Curs de Mecanică

5/23/2018 Curs de Mecanic

1/86

Reducerea sistemelor defore paralele


2/86

Se consider sistemul de fore paralele

i versorul

al direciei comune (figura 1).Ca urmare, se poate scrie relaia

unde Fieste o mrime scalar care reprezintproiecia forei pe direcia versorului.

niiF ,...,2,1

u

uFF ii


3/86

Figura 1

NOTA: Gasiti mai multe informatii pe: http://pitchforktrader.com/hbasis.html
http://c/Users/GEO/Desktop/forte%20paralele2.jpghttp://c/Users/GEO/Desktop/forte%20paralele1.jpg


4/86

Torsorul de reducere al sistemului de fore npunctul este:

)

)

1

1

11

11

buFr

uFr

uFrFrM

aFuuFFR

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

iiO

i

n

i

i

n

i

i

O


5/86

Surse foto: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Dunking.jpg; Bedford, FowlerStatics, Prentice Hall, New Jersey; ; http://www.finetools.ro/image/cache/data/tools/drilling/dsc_2985_square-1000x650.jpg

FF

MO

Fore paralele


6/86

Din relaiile anterioare, se observ c,vectorul rezultant are direcia versorului ,

iar mrimea sa este egal cu suma algebrica mrimilor tuturor forelor sistemului(a).Simultan, vectorul moment rezultant este

perpendicular pe fiecare din forelesistemului (b).

u


7/86

A. INVARIANII SISTEMULUI

n afara invariantului vectorial:

sistemul de fore paralele are i un invariantscalar, care se calculeaz cu relaia:

n

i

iFR1

011

uFrFuMRn

iii

n

iiO

(deoarece produsul mixt cu doifactori coliniari este nul)


8/86

Din relaia anterioarrezult:

De aici rezult, de asemenea c, axa central

reprezint suportul rezultantei.

0min M


9/86

B. CAZURILE DE REDUCERE


10/86

C. AXA CENTRAL

Dac se alege sistemul de referin Ozcu axaparalel cu versorul , pornind de la fomula

general a axei centrale

rezult:

u

Z

XyYxM

Y

ZxXzM

X

YzZyM OzOyOx

Z

ZxMZyM OyOx 0

00


11/86

De aici rezult:

Conform acestei relaiirezult c axa centraleste o dreapt paralel cu axaOz.

Z

My

Z

Mx

Ox

Oy


12/86

D. CENTRUL FORELOR PARALELE

Se demonstreaz c, n cazul forelor paralele,pe axa central se poate determina un punctC, numit centrul forelor paralele, a cruipoziie nu depinde de direcia forelor, ci

doar de mrimea acestora i de poziia

punctelor lor de aplicaie.


13/86

Se consider un punctPsituat pe axa

central. Conform observaieiprecedente

rezult c

ntruct i

se deduce c:

0min M

0 ROPMM OP

ii rOA

rOP

01

RrFrn

i

ii


14/86

Deoarece

Rezult

Aceast egalitate are loc dac

de unde rezult c:

011

uFruFrn

i

i

n

i

ii

011

uFrFr

n

i

i

n

i

ii

0

11

n

i

i

n

i

ii FrFr


15/86

sau dac cei doi vectori ai produsuluivectorial sunt coliniari,

astfel nct

n

i

i

n

i

ii

F

Fr

r

1

1

uFrFrn

i

i

n

i

ii

11


16/86

relaie n careeste un scalar oarecare

(R).

Din cele dou soluii prezentate numai primaeste independent de

n

i

i

n

i

i

n

iii

F

u

F

Frr

11

1

u


17/86

Dac=0, relaia de mai sus devine

i ea determin un anume punct situat pe axacentral, numit centrul forelor paralele,

notat cu C.

n

i

i

n

i

ii

F

Fr

r

1

1


18/86

Poziia punctului Ceste dat de relaia:

Proiectnd relaia anterioar pe axele unuisistem cartezian Oxyzse obine:

n

i

i

n

i

ii

C

F

Fr

r

1

1

n

i

i

n

iii

Cn

i

i

n

iii

Cn

i

i

n

iii

C

F

Fzz

F

Fyy

F

Fxx

1

1

1

1

1

1 ;;


19/86

Dac se alege axa Ozpe direcia rezult caxa central este o dreapt paralel cu axa

Oz, care intersecteaz planul Oxyn punctulde coordonateA(xC, yC, O).

Centrul forelor paralele se bucur de dou

proprieti importante i anume:

u


20/86

1. Toate forele ce alctuiesc sistemul se potroti cu acelaiunghi, frcapoziiasa ssemodifice ( nu depinde de ).

2. Este posibil multiplicarea sausimplificarea modulelor forelor sistemuluicu aceeai mrime n fr a se schimba

poziia centrului forelor paralele.

Cr

u


21/86

E. REDUCEREA SISTEMELOR DE

FORE DISTRIBUITE

n situaia n care fore de modul diferitacioneaz n puncte relativ apropiate, sespune c solidul rigid este supus aciunii

sarcinilor distribuite. n cadrul aplicaiilormecanice exist situaii cnd este necesarreducerea acestor fore, respectiv nlocuirea

lor cu sarcini concentrate echivalente, cares produc acelai efect mecanic asupra

solidului rigid.


22/86Surse foto: https://reader003.{domain}/reader003/html5/0302/5a985022008e3/5a98502dd270f.png; http://www.cycloneprotectionaustralia.com.au/images/Cyclone-Protection-WindLoad-Distribution.jpg


23/86

Se consider fora distribuit ortogonal peo dreapt, modulul acesteia variind dup

o lege oarecare q(x). Se solicit nlocuireasarcinii distribuite cu o for concentrati se cere determinarea punctului su de

aplicaie(figura 2).

Q


24/86

Figura 2


25/86

Pe elementul acioneaz fora .Sarcina distribuit este:

i se msoar n

x Q

dxdQ

x

Qxq

x

0lim

mNxq SI


26/86

Rezultanta forelor distribuite este:

iar suportul ei (centrul forelor paralele) seafl la distana:

n cazul unei distribuii liniare de tipul celeidin figura 3, este valabil relaia:

dxxqdQQ

aa

00

Q

dxxqx

dQ

dxxqx

dQ

dQx

x

a

a

a

a

a

C

0

0

0

0

0


27/86

Figura 3

a

x

q

xq

0


28/86

Rezult:

nlocuind n relaia anterioar rezult:

iar n final:

axqxq 0

a

x

x

dxx

dxx

dxa

xq

dx

a

xqx

xa

a

a

a

a

a

C

3

2

2

3

0

2

0

3

0

0

2

0

0

0

0

22

0

0

20

0

0

0

aqx

a

qdxx

a

qdxxqQ

aaa


29/86

Alte tipuri de sarcini distribuite:

3

2

0

lax

lqQ

C

10

10

10

)2(

2

)(

qq

lqqx

lqqQ

C

2

32 0

lx

lqQ

C

2

2

00 44)( xl

qx

l

qxq

Legea de distribuie

Sursa foto: Ripianu, A., Popescu, P., Blan, B. Mecanica tehnic,Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1979;

Q

Q

Q


30/86

4

3

3

0

lx

lqQ

C

2

2

0

)( xl

q

xq

Legea de distribuie

a

l

alx

a

laqQ

C

ln

ln0

x

aqxq 0)(

Legea de distribuie

Sursa foto: Ripianu, A., Popescu, P., Blan, B. Mecanica tehnic,Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1979;

Q

Q


31/86

Centre de masDatorit existenei cmpului gravitaional

aflat n vecintatea suprafeei terestre,orice corp de mas este acionat de ofor dirijat aproximativ ctre centrul

Pmntului, numit for de greutate(for gravitaional).


32/86

Aceasta are expresia:

unde geste acceleraia gravitaional.

gmG

(1)


33/86

n mod uzual, ntr-un cmpgravitaional uniform,n realitate,geste variabil n funcie de

altitudine i latitudine, cu valori msuratela nivelul mrii, cuprinse ntre(la ecuator) i (la poli). Totodat

micarea de rotaie a Pmntuluidetermin o uoar deviaie a vectorului

fa de centrul Pmntului.

2/81,9 smg

2/781,9 sm

2/831,9 sm


34/86

Un obiect staionar lsat n cderelibern cmpul gravitaional al

Pmntului. Legea de micare esteo funcie de gradul al doilea,

poziia la fiecare moment fiindegalcu ptratul timpului scurs de

la nceputul cderii. n primele50 ms, mingea cade pe o unitatede distan(unitatea de distan

este de aproximativ 12 mm; dup

ce s-au scurs 100 ms, mingea aczut 4 uniti de distan; dup

150 ms, mingea a parcurs 9

uniti, i aa mai departe.Sursa text i foto: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Falling_ball.jpg (user MichaelMaggs)


35/86

Avnd n vedere c dimensiunile corpurilor

studiate sunt neglijabile n raport cu razaPmntului (R~6370 km), putem considerac forele gravitaionale ce acioneaz

asupra unui sistem de puncte materiale,

alctuiesc, cu o bun aproximaie, unsistem de fore paralele. Centrul forelorparalele de greutate este denumit n acestcaz centrul de greutateal sistemului de

puncte materiale considerat. Poziia acestuipunct se determin cu ajutorul relaieiurmtoare i conform figurii de mai jos.


36/86

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

C

m

mr

gm

gmr

r

1

1

1

1

(2)


37/86

Proiectnd aceast relaie pe axele unuisistem cartezian de coordonate obinem:

n

i

i

n

i

ii

C

n

i

i

n

i

ii

C

n

i

i

n

i

ii

C

m

zm

z

m

ym

y

m

xm

x

1

1

1

1

1

1

(3)


38/86

Pentru un solid rigid (continuu material)

relaia (2) devine:

(4)

D

DC

dm

dmr

r


39/86

Proieciile (4) pe axele unui sistem decoordonate sunt:

(5)

D

DC

D

DC

D

DC

dm

dmz

z

dm

dmy

y

dm

dmx

x


40/86

Expresiile coordonatelor xC, yCi zCdinrelaiile (3) i (5) nu mai conin fore, ci

numai mase, astfel c, din acest motiv,centrul de greutate mai poart i denumireade centrul de mas al sistemului de puncte

materiale sau al rigidului.


41/86

Centrul de mas reprezint o noiune cucaracter mai general dect centrul de

greutate, fiind definit n mod independentfa de acesta. n absena cmpului

gravitaional, centrul de greutate i pierde

sensul, pe cnd centrul de mas continus existe. Totodat, ntr-un cmpgravitaional neuniform, cele dou

puncte ocup poziii diferite.

Se face precizarea c n contextul problemelortehnice curente se poate considera cpoziiile celor dou centre coincid.


42/86

Centrul de maseste cteodatnumit centrul

de greutate, pentru motivul c, n multecazuri, gravitaia poate fi considerat

uniform. ...n cazul n care obiectul esteaa de mare nct neparalelismul forelorgravitaionale este semnificativ, atuncicentrul n care trebuie aplicatfora deechilibru nu este simplu de descris, el

deprtndu-se uor de centrul de mas.Iatde ce trebuie sfacem distincie ntrecentrul de masi centrul de greutate.

Sursa text: http://ro.wikipedia.org/wiki/Centru_de_mas%C4%83 - The Feynman Lectures on Physics


43/86

n general, centrul maselor unui corp nucorespunde cu centrul geometric al acestuia,iar acest lucru este exploatat de ingineriiproiectani de maini de sport, fcnd ca

centrul maselor sfie ct mai jos posibilpentru ca maina sfie ct mai uormanevrabil. Un atlet care executsritura

n nlime n stilulFosbury Flop, i ndoaie

corpul de aa naturnct este posibil stergbara n timp ce centrul su de masnu.

Sursa text: http://ro.wikipedia.org/wiki/Centru_de_mas%C4%83 - Van Pelt, Michael (2005). Space Tourism: Adventures in Earth Orbit and Beyond. Springer. pp. 185. ISBN 0387402136


44/86

Surse foto: http://www.sport.ro/true-story/perfectiunea-poarta-numele-lui-e-singurul-care-a-avut-curajul-sa-gandeasca-invers-si-a-infruntat-300-de.html


45/86

Sursa video: http://www.sport.ro/true-story/perfectiunea-poarta-numele-lui-e-singurul-care-a-avut-curajul-sa-gandeasca-invers-si-a-infruntat-300-de.html


46/86

Sursa foto: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Yelena_Slesarenko_failing_2007.jpg/290px-Yelena_Slesarenko_failing_2007.jpg


47/86

Aa cum am artat, cu ajutorul acestei relaii se

calculeaz centrul de mas al solidului rigid,punct ce are urmtoarele proprieti:

D

DC

dm

dmrr

(6)


48/86

1. Dac un solid rigid are un plan, o ax

sau un centru de simetrie, centrulmaselor se afl n acel plan, pe acea axsau n acel centru de simetrie.


49/86

2. Dac un sistem de corpuri se compune

dinpsisteme, ale cror maseM1, M2,..., Mpi centre de mas se cunosc, centrul de mas

al sistemului se obine considernd c

masele sistemelor componente s-arconcentra n centrele lor de mas.

p

ii

p

i

ii

C

M

Mr

r

1

1

(7)


50/86

3. Dac un sistem de corpuri poate fi

considerat ca provenind din diferena adou sisteme i dac se cunosc masele

M1 iM2i, centrele de mas ale celor dousisteme, atunci centrul de mas al

sistemului se obine considernd c maselesistemelor componente s-ar concentra n

centrele lor de mas.

21

2211

MM

MrMrrC

(8)


51/86

Observaie:ultimele dou proprieti (2 i 3)servesc la determinarea poziiei centrului demas al corpurilor cu ajutorul centrelor de

mas pariale. n vederea aplicrii relaiilor(7) i (8) corpurile materiale se divizeaz npri simple ale cror centre de mas suntcunoscute. Discretizarea corpului se poaterealiza att prin alipire ct i prin extragere

sau decupare.


52/86

Sumele i integralele definite, aflate lanumrtorii expresiilor (2), (3), (4) i (5)

sunt denumite momentele statice alesistemului de puncte materiale sau ale

rigidului, dup cum urmeaz:


53/86


54/86

Dac relaiile (2), (3), (4), i (5) ale coordonatelorcentrului de mas al sistemului de puncte

materiale i respectiv solidului rigid, sunt scrise nfuncie de momentele statice, vor rezultaexpresiile matematice ale teoremei momentelor

statice:

n

i

CCi rMrm1

C

n

i

ii

C

n

i

ii

C

n

i

ii

zMzm

yMym

xMxm

1

1

1

C

D

rMdmr

C

D

C

D

C

D

zMdmz

yMdmy

xMdmx


55/86

unde

reprezint masa sistemului de puncte

materiale, respectiv a solidului rigid.

D

n

i

i dmmM1


56/86

Teorema momentelor statice

are urmtorul enun:

Momentul static al unui sistem de puncte

materiale sau al unui solid rigid n raportcu un plan sau cu un punct este egal cumasa total a sistemului de puncte

materiale sau a rigidului nmulit cu

distana de la centrul su de mas la planulsau punctul respectiv.


57/86

Centrele de mas ale unor

corpuri omogene uzuale

A. Bara dreaptntruct bara dreapt admite un centru desimetrie, aflat la mijlocul lungimii barei,

poziia centrului de mas coincide cu cea apunctului menionat.

B Bara n form de arc de cerc


58/86

B. Bara n form de arc de cerc

Se cere determinarea poziiei centrului de

mas pentru o bar avnd forma unui arcde cerc provenit dintr-un cerc de razRicreia i corespunde un unghi la centru 2.

Din motive de simetrie centrul de mas seafl pe bisectoarea unghiului la centru ipe care, pentru simplificare, o vom alege

ca ax Ox(yC=0). Vom determina

C

C

C

l

C

l

C

CC

dl

dlx

dl

dlx

dm

dmx

OCx

undeleste densitatealiniar.


59/86


60/86

Parametriznd curba dat (C):

cosRx sinRy

dRdl

se obine abscisa centrului de mas care este

de forma:

sincos2

R

dR

dR

xC

Obs: n expresia obinut unghiul se msoarn radiani.


61/86

C. Placa dreptunghiular

Din motive de simetrie (dreptunghiul

admite un centru de simetrie) centrul demas al unei plci dreptunghiulareomogene se va afla n punctul de

intersecie al diagonalelor dreptunghiului.


62/86

D. Placa triunghiularCentrul de mas al unei plci triunghiularese afl la intersecia medianelor, adic npunctul G, numit uneori i baricentru.

Din geometria analitic se cunosc

expresiile coordonatelor centrului de masn funcie de coordonatele carteziene alevrfurilor triunghiuluiA,Bi C. Astfel

vom avea:

3;

3;

3

CBAG

CBAG

CBAG

zzzz

yyyy

xxxx


63/86

E. Plac de forma unui sector circular

Placa din figura urmtoare are formaunui sector de cerc de razRi mas m.

i corespunde unghiul la centru 2,

msurat n radiani.Din motive de simetrie, centrul de masse afl pe bisectoarea unghiului la centru

2, care, pentru simplificare se alege caax Ox. Ca urmare,yC=0. Abscisacentrului de mas are valoarea


64/86

D

D

Ds

D

s

D

DC

dydx

dydxx

dydx

dydxx

dm

dmx

x


65/86

sin

3

2coscos

0

0

22

R

ddrr

ddrr

ddrr

ddrr

xR

R

D

DC

undeSeste densitatea unitii de suprafa.

cosrxsinry

Rr0ddrrdA

F Corpul material de forma unui con


66/86

F. Corpul material de forma unui concircular drept

Se consider conul circular drept de razRi nlime h. Conul admite ca ax de

simetrie nlimea sa, care, pentrusimplificare, o alegem ca ax Oz.

Rezult c xC=yC=0, iar cota centrului de


67/86

Rezult cxC yC 0, iar cota centrului demas are expresia

dV

dVzOCzC

Se alege un volum elementar, avnd raza r

i nlimea dz. Ca urmare

dzrdV 2

h

h

C

dzr

dzrz

OCz

0

2

0

2


68/86

S-au format dou triunghiuri asemenea. DinasemnareaOOB~OOAvom obine:

z

h

Rr

h

z

R

r

h

z

z

dzzh

R

dzzzh

R

zh

h

h

h

C

4

3

3

4

0

3

0

4

0

2

2

2

0

2

2

2


69/86

G. Corpul material de forma unei semisfere

Se consider o semisfer ce provine dintr-o sfer

omogen de razR. Din motive de simetrie,centrul de mas se afl pe axa de simetrie admis

de semisfer. Pentru simplificare, aceasta sealege ca axa Oz(RezultxC=yC=0).


70/86

Se alege un volum elementar dVca n

figur (volumul unui cilindru):

dzrdV 2


71/86

n urma aplicrii teoremei lui Pitagora nOOA- dreptunghic, va rezulta:

222222 zRrzrR

R

R

C

dzzR

dzzRz

dV

dVz

zOC

0

22

0

22

RR

R

RR

RR

RR

RR

zzR

zz

R

dzzdzR

dzzdzzR

R

R

RR

RR

RR

8

3

2

3

4

3

3

42

3

42

3

42

3

4

33

44

33

44

0

3

0

2

0

4

0

22

0

2

0

2

0

3

0

2


72/86

Teormele GuldinPappus

Aceste teoreme reprezint aplicaii alecalculului centrelor de mas n

determinarea ariilor i volumelorcorpurilor de rotaie.


73/86

A.Prin rotirea arcului de curb din

figura 4 n jurul axei Oxse obine osuprafaA, iar prin rotirea elementului de

arc se obine o suprafa elementar

dsdyyydA de unde prin integrare, neglijnd

produsul dy.ds, se obine

BD

dsyA 2


74/86

Figura 4


75/86

innd seama de

CBD

BD

yldsy

(din definiia centrului de mas) unde lBDeste lungimea arculuiBD, rezult

BDC lyA 2 (9)


76/86

Formula (9) este expresia matematic aprimei teoreme Guldin-Pappus:

Aria suprafeei generate de un arc de

curb plan omogen ce se rotete n jurulunei axe din planul curbei (arcul fiindsituat n ntregime de aceeai parte a axei)

este egal cu lungimea arcului de curb,

multiplicat cu lungimea cercului descrisde centrul de mas al curbei date.


77/86

B.Prin rotirea suprafeeiAdin figura 5 njurul axei se obine un volum .

Alegnd suprafaa elementar dA=dx.dycare, prin rotire, genereaz volumul

elementar

dydxydxydydyyy

dxydyydV

22 222

22

( (dy)2fiind neglijabil), se obine volumuldorit prin integrare.


78/86

Figura 5


79/86

Dar

(din definiia centrului de mas) rezultnd

DD

dydxydVV 2

Aydydxy C

D

AyVC

2 (10)


80/86

Formula (10) este expresia matematic acelei de-a doua teoreme Guldin-Pappus:Volumul corpului generat prin rotirea uneisuprafee plane nchise omogene, n jurulunei axe din planul ei (suprafaa fiind nntregime situat de aceeai parte a axei)este egal cu produsul dintre aria acestei

suprafee i lungimea cercului descris decentrul ei de mas.


81/86

Metodologia rezolvrii aplicaiilor

ce conin determinarea centrelor demas ale unor corpuri materiale

Pentru determinarea centrelor de mas alecorpurilor materiale omogene care pot fi

mprite n pri simple ale crorcaracteristici geometrice i poziii alecentrelor de mas sunt cunoscute, se

recomand parcurgerea urmtoarelor etape:


82/86

1. Se mparte corpul material n prisimple, notndu-se centrele de mas ale

fiecreia dintre prile rezultate(ntruct descompunerea nu este unic,se recomand varianta care conine un

numr minim de pri simple).


83/86

2. Se alege un sistem de axe decoordonate ct mai convenabil,

exploatndu-se eventualele simetrii alecorpului n raport cu plane, axe sau centre

de simetrie (se recomand ca axele decoordonate s conin ct mai multe

centre de mas ale prilor simple).


84/86

3. Se alctuiete un tablou sintetic decalcul de tipul tabelului 1, cu ajutorul

cruia se determin efectiv coordonatelexC, yC, zCale centrului de mas al corpului

respectiv.

Tabelul 1


85/86

Observaie: n tabel apar simbolurile

L (lungime),A(arie), V(volum) dup cumcorpurile analizate sunt unidimensionale,bidimensionale sau tridimensionale.


86/86

4. Verificarea rezultatelor se poate realizaefectund un nou calcul corespunztor

altei mpriri a corpului n pri simple.

Curs de Mecanică

Documents

Transcript of Curs de Mecanică