Modelare si Simulare

Cursul 11

Cap.7. Modelarea prin metode statistice de ana,lizil corelafional5

7.1Mdrimi aleatoare. Procese stochastice. Procese stafionare si ergodice.

O variabild aleatoar.e X este o mdrime care poate avea diferite valoneR.Pentru Vx e R dat, probabilitatea ca variabila aleatoare X sd fie mai micd sau egald cu .r senumeste funclie de distribulie de probabilitate F(*) - P(X s x)

Funcfia de densitate de probabilitate exprimd probabilitateaca X:x: :> -f (x) = p(X - x) = {-

ox

Ex. f(x)-p(x)-+"o42r

Un proces stochastic X(t)

-(r-r.)t2o2 - distribu[ie normald (gaussian6)

este o familie de variabil. u )

xr(t)

xr(t) func{ii de "realizare"

xr+t)

$e'$'"'c-l ) ,Pentru un tffifr{procesul(stochastic) se transformi intr-ovariabild aleatoare.

Se numestefunclie de realizare (esantiqn) a unui proces)oricare dintre funcliile x,(t).Pentru procese stochastice se definesc similar:- funclia de disnibulie (carcinsa este o functie de x si t nmp ) F (*) -+ F (x,t) ( P Ar+1 )

- funcfia de densitate de probabilitate f (r) -> f (x,il -AF{*'t)Ax ( s"r. j Crt, tl )

Procese stochastice stafionareSunt procese stobhastice pentru carc proprietdlile statistice strfi invariante in raport cu odeplasare de-a lungul axei timpului. Proprietatile statistice nu depind de momentele t,t, cinumai de decalajul de timp inhe ele: r = tz - tr.

Modelare si Simulare

' Procese ergodiceProcesele stochastice la care proprietd{ile statistice (mediile statistice) definite pe ansamblulde realizdri se pot inlocui cu medii temporale pe o realizarc se numesc poces e ergadice(ipoteza ergodic6 IE).Ipoteze principale: procesele stochastice sunt stalionare si ergodice.

&

I

iI

II

i

t

/ttlI

i Dxr-r/r\HI

tr

\medii dtemporale

medii pe

ansamblu

7.2 Praprieti{i si mlrimi (medii) statistice ale proceselor stochastice

Pentru caractenzarea mai sintetica a proprietllilor statistice ,. d.fin.sc similar ca si in cazulmarimilor aleatoare, "mornente" $i "valori medii". S<- reot* t^,fe s c d. h g6tr1 (r- ".

. Se numeqte momegtt de ordin k alvariabilei aleatoar:e X media statisticd i R niliei ,k:

E{Xo} = M{Xr',y -*1** dF@) = J:r

"x)dx .

ll? Valoarea medie de ordin fr : VM o - {E(X|)}I = {M(Xo)\i

unde E - Expected value- este operatorul de mediere statistica; ,,media" valorilor dejadisponibile reprezinta valoarea viitoare cea mai asteptatd.Obs" Pentru eazul discret dacd x(i) este o secventd de variabili aleatoare discreta se definescsimilar cu cazul continuu, m6rimi statistice corespondente, i(;:

E{*r(r)}= i,11#I xoU)

vM - E{*r1i;}* ={ri* + i "o (r)l,r/o/ tt-+;NH "J

"/

/ftz ==tr*t

ry

Modelare st Simulare

1. Media statisticd (speran|a matematicd) -reprezintd momentul de ordin I si pentruprocese stochastice este o functie de timp:

ffix = m*(t) =VG) = E{x(t)} = i xf (x,t)h =Vansambtu

unde -f (*,t) = fr(x,t) - funclia d"*drnrftatu de probabilitate unidimensionald a procesului

stochastic X(t) " Dacd procesul este ergodic atunci media statisticd se calculeazl. ca medietemporal6:

m*(t) =ftansamblu -f;temPoratd = lim J-T *rnatT->a 2T '- ' '

Valoarea medie m,(t) -VQ) a unui proces stochastic reprezintd o funcfie nealeatoare, injurul cdreia se grupeazd, realizdnle procesului stochastic ai faf6 de care acestea "oscileazd".Pentru o secliune tp a procesului stochastic speranla matematicd este rezultatul operaliei demediere probabilistic[ cdnd fiecare valoare x din cele n realizlri'se ia cu o pondere egald cu

"f (x,to)"

Obs" In cazul discret daca x(k) esteo secvenfd de variabila aleatoare se defineste similarvaloarea medie (sau speranla matematicd) prin:

w = E{,(k)t=J*1"Eon

Caracterizarea unui proces stochastic doar prin media statistica este insuficienta fiind necesaracunoasterea gradului de gnrpare/raspandire a datelor in jurul mediei (dispersia) cat si dacasunt sau nu sunt corelate.

2. Dispersia (varianga)

D""(t)= var{X(/)} = E{X(t)-v)'l = it" -mx|)l',f(*,t)dx - D,(t), D = 62

Reprezint d momentul de ord,inul 2 al prollsufuf aleator centrat. Dispersia caracterizeazd,imprdgtierea (gradul de oscilalie) alrealizdrilor procesului stochastic in jurul valorii medii.In cazul discret varianta (dispersia) va fi datd pentru un proces stochastic centratillcl = x(k)-r{"(t)} = xft)*F de relatia:

x{r.t

var =Eh'(,rt=Hi,X iz 1k7= 62

Modelare si Simulare

3. Devialia standard (o - abaterea medie p6traticd)

Este valoarea medie de ordinul 2 avanabilei centrate: |=661-Tl .

lo = E{(x -V)t }t - "[DJ\ = o(t)

4. Func{ia de uutocovarianyd (autocorelalie)

Valoarea medie m*',(t)gi dispersia D,(r) sunt proprietf,fi statistice importante ale proceselor

stochastice, dar nu intotdeauna dau o reprezentare suficientd privind caracterul dependenleiintre realizdrile proceselor aleatoare. Ex. in fig. procesele Xr(t) si Xr(t) au aproximativaceeasi medie (*t ,m2) si dispersie( D1 si Dz)rdar Xr(t) - variafii relativ monotone iar

X r(t) - oscilafii pronun{ate.

Pentru procesele de tipul X, , cu cdt cregte distanfa intre momentele /, gi t z se observi o

anulare rapidd a dependenfei intre valorile x(t) gi x(rr).Pentru a evidenlia aceasti diferen![ se introduce funclia de autacorela{ie ( autocovarianyd)

R.=, (/, ,tr) = E{X(tt)X(tr)} ,

Funclia de corelalie este egald cu valoarea medie a produsului celor doul mdrimi aleatoareX(tt) Si X(tr) gi caractefizeazl gradul de dependenld intre sec{iunile procesului stochastic.

'' *"*, (t,,tr): E{x(t,)x(trrt = j I*,*rfr(x,,t,x,t2)dxrdx,

f, - funclia de densitate bidimensionald de probabilitate.Dac[ procesul stochastic este stalionar si ergodic atunci funclia nu mai depinde de momentele/, $i t, ci de distanfa dintre ele (r - tz -/, ) si se poate calcula ca medie temporald:

R* (t) = ]1"," ,-fr(*r,x,r)d.xrd,x, : A*gp1t1r1t + 4= l51 #'FUrx(t + r)dt

Proprietn{ile funcfiei de autocorelatie

,Tt-1). R* (0) = x'(t\ = lim :! lx'Q)at = D., = 02' T--iT J'ot-T

( ataaE Y: o )

Modelare si Simulare

2). R.*(") = R* (-r) - functie pard, monoton

descrescdtoare: R*(") S Ro (0) = o'3). x(t) = Ao e R'" (t) - At

a)" x(t)= ,4r sin( atrt + (p) *Ro = +cosr,'

Obs. In cazul discret, se defineste secventa de autocovarianfd a unui proces prin apli careaipotezei ergodice , pentru oricare doud momente de timp discrete m st n, (numiti ,, pivo{i" cum-n:k) :

R*,(*,d = E{x@).x@)} -R*(* -n) =igg* i.<, -

n) x(i m) =R.",(fr) - E{*U). x(i -,a)}= +T xU). x(i - k)

Aceleasi proprietdti ca in cazul continuu se regdsesc si in cazul discret:1. Proprietatea de marginire: autocovarianta este maxima in origine

dispersiasi este egald cu

R-.tR*(k) s R_"- (0) = ot Vk e Z

2. Functia de autocovariantd este simetricdR*(-k) = R,,, (fr) Yk e Zr\o\-t{)=Ko\K) vK€L _i -l_-iff.t

3. Proprietatea de periodicitate a autocovarianfei :dacf, setul de dati "rt.

p"riodic <ic deperioadi T atunci si secventa de autocorelafie este periodicd si are aceeasi perioada T.

NotS: R ,, se mai noteaza; R- sau r*o se mai noteaza:R, sau r"

5. Funclia de intercorelayie (/d ftovarianyd, intercdvarianld)

Dacd' u(t) este intrarea (I) si y(t) iesirea (E) unui sistem sunt doud procese stochastice, sepoate defini similar funcfla de intercorelalie (covarianla incrucisatd alil u si y) :

R,, (t,, t r) = E {u(t,) y (t rll = \ lrrf, (u, t 1 i y, t r) dudy

i 1u1r7r1r1fz(u, y,r)dudy si ergoclic R,y(r) =&iG;6 =-co

care sunt necorelate statistic unul cu celllalt deeste nuld.

statjonar RuyG) =

Pentru procesele

intercorelalie Ruu

1coJi* _ [u(t)y(t+rptI -+a 21

-w

ex. (er,u) funclia de

Modelare si Simulare

Func{ia de intercovarianld se defineste similar in variabile centrate f, = u -u gi I = , -V .

Obs. In cazul discret pentru a aprecia gradul de corelare intre valorile unui set de date(secven{e aleatoare de intrare/iesire) mai exact cat de corelata statistic este iesirea y(n) deintrarea u(m) unde m si n se numesc ,,pivofi" , s€ defineste similar funclia de covarianli (caredepinde doar de diferen,ta dintre pivoli bm-n ) ca medie statistica a produsului uy prin:

R* (m, n) = Ruy @ - n) = R,y (k) = E{u@) . y(d} = n{u@) - y(n -u)} = # * ue) . y(i - k)

6. Densitatea spectrald a proceselor aleatoare

Densitatea spectrala S,(ar) - a unui proces stochastic x(t) este prin definifie transformataFourier afuncliei de autocovarianla (autocorela{ie) a procesului respectiv:

S * (j a): .F[Ro (r)] = \ ^*1r1"-i'" dr

-co

Deoarece s-iat - cos(an) - j sin(arc) si din proprietatea de simetrie R*(-r)= Ro(r)

e So (i at) - 2*li-*(r) cos(ar t)dr- S* (ar) - densitatea spectral[ este o funcfie reald, pard,

simetricS.

Daca se cunoaste ^S,

(at) afrinci prin transformareaLaplace inversd se poate obtine functia de

autocovariantd S, (ar) + R* (e)

e R-' (r) - * it, (atpi" dat= I it, (at)ei" da/fr_* niConform proprietafilor transformatei Fourier, daca Rn se ,,ingusteaza" afunci Sxx se ,,intinde"(si invers)

La limitd semnalele aleatoare care au densitatea spectrald constantd pe intreaga band6 defrecven{d au funcfia de autocorelalie de tip impuls Dirac R_ (r) = d(r) )semnalul se numestezgomot alb ZA si are proprietdli statistice deosebite"