CULEGERE DE PROBLEME DE TEORIA CIRCUITELOR · Structura manualului urmăreşte conţinutul cursului...

CULEGERE DE PROBLEME DE

TEORIA CIRCUITELOR

GHEORGHE ALEXANDRU GABRIEL

BUCUREŞTI 2012

~ 3 ~

Prefaţă

Manualul “CULEGERE DE PROBLEME DE TEORIA CIRCUITELOR” se adresează în principal studenţilor facultaţii de Automatică şi Calculatoare dar şi celor care işi efectuează studiile de licenţă sau de master în inginerie într-o specializare de profil electric. Structura manualului urmăreşte conţinutul cursului de “Bazele Electrotehnicii” scris de F. Constantinescu şi M. Niţescu, dar subiectele atinse sunt compatibile cu orice curs de Teoria Circuitelor. Pe lângă problemele propuse, culegerea cuprinde atât o scurtă parte teoretică asociată fiecărui tip de aplicaţie cât şi probleme rezolvate.

Fiind structurată de la simplu la complex, în prima parte culegerea conţine probleme de circuite de curent continuu: scrierea matriceală a teoremelor lui Kirchhoff, determinarea caracteristicilor de intrare şi de transfer ale circuitelor cu elemente cu caracteristici liniare pe porţiuni, determinarea reprezentărilor diporţilor rezistivi liniari şi neliniari, determinarea soluţiilor circuitelor rezistive neliniare prin metoda Newton-Raphson, scrierea ecuaţiilor metodei potenţialelor nodurilor, circuite ce conţin amplificatoare operaţionale, scrierea ecuaţiilor metodei curenţilor ciclici, determinarea generatoarelor echivalente de tensiune şi de curent, circuite dinamice de ordinul I şi de ordinul II.

În continuare sunt studiate circuitele de curent alternativ. După caracterizarea în complex a elementelor de circuit, urmează: metoda teoremelor lui Kirchhoff, metoda potenţialelor nodurilor, metoda curenţilor ciclici, determinarea generatoarelor echivalente de tensiune şi de curent. Circuitele liniare care funcţionează în regim periodic nesinusoidal pot fi rezolvate utilizând aceste metode pentru fiecare componentă armonică şi adunând răspunsurile sinusoidale corespunzătoare tuturor componentelor armonice.

Circuitele care funcţionează in regim tranzitoriu sunt rezolvate mai uşor folosind transformata Laplace deoarece ecuaţiile diferenţiale introduse de elementele dinamice sunt transformate în ecuaţii algebrice. Şi aici, în circuitele cu impedanţe şi surse operaţionale, sunt valabile metodele folosite la circuitele liniare de curent continuu.

În final sunt abordate liniile electrice lungi în regim armonic permanent şi în regim tranzitoriu. Liniile electrice lungi sunt circuite cu parametri repartizaţi spre deosebire de restul aplicaţiilor din această culegere unde s-au studiat circuite cu parametri concentraţi.

Dacă, pe lângă rezolvarea manuală a problemelor abordată în această culegere, se consideră utilă şi studierea unor metode de simulare a circuitelor, se poate folosi manualul „Simularea circuitelor electrice - lucrari de laborator” de F. Constantinescu, A. G. Gheorghe, M. Nitescu, C. V. Marin, A. Ionescu, Editura Printech 2011. În aceast caz şedinţele de aplicaţii.se pot desfăşura combinând rezolvarea la tablă a problemelor cu simularea unor circuite folosind programe de analiză în domeniul timpului sau în domeniul frecvenţei.

Autorul mulţumeşte profesorului Florin Constantinescu pentru îndrumare, precum şi tuturor cititorilor care vor semnala anumite erori sau neconcordanţe şi/sau vor face propuneri pentru îmbunătăţirea unei eventuale ediţii ulterioare. 19.09.2012 As. dr. ing. Alexandru Gabriel GHEORGHE

~ 5 ~

CUPRINS: Scrierea matriceală a teoremelor lui Kirchhoff ............................................... 7

Breviar teoretic .................................................................................................................................... 7 Exerciţii rezolvate: .............................................................................................................................. 7 Exerciţii propuse: .............................................................................................................................. 15

Circuite rezistive ............................................................................................... 17 Caracteristici de intrare şi de transfer în circuitele rezistive cu conexiune serie-paralel .................. 17

Breviar teoretic................................................................................................................. 17 Exerciţii rezolvate: ........................................................................................................... 18 Exerciţii propuse: ............................................................................................................. 19

Reprezentarea diportilor .................................................................................................................... 22 Diporţi liniari .................................................................................................................................... 22

Breviar teoretic................................................................................................................. 22 Exerciţii rezolvate: ........................................................................................................... 23 Exerciţii propuse: ............................................................................................................. 28

Diporţi neliniari ................................................................................................................................. 29 Breviar teoretic................................................................................................................. 29 Exerciţii rezolvate: ........................................................................................................... 29 Exerciţii propuse: ............................................................................................................. 30

Metoda Newton-Raphson ................................................................................................................. 31 Breviar teoretic................................................................................................................. 31 Exerciţii rezolvate: ........................................................................................................... 31 Exerciţii propuse: ............................................................................................................. 33

Metoda potenţialelor la noduri .......................................................................................................... 34 Breviar teoretic................................................................................................................. 34 Exerciţii rezolvate: ........................................................................................................... 35 Exerciţii propuse: ............................................................................................................. 41

Circuite cu amplificatoare operaţionale (A.O.) ................................................................................ 43 Breviar teoretic................................................................................................................. 43 Exerciţii rezolvate: ........................................................................................................... 43 Exerciţii propuse: ............................................................................................................. 47

Metoda curenţilor ciclici ................................................................................................................... 48 Breviar teoretic................................................................................................................. 48 Exerciţii rezolvate: ........................................................................................................... 49 Exerciţii propuse: ............................................................................................................. 52

Generatoare echivalente .................................................................................................................... 54 Breviar teoretic................................................................................................................. 54 Exerciţii rezolvate: ........................................................................................................... 56 Exerciţii propuse: ............................................................................................................. 63

Circuite de ordinul I ......................................................................................... 65 Circuite liniare .................................................................................................................................. 65

Breviar teoretic................................................................................................................. 65 Exerciţii rezolvate: ........................................................................................................... 65

Circuite cu rezistoare liniare pe porţiuni ........................................................................................... 67 Exerciţii propuse: ............................................................................................................. 76

Circuite de ordinul II ........................................................................................ 78 Breviar teoretic .................................................................................................................................. 78 Exerciţii rezolvate: ............................................................................................................................ 79 Exerciţii propuse: .............................................................................................................................. 84

Circuite de curent alternativ ............................................................................ 85

~ 6 ~

Reprezentarea în complex a mărimilor sinusoidale .......................................................................... 85 Breviar teoretic................................................................................................................. 85 Exerciţii rezolvate: ........................................................................................................... 85

Caracterizarea în complex a elementelor de circuit .......................................................................... 86 Breviar teoretic................................................................................................................. 86 Exerciţii rezolvate: ........................................................................................................... 87 Exerciţii propuse: ............................................................................................................. 93

Generatoare echivalente în curent alternativ ..................................................................................... 95 Breviar teoretic................................................................................................................. 95 Exerciţii rezolvate: ........................................................................................................... 96 Exerciţii propuse: ........................................................................................................... 100

Circuite trifazate .............................................................................................................................. 102 Exerciţii rezolvate: ......................................................................................................... 103 Exerciţii propuse: ........................................................................................................... 105 Exerciţii rezolvate: ......................................................................................................... 107 Exerciţii propuse: ........................................................................................................... 109

Regimul periodic nesinusoidal ....................................................................... 110 Breviar teoretic ................................................................................................................................ 110 Exerciţii rezolvate: .......................................................................................................................... 110 Exerciţii propuse: ............................................................................................................................ 116

Calculul operaţional cu transformata Laplace ............................................ 118 Breviar teoretic ................................................................................................................................ 118 Exerciţii rezolvate: .......................................................................................................................... 119 Exerciţii propuse: ............................................................................................................................ 122

Analiza circuitelor dinamice liniare cu transformata Laplace .................. 123 Breviar teoretic ................................................................................................................................ 123 Exerciţii rezolvate: .......................................................................................................................... 125 Exerciţii propuse: ............................................................................................................................ 130

Linii electrice lungi .......................................................................................... 132 Linii lungi în regim armonic permanent ......................................................................................... 132

Breviar teoretic............................................................................................................... 132 Exerciţii rezolvate: ......................................................................................................... 132 Exerciţii propuse: ........................................................................................................... 134

Linii lungi în regim tranzitoriu ........................................................................................................ 135 Breviar teoretic............................................................................................................... 135 Exerciţii rezolvate: ......................................................................................................... 135 Exerciţii propuse: ........................................................................................................... 139

Bibliografie ...................................................................................................... 139

~ 7 ~

Scrierea matriceală a teoremelor lui Kirchhoff Breviar teoretic Se defineşte:

A – matricea de incidentă a laturilor la noduri, care este o matrice cu L coloane si N-1 linii, unde L este numarul de laturi iar N este numarul de noduri din graful circuitului. Un element din linia i şi coloana j poate avea valoarea:

0 dacă latura j nu este conectată la nodul i, +1 dacă latura j iese din nodul i şi, -1 dacă latura j intră in nodul i.

I – vectorul curenţilor laturilor [ ]Lt iiiI ,,, 21 = ;

U – vectorul tensiunilor laturilor [ ]Lt uuuU ,,, 21 = ;

V – vectorul potenţialelor primelor N-1 noduri [ ]121 ,,, −= Nt VVVV şi 0=NV .

Cu aceste notaţii se pot introduce teoremele lui Kirchhoff sub formă matriceală. T I K (teorema I a lui Kirchhoff): 0=⋅ IA T II K (teorema a II-a a lui Kirchhoff): VAU t ⋅= Teorema lui Tellegen

Fie două circuite 1 şi 2 care au acelaşi graf orientat cu N noduri şi L laturi. Dacă curenţii din circuitul 1 satisfac teorema I a lui Kirchhoff şi tensiunile din circuitul 2 satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff, atunci:

( )( ) ( )( )∑=

=⋅L

kkk titu

1

12 0

sau, matriceal, ( ) ( ) 012 =⋅ IU t .

Exerciţii rezolvate: Exerciţiul 1

Fie un graf orientat G cu N noduri şi L laturi. Pornind de la forma matriceală a teoremelor lui Kirchhoff şi Tellegen, să se arate că oricare două din cele trei o implică pe a treia. 1° T I K + T II K → T.T. 2° T II K + T.T. → T I K 3° T I K + T.T. → T II K Rezolvare: 1°

Pentru a deduce T.T. scriem T K I pentru primul circuit şi T K II pentru al doilea circuit. Cele două circuite având acelaşi graf, matricea de incidenţă a laturilor la noduri este aceeaşi.

~ 8 ~

( )

( ) ( )( ) ( ) 0

0 1222

1

=⋅⇒

⋅==⋅

IUVAU

IA t

t

Se observă că în expresia T.T. vectorul tensiunilor laturilor este transpus. Pentru a obţine acest termen transpunem T II K. Rezultă:

( ) ( )( )tt VAU 22 ⋅= ( ) ( )( )ttt VAU 22 ⋅= ( ) ( ) AVU tt

⋅= 22 Pentru a obţine în termenul stâng T.T. înmulţim la dreapta expresia precedentă cu

vectorul curenţilor laturilor circuitului 1, diferit de vectorul nul. ( ) ( ) AVU tt

⋅= 22 | ( ) 01 ≠⋅ I ( ) ( ) ( ) ( )1212 IAVIU tt

⋅⋅=⋅ Se observă că în membrul drept s-a obţinut T I K deci:

( ) ( ) ( ) 0212 ⋅=⋅tt VIU

( ) ( ) 012 =⋅ IU t 2°

( ) ( )

( ) ( )( ) 00 1

22

12

=⋅⇒

⋅==⋅ IAVAU

IUt

t

Se observă că în T I K matricea A nu este transpusă. Pentru a obţine acest lucru transpunem relaţia T II K:

( ) ( )( )tt VAU 22 ⋅= ( ) ( )( )ttt VAU 22 ⋅= ( ) ( ) AVU tt

⋅= 22 Acum ne folosim de T.T. şi înmulţim la dreapta expresia precedentă cu vectorul

curenţilor laturilor circuitului 1, diferit de vectorul nul. ( ) ( ) AVU tt

⋅= 22 | ( ) 01 ≠⋅ I ( ) ( ) ( ) ( )1212 IAVIU tt

⋅⋅=⋅ Cum ( ) ( ) 012 =⋅ IU t şi ( ) 02 ≠V rezultă:

( ) ( )120 IAV t⋅⋅= ( )10 IA ⋅=

3°

( )

( ) ( )( ) ( )22

12

1

00

VAUIU

IA tt ⋅=⇒

=⋅=⋅

Pentru a obţine matricea tA , transpunem T I K ( )( )tIA 01 =⋅ ( )( ) 01 =⋅

tIA ( ) 01 =⋅ tt AI

iar pentru a obţine termenul drept din T II K înmulţim la dreapta relaţia cu ( ) 02 ≠V :

~ 9 ~

( ) 01 =⋅ tt AI | ( )2V⋅ ( ) ( ) 021 =⋅⋅ VAI tt

Pentru a obţine vectorul ( )2U transpunem T.T.: ( ) ( )( )tt IU 012 =⋅ ( ) ( )( ) 012 =⋅

tt IU ( ) ( ) 021 =⋅UI t

Egalând aceste două rezultate ( ) ( ) 021 =⋅UI t

( ) ( ) 021 =⋅⋅ VAI tt rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )2121 VAIUI ttt⋅⋅=⋅

Deoarece ( ) 01 ≠I putem împărţi relaţia prin acest termen şi obţinem T II K ( ) ( ) ( ) ( )2121 VAIUI ttt

⋅⋅=⋅ | ( ) 0: 1 ≠I ( ) ( )22 VAU t ⋅=

Exerciţiul 2

Fie graful orientat din figură [1]:

a) Se dau AI 241 = , AI 13 = , AI 54 = , AI 57 −= , AI 310 −= . Să se determine restul. b) Se dau VU 101 = , VU 52 = , VU 13 = , VU 34 −= , VU 25 = , VU 26 = , VU 812 = . Să se determine restul. Rezolvare:

Numerotăm aleator nodurile:

a) Folosim T I K unde:

~ 10 ~

+−−+++−−−

++−−−+

+−++++

=

000110000100011010000010010000000001100000001000100001100100

000000110010000001010001

A ,

iar [ ]121110987654321 IIIIIIIIIIIII t = .

Din 0=⋅ IA rezultă:

=

⋅

+−−+++−−−

++−−−+

+−++++

000000000000

000110000100011010000010010000000001100000001000100001100100

000000110010000001010001

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

IIIIIIIIIIII

sau:

=+−−=+++−

=−−=+

=−−−=+−=++

00

00

000

983

111082

111

124

12763

652

751

IIIIIII

IIII

IIIIIIIIII

⇔

−=−=−=−=

=−=−=

AIAI

AIAIAI

AIAI

52423

111930

12

11

9

8

6

5

2

b) Folosim T II K unde:

~ 11 ~

+−+−+

+−+

−+−+

−++

−+−+

−+

=

00011000110000010000010000001100000

00001010000110000001100010001000100

01000100010001

tA ,

[ ]121110987654321 UUUUUUUUUUUUU t = ,

iar [ ]7654321 VVVVVVVV t = .

Din VAU t ⋅= rezultă:

⋅

+−+−+

+−+

−+−+

−++

−+−+

−+

=

7

6

5

4

3

2

1

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

00011000110000010000010000001100000

00001010000110000001100010001000100

01000100010001

VVVVVVV

UUUUUUUUUUUU

sau

~ 12 ~

−=−=

==

−=−=−=−=

=−=−=−=

3412

5611

610

79

768

317

326

215

44

733

622

511

VVUVVU

VUVU

VVUVVUVVUVVU

VUVVUVVUVVU

⇔

=−=

=−=

=−=−=−=−=−=−=−=

VUVU

VUVU

VUVVVVVV

VVVV

VVVV

314

42

412141731197

11

10

9

8

7

7

6

5

4

3

2

1

Exerciţiul 3

Să se determine necunoscutele circuitului folosind teoremele lui Kirchhoff

Rezolvare: Se observă că circuitul are: N=3 noduri L=5 laturi B=L-N+1=3 bucle fundamentale

Necunoscutele circuitului sunt curenţii prin rezistoare şi prin sursa de tensiune şi tensiunea pe sursa de curent:

T I K se scrie pentru N-1 noduri:

~ 13 ~

=+=+

34

231

IIIIII

S

T II K se scrie pentru L+N+1 bucle:

−=⋅=⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅

SUIIII

II

4

432

21

10112

622

Din cele două teoreme rezultă sistemul cu cinci ecuaţii şi cinci necunoscute:

−==++

=+=+=+

S

S

UIIII

IIIIIIII

4

432

21

34

231

02622

din care se obţine soluţia:

=−=

===

VUAI

AIAI

AI

S 55

121

4

3

2

1

Corectitudinea soluţiei se verifică cu bilanţul de puteri: Puterea consumată de rezistenţe 2

kkabs IRP ⋅= ∑ [W] trebuie să fie egală cu puterea

generată de surse ∑ ⋅= iideb IUP [W]. In cazul acestei probleme se obţine

362511142121122 24

23

22

21

2 =⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑ IIIIIRP kkabs [W] iar

3665161 =⋅+⋅=⋅+⋅=⋅= ∑ SSiideb IUIEIUP [W] Exerciţiul 4

Să se verifice faptul că teorema lui Tellegen este valabilă pentru orice tensiune 0U din circuitul din figură [1].

Rezolvare:

Desenăm un graf asociat circuitului după cum urmează: - graful unui dipol

~ 14 ~

- graful unui tripol

- graful unui diport

Inlocuind fiecare element de circuit cu graful corespunzător obţinem:

Fiecare latură este caracterizată de o tensiune şi un curent după cum urmează:

( ),2,101 AVl − ( ),2,102 AVl ( ),5,43 AVl − ( ),5,44 AVl ( ),, 005 IUl − ( ),, 006 IUl ( )AVl 5,07 . Obţinem vectorul tensiunilor laturilor:

[ ]0441010 00 UUU t = şi vectorul curenţilor laturilor:

[ ]55522 00 III t −−−= Din teoreme lui Tellegen rezultă:

( ) ( ) ( ) 005454210210 0000 =+⋅+−⋅+⋅+−⋅+⋅+−⋅=⋅ IUIUIU t Exerciţiul 5

Considerând acelaşi circuit rezistiv liniar N având la porţi elementele din figurile a şi b să se arate că 'II = (teorema reciprocităţii) [1].

a) b)

Rezolvare:

Scriem T.T. considerând circuitul din cazul a ca fiind circuitul (1) şi circuitul din cazul b ca fiind circuitul (2):

~ 15 ~

( ) ( )∑=

=⋅N

kkk IU

1

12 0

Din aceasta sumă ştim doar elementele primelor două laturi. Scoţând în afara sumei aceşti termeni obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 03

1212

22

11

21 =⋅+⋅+⋅ ∑

=

N

kkk IUIUIU

sau ( ) ( ) ( ) 00

3

1211 =⋅+⋅+⋅ ∑

=

N

kkk IUIEI ⇔ ( ) ( ) 0

3

12 =⋅+⋅ ∑=

N

kkk IUIE .

Scriem din nou T.T. considerând circuitul din cazul b ca fiind circuitul (1) şi circuitul

din cazul a ca fiind circuitul (2) şi scoatem în afara sumei termenii corespunzători laturilor cunoscute:

( ) ( ) 01

21 =⋅∑=

N

kkk IU

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 03

2122

12

21

11 =⋅+⋅+⋅ ∑

=

N

kkk IUIUIU

sau ( ) ( ) 0'

3

21 =⋅+⋅ ∑=

N

kkk IUIE .

Pentru a obţine egalitatea cerută nu ne rămâne decât să arătam că ( ) ( ) ( ) ( )∑∑

==

⋅=⋅N

kkk

N

kkk IUIU

3

21

3

12 .

Pentru aceasta ne folosim de faptul că circuitul fără laturile (1) şi (2) conţine doar rezistoare liniare pentru care ştim că IRU ⋅= deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑====

⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅N

kkk

N

kkkk

N

kkkk

N

kkk IUIIRIIRIU

3

21

3

21

3

12

3

12

ceea ce duce la egalitatea 'IEIE ⋅=⋅

şi deci 'II = .

Exerciţii propuse: Exerciţiul 1

Fie circuitul din figură:

1° Să se calculeze curenţii şi tensiunile laturilor.

~ 16 ~

2° Să se verifice soluţia cu bilanţul puterilor. Exerciţiul 2

Să se calculeze curenţii din laturile circuitului din figură.

Exerciţiul 3

Fie circuitul din figură:

1° Să se calculeze curenţii şi tensiunile necunoscute. 2° Să se verifice soluţia cu bilanţul puterilor.

~ 17 ~

Circuite rezistive Caracteristici de intrare şi de transfer în circuitele rezistive cu conexiune serie-paralel Breviar teoretic

1) Pentru două rezistoare neliniare conectate în serie

sunt valabile relaţiile:

21 III ==

21 UUU += iar dacă [ ]Mm III 111 ,∈ şi [ ]Mm III 222 ,∈ atunci [ ] [ ]MmMm IIIII 2211 ,, ∈ .

2) Pentru două rezistoare neliniare conectate în paralel

sunt valabile relaţiile:

21 UUU ==

21 III += iar dacă [ ]Mm UUU 111 ,∈ şi [ ]Mm UUU 222 ,∈ atunci [ ] [ ]MmMm UUUUU 2211 ,, ∈ .

Cunoscând graficele ( ) 0, 111 =UIf şi ( ) 0, 222 =UIf , curba ( ) 0, =UIf se poate determina prin puncte adunând tensiunile corespunzatoare aceluiaşi curent sau adunând curenţii corespunzători aceleiaşi tensiuni, în intervalul admisibil de curenţi sau de tensiuni.

Cele mai des întalnite cazuri sunt: Sursa ideală de tensiune Sursa ideală de curent Rezistenţa liniară

E

Is

R

~ 18 ~

Dioda semiconductoare Dioda Zener Dioda de curent constant


Să se determine caracteristica ( ) 0, =UIf pentru circuitul [1]:

Rezolvare:

Pentru simplitate considerăm întâi cazul a două elemente de circuit conectate în serie, rezistenţa R şi dioda D. Fiind conectate în serie sunt parcurse de acelaşi curent DR III == , dar cum ( )+∞∞−∈ ,RI şi [ )+∞∈ ,0DI rezultă că [ )+∞∈ ,0I . Pentru acest curent tensiunea este DR UUU +=1 . Grafic rezultă:

~ 19 ~

+

⇒

Caracteristica finală se obţine considerând acest element de circuit descris de caracteristica obţinută anterior în serie cu sursa de tensiune.

Fiind conectate în serie sunt parcurse de acelaşi curent I , dar cum [ )+∞∈ ,0DI (din cazul precedent) şi ( )+∞∞−∈ ,EI rezultă că [ )+∞∈ ,0I . Pentru acest curent tensiunea este

EUU += 1 . Grafic rezultă:

+

⇒


Să se determine caracteristica de intrare IU ÷ pentru circuitul următor,

stiind că:

~ 20 ~

Exerciţiul 2


stiind că:

Exerciţiul 3


~ 21 ~

stiind că:

Exerciţiul 4

Să se determine caracteristica de transfer 12 UU ÷ pentru circuitul din figură:

Se dă Ω= KR 2 şi:

~ 22 ~

Reprezentarea diportilor Diporţi liniari Breviar teoretic

Dacă din sistemul de ecuaţii al unui circuit se elimină toate necunoscutele cu excepţia mărimilor 2121 ,,, iiuu rezultă ecuaţiile diportului. In funcţie de mărimile care pot fi explicitate există: 1) O reprezentare controlată în curent

⋅+⋅=⋅+⋅=

2221212

2121111

iriruiriru

sau dacă notăm cu

=

2

1

uu

u ,

=

2

1

ii

i ,

=

2221

1211

rrrr

R putem scrie matriceal iRu ⋅= .

2) O reprezentare controlată în tensiune

⋅+⋅=⋅+⋅=

2221212

2121111

ugugiugugi

şi matriceal uGi ⋅= dacă notăm cu

=

2221

1211

gggg

G

3) Două reprezentări hibride

a)

⋅+⋅=⋅+⋅=

2221212

2121111

ihuhuihuhi

sau matriceal

⋅=

2

1

2

1

iu

Hui

, unde

=

2221

1211

hhhh

H .

b)

⋅+⋅=⋅+⋅=

2221212

2121111

''''

uhihiuhihu

sau matriceal

⋅=

2

1

2

1 'ui

Hiu

, unde

=

2221

1211

''''

'hhhh

H .

4) Două reprezentări de transmisie

a)

⋅+⋅=−⋅+⋅=

1221212

1121112

itutiitutu

sau matriceal

⋅=

− 1

1

2

2

iu

Ti

u.

~ 23 ~

b) ( )( )

−⋅+⋅=−⋅+⋅=

2222211

2122111

''''

itutiitutu

sau matriceal

−

⋅=

2

2

1

1 'i

uT

iu

.


Să se determine toate reprezentările posibile pentru diportul liniar descris de ecuaţiile [1]:

=+=+⋅+−

002

21

221

uuuii

Rezolvare: 1) Reprezentarea controlată în curent

Trebuie să explicităm cele două tensiuni funcţie de cei doi curenţi. Din prima ecuaţie avem 2u iar din a doua avem 1u :

−=⋅−=

21

212 2uu

iiu ⇔

⋅+−=⋅−=

211

212

22

iiuiiu

După ce ordonăm ecuaţiile avem

⋅−=⋅+−=

212

211

22iiuiiu

deci

−

−=

2121

R .

2) Reprezentarea controlată în tensiune

Se observă că nu putem explicita curenţii funcţie de tensiuni deci această reprezentare nu există. 3) Reprezentările hibride

a)

−=+⋅=

12

221 2uu

uii sau

−=⋅+−=

12

211 2uu

iui deci

−−

=0121

H .

iar pentru

b)

⋅−⋅=

−=

212

21

21

21 uii

uudeci

−

−=

21

21

10'H

4) Reprezentările de transmisie

a)

⋅−⋅−=−

−=

112

12

21

21 uii

uu şi deci

−−

−=

21

21

01T

b)

⋅+=−=

221

21

2 iuiuu

deci

−

−=

2101

'T

~ 24 ~

Exerciţiul 2

Să se determine cele 6 reprezentări, dacă există, pentru circuitul [1]:

Rezolvare:

1) Reprezentarea controlată în curent

( )( ) ( )

+⋅+⋅−⋅=+⋅=

21122

211

2242

iiiiuiiu

⇔

⋅+⋅−=⋅+⋅=

212

211

6622

iiuiiu

⇒

−

=6622

R


( )

⋅+⋅−=

⋅⋅+⋅=

212

211

66322

iiuiiu

⇔

⋅+⋅−=⋅+⋅=⋅

212

211

66663

iiuiiu⇒ 221 123 iuu ⋅=+⋅

212 121

41 uui ⋅+⋅=

( )

⋅+⋅−=

−⋅⋅+⋅=

212

211

66322

iiuiiu

⇔

⋅+⋅−=⋅−⋅−=⋅−

212

211

66663

iiuiiu⇒ 221 123 iuu ⋅−=+⋅−

211 121

41 uui ⋅−⋅=

Deci

⋅+⋅=

⋅−⋅=

212

211

121

41

121

41

uui

uui ⇒

−=

121

41

121

41

G

3) Reprezentările hibride

a)

⋅−=⋅⇒⋅+⋅=

⋅−⋅=

122212

211

41

121

121

41

121

41

uiuuui

uui

212 123 iuu ⋅+⋅−=

~ 25 ~

Din prima ecuaţie, înlocuind 122 41

121 uiu ⋅−=⋅ se obţine 1211 4

141 uiui ⋅+−⋅= , deci

⋅+⋅−=

−⋅=

212

211

12321

iuu

iui⇒

−

−=123

121

H

b) Din

+=⇒⋅+⋅−=

⋅+⋅=

122212

211

6166

22

iuiiiu

iiu⇔

+=

⋅++⋅=

212

1211

61

2312

uii

iuiu

deci

+=

+⋅=

212

211

61

314

uii

uiu şi ⇒

=

611314

'H

4) Reprezentările de transmisie

a) Folosind

⋅+⋅−=

+−=−⇒⋅+⋅=

212

112211

662122

iiu

iuiiiu⇔

⋅−⋅+⋅−=

+−=−

1112

112

63621

iuiu

iui

obţinem

+−=−

⋅−⋅=

112

112

21

123

iui

iuu şi deci ⇒

−

−= 1

21

123T .

b) Din

−=⇒⋅+⋅−=

⋅+⋅=

221212

211

6166

22

uiiiiu

iiu⇔

+−=

⋅+−⋅=

221

2221

61

2312

iui

iuiu rezultă

+−=

⋅+−=

221

221

61

431

iui

iuu, deci

−−

−−=

161

431

'T .

Exerciţiul 3

Folosind numai rezistoare liniare şi surse comandate, să se determine câte un circuit care are reprezentarea [1]:

a)

=

5213

R ;

b)

−

−=

2123

G ;

c)

−=

21252

H ;

d)

−

=11

00T

~ 26 ~

Rezolvare: a)

Scriind ecuaţiile diportului pentru reprezentarea controlată în curent

⋅+⋅=⋅+⋅=

2221212

2121111

iriruiriru

obţinem două ecuaţii corespunzătoare T II K:

⋅+⋅=+⋅=

212

211

523

iiuiiu

Prima ecuaţie reprezintă o buclă formată din tensiunea 1u la poarta 1 a diportului, egală cu suma dintre căderea de tensiune pe o rezistenţă de 3 ohmi parcursă de curentul 1i şi căderea de tensiune pe o sursă de tensiune comandată in curentul 2i .

A doua ecuaţie reprezintă o buclă formată din tensiunea 2u la poarta 2 a diportului, egală cu suma dintre căderea de tensiune pe o rezistenţă de 5 ohmi parcursă de curentul 2i şi căderea de tensiune pe o sursă de tensiune comandată in curentul 1i .

b)

Scriind ecuaţiile diportului, reprezentarea controlată în teniune

⋅+⋅=⋅+⋅=

2221212

2121111

ugugiugugi

obţinem două ecuaţii corespunzătoare scrierii T I K:

⋅+−=⋅−⋅=

212

211

223

uuiuui

Prima ecuaţie corespunde unui nod în care intră curentul 1i , iese curentul print-o conductanţă de 3 Si la bornele căreia tensiunea este 1u şi intră curentul unei surse de curent comandate în tensiunea 2u .

A doua ecuaţie corespunde unui nod în care intră curentul 2i , iese curentul print-o conductanţă de 2 Si la bornele căreia tensiunea este 2u şi intră curentul unei surse de curent comandate în tensiunea 1u .

~ 27 ~

c) Scriind ecuaţiile diportului, prima reprezentare hibridă

⋅+⋅=⋅+⋅=

2221212

2121111

ihuhuihuhi

obţinem o ecuaţie corespunzătoare T I K şi una corespunzătoare T II K:

⋅+⋅−=

⋅+⋅=

212

211

212

52

iuu

iui

Prima ecuaţie corespunde unui nod în care intră curentul 1i , iese curentul print-o conductanţă de 2 Si la bornele căreia tensiunea este 1u şi iese curentul unei surse de curent comandate în curentul 2i .

A doua ecuaţie reprezintă o buclă formată din tensiunea 2u la poarta 2 a diportului, egală cu suma dintre căderea de tensiune pe o rezistenţă de 0.5 ohmi parcursă de curentul 2i şi căderea de tensiune pe o sursă de tensiune comandată în tensiunea 1u .

d)

Scriind ecuaţiile diportului, prima reprezentare de transmisie

⋅+⋅=−⋅+⋅=

1221212

1121112

itutiitutu

rezultă

−=−=

112

2 0iui

u ⇔

−==

211

2 0iiu

u

~ 28 ~


Să se determine toate reprezentările posibile pentru diporţii liniari descrişi de ecuaţiile [1]:

a)

==++

00

1

221

iuiu

; b)

=−=

00

12

1

iiu

; c)

=+=+⋅+−

002

21

221

uuuii

Exerciţiul 2

Să se determine toate reprezentările diporţilor [1]: a)

b)

c)

Exerciţiul 3

Să se determine toate reprezentările diportului:

~ 29 ~

Diporţi neliniari Breviar teoretic

Reprezentările diporţilor neliniari sunt aceleaşi cu ale diporţilor liniari. In funcţie de mărimile explicitate există: 1) Reprezentarea controlată în curent

( )( )

==

2122

2111

,ˆ,ˆ

iiuuiiuu


( )( )

=

=

2122

2111

,ˆ,ˆ

uuii

uuii

3) Două reprezentări hibride

a) ( )( )

==

2122

2111

,ˆ,ˆ

iuuuiuii

b) ( )( )

=

=

2122

2111

,ˆ,ˆ

uiii

uiuu

4) Două reprezentări de transmisie

a) ( )( )

−=−

=

2122

1122

,ˆ,ˆ

uiii

iuuu

b) ( )( )

−=

−=

2211

2211

,ˆ,ˆ

iuii

iuuu


Să se determine toate reprezentările posibile ale diportului neliniar descris de ecuaţiile

=−+

=+

0

03121

21

iiuui

Rezolvare: 1) Reprezentarea controlată în curent:

−=−=

12

2311

iuiiu

2) Reprezentarea controlată în tensiune:

~ 30 ~

−=

−=

1312

21

uiiui

⇔

−−=

−=3212

21

uuiui

3) Reprezentările hibride:

a)

+=

−=

2131

12

iuiiu

⇔

+−=

+=

3212

3211

iuu

iui

b) nu exista 4) Reprezentările de transmisie:

a)

−=−

−=3112

12

iuiiu

b)

−=

−=

2311

21

iiuui

⇔

−=

−=

2321

21

iuuui

⇔

−=−=

21

2321

uiiuu


Să se determine toate reprezentările posibile ale diporţilor neliniari descrişi de ecuaţiile

a)

=−−

=−⋅−

0

0

1212

2211

uuiuuui

;

b)

=−+

=−

0

02121

21

iuuii

~ 31 ~

Metoda Newton-Raphson Breviar teoretic

Având sistemul de ecuaţii algebrice neliniare ( ) 0=xf unde x este vectorul necunoscutelor, metoda Newton-Raphson se obţine dezvoltând pe f în serie Taylor în jurul lui ( )jx (x la iteratia j), neglijând termenii de ordin superior şi impunand ca ( ) 0)( 1 =+jxf . Rezultă:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )jjjj xfxJxx ⋅−= −+ 11

unde:

=

nx

xx

1

,

=

nf

ff

1

iar ( )( )

( )jxxn

n

n

n

j

xf

xf

xf

xf

xJ

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

1

11

1

se numeşte Jacobianul sistemului, calculat în punctul ( )jx .

Algoritmul pleacă de la o aproximaţie iniţială ( )0x şi se opreşte fie când eroarea între două iteraţii succesive este mai mică decât o eroare impusă

( ) ( )impus

NN xx ε<− −1 , caz în care sirul x(0), x(1), ... converge către soluţia x(N), fie după numărul maxim de iteraţii Nmax, caz în care metoda se considera divergentă. Exerciţii rezolvate: Exerciţiul 1

Să se determine punctul static de funcţionare al circuitului

Unde relaţia între curentul şi tensiunea la bornele rezistenţei neliniare este

−

⋅=1

5.25DU

D eI .

~ 32 ~

Rezolvare:

Pentru a obţine funcţia necesară aplicării metodei N-R scriem T I K în N-1 noduri: 021 =−−+ Ds IIII

Din T II K pentru bucla I rezultă că DUU −=1 , dar cum 11 1 IU ⋅= ⇒ DUI −=1 . Din T II K pentru bucla II rezultă că DUU =2 , dar cum 22 1 IU ⋅= ⇒ DUI =2 . Inlocuind în ecuaţia T I K obţinem:

05101

5.2 =⋅−−−

−DU

DD eUU

051021

5.2 =⋅+−⋅

−DU

D eU ( )( )DUf=

( ) ( )

−

−

⋅+=⋅+=∂∂

=1

5.21

5.2 225.2

52DD UU

D

DD ee

UUfUJ

Aplicăm metoda N-R începând iteraţiile cu aproximaţia iniţială ( ) 00 =DU . Obţinem succesiv:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

⋅+−⋅⋅

⋅+

−=⋅−=

−

−

−1

5.20

15.2

000101

0

0 5102

22

1D

D

U

DUDDDDD eU

e

UUfUJUU

( )( )

( )( ) Vee

UD 98.25102210 1

11 =⋅+−⋅

⋅+−= −

−

Eroarea absolută după prima iteraţie este ( ) ( ) VUU DD 98.201 =−=ε Deoarece eroarea obţinută este foarte mare continuăm cu o nouă iteraţie.

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

⋅+−⋅⋅

⋅+

−=⋅−=

−

−

−1

5.21

15.2

111112

1

1 5102

22

1D

D

U

DUDDDDD eU

e

UUfUJUU

( ) Vee

UD 524.2510983.2222

1983.21

5.2983.2

15.2

983.22 =

⋅+−⋅⋅

⋅+

−=

−

−

Eroarea absolută după a II-a iteraţie este ( ) ( ) VUU DD 459.012 =−=ε

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

⋅+−⋅⋅

⋅+

−=⋅−=

−

−

−1

5.22

15.2

222123

2

2 5102

22

1D

D

U

DUDDDDD eU

e

UUfUJUU

~ 33 ~

( ) Vee

UD 50006.2510524.2222

1524.21

5.2524.2

15.2

524.23 =

⋅+−⋅⋅

⋅+

−=

−

−

Eroarea absolută după a III-a iteraţie este ( ) ( ) VUU DD 02394.023 =−=ε

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

⋅+−⋅⋅

⋅+

−=⋅−=

−

−

−1

5.23

15.2

333134

3

3 5102

22

1D

D

U

DUDDDDD eU

e

UUfUJUU

( ) Vee

UD 500000001.251050006.2222

150006.21

5.250006.2

15.2

50006.24 =

⋅+−⋅⋅

⋅+

−=

−

−

Eroarea absolută după a IV-a iteraţie este ( ) ( ) VUU DD 00006.034 =−=ε Exerciţii propuse: Exerciţiul 1

Să se determine punctul static de funcţionare al circuitului.

~ 34 ~

Metoda potenţialelor la noduri Breviar teoretic

Algoritmul de scriere a ecuaţiilor metodei potenţialelor nodurilor este: 1. se fac toate transformările posibile ale surselor de tensiune în surse de curent şi ale comenzilor în curent în comenzi în tensiune. 2. se alege potenţialul de referinţă astfel încât cât mai multe potenţiale ale nodurilor să poată fi exprimate ca sume de tensiuni electromotoare. 3. considerând ca necunoscute potenţialele celorlalte N-1 noduri şi necunoscutele suplimentare (curenţii unor surse de tensiune conectate între alte noduri decât cele de la punctul precedent, şi curenţii de comandă) se scrie sistemul de ecuaţii:

∑∑∑∈

∈∈∈

=⋅−⋅jk

S

jkik

kijk

kj kIGVGV

unde: jV este potenţialul nodului pentru care se scrie ecuaţia;

∑∈ jk

kG reprezintă suma conductanţelor conectate la nodul j;

iV este potenţialul unui nod vecin cu nodul j;

jkikkG

∈∈

este conductanţa cuprinsă între nodul j şi i;

∑∈ jk

SkI reprezintă suma curenţilor surselor de curent şi a curenţilor suplimentari conectaţi la

nodul j. OBSERVAŢII: 1) Transformarea sursei de tensiune în sursă de curent. Se pot transforma doar sursele reale de tensiune (cele care au o rezistenţă serie nenula):

→

2) Transformarea comenzilor în curent în comenzi în tensiune:

→

~ 35 ~

3) Alegerea nodului de referinţă. a) în circuit există o singură sursă ideală de tesiune:

→

b) în circuit există mai multe surse ideale de tesiune care au un nod comun:

→

c) în circuit există două surse ideale de tesiune care nu au nici un nod comun:

→

d) în circuit există mai multe surse ideale de tesiune care nu au nici un nod comun. Situaţia se tratează similar cu cea din cazul c). Exerciţii rezolvate: Exerciţiul 1

Să se determine necunoscutele circuitului folosind metoda potenţialelor nodurilor. Să se verifice soluţia cu bilanţul de puteri.

~ 36 ~

Rezolvare:

=

⋅=

⋅−

+⋅

=

⋅−

+⋅

−=

⋅

=

0

611

11

11

11

21

11

321

4

123

132

11

21

V

IVV

IVV

IV

VV

unde necunoscutele metodei sunt 43211 ,,,, VVVVI .

⋅=−⋅

=−⋅

⋅−=

123

132

12

6223

26

IVV

IVV

IV

;

Din ultimele două ecuaţii obţinem:

⋅=−⋅

⋅=−⋅

123

132

62

223

IVV

IVV⇒ 12 4 IV ⋅= .

Dar cum 12 26 IV ⋅−= ⇒ 11 264 II ⋅−=⋅ şi obţinem:

AI 11 = ViV 426 12 =⋅−=

VVV 421 ==

ViVV 5321

123 =⋅+⋅=

Ştiind potenţialele nodurilor putem calcula tensiunile şi curenţii laturilor:

AVVI 11

232 =

−=

AVVI 22

423 =

−=

AVVI 51

434 =

−=

~ 37 ~

VVVU s 543 =−=

Puterea consumată de rezistoare:

WIIIIIRP kkabs 36251821212 24

23

22

21

2 =+++=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑ iar puterea generată de surse

WIUIEIUP SSdeb 363061 =+=⋅+⋅=⋅=∑ . Puterea consumată fiind egală cu puterea generată, rezultă că soluţia este corectă. Exerciţiul 2

Să se scrie ecuaţiile metodei potenţialelor nodurilor pentru circuitul:

Rezolvare:

=

=

⋅−

⋅−

++⋅

−−=

⋅

=

⋅−

⋅−

+⋅

=−=

0

241

21

41

31

21

251

31

11

41

11

21

5

214

3

412

32

1

V

VVV

IV

IVVV

VVV

~ 38 ~

Exerciţiul 3

Să se scrie ecuaţiile metodei potenţialelor nodurilor pentru circuitul:

Rezolvare:

Circuitul conţine o sursă reală de tensiune care poate fi transformată într-o sursă reală de curent:

=

−=

⋅−

⋅−

⋅−

++⋅

−=

⋅−

+⋅

−=

⋅−

⋅−

+⋅

=

0

111

31

41

41

31

11

41

41

21

131

21

31

212

5

1234

43

412

1

V

VVVV

IVV

IVVV

V

la care se adaugă ( )

−⋅=⋅=−=

−==

411

32

411

1

22

1

VVIEVVE

VVUI

rezultă:

~ 39 ~

( )

=

−=

⋅−

⋅−

⋅−

++⋅

−=

⋅−

+⋅

−=

⋅−

⋅−

+⋅

−⋅==−=

0

111

31

41

41

31

11

41

41

21

131

21

31

21

22

5

1234

43

412

4132

1

V

VVVV

IVV

IVVV

VVEVVV

Exerciţiul 4

Să se determine conductanţa G astfel încât circuitul să nu aibă soluţie unică [1].

Rezolvare:

Scriind ecuaţiile metodei potenţialelor la noduri obţinem:

( )( ) ( )

=−⋅=⋅=−+⋅

=−+⋅

05521

11

3

31112

21

VVVUVV

VGV ⇒

( )

=⋅+⋅−=−⋅+03611

21

21

VVVVG

⇔

=

⋅

−

−+01

3611

2

1

VVG

Circuitul nu are soluţie dacă sistemul de ecuaţii ataşat nu are soluţie. Acest lucru se întâmplă când determinantul sistemului este nul:

( ) 0336313611

=−⋅=−⋅+=−

−+GG

G⇒ SiG 1=

~ 40 ~

Exerciţiul 5

Să se scrie ecuaţiile metodei potenţialelor nodurilor pentru circuitul [1]:

Rezolvare:

( ) ( )

( )

=

−=

⋅−⋅−

+⋅

=⋅−⋅−+⋅

−=⋅−−

+⋅

0212

212

2212121

21

11

4

123

312

321

V

IVVV

VVV

IVVV

s

Din 31

IU = ⇒ ( )3413 VVUI −==

şi ( )21222 22 VVUIS −⋅=⋅= rezultă:

( )

−⋅−=⋅−⋅−⋅

=⋅−−⋅

−=⋅−−⋅

212123

312

31321

2212

25

22321

23

VVVVV

VVV

VVVV

~ 41 ~


Să se scrie ecuaţiile metodei potenţialelor la noduri.

Exerciţiul 2

Să se scrie ecuaţiile metodei potenţialelor nodurilor şi să se rezolve aceste ecuaţii. Să se verifice soluţia cu bilanţul puterilor.

Exerciţiul 3


~ 42 ~

Exerciţiul 4


~ 43 ~

Circuite cu amplificatoare operaţionale (A.O.) Breviar teoretic

Amplificatorul operaţional este un circuit integrat care funcţionează ca o sursă de tensiune comandată neliniar în tensiune. Acest circuit are două borne de intrare care sunt notate cu + şi – între care se consideră tensiunea 1U . Amplificatorul operaţional funcţionează fiind alimentat de către două surse independente de tensiune continuă conectate între bornele +E şi masă, şi -E şi masă. Curenţii +I şi −I iau întotdeauna valori foarte mici şi se poate considera 0=+I şi 0=−I .

Tensiunea eU între borna de iesire şi masă depinde neliniar de tensiunea iU . Dependenţa între eU şi iU este desenată ca o caracteristică cu trei porţiuni liniare. Pe portiunea I dependenta între eU şi iU este liniară, panta acestei porţiuni fiind foarte mare şi putem considera 0=iU . Pe porţiunea II EUe = 0>iU ceea ce corespunde funcţionării cu ieşirea “în saturaţie la +E”. Pe portiunea III EUe −= şi 0<iU (tot funcţionare cu iesirea “în saturaţie la -E”).

I 0,0,0 === −+ iUII II EUUII ei =>== −+ ,0,0,0 III EUUII ei −=<== −+ ,0,0,0


Repetorul. Să se determine ( )12 UfU = [1].

Rezolvare:

~ 44 ~

Scriem T II K pe bucla formată de cele trei tensiuni: 012 =+− iUUU . Cum A.O. funcţionează în zona I 0=iU rezultă că 12 UU =

Exerciţiul 2

Inversorul. Să se determine ( )12 UfU = dacă A.O. lucrează în zona I [1].

Rezolvare:

Scriem T II K pe bucla I:

0111 =−−⋅ UURI i pe bucla II:

0222 =+⋅+ URIUi şi T I K în nodul „–“:

−+= III 21 . Cum A.O. funcţionează în zona I 0=−I şi 0=iU rezultă din cele trei ecuaţii că:

1

11111 R

UIRIU =⇒⋅=

~ 45 ~

2

22222 R

UIRIU −=⇒⋅=−

Dar 1

21221 R

RUUII −=⇒= .

Exerciţiul 3

Dacă ( )IfU = şi A.O. lucrează în zona

I să se arate că

−=

1

12 R

UfU [1].

Rezolvare:

Ţinând cont că 0=−I şi 0=iU , din T II K pe bucla I se obţine

1

11111 R

UIRIU =⇒⋅= iar din

T I K în nodul „–“ se obţine II =1 deci ( ) ( )

===

1

11 R

UfIfIfU .

Scriind T II K pe bucla II obţinem 02 =+UU sau

−=−=

1

12 R

UfUU

Exerciţiul 4

Să se determine caracteristica de transfer ( )12 UfU = a detectorului de prag [1].

~ 46 ~

Rezolvare: Din T II K pe bucla I rezultă 011 =−+ UEUi deci 11 EUU i += iar eUU =2 .

Pentru simplitate, vom folosi caracteristica simplificată a A.O.: Pentru zona I 0=iU ⇒ 11 EU = Pentru zona II 0>iU ⇒ 11 EU > Pentru zona III 0<iU ⇒ 11 EU <

⇒

~ 47 ~


Să se determine caracteristica de transfer ( )12 UfU = presupunând că A.O. funcţionează în zona I [1].

cunoscând:

Exerciţiul 2 Presupunând că A.O. funcţionează în zona I, gasiţi 12 UUA = pentru circuitul din figura următoare [1].

~ 48 ~

Metoda curenţilor ciclici Breviar teoretic Algoritmul de scriere a ecuatiilor curentilor ciclici este: 1. se fac toate transformările posibile ale surselor de curent în surse de tensiune şi ale

comenzilor în tensiune în comenzi în curent; 2. se aleg cele B=L-N+1 bucle fundamentale astfel încât sursele de curent care nu au putut fi

transformate în surse de tensiune să fie plasate în coarbore; 3. considerând că aceste bucle sunt parcurse de curenţii fictivi BIII ',,',' 21 (curenţii

ciclici), se aleg sensurile acestora şi se scrie sistemul de ecuatii: ( ) 1,...1,'' +−==⋅±+⋅ ∑∑∑

∈∈∈∈

NLiERIRIi

jii Bk

k

BkBk

kjBk

ki

unde: jI ' se ia cu semnul (+) dacă prin

ji

BkBkkR

∈∈

curenţii ciclici aferenţi ij II ',' au acelasi sens. În caz

contrar se ia cu semnul ( - ):

OBSERVAŢII: 1) Transformarea unei surse reale de curent în sursă reală de tensiune.

→

2) In cazul în care avem de-a face cu o buclă fundamentală a cărei coardă conţine o sursă ideală de curent, atunci curentul ciclic este egal cu cel al sursei: SB II

i=' .

~ 49 ~


Să se determine necunoscutele circuitului folosind metoda curenţilor ciclici. Să se verifice soluţia cu bilanţul de puteri.

Rezolvare:

Transformând sursa reală de curent în sursă reală de tensiune rezultă un circuit cu două bucle. Alegem cei doi curenţi fictivi 1'I şi 2'I :

( )( )

=⋅=⋅+++⋅

=⋅++⋅

11

112

21

'62'211'

62'22'

IIIII

II⇔

⋅=⋅+⋅=⋅+⋅

112

21

'6'2'46'2'4

IIIII

⇔

=⋅+⋅−=⋅+⋅

0'4'46'2'4

21

21

IIII

din care rezultă curenţii fictivi AI 1'1 = ; AI 1'2 = .

Pe baza acestor curenţi fictivi se pot calcula foarte usor necunoscutele circuitului:

~ 50 ~

=⋅==⇒=−+

=+=====

VIUAIIII

AIIIAIIAII

S

S

5150

2''1'1'

4

442

213

22

11

Exerciţiul 2

Să se scrie ecuaţiile metodei curenţilor ciclici pentru circuitul:

Rezolvare:

Circuitul conţine o sursă reală de curent pe care o transformăm în sursă reală de tensiune, şi o sursă ideală de curent prin care avem grijă să treacă un singur curent ciclic.

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=−=

⋅−=⋅+⋅−+⋅=⋅+⋅−+⋅

⋅=⋅−+⋅⋅=

32

211

2134

143

212

11

'''

1044'4'42'04'4'45'

101'31'3'

IIIII

IIIIIII

IIIII

⇔

( )

⋅−=⋅+⋅−⋅=⋅+⋅−⋅

⋅=−⋅−⋅=

3134

143

312

211

'104'4'4'60'4'4'9

'10''4''3'

IIIIIII

IIIIII

~ 51 ~

Exerciţiul 3

Să se scrie ecuaţiile metodei curenţilor ciclici pentru circuitul:

Rezolvare:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−−=⋅=⋅++⋅++⋅−++⋅

=⋅++⋅−++⋅=+⋅+⋅−+⋅+++⋅

=

4231

11234

243

4312

1

'''22'22'22'222'

02'22'222'222'2'21'221'

1'

IIIIIIIII

IIIIIII

AI

⇔

( )

−−⋅=⋅+⋅+⋅−⋅=⋅+⋅−⋅

=⋅+⋅−⋅+⋅=

4231234

243

4312

1

'''2'2'4'4'60'2'4'6

2'4'2'3'51'

IIIIIIIIII

IIIIAI

~ 52 ~

Exerciţii propuse: Exerciţiul 1 Fie circuitul din figură. Să se scrie ecuaţiile metodei curenţilor ciclici. Să se verifice soluţia cu bilanţul puterilor.

Exerciţiul 2 Fie circuitul din figură. Să se determine curenţii şi tensiunile necunoscute cu metoda curenţilor ciclici. Să se verifice soluţia cu bilanţul puterilor.

Exerciţiul 3 Să se scrie ecuaţiile metodei curenţilor ciclici.

~ 53 ~

Exerciţiul 4 Să se scrie ecuaţiile metodei curenţilor ciclici.

~ 54 ~

Generatoare echivalente Breviar teoretic Teorema lui THEVENIN

Un circuit rezistiv liniar (oricât de complicat) poate fi reprezentat între două borne oarecare A şi B printr-un generator echivalent de tensiune format dintr-o sursă de tensiune având tensiunea electromotoare egala cu tensiunea 0ABU (unde 0ABU este tensiunea în gol între bornele A şi B ale circuitului) în serie cu o rezistenţă 0ABR (ce reprezintă rezistenţa echivelentă între A şi B a circuitului pasivizat).

Teorema lui NORTON

Un circuit rezistiv liniar (oricât de complicat) poate fi reprezentat între două borne oarecare A şi B printr-un generator echivalent de curent format dintr-o sursă de curent având curentul electromotor egal cu curentul ABscI (unde ABscI reprezintă curentul de scurtcircuit între bornele A şi B ale circuitului) în paralel cu o rezistenţă 0ABR (ce reprezintă rezistenţa echivelentă între A şi B a circuitului pasivizat, între A şi B).

OBSERVAŢII: 1) Prin pasivizare

- sursa ideală de tensiune devine scurtcircuit (R=0):

~ 55 ~

- sursa ideală de curent devine întrerupere (R=∞):

2) Sursele comandate nu se pasivizează. Algoritm: 1) Determinarea rezistenţei 0ABR

Se pasivizează circuitul. a) dacă circuitul rezultat este format doar din rezistoare conectate în serie şi în paralel, 0ABR se determină utilizând teoremele rezistenţelor echivalente:

∑=

=n

kkes RR

1; ∑

=

=n

k kep RR 1

11

b) dacă circuitul rezultat conţine şi surse comandate şi/sau rezistoare care nu sunt conectate în serie şi paralel (stea, triunghi,etc):

b1) se conectează o sursa de tensiune E=1V între bornele A şi B şi se calculează curentul I.

Rezultă

IVRAB

10 = .

b2) se conectează o sursa de curent AIs 1= între bornele A şi B şi se calculează tensiunea U.

Rezultă

AURAB 10 = .

2) Se determină 0ABU şi ABscI folosind una din metodele cunoscute (T I K şi T II K; potenţiale la noduri; curenţi ciclici).

~ 56 ~

3) Se reprezintă generatoarele echivalente.

OBSERVAŢII: 1) Dacă ( )∞∈ ;00ABR circuitul admite atât generator echivalent de curent cât şi de tensiune. 2) Dacă 00 =ABR circuitul admite numai generator echivalent de tensiune. 3) Dacă ∞=0ABR circuitul admite numai generator echivalent de curent. Exerciţii rezolvate: Exerciţiul 1

Să se determine elementele generatorului echivalent de tensiune şi generatorului echivalent de curent pentru circuitul:

Rezolvare:

Calculăm 0ABR . Prin pasivizare circuitul devine:

Deoarece circuitul pasivizat conţine o sursă comandată, pentru a calcula 0ABR între A

şi B conectăm o sursă de tensiune de 1V.

~ 57 ~

Folosim metoda potenţialelor nodurilor:

−=

⋅=

⋅−

+⋅

==

1

611

11

1110

101

112

1

0

VVI

IVV

VV

⇔ 612 2 −=−⋅V ⇒25

2 −=V

Curentul I rezultă aplicând T I K în nodul (1): AVVII29

112

1 =−

−−= .

Rezultă că ( )∞∈== ;0921

0 IVRAB deci circuitul admite atât generator echivalent de

tensiune cât şi de curent.

Calculăm tensiunea de mers în gol 0ABU :

Folosim metoda curenţilor ciclici:

~ 58 ~

( )( )

==−

⋅−=+⋅−=⋅

11

21

102

01

'0''

611'51'

IIII

IUIUI

AB

AB

⇔( )

⋅−=⋅−=⋅

101

01

'6'251'

IUIUI

AB

AB ⇒ 000 630210 ABABAB UUU ⋅+−=⋅− deci

VU AB 940

0 =

Calculăm şi curentul de scurtcircuit ABscI

Folosim metoda curenţilor ciclici:

( )( )

−==

⋅−=+⋅=⋅

21

11

12

1

'''

611'51'

IIIII

III

ABsc

⇔

⋅−=⋅=

12

1

'6'25'

III

⇒

−=⋅−=

=

21

12

1

'''15'

5'

IIIII

I

ABsc

⇒ AI ABsc 20=

~ 59 ~

Exerciţiul 2

Să se determine elementele generatorului echivalent de tensiune şi de curent pentru circuitele [1]:

a)

b)

c)

~ 60 ~

Rezolvare:

a)

Calculăm 0ABR : Deoarece în circuitul pasivizat există o sursă comandată, între A şi B conectăm o sursă

ideală de tensiune de valoare VE 1= .

Din scrierea T I K şi T II K rezultă:

=⋅⋅=11

2

1

1

III

⇒ AI21

= iar ( )∞∈Ω== ;0210 I

VRAB deci circuitul admite atât generator

echivalent de tensiune cât şi de curent.

Calculăm 0ABU :

Din T I K avem sIII += 1 şi cum IIs −= iar 0=I rezultă că şi 01 =I . Din T II K rezultă că VIU AB 212 10 =⋅+= .

Calculăm ABscI :

Din T II K: 1120 I⋅+= ⇒ AI 21 −=

~ 61 ~

Din T I K:

−=+=−=

IIIIIII

s

s

ABsc

1 ⇒ ABscII ⋅−= 21 sau AII ABsc 121 =−= .

b)

Calculăm 0ABR . Prin pasivizare circuitul devine:

Deoarece în circuit există şi surse comandate, conectăm între A şi B o sursă ideală de

tensiune de valoare VE 1= . Din T II K rezultă:

VEU 11 =+ dar cum 12 UE ⋅= ⇒ 13 1 =⋅U deci VU31

1 = .

Din legea lui Ohm, tensiunea 11 2 IU ⋅= ⇒ AUI61

21

1 == .

( )∞∈Ω== ;061

10 I

VRAB deci circuitul admite atât generator echivalent de tensiune cât şi de

curent. Calculăm 0ABU .

Din T II K obţinem că EUU AB += 10 şi cum 11 2 IU ⋅= , 12 UE ⋅= iar AI 51 = rezultă

VU AB 300 = .

~ 62 ~

Calculăm ABscI .

Din T II K rezultă că EUU s += 1 dar cum VUs 0= (scurtcircuit) şi

12 UE ⋅= ⇒ VU 01 = .

Din legea lui Ohm, tensiunea 11 2 IU ⋅= ⇒ AUI 02

11 == .

Din T I K rezultă că AII ABsc 55 1 =−= .

c)

Prin pasivizare circuitul devine:

Deoarece în circuit există şi surse comandate, conectăm între A şi B o sursă ideală de

tensiune de valoare VE 1= . Din T I K avem 001 =−+ III s şi cum 0IIs = rezultă că 01 =I .

Cum ∞===011

10 I

VRAB deci circuitul admite doar generator echivalent de curent.

Calculăm ABscI .

~ 63 ~

Din T I K avem 0III ABscs += şi cum 0IIs = rezultă că AI ABsc 0= . Exerciţii propuse: Exerciţiul 1

Să se determine elementele generatoarelor echivalente între bornele A şi B.

Exerciţiul 2


~ 64 ~

Exerciţiul 3


Exerciţiul 4


~ 65 ~

Circuite de ordinul I Circuite liniare Breviar teoretic

Un circuit dinamic este un circuit care are cel puţin un element dinamic (bobină sau condensator). Funcţionarea acestor circuite este descrisă de ecuaţii diferenţiale şi ecuaţii algebrice. Un circuit liniar de ordinul I are un singur element dinamic. Răspunsul ( )tr (o tensiune sau un curent) într-un astfel de circuit este de forma:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )τ

0

0

tt

etrtrtrtr−

−

∞∞ ⋅−+= unde ( )0tr este valoarea iniţială a răspunsului ( )tr care este cunoscută, τ este constanta de timp a circuitului şi ( )∞tr este valoarea lui ( )tr în punctul de echilibru. Algoritmul metodei: 1) Variabila de stare este tensiunea condensatorului ( )tuC sau curentul bobinei ( )tiL . La momentul 0tt = condensatorul (bobina) are starea initiala ( )0tuC ( ( )0tiL ). Se înlocuieşte condensatorul (bobina) cu o sursă de tensiune (curent) cu valoarea egală cu starea iniţială. In acest circuit se calculează marimea ( )0tr . 2) Se înlocuieşte condensatorul (bobina) cu o rezistenţă infinită (nulă) şi se calculează valoarea răspunsului în punctul de echilibru ( )∞tr . 3) Se determină rezistenţa echivalentă eR la bornele elementului dinamic, pentru circuitul

pasivizat. Se calculează constanta de timp cu formula CRe ⋅=τ sau eR

L=τ .

4) Se determină ( )tr cu relaţia: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )τ

0

0

tt

etrtrtrtr−

−

∞∞ ⋅−+= . ( )tr poate fi şi variabila de stare ( )tuC sau ( )tiL . Exerciţii rezolvate: Exerciţiul 1

Pentru circuitul din figură să se calculeze ( )tu pentru 0≥t , cu ( ) AiL 20 = [1].

~ 66 ~

Rezolvare: Calculăm ( )0u .

Pentru a calcula ( )0u înlocuim bobina cu o sursă de curent de valoare A2 . Pe circuitul rezultat aplicăm una din metodele cunoscute, cea mai potrivită în acest caz fiind metoda curenţilor ciclici.

( ) ( ) ( )

==

=⋅−⋅−++⋅

AIAI

III

1'2'

01'1'111'

3

2

321

⇒ 021'3 1 =−−⋅ I ⇒

===

AIAI

AI

1'2'1'

3

2

1

Pe baza acestor curenţi ciclici se pot calcula curenţii astfel:

=−===

−=−=

AIIIAII

AIII

0''1'

1''

313

12

211

, de unde rezultă VIU 11 2 =⋅= deci ( ) Vu 10 = .

Calculăm ( )∞tu .

Pentru a calcula ( )∞tu înlocuim bobina cu o rezistenţă nulă:

Aplicăm din nou metoda curenţilor ciclici:

( ) ( )

==⋅−+⋅

AIII

1'01'11'

2

21 ⇒ AI21'1 =

Calculăm curenţii reali:

~ 67 ~

==

=−=−=

AII

AIII

21'

21

211''

12

211

⇒ VIU211 1 =⋅= deci ( ) Vtu

21

=∞

Calculăm eR .

Pasivizând circuitul obţinem la bornele bobinei:

Rezistenţa echivalentă se calculează foarte uşor din teoremele rezistenţelor

echivalente serie şi paralel: ( )( ) Ω=+++⋅

=32

111111

eR

Calculăm τ .

sRL

e

5.123

321

====τ

Cu aceste valori se obţine ( )tu .

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )τ−

−

∞∞ ⋅−+=0

0t

etuututu ⇔ ( ) tetu

⋅−⋅

−+= 3

2

211

21 ⇔ ( ) Vetu

t

+⋅=

⋅−32

121

Circuite cu rezistoare liniare pe porţiuni Exerciţiul 2

Se consideră circuitul din figura (1) unde FC µ=1 iar N este descris de caracteristica u-i din figura (2) [1].

~ 68 ~

(1) (2)

a) Indicaţi parcursul dinamic. Indicaţi toate punctele de echilibru şi dacă sunt stabile sau instabile. b) Se presupune că ( ) VuC 150 = . Calculaţi şi schiţaţi ( )tuC şi ( )tiC pentru 0≥t . Rezolvare: a) Parcursul dinamic este dat de deplasarea punctului de functionare ( ) ( )[ ]titu , pe caracteristica din figura (2) pornind de la o condiţie iniţială până în punctul de echilibru.

Din ecuaţia de funcţionare a condensatorului ( )dt

duCti CC ⋅= şi folosind notaţiile din

figura (1) iiC −= , uuC = rezultă:

dtduCi ⋅=− sau

Ciu −=

•

.

Inseamnă că avem trei cazuri posibile:

- dacă 0>i atunci 0<•

u şi deci valorile lui u scad

- dacă 0<i atunci 0>•

u şi deci valorile lui u cresc

- dacă 0=i atunci 0=•

u şi deci u este o constantă ( )0=u

Deplasarea punctului de funcţionare pe caracteristica din figura (2) se poate face numai în sensul sageţilor:

Punctul Vu 10−= de pe axa tensiunilor este unicul punct de echilibru. b) Analiza acestui circuit se face pe fiecare porţiune liniară. Pentru starea iniţială dată (care corespunde porţiunii I) se începe cu această porţiune (între ( )0CC uu = şi ( )1tuu CC = ), apoi se

~ 69 ~

continuă cu porţiunea II (între ( )1tuu CC = şi ( )2tuu CC = ), şi în final cu porţiunea III (între ( )2tuu CC = şi ( )3tuu CC = ). Pentru t=∞ se ajunge în punctul de echilibru. Analiza poate

începe din portiunea IV dacă starea iniţială a condensatorului corespunde acestei porţiuni, continuând similar până în punctul de echilibru.

Pe fiecare porţiune liniară circuitul neliniar are câte un circuit echivalent liniar. Pentru porţiunea I avem următorul circuit echivalent liniar:

unde:

( ) Ω==⋅−

−=

−−

== − 10001010510

1015 33

21

211 ii

uuI

UR

VE 51 = (intersectia cu axa tensiunilor a dreptei corespunzătoare porţiunii I) Cu aceste valori ( )tuC şi ( )tiL se calculează ca în paragraful anterior:

• la 00 == tt : ( ) VuC 150 = (condiţia iniţială) • la ∞= tt scriind T II K rezultă ( ) VtuC 5=∞

• rezistenţa echivalentă a circuitului pasivizat este Ω== 3

1 10RRe

• sCRe

363 101010 −− =⋅=⋅=τ

• ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )τ−

−

∞∞ ⋅−+=0

0t

CCCC etuututu ⇔ ( ) Vetut

C

⋅+⋅= −− 310215

~ 70 ~

Analiza circuitului pe porţiunea II porneşte de la momentul de timp 1tt = , unde 1t este intervalul de timp în care ( )tuC parcurge portiunea I de la ( ) VuC 150 = la ( ) .101 VtuC = Rezultă:

( ) Vetut

C

⋅+⋅== −− 3

1

101 21510

31

10212 −−⋅+=

t

e ⇔213

1

10 =−−t

e ⇔

=

−−

21lnln 3

1

10t

e ⇔

=− − 2

1ln10 3

1t ⇔

⋅−= −

21ln10 3

1t

⇔ ( ) mst 693.0693.010 31 =−⋅−= −

Pentru porţiunea II avem următorul circuit echivalent liniar

unde:

( ) Ω−=−=⋅−−

=−−

== − 10001010105510 3

332

322 ii

uuI

UR

VE 152 = Cu aceste valori ( )tuC şi ( )tiL se calculează ca în paragraful anterior:

• la 1tt = : ( ) VtuC 101 = • la ∞= tt scriind T II K rezultă ( ) VtuC 15=∞

• rezistenţa echivalentă este Ω−== 3

2 10RRe

• sCRe

363 101010 −− −=⋅−=⋅=τ

~ 71 ~

• ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )τ−

−

∞∞ ⋅−+=1

1

tt

CCCC etutututu ⇔ ( )( )

Vetut

C

−⋅= −

−

−⋅−−3

3

1010693.0

35

Analiza circuitului pe porţiunea III porneşte de la momentul de timp 2tt = , unde 2t este intervalul de timp în care ( )tuC parcurge portiunea II de la ( ) VtuC 101 = la ( ) .52 VtuC = Rezultă:

( )( )

Vetut

C

−⋅== −

−⋅−− 3

32

1010693.0

2 355

3

32

1010693.0

31 −

−⋅−

−=t

e ⇔ 23

32

1010693.0

=−

−⋅−t

e ⇔ ( )2lnln 3

32

1010693.0

=

−

−⋅−t

e ⇔ ( )2ln10

10693.03

32 =

⋅−−

−t⇔

( )2ln1010693.0 332 ⋅+⋅= −−t ⇔ 1.386ms693.01010693.0 33

2 =⋅+⋅= −−t

Pentru porţiunea III avem următorul circuit echivalent liniar:

unde:

( )( ) Ω=⋅=

⋅−−−

=−−

== − 1500105.110010105 3

343

433 ii

uuI

UR

VE 102 −= Cu aceste valori ( )tuC şi ( )tiL se calculează ca în paragraful anterior:

• la 2tt = : ( ) VtuC 52 = • la ∞= tt scriind T II K rezultă ( ) VtuC 10−=∞

• rezistenţa echivalentă este Ω== 15002RRe

• sCRe

363 105.110105.1 −− ⋅=⋅⋅=⋅=τ

~ 72 ~

• ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )τ−

−

∞∞ ⋅−+=2

2

tt

CCCC etutututu ⇔ ( )( )

Vetut

C

⋅−⋅−= −

−

⋅⋅−

− 3

3

105.1101.386

325

Intervalul de timp 3t în care ( )tuC parcurge portiunea III de la ( ) VtuC 52 = la ( ) VtuC 103 −= este:

( )( )

Vetut

C

⋅−⋅−=−= −

−

⋅⋅−

− 3

33

105.1101.386

3 32510

3

33

105.1101.386

30 −

−

⋅⋅−

−⋅−=

t

e ⇔ 03

33

105.1101.386

=−

−

⋅⋅−

−t

e ⇔ ( ) −∞==⋅

⋅−− −

−

0ln105.1

101.3863

33t ⇔ ∞=3t

In cazul in care ( ) VuC 150 −= o analiză similară se pote face şi pe porţiunea IV.

Pentru porţiunea IV avem următorul circuit echivalent liniar:

unde:

( )( )( ) Ω==

⋅−−−−−

=−−

== − 10001010501510 3

354

544 ii

uuI

UR

VE 104 −= (intersectia graficului cu axa ox) Cu aceste valori se calculează ( )tuC şi ( )tiL :

• la 00 == tt : ( ) VuC 150 −= (condiţia iniţială) • la ∞= tt scriind T II K rezultă ( ) VtuC 10−=∞

• rezistenţa echivalentă este chiar Ω== 3

1 10RRe

~ 73 ~

• sCRe363 101010 −− =⋅=⋅=τ

• ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )τ−

−

∞∞ ⋅−+=0

0t

CCCC etuututu ⇔ ( ) Vetut

C

+⋅−= −− 31025

Intervalul de timp 4t în care ( )tuC parcurge portiunea IV de la ( ) VuC 150 −= la ( ) VtuC 103 −= se calculează astfel:

( ) Vetut

C

+⋅−=−= −− 3

4

104 2510

34

1022 −−+=

t

e ⇔ 034

10 =−−t

e ⇔ ( ) −∞==− − 0ln10 3

4t ⇔ ∞=4t

Exerciţiul 3

Se consideră circuitul din figura (1) unde mHL 10= iar uniportul N este descris de caracteristica u-i din figura (2) [1].

(1) (2)

a) Schiţaţi parcursul dinamic. b) Dacă ( ) mAiL 150 −= să se determine ( )ti şi ( )tu pentru 0≥t . c) Determinaţi timpul necesar ca circuitul să ajungă din starea iniţială în punctul Q1. d) Determinaţi perioada oscilaţiilor de relaxare. Rezolvare: a) Parcursul dinamic este dat de deplasarea punctului de funcţionare ( ) ( )[ ]titu , pe caracteristica din figura (2) pornind de la starea iniţială.

Din ecuaţia de funcţionare a bobinei ( )dtdiLtu L

L ⋅= şi folosind notaţiile din figura (1)

iiL −= , uuL = rezultă:

dtdiLu ⋅−= sau

Lui −=

•

.

Inseamnă că avem trei cazuri posibile:

~ 74 ~

- dacă 0>u atunci 0<•

i şi deci valorile lui i scad

- dacă 0<u atunci 0>•

i şi deci valorile lui i cresc

- dacă 0=u atunci 0=•

i şi deci i este o constantă ( )0=i

Deplasarea punctului de funcţionare pe caracteristica din figura (2) se face deci în sensul sageţilor:

Se observă că, după ce starea circuitului ajunge în punctul Q1 sau în punctul Q2, aceasta nu mai poate evolua. Q1 şi Q2 se numesc puncte de impas. Dacă presupunem că uL(t) nu poate avea salturi infinite, rezultă că iL(t) este o funcţie continua. In aceste condiţii este permis saltul din Q1 în A şi saltul din Q2 în B. Parcursul dinamic completat cu aceste salturi caracterizează un oscilator de relaxare. Ciclul Q1 A Q2 B Q1 este parcurs într-o perioadă de oscilaţie în care salturile Q1 A şi Q2 B sunt efectuate instantaneu. Rezultă că perioada de oscilaţie este dublul intervalului în care este parcurs segmentul Q2 B. b) Pentru porţiunea I avem următorul circuit

unde:

VE 5.31 = (intersectia dreptei BQ1 cu axa i=0)

( )( ) Ω=⋅=⋅−−

−=

∆∆

= − 15010203

101010)2(5 3

31 IUR

Cu aceste valori ( )tu şi ( )ti se calculează ca in paragraful anterior:

• la 00 == tt : ( ) mAi 150 = (condiţia iniţială) iar ( )0u se calculează scriind T II K pe circuitul următor:

~ 75 ~

( ) ( ) Viu 75.55.310151505.301500 3 =+⋅⋅=+⋅= − • la ∞= tt în curent continuu, bobina se înlocuieşte cu o rezistenţă nulă, rezultă

( ) Vtu 0=∞ .

Scriind T II K: ( ) 05.3150 =+⋅ ∞ti ⇒ ( ) mAti 3.23

1505.3

−=−=∞

• rezistenţa echivalentă a circuitului pasivizat este chiar Ω== 1501RRe

• sRL

e

63

1066.6150

1010 −−

⋅=⋅

==τ

c)

• ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )τ−

−

∞∞ ⋅−+=0

0t

etiititi

( ) ( )( )Ae

etit

t

6

6

1066.633

1066.6333

1033.381033.23

1033.2310151033.23

−

−

⋅−

−−

⋅−

−−−

⋅⋅+⋅−=

=⋅⋅−−⋅+⋅−=

• ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )τ−

−

∞∞ ⋅−+=0

0t

etuututu ⇔

( ) ( )

Ve

etut

t

6

6

1066.6

1066.6

75.5

075.50

−

−

⋅−

⋅−

⋅=

=⋅−+=

( )ti ajunge de la mA15 la mA10− în intervalul de timp 1t

61

1066.6333 1033.381033.231010 −⋅−

−−− ⋅⋅+⋅−=⋅−t

e

~ 76 ~

61

1066.633 1033.381033.13 −⋅−

−− ⋅⋅=⋅t

e 6

1

1066.635.0 −⋅−

=t

e ⇒ 05.11066.6 6

1 −=⋅

− −

t ⇔ st µ≅ 71

d)

( )ti ajunge de la mA15 la mA10 în intervalul de timp 2t

62

1066.6333 1033.381033.231010 −⋅−

−−− ⋅⋅+⋅−=⋅t

e 6

2

1066.633 1033.381033.33 −⋅−

−− ⋅⋅=⋅t

e 6

2

1066.69.0 −⋅−

≅t

e ⇒ 14.01066.6 6

2 −=⋅

− −

t ⇔ st µ≅ 93.02

Intervalul BQ1 este parcurs în sttt µ=−= 07.621

Perioada oscilaţiilor este stT µ=⋅= 14.122 Exerciţii propuse: Exerciţiul 1

Să se calculeze ( )tu pentru mst 1≥ , dacă ( ) mAsiC 110 3 =− [1].

Ω= KR 21 Ω= KR 22

FC µ= 1

Exerciţiul 2

Stiind că ( ) Vu 501 = şi ( ) mAi 504 = [1],

a) Să se calculeze toate tensiunile şi toţi curenţii la 0=t . b) Să se calculeze toate tensiunile şi toţi curenţii la ∞=t .

~ 77 ~

Exerciţiul 3

Se consideră circuitul din figura (1) unde mHL 1= iar uniportul N este descris de caracteristica u-i din figura (2) [1].

(1)

(2)

a) Indicaţi parcursul dinamic. Indicaţi toate punctele de echilibru şi dacă sunt stabile sau instabile. b) Se presupune că ( ) mAiL 200 −= . Calculaţi ( )ti şi ( )tu pentru 0≥t . Exerciţiul 4

Se consideră circuitul din figura (1) unde FC µ=1 iar N este descris de caracteristica u-i din figura (2) [1].

a) Indicaţi parcursul dinamic b) Dacă ( ) VuC 20 = şi ( ) mAiC 20 −= , calculaţi ( )tuC şi ( )tiC pentru 0≥t .

(1) (2)

~ 78 ~

Circuite de ordinul II Breviar teoretic

Circuitele care conţin două elemente dinamice (două condensatoare, două bobine sau un condensator şi o bobină) se numesc circuite de ordinul doi. Un circuit liniar de ordinul II poate fi caracterizat prin ecuaţia de stare

( )tuxAx +⋅=•

unde:

=

2

1

xx

x este vectorul variabilelor de stare ( Cu pentru condensator şi Li pentru bobină),

=

2221

1211

aaaa

A este matricea de stare iar

( ) ( )( )

=

tutu

tu2

1 este vectorul mărimilor de intrare.

Un circuit neliniar de ordinul II poate fi caracterizat prin ecuaţiile de stare

=

=•

•

),,(

),,(

2122

2111

txxfx

txxfx,

unde variabilele de stare sunt variabilele de control ale elementelor dinamice. De exemplu, pentru o bobină controlată în flux variabila de stare este fluxul Lφ .

Scrierea ecuaţiilor de stare

Se urmăreşte scrierea unui sistem de două ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi având ca necunoscute variabilele de stare. O metodă foarte simplă de a obţine aceste ecuaţii este ca din ecuaţiile circuitului să se elimine toate necunoscutele mai puţin Cu , Ci , Li şi Lu . Impreună cu ecuaţiile constitutive ale elementelor dinamice rezultă ecuaţiile de stare. Această metodă se poate folosi atât pentru un circuit liniar cât şi pentru un circuit neliniar.

O altă metodă se bazează pe reprezentările diporţilor. Orice circuit liniar invariant în timp de ordinul doi poate fi considerat ca un diport rezistiv liniar N (care conţine rezistoare liniare şi surse independente) cu elementele dinamice conectate la porţi. Se înlocuiesc condensatoarele cu surse de tensiune şi/sau bobinele cu surse de curent şi se determină reprezentarea diportului. Se considera: reprezentarea controlată în tensiune pentru circuitul cu două condensatoare, reprezentarea controlată în curent pentru circuitul cu două bobine, reprezentarea hibridă pentru circuitul cu o bobină şi un condensator. Ecuaţiile de stare se obţin utilizand reprezentarea adcevata impreună cu ecuaţiile constitutive ale elementelor dinamice.

~ 79 ~


Să se scrie ecuaţiile de stare pentru circuitul [1]:

Rezolvare:

Circuitul conţine un condensator şi o bobină, înseamnă că în final trebuie să obţinem o ecuaţie de forma:

( )( )

+

⋅=

•

•

titu

iu

Ai

uS

S

L

C

L

C

Având două noduri şi două bucle scriem o ecuaţie corespunzătoare T I K şi două ecuaţii corespunzătoare T II K.

T I K: CL iii +=

T II K: ( )( )

=⋅−⋅+=⋅+⋅+

tuiiuteiiu

SCC

LL

1111

Se observă că ( ) itii SC ⋅== 2 ⇔2Cii = iar înlocuind în T I K rezultă:

CC

L ii

i +=2

⇔ CL ii ⋅=23 sau LC ii ⋅=

32 .

Din:

⋅=

⋅=

•

CC

LC

uCi

ii32

⇒ LC iC

u ⋅⋅

=•

32 ceea ce reprezintă prima ecuaţie de stare a circuitului.

Pentru a obţine a doua ecuaţie de stare ne folosim de:

~ 80 ~

( )

+==⋅+⋅+

CL

LL

iiiteiiu 11

⇒ ( )teiiiu LCLL =+−+ şi cum LC ii ⋅=32 rezultă că

( )teiiu LLL =⋅−⋅+322 ⇔ ( )teiu LL +⋅−=

34

Din:

( )

⋅=

+⋅−=

•

LL

LL

iLu

teiu34

⇒( )Ltei

Li LL +⋅

⋅−=

•

34 ceea ce reprezintă a doua ecuaţie de stare a

circuitului.

Rescriind sistemul obţinem:

( )

+⋅⋅

−=

⋅⋅

=

•

•

Ltei

Li

iC

u

LL

LC

34

32

sau sub formă matriceală ( )

+

⋅

⋅−

⋅=

•

•

Lte

iu

L

Ci

uL

C

L

C0

340

320

.

Exerciţiul 2

Să se scrie ecuaţiile de stare pentru următorul circuit neliniar [1]:

unde 2

CC qu = şi 4LLi φ=

Rezolvare:

Condensatorul fiind controlat neliniar în sarcină iar bobina în flux, căutăm ecuaţiile de stare sub forma:

( )( )

( )( )

+

=

•

•

tutu

qfqfq

LC

LC

L

C

2

1

2

1

,ˆ,ˆ

φφ

φ

Circuitul având patru noduri şi patru bucle obţinem următoarele ecuaţii corespunzătoare T I K şi T II K.

~ 81 ~

T I K:

+=+=++

=+++

43

32

21

10

01

iiiiii

iii

L

L

C

T II K:

=⋅−=+⋅+

⋅=⋅=

SL

SC

L

C

uiuuiu

iuiu

2

4

3

1

101

11

, sau o formă echivalentă

=−++==

024

3

1

iuiuiuiu

LC

L

C

.

Rescriem sistemul eliminând succesiv toate necunoscutele mai puţin LCLC iiuu ,,, :

=−++−+=⇒+=+

−−=⇒=++=+++

011

001

24

44

22

2

iuiuuiiiui

iuiiuiiui

LC

LLLL

LLLL

CC

⇔

=−⋅+⋅+=−−++

012301

LLC

LLCC

iuuiuui

⇔

+⋅−⋅−=

−⋅+⋅−=

31

32

31

32

31

34

LCL

LCC

iuu

iui.

Cum

=

=•

•

LL

CC

u

qi

φ iar 2

CC qu = şi 4LLi φ= , rezultă:

+⋅−⋅−=

−⋅+⋅−=

•

•

31

32

31

32

31

34

42

42

LCL

LCC

q

qq

φφ

φ⇔

−+

⋅−⋅−

⋅+⋅−=

•

•

3132

32

31

31

34

42

42

LC

LC

L

C

q

qq

φ

φ

φ

Exerciţiul 3

Un circuit are următoarele ecuaţii de stare:

−++⋅

=

•

•

LCC

LC

L

C

iuuiu

i

u3

22

a) Determinaţi punctele de echilibru. b) Determinaţi comportarea calitativă în jurul punctelor de echilibru folosind metoda circuitului echivalent liniar [1, 2].

~ 82 ~

Rezolvare:

a) La echilibru 0=•

x ⇒

=−+

=+⋅

0

023

2

LCC

LC

iuuiu

.

Rezolvând acest sistem se obţin punctele de echilibru:

02 23 =+⋅+ CCC uuu ⇔ ( ) 0122 =+⋅+ CCC uuu ⇔ ( ) 01 2 =+CC uu ⇒

−=

=

1

0

3,2

1

C

C

u

u.

Inlocuind în a II-a ecuaţie obţinem

−=

=

2

0

3,2

1

L

L

i

i.

Rezultă că avem două puncte de echilibru, ( ) ( )0,0, 11 11QiuQ LC = şi ( ) ( )2,1, 22 22

−−=QiuQ LC . b) Având sistemul:

( )

( )

=−+=

=+⋅=•

•

LCLCCL

LCLCC

iufiuui

iufiuu

,

,2

23

12

,

aproximarea liniară se obţine dezvoltând fiecare ecuaţie a sistemului în serie Taylor în jurul punctelor de echilibru şi păstrând doar termenii liniari.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

−⋅∂∂

+−⋅∂∂

+=

−⋅∂∂

+−⋅∂∂

+=

•

•

2,1

2,1

2,1

2,1

2,12,1

2,1

2,1

2,1

2,1

2,12,1

222

111

,

,

LLQL

CCQC

LCL

LLQL

CCQC

LCC

iiifuu

ufiufi

iiifuu

ufiufu

Comportarea calitativă a circuitului este dată de valorile proprii ale matricei A.

Pentru punctul de echilibru ( )0,01Q avem:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

−⋅∂∂

+−⋅∂∂

+=

−⋅∂∂

+−⋅∂∂

+=

•

•

1

1

1

1

11

1

1

1

1

11

222

111

,

,

LLQL

CCQC

LCL

LLQL

CCQC

LCC

iiifuu

ufiufi

iiifuu

ufiufu

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

⋅−⋅+=−⋅−+−⋅+⋅+=

⋅+⋅+=−⋅+−⋅⋅+=•

•

LCLCCL

LCLCCC

iuiuufi

iuiuufu

110010130,0

10001040,0

0,00,0

22

0,00,01

⋅−⋅+=

⋅+⋅+=•

•

LCL

LCC

iui

iuu

110

100 sau sub formă matriceală

⋅

−

=

•

•

L

C

L

C

iu

i

u11

10.

Deci

−

=11

10A iar valorile proprii sunt soluţiile ecuaţiei ( ) 0det =⋅− IA λ .

~ 83 ~

( ) 0det =⋅− IA λ ⇔ ( ) 0111111 2 =−+=−+⋅=−−

−λλλλ

λλ

.

012 =−+ λλ ⇒

+−=

−−=

251

251

2

1

λ

λ

Se observă că 21 0 λλ << situaţie în care punctul ( )0,01Q este punct şa.

Pentru punctul de echilibru ( )2,12 −−Q avem:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

−⋅∂∂

+−⋅∂∂

+=

−⋅∂∂

+−⋅∂∂

+=

•

•

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

222

111

,

,

LLQL

CCQC

LCL

LLQL

CCQC

LCC

iiifuu

ufiufi

iiifuu

ufiufu

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+−⋅=+⋅−+⋅+=+⋅−++⋅+⋅+−−=

−+⋅−=+++⋅−+=+⋅++⋅⋅+−−=

−−−−

•

−−−−

•

2421140211132,1

24214021142,1

2,12,1

22

2,12,11

LCLCLCCL

LCLCLCCC

iuiuiuufi

iuiuiuufu

+−⋅=

−+⋅−=•

•

24

24

LCL

LCC

iui

iuu sau sub formă matriceală

−+

⋅

−

−=

•

•

22

1414

L

C

L

C

iu

i

u .

Deci

−

−=

1414

A iar valorile proprii sunt soluţiile ecuaţiei ( ) 0det =⋅− IA λ .

( ) 0det =⋅− IA λ ⇔ ( ) ( ) ( ) 0554141414 2 =+⋅=⋅+=−+⋅+=−−

−−λλλλλλ

λλ

.

( ) 05 =+⋅ λλ ⇒

=−=05

2

1

λλ

Se observă că 021 << λλ situaţie în care punctul ( )2,12 −−Q este nod stabil.

~ 84 ~


Să se scrie ecuaţiile de stare pentru circuitul [1]:

Exerciţiul 2

Să se scrie ecuaţiile de stare pentru circuitul:

Exerciţiul 3

Fie circuitul din figură [1]. Să se scrie ecuaţiile de stare. Să se determine starea de echilibru. Să se determine valoarea lui R astfel încât punctul de echilibru să fie: a) nod stabil, b) focar stabil.

Exerciţiul 4

Fie circuitul din figură [1]. Să se scrie ecuaţiile de stare. Să se determine toate stările de echilibru. Să se determine ecuaţiile de stare liniarizate în jurul punctului 0=Cu ,

0=Li . Să se determine valoarea maximă a lui C pentru care originea este nod instabil.

~ 85 ~

Circuite de curent alternativ Reprezentarea în complex a mărimilor sinusoidale Breviar teoretic

O mărime sinusoidală este o funcţie de timp de forma: ( ) ( )ϕ+⋅ω⋅⋅= tYty sin2

unde Y este valoarea efectivă

2⋅Y este valoarea maximă f⋅π⋅=ω 2 şi se numeşte pulsaţie

Tf 1= şi se numeste frecvenţă

T este perioada iar ϕ este faza iniţială.

Mărimii sinusoidale ( ) ( )ϕ+⋅ω⋅⋅= tYty sin2 îi corespunde numărul complex: ϕ⋅⋅= jeYY sub formă exponenţială sau ( ) ( )( )ϕ⋅+ϕ⋅= sincos jYY sub formă trigonometrică sau

bjaY ⋅+= sub formă algebrică.

Dacă se cunoaste ω, mărimii complexe bjaY ⋅+= îi corespunde mărimea sinusoidală ( ) ( )ϕ+⋅ω⋅⋅= tYty sin2 calculată după cum urmează:

22 baY += este modulul numărului complex iar

=ϕ

abarctg este argumentul numărului complex.


Să se reprezinte în complex următoarele mărimi sinusoidale:

a) ( )

π

+⋅ω⋅⋅=2

sin2120 tty

b) ( )

π

+⋅ω⋅=4

sin100 tty

Rezolvare:

a) ( ) jjjeYj

⋅=⋅+⋅=

π⋅+

π⋅=⋅=

π⋅

120101202

sin2

cos120120 2

b) ( )jjjeYj

+⋅=

⋅+⋅=

π⋅+

π⋅=⋅=

π⋅

15022

22

2100

4sin

4cos

2100

2100 4

~ 86 ~

Exerciţiul 2

Să se determine marimile sinusoidale de pulsatie ω corespunzatoare mărimii complexe jY ⋅+= 43 Rezolvare: modulul numărului complex este 543 22 =+=Y

argumentul numărului complex este

=ϕ

34arctg

⇒ ( )

+⋅ω⋅⋅=

34sin25 arctgtty

Caracterizarea în complex a elementelor de circuit Breviar teoretic a) Sursa ideală de tensiune

→

( ) ( )utEte ϕ+⋅ω⋅⋅= sin2 ujeEE ϕ⋅⋅=

b) Sursa ideală de curent

→

( ) ( )iSS tIti ϕ+⋅ω⋅⋅= sin2 ij

SS eII ϕ⋅⋅= Raportul dintre mărimile complexe U şi I se numeşte impedanţă complexă şi se notează cu Z :

( ) ( ) XjReZeI

UeIeU

IUZ iuiu

i

ujj

j

j

⋅+=⋅=⋅=⋅⋅

== ϕ−ϕ⋅ϕ−ϕ⋅ϕ⋅

ϕ⋅

unde Z se numeşte impedanţă R se numeşte rezistenţă X se numeşte reactanţă Cele trei mărimi se masoară în Ω . Raportul dintre mărimile complexe I şi U se numeşte admitanţă complexă şi se notează cu Y :

BjGZU

IY ⋅−===1

unde Y = Y se numeşte admitanţă

G se numeşte conductanţă B se numeşte susceptanţă

~ 87 ~

Cele trei mărimi se masoară în 1−Ω sau Siemens (Si). Având introduse aceste marimi putem defini: c) Rezistenţa devine în complex impedanţă rezistivă

→

R RZR =

d) Bobina devine în complex impedanţă inductivă

→

L LjZL ⋅ω⋅= ⇒ LX L ⋅ω=

e) Condensatorul devine în complex impedanţă capacitivă

→

C

CjZC ⋅ω

−= ⇒C

X C ⋅−=ω

1

Pentru analiza circuitelor de curent alternativ în complex se urmează pasii:

1) Se fac transformările elementelor de circuit în complex 2) Având drept necunoscute mărimile fazoriale aplicăm una din metodele cunoscute (T I K şi T II K, potenţiale la noduri, curenţi ciclici, generatoare echivalente). 3) Se face bilanţul puterilor complexe. 4) Se face transformarea de la marimile complexe la curenţii şi tensiunile sinusoidale. Exerciţii rezolvate: Exerciţiul 1

Fie circuitul din figură.

( ) ( )tte sin2120 ⋅⋅=

a) Să se determine curentii din circuit. b) Să se verifice rezultatul obţinut cu bilanţul puterilor complexe.

~ 88 ~

Rezolvare: a) VeeEE jj 120120 0 =⋅=⋅= ⋅ϕ⋅

Ω== 411RZ R

Ω== 222RZ R

Ω=⋅⋅=⋅ω⋅= jjLjZ L 11

Ω⋅−=⋅

−=⋅ω

−= jjC

jZ C 25.01

Circuitul conţine două noduri şi două bucle. Din teoremele lui Kirchhoff obţinem:

T I K: 321 III +=

T II K: ( )( )

=+⋅=⋅−⋅

120212024

3

2

jIjI

( ) 120242 =⋅−⋅ jI ⇒) ( )

( )( ) ( )Ajj

jj

jI

j

⋅+⋅=+

⋅+⋅=

⋅−⋅+⋅

=⋅−

=⋅+

241241624120

2424120

24120

22

24

2

( ) 12023 =+⋅ jI ⇒) ( ) ( ) ( )Ajj

jj

jI

j

−⋅=+−⋅

=−−⋅

=+

=−

22414

21202

21202120

22

2

3

( )AjIII −⋅=+= 612321

( )( )( )

−⋅=⋅+⋅=

−⋅=

AjIAjI

AjI

2242412

612

3

2

1

( )AjI −⋅= 6121 ⇒

−=

+=

61

1272

1

221

arctg

I

ϕ⇒ ( ) ( )111 sin2 ϕ+⋅⋅= tIti

( )AjI ⋅+⋅= 24122 ⇒

=

+=

211224

2

222

arctg

I

ϕ⇒ ( ) ( )222 sin2 ϕ+⋅⋅= tIti

( )AjI −⋅= 2243 ⇒

−=

+=

21

2448

3

223

arctg

I

ϕ⇒ ( ) ( )333 sin2 ϕ+⋅⋅= tIti

~ 89 ~

b) Corectitudinea soluţiei se verifică cu bilanţul de puteri complexe. Pentru ca soluţia să fie corectă puterea consumată de impedanţe:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jjjjjjIIZIZS kkkkkabs +⋅−⋅⋅++−⋅+⋅⋅−⋅=⋅⋅=⋅= ∑∑ ∗ 22242221222 222

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )jjjjj +⋅=⋅++−⋅⋅⋅=⋅⋅++⋅⋅−⋅= 614402225122524251222 222 trebuie sa fie egală cu puterea generată de surse:

( ) ( )jjIEIES iideb +⋅=+⋅⋅=⋅=⋅= ∗∗∑ 614406121201 Exerciţiul 2

Să se scrie ecuaţiile metodei curenţilor ciclici.

( ) ( )tte ⋅⋅= 2cos2

( )

π

+⋅⋅=4

2sin2 ttiS

Rezolvare:

( ) ( )

π

+⋅⋅=⋅⋅=2

2sin22cos2 ttte ⇒ jVjeEj

=

π⋅+

π=⋅=

π⋅

2sin

2cos1 2

( )

π

+⋅⋅=4

2sin2 ttiS ⇒ =⋅=π⋅4

22 j

S eI

( )Ajj

j

+=

⋅+⋅=

=

π⋅+

π⋅=

122

22

22

4sin

4cos

22

Deoarece la metoda curenţilor ciclici se preferă sursele de tensiune şi comenzile în

curent, pentru cele două bobine cuplate magnetic folosim în complex reprezentarea cu surse de tensiune comandate în curent:

~ 90 ~

→

⋅+⋅=

⋅+⋅=

dtdiL

dtdiMu

dtdiM

dtdiLu

22

12

2111

→

( ) ( )( ) ( )

⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅=⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅=

2212

2111

IjLIjMUIjMIjLU

⇔

⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅=

212

211

22

IjIjUIjIjU

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

⋅+⋅=⋅⋅++−⋅−+−⋅−⋅++−⋅

⋅+=⋅⋅+−⋅+⋅+−⋅⋅=+−⋅++−⋅−−⋅++−+−+⋅⋅

+=

313214

1423

21432

1

32'3'3'23'

2'1'21'3'3'1'312'

1'

IIjjIjjIjjIjjjI

IjjjIjIjjIIjjjIjjIjIjjjjI

jI

La care se adaugă:

+=−−=

−=

323

432

21

''''

'

IIIIII

II

~ 91 ~

Exerciţiul 3

Să se scrie ecuaţiile metodei potenţialelor la noduri pentru circuitul din problema 2.

( ) ( )tte ⋅⋅= 2cos2

( )

π

+⋅⋅=4

2sin2 ttiS

Rezolvare:

Deoarece la metoda potenţialelor la noduri se preferă sursele de curent şi comenzile în tensiune, pentru cele două bobine cuplate magnetic folosim în complex reprezentarea cu surse de curent comandate în tensiune:

⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅=

212

211

22

IjIjUIjIjU

⇒

⋅+⋅=

⋅+⋅

=

j

UUjI

Uj

j

UI

233

323

212

21

1

~ 92 ~

Rezultă sistemul de ecuaţii:

⋅++=

−

⋅−

+−

⋅−

⋅+

−+

+−⋅

⋅===

1234

33

2

1

31

11

31

23

11

13

1

3

0

Ujjj

Vjj

Vjjjj

V

IVjV

V

La care se adaugă:

−−

=

−=

jVVI

VVU

142

3

321

~ 93 ~


Să se determine impedanţa echivalentă a circuitului în raport cu bornele sursei şi să se calculeze puterile activă, reactivă şi aparentă debitate de sursă.

Se cunosc: Ω== 432 RR

Ω==−= 4321 LCL XXX

( )

π

−ω⋅=2

sin32 tte

Exerciţiul 2

Să se determine intensităţile curenţilor din laturile circuitului şi puterea activă şi reactivă debitată de sursă.

Se cunosc: Ω= 201LX

Ω=−=−== 102122 CCL XXXR Ω−= 53CX

( )

−⋅=

4sin1003

πωtte

Exerciţiul 3

Să se scrie ecuaţiile metodei potenţialelor nodurilor.

Se cunosc: ( ) ( )tte sin21 ⋅= ( ) 12 3 ite ⋅=

~ 94 ~

Exerciţiul 4

Să se scrie ecuaţiile metodei curenţilor ciclici.

( ) ( )tte ⋅⋅= 2cos2

( )

π

+⋅⋅=4

2sin2 ttiS

~ 95 ~

Generatoare echivalente în curent alternativ Breviar teoretic Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol

Fie un dipol liniar cu bornele A şi B. Oricât de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursă de tensiune 0ABU în serie cu o impedanţă 0ABZ unde 0ABU este tensiunea de mers în gol măsurată la bornele A şi B (impedanţa Z fiind scoasă din circuit) şi 0ABZ este impedanţa echivalentă între bornele A şi B a circuitului pasivizat (sursele comandate nu se pasivizeaza).

Generatorul echivalent de curent al unui dipol

Fie un dipol liniar cu bornele A şi B. Oricât de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursă de curent ABScI în paralel cu o impedanţă 0ABZ unde curentul ABScI corespunde scurtcircuitului între bornele A şi B.

Algoritmul de determinare a elementelor generatoarelor echivalente în curent alternativ este acelaşi ca în curent continuu (se înlocuiesc rezistenţele cu impedanţe, etc).

~ 96 ~


Să se calculeze 0ABZ utilizând spargerea cuplajului.

( ) ( )tte cos2 ⋅= ( ) ( )ttiS sin2 ⋅=

Rezolvare:

Dacă cele două bobine cuplate au un nod comun exista un circuit echivalent mai simplu fără surse comandate. Acest procedeu se numeşte spargerea cuplajului.

≡

Iar în complex:

OBSERVAŢIE:

Dacă bornele polarizate sunt atacate diferit de curenţi atunci M se înlocuieşte cu –M.

~ 97 ~

0ABZ reprezintă impedanţa complexă a circuitului pasivizat. Deoarece în urma pasivizării şi a spargerii cuplajului circuitul conţine o sursă comandată şi impedanţe conectate în stea/triunghi, nu putem calcula impedanţa echivalentă din teoremele impedanţelor echivalente serie şi paralel.

Pentru a calcula impedanţa echivalentă conectăm între A şi B o sursă de curent AI 1=

şi calculăm tensiunea U la bornele sursei. Rezultă I

UZ AB =0

În complex circuitul devine:

Pentru acest circuit metoda curenţilor ciclici are numarul minim de ecuaţii.

( )( ) ( )

−=⋅=⋅+⋅−⋅+++⋅−⋅

=⋅+⋅−++⋅=

211

1213

312

1

''2'2'2'

0'2'2'1'

IIIIjIjjIjjjjI

jIIjjIAI

( )( )

+=⋅+⋅+=⋅+⋅⋅+

jIjIjIjIj

2''22''22

32

32

( )( ) ( )

−⋅+=⋅+⋅+

=⋅+⋅⋅+

12''22''22

32

32

jIjIjIjIj

⇒ jIj −=⋅ 2' ⇒ AI 1'2 −=

Din prima ecuaţie rezultă: ( ) ( ) jj

jI ⋅−=−⋅⋅+−

= 421222'3 A

Scriind T II K pe bucla parcursă de 1'I obţinem tensiunea, ( ) ( ) 2''2' 211 ⋅−+⋅−⋅= IIjjIU jU −= 4 V

iar Ω−=−

== jjI

UZ AB 41

40

Exerciţiul 2

~ 98 ~

Să se calculeze 0ABU

( ) ( )tte ⋅⋅= 2cos2

( )

π

−⋅⋅=4

2sin2 ttiS

Rezolvare:

( ) ( )

π

+⋅⋅=⋅⋅=2

2sin22cos2 ttte ⇒ jVjeEj

=

π⋅+

π=⋅=

π⋅

2sin

2cos1 2

( )

π

−⋅⋅=4

2sin2 ttiS ⇒ ( )AjeIj

S −=⋅=

π−⋅

12

2 4

În complex circuitul devine:

~ 99 ~

Pentru acest circuit metoda potenţialelor la noduri are numarul minim de ecuaţii. Pentru a simplifica scrierea ecuaţiilor putem echivala impedanţele serie şi transforma sursa reală de tensiune în sursă reală de curent. Rezultă circuitul:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

−=

=

−−=

−⋅

⋅−

−⋅

+⋅

−−=

−⋅

⋅−

⋅−

−⋅

++⋅

==

1

1141

1411

1141

31

141

11

31

0

203

3

23

312

1

0

VVI

II

jj

Vjj

V

Ijj

VVj

V

jVV

⇒

⋅−−=

⋅−=

582763

5813181

3

2

jV

jV iar 20 VU AB =

~ 100 ~


Să se calculeze 0ABZ .

Se cunosc: ( ) ( )tte ⋅⋅= 2cos221

( )

π

−⋅⋅=4

2sin22 tte

( )

π

−⋅⋅=4

2cos2 ttiS

Exerciţiul 2

Să se calculeze ABScI .

Se cunoaşte: ( ) ( )tte sin2 ⋅=

~ 101 ~

Exerciţiul 3

Să se calculeze 0ABU .

( ) ( )tte cos2 ⋅= ( ) ( )ttiS sin2 ⋅=

Exerciţiul 4

Să se scrie ecuaţiile metodei curenţilor ciclici utilizând spargerea cuplajului.

~ 102 ~

Circuite trifazate

Analiza circuitelor trifazate Circuitele trifazate sunt circuite de curent alternativ alimentate de generatoare trifazate. Un generator trifazat poate fi echivalat cu trei surse reale de tensiune avand tensiunile electromotoare de aceeaşi valoare efectivă şi defazate intre ele cu 120 de grade; aceste surse pot fi conectate în stea sau în triunghi. Pentru a face economie de conductoare de legătură, receptoarele trifazate sunt formate din impedanţe conectate tot în stea sau în triunghi. Evident, un astfel de circuit poate fi analizat cu orice metodă de calcul al circuitelor de curent alternativ (teoremele lui Kirchhoff, potenţiale la noduri, curenţi ciclici).

Pentru calculul manual al soluţiilor unor circuite trifazate foarte simple există metode specifice, foarte eficiente, care folosesc proprietăţile acestor circuite. În acest capitol se vor studia numai aceste metode. În continuare vor fi abordate analiza unui receptor în stea şi analiza unui receptor în triunghi. De obicei o astfel de analiză constă în determinarea curenţilor de fază şi de linie când se cunosc tensiunile de alimentare şi impedanţele fazelor. Analiza unui receptor trifazat în stea [2]

Se consideră cazul unui receptor în stea cu fir neutru. Se notează cu N nulul receptorului şi cu 0 nulul de la generator.

Se cunosc: - tensiunile de fază care alimentează receptorul 10U , 20U , 30U ; - impedanţele fazelor 1Z , 2Z , 3Z şi impedanţa conductorului neutru NZ . Mărimile care trebuie determinate sunt: - curenţii din fazele receptorului 1I , 2I , 3I şi curentul din conductorul neutru NI ; - tensiunile de fază ale receptorului NU 1 , NU 2 , NU 3 şi tensiunea pe conductorului neutru

0NU . Algoritmul de analiză a circuitului este: 1. Cunoscând tensiunile de fază care alimentează receptorul 10U , 20U , 30U , admitanţele fazelor 1Y , 2Y , 3Y şi admitanţa firului neutru NY se calculează 0NU cu formula lui Millman:

~ 103 ~

NN YYYY

YUYUYUU+++

⋅+⋅+⋅=

321

3302201100

2. Se calculează tensiunile de fază la receptor NU 1 , NU 2 , NU 3 scriind ecuaţiile date de T II K aplicată în circuitul dat:

1001 UUU NN =+

2002 UUU NN =+

3003 UUU NN =+ 3. Se calculează curenţii din fazele receptorului 1I , 2I şi 3I scriind ecuaţiile date de legea lui Ohm:

111 YUI N ⋅=

222 YUI N ⋅=

333 YUI N ⋅= 4. Se verifică bilanţul de puteri

Soluţia se consideră corectă dacă puterea complexă primită pe la borne de receptor ∗∗∗ ⋅+⋅+⋅= 330220110 IUIUIUS b

este egală cu puterea complexă consumată în impedanţe ∗∗∗ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 333222111 IIZIIZIIZS c .


Fie circuitul din figură [3].

Se dau: VU f 120= , Ω= 81R , Ω== 132 RR ,

Ω= 3CX , Ω= 3LX Se cer: a) NU 1 , NU 2 , NU 3 b) 1I , 2I , 3I şi ( )ti1 , ( )ti2 , ( )ti3 c) S

Rezolvare:

Circuitul fiind alimentat cu tensiuni ce formează un sistem simetric, rezultă în complex tensiunile de fază:

( ) ( )tUtu f ⋅⋅⋅= ωsin210 ⇒ VUU f 12010 ==

( )

⋅

−⋅⋅⋅=3

2sin220πω tUtu f ⇒ VjjUU f

⋅−−⋅=

⋅−−⋅=

23

21120

23

21

20

~ 104 ~

( )

⋅

+⋅⋅⋅=3

2sin230πω tUtu f ⇒ VjjUU f

⋅+−⋅=

⋅+−⋅=

23

21120

23

21

30

Calculăm impedanţele şi admitanţele fazelor:

Ω== 811 RZ ⇒ SZ

Y811

11 ==

Ω⋅−=⋅−= 3122 jXjRZ C ⇒ SjjZ

Y4

3131

11

22

⋅+=

⋅−==

Ω⋅+=⋅+= 3133 jXjRZ L ⇒ SjjZ

Y4

3131

11

33

⋅−=

⋅+==

1. Calculăm deplasarea punctului neutru:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] Vjj

jjjj

jj

jjjj

YYYYYUYUYU

UN

N

1203321332111558

85

313115313115154

314

3181

431

23

21120

431

23

21120

81120

321

3302201100

=−⋅⋅−−−⋅⋅+−⋅⋅=

=⋅−⋅⋅+−⋅+⋅+⋅⋅−−⋅+

=

=⋅−

+⋅+

+

⋅−⋅

⋅+−⋅+

⋅+⋅

⋅−−⋅+⋅

=

=+++

⋅+⋅+⋅=

2. Calculăm tensiunile de fază la receptor:

VUUU NN 01201200101 =−=−=

VjjUUU NN

⋅−−⋅=−

⋅−−⋅=−=

23

23120120

23

211200202

VjjUUU NN

⋅+−⋅=−

⋅+−⋅=−=

23

23120120

23

211200303

~ 105 ~

3. Calculăm curenţii din fazele receptorului 1I , 2I , 3I :

AYUI N 0111 =⋅=

( ) ( ) AjjjjjYUI N 3603133154

3123

23120222 ⋅⋅−=⋅+⋅⋅−−⋅=

⋅+⋅

⋅−−⋅=⋅=

( ) ( ) AjjjjjYUI N 3603133154

3123

23120333 ⋅⋅=⋅−⋅⋅+−⋅=

⋅−⋅

⋅+−⋅=⋅=

şi: ( )

( )

( )

⋅

+⋅⋅⋅=

⋅

−⋅⋅⋅=

=

32sin660

32sin660

0

3

2

1

πω

πω

tti

tti

Ati

4. Verificăm bilanţul de puteri:

( ) ( )( ) ( ) VAjj

jjjj

IUIUIUS b

222

330220110

606336033600

36023

23120360

23

231200120

⋅=⋅+⋅+⋅−⋅+=

=⋅⋅−⋅

⋅+−⋅+⋅⋅⋅

⋅−−⋅+⋅=

=⋅+⋅+⋅= ∗∗∗

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) VAjj

jjjjjj

IIZIIZIIZS c

222

333222111

60631603316030

3603603136036031008

⋅=⋅+⋅⋅+⋅−⋅⋅+=

=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−+⋅⋅=

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ∗∗∗

Se observă că cb SS = deci soluţia este corectă. Exerciţii propuse: Exerciţiul 1


Se dau: VU f 120= , Ω= 5R , Ω⋅== 35CL XX

Se cer: a) NU 1 , NU 2 , NU 3 b) 1I , 2I , 3I şi ( )ti1 , ( )ti2 , ( )ti3 c) S

~ 106 ~

Exerciţiul 2


Se dau: VU f 240= , Ω== 1221 RR , Ω= 483R ,

Ω⋅= 312CX , Ω⋅= 316LX Se cer: a) NU 1 , NU 2 , NU 3 b) 1I , 2I , 3I şi ( )ti1 , ( )ti2 , ( )ti3 c) S

Analiza unui receptor trifazat în triunghi [2]

Se cunosc: - tensiunile de linie 12U , 23U , 31U - impedanţele receptorului 12Z , 23Z , 31Z Se cer: - curenţii de linie: 1I , 2I , 3I - curenţii din fazele receptorului: 12I , 23I , 31I . Algoritmul de analiză a circuitului: 1. Din legea lui Ohm se calculează curenţii din fazele receptorului:

12

1212 Z

UI =

~ 107 ~

23

2323 Z

UI =

31

3131 Z

UI =

2. Se calculează curenţii de linie scriind ecuaţiile date de T I K:

31121 III −=

12232 III −= 23313 III −=

3. Se verifică bilanţul de puteri

Soluţia se consideră corectă dacă puterea complexă primită pe la borne de receptor ∗∗ ⋅+⋅= 313223 IUIUS b

este egală cu puterea aparentă complexă consumată în impedanţe ∗∗∗ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 313131232323121212 IIZIIZIIZS c



Se dau: VUl 120= , Ω== 13112 RR , Ω= 223R ,

Ω== 33112 CL XX , Ω⋅= 32

31LX Se cer: a) 1I , 2I , 3I b) 12I , 23I , 31I c) S

Rezolvare:

Circuitul fiind alimentat cu tensiuni de linie ce formează un sistem simetric, rezultă în complex tensiunile de fază:

( ) ( )tUtu l ⋅⋅⋅= ωsin212 ⇒ VUU l 12012 ==

( )

⋅

−⋅⋅⋅=3

2sin223πω tUtu l ⇒ VjjUU l

⋅−−⋅=

⋅−−⋅=

23

21120

23

21

23

( )

⋅

+⋅⋅⋅=3

2sin231πω tUtu l ⇒ VjjUU l

⋅+−⋅=

⋅+−⋅=

23

21120

23

21

31

~ 108 ~

Calculăm impedanţele fazelor:

Ω⋅+=⋅+= 31121212 jXjRZ L

Ω== 22323 RZ

( ) ( ) Ω⋅+=−⋅⋅+=−⋅+= 31332131313131 jjXXjRZ CL

1. Calculăm curenţii din fazele receptorului:

( ) ( )AjjjZ

UI 31304

3112031

12012

1212 ⋅−⋅=

⋅−⋅=

⋅+==

( )Ajj

ZUI 3130

223

21120

23

2323 ⋅−−⋅=

⋅−−⋅

==

( ) ( ) ( )Ajjjj

j

ZUI 3130

43131120

31

23

21120

31

3131 ⋅+⋅=

⋅−⋅⋅+−⋅=

⋅+

⋅+−⋅

==

2. Calculăm curenţii de linie:

( ) ( ) AjjjIII 3603130313031121 ⋅⋅−=⋅+⋅−⋅−⋅=−= ( ) ( ) AjjIII 603130313012232 −=⋅−⋅−⋅−−⋅=−= ( ) ( ) AjjjIII 360603130313023313 ⋅⋅+=⋅−−⋅−⋅+⋅=−=

3. Verificăm bilanţul de puteri:

( ) =⋅+⋅−=⋅+⋅= ∗∗∗∗223131223113 IUIUIUIUS b

( ) =−⋅

⋅−−⋅+⋅⋅⋅

⋅+−⋅−= 60

23

21120360

23

21120 jjj

( ) ( )[ ] [ ] [ ]VAjjjjjj 326023133603133160 222 ⋅+⋅⋅=⋅+++⋅⋅=⋅++⋅⋅⋅−⋅=

~ 109 ~

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )VAjjjj

jjj

jjjjj

IIZIIZIIZS c

32602323084314243130

3130313031

3130313023130313031

222

313131232323121212

⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=⋅⋅++⋅+⋅⋅+⋅=

=⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++

+⋅+−⋅⋅⋅−−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+=

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ∗∗∗

Se observă că cb SS = deci soluţia este corectă. Exerciţii propuse: Exerciţiul 1


Se dau: VUl 120= , Ω=112R , Ω== 33123 CL XX .

Se cer: a) 1I , 2I , 3I b) 12I , 23I , 31I c) S

Exerciţiul 2


Se dau: VUl 120= , Ω== 13112 RR , Ω= 223R ,

Ω== 33112 CL XX Se cer: a) 1I , 2I , 3I b) 12I , 23I , 31I c) S

~ 110 ~

Regimul periodic nesinusoidal Breviar teoretic

Un circuit functionează în regim periodic dacă toate tensiunile şi toti curenţii sunt funcţii periodice de aceeaşi perioadă. Dacă cel puţin o tensiune sau un curent nu este sinusoidal, se spune că regimul este nesinusoidal sau deformant.

Fie un circuit liniar cu excitaţiile nesinusoidale de tipul:

( ) ( )∑∞

=

α+⋅ω⋅⋅⋅+=1

0 sin2n

nn tnUUtu

Analiza în regim permanent a acestui circuit se face pe fiecare armonică în parte utilizând calculul în complex. Armonica de ordinul n a tensiunii determină apariţia armonicei de ordinul n a curentului şi invers.

Impedanţa complexă a fiecarui element ideal de circuit corespunzătoare armonicei n este: - pentru rezistor: ( ) RZ n

R = - pentru bobină: ( ) LnjZ n

L ⋅ω⋅⋅=

- pentru condensator: ( )

CnjZ n

C ⋅ω⋅−=

In baza teoremei superpoziţiei curentul din fiecare latură este egal cu suma tuturor

curenţilor de armonică n calculaţi:

( ) ( )∑∞

=

β+⋅ω⋅⋅⋅+=1

0 sin2n

nn tnIIti

Componenta de curent continuu ( 0I şi 0U ) se determină pe o reţea separată a cărei

structură diferă de cea pe care se studiază regimul armonicelor. Deoarece în curent continuu ( ) 0=⋅

dtd condensatorul se înlocuieşte cu un rezistor cu ∞=R şi bobina se înlocuieste cu un

rezistor de rezistenţă 0=R . Exerciţii rezolvate: Exerciţiul 1

Fie circuitul din figură [2],

unde: ( ) ( ) ( )tttiS ⋅⋅+⋅+= 2cos22sin22

~ 111 ~

Să se determine tensiunea ( )tu . Rezolvare:

In c. c. avem următorul circuit:

AI 20 = ⇒ VU 2210 =⋅=

Pentru armonica întâi avem:

( )( ) ( )ttiS sin21 ⋅=

Rezultă: ( ) AeI jS 11 01 =⋅= ⋅ ( ) Ω== 11 RZ R ( ) Ω=⋅⋅⋅=⋅ω⋅⋅= jjLjZ L 1111 111

( ) Ω⋅=⋅⋅⋅=⋅ω⋅⋅= jjLjZ L 22111 212

( ) Ω⋅−=⋅⋅

−=⋅ω⋅

−= jjC

jZ C 2

21111

1

Cel mai simplu mod de a calcula tensiunea este de a calcula impedanţa echivalentă:

( ) Ω= jZ e1 ⇒ ( ) ( ) jVIjU S =⋅= 11

~ 112 ~

Mărimii complexe ( )1U îi corespunde o mărime sinusoidală calculată după cum urmează:

( ) 110 221 =+=U este modulul numărului complex iar ( ) ( )

2011 π

=∞=

=ϕ arctgarctg argumentul numărului complex.

⇒ ( )( ) ( ) ( )( )

π+⋅=ϕ+⋅ω⋅⋅=

2sin2sin2 111 ttUtu

Pentru armonica a doua avem:

( )( ) ( )

π

+⋅⋅=⋅⋅=2

2sin222cos222 tttiS

Rezultă:

( ) jAeIj

S ⋅=⋅=π⋅

22 22 ( ) Ω== 12 RZ R ( ) Ω⋅=⋅⋅⋅=⋅ω⋅⋅= jjLjZ L 21122 121

( ) Ω⋅=⋅⋅⋅=⋅ω⋅⋅= jjLjZ L 42122 222

( ) Ω−=⋅⋅

−=⋅ω⋅

−= jjC

jZ C

21122

2

Calculăm tensiunea cu ajutorul impedanţei echivalente:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

)

Ω⋅+

=

=⋅+⋅⋅

+⋅=⋅+⋅⋅

+⋅=

=++

+⋅+=

⋅−

10239

31312

31312

31

222

22222

2

2

1

jjjj

jjj

ZZZZZZ

ZZ

j

CLR

CLRLe

⇒ ( ) ( ) ( ) VjjjIZU Se 59232

10239222 ⋅+−

=⋅⋅⋅+

=⋅=

Mărimii complexe ( )2U îi corespunde o mărime sinusoidală calculată după cum

urmează:

~ 113 ~

( )

25610

59

523 22

2 =

+

−=U este modulul numărului complex iar

( )

−=ϕ

2392 arctg argumentul numărului complex.

⇒ ( )( ) ( ) ( )( )222 2sin2 ϕ+⋅ω⋅⋅⋅= tUtu

Din teorema superpoziţiei rezultă că tensiunea pe sursa de curent este egală cu suma tuturor tensinilor calculate pe armonice: ( ) ( )( ) ( )( )tutuUtu 21

0 ++= ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2211

0 2sin2sin2 ϕ+⋅ω⋅⋅⋅+ϕ+⋅ω⋅⋅+= tUtUUtu Exerciţiul 2

Fie circuitul RLC serie din figură.

Se dau: ( ) ( ) ( )tttu ⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅+= 2sin2300sin2150150 şi

1310 −=ω s . Se cere: a) ( )ti b) Puterile absorbite de elementele pasive de circuit:

S – puterea aparentă P – puterea activă Q – puterea reactivă D – puterea deformantă

Rezolvare: a)

In c.c. avem următorul circuit cu VU 1500 = :

⇒ AI 00 =

Pentru armonica întâi avem: ( )( ) ( )ttu ⋅ω⋅= sin21501

~ 114 ~

Rezultă:

( ) VeU j 150150 01 =⋅= ⋅ ( ) Ω== 151 RZ R ( ) Ω⋅=⋅⋅⋅=⋅ω⋅⋅= − jjLjZ L 101010101 331 ( ) Ω⋅−=

⋅⋅−=

⋅ω⋅−= − jj

CjZ C 10

10100101 631

Impedanţa echivalentă serie este:

( ) ( ) ( ) ( ) Ω=⋅−⋅+=++= 151010151111 jjZZZZ CLRe

⇒ ( )( )

( ) AZUI

e

1015

1501

11 ===

Mărimii complexe ( )1I îi corespunde o mărime sinusoidală calculată după cum

urmează: ( ) 10010 221 =+=I este modulul numărului complex iar ( ) ( ) 00

1001 ==

=ϕ arctgarctg argumentul numărului complExerciţiul

⇒ ( )( ) ( ) ( )( ) ( )AttIti ⋅ω⋅=ϕ+⋅ω⋅⋅= sin210sin2 111

Pentru armonica a doua avem: ( )( ) ( )ttu ⋅ω⋅⋅= 2sin23002

Rezultă:

( ) VeU j 300300 02 =⋅= ⋅ ( ) Ω== 152 RZ R ( ) Ω⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅ω⋅⋅= − jjLjZ L 2010101022 332 ( ) Ω⋅−=

⋅⋅⋅−=

⋅ω⋅−= − jj

CjZ C 5

101001022 632

~ 115 ~

Impedanţa echivalentă serie este:

( ) ( ) ( ) ( ) Ω⋅+=⋅−⋅+=++= jjjZZZZ CLRe 1515520152222

⇒ ( )( )

( ) ( )AjjZ

UIe

−⋅=⋅+

== 1101515

3002

22

Mărimii complexe ( )2I îi corespunde o mărime sinusoidală calculată după cum

urmează: ( ) ( ) 2101010 222 ⋅=−+=I este modulul numărului complex iar

( ) ( )4

110102 π

−=−=

−=ϕ arctgarctg argumentul numărului complex

⇒ ( )( ) ( ) ( )( ) AttIti

π

−⋅ω⋅⋅=ϕ+⋅ω⋅⋅⋅=4

2sin202sin2 222

Din teorema superpoziţiei, curentul este egal cu suma tuturor curenţilor calculaţi

pentru toate armonicele: ( ) ( )( ) ( )( )titiIti 21

0 ++=

( ) ( ) Attti

π

−⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅+=4

2sin20sin2100

b)

( ) ( )( ) ( )( ) VUUUUef 6150300150150 222222120 ⋅=++=++=

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) AIIIIef 31021010022222212

0 ⋅=⋅++=++= puterea aparentă: VAIUS efef 24500 ⋅=⋅=

puterea activă: ( ) WIRP kk 45002101510150152222 =⋅⋅+⋅+⋅=⋅= ∑

puterea reactivă: ( ) VARIXQ kk 300021015100222 =⋅⋅+⋅=⋅= ∑

puterea deformantă: ( ) VADQPSD 51500)30004500(24500)( 222222 ⋅=+−⋅=+−=

~ 116 ~


Se dă circuitul din figura de mai jos. Să se determine valoarea instantanee a curentului prin sursa ( )ti şi puterile debitate de aceasta, în cazul alimentării cu tensiunea: ( ) ( ) ( ) ( )Vtttte ω⋅⋅+ω⋅⋅+ω⋅= 5sin2203sin2100sin2200

Se dau:

Ω=⋅ω

=⋅ω 3841C

L

Ω=⋅ω 51L

Ω=⋅ω

151

1C

Exerciţiul 2

Se dă circuitul din figura de mai jos. Să se determine valoarea instantanee a curentului prin sursa ( )ti şi puterile debitate de aceasta, în cazul alimentării cu tensiunea:

( ) Vttte

π

−⋅⋅+

π

+⋅⋅+=4

2000sin22002

1000sin210050

Se dau:

FCHL

FCHL

R

µ==

µ==

Ω=

2502.0

5001.0

10

1

Exerciţiul 3

Se dă circuitul din figura de mai jos. Să se determine valoarea instantanee a curentului prin sursa ( )ti şi puterile debitate de aceasta, în cazul alimentării cu tensiunea: ( ) ( ) ( )Vttte ω⋅⋅+ω⋅+= 3sin2100sin212060

~ 117 ~

Se dau: Ω=== 3321 RRR

Ω=⋅ω

=⋅ω 31

11 C

L

Ω=⋅ω 12L

Ω=⋅ω

91

3C

Exerciţiul 4

Se dă circuitul din figura de mai jos. Să se determine valorile instantanee ale curenţilor prin cele două surse ( )ti1 , respectiv ( )ti2 şi puterile debitate de acestea, în cazul alimentării cu tensiunile: ( ) ( )Vtte ⋅⋅= 1000sin2201 şi VE 302 = .

Se dau:

Ω=Ω=

24

2

1

RR

Ω=⋅ω 61L

Ω=⋅ω

21

3C

~ 118 ~

Calculul operaţional cu transformata Laplace Breviar teoretic

Cu ajutorul transformatei Laplace se poate construi un sistem de ecuaţii algebrice S’, corespunzător unui sistem de ecuaţii liniare diferenţiale şi algebrice S. Soluţiile sistemului S’ sunt funcţii de o variabilă complexă, care sunt transformatele Laplace ale soluţiilor sistemului S. Ecuaţiile din S’ putând fi manipulate mai uşor decât cele din S, calculul cu transformata Laplace evidenţiază mai bine proprietăţile unui circuit dinamic liniar.

O funcţie ( )tf se numeşte funcţie original dacă îndeplineşte următoarele condiţii: 1) ( ) 0=tf pentru orice ( )−∞−∈ 0,t 2) ( )tf este mărginită pe intervalul ( )∞∈ ,0t , are discontinuităţi finite şi este absolut

integrabilă în origine ( ( ) ∞<∫+

−

0

0

dttf ).

3) pentru 00 >> tt , ( ) teAtf ⋅σ⋅< 0 . O astfel de funcţie are o imagine Laplace ( )sF definită de:

( ) ( )∫∞

⋅−

−

⋅=0

dtetfsF ts

unde ω⋅+σ= js este o variabilă complexă. În aceste relaţii ε−=− 00 şi ε+=+ 00 sunt valori ale timpului pentru 0>ε oricât de mic. ( )sF există pentru orice ( ) 0Re σ>s unde 0σ este valoarea minimă pentru care are loc proprietatea 3. Se notează: ( ) ( ) tfsF L= ( ) ( ) sFtf 1−= L

EXEMPLE

1) Imaginea Laplace a funcţiei treaptă unitate [2]: ( ) ( )tAtf 1⋅= , unde ( )

<≥

=0 ;00 ;1

1tt

t .

( ) ( ) ( ) ( )sA

sA

seAdteAdtetAdtetfsF

tstststs =−⋅

−=

−⋅=⋅=⋅⋅=⋅=

∞⋅−∞⋅−

∞⋅−

∞⋅− ∫∫∫

−−

1010000

2) Imaginea funcţiei treaptă unitate întârziată cu τ [2]: ( ) ( )τ−⋅= tAtf 1 .

~ 119 ~

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅−⋅+⋅−⋅=⋅−⋅=⋅= ∫∫∫∫∞

⋅−⋅−∞

⋅−∞

⋅−

−− τ

τ

τττ dtetAdtetAdtetAdtetfsF tstststs 111000

( ) ( ) τ⋅−τ⋅−

∞

τ

⋅−∞

τ

⋅− =−⋅−

=−

⋅=⋅τ−⋅+= ∫ ssts

ts esAe

sA

seAdtetA 010

3) Imaginea funcţiei impuls Dirac [2]: ( ) ( )ttf δ= .

Din 1) şi 2) rezultă:

( ) ( ) ( )[ ]∆−−⋅∆

=∆ tttP 111

deci

( )s

es

es

sFss

⋅∆−

=

−⋅

∆=

∆⋅−∆⋅−

∆111

iar

( ) ( ) ( )( )

( ) 10lim1lim1limlim 0

0'

'

000==

∆⋅∆−−

=⋅∆

−=

⋅∆−

== −∆⋅−

→∆

∆⋅−

→∆

∆⋅−

→∆∆→∆ee

se

sesFsF

sss

4) Imaginea funcţiei exponenţiale: ( ) teAtf ⋅λ−⋅= .

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )λ+=−⋅λ+−

=

=λ+−

⋅=⋅=⋅⋅=⋅=∞⋅λ+−∞

⋅λ+−∞

⋅−⋅λ−∞

⋅− ∫∫∫

sA

sA

seAdteAdteeAdtetfsF

tstststts

10

0000


Să se determine imaginile Laplace ale funcţiilor: a) ( ) taettf ⋅−⋅= b) ( ) ( )ϕ+⋅ω= ttf sin c) ( ) ( )ttf ⋅ω= cos Rezolvare: a) ( ) taettf ⋅−⋅= cu 0>a

~ 120 ~

Se utilizează integrarea prin părţi ∫∫ −=b

a

ba

b

a

vduuvudv | cu tu = şi tsaev ⋅+−= )( şi rezultă:

( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )220

000

000

11011

10

sasae

sasa

dtesa

dtsa

esa

et

dtetdteetdtetfsF

tsa

tsatsatsa

tsatstats

+=

+

−−=⋅

+−⋅

+=

=⋅+

+=+−

−+−

⋅=

=⋅=⋅⋅=⋅=

∞⋅+−

∞⋅+−

∞ ⋅+−∞⋅+−

∞⋅+−

∞⋅−⋅−

∞⋅−

∫∫

∫∫∫

b) ( ) ( )ϕω +⋅= ttf sin

( ) ( ) ( )∫∫∞

⋅−∞

⋅− ⋅+⋅=⋅=00

sin dtetdtetfsF tsts ϕω

Notăm cu ( )∫∞

⋅−⋅+⋅=0

1 sin dtetI tsϕω şi folosim integrarea prin părţi:

tseu ⋅−= ⇒ tsesdu ⋅−⋅−=

( )dttdv ϕω +⋅= sin ⇒ ( ) ( )ϕωω

ϕω +⋅⋅−=+⋅= ∫ tdttv cos1sin

rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 20

00

cos1coscos1

cos1cos1

Isdtets

dtesttesF

ts

tsts

⋅−⋅=⋅+⋅⋅−⋅=

=⋅−⋅

+⋅⋅−−

+⋅⋅−⋅=

∫

∫∞

⋅−

∞⋅−

∞⋅−

ωϕ

ωϕω

ωϕ

ω

ϕωω

ϕωω

Notăm cu ( )∫∞

⋅−⋅+⋅=0

2 cos dtetI tsϕω şi calculăm separat această integrală folosind

integrarea prin părţi: tseu ⋅−= ⇒ tsesdu ⋅−⋅−=

( )dttdv ϕω +⋅= cos ⇒ ( ) ( )ϕωω

ϕω +⋅⋅=+⋅= ∫ tdttv sin1cos

rezultă:

( )∫∞

⋅−⋅+⋅=0

2 cos dtetI tsϕω

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 10

002

sin1sinsin1

sin1sin1

Isdtets

dtestteI

ts

tsts

⋅+⋅−=⋅+⋅⋅+⋅−=

=⋅−⋅

+⋅⋅−

+⋅⋅⋅=

∫

∫∞

⋅−

∞⋅−

∞⋅−

ωϕ

ωϕω

ωϕ

ω

ϕωω

ϕωω

~ 121 ~

Din ( )

( )

⋅+⋅−=

⋅−⋅=

12

21

sin1

cos1

IsI

IsI

ωϕ

ω

ωϕ

ω ⇒ ( ) ( )

⋅−⋅⋅+⋅−= 22 cos1sin1 IssI

ωϕ

ωωϕ

ω

deci

( ) ( ) 22

2

22 cossin1 IssI ⋅−⋅+⋅−=ω

ϕω

ϕω

))

( ) ( )ϕω

ϕωω

ωω cossin11 22

2

2

2

⋅+⋅=−

+⋅

ssI

( ) ( ) ( )ϕϕωω cossin222 ⋅+⋅−=+⋅ ssI

( ) ( )222

cossinssI

+⋅+⋅−

=ω

ϕϕω

Revenim la

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2222

2

22

2

222

sincossincos1

cossincos1

cossincos1cos1

ss

ss

sss

sssIssF

+ωϕ⋅+ϕ⋅ω

=

+ω

ϕ⋅⋅ω+ϕ⋅ω⋅

ω=

=

+ω

ϕ⋅−ϕ⋅⋅ω+ϕ⋅

ω=

=

+ωϕ⋅+ϕ⋅ω−

⋅ω

−ϕ⋅ω

=⋅ω

−ϕ⋅ω

=

OBSERVAŢII:

1) Dacă 0=ϕ ⇒ ( ) 22 ssF

+=ω

ω ⇔ ( ) 22sins

t+

=+⋅ω

ωϕωL .

2) Dacă 2πϕ = ⇒ ( ) 22 s

ssF+

=ω

⇔ ( ) 22coss

st+

=+⋅ω

ϕωL .

c) ( ) ( )ttf ⋅ω= cos

( ) ( )2

costjtj eettf⋅⋅−⋅⋅ +

=⋅=ωω

ω ⇒ ( ) ( ) ( )∫∫∞

⋅−∞

⋅− ⋅⋅=⋅=00

cos dtetdtetfsF tsts ω

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) 22

00

00

000

21

21

1211

21

21

21

2

ss

jsjs

ejs

ejs

dtedte

dteedteedteeesF

tjstjs

tjstjs

tstjtstjtstjtj

+=

⋅+⋅+

⋅−⋅−=

=⋅⋅+−

⋅+⋅⋅−−

⋅=

=

+⋅=

=

⋅+⋅⋅=⋅

+=

∞⋅⋅+−

∞⋅⋅−−

∞⋅⋅+−

∞⋅⋅−−

∞⋅−⋅⋅−

∞⋅−⋅⋅

∞⋅−

⋅⋅−⋅⋅

∫∫

∫∫∫

ωωω

ωωωω

ωω

ωωωω

~ 122 ~


Să se determine imaginile Laplace ale funcţiilor: a) ( ) ( )tetf ta ⋅ω⋅= ⋅− sin b) ( ) ( )tetf ta ⋅ω⋅= ⋅− cos c) ( ) ( )tttf ⋅ω⋅= sin d) ( ) ( )tttf ⋅ω⋅= cos

~ 123 ~

Analiza circuitelor dinamice liniare cu transformata Laplace Breviar teoretic

Se consideră un circuit în care se cunosc condiţiile iniţiale pentru elementele dinamice ( ( )0Cu sau ( )0Cq pentru condensator şi ( )0Li sau ( )0Lφ pentru bobină). Dacă în acest circuit sursele independente de conectează la momentul de timp 0=t toate tensiunile şi toţi curenţii devin funcţii original.

Conform teoremei derivatei funcţiei original: ( ) ( ) ( )0fsFs

dttdf

−⋅=

L

unde ( ) ( ) tfsF L= .

Scheme echivalente operaţionale a) Sursa ideală de tensiune (curent) continuă

→

( ) ( )tEte 1⋅= ( )

sEsE =

b) Sursa ideală de tensiune (curent) sinusoidal alternativă

→

( ) ( )ϕ+⋅ω⋅= tEte sin ( ) ( ) ( )

22sincos

ssEsE

+ωϕ⋅+ϕ⋅ω

⋅=

c) Rezistorul

→

( ) ( )tiRtu ⋅= ( ) ( )sIRsU ⋅=

d) Bobina

→

( ) ( )dt

tdiLtu ⋅= ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )−−

⋅−⋅⋅==−⋅⋅=

00iLsILs

isIsLsU

⇔

( ) ( ) ( )s

iLssUsI −+⋅

=0

~ 124 ~

e) Condensatorul

→

( ) ( )dt

tduCti ⋅=

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )−

−

⋅−

⋅

=

=−⋅⋅=

01

0

uC

Cs

sUusUsCsI

⇔

( ) ( ) ( )s

uCssIsU −+⋅

=0

f) Două bobine cuplate

→

⋅+⋅=

⋅+⋅=

dtdiL

dtdiMu

dtdiM

dtdiLu

22

12

2111

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

−⋅⋅+−⋅⋅=−⋅⋅+−⋅⋅=

−−

−−

0000

222112

221111

isIsLisIsMsUisIsMisIsLsU

⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅=

−−

−−

0000

2212212

2112111

iLiMsILssIMssUiMiLsIMssILssU

⇔ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−⋅⋅+⋅⋅=−⋅⋅+⋅⋅=

−

−

00

22212

12111

φφ

sILssIMssUsIMssILssU

Cunoscând soluţia calculată ca imagini Laplace, se revine la funcţiile de timp folosind

teoremele lui Heaviside.

I) Dacă ( ) ( )( )sQsPsF = cu ( )( ) ( )( )sQgradsPgrad ≤ şi are m poli simpli ( msss ,, 21 ) atunci

( ) ( ) ( )( )∑

=

⋅− ⋅==m

k

ts

k

k kesQsPsFtf

1

1

'L .

~ 125 ~

II) Dacă ( ) ( )( )sQssPsF

⋅= cu ( )( ) ( )( )sQsgradsPgrad ⋅≤ şi are poli simpli dintre care unul în

origine, atunci ( ) ( ) ( )( )

( )( )∑

−

=

⋅− ⋅⋅

+==1

1

1

'00 m

k

ts

kk

k kesQs

sPQPsFtf L .

III) Dacă ( ) ( )( )sQsPsF = cu ( )( ) ( )( )sQgradsPgrad ≤ şi are m poli multipli

( ( ) ( ) ( ) rmr

m sssssQ −⋅⋅−= 11 ) atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )!11

!1

1 1

11

−⋅⋅⋅⋅−⋅

−== ∑∑

= =

⋅−−

=−

qetsFss

qmsFtf

r

k

r

q

tsqqm

ssm

kk

kk

k

kL .


Fie circuitul din figura, cu comutatorul K deschis [2]. La momentul 0=t se închide comutatorul. Se dă ( ) ( )tte sin2 ⋅= şi condiţia iniţială pentru condensator ( ) VuC 10 =− . Să se determine ( )ti pentru 0≥t .

Rezolvare:

Pentru schemele operaţionale avem nevoie de condiţia iniţială pentru curentul prin bobină ( )−0Li . La momentul de timp 0=t comutatorul K fiind deschis curentul prin circuit este ( ) AiL 00 =− .

Pentru 0≥t , se obţine următorul circuit cu impedanţe şi surse operaţionale:

T II K ⇒ ( ) 01

2112 =+

−+

+

⋅+⋅⋅

ssR

CsLssI

~ 126 ~

⇔ ( ) 01

21112 =+

−+

++⋅

sssssI

⇔ ( )sss

sssI 11

212

2

−+

=++

⋅

⇔ ( )

−

+⋅

++=

ssssssI 1

12

1 22

⇔ ( ) ( ) ( ) 11

112

222 ++−

+⋅++⋅

=sssss

ssI

⇔ ( ) ( ) ( )sIsIsI 21 += , unde ( )sI1 este răspunsul la stare iniţială nulă şi ( )sI2 este răspunsul la excitaţie nulă.

( ) ( ) ( )112

221 +⋅++⋅

=sss

ssI

( )1

122 ++

−=ss

sI

Pentru a calcula mai uşor soluţia în regim tranzitoriu descompunem în fracţii simple.

( ) ( ) ( )112

221 +⋅++⋅

=sss

ssI

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11

1111 22

22

221 +⋅++++⋅+⋅++⋅+⋅

=++⋅

++++⋅

=sss

ssDsCsBsAs

DsCss

BsAsI

Egalând coeficienţii termenilor de acelaşi grad obţinem sistemul:

=+=++=++

=+

020

0

DBDCADCB

CA

⇒

==−=

=

20

20

DCBA

⇒ ( )1

21

2221 +

+++

−=

ssssI

( ) ( )

++

++−

== −−−

12

12

21

21

11

1 ssssIti LLL

( ) ( )ttesss

tit

sin223sin

34

112

112 2

21

21

1 ⋅+

⋅⋅⋅=

+⋅+

++−

⋅=−−− LL

( )1

122 ++

−=ss

sI ⇒ ( ) ( )

++−

== −−

11

21

21

2 sssIti LL

Pentru a aplica teoremele lui Heaviside calculăm polii lui ( )sI2 :

012 =++ ss ⇒2

312,1

⋅±−=

js .

Ne aflăm în situaţia polilor simplii astfel încât

~ 127 ~

( ) ( ) ( )( )∑

=

⋅−− ⋅=

++−

==m

k

ts

k

k kesQsP

sssIti

12

12

12 '1

1LL

( )

⋅⋅⋅=

⋅−

⋅⋅=

−

⋅⋅−=

=⋅

+

⋅+−⋅

−+⋅

+

⋅−−⋅

−=

=⋅+⋅

−+⋅

+⋅−

=

−⋅⋅⋅⋅−

−⋅⋅⋅⋅−

−

⋅

⋅+−⋅

⋅−−

⋅⋅

tejeee

jeee

ej

ej

es

es

ti

ttjtjttjtjt

tjtj

tsts

23sin

32

232

31

12

312

1

12

312

1

121

121

223

23

223

23

2

231

231

212

21

In final se obţine ( ) ( ) ( ) ( )

⋅⋅⋅+⋅=+=

−tettititi

t

23sin

36sin2 2

21 A

Exerciţiul 2

Să se determine intensitatea curentului prin bobină ( )tiL şi tensiunea la bornele condensatorului ( )tuC în regimul tranzitoriu care apare la închiderea întrerupătorului K la momentul de timp 0=t în circuitul din figura de mai jos. Se cunosc Ω=1R , HL 23= ,

FC 31= şi VE 6= .

Rezolvare:

Pentru 0<t când întrerupătorului K este deschis avem următorul circuit de c. c.:

0=→ RL ∞=→ RC

~ 128 ~

Din T II K rezultă:

( ) AR

EiL 326

20 ==

⋅=−

( ) ( ) ViRu LC 300 =⋅=−

Deoarece circuitul conţine surse de tensiune, metoda cea mai potrivită pentru rezolvare este metoda curenţilor ciclici.

( ) ( )

( ) ( )

=⋅−

+⋅

−+=⋅−

+⋅⋅

sssI

ssI

ssssI

sssI

33'31'

32963'3

23'

12

21

( ) ( )

( ) ( )

=⋅−+

⋅

⋅⋅+

=⋅−⋅+⋅

⋅

sssI

sssI

ss

ssI

sssI

33'3'

2963'

263'

12

2

2

1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+⋅=⋅++⋅−

⋅+=⋅−⋅+⋅

23'3'3

96'6'232

21

212

ssIssIssIsIs

⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2396'6'23 2

222 +⋅+⋅+=⋅−⋅+⋅+ sssIsIss

⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )211293

6231293'

2

2

2

2 +⋅+⋅+⋅+⋅

=−+⋅+

+⋅+⋅=

sssss

sssssI

Inlocuind ( )sI 2' în cea de-a doua ecuaţie obţinem şi ( )sI 1' :

~ 129 ~

( ) ( ) ( ) ( ) 321

12933'32

1 =+⋅+⋅+⋅+⋅

⋅++⋅−sssssssI ⇒ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1213

12933'2

1 −+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+

=sss

ssssI

⇔ ( ) ( ) ( )2112113'

2

1 +⋅+⋅+⋅+⋅

=ssssssI

Curentul prin bobină este ( ) ( ) ( ) ( )2112113'

2

1 +⋅+⋅+⋅+⋅

==ssssssIsI L

Tensiunea pe condensator este ( ) ( ) ( ) ( )211893'

2

2 +⋅+⋅+⋅+⋅

=⋅=ssssssIRsU C

Pentru a calcula mai uşor soluţia în regim tranzitoriu descompunem în fracţii simple.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )211221

212112113 2

+⋅+⋅+⋅⋅++⋅⋅++⋅+⋅

=+

++

+=+⋅+⋅+⋅+⋅

=sss

ssCssBssAs

Cs

BsA

ssssssI L

⇒ ( ) ( ) ( ) 12113223 2222 +⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ssssCssBssA


=⋅=+⋅+⋅

=++

1221123

3

ACBA

CBA⇒

=−=

=

14

6

CBA

⇒ ( )2

11

46+

++−

+=sss

sI L

( ) ( )

++

+−

+

== −−−−

21

146 1111

ssssIti LL LLLL tt ee ⋅−− +⋅−= 26 4

Procedăm la fel şi pentru a determina tensiunea pe condensator în regim tranzitoriu.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )211221

21211893 2

+⋅+⋅+⋅⋅++⋅⋅++⋅+⋅

=+

++

+=+⋅+⋅+⋅+⋅

=sss

ssCssBssAs

Cs

BsA

ssssssUC

⇒ ( ) ( ) ( ) 1293223 2222 +⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ssssCssBssA


=⋅=+⋅+⋅

=++

122923

3

ACBA

CBA⇒

=−=

=

36

6

CBA

⇒ ( )2

31

66+

++−

+=sss

sU C

( ) ( )

++

+−

+

== −−−−

23

166 1111

ssssUtu CC LLLL tt ee ⋅−− ⋅+⋅−= 2366

~ 130 ~


Să se determine intensitatea curentului prin bobină ( )tiL şi tensiunea la bornele condensatorului

( )tuC în regimul tranzitoriu care apare la închiderea întrerupătorului K la momentul de timp 0=t în circuitul din figura de mai jos. Se cunosc Ω= 4.0R , HL 31= ,

FC 21= şi VE 4= .

Exerciţiul 2

Să se calculeze expresiile intensităţii curentului prin bobină ( )tiL şi a tensiunii pe condensator ( )tuC în regimul tranzitoriu rezultat la închiderea întrerupătorului K la momentul de timp 0=t în circuitul din figura de mai jos. Se cunosc Ω=1R , HL 2= , FC 1= şi VE 6= . Pentru 0<t se consideră regimul permanent.

Exerciţiul 3

Pentru circuitul din figura de mai jos se cer expresiile intensităţii curentului prin bobină ( )tiL şi a tensiunii pe condensator

( )tuC în regimul tranzitoriu rezultat la deschiderea întrerupătorului K la momentul de timp 0=t . Se cunosc Ω= 2R , Ω= 31R ,

HL 3= , FC 61= şi VE 5= . Pentru 0<t se consideră regimul permanent.

Exerciţiul 4

In circuitul din figura de mai jos, întrerupătorului K se deschide la momentul de timp 0=t . Se cere să se calculeze variaţia în timp a curentului prin bobină ( )tiL şi a tensiunii pe

condensator ( )tuC în regimul tranzitoriu rezultat. Valorile parametrilor circuitului sunt: Ω=1R , Ω= 21R , Ω= 452R , mHL 1= , FC µ= 250 , VE 12= şi VE 32 = . Pentru 0<t se

consideră regimul permanent.

~ 131 ~

~ 132 ~

Linii electrice lungi Linii lungi în regim armonic permanent Breviar teoretic

Impedanţa de intrare într-o linie lungă fără pierderi terminată pe impedanţa 2Z :

( )( )ltg

ZZj

ltgZjZZ

C

C

⋅β⋅⋅+

⋅β⋅⋅+=

2

21

1

unde,

1Z - impedanţa de intrare

2Z - impedanţa de sarcină

CZ - impedanţa caracteristică β - constanta de fază l - lungimea liniei Exerciţii rezolvate: Exerciţiul 1

Să se calculeze impedanţa de intrare 1Z ( )11 −= sω pentru sistemul de linii lungi fără pierderi şi elemente cu constante concentrate din figură.

Se dau:

Linia l CZ 1 4λ 2 2 4λ 2 3 2λ 1 4 8λ 2

Rezolvare: Pentru linia (1) avem: - impedanţa de sarcină jLjZ =⋅⋅= ω21

~ 133 ~

- impedanţa de intrare

⋅⋅+

⋅⋅+

=

⋅

⋅⋅⋅+

⋅

⋅⋅⋅+

=

221

22

421

42

1

1

21

21

11 π

π

λλπ

λλπ

tgjj

tgjj

tgZZj

tgZjZZ

C

C

Deoarece avem un caz de nedeterminare ∞∞ împărţim şi numitorul şi numărătorul cu

2πtg :

j

tg

jtg

j

Z ⋅−=−

⋅+

= 4)

21(

2

1

2

211

π

π

Pentru linia (2) avem:

- impedanţa de sarcină jCjZ −=⋅−

=ω22


⋅

−⋅+

⋅⋅+−

=

⋅

⋅⋅⋅+

⋅

⋅⋅⋅+

=

221

22

421

42

2

2

22

22

12 π

π

λλπ

λλπ

tgjj

tgjj

tgZZj

tgZjZZ

C

C

Deoarece avem un caz de nedeterminare ∞∞ împărţim şi numitorul şi numărătorul cu

2πtg :

j

tg

jtg

j

Z ⋅=+

⋅+

−

= 4

21

2

1

2

212

π

π

Pentru linia (3) avem: - impedanţa de sarcină este formată din grupul de trei impedanţe conectate în paralel 11Z ,

12Z şi 21=RZ :

21

21

41

411111

1121123

=+⋅

+⋅−

=++=jjZZZZ R

⇒ 223 =Z

- impedanţa de intrare ( )( )

2021

02

121

12

221

22

3

3

23

23

13 =⋅⋅+⋅+

=⋅⋅+

⋅⋅+=

⋅

⋅⋅⋅+

⋅

⋅⋅⋅+

=j

j

tgj

tgj

tgZZj

tgZjZZ

C

C

π

πλ

λπ

λλπ

Pentru linia (4) avem:

~ 134 ~

- impedanţa de sarcină este formată din grupul de două impedanţe conectate în paralel 13Z şi 2

2=RZ :

121

21111

21324

=+=+=RZZZ

⇒ 124 =Z


( )

( ) ( ) ( ) ( )5

3425

22122

212

2212

21

21

4211

421

821

82

4

4

24

24

141

jjjjj

jj

jj

tgj

tgj

tgZZj

tgZjZZZ

C

C

⋅+⋅=

−⋅⋅+⋅=

+⋅+⋅

=

=+

⋅+⋅=

+

⋅+=

π⋅⋅+

π⋅⋅+

=

λ

⋅λπ⋅

⋅⋅+

λ

⋅λπ⋅

⋅⋅+==


Să se studieze variaţia impedanţei de intrare 1Z ( )12 −=ω s cu valoarea inductivităţii L. Liniile lungi 1, 2 şi 3 se consideră fără pierderi.

Se dau:

Linia l CZ 1 83 λ⋅ 1 2 4λ 2 3 4λ 2

~ 135 ~

Exerciţiul 2

Să se calculeze impedanţa de intrare 1Z ( )11 −= sω pentru sistemul de linii lungi fără pierderi şi elemente cu constante concentrate din figură.

Se dau:

Linia l CZ 1 43 λ⋅ 2 2 4λ 4

Linii lungi în regim tranzitoriu Breviar teoretic

Soluţiile ecuaţiilor liniilor lungi fără pierderi sunt:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

+−⋅=

++=

00

0

,,1,

,,,

ItxutxuZ

txi

Utxutxutxu

id

id

unde ( )txud , este unda directă de tensiune, ( )txui , este unda inversă de tensiune, 0Z este impedanţa caracteristică, 0U este componenta constantă a undei de tensiune şi 0I este componenta constantă a undei de curent. Exerciţii rezolvate: Exerciţiul 1

La 0=t se închide comutatorul K [2]. Linia se consideră fără pierderi. Pentru 0<t şi lx ≤≤0 ( ) 0, =txu , ( ) 0, =txi . rezultă că 00 =U şi 00 =I . Să se studieze undele reflectate de tensiune ( )txui , şi de curent ( )txii , în regim

tranzitoriu pentru 0

20v

lt ⋅≤≤ .

~ 136 ~

Se consideră cunoscute: 0Z - impedanţa caracteristică,

R - rezistenţa de sarcină, 0v - viteza de propagare,

0>E - tensiunea electromotoare şi l - Lungimea liniei.

Rezolvare: Deoarece pentru 0<t şi lx ≤≤0 ( ) 0, =txu , ( ) 0, =txi , rezultă că 00 =U şi 00 =I .

1° Pentru intervalul de timp 0

0vlt <≤ undele directe de tensiune şi de curent parcurg linia

lungă deci nu avem unde inverse (care ar putea apare doar prin reflexia la capătul liniei).pentru orice x si orice moment de timp din acest interval avemȘ Eud = 0=iu . Deci

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

−⋅=

+=

txutxuZ

txi

txutxutxu

id

id

,,1,

,,,

0

⇒( )

( )

=

=

0

,

,

ZEtxi

Etxu

2° La momentul de timp 0vlt = unda directă de tensiune ajunge la capătul liniei şi apare o

undă inversă de tensiune ca urmare a reflexiei. Unda directă de tensiune nu are motiv să-Și schimbe valoarea ( Eud = ) iar căderea de tensiune pe rezistenţă este iRu ⋅= .

Scriem relatiile pentru x=l. ( )txui , :

( )

−⋅=

⋅=+=

i

i

uEZ

i

iRuEu

0

1

Calculăm întâi unda inversă de tensiune ui : ( )ii uEZ

RuE −⋅⋅=+0

1

( )ii uEZ

RuE −⋅⋅=+0

1⇔

−⋅−=

+⋅

00

11ZRE

ZRui ⇔ ( ) ( )RZERZui −⋅−=+⋅ 00

⇒RZRZEui +

−⋅−=

0

0

Calculăm unda de curent:

[ ]id uuZ

i −⋅=0

1⇔

RZE

RZRZ

ZE

RZRZEE

Zi

+⋅

=

+−

+⋅=

+−

⋅+⋅=00

0

00

0

0

211

din care rezultă şi unda inversă de curent ii :

( )RZRZ

ZE

ZE

RZEiitxi di +

−⋅=−

+⋅

=−=0

0

000

2,

~ 137 ~


2v

ltvl ⋅

<< unda directă de tensiune rămâne Eud = şi apare

unda inversă de tensiune va avea valoarea iu calculată la punctul precedent.

4° Pentru 0

2v

lt ⋅= unda inversă ajunge la începutul liniei şi se reflectă, modificând valoarea

undei directe: id uuEu +== , RZRZEui +

−⋅−=

0

0 . Rezultă RZ

ZEud +

=0

02.

Exerciţiul 2

Să se determine undele direct şi inversă de tensiune care apar la conectarea unui generator ideal de tensiune la o linie fără pierderi, terminată inductiv. Se dau: l , 0v , 0Z , L , E şi ( ) 00 =Li .

Se cere regimul tranzitoriu pentru

0

20v

lt ⋅<≤ .

Rezolvare:


0vlt <≤ undele directe de tensiune şi de curent parcurg linia

lungă deci nu avem unde inverse. Ecuaţiile sunt: ( ) Etxud =, ( ) 0, =txui

Din ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

−⋅=

+=

txutxuZ

txi

txutxutxu

id

id

,,1,

,,,

0

⇒( )

( )

=

=

0

,

,

ZEtxi

Etxu

2° La momentul de timp 0vlt = unda directă de tensiune ajunge la capătul liniei şi apare o

undă inversă de tensiune ca urmare a reflexiei. Ecuaţiile sunt Eud = iar căderea de tensiune

pe bobină este ( )dt

tldiLuL,

⋅= . Deci

~ 138 ~

( )

−⋅=

⋅=+=

i

i

uEZ

i

dtdiLuEu

0

1 ⇒

Calculăm întâi unda inversă de tensiune

( ) ii uEuEZdt

dL +=

−⋅⋅

0

1⇔ i

i uEdtdu

ZL

+=⋅−0

0 ⇔

000 =⋅+⋅+⋅ EZuZdtduL i

i

Soluţia aceastei ecuaţii diferenţiale ordinare este formată din o soluţie omogenă şi o

soluţie particulara: poi uuu +=

Soluţia omogenă se obţine rezolvând ecuaţia: 00 =⋅+⋅ ii uZ

dtduL

00 =⋅+⋅ oo uZ

dtduL ⇔ dt

LZ

udu

o

o ⋅−= 0 ⇔ ( ) 10ln Ct

LZuo +⋅−= ⇔

tLZCt

LZ

o eCeu⋅−+⋅−

⋅==0

10

2

Soluţia particulară se caută de forma Bu p = (unde B este o constantă). Inlocuind în ecuaţie obţinem:

00 00 =⋅+⋅+⋅ EZBZL ⇒ EB −=⋅

deci EeCut

LZ

i −⋅=⋅− 0

2 Determinarea constantei 2C se face din condiţia iniţială pentru bobină ( ) 00 =Li .

⇒ ( )[ ]0100

iuEZ

−⋅= ⇒ ( ) Eui =0

Tot la momentul 0=t , ( ) ECEeCui −=−⋅= 20

20

Din ( )( )

−==

ECuEu

i

i

200

⇒ EC ⋅= 22

iar în final EeEut

LZ

i −⋅⋅=⋅− 0

2

Rezultă:

−⋅

⋅=

⋅⋅=

⋅−

⋅−

tLZ

tLZ

eZ

Ei

eEu0

0

12

2

0


2v

ltvl ⋅

<< unda directă de tensiune rămâne Eud = şi apare

unda inversă de tensiune iu .

~ 139 ~


Să se determine undele direct şi inversă de tensiune care apar la conectarea unui generator ideal de tensiune continuă pe o linie fără pierderi, terminată capacitiv. Se dau: l ,

0v , 0Z , C , E şi ( ) 00 =Cu . Se cere regimul tranzitoriu pentru 0

20v

lt ⋅<≤ .

Exerciţiul 2

Să se studieze undele de tensiune (direct şi inversă) în cazul cuplării (la 0=t ) unei linii fără pierderi în gol la un generator de tensiune continuă în regim tranzitoriu pentru

0

20v

lt ⋅<≤ . Se dau: l , 0v , 0Z , şi E . Regimul tranzitoriu va fi analizat pentru

0

30v

lt ⋅<≤ .

Bibliografie [1] L. O. Chua, C. A. Desoer, and E. S. Kuh, "Linear and Nonlinear Circuits," New York: McGraw–Hill, 1987, ISBN 0-07-010898-6. [2] F. Constantinescu, M. Nitescu, „Cursul de Electrotehnica. Partea I- Teoria Circuitelor Electrice”, http://ferrari.lce.pub.ro/studenti, 2000-2012. [3] M. Nitescu, note de curs: „Electrotehnică II” – Facultatea de Energetică. [4] V. Ioniţă, note de curs: „Teoria circuitelor” – Facultatea de Inginerie Electrică.

CULEGERE DE PROBLEME DE TEORIA CIRCUITELOR · Structura manualului urmăreşte conţinutul cursului...

Documents

Transcript of CULEGERE DE PROBLEME DE TEORIA CIRCUITELOR · Structura manualului urmăreşte conţinutul cursului...