Curs Master at 200900

download Curs Master at 200900

of 101

  • date post

    21-Jun-2015
  • Category

    Documents

  • view

    16.115
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of Curs Master at 200900

Capitole speciale de geometrie pentru profesoriCamelia FrigioiuGalat i, 20092Cuprins1 Geometrie sintetic a plan a 11.1 Concurent a liniilor importante ntr-un triunghi . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Concurent a medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor si n alt imilorntr-un triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Cercul nscris n triunghi, cercul circumscris si exnscris unuitriunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Teoremele MENELAUS si CEVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Teorema lui Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Teorema lui Ceva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Teorema lui VAN AUBEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Patrulatere inscriptibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1 Teorema lui Ptolemeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Patrulatere circumscriptibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1 Cercul lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 Probleme de coliniaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.1 Metode de demonstrare a coliniarit at ii unor puncte . . . . . 201.5.2 Teorema lui Euler, dreapta lui Simpson . . . . . . . . . . . 211.5.3 Relat ia lui Carnot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Probleme de concurent a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.1 Metode de demonstrare a concurent ei unor drepte . . . . . . 251.6.2 Teoremele lui Gergonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.3 Teorema lui Steiner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7 Relat ii metrice n triunghi si patrulater . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7.1 Teorema Pitagora generalizat a . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7.2 Relat ia lui Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.3 Teorema medianei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7.4 Relat ia lui Euler pentru patrulatere . . . . . . . . . . . . . . 312 Transform ari geometrice 332.1 Simetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35iii CUPRINS2.2 Translat ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Rotat ia n plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Propriet at i generale ale izometriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5 Asem anarea n plan. Propriet at i generale . . . . . . . . . . . . . . . 512.6 Omotetia n plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6.1 Folosirea omotetiei la rezolvarea unor probleme de loc geo-metric. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.7 Inversiunea n plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 Geometrie n spatiu 633.1 Introducere n geometria tetraedrului . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Tetraedre Crelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3 Tetraedre echifaciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4 Tetraedre ortocentrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824 APLICAT II ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE 834.1 Elemente de trigonometrie aplicate n geometrie. . . . . . . . . . . 834.1.1 Aplicat ii practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2 Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3 Aplicat ii ale numerelor complexe n geometrie . . . . . . . . . . . . 884.4 Teoremeclasicedegeometriedemonstratecuajutorul numerelorcomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Capitolul 1Geometrie sintetic a plan a1.1 Concurenta liniilor importante ntr-un triunghiLinii importante ale unui triunghi sunt:1.medianele2.bisectorele interioare ale unghiurilot triunghiului3.mediatoarele laturilor triunghiului4. nalt imile.1.1.1 Concurenta medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor si n altimilor ntr-un triunghiIntr-un triunghi se poate demonstra pentru ecare categorie de linii importante c asunt concurente si anume:1.cele trei mediatoare ale laturilor unui triunghi sunt concurente ntr-un punct careeste centrul cercului circumscris triunghiului;2.celetreibisectoareinterioarealeunuitriunghisuntconcurente ntr-un punctcare este centrul cercului nscris n triunghi;3.cele trei n alt imi ale unui triunghi sunt concurente ntr-un punct care se numesteortocentrul triunghiului;4.cele mediane ale unui triunghi sunt concurente ntr-un punct care se numestecentrul de greutate al triunghiului.In continuare vom demonstra concurent a acestor linii importante ale triunghiului.Asa cum bine se stie, mediatoarea unui segment de dreapt a este perpendicularaconstruit a pe mijlocul segmentului.12 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN AToate punctele mediatoarei unui segment se a a la aceeasi distant a fat a de ca-petele acestuia si reciproc toate punctele din plan care se a a la distant e egale decapetele unui segment se a a pe mediatoarea acestuia.TEOREMA 1.1Intr-un triunghi mediatoarele laturilor sunt concurente.BCOANMFigura 1.1: Concurent a mediatoarelorDemonstrat ie.Not am cu M si N mijloacele laturilor [BC] si [AB] ale triunghiului ABC. Punc-tul de intersect ie al perpendicularelor n Msi Npe laturile respective(mediatoareleacestor laturi) va notat cu O. Cele dou a mediatoare sunt concurente, altfel puncteleA, B, C ar coliniare, ceea ce este imposibil.Folosind proprietatea punctelor de pe mediatoare de a la egal a distant a fat a decapetele segmentului, putem scrieOA = OB, ON ind mediatoarea lui [AB] siOB= OC, OM ind mediatoarea lui [BC].Rezult a din tranzitivitatea relat iei de egalitate c aOA=OC, deci punctulO sea a si pe mediatoarea laturii [AC]. q.e.d.Vom demonstra concurent a bisectoarelor interioare unui triunghi, folosind propri-etatea punctelor de pe bisectoare de a la egal a distant a fat a de laturile acestuia.TEOREMA 1.2Intr-un triunghi bisectoarele interioare sunt concurente.Demonstrat ie. Not am[AA1 si[BB1 bisectoarele unghiurilor

BACsi

ABCaletriunghilui ABC si I punctul lor de intersect ie. Aceste bisectoare sunt concurente,altfel ar paralele ceea ce ar nsemna c a unghiurile

BAA1 si

ABB1 ar unghiuriinterne si de aceeasi parte a secantei AB, iar suma m asurilor lor ar de 180, ceeace este imposibil c aci suma m asurilor unghiurilor triunghiului ABC este 180.1.1. CONCURENT A LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 3BCAICMP1B1N A1Figura 1.2: Concurent a bisectoarelorFolosind proprietatea c a numai punctele de pe bisectoare sunt egal dep artate delaturile triunghiului putem scrie:IM=INsi IM=IP, (M (AB), N (BC), P (AC), IM AB, IN BC, IP AC).Folosind proprietatea de tranzitivitatea a egalit at ii numerelor reale, rezult aIN= IPdeci punctul I se a a si pe bisectoarea unghiului ACB. q.e.d.TEOREMA 1.3Intr-un triunghi n alt imile sunt concurente.BCBABAC11 1ACFigura 1.3: Concurent a n alt imilorDemonstrat ie. Consider amuntriunghi ABC, cun alt imile[AA, [BB/, [CC/(AA BC, BB/ AC, CC/ AB.4 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN AParalelele prin v arfurile triunghiului lalaturile opusese intersecteaz a n punc-tele A1, B1, C1. Din congruent a laturilor opuse ale paralelogramelor obt inute rezult ac a punctele A, B, C sunt mijloacele laturilor [B1C1], [C1A1], [A1B1] ale triunghiuluiA1B1C1 (AB1 = AC1, BC1 = BA1, CA1= CB1).Din AA/ BC si C1B1 |BC rezult a AA/ C1B1. Analog pentru celelalte la-turi se g aseste c a BB/ C1A1 si CC/ A1B1.Constat am c a n alt imile triunghiuluiABC sunt mediatoarele triunghiului A1B1C1.Dar, concurent a mediatoarelor a fostdemonstrat a, asa c a si concurent a n alt imilor este demonstrat a. q.e.d.Reamintim c a linia mijlocie ntr-un triunghi este segmentul de dreapt a care unestemijloacele a do a laturi ale triunghiului, c a este paralel a cu cea de-a treia latur a atriunghiului si egala cu jum atate din lungimea ei.TEOREMA 1.4Intr-un triunghi medianele sunt concurente.ABCBCC"AGA"Figura 1.4: Concurent a medianelorDemonstrat ie. Not amcuA/, B/, C/mijloacelelaturilor [BC], [AC], [AB] aletriunghiului ABC. Punctul deintersect ieal medianelor [AA/] si [CC/] esteG.Vom demonstra c a punctulG apart ine si medianei[BB/]. Mijloacele segmentelor[AG], [CG] vor notate cu A respectiv CAA = AG, CC = CG.[AC] este linie mijlocie n triunghiul GAC, ceea ce implic aAC | AC, AC =12AC. (1.1)De asemenea, [A/C/] este linie mijlocie n triunghiul BAC si se obt ine:A/C/ | AC, A/C/ =12AC. (1.2)1.1. CONCURENT A LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 5Din (1.1) si (1.2), folosind tranzitivitatea relat iei de paralelism si a celei de egalitate,rezult aA/C/ | AC, A/C/ = AC.Deci patrulaterul A/C/AC este paralelogram, cu G punctul de intersect ie al diago-nalelor, ceea ce implic aA/G = GA, C/G = GC.Cum AA = AG si CC = CG, rezult a:AA = AG = GA/ =13AA/siCC = CG = GC/ =13CC/.Am obt inut astfel:Punctul Gde intersect ie al medianelor [AA/] si [CC/] se a a pe ecare dintre celedou a mediane la dou a treimi de v arf si o treime de mijlocul laturii opuse.Un rezulta asem an ator se poate demonstra si pentru medianele [AA/] si [BB/].Cum pe [AA/] este un singur punct care se a a la dou a treimi de v arf si o treimede mijlocul laturii opuse, rezult a c a acesta esteG, deci mediana[BB/] trece si eaprin punctul G. q.e.d.1.1.2 Cercul nscris n triunghi, cercul circumscris si exnscris unui triunghiCercul nscris n triunghiBCMPNrrrIAFigura 1.5: Cerc nscris n triunghi6 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN ADEFINIT IA 1.1 1.Triunghiul care are laturile tangente la un cerc se numestetriunghi circumscris acelui cerc.2.Cerculcareestetangentlalaturileunuitriunghisenumestecerc nscris ntriunghi.Centrul cercului nscris n triunghi, I, este punctul de intersect ie al bisectoarelorunghiurilor triunghiului.1.Triunghiul ABC este triunghiul circumscris cercului C(I; r);2. C(I; r) este cercul nscris n triunghiul ABC;3. r este raza cercului nscris: IM= IN= IP= r;4. r =2/P, unde / este aria triunghiului ABC, iar P= AB + AC + BC.Intr-adev ar aria triunghiului ABC este suma ariilor