CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr...

24
1 CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 SISTEMATIZAREA, PREZENTAREA ŞI REPREZENTAREA DATELOR STATISTICE Cuprins: 1. Obiectivele Unităţii de învăţare. 2. Sistematizarea datelor statistice (gruparea/clasificarea). 2.1. Clasificarea datelor statistice. 2.2. Gruparea datelor statistice 3. Modalităţi de prezentare şi reprezentare a datelor statistice. 3.1. Serii statistice. 3.2. Tabele statistice. 3.3. Grafice statistice. 4. Răspunsuri la testele de autoevaluare. 5. Teme de control. 6. Rezumatul Unităţii de învăţare. 7. Bibliografia Unităţii de învăţare. 1. Obiectivele unităţii de învăţare În urma parcurgerii acestei unităţi de învăţare studentul va înţelege: - cum se poate face trecerea de la etapa de culegere a datelor la cea de prelucrare propriuzisă a lor; - cum se pot transpune seturile mari de date colectate dintr-o formă aleatoare, neregulată, într-o formă ordonată, organizată; - cum se efectuează sistematizarea seturilor largi de date statistice, după o variabilă calitativă sau după o variabilă cantitativă; - care sunt principalele tipuri de serii statistice; - cum să alegem tipul cel mai potrivit de grafic necesar pentru reprezentarea datelor statistice.

Transcript of CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr...

Page 1: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

1

CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4

SISTEMATIZAREA, PREZENTAREA ŞI REPREZENTAREA

DATELOR STATISTICE

Cuprins:

1. Obiectivele Unităţii de învăţare.

2. Sistematizarea datelor statistice (gruparea/clasificarea).

2.1. Clasificarea datelor statistice.

2.2. Gruparea datelor statistice

3. Modalităţi de prezentare şi reprezentare a datelor statistice.

3.1. Serii statistice.

3.2. Tabele statistice.

3.3. Grafice statistice.

4. Răspunsuri la testele de autoevaluare.

5. Teme de control.

6. Rezumatul Unităţii de învăţare.

7. Bibliografia Unităţii de învăţare.

1. Obiectivele unităţii de învăţare

În urma parcurgerii acestei unităţi de învăţare studentul va înţelege:

- cum se poate face trecerea de la etapa de culegere a datelor la cea de

prelucrare propriuzisă a lor;

- cum se pot transpune seturile mari de date colectate dintr-o formă aleatoare,

neregulată, într-o formă ordonată, organizată;

- cum se efectuează sistematizarea seturilor largi de date statistice, după o

variabilă calitativă sau după o variabilă cantitativă;

- care sunt principalele tipuri de serii statistice;

- cum să alegem tipul cel mai potrivit de grafic necesar pentru reprezentarea

datelor statistice.

Page 2: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

2

2. Sistematizarea datelor statistice (gruparea/clasificarea).

Am văzut că statistica operează cu volume mari de date. Dacă aceste date sunt

prezentate într-o formă aleatoare neregulată, este dificil, investigând vizual setul de date, să-l

caracterizăm prin trăsăturile sale esenţiale, prin valorile extreme, tendinţa centrală sau gradul

de dispersare. De aceea, putem întâi supune setul de date unor operaţii de prezentare

sistematică, de organizare, de ordonare a acestor date după unul sau mai multe criterii, într-

un cuvânt de sistematizare.

Această operaţie face trecerea de la observarea statistică (în urma căreia s-au obţinut

datele necesare realizării obiectivelor investigaţiei statistice, verificate sub aspectul volumului

şi calităţii) şi prelucrarea propriuzisă.

Sistematizarea este parte a prelucrării primare a datelor statistice.

Sistematizarea datelor se realizează prin gruparea şi clasificarea datelor statistice.

Atunci când criteriul (caracteristica) după care se realizează această operaţie este unul

numeric, cantitativ, ea se numeşte grupare, iar când operaţia se realizează după un criteriu

(caracteristic) calitativ, nenumeric, ea se numeşte clasificare.

La realizarea unei grupări/clasificări, trebuie, pe cât posibil, să îndeplinim următoarele

condiţii:

a) omogenitate (în sensul că unităţile statistice care au aceeaşi valoare sau valori

apropiate, asemănătoare, ale caracteristicii după care se efectuează sistematizarea vor

fi incluse în aceeaşi clasă; în felul acesta, se doreşte ca variaţia valorilor caracteristicii

incluse în aceeaşi grupă/clasă să fie cât mai mică);

b) unicitate (în sensul că o unitate statistică trebuie inclusă într-o singură clasă sau grupă,

ea nu se poate regăsi simultan în două sau mai multe clase/grupe);

c) completitudine (în sensul că toate unităţile statistice să fie incluse în grupe/clase, să nu

fie exclusă vreo unitate din operaţia de sistematizare).

Sistematizarea datelor statistice cuprinde operaţiile de prezentare sistematică, de organizare, de ordonare a acestor date după unul sau mai multe criterii.

Gruparea/clasificarea datelor statistice presupune împărţirea unităţilor populaţiei statistice observate în grupe sau clase distincte omogene, după unul sau mai multe criterii.

Page 3: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

3

Sunt cazuri în care nu este posibilă îndeplinirea simultană a tuturor acestor condiţii (de

exemplu: dacă sunt unităţi la care s-au înregistrat valori extreme, aberante, ale caracteristicii

după care se face sistematizarea, este de dorit, uneori, să se evidenţieze separat aceste cazuri,

să se scoată în afara grupării aceste unităţi şi să se sistematizeze restul unităţilor, la care s-au

înregistrat valori mai apropiate ale variabilei).

2.1. Clasificarea datelor statistice.

Se construieşte un număr de clase egal cu numărul categoriilor existente, iar prin

numărarea unităţilor statistice incluse în fiecare clasă obţinem frecvenţa acelei clase (volumul

ei).

Unele clasificări au caracter oficial, altele au caracter neoficial.

Dacă datele sunt sistematizate după o variabilă categorială (nominală), ordinea

claselor este lăsată la îndemâna cercetătorului.

☺☺☺☺ Exemplul 1

Distribuţia absolvenţilor unei facultăţi economice după domeniul în care s-au angajat este:

Domeniu Număr de absolvenţi (ni)

Contabilitate 95 Marketing 72 Finanţe 55 Management economic 43 Altele sau fără loc de muncă 35 Total 300

Dacă datele se referă la variabile ordinale, clasele vor respecta criteriul de ordine:

☺☺☺☺ Exemplul 2

Distribuţia studenţilor unei grupe după calificativul obţinut la un proiect este:

Calificativ (xi) Număr de studenţi (ni)

Insuficient 3 Satisfăcător 4 Bine 15

Sistematizarea datelor efectuată după o variabilă ne-numerică se numeşte clasificare. Ea presupune împărţirea unităţilor în clasele/categoriile variabilei nenumerice considerate.

Page 4: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

4

Foarte bine 6 Excelent 2 Total 30

2.2. Gruparea datelor statistice.

În funcţie de tipul variabilei de grupare (discretă sau continuă) şi de plaja valorilor pe

care le poate caracteristica, gruparea se poate face:

- pe variante (atunci când grupăm datele după o variabilă discretă sau când plaja

valorilor pe care le poate lua caracteristica nu este foarte mare);

- pe intervale de variaţie (atunci când sistematizăm datele după o variabilă

continuă, care are o plajă largă de valori.

A). Gruparea datelor statistice pe variante.

În acest caz, se va forma un număr de grupe egal cu numărul de variante. Prin

numărarea unităţilor incluse în fiecare grupă se obţine frecvenţa grupei (numită şi frecvenţă

absolută).

☺☺☺☺ Exemplul 3

Pentru 20 de familii s-a înregistrat numărul de copii: 1, 2, 3, 0, 2, 0, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 0, 2, 1, 3,

1, 2, 4, 2. Să se realiezeze o sistematizare a datelor.

Număr de copii (xi) Număr de familii (ni)

0 3 1 5 2 8 3 3 4 1

Total 20

Observăm că variabila de grupare este numărul de copii, variabilă discretă cu puţine variante

(cinci variante), deci s-a realizat o grupare pe variante.

B). Gruparea pe intervale de variaţie.

Gruparea reprezintă sistematizarea datelor după o variabilă (caracteristică) numerică.

Page 5: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

5

Se poate efectua pe intervale de mărime egală sau diferită. În continuare vom trata

numai cazul grupării datelor statistice pe intervale egale de variaţie.

Pentru realizarea grupării pe intervale egale de variaţie se recomandă parcurgerea

următorilor paşi:

a) se determină amplitudinea variaţiei caracteristicii, ca diferenţă între valoarea

maximă şi valoarea minimă a caracteristicii.

minmax xxA −=

b) se stabileşte numărul de grupe. În acest caz pot exista două situaţii:

- numărul de grupe (r) este prestabilit, pe baza experienţei căpătate din studii anterioare

asupra domeniului de interes.

- numărul de grupe (r) nu este prestabilit; în acest caz, dacă unităţile se repartizează

aproximati normal după caracteristica studiată, se poate utiliza pentru determinarea

numărul de grupe relaţia lui Sturges:

nr lg322,31 ⋅+=

unde n este numărul total de unităţi ale colectivităţii.

Este recomandat a se folosi un număr potrivit de grupe (de regulă între 4 şi 10).

Utilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a colectivităţii

(putând apare, în acest caz şi grupe cu frecvenţe nule, iar gruparea ar trebui refăcută);

utilizarea, dimpotrivă, a unui număr prea mic de grupe ar putea să nu pună în evidenţă

principalele tipuri calitative ale populaţiei după variabila urmărită).

c) se determină mărimea intervalului de grupare (h), ca raport între amplitudinea

caracteristicii şi numărul de grupe:

r

Ah =

Pentru uşurarea calculelor, se recomandă a se folosi mărimi rotunjite de interval, de

aceea, dacă valoarea reieşită din calcul este fracţionară, cu mai multe zecimale, ea se poate

rotunji prin adaos la o valoare imediat superioară, aleasă în mod convenabil.

De exemplu: dacă h = 4,4225, se poate rotunji valoarea la h = 4,5 sau chiar la h = 5.

d) se formează intervalele de grupare, prin precizarea limitelor exacte ale acestora.

xmin xmin+h xmin+h xmin+2h ..................................................... xmin + (r — 1).h xmin + r⋅ h

Page 6: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

6

Limitele intervalelor vor avea acelaşi grad de precizie ca şi datele grupate (acelaşi

număr de zecimale), primul interval putând începe chiar de la valoarea minimă a

caracteristicii, sau de la o valoare uşor inferioară acesteia, aleasă în mod convenabil. Este bine

să nu existe suprapuneri de limite, astfel încât la efectuarea grupării să poată fi respectată

condiţia de unicitate.

- Dacă limita superioară a unui interval coincide cu limita inferioară a intervalului

următor, intervalele se numesc continue;

- Dacă între limita superioară a unui interval şi limita inferioară a intervalului următor

există o diferenţă de o unitate întreagă sau zecimală, intervalele se numesc

discontinue sau discrete.

Rezultatele sistematizării pot fi redate cu ajutorul unui tabel asemănător celui din

exemplul următor.

☺☺☺☺ Exemplul 4

În vederea analizei oportunităţii deschiderii unui magazin ce vinde aparatură

electrocasnică, un analist financiar este interesat în cunoaşterea nivelului vânzărilor zilnice ale

magazinelor de profil. Pentru 50 de astfel de magazine alese întâmplător, înregistrează

valoarea facturilor emise zilnic. Datele sunt următoarele (mii lei):

10,5 8,0 8,2 9.6 7,1 8,4 7,9 8,0 7,2 5,2

10,5 6,8 7,7 8,8 7,7 9,0 9,5 7,4 11,3 5,9 9,2 8,1 6,5 8,5 5,2 9,7 11,5 9,5 9,4 5,6 6,6 9,9 8,2 10,5 11,7

10,6 6,9 6,9 6,9 6,0 10,1 7,5 7,2 6,5 7,8 7,1 11,1 8,2 7,5 6,5

Să se sistematizeze datele, grupându-se pe intervale egale de variaţie

Rezolvare

Se notează cu X – caracteristica de grupare (valoarea facturilor emise zilnic). Se parcurg următorii paşi:

• se calculează amplitudinea variaţiei caracteristicii (Ax): Ax = xmax - xmin =11,7–5,2=6,5 mii lei;

• se stabileşte numărul de grupe (r): r=1+3,32 ln =1+3,322lg 50 =6,64≈7 (formula lui Sturges);

• se stabileşte mărimea intervalului de grupare (h): h = Ax / r =6,5/7≈1 mii lei;

• se stabilesc intervalele de variaţie şi se efectuează gruparea

Page 7: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

7

Varianta I Varianta II

Intervale de variaţie a valorii facturilor emise zilnic (mii lei)

Nr. magazine

(ni)

Intervale de variaţie a valorii facturilor emise zilnic (mii lei)

Nr. magazine

(ni) 5,0 – 6,0 4 5,0 – 6,0 5 6,0 – 7,0 9 6,0 – 7,0 8 7,0 – 8,0 11 7,0 – 8,0 13 8,0 – 9,0 9 8,0 – 9,0 8

9,0 – 10,0 8 9,0 – 10,0 7 10,0 – 11,0 5 10,0 – 11,0 5 11,0 - 12,0 4 11,0 - 12,0 4

Total 50 Total 50 Notă: limita inferioară inclusă în interval. Notă: limita superioară inclusă în interval.

Varianta III

Intervale de variaţie a valorii facturilor emise zilnic (mii lei)

Nr. magazine (ni)

5,0 – 5,9 4 6,0 – 6,9 9 7,0 – 7,9 11 8,0 – 8,9 9 9,0 – 9,9 8

10,0 – 10,9 5 11,0 – 11,9 4

Total 50 Notă: intervale discontinue.

Se recomandă utilizarea intervalelor continue (varianta I sau varianta II).

3. Modalităţi de prezentare şi reprezentare a datelor statistice.

Rezultatul sistematizării datelor prin grupare/clasificare se prezintă sub formă de:

- serii statistice;

- tabele statistice;

- grafice statistice.

3.1. Serii statistice.

Seriile statistice se pot clasifica după următoarele criterii:

a) în funcţie de conţinutul variabilei după care se face sistematizarea, avem:

i. serii cronologice (se referă la o variabilă de timp);

ii. serii teritoriale (se referă la o variabilă de spaţiu);

Seria statistică reprezintă un mod organizat de prezentare a datelor, sub forma a două şiruri: primul se referă la criteriul de sistematizare iar al doilea cuprinde datele numerice sau frecvenţele de apariţie şi depinde de ordinea de apariţie din primul şir.

Page 8: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

8

iii. serii de distribuţie de frecvenţe (sau repartiţii de frecvenţe, care se referă la o

variabilă atributivă).

b) după natura variabilei, seriile de distribuţie pot fi.

i. distribuţii heterograde (după o variabilă cantitativă);

ii. distribuţii homograde (după o variabilă calitativă);

c) după numărul variantelor, distribuţiile pot fi:

i. distribuţii pe variante sau valori;

ii. distribuţii pe grupe de variante (în cazul distribuţiilor homograde) sau pe

intervale de valori (în cazul distribuţiilor heterograde).

d) în funcţie de numărul variabilelor după care se face sistematizarea, întâlnim:

i. distribuţii de frecvenţe unidimensionale (când sistematizarea datelor s-a

efectuat după o singură variabilă);

ii. distribuţii de frecvenţe bidimensionale (când sistematizarea datelor s-a efectuat

în funcţie de două variabile);

iii. distribuţii multidimensionale (când sistematizarea datelor s-a efectuat în

funcţie de trei sau mai multe variabile);

Serii de distribuţie de frecvenţe (repartiţii de frecvenţe)

A. Serii de distribuţie de frecvenţe unidimensionale

A1. Distribuţii heterograde (după o variabilă numerică).

Se pot reprezenta sub forma:

- pentru o caracteristică discretă (repartiţii de frecvenţe pe variante/valori):

ri

ri

nnnn

xxxxX

... ...

... ...:

21

21 ,

unde ni ( ri ,1= ) sunt frecvenţele de apariţie ale variantei xi.

Seria de distribuţie de frecvenţe unidimensională reprezintă o serie în care primul şir cuprinde variantele/valorile sau intervalele de variaţie ale unei variabile, iar al doilea şir – frecvenţele de apariţie ale variantelor sau volumul grupelor.

Page 9: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

9

- pentru o caracteristică continuă (repartiţie de frecvenţe pe intervale de valori):

<<<<<<<<

ri

rrii

nnnn

xXxxXxxXxxXxX

... ...

... ...:

21

supinfsupinfsup2

inf2

sup1

inf1

sau

ri

ri

nnnn

xxxxX

... ...

... ...:

21

21

unde xi , ri ,1= sunt centrele intervelor de variaţie.

Serii de repartiţie de frecvenţe pe intervale de variaţie

Se prezintă sub forma:

Intervale de variaţie ale caracteristicii de grupare Număr de unităţi statistice (ni) sup1

inf1 xx − n1

sup2

inf2 xx − n2

... ... supinfii xx − ni

... ... supinfrr xx − nr

Total ∑=

=r

iinn

1

unde: supinf , ii xx reprezintă limita inferioară, respectiv superioară, a intervalului de variaţie „i”.

Vom considera doar cazul intervalelor egale şi continue.

Centrul intervalului este determinat ca medie aritmetică simplă a limitelor intervalului

şi este considerat reprezentativ pentru datele din acel interval. Se determină cu una din

relaţiile:

2

supinfii

ixx

x+

= sau 2

inf iii

hxx += , unde hi este mărimea intervalului.

Frecvenţa absolută a grupei (ni) este egală cu numărul de unităţi statistice care au

valoarea caracteristicii mai mare (sau egală) cu limita inferioară a intervalului şi mai mică

(sau egală) cu limita superioară a acesteia. Suma frecvenţelor absolute este notată cu n şi

reprezintă numărul total de unităţi sau volumul eşantionului. ∑=

=r

iinn

1

Frecvenţa relativă a unei grupe ( *in ) reprezintă ponderea unităţilor statistice în

volumul total al colectivităţii care au valoarea caracteristicii cuprinsă între limita inferioară şi

Page 10: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

10

cea superioară a grupei respective. Se determină ca raport între frecvenţa absolută a grupei şi

volumul eşantionului (eventual înmulţit cu 100).

n

n

n

nn i

r

ii

ii ==

∑=1

* şi se exprimă în coeficienţi,

sau

100100

1

*% ⋅=⋅=

∑=

n

n

n

nn i

r

ii

ii şi se exprimă în procente.

Suma frecvenţelor relative este 1 sau 100, după cum sunt exprimate în coeficienţi sau

în procente.

11

* =∑=

r

iin sau 100

1

*% =∑

=

r

iin

Frecvenţele cumulate.

Sunt de două tipuri: cumulate crescător şi cumulate descrescător.

Frecvenţa absolută cumulată crescător a unei grupe este egală cu numărul unităţilor

care au valoarea variabilei mai mică (sau egală) cu limita superioară a grupei (mai exact între

inf1x şi sup

ix ).

∑=

=i

kki nFc

1

Frecvenţa absolută cumulată crescător a ultimei grupe este egală cu volumul colectivităţii (cu

n).

Frecvenţa absolută cumulată descrescător a unei grupe este egală cu numărul

unităţilor pentru care valoarea caracteristicii este mai mare (sau egală) cu limita inferioară a

grupei (mai exact între infix şi sup

rx ):

∑=

=r

ikki nFd

Frecvenţa absolută cumulată descrescător a primei grupe este egală cu numărul total de unităţi

statistice (cu n):

Asemănător se determină şi frecvenţele relative cumulate crescător şi descrescător,

conform relaţiilor:

Page 11: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

11

∑=

=i

kki nFc

1

** , ∑=

=r

ikki nFd **

Frecvenţele absolute, relative şi cumulate oferă o imagine de ansamblu asupra tendinţei de

distribuţie a valorilor în colectivitate, asupra normalităţii, simetriei ori asimetriei repartiţiei de

frecvenţe.

☺☺☺☺ Exemplu 5

Pentrul datele din exemplul 4 (varianta I) s-au determinat: frecvenţele absolute,

frecvenţele relative, centrele de interval şi frecvenţele absolute cumulate:

Intervale de variaţie a valorii facturilor emise zilnic (mii lei)

Nr. magazine (ni)

Ponderea magazinelor

( *%in )

Centre de interval (xi)

Frecvenţe absolute cumulate

Crescător Descrescător

[5,0 – 6,0) 4 8 5,5 4 50 [6,0 – 7,0) 9 18 6,5 13 46 [7,0 – 8,0) 11 22 7,5 24 37 [8,0 – 9,0) 9 18 8,5 33 26

[9,0 – 10,0) 8 16 9,5 41 17 [10,0 – 11,0) 5 10 10,5 46 9 [11,0 – 12,0) 4 8 11,5 50 4

Total 50 100 - - -

Serii de repartiţie de frecvenţe pe variante (discrete)

Se prezintă astfel:

Variantele/valorile caracteristicii de grupare (xi) Număr de unităţi statistice (ni) x1 n1 x2 n2 ... ... xi ni ... ... xr nr

Total ∑=

=r

iinn

1

unde: ni reprezintă numărul unităţilor care prezintă valoarea xi a caracteristicii de grupare (se

mai numesc frecvenţe absolute);

Prin însumarea frecvenţelor grupelor (ni) se obţine volumul total al colectivităţii (n).

Şi pentru această serie se determină toate tipurile de frecvenţe prezentate anterior.

☺☺☺☺ Exemplul 6

Page 12: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

12

Pentrul situaţia din exemplul 3 s-au determinat: frecvenţele absolute, frecvenţele relative,

şi frecvenţele absolute cumulate:

Număr de copii (xi)

Număr de familii (ni)

Frecvenţe relative

( *in )

Frecvenţe absolute cumulate

Crescător Descrescător

0 3 0,15 3 20 1 5 0,25 8 17 2 8 0,40 16 12 3 3 0,15 19 4 4 1 0,05 20 1

Total 20 1,00 - -

A2. Distribuţii homograde (după o variabilă nenumerică).

Şi pentru distribuţiile homograde, în care sistematizarea datelor este realizată după o

variabilă calitativă, se pot calcula frecvenţe absolute şi relative (vezi exemplul 1).

Dacă sistematizarea s-a efectuat după o variabilă ordinală, se pot calcula şi frecvenţe

cumulate.

☺☺☺☺ Exemplul 7

Pentrul clasificarea din exemplul 2 s-au determinat: frecvenţele absolute, frecvenţele

relative, şi frecvenţele absolute cumulate:

Calificativ (xi)

Număr de studenţi (ni)

Frecvenţe relative

( *in )

Frecvenţe absolute cumulate

Crescător Descrescător

Insuficient 3 0,10 3 30 Satisfăcător 4 0,13 7 27

Bine 15 0,50 22 23 Foarte bine 6 0,20 28 8

Excelent 2 0,07 30 2 Total 30 1,00 - -

B. Serii de distribuţie de frecvenţe bidimensionale.

Forma generală a unei distribuţii de frecvenţe bidimensionale, în care s-au luat în

considerare două variabile statistice X şi Y este prezentată în tabelul următor.

Page 13: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

13

Distribuţia de frecvenţe bidimensională

Variante sau centre de interval pt. variabila X

Variante sau centre de interval pt. variabila Y Total unităţi y1 y2 ... yj ... yp

x1 n11 n12 ... n1j ... n1p n1. x2 n21 n22 ... n2j ... n2p n2. ... ... ... ... ... ... ... ... xi ni1 ni2 ... nij ... nip ni. ... ... ... ... ... ... ... ... xr nr1 nr2 ... nrj ... nrp nr.

Total unităţi n.1 n.2 ... n.j ... n.p n..

Tabelul de mai sus reprezintă un tabel de corelaţie, în care avem:

xi, ri ,1= este varianta sau centrul de interval pentru grupa „i”, formată după valorile

variabilei X;

yj, pj ,1= este varianta sau centrul de interval al grupei „j”, formată după valorile variabilei

Y;

nij, ri ,1= ; pj ,1= reprezintă numărul unităţilor statistice la care întâlnim simultan valoarea

xi a caracteristicii X şi valoarea yj a caracteristicii Y;

∑=

=p

jiji nn

1. este numărul de unităţi statistice care au valoarea xi a caracteristicii X, indiferent

de valoarea caracteristicii Y;

∑=

=r

iijj nn

1. este numărul de unităţi statistice care au valoarea yj a caracteristicii Y, indiferent

de valoarea caracteristicii X;

∑∑∑∑=== =

====p

jj

r

ii

r

i

p

jij nnnnn

1.

1.

1 1

.. este volumul total al colectivităţii.

☺☺☺☺ Exersaţi în … Excel

Nivelul profitului anual (mii RON) pentru 50 de firme producătoare de mobilă este:

62 90 91 93 95 82 99 102 105 110 89 123 133 145 164 97 65 72 76 79

114 84 86 87 89 63 91 92 94 96 83 101 104 107 113

119 132 134 146 174 64 69 74 77 98 84 85 86 88 102

Page 14: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

14

Să se sistematizeze datele pe 7 intervale egale de variaţie şi să se reprezinte grafic, folosind metodele

statistice implementate în Excel.

Rezolvare folosind EXCEL: 1. În celula A1 tastaţi textul „Profit“ şi începând de la celula A2 introduceţi datele. 2. În celula B1 tastaţi textul „Bin“. În celula B2 introduceţi limita superioară a primului interval: 78

(62+16=78), în B3 a celui de-al doilea interval: 94 (78+16=94) etc. 3. Apăsaţi Tools/Data Analysis şi Histogram. 4. Introduceţi Input Range (A1:A51) şi Bin Range (B1:B8). Selectaţi Labels. 5. Selectaţi Chart Output, New Workbook şi apăsaţi OK. 6. Se va obţine o histogramă cu spaţii între coloane. Pentru a obţine o histogramă cu coloanele lipite se

parcurg următorii paşi. 7. Se poziţionează cursorul pe coloanele histogramei. Se apasă de două ori pe butonul din stânga al

mouse-ului. Se va deschide o fereastră Format Data Series. În această fereastră se merge pe Options şi la Gap width se trece 0. Se apasă OK.

Se obţin rezultatele:

Bin Frequency Histogram

0

5

10

15

20

78 94 110 126 142 158 174 More

Bin

Frequency

78 9

94 18

110 12

126 4

142 3

158 2

174 2

Din histogramă se poate observa că variabila studiată nu are o distribuţie normală. Dacă se doreşte afişarea frecvenţelor relative cumulate se selectează la pasul 5 şi Cumulative

Percentage. Pentru realizarea curbei cumulative a frecvenţelor se apasă Insert/Chart. Se selectează Line iar la Data Range se introduc celulele corespunzătoare frecvenţelor cumulate.

La Series/Category (X) axis labels se introduc celulele corespunzătoare capetelor de interval (coloana Bin). Se apasă Next/Next/FINISH.

Se obţine curba cumulativă a frecvenţelor relative:

Cumulative %

,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

78 94 110 126 142 158 174

Page 15: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

15

Testul de autoevaluare nr. 1.

1. Frecvenţa absolută cumulată crescător a unei grupe reprezintă:

a) ponderea unităţilor care se încadrează în grupa respectivă;

b) ponderea unităţilor care au valoarea caracteristică mai mică sau eventual egală cu limita

superioară a grupei;

c) numărul unităţilor care au valoarea caracteristicii mai mică sau egală cu limita

inferioară a grupei;

d) numărul unităţilor care au valoarea caracteristicii mai mică sau egală cu limita

superioară a grupei;

e) numărul unităţilor care au valoarea caracteristicii mai mare sau egală cu limita

inferioară a grupei.

2. Se cunosc datele următoare:

Număr de piese realizate zilnic (bucăţi) Muncitori (%) 10 5 15 20 17 45 20 15 22 15

Tabelul prezintă:

a) o distribuţie heterogradă de frecvenţe absolute;

b) o distribuţie homogradă de frecvenţe absolute;

c) o distribuţie heterogradă de frecvenţe relative, pe variante;

d) o distribuţie homogradă de frecvenţe relative;

e) nici una dintre variantele de mai sus.

3. Frecvenţa relativă cumulată crescător a ultimei grupe este egală cu:

a) numărul unităţilor statistice din grupa respectivă;

b) ponderea unităţilor statistice din grupa respectivă în total colectivitate;

c) 100%;

d) numărul total de unităţi statistice din colectivitate;

e) 1,00.

Page 16: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

16

3.2. Tabele statistice.

Aşa cum am arătat, alături de grafice, şi tabelele statistice joacă un rol important în

prezentarea dateor, căci ele pot releva anumite aspecte pe care graficele nu le pot pune în

valoare. În unele situaţii, este mai importantă prezentarea valorilor numerice ale datelor, decât

o vizualizare grafică a acestora. În felul acesta, tabelele reprezintă un instrument

complementar graficelor, de prezentare rapidă şi eficientă a datelor, dar şi de sistematizare a

acestora.

Pentru ca un tabel statistic să fie corect elaborat şi să-şi atingă scopul, trebuie să

conţină un set de elemente obligatorii sau opţionale şi să respecte unele reguli:

- titlul tabelului este un element obligatoriu plasat înaintea tabelului, care descrie clar şi

concis conţinutul datelor pe care le cuprinde;

- macheta tabelului este o reţea de linii ce alcătuiesc rubricile tabelului;

- subiectul tabelului este format din populaţia la care se referă datele înscrise în tabel;

- predicatul tabelului este format din sistemul de indicatori redaţi în tabel;

- rubricile tabelului sunt spaţiile create la întretăierea liniilor orizontale cu cele verticale,

în care sunt înscrise datele;

- datele statistice înscrise în tabel pot fi sub formă numerică sau textuală;

- unitatea de măsură trebuie precizată pentru fiecare din indicatorii înscrişi în tabel; dacă

toţi sunt exprimaţi în aceeaşi unitate de măsură, atunci aceasta se poate trece deasupra

tabelului;

- sursa datelor;

- numărul tabelului – este necesar mai ales atunci când se folosesc mai multe tabele,

pentru identificarea lor;

- note explicative, metodologice

3.3. Grafice statistice.

Alegerea tipului de grafic depinde de tipologia datelor pe care vrem să le reprezentăm.

Astfel, putem utiliza:

- grafice într-un sistem de coordonate;

- grafice cu ajutorul unor figuri geometrice;

Tabelul statistic cuprinde una sau mai multe serii statistice, ai căror termeni sunt înscrişi într-o reţea de linii şi coloane.

Page 17: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

17

- grafice cu ajutorul hărţior sau al altor figuri naturale sau simbolice.

Pentru ca un grafic să-şi atingă scopul pentru care a fost proiectat, el trebuie să fie

corect întocmit, să respecte anumite reguli generale, să cuprindă o serie de elemente

obligatorii sau opţionale şi anume:

� titlul graficului;

� sistemul de coordonate;

� scara de reprezentare;

� reţeaua graficului;

� legenda;

� note explicative, sursa datelor etc.

Tipuri de reprezentări grafice utilizate în cazul seriilor de distribuţie de frecvenţe

1. Histograma:

Histograma conţine o succesiune de dreptunghiuri, cu bazele corespunzătoare lungimii

in-tervalelor şi înălţimile egale cu numărul de observaţii din fiecare interval (sau cu ponderea

lor). Dacă intervalele au mărime egală, atunci şi coloanele vor avea lăţime egală.

Permite vizualizarea distribuţiei de frecvenţe absolute sau relative, după o variabilă

numerică continuă (pe intervale).

2. Poligonul frecvenţelor:

Poligonul frecvenţelor este şi el utilizat pentru reprezentarea grafică a distribuţiilor de

frecvenţe absolute sau relative, atunci când sistematizarea datelor s-a făcut după o

caracteristică numerică continuă sau discontinuă. Pentru construirea lui, din fiecare valoare a

caracteristicii sau din fiecare centru de interval se ridică câte o perpendiculară şi se marchează

pe ea punctul aflat la o distanţă egală cu frecvenţa variantei sau intervalului respectiv. Unind

toate punctele astfel găsite rezultă un poligon numit „poligonul frecvenţelor”.

Poligonul frecvenţelor se poate suprapune peste histogramă în cadrul aceluiaşi grafic,

sau se poate trasa într-un grafic separat.

3. Curbele frecvenţelor cumulate:

Curbele frecvenţelor cumulate (ogivele), numite şi „curbele cumulative ale

frecvenţelor”, reprezintă o a treia modalitate de reprezentare grafică a distribuţiilor de

Page 18: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

18

frecvenţe pe intervale de variaţie sau pe variante. Ele se trasează atât pentru distribuţii de

frecvenţe absolute, cât şi pentru distribuţii de frecvenţe relative.

În cazul distribuţiilor de frecvenţe după o variabilă continuă:

- reprezentarea grafică a frecvenţelor cumulate crescător: pe axa Ox se reprezintă

limitele superioare ale intervalelor, iar pe axa Oy – frecvenţele cumulate crescător;

prin unirea punctelor astfel obţinute se trasează o curbă ascendentă.

- reprezentarea grafică a frecvenţelor cumulate descrescător: pe axa Ox se reprezintă

limitele inferioare ale intervalelor, iar pe axa Oy – frecvenţele cumulate descrescător;

prin unirea punctelor astfel obţinute se trasează o curbă descendentă.

În cazul distribuţiilor de frecvenţe după o variabilă discretă reprezentarea grafică a

frecvenţelor cumulate crescător va avea, de această dată, aspectul unei scări, pentru că nici o

unitate statistică nu poate avea valoarea caracteristicii situată între variantele stabilite

☺☺☺☺ Exemplul 8

Pentru distribuţia de frecvenţe din exemplul 4, obţinută după o variabilă continuă,

histograma, poligonul frecvenţelor şi curbele frecvenţelor cumulate se prezintă astfel:

0

2

4

6

8

10

12

5,0-6,0 6,0-7,0 7,0-8,0 8,0-9,0 9,0-

10,0

10,0-

11,0

11,0-

12,0

mii RON

Nr. magazine

0

2

4

6

8

10

12

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Valoarea facturilor (mii lei)

Nr. m

agazine (ni)

Din graficele realizate reiese că distribuţia magazinelor după valoarea facturilor emise

este o distribuţie cu tendinţă de normalitate.

Distribuţia magazinelor după valoarea facturilor Histograma Poligonul frecvenţelor

Page 19: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

19

Curbele cumulative ale frecventelor

0

10

20

30

40

50

60

5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0

mii RON

frecvente cumulate

frecvente cumulate crescator frecvente cumulate descrescator

☺☺☺☺ Exemplul 9

Pentru distribuţia de frecvenţe din exemplul 3, obţinută după o variabilă discretă,

poligonul frecvenţelor şi graficul frecvenţelor cumulate crescător se prezintă astfel:

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5

nr. copii

nr. familii

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5

Nr. copii

Frecvente cumulate

4. Graficul (diagrama) prin coloane sau benzi (bare)

Este folosit pentru reprezentarea distribuţiilor de frecvenţe absolute sau relative, în

care sistematizarea s-a făcut după o variabilă categorială, calitativă, măsurată pe scală

nominală. Graficul se trasează în sistemul de axe ortogonale Ox şi Oy, pe Ox se reprezintă

categoriile variabilei calitative, iar pe Oy frecvenţele (absolute sau relative) sau nivelul

indicatorului. Aşadar, graficul constă dintr-o succesiune de coloane de lăţime egală, câte o

coloană pentru fiecare categorie/variantă a variabilei nominale, egal distanţate între ele (la

distanţe, de regulă, mai mici decât grosimea coloanelor) şi cu înălţimea proporţională cu

frecvenţele sau nivelul indicatorului corespunzător categoriei respective. Dacă dreptunghiurile

a) Poligonul frecvenţelor b)Frecvenţe cumulate crescător

Page 20: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

20

sunt răsturnate cu 90% (şi au baza situată pe axa verticală) atunci reprezentarea grafică este o

diagramă prin benzi, cu axele inversate faţă de diagrama prin coloane.

☺☺☺☺ Exemplul 10

Pentru distribuţia de frecvenţe din exemplul 1, obţinută după o variabilă calitativă,

diagrama prin coloane şi cea prin benzi se prezintă astfel:

Distributia absolventilor dupa domeniul de

ocupare

0

20

40

60

80

100

Contabilitate Marketing Finanţe Management

ec.

Altele

Domeniul

Pers

oane

0 20 40 60 80 100

Contab.

Market.

Finanţe

Manag.

Altele

Domeniu

Persoane

5. Diagrama de structură.

Diagrama de structură este folosită pentru a reprezenta grafic structura unei

colectivităţi, sistematizate după valorile unei variabile cantitative sau calitative. Graficul arată,

aşadar, modul în care întregul se subdivide în părţi componente. De obicei, diagrama se

trasează cu ajutorul cercului, a cărui arie reprezintă întregul; acesta se împarte în mai multe

bucăţi („felii”), unghiul la centru corespunzător acestei părţi de cerc este proporţional cu

raportul dintre frecvenţa absolută şi volumul total al colectivităţii (adică cu frecvenţa relativă)

a acelei clase/grupe.

☺☺☺☺ Exemplul 11

Pentru distribuţiile de frecvenţe din exemplele 1 şi 4, diagrama de structură se prezintă

astfel:

a) Diagrama prin coloane b)Diagrama prin benzi

Page 21: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

21

32%

24%

18%

14%

12%

Contab.

Market.

Finanţe

Manag.

Altele

Structura magazinelor dupa valoarea facturilor

emise zilnic

5,0 – 6,0

8%6,0 – 7,0

18%

7,0 – 8,0

22%

8,0 – 9,0

18%

9,0 – 10,0

16%

10,0 – 11,0

10%

11,0 – 12,0

8%

Testul de autoevaluare nr. 2.

1. Subiectul unui tabel statistic reprezintă:

a) reţeaua de linii ce alcătuiesc rubricile tabelului;

b) colectivitatea la care se referă datele;

c) sistemul de indicatori cuprinşi în tabel;

d) datele numerice sau denumirile textuale care se completează în rubricile tabelului;

e) nici una dintre variantele de mai sus.

2. Presupunem că o firmă ce produce trei produse similare, doreşte să compare, prin

intermediul reprezentărilor grafice, ponderea vânzărilor pe produse în totalul vânzărilor, în doi

ani consecutivi. Reprezentarea grafică va fi:

a) histograma frecvenţelor relative;

b) diagrama de structură

c) cronograma

d) corelograma

e) diagrama prin suprafeţe

3. Care dintre următoarele reprezentări grafice sunt incorecte şi de ce?

Structura absolvenţilor după domeniul de ocupare

Page 22: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

22

0

Filiala

Vânzãri(mil)

10

20

30

A CB

a)

0

b)

Filiala

Vânzãri(mil)

10

20

30

A CB

c)

0

Filiala

Vânzãri(mil)

10

20

30

A CB

Ani

Stoc(mii buc.)

10

11

12

13

14

maiapr.mar.feb.ian.

d)

Ani

Stoc(mii buc.)

0

10

11

12

13

maiapr.mar.feb.ian.

e)

Ani

Stoc(mii buc.)

maiapr.mar.feb.ian.

f)

4. Răspunsuri la testele de autoevaluare

Răspunsuri la testul de autoevaluare nr. 1

1. d)

2. c)

3. c), e)

Răspunsuri la testul de autoevaluare nr. 2

1. b)

2. b). Se construieşte câte o diagramă de structură pentru fiecare an

3.)

a) este incorect, deoarece pe axa Ox sunt reprezentat variantele unei variabile calitative, şi de

aceea coloanele ar trebui să aibă lăţimi egale;

b) este incorect, deoarece coloanele ar trebui să fie disparate, puţin distante unele de altele,

pentru a nu da senzaţia de continuitate pe axa Ox.

c) este corect;

Page 23: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

23

d) este incorect, deoarece axa Oy îşi are originea în 10, nu în 0, aşa cum este cazul scalei de

raport;

e) este incorect, deoarece scările de reprezentare nu au fost alese echilibrat pe cele 2 axe,

(graficul este prea extins pe orizontală, ceea ce duce la falsa aplatizare, alternare a variaţiei

fenomenului);

f) este incorect deoarece pe axa Oy trebuie figurată o întrerupere de scară (între 0 şi 10).

Aşadar, incorecte sunt graficele a), b), d), e), f).

5. Teme de control

1. Se cunoaşte durata sejurului într-o staţiune montană (zile) pentru 30 de turişti:

12 4 16 13 5 8 9 9 11 3 12 6

10 8 11 7 10 20 15 12 9 16 18 12 6 11 10 7 6 14

a) Să se grupeze datele pe 6 intervale egale şi să se reprezinte grafic rezultatele

sistematizării;

b) Pentru distribuţia obţinută la punctul anterior, să se calculeze frecvenţele relative;

c) Să se reprezinte grafic structura colectivităţii de turişti după durata sejurului.

2. Pentru 200 de agenţi economici se cunosc datele:

Grupe de agenţi economici după numărul salariaţilor (pers.)

Sub 10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60

Ponderea agenţilor economici (%) 7 8 12 62 6 5

a) Să se reprezinte grafic structura agenţilor economici în funcţie de numărul salariaţilor ;

b) Să se reprezinte grafic distribuţia de frecvenţe absolute ;

c) Să se calculeze frecvenţele absolute cumulate şi să se reprezinte grafic.

3. La o societate comercială se analizează contractelor după valoarea acestora, astfel:

Intervale de variaţie a valorii contractelor (mii lei)

150-250

250-350

350-450

450-550

550-650

650-750

Număr de contracte 25 50 18 9 5 3

a) Să se reprezinte grafic distribuţia de frecvenţe relative;

b) Să se calculeze frecvenţele absolute cumulate şi să se reprezinte grafic;

c) Să se calculeze centrele intervalelor de variaţie.

Page 24: CURS STATISTICĂ - Unitatea de învăţare nr. 4 ... · PDF fileUtilizarea unui număr prea mare de grupe ar duce la fărâmiţarea excesivă a ... Limitele intervalelor vor avea acelaşi

24

6. Rezumatul Unităţii de învăţare

În acest capitol am învăţat să supunem setul de date unor operaţii de prezentare sistematică, de organizare, de ordonare după unul sau mai multe criterii, într-un cuvânt de sistematizare. Includem aici operaţiile de grpare/clasificare.

Gruparea / clasificarea datelor statistice presupune împărţirea unităţilor populaţiei statistice observate în grupe sau clase distincte omogene, după unul sau mai multe criterii. Dacă efectuăm sistematizarea datelor după o variabilă nenumerică, spunem că efectuăm o clasificare, iar dacă sistematizăm datele după o variabilă numerică, spunem că realizăm o grupare.

Clasificarea datelor se poate face: - pe variante (dacă sunt puţine variante) - pe grupe de variante (în cazul existenţei mai multor variante).

Gruparea după o variabilă numerică se poate face: - pe variante (atunci când grupăm datele după o variabilă discretă sau când plaja

valorilor pe care le poate lua caracteristica nu este foarte mare); - pe intervale de variaţie (atunci când sistematizăm datele după o variabilă continuă,

care are o plajă largă de valori). Intervalele de variaţie pot fi egale sau neegale. Modalităţile de prezentare şi reprezentare a datelor statistice sunt:

- seriile statistice. - tabelele statistice - graficele statistice.

7. Bibliografia Unităţii de învăţare

1. Anderson D., Sweeney D.,Williams T., Statistics for Business and Economics, Thomson

South Western, 2008

2. Ghiţă S. – “Statistică”, Editura Meteor Press, Bucureşti, 2006.

3. Isaic-Maniu Al., Mitruţ C., Voineagu V., Statistică, Editura Universitară, Bucureşti, 2003;

4. Ţiţan, E.- Statistică. Teorie şi aplicaţii în sectorul terţiar, Ed. Meteor Press, Bucureşti,

5. Voineagu V., Ţiţan E., Ghiţă S., Boboc C., Todose D. – Statistică. Baze teoretice şi

aplicaţii, Editura Economică, Bucureşti, 2007;