CURS baze electrotehnicii.DOC

88
Bazele electrotehnicii Lectii de curs 1

Transcript of CURS baze electrotehnicii.DOC

Page 1: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

1

Page 2: CURS baze electrotehnicii.DOC

PREFAŢĂ

Prezenta lucrare se adresează studenţilor de la Universitatea „Ion Slavici” din Timişoara, Facultatea de Calculatoare şi îşi propune iniţierea în domeniul electricităţii.

Progresele societăţii moderne unt legate fără îndoială de performanţele tehnologiilor informatice, de creşterea randamentelor tuturor activităţilor ce concură la asigurarea vieţii pe Pământ. În acest sens, trebuie remarcat că suportul informaţiei este energia şi în mod deosebit, energia electrică. Electricitatea stă la baza tuturor aplicaţiilor din viaţa de fiecare zi. Chiar dacă forma primară de manifestare a energiei se va schimba pe viitor, chiar dacă vor apare surse şi purtători noi de energie, forma finală, aceea de utilizare va rămâne încă multă vreme energia electrică. Pe de altă parte, sistemul electroenergetic este cea mai complexă aplicaţie a tehnicilor informatice după domeniul militar.

În acest sens am considerat că orice inginer, chiar şi specializat în domeniul calculatoarelor trebuie să cunoască anumite elemente de bază care privesc legile şi aplicaţiile mai importante ce marchează desfăşurarea fenomenelor electrice şi în mod deosebit cele electromagnetice. Tehnica de calcul poate perturba calitatea energiei electrice, dar, pe de altă parte, poate fi şi un element perturbator al energiei electrice. Cunoaşterea acestor aspecte este legată intrinsec de fenomenele electrice.

Lucrarea cuprinde cinci capitole: Electrostatica, Electrocinetica, Electromagnetism, Curent alternativ şi Teoria cuadripolului. Prezentările sunt simple, plecând de la experimente fundamentale şi se completează cu formule matematice care asigură suportul ştiinţific al raţionamentelor.

În încheierea fiecărui capitol sunt formulate un set de întrebări şi se rezolvă câteva aplicaţii semnificative pentru cele prezentate în cadrul capitolului.

Autorii îşi cer scuze cititorilor pentru unele omisiuni sau prezentări simplificate ale unor probleme mult mai complexe. Acestea s-au efectuat cu scopul de a asigura fluenţa necesară tratării, iar pe de altă parte, un nivel mediu al lucrării.

De asemenea autorii mulţumesc cititorilor şi pentru observaţiile şi sugestiile pe care le vor aduce materialului de faţă în scopul creşterii procesului de pregătire al studenţilor.

Autorii

Page 3: CURS baze electrotehnicii.DOC

CUPRINS

CAP 1. ELECTROSTATICA..................................................................................................51.1. Sarcina electrică....................................................................................................................51.2. Legea lui Coulomb................................................................................................................51.3. Câmpul electrostatic..............................................................................................................61.4. Inducţie şi flux electric..........................................................................................................81.5. Potenţialul electric.................................................................................................................91.6. Capacitatea electrică............................................................................................................111.7. Legarea (conectarea) condensatoarelor...............................................................................121.8. Polarizarea dielectricilor......................................................................................................131.9. Energia câmpului electric dintre armăturile unui condensator............................................141.10. Aplicaţii.............................................................................................................................15

CAP 2. ELECTROCINETICĂ. CURENTUL CONTINUU.........................................182.1. Curentul continuu................................................................................................................182.2 Efectele curentului electric...................................................................................................192.3. Legea lui Ohm. Rezistenţa electrică....................................................................................192.4. Energia şi puterea electrică. Legea lui Joule-Lenz..............................................................202.5. Teorema transferului maxim de energie..............................................................................212.6. Teoremele lui Kirchhoff......................................................................................................212.7. Gruparea rezistoarelor.........................................................................................................232.8. Legarea surselor..................................................................................................................242.9. Teorema suprapunerii efectelor (superpoziţiei)..................................................................252.10. Teorema generatorului echivalent de tensiune (Thévenin)...............................................262.11. Teorema generatorului echivalent de curent (Norton)......................................................272.12. Circuite neliniare de curent continuu................................................................................272.13. Aplicaţii.............................................................................................................................26

CAP 3. ELECTROMAGNETISM........................................................................................293.1. Fenomene magnetice...........................................................................................................303.2. Câmpul magnetic. Forţe în câmpul magnetic......................................................................303.2.1. Forţa Lorenz.....................................................................................................................313.2.2. Forţa Laplace....................................................................................................................313.2.3. Forţa Ampère....................................................................................................................313.3. Inducţia magnetică, intensitatea câmpului magnetic, flux magnetic...................................323.4. Circuite magnetice...............................................................................................................343.4.1. Materiale magnetice.........................................................................................................343.4.2. Magnetizarea materialelor feromagnetice........................................................................343.4.3. Legea circuitului magnetic...............................................................................................353.5. Inducţia electromagnetică....................................................................................................363.5.1. Fenomene de inducţie electromagnetică..........................................................................363.5.2. Legea inducţiei electromagnetice.....................................................................................373.5. Inductanţa proprie şi inductanţa mutuală............................................................................383.5.4. Tensiune electromotoare de autoinducţie.........................................................................403.5.5. Energia câmpului magnetic..............................................................................................403.6. Aplicaţii...............................................................................................................................40

CAP 4. CURENTUL ALTERNATIV.................................................................................434.1. Curentul alternativ monofazat. Producerea curentului (tensiunii) alternativ......................43

Page 4: CURS baze electrotehnicii.DOC

4.2. Mărimi caracteristice ale curentului (tensiune) alternativ...................................................444.3. Operaţii cu mărimi sinusoidale............................................................................................464.4. Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale...............................................................474.4.1. Reprezentarea geometrică (prin fazori)............................................................................474.4.2. Reprezentarea analitică (în complex)...............................................................................494.5 Circuite de curent alternativ în regim permanent.................................................................504.5.1 Circuitul serie R, L............................................................................................................504.5.2 Circuitul serie R, C............................................................................................................514.5.3. Circuitul serie R, L, C......................................................................................................524.6. Puteri în regim sinusoidal....................................................................................................534.6.1. Puterea instantanee...........................................................................................................534.6.2. Puterea activă...................................................................................................................544.6.3. Puterea reactivă................................................................................................................544.6.4. Puterea aparentă...............................................................................................................544.6.5. Puterea complexă.............................................................................................................544.7. Rezonanţa în circuite de curent alternativ...........................................................................554.7.1. Rezonanţa serie (rezonanţa de tensiune)..........................................................................554.7.2. Rezonanţa paralel (rezonanţa de curent)..........................................................................564.8 Aplicaţii:...............................................................................................................................58

CAP 5. CUADRIPOLI ELECTRICI....................................................................................605.1. Ecuaţiile cuadripolului........................................................................................................605.2. Scheme echivalente.............................................................................................................605.3. Determinarea constantelor cuadripolului din încercări particulare: mers în gol şi scurtcircuit..................................................................................................................................615.4. Impedanţa caracteristică şi constanta de propagare a cuadripolului...................................615.5. Aplicaţii...............................................................................................................................62

Page 5: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Introducere. Obiectul cursului.

Dezvoltarea societăţii contemporane nu poate fi concepută fără energie în general şi energie electrică în particular.

Dacă Egiptul antic a fost un dar al Nilului, fără îndoială că societatea modernă este un dar al electricităţii, cel puţin sub două din aspectele ei esenţiale: energie şi informaţie. Trebuie remarcat şi cu această ocazie că suportul informaţiei este energia.

Lucrarea de faţă îşi propune să treacă în revistă principalele aspecte pe care le cuprinde electricitatea, evidenţiind legile principale şi felul în care acestea sunt aplicate în studiul concret al câmpului electromagnetic şi al circuitelor electrice.

CAP 1. ELECTROSTATICA

1.1. Sarcina electrică

Electrostatica este acea parte din Electrotehnică, care studiază fenomenele produse de sarcinile electrice aflate în repaus. Aceste sarcini electrice pot fi puse în evidenţă prin electrizarea corpurilor, stare ce poate fi produsă pe unele corpuri prin frecare, contact sau prin inducţie.

Prin aceste procedee se constată că, corpurile sunt aduse într-o stare astfel încât între ele se manifestă acţiuni, forţe de respingere sau de atracţie. De aici şi concluzia că există două feluri de sarcină electrică: negativă şi pozitivă. Corpurile cu sarcină electrică de acelaşi semn se resping iar cele cu sarcini electrice de semne contrare se atrag.

Prin urmare se poate afirma că sarcina electrică este o mărime scalară ce caracterizează starea de electrizare a unui corp. Ea poate fi notată cu Q şi calculată cu relaţia Q = I · t, unde I este curentul printr-un conductor, iar t este timpul în care acest curent parcurge conductorul. Unitatea de măsură a sarcinii electrice în sistemul internaţional (SI) este coulombul; se notează cu C şi se defineşte cu relaţia:

Coulombul – reprezintă sarcina electrică transportată prin secţiunea transversală a unui conductor, de un curent staţionar cu intensitatea de un amper în timp de o secundă.

Prin numeroase experienţe s-a constatat că cea mai mică sarcină elementară este sarcina electronului e, iar o sarcină Q a unui corp poate fi exprimată ca multiplu al sarcinii elementare, adică:

Q = n · e, unde n Є ZDacă se consideră un sistem izolat din punct de vedere electric, adică un sistem care nu

schimbă sarcină electrică cu exteriorul, se constată că în cursul interacţiunilor care decurg în sistem între corpurile ce-l alcătuiesc, sarcina electrică nu-şi schimbă valoarea, adică se conservă, fapt ce exprimă legea conservării sarcinii electrice.

1.2. Legea lui Coulomb

Interacţiunea dintre corpurile încărcate cu sarcini electrice este guvernată de legea lui Coulomb. Acesta a stabilit că forţa F de interacţiune dintre două corpuri punctiforme încărcate cu sarcinile q1

şi q2 aflate la distanţa r unul de celălalt este:- proporţională cu produsul sarcinilor, adică q1 · q2;- invers proporţională cu pătratul distanţei dintre sarcini, r2;Se exprimă sub forma:

[N] sau [N] (1.1)

3

Page 6: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Enunţ: Două corpuri punctiforme încărcate cu sarcinile electrice q1 şi q2 se resping sau se atrag cu o forţă F a cărei mărime este proporţională cu sarcinile q1 şi q2 şi invers proporţională cu pătratul distanţei r dintre cele două corpuri.Constanta ε este o mărime caracteristică mediului în care decurge interacţiunea şi se numeşte constantă dielectrică a mediului.

În SI permitivitatea vidului este practic egală cu aceea a aerului şi are valoarea:

În relaţia ce exprimă pe , mărimea este vectorul de poziţie al sarcinii q2 în raport cu q1 (fig.1.1)

Fig. 1.1. Orientarea forţelor electrostatice.

Cu ajutorul relaţiei (1.1) se poate defini unitatea de măsură a sarcinii electrice. Astfel:

sau 29 111

1091

mCCN

adică coulombul este sarcina care stabilită pe două corpuri punctiforme situate în vid la o distanţă

de 1m între ele, determină apariţia unei forţe de .

Dacă mediul în care se manifestă forţele de interacţiune între sarcinile electrice nu este vidul, ci un mediu oarecare (mică, petrol, parafină), lege lui Coulomb rămâne valabilă cu observaţia că

, unde ε0 este permitivitatea dielectrică a mediului respectiv. De regulă εr ≥ 1.

1.3. Câmpul electrostatic.

Un câmp electric produs de un corp cu sarcină electrică aflată în repaus, este constant în timp şi se numeşte câmp electrostatic.

Dacă se are în vedere legea lui Coulomb, într-un punct la distanţa r de corp, forţa electrostatică va depinde atât de sarcina generatoare de câmp Q, cât şi de sarcina corpului de probă q, adică:

, iar raportul ; (1.2)

nu depinde de sarcina corpului de probă, ci numai de sarcina Q şi de poziţia punctului în câmpul generat de ea.

Prin urmare într-un punct oarecare, câmpul electric poate fi caracterizat printr-o mărime vectorială numită intensitatea câmpului electric în punctul respectiv, egală cu raportul dintre forţa

cu care acţionează câmpul asupra unui corp de probă aflat în acel punct şi sarcina electrică q a corpului de probă, adică:

4

Page 7: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

(1.3)

Conform acestei relaţii, sensul vectorului coincide cu sensul forţei cu care câmpul electric acţionează asupra unui corp de probă cu sarcină pozitivă.

Deci, intensitatea câmpului electric generat de un corp punctiform, cu sarcina Q, la distanţa r are expresia:

[V/m] , iar mărimea (1.4)

scade invers proporţional cu pătratul distanţei r.Sensul vectorului depinde de semnul sarcinii Q, de la corp spre exterior, pentru sarcina

pozitivă şi invers, de la exterior spre corp pentru sarcina negativă. Deci, se poate afirma că, câmpul electric al unei sarcini punctiforme are o simetrie sferică.

Dacă există mai multe corpuri punctiforme încărcate, acestea generează un câmp electric a cărui intensitate într-un punct este suma vectorială a intensităţilor produse separat de fiecare corp. Această situaţie a fost confirmată experimental şi ea corespunde legii suprapunerii efectelor sau principiului suprapunerii efectelor.

Fig. 1.2. Orientarea vectorilor intensitate a câmpului electric generat

de un corp punctiform ce prezintă sarcini: a) pozitive, b) negative

a) b)

În fig. 1.3 se prezintă aplicarea acestui principiu pentru trei sarcini electrice. Intensitatea câmpului rezultant este:

Fig. 1.3. Intensitatea câmpului electric produs în punctul P de trei corpuri

punctiforme încărcate cu sarcini electrice.

Linia tangentă la vectorul intensitate a câmpului electric se numeşte linie de câmp electric. În fig. 1.4. sunt prezentate liniile de câmp electric formate la două corpuri punctiforme încărcate cu sarcini de acelaşi semn, respectiv de semne contrare.

5

Page 8: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig. 1.4. Liniile de câmp electric determinate de două corpuri punctiforme încărcate cu sarcini: a) de acelaşi semn; b) de semne contrare

Dacă liniile de câmp sunt paralele, atunci câmpul este uniform (fig. 1.5.)

Fig. 1.5. Liniile de câmp electric ale unui câmp electric uniform

1.4. Inducţie şi flux electric

De multe ori în studiul câmpului electric este mai util a se utiliza nu intensitatea câmpului electric, ci o altă mărime numită inducţie electrică şi notată cu D, mărime care are expresia . Considerând un corp încărcat cu sarcina Q, inducţia electrică la distanţa r va fi:

[C/m2] (1.5)

Prin urmare în cazul unor dielectrici omogeni (dielectrici ce prezintă câmpuri electrice uniforme), valoarea inducţiei electrice nu depinde de permitivitatea dielectrică a mediului.

O noţiune des întâlnită în electrotehnică este aceea de flux.De obicei fluxul unui câmp de vectori poate fi definit ca fiind totalitatea liniilor de forţă

(câmp) cuprinse într-un contur închis sau care străbat suprafaţa mărginită de acest contur.Spre exemplu, într-o conductă de fluid, de secţiune S, fiecare particulă are o viteză v paralelă

cu axa conductei, deci vectorul viteză formează în acest caz un câmp de viteze. Fluxul vectorului care străbate secţiunea S este:

Acest produs nu reprezintă altceva decât debitul de fluid Q (fluxul), adică:

În mod analog, dacă se consideră un câmp electric omogen de inducţie D şi o suprafaţă plană S oarecare, perpendiculară pe liniile de forţă (fig. 1.6.a) fluxul electric Ψ este definit de relaţia:

, iar dacă liniile de câmp fac cu normala la suprafaţa S un unghi α (fig. 1.6.b), atunci

6

Page 9: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig. 1.6. Fluxul electric prin suprafeţe plane: a)

rectangular, b) oblic.

Legat de fluxul electric, se poate menţiona legea fluxului electric.Printr-o suprafaţă închisă S (de exemplu una sferică) numărul liniilor de forţă care intră este egal

cu numărul celor care ies, adică Ψi = Ψe, prin urmare fluxul de intrare este egal cu fluxul de ieşire.Legea se poate scrie şi sub altă formă evidenţiind fluxul total, astfel: Ψt = Ψi – Ψe = 0.Enunţ: Dacă în interiorul unei suprafeţe S situate într-un câmp electric se găsesc sarcini

electrice, atunci fluxul este egal tocmai cu sarcina conţinută în interiorul suprafeţei, adică:

.

Pentru validare, se consideră o sarcină punctiformă q în interiorul suprafeţei sferice S, de rază r (fig. 1.7).

Evident că în orice punct al suprafeţei, inducţia electrică D are expresia: şi ea este

constantă iar vectorul inducţie electrică este perpendiculară pe suprafaţa sferei.

Fig. 1.7. Sarcină punctiformă în interiorul suprafeţei sferice S de rază r.

Deci se poate scrie că:

(1.6)

Dacă în interiorul suprafeţei S există mai multe sarcini se poate afirma că Ψ = Σ q.

1.5. Potenţialul electric

Câmpul electric poate fi descris şi cu ajutorul unor mărimi scalare, una dintre acestea fiind potenţialul electric.

Pentru definirea lui trebuie introdusă noţiunea de lucru mecanic efectuat pentru deplasarea unui corp de probă încărcat între două puncte ale câmpului electric.

Pentru simplificare vom considera o sarcină punctiformă q prezentă în câmpul electric produs de o sarcină punctiformă Q.

7

Page 10: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig. 1.8. Definirea lucrului mecanic în câmp electrostatic

Lucrul mecanic efectuat de forţa electrostatică ce acţionează asupra corpului punctiform de sarcină q (fig. 1.8) este:

(1.7)

Întrebarea se pune este cum calculăm, fireşte forţa medie ? Se ştie că:

iar

Este firesc ca forţa medie să fie media geometrică a celor două forţe, adică:

(1.8)

Ca urmare expresia lucrului mecanic devine:

(1.9)Aceeaşi relaţie (1.9) se poate obţine şi considerând forţa ca o funcţie de distanţa x, adică:

iar elementul de linie dr = dx

sau revenind la relaţia cu r, relaţia (1.9).Din expresia lucrului mecanic se constată că mărimea acestuia depinde de mărimea sarcinii

care produce câmpul electric Q, de sarcina câmpului de probă q şi de poziţiile finală rN, respectiv iniţială rM. Tot din expresia lucrului mecanic se constată că mărimea lucrului mecanic nu depinde de drumul pe care-l parcurge sarcina q între punctele M şi N.

Raportul L/q este o mărime caracteristică pentru fiecare pereche de puncte M, N şi se numeşte diferenţă de potenţial dintre punctele M, N adică VM - VN sau tensiunea U. Deci, tensiunea electrică dintre punctele M şi N este egală cu câtul dintre lucrul mecanic efectuat de câmp la deplasarea unui corp încărcat între cele două puncte şi sarcina electrică a corpului, adică:

(1.10)

Dacă se consideră punctul N, ca referinţă, de exemplu un punct foarte îndepărtat de sarcina Q, unde potenţialul este zero, raportul L/q = VM, va avea pentru punctul M o valoare unică, adică va fi o mărime caracteristică numită potenţial electric VM.

Prin urmare, potenţialul electric într-un punct este o mărime fizică egală cu raportul dintre lucrul mecanic efectuat de câmp la deplasarea unui corp punctiform încărcat cu sarcină electrică din acel punct la infinit şi sarcina electrică, adică:

(1.11)În cazul unui câmp electric uniform, deoarece este constant, şi forţa electrică ce acţionează

asupra corpului de sarcină q pe o distanţă d (de exemplu distanţa dintre armăturile unui condensator) este constantă: F = q · E. Tensiunea electrică, adică diferenţa de potenţial dintre armăturile unui condensator are expresia: U = F · d / q = E · d. (1.12)

Unitatea de măsură în SI pentru diferenţa de potenţial se numeşte volt:

8

Page 11: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Prin urmare, un volt este diferenţa de potenţial dintre două puncte ale unui câmp electric, între care se efectuează un lucru mecanic de 1J pentru a deplasa o sarcină electrică de 1C.

Cu ajutorul relaţiei (1.11) se poate defini şi unitatea de măsură pentru intensitatea câmpului electric, astfel:

Observaţie: Intensitatea câmpului electric, reprezintă de fapt derivata (cu semn schimbat) a potenţialului în punctul considerat.

Un conductor electrizat a cărui sarcină electrică liberă este în repaus se află în echilibru electrostatic. Acest echilibru este posibil numai dacă sarcina electrică nu se deplasează în interiorul conductorului. Dacă sarcina nu se deplasează în interiorul conductorului , rezultă că în interiorul conductorului intensitatea câmpului electrostatic este nulă.

Ce se întâmplă dacă conductorul se electrizează ? Unde se va repartiza sarcina electrică ? Desigur nu în interiorul conductorului, ci pe suprafaţa acestuia. Această situaţie permite în practică realizarea unor ecrane electrostatice.Acestea sunt corpuri metalice goale în interior şi legate la pământ.

1.6. Capacitatea electrică

Capacitatea electrică C a unui conductor izolat şi depărtat de alte corpuri este o mărime fizică egală cu raportul dintre sarcina Q a conductorului şi potenţialul său V, adică:

C = Q / V [C] = 1 F şi reprezintă capacitatea unui conductor izolat, care fiind încărcat cu sarcina electrică de 1C are potenţialul 1V, adică:

Potenţialul unui conductor încărcat se modifică, dacă în apropierea conductorului se aduc alte corpuri conductoare, chiar dacă acestea nu au fost încărcate cu sarcini electrice în prealabil.

Un astfel de sistem se numeşte condensator electric şi el este format dintr-un ansamblu de două conductoare, numite armături şi separate între ele printr-un mediu dielectric.

Sarcinile cu care se încarcă armăturile condensatorului sunt egale şi de semne contrare.Capacitatea unui condensator se defineşte ca fiind raportul dintre sarcina Q de pe armături şi

diferenţa de potenţial dintre cele două armături, V1 – V2, adică:C = Q / (V1 – V2) (1.13)

În schemele electrice condensatorul se reprezintă ┤├ sau dacă capacitatea sa este variabilă prin ┤├ .

În cazul particular al unui condensator plan (fig. 1.9), capacitatea acestuia se calculează cu relaţia C = ε · S / d.

Des întâlnite în practică sunt şi condensatoarele cilindrice, care principial sunt realizate din două armături metalice de formă cilindrică coaxiale, având un dielectric între ele.

Capacitatea unui astfel de condensator este dată de relaţia (fig. 1.10)

(1.14)

9

Page 12: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig. 1.9. Condensator plan Fig. 1.10. Condensator cilindric

1.7. Legarea (conectarea) condensatoarelor

Pentru obţinerea unor capacităţi diferite de cele ale condensatoarelor disponibile, în practică se foloseşte de multe ori gruparea condensatoarelor în baterii prin legarea lor în serie, paralel sau mixt.

Legarea în serie se realizează atunci când o anumită armătură a primului condensator este legată de armătura celui care urmează ş.a.m.d. (fig. 1.11)

Fig. 1.11 Legarea în serie a condensatoarelor

De menţionat că sarcina electrică de pe fiecare armătură a condensatoarelor legate în serie este aceeaşi, alternând ca valoare pozitivă şi negativă. Diferenţa de potenţial dintre armăturile fiecărui condensator este dată de relaţiile:

sau

deci ,

sau generalizat (1.15)

Prin urmare inversa capacităţii mai multor baterii de condensatoare legate în serie este egal cu suma inverselor capacităţilor componente.

Legarea în paralel a condensatoarelor se efectuează unind într-un punct câte o armătură a fiecărui condensator şi într-un alt punct celelalte armături (fig. 1.12).

Fig. 1.12. Legarea în paralel a condensatoarelor

Prin această grupare fiecăruia dintre condensatoare se va aplica aceeaşi tensiune, adică:

, , sau

; ;Sarcina totală este: Q = Q1 + Q2 + Q3 = C1 · (VA – VB) + C2 · (VA – VB) + C3 · (VA – VB) == (C1 + C2 + C3) · (VA – VB)

10

Page 13: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Dar Q = (VA - VB) · Cp. Rezultă Cp = C1 + C2 + C3 sau Cp = Σ Ci (1.16)Deci, capacitatea unei baterii de condensatoare grupate în paralel este egală cu suma

capacităţilor condensatoarelor componente.

1.8. Polarizarea dielectricilor

Mediile în care nu apare curent electric în prezenţa unui câmp electric extern, dar care se modifică sub acţiunea câmpurilor electrice se numesc medii dielectrice sau dielectrici. Prezenţa unui dielectric între armăturile unui condensator face ca intensitatea câmpului electric să scadă. De exemplu pentru un condensator plan de capacitate C0, având sarcinile Q pe armături, diferenţa de potenţial U0, suprafaţa comună a armăturilor S, distanţa dintre armături d, iar între armături vid, se poate scrie relaţia:

(1.17)

unde E0 este intensitatea câmpului electric dintre armături, în vid, adică:

Prin introducerea între armături a unui dielectric de grosime d şi permitivitate ε, sarcina Q rămâne neschimbată, se modifică diferenţa de potenţial U, deci şi capacitatea C. Se poate scrie deci relaţia:

(1.18)

de unde fireşte rezultă intensitatea câmpului în dielectric:

(1.19)

Avându-se în vedere relaţiile de mai sus, rezultă

Slăbirea câmpului electric de către un dielectric, poate fi explicată prin structura dielectricilor. Unii dielectrici au molecule nesimetrice din punct de vedere electric, fiecare astfel de moleculă putând fi considerată ca un dipol. Dipolul este un sistem de două sarcini egale şi de semne contrare. Axa dipolului este dreapta ce uneşte centrele celor două sarcini. În lipsa unui câmp electric extern, axele dipolilor sunt orientate dezordonat, în toate direcţiile datorită agitaţiei termice.

Fig. 1.13. Dipol electric

a) b)Fig. 1.14. Schema polarizării unui dielectric: a) în absenţa

câmpului; b) în prezenţa câmpului.

Dacă dielectricul este introdus într-un câmp electric, axele dipolilor se orientează în lungul liniilor de câmp (fig. 1.14). Sarcina pozitivă a dipolului este deplasată în sensul câmpului aplicat iar cea negativă invers. Alinierea axelor nu va fi perfectă, datorită agitaţiei termice, ea poate însă creşte prin scăderea temperaturii. Datorită alinierii dipolilor în câmp, la cele două capete ale dielectricului rămân sarcini electrice necompensate, astfel încât un capăt al dielectricului se electrizează pozitiv iar celălalt negativ. Fenomenul de separaţie al sarcinilor la capetelor dielectricului, atunci când acesta este introdus într-un câmp electric se numeşte polarizarea dielectricului. Prin polarizare ia

11

Page 14: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

naştere un câmp interior propriu dielectricului numit Ep, de polarizaţie, care se opune câmpului extern, adică .

Dacă polarizarea dielectricilor devine prea mare, materialele devin conductoare iar în dielectric apare o deplasare de electroni, adică un curent electric, care încălzeşte (poate arde) dielectricul. Se face afirmaţia că dielectricul a străpuns. Odată străpuns, dielectricul nu-şi poate recăpăta proprietăţile izolante.

Fig. 1.15. Situaţia câmpului electric într-un dielectric situat între armăturile unui

condensator

1.9. Energia câmpului electric dintre armăturile unui condensator

Pentru a încărca un condensator este necesar ca pe armăturile lui să fie aduse sarcini electrice. Cu această ocazie se efectuează un lucru mecanic de către o sursă de energie exterioară, deoarece sarcinile electrice existente pe fiecare armătură exercită forţe de respingere asupra sarcinilor de acelaşi semn care sunt aduse în continuare pe fiecare armătură.

Prin urmare se poate afirma că, condensatorul reprezintă un sistem electric, caracterizat printr-o energie W, egală cu lucrul mecanic L necesar a fi efectuat pentru încărcarea lui, adică W=L. Pentru a stabili expresia acestui lucru mecanic este necesar a evalua lucrul mecanic necesar pentru deplasarea sarcinii electrice Q de pe o armătură pe alta, astfel încât diferenţa de potenţial să crească de la O la U. Dar, deoarece în cursul încărcării condensatorului tensiunea electrică dintre armături nu este constantă ci creşte de la O la U, în expresia lucrului mecanic se introduce media aritmetică a tensiunii dintre armături, adică:

, dar Q = C · U de unde , deci .

Dacă armăturile condensatorului se unesc cu un fir conductor, condensatorul se descarcă, producând o scânteie electrică. Pe durata descărcării energia primită la încărcarea condensatorului se transformă în alte forme de energie, termică sau a undelor sonore.

În cazul unui condensator plan, tensiunea dintre armături poate fi exprimată în funcţie de intensitatea E a câmpului uniform, adică U = E · d, iar capacitatea prin formula C = ε · S / d.

Înlocuind U şi C în relaţia de mai sus se obţine energia câmpului electric între armăturile condensatorului plan, adică:

(1.20)

Relaţia deşi demonstrată în cazul condensatorului plan, rămâne valabilă pentru

orice câmp electrostatic.

12

Page 15: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

1.10. Aplicaţii

1. Ce este sarcina electrică ?2. Care este unitatea de măsură a sarcinii electrice în Sistemul Internaţional ?3. Enunţaţi legea lui Coulomb.4. Cum definiţi potenţialul electric, într-un punct, dar tensiunea dintre două puncte?5. Ce este un ecran electrostatic şi la ce deserveşte el?6. De cine depinde capacitatea unui condensator plan?7. Prin introducerea unui material dielectric în spaţiul dintre armăturile unui condensator plan

încărcat iniţial, capacitatea creşte sau scade, dar sarcinile de pe armăturile lui?8. Prin introducerea unui material dielectric în spaţiul dintre armăturile unui condensator plan

conectat la o sursă, capacitatea condensatorului creşte sau scade, dar sarcinile de pe armăturile condensatorului?

9. Cum se calculează capacitatea echivalentă a mai multor condensatoare grupate în paralel, dar în serie?

10. Ce înţelegeţi prin polarizarea unui dielectric?11. Se consideră două corpuri punctiforme de sarcină Q1 >0, respectiv Q2 >0 situate în vid la

distanţele r1 şi r2 de un punct de referinţă. Se cere să se stabilească punctul în care intensitatea câmpului rezultant este nulă, respectiv potenţialul câmpului electric în acel punct. Sarcinile sunt de acelaşi semn.

Rezolvare

pentru punctul M (fig. 1.16), unde iar ,

deci sau de unde

Fig. 1.16. Sistem electrostatic format din două sarcini electrice.

Expresia potenţialului în acest punct este:

12. Două corpuri punctiforme cu sarcinile Q1 şi Q2 pozitive se găsesc în aer la distanţa d unul de altul. La ce distanţă de primul corp, pe linia ce uneşte cele două corpuri trebuie să se afle un al treilea corp cu sarcina q negativă pentru a se afla în echilibru ?

13

Page 16: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Rezolvare

Fig. 1.17. Sistem de trei sarcini punctiforme

F1 = F2, ; sau

va rezulta: sau deci sau

13. Un condensator plan conţine între armături două materiale dielectrice (fig. 1.18) cu permitivităţile dielectrice relative εr1 şi εr2. În ce caz capacitatea condensatorului este mai mare, în cazul a) sau b) ?

Rezolvare

Fig. 1.18. Dispunerea plăcilor dielectrice între armăturile unui condensator plan: a)

transversal; b) longitudinal.

a) b)

În cazul a) avem două conductoare legate în paralel, deci:

În cazul b) avem două condensatoare legate în serie, deci se poate scrie:

evident sau

Deci Ca > Cb.

14. Între armăturile unui condensator plan este dispusă o foiţă de aluminiu de grosime neglijabilă (fig. 1.19) . Ce efect are foiţa asupra capacităţii condensatorului, dacă: a) este izolată electric; b) este legată de placa superioară.

Fig. 1.19. Dispunerea unei foiţe metalice între armăturile unui condensator plan

14

Page 17: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Rezolvare

a) Nici un efectb) Micşorând distanţa dintre armături la d/2 se măreşte de 2 ori capacitatea condensatorului

obţinut?

CAP 2. ELECTROCINETICĂ. CURENTUL CONTINUU.

2.1. Curentul continuu

Aşa cum s-a prezentat în capitolul precedent „un material dielectric” (izolant) supus unui câmp electric staţionar (continuu) nu este străbătut de curent electric, datorită faptului că nu dispune de o deplasare ordonată de electroni liberi. Curentul electric poate circula în mod normal numai prin conductoare datorită existenţei de electroni liberi în structura acestor materiale. De menţionat că între armăturile unui condensator există o ordonare a sarcinilor dipolare pe durata încărcării

15

Page 18: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

acestuia, dar acest lucru nu constituie un curent de conducţie, ci unul de deplasare. Ca urmare în curent continuu condensatorul este un întrerupător.

Dacă se consideră o porţiune de conductor A-B (fig.2.1) între capetele căruia se aplică o tensiune U=VA-VB, se constată că electronii se vor deplasa de la punctul B cu potenţial scăzut, spre punctul A cu potenţial mai ridicat sub forma unui curent de electroni I. Acest curent circulă prin sursă, de la borna + (cu sarcini pozitive) spre borna – (cu sarcini negative).

Această deplasare de sarcini electrice prin conductoare formează curentul electric sau mai precis curentul electric de conducţie.

Fig. 2.1. Curentul electric printr-un conductor

Curentul electric este caracterizat prin intensitatea sa I, care reprezintă de fapt raportul dintre cantitatea de electricitate Q şi timpul t în care aceasta trece prin conductorul considerat, adică:

, respectiv unitatea de măsură , sau 1A = 1C / 1s (2.1)

De fapt se poate afirma că intensitatea curentului electric este numeric egală cu cantitatea de electricitate exprimată în coulombi, care trece prin conductor într-o secundă.

Dacă ne referim la o cantitate de electricitate infinit mică dQ, ce străbate conductorul într-un interval de timp dt, relaţia de mai sus devine:

I = dQ / dt (2.2)Deoarece numărul de electroni (corespunzător sarcinii Q), care trece prin conductor este

acelaşi în orice secţiune a conductorului, rezultă că, intensitatea curentului electric este aceeaşi în toate punctele conductorului.Raportul j dintre intensitatea curentului I (A) şi secţiunea conductorului S (m2) se numeşte densitate de curent, adică:

De regulă, în practică se foloseşte un submultiplu al acestuia, A/mm2.Relaţiile dintre cele două unităţi de măsură este:

De menţionat că viteza de deplasare a electronilor nu corespunde cu viteza de deplasare a curentului electric. Dacă prima este de ordinul a 10-5 m/s, viteza curentului corespunde cu viteza undei electromagnetice, adică 3·108 m/s.

Curentul electric staţionar corespunde deplasării electronilor în metale cu o viteză constantă independentă de timp.

Conductoarele de legătură dintre sursă şi consumatori ghidează câmpul electric şi ele alcătuiesc împreună cu acestea din urmă aşa numitul circuit electric.Pentru producerea câmpului electric avem nevoie de surse numite, generatoare de curent continuu. Acestea pot fi:

- elemente galvanice şi acumulatoare, care transformă energia chimică în energie electrică;- dinamuri şi alternatoare, care transformă energia mecanică în energie electrică,- fotoelemente, care transformă energia luminoasă în energie electrică.

16

Page 19: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

2.2 Efectele curentului electric.

Trecerea curentului electric printr-un conductor poate fi pusă în evidenţă prin următoarele efecte:- efectul termic; conductoarele parcurse de curent electric se încălzesc degajând o anumită

cantitate de căldură în mediul exterior;- efectul luminos; când densitatea de curent este foarte mare, încălzirea este atât de puternică

încât conductorul ajunge la incandescenţă;- efectul chimic; dacă curentul electric traversează o soluţie de apă cu acid sulfuric, apa se

descompune în elementele sale componente şi anume: oxigen la borna minus şi hidrogen la borna plus. De menţionat că în soluţiile chimice, curentul electric se datorează nu numai deplasării electronilor, ca şi la metale ci şi datorită deplasării ionilor pozitivi. Datorită acestei diferenţe, metalele se numesc conductoare de speţa întâi iar soluţiile chimice conductoare de speţa a doua;

- efectul magnetic; dacă se apropie acul magnetic al unei busole de un conductor parcurs de curentul electric, acesta nu mai arată nordul, ci se deplasează perpendicular pe direcţia conductorului.

2.3. Legea lui Ohm. Rezistenţa electrică.

Experimental s-a constat că, curentul electric printr-un conductor este direct proporţional cu tensiunea U aplicată, adică:

I = G · U (2.3)unde G este un factor de proporţionalitate numit conductanţă electrică.

De regulă se foloseşte o mărime inversă conductanţei numită rezistenţă electrică R, adică:

(2.4)

Relaţia (2.3) se scrie sub forma: I = U / R şi este cunoscută sub denumirea de legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit. Ea poate fi extinsă şi pentru un circuit care conţine un generator de tensiune electromotoare E, rezistenţă internă r; înseriat cu un receptor de rezistenţă R, adică:

I = E / (R + r) (2.5)Ea se exprimă astfel: intensitatea curentului electric printr-un circuit este direct

proporţională cu tensiunea electromotoare din circuit şi invers proporţională cu rezistenţa totală a circuitului.

Legea lui Ohm are şi o formă diferenţială, care poate fi obţinută apelând la cele prezentate în fig. 2.1. Astfel:

Înlocuind aceste expresii în relaţia I = U / R se obţine:

(2.6)

În relaţia (2.6) E este intensitatea câmpului electric, dar acest câmp este unul imprimat de sursa electrică.Revenind la rezistenţa electrică, trebuie menţionat faptul că expresia ei este:

unde:ρ – este rezistivitatea materialului conductor, se măsoară în Ω mm2/m şi se modifică cu

temperatura conform relaţiei:, α şi β fiind constante sau coeficienţi de variaţie a

rezistivităţii cu temperatura: α [1/0C]; β [1/0C2]Rezistivităţile unor materiale cunoscute au valorile:

17

Page 20: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

ρAg = 0,0164 Ωmm2/m; ρCu = 0,0176 Ωmm2/m; ρCr = 1,2 Ωmm2/m; ρCn = 0,5 Ωmm2/m

Materialele cu rezistivitate mare: constantan, manganină şi crom sunt folosite pentru realizarea rezistoarelor şi ele pot fi fixe sau reglabile, ultimele fiind numite obişnuit reostate.

Pot fi realizate în două variante şi anume: cu ploturi sau cu cursor. Reostatele cu ploturi permit variaţia discontinuă în trepte a rezistenţei, pe când cele cu cursor asigură variaţia continuă a rezistenţei.

a) b)Fig.2.2. Rezistoare reglabile (variabile): a) cu ploturi, b) cu cursor.

În categoria rezistoarelor reglabile se încadrează şi potenţiometrele folosite în circuitele electronice. În ceea ce priveşte simbolurile folosite pentru rezistoare acestea sunt prezentate în fig.2.3.

Fig. 2.3. Simbolizarea rezistoarelor

2.4. Energia şi puterea electrică. Legea lui Joule-Lenz

În activitatea de toate zilele venim în contact cu efectele curentului electric prin aplicaţiile multiple ale acestuia. Efectele curentului electric (termic, electrochimic şi magnetic) au la origine aceeaşi cauză şi anume câmpul electric, care prin intermediul unor ghidaje, ghiduri de câmp, transmit energia surselor spre consumatori. Ajunsă aici, această energie se transformă în lucru mecanic (energia mecanică), energie termică sau energie chimică.

Să considerăm conductorul din fig. 2.1. Lucrul mecanic efectuat pentru a deplasa purtătorii de sarcină între punctele (secţiunile) A şi B este:

L = q · UAB = q · (VA – VB)iar energia necesară pentru efectuarea lucrului mecanic este preluată de câmpul electric.

Corespunzător acestui lucru mecanic se dezvoltă o energie cinetică de forma:W = U · I · t (2.7)

Energia potenţială a purtătorilor de sarcină se transformă în energie cinetică de vibraţie a reţelei cristaline a metalului. Aceasta conduce la creşterea energiei interne a reţelei şi deci la creşterea temperaturii acestuia.

Acest efect termodinamic, ireversibil se numeşte efect Joule sau Joule-Lenz. El se poate exprima şi sub forma:

. Dar unde P = I2 · R este puterea

dezvoltată în circuit. Pentru un circuit întreg P = E · I = I2 · (R + r) (2.8)Enunţ: energia dezvoltată de un circuit parcurs de curentul I pe durata t este proporţională cu

pătratul intensităţii curentului I2 cu durata t şi rezistenţa circuitului R.

18

Page 21: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

2.5. Teorema transferului maxim de energie.

Pentru circuitul din fig. 2.1, curentul are expresia:I = E · (R + r).

Puterea transmisă rezistorului R este:

Puterea maximă se obţine din condiţia ca: , care conduce la relaţia R = r,

adică sursa transmite puterea maximă când rezistenţa de sarcină este egală cu rezistenţa interioară a sursei. În acest caz puterea transmisă are valoarea:

iar randamentul transferului de putere este:

.

2.6. Teoremele lui Kirchhoff

Necesitatea realizării unor circuite electrice mai complicate, cu mai multe ramificaţii impune realizarea unor reţele electrice mai complexe ce prezintă noduri, laturi şi bucle (ochiuri) (fig. 2.4)

Fig. 2.4. Reţea electrică buclată.

Nodul este orice punct al reţelei în care se întâlnesc cel puţin trei ramuri.Latura – porţiunea cuprinsă între două noduri.Ochiul (bucla) – conturul poligonal închis, alcătuit din succesiunea mai multor laturi, surse sau consumatori)Kirchhoff a demonstrat în 1847 două teoreme pentru reţelele (circuitele) electrice şi anume:

Teorema 1Suma algebrică a intensităţilor curenţilor electrici care se întâlnesc (converg) într-un nod

este egală cu zero.Pentru a demonstra această afirmaţie se consideră conturul închis din fig. 2.5. Legea

conservării sarcinii ne permite să scriem că:

Q1 = Q2 + Q3 + Q4 şi raportând-o la intervalul t rezultă:

19

Page 22: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

sau I1 = I2 + I3 + I4

Fig. 2.5. Nod de reţea electrică. Aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff.

Adoptând convenţia că, curentul I este pozitiv (adică I > 0) dacă intră în nod şi negativ (adică I < 0), dacă iasă din nod, se poate scrie.

De fapt această teoremă nu este altceva decât o altă formă a legii conservării sarcinii electrice. La aplicarea acestei legi pentru cele n noduri de reţea se obţin n ecuaţii dintre care numai n-1 sunt independente.

Teorema 2Pentru o reţea, se alege pentru fiecare ramură câte un sens al curentului electric. Pentru

fiecare buclă (ochi), se adoptă un sens arbitrar de parcurs. Dacă sensul coincide cu sensul curentului, atunci produsul I·R se ia cu semnul pozitiv, dacă nu se ia cu semnul negativ.

Tensiunea electromotoare este pozitivă, dacă sensul de parcurs pentru ochi (buclă) intră borna negativă (-) şi iasă din borna pozitivă (+).

Enunţ: De-a lungul unui contur de reţea (ochi), suma algebrică a tensiunilor electromotoare este egală cu suma algebrică a produselor dintre intensitatea curenţilor şi rezistenţele laturilor, adică:

Cu ajutorul acestei teoreme se pot obţine ecuaţii numai pentru ochiurile (buclele) independente. Numărul de bucle independente este dat de relaţia:

b = l – n + 1,unde:

b este numărul buclelor independente,n – numărul de noduri,l – numărul de laturi.

De exemplu, aplicând teoremele lui Kirchhoff se pot rezolva anumite circuite electrice foarte comod (fig. 2.6).

Fig. 2.6. Aplicarea teoremelor lui Kirchhoff.

b = 3 –2 + 1 = 2, deci avem două bucle independenteI1 + I2 = I3 prin aplicarea primei teoremeE1 = I1 · R1 + I3 · R3 = I1 · R1 + (I1 + I2) · R3

E2 = I2 · R2 + I3 · R3 = I2 · R2 + (I3 + I2) · R3

20

Page 23: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

sau E1 = I1 · (R1 + R3) + I2 · R3, E2 = I1 · R3 + (R2 + R3) · I2

Rezultă: şi unde:

Teoremele lui Kirchhoff permit soluţionarea a două probleme importante în circuitele electrice şi anume: gruparea rezistoarelor şi gruparea surselor.

2.7. Gruparea rezistoarelor.

Se poate efectua în serie sau în paralel.Problema care se pune este aceea de a găsi un rezistor echivalent din punct de vedere al

rezistenţei electrice cu rezistenţa grupării date.Acest rezistor montat între aceleaşi două puncte ca şi gruparea înlocuită va determina aceeaşi

cădere de tensiune U.a) Conexiunea serie a rezistoarelor (fig. 2.7)

Fig. 2.7. Conexiunea serie a rezistoarelor

Conform legii lui Ohm, pentru fiecare rezistor se poate scrie:U1 = I · R1; U2 = I · R2; U3 = I · R3 şi respectiv U = I·RS sau.

Generalizând această relaţie pentru n rezistoare se obţine relaţia următoare:

b) Conexiunea paralel (derivaţie) a rezistoarelor (fig. 2.8). Se efectuează conform celor prezentate în fig. 2.8.

Fig. 2.8. Conexiunea paralel a rezistoarelor.

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff se poate scrie că: I = I1 + I2 + I3 sau

sau generalizând

Pe baza celor două tipuri de legări: serie, paralel se poate efectua şi legarea mixtă a rezistoarelor.

Dacă se conectează în paralel rezistoarele R; 2R; 3R se obţine rezistenţa echivalentă Rech de valoare:

21

Page 24: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Deci, prin legarea în paralel a mai multor rezistoare rezistenţa echivalentă este mai mică decât cea mai mică dintre rezistoarele care participă la grupare.

2.8. Legarea surselor.

În cazul când se doreşte realizarea unor surse de tensiuni sau puteri mai mari, acestea se leagă în serie sau în paralel (fig. 2.9).

Fig. 2.9. Legarea surselor: a) în serie, b) în paralel

a) b)

Corespunzător celor două montaje se pot scrie relaţiile:Ee = E1 + E2 + ..... + En Ee = Ere = r + r +r + ...... + r re = r / n

De menţionat că dacă la legarea în serie se pot considera surse de tensiuni diferite, la legarea în paralel ele trebuie să fie aceeaşi tensiune.

Desigur se poate considera şi un montaj mixt: serie – paralel în cazul general (fig. 2.10). Astfel cum trebuie dispuse cele N surse identice, astfel încât puterea disipată pe o rezistenţă exterioară R să fie maximă?

N = m x n

Fig. 2.10. Legarea mixtă a surselor

Pentru curentul I se poate scrie relaţia:

iar

22

Page 25: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Eliminându-l pe n = N / m şi apoi efectuând derivata lui P în raport cu m rezultă:

de unde .

Pe de altă parte, numărul de surse legate în serie m şi numărul de surse legate în paralel n, se poate determina pe baza teoremei transferului maxim de energie:

2.9. Teorema suprapunerii efectelor (superpoziţiei)

Curentul electric dintr-o latură a unui circuit în care există mai multe surse, este egal cu suma algebrică a curenţilor produşi în acea latură de fiecare sursă în parte, dacă ar acţiona singură în circuit, restul surselor fiind pasivizate (adică înlocuite numai cu rezistenţa lor interioară).

Această teoremă este valabilă numai pentru circuitele liniare.

Fig. 2.11. Reţea electrică. Aplicarea teoremei superpoziţiei.

În fig. 2.11. se prezintă aplicarea teoremei suprapunerii efectelor pentru un circuit cu două surse. Pentru curentul din latura 5, se poate scrie:

I5 =I’5 – I”5

2.10. Teorema generatorului echivalent de tensiune (Thévenin)

Curentul I debitat de o reţea activă şi liniară pe o rezistenţă R, legată la borna AB, este egal cu tensiunea între punctele AB la mersul în gol (când ramura cu rezistenţa R este întreruptă) raportată la suma dintre aceea rezistenţă şi rezistenţa interioară a reţelei pasivizate.

Deci dacă se consideră reţeaua din fig. 2.12, pentru calculul curentului ce străbate latura AB se poate scrie relaţia:

23

Page 26: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig. 2.12. Determinarea curentului IAB folosind teorema generatorului echivalent de tensiune

Pentru demonstraţie se consideră circuitul în care s-au introdus pe latura AB două surse egale cu UABo şi de sensuri contrare, care de altfel, nu modifică funcţionarea circuitului. Circuitul astfel obţinut poate fi descompus în alte două circuite în care acţionează doar câte o sursă (fig. 2.13). Pentru fiecare din acest circuit se poate aplica teorema a doua a lui Kirchhoff obţinându-se relaţiile de mai jos.

Fig. 2.13. Aplicarea teoremei generatorului echivalent de tensiune la calculul curentului în latura AB.

Se adoptă: E’ = E” = UABo

E’ = UAB – I’AB · R E” = -UAB + I”AB · RUAB = E’ + I’AB · R UAB = I’AB · R – E” sau UAB + E’ = R · I”AB

dar I’AB = 0 UAB = -I”AB · RABo

deci E’ – I”AB · RABo = R · I”AB sau

(2.7)

2.11. Teorema generatorului echivalent de curent (Norton)

Această teoremă este una duală celei lui Thévenin şi ea poate fi stabilită formal, dacă se ţine seama de dualitatea:

IAB → UAB

UABo → IABsc

R → G

Relaţia (2.7) poate fi scrisă sub forma: şi ea reprezintă teorema lui Norton

care se enunţă astfel: tensiunea la bornele unei laturi AB, a unei reţele active, este gală cu raportul dintre curentul de scurtcircuit al laturii AB şi suma dintre conductanţa laturii şi conductanţa reţelei pasivizate, calculată la mersul în gol al reţelei faţă de punctele A şi B. (fig. 2.14)

24

Page 27: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig. 2.14. Aplicarea teoremei generatorului de curent la calculul tensiunii la bornele laturii AB.

Pentru exemplificare se consideră circuitul din fig. 2.15 şi se cere să se determine curentul IAB utilizând teorema lui Thévenin şi tensiunea UAB folosind teorema lui Norton.

Fig. 2.15. Circuit electric.

Astfel aplicând teorema lui Thévenin se obţine pentru curentul IAB expresia:

, unde ;

deci,

Aplicând teorema lui Norton se obţine pentru tensiunea UAB expresia:

, unde ;

adică:

Se constată că legea lui Ohm se verifică imediat UAB = R · IAB.

2.12. Circuite neliniare de curent continuu.

Circuitele neliniare conţin rezistenţele neliniare. Rezistoarele neliniare sunt elemente de circuit care au rezistenţă electrică dependentă de curentul care trece prin ele sau de tensiunea aplicată la bornele lor. Caracteristica curent – tensiune I = f (U) a rezistorului neliniar nu este o dreaptă ce trece prin origine, deci ea este neliniară.

Rezistenţele neliniare se simbolizează prin simbolurile din fig. 2.16.

Fig. 2.16. Simbolizarea rezistenţelor neliniare.

Comportarea rezistorului neliniar este cunoscută dacă se cunoaşte caracteristica sa I = f (U) fie grafic, fie analitic sau tabelar.

Rezistenţele neliniare se caracterizează prin rezistenţa statică RS şi prin rezistenţa dinamică (sau diferenţială) Rd definite de relaţiile:

(2.8)

25

Page 28: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

respectiv mărimile inverse, conductanţă statică GS şi respectiv conductanţă dinamică Gd.Rezistenţa statică şi rezistenţa dinamică depind de punctul de funcţionare, adică de curentul

prin rezistor sau de tensiunea aplicată rezistorului. În circuitele liniare, rezistenţa statică se confundă cu rezistenţa dinamică (RS = Rd = R) şi ea este o mărime constantă.

Dacă considerăm caracteristica rezistorului sub forma grafică (fig. 2.17) relaţiile de definiţie ale celor două rezistenţe devin:

RS = k · tg α şi Rd = k · tg β (2.9)

Fig. 2.17. Definirea rezistenţei statice şi dinamice.

De menţionat că rezistenţa statică a rezistoarelor neliniare este o mărime pozitivă (nenegativă) pe când rezistenţa dinamică poate fi uneori şi o mărime negativă. În circuitele electrice care conţin rezistoare cu rezistenţă dinamică negativă se pot produce oscilaţii autoîntreţinute.Dependent de forma caracteristicii curent – tensiune, rezistoarele neliniare se clasifică în: simetrice şi nesimetrice. Cele simetrice au caracteristica I = f(U) simetrică faţă de origine, adică rezistenţa lor depinde de curent în mod identic pentru ambele sensuri ale curentului prin rezistor. Aceste rezistoare nu au bornele polarizate. Rezistoarele nesimetrice (diode semiconductoare, tuburi electronice, etc.) au caracteristica I = f(U) nesimetrică, adică rezistenţa lor depinde atât de valoarea curentului cât şi de sensul curentului prin rezistor; aceste rezistoare au bornele polarizate.

În încheierea acestui paragraf sunt prezentate caracteristicile unor rezistoare neliniare folosite în tehnică (tabelul 2.1).

Tabel 2.1. Caracteristicile unor rezistoare neliniareNr. Crt.

RezistorCaracteristici Forma caracteristicii

1 Lampă cu incandescenţă

filament metalicI = aU – bU3; b>0

2 Termistor semiconductor de tip oxid de fier, nichel, mangan

26

Page 29: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

3 Varistor amestec de cărbune, de siliciu şi grafit I=aUn (n=3,5÷7)

4 Tub cu neontub stabilovolt; Ua – tensiunea de aprindere; US – tensiunea

stabilizată

5 Arcul electric Caracteristică cu histerezis

6 Diodă electronică

Caracteristică nesimetricăI= kU3/2

7Diodă

semiconductoare

Si, Ge, SeI=k/2 ·(U+|U|)

8 Diodă Zener Stabilizează tensiunea

9 Diodă Tunel Porţiunea A-B; Rd <0

2.13. Aplicaţii

1. Enumeraţi efectele curentului electric.

27

Page 30: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

2. Enumeraţi legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit şi scrieţi corespunzător relaţia matematică specificând semnificaţia fizică a mărimilor care intervin.

3. Enunţaţi legea lui Ohm pentru un circuit întreg şi scrieţi corespunzător relaţia matematică specificând semnificaţia fizică a mărimilor ce intervin.

4. De cine depinde rezistenţa electrică a unui conductor ?5. Care este forma diferenţială a legii lui Ohm. ?6. Enunţaţi legea lui Joule – Lenz scrieţi expresia ei matematică precizând semnificaţia fizică

a mărimilor care intervin.7. Enunţaţi teoremele lui Kirchhoff pentru un circuit electric.8. Prezentaţi legarea în serie şi paralele a rezistoarelor.9. Cum trebuie legate 40 de acumulatoare de aceeaşi rezistenţă internă 0,5Ω ca să debiteze pe

o rezistenţă de sarcină de 0,05Ω un curent maxim.

Soluţie:Dacă se are în vedere expresia care ne dă numărul de elemente (surse) ce trebuie legate în

serie, se poate scrie:

, iar în paralele, numărul de ramuri va fi:

n = 40/2 = 20.10. Pentru a mări domeniul de măsură al unui ampermetru se foloseşte şuntul ampermetric

(fig. 2.18). Să se stabilească expresia rezistenţei şuntului ampermetric RS ştiind că ampermetru are rezistenţa RA, curentul maxim IA, iar curentul ce urmează să fie măsurat este I:

Fig. 2.18. Şuntul ampermetric.

Aplicând teoremele lui Kirchhoff pentru nodul reţelei, respectiv pentru bucla formată, se poate scrie:

I = IA + IS şi IA · RA = IS · RS

Fie n = I / IA rezultă n · IA = IA + IS sau , de unde:

N = 1 + RA / RS sau RS · (n-1) = RA, de unde rezultă

Dacă RA = 150Ω; IA = 10mA şi I = 1A se obţine:

11. Pentru a mări domeniul de măsură a unui voltmetru în serie cu acesta se dispune o rezistenţă adiţională (fig. 2.19). Să se stabilească expresia rezistenţei adiţionale Ra ştiind că voltmetrul are rezistenţa RV, tensiunea maximă UV, iar tensiunea ce urmează să fie măsurată este U.

Fig. 2.19. Rezistenţa adiţională.

28

Page 31: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Soluţie:Teorema a doua a lui Kirchhoff ne permite să scriem în buclă formată relaţiile:U = UV + Ua sau IR · R = I · RV + I · Ra; U = n · UV deci n · UV = UV + Ua

UV · (n-1) = Ua sau I · RV · (n-1) = I · Ra, de unde rezultă: Ra = RV · (n-1)(2.11)

Dacă RV = 1000Ω; UV = 1V iar U = 10V, se obţine Ra = 103 · (n-1) = 9000Ω.Se consideră circuitul din fig. 2.20. Să se stabilească intensităţile curenţilor prin laturile circuitului cunoscând: E1 = 40V; E2 = 20V; R1 = 2Ω; R2 = 2Ω; R3 = 1Ω; R4 = 8Ω; R5 = 4Ω; R6 = 6Ω.

Soluţie:În circuit avem: n = 4, l = 6, iar b = l – n + 1 = 6 – 4 + 1 = 3Cele trei bucle independente (b1, b2, b3) s-au figurat pe figură, iar sensul de parcurs s-a adoptat conform celor prezentate.

Aplicând teorema I a lui Kirchhoff pentru nodurile A, B, C, D se obţin relaţiile:I3 = I1 + I2

I3 = I4 + I5 (2.12)I4 = I1 + I6

I2 = I5 + I6

Cele patru relaţii (2.12) ne permit eliminarea a doi curenţi, de exemplu exprimarea lui I5 şi I6

în funcţie de I1, I2, I3 şi I4. Rezultă: I6 = I4 – I1 iar I5 = I2 – I6 = I1 + I2 – I4

Pentru buclele b1, b2 şi b4 se aplică teorema II a lui Kirchhoff, astfel:E1 = I1R1 + I4R4 + I3R3 E1 = I1R1 + I1R3 + I2R3 + I4R4

E2 = I2R2 + I5R5 + I3R3 sau E2 = I1R3 + I2R2 + I2R3 + I1R5 + I2R5 – I4R5 (2.13)0 = I4R4 + I6R6 – I5R5 0 = I4R4 + I4R6 – I1R6 –I1R5 – I2R5 + I4R5

Ordonând ecuaţiile (2.13) după I1, I2, I4 se obţine sistemul: de unde

29

A

B

C D

I1

R3 R2

E1 E2

R4 R5

R6

b1 b2

b4

I4 I5

I6

R1

I2

Fig. 220. Circuit electric complex.

I3

Page 32: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

I3 = I1 + I2 = 1 + 5 = 6 AI4 + I5 = 6 A; I5 = 6 – I4; I5 + I6 = 1A; I6 = 1 – I5 =1 – 6 + I4 = I4 – 5Înlocuim în ultima ecuaţie:

0 = I4 8 + (I4 – 5) 6 – (6 – I4) 40 = 8 I4 + 6 I4 – 30 – 24 + 4 I4 rezultă I4 = 3A

iar I5 = 3A; I6 = – 2A (sens invers celui adoptat).

CAP 3. ELECTROMAGNETISMElectromagnetismul studiază câmpurile magnetice produse de curenţii electrici ce străbat

circuitele electrice.

3.1. Fenomene magnetice

Sunt cunoscute proprietăţile unor bucăţi de metal (numiţi magneţi permanenţi), realizaţi pe cale naturală sau artificială, de a atrage obiecte de fier sau de a orienta în diverse moduri acul unei busole. Se poate afirma că aceşti magneţi permanenţi dispun de un câmp magnetic, care acţionează prin forţe de-a lungul unor linii de forţă (linii de câmp) de la un capăt al său (polul nord – N) şi se închid la celălalt capăt al său (polul sud – S). Traseul acestor linii de forţă poate fi pus, de exemplu, în evidenţă prin plimbarea unui ac magnetic – busolă, în jurul magnetului, acesta plasându-se întotdeauna în lungul liniilor de câmp magnetic, polul nord al acului indicând sensul câmpului.

30

Page 33: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig. 3.1. Liniile de câmp magnetic la un magnet permanent.

Iniţial proprietatea magneţilor a fost pusă pe seama unor sarcini magnetice, făcându-se astfel o analogie între cauza câmpului magnetic şi cel electric; ulterior însă s-a constatat că nu există aceste sarcini magnetice. S-a constatat că mai multe conductoare parcurse de curenţi electrici se atrag sau se resping, în funcţie de sensul curenţilor prin conductoare. Prin urmare câmpul magnetic exercită forţe asupra circuitelor parcurse de curent. Aceste forţe în câmp magnetic se împart în forţe electrodinamice (între curenţi), electromagnetice (între curenţi şi corpuri magnetizate), magnetostatice (între magneţi permanenţi).

3.2. Câmpul magnetic. Forţe în câmpul magnetic.

Câmpul magnetic este aceea formă de existenţă a materiei, care se manifestă prin forţe sau cupluri de forţe ce acţionează asupra corpurilor magnetizate sau asupra conductoarelor parcurse de curenţi.

Exploatarea câmpului magnetic se realizează cu un corp de probă.Cel mai potrivit corp de probă este o mică spiră, foarte subţire parcursă de curent numită buclă

de curent, reprezentată ca în fig. 3.2 a) şi practic ca în fig. 3.2. b).

a) b)Fig. 3.2. Bucla de curent: a) reprezentare simbolică; b) realizare practică.

Dacă bucla de curent se aduce în spaţiul câmpului magnetic, asupra ei se exercită acţiuni mecanice, concretizate printr-un cuplu de forţe, dat de relaţia: , undemb – este momentul magnetic al spirei, ;

– inductanţa magnetică în vid (sau ); se măsoară în tesla (T); adică:[B] = [C] / [I] · [S] = 1m · 1N / 1A · 1m2 = 1N / Am = 1T.Forţele particulare ce acţionează în câmpul magnetic sunt: forţa Lorenz, Laplace, Ampère.

În continuare se vor considera fiecare din aceste forţe.

3.2.1. Forţa Lorenz.

Forţa care se exercită asupra unui corp încărcat cu sarcină electrică se numeşte forţă Lorenz. Experienţa arată că asupra unui corp încărcat cu sarcina electrică q, care se deplasează cu viteza într-un câmp magnetic de inducţie se exercită forţa . Această forţă este

31

Page 34: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

perpendiculară pe planul determinat de vectorii şi (adică atât pe direcţia de deplasare, cât şi pe direcţia liniilor de câmp). Referitor la relaţia de mai sus, se pot face următoarele observaţii:

- asupra sarcinii în repaus (v = 0) nu acţionează forţa;- forţa este maximă dacă direcţia de deplasare este perpendiculară pe aceea a liniilor de

câmp magnetic;- forţa este nulă dacă deplasarea sarcinii se face pe direcţia liniilor de câmp magnetic.Dacă, alături de câmpul magnetic, în spaţiul considerat există şi câmp electric, asupra sarcinii

în mişcare mai acţionează şi o forţă electrică care are sensul lui , adică al liniilor de câmp electric . Ca urmare forţa rezultantă ce acţionează asupra unei sarcini în mişcare are expresia:

3.2.2. Forţa Laplace.

Se mai numeşte şi forţa electromagnetică. Forţa Laplace reprezintă forţa care se exercită asupra unui conductor parcurs de curent electric situat într-un câmp magnetic. Măsurând forţa elementară ce se exercită asupra unui element de lungime , parcurs de curentul i şi situat într-un câmp magnetic de inducţie , se constată experimental că există relaţia: . Sensul forţei este dat de produsul vectorial .

Această forţă este maximă când conductorul este perpendicular pe liniile de câmp, adică perpendicular pe şi este minimă când conductorul este orientat după direcţia liniilor de câmp, adică paralel cu .

Expresia forţei Laplace se poate deduce din expresia forţei Lorenz, astfel:

Forţa Laplace se referă la conductoare filiforme parcurse de curentul i. În cazul conductoarelor masive se introduce noţiunea de densitatea de volum a forţei, astfel:

3.2.3. Forţa Ampère.

Se mai numeşte şi forţa electrodinamică. Este forţa care se manifestă între două conductoare parcurse de curenţi.

Astfel, dacă se consideră două conductoare paralele, infinit de lungi, filiforme şi parcurse de

curenţii I1 şi I2 se constată că asupra lor se exercită o forţă . Forţa este de

atracţie dacă curenţii au acelaşi sens şi de respingere, dacă au sensuri contrare (fig. 3.3).

a) b)Fig. 3.3. Sensul forţei electrodinamice: a) de respingere; b) de atracţie.

32

Page 35: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Sensul forţelor electrodinamice poate fi explicat dacă se are în vedere forma câmpului magnetic (fig. 3.4.) Astfel dacă sensul celor doi curenţi este contrar, între conductoare câmpul magnetic se întăreşte iar în afara conductoarelor slăbeşte. Densitatea sporită a câmpului dintre conductoare tinde să depărteze conductoarele.

Fig. 3.4. Explicarea sensului forţei Ampère prin configuraţia câmpului magnetic.

Forţa electrodinamică ne permite definirea unităţii de măsură a curentului, adică amperul. Astfel, dacă în relaţia:

, considerăm , d = 1m, I1 = I2 = 1A, rezultă:

Deci, amperul este curentul care stabilit în două conductoare paralele, infinit lungi, aşezate în vid la distanţa de 1m determină atracţia sau respingerea lor cu o forţă de 2 · 10-7 N/m lungime.

Sintetizând cele prezentate în legătură cu forţele în câmp magnetic se poate prezenta fig. 3.5.

a) b) c)Fig. 3.5. Forţe în câmpul magnetic: a) Lorenz; b) Laplace; c) Ampère.

3.3. Inducţia magnetică, intensitatea câmpului magnetic, flux magnetic.

Câmpul magnetic aşa cum am menţionat mai sus, se poate caracteriza în fiecare punct al său printr-o mărime vectorială numită inducţie magnetică. Această mărime depinde de valoarea curentului care a produs câmpul magnetic şi de proprietăţile magnetice ale mediului. Pentru un solenoid care se închide sub forma unui tor (fig. 3.6) şi care este parcurs de curentul I, valoarea inducţiei magnetice B în interiorul bobinei inelare este:

(3.1)

unde:N - este numărul de spire al solenoiduluiL – lungimea medie a torului (l = 2πr, r fiind raza medie a torului),0 – permeabilitatea magnetică a mediului vid, o mărime ce caracterizează comportarea

materialelor (corpurilor) în câmpul magnetic; are valoarea 0 = 4π · 10-7 H/m.Dacă în interiorul torului se află un alt material, spre exemplu oţel (miez feromagnetic),

valoarea inducţiei se modifică deşi curentul I a rămas acelaşi, adică:

(3.2)

fapt ce dovedeşte că permeabilitatea magnetică este diferită, pentru diferite materiale.

33

Page 36: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig. 3.6. Tor din miez de fier.

Raportul dintre permeabilitatea magnetică a unui mediu material oarecare şi permeabilitatea magnetică 0 a vidului se numeşte permeabilitate magnetică r, adică r = 0.

(3.3)Intensitatea câmpului magnetic într-un câmp magnetic stabilit într-un mediu omogen se obţine raportând valoarea inducţiei magnetice la valoarea permeabilităţii magnetice, adică:

H = B / = N I / l[A/m] (3.4)Trebuie menţionat că, spre deosebire de inducţia magnetică B, intensitatea câmpului

magnetic H nu depinde de natura mediului material ci numai de curentul care determină câmpul magnetic.

Din relaţia (3.4) se deduce că pentru valorile lui B şi H se poate scrie relaţia:B = · H (3.5)

Dar trebuie remarcat că numai pentru vid relaţia este valabilă şi vectorial, adică:(3.6)

Fluxul magnetic printr-o suprafaţă închisă S situată perpendicular pe direcţia liniilor de câmp magnetic de inducţie B (fig. 3.7a) este totalitatea liniilor de câmp ce străbat această suprafaţă şi se calculează cu relaţia: = B · S

Dacă liniile câmpului magnetic fac un unghi cu normala N la planul conturului (fig. 3.7b), valoarea fuxului magnetic este dată de relaţia:

= B · S · cos În general însă = (B · S) sau (3.7)

a) b)Fig. 3.7. Fluxul magnetic prin suprafaţa S: a) perpendiculară pe liniile de câmp; b)

înclinată faţă de liniile de câmp. Dacă în locul spirei se consideră mai multe spire, adică o bobină, fluxul ce străbate bobina va fi:

Ψ = N · = N · B · S (3.8)unde N este numărul de spire al bobinei.

3.4. Circuite magnetice.

Vorbind de circuite magnetice ne referim la un ansamblu de medii, îndeosebi feromagnetice care asigură închiderea unui flux magnetic util. Acest flux magnetic prin analogie cu curentul electric este mărimea care interesează iar în locul materialelor conductoare aici vorbim de materiale magnetice. Ca urmare în cele ce urmează se vor prezenta elemente legate de materialele magnetice, magnetizarea materialelor feromagnetice şi legea circuitului magnetic.

34

Page 37: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

3.4.1. Materiale magnetice.

Diferite materiale se comportă în mod diferit în câmpuri magnetice, în sensul că au permeabilităţi magnetice diferite.

Dacă mediul este format din anumite materiale, de exemplu aer sau unele metale, inducţia magnetică corespunzătoare vidului creşte cu o cantitate suplimentară B’ faţă de inducţia în vid, deşi câmpul H a rămas neschimbat, adică:

B1 = B0 + B’ = 0 · H + B’ > B0

sau dacă considerăm:

B1 = 1 · H , (1 > 0 · r)

r se numeşte permeabilitatea magnetică relativă.Materialele care prezintă permeabilitate magnetică relativă supraunitară se numesc

materiale paramagnetice.Există o altă categorie de materiale, la care inducţia magnetică scade cu o inducţie

suplimentară B” faţă de inducţia în vid, deşi câmpul magnetic H a rămas neschimbat,B2 = B0 – B” = 0 · H – B” < B0

Permeabilitatea magnetică a acestor materiale se calculează cu relaţia:

sau 2 = 0 · 2r şi 2r < 1.

Aceste materiale se numesc diamagnetice.O categorie aparte o constituie materialele feromagnetice. La aceste materiale

permeabilitatea magnetică relativă nu numai că este supraunitară, dar are şi valori foarte mari, de exemplu r = 500 ÷ 5000. Din această categorie de materiale fac parte în principal compuşii fierului: fonta, oţelul şi nichelul, precum şi unele aliaje ale acestora.

3.4.2. Magnetizarea materialelor feromagnetice.

Permeabilitatea magnetică a materialelor feromagnetice nu este constantă ci variază în funcţie de câmpul magnetic. Considerând torul din fig. 3.6. realizat din material feromagnetic, de exemplu oţel având bobina alimentată cu un curent având succesiv valorile I1, I2, I3 .... (unde I1 < I2 < I3 < ...) se obţine curba B = f (H) din fig. 3.8, curbă pe care pot fi delimitate trei zone şi anume:

0

Fig. 3.8. Caracteristicile B = (H) şi = f (H)Fig. 3.9. Ciclu de histerezis

- Zona 0 – X este o porţiune liniară cu panta relativ mare (panta curbei reprezintă tocmai permeabilitatea magnetică ), zona în care inducţia B este proporţională cu câmpul H, deci este constant şi relativ mare ; este zona în care se spune că miezul magnetic funcţionează nesaturat;

35

Page 38: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

- Zona X – Y este porţiunea în care fierul începe să se satureze, deci permeabilitatea magnetică scade; zona se numeşte cotul curbei de magnetizare;

- Zona Y – Z este porţiunea liniară cu panta relativ mică, iar are o valoare aproximativ constantă care tinde către 0 (r ≈ 1), aceasta este zona saturată a curbei de magnetizare.

Dacă magnetizarea miezului de oţel se face prin variaţia continuă a curentului I de la 0 → Imax

→ 0 → Imax → 0, câmpul magnetic H este în creştere sau în descreştere (fig. 3.9). S-a obţinut în acest fel o curbă de magnetizare închisă numită ciclu de histerezis (histerezis vine din limba greacă şi înseamnă rămânere în urmă).

Într-adevăr, din fig. 3.9 se observă de exemplu că în punctul 2 deşi curentul I (câmpul H) a revenit la zero, totuşi inducţia mai are o valoare pozitivă, B = Br, numită inducţie remanentă, de asemenea în punctul 5, deşi H = 0, totuşi B = - Br. Similar, în punctul 3 pentru a produce o inducţie magnetică nulă venind dinspre inducţii remanente pozitive (respectiv negative) este necesar un câmp – HC (punctul 3), respectiv + HC (punctul 6) numit câmp coercitiv.

În timpul unui ciclu de histerezis materialul absoarbe din câmpul magnetic o cantitate de energie, care se transformă în căldură şi care constituie pierderile de histerezis. Aceste pierderi sunt proporţionale cu suprafaţa ciclului de histerezis şi fireşte cu cantitatea de material feromagnetic. Din acest motiv în industrie pentru un anumit tip de oţel electrotehnic şi frecvenţă (f = 50Hz de exemplu) se menţionează pierderile specifice în [W/kg] prin fenomenul de histerezis .

Prin realizarea unor tole de oţel electrotehnic, ce prezintă 4 – 5% adaos siliciu se obţine o curbă de magnetizare cu permeabilitate magnetică mare şi cu un ciclu de histerezis de suprafaţă relativ redusă, adică cu pierderi mici.

3.4.3. Legea circuitului magnetic.

Este similară cu legea circuitului electric (adică legea lui Ohm).Considerând torul din fig. 3.6., fluxul magnetic ce străbate secţiunea acestuia poate fi scris ca

fiind:

(3.9)

unde:

Rm este reluctanţa circuitului magnetic, se calculează cu relaţia:

NI = - tensiune magnetică. Dacă la circuitele electrice , aici ; sau se mai numeşte şi solenaţie.

Dacă torul prezintă un întrefier (fig. 3.10) acesta are o reluctanţă magnetică iar

legea circuitului magnetic se poate scrie sub forma:

(3.10)

36

Page 39: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig. 3.10. Circuit magnetic alcătuit dintr-un tor cu

întrefier.

De obicei dimensiunea unui întrefier este foarte mică. În întrefier se obţin acţiunile pondero- motoare: forţe şi cupluri. Prezenţa întrefierului măreşte foarte mult reluctanţa magnetică, deoarece << , pe când este comparabil cu l.

Ca urmare, fluxul şi inducţia B scade, evitându-se saturarea miezului.

3.5. Inducţia electromagnetică.

Este un fenomen fizic deosebit de important, care stă la baza multor aplicaţii tehnice.

3.5.1. Fenomene de inducţie electromagnetică.

Se consideră o bobină B (fig. 3.11) având legate la bornele ei un ampermetru A şi un magnet permanent plasat coaxial cu bobina.

Ampermetrul se introduce brusc în interiorul bobinei, ceea ce are ca efect devierea într-un anumit sens (de exemplu +) a acului ampermetrului. La extragerea bruscă a magnetului din interiorul bobinei ampermetrul deviază din nou, însă de această dată în sens contrar, după care magnetul revenind la poziţia iniţială, acul ampermetrului revine din nou pe zero.

În locul câmpului magnetic produs de magnetul permanent se poate folosi pentru realizarea aceleaşi experienţe o bobină parcursă de curent, adică un electromagnet.

Fig. 3.11. Fenomenul de inducţie electromagnetică evidenţiat într-o bobină.

Această experienţă ne permite să tragem următoarea concluzie: într-o bobină ia naştere o tensiune electromotoare, atunci când fluxul magnetic prin spirele sale variază. Acest fenomen poartă numele de inducţie electromagnetică. Tensiunea electromagnetică care ia naştere prin acest fenomen se numeşte tensiune electromotoare de inducţie iar curentul corespunzător curent de inducţie. Aceeaşi experienţă ne permite să constatăm că tensiunea electromotoare de inducţie are un anumit sens atunci când fluxul magnetic creşte (la introducerea magnetului).

Reluând experienţa, dar deplasând magnetul cu viteze din ce în ce mai mari, se constată că deviaţiile ampermetrului, deci şi tensiunile electromotoare induse, cresc proporţional cu viteza de

37

Page 40: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

variaţie a fluxului. La aceeaşi viteză de deplasare a magnetului, tensiunile electromotoare induse cresc proporţional cu numărul de spire al bobine folosite.

3.5.2. Legea inducţiei electromagnetice.

Pe baza experienţei descrise mai sus, s-a stabilit că tensiunea electromotoare indusă într-o bobină cu N spire are expresia:

(3.11)

unde d () reprezintă variaţia fluxului magnetic în intervalul de timp dt (t), adică tensiunea indusă depinde de viteza de variaţie a fluxului şi de numărul de spire.

Semnul minus din faţa expresiei tensiunii ne indică faptul că sensul tensiunii induse este contrar celui de variaţie a fluxului (fig. 3.12).

Fig. 3.12. Stabilirea sensului tensiunii induse.

Regula lui Lenz: tensiunea are un astfel de sens, încât curentul ce se stabileşte determină un flux care se opune variaţiei fluxului inductor.

O formă particulară de manifestare a fenomenului de inducţie electromagnetică are loc la deplasarea cu viteza v a unui conductor de lungime l perpendicular pe liniile de câmp de inducţie B (fig. 3.13.)

iar

Deci

sau sau e = - B · l · v · sin , unde

38

Page 41: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig. 3.13. Aplicarea legii inducţiei electromagnetice

3.5. Inductanţa proprie şi inductanţa mutuală.

Dacă se consideră o spiră parcursă de curentul I, ea dă naştere unui câmp de inducţie B şi a unui flux total N · , care ne permite definirea unei mărimi specifice spirei şi anume inductanţă (inductivitate):

(3.12)

Dacă se consideră o bobină cu N spire inducţia proprie se defineşte ca fiind:

(3.13)

Pentru o bobină cu N spire se poate scrie că inductanţa este:

(3.14)

Relaţia (3.14) poate fi dedusă având în vedere că / Rm de unde

iar

Se constată că inductanţa este dependentă de permeabilitatea magnetică . Ea este constantă dacă şi este constantă, este variabilă dacă şi este variabil. Deci şi aici la inductivitate se poate defini o inductanţă statică:

(3.15)

şi una dinamică

(3.16)

De menţionat că unitatea de măsură a inductanţei este henry-ul, (H) care are dimensiunea ·S, deci 1 H = 1 · S.

Referitor la inductanţa mutuală se consideră două bobine B1 şi B2 cuplate inductiv (fig. 3.14), adică cu circuit magnetic comun, având un număr de spire N1 respectiv N2 şi parcurse de curenţii I1 şi respectiv I2.

39

Page 42: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig. 3.14. Definirea inductanţelor mutuale.

Fluxul produs de bobina B1 are două componente, , este fluxul de dispersie, ce se închide prin aer, este fluxul mutual ce se închide prin bobina B2.

În mod similar pentru bobina B2 se poate scrie , este fluxul de dispersie al celei de-a doua bobine, este fluxul mutual ce se închide prin bobina B1.

Se definesc inductanţele mutuale:

sau

Spre deosebire de inductivitatea proprie care este întotdeauna pozitivă, inductivitatea mutuală poate fi pozitivă, negativă şi zero. Aceasta deoarece fluxul unei bobine prin cealaltă bobină poate avea acelaşi sens sau poate avea sens contrar faţă de fluxul propriu.

În mod obişnuit, nu se figurează explicit structura circuitului magnetic al bobinei cuplate magnetic, ci se adoptă următoarea convenţie: orice indicare a valorii algebrice a unei inductivităţi mutuale L12 este însoţită de însemnarea cu un asterix a uneia dintre bornele fiecărei bobine. Atunci când sensurile curenţilor prin cele două bobine cuplate magnetic sunt orientate în acelaşi mod faţă de bornele marcate (polarizate) cu asterix, inductivitatea mutuală corespunzătoare are valoarea pozitivă, adică M > 0.

Dacă sensurile curenţilor nu sunt orientate în acelaşi mod faţă de bornele polarizate, inductivitatea mutuală corespunzătoare acestor sensuri are valoarea negativă, adică M < 0.

Fig. 3.15. Stabilirea semnului inductivităţilor mutuale.

40

Page 43: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

3.5.4. Tensiune electromotoare de autoinducţie.

Dacă un circuit electric cuprinde o bobină de inductanţă L parcursă de un curent variabil I, fluxul total al bobinei este şi el variabil şi are expresia:

= N = L I (3.17)Această tensiune electromotoare produsă de variaţia curentului propriu se numeşte tensiune

electromotoare de autoinducţie.Conform legii lui Lenz această tensiune este de sens contrar tensiunii aplicate bobinei

respective, e = - L di / dt.

3.5.5. Energia câmpului magnetic.

Se consideră o bobină de rezistenţă R şi inductanţă L este alimentată de la o sursă de tensine electromotoare E. Se poate scrie:

sau (3.18)

Înmulţind relaţia (3.18) cu Idt şi integrând în intervalul 0 – t0, se obţine:

(3.19)

Termenul este tocmai energia luată de la sursă în intervalul de timp t0.

Termenul este energia consumată pe rezistenţa R prin efectul Joule, iar:

(3.20)

adică tocmai energia în câmp magnetic.

3.6. Aplicaţii

1. Cum se manifestă câmpul magnetic în natură ?2. Liniile de câmp magnetic sunt asemănătoare cu cele de câmp electric sau nu ?3. De cine este produs câmpul magnetic ?4. Între cine se manifestă forţa Lorenz şi cum îi găsim sensul ei ?5. Între cine se manifestă forţa electrodinamică ? Cum se justifică sensul ei, de atracţie sau

respingere ?6. Ce este inducţia magnetică şi din ce punct de vedere caracterizează ea câmpul magnetic?7. Ce este intensitatea câmpului magnetic, care este legătura dintre inducţie şi intensitatea

câmpului magnetic ?8. De câte feluri pot fi materialele sub aspectul comportării în câmp magnetic. Prin ce se

caracterizează materialele feromagnetice.9. Ce este curba de magnetizare a unui material feromagnetice; delimitaţi zonele curbei de

magnetizare ?10. Ce este ciclul de histerezis, indicaţi care este semnificaţia suprafeţei ciclului de histerezis?11. Scrieţi expresia legii circuitului magnetic, indicând semnificaţia mărimilor care intervin ?

41

Page 44: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

12. Enunţaţi legea inducţiei electromagnetice; scrieţi expresia matematică a acestei legi indicând semnificaţia fizică a mărimilor care intervin.

13. Definiţi inductanţa unei bobine.14. Ce este permeabilitatea magnetică a unui material, dar permeabilitatea magnetică relativă.15. Cum se explică fenomenul de autoinducţie la o bobină ?16. Se consideră un tor de secţiune circulară, din material feromagnetic având permeabilitatea

=1000· şi un întrefier de grosime . Torul este bobinat, bobina are secţiunea de 2 cm2. Se cere să se calculeze mărimea întrefierului astfel încât inducţia în miez să fie 0,05T ?

Soluţie

Pentru circuitul magnetic din fig. 3.16. se poate scrie: unde

Wb/Asp

Wb/Asp

Deci: , de unde rezultă = 1,27 · 10-3 m = 1,27 mm.

Fig. 3.16. Tor magnetic.

17. Un disc conductor de rază r se roteşte cu viteza într-un câmp magnetic uniform de inducţie B constantă în timp, astfel încât axul discului este paralel cu liniile de câmp. Să se calculeze tensiunea dintre două perii, una plasată pe axul discului, iar cealaltă la periferia lui.

Soluţie:

dt,

Rezultă

Pentru = 314 rad/s; r = 0,20cm şi B = 0,6 T

42

Page 45: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

CAP 4. CURENTUL ALTERNATIV

4.1. Curentul alternativ monofazat. Producerea curentului (tensiunii) alternativ

Principial, curentul alternativ se produce pe baza fenomenului de inducţie electromagnetică. Într-o spiră ce se roteşte şi taie liniile câmpului magnetic produs de doi poli magnetici, N şi S (fig. 4.1) ia naştere o tensiune electromotoare de inducţie.

Perpendiculară pe axa polilor (N-S) se consideră axa OO’ numită axa neutră. Unghiul pe care-l formează spira cu axa neutră este .

Pentru a calcula tensiunea indusă se poate pleca de la relaţia:

(4.1)

2dS este variaţia secţiunii spirei traversată de liniile de câmp magnetic. Ca urmare, tensiune electromotoare indusă în spiră are valoarea:

(4.2) Tensiunea este culeasă cu ajutorul celor două perii P1 şi P2 şi indicată de voltmetrul V (fig.

4.1).De menţionat, că în relaţiile de mai sus este viteza unghiulară a spirei (sau bobinei), iar v

este viteza liniară a spirei (bobinei).În acest fel sistemul prezentat mai sus este de fapt un generator de curent alternativ

monofazat.Fenomenul prezentat este reversibil, adică, aplicând o tensiune alternativă între periile P1 şi

P2 spira (bobina) descrie o mişcare de rotaţie, deci este capabilă să producă un lucru mecanic.Partea formată din polii magnetici N şi S constituie statorul (care stă) sau inductorul (care

induce câmpul), iar spira (sau bobina)constituie rotorul (care se roteşte) sau indusul (în care se induce tensiunea) maşinii respective.

4.2. Mărimi caracteristice ale curentului (tensiune) alternativ

În fig. 4.3 se prezintă variaţia tensiunii şi a curentului alternativ.

43

N

S

O O’

b

b v

v ω

φ

axa neutră

B

O O’

SP1 P2

N

w

V

Fig.4.1. Principiul producerii tensiunii alternativeFig.4.2. Determinarea

vitezei de tăiere a liniilor câmpului magnetic

Page 46: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Dacă pentru tensiunea indusă se poate scrie relaţia , pentru curentul corespunzător va rezulta , unde este defazajul (întârzierea) curentului faţă de tensiune.

Mărimile caracteristice ale tensiunii sau curentului alternativ (sinusoidal) sunt: a) perioada care se notează cu T şi reprezintă intervalul de timp (exprimat în secunde), în

care spira efectuează o rotaţie completă, adică timpul după care tensiunea alternativă capătă aceeaşi valoare şi acelaşi sens de creştere.

b) frecvenţa . Mărimea se numeşte frecvenţă şi reprezintă numărul de perioade

cuprinse într-o secundă. Frecvenţa curentului alternativ industrial în toate ţările din Europa este de 50 Hz. În SUA şi parţial în Japonia frecvenţa este de 60 Hz.c) valoarea efectivă (eficace) are în vedere înlocuirea mărimii (tensiune sau curent) de

variaţie reală cu una fictivă, dar constantă, care în decurs de o perioadă dezvoltă aceeaşi căldură pe un rezistor de rezistenţă R, adică:

(4.3)

Sau

(4.4)

Adică

sau (4.5)

deci , adică valoarea efectivă este aceea maximă împărţită la .

d) valoarea maximă sau de vârf a mărimii sinusoidale. Este max(e) sau max (i) şi fireşte este valoarea maximă pe care o poate atinge în variaţia sa mărimea sinusoidală considerată, adică emax sau imax.

e) valoarea medie a unei mărimi sinusoidale pe un interval t de timp se calculează cu integrala:

44

T

ωt0

e,i

e

i

φ

Fig.4.3. Diagrama tensiunii şi a curentului alternativ sinusoidal.

Page 47: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

(4.6)

Pentru o perioadă T, Imed=0; de aceea pentru mărimile sinusoidale intervalul luat în

considerare este , adică:

(4.7)

Dacă pentru simplificare se consideră , se obţine:

f) factorul de formă se defineşte ca fiind raportul dintre valoarea efectivă şi valoarea medie, adică:

(4.8)

De remarcat că în electrotehnică se operează cu valorile efective ale mărimilor sinusoidale, adică de exemplu, expresia curentului se scrie sub forma:

unde este faza iniţială, adică faza curentului pentru t=0.

Deci, o mărime sinusoidală este complet determinată dacă i se cunosc valoarea efectivă I, pulsaţia şi faza iniţială .

Diferenţa dintre fazele iniţiale ale două mărimi sinusoidale se numeşte defazaj (fig. 4.3). acest defazaj poate fi pozitiv sau negativ (fig. 4.4). Dacă , i1 este defazat înaintea lui i2

(fig. 4.4 a); dacă , i1 este defazat în urma lui i2 (fig. 4.4b).

a) b)Fig.4.4. Variaţia unor curenţi sinusoidali cu faze iniţiale φ1 ≠ φ2:

a) φ1 > φ2; b)φ1 < φ2;

Pot să apară următoarele cazuri particulare: – dacă mărimile sunt în fază

– dacă mărimile sunt în cuadratură

– dacă mărimile sunt în opoziţie de fază.

45

0

i

φ2

i1i2

φ1

ωt ωt0

i

φ1

i1

i2

φ2

Page 48: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

4.3. Operaţii cu mărimi sinusoidale

Circuitele liniare de curent alternativ sunt descrise de ecuaţii integro- diferenţiale liniare, în care asupra mărimilor sinusoidale se efectuează operaţiile de adunare, înmulţire cu un scalar, derivare sau integrare. Prin aceste operaţii se obţin mărimi sinusoidale ca aceeaşi frecvenţă, astfel:

a) adunarea a două mărimi sinusoidale, de exemplu curenţi şi , conduce la o mărime sinusoidală de aceeaşi frecvenţă, de forma i=I

, unde: (4.9)

(4.10)

b) amplificarea unei mărimi sinusoidale cu un scalar λ, conduce tot la o mărime sinusoidală de aceeaşi frecvenţă şi aceeaşi fază iniţială, dar cu valoarea efectivă amplificată de λ ori, adică:

(4.11)Deci I=λI1.c) derivarea unei mărimi sinusoidale în raport cu timpul conduce la o mărime sinusoidală de

aceeaşi frecvenţă, dar defazată înainte cu şi având valoarea efectivă de ori mai mare, adică:

= cos( + )= sin( + + ) (4.12)

d) integrarea în timp a unei mărimi sinusoidale, conduce la o mărime sinusoidală de aceeaşi

frecvenţă, dar defazată în urmă cu şi având valoarea efectivă de mai mică, adică:

dt=- cos( )= (4.13)

4.4. Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale

În soluţionarea circuitelor (reţelelor) de curent alternativ folosirea scrierii tensiunilor şi curenţilor în valori momentane, complică foarte mult scrierea relaţiilor şi îngreunează calculele. Din acest motiv de cele mai multe ori se apelează la o scriere simbolică. În cazul circuitelor de curent alternativ care funcţionează în regim permanent sinusoidal se utilizează două tipuri de reprezentări simbolice:

- una geometrică (fazorială)- una analitică (în complex)De remarcat că ambele reprezentări sunt în plan.

4.4.1. Reprezentarea geometrică (prin fazori)

Dacă se consideră o mărime sinusoidală de forma: (4.14)

se poate costata că acesteia i se poate ataşa în planul x0y0 (fig. 4.5) un vector al cărui modul este I şi care formează cu axa Ox0 unghiul , iar cu axa ox unghiul . Acest vector se va numi în continuare fazor şi se bucură de proprietatea că proiecţia lui pe axa Ox0 este egală în orice moment cu valoarea instantanee (momentană) a curentului dată de relaţia (4.14).

46

Page 49: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig.4.5. Reprezentarea curentului sinusoidal printr-un fazor.

Corespondenta biunivoca dintre mărimea sinusoidala şi acest fazor poate fi scrisă astfel:(4.15)

Simplificat relaţia (4.15) se poate scrie sub forma:

De menţionat că fazorul OA se roteşte în sens trigonometric cu viteza unghiulară ω la fel ca şi axa origine de fază, dar între fazorul şi axa Ox se păstrează unghiul φ constant.

Această reprezentare geometrică prin fazori este foarte sugestivă şi intuitivă. Ea pune în evidenţă amplitudinea mărimii sinusoidale (egală cu modulul fazorului) precum şi faza sa (egal cu argumentul fazorului reprezentativ).

Corespondenţa operaţiunilor în reprezentarea fazorială corespunde celor prezentate în figura 4.6. Astfel adunarea (fig.4.6a), conduce la un fazor de modul , amplitudine şi faza φ, dată de relaţia (4.10). Deci:

(4.16.a)

Înmulţirea cu un scalar λ, (fig.4.6b) conduce la obţinerea unui fazor cu aceeaşi fază, dar cu amplitudinea λ•I1, adică:

, unde I=λI1; (4.16.b)

Derivarea unui fazor cu timpul, conduce la înmulţirea modulului lui prin şi rotirea sa în

sens direct trigonometric cu (fig. 4.6c), adică:

(4.16.c)

Integrarea unui fazor cu timpul, corespunde cu împărţirea modulului fazorului cu şi

rotirea sa în sens trigonometric cu (fig. 4.6d), adică:

(4.16.d)

47

A

x0

x

0

iφ+ωt

ωtφI

y0

Page 50: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

a)

b)

c)

48

A1

0

A2

x0

i

φ1+ωt

y0

φ2+ωtφ+ωt

A

i2

i1

A

x00

i φ1+ωtI

y0

A1i2

A1

x00

i1

φ1+ωtI1

y0

A

ωI1 dtdi1

2

Page 51: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

d)

Fig.4.6. Operaţii cu mărimi fazoriale: a) adunarea a doi fazori; b) înmulţirea cu un scalar; c) derivarea în raport cu timpul; d) integrarea în raport cu timpul.

Observaţie: în reprezentarea fazorială prezentată, toţii fazorii sunt rotitori cu aceeaşi viteză unghiulară faţă de sistemul x0Oy0. Dacă se alege axa originii de fază Ox, care se roteşte şi ea cu aceeaşi viteză unghiulară , faţă de această axă toţi fazorii sunt ficşi, dar îşi păstrează fazele iniţiale. Deci, în sistemul de coordonate XOY care se roteşte în sens trigonometric cu viteza unghiulară toţi fazorii sunt ficşi. În plus, deoarece toate mărimile fazoriale conţin pe se poate renunţa la el, operându-se cu valori efective. Reprezentarea este una fazorială simplificată.

4.4.2. Reprezentarea analitică (în complex)

În alegerea numerelor complexe este cunoscut faptul că fiecărui număr complex îi corespunde biunivoc în planul complex un punct (afixul numărului) şi deci, un vector de poziţie. Rezultă că dacă identificăm planul reprezentării geometrice (fazoriale) cu planul complex, stabilim o corespondenţă biunivocă între funcţiile sinusoidale şi numerele complexe. În reprezentarea în complex mărimea sinusoidală (valoarea momentană) se obţine ca fiind partea imaginară a numărului complex.

De fapt, mărimii sinusoidale de forma în planul complex îi ataşăm numărul complex numit valoarea instantanee complexă având forma: .

Acest număr complex este reprezentat în planul complex printr-un vector de poziţie de modul şi argument (fig. 4.7).

Există prin urmare corespondenţa: .Numărul complex se bucură de proprietatea că proiecţia sa pe axa imaginară este tocmai

mărimea sinusoidală, adică:(4.17)

49

y0

A1

x00

i1

φ1+ωt

IA1

2

A

Page 52: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig.4.7. Reprezentarea în complex a curentului sinusoidal i.

Corespondenţa operaţiilor în reprezentarea în complex rezultă astfel: - adunarea - amplificarea - derivarea mărimii sinusoidale corespunde cu înmulţirea imaginii complexe cu

, adică:

- integrarea mărimii sinusoidale corespunde cu împărţirea imaginii complexe cu ,

adică:

4.5 Circuite de curent alternativ în regim permanent

În cele ce urmează se vor considera câteva circuite simple, liniare, cărora li se va aplica o tensiune alternativă sinusoidală de forma: şi se va stabili forma curentului printr-o metodă directă, avându-se în vedere ecuaţia circuitului, ecuaţie rezultată din aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff şi faptul că, curentul prin circuit are aceeaşi formă ca şi tensiunea aplicată.

4.5.1 Circuitul serie R, L

Se consideră circuitul serie R şi L din fig. 4.8a, cu “u” notându-se tensiunea aplicată circuitului, iar cu uR şi uL tensiunile aplicate rezistorului, respectiv bobinei.

a) b)Fig.4.8. Circuit serie R,L: a) schema echivalentă; b) variaţia tensiunii aplicate şi a

curentului în circuit

Ecuaţia circuitului este:

50

i

i

10

φ+ωt

j

0

u,i

i

u

φ

ωt

R L

uR uLu

i

Page 53: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

u=uR+uL sau u=R·i+L (4.18)

Dar , iar curentul are forma , astfel că relaţia (4.18) devine:

Ea este valabilă pentru orice valoare a lui , inclusiv pentru cele particulare. Astfel pentru

rezultă , iar pentru , obţinem . Ridicând cele două relaţii

la pătrat şi adunându-le, rezultă:

, adică (4.19)

Cantitatea de la numitor se numeşte impedanţa circuitului serie R, L şi se notează cu litera Z.Împărţind cele două relaţii rezultate prin identificare se obţine:

sau (4.20)

Deci, curentul variază în urma tensiunii cu unghiul (fig. 4.8b).

4.5.2 Circuitul serie R, C

Se consideră circuitul serie R, C din fig. 4.9a, cu “u” notându-se tensiunea aplicată circuitului, cu uR şi uC tensiunile aplicate rezistorului, respectiv condensatorului.

a) b)Fig.4.9. Circuit serie R,C: a) schema echivalentă; b) variaţia tensiunii aplicate şi a

curentului în circuit.

Ecuaţia circuitului este:

sau (4.21)

Dar , iar , astfel ecuaţia (4.21) devine:

Pentru , , iar pentru , , astfel că:

, iar , adică

, iar (4.22)

Din relaţiile deduse din identificare rezultă că <0 şi >0, deci . Prin

urmare, prin circuit variază înaintea tensiunii aplicate cu unghiul (fig. 4.9b).

51

0

CR

uR uCu

iu, i

iu

φ

ωt

Page 54: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

4.5.3. Circuitul serie R, L, C

Se consideră circuitul serie R, L, C din fig. 4.10a, cu “u” notându-se tensiunea aplicată circuitului, cu uR, uL şi uC tensiunile aplicate rezistorului, bobinei şi condensatorului.

a)

b)

Fig .4.10. Circuit R, L, C: a) schema echivalentă; b) variaţia tensiunii.

Ecuaţia circuitului este:

sau (4.23)

Dacă avem în vedere expresia tensiunii aplicate şi forma curentului, ecuaţia (4.23) devine:

Considerând două situaţii particulare, rezultă:

şi , de unde

iar (4.24)

Deoarece sin0 sau sin0, iar cos0, rezultă ( ) iar variaţia lui se produce ca

în fig. 4.10b.Expresia de la numitor a lui I se numeşte impedanţa circuitului serie R,L,C şi se notează cu

Z, având expresia:

(4.25)

4.6. Puteri în regim sinusoidal

În circuitele monofazate, liniare, de curent alternativ sinusoidal se pot defini: puterea instantanee, puterea activă, reactivă şi aparentă.

52

R L

UR ULU UC

C

i

u

ωt

u, i

Page 55: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

4.6.1. Puterea instantanee

Puterea instantanee la bornele unui circuit este dată de relaţia:(4.26)

sau dacă se au în vedere expresiile lui u şi i rezultă:(4.27)

Efectuând calculele se obţine (fig.4.11)(4.28)

Fig.4.11. Variaţia puterii instantanee

Se constată că puterea instantanee este o mărime periodică, având o componentă alternativă de frecvenţă dublă şi amplitudine UI.

4.6.2. Puterea activă

De obicei, în procesele periodice interesează energia consumată în circuit în intervalul unei

perioade întregi, şi corespunzător cu acesta interesează valoarea medie a puterii pentru o

perioadă.Deci, puterea medie absorbită într-o perioadă, numită puterea activă este:

(4.29)

sau înlocuind puterea instantanee cu expresia (4.28) se obţine:(4.30)

Unitatea de măsură a puterii active în sistemul internaţional este watt-ul: W.Corespunzător puterii active în curentul alternativ se defineşte rezistenţa circuitului R ca

fiind:

şi conductanţa

4.6.3. Puterea reactivă

Puterea reactivă se defineşte prin analogie cu puterea activă prin relaţia:(4.31)

şi prezenţa ei este cauzată de existenţa unui defazaj între curba tensiunii şi a curentului.Unitatea de măsură a puterii reactive este volt-amper-reactiv: Var.

53

ωt0

P

p

U·I

U·I P=U·I·cosφ

Page 56: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Pentru un circuit de curent alternativ, pe baza puterii reactive se poate defini reactanţa circuitului X, ca fiind:

şi susceptanţa

4.6.4. Puterea aparentă

Puterea aparentă se defineşte ca fiind produsul valorilor efective ale tensiunii şi curentului, adică:

(4.32)Pe baza puterii aparente se poate defini impedanţa unui circuit, astfel:

şi respectiv inversul ei, admitanţa

De asemenea pe baza puterii aparente se poate defini şi factorul de putere:

(4.33)

4.6.5. Puterea complexă

Puterea instantanee nu este o mărime sinusoidală de aceeaşi frecvenţă ca şi tensiunea şi curentul, ca urmare ei nu i se poate ataşa un simbol complex din care să poată fi deduse cele trei puteri: aparentă, activă şi reactivă. În schimb, dacă se apelează la scrierea complexă a puterii aparente sub forma:

rezultă: (4.34)Puterea complexă prezintă următoarele proprietăţi:- modulul este egal cu puterea aparentă;- argumentul este egal cu defazajul circuitului (dintre tensiune şi curent);- partea reală este egală cu puterea activă;- partea imaginară este egală cu puterea reactivă.În planul complex puterea complexă se poate reprezenta printr-un vector a cărui parte reală

este puterea activă, iar partea imaginară puterea reactivă.

4.7. Rezonanţa în circuite de curent alternativ

În circuitele electrice care conţin bobine şi condensatoare, deoarece reactanţa acestora are semne diferite, există situaţii (anumite frecvenţe) pentru care reactanţa echivalentă este nulă, deci şi puterea reactivă absorbită este nulă. Corespunzător, unghiul de defazaj dintre tensiunea aplicată la borne şi curentul ce se stabileşte în circuit este 0. Aceste circuite se numesc rezonanţe. Rezonanţa poate fi serie sau paralel.

4.7.1. Rezonanţa serie (rezonanţa de tensiune)

Dacă se consideră circuitul serie R, L, C din fig. 4.12 alimentat cu o tensiune sinusoidală, legea lui Ohm în complex se poate scrie sub forma:

(4.35)

sau (4.36)

la rezonanţă , adică (4.37)

54

Page 57: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Relaţia (4.37) ne arată că în circuit se poate realiza rezonanţa prin variaţia pulsaţiei , inductanţei L sau capacităţii C. Spre exemplu, valoarea pulsaţiei pentru care se produce rezonanţa se notează cu şi are expresia:

(4.38)

a)

b)

Fig.4.12. Circuit serie R, L, C: a) schema echivalentă; b) diagrama fazorială la rezonanţă.

La rezonanţă impedanţa circuitului are valoarea minimă şi este egală tocmai cu rezistenţa circuitului R. Corespunzător curentului în circuit va avea valoarea maximă, la fel şi tensiunile la bornele bobinei şi condensatorului UL=UC>U. Se spune că în acest caz în circuit apar supratensiuni (rezonanţa de tensiune). De fapt pot apare supratensiuni numai dacă:

(4.39)

sau ţinând cont de relaţia (4.38), dacă (4.40)

Termenul are dimensiunea unei impedanţe şi se numeşte impedanţă caracteristică.

Raportul ρ/R=q se numeşte factor de calitate şi el reprezintă de fapt raportul dintre tensiunea de la bornele bobinei sau condensatorului şi tensiunea aplicată circuitului.

În încheierea paragrafului în figura 4.13 se reprezintă variaţia curentului I, a tensiunilor UL şi UC în funcţie de pulsaţia ω.

55

R L

uR uLU uC

C

IRU R

ILjU L 0 ICj

U C 0

1

IU

Page 58: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig.4.13. Variaţia curentului I şi a tensiunilor UL şi UC cu pulsaţia ω, pentru un circuit serie R, L, C.

4.7.2. Rezonanţa paralel (rezonanţa de curent)

Se consideră circuitul paralel (fig. 4.14) R, L, C alimentat cu o tensiune sinusoidală. Prima teoremă a lui Kirchhoff ne permite să scriem relaţia:

sau

Sau sub altă formă:

(4.41)

La rezonanţă , de unde rezultă , adică aceeaşi condiţie ca şi la

rezonanţă serie.

a)

56

ωI

UC

UL

ω0

I0

0

I, UL, UC

R L

IR IL

UIC

C

I

Page 59: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

b)

Fig.4.14. Circuit paralel R, L, C: a) schema echivalentă; b) diagrama fazorială la rezonanţă.

În aceste condiţii curentul prin circuit are valoarea I0=U/R. Diagrama fazorială a circuitului rezonant se prezintă în (fig. 4.14 b). Când laturile verticale ale dreptunghiului (fig. 4.14 b) sunt mai mari decât laturile orizontale: ,

Adică în elementele reactive ale circuitului apar supracurenţi, din acest motiv rezonanţa paralel se numeşte rezonanţa curenţilor.

Supracurenţii apar în circuitele în care există inegalitatea:

(4.42)

Ca şi la rezonanţa serie, se pot induce şi aici noţiunea de admitanţă caracteristică:

(4.43)

şi factor de calitate: q=γ·R (4.44)Admitanţa caracteristică este egală cu raportul dintre curentul din ramura inductivă sau

capacitivă şi tensiunea aplicată la borne, iar factorul de calitate reprezintă raportul dintre curentul din ramura inductivă sau capacitivă şi curentul absorbit de la reţea la rezonanţă.În închiderea paragrafului în figura 4.15 se reprezintă variaţia curenţilor I, IL şi IC cu pulsaţia ω.

Fig.4.15. Variaţia curenţilor IL, IC şi I pentru circuitul paralel R, L, C.

4.8 Aplicaţii:

1. Enumeraţi mărimile caracteristice ale tensiunii (şi curentului) alternativ sinusoidal.2. Cum se defineşte perioada unui curent sinusoidal?3. Cum se defineşte valoarea efectivă a unui curent sinusoidal?4. Cum se defineşte valoarea medie a unui curent sinusoidal pe perioada t?

57

RUI R /

UCjI C 0Lj

UI L0

UI

IL

I=f(ω)

IC

0

I

ωω0

I0

Page 60: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

5. Cum se reprezintă geometric un curent sinusoidal de forma: ?6. Cum se reprezintă în complex un curent sinusoidal de forma: ?7. Care este expresia impedanţei unui circuit serie R, L alimentat cu o tensiune sinusoidală

de pulsaţie ?8. Care este expresia impedanţei unui circuit serie R, C alimentat cu o tensiune sinusoidală

de pulsaţie ?9. Care este expresia impedanţei unui circuit serie R, L, alimentat cu o tensiune

sinusoidală de pulsaţie ?10. În circuitul serie R, L curentul este defazat înaintea sau în urma tensiunii sinusoidale de

alimentare?11. În circuitul serie R, C curentul este defazat înaintea sau în urma tensiunii sinusoidale de

alimentare?12. Care este puterea instantanee într-un circuit monofazat de curent alternativ?13. Cum se defineşte puterea activă într-un circuit monofazat de curent alternativ?14. Cum se defineşte puterea reactivă într-un circuit monofazat de curent alternativ?15. Cum se defineşte puterea aparentă într-un circuit monofazat de curent alternativ?16. Cum se defineşte puterea complexă într-un circuit monofazat de curent alternativ şi care

sunt componentele sale?17. Care este condiţia de rezonanţă într-un circuit serie R, L, C, de curent alternativ?18. Când afirmăm despre un circuit R, L, C, de curent alternativ că este rezonant?19. La rezonanţa unui circuit serie R, L, C, impedanţa este minimă sau maximă?20. La rezonanţa unui circuit paralel R, L, C, impedanţa este minimă sau maximă?21. Un circuit de curent alternativ monofazat este alimentat la tensiunea de 220V şi

frecvenţa de f=50Hz fiind alcătuit dintr-un bec cu rezistenţa R=600Ω, o bobină cu inductanţa L=3H şi un condensator cu capacitatea C=4μF. Se cere să se calculeze:

a) impedanţa Z a circuitului;b) tensiunea la bornele becului UR;c) tensiunea la bornele bobinei UI;d) tensiunea la bornele condensatorului UC;e) diagrama fazorială a tensiunilor;f) defazajul curentului prin circuit faţă de tensiunea de alimentare;g) puterea activă absorbită de circuit;h) puterea reactivă absorbită de circuit;i) puterea aparentă consumată de circuit;j) frecvenţa tensiunii de alimentare pentru care produce rezonanţa.

Soluţie:

a) impedanţa circuitului este: unde sau

XL= , XC=1/Cω, adică

Din Z=

b) unde , deci

c)d)e) Diagrama fazorială a tensiunilor se prezintă ca în fig. 4.16.

58

Page 61: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Fig.4.16. Diagrama fazorială a circuitului serie din problema 21.

f) tanφ= unde φ=13o40’

g) P=I2R=0,3562*600=76,04Wh) Q=I2X=0,3562*(942-796)=18,503Vari) S=U*I=220*0,356=78,32VA

j)

Sau , de unde

59

0UR

U

UC

UL

Page 62: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

CAP 5. CUADRIPOLI ELECTRICI

Un cuadripol este o reţea electrică cu patru borne de acces cu exteriorul, iar laturile interioare nu prezintă cuplaje magnetice cu exteriorul. Cuadripolii pot fi pasivi sau activi după cum nu dispun sau dispun de surse de tensiune electromotoare. În cele ce urmează se vor prezenta numai cuadripolii pasivi.

5.1. Ecuaţiile cuadripolului

Se consideră cuadripolul din fig. 5.1., având bornele de intrare 1-1’ şi bornele de ieşire 2-2’. Se poate demonstra că între mărimile de intrare (U1, I1) şi mărimile de ieşire (U2, I2) există relaţiile:

(5.1)

Fig. 5.1. Cuadripol pasiv

Coeficienţii A, B, C, D sunt mărimi complexe şi se numesc parametrii fundamentali ai cuadripolului. Semnificaţia lor fizică este diferită, A şi D sunt mărimi adimensionale, B are dimensiunea unei impedanţe, iar C are dimensiunea unei admitanţe. Între parametrii (constantele) cuadripolului pasiv există relaţia:

(5.2)numită condiţie de reciprocitate.

Dacă se alimentează cuadripolul pe la bornele de ieşire(fig. 5.2), curenţii I1 şi I2 îşi schimbă sensul, ca urmare ecuaţiile (5.1) devin:

(5.3)

Rezolvate în raport cu U1 şi I1 şi ţinând cont de condiţia de reciprocitate, relaţiile (5.3) devin:

(5.4)

Comparând relaţiile (5.1) cu (5.4) rezultă că inversarea bornelor de intrare cu cele de ieşire corespunde cu inversarea constantelor A şi D în ecuaţiile cuadripolului. Această observaţie permite să afirmăm că se obţine un cuadripol simetric dacă

A=D (5.5)

Fig. 5.2. Cuadripol pasiv alimentat pe la bornele 2-2’.

5.2. Scheme echivalente

Cuadripolul poate fi înlocuit cu o schemă echivalentă care poate fi în T, Π sau Γ(fig.5.3)

60

Page 63: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

a) b) c)Fig. 5.3. Scheme echivalente ale cuadripolului: a) T; b) Π; c) Γ.

Desigur, pentru aceste scheme echivalente interesează relaţia dintre constantele cuadripolului şi parametrii schemelor echivalente. Astfel pentru schema echivalentă în T se pot scrie relaţiile:

(5.6)

Din identificarea relaţiilor (5.6) cu (5.1) se pot scrie relaţiile: (5.7)

sau invers,

(5.8)

5.3. Determinarea constantelor cuadripolului din încercări particulare: mers în gol şi scurtcircuit

Regimurile limită de funcţionare ale cuadripolului permit determinarea constantelor cuadripolului şi ele corespund valorilor limită ale impedanţei de sarcină ZS. Astfel, regimul de mers în gol corespunde lui ZS= iar regimul de scurtcircuit lui ZS=0.

De menţionat că aceste regimuri particulare se realizează astfel încât la mersul în gol, tensiunea secundară să fie tocmai U2, iar la mersul în scurtcircuit, curentul secundar să fie tocmai I2.

La mersul în gol, U1=U10, I=I10 iar I2=0. Astfel din ecuaţiile (5.1) rezultă:

şi , de unde şi .

La regimul de scurtcircuit , iar U2=0. Ca urmare şi

, de unde şi .

5.4. Impedanţa caracteristică şi constanta de propagare a cuadripolului

În primul paragraf al acestui capitol s-a arătat că cuadripolul este caracterizat de patru constante, trei finite independente. Dacă în plus cuadripolul este şi simetric, două constante sunt suficiente. Cele două constante pot fi alese arbitrar, spre exemplu impedanţa caracteristică şi constanta de propagare.

Astfel, impedanţa caracteristică este impedanţa care corectată la bornele de ieşire ale cuadripolului se regăseşte şi la cele de intrare, adică:

(5.9)

Dacă cuadripolul este simetric, adică dacă se poate scrie:

61

Page 64: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

sau (5.10)

de unde

.

Constanta de propagare a cuadripolului simetric se defineşte ca fiind logaritmul natural al expresiei:

(5.11)

Numărul complex se poate scrie şi sub forma:=+j,

unde este constanta de atenuare iar constanta de fază(rotire).Din condiţiile şi rezultă , de unde se

deduc relaţiile:

sau ţinând cont şi de expresia lui , se deduce:

şi (5.12)

Cu acestea, ecuaţiile cuadripolului devin:

(5.13)

5.5. Aplicaţii

1) Ce este un cuadripol electric?2) Scrieţi ecuaţiile unui cuadripol pasiv, specificând semnificaţia fizică a constantelor A, B,

C, D.3) Prezentaţi schema echivalentă în T a unui cuadripol.4) Prezentaţi schema echivalentă în П a unui cuadripol.5) Scrieţi expresiile constantelor A, B, C, D ai unui cuadripol în funcţie de mărimile

caracteristice regimurilor de mers în gol şi scurtcircuit al acestuia.6) Cum se defineşte impedanţa caracteristică a unui cuadripol simetric?7) Cum se defineşte constanta de propagare a unui cuadripol simetric?8) Să se determine constantele fundamentale ale cuadripolului din fig.5.4, precum şi

impedanţa caracteristică şi constanta de propagare.

Fig. 5.4. Cuadripol pasiv cu schemă echivalentă în T

Soluţie:

62

Page 65: CURS baze electrotehnicii.DOC

Bazele electrotehnicii Lectii de curs

Constantele fundamentale ale cuadripolului se determină cu relaţiile:

Impedanţa caracteristică se calculează cu relaţia:

iar constanta de propagare este:

63

Page 66: CURS baze electrotehnicii.DOC

BIBLIOGRAFIE1. Şora, Constantin, Bazele electrotehnicii, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 19822. Răduleţ, Remus, Bazele electrotehnicii. Probleme, vol.1, 2, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 19823. Simion, Emil, Electrotehnică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

19784. Buta, Adrian, Pană, Adrian, Milea, Liviu, Calitatea energiei electrice,

Editura AGIR, Bucureşti, 2001

64