Curs Amenajari Hidrotehnice SI2006 07

- 1 -

Curs de Amenajari Hidrotehnice Dr.-Ing. habil. Ildiko Tulbure, 2006/07

Universitatea "1 Decembrie 1918" Alba Iulia Conf. Dr.-Ing. habil. Ildiko Tulbure

Curs de Amenajari hidrotehnice Semestrul de iarna 2006/2007

CUPRINS 1. Introducere, scopul disciplinei, specificul amenajarilor hidrotehnice 2. Proprietati fizice ale lichidelor

2.1. Densitate, volum specific, greutate specifica, tensiunea superficiala, capilaritatea 2.2. Fenomene de transport, vscozitatea, relatia lui Newton 2.3. Compresibilitate

3. Statica lichidelor 3.1. Starea de tensiune intr-un lichid in echilibru 3.2. Legea hidrostaticii, aplicatii ale legii hidrostaticii 3.3. Forte hidrostatice, Principiul lui Arhimede 3.4. Calculul fortelor hidrostatice si amenajarea de baraje 3.5. Notiuni de aerostatica

4. Cinematica lichidelor 4.1. Notiuni cinematice de baza 4.2. Ecuatia continuitatii

5. Dinamica lichidelor ideale (fara frecare) 5.1. Ecuatia Euler 5.2. Ecuatia lui Bernoulli, aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli

6. Dinamica lichidelor reale (cu frecare) 7. Bazele curgerii turbulente 8. Curgerea reala prin conducte circulare

8.1. Curgerea laminara 8.2. Curgerea turbulenta 8.3. Diagrama Nikuradse

9. Curgerea stationara prin retele hidraulice, calculul retelelor hidraulice Literatura: Tulbure, I.: Amenajari hidrotehnice, foliile de curs, SI 2006/2007, Universitatea "1 Decembrie 1918" Alba Iulia Tulbure, I.: Mecanica fluidelor, Curs, Institutul pentru Mecanica Tehnica, Universitatea Tehnica Clausthal, 2003 Jischa, M.: Mecanica fluidelor, Script al cursului. Institut fr Technische Mechanik, Technische Universitt Clausthal, 1997. Becker, E.: Technische Strmungslehre, Teubner, Stuttgart Diverse manuale de mecanica fluidelor, hidraulica, hidrotehnica

- 2 -


Cap. 1. Introducere, scopul disciplinei, specificul amenajarilor hidrotehnice

Disciplina de amenajari hidrotehnice se refera la comportamentul lichidelor in repaus si in miscare si la actiunea acestora asupra corpurilor solide cu care vin in contact (baraje de apa, retele de alimentare cu apa, termoficare etc.) Pentru studiul acestei discipline este nevoie de cunoasterea legilor de baza de echilibru si de miscare a lichidelor, deci de notiuni de baza din mecanica fluidelor. Mecanica fluidelor studiaza legile de echilibru si de miscare ale fluidelor, precum si ale unui fluid in contact cu o suprafata solida. Disciplina de amenajari hidrotehnice este deci o parte distincta a mecanicii fluidelor. Fluidul este un corp care se deformeaza nelimitat sub influenta fortelor deformatoare (chiar si foarte reduse). Aceasta proprietate se numeste Uproprietatea de fluiditateU.

In timp ce in cazul solidelor sunt necesare forte considerabile pentru a le deforma, in cazul fluidelor aceste forte tind spre 0, in conditiile in care timpul disponibil pentru deformare este suficient de mare.

Corp solid Fluid

)(f = Materia Ucurge U

Caz particular: In general : )(fdtd ==&

Legea lui Hooke:

= ~G

Legea curgerii fluidelor

(analog cu: = ~E

) =& Viteza de variatie a G = Modul de elasticitate tr. unghiului de deformare E = Modul de elasticitate long. Unde intalnim in practica asemenea cazuri ? Exemple:

~k64=

F

F (Forta)

A = suprafata

atangential tens. == AF

- 3 -


PRESA HIDRAULICA CURGEREA PRIN CONDUCTE, CANALE, COTURI, DIAFRAGME etc. CURGEREA PE LANGA CORPURI SOLIDE

u B A

BZona moarta

L x

Intereseaza: distributia vitezei sau campul vitezelor, distributia presiunii de-a lungul profilului, forte arhimedice, forte de frecare

Intereseaza: distributia vitezei in sectiune, piederi de presiune longitudinale si locale

p B2

p B1 AB2

F B2B

h

F B1

AB1

Intereseaza: presiunea pB2 B, efectul de amplificare datorita variatiei de sectiune

l BiB

lam. turb.

u r d xu

- 4 -


TURBINA Exista numeroase situatii in care fluidele se gasesc in amestec cu alte substante, cu particule solide, sau lichidele se afla in amestec cu gaze sau cu particule solide. Exemple: apa cu nisip (transport hidraulic), apa cu alte lichide (ulei, benzina, ape poluate reziduale etc. ), apa cu aer, etc. curgeri multifazice. Alt exemplu: distributia poluantilor in atmosfera, aplicatii in ingineria mediului. In multe situatii exista si schimb de caldura si de materie. Exemple: curgerea printr-o conducta incalzita sau racita (schimbatoare de caldura), curgerea de-a lungul unei placi plane racite sau incalzite (laminarea otelului, turnarea sub forma de tabla) Descrierea curgerii se face cu ajutorul vectorului viteza v (u,v,w), a presiunii p, a densitatii si a temperaturii T. Coord. independenta: vectorul de pozitie x (x,y,z) si timpul t . Cautate: u,v,w, p, ,T = f (x,y,z,t) - 6 necunoscute Ecuatii la dispozitie: 6 : ec. continuitatii, ec. de miscare, ec. energiei, ec. de stare. Disciplina studiata se bazeaza pe notiuni de baza din mecanica fluidelor. Clasificarea mecanicii fluidelor: Dupa continutul studiului:

- fluidostatica studiaza repaosul fluidelor: hidrostatica, aerostatica

Intereseaza: forta de actiune a apei asupra peretilor barajului, puterea turbinei

x

z

y

. PV (u,v,w)

(2)

H

(1)

z

F

- 5 -


- fluidodinamica studiaza miscarea fluidelor: hidrodinamica, aerodinamica Dupa obiectul de studiu:

- mecanica lichidelor (hidromecanica) - HIDRAULICA - mecanica gazelor (aeromecanica) - PNEUMATICA

Hidraulica studiaza legile de echilibru si miscare ale lichidelor, in special curgerea lichidelor in contact cu suprafete solide (curgerea prin conducte etc.). Pneumatica studiaza legile de echilibru si miscare ale gazelor, in special curgerea gazelor in contact cu suprafete solide (curgerea prin conducte etc.) sau la viteze mari (aplicatii in aviatie si aeronautica). Metoda de studiu in mecanica fluidelor consta in stabilirea ecuatiilor diferentiale care guverneaza fenomenele studiate (elaborarea de modele matematice), solutionarea analitica sau cu metode numerice (metoda Euler, a elementelor finite, ... ) a acestora, efectuarea de simulari si validarea experimentala. Acestea din urma au scopul imbunatatirii sau corectarii modelelor matematice elaborate initial. Modelele matematice au la baza modele simplificate ale fluidului: - modelul Euler fluidul perfect lipsit de vascozitate - modelul Pascal fluidul incompresibil (lichidele) - modelul Newton fluidul vascos, care respecta legea lui Newton Fluidul perfect: continuitatea masei, mobilitate perfecta (vascozitate nula), incompresibilitate, izotropie. Fluidul real: discontinuitati, vascoase, compresibile, anizotrope. Fluiditatea lichidelor si gazelor se datoreaza mobilitatii foarte mari a particolelor de fluid. Proprietati comune ale lichidelor si gazelor: sub influenta greutatii proprii iau forma vasului ce le contin se reunesc (apa cu apa, aer cu aer) instantaneu in momentul punerii in contact Diferente intre lichide si gaze din teoria cinetico-moleculara LICHIDE: agitatie termica redusa forte de respingere electrostatice mari compresibilitate redusa spatii intermoleculare reduse forte de coeziune mari vascozitate mare

expansibilitate redusa GAZE: agitatie termica intensa forte de respingere electrostatice reduse compresibilitate mare spatii intermoleculare mari forte de coeziune reduse vascozitate redusa

expansibilitate mare

- 6 -


Cap. 2. Proprietati fizice ale lichidelor

2.1. Densitate, volum specific, greutate specifica, tensiunea superficiala, capilaritatea

a) Densitatea = masa unitatii de volum Pentru corpuri omogene:

Vm=

Pentru corpuri neomogene:

dVdm

Vm

V=

= 0lim ; [ ]

mSI 3kg=

Densitatea este o marime punctuala pentru ca depinde de coordonatele spatiale si de timp ),,,( tzyxf= In practica se lucreaza des cu densitatea medie:

=V

m dV Densitatea creste cu cresterea presiunii si scade cu cresterea temperaturii. Legile de variatie utilizeaza un coefficient de dilatare volumica izobara si un coeficient de compresibilitate izoterma.

Exceptie: apa: Ctpentrumkg

apa == 41000 3max La gaze densitatea rezulta din ecuatia de stare a gazelor perfecte:

TRp=

Clasificarea mecanicii fluidelor: Statica fluidelor Dinamica fluidelor

Hidromecanica ( ).konst= incompresibil

Hidrostatica Hidrodinamica

Aeromecanica ( )konst compresibil

Aerostatica Aerodinamica Gazodinamica

b) Volumul specific= volumul unitatii de masa Pentru corpuri omogene:

mVv =

Deci: 1=v Unitatea de masura: [ ]

kgv SI

3m=

Volumul specific scade cu cresterea presiunii si creste cu cresterea temperaturii. c) Greutatea specifica= greutatea unitatii de volum

gV

mgVG === Unitatea de masura [ ]

mSI 3N=

- 7 -


Greutatea specifica se comporta ca si densitatea. Datorita lui g, greut. specifica depinde de latitudine si altitudine.

Ex.: 33 98101000 m

Nmkg

apaapa ==

33 77,112,1 mN

mkg

aeraer == d) Presiunea

Def. AFp

A =

lim 0 ; [ ]

m 2N

p =

Presiunea poate fi absoluta si relativa. Unitati de masura utilizate frecvent:

In SI: Pascal: m 2N1Pa1 =

bar: == hPa

mbarNbarm 1000

1000101 25

Atmosfera tehnica: barNkpatmcm

981,0101,9811 23

2 === Atmosfera fizica:

m 25 N10013,1mmHg760Torr760atm1 ===

e) Tensiunea superficiala = forta tangentiala exercitata pe elem. de lungime din suprafata de separare a 2 faze fluide, actionand perpendicular pe elem. de lungime (perpendiculara situata in planul de separare) si masurata dupa normala la unitatea de lungime. Def.: se numeste tensiune superficiala expresia:

dndF

nF

n=

= 0lim UM: [ ]

mSIN=

Cand se manifesta intre doua fluide tensiune superficiala. Cand se manifesta intre un fluid si un perete solid aderenta (adeziune). Ex.:

mCaerapa

N072,020, =

m F F

F BRB

p

F n

- F

BF forta BA - suprafata

- 8 -


Orice lichid are tendinta de a-si forma o supr. libera de arie minima. Exemplu. Tens. superficiala se manifesta numai in suprafete libere curbe, suprafete libere plane fiind caracterizate de echilibrul fortelor nu prezinta fen. de tensiune superficiala. Exemple cu suprafete libere a trei fluide diferite si a doua fluide diferite cu o suprafata solida.

f) Capilaritatea = este fenomenul de ridicare sau coborare fata de planul manometric a unui lichid situat intre doua placi foarte apropriate sau in tuburi cilindrice cu diametre reduse (tuburi capilare).

cos2)( 12212 = rrpp hpp = )( 1212

rh

cos212

12 = Relatia lui Borelli-Jurin

Cu cat r este mai mic cu atat h este mai mare. cos indica sensul denivelarii. Caz particular: formarea picaturilor

2.2. Fenomene de transport, vscozitatea, relatia lui Newton

g) Fenomene de transport Sunt caract. sistemelor care nu se afla in echilibru si constau intr-un transfer ordonat de materie, energie sau impuls, amorsat de neuniformitatea sistemului si actionand in sensul anularii neunif. si readucerii sistemului in echilibru.

V = const. m const. (pt. konst.) nBjB = vectorul normalei la supr. A.

x

Pierd. Prod.

h

r

Ex.: apa-sticla alcool-metal

B12B

- 9 -


- Difuzia masica se datoreaza unei neunif. de concentratie sau densitate. - Conductia termica se datoreaza unei neunif. de temperatura - Transfer de impuls - vascozitatea h) Vascozitatea = propr. fluidelor de a se opune deformarilor fara modificari de volum, dezvoltand eforturi unitare tg. de frecare manifestate intre straturile de fluid in deplasare relativa si concretizate prin forte de frecare, ce accelereaza straturile cu viteza redusa , franandu-le pe cele cu viteza mare. Datorita fortei de frecare o parte din energia miscarii este transferata in caldura fiind disipata ireversibil in mediul exterior. Transferul ordonat de impuls se realizeaza datorita vascozitatii, amorsat de o neuniformitate de viteza.

Legea curgerii (legea frecarii) se studiaza cu ajutorul Curgerii Couette

Conditia de aderenta la perete: ( ) 00yu == ( ) Uhyu == Distributia vitezei este liniara Drumul parcurs de marginea superioara in dt: ( )dtduu + Drumul parcurs de marginea inferioara in dt: u dt

( ) dtdydu

dyudtdtduud =+=

dydu

dtd ==&

Viteza de variatie a unghiului de deformare = Gradientul vitezei!

Legea curgerii este o propr. de material;

De cele mai multe ori insa liniar: dydu

dtd == NewtonluiLegea

h

u(y)

y

x

UU F

dy

u + du

u dtu

UTimp t UTimp t + dt d

- 10 -


Hid

roge

n A

er

Ben

zina

A

pa

Sang

e

Ule

i mas

line

Glic

erin

a V

azel

ina

Asf

alt d

e st

rada

Prin aceasta relatie este definit coeficientul de vascozitate dinamica : [ ]

smkg

msN

=== 2Supr

Timp Forta

2msN11PlPoiseuille 1 ==

2msN1,01PPoise 1 ==

Coeficientul de vascozitate cinematica: =

[ ]s

mkgm

smkg

23

==

s

m10s

cm11StStokes 12

42 ===

Densitatea si vascozitatea apei si aerului la temperatura de 20C si presiunea de 1 bar (valori

aproximative): Fluid

3m

kg

[ ]sPa

s

m2

BApaB 1000 1000 610 1 610 Aer 1,2

18 610 15 610 Vascozitatea dinamica pentru dif. medii la 20C si 1 bar (ordin de marime):

10P-5 P10P-4 P10P-3 P10P-2P 10P-1P 1 10P1P 10P2P 10P3P 10P4P Fluide newtoniene: respecta legea lui Newton &~ Fluide nenewtoniene: ex. suspensii, paste, vopsele de ulei, maioneza, polimeri, ...

Fluid pseudoplastic

Fluid newtonian

Fluid dilatant

dydu=&

- 11 -


Fluide pseudoplastice: Viscozitatea scade cu cresterea tens. tg., de ex. suspensii, solutii, polimeri

Fluide dilatante: Viscozitatea creste cu cresterea tens. tg., de ex. paste. Situatii mai complexe: ( )timp de si &= : Fluide tixotrope: creste in timp Fluide reopexe: scade in timp Fluidele nenewtoniene joaca un rol foarte important in tehnologia producerii materialelor plastice. Vascozitatea variaza cu temperatura si cu presiunea: )p,T(= , existand relatii empirice de variatie pentru lichide si gaze.

Cum se poate explica aceasta diferenta dintre gaze si lichide?

Structura moleculara a materiei (Microstructura) este dominata de doua fenomene: a) miscarea moleculara dezordonata (Browniana) datorita energiei termice b) fortele intermoleculare (in spatiul catorva diametre moleculare) Interactiunea dintre a) si b) determina starea de agregare:

Gazoasa Lichida Solida a >> b b a a

- 12 -


Viteza sunetului c = viteza de distributie/deplasare a undelor de soc. Exemplu: intr-o conducta se produce o unda de soc (de presiune). Aceatsa se deplaseaza cu viteza sunetului.

ddpc =2 Formula de definitie a vitezei sonice

Viteza sunetului c este definit ca raportul dintre variatia presiunii si variatia densitatii. Ea este o masura a compresibilitatii unui fluid. Caz limita: fluid incompresibil: cd :0 Intrebare: cum se poate calcula d

dp ?

Socuri de unda slabe se transmit isotrop !

sddpc

=

2 cu k

Oopp

=

pkkppc k

ko

ok

ko

o === 12

TM

kTRkpkc ===

Concluzie: M

cTc 1;

R Constanta specifica a gazului - Constanta absoluta a gazului

M - Masa molara

du p + dp +d

u = 0 p

Frontul undei de soc

Repaus c

Socul de unda se transmite cu viteza. c prin mediul aflat in repaus; observatorul este in repaus.

UFenomen instationar

p + dp +d p

Frontul undei de soc in repaus

- c

Dupa suprapunerea vitezei c frontul undei de soc se afla in repaus; observatorul virtual aflat pe unda de soc inregistreaza mediul nedisturbat deplasandu-se catre el cu viteza c

UFenomen stationar

- c + du

- 13 -


(Pentru aer cu M = 29 g/mol este c = 347 m/s la T = 300 K).

Se defineste:

cuMa = Numarul lui Mach =

Numarul Ma este un numar caracteristic foarte important pentru descrierea formei de curgere a fluidelor compresibile.

Clasificarea curgerilor dupa numarul Ma:

Ma 1 : Supersonica

Ma >> 1 : Ultrasonica

Viteza de curgere

Viteza sunetului

- 14 -


Un lichid in echilibru este solicitat numai de forte de presiune ( pe suprafata). Daca fortele nu sunt perpendiculare (normale la suprafata) lichidul curge (sub influenta fortelor tangentiale).

Cap. 3. Statica lichidelor

3.1. Starea de tensiune intr-un lichid in echilibru

Observatie:

Fortele care actioneaza asupra unui lichid sunt: - forte exterioare - forte interioare In situatia de echilibru suma fortelor exterioare este egala cu 0. Pentru a studia actiunea fortelor interioare, acestea sunt transformate prin metoda sectiunii imaginare (Cauchy) in forte exterioare, utilizand apoi ecuatiile de echilibru ale fortelor. Fie un corp de o forma oarecare sectionat prin suprafata imaginara A in doua parti, contributia partii 1 si a fortelor exterioare aferente la echilibrul partii 2 concreti-zandu-se prin forta F pe suprafata infinitezimala A. Definitii:

dAdN

AN

A=

=lim0

- efort unitar normal

dAdT

AT

A=

=lim0

- efort unitar tangential

.

N = proiectia lui F pe directia normala la A T = proiecta lui F pe directia cuprinsa in A si apartinand planului det. de F si N.

N F

Prod.

T A

(1)

(2)

A

FB1B

FB2B

FB3B

FBnB

...

- 15 -


In conditii de echilibru absolut (inexistenta deplasarilor relative ale straturilor de fluid):

FNT === 00 Rezulta: dA

dFp == - presiune fluidostatica

Acest rezultat evidentiaza faptul ca presiunea p reprez. un efort unitar normal de comprimare .

Presiunea hidrostatica p intr-un punct intr-un lichid in echilibru nu depinde de orientarea suprafetei, ci are aceeasi valoare dupa toate directiile. Demonstratie: Cu aplicarea principiului solidificarii se separa un volum avand forma unei prisme dintr-un fluid in repaus:

3.2. Legea hidrostaticii, aplicatii ale legii hidrostaticii Conditii generale privind hidrostatica:

0u =r Densitatea ;t)xf(

r

P By

P

P Bz G

z s

y

x = Lungimea prismei

In directia lui y: 43421z

y cossxpzxp

=

pBy B= p

In directia lui z:

zyxg21sinsxpzxp

yz +=

43421

zg21pp z +=

Daca: z = 0: pz = py = p

- 16 -


( ) gz-pzp 0=

Deoarece: 0u =r = const

Sistemul de coordonate poate fi ales in diferite pozitii : zB0B = 0

Consecinte:

a) In puncte de aceeasi adancime presiunea hidrostatica este aceeasi. b) Presiunea hidrostatica creste liniar cu adancimea.

Aplicatii ale legii hidrostaticii

Exemplul 1: Paradoxul lui Pascal (hidrostatic)

Forta de presiune care actioneaza de sus in jos este egala in toate cazurile, deoarece A si h raman constante in toate cazurile ! Rezulta ca si forta de sustinere F de jos in sus este egala in toate cazurile.

z=zB0B=0

z=zB1B

z p(zB0B)=p B0

G

A

p(zB1B)

!0K = r

( ) ( ) ( ) 0zzgAAzpAzp 100 =

Legea hidrostaticii

h

F F F F

A A A A

- 17 -


110A ghpp +=

Exemplul 2: Principiul vaselor comunicante

In vase umplute cu acelasi fluid omogen si care

comunica in partea inferioara unele cu altele

suprafetele libere se afla la aceeasi inaltime.

Exemplul 3: Tub U umplut cu 2 fluide diferite, care nu se amesteca si care au densitati diferite.

(aici: B2B < B1B)

tubul din stanga:

tubul din dreapta:

1

2

2

1

hh

=

Exemplul 4: Presa hidraulica

1

11 A

Fp =

2

22 A

Fp =

ghpp 12 += d.h. ghAF

AF

1

1

2

2 +=

( )[ ]211

22 ghA FA

AF +=

Daca h = 0 atunci 12 pp = (presiunea se transmite cu egala intensitate in toata masa lichidului)

220A ghpp +=

p B2

p B1 AB2

F B2B

h

F B1

AB1

h1 h B2

p0

E E

p BA p BA

B1

B2

UAlte exempleU: Amplificatoare hidraulice, cricuri hidraulice etc.

- 18 -


Exemplul 5: Tubul manometric U

Diferenta de presiune:

hgpp MG = 0

Exemplul 6: Manometrul Prandtl

( )hhgpp 2112 ++= hAhA 2211 = h

AA1gpp 1

2

112

+=

Exemplul 7: Manometrul "Betz"

Exemplul 8: Barometrul

Presiune absoluta, deoarece p Bi B=0: p Ba B=BFBgh a) Apa h = 10m

b) Mercur h=0,76m

hg 1= 0ptr AA

2

1

M

p B2

p B1

L

AB2

AB1

)1(981,010981,01081,91000 25

23 atbarmNmmkgp

sm====

1atm)760Torr(bar 013,110013,1

76,081.913600

25

23

====

=

mNp

mmkgpsm

Rezervor

p BG

pB0

h pBG

Lichidul manometric BM B

p B2

p B1

h B1 h B2

(pB2B=p B1B)

AB1

AB2

h

Bl B

p Ba

pBiB=0

- 19 -


3.3. Forte hidrostatice, Principiul lui Arhimede

Fortele hidrostatice sau fortele de presiune sunt forte exercitate de lichide asupra peretilor solizi. Acestea sunt forte repartizate, actionand pe suprafetele solide si fiind dirijate dinspre fluid catre corpul solid. In cazul suprafetelor plane sau a suprafetelor ce admit un centru sau o axa de simetrie, fortele de presiune se reduc la o rezultanta unica. In cazul suprafetelor curbe oarecare fortele de presiune se reduc fie la 2 forte actionand in planuri diferite, fie la o forta si un moment (torsor). Legea (principiul) lui Arhimede (portanta statica)

Demonstratie:

Bilantul fortelor in directie verticala:

Aplicatii: plutirea corpurilor, constructia vapoarelor, submarinelor etc.

Observatie: Exista si portanta aerodinamica, fapt care ajuta la zborul avioanelor.

BLegea lui Arhimede (~250 i.e.n.) gVFA l=

B1

B2

dA h

p B1BdAB1

p B2BdAB2

111222A cosdApcosdApdF =ghdA)( l12 == dApp

)coscos .( 2211 dAdAdAcapt ==

gVF

ghdAdFF

AVAA

AA

l

ll

gdV

====

- Portanta

- 20 -


Aplicatii ale legii lui Arhimede 1. Determinarea volumului unui corp prin cantarire

In cazul corpurilor cu forme neregulate pentru care nu exista relatii analitice de

calcul a volumului, determinarea volumului se poate face comparand rezultatul

cantaririi corpului in aer si in apa:

)( aeraer VgG = )( apaapa VgG =

)( aerapaapaaer VgGGG == )( aerapagGV

=

2. Plutirea corpurilor

Intre greutatea corpului si portanta pot exista urmatoarele relatii:

G > P - corpul iese din repaus, fiind antrenat intr-o miscare de scufundare

G = P - echilibru indiferent la orice adancime (plutire de adancime) - submarine

G > P - plutire de suprafata - corpul pluteste in stare partial scufundata -

vapoarele

Conditia de plutire este: 0,

=+ AFG , F BAB' - portanta volumului de lichid dizlocuit de partea corpului scufundata in lichid.

- 21 -


3.4. Aerostatica

In opozitie cu hidrostatica, in cazul aerostaticii densitatea nu mai este constanta. Legea hidrostaticii ( gzpp 0 = ) nu se mai poate aplica sub aceasta forma. Bilantul fortelor:

Prin integrarea legii aerostaticii:

se poate obtine legea de variatie a presiunii in functie de inaltime cunoscand

variatia densitatii cu presiunea, deci cunoscand legea de transformare a gazului.

Exemp1e: a) Transformarea izoterma T=TB0B=const

Ecuatia de stare: RTp = RTp1

1 =

Atmosfera izoterma

Formula altimetrica:

Formula barometrica:

p(z) (z) T(z) (z) Suprafata Pamantului

p B0B; B0B; TB0 z = 0

p+dp

z

p

g

dz

dA

(z)gdzdAdA)dpp(pdA ++=

g)z(dzdp =

ULegea aerostaticii

? f(p)(z)dp

g1dzz

dz(z)dp

g1

z

0

z

0===

=

oHz

ep

zp ==00

(z))(

gRTH ;

p)z(plnHz 00

00 == HBoB - Inaltimea atmosferei uniforme

- 22 -


b) Transformarea adiabata: entropie constanta

Pentru un gaz ideal se poate scrie legea transformarii adiabate:

: = 1,4 coeficientul adiabat

Ecuatia de baza:

Variatia presiunii in atmosfera adiabata: Variatia densitatii si temperaturii in atmosfera adiabata:

T(z) variaza deci liniar cu inaltimea: 0

0

HT

1const

dzdT ==

c) Atmosfera politropa: exact ca in cazul transformarii adiabate doar coeficientul trebuie inlocuit cu n.

politrop ulCoeficientn 0

0 === const

pp

nn

Cazuri speciale:

constp == 00

p

=z

0 dp

g1z

gRT

pp

Hz

0

0

00

1

00 g

pHcu 11

==

=

1

00 Hz

11

p)z(p

=

0

1

00

11

0

1

00 Hz

11

pp

TT(z) ;

Hz

11

pp

(z) =

=

=

=

==m

KmK

1001normala stareapentru 01,0

standard Atmosfera 1,235nizoterma Atmosfera 1nadiabata Atmosfera n

===

- 23 -


0,6

0,8

0,4

0,2

Atmosfera politropa este atmosfera reala. Distributia presiunii este valabila pana la o inaltime de cca. 11 km 1

10 20 30 40 50 z [km]

Atmosfera standard: Atmosfera politropa pana la cca. 11 km:

p BoB = 101325 N/mP2P, BoB = 1,225 kg/mP3P, TBoB = 288,15 K, g = 9,8067 m/s P2P, n = 1,235 HBoB = 8434 m, dT/dz = - 0,0065 K/m.

3.4. Calculul fortelor hidrostatice si amenajarea de baraje

Forta de presiune (F BpB) exercitata de un lichid pe o suprafata plana (care se

mai numeste si forta hidrostatica) este data de produsul dintre presiunea relativa din centrul de greutate al suprafetei si aria suprafetei respective.

F BpB = p BGB.A [N], unde p BGB presiunea relativa din centrul de greutate al

suprafetei A

10

0

-20

-40

-60

Densit

-80 Pres

0

00 ;

pp

t [C]

Politrop

Temperatura

- 24 -


pzpypx FFF ++=pF

Se evidentiaza din nou Paradoxul lui Pascal (hidrostatic), deoarece este clar ca forta de presiune nu depinde decat de presiunea relativa din centrul de greutate si de aria suprafatei pe care actioneaza.

Forta de presiune este independenta de forma, volumul si masa lichidulu, de aceea se numeste paradoxul hidrostatic. Daca ariile AB1B = AB2B = AB3B = AB4 B, iar presiunea relativa este aceeasi pentru ca inaltimea h este egala in toate cazurile,

atunci si forta de presiune F Bp B = pP.PA este aceeasi in toate cazurile. Modul de calcul al fortei de presiune este important de cunoscut in cazul amenajarilor de baraje, pentru a putea stabili in mod corespunzator materialul din care sa fie confectionat barajul, care sa aiba o rezistenta maxima admisila corespunzatoare, pentru a nu fi distrus de tensiunea exercitata in peretii barajului de catre forta de presiune. Acesta este cel mai important lucru la amenajarile de baraje. In general, in cazul suprafetelor curbe deschise scufundate intr-un lichid in echilibru, fortele de presiune se reduc la doua componente orizontale si una verticala. Componentele orizontale (F BpxB si FBpy B) sunt egale cu produsul dintre presiunea relativa din centrul de greutate al proiectiei suprafetei pe planul normal la directia fortei si aria acestei proiectii. Componenta verticala (FBpzB)este egala cu greutatea lichidului din volumul delimitat de suprafata curba si proiectia ei pe verticala la suprafata libera. Daca suporturile componentelor prezinta un punct de concurenta, cum este cazul normal, atunci modulul rezultantei va fi:

h F BpB Fp F BpB F Bp B

AB1B AB2B AB3B AB4B

ghp =

- 25 -


Cap. 4. Cinematica lichidelor 4.1 Notiuni cinematice de baza Cantitate/volum de lichid inchis Particule de lichid (imagine fictiva) Parametrii cinematici de baza: vectorul de pozitie, viteza, acceleratia

Descrierea miscarii particulelor de lichid: dupa metoda Lagrange (reprezentare legata de particulele de fluid) dupa metoda Euler (reprezentare legata de spatiu)

Notiunea de camp

p , , T , = f (x, y, z) are componentele u, v si w.

Notiuni: Traiectorie, linie de curent,

tub de curent, fir de curent

In 3 dimensiuni u, v, w, p, , T = f(x, y, z, t) In 2 dimensiuni w = 0 f(x, y, t) In 1 dimensiune v = w = 0 f(x, t) (Teoria firului de curent)

Curgere: - Instationara (dependenta de timp si spatiu) - Stationara (dependenta numai de spatiu)

4.2 Ecuatiile de baza ale teoriei unidimensionale Bilantul masic (Ecuatia continuitatii): Debitul de lichid este constant !

Debitul masic (QBmB) este constant, adica:

Pentru curgerea incompresibila debitul

volumic (QBv B) este constant, adica:

z

x y

u B1

AB1 AB2

u B2 uA=const.

uA=const.

v (xB2B,yB2B,zB2B)

v (xB3B,yB3B,zB3B)

v (xB1B,yB1B,zB1B)

v (xB4B,yB4B,zB4 B) v

v

- 26 -


Exemplu: Sa se calculeze viteza de curgere u a apei printr-o conducta avand diametrul d = 5 cm, stiind ca debitul masic de apa prin conducta este de 120 kg/min. si densitatea apei BaB = 1000 kg/mP3P. A = d P2P/4 QBm B= d P2P/4 Ba Bu u = 4 Q Bm B/ Ba B d P2

u = 4(120/60) / 3,14 1000 (5 10P-2 P) P2P u 1 m/s

QBm B= Ba BuA

du

- 27 -


Cap. 5. Dinamica lichidelor ideale

5.1. Ecuatia Euler

Este o ecuatie a fortelor, obtinuta din Legea de baza a lui Newton: Masa x Acceleratie = Suma fortelor care actioneaza asupra corpului

(volumului de fluid)

Fortele care actioneaza: forta de presiune si forta de greutate

5.2. Ecuatia lui Bernoulli, aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli:

sonde de masurare Ecuatia lui Bernoulli pentru curgeri stationare (marimile nu variaza in functie de timp) si incompresibile (densitatea constanta) Ecuatia lui Bernoulli reprezinta ecuatia de conservare a energiei pentru sisteme hidraulice: energia intr-un sistem hidraulic se conserva, adica suma diferitelor forme de energie (energia cinetica, energia de presiune, energia potentiala) este constanta: Impartind cu m se obtine :

BEcuatia lui Bernoulli

Exista diferite moduri de exprimare a ecuatiei lui Bernoulli:

In termeni de energie specifica: Cgzp2

u2 =++ [J/kg]

In termeni de presiune: Kgzpu2 2 =++ [N/mP2P]

In termeni de inaltime: kzgp

g2u2 =++ [m]

konstgzp2

u 2 =++

konstmgzpVmu =++2

2

- 28 -


Ecuatia continuitatii

Ecuatia lui Bernoulli

Recapitulare: Ecuatiile de baza ale hidraulicii, care sunt de fapt ale mecanicii fluidelor in situatia curgerilor incompresibile, stationare, unidimensionale:

Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli Exemplul 1: Formula de scurgere a lui Torricelli

Conditie: AB1B>>AB2 u B1B

- 29 -


Exemplul 3: Presiunea in punctul de impact (aici, energia potentiala nu se modifica, curgerea fiind orizontala)

tppupu =+=+ 2222 22

Presiunea in punctul de impact = presiunea statica + presiunea dinamica = presiunea totala

De multe ori termenul de inaltime se poate neglija, sistemele fluidice fiind pozitionate orizontal. Ecuatia lui Bernoulli are forma:

Exemplul 4: Sonda Pitot

pBt B- pBo B= ghppu M =+ 022

Exemplul 5 : Sonda Prandtl

quppt == 22

Presiunea dinamica: q = p BdinB

ghup Mdin == 22

u B B = u

p B B=p

p B B=p pBt B

BM

konstppu t ==+22

ghu M2=

= 0

u B p B h

M

p BtB

p BoB

h

(2) uB2B=0 u B B p B B (1)

- 30 -


Ex.: BMB = 10 P3 3mkg P (Apa) = 1,25 P 3mkg

P

(Aer) hsm

mkgmkgu =

23

3381,9

25,1102

Aproximativ: mm

h4mh104

smu 3 ==

Pentru

Exemplul 6 : Tubul Venturi

Ecuatia lui Bernoulli:

22

212

1 pu2pu

2 +=+ Ecuatia continuitatii:

u B1 BAB1B=u B2 BAB2 B Rezulta:

12

12 uA

Au =

== 1

AAu

2ppp

2

2

12121

Prin masurarea diferentei de presiune rezulta viteza u B1B:

=1

AA

p2u2

2

1

1 (ideal)

Diferenta de presiune se poate masura cu un manometru umplut cu un lichid cu

densitatea BMB. Atunci diferenta de presiune este: ghp M= Debitul este: QBvB = 11AuV =&

(1) u B1B (2) u B2 D p B2 p B1

smuatmmapa

smuatmmapa

smuatmmapah

400:1:10

40:10:100

4:10:1

4

2

4

==

==

- 31 -


5.3 Puterea unei masini hidraulice (Deducerea ecuatiei lui Bernoulli dintr-un bilant energetic)

PBM B = Puterea utila (puterea mecanica) a masinii

dW = lucrul mecanic transferat de la masina la lichid (sau invers) in timpul dt

PBM B> 0 : Pompa (dW este transferat lichidului in dt)

PBM B < 0 : Turbine (dW este cedat de lichid in dt) Principiul termodinamicii: dE=dWBtotalB

Variatia energiei totale = lucrul mecanic efectuat de lichid (sau asupra lichidului) in timpul dt

Se considera un volum inchis de lichid:

Lucrul mecanic efectuat asupra lichidului este :

dWBtotal B= dW + p B1BAB1Bu B1Bdt - pB2BAB2Bu B2Bdt

= Lucrul efectuat de pompa + lucru mecanic de deplasare

Variatia energiei totale:

dE = - ( AB1Bu B1Bdt)gzB1 B+ ( AB2Bu B2Bdt)gzB2 B- ( AB1Bu B1Bdt)uB1PB2 P+ ( AB2Bu B2Bdt)uB2PB2 2211 AuAuV ==&

( ) ( ) dtzzgVdtuuVdE += 1221222 &&

AB2

H zB2 u B1Bdt u B1

AB1 zB1

PBM = dt

dWB

u B2Bdt u B2B

- 32 -


++

++== 11212222M gzpu2gzpu2VPdtdW &

Pentru PBMB=0 Ecuatia Bernoulli !

Cazuri speciale : a) p B2 B= p B1 B, AB1 B= AB2B u B2 B= u B1B

( ) HgmHgVzzgVPM === &&& 12 H = inaltimea de pompare

b) zB2 B= zB1 B; cu pup t += 22

( )12 ttM ppVP = &

Randamente: P BM B= puterea mecanica (hidraulica); P = puterea la arbore

Pompe Turbine

PPM

P = M

T PP=

P > PBM B |P| < |PBM B| (Compresor, Ventilator)

Exemplu: Turbina

z

(2)

H

(1)

- 33 -


0u ,0u 21 p B1B=p B2B

( ) ( )

MWPP

MWHgVP

zzgVzzgVP

MT

M

H

M

96,0

2,1

2112

====

==

&

43421&&

H = 20m BT B= 0,80 s

mV 36=& = 10 P3 3mkg P g = 10 2sm

- 34 -


Cap. 6. Dinamica lichidelor reale (cu freare)

Se mai numeste si curgerea in stratul limita. Influenta frecarii in ex. unei placi plane pe care curge un fluid

Campul curgerii se poate imparti in doua zone:

1. Domeniul curgerii exterioare, care se poate considera ca fiind fara frecare dinamica fluidelor ideale 2. Domeniul curgerii interioare, in apropierea peretelui, care este cu frecare teoria stratului limita

6.1 Forta de frecare in curgerea plana

Intrebari: De ce depinde frecarea dintre fluid si placa? Care este forta de frecare?

=xuRex = numarul lui Reynolds

b = latimea placii

y Domeniu lipsit de frecare (mai

u BoB departat de placa) u (x, y) (x) = grosimea stratului limita u BoB F Bf BDomeniu cu frecare (apropiatB Bx B B de placa) = Strat limita x

Distributia vitezei in stratul limita - simplificat se considera un profil liniar

xu

x ~u

x3,46(x)sau 122

==

(x)y0 )(

),(

=pentru

xyuyxu o

- 35 -


limita stratului Grosimea Re

46,3)(

xxx =

Obs.: Apa Aer

In practica stratul limita este de cele mai multe ori foarte subtire

deoarece Re>>1, ceea ce inseamna !1x

)x(

- 36 -


6.2 Desprinderea liniei de curent de suprafata solida Cand se ajunge la situatia desprinderii liniei de curent de suprafata solida? Numai in cazul in care tensiunea tangentiala la perete este zero, atunci

se poate desprinde lichidul de suprafata solida.

Exemplu: situatia desprinderii liniei de curent in cazul unui profil de aripa la avioane, mori de vant, vapoare etc. Concluzie: desprinderea liniei de curent de suprafata solida duce la aparitia asa-numitei zone moarte, care este o zona foarte periculoasa. Zona moarta apare independent de existenta frecarii intre solid si lichid, deoarece in anumite situatii frecarea nu poate mentine contactul intre cele doua suprafete. Influenta frecarii se face simtita indeosebi in cazul curgerilor langa pereti solizi in conducte, in canale, pe placi etc., ducand la pierderi longitudinale de presiune. Datorita schimbarilor bruste de traseu si de sectiune apar pierderi suplimentare de presiune, numite pierderi locale de presiune.

6.3. Pierderi longitudinale de presiune datorita frecarii Se considera o conducta cilindrica cu raza R si viteza de curgere u. Presiunea la intrare este p B1B, la iesire p B2B, iar caderea de presiune de-a lungul conductei datorita frecarilor dintre lichid si peretii solizi ai conductei este p si se numeste pierdere longitudinala de presiune. Pentru a dimensiona corespunzator retelele hodraulice si hidrotehnice, trebuie sa se calculeze cu exactitate pierderile de presiune din retelele hidraulice.

u B A

Zona moarta

p B1B p B2B p

- 37 -


Pierderile longitudinale de presiune se calculeaza dupa urmatoarea relatie: 2

2 mu

Dlp = Relatia Weissbach-Darcy

unde este coeficientul de rezistenta fluidodinamica Pentru curgerea laminara rezulta

Re64= Legea frecarii in curgerea laminara

Pentru curgerea turbulenta exista relatii empirice, vezi diagrama lui Nikuradse.

6.4. Ecuatia lui Bernoulli cu pierderi locale de sarcina hidraulica In dinamica lichidelor reale, cand se tine cont si de existenta frecarii intre lichide si suprafetele solide cu care vin in contact, ecuatia lui Bernoulli se completeaza cu un termen care tine cont de aceste pierderi de presiune:

Pierderile locale de presiune apar in mod real datorita schimbarilor bruste de sectiune, a schimbarilor de traseu, coturilor, ventilelor, robinetilor etc.

Coeficientul pierderilor de presiune: 212

u

pl=

Acest coeficient se poate calcula analitic, dar de cele mai multe ori experimental. Valorile se gasesc tabelar in manuale de hidraulica sau de calcul de retele hidraulice sau pneumatice. Cot de conducta Intrare in conducta

= 0,1 = 0,6 = 0,05

lpupup ++=+ 222211 22

- 38 -


Cap. 7. Bazele curgerii turbulente Observatie experimentala:

Exista 2 regimuri de curgere (experienta lui Reynolds)

Curgerile turbulente sunt instationare. Ele pot fi considerate insa deseori in medie stationare. Tranzitia de la curgerea laminara la cea turbulenta depinde de numarul lui Reynolds:

=duRe m pentru curgerea prin conducte

Re < ReBcritB : laminar Se determina experimental sau din calcule

Re > ReBcritB : turbulent de stabilitate

Explicarea fenomenologica a numarului lui Reynolds:

Re~~~22

=

du

Ruu

ru

ufrecaredeForta

mmmminertie de Forta

5105

=

=

krit

krit

krit

mkrit

uRe : Placi

2300uRe : Conducte

x

d

laminar r x R u Bp

Timp t laminar r

R u BpB ordonat

turbulent

P

xP P Fir colorat

u(r)P

xP P

Curgerea are loc

dezordonat

Profilul vitezei este mai plin datorita misc. dezordonate

Timp t

P

.

P

. u BpB u BpPB

pu

u(r)

- 39 -


Ex.: t = 20C ; p = 1bar Apa: = sm10 1 26- Aer: = sm1015 26 BConductaB BPlacaB

Aer Apa Aer Apa

D = 20 mm uBo B= 1 m/s

1,7 0,12 m/s 7,5 m 0,5 m

D = 100 mm u Bo B= 10 m/s

u Bm critB

0,35 0,02 m/s

x BcritB

0,75 m 0,05 m

Concluzie: Aproape toate aplicatiile practice uzuale se confrunta cu problema

curgerilor turbulente, care sunt dificil de modelat matematic !

- 40 -


lr

2p)r( +=

Cap. 8. Curgerea prin conducte circulare si canale (cu pierderi de presiune) Se lucreaza in coordonate cilindrice (x, r):

u = u(r)

Presiunea din conducta invinge frecarea din conducta a. i. lichidul curge in

directia scaderii presiunii. 0dxdp <

Echilibrul fortelor:

Se solidifica un volum cilindric de lichid. Echilibrul fortelor inseamna:

Forta de presiune + Forta de frecare = 0

( )[ ] 0rdx2)r(rdppp 2 =+ .)(2)()(

konstrr

dxdp

rgxf

==

lp

lpp

lpp

dxdp 2112 ===

p = caderea de presiune in conducta

0(r) ; 0dxdp >< Profil linear al lui

Conditii limita:

u(r) r p dx x p+dp (r) r

lam. turb.

u.(r) r d x

~k

lp B2 p B1

- 41 -


)rR(l4

p)r(u 22 =

lR

2p:Rr

0:0r

w =====

Rr

w=

Acest lucru este valabil si pentru curgerea laminara si pentru cea turbulenta !

8.1. Curgerea laminara

Cu drdu

rrlp

drdu 22 ====

dxdp :inlocuim

Se obtine o ec. pt. u(r) C2r

l2p-u rdr

l2pdu

2

+=

=

Constanta de integrare2

Rl2

pC 0R)u(r :C2

===

Distributia vitezei pt. curgerea laminara (parabolica)

In centrul sectiunii conductei:

Debitul volumic V& :

Legea lui Hagen-Poiseuille

4~;~ RpV & Viteza medie de curgere prin conducta se obtine din ecuatia continuitatii:

Bw r=R r r=0 (r) 0 Bw

r u/uBmaxB 0 1

2 rdr

2max Rl4

pu)0r(u ===

2

max Rr1

u)r(u

=

l8pRV

4

=&

( ) ===A

RrdrrR

lpdrrruudAV

0 0

222

)(2 &

- 42 -


Re64=

max2

m u21

l8pR

AVu =

== &

Caderea de presiune p se obtine din legea Hagen-Poiseuille: 2m

4

Rul8

pRV ==&

dl

du64u

2uu

Rl8up

m

2m

m

m2

m ==

== duRe

Re64

dlu

2p m2m

Se introduce coeficientul de rezistenta fluido-dinamica astfel:

Def. 2mu2dlp = - Pierderi de presiune longitudinale (rel. Weissbach-Darcy)

(1) Legea frecarii in regim laminar

In conducte mai exista si pierderi de presiune locale (datorita modificarilor de sectiune, coturilor, ventilelor etc.), care se calculeaza cu o relatie asemenatatoare numite relatia Borda-Carnot: 2

2upl

= , - coef. pierderilor locale de presiune

8.2. Curgerea turbulenta Pentru acest caz nu exista o legitate matematica intre tensiunea tg. si profilul vitezei, ca in regimul de curgere laminar. Au fost dezvoltate modele de turbulenta, asa numite modele semi-empirice. Legitati empirice pentru determinarea coef. de rezistenta hidrodinamica:

(2) 41

Re316,0= Legea lui Blasius, pt. Re < 10 P5P

(3) 8,0)log(Re0,21 = Legea lui Prandtl, pt. Re > 10 P5

P

- 43 -


8.3. Diagrama Nikuradse

Influenta rugozitatii suprafetelor solide =

dk rugozitate relativa

k = rugozitate absoluta

= (Re,k/d) se stabileste pe cale experimentala. Legi empirice, ca de exemplu:

Concluzie:

- in regim laminar: = 64/Re (determinare analitica exacta) - in regim turbulent: = 0,316/ 41Re (lege empirica dupa Blasius) - in regim turbulent cu rugozitate: vezi de ex. relatia de mai sus (Re, k/d) Diagrama lui Nikuradse reprezinta grafic dependenta dintre , numarul lui Reynolds si rugozitatea relativa.

Pentru numere Reynolds foarte mari, depinde numai de rugozitatea relativa k/d.

k/d 0,100 10P-2 10P-3P

10P-4 10P-5 0,01 Re 10 P3P ReBcrit B 10P4P 10P5P 10P6P 10P7P 10P8P

= dk2log0,274,11

~k

Regim laminar

Regim turbulent

- 44 -


Cap. 9. Curgerea stationara a lichidelor prin retele hidraulice, calculul retelelor hidraulice Ecuatiile de baza utilizate pentru descrierea proceselor din conducte lungi, care formeaza retelele hidraulice, sunt reprezentate de ecuatiile de bilant: - energetic: ecuatia lui Bernoulli:

rpgzupgzup +++=++ 22221211 22

= rp pierderile totale de presiune prin conducte - masic: ecuatia continuitatii:

2211.

uAuAV == Pierderile totale de presiune prin conducte: locale + longitudinale

- pierderi de presiune locale: 22

upl = (relatia Borda-Carnot)

- piederi de presiune longitudinale: 22 mf

udlp = - (rel. Weissbach-Darcy)

In cazul conductelor lungi, termenul datorat variatiei energiei cinetice se poate neglija, iar pierderile de presiune locale sunt mult mai mici decat cele longitudinale, astfel incat ecuatia lui Bernoulli devine:

dlugzpgzp ++=+

2

21

2211

Conductele lungi leaga de obicei un consumator hidraulic de o pompa.

Exemple: a) Conducta lunga simpla

dl

dVzzgpp ++= 42

.

1221216

2)(

Se obtine pentru debit:

(dat. rezistentelor hidraulice locale: coturi, ventile, ramificatii, salturi de sectiune)

V, l, d

zB1

1

2

zB2

.

Presiunea la pompa este pB1 B. Din ec. lui Bernoulli presiunea la pompa este:

dluzzgpp ++=

2

1221 2)(

Debitul: 2

.2. 44 d

VuudV ==

- 45 -


ldzzgppV

8

)]([52

1221. =

b) Conducta lunga cu diametru discontinuu variabil

Debitul: 2

.2. 44 i

iii

dVuudV

==

i

i

ii

i dl

dVzzgpp ++= 42

2.

144116

2)(

Se obtine pentru debit:

=

i i

iid

lzzgppV5

2

1441.

8)]([

c) Conducte lungi legate in paralel

i

iii d

luzzgpp ++=2

)(2

1221

Debitul total: i

in

iudV =

= 42

1

.

zB41

23

4

zB1

l B1B;dB1l B2B;dB2

l B3B;dB3Presiunea la pompa este pB1 B. Pierderea de presiune:

2

23

1

i

i

ii

i

udlp =

=

Din ec. lui Bernoulli presiunea la pompa este:

i

iii

i dluzzgpp ++=

2)(

2

1441

zB21

2

zB1

l B1B;dB1

l BiB;d Bi

l BnB;dBn Q

QConductele avand capetele amonte si aval comune se respecta conditia pierderilor de sarcina hidraulica identice pe fiecare dintre ele: 1+= ii pp

22

21

1

11

2 ++++= ii

ii

i

i

ii

udlu

dl

Din ec. lui Bernoulli presiunea in punctul 1 (la pompa) este:

Curs Amenajari Hidrotehnice SI2006 07

Documents

Transcript of Curs Amenajari Hidrotehnice SI2006 07