Cursul Nr2

download Cursul Nr2

of 8

Transcript of Cursul Nr2

  • 5/10/2018 Cursul Nr2

    1/8

    Fizica II

    Cursul Nr. 2INTRODUCERE IN MECANICA CUANTICAFunctia de unda si ecuatia lui Schrodinger1). Emil Luca, Gheorghe Zet, Corneliu Ciubotariu, Anastasia Paduraru,Fizica Generala, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti-1981 ( cap. 6)2). Cursul de Fizica BERKELEY, volumul IV, Fizica cuantica, EdituraDidactica si Pedagogica, Bucuresti 1983. (cap.l,4 si 5).3. I. Cosma, Fizica, Institutul Politehnic Cluj-Napoca, 1984. ( Partea a-II-a,cap. XIV)

    2.1 Semnificatia fizica a functiei de undaConcluzia finala a cursului anterior a Josta ca 0 particula are 0 naturadubla corpuscul - unda. In anumite situatii experimentale este importantcaracterul corpuscular, iar in altele eel ondulatoriu. Daca particula secpomporta ca 0 unda, atunci comportamentul ei se descrie printr-o functie deunda 'P(r,t). Dupa cum se stie, in cazul undelor elastice, functia de undareprezinta amplitudinea deplasarii fiecarui punct al mediului elastic fata depozitia de echilibru. In cazul undelor electromagnetice functia de undareprezinta intensitatea campului electric E sau a campului magnetic B alundei . In mod normal se pune intrebarea: Care este semnificatia fizica afunctiei de unda de Broglie? Interpretarea unanim acceptata in prezent,este interpretatrea statistica a lui Max Born. Conform aceste interpretarii ,patratul modulului functiei de unda de Broglie, reprezinta probabilitatea,P, ca particula sa se gaseasca in punctul rdin spatiu la momentul t,P(r,t) = 1 ' P ( r , t ) 1 2 = 'P (r,t) 'P (r,t)* , (2.1)unde 'P(r, t ) * este complex conjugata functiei de unda.Este important de remarcat ca interpretarea statistica a lui Max Born nuleaga functia de unda de forma si dimensiunile particulei. Astfel,

    1

  • 5/10/2018 Cursul Nr2

    2/8

    modificarea in timp si in spatiu a functiei de unda nu inseamna decat ca semodifica probabilitatea de a gasi particula in diferite regiuni din spatiu.Deoarece probabilitatea de a gasi particula in intreg spatiu este egala cu 1,functia de unda trebuie sa indeplineasca conditia,+00f \ J f (r , t) \ J f (r , t )* dv =1. (2.2)-00

    Conditia (2.2) poarta de numirea de conditia de normare afunctiei de unda.

    2.2 Pachet de nodeUrmatorul pas in intelegerea dualitatii corpuscul-unda a particulelor constain determinarea tipului functiei de unda care descrie proprietatile ondulatoriiale particulei. Pentru inceput vom demonstra urmatoarea afirmatieimportanta: a unda monocromatica nu poate des erie miscarea uneiparticule. Pentru a demonstra aceasta afrramatie sa consideram 0 undamonocromatica de frecventa unghiulara O J si de vector de unda K care sedeplaseaza de-a lungul axei Ox, de forma\Jf(x, t ) =Aei(kx-mt). (2.3)Tinand cont de relatiile lui de Broglie (1.9) Sl (1.10) Sl de faptul caO J =2JZv , functia de unda (2.3) devine

    _!_(px-Wt)\Jf(x, t ) =Aeh . (2.4)Viteza de propagare a undei de Broglie este viteza cu care se propaga frontulde unda, adica suprafetele de faza constanta date de ecuatiapx - Wt =const. (2.5)Derivand relatia (2.5) in raport cu timpul si tinand cont ca impulsul sienergia particulei sunt constante, rezulta pentru viteza de faza relatia:

    2

  • 5/10/2018 Cursul Nr2

    3/8

    dx W me2 e2U=-=-=--=-dt p mv v (2.6)

    Deoarece conform teoriei relativitatii V ~ e, din (2.6) rezulta ca viteza defaza a undei este mai mare decat viteza luminii. Acest rezultat demonstreazaca 0 unda monocromatica nu poate transporta 0 particula sau energiedeoarece viteza de transport ar fi mai mare decat viteza luminii.Pentru a depasi aceasta dificultate se considera ca unei particule 1 seasociaza nu 0 unda monocromatica ci un pachet de unde, format prinsuprapunerea unui numar infinit de unde monocromatice cu vectorii de undacuprinsi in intervalul (ko + ~k /2). Prin urmare ecuatia pachetului de undeeste data de relatia:

    k +l1k/2tp(x, t ) = 0 J A(k ~i(kx-OJt )dk.k, -l1k/2

    (2.7)

    Viteza de deplasare a pachetului de unde este viteza de grup, a carei valoareeste data de formula lui Kirchhoff:

    dmvg=-.dk (2.8)In cazul undelor de Broglie (W =hro si p =hk ; relatia (2.8) devine

    dW pVg =--=-=v.dp m (2.9)Din (2.9) rezulta ca viteza, Vg' de propagare a pachetului de unde esteegala cu viteza de propagare a particulei insasi.

    3

  • 5/10/2018 Cursul Nr2

    4/8

    2.3. Relatiile de nedeterminare ale lui HeisenbergIn cazul in care undele componenete ale pachetului au aceiasi amplitudineA ( k ) =A si pentru t =0, expresia (2.7) devine:

    k +l1k/2tp(x)= 0 J eikxdk.

    k, -l1k/2(2.10)

    Integrala (2.10) este usor de rezolvat, rezultand

    . 1SIll -l1kx1 ' ( x ) = Akeikx 21-l1kx2(2.11 )

    Ecuatia (2.11) este reprezentata in figura 2.1 .sin ~kx2

    ""/

    /

    -11: \\\\

    II

    /'- "

    Fig. 2.1. Amplitudinea grupului de unde pentru cazul in care undele dincomponenta grupului au aceiasi amplitudine.Este usor de observat ca anvelopa curbei (linia punctata)

    4

  • 5/10/2018 Cursul Nr2

    5/8

    1SIll -l1kx21-l1kx2

    (2.12)

    scade rapida pe un interval Ax Din figura 2.1 reiese ca amplitudineapachetului de unde este localizata in principal in intervalul Ax al caruiordin de marime este dat de relatia:

    (2.13)

    Tinand cont de relatia de Broglie p =hk , relatia (2.13) devine(2.14)

    Deoarece amplitudinea pachetului de unda este diferita si in afara regiuniicentrale, se poate scrie caL lx . /)..p 2 . h . (2.15)Aceasta relatie poarta denumirea de relatia de nedeterminare (incertitudine)a lui Heisenberg. Interpretarea fizica a relatiei de nedeterminare esteurmatoarea: erorile Ax si /)..p cu care pot fi masurate simultan cordonata siimpulsul unei particule sunt legate intre ele prin relatia (2.12). Conformacestei relatii, precizia cu care pot fi determinate simultan coordonata siimpulsul este limitata. Astfel, daca se determina cu precizie ridicata pozitia,ceea ce inseamna 0 valoare mica a erorii Llx, atunci eroarea in determinareaimpulsului este mare /)..p 2 . h i L lx . Coordonata si impulsul se numescmarimi conjugate. Un alt set de marimi conjugate sunt energia E si timpult. In acest caz relatia de nedeterminare esteM / ) . . t 2. h. (2.16)Astfel, principiul de nedeterminare a lui Heisenberg limiteaza precizia cucare doua marimi conjugate pot fi cunoscute. Cu cat este mai mare preciziacu care 0marime poate fi cunoscuta, cu atat este mai mica precizia cu care

    5

  • 5/10/2018 Cursul Nr2

    6/8

    poate fi cunoscuta conjugata ei. Doua marimi care nu sunt conjugate, deexemplu coordonta X si energia E, pot fi masurate simultan cu precizieridicta. Explicatia relatiilor de nedeterminare ale lui Heisenberg rezida innatura statistic a a mecanicii cuantice. Spre deosebire de mecanica clasica,unde traiectoria particulei este bine definita (Llx =0), in mecanica quanticanotiunea de traiectorie isi pierde sensul si este inlocuita de probabilitatea caparticula sa se gaseasca in intervalul Ax.2.4 Ecuatia lui ShrodingerIn mecanica clasica 0 unda elastica sau electromagnetica este descrisa deecuatia undei:

    (2.17)

    In mod similar si in mecanica exista 0 ecuatie diferentiala numita ecuatia luiShrodinger pentru functia de unda atasata particulei. Trebuie precizat caaceasta ecuatia nu poate fi dedusa. Ecuatia lui Shrodinger poate fi numaipostulata, iar valabilitatea ei urmeaza a fi dovedita prin corelarea rezultatelorteoretice, obtinute pe baza acestei ecuatii, cu datele experimentale. Astfel, inanul 1926 Shrodinger a postulat ca functia de unda de Broglie este descrisade urmatoarea ecuatie diferentiala:

    (2.18)

    unde U si E sunt energia potentiala si, respectiv, energia totala a particulei.Observatie: Ecuatia (2.18) este ecuatia lui Shrodinger pentru cazul stationarunidimensional (in cazul stationar functia de unda este independenta detimp) si poarta denumirea de ecuatia Shrodinger unidimensionalaindependenta de timp. In general ecuatia lui Shrodinger se scrie pentru cazultridimensional dependent de timp. Deoarece cazurile practice studiate incurs nu necesita ecuatia tridimensionala dependenta de timp ne yom limitanumai la ecuatia Shrodinger data de relatia (2.18)

    6

  • 5/10/2018 Cursul Nr2

    7/8

    Deducerea formala a ecuatiei lui Shrodinger: Din punct de vedere formalecuatia lui Shrodinger poate fi dedusa din ecuatia undelor (2.17). Pentruaceasta se considera 0 unda de Broglie de forma

    tp ( x , t ) = e - iO J t lj/ ( r ) , (2.19)unde l j / ( r ) este partea spatiala a functiei de unda. Daca se inlocuieste (2.19)in (2.17), se obtine

    (2.20)

    Deoarece A =vlv =2nv/ to, relatia (2.20) devine

    (2.21)

    Tinand cont de relatia lui de Broglie, A = h / p = 2 7 r P z / p, si de legea deconservare a energiet2L+U(x)=E,2mavem

    (2.22)

    Inlocuind (2.22) in (2.21) rezulta

    7

  • 5/10/2018 Cursul Nr2

    8/8

    Care este chiar ecuatia lui Shrodinger unidimensionala independenta detimp.

    2.5 Conditiile la limitaPentru a yea sens fizic 0 solutie "matematica" a ecuatiei (2.18) trebuie saindeplineasca urmatoarele conditii:

    1 . Functia de unda ' J ' ( x , t ) trebuie sa fie continua si univoca in rapart cuspatiu, X, si cu timpul, t.Conditia de continuitatea a functiei de unda asigura ca probabilitata de a gasiparticula intr-o regiune din spatiu variaza continuu. Un salt in probabilitateeste echivalent cu aparitia sau disparitia de particule, ceea ce ar contrazicelegea de conservare a materiei. Univocitatea functiei de unda asigura caprobabilitatea de a gasi particula in vecinatatea unui punct din spatiu estedefinita univoc fara abiguitati.2. Integrala din madulul functiei de unda la patrat pe tot intervalul devariatie a lui X trebuie sa fie finita.In absenta acestei conditii functia de unda nu ar putea fi normalizata si , prinurmare, nu ar fi indeplinita conditia de normare (2.2)

    3. Prima derivata afunctieiei de unda, a ' J ' l a x , trebuie safie continua pestetot exceptand punctele in care potentialul are a discontinuitate.Aceasta conditie la limita este necesara deoarece 0 discontinuitate finita inprima derivata ar cauza 0 discontinuitate infinita in a

    2' J ' / a x

    2 si , ca rezultat,ecuatia lui Shrodinger nu ar avea sens.

    8