CURS Electricitate Si Magnetism
-
Upload
ionut-sava -
Category
Documents
-
view
285 -
download
42
Transcript of CURS Electricitate Si Magnetism
prof.dr. Alexandru STANCU 1
Electricitate şi magnetism
Prof.dr. Alexandru STANCU
Istoria laboratorului de Electricitate și Magnetism
• Teodor Stamati (1849)
• Ștefan Micle (1860)
• Dragomir Hurmuzescu (1896)
• Ștefan Procopiu (1925)
• Vasile Tutovan (1972)
• Constantin Păpușoi (1985)
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 2
Facultatea de Fizică
Dragomir Hurmuzescu (1865-1954)• n. 13 martie 1865, Bucureşti
• 1881 Liceul Sf. Sava – Bucureşti
• 1884-1887 Universitatea Bucureşti
• 1887 pleacă la Paris
• 1890 examen de licenţă la Paris
• 1890-1896 teza de doctorat la Gabriel Lippmann
• 1894 inventează dielectrina (Edouard Branly)
• Firma “Alvergnat-Chabaud” comercializează echipamente Hurmuzescu (electrofor, electroscop)
1900 La Paris din 1172 studenţi străini, 168 studenţi români.
Facultatea de Fizică
Realizări ştiinţifice deosebite• 1895 Roentgen descoperă radiaţia X
• 1896 Benoist & Hurmuzescu
• Becquerel şi soţii Curie au folosit aparatură Hurmuzescu
prof.dr. Alexandru STANCU 3
Facultatea de Fizică
Revenirea în ţară
• 1896 revine în ţară (la Universitatea din Iaşi)
• 1897-1900 director al Liceului Internat
• Înfiinţează primul laborator de cercetare ştiinţifică din România – laboratorul de electricitate şi magnetism
Facultatea de Fizică
Laboratorul lui Hurmuzescu la Paris
prof.dr. Alexandru STANCU 4
Facultatea de Fizică
Dragomir Hurmuzescu (1865-1954)
• În 1922, sub conducerea sa, a început să funcţioneze Societatea Română de Radiodifuziune (Societatea de Difuziune Radiotelefonică din România), care la 1 noiembrie 1928 difuza în eter prima emisiune cu anunţul: Alo, alo, aici Radio Bucureşti, urmat de discursul preşedintelui Societăţii, Dragomir Hurmuzescu.
• Este promotorul principal al înfiinţării Politehnicilor din Iaşi şi Bucureşti
• d. 31 mai 1954, Bucureşti
Bibliografie recomandată
1. Electricitate şi magnetism, Edward M. Purcell, Cursul de fizică BERKELEY, vol. II, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.
2. Orice alt curs de electricitate şi magnetism3. Orice culegere de probleme4. Pagina web a Departamentului de Fizica
http://stoner.phys.uaic.ro/moodle/
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 5
Bibliografie (electromagnetism)
• Cursul de la Berkeley (vol. II)
– Electricitate şi magnetism
– E.M.Purcell
• Lectures on Physics (vol. II)
– R.P. Feynman
• Electrodinamica mediilor continue
– L.D. Landau şi E.M. Lifşiţ
• Bazele teoriei electricităţii
– I.E. Tamm
Prof. A. Stancu 2012
Electrostatică: sarcini şi câmpuri
– Sarcina electrică
– Conservarea sarcinii
– Legea lui Coulomb
– Energia unui sistem de purtători de sarcini
– Câmpul electric
– Distribuţii de sarcină
– Flux
– Legea lui Gauss
– Aplicaţii
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 6
Sarcina electrică
Prof. A. Stancu 2012
Observaţii empirice (forţa electrică/forţa magnetică)
Thales din Milet în urmă cu 2500 de ani (electrizarea corpurilor prin frecare)
China antică în urmă cu 5000 de ani (magneţii naturali)
Platon (în urmă cu 2400 de ani)
“Piatra pe care Euripide a numit-o magnetică şi care este numită în mod obişnuit a lui Hercule (...) nu atrage numai inelele de fier; ea comunică inelelor o forţă care le dă puterea ce-i aparţine însăşi pietrei, aceea de a atrage alte inele, astfel că se vede uneori un foarte lung lanţ de inele de fier care atârnă unul de altul. Şi forţa lor a tuturor depinde de această piatră.”
Din observaţii empirice ...
• Există două tipuri de sarcină electrică (pozitivă şi negativă)
• Sarcina se conservă• Sarcina se cuantifică
Prof. A. Stancu 2012
Într-un sistem izolat, sarcina electrică totală, adică suma algebrică a sarcinilor pozitive şi negative, se conservă.
Exemplu: foton electron + pozitron
prof.dr. Alexandru STANCU 7
Cuantificarea sarcinii electrice
Experienţa lui Millikan
Robert A. Millikan
(Nobel Prize for Physics 1923 )
Prof. A. Stancu 2012
Experimentul lui Millikan
Prof. A. Stancu 2012
1.5924(17)×10−19 C 1.602176487(40)×10−19 C
prof.dr. Alexandru STANCU 8
Legea lui Coulomb
Prof. A. Stancu 2012
Charles Augustin Coulomb Născut la 14 iulie 1736, Franţa
1785, interacţiunea dintre mici sfere încărcate electric (balanţa de torsiune)
Prima lege cantitativă în domeniul electricităţii
Experimente
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 9
Forţa Coulomb
q Q
F21 F12 R12
12
12 312
RF kqQ
R
120
0
1, 8.8544187818 10 /
4k F m
Prof. A. Stancu 2012
În Sistemul Internaţional
[Q]SI=[I]SI[t]SI
1 coulomb = 1 amper x 1 secundă
În starea de echilibru mecanic a sistemului din figură se poate determina forţa care acţionează asupra sarcinii q.
Principiul superpoziţiei
(1)
(2)
(3)
F1
F2
F3
q
F=F1+ F2 +F3 =qE
Prof. A. Stancu 2012
Sarcinile “1”, “2” şi “3” acţionează asupra sarcinii de probă q prin rezultanta forţelor cu care ar acţiona fiecare din ele separat asupra acesteia.
prof.dr. Alexandru STANCU 10
Potenţialul electric
B
A
Q
q0 F0 R
Ra
Rb
ds
dR
B B
ab 0 0 30A A
1 R dsL F ds Qq
4 R
2 2 2 2
R xi yj zk,
ds dxi dyj dzk,
R ds xdx ydy zdz,
R x y z ,
2RdR 2xdx 2ydy 2zdz
R ds RdR Rdscos
B
0ab 0 2
0 0 a bA
1 dR Qq 1 1L Qq
4 R 4 R R
Prof. A. Stancu 2012
Forţa electrostatică
• Forţă conservativă (lucrul mecanic efectuat de către forţa electrostatică asupra unei sarcini punctiforme la deplasarea acesteia între două puncte nu depinde decât de poziţiile celor două puncte nu şi de drumul parcurs între ele)
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 11
Diferenţa de potenţial Uab
B
B
ab 0 0 0 0 ab2 20 0 0 a bA
A
1 dR Q dR Q 1 1L Qq q q q U
4 R 4 R 4 R R
Prof. A. Stancu 2012
ab 0 ab
b ab a
L q U
dacă R , U V (potenţialul electrostatic)
a
0 a
1 QV
4 R
Potenţialul electric se determină în mod relativ nu în mod absolut
ab 0 ab 0 a b 0 b a 0 abL q U q V V q V V q V
Potenţialul electrostatic
Potenţialul electrostatic al sarcinii punctiforme într-un punct la distanţa R se defineşte ca fiind o mărime scalară, numeric egală cu lucrul efectuat de forţele electrostatice pentru a deplasa sarcina unitară de la distanţa R până la infinit.
Potenţialul definit în acest fel este numit potenţial coulombian.
La infinit potenţialul coulombian este nul.
Unitatea de măsură a potenţialului în SI este voltul.
ab 0 ab 0 a bL q U q V V
1 joule1 volt =
1 coulomb
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 12
Intensitatea câmpului electric
Prof. A. Stancu 2012
Q q0
F0 R
0
0
FE
q
30
Q RE
4 R
Definiţia generală
Câmpul creat de o sarcină electrică punctiformă
Linii de câmp electric
Prof. A. Stancu 2012
E
dR
x y z
i j k
E dR E E E 0
dx dy dz
x y z
dx dy dzE E E
prof.dr. Alexandru STANCU 13
Distribuţii de sarcină electrică
Prof. A. Stancu 2012
P
Q
dvq
Rqp
Rq
x
z
y O
q
v 0
q dqlim
v dv
p q q0 qp
1 1V dv
4 R
qpp q q3
0 qp
R1E dv
4 R
Relaţia dintre câmp şi potenţial
ab 0 ab 0 a b 0 b a 0 abL q U q V V q V V q V
0 0
V V VdL q dV q dx dy dz
x y z
x y z
V V VE , E , E
x y z
Prof. A. Stancu 2012
0 0 x y zdL q E dR q E dx E dy E dz
x y zE E i E j E k
dR dxi dyj dzk
V V VdV dx dy dz
x y z
prof.dr. Alexandru STANCU 14
Relaţia dintre câmp şi potenţial
x y z
V V VE E i E j E k i j k
x y z
i j k V V gradVx y z
Prof. A. Stancu 2012
Gradientul unei funcţii scalare
df grad f dR
Prof. A. Stancu 2012
dR dxi dyj dzk
f f fdf dx dy dz
x y z
grad i j kx y z
prof.dr. Alexandru STANCU 15
Suprafeţe echipotenţiale
0 0dL q E dR q dV
Prof. A. Stancu 2012
0V V const.
dV = 0
dV gradV dR 0
E dR 0
E dR
gradV dR
Liniile de câmp sunt perpendiculare pe suprafeţele echipotenţiale
Suprafeţe echipotenţiale ‐ linii de câmp
E
dR
grad V V2=const. < V1
V1=const.'
x y z
V V VE E i E j E k i j k V gradV
x y z
0V V const.
E dR 0
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 16
Câmpul sarcinii punctuale
Prof. A. Stancu 2012
Q Simetria problemei
Câmpul sarcinii punctiforme
Prof. A. Stancu 2012
O
x
y
z
i
j
k
uR
u
u
r
R
x y z
dx dy dzE E E
x 30
y 30
z 30
1 xE Q ,
4 R
1 yE Q ,
4 R
1 zE Q
4 R
dx dy dzx y z
prof.dr. Alexandru STANCU 17
Coordonate sferice
Prof. A. Stancu 2012
p p p p
p p p p
p p p
x R sin cos
y R sin sin
z R cos
O
x
y
z
i
j
k
uR
u
u
r
R
00
1 1V Q V
4 R
00 0
1 1R R Q
4 V
Câmpul sarcinii punctiforme
Prof. A. Stancu 2012
1 1
2 2
ln x ln y C x K y
ln x lnz C x K z
dx dy dzx y z
Q
x
y
z
x=K2z
x=K1y
linia de câmp
0 0 0x , y ,z0
10
xK
y
02
0
xK
z
prof.dr. Alexandru STANCU 18
Fluxul câmpului electric
Prof. A. Stancu 2012
3 3
R Rd dS dS
R R
30 0
Q R QE dS dS
4 R 4
R
dS
d
()
Q
Relaţia flux‐linii de câmp
Prof. A. Stancu 2012
0
Q4
R
dS
d
()
Q
Fluxurile sunt egale prin cele două suprafeţe
Numărul de linii de câmp care străbat cele două suprafeţe sunt egale
liniidecâmpN
prof.dr. Alexandru STANCU 19
Fluxul
Prof. A. Stancu 2012
4
0
Q
30 0
Q R QE dS dS
4 R 4
Fluxul
Prof. A. Stancu 2012
2
0
Q2
30 0
Q R QE dS dS
4 R 4
prof.dr. Alexandru STANCU 20
Fluxul
Prof. A. Stancu 2012
0 0
interior suprafata0
1 1Q Q
2
30 0
Q R QE dS dS
4 R 4
Teorema lui Gauss
Prof. A. Stancu 2012
Fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă închisă este egal cu suma sarcinilor interioare suprafeţei plus semisuma sarcinilor de pe suprafaţă raportate la .0
prof.dr. Alexandru STANCU 21
Concluzii
Prof. A. Stancu 2012
Observăm că fluxul nu depinde de forma suprafeţei. Faptul că el este însă proporţional cu sarcina electrică interioară ne conduce spre interpretarea fluxului printr-o suprafaţă ca număr de linii de câmp ce trec prin aceasta.
Să presupunem că dintr-o sarcină punctuală pozitivă pornesc linii de câmp într-un număr proporţional cu mărimea sa. Numărul de linii de câmp ce trec prin suprafaţă, dacă aceasta este închisă şi include sarcina este acelaşi indiferent de forma suprafeţei.
Pentru a obţine în această interpretare fluxul nul în cazul sarcinilor exterioare suprafeţei închise trebuie să adoptăm următoarea convenţie. Se alege un sens pozitiv de străbatere al suprafeţei - în sensul normalei la suprafaţă în punctul respectiv - adică, la numărul de linii de câmp ce străbat o suprafaţă se adună numărul de linii de câmp ce formează cu normala la suprafaţă unghiuri mai mici decât 90° şi se scade numărul de linii de câmp ce formează cu normala la suprafaţă unghiuri mai mari decât 90°.
Concluzii
Prof. A. Stancu 2012
Dacă fluxul este proporţional cu numărul de linii de câmp ce trec prin suprafaţă (respectând convenţia de mai sus), intensitatea câmpului electric poate fi interpretată ca densitate de linii ce trec prin suprafaţă.
Teorema lui Gauss este o consecinţă directă a dependenţei de inversul pătratului distanţei a forţei electrice (legea lui Coulomb). Utilizând teorema lui Gauss putem demonstra că în interiorul unei distribuţii superficiale sferice intensitatea câmpului electric este nulă. Dacă se verifică experimental acest fapt validăm nu numai teorema lui Gauss ci şi legea lui Coulomb. De fapt, asemenea verificări au fost făcute cu precizie foarte mare.
prof.dr. Alexandru STANCU 22
Două sarcini punctuale
Prof. A. Stancu 2012
qa
z
qb
Simetria problemei
Două sarcini punctuale
Prof. A. Stancu 2012
O
x
y
z
i
j
k
k
ur
ur
R
x rcos
y rsin
z z
prof.dr. Alexandru STANCU 23
2 sarcini
Prof. A. Stancu 2012
Simetrie cilindrică
(axială)
z
x
yO
qa
qb
2 sarcini
Prof. A. Stancu 2012
p p p
a p p p p r p a a
b p p p p r p b b
a ba b
0 a b
a ba b a b3 3
0 a b
R x i y j z k,R R
d dR x i y j z k r u z k,R R
2 2
d dR x i y j z k r u z k,R R
2 2
1 q qV V V
4 R R
1 R RE E E q q
4 R R
z
x
yO
qa
qb
P Ra
Rb
prof.dr. Alexandru STANCU 24
2 sarcini
Prof. A. Stancu 2012
a b1 1
2 20 2 22 2p p p p
a p r p b p r p
3 32 20 2 2
2 2p p p p
1 q qV
4d d
r z r z2 2
d dq r u z k q r u z k
2 21E
4d d
r z r z2 2
qb qaO
b0 a0
b
a
z
r
() Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 25
Unghiul solid
Prof. A. Stancu 2012
R
R sin()
R cos()
h=R [1-cos()]
2calotasfericaS 2 Rh 2 R 1 cos
calota sferica
2
S2 1 cos
R
2 sarcini
Prof. A. Stancu 2012
a aa
0
q4
qb qa O
b0a0
b
a
z
r
()
b bb
0
q4
a b
a a
b b
2 1 cos
2 1 cos
a a b bq cos q cos C
prof.dr. Alexandru STANCU 26
Exemple:
Prof. A. Stancu 2012
Sistem de doua sarcini
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 27
Dipol
Prof. A. Stancu 2012
Dipol punctiform
Prof. A. Stancu 2012
z
r
+ -
R-
R+
R
2 30 0 0 0
1 1 cos 1
4 4 4 4
R Rq q q l RV p
R R R R R R
prof.dr. Alexandru STANCU 28
În plan
Prof. A. Stancu 2012
p ee 3 2
0 p 0 p
R1 p cosV p
4 R 4 R
eR 3
p 0 p
e3
p 0 p
V 2p cosE
R 4 R
V p sinE
R 4 R
z
r
R
E
ER E
Ecuaţia liniei de câmp
Prof. A. Stancu 2012
0
0
0
R R
R
R R R
R
R
E E u E u
dl dR u Rd u
E dl
E u E u dR u Rd u
E Rd u E dR u
Rd dRE E
z
r
R
E
ER E
prof.dr. Alexandru STANCU 29
Ecuaţia liniei de câmp
Prof. A. Stancu 2012
eR 3
p 0 p
e3
p 0 p
V 2p cosE
R 4 R
V p sinE
R 4 R
R
Rd dRE E
2
2
2
sin 2cos2cos
sin2 sin
sin
ln sin ln
ln sin ln ln sin
Rd dR
d dRR
d dR
RR k
R
d d R
k2sinR k
Linii de câmp
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
90
180
270
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ERE
E
R
Prof. A. Stancu 2012
2sinR k V=const
prof.dr. Alexandru STANCU 30
De calculat !
Prof. A. Stancu 2012
pe 3
0 p
R1V p
4 R
e p p e5 3
0 p p
3 p R R1 pE grad V
4 R R
Problemă
Prof. A. Stancu 2012
Fie q1 şi q2 două sarcini electrice punctiforme de semne contrare. Din A porneşte o linie de câmp ce formează cu dreapta ce uneşte sarcinile unghiul 1.Să se calculeze unghiul 2 pe care îl va face această linie de câmp cu dreapta AB în punctul B. Sub ce unghi minim 0 pleacă din A o linie de câmp care nu ajunge în B? Ce unghi va face această linie de câmp cu axa Oz la infinit?
prof.dr. Alexandru STANCU 31
Problemă
Prof. A. Stancu 2012
Două sarcini punctiforme identice de mărime q se află la distanţa 2d.Cât de mult se va apropia linia de câmp ce formează la plecarea din sarcina q unghiul a cu dreapta ce uneşte sarcinile pe planul de simetrie (dmin).Calculaţi unghiul dintre linia de câmp şi planul de simetrie al sistemului departe de sarcini, în funcţie de d.Pentru puncte situate departe de sistem calculaţi intensitatea câmpului electric şi potenţialul.
Suprafeţe echipotenţiale
Prof. A. Stancu 2012
a bo o1 1
2 22 22 2p p p p
o o1 1
2 2 b2 22 2p p p p
1 12 22 2
2 2p p p p
q q4 V
d dr z r z
2 2
1 1 4 Vn
qd d
r z r z2 2
1 1n
d dr z r z
2 2
a
b
qn=
q
n = n
0V = 0
prof.dr. Alexandru STANCU 32
Suprafeţe echipotenţiale
Prof. A. Stancu 2012
2 22 2p p p 2
22 2p p c o
2
c o2 2
d n 1r z z d 0 pentru n 1
4 n 1
r z z r
n 1 nz d ;r d
2 n 1 n 1
Se observă că suprafaţa echipotenţială sferică V0=0 înconjoară sarcina în modul mai mică.
Suprafeţe echipotenţiale
Prof. A. Stancu 2012
x
O
qb
qa
z
C(0,0,zc)
0 2
2
c 2
a
b
nr d
n 1
n 1z d 0 dacă n 1
2 n 1
qn = 1
q
prof.dr. Alexandru STANCU 33
Distribuţii continue
Prof. A. Stancu 2012
•Distribuţii liniare
•Segment liniar, inel circular
•Distribuţii superficiale
•Disc, plan, sferă,
•Distribuţii volumice
•Sferă
Distribuţii liniare
Prof. A. Stancu 2012
Simetrie axială!
z
A B
prof.dr. Alexandru STANCU 34
Segment
Prof. A. Stancu 2012
Q(z,0)
P(zp,rp)
A(-d/2,0) B(d/2,0) O
dz
z
r
Rqp
d/2
qpp 3
0 qpd/2
R1E dz
4 R
qp p p rR z z k r u
dq
Segment
Prof. A. Stancu 2012
d/2
qpp 3
0 qpd/2
R1E dz
4 R
qp p p rR z z k r u
dq
d/2
p p p r 3/22 20p pd/2
1 dzE z z k r u
4 z z r
d/2
ppr 3/22 20
p pd/2
r dz1E
4 z z r
d/2
ppz 3/22 20
p pd/2
z z dz1E
4 z z r
3/2 2 2 22 2
dC
a aa
3/2 2 22 2
d 1C
aa
prof.dr. Alexandru STANCU 35
Segment
Prof. A. Stancu 2012
d/2 d/2
pp ppr 3/2 3/22 22 20 0
p p p pd/2 d/2
d/2
p ppp
2 2 22 20 0 p2 2p p p
p p p pd/2
d z zr dz r1E
4 4z z r z z r
d dz zz zr 2 2
4 4 r d dr z z r z r z r2 2
p p
2 20 p
2 2p p p p
d dz z
2 24 r d d
z r z r2 2
3/2 2 2 22 2
dC
a aa
Segment
Prof. A. Stancu 2012
d/2 d/2
p p ppz 3/2 3/22 22 20 0
p p p pd/2 d/2
d/2
p p
2 2 220 0 p2 2p p
p p p pd/2
z z dz z z d z z1E
4 4z z r z z r
r r14 4 r d dz z r z r z r
2 2
4
p p
2 20 p 2 2
p p p p
r r
r d dz r z r
2 2
3/2 2 22 2
d 1C
aa
prof.dr. Alexandru STANCU 36
Câmpul total
Prof. A. Stancu 2012
P(zp,rp)
A(-d/2,0) B(d/2,0) O
Epz
z
r Epr
p p
pr2 2
0 p2 2
p p p p
d dz z
2 2E4 r d d
z r z r2 2
p ppz
2 20 p 2 2
p p p p
r rE
4 r d dz r z r
2 2
Formulă simplificată
Prof. A. Stancu 2012
P(d/2,rp)
A(-d/2,0) B(d/2,0)
O z
r
Epz
Epr
rp
d
2 2pd r
pr 2 20 p p
dE
4 r d r
ppz 2 2
0 p p
rE 1
4 r d r
2 2
p
dsin
d r
p
2 2p
rcos
d r
p
dz
2
prof.dr. Alexandru STANCU 37
Formulă simplificată
Prof. A. Stancu 2012
O
z
r
Epz
Epr
+
pr0 p
E sin sin4 r
pz0 p
0 p
E 1 cos 1 cos4 r
cos cos4 r
Cazul simetric
Prof. A. Stancu 2012
O
z
r
Epr
pr0 p
E 2sin4 r
pzE 0
Fir infinit 2
pr0 p
E2 r
prof.dr. Alexandru STANCU 38
Cazul simetric (distribuţie liniară infinită)
Prof. A. Stancu 2012
Cazul simetric (distribuţie liniară infinită)
Prof. A. Stancu 2012
z
n E
r
L
r r0 0 p
L2 rLE E
2 r
r r0
dVE dV E dr dr
dr 2 r
0
V lnr C2
0 00
r r ,V 0 C lnr2
0
0
rV ln
2 r
prof.dr. Alexandru STANCU 39
Inel
Prof. A. Stancu 2012
Q
P(0,0,zp)
Rqp
d
x
y
z
r0
2
0
0 qp0
2
0 0 0
2 20 qp 0 qp 0 0 p
0
r dV
4 R
r r rV d 2
4 R 4 R 2 r z
2 2qp 0 pR r z
Calculul câmpului electric pe axa inelului
Prof. A. Stancu 2012
0
2 20 0 p
3/22 2z 0 0 p p
p 0
20 p 2
3/22 20 0 0 00 p
rV
2 r z
V 1E r r z 2z
z 2 2
r z sin cos
2 r 2 rr z
Q
P(0,0,zp)
Rqp
d
x
y
z
r0
prof.dr. Alexandru STANCU 40
Calcul prin integrare
Prof. A. Stancu 2012
02
0 qp
r ddE
4 R
Q
P(0,0,zp)
Rqp
d
x
y
z
r0
dEx
dEz
dEy
dE
xdE dEsin cos
ydE dEsin sin
zdE dEcos
0
qp
rsin
R
Rezultate din integrare
Prof. A. Stancu 2012
2
0x 2
0 qp0
2
0y 2
0 qp0
2
20z 2
0 qp 0 00
r sinE cos d 0
4 R
r sinE sin d 0
4 R
r cosE d sin cos
4 R 2 r
prof.dr. Alexandru STANCU 41
Disc încărcat uniform (potenţialul)
Prof. A. Stancu 2012
P(0,0,zp)
x
y
z
r0
r
dr
2 20 p
2 rdrdV
4 r z
0 0r r
2 2 2 2p 0 p p2 2
0 0 0p0 0
22 2 2 200 p p 0 p p2 2
0 0 0 0
rdrV d r z r z z
2 2 2r z
r Qr z z r z z
2 r 2 r
Disc (câmpul electric pe axă)
Prof. A. Stancu 2012
p p2 2z 0 p p2 2 2 2
p p 0 0 0 0 p 0 p
p pp p
2 2 2 20 p 0 p0 p 0 p
p
0 p 0
z zV Q QE r z z
z z 2 r 2 r z r z
z zz z2
2 z 4 zr z r z
z2 cos
4 z 4
P(0,0,zp)
x
y
z
-k
prof.dr. Alexandru STANCU 42
Cazuri particulare
Prof. A. Stancu 2012
P(0,0,zp)
x
y
z
-k
z0
E4
Când raza tinde la infinit sau când distanţa faţă de disc tinde la zero
2 z0
E2
Planul infinit (suprafaţă Gauss)
Prof. A. Stancu 2012
x
y
z
n S
d
d
total baza supr.laterala z
baza z
supr.laterala
2 2E S
E S
0total
0 0
Q S
z
0
E2
prof.dr. Alexandru STANCU 43
Distribuţie sferică superficială
Prof. A. Stancu 2012
P
z
Calcul prin integrare (exemplu)
Prof. A. Stancu 2012
P(0,0,zp)
z
d
R0 sin
R0 cos R0
zp- R0 cos
Q
O
0 0
2 20 0 0
2 sin14 2 cosp p
R R ddV
z R z R
2 2 20 02 cosp pt z R z R
02 2 sinptdt z R d
max
min
20 0
max min0 0 02 2
t
p pt
R RV dt t t
R z z
prof.dr. Alexandru STANCU 44
Calcul (continuare)
Prof. A. Stancu 2012
P(0,0,zp)
z
d
R0 sin
R0 cos R0
zp- R0 cos
Q
O
A) Punct în exterior
0pz Rmin 0pt z R
max 0pt z R
0 0max min 0
0 0
20
0 0
22 2
4
4 4
p p
p p
R RV t t R
z z
R Qz z
Calcul (continuare)
Prof. A. Stancu 2012
P(0,0,zp)
z
d
R0 sin
R0 cos R0
zp- R0 cos
Q
O
B) Punct în interior
0pz R min 0 pt R z
max 0 pt R z
0 0max min
0 0
20
0 0 0 0
22 2
4
4 4
pp p
R RV t t z
z z
R QR R
prof.dr. Alexandru STANCU 45
Rezultat
Prof. A. Stancu 2012
00 0
00
.4
( ).
4
Qptr R R
RV R
Qptr R R
R
P(0,0,zp)
z
d
R0 sin
R0 cos R0
zp- R0 cos
Q
O
Câmpul sferei încărcate uniform
Prof. A. Stancu 2012
0
020
0 .( )
.4
R
ptr R RE R Q
ptr R RR
prof.dr. Alexandru STANCU 46
Calcul cu teorema lui Gauss
Prof. A. Stancu 2012
E
n
R0
Ri
Re
20
0
20 0
02
0
4 .
4 .2
4 0 .
R e
R
R i
QE R ptr R R R
QE R ptr R R
E R ptr R R R
Distribuţie superficială 0cos
Prof. A. Stancu 2012
P(0,0,zp)
z
d
R0 sin
R0 cos R0
zp- R0 cos
Q
O
0 0
2 20 0 0
2 sin14 2 cosp p
R R ddV
z R z R
00
0
30 0
020
.3
( ).
3
z ptr z R
V RR
ptr z Rz
00
0
30 0
030
.3
( )2
.3
z
ptr z R
E zR
ptr z Rz
prof.dr. Alexandru STANCU 47
Rezultate
Prof. A. Stancu 2012
00
0
30 0
020
.3
( ).
3
z ptr z R
V RR
ptr z Rz
00
0
30 0
030
.3
( )2
.3
z
ptr z R
E zR
ptr z Rz
Sferă (distribuţie volumică)
Prof. A. Stancu 2012
E
n
R0
Ri
Re
32 0
00
32 00 0
0
32
00
414 .
3
414 .
3
1 44 .
3
R e
R
R i
RE R ptr R R R
RE R ptr R R
RE R ptr R R R
020 0 0
020
.4
.4
R
Q Rptr R R
R RE
Qptr R R
R
prof.dr. Alexandru STANCU 48
Potenţialul
Prof. A. Stancu 2012
020 0 0
020
.4
.4
R
Q Rptr R R
R RdVE
QdRptr R R
R
020 0 0
020
.4
.4
dV Q Rptr R R
dR R R
dV Qptr R R
dR R
2
1 020 0 0
2 00
.4 2
.4
Q RV C ptr R R
R R
QV C ptr R R
R
Calcul
Prof. A. Stancu 2012
Condiţii la limită !!!
0 00 0
R R R RR R R R
V V
0R
V
2
20
120 0 0 0 0
10 0
0
4 2 4
32 4
C
RQ QC
R R R
QC
R
2
1 020 0 0
2 00
.4 2
.4
Q RV C ptr R R
R R
QV C ptr R R
R
prof.dr. Alexandru STANCU 49
Rezultate
Prof. A. Stancu 2012
2
020 0 0
00
3.
4 2 2
.4
Q RV ptr R R
R R
QV ptr R R
R
020 0 0
020
.4
.4
R
R
Q RE ptr R R
R R
QE ptr R R
R
Teorema lui Gauss (în forma locală)
Prof. A. Stancu 2012
0
qE dS
0 00 0
1lim limv v
qdiv E
v v
div E dv E dS
()
teorema Gauss-Ostrogradski
prof.dr. Alexandru STANCU 50
Divergenţa în coordonate carteziene
Prof. A. Stancu 2012
B(x0+x/2, y0+y, z0+z/2)
A(x0+x/2, y0, z0+z/2)
x
y
z
R0
z
x
y
div (calcul)
Prof. A. Stancu 2012
B(x0+x/2, y0+y, z0+z/2)
A(x0+x/2, y0, z0+z/2)
x
y
z
R0
z
x
y
y A B yA yB
yB yA
E x z E x z
E E x z
0 0 0 0 0 0
0 0 0
, , , ,
, ,2 2
y yyA y
x y z x y z
E Ex zE E x y z
x z
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
, , , , , ,
, ,2 2
y y yyB y
x y z x y z x y z
E E Ex zE E x y z y
x y z
prof.dr. Alexandru STANCU 51
div (calcul)
Prof. A. Stancu 2012
B(x0+x/2, y0+y, z0+z/2)
A(x0+x/2, y0, z0+z/2)
x
y
z
R0
z
x
y
y A B yA yB
yB yA
E x z E x z
E E x z
0 0 0
0 0 0
, ,
, ,
yy yB yA
x y z
y
x y z
EE E x z y x z
y
Ev
y
0 0 0, ,
xx
x y z
Ev
x
0 0 0, ,
zz
x y z
Ev
z
0 0 0, ,
yx ztotal
x y z
EE Ev
x y z
yx zEE E
div Ex y z
Rotorul
Prof. A. Stancu 2012
0C E dl
0
lim 0Sn
Crot E
S
rot E dS E dl
()
teorema Stokes
prof.dr. Alexandru STANCU 52
rot (calcul)
Prof. A. Stancu 2012
x
y
z
R 0
z
x
yA B
CD
M NPQ
rot (calcul)
Prof. A. Stancu 2012
x
y
z
R 0
z
x
y A B
CD
M N P Q
ABCDA AB BC CD DA
yM xN yP xQ
C C C C C C
E y E x E y E x
0 0 0 0 0 0
0 0 0
, , , ,
, ,2
y yyM y
x y z x y z
E EyE E x y z x
x y
0 0 0
0 0 0
, ,
, ,2
yyP y
x y z
EyE E x y z
y
0 0 0 0 0 0
0 0 0, , , ,
, ,2
x xxN x
x y z x y z
E ExE E x y z y
x y
0 0 0
0 0 0, ,
, ,2
xxQ x
x y z
ExE E x y z
x
prof.dr. Alexandru STANCU 53
rot (calcul)
Prof. A. Stancu 2012
x
y
z
R 0
z
x
y A B
CD
M NPQ
yM yP xN xQ
y x
y x
C y E E x E E
E Ey x x y
x y
E Ex y
x y
y x
z
E Erot E
x y
x y z
i j k
rot E Ex y z
E E E
EcuaţiaPoisson. Ecuaţia Laplace
Prof. A. Stancu 2012
0
0
div E
rot E E gradV
0
div gradV
0
V
0
V
0V 2 2 2
2 2 2 0V V Vx y z
prof.dr. Alexandru STANCU 54
Condiţii la limită. Soluţia ecuaţiei Laplace.
Prof. A. Stancu 2012
0V Condiţii la limită
•Dirichlet
•Neumann
•mixte
0frontieradomeniuluiV V R
'0
frontieradomeniului
VV R
n
Într-un anumit domeniu din spaţiu
Soluţie unică în domeniul respectiv!!! V R
Exemplu
Prof. A. Stancu 2012
R0
Re 00 .V pt R R
00
0
R R
R
V V
V
prof.dr. Alexandru STANCU 55
Coordonate sferice
Prof. A. Stancu 2012
p p p p
p p p p
p p p
x R sin cos
y R sin sin
z R cos
x
y
z
Oi
j
k
uR
u
u
r
R
Coordonate curbilinii ortogonale
Prof. A. Stancu 2012
x
y
z
O i
j
k
uR
u
u
r
R dR
uR
u
u
r
RdR
sinRdR dR u Rd u R d u
prof.dr. Alexandru STANCU 56
Energia câmpului electric
Prof. A. Stancu 2012
q,V
W qV
În câmp electric EXTERIOR
Energia unui sistem de n sarcini
Prof. A. Stancu 2012
q1,V12 q2,V21
2 21 1 12 1 12 2 21 1 1 2 2
1 12 2
W q V q V q V q V q V q V
1 1 2 2
1
1 1...
2 2
n
n n i i
i
W q V q V q V qV
prof.dr. Alexandru STANCU 57
Energia. Câmp uniform.
Prof. A. Stancu 2012
S
0
E k
l
21 2
20 0
2 22 20 0 0
20
2 2 2
2
2 2 2
2
QV QV QU CUW
S SUC W
l l
S E EE lEl U W lS V
l
EWw
V
Energia unui sistem de sarcini distribuite
Prof. A. Stancu 2012
012 2
W Vdv div E Vdv
0
div E
div VE V div E E gradV
div VE dv VE dS
0
2W div VE dv E gradV dv
prof.dr. Alexandru STANCU 58
Continuare
Prof. A. Stancu 2012
div VE dv VE dS
Dacă se integrează pe întreg spaţiul ...
1V
R 2
1E
R 2S R
Integrala tinde la zero !
Continuare
Prof. A. Stancu 2012
0
2W div VE dv E gradV dv
20
2W E dv
20
2w E
Densitatea de energie
prof.dr. Alexandru STANCU 59
Exemple
Prof. A. Stancu 2012
12
W Vdv 20
2W E dv
1. Sferă încărcată superficial
2
0 0 0 0
1 1 1 1 12 2 4 2 4s
Q QW V dS dS
R R
Metoda 1
Exemple
Prof. A. Stancu 2012
0
0
020
2 2 20 0
0
2 220
20 0 0
0 .
1.
4
42 2
14
2 4 2 4R
pt R R
E Qpt R R
R
W E dv E R dR
Q QR dR
R R
prof.dr. Alexandru STANCU 60
Exemple
Prof. A. Stancu 2012
2. Sferă încărcată în volum
2
020 0 0
00
3.
4 2 2
.4
Q RV ptr R R
R R
QV ptr R R
R
020 0 0
020
.4
.4
R
R
Q RE ptr R R
R R
QE ptr R R
R
Exemple
Prof. A. Stancu 2012
0
22
20 0 0
22
20 0 0
0
3 50 0
20 0 0
230
0 0 0 0
1 1 34
2 2 4 2 2
1 34
2 4 2 2
1 3 14
2 4 2 3 2 5
1 1 1 34 1
332 4 2 5 5 4
R
Q RW Vdv R dR
R R
Q RR dR
R R
R RQR R
Q QR
R R
20
2W E dv
2
020 0 0
00
3.
4 2 2
.4
Q RV ptr R R
R R
QV ptr R R
R
prof.dr. Alexandru STANCU 61
Exemple
Prof. A. Stancu 2012
020 0 0
020
.4
.4
R
R
Q RE ptr R R
R R
QE ptr R R
R
0
0
0
0
2 2
2 2 20 02 2
0 0 0 00
24
6 20 0
0
52 20
60 0 0 0 0
4 42 2 4 4
1 1 12 4
1 1 1 32 4 5 5 4
R
R
R
R
Q R QW E dv R dR R dR
R R R
QR dR dR
R R
RQ QR R R
Câmpul electric în jurul conductorilor
Prof. A. Stancu 2012
• Conductori în electrostatică
• Teorema lui Coulomb
• Presiunea electrostatică
• Capacitatea electrică
• Condensatorul
• Influenţa electrostatică
• Metoda imaginilor
prof.dr. Alexandru STANCU 62
Linii de câmp
Prof. A. Stancu 2012
Experiment
Liniile de câmp sunt normale la suprafaţa conductorului
Conductori în electrostatică
Prof. A. Stancu 2012
o
•Sarcinile electrice se distribuie pe suprafaţa exterioară a conductorului
•Câmpul în interiorul conductorului este nul
prof.dr. Alexandru STANCU 63
Proprietăţi
Prof. A. Stancu 2012
•Câmp zero în interiorul conductorului
•Potenţialul constant
•Sarcina se distribuie la suprafaţă
•Liniile de câmp sunt normale la suprafaţă
Teorema lui Coulomb
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 64
Câmpul în apropierea conductorului
Prof. A. Stancu 2012
0n
SE S
0nE
Câmpul pe suprafaţa conductorului
Prof. A. Stancu 2012
02 n
SE S
02nE
prof.dr. Alexandru STANCU 65
Câmpul
Prof. A. Stancu 2012
0
0
0 în interior
pesuprafaţă2
înapropierea suprafeţei
nE
Presiunea electrostatică
Prof. A. Stancu 2012
2
02nSS E
pS
prof.dr. Alexandru STANCU 66
Densitatea de sarcină
Prof. A. Stancu 2012
Q1, R1 Q2, R2 211 2
0 1 0 2
21 1 1
22 2 2
222 21 1
0 1 0 2
1 1 2 2
4 4
4
4
444 4
constant
QQV V
R R
Q R
Q R
RRR R
R R
Regulă: rază mică, densitate de sarcină mare
Capacitatea conductorului izolat
Prof. A. Stancu 2012
Q, V
,
,
Q V
nQ nV
QC
V
Principiul superpoziţiei
1
1 ( )1SI
CC F Farad
V
prof.dr. Alexandru STANCU 67
Influenţa electrostatică
Prof. A. Stancu 2012
-Q
Q
Elemente corespondente
Influenţa totală
Prof. A. Stancu 2012
Q
-Q
Ecranul electric
prof.dr. Alexandru STANCU 68
Metoda imaginilor
Prof. A. Stancu 2012
q 0
V = 0
O
z
Cazul planului infinit
Prof. A. Stancu 2012
q0
V=0
O
z
prof.dr. Alexandru STANCU 69
Problema echivalentă
Prof. A. Stancu 2012
q0
V=0
O
z
-q0
R0
d
d
Soluţia celor două probleme ...
Prof. A. Stancu 2012
q0
V=0
O
z
q0
V=0
O
z
-q0
R0
d
d
Când R0 tinde la infinit ...
prof.dr. Alexandru STANCU 70
Câmpul şi potenţialul
Prof. A. Stancu 2012
R+
R-
P(zp,rp)
q0-q0
r
O
03 3
04q R R
ER R
0
0
1 14q
VR R
22
p r p
p p
R r u z d k
R r z d
Densitatea de sarcină de influenţă
3/2 2 22 2
d 1C
aa
Prof. A. Stancu 2012
R+
R-
P(zp,rp)
q0-q0
r
O
00 0 3/20 2 2
0
0 0 03/2 2 22 2
0 0 0
24
12
i z iz
p
p pi i p p
pp
q dE r
r d
r drQ r dr q d q d q
r dr d
prof.dr. Alexandru STANCU 71
Densitatea de sarcină
Prof. A. Stancu 2012
rp
zp
q0
z
Sarcina de influenţă totală este -q0
Sfera conductoare. Cazul I
Prof. A. Stancu 2012
x
y
zq0
z0
R0
()
prof.dr. Alexandru STANCU 72
Problema
Prof. A. Stancu 2012
V=0
Problema echivalentă
Prof. A. Stancu 2012
x
y
zq0
z0
R0
q’0z’0
q0
z0 V=0
prof.dr. Alexandru STANCU 73
Problemele echivalente
Prof. A. Stancu 2012
V=0
V=0
Calcul
Prof. A. Stancu 2012
q’0z’0
q0
z0 V=0P
p
R0
prof.dr. Alexandru STANCU 74
Continuare
Prof. A. Stancu 2012
'0 0
2 2 2 '2 '0 00 0 0 0 0 0 0 0
2 2 '2 ' '2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 ' '20 0 0 0
2 2 '2 '2 2 20 0 0 0 0 0
' 00 0
0
2' 00
0
1 10,
4 42 cos 2 cos
2 cos 2 cos
p p
p
p
p
q qV
R z R z R z R z
q R z R z q R z R z
q z q z
q R z q R z
Rq q
z
Rz
z
Probleme
Prof. A. Stancu 2012
0
2 '0 0
0
2 sin
i R
i i p p
E
Q R d q
Demonstraţi !!!
Puteţi demonstra SIMPLU utilizând teorema lui Gauss sau prin integrare directă.
prof.dr. Alexandru STANCU 75
Sfera izolată
Prof. A. Stancu 2012
Cazul sferei izolate
Prof. A. Stancu 2012
V
q0
q’0
q’’0
'' ' 00 0 0
0
Rq q q
z
prof.dr. Alexandru STANCU 76
Problemă
Prof. A. Stancu 2012
Să se calculeze câmpul într-o cavitate sferică de rază R2inclusă într-o sferă de rază R1 dacă distanţa dintre centre este a. Sfera de rază R1 din care se decupează sfera de rază R2 este încărcată uniform cu sarcini electrice uniform distribuite în volum cu densitatea .
a
R2 R1
Sisteme de conductori
Prof. A. Stancu 2012
Q1, V1 Q2, V2
Q3, V3
Q4, V4 Qn, Vn
prof.dr. Alexandru STANCU 77
2 conductori
Prof. A. Stancu 2012
Q2, V2 Q1, V1
Principiul superpoziţiei
Q2=C21, V2=0Q1=C11, V1=1
Q2=C21 V1, V2=0 Q1=C11 V1, V1
x V1=
Q2=C22, V2=1Q1=C12, V1=0
Q2=C22 V2, V2 Q1=C12 V2, V1=0
x V2=
2 conductori
Prof. A. Stancu 2012
Q2=C21 V1, V2=0 Q1=C11 V1, V1
Q2=C22 V2, V2 Q1=C12 V2, V1=0
Q2=C21 V1 +C22 V2, V2 Q1= C11 V1 + C12 V2, V1
+
=1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
Q C V C V
Q C V C V
prof.dr. Alexandru STANCU 78
Condensatorul
Prof. A. Stancu 2012
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V p Q p Q
V p Q p Q
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
Q C V C V
Q C V C V
Condensator = sistem format din două conductoare izolate între ele şi încărcate cu sarcini egale şi de semne contrare.
Condensatorul
Prof. A. Stancu 2012
1 11 1 12 21 2
2 21 1 22 2
1 11 12
2 21 22
, ;V p Q p Q
Q Q Q QV p Q p Q
V p Q p Q
V p Q p Q
1 11 22 12 212
1QC
V V p p p p
prof.dr. Alexandru STANCU 79
Condensatorul plan
Prof. A. Stancu 2012
0 0
0
Q UE
S d
SQC
U d
+Q
-Q
E
d U
S
Condensatorul sferic
Prof. A. Stancu 2012
R1
R2
U
2 2
1 1
20
20 0 1 2
0 1 2
2 1
4
1 14 4
4
R
R R
R
R R
QE
R
Q dR QU E dR
R R R
R RQC
U R R
prof.dr. Alexandru STANCU 80
Condensatorul cilindric
Prof. A. Stancu 2012
2 2
1 1
0 0
2
0 0 1
0
2
1
2 2
ln2 4
2
ln
r
r r
r
r r
QE
r rL
rQ dr QU E dr
r L r
LQC
rUr
Sistem de două conductoare sferice
Prof. A. Stancu 2012
Q1
Q2
R1
R2
d
11
0 1
22
0 2
110 1
220 2
12 21
4
4
14
14
0
QV
R
QV
R
pR
pR
p p
prof.dr. Alexandru STANCU 81
Continuare
Prof. A. Stancu 2012
211
0 1 011 22 12 21
21 0 1 0 2 02
0 0 2
4 4 1 1 1; ;
4 4 44 4
QQV
R dp p p p
QQ R R dV
d R
21 21
1 0 1 0 22 2 21 2 1 2 1
11 0 221 21 2 2
2 0 1 0 22 21 2 1 2
22
22 0 21 2
1 212 21 0 2
1 2
4 4
4 ;
4 4
4 ;
4
dR Rd RQ V V
d R R d R R d RC
d R RdR R d RQ V V
d R R d R R
d RC
d R R
dR RC C
d R R
Energia
Prof. A. Stancu 2012
1 2
1
2 2
1 2
0
2 220 0 0
1; 2;
2
2 2 2 2
;
2 2 2
n
i i
i
W QV n Q Q Q
Q QU CU QW V V
CS
C U EddS E E
W Ed Sd vd
prof.dr. Alexandru STANCU 82
Lucrul mecanic (Q=const.)
Prof. A. Stancu 2012
dx
F
Q
20
2
0
2 2
0 0 0
2
0
.
;2
2
2 2 2
2
s
Q const
SQFdx dW d C
C x
QdW d x
S
Q QFdx dx F Q QE
S S
F pS S
U=const.
Prof. A. Stancu 2012
dx
F
U
x
2
20
220 0
2
20
2
.
2
;2
2 2
2
U const
U dCU UdC Fdx
SU dCFdx C
xS SUU
Fdx d dxx x
SUF
x
prof.dr. Alexandru STANCU 83
Cazul general
Prof. A. Stancu 2012
Q=constant
U=constant
.
0
.
2
ext electric
electricext
electricext electric
dW Fdx dW
Q const
dWdW F
dx
U const
dWUdW UdQ dW dQ F
dx
Gruparea condensatoarelor (in serie)
Prof. A. Stancu 2012
U
U1 U2 U3
Q +Q Q Q +Q +Q
1 2 31 2 3
1 2 3
1
1 1 1 1
1 1
echivalent
echivalent
n
s ii
Q Q Q QU U U U
C C C C
C C C C
C C
prof.dr. Alexandru STANCU 84
Gruparea condensatoarelor (in paralel)
Prof. A. Stancu 2012
U
Q1 +Q1
Q2 +Q2
Q3 +Q3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
echivalent
echivalent
Q Q Q Q C U CU C U C U
C C C C
1
n
p i
i
C C
Problema 9.1
Prof. A. Stancu 2012
B
A
Să se calculeze capacitatea echivalentă între punctele A şi B.
Toate condensatoarele au capacitatea cunoscută C.
prof.dr. Alexandru STANCU 85
Problema 9.2
Prof. A. Stancu 2012
B
A
Să se calculeze capacitatea echivalentă între punctele A şi B.
Toate condensatoarele au capacitatea cunoscută C.
Transformarea triunghi‐stea
Prof. A. Stancu 2012
C1
C2 C3
C12C31
C23
12 311 12 31
23
23 122 23 12
31
31 233 31 23
12
C CC C C
C
C CC C C
C
C CC C C
C
1 212
1 2 3
2 323
1 2 3
3 131
1 2 3
C CC
C C C
C CC
C C C
C CC
C C C
prof.dr. Alexandru STANCU 86
Alte reguli ...
Prof. A. Stancu 2012
1. Se aplică legea conservării sarcinii în nodurile reţelei
2. Pentru ochiuri de reţea se poate scrie că suma căderilor de tensiune este zero
Problema 9.3
Prof. A. Stancu 2012
E
E
C
3C
K
Să se calculeze sarcinile electrice care traversează punctele 1, 2 şi 3 la închiderea întrerupătorului K. Se cunosc E şi C.
prof.dr. Alexandru STANCU 87
Prof. A. Stancu 2012
x d-x
Q
Q1 Q2
Q
/2
Curentul continuu. Circuite de curent continuu
• Curentul continuu (staţionar)
• Legea lui Ohm
• Legile lui Khirchhoff
• Efectele curentului continuu (termic, chimic, magnetic)
• Legea lui Joule
• Legile electrolizei
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 88
Medii conductoare
Prof. A. Stancu 2012
Conductorii sunt corpuri în care mişcarea sarcinilor (curentul electric) apare sub acţiunea câmpului electric.
1827 Ohm I=U/R
R – rezistenţa electrică
UL
r
S
1L LR
S S
Forma diferenţială a legii lui Ohm
Prof. A. Stancu 2012
1
1
LU RI j S
S
U
Lj E
jE
1. Dielectrici <10-5(m)-1
2. Semiconductori 10-
5<<103(m)-1
3. Conductori 103< (m)-1
I j dS
prof.dr. Alexandru STANCU 89
Rezistivitatea metalelor
Prof. A. Stancu 2012
Aluminiu 2.8 10-8 (m) 3.6 107 (m)-1
Cupru 1.7 10-8 (m) 5.8 107 (m)-1
Fier 1.0 10-7 (m) 1.0 107 (m)-1
Argint 1.6 10-8 (m) 6.2 107 (m)-1
Nichel 6.8 10-8 (m) 1.5 107 (m)-1
Aur 2.0 10-8 (m) 5.0 107 (m)-1
rezistivitatea conductivitatea
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 90
Ecuaţia de continuitate
Prof. A. Stancu 2012
Q
S
n j
0
0
V V V
V
div j
di
Qd
v jt
v dv j dS dt
dit
vt t
dvv j
Timp de relaxare
Prof. A. Stancu 2012
0
0 0
0 0
0
0 0 exp
div j div Et t
divEt
divE
t tt
Exemplu: Cu =6,0 107 (m)-1
0=8,8 10-12 F/m
0/=10-19 s (aprox.)
prof.dr. Alexandru STANCU 91
Câmpul în interiorul unui conductor
Prof. A. Stancu 2012
În electrostatică E=0 în interiorul conductorilor.
Când există curenţi electrici în conductori, câmpul electric este diferit de zero.
Câmpul electric în cazul c.c.
Prof. A. Stancu 2012
j E
0 0j E
Simplificare: Conductori liniari filiformi
Câmpul electric are componentă tangenţială dar şi normală la suprafaţa conductorului parcurs de curent
prof.dr. Alexandru STANCU 92
Sarcini de suprafaţă şi de volum
Prof. A. Stancu 2012
Sarcinile de suprafaţă sunt sursele câmpului care există în conductor şi care asigură curentul în acesta.
Sarcinile de volum ... conductori neomogeni!
Mecanismul de generare a curenţilor
Prof. A. Stancu 2012
Sursa de tensiune electromotoare
• separă sarcinile pozitive de cele negative
• sarcinile de la bornele sursei nu creează direct câmpul electric în conductori dar asigură formarea unei distribuţii a sarcinilor pe conductori care să realizeze câmpul electric în interiorul acestora.
prof.dr. Alexandru STANCU 93
Modificarea potenţialului în lungul conductorului
Prof. A. Stancu 2012
0 0j E
Potenţialul nu mai este constant într-un conductor!
TOTUŞI, câmpul în interiorul conductorului este creat de sarcini de suprafaţă care nu îşi schimbă densitatea în timp. Consecinţa este că acest câmp este câmp potenţial.
Legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit
Prof. A. Stancu 2012
12
12 12
1 2V V El U
j jS Ij E E
S S
IU l IR
S
prof.dr. Alexandru STANCU 94
Originea câmpului electromotor
Prof. A. Stancu 2012
Câmpul electric electromotor nu poate fi tot de origine electrostatică.
Dacă ar fi aşa, lucrul mecanic al forţei electrice de-a lungul unui contur închis ar fi nul.
Legea lui Ohm pentru un circuit simplu
Prof. A. Stancu 2012
E,r
R
EE RI rI I
R r
prof.dr. Alexandru STANCU 95
Efectul termic al curentului electric
Prof. A. Stancu 2012
22
dL UdQ
dQ Idt
dL UIdt
dL UP UI RI
dt R
2
2 21V
l P jP j S P E j E
S S l
Forma locală
Circuite electrice. Legile lui Kirchhoff.
Prof. A. Stancu 2012
Circuite electrice...
Noduri ale reţelei (n)
Laturi ale reţelei (l)
K1...pentru noduri (n-1 ecuaţii)
K2...pentru ochiuri de reţea (l-n+1 ecuaţii)
0k
k k k
I
R I e
prof.dr. Alexandru STANCU 96
Exemplu
Prof. A. Stancu 2012
E2,r2
R1 R2
E1,r1
Exemplu
Prof. A. Stancu 2012
E2,r2
R1 R2
E1,r1
I2
I1
I
1 2
1 1 2 1 1 1
1 2 2 2
I I I
IR I R I r E
IR I r E
prof.dr. Alexandru STANCU 97
Metoda curenţilor pe ochiuri
Prof. A. Stancu 2012
E,r
R1 R2
R3 R4
Rd J1
J0
J2
A B C
D
0
0 1
0 2
1
2
1 2
r
AB
BC
DA
CD
BD
I J
I J J
I J J
I J
I J
I J J
Metoda curenţilor pe ochiuri
Prof. A. Stancu 2012
E,r
R1 R2
R3 R4
Rd J1
J0
J2
A B C
D
0 1 2 1 1 2 2
0 1 1 1 3 2
0 2 1 2 2 4
0
0
d d
d d
J r R R J R J R E
J R J R R R J R
J R J R J R R R
prof.dr. Alexandru STANCU 98
Continuare
Prof. A. Stancu 2012
0 1 2 1 1 2 2
0 1 1 1 3 2
0 2 1 2 2 4
0
0
d d
d d
J r R R J R J R E
J R J R R R J R
J R J R J R R R
1 2 1 2
1 1 3
2 2 4
0
1
2
0
0d d
d d
r R R R R
R R R R R
R R R R
J
J
R
E
J
Este adaptabilă pentru punerea automată în ecuaţie.
Principiul superpoziţiei stărilor de echilibru.
Sursa de tensiune, sursa de curent
Prof. A. Stancu 2012
e
v
iv
i e
i=j
v
iv
i j
prof.dr. Alexandru STANCU 99
Teorema lui Thévenin
Prof. A. Stancu 2012
O reţea liniară văzută din două dintre nodurile sale, A şi B, este
hi l tă
B
A
B
e0
R0
A
Exemplu de calcul
Prof. A. Stancu 2012
E
R1 R2
R3 R4
Rd
A B C
D
Să se calculeze curentul prin Rd folosind teorema lui Thévenin.
prof.dr. Alexandru STANCU 100
Calcul
Prof. A. Stancu 2012
3 41 20
1 2 3 4
R RR RR
R R R R
R1 R2
R3 R4
A
B C
D
I
J
Calcul
Prof. A. Stancu 2012
E
R1 R2
R3 R4
A
B C
D
I
J
0 1 3B De V V IR JR
1 2
3 4
1 4 2 30
1 2 3 4
eI
R R
eJ
R R
R R R Re e
R R R R
prof.dr. Alexandru STANCU 101
Rezultat
Prof. A. Stancu 2012
0
0 d
ei
R R
E
R1 R2
R3 R4
Rd
A B C
D
1 4 2 3
01 2 3 4
R R R Re e
R R R R
3 41 2
01 2 3 4
R RR RR
R R R R
Teorema lui Norton
Prof. A. Stancu 2012
O reţea liniară văzută din două dintre nodurile sale, A şi B, este echivalentă cu un generator de curent de intensitate egală cu cea în scurtcircuit între A şi B legat în paralel cu o rezistenţă internă egală cu rezistenţa reţelei între A şi B.
B
A
B
i0 R0
A
prof.dr. Alexandru STANCU 102
Probleme
Prof. A. Stancu 2012
r R R
C C
E,r
Transformarea triunghi‐stea
Prof. A. Stancu 2012
C1
C2 C3
C12C31
C23
12 311 12 31
23
23 122 23 12
31
31 233 31 23
12
C CC C C
C
C CC C C
C
C CC C C
C
1 212
1 2 3
2 323
1 2 3
3 131
1 2 3
C CC
C C C
C CC
C C C
C CC
C C C
prof.dr. Alexandru STANCU 103
Transformarea triunghi‐stea
Prof. A. Stancu 2012
1 212 1 2
3
2 323 2 3
1
3 131 3 1
2
R RR R R
R
R RR R R
R
R RR R R
R
12 311
12 23 31
23 122
12 23 31
31 233
12 23 31
R RR
R R R
R RR
R R R
R RR
R R R
R1
R2 R3
R12R31
R23
Problema 1
Prof. A. Stancu 2012
R R
R
R R
prof.dr. Alexandru STANCU 104
Curenţi în medii continue
Prof. A. Stancu 2012
0
0
0 0
j E
I j dS E dS
Q CU
QE dS
Q CU UI R
I C
+Q -Q
Împământarea liniilor de tranziţie
Prof. A. Stancu 2012
+Q -Q
prof.dr. Alexandru STANCU 105
Tensiunea de pas
Prof. A. Stancu 2012
L
I
Dependenţa de temperatură a rezistivităţii
Prof. A. Stancu 2012
Pentru temperaturi moderate rezistivitatea creşte liniar cu temperatura.
1911 Kamerlingh Onnes descoperă experimental supraconductivitatea.
Mercurul sub 4,2K are rezistivitate aproximativ nulă. Rezistivitatea devine mai mică decât
10-25m (de exemplu Cuprul ... 10-12m)
prof.dr. Alexandru STANCU 106
Curenţii electrici în lichide
• Lichidele sunt în general slab conductoare
• Ionii pozitivi/negativi sunt purtători mobili
• Electroliza
Prof. A. Stancu 2012
Curenţi prin gaze-curentul în vid• dioda, trioda cu vid
Câmpul sarcinilor electrice în mişcare
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 107
Prof. A. Stancu 2012
00
02F q
d
0
2021
vc
00 0 2
0 00 2
22 1
F q qd v
dc
Prof. A. Stancu 2012
Transformările Lorentz
0 0
00 2
'
x x
y y
z z v t
vt t z
c
0 0
00 2
x x
y y
z z v t
vt t z
c
0 202
1
1v
c
prof.dr. Alexandru STANCU 108
Prof. A. Stancu 2012
0 00 02 2
00 2
0 0 0
0020 2
1
1
1
xx
z
yy
z
zz
z
udx dxu
v vdtdt dz u
c c
uu
vu
c
dz v dt u vdzu
vvdt udt dzcc
00 2
00 2
0
02
1
1
1
xx
z
yy
z
zz
z
uu
vu
c
uu
vu
c
u vu
vu
c
Prof. A. Stancu 2012
00 2
1 z
vu
c
2
2
2
2
1
1 si
1
1
c
u
c
u
12 2 2 2
2
1
2
2220
2 2 22 2 2 2 20 0 00 02 2 2
12 2 22 2 2
0 0 02 2 2 2
02
1
1
1 1 1
1 1 1
1
x y z
y zx
z z z
x y zz
z
u u u
c
u u vu
v v vc u c u c u
c c c
u u uv v vu
c c c c
vu
c
112 2 22 22
0 002 2 2
1 1 1x y zz
u u uv vu
c c c
prof.dr. Alexandru STANCU 109
Prof. A. Stancu 2012
0
0
00
0
2
2
0 01
1
x x
z x x
xz xx
xx
dpF
dt
vu F
d mu d m u
dt dt
vd dm u u m u
dt c dt
d m ud
c
dtm u
dt dt dt
xzx uuc
vu
20
0 1 00 2
1 z
vdtu
dt c
Prof. A. Stancu 2012
00 0 0 2
0 0 0 0 0 0
0 002
0
2
002
0
0 1
1
1
1
1
1
1
1
zz z z z
z z
z
z
z
z
z
z
vd dm u m u u
dt dt c
d dm u v m u v
dtdt dtdt
dm u v
v dtuc
d m u dm v
v dt d
dpF
dt
Fv
uc
tu
c
0 0
dm v
dt
prof.dr. Alexandru STANCU 110
Prof. A. Stancu 2012
Pentru simplificarea relaţiei utilizăm teoremaenergiei:
'uFtd
Ed
2
02 cmcmE
uFtd
dcm
2
00 0
20 02
0 02 2
0 02 2
0 00 02 2
1
1
1 1
z z
z
yxx y z
z z
x x y y z
m vF F F u
v m cuc
uv u vF F F
v vc cu uc c
v vF u F u F
c c
Prof. A. Stancu 2012
00 2
00 2
0 00 02 2
1
1
x z x
y z y
z x x y y z
vF u F
c
vF u F
c
v vF F u F u F
c c
dqFy
0
00 2
dqu
c
vFu
c
vF zyzy
0
002
002
00 2
11
prof.dr. Alexandru STANCU 111
Prof. A. Stancu 2012
dq
c
vFy
0
002
20
21
202
1y
vF F
c
2
20
0
00
00
122
c
vd
qd
qF
202m e
vF F
c
Prof. A. Stancu 2012
00 2
00 2
0 00 02 2
1
1
x z x
y z y
z x x y y z
vF u F
c
vF u F
c
v vF F u F u F
c c
21
uF
kFjFiF zyx
001
jFc
viF
c
vxy
2
002
002
prof.dr. Alexandru STANCU 112
Prof. A. Stancu 2012
Eq
01 2 0q B
BuqEqF
00
Forţa Lorentz
Prof. A. Stancu 2012
00 qndlSdqtotal
BudlSFd m
0
udl
ld
S
Ij
0
BldIFd m
Forţa Laplace
prof.dr. Alexandru STANCU 113
Prof. A. Stancu 2012
Legea de transformare a câmpurilor
BuqEqFBuqEqF
0000 ;
20
0
00
;
;
c
EvBBBB
BvEEEE
IIII
IIII
Prof. A. Stancu 2012
Câmpul electric al sarcinilor în mişcare
304 R
RQE
kzjyixR
jyixur r
P
prof.dr. Alexandru STANCU 114
Prof. A. Stancu 2012
232204 zr
zQEE z
II
232204 zr
rQEE r
232204 zr
zQEE
IIII
23220
00 4 zr
rQEE
Prof. A. Stancu 2012
tvzz
rr
00
2020
2222 tvzrzrR
ktvzurR r
00
00000 cos si sin RtvzRr
prof.dr. Alexandru STANCU 115
Prof. A. Stancu 2012
0
22
202
0200
220
200
220
2 sin1cossinc
vRRRR
30
023
02
2
20
2
20
0
03
00
0sin1
1
44 R
R
c
v
c
vQ
R
RQuEkEE r
II
232204 zr
zQEE
IIII 23220
00 4 zr
rQEE
tvzz
rr
00
Prof. A. Stancu 2012
00 0 0 02 2 2
202
00 032 2 3
20 0220
02
0
1 1
11
41 sin
B B
v EB B v E v E
c c c
vRQ cv E v B
c c Rv
c
II II
30
002
04
1
R
RvQ
cB
00
2 1
c
prof.dr. Alexandru STANCU 116
Prof. A. Stancu 2012
30
00
0
4 R
RvQB
30
00
4 R
RlIdBd
Legea Biot-Savart
Prof. A. Stancu 2012
Problemă
Demonstraţi că interacţiunea dintre două elemente de curentnu satisface principiul acţiunii şi reacţiunii. Cum interpretaţiacest fapt?
30
00
4 R
RlIdBd
BldIFd m
prof.dr. Alexandru STANCU 117
Calculul câmpului magnetic creat de curenţi electrici
Circulaţia vectorului inducţie magnetică
Prof. A. Stancu 2012
PP ldBdC
prof.dr. Alexandru STANCU 118
Prof. A. Stancu 2012
PQQP
QPp
QP
QPQ ldld
R
RIld
R
RlId
3
03
0
44
dl dl d SQ P
2
202
30
320
444dISd
R
RI
R
RSdIdC
PQ
PQ
QP
QP
2dd
Prof. A. Stancu 2012
ddtotal 0
d d
prof.dr. Alexandru STANCU 119
Prof. A. Stancu 2012
dCI
d0
4
0 0
4 4P P P P P P P
I IB dl d grad dl grad V dl
VI
p 0
4
P P PB grad V
Prof. A. Stancu 2012
4
prof.dr. Alexandru STANCU 120
Prof. A. Stancu 2012
Teorema Ampère
0 0B dl I j S rotB dS
0rotB j
0B dl I
Prof. A. Stancu 2012
Potenţialul vector magnetic
V
QQP
QPQP dv
R
RjB
30
4
prof.dr. Alexandru STANCU 121
Prof. A. Stancu 2012
V
QQP
QPQP dv
R
RjB
30
4
QPQ
QPP
QP
QP
Rgrad
Rgrad
R
R 113
P Q
1
1( rot j 0)
P QQP Q P
QP QP QP
Q PQP
rot jjrot j grad
R R R
j grad am folositR
Prof. A. Stancu 2012
V
QQP
Qpp dv
R
jrotB
40
Q
V QP
QP dv
R
jA
40
P P PB rot A
prof.dr. Alexandru STANCU 122
Metode de calcul pentru inducţia magnetică
1. Aplicând direct legea Biot-Savart pentru elementul de curent şi integrând de-a lungul curentului care generează câmpul magnetic
2. Calculând potenţialul scalar şi apoi utilizând relaţia între inducţia magnetică şi potenţialul scalar
3. Calculând potenţialul vector şi apoi utilizând relaţia între inducţia magnetică şi potenţialul vector
4. Aplicând teorema lui Ampère (pentru sistemele cu simetrie ridicată)
Prof. A. Stancu 2012
0
00 0
0
22
B dl I
IB r I B
r
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 123
dz
Q
P(zP,rP)
/ 20
3/ 2
/ 20
3/ 22 2/ 2
/ 20
3/ 22 2/ 2
/ 2
03/ 22 2 2
/ 2
4
4
4
1
4
L
L
LP P r
LP P
LP
LP P
L
PP
PP P
L
RB I dL
R
z z k r uI dzk
z z r
r dzuI
z z r
z zIr
r z z r
3/2 2 2 22 2
dC
a aa
Prof. A. Stancu 2012
Prof. A. Stancu 2012
Interacţiunea dintre curenţi liniari paraleli
Definiţia Amperului
012 1 2 1 2
71 2 0
20
7
2
, 4 10
, 1 , 1 , 12
2 10
F B I L I I Ld
HI I I
m
F I L I A L m d md
F N
prof.dr. Alexandru STANCU 124
P(0,0,zp)
2 2
0
2 1 cos 2 1 p
p
z
r z
0 0
2 20
14 2
p
p
zI IV
r z
Prof. A. Stancu 2012
0
2 20
1/ 22 200
1/ 2 3/ 22 2 2 200 0
3
3/ 22 2 2 2 30 0 00 0 02 2
0 0
12
2
12
2 2
sin2 2
pz
p p p
p pp
p p p p
p p p p
p
zIdV dB
dz dz r z
I dz r z
dz
Ir z z r z z
I I rr z r z z z B
r r z
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 125
P(0,0,zp)
0 0 03 34 4 4 m
m
I I R RV S p
R R
p IS
Prof. A. Stancu 2012
0
5 3
3
4
m mp R R p
B gradV rotAR R
Demonstraţi !!!
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 126
03
0 03 3
0
3 3
,4
0 04 4
4
0
m m m
mm
m
RA p p p k
R
i j kp
A p yi xjR R
x y z
i j k
pB rotA
x y z
y x
R R
Prof. A. Stancu 2012
3/ 22 2 20 03
5/ 22 2 20 05
05
03 3
03 5 3
4 4
332
4 2 4
3
4
4
1 3 2 1 3
4 2 2
m mx
x
m m
my
z m
m
p p xxB rotA x y z
z R z
p x p xzx y z z
R
p yzB
R
x yB p
x R y R
xp x y
R R R
5
2 2
03 5
05 3
2 2
2
32
4
3
4
m
m m
y
R
x yp
R R
p R R pB
z z
R R
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 127
Formule generale
Prof. A. Stancu 2012
pe 3
0 p
R1V p
4 R
e p p e5 3
0 p p
3 p R R1 pE grad V
4 R R
În plan
Prof. A. Stancu 2012
p ee 3 2
0 p 0 p
R1 p cosV p
4 R 4 R
eR 3
p 0 p
e3
p 0 p
V 2p cosE
R 4 R
V p sinE
R 4 R
z
r
R
E
ER E
prof.dr. Alexandru STANCU 128
Ecuaţia liniei de câmp
Prof. A. Stancu 2012
0
0
0
R R
R
R R R
R
R
E E u E u
dl dR u Rd u
E dl
E u E u dR u Rd u
E Rd u E dR u
Rd dRE E
z
r
R
E
ER E
Ecuaţia liniei de câmp
Prof. A. Stancu 2012
eR 3
p 0 p
e3
p 0 p
V 2p cosE
R 4 R
V p sinE
R 4 R
R
Rd dRE E
2
sin 2cos2cos
sin2 sin
sin
ln sin ln
Rd dR
d dRR
d dRR
d d R
2sinR k
prof.dr. Alexandru STANCU 129
Linii de câmp
Prof. A. Stancu 2012
2sinR k
Calcul prin integrare directă
Prof. A. Stancu 2012
R
dL
dB z
y
x
00 3
0 02
0 02
0 02
0 02
4
4
cos4
sin cos4
sin sin4
z
x
y
I RdB r d u
RI r d
dBR
I r ddB
RI r d
dBR
I r ddB
R
prof.dr. Alexandru STANCU 130
2 22 2 3
30 0 0 0 0 003/ 2 3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 2
00 00 0 0
20 0
20
20 0
20
sin4 4 2
sin cos 04
sin sin 04
z
x
y
I r d I r I rB d B
rr z r z r z
I r dB
R
I r dB
R
Prof. A. Stancu 2012
Sistemul de bobine Helmholtz
Prof. A. Stancu 2012
2/3
220
20
2/3
220
20
0
33021
2/2/
sinsin
dzr
r
dzr
rB
BBBB PPzzz
00
z
z
dzdB
00
2
2
z
z
dz
Bd
...!3!2
03
03
32
02
2
0
z
dz
Bdz
dz
Bdz
dzdB
BzBz
z
z
z
z
zzz
d=r0
prof.dr. Alexandru STANCU 131
Câmpul uniform
Prof. A. Stancu 2012
Câmpul solenoidului
Prof. A. Stancu 2012
B este uniform în interiorul solenoidului şi este zero în exteriorul acestuia.
prof.dr. Alexandru STANCU 132
3
30 0 0z 220 0
0 p
dI nIdz rdB sin
2r 2r r z z
P(zp)
Q(z)dz O(0)
B(d/2) A(-d/2)
d/2d/2
2p0 0 0
z 3/2 22 22p 0p 0d/2 d/2
p p0
2 22 2
p 0 p 0
z znIr dz nIB
2 2 z z rz z r
d dz z
nI 2 22 d d
z r z r2 2
3/2 2 2 22 2
dC
a aa
Prof. A. Stancu 2012
Coordonate cilindrice
1
1
z
r
zr
r
z
rAArot A
r z
AArot A
z r
rA Arot A
r r
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 133
Cazul Ar= Az=0
1
0
1 1
zrr
zr
rzz
rA AArot A B
r z z
AArot A B
z r
rA rAArot A B
r r r r
Prof. A. Stancu 2012
Solenoidul infinit
Prof. A. Stancu 2012
d z 0 0 sB nI i
Pe axa bobinei !
Ci
Datorită simetriei
•Inducţia nu are componentă după
0 s 0z
0
i pentrur rB
0 pentrur r
prof.dr. Alexandru STANCU 134
B dS rotA dS A dL
Prof. A. Stancu 2012
Curent superficial plan
Prof. A. Stancu 2012
L
s
Ii
L
Simetrie !
prof.dr. Alexandru STANCU 135
dB
Prof. A. Stancu 2012
0
2 2
0 02 22 2 2 2
2 2
2 20 0 02 2 2 2
0 022 2 2 2
cos
sin
2
2 2
ln 02 4 4
sin2 2
z
y
s
P
s sz
PP P
L LLPs s s
z PL
P PL L
s s PPy
P P
dB dB
dB dB
i dydB
y z
i dy i ydyydB
y zy z y z
d y zi i iydyB y z
y z y z
i dy i z dyzdB dB
yy z y z
2
0 0 02 2
0
0
1 2
2 2 2
,2
P
LLs P s P s P
yP P P P PL L
sy
P
sy
z
i z i z i zdy y LB arctg arctg
y z z z z z
i LB arctg
z
icand L B
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 136
Discontinuitatea componentei tangenţiale
Prof. A. Stancu 2012
z
O
0 sparalel
0 s
i 2 pentruz 0B
i 2 pentruz 0
Sarcini magnetice fictive
Prof. A. Stancu 2012
L
-qm
+qm
I
S
B -qm
+qm
L
prof.dr. Alexandru STANCU 137
Fenomene electrice şi magnetice variabile în timp
Fenomenul de inducţieelectromagnetică
Fenomenul de inducţie electromagnetică
• Curenţii produc câmp magnetic. Acesta acţionează asupra momentelor magnetice (magneţi permanenţi, alţi curenţi)
• Motoare electrice pe această idee ?
• Faraday observă că un câmp magnetic, oricât de intens nu produce curenţi electrici. Efectele apar numai când apar modificări.
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 138
Fenomenul de inducţie electromagnetică
Prof. A. Stancu 2012
Experienţele lui Faraday (1839)
De ce un curent electric nu creează un un alt curent electric în conductorii din preajmă?
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 139
Definiţie
Fenomenul de apariţie a unei t.e.m. Într-un circuit străbătut de un flux magnetic variabil
cosB S SH
t.e.m. de inducţie se poate obţine prin modificarea oricăruia dintre cei patru termeni.
Prof. A. Stancu 2012
Cazuri particulare
• Circuit mobil – inducţie magnetică statică
• Circuit fix – inducţie magnetică variabilă
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 140
Prof. A. Stancu 2012
Motor ‐ generator
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 141
Aplicaţii practice
Prof. A. Stancu 2012
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 142
Prof. A. Stancu 2012
Microfon ‐ difuzor
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 143
Inducţie ‐ autoinducţie
Prof. A. Stancu 2012
Forţe care acţionează asupra curenţilor induşi
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 144
Curenţi turbionari (induşi) în conductori masivi
Prof. A. Stancu 2012
Curenţi turbionari (Foucault)
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 145
Aspecte cantitative – legea inducţiei electromagnetice
B
v
F
0
L
e vBdx BLv
L
Prof. A. Stancu 2012
Legea inducţiei electromagnetice
0
L
de
dt
d Be B dS dS E dl rotE dS
d
dy de
t t
Bro
vBdx BLv B
t
L
E
dt d
t
t
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 146
Câmpul electric
0
0
BrotE
t
divB B rotA
Arot E
t
A AE gradV E gradV
t t
Prof. A. Stancu 2012
Regula fluxului se aplică şi când variază câmpul şi când se mişcă circuitul.
FE v B
q
Ce câmp se aplică asupra sarcinilor pentru a le pune în mişcare ca urmare a fenomenului de inducţie electromagnetică?
Circuit care se mişcă
Când circuitul este fix
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 147
Inducţia mutuală
1 10
1 2 12 2 0
1 22 21 1 12;
N IB
LdB N N S dI
N Sdt L dt
dI dI
dt dt
Prof. A. Stancu 2012
Autoinducţia
1 21 11 12
1 22 21 22
11 1 22 2; ;
dI dIM M
dt dtdI dI
M Mdt dt
M L M L
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 148
Energia câmpului magnetic
B
t
indusB
Prof. A. Stancu 2012
2
2 2
1
2 2
1
2
indus
ddL e Idt Idt Id
dtLI
LI IdW Id dW LIdI W
B dS rotA dS A dL
IW A dL A jdv
rotH j
W A rotHdv
div a b b rota a rotb
div A H H rotA ArotH
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 149
1
2
1
21
2
1
2
W A rotHdv
div A H H rotA ArotH
W div AH rotAdv
W H
v
Bdv
H d
1
2w H B
Densitatea de energie a câmpului magnetic
Prof. A. Stancu 2012
Cuplul forţelor
1. .
2. .
I
d
const
I const
W
d
dW
d
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 150
Aparate electrodinamice
I1 I2
2
2 211 1 22 2 12 1 2
1
2 1 2
12
2
1 12
2 2ik i ki
W L I I L I L I L I I
dLI C
d
CI
dLd
Prof. A. Stancu 2012
Wattmetrul
A B
I i
Z R
12
12
121
dLIi
dU
iR
d C RP
dLL
P CR d
d
Prof. A. Stancu 2012
prof.dr. Alexandru STANCU 151
Circuite electrice în regim tranzitoriu şi alternativ
Generatorul de curent alternativ
prof.dr. Alexandru STANCU 152
T.e.m. alternativă
Variaţia fluxului
prof.dr. Alexandru STANCU 153
T.e.m. indusă
0 0cos sind d
e NBS t NBS tdt dt
Circuit RLC in curent alternativ
u(t)
R L C
A B D E
prof.dr. Alexandru STANCU 154
Ecuaţia pentru circuitul RLC serie
Forma finală a ecuaţiei
prof.dr. Alexandru STANCU 155
Soluţia
Problema cu condiţii iniţiale
prof.dr. Alexandru STANCU 156
Soluţia ecuaţiei omogene
Soluţia ecuaţiei neomogene (1)
prof.dr. Alexandru STANCU 157
Soluţia ecuaţiei neomogene (2)
Soluţia ecuaţiei neomogene (3)
prof.dr. Alexandru STANCU 158
Soluţia ecuaţiei neomogene (4)
Soluţia ecuaţiei neomogene (5)
prof.dr. Alexandru STANCU 159
Soluţia generală
Soluţia staţionară
prof.dr. Alexandru STANCU 160
Regimul permanent
Impedanţa
prof.dr. Alexandru STANCU 161
Impedanţa, rezonanţa
Factor de calitate
prof.dr. Alexandru STANCU 162
Metoda numerelor complexe
Importanţa soluţiei armonice
prof.dr. Alexandru STANCU 163
Metoda numerelor complexe
Impedanţa complexă
prof.dr. Alexandru STANCU 164
Reactanţele complexe
Probleme
prof.dr. Alexandru STANCU 165
Puterea în circuite AC
RI
LI I/C
ZI=U I
0
0
0
0
0 0
22
0
sin
sin
sin / 2
/ sin / 2
/
1/
sin
1/tan
R
L
C
i I t
u I R t
u I L t
u I C t
I U Z
Z R L C
u I Z t
L C
R
Puterea instantanee
0
0
0
0
0 0
0
2 20
sin
sin
sin / 2
/ sin / 2
/
sin
sin
R
L
C
R R
i I t
u I R t
u I L t
u I C t
I U Z
u I Z t
p u i RI t
p ui
prof.dr. Alexandru STANCU 166
Regim lent variabil
• Circuite în curent alternativ
– Metoda analitică
– Metoda fazorială
– Metoda numerelor complexe
Metoda analiticău(t)
R L C
A B D E
idtC1=
Cq=u=u
dtdiL-e=u=u
Ri=u=u
DEC
BD L
ABR
tU=Cq+
dtdiL+Ri m sin
tL
U=q+q2+q m2oo sin
LC1=
LR=2
2o
o
prof.dr. Alexandru STANCU 167
Metoda analitică
m
m
mR
m mL L
m mC C
Uq(t)= cos t
ZU
i(t)=q(t)= sin tZ
RUu (t)=Ri(t)= sin t
ZL U U
u (t)=Lq(t)= cos t =X sin t +Z Z 2
q(t) U Uu (t)= = cos t =X sin t
C C Z Z 2
1L
Ctg =R
22
m
m
C1-L+R=
IU
=Z
Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale
R=10 R=40
prof.dr. Alexandru STANCU 168
Metoda fazorială
RI
LI I/C
ZI=U I
0
0
0
0
0 0
22
0
sin
sin
sin / 2
/ sin / 2
/
1/
sin
1/tan
R
L
C
i I t
u I R t
u I L t
u I C t
I U Z
Z R L C
u I Z t
L C
R
Metoda numerelor complexe
exp
exp
1
m
m
u t u U j t
i i I j t
dij i
dt
q idt ij
mm UCj
LjRI
1
IU
IU
Zm
m
22 1*
CLRZZZ c
1 1
R
L L
C C
Z R
Z X j L
Z X jj C C
prof.dr. Alexandru STANCU 169
Aplicaţii
• Circuitul RLC paralel
• Puterea în circuite de curent alternativ
• Rezonanţa RLC serie
Regimul tranzitoriu
• RL
• RC
• RLC ...
prof.dr. Alexandru STANCU 170
RL
u(t)
R L
A B 0
0
0
0
( 0) 0
( ) exp
0, 0
( ) 1 exp
diRi L U
dti t
U Rti t k
R L
Ut i k
R
U Rti t
R L
RL
0
( 0)
( ) exp
0,
( ) exp
diRi L
dti t I
Rti t k
L
t i I k I
Rti t I
L
u(t)
R L
A B
prof.dr. Alexandru STANCU 171
RC
u(t)
R C
A B D E
0
0
0
0
0
;
( 0) 0
( ) exp
0, 0
( ) 1 exp
( ) exp
q dqRi U i
C dtq t
tq t CU k
RC
t q k CU
tq t CU
RC
U ti t
R RC
Curentul de deplasare (1)
prof.dr. Alexandru STANCU 172
Curentul de deplasare
d d
D
Q D DI S S j
t t t t
+
00
n n nE D E
Ecuaţiile lui Maxwell
0
DrotH j
t
BrotE
t
divB
divD
prof.dr. Alexandru STANCU 173
Soluţia sistemului ec. Maxwell
... , , , , , 16necunoscute E D H B j necunoscute
D E
B H
j E
0
DrotH j
t
BrotE
t
divB
divD
Relaţii constitutive(de material)
Alte ecuaţii ...
0
0
1
0
1
2
0
2
Ddiv rotH div j divj divD divD
t t t
Bdiv rotE div
w
divBt t
divB
div
B
D
E D H
Densitatea de energie a câmpuluielectromagnetic
prof.dr. Alexandru STANCU 174
Energia câmpului electromagnetic
1
2
P j Edv
D DrotH j P rotH Edv
t t
Bdiv E H H rotE E rotH H E rotH
t
P D E H B dv E H dtW W
P S d P S dt t
Vectorul Poynting S
1
2P D E H B dv E H d
tW W
P S d P S dt t
S E H
prof.dr. Alexandru STANCU 175
Ec. Maxwell
... , , , , , 16
3 .
3 .
3 .
necunoscute E D H B j necunoscute
D E ec
B H ec
j E ec
3 .
3 .
0
DrotH j
t
BrotE
t
ec
ec
divB
divD
WP S d
t
div jt
1 1
2 2w E D B H
Ecuaţiile lui Maxwell
Ecuaţiile Maxwell –condiţiile de trecere (la limită)
2 1
2 1
2 1
2 1
0
0
t t
n n
t t s
n n
E E
D D
H H i
B B
prof.dr. Alexandru STANCU 176
Problemă
20
2
0 0 20
;4
4
1
4
0
d
d
Q tE
R
QSj R R j R
tD E Q
j jt t R t
rot B j j
Transmisia energiei
2
2 2 22
2
2 22
r z
z
r
S E H
jE
j rH
r
j j r j jP S rL rL r L V
r
Ez
H
Sr
jz
prof.dr. Alexandru STANCU 177
Ecuaţia undelor
0
DrotH j
t
BrotE
t
divB
divD
0 0 0
0 0 0
0
ErotB j
t
Erot rotA j
t
B rotA ArotE rotE rot E
t t t
AE gradV
AE gradV
tt
D E
B H
j E
Condiţia de etalonare
0 0 0
0 0 0
2
0 2
0 0
0 0 0 0
0
Erot rotA j
t
Agrad div A A j gradV
t t
V
A VA j grad div A
t
A
div A Lorentz
E gr V
t
at
t
d
prof.dr. Alexandru STANCU 178
Ecuaţia undelor pentru V şi A
2
0 0 02
AA j
t
0
0
0 00
2
0 0 20
0
divE
Adiv gradV
t
divA VV divA
t
AE gradV
t
t
VV
t
Ec. Undelor pentru E,H
0 0
0 0
0
0
0
D ErotH j rotB
t t
B BrotE rotE
t t
divB divB
divD divE
j
prof.dr. Alexandru STANCU 179
Calcul (1)
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0
0
ErotB
t rotE rotErot rotB grad divB B
B t trotEt rotB rotB
rot rotE grad divE EdivB t t
divE
BB
t t
EE
t t
2
0 0 2
2
0 0 2
0
0
BB
t
EE
t
Soluţia ecuaţiei undelor (2D)
2
2 2
2
2
2
2 2
10
' ''
1 1' ''
ff
v tx
f tv
x xf t f f t f
t v t v
x xf t f f t f
x v v x v v
prof.dr. Alexandru STANCU 180
Soluţia armonică (3D)
2
0 0 2
2
0 0 2
0
0
0
0
, exp
, exp
...xx x x x
EE
t
BB
t
E E R t E j t k R
B B R t E j t k R
Ej E
tE
jk E E jkEx
Soluţia armonică 3D
2
0 0 0 00 0
00 0 00 0
jt
jk k
E ErotB B jk B j Et t
B B jk E j BrotE E
t t jk BdivB B jk EdivE E
prof.dr. Alexandru STANCU 181
Continuare ...
0 0 0
0
0
jk B j E B E B
jk E j B
jk B
jk E
E
B
k
Puterea emisă
O
x
y
z
ij
k
uR
u
u
r
R
E
B
SR
prof.dr. Alexandru STANCU 182
Puterea medie radiată
• Radiaţia curenţilor alternativi de joasă frecvenţă este mică.
• Lumina solară care străbate atmosfera este difuzată de moleculele de aer care pot fi asimilate cu nişte oscilatori elementari. Sub acţiunea undelor, oscilatorii efectuează oscilaţii forţate (departe de rezonanţă, deci cu amplitudinea independentă de frecvenţa undei incidente). Intensitatea radiaţiei luminii difuzate este proporţională cu frecvenţa (la puterea a patra). Deci, puterea radiată prin unda cu frecvenţa mai mare (culoarea albastră) este mult mai mare decât cea corespunzătoare luminii roşii. Cerul are culoarea albastră din acest motiv.
• Domeniul de frecvenţă a undelor electromagnetice.
2 40
3012
pP
v