3.7. MISCAREA PLANPARALELA Un rigid are o miscare plan-paralela daca un plan sau (mobil) ramne tot timpul intr-un plan fix din spatiu. Miscarea de rotatie poate fi considerata miscare plan-paralela, intruct toate punctele solidului situate intr-un plan normal la axa de rotatie ramn in tot timpul miscarii continute in acest plan fix. Miscarea de translatie, la care un plan al solidului ramne intr-un plan fix, reprezinta alt caz particular de miscare plan-paralela. Alte exemple: a)- biela unui mecanism biela-manivela (fig. 3.7.1a); b)- rostogolirea (cu sau fara alunecare) a unei roti, ce ramne insa in planul desenului (fig. 3.7.1b). De ex.: roata unui vehicul ce se deplaseaza pe un drum drept, sau cu denivelari; in curba, roata nu mai are miscare plan-paralela. Sistemul mobil, legat de corpul in miscare plan-paralela (fig. 3.7.2) se ia astfel ca planul xOy sa ramna tot timpul in planul fix x1 O1 y1, cu consecinta imediata: Oz // O1 z1, ceea ce inseamna ca axa Oz are o miscare de translatie. In timpul miscarii, axele Ox si Oy (si odata cu ele - intreg solidul) se rotesc in jurul lui Oz. In concluzie, miscarea plan-paralela poate fi considerata ca rezultnd din suprapunerea a doua miscari: o miscare de translatie, pe care Fig. 3.7.1 solidul o are odata cu Oz si o miscare de rotatie - simultana cu prima - in jurul axei Oz. Exemplificare: consideram doua pozitii infinit vecine ale barei AB (fig. 3.7.3); se poate considera ca miscarea continua de la A1B1 la A2B2 se discretizeaza intr-o translatie cu dx si o rotatie cu d, efectuate in timpii: dt = dtx + dt . Rezulta ca miscarea planparalela este definita daca se cunoaste miscarea punctului O(x1O, y1O) (deci a axei Oz - in translatie) si rotatia (t) corpului in jurul axei Oz, ecuatiile miscarii fiind asadar: x1O = x1O (t) ; y1O = y1O (t) ; = (t) .(3.7.1) Calculam viteza lui O, vector cuprins in planul Fig. 3.7.2 xOy:vO = x1O i1 + y1O j1 = vO x i + vO y jo o

(3.7.2)

de unde, prin derivare in raport cu timpul:aO = x1O i1 + y1O j1 = aO x i + aO y j .oo oo

=k =k ;

Rotatia solidului in jurul lui Oz este caracterizata de viteza unghiulara ; plecnd de la observatia ca singurul unghi Euler nenul este , printr-o demonstratie analoga celeia din 3.5.1 se Fig. 3.7.3 ajunge la: = = k =k . (3.7.3)i x j 0 y k

Se poate scrie: v P = vO + x r == vO x i +vO y j +0

,z

de unde:

Se observa ca: vO . 3.7.1. Proprietatile distributiei de viteze a)- Intruct vz = 0, rezulta ca vitezele tuturor punctelor sunt vectori paraleli cu planul xOy (mobil). b)- In expresiile (3.7.4) lipseste coordonata z, cu consecinte ca pe o paralela la Oz de ex. PoP (toate punctele acestei drepte au aceeasi abscisa x si aceeasi ordonata y) vitezele tuturor punctelor sunt vectori paraleli si egali; deci daca se studiaza distributia vitezelor din planul xOy, atunci se pot cunoaste vitezele punctelor din oricare alt plan paralel cu acesta. Studiul miscarii se poate asadar face in plan (fig. 3.7.4), cunoasterea miscarii punctului Po implicnd cunoasterea miscarii oricarui alt punct situat pe normala in Po la planul xOy. Cautam puncte de viteza nula:

v x = vO x y v P v y = vO y + x vz = 0

(3.7.4)

Cota z nu este determinata, deci sunt o infinitate de puncte de viteza nula, situate pe o dreapta paralela cu Oz, care inteapa Fig. 3.7.4 planul xOy in punctul I (, ). Aceasta dreapta, amintind de axa de rotatie, se numeste AXA INSTANTANEE DE ROTATIE si se poate demonstra ca este chiar axa centrala a miscarii. Referitor la figura 3.7.4, se poate scrie: v Po = vO + x ro . (3.7.6) Daca originea sistemului de axe mobil se ia in punctul I (fig. 3.7.5), a carui viteza este - prin definitie - nula, relatia (3.7.6) devine: v Po = v I + x ro' = x I Po , (3.7.7) de unde: vPo = (IPo) , (3.7.7) numita FORMULA AUTOMATA. Relatia (3.7.7) este identica cu relatia (3.5.6), de la distributia de viteze in miscarea de rotatie. Aceasta afirmatie nu inseamna insa ca miscarea plan-paralela este o miscare de rotatie in jurul axei Iz, ci numai ca vitezele se calculeaza si se Fig. 3.7.5 deseneaza ca si cum solidul s-ar roti in jurul unei axe ce trece prin I si este perpendiculara pe planul mobil. Am vazut ca este suficient sa cunoastem distributia vitezelor din planul xOy, in care s-a definit punctul I, numit CENTRUl INSTANTANEU DE ROTATIE (c.i.r). MODUL DE REZOLVARE AL PROBLEMELOR Prima chestiune intr-o problema de miscare plan-paralela este determinarea c.i.r I, dupa care cmpul de viteze se deseneaza si se calculeaza la fel ca la miscarea de rotatie, ca si cum planul mobil s-ar roti in jurul punctului I, instantaneu fix. Evident, pentru alta pozitie a corpului se obtine alt c.i.r. 3.7.2. Metode de determinare a c.i.r. a)- Prin definitie, c.i.r. este punctul din planul mobil care are viteza nula.

vx = vO x y = 0 x = vO y / = I vP o = 0 v y = vO y + x = 0 y = vO x / =

(3.7.5)

PROBLEMA: O roata de raza R se rostogoleste fara alunecare (fig. 3.7.6), viteza centrului fiind vO. Sa se determine vitezele punctelor A, B, D, I si M, stiind unghiul . C.i.r. este punctul de tangenta al rotii cu solul, punct de viteza nula, deoarece roata nu are alunecare. vO = (IO) = vO / R ; vA = (IA) = (vO / R) 2R = 2 vO ; vB = (IB) = (vO / R) R 2 = 2 vO ; vD = (ID) = (vO / R) R 2 = 2 vO ; vM = (IM)= (vO / R) 2R cos /2 = 2 vO cos /2; Observatie: cele de mai sus ramn valabile si cnd calea de rulare nu este rectilinie, avnd denivelari. b)- Daca se cunosc directiile vitezelor a doua puncte Fig. 3.7.6 din planul mobil, c.i.r. se afla la intersectia perpendicularelor duse in punctele cunoscute, pe vitezele respective (fig. 3.7.7). Daca - in plus se stie si vA , atunci se poate calcula: vA = (IA) ; vB = (IB) PROBLEMA lui Cardan O bara AB = se misca astfel ca punctul A descrie axa O1 y1 (fig. 3.7.8), iar B - axa O1 x1. Stiind vA, sa se determine vB si vM (AM = a), pentru pozitia barei determinata de unghiul . vA = (IA) = vA / ( cos)v B = ( IB ) = vA sin = v A tg cos

Fig. 3.7.7 c)- Se cunosc vectorii v A si v B , care insa sunt perpendiculari pe segmentul AB. In acest caz (fig. 3.7.9) c.i.r. se afla la intersectia dreptei AB cu dreapta vrfurilor vitezelor. vB vA v v vB ( AB ) = B = A ; IB = v A vB AB + IB IB AB Exemple: roata frnata (fig. 3.7.10 a) si roata accelerata (fig. 3.7.10 b). Caz particular: vA = vB I este situat la infinit; este cazul miscarii de translatie; deci miscarea de translatie se poate considera o miscare plan - paralela, in care c.i.r. este la Fig. 3.7.8 PROBLEMA (fig. 3.7.11) O bara AB = l este articulata in B de un disc de raza R care se rostogoleste fara alunecare, viteza centrului fiind vO. Pentru pozitia sistemului determinata de unghiul , se determine vitezele punctelor A si B.

.

Fig. 3.7.9

Fig. 3.7.10

vO vB vB

= ( I 1 O ) v O / R = 1 1 = ( I 1 B) 1 1 ( I 1 B) = 2 = ( I 2 B ) ( I 2 B) 21

1 =

A I1

B :

s i n1

A I

= A B

s i n = 2R s i n +I 1 = B1 c o s

= s i n + s 2R i n s 2R i n

c

I

2

B = I1I

2

I1B =1 / c A I o s

I 2 A = AI 1 tg ;

v A = 2 ( I 2 A)

Fig. 3.7.11 sii =i (t ) ; j = j (t ) ; k =k (t )

3.9. MISCAREA RELATIVA (COMPUSA) 3.9.1. DERIVAREA UNUI VECTOR VARIABIL, CARUIA I SE CUNOSC PROIECTIILE PE UN SISTEM DE AXE MOBIL Se da vectorul V =V x i +V y j +V z k , (3.9.1) la care: Vx = Vx (t) ; Vy = Vy (t) ; Vz = Vz (t) . (3.9.2)

Deci:

d Vy d Vx d Vz dV di d j dk =( i +V x ) +( j +V y ) +( k +V z ) ; dt dt dt dt dt dt dt d Vy d Vx d Vz dV di d j dk =( i + j+ k ) +(V x +V y +V z ). dt dt dt dt dt dt dt

(3.9.3) Din relatia (3.9.3) se vede ca derivata se compune din doua parti (paranteze): a)- Prima paranteza reprezinta derivata vectorului, efectuata ca si cum versorii ar fi constanti, deci axele fixe; se numeste derivata locala si se noteaza: b)- A doua paranteza se poate pune sub forma: unde este viteza unghiulara instantanee a miscarii sistemului mobil. Pentru demonstrarea relatiei (3.9.5) se utilizeaza relatiile lui Poisson (3.3.25):V x i +V y j +V z k =V x x i +V y x j +V z x k = x (Vx i +V y j +Vz k ) = x V .o o o o o o

V =V x i + y j + z k V V t

. (3.9.4) (3.9.5)

V x i +V y j +V z k = x V ,

Deci:

dV V = + x V dt t

.

(3.9.6)

3.9.2. MISCAREA RELATIVA A PUNCTULUI In multe aplicatii tehnice se pune problema: cunoscnd miscarea unui punct P (fig. 3.9.2) fata de un triedru (corp) mobil Oxyz si miscarea acestui sistem, fata de un alt reper fix O1 x1 y1 z1 (adica se stie vO si ), sa se determine miscarea (viteza si acceleratia) punctului P fata de triedrul fix. Exemplu (fig. 3.9.1): O bila mica se misca intr-un tub care se roteste la rndul sau in jurul unui capat articulat, ramnnd intr-un plan orizontal. Se cere sa se determine viteza si acceleratia bilei fata de un reper legat de plan (fix). Definitii: - Miscarea relativa este miscarea pe care o are punctul P fata de triedul mobil Oxyz; altfel spus: este miscarea Fig. 3.9.1

punctului P pe care o vede un observator legat de sistemul mobil. Viteza si acceleratia lui P se numesc relative: v r si a r . - Miscarea absoluta este miscarea punctului P fata de sistemul de axe fix O1 x1 y1 z1; parametrii cinematici se numesc absoluti: v a si a a . - Miscarea de transport este miscarea pe care ar avea-o punctul P daca ar fi sudat de reperul mobil, desfacndu-i-se celelalte legaturi (sau: daca miscarea relativa ar inceta) vt si at . - Sistemul mobil se mai numeste vehicul sau transportor. Exemplu (fig. 3.9.1): - miscarea relativa este miscarea rectilinie a punctului P, in lungul tubului; - miscarea de transport este miscarea circulara a punctului P, pe cercul de raza OP; - miscarea absoluta rezulta din combinarea acestor miscari si este o spirala. 3.9.2.1. Compunerea vitezelor Se observa relatia (fig. 3.9.2): r1 = ro + r ,d ro d r1 dr = + de unde: , dt dt dt

(3.9.7) (3.9.8)

Fig. 3.9.2

dr r = + x r dt t

in care r =x i +y j +z k , toti factorii fiind functii de timp - deci derivata sa din (3.9.8) se calculeaza cu formula (3.9.6): ; (3.9.9) (3.9.10)

deci:

d ro d r1 r = + + x r , dt dt t

Semnificatia expresiilor din (3.9.10):d r1 = va ; dt

d ro r = vo ; = v r ; v o + x r = vt . dt t Tinnd cont de (3.9.11), relatia (3.9.10) devine: v a = v r + vt ,

(3.9.11) (3.9.12)

reprezentata grafic in fig.3.9.3. 3.9.2.2. Compunerea acceleratiilor Formula (3.9.10) se mai scrie: de unde: Fig. 3.9.3v a = vo + x r + r t

, (3.9.13)

d va d vo d dr d r = + x r + x + ( ). dt dt dt dt d t t

d va d vo d dr r d r r r = aa ; = ao ; = ; = + x r ; ( )= ( ) + x dt dt dt dt t d t t t t t

Semnificatiile expresiilor din (3.9.13):

. Inlocuim in (3.9.13) si rezulta: in care:a a = a o + x r + x ( x r ) + 2 r r +2 x , t 2 t

(3.9.14) (3.9.15)

2 r = a r ; ao + x r + x ( x r ) = at , 2 tr

iar termenul ramas reprezinta acceleratia lui Coriolis: aC = 2 x t =2 x v r . (3.2.16) a a = a r + at + aC . Relatia (3.9.14) devine: (3.9.17) 3.9.2.3 Modul de rezolvare al problemelor

Prima chestiune intr-o problema de miscare compusa este identificarea vehiculului; pentru aceasta cea mai potrivita consider ca este regula: vehiculul nu este corpul caruia ii apartine punctul studiat, ci alt corp mobil, vecin. Exemplu: la mecanism planetar din fig. 3.9.4, vehiculul nu este discul (caruia ii apartine punctul P, aflat pe periferia lui), ci manivela O1O2. A)- Metoda identificarii miscarilor Se identifica cele trei miscari (relativa, de transport si absoluta), observndu-se ca sunt miscari cunoscute, studiate in capitolele anterioare si pentru care se pot desena (complet sau partial) vectorii viteza si acceleratie. Elementele necunoscute se determina din studiul trigonometric al poligoanelor vectoriale ce ilustreaza relatiile (3.9.12 si 17). Fig. 3.9.4 B)- Metoda analitica Se exprima analitic - pe sistemul de axe mobil - vectorii r si , cu care apoi se calculeaza unele viteze si acceleratii, iar celelalte se determina din formulele (3.9.12 si 17). Pentru exemplificare, vom aplica - in paralel - cele doua metode in cadrul problemei ce urmeaza. PROBLEMA Pe generatoarea unui con circular drept, de unghi la varf 2 si inaltime h, se deplaseaza cu viteza constanta u un punct. Stiind viteza unghiulara constanta a conului, sa se determine la t sec. de la plecarea din varf - viteza si acceleratia absoluta a punctului. Vehiculul este conul.v a = v r + vt

A) Miscarea relativa (pe care o vede un observator legat de con) este o miscare rectilinie si uniforma pe generatoare: v r = u ; (PoP) = u t Miscarea de transport (pe care ar avea-o P, daca ar fi sudat de con) este o miscare circulara si uniforma: vt = (PP) = u t sin .2 va = vr + vt2 = u 1 + (u t sin ) 2

B) Fig. 3.9.5 = =0 ;r =( P ' P ) i +(O ' ) k =u t sin i +( h u t c s k ; = P o ) k

;

v r = r / t =u sin i u cos k ; vt = vO

i + x r = x r = 0 rx

j 0 0

k

=rz jrz

2 2 2 v a = u sin i +u t j u cos k a = v x +v y +v z = v

a a = a r + at + aC

A)

a = (P'P) = 0 2 ar = 0 ; at 2 at = at = tu s i n a = (P'P)aC = 2 x v r aC = 2 v r sin( ) = 2 u sin aa = a + a2 t 2 C

O y

= ( u t sin ) +( 2 u sin )2 2

2

B)

a r = vt / t

Fig. 3.9.6

at = a o + x r + x ( x r ) = x vt = =k x u t sin j = 2 u t sin i aC = 2 x v r = 2 k x (u sin i u cos k ) = 2 u sin j2 a a = 2 u t sin i +2 u sin j a a = a x +a 2 = y

3.10. CINEMATICA SISTEMELOR DE SOLIDE Parametrii cinematici ai unui solid ( vO , aO , , ) sunt conditionati de operatia pe care o executa solidul n procesul tehnologic la care participa. De exemplu: cutitul de seping trebuie sa execute o miscare de translatie rectilinie alternativa, cursa activa (de aschiere) desfasurndu-se cu o viteza mai mica dect cursa de retragere a sculei. Miscarea este generata de un motor, care furnizeaza - de regula - o rotatie n jurul unei axe fixe. Pentru a obtine miscarea dorita la solidul terminal, sunt necesare niste solide intermediare, cu anumite legaturi ntre ele, care sa transforme miscarea de rotatie a motorului n miscarea impusa solidului final. Acest ansamblu de solide rigide n interactiune se numeste sistem mecanic. Legaturile solidelor din sistem pot fi exterioare (cu mediul exterior sistemului, numit batiu), s-au interioare (ntre corpurile aceluiasi sistem) si de tipul: reazem simplu, fir, articulatie. 3.10.1. Transmisii de miscari prin reazeme a)- Miscarea unui solid fata de celalalt se face numai prin alunecare Exemplul 1: Mecanismul cama - tachet (fig. 3.10.1) Tachetul 1 poate fi cu vrf, disc plat sau rola (galet). Arcul comprimat 3 mentine permanent contactul ntre tachet si cama 2. Se pune problema: stiind legea de miscare pe care trebuie sa o realizeze tachetul, sa se determine profilul camei. Legea de miscare a tijei n translatie: OM = r = f ( t ) . Miscarea camei este o rotatie uniforma: = t . Se elimina timpul: r = f ( ), reprezentnd ecuatia camei n coordonate polare. Fig. 3.10.1 Exemplul 2: mecanismul surub-piulita (s-a studiat n 3.6.3).

b)- Miscarea unui solid fata de celalalt se face numai prin rostogolire, fara alunecare. Exemplul 1: transmisii cu roti de frictiune. Exemplul 2: Transmisii cu roti dintate (angrenaje) cilindrice (fig. 3.10.3) Notam cu z1 si z2 numarul de dinti respectiv pentru cele doua roti. Se cauta legatura ntre vitezele unghiulare 1 si 2 (se observa sensurile lor opuse). Exista doua cercuri imaginare, solidare cu cele doua roti, care se rostogolesc fara alunecare, numite cercuri de rostogolire (fara demonstratie); ca urmare, viteza punctului A de tangenta este egala pe cele doua cercuri: vA1 = vA2 , adica 1 R1 = 2R2, de unde rezulta raportul de transmisie: 1 R2 = Fig. 3.10.3 i= . (3.10.1) 2 R1 Aceasta formula nu este utilizabila, pentru ca razele R1 si R2 sunt dificil de masurat. Daca se noteaza cu p pasul danturii (lungimea arcului de cerc ce cuprinde un dinte si un gol), acelasi pe ambele cercuri de rostogolire (conditia angrenarii), lungimea cercului se poate exprima n doua moduri: 2 Ri = p zi , (i = 1, 2) . (3.10.2) Cu aceasta observatie, relatia (3.10.1) devine: 1 z 2 = i= . (3.10.3) 2 z 1

Fig. 3.10.4

3.10.2. Transmisii prin fire Exemplu: transmisii prin curele (fig. 3.10.4) Cureaua se considera fir, deci este perfect flexibila si inextensibila. Daca transmisia functioneaza fara alunecari ale curelei pe roti, se poate scrie: vA = vB = vC = vB, 1 R2 = de unde: 1R1 = 2R2 ; i= . (3.10.4) 2 R1 Se observa ca 1 si 2 au acelasi sens; pentru a obtine sensuri contrare cureaua se ncruciseaza (cu linie ntrerupta n figura 3.10.4). 3.10.3. Transmisii de miscari prin articulatii Exemplu: Transmisia cardanica (fig. 3.10.5); se compune din doi arbori concurenti (1) si (2), legati prin articulatii de piesa (3), de forma unei cruci cu bratele egale. Acest mecanism face posibila variatia unghiului dintre cei doi arbori, n timpul functionarii. Fig. 3.10.5 4. DINAMICA Denumim caracteristici dinamice marimile ce definesc, din punct de vedere dinamic, multimea de forte ce solicita un solid. Se clasifica n: a)- Caracteristici dinamice vectoriale - reprezentate de forta rezultanta si momentul rezultant, calculate ntr-un punct oarecare, pentru multimea de forte (torsorul rezultant). b)- Caracteristici dinamice scalare - formate din lucrul mecanic efectuat de multimea de forte si puterea mecanica a acestei multimi. 4.1. CARACTERISTICI DINAMICE VECTORIALE 4.1.1. Principiile fundamentale ale Mecanicii I)- Principiul independentei actiunii fortelor Actiunile simultane ale fortelor elementare d F1 si d F2 , exercitate asupra masei elementare dm a unui solid, de catre doua corpuri cu care masa dm se gaseste n interactiune, sunt independente ntre ele si pot fi nlocuite cu actiunea unica a rezultantei celor doua forte, determinata cu regula paralelogramului. Reprezentarea grafica a principiului I se face n figura 4.1.1: d F = d F1 + d F2 . (4.1.1) Principiul se poate extinde pentru un numar n (finit) de forte d Fi (i=1, 2, ..., n), rezultnd regula poligonului, ilustrata n figura 4.1.2. Fig. 4.1.1

d F = d Fii =1

n

(4.1.2)

II)- Principiul actiunii fortei Orice forta elementara d F , care actioneaza asupra masei elementare dm, i imprima centrului acestei mase o acceleratie avnd aceeasi orientare cu forta, factorul de coliniaritate fiind masa elementara: d F =dm a (fig. 4.1.3). (4.1.3) Observatii: - Principiul II furnizeaza criteriul de comparatie a doua forte: doua forte sunt egale cnd, actionnd asupra aceleiasi mase elementare, i imprima acesteia acceleratii egale. Fig. 4.1.2 - Unitatile de masura pentru marimile din relatia (4.1.3) sunt: -2 [a] = m s ; [m] = kg ; [F] = N (Newton) . Un Newton este forta care imprima masei de 1 kg o acceleratie de 1 m/s2.

In general, asupra masei dm actioneaza mai multe forte elementare, pentru fiecare fiind valabila o relatie de tipul (4.1.3): d Fi = dm ai , (i = 1, 2, ..., n). (4.1.4) Insumnd (membru cu membru) relatiile (4.1.4), obtinem:

d Fi = dm ai .Fig. 4.1.3i =1 i =1

n

n

(4.1.5)

Avnd n vedere relatiile (4.1.2 si 3), se poate scrie:

d Fi = d F = dm a .i =1

n

(4.1.6)

Din (4.1.5 si 6) rezulta acceleratia totala a masei dm: principiului I. Egalitatea (4.1.5) devine:d a =d F m

a = ai ; deci si acceleratiile se supuni =1

n

,

(4.1.7)

numita ECUATIA FUNDAMENTALA A DINAMICII, deoarece pe aceasta ecuatie se bazeaza ntregul edificiu al Dinamicii. III)- Principiul actiunii si reactiunii Actiunile reciproce dintre doua mase elementare sunt direct opuse (coliniare, de sensuri contrare si cu marimile egale), avnd ca suport comun dreapta care uneste punctele reprezentnd sediile celor doua mase elementare n interactiune. Reprezentarea grafica se da n figura 4.1.4, iar forma matematica n relatia (4.1.8).

Fig. 4.1.4

(4.1.8) Observatii: - Una din forte se numeste actiune, iar cealalta - reactiune. - Fortele pot avea sensul de atractie (ca n figura 4.1.4) sau de respingere. - Toate fortele elementare de interactiune se grupeaza n perechi de vectori direct opusi, dar aplicati la mase elementare diferite (nu exista actiune fara reactiune). - Cele doua mase elementare apartin, de regula, unor corpuri distincte, motiv pentru care s-a pastrat conventia de notare a indicilor pentru fortele interioare, ntlnite n Statica (2). Reamintim ca n Statica s-a demonstrat caracterul de vectori alunecatori ai fortelor ce solicita un solid rigid. 4.1.2. Repartitia si reducerea fortelor n solid Fortele ce actioneaza asupra unui solid se pot exercita: a)- la distanta, n acest caz fortele fiind distribuite n toata masa solidului, motiv pentru care le denumim forte masice; b)- prin contact, fortele fiind distribuite pe portiuni din suprafata solidului, situate n zonele de contact; le numim forte superficiale. a)- Forte masice (fig. 4.1.5); ex.: greutatea

dF1 2 = dF2 1 r1 x dF1 2 + r2 x dF2 1 = 0

Fig. 4.1.5

Fortele masice se reduc, ntr-un punct oarecare O al solidului (S) la un torsor:

integralele efectundu-se pe volumul ocupat de masa M a solidului. b)- Forte superficiale (fig. 4.1.6); ex.: reactiunile. Aceste forte apar la contactul dintre o masa elementara situata la suprafata solidului, cu o masa elementara a unui corp vecin. Datorita deformarilor care se produc, acest contact nu este punctiform, ci se face pe o suprafata (A), fiecarui element de suprafata corespunzndu-i forta elementara d F . Aceste forte se reduc n punctul teoretic de contact - C - la un torsor:

Fm = d Fm (M ) TO M m O = r x d Fm (M )

(4.1.9)

Prin aceste reduceri fortele elementare se nlocuiesc cu forte si momente concentrate, cu care se lucreaza n continuare si care evident nu au o realitate fizica (sunt imaginare), fiind rezultatul unor integrale. De aceea este mai bine ca principiile Mecanicii sa se formuleze pentru fortele elementare, care sunt reale. Fig. 4.1.6 4.1.3. Clasificarea solicitarilor la care poate fi supus un solid (solicitarea = forta si/sau moment) A)- Solicitari exterioare - care reprezinta actiunile corpurilor vecine asupra rigidului considerat; acestea se mpart la rndul lor n: A.1)- Solicitari exterioare active, care sunt independente de miscarea solidului si o pot accelera sau ncetini. A.2)- Solicitari exterioare pasive - actiunilor lor depind de miscarea solidului; ele doar ncetinesc miscarea. B)- Solicitari interioare - care se exercita ntre doua mase elementare apartinnd solidului; numarul lor total este deci par, iar torsorul ntr-un punct oarecare este echivalent cu zero: dFi n t = 0 ; r x dFi n t = 0 ,(M ) (M )

R = dF ( A) TC MC = r xd F ( A)

(4.1.10) pentru ca aceste integrale reprezinta sume de binoame de tipul celor din (4.1.8). A.1)- Exemple Ex.1- Forta de atractie universala (fig. 4.1.7) Corpul de masa M2 atrage corpul de masa M1 cu o forta a carei expresie este: M M Fa = K a 1 2 2 C , (4.1.11) rC

Fig. 4.1.7

unde Ka = 6,664 10

-14

m3 Kg s 2

este constanta atractiei universale (determinata de Cavendish in

1798), iar C este versorul vectorului rC =C 2 C1 . In legatura cu aceasta lege, descoperita de Isaac Newton (1642-1727), astronomul Halley a spus: Unor putini oameni le-a fost dat sa smulga naturii un secret comparabil cu aceasta lege. Ex. 2 - Fortele gravitationale terestre - sunt forte de atractie universala exercitate de pamnt asupra corpurilor aflate n sfera lui de atractie. Plecand de la (4.1.11), se ajunge la: G =M g , (4.1.14) aplicata in centrul de masa al solidului respectiv. OBSERVATIE: Consideram ca un solid are masa M = 36 Kg, deci G = M g = 36 Kg10 m/s2 = 360 N = 36 daN. Se observa ca exista o egalitate numerica intre numarul de Kg. ale unui corp si numarul de daN ce reprezinta greutatea corpului. Ex. 3 - Solicitari active ale legaturilor elastice (arc elicoidal, bara elastica supusa la ncovoiere, tija elastica de torsiune, arc spiral). Experienta arata ca: - In cazul unui solid cuplat cu exteriorul printr-un arc spiral, sau fixat pe o bara elastica (fig. 4.1.9 a si b), elementele elastice actioneaza asupra corpului cu forte elastice, de sens opus deformatiilor elementelor elastice. - In cazul legaturii cu tija elastica de torsiune sau arc spiral (fig. 4.1.9 c si d), apare un moment elastic, orientat pe axa de rotatie si opus deformatiei unghiulare (rotirii) a elementului elastic (indicata cu sageata punctata). Daca deformatiilor nu depasesc anumite limite, este valabila LEGEA LUI HOOCKE care spune ca: solicitarea elastica (forta sau moment) este proportionala cu marimea deformatiei elastice (liniara sau unghiulara): Fe = Kl l ; Me = Ku . Astfel, n cazul din figura 4.1.9 a: Fe = K l = K | l - l0 | , (4.1.16) unde K este constanta elastica a arcului elicoidal; se masoara n [N/m] si se determina experimental; l - este lungimea arcului la momentul considerat; l0 - este lungimea arcului nedeformat. A.2)- Solicitarile exterioare pasive - reprezinta multimi de forte elementare exercitate asupra unui solid de catre corpurile din mediul n conjurator si care ii incetinesc miscarea. REGULA: Fortele elementare pasive formeaza cu vitezele maselor elementare, ntotdeauna, unghiuri obtuze. Ex.- Solicitarile de reactiune ale legaturilor cu frecare Acestea sunt reprezentate de fortele si momentele cu care legaturile (reazemul simplu, articulatia, legatura prin fir) actioneaza asupra

Fig. 4.1.9 solidului si au fost expuse n 2.

4.2. CARACTERISTICI DINAMICE SCALARE 4.2.1. LUCRUL MECANIC Definitie foarte particulara: Lucrul mecanic = forta x deplasarea (distanta). Precizari: - deplasarea rectilinie poate fi considerata vector; - distanta este un modul. Pentru o forta constanta F, a carui punct de aplicatie are deplasarea rectilinie s (considerata vector), lucrul mecanic are expresia (fig. 4.2.1): L = F s cos ( F , s ) =F s , (4.2.1) s = Ao A1 ; | L| = N m = Joule = J. unde Aceasta notiune poate fi extinsa n cazul fortelor aplicate punctelor solidului rigid, dar numai pentru deplasari elementare (efectuate n timpul dt), deoarece n acest caz deplasarea pe un arc de curba se poate aproxima cu deplasarea pe coarda (sau pe tangenta) si considera variatia fortei ca neglijabila. Viteza punctului A (fig. 4.2.2): v = dr1 / dt ; deplasarea elementara: dr1 = v dt = (vO + x r ) dt . (4.2.2) Fig. 4.2.1 Forta F va efectua n timpul dt un lucru mecanic elementar: dL = F dr1 = F v dt .(4.2.3) Pentru un sistem de n forte Fi :

dL = dLi = Fi vi dt .i=1 i =1

n

n

(4.2.4)

Lucrul mecanic total, efectuat de sistemul de forte, ntr-un interval finit de timp [t0, t]: L = dL .to t

(4.2.5)

Avnd n vedere (4.2.2), (4.2.4) devine:

dL = Fi (vO + x ri ) dt =i =1

n

= Fi vO dt + Fi ( x ri ) dt = S1 + S 2i =1 i =1

n

n

S 1 = ( Fi ) vO dt = F vO dt ;Fig. 4.2.2i =1

n

S 2 = dt ( ri x Fi ) = dt (ri x Fi ) =i =1 i =1

n

n

= dt M O = M O dtdL = F vO dt + M O dt = ( F vO + M O ) dt , (4.2.6) reprezentand lucrul mecanic elementar al unui torsor. Deoarece forta rezultanta F si momentul rezultant M O pot depinde de parametrii de pozitie ai solidului (ca la solicitarile elastice), de primele lor derivate n raport cu timpul (ca la forta de amortizare vascoasa) si chiar de timp, rezulta ca dL nu reprezinta (n general) diferentiala totala

a unei functii L, iar lucrul mecanic total:

L = dL = ( F vO + M O ) dtto to

t

t

(4.2.7)

nu se va putea deci calcula (dect n cazuri de exceptie) prin diferenta valorilor unei primitive L, corespunzatoare momentelor t0 si t. MODUL DE CALCUL A)- Pentru o forta F : dL = F dr1

Acest produs scalar se poate calcula n trei moduri (fig. 4.2.3): a) dL = F ds cos ( F , dr1 ) ; b) dL = Fx1 d x1 + Fy1 d y1 + Fz1 d z1 ; c) dL = F v dt = F v cos( F , v ) dt , unde: ds este lungimea arcului de curba infinitezimal descris de punctul de aplicatie al fortei (n intervalul de timp dt); v este viteza punctului de aplicatie al fortei. B)- Pentru un moment M , din (4.2.6) rezulta: dL = M dt = M cos( M , ) dt , n care este viteza unghiulara a corpului asupra caruia actioneaza momentul M . Fig. 4.2.3 C)- Lucrul mecanic total: L =to

dL .

t

PROBLEMA 1 (fig. 4.2.4) Sa se calculeze lucrul mecanic total efectuat de o forta de greutate G, care-si deplaseaza punctul de aplicatie ntre doua pozitii A si B, de cote respectiv zA si zB :

L AB (G ) = dL (G ) = ( G k ) x ( dx i + dy j + dz k ) =A B A B zB

= G dz = G dz = G (z A - z B ) = G h z unde AB este diferentaA pozitiva dintre cotele (n natura: h altitudinile) punctelor de capat (sau: h este distanta dintreplanele orizontale ce contin punctele de capat). Procednd analog: LB-A = - G h . In concluzie: L( G )= G h = m g h ; (4.2.14) se ia semnul + cnd greutatea coboara si - cnd urca.

Fig. 4.2.4 PROBLEMA 2 Sa se calculeze lucrul mecanic total al solicitarilor care actioneaza asupra rotii din figura 4.2.5. Roata are greutatea G, raza R si este trasa de forta constanta F, pe un plan nclinat cu unghiul . Roata se rostogoleste fara alunecare pe distanta C0C1 = l, coeficientul de frecare la rostogolire fiind s.

L( F ) = dL ( F ) = F dx cos( F ; dro ) =Co C1 Co C1

= F dx cos0 o = F l0

rezultat la care se poate ajunge mai rapid cu relatia (4.2.1). L( G ) = - G h = - G l sin

Fig. 4.2.5

L( N ) = dL ( N ) = N v I cos( N ; v I ) dt = 0 I I o I1 pentru ca I ov I1 = 0 ; acest rezultat se poate generaliza, n sensul ca ntotdeauna L( N ) = 0. L(T ) = dL (T ) = T v I cos( T ; v I ) dt = 0 ,I o I1 I o I 1

pentru ca v I =0 ; deci la rostogolirea fara alunecare: L( T ) = 0 , pentru ca T se aplica mereu altui punct. L (M r ) =

o o dL(M r ) = M r cos(M r ; ) d t = s N R cos 180 d t = R vo d t = R d x = R N , t t t t 0o o o o

t1

t1

t1

v

sN

t1

sN

l

s

daca N = const. .: courses hacked by PredatoR :.