8/6/2019 Curs Scurt

1/92

SCURT CURS DE ALGEBRA LINIARA, GEOMETRIE ANALITICA SI DIFEREN TIALA

tinut de

Octavian Mircia Gurzau

-2-

8/6/2019 Curs Scurt

2/92

8/6/2019 Curs Scurt

3/92

3.6.3 Suprafete conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.6.4 Suprafete conoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6.5 Suprafete de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 Geometrie diferen tial a 624.1 Notiuni preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2 Geometria diferentiala a curbelor plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.1 Curbe plane: notiuni generale, exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.2 Cteva exemple de curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.3 Tangenta si normala la o curba plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.4 Lungimea unui arc de curba, parametrul natural al unei curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.5 Curbura unei curbe plane, ecuatia intrinseca a unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.6 Inf asuratoarea unei familii de curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 Generalitati curbe strmbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4 Tangenta si planul normal la o curba n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.5 Lungimea unui arc de curba, parametrul natural al unei curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.6 Reperul si formulele lui Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.7 Triedrul lui Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.8 Calculul curburii si torsiunii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.9 Geometria diferentiala a suprafetelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.9.1 Generalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.10 Plan tangent si normala la o suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.11 Lungimea unei curbe pe o suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.12 Unghiul a doua curbe situate pe o suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.13 Elementul de arie al unei suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Bibliogra e 93

-4-

8/6/2019 Curs Scurt

4/92

Capitolul 1

Geometrie analitic a plan a

1.1 Conice

De nitie: Se numeste elips a locul geometric al punctelor din plan pt. care suma distantelor la doua puncte xe numite focare este constant a.

Ox

Oy

Notam focarele cuF 1 (c, 0) , F 2(c, 0) si punctul de pe elipsa cuM (x, y ) . Cf. def.:MF 1 + MF 2 = 2 a > 2c

adica: q (x + c)2 + ( y 0)2 + q (x c)2 + ( y 0)2 = 2 aq (x + c)2 + ( y 0)2

2

= 2a q (x c)2 + ( y 0)22

(x + c)2 + ( y 0)2 == 4 a2 4aq (x c)2 + ( y 0)2 + ( x c)2 + ( y 0)2rezulta:

2cx = 4 a2 4aq (x c)2 + ( y 0)2 2cxcx

a2 =

a

q (x

c)2 + ( y

0)2

c2x2 2a2cx + a4 = a2x2 2ca2x + a2c2 + a2y2c2 a2x2 a2y2 = a2c2 a4 - 5-

8/6/2019 Curs Scurt

5/92

x2

a2+

y2

b2= 1 (1.1.1)

undeb2 = a2 c2.Obs. SE pot folosi si ecuatiile parametrice ale elipsei:

x = a cos ty = bsin t , t[0, 2] .De nitie: Se numeste hiperbol a locul geometric al punctelor din plan pt. care valoarea absolut a a

diferentei distantelor la doua puncte xe numite focare este constant a.

Ox

Oy

Notam focarele cuF 1 (c, 0) , F 2(c, 0) si punctul de pe hiperbola cuM (x, y ) . Cf. def.:|MF 1 MF 2 | = 2 a

undea < c.Facnd calculele rezulta:

x2

a2 y2

b2= 1 (1.1.2)

undeb2 = c2 a2.Obs.: se pot folosi si ec. parametrice ale hiperbolei:

x = a cosh ty = bsinh t , tRunde

cosh t =et + et

2= ch t

sinh t =et et

2relatia de baza:

cosh2 t sinh2 t = 1 pentrutRDe nitie:Se numeste parabol a locul geometric al punctelor din plan pt. care distantele la un punct xnumit focar si o dreapt a x a numit a directoare sunt egale.

Fie focarulF ( p/ 2, 0) si directoarea de ecuatiex = p/ 2 iarM (x, y ) un punct pe parabola, Cond. dindef. se scrie:(x p/ 2)2 + y2 = ( x + p/ 2)2rezulta ec. parabolei:

y2 = 2 px (1.1.3)Obs. Conicele se pot de ni unitar:De nitie:Se numeste conica o curba pentru care raportul distantelor de la un punct de pe curba la un

punct x numit focar si o dreapta xa numita directoare este constant e. (e este excentricitatea conicei).

Ecuatia tangentei la elips a ntr-un punct de pe elips a:Fie elipsa:

x2a2

+ y2b2

= 1

-6-

8/6/2019 Curs Scurt

6/92

si un punctM 0 (x0, y0) pe elipsa, adica:x20a2

+y20b2

= 1 . (1.1.4)

Se stie ca tangenta la elipsa este o dreapta care intersecteaza elipsa ntr-un singur punct.Ec. unei drepte care trece prinM 0 este:y y0 = m (x x0) . (1.1.5)

intersectnd cu elipsa:

x2

a 2 +y2b2 = 1

y y0 = m (x x0)rezulta:x2

a2+

(y0 + m (x x0))2b2

= 1

b2x2 + a2y20 + 2 my0 (x x0) + m2 (x x0)2 a2b2 = 0a2m2 + b2

x2 + a2

2my0

2m2x0

x +

a2

m2x20

2mx 0y0 + y20

a2b2

= 0

ec. e de formaAx2 + Bx + c = 0 are sol. unica daca B 2 4AC = 0 .A = a2m2 + b2; B = 2 a2m (y0 mx 0)C = a2m2x20 2mx 0y0 + y20 b2.DeoareceB are factor comun pe2 calculam discriminantul ecuatiei cu formula redusa: 0 = B22

AC, : 0 = a4m2 (y0 mx 0)2 a2a2m2 + b2m2x20 2mx 0y0 + y20 b2=

= a2 z }| { a2m2y20 ^2a2m3y0x0 + a2m4x20 | {z }

a2m4x20 | {z }

+ ^2m3a2x0y0

z }| { a2m2y20 + a2m2b2 b2m2x20 + 2 mb2x0y0 b2y20 + b4

=

= a2

b2

a2

x20

m2

+ 2 mx 0y0 + b2

y20

.Punnd conditia ca ecuatia 0 = 0 rezulta:m1,2 = x0y0 q x20y20 a2 x20b2 y20a2 x20 == x0y0 p x20y20 a2b2 + a2y20 + b2x20 x20y20a2 x20

(1.1.6)

Dar din ecuatia (1.1.4) rezulta. b2x20 + a2y20 = a2b2 care nlocuita n (1.1.6) da:

m1,2 = x0y0a2 x20=

x0y0a2 y

20

b2=

b2x0a2y0

.

nlocuind valoarea luim n ecuatia dreptei (1.1.5) rezulta ecuatia tangentei:

y y0 = b2x0a2y0

(x x0)sau tinnd cont de faptul ca M 0 este pe elipsa, deci coordonatele sale veri ca ecuatia (1.1.4) rezulta ecuatiatangentei la elipsa ntr-un punctM 0 de pe elipsa:

xx 0a2

+yy0b2

= 1 .

Analog se obtine ecuatia tangentei la hiperbola de ecuatie (1.1.2) ntr-un punt de coordonate(x0, y0) depe hiperbola:

xx 0a2

+yy0b2

= 1 ,iar ec. tangentei la parabola ntr-un punct de pe parabola:

yy0 = p (x + x0) .

- 7-

8/6/2019 Curs Scurt

7/92

Capitolul 2

Algebr a liniar a I

2.1 Recapitulare cuno stiin te de algebr a din clasa XI-a

n clasa a XI s-a studiat la algebra problemaexistentei solutiei 1 si calcul arii solutiei sistemelorliniare 2 (adica sisteme care contin doar ecuatii de grad nti) de forma:

AX = B, (2.1.1)undeA este o matrice cum linii sin coloane (conform notatiilorde la nceputul cursului:A = [a ij ]i=1 ,m,j =1 ,n M m,n ), X o matrice cun linii si o coloana (X = [xi ]i=1 ,n

M n, 1), iarB este o matrice cum linii si ocoloana. (B = [b j ] j =1 ,m

M m, 1). Se stie ca folosind operatiile cu matrice sistemul 4.2.10 este scriereaprescurtata pentru sistemul (vezi nota tiile de la nceputul cursului):

a11 x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1n xn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2n xn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3n xn = b3

.................................................am 1x1 + am 2x2 + am 3x3 + ... + amn xn = bm

. (2.1.2)

n

Xi=1 a ji xi = b j , j = 1 , m

Pentru a da raspuns la cele doua probleme s-a introdus n clasa XI-a notiunea de determinant a unei matriceipatratice de ordinn. Reamintim aci aceasta de nitie:

De nitia 2.1.1 Se numeste determinantulmatriceiAM n unnum ar real notat cudet( A) (sau |a ij | i,j =1 ,n )dat

de formula:det( A) = XS n sgn () a1(1) a2(2) ... an (n ) , (2.1.3)unde prinS n s-a notat multimea tuturor permut arilor multimii{1, 2,...,n }3 , iar prinsgn () semnul per-

mut arii .(vezi[1]).

Remarca 2.1.1 Calculul unui determinant nu se face cu formula 2.1.3 dect pentrun = 2 (a11 a12a21 a22 =a11a22a21a12)saun = 3 (regula lui Sarrus sau regula triunghiului), pentrun > 3 calculul determinantilorf acndu-se prin utilizarea proprietatilor lor (dezvoltarea dupa elementele unei linii (coloane), adunarea el-ementelor unei linii (coloane) nmultite cu un numar la elementele corespunzatoare altei linii (coloane) nscopul obtinerii de ct mai multe elemente nule,...).

FieAM m,n .

De nitia 2.1.2 Se numesteminor de ordin k (k min {m, n }) al matriceiA determinantul unei matrice p atratice de ordink obtinute din matriceaA alegnd doar k linii i1 < i 2 < ... < i k din liniile matriceiA si k coloanej 1 < j 2 < ... < j k din coloanele matriceiA.

1 adica exista, pentru matrceleA si B date, o matriceX care veri ca 4.2.10.2 cum se pot a a toate matriceleX care veri ca sistemul 4.2.10 (adica toate solutiile).3 adica toate functiile bijective : {1 , 2 ,...,n } {1 , 2 ,...,n }.

-8-

8/6/2019 Curs Scurt

8/92

Remarca 2.1.2 Un minor de ordink al matriceiA este deci de forma:

a ip j q

p.q=1 ,k , (2.1.4)

1 i1 < i 2 < ... < i k m , 1 j1 < j 2 < ... < j k nCu ajutorul notiunii de minor de ordink al unei matriceA se de neste n [1] notiunea de rang al uneimatrice:

De nitia 2.1.3 Se numeste rang al unei matriceAM m,n un num ar natural k (notat rang( A)) cu pro-

priet atile:1) exist a un minor de ordink al matriceiA nenul;2) toti minorii de ordin mai mare dect k ai matriceiA sunt nuli.

Daca notam cuA matricea extinsa a sistemului 4.2.10 (adica matricea formata din adaugarea la matriceaA a unei coloane formate din elementele matriceiB ) atunci problema existentei solutiei sistemelui 4.2.10este data de urmatoarea teorema:

Teorema 2.1.1 ( Kronecker-Capeli ) Sistemul 4.2.10 este compatibil4 dac a si numai dac a rangul matriceiA este egal cu rangul matriceiA.

Pentru rezolvarea sistemelor liniare e necesar sa se introduca notiunea de inversa a unei matrice. Con-form manualului [1] vom numi matrice unitate de ordinn matricea notata cu I n care are elementele de pediagonala egale cu1 iar celelalte nule. Folosind simbolul lui Kronecker de nit de:

ij = 1, i = j0, i 6= j , (2.1.5)matricea unitateI n se poate de ni astfel:

I n = [ ij ]i,j =1 ,n . (2.1.6)

Principala proprietate a matricii unitate (de ordinn) este data de:Proposition 2.1.2 Oricare ar matriceaA

M m,n si oricare ar matriceaC M n,m sunt veri cate

egalit atile:AI n = A , I n C = C. (2.1.7)

Remarca 2.1.3 Formulele 2.1.7 justi ca denumirea de matrice unitate pentruI n .

Fie acumAM n .

De nitia 2.1.4 MatriceaA se numeste inversabil a dac a exist a o matrice notat a A1 astfel nct:

A A1

= A1

A = I n , (2.1.8)iar matriceaA1 care veri c a relatia de mai sus se numeste inversa matriceiA.

Existenta si modul de calcul al matrceiA1 sunt date de:

Teorema 2.1.3 A1 exist a dac a si numai dac a det (A) 6= 0 si n acest caz:A1 = 1

det( A)A, (2.1.9)

undeAeste adjuncta matriceiA , si se de neste astfel:

A= [ Aij ] j,i =1 ,n =

A11 A21 ... An1A12 A22 ... An2... .. ... ...A1n A2n ... Ann

, (2.1.10)

4 adica are cel putin o solutieX M n, 1 .- 9-

8/6/2019 Curs Scurt

9/92

n 2.1.10Aij = ( 1)i+ j ij (numit complementul algebric al elementuluia ij ), iar ij este minorul deindicei si j (corespunz ator elementuluia ij ) al matriceiA care este determinantul matricei de ordinn 1care se obtine din matriceaA eliminnd liniai si coloanaj.Folosind inversa unei matrice solutia sistemului 4.2.10 n cazulm = n este data de:

Teorema 2.1.4 ( Regula lui Cramer ) Dac a det( A) 6= 0 atunci sistemul 4.2.10 are solutie unic a dat a de:X = A1 B. (2.1.11)

Remarca 2.1.4 Tinnd cont de regula de nmultire a doua matrice, de formula 2.1.9, si de dezvoltareaunui detreminant dupa elementele unei linii, formula 2.1.11 este echivalenta cu formulele:

xi = x i

det( A), i = 1 , n, (2.1.12)

unde x i sunt determinatii matricei obtinute din matriceaA prin nlocuirea coloanei cu numarul i cucoloana termenilor liberi (elementele matriceiB ) din sistemul 4.2.10.

Teoremele 2.1.1 si 2.1.4 rezolva (teoretic) problemele existentei si calculului solutiilor sistemului 4.2.10,caci pe baza lor rezolvarea sistemului 4.2.10 se face n urmatorii pasi:1. Se calculeaz a k = rang( A) si k1 = rang A.2. Se veri c a dac a k = k1; n cazul egalit atii se trece la pasul urm ator, n cazul neegalit atii se mentioneaz a

c a sistemul 4.2.10 este incompatibil si se opresc calculele.3. Minorul de ordink nenul se noteaz a cu princ si se numeste minorul principal al sistemului. Ne-

cunoscutele care au coe cienti n princ se numesc necunoscute principale, iar celelalte necunoscutesecundare5 , ecuatiile care au coe cienti n princ se numesc ecuatii principale, iar celelalte ecuatiisecundare. Se formeaz a un sistem numai din ecuatiile principale ale 2.1.2, n care termenii care continnecunoscute secundare se trec n partea dreapt a.

4. Se rezolv a conform regulii lui Cramer sistemul astfel obtinut, necunoscutele secundare lund valoriarbitrare.n legatura cu cele de mai sus, recomandam rezolvarea urmatoarelor exerci tii:

Exercitiul 2.1.1 Sa se calculeze determinantul Vandermonde:

V (x1, x2,...,x n ) =

1 x1 x21 ... xn11

1 x2 x22 ... xn12

1 x3 x23 ... xn13

. . . ... .1 xn x2n ... xn1n

.Exercitiul 2.1.2 Sa se demonstreze ca solutia generala a sistemului omogen (rangul matricei sistemului ind 2):

a11 x + a12y + a13z = 0a21x + a22y + a23z = 0

se poate scrie sub forma:x =

a12 a13a22 a23

, y =

a13 a11a23 a21

, z =

a11 a12a21 a22

, R .

5 daca nu exista necunoscute secundare(k = n ) sistemul 4.2.10se numeste compatibil determinat, daca exista necunoscute secundare(n > k ) atunci sistemul se numeste nedeterminat (simplu nedeterminat pentrun k = 1 , dublu.nedeterminat pentrun k = 2 ,...)-10-

8/6/2019 Curs Scurt

10/92

2.2 Algoritmul lui Gauss

n acest paragraf vom studia asa numitul algoritm al lui Gauss care, n esent

a nu este altceva dectmetoda reducerii. Pasii algorimului constau din reducerea (eliminarea) primei necunoscute din ecuatiile dela a doua n jos , eliminarea necunoscutei a doua din ecuatiile de la a treia ncepnd,... obtinndu-se n nalun sistem a carui matrice are elementele de sub diagonala principala nule si acest sistem se rezolva prinmetoda substitutiei ncepnd de la ultima ecuatie si ultima necunoscuta. Mai precis avnd scris sistemul4.2.10 sub forma 2.1.2 la primul pas se fac zerouri pe coloana nti a matriceiA, nmul tind prima ecuatie asistemului 2.1.2 cu numere convenabile si adunnd-o la celelalte ecuatii:

Pasul 1 Daca:a11 6= 0 (2.2.1)

atunci se nmulteste ecuatia nti a sistemului 2.1.2 cui1 = a i 1a 11 si se aduna la ecuatia cu numaruli,(pentrui = 2 , n) obtinnd sistemul:

a (1)11 a(1)12 a (1)13 ... a (1)1n0 a(1)22 a

(1)23 ... a

(1)2n

0 a(1)32 a(1)33 ... a

(1)3n

. . . ... .0 a (1)m 2 a

(1)m 3 ... a

(1)mn

x1x2x3.xn

=

b(1)1b(1)2b(1)3.b(1)m

(2.2.2)

undea (1)1 j = a1 j , pentruj = 1 , n , b(1)1 = b1 si a

(1)ij = a ij + i1a1 j , b

(1)i = bi + i1b1 pentrui = 2 , m ,

j = 2 , n .Pasul 2 Presupunnd acum ca:

a (1)22 6= 0 (2.2.3)se fac zerouri pe coloana a doua a matriceiA nmultind ecuatia a doua a sistemului 2.2.2 cu

i2=

a (1)i 2

a(1)22

si adunnd-o la ecuatia cu numaruli, obtinnd sistemul:

a (2)11 a(2)12 a

(2)13 ... a

(2)1n

0 a(2)22 a(2)23 ... a

(2)2n

0 0 a(2)33 ... a(2)3n

. . . ... .0 0 a(2)m 3 ... a

(2)mn

x1x2x3.xn

=

b(2)1b(2)2b(2)3.b(2)m

(2.2.4)

undea (2)ij = a(1)ij pentrui = 1 , 2 j = 1 , n si a

(2)ij = a

(1)ij + i2a

(1)2 j , b

(2)i = b

(1)i + i2b

(1)2 pentrui = 3 , m ,

j = 3 , n .Procednd analog la sfrsitul pasuluik obtinem sistemul :

a(k)11 a(k)12 a

(k)13 ... a

(k)1k a

(k)1k+1 ... a

(k)1n

0 a (k)22 a(k)23 ... a

(k)2k a

(k)2k+1 ... a

(k)2n

0 0 a (k)33 ... a(k)3k a

(k)3k+1 ... a

(k)3n

. . . ... . . ... .0 0 0 ... a (k)kk a

(k)kk +1 ... a

(k)kn

0 0 0 ... 0 a (k)k+1 k+1 ... a(k)k+1 n

. . . ... . . ... .0 0 0 ... 0 a (k)mk +1 ... a

(k)mn

x1x2x3.xn

=

b(k)1b(k)2b(k)3.b(k)m

(2.2.5)

Pasul k+1. Daca:

a (k)k+1 k+1 6= 0 (2.2.6)

- 11-

8/6/2019 Curs Scurt

11/92

atunci nmultim ecuatia cu numarulk +1 cui,k +1 = a ( k )i,k +1

a ( k )k +1 k +1si o adunam la ecuatia cu numaruli (pentru

i = k + 2 , m ) obtinnd sistemul:

a (k+1)11 a (k+1)12 a(k+1)13 ... a (k+1)1k a (k+1)1k+1 ... a (k+1)1n0 a (k+1)22 a

(k+1)23 ... a

(k+1)2k a

(k+1)2k+1 ... a

(k+1)2n

0 0 a(k+1)33 ... a(k+1)3k a

(k+1)3k+1 ... a

(k+1)3n

. . . ... . . ... .0 0 0 ... a (k+1)kk a

(k+1)kk +1 ... a

(k+1)kn

0 0 0 ... 0 a(k+1)k+1 k+1 ... a(k+1)k+1 n

. . . ... . . ... .0 0 0 ... 0 0 ... a (k+1)mn

x1x2x3.xn

=

b(k+1)1b(k+1)2b(k+1)3.b(k+1)m

(2.2.7)

unde a (k+1)ij = a(k)ij , b

(k+1)i = b

(k)i pentrui = 1 , k + 1 , j = 1 , n si a

(k+1)ij = a

(k)ij + i,k +1 a

(k)k+1 ,j

b(k+1)i = b

(k)i + i,k +1 b

(k)k+1 pentrui = k + 2 , m , j = k + 1 , n .

Remarca 2.2.1 n cazul n care se utilizeaza calculatorul, pentru a micsora erorile de rotunjire la mpar tiree preferabil ca la ecare pask sa se schimbe nti liniak cu linia care contine pe coloanak sub diagonalacel mai mare numar n valoare absoluta, adica sa se efectueze mai nti urmatorele opera tii :

1) se determina indicelel cel mai mic astfel nct:a (k1)lk = maxkim a (k1)ik .2) se schimba linial cu liniak a matricelorA(k) si B (k) .Remarca 2.2.2 Daca conditia 2.2.6 nu e veri cata, atunci se veri ca daca exista elemente nenule pecoloanak + 1 ncepnd cu liniak + 2 n matriceaA(k) si daca exista se schimba liniak + 1 a matricelorA(k) si B (k) cu linia care contine elementul nenul. Daca toate elementele coloaneik + 1 ncepnd de laliniak + 2 sunt nule atunci sistemul este sau incompatibil, sau compatibil nedeterminat cu necunoscutaxkca necunoscuta secundara si pentru rezolvarea lui e preferabil sa se aplice algoritmul de mai sus cu micimodi cari (vezi cele ce urmeaza dupa teorema 2.2.1).

Din modul cum am obtinut sistemul 2.2.7 din sistemul initial 2.1.2 se poate demonstra urmatoarea teo-rema:

Teorema 2.2.1 Sistemele 2.1.2 si 2.2.7 sunt echivalente6.

Se pune n mod natural problema care este numarul maxim de pasi posibili la algoritmul lui Gauss sicum se rezolva apoi sistemul obtinut. Din teorema precedenta si 2.1.1, rezulta ca numarul maxim de pasi

este egal cu rangul matriceiA. Daca rangul matriceiA estek atunci la sfrsitul pasuluik sistemul 2.2.5devine:

a(k)11 a(k)12 a

(k)13 ... a

(k)1k a

(k)1k+1 ... a

(k)1n

0 a (k)22 a(k)23 ... a

(k)2k a

(k)2k+1 ... a

(k)2n

0 0 a (k)33 ... a(k)3k a

(k)3k+1 ... a

(k)3n

. . . ... . . ... .0 0 0 ... a (k)kk a

(k)kk +1 ... a

(k)kn

0 0 0 ... 0 0 ... 0. . . ... . . ... .0 0 0 ... 0 0 ... 0

x1x2x3.xn

=

b(k)1b(k)2b(k)3.b(k)m

(2.2.8)

Acest sistem este (evident) incompatibil daca exista b(k) j

6= 0 , cu j > k . Daca pentruj > k b (k) j

= 0atunci sistemul este compatibil, determinat pentruk = n si nedeterminat pentruk < n . Solutia lui se

6 adica sau sunt ambele incompatibile, sau daca sunt compatibile au aceleasi solu tii.-12-

8/6/2019 Curs Scurt

12/92

aa prin rezolvarea (n raport cu necunoscutele principale) a ecuatiilor ncepnd de la ultima si nlocuindnecunoscutele deja a ate n ecuatiile precedente, conform formulelor:

xk =b

(k)k

n

P j = k+1 a(k)kj x j

a (k)kk

xi =b(k)i

n

P j = k+1 a(k)ij x j

k

Pl= i+1 a(k)il xl

a(k)ii, i = k 1, 1

. (2.2.9)

Remarca 2.2.3 Acest algoritm se poate aplica si la calculul inversei unei matrice, aplicnd pasii matriceiformata din matriceaA si matricea unitateI n scrisa alaturi, obtinnd n nal n stngaI n iar n dreaptaA1: [A |I n ]

I n

A1

, deoarece a area coloanei cu nr.k a matricei inverse se reduce la rezolvarea

unui sistem avnd ca matrice matriceaA iar ca termen liber coloana cu nr.k a matricei unitate de ordincorespunzator.

Remarca 2.2.4 Acest algoritm permite si determinarea rangului unei matriceA , rangul matricei indegal cu numarul maxim de pasi din alogoritm (matriceaB nu se mai ia n calcul n acest caz).

- 13-

8/6/2019 Curs Scurt

13/92

Capitolul 3

Geometrie analitic a

3.1 Vectori

3.1.1 De nirea no tiunii de vector

Se presupune cunoscuta notiunea de segment orientat7. Vom nota un segment orientat cu doua literemari, cu sageata deasupra, prima litera indicnd originea iar cea de a doua extremitatea segmentului ori-

entat (de exempluAB , A ind originea iarB ind extremitatea segmentului orientatAB ). Pe multimeasegmentelor orientate, pe care o vom nota cuS , introducem urmatoarea rela tie:

De nitia 3.1.1 SegmenteleAB si CD sunt echipolente (si vom nota acest lucru cuAB CD ) dac a sinumai dac a sunt veri cate urm atoarele condi tii:

1. au aceeasi lungime (AB = CD );2. drepteleAB si CD sunt paralele sau coincid (AB kCD );3. AB siCD au acelasi sens ( dac a AB si CD sunt paralele atunciAC BD = , iar dac a drepteleAB si CD coincid atunci[AC ]

[BD ] este sau multimea vid a, sau se reduce la un punct sau este egal a cu

[AD ] sau este egal a cu [BC ])8.

Remarca 3.1.1 Condi tiile din de nitia 3.1.1 sunt echivalente, n cazul n care puncteleA,B,C,D nu suntcoliniare cu faptul ca ABDC (punctele ind luate n aceasta ordine) este paralelogram, conform gurii demai jos:

Doua segmente orientate echipolente

Principalele proprietati ale relatiei de echipolenta data de de nitia 3.1.1 sunt date de:

Teorema 3.1.1 Relatia de echipolent a este:

1. re exiv a: pentru oriceABS :AB AB ;2. simetric a: dac a AB

CD atunci siCD

AB ;7 un segement orientat este un segmentAB pe care s-a stabilit un sens de parcurgere de laA la B .8 sau, cum se exprima o varianta de manual de geometrie de clasa a IX-a, segmenteleAD si BC au acelasi mijloc.

-14-

8/6/2019 Curs Scurt

14/92

3. tranzitiv a: dac a AB CD siCD EF atunciAB EF .Demonstra tie. Demonstratia acestor proprietati este imediata, tinnd cont de faptul ca relatia de egal-

itate ntre numere (care apare n conditia 1. din de nitia 3.1.1) si rela tia de paralelism ntre drepte (careapare n conditia 2.) din aceeasi de nitie au proprietatile de re exivitate, simetrie si tranzitivitate.

De nitia 3.1.2 Pentruun segment orientat AB vom numi clas a de echipolent a corespunz atoare lui multimeatuturor segmentelor orientate echipolente cu el, multime notat a cunABo.Remarca 3.1.2 Cu simboluri matematice de ntia de mai sus se scrie:

nABodef = nCD S CD ABo.n legatura cu clasele de echipolenta este adevarata urmatoarea teorema:

Teorema 3.1.2 Orice clas a de echipolent a este nevid a si dou a clase de echipolent a sunt sau disjuncte saucoincid.

Demonstra tie. Fie clasa de echipolentanABo.Conform cu 1. din teorema 4.2.1AB AB si deciABnABo6= . Fie acum doua clase de echipolentanABosinCDo. Daca ele sunt disjuncte teoremaeste demonstrata. Daca exista un segment orientatEF nABonCDosa demonstram ca ele suntegale. Fiind vorba de doua multimi, aratam ca ecare este inclusa n cealalta. Sa consideram un elementA1B1nABo. Atunci, conform de nitiei 3.1.2A1B1AB . Dar dinEF nABorezulta ca EF AB. Aplicand proprietatile de simetrie si tranzitivitate ale relatiei de echipolenta rezulta ca A1B1EF .DinEF nCDorezulta EF CD . DinA

1B1 EF si EF CD rezulta (tranzitivitatea relatieide echipolenta) ca A1B1CD , adica conform aceleeasi de nitii 3.1.2,A1B1nCDo, decinABonCDo. Relund rationamentul de mai sus de la coada la cap, va rezulta si incluziuneanABonCDo,c.c.t.d.Pe baza teoremei de mai sus suntem n masura sa da urmatoarea de nitie:

De nitia 3.1.3 Se numeste vector o clas a de echipolent a de segmente orientate. Pentru un vector dat unsegment orientat din clasa respectiv a de echipolent a se numeste reprezentant al s au.

De nitia 3.1.4 Se numeste lungimea unui vector lungimea oric arui reprezentant al s au.

Remarca 3.1.3 Vom nota vectorii cu litere mici din alfabetul latin cu bara deasupra (a, b, v, ..), si dacaAB a spunem ca AB este un reprezentant al vectoruluia. Daca nu este pericol de confuzie vom spunevectorulAB , n loc deAB este un reprezentant al vectoruluia. Vom nota cuV 3 multimea tuturor vectorilordin spatiu. Pentru vectorula vom nota cua sau cu|a | lungimea sa.

Remarca 3.1.4 Notiunea de vector de nita mai sus este ceea ce n zica si mecanica se numeste vec-tor liber , caracterizat prin marime (lungimea vectorului respectiv), directie (toate dreptele paralele cu unreprezentant al sau) si sens. Daca conditia 2. din de nitia 3.1.1 se nlocuieste cu drepteleAB si CD co-incid se obtine notiunea devector alunec ator iar notiunea de segment orientat coincide cu cea devectorlegat.

- 15-

8/6/2019 Curs Scurt

15/92

Remarca 3.1.5 Se poate demonstra ca ind dat un punctO din spatiu si un vectora exista un singur punctA astfel nctOAa.

Remarca 3.1.6 n multimea vectorilor un rol important (ca etaloane pentru masurarea lungimilor) l joaca versorii , de niti ca vectori de lungime1.

3.1.2 Opera tii cu vectori

Suma a doi vectori si nmul tirea unui vector cu un scalarFiind dati doi vectori, suma lor se de neste ajutorul reprezentantilor astfel:

De nitia 3.1.5 Dac a a si b sunt doi vectori avnd reprezentantiiOA respectivAB atunci sumaa + b arereprezentantulOB , conformgurii de mai jos:.

n legatura cu de nitia de mai sus se pune ntrebarea daca nu cumva suma a doi vectori nu depindede reprezentantii alesi (adica, conform remarcii 3.1.5 de punctulO). Raspunsul la aceasta ntrebare estenegativ, dupa cum rezulta din urmatoarea teorema:

Teorema 3.1.3 Suma a doi vectoria si b nu depinde de reprezentanti.

Demonstra tie 9. Fie un alt punctO0. Conform remarcii 3.1.5 exista un singur punctA0 astfel nctO0A0a, si un singur punctB 0 astfel nctA0B 0b. Atunci, conform de nitiei 3.1.5O0B 0a + b.Enuntul teoremei spune ca trebuie sa avemO0B 0OB. Facnd constructia punctelorO0, A0, B 0 obtinem gura:

O ADin OA O0A0 si OB O0B 0 va rezulta ca triunghiulO0A0B 0 din aceasta gura este congruent cutriunghiul

OABdin gura 1., de unde va rezulta ca

O0

B0

OB.

9 doar ideea demonstra tiei, demonstra tia (geometrica) riguroasa ind lasata pe seama cititorului.-16-

8/6/2019 Curs Scurt

16/92

Remarca 3.1.7 Daca puncteleO,A,B nu sunt coliniare (adica vom spune ca vectoriia si b nu sunt col-iniari) atunci adunarea vectorilor se poate de ni si cu regula paralelogramului conform gurii de mai jos:

O A

C

a b

+

b

a

B

unde vectorul suma este diagonala paralelogramului avnd ca laturi vectorii dati.

Principalele propriet

ati ale sumei sunt date de urm

atoarea teorem

a:Teorema 3.1.4 (V 3, +) (multimea vectorilor nzestrat a cu operatia de adunare) formeaz a un grup abelian.

Demonstra tie:1.Asociativitatea: rezulta urmarind cu atentie urmatoarea gura si scriind urmatoarele egalitati:

OA + AB+ BC = OB + BC = OC = OA + AC = OA + AB + BC

O Aa

b a

b +

b

c +

c

a b

c )

+ ( +

( + ) +

a b

c

2.Comutativitatea: Daca vectorii nu sunt coliniari rezulta din regula paralelogramului (vezi gura de laremarca 3.1.7), iar n caz de coliniaritate lasam demonstratia pe seama cititorului.3.Existenta elementului neutru: de nim vectorul nul0 = nAAo.n acest caz (vezi de exemplu pe gurade mai sus: OA

|{z} + AA |{z}

= OA |{z} a + 0 = a .4.Existenta elementului simetric: daca a = nOAoatunci de nima def = nAOo. Conform de nitiei3.1.5 avem egalitatile:

OA

|{z} + AO

|{z} = OO

|{z} a + (

a) = 0

,

ceea ce trebuia demonstrat.O alta operatie (care se numeste lege de compozitie externa) este nmultirea unui vector cu un scalar.

Pentru a de ni aceasta operatie precizam ca prin scalar vom ntelege un numar real, si pentru a evita orice- 17-

8/6/2019 Curs Scurt

17/92

confuzie vom nota n cele ce urmeaza scalarii cu litere din alfabetul grecesc:,,,... R .

De nitia 3.1.6 Dac a

R si v

V 3 atunci vom numi produsul dintre scalarul si vectorulv vectorulnotat cuv de nit astfel: dac a OAv atunciOA1v veri c a conditiile:1. OA1 = | | OA;2. dac a > 0 atunciO este n exteriorul segmentului[AA1] , iar dac a < 0 atunciO este ntreA si A1.

Remarca 3.1.8 Daca avem dati doi vectoriv si w atunci faptul ca exista R astfel nctw = v este

echivalent cu a rmatia v si w sunt doi vectori coliniari (paraleli) (vezi si remarca 3.1.7).

Remarca 3.1.9 v = 0 daca si numai daca = 0 sauv = 0 .

Urmatoarea teorema arata legatura care exista ntre nmultirea unui vector cu un scalar si opera tiile deadunare a vectorilor, respectiv de adunare si nmultire a scalarilor:

Teorema 3.1.5 Pentru orice vectoriv, v1, v2 V 3 si pentru orice scalari, 1, 2

R sunt adev arateegalit atile:

(1 + 2) v = ( 1v) + ( 2v) (3.1.1)

(v1 + v2) = v 1 + v 2 (3.1.2)

(12) v = 1 (2v) (3.1.3)

1v = v (3.1.4)

Demonstra tie. Demonstratiile egalitatilor (3.1.1), (3.1.3), (3.1.4) se reduc la distributivitatea nmultiriifa ta de adunare nR , iar demonstratia egalitatii (3.1.2) rezulta din asemanarea triunghiurilorOAB siOA1B1 din gura de mai jos:

(OB 1 = OB si deciv 1 + v 2 = (v1 + v2)).Remarca 3.1.10 Teoremele 3.1.4 si 3.1.5 se puteau enunta ntr-o singura teorema, folosind notiunea despatiu vectorial (vezi manualul [2]) astfel: Multimea vectorilor din spatiu mpreuna cu operatia de adunaresi cea de nmul tire cu un scalar formeaza un spatiu vectorial real.

Cu ajutorul operatiei de nmultire cu un scalar putem de ni acum notiunea deversor al unui vector :

De nitia 3.1.7 Se numeste versor al unui vector v vectorul obtinut prin nmultirea vectoruluiv cu inversullungimii sale (adic a vectorulvv , care este un versor conform remarcii 3.1.6).

O problema care apare frecvent n aplicatiile vectorilor este descompunerea unui vectori dupa directiilea doi (sau trei) vectori. Posibilitatea unei astfel de descompuneri este data de urmatoarele doua teoreme.Pentru aceasta e necesar sa precizam notiunea de vectori coplanari:-18-

8/6/2019 Curs Scurt

18/92

De nitia 3.1.8 Trei vectoriv1, v2, v3 se numesc vectori coplanari dac a reprezentantii lor care au originean acelasi punct 10 sunt coplanari (adic a pentru orice punct O dac a OA1v1 ,OA2v2 ,OA3v3 atunci puncteleO, A1, A2, A3. sunt coplanare).

Teorema 3.1.6 Dac a vectoriiv, v1, v2 sunt coplanari si vectoriiv1 si v2 nu sunt coliniari (vezi remarca3.1.8) atunci exist a n mod unic doi scalari1, 2 astfel nct:

v = 1v1 + 2v2. (3.1.5)

Demonstra tie. Fie un punctO xat si reprezentantii (vezi gura de mai jos):OC v, OA1 v1,OB 1 v1. PrinC ducem paralelaCB la OA1 care intersecteaza (deoarecev1 si v2 nu sunt coliniari) peOB 1 n B si paralelaCA la OB 1 care intersecteaza peOA1 n A.

Conform regulii paralelogramului de adunare a doi vectori,OC = OA + OB. Dar, conform de nitiei3.1.6, exista scalarii1, 2 astfel nctOA = 1OA1, OB = 2OA2. Din ultimele trei egalitati rezulta caOC = 1OA1 + 2OA2, adica tocmai egalitatea (3.1.5) scrisa cu ajutorul reprezentantilor. Sa demonstramacum unicitatea formulei (3.1.5). Presupunem ca exista si scalarii01, 02 (cu 01 6= 1 sau02 6= 2) astfel nctv = 01v1 + 02v2. Scaznd aceasta egalitate din (3.1.5) rezulta 1 01v1 + 2 02v2 = 0 .Daca 01 6= 1 mpartind ultima egalitate cu1 01 rezulta v1 = 2 02 1 01 v2, deci, conform remarcii 3.1.8vectoriiv1 si v2 sunt coliniari, contradictie.

Teorema 3.1.7 (descompunerea unui vector dup a trei directii date) Dac a vectoriiv1, v2, v3 nu sunt copla-nari atunci pentru orice vector v

V 3 exist a unic constantele1, 2, 3 astfel nct:v = 1v1 + 2v2 + 3v3.

Demonstra tie. Este analoaga cu demonstratia teoremei precedente (ca idee), dupa cum se constataurmarind gura de mai jos, n care s-a construit un paralelipiped cu diagonalaOB v, cu laturile paralelecuOA1v1, OA2v2, OA3v3.

10 conform remarcii 3.1.5 acesti reprezentan ti exista.- 19-

8/6/2019 Curs Scurt

19/92

Scrierea egalitatilor corespunzatoare acestei guri se lasa pe seama cititorului.

Produse de doi vectoriFie doi vectoriv1, v2.

De nitia 3.1.9 Se numeste produsul scalar al vectorilor v1 si v2 num arul (scalarul) notat cuv1 v2 de nit prin:

v1 v2 = v1v2 cos (3.1.6)unde este unghiul (mai mic dect ) dintre cei doi vectori (vezi si gura de mai jos, undeOAv1, OB v2, OB 0

OA).

Remarca 3.1.11 Produsul scalar a doi vectori este egal cu produsul dintre lungimea unuia din vectori,lungimea proiectiei celui de al doilea vector pe primul, si +1 daca unghiul dintre cei doi vectori este maimic dect2 respectiv1 daca unghiul dintre cei doi vectori este obtuz. (pe gura de mai sus produsulscalar dintrev1 si v2 este egal cuOA OB 0). Daca nu este pericol de confuzie produsul scalar al vectorilorv1 si v2 se noteaza si v1v2.

Remarca 3.1.12 Din de nitia produsului scalar rezulta ca lungimea unui vector (vezi, pentru notatie re-marca 4.2.2) se poate calcula cu formula:v = v v (de aceea n cazul n care se calculeaza produsulscalar al unui vector cu el nsusi se poate renunta la bara de deasupra vectorului, adica v v = vv).

Remarca 3.1.13 Produsul scalar a doi vectori este nul daca si numai daca unul din vectori este vectorul nulsau vectorii sunt perpendiculari, dupa cum rezulta din formula de de nitie 3.1.6. Cu formule matematice-20-

8/6/2019 Curs Scurt

20/92

aceasta se poate scrie:

v1v2 = 0

v1 = 0 sauv2 = 0 sauv1v

2(cos = 0)(3.1.7)

INTERPRETARE MECANICA: Produsul scalar dintre vectoriiv2 si v1 este egal cu lucrul mecanic produsde o forta egala cuv2 la deplasareav1.

Principalele proprietati ale produsului scalar sunt date de urmatoarea teorema:

Teorema 3.1.8 Oricare sunt vectoriiv1 , v2 si v3 si oricare ar scalarul R sunt adev arate egal-

it atile:v1 v2 = v2 v1 (comutativitate) (3.1.8)

v1 (v2 + v3) = v1 v2 + v1 v3 (distributivitate fat a de adunarea vectorilor) (3.1.9)

(v1) v2 = v1 (v2) = (v1 v2) . (3.1.10)Demonstra tie. Egalitatea 3.1.8, respectiv 3.1.10 rezulta imediat din formula 3.1.6 care de neste pro-

dusul scalar, tinnd cont de comutativitatea, respectiv asociativitatea nmultirii numerelor reale. Egalitatea3.1.9 se demonstreaza pe baza remarcii 3.1.11 si a faptului ca proiectia sumei este egala cu suma proiecti-ilor11.

Fie acum vectoriiv1 si v2, cu unghiul dintre ei (mai mic dect) notat cu .

De nitia 3.1.10 Se numeste produsul vectorial al vectorilor v1 si v2 vectorul notat v1 v2 de nit astfel:

1. lungimea produsului vectorial se calculeaz a conform formulei:|v1 v2| = v1v2 sin ; (3.1.11)

2. v1

v2

este perpendicular att pev1

ct si pev2;

3. sensul luiv1 v2 este dat de regula burghiului drept: sensul n care nainteaz a un burghiu cnd rotimv1 spre v2 sub un unghi minim (mai mic dect ).

Remarca 3.1.14 Produsul vectorial a doi vectori esteun vector, a c arui lungime se calculeaz a cu for-mula 3.1.11, direc tia si sensul sau ind precizate de celelalte doua conditii din de nitia de mai sus. Formula3.1.11 de neste lungimea vectorului produs vectorial ca ind egala cu aria paralelogramului construit pecei doi factori, dupa cum se observa si n gura de mai jos, n careOC v1 v2, OAv1, OB v2,AD k OB, BD k OA, iar aria paralelogramuluiOADB este egala cuOA OB sin :

11 exprimare nu prea riguroasa.- 21-

8/6/2019 Curs Scurt

21/92

Remarca 3.1.15 Produsul vectorial a doi vectori este vectorul nul daca si numai daca unul din vectorieste vectorul nul sau vectorii sunt coliniari (paraleli), dupa cum rezulta din formula 3.1.11. Cu formulematematice aceasta se poate scrie:

v1 v2 = 0

v1 = 0 sauv2 = 0 sauv1 k v2(sin = 0)

(3.1.12)

INTERPRETARE MECANICA: Produsul vectorial dintre vectoriiv2

siv1

este egal cu momentul forteiv2avnd bra tul for teiv1, momentul avnd originea n originea bratului fortei, (vezi gura precedenta, forta

indAD iar bratul forteiOA.Principalele proprietati ale produsului vectorial sunt date de urmatoarea teorema:

Teorema 3.1.9 Oricare sunt vectoriiv1 , v2 si v3 si oricare ar scalarul R sunt adev arate egal-

it atile:v1 v2 = v2 v1 (anticomutativitate) (3.1.13)

v1 (v2 + v3) = v1 v2 + v1 v3 (distributivitate fat a de adunarea vectorilor) (3.1.14)

(v 1) v2 = v1 (v 2) = (v1 v2) . (3.1.15)

Demonstra tie. Formulele (3.1.13) si (3.1.15) sunt evidente pe baza de nitiei produsului vectorial, iardemonstra tia formulei (3.1.14) este o demonstratie geometrica destul de laborioasa pe care nu o reproducemaci (pentru cei intertesati ea se poate gasi n [4]).

Produse de trei vectoriFie acum trei vectoriv

1, v

2, v

3.

De nitia 3.1.11 Se numeste produsul mixt al vectorilor v1, v2, v3 scalarul notat cu(v1, v2, v3) de nit de formula:

(v1, v2, v3) = v1 (v2 v3) . (3.1.16)

INTERPRETARE GEOMETRICA: Produsul mixt a trei vectori este egal cu volumului paralelipipedului

construit pe cei trei vectori, dupa cum se constata pe gura?? de mai jos (n careOV = v2 v3, nal timeaparalelipipeduluiOA2CA 3A1EBD ind egala cuOA01, care este proiectia peOV a vectoruluiv1, si deciprodusul scalarv1 OV este chiar volumul paralelipipedului, abstractie f acnd de semn):-22-

8/6/2019 Curs Scurt

22/92

Interpretare geometrica a produsului mixt.

Remarca 3.1.16 Daca vectoriiv1, v2, v3 sunt nenuli, atunci produsul lor mixt este egal cu0 daca sauprodusul vectorialv2 v3 este nul (adica, conform remarcii 3.1.12v2 siv3 sunt coliniari) sauvectorulv1 esteperpendicular pev2 v3, adica v1 este coplanar cuv2 si v3. n ambele cazuri constatam ca (v1, v2, v3) = 0este echivalent cu faptul ca cei trei vectori sunt coplanari.

Principalele proprietati ale produsului mixt sunt date de urmatoarea teorema:

Teorema 3.1.10 Produsul mixt este invariant la o permutare circular a12 a factorilor, iar dac a se schimb aordinea a doi factori se schimb a semnul produsului.

Demonstra tie. Din interpretarea geometrica a produsului mixt rezulta ca produsul mixt a trei vectoripoate lua doar doua valori. Care sunt permutarile vectorilor pentru care produsul mixt ia ecare din celedoua valori va rezulta mai simplu din paragraful urmator, pe baza formulei (3.2.7) din teorema 3.2.4.

Pentru aceiasi trei vectori ca mai sus putem de ni nca un produs:

De nitia 3.1.12 Se numeste dublul produs vectorial al vectorilor v1, v2, v3 vectorulv1 (v2 v3) .

n legatura cu acest produs mentionam urmatoarea teorema:

Teorema 3.1.11 Oricare sunt vectoriiv1, v2, v3 este adev arat a urm atoarea formul a (cunoscut a sub nu-mele de formula lui Gibs):

v1 (v2 v3) = ( v1v3) v2 (v1v2) v3. (3.1.17)Demonstra tie. Sa observam ca v1 (v2 v3) este un vector perpendicular pev2 v3 si deoarecev2

si v3 sunt la rndul lor perpendiculari pev2 v3 (vezi de nitia produsului vectorial) rezulta ca vectorii12 prin permutare circulara a trei numerea,b,c se n telege o permutare n care ecare element este nlocuit cu urmatorul, iar ultimul

cu primul, conform schemei:

- 23-

8/6/2019 Curs Scurt

23/92

v1 (v2 v3) , v2 si v3 sunt coplanari, ceea ce implica (vezi teorema 3.1.6) existenta scalarilor si astfel nct:

v1 (v2 v3) = v2 + v3. (3.1.18)Sa nmultim acum scalar aceasta egalitate cu vectorulv1. Pe baza proprietatilor produsului scalar va rezulta:0 = (v1v2)+ (v1v3) . Din aceasta egalitate rezulta (v1 v2 ) = (v1 v3 ) . Notnd valoarea comuna a acestorrapoarte cu si nlocuind pe si n (3.1.18) rezulta:

v1 (v2 v3) = ((v1v3) v2 (v1v2) v3) .Lasam pe seama cititorului sa demonstreze egalitatea = 1 .

3.2 Baz a, coordonate, exprimarea opera tiilor cu vectori folosindcoordonatele

3.2.1 Baz a si coordonaten acest paragraf vom generaliza notiunea de vectori coliniari si vectori coplanari, pornind de la remarca

3.1.8 si teorema 3.1.6:

De nitia 3.2.1 Vectoriiv1, v2,...,v n se numesc liniar dependenti dac a exist a n scalari 1, 2,..., n , nutoti nuli (adic a

n

Pk=1 2k 6= 0 ) astfel nct: nXk=1

kvk = 0 , (3.2.1)

si liniar independenti n caz contrar.

Remarca 3.2.1 Doi vectori coliniari sunt liniari dependenti, caci conform remarcii mai sus amintite dacav1, v2 sunt coliniari atunci exista un scalar astfel nctv1 = v 2 sauv2 = v 1 deci este veri cata (3.2.1)cu 1 = 1 , 2 = sau 1 = , 2 = 1 . Invers, daca doi vectori sunt liniar dependenti atunci eisunt coliniari, deoarece din1v1 + 2v2 = 0 daca 1 6= 0 rezulta v1 = 2 1 v2, iar daca 2 6= 0 rezultav2 = 1 2 v1. Analog se arata (folosind teorema 3.1.6) ca trei vectori coplanari sunt liniari dependenti sireciproc, trei vectori liniar dependenti sunt coplanari.

Remarca 3.2.2 Suma din mebrul stng al egalitatii (3.2.1) se numeste combinatie liniara a vectorilorv1, v2,...,v n , iar liniar independenta lor este echivalentacua rmatia: daca o combinatie liniara a vectoriloreste egala cu vectorul nul, atunci toti scalarii din combinatia liniara sunt nuli.

Remarca 3.2.3 Daca unul din vectoriiv1, v2,...,vn este vectorul nul atunci ei sunt liniar independenti,deoarece putem lua scalarul corespunzator vectorului nul egal cu1 iar ceilalti scalari egali cu0 si egalitatea(3.2.1) este adevarata.

Folosind notiunea de liniar dependenta teorema 3.1.7 se reenunta astfel:

Teorema 3.2.1 Orice patru vectori dinV 3 sunt liniar dependenti.

Demonstra tie. Fie vectoriiv1, v2, v3, v4. Daca v1, v2, v3 sunt coplanari atunci, conform remarcii 3.2.1ei sunt liniari dependenti, de unde rezulta ca (vezi remarca precedenta)v1, v2, v3, v4 sunt liniari dependenti.Daca v1, v2, v3 nu sunt coplanari, atunci conform teoremei 3.1.7, exista scalarii1, 2, 3 astfel nct:

v4 = 1v1 + 2v2 + 3v3, (3.2.2)-24-

8/6/2019 Curs Scurt

24/92

de unde rezulta 1v1 + 2v2 + 3v31v4 = 0 , deciv1, v2, v3, v4 sunt liniari dependenti (4 = 1 6= 0 ).Folosind notiunile de liniar dependenta si liniar dependenta suntem n masura sa de nim notiunea debaza:

De nitia 3.2.2 O multime de vectori{v1, v2,...,v n }V 3 se numeste baz

a dac a veri c a urm atoarelecondi tii:

1. Vectoriiv1, v2,...,vn sunt liniar independenti.2. Oricare ar vectorulv

V 3 vectoriiv, v1, v2,...,v n sunt liniar dependenti.

Binenteles ca se pune probleme daca n V 3 exista o baza si daca existe mai multe baze, prin ce seaseamana ele. Raspunsul la aceste probleme este dat de urmatoarea teorema:

Teorema 3.2.2 Orice multime format a din trei vectori necoplanari formeaz a o baz a n V 3.

Demonstra tie. Fiev1, v2, v3 trei vectori necoplanari. Repetnd rationamentul de la demonstratia teore-mei precedente rezulta ca pentru orice vectorv4exista scalarii1, 2, 3 astfel nct egalitatea (3.2.2) sa eadevarata, deciv1, v2, v3, v4 sunt liniari dependenti.

Remarca 3.2.4 Teorema precedenta precizeaza ca exista baze nV 3 si ca orice baza are exact trei ele-mente.

n legatura cu formula (3.2.2), este adevarata urmatoarea teorema:

Teorema 3.2.3 Dac a {v1, v2, v3} este o baz a n V 3 atunci pentru oricev4 V 3 scalarii care apar n

(3.2.2) sunt unici.

Demonstra tie. Presupunem ca exista scalarii01, 02, 03 astfel nctv4 = 01v1 + 02v2 + 03v3. Scaznddin aceasta egalitate egalitatea 3.2.2 rezulta01 1v1 + 02 2v2 + 03 3v3 = 0 . Din liniarindependenta vectorilorv1, v2, v3 rezulta (vezi remarca 3.2.2) ca 01 1 = 0 , 02 2 = 0 , 03 3 = 0 ,deci01 = 1, 02 = 2, 03 = 3.

Teorema precedenta ne permite sa dam urmatoarea de ni tie:

De nitia 3.2.3 Dac a B = {v1, v2, v3} este o baz a n multimeaV 3 atunci pentru un vector v4 scalarii1, 2, 3 din formula (3.2.2) se numesc coordonatele vectoruluiv4 n bazaB .

Daca asupra vectorilor care formeaza baza punem conditii suplimentare, obtinem baze cu diferite denu-miri, conform de nitiei de mai jos:

De nitia 3.2.4 O baz a B = {v1, v2, v3} se numeste:

1. ortogonal a dac a ecare dintre vectoriiv1, v2, v3 este perpendicular pe ceilalti;2. ortonormat a dac a este ortogonal a si vectorii care o formeaz a sunt versori;3. ortonormat a direct orientat a dac a este ortonormat a si v3 = v1 v2.

Vectorii care formeaza o baza ortonormata direct orientata i vom nota cui , j ,k , ca si n gura de mai jos:

si n acest caz vom nota coordonatele unui vectorv cu literelex,y,z (adica v = xi + yj + zk ).- 25-

8/6/2019 Curs Scurt

25/92

Exprimarea opera tiilor cu vectori folosind coordonateleDeoarece legatura dintre operatiile cu vectori si operatiile cu coordonatele lor ntr-o baza arbitrara nu

este chiar att de simpla n cazul produselor, vom utiliza n cele ce urmeaza doar baze ortonormate directorientate. n acest caz este adevarata urmatoarea teorema:

Teorema 3.2.4 Dac ai , j ,k este o baz a ortonormat a direct orientat a si vectoriivl, l = 1 , 3 au coordo-natele(xl , yl , zl) atunci sunt adev arate urm atoarele egalit a ti:v1 + v2 = ( x1 + x2) i + ( y1 + y2) j + ( z1 + z2) k; (3.2.3)

v 1 = ( x 1) i + ( y1) j + ( z 1) k; (3.2.4)

v1 v2 = x1x2 + y1y2 + z1z2; (3.2.5)

v1 v2 = ( y1z2 y2z1) i + ( z1x2 z2x1) j + ( x1y2 x2y1) k; (3.2.6)

(v1, v2, v3) =

x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

. (3.2.7)

Demonstra tie. Demonstratia egalitatilor (3.2.3) si (3.2.4) rezulta din proprietatile opera tiilor de adunarea doi vectori (vezi teorema 3.1.4) si nmultirea unui vector cu un scalar (vezi teorema 3.1.5), precum si dinunicitatea coordonatelor unui vector ntr-o baza data. Astfel (3.2.3) rezulta din urmatorul sir de egalita ti:

v1 + v2 = x1i + y1 j + z1k+ x2i + y2 j + z2k== x1i + x2i + y1 j + y2 j + z1k + z2k == ( x1 + x2) i + ( y1 + y2) j + ( z1 + z2) k.

Egalitatea (3.2.5). rezulta din proprietatile (3.1.8), (3.1.9), (3.1.10) ale produsului scalar, precum si dinegalitatilei i = j j = k k = 1 , i j = i k = j k = 0 , (baza ind ortonormata):v1 v2 = x1i + y1 j + z1kx2i + y2 j + z2k== x1x2i i+ x1y2i j+ x1z2i k+ y1x2 j i+ y1y2 j j+ y1z2 j k++ z1x2k i+ z1y2k j+ z1z2k k= x1x2 + y1y2 + z1z2.Egalitatea (3.2.6). rezulta rezulta din proprietatile (3.1.11), (3.1.14), (3.1.15) ale produsului vectorial, pre-

cum si din egalitatilei i = j j = k k = 0 , i j = k, i k = j , j k = i (baza ind ortonormata):v1 v2 = x1i + y1 j + z1k x2i + y2 j + z2k== x1x2i i+ x1y2i j+ x1z2i k+ y1x2 j i+ y1y2 j j+ y1z2 j k++ z1x2

k i

+ z1y2

k j

+ z1z2

k k

= ( y1z2 y2z1) i + ( z1x2 z2x1) j + ( x1y2 x2y1) k.Ultima egalitate din teorema rezulta din aplicarea precedentelor doua si din dezvoltarea determinatului din

membrul drept dupa prima linie.

Remarca 3.2.5 Formula 4. se poate retine mai usor astfel:

v1 v2 =

i j kx1 y1 z1x2 y2 z2

, (3.2.8)

caci membrul drept al formulei este (formal) tocmai determinantul de mai sus dezvoltat dupa prima linie.

Remarca 3.2.6 Formula lui Gibs (3.1.17) rezulta si prin calcul, aplicnd pentru membrul stng de douaori formula pentru produsul vectorial, iar pentru membrul drept formulele 3. si 2. din teorema precedenta.

Din teorema precedenta rezulta urmatoarele consecinte:

Corolarul 3.2.1 Dac a v = xi + yj + zk atuncix = v i, y = v j,z = v k.-26-

8/6/2019 Curs Scurt

26/92

Demonstra tie. Aplicnd formula (3.) rezulta:v i =

xi + yj + zk

i =

xi + yj + zk

1 i + 0 j + 0 k

= x 1 = x.

Corolarul 3.2.2 Dac a v = xi + yj + zk atunci lungimea sa este:v = |v| = p x2 + y2 + z2. (3.2.9)

Demonstra tie. Din de nitia produsului scalar rezulta v = v v, si aplicnd formula 3. din teoremaprecedenta rezulta egalitatea (3.2.9).

Corolarul 3.2.3 Dac a vl, l = 1 , 2 au coordonatelexl , yl , zl si este unghiul dintre ei atunci:cos =

x1x2 + y1y2 + z1z2

p x21 + y21 + z21p x22 + y22 + z22. (3.2.10)

Demonstra tie. Din de ntia produsului scalar rezulta ca cos = v1 v2v1 v2 ,si se aplica formula 3. dinteorema precedenta precum si corolarul precedent.

O consecinta a corolarului precedent este:

Corolarul 3.2.4 Oricare ar numerelex1, y1, z1, x2, y2, z2 este adev arat a urm atoarea inegalitate:(x1x2 + y1y2 + z1z2)2 x

21 + y21 + z21x22 + y22 + z22, (3.2.11)inegalitatate care este un caz particular al inegalit atii Cauchy-Buniakovski-Schwarz.

Demonstra tie. Se considera vectoriivl, l = 1 , 2 care au coordonatelexl , yl , zl si notnd cu unghiuldintreei rezulta cos2 1. n aceasta inegalitate se nlocuiestecos conform formulei (3.2.10), si aducndla acelasi numitor rezulta (3.2.11).

Remarca 3.2.7 Din (3.2.10) rezulta ca vectoriiv1, v2 sunt perpendiculari daca si numai daca:

x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0 . (3.2.12)

Corolarul 3.2.5 Oricare ar numerelex1, y1, z1, x2, y2, z2 este adev arat a urm atoarea identitate (identi- tatea lui Lagrange ):

(x1x2 + y1y2 + z1z2)2 + ( y1z2 y2z1)2 + ( z1x2 z2x1)2 + ( x1y2 x2y1)2 == x21 + y21 + z21x22 + y22 + z22Demonstra tie. Rationnd ca si la corolarul 4.2.8 rezulta pentru unghiul egalitateacos2 + sin 2 =

1,si nlocuind acicos conform (3.2.10) si sin cu |v1 v2 |v1 v2 , pe baza formulelor 3. si 4. din teoremaprecedenta rezulta identitatea de mai sus.

- 27-

8/6/2019 Curs Scurt

27/92

Exemplul 3.2.1 Se dau vectoriiv1 = i + j k si v2 = 2 i j + k. S a se determine un versor v ortogonal pev1 si v2. Ideea: v0 = v1 v2, v = |v0| .

v0 =

i j k1 1 12 1 1

=

= 0 i 3 j 3 kv =

0i 3 j 3 k

q 02 + ( 3)2 + ( 3)2=

j + k 2

3.3 Geometria analitic a liniar a n spatiu

Pentru nceput sa de nim cteva notiuni de baza n geometria analitica.

De nitia 3.3.1 Se numeste reper n spatiu o multime format a dintr-un punct O (numit originea reperului) si o baz a dinV 3. Dac a baza este ortonormat a reperul se va numi ortonormat.

Remarca 3.3.1 n cele ce urmeaza vom considera numai repere n care baza este ortonormata si directorientata. Un astfel de reper, conform notatiilor din sectiunea 4.5.3 se va nota cuO,i , j ,k .De nitia 3.3.2 Se numeste vector de pozitie al unui punct M din spatiu ntr-un reper vectorul care are careprezentant segmentul orientat OM . Se numesc coordonatele unui punct M ntr-un reper coordonatelevectorului de pozitie al punctuluiM n baza din reper.

Remarca 3.3.2 Daca avem dat reperulO,i , j ,k atunci coordonatele punctuluiM se noteaza (x,y,z )si sunt de nite de egalitatea:OM = xi + yj + zk . Vom scrie n continuareM (x,y,z ) si vom citi punctulM de coordonate(x,z,y ). Dreptele orientate determinate deO si versoriii, j respectivk se vor nota cuOx, Oy respectivOz si se vor numi axele de coordonate, iar uneori vom folosi denumirea reperulOxyz n loc de reperul

O,i , j ,k

, denumire justi cata si de desenul de mai jos:

3.3.1 Planul n spa tiun aceasta sectiune vom studia planul din punct de vedere al geometriei analitice, adica vom raspunde

la ntrebarile: Daca un punctM (x,y,z ) este ntr-un anumit plan, ce relatii exista ntre coordonatele sale?Cum se re ecta asupra coordonatelor punctelor din plan proprietati geometrice ale planului respectiv?.Pentru nceput vom raspunde la prima ntrebare:-28-

8/6/2019 Curs Scurt

28/92

Diferite determin ari ale planuluiVom studia ce conditii veri ca coordonatele unui punct situat ntr-un plan care este de nit prin anumite

conditii geometrice:

Plan determinat de un punct si un vector perpendicular pe planFie punctulM 0 si vectorulN (N 6= 0 ). Din geometria de liceu se stie ca exista un singur plan, pe care

l vom nota cu care trece prin punctulM 0 si este perpendicular pe vectorulN . Fie acum un punctM arbitrar din planul . Este adevarata urmatoarea teorema:

Teorema 3.3.1 M dac a si numai dac a este adev arat a urm atoarea egalitate:

MM 0 N = 0 . (3.3.1)Demonstra tie. Conform gurii de mai jos (n careM 0

, N ,sunt date, iarM este un punct

arbitrar din planul ):

punctulM apar tine planului daca si numai daca vectoriiN si M 0M sunt perpendiculari13, ceea ce,conform remarcii 3.1.13 este echivalent cu egalitatea (3.3.1).

Sa transcriem acum egalitatea (3.3.1) folosind coordonatele. Pentru aceasta sa notam coordonatelepunctuluiM 0 cu (x0, y0, z0) , coordonatele punctuluiM cu (x,y,z ) si coordonatele vectoruluiN cu(A,B,C ) . Atunci, pe baza teoremei 3.2.4 si a de nitiei coordonatelor unui punct (de nitia 3.3.2)M 0M =(x x0) i + ( y y0) j + ( z z0) k si deciM 0M N = ( x x0) A + ( y y0) B + ( z z0) C, care nlocuita n membrul stng al egalitatii (3.3.1) ne conduce la ecuatia:

A (x x0) + B (y y0) + C (z z0) = 0 (3.3.2)Daca n ecuatia de mai sus notamAx0 + By0 + Cz 0 = D rezulta ca punctulM (x,y,z ) apar tine planului daca si numai daca coordonatele sale veri ca ecuatia:

Ax + By + Cz + D = 0 . (EGP)Ecuatia (EGP) se numeste ecuatia generala a planului n spatiu (cu conditiaA2 + B 2 + C 2 6= 0 , pentru caN 6= 0 ).

Exemplul 3.3.1 Ne propunem s a a am ecuatia planuluixOy. Acest plan este determinat de punctulO (0, 0, 0) si are ca vector normal versorulk , deciA = 0 , B = 0 , C = 1 . nlocuind n formula (3.3.2)obtinem ecuatia planuluixOy :

z = 0 . (3.3.3)13 conform geometriei din liceu, o dreapta este peroendiculara pe un plan daca si numai daca este perpendiculara pe orice dreapta din

plan.- 29-

8/6/2019 Curs Scurt

29/92

Plan determinat de un punct si doi vectori necoliniari paraleli cu planulFie un punctM 0 (x0, y0, z0) si vectoriiv1 = a1 i + b1 j + c1k, v2 = a2 i + b2 j + c2k necoliniari (adica,

conform remarcii 3.1.15v1 v2 6= 0). Ne propunem sa aam ce ecuatie (sau ecuatii) veri ca coordonateleunui punctM (x,y,z ) care apartine unui plan care contine punctulM 0 si este paralel cu vectoriiv1 si v2.Figura de mai jos ilustreaza ideea demonstratiei teoremei 3.3.2:

Analogul teoremei 3.3.1 este:

Teorema 3.3.2 PunctulM apartine planului dac a si numai dac a este veri cat a ecuatia:

MM 0, v1, v2 = 0 (3.3.4)MM 0 (v1 v2) = 0 (3.3.5)Demonstra tie. PunctulM apar tine planului daca si numai daca vectoriiMM 0, v1, v2 sunt coplanari,

ceea ce este echivalent cu egalitatea (3.3.4), conform remarcii 3.1.16.Folosind coordonatele egalitatea (3.3.4) se scrie, conform operatiilor cu vectori (vezi formula (3.2.7)):

x x0 y y0 z z0a1 b1 c1

a2 b2 c2 = 0 . (3.3.6)Plan determnat de trei puncte necoliniareFie puncteleM i (xi , yi , zi ) , i = 1 , 3 necoliniare (adica vectoriiM 1M 2 si M 1M 3 sunt necoliniari, sau

folosind operatii cu vectori, conform remarcii 3.1.12,M 1M 2 M 1M 3 6= 0 ). Ecuatia planului determinatde cele trei puncte este data de:

Teorema 3.3.3 Planul care trece prin puncteleM i (xi , yi , zi ) , i = 1 , 3 necoliniare are ecuatia:

x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1 = 0 . (3.3.7)

Demonstra tie.Varianta 1. (geometrica) Reducem problema la cazul precedent, considernd ca planul este determinat de punctulM 1 si vectoriiM 1M 2 si M 1M 3. Conform formulei (3.3.6) ecuatia planuluieste:

x x1 y y1 z z1x2 x1 y2 y1 z2 z1x3 x1 y3 y1 z3 z1

= 0 ,

ecuatie care se poate scrie:

x x1 y y1 z z1 0x1 y1 z1 1x2 x1 y2 y1 z2 z1 0x3 x1 y3 y1 z3 z1 0 = 0adunnd n determinantul de mai sus linia a doua la celelalte linii obtinem ecuatia (3.3.7).

-30-

8/6/2019 Curs Scurt

30/92

Varianta a 2-a. (algebrica) Ecuatia planului (vezi (EGP)) este:Ax + By + Cz + D = 0 (3.3.8)

A determina ecuatia planului se reduce la a determina coe cientiiA,B,C,D din ecuatia de mai sus.Scriind ca puncteleM i , i = 1 , 3 veri ca aceasta ecuatie rezulta:

Ax1 + By1 + Cz 1 + D = 0Ax2 + By2 + Cz 2 + D = 0Ax3 + By3 + Cz 3 + D = 0 .

(3.3.9)

Rezolvnd acest sistem cu necunoscuteleA,B,C (care are determinantul nenul din conditia de necoliniar-itate a punctelorM 1, M 2, M 3 ) si nlocuind n (3.6.2) rezulta ecuatia palnului . n loc sa procedam asa,consideram sistemul omogen (cu necunoscuteleA,B,C,D ) format din sistemul (3.3.9) si ecuatia (3.6.2),sistem care are solutie nenula. Conditia ca acest sistem sa aiba solutie nenula este ca determinantul sau sa e egal cu0 , adica tocmai ecuatia (3.3.7).

Pozitia relativ a a dou a plane, unghiul a dou a plane

Fie planele 1, 2 de ecuatii:A1x + B1y + C 1z + D1 = 0A2x + B2y + C 2z + D2 = 0 .

(3.3.10)

Pozi tia relativa a celor doua plane, determinata pe baza ecuatiilor (3.3.10), este data de :

Teorema 3.3.4 Planele 1, 2 sunt paralele, dac aA1A2

=B1B2

=C 1C 2

6=D1D2

, (3.3.11)coincid dac a:

A1A2

=B1B2

=C 1C 2

=D1D2

(3.3.12)

si au o dreapt a comun a dac a rangul matricei A1 B1 C 1A2 B2 C 2 este doi.Demonstra tie. Daca rangul matricei A1 B1 C 1A2 B2 C 2 este doi atunci sistemul (3.3.10) format din

ecuatiile celor doua plane este simplu nederminat, iar solutile sale sunt coordonatele punctelor de pe odreapta (va urma). Daca rangul matricei precedente este unu, atunci sistemul (3.3.10) este incompatibil,daca rangul matricei extinse este doi, ceea ce este echivalent cu (3.3.11), si deci planele sunt paralele, sausistemul (3.3.10) este compatibil cu rangul matricei extinse egal cu doi, ceea ce e echivalent cu (3.3.12), si n acest caz cele doua ecuatii se obtin una din cealalta prin nmultirea cu o constanta, deci reprezinta acelasiplan.

Remarca 3.3.3 Daca se tine cont de semni catia geometrica a coe cientilor luix,y,z din (EGP) (ei suntcoordonatele normalei la plan), atunci egalitatea primelor trei rapoarte din (3.3.11),(3.3.12) nu este altcevadect paralelismul normalelor la plane.

Unghiul a doua plane se de neste astfel:

De nitia 3.3.3 Unghiul planelor 1, 2 date prin ecuatiile (3.3.10) este unghiul dintre normalele la celedou a planeN 1 = A1i + B1 j + C 1k , N 2 = A2i + B2 j + C 2k.

Teorema 3.3.5 Dac a not am cu unghiul celor dou a plane, atunci:

cos =A1A2 + B1B2 + C 1C 2

p A21 + B

21 + C

21

p A22 + B

22 + C

22

.

Demonstratia formulei de mai sus este simpla, rezultnd direct din de nitia precedenta si din formula(3.2.10) care da unghiul a doi vectori pe baza coordonatelor.

- 31-

8/6/2019 Curs Scurt

31/92

Din teorema de mai sus rezulta:

Corolarul 3.3.1 Planele 1, 2 date prin ecuatiile (3.3.10) sunt perpendiculare dac a si numai dac a:A1A2 + B1B2 + C 1C 2 = 0 .

Distan ta de la un punct la un planFie planul de ecuatie (EGP), si punctulM 1 (x1, y1, z1) .

Teorema 3.3.6 Distanta de la punctulM 1 la planul este egal a cu:

dist (M 1, ) =|Ax1 + By 1 + Cz 1 + D| A2 + B 2 + C 2 . (3.3.13)

Demonstra tie. S a facem gura:

P

NM

M0

M

n gura de mai susN = Ai + Bj + Ck este normala la planul , M 0(x0, y0, z0) este un punct din plan(deci coordonatele sale veri ca ecuatia planului), iarM 0 este proiectia punctuluiM 1 pe normala. Conformgeometriei "clasice" distanta de laM la planul este egala cu lungimea segmentuluiM 0M 0. Dar dinproprietatile produsului scalar avem:

M 0M 0

= N M 0M 1

N == |A (x1 x0) + B (y1 y0) + C (z1 z0)| A2 + B 2 + C 2 ==

|Ax1 + By1 + Cz 1 (Ax0 + By0 + Cz 0)| A2 + B 2 + C 2 ==

|Ax1 + By1 + Cz 1 + D| A2 + B 2 + C 2Ecuatia normal a a unui plan (Hesse)Fie un plan pentru care se cunoaste distanta de la origine la pland si unghiurile,, f acute de

perpendiculara coborta din origine pe plan. Sa notam cuP piciorul perpendicularei coborte din originepe plan si cuM (x,y,z ) un punct arbitrar din plan.

x

y

z

O

Pa b

g

PM

Din datele cunoscute avemOP = dcos i + cos j + cos k, iar conditia caM este echivalentacuOP PM = 0 . Transcriind aceasta egalitate n coordonate avem:d (cos (d cos + x) + cos (d cos + y) + cos (d cos + z)) = 0

sau f acnd calculele si tinnd cont ca cos2 + cos 2 + cos 2 = 1 , rezulta ca coordonatele punctuluiM veri ca ecuatia:

x cos + y cos + z cos d = 0 (3.3.14)Ecuatia (3.3.14) se numeste ecuatia normala a planului (sau forma Hesse).-32-

8/6/2019 Curs Scurt

32/92

Remarca 3.3.4 Din ecuatia generala a planului se ajunge la ecuatia normala a planului prin mpar tireaecuatiei (EGP) cu A2 + B 2 + C 2, alegnd semnul astfel ca n ecuatia obtinuta termenul liber sa enegativ.

Remarca 3.3.5 O alta forma a ecuatiei planului este asa numita "ecuatia planului prin taieturi" de forma:xa

+yb

+zc

= 1

care se obtine din (EGP) prin mp

artirea cuD. Numitorii din ecuatia de mai sus sunt tocmai coordonatelepunctelor de intersectie cu axele (adica planul intersecteaza axaOx n punctul(a, 0, 0) , axaOy n punctul(0, b, 0) si axaOz n (0, 0, c) ).

Exercitiul 3.3.1 Sa sea e latura cubului care are doua fete n planelex+2 y+2 z

6 = 0 , x +2 y+2 z+3 =

0.

Sub forma "prin taieturi":x6

+y3

+z3

= 1 ,x

3+

y

3/ 2+

z

3/ 2= 1

Sub forma Hesse cele 2 ec. devin (prin mpartire cu 12 + 2 2 + 2 2:x3

+2y3

+2z3 2 = 0 ,

x3

2y3

2z3 1 = 0

de undel = 3 .

- 33-

8/6/2019 Curs Scurt

33/92

3.3.2 Dreapta n spa tiu

Dreapta determinat a de un punct si un vector paralel cu eaFie o dreapta d determinata de un punctM 0 si un vectorv = mi + nj + pk -numitvector director al

dreptei-(o "direc tie") paralel cu ea, conform gurii:

M0 v

i jk

= m + n+ p

d

M

Daca M este un punct arbitrar pe dreapta, acest lucru este echivalent cu (vezi remarca 3.2.1):M 0M = tv, t R

Considernd caM

are coordonatele(x,y,z )

iarM 0

are coordonatele(x0, y0, z0) ,

egalitatea de mai susdevine:

(x x0) i + ( y y0) j + ( z z0) k = tmi + nj + pk.Egalnd coordonatele vectorilor din egalitatea vectoriala rezulta:

x = mt + x0y = nt + y0z = pt + z0

, tR (EPD)

Ecuatiile de mai sus poarta numele deecuatii parametrice ale unei drepte n spatiu . Daca rezolvam ecare ecuatie n din(EP D ) n raport cut si egalam rapoartele astfel obtinute rezulta ecuatiile canoniceale unei drepte n spatiu:

x x0m

=y y0

n=

z z0 p

(ECD)

Remarca 3.3.6 Ecuatiile parametrice ale unei drepte se pot interpreta ca legea de miscare a unui punctmaterial care pleaca dinM 0 si se deplaseaza cu viteza constanta v.

Dreapta ca intersec tie de dou a plane neparalele

vi j

k = m+

n+ p= N

N 1

2 x

d P 1

P 2

N 2

N1

Fie dreaptad = 1 2, conform gurii de mai sus. Daca ecuatiile celor doua plane sunt: 1 : A1x + B1y + C 1z + D1 = 0 2 : A2x + B2y + C 2z + D2 = 0

atunci coordonatele oricarui punct de pe dreapta veri ca sistemul:

A1x + B1y + C 1z + D1 = 0A2x + B2y + C 2z + D2 = 0 (EDDP)

Ne propunem sa deducem din ecuatiile de mai susecuatiile canonice ale dreptei. Pentru aceasta sa observamca vector director al dreptei se poate scrie ca produsul vectorial al normalelor la cele doua plane, deoarece-34-

8/6/2019 Curs Scurt

34/92

este un vector n ambele plane, deci perpendicular pe ambele normale:

v = N 1 N 2 =

i j k

A1 B1 C 1A2 B2 C 2

=

B1 C 1

B2 C 2 i +

C 1 A1

C 2 A2 j +

A1 B1

A2 B2 k

(am folosit expresia analitica a produsului vecorial (3.2.8)). PunctulM 0 de pe dreapta l alegem ca avndcoordonatele o solutie oarecare a sistemului (EDDP). Atunci ecuatiile canonice ale dreptei determinate dedoua plane sunt:

x x0B1 C 1B2 C 2

=y y0

C 1 A1C 2 A2 =

z z0A1 B1A2 B2

.

Exemplul 3.3.1 S a se scrie ecuatiile canonice ale axeiOx stiind c a ea e intersectia planelor xOy si xOz.Ecuatia planuluixOy estez = 0 iar ecuatia planuluixOz estey = 0 , deci ecuatiile axeiOx sunt:

z = 0y = 0Ecuatile canonice ale axeiOx vor :x 0

0 11 0 =

y 0

1 00 0 =

z 0

0 00 1 sau f acnd calculele:

x

1=

y0

=z0

.

Distan ta de la un punct la o dreapt a

Fie punctulM (x1, y1, z1) si dreaptad de ecuatii canonice (ECD). Distanta de la punctul dat la dreaptaeste egala cu nal timeah a paralelogramului construit pe vectoriiv siM 0M, conform gurii de mai jos:

M0

v

d

M

h

Folosind operatiile cu vectori rezulta:

h = v M 0M v == s

n py1 y0 z1 z0

2

+ p m

z1 z0 x1 x0 2

+ m n

x1 x0 y1 y0 2

p m2 + n2 + p2 - 35-

8/6/2019 Curs Scurt

35/92

Remarca 3.3.7

v M 0M =

i j k

m n p

x1 x0 y1 y0 z1 z0

Remarca 3.3.8 Distanta de la un punct la o dreapta se poate a a si ca minimul distantelor de la punctuldat la un punct care parcurge dreapta, n acest caz folosindu-se ecuatiile parametrice ale dreptei si caculndminimul unei functii de grad 2:

f (t) = ( mt + x0 x1)2

+ ( nt + y0 y1)2

+ ( pt + z0 z1)2

== at 2 + bt + c, a = m2 + n2 + p2, b = ...,c = ...

Pozitia relativ a a trei planeFie planele i i = 1 , 3 trei plane. A stabili pozitia lor relativa nseamna a determina punctele comune.

Din punct de vedere algebric aceasta este echivalent cu discutia sistemului format cu ecuatiile celor treiplane:

A1x + B1y + C 1z = D1A2x + B2y + C 2z =

D2A3x + B3y + C 3z = D3

(STrei)

Discutia sistemului este urmatoarea:

1. Sistemul (STrei) are solutie unic a, dac a determinantul

A1 B1 C 1A2 B2 C 2A3 B3 C 3

= N 1, N 2, N 3este nenul.Geometric nseamn a c a cele trei plane au un singur punct comun (normalele la plane nu sunt n acelasi plan), vezigura urm atoare:

Rangul matricei

A1 B1 C 1A2 B2 C 2A3 B3 C 3

este doi, iar sistemul este incompatibil, n acest caz sunt dou a sub-

cazuri:

(a) Doua linii din matricea de mai sus sunt proportionale. Atunci doua plane sunt paralele, si suntintersectate ecare de cel de al treilea plan, conform gurii:

-36-

8/6/2019 Curs Scurt

36/92

b) Matricea de mai sus nu are linii proportionale. Atunci planele se intersecteaza doua cte douadupa drepte paralele:

2. Rangul matricei

A1 B1 C 1A2 B2 C 2A3 B3 C 3

este doi, iar sistemul (STrei) este compatibil nederminat. Cele trei

plane au o dreapt a comun a:

- 37-

8/6/2019 Curs Scurt

37/92

3. Rangul matricei

A1 B1 C 1A2 B2 C 2A3 B3 C 3

este unu.

(a) Daca sistemul (STrei) este compatibil atunci cele trei plane coincid.

(b) Daca sistemul (STrei) este incompatibil, atunci planele sunt paralele.

Fascicol de planeFie planele 1, 2 de ecuatii

1 : A1x + B1y + C 1z + D1 = 0 2 : A2x + B2y + C 2z + D2 = 0

De nitia 3.3.4 Se numeste fascicol de plane multimea planelor care au ecuatia: (A1x + B1y + C 1z + D1) + (A2x + B2y + C 2z + D2) = 0 (fasc)

unde, R 2 + 2 6= 0 . Planele 1, 2 se numesc planele de baz a ale fascicolului.

Remarca 3.3.9 Daca planele nu sunt paralele, atunci pentru, lund toate valorile reale obtinem toateplanele care trec prin dreapta de intersectie, iar daca sunt paralele, toate planele paralele cu ele.

Exercitiul 3.3.2 Sa se a e ecuatia planului care tece prin dreapta de ecuatii

3(x 1) = 2( y + 2) , 2(y + 2) = 3(z 2)-38-

8/6/2019 Curs Scurt

38/92

si care este perpendicular pe planul de ecuatie3x + 2 y z 5 = 0 .Ec. cautata e de forma:

(2 (y + 2) + 3 ( x 1)) + (2 (y + 2) + 3 ( z 2)) = 0normala la acestplan e:

N = 3 i + (2 + 2 ) j + (3 ) kNormala la planul3x + 2 y z 5 = 0 esteN 1 = 3 i + 2 j k. Cond. deeste:

(3) 3 + (2 + 2 ) 2 + (3 ) (1) = 0adica:

13 + = 0 : = 13 (2 (y + 2) + 3 ( x 1)) 13 (2 (y + 2) + 3 ( z 2)) = 0

3x 24y 39z + 27 = 0

Unghiul dintre o dreapt a si un planFie dreaptad si planul .

De nitia 3.3.5 Unghiul dintre dreaptad si planul este unghiul dintre dreapt a si proiectia ei pe plan.

Daca dreapta e data sub forma (ECD) iar planul sub forma (EGP) atunci , conform gurii:

P

dN

v

sin = cos N, v=N vNv

=

=Am + Bn + Cp

A2 + B 2 + C 2

p m2 + n2 + p2

Pozitia relativ a a dou a drepte n spa tiuFie drepteled1, d2 de ecuatii:

x x1m1

=y y1

n1=

z z1 p1

x x2m2

=y y2

n2=

z z2 p2

.

d1v1

v2

d2

M2

M1

- 39-

8/6/2019 Curs Scurt

39/92

Ele n-au n general puncte comune (patru ecuatii cu trei necunoscute) daca:

M 1M 2, v1, v2

6= 0

x2 x1 y2 y1 z2 z1m1 n1 z1m2 n2 z2

6= 0

Daca

M 1M 2, v1, v2 = 0

x2 x1 y2 y1 z2 z1m1 n1 z1m2 n2 z2

= 0

atunci sunt trei posibiltati:1. m 1m 2 =

n 1n 2 =

p1 p2 , M 1 /d2, dreptele sunt paralele.

2.m 1m 2 =

n 1n 2 =

p1 p2 , M 1d

2 dreptele coincid.3. dac a nu sunt cazurile precedente, dreptele se a a n acelasi plan (care?) si au un punct comun.

Perpendiculara comun a a dou a drepte n spa tiuFie n spatiu drepteled1, d2 de ecuatii:

x x1m1

=y y1

n1=

z z1 p1

x x2m2

=y y2

n2=

z z2 p2

.

, neparalele.

De nitia 3.3.6 Se numeste perpendiculara comun a a celor dou a drepte o dreapt a care le intersecteaz a peamndou a si este perpendicular a peecare.

Teorema 3.3.7 Perpendiculara comun a a celor dou a drepte este intersectia planelor 1 si 2 detemi-

nate de punctulM 1 (x1, y1, z1) , vectoriiv1 (m1, n 1, p1) si v1 v2, respectivM 2 (x2, y2, z2) , vectoriiv2 (m2, n 2, p2) si v1 v2.

-40-

8/6/2019 Curs Scurt

40/92

Remarca 3.3.10 Ecuatia planului 1 este:

x x1 y y1 z z1m1 n1 p1

n1 p1n2 p2 p1 m1 p2 m2 m1 n1m2 n2 = 0De nitia 3.3.7 Se numeste distanta dintre dou a drepte n spatiu lungimea segmentului de pe perpendicu-lara comun a cuprins ntre cele dou a drepte.

Din geometria sintetica se stie ca distanta dintre doua drepte este egala cu distanta de la un punct arbitraral unei drepte la planul paralel cu ea dus la prin cealalta dreapta.

Din gura precedenta rezulta ca distanta dintre drepte este naltimea paralelipipedului construit pe vec-toriiv1, v2, M 2M 1 deci:

dist (d1, d2) = v1, v2, M 2M 1

|v1 v2 | ==

m1 n1 p1m2 n2 p2

x2 x1 y2 y1 z2 z1s

n1 p1n2 p2 2 + p1 m1 p2 m2 2 + m1 n1m2 n2 2

.

3.4 Sfera

De nitia 3.4.1 Se numeste sfer a multimea tuturor punctelor din spatiu pentru care distanta la un punct x numit centrul sferei este egal a cu un num ar numit raza sferei.

Fie centrul sfereiC (a,b,c) si raza sfereiR.

Teorema 3.4.1 PunctulM (x,y,z ) apartine sferei dac a si numai dac a coordonatele sale veri c a ecuatia:

(x a)2 + ( y b)2 + ( z c)2 = R2 (3.4.1)Demonstra tie : distanta de laM la C este egala cuq (x a)

2 + ( y b)2 + ( z c)2 care egalata cuReste echivalenta cu (3.4.1).Daca n ecuatia de mai sus se fac calculele si se reduc termenii asemenea obtinem:

x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + q = 0 (EGS)ecuatie care poarta denumirea deecuatia general a a sferei. (EGS) reprezinta o sfera cu centrul n punctulC m2 , n2 , p2si de raza R = q m2 2 + n22 + p22 q daca expresia de sub radical este pozitiva.Remarca 3.4.1 Sfera se mai poate da si folosind ecuatiile parametrice:

x = R cos sin + ay = R sin sin + b

z = R cos + c

, [0, 2] ,[0, ] (EPS)

sau [180, 180] ,[90, 90] (3.4.2)unde parametrii sunt unghiurile, din gura de mai jos:

- 41-

8/6/2019 Curs Scurt

41/92

Mq

O

x y

z

f

pentru constant se obtin pe sfera jumatati de cecuri mari ("meridiane"), iar pentru constant se obtin pesfera cercuri ("paralele").

Legat de sfera ne propunem sa determinam ecuatia unui plan tangent la sfera ntr-un punct de pe sfer a.FieM 0 (x0, y0, z0) un punct pe sfera.

Teorema 3.4.2 Ecuatia planului tangent la sfer a n punctulM 0 este:

(x a) (x0 a) + ( y b) (y0 b) + ( z c) (z0 c) = R2

(EPTS)Demonstra tie : Planul tangent la sfera nM 0 este determinat deM 0 si normalaCM 0 = ( x0 a) i + ...(planul este perpendicular pe raza), deci ecuatia sa este:

(x x0) (x0 a) + ( y y0) (y0 b) + ( z z0) (z0 c) = 0Darx x0 = ( x a) (x0 a) , .. care nlocuite n ecuatia de mai sus dau:

(x a) (x0 a) + ( y b) (y0 b) + ( z c) (z0 c) (x0 a)2 + ( y0 b)2 + ( z0 c)2= 0Tinnd cont de faptul ca coordonatele luiM 0 veri ca ecuatia sferei, rezulta (EPTS).Remarca 3.4.2 Ecuatia planului tangent la sfera se obtine din (EGS) prindedublare :

(x

a)2 = ( x

a) (x

a)

(x

a) (x0

a) ,...

Remarca 3.4.3 Daca sfera este data sub forma generala atunci ecuatia planului tangent n punctulM 0 de-42-

8/6/2019 Curs Scurt

42/92

pe sfera este:xx 0 + yy0 + zz0 + m

x + x02

+ ny + y0

2+ p

z + z02

+ q = 0

dedublarea ind:x2

= xx xx 0, x =x+ x

2 x+ x0

2 .

M0

rs

rt

Remarca 3.4.4 In general un plan este tangent la sfera daca distanta de la centrul sferei la plan este egalacu raza.

3.5 Cuadrice pe ecua tii reduse

3.5.1 Elipsoid

De nitia 3.5.1 Se numeste elipsoid multimea punctelor din spatiuM (x,y,z ) care ntr-un sistem de co-ordonate bine ales veri c a ecuatia:

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 . (Elips)

- 43-

8/6/2019 Curs Scurt

43/92

-2

0

2

Ox

-1

0

1Oy

-1

0

1

Oz -2

0

2

Ox-1

0

1

Oz

Pentru a studia suprafata data vom a a intersectiile ei cu planele de coordonate si cu plane paralele cuplanele de coordonate. Un calcul simplu ne conduce la:

Teorema 3.5.1 Intersectia elipsoidului cu planulxOy este elipsa de ecuatiex2a 2 +y2b2 = 1 , iar cu plane

paralele cuxOy ,z = , este elipsa de ecuatiex2a 2 +y2b2 = 1

2

c2 , pentru| | < c, un punct pentru| | = c si vid a pentru| | > c.

Remarca 3.5.1 Este devarata o teorema analoaga pentru intersectia cu plane paralele cu celelate plane decoordonate.

Remarca 3.5.2 Axele de coordonate si planele de coordonate sunt axe, respectiv plane de simetrie pentruelipsoid. (adica daca un punct se a a pe elipsoid si simetricul sau fa ta de axe, respectiv plane se a a peelipsoid (doua puncte sunt simetrice fata de o dreapta sau plan daca mijlocul segmentului care le uneste estepe dreapa sau plan si acest segment este perependicular pe dreapta, respectiv plan).Ex. simetricul punctuluiM 0 (x0, y0, z0) fa ta deyOz esteM 1 (x0, y0, z0) fa ta deOx esteM 2 (x0, y0, z0) .

Daca avem un punctM 0(x0, y0, z0) pe elisoid, atunci:

Teorema 3.5.2 Ecuatia planului tangent la elipsoid nM 0 este:xx 0a2

+yy0b2

+zz0c2

= 1 .-44-

8/6/2019 Curs Scurt

44/92

3.5.2 Hiperboloidul cu o pnz a

De nitia 3.5.2 Se numeste hiperboloid cu o pnz a mul timea punctelor din spatiu care ntr-un sistem decoordonate bine ales veri c a ecuatia:

x2

a2+

y2

b2 z2

c2= 1 . (HIP1)

-4-2

02

4

Ox

-2

0

2Oy

-4

-2

0

2

4

Oz

-2

0

2Oy

Un calcul simplu ne conduce la:

Teorema 3.5.3 Intersectia hiperboloidului cu o pnz a cu plane paralele cuxOy , z = , este o familie deelipse:

x2

a2+

y2

b2= 1 +

2

c2.

Teorema 3.5.4 Intersectia hiperboloidului cu o pnz a cu plane paralele cuxOz, y = , este o familie dehiperbole:

x2

a2 z2

c2= 1

2

b2.

- 45-

8/6/2019 Curs Scurt

45/92

1

Teorema 3.5.5 Intersectia hiperboloidului cu o pnz a cu plane paralele cuyOz, x = , este o familie dehiperbole:

y2

b2 z2

c2 = 1 2

a2 .

Remarca 3.5.3 Axele si planele de simetrie sunt aceleasi ca la elipsoid.

3.5.3 Hiperboloidul cu dou a pnze

De nitia 3.5.3 Se numeste hiperboloid cu dou a pnze mul timea punctelor din spatiu care ntr-un sistemde coordonate bine ales veri c a ecuatia:

x2

a2 y2

b2 z2

c2 = 1 . (HIP2)Un calcul simplu ne conduce la:

Teorema 3.5.6 Intersectia hiperboloidului cu 2 pnze cu plane paralele cuxOy , z = , este o familie dehiperbole:

x2

a2 y2

b2= 1 +

2

c2.

Teorema 3.5.7 Intersectia hiperboloidului cu 2 pnze cu plane paralele cuxOz, y = , este o familie dehiperbole:

x2a2

z2c2

= 1 + 2

b2.

-46-

8/6/2019 Curs Scurt

46/92

Teorema 3.5.8 Intersectia hiperboloidului cu 2 pnze cu plane paralele cuyOz, x = , (pentru| | >a)este o familie de elipse:

y2

b2 +z2

c2 =2

a2 1.

Remarca 3.5.4 Axele si planele e simetrie sunt aceleasi ca la elipsoid.

3.5.4 Paraboloidul eliptic

De nitia 3.5.4 Se numeste paraboloid eliptic multimea punctelor a c aror coordonate, ntr-un sistem bineales, veri c a ecuatia:

2z =x2

a2+

y2

b2. (PE)

Un calcul simplu ne conduce la:

Teorema 3.5.9 Intersectia parabolidului eliptic cu plane paralele cuxOy, z = > 0, este o familie deelipse:

x2

a2+

y2

b2= 2

z =

Teorema 3.5.10 Intersectia paraboloidului eliptic cu plane paralele cuxOz, y = , este o familie de parabole:

x2

a2 + 2

b2 = 2 zy = .

- 47-

8/6/2019 Curs Scurt

47/92

Teorema 3.5.11 Intersectia paraboloidului eliptic cu plane paralele cuyOz, x = , este o familie de parabole:

2

a2 +y2

b2 = 2 zx = .

Remarca 3.5.5 Axa de simetrie e doarOz , iar plane de simetriexOz, yOz.

3.5.5 Paraboloidul hiperbolic

De nitia 3.5.5 Se numeste parabiloid hiperbolic multimea punctelor a c aror coordonate, ntr-un sistembine ales, veri c a ecuatia:

2z =x2

a2 y2

b2. (PH)

Un calcul simplu ne conduce la:

Teorema 3.5.12 Intersectia paraboloidului hiperbolic cu plane paralele cuxOy , z = , este format a dinhiperbole:

x2

a2 y2

b2= 2 .

Teorema 3.5.13 Intersectia paraboloidului hiperbolic cu plane paralele cuxOz , y = ,este format a din parabole:

x2

a2 2

b2= 2 z.

-48-

8/6/2019 Curs Scurt

48/92

Teorema 3.5.14 Intersectia paraboloidului hiperbolic cu plane paralele cuyOz , x = ,este format a din parabole:

2

a2 y2

b2 = 2 z.

Remarca 3.5.6 Axa de simetrie e doarOz , iar plane de simetriexOz, yOz.

3.5.6 Generatoare rectilinii pentru hiperboloidul cu o pnz aFie ecuatia hiperboloidului cu o pnza (HIP1). Ea se poate pune sub forma:

xa zcxa + zc= 1 yb1 + ybcare este echivalenta cu:xa zc1 yb

= 1 + ybxa +

zc

(3.5.1)sau:

xa zc1 + yb

=1 ybxa +

zc

(3.5.2)

Daca egalam rapoartele din (3.5.1) cu, pentru xat ele sunt ecuatiile unei drepte, a ata n ntregime pesuprafata.

De nitia 3.5.6 Se numesteprima familie de generatoare rectiliniipentruhiperboloidul cu o pnz a multimeadreptelor din spatiu de ecuatii:

xa

zc

1 yb =1 + ybxa + zc = ,

R(G1)

si a doua familie de generatoare rectilinii pentru hiperboloidul cu o pnz a multimea dreptelor din spatiude ecuatii:

xa zc1 + yb

=1 ybxa +

zc

= R (G2)

Proprietatile generatoarelor rectilinii sunt date de:

Teorema 3.5.15 Prin orice punct de pe hiperboloid trece cte o generatoare dinecare familie.

Teorema 3.5.16 Dou a generatoare din aceeasi familie nu se intersecteaz a.

Demonstra tie: Aratam ca sistemul:xa zc1 + yb

=1 ybxa +

zc

= 1xa zc1 + yb

=1 ybxa +

zc

= 2

nu are solutii pentru1 6= 2. Avem(1 2)1 + yb= 0 rezulta y = b.Teorema 3.5.17 Dou a generatoare din familii diferite au un singur punct comun.

- 49-

8/6/2019 Curs Scurt

49/92

3.5.7 Generatoare rectilinii pentru paraboloidul hiperbolicFie ecuatia paraboloidului hiperbolic (PH). ea se poate pune sub forma:

2z =

xa

yb

xa

+yb

care este echivalenta cu: 2xa yb =xa +

yb

z(3.5.3)

sau:2

xa +

yb

=xa yb

z(3.5.4)

Daca egalam rapoartele din (3.5.3) cu, pentru xat ele sunt ecuatiile unei drepte, a ata n ntregime pesuprafata.

De nitia 3.5.7 Se numeste prima familie de generatoare rectilinii pentru paraboloidul hiperbolicmultimeadreptelor din spatiu de ecuatii:

2xa yb =

xa +

yb

z = ,

R(G1)

si a doua familie de generatoare rectilinii pentru hiperboloidul cu o pnz a multimea dreptelor din spatiude ecuatii:

2xa +

yb

=xa yb

z=

R (G2)

Proprietatile generatoarelor rectilinii sunt date de:

Teorema 3.5.18 Prin orice punct de pe paraboloid trece cte o generatoare dinecare familie.

Teorema 3.5.19 Dou a generatoare din aceeasi familie nu se intersecteaz a.

Teorema 3.5.20 Dou a generatoare din familii diferite au un singur punct comun.-50-

8/6/2019 Curs Scurt

50/92

Dem la tp2:2

xa yb

=xa +

yb

z= 1

2xa yb

=xa +

yb

z= 2

cu 1 6= 2. n-am sol.dem. la tp3:

2xa yb

=xa +

yb

z=

2xa +

yb

=xa yb

z=

sistem cu 4 ec. si 3 nec.rescris :

xa yb = 2x

a+ y

b z = 0

xa + yb = 2

xa yb z = 0

.

este compatibil daca:

1a 1b 0 21a

1b 01

a1b 0

2

1a 1b 0

?= 0

Scaznd prima linie din celelalte:

1a 1b 0 20 2b 20 2

b0 2

2

0 0 2

=1a

2b 22b 0

2 2

0 2

=

=1a

2b 20 20 2

=2ab 2 2 =

=2ab

(2 + 2) = 0

Exercise 1 S a se determine generatoarele rectilinii ale p h2z = x2 y2

paralele cu planulx + y + z = 10 .- 51-

8/6/2019 Curs Scurt

51/92

x y2

=z

x + y=

x y 2 = 0x + y z = 0

x + y + z = 10x y 2 = 0x + y z = 0incompatibil.

1 1 11 1 0 1

= 0

rezulta = 1. deci:

x

y + 2 = 0

x + y + z = 0x y

z=

2x + y

=

x y z = 0x + y 2 = 0

x + y + z = 10x y z = 0

x + y 2 = 0sistem incompatibil:

1 1 11 1 0 = 0: 2 = 0 deci:x y = 02 = 0 !

3.6 Gener ari de suprafe te

3.6.1 Notiuni generale de curbe si suprafe te

De nitia 3.6.1 Se numeste curb a n spatiu multimea punctelor a c aror coordonate sunt functii continuede un parametru real, care ia valori ntr-un interval:

x = x (t)y = y (t)z = z (t)

, tI R (EPC)

De nitia 3.6.2 Se numeste suprafat a n spatiu multimea punctelor ale c aror coordonate sunt functii con-tinue de doi parametri reali,ecare lund valori ntr-un interval:

x = x (u, v)y = y (u, v)z = z (u, v)

, uI 1, vI 2, I 1, I 2R (EPS)

-52-

8/6/2019 Curs Scurt

52/92

D

G

M 0

M

v

2

Remarca 3.6.1 Ecuatiile (EPC),(EPS) se numesc ecuatiile parametrice ale curbei, respectiv suprafetei.

Remarca 3.6.2 Eliminnd n ecuatiile parametriceale suprafetei parametriiu, v se obtine ecuatia implicitaa suprafetei:

F (x,y,z ) = 0 , (EIS)iar rezolvnd ecuatia de mai sus n raport cuz se obtine ecuatia explicita a suprafetei:

z = f (x, y) . (EES)

Remarca 3.6.3 Analog, pentru o curba, eliminndt se obtin ecuatiile curbei ca intersectie de doua suprafete:

F 1 (x,y,z ) = 0F 2 (x,y,z ) = 0

sau forma explicita:

y = f 1(x)z = f 2 (x) .Exemplul 3.6.1 Sfera: ec. implicit a:

(x a)2 + ( y b)2 + ( z c)2 = R2Ec. explicit a:

z = c q R2 (x a)2 (y b)2ec. parametrice:3.6.2 Suprafe te cilindrice

De nitia 3.6.3 Se numeste suprafat a cilindric a o suprafat a generat a de o dreapt a care r amne paralel acu o dreapt a dat a si intersecteaz a o curb a dat a (sau veri c a alt a conditie geometric a).

Remarca 3.6.4 Curba se numeste curba directoare, iar dreptele paralele cu se numesc generatoareale sup. cil.

Ne propunem n cele ce urmeaza sa determinam ecuatiile suprafe tei cilindrice.Vom face acest lucru n doua variante:

Teorema 3.6.1 Dac a dreapta are ecuatiile canonice:x x1

a=

y y1b

=z z1

c - 53-

8/6/2019 Curs Scurt

53/92

si curba are ecuatiile parametrice

x = x (t)y = y (t)z = z (t)

, t

I

R

atunci suprafata cilindric a are ecuatiile parametrice:

X = x (t) + aY = y (t) + bZ = z (t) + c

, tI R ,

R . (EPSC)

Demonstra tie . FieM (X,Y,Z ) un punctpe suprafata cilindrica. Exista atunci unpunctM 0 (x (t) , y (t) , z (t))pe curba astfel nctM 0M este paralel cu dreapta , deci exista R :M 0M = ai + bj + ckM 0M = ( X

x (t)) i + ( Y

y (t)) j + ( Z

z (t)) k

egalnd coordonatele celor doi vectori din egalitatea de mai sus rezulta (EPSC).

Exemplul 3.6.1 Fie dreapta :

x 11

=y 2

2=

z 33

si curba :x = 2 t, y = 3 t, z = 4 t.

Ecuatiile parametrice ale suprafetei cilindrice vor

X = 2 t + 1 Y = 3 t + 2 Z = 4 t + 3

t, R

-4

-2

0

2

4

-5

-2.5

0

2.5

5

-10

0

10

4

-2

0

2

Exemplul 3.6.2 Fie drepta ca mai sus, iar curbax = cos t, y = sin t, z = 0 .t[0, 2] .

Ecuatiile parametrice ale suprafetei cilindrice vor

X = cos t +

Y = sin t + 2 Z = 3 t[0, 2], R

-54-

8/6/2019 Curs Scurt

54/92

Teorema 3.6.2 Dac a dreapta este dat a ca intersectie de dou a plane

A1x + B1y + C 1z + D1 = 0A2x + B2y + C 2z + D2 = 0 si curba ca intersectie de dou a suprafete atunci ecuatia implicit a a suprafetei cilindrice este:

H (A1x + B1y + C 1z + D1, A2x + B2y + C 2z + D2) = 0 . (3.6.1)

Demonstra tie . Daca un punctM (x,y,z ) se a a pe suprafata atunci el se a a pe o dreapta paralela cu , deci coord