Curs 6 ref

download Curs 6 ref

of 17

Transcript of Curs 6 ref

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    1/17

    Consideratii energetice asuprapropagarii undei

    Propagarea unei unde elastice intr-un anumit mediugenereaza o serie de miscari de oscilatie ale particulelormediului; punctele materiale isi incep miscarea oscilatorie, in

    jurul pozitiilor lor de echilibru, pe masura ce energia undei ajungepana la ele. Calculam energia mecanica E primita de la undaelastica de catre un volum V din mediul de propagare.

    pc EEE += energia mecanica2v

    2

    1mEc= energia cinetica

    v viteza de oscilatie a particulelor mediului depropagare

    ( )kxtAdtd == cosv

    asa volumului V este!Vm =

    ( )kxtVAEc = 222

    cos2

    1"#$

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    2/17

    2

    2

    1kxEp= energia potentiala "energia elastica$

    kxFe=

    Con%orm legii lui &oo'e, %orta elastica se poate scrie si in %unctiede elongatia "alungirea relativa$ , unde l( reprezinta

    lungimea in starea nede%ormata!0l

    x=

    0l

    xESFe=

    Egaland ultimele doua relatii, observam ca valoarea constanteielastice este !

    0l

    ESk=

    )ntroducand acesta relatie in e*presia energiei potentiale

    obtinem!2

    2

    0

    22

    0 2

    1

    2

    1

    2

    1VE

    l

    xVEx

    l

    ESEp ===

    unde!

    0SlV=

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    3/17

    xl

    x

    == 0

    +eoarece mediul de propagare este solid, viteza undei este

    data de relatia!Ec =2

    Calculand derivata partiala a elongatiei in raport cu *obtinem!

    )cos( kxtkAx

    =

    )nlocuind ultimele doua relatii in e*presia energiei potentialeobtinem!

    )(cos2

    1 2222 kxtAVkcEp =

    inand cont de %aptul ca , energiapotentiala devine!

    kc=

    )(cos2

    1 222 kxtVAEp = "$

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    4/17

    +atorita acestui %apt energia potentiala si energia cinetica devinsimultan ma*ime sau nule.

    )(cos222 kxtVAE = "/$

    Energia unui volum V din mediul de propagare a undei elasticenu este constanta in timp, ea este primita de la o sursa,traverseaza mediul si se propaga mai departe. Energia undei nuse stocheaza in volumul considerat.+e0nim densitatea volumica de energie mecanica prinrelatia!

    dV

    dEw=

    )(cos222 kxtAw = "1$

    +ensitatea volumica medie de energie dintr-un punct estee ala cu!

    Comparand relatiile "#$ si "$, constatam %aptul ca cele douacomponente ale energiei mecanice sunt!- egale

    - %unctii periodice detimp

    - oscilatiile lor sunt in%aza.

    - energia mecanicadin volumul V

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    5/17

    22

    2

    1Awm = "2$

    arimile de0nite prin "1$ si "2$ caracterizeaza energia transmisa

    de unda atunci cand traverseaza mediul de propagare. )n 0g! 3.#este reprezentata %unctia 4 5 %"t$, putandu-se observa si media eipe o perioada, 4m.

    Fig: 6.1: Densitatea volumica de energie intr-un punct almediului de propagare si densitatea volumica medie de

    energiePentru a descrie energia transportata de unda sunt utilizateurmatoarele marimi!a) Fluxul de energie reprezinta cantitatea de energie transmisa

    printr-o supra%ata in unitatea de timp, 0ind dat de derivataener iei in %unctie de tim !

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    6/17

    dt

    dE=

    6789)5 #: 5 #

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    7/17

    Refexia si reractiaundelor

    Cand o unda intalneste supra%ata de separare dintre doua medii

    di%erite se produc simultam refexia "intoarcerea undei in mediuldin care a venit$ si reractia"transmisia undei in mediul al doilea$.9e constata de asemenea ca prin re=e*ie si re%ractie se schimbadirectia de propagare a undei.

    Fig: 6.2: efexia si reractia undei plane

    supra%ata de

    separare

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    8/17

    tri kkk ,, - reprezinta vectorii de unda corespunzatori undelor

    incidenta, re=ectata si transmisa

    tri rrr ,, - vectorii de pozitieai punctelor , > si P, unde e*primammarimile de unda

    1

    11c

    E

    =2

    22c

    E

    =

    +e0nim impedanta mediului de propagare prin produsul dintredensitatea mediului si viteza undei. )mpedanta e*prima vitezacu care se propaga energia undei prin mediul respectiv. Celedoua medii de propagare au impedantele!

    111 c=Z

    222 c=Z

    Vitezele de propagare in cele doua medii sunt!

    ?unctiile de unda ale undelor incidenta, re=ectata si transmisasunt!

    )sin(iiii

    rktA

    =

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    9/17

    )sin( rrrr rktA = )sin(

    tttt rktA =

    Conditia de continuitate a %unctiilor de unda pe supra%ata deseparare se poate scrie!tri

    =+Conditia de conservare a energiei undei este!

    tri III +=

    )i, )rsi )tsunt intensitatiile undelor incidenta, re=ectata sitransmisa

    1

    22

    1 c2

    1ii AI =

    1

    22

    1 c2

    1

    rr AI

    =

    2

    22

    2 c2

    1tt AI =

    Punand conditia de continuitate a %unctiilor de unda si %olosind

    conservarea energiei se obtin legile re=e*iei si re%ractiei.

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    10/17

    1) !egea refexiei.@nghiul de incidenta si unghiul de re=e*iesunt egale.

    ri =

    $ !egea reractiei! raportul dintre sinusul unghiului deincidenta si viteza de propagare in primul mediu este egal curaportul dintre sinusul unghiului de re%ractie si viteza depropagare corespunzatoare celui de-al doilea mediu.

    21 c

    sin

    c

    sin ti =

    @tilizand conditia de continuitate a %unctiilor de unda si conditia deconservare a energiei undei, se pot determina si amplitudinileundelor re=ectata si transmisa in %unctie de amplitudinea undeiincidente.

    tri AAA =+

    2

    22

    21

    22

    11

    22

    1 c2

    1c

    2

    1c

    2

    1tri AAA +=

    Aezolvand sistemul %ormat din cele doua ecuatii obtinem!

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    11/17

    +=

    21

    21

    ZZ

    ZZAA

    ir

    +

    =21

    12

    ZZ

    ZAA

    it

    Bmplitudinea undei transmise, Btare acelasi semn cu amplitudinea

    undei incidente, Bi, indi%erent de impedantele celor doua medii. +eaccea unda transmisa este totdeauna in %aza cu unda incidenta.

    )n ceea ce priveste amplitudinea undei re=ectate putem intalnidoua cazuri!

    a$ ediul "#$ este mai dens decat mediul "$, # D . )n acest

    caz amplitudinea undei re=ectate, Br, are acelasi semn cuamplitudinea undei incidente, Bi. Cele doua unde sunt in %aza.

    b$ ediul "#$ mai putin dens decat mediul "$, # . )n acest

    caz amplitudinea undei re=ectate, Br, are semn opus %ata de

    amplitudinea undei incidente, Bi. Cele doua unde sunt in

    opozitie de %aza. @nda re%lectata este de%azata cu F radiani inurma undei incidente."oe#cientul de refexie este raportul dintre intensitatea undei

    re=ectate si a undei incidente!2

    21

    21

    2

    +

    =

    ==

    ZZ

    ZZ

    A

    A

    I

    IR

    i

    r

    i

    r

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    12/17

    "oe#cientul de transmisie este raportul dintre intensitatea undeitransmise si a undei incidente!

    2

    21

    21

    2

    21

    1

    1

    2

    )(

    42

    ZZ

    ZZ

    ZZ

    Z

    Z

    Z

    I

    IT

    i

    t

    +

    =

    +

    ==

    Unde stationare

    +aca in mediul de propagare al undei se suprapun unda incidentasi unda re=ectata, atunci se obtin unde stationare. ?enomenul decompunere a doua unde coerente se numeste inter%erenta.Compunerea undei incidente si a undei re=ectate constituie un cazinteresant de inter%erenta a undelor. Con%orm rezultatelor obtinutela re=e*ia undelor, se pot intalni doua cazuri, in %unctie de

    impedantele celor doua medii.). +aca mediul al doilea este mai putin dens decat primul, #,

    atiunci unda re=ectata este in %aza cu unda incidenta.Consideram o unda liniara ce se propaga in mediul "#$, pe odirectie perpendiculara pe supra%ata de separare dintre mediul"#$ si mediul "$, ca in 0g. 3./. )n punctul P se intalnesc undaincidenta si unda re=ectata.

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    13/17

    Fig: 6.$: Formarea undelorstationare

    ?azele celor doua unde ce se intalnesc in punctul P depind dedistantele "l-*$ si respectiv "lG*$ pe care le-a parcurs 0ecare unda.

    )](sin[ xlktAi = )](sin[ xlktA

    r +=

    Aezultatul suprapunerii celor doua unde este tot o unda, deecuatie!

    )](sin[)](sin[ xlktAxlktAri ++=+= ]sin[]sin[ kxkltAkxkltA

    ri ++=+=

    )]cos(sincos)sin(

    )cos(sincos)[sin(

    kltkxkxklt

    kltkxkxkltA

    +

    ++=

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    14/17

    Ecuatia undei rezultate in punctul P este!

    )sin(cos2 kltkxA =

    )sin()( kltxA =

    ecuatia undeistationare

    kxAxA cos2)( =

    Bmplitudinea rezultanta B"*$ va avea valori di%erite indi%erite puncte!

    a$ Bmplitudinea este ma*ima,

    AxAA 22

    cos2 =

    =

    in anumite puncte *, care indeplinesc conditia!

    12

    cos =

    x

    nx

    =

    2

    2

    v

    nx =

    9e obtin ma*ime de aplitudine in puncte numite ventreale undei,

    a=ate la distanta *vunul de altul.

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    15/17

    b$ )n anumite puncte amplitudinea este minima!

    02

    cos2 =

    = xAA

    )

    2

    1(

    2+= nx

    2

    )21( += nxn

    Bceste puncte in care nu se produce nici o perturbatie, se numescnoduri ale undei stationare. +istanta dintre doua noduri vecineeste *n. )n 0g. 3.1 este reprezentata o unda stationara cu noduri, H

    si ventre, V.

    )n lungimea l se cuprind un anumit numar de lungimi de unda, sianume!

    Fig: 6.%: &nda stationara obtinuta in ca'ul(2 (1

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    16/17

    4

    5=l

    +aca mediul al doilea este mai dens decat primul, D #, atunci

    unda re=ectata este in opozitie de %aza cu unda incidenta. Btunci,

    cele doua %unctii de unda ce se intalnesc in punctul P sunt de%orma!

    "I$

    )](sin[

    )](sin[

    xlktA

    xlktA

    r

    i

    +=

    =

    Aezultatul adunarii celor doua unde in punctul P este!

    )cos(sin2 kltkxA =

    )n acest caz ventrele se obtin in punctele situate la distanta!

    2)

    2

    1(v

    += nx

    iar nodurile se obtin la distanta!

    2

    nxn=

    +esi distanta dintre sursa undei elastice si supra%ata de separareeste aceiasi, observam in 0g. 3.2 ca distributia nodurilor si

    ventrelor este di%erita. Ja supra%ata de contact cu mediul mai dens

  • 7/24/2019 Curs 6 ref

    17/17

    Bcest lucru se datoreaza schimbarii %azei undei re%lectate cu Fradiani. )n esenta, rezulta ca un alt numar de lungimi de unda secuprind in lungimea l!

    2

    3=l "K$

    Fig:6.*: &nda stationara obtinuta in ca'ul (2+ (1

    Bst%el, se observa ca intr-o coarda de lungime data, l, se pot %ormaunde stationare numai daca oscilatiile sursei au asemenea%recvente incat lungimile de unda corespunzatoare sunt date de!

    - relatia "I$ in cazul in care coarda este libera;

    - relatia "K$ in cazul in care coarda este legata la capete.