CURGERI TRANSONICE

GeneralităţiCurgerile transonice, adic\ curgerile în care vitaza local\ a curgerii este apropiat\ de

viteza local\ a sunetului, sunt cunoscute de mult\ vreme. Aceste curgeri apar în ajutaje, pe elici [i pale de turbin\, în jurul corpurilor f\r\ col]uri, care zboar\ în supersonic [i în jurul avioanelor care zboar\ aproape de Mach=1.

Primele experimente au fost făcute de Briggs, Dryden ;i Stack în laboratoarele Langley. Aceste cercetări erau motivate parţial de efectele sonice la vârful elicilor.

Mult mai devreme studiile teoretice ale lui Chaplygin asupra jeturilor de gaze au scos la iveal\ câteva caracteristici ale curgerii transonice în regim compresibil [i undele de [oc. Munca teoretic\ [i experimental\ modern\ privitoare la problemele în transonic, asociate cu aeronavele - principalul subiect al acestui articol - a început acum 40 de ani. Lucrarea lui von Karman a semnalat începutul unei perioade de intens\ activitate în plan teoretic [i de exemplu lucr\rile lui Liepmann [i Ackeret asupra interac]iunii und\ de [oc - strat limit\ indic\ începerea unei perioade intense de experimentare. Aceste eforturi au continuat pentru aproximativ [ase, [apte ani [i au adus o mai bun\ în]elegere a fenomenelor din curgerea transonic\ [i un set de cuno[tin]e privind comportarea sa. Acum regimul transonic s-a transformat dintr-un regim de mare vitez\ în unul de vitez\ redus\. Dup\ o perioad\ relativ lini[tit\ s-a reînnoit interesul în curgerea transonic\ datorit\ problemelor de întâlnite în încerc\rile de a proiecta aeronave comerciale eficiente care zboar\ aproape dar sub viteza sunetului. Caracteristic, se formeaz\ regiuni locale supersonice [i unde de [oc. Acest aspect al preoblemei trasonice va fi detaliat în acest articol pentru a furniza o apreciere închegat\ a unei p\r]i delimitate a teoriei transonice cu aplica]ii directe.

Curgeri transonice în ipoteza perturbaţiilor mici

Pentru descrierea unor aspecte importante ale curgerii transonice este adecvată aproximarea obişnuită din aerodinamică (gaz perfect nevâscos). Ipoteza, care nu este întotodeauna valabilă, se face pe baza argumentului că oarece efectele stratului limit\ vâscos [i separa]ia nu produce o schimbare de fond în modelul curgerii ideale. Se va introduce aici o restric]ie. Discu]ia este axat\ pe derivarea [i studierea ecua]iilor aproximative, acelea din teoria micilor perturba]ii în transonic. Aceasta se face din mai multe motive. ïntâi, aceast\ teorie combinat\ cu aproxim\ri precise (dac\ este necesar), este capabil\ s\ conduc\ la rezultate inginere[ti practice. Apar diverse aspecte de similitudine care sunt foarte utile. Din punct de vedere al calculului numeric, toate dificult\]ile esen]iale sunt con]inute în aceste ecua]ii [i toate aspectele calitative sunt repreduse întocmai. Este necesar un procedeu special pentru a dezvolta aproxima]ii ale micilor perturba]ii acceptabile când curgerea este transonic\ (sau hipersonic\) spre deosebire de teoria obi[nuit\ liniarizat\. O explica]ie calitativ\ se bazeaz\ pe faptul c\ teoria liniarizat\ este total echivalent\ acusticii; dac\ un corp sub]ire care produce doar perturba]ii mici se mi[c\ prin aer, r\spânde[te perturba]ii care conform acusticii se r\spândesc de la un corp cu viteza sunetului a . Dac\ corpul în sine se mi[c\ prin atmosfer\ cu viteza U apropiat\ de a

( num\rul Mach este Ua

M

1 ) acumularea în timp a perturba]iilor

1

radiate produce o perturba]ie mare o violare a presupunerii micilor perturba]ii.

Teoria liniarizat\ prezint\ o singularitate la M =1. Descrierea fenomenului fizic este incorect. Varia]iile vitezei sunetului local care las\ perturba]iile s\ plece de pe corp trebuie luate în seam\. Procedura folosit\ la derivarea ecua]iilor aproximative este construc]ia unei dezvoltări matematice asimptotice bazate pe condiţia: 0-

Din acest punct de vedere teoria liniarizată este primul termen într-o dezvoltare asimptotică bazat\ pe fenomenul la limit\ ( 0 ,M - fixat, x,y,z -fixate), x,y,z - coordonate adimensionalizate, în raport cu lungimea corzii, care se ia unitară aici. Dificultatea descris\ înainte este o neuniformitate în vecin\tatea unui M=1. Pe de alt\ parte aproximarea transonic\ este bazat\ pe fenomenul la limit\ ( 0 ,M=1 [i x y z, , fixate, unde y y 1 3/ [i z z 1 3/ ). Aceast\ acceptare s-a f\cut deoarece perturba]iile se r\spândesc mai repede în direc]ia transversal\ fa]\ de direc]ia de zbor. Deoarece perturba]iile scap\ în lateral la viteza sunetului dar avanseaz\ doar pu]in în fa]a corpului, extinderea în lateral a câmpului de perturba]ie este de a[teptat s\ fie mult mai mare decât extinderea longitudinal\. Coordonatele ( y z, ) aduc din nou câmpul perturba]iilor în vizor. K este un parametru transonic de similitudine presupua a fi O(1) care arat\ cât de repede tinde M 0 sau 0 . Ordinul de m\rime al perturba]iilor transversale O( ) este dat de condi]ia la limit\ a curgerii tangent\ la arip\ [i a perturba]iei longitudinale O( )/2 3 cu cerin]a ca termenul dominant neliniar s\ fie de acela[i ordin ca ceilal]i termeni liniari. Aceast\ cerin]\ este necesar\ trecerii din curgere subsonic\ în curgere supersonic\ [i este în consens cu rezultatele cunoscute pentru undele de [oc transonice [i undele siple de extindere. Aceste idei sunt în spiritul aproximaţiei introduse de Von Karman.

Forma rezultantă a dezvoltării pentru o aripă plasată la un unghi de atac este:

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

(1e)

unde şi . Pentru a obţine cazuri utile şi realiste,

parametrii A pentru unghiul de atac şi pentru alungire sunt fixate la limit\ (fig 2).

Din acest punct de vedere parametrii (K, A, B) fixa]i la limita fenomenului de extindere sunt parametrii de similitudine ai curgerii. Prima aproximare a solu]iilor (P U, etc.) depinde doar de ace[ti parametrii pentru o familie de aripi [i forme ale profilului date. Astfel, de exemplu, coeficientul de presiune, portanţa, etc. se modific\ într-un mod deosebit. Curgerile sunt similare pentru K, A şi B fixaţi şi pot corespunde la diferite grosimi ale aripii în zbor la numere Mach corespunzătoare.

2

Fig 1

Când aceast\ dezvoltare este înlocuit\ în ecua]iile de mi[care de exemple de continuitate, echilibrul momentelor [i condi]ia ca entropia unei particule de fluid s\ fie constant\ (dar poate s\ri peste undele de [oc) şi se ţine seama de rela]iile undelor dee [oc; sunt descoperite diverse integrale [i urm\toarele ecua]ii ale mi[carii.

Legea Bernoulli

(4a)

Componentele fluxurilor masice sunt:

, , (4a)

Ecua]ii transonice

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

Remarcăm faptul că scurgerea este irotaţională la . Pânza de vârtejuri care se formează în spatele unei aripi (fig 2) este antrenată de curgerea neperturbată şi rămâne în planul aripii y = 0. Se introduce ca de obicei potenţialul de viteze poate fi introdus

(5)

astfel încât sistemul (2.4) este înlocuit de ecuaţia transonică exprimată în potenţialul de viteze:

(6)

sau

(7)

Ecuaţia (7) este de tip hiperbolic, reprezentând

curgere supersonică pentru

3

o ecuaţie Laplace pentru ;

unde viteza locală a sunetului.

Se poate arăta că parametrul de similitudine bazat pe num\rul Mach local (M1) este coeficientul luixx din (7):

(8)

Astfel, în regiunile locale supersonice conurile Mach (suprafe]e locale caracteristice) sunt date de ecuaţia:

(9)

Trebuie adăugate sistemului (4) condiţiile de salt prin unda de şoc , condiţii care se obţin din relaţiile Hugoniot-Rankine. ïn sistemul (2.4) condi]iile de salt peste unda de [oc sunt continue. Formele intagrale de suprafa]\ ale acestor expresii de divergen]\ pot fi considerate legate de suprafa]a de [oc [i aceste rela]ii sunt condi]iile de salt peste unda de [oc:

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

unde

(1) = starea curentului superior( )

s= infinitezimalele unui element din suprafa]a de [oc (fig. 3)

4

Ultimele trei ecua]ii din (2.10) demonstraz\ c\ nu exist\ circula]ie în jurul direc]iilor infinitezimale care împânzesc frontul de [oc, sau c\ nu exist\ salt în componenta tangen]ial\ a vitezei.

Trebuie subliniat că există alte forme conservative derivate din ecuaţiile originale, dar aceste forme integrale nu sunt corecte, deoarece cantităţile corespunzătoare nu sunt conservate la trecerea prin undele de şoc. Din sistemul (2.4) rezultă:

(11)

Forma lui (11) este legat\ de integrala portan]ei considerate mai jos.Condiţiile la limit\ ale curentului superior la infinit sunt c\ toate perturba]iile dispar: u,

v, w, p, când x . Curentul inferior permite doar curgerea datorit\ vârtejurilor aripii în urcare.

Condi]iile la limit\ ale curgerii tangente la suprafa]a aripii nu trebuie de asemenea s\ fie scrise, [i ]ânând seama de aproxima]ie , aceste condi]ii se pot aplica în planul aripii y 0 peste proiec]ia formei în plan a aripii (w). Bordul de fug\ este definit în acest mod:

Condi]iile la limit\ peste(w) z B

(12)

În final, putem discuta condi]iile pe curentul inferior de vârtejuri ale aripii în urcare.Aplicarea condiţiei Kutta - Jucovski la bordul de fugă conduce la:

(13)

unde [ ] ( ) ( ) wa y y0 0 Deoarece

x

0 pânza de vârtejuri este reprezentată prin:

pentru (14)

5

pentru (14)

Integrarea pe pânz\ d\ saltul vitezei tangem]iale.

(15)

Vorticitatea poate fi legat\, în acela[i fel ca [i în teoria liniarizat\ a aripii ca o schimbare în circula]ie pe anvergur\. La o deschidere a anvergurii z B , circula]ia în jurul aripii.

(16)

(x xL T, dau formele atacului [i fugii) fig. 2 [i [ ] ( ) ( )

b y y0 0 peste aripa w.ïn continuare deoarece

(17)

la bordul de fugă

(18)

(19)

Circula]ia este, chiar [i pentru acest caz, relaţionată neliniar de portanţa aripii. Este de observat că, datorit\ neliniarit\]ii esen]iale a ecua]iei de baz\ problema nu poate fi disociată în probleme separate de urcare [i sta]ionare.

Expresiile portanţei şi rezistenţei la înaintare se obţin din echilibrul de momente global pentru un contur C în spaţiul ( ).

(20)

Integrala din 2.20 este considerat\ (la început) ca o integral\ pe contur cu z fixat urmat de integrarea în direc]ia + z pentru a închide suprafa]a. Când conturul C este luat pe suprafaţa aripii ( ), relaţia (20) devine

(21)

Integrala din (20) este exprimat\ în func]ie de circula]ia în jurul aripii (conform (16))

(22)

În ecuaţia (22), poate fi înlocuit cu [ ] wa din (19). Atunci cantitatea poate fi calculat\ în planul Trefftz x . Coeficientul de portanţă convenţional este:

6

(23)

O analiz\ corespunz\toare poate fi f\cut\ pentru rezisten]a la înaintate. Acum rezisten]a la înaintate este asociat\ cu forma divergent\ (2.11), dar pentru a construi o expresie a divergen]ei real\, salturile peste [ocuri trebuie luate în considerare. Rezultatul este:

(24)

Ultima integral\ în (2.24) peste acea parte a suprafe]ei de [oc S cuprins\ în C. Dac\ C este pe suprafa]a aripii, (2.24) devine:

(25)

Aceasta este formula obişnuită pentru rezistenţa la înaintare , funcţie de presiune, atât timp cât vb este egală cu panta local\ în direc]ia curentului. Conturul C poate fi extins la infinit şi

rezistenţa la înaintare exprimat\ ca o integral\ în planul Trefftz. Rezultatul este:

(26)

Rezisten]a la înaintare este exprimat\ ca suma a doi termini: primul termen este energia cinetic\ total\ produs\ de pânza de vârtejurile de la bordul de

fug\ într-o sec]iune transversal\ pln\ la . Aceasta este expresia uzual\ pentru rezisten]a la înaintare indus\ în teoria liniarizată.

al doilea termen reprezintă rezistenţa de undă.

Rezisten]a la înaintare este exprimat\ ca o integral\ pe undele de [oc prezente [i este legat\ de saltul de entropie. Prin aplicarea uzual\ a formulei Green, energia cinetică poate fi exprimată ca o integrală a pe saltul de poten]ial peste pânza de vârtejuri.

7

(27)

Din aceste consideraţii.se degajă o lege de similitudine pentru coeficientul de rezistenţă la înaintare:

(28)

unde D exprimă dependenţa de parametrii K, A şi B pentru o formă în plan dată şi o formă a ^nveli[ului. În mod asemănător, coeficientul de presiune local pe suprafa]a aripii este:

(29)

Unul dintre principalele teste ale teoriei transonice este compararea dintre regulile de similitudine bazate pe această teorie cu experimente pe aripi şi învelişuri cu diferite ( ). Sunt luate de asemenea în considerare cantităţi locale cum ar fi presiunea şi similitudinea globală a rezistenţei la înaintare. Un exemplu de aceast\ compara]ie este prezentat ^n (fig. 5). ~n aceast\ figur\ Speiter subliniaz\ neunucitatea parametrului de similitudine transonic K.

Datele din figura 5 cad mai aproape pe o singur\ curb\ unde este folosit parametrul

modificat:

Figura 5 con]ine de asemenea rezulatate teoretice pentru curgerea peste o limit\ de separa]ie ascu]it\ la viteze subsonice, viteza sunetului [i viteza supersonic\, toate fiind ^n acord cu experimentul.

3. Câmpuri ^ndep\rtate transoniceCâteva informa]ii despre câmpurile ^ndep\rtate transonice sunt disponibile pentru

curgeri care sunt subsonice la . Rezultatele sunt concentrate ^n figura 6.

4. Alte dezvoltăriDezvolt\rile viitoare au ca punct de interes dezvoltarea aestor metode de studiu [i

extinderea lor la cazuri tridimensionale mai complicate [i la interac]iuni arip\-fuselaj.O direcţie în includerea efectelor viscoase este de a combina metoda relaxării în

interacţiune cu un strat limită. Astfel, . Klineberg folose[te o integrare numeric\ simultan\ a ecua]iei stratului limit\. Aceasta se poate extinde la o curgere turbulent\ [i comportamentul local inclus în schema de relaxare transonic\.

8

Poate fi fomulat\ [i problema valorii la limit\ pentru curgerea plan\ instabil\. Aceasta se aplic\, de exemplu, la un înveli[ în oscila]ie atâta timp cât frecven]ele nu sunt foarte ridicate. Dac\ este folosit\ o coordonat\ de timp:

(30)

ecua]ia transonic\ ia forma:

(31)

Se poate ar\ta c\ ( )t este invariant pentru aceast\ ecua]ie [i [ ] ( )wa

t . Undele de şoc sunt, de asemenea, incluse în acua]ia (4.1). Ecua]ia este de natură hiperbolică, dar una dintre vitezele caracteristice este infinit\. Pot fi dezvoltate, de asemenea, metode numerice.

9