Cursuri Geodezie a 2 an III Sem.I

download Cursuri Geodezie a 2 an III Sem.I

of 143

Transcript of Cursuri Geodezie a 2 an III Sem.I

Page 1Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu3.9. Probleme de rezolvat pe elipsoidul de rotaie3.9.1. Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic micSe consider triunghiul elipsoidic mic ABC(fig.3.17), adic un triunghi a crui laturi nu depesc 60 km, n care unghiurile, amplasate pe o sfer medie Gauss13 de raz R, se consider a fi erori.Se pot calcula, din figur, suprafeele fusurilor sferice( ) , ( ) , ( ) AA BB CCfuncie de suprafaaSa triunghiului sferic considerat''' ' '( )( )( )A BCAB CABC A B CAA S SBB S SCC S S S S + + + +Prin adunarea celor trei relaii se obine"2S.(3.136)Aceleai suprafee se obin i prin intermediul relaiilor222( ) 4400( ) 4400( ) 4400ggggggAAA RBBB RCCC Rprin adunare rezultnd 22( ) ( ) ) ( )200g g ggRAA BB CC A B C+ + + + .(3.137)Prin egalarea relaiilor (3.136) i (3.137) se obine22 ( 200 ) 400 2g g g g gR A B C S + + + .Dacsenoteazcuexpresia dintreparantezeicu200 00 00cccc atuncise obine expresia de calcul a excesului sferic13 Raza sferei medii Gauss se determin cu valoarea medie a laturii celor trei puncte care formeaz triunghiul"2SFig.3.17. Excesul sferic154Page 2Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu2cc ccSR .(3.138)n cele mai multe situaii ntlnite n practica geodezic curent, suprafaaSa triunghiului elipsoidicmicsenlocuietecusuprafaa ' S atriunghiului plan, iardacse noteaz cu ' (prim) elementele triunghiului plan corespondent se pot obine urmtoarele relaii pentru determinarea excesului sferic2 2 2 2' ' ' sin ' ' ' sin ' ' ' sin '2 2 2cc cc cc cc ccS a b C ac B b c AR R R R .(3.139)Ceea ce trebuie reinut este faptul c ntr-un triunghi elipsoidic mic ntotdeauna suma unghiurilor este de 200g plus excesul sferic.3.9.2. Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice miciCa i n plan, i pe elipsoid se pune n discuie rezolvarea unor probleme de baz. Una dintreacesteasereferladeterminarealaturilor unui triunghi cndsecunoscunghiurile triunghiului i cealalt latur. Pentru rezolvarea acestei probleme se cunosc dou metode14:- Metoda Soldner sau metoda aditamentelor i- Metoda Legendre sau metoda dezvoltrilor n serie.Metoda SoldnerSe consider un triunghi situat pe o sfer medie Gauss n care se cunosc valorile unghiurilor ( , , ) A B Ci lungimea liniei geodezice a. Trebuie s se determine valorile celorlalte dou laturi ale triunghiului, b i c.Metoda propus de Soldner pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic (care este aproximat ca un triunghi sferic) este cea de a nlocui triunghiul elipsoidic cu un 14 Exemple de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici att prin metoda Soldner ct i prin metoda Legendre, pe elipsoidul Krasovski i pe elipsoidul WGS 84, pot fi urmrite n cadrul paragrafului 8.2.1.9.BFig. 3.18. Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda SoldneraR bR cR RCA' c' b155Page 3Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescutriunghi planncaressepstreze unghiurile dar n care se modific laturile.Trebuie deci s se determine relaia de calcul a coreciei care trebuie aplicat laturii cunoscute pentru a obine valoarea ei n triunghiul plan dup care se rezolv triunghiul plan deducndu-se valorile celorlalte dou laturi. n final, prin intermediul relaiei deduse, urmeaz s se determine valorile celor dou laturi n triunghiul elipsoidic mic.Pe sferamedie, carenlocuiete pesuprafee mici elipsoidul derotaie, teorema sinusurilor este reprezentat prin relaiilesin sin sinsin sin sin A B C .Din prima egalitate a relaiei de mai sus i prin dezvoltarea n serie a funciei sinus (relaia (1.8)) se obine3232sinsin sin6sin sinsin6a aaAR Rbb BbRR .n triunghiul plan, prin aceeai teorem, se obinesin 'sin 'A aB b .Avnd n vedere c s-a considerat c unghiurile n cele dou triunghiuri sunt egale, din ultimele dou relaii se deduce c32'6aa aR i 32'6bb bR sau, n general32'6sss s s AR .(3.140)MrimeasAse numete aditamentul liniar al laturiis, de unde rezult a doua denumire sub care este cunoscut metoda: metoda aditamentelor.Etapelecaretrebuiesfieurmritepentrurezolvareatriunghiului elipsoidicmic constau n efectuarea, n ordine, a urmtoarelor calcule15:15ExempluderezolvareatriunghiurilorelipsoidicemiciprinmetodaSoldnerestedatncadrulparagrafului 8.2.1.9.1.156Page 4Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu- calculul excesului sferic cu una din relaiile (3.139);- compensarea unghiurilor n triunghiul elipsoidic mic prin calcularea nenchiderii i repartizarea ei, n mod egal, celor trei unghiuri:* * *( ) (200 )gw A B C + + +*3 * *; ;3 3w wA A B B C C fw ,unde cu * * *, , A B Cs-au notat valorile unghiurilor reduse pe suprafaa elipsoidului de referin;- calculul aditamentului liniar al laturii a i apoi a valorii laturii n triunghiul plan;- cuacestevalori calculatesedeterminaditamenteleliniarealecelorlaltedou laturi i apoi mrimea lor n triunghiul elipsoidic mic.3.9.2.2. Metoda Legendren cadrul acestei metode, denumite i metoda dezvoltrilor n serie, se presupune c untriunghi sferic mic se poate rezolva ca un triunghi plan dac se pstreaz egalitatea laturilor celor dou triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obin prin micorarea fiecrui unghi cu cte o treime din excesul sferic.Elementelecaresecunoscicelecareurmeazasedeterminasuntaceleaicala metoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici.Pentrudeterminarea teoremei enunatemai sus, pentrunceput, se scrieteorema cosinusului n triunghiul sferic considerat (o particularizare a relaiei (1.12))cos cos cos sin sin cos A +de unde rezult' BFig. 3.19. Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda LegendrebR cR R' C' Acba157Page 5Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu

cos cos coscossin sinA .(3.141)Utiliznddezvoltareanseriea funcieicos,relaia (1.9), i neglijnd termeniide gradul V i mai mari, pentru numrtorul relaiei de mai sus se deduce2 4 2 4 2 4cos cos cos 1 1 12 24 2 24 2 24 | `| ` + + +

. ,. ,,iar prin efectuarea calculelor, n condiiile propuse, se obine2 2 2 4 4 4 2 26cos cos cos2 24 + + + .(3.142)naceleai condiii, prindezvoltareanserieafunciei sin , relaia(1.8), pentru numitorul relaiei (3.141) se obine expresia2 2sin sin 16 | ` + . ,sau

12 2 2 21 1 11 1sin sin 6 6 | ` | ` + + + . , . ,.(3.143)Avnd n vedere relaiile (3.142) i (3.143), relaia (3.141) devine2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 22 2 2cos2 24A + + + + +iar dac se au n vedere laturile triunghiului sferic2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 222 2 2cos2 24a b c a b c a b a c b cAbc bcR + + + + +(3.144)n triunghiul plan corespondent, din teorema cosinusului rezult2 2 2cos '2a b cAbc + + ,(3.145)iar dac se calculeaz i valoarea sinusului4 4 4 2 2 2 2 2 22 22 22 2 2sin ' 1 cos '4a b c a b a c b cA Ab c+ + .(3.146)Revenind la relaia (3.144) se obine221cos cos ' sin '6A A bc AR .(3.147)158Page 6Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel BadescuDin egalitatea ' ( ') A A A A + prin dezvoltri rezult1cos cos ' ( ') sin 'ccccA A A A A ,ceea ce nseamn c2 2cos ' cos 1 1 '( ') sin 'sin ' 6 3cc cc cc ccA A SA A bc AA R R sau( ')3ccccA A .(3.148)n acest fel afirmaia din propoziia iniial a fost demonstrat.Etapele care trebuie s fie urmrite pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prin metoda dezvoltrilor n serie constau n efectuarea, n ordine, a urmtoarelor calcule16:- calculul excesului sferic cu una din relaiile (3.139) calculnd nite valori provizorii pentru laturile triunghiului plan;- compensarea unghiurilor n triunghiul elipsoidic mic prin calcularea nenchiderii i repartizarea ei, n mod egal, celor trei unghiuri;- calcululunghiurilorntriunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din excesul sferic;- calculul celorlalte laturi n triunghiul plan care, conform teoremei, sunt egale cu cele din triunghiul sferic.3.9.3. Transport de coordonaten capitolul anterior s-a prezentat modalitatea de a rezolva unele din problemele care apar pe elipsoidul de rotaie i anume acele probleme n care elipsoidul de rotaie poate fi aproximat cu o sfer medie Gauss (triunghiuri a cror laturi nu depesc 60 km). Ca i n plan, pentru diversele calcule care se fac (n special prelucrri ale observaiilor) este nevoie de coordonate. Pentru a determina aceste coordonate se pun dou probleme fundamentale:- problemageodezicdirectcndsecunosccoordonatelegeodezicealeunui punct, lungimea liniei geodezice ctre alt punct precum i azimutul acestei direcii i sedetermincoordonatelegeodezicealecelui de-al doileapunct precumi valoarea azimutului invers.16 Exemplu de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Legendre este dat n paragraful 8.2.1.9.2.159Page 7Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu- problemageodezicinverscndse cunosc coordonatele geodezice adou puncte i se caut determinarea lungimii liniei geodezice dintre cele dou puncte i a azimutelor (direct i invers).n prezenta lucrare, din punct de vedere teoretic, sunt prezentate i demonstrate cteva din posibilitile de rezolvare a problemelor geodezice pe elipsoidul de rotaie. n capitolul 8 al lucrrii, paragraful 8.2.2., sunt prezentate exemple de calcul i relaii utilizate pentru toate cazurile posibile:- metoda Legendresau adezvoltrilor n serie pentru cazul distanelor mici (mai mici de 60 km);- metoda Gauss sau a argumentelor medii pentru distane medii (mai mici de 600 km);- metoda Bessel mbuntit de Helmert pentru distane mari (mai mari de 20000 km).3.9.3.1. Problema geodezic directSe consider dou puncte1Si2Ssituate pe elipsoidul de rotaie. Se cunosc coordonatele geodezice 1 1, B L ale punctului 1S, lungimea s a liniei geodezice dintre cele dou puncte precum i azimutul A1 a liniei geodezice (fig.3.20).Prin rezolvarea problemei geodezice directe se vor determina coordonatele geodezice 2, 2 B L ale celui de-al doilea punct precum i azimutul invers 2A.Pentru rezolvarea acestei probleme se cunosc dou metode: metoda dezvoltrilor n serie i metoda argumentelor medii.Fig.3.20. Problema geodezic directa) b)160Page 8Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu3.9.3.1.1. Metoda dezvoltrilor n serieDeoarece diferenele de latitudine, longitudine i azimut ntre punctul cu coordonate cunoscute1Si unpunct oarecare2Sdepinddelungimealiniei geodezice, seaccept urmtoarele dezvoltri n serie MacLaurin (particularizarea relaiei (1.7)) 2 2 3 32 1 2 311 12 2 3 32 1 2 311 12 2 3 32 12 311 12 62 62002 6gB B s B sB B ss s sL L s L sL L ss s sA A s A sA A ss s s| ` | ` | ` + + + + . ,. , . ,| ` | ` | ` + + + + . ,. , . ,| ` | ` | ` t + + + + . ,. , . ,KKK (3.149)Termenii, pnla3s inclusiv, aiacestordezvoltri aufost dedui deLegendren 1806, de unde provine cea de-a doua denumire a metodei: metoda Legendre.Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaiile de mai sus se consider triunghiul elipsoidic mic 1' '' S SS (fig.3.20.b) unde 1 1 1'' cos S S ds A M dB , deci

31 111 1coscosA V BAs M c| ` . ,.(3.150)n acelai triunghi elipsoidic mic1' '' sin cos SS ds A r dL N BdL ,deci 1 111 1 1 1sinsincos cosA V LAs N B c B| ` . ,.(3.151)Din relaia Clairaut (3.125) se poate deduce161Page 9Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescusin sinsin tancosdA dL A AB BdL ds N B N ,iar dac, n continuare, se noteaztan B t se obine1 11 1 11 1sin sint V AA t As N c| ` . ,.(3.152)Urmeaz s se determine derivatele de ordinul II22 3213 cos sinB dV AV A A Vs c dB s | ` . ,.Dac se noteaz ' cos e B prin derivarea funciei Vi prin nlocuirea 24cMNVse deduce relaia de calcul a derivatei de ordinul II22 2 2 11 1 1 21 11(3 cos sin )t BA As M N| ` + . , (3.153)Cu notaiile5 51 1cos 10 ; sin 10 u s A v s A ,n limitele aproximaiilor fcute, se obin expresiile de calcul pentru coordonatele geodezice ale punctului 2S i a azimutului invers2 22 1 10 20 022 1 012 1 01( ) ''( )"200 ( )"gB B bu bu b vL L l vA A a v + + + + + + t + +KKK (3.154)unde 35 1102 410 1 1 120 2410 1 10225 10115 1 10110 "310 "2110 "210 "cos10 "Vbct Vbct VbcVlc BVtac MM (3.155)162Page 10Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel BadescuPreciziarezultatelorobinutedepinde denumrul termenilorluai n considerarela dezvoltarea n serie: mai muli termeni rezultate mai precise.3.9.3.1.2. Metoda GaussAceast metod a fost elaborat de Gauss i ea poate fi aplicat pentru distane mici i medii, adic pentru distane mai mici de 600 km. Metoda se mai numete metoda argumentelor medii pentrucutilizeaz valorilemedii alelatitudinilor, longitudinilor i azimutului.Prin aceast metod se caut s se determine valorile argumentelor medii 2 1 2 1 2 1; ; 200gb B B l L L A A A m ,(3.156)ncare argumentele medii sunt funcie de valorile medii ale latitudinii, longitudinii i azimutului, adic123( , , )( , , )( , , )m m mm m mm m mb f B L Al f B L AA f B L A Procesul dedeterminareaargumentelormedii esteunprocesiterativ, ntr-oprim iteraie ele determinndu-se cu ajutorul unor valori aproximative pentru elementele necunoscute nc, valori care pot fi luate i de pe hart.Se alege un punctCla jumtatea arcului1 2S S. PunctulM, situat la latitudinea medie se afl la sud de punctul C pentru c pol ecuatorM M > i decipol 1 minut ecuator 1 minut( ) ( )m ms s > .Latitudinile, longitudinile celor dou puncte considerateprecumi azimutul direct i inverspot fi exprimatenraport decoordonatelepunctuluiCi a azimutului din acest punct al liniei geodezice prin dezvoltri n serie MacLaurin de formaFig.3.21. Metoda argumentelor medii163Page 11Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu2 2 3 32 2 32 2 3 32 2 32 2 3 32 2 32 8 482 8 482 8 48CCC CCCC CCCC Cs B s B s BB Bs s ss L s L s LL Ls s ss A s A s AA As s s| ` | ` | ` + + + + . ,. , . ,| ` | ` | ` + + + + . ,. , . ,| ` | ` | ` + + + + . ,. , . ,KKKsau2 3' " "'22 3' " "'22 3' " "'22 8 482 8 482 8 48C C C CC C C CC C C Cs s sB B B B Bs s sL L L L Ls s sA A A A A + + + + + + + + + + + +KKK (3.157)2 3' " "'12 3' " "'12 3' " "'12 8 482 8 482 8 48C C C CC C C CC C C Cs s sB B B B Bs s sL L L L Ls s sA A A A A + + + + + + + + + + + +KKK (3.158)Avnd aceste relaii, se pot determina argumentele medii 3' "'2 13' "'2 13' "'2 1242420024C CC CC Csb B B sB Bsl L L sL LsA A A sA A + + + + + +KKm K (3.160)Dinaceleai relaii (3.157)i (3.158)sepot deduceexpresiilenecesarecalculului valorilor medii ale coordonatelor geodezice i azimutul funcie de elementele care caracterizeaz punctul C2 2" " 1 22 2" " 1 22 2" " 1 22 8 82 8 82002 8 8m C C C mm C C C mgm C C C mB B s sB B B B BL L s sL L L L LA A s sA A A A A+ + ++ + +t + + + (3.161)164Page 12Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescun continuare se calculeaz derivatele, pentru nceput cele de ordinul I, plecnd de la relaiile cunoscute (3.65), (3.66) i (3.125)

'''cossincossin tanCCC CCCC C CC CCC CA BBs MA LLs N BA B AAs N | ` . ,| ` . , | ` . , (3.162)Dinrelaiiledemai sussepoateobservacderivateledeordinul Inudepindde longitudineci numai delatitudinei azimut, funcii carepot fi exprimatei nraport de valorile medii ale latitudinii i azimutului. tiind c, n general0 0' '0 0 0 0( , ) ( , )x yf x hy h f x y h f k f + + + + + K,atunci, de exemplu, pentru derivata de ordinul I a latitudinii se poate scrie''( , ) '{ ( ), ( )}C C C m C m m C mB B B A B B B B A A A + + i deci

' '' '' '' '( ) ( )' '( ) ( )' '( ) ( )C m C m C mm mC m C m C mm mC m C m C mm mB BB B B B A AB AL LL L B B A AB AA SA A B B A AB A | ` | ` + + + . , . , | ` | ` + + + . , . , | ` | ` + + + . , . ,KKK (3.162)

3' ' " "3' ' " "3' ' " "' '8' '8' '8C m m mm mC m m mm mC m m mm ms B BB B B AB As L LL L B AB As A AA A B AB A | ` | ` +' ' . , . , | ` | ` +' ' . , . , | ` | ` +' ' . , . , (3.163)Lundnconsiderarenumai derivateledeordinul I, seobinurmtoareleexpresii pentru argumentele medii165Page 13Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu 3'13'23'3( , )8( , )8( , )8m m mm m mm m msb s B B Asl s L B AsA s A B A + + +KKK (3.164)iardacseiaunconsiderareicelelalte derivate se obin expresiile generalede calcula argumentelor medii (exprimate n secunde sexagesimale)

2 1 12 1 22 1 3" ( )" cos [1] (1 )" ( )" sin [2] sec (1 )" ( 200 )" sin [2] tan (1 )m mm m mm m mb B B s Al L L s A BA A A s A B + + + + t + +KKK (3.165)n care" "[1] ; [2]m mm mM N i1 2 3, , ,[1] ,[2]m m sunt funcii de, ,mb l Badic de necunoscutele cutate. Aceasta nseamn c determinarea lor este posibil printr-un proces iterativ.3.9.3.2. Problema geodezic invers3.9.3.2.1. Metoda argumentelor mediiPentru rezolvarea problemelor geodezice prin metoda argumentelor medii, se consider dou puncte1Si2Ssituate pe elipsoidul de rotaie (fig.3.20). Se cunosc coordonatele geodezice 1 1, B L ale punctului 1S i coordonatele geodezice 2 2, B L ale punctului 2S. Trebuiedeterminate, prinrezolvareaproblemei geodeziceinverse, lungimeasaliniei geodezice dintre cele dou puncte precumi azimutul direct1Ai invers2Aa liniei geodezice.Cu elementele cunoscute se pot determina direct valorile funciilor1 2 3, , , [1] ,[2]m m din relaia (3.165) precum i valorile argumentelor1 22 1 2 1( )"; ( )";2mB Bb B B l L L B+ .Rezolvareaproblemei geodeziceinverse prinmetodaargumentelormediiconstn calculul, pentru nceput, a valorilor166Page 14Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu1211cossin (1 ) ,[2]cos (1 ) ,[1]mmmmmBs A lbs A + + (3.166)dup care se poate determina, prin mprirea celor dou relaii de mai sus, valoarea azimutului mediu12[1] 1 1arctan cos[2] 1mm mmA Bb + ' '+ .(3.167)ncontinuare, cuunadinrelaiile(3.166)sau, pentrucontrol, cuambele, sepoate calcula lungimea liniei geodezice.nfinal, cuultima relaie din(3.165) se calculeaz diferena de azimut i apoi azimutul direct i invers.3.9.3.3. Formule diferenialeFormulele difereniale, n geodezia elipsoidal, sunt acele relaii prin care se exprim variaia coordonatelor geodezice ale punctuluiiScucantitileidBiidL, precumi azimutuliAaunei linii geodezice, caretreceprinpunctul considerat, cucantitateaidA. Aceste variaii se datoreaz unor modificri care intervin n datele iniiale, adic modificarea coordonatelor geodezice ale punctului iniial 1S i a azimutului iniial 1A, ale liniei geodezice 1s, cu mrimile 1dB, 1dL, 1A i 1ds.Coordonatele punctuluiiSi azimutul sunt funcie de datele iniiale ale reelei i de elipsoidul de rotaie utilizat (elipsoidul de referin), caracterizat prin parametrii si semiaxa mare i turtirea geometric1 1 1; ; 200gi i iB B B L L L A A A + + + t .(3.169)Formulele diferenialepotfiexprimatesubform generalcadiferenialetotalen funcie de variabilele specificate167Page 15Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu1 1 1 11 1 11 1 1 11 1 11 1 1 11 1 1iiiB B B B BdB dB dB ds dA da dfB s A a fL L L L LdL dL dL ds dA da dfB s A a fA A A A AdA dA dB ds dA da dfB s A a f + + + + + + + + + + + + + + + (3.170)Funcie de unde apar modificri, formulele difereniale pot fi- decategoriaIcndaparmodificri ndateleiniiale(lungimeai azimutul laturii de plecare, i coordonatele geodezice ale punctului iniial);- decategoriaaII-acndaparmodificri nparametri elipsoiduluiderotaie (trecerea de la un elipsoid la altul).3.9.3.3.1. Formule difereniale de categoria I3.9.3.3.1.1. Formule difereniale de categoria I n cazul distanelorde pn la 200 250 kmSe consider dou puncte pe elipsoidul de rotaie 1 1 1( , ) S B L i 2 2 2( , ) S B L situate la distana s unul de cellalt (fig.3.22), cu 1 1 2A A i 2 2 1A A notndu-seazimutul direct i, respectiv, inverspentrudirecia considerat.Pentru nceput, se presupune c exist modificri n datele iniiale, adic latitudinea, azimutul i lungimea laturii s-au modificat cu nite cantiti mici 1 1, dB dAi ds . Trebuie s se determine care este influenaacestormodificri survenitencoordonatele punctului2Si a azimutului2A. Cu alte cuvinte, trebuie s se determine valorile 2 2, dB dL i 2dA.n condiiile date i prin particularizarea2 irelaiile (3.170) devinFig.3.22. Formule difereniale168Page 16Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu 2 2 22 1 1 11 1 12 2 22 1 1 1 11 1 12 2 22 1 1 11 1 1B B BdB dB ds dAB s AL L LdL dL dL ds dAB s AA A AdA dB ds dAB s A + + + + + + + (3.171)Pentru deducerea elementelor menionate, se consider punctul'1S de latitudine 1 1B dB + i longitudine 1L, situat pe acelai meridian ca i punctul iniial (fig.3.22). Se rotete linia geodezic 2 1S Spn cnd trece prin punctul'1S . n urma acestei rotaii punctul1Sva ocupa poziia "1S . n continuare se deplaseaz punctul "1Sn '1S , pe linia '1 2S S , pstrndu-se lungimea liniei geodezice s. n acest fel punctul 2S se deplaseaz n "2S . Se rotete acum linia geodezic ' "1 2S S pn cnd se obine o valoare a azimutului egal cu cel iniial 1A. n aceast situaie, diferenadelatitudine dintrepunctele2Si"2S vafi211BdBBi eareprezint contribuia modificrii latitudinii punctului iniial ncorecia totalcaretrebuieaplicat punctului.Din figura 3.22 se poate deduce c " " '2 2 1 1 1 1 1"1 1 1 1 1cossinS S S S M dB AS S M dB A (3.172)Diferenele de latitudine dintre punctele " '2 2S Si, respectiv, '1 1S Spot fi determinate cu ajutorul relaiilor utilizate la rezolvarea problemelor geodezice directe (3.149), (3.150), (3.151) i a relaiilor de mai sus (3.172)" '2 2'1111 1 2211 1 22cos cos ,sin cos .S SSSMB B dB A AMMB B dB A AM n ipotezele prezentate, se poate considera egalitatea " " '1 1 2 2S S S S , deci2 11 1 1 2 1 21 2(cos cos sin sin )B MdB dB A A A AB M +.(3.173)169Page 17Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel BadescuSe consider, n continuare, c triunghiul 1 2S PS este un triunghi sferic. Din teorema cosinusului, relaia (1.2), rezult1 2 1 2cos cos cos sin sin cos l A A A A ,unde cu a fost notat latura 1 2S S.Dac se considercos 1 atunci relaia (3.173), care exprim contribuia variaiei latitudinii, devine 2 11 11 2cosB MdB l dBB M .(3.174)n continuare, n mod asemntor, se poate determina care este contribuia modificrii latitudinii punctului iniial n coordonatele celui de-al II-lea punct considerat (n longitudine). Se poate observa, din aceeai figur 3.22, c 2 1L L l + i deci 2 1dL dL dl +. Prin analogie cu relaiile precedente, utiliznd relaiile (3.149) i (3.151), se poate deduce2 1 1 1 2 1 1 1 211 2 2 2 2cos sin sin coscos cosL M dB A A M dB A AdLB N B N B + 11 1 2 1 22 2(cos sin sin cos )cosMdB A A A AN B .Din acelai triunghi sferic rezult2 2 1 2 1sin sin sin cos cos sin cos B l A A A A +sau2 1 2 1 2sin sin cos sin sin cos cos B l A A A A .n condiiile n care se consider, ca i n cazul precedent,cos 1 se obine relaia de calcul a valorii contribuiei n longitudinea punctului 2S a modificrii n latitudine.

2 11 2 11 2sin tanL MdL l B dBB N.(3.175)Ultimacontribuieamodificrii latitudinii punctului iniial cuocantitatemicce trebuie calculat este cea a azimutului invers.Se tie c azimutul invers difer de azimutul direct cu 200gla care se adaug o valoare datorat convergenei meridianelor, notat cu t n relaiile de mai jos, adic2 1200gA A t t + .170Page 18Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescuntr-untriunghi elipsoidicmic, cacel dinfigur, se poate scrie relaia2sin cot tan B l t de unde rezult2tan tan sin t l B .Prin diferenierea acestei relaii se obine2 2 2 2 2sin tan coscos cosdt dtB l B dBt l + .Presupunnd 2cos 1 t , relaia de mai sus devine2 2 2sin tan cos dt dl B l B dB +,sau prin considerarea relaiilor (3.175) i (3.174)2 2 2 2 21 2 2 2 11 2sin[(1 cos )sin cos ]cosA ldB e B B B dBB B +.n final, prin efectuarea calculelor din paranteze, se ajunge la expresia2 2 2 21 2 2 11 2sin(1 sin cos )cosA ldB e B B dBB B .(3.176)nceleprezentatepnacums-adeterminat influenapecareoaremodificarea latitudinii punctului iniial1Sn coordonatele punctului2Si n azimutul invers. n continuaresecautssedetermineinfluenamodificrii lungimii liniei geodezicecuo cantitate mic"'2 2( ) ds ds S S , latitudinea punctului iniial i azimutul direct rmnnd neschimbate, ncoordonatelepunctului2Si azimutul invers. nacesteipoteze, variaia latitudinii celui de-al doilea punct este egal cu diferena de latitudine dintre punctele 2Si "'2S .Azimutul liniei"'2 2S S este egal cu2200gA i conformrezolvrii problemei geodezice directe, relaia (3.165) n care se consider numai primii termeni ai dezvoltrii 22 2 22cos cos [1]ccBds A ds A dsds M .(3.177)Asemntor se face raionamentul i pentru determinarea influenelor n longitudine i azimutul invers, rezultnd171Page 19Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu 2 222sin[2]cosL Ads dsds B ,(3.178) 22 2 2sin tgB [2]Ads A dsds .(3.179)Ultimul pascaremai trebuiefcut esteacelaal determinri influenei modificrii azimutului 1A cu valoareadA, aceast modificare producnd deplasarea punctului "2Sn '2S .n plan, lungimea curbei " '2 2S Sse determin cu o relaie de forma" '2 2 1S S s dA .Pentru elipsoidul de rotaie, cazul prezentat, aceast relaie de determinare a lungimii curbei se transform n" '2 2 1S S du mdA ,(3.180)n care m reprezint lungimea redus a liniei geodezice, adic o valoare pentru care relaia de mai sus este adevrat.Avnd n vedere faptul c valorile coreciilor difereniale ce se calculeaz sunt mici se poate, n continuare, pentru zona aflat n studiu, aproxima figura Pmntului cu o sfer de razmedieR. naceastsituaiesepoateaplica, ntriunghiul sfericconsiderat, teorema sinusului, relaia (1.11)1sin sinsin sin100gdu sR RdA,iar dac se are n vedere faptul c pe lng corecia diferenial 1dAi valoarea duRare o valoare mic se deduce c1sin sdu RdAR .(3.181)Prin egalarea relaiilor (3.180) i (3.181) se obine expresia cu care se poate calcula valoarea redus a liniei geodezicesin sRRm .(3.182)172Page 20Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel BadescuVariaia latitudinii punctului2Sdatorit variaiei azimutului1Ava fi egal cu diferenadelatitudinedintrepunctele" '2 2S S i princonsiderarearelaiei ' "2 22300gSSA A + rezult

21 2 2 11sin [1]BdA m A dAA (3.183)i analog

2 21 2 11 2sin[2]cosL m AdA dAA B .(3.184)Valoarea 211AdAA, adic influena azimutului invers provocat de variaia n azimutul direct, se deduce plecnd de la constatarea c ea este alctuit din dou componente:- din corecia 1dA raportat la lungimea corectat a liniei geodezice 1dmdAds;(3.185)- dincoreciadatoritvariaiei convergenei meridianelor, variaieprovocatde deplasarea punctului 2S ca urmare a variaiei azimutului direct.Se consider linia geodezic1 2S S (fig.3.23). Prin variaia azimutului direct 1A cu cantitatea1dApunctul2Sse vadeplasa n poziia ' '2 2 2 1( ) S S S mdA .n situaia n care2 1200gA A A A + rezult22 2 2 2 11sin cos [2] tanLdA d A dA B m A B dAA deci n final calculul coreciei totale se poate efectua printr-o relaie de forma 21 1 2 2 2 11cos [2] tanA dmdA dA m A B dAA ds .(3.186)Avnd n vedere relaia (3.182), expresia de mai sus se mai poate scrie sub formaFig.3.23. Corecia datorat variaiei convergenei meridianelor173Page 21Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescucosdm sds R ,i deci21 1 2 2 2 11cos sin cos [2] tanA s sdA dA R A B dAA R R .(3.187)O expresie simplificat se poate obine dac se fac urmtoarele aproximaii22cos 12sins sR RR NsR sR n acest caz, relaia (3.187) se mai poate scrie sub forma

221 1 1 2 2 1 21 2[2] tan2A sdA dA dA s B dAA N .(3.188)Prin nlocuirea relaiilor (3.174), (3.175), (3.176), (3.177), (3.178), (3.179), (3.183), (3.184) i (3.187) n relaia (3.171) se obin expresiile de calcul a diferenialelor n coordonate geodezice ale punctului 2S i a azimutului invers.1 22 1 2 12 2 21 2 22 1 2 1 12 2 2 2 22 2 2 22 2 2 1 22 222 2 22 2coscos sin sinsin cossin tan sincos cossin sin(1 sin cos ) tancos1 cos tan2cc cccc ccccM A R sdB l dB ds A dAM M M RM A A R sdL dL l B dB ds dAN N B N R BA ldA e B B dB B dsB Ns sA BN N + + +| `+ . ,1dA (3.189)3.9.3.3.1.2. Formule difereniale la categoria I n cazul distanelor mici(40 50 km)n cazul distanelor mici formulele difereniale de categoria I, date de relaiile (1.189), pot fi simplificate prin aproximarea figurii Pmntului cuosfer i prin considerarea egalitii ntrelungimea redusaliniei geodezice i lungimealiniei geodezice( ) m s . Conform acestor aproximri, se deduc urmtoarele:174Page 22Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu- n cazul unei sfere razele de curbur a elipselor meridiane (acum cercuri) n cele dou puncte considerate sunt egale 1 2( ) M M , deci relaia (3.174) devine21 11cosBdB l dBB . (3.190)- Relaia (3.175) devine21 2 11sin tanLdL l B dBB.(3.191)- Considernd c Pmntul este aproximat cu o sfer nseamn c prima excentricitate numeric este zero ( 0) e deci relaia (3.176) se va scrie astfel21 11 2sincosA ldB dBB B.(3.192)- n situaia acceptrii aproximaiilor propuse, raza de curbur a elipsei meridiane ce trece prin cel de-al doilea punct este egal cu raza sferei 2( ) M R , relaia (3.177) transformndu-se n relaia22cosccBds A dsds R .(3.193)- Din aceleai considerente, relaiile (3.178) i (3.179) devin2 22sincosccL Ads dsds B R ,(3.194)

22 2sin tgccAds A B dsds R .(3.195)- Dacnrelaia(3.183)seconsider, nbazaacelorai aproximaii,1M R se obine21 2 11sinB sdA A dAA R .Se consider triunghiul sferic 1 2S SP. Pe meridianul punctului 1S se alege punctul C astfel nct linia geodezic ce trece prin punctele 2S i C s aib n punctul C azimutul egal cu 100g (figura de mai jos).175Page 23Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel BadescuDac se noteazsR , din triunghiul 1 2S S C rezultsR .Din triunghiul 2CPS se poate deduce c2sin cos sin c B l sau2cos sin c B l .Cu aceste relaii se calculeaz21 2 1 2 11 1sin sinsinB cdA A dA A dAA A sau

21 2 11sin cosBdA l B dAA .(3.196)- nrelaia(3.184) dacseconsider2 1sinm cN A i2sin cos c l B , aceasta devine2 2 2 2 21 1 1 11 2 1 2 1 2cos cos sin cos coscos sin cos sin cosL A A l B A cdA dA dA dAA B A B A B deci 2 21 11 1cossinsinL AdA l dAA A .(3.197)- Prin aproximaiile acceptate i utilizarea notaiilor de mai sus, relaia (3.187) mai poate di scris sub forma2 2 2 21 2 2 1 11 2cos cos sin cos sin(cos sin cos tan )cosA B A BdA A B dA dAA B .Din triunghiul 1 2S SP, prin teorema cosinusului se obine1 2 2 2cos cos cos cos sin cos sin B l B A B deci900 B1 l S1 S2 c900 B2 C s R O P176Page 24Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu2 11 11 2cos coscosA B ldA dAA B.Avnd n vedere egalitile01 1 202 2 1cos sin(90 ) sincos sin(90 ) sinB B AB B A ,se obine relaia final

2 21 11 1sincossinA AdA l dAA A .(3.198)Prin considerarea acestor ultime expresii, se pot deduce, pentru cazul studiat, formulele difereniale de ordinul I2 1 1 122 1 2 1 1122 1 12 1cos cos sincossin tan sinsinsin sincoscos sindB ldB B ldAAdL dL l B dB l dAAA ldA dB l dAB A + KKK (3.199)3.9.3.3.2. Formule difereniale de categoria a II-aAceste formule se utilizeaz atunci cnd trebuie s se treac de la coordonatele B i L de pe un elipsoid definit de parametrii 1a i 1f la aceleai coordonate dar pe un alt elipsoid caracterizat de parametrii2ai2f. Ca i n cazul formulelor difereniale de categoria I, se cunosc relaiile aplicabile n cazul distanelor de pn la 6000 km (deduse de Krasovski), la distane de 600 800 km (deduse de Helmert) i relaii, n care aproximaiile acceptate sunt mai mari, pentru distane de 40 50 km.n cazul schimbrii elipsoidului de referin, formulele se determin prin diferenierea primilor termeni din relaiile (3.165). Din prima expresie a acestor relaii se poate scrie"2S.Prin difereniere se obine177Page 25Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu2 2 3/ 22 22 2 2 1/ 2 2 2 2 3/ 2 22(1 sin ) 1" cos "13(1 ) (1 sin ) sin (1 sin )12(1 )mmm m me Bdb s A daa ee e B Bde e B dea e +' + +'sau2 2 3/ 2 2 222 2 2 2cos (1 sin ) 3" sin(1 ) 2 1 sin 1m mmms A e B da de dedb Ba e a e B e +' ' .innd cont de relaia iniial i de aproximaiile 2 22 , e f de edf rezult c22 2 23sin 2" "1 1 sinmmB dadb b dfa e e B ] +' ' ] ] .Prin eliminarea numitorilor21 e i2 21 sinme B , din relaia de mai sus, se face o eroare de ordinul 2e b , acelai ordin ca la formulele difereniale de categoria I2" " 2 3sinmdadb b B dfa ] +' ' ] .(3.200)Se procedeaz n mod asemntor cu cea de-a doua relaie din formulele (3.165)2 2 1/ 2sin (1 sin )" "cosm mms A e BlB a,prin difereniere obinndu-se2 2 1/ 2 22 2221(1 sin ) sinsin (1 sin )2" "cosm mm mme B Bs A e Bl da deB a a ' ' 22 2 1/ 222 21sinsin (1 sin )2"cos 1 sinmm mm mBs A e B dadea B a e B ' ' ,iar n final, prin aceleai eliminri se obine relaia2" " sinmdadl l B dfa +' ' .(3.201)Pentru diferena de azimut se pleac de la relaia178Page 26Curs de Geodezie matematica 2 si 3anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel BadescusinmA A l B ,care prin difereniere devine" sinmdA dl B ,prin intermediul expresiei (3.201) obinndu-se relaia general de calcul2" " sin sinm mdadA l B df Ba +' ' .(3.202)Observaii1) Ceea ce trebuie subliniat este faptul c n cazul modificrilor parametrilor elipsoidului de rotaie, deci n cazul trecerii de la un elipsoid la altul, trebuie aplicate att formulelediferenialedecategoriaI ct i celedecategoriaaII-a, pentruc, aplicarea fcndu-se succesiv, dup transmiterea primului punct se modific i coordonatele acestuia deci are loc o variaie n datele iniiale.2) De asemenea, trebuie precizat c, spre deosebire de formulele de categoria I, aceste ultimeformulediferenialepotfiaplicatesimultan pentrumaimultelaturialeunei reele geodezice planimetrice.3) Precizia asigurat de aceste ultime formule difereniale este de 0.001 pn la 0,002, aceast precizie fiind suficient pentru marea majoritate a lucrrilor geodezice, lucrri ce nu se ntind pe suprafee foarte mari.179Page 27Page 28Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu4. POZIIONAREA4.1. IntroducereDeterminarea formei i dimensiunilor Pmntului, dup cum a fost precizat, constituie una din principalele preocupri ale geodeziei. Ca model geometric al figurii Pmntului se utilizeaz mai multe tipuri de suprafee care sunt alese funcie de mai multe criterii, un rol important avndu-l natura problemei studiate i cerinele de precizie.Cea mai natural suprafa este suprafaa fizic a Pmntului dar, din pcate, aceasta este o suprafa complicat pe care nu se poate lucra cu relaii matematice simple.O alt suprafa cu care se poate aproxima suprafaa terestr este geoidul dar i acesta este complicat din punct de vedere matematic, pe suprafaa lui neputndu-se rezolva probleme geometrice cum ar fi poziionarea.Elipsoidul este i el o suprafa care poate aproxima figura Pmntului i pe suprafaa cruia se pot rezolva multe din problemele geometrice ale geodeziei.n afara acestor corpuri se pot utiliza i altele care aproximeaz n mai mare sau mai micmsursuprafaaterestripecarepot firezolvateunelesaualteledinproblemele geodeziei, corpuri prezentate n capitolul 2, paragraful 2.14.Oricetipdelucraredindomeniul geodeziei presupuneexistena unor punctecu coordonate cunoscute pe care s se sprijine lucrarea respectiv. Toate aceste puncte alctuiesc o reea geodezic definit astfel:O reea geodeziceste format din mulimea punctelor situate pe suprafaa pe care se desfoar o lucrare a cror poziie este cunoscut ntr-un sistem unitar de referin.Fie c este vorba de o reea local (suprafaa acoperit de punctele reelei fiind, de regul, mai mic) fie c este vorba de o reea global, poziionarea punctelor care alctuiesc o reea geodezic n raport cu o anumit suprafa de referin (aceeai pentru toate punctele 178Page 29Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescureelei) rmne o problem de baz a geodeziei. Rezolvrile date difer n funcie de tipul reelei, de destinaia sa, de mrimea zonei acoperite etc.Conceptul depoziionareimplic noiunea depoziiecare este reprezentat, de obicei, printr-un set de coordonate (rectangulare, sferice etc.). Poziiile pot fi determinate n diferitemoduri i prinutilizareaunor diferiteinstrumentesausistemedeinstrumentede msurare. Principalele modaliti prin care se poate determina poziia sunt urmtoarele:- ntr-unsistemdecoordonate binedefinit17(deobicei geocentric, adicun sistem a crui origine coincide18 cu centrul de mas al Pmntului). Acest mod de poziionare este cunoscut sub denumirea depoziionare punctualsau poziionareapunctului(point positioning) saudepoziionareabsolut. Prin poziionareaabsolutse nelege determinarea coordonatelor unui punct de pe suprafaa terestr, ap sau din spaiu ntr-un sistem de coordonate.- nraport deunalt punct saumaimultepuncte, considerndunpunct cafiind origineasistemului local decoordonate. Aceastmodalitateestecunoscutsub denumirea de poziionare relativ sau poziionare diferenial.Din cele prezentate se poate deducePrin poziionare se nelege determinarea poziiei obiectelor staionare sau aflate n micare (mobile) prin una din cele dou metode prezentate.De asemenea, se poate vorbi despre:- Poziionare static, utilizat n msurtorile geodezice, dac obiectul ce urmeaz a fi poziionat este staionar;- Poziionare cinematic, utilizat n navigaie, dac obiectul respectiv se deplaseaz.Determinarea poziiei relativesefaceprinmsurtori fiedirectentreceledou punctefieprinmsurtori indirectedelaceledoupunctelaobiectedinspaiu. Aceasta nseamnc, utilizndmetodeterestre, poziionarearelativestemult mai simpldect poziionarea absolut, mai ales cnd ntre cele dou puncte exist vizibilitate reciproc. La acest tip de poziionare poate fi utilizat, n principiu, orice sistem local de coordonate.17 Trebuie specificat c acest sistem de coordonate bine definit este la rndul su poziionat i orientat n raport de Pmnt18 Acest cuvnt trebuie, n acest context, neles ca fiind foarte aproape de centrul de mas al Pmntului a crui poziie este greu de stabilit179Page 30Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel BadescuFuncie de natura msurtorilor efectuate, de tipul acestora, de spaiul luat n considerare, de modelul matematic utilizat n poziionare se poate vorbi despre o poziionare unidimensional (altimetric), bidimensional (planimetric) sau tridimensional. Introducereacoordonatei timp(foarteimportantavndnvederefaptul cntimptoate obiectele, inclusiv Pmntul, sufer modificri) la oricare din cele trei tipuri de poziionare mrete cu 1 dimensiunea spaiului considerat.Un tip de poziionare relativ, n spaiul cu dou dimensiuni, a fost prezentat n cadrul paragrafului 3.9.3.1. la rezolvarea problemei geodezice directe. n cazul rezolvrii problemei geodeziceinverse(paragraful 3.9.3.2) sepoatevorbi deproblemainversapoziionrii relativecarepoatefi, ngeneral, formulatastfel: fiinddatedoupuncteseceresse determine direcia i distana dintre cele dou puncte.4.2. Clasificarea reelelor geodeziceReelele geodezice pot fi clasificate funcie de mai multe criterii, n continuare fiind prezentate numai clasificrile dup acele criterii care fac obiectul acestei lucrri. Reprezentarea ntregii suprafee a Pmntului sau numai a unei pri din acestea se face, dup cumestecunoscut, prinintermediul hrilordediversetipuri iladiversescri. Pentrua descrie suprafaa matematic a Pmntului trebuie s se gseasc un numr finit de puncte reprezentative pentru teren i poziia acestora ntr-un sistem de coordonate. Reelele alctuite din aceste puncte pot alctui o posibil reprezentare a suprafeei fizice terestre. Aceste seturi de puncte ce alctuiesc reelele geodezice pot fi mprite n trei categorii funcie de cum este definit poziia lor.Reele de puncte definite numai printr-o singur coordonat i anume altitudinea (de obicei nlimea deasupra mrii). Aceste reele geodezice sunt cunoscute careele altimetrice sau de nivelment sau reele verticale. Reelele altimetrice sunt materializate pe repere i mrci de nivelment pentru care, se cunoate cu precizie mai mare altitudinea (notat de regul cu H) dar i poziia planimetric cu o precizie mult mai mic.Reele de puncte pentru care se cunoate poziia orizontal, cum ar fi latitudinea (B) i longitudinea (L), denumitereele orizontalesauplanimetrice. Aceste reele sunt alctuite din puncte pentru care se cunoate poziia prin intermediul coordonatelor geodezice pe elipsoidul de referin. Aceast poziie orizontal sau planimetric poate fi 180Page 31Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescudati nalt sistembidimensional decoordonate( , ) x y, frecvent utilizat npractica geodezic, cum ar fi un sistem de proiecie, cu condiia s se cunoasc relaiile de legtur ntre cele dou sisteme de coordonate amintite. Aceste dou tipuri de reele geodezice au fost i sunt nc cele mai utilizate, prin intermediul lor putndu-se exprima o poziie n spaiulcu treidimensiunia unui punct dar n sisteme de referin diferite, unul pentru planimetrie ( , sau , ) B L x y i altul pentru altimetrie ( ) H.Reeledepunctepoziionateprintrei coordonate, numitereeletridimensionale. Pentruaobinetripletadevalori caredefinescpoziiaunui punct pot fi utilizatefie coordonate geodezice (latitudinea i longitudinea) la care se adaug altitudinea sau potenialul fie tripleta de coordonate rectangulare , , X Y Z.Un alt criteriu important de clasificare a reelelor geodezice este acela al numrului de elemente considerate fixe n procesul de prelucrare. Din acest punct de vedere se poate vorbi despre:- Reele geodezice constrnse: atunci cnd numrul elementelor considerate fixe n procesul deprelucrareestemai maredect strictul necesar i suficient pentru determinarea geometric i poziionarea reelei;- Reele geodezice constrnse: atunci cnd numrul elementelor fixe din reea este cel necesar i suficient pentru poziionarea reelei;- Reelegeodezicelibere:cndntr-oreea geodezic nuesteconsideratniciun element fix, deci o reea n care intervin numai msurtorile necesare determinrii geometriceareelei,aceast reea este cunoscut n literatura de specialitateca reea geodezic liber.Despreoaltclasificareareelei geodezices-avorbit deja. Estevorbadespreo clasificare funcie de zona acoperit, din acest punct de vedere existnd:- reele locale;- reele globale.npracticageodezic prinreea local nu se nelege numai o reea care acoper o suprafa relativ mic ci o reea n care se dorete obinerea unor precizii superioare celei n interiorul creia este construit i care de obicei se prelucreaz ca n cazul reelei geodezice libere.181Page 32Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu4.3. Modelul matematic al prelucrrii observaiilor4.3.1. ModelCa i n alte domenii i n geodezie exist a anumit metodologie ce trebuie respectat n procesele care conduc la obinerea rezultatelor finale. Metodologia geodezic reprezint un set deproceduri adoptatenvedereaevalurii unor parametri carecontribuiedirect sau indirect la descrierea geometriei Pmntului i a cmpului su gravific. n vederea evalurii acestor parametri sefacexperimente, se culegdate, procedurile respective incluzndi operaii specifice de planificare i optimizare pe lng acelea de evaluare corect a rezultatelor. Un element specific geodeziei este acela c, de regul, se colecteaz mai multe date dect strictul necesar pentru a determina n mod unic cantitile dorite.Pentru stabilirea unui fenomen prin metode experimentale trebuie elaborat un model care s reprezinte ct mai bine, dar ntr-o form simplificat, realitatea fizic.Prinmodelsenelegeoreprezentare simplificata unuifenomensau procesreal.Dintre toate tipurile demodele ce pot fi utilizate, geodezia lucreaz cumodele simbolice ce utilizeaz litere, numere i simboluri pentru a reprezenta mrimile, proprietile lor i relaiile dintre ele.Cel mai adesea, modelele utilizate n geodezie sunt neliniare, acest lucru presupunnd utilizarea anumitor tehnici matematice pentru a ajunge la soluiile cutate.n principiu, metodologia de baz ce trebuie urmat n vederea obinerii unor rezultate concrete const n urmtoarele:- Parametrii necunoscui,valorile ce urmeaz a fi determinate,sunt cunoscui (n sensul de identificai) precum i precizia cu care vrem s-i determinm n urma procesului de prelucrare.- n general aceti parametri necunoscui nu pot fi msurai direct ceea ce nseamn c trebuie gsite nite relaii matematice care s fac legtura ntre acetia i nite cantiti care pot fi msurate (observaii). Aceast etap de formulare a funciilor respective, care constituiemodelul matematic, st la baza procesului de determinare a parametrilor necunoscui.- nainte dea efectua observaiile trebuie s se specifice acurateea cu care sse fac, acuratee ce este dictat de precizia cu care dorim s determinm parametri 182Page 33Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescunecunoscui i de modelul matematic formulat. Acest proces mai este cunoscut i sub numele de preanaliz.- Msurtorile efectuate care nu se ncadreaz n precizia specificat anterior trebuie eliminate. Dac prin eliminarea unor msurtori individuale nu mai rmn suficiente observaii pentru atingerea scopului propus trebuie s se efectueze noi msurtori.- Prelucrarea preliminarsaupreprocesareaobservaiilor trebuie inclus n modelul matematic prin care se calculeaz parametri necunoscui i precizia lor de determinare.- Evaluarea modelului matematic n vederea completrii lui, atunci cnd este cazul, cuviitoareevaluri ale observaiilor corectate constituieurmtoarea etap ce trebuie parcurs.- Ultima etap const n evaluarea parametrilor necunoscui calculai i exprimarea, dac este posibil, a compatibilitii lor cu alte determinri independente ale acelorai parametri.n geodezie, baza metodologiei o reprezint modelul matematic constituit din formularea relaiei funcionale dintre parametri necunoscui i cantitile observate. n general, relaia care reprezint, n geodezie, modelul matematic este de forma( , , ) 0 f cXM,(4.1)unde:- freprezint vectorul funciilor individuale , 1, 2, ,if i m K care leag ntre ele cele n necunoscute cu observaiile efectuate;- cesteunvector al constantelor, ntermeni statistici cantiti frerori, care intervin n model. Acestea sunt cantiti cunoscute care intervin n calcule cum ar fi: constanta gravitaional, suma unghiurilor ntr-un triunghi plan etc.- X vectorul parametrilor necunoscui, 1, 2, ,ix i n Kcare, de obicei, sunt considerai cantiti independentensensul cdeterminarea directaoricrui parametru dintre acetia este imposibil cu excepia cazului cnd rezult explicit care sunt constrngerile impuse. Ca exemple de astfel de necunoscute n geodezie pot fi date: coordonatele planimetrice ale unui punct, altitudinea, deviaiile verticalei, ondulaiile geoidului, variaia n timp a coordonatelor.183Page 34Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu- M reprezintvectorul observaiilor adicacantitilor fizicesaugeometrice careaufost msuratesau, cualtecuvinte, nitecantiti crorali sepot ataa valori. Procesul de ataare aunui numr (valori) unei observaii senumete msurtoare i este realizat prin intermediul unui instrument sau senzor.Deoarece, n general, parametri necunoscui nu pot fi msurai direct ci indirect prin intermediul modelului matematic i al observaiilor care sunt n legtur direct cu cel puin un parametru din modelul utilizat, ei se mai numesc i soluii.4.3.2. Observaii geodezicen geodezie exist o multitudine de cantiti fizice i geometrice care pot fi clasificate ca observaii:Observaii terestre:- direcii unghiulare orizontale, msurate cu teodolitul;- distaneorizontale sauspaiale, msurabile cu diverse echipamente (electronice, electro-optice, optice, direct etc.);- diferene de nivel, msurabile cu nivele, teodolite etc.;- direcii unghiulare verticale, msurabile cu teodolitul.Observaii terestre i satelitare:- distane i direcii de la Pmnt la sateliii si naturali;- distane la sateliii artificiali ai Pmntului msurabile prin timpul de propagare a undelor electromagnetice emise de o surs cum ar fi laserul;- diferenededistanedintre o staie terestr i dou poziii consecutive aleunui satelit utiliznd modificri ale frecvenei emise de satelit cauzate de efectul Doppler;- direcii unghiulare verticale i orizontale ctre stele obinute prin intermediul unor teodolite speciale.Observaii care privesc cmpul gravific- gravitatea i diferene de gravitate msurabile cu pendulul sau gravimetrul;- gradientul gravitii msurabil cu balana de torsiune sau gradiometre.Obseevaii care urmresc determinarea modificrilor n timp a geometriei Pmntului184Page 35Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu- variaianivelului mrii observabilprinintermediul instrumentelor demsurat mareele;- msurtori ale timpului care sunt eseniale la determinarea epocilor observaiilor la obiecte extraterestre.Trebuieprecizat cnoiuniletimpispaiuauoimportandeosebitpentruc observaiile se fac n spaiu i n timp.4.3.3. Modelul funcional - stochasticModeleleutilizatengeodezie sempartn dou categorii principale, nfunciede natura variabilelor care intervin n model, i anumemodelul funcionalimodelul stochastic. La prelucrarea observaiilor efectuate n reele geodezice se pot utiliza mai multe modele funcional stochastice, dintre care cel mai cunoscut model este modelul Gauss Markov.Prelucrarea observaiilor efectuate ntr-o reea geodezic se desfoar conform modelului funcional stochastic adoptat, reprezentat de relaiile + Ax l (4.2) 20 m m C Q(4.3)Relaia (4.2) reprezint modelul funcional sau determinist. El nu conine elemente aleatoarei descrieorelaiepurntremrimi, adic laovaloaredataargumentului corespunde o valoare unic a funciei.Vectorul coreciilor are, ca i vectorul termenilor liberil , dimensiunea m, egal cu numrul observaiilor efectuate n reea, matricea coeficienilor Aare dimensiunile ( , ) m n, iar vectorul parametrilor dimensiunea n.Relaia (4.3) reprezintmodelul stochasticsaustatistic. El conine variabile aleatoare ce corespund efectului posibil al unor factori necontrolabili ce influeneaz procesul modelat i descrie o relaie complex ntre mrimi, adic la o valoare dat a argumentului corespunde un ansamblu de valori posibile ale funciei.nrelaiacarereprezintmodelul stochasticmatriceamC, dedimensiuni( , ) m m reprezintmatricea de varian-covariana msurtorilor, matriceamQ, de aceleai 185Page 36Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescudimensiuni, reprezint matricea cofactorilor msurtorilor iar 20 este o constant denumit variaia unitii de pondere sau factor de varian i este adimensional.Elementele matricei cofactorilor se numesc cofactori sau coeficieni de pondere, iar condiia necesar i suficient ca msurile s fie independente este ca toi coeficienii de pondere dreptunghiulari s fie nuli0, pentruijq i j .(4.4)Att matricea de varian-covarian ct i matricea cofactorilor sunt matrice pozitiv definite, deci admit invers.La formarea modelului funcional-stochastic trebuie s se aib n vedere c:- prelucrarea riguroasamsurtorilor efectuate n reele geodezice trebuie s se raporteze la un sistemunitar. Din aceast cauz, nainte de a fi prelucrate, msurtorilegeodezicetrebuiereduselasistemul dereferinales (planul de proiecie, elipsoidul de rotaie, un sistem de coordonare tridimensional etc.);- orice prelucrare a observaiilor efectuate ntr-o reea geodezic este dirijat prin modelul funcionalstochastic;- orice modificare n modelul funcional-stochastic modific rezultatul compensrii;- modelul funcional-stochasticadoptat iniial poatefi mbuntit pebazaunor rezultateobinutedintr-oprimprelucrare, dinanalizaponderilor grupelor de msurtori, dinexaminareasemnificaiei statisticeaunor necunoscuteutilizate etc.4.3.4. Analiza observaiilorPrin procesul de msurare se determin, prin intermediul unor instrumente sau aparate de msur, valoarea unei mrimi fizice prin raportarea la o alt mrime de aceeai natur. n geodezie toate aceste msurtori sunt efectuate cu scopul de a determina poziia diferitelor obiecte i fenomene din spaiul terestru. Pentru ridicarea preciziei19determinrilor, ntotdeauna, asupra unei mrimi sunt efectuate mai multe msurtori dect strictul necesar, numrul acestor msurtori suplimentarereprezentndgradul delibertateal determinrii respective.19Trebuie fcut distincie ntre precizie i exactitate sauacuratee. Prinpreciziese nelege gradul de repetabilitate al msurtorii iar prin exactitategradul de apropiere dintre valoarea rezultat din msurtori i valoarea real a mrimii msurate.186Page 37Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel BadescuOrice proces de msurare este afectat de erori, eroarea fiind diferena dintre valoarea msurat i valoarea adevrat.Funcie de modul n care se produc, aceste erori pot fi:- Erori grosieresau greeli.Acestea apar n urma efecturii necorespunztoare a unei msurtori sauanregistrrii ei incorecte. Eroriledeacest tiptrebuien primul rnd depistate prin adoptarea unor metode de control i respectarea unei anumitemetodologii demsurarei apoi, dacestecazul, eliminarealor din prelucrrile ulterioare.- Erori ntmpltoare. Apar datorit unor factori imposibil de controlat i evaluat sau datorit neglijrii influenei unor factori n procesul de msurare prin neincluderea n modelul matematic.- Erori sistematice.Dup cum le indic i numele aceste erori se produc n mod sistematic, dup legi cunoscute, deci influena lor poate i trebuie eliminat.La prelucrarea riguroas a msurtorilor se consider c acestea sunt afectate numai de erorile ntmpltoare, deci greelile i erorile sistematice20 trebuie eliminate.Metoda celor mai mici ptrate (a se vedea paragraful 4.4) de prelucrare a msurtorilor presupune o distribuie normal a observaiilor. Aceast ipotez trebuie verificat n cadrul unui test de concordan. Metodele cele mai utilizate pentru verificarea normalitii sunt testele 2(hi ptrat) i Kolmogorov-Smirnov.O alt etap n analiza msurtorilor const n verificarea absenei erorilor sistematice. Eliminarea acestora poate fi realizat prin:- adoptarea unor metode adecvate de msurare (citiri n ambele poziii ale lunetei etc.);- aplicarea unorcorecii(de centrare,de reducere,de refracie,de etalonareetc.) msurtorilor, naintedeafi introdusenprelucrare, pebazaunor msurtori complementare;- includerea erorilor sistematice ca necunoscute n modelul funcional (necunoscut pentru coeficientul de scar, pentru coeficientul de refracie etc.).Cu toate aceste msuri este bine ca absena erorilor sistematice s fie testat, testele des utilizate bazndu-se pe criteriul Abbeconform cruia suma ptratelor diferenelor fa 20 Pentru unele lucrri, funcie de precizia impus, unele din erorile sistematice pot fi considerate ntmpltoare, adic neglijate, pentru c eliminarea lor ar ridica nejustificat costurile lucrrii.187Page 38Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescude medie este comparat cu suma ptratelor diferenelor dintre dou observaii succesive.Oaltcategoriedeeroripotaprea n procesul de msurare oconstituiegreelile, adic observaiile care nu reflect n mod corespunztor nici posibilitile instrumentului sau aparatului de msur nici mrimea observat. Erorile grosiere care au valori net diferite fa de a celorlalte observaii pot fi depistate cu uurin i eliminate. Problema care se pune este aceeadeaanalizaobservaiilecaresunt lalimiti desprecarenusepoatespunecu certitudinecsuntgreite. Deciziaprivindpstrareasaueliminareaacestorobservaii din calculele ulterioare nu poate fi luat dect n urma unei analize statistice.Depistareavalorilorexterne, adicavalorilor aflatenafaraunei repartiii, este extremdeutildarnutrebuieurmatdeeliminareaeifraseefectuaoanalizasupra cauzelor care au putut determina apariia valorii respective, fiind posibil ca acea valoare s includ informaii pe care celelalte observaii nu le pot da.Depistarea acestor erori se face i in faza de preprocesare, cnd testele au un caracter local21ctidupefectuareaprelucrrii.Cel mai utilizattest pentru depistarea valorilor externe nainte de prelucrare este testul Grubss. Dup prelucrare sunt efectuate teste asupra coreciilor pentru a stabili dac o valoare este extern sau nu, dintre cele mai utilizate fiind testul F (aplicabil numai pentru o corecie) sau testul Tau (aplicabil unui grup de corecii).4.4. Metoda celor mai mici ptrateUn sistem liniar de ecuaii ale coreciilor este supradeterminat atunci cnd numrul ecuaiilor estemai maredect numrul necunoscutelor. Aceastsupradeterminareindic faptul cnmodel aufost luatenconsideraremai multemsurtori dect celenecesare pentrudeterminareaparametrilornecunoscuiinconsecinsepotdeterminamaimulte valori pentru aceeai necunoscut. De exemplu, dac se consider c sistemul este format din m ecuaii i n necunoscute prin luarea n considerare a primelor n ecuaii rezult nite valori pentru cei n parametri necunoscui (X). Lund n considerare alte n ecuaii din cele m ( ) m n > seobinaltevalori pentruparametriX. Pentrugeodezieestenecesarssegseascnite valori unice ale parametrilor necunoscui. Pentru aceasta trebuie ca modelul s fie reformulat nsensul c, pentruaface casistemul sdevin consistent, se introduceunvector al 21 Se utilizeaz n analiz numai observaiile din acel punct188Page 39Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescucoreciilor () care adugat la vectorul msurtorilor( ) M* s rezulte vectorul valorilor cele mai probabile ale observaiilor ( ) M + M M *.(4.5)Aceastreformulareamodelului leagntreelesoluiilesistemului, ntr-unnumr infinit, pentru c acum att X ct i sunt vectori cu valori necunoscute.Soluia prin metoda celor mai mici ptrate se obine prin minimizarea sumei ptratelor coreciilor. n foarte multe cazuri, valorile efective ale varianelor i covarianelor nu se poate cunoate, de aceea ele sunt nlocuite cu valori proporionale cu acestea numite coeficieni de pondere, factorul deproporionalitatefiindvarianaunitii depondere(relaia(4.3)). n legtur cumatricea coeficienilorde pondereQmse definete i matricea ponderilor (a se vedea i n continuarea acestui paragraf)1m P Q .Pentru o populaie dat, variana, media i celelalte momente ale variabilei sunt unice i, n cele mai multe cazuri, nu pot fi cunoscute valorile lor ci doar estimaii ale acestora.Prelucrarea observaiilor efectuate nreele geodezice se desfoar subcondiia specific metodei celor mai mici ptrate, component principal a modelului stochasticminimT P .(4.6)n relaia (4.6), care reprezint forma general a condiiei de minim, matricea ponderilor msurtorilor i matricea cofactorilor msurtorilor sunt matrice pozitiv definite (admit invers). Pentru o prelucrare ct mai corect, aceste matrice ar trebui s fie matrice pline, ns determinarea elementelor dreptunghiulare (ijp i, respectiv, ijq cu i j ) nu este, deocamdat, ntotdeauna posibil.Practic, pentru prelucrrile observaiilor efectuate n reele geodezice ce se efectueaz n mod curent, se face o aproximaie prin considerarea msurtorilor ca fiind independente. Aceastaproximarefacecamatriceaponderilor sdevinomatricediagonal(0ijp , pentru i j ) ceea ce uureaz foarte mult calculele. n aceste condiii, relaia (4.6) se mai poate scrie sub forma[ ] minim p .(4.7)189Page 40Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel BadescuCndcerineledeprecizienusunt ridicate, semai poatefaceoaproximaieprin considerareamsurtorilorindependente ca fiind de precizii egale,caz n care condiiade minim (4.7) se poate scrie astfel[ ] minim .(4.8)Metodacelormai mici ptratedeestimareaparametrilor necunoscui mai este cunoscut i sub denumirea de compensarea prin metoda celor mai mici ptrate.Modelulfuncional-stochasticGauss-Markov, utilizat laprelucrareaobservaiilor geodezice este reprezentat demodelul funcional, dat de relaia (4.2) i demodelul stochastic reprezentat de relaia (4.3).Dacseconsidercmatricea coeficienilorAareranguln (rang( ) ) n Ai c matricea ponderilor este pozitiv definit atunci modelul este denumitmodelul Gauss-Markov fr defect de rang.n acest model se presupune c valorile medii ale observaiilor pot fi reprezentate de o combinaie liniar a coeficienilor dai i parametri necunoscui, deci avem de a face cu un model liniar. Relaia liniarestecunoscutsubdenumirea deregresie, iar estimaia n modelul Gauss-Markov o analiz de regresie. Totui acest model difer esenial de modelul regresiei deoarece parametri aleatori sunt estimai prin combinaii liniare ale observaiilor.Rangul unei matrice A de dimensiuni m n este rang( ) minim( , ) m n A (4.9)iar n cazul studiatm n . ntotdeauna se caut ca numrul observaiilor efectuate (m) s fie mai maredect numrul parametrilornecunoscui (n), pentruadiminuaefectulaleatoral observaiilor nestimaii, decim n >. Modelul senumetefrdefect derangdeoarece rang( ) n A.Sistemul de ecuaii M AX(4.10)nu este un sistem consistent. Se obine un sistem consistent prin adugarea unui vector aleator ( , 1 ) al erorilor lui M, adic+ M AX * (4.11)cu media ( ) 0 M (4.12)190Page 41Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescui dispersia2 10( ) ( ) D D M P .(4.13)Acesteultime trei relaii reprezintoaltformulare amodelului Gauss-Markov. Ecuaiile(4.11)suntcunoscutesubdenumireadeecuaii ale observaiilor,laprelucrarea prin metoda celor mai mici ptrate ca ecuaii ale coreciilor, iar modelul Gauss-Markov se mai numete compensarea observaiilor.Matricea de covarian a observaiilor M a fost presupus cunoscut n relaiile de mai sus, exceptndfactorul20 . MatriceaponderilorPaobservaiilorMs-apresupusceste pozitiv definit, deci inversa 1 P exist i este o matrice pozitiv definit.Se consider c vectorul1[ ]mm m K M (4.14)este aleator i c matricea lui de covarian este dat de relaia (4.13). n acest caz matricea 1c P C(4.15)senumetematriceaponderilor,cfiindoconstant. Elementeledepediagonalaacestei matrice ( )iipreprezint ponderea variabilei aleatoare , 1, ,im i m K. Dac C este o matrice diagonal 2 21diag( , , )m K C ,(4.16)ponderea ijpvariabilei aleatoare im este dat de relaia

2 iiicp (4.17)sau dac 20c

202 iiip (4.18)deci dimensiunea ponderii este ptratul reciprocei dimensiunii varianei.Matricea ponderilor poate fi acceptat aproape ntotdeauna ca fiind o matrice diagonal,componentele sale putnd fi determinate cu formule empirice care se gsesc cu uurin n diverse manuale. Componentele matricei ponderilor pot fi determinate i printr-o estimare aposteori.ntr-o prelucrare prin metoda celor mai mici ptrate191Page 42Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescu 1 P Q(4.19)deoarece20( ) D M Q.(4.20)Q reprezint matricea cofactorilor sau matricea coeficienilor de pondere.Dac P I , atunci20( ) D m I ,(4.21)iar factorul 20 este denumit variana unitii de pondere. Modelul funcional-stochastic este dat de relaiile (4.10) i (4.21).ngeneral, ntreparametriXi observaiileMnusunt relaii liniareaacums-a presupus n (4.10) i (4.20). Corespunztor relaiilor (4.11), (4.12) i (4.13) se poate scrie*1 1 2 1 1*2 1 2 2 2*1 2( , , , )( , , , )( , , , )nnm m m mF X X X mF X X X mF X X X m + + +KKKKKKKKKKKKKKK (4.22)unde-1 2( , , , )i nF X X X Kreprezint funcii difereniabile real-evaluate ale parametrilor 1 2, , ,nX X X K;-*imsunt observaiile efectuate, iar-i sunt coreciile ce trebuie aduse observaiilor.Dac01 1 10n n nX X xX X x + +KKKKKK (4.23)unde0iX sunt valorile aproximative ale parametrilor, cunoscute, iar coreciileixsunt necunoscute. Relaiile (4.23) se pot liniariza prindezvoltrile nserie Taylor, njurul valorilor aproximative

0 00 01 1 10 01 11( , , ) ( , , )( , , ) , 1, 2, ,i n i n ni ii n nnx xF X X F X x X xF FF X X x x i nX X + + + + + K KK K K (4.24)192Page 43Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel BadescuSistemul (4.24) se numete sistemul liniarizat al ecuaiilor de corecii i el mai poate fi scris sub forma + AX l (4.2)unde* l AX m(4.25)reprezint vectorultermenilor liberi i are aceleai dimensiunica i vectorul observaiilor. Condiia sub care se efectueaz prelucrarea este dat de relaiaminimT P .(4.26)Valorilecelemai probabilealeparametrilor necunoscui seobin, subcondiiade minim (4.26), cu relaia cunoscut 1( )T T x APA API .(4.27)Dac n modelul Gauss-Markov parametri necunoscui X sunt subiectul unor condiii, atunci modelul ( ) M M AX,(4.28)unde M reprezint operatorul medie, cu ecuaiile de condiie dintre necunoscute BX w ,(4.29)i 2 10( ) D M P , (4.30)estedenumitmodelul Gauss-Markovcuconstrngerisaucompensareamsurtorilor indirecte cu ecuaii de condiie ntre necunoscute.Condiia sub care se efectueaz compensarea este dat de relaia (4.26). Deoarece este o problem de minim condiionat, funcia Lagrange este 2 ( )T T P k BX w ,(4.31)unde- k este vectorul multiplicator Lagrange;- B este matricea, cunoscut, a coeficienilor necunoscutelor implicate n condiiile (4.29);- weste vectorul termenilor liberi.Soluiile se determin cu relaia

1 1( ) ( )T T T T x APA Bk APA API(4.32)193Page 44Curs de Geodezie matematica 2 si 3 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrari universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Badescuunde1 1 1 1 1( ( ) ) ( ) ( ( ) )T T T T T T k BAPA B BAPA API BAPA B w .(4.33)Rangul matricei coeficienilorBse noteaz cu r (rang( ) ) r B. Dac rangul acestei matriceestemai micdect numrul necunoscutelor( ) r n , deci matricea coeficienilor sistemului de ecuaii liniare A are un defect surjectiv care se elimin prin condiia sub care se face prelucrarea prin metoda celor mai mici ptrate (relaia (4.26)).ncazul reelelorlibererangul matriceiAideci al matricei sistemului deecuaii normale ( )T N APA ,rang( ) rang( ) r A N, este mai mic dect numrul parametrilor implicai nmodel( ) r n