UNIVERSITATEA VASILE ALECSANDRI din BACU FACULTATEA de INGINERIE

Conf. univ. dr. ing. MIHAI PUIU BERIZINU

BAZELE ELECTROTEHNICII Circuite electrice liniare

Editura ALMA MATER BACU, 2010

Refereni tiinifici: Prof. univ. dr. ing. Gheorghe HAZI Conf. univ. dr. ing. tefan ABABEI

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei PUIU-BERIZINU, MIHAI Bazele electrotehnicii : circuite electrice liniare / Puiu-Berizinu Mihai. - Bacu : Alma Mater, 2009 Bibliogr. ISBN 978-606-527-058-9 621.3

Tehnoredactare: Mihai PUIU-BERIZINU

P r e f a

Teoria cmpului electromagnetic, mpreun cu Teoria circuitelor electrice, constituie cele dou mari pri ale cursului de Bazele electrotehnicii prin care se asigur pregtirea fundamental de specialitate n domeniul electrotehnicii inginereti. Prezentul curs, Circuite electrice liniare, dup cum indic i titlul, se limiteaz la studiul circuitelor electrice liniare dar, acolo unde este cazul, se fac i referiri privitoare la influena neliniaritii caracteristicilor unor elemente de circuit reale, ntlnite frecvent n practic, cum sunt condensatoarele reale sau bobinele cu miez de fier.

Cursul a fost elaborat, n primul rnd, pentru uzul studenilor de la specializrile Energetic industrial i Mecatronic de la Facultatea de Inginerie a Universitii din Bacu, dar este util tuturor celor interesai n dobn-direa i aprofundarea cunotinelor teoretice fundamen-tale asupra circuitelor i reelelor electrice ntlnite n toate domeniile tehnicii actuale.

Baza teoretic necesar realizrii unui studiu riguros fundamentat tiinific al circuitelor electrice este materializat, n mod adecvat, n prima parte a cursului de Bazele electrotehnicii Electromagnetismul elaborat de acelai autor n prima ediie din anul 2003. Prin urmare, legile i noiunile fundamentale ale teoriei cmpului electromagnetic care stau la baza teoriei circuitelor electrice se impun a fi cunoscute n prealabil studiului care se efectueaz prin aceast lucrare.

n aceast prim ediie cursul este structurat n opt capitole n care sunt tratate principalele tipuri de circuite electrice i regimuri de funcionare ale acestora care prezint interes pentru aplicaiile inginereti.

Primul capitol este dedicat studiului circuitelor electrice liniare de curent continuu, caracterizate de regimul electrocinetic staionar n care exist numai curentul electric de conducie n conductore.

3

n capitolul doi se analizeaz comportarea principalelor elemente de circuit, liniare, neliniare i parametrice rezistorul, bobina i condensatorul n regim variabil n timp.

n capitolele trei i patru sunt analizate circuitele electrice liniare cu parametri concentrai, monofazate i respectiv trifazate, n regim permanent sinusoidal.

n capitolul cinci sunt analizai cuadripolii i filtrele electrice de frecven n regim permanent sinusoidal, iar n capitolul ase sunt studiate ecuaiile liniilor electrice lungi n mrimi instantanee i n regim permanent sinusoidal.

Capitolul apte este dedicat studiului regimului periodic nesinusoidal n circuitele electrice liniare cu parametri concentrai.

Ultimul capitol este destinat studiului regimului tranzitoriu al circuitelor electrice. Sunt analizate, prin metoda direct i prin metoda operaional, principalele regimuri tranzitorii ntlnite frecvent n practic n funcionarea circuitelor electrice de curent continuu i de curent alternativ.

Obiectivul urmrit n concepia i elaborarea acestui curs a constat n sintetizarea unei pri a teoriei circuitelor electrice care s asigure cunotinele de baz necesare pregtirii de specialitate a inginerilor din toate domeniile electrotehnicii.

Autorul va fi recunosctor pentru eventualele observaii i sugestii n vederea mbuntirii sau completrii unei urmtoare ediii a acestui curs.

Autorul

4

C U P R I N S

Prefa .............................................................................................................................. 3

1. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU

1.1. Structura i clasificarea circuitelor electrice ............................................................... 91.2. Aplicarea legii conduciei electrice n studiul circuitelor electrice .................... 101.3. Caracteristicile tensiune curent (volt amper) ale elementelor de circuit ... 121.4. Surse de energie (generatoare) . ... 13

1.4.1. Generatorul de tensiune ... 131.4.2. Generatorul de curent .. 14

1.5. Teoremele lui Kirchhoff forma topologic ...................................... 151.6. Transfigurarea circuitelor electrice liniare de curent continuu ....................... 17

1.6.1. Echivalena i transfiguraia circuitelor electrice .... 171.6.2. Echivalena surselor de tensiune i de curent .. 181.6.3. Circuite serie ... 191.6.4. Circuite paralel (derivaie) .. 211.6.5. Transfigurarea stea poligon complet ... 23

1.7. Noiuni de teoria grafurilor .. ...................................... 271.7.1. Grafuri. Elemente topologice .. 271.7.2. Analiza reelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff.

Analiza ochiurilor i a nodurilor. .... 281.7.3. Matricele de inciden ale laturilor la noduri i ochiuri.

Formele matriceale ale ecuaiilor lui Kirchhoff .. 301.8. Metode de analiz a reelelor electrice liniare de curent continuu .. 33

1.8.1. Analiza reelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff 331.8.2. Analiza reelelor electrice cu metoda curenilor ciclici ... 361.8.3. Analiza reelelor electrice cu metoda potenialelor la noduri . 38

1.9. Teoremele reelelor electrice de curent continuu 411.9.1. Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune i de curent .. 411.9.2. Teorema suprapunerii efectelor (superpoziiei). Teorema reciprocitii . 421.9.3. Teorema transferului maxim de putere ... 441.9.4. Teorema conservrii puterilor. Bilanul puterilor produse i consumate .... 45

5

HomeEvideniere

HomeEvideniere

HomeEvideniere

HomeEvideniere

2. CIRCUITE ELECTRICE N REGIM VARIABIL 2.1. Ipoteze de calcul. Clasificare ...................................................................................... 472.2. Elemente de circuit dipolare ....................................................................................... 48

2.2.1. Clasificarea elementelor de circuit dipolare......................................................... 482.2.2. Rezistorul n regim variabil ............................................. 492.2.3. Bobina (inductorul) n regim variabil ............................. 502.2.4. Condensatorul (capacitorul) n regim variabil ................................ 55

3. CIRCUITE ELECTRICE MONOFAZATE N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

3.1. Mrimi variabile. Mrimi sinusoidale ................................................................ 573.1.1. Mrimi variabile, mrimi periodice, mrimi alternative . 573.1.2. Mrimi sinusoidale (armonice) ............................................... 59

3.2. Puteri n circuite monofazate n regim sinusoidal ....................................................... 603.3. Reprezentri simbolice ale mrimilor sinusoidale .................................. 64

3.3.1. Reprezentarea geometric a mrimilor sinusoidale ............................................ 643.3.2. Reprezentarea analitic prin mrimi complexe ... 703.3.3. Caracterizarea n complex a circuitelor dipolare n r. p. s. .............................................. 723.3.4. Puterea complex ................................................ 733.3.5. Forma n complex a legii lui Ohm (ecuaia lui Joubert) ..................................... 743.3.6. Analiza n complex a circuitului RLC serie. Rezonana de tensiuni ... 763.3.7. Analiza n complex a circuitului RLC paralel. Rezonana de cureni ..... 78

3.4. Analiza n complex a reelelor electrice liniare .......................................... 803.4.1. Analiza n complex a reelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff .. 803.4.2. Analiza n complex a reelelor electrice cu metoda curenilor ciclici . 823.4.3. Analiza n complex a reelelor electrice cu metoda potenialelor la noduri 84

3.5. Teorema conservrii puterilor complexe, active i reactive ... 873.6. Teorema transferului maxim de putere activ 883.7. Linia monofazat scurt .. 90

3.7.1. Linia monofazat scurt fr efecte transversale .... 903.7.2. Linia monofazat scurt cu efecte transversale ....... 92

4. CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

4.1. Sisteme polifazate simetrice de mrimi sinusoidale ............................... 934.2. Sisteme trifazate simetrice de mrimi sinusoidale .................................. 954.3. Conexiunile sistemelor trifazate ............................................................. 97

4.3.1. Conexiunea n stea a sistemelor trifazate ............................... . 994.3.2. Conexiunea n triunghi a sistemelor trifazate .................................... . 101

4.4. Analiza circuitelor electrice liniare trifazate, simetrice i echilibrate n regim permanent sinusoidal ............................................................. 103

4.4.1. Circuitul n conexiunea stea cu fir neutru .. 1034.4.2. Circuitul n conexiunea stea fr fir neutru .... 1054.4.3. Circuitul n conexiunea triunghi 1074.4.4. Puteri n reele trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni simetrice 108

4.5. Circuitelor trifazate dezechilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice n regim permanent sinusoidal ............................................................. 110

4.5.1. Analiza prin metoda direct a circuitelor trifazate dezechilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice ............................................................. 110

4.5.1.1. Circuitul n conexiunea stea cu fir neutru .. 1104.5.1.2. Circuitul n conexiunea fr fir neutru ... 1114.5.1.3. Circuitul n conexiunea triunghi ..... 113

6

HomeEvideniere

HomeEvideniere

HomeEvideniere

HomeEvideniere

HomeEvideniere

HomeEvideniere

HomeEvideniere

HomeEvideniere

4.5.2. Puteri n circuite trifazate dezechilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice .... 1144.6. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate prin

metoda componentelor simetrice ...... 1154.6.1. Metoda componentelor simetrice ....... 1154.6.2. Proprieti ale componentelor simetrice ale tensiunilor i curenilor 1174.6.3. Analiza circuitelor trifazate echilibrate alimentate cu

tensiuni nesimetrice prin metoda componentelor simetrice ... 1184.6.3.1. Impedane statice i dinamice . 1184.6.3.2. Receptorul trifazat echilibrat conectat n stea cu fir neutru 1194.6.3.3. Receptorul trifazat echilibrat conectat n stea fr fir neutru . 120

4.6.4. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate prin metoda componentelor simetrice ... 121

4.6.4.1. Principii generale .... 1214.6.4.2. Studiul regimurilor de avarie ale reelelor

trifazate cu metoda componentelor simetrice . 1234.6.5. Calculul puterilor n circuite trifazate cu ajutorul componentelor simetrice . 1274.6.6. Filtre pentru componente simetrice .... 127

5. CUADRIPOLI ELECTRICI

5.1. Generaliti ............................................................................................................... 1295.2. Ecuaiile i parametrii cuadripolilor liniari, pasivi i reciproci n r.p.s. .. 130

5.2.1. Forma fundamental a ecuaiilor cuadripolilor. Parametrii fundamentali ......... 1305.2.2. Ecuaiile n impedane ................................ 1315.2.3. Ecuaiile n admitane ................................. 1325.2.4. Ecuaiile hibride ................................ 133

5.3. Impedane caracteristice ale cuadripolilor liniari, pasivi .......................................... 1335.3.1. Impedane de intrare ........................................................................................... 1335.3.2. Impedane caracteristice sau iterative ................................................................ 1345.3.3. Impedane imagini .. 135

5.4. Scheme echivalente al cuadripolilor ......................................................... 1355.4.1. Schema echivalent n T .................................................................................... 1355.4.2. Schema echivalent n ..................................................................................... 136

5.5. Conexiunile cuadripolilor ......................................................................... 1375.6. Ecuaiile canonice ale cuadripolilor liniari, reciproci i simetrici 1395.7. Filtre electrice de frecven .. 141

6. LINII ELECTRICE LUNGI N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

6.1. Ecuaiile liniilor lungi n mrimi instantanee. Parametrii lineici primari ................. 1456.2. Ecuaiile liniilor lungi n regim armonic permanent . 1486.3. Undele de tensiune i de curent ale liniilor lungi n regim sinusoidal .. 150

7. REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL

7.1. Generaliti ............................................................................................................... 1537.2. Analiza armonic a mrimilor periodice .. 153

7.2.1. Dezvoltarea n serie Fourier a funciilor periodice nesinusoidale ................. 1537.2.2. Forme particulare ale dezvoltrii n serie Fourier .............................. 1557.2.3. Seria Fourier complex ...................................................................................... 1567.2.4. Spectrul de frecven al unei mrimi periodice .................................................. 1577.2.5. Proprieti ale mrimilor periodice .... 158

7.3. Puteri n regim periodic nesinusoidal ... 1597.4. Analiza circuitelor liniare n regim permanent periodic nesinusoidal . 161

7.4.1. Circuite simple cu elemente liniare n regim nesinusoidal .................... 1617.4.2. Circuite liniare trifazate echilibrate sub tensiuni simetrice nesinusoidale . 164

7

HomeEvideniere

HomeEvideniere

HomeEvideniere

HomeEvideniere

8. REGIMUL TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE

8.1. Consideraii generale ... .................................................................... 1678.2. Comutare. Teoremele comutrii ........................................................................... 1688.3. Analiza circuitelor liniare n regim tranzitoriu prin metoda direct . 169

8.3.1. Circuite electrice liniare de ordinul I ................................................................. 1698.3.1.1. Circuitul RL serie ...................................................................................... 1698.3.1.2. Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RC serie

la o surs de tensiune constant .................................................................. 1738.3.2. Circuite electrice liniare de ordinul II ............................................................... 175

8.3.2.1. Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RLC serie la o surs de tensiune constant .. 175

8.3.2.2. Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RLC serie la o surs de tensiune sinusoidal ... 180

8.4. Metoda operaional de analiz a circuitelor electrice liniare n regim tranzitoriu.................................................................................................... 184

8.4.1. Metoda transformatei Laplace ......................... .................................................. 1848.4.1.1. Transformata Laplace. Funcii original i imagini Laplace .................... 1848.4.1.2. Teoreme ale transformatei Laplace pentru stabilirea funciilor imagini 186

8.4.2. Forma operaional a ecuaiilor circuitelor electrice liniare ............................... 1898.4.2.1.

Precizri privind aplicarea transformatei Laplace la studiul circuitelor electrice ..................................................... 189

8.4.2.2. Circuite electrice cu condiii iniiale diferite de zero . 191

B i b l i o g ra f i e .................................................................................................................. 193

8

HomeEvideniere

HomeEvideniere

HomeEvideniere

HomeEvideniere

1. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU 1.1. STRUCTURA I CLASIFICAREA CIRCUITELOR ELECTRICE Un circuit electric este un ansamblu de generatoare (surse de energie) i

receptoare cu legturi electrice ntre ele. Un ansamblu de circuite cu legtur electric ntre ele constituie o reea electric.

Un circuit electric de curent continuu este constituit, n general, dintr-un ansamblu de surse de energie i rezistoare, parametrii care intervin n acest caz fiind rezistenele rezistoarelor i tensiunile electromotoare sau curenii surselor de tensiune, respectiv de curent, precum i rezistenele sau conductanele interioare ale acestor surse.

O latur a unei reele electrice reprezint o poriune neramificat cuprins ntre dou extremiti numite noduri. O succesiune de laturi dup un contur nchis constituie un ochi sau o bucl a reelei electrice.

Structura oricrei reele electrice este complet determinat dac se cunosc: numrul de laturi ( l) , numrul de noduri (n) i numrul ochiurilor sau buclelor independente sau fundamentale (o).

Se numete ochi independent sau fundamental (bucl independent sau fundamental), acel ochi (bucl) care conine cel puin o latur necomun cu alte ochiuri

(bucle) ale reelei. Exist teorema lui Euler care d numrul ochiurilor (buclelor) independente:

(3)

(4) [1]

R1

R5

E5

[2]

R2

R3R4

E6 R6[3]

(1)

(2)

o = l n + 1 (1.1)

Pe schema reelei electrice de curent continuu din figura 1.1, s-au notat astfel:

(1), (2), (3), (4) noduri, n = 4; 1, 2, ..., 6 laturi, l = 6; [1], [2], [3] ochiuri independente; R1, R2, ... , R6 rezistoare, E5, E6 generatoare de tensiune.

Cu relaia (1.1) se calculeaz numrul ochiurilor independente: o = 6 4 +1 = 3. Fig. 1.1.

Clasificarea circuitele electrice se poate face dup mai multe criterii, cele mai

importante fiind prezentate n continuare.

a) Dup natura elementelor ce intr n structura circuitelor exist: circuite liniare; circuite neliniare; circuite parametrice.

9

HomeEvideniere

n circuitele neliniare, parametrii elementelor de circuit depind de curent (tensiune), iar n circuitele parametrice acetia depind i de timp.

b) Dup regimul de funcionare se deosebesc: circuite de curent continuu (c.c.), caracterizate de regimul staionar n

care exist numai curent electric de conducie n conductoare; circuite de curent alternativ (c.a.), caracterizate de regimul cvasistaionar

n care exist curent electric de conducie n conductoare i curent electric de deplasare n dielectricii condensatoarelor din circuit.

c) n raport cu sursele exist: circuite active conin surse de energie; circuite pasive nu conin surse de energie.

Laturile de circuit care conin surse se numesc laturi active (laturile 5 i 6 din schema prezentat n fig. 1.1), iar cele care nu conin surse se numesc laturi pasive.

d) Dup dimensiunile conductoarelor pot exista: circuite filiforme dimensiunile transversale ale conductoarelor sunt mult

mai mici dect cele longitudinale i sunt caracterizate prin aceea c densitatea de curent este uniform repartizat pe seciunea conductorului;

circuite masive dimensiunile transversale ale conductoarelor sunt comparabile cu cele longitudinale.

e) Dup localizarea parametrilor circuitului pot exista: circuite cu parametri concentrai; circuite cu parametri distribuii.

f) Dup legtura cu exteriorul circuitele pot fi: izolate nu au borne de legtur cu exteriorul, neizolate au borne de legtur cu exteriorul.

Circuitul care are numai dou borne de legtur cu exteriorul se numete dipol, circuitul care are 3 borne de legtur cu exteriorul se numete tripol, circuitul care are 4 borne de legtur cu exteriorul se numete tetrapol sau cuadripol, .a.m.d.

1.2. APLICAREA LEGII CONDUCIEI ELECTRICE N STUDIUL CIRCUITELOR ELECTRICE. ASOCIEREA SENSURILOR DE REFERIN PENTRU TENSIUNI I CURENI.

n Latura de circuit pasiv Se consider un conductor filiform,

omogen, respectiv o latur pasiv de circuit electric (fig. 1.2,a). Schema electric echiva-lent cu parametri concentrai a laturii de circuit se prezint n figura 1.2,b).

(1)

u12

(2) (2)

V1 i

u (1)

i

u

V2 a) b)

R

Prin integrarea formei locale a legii conduciei electrice ( JE = ) dea lungul conductorului laturii ntre extremitile sale (1) i (2), se obine: Fig. 1.2.

10

HomeEvideniere

=== 21

2

1

2

1

2

1AdsdsA

AJsdJsdE i

unde AJ =i este intensitatea curentului, repartizat uniform pe seciunea transversal de arie A a conductorului, RA

ds2

1

= este rezistena acestuia i 1221

usdE = este tensiunea electric de-a lungul conductorului laturii. S-a obinut astfel relaia lui Ohm:

iu R12 = . (1.1) Relaia (1.1) este valabil, att n regim electrocinetic staionar, ct i n regim

variabil n timp. n regim staionar, cmpul fiind potenial, tensiunea electric nu depinde de curba de-a lungul creia se face integrarea (de drum), ci numai de extremitile acesteia. Dac integrala de linie a intensitii cmpului electric se face n lungul unei curbe care trece direct prin aer ntre bornele laturii de circuit, tensiunea electric corespunztoare, egal cu diferena potenialelor bornelor respective, se numete tensiune la borne, notat simplu cu u:

u12 = u = V1 V2 (1.2) n cazul unui circuit de curent continuu (regim staionar), forma integral a legii

conduciei electrice se scrie sub forma:

U = RI (1.3) n regim variabil cnd, n general, poate s intervin, att o component

potenial Ep, ct i una solenoidal Es a cmpului electric, tensiunea la borne corespunde numai componentei poteniale a intensitii cmpului electric, nemaifiind egal cu tensiunea n lungul axei conductorului filiform. n acest caz, forma local a legii conduciei electrice pentru conductoare omogene este

JEE sp =+ (1.4)

i prin integrare, ( ) =+ 21

2

1

sp sdJsdEE , se obine:

u + e = R i , (1.5)

unde = 21

p sdEu este tensiunea la borne, iar =2

1s sdEe este tensiunea electromotoare

corespunztoare prii solenoidale sE a cmpului electric.

11

(Ei)

(2)

u

(1)

R

i

(2)

(1)

b)

o Latura de circuit activ. e Se consider o poriune filiform, nera-

mificat dintr-un circuit electric oarecare, cuprins ntre bornele (1) i (2) i n care acioneaz un cmp imprimat (Ei 0), respectiv o surs de energie electric (fig. 1.3,a).

e

Ecuaia legii conduciei electrice n forma integral se scrie

a) Fig. 1.3.

( )AdssdEE

2

1

2

1i =+ i , respectiv u12 + e = R i, (1.6)

sdE2

1i=e fiind t.e.m. a sursei. n figura 1.3,b) se prezint schema echivalent a laturii active cu rezistena

conductorului R ca parametru concentrat. O problem important la scrierea ecuaiilor circuitelor electrice este asocierea

sensurilor de referin pentru cureni i tensiuni. Pentru fiecare din aceste mrimi se pot alege independent cte un sens de referin, respectiv de integrare. Considernd curentul i dintr-o latur de circuit i tensiunea u la bornele acestei laturi, se pot adopta dou convenii de asociere a sensurilor de referin pentru aceste mrimi, dup cum urmeaz:

1 Convenia de la receptoare fa de una din bornele laturii, tensiunea la borne i curentul au acelai sens sau, altfel spus, sensul tensiunii la borne este de la borna de intrare la borna de ieire a curentului, aa cum se arat n figura 1.4. Prin

aplicarea legii conduciei electrice laturilor de circuit active prezentate n aceast figur, rezult ecuaiile:

e u

i (1)

(2)

R

e u

i (1)

(2)

R a) u + e = R i, a) b) b) u e = R i.

2 Convenia de la generatoare fa de una din bornele laturii, tensiunea la borne i curentul au sensuri opuse sau, altfel spus, sensul tensiunii la borne, este de la borna de ieire la borna de intrare a curentului, aa cum se arat n figura 1.5. Ecuaiile care se obin prin aplicarea legii conduciei electrice n acest caz sunt:

Fig. 1.4.

u e

u

(2)

i

R

(1)

e

b)

i

R

(1)

(2)

a)

a) u + e = Ri, b) u e = Ri. Fig. 1.5.

1.3. CARACTERISTICILE TENSIUNE CURENT (VOLT AMPER) ALE ELEMENTELOR DE CIRCUIT

Prin caracteristica tensiune curent sau volt amper (V A) a unui element de

circuit (rezistor, surs, etc.) se nelege dependena dintre tensiunea u la borne i intensitatea curentului i care-l strbate, u = u(i).

u

0 i

u

i 0

Rd>0 Rd

rezistena static

=== tgkRR sst iu , (1.7)

rezistena dinamic (diferenial)

tgklimR s0d === didu

iu

i (1.8)

care este proporional cu panta tangentei. S-a notat cu

)mm/A(S)mm/V(Sk

i

us = raportul scrilor grafice pentru u i i.

Att rezistena static Rst , ct i cea dinamic Rd depind de poziia punctului P pe caracteristic, respectiv de valorile tensiunii i ale curentului. Spre deosebire de rezistena static Rst care este totdeauna pozitiv, rezistena dinamic Rd poate fi pozitiv (poriunile ascendente ale caracteristicii), sau negativ (poriunile descendente ale caracteristicii, fig. 1.6,b).

Caracteristicile tensiune curent ridicate prin puncte n curent continuu se numesc caracteristici statice, spre deosebire de caracteristicile dinamice ridicate pentru regimuri variabile.

Deoarece rezistena elementelor de circuit neliniare depinde de valorile tensiunii aplicate sau curentului ce le strbat, pentru rezolvarea circuitelor neliniare de c.c. este necesar s se cunoasc caracteristicile tensiunecurent ale elementelor ce intervin.

n practic se ntlnesc un numr mare de elemente de circuit neliniare cu caracteristici tensiunecurent dintre cele mai variate. La unele dintre acestea neliniaritatea se datoreaz influenei temperaturii rezultate prin trecerea curentului asupra rezistivitii electrice (de exemplu, lmpile cu incandescen). Exist i dispozitive la care neliniaritatea caracteristicilor se datoreaz unor procese fizice specifice care au loc (de exemplu: arcul electric, diferite dispozitive electronice semiconductoare, etc.).

1.4. SURSE DE ENERGIE (GENERATOARE)

1.4.1. Generatorul de tensiune Generatorul independent de tensiune, numit i generator ideal de tensiune, este

elementul activ de circuit a crui tensiune la borne nu depinde de intensitatea curentului, ecuaia caracteristic fiind n general

u = e(t) . (1.9) n planul (u,i) caracteristica de funcionare este o dreapt paralel cu abscisa (fig. 1.8).

Ca element de circuit, generatorul independent de tensiune este caracterizat de modul de variaie n timp a tensiunii electro-motoare e(t).

Generatorul independent de tensiune continu sau generatorul ideal de tensiune continu are t.e.m. constant n timp,

e(t) = E. (1.10)

0

u i

u

Fig.1.7. i

P

0

e(t) u

i

i

u

e(t)

Fig. 1.8.

13

HomeEvideniere

Generatorul real de tensiune continu este caracterizat de tensiunea electromotoare E i de rezistena interioar Rg (fig. 1.9). Variaia tensiunii la borne cu intensitatea curentului se datoreaz cderii de tensiune pe rezistena interioar Rg.

Cu legea lui Ohm, se obine:

E U = RgI (1.11) Caracteristica de funcionare este o dreapt ce nu trece prin origine. Dac Rg = 0,

avem generatorul ideal de tensiune continu. nmulind ambii termeni ai ecuaiei (1.11) cu I, se obine relaia dintre puterile

generatorului real de tensiune continu

0 I

E Rg

E U

I

E/Rg

U EI = UI + RgI2,

respectiv, Pg = P + PJ. (1.12)

Puterea electric total, Pg = EI, produs de generator este dat de suma dintre puterea electric P = UI cedat pe la borne i puterea electric PJ = RgI

2 pierdut prin efect Joule pe rezistena interioar a acestuia.

Fig. 1.9. 1.4.2. Generatorul de curent Generatorul independent (ideal) de curent sau injectorul ideal de curent este

elementul activ de circuit care are intensitatea curentului independent de tensiune, ecuaia caracteristic fiind:

i = ig(t) (1.13) n planul (u,i), caracteristica de funcionare este o dreapt paralel la axa

tensiunii (fig. 1.10).

Ig Gg U

I

i

ig(t)

u

0

ig(t) u

i

Ig I

U

0

Fig. 1.11. Fig. 1.10.

Ca element de circuit, generatorul independent de curent este complet caracterizat de modul de variaie n timp a curentului injectat ig(t).

Generatorul ideal de curent continuu are curentul constant n timp, independent de valoarea tensiunii:

ig(t) = Ig. (1.14) La generatorul real de curent continuu, curentul variaz cu tensiunea la borne

datorit conductanei interioare Gg nenul a acestuia (fig. 1.11). Aplicnd teorema a I-a Kirchhoff circuitului din figura 1.11, se obine:

14

HomeEvideniere

Ig I = GgU. (1.15) Generatorul sau injectorul real de curent continuu este caracterizat de curentul

injectat Ig i de conductana sa interioar Gg. Se poate observa c ecuaiile cderii de tensiune la generatorul real de tensiune

(1.11) i reducerii curentului la generatorul real de curent (1.15) sunt duale, corespondena mrimilor duale fiind:

E Ig; U ; Rg Gg. (1.16) Ca elemente de circuit, sursele de energie electric admit modelele duale ale

generatorului de tensiune i generatorului de curent.

1.5. TEOREMELE LUI KIRCHHOFF FORMA TOPOLOGIC Prima teorem a lui Kirchhoff se refer la curenii din nodurile unei reele

electrice i este o consecin a legii conservrii sarcinii electrice libere n regim staionar sau cvasistaionar: intensitatea curentului electric printr-o suprafa nchis este nul:

== 0AdJi . (1.17)

Dac suprafaa conine n interior un nod (k) al unei reele electrice (fig. 1.12), fiind strbtut de conduc-toarele parcurse de curenii ij ce concur n nodul (k), relaia (1.17) se scrie:

0)k(j

j =

i . (1.18)

Suma algebric a curenilor prin laturile j conectate la nodul (k) al unei reele electrice este nul.

n relaia (1.18), curenii ij se iau cu semnul "+" sau "" dup cum sensul acestora coincide sau este opus sensului normalei pozitive la suprafaa . Altfel spus, curenii ij se iau cu "+" dac sunt orientai de la nod i cu "" dac sunt orientai ctre nod.

ntr-un caz mai general, suprafaa nchis poate cuprinde o parte oarecare dintr-o reea, intersectnd un anumit numr de laturi ale acesteia. n acest caz suprafaa este numit i seciune. Pentru exemplul prezentat n figura 1.13, teorema a I-a Kirchhoff se scrie:

i1 + i2 i3 + i4 = 0. ntr-o reea electric cu n noduri, cu teorema a I-a Kirchhoff se poate obine un

sistem liniar independent cu n 1 ecuaii. Prin urmare, teorema a I-a Kirchhoff se aplic numai la n 1 noduri ale reelei pentru a obine un sistem independent de ecuaii pentru curenii din laturile reelei.

ij

i1 i2

(k)

ip Fig. 1.12.

i1

i4 i3

i2

Fig. 1.13.

15

HomeEvideniere

A doua teorem a lui Kirchhoff se refer la tensiunile n lungul laturilor unui ochi de reea. Se alege un sens arbitrar de integrare, respectiv un sens de referin al ochiului, reprezentat printr-o sgeat (fig. 1.14). Se integreaz forma local a legii conduciei electrice pe conturul trasat de-a lungul laturilor ochiului: e1R1i1y y( )

=+ sdJsdEE i , (1.19)

n care

= 0sdE , (1.20)

deoarece E este partea potenial a cmpului electric. n ecuaia (1.19), desprind conturul de integrare pe poriuni Cj corespun-

ztore laturilor ochiului, se obine:

[ ][ ]

[ ][ ]

==

==

mj mjjj

Cj j

jj

mj C mjjjiji

RAdssdJ

;sdEsdEj

ii

e

i ecuaia devine

[ ][ ] =mj mj jjj R ie . (1.21) Suma algebric a tensiunilor electromotoare din laturile unui ochi de reea este

egal cu suma algebric a cderilor de tensiune de pe rezistenele laturilor ochiului. Att tensiunile electromotoare ej, ct i cderile de tensiune Rjij se iau cu semnul "+" dac sensul lor coincide cu sensul de referin ales pentru ochi i cu semnul "" dac sensul lor este opus sensului ochiului.

Dac se efectueaz integrarea pe poriuni corespunztoare laturilor, integrala din membrul stng al ecuaiei (1.20) este:

==]m[j

j

]m[j

j

C

j sdEsdEj

u , (1.22)

unde =jC

jjj sdEu este tensiunea la bornele laturii j. Ecuaia (1.20) devine:

=]m[j

j 0u (1.23)

Relaia obinut reprezint forma topologic a teoremei a II-a Kirchhoff: pentru un ochi oarecare [m] al unei reele electrice, suma algebric a tensiunilor uj la bornele laturilor este nul.

Deoarece sumarea tensiunilor din (1.23) este algebric, inndu-se cont de sensul lor n raport cu sensul de referin al ochiului, se impune ca pentru toate laturile reelei s se adopte aceeai convenie de stabilire a sensurilor de referin pentru curenii i tensiunile la bornele acestora.

uj[m] y

yy

y ij

u1

ejRj

Fig. 1.14.

16

De exemplu, pentru situaia din figura 1.15, unde s-a adoptat convenia de la receptoare, teorema a II-a Kirchhoff se scrie:

u1 u2 + u3 u4 = 0. (1.24)

Pentru a obine un sistem de ecuaii indepen-dente pentru tensiunile laturilor unei reele electrice, teorema a II-a Kirchhoff se aplic ochiurilor sau buclelor independente. Prin urmare, pentru o reea cu n noduri i l laturi, cu teorema a II-a Kirchhoff se obin un numr de ecuaii independente egal cu numrul ochiurilor independente: o = l n +1.

u3

[m] y

u1

y

y

y

u4 u2

Fig. 1.15.

Sistemul complet de ecuaii liniar independente al unei reele electrice cu n noduri i l laturi, obinut prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff la nodurile i ochiurile reelei, are un numr de

(n 1) + (l n + 1) = l (1.25)

ecuaii, egal cu numrul laturilor.

1.6. TRANSFIGURAREA CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU

1.6.1. Echivalena i transfiguraia circuitelor electrice

Bornele prin care un circuit electric se poate lega cu alte circuite electrice se numesc borne de acces sau poli.

Un circuit cu mai multe borne de acces se numete circuit electric multipol sau multipol.

V1U12

Dipol I2 I1 (1) (2)

V2 n particular, un circuit cu dou borne de acces se numete dipol, cu trei borne de acces tripol, iar unul cu patru borne de acces tetrapol sau cuadripol (fig. 1.16).

V(2) 2

(3)V1

U12

Tripol (1) I1

I2 V3

U31

U23

I3 Un sistem complet de relaii independente ntre curenii i tensiunile (sau potenialele) accesu-rilor unui multipol se numete sistem de ecuaii ale multipolului.

Doi multipoli sunt echivaleni i se pot substitui unul altuia dac au sisteme de ecuaii echivalente. Pentru ca dou sisteme de ecuaii s fie echivalente este necesar ca ele s conin aceleai necunoscute (variabile). Prin urmare, ca doi multipoli s fie echivaleni este necesar ca ei s aib acelai numr de accesuri.

I1

V2

(3)

(2)

V1

U12

Cuadripol (1)

I2

Fig. 1.16.

U23

I3 I4

(4) V4 U41 U34

V3

nlocuirea unui multipol (circuit) cu un multipol (circuit) echivalent se numete transfigurare.

17

1.6.2. Echivalena surselor de tensiune i de curent Cum s-a vzut, un generator real de tensiune se compune dintr-o surs ideal de

tensiune electromotoare E, avnd tensiunea la borne independent de curentul debitat I, n serie cu rezistena Rg , reprezentnd rezistena interioar a generatorului (fig. 1.17,a).

Ig I

U

GgE

U

I Rg

b)a)

Fig. 1.17.

Aplicnd legea lui Ohm, tensiunea la borne se scrie:

U = E Rg I . (1.26)

De asemenea, generatorul real de curent poate fi reprezentat de o surs ideal de curent electric Ig, avnd intensitatea curentului independent de tensiunea la borne, legat n derivaie cu un rezistor de conductan Gg, reprezentnd conductana interioar a generatorului (fig. 1.17,b). Aplicnd teorema a I-a a lui Kirchhoff, avem

I = Ig Gg U (1.27)

din care, tensiunea la borne rezult

IG1I

G1U

gg

g

= . (1.28)

Ecuaia (1.28) satisfcut de tensiunea U i curentul I de la bornele dipolului din figura 1.17,b) este echivalent cu ecuaia (1.26) dac i numai dac

gg R

1G = i g

g REI = . (1.29)

Prin urmare, orice surs de energie are dou scheme (circuite) echivalente: una serie, ca surs de tensiune (fig. 1.17,a) i alta derivaie, ca surs de curent (fig. 1.17,b). Pentru ca sursa de tensiune s fie echivalent cu cea de curent este necesar i suficient s fie satisfcute relaiile (1.29).

Se observ c sursa de curent devine ideal dac Gg = 0 (rel. 1.27). De asemenea, se constat c, curentul generatorului de curent Ig este egal cu curentul de scurtcircuit al generatorului de tensiune echivalent, rel. (1.29).

Schemele echivalente ale surselor de energie electric din figura 1.17 a) i b) se mai numesc i schema echivalent serie, respectiv schema echivalent paralel sau derivaie.

18

1.6.3. Circuite serie Circuitele ale cror elemente sunt conectate astfel nct toate sunt parcurse de

acelai curent, se numesc circuite n conexiunea serie sau prescurtat, circuite serie. Pentru a obine un rezultat ct mai general, se presupune c fiecare din cele n

elemente ale circuitului serie este o surs, deci are t.e.m. i rezisten, reprezentat prin schema echivalent serie (fig. 1.18).

UU1

I R1E1

U2

R2E2

Uk

RkEk

Un

RnEn

U

I ReEe

Fig. 1.18.

Se vede imediat c tensiunea la bornele circuitului serie este

=

=+++++=n

1k

knk21 UU...U...UUU . (1.30)

Aplicnd legea conduciei electrice, tensiunea la bornele elementului k al circuitului serie este:

Uk = RkI Ek , k = 1, 2, , n. (1.31)

nlocuind n relaia anterioar, rezult:

==

=

n

1k

k

n

1k

k ERIU (1.32)

Pentru dipolul echivalent, legea conduciei electrice d:

ee ERIU = . (1.33) Prin identificare, din ecuaiile (1.32) i (1.33) rezult:

.EE;RRn

1k

ke

n

1k

ke ==

== (1.34)

Aadar, circuitul serie are o rezisten echivalent Re egal cu suma rezistenelor elementelor nseriate i o t.e.m. echivalent Ee egal cu suma t.e.m. ale elementelor nseriate. n Ee nsumarea se face algebric, lundu-se cu semnul "+" t.e.m. care au acelai sens cu curentul i cu semnul "" cele care au sens contrar curentului.

Se consider circuitul serie cu surse echivalente de curent (fig. 1.19), unde

kk

k

kgk

R1Gi

REI == .

19

UU1

Ig1I

G1

U2

Ig2

G2

Uk

Igk

Gk

Un

Ign

G1

Ige

U

IGe

Fig. 1.19.

Aplicnd teorema a I-a Kirchhoff, curentul prin rezistorul de conductan Gk

rezult: Ik = I Igk , (1.33)

iar tensiunea la bornele dipolului k este

gkkkk

kk IG

1IG1

GI

U == . (1.34)

nlocuind n relaia tensiunii la borne, se obine:

== =

==

n

1k

gkk

n

1k

n

1k kk I

G1I

G1UU . (1.35)

Tensiunea la bornele de acces ale dipolului echivalent este

.IG1I

G1U ge

ee= (1.36)

Prin identificare, din ecuaiile (1.35) i (1.36), rezult:

.R

IRI;

G1

G1

n

1k

k

n

1k

gkk

ge

n

1k ke

=

==

== (1.37)

U

I Re

UU1

I R1

U2

R2

Uk

Rk

Un

Rn

Fig. 1.20. n cazul particular al circuitului format din n rezistoare conectate n serie (fig.

1.20), rezult evident:

20

=

=n

1kke RR (1.38)

sau, funcie de conductane, .G1

G1

n

1k ke=

= (1.39)

Distribuia tensiunilor pe rezistoarele conectate n serie se face proporional cu rezistena acestora. Astfel, din relaia curentului

n

n

k

k

2

2

1

1

e RU...R

U...RU

RU

RUI ====== , (1.40)

tensiunea la bornele rezistorului k rezult:

.URRU

e

kk = (1.41)

Un caz particular, ntlnit frecvent n practic, este divizorul rezistiv de tensiune a crui schem este prezentat n figura 1.21. Tensiunea U1 aplicat la intrarea circuitului este divizat pe cele dou rezistoare nseriate R1 i R2, astfel c tensiunea obinut la ieire, U2, se scrie imediat pe baza relaiei (1.41) astfel:

1'

1

U2

U1

I

R2

R12

121

22 URR

RU += (1.42) 2'Fig. 1.21.

1.6.4. Circuite paralel (derivaie) Circuitele formate din elemente crora li se aplic aceeai tensiune ca urmare a

faptului c sunt conectate la aceeai pereche de borne se numesc circuite n conexiunea derivaie, prescurtat, circuite derivaie sau paralel.

Considerm circuitul format din n surse reale reprezentate prin surse de tensiune, figura 1.22.

U

I

R1E1 I1

R2E2 I2

RkEk Ik

RnEn In

U

I ReEe

Fig. 1.22.

Aplicnd legea conduciei electrice, curentul din latura k rezult:

k

k

kkkkk R

ER1UIIREU +==+ . (1.43)

21

Cu teorema a I-a Kirchhoff se obine:

===

+

==

n

1k k

kn

1k k

n

1kk R

ER1UII . (1.44)

Pentru dipolul echivalent, expresia curentului este

.ER1U

R1I e

ee+= (1.45)

Prin identificarea ecuaiilor (1.44) i (1.45) rezult:

.G

EGE;

R1

R1

n

1kk

n

1kkk

e

n

1k ke

=

==

== (1.46)

Se consider cazul cnd sursele sunt reprezentate prin schema echivalent cu generatoare de curent, figura 1.23. Cu teorema a I-a Kirchhoff se scrie i n acest caz

a

Ig1I1 G1

Ig2I2 G2

IgkIk G2

IgnIn G2

b

U

IIge

U

IGe a b

Fig. 1.23.

=

=n

1kkII (1.47)

unde, Ik = GkU + Igk, k = 1, 2, ..., n.

Rezult astfel: (1.48) .IUGIn

1kgk

n

1kk

==+

=

Pentru dipolul echivalent curentul este

I = GeU + Ige. (1.49)

Prin identificare, din ecuaiile (1.48) i (1.49) rezult:

==

==n

1kgkge

n

1kke .II;GG (1.50)

22

n cazul particular a n rezistoare legate n paralel, rezult n mod evident

==

==n

1k k

n

1ke

ke R1G sau

R1

R1 . (1.51)

Dac cele n rezistoare au valori egale, Re = R/n.

Pentru dou rezistoare R1 i R2 legate n paralel, 21

21e RR

RRR += . 1.6.5. Transfigurarea stea poligon complet

Un circuit n care la fiecare born de acces este conectat o singur latur care o

unete cu un nod comun (0), se numete circuit n conexiunea stea sau, prescurtat, circuit stea (fig. 1.24,a). Punctul (0) comun tuturor laturilor se numete punct neutru.

Un circuit care are ntre fiecare pereche de borne de acces cte o latur se numete circuit n conexiunea poligon complet sau circuit poligon complet (fig. 1.24,b).

ijk

Gjk

i1

E1

R1U1

(1)

ij(j)

Rj

Uj

0 Uk

Rk

Ek(k)

UnEn

Rn

(n)

Ej

inik ik

iji1

in

(1) ( j)

(k) (n)

G1j E1j

Ejk

Gkm Ekm

Gm1

Em1 G1k

E1k

GjmEjm

i1jijn

a) b)

Fig. 1.24.

a) Circuitul n conexiunea stea. Intensitatea curentului Ij care intr pe la borna (j) a circuitului stea, n baza legii lui Ohm se scrie:

Ij = Gj (Uj + Ej) ; j = 1, 2, , n. (1.52)

Tensiunea la bornele laturii j este:

Uj = Vj V0, j = 1, 2, , n. (1.53)

Teorema I Kirchhoff pentru nodul (0) se scrie:

.0Im

1kj =

= (1.54)

nlocuind n aceast relaie curentul Ij dat de rel.(1.52) i tensiunea Uj dat de rel.(1.53), se poate deduce potenialul punctului neutru V0 astfel:

23

=+=

0)EVV(G j0m

1j

jj .

G

EGVG

Vm

1j

j

m

1j

jj

m

1j

jj

0

=

==+

=

nlocuind V0 n (1.52) scris sub forma

( )[ ]j0jjj EVVGI += i schimbnd indicii, rezult succesiv:

, ,m,2,1jEGEGVGVGG

G

EG

EG

G

VGVGI

m

1k

m

1k

m

1k

m

1k

jkkkkkjkm

1l

l

j

jm

1k

k

m

1k

kk

m

1k

k

m

1k

kk

jjj

=

+=

=

+=

= = = =

=

=

=

=

=

sau, avnd n vedere c Vj Vk = Ujk, se poate scrie

( )( )( )

+= = =

=

m

jk1k

m

jk1k

kjkjkkm

1l

l

jj EEGUG

G

GI

n final, expresia curentului luat de circuitul n stea pe la borna (j) se pune sub forma:

==

=

=

+=m

)jk(1k

kjm

1l

l

kjm

)jk(1k

jkm

1l

l

kjj )EE(

G

GGUG

GGI (1.55)

b) Circuitul cu conexiune poligon complet. Intensitatea curentului din latura jk a circuitului poligon complet, pe baza legii lui Ohm, se scrie:

Ijk = Gjk(Ujk + Ejk). (1.56)

Expresia curentului luat de circuitul poligon complet pe la borna (j) se deduce aplicnd teorema a I-a Kirchhoff, astfel:

( ) ( ) ( )

===+==

m

jk1k

jkjkjk

m

jk1k

jk

m

jk1k

jkj EGUGII , j =1, 2,,m. (1.57)

Din identificarea expresiilor curenilor (1.55) i (1.57) rezult c cele dou circuite, stea i poligon complet, sunt echivalente dac sunt satisfcute relaiile:

=

= m1l

l

kjjk

G

GGG , j, k = 1, 2,, m, j k (1.58)

24

( )kjm1k

m

1l

l

kjm

1k

jkj EEG

GGEG = ==

=, j = 1, 2,,m, k j. (1.59)

Se observ c Gjk = Gkj i deci, dac se d circuitul stea prin conductanele sale Gk i t.e.m. Ek, se pot calcula toate conductanele Gjk ale laturilor circuitului n poligon complet, precum i sursele acestuia Ejk care satisfac relaiile:

Ejk = Ej Ek, j,k = 1, 2,, m; j k. (1.60) Trecerea de la un circuit n poligon complet la circuitul echivalent n stea nu

este totdeauna posibil deoarece numrul n al ecuaiilor independente (1.58) este, n general, mai mare dect numrul m al conductanelor Gk (rezistenelor Rk) ale circuitului n stea, cu excepia cazului cnd m = 3. Rezult c, n timp ce transfigurarea stea-poligon complet este ntotdeauna posibil, transfigurarea invers, poligon stea este posibil numai n cazul n care poligonul este un triunghi.

n cazul particular m = 3, avem transfigurrile stea triunghi i invers, triunghi stea (fig. 1.25).

X Transfigurarea stea - triunghi. Conductanele i tensiunile electromotoare ale circuitului echivalent n triunghi se determin cu relaiile (1.58) i (1.60), respectiv:

(1)

(3)

E1

R1

R2E2

R3E3

(2)

R12

E12

R23E23

R31

E31

(3) (2)

Fig. 1.25.

(1)

;GGGGGG,GGG

GGG,GGGGGG

321

3131

321

3223

321

2112 ++=++=++= (1.61)

.EEE,EEE,EEE 133132232112 === (1.62)

Cu rezistene, relaiile de echivalen (1.61) pot fi scrise sub forma:

++=++=++=

2

313131

1

323223

3

212112

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

(1.63)

25

Y Transfigurarea triunghi stea. Conductanele sau rezistenele circuitului n stea echivalent unui circuit triunghi dat, se obin din sistemele de ecuaii (1.61) i respectiv (1.63). Expresiile lor pot fi puse sub forma:

++=

++=

++=

;GGGGGG

,GGGGGG

,GGGGGG

12

231323133

13

231223122

23

131213121

(1.64)

++=++=++=

231312

23133

231312

23122

231312

12131

RRRRRR

;RRRRRR

;RRRRRR

(1.65)

Tensiunile electromotoare se determin cu rel. 1.59, care pentru m = 3, se scriu:

( ) jk;3,2,1j,EEGEG31k

3

1kkjjkjkjk ==

= =

respectiv, ( ) ( )3113211213131212 EEGEEGEGEG +=+ ( ) ( )3223122123232121 EEGEEGEGEG +=+

Se mai consider o condiie de forma

G1E1 + G2E2 + G3E3 = 0 (1.66)

i t.e.m. ale circuitului stea echivalent circuitului triunghi dat, rezult:

+++=++

+=++

+=

321

3223113

321

2112332

321

1331221

GGGEGEGE

;GGGEGEGE

;GGGEGEGE

(1.67) sau,

+=+=+=

3232313133

2121232322

1313121211

EGEGEG

EGEGEG

EGEGEG

(1.68)

Aceste relaii corespund urmtoarelor relaii ntre curenii de scurtcircuit ai laturilor stelei, respectiv triunghiului (cnd pe laturi sunt generatoare de curent, fig.1.26):

.III;III;III 23s31s3s12s23s2s31s12s1s === (1.69)

(1)

(2)

Is1

Is2

G2

G3

Is3

G1

(3) (3)

Is12

G12G23

G31

Is23

Is31

(2)

(1)

Fig. 1.26

26

1.7. NOIUNI DE TEORIA GRAFURILOR

1.7.1. Grafuri. Elemente topologice. n teoria circuitelor electrice prezint un interes deosebit proprietile topologice

ale reelelor electrice, respectiv modul de interconectare a diferitelor laturi ale reelei. Aceste proprieti se pot urmri direct n schema electric sau, mai comod, n graful circuitului. Graful se obine din schema electric nlocuind elementele componente sau laturile acesteia prin linii simple. Liniile care se obin se numesc laturile grafului, iar extremitile acestora se numesc nodurile grafului. Numrul l al laturilor i n al nodurilor alctuiesc parametrii topologici primari ai reelei (circuitului).

Teoremele lui Kirchhoff n formulare topologic nu depind de natura elementelor, active sau pasive, liniare, parametrice sau neliniare. Fcnd abstracie de natura elementelor i nlocuindu-le prin segmente orientate n sensul de referin al curentului, se obine graful orientat G, respectiv graful curenilor (fig. 1.27).

3 3

6

(3) 2(2)

(4)

(1)

1

2 4

5 6

(4)

(1)(2) 4

1 5

Fig. 1.27.

(3)

Se numete bucl, ciclu sau circuit nchis al grafului, ocu sens de parcurgere trasat n lungul laturilor grafului, pe la nlatur inclus n bucl este parcurs o singur dat i fiecare numai dou laturi incluse.

Un graf se numete graf plan dac toate laturile pot fsfer fr s se intersecteze. Buclele unui graf ale crui latulaturi ale reelei se numesc ochiuri.

Graful ce nu poate fi trasat pe un plan sau pe o sfer fr ca vreo una din laturi s fie intersectat de alte laturi ale grafului, se numete graf spaial (fig. 1.28).

(2

(6

Se numete ochi fereastr, ochiul care conine n interior laturi.

(1)

O reea constituit din dou sau mai multe pri avnd comun fie numai un nod, fie numai un element ale crui borne sunt conectate la fiecare din pri, se descompune n reele

curb nchis prevzut oduri, astfel nct fiecare nod al buclei conecteaz

i trasate n plan sau pe o ri nu sunt intersectate de

(4)

) (3)

(5) )

Fig. 1.28.

27

distincte (fig. 1.29). Fiecare dintre pri se numete subreea. n general, se numesc subreele i acele pri ale reelelor ale cror grafuri nu conin noduri i laturi comune, dar fiecare subreea conine cel puin o latur cuplat magnetic cu cel puin o latur a altei subreele.

a) b) c)

Fig. 1.29. Exemple de subreele: a) cu un nod comun; b) cu un element comun; c) cu laturi cuplate magnetic.

O reea constituit numai dintr-o subreea se numete conex i dac nu este cuplat n exterior prin conductoare parcurse de curent se numete nchis sau izolat.

Dac subreeaua este conectat prin cel puin dou conductoare cu reele din exterior, se numete deschis, iar nodurile la care sunt legate conductoarele se numesc accese. Unei reele conexe i corespunde un graf conex ce are proprietatea c ntre oricare dou noduri exist cel puin o cale, adic o secven ordonat de laturi.

Se numete subgraf SG al unui graf G, oricare din grafurile ale crui noduri i laturi aparin grafului. Un subgraf se obine dintr-un graf suprimnd noduri i laturi.

1.7.2. Analiza reelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff. Analiza ochiurilor i a nodurilor.

Problema fundamental a analizei reelelor electrice const n determinarea celor

l cureni ij, prin elementele reelei, celor n tensiuni uj la bornele lor i a celor n poteniale vk ale nodurilor. Sistemul complet de ordinul l al ecuaiilor pentru calculul curenilor ij sau tensiunilor uj se obine aplicnd teoremele lui Kirchhoff la nodurile i ochiurile reelei.

Teoremele lui Euler. Teorema a I-a. Sistemul liniar independent de ordinul l al ecuaiilor pentru

calculul tensiunilor sau curenilor prin elementele dipolare ale unei reele conexe cu l laturi i n noduri este constituit din n' = n 1 ecuaii de noduri i o = l n + 1 ecuaii de bucle. Parametrii n' i o se numesc parametri topologici secundari ai reelei.

Teorema a II-a Euler arat modul cum se aleg nodurile i buclele la care trebuie aplicate teoremele lui Kirchhoff. Alegerea numrului de noduri nu prezint dificulti orict de complicat ar fi configuraia reelei. Este suficient s se stabileasc arbitrar nodul de referin, de exemplu nodul (n) i sistemul de ecuaii nodale la cele n 1 noduri rezult liniar independent. Dac reeaua conine mai multe subreele, pentru fiecare subreea n parte se alege cte un nod de referin (presupus legat la pmnt).

[1] [2]

[3] [4]

Fig. 1.30.

28

Pentru reele plane, care conin exclusiv ochiuri, teorema a II-a Euler stabilete: o reea conex plan cu l laturi i n noduri conine o = ln+1 ochiuri interioare distincte. Trasarea direct pe reea a sistemului de ochiuri se face astfel: se verific dac reeaua este plan i se conduc laturile grafu-lui fr s se intersecteze; ochiurile interioare alctuiesc un sistem distinct cruia i corespunde un sistem independent de ecuaii de ochiuri (fig. 1.30).

Consecine ale teoremelor lui Euler. Ecuaiile liniar independente la cele n1 noduri reprezint n1 relaii de

dependen liniar ntre l cureni prin laturi i, n consecin, b = l n+ 1 cureni ai reelei sunt liniar independeni. Deoarece b = l n + 1 ecuaii de bucle reprezint b relaii de dependen liniar ntre l tensiuni ale laturilor, urmeaz c n' = l b = n 1 tensiuni sunt liniar independente. Dac se alege nodul (n) de referin, la care se raporteaz potenialele vk ale celorlalte noduri, = vkv k vn, tensiunea uj la bornele laturii j se exprim n funcie de potenialele raportate astfel: uj = vk vk+1 = . 1kk vv +

Potenialele raportate se numesc poteniale de nod sau tensiuni de nod (tensiuni nodale).

kvRezult c ntr-o reea conex cu n noduri, n' = n 1 poteniale de nod sunt liniar

independente. n conformitate cu teoremele lui Euler, graful G al unei reele se descompune n

dou sisteme de subgrafuri.

n Sistemul subgrafurilor nodurilor independente G(k) G, subgraful G(k) fiind constituit de un nod (k) avnd potenialul de nod i laturile j conectate la nod, parcurse de curenii i

kvj (fig. 1.31), ecuaiile la noduri fiind:

( )0

kjj =

i . (1.70)

4

(4) G

3

(2) (3)

1

2 4

5 6 (1)

u1

1v (1)

3v 2v 1

32 (2)

5

43

(3)6

1 5 6

Nod de referin

G(k)

2 (4)

Fig. 1.31.

Determinarea potenialelor de nod constituie analiza nodurilor sau analiza nodal.

kv

o Sistemul subgrafurilor ochiurilor independente G[m] G, fiecare subgraf G[m] (respectiv ochi [m]) fiind constituit dintr-un ochi [m] al reelei. Dac se consider fiecare ochi parcurs de un curent mi , curenii ij prin laturile reelei rezult din superpoziia curenilor de ochiuri mi ,

[ ].

jmmj

= ii (1.71)

29

Deoarece subgrafurile ochiurilor sunt independente, curenii de ochiuri alctuiesc un sistem liniar independent. Curenii de ochiuri mi se mai numesc i cureni ciclici. Determinarea curenilor de ochiuri constituie analiza ochiurilor.

1.7.3. Matricele de inciden ale laturilor la noduri i ochiuri. Formele matriceale ale ecuaiilor lui Kirchhhoff.

a) Matricea de inciden a laturilor la noduri. Fie graful G conex i orientat, cu l laturi i n noduri. Se noteaz cu kj

coeficienii definii dup cum urmeaz: kj = 1, dac latura j conectat la nodul (k) este orientat de la nod, kj = 1, dac latura j conectat la nodul (k) este orientat ctre nod, kj = 0 dac latura j nu este conectat la nodul (k). Matricea [A]n,l ai crei termeni sunt coeficienii kj cu n linii numerotate n

ordinea nodurilor (k) i l coloane numerotate n ordinea laturilor j se numete matrice de inciden a laturilor la noduri.

[ ]

=

l

l

l

l

l

l

nnj2n1n

kkj2k1k

2j22221

1j11211

............................................................

)n(

)k(

)2()1(

A

j21

n,

KK

M

M (1.72)

noduri laturi

3

(4)

6 5 1

4 2 (2) (1)

De exemplu, matricea de inciden laturi noduri a grafului din figura 1.32 este

(3)

[ ]

=00011100

0100111

A 6,4

111001100

.

Matricea de inciden a laturilor la noduri are

proprietile: Fig. 1.32.

1) fiecrui graf orientat G cu laturile i nodurile numerotate i corespunde o matrice [A];

2) numrul coeficienilor kj nenuli pe linia k este egal cu numrul laturilor j conectate la nodul (k), cu semnul + pentru laturile orientate de la nod i cu semnul pentru laturile orientate ctre nod;

3) deoarece o latur nu poate lega mai mult de dou noduri, pe fiecare coloan j numai doi coeficieni kj sunt nenuli, unul pozitiv i cellalt negativ;

4) fiecrei matrice A care ndeplinete condiiile 2), 3) i corespunde un graf G. Cu matricea [A]n,l, sistemul celor n ecuaii de noduri se scrie sub form

matriceal astfel: [ ] [ ] [ ] n,n 0A l l i = (1.73)

30

n care [i]l este matricea coloan cu l termeni a curenilor ij :

=

l

2

1

l

i

ii

i M][ .

Dac se suprim o linie a matricei [A]n,l se obine matricea de inciden redus laturi noduri [A']n,l, cu n = n 1 linii i l coloane. Suprimarea unei linii k a matricei corespunde alegerii nodului (k) nod de referin. De exemplu, alegnd nodul (n) nod de referin, matricea A corespunztoare grafului din fig. 1.32 este

.

=

101100011010000111

]'A[ 6,3

Sistemul ecuaiilor liniar independente de noduri devine

'n,'n ]0[][]'A[ =ll i . (1.74) Se noteaz cu [R]n',n matricea de raportare cu n 1 linii i n coloane i cu [v]n,

respectiv [v']n' matricele coloan cu n, respectiv n 1 termeni ai potenialelor vk i potenialelor raportate . Ecuaia matricial: kv

nn,'n'n ]v[]R[]v[ = (1.75) raporteaz potenialele ale primelor n 1 noduri la potenialul de referin al nodului (n).

nkk vvv =

[ ]

=11

1111

R nn MO (1.76) n1

linii

n coloane

Sistemul ecuaiilor de legtur ntre tensiunile la bornele laturilor uj i potenialele se scrie matricial astfel: kv

'nt

,'nnt

,n ]v[]'A[]v[A][]u[ == lll (1.77) n care este transpusa matricei de inciden redus a laturilor la noduri cu l linii i n 1 coloane, iar [u]

t,'n]'A[ l

l este matricea coloan a tensiunilor laturilor cu l elemente.

=

=

1n

k

2

1

n

n

k

2

1

n

v

v

vv

]v[,

v

v

vv

]v[

M

M

M

M , .

=

l

j

2

1

u

u

uu

]u[

M

Ml

31

b) Matricea de inciden a laturilor la ochiuri. Se consider un graf conex G cu l laturi, n noduri i o = l n+ 1 ochiuri

interioare. Prin convenie se consider acelai sens pentru toate ochiurile interioare de exemplu, cel orar i sens opus (antiorar) pentru ochiul fereastr de referin. Se noteaz cu mj coeficienii definii astfel:

mj = 1 - dac latura j aparine ochiului [m] n acelai sens, mj = 1 - dac latura j aparine ochiului [m] n sens opus, mj = 0 - dac latura j nu aparine ochiului [m]. Matricea [B]o,l ai crei termeni sunt coeficienii mj, cu o + 1 = b = l n+ 2 linii

i l coloane se numete matrice de inciden a laturilor la ochiuri:

[ ][ ][ ][ ][ ]

=

++++

+

+l,1oj,1o2,1o1,1o

mlmj2m1m

l2j22221

l1j11211

l,1o

j21

B

1o

m

21

KKKKKKKK

KKKKKKKK

KKKKLL

M

M

l

. (1.78)

ochiuri laturi

Pentru graful prezentat n figura 1.33, matricea de inciden a laturi ochiuri este

[ ]0100

011

B6,4

= .

10011110001110100

3

4 2

(4)

[1]

[2]

6 5 1 ochiul de referin

(1)

[3] (3)

Proprietile matricei [B]: 1) fiecrui graf orientat G cu laturile i nodurile numerotate i corespunde o matrice [B]; 2) numrul coeficienilor mj nenuli pe linia m este egal cu numrul laturilor j care aparin ochiului [m], cu semnul + sau dup cum latura i ochiul au acelai sens, respectiv sensuri opuse; Fig. 1.33.

3) deoarece o latur nu poate aparine la mai mult de dou ochiuri, pe fiecare coloan j numai doi coeficieni sunt nenuli, unul pozitiv i cellalt negativ dac se aleg sensurile menionate;

4) fiecrei matrice [B] care ndeplinete condiiile 2) i 3) i corespunde un graf G la ochi de referin dat.

Dac se suprim o linie a matricei [B]o+1,l se obine matricea de inciden redus laturi ochiuri [B'] o,l, cu o = l n + 1 linii i l coloane.

n exemplul considerat, suprimnd ultima linie (alegerea ochiului [4] de referin), rezult:

.111000001110010011

]'B[ 6,3

=

32

Cu matricea [B'] sistemul ecuaiilor de ochiuri se scrie matricial astfel:

.]0[]u[]'B[ ,o lll = (1.79) Ecuaiile de legtur ntre curenii din laturi ij i curenii de ochiuri se exprim

matricial astfel: mi

ot

,o ]'i[]'B[]i[ ll = (1.80) unde [i'] este matricea coloan a curenilor ciclici cu o = l n +1 termeni.

]iiii[]'i[ om21t = LL . Pe baza relaiilor (1.73), (1.76), (1.78) i (1.79) se deduc relaiile

]0[]'v[]'A[]'B[i]0[]'i[]'B[]'A[ tt == , din care rezult

]0[]'A[]'B[]'B[]'A[ tt == (1.81) i deci matricele [A'] i [B'] sunt ortogonale.

n continuare, n analiza reelelor electrice se vor utiliza numai matricele de inciden reduse laturi noduri i laturi ochiuri i din motive de simplificare a scrierii se va renuna la indicele .

1.8. METODE DE ANALIZ A REELELOR ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU

1.8.1. Analiza reelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff Fie o reea electric liniar i invariabil n timp, conex i plan, cu n noduri i l

laturi. Se presupun cunoscute rezistenele rezistoarelor, tensiunile electromotoare i rezistenele interioare ale generatoarelor de tensiune, curenii i conductanele interioare ale generatoarelor de curent.

Sistemul complet de ordinul l al ecuaiilor reelei, conine n = n 1 ecuaii de noduri pentru curenii Ij (j = 1, 2, , l) din laturile reelei i o = l n +1 pentru tensiunile Uj (j = 1, 2, , l) la bornele laturilor. Ecuaiile de noduri se scriu

,0)k(j

jI =

k = 1, 2, , n 1 (noduri), (1.82)

iar cele de ochiuri: ,0

]m[jjU =

m = 1, 2, , o (ochiuri). (1.83)

n ambele ecuaii sumele sunt algebrice: curenii cu sensul de referin de la nod au semnul +, iar ctre nod au semnul ; la parcurgerea ochiului dup un sens de referin ales arbitrar, tensiunile se iau cu semnul + sau dac sunt ntlnite n acelai sens, respectiv n sens opus.

Analiza reelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff const, fie n determinarea nti a curenilor prin laturi, ceea ce necesit nlocuirea tensiunilor n funcie de cureni n ecuaiile (1.83), fie nti a tensiunilor i prin urmare nlocuirea curenilor n funcie de tensiuni n ecuaiile (1.82).

n continuare se prezint principial metoda de analiz n raport cu curenii.

33

a) Metoda direct. Se consider o reea liniar de curent continuu, conex i plan, cu n noduri i l

laturi din care lR sunt laturi cu rezistoare, lE laturi cu generatoare ideale de tensiune i lJ laturi cu generatoare de curent. Se numeroteaz nti laturile cu rezistoare, apoi laturile cu generatoare de tensiune i n final laturile cu generatoare de curent.

IEp

Js

Ij

Ep

Rj

(k)

Ij

[m]

Rjyy

y

yy

yIEpUJs

Ep Js

b) a) Fig. 1.34.

n cazul general, ecuaiile de noduri sunt de forma (fig. 1.34,a)

=+)k(s

s)k(j )k(p

Epj JII , k = 1, 2, , n = n 1, (1.84)

iar ecuaiile de ochiuri (fig.1.34,b)

=+]m[p

p]m[j ]m[s

Jsjj EUIR , m = 1, 2, , o = l n + 1, (1.85)

n care s-au notat: Ep t.e.m. a generatorului p, Js curentul generatorului de curent s. Mrimile cunoscute sunt: t.e.m. Ep ale generatoarelor de tensiune, curenii Js ai

generatoarelor de curent i rezistenele Rj ale rezistoarelor. Ecuaiile (1.84), (1.85) alctuiesc un sistem complet de ecuaii algebrice liniare

cu coeficieni constani de ordinul l, din care se determin necunoscutele, respectiv curenii Ij prin laturile j cu rezistoare, curenii IEp prin laturile p cu generatoare ideale de tensiune i tensiunile UJs la bornele generatoarelor de curent.

b) Metoda matriceal. Forma matriceal a ecuaiei de noduri (1.82) corespunztoare teoremei a I - a

Kirchhof n forma topologic este

[ ] [ ] [ ]n,n 0IA = ll , (1.86) n care [An,l] este matricea de inciden redus laturi noduri cu n linii i l coloane i [Il] este matricea coloan a curenilor cu l termeni.

Avnd n vedere modul de numerotare a laturilor reelei, matricea [An,l] se poate descom-pune n dou submatrici (fig. 1.35): o matrice format cu primele l lJ coloane corespunztoare laturilor cu rezistoare i cu generatoare de tensiune i o matrice cu ultimele lJ coloane corespunztoare laturilor cu generatoare de curent.

Matricea coloan a curenilor se desparte, de asemenea, n dou submatrice: una cu primii l lJ termeni, reprezentnd curenii din laturile cu rezistoare i cu generatoare de

n li

nii

lR

[ ]

=

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

l,nA

lJl lJ

lE

Fig. 1.35.

34

tensiune i a doua cu ultimii lJ termeni, reprezentnd curenii generatoarelor de curent. Astfel, ecuaia (1.86) se scrie succesiv

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ],JAIA0JI

AA JJJJJ

J

JJ ,n,nn,n,n lllllll

lllll

==

LM

respectiv, notnd cu [ ] , se obine forma final a ecuaiei matriceale cores-punztoare ecuaiilor de noduri scrise cu teorema a I-a Kirchhoff:

[ ] [ JJ JAJ ,nn ll = ]

[ ] [ ] [ ]n,n JIA JJ = llll (1.87) Pentru deducerea formei matriceale a ecuaiilor de ochiuri (1.85) se pleac de la

forma matriceal (1.83) a acestor ecuaii obinute cu teorema a II-a Kirchhoff n forma topologic:

[ ] [ ] [ ]o,o 0UB = ll

]

jjjj EIRU =

lR (1.88)

Matricea de inciden redus [Bo,l] se poate descompune n dou submatrice (fig. 1.36): o matrice format cu primele l lJ coloane cores-punztoare laturilor cu rezistoare i cu generatoare de tensiune i o matrice cu ultimele lJ coloane corespunztoare laturilor cu generatoare de curent.

Matricea coloan a tensiunilor se desparte i ea n dou submatrice: una cu primii l lJ termeni reprezentnd tensiunile la bornele laturilor cu rezistoare i/sau cu generatoare de tensiune i a doua cu ultimii lJ termeni reprezentnd tensiunile UJs la bornele generatoarelor de curent. Astfel, ecuaia (1.88) se scrie succesiv:

[ ][ ][ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ o,o,ooJ,o,o 0UBUB0UU

BB JJJJJ

J

JJ =+=

llllllll

lllll

LM (1.89)

Pentru laturile cu rezistoare i/sau cu generatoare de tensiune (fig. 1.37), tensiunile la borne se scriu cu legea lui Ohm astfel:

, j = 1, 2, , l lJ. (1.90)

n form matriceal, aceste ecuaii se scriu:

[ ] [ ] [ ] [ ]JJJJ EIRU llllllll = (1.91) n care [RllJ] este matricea diagonal de ordinul llJ, avnd primii lR termeni egali cu rezistenele laturilor cu rezistoare i ultimii lE termeni nuli, corespunztori laturilor cu generatoare ideale de tensiune (fig.1.38), iar matricea [EllJ] este matricea coloan a tensiunilor electromotoare din laturile reelei (termenii sunt nuli pentru laturile care nu conin generatoare).

Se multiplic la stnga ambii termeni ai ecuaiei (1.91) cu matricea [Bo,llJ] i rezult:

o lin

ii [ ]

=

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

l,oB

lE

lJl lJFig. 1.36.

Uj

Ij RjEj

Fig. 1.37.

l R

lR

[ ]

=

ll

00

0R

R0R

B R

21

,o

O

O

l lJ

l E

lE

Fig. 1.38.

35

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]JJJJJJJ

EBIRBUB llllo,llllllo,llllo, = . (1.92) nlocuind produsul [Bo,llJ][UllJ] n cea de-a doua ecuaie din (1.89), rezult forma matricial a ecuaiilor de ochiuri corespunztoare teoremei a II-a Kirchhoff :

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ]JJJJJJJ EBUBIRB J, llllo,llollllo,llo, =+ respectiv,

[ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ]ollolloo, EUBIR JJJ J, =+ , (1.93) n care s-au notat [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]JJJJ EBE,RBR llllo,ollo,llo,oo, == .

Ecuaiile (1.87) i (1.93) corespunztoare celor dou teoreme ale lui Kirchhoff aplicate la nodurile i ochiurile independente ale reelei se pot scrie n forma compact:

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ]( )[ ]

[ ][ ]

=

ol

ll

lll o,

lll

E

J

U

I

BR

0A.................

J

......................J

JJ

..........................................JJ n

J,n

,n,n

M

M, (1.94)

sau, [ ] [ ] [ llll, SNK(i) = ]]

(1.95) n care s-au folosit notaiile:

matricea Kirchhoff n raport cu curenii (matrice ptrat de ordinul l), [ (i)K ll, [Nl] matricea necunoscutelor (matrice coloan cu l termeni), [Sl] matricea surselor (matrice coloan cu l termeni).

1.8.2. Analiza reelelor electrice cu metoda curenilor ciclici a) Metoda direct. Dup cum s-a vzut, numrul ecuaiilor independente ce se obin prin aplicarea

teoremelor lui Kirchhoff la nodurile i ochiurile reelei este egal cu numrul laturilor l. n cazul reelelor cu o structur complex, datorit numrului mare de ecuaii ce rezult, sistemul de ecuaii poate fi dificil de rezolvat. n aceste cazuri este util s se utilizeze metoda de calcul bazat pe teorema curenilor ciclici, cunoscut i sub denumirile de metoda curenilor independeni, de ochiuri sau de contur. Metoda permite reducerea numrului de ecuaii la numrul ochiurilor sau buclelor independente (fundamentale).

Metoda curenilor ciclici const n introducerea n scop de calcul a unor cureni fictivi, numii cureni ciclici, independeni sau de contur, care ar circula de-a lungul laturilor ochiurilor sau buclelor fundamentale ale reelei. Aplicnd teorema a doua Kirchhoff n raport cu aceti cureni, pentru o reea conex i plan cu n noduri i l laturi, se obin o = l n +1 ecuaii algebrice, deci un numr de ecuaii egal cu numrul ochiurilor fundamentale ale reelei.

Pentru aplicarea metodei curenilor ciclici, este util s se transforme mai nti, dac este posibil, laturile cu generatoare de curent n laturi echivalente cu generatoare de tensiune. Se stabilesc apoi ochiurile independente sau fundamentale ale reelei (ochiurile interioare, de exemplu) pentru care se noteaz curenii ciclici i se aleg sensurile de referin ale acestora.

Forma general a sistemului de ecuaii corespunztor teoremei curenilor ciclici pentru o reea conex i plan cu un numr o de ochiuri independente este

36

=+++++

=+++++

=+++++=+++++

][j2211

]m[j22m11m

]2[j222121

]1[,1j1212111

ooo,oj,o,o,o

oo,mmj

oo,2j2

ooj

EIR...IR...IRIR..................................................................EIR...IR...IRIR

..................................................................EIR...IR...IRIR

EIR...IR...IRIR

(1.96)

n care s-au utilizat notaiile:

curentul ciclic al ochiului [j], j = 1, 2, , o;

=]m[k

km,m RR

=]j[k]m[k

kj,m RR

=]m[k

k]m[ EE

jI suma rezistenelor laturilor ochiului [m], numit i rezistena proprie a ochiului; rezistenele Rk se iau totdeauna cu semnul + n aceast sum;

suma rezistenelor laturilor comune ochiurilor [m] i [j]; rezistena Rk a fiecrei laturi comune se ia cu semnul +, respectiv dac curenii ciclici ai celor dou ochiuri au acelai sens, respectiv sensuri opuse prin latura comun respectiv.

suma algebric a tensiunilor electromotoare Ek ale surselor de tensiune din laturile ochiului [m]; suma este algebric, adic t.e.m. Ek se ia cu semnul +, respectiv dac sensul acesteia coincide, respectiv este opus sensului ochiului (curentului ciclic al ochiului).

Prin rezolvarea sistemului de ecuaii (1.96) folosind, de exemplu, metoda Cramer, se determin curenii ciclici ai ochiurilor independente:

= =

++++

+=

o

1m]m[

mj]o[

oj]m[

mj]2[

j2]1[

j1j EEEEEI LL , j = 1, 2, , o. (1.97)

unde este determinantului sistemului, mj este complementul algebric al termenului Rmj luat cu semnul corespunztor, mjjmmj )1( = + .

Curenii reali din laturile reelei se obin pe baza principiului superpoziiei. Astfel, curentul Ik dintr-o latur oarecare se determin prin nsumarea algebric a curenilor ciclici ai ochiurilor la care aparine latura respectiv: mI

=

k]m[mk II , k = 1,2, , l. (1.98)

b) Metoda matriceal. n form matriceal, sistemul de ecuaii (1.96) corespunztor teoremei curenilor

ciclici se scrie: [ ] [ ] [ ]oooo, EIR = (1.99)

n care [ este matricea ptrat i simetric de ordinul o, ]oo,R [ ]oI este matricea coloan a curenilor ciclici, [ ]oE este matricea coloan a tensiunilor electromotoare de ochiuri.

Presupunnd c reeaua conine numai laturi cu rezistoare i generatoare de tensiune (generatoarele de curent au fost nlocuite cu generatoare echivalente de tensiune) i aplicnd legea lui Ohm generalizat laturilor reelei de forma celei din figura 1.38, avem:

37

, j = 1, 2, , l . (1.100) jjjj EIRU =n form matriceal, aceste ecuaii se scriu:

[ ] [ ] [ ] [ ]lllll EIRU , = (1.101) n care [Ul], [Il] i [El] sunt matricele coloan ale tensiunilor la bornele laturilor, curenilor i respectiv t.e.m. ale generatoarelor din laturile reelei, iar matricea [Rl,l] este matricea diagonal de ordinal l, avnd pe diagonal rezistenele laturilor.

Multiplicnd la stnga ambii membri ai ecuaiei (1.101) cu matricea de inciden redus laturi ochiuri, [Bo,l] i innd cont de teorema a II-a Kirchhoff n forma topologic, [Bo,l][Ul] = 0, rezult:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]llo,llllo, EBIRB , = . (1.102) Matricea curenilor din laturile reelei se determin din matricea curenilor

ciclici pe baza relaiei (1.80): [ ] [ ] [ ]olo,l IBI t = (1.103)

unde [ este transpusa matricei [B]tB lo, o,l]. nlocuind matricea [Il] dat de (1.103) n (1.102), se obine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ llo,olo,lllo, EBIBRB t, = ]

]

]

i

(1.104)

Identificnd membru cu membru ecuaiile (1.99) i (1.104), se obin relaiile de calcul direct ale matricelor:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ llo,olo,lllo,oo, EBE;BRBR t, == (1.105) Odat calculate aceste matrice, curenii din laturile reelei se determin direct cu

relaia ce rezult din (1.99) i (1.103):

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ooo,lo,olo,l ERBIBI 1tt == (1.106)

1.8.3. Analiza reelelor electrice cu metoda potenialelor la noduri

a) Metoda direct. Se consider o reea liniar, conex, cu n noduri i l laturi. Dup cum s-a

menionat deja, potenialul unuia dintre nodurile reelei se poate considera potenial de referin i pentru simplificare se presupune acest nod legat la pmnt (de potenial nul). Teorema potenialelor la noduri se bazeaz pe aplicarea teoremei a I-a Kirchhoff celor n = n 1 noduri independente ale reelei.

Dac se consider nodul (n) nod de referin de potenial nul, Vn = 0 (fig. 1.39), potenialele V ale celorlalte n 1 noduri, numite i poteniale de nod, poteniale raportate sau tensiuni nodale, se pot determina dup cum urmeaz.

Uj

Ij RjEj

Fig. 1.38.

(k)

IgjIj

Gj Rj

Ej Uj

(n) kV

iV

(i)

Fig. 1.39.

38

Teorema a I-a Kirchhoff aplicat la nodurile reelei se scrie,

0I)i(j

j=

, i = 1, 2, , n = n 1, (1.107)

iar cu legea lui Ohm aplicat laturii j se obine

Uj + Ej = RjIj Ij = GjUj + GjEj , (1.108) n care Gj = 1/Rj este conductana laturii j.

Pentru Uj = 0 se obine curentul de scurtcircuit al laturii j, Ijsc = GjEj = Igj, egal cu curentul generatorului de curent echivalent generatorului de tensiune din latura j. Expresia curentului din (1.108) se poate deci scrie Ij = GjUj + Igj i nlocuind n ecuaia (1.107) se obine:

=)i(j

gj)i(j

jj IUG , i = 1, 2, , n = n 1 . (1.109)

Tensiunea la bornele laturii j se poate exprima prin diferena potenialelor, i nlocuind n (1.109), se obine: kij VVU =

=)i(j

gj)i(j

jkij I)VV(G , respectiv,

=)i(j

gj)i(j

k

)k()i()k(),i(j

jji IVGGV

, i = 1, 2, , n = n 1. (1.110)

Se introduc notaiile:

suma conductanelor Gj ale laturilor j legate la nodul (i), numit i conductana proprie a nodului (i); aceste conductane se iau totdeauna cu semnul +;

conductana laturii j sau suma conductanelor laturilor j care leag ntre ele nodurile (i) i (k); aceste conductane se iau totdeauna cu semnul ;

suma algebric a curenilor Igj ai generatoarelor de curent legate la nodul (i) sau suma algebric a curenilor de scurtcircuit

ai laturilor legate la nodul (i); curenii Igjjjjsc IEGI == gj din aceast sum se iau semnul + dac sunt orientai de la nod i cu semnul dac sunt orientai ctre nod.

=)i(j

jii GG

=)k(),i(j

jik GG

=)i(j

gj)i(g II

Cu aceste notaii, ecuaiile (1.110) se scriu:

==+

)i(j

1n

k1k

gj

i

kikiii IVGVG , i = 1, 2, , n = n 1, (1.111)

sau explicit,

=+++++=+++++=+++++=+++++

)(gn,kk2211

)i(gn,ikik22i11i

)2(gn,2kk2222121

)1(gn,1kk1212111

nnnnnn

n

n

n

IVG...VG...VGVG.........................................................................IVG...VG...VGVG..........................................................................

IVG...VG...VGVG

IVG...VG...VGVG

(1.112)

39

Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaii se determin potenialele ale primelor n = n 1 noduri raportate la potenialul de referin nul al nodului (n).

kV

Tensiunile la bornele laturilor se determin ca diferen a potenialelor nodurilor la care este legat latura i, n final, dac se cere, se pot determina curenii din laturi prin aplicarea legii lui Ohm.

Aplicarea metodei potenialelor la noduri este simplificat dac se transform nti laturile cu generatoare de tensiune n laturi echivalente cu generatoare de curent.

b) Metoda matriceal. Se consider c se transform toate generatoarele de tensiune n generatoare

echivalente de tensiune. Se numeroteaz nti laturile cu rezistoare i apoi cele cu generatoare de curent.

n form matriceal, sistemul de ecuaii (1.112) corespunztor metodei potenia-lelor la noduri se scrie:

[ ] [ ] ( )[ ]ngnn,n IVG = (1.113) n care [ este matricea ptrat i simetric de ordinul n = n 1, [ este matricea coloan cu n termeni a potenialelor de noduri,

] ]n,nG nV ( )[ ]ngI este matricea coloan cu n

termeni a curenilor generatoarelor de curent legate la noduri. Matricea [ n,nG ] se poate determina dup cum urmeaz. Se pleac de la forma

matriceal (1.46) a ecuaiilor corespunztoare teoremei a I-a Kirchhoff din care se separ matricele corespunztoare laturilor lJ cu generatoare de curent:

[ ] [ ][ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ JJJJJ

J

JJ g,n,nng

.,n,n IAIA0

I

IAA llllll

l

ll

lll ==

LLLM ] (1.114)

Pentru laturile cu rezistoare, caracterizate de conductanele Gj (j = 1, 2,, l lJ), curenii sunt dai de relaia lui Ohm:

[ ] [ ] [ ]JJJJ UGI , l-ll-ll-ll-l = (1.115) n care [ este matricea diagonal de ordinul l l]JJ,G l-ll-l J a conductanelor rezistoarelor. Tensiunile la bornele laturilor cu rezistoare se pot determina n funcie de potenialele raportate cu relaia (1.77): [ ] [ ] [ ]nt,n VAU JJ = l-ll-l . Rezult:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ]JJJJJJ g,nn

t,n,,n IAVAGA llllllllll = . (1.116)

Identificnd membru cu membru ecuaiile (1.113) i (1.116), se obin relaiile de calcul direct ale matricelor:

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]JJJJJJ g,nng

t,n,,nnn IAI;AGAG llllllllll, == (1.117)

Odat calculate aceste matrici, tensiunile la bornele laturilor se determin direct cu relaia:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ]ng1n,nt,nnt,n IGAVAU == lll . (1.118)

40

1.9. TEOREMELE REELELOR ELECTRICE DE CURENT CONTINUU

1.9.1. Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune i de curent Fiind dat o reea electric activ liniar a , curentul printr-o latur pasiv

oarecare sau tensiunea la bornele acestei laturi se pot determina direct cu ajutorul teoremei generatorului echivalent de tensiune, respectiv cu ajutorul teoremei generatorului echivalent de curent.

Separnd din reeaua dat a latura cuprins ntre bornele (a) i (b), avnd rezistena Rab (fig. 1.40,a), restul reelei a reprezint n raport cu aceste borne un dipol liniar activ (DLA) care, prin transfigurare, se poate nlocui cu o latur echivalent format dintr-un rezistor Ri i un generator ideal de tensiune, cu tensiunea electromotoare E0 (fig. 1.40,b).

(a)

(b)

RabUab

Iaba

(DLA)

a

(b)

E0

Ri

Iab

Uab Rab

(a) Iab

Gab

(a)

UabGi Isc

(b)

c)

a) b)

Fig. 1.40.

Rezistena echivalent a dipolului Ri n raport cu bornele sale de acces (a) i (b) se numete i rezistena intern a dipolului.

Tensiunea la bornele dipolului n regim de mers n gol (Rab deconectat i deci Iab = 0) se noteaz Uab0. Aplicnd legea lui Ohm la funcionarea n gol a dipolului (n lipsa laturii ab), rezult E0 = Uab0.

Teorema generatorului echivalent de tensiune: orice dipol liniar activ este echivalent cu o surs de tensiune, avnd tensiunea electromotoare E0 egal cu tensiunea la bornele dipolului n regimul de mers n gol (Uab0) i o rezisten electric intern Ri egal cu rezistenta echivalent a dipolului n raport cu bornele sale de acces.

La transfigurarea circuitelor s-a constatat ca rezistentele echivalente nu depind de tensiunile electromotoare i de curenii generatoarelor de tensiune i respectiv de curent, ca urmare calculul rezistenelor echivalente se poate efectua prin pasivizarea circuitelor. Prin pasivizarea unui circuit se nelege anularea tensiunilor electromotoare i a curenilor generatoarelor de tensiune, respectiv de curent, pstrnd rezistentele sau conductanele acestora. n acest fel, rezistena echivalent Ri a dipolului reprezint rezistenta echivalent a reelei pasivizat n raport cu bornele (a) i (b), notat Ra ab0:

Ri = Rab0 (1.119)

41

HomeEvideniere

Pentru circuitul echivalent astfel obinut, fig. 1.41, aplicnd teorema a II-a Kirchhoff, rezult:

(b)

Rab0

Uab0 Iab

Uab Rab

(a)

(Rab0 + Rab)Iab = Uab0i deci,

abab

abab RR

UI0

0

+=

a

. (1.120)

Relaia obinut reprezint teorema generatorului echivalent Thvenin i care se enun astfel: intensitatea curentului Iab printr-o latur pasiv oarecare conectat ntre punctele (a) i (b) ale unei reele active liniare este egal cu raportul dintre tensiunea Uab0 la bornele (a), (b) la mersul n gol (n lipsa laturii ab) i suma dintre rezistena Rab a laturii i rezistena echivalent Rab0 a reelei pasivizat