Curs CAS 16oct2009

CUPRINS 3

CUPRINS

1 INTRODUCERE........................................................................................................................... 5

1.1 SCOPUL DISCIPLINEI ............................................................................................................... 5 1.2 CARACTERISTICI ALE CALCULULUI AUTOMAT COMPARATIV CU METODELE CLASICE DE

CALCUL 5 1.3 MODEL DE CALCUL (DISCRETIZAREA) .................................................................................... 7 1.4 SISTEME DE AXE DE REFERIN.............................................................................................. 8

2 PRINCIPII DE ALCTUIRE I OPERARE N FORMULAREA MATRICIAL ............ 11 2.1 FORMULAREA MATRICIAL SUB FORM DE SCHEM LOGIC ............................................... 11 2.2 PRINCIPII DE ALCTUIRE I OPERARE CU MATRICELE ........................................................... 12

3 EXPRIMAREA RIGIDITII SUB FORM MATRICIAL ............................................. 14

3.1 TRECEREA DE LA UN SISTEM DE REFERIN LA ALTUL PENTRU UN VECTOR ......................... 14 3.2 PREGTIREA MATRICELOR DE RIGIDITATE ELEMENTARE N VEDEREA ASAMBLRII. ............ 15

Exemplul 1..................................................................................................................................... 18 3.3 MATRICEA DE RIGIDITATE GENERAL ASAMBLAREA ACESTEIA ........................................ 18

Exemplul 2..................................................................................................................................... 21

4 EXPRIMAREA FORELOR EXTERIOARE SUB FORM MATRICIAL .................... 23

4.1 FORE EXTERIOARE ECHIVALENTE LA NOD .......................................................................... 23 Exemplul 3..................................................................................................................................... 24

4.2 CONSIDERENTE LEGATE DE GRUPAREA NCRCRILOR ........................................................ 26 Clasificri ale ncrcrilor ........................................................................................................... 27 Verificri la starea limit ultim................................................................................................... 27 Verificri la starea limit de serviciu............................................................................................ 28

5 INTRODUCEREA CONDIIILOR DE MARGINE REARANJAREA I PARTIIONAREA MATRICEI DE RIGIDITATE ....................................................................................... 30

5.1 CONDIII DE MARGINE.......................................................................................................... 30 Exemplul 4..................................................................................................................................... 31

5.2 INTRODUCEREA N CALCUL A CEDRILOR DE REAZEME........................................................ 32 5.3 OPERAIA DE CONDENSARE A MATRICEI DE RIGIDITATE....................................................... 33

Exemplul 5..................................................................................................................................... 34

6 CALCULUL DEPLASARILOR NODALE SI EFORTURILOR ELEMENTARE ............. 36

6.1 CALCULUL DEPLASRILOR NODALE ..................................................................................... 36 6.2 CALCULUL EFORTURILOR ELEMENTARE ............................................................................... 36

Exemplul 6..................................................................................................................................... 37 Exemplul 7..................................................................................................................................... 39

7 APLICAIE PENTRU ANALIZA UNEI STRUCTURI PLANE INCARCATA IN PLAN 41

7.1 METODA ITERATIV CROSS.................................................................................................. 41 7.2 FORMULAREA MATRICIAL .................................................................................................. 44 7.3 ANALIZA CU PROGRAMUL DE CALCUL CU ELEMENT FINIT SCIA ESA 2007......................... 53

8 STRUCURI PLANE NCRCATE NORMAL PE PLAN ..................................................... 65

4 CALCULUL AUTOMAT AL STRUCTURILOR

Exemplul 8..................................................................................................................................... 67

9 METODA MATRICELOR DE TRANSFER ........................................................................... 73

Exemplul 9..................................................................................................................................... 75

10 REELE DE GRINZI PE MEDIU ELASTIC ......................................................................... 80

Exemplul 10................................................................................................................................... 82

11 CONCEPTE ALE METODEI ELEMENTULUI FINIT ........................................................ 88

11.1 DISCRETIZAREA.................................................................................................................... 88 11.2 FUNCII DE INTERPOLARE (APROXIMARE) ............................................................................ 93 11.3 CLASE DE CONTINUITATE ..................................................................................................... 95 11.4 FUNCII DE FORM ............................................................................................................... 97 11.5 COORDONATE NATURALE. SISTEM DE AXE NORMALIZAT ..................................................... 98

12 MODELAREA CU ELEMENT FINIT................................................................................... 100

12.1 PROPRIETI ELASTICE DE MATERIAL ................................................................................ 102 12.2 STRI DE EFORTURI BIDIMENSIONALE ................................................................................ 103 12.3 NOIUNI LEGATE DE MODELAREA NELINIARITII ............................................................. 105

13 ELEMENTE FINITE PLANE PENTRU PROBLEME DE MECANICA CONSTRUCTIILOR........................................................................................................................................ 109

13.1 ELEMENTUL TRIUNGHIULAR LINIAR ................................................................................... 110 13.2 ELEMENTUL PATRULATER LINIAR I PTRATIC................................................................... 112

14 SCURT GHID DE UTILIZARE A PROGRAMULUI SCIA ESA PT 2007........................ 116

14.1 COMPONENTE DE BAZ ALE INTERFEEI............................................................................. 116 14.2 DEFINIREA NCRCRILOR ................................................................................................. 120 14.3 MODEL DE CALCUL SPAIAL MIXT ALCTUIT DIN BARE I PLCI. ....................................... 122 14.4 PLACA PE MEDIU ELASTIC................................................................................................... 139

15 BIBLIOGRAFIE ....................................................................................................................... 152

INTRODUCERE 5

1 INTRODUCERE

1.1 Scopul disciplinei In pregtirea viitorului inginer, calculul automat al structurilor i

gsete locul dup asimilarea unor elemente de baz ale mecanicii

structurilor cum ar fi calculul eforturilor, legtura dintre eforturi i tensiuni,

calculul deplasrilor sub aciunea unor solicitri exterioare, dimensionarea

structurilor de rezisten.

n condiiile extinderii calculului automatizat, cursul i propune o

nou abordare a metodelor Staticii Construciilor i cu precdere a metodei

deplasrilor, precum i furnizarea cunotinelor de baz necesare pentru

folosirea eficient a programelor de calcul automat n sensul pregtirii

corecte a datelor de intrare, funcie de analiza efectuat i al extragerii i

interpretrii rezultatelor.

1.2 Caracteristici ale calculului automat comparativ cu metodele clasice de calcul n timp ce metodelor clasice de calcul studiate la disciplina Statica

Construciilor le este specific orientarea spre particularizri i simplificri,

calculul automat este orientat spre generalizare ceea ce presupune creterea

volumului de calcul, dar care n condiiile automatizrii nu mai reprezint

un impediment.

n situaia n care se opteaz pentru aplicarea metodelor clasice ale

Staticii Construciilor, (pe care le vom numi n continuare metode directe) ar

fi de preferat s se adopte acea metod care ar conduce la un volum redus

de calcule. De exemplu, la analiza static pentru structura din Fig. 1,

numrul de necunoscute difer funcie de metoda direct aplicat.

Reducerea volumului de calcul pentru aplicarea metodelor directe se obine

i prin introducerea unor simplificri, uneori substaniale, n ceea privete

schematizarea:

eliminarea unor legturi de importan mai redus;

fracionarea n structuri mai simple, prin neglijarea unor conlucrri

spaiale i reducerea la sisteme plane;

considerarea comportrii materialelor ca fiind elastic, definit prin legea

lui Hooke;


neglijarea efectului deformrii structurii asupra eforturilor, prin

raportarea condiiilor de echilibru static la poziia iniial, nedeformat.

METODA EFORTURILOR nr. fore necunoscute = 1

X1

z1

z2

z3

METODA DEPLASARILOR nr. deplasri necunoscute = 3

Fig. 1 Numrul de necunoscute pentru aceeai structur, funcie de metoda aplicat

n cazul calculului automat se urmrete automatizarea integral a

rezolvrii care const ntr-o succesiune precis definit de operaii simple,

uor de aplicat (fr a necesita adaptri) la o gam ct mai larg de cazuri.

n formularea automat a metodei deplasrilor se elimin diferena dintre

structuri cu noduri fixe i structuri cu noduri deplasabile, prin considerarea

posibilitii de deformare axial a barelor, ceea ce are urmtoarele

consecine:

o un nou mod de alegere a necunoscutelor (translaiile fiecrui nod devin

necunoscute independente);

o creterea numrului deplasrilor necunoscute;

o situaia devine aceeai pentru toate nodurile i n felul acesta formularea

capt caracter general.

Astfel, n formularea automat, pentru schema static din Fig. 1 se vor

identifica 12 deplasri necunoscute pentru cazul n care forele acioneaz n

planul structurii, aa cum se arat n Fig. 2.

Pentru aplicarea acestei noi abordri n vederea programrii, este

necesar un mod concentrat de scriere, ajungndu-se astfel la formularea

matricial. Sistemul de ecuaii specific metodei deplasrilor, scris pentru un

sistem cu 12 deplasri necunoscute, notate z1,z12, are forma:

INTRODUCERE 7

11 1 12 2 1,12 12 1

21 1 22 2 2,12 12 2

12,1 1 12,2 2 12,12 12 12

... 0... 0

...

... 0

p

p

p

r z r z r z R

r z r z r z RK U P

r z r z r z R

+ + + + =

+ + + + = =

+ + + + =

unde K reprezint matricea de rigiditate, U vectorul deplasrilor, iar P

vectorul forelor exterioare, echivalente la nod.

u1

v1

q1

u2

v2

q2

u3

v3

q3

u4

v4

q4

(z1) (z2)

(z3)

(z5)

(z6)

(z4) (z8)

(z9) (z7)

(z11)

(z12) (z10)

Fig. 2 Definirea necunoscutelor n formularea matricial pentru o structur plan

ncrcat n plan

Deoarece volumul de calcul nu mai reprezint un obstacol, se poate

renuna la unele simplificri i ca urmare, atunci cnd se justific se

consider conlucrarea spaial sau neliniaritatea geometric (prin aplicarea

calcului de ordin II).

Obs: n calculul automat tratarea problemelor de neliniaritate se face

prin liniarizare: de exemplu, curba for-deplasare se poate nlocui cu un

contur poligonal, format din segmente ce corespund unor trepte de ncrcare

de mrime dat. Pentru fiecare treapt, comportarea structurii se consider

liniar elastic, dar cu parametrii modificai cnd se trece de la o treapt la

alta. De aici rezult c instrumentul de baz rmne calculul de ordin I.

1.3 Modelul de calcul (discretizarea) Modelul de calcul se obine prin discretizarea structurii schematizate,

considernd structura ca fiind alctuit dintr-un numr finit de bare prinse

ntre ele n noduri.

Nodurile sunt privite ca i corpuri rigide de sine stttoare asupra

crora pot fi aplicate sarcini i unde pot interveni legturi cu mediul exterior.

Se consider drept noduri, punctele de concuren a barelor, de frngere a


barelor cotite, puncte intermediare n care sunt aplicate fore sau n care

trebuie calculate deplasri; punctele de rezemare se consider tot noduri,

dar avnd anumite particulariti.

Barele sunt prinse la extremiti de noduri prin anumite legturi

(ncastrare, articulaie). ntr-un nod barele concurente pot avea legturi

diferite, funcie de modul de schematizare a situaiei reale. De obicei

prinderea barelor n noduri se consider rigid, dar exist i cazuri n care e

mai potrivit o ncastrare parial (prinderi bulonate la structuri metalice,

prinderi de elemente prefabricate); la structuri plane sau spaiale cu zbrele

se consider c toate barele sunt prinse n noduri prin articulaii.

Configuraia modelului de calcul comport dou aspecte:

definire geometric, prin precizarea coordonatelor nodurilor n raport cu

un anumit sistem de referin

definire topologic sau de conectivitate, preciznd pentru fiecare bar:

- ntre ce noduri se gsete

- tipul de bar prin natura prinderilor din noduri

- seciunea barei (A,I), materialul (E, G)

Completarea modelului de calcul se face prin introducerea ncrcrilor de

calcul, a cror evaluare i grupare se face conform normativelor n vigoare i

a condiiilor de margine care presupune definirea rezemrilor structurii (i

eventual a deplasrilor impuse).

1.4 Sisteme de axe de referin Discretizarea permite ca analiza structurii s se nceap prin studiul

barei ca element component al structurii; reaciunile dezvoltate dup fiecare

din direciile deplasrilor necunoscute (grade de libertate sau parametrii

independeni), ca urmare a aplicrii unor deplasri unitare n extremitile

barei (Dj=1 rij) alctuiesc o matrice de rigiditate ce are caracter general,

putnd fi utilizat la toate structurile care au n componen tipul respectiv

de bar.

De exemplu, matricea de rigiditate elementar pentru o bar dublu

ncastrat ce face parte dintr-un cadru plan ncrcat n plan, se poate obine

prin urmtoarea procedur:

- se identific deplasrile independente, numite grade de libertate:

pentru acest tip de structur pentru fiecare nod exist trei deplasri

independente: translaii dup axele ce definesc planul structurii (notate cu

u i v) i o rotire n jurul axei normale pe planul structurii, notat cu q);

- se dau pe rnd deplasri unitare dup cte una din cele ase

direcii, n timp ce celelalte posibiliti de deplasare sunt blocate;

INTRODUCERE 9

- se pun n eviden reaciunile care se dezvolt dup cele ase

direcii; reaciunile dezvoltate dup cele ase direcii, ca urmare a ncrcrii

barei cu o deplasare unitar dup direcia j, alctuiesc termeni kij, adic

coloana j din matricea de rigiditate.

Matricea de rigiditate astfel obinut se numete matrice de rigiditate

elementar n sistem local.

u2

v2

q2

u1

v1

q1

u1=1

EA/L

EA/L

v1=1

12EI/L3

12EI/L3

6EI/L2

6EI/L2

E, A, I, L

6EI/L2

4EI/L

6EI/L2

q1=1

2EI/L

u1 v1 1 u2 v2 2

u1 EA/L 0 0 -EA/L 0 0

v1 0 12EI/L3 -6EI/L2 0 -12EI/L3 -6EI/L2

1 0 -6EI/L2 4EI/L 0 6EI/L2 2EI/L

u2 -EA/L 0 0 EA/L 0 0

v2 0 -12EI/L3 6EI/L2 0 12EI/L3 6EI/L2

2 0 -6EI/L2 2EI/L 0 6EI/L2 4EI/L

Fig. 3 Definirea termenilor kij care alctuiesc matricea de rigiditate elementar n

sistem local pentru o bar ce face parte dintr-un cadru plan ncrcat n plan

Analiza structurii ca ntreg presupune asamblarea barelor n structur

pe baza definirii topologice i innd seama de poziia barei n raport cu

sistemul de referin.

Parcurgerea etapelor menionate (studiul barelor izolate i apoi

asamblarea n structur) impune utilizarea a (cel puin) dou sisteme de

referin:


- Pentru studiul barei izolate se adopt un sistem de axe propriu acesteia -

numit sistem local axa x coincide cu axa longitudinal; n raport cu acest

sistem se definesc i unele rezultate, cum ar fi eforturile; n general acest

sistem asigur interpretarea corect a caracteristicilor geometrice referitoare

la un element.

- Pentru asamblarea barelor se utilizeaz sistemul global (general) la care este

raportat ntreaga structur. Sistemul global poate fi n mod convenabil ales

de utilizator i odat definit nu se mai modific pn la sfritul analizei;

mrimile ce caracterizeaz structura pe ansamblu se definesc fa de acest

sistem.

X

Y

x

y

x2

y2

x3

y3

x1

y1

X

Y Fig. 4 Sisteme de referin: XY sistem global, xiyi sisteme locale

PRINCIPII DE ALCATUIRE SI OPERARE IN FORMULAREA MATRICIALA 11

2 PRINCIPII DE ALCTUIRE I OPERARE N FORMULAREA MATRICIAL

2.1 Formularea matricial sub form de schem logic

Dintre cele dou metode clasice de rezolvare a structurilor static

nedeterminate (metoda eforturilor i metoda deplasrilor), metoda

deplasrilor este cea care se preteaz cel mai bine la generalizri, iar n

continuare se va prezenta formularea matricial pentru aceasta metod.

Aplicarea metodei presupune rezolvarea ecuaiei de echilibru

mecanicK U P = . Descrierea sub form matricial a caracteristicilor de rezisten ale structurii i a ncrcrilor exterioare se face sub forma celor

dou tablouri K i P.

simplificri

natura deplasrilor generalizate

matricea de rigiditate elementar n sistem local, ke vectorul forelor echivalente la nod

P

matricea de rigiditate elementar n sistem global, kge

expandare Ee rotire Roe

matricea de rigiditate general , K

asamblare Ae

matricea de rigiditate redus, Kr vector redus la forelor echivalente la nod Pr

K

Introducerea condiiilor de margine

eforturi elementare raportate la sistemul local

rezolvarea ecuaiei de micarea i determinarea deplasrilor nodale (raportate la sistemul global) Ur

K

reaciuni raportate la sistemul global

Fig. 5 Metoda deplasrilor n formularea matricial


2.2 Principii de alctuire i operare cu matricele 1. Ordinul matricei de rigiditate este dictat de numrul gradelor de libertate.

De exemplu, n analiza spaial pentru fiecare nod exist ase deplasri

independente: translaii dup direciile X,Y,Z i rotiri n jurul acelorai

axe, de unde rezult c pentru o bar se identific 12 necunoscute i prin

urmare matricea de rigiditate elementar va avea dimensiunea de k1212.

Matricea de rigiditate general, pentru o structur discretizat n n

noduri va fi de dimensiunea K6n6n.

Pentru un cadru plan ncrcat n plan numrul deplasrilor independente

se reduce la 3: translaii dup X i Y, rotiri n jurul axei Z. Matricea de

rigiditate elementar va fi de dimensiunea k66, iar matricea de rigiditate

general K3n3n., unde n reprezint numrul de noduri.

u

v

w

x

y

z

ngld=6,n=8

k 1212 K 4848

u

v

z

ngld=3,n=4

k 66 K 1212

(a)

1 2

3 4

1 2

3 4

5 6

7 8

(b)

X

Y

Z

Fig. 6 Ordinul matricelor de rigiditate (elementar i general), funcie de tipul

de analiz efectuat i de numrul deplasrilor generalizate : (a) analiza spaial cu 6

grade de liberate pe nod ; (b) analiza plan cu 3 grade de libertate pe nod.

2. Dimensiunea tablourilor trebuie s permit efectuarea operaiilor, dup

regulile de operaii cu matrice.

De exemplu, pentru a rezolva ecuaia de echilibru prin efectuarea

operaiei 1K P este necesar ca n vectorul P s fie stocate ngldn valori (cu ngld s-a notat numrul gradelor de liberate considerate n analiza

efectuat) adic un numr egal cu ordinul matricei de rigiditate. n

vectorul forelor echivalente la nod trebuie introduse componentele

forelor exterioare din toate nodurile structurii, dup toate direciile

deplasrilor generalizate. Pentru structura din Fig. 6(b), la care matricea

PRINCIPII DE ALCATUIRE SI OPERARE IN FORMULAREA MATRICIALA 13

de rigiditate general este de ordinul 12, vectorul forelor exterioare

echivalente la nod va conine n mod obligatoriu 12 termeni.

1 1 1 3 3 3 4 4 4 2 2 2T

x y x y x y x yP P P M P P M P P M P P M =

n cazul n care nu exist componente ale ncrcrilor dup unele direcii,

celula alocat acesteia trebuie completat cu 0.

3. Vectorii elementari (care descriu elementele de tip bar) sau cei generali

(care descriu structura ca tot unitar) se obin dintr-o succesiune de

subvectori nodali (deplasri sau fore). Este important ca ordonarea

componentelor dup direciile deplasrilor generalizate s se pstreze

pentru toate nodurile i pentru toate matricele.

De exemplu, pentru a obine termenii ce alctuiesc matricea de rigiditate

elementar n sistem local pentru o structur plan ncrcat n plan,

deplasrile generalizate au ocupat poziii corespunztoare ordonrii: x,y,z.

Aceast ordonare se va pstra i pentru exprimarea matricial a forelor

exterioare, a deplasrilor i a eforturilor.

x

y

u P Nv P T

M M

z z

x x x

y y y

w P TM MM M

deplasri forte eforturi

u

v

z

w x

y

(a)

(b)

Fig. 7 Ordonarea componentelor dup direciile deplasrilor generalizate: (a)

structur plan ncrcat n plan, (b) structur plan ncrcat perpendicular pe plan.

De asemenea, succesiunea nodurilor odat stabilit pentru definirea

unui tablou (matrice) ce descrie structura ca ansamblu (U, P sau K) trebuie

pstrat pentru toate celelalte tablouri. De aceast ordonare se va ine

seama att la definirea matricelor ce conin datele de intrare (K, P), ct i la

interpretarea rezultatelor (deplasri, reaciuni, etc.)

1

3

4

K

1 3 4 2

1

3

4

2

U P =

2

Fig. 8 Ordonarea nodurilor identic pentru K,U,P


3 EXPRIMAREA RIGIDITII SUB FORM MATRICIAL

3.1 Trecerea de la un sistem de referin la altul pentru un vector Pentru un sistem de axe ortogonal OXYZ care sufer o rotire n jurul

originii sale, aa nct s ocupe poziia Oxyz, se cunoate din mecanic

relaia care leag ntre ele componentele unui vector R, raportate la cele

dou sisteme de axe :

' ; x x x

y y y

z z y

l m nR ro R ro l m n

l m n

= =

(3.1)

unde lx, mx, nx, se numesc cosinui directori ; dac rotirea se face n plan

(Z coincide dup rotire cu z), cosinuii directori se pot exprima n funcie de

un singur parametru, unghiul dintre axa X i x.

X Z

Y

z

x

y

cos( , ') coscos( , ') cos(270 ) sincos( , ') cos90 0cos( , ') cos(90 ) sincos( , ') coscos( , ') cos90 0

cos( , ') 0cos( , ') 0cos( , ') cos0 1

x

x

x

y

y

y

z

z

z

l X xm Y xn Z xl X ym Y y

n Z y

l X zm Y zn Z z

= =

= = + =

= = =

= = + =

= =

= = =

= =

= =

= = =

Fig. 9 Reducerea cosinuilor directori la un unghi ascuit pentru cazul rotirii n plan

Expresia matricei de rotaie se obine definind deplasrile seciunilor

de capt ale barei raportate fa de sistemul local n funcie de deplasrile

din sistemul general. Dac se consider pentru un element componentele

deplasrilor nodale dup direciile unui sistem de referin OXYZ notate

u,v,w i componentele raportate la sistemul de referin rotit, notate cu

u,v,w, aa cum se prezint n Fig. 10, ntre componentele deplasrilor din

cele dou sisteme exist relaia din (3.2)

EXPRIMAREA RIGIDITATII SUB FORMA MATRICIALA 15

ui

vi

wi

ui

vi

wi

uj

vj

wj

uj

vj

wj Fig. 10 Componentele deplasrilor dup direciile a dou sisteme de referin, rotite

unul fa de cellalt

'' 0 0 0

' ' 0 0 0' ' 0 0 0' ' 0 0 0

' 0 0 0''

'

i x i x i x i i x x x

i y i y i y i i y y y

i z i z i z i i z z z

j x j x j x j j x x x

j yj y j y j y j

jj z j z j z j

u l u m v n w u l m nv l u m v n w v l m nw l u m v n w w l m nu l u m v n w u l m n

v lv l u m v n www l u m v n w

= + + = + + = + +

= = + +

= + + = + +

0 0 0

i

i

i

j

jy y

jz z z

u

v

w

u

vm n

wl m n

Ro

(3.2)

de unde rezult i expresia matricei de rotaie 0

0ro

Roro

=

.

3.2 Pregtirea matricelor de rigiditate elementare n vederea asamblrii. Relaia care permite trecerea matricelor de rigiditate elementare din

sistemul local la sistemul global se obine pornind de la scrierea relaiei for

deplasare, pe rnd, n raport cu cele dou sisteme de referin. Vectorii

forelor nodale i ai deplasrilor generalizate din sistem local se vor scrie n

funcie de componentele din sistemul general, notate cu indicele g.

Dac se consider un element structural oarecare supus unor fore

generalizate la noduri [ ]1 ... nP P pe direcia crora deplasrile generalizate sunt [ ]1 ... nu u , relaia fore-deplasri se scrie P k u= , n care k este matricea de rigiditate a elementului structural. Un element kij din aceast

matrice reprezint fora nodal Pi produs de deplasarea uj=1.

g g gP k u= (3.3)

g gP k u Ro P k Ro u= = (3.4)

Prin multiplicarea la stnga a relaiei (3.4) cu RoT, se ajunge la relaia,

Tg gP Ro k Ro u= (3.5)


din care, prin identificarea termenilor cu cei din relaia (3.3), rezult, pentru

matricea de rigiditate elementar raportat la sistemul global, urmtoarea

relaie :

Tgk Ro k Ro= (3.6)

unde Ro este matricea de rotaie; pentru o structur plan ncrcat n plan,

aceast matrice se poate exprima n funcie de un singur parametru,

unghiul dintre axa X a sistemului global i axa x a sistemului local, msurat

n sens trigonometric de la X ctre x.

cos sin 0 0 0 0sin cos 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos sin 00 0 0 sin cos 00 0 0 0 0 1

Ro

=

X (sistem global)

xe

(sistem local ptr. elementul e)

Fig. 11 Definirea matricei de rotaie pentru un cadru plan ncrcat n plan

Una din operaiile prin care se pregtesc matricele elementare n

vederea asamblrii este prin urmare rotirea acestora, adic raportarea fa

de un sistem de referin unic, i anume sistemul general. Uneori pregtirea

n vederea asamblrii presupune o operaie suplimentar, numit

expandare.

n cele ce urmeaz se va ajunge la expandare, punnd n eviden

rolul dublu pe care-l poate juca matricea de rotaie pentru o bar dublu

articulat, ce face parte dintr-o structur plan cu zbrele; n elementele

acestor structuri, dup cum se tie se dezvolt doar eforturi axiale, prin

urmare, gradele de libertate din sistem local se pot reduce la translaii dup

axa x, iar matricea de rigiditate elementar raportat la sistemul local are

forma 1 11 1e

EAkL

=

(vezi Fig. 12a)

Dac se exprim matricial deplasrile din sistemul local n funcie de

componentele din sistemul global, reprezentate n Fig. 12b, se obine

expresia matricei de rotaie Ro:

' '

''

0 0 0 00 0 0 0

i

i x i x i ix x x xi

jx x x xjj x j x j

j

u

u l u m v vl m l muRo

ul m l muu l u m vv

= + = = = +

(3.7)


ui

uj

ui

vi

X

Y ui

vi ui uj x

EA/L EA/L

ui=1

EA/L EA/L

uj=1

(a) (b)

Fig. 12 Bar dublu ncastrat care face parte dintr-o ferm plan: (a) - deplasri

raportate la sistemul local i determinarea termenilor ce definesc matricea de

rigiditate n sistem local; (b) raportarea deplasrilor la sistemul general de axe

Matricea de rigiditate elementar raportat la sistemul general se va

obine aplicnd relaia (1.6) i se observ c trecerea matricei de rigiditate

din sistemul local n sistemul global are drept urmare o expandare a

matricei, n sensul c se mrete ordinul matricei de rigiditate: k22 k44.

Operaia de expandare este necesar cnd se face trecerea de la un

numr mai mic de grade de libertate caracteristice sistemului local de

referin, la un numr mai mare de grade de libertate ce caracterizeaz

sistemul global de axe. Expandarea se realizeaz cu ajutorul matricei de

expandare E o matrice dreptunghiular alctuit din termeni de 0 i 1. De

exemplu, pentru a trece de la un spaiu unidimensional la unul bi sau

tridimensional se pot folosi matrice de expandare cu urmtoarele

configuraii:

1 0 0 0 1 0 0 00 0 1 0 0 0 1 0

i

i i

j j

j

NN T

EN N

T

= =

(3.8)

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

i

i

i i

j j

j

j

NT

N ME

N NTM

= =

(3.9)

Matricele de rigiditate expandate, notate kE se obin cu ajutorul

relaiei :

TEk E k E= (3.10)


Exemplul 1 Alctuii matricea de rigiditate elementar pentru elementul 1 ce

aparine fermei cu zbrele din Fig. 13. Seciunea elementului 1 este

compus din dou profile cu aripi egale L10010010, iar E=21107 kPa.

1

l=1,20m

1

2 L10010010 E=21107

h=0,75m

Fig. 13

- pe baza caracteristicilor geometrice i de material se obine matricea

elementar n sistem local, k1: 2 4 2

1

2 21 1

7

2 19.2 38.4 101 1

1.415 56990 /1 1

21 10

cmA m

l l h m k kN mE kPa

= =

= + = =

=

- se calculeaz cosinusurile directoare lx, mx, pentru a obine matricea de

rotaie, Ro :

11

1

11

cos 0.848 0.848 0.53 0 00 0 0.848 0.53sin 0.53

x

x

ll lRo

hm l

= = =

= = = =

- se obine matricea de rigiditate elementar raportat la sistemul global, kg1,

care se observ c este expandat fa de matricea din sistemul local :

1 1 1

0.719 0.449 0.719 0.4490.449 0.281 0.449 0.281

56990 /0.719 0.449 0.719 0.4490.449 0.281 0.449 0.281

Tgk Ro k Ro kN m

= =

3.3 Matricea de rigiditate general asamblarea acesteia Asamblarea structurii este procesul prin care din matricele de

rigiditate elementare n coordonate globale se obine matricea de rigiditate

general ce reprezint o caracteristic proprie structurii pentru parametrii

considerai.

n operaia de asamblare se face o nsumare a termenilor ce corespund

matricelor de rigiditate definite pentru bare ce concur n acelai nod, aa

cum este sugerat n Fig. 14.


2

1

3

1

2

u1 v1 1 u2 v2 2 u3 v3 3

u1

v1

1 u2

v2

2

k1=

u2 v2 2 u3 v3 3 u2

v2

2

u3

v3

3

k2=

u1

v1

1 u2

v2

2

ASAMBLARE

K=

MATRICE ELEMENTARE IN COORDONATE GLOBALE u1 v1 1 u2 v2 2

u3

v3

3

MATRICE DE RIGIDITATE GENERALA

u3

v3

3

u1

v1

1

u2

v2

2

Fig. 14 Schematizarea asamblrii pentru o structur discretizat n 3 noduri i 2

elemente

Asamblarea matricelor este asigurat de ecuaia de compatibilitate a

deplasrilor; relaia prin care vectorul deplasrilor nodale ale structurii U se

transform n vectorul deplasrilor corespunztoare elementelor u*,

reprezint o ecuaia de compatibilitate. Componena vectorilor U i u* pentru

structura din Fig. 14 este redat n ec. (3.11) i (3.12).

[ ]1 1 1 2 2 2 3 3 3 dimensiune:T glU u v u v u v n n = (3.11) [ ]* 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3| 2 dimensiune: T el glu u v u v u v u v n n = (3.12) *u A U= (3.13) unde A se numete matrice de localizare; este o matrice dreptunghiular

alctuit din termeni cu valoarea 0 sau 1; numrul coloanelor este egal cu

numrul deplasrilor generalizate (9 pentru structura din Fig. 14), iar

numrul rndurilor egal cu numrul deplasrilor nodale elementare (12

pentru structura din Fig. 14).

Pentru a gsi relaia de legtur dintre matricea de rigiditate general

i matricele elementare n coordonate globale, se va exprima ecuaia de

echilibru pentru structur


P K U= (3.14) i pentru fiecare element

e g e eS k u= (3.15)

unde indicele e se refer la elementul e, iar Se reprezint forele nodale

elementare n direcia deplasrilor nodale; cele nel ecuaii de tip (3.15) se pot

combina ntr-o singur ecuaie:

[ ][ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

11 1

2 2* * * *2

0 0 0

0 0 0; ;

... ...0 0 ... 00 0 0

unde

el elel

g

g

n ng n

kS uS k u

S K u S K u

S uk

= = = =

(3.16)

n care K* se numete matricea rigiditii elementelor nelegate.

Prin multiplicarea relaiei (3.16) la stnga cu AT se obine relaia

* *T TA S A K u = (3.17) n care se va introduce ecuaia de compatibilitate (3.13), obinndu-se

*T TA S A K A U = (3.18) Termenul din stnga se poate nlocui cu vectorul P, dac se folosete

principiul lucrului mecanic virtual: lucrul mecanic virtual produs de forele

exterioare ce parcurg deplasrile virtuale U ( TU P ) este echilibrat de energia potenial pentru structura discretizat n elemente

[ ] *T Teeu S u S = .

*

* *

T TT T T T

T T T

U P u SU P U A S P A S

u A U u U A

= = =

= = (3.19)

n aceste condiii, prin echivalarea termenilor din ec (3.18) cu cei din

ec (3.14) rezult

*TK A K A= (3.20) Dac matricea de localizare A se partiioneaz n matrice de localizare

corespunztoare fiecrui element, se poate scrie urmtoarea relaie care

permite realizarea operaiei de asamblare.

1 1

2 21 2

1

0 0 00 0 0

... 0 0 0 0 ...0 0 0

el

el

el el

g

ng T

n e ge ee

g n n

k Ak A

K A A A A k A

k A=

= =

(3.21)


Exemplul 2 Definii matricele de localizare partiionate pentru a realiza asamblarea

structurii din Fig. 14.

Pentru a defini matricele de localizare partiionate se stabilete

succesiunea termenilor ce corespund deplasrilor generalizate. Odat

stabilit ordinea acestora, ea se pstreaz pentru toate tablourile ce definesc

mrimi pentru ntreaga structur.

A) Vom considera pentru nceput c succesiunea nodurilor n

tablourile K i P va fi 1,2,3. Componena matricelor de localizare partiionate

se stabilete conform schemei din urmtorul tabel. Coloanele au aceeai

semnificaie pentru toate cele trei matrice Ai i reprezint deplasrile

generalizate. Rndurile au, pentru fiecare matrice Ai, alt semnificaie, n

funcie de nodurile ce definesc elementul.

u1 v1 1 u2 v2 2 u3 v3 3 u1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

v1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 u2 0 0 0 1 0 0 0 0 0

v2 0 0 0 0 1 0 0 0 0

A1=

2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 u2 0 0 0 1 0 0 0 0 0

v2 0 0 0 0 1 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 u3 0 0 0 0 0 0 1 0 0

v3 0 0 0 0 0 0 0 1 0

A2=

3 0 0 0 0 0 0 0 0 1

B) Dac n ordonarea nodurilor se face 2,3,1, iar pentru nodul 3 se

modific si ordinea deplasrilor generalizate - 3, u3 ,v3 - matricele de localizare vor avea urmtoarea form, aa cum se prezint mai jos. Se

observ din urmtorul tabel c se modific doar succesiunea coloanelor,

pentru rnduri pstrndu-se aceeai ordonare.

O astfel de ordonare ar fi justificat de separarea deplasrilor blocate

prin legturi, aa cum se va vedea n capitolul destinat condiiilor de

margine, iar alctuirea celorlalte tablouri precum i interpretarea

rezultatelor se va face n concordan cu aceast ordonare.


u2 v2 2 3 u3 v3 u1 v1 1 u1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

v1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 u2 1 0 0 0 0 0 0 0 0

v2 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A1=

2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 u2 1 0 0 0 0 0 0 0 0

v2 0 1 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 u3 0 0 0 0 1 0 0 0 0

v3 0 0 0 0 0 1 0 0 0

A2=

3 0 0 0 1 0 0 0 0 0

EXPRIMAREA FORTELOR EXTERIOARE SUB FORMA MATRICIALA 23

4 EXPRIMAREA FORELOR EXTERIOARE SUB FORM MATRICIAL

4.1 Fore exterioare echivalente la nod n formularea matricial, ncrcrile exterioare se introduc ca un

sistem de fore concentrate n noduri, dup direciile deplasrilor

generalizate. Condiia pe care trebuie s-o ndeplineasc forele echivalente

este ca ele s produc aceleai deplasri de noduri ca i forele exterioare

reale. De aceea ncrcrile din cmp vor fi nlocuite cu reaciunile pe care

acestea le genereaz n capetele barelor ce alctuiesc sistemul de baz

alctuit dup regulile metodei deplasrilor.

Direciile acestor reaciuni depind de direciile parametrilor

independeni pentru structura analizat.

ui

vi

i

X

Y

i x

i y

i z

u Pv P

M

X

Y

Z

wi

xi

yi

i z

xi x

yi y

w PMM

(a)

(b)

Fig. 15 Componentele forelor echivalente la nod, funcie de componentele

deplasrilor generalizate: (a) structur plan ncrcat n plan; (b) structur plan

ncrcat normal pe plan

Pentru a obine sistemul de fore echivalente la nod se parcurg etapele

urmtoare:

a) se obine S.B. din metoda deplasrilor prin introducerea

blocajelor pentru rotirile nodurilor rigide i a pendulilor

pentru blocarea translaiilor nodurilor.


b) se izoleaz fiecare bar mpreun cu forele aferente din

cmp, se calculeaz momentele de ncastrare perfect i

reaciunile corespunztoare.

c) reaciunile de tip moment i for, cu sens opus, vor nlocui

forele din cmp.

Exemplul 3 Scriei vectorul forelor echivalente pe nod pentru structurile

urmtoare:

A)

1

2 3

4

Q M

ncrcrile exterioare constau n fore i momente aplicate n noduri i n

consecin, vectorul forelor echivalente la nod va avea forma:

[ ]0 0 0 | 0 0 | 0 0 | 0 0 0TP Q M=

B)

1

2 3

4

Q

F

p

ncrcrile din cmp, p i F trebuie nlocuite cu fore care aplicate n noduri

s conduc la aceleai efecte.


1

3

3

4

1

2 2

(a)

p

2

T1 M1 M1 T1

F 3

M2

T2

T3

1

3

3

4

1

2 2

(c) (b)

T2

M2

T3

M1 M1 T1 T1

Q

[ ]0 0 0 | 1 1| 2 1 2 1| 3 0 0TP Q T M T T M M T=

C)

1

2

3

4

5

1

2 3

4

Q1

F

Q2

ncrcrile din cmp, Q1 i Q2 trebuie nlocuite cu fore care aplicate

n noduri s conduc la aceleai efecte. Fora F acioneaz n nod, dar

trebuie nlocuit de componentele sale fa de sistemul global de axe, tot aa


cum i reaciunile de tip for date de fora Q2 trebuie descompuse dup

aceleai axe.

2

T1

M1

M1

T1

(b)

1

2

3

4

5

1

2 3

4

Q1

Q2

(a)

T2x

M2M2

T1

T1

T2y

T2x

T2y

T2x

T2y

T2x

T2y

M2

M2

Fx

Fy

(c)

M1

M1

Fx

Fy F

1 1 2 1 2 2 1 2 2 20 0 0 | 0 | | | 0 0 0T x y x x y yP T M T T T M M F T F T M =

4.2 Considerente legate de gruparea ncrcrilor Implementarea principiilor calculului automat n programe de calcul

permite ca efortul de calcul s fie transferat sistemelor automate de calcul,

n schimb definirea corect a ncrcrilor este o sarcin care nu poate fi

suplinit de un program de calcul. Odat calculate ncrcrile pe baza

greutilor tehnice i a normativelor de zpad, vnt, seism, etc., acestea

trebuie grupate conform normativelor n vigoare (la momentul redactrii

cursului, CR0-2005). Cteva noiuni cu privire la clasificarea i gruparea

ncrcrilor, conform normativul CR0-2005 vor fi prezentate sintetic n

continuare.


Clasificri ale ncrcrilor A

- PERMANENTE (G) ncrcri pentru care variaia n timp este nul

sau neglijabil: greutatea proprie a construciilor, a echipamentelor

fixate de construcii;

- VARIABILE (Q) - ncrcri pentru care variaia n timp nu este nici

monoton i nici neglijabil: aciuni din exploatare pe planee,

zpada, vntul, mpingerea pmntului, a materialelor pulverulente;

- ACCIDENTELE (A) ncrcri de scurt durat, care se exercit cu

probabilitate redus:cutremure, explozii, impactul vehiculelor.

De obicei cutremurul i impactul reprezint aciuni accidentale, iar zpada

i vntul reprezint aciuni variabile.

B

- STATICE aciuni care nu provoac fore de inerie pe structur i

pe elementele sale structurale.

- DINAMICE - aciuni care provoac fore de inerie semnificative pe

structur. Aciunile dinamice sunt exprimate n general ca i aciuni

statice echivalente, prin aplicarea unor coeficieni de amplificare

unei fore statice. Dac aciunile dinamice produc un rspuns

dinamic semnificativ se impune o analiz dinamic a structurii.

- CVASISTATICE aciune dinamic reprezentat printr-o aciune

static echivalent.

Verificri la starea limit ultim Starea limit ultim reprezint o stare asociat cu prbuirea sau cu

alte forme de cedare structural.

Verificarea structurilor se face pentru

- Cedarea structural i/sau deformarea excesiv a elementelor

structurii/infrastructurii-terenului, impunnd ca:

Valoarea de calcul a EFECTELOR aciunii

Valoarea de calcul a REZISTENEI secionale de aceeai natur cu efectul

- pierderea echilibrului static al structurii sau a unei pri a

acesteia, prin cerina:

Valoarea de calcul a efectului aciunilor ce conduc la

PIERDEREA ECHILIBRULUI

Valoarea de calcul a efectului aciunilor ce se OPUN

PIERDERII ECHILIBRULUI

Gruparea efectelor structurale ale aciunilor pentru verificarea la SLU

se face conform schemei, n care intr ncrcrile permanente (G) i cele

variabile cu valorile lor caracteristice(Q).


Valorile caracteristice sunt valorile reprezentative i se determin fie

pe baze probabilistice, fier pe baze deterministe, printr-o valoare nominal

utilizat n lipsa datelor statistice.

1.35G+1.5Q1+1.5i(0)Qi

aciunea variabil cu pondere predominanta

=0.7 =1 ptr incarcari din depozite,

impingerea pamantului, materielelor pulverulente fluidelor

De exemplu, pentru o structura acionat predominant de efectele

vntului se definete gruparea

1.35 1.5 1.05( )G V Z sau U+ + iar pentru o structura acionat predominant de efectele zpezii

1.35 1.5 1.05( )G Z V sau U+ + n care V - aciunea vntului pe structur, cu valoarea sa caracteristic, Z

aciunea din zpad, cu valoarea caracteristic, U valoarea caracteristic a

aciunilor utile, datorate exploatrii.

Aciunile permanente care au efect favorabil asupra siguranei

structurilor (de exemplu la starea limit de echilibru static) se multiplic cu

coeficientul 0.9.

n cazul aciunii seismice, gruparea pentru verificarea la stri limit

ultime se alctuiete dup schema

G+IA+i(2)Qi

0.8 clasa IV 1 clasa III

1.2 clasa II 1,4 clasa I

=0 ptr V, variatii de temperatura =0.4 ptr Z, U =0.8 ptr incarcari din depozite

n care A este valoarea caracteristic a aciunii seismice ce corespunde

intervalului mediu de recurenta de 100 ani (conform codului de proiectare

P100-2006)

Verificri la starea limit de serviciu Starea limit de serviciu este starea limit dincolo de care cerinele

necesare pentru utilizarea n condiii normale a construciei nu mai sunt

ndeplinite.

efectele aciunilor de calcul Valorile limita ale criteriilor de

serviciu considerate


Efectele aciunilor de calcul se determin pentru urmtoarele grupri:

- Grupare caracteristic (0)1 i iG Q Q+ + - Gruparea frecventa (2)1 1 i iG Q Q + + unde

21 ia valorile: 0.2

pentru vnt, 0.5 pentru zpad i variaii de temperatur, 0.5

pentru ncrcri utile3kN/m2, 0.9 pentru ncrcri din depozite.

- Gruparea cvasipermanent n care se consider aciunea

seismic (2)0.6 I i iG A Q + + , respectiv n care se consider efectele structurale de lung durat (2)i iG Q+ .


5 INTRODUCEREA CONDIIILOR DE MARGINE REARANJAREA I PARTIIONAREA MATRICEI DE RIGIDITATE

5.1 Condiii de margine Considernd i pentru rezemri acelai numr de deplasri ca i

pentru nodurile propriu-zise, rezult c matricea de rigiditate K definit n

etapele anterioare descrie o structur liber n plan sau spaiu. n aceste

condiii, matricea de rigiditate este singular, iar mrimile deplasrilor devin

nedeterminate, deoarece alturi de efectul deformrii structurii poate

interveni i o deplasare arbitrar a acesteia ca un corp rigid.

Aceast nedeterminare este rezolvat prin introducerea condiiilor de

margine, adic precizarea legturilor care fixeaz structura n plan sau

spaiu.

n acest scop se poate utiliza partiionarea matricei generale de

rigiditate K pe criteriul separrii ecuaiilor ce corespund deplasrilor

mpiedicate din rezemri, ceea presupune ca ecuaiile ce corespund

deplasrilor blocate prin legturi s fie mutate din poziiile iniiale i

grupate, de exemplu, la urm.

Obs: Aceast aranjare a matricei de rigiditate poate fi controlat nc din

etapa de asamblare, dac definirea matricelor de localizare partiionate

Ae se face dup acest criteriu, aa cum s-a artat n Exemplul 2B.

Rearanjarea i partiionarea matricei de rigiditate impune efectuarea

acestor operaii i pentru celelalte tablouri ce intervin n ecuaiile de

echilibru, U i P.

T

r rr o

o oo oo

U PK KU PK K

=

(5.1)

unde :

- Kr cuprinde reaciunile dezvoltate dup direciile deplasrilor libere ca

urmare a ncrcrii structurii cu deplasri unitare dup aceste direcii

i se numete matrice de rigiditate redus.

- Ur - cuprinde toate deplasrile de mrimi necunoscute (deplasrile

nodurilor i deplasrile libere din rezemri)

INTRODUCEREA CONDIIILOR DE MARGINE - PARTIIONAREA MATRICEI DE RIGIDITATE 31

- U0 cuprinde deplasrile dup direciile reaciunilor, care sunt

mpiedicate de legturile din rezemri i prin urmare este un vector nul.

- Pr cuprinde toate forele exterioare de mrimi cunoscute, sub forma

forelor echivalente la nod corespunztoare direciilor deplasrilor

diferite de zero i este numit vectorul redus al forelor echivalente la

nod.

- Po cuprinde reaciunile din rezemri.

Dezvoltnd sistemul pe baza partiionrii efectuate, se obine:

10 0

0

- deplasriTr r r r r r

K U K U P U K P=

+ = =

0 00 0 00

reaciuniTr

K U K U P=

+ =

(5.1)

Exemplul 4 Pentru structura de la Exemplul 3C, facei o schem pentru

introducerea condiiilor de margine i punei n eviden matricele necesare

pentru a obine deplasrile nodurilor rigide i reaciunile.

reaciuni K0-1 Ur=P0

1

2

3

4

5

V1

H1

M1 V5

H5

M5

u2

v2

2

u3

v3

3

u4

v4

4

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Kr K0T

K00

Kr-1 Pr=Ur

K0

deplasri

Semnificaia termenilor obinui dup efectuarea celor dou operaii se

deduce urmrind schema matricei de rigiditate partiionate:

[ ]2 2 2 3 3 3 4 4 4TrU u v u v u v =


[ ]0 5 5 5 1 1 1TP H V M H V M=

5.2 Introducerea n calcul a cedrilor de reazeme Structura este ncrcat cu anumite deplasri de mrimi cunoscute pe

direciile unora dintre legturile din rezemri.

Se poate face o partiionare de forma

0

0 00 0 0

.

. . . ... ...

.

Tr r rK K U P

K K U P

=

(5.2)

n aceast situaie U0 conine att termeni nuli ct i termeni de

mrime cunoscut. Vectorul Pr este vectorul nul deoarece nu sunt aplicate

fore pe structur.

1 10 0 0 00C

T T cr r r r

P

K U K U Ur K K U K P + = = =

(5.3)

Din (5.3) rezult c introducerea cedrilor de reazeme este echivalent

cu considerarea unor sarcini convenionale 0 0c TP K U= aplicate pe direciile

deplasrilor generalizate din nodurile rigide.

ncrcarea cu cedri de reazeme se poate reduce la noduri, ceea ce

presupune aplicarea n nodurile cu deplasri necunoscute a inverselor

reaciunilor din blocri produse de ncrcarea succesiv cu deplasri unitare

pe direciile deplasrilor corespunztoare cedrilor de reazeme.

n Fig. 16 sunt prezentate etapele parcurse pentru a se defini vectorul

sarcinilor convenionale corespunztor unei cedri de reazem ce are o

component dup axa X i una dup axa Y.

Din translaia unitar aplicat dup direcia X rezult tietoarele T1 i

momentele M1, orientate aa cum se vede n Fig. 16b. Din translaia dup

direcia Y rezult tietoarele T2 i momentele M2, reprezentate n Fig. 16c.

1 1 2 23 2 3 2

1 1 2 2

12 6 12 61 ; 1 ; 2 ; 2EI EI EI EIT M T ML L L L

= = = = . Tietoarele i momentele astfel

determinate sunt trecute cu sens opus pe SB, n Fig. 16d, iar pe baza acestei

scheme se poate scrie vectorul sarcinilor convenionale.

12

1 20

22

c

TT

M MP

TM

=


1

3

3

4

1

2 2

(a) Dx=1

Dy=1 Dx=1

T1

T1

M1

M1

T2

T2 M2

M2

Dy=1

T2 T2 M2

M2 T1

T1

M1

M1

(b)

(c) (d)

Fig. 16 Introducerea cedrilor de reazeme

5.3 Operaia de condensare a matricei de rigiditate Condensarea matricei de rigiditate este necesar atunci cnd se

reduce numrul deplasrilor care se rein drept parametrii de baz (de

exemplu, la reducerea numrului gradelor de libertate pentru analiza

dinamic a unei structuri, fa de analiza static).

n aceast situaie, parametrii iniiali se mpart n dou grupe, dintre

care una se elimin ntr-o etap de rezolvare. Condensarea este justificat

dac nu exist fore aplicate dup direciile tuturor deplasrilor cuprinse n

vectorul U. n scopul condensrii se propune urmtoarea partiionare:

1 1 11 2

2 22 3 0

T U P PK KU PK K

= =

(5.4)


unde n vectorul U1 se trec deplasrile pe direciile crora sunt aplicate fore

exterioare, iar n vectorul U2 se trec deplasrile pe direciile crora nu sunt

aplicate fore exterioare.

1 1 2 1 11 1 2 3 2 1 112 1 3 2 2 3 2 1

20

TTK U K U P K U K K K U P

K U K U U K K U

+ = =

+ = = (5.5)

Prin analogie cu relaia * 1 1K U P= rezult expresia matricei condensate*K .

( )1 1 *1 2 3 2 1 1 1 2 3 2T TK K K K U P K K K K K = = (5.6) Condensarea se poate face pentru ntreaga structur sau pentru un

grup de elemente ale acesteia.

Exemplul 5 Se consider o bar dreapt care prezint o variaie brusc de

seciune. Modelul de calcul poate fi considerat ca fiind alctuit din dou

elemente de seciune constant, legate rigid ntre ele n nodul 2.

l l

40

30

20 1 2 3

1 2

1 2 3 1 2

Fig. 17 Bara dreapt cu variaie brusc de seciune

Se pot considera matricele de rigiditate ale celor dou tronsoane, din

care prin suprapunere se va obine o matrice K, cu urmtoarea configuraie:

1 11 1 2 21 2

1 1 2 21 1 2 2

2 2

1 2 31 023 0

TT T

T

a ba b a bk k Kb c a bb c b c

b c

= = = +

Dac bara urmeaz s fie considerat ca un singur element, trebuie

eliminate deplasrile corespunztoare nodului 2 i rezult urmtoarea

partiionare.

[ ]1 1

11*2 2 11 2 1 2

2 2

1 2 1 2

0 .00 .

0. . . ..

T

TT

T

a bac b b

K K c a b bc b

b b c a

= = + +


Pentru bara din Fig. 17, exist urmtoarele relaii ntre caracteristicile

geometrice ale celor dou elemente A2=2A1=2A, I2=8I1=8I . Pentru cele dou

matrice de rigiditate elementare raportate la sistemul local se obin

expresiile:

1 2

30 0 0 30 0 0 60 0 0 60 0 00 3 3 0 3 3 0 24 6 0 24 240 3 4 0 3 2 0 24 32 0 24 1630 0 0 30 0 0 60 0 0 60 0 00 3 3 0 3 3 0 24 24 0 24 240 3 2 0 3 4 0 24 16 0 24 32

E I E Ik kl l

= =

(5.7)

Matricea de rigiditate obinut prin asamblarea celor dou elemente

are forma:

30 0 0 30 0 0 0 0 00 3 3 0 3 3 0 0 00 3 4 0 3 2 0 0 030 0 0 90 0 0 60 0 00 3 3 0 27 21 0 24 240 3 2 0 21 36 0 24 160 0 0 60 0 0 60 0 00 0 0 0 24 24 0 24 240 0 0 0 24 16 0 24 32

E IKl

=

(5.8)

Dup rearanjarea termenilor i partiionarea matricei de rigiditate,

componentele notate cu K1, K2, i K3 n ec. (5.4) au urmtoarele expresii:

1 2 3

30 0 0 0 0 00 3 3 0 0 0

30 0 0 60 0 0 90 0 00 3 4 0 0 0

0 3 3 0 24 24 ; 0 27 210 0 0 60 0 0

0 3 2 0 24 16 0 21 360 0 0 0 24 240 0 0 0 24 32

; E I E I E IK K Kl l l

= = =

(5.9)

iar pentru matricea de rigiditate condensat se va obine

20 0 0 20 0 00 1.22 1.492 0 1.22 3.390 1.492 2.712 0 1.492 3.254

*20 0 0 20 0 00 1.22 1.492 0 1.22 3.390 3.39 3.254 0 3.39 10.305

E IKl

=

(5.10)


6 CALCULUL DEPLASARILOR NODALE SI EFORTURILOR ELEMENTARE

6.1 Calculul deplasrilor nodale Dup introducerea condiiilor de margine prin eliminarea gradelor de

libertate de corp rigid, folosind matricea de rigiditate redus i vectorul

forelor echivalente la nod se pot obine deplasrile din nodurile structurii.

r r r

U K P= (6.1)

n vectorul astfel obinut sunt stocate deplasrile nodale raportate la

sistemul general.

Aa cum s-a artat i n capitolul destinat introducerii condiiilor de

margine, dup ce se obin deplasrile se pot calcula i alte necunoscute,

cum ar fi reaciunile dup direciile deplasrilor blocate:

0 0K Ur P = (6.2)

Semnificaia matricelor notate cu Kr si K0 este cea de la capitolul 4, iar

n Exemplul 4 se poate urmri modul n care se interpreteaz fizic termenii

din vectorii Ur i P0.

6.2 Calculul eforturilor elementare n timp ce tablourile definite anterior (matricea de rigiditate general,

vectorul forelor echivalente la nod, vectorul deplasrilor i vectorul

reaciunilor) au fost raportate la sistemul general de axe, pentru calculul

eforturilor elementare se impune raportarea la sistemul de referin ataat

fiecrui element, la sistemul local.

Pentru fiecare element se pot calcula forele nodale elementare stocate

n vectorii Se.

'e e eS k u= (6.3) n care ke reprezint matricea de rigiditate elementar raportat la sistemul

local, iar 'eu reprezint vectorul deplasrilor nodale elementare raportate la

sistemul local; acest vector care se poate obine din vectorul deplasrilor Ur

cu ajutorul matricei de rotaie Roe i a matricei de localizare ae derivat din

matricea de localizare partiionat Ae.

'e e e ru Ro a U= (6.4)

CALCULUL DEPLASARILOR NODALE SI EFORTURILOR ELEMENTARE 37

Matricea de localizare ae se obine din matricea Ae prin eliminarea

coloanelor ce corespund deplasrilor blocate prin legturi. Prin operaia

e ra U se obin vectorii deplasrilor nodale elementare raportate la sistemul

general. Trecerea la sistemul local se face cu ajutorul matricei de rotaie.

La acest vector al forelor nodale elementare produse de forele

echivalente trebuie adugat vectorul forelor nodale datorat distribuiei reale

a forelor exterioare ntre nodurile structurii, notat S0e i se obine astfel

vectorul forelor finale Sfe. Pentru modelul de calcul al structurii discretizate,

eforturile de ncastrare perfect au caracterul unor eforturi iniiale, existente

n structur mai nainte de a interveni deplasrile i care trebuie

determinate pe sistemul de baz, considernd fiecare bar supus la

ncrcrile care-i revin. n vectorul S0e se vor stoca forele echivalente pe

bar, raportate la sistemul local. Pentru o bar ce face parte dintr-un cadru

plan ncrcat n plan, delimitat de nodurile i i j, n vectorii S0e se vor

introduce eforturile axiale, de tip for tietoare i moment ncovoietor. Te i i i j j jS0 N T M N T M =

Pentru elementele care nu sunt ncrcate n cmp aceti vectori sunt nuli.

Din cele prezentate rezult c vectorii eforturilor elementare se pot

obine prin aplicarea relaiei 0e e e e eSf k Ro a U S= + .

Exemplul 6 Pentru structura analizat n Exemplul 3C, se vor prezenta matricele

de localizare partiionate Ae i ae pentru elementele 1 i 2.

1

2

3

4

5

1

2 3

4

Dac ordonarea nodurilor n matricea de rigiditate general se face n

succesiunea 12345, pentru elementele 1 i 2 se vor defini urmtoarele

matrice de localizare partiionate, folosite n etapa de asamblare:


u1 v1 1 u2 v2 2 u3 v3 3 u4 v4 4 u5 v5 5 u1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

v1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

v2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A1=

2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

v2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

v3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A2=

3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Pentru a extrage din vectorul deplasrilor nodale, deplasrile nodale

elementare se vor defini matricele ae prin eliminarea coloanelor

corespunztoare deplasrilor u1,v1,1,u5,v5,5 care sunt blocate prin cele dou legturi de tip ncastrare din nodurile 1 i 5.

u2 v2 2 u3 v3 3 u4 v4 4 u1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

v1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u2 1 0 0 0 0 0 0 0 0

v2 0 1 0 0 0 0 0 0 0

a1=

2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 u2 1 0 0 0 0 0 0 0 0

v2 0 1 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 u3 0 0 0 1 0 0 0 0 0

v3 0 0 0 0 1 0 0 0 0

a2=

3 0 0 0 0 0 1 0 0 0

CALCULUL DEPLASARILOR NODALE SI EFORTURILOR ELEMENTARE 39

Multiplicnd matricele a1 i a2 cu vectorul Ur se obin vectori ai

deplasrilor nodale elementare raportate la sistemul general, care vor avea

urmtoarea structur :

2

2

21 1 2 2

32

32

32

000

; r r

u

v

u a U u a Uuu

vv

= = = =

Exemplul 7 Pentru structura analizat n Exemplul 3C se vor alctui vectorii

forelor echivalente pe bar S0e.

1

2

3

4

5

1

2 3

4

Q1

F

Q2

Elementele 1 i 4 nu sunt ncrcate n cmp i prin urmare

[ ]1 4 0S0 S0= = . Aa cum s-a vzut n Exemplul 3C, din aplicarea forelor din cmp pe

barele sistemului de baz rezult eforturi de ncastrare perfect, care

raportate la sistemele locale conduc la urmtorii vectori ai forelor

echivalente pe bar:

( )( )

( )( )

1 2

21 2

1 212 3

1 2

21 2

1 21

0sincos

0sincos

x

y

x

y

T TT TTM MM

S0 S0T TT TTM MM

= = =

;


elementul 2

M1

M1

T1

Q1

T1

y2

x2

Tx

Ty

T1

Tx

Ty

T1

2

Q2

M2M2T2

T2 T2

T2 x3

x3

elementul 3

APLICATIE STRUCTURA PLANA INCARCATA IN PLAN 41

7 APLICAIE PENTRU ANALIZA UNEI STRUCTURI PLANE INCARCATA IN PLAN

n cele ce urmeaz se va vor compara rezultatele obinute pentru

analiza static a unui cadru static nedeterminat prin trei metode:

1. metoda iterativ Cross;

2. formularea matricial;

3. analiza cu element finit folosind programul de calcul SCIA ESA

2007.

40 kN

20 kN

18 kN/m

4.00

1.50

1.50

1.00

A A

A-A

30

30

Fig. 18 Schema static a cadrului analizat

Pentru fiecare din cele trei metode se vor prezenta n detaliu etapele

parcurse.

7.1 Metoda iterativ Cross Cadrul este static determinat i se opteaz pentru metoda deplasrilor,

sub forma iterativ.

1. Pe baza sistemul auxiliar rezult c este vorba despre un SND, deci

se va plica metoda Cross n dou etape.

2. Sistemul de baz se obine introducnd blocajele rotirilor de nod i

blocajul translaiei de nod.

3. Se calculeaz rigiditile practice i considernd 0 / 3i EI= se obin

rigiditile din Fig. 19

4. Pe baza acestora se obin urmtorii coeficieni de rigiditate i de

distribuie ce se vor folosi n schema de calcul Cross. Nod 3 Nod 4

34=0,73 34=-0,493 42=1,00 42=-0,578 31=0,75 31=-0,507 43=0,73 43=-0,422 =1,48 =1,73


5. Sistemul de baz se ncarc cu forele exterioare i rezult Mp0.

Diagrama Mp0 se echilibreaz prin Cross i rezult diagrama Mpf

(vezi Fig. 20).

6. Sistemul de baz se ncarc cu o translaie unitar i rezult m1.

Diagrama m1 se echilibreaz prin Cross i rezult diagrama m1f (vezi

Fig. 21)

7. Folosind principiul lucrului mecanic virtual se obin r11 (din m1f) i

R1p (din Mpf si forele exterioare) (vezi Fig. 22)

8. Se determin necunoscuta z1 din ecuaia 11 1 1 0pr z R+ =

9. Se obine diagrama final de moment ncovoietor prin suprapunere

de efecte: 1 1f f

pM M m z= + (vezi Fig. 23).

4.00

3.00

1.00

I

I

I

W=33-24=1 SND

0,75i0

0,73i0

i0

S.B. S.A.

z1

Fig. 19 Sistemul auxiliar i sistemul de baz

-12 26

-253 513

-1257 2550

Mp0

25,5 25,5

7,5

7,5

3 -0,507

-0,

493

4 -0,578

-0,

422

3 -6 53

-126 1025 -629

-2550

1567 -2230

-1290 -260 -14

-7 -130 -646

-1567

-783

1 2

750 1404

73 3

2230

36 702 -750

-12

Mpf

22,30

15,677

0,12 7,83 Fig. 20 Diagrama Mp0, echilibrarea prin Cross i diagrama Mpf


-1 2

-18 37

-347 -422

m1

6i2424==2i0

3 -0,507

-0,

493

4 -0,578

-0,

422

4 -9 73

-173 -844

-749

-949

1125 -356 -19 -1

-10 -178 1125

749

937

1 2

2000 -1156

100 5

949

3 50 -578 2000

1475

m1f

0.949i0

2i0

6i1313==1.125i0

1.125i0

1.475i0

0.749i0

0.937i0 Fig. 21 Diagrama m1, echilibrarea prin Cross i diagrama m1f

m1f

0.949i0

1.475i0

0.749i0

0.937i0

1

1 r11

M1f

22.30

0.12

15.67

7.83

1

1 R1p

40

20 13=1/4

24=1/3

13=1/4 24=1/3

Fig. 22 Determinarea reaciunilor r11 si R1p

11 0 0 0 0 11 01 11 (0.949 1.475 ) (0.749 0.937 ) 0 1.233 4

r i i i i r i + + = =

1 11 1 11 40 1 20 (0.12 22.30) (15.67 7.83) 0 28.482 3 4p p

R R + + + + = =

11 1 1 10 23.15pr z R z+ = =

44.27

1.66

34 13.86

M

Fig. 23 Diagrama final de moment


7.2 Formularea matricial Structura va fi discretizat n 3 elemente, delimitate de 4 noduri.

A) MATRICEA DE RIGIDITATE GENERAL

Structura analizat este un cadru plan ncrcat n plan, prin urmare

deplasrile generalizate constau n translaii i rotiri n planul structurii. n

aceste condiii se vor defini 3 matrice elementare cu dimensiunea 66, din

care, prin asamblare, se va obine o matrice de rigiditate general de 1212.

u1 v1

1 u2

v2

2

u4 v4

4

u3 v3

3

1 2

3

4

1

2

3

X

Y

Fig. 24 Discretizarea structurii i deplasrile generalizate

Deplasrile generalizate pozitive au orientarea din Fig. 24, i

corespunztor acestora matricele de rigiditate elementare vor avea forma:

ki EIili

AiIi

0

0

Ai

Ii

0

0

0

12

li( )26

li

0

12

li( )26

li

0

6li

4

0

6li

2

Ai

Ii

0

0

AiIi

0

0

0

12

li( )26li

0

12

li( )26li

0

6li

2

0

6li

4

:=

n care indicele i ia valori de la 1 la 3.


n funcie de caracteristicile geometrice 21 2 3 0.09A A A m= = = , 4 4

1 2 3 6.75 10I I I m

= = = , 1 4l m= , 2 17l m= , 3 3l m= , i de caracteristicile de material E=27.5106 kPa se obin pentru cele trei matrice de rigiditate

elementare urmtoarele tablouri:

k1

618.7500

618.7500

03.486.961

03.486.961

06.961

18.5620

6.9619.281

618.7500

618.7500

03.48

6.9610

3.486.961

06.961

9.2810

6.96118.562

103=

k2

600.27600

600.27600

03.1786.551

03.1786.551

06.551

18.0080

6.5519.004

600.27600

600.27600

03.178

6.5510

3.1786.551

06.551

9.0040

6.55118.008

103=

k3

8250082500

08.2512.375

08.25

12.375

012.37524.75

012.37512.375

82500

82500

08.25

12.3750

8.2512.375

012.375

12.3750

12.37524.75

103=

Pentru a face asamblarea matricelor, se impune ca toate matricele s

fie raportate fa de acelai sistem de referin, respectiv fa de sistemul

general. n acest scop e necesar definirea matricelor de rotaie, care depind

de un unic parametru, unghiul dintre axa X a sistemului general i axa x a

sistemului local.


X

x1

1

2

3

y1

x2

y2

x3

y3

X

x1

1=900

X 2=3600-arctan(1/4)

x2

1

4

X

x3 3=2700

Fig. 25 Sistemele de referin i unghiurile i care intervin n definirea matricelor de

rotaie

nlocuind funciile trigonometrice ale unghiurilor de mai sus n

expresia

Roi

cos i( )sin i( )

0

0

0

0

sin i( )cos i( )

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

cos i( )sin i( )

0

0

0

0

sin i( )cos i( )

0

0

0

0

0

0

1

:=

se obin urmtoarele matrice de rotaie:

Ro1

01

0000

1

00000

001

000

00001

0

000100

000001

= Ro2

0.970.243

0000

0.2430.97

0000

001

000

000

0.970.243

0

000

0.2430.97

0

000001

= Ro3

010000

1

00000

001

000

00001

0

0001

00

000001

=

Matricele de rigiditate elementare, raportate la sistemul global de axe,

notate n aceast aplicaie cu kgi, obinute prin efectuarea operaiei T

i i ikg Ro k Ro= sunt urmtoarele:


kg1

3.480

6.9613.480

6.961

0618.75

00

618.750

6.9610

18.5626.961

09.281

3.480

6.9613.48

06.961

0618.75

00

618.750

6.9610

9.2816.961

018.562

103=

kg2

565.152140.4941.589

565.152140.494

1.589

140.49438.301

6.356140.494

38.3016.356

1.5896.356

18.0081.5896.3569.004

565.152140.4941.589

565.152140.4941.589

140.49438.3016.356140.49438.3016.356

1.5896.356

9.0041.5896.35618.008

103=

kg3

8.250

12.3758.250

12.375

0825008250

12.3750

24.7512.375

012.375

8.250

12.3758.25

012.375

082500

8250

12.3750

12.37512.375

024.75

103=

Matricele elementare raportate la sistemul general (global) vor forma

prin asamblare matricea de rigiditate general. Asamblarea se realizeaz cu

ajutorul matricelor de localizare partiionate. Pentru definirea celor trei

matrice de localizare Ai s-a avut n vedere o partiionare prin care se vor

separa termenii corespunztori deplasrilor blocate de legturi de celelalte

deplasri. Prin urmare, ordonarea deplasrilor generalizate corespunztoare

coloanelor de definesc matricele Ai a fost 3421.

A1

000100

00001

0

000001

000000

000000

000000

000000

000000

000000

1

00000

010000

001

000

:=

A2

1

00000

010000

001

000

000100

00001

0

000001

000000

000000

000000

000000

000000

000000

:=

A3

000000

000000

000000

1

00000

010000

001

000

000100

00001

0

000001

000000

000000

000000

:=


Asamblarea se realizeaz prin efectuarea operaiei 3

1

Ti i i

iK A kg A

=

= iar

rezultatul este:

K

568.633140.494

8.55565.152

140.4941.589

000

3.480

6.961

140.494657.051

6.356140.494

38.3016.356

0000

618.750

8.556.356

36.5711.5896.3569.004

000

6.9610

9.281

565.152140.4941.589

573.402140.49410.7868.250

12.375000

140.49438.3016.356140.494

863.3016.356

08250000

1.5896.356

9.00410.7866.35642.75812.375

012.375

000

000

8.250

12.3758.25

012.375

000

000082500

8250000

000

12.3750

12.37512.375

024.75

000

3.480

6.961000000

3.480

6.961

0618.75

00000000

618.750

6.9610

9.281000000

6.9610

18.562

103=

B) VECTORUL FORELOR ECHIVALENTE LA NOD

Forele exterioare se exprim matricial ca vector al forelor echivalente

la nod, ceea ce presupune ca toate ncrcrile s fie transformate n fore

i/sau momente aplicate n nodurile structurii.

T1

T1

M1

M1

elementul 2

p=18kN/m

Q2=20k

T2

T2

M2

M2

elementul 3

T2

T2

M2

M2

M1

M1

T1

T1

Q1

Fig. 26 Transformarea ncrcrilor exterioare n fore echivalente la nod

Vectorul forelor echivalente la nod, ordonat ca i matricea de rigiditate

general este:


2232 2

11121

2 1 2 2, unde 1 , 1 , 2 , 2

2 12 2 8 20

2000

QT

MTT

M M Q lpl pl QP M T M TT

M

= = = = =

C) INTRODUCEREA CONDIIILOR DE MARGINE SI CALCULUL

DEPLASRILOR NODALE

Determinarea deplasrilor trebuie n mod obligatoriu precedat de

introducerea condiiilor de margine, ceea implic definirea legturilor

structurii cu baza de sprijin. Cadrul analizat are toate cele trei deplasri

corespunztoare nodurilor 1 i 2 nule, deoarece n aceste noduri sunt

prevzute ncastrri. nc din etapa de asamblare s-a inut cont de acest

lucru, aa nct, se pot identifica urmtoarele matrice (cu aceeai

semnificaie ca i n Cap. 5)

3 4 2 1 3

4

2

1

Kr

K0

Pr

Kr

568.633140.494

8.55565.152

140.4941.589

140.494657.051

6.356140.494

38.3016.356

8.556.356

36.5711.5896.3569.004

565.152140.4941.589

573.402140.49410.786

140.49438.3016.356140.494

863.3016.356

1.5896.356

9.00410.7866.35642.758

103=

Pr

4037.10825.5

1037.10815.192

=


K0

000

3.480

6.961

0000

618.750

000

6.9610

9.281

8.250

12.375000

08250000

12.3750

12.375000

103=

Deplasrile nodale se vor obine ca produs dintre inversa matricei de

rigiditate reduse i vectorul redus al forelor echivalente la nod 1r r r

U K P=

Ur

3.9150.026

1.3353.836

0.070.483

10 3=

Rezultatele se interpreteaz astfel: translaie orizontal n sensul

pozitiv al axei de 3.915mm pentru nodul 3 i respectiv 3.836mm pentru

nodul 4; translaie vertical n sensul negativ al axei (de sus n jos) de

0.026mm pentru nodul 3 i respectiv 0.07mm pentru nodul 4; rotire n sens

trigonometric de 1.335mrad pentru nodul 3, respectiv de 0.483mrad pentru

nodul 4.

D) CALCULUL REACIUNILOR

Pe baza deplasrilor nodale se pot calcula reaciunile din nodurile 1 i

4, aplicnd relaia 0 0 rP K U= .

P0

25.66458.09741.4874.336

16.11914.865

=

Valorile stocate n vectorul P0 au urmtoarea semnificaie : H2, V2,

M2, H1, V1, M1, dup se vede din urmtoarea schem.


58.097

25.664

41.487

16.119

4.336

14.865

Fig. 27 Reaciunile din nodurile ncastrate

E) CALCULUL EFORTURILOR ELEMENTARE

Noiunea de efort are semnificaie numai dac raportarea se face la

sistemul local ataat fiecrui element. ntr-o prim etap este necesar ca din

vectorul deplasrilor generalizate s se obin vectorii deplasrilor

elementare (vectorii care conin deplasrile nodale corespunztoare

elementului respectiv). Aceti vectori se obin cu ajutorul matricelor de

localizare partiionate ai rezultate din matricele Ai prin eliminarea ultimelor

ase coloane (cele corespunztoare deplasrilor blocate din cele dou noduri

ncastrate). i i ru a U=

a1

000100

00001

0

000001

000000

000000

000000

=

a2

1

00000

010000

001

000

000100

00001

0

000001

=

a3

000000

000000

000000

1

00000

010000

001

000

=

Trebuie observat c vectorii obinui n felul acesta (u1, u2, u3) sunt

raportai la sistemul general de axe.

Alt categorie de vectori necesari pentru a deduce eforturile se refer

la vectorii forelor echivalente pe bar, notai S0i. Pentru a defini aceti

vectori se vor pune din nou n eviden reaciunile date de forele din cmp

u1

000

4.1410.028

1.412

10 3= u2

4.141

0.0281.412

4.0570.074

0.511

10 3= u3

4.0570.074

0.511000

10 3=


pe barele sistemului de baz, dar de data aceasta raportate la sistemul local

ataat fiecrui element.

T1

T1

M1

M1

elementul 2 T2

T2

M2

M2

elementul 3

Ty

Tx

Ty

Tx x2

y2

x3

y3

x2

x2

Tx

Ty

Tx=T1sin() Ty=T1cos()

Fig. 28 Identificarea termenilor ce definesc vectorii forelor echivalente pe bar

1 2 3

0 00 20 1 2

0 ; 0 ; 00 000 1 2

TxTy TM M

S S STx

Ty TyM M

= = =

Vectorii eforturilor elementare se vor obine, pentru fiecare element i,

pe baza relaiei 0i i i i iSf k Ro u S= + n care ki reprezint matricea elementar raportat la sistemul local, iar Roi reprezint matricea de rotaie. Produsul

i iRo u reprezint deplasrile elementare raportate la sistemul local.

Sf1

16.1194.33614.86516.1194.3362.478

=

Sf2

30.6924.2882.47848.69

47.712

45.813

=

Sf3

58.09735.66445.81358.09715.66431.179

=

Semnificaia fizic a rezultatelor din vectorii Sfi este redat mai jos sub forma

diagramelor de eforturi.

2.4788

31.179 14.865

M 47.715

35.664

4.336

T

16.119 58.097

N

45.813

15.664

48.69 30.69 24.288

Fig. 29 Diagrame de eforturi


7.3 Analiza cu programul de calcul cu element finit SCIA ESA 2007 Analiza cu ajutorul programului de calcul cu element finit va fi

prezentat sub forma unui tutorial. Noiuni specifice analizei cu element finit

vor fi prezentate n capitolele 1113. Mai multe probleme specifice

programului SCIA ESA 2007, dar i exemple de analize mai complexe vor fi

prezentate n capitolul 14.

A) DEFINIREA CARACTERISTICILOR GEOMETRICE I DE MATERIAL.

1. Selectai FISIERE/CREARE

Pentru un nou proiect trebuie selectat tipul de structur (pentru

aceast problem este cazul cadrului plan), materialul, normativul. Aceast

fereastr v permite s activai module suplimentare atunci cnd analiza o

impune (ca cel de calcul dinamic, sau de teren, de exemplu).

2. Se definesc seciunile barelor.


Obs : Dac este omis aceast etap, fereastra de definire a seciunilor va

fi activat n mod automat la prima operaie de creare a unui element de

tip bar sau cnd se va solicita introducerea parametric a unui cadru.

B) MODELAREA STRUCTURII DE REZISTEN

3. Se creeaz elementele structurale: stlpi i grinzi. n anumite situaii

este mai avantajos s se defineasc direct un cadru folosind CATALOG

SABLOANE.


Inserarea elementelor structurale presupune indicarea precis a unor

puncte de inserie i acest lucru se face printr-una din metodele consacrate

n programele CAD :

- indicarea coordonatelor absolute;

- indicarea coordonatelor relative fa de ultimul punct introdus;

- agarea unor puncte caracteristice cu ajutorul instrumentelor specifice.

introducerea coordonatelor absolute sau relative, n linia de comand

activarea punctelor de rastru si a altor puncte caracteristice


Primul stlp cu nlimea de 4m a fost introdus n originea sistemului

de coordonate, iar al doilea stlp avnd nlimea de 3m poate fi introdus

folosind coordonate relative la originea primului stlp.

Pentru a introduce o rigl de lungime definit se poate folosi GRINDA,

dar pentru rigla din structura analizat este recomandat funcia

DESENARE ELEMENT, care permite introducerea punctelor de nceput i de

sfrit ale elementului.


Agarea cu precizie a unor puncte se face folosind modurile de

agare din bara de instrumente de mai jos

4. Se definesc legturile (deplasrile blocate), folosind funcia

STRUCTURA/REAZEM, sau butoanele din bar.


Se poate vizualiza ntreaga structur folosind butonul ZOOM TOT din

bara AFISARE

C) DEFINIREA NCRCRILOR

5. Se aplica ncrcrile. Fiecare ncrcare trebuie ataat unui caz de

ncrcare. Un caz de ncrcare poate conine diferite tipuri de

ncrcri :greutate proprie, fore

Curs CAS 16oct2009

Documents

Transcript of Curs CAS 16oct2009