Curs Mecanisme

ANALIZA ANALIZA STRUCTURALA A STRUCTURALA A MECANISMELORMECANISMELOR

MecanismeMecanisme--ElectromecaniciElectromecanici--Curs1Curs1

UMCUMC--2 ORE2 ORE

PhD Ioan Calimanescu 2Universitatea Maritima Constanta

Scopul disciplinei Scopul disciplinei MecanismeMecanisme este de a determina legile generale de micare comune este de a determina legile generale de micare comune tuturor mainilor i tehnicile de sintez i analiz care pot fituturor mainilor i tehnicile de sintez i analiz care pot fi aplicate proiectrii lor aplicate proiectrii lor..

O O main main poate fi definit ca fiind o combinapoate fi definit ca fiind o combinaie de corpuri rigide aranjate astfel nct ie de corpuri rigide aranjate astfel nct forele de origine mecanic s produc un lucru mecanic util pe forele de origine mecanic s produc un lucru mecanic util pe anumite traiectanumite traiectoorii rii determinate. Definiia de mai sus acoper doar mainile mecanicedeterminate. Definiia de mai sus acoper doar mainile mecanice excluznduexcluzndu--le pe le pe cele electrice, hidraulice sau termice. n consecin o main mcele electrice, hidraulice sau termice. n consecin o main mecanic are drept ecanic are drept caracteristici prezena unei fore/moment transmis decaracteristici prezena unei fore/moment transmis de--a lungul unei traiectorii a lungul unei traiectorii determinate.determinate.

UnUn mecanism mecanism se definete ca fiind un grup de corpuri rigide (elemente cinemase definete ca fiind un grup de corpuri rigide (elemente cinematice) tice) legate ntre ele prin cuple cinematice care transmite o for/molegate ntre ele prin cuple cinematice care transmite o for/moment pe o traiectorie de ment pe o traiectorie de micaremicare determinatdeterminat. O main este construit s execute o anumit operaie precum . O main este construit s execute o anumit operaie precum strungurile, mainile de mpachetat, mainile de cusut etcstrungurile, mainile de mpachetat, mainile de cusut etcUn mecanism este considerat a fi un concept ceva mai general. ElUn mecanism este considerat a fi un concept ceva mai general. El este un grup de este un grup de corpuri rigide care dac este studiat poate face corpuri rigide care dac este studiat poate face neleas structura unei maini care neleas structura unei maini care exist sau poate face posibil proiectarea unor maexist sau poate face posibil proiectarea unor maini noi.ini noi.

O main poate cuprinde unul sau mai multe mecanisme alturi de O main poate cuprinde unul sau mai multe mecanisme alturi de alte elemente alte elemente cinematice care pot fi nerigide. De pilcinematice care pot fi nerigide. De pild d ntrntr--o main pot exista mpreun arcuri, o main pot exista mpreun arcuri, elemente hidraulice, elemenelemente hidraulice, elemente flexibile, te flexibile, etc. caetc. care s nu fac parte dintrre s nu fac parte dintr--un mecanism un mecanism anume dar care concur la funcanume dar care concur la funcionarea mainii. ionarea mainii. Mainile pot fi vzute de pild pe antierele de construcii preMainile pot fi vzute de pild pe antierele de construcii precum excavatorul din cum excavatorul din Fig.1.1.Fig.1.1.


Motoarele cu combustie intern este invenMotoarele cu combustie intern este invenia care a dat omenirii o mobilitate fr ia care a dat omenirii o mobilitate fr precedent n istorie. n ultimul secol motoarele cu combustie inprecedent n istorie. n ultimul secol motoarele cu combustie intern cu piston tern cu piston (Fig.1.2(Fig.1.2--a) a) au atins aproape perfeciunea. Dei mai puin rspndite, motoarau atins aproape perfeciunea. Dei mai puin rspndite, motoarele rotative tip Wankel ele rotative tip Wankel (Fig.1.2(Fig.1.2--b) sunt folosite n aplicaii unde volumul i greutatea motorulub) sunt folosite n aplicaii unde volumul i greutatea motorului sunt importantei sunt importante..

Fig.1.1Fig.1.1

Fig.1.2Fig.1.2


Concasorul (Fig.1.3) este caracterizat prin amplificarea forei Concasorul (Fig.1.3) este caracterizat prin amplificarea forei de acionare care trebuie de acionare care trebuie s devin suficient de mare s poat sfrma piatras devin suficient de mare s poat sfrma piatra. Are n compunere un mecanism cu . Are n compunere un mecanism cu genunchi care amplific forgenunchi care amplific fora generat de motorul de acionare de cteva ori astfel nct a generat de motorul de acionare de cteva ori astfel nct ntre flcile concasorului se dezvolt o for capabil s sfrntre flcile concasorului se dezvolt o for capabil s sfrme piatra.me piatra.

n alte tipuri de maini ca de pild strungurile sau autovehiculn alte tipuri de maini ca de pild strungurile sau autovehiculele este necesar s existe ele este necesar s existe la universal sau la roile autovehiculului viteze diferite pentrla universal sau la roile autovehiculului viteze diferite pentru aceeai vitez constant u aceeai vitez constant intrat de la motorul electric sau de la respectiv motorul cu arintrat de la motorul electric sau de la respectiv motorul cu ardere interndere intern. Pentru . Pentru aceasta sunt folosite cutiile de viteze care prin intemediul unuaceasta sunt folosite cutiile de viteze care prin intemediul unui cuplaj transmit viteze i cuplaj transmit viteze deiferite la elementul motor (Fig.1.4).deiferite la elementul motor (Fig.1.4).

Fig.1.Fig.1.33Fig.1.Fig.1.44


1.2 1.2 /Concepte /Concepte de bazde baz//

CupleleCuplele cinematicecinematiceMecanismele sunt caracterizate nu att de elementele cinematice Mecanismele sunt caracterizate nu att de elementele cinematice ct de cuplele ct de cuplele cinematice care leag cinematice care leag ntre ele elementele cinematice.ntre ele elementele cinematice.

Elementul cinematicElementul cinematic este un corp rigid care se leag de alte elemente cinematice este un corp rigid care se leag de alte elemente cinematice rigide astfel nct s existe o micare relativ dup o anumit rigide astfel nct s existe o micare relativ dup o anumit lege de micare.lege de micare.

Cuplele cinematice au rolul de a lega ntre ele dou sau mai mulCuplele cinematice au rolul de a lega ntre ele dou sau mai multe elemente cinematice. te elemente cinematice. Tipul de cuple cinematice i modul lor de aezare n mecanism deTipul de cuple cinematice i modul lor de aezare n mecanism determin termin caracteristicile principale ale mecanismului.caracteristicile principale ale mecanismului.

Cuplele cinematice pot fi clasificate dup mai multe criteriiCuplele cinematice pot fi clasificate dup mai multe criterii:: Cuple cinematice nchise sunt acele cuple la care contactul dinCuple cinematice nchise sunt acele cuple la care contactul dinte elementele te elementele cinematice este meninut pentru fiecare i oricare poziie a meccinematice este meninut pentru fiecare i oricare poziie a mecanismului, ca n figura de anismului, ca n figura de mai josmai jos

Fig.1.8


Cuplele cinematice deschise sunt acele cuple intermitente care cCuplele cinematice deschise sunt acele cuple intermitente care cupleazupleaz/decuplea/decupleaz z controlat n mecanism. O asemenea cupl apare n mecanismul Cruccontrolat n mecanism. O asemenea cupl apare n mecanismul Cruce de Malta (sau e de Malta (sau mecanismul Geneva) la care contactul dintre tift i canalele memecanismul Geneva) la care contactul dintre tift i canalele mecanismului este canismului este intermitentintermitent..

Fig.1.Fig.1.99

n cuplele cinematice nchise contactul dintre n cuplele cinematice nchise contactul dintre dou elemente cinematice se face prin fordou elemente cinematice se face prin fore e normale care acioneaz pe suprafeele de normale care acioneaz pe suprafeele de contact. Aceste cuple sunt cuple nchise prin contact. Aceste cuple sunt cuple nchise prin fore (Fig.1.12). Dac unul dintre elementele fore (Fig.1.12). Dac unul dintre elementele cinematice cuprinde prin form elementul cinematice cuprinde prin form elementul cinematic cu care se afl cinematic cu care se afl n contact, atunci n contact, atunci cupla este nchis prin form (Fig.1.10cupla este nchis prin form (Fig.1.10--1111))

Fig.1.1Fig.1.111Fig.1.10Fig.1.10


Cuplele cinematice nchise pot fi clasificate i dup tipul de cCuplele cinematice nchise pot fi clasificate i dup tipul de contact dintre elementele ontact dintre elementele cinematice:cinematice: Cuple cinematice inferioareCuple cinematice inferioare sunt acelea la care contactul dintre elemente se face pe sunt acelea la care contactul dintre elemente se face pe o suprafa o suprafa (Fig.1.11).(Fig.1.11). Cuple cinematice superioareCuple cinematice superioare sunt acelea la care contactul dintre elemente se face sunt acelea la care contactul dintre elemente se face pe o linie sau punct pe o linie sau punct (Fig.1.12).(Fig.1.12).TensiuneaTensiunea de contact care de contact care apareapare la la cuplelecuplele superioaresuperioare esteeste mare mare ii de de regulregul au un au un impact impact nefavorabilnefavorabil asupraasupra funcionriifuncionrii. La . La mecanismelemecanismele care transmit care transmit sausau dezvoltdezvolt foreforemarimari ((mecanismemecanisme de de putereputere) ) cuplelecuplele cinematicecinematice inferioareinferioare suntsunt preferatepreferate. . nn anumiteanumiteaplicaiiaplicaii cuplelecuplele superioaresuperioare pot reduce pot reduce numrulnumrul de de elementeelemente ale ale mecanismuluimecanismului ceeaceea cecepoatepoate fifi avantajosavantajos..

Fig.1.12Fig.1.12


1.2.2 /Grade de libertate/1.2.2 /Grade de libertate/

Clasificrile de mai sus sunt relevante pentru modul de transmitClasificrile de mai sus sunt relevante pentru modul de transmitere a forelor sau de ere a forelor sau de construcia fizic a cuplelor. Ceea ce este cel mai important nconstrucia fizic a cuplelor. Ceea ce este cel mai important ns este tipul de mis este tipul de micare care care se poate transmite ntre elementele cinematice.care se poate transmite ntre elementele cinematice.Funcie de tipul de cupl cinematic folosit vor exista diferitFuncie de tipul de cupl cinematic folosit vor exista diferite tipuri de micri ntre e tipuri de micri ntre elementele constitutive ale mecanismelor. Cum de relementele constitutive ale mecanismelor. Cum de regula o cupl cinematic leag egula o cupl cinematic leag ntre ntre ele dou elemente cinematiceele dou elemente cinematice, elementele vor avea o micare relativ aa cum o va , elementele vor avea o micare relativ aa cum o va permite/impune cupla permite/impune cupla cinematiccinematic. Pentru a putea clasifica din acest punct de vedere . Pentru a putea clasifica din acest punct de vedere cuplele se introduce conceptul de grad de libertate.cuplele se introduce conceptul de grad de libertate.Spaiul gradelor de libertate este dat de numrul de parametri iSpaiul gradelor de libertate este dat de numrul de parametri independeni care pot ndependeni care pot defini poziia unui corp rigid n spaiul fizic.defini poziia unui corp rigid n spaiul fizic.Fie un spaiu tridimensional n care se definete un sistem de aFie un spaiu tridimensional n care se definete un sistem de axe Oxyz ca n figura de xe Oxyz ca n figura de mai jos. mai jos. Un mod de a defini poziia unui corp rigid n acest spaiu este Un mod de a defini poziia unui corp rigid n acest spaiu este de a lua trei puncte de a lua trei puncte arbitrare necoliniare din corp (Parbitrare necoliniare din corp (P11, P, P22, P, P33) ) crora li se va determina pozicrora li se va determina poziia fat de ia fat de sistemul de axe. Dasistemul de axe. Dac pozic poziia acestor puncte este cunoscut atunci poziia oricrui ia acestor puncte este cunoscut atunci poziia oricrui punct al rigidului poate fi determinat de vreme ce distanpunct al rigidului poate fi determinat de vreme ce distanele n rigid sunt constante.ele n rigid sunt constante.Pentru fiecare dintre punctele PPentru fiecare dintre punctele P11, P, P22, P, P33 trebuie determinai cte trei parametri de poziie trebuie determinai cte trei parametri de poziie (coordonate) astfel: P(coordonate) astfel: P11(x(x11, y, y11, z, z11), P), P22(x(x22, y, y22, z, z22), P), P33(x(x33, y, y33, z, z33). Dat fiind ipoteza distanelor ). Dat fiind ipoteza distanelor aai i =const., i=1;2;3, (constante ntr=const., i=1;2;3, (constante ntr--un rigid), vom avea trei ecuaii ca mai jos:un rigid), vom avea trei ecuaii ca mai jos:


n consecin pentru punctele Pn consecin pentru punctele P11, P, P22, P, P33 vor exista 9 coordonatevor exista 9 coordonate--3relaii ntre 3relaii ntre coordonate=6 parametri independeni care definesc poziia unui rcoordonate=6 parametri independeni care definesc poziia unui rigid n spaiu.igid n spaiu.n spaiul fizic numrul maxim de grade de libertate este 9n spaiul fizic numrul maxim de grade de libertate este 9--3=6, trei rotaii i trei 3=6, trei rotaii i trei translaii n jurul i detranslaii n jurul i de--a lungul axelor X, Y, Z.a lungul axelor X, Y, Z.Poziia unui rigid n spaiu poate fi definit i printrPoziia unui rigid n spaiu poate fi definit i printr--un punct A i o linie care trece prin un punct A i o linie care trece prin acest punct. Daacest punct. Dac se cunoac se cunoate poziia punctului A i direcia liniei atunci poziia rigidute poziia punctului A i direcia liniei atunci poziia rigidului lui este determinateste determinat. n acest caz vom avea 7 parametri (. n acest caz vom avea 7 parametri (xxaa, y, yaa, z, zaa,, 11, , 22, , 33,,--unghi unghi nclinare sistem Oxyz fa de OXYZ ), iar relaia existent ntrnclinare sistem Oxyz fa de OXYZ ), iar relaia existent ntre este dat e este dat n ecuaia n ecuaia (1.2) (1.2) drept care numrul de grade de libertate va fi drept care numrul de grade de libertate va fi 77--1=6. 1=6. Dac se cunosc Dac se cunosc ((xxaa, y, yaa, z, zaa,, ) ) i doi dintre parametrii i doi dintre parametrii 11, , 22, , 33, se poate determina complet poziia rigidului n spaiu., se poate determina complet poziia rigidului n spaiu.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 232232232213

23

213

213

213

21

212

212

212

azzyyxx

azzyyxx

azzyyxx

=++=++=++

(1.1)

Fig.1.13


Dac spaDac spaiul tridimensional devine un plan bidimensional numrul maxim diul tridimensional devine un plan bidimensional numrul maxim de grade de e grade de libertate se reduce la 3. n plan sistemele de referin pot fi libertate se reduce la 3. n plan sistemele de referin pot fi carteziene sau polare.carteziene sau polare.

(1.2)(1.2)

Fig.1.14

1coscoscos 32

22

12 =++

Fig.1.1Fig.1.15

Gradele de libertate ale unei cuple cinematiceGradele de libertate ale unei cuple cinematice sunt sunt definite ca fiind numrul de parametri independendefinite ca fiind numrul de parametri independeni i necesari pentru a se putea defini poziia relativ a unui necesari pentru a se putea defini poziia relativ a unui element cinematic fat de cellalt element cinematicelement cinematic fat de cellalt element cinematic, e, ele le fiind legate prin cupla cinematic respectivfiind legate prin cupla cinematic respectiv. Prin acest nou . Prin acest nou concept se pot clasifica cuplele cinematice astfel: daconcept se pot clasifica cuplele cinematice astfel: dac c numrul gradelor de libertate ale unei cuple este numrul gradelor de libertate ale unei cuple este 6 atunci 6 atunci nu exist nici o cuplnu exist nici o cupl de vreme ce elementele cinematice de vreme ce elementele cinematice pot ocupa relativ orice poziie unul fa de cellalt. Dac pot ocupa relativ orice poziie unul fa de cellalt. Dac numrul gradelor de libertate estenumrul gradelor de libertate este 5 a5 atunci cupla tunci cupla anuleazanuleaz/constrnge o micare posibil ntre elementele /constrnge o micare posibil ntre elementele cinematice. Ca excepie, fizic nu e posibil ca o cupl care cinematice. Ca excepie, fizic nu e posibil ca o cupl care s permit o rotas permit o rotaie n jurul unei axe s permit ie n jurul unei axe s permit concomitent translaii deconcomitent translaii de--a lungul tuturor axelor. Se pot a lungul tuturor axelor. Se pot anula ns toate translaiile concomitent cu existena tuturor anula ns toate translaiile concomitent cu existena tuturor rotaiilor (articulaia sferic). n Tabelul 1rotaiilor (articulaia sferic). n Tabelul 1--1 i 11 i 1--2 sunt date 2 sunt date tipurile de cuple posibile funcie de gradele de libertate.tipurile de cuple posibile funcie de gradele de libertate.


Tab 1.1 si 1.2


1.2.3 /Elemente cinematice1.2.3 /Elemente cinematice--Lan cinematic/Lan cinematic/

Dac un anumit tip de corp fizic leag Dac un anumit tip de corp fizic leag ntre ele cel puin dou (sau mai multe) elemente ntre ele cel puin dou (sau mai multe) elemente cinematice atunci acest sistem se numete cupl. Cuplele se pot cinematice atunci acest sistem se numete cupl. Cuplele se pot clasifica dup numrul clasifica dup numrul de elemente cinematice pe care le leagde elemente cinematice pe care le leag. E. Ele pot alctui le pot alctui mpreun cu elementele mpreun cu elementele adiacente elemente simple, Diade, Triade, Tetrade etc ca n figuadiacente elemente simple, Diade, Triade, Tetrade etc ca n figura de mai jos.ra de mai jos.

Fig.1.16Fig.1.16


Dimensiunea cinematic a unui Element simpluDimensiunea cinematic a unui Element simplu, D, Diade, Triiade, Triade etc. dade etc. dintrintr--un mecanism un mecanism este dat de pozieste dat de poziiile relative ale cuplelor din alctuire. Poziiile dintre elemiile relative ale cuplelor din alctuire. Poziiile dintre elementele entele cinematice cinematice suntsunt date de dimensiuni liniare sau unghiulare. Pentru fabricantul date de dimensiuni liniare sau unghiulare. Pentru fabricantul elementului cinematic este important nu numai pozielementului cinematic este important nu numai poziia dintre cuple ci i grosimea, ia dintre cuple ci i grosimea, llimea, lungimea etc. dar pentru proiectarea mecanismelor sunt deimea, lungimea etc. dar pentru proiectarea mecanismelor sunt de interes doar interes doar dimensiunile cinematice. Din figuradimensiunile cinematice. Din figura de mai sus se poate vedea c dimensiunile de mai sus se poate vedea c dimensiunile cinematice sunt a, b, i cinematice sunt a, b, i care dac sunt cunoscute atunci elementul cinematic este care dac sunt cunoscute atunci elementul cinematic este complet definit.complet definit.Elementele cinematice conectate ntre ele prin cuple cinematice Elementele cinematice conectate ntre ele prin cuple cinematice formeaz formeaz lanuri lanuri cinematicecinematice. D. Dac elementele cinematice dintrac elementele cinematice dintr--un lan au toate cuplele legate cu cel un lan au toate cuplele legate cu cel puin un alt element atunci lanul cinematic este nchis, iar dapuin un alt element atunci lanul cinematic este nchis, iar dac una sau mai multe cuple c una sau mai multe cuple sunt nelegate atunci lanul este deschis.sunt nelegate atunci lanul este deschis.Lanul cinematic este o reprezentare simbolic a mecanismului fLanul cinematic este o reprezentare simbolic a mecanismului fr a fi interesar a fi interesai de i de dimensiunile elementelor cinematice. Fiecare element cinematic edimensiunile elementelor cinematice. Fiecare element cinematic este reprezentat ste reprezentat simbolic printrsimbolic printr--o linie, triunghi, poligon avnd la capete cuple prin care elemo linie, triunghi, poligon avnd la capete cuple prin care elementul s se entul s se lege cu alte elemente cinematice.lege cu alte elemente cinematice.n anumite cazuri o cupl leag ntre ele mai mult de dou elemen anumite cazuri o cupl leag ntre ele mai mult de dou elemente cinematice n care nte cinematice n care caz gradul cuplei ca fiind numrul de elemente legate prin cuplcaz gradul cuplei ca fiind numrul de elemente legate prin cupl minus 1 (a nu se minus 1 (a nu se confunda gradul cuplei cu gradele de libertate ale cuplei).confunda gradul cuplei cu gradele de libertate ale cuplei).Dac toate elementele care formeaz un lanDac toate elementele care formeaz un lan cinematic sunt aezate n acelai plan sau cinematic sunt aezate n acelai plan sau n plane paralele atunci lanul cinematic este plan. Dac elemenn plane paralele atunci lanul cinematic este plan. Dac elementele cinematice se pot tele cinematice se pot mica n sfere concentrice atunci lanul cinematic este sferic. mica n sfere concentrice atunci lanul cinematic este sferic. Dac elementele se pot Dac elementele se pot mica n spaiu atunci lanul cinematic este spaial.mica n spaiu atunci lanul cinematic este spaial. Dac unul din elementele Dac unul din elementele cinematice ale unui lan cinematic este fix atunci lanul cinemacinematice ale unui lan cinematic este fix atunci lanul cinematic devine un tic devine un mecanism.mecanism.


1.3 /Gradele de libertate ale mecanismelor/1.3 /Gradele de libertate ale mecanismelor/

Gradele de libertate ale unui mecanism sunt Gradele de libertate ale unui mecanism sunt date de numrul de parametri independendate de numrul de parametri independeni i necesari pentru definirea poziiei fiecrui element necesari pentru definirea poziiei fiecrui element cinematic al mecanismului.cinematic al mecanismului.De pild fie un mecanism simplu cu patru De pild fie un mecanism simplu cu patru elemente conectate ntre ele cu patru cuple de elemente conectate ntre ele cu patru cuple de rotaierotaie (Fig.1.18)(Fig.1.18)..Dac se cunosc lungimile elementelor Dac se cunosc lungimile elementelor i dac se i dac se cunoate unghiul cunoate unghiul , atunci poziia fiecrui , atunci poziia fiecrui element cinematic poate fi determinat prin element cinematic poate fi determinat prin determinarea coordonatelelor a dou puncte determinarea coordonatelelor a dou puncte aparinnd fiecrui element astfel: Aaparinnd fiecrui element astfel: A00BB00 (Element (Element 1), A1), A00A (Element 2), AB (Element 3), BBA (Element 2), AB (Element 3), BB00 (Element (Element 4). 4). Dac Dac n triunghiul An triunghiul A00BB00A se A se cunoate cunoate ( (LaturLatur--UnghiUnghi--LaturLatur) atunci se ) atunci se poate calcula distana poate calcula distana ABAB00 . . Dac mai apoi se Dac mai apoi se cunosc lungimile laturilor triunghiului ABBcunosc lungimile laturilor triunghiului ABB0 0 atunci cunoscnd atunci cunoscnd se vor cunoate poziiile se vor cunoate poziiile tuturor elementelor cinematice ale mecanismului. tuturor elementelor cinematice ale mecanismului. n consecin gradul de libertate a unui n consecin gradul de libertate a unui mecanism patrulater este 1mecanism patrulater este 1..

Fig.1.17

Fig.1.18


Fie un mecanism cu 5 elemente de lungimi cunoscute, conectate nFie un mecanism cu 5 elemente de lungimi cunoscute, conectate ntre ele cu 5 cuple de tre ele cu 5 cuple de rotaierotaie (Fig.1.19)(Fig.1.19). D. Dac se defineac se definete unghiul te unghiul se se poatepoate rezolvarezolva triunghiultriunghiul AA00ACAC00 . . Elementele care rmn formeaz patrulaterul ABCCElementele care rmn formeaz patrulaterul ABCC00 care pentru a fi determinat necesit care pentru a fi determinat necesit cunoaterea unui parametru suplimentar: unghiul cunoaterea unui parametru suplimentar: unghiul necesar pentru a se putea determina necesar pentru a se putea determina poziia fiecrui element al patrulaterului. n consecin este npoziia fiecrui element al patrulaterului. n consecin este nevoie de cunoaterea a 2 evoie de cunoaterea a 2 parametri suplimentari pe lng lungimile elementelor pentru a sparametri suplimentari pe lng lungimile elementelor pentru a se putea preciza poziia e putea preciza poziia tuturor elementelor mecanismului cu 5 laturi. n acest caz numrtuturor elementelor mecanismului cu 5 laturi. n acest caz numrul de grade de libertate al ul de grade de libertate al mecanismului este 2. n ambele exemple de mai sus:mecanismului este 2. n ambele exemple de mai sus:1. n locul unghiurilor 1. n locul unghiurilor i i pot fi folosite oricare alte unghiuri ale laturilor ca i parampot fi folosite oricare alte unghiuri ale laturilor ca i parametri etri independeni pentru determinarea poziiei elementelor. De pild independeni pentru determinarea poziiei elementelor. De pild n locul n locul se poate lua se poate lua unghiul format de elementunghiul format de elementuul 4 (BBl 4 (BB00) c) cu orizontala.u orizontala.2. 2. Numrul de parametri independenNumrul de parametri independeni nu este funcie de lungimea elementelor cinematice. i nu este funcie de lungimea elementelor cinematice. Dac aDac a22 are lungimea de are lungimea de 5 u5 unitniti de msur n loc de 4, gradul de libertate al mecanismului i de msur n loc de 4, gradul de libertate al mecanismului cu 4 cu 4 bare rmne bare rmne 1.1.

Fig.1.19


Mai departe trebuie s se determine o ecuaMai departe trebuie s se determine o ecuaie care ie care s lege gradele de libertate ale unui s lege gradele de libertate ale unui mecanism de numrul de cuple mecanism de numrul de cuple i elemente cinematice ale acestuia.i elemente cinematice ale acestuia. Se definesc Se definesc urmtoarele cantiturmtoarele cantiti:i:

==NumrulNumrul de grade de de grade de libertatelibertate din din spaiuspaiu ((nn plan 3, plan 3, nn spaiuspaiu 6).6). ll= N= Numrul de elemente cinematice ale mecanismului incluznd elementumrul de elemente cinematice ale mecanismului incluznd elementele fixe tip batiu,ele fixe tip batiu, jj = = Numrul de cuple Numrul de cuple ffii = Gradele de libertate ale elementului = Gradele de libertate ale elementului ii din mecanism.din mecanism. FF= N= Numrul de grade de libertate ale mecanismuluiumrul de grade de libertate ale mecanismului..

Fie mai nti Fie mai nti ll numrul de elemente cinematice numrul de elemente cinematice considearateconsidearate nelegate nelegate sisi care plutesc liber n care plutesc liber n spaiul cu spaiul cu grade de libertate. n acest caz i afar de elementele fixe tipgrade de libertate. n acest caz i afar de elementele fixe tip batiu, vom avea batiu, vom avea nevoie de parametri pentru fiecare element n parte pentru a i nevoie de parametri pentru fiecare element n parte pentru a i se putea determina poziia. se putea determina poziia. De vreme ce sunt De vreme ce sunt ll--1 1 elemente cinematice (unul dintre ele este fix) care plutesc n selemente cinematice (unul dintre ele este fix) care plutesc n spaiu paiu fr cuple de legtur fr cuple de legtur ntre ele, atunci numrul de parametri independeni necesari penntre ele, atunci numrul de parametri independeni necesari pentru tru determinarea poziiei elementelor plutitoare este : determinarea poziiei elementelor plutitoare este : (l(l--1)1)..

Fie acum un exemplu simplu. n figura de mai Fie acum un exemplu simplu. n figura de mai josjos sunt 4 elemente cinematice care plutesc sunt 4 elemente cinematice care plutesc n spaiul bidimensional. Dac nu exist cuple active atunci numn spaiul bidimensional. Dac nu exist cuple active atunci numrul de parametri necesari rul de parametri necesari pentru definirea poziiei lor este 3 x 4=12. Dac elementul 2 espentru definirea poziiei lor este 3 x 4=12. Dac elementul 2 este conectat de elementele 4 te conectat de elementele 4 i 5 prin cuple de rotaie i dac elementul 3 se leag cu un ti 5 prin cuple de rotaie i dac elementul 3 se leag cu un tift poziionat n canalul ift poziionat n canalul elementului 2, atunci nelementului 2, atunci numrul de parametri necesari definirii poziumrul de parametri necesari definirii poziiei elementelor scade. iei elementelor scade.


Pentru aceasta vor fi necesari 3 parametri independeni (de pildPentru aceasta vor fi necesari 3 parametri independeni (de pild coordonatele carteziene x coordonatele carteziene x, , y, z ale centrului de greutate n spaiu) pentru definirea poziy, z ale centrului de greutate n spaiu) pentru definirea poziiei elementului 2. iei elementului 2. Dac se Dac se tie tie poziia elementului 2 atunci elementele 4 i 5 se pot roti faa poziia elementului 2 atunci elementele 4 i 5 se pot roti faa de elementul 2 iar elementul 3 de elementul 2 iar elementul 3 se poate roti i simultan poate translata n canal faa de elemese poate roti i simultan poate translata n canal faa de elementul 2. Pntul 2. Pentru a localiza entru a localiza elementul 4 avem neelementul 4 avem nevoie s voie s tim unghiul tim unghiul , p, pentru a localiza elementul 5 aveentru a localiza elementul 5 avem nevoie s m nevoie s tim unghiul tim unghiul i pentru a localiza elementul 3 fa de 2 trebuiesc cunoscuti i pentru a localiza elementul 3 fa de 2 trebuiesc cunoscuti parametri b i parametri b i . . n consecin pentru a determina complet poziia elementelor mecn consecin pentru a determina complet poziia elementelor mecanismului sunt necesari anismului sunt necesari 3+1+1+2=7 parametri n loc de 12 necesari cnd elementele sunt f3+1+1+2=7 parametri n loc de 12 necesari cnd elementele sunt flotante. Cu alte cuvinte lotante. Cu alte cuvinte nu avenu avemm nevoie de parametri pentru acele direcii de translaie/rotaienevoie de parametri pentru acele direcii de translaie/rotaie unde micarea este unde micarea este stopat de ctre cuplstopat de ctre cupl. D. Dac numrul de grade de libertate al spaac numrul de grade de libertate al spaiului este iului este atunci o cupl atunci o cupl cinematic cu cinematic cu (( -- ffii) grade de libertate va anula tot atia parametri. Cum exist m) grade de libertate va anula tot atia parametri. Cum exist mai multe ai multe cuple diferite fiecare anulnd un numr diferit de grade de libecuple diferite fiecare anulnd un numr diferit de grade de libertate, atunci ntrrtate, atunci ntr--un mecanism un mecanism cu j cuple numrul total de grade de libertate constrnse va ficu j cuple numrul total de grade de libertate constrnse va fi::

Fig.1.20


Sau altfel spus numrul de grade de libertate al mecanismului vaSau altfel spus numrul de grade de libertate al mecanismului va fi egal cu numrul de fi egal cu numrul de grade de libertate al elementelor necuplate minus numrul de gragrade de libertate al elementelor necuplate minus numrul de grade de libertate anulate de de de libertate anulate de ctre cuplectre cuple..F=Gradele F=Gradele de libertate fr cuplare ale elementelorde libertate fr cuplare ale elementelor--Gradele de libertate anulate de Gradele de libertate anulate de cuplecupleEcuaia de mai jos (1.4) este cunoscut ca fiind Ecuaia generalEcuaia de mai jos (1.4) este cunoscut ca fiind Ecuaia general a gradelor de libertate a gradelor de libertate..

( ) ==

=j

1ii

j

1ii ...fjf (1.3)

+=

=

==

j

1ii

j

1ii f)1jl(Ffj)1l(F (1.4)


1.4 /1.4 /MecanismMecanism ConstrnsConstrns ((Desmodrom)Desmodrom)--NeconstrnsNeconstrns ((NedesmodromNedesmodrom)/)/

Noiunea de Mecanism Constrns Noiunea de Mecanism Constrns ((sausau DesmodromDesmodrom) ) poate avea dou poate avea dou nelesuri:nelesuri: Poate defini un mecanism la care F=1;Poate defini un mecanism la care F=1; Poate defini un mecanism al crui numr de grade de libertate poPoate defini un mecanism al crui numr de grade de libertate poate fi egal sau mai ate fi egal sau mai

mare de 1 damare de 1 dar la care numrul de parametri independenr la care numrul de parametri independeni prin care mecanismul primete i prin care mecanismul primete micare este egal cu numrul de grade de libertate.micare este egal cu numrul de grade de libertate.

Prin Mecanism neconstrns Prin Mecanism neconstrns ((NedesmodromNedesmodrom) ) se nelege acel mecanism care are mai mult se nelege acel mecanism care are mai mult de un grad de libertate i la care numrul de ci prin care mecade un grad de libertate i la care numrul de ci prin care mecanismul primete micare nismul primete micare este mai mic dect numrul de grade de libertate dar care are mieste mai mic dect numrul de grade de libertate dar care are micarea constrns de carea constrns de caracteristicile dinamice ale sistemului. Un exemplu ar fi mecancaracteristicile dinamice ale sistemului. Un exemplu ar fi mecanismul diferenial al unui ismul diferenial al unui autovehicul la care rotirea celor dou roautovehicul la care rotirea celor dou roi este guvernat i corelat de momentul care i este guvernat i corelat de momentul care acioneaz asupra fiecreia. Astfel un asemenea mecanism la un vacioneaz asupra fiecreia. Astfel un asemenea mecanism la un viraj, roata care este iraj, roata care este la interior se va roti mai puin dect cea de la exterior.la interior se va roti mai puin dect cea de la exterior.

Mai jos sunt date alte dou exemple de mecanisme neconstrnse laMai jos sunt date alte dou exemple de mecanisme neconstrnse la care unul dintre gradele care unul dintre gradele de libertate este controlat de mide libertate este controlat de micarea primit (elementul motor) iar micarea ultimului carea primit (elementul motor) iar micarea ultimului element cinematic este determinat de elementul motor PLUS forelement cinematic este determinat de elementul motor PLUS fora de inerie a de inerie amortizatamortizat/controla/controlat de arcurit de arcuri..

Fig.1.21


1.5 1.5 /Inversiunea /Inversiunea CinematicCinematic//

Inversiunea cinematic este procesul de fixare a unor elemente dInversiunea cinematic este procesul de fixare a unor elemente din lanul cinematic (altul in lanul cinematic (altul afar de elementul considerat fix prin ipotezafar de elementul considerat fix prin ipotez) i folosete la definirea altor tipuri de ) i folosete la definirea altor tipuri de mecanisme dect cel iniial. Este folosit mai ales la sinteza/anmecanisme dect cel iniial. Este folosit mai ales la sinteza/analiza mecanismelor i aliza mecanismelor i pentru a determina micarea relativ dintre diferitele elemente pentru a determina micarea relativ dintre diferitele elemente cinematice. Mai jos scinematice. Mai jos sunt unt date exemple de inversiune cinematic a unui mecanism cu date exemple de inversiune cinematic a unui mecanism cu 4 elemente i cu 3 cuple de 4 elemente i cu 3 cuple de rotaie i o cupl de translaie.rotaie i o cupl de translaie.

Dei dimensiunile cuplelor i elementelor sunt identice, prin inDei dimensiunile cuplelor i elementelor sunt identice, prin inversiune cinematic se obtin versiune cinematic se obtin 4 4 tipuri de mecanisme diferitetipuri de mecanisme diferite

Fig.1.2Fig.1.22


1.6 /Ecuaia lui Grbler/1.6 /Ecuaia lui Grbler/

Ecuaia general a gradelor de libertate poate fi simplificat pEcuaia general a gradelor de libertate poate fi simplificat pentru anumite cazuri (la care entru anumite cazuri (la care se vor putea trage i anumite concluzii). Pentru cazul n care ase vor putea trage i anumite concluzii). Pentru cazul n care avem F=1, vem F=1, =3 (n plan) i n =3 (n plan) i n care sunt implicate doar cuple de translaie/rotaie cu fcare sunt implicate doar cuple de translaie/rotaie cu fii=1, =1, ffii=j, ecuaia (1.4) poate fi scris:=j, ecuaia (1.4) poate fi scris:

3l3l--2j2j--4=04=0 (1.5)(1.5)

Aceast ecuaAceast ecuaie este cunoscut sub numele de ie este cunoscut sub numele de ecuaia lui Grublerecuaia lui Grubler..Din analiza ecuaiei se poate concluziona c:Din analiza ecuaiei se poate concluziona c:Numrul de elemente cinematice dintrNumrul de elemente cinematice dintr--un mecanism trebuie s fie parun mecanism trebuie s fie par. . Demonstraie: Demonstraie:

cum l i j sunt numere ntregi oricare ar fi valoarea lui j deducum l i j sunt numere ntregi oricare ar fi valoarea lui j deducem c cem c 2j 2j este un numr pareste un numr par. . Deasemenea 2j+4 va fiDeasemenea 2j+4 va fi un numr par un numr par. C. Cum 3lum 3l=2j+4, =2j+4, pentru ca l s fie pentru ca l s fie ntreg este necesar la ntreg este necesar la 3l 3l s fie deasemenea un numr pars fie deasemenea un numr par. C. Cum 3 um 3 este un numr impareste un numr impar, a, atunci ca 3l tunci ca 3l s fie par s fie par trebuie pe cale de consecin catrebuie pe cale de consecin ca ll s fie un numr par s fie un numr par..

Numrul de elemente binare Numrul de elemente binare (elemente (elemente simple cu dou cuple la capetesimple cu dou cuple la capete) d) dintrintr--un un mecanism trebuie s fie egal sau mai mare de mecanism trebuie s fie egal sau mai mare de 4.4. Demonstraie: Dac un element Demonstraie: Dac un element cinematic complex (diacinematic complex (diadd, t, triad etcriad etc.) conine k elemente cinematice simple, se poate nota .) conine k elemente cinematice simple, se poate nota cu cu llkk tipul de element cinematic. tipul de element cinematic. ll11 nu poate exista de vreme ce un element cinematic simplu nu poate exista de vreme ce un element cinematic simplu trebuie s aibe cuple la ambele capete pentru a exista trebuie s aibe cuple la ambele capete pentru a exista ntrntr--un mecanism. Numrul total de un mecanism. Numrul total de elemente cinematice simple dintrelemente cinematice simple dintr--un mecanism alctuit din elemente simpleun mecanism alctuit din elemente simple, diade, triade, , diade, triade, tetrade, pentade etc. este:tetrade, pentade etc. este:


(1.6)(1.6)

l=ll=l22+l+l33+l+l44+l+l55+.....l+.....ln n /sau//sau/3l=3l3l=3l22+3l+3l33+3l+3l44+3l+3l55+.....3l+.....3lnn

Mai sus sMai sus s--a notat cu la notat cu l22 elementul cinematic simplu, lelementul cinematic simplu, l33 diada, ldiada, l4 4 triada etc. triada etc. Numrul de elemente cinematice simple dintrNumrul de elemente cinematice simple dintr--un astfel de mecanism va fi:un astfel de mecanism va fi:

2l2l22+3l+3l33+4l+4l44+.....+.....nlnlnn=/=/NumrNumr elementeelemente cinematicecinematice/ / (1.7)(1.7)

Cum Cum oricareoricare dou elemente cinematice simple sunt conectate cu cuple dou elemente cinematice simple sunt conectate cu cuple ntre ele:ntre ele:2j = 2l2j = 2l22+3l+3l33+4l+4l44+.....+.....nlnlnn (1.8)(1.8)

Dac se Dac se nlocuiete nlocuiete (1.6) (1.6) ii (1.8) (1.8) nn ecuaiaecuaia luilui Grubler'sGrubler's (1.5):(1.5):

(1.9)(1.9)

ll22--(l(l44+2l+2l55+3l+3l66+.....+(n+.....+(n--3)l3)lnn=4 =4 ll22=4=4--PPP = lP = l44+2l+2l55+3l+3l66+.....+(n+.....+(n--3)l3)lnn

Cum P este mereu o cantitate pozitiv Cum P este mereu o cantitate pozitiv (i la limit zero), dac toate elementele (i la limit zero), dac toate elementele mecanismului sunt simple sau diade, i dac P=0 atunci mecanismului sunt simple sau diade, i dac P=0 atunci ll22 (elementele (elementele simple) trebusimple) trebuie ie s fie cel pus fie cel puin n numr de 4 (sau mai mare).in n numr de 4 (sau mai mare).3. 3. Numrul de elemente cinematice simple dintrNumrul de elemente cinematice simple dintr--un element complex (diade, un element complex (diade, triade etc.) nu triade etc.) nu poate fi mai mare dect jumtate din numrul de elemente poate fi mai mare dect jumtate din numrul de elemente cinematice simple din mecanism.cinematice simple din mecanism.

ANALIZA ANALIZA POZITIONALA A POZITIONALA A

MECANISMELORMECANISMELORMecanismeMecanisme--ElectromecaniciElectromecanici--

Curs2Curs2UMCUMC--4 ORE4 ORE

Ioan Calimanescu PhD 2Universitatea Maritima Constanta

2.0 /Analiza Poziional a Mecanismelor/2.0 /Analiza Poziional a Mecanismelor/2.12.1 //PoziiaPoziia Punctului Material/Punctului Material/

Pentru a se determina poziia unui punct ntrPentru a se determina poziia unui punct ntr--un plan trebuie mai nti definit un sistem un plan trebuie mai nti definit un sistem de referin. Dac se ataeaz un sistem de referin unui rigidde referin. Dac se ataeaz un sistem de referin unui rigid n micare atunci n micare atunci coordonatele unui punct aparinnd rigidului fa de sistemul atcoordonatele unui punct aparinnd rigidului fa de sistemul ataat acestuia rmn aat acestuia rmn constante n timp dat fiind ca prin ipotez un rigid nu se deforconstante n timp dat fiind ca prin ipotez un rigid nu se deformeazmeaz. D. Dac sistemul de ac sistemul de referin este ataat unui corp fix (alt rigid fixreferin este ataat unui corp fix (alt rigid fix--batiubatiu) atunci coordonatele unui punct ) atunci coordonatele unui punct aparinnd unui rigid n micare vor fi variabile n timp. Pot faparinnd unui rigid n micare vor fi variabile n timp. Pot fi folosite diferite sisteme de i folosite diferite sisteme de referin (carteziene sau polare) implicnd diferite tipuri de preferin (carteziene sau polare) implicnd diferite tipuri de parametri care pot fi folosii arametri care pot fi folosii n definirea poziiei unui punct. Din figura de mai jos se poaten definirea poziiei unui punct. Din figura de mai jos se poate vedea c vedea c n definirea n definirea poziiei punctului P se pot folosi fie coordonatele polare precupoziiei punctului P se pot folosi fie coordonatele polare precum distana dintre originea m distana dintre originea sistemului i P i unghiul dintre OP i axa Ox, fie coordonatelesistemului i P i unghiul dintre OP i axa Ox, fie coordonatele carteziene x, y.carteziene x, y.

Fig.2.1


Dac se d mrimea distanDac se d mrimea distanei de la origine la P i sensul, atunci se definete practic unei de la origine la P i sensul, atunci se definete practic unvector de poziie, ca urmare poziia unui punct e dat de vectorvector de poziie, ca urmare poziia unui punct e dat de vectorul de poziie ul de poziie . . nncoordinate coordinate cartezienecarteziene vectorulvectorul de de poziiepoziie se se poatepoate exprimaexprima astfelastfel:: ..

yjxirrrr += (2.1)(2.1)

n ecuaia de mai sus n ecuaia de mai sus ii i i jj sunt vectorii unitate (sau versorii) pentru axele Ox i Oy iar sunt vectorii unitate (sau versorii) pentru axele Ox i Oy iar x x i y sunt distane pe direcii orizontale i verticale ce trebuii y sunt distane pe direcii orizontale i verticale ce trebuie msuratee msurate..Dac sistemul de referinDac sistemul de referin este polar atunci vectorul de poziie este dat de r i este polar atunci vectorul de poziie este dat de r i , unde r , unde r este distana de la origine la punct iar este distana de la origine la punct iar este unghiul format de linia OP fa de axa Ox este unghiul format de linia OP fa de axa Ox msurat msurat n sens trigonometric. n sens trigonometric. Pentru a se trece de la sistemul de referin cartezian la cel pPentru a se trece de la sistemul de referin cartezian la cel polar sau invers:olar sau invers:

PolarCartesianyxarctg;yxr

CartesianPolarsinry;cosrx

22 =+===

(2.2)(2.2)

Pentru determinarea poziiei unui punct se pot folosi i Pentru determinarea poziiei unui punct se pot folosi i numerele complexenumerele complexe. Dei . Dei acestea acestea nu sunt vectorinu sunt vectori ele pot fi folosite pentru reprezentarea poziiei unui vector ele pot fi folosite pentru reprezentarea poziiei unui vector n n plan dac axele sistemului de referinplan dac axele sistemului de referin devin x=Re(z) sau axa Ox devine ax real, i devin x=Re(z) sau axa Ox devine ax real, i y=Im(z) y=Im(z) sau axa Oy devine ax imaginarsau axa Oy devine ax imaginar, , zz fiind numrul complex fiind numrul complex. n acest caz poziia . n acest caz poziia unui punct material se poate scrie astfel:unui punct material se poate scrie astfel:


uunde x i y sunt distanele msurate dende x i y sunt distanele msurate de--a lungul axei reale i imaginare, iar a lungul axei reale i imaginare, iar ii este un este un operator numit i operator numit i numr unitate imaginarnumr unitate imaginar cu proprietatea c cu proprietatea c

22

222

yxz

zyx)iyx)(iyx(zz

conjugat/complex /Numarul iyxziyxz

+==+=+=

=+=

(2.3)(2.3) Fig.2.2Fig.2.2

1i =

Utilitatea numerelor complexe se datoreaz faptului c trecerea Utilitatea numerelor complexe se datoreaz faptului c trecerea de la sistemul cartezian de la sistemul cartezian (x, y) la cel polar (r,(x, y) la cel polar (r,) i invers se poate face foarte uor. Un numr complex z care ) i invers se poate face foarte uor. Un numr complex z care descrie poziia unui vector al unui punct, se poate scriedescrie poziia unui vector al unui punct, se poate scrie::


n forma sa exponenial n forma sa exponenial complexacomplexa poziia unui vector va fi dat de poziia unui vector va fi dat de

( ) ( ) ==

==+==

=+=

+==+===

sinircosrrez /sau/ z

)sini(cosrrez

)sini(cosrrez

sinicosrz;sinicosrzyixz

yxarctg;yxr;sinry;cosrx

i

i

i

22

(2.4)(2.4)

ire

undeunde r r esteeste distanadistana rOPr

((identicidentic cu cu modululmodulul vectoruluivectorului de de poziiepoziie) ) iariarie

esteeste vectorulvectorul unitateunitate poziionatpoziionat dede--a a lungullungul linieiliniei OP OP )sin(cos1 ie i =

AltfelAltfel spusspus nn diagramadiagrama din din figurafigura 2.2, 2.2, dacdac se se nmuletenmulete un un numrnumr real cureal cu ie

vectorulvectorul corespondentcorespondent se se vava rotiroti cu cu unghiulunghiul nn senssens trigonometric.trigonometric.nn cazulcazul general general poziiapoziia nn timptimp a a punctuluipunctului material se material se vava schimbaschimba. . Aceasta schimbare Aceasta schimbare poate fi descris fie poate fi descris fie n coordinate carteziene fie polare. n coordinate carteziene fie polare.


2.2 2.2 //CinematicaCinematica corpuluicorpului rigid rigid nn plan/plan/

Rigiditatea unui corp este o ipotez teoretic menit s simplifRigiditatea unui corp este o ipotez teoretic menit s simplifice mult modelele ice mult modelele matematice din mecanic matematice din mecanic (sau mecanisme). Rigiditatea are drept consecin:(sau mecanisme). Rigiditatea are drept consecin:1. Micarea plan a unui corp rigid este complet descris dac s1. Micarea plan a unui corp rigid este complet descris dac se cunoate e cunoate micarea a dou puncte oarecare ale corpului rigid.micarea a dou puncte oarecare ale corpului rigid.Fie cunoscute micrile a dou puncte A i B. Prin urmare la un Fie cunoscute micrile a dou puncte A i B. Prin urmare la un moment dat t, poziia moment dat t, poziia rigidului este cunoscutrigidului este cunoscut. Se ia un punct oarecare S (Fig.2.3) aparinnd rigidului. Pent. Se ia un punct oarecare S (Fig.2.3) aparinnd rigidului. Pentru ru fiecare poziia n timp a rigidului, poziia punctului S este mefiecare poziia n timp a rigidului, poziia punctului S este mereu cunoscut de vreme ce reu cunoscut de vreme ce distanele AS, BS, AB, prin ipoteza rigiditii corpului, sunt cdistanele AS, BS, AB, prin ipoteza rigiditii corpului, sunt constante. Daonstante. Dac rigidul se c rigidul se mic ntrmic ntr--o alt poziie A, B, S, cum AS, BS sunt constao alt poziie A, B, S, cum AS, BS sunt constante i cum AB=AB , poziia nte i cum AB=AB , poziia lui S poate fi determinat. lui S poate fi determinat. Deci dac se cunoaDeci dac se cunoate poziia a dou puncte aparinnd te poziia a dou puncte aparinnd rigidului, oricare punct al rigidului va putea fi definit poziirigidului, oricare punct al rigidului va putea fi definit poziionalonal..

Fig.2.3Fig.2.3

Fig.2.4Fig.2.4


Poziia rigidului poate fi definit i printrPoziia rigidului poate fi definit i printr--un vector care leag un un vector care leag un punct al rigidului de altul, ca punct al rigidului de altul, ca de pild A de B de pild A de B (Fig.2.4) notat (Fig.2.4) notat ABAB. . Vectorul AB este un vector fixat pe rigid i cum A i B sunt Vectorul AB este un vector fixat pe rigid i cum A i B sunt arbitrare atunci modului vectorului este i el arbitrar. Fa dearbitrare atunci modului vectorului este i el arbitrar. Fa de un un sistem fix de referin poziia rigidului poate fi descris dacsistem fix de referin poziia rigidului poate fi descris dac se se cunosc poziia punctului A care este originea vectorului i unghcunosc poziia punctului A care este originea vectorului i unghiul iul al vectorului.al vectorului.2. 2. Rigiditatea asigur faptul c punctele situate pe o linie Rigiditatea asigur faptul c punctele situate pe o linie dreapt dreapt n cuprinsul rigidului au componente/proiecii ale n cuprinsul rigidului au componente/proiecii ale vitezei egale (vitezevitezei egale (vitezele lor din plan se proiecteaz pe aceast le lor din plan se proiecteaz pe aceast linie).linie).Cum distanele intrCum distanele intr--un rigid sunt fixe, atunci orice vitez ar aun rigid sunt fixe, atunci orice vitez ar avea vea rigidul i n oricare direcie, dac proieciile vitezelor fiecrigidul i n oricare direcie, dac proieciile vitezelor fiecrui rui punct de pe o linie dreapta din rigid nu ar fi egale, punctele punct de pe o linie dreapta din rigid nu ar fi egale, punctele respective se vor apropia/departa unul fa de altul, violnd respective se vor apropia/departa unul fa de altul, violnd ipoteza nedeformabilitipoteza nedeformabilitii rigidului. Dac exist diferene n ii rigidului. Dac exist diferene n vitezele celor dou puncte acestea se pot manifesta doar pe vitezele celor dou puncte acestea se pot manifesta doar pe direcie perpendicular pe aceasta linie.direcie perpendicular pe aceasta linie.

)V(pr)V(prVV BABA

Fig.2.5Fig.2.5


3. 3. Dac suntem interesaDac suntem interesai doar de cinematica unui corp rigid atunci pentru a o studia i doar de cinematica unui corp rigid atunci pentru a o studia esteeste suficient s se studieze cinematica unei linii din rigid precum suficient s se studieze cinematica unei linii din rigid precum vectorulvectorul ABABCum frontierele fizice ale corpului nu influeneaz cinematica sCum frontierele fizice ale corpului nu influeneaz cinematica sa (dei influeneaz dinamica a (dei influeneaz dinamica sa), micarea plan a rigidului poate fi privit ca micarea unusa), micarea plan a rigidului poate fi privit ca micarea unui plan n care se situeaz i plan n care se situeaz oricare 2 puncte doriteoricare 2 puncte dorite..

2.4 /Conturul vectorial al unui mecanism/2.4 /Conturul vectorial al unui mecanism/

Diferena dintre un corp rigid care se mic liber i elementeleDiferena dintre un corp rigid care se mic liber i elementele cinematice ale cinematice ale mecanismelor este c mimecanismelor este c micarea celor din urm este constrns de existena cuplelor carea celor din urm este constrns de existena cuplelor didinntre ele.tre ele. Elementele cinematice legate prin cuple cinematice formeaz pol Elementele cinematice legate prin cuple cinematice formeaz poligoane nchise igoane nchise numite uneori i numite uneori i buclebucle cinematicecinematice. Esena analizei mecanismelor st n exprimarea . Esena analizei mecanismelor st n exprimarea matematic a evolumatematic a evoluiei acestor poligoane nchise n timp.iei acestor poligoane nchise n timp.n analiza cinematic se presupune n analiza cinematic se presupune ca ca sisi conditieconditie initialainitiala, , c se cunosc toate dimensiunile c se cunosc toate dimensiunile elementelor cinematice sau orice puncte ale unor elemente compleelementelor cinematice sau orice puncte ale unor elemente complexe pot fi determinate xe pot fi determinate geometric.geometric.SS--a artat deja ca este suficient s se reprezinte pozia artat deja ca este suficient s se reprezinte poziia a numai dou puncte pentru a se ia a numai dou puncte pentru a se deduce poziia fiecrui element cinematic al mecanismului. O caldeduce poziia fiecrui element cinematic al mecanismului. O cale de a selecta aceste dou e de a selecta aceste dou puncte este de a fi selectate acele puncte coincidente permanentpuncte este de a fi selectate acele puncte coincidente permanent ((cuplelecuplele cinematicecinematice)). ntr. ntr--o o astfel de procedur originea vectorului de poziastfel de procedur originea vectorului de poziie al unui element va fi determinat de ie al unui element va fi determinat de vectorul elementului precedent astfel nct numrul de parametrivectorul elementului precedent astfel nct numrul de parametri independeni scade.independeni scade.


Fie un mecanism patrulater dat ca mai sus (Fig.2.7Fie un mecanism patrulater dat ca mai sus (Fig.2.7--a), n care Aa), n care A00 este cupla permanent de este cupla permanent de rotaie ntre elementele 1 i 2, A cupla de rotaie dintre 2 i rotaie ntre elementele 1 i 2, A cupla de rotaie dintre 2 i 3, B ntre 3 i 4 i B3, B ntre 3 i 4 i B00 ntre 4 i 1. ntre 4 i 1. Dac se deconecteaz cupla B Dac se deconecteaz cupla B (Fig.2.7(Fig.2.7--b) se vor obine dou lanuri cinematice deschise b) se vor obine dou lanuri cinematice deschise AA00AB (eAB (elementele 2,3) cu dlementele 2,3) cu dou grade de libertate ou grade de libertate i Ai A00BB00B (elementele 1,4) cu un grad de B (elementele 1,4) cu un grad de libertate.libertate.Pentru a determina poziiile elementelor este nevoie de un sistePentru a determina poziiile elementelor este nevoie de un sistem de referin. Se poate m de referin. Se poate alege originea sistemului ntralege originea sistemului ntr--una din cuplele legate la batiu Auna din cuplele legate la batiu A00, (sau B, (sau B00). Pentru a defini ). Pentru a defini poziia elementului 2 (cu lungimea cunoscut) trebuie s se cunopoziia elementului 2 (cu lungimea cunoscut) trebuie s se cunoasc unghiul asc unghiul 1212 care care devine primul grad de libertate al cuplei ce leag elementul devine primul grad de libertate al cuplei ce leag elementul 1 de 2. Pentru a defini poziia 1 de 2. Pentru a defini poziia elementului 3 i cum deja se cunoate poziia punctului/cuplei Aelementului 3 i cum deja se cunoate poziia punctului/cuplei A din cele de mai sus, trebuie din cele de mai sus, trebuie cunoscut acum unghiul cunoscut acum unghiul 1313 care este un alt grad de libertate al cuplei dintre elementele care este un alt grad de libertate al cuplei dintre elementele 2 i 2 i 3. 3. Asemntor trebuie cunoscut Asemntor trebuie cunoscut 1414 pentru a se defini poziia elementului 4. n consecin pentru a se defini poziia elementului 4. n consecin avem nevoie de 3 parametri independeni (avem nevoie de 3 parametri independeni (1212 , , 1313 i i 1414 ) care sunt legai de gradele de ) care sunt legai de gradele de libertate ale cuplelor unor lanuri cinematice deschise ce se oblibertate ale cuplelor unor lanuri cinematice deschise ce se obin dup deconectarea cuplei in dup deconectarea cuplei B.B.

Fig.2.7


Fiecare element poate fi definit cu un vector fixat pe acel elemFiecare element poate fi definit cu un vector fixat pe acel element la care originea i vrful se ent la care originea i vrful se sprijin pe cuplele de la extremitsprijin pe cuplele de la extremiti. Astfel vectorul i. Astfel vectorul AA00A A este pentru elementuleste pentru elementul 2, AB 2, AB (elementul 3),(elementul 3), BB00B B (elementul 4) and (elementul 4) and AA00BB0 0 (elementul 1). Vectorul (elementul 1). Vectorul AA00BB00 fiind legat de batiu va fiind legat de batiu va fi fix iar toi ceilali vectori vor fi variabili ca i direciefi fix iar toi ceilali vectori vor fi variabili ca i direcie dar nu ca i modul,dar nu ca i modul, (lungimile (lungimile elementelor cinematice fiind constante). Cum mecanismul de mai selementelor cinematice fiind constante). Cum mecanismul de mai sus cuprinde doar cuple de us cuprinde doar cuple de rotaie, modulul vectorilor de poziie va fi constant i anume rotaie, modulul vectorilor de poziie va fi constant i anume

AA0 =a=a22, , BA =a=a33, , 00 BA =a=a11 i i BB0 =a=a44Direcia unghiular a acestor vectori de poziie se va schimba oDirecia unghiular a acestor vectori de poziie se va schimba odat cu parametri dat cu parametri 12 12 , , 1313 i i 1414..Cnd cupla B este deconectatCnd cupla B este deconectat, capetele elementelor 3 i 4 (B, capetele elementelor 3 i 4 (B33 i Bi B44 ) nu vor mai fi ) nu vor mai fi coincidente, aadar poziia punctului B poate fi dat n dou mocoincidente, aadar poziia punctului B poate fi dat n dou moduri:duri:

AA00A+AB=AA+AB=A00BB33 (bucla 1,2,3) (bucla 1,2,3)

AA00BB00 +B+B00B= AB= A00BB44 (bucla 1,4 )(bucla 1,4 )n orice caz n orice caz la mecanismul real cupla dintre elementele 3 i 4 trebuie s exila mecanismul real cupla dintre elementele 3 i 4 trebuie s existeste i deci Bi deci B33i Bi B44 trebuie s fie permanent coincidente pentru orice valori ale pa trebuie s fie permanent coincidente pentru orice valori ale parametrilor. Aadar vectorii rametrilor. Aadar vectorii AA00BB33 i i AA00BB44 care au rezultat din ecuaiile de mai sus (din lanurile cinematcare au rezultat din ecuaiile de mai sus (din lanurile cinematice deschise) ice deschise) trebuie s fie egali trebuie s fie egali i deci:i deci:

AA00A +AB=AA +AB=A00BB00 +B+B00BBEcuaia vectorial de mai sus trebuie s fie valid permanent daEcuaia vectorial de mai sus trebuie s fie valid permanent datorit faptului c Btorit faptului c B33 i Bi B44 trebuie s fie permanent coincidentetrebuie s fie permanent coincidente. .


n mecanismul patrulater real exist doar o singur bucl n carn mecanismul patrulater real exist doar o singur bucl n care vectorii de poziie vor e vectorii de poziie vor descrie matematic modul de nchidere a acestei bucle. Aceste ecudescrie matematic modul de nchidere a acestei bucle. Aceste ecuaii vectoriale se numesc aii vectoriale se numesc ecuaii de nchidere a buclelorecuaii de nchidere a buclelor. V. Variabilele care exist ariabilele care exist n aceste ecuaii vectoriale sunt n aceste ecuaii vectoriale sunt legate de gradele de libertate ale cuplelor, iar fiecare ecuaielegate de gradele de libertate ale cuplelor, iar fiecare ecuaie vectorial poate cuprinde doar vectorial poate cuprinde doar 2 n2 necunoscute pentru a putea fi rezolvatecunoscute pentru a putea fi rezolvat. A. Aceasta pentru c o ecuaceasta pentru c o ecuaie vectorial se ie vectorial se descompune n dou ecuaii scalare dup axele Ox i Oy. n exempdescompune n dou ecuaii scalare dup axele Ox i Oy. n exemplul mecanismului de mai lul mecanismului de mai sus exist sus exist 3 variabile (3 variabile (1212, , 13 13 i i 1414) care se numesc i ) care se numesc i variabile de poziie.variabile de poziie. Dac se d una Dac se d una dintre ele ca valoare de input (de pidintre ele ca valoare de input (de pild ld 1212), atunci celelalte variabile de poziie (), atunci celelalte variabile de poziie (1313 i i 1414) pot ) pot fi calculate din ecuaia vectorial de nchidere. fi calculate din ecuaia vectorial de nchidere. Numrul de parametri independenNumrul de parametri independeni care i care trebuie calculai trebuie s fie egal cu numrul de grade de libtrebuie calculai trebuie s fie egal cu numrul de grade de libertate al mecanismului. ertate al mecanismului. Relaia dintre variabilele de poziie este neliniar de vreme esRelaia dintre variabilele de poziie este neliniar de vreme este o relaie te o relaie trigonometrictrigonometric..O form simpl de a scrie ecuaO form simpl de a scrie ecuaia vectorial de nchidere este de a folosi numerele ia vectorial de nchidere este de a folosi numerele complexe. De pilcomplexe. De pild dac modulul vectorului d dac modulul vectorului AA00A A este aeste a22 i dac vectorul face unghiul i dac vectorul face unghiul 1212::

AA00A A = a= a22cos cos 1212+ ia+ ia22sin sin 1212

sau folosind ecuaia lui Euler:sau folosind ecuaia lui Euler:

1220

ieaAA =


n mod identic dac lungimile elementelor cinematice sunt notaten mod identic dac lungimile elementelor cinematice sunt notate cu ai ( acu ai ( a11= A= A00BB00 , a, a22= A= A00A, A, etc.), ecuaia de nchidere cu numere complexe este:etc.), ecuaia de nchidere cu numere complexe este:

AA00A +AB=AA +AB=A00BB00 +B+B00BB

aa22 +a+a33 =a=a11+a+a44Sau n coordonate carteziene:Sau n coordonate carteziene:

12ie 13ie 14ie

jsinaicosaiajsinaicosajsinaicosa 1441441133133122122rrrrrrr ++=+++

(2.5)(2.5)

Sau pentru fiecare ax separat avem componenteleSau pentru fiecare ax separat avem componentele::

=++=+

144133122

1441133122

cosasinasinaOy Axacosaacosacosa Ox Axa (2.6)(2.6)

n cazul cuplelor de translaie parametrul va fi modulul unui ven cazul cuplelor de translaie parametrul va fi modulul unui vector sau o component a ctor sau o component a unui vector pe o anumit direcunui vector pe o anumit direcie. Fie un mecanism bielie. Fie un mecanism biel--manivel ca n Fig.2.8manivel ca n Fig.2.8--a. Se va a. Se va deconecta cupla B. Pentru a se defini poziiile elementelor 2 ideconecta cupla B. Pentru a se defini poziiile elementelor 2 i 3 este nevoie de unghiurile 3 este nevoie de unghiurile 1212 i i 1313. Pentru a defini poziia elementului 4 (prisma cuplei de transl. Pentru a defini poziia elementului 4 (prisma cuplei de translaie) e nevoie s se aie) e nevoie s se tie parametrul stie parametrul s1414 . Ecuaia de nchidere a buclei este:. Ecuaia de nchidere a buclei este:

(2.7)(2.7)AAooAA + AB = + AB = AAooBB


Din nou avem 3 parametri Din nou avem 3 parametri ((1212, , 1313 ii ss1414) ) drept care unul dintre ei trebuie dat ca valoare drept care unul dintre ei trebuie dat ca valoare de input. n cazul de mai sus vectorii de input. n cazul de mai sus vectorii AA00AA i i AB AB au mrimi constante dar direcau mrimi constante dar direcii variabile. ii variabile. Vectorul Vectorul AA00B B are componenta pe axa Oy constant are componenta pe axa Oy constant (distana c) dar componenta pe axa (distana c) dar componenta pe axa Ox este variabil Ox este variabil (s(s1414). Funcie de aplicaie parametrul de input poate fi ). Funcie de aplicaie parametrul de input poate fi 1212 ( (ca de pild la ca de pild la compresoarecompresoare cu pistoncu piston) sau s) sau s14 14 (la (la motoarele cu ardere internmotoarele cu ardere intern). Ex). Exprimat primat n numere n numere complexe ecuaia vectorial este:complexe ecuaia vectorial este:

Fig.2.8Fig.2.8

icseaea 14i

3i

21312 +=+ (2.7)(2.7)

n anumite cazuri se folosesc puncte coincidente instantaneu saun anumite cazuri se folosesc puncte coincidente instantaneu sau diverse alte puncte diverse alte puncte ale elementelor cinematice ca vrfuri ale vectorilor de poziie ale elementelor cinematice ca vrfuri ale vectorilor de poziie aa cum se vede n aa cum se vede n Fig.2.13. VaFig.2.13. Variabilele din acest caz sunt deplasarea relativ a unui element riabilele din acest caz sunt deplasarea relativ a unui element fa de fa de cellaltcellalt. Vectorul . Vectorul BB00A A poate fi descompus n dou componente: poate fi descompus n dou componente: BB00CC i i CA, CA, prima fiind prima fiind constant iar a doua component fiind legat de deplasarea cupleconstant iar a doua component fiind legat de deplasarea cuplei de translaie i de translaie (elementul 3 fa de 4). Ecuatia vectorial de nchidere va fi:(elementul 3 fa de 4). Ecuatia vectorial de nchidere va fi:

(2.11)(2.11)AAooAA = = AAooBBoo + + BBooCC + CA+ CA( )414412 i

43i

41i

2 eseaaea+ ++=


Punctele Punctele AA22 ii AA33 sunt coincidente permanent iar punctul sunt coincidente permanent iar punctul AA44(proiecia lui A pe elementul 4) va fi coincident cu (proiecia lui A pe elementul 4) va fi coincident cu AA33 doar doar instantaneu. Cnd mecanismul se mic, cele dou puncte se instantaneu. Cnd mecanismul se mic, cele dou puncte se vor deplasa reciproc cu vor deplasa reciproc cu s des de--a lungul manivelei. Punctele a lungul manivelei. Punctele AA2 2 iiAA33 vor fi coincidente cu A.vor fi coincidente cu A.Vectorul Vectorul CA CA variaz att ca direcvariaz att ca direcie ct i ca modul (lungime). n ie ct i ca modul (lungime). n orice caz orientarea sa fa de vectorul orice caz orientarea sa fa de vectorul BB00C C rmne constantrmne constant. . Dac se Dac se tie orientarea lui tie orientarea lui BB00C C prin parametrul prin parametrul 1414 atunci direcia atunci direcia vectorului vectorului CA CA fa de axa Ox va fi fa de axa Ox va fi 1414+ + 44 unde unde 44 este un unghi este un unghi constant al geometriei elementului 4. Deci variabilele de poziiconstant al geometriei elementului 4. Deci variabilele de poziie e vor fi vor fi 1212, , 1414 ii ss4343.. Fig.2.13Fig.2.13

Uneori exist posibilitatea ca s nu existe soluUneori exist posibilitatea ca s nu existe soluii ale ecuaiilor vectoriale pentru fiecare ii ale ecuaiilor vectoriale pentru fiecare valoare a parametrilor independeni. n acest caz concluzia estevaloare a parametrilor independeni. n acest caz concluzia este c c mecanismul nu mecanismul nu permite geometric acea poziie.permite geometric acea poziie.


Variabilele de input se dau ntrVariabilele de input se dau ntr--o anumit plaj cu valori incrementate discret pentru care se o anumit plaj cu valori incrementate discret pentru care se calculeaz toate celelalte variabile de pozicalculeaz toate celelalte variabile de poziie. De pild dac parametrul de input al unei ie. De pild dac parametrul de input al unei manivele este ntre 0 i 360manivele este ntre 0 i 360oo , se poate crete valoarea de input cu cte 15, se poate crete valoarea de input cu cte 1500 rezultnd 24 de rezultnd 24 de poziii discrete pentru care se calculeaz celelalte variabile dpoziii discrete pentru care se calculeaz celelalte variabile de poziiee poziie ((vezivezi ProiectulProiectul la la MecanismeMecanisme))..

2.6 /Soluiile 2.6 /Soluiile analiticeanalitice iterative ale ecuaiilor contururilor nchise/iterative ale ecuaiilor contururilor nchise/

Ecuaiile vectoriale de nchidere ale buclelor pot fi rezolvate Ecuaiile vectoriale de nchidere ale buclelor pot fi rezolvate pe cale analiticpe cale analitic. n acest caz se . n acest caz se urmreurmrete obinerea unui set de ecuaii care dac este rezolvat iteratte obinerea unui set de ecuaii care dac este rezolvat iterativ (pas cu pas) permit iv (pas cu pas) permit calculul variabilelor necunoscute. Acest mod de rezolvare se precalculul variabilelor necunoscute. Acest mod de rezolvare se preteaz pentru calculul teaz pentru calculul numeric pe calculatoare.numeric pe calculatoare.Fie problema de mai jos (Fig.2.27) n care se dorete determinarFie problema de mai jos (Fig.2.27) n care se dorete determinarea poziiilor tuturor ea poziiilor tuturor elementelor unui mecanism bielelementelor unui mecanism biel--manivel pentru diferite unghiuri de input manivel pentru diferite unghiuri de input 1212 . Se cunosc . Se cunosc lungimile elementelor lungimile elementelor aa11, a, a22, a, a33..Ecuaia vectorial este:Ecuaia vectorial este:

AA00A= AA= A00B +BAB +BA (2.24)(2.24)n form cartezian aceti vectori pot fi scrii ca:n form cartezian aceti vectori pot fi scrii ca:

Fig.2.27Fig.2.27

( )( )jsinicosaBA jaisBA

jsinicosaAA

13133

1140

121220

rrrr

rr

+=+=

+=(2.25)(2.25)


Dac se egaleaz componentele de pe axele x Dac se egaleaz componentele de pe axele x i y separat, ecuaia vectorial va genera 2 i y separat, ecuaia vectorial va genera 2 ecuaii scalare:ecuaii scalare: ( )

( )( )

13312214

11223

13

1331122

13314122

cosacosas

;asinaa1sin

sinaasinacosascosa

==

+=+=

Pentru o anumit valoare de input Pentru o anumit valoare de input 1212, se poate calcula , se poate calcula 1313, din ecuaiile de mai sus care, , din ecuaiile de mai sus care, dac dac (ambele valori) se introduc n ultima ecuaie de mai sus, va per(ambele valori) se introduc n ultima ecuaie de mai sus, va permite calcularea mite calcularea deplasrii sdeplasrii s1414. D. Dac se doreac se dorete calcularea poziiei unui punct C (xte calcularea poziiei unui punct C (xcc, y, ycc), se poate scrie:), se poate scrie:

( )( )( )( )31331C

313314C

sinbaycosbsx

+=+=

(2.26)(2.26)

(2.27)(2.27)

Cum ecuaiile scalare deduse din ecuaia vectorial sunt neliniaCum ecuaiile scalare deduse din ecuaia vectorial sunt neliniare, metoda de rezolvare a re, metoda de rezolvare a sistemului scalar de ecuaii poate fi diferit de la un mecanismsistemului scalar de ecuaii poate fi diferit de la un mecanism la altul. la altul. RezolvareRezolvare pepe calecale GeometricaGeometrican mecanismul patrulater din Fig.2.28 cu lungimile elementelor an mecanismul patrulater din Fig.2.28 cu lungimile elementelor a11, a, a22, a, a33, a, a44 cunoscute, se cunoscute, se dorete determinarea poziiei tuturor elementelor pentru diversedorete determinarea poziiei tuturor elementelor pentru diverse valori de input valori de input 1212..Mai nti fie triunghiul AMai nti fie triunghiul A00ABAB00. C. Cum dou dintre laturile lui um dou dintre laturile lui (a(a11, a, a22) i () i (1212) s) sunt cunoscute, cunt cunoscute, cea ea dede--a treia latur a treia latur (AB(AB00 = s) i unghiul pot fi determinate. Lungimea s i unghiul =1= s) i unghiul pot fi determinate. Lungimea s i unghiul =1808000-- sunt variabile. Teorema cosinusului va da:sunt variabile. Teorema cosinusului va da:


Mrimea lui Mrimea lui i este mai mic de 180 i este mai mic de 1800 0 i este mereu pozitiv. Dac se folosesc n i este mereu pozitiv. Dac se folosesc n calcule ecuaiile (2.28) atunci semnul lui trebuie verificat.calcule ecuaiile (2.28) atunci semnul lui trebuie verificat. Semnul funciei (sin ) trebuie Semnul funciei (sin ) trebuie s fie acelas fie acelai cu semnul funciei (sin i cu semnul funciei (sin 1212). Soluiile sistemelor de mai sus sunt duble. Semnul ). Soluiile sistemelor de mai sus sunt duble. Semnul + sau + sau la unghiul se refer la cele dou soluii posibile la ecuaiila unghiul se refer la cele dou soluii posibile la ecuaiile de mai sus (B i B). le de mai sus (B i B). Unghiul se numete i Unghiul se numete i unghi de transmisieunghi de transmisie..Valorile unghiurilor necunoscute Valorile unghiurilor necunoscute 13 13 i i 1414 se pot determina astfel:se pot determina astfel:

Fig.2.28Fig.2.28

( )[ ]

'

sa2asaarccos' 'cos s2a-saa

cosaa2aas

1

22

221

122

122

2/11212

21

22

=

+=+=

+=(2.28)(2.28)

Un alt mod de rezolvare este egalarea componentelor pe Un alt mod de rezolvare este egalarea componentelor pe Ox Ox au au pepe Oy:Oy:

==

+=

'ssina'sins

:sau sacosa'coss

122

1122

n triunghiul ABBn triunghiul ABB00 se aplic teorema cosinusului se aplic teorema cosinusului::

+=

+=

sa2saa

arccos

aa2saa

arccos

4

223

24

43

224

23

(2.30)(2.30)

==

1413

14 ; (2.31)(2.31)


2.7 /Analiza poziional a m2.7 /Analiza poziional a mecanismelorecanismelor cu cu numerenumere complexecomplexe--ecuatiaecuatia luilui FreudensteinFreudenstein//

SS--a vzut deja c folosirea numerelor complexe este un mod simplu a vzut deja c folosirea numerelor complexe este un mod simplu de reprezentare a de reprezentare a ecuaiilor vectoriale de nchidere ale buclelor. Soluiile analiecuaiilor vectoriale de nchidere ale buclelor. Soluiile analitice (sau numerice) ale poziiilor tice (sau numerice) ale poziiilor elementelor mecanismelor se pot obine uor prin manipularea algelementelor mecanismelor se pot obine uor prin manipularea algebric a numerelor ebric a numerelor complexe. Fie un mecanism patrulater ca mai jos avnd ecuaia vecomplexe. Fie un mecanism patrulater ca mai jos avnd ecuaia vectorialctorial::

(2.34)(2.34)AA00A + AB = AA + AB = A00BB00 + B+ B00BB 141312i

41i

3i

2 eaaeaea +=+

Fig.2.31Fig.2.31

Dac se egaleaz Dac se egaleaz ntre ele prile reale i imaginare ntre ele prile reale i imaginare din cei doi termeni ai ecuaiei (stng i drept), rezult 2 din cei doi termeni ai ecuaiei (stng i drept), rezult 2 ecuaii scalare avnd 3 variabile (ecuaii scalare avnd 3 variabile (1212, , 1313 i i 1414). Da). Dac c una dintre variabile este dat celelalte dou vor putea fi una dintre variabile este dat celelalte dou vor putea fi calculate. n ecuaiile din planul complex, deasemenea calculate. n ecuaiile din planul complex, deasemenea i ecuaia format cu conjugatele numerelor complex i ecuaia format cu conjugatele numerelor complex din ecuaia initial este adevarat. Un numr complex din ecuaia initial este adevarat. Un numr complex conjugat descrie un vector care este imaginea n conjugat descrie un vector care este imaginea n oglind a vectorului inioglind a vectorului iniial fa de axa numerelor reale ial fa de axa numerelor reale (axa (axa x=Re x=Re (z)). (z)). De pild De pild n cazul unui mecanism dac n cazul unui mecanism dac se aeaz o oglind pe axa Ox atunci dac se aeaz o oglind pe axa Ox atunci dac mecanismul real se mic la fel se va mica i mecanismul real se mic la fel se va mica i mecanismul din imaginea sa din oglindmecanismul din imaginea sa din oglind. Aadar pe . Aadar pe lng ecuatia lng ecuatia (2.35) (2.35) vom avea ca fiind valid vom avea ca fiind valid i ecuaia i ecuaia cu numere complexe conjugate:cu numere complexe conjugate:

141312 i41

i3

i2 eaaeaea

+=+ (2.35)(2.35)


Ecuaia iniial (2.34) i conjugata sa (2.35) sunt dou ecuaiiEcuaia iniial (2.34) i conjugata sa (2.35) sunt dou ecuaii independente n planul independente n planul complex iar dac se egaleaz complex iar dac se egaleaz ntre ei coeficienii prilor reale vom obine dou ecuatii ntre ei coeficienii prilor reale vom obine dou ecuatii scalare n planul real. Deci folosind ecuaia iniial (2.34) iscalare n planul real. Deci folosind ecuaia iniial (2.34) i conjugata sa (2.35) se pot afla conjugata sa (2.35) se pot afla 14 14 funcie de funcie de 1212, dar pentru aceasta trebuie eliminat , dar pentru aceasta trebuie eliminat 1313 din cele dou ecua din cele dou ecuaii. Ecuaiile pot fi ii. Ecuaiile pot fi scrise ca mai jos:scrise ca mai jos:

( ) ( )( )[ ] [ ]

( )

{ {( )

( )12143122141

1214

K

42

24

23

22

21

12

K4

114

K2

1

24

23

22

2112144212211441

ii

0i

)(i)(i42

ii21

ii41

22

24

21

23

i2

i41

i2

i41

i23

i2

i41

i3

i2

i41

i3

cosKcosKcosK

cosaa2

aaaacosaacos

aa

0aaaa)cos(aa2cosaa2cosaa2

2eecos/Cum/

1ee

eeaaeeaaeeaaaaaa

eaeaaeaeaaea

ele/ intre ecuatiile /Inmultindeaeaaea

eaeaaea

321

1313

1214121412121414

121412141313

121413

121413

=+

=+++=+++

+===

++++++=++=

+=+=

444 3444 21(2.36)(2.36)


Ecuaia (2.36) se numete ecuaia lui Ecuaia (2.36) se numete ecuaia lui Freudenstein Freudenstein i poate fi folosit la sinteza i poate fi folosit la sinteza mecanismelor patrulatere. Ea descrie o relaie implicit ntre vmecanismelor patrulatere. Ea descrie o relaie implicit ntre variabilele de poziie ariabilele de poziie 1414 i i 1212 . . Pentru a explicita expresia i a obine Pentru a explicita expresia i a obine 1414, putem scrie: , putem scrie:

( )[ ] ( ) ( )[ ] 0KKK1cossin22

tgKKK1cos2

tg

2tg1

2tg1

cos

2tg1

2tg2

sin

sinsincoscosKcosKcosK

C

13212

B

1214

A

13212142

142

142

14

142

14

14

121412143122141

=++++

++

+

=

+

=

+=+

44444 344444 214342144444 344444 21

(2.37)(2.37)

Ecuaia (2.37) este de ordin doi i:Ecuaia (2.37) este de ordin doi i:

==

A2AC4BBarctg2

A2AC4BB

2tg

2

14

214 (2.38)(2.38)

unde semnele plus sau minus fac referire la diferitele configuraunde semnele plus sau minus fac referire la diferitele configuraii ale mecanismului ii ale mecanismului patrulater. Coeficienii A, B i C sunt funcie de lungimile elepatrulater. Coeficienii A, B i C sunt funcie de lungimile elementelor cinematice i mentelor cinematice i unghiul de input al manivelei. Deci unghiul de input al manivelei. Deci 1414 se poate calcula direct cu relaia (2.38).se poate calcula direct cu relaia (2.38).


Ecuaia (2.37) se poate rezolva i dac se scrie:Ecuaia (2.37) se poate rezolva i dac se scrie:

( )

( )

31221414

121

12

1222

121

3122121414121

KcosKsinsinDcoscosD

cosKsinarctg

sincosKD

:cu/ noteaza /SeKcosKsinsincoscosK

=

=

+=

=

(2.39)(2.39)

Apoi folosind identitatea trigonometricApoi folosind identitatea trigonometric::

( )

+=

==+

DKcosK

arccos

KcosKsinsinDcoscosDsinsincoscoscos

312214

31221414

(2.40)(2.40)


2.8 2.8 //SoluiiSoluii numericenumerice ale ale ecuaiilorecuaiilor de de conturcontur//

Ecuaiile deduse n seciunile precedente pentru analiza poziioEcuaiile deduse n seciunile precedente pentru analiza poziional se preteaz la nal se preteaz la tratamentul numeric atunci cnd lungimea elementelor cinematice tratamentul numeric atunci cnd lungimea elementelor cinematice este cunoscuteste cunoscut. D. Dac se ac se dorete analiza pentru ntregul domeniu de variaie al parametridorete analiza pentru ntregul domeniu de variaie al parametrilor de input se pot dezvolta lor de input se pot dezvolta programe n EXCEL, BASIC, PASCAL, FORTRAN sau C, MathCAD sauprograme n EXCEL, BASIC, PASCAL, FORTRAN sau C, MathCAD sau MATLAB.MATLAB.n toate cele ce urmeaz MathCAD va fi mediul de programare favn toate cele ce urmeaz MathCAD va fi mediul de programare favoritorit..Exemplul 2.1Exemplul 2.1Fie mecanismul de mai jos unde: aFie mecanismul de mai jos unde: a22=50 mm;=50 mm; aa33= 250 mm;= 250 mm; bb33=120 mm; a=120 mm; a11= 20 mm i= 20 mm i 33=30=3000 . . S se determine coordonatele punctului C cnd S se determine coordonatele punctului C cnd 1212 =60=6000..

Fig.2.32Fig.2.32

0013

3

112213 174.7or/sau/ 3.50932.0

sinsin :inlocuiri/ /Dupa === a

aa

Din figur se vede c valoarea acceptabil este Din figur se vede c valoarea acceptabil este 1313=174.7=174.7 00 ..

( )( ) mm4.89sinbay

mm176cosbxxmm9.273cosacosas

31331C

3133C

13312214

=+==+===

Pentru rezolvarea numeric pentru Pentru rezolvarea numeric pentru ntregul domeniu ntregul domeniu de variaie al parametrului de input de variaie al parametrului de input

0012 360...0= se va folosi MathCAD (Fig.2.32).se va folosi MathCAD (Fig.2.32).


MathCad Solving

a 1 20 a 2 50 a 3 250 b 3

3 30 deg.i 0 360.. 12i 5 i

. deg.

13i asina 2 sin 12i

. a 1a 3

degre 1312 0.093= 1312deg

5.348=

13i if 13i2

> 13i, 13i, 1312deg

174.652=s 14i

a 2 cos 12i. a 3 cos 13i

.

s 1412273.912=

xCis 14i

b 3 cos 13i 3.

xC12176.033=

y Cia 1 b 3 sin 13i 3

.

y C1289.425=

Ci xCi2 y Ci

2

Ci angle xCi y Ci,

Fig.2.32Fig.2.32--Example 2.1/Exemplul 2.1Example 2.1/Exemplul 2.1


Ci

12i

010

2030

4050

607080

90100110120

130140

150160

170180190200

210220

230240

250260270280290

300310

320330

340350

0.680.610.540.470.410.340.270.20.14

0.0680 Ci

12i

010

2030

4050

607080

90100110120

130140

150160

170180190

200210

220230

240250260270280

290300

310320

330340350

207.87187.08166.3145.51124.72103.9383.1562.3641.5720.79

0

ANALIZA ANALIZA CINEMATICA A CINEMATICA A

MECANISMELORMECANISMELORMecanismeMecanisme--ElectromecaniciElectromecanici--

Curs3Curs3UMCUMC--8 ORE8 ORE


3.1 /Analiza Vitezelor i Acceleratiilor ale unui rigid/3.1 /Analiza Vitezelor i Acceleratiilor ale unui rigid/3.1.1 3.1.1 //TranslaiaTranslaia purapura a a rigiduluirigidului//n cazul translaiei unui rigid, dac se iau dou puncte ale saln cazul translaiei unui rigid, dac se iau dou puncte ale sale, rigidul se mic astfel e, rigidul se mic astfel

nct linia care unete acele puncte rmne mereu paralel cu eanct linia care unete acele puncte rmne mereu paralel cu ea nsi nsi (Fig.3.1). Fie (Fig.3.1). Fie doudouasemeneaasemenea punctepuncte A A ii B care se B care se micmic din din pozitiapozitia 1 1 nn poziiapoziia 2. 2. CorpulCorpul fiindfiind rigid rigid avemavem cc

2B2A1B1A rrrr =

VectorulVectorul de de pozipoziie al punctului B, ie al punctului B, rrBB , va fi dat de:, va fi dat de:

ABAB rrrrrr += (3.1)(3.1)

Fig.3.1Fig.3.1

Cum ntre cele dou poziii 1 i 2 vectorul de Cum ntre cele dou poziii 1 i 2 vectorul de poziie variaz atunci derivata sa funcie de timp poziie variaz atunci derivata sa funcie de timp va descrie modul su de variava descrie modul su de variaie (viteza):ie (viteza):

dtrd

dtrd

dtrd ABAB

rrr+=

Cum vectorul Cum vectorul AB AB este mereu paralel cu sine este mereu paralel cu sine nsui atunci variaia sa n timp este nul:nsui atunci variaia sa n timp este nul:

(3.2)(3.2)

BAAB

AB

VVdtrd

dtrd

0dtrd

rrrr

r

==

=(3.3)(3.3)


Dac se ia a doua derivat Dac se ia a doua derivat n timp a vectorului de poziie atunci, asemntor, vectorul n timp a vectorului de poziie atunci, asemntor, vectorul AB, fiind constant n timp, va avea acceleraia nul. Deci vitezAB, fiind constant n timp, va avea acceleraia nul. Deci viteza i acceleraia fiecrui punct a i acceleraia fiecrui punct al unui rigid n micare de translaie va fi aceeai n tot cupral unui rigid n micare de translaie va fi aceeai n tot cuprinsul suinsul su..

BA2A

2

2B

2

2AB

2

aadt

rddt

rd

0dt

rd

rrrr

r

==

=(3.4)(3.4)

3.1.2 3.1.2 //RotaiaRotaia purapura a a rigiduluirigidului//Fiecare punct al rigidului se va mica pe traiectorii concentricFiecare punct al rigidului se va mica pe traiectorii concentrice cu centrul n O iare cu centrul n O iarpentrupentru oo deplasaredeplasare infinitezimalainfinitezimala aa fiecrui punct fiecrui punct n plan n plan ea ea va fi egal cu distanva fi egal cu distana de la a de la punct la centrul de rotaie denmulit cu unghiul de rotire punct la centrul de rotaie denmulit cu unghiul de rotire 0 0 (n radiani). Astfel:(n radiani). Astfel:

rrAA= = rrAA rrBB= = rrBB (3.5)(3.5)

Fig.3.2Fig.3.2

Variaia n timp va fi:Variaia n timp va fi:

{

===

=

dtdrV;

dtdrV

tr

tr

;t

rt

rBBAA

0tB

BA

A rrrrrrrr

(3.6)(3.6)


undeunde VVAA ii VVBB sunt vectorii vitez iar sunt vectorii vitez iar d/dtd/dt= = esteeste vitezaviteza unghiularunghiular a a rigiduluirigidului. . DirecDirecia ia vectorilor vectorilor VVAA i i VVBB este perpendicular pe vectorul de pozieste perpendicular pe vectorul de poziie al punctelor. n form ie al punctelor. n form vectorial vectorial (3.6) este:(3.6) este:

VV A A = = x x rr AA

unde operatorul (x) unde operatorul (x) indic produsul vectorialindic produsul vectorial..Se pot folosi deasemenea i numerele complexe pentru reprezentarSe pot folosi deasemenea i numerele complexe pentru reprezentarea vectorilor de poziie ea vectorilor de poziie i ai vitezelor. De pild n numere complexe poziia puni ai vitezelor. De pild n numere complexe poziia punctuluictului A A esteeste datdat de (Fig.3.3): de (Fig.3.3):

(3.7)(3.7)

r r AA = r = r AA e e ii

Dac rigidul se roteDac rigidul se rotete atunci te atunci va fi variabil. n expresia de mai sus rva fi variabil. n expresia de mai sus rAA este mrimea este mrimea vectorului de poziie iar vectorului de poziie iar e e ii va fi un vector unitate luat dup direcva fi un vector unitate luat dup direcia OA. Dac se deriveaz ia OA. Dac se deriveaz relaia de mai sus relaia de mai sus ((d/dtd/dt=):=):

(3.8)(3.8)

V V AA = = irir AA e e ii (3.9)(3.9)

Vectorul vitez va avea mrimea Vectorul vitez va avea mrimea rrAA iariar direciadirecia datdat de de ieie ii.. Cum i= e Cum i= e ii/2/2,, ieie ii==eeii((++/2)/2), , vava rezultarezulta cc acestacest nounou vector vector vava fifi perpendicular perpendicular pepe vectorulvectorul de de poziiepoziie OAOA. . VitezaViteza unghiularunghiular esteeste pozitivpozitiv dacdac are are sensulsensul de de variaievariaie nn senssens trigonometric trigonometric iinegativanegativa nn senssens orarorar. . DacDac esteeste negativnegativ atunciatunci direciadirecia vectoruluivectorului vitezvitez esteeste

--ieieii ==)

2(i

e


Deci vectorul vitez liniar este perpendicular pe OA Deci vectorul vitez liniar este perpendicular pe OA i are direcia n sensul vitezeii are direcia n sensul vitezeiunghiulare . Dac se deriveaz relaia (3.9):unghiulare . Dac se deriveaz relaia (3.9):

Fig.3.3Fig.3.3

( )

2

2

i2A

iA

i2A

2iA

iAA

A

dtd

dtd

ereri

erierdtdi

dteird

dtdVa

===

=+===

(3.10)(3.10)

Primul termen Primul termen iAeriare mrimea are mrimea rrAA i direcia i direcia ieieii care este perpendicular pecare este perpendicular pe OAOA i rotit n sensul lui i rotit n sensul lui

2

2

dtd =

Aceast component a aceleraAceast component a aceleraiei este tangent la traiectoria (circular) a punctului A i siei este tangent la traiectoria (circular) a punctului A i se e numete numete acceleraie tangenialacceleraie tangenial notat cu notat cu aaAAtt. Cel de al doilea termen . Cel de al doilea termen

i2A erare mrimea are mrimea rrAA 22 i este orientat dup i este orientat dup --e e ii care este un vector unitate cu sens opus lui care este un vector unitate cu sens opus lui rrAA . . Aceast component a acceleraAceast component a acceleraiei se numete acceleraie normal si se noteaz cu iei se numete acceleraie normal si se noteaz cu aaAAnn. E. Ea a este mereu orientat ctre centrul de rotaeste mereu orientat ctre centrul de rotaie O. Acceleraia total a punctului A va fi deci:ie O. Acceleraia total a punctului A va fi deci:

nA

tAA aaa += (3.11)(3.11)


Fig.3.4Fig.3.4

Centrul de rotaie O are vitez i acceleraie Centrul de rotaie O are vitez i acceleraie nulnul..

3.1.3 3.1.3 //MicareaMicarea Plan Plan ParalelParalel//

Micarea plan paralel este acea micare a Micarea plan paralel este acea micare a rigidului care nu este nici translaie pur i nici rigidului care nu este nici translaie pur i nici rotaie pur dar care poate fi analiz

Curs Mecanisme

Documents

Transcript of Curs Mecanisme