Curs 1 MEF GÇô Prezentare general-â_2014.pdf

Curs 1 MEF Prezentare general

Acest material este protejat de legea drepturilor de autor i nu poate fi copiat, reprodus, distribuit sau republicat fr acceptul scris al autorului. [email protected] nr. 8/1996, Legea nr. 285 din 23 iunie 2004, Ordonana de urgena 123 din 1 septembrie 2005 .

Introducere n MEF

Etape n analiza MEF

Sumar:

Locaie:

Colina Universitii, Catedra de Rezistena materialelor i Vibraii, sala CP8.

Although the finite element method can make a good engineer better, it can make a poor engineer dangerous.

Concepts and Applications of Finite Element Analysis,3rd Edition, 1989

Robert D. Cook, et al.



Introducere n MEF

Metoda elementelor finite, adeseori prescurtat n literatura de specialitate prin acronimul MEF este o tehnic de analiz numeric a mediilor continue, dezvoltat cu precdere pentru rezolvarea aproximativ a unei largi varieti de probleme inginereti guvernate de ecuaii difereniale sau ecuaii cu derivate pariale ale cror soluii analitice exacte sunt greu de gsit.

Modul de lucru care deriv din aplicarea acestei metode se numete analiz cu elemente finite, sau n limba englez Finite Element Analysis, de unde provine i acronimul englezesc FEA, termen folosit uzual n literatura de specialitate.

Ce este metoda elementelor finite?

Limitndu-ne n cele ce urmeaz la formularea metodei elementelor finite cu aplicaii n domeniul analizei structurale, astfel de probleme se refer de obicei la determinarea ntr-un domeniu considerat, a valorilor uneia sau mai multor funcii necunoscute cum sunt de exemplu deplasrile, deformaiile, tensiunile, temperaturile, presiunile, vitezele, etc.


Introducere n MEF

De regul rezolvarea unor astfel de probleme se poate face prin intermediul ecuaiilor difereniale, soluia fiind analitic.

Rezolvarea analitic nu se poate efectua ns dect prin creearea unor modele simplificate n aa msur nct integrarea ecuaiilor difereniale s fie realizabil.

n cazul structurilor reale continue, care sunt de cele mai multe ori complexe att datorit alctuirii lor fizice i geometrice, dar i a condiiilor condiiilor de contur (legturi, ncrcri), etc., n locul calculului analitic se recurge la calculul numeric aproximativ, dar cu soluii acceptabile pentru valorile necunoscutelor, nu ntr-o infinitate de puncte ca n cazul soluiilor analitice, ci ntr-un numr limitat de puncte selectate.


Introducere n MEF

n general metodele numerice urmresc nlocuirea sistemului de ecuaii difereniale ce guverneaz un anumit fenomen cu ecuaii algebrice ce aproximeaz soluia exact. Dintre metodele numerice des ntlnite putem aminti: metoda diferenelor finite, metoda elementelor de frontier, metoda elementelor finite.

Metoda elementelor finite s-a dovedit a fi deosebit de potrivit pentru formularea irezolvarea problemelor de mecanica solidelor deformabile, motivaii eseniale n acest sensfiind:

posibilitatea de algoritmare eficient;

gradul mare de generalitate;

flexibilitatea n abordarea tehnicii de lucru.


Introducere n MEF

n metoda elementelor finite domeniul pentru care se realizeaz modelul matematic este construit din multe subdomenii de mici dimensiuni, interconectate, modul de lucru fiind similar metodei de integrare Simpson.

Prin reprezentarea mediului continuu sub forma unui ansamblu de elemente conectate ntre ele, se desvrete modelarea discret realizndu-se astfel trecerea de la mediul continuu format dintr-un numr infinit de puncte la un model discret.

Datorit avantajelor pe care le ofer, este evident folosirea tot mai extensiv a tehnicilor de analiz cu elemente finite n cele mai variate domenii ale proiectrii mecanice.


Consideraii introductive

Conceptul de baz n metoda elementelor finite const n discretizarea corpului studiat ntr-un ansamblu de entiti identice denumite elemente.

Elementele finite sunt conectate ntre ele prin puncte cunoscute sub numele de noduri.

Element

Nod



Numrul total de elemente corespunztoare unui anumit model, precum i toate informaiile referitoare la dimensiunile, geometria i caracteristicile fizice ale acestora, constituie aa numita reea de discretizare.



MEF n mod obinuit definete necunoscutele primare n noduri i calculeaz valorile lor n aceste puncte.

Din punctul de vedere al necunoscutelor asociate nodurilor, n literatura de specialitate se deosebesc trei variante de baz ale MEF, i anume:

formularea n deplasri;

formularea n tensiuni;

formularea mixt,

dintre care cea mai larg arie de preocupri o cuprinde formuarea n deplasri, care prezint o serie de avantaje legate de specificaiile mecanice i geometrice pe care le au variabilele de lucru ale metodei.

Forma deformat a unei structuri, ca rezultat al unei solicitri oarecare, este definit de deplasrile tuturor nodurilor n raport cu poziia acestora nainte de deformare.



Valorile necunoscute ale deplasrilor de pe domeniul unui element finit sunt aproximate prin combinaii liniare ale deplasrilor nodale i ale unor funcii de intepolare denumite i funcii de form.

Fiecare nod poate avea maximum ase componente ale deplasrii, denumite deplasri nodale sau DOF , corespunztoare gradelor de libertate geometric.



n funcie de geometria corpului de analizat i numrul de coordonate spaiale independente necesare pentru a defini configuraia geometric a elementului, proprietile materialului i necunoscutele problemei (deplasri, deformaii, tensiuni, etc.), se disting trei tipuri specifice ale configuraiei elementelor finite: uni- , bi- i tridimensionale.


Introducere n MEF

Problemele care se pot rezolva cu ajutorul elementelor finite se clasific n trei categorii:

Probleme de echilibru: caz n care funciile necunoscute nu depind de timp (acest tip de probleme apar la determinarea comportrii eleastice, a corpurilor solid deformabile, solicitate

n regim static).

Probleme de valori proprii: caz n care parametrii sunt independeni de timp, determinndu-se valorile critice ale acestor parametri (problemele de valori proprii apar la determinarea forelor critice de pieredere a stabilitii unei structuri sau n problemele de

analiz modal a structurilor, cnd se determin frecvenele asociate acestor modurilor

proprii de vibraii).

Probleme de propagare: sunt probleme n care funciile necunoscute depind de timp(astfel de probleme apar la rspunsul dinamic al unei structuri).

Tipuri de probleme care pot fi rezolvate cu MEF

Etape n analiza cu elemente finite



Faza de preprocesare



Prin idealizarea sau abstractizarea unei structurii mecanice reale se obine modelul de calcul sau modelul ei matematic.

Elaborarea modelului matematic n mod esenial se bazeaz pe procedee, care se supun greu formalizrii cum ar fi experiena i intuiia inginereasc, cu alte cuvinte alegerea modelului de calcul ntr-o oarecare msur continu s rmn o art inginereasc.

n ce const procesul de idealizare sau de obinere a modelului matematic?

n procesul de alegere a modelului de calcul pot fi evideniate trei probleme principale:

idealizarea materialului;

idealizarea geometriei elementelor componente i a mbinrilor ntre acestea;

idealizarea condiiilor de contur (mai precis a modului de aplicare al legtruilor i al sarcinilor externe).


Idealizarea geometriei prin operaia de simplificare a mbinrilor ntre elementele componente ale geometriei defeaturing, i pregtire pentru discretizare partition.




Din punct de vedere fizic majoritatea structurilor mecanice reale sunt continui, fiind formate dintr-o infinitate de puncte materiale (legate ntre ele prin fore de interaciune), care umplu ntregul spaiu ocupat de volumul acestora.

n calculele inginereti este imposibil s se in seama de toate legturile ntre punctele materiale care definesc structura, i chiar dac acest lucru ar fi posibil, modelul rezultat nu ar putea fi analizat datorit complexitii sale.

Transformarea structurii continui ntr-un modelnumeric discret cu un numr finit de puncte se numete discretizare.

Discretizarea i obinerea modelului cu elemente finite



n aceast etap se alege tipul sau tipurile de elemente finite adecvate problemei de rezolvat, aceast alegere fiind impus de geometria corpului studiat, dar trebuie n acelai timp s surprind i particularitile de material,rezemare i ncrcare pe care acesta le prezint.

Pe domeniul fiecrui element funcia necunoscut este aproximat cu ajutorul unor funcii de interpolare a cror coeficieni necunoscui se determin impunnd ca n nodurile elementului finit funcia s capete valorile din noduri.

Gradul funciei de interpolare asociate unui element depinde de numrul de noduri ale acestuia, de numrul de necunoscute atribuite fiecrui nod dar i de anumite condiii de continuitate care sunt impuse n noduri sau la frontiera ntre elementele nvecinate.

Comportarea materialului n domeniul unui element finit este descris de un sistem de ecuaii al elementului, n care numrul ecuaiilor este egal cu numrul gradelor de libertate al nodurilor asociate acestuia (elementului).



Ecuaiile elementale pot fi deduse pe mai multe ci; direct, pe cale variaional sau prin metoda rezidurilor ponderate (Galerkin).

metoda direct este cea mai simpl ns nu poate fi folosit dect n cazul structurilor simple alctuite din bare;

metoda variaional are la baz principiul de minim al energiei poteniale totale i este folosit n mod uzual pentru rezolvarea problemelor de mecanica solidelor deformabile;

metoda rezidurilor ponderate este cea mai complet i se folosete n special cnd metoda bazat pe calculul variaional nu se poate aplica ntruct nu se cunoate o mrime funcional pentru problema studiat.

Metode de deducere a ecuatiilor elementelor finite


Ca urmare a aplicrii uneia din metodele menionate mai sus se obine un sistem de ecuaii de forma:

n care reprezint vectorul forelor nodale, este vectorul deplasrilor nodale, iar este matricea de rigiditate a elementului.

Matricea de rigiditate elemental asigur dependena funcional ntre sarcinile aplicate n nodurile elementului i deplasrile corespunztoare, componentele acesteia fiind formate pe baza dimensiunilor geometrice ale elementului i caracteristicilor mecanice ale materialului din care acesta este confecionat.

Procesul de discretizarea depinde calitativ i cantitativ de experiena i abilitatea inginerului, neexistnd algoritmi sau metode general valabile care s asigure elaborarea unui model unic cu elemente finite.

Faza de prepreprocesare



La alctuirea modelului cu elemente finite trebuie avut n vedere c precizia soluiei depide de numrul de elemente finite utilizate la obinerea modelului discret; soluia aproximativ este mai apropiat de cea exact cu ct numrul de elemente finite este mai mare (dimensiunea acestora este mai mic), ns pe de alt parte timpul, resursele de calcul i implicit costul cresc invers proporional.



O discretizare optim este considerat atunci cnd precizia cerut este atins cu un minim de resurse pentru procesul de analiz i calcul.


O rspndire destul de larg o au structurile mecanice alctuite din elemente de barla care una dintre dimensiuni este mult mai mare dect celelalte dou.

Folosind ipoteza seciunilor plane introdus n cursul de rezistena materialelor, toi factorii cercetai (eforturi, tensiuni, deplasri, deformaii) pot fi referii la axa barei i problema de calcul se reduce la determinare unor funcii, care depind de o singur variabil.

Modelul de calcul al elementelor de bar poate fi aplicat:

la modelarea structurilor plane sau spaiale de tip cadru, mbinate rigid la noduri (care n afara forelor, transmit i moment ncovoietoare de la un element la altul);

modelarea structurilor de tip grinzi cu zbrele plane sau spaiale la care barele sunt conectate prin articulaii fr frecare i nu transmit moment ntre ele;



Un grup considerabil de elemente finite este reprezentat de elementele bidimensionale de tip plac sau nveli a cror proprietatea geometric caracteristic este c o dimensiune grosimea este mult mai mic n raport cu celelalte dou dimensiuni.

Pentru astfel de structuri, pe baza unor ipoteze teoretic i experimental fundamentate, este posibil de redus problema la dou dimensiuni, referind toate funciile la suprafaa medie curbilinie pentru nveliuri i plan pentru plci.



Elementele finite tridimensionale sunt folosite atunci cnd structura real este masiv, iar geometria, proprietile de material, .a. sunt funcii de 3 coordonate spaiale. Forma de baz este tetraedrul, dar se folosesc i alte forme cum ar fi paralelipipedul, prisma, hexaedrul.n spaiul cu trei dimensiuni, numrul nodurilor elementelor tinde s creasc foarte repede odat cu creterea gradului polinomului de aproximare.




Rezultatele care se obin cu metoda elementelor finite sunt dependente de soluia de discretizare aleas astfel nct exist situaii, n special n cazul unor geometrii complicate, cnd problema inginereasc abordat cu aceste metode trebuie investigat n mai multe variante de discretizare urmnd s se trieze rezultatele obinute.



Pentru descrierea corpurilor cu poriuni curbe se utilizeaz elemente finite de ordin superior obinute prin introducerea unor noduri suplimentare pe laturile elementelor simple.

Pentru creterea preciziei sunt disponibile dou metode:

metoda h, const n micorarea dimensiunii elementelor n zona de interes;

metoda p, const n mrirea gradului polinoamelor care descriu elementele finite;

Existnd i posibilitatea aplicrii combinate ale celor dou metode pentru optimizarea procesului de modelare n scopul obinerii unor rezultate corecte.


Faza de procesare

Comportarea ntregii structuri este modelat prin asamblarea sistemelor de ecuaii ale elementelor finite n sistemul global de ecuaii al structurii, ceea ce din punct de vedere fizic nseamn c echilibrul structurii este condiionat de echilibrul elementelor finite.

Prin asamblare se impune ca n nodurile comune elementelor, funcia sau funciile necunoscute s aib aceeai valoare.

Asamblarea ecuaiilor const n asamblarea matricelor de rigiditate ale elementelor finite n matricea de rigiditate a structurii, a vectorilor ncrcrilor nodale elementale

n vectorul ncrcrii pe toat structura .

n care este vectorul funciilor necunoscute pentru ntreaga structur.

Asamblarea i rezolvarea sistemului global de ecuaii al structurii


Elementele componente ale matricei sunt formate pe baza dimensiunilor geometrice ale sistemului structural analizat i caracteristicilor mecanice ale materialului elementelor din care este confecionat structura.

Sistemul de ecuaii obinut este rezolvat printr-unul din procedeele obinuite, de exemplu prin eliminarea Gauss sau prin desompunerea Choleski, obinndu-se valorile funciilor sau gradelor de libertate din noduri. Acestea se numesc necunoscute primare sau de ordinul nti.

n cazul analizelor structurale rezultatele primare constau n:

deplasrile nodurilor; reaciunile din dreptul reazemelor.

Alte rezultate ca: tensiuni sau deformaii sunt mrimi derivate obinute din deplasri. Calculul valorilor derivate, sortarea, combinarea i prezentarea lor grafic dar i interpretarea se face n cadrul etapei de postprocesare.

Faza de postpreprocesare


Principalele avantaje oferite de MEF rezid n primul rnd din versalitatea metodei, i anume:

poate fi aplicat pentru rezolvarea unei game largi de probleme att n domeniul liniar ct i cel neliniar;

permite elaborarea unor modele deosebit de complexe fr simplificri semnificative ale geometriei sau a relaiilor constitutive, singurele aproximri fiind introduse la alegerea tipului de element i respectiv definirea reelei de discretizare;

structura supusstudiului poate avea practic orice form i poate fi solicitat ntr-un mod cu totul arbitrar;

permite utilizarea n cadrul aceluiai model, n funcie de necesiti, a unor tipuri diferite de elemente finite, caracteristici secionale sau proprieti diferite.

Avantaje ale analizei cu elemente finite

Care sunt principalele avantaje ale analizei cu elemente finite?


Prin extinderea pn aproape de generalizare a MEF i FEA, precum i prin numrul uria de utilizatori entuziati ei acestora, nu nseamn c MEF a ajuns un panaceu universal n calculele efectuate n inginerie i n cercetare.

Metoda are dezavantaje dintre care cele mai importante sunt:

Metod aproximativ;

Model de calcul este subiectiv i arbitrar;

Elaborarea modelului de calcul este laborioas:

Programele MEF sunt complexe i scumpe;

Resursele sistemului de calcul.

Reversul medaliei ... !

Curs 1 MEF GÇô Prezentare general-â_2014.pdf

Documents

Transcript of Curs 1 MEF GÇô Prezentare general-â_2014.pdf