragraful 3.5) rezulta urmatoarea onse intaa teoremei anterioare: jI1j jI0j = jGiEj =) jGtj Gi;jU2j jU0j = jRiJ j =) jRtj Ri; (2.69)105

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREn are s-a notat u Ri = 1=Gi rezistenta e hivalenta a ir uitului rezistiv fata deintrare si u Gt, Rt ondu tanta, respe tiv rezistenta de transfer intrare - iesire.Teorema re ipro itatii arma a pentru un ir uit e ontine numai rezis-toare, sunt valabile egalitatile: Ia = Ib;Ua = Ub; (2.70)pentru marimile denite n gura 2.28.Retea

rezistivaJ Ub

Retearezistiva

Retearezistiva

Retearezistiva

I b I a

U a

A

B

C

D

A

B

E

C

D

J

D

CA

B

B

C

D

A

E

Fig. 2.28.O onse inta a teoremei re ipro itatii este faptul a pentru o retea rezistiva oe ientii de transfer pentru doua porti 1 si 2 sunt egali:Gt12 = Gt21 ; Rt12 = Rt21: (2.71)Teorema superpozitiei arma a da a un ir uit ontine rezistoare liniare,surse omandate liniar si generatoare independente, atun i urentul si tensiuneaunei laturi sunt suma urentilor, respe tiv a tensiunilor din latura respe tivaproduse de e are generator, n onditiile n are elelalte generatoare sunt pasi-vizate.sursefara

liniar Circuit

sursefara

liniar Circuit

U

I

U1

1I

J

E

sursefara

liniar Circuit

E

U

I 2

2JFig. 2.29.106

2.7. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE LINIAREUtilizand notatiile din gura 2.29, din teorema superpozitiei rezulta:I = I1 + I2;U = U1 + U2: (2.72)In general, pentru un ir uit e ontine n surse, urentul Ik din latura k sitensiunea Uk la bornele laturii k satisfa egalitatile:Ik = nPi=1 Iki ;Uk = nPi=1Uki ; (2.73)n are Iki si Uki sunt urentul, respe tiv tensiunea din latura k, n onditiile n are n ir uit se a a doar generatorul independent din latura i, toate elelalteind pasivizate.Da a un ir uit liniar este ex itat de generatoare de tensiune (g. 2.30.a),atun i urentii absorbiti de porti sunt, onform teoremelor liniaritatii si superpo-zitiei, de forma: 266664 I1I2...In 377775 = 266664 G11 G12 G1nG21 G22 G2n... . . . ...Gn1 Gn2 Gnn 377775 266664 E1E2...En 377775 ; (2.74)n are [Gij este matri ea ondu tantelor, elementele diagonale reprezentand ondu tantele e hivalente de intrare ale portilor, iar ele nediagonale reprezentand ondu tantei de transfer: Gij = IiEj Ek=0; k 6=j : (2.75)Da a ir uitul liniar este re ipro atun i relatia (2.71) garanteaza simetriamatri ei G.Da a ir uitul liniar este ex itat de m generatoare de urent (g. 2.30.b),atun i tensiunile la bornele portilor satisfa relatia:266664 U1U2...Um 377775 = 266664 R11 R12 R1mR21 R22 R2m... . . . ...Rm1 Rm2 Rmm 377775 266664 J1J2...Jm 377775 ; (2.76)n are [Rij este matri ea rezistentelor de transfer, u elementele:Rij = UiJj Jk=0; k 6=j : (2.77)107

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREa.

liniarCircuitI

I n

2

2E

EI1

1

nE

1J

J2

J m J m

J2

1J

liniarCircuit

b.

liniarCircuitI

I n

2

2E

EI1

1

nE

c.

U1

2U U2

U1

UmUm Fig. 2.30.A easta matri e este simetri a n azul ir uitelor re ipro e.Da a un ir uit liniar este ex itat de n generatoare de tensiune si m genera-toare de urent, atun i marimile ne unos ute ale portilor satisfa relatia:26666666666666664 I1I2...InU1U2...Um37777777777777775 = 26664 H11 ... H12 H21 ... H22 37775 26666666666666664 E1E2...EnJ1J2...Jm

37777777777777775 ; (2.78)n are matri ea H se numeste matri e hibrida a multiportului ind al atuita din ondu tante de transfer (elementele din submatri ea blo H11), denite prin:hij = IiEj Ek=0; k 6=jJk=0; k=1;m ; (2.79) oe ientii de transfer n urent (elementele din submatri ea blo H12), denitide: hij = IiJj Jk=0; k 6=jEk=0; k=1;n ; (2.80) oe ientii de transfer n tensiune (elementele din submatri ea H21), deniti de:hij = UiEj Ek=0; k 6=jJk=0; k=1;m ; (2.81)108

2.7. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE LINIARErezistentele de transfer (submatri ea H22):hij = UiJj Jk=0; k 6=jEk=0; k=1;n : (2.82)In onse inta, pentru ara terizarea unui multiport liniar u n porti se utili-zeaza o matri e patrata de transmitante, de dimensiune n n. Denirea a esteimatri i depinde de modul n are sunt ontrolate portile, n urent sau n ten-siune. Intre matri ile ara teristi e unui multiport se pot stabili diverse relatii;de exemplu, da a matri ea ondu tantelor G este inversabila atun i matri earezistentelor este inversa sa: R = G1: (2.83)In azul retelelor rezistive u rezistente pozitive matri ile R si G sunt, onformteoremelor anterioare, matri i simetri e, pozitiv denite, u diagonala dominanta.Teoremele anterioare au pus n evidenta modul n are variaza urentii sitensiunile unei retele n fun tie de surse. Modi area valorii unei rezistente de-termina, n general, modi area tuturor tensiunilor si urentilor din ir uitulrespe tiv. Pentru evidentierea modului n are se modi a tensiunile si urentiiunei retele fata de modi area unei rezistente este utila urmatoarea teorema.Teorema variatiei arma a derivatele partiale ale urentilor si tensiunilordintr-o latura a unei retele fata de o rezistenta R sunt:IR = Gt I1;UR = Au I1; (2.84)n are I1 este urentul prin rezistorul supus variatiei, iar Gt si Au sunt transmi-tantele portilor la are s-au denit marimile I respe tiv U fata de o poarta on-trolata de tensiune nseriata u rezistenta R (g. 2.31.a), n onditiile n arereteaua se presupune pasivizata.1I R

I

UE=0

Retea

liniara

a.

activa

I

U

Retea

liniaraJ=0 G

U1

activa

b.Fig. 2.31.109

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREDerivatele urentului I si a tensiunii U fata de ondu tanta G a unui rezistordin retea sunt: IG = AiU1;UG = RtU1; (2.85)n are U1 este tensiunea la bornele rezistorului supus variatiei, iar Ai si Rtsunt transmitantele portilor la are s-au denit marimile I respe tiv U fata de opoarta ontrolata n urent, one tata n paralel u rezistorul de ondu tanta G,n onditiile n are reteaua se presupune pasivizata (g. 2.31.b).Utilizand relatiile (2.84) si (2.85) se poate stabili in uenta unei rezistente saua unei ondu tante asupra unei transmitante, al uland derivata transmitanteifata de a ea rezistenta sau ondu tanta. Deoare e ori e transmitanta T = Y=Xeste raportul unei marimi de iesire Y si al unei marimi de intrare X, presupunandmarimea de intrare onstanta, rezulta a derivata partiala a transmitantei T este:dTdR = 1X dYdR ;exprimabila n fun tie de derivata marimii de iesire, urent sau tensiune. Cal u-lul derivatelor transmitantelor fata de rezistentele si ondu tantele unui ir uitpoarta numele de analiza senzitivitatilor ir uitului respe tiv.

110

2.7. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE LINIAREPROBLEME2.7.1. Sa se veri e teorema liniaritatii pentru ir uitele din gura 2.7.1. Sase al uleze transmitantele tuturor laturilor fata de latura generator.10 I.

10 20

10 Ω Ω Ω

10

I

Ωa. b. c.

10Ω 1ΩE10

Ω10Ω

EJ Fig. 2.7.1.2.7.2. Sa se veri e teorema re ipro itatii si teorema raspunsurilor maximepentru ir uitele uadripolare din gura 2.7.2.

10 Ω 20 Ω

20 Ω 20 Ω10 Ω

20 Ω

a. b.Fig. 2.7.2.2.7.3. Sa se al uleze urentii notati u I n ir uitele din gura 2.7.3, apli andteorema superpozitiei.a.

Ω

Ω20 20Ω

20V10V20Ω

Ι

b.

Ι

10

10Ω

10V

2AFig. 2.7.3.111

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE2.7.4. Sa se al uleze, pentru uadripolii diporti din gura 2.7.4, matri- ile rezistenta, ondu tanta si a parametrilor hibrizi. Sa se dis ute onditiile deexistenta a a estor matri i.P1 R1 R 2 P 2

a.

P1 P 2uα u

d.

P1 P 2IβI

e.

P1 P 2

Guu

f.

P1 P 2R1

R 2P1 P 2R

b. c.

Fig. 2.7.4.2.7.5. Sa se al uleze matri ile rezistenta, ondu tanta si hibride pentru uadripolii diporti din gura 2.7.5. Sa se stabileas a onditiile de e hivalentantre a esti uadripoli.1 2

2

1

2

1 2 1

G G

R

G

G

R

a. b.

G

R R

c.

RFig. 2.7.5.2.7.6. Sa se al uleze matri ile ara teristi e ale uadripolilor prezentati n -gura 2.7.6. In e onditii a esti uadripoli sunt e hivalenti u ei din gura 2.7.5 ?2.7.7. Sa se al uleze derivatele partiale ale intensitatii I fata de rezistentele ir uitului, la ir uitele din gura 2.7.3. In e sens trebuie modi ate rezistentelepentru a mari modulul urentului jIj ?112

2.7. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE LINIAREI

R I

1

2

234 1

I1R

R I

R2

a.

U U4 1G U G 2

2

1

3 2G U

G

1

b.Fig. 2.7.6.2.7.8. Sa se al uleze derivatele partiale ale transmitantelor ir uitelor din -gura 2.7.5, fata de rezistentele si ondu tantele rezistoarelor e al atuies reteaua.2.7.9. Sa se al uleze derivatele partiale ale parametrilor al ulati n pro-blema 2.6.7. fata de datele problemei. In e sens trebuie modi ate datele pro-blemei pentru a mari modulul tensiunii u2 ?2.7.10. Sa se determine u ate pro ente trebuie modi ata valoarea rezisten-teiR1 la ir uitul din gura 2.6.5, pentru a tensiunea u2 sa reas a u un pro ent.R =10Ω1

b ca

1 2R =10 R =5Ω Ω

BA BA ΩR =202

R =301 Ω

A BR =10Ω3

R =302 ΩFig. 2.7.7.2.7.11. Sa se studieze in uenta rezistentelor asupra rezistentei e hivalententre bornele A, B n azul ir uitelor din gura 2.7.7. Presupunand satisfa atoareaproximarea liniara sa se determine u ate pro ente se va modi a rezistentae hivalenta, da a e are rezistor si mareste rezistenta u 1%.113

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE

114

Capitolul 3Cir uite ele tri e rezistiveneliniare3.1 Cir uite liniare u un dipol neliniarBREVIARPentru ara terizarea unui rezistor dipolar neliniar ontrolat n urent(g. 3.1.a) se utilizeaza urmatoarele fun tii: ara teristi a urent-tensiune: u = f(i); (3.1) rezistenta stati a: Rs(i) = f(i)i ; (3.2) rezistenta dinami a: Rd(i) = dfdi ; (3.3)ultima fun tie utilizandu-se atun i and fun tia ara teristi a f este derivabila.Pentru ara terizarea unui rezistor neliniar ontrolat n tensiune (g.3.1.b) se utilizeaza urmatoarele fun tii: ara teristi a tensiune- urent: i = g(u); (3.4) ondu tanta stati a: Gs(u) = g(u)u ; (3.5)115

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREβ=tg u/i

α= du/ditg

a.

α

β i

u

β=tg u/i

α= du/ditg

i

u

α

β

c.

i

u

γ

du/ditg γ=

δ tg u/iδ =

b.

i

u

u

i

d.Fig. 3.1. ondu tanta dinami a: Gd(u) = dgdu; (3.6)ultima fun tie utilizandu-se atun i and fun tia ara teristi a g este derivabila.In azul elementelor e au ara teristi a f inversabila (g. 3.1. ) se pot utilizatoate ele patru fun tii, elementele putand ontrolate atat n urent at si ntensiune. Elementele e nu sunt ontrolate n urent sau n tensiune (g. 3.1.d)ne esita doua fun tii pentru a reprezenta relatia u-i sub forma parametri a:u = f();i = g(): (3.7)Un rezistor are are fun tia ara teristi a impara:f(i) = f(i) sau g(i) = g(u); (3.8)se numeste u bornele nepolarizate, n az ontrar el fa e parte din ategoriaelementelor polarizate.In general, s himbarea sensurilor de referinta pentru tensiuni si urenti deter-mina modi area gra ului relatiei u-i, din a est motiv gra ul unei ara teristi iu-i trebuie aso iat unei guri u sensuri de referinta pentru tensiuni si urenti. La116

3.1. CIRCUITE LINIARE CU UN DIPOL NELINIARelementele nepolarizate este su ient sa se spe i e regula de aso iere a sensurilorpentru a interpreta gra ul n mod univo .Rezistoarele liniare avand e uatia de fun tionare:u = Ri;pot ontrolate e n urent (da a G = 1=R 6= 0), e n tensiune (da a R 6= 0),iar RS = Rd = R = 1=Gd = 1=Gs. Rezistoarele liniare fa parte din ategoriarezistoarelor nepolarizate.Cea mai simpla metoda pentru analiza ir uitelor liniare e ontin un rezis-tor neliniar este metoda gra a a dreptei de sar ina. Pentru apli area a esteimetode se determina generatorul e hivalent partii liniare a retelei (g. 3.2.b) sise reprezinta gra relatia dintre tensiune si urent impusa de a est generator.Gra ul a estei fun tii va o dreapta, numita dreapta de sar ina, iar solutiaproblemei, pun tul de operare al elementului neliniar este pun tul de oordonate(i,u), a at la interse tia a estei drepte u ara teristi a neliniara. Pentru trasa-rea dreptei sunt su iente doua pun te si anume tensiunea de mers n gol UAB0si urentul de s urt ir uit Is AB . In onse inta, analiza se redu e la nlo uireaelementului neliniar u un izolator, respe tiv u un ondu tor perfe t, deter-minandu-se taieturile dreptei de sar ina.ABIsc

U AB 0

U

R

A

B

I

u

punctul de operare

U

I

a. b. c.

u

IA

B

R.L.A.AB

AB 0

0Fig. 3.2.Dezavantajele metodei dreptei de sar ina onstau n impre izia impli ita aunei metode gra e si n faptul a metoda poate apli ata doar la ir uite uun singur element neliniar. Metoda poate extinsa la ir uite e ontin maimulte elemente neliniare one tate n serie sau n paralel, e al atuies un dipole hivalent neliniar. Da a elementele neliniare sunt one tate n serie (i1 = i2; u =u1 + u2), atun i ara teristi a elementului e hivalent se determina prin sumaregra a pe orizontala, n planul u-i a n gura 3.3.117

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREu1 u2

I 2

u

I1

a. b.

i

u

1 11

2 22

g (u ) g (u )g(u +u )

Fig. 3.3.Da a elementele neliniare sunt one tate n paralel, (u1 = u2; i = i1 + i2),atun i ara teristi a elementului e hivalent se determina prin sumare gra a peverti ala, n planul u-i, a n gura 3.4.i

i

1

2

a. b.

u

i

u

2

1

f(u )

f(u )

1

f(u)=i +i2

Fig. 3.4.Cone tarea n serie a unui generator ideal de tensiune u un rezistor neliniartranslateaza ara teristi a neliniara a a estuia u tensiunea ele tromotoare E (g.3.5).Cone tarea n paralel a unui generator ideal de urent u un rezistor neliniartranslateaza ara teristi a neliniara a a estuia u urentul ele tromotor J (g.3.6).Observatiile anterioare permit sa se arme a ori e rezistor neliniar este e hi-valent u un generator neliniar de tensiune (g. 3.5.a) sau u un generator neliniarde urent (g. 3.6.a). A easta observatie permite generalizarea metodei gra ela ir uite al atuite din elemente neliniare one tate serie-paralel obtinandu-semetoda numita a urbei de sar ina, n are pun tul de operare [u,i al unuielement neliniar se obtine prin interse tia ara teristi ii elementului u urba desar ina a restului retelei neliniare determinata prin nsumari gra e.118

3.1. CIRCUITE LINIARE CU UN DIPOL NELINIARi

E

u

u1

b.a.

i

u

f (i)1 f(i)

EFig. 3.5.i1

J

J

u

g(u)

g (u)1

u

i

a. b.Fig. 3.6.

119

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREPROBLEME3.1.1. Sa se reprezinte gra ara teristi ile i(u), rezistenta stati a Rs(u) sirezistenta dinami a Rd(u) pentru o dioda semi ondu toare (g. 3.1.1) pentru are s-au masurat urmatoarele pere hi de valori U-I.U [V -40 -30 -20 -10 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1I[mA -0,1 -0,06 -0,04 -0,02 0 1 3 6 9 12I

UFig. 3.1.1.3.1.2. Sa se al uleze rezistenta stati a si dinami a pentru tensiunile u1 = 1Vsi u2 = 1V apli ate la bornele unei diode avand fun tia ara teristi a:i = g(u) = Is(eu=Ut 1);n are Is=0,05mA si UT = 25mV.3.1.3. Sa se al uleze rezistenta dinami a pe diferite portiuni ale ara teristi- ilor neliniare reprezentate n gura 3.1.2: (a) dioda semi ondu toare; (b) diodaZener; ( ) dioda tunel; (d) dioda tiristor; (e) tubul u neon si (f) varistorul.3.1.4. Sa se reprezinte gra ara teristi a u-i pentru dioda semi ondu toarealegand pe rand sensurile de referinta din gura 3.1.3. Sa se reprezinte, n modasemanator, gra ele tuturor elorlalte elemente neliniare din gura 3.1.2, pentrudiferite sensuri de referinta.3.1.5. Sa se reprezinte ara teristi a u-i pentru elementele dipolare reprezen-tate n gura 3.1.4. Se va nlo ui dioda semi ondu toare u elelalte elementeneliniare din gura 3.1.2.3.1.6. Sa se reprezinte gra ara teristi a u-i pentru elementele dipolaredin gura 3.1.5. Se va studia apoi ombinatia altor elemente neliniare din eleprezentate n gura 3.1.2.3.1.7. Sa se reprezinte gra ara teristi a u-i pentru diferite ombinatii deelemente dipolare neliniare one tate n serie sau paralel (g. 3.1.6).120

3.1. CIRCUITE LINIARE CU UN DIPOL NELINIAR

u[V]

i[mA]

20-150

150

-50

50-20

i[mA]

u[V]

1

-120

40

60

i

u

i[mA]

u[V]

0,30,20,1

8

1 u[V]

i[mA]50

21

100,5

u

i

i

u

i

u

i[mA]

u[V]

150

100

50

-1

5 1

-0,5

0,5

u[V]

i[mA]

50

-8,1

-50

1-8

a. b.

c. d.

e. f.Fig. 3.1.2.i

u u

ii

u u

i

d.c.b.a. Fig. 3.1.3.121

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIARE.

...

i

u

i i

i

10Ω

u

10Ω

u

10 mA

a

10 mAi

1V 1V

u u u

fed

b. c.Fig. 3.1.4.i i

uu

i i

uu

a. b. c. d.Fig. 3.1.5.

*

a. b. c. d.Fig. 3.1.6.122

3.1. CIRCUITE LINIARE CU UN DIPOL NELINIAR3.1.8. Sa se determine oordonatele pun tului de operare [u,i pentru ele-mentul neliniar din ir uitul reprezentat n gura 3.1.7. Se vor onsidera pe randelementele neliniare ale aror ara teristi i sunt prezentate n gura 3.1.2. Ceefe t are asupra pun tului de operare inversarea pozitiei elementului neliniar?Este a est efe t e hivalent inversarii pozitiei generatorului?R=20Ω

E=1V

I

Ui

u Fig. 3.1.7.3.1.9. Sa se determine portiunea din ara teristi a neliniara pe are se a apun tul de operare al elementului neliniar [u,i, n azul ir uitelor reprezentaten gura 3.1.8. Se vor onsidera, pe rand, elementele neliniare ale aror ara te-risti i sunt prezentate n gura 3.1.2.a. b. c.

60 Ω50 Ω

2V 2V

U

20

20

10V

U50 Ω300mA

I

U

I I

1VΩ

Ω Fig. 3.1.8.3.1.10. Sa se determine numarul de solutii pe are le poate avea problemadeterminarii pun tului de operare n azul ir uitului reprezentat n gura 3.1.9.H 3.1.11. Ce rezistenta trebuie one tata n paralel u dioda tunel a arei ara teristi a este prezentata n gura 3.1.2. , pentru a elementul obtinut sapoata utilizat a stabilizator de urent?3.1.12. Sa se analizeze ir uitele reprezentate n gura 3.1.10 si sa se deter-mine pun tele de operare pentru elementele neliniare. Vor onsiderate ara te-risti ile elementelor neliniare reprezentate n gura 3.1.2.123

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIARER

I

U *E=150VFig. 3.1.9.a

10V

1KΩ

b

5mA

Ω1K

10mA

1KΩ

ed

5V

2KΩ

Ω2K

c

1KΩ

2V

0.5V 50 Ω

50 Ω0.6V

f

5mA 1KΩ

i

10V5V

2KΩg

1V 2Vh

1KΩ

5V

1V 2VFig. 3.1.10.124

3.1. CIRCUITE LINIARE CU UN DIPOL NELINIAR3.1.13. Apli and metoda urbei de sar ina sa se determine valorile tensiuniiU si urentului I pentru ir uitele din gura 3.1.11. Se vor onsidera ara teris-ti ile elementelor neliniare reprezentate n gura 3.1.2.K

2V

I

5mA 2Ω

U

1V

b.

I

10V

1KΩ

U

a. Fig. 3.1.11.3.1.14. Sa se urmareas a traie toria pun tului de operare si sa se reprezintegra variatia tensiunii u(t) da a tensiunea ele tromotoare variaza sinusoidal ntimp e(t) = 20 sin(!t) (g. 3.1.12).2002KΩ

e(t) u(t) e(t) u(t)

ΩFig. 3.1.12.125

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIARE3.2 Elemente u ara teristi i liniare pe por-tiuniBREVIARMetoda dreptei de sar ina si n general ori e metoda gra a are dezavantajulprin ipal de impre izie n obtinerea solutiei, impre izie onditionata de alitateareprezentarii gra e. Pentru a evita a est lu ru, n analiza ir uitelor neliniarese prefera aproximarea ara teristi ii neliniare printr-o ara teristi a de tip liniepoligonala, al atuita din segmente de dreapta pe portiuni (g. 3.7). Pe e areportiune, ara teristi a u-i ind o dreapta, elementul neliniar poate e hivalat u un generator real, valabil pe portiunea respe tiva.mentul k

pe seg- E k

R k

u u

i i

)k

panta G =1/Rk k

-E k

)k+1,i(u k+1

segmentul k

(u ,ik

u

i

Fig. 3.7.Generatorul e hivalent orespunzator segmentului de drepta e areextremitatile (uk; ik) si (uk+1; ik+1) are parametrii:Rk = Rdk = uk+1 ukik+1 ik ; Ek = Rkik uk; (3.9)n are Rk este panta dreptei (rezistenta dinami a), iar Ek este interse tia dreptei u axa tensiunii.Pentru analiza ir uitelor e ontin elemente neliniare u ara teristi i lini-are pe portiuni trebuie identi ata, pentru e are element neliniar, portiunea n are se a a pun tul de operare si apoi nlo uindu-se s hema liniara e hivalentape portiunea respe tiva se analizeaza ir uitul obtinut u una din metodele de126

3.2. ELEMENTE CU CARACTERISTICI LINIARE PE PORTIUNIanaliza a ir uitelor liniare. Pentru identi area portiunii n are se a a pun tulde operare se pot utiliza metode gra e a metoda dreptei sau urbei de sar ina.O alta metoda de analiza a a estor ir uite neliniare e nu utilizeaza teh-ni i gra e este a eea n are se analizeaza toate ir uitele liniare obtinute prin ombinarea s hemelor e hivalente pe portiunile liniare si eliminarea solutiilor e orespund pun telor de operare e nu apartin segmentelor pe are sunt valabiles hemele utilizate.Da a se analizeaza un ir uit e ontine n elemente neliniare, e are elementk = 1:::n avand ara teristi a al atuita din mk segmente de dreapta, atun i ua easta metoda, n azul el mai defavorabil, trebuie analizate Qnk=1mk ir uiteliniare pentru a determina solutia.Prin aproximarea liniara pe portiuni se obtin diferite modele liniarizate (desemnal mare) ale elementelor neliniare. De exemplu, pentru diode semi ondu -toare se pot utiliza modelele din gura 3.8.i

u

(u<0)

d.

(i>0)

E d

E d

(u<u )0(u<u )0

i

u

a.

i

ui

b.

i

u

c.

(u<0) (i<0)

R

u

E d Rd

u 0

Fig. 3.8.In azul elementelor tripolare s hemele e hivalente liniarizate vor ontinesi generatoare omandate. De exemplu, tranzistorul npn, un element tripolar( u ele trei terminale numite B - baza, E - emitor, C - ole tor), are ara teris-ti ile stati e: UBE = UBE(IB; UCE);IC = IC(IB; UCE); (3.10)127

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREn are fun tiile neliniare de doua variabile UBE, IC sunt reprezentate gra ngura 3.9. S-a onsiderat a marimile de omanda (de intrare) sunt: urentul debaza IB si tensiunea ole tor - emitor UCE, iar marimile omandate (de iesire)sunt: tensiunea baza - emitor UBE si urentul de ole tor IC. Deoare e terminalulE este omun intrarii se spune a a easta alegere orespunde onexiunii u emitor omun, poarta de intrare (BE) ind ontrolata n urent, iar ea de iesire (CE)ind ontrolata n tensiune. Da a se aproximeaza ele doua fun tii retinandprimii termeni din seria Taylor rezulta:UBE ' H11IB +H12UCE + UBE0;IC ' H21IB +H22UCE + ICE0; (3.11)n are oe ientii Hij sunt parametrii hibrizi de semnal mare ai tranzistorului siau urmatoarele semni atii:H11 = RB este rezistenta dire ta a jon tiunii baza-emitor;H12 = KE este oe ientul invers de transfer al tensiunii;H21 = este oe ientul de ampli are n urent;H22 = 1=RC este ondu tanta ole tor-emitor n regiunea a tivanormala; UBE0 este tensiunea de des hidere a jon tiunii baza-emitor;ICE0 este urentul ole tor-emitor pentru un urent de baza nul.Parametrii e intervin n e uatiile (3.11) variaza relativ putin da a tranzistorulse a a n regiunea a tiva normala (R.A.N.). Da a tranzistorul fun tioneaza nregiunea de saturatie (g. 3.9. ), atun i e uatiile pot aproximate prin:IC = UCER ; (3.12)iar da a fun tioneaza n regiunea de blo are: IC = 0, IB = 0.UBE

IB

UCE UCE=2∆U

UCE ∆U=

blocatUBE0

IB

IC

UCE

UBE

E

C

B

IC

IB=4 I∆

IB=3 I∆

IB=2 I∆

∆I=IB

saturat

UCE

RAN

blocat

a. b. c.Fig. 3.9.Aproximarea liniara pe portiuni a e uatiilor tranzistorului este prezentata ngura 3.10. 128

3.2. ELEMENTE CU CARACTERISTICI LINIARE PE PORTIUNIB

I

pantaR

B

UBE U

BE+ K

UBE

EU CE00

)

a.

1/

panta

panta

CI

UCE

)

)

1/RC

αR1/β Ι Β

b.Fig. 3.10.Pentru jon tiunea baza-emitor ara teristi a se aproximeaza u doua seg-mente de dreapta: baza blo ata (IB = 0) si baza n ondu tie (IB > 0), iar ara -teristi a ole tor-emitor este aproximata prin trei segmente de dreapta: tranzis-torul blo at (IB = 0), tranzistorul saturat (IB > 0, IC < IB) si tranzistoruln regiunea a tiva normala (IB > 0, IC > IB). S hemele e hivalente de sem-nal mare valabile pentru diferite regiuni, orespunzatoare a estor e uatii suntprezentate n gura 3.12:a) tranzistorul blo at (UB < 0);b) tranzistorul blo at u baza n ondu tie (UCE < 0, IB > 0); ) tranzistorul saturat (UCE > 0, IB > IC );d) tranzistorul n regiunea a tiva normala (UCE > 0, 0 < IB < IC ).U

BE0

U BE

I

UCE

C

IC = βIB

a. b.

IB

Fig. 3.11.129

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREE

BI B

UBE 0 R BUKE CE

βIC

C

ICE 0

RC

U CE

Ι C

U BE

d.

C

B

C

UCE

UBE

B

E

C

UCE

RB

UBE 0I B

b.

B

E

UCE

RB

UBE 0I B

αR

CI

UBE

c.

U BE

a.E

Fig. 3.12.Da a se adopta urmatoarele aproximari: RB = 0, KE = 0, R = 0, RC =1,ICE0 = 0, atun i se obtine modelul liniar pe portiuni simpli at al tranzistoruluiprezentat n gura 3.11, u s hemele e hivalente n ele patru regiuni prezentaten gura 3.13.B

a.

C

E

B

E

UBE 0

C

b.

B

E

UBE 0

C

c.

B

E

UBE 0

C

IB

β IB

d.Fig. 3.13.130

3.2. ELEMENTE CU CARACTERISTICI LINIARE PE PORTIUNIPROBLEME3.2.1. Sa se aproximeze ara teristi ile elementelor neliniare din gura 3.1.2 u segmente de dreapta pe portiuni si sa se determine s hemele e hivalente lini-arizate pe e are portiune.3.2.2. Sa se aproximeze ara teristi ile elementelor neliniare analizate nproblema 3.1.6 u segmente de dreapta pe portiuni si sa se determine s hemelee hivalente liniarizate pe e are portiune.3.2.3. Sa se determine pun tul de operare u ajutorul metodei s hemelore hivalente pe portiuni pentru ir uitele analizate n problema 3.1.9.3.2.4. Sa se apli e metoda ombinatiei s hemelor e hivalente pe portiuni laanaliza i uitelor din gura 3.1.10.3.2.5. Sa se determine s hemele e hivalente pe portiuni la trioda ale arei ara teristi i sunt prezentate n gura 3.2.1.U

I G [mA]

G[V]84

10

30

UG

UAG

A

K

IA [mA]

UA [V]200 400

UG

=+3V30 UG=-10V

GU =0

Fig. 3.2.1.3.2.6. Sa se determine s hemele e hivalente liniarizate pe portiuni pentrupentoda ale arei ara teristi i sunt prezentate n gura 3.2.2.3.2.7. Sa se determine s hemele e hivalente liniarizate pe portiuni pentrutranzistorul u efe t de amp TEC u anal n ale arui ara teristi i sunt pre-zentate n gura 3.2.3.3.2.8. Sa se determine s hemele e hivalente liniarizate pe portiuni pentrutiristorul ale arui ara teristi i sunt prezentate n gura 3.2.4.131

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREGK

GA

G

G

G

A

G

G

UU [V]

b.a.

K

I

A

U

4 8

60

15

I [mA] I [mA]

c.

400

U [V]

30

-2 V

-1 V

-0.5 V

U =0

Fig. 3.2.2.U

ID

[mA]

DS[V]

2

1-0.6

-0.4-0.2

PS=0VU

30

c.

IP

[mA]

UPS [V]

-1

-2

1

2

b.

P

D

S

UDS

PSU

a.

D

P

I

I Fig. 3.2.3.U

P

UA

K

PI P

AI

AI P [mA]

20

10

2 4UP

60

20

IA[mA]

UA[V]

IP=20=0

PI

a. b. c.Fig. 3.2.4.132

3.2. ELEMENTE CU CARACTERISTICI LINIARE PE PORTIUNI3.2.9. Sa se determine gra portiunea pe are se a a pun tul de operareal tranzistorului din gura 3.2.5 si sa se al uleze oordonatele a estui pun t u ajutorul metodei s hemelor e hivalente liniarizate pe portiuni. Se vor folosis hemele e hivalente din gura 3.12 u valorile RB=1k, KE = 104, = 50,RC=50k, UBE0 = 0:6V, R = 5, ICE0 = 0.C

B

2

1

E =2VE =20V

R =500Ω

R =10k Ω Fig. 3.2.5.3.2.10. Sa se determine pozitia pun tului de fun tionare n onditiile n aresursele EB si/sau EC din problema 3.2.9. si s himba polaritatea.3.2.11. Sa se al uleze eroarea are se fa e asupra pun tului stati de fun tio-nare da a se utilizeaza pentru tranzistor modelul din gura 3.13.3.2.12. Sa se determine pozitia pun tului stati de fun tionare pentru tranzis-toarele reprezentate n gura 3.2.6 despre are se stie a fun tioneaza n regiuneaa tiva normala. Se va folosi pentru tranzistor s hema e hivalenta prezentata ngura 3.13.d u = 50 si UCB0 = 0.3.2.13. Pentru ir uitele analizate n problema 3.2.12. sa se determine sen-zitivitatea urentului de ole tor IC si a tensiunii de ole tor-emitor UCE fata defa torul de ampli are al tranzistorului.3.2.14. Sa se analizeze ir uitele prezentate n gura 3.2.7 u ajutorul meto-dei ombinatiilor s hemelor e hivalente liniarizate.3.2.15. Sa se determine n e stare (blo at sau n ondu tie) se a a diodele eal atuies ir uitele din gura 3.2.8. Sa se determine valorile tensiunii u pentruurmatoarele valori ale tensiunilor generatoarelor:e1 0 0 1 1e2 0 1 0 13.2.16. Stiind a tranzistoarele e al atuies ir uitele din gurile 3.2.10 si3.2.9 fun tioneaza n regim de omutatie (sunt polarizate astfel n at sa aibapun tele de operare n regiunea de blo aj sau n ea de saturatie) sa se determinetensiunile notate u u si sa se identi e tranzistoarele blo ate sau n ondu tie.133

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIARER =1

60K

R =31K

R =50K1

R =2 10K

R =60K

2

1K

1KR =4

3R =

E=20V

R =160K

R =60K

2 R =310K

R =1R =2

50K

a.

1K

E=20V

c.

E=20V

b.

R =21K

E=20V

R =1

e.

40K

d.

E=20V5K

R =25K

E=2V

f.

R =320K

R =20K

4 1R =

ΩΩ

ΩΩ

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω Ω

ΩΩ

Ω

ΩΩ

ΩΩ

ΩFig. 3.2.6.Ω10

Ω10Ω10

10V

10Ω

10Ω

10V

a.

1Ω1Ω

c.

10V

10V5V10V

b.Fig. 3.2.7.134

3.2. ELEMENTE CU CARACTERISTICI LINIARE PE PORTIUNIe1

b.

e=1V

e 2

a.

u=? u=?e 2

1eFig. 3.2.8.Se vor onsidera sursele avand doua valori e = 0 si e = 5V .+E C

+E C

e 2

1e

R

u=?R

a.

ue2

e1

+E C

ue 1

e 2

c. d.

b.

e

+EC

u

Fig. 3.2.9.135

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIARE+E c

Ω1K Ω1K

Ω1KΩ1K Ω1KΩ1K

+E c

e1 2eu

E

ue

c

u=?e

10KΩ

Ω1K

e

10KΩ

+E c

u=?

b.

Ω1KΩ

u=?

+E c

1K

e

+E c

u=?e

10KΩ

c. d.

a.

e. f.Fig. 3.2.10.136

3.3. METODA MICILOR VARIATII3.3 Metoda mi ilor variatiiBREVIARO metoda e ienta de analiza a unui ir uit neliniar n onditiile variatieiparametrilor anumitor generatoare din ir uit este metoda mi ilor variatii.In a easta metoda se presupune a sursele au variatii ale parametrilor su ientde mi i, astfel n at pun tele de operare ale elementelor neliniare se pot deplasape dreapta e aproximeaza ara teristi a neliniara, si nu pe ara teristi a reala,fara a a est lu ru sa introdu a erori ina eptabile. In azul elementelor u ara teristi i liniare pe portiuni, da a variatia surselor nu s oate pun tele deoperare din segmentul de dreapta pe are se a a, atun i metoda mi ilor variatiieste o metoda exa ta.+∆U NN

b.

c. d.

Ε+∆Ε

U

I

IN PSF

U Na.

UN+∆UN

U

IN +∆ IN

E

∆ E

∆ IN

∆UN RdU

UN

INN

I∆+N

I

Fig. 3.14.Fie un ir uit neliniar (g. 3.14.b) avand pun tul de operare (UN ; IN) numitn ontinuare pun t stati de fun tionare (P.S.F.). Tensiunile si urentii din ir uitul neliniar onsiderat satisfa e uatiile lui Kir hho:Pk2(n) INk = 0; n = 1; 2; :::; (N 1);Pk2[bUNk = 0; b = 1; 2; :::; (LN + 1) (3.13)137

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREsi e uatiile de fun tionare ale laturilor:UNk = ( bUNk (INk); pentru laturile neliniare;Rk INk Ek; pentru laturile liniare.Da a tensiunile ele tromotoare au o variatie E, atun i pun tele de operarese deplaseaza pe ara teristi ile neliniare parasind pun tele stati e de fun tionare(g. 3.14.a), iar solutia noii probleme de analiza satisfa e e uatiile lui Kir hho:Pk2(n)(INk +INk) = 0; n = 1; 2; :::; (N 1);Pk2[b(UNk +UNk) = 0; b = 1; 2; :::; (LN 1) (3.14)si e uatiile de fun tionare ale laturilor:( UNk +UNk = bUNk(INk +INk); pentru laturile neliniare;UNk +UNk = Rk (INk +INk) Ek Ek; pentru laturile liniare.Da a fun tiile ara teristi e ale elementelor neliniare se aproximeaza:UNk ' bUNk (INk) + d bUdI P:S:F: INk ; (3.15)prin neglijarea termenilor de ordin superior din dezvoltarea n serie Taylor n jurulpun tului stati de fun tionare, atun i variatiile tensiunilor si urentilor satisfa e uatiile: Pk2(n)INk = 0;Pk2[bUNk = 0;UNk = ( RdINk ; pentru laturile neliniare;RkINk Ek; pentru laturile liniare. (3.16)Analizand e uatiile (3.16) se onstata a ele pot aso iate unui ir uit, numit ir uit de mi i variatii (g. 3.14.d) e se obtine pornind de la ir uitul neliniar n are se opereaza substitutiile prezentate n gura 3.15 n are Rd = d bU=dI esterezistenta dinami a a elementului neliniar n pun tul stati de fun tionare.Pentru analiza unui ir uit ele tri neliniar u metoda mi ilor variatii se par- urg urmatoarele etape ale algoritmului metodei:1. Se al uleaza rezistentele dinami e ale elementelor neliniare n pun tele sta-ti e de fun tionare: Rd = d bUdI I=IN : (3.17)138

3.3. METODA MICILOR VARIATIIR R

E

J

E+∆E ∆E

∆J

Rd

J+∆JFig. 3.15.2. Se onstruieste ir uitul liniar de mi i variatii nlo uind elementele nelini-are u rezistoare liniare avand rezistentele egale u rezistentele dinami e,pastrand toate sursele omandate, iar dintre generatoare se pastreaza numai ele are variaza;3. Se analizeaza ir uitul de mi i variatii determinandu-se urentii In = IN sitensiunile Un = UN prin una din metodele de analiza a ir uitelor liniare;4. Se al uleaza solutia ir uitului neliniar n urma variatiilor, adaugand lapun tele stati e de fun tionare solutia obtinuta la pun tul anterior:INnou = IN +IN ;UNnou = UN +UN : (3.18)In multe apli atii pra ti e sunt utile doar variatiile pun telor stati e de fun -tionare astfel n at ultima etapa a algoritmului nu mai este ne esara.S hema e hivalenta de mi i variatii a tranzistorului npn fun tionand nregiunea a tiva normala este prezentata n gura 3.16.b, iar n azul modeluluisimpli at s hema este ea din gura 3.16. .a.

c.

E

B

C

B

C

E

RI

U

b.

KR U

c

I

C

E

BI

U

U

I

B d

be

Ue ce

I

c ce

be

ce

c

b

b

β b βIFig. 3.16.Se onstata a tranzistorul, din pun tul de vedere energeti , la mari variatiieste un element pasiv din pun t de vedere energeti , dar la semnal mi el esteun element a tiv, ind reprezentat de o sursa de urent omandata n urent ufa torul de ampli are . 139

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREPROBLEME3.3.1. Sa se determine s hemele e hivalente de semnal mi pentru elementeledipolare neliniare ale aror ara teristi i sunt prezentate n gura 3.1.2. Se vor onsidera diferite pun te stati e de fun tionare.3.3.2. Sa se determine s hemele e hivalente de semnal mi pentru elementeletripolare neliniare studiate n problemele 3.2.5.-3.2.8, atun i and generatoareleideale au o variatie a parametrilor de +1%.3.3.3. Sa se determine noile pun te de operare ale elementelor neliniare e aufost analizate n problemele 3.1.9.-3.1.12, atun i and generatoarele au o variatiea parametrilor de +1%.3.3.4. Sa se determine variatia tensiunii ole tor-emitor pentru tranzistorulanalizat n problema 3.2.9, atun i and tensiunea ele tromotoare EB variaza uEB = 0; 1V:3.3.5. Sa se studieze etajul ampli ator u un tranzistor prezentat n gura3.3.1. Se vor al ula: rezistenta e hivalenta de intrare, ampli area si rezistentae hivalenta de iesire pentru semnalele de mi i variatii. Se vor utiliza atat s hemae hivalenta a tranzistorului prezentata n gura 3.15.b at si s hema simpli atadin gura 3.15. si se va estima eroarea de aproximare.UE

i

R

R R

R

=

2

2

8 1Κ

E∆

9=

Κ

1 Κ=

4

0

Κ2=

Ω

Ω

Ω

ΩFig. 3.3.1. R =Ω

22K

=R4Ω1K

Ω

9R

2K

Uo

EΩ8K

R =1

E∆ Fig. 3.3.2.3.3.6. Sa se studieze omportarea la mi i variatii a etajului repetor uun tranzistor, prezentat n gura 3.3.2. Se vor al ula: ampli area etajului,rezistentele e hivalente de iesire si de intrare. Se va adopta s hema e hivalentade semnal mi simpli ata pentru tranzistor.3.3.7. Sa se studieze omportarea la mi i variatii a ampli atorului diferentialreprezentat n gura 3.3.3. Se vor al ula ampli area etajului si rezistentele e hi-140

3.3. METODA MICILOR VARIATIIvalente de intrare si iesire.u

u 0

R 1=

1K

RR=

R 2=

K1

E cR E=1K

Ω

Ω

Ω

ΩK10

i Fig. 3.3.3. E ui

R 9=

u 0R

S=

200Ω

600 ΩFig. 3.3.4.3.3.8. Sa se al uleze variatia pro entuala a tensiunii de iesire la stabiliza-torul u dioda Zener prezentat n gura 3.3.4, atun i and tensiunea de intrareare o variatie de 1%. Se va onsidera rezistenta dinami a a diodei pe zona ZenerRd = 2.3.3.9. Sa se studieze variatia pro entuala a tensiunii de iesire la stabiliza-torul de tensiune prezentat n gura 3.3.5, atun i and tensiunea de intrare areo variatie de 1%. Se va onsidera rezistenta dinami a a diodei pe zona ZenerRd = 2 iar fa torul de ampli are n urent al tranzistorului = 50:R

RR

9

Su u

=

==

0i 600 Ω10K

Ω200

E Fig. 3.3.5.3.3.10. Apli and tehni a s hemelor e hivalente liniarizate pe portiuni sa seanalizeze ir uitul din gura 3.3.6. Pentru e valori ale rezistentei R variatiiletensiunii de intrare nu sunt transmise la iesire?141

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIARE3.3.11 Se onsidera un tranzistor one tat a un uadripol diport. Sa se de-termine pentru ele trei onexiuni din gura 3.3.7 si anume: (a) emitor omun,(b) ole tor omun si ( ) baza omuna are sunt matri ile rezistenta, ondu tantasi hibrida, pentru ir uitul e hivalent liniar de mi i variatii. Sa se exprime ele-mentele a estor matri i n fun tie de ei patru parametri utilizati n gura 3.16.b.E=100V

u

uR

R=200Ω

i

e=? 50

200

U[V]

0.5 1

I[A]

I

uFig. 3.3.6.E

E C BC B

B BE E

u u ui

i

i

i ib

c

b

e

ce cebe

u cbu be bcu

i c eC

a. b. c.Fig. 3.3.7.142

3.4. METODE ITERATIVE CIRCUITE NELINIARE3.4 Metode iterative pentru analiza ir uitelorrezistive neliniareBREVIARProblema analizei ir uitelor ele tri e rezistive neliniare presupunerezolvarea unui sistem de e uatii algebri e neliniare al atuit din e uatiile lui Kir- hho: algPk2(n) Ik = 0; n = 1; 2; :::; (N 1);algPk2[bUk = 0; b = 1; 2; :::; (LN + 1); (3.19)si din e uatiile de fun tionare ale laturilor:Uk = bU(Ik); k = 1; 2; :::; L; (3.20)da a elementele sunt ontrolate n urent, sauIk = I(Uk); k = 1; 2; :::; L; (3.21)da a elementele sunt ontrolate n tensiune. Sistemul (3.19)-(3.21) al atuit dinL e uatii algebri e liniare si L e uatii neliniare u ne unos ute urentii din laturiIk si tensiunile la bornele laturilor Uk, unde k=1,2,...,L.S ris sub forma ompa ta sistemul devine:G(x) = 0; (3.22)n are x = [I1; I2; :::; IL; U1; U2; :::; ULT si G este o apli atie de la IR2L la IR2L. Ceamai larg utilizata tehni a de solutionare a e uatiei (3.22) estemetoda iterativabazata pe onstru tia unui sir x1; x2; :::; xn; ::: onvergent atre limita x aresatisfa e e uatia (3.22). Da a norma erorii jjxk xjj este su ient de mi a,atun i termenul xk din sir este o aproximatie satisfa atoare a solutiei. O metodade onstruire a sirului iterativ este algoritmul numit de pun t x, n are e uatia(3.22) se adu e sub forma e hivalenta:x = F (x);urmand a pornind de la o initializare arbitrara sa se genereze sirul iterativ:xk+1 = F (xk): (3.23)Da a matri ea ja obian a apli atiei F satisfa e inegalitatea:jjF 0jj < 1; (3.24)143

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREse poate arata a sirul generat de (3.23) onverge atre solutia x a e uatiei (3.4),solutie numita pun tul x al apli atiei F. Pentru a adu e e uatia (3.22) la forma(3.4) se poate utiliza relatia: x = xK(x)G(x); (3.25)n are K(x) este o matri e nesingulara astfel n at sa e satisfa uta onditia(3.24). O alegere avantajoasa este data de metoda Newton-Raphson, n areK(x) este inversa matri ii ja obian a apli atiei G:xk+1 = xk [G0(xk)1 G(xk): (3.26)Pentru a redu e efortul de al ul, metoda Newton-Kantorovi i utilizeazapentru K(x) inversa matri ii ja obian a apli atiei G al ulata n pun tul x = x1, orespunzator initializarii:xk+1 = xk [G0(x1)1 G(xk): (3.27)Da a se estimeaza matri ea ja obian pentru un pun t x0, altul de at un ter-men al sirului, atun i se obtine metoda iteratiei simple n are:xk+1 = xk [G0(x0)1 G(xk): (3.28)Analizand relatia (3.26) rezulta a la e are iteratie trebuie rezolvat un sistemliniar de e uatii de forma: G0(xk) xk = G(xk); (3.29)urmand a: xk+1 = xk +xk: (3.30)Apli and metoda Newton-Raphson pentru rezolvarea sistemului de e uatii(3.19)-(3.20) si notand:gi = algPk2(n) Ik; pentru n = 1; :::; (N 1);gi = algPk2[bUk; pentru b = N; :::; L;gi+L = Ui U (Ii); pentru i = 1; :::; L (3.31)rezulta a la e are iteratie trebuie rezolvat sistemul de e uatii liniare (3.32) n are A si B sunt matri ile de in identa a laturilor la noduri, respe tiv la bu lelefundamentale, iar Rdk este rezistenta dinami a a elementului neliniar din latura144

3.4. METODE ITERATIVE CIRCUITE NELINIAREk evaluata n pun tul de operare stabilit la iteratia anterioara. Termenii liberi aisistemului au valori date de relatiile (3.31), dar u semn s himbat.2666666666666666666666664A ... 0 ... 0 ... B ... Rd1 0 ... 1:0:::0. . . ... 0:1::0. . . .... . . ...0 RdL ... 0:0::1

3777777777777777777777775 26666666666664 I1I2...ILU1...UL 37777777777775 = 266666666666666664 g1g2...gLgL+1......g2L

377777777777777775 (3.32)Vom presupune a initializarea satisfa e e uatiile lui Kir hho (3.19-3.20),fapt evident da a se alege de exemplu x1 = 0. In a este onditii la ori e iteratiesolutia obtinuta satisfa e e uatiile lui Kir hho, dar nu si e uatiile onstitutiveale elementelor neliniare. Da a ir uitul analizat u metoda Newton-Raphsoneste un ir uit liniar, atun i prima iteratie oin ide u solutia exa ta a ir uitu-lui. Relatiile (3.32) reprezinta e uatiile unui ir uit liniar aso iat e arei iteratii.A est ir uit se obtine nlo uind elementele neliniare (g. 3.17.a) u ir uitul dingura 3.17.b, n azul elementelor ontrolate de urent si u ir uitul din gura3.17. , n azul elementelor ontrolate de tensiune.(I )

>

∆U

∆I

J=GdUk

Ik

U∆

∆I

E=

R d

a. b. c.

Uk- U k

I(U

>

k)- IkFig. 3.17.In gura 3.17 s-au notat u Uk si Ik tensiunea si urentul elementului neli-niar obtinute la iteratia anterioara, Rd reprezinta rezistenta dinami a si Gd este ondu tanta dinami a a elementului neliniar, al ulate n pun tele Ik, respe tivUk: Rd = d bUdI I=Ik ; Gd = dIdU U=Uk ; (3.33)145

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREiar parametrii generatoarelor sunt:E = Uk bU(Ik);J = Ik I(Uk): (3.34)Parametrii E si J dati de (3.34) pun n evidenta abaterea pun tului de operarePk determinat la iteratia anterioara, fata de urba ara teristi a a elementului(g. 3.18).I

I(U

P

1/R

Pk

k+1

dJ

U<

U(IU k kU(IU(IU(I )

kI<

k)

EFig. 3.18.In urma analizei ir uitului liniarizat aso iat se determina ore tiile (variatiile) urentilor I si tensiunilor U la bornele laturilor, urmand a aproximareasolutiei la iteratia k + 1 sa e: Uk+1 = Uk +U;Ik+1 = Ik +I: (3.35)Da a jjU jj si jjIjj nu sunt su ient de mi i, atun i se reia pro edura ite-rativa urmand a pun tul de operare Pk+1(Uk+1,Ik+1) sa e situat pe tangenta la urba de fun tionare (g. 3.18).Din relatia (3.27) rezulta a metoda Newton-Kantorovi i presupune la e areiteratie analiza unui ir uit liniar aso iat ir uitului neliniar onstruit a n me-toda Newton-Raphson (g. 3.17), u deosebirea a rezistentele si ondu tantele ir uitului aso iat sunt al ulate n pun tele de operare initiale:Rd = dUdI I=I1 ;Gd = dIdU U=U1 : (3.36)In azul metodei iteratiei simple, ir uitul liniar aso iat e arei iteratii arerezistentele si ondu tantele alese apriori (ele sunt numite rezistente sau ondu -tante de al ul). Pentru a obtine o onvergenta at mai rapida este preferabil146

3.4. METODE ITERATIVE CIRCUITE NELINIARE a ele sa aiba valorile at mai aproape de rezistentele, respe tiv ondu tanteledinami e orespunzatoare solutiei exa te.In general, metoda Newton-Raphson este mai rapid onvergenta de at ele-lalte doua metode, dar ne esita un efort de al ul mai mare datorita evaluariirezistentelor dinami e la e are iteratie. Metoda Newton-Kantorovi i si me-toda iteratiei simple au avantajul a partea rezistiva a ir uitului aso iat ramanea eeasi la toate iteratiile, de i este ne esara inversarea matri ei sistemului (3.32)o singura data. Metoda Newton-Kantorovi i apli ata la un ir uit liniar permiteobtinerea solutiei exa te dupa o singura iteratie, lu ru e nu se ntampla n azuliteratiei simple. Cu toate a estea, metoda iteratiei simple poate avea un dome-niu mai larg de onvergenta n onditiile alegerii avantajoase a rezistentelor si ondu tantelor de al ul.Cir uitele liniarizate aso iate e arei iteratii, prezentate n gura 3.17, sunt ir uite de variatii. Da a se utilizeaza ir uite liniare aso iate, din analiza arorasa rezulte urentii si tensiunile la iteratia urenta:U = Rd I E ) Uk+1 = Rd Ik+1 [Rd Ik bU(Ik); (3.37)atun i a estea vor avea laturile de tipul elor prezentate n gura 3.19.G

c.

UJ k

Ik+1

kk+1

R

b.

E k

k

Uk

I k

+1

+1

Uk

I k

a. Fig. 3.19.In azul metodei Newton-Raphson, onform relatiei (3.37) rezulta a Rk esterezistenta dinami a aso iata urentului Ik, iar Ek = Rd Ik U(Ik), ara teristi aind aproximata n iteratia urmatoare prin dreapta N (g. 3.20).Da a se utilizeaza pentru aproximarea ara teristi ii neliniare dreapta R (g.3.20), atun i metoda astfel generata se va numimetoda rezistentei stati e.Da a se aproximeaza ara teristi a neliniara, n iteratia urmatoare, u odreapta e tre e prin pun tul de operare Pk, dar are o alta panta de at derivata ara teristi ii n pun tul respe tiv (dreapta S), atun i metoda astfel generatase numestemetoda iteratiei surselor.Tehni a de aproximare a ara teristi ii neliniare printr-o dreapta e tre e prinorigine si prin pun tul de operare determinat la iteratia anterioara genereazametoda iteratiei rezistentei stati e.147

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREU

Ipanta R s

panta Rd

panta Rc

Pk

∆R

∆N

S∆Fig. 3.20.Da a un element neliniar are ara teristi a monotona, atun i el poate o-mandat e de tensiune e de urent. Din pun tul de vedere al iteratiilor, eledoua posibilitati nu sunt e hivalente. Este posibil a pro esul sa e onvergentntr-un az si divergent n elalalt. Din a est motiv, n rezolvarea iterativa a ir- uitelor neliniare trebuie data atentie modului n are sunt omandate elementeleneliniare. De exemplu, n azul metodei rezistentei stati e da a rezistenta stati a reste o data u urentul (Rd > Rs), atun i este preferabila utilizarea ontroluluin urent, iar da a rezistenta stati a s ade u urentul (Rd < Rs) este preferabilautilizarea ontrolului n tensiune. In azul metodei iteratiei surselor, pentru asi-gurarea onvergentei trebuie aleasa rezistenta de al ul R n intervalul uprinsntre valoarea minima si maxima a rezistentei dinami e (de preferinta n entrulintervalului), n azul ontrolului n urent, iar n azul ontrolului n tensiune ondu tanta de al ul se alege ntre valoarea minima si maxima a ondu tanteidinami e.In general, metoda rezistentei dinami e este mai rapid onvergenta, dar ereun efort mai mare de al ul la e are iteratie si are domeniul de onvergenta mairestrans, n sensul a initializarea trebuie sa e su ient de aproape de solutiepentru a pro edeul sa e onvergent. Metoda iteratiei surselor este mai lent onvergenta, dar are un domeniu de onvergenta e poate marit prin alegerea onvenabila a rezistentei de al ul.In azul elementelor neliniare e au ara teristi a liniarizata pe portiuni sepoate utiliza un algoritm de autare a intervalelor n are se a a pun tele deoperare ale elementelor neliniare. Algoritmul Katzenelson, prezentat n on-tinuare, este garantat onvergent ntr-un numar nit de pasi, minimizand ntr-unanumit sens drumul pe are se auta solutia. Pentru apli area a estei metodese onsidera o initializare a solutiei ntr-o ombinatie de intervale si se substituieelementele neliniare u s hemele lor e hivalente liniarizate. Da a solutia ir u-itului liniar orespunde unor pun te de operare ale elementelor neliniare e sea a n ombinatia de intervale onsiderate, atun i a easta este si solutia ir u-148

3.4. METODE ITERATIVE CIRCUITE NELINIAREitului neliniar, iar da a pun tele de operare al ulate se a a n alte intervale,atun i se modi a, dintre toate s hemele e hivalente liniarizate, o s hema ores-punzatoare unui singur element neliniar. Identi area elementului neliniar a areiportiune de fun tionare urmeaza sa se modi e se fa e analizand solutia aproxi-mativa obtinuta, urmand sa-si modi e portiunea de fun tionare elementul elmai soli itat n a est sens. La e are iteratie, doar un singur element neliniar simodi a s hema e hivalenta tre and ntr-o portiune de fun tionare noua, e esteobligatoriu ve ina u ea ve he. In a est fel modi arile sunt fa ute din aproapen aproape fara sa aiba lo salturi pe ara teristi ile neliniare, pana se identi aintervalul n are se a a pun tul de operare.1

E/R

U U(I)

I

<

A

B

R

E

a.

U

I

Id.c.

E

U

IE/R

I1I 2 I3

e.

E

I

E

U

I

I I I321 E/R

E

U

Ib.

I 3 I 2

I

1

I 2 3

Fig. 3.21.In gura 3.21 sunt prezentate gra iteratiile e se fa la analiza ir uituluidin gura 3.21.a prin urmatoarele metode: (b) metoda rezistentei dinami e; ( )metoda iteratiei surselor; (d) metoda rezistentei stati e si (e) metoda Katzenel-son. 149

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREPROBLEME3.4.1. Sa se prezinte gra analiza iterativa a ir uitului neliniar din gura3.21.a u metodele Newton-Raphson, Newton-Kantorovi i si metoda iteratiei sim-ple.3.4.2. Sa se prezinte gra analiza iterativa a ir uitului neliniar din gura3.21.a u diferite metode presupunand elementul neliniar ontrolat n urent.3.4.3. Sa se analizeze gra onvergenta metodei rezistentei dinami e pentru ir uitul din gura 3.21.a u ara teristi a elementului neliniar prezentata n -gura 3.4.1. Analiza va efe tuata pentru diferite initializari.E

U

I

E/Ra.

E

U

I

E/Rb.Fig. 3.4.1.3.4.4. Sa se analizeze gra onvergenta metodei iteratiei surselor pentru ir uitul din gura 3.21.a. Analiza va efe tuata pentru diferite rezistente de al ul onsiderand ara teristi ile elementului neliniar ele din gura 3.4.1.3.4.5. E uatia ir uitului din gura 3.4.2 bU(I) +R I = E pusa sub forma:I = E bU(I)Rgenereaza o pro edura iterativa de pun t x.Utilizand riteriul de onvergenta (3.24) sa se stabileas a onditiile pe aretrebuie sa le ndeplineas a fun tia ara teristi a bU(I) a elementului neliniar pen-tru a iteratiile sa e onvergente.3.4.6. E uatia de fun tionare a ir uitului din gura 3.4.3 poate pusa suburmatoarea forma a unei e uatii u pun t x: U = ER I(U). Sa se determine onditia e trebuie ndeplinita de fun tia ara teristi a I(U) pentru a pro edurade pun t x sa e onvergenta. 150

3.4. METODE ITERATIVE CIRCUITE NELINIAREU U(I)

I

<

R

E Fig. 3.4.2. U

I

<

R

E

I(U)Fig. 3.4.3.3.4.7. T inand ont de rezultatele problemelor anterioare sa se spe i e pro- edura de pun t x e trebuie apli ata la analiza ir uitelor din gura 3.4.4.b si3.4.4. . Poate analizat ir uitul din gura 3.4.4.d u o pro edura simpla depun t x ?I

U

R d =1KΩ

R d =100Ω

E

R=Ω10 500K

U(I)

>

I

a. b. c. d.

E

R=Ω

E

R=K10 ΩFig. 3.4.4.3.4.8. Ce valoare poate avea onstanta K astfel n at pro edura iterativa depun t x generata de e uatia:I = I +K (E bU(I))R ;s risa pentru ir uitul din gura 3.4.3, sa e garantat onvergenta? Ce semni- a'tie zi a poate avea onstanta K ?3.4.9. Conform teoremei Pi ard-Bana h o e uatie x = F (x) la are j F 0 j < 1 genereaza un sir al aproximatiilor su esive xk+1 = F (xk) e tinde atrepun tul x x = F (x), iar un termen al sirului satisfa e inegalitatea:j xk x j n1 j x1 x0 j :Sa se estimeze eroarea e a fost fa uta la rezolvarea problemei 3.4.8. n ze eiteratii. Cate iteratii trebuies fa ute a erorea relativa sa e sub 0,1%?151

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIARE3.4.10. Sa se determine valoarea onstantei K din problema 3.4.8., pentru apro edura iterativa sa e at mai rapid onvergenta.3.4.11. Apli and riteriul de onvergenta (3.24) sa se analizeze onvergentametodei Newton-Kantorovi i pentru ir uitele din gura (3.4.3). Sa se determinedomeniul n are poate aleasa initializarea pentru a pro esul sa e onvergent.Sa se estimeze eroarea de aproximare dupa un numar dat de iteratii.3.4.12. Apli and riteriul de onvergenta (3.24) sa se determine onditiape are trebuie sa o ndeplineas a derivata a doua U 00(I) pentru a pro edeulNewton-Raphson apli at la rezolvarea problemei 3.4.6. sa e onvergent.3.4.13. Apli and riteriul de onvergenta (3.24) sa se analizeze onvergentametodei iteratiei simple pentru rezolvarea problemei din gura 3.4.3. Ce valoaretrebuie sa aiba rezistenta de al ul R pentru a pro edura sa e onvergenta?3.4.14. Sa se rezolve problemele 3.4.11-3.4.13 presupunand elementul neli-niar ontrolat n tensiune. Sa se ompare rezultatele obtinute.3.4.15. Sa se s rie e uatiile orespunzatoare metodei rezistentei dinami esi iteratiei surselor pentru ir uitele din gura 3.4.3. Sa se ompare rezultateleobtinute u e uatiile utilizate n rezolvarea problemelor 3.4.11 si 3.4.12.3.4.16. Sa se stabileas a forma matri eala a e uatiilor e trebuie rezolvatela e are iteratie n metoda Newton-Raphson da a din relatiile (3.19)-(3.21) seelimina o parte din ne unos ute. Exempli are pentru metodele Kir hho refe-ritoare la urenti sau la tensiuni, sau pentru azul n are raman a ne unos uteprin ipale urentii din oardele unui oarbore sau potentialele nodurilor.3.4.17. Sa se s rie forma matri eala a e uatiilor ir uitului liniarizat aso iatiteratiilor n metoda rezistentei dinami e. E uatiile vor s rise pentru metodeleKir hho, urentilor i li i si potentialelor nodurilor.3.4.18. Sa se determine ir uitele e hivalente liniarizate orespunzatoareiteratiilor metodelor Newton-Raphson si rezistentelor dinami e pentru ir uiteleneliniare din gura 3.4.5.3.4.19. Sa se analizeze ir uitele aso iate iteratiilor din problema 3.4.18. Sase ompare expresiile relatiilor de iteratie pentru ele doua metode.3.4.20. Sa se reprezinte si analizeze ir uitele liniare aso iate diferitelor me-tode iterative apli ate ir uitelor din gura 3.4.6.152

3.4. METODE ITERATIVE CIRCUITE NELINIARE(I1) (I 2)

E

I

U

U

<<

1

2(I)

(I) E

RR UU

<

1 2

<

I I 21

I

b.a. Fig. 3.4.5.E

UR U J

a. b.

1

>

>

2

R

I I 21

> >

E 1

c.

E 2

UU

>

>

U>

1 2

3Fig. 3.4.6.3.4.21. Sa se al uleze numeri primele doua iteratii ale diferitelor metodepentru ir uitele neliniare din gura 3.4.7.3.4.22. Sa se rezolve problema 3.4.21. onsiderand elementul neliniar on-trolat n tensiune.3.4.23. Sa se analizeze ir uitele neliniare din gura 3.4.7 u ajutorul metodeiKatzenelson.1A U(I)

10V

20Ω

>

b.

20

5

1 2 I[A]

U[V]

a.

R =5Ω

d

U

I

10V U(I)

>

U(I)

>

20Ω

20Ω

c.Fig. 3.4.7.153

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIARE3.5 Teoremele ir uitelor rezistive neliniareBREVIARIn ontinuare sunt prezentate on eptele fundamentale e intervin n analiza ir uitelor rezistive neliniare.Pun tul de operare al unui element dipolar rezistiv reprezinta pun tul Pdin planul U-I, avand drept oordonate tensiunea la bornele elementului U si urentul I prin element, stabilite atun i and elementul este introdus ntr-unanumit ir uit. Pun tul de operare al unui ir uit ele tri neliniar este un pun tn spatiul IR2L, avand oordonatele tensiunile si urentii din laturile ir uitului.Pun tul de operare al unui ir uit u surse invariante n timp reprezinta solutiaproblemei de analiza a ir uitului respe tiv. Dupa um se vede din gura 3.22,n fun tie de parametrii ir uitului (E,R) un ir uit (a) poate: (b) sa nu aibasolutie; ( ) poate sa aiba solutie uni a, (d) sa aiba un numar nit de solutii sau(e) sa aiba un numar innit de solutii.d. e.

U(I)

>

P.O.E

U

IE/R

1

E/R

EU(I)

>U

I

PO1

PO2

PO3

a. b. c.

U(I)

>

E/R

E

U

P.O.

I

U(I)

>U

IE/RE

U

I

R

E

U<

Fig. 3.22.Cara teristi a de intrare a unei porti a unui ir uit neliniar reprezintarelatia ntre urentul si tensiunea portii. Dupa felul n are este ex itata poarta,exista doua feluri de ara teristi i de intrare, u omanda n tensiune (g. 3.23.a)sau u omanda n urent (g. 3.23.b).Cara teristi a de transfer a unui ir uit neliniar, fata de doua porti aleunui ir uit este relatia dintre o marime a portii de intrare si una a portii deiesire. Se pot deni patru feluri de ara teristi i de transfer (g. 3.24).154

3.5. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE NELINIAREN

II

E

E

a.

J U

U

J

b.

NFig. 3.23.N

1x=e

i =02

y=u2

a.

N1x=j

b.

i =02

y=u2 N1x=e

u2=0

y=i2

c.

N1

y=i2

x=j

d.

y

x

e.Fig. 3.24.Se onstata a a este ara teristi i de transfer nu sunt n mod ne esar fun tii(g. 3.24.e).Cara teristi a de transfer a puterii reprezinta relatia dintre puterea pdisipata de un element dipolar din ir uit si o marime de ex itatie a unei portiprin are se alimenteaza ir uitul (g. 3.25. ).Din onsiderente zi e, ori e element de ir uit are o limita a puterii pe are opoate disipa. Puterea maxima Pmax = U I deneste n planul ara teristi ii unuielement doua hiperbole limita (g. 3.25.b), pe are pun tul de operare trebuiesa nu le depaseas a. Cara teristi a de transfer a puterii permite identi areazonelor admisibile pentru marimea de ex itatie. Cara teristi a de transfer a pu-terii se obtine prin multipli area ara teristi ilor de transfer ale tensiunii u(e) si urentului i(e). Relatiile fundamentale ale ir uitelor neliniare, a de altfel alentregii teorii a ir uitelor, sunt teoremele lui Kir hho sub forma generala:alg:Xk2fsg ik = 0; s = 1; 2; :::; (N 1); (3.38)155

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREUI=Pmax

u

ib.

UI=Pmax

e

P=ui

Pmax

-P max

c.

ue N

a.

i

Fig. 3.25.alg:Xk2[buk = 0; b = 1; 2; :::; (LN + 1); (3.39)Relatia (3.38) este valabila pentru ori e se tiune fsg din ir uit iar relatia(3.39) este valabila pentru ori e bu la [b din ir uit.Problema fundamentala a analizei ir uitelor neliniare onsta n determi-narea tuturor urentilor si tensiunilor din laturile unui ir uit atun i and se unos parametrii elementelor si topologia ir uitului. Pentru rezolvarea proble-mei fundamentale, se utilizeaza e uatiile (3.38) si (3.39) are al atuies un setde e uatii liniare si independente, da a sunt apli ate pe un sistem de se tiuni sibu le independente. A este relatii nu sunt su iente pentru rezolvarea problemei,astfel n at se adauga e uatiile neliniare e dau relatiile ntre tensiunile si urentiidin laturile ir uitului:uk = Rkik ek; uk = bU(ik) sau ik = I(uk); k = 1; 2; :::; L (3.40)Deoare e sistemul (3.40) este un sistem neliniar rezulta a solutia sa nupoate depinde liniar de datele problemei si n onse inta teoremele liniaritatii,superpozitiei si re ipro itatii nu sunt valabile pentru ir uitele neliniare. A esteteoreme se pot apli a, el mult, pentru ir uitele liniare de mi i variatii. Dinteoremele lui Kir hho sub forma generala rezulta a o onse inta teorema lui156

3.5. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE NELINIARETellegen (1.5), are este apli abila si ir uitelor neliniare. Parti ularizand teo-rema lui Tellegen rezulta teorema bilantului puterilor ntr-un ir uit neliniarizolat: LXk=1 ukik = 0: (3.41)In azul unei retele neizolate se poate demonstra a a easta, privita a unmultipol, absoarbe pe la ele n borne o putere:P = nXk=1 ikvk; (3.42)n are vk sunt potentialele bornelor, iar ik sunt urentii e intra n borne.Datorita numarului mare de e uatii si ne unos ute, sistemul (3.38-3.39) nueste avantajos n analiza ir uitelor. Din a est motiv se prefera eliminarea unoradintre ne unos ute. Sistemele obtinute n urma eliminarii (efe tuata de regula npartea liniara a sistemului), sunt date de urmatoarele teoreme e stau, e are, labaza unei metode de analiza a ir uitulor neliniare.Teoremele lui Kir hho referitoare la urenti pot apli ate la analiza ir uitelor u elemente neliniare ontrolate n urent si se obtin din (3.38) prineliminarea tensiunilor uk, obtinandu-se:Pk2(n) ik = 0; n = 1; 2; :::; (N 1);Pk2[b bUk(ik) + Pk2[bRk ik = Pk2[b ek; b = 1; 2; :::; (LN + 1): (3.43)Teoremele lui Kir hho referitoare la tensiuni pot apli ate la analiza ir uitelor u elemente neliniare ontrolate n tensiune si se obtin din (3.38) prineliminarea urentilor ik:Pk2(n) Ik(uk) + Pk2(n)Gk uk + Pk2(n) jk = 0; n = 1; 2; :::; (N 1)Pk2[buk = 0; b = 1; 2; :::; (LN + 1): (3.44)Da a un ir uit neliniar ontine atat elemente omandate n urent at sielemente omandate n tensiune poate utilizata n analiza o metoda hibridaa teoremelor lui Kir hho, n are ne unos utele sunt tensiunile dintr-un arboresi urentii din oarbore. Pentru apli area a estei metode este ne esar a sa existeun arbore are sa ontina toate elementele ontrolate n tensiune, urmand atoate elementele ontrolate n urent sa se a e n oarbore.Teorema urentilor de oarde ( urentilor i li i n ir uite neliniare) poate apli ata ir uitelor e ontin doar elemente ontrolate n urent si se obtine din157

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIARErelatiile (3.43) prin eliminarea urentilor de ramuri:Xj2[b Uj (Xj2(k) i0k) + LXj=1RjI 0j = Xj2[b ej; b = 1; 2; :::; (LN + 1); (3.45)urmand a ne unos utele prin ipale sa e urentii ib,b = 1; 2; :::; (LN + 1) din oarde ( urentii dintr-un sistem de bu le fundamentale, numiti si urenti i li i).Teorema potentialelor nodurilor poate apli ata ir uitelor e ontin doarelemente ontrolate n tensiune si se obtine din relatiile (3.44) prin exprimareatensiunilor uk a diferente dintre potentialele vik si vfk ale apetelor laturilor:Xk2(n) Ik (vik vfk) + LXj=1Gnjvj = Xk2(n) j0k; n = 1; 2; :::; (N 1); (3.46)ne unos utele prin ipale ale a estei metode ind potentialele vk, k=1,2,...,(N-1)nodurilor ir uitului. O teorema de uni itate pentru solutiile unui ir uit neli-niar arma a da a un ir uit neliniar rezistiv este al atuit din elemente dipolareavand ara teristi i stri t monotone are satisfa proprietatea:limi!1 bU(i) = 1;surse independente de urent e nu formeaza se tiuni si surse independente detensiune e nu formeaza bu le (de i ir uitul nu are generatoare n ex es), atun i:a) ir uitul neliniar are solutie uni a;b) ara teristi ile de intrare sunt fun tii stri t monotone fata de ori e poartaa ir uitului; ) ara teristi ile de transfer u1 u2 si i1 i2 au panta subunitara.Teorema de uni itate pentru ir uitele neliniare monotone delimiteaza o lasade ir uite e au pun te de operare uni e, punand n evidenta anumite proprietatide monotonie ale ara teristi elor, utile n apli atii.Teorema de invarianta arma a ir uitele al atuite din elemente u a-ra teristi i u i invariabile n timp au ara teristi ile de intrare si transfer, fatade ori e poarta, invariante n timp. Teorema de invarianta permite redu ereaanalizei ir uitelor dinami e, invariabile, rezistive e sunt ex itate de surse vari-abile n timp, la problema determinarii ara teristi ilor de intrare si de transfer.De exemplu, e un ir uit la are ara teristi a de transfer u1 i2 este o fun tiei2 = T (u1), da a la poarta 1 se one teaza un generator ideal de tensiune ele -tromotoare e(t), atun i urentul din poarta 2 este i2 = T (e(t)).Teorema pasivitatii arma a subretelele neliniare al atuite din elementepasive transfera pe la borne o putere totala (3.42) nenegativa.158

3.5. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE NELINIAREUn rezistor neliniar este pasiv atun i and ara teristi a sa u i, u sensurileaso iate dupa regula de la re eptoare este uprinsa n adranele 1 si 3 ale planului(u; i), urmand a interse tia u axele sa se fa a n origine. Elementele de ir uit are nu sunt pasive se numes a tive. Un element de ir uit rezistiv pasiv nu poatetransfera putere spre ir uit. Exista elemente neliniare pasive are totusi la mi ivariatii sunt a tive, a easta proprietate avand apli atii importante n pra ti a(dioda tunel, tranzistorul, trioda, et .). Doua ir uite neliniare organizate amultipli se denes a e hivalente da a ele stabiles a eleasi relatii ntre urentiisi potentialele bornelor terminale.Teorema de e hivalenta arma a da a doua ir uite N1 si N2 sunt e hi-valente, atun i prin nlo uirea subretelelor N1 prin N2 ntr-o retea nu se modi atensiunile si urentii din interiorul retelei omplementare N (g. 3.26).N N1 2

a. b.

N NFig. 3.26.Apli area teoremei de e hivalenta permite simpli area analizei unui ir uitneliniar prin efe tuarea unor transgurari onvenabile. Pentru efe tuarea trans-gurarilor sunt utile urmatoarele observatii referitoare la e hivalenta ir uitelor.Un ir uit neliniar rezistiv, stationar, N este e hivalent, fata de o poarta, u unelement rezistiv dipolar (eventual a tiv) avand ara teristi a u i identi a u ara teristi a de intrare a ir uitului N (g. 3.27.a, b).AB sc

d.I

UUN

>

c.I

U

U

>

T

NU UB

A

B

AII

A

BB

A

U U

>

U

>

U

>

T

E=UJ=I

N

a.

b.I

U

U

>

IU

AB sc

AB0 Fig. 3.27.159

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIARETeorema lui Thevenin pentru ir uite neliniare arma a, fata de ori epoarta, un ir uit rezistiv este e hivalent u un element dipolar rezistiv pasivnseriat u un generator ideal de tensiune ele tromotoare UAB0 (g. 3.27. ).Teorema lui Norton pentru ir uite neliniare arma a, fata de ori e poarta,un ir uit rezistiv este e hivalent u un rezistor pasiv one tat n paralel u ungenerator ideal de urent ele tromotor IABs (g. 3.27.d).Teoremele de e hivalenta ale generatoarelor ideale. Sunt evidente de-oare e e hivalentele prezentate n gura 3.28, u onditia a N1 sa e ompatibil u generatorul ideal de urent (sa existe el putin un pun t de operare pe a-ra teristi a lui N1 are sa orespunda tensiunii e), iar N2 sa e ompatibil ugeneratorul ideal de tensiune.A

j

N

B

a.

j A

B

A

B

N 2

B

A

e e

b.Fig. 3.28.Teoremele lui Vas hy arma e hivalentele prezentate n gura 3.29, res-pe tiv faptul a o stea de generatoare ideale identi e si one tate identi fatade nodul entral este e hivalenta u o stea de ondu toare perfe te, iar o bu lade generatoare ideale de urent orientate similar este e hivalenta u o bu la deizolatoare perfe te.a.

e

e

ej

j

j

j

b.Fig. 3.29.Teoremele de substitutie arma a da a un element neliniar dintr-un ir- uit are pun tul de operare P0(u0; i0), atun i prin substitutia lui u: un generatorideal de tensiune ele tromotoare e = uo; un generator ideal de urent ele tromo-tor j = i0 sau un rezistor liniar de rezistenta R = u0=i0, multimea pun telor de160

3.5. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE NELINIAREoperare ale noului ir uit va ontine si pun tul de operare al ir uitului initial(g. 3.30).U0

i 0

u

iP.O.

UN

>

a.

N u0

i0

j=i0

u

i

UN

>

P.O.U0

j

c.

N u0

i0

R=u0

0i

u

i

UN

>

U0 P.O.

0i

d.

i 0

u

i

UN

>

P.O.e

b.

N u0

i0e=U

0N u

0

i0

U t

>

Fig. 3.30.Ca o onse inta a teoremei substitutiei rezulta a e uatiile urentilor i li i(2.55) si e uatiile potentialelor nodurilor (2.59) sunt valabile si n azul ir ui-telor neliniare, u onditia a rezistentele si ondu tantele e intervin n a estee uatii sa e rezistentele si ondu tantele stati e n pun tul de operare. Deoa-re e rezistentele si ondu tantele stati e depind de pun tele de operare, e uatiile(2.55) si (2.59) si pierd ara terul liniar. O alta onse inta a teoremei substitutieieste teorema transferului maxim de putere pentru elemente neliniare, arearma a o retea dipolara liniara si a tiva transfera putere maxima unui elementdipolar neliniar, da a n pun tul de operare elementul neliniar are rezistenta sta-ti a Rs egala u rezistenta e hivalenta a retelei pasivizate Rs = RAB0 (g. 3.31).u

U

>R.L.A.

A i

B

R=u0

0i

i 0

uE=U

0R

AB

AB0

0

U

II

0

0U

E

E/RAB0

c.

U

IE/RI

0

0U

U

>

b.

i 0

uE=U

0R

AB

AB0

0 U

>

Fig. 3.31.Teoremele de simetrie permit mi sorarea efortului de al ul n analiza ir uitelor ele tri e neliniare e prezinta simetrii. Fie doua ir uite identi e N 0161

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREsi N 00 one tate a n gura 3.32.a. Teorema de simetrie arma a intensitatile urentilor prin ondu toarele dire te i1; i2 sunt nule, iar tensiunile ntre relen ru isate sunt nule. In onse inta, analiza se redu e la analiza ir uitului N 0 one tat a n gura 3.32.b.N’ N"

1"

2"

3’ 3"

4"4’u

34=0

1’

2’

i1

i 2

=0

=0ax

a de

sim

etri

e

N’ N"

1"

2"

3’ 3"

4"

1’

2’

4’

a. b.Fig. 3.32.Da a ele doua ir uite identi e sunt one tate invers, un ir uit ind rastur-nat fata de elalalt, a n gura 3.33, atun i tensiunile u110 ntre bornele simetri e one tate dire t sunt nule, iar urentii i2; i3 prin bornele simetri e n ru isate suntnuli. In onse inta, analiza se redu e la analiza ir uituluiN 0 one tat a n gura3.33.b.N’

1"

2"

3’ 3"

4"4’u =0

1’

2’

14

N"i2=0

=03i

N’

1"

2"

3’ 3"

4"

1’

2’

4’

N"axa de

rasturnare

a. b.Fig. 3.33.In al atuirea ir uitelor ele tri e neliniare pot interveni pe langa elementeledipolare si elementele uadripolare de tipul surselor omandate, dar la are o-manda se fa e neliniar. La fel a n azul liniar pot exista patru tipuri de surse omandate neliniar, u deosebirea a n azul parametrilor de transfer ara teri-zarea se fa e prin fun tii neliniare de transfer, numite fun tii ara teristi e. Ingura 3.34.a. este prezentata o sursa de tensiune omandata neliniar de urent.162

3.5. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE NELINIAREe=f(i )1

i1

u2

i

u

e=1 u1i j=1 i.1

u=f(i)

.

u2

a. b.Fig. 3.34.Sursele omandate neliniar admit s heme e hivalente u surse omandateliniar si un rezistor neliniar a arui ara teristi a u i este hiar fun tia ara -teristi a a sursei omandate. In gura 3.34.b este prezentata s hema e hivalentaa sursei de tensiune omandata neliniar de urent. Sursele omandate neliniarsunt utile n stabilirea s hemelor e hivalente ir uitelor neliniare. De exemplu,un ir uit neliniar e are o ara teristi a de intrare u1 = T1(i1) fata de o poartaP1 si o ara teristi a de transfer u2 = T2(i1) ntre poarta P1 si poarta P2, poate e hivalat a n gura 3.35 (pentru i2 = 0) u un element neliniar u ara teris-ti a de intrare u = T1(i) si o sursa omandata neliniar la poarta de iesire avand ara teristi a de transfer e = T2(i).i2

uNj u1

i

T (i )

1i

j 1u

1 1

u2

e=T (i )2 1 2i =0

a. b.Fig. 3.35.Un exemplu de element de ir uit ele troni e admite o s hema e hivalenta u surse omandate neliniar este ampli atorul operational. S hemele e hiva-lente liniare ale ampli atorului operational, prezentate n gura 3.25, sunt vala-bile doar pentru valori mi i ale tensiunii de intrare, tensiunea de iesire u0 = A0uineputand depasi o anumita valoare maxima juo j um:S hema e hivalenta a ampli atorului operational u element neliniar esteprezentata n gura 3.36 si ontine, pe langa rezistenta de intrare Ri si ea deiesire Ro, o sursa de tensiune ontrolata de tensiunea de intrare ui, a arei a-ra teristi a de transfer este prezentata n gura 3.36. . In ve inatatea originii ara teristi ii de transfer, e = f(ui) este o dreapta avand panta egala u ampli-163

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIARE-

+

u

R 0

Oe=f(u )i

R i

i

b.

uiou

A.O.-

+ O

a. c.

e=f(u )im

m-U

U

u i

0panta AFig. 3.36. area n bu la des hisa Ao a ampli atorului. Tensiunea de iesire devine +Um,pentru ui > ", sau Um pentru ui < ". In a est az se spune a ampli- atorul este saturat superior respe tiv inferior. In ir uitele u rea tie pozitivaampli atorul operational se satureaza si nu poate utilizata s hema e hivalentaliniara din gura 3.27. . Modelul neliniar el mai simplu pentru ampli atoruloperational Ri ! 1; Ao ! 1; Ro = 0 este (g. 3.37), el e orespunde uneisurse de tensiune omandate n tensiune u ara teristi a u2 = Un sgn(u1).-U m

mUe(u )i

u i

b.

+

-

u

e=U sgn(u )

O

a.

i

im Fig. 3.37.Teorema dualitatii. Da a doua ir uite N si N 0 sunt duale unul altuia,atun i valorile urentilor ik si tensiunilor uk din laturile ir uituluiN sunt numeri egale u valorile din laturile duale, din ir uitul N 0 : u0k = ik; i0k = uk. Conditiane esara si su ienta pentru a un ir uit u elemente dipolare sa admita ir uitdual este a graful lui sa e planar.Urmatorul algoritm deneste ir uitul dual N 0 al unui ir uit dat N ontineurmatoarele etape:- se onstruieste graful orientat G al ir uitului N (se adopta regula de aso- iere a sensurilor de la re eptoare);- n interiorul e arui o hi [i al grafului G si n exteriorul grafului se plaseaza ate un nod (i) al grafului G0; 164

3.5. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE NELINIARE- se onsidera e are latura l din graful G, omuna o hiurilor [i si [j si setraseaza latura l0 n graful G0, unind nodurile (i) si (j);- se orienteaza laturile l0 ale grafului G0 astfel n at nodul de ple are a laturiil0 sa vada latura duala l orientata n sens trigonometri ;- se introdu e n e are latura l0 un element dual elementului din laturaaso iata l, onform tabelului de dualitate: urentul i tensiunea u0tensiunea u urentul i0rezistor neliniar u=f(i) rezistor neliniar i0=f(u0)rezistor liniar avand rezistor liniar avandrezistenta R[ ondu tanta G0generator independent generator independent avand u t.e.m. e(t) .e.m. j0(t)generator independent generator independent dede urent j(t) tensiune e0(t) ondu tor perfe t izolator perfe tizolator perfe t ondu tor perfe tlaturi serie laturi paralelramuri oarde oarde ramuribu le fundamentale se tiuni fundamentalese tiuni fundamentale bu le fundamentaleDe exemplu, un rezistor u rezistenta R = 7 are orespondent n ir uituldual un rezistor u ondu tanta G = 7S; un generator u t.e.m. e = 5V are orespondent in ir uitul dual un generator ideal de urent u j = 5A.165

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREPROBLEME3.5.1. Sa se analizeze si sa se dis ute numarul pun telor de operare pentru ir uitele din gura 3.5.1 pentru diferite valori ale parametrilor E; R1; R2. Va utilizat modelul de ampli ator operational din gura 3.37.E

V0

1R

2RE

1R

V0

2R

a. b.

+

-+

-Fig. 3.5.1.3.5.2. Sa se determine gra ara teristi a de intrare si ara teristi a detransfer pentru ir uitele neliniare prezentate n gura 3.5.2.U ,U

I

1 2U

U

1

2

>

>

c.

ui

I i

iE U2 u01U

a.

>

> i

I i

IU2

> U1

>

0U

b.

Fig. 3.5.2.3.5.3. Sa se determine ara teristi ile de transfer U1 U2 pentru ir uiteleprezentate n gura 3.5.3, utilizand ara teristi ile elementelor neliniare dipolareprezentate n gura 3.1.2. 166

3.5. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE NELINIAREU2U1 R

a.

U2U1

b.

R U1 U2

c.

R

R

1 2U

d.

U1 U2R

R

e.

U2UR

f.

U1Fig. 3.5.3.3.5.4. Sa se determine ara teristi a de transfer Vo(E) pentru ir uitele re-prezentate n gura 3.5.1.3.5.5. Sa se determine ara teristi ile de transfer uo(ui) ale ir uitelor repre-zentate n gura 3.5.4. Pentru ampli atorul operational va utilizata s hemae hivalenta din gura 3.26. Sa se parti ularizeze elementele neliniare prin diodesi diode Zener.u(i)>

+

-

R

u ui o

a.

u(i)>

+

-u ui o

R

b.Fig. 3.5.4.3.5.6. Sa se determine ara teristi ile de transfer uo(e) ale ir uitelor repre-zentate n gura 3.5.5.3.5.7. Sa se determine ara teristi a de transfer a puterii P = UI = f(E)pentru ir uitul neliniar reprezentat n gura 3.5.6.3.5.8. Sa se prezinte algoritmul iterativ Newton-Raphson de analiza a ir- uitelor neliniare utilizand tehni ile de s riere a e uatiilor (3.43)-(3.46). Sa sedetermine ir uitele liniarizate e hivalente, la e are, iteratie unui element dipo-lar neliniar. 167

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREb.

5Ve

10K

e

e

ou

a.

ou

Ω

Ω1KFig. 3.5.5.3.5.9. Sa se veri e bilantul puterilor pentru ir uitele analizate n problema3.1.12.U(I)

>

R =100Ω

R =100Ω

50ΩΩ50 U U

I

>

a.

U[V]

I[A]1-1 10

-10

d

d

b.

E Fig. 3.5.6.3.5.10. Sa se identi e ir uitele analizate n problemele 3.5.3 si 3.5.5 pentru are poate apli ata teorema de uni itate prezentata n breviar si sa se veri e on luziile teoremei.3.5.11. Sa se determine si sa se reprezinte gra modul n are variaza ntimp tensiunea uo(t) pentru ir uitele reprezentate n gura 3.5.7, da a tensiuneaele tromotoare apli ata este e(t) = Em sin(!t). Modelul de ampli ator adoptatva el din gura 3.36. Apli atie numeri a pentru valorile Em = 40V, E=10V.3.5.12. Sa se prezinte gra modul de variatie n fun tie de timp a tensiuniiU2(t) atun i and U1(t) = Umsin(!t) pentru ir uitele reprezentate n gura 3.5.3.3.5.13. Sa se determine valoarea urentului IB pentru are dipolul AB dingura 3.5.8 absoarbe putere maxima. Se va adopta pentru tranzistor modelul dingura 3.11, onsiderandu-se oe ientul de ampli are n urent = 50.3.5.14. Sa se identi e are sunt parametrii generatoarelor de are depind168

3.5. TEOREMELE CIRCUITELOR REZISTIVE NELINIARE urentii prin rezistoarele liniare ale ir uitelor din gura 3.5.9.u (t)o

a.

c.

e(t)u (t)+

-

+

-e(t)

+

-

d.

b.

+

-

o

u (t)

u (t)o

o

E

E

e(t)

e(t)Fig. 3.5.7.A

B

10mA1KΩ

1KΩI B

A

B

40V

10K

10 I

ΩKΩ B

a. b.Fig. 3.5.8.3.5.15. Sa se determine are sunt marimile ( urenti, tensiuni,potentiale) ese modi a n urma introdu erii ntr-un ir uit ele tri a unor generatoare esatisfa teoremele lui Va hy.3.5.16. Sa se substituie elementul dipolar neliniar AB al arui pun t deoperare a fost determinat n problema 3.5.13, printr-un rezistor, generator detensiune sau generator de urent.3.5.17. Sa se analizeze ir uitele reprezentate n gura 3.5.10 utilizand teo-rema simetriei. 169

3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE NELINIAREa. b. c.Fig. 3.5.9.

R

R

E

R

E

R

EE

R

b.a.

E

R R R

R

R R

E E E

R

R R

R

c. d.

E

E

E

E

RR R

RR

E E

EE

R R

R

R

f.e. Fig. 3.5.10.170