Culegere Croitoru Durea Vaideanu

Profesorilor nostri

Cuprins

Introducere vii

1 MULTIMI. RELATII. FUNCTII (A. Croitoru) 1Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 SIRURI DE NUMERE REALE (M. Durea) 62Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3 SERII NUMERICE (A. Croitoru) 115Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4 NOTIUNI DE TOPOLOGIE IN IRp (M. Durea) 173Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5 LIMITE DE FUNCTII. CONTINUITATE (C. Vaideanu) 196Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6 FUNCTII DERIVABILE (C. Vaideanu) 243Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

v

vi

Note istorice 289

Teste tip examen 296

Bibliografie 299

Index 301

Introducere

Acest volum cuprinde 301 probleme si urmareste programa cursului deAnaliza matematica din primul semestru al anului I de la Facultatea deMatematica din Universitatea ”Al.I. Cuza” Iasi. Culegerea se adreseaza ınprimul rand studentilor de la Facultatile de Matematica, dar poate fi folositasi de studentii din primii ani ai Facultatilor de Informatica sau Politehnicecare ofera cursuri de Analiza matematica.

Problemele au fost culese dintr-o variata bibliografie sau propuse deautori. Unele probleme au fost propuse la diverse concursuri scolare saustudentesti, la concursurile de definitivat, gradul II sau titularizare dinınvatamantul preuniversitar, aceasta carte adresandu-se ın egala masuraelevilor de liceu si cadrelor didactice. Sunt de asemenea prezentate problemedate la examenele pentru cursul de Analiza matematica tinute de profesordr. Anca-Maria Precupanu si profesor dr. Constantin Zalinescu cu studentiidin Anul I ai Facultatii de Matematica.

Culegerea cuprinde sase capitole: Multimi. Relatii. Functii, Siruri denumere reale, Serii numerice, Notiuni de topologie ın IRp, Limite de functii.Continuitate si Functii derivabile. Fiecare capitol este structurat ın treiparti. La ınceput sunt prezentate doar enunturi ale definitiilor, teoremelorsi propozitiilor ce se refera la subiectul respectiv. Teoria prezentata nu esteexhaustiva, autorii recomandand pentru completare si demonstratii carteadoamnei profesor dr. Anca Maria Precupanu, Bazele Analizei Matematice[14] si, nu ın ultimul rand, manualele de liceu. Partea a doua contine diverseexercitii si probleme iar ın ultima parte sunt oferite solutii de rezolvare.Unde este posibil, sunt oferite mai multe variante de rezolvare. La uneleprobleme se dau doar indicatii pentru demonstratie, iar altele sunt lasate catema ın seama cititorului. Cartea mai cuprinde cateva note istorice si saseteste tip (pentru examenul de Analiza matematica din anul I al Facultatiide Matematica de la Universitatea ”Al.I. Cuza” Iasi.)

vii

viii

Dorim sa multumim doamnei profesor dr. Anca Maria Precupanu sidomnului profesor dr. Constantin Zalinescu pentru rabdarea si atentiadeosebita cu care au citit aceasta carte, pentru observatiile pertinente sidiscutiile utile purtate pe marginea continutului, precum si pentru vari-antele de rezolvare oferite la unele probleme. De asemenea, multumim doam-nei Cristina Stamate pentru sugestiile interesante facute la rezolvarea unorprobleme. In sfarsit, multumim doamnelor Luminita Teodorescu si CarmenSavin, prin grija carora cartea are forma de fata, familiilor si prietenilorpentru ıncurajari si sprijin moral.

Iasi, iulie 2005 Autorii

Capitolul 1

MULTIMI. RELATII. FUNCTII

O multime este o colectie de obiecte bine definite si se va nota cu litere mari:A,B, .... Obiectele din multime se numesc elemente si se vor nota cu literemici: a, b, .... Multimea vida (care nu contine nici un element) se noteaza ∅.Familiile de multimi se vor nota cu litere mari ronde: A,B, ....

In continuare, vom presupune cunoscute urmatoarele simboluri: ∨ (sau),∧ (si), ⇒ (implica), ⇔ (echivalent logic), ∀ (oricare), ∃ (exista), ∃! (existasi este unic).

Daca A este o multime si x este un element al multimii A, atunci vomnota: x ∈ A. In caz contrar notam: x /∈ A.

Doua multimi A si B se numesc egale daca au aceleasi elemente; vomnota prin A = B. A si B se numesc diferite daca nu sunt egale; vom notaA 6= B.

O multime A se numeste submultime sau parte a unei multimi B dacaorice element al lui A apartine lui B. Se mai spune ca A este inclusa ın Bsau B este supramultime a lui A si notam: A ⊂ B. Spunem ca multimea Aeste submultime stricta a lui B sau ca A este inclusa strict ın B daca A ⊂ Bsi A 6= B. Se observa ca A = B ⇔ A ⊂ B si B ⊂ A.

Daca X este o multime, vom nota cu P(X) multimea tuturor partilorlui X.

Multimea tuturor elementelor x din X care au proprietatea P se noteazaprin {x ∈ X|x verifica P}.

Vom nota:IN = multimea numerelor naturale, IN = {0, 1, 2, 3, · · · },IN∗= multimea numerelor naturale diferite de zero,Z = multimea numerelor ıntregi, Z = {· · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · }Z∗ = multimea numerelor ıntregi diferite de zero,Q = multimea numerelor rationale, Q =

{a

b|a ∈ Z, b ∈ IN∗

},

Q∗ = multimea numerelor rationale diferite de zero.

1

2

Definitia 1.1. Fie X, Y multimi nevide si A,B ∈ P(X). Se definescurmatoarele multimi:

a) Reuniunea multimilor A si B:

A ∪B = {x ∈ X|x ∈ A sau x ∈ B}.b) Intersectia multimilor A si B:

A ∩B = {x ∈ X|x ∈ A si x ∈ B}.Daca A ∩B = ∅, multimile A si B se numesc disjuncte.

c) Diferenta multimilor A si B:

A \B = {x ∈ X|x ∈ A si x /∈ B}.Diferenta X \ A se numeste complementara multimii A fata de X sise noteaza cXA sau cA daca nu exista nici o posibilitate de confuzie.

d) Diferenta simetrica a multimilor A si B:

A4B = (A \B) ∪ (B \A).

e) Produsul cartezian al multimilor X si Y este multimea tuturor perechi-lor ordonate (x, y) cu x ∈ X, y ∈ Y . Se noteaza:

X × Y = {(x, y) | x ∈ X si y ∈ Y }.

Doua perechi (x, y) si (x′, y′) sunt egale daca si numai daca x = x′ siy = y′.

Pentru X1, X2, ..., Xn multimi nevide (n ∈ IN∗), produsul lor cartezianeste:

X1 ×X2 × ...×Xn = {(x1, x2, ..., xn)|xi ∈ Xi, ∀i ∈ {1, 2, ..., n}}.

Multimea X1 ×X2 × . . .×Xn se noteaza sin∏

i=1Xi.

Produsul cartezian al multimilor nevide X1, X2, . . . , Xn, . . . este:

∏

n∈IN∗Xn =

∞∏

n=1

Xn = {(x1, x2, ..., xn, ...)|xn ∈ Xn, ∀n ∈ IN∗}.

Multimile Xn se numesc factorii produsului cartezian. Daca exista unfactor egal cu multimea vida, produsul cartezian este multimea vida.

Propozitia 1.2. Fie X o multime nevida. Atunci pentru orice A,B, C ∈P(X) au loc urmatoarele proprietati:

3

i) A ∪B = B ∪A;ii) (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);iii) A ∪ ∅ = A;iv) A ∪ cA = X;v) A ∩B = B ∩A;vi) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);vii) A ∩ ∅ = ∅;viii) A ∩X = A;ix) A \ ∅ = A;x) A \A = ∅;xi) A4B = B4A;xii) (A4B)4C = A4(B4C);xiii) A4∅ = A;xiv) A4A = ∅.

Definitia 1.3. Fie X si Y multimi nevide. O submultime R a produsuluicartezian X × Y se numeste relatie de la X la Y . Daca (x, y) ∈ R, atunciuneori scriem xRy si spunem ca x este ın relatia R cu y. Daca (x, y) /∈ R,vom mai nota aceasta prin xR/y.

Daca X = Y , atunci R se numeste relatie pe X. De exemplu, 4(X) ={(x, x)|x ∈ X} este o relatie pe X, numita diagonala lui X.

Definitia 1.4. Pentru relatia R ⊂ X × Y se definesc:

a) Inversa relatiei R:

R−1 = {(y, x) ∈ Y ×X|(x, y) ∈ R}.b) Domeniul relatiei R:

DomR = {x ∈ X|∃y ∈ Y a.ı. (x, y) ∈ R}.c) Imaginea (sau codomeniul) relatiei R:

Im R = {y ∈ Y |∃x ∈ Xa.ı. (x, y) ∈ R}.d) Imaginea multimii A ⊂ X prin relatia R:

R(A) = {y ∈ Y |∃x ∈ Aa.ı. (x, y) ∈ R}.

Observatia 1.5.

a) R(X) = ImR.

4

b) Daca B ⊂ Y , atunci imaginea lui B prin R−1, notata R−1(B), senumeste si contraimaginea lui B prin R si avem:

R−1(B) = {x ∈ X|∃y ∈ B a.ı. (x, y) ∈ R}.

Definitia 1.6. Fie X, Y, T multimi nevide si relatiile R ⊂ X × Y siS ⊂ Y × T . Compunerea lui S cu R, notata S ◦ R, este relatia de la X laT definita prin:

S ◦R = {(x, t) ∈ X × T |∃y ∈ Y a.ı. (x, y) ∈ R, (y, t) ∈ S}.

Definitia 1.7. Fie X, Y multimi nevide. O relatie f ⊂ X × Y senumeste functie definita pe X cu valori ın Y daca ındeplineste conditiile:

a) Dom f = X (adica pentru orice x ∈ X, exista y ∈ Y astfel ıncat(x, y) ∈ f);

b) ∀x ∈ X, ∀y1, y2 ∈ Y , ((x, y1) ∈ f si (x, y2) ∈ f) ⇒ y1 = y2.

Din definitie rezulta ca pentru orice x ∈ X, exista un unic y ∈ Y astfelıncat (x, y) ∈ f . Elementul y se numeste imaginea lui x prin f si se noteazay = f(x).

Vom nota functia prin f : X → Y , X se numeste domeniul de definitiea functiei f , iar Y se numeste codomeniul functiei f sau multimea ın care fia valori.

Graficul functiei este multimea

Gf = {(x, y) ∈ X × Y |y = f(x)} = {(x, f(x))|x ∈ X}.

Doua functii f : X → Y si g : A → B se numesc egale daca X = A, Y =B si f(x) = g(x) pentru orice x ∈ X; vom nota f = g. Functiile f si g senumesc diferite daca nu sunt egale si vom nota prin f 6= g.

Observatia 1.8. Fie X, Y, T multimi nevide si functiile f : X → Y ,g : Y → T .

a) Im f = {y ∈ Y | ∃ x ∈ Xa.ı. f(x) = y} = {f(x)|x ∈ X}.b) In general, f−1 ⊂ Y ×X este relatie de la Y la X si nu functie.c) Daca A ⊂ X si B ⊂ Y , atunci imaginea lui A prin f si contraimaginea

lui B prin f devin:

f(A) = {f(x)|x ∈ A}, f−1(B) = {x ∈ X|f(x) ∈ B}.d) g◦f este functie de la X la T si pentru orice x ∈ X, (g◦f)(x) = g(f(x)).

5

e) Functia 1X : X → X, definita prin 1X(a) = a pentru orice a ∈ X, senumeste functia identica.

f) Functia f : X → Y , definita prin f(x) = y0 ∈ Y pentru orice x ∈ X,se numeste functie constanta.

Definitia 1.9. Fie X,Y multimi nevide. O functie f : X → Y senumeste:

a) injectiva (sau se spune ca este injectie) daca pentru orice x1, x2 ∈ X cux1 6= x2, rezulta f(x1) 6= f(x2) (echivalent cu: pentru orice x1, x2 ∈ X,din f(x1) = f(x2) rezulta ca x1 = x2).

b) surjectiva (sau este surjectie) daca pentru orice y ∈ Y, exista x ∈ Xastfel ıncat f(x) = y.

c) bijectiva (sau este bijectie) daca este injectiva si surjectiva.

Definitia 1.10. O functie f : X → Y se numeste inversabila dacaexista o functie g : Y → X astfel ıncat f ◦ g = 1Y si g ◦ f = 1X .

Definitia 1.11. Fie functia f : X → Y si ∅ 6= A ⊂ X. Functiag : A → Y definita prin g(x) = f(x) pentru orice x din A, se numesterestrictia lui f la multimea A si se noteaza g = f |A. In acest caz, f senumeste prelungire a lui g la X.

Definitia 1.12. Fie X 6= ∅. O functie f : IN → X se numeste sirde elemente din X. Vom nota f(n) = xn pentru orice n ∈ IN, iar f prin(xn)n∈IN sau (xn)n≥0 sau (xn)n sau (xn). Uneori vom scrie (xn) ⊂ X.

xn se numeste termenul general al sirului.x0, x1, . . . , xn, . . . se numesc termenii sirului (xn).Sirul (xn)n∈IN, definit prin xn = a ∈ X pentru orice n ∈ IN, se numeste

sir constant.

Definitia 1.13. Fie X si I multimi nevide. O functie f : I → P(X)se numeste familie (sau clasa) de multimi. Daca f(i) = Ai pentru oricei ∈ I, se noteaza f prin (Ai)i∈I , iar I se numeste multime de indici. Uneorivom scrie (Ai)i∈I ⊂ P(X). Daca I este finita, de exemplu I = {1, 2, · · · , n},n ∈ IN∗, atunci vom nota (Ai)n

i=1 si, ın acest caz, familia (Ai)i∈I se numestefinita.

Definitia 1.14. Fie X, I multimi nevide si (Ai)i∈I o familie de partiale lui X. Se definesc:

a) Reuniunea multimilor familiei (Ai)i∈I :⋃

i∈I

Ai = {x ∈ X|∃i0 ∈ Ia.ı. x ∈ Ai0}.

6

De exemplu, pentru I = {1, 2, ..., n} cu n ∈ IN∗, vom scrien⋃

i=1Ai, iar

pentru I = IN vom scrie⋃

n∈IN

An sau∞⋃

n=0An.

b) Intersectia multimilor familiei (Ai)i∈I :⋂

i∈I

Ai = {x ∈ X|x ∈ Ai, ∀i ∈ I}.

Vom nota ca mai sus ın cazurile particulare I = {1, 2, ..., n} cu n ∈ IN∗

sau I = IN.c) Produsul cartezian:

∏

i∈I

Ai = {f | f : I →⋃

i∈I

Ai a.ı. f(i) ∈ Ai,∀i ∈ I}.

Daca f(i) = xi ∈ Ai pentru orice i ∈ I, atunci vom mai nota f prin (xi)i∈I .Multimile Ai se numesc factorii produsului cartezian. Daca exista un factoregal cu multimea vida, produsul cartezian este multimea vida.

Definitia 1.15. Fie X si I multimi nevide. O familie (Ai)i∈I de partiale lui X se numeste partitie a lui X daca Ai 6= ∅ pentru orice i ∈ I,⋃i∈I

Ai = X si Ai ∩Aj = ∅ pentru orice i, j ∈ I cu i 6= j (adica multimile Ai

sunt disjuncte doua cate doua sau mutual disjuncte).

Definitia 1.16. Fie X o multime nevida si R o relatie pe X. R senumeste:

a) reflexiva daca ∀x ∈ X, xRx;b) simetrica daca ∀x, y ∈ X, xRy ⇒ yRx;c) antisimetrica daca ∀x, y ∈ X, (xRy si yRx) ⇒ x = y;d) tranzitiva daca ∀x, y, z ∈ X, (xRy si yRz) ⇒ xRz;e) totala daca ∀x, y ∈ X, xRy sau yRx.

Definitia 1.17. Fie X o multime nevida. O relatie R pe X se numesterelatie de echivalenta pe X daca R este reflexiva, simetrica si tranzitiva.

Pentru orice x din X, multimea x = {y ∈ X|yRx} se numeste clasa deechivalenta a lui x. Orice element din x se numeste reprezentant al clasei.Multimea claselor de echivalenta, notata X|R, se numeste multimea cat a luiX prin relatia de echivalenta R. Uneori vom nota o relatie de echivalentaprin “∼” iar x prin Cx.

Propozitia 1.18. Fie X o multime nevida si R o relatie de echivalentape X. Atunci au loc urmatoarele proprietati:

7

a) ∀x ∈ X, x ∈ x.b) Daca x, y ∈ X, atunci x = y ⇔ xRy si x 6= y ⇔ x ∩ y = ∅.c) Familia {x|x ∈ X} este o partitie pentru X, numita partitia indusa pe

X de relatia de echivalenta R.

Definitia 1.19. Fie X o multime nevida. O relatie R pe X se numesterelatie de ordine (partiala) pe X daca este reflexiva, antisimetrica si tranzi-tiva. In acest caz, multimea X ınzestrata cu relatia de ordine R se numestemultime ordonata (partial) si se noteaza (X, R).

Uneori vom nota o relatie de ordine prin “≤” si “x ≤ y” prin “y ≥ x”(vom spune ca x este mai mic decat y sau y este mai mare decat x). Spunemca x este strict mai mic decat y sau y este strict mai mare decat x dacax ≤ y si x 6= y. Vom nota x < y sau y > x.

Definitia 1.20. Fie (X,≤) o multime ordonata si ∅ 6= A ⊂ X.a) Un element α ∈ X se numeste majorant pentru A daca x ≤ α pentru

orice x ∈ A.b) Un element β ∈ X se numeste minorant pentru A daca β ≤ x pentru

orice x ∈ A.c) A se numeste majorata daca admite un majorant.d) A se numeste minorata daca admite un minorant.e) A se numeste marginita daca este majorata si minorata.f) Daca a ∈ A este un majorant pentru A, atunci a se numeste maximum

sau cel mai mare element al multimii A si se noteaza a = maxA.g) Daca b ∈ A este un minorant pentru A, atunci b se numeste minimum

sau cel mai mic element al multimii A si se noteaza b = min A.h) Daca A este majorata si daca exista α ∈ X cel mai mic majorant pen-

tru A, atunci α se numeste margine superioara sau supremum pentruA si se noteaza α = supA.

i) Daca A este minorata si daca exista β ∈ X cel mai mare minorantpentru A, atunci β se numeste margine inferioara sau infimum pentruA si se noteaza β = inf A.

j) Un element a ∈ A se numeste element maximal al multimii A dacadin x ∈ A si a ≤ x rezulta x = a.

k) Un element b ∈ A se numeste element minimal al multimii A daca dinx ∈ A si x ≤ b rezulta x = b.

Observatia 1.21.

a) Daca exista marginea superioara (respectiv marginea inferioara, ma-ximum, minimum) pentru multimea A, atunci aceasta este unica.

8

b) Daca exista α, β ∈ X astfel ıncat α= inf A, β=sup A, atunci α ≤ β.c) Daca α ∈ A este majorant pentru A, atunci α = maxA = supA.d) Daca β ∈ A este minorant pentru A, atunci β = minA = inf A.e) Daca A = {a} unde a ∈ X, atunci maxA = minA = supA = inf A =

a, iar a este element maximal si element minimal pentru A.

Definitia 1.22. Se numeste multime (sau sistem) de numere reale omultime IR cu cel putin doua elemente ınzestrata cu doua operatii algebrice:adunarea: (x, y) 7→ x+y ∈ IR, ∀x, y ∈ IR si ınmultirea: (x, y) 7→ x ·y = xy ∈IR,∀x, y ∈ IR si cu o relatie pe IR, notata ≤, astfel ıncat au loc urmatoareleproprietati:

I. (IR, +, ·) este corp comutativ total ordonat, adica:

a) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ IR.b) x + y = y + x,∀x, y ∈ IR.c) ∃0 ∈ IR a.ı. x + 0 = x,∀x ∈ IR.d) ∀x ∈ IR, ∃ − x ∈ IR a.ı. x + (−x) = 0.e) (xy)z = x(yz),∀x, y, z ∈ IR.f) xy = yx, ∀x, y ∈ IR.g) ∃1 ∈ IR, 1 6= 0 a.ı. 1 · x = x,∀x ∈ IR.

h) ∀x ∈ IR, x 6= 0, ∃x−1 ∈ IR (notat si1x

) a.ı. x · x−1 = 1.

i) x(y + z) = xy + xz,∀x, y, z ∈ IR.j) ∀x ∈ IR, x ≤ x.k) ∀x, y ∈ IR, (x ≤ y si y ≤ x) ⇒ x = y.l) ∀x, y, z ∈ IR, (x ≤ y si y ≤ z) ⇒ x ≤ z.

m) ∀x, y ∈ IR, x ≤ y sau y ≤ x.n) ∀x, y, z ∈ IR, x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z.o) ∀x, y, z ∈ IR, (z ≥ 0 si x ≤ y) ⇒ xz ≤ yz.

II. IR verifica axioma de completitudine (sau axioma lui Cantor - Dedekind):orice submultime nevida si majorata a lui IR admite margine superioara ınIR.IR este unic determinat pana la un izomorfism de corpuri total ordonate,adica pentru orice alta multime (IR′,⊕,¯,©≤ ) cu proprietatile de mai sus,exista o bijectie ϕ : IR → IR′ astfel ıncat:

i) ϕ(x + y) = ϕ(x)⊕ ϕ(y), ∀x, y ∈ IR;ii) ϕ(x · y) = ϕ(x)¯ ϕ(y), ∀x, y ∈ IR;iii) ∀x, y ∈ IR, x ≤ y ⇒ ϕ(x)©≤ ϕ(y).

9

Observatia 1.23.i) Daca x, y ∈ IR, atunci uneori vom nota “x ≤ y” prin “y ≥ x”.ii) (Q, +, ·,≤) este un corp comutativ total ordonat care nu verifica a-

xioma de completitudine. De exemplu, multimea A ⊂ Q, A = {x ∈Q|x2 < 2}, este nevida si majorata ın Q dar nu admite supremum ınQ (vezi problema 1.64).

Definitia 1.24. Fie a, b ∈ IR, a < b. Se definesc urmatoarele tipuri deintervale:

a) intervale marginite:

[a, b] = {x ∈ IR|a ≤ x ≤ b} (numit interval compact),

(a, b) = {x ∈ IR|a < x < b},[a, b) = {x ∈ IR|a ≤ x < b},(a, b] = {x ∈ IR|a < x ≤ b};

b) intervale nemarginite:

[a,+∞) = {x ∈ IR|x ≥ a},(a, +∞) = {x ∈ IR|x > a},(−∞, a] = {x ∈ IR|x ≤ a},(−∞, a) = {x ∈ IR|x < a}.

Vom nota IR+ = (0,+∞), IR− = (−∞, 0), IR∗ = IR+ ∪ IR− = IR\{0}.Definitia 1.25. Fie x, y ∈ IR.

a) x se numeste pozitiv (respectiv negativ) daca x > 0 (respectiv x < 0).b) x se numeste nenegativ (respectiv nepozitiv) daca x ≥ 0 (respectiv

x ≤ 0).c) Fie X 6= ∅ si f : X → IR. Functia f se numeste nenegativa (respectiv

nepozitiva) daca ia valori ın [0, +∞) (respectiv ın (−∞, 0]).

Teorema 1.26. Fie ∅ 6= A ⊂ IR si α, β ∈ IR. Atunci:

i) sup A = α ⇔{

1)∀x ∈ A, x ≤ α;2)∀ε > 0, ∃xε ∈ A a.ı.xε > α− ε.

ii) A este nemajorata ⇔ ∀α ∈ IR, ∃xα ∈ A a.ı.xα > α⇔ ∀ε > 0, ∃xε ∈ A a.ı.xε > ε.

iii) inf A = β ⇔{

1)∀x ∈ A, x ≥ β;2)∀ε > 0, ∃xε ∈ A a.ı.xε < β + ε.

iv) A este neminorata ⇔ ∀α ∈ IR,∃xα ∈ A a.ı.xα < α⇔ ∀ε > 0, ∃xε ∈ A a.ı.xε < −ε.

10

Propozitia 1.27. Fie A,B submultimi nevide ale lui IR astfel ıncatA ⊂ B.

i) Daca B este majorata, atunci A este majorata si supA ≤ supB.ii) Daca B este minorata, atunci A este minorata si inf A ≥ inf B.

Propozitia 1.28.Fie ∅ 6= A ⊂ IR si multimea −A = {−x|x ∈ A}.i) Daca A este majorata, atunci multimea −A este minorata si

inf(−A) = − supA.ii) Daca A este minorata, atunci multimea −A este majorata si

sup(−A) = − inf A.

Teorema 1.29. Orice submultime nevida si minorata a lui IR admitemargine inferioara ın IR.

Teorema 1.30. (Proprietatea lui Arhimede.) Pentru orice numerereale x, y cu x > 0, exista n ∈ IN astfel ıncat nx > y.

Teorema 1.31. (de existenta si unicitate a partii ıntregi) Pentruorice x ∈ IR, exista si este unic k ∈ Z astfel ıncat k ≤ x < k + 1. Se noteazak = [x] si se numeste partea ıntreaga a lui x.

Diferenta x− [x] ∈ [0, 1) se numeste partea fractionara a lui x.

Teorema 1.32. (Densitatea lui Q ın IR.) Pentru orice numere realex, y cu x < y, exista r ∈ Q astfel ıncat x < r < y.

Observatia 1.33. Un rezultat asemanator are loc si pentru numereirationale: pentru orice numere reale x, y cu x < y, exista α ∈ IR \ Q astfelıncat x < α < y (vezi problema 1.65). De fapt (vezi problema 1.66), ıntreorice doua numere reale diferite exista o infinitate de numere rationale si oinfinitate de numere irationale.

Definitia 1.34.a) Vom nota prin “sgn” functia semn (sau signum) definita pe IR astfel:

sgn x =

1, x > 00, x = 0

−1, x < 0.

b) Daca x, y ∈ IR, se noteaza:

max{x, y} ={

x, daca x ≥ yy, daca x < y

11

si

min{x, y} ={

x, daca x ≤ yy, daca x > y.

c) Fie ∅ 6= A ⊂ IR si f, g : A → IR. Spunem ca f este mai mica sau egalacu f (si notam f ≤ g) daca f(x) ≤ g(x) pentru orice x ∈ A. Analogse definesc relatiile: f ≥ g, f < g si f > g.

d) Fie ∅ 6= A ⊂ IR si f, g : A → IR.

• f se numeste majorata daca multimea Imf = {f(x)|x ∈ A} estemajorata. In acest caz, vom nota sup(Im f) = sup{f(x)|x ∈ A}prin sup

x∈Af(x).

• f se numeste minorata daca multimea Im f este minorata si vomnota inf(Im f) = inf{f(x)|x ∈ A} prin inf

x∈Af(x).

• f se numeste marginita daca este majorata si minorata.

• Daca A = IN si f(n) = xn, ∀n ∈ IN, atunci vom nota sup(Im f)(respectiv inf(Im f)), daca acesta exista, prin sup

n∈INxn sau sup

nxn

sau supxn (respectiv infn∈IN

xn sau infn

xn sau inf xn).

• Vom nota prin f + g, αf(α ∈ IR), f · g = fg,f

g(daca g(x) 6= 0,

∀x ∈ A) si fg (daca f(x) > 0, ∀x ∈ A) functiile definite astfel:(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf(x), (fg)(x) = f(x)g(x),(fg)(x) = [f(x)]g(x). Uneori vom nota [f(x)]α prin fα(x).

Definitia 1.35. Fie ∅ 6= X ⊂ IR. O functie f : X → IR se numeste:

a) crescatoare daca pentru orice x1, x2 ∈ X, din x1 < x2 rezulta f(x1) ≤f(x2);

b) strict crescatoare daca pentru orice x1, x2 ∈ X, din x1 < x2 rezultaf(x1) < f(x2);

c) descrescatoare daca pentru orice x1, x2 ∈ X, din x1 < x2 rezultaf(x1) ≥ f(x2);

d) strict descrescatoare daca pentru orice x1, x2 ∈ X, din x1 < x2 rezultaf(x1) < f(x2);

e) strict monotona daca este strict crescatoare sau strict descrescatoare;f) monotona daca ındeplineste una dintre conditiile a), b), c), d).

Propozitia 1.36. Fie ∅ 6= X ⊂ IR, functiile f, g : X → IR si α ∈ IR.

12

i) Daca f, g sunt crescatoare (respectiv descrescatoare), atunci f +g estecrescatoare (respectiv descrescatoare).

ii) Daca f este crescatoare, atunci αf este crescatoare pentru α > 0 sidescrescatoare pentru α < 0.

Daca f este descrescatoare, atunci αf este descrescatoare pentru α > 0si crescatoare pentru α < 0.

iii) Daca f ≥ 0, g ≥ 0 si f, g sunt crescatoare (respectiv descrescatoare),atunci fg este crescatoare (respectiv descrescatoare).

Propozitia 1.37. Fie ∅ 6= X, Y ⊂ IR si f : X → Y , g : Y → IR.Daca f, g sunt monotone de acelasi sens, atunci g ◦ f este crescatoare.Daca f, g sunt monotone de sens contrar, atunci g◦f este descrescatoare.

Definitia 1.38. Fie ∅ 6= A ⊂ IR si functia f : A → IR.

a) f se numeste periodica daca exista T ∈ IR∗ astfel ıncat:i) x + T ∈ A, pentru orice x ∈ A,

ii) f(x + T ) = f(x), ∀x ∈ A.

T se numeste perioada a functiei f .b) Presupunand ca f este periodica si admite cel putin o perioada pozitiva,

se spune ca f are perioada principala daca f admite cea mai micaperioada pozitiva (aceasta se numeste perioada principala).

Definitia 1.39. Vom nota IR = IR ∪ {−∞,+∞}, unde elementele−∞,+∞ /∈ IR si se numesc minus infinit, respectiv plus infinit.Uneori vom scrie ın loc de +∞ simplu ∞ si vom spune, pe scurt, infinitın loc de plus infinit. IR se numeste dreapta reala ıncheiata.

Vom prelungi ordinea uzuala a lui IR la IR astfel:

−∞ < ∞, −∞ < x < +∞, ∀x ∈ IR.

In felul acesta, multimea IR devine total ordonata si marginita si avem:inf IR = min IR = −∞, sup IR = max IR = +∞. Daca ∅ 6= A ⊂ IR estenemajorata ın IR, atunci ea este majorata ın IR si supA = +∞. Analog,daca A este neminorata ın IR atunci ea este minorata ın IR si inf A = −∞.

Operatiile algebrice din IR se vor prelungi la IR, fara a fi definite pestetot. Astfel vom avea:

x +∞ = ∞+ x = ∞, ∀x ∈ IR \ {−∞},−∞+ x = x + (−∞) = −∞, ∀x ∈ IR \ {+∞},∞ · x = x · ∞ = ∞, ∀x ∈ IR, x > 0,∞ · x = x · ∞ = −∞, ∀x ∈ IR, x < 0.

13

Urmatoarele operatii nu au sens: ∞+(−∞), (−∞)+∞, 0 ·∞, 0 · (−∞),00,±∞±∞ , 1∞, 1−∞, 00,∞0.

Daca a ∈ IR, se definesc intervalele:[a, +∞] = {x ∈ IR | x ≥ a},(a,+∞] = {x ∈ IR | x > a},[−∞, a] = {x ∈ IR | x ≤ a},[−∞, a) = {x ∈ IR | x < a},[−∞, +∞) = {x ∈ IR | x < +∞} = IR \ {+∞},(−∞,+∞] = {x ∈ IR | x > −∞} = IR \ {−∞},[−∞, +∞] = IR.

In continuare, consideram U clasa tuturor multimilor. Proprietatilemultimii U sunt contradictorii. Intr-adevar, fie A acea submultime a luiU formata din multimile care nu se contin ca element. Avem doua situatiiposibile:

I. Daca A se contine ca element, atunci A ar contine o multime ce secontine ca element, ceea ce contrazice definitia lui A.

II. Daca A nu se contine ca element, atunci din definitia lui A ar rezultaca A apartine ca element lui A, ceea ce contrazice ipoteza din II.

Aceasta contradictie a generat numeroase discutii si a condus la diferitesolutii date de matematicieni, generand faimosul paradox al lui Russel, nu-mit “multimea tuturor multimilor”. Pentru clarificari se poate consultaVasilache S. [19].

In cele ce urmeaza, vom presupune ca U nu se contine pe ea ınsasi caelement.

Definitia 1.40. Multimile nevide A si B se numesc echipotente (saucardinal echivalente) daca exista o functie bijectiva f : A → B. Vom notaaceasta prin A ∼ B. Prin conventie, A ∼ ∅ daca si numai daca A = ∅.

Teorema 1.41. Relatia de echipotenta “∼” este o relatie de echivalentape multimea U . Pentru orice A ∈ U , clasa de echivalenta a multimii A senumeste cardinalul lui A, notat card A. Deci card A = {B ∈ U|B ∼ A}.Avem cardA = cardB ⇔ A ∼ B. Prin conventie, card ∅ = 0.

Definitia 1.42. O multime A se numeste:

a) finita daca este echipotenta cu o multime de forma {1, 2, ..., n}, unden ∈ IN∗. In acest caz, cardinalul lui A se numeste finit si vom scriecardA = n. Se va considera card ∅ = 0 ca fiind un cardinal finit.

14

b) infinita daca nu este finita. Cardinalul unei multimi infinite se numes-te transfinit.

c) numarabila daca A este echipotenta cu IN. Se noteaza card IN = ℵ0

(alef zero).d) cel mult numarabila daca A este finita sau numarabila.

Definitia 1.43. Fiind date α si β cardinale, se definesc urmatoareleoperatii:

a) adunarea: α+β = card(A∪B), unde A ∈ α, B ∈ β astfel ıncat A∩B =∅. Adunarea este corect definita deoarece putem alege reprezentantidisjuncti pentru orice doua cardinale.

b) ınmultirea: α · β = αβ = card(C ×D), unde C ∈ α, D ∈ β.c) ridicarea la putere: αβ = cardCD daca α 6= 0, β 6= 0, C ∈ α, D ∈ β

(unde prin CD am notat multimea functiilor definite pe D cu valoriın C).

Adunarea si ınmultirea sunt comutative si asociative, ınmultirea este dis-tributiva fata de adunare iar ridicarea la putere are urmatoarele proprietati:αβ+γ = αβ ·αγ , (αβ)γ = αγβγ , (αβ)γ = αβγ oricare ar fi α, β, γ 6= 0 cardinalearbitrare (vezi Tamas, Leoreanu [18]).

Propozitia 1.44. O multime A este numarabila daca si numai dacaA se scrie ın forma A = {x1, x2, ..., xn, ...}, unde (xn)n∈IN∗ este un sir cutermeni diferiti.

Definitia 1.45. Fie A,B multimi nevide. Se spune:

a) 0 ≤ cardA si cardA ≤ cardB daca exista o functie injectiva f : A →B.

b) cardA < cardB daca cardA ≤ cardB si cardA 6= card B (rezulta ca0 < cardA).

Propozitia 1.46. Fie A si B doua multimi astfel ıncat A ⊂ B. AtuncicardA ≤ cardB.

Propozitia 1.47. Fie A si B doua multimi.

a) Daca A este infinita si B cel mult numarabila, atunci (A ∪B) ∼ A.b) Daca A este infinita nenumarabila si B ⊂ A astfel ıncat cardB ≤ ℵ0,

atunci (A \B) ∼ A.

15

Teorema 1.48. Fie A o multime nevida cu cardA = α. Atunci:a) cardP(A) = 2α; b) α < 2α.

Propozitia 1.49. Oricare ar fi cardinalul finit n, are loc: n < ℵ0.

Teorema 1.50. Relatia “≤” din definitia 1.45-a) este o relatie de ordinetotala pe multimea U|∼.

Propozitia 1.51. Orice multime infinita contine o submultime numara-bila (rezulta ca pentru orice cardinal transfinit α avem: ℵ0 ≤ α).

Teorema 1.52. Au loc urmatoarele proprietati:

i) Daca A este numarabila, B este nevida si cel mult numarabila, atunciA×B este numarabila.

ii) Orice reuniune finita de multimi finite este finita.iii) Orice reuniune nevida finita de multimi numarabile este multime nu-

marabila.iv) Orice reuniune numarabila de multimi nevide finite si mutual disjuncte

este multime numarabila.v) Orice reuniune numarabila de multimi numarabile este multime numa-

rabila.

Propozitia 1.53. Urmatoarele multimi sunt numarabile:

i) Z, Q;ii) multimea polinoamelor cu coeficienti rationali;iii) multimea numerelor algebrice (amintim ca un numar real se numeste

algebric daca este radacina a unui polinom de grad mai mare sauegal ca 1 si cu coeficienti rationali; exemple de numere algebrice:

3,−4,35,−1

7,√

3,−√

2).

Teorema 1.54. Multimea [0, 1] este nenumarabila (infinita).

Definitia 1.55.Cardinalul multimii [0, 1] se numeste puterea continuului.Se noteaza card[0, 1] = c (c > ℵ0).

Propozitia 1.56. Urmatoarele multimi au cardinalul c:i) [a, b], (a, b], [a, b), (a, b) pentru orice a, b ∈ IR cu a < b;ii) (−∞, a), (−∞, a], [a,+∞), (a,∞) pentru orice a ∈ IR;iii) orice submultime a lui IR care include un interval;

16

iv) IR \ Q;v) multimea lui Cantor(vezi Precupanu A.M. [14]-propozitia 1.5-29);vi) multimea numerelor transcendente (un numar real se numeste tran-

scendent daca nu este algebric, de exemplu: e, π).

Propozitia 1.57. Fie α, β, γ cardinale α 6= 0, β 6= 0, γ 6= 0. Daca α ≤ β,atunci:

i) α + γ ≤ β + γ;ii) α · γ ≤ β · γ;iii) γα ≤ γβ;iv) αγ ≤ βγ .

Propozitia 1.58.

i) n + ℵ0 = ℵ0, ∀n ∈ IN;ii) n · ℵ0 = ℵ0, ∀n ∈ IN∗;iii) (ℵ0)n = ℵ0, ∀n ∈ IN∗;iv) n + c = c, ∀n ∈ IN;v) ℵ0 + c = c.

17

Probleme

1.1 Fie X 6= ∅ si A,B,C ⊂ X. Atunci au loc:a) A \B = A ∩ cB;b) A ∩ (B \ C) = (A ∩B) \ (A ∩ C) = (A ∩B) \ C;c) (A ∩B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C);d) (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C).

1.2 Fie X 6= ∅. Aratati ca pentru orice (Ai)i∈I ⊂ P(X) (I 6= ∅) au locrelatiile lui De Morgan:

c

(⋃

i∈I

Ai

)=

⋂

i∈I

(cAi);

c

(⋂

i∈I

Ai

)=

⋃

i∈I

(cAi).

1.3 Fie X 6= ∅. Aratati ca pentru orice E ⊂ X, (Ai)i∈I ⊂ P(X)(I 6= ∅) si(Bj)j∈J ⊂ P(X)(J 6= ∅) au loc formulele generale de distributivitate:

a) E ∩( ⋃

i∈I

Ai

)=

⋃i∈I

(E ∩Ai);

b) E ∪( ⋂

i∈I

Ai

)=

⋂i∈I

(E ∪Ai);

c)( ⋃

i∈I

Ai

)∩

( ⋃j∈J

Bj

)=

⋃(i,j)∈I×J

(Ai ∩Bj);

d)( ⋂

i∈I

Ai

)∪

( ⋂j∈J

Bj

)=

⋂(i,j)∈I×J

(Ai ∪Bj).

1.4 Fie X 6= ∅. Pentru orice A ⊂ X si (Bi)i∈I ⊂ P(X)(I 6= ∅) au loc:

a) A \( ⋃

i∈I

Bi

)=

⋂i∈I

(A \Bi);

b)( ⋃

i∈I

Bi

)\A =

⋃i∈I

(Bi \A);

c) A \( ⋂

i∈I

Bi

)=

⋃i∈I

(A \Bi);

d)( ⋂

i∈I

Bi

)\A =

⋂i∈I

(Bi \A).

1.5 Fie X 6= ∅ si A,B ⊂ X. Determinati E ⊂ X astfel ıncat E4A = B.

18

1.6 Fie X, Y, T 6= ∅. Atunci au loc:

a) X × (Y ∪ T ) = (X × Y ) ∪ (X × T );b) X × (Y ∩ T ) = (X × Y ) ∩ (X × T );c) X × (Y \ T ) = (X × Y ) \ (X × T );d) X × (Y4T ) = (X × Y )4(X × T ).

1.7 Fie X, Y 6= ∅, D ⊂ X, E ⊂ Y , (Ai)i∈I ⊂ P(X)(I 6= ∅) si (Bj)j∈J ⊂P(Y )(J 6= ∅). Sa se arate ca:

a)( ⋃

i∈I

Ai

)×E =

⋃i∈I

(Ai ×E),( ⋂

i∈I

Ai

)× E =

⋂i∈I

(Ai × E);

b) D ×( ⋃

j∈J

Bj

)=

⋃j∈J

(D ×Bj), D ×( ⋂

j∈J

Bj

)=

⋂j∈J

(D ×Bj);

c)( ⋃

i∈I

Ai

)×

( ⋃j∈J

Bj

)=

⋃(i,j)∈I×J

(Ai ×Bj);

d)( ⋂

i∈I

Ai

)×

( ⋂j∈J

Bj

)=

⋂(i,j)∈I×J

(Ai ×Bj);

e)⋂i∈I

(Ai ×Bi) =( ⋂

i∈I

Ai

)×

( ⋂i∈I

Bi

);

f)⋃i∈I

(Ai ×Bi) ⊂( ⋃

i∈I

Ai

)×

( ⋃i∈I

Bi

)si precizati exemple pentru inclu-

ziune stricta si pentru egalitate.

1.8 Fie (An)n∈IN∗ ⊂ P(X).(An)n se numeste ascendent daca An ⊂ An+1, ∀n ∈ IN∗.(An)n se numeste descendent daca An ⊃ An+1, ∀n ∈ IN∗.Se definesc urmatoarele submultimi ale lui X:

• lim infn→∞ An =

∞⋃n=1

∞⋂k=n

Ak (notata si lim infn

An sau lim inf An) numita

limita inferioara a sirului (An) si

• lim supn→∞

An =∞⋂

n=1

∞⋃k=n

Ak (notata si lim supn

An sau lim supAn) numita

limita superioara a sirului (An).Cele doua multimi definite mai sus se numesc limitele extreme ale sirului(An)n.

(An)n se numeste convergent daca lim inf An = lim supAn. Valoarea co-muna a celor doua limite se noteaza lim

n→∞An (sau limn

An). Multimea limn

An

se numeste limita sirului (An)n.Sa se arate ca:

a)∞⋂

n=1An ⊂ lim inf An ⊂ lim supAn ⊂

∞⋃n=1

An;

19

b) lim sup(cAn) = c(lim inf An) si lim inf(cAn) = c(lim sup An);c) Daca (An)n este ascendent, atunci el este convergent si lim

nAn =

∞⋃n=1

An;

d) Daca (An)n este descendent, atunci el este convergent si limn

An =∞⋂

n=1An.

1.9 Fie X 6= ∅. Pentru orice multime A ⊂ X se defineste functia

ϕA : X → IR, ϕA(x) ={

1, x ∈ A0, x /∈ A

numita functia caracteristica a lui

A.Aratati ca pentru orice A,B ∈ P(X) au loc urmatoarele proprietati:

a) A = B ⇔ ϕA = ϕB;b) A ⊂ B ⇔ ϕA ≤ ϕB;c) ϕα

A = ϕA, ∀α > 0;d) ϕA∩B = ϕA · ϕB;e) ϕA∪B = ϕA + ϕB − ϕAϕB;f) ϕA\B = ϕA − ϕAϕB;g) ϕcA = 1− ϕA;h) ϕA4B = ϕA + ϕB − 2ϕAϕB;i) ϕ∅ = 0, ϕX = 1;j) ϕA = 0 ⇔ A = ∅;k) ϕA = 1 ⇔ A = X.

1.10 Fie X 6= ∅ si A,B,C ∈ P(X).Folosind proprietatile functiei caracteristice aratati ca:

a) A \ (B ∪ C) = (A \B) ∪ (A \ C) ⇔ A ∩ (B4C) = ∅;b) A \ (B ∩ C) = (A \B) ∩ (A \ C) ⇔ A ∩ (B4C) = ∅;c) A ∪ (B \ C) = (A ∪B) \ (A ∪ C) ⇔ A = ∅;d) (A ∩B) ∪ (C \A) = C ⇔ A ∩ (B4C) = ∅;e) (A4B)4C = A4(B4C).

1.11 Fie R = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (5, 4), (5, 5)} ⊂ IN× IN siS = {(2, 1), (2, 2), (3, 3), (5, 3)} ⊂ IN× IN.

Determinati: DomR, Im R, 4({1, 3, 9}), R−1, R({1, 3}), R({4}),R−1({2, 4}), S−1({2}), S ◦R, R ◦ S.

1.12 Fie S = {(a2, a)|a ∈ IR} ⊂ IR× IR. Sa se gaseasca DomS, ImS.

20

1.13 Fie S ⊂ IR× IR, S = {(x, y) ∈ IR× IR | 0 ≤ x− y ≤ 1}. DeterminatiS−1 si S−1 ◦ S.

1.14 Fie X, Y, V,W 6= ∅ si R ⊂ X × Y , S ⊂ Y × V , T ⊂ Z × W ,R1 ⊂ X × Y , R2 ⊂ X × Y . Aratati ca:

a) R1 = R2 ⇔ R1(A) = R2(A), ∀A ⊂ X;b) R1 = R2 ⇔ R1({x}) = R2({x}), ∀x ∈ X;c) (R−1)−1 = R;d) Im R = Dom R−1 si Dom R = ImR−1;e) (S ◦R)(A) = S(R(A)), ∀A ⊂ X;f) (T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R);g) (S ◦R)−1 = R−1 ◦ S−1;h) 4(ImR) ⊂ R ◦R−1;i) 4(Dom R) ⊂ R−1 ◦R;j) ∀A,B ∈ P(X), A ⊂ B ⇒ R(A) ⊂ R(B);k) ∀(Ai)i∈I ⊂ P(X), R

( ⋃i∈I

Ai

)=

⋃i∈I

R(Ai);

l) ∀(Ai)i∈I ⊂ P(X), R( ⋂

i∈I

Ai

)⊂ ⋂

i∈I

R(Ai) si precizati exemple pentru

egalitate si pentru incluziune stricta.

1.15 Pe IN × IN se defineste relatia: (a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b +c,∀(a, b), (c, d) ∈ IN× IN.

Aratati ca relatia “∼” este relatie de echivalenta si apoi gasiti C(7,3),clasa de echivalenta a elementului (7, 3).

1.16 Fie relatia “∼” definita pe IR×IR prin: (x1, y1) ∼ (x2, y2) ⇔ x1 = x2,∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ IR× IR.

Aratati ca relatia “∼” este relatie de echivalenta si determinati C(a,b),clasa de echivalenta a elementului (a, b) ∈ IR× IR.

1.17 Fie X 6= ∅ si (Ai)i∈I o partitie a lui X (I 6= ∅). Fie R =⋃i∈I

(Ai×Ai) ⊂X ×X. Aratati ca R este o relatie de echivalenta pe X care determina peX aceeasi partitie ca familia (Ai)i∈I .

1.18 Pe IN∗ se defineste relatia: x ≤ y ⇔ x|y (x divide y), ∀x, y ∈ IN∗.Atunci:

a) Relatia “≤” este relatie de ordine pe IN∗. Este relatia “≤” totala?b) Daca multimea A ⊂ IN∗ este nevida si marginita, aratati ca A este

finita.

21

c) Sa se arate ca ın spatiul (IN∗,≤) este satisfacuta axioma Cantor -Dedekind.

d) Determinati multimea majorantilor, multimea minorantilor, inf, sup,min, max, elementele maximale si elementele minimale pentru multi-mea A = {1, 2, 3, 5, 6, 7}.

1.19 Pe IN∗ se defineste relatia: x ≤ y ⇔ x...y (x este divizibil cu y),

∀x, y ∈ IN∗.

a) Aratati ca relatia “≤” este relatie de ordine pe IN∗. Este relatia “≤”totala?

b) Determinati multimea majorantilor, multimea minorantilor, inf, sup,min, max, elementele maximale si elementele minimale pentru multi-mea B = {2, 3, 4, 6, 7, 9}.

1.20 Fie X 6= ∅. Pe P(X) se defineste relatia “≤” prin: ∀A,B ∈ P(X),A ≤ B ⇔ A ⊂ B.

a) Aratati ca (P(X),≤) este spatiu ordonat. Este relatia “≤” totala?Determinati minP(X) si maxP(X).

b) Fie (Ai)i∈I ⊂ P(X) si M = {Ai|i ∈ I}. Determinati supM si infM.

Fie B ⊂M. Presupunem ca exista A ∈M astfel ıncat A este majorantpentru B. Aratati ca

⋃E∈B

E ⊂ A. Multimea⋃

E∈BE este majorant

pentru B?c) Daca X = IN si M ⊂ P(IN), M = {{7}, {1, 3}, {1, 3, 9}, A}, unde

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, determinati: un minorant pentru M,un majorant pentru M, infM, supM, minM, maxM, elementeleminimale si elementele maximale pentru M.

1.21 Pe multimea F = {f |∅ 6= A ⊂ IR si f : A → IR} se defineste relatiaR = {(f, g) | f, g ∈ F si g este prelungire pentru f}.

a) Verificati daca R este relatie de ordine pe F . Este relatia R totala?b) Fie A = {f, g, h, t} unde:

f : {1, 3} → IR, f(x) = −1,

g : IN → IR, g(x) ={ −1, x ≤ 3

2x, x > 3,

h : [0,∞) → IR, h(x) ={ −1, x ≤ 3

2x, x > 3,

t : [−2, 4] → IR, t(x) =

x3, −2 ≤ x < 0−1, 0 ≤ x ≤ 32x, 3 < x ≤ 4.

22

Determinati supA si inf A, daca acestea exista.

1.22 Pe IR × IR se defineste relatia: (x, y) ≤ (z, t) ⇔ x < z sau (x =z si y ≤ t).

a) Aratati ca relatia “≤” este relatie de ordine totala pe IR× IR, numitaordinea lexicografica.

b) Introduceti simbolul corect ≤ sau ≥ ıntre:

(2, 5) si (1, 4)(3, 6) si (3, 10)(6, 9) si (7, 3).

c) In caz de existenta, determinati max, min, sup, inf pentru urmatoarelemultimi:

A = {(x, y) ∈ IR× IR|x2 + y2 < 4};B = {(x, y) ∈ IR× IR||x|+ |y| < 2};C = {(x, y) ∈ IR2||x| < 2 si |y| < 2}.

1.23 Pe multimea X = {(xn)n∈IN∗ |xn ∈ IR, ∀n ∈ IN∗} se defineste relatia:(xn)R(yn) ⇔ xn = yn, ∀n ∈ IN∗ sau xk < yk unde k este primul indicepentru care xk 6= yk.

Verificati daca relatia R este relatie de ordine pe X. Este relatia Rtotala?

1.24 Fie α ∈ IR, α > 0 si n ∈ IN∗. Sa se arate ca exista un unic numarreal pozitiv x astfel ıncat xn = α.

1.25 Fie C[0,1] = {f |f : [0, 1] → IR este functie continua pe [0, 1]}, a fixatın [0, 1] si relatiile de la C[0,1] la IR definite astfel:

S1 = {(f, f(a))|f ∈ C[0,1]},S2 = {(f, f ′(a)|f ∈ C[0,1]},S3 = {(f, sup

x∈[0,1]f(x))

∣∣f ∈ C[0,1] },

S4 = {(f, infx∈[0,1]

f(x))∣∣f ∈ C[0,1] },

S5 = {(f,

∫ 1

0f(x)dx)

∣∣f ∈ C[0,1] }.

Precizati daca acestea sunt functii si, ın caz afirmativ, daca sunt injectivesau surjective.

23

Pentru rezolvarea acestei probleme recomandam citirea capitolelor 5,6 sia manualelor de Analiza matematica pentru clasele a XI-a si a XII-a.

1.26 Fie multimile nevide X,Y si f ⊂ X × Y o relatie de la X la Y .

Aratati ca f este functie ⇔{

(i) f ◦ f−1 ⊂ 4(Y ) si(ii) f−1 ◦ f ⊃ 4(X).

1.27 Fie multimile X, Y 6= ∅ si functia f : X → Y . Aratati ca:

i) ∀(Bi)i∈I ⊂ P(Y ), f−1( ⋂

i∈I

Bi

)=

⋂i∈I

f−1(Bi);

ii) ∀B1, B2 ∈ P(Y ), f−1(B1 \B2) = f−1(B1) \ f−1(B2);iii) ∀B ∈ P(Y ), f−1(cB) = cf−1(B);iv) ∀A ∈ P(X), A ⊂ f−1(f(A)) (precizati un exemplu pentru incluziunea

stricta; pentru egalitate vezi problema 1.29-vi));v) ∀B ∈ P(Y ), f(f−1(B)) ⊂ B (dati un exemplu pentru incluziunea

stricta; pentru egalitate vezi problema 1.30-vi));vi) ∀A ∈ P(X), f(cA) ⊃ f(X) \ f(A) (gasiti un exemplu pentru incluzi-

unea stricta; pentru egalitate vezi problema 1.29-iv)).

1.28 Fie X, Y, T 6= ∅ si functiile f : X → Y , g : Y → T . Sa se arate ca:

a) daca g ◦ f este injectiva, atunci f este injectiva;b) daca g ◦ f este surjectiva, atunci g este surjectiva.

1.29 Fie X, Y 6= ∅ si functia f : X → Y . Aratati ca urmatoarele afirmatiisunt echivalente:

i) f este injectiva;ii) f(A1 ∩A2) = f(A1) ∩ f(A2), ∀A1, A2 ∈ P(X);iii) ∀A1, A2 ∈ P(X), A1 ∩A2 = ∅ ⇒ f(A1) ∩ f(A2) = ∅;iv) f(cA) = f(X) \ f(A), ∀A ∈ P(X);v) ∀A1, A2 ∈ P(X), f(A1) ⊂ f(A2) ⇒ A1 ⊂ A2;vi) f−1(f(A)) = A, ∀A ∈ P(X);vii) exista o surjectie g : Y → X astfel ıncat g ◦ f = 1X ;viii) card f−1({y}) ≤ 1 pentru orice y ∈ Y ;ix) f−1 ◦ f = 4(X);x) ∀T 6= ∅ si h, k : T → X, f ◦ h = f ◦ k ⇒ h = k.

1.30 Fie X si Y multimi nevide. Daca f : X → Y este o functie oarecare,atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i) f este surjectiva;

24

ii) f(X) = Y ;iii) f−1(B) 6= ∅ pentru orice B ∈ P(Y ), B 6= ∅;iv) Y \ f(A) ⊂ f(cA), ∀A ∈ P(X);v) ∀B1, B2 ∈ P(Y ), f−1(B1) ⊂ f−1(B2) ⇒ B1 ⊂ B2;vi) f(f−1(B)) = B, ∀B ∈ P(Y );vii) exista o injectie g : Y → X astfel ıncat f ◦ g = 1Y ;viii) card f−1({y}) ≥ 1 pentru orice y ∈ Y ;ix) f ◦ f−1 = 4(Y );x) ∀T 6= ∅ si h, k : Y → T , h ◦ f = k ◦ f ⇒ h = k.

1.31 Fie X, Y 6= ∅. Sa se arate ca functia f : X → Y este bijectiva dacasi numai daca f este inversabila.

1.32 Fie X, Y 6= ∅. Pentru o functie arbitrara f : X → Y fie functiilef∗ : P(X) → P(Y ) si f∗ : P(Y ) → P(X) definite prin: f∗(A) = f(A)pentru orice A ∈ P(X) si f∗(B) = f−1(B) pentru orice B ∈ P(Y ). Aratatica:

• urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a1) f este injectiva;a2) f∗ este injectiva;a3) f∗ ◦ f∗ = 1P(X);a4) f∗ este surjectiva.

• urmatoarele afirmatii sunt, de asemenea, echivalente:

b1) f este surjectiva;b2) f∗ este surjectiva;b3) f∗ ◦ f∗ = 1P(Y );b4) f∗ este injectiva.

1.33 Dati exemplu de functie neinjectiva f : IR → IR astfel ıncat f |Q safie injectiva.

1.34 Sa se arate ca orice functie f : IR → IR se poate scrie ca suma a douafunctii surjective.

1.35 Fie X,Y 6= ∅ si f : X → Y o functie arbitrara. Sa se arate ca:

a) daca f este injectiva, atunci cardX ≤ cardY ;b) daca f este surjectiva, atunci cardY ≤ cardX;c) card(f(X)) ≤ cardX.

25

1.36 Fie X o multime nevida finita si functia f : X → X. Aratati caurmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) f este injectiva;b) f este surjectiva;c) f este bijectiva.

Daca X nu este finita, atunci rezultatul nu se pastreaza. De exemplu, functiaf : IN → IN, definita prin f(n) = n +3, este injectiva dar nu este surjectiva.

1.37 Daca ∅ 6= A ⊂ IR este o multime finita si f : A → A este strictcrescatoare, atunci f este functia identica.

1.38 Fie ∅ 6= A ⊂ (0,+∞) o multime finita. Sa se determine functiilef : A → A cu proprietatea: yf(x) = xf(y), pentru orice x, y ∈ A.

1.39 Fie ∅ 6= A ⊂ IR cu cardA ≥ 3 si functiile f, g : A → (0, +∞).Aratati ca f = g daca si numai daca f(x1)f(x2) = g(x1)g(x2), pentru oricex1, x2 ∈ A, x1 6= x2.

1.40 Sa se gaseasca functiile f : IR → IR care verifica conditiile:

a) f este injectiva;b) f(x) = x, ∀x ∈ Q∗ \ {1};c) f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2), ∀x1, x2 ∈ IR;d) f(x1x2) = f(x1)f(x2), ∀x1, x2 ∈ IR.

1.41 Daca functia f : IR → IR este monotona si periodica, atunci ea esteconstanta.

1.42 Sa se verifice daca urmatoarele functii sunt periodice si, ın caz afir-mativ, daca admit perioada principala:

i) f : IR → IR, f(x) = c, unde c ∈ IR;ii) f : IR → IR, f(x) = ax + b, unde a, b ∈ IR si a 6= 0.

iii) f : IR → IR, f(x) ={

1, x ∈ Z0, x ∈ IR \ Z ;

iv) f : IR → IR, f(x) ={

0, x ∈ Q1, x ∈ IR \ Q

;

v) f : IR → IR, f(x) = [x] (partea ıntreaga a lui x);vi) f : IR → IR, f(x) = x− [x] (partea fractionara a lui x).

26

1.43 Fie f : IR → IR o functie periodica si T1, T2 doua perioade ale lui f .Atunci T1 + T2,−T1, kT1 (k ∈ Z∗) sunt, de asemenea, perioade pentru f .

1.44 Fie f : IR → IR o functie periodica cu perioada principala T . Atuncisingurele perioade ale lui f sunt de forma kT , k ∈ Z∗.

1.45 Fie f : IR → IR o functie cu proprietatea ca orice numar irationaleste perioada pentru f . Atunci f este constanta.

1.46 Fie f1, f2 : IR → IR functii periodice de perioade T1 si respectiv

T2 astfel ıncatT1

T2=

p

q∈ Q (p, q ∈ Z∗). Aratati ca functiile αf1 + βf2

(α, β ∈ IR), f1f2,f1

f2(daca f2(x) 6= 0 pentru orice x ∈ IR) sunt periodice de

perioada T = qT1 = pT2.

1.47 Aflati cardinalul multimii

A ={

a ∈ IR∣∣∣∣a =

2n2 + 23n2 + 2n + 1

, n ∈ {1, 2, ..., 2004}}

(Examen Titularizare

Profesori - 1993).

1.48 Daca B1, B2, ..., Bn sunt multimi finite, sa se arate ca:

card( n⋃

i=1

Bi

)=

n∑

i=1

cardBi −∑

1≤i<j≤n

card(Bi ∩Bj)+

+∑

1≤i<j<k≤n

card(Bi ∩Bj ∩Bk)−...+(−1)n−1 card( n⋂

i=1

Bi

).

1.49 Aratati ca:

a) n · c = c, ∀n ∈ IN∗.b) ℵ0 · c = c.c) 2ℵ0 = nℵ0 = (ℵ0)ℵ0 = c, ∀n ∈ IN∗, n ≥ 2 (rezulta ca multimea ININ, a

sirurilor de numere naturale, are cardinalul c).d) cn = c, ∀n ∈ IN∗, n ≥ 2.e) cℵ0 = c (deci multimea IRIN a sirurilor de numere reale are, de aseme-

nea, cardinalul c).f) cc = 2c (ın particular, multimea IRIR a tuturor functiilor reale de o

variabila reala are cardinalul 2c).g) (ℵ0)c = 2c.

27

1.50 Sa se determine cardinalul multimii

A = {f |f : IR → IR este functie continua pe IR}

(pentru functii continue vezi capitolul 5).

1.51 Gasiti cardinalul multimii polinoamelor cu coeficienti reali.

1.52 Sa se precizeze cardinalele urmatoarelor multimi:

a) A = [a1, b1]× [a2, b2] ⊂ IR2 unde a1, a2, b1, b2 ∈ IR si a1 < b1, a2 < b2;b) B = {(x, y) ∈ IR2|(x− a)2 + (y − b)2 = r2} unde a, b, r ∈ IR cu r > 0.

1.53 Daca a ∈ IR are proprietatea 0 ≤ a ≤ 1n

pentru orice n ∈ IN∗, atuncia = 0.

1.54 Pentru ∅ 6= A,B ⊂ IR se defineste multimea A + B = {x + y|x ∈A si y ∈ B}.

a) Daca A,B sunt majorate, atunci A+B este majorata si sup(A+B) =supA + supB.

b) Daca A,B sunt minorate, atunci A+B este minorata si inf(A+B) =inf A + inf B.

Daca A = {a} ⊂ IR, atunci A + B se noteaza a + B iar relatiile din a) si b)devin: sup(a + B) = a + sup B si respectiv inf(a + B) = a + inf B.

1.55 Fie f, g : IR → IR si ∅ 6= X ⊂ IR.

a) Demonstrati ca:

infx∈X

f(x) + infx∈X

g(x) ≤ infx∈X

[f(x) + g(x)] ≤

≤ supx∈X

[f(x) + g(x)] ≤ supx∈X

f(x) + supx∈X

g(x).

b) Dati exemple de functii f, g astfel ıncat inegalitatile de la punctul a)sa fie stricte.

c) Daca f este functie constanta, f(x) = a ∈ IR pentru orice x ∈ IR,atunci inf

x∈X[a + g(x)] = a + inf

x∈Xg(x) si sup

x∈X[a + g(x)] = a + sup

x∈Xg(x).

d) Deduceti din a) urmatoarele inegalitati pentru orice siruri de numerereale (xn)n si (yn)n:

inf xn + inf yn ≤ inf(xn + yn) ≤ sup(xn + yn) ≤ supxn + sup yn.

28

e) Dati exemple de siruri pentru care ın d) au loc inegalitati stricte, apoide siruri pentru care ın d) au loc egalitati.

1.56 Pentru ∅ 6= A,B ⊂ IR se defineste multimea AB = {xy|x ∈ A si y ∈B}. In cazul cand A,B ⊂ [0,+∞), demonstrati:

a) Daca A,B sunt majorate, atunci AB este majorata si sup(AB) =(supA)(supB).

b) Daca A,B sunt minorate, atunci AB este minorata si inf(AB) =(inf A)(inf B).

1.57 a) Fie ∅ 6= A ⊂ IR si f, g : A → IR functii marginite astfel ıncatf(x) ≤ g(x), pentru orice x ∈ A. Atunci inf

x∈Af(x) ≤ inf

x∈Ag(x) si sup

x∈Af(x) ≤

supx∈A

g(x).

b) Din a) se deduce ca oricare ar fi sirurile marginite (xn)n, (yn)n ⊂ IRcu xn ≤ yn, pentru orice n ∈ IN, au loc inegalitatile:

inf xn ≤ inf yn si sup xn ≤ sup yn.

c) Dati exemple de functii si respectiv siruri pentru care inegalitatile demai sus devin egalitati, apoi exemple pentru inegalitati stricte.

1.58 Fie A o submultime nevida si marginita a lui IR. Daca supA = inf A,ce se poate spune despre A?

1.59 Daca A,B sunt submultimi nevide si marginite ale lui IR, aratati:a) sup(A ∪B) = max{supA, supB},b) inf(A ∪B) = min{inf A, inf B},c) sup(A ∩B) ≤ min{supA, supB},d) inf(A ∩B) ≥ max{inf A, inf B}.La c) si d) precizati exemple atat pentru egalitate cat si pentru inegali-

tate stricta.

1.60 Fie ∅ 6= A ⊂ IR, A multime marginita.Atunci sup

x∈A|x| = max{| supA|, | inf A|}.

1.61 Fie ∅ 6= A,B ⊂ IR care ındeplinesc conditiile:

i) a 0, exista a ∈ A si b ∈ B astfel ıncat b− a < ε.

29

Sa se arate ca A este majorata, B este minorata si supA = inf B.

1.62 Fie ∅ 6= A ⊂ IR.

a) Daca α ∈ IR este majorant pentru A si exista un sir (xn)n∈IN ⊂ Aastfel ıncat xn → α, atunci α = supA.

b) Daca β ∈ IR este minorant pentru A si exista un sir (yn)n∈IN ⊂ Aastfel ıncat yn → β, atunci β = inf A.

1.63 Pentru fiecare din urmatoarele submultimi ale lui IR precizati dacasunt majorate, minorate, ın caz de existenta determinati sup, inf, max, minsi demonstrati afirmatiile facute:

A = (−2, 5],

B = {−√7, 2} ∪ [4, +∞),C = [2, 7),

D ={

1n

+ (−1)n|n ∈ IN∗}

(Examen Titularizare Profesori - 2000),

E ={

2n + 13n + 5

∣∣∣∣n ∈ IN}

,

F ={

n + 1n

sinnπ

2

∣∣∣n ∈ IN∗}

,

G ={

cosnπ

2

∣∣∣n ∈ IN}∪

{(−1)n n + 1

7n + 2

∣∣∣∣n ∈ IN}

,

H = {−n3 + 1|n ∈ IN},

I ={

n2 + 3n + 2

∣∣∣∣n ∈ IN}

,

J ={

12n

+1

7m

∣∣∣∣ n,m ∈ IN}

,

K =∞⋂

n=1

[0,

1n

].

1.64 Fie A = {x ∈ Q|x ≥ 0 si x2 < 2}. Demonstrati ca A nu admitesupremum ın Q.

1.65 Densitatea lui IR \ Q ın IRSa se arate ca pentru orice x, y ∈ IR cu x < y, exista z ∈ IR \ Q astfel

ıncat x < z < y.

30

1.66 Sa se arate ca ıntre oricare doua numere reale diferite exista o infini-tate de numere rationale si o infinitate de numere irationale.

1.67 Fie α un numar irational fixat. Atunci, ıntre oricare doua numerereale diferite, exista un numar de forma mα + n unde m, n ∈ Z.

1.68 Fie {Iγ}γ∈Γ o familie de intervale mutual disjuncte ale lui IR. AtuncicardΓ ≤ ℵ0.

1.69 Teorema lui Knaster de punct fixFie a, b ∈ IR, a < b si f : [a, b] → [a, b] o functie crescatoare. Atunci

exista x0 ∈ [a, b] astfel ıncat f(x0) = x0 .

1.70 Aratati ca orice submultime nevida si bine ordonata a lui IR este celmult numarabila (o multime nevida se numeste bine ordonata daca oricesubmultime nevida a sa admite un cel mai mic element).

1.71 Fie I 6= ∅ si A = {ai|i ∈ I} ⊂ IR.

a) Presupunem A marginita si fie supA = α ∈ IR, inf A = β ∈ IR. Aratatica:

i)⋃

i∈I

(−∞, ai) = (−∞, α);

ii)⋃

i∈I

(ai, +∞) = (β,+∞);

iii)⋂

i∈I

(−∞, ai) ={

(−∞, β), daca β ∈ A(−∞, β], daca β /∈ A;

iv)⋂

i∈I

(ai, +∞) ={

(α, +∞), daca α ∈ A(α, +∞), daca α /∈ A.

b) Daca A nu este majorata, atunci⋃i∈I

(−∞, ai) = IR si⋂i∈I

(ai, +∞) = ∅.

c) Daca A nu este minorata, atunci⋂i∈I

(−∞, ai) = ∅ si⋃i∈I

(ai, +∞) = IR.

31

Solutii

1.1. a) Aratam prin dubla incluziune. Intai A\B ⊂ A ∩ cB: x ∈ A\B ⇒(x ∈ A si x /∈ B) ⇒ (x ∈ A si x ∈ cB) ⇒ x ∈ A ∩ cB.

Pentru incluziunea A ∩ cB ⊂ A\B: x ∈ A ∩ cB ⇒ (x ∈ A si x ∈ cB) ⇒(x ∈ A si x /∈ B) ⇒ x ∈ A\B.

b) Sa aratam ca A ∩ (B\C) = (A ∩ B)\(A ∩ C) cu echivalente. Astfelx ∈ A ∩ (B\C) ⇔ (x ∈ A si x ∈ B\C) ⇔ (x ∈ A, x ∈ B si x /∈ C)

⇔ (x ∈ A, x∈B si x ∈ A, x /∈ C) ⇔ (x ∈ A ∩ B si x /∈ A ∩ C) ⇔ x ∈(A ∩B)\(A ∩ C).

In acelasi mod demonstram egalitatea A ∩ (B\C) = (A ∩ B)\C : x ∈A ∩ (B\C) ⇔ (x ∈ A si x ∈ B\C) ⇔ (x ∈ A, x ∈ B si x /∈ C)

⇔ (x ∈ A ∩B si x /∈ C) ⇔ x ∈ (A ∩B)\C.c) Aratam prin calcul direct, pornind de la membrul stang sau membrul

drept al egalitatii, folosind a) precum si proprietatile intersectiei. Astfel,(A ∩B)\C = (A ∩B) ∩ cC = (A ∩ cC) ∩ (B ∩ cC) = (A\C) ∩ (B\C).d) Se demonstreaza analog, folosind una din metodele de mai sus.

1.2. Vom arata prima relatie cu echivalente: x ∈ c(⋃i∈I

Ai) ⇔ x /∈⋃i∈I

Ai ⇔(∀i ∈ I, x /∈ Ai) ⇔ (∀i ∈ I, x ∈ cAi) ⇔ x ∈⋂

i∈I

(cAi).

In mod asemanator se arata si a doua relatie.

1.3. Vom arata doar c) prin echivalente: x ∈ (⋃i∈I

Ai)⋂

(⋃

j∈J

Bj) ⇔⇔ (x ∈⋃

i∈I

Ai si x ∈ ⋃j∈J

Bj) ⇔ (∃i0 ∈ I a.ı. x ∈ Ai0 si ∃j0 ∈ J a.ı.

x ∈ Bj0) ⇔ x ∈ ⋃(i,j)∈I×J

(Ai⋂

Bj).

1.4. a) Aratam cu echivalente: x ∈ A\( ⋃i∈I

Bi)⇔(x ∈ A si x /∈⋃i∈I

Bi)⇔(x ∈ A si x /∈ Bi pentru orice i din I) ⇔ (x ∈ A\Bi pentru orice i din I)⇔ x ∈⋂

i∈I

(A\Bi).

b), c), d) se arata analog.

1.5. Avem: E 4 A = B ⇔ (E 4 A) 4 A = B 4 A ⇔ E 4 (A 4 A) =B 4A ⇔ E 4 ∅ = B 4A ⇔ E = B 4A.

1.6. a) Demonstram prin echivalente: (x, t) ∈ X × (Y ∪ T ) ⇔ (x ∈ X sit ∈ Y ∪ T ) ⇔ (x ∈ X si [ t ∈ Y sau t ∈ T ])⇔([ x ∈ X si t ∈ Y ] sau

32

[x ∈ X si t ∈ T ]) ⇔ ((x, t) ∈ X × Y sau (x, t) ∈ X × T ) ⇔ (x, t) ∈(X × Y ) ∪ (X × T ).

La fel se arata b), c), d).

1.7. Vom demonstra numai f): (x, y) ∈⋃i∈I

(Ai × Bi) ⇒ (∃i0 ∈ I a.ı.

(x, y) ∈ Ai0 ×Bi0) ⇒ (∃i0 ∈ I a.ı. x ∈ Ai0 si y ∈ Bi0) ⇒ (x ∈⋃i∈I

Ai si

y ∈⋃i∈I

Bi) ⇒ (x, y) ∈ (⋃i∈I

Ai) × (⋃i∈I

Bi). Pentru incluziune stricta, fie

X = Y = IN, A1 = {1, 2}, A2 = {3, 4}, B1 = {1, 2}, B2 = {2, 3}.Atunci (A1 × B1) ∪ (A2 × B2) = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 3),

(4, 2), (4, 3)}, (A1∪A2)× (B1∪B2) = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3),(3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} si se observa ca multimea (A1×B1)∪(A2 ×B2) este strict inclusa ın multimea (A1 ∪A2)× (B1 ∪B2).

Pentru card I = 1, ın f) avem evident egalitate.

1.8. a) Prima si ultima dintre incluziuni sunt evidente. Sa aratam ca

lim inf An ⊂ lim supAn : x ∈ lim inf An =∞⋃

n=1

∞⋂k=n

Ak ⇒ (∃n0 ∈ IN∗ a.ı.

x ∈∞⋂

k=n0

Ak) ⇒ (∃n0 ∈ IN∗ a.ı. x ∈ Ak,∀k ≥ n0) ⇒ (x ∈∞⋃

k=n

Ak, ∀n ∈

IN∗) ⇒ x ∈∞⋂

n=1

∞⋃k=n

Ak = lim supAn.

b) lim sup(cAn) =∞⋂

n=1

∞⋃k=n

(cAk) =∞⋂

n=1c(

∞⋂k=n

Ak) = c(∞⋃

n=1

∞⋂k=n

Ak) =

c(lim inf An). La fel se arata si a doua relatie.c) Presupunem ca (An)n∈IN∗ este ascendent deci An ⊂ An+1 pentru

orice n ∈ IN∗. In acest caz,∞⋂

k=n

Ak = An,∀n ∈ IN∗ de unde rezulta ca

lim inf An =∞⋃

n=1An.

d) se arata analog.

1.9. a) Implicatia directa este evidenta. Invers, presupunem ϕA = ϕB.Fie x din A. Atunci ϕA(x) = 1 = ϕB(x). Rezulta x ∈ B de unde A ⊂ B. Lafel se arata ca si B ⊂ A deci A = B.

b) se arata ın acelasi mod.c) este evidenta.d) Fie x arbitrar din X. Trebuie sa aratam

(1) ϕA∩B(x) = ϕA(x)ϕB(x).

33

Daca x ∈ A ∩ B, atunci ϕA⋂

B(x) = 1. Dar avem ca x ∈ A si x ∈ B deunde ϕA(x) = ϕB(x) = 1 si astfel (1) are loc.

Daca x /∈ A ∩ B, atunci ϕA∩B(x) = 0. In acest caz avem x /∈ A saux /∈ B de unde rezulta ca ϕA(x) = 0 sau ϕB(x) = 0 si deci are loc (1).

Ultimele afirmatii se demonstreaza ın mod analog.

1.10. a) Scriem functiile caracteristice ale multimilor A\(B∪C) si (A\B)∪(A\C) :

Conform problemei 1.9 avem

ϕA\(B∪C) = ϕA − ϕAϕB∪C = ϕA − ϕA(ϕB + ϕC − ϕBϕC) =

= ϕA − ϕAϕB − ϕAϕC + ϕAϕBϕC ,

ϕ(A\B)∪(A\C) = ϕA\B + ϕA\C − ϕA\BϕA\C si

ϕA\B + ϕA\C −ϕA\BϕA\C =

= ϕA − ϕAϕB + ϕA − ϕAϕC − (ϕA − ϕAϕB)(ϕA − ϕAϕC) =

= 2ϕA − ϕAϕB − ϕAϕC − ϕ2A + ϕ2

AϕB + ϕ2AϕC − ϕ2

AϕBϕC =

= 2ϕA − ϕAϕB − ϕAϕC − ϕA + ϕAϕB + ϕAϕC − ϕAϕBϕC =

= ϕA − ϕAϕBϕC .

Folosind problema 1.9-a) se obtine

A\(B ∪ C) = (A\B) ∪ (A\C) ⇔ ϕA\(B∪C) = ϕ(A\B)∪(A\C) ⇔⇔ ϕA − ϕAϕB − ϕAϕC + ϕAϕBϕC = ϕA − ϕAϕBϕC ⇔⇔ ϕAϕB + ϕAϕC − 2ϕAϕBϕC = 0 ⇔⇔ ϕA(ϕB + ϕC − 2ϕBϕC) = 0 ⇔ ϕAϕB∆C = 0 ⇔⇔ ϕA∩(B∆C) = 0 ⇔ A ∩ (B∆C) = ∅.

b), c), d) se demonstreaza analog.e) (A∆B)∆C = A∆(B∆C) ⇔ ϕ(A∆B)∆C = ϕA∆(B∆C).

ϕ(A∆B)∆C = ϕA∆B + ϕC − 2ϕA∆BϕC =

= ϕA + ϕB − 2ϕAϕB + ϕC − 2(ϕA + ϕB − 2ϕAϕB)ϕC =

= ϕA + ϕB − 2ϕAϕB + ϕC − 2ϕAϕC − 2ϕBϕC + 4ϕAϕBϕC .

34

ϕA∆(B∆C) = ϕA + ϕB∆C − 2ϕAϕB∆C =

= ϕA + ϕB + ϕC − 2ϕBϕC −−2ϕA(ϕB + ϕC − 2ϕBϕC) =

= ϕA + ϕB + ϕC − 2ϕBϕC − 2ϕAϕB − 2ϕAϕC + 4ϕAϕBϕC .

Se observa ca ϕ(A∆B)∆C = ϕA∆(B∆C).

1.11. Urmarind definitiile 1.3, 1.4 si 1.6 avem: Dom R = {1, 3, 5}, Im R ={2, 3, 4, 5}, ∆({1, 3, 9}) = {(1, 1), (3, 3), (9, 9)}, R−1 = {(2, 1), (3, 1), (2, 3),(4, 5), (5, 5)}, R({1, 3}) = {2, 3}, R({4}) = ∅, R−1({2, 4}) = {1, 3, 5},S−1({2}) = {2}, S ◦ R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 2), (5, 3)} si R ◦ S ={(2, 2), (2, 3), (3, 2), (5, 2)}. Se observa ca S ◦R 6= R ◦ S.

1.12. Aratam ca Dom S = [0,∞) prin dubla incluziune. Fie x din Dom S.Atunci exista y real astfel ıncat (x, y) ∈ S. Rezulta x = y2 deci x ≥0. Invers,fie x ≥0. Atunci exista y =

√x astfel ıncat (x, y) = (x,

√x) ∈ S deci x ∈

Dom S. Analog se arata ca ImS = IR.

1.13. Conform definitiei 1.4-a), avem: S−1 = {(x, y) ∈ IR × IR | (y, x) ∈S} = {(x, y) ∈ IR × IR | 0 ≤ y − x ≤ 1}. Folosind definitia 1.6 avem:(x, z) ∈ S−1 ◦ S ⇔ (∃y ∈ IR a.ı. (x, y) ∈ S si (y, z) ∈ S−1) ⇔ (∃y ∈ IR a.ı.(x, y) ∈ S si (z, y) ∈ S) ⇔ (∃y ∈ IR a.ı. 0 ≤ x− y ≤ 1 si 0 ≤ z − y ≤ 1) ⇔−1 ≤ x− z ≤ 1. Aratam ultima echivalenta:

“⇒” Presupunem ca exista y ∈ IR astfel ıncat 0 ≤ x − y ≤ 1 si 0 ≤z − y ≤ 1. Rezulta y ≤ x ≤ 1 + y si −1 − y ≤ −z ≤ −y. Prin adunare seobtine −1 ≤ x− z ≤ 1.

“⇐” Presupunem ca −1 ≤ x − z ≤ 1 si consideram y = x+z−12 ∈ IR.

Atunci se constata ca x− y = x−z+12 ∈ [0, 1] si z − y = z−x+1

2 ∈ [0, 1].In concluzie, S−1 ◦ S = {(x, z) ∈ IR× IR| − 1 ≤ x− z ≤ 1}.

1.14. a) Implicatia directa “⇒” este evidenta. Pentru implicatia inversa“⇐”, vom arata ca R1=R2 prin dubla incluziune. Fie (x, y) ∈ R1. Con-siderand A = {x}, avem y ∈ R1(A) = R2(A).

Din y ∈ R2({x}) rezulta (x, y) ∈ R2 deci R1 ⊂ R2. In acelasi mod searata ca si R2 ⊂ R1.

b) Se demonstreaza la fel ca punctul a).c) Fie (x, y) ∈ X×Y. Atunci (x, y) ∈ (R−1)−1 ⇔ (y, x) ∈ R−1 ⇔ (x, y) ∈

R.d) Pentru a stabili relatia: ImR = Dom R−1, fie y∈Y . Atunci y∈ImR

⇔ (∃x ∈ X a.ı. (x, y) ∈ R) ⇔ (∃x ∈ X a.ı. (y, x) ∈ R−1) ⇔ y ∈ Dom R−1.

35

Conform c), ImR−1 = Dom(R−1)−1 = Dom R.

e) z ∈ (S ◦ R)(A) ⇔ (∃x ∈ A a.ı. (x, z) ∈ S ◦ R) ⇔ (∃x ∈ A si ∃y ∈ Ya.ı. (x, y) ∈ R si (y, z) ∈ S) ⇔ (∃y ∈ R(A) a.ı. (y, z) ∈ S) ⇔ z ∈ S(R(A)).

f) Din e) rezulta: ((T ◦ S) ◦ R)(A) = (T ◦ S)(R(A)) = T (S(R(A))) =T ((S◦R)(A)) = (T ◦(S◦R))(A), ∀A ⊂ X , iar din a) se obtine: (T ◦S)◦R =T ◦ (S ◦R).

g) Fie (z, x) din V ×X. Atunci (z, x) ∈ (S ◦ R)−1 ⇔ (x, z) ∈ S ◦ R ⇔(∃y ∈ Y a.ı. (x, y) ∈ R si (y, z) ∈ S) ⇔ (∃y ∈ Y a.ı. (y, x) ∈ R−1 si(z, y) ∈ S−1) ⇔ (z, x) ∈ R−1 ◦ S−1.

h) Fie y ∈ Y a.ı. (y, y) ∈ ∆(ImR) ⇒ y ∈ Im R ⇒ (∃x ∈ X a.ı.(x, y) ∈ R) ⇒ (∃x ∈ X a.ı. (x, y) ∈ R si (y, x) ∈ R−1) ⇒ (y, y) ∈ R ◦R−1.

i) Se arata similar cu punctul h).j) Fie y ∈ Y astfel ıncat y ∈ R(A). Atunci exista x ∈ A astfel ıncat

(x, y) ∈ R. Cum A ⊂ B, avem x ∈ B si (x, y) ∈ R. Rezulta y ∈ R(B).k) Fie y ∈ Y. Atunci y ∈ R(

⋃i∈I

Ai) ⇔ (∃x ∈⋃i∈I

Ai a.ı. (x, y) ∈ R) ⇔(∃i0 ∈ I a.ı. x ∈ Ai0 si (x, y) ∈ R) ⇔ (∃i0 ∈ I a.ı. y ∈ R(Ai0)) ⇔y ∈⋃

i∈I

R(Ai).

l) Se demonstreaza ca si punctul k).Pentru egalitate, fie R = {(1, 1), (2, 2)} ⊂ IR× IR, A1 = {1} si A2 = {2}.Atunci R(A1) = {1}, R(A2) = {2} si se observa ca R(A1 ∩ A2) = ∅ =

R(A1) ∩R(A2).Pentru incluziune stricta, fie S = {(1, 2), (2, 2), (2, 4)} ⊂ IR × IR, B1 =

{1}, B2 = {2}. Atunci S(B1) = {2}, S(B2) = {2, 4}, S(B1∩B2) = ∅, S(B1)∩S(B2) = {2} si se observa ca S(B1∩B2) este strict inclusa ın S(B1)∩S(B2).

1.15. Se arata usor ca relatia “∼” este reflexiva, simetrica si tranzitiva.

C(7,3) = {(m,n) ∈ IN× IN | (m,n) ∼ (7, 3)} =

= {(m,n) ∈ IN× IN | m + 3 = n + 7} =

= {(m,n) ∈ IN× IN | m = n + 4} =

= {(n + 4, n) | n ∈ IN}.

1.16. Relatia “∼” este reflexiva, simetrica si tranzitiva deci este o relatiede echivalenta.

C(a,b) = {(x, y) ∈ IR× IR | (x, y) ∼ (a, b)} = {(x, y) ∈ IR× IR | x = a}.Reprezentand grafic multimea C(a,b), se obtine o dreapta paralela cu axa

Oy care trece prin punctul (a, b).

36

1.17. Pentru reflexivitate: fie orice x din X. Deoarece (Ai)i∈I este partitiea lui X, exista i0 ∈ I a.ı. x ∈ Ai0 ⇒ ∃ i0 ∈ I a.ı. (x, x) ∈ Ai0 × Ai0 deci(x, x) ∈ R.

Simetria: (x, y) ∈ R ⇒ (∃ i0 ∈ I a.ı. (x, y) ∈ Ai0 × Ai0) ⇒ (y, x) ∈Ai0 ×Ai0 ⇒ (y, x) ∈ R.

Pentru tranzitivitate: presupunem (x, y), (y, z) ∈ R. Rezulta ca existai1, i2 ∈ I astfel ıncat (x, y) ∈ Ai1 × Ai1 si (y, z) ∈ Ai2 × Ai2 . Atunci y ∈Ai1 ∩ Ai2 si cum multimile (Ai)i∈I sunt mutual disjuncte, i1 = i2. Rezulta(x, z) ∈ Ai1 ×Ai1 deci (x, z) ∈ R.

Demonstram ca X|R coincide cu partitia (Ai)i∈I prin dubla incluziune.(i) Fie Cx ∈ X|R, x ∈ X. Dar (Ai)i∈I este partitie a lui X deci exista

i ∈ I astfel ıncat x ∈ Ai.Aratam ca Cx = Ai. Pentru incluziunea Cx ⊂ Ai : y ∈ Cx ⇒ (y, x) ∈

R ⇒ (∃j ∈ I a.ı. (y, x) ∈ Aj × Aj) ⇒ x ∈ Ai ∩ Aj si pentru ca multimile(Ai)i∈I sunt mutual disjuncte, Ai = Aj deci y ∈ Ai. Pentru incluziuneaAi ⊂ Cx : y ∈ Ai ⇒ (∃i ∈ I a.ı. (x, y) ∈ Ai × Ai) ⇒ (x, y) ∈ R ⇒ y ∈ Cx.Deci Cx = Ai.

(ii) Invers: fie i ∈ I. Deoarece Ai 6= ∅, exista x ∈ Ai. Sa aratam caAi = Cx :

y ∈ Ai ⇒ (x, y) ∈ Ai ×Ai ⇒ (x, y) ∈ R ⇒ y ∈ Cx.y ∈ Cx ⇒ (x, y) ∈ R ⇒ (∃j ∈ I a.ı. (x, y) ∈ Aj ×Aj). Cum x ∈ Ai ∩Aj

si (Ai)i∈I este partitie a lui X, rezulta Ai = Aj deci y ∈ Ai.Astfel Ai = Cx ∈ X|R.

1.18. a) Din proprietatile relatiei de divizibilitate se arata usor ca relatia“≤ ” este relatie de ordine. Nu este totala pentru ca exista, de exemplu,2, 3 ∈ IN∗ a.i. 2 - 3 si 3 - 2.

b) Daca A este marginita, atunci exista n ∈ IN∗ astfel ıncat x ≤ n pentruorice x ∈ A ⇔ exista n ∈ IN∗ astfel ıncat x | n pentru orice x ∈ A. Cum nare un numar finit de divizori, rezulta ca A este finita.

c) Fie A o submultime nevida si majorata a lui IN∗. Conform b), A estefinita si fie A = {n1, ..., nk}. Atunci exista supA =c.m.m.d.c.{n1, ..., nk} ∈IN∗.

d) Un element α ∈ IN∗ este majorant pentru A daca x ≤ α pentru oricex ∈ A, echivalent cu x | α pentru orice x ∈ A. Deci α este un multiplucomun al numerelor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Cum c.m.m.d.c.{1, 2, 3, 4, 5, 6,7} = 420, multimea majorantilor lui A este {420k | k ∈ IN∗}. Rezulta caexista supA = 420 dar nu exista maxA.

Un element β ∈ IN∗ este minorant pentru A daca β ≤ x pentru oricex ∈ A. Rezulta β | x pentru orice x ∈ A. Deci β este un divizor comun al

37

numerelor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Singurul divizor comun este 1 deci multimeaminorantilor este {1}, iar inf A = minA = 1. In acelasi timp, 1 este elementminimal pentru A, iar elementele maximale sunt 4, 5, 6, 7.

1.19. Se rezolva asemanator cu problema 1.18. Astfel, multimea majoran-tilor este {1}, supB = 1, multimea minorantilor este {756k|k ∈ IN∗}, inf B =756 si nu exista max si min pentru B. Elementele maximale ale lui B sunt2, 3, 7, iar elementele minimale sunt 4, 6, 7, 9.

1.20. Se arata usor ca relatia “≤ ” este reflexiva, antisimetrica si tran-zitiva.

Daca X = {x}, atunci P(X) = {∅, X} si relatia este totala. Presupunemca X are cel putin doua elemente si fie x, y ∈ X, x 6= y. In acest caz, relatianu este totala pentru ca exista A = {x} si B = {y} astfel ıncat A nu esteinclusa ın B si B nu este inclusa ın A.

Se observa ca minP(X) = ∅ si maxP(X) = X.b) supM =

⋃i∈I

Ai si infM =⋂i∈I

Ai.

Daca A este majorant pentru B, atunci E ⊂ A pentru orice E din B.Avem evident

⋃E∈B

E ⊂ A. Multimea⋃

E∈BE este majorant pentru B daca si

numai daca⋃

E∈BE ∈M.

c) ∅ este minorant, iar A este majorant pentru M.infM = ∅, nu exista minM, supM = maxM = A. Elementele mini-

male sunt {7} si {1,3}, iar A este elementul maximal pentru M.

1.21. a) Este evident ca fRf pentru orice f ∈ F .Fie f, g ∈ F , f : A → IR, g : B → IR astfel ıncat f ≤ g si g ≤ f.

Din fRg rezulta ca A ⊂ B si f(x) = g(x) pentru orice x din A. Analog,din gRf rezulta ca B ⊂ A si g(x) = f(x) pentru orice x din B. DeciA = B si f(x) = g(x) pentru orice x din A. Rezulta f = g si relatia R esteantisimetrica. Fie f, g, h ∈ F , f : A → IR, g : B → IR, h : C → IR astfelıncat fRg si gRh. Din fRg rezulta A ⊂ B si f(x) = g(x) pentru orice x dinA. Din gRh rezulta B ⊂ C si g(x) = h(x) pentru orice x din B. Din cele demai sus avem A ⊂ C si f(x) = h(x) pentru orice x din A, adica fRh. Decirelatia R este tranzitiva si, ın consecinta, R este relatie de ordine.

Relatia R nu este totala. Pentru a vedea acest lucru, sa consideram A,Bdoua multimi nevide si disjuncte si doua functii arbitrare f : A → IR,g : B → IR. Atunci se observa ca fR/ g si gR/ f.

b) Se observa ca {1, 3} ⊂ IN ⊂ [0,∞), {1, 3} ⊂ [2,−4], f(x) = g(x) =h(x) = t(x), pentru orice x ∈ {1, 3} si g(x) = h(x) pentru orice x ∈ IN.

38

Rezulta fRg, gRh si fRt deci inf A = f. Fie functia u : [−2,∞) → IR

definita prin u(x) =

x3, −2 ≤ x ≤ 0−1, 0 ≤ x ≤ 32x, x > 3.

Atunci u este majorant pentru A, iar daca v este un majorant oarecarepentru A, se observa ca u ≤ v, de unde rezulta ca u = supA.

1.22. a) Reflexivitatea: pentru orice (x, y) ∈ IR × IR, (x, y) ≤ (x, y)deoarece x = x si y ≤ y.

Antisimetria: {(x, y) ≤ (z, t) si (z, t) ≤ (x, y)} ⇔ {[x < z sau (x = z siy ≤ t)] si [z < x sau (z = x si t ≤ y)]} ⇔ {x = z si y = t} ⇔ (x, y) = (z, t).

Tranzitivitatea se arata la fel.Relatia este totala pentru ca: oricare ar fi (x, y), (z, t) ∈ IR × IR, avem

fie x < z, fie x = z, fie z < x. Daca x < z, atunci (x, y) ≤ (z, t). Daca z < x,atunci (z, t) ≤ (x, y). Daca x = z, putem avea y ≤ t sau t ≤ y. Daca x = zsi y ≤ t, atunci (x, y) ≤ (z, t) iar daca x = z si t ≤ y, atunci (z, t) ≤ (x, y).

b) Avem: (2, 5) ≥ (1, 4), (3, 6) ≤ (3, 10) si (6, 9) ≤ (7, 3).c) Fie (a, b) ∈ IR × IR, fixat. Daca (x, y) ∈ IR × IR astfel ıncat (a, b) ≤

(x, y), atunci a < x sau a = x si b ≤ y. Reprezentand grafic, (x, y) se aflafie ın semiplanul drept determinat de dreapta x = a, fie pe semidreaptax = a deasupra punctului (a, b). In mod analog, punctele (x, y) din plancu proprietatea (x, y) ≤ (a, b) se afla fie ın semiplanul stang determinat dedreapta x = a, fie pe semidreapta x = a sub punctul (a, b). Aratam ca nuexista maxA. Reprezentand grafic, A este multimea punctelor din interiorulcercului de centru (0, 0) si raza 2, fara punctele de pe cerc. Fie (a, b) ∈ A,ceea ce ınseamna ca a2 + b2 < 4. Rezulta ca −2 < a < 2. Daca ducemdreapta x = a, se constata ca exista puncte din A aflate ın semiplanul dreptdeterminat de dreapta x = a (de exemplu, punctul de coordonate (2−a

2 , 0)).Deci exista (2−a

2 , 0) ∈ A astfel ıncat (a, b) ≤ (2−a2 , 0), ceea ce arata ca nu

exista maxA. In acelasi mod se demonstreaza ca nu exista nici minA. Saaratam acum ca supA = (2, 0). Mai ıntai observam ca orice punct (x, y) ∈ Ase afla ın semiplanul stang determinat de dreapta x = 2. Cu alte cuvinte,avem (x, y) ≤ (2, 0),∀(x, y) ∈ A. Sa consideram (u, v) ∈ IR× IR astfel ıncat(u, v) < (2, 0). Rezulta u < 2 sau (u = 2 si v < 0).

Daca u < 2, atunci exista (2−u2 , 0) ∈ A astfel ıncat (u, v) < (2−u

2 , 0).Daca u = 2 si v = 0, atunci exista (0, 0) ∈ A astfel ıncat (u, v) < (0, 0).Conform definitiei 1.20-h), supA = (2, 0). Analog se arata ca inf A =

(−2, 0).Pentru multimile B si C se procedeaza asemanator si vom gasi ca nu

exista max si min pentru B,C iar supB = (2, 0), inf B = (−2, 0), supC =

39

(2, 2), inf C = (−2,−2).

1.23. Reflexivitatea: evident (xn)R(xn) pentru orice sir (xn) ∈ X.Antisimetria: fie (xn), (yn) ∈ X astfel ıncat (xn)R(yn) si (yn)R(xn). Din

(xn)R(yn) rezulta

(2) xn = yn, ∀n ∈ IN∗

sau

(3) xk < yk si xi = yi, ∀i ∈ {1, 2, ..., k − 1}.

Daca are loc (2), atunci (xn) = (yn). Presupunem ca are loc (3). Din(yn)R(xn) rezulta

(4) yl < xl si yi = xi, ∀i ∈ {1, 2, ..., l − 1}.

Daca l = k, atunci xk < yk si yk < xk, absurd. Daca l < k, atunci din(3) avem xl = yl ceea ce contrazice (4). Daca l > k, atunci din (4) rezultaxk = yk, ın contradictie cu (3).

Pentru tranzitivitate, fie (xn)R(yn) si (yn)R(zn). Atunci au loc (2) sau(3) si

(5) yn = zn, ∀n ∈ IN∗

sau

(6) yl < zl si yi = zi, ∀i ∈ {1, 2, ..., l − 1}.

Din (2) si (5) rezulta xn = zn, ∀n ∈ IN∗. Daca au loc (2) si (6), atuncixl < zl si xi = zi, ∀i ∈ {1, 2, ..., l− 1}. Daca au loc (3) si (5), atunci xk < zk

si xi = zi, ∀i ∈ {1, 2, ..., l − 1}. In sfarsit, din (3) si (6) rezulta xp < zp sixi = zi, ∀i ∈ {1, 2, ..., p− 1} unde p = min{k, l}.

Relatia este totala pentru ca relatia de ordine pe IR este totala. In-tr-adevar, fie (xn), (yn) ∈ X. Daca xn = yn pentru orice n ∈ IN∗, atunci(xn)R(yn). Daca nu, atunci exista n ∈ IN∗ astfel ıncat xn 6= yn si fie kprimul indice pentru care xk 6= yk. Atunci avem xk < yk sau yk < xk. Dacaxk < yk, atunci (xn)R(yn), iar din yk < xk rezulta (yn)R(xn).

1.24. Fie E = {y > 0 | yn ≤ α}. Se observa ca E este nevida. Intr-adevar,daca α ≥ 1, atunci 1 ∈ E. Daca α < 1, atunci α

2 < 1 si(

α2

)n ≤ α deci α2 ∈ E.

Sa aratam ca E este majorata. Daca α ≤ 1, atunci yn ≤ α ≤ 1 pentru oricey ∈ E. Rezulta y ≤ 1 si astfel E este majorata de 1. Daca α > 1, atunci

40

yn ≤ α pentru orice y ∈ E. Daca yn < 1, atunci y < 1 < α. Daca yn ≥ 1,atunci 1 ≤ y ≤ yn ≤ α deci α este un majorant pentru E. Conform axiomeide completitudine (II din definitia 1.22), exista x = supE ∈ IR. Cum oricey din E este pozitiv, rezulta x > 0. Aratam ca xn = α. Presupunem caxn < α. Fie ε = α − xn > 0. Atunci, pentru 0 < a ≤ min{1, ε

(1+x)n−xn },avem:

(x + a)n = xn + C1nxn−1a + C2

nxn−2a2 + ... + Cnnan =

= xn + a(C1

nxn−1 + C2nxn−2a + ... + Cn

nan−1) ≤

≤ xn + a(C1

nxn−1 + C2nxn−2 + ... + Cn

n

)=

= xn + a[(1 + x)n − xn] ≤ xn + ε = α.

Deci exista x + a ∈ E astfel ıncat x + a > x ceea ce contrazice faptulca x = supE. Daca xn > α, se rationeaza la fel. Pentru unicitate, fiex1, x2 ∈ (0,∞) astfel ıncat xn

1 = xn2 = α. Daca x1 6= x2, rezulta x1 < x2 sau

x2 < x1. Daca x1 < x2, atunci a = xn1 < xn

2 = a ceea ce este absurd. Cazulx2 < x1 se trateaza la fel. Drept consecinta, x1 = x2.

1.25. Pentru S1: oricare ar fi f din C[0,1], exista si este unic f(a) ∈ IRdeci S1 este functie definita pe C[0,1] si cu valori in IR, definita prin S1(f) =f(a). S1 nu este injectiva deoarece exista f, g ∈ C[0,1], f 6= g astfel ıncatf(a) = g(a). De exemplu, f, g ∈ C[0,1], f(x) = 0 si g(x) = x − a. AtunciS1(f) = f(a) = 0, S1(g) = g(a) = 0 deci S1(f) = S1(g) dar f 6= g. S1

este surjectiva: ıntr-adevar, pentru orice b ∈ IR, exista functia constantaf : [0, 1] → IR, f(x) = b astfel ıncat S1(f) = f(a) = b.

Pentru S2: stim ca exista functii continue care nu sunt derivabile decinu exista f ′(a) pentru orice f din C[0,1] si prin urmare, S2 nu este functie.

Pentru S3: orice functie continua pe un compact este marginita (conformteoremei lui Weierstrass 5.46). Astfel, pentru orice f din C[0,1], exista si esteunic sup

x∈[0,1]f(x) ∈ IR deci S3 este functie de la C[0,1] la IR, definita prin

S3(f) = supx∈[0,1]

f(x). S3 nu este injectiva: fie f, g ∈ C[0,1], f(x) = 1 si g(x) =

x. Atunci f 6= g dar supx∈[0,1]

f(x) = supx∈[0,1]

g(x) = 1 ⇔ S3(f) = S3(g). S3 este

surjectiva: pentru orice b ∈ IR, exista functia constanta f ∈ C[0,1], f(x) = bastfel ıncat S3(f) = sup

x∈[0,1]f(x) = b.

Pentru S4 se procedeaza ca la S3.

Pentru S5: orice functie continua pe un interval compact [a, b] esteintegrabila Riemann pe [a, b]. Astfel, pentru orice f din C[0,1], exista si

41

este unica integrala sa Riemann∫ 10 f(x)dx ∈ IR deci S5 este functie de

la C[0,1] la IR, definita prin S5(f) =∫ 10 f(x)dx. S5 nu este injectiva: fie

f, g ∈ C[0,1], f(x) = 12 si g(x) = 1 − x. Atunci S5(f) =

∫ 10 f(x)dx = 1

2 siS5(g) =

∫ 10 g(x)dx =

∫ 10 (1 − x)dx = x|10 − x2

2 |10 = 1 − 12 = 1

2 . Deci existaf, g ∈ C[0,1], f 6= g astfel ıncat S5(f) = S5(g). S5 este surjectiva: pen-tru orice b ∈ IR, exista functia constanta f ∈ C[0,1], f(x) = b astfel ıncatS5(f) =

∫ 10 f(x)dx = b.

1.26. Presupunem ca f : X → Y este functie. Pentru a demonstra primaincluziune, fie (y1, y2) ∈ f ◦ f−1 cu y1, y2 ∈ Y. Conform definitiei 1.6, existax ∈ X astfel ıncat (y2, x) ∈ f−1 si (x, y1) ∈ f. Rezulta (x, y2) ∈ f si(x, y1) ∈ f. Cum f este functie, avem y1 = y2 deci (y1, y2) ∈ ∆(Y ).

Pentru a doua incluziune, fie (x, x) ∈ ∆(X) cu x ∈ X. Notand f(x) =y ∈ Y avem (x, y) ∈ f si (y, x) ∈ f−1. Rezulta (x, x) ∈ f−1 ◦ f adica (ii).

Invers, presupunem ca au loc (i) si (ii). Fie x ∈ X. Atunci (x, x) ∈ ∆(X)si conform (ii), (x, x) ∈ f−1◦f. Rezulta ca exista y ∈ Y astfel ıncat (x, y) ∈ fsi (y, x) ∈ f−1. Deci pentru orice x ∈ X, exista y ∈ Y astfel ıncat (x, y) ∈ fceea ce arata ca Dom f = X. Fie acum x ∈ X si y1, y2 ∈ Y astfel ıncat(x, y1) ∈ f si (x, y2) ∈ f. Atunci ((x, y1) ∈ f si (y2, x) ∈ f−1) ⇒ ((y2, y1) ∈f ◦ f−1 ⊂ ∆(Y )) ⇒ y1 = y2. Conform definitiei 1.7, f este functie.

1.27. i) x ∈ f−1(⋂i∈I

Bi) ⇔ f(x) ∈ ⋂i∈I

Bi ⇔ (∀ i ∈ I, f(x) ∈ Bi) ⇔ (∀i ∈I, x ∈ f−1(Bi)) ⇔ x ∈ ⋂

i∈I

f−1(Bi).

Analog se arata ii), iii).iv) x ∈ A ⇒ f(x) ∈ f(A) ⇒ x ∈ f−1(f(A)) deci A ⊂ f−1(f(A)).

Pentru incluziune stricta, fie f : IR → IR, f(x) = x2 si A = [0, 1]. Atuncif(A) = [0, 1] si f−1(f(A)) = f−1([0, 1]) = [−1, 1]. Se vede ca A este strictinclusa ın f−1(f(A)).

v) Fie y ∈ f(f−1(B)). Atunci exista x ∈ f−1(B) astfel ıncat y = f(x).Din x ∈ f−1(B), avem f(x) ∈ B deci y ∈ B si astfel, f(f−1(B)) ⊂ B.

Pentru incluziune stricta, consideram f : IR → IR, f(x) = x2 si B =[−1, 0]. Avem f−1(B) = {0} si f(f−1(B)) = {0}. Deci multimea f(f−1(B))este strict inclusa ın B.

vi) Fie y ∈ f(X)\f(A). Rezulta y ∈ f(X) si y /∈ f(A). Din y ∈ f(X)rezulta ca exista x ∈ X astfel ıncat y = f(x). Dar y /∈ f(A) ⇒ x /∈A ⇒ x ∈ cA. In consecinta, y ∈ f(cA). Pentru incluziune stricta, alegemaceeasi functie ca mai sus, f : IR → IR, f(x) = x2 si A = [0, 1]. Avem

42

f(IR)\f(A) = [0,∞)\[0, 1] = (1,∞) care este strict inclusa ın f(cA) =f((−∞, 0) ∪ (1,∞)) = IR∗.

1.28. a) Fie x1, x2 ∈ X astfel ıncat f(x1) = f(x2). Rezulta g(f(x1)) =g(f(x2)) care este echivalent cu (g ◦ f) (x1) = (g ◦ f) (x2) . Dar g ◦ f esteinjectiva deci x1 = x2. Prin urmare f este injectiva.

b) Fie z ∈ T. Cum g ◦ f este surjectiva, exista x ∈ X astfel ıncat(g ◦ f) (x) = z echivalent cu g(f(x)) = z. Notand f(x) = y ∈ Y, avemg(y) = z. Astfel, g este surjectiva.

1.29. i)⇒ii): fie A1, A2 ∈ P(X). Cum incluziunea:

f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2)

are loc ıntotdeauna, sa aratam incluziunea inversa. Fie y ∈ f(A1) ∩ f(A2).Rezulta ca exista x1 ∈ A1, x2 ∈ A2 astfel ıncat y = f(x1) = f(x2). Dininjectivitatea lui f rezulta x1 = x2 ∈ A1 ∩A2. Deci y ∈ f(A1 ∩A2).

ii) ⇒i): fie x1, x2 ∈ X cu f(x1) = f(x2). Presupunand x1 6= x2, seconsidera A1 = {x1}, A2 = {x2}. Atunci f(A1 ∩ A2) = ∅, f(A1) ∩ f(A2) ={f(x1)} si din ii) rezulta ∅ = {f(x1)} care este fals.

i)⇒ iii) rezulta din ii).iii)⇒i): fie x1, x2 ∈ X cu f(x1) = f(x2) si sa presupunem ca x1 6= x2.

Atunci, pentru A1 = {x1} si A2 = {x2} avem A1 ∩A2 = ∅ si din iii) rezultaf(A1) ∩ f(A2) = ∅ care este fals ıntrucat f(x1) ∈ f(A1) ∩ f(A2).

i)⇒iv): fie A ∈ P(X). Conform problemei 1.27-vi), este suficient saaratam doar incluziunea f(cA) ⊂ f(X)\f(A). Fie y ∈ f(cA). Atunci existax ∈ cA astfel ıncat y = f(x). Deci y ∈ f(X). Daca am avea y ∈ f(A), atunciar exista x′ ∈ A astfel ıncat y = f(x′). Deci f(x) = f(x′) si din injectivitatealui f rezulta x = x′, ceea ce contrazice faptul ca x ∈ cA si x′ ∈ A.

iv)⇒i): fie x1, x2 ∈ X cu f(x1) = f(x2) = y ∈ f(X). Presupunemx1 6= x2 si consideram A = {x1}. Atunci x2 ∈ cA de unde y ∈ f(cA). Dariv) implica

(7) y ∈ f(X)\f(A).

In acelasi timp, y = f(x1) ∈ f(A), ceea ce contrazice (7).i)⇒v): fie A1, A2 ∈ P(X) astfel ıncat f(A1) ⊂ f(A2). Avem: x ∈

A1 ⇒ y = f(x) ∈ f(A1) ⇒ y ∈ f(A2) ⇒ ∃ x′ ∈ A2 a.ı. y = f(x′).Atunci f(x) = f(x′) si pentru ca f este injectiva, se obtine x = x′ ∈ A2. Inconcluzie, A1 ⊂ A2.

43

v)⇒i): fie x1, x2 ∈ X cu f(x1) = f(x2). Presupunem x1 6= x2 si con-sideram A1 = {x1},A2 = {x2}. Atunci f(A1) = f(A2) si folosind v) obtinemA1 ⊂ A2 care este fals.

i)⇒vi): fie A ∈ P(X). Din problema 1.27-iv) avem A ⊂ f−1(f(A)). Sademonstram incluziunea inversa: x ∈ f−1(f(A)) ⇒ y = f(x) ∈ f(A) ⇒ ∃x′ ∈ A a.ı. y = f(x′). Astfel f(x) = f(x′) si cum f este injectiva, rezultax = x′ ∈ A.

vi)⇒i): fie x1, x2 ∈ X cu f(x1) = f(x2). Daca admitem ca x1 6= x2,atunci considerand A = {x1}, rezulta f(x2) = f(x1) ∈ f(A). De aici obtinemca x2 ∈ f−1(f(A)) = A = {x1}, ceea ce contrazice presupunerea facuta.

i)⇒vii): fie functia g : Y → X, definita prin:

g(y) ={

x, f(x) = y (unde x ∈ X este unic determinat din f injectiva)x0, y /∈ f(X) (unde x0 ∈ Xeste fixat).

Se constata ca g este bine definita, surjectiva si (g ◦ f)(x) = g(f(x)) =g(y) = x, ∀ x ∈ X.

vii)⇒i) rezulta din problema 1.28 -a).i)⇒viii): fie y ∈ Y si presupunem card f−1({y}) ≥ 2. Atunci exista

x1, x2 ∈ f−1({y}), x1 6= x2. Rezulta f(x1) = f(x2) = y si pentru ca f esteinjectiva, are loc x1 = x2 deci contradictie.

viii)⇒i): fie x1, x2 ∈ X astfel ıncat f(x1) = f(x2) = y. Atunci x1, x2 ∈f−1({y}) si din viii) rezulta x1 = x2 deci f este injectiva.

i)⇒ix): folosind problema 1.26-(ii), va fi suficient sa demonstram doarincluziunea:

(8) f−1 ◦ f ⊂ ∆(X).

Fie x1, x2 ∈ X astfel ıncat (x1, x2) ∈ f−1 ◦ f. Rezulta ca exista y ∈ Y astfelıncat (x1, y) ∈ f si (y, x2) ∈ f−1. Rezulta (x1, y) ∈ f si (x2, y) ∈ f, adicaf(x1) = y = f(x2). Cum f este injectiva, rezulta x1 = x2, de unde se obtine(x1, x2) ∈ ∆(X).

ix)⇒i): fie x1, x2 ∈ X astfel ıncat f(x1) = f(x2) = y ⇒ (x1, y) ∈ f si(x2, y) ∈ f ⇒ (x1, y) ∈ f si (y, x2) ∈ f−1 ⇒ (x1, x2) ∈ f−1 ◦ f. Din ix)rezulta (x1, x2) ∈ ∆(X). Astfel, x1 = x2 deci f este injectiva.

i)⇒x): fie T 6= ∅ si h, k : T → X astfel ıncat f ◦ h = f ◦ k. Rezultaf(h(z)) = f(k(z)), ∀ z ∈ T. Din faptul ca f este injectiva se obtine h(z) =k(z), ∀ z ∈ T adica h = k.

x)⇒i): fie x1, x2 ∈ X astfel ıncat f(x1) = f(x2). Considerand T = X sifunctiile h, k : X → X, h(x) = x1, k(x) = x2, avem pentru orice x ∈ X :(f ◦h)(x) = f(h(x)) = f(x1), (f ◦k)(x) = f(k(x)) = f(x2) deci f ◦h = f ◦k.Din x) rezulta h = k. Asadar, x1 = x2 si f este injectiva.

44

1.30. i)⇔ii) reiese imediat din definitia 1.9-b) si observatia 1.8-a).i)⇒iii): fie B ∈ P(Y ), B 6= ∅ ⇒ ∃ y ∈ B. Avem: f surjectiva ⇒ ∃ x ∈ X

a.ı. f(x) = y ∈ B ⇒ x ∈ f−1(B) deci f−1(B) 6= ∅.iii)⇒i): fie y ∈ Y. Daca notam B = {y} 6= ∅, atunci din iii) avem

f−1({y}) 6= ∅ ⇒ ∃x ∈ f−1({y}), adica f(x) = y. Prin urmare, f estesurjectiva.

i)⇒iv): presupunem ca f este surjectiva, deci f(X) = Y. Fie A ∈ P(X).Daca A = ∅, atunci Y \f(∅) = Y = f(X) = f(c∅). Fie atunci A 6= ∅.Daca Y \f(A) = ∅, atunci evident Y \f(A) ⊂ f(cA). Daca Y \f(A) 6= ∅, fiey ∈ Y \f(A). Rezulta y ∈ Y si y /∈ f(A). Cum f este surjectiva, exista x ∈ Xastfel ıncat f(x) = y. Din y /∈ f(A), rezulta x ∈ cA, deci y = f(x) ∈ f(cA).

iv)⇒i): luand A = ∅, din iv) rezulta Y \f(∅) ⊂ f(c∅) = f(X) ⇒ Y ⊂f(X) adica f este surjectiva.

i)⇒v): fie B1, B2 ∈ P(Y ) astfel ıncat f−1(B1) ⊂ f−1(B2). Daca B1 = ∅,atunci evident B1 ⊂ B2. Daca B1 6= ∅, fie y ∈ B1. Dar f surjectiva⇒ ∃x ∈ Xastfel ıncat f(x) = y ∈ B1 ⇒ x ∈ f−1(B1) ⇒ x ∈ f−1(B2) ⇒ f(x) = y ∈ B2

si astfel, B1 ⊂ B2.v)⇒i): presupunem ca f nu este surjectiva. Atunci exista y ∈ Y astfel

ıncat y /∈ f(X) ⇒ f−1(Y ) = f−1(Y \{y}) = X. Din iv) rezulta Y ⊂ Y \{y},ceea ce este fals.

i)⇒vi): utilizand problema 1.27-v), vom demonstra doar incluziunea:

(9) B ⊂ f(f−1(B)).

Pentru aceasta, fie y ∈ B. Cum f este surjectiva, exista x ∈ X astfel ıncatf(x) = y ∈ B ⇒ x ∈ f−1(B) ⇒ f(x) = y ∈ f(f−1(B)) si are loc (9).

vi)⇒i): fie y ∈ Y. Conform v), Y = f(f−1(Y )) ⇒ y ∈ f(f−1(Y )) ⇒ ∃x ∈ f−1(Y ) ⊂ X astfel ıncat f(x) = y ⇒ f este surjectiva.

i)⇒vii): deoarece f este surjectiva, pentru orice y ∈ Y, exista xy ∈ Xastfel ıncat f(xy) = y. Definim functia g : Y → X prin g(y) = xy. Atunci geste bine definita, injectiva si (f ◦ g)(y) = f(g(y)) = f(xy) = y pentru oricey ∈ Y.

vii)⇒i) rezulta din problema 1.28-b).i)⇒viii): fie y ∈ Y. f fiind surjectiva, exista x ∈ X astfel ıncat f(x) = y.

Rezulta x ∈ f−1({y}) deci card(f−1(y)) ≥ 1.viii)⇒i): fie y ∈ Y. Coform viii), exista x ∈ f−1({y}) ⇒ ∃ x ∈ X a.ı.

f(x) = y ⇒ f este surjectiva.i)⇒ix): folosind problema 1.26-(i), trebuie sa aratam doar incluziunea

inversa:

(10) ∆(Y ) ⊂ f ◦ f−1.

45

Fie (y, y) ∈ ∆(Y ), unde y ∈ Y . Cum f este surjectiva, exista x ∈ X astfelıncat f(x) = y. Rezulta (x, y) ∈ f si (y, x) ∈ f−1. Atunci (y, y) ∈ f ◦ f−1 siare loc (10).

ix)⇒i): fie y ∈ Y ⇒ (y, y) ∈ ∆(Y ) = f ◦ f−1 ⇒ ∃ x ∈ X astfel ıncat(y, x) ∈ f−1 si (x, y) ∈ f ⇒ ∃ x ∈ X astfel ıncat f(x) = y ⇒ f estesurjectiva.

i)⇒x): fie T 6= ∅ si functiile h, k : Y → T astfel ıncat h ◦ f = k ◦ f. Fiey ∈ Y. Intrucat f este surjectiva, exista x ∈ X astfel ıncat f(x) = y. Atunciavem: h(y) = h(f(x)) =(h ◦ f)(x) = (k ◦ f)(x) = k(f(x)) = k(y) ⇒ h = k.

x)⇒i): daca avem cardY = 1, atunci evident f este surjectiva. Fieacum cardY ≥ 2 si presupunem, prin reducere la absurd, ca exista y0 ∈ Yastfel ıncat f(x) 6= y0 pentru orice x ∈ X. Fie Z = X si functiile h, k : Y →Y definite astfel: h(y) = y, k(y) =

{y, y 6= y0

y1, y = y0 (unde y1 ∈ Y, y1 6= y0).Atunci (h◦f)(x) = h(f(x)) = f(x), iar (k◦f)(x) = k(f(x)) = f(x) deoarecef(x) 6= y0 . Deci h ◦ f = k ◦ f si din x) rezulta h = k ⇒ h(y0) = k(y0) ⇒y0 = y1, contradictie!

1.31. Presupunem ıntai ca f este bijectiva, adica injectiva si surjectiva.Conform problemelor 1.29-vii) si 1.30-vii), exista g1, g2 : Y → X, g1 sur-jectiva si g2 injectiva astfel ıncat g1 ◦ f = 1X si f ◦ g2 = 1Y . Atunci avem:g1 = g1 ◦ 1Y = g1 ◦ (f ◦ g2) = (g1 ◦ f) ◦ g2 = 1X ◦ g2 = g2. Deci existag1 = g2 = g : Y → X bijectiva astfel ıncat g ◦ f = 1X si f ◦ g = 1Y , adica feste inversabila.

Implicatia inversa rezulta imediat din problema 1.28.

1.32. a1) ⇒ a2): presupunem f injectiva si fie A1, A2 ∈ P(X) cu f∗(A1) =f∗(A2) ⇒ f(A1) = f(A2). Conform problemei 1.29-v), A1 = A2 si f∗ esteinjectiva.

a2 ⇒ a3): presupunem f∗ injectiva si fie A ∈ P(X). Avem: (f∗◦f∗)(A) =f∗(f∗(A)) = f∗(f(A)) = f−1(f(A)). Sa aratam ca f−1(f(A)) ⊂ A. Fiex ∈ f−1(f(A)) ⇒ f(x) ∈ f(A) ⇒ ∃ x′ ∈ A a.ı. f(x) = f(x′) ⇒f({x}) = f({x′}). Dar f∗ este injectiva ⇒ {x} = {x′} si deci x ∈ A.Asadar, f−1(f(A)) ⊂ A. Cum incluziunea inversa are loc ıntotdeauna (veziproblema 1.27-iv), rezulta (f∗ ◦ f∗)(A) = A, ∀ A ∈ P(X).

a3) ⇒a4) rezulta din problema 1.28-b).a4) ⇒a1): presupunem f∗ surjectiva. Fie A1, A2 ∈ P(X). Vom arata

(11) f(A1) ∩ f(A2) ⊂ f(A1 ∩A2).

Cum f∗ este surjectiva, pentru A1,A2, exista B1, B2 ∈ P(Y ) astfel ıncatf∗(B1) = A1, f∗(B2) = A2, adica f−1(B1) = A1, f−1(B2) = A2. Fie y ∈

46

f(A1) ∩ f(A2) ⇒ ∃ x1 ∈ A1, x2 ∈ A2 a.ı. y = f(x1) = f(x2). Atunciavem: y ∈ f(A1) = f(f−1(B1)) ⊂ B1, y ∈ f(A2) = f(f−1(B2)) ⊂ B2 ⇒y ∈ B1 ∩ B2 ⇒ x1 ∈ f−1(B1 ∩ B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2) = A1 ∩ A2 ⇒y = f(x1) ∈ f(A1 ∩A2). Deci are loc (11). Cum incluziunea inversa are loc(vezi problema 1.14-l)), rezulta f(A1 ∩A2) = f(A1) ∩ f(A2). Din problema1.29-ii), se obtine faptul ca f este injectiva.

In acelasi mod se arata si echivalenta afirmatiilor b1, b2, b3, b4.

1.33. Fie f(x) ={

x, x ∈ Qx2, x ∈ IR\Q . Atunci f nu este injectiva pentru ca

exista√

3,−√3 ∈ IR,√

3 6= −√3 astfel ıncat f(√

3) = f(−√3) = 3. Darrestrictia f |Q(x) = x, ∀ x ∈ Q, este evident injectiva.

1.34. Fie f : IR → IR. Cu ajutorul functiei u : (0, +∞) → IR, u(x) = lnx,se definesc aplicatiile g, h : IR → IR prin:

g(x) =

lnx, x > 0f(0), x = 0

f(x)− ln(−x), x < 0, h(x) =

f(x)− ln x, x > 00, x = 0

ln(−x), x < 0.

Evident g +h = f. In plus, avem IR = u((0,∞)) = g((0,∞)) ⊂ g(IR) ⊂ IR siIR = u((0,∞)) = h((−∞, 0)) ⊂ h(IR) ⊂ IR. Rezulta g(IR) = IR si h(IR) = IRdeci g si h sunt surjective.

1.35. a) Presupunem f injectiva. Atunci functia f : X → f(X) estebijectiva, de unde

(12) cardX = card(f(X)).

Dar f(X) ⊂ Y. Conform propozitiei 1.46,

(13) card(f(X)) ≤ cardY.

Din (12) si (13) rezulta cardX ≤ cardY.b) Fie f surjectiva. Conform problemei 1.30-vii), exista g : Y → X injectivaastfel ıncat f ◦ g = 1Y . Aplicand a), rezulta cardY ≤ cardX.c) Daca f este surjectiva, atunci f(X) = Y deci card(f(X)) = cardY.Din b) avem cardY ≤ cardX si de aici rezulta card(f(X)) ≤ cardX.

1.36 Fie X = {x1, x2, . . . , xn} si f(X) = {y1, y2, . . . , ym}.a)⇒b) Presupunem ca f este injectiva. Atunci functia f : X → f(X)

este bijectiva. Rezulta cardX = card(f(X)), adica n = m. Cum f(X) ⊂ X,rezulta f(X) = X deci f este surjectiva.

47

b)⇒c). Fie f surjectiva. Conform problemei 1.30-vii), exista o functieinjectiva g : X → X astfel ıncat f ◦ g = 1X . Cum X este finita si ginjectiva, rezulta de mai sus ca g este surjectiva deci si bijectiva. Atuncig◦f = g◦f◦1X = g◦f◦(g◦g−1) = g◦(f◦g)◦g−1 = g◦1X◦g−1 = g◦g−1 = 1X .Din problema 1.31 rezulta ca f este bijectiva.

Implicatia “c)⇒a)” este evidenta.

1.37 Fie A = {a1, a2, . . . , an}, n ∈ IN∗, astfel ıncat a1 < a2 < . . . < an.Presupunem, prin reducere la absurd ca exista i ∈ {1, 2, . . . , n} astfel ıncatf(ai) 6= ai.

I) Daca f(ai) > ai, atunci i < n. In caz contrar, am avea f(an) > an ceeace este absurd, ıntrucat f(an) ∈ A. Din inegalitatile ai < ai+1 < . . . < an

rezulta ca f(ai) < f(ai+1) < . . . < f(an). Dar f(ai) > ai ⇒ f(ai) ≥ ai+1 ⇒f(ai+1) > ai+1. Dupa n − i pasi va rezulta ca f(an) > an, ceea ce esteabsurd caci f(an) ∈ A.

II) Daca f(ai) < ai, atunci i > 1. In caz contrar, am avea f(a1) < a1

ceea ce contrazice faptul ca f(a1) ∈ A. Din inegalitatile a1 < a2 < . . . < ai

rezulta ca f(a1) < f(a2) < . . . < f(ai). Avem f(ai) < ai ⇒ f(ai) ≤ ai−1 ⇒f(ai−1) < ai−1. Dupa i pasi va rezulta f(a1) < a1, ceea ce este absurddeoarece f(a1) ∈ A.

1.38 Solutia 1. Fie x, y ∈ A cu x > y. Cumf(x)

x=

f(y)y

, rezulta

f(x) > f(y). Rezulta ca f este strict crescatoare si din problema 1.37obtinem f = 1A.

Solutia a 2-a.Din ipoteza rezulta ca f(x)

x = f(y)y = k > 0 (constant). Deci f(x) =

kx,∀x ∈ A.

Fie a ∈ A fixat, α = minA si β = max A.Daca k < 1, atunci f(α) = kα < α, absurd.Daca k > 1, atunci f(β) = kβ > β, absurd.Rezulta k = 1 deci f = 1A.

1.39 Solutia 1. Implicatia directa “⇒” este evidenta. Pentru implicatiainversa “⇐”, fie x, a1, a2 ∈ A, x 6= a1 6= a2 6= x. Atunci f(x)f(a1) =g(x)g(a1),f(a1)f(a2) = g(a1)g(a2), f(a2)f(x) = g(a2)g(x). Inmultind cele trei relatiise obtine:

f2(x)f2(a1)f2(a2) = g2(x)g2(a1)g2(a2) ⇔ f2(x) = g2(x) ⇔ f(x) = g(x).

48

Cum x este arbitrar ın A, rezulta ca f = g.Solutia a 2-a.Fie h = f

g . Atunci h(x1)h(x2) = 1, ∀x1, x2 ∈ A cu x1 6= x2. Fie a ∈ A

fixat. Atunci h(x) = 1h(a) pentru orice x ∈ A\{a}.

Fie x, y ∈ A\{a} cu x 6= y. Atunci h(x) = h(y) = 1h(a) . Obtinem

( 1h(a))

2 = 1 si cum h : A → (0, +∞), rezulta h(a) = 1, ∀x ∈ A adica f = g.

1.40 Pentru x1 = x2 = 0, din c) obtinem f(0) = 0. Daca x1 = x ∈ IR six2 = −x, tot din c) rezulta: 0 = f(0) = f(x) + f(−x) ⇒ f(−x) = −f(x)pentru orice x ∈ IR deci f este impara. Luand ın d) x1 = x2 = 1 se obtinef(1) = f2(1), de unde rezulta ca f(1) = 0 sau f(1) = 1. Cum f(0) = 0 sif este injectiva, rezulta ca f(1) = 1. Fie x arbitrar, x > 0. Conform d),f(x) = f(

√x · √x) = f2(

√x) ≥ 0 si din injectivitate rezulta ca f(x) > 0.

Deci f(x) > 0 pentru orice x > 0. Sa aratam ca f este strict crescatoare.Fie x1, x2 ∈ IR cu x1 < x2. Atunci exista a > 0 astfel ıncat x2 = x1 + a sidin c) rezulta:

f(x2) = f(x1 + a) = f(x1) + f(a) > f(x1).

Astfel f este strict crescatoare. Aratam ca f = 1IR. Presupunem, prinreducere la absurd, ca exista x0 ∈ IR astfel ıncat f(x0) 6= x0 . Avem douasituatii:

I) Daca f(x0) < x0 , atunci exista r ∈ Q astfel ıncat f(x0) < r < x0 . Darf este strict crescatoare deci r = f(r) < f(x0), contradictie!

II) Daca f(x0) > x0 , se rationeaza analog.In concluzie, f = 1IR.

1.41 f fiind periodica, exista T > 0 astfel ıncat f(x + T ) = f(x), ∀x ∈ IR.Va fi suficient de aratat ca f este constanta pe [0, T ]. Sa presupunem ca feste crescatoare. Atunci pentru orice x ∈ [0, T ], f(0) ≤ f(x) ≤ f(T ). Darf(T ) = f(0) deci f(x) = f(0) pentru orice x ∈ [0, T ]. Astfel f este constantape [0, T ].

1.42 i) Se observa ca pentru orice T ∈ IR∗, avem f(x+T ) = f(x), ∀x ∈ IR.Rezulta ca f este periodica si orice T ∈ IR∗ este perioada pentru f dar f nuadmite perioada principala.

ii) Aratam ca f nu este periodica.Solutia 1. Presupunem, prin reducere la absurd, ca exista T ∈ IR∗ astfel

ıncat f(x+T ) = f(x),∀x ∈ IR. Rezulta a(x+T )+ b = ax+ b,∀x ∈ IR. DeciaT = 0, absurd caci a 6= 0 si T 6= 0.

49

Solutia a 2-a. Rezulta direct, folosind problema 1.41.iii) Fie T ∈ Z∗. Daca x ∈ Z, atunci x + T ∈ Z si avem f(x + T ) =

f(x) = 1. Daca x ∈ IR\Z, atunci x + T ∈ IR\Z si f(x + T ) = f(x) = 0.Fie acum T ∈ IR\Z. Pentru x ∈ Z avem f(x) = 1 6= 0 = f(x + T ). Deci

multimea perioadelor pentru f este Z∗. Perioada principala este 1.iv) f este periodica avand ca perioada orice T ∈ Q∗ dar f nu are perioada

principala.v) Aratam ca f nu este periodica.Solutia 1. Presupunem, prin reducere la absurd, ca exista T ∈ IR∗ astfel

ıncat f(x + T ) = f(x) pentru orice x ∈ IR. Deci are loc

(14) [x + T ] = [x], ∀x ∈ IR.

Pentru x = 0, din (14) rezulta [T ] = 0 de unde T ∈ (0, 1).Considerand ın (14) x = 1− T , se obtine

(15) 1 = [1− T ].

Deoarece T ∈ (0, 1) rezulta ca 1 − T ∈ (0, 1) si deci [1 − T ] = 0 ceea cecontrazice (15).

Solutia 2. Rezulta direct, conform problemei 1.41.vi) Fie T ∈ IR∗ astfel ıncat f(x + T ) = f(x), ∀x ∈ IR ⇔ ({x + T} =

{x}, ∀x ∈ IR) ⇔ (x + T − [x + T ] = x− [x], ∀x ∈ IR) ⇔

(16) [x + T ] = [x] + T,∀x ∈ IR.

Luand ın (16) x = 0, se obtine [T ] = T deci T ∈ Z∗.Fie acum T ∈ Z∗. Rezulta {x + T} = {x},∀x ∈ IR ⇔ f(x + T ) =

f(x), ∀x ∈ IR. In consecinta, f este periodica de perioada T ∈ Z∗, iarperioada principala este 1.

1.43 Pentru x arbitrar din IR au loc relatiile:

f(x + (T1 + T2)) = f((x + T1) + T2) = f(x + T1) = f(x) si

f(x− T1) = f((x− T1) + T1) = f(x)

ceea ce arata ca

(17) T1 + T2 si − T1 sunt perioade pentru f.

Pentru nT1(n ∈ IN∗) se arata prin inductie. Pentru k = 2, 2T1 = T1 + T1

care este perioada pentru f , conform (17). Presupunem ca nT1 este perioada

50

pentru f si sa demonstram ca (n+1)T este perioada pentru f . Pentru oricex ∈ IR avem:

f(x + (n + 1)T1) = f(x + nT1 + T1) = f(x + nT1) = f(x)

deci nT1 este perioada, ∀n ∈ IN∗. Din (17) obtinem apoi ca −nT1 este deasemenea perioada si ın concluzie, kT1 este perioada a functiei f pentruorice k ∈ Z∗.

1.44 Conform problemei 1.43, kT este perioada pentru f, ∀k ∈ Z∗. Pre-supunem, prin reducere la absurd, ca f admite o perioada T ′ > 0 care nueste de forma kT cu k ∈ Z∗. Atunci exista p ∈ IN∗ si r ∈ (0, T ) astfel ıncatT ′ = pT + r. Atunci avem:

f(x + T ′) = f(x), ∀x ∈ IR ⇒ f(x) = f(x + T ′) =

= f(x + pT + r) = f(x + r), ∀x ∈ IR.

Ar rezulta ca r ∈ (0, T ) este perioada pentru f ceea ce contrazice faptul caT este perioada principala a lui f .

1.45 Fie b = f(a) unde a este fixat ın IR\Q. Fie x arbitrar ın IR. Dacax ∈ IR\Q, avem f(x) = f(x + a) = f(a) = b deoarece x si a sunt perioadepentru f . Daca x ∈ Q, atunci f(x) = f(x + a) = b pentru ca x + a ∈ IR\Q.Deci f este constanta, f = b.

1.46 (αf1 + βf2)(x + T ) = αf1(x + qT1) + βf2(x + pT2) = αf1(x) +βf2(x), ∀x ∈ IR deci T este perioada pentru αf1 + βf2. Analog se arata

si pentru functiile f1f2 sif1

f2. Daca

T1

T2/∈ Q, atunci concluzia nu este

ıntotdeauna adevarata. De exemplu, f(x) = cosx are perioada T1 = 2π,g(x) = cosx

√2 are perioada T2 = π

√2 dar f + g nu este periodica.

1.47 Multimea A are cel mult 2004 elemente. Doua elemente din A sunt

egale daca2n2 + 2

3n2 + 2n + 1=

2m2 + 23m2 + 2m + 1

, n, m ∈ {1, 2, . . . , 2004} si pre-

supunem n < m. Rezulta (n−m)(nm−m−n−1) = 0. Dar n 6= m ⇒ nm−m−n−1 = 0 ⇒ n(m−1) = m+1. Cum m 6= 1 ⇒ n =

m + 1m− 1

= 1+2

m− 1.

Se observa ca n ∈ IN ⇔ (m − 1) este divizor al lui 2. Se obtine m = 3 sin = 2. In concluzie, cardA = 2003.

1.48 Se demonstreaza prin inductie.

51

Pentru n = 2 : B1 ∩ (B2\B1) = ∅ si B1 ∪ (B2\B1) = B1 ∪B2. Rezulta

(18) card(B1 ∪B2) = cardB1 + card(B2\B1).

Analog, (B1 ∩B2) ∩ (B2\B1) = ∅ si (B1 ∩B2) ∪ (B2\B1) = B2, de unde

(19) card(B1 ∩B2) + card(B2\B1) = cardB2.

Adunand (18) si (19) obtinem

card(B1 ∪B2) = cardB1 + cardB2 − card(B1 ∩B2).

Presupunem relatia adevarata pentru n ∈ IN, n ≥ 2 si fie B1, B2, . . . , Bn,Bn+1 multimi finite. Atunci

card( n+1⋃

i=1

Bi

)= card

(( n⋃

i=1

Bi

)∪Bn+1

)= card

( n⋃

i=1

Bi

)+

+ cardBn+1 − card(( n⋃

i=1

Bi

)∩Bn+1

)=

n∑

i=1

cardBi−

−∑

1≤i<j≤n

card(Bi ∩Bj) +∑

1≤i<j<k≤n

card(Bi ∩Bj ∩Bk)−

−. . .+(−1)n−1 card( n⋂

i=1

Bi

)+cardBn+1− card

( n⋃

i=1

(Bi ∩Bn+1))=

=n+1∑

i=1

cardBi −∑

1≤i<j≤n

card(Bi ∩Bj) +∑

1≤i<j<k≤n


− . . . + (−1)n−1 card( n⋂

i=1

Bi

)−

[n∑

i=1

card(Bi ∩Bn+1)−

−∑

1≤i<j≤n

card(Bi ∩Bj ∩Bn+1) + . . . + (−1)n−1 card

(n+1⋂

i=1

Bi

) =

=n+1∑

i=1

cardBi −∑

1≤i<j≤n+1

card(Bi ∩Bj) +∑

1≤i<j<k≤n+1


− . . . + (−1)n card( n+1⋂

i=1

Bi

),

ceea ce trebuia demonstrat.

52

1.49 a) Fie Z ∈ ℵ0 si [0, 1) ∈ c. Atunci card(Z × [0, 1)) = ℵ0 · c, undeZ × [0, 1) = {(k, x)|k ∈ Z, x ∈ [0, 1)}. Fie functia f : Z × [0, 1) → IRdefinita prin f(k, x) = k+x,∀(k, x) ∈ Z× [0, 1). Aratam ca f este injectiva:fie (k1, x1), (k2, x2) ∈ Z × [0, 1) astfel ıncat f(k1, x1) = f(k2, x2). Rezulta:k1 + x1 = k2 + x2 ⇔ k1 − k2 = x2 − x1 ∈ Z. Presupunand x1 6= x2 (deexemplu, x2 > x1), am avea x2−x1 > 0 si x2−x1 ∈ Z. Cum x1, x2 ∈ [0, 1),reiese ca x2 − x1 < 1 deci x2 − x1 ∈ (0, 1) si x2 − x1 ∈ Z, absurd. Atuncix1 = x2 de unde k1 = k2 si, prin urmare, (k1, x1) = (k2, x2). Aratam acumca f este surjectiva: fie y ∈ IR scris ın forma zecimala, y = a0, a1a2 . . . an . . .Notand a0 = k ∈ Z si 0, a1a2 . . . an . . . = x ∈ [0, 1) avem (k, x) ∈ Z × [0, 1)si f(k, x) = k + x = y. Astfel f este bijectiva si ın consecinta, ℵ0 · c = c.

b) Aratam ıntai ca 2ℵ0 = c.Fie A = {f |f : IN → {0, 1} este functie } ∈ 2ℵ0 , [0, 1) ∈ c si functia

ϕ : A → [0, 1) definita prin ϕ(f) =∞∑

n=1

f(n)3n

(pentru serii vezi capitolul 3).

Cum f(n) ∈ {0, 1} pentru orice n ∈ IN∗, rezulta ca 0 ≤ ϕ(f) ≤∞∑

n=1

13n =

12 < 1. Aratam ca ϕ este injectiva: fie f, g ∈ A, f 6= g si fie n0 ∈ IN∗ primulnumar pentru care f(n0) 6= g(n0) (de exemplu, f(n0) > g(n0)). Atunci

ϕ(f) −ϕ(g) =n0−1∑

k=1

f(k)− g(k)3k

+f(n0)− g(n0)

3n0+

∞∑

k=n0+1

f(k)− g(k)3k

=

=1

3n0+

∞∑

k=n0+1

f(k)− g(k)3k

≥ 13n0

−∞∑

k=n0+1

13k

=1

2 · 3n0> 0

⇒ ϕ(f) 6= ϕ(g) deci ϕ este injectiva. Conform problemei 1.35-a),

(20) 2ℵ0 ≤ c.

Reciproc, orice x ∈ [0, 1) se poate scrie ın forma x =∞∑

n=1

xn

2n(dezvoltarea

diadica a lui x), unde xn ∈ {0, 1},∀n ∈ IN∗ si xn = 0 pentru o infinitate deindici (vezi definitia 3.43 si teoremele 3.41, 3.42, 3.44). Fie atunci functiaψ : [0, 1) → A definita prin ψ(x) = f, unde f : IN → {0, 1}, f(n) = xn, undexn sunt elementele din dezvoltarea diadica a lui x.

Aratam ca ψ este injectiva: fie x, y ∈ [0, 1) astfel ıncat ψ(x) = ψ(y).Avem f = g ⇒ (f(n) = g(n), ∀n ∈ N) ⇒ (xn = yn,∀n ∈ IN) ⇒ x = y. Deciψ este injectiva si conform problemei 1.35-a),

(21) c ≤ 2ℵ0 .

53

Din (20) si (21) rezulta 2ℵ0 = c. Apoi avem: c = 2ℵ0 ≤ nℵ0 ≤ (ℵ0)ℵ0 ≤(2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 = c, de unde obtinem nℵ0 = (ℵ0)ℵ0 = c.

c) Aratam ıntai ca c · c = c.Conform celor de mai sus, card ININ = c. Fie functia f : ININ×ININ → ININ

definita astfel: pentru orice z = (x, y) ∈ ININ × ININ, x = (l1, l2, . . .), y =(m1,m2, . . .) cu ln,mn ∈ IN,∀n ∈ IN, f(x, y) = (l1,m1, l2,m2, . . .) ∈ ININ.Demonstram injectivitatea lui f : fie (x, y), (x′, y′) ∈ ININ × ININ astfel ıncat(x, y) 6= (x′, y′) ⇒ (x 6= x′ sau y 6= y′).

Sa presupunem x 6= x′. Notand x = (l1, l2, . . .) si x′ = (l′1, l′2, . . .),

exista k ∈ IN astfel ıncat lk 6= l′k. Atunci evident f(x, y) 6= f(x′, y′). Pentrusurjectivitate: pentru orice z = (n1, n2, . . .) ∈ ININ, exista (x, y) ∈ ININ×ININ,unde x = (n1, n3, n5, . . .) si y = (n2, n4, n6, . . .) astfel ıncat f(x, y) = z. Decif este bijectiva si astfel, c · c = c. Prin inductie rezulta apoi ca cn = c,∀n ∈IN∗, n ≥ 2.

d) cℵ0 = (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 = c.e) cc = (2ℵ0)c = 2ℵ0·c = 2c, datorita relatiei din a).f) Conform a) si e) avem: (ℵ0)c = (ℵ0)ℵ0·c = [(ℵℵ0

0 )]c = cc = 2c.

1.50 Fie Q = {r1, r2, . . . , rn, . . .}. Fie functia ϕ : A → IRIN definitaprin ϕ(f) = (f(r1), f(r2), . . . , f(rn), . . .). Aratam ca ϕ este injectiva: fief, g ∈ A astfel ıncat ϕ(f) = ϕ(g). Rezulta (f(r1), f(r2), . . . , f(rn), . . .) =(g(r1), g(r2), . . . , g(rn), . . . , ) deci f(x) = g(x) pentru orice x ∈ Q. Cum fsi g sunt continue pe IR, conform problemei 5.29, avem f = g. Din faptul caϕ este injectiva, folosind problema 1.35-a), rezulta cardA ≤ card(IRIN) = c.Daca notam B = {f |f : IR → IR este functie constanta}, atunci evidentB ⊂ A si cardB = c deci c = cardB ≤ cardA. In concluzie, cardA = c.

1.51 Fie P multimea polinoamelor cu coeficienti reali. Atunci P ⊂ A,unde A este multimea din problema 1.50. Rezulta cardP ≤ cardA = c.Apoi avem evident IR ⊂ P, de unde c = card IR ≤ cardP. Astfel, cardP = c.

1.52 a) Deoarece card[a1, b1] = card[a2, b2] = c, conform problemei 1.49-d), cardA = c.

b) Functia f : [0, 2π) → B definita prin f(t) = (a + r cos t, b + r sin t)este bijectiva deci cardB = card[0, 2π) = c.

1.53 Presupunem, prin reducere la absurd, ca a > 0. Din inegalitatea

a ≤ 1n

rezulta ca na ≤ 1 pentru orice n ∈ IN∗ deci multimea B = {na|n ∈IN∗} este majorata. Conform axiomei lui Cantor-Dedekind, exista supB =α ∈ IR. Fie ε = a > 0. Folosind teorema 1.26, exista nε ∈ IN∗ astfel ıncat

54

nεa > α− a. Rezulta nεa + a > α ⇔ (nε + 1)a > α. Deci exista un element(nε + 1)a ∈ B care este mai mare decat α, ceea ce contrazice faptul caα = supB.

1.54 i) Daca A,B sunt majorate, atunci exista m1,m2 ∈ IR astfel ıncat∀x ∈ A, x ≤ m1 si ∀y ∈ B, y ≤ m2. Rezulta ca x + y ≤ m1 + m2, pentruorice z = x + y ∈ A + B deci A + B este majorata. Fie supA = α ∈ IRsi sup B = β ∈ IR. Atunci pentru orice x ∈ A, x ≤ α si pentru oricey ∈ B, y ≤ β. Rezulta z = x + y ≤ α + β pentru orice z ∈ A + B. Fie ε > 0.Conform teoremei 1.26, exista xε ∈ A si yε ∈ B astfel ıncat xε > α − ε

2si

yε > β− ε

2. Fie zε = xε + yε ∈ A+B. Rezulta zε > α+β− ε. Prin urmare,

sup(A + B) = α + β = supA + supB.ii) Se procedeaza ca la i).

1.55 a) Am notat (vezi definitia 1.34-d)), pentru orice functie h : X → IR,inf h(X) cu inf

x∈Xf(x) si respectiv suph(X) = sup

x∈Xh(x).

Fie A = {f(x) + g(x)|x ∈ X}. Se observa ca A ⊂ f(X) + g(X) ={f(x1) + g(x2)|x1, x2 ∈ X}. Atunci, conform problemei 1.54 si propozitiei1.27, avem:

inf f(X) + inf g(X) = inf[f(X) + g(X)] ≤ inf A ≤≤ supA ≤ sup[f(X) + g(X)] = sup f(X) + sup g(X).

b) f(x) =1x

, g(x) = x si X =[

12 , 1

]. Atunci inf

x∈Xf(x) = 1, inf

x∈Xg(x) =

12, infx∈X

[f(x) + g(x)] = 2, supx∈X

[f(x) + g(x)] =52, supx∈X

f(x) = 2, supx∈X

g(x) = 1 si

avem 1 +12

< 2 <52

< 2 + 1.

c) Rezulta din problema 1.54.d) Se obtine din a), facand observatia ca orice sir (xn)n ⊂ IR este o

functie f : IN → IR cu f(n) = xn, ∀n ∈ IN.

e) Fie xn =

{1, pentru n impar0, pentru n par

si yn =

{0, pentru n impar1, pentru n par

.

Atunci supxn = 1, sup yn = 1, iar sup(xn+yn) = 1 < 2 = supxn+sup yn.

In mod analog, daca xn =

{−1, pentru n impar0, pentru n par

si

55

yn =

{0, pentru n impar−1, pentru n par

, atunci inf xn + inf yn = (−1) + (−1) < −1 =

inf(xn + yn). Apoi, fie xn = 1, yn =1n

pentru orice n ∈ IN∗. Atunci

inf(xn +yn) = 1 < 2 = sup(xn +yn). Daca (xn) si (yn) sunt siruri constante,atunci ın d) avem egalitati.

1.56 a) Daca A,B sunt majorate, atunci exista m1, m2 ∈ IR astfel ıncat0 ≤ x ≤ m1 pentru orice x ∈ A si 0 ≤ y ≤ m2 pentru orice y ∈ B .Rezulta ca xy ≤ m1m2 pentru orice z = xy ∈ AB deci AB este majorata.Fie supA = α ∈ IR, supB = β ∈ IR(α, β ∈ [0,∞)). Fie ε > 0 si ε′ > 0astfel ıncat ε′α + ε′β + (ε′)2 < ε. Conform teoremei 1.26, exista xε ∈ A siyε ∈ B astfel ıncat xε > α − ε′ si yε > β − ε′. Fie zε = xεyε ∈ AB. Atuncixε + ε′ > α, yε + ε′ > β ⇒ (xε + ε′)(yε + ε′) > αβ ⇒ zε > αβ − ε′xε− ε′yε−(ε′)2 > αβ − ε′α− ε′β − (ε′)2 = αβ − [ε′α + ε′β + (ε′)2] > αβ − ε. Folosinddin nou teorema 1.26 rezulta ca sup(AB) = αβ = (supA)(supB).

b) Se demonstreaza analog cu punctul a).

1.57 a) Pentru orice x ∈ A avem infx∈A

f(x) ≤ f(x) ≤ g(x). Deci infx∈A

f(x) ≤g(x) pentru orice x ∈ A. Rezulta inf

x∈Af(x) ≤ inf

x∈Ag(x). A doua inegalitate

se arata la fel.b) Se obtine din a) folosind faptul ca orice sir (xn)n ⊂ IR este o functie

f : IN → IR cu f(n) = xn,∀n ∈ IN.

c) Fie f(x) = x, g(x) =

{x, x ≤ 1,

x2, x > 1si h(x) = x2.

Atunci f(x) ≤ g(x) pentru orice x ∈ [0, 2] si avem infx∈[0,2]

f(x) = 0 =

infx∈[0,2]

g(x), iar supx∈[0,2]

f(x) = 2 < 4 = supx∈[0,2]

g(x). In acelasi timp h(x) ≤ g(x)

pentru orice x ∈ [12 , 2

]si are loc:

infx∈[ 1

2,2]

h(x) =14

<12

= infx∈[ 1

2,2]

g(x), supx∈[ 1

2,2]

h(x) = 4 = supx∈[ 1

2,2]

g(x).

Daca (xn)n, (yn)n sunt siruri constante: xn = 1 si yn = 2, ∀n ∈ IN, atuncixn < yn pentru orice n ∈ IN si inf xn = 1 < 2 = inf yn, supxn = 1 < 2 =sup yn.

Fie acum xn = 0, yn =1n

, ∀n ∈ IN∗. Atunci xn < yn pentru orice n ∈ IN∗

dar inf xn = 0 = inf yn. In sfarsit, pentru xn = n−1n si yn = 1, ∀n ∈ IN∗,

avem xn < yn, ∀n ∈ IN∗ iar supxn = 1 = sup yn.

56

1.58 A fiind nevida si marginita, rezulta ca exista supA, inf A ∈ IR. Vomarata ca multimea A este formata dintr-un singur element. Presupunandca ar exista a, b ∈ A, a 6= b (fie, de exemplu, a < b), atunci ar rezultainf A ≤ a < b ≤ supA, ceea ce contrazice presupunerea ca supA = inf A. Inconcluzie, A contine un singur element.

1.59 Fie supA = α ∈ IR, supB = β ∈ IR si presupunem max{α, β} = α.Fie orice x ∈ A ∪ B. Daca x ∈ A, atunci x ≤ α, iar daca x ∈ B, atuncix ≤ β ≤ α. Rezulta x ≤ α. Fie orice ε > 0. Conform teoremei 1.26, existaxε ∈ A ⊂ A ∪ B astfel ıncat xε > α − ε. Rezulta ca sup(A ∪ B) = α. Serationeaza la fel daca max{α, β} = β. Deci sup(A∪B) = max{supA, supB}.

b) Se arata ın acelasi mod.c) Conform propozitiei 1.27, A ∩ B ⊂ A ⇒ sup(A ∩ B) ≤ supA si

A ∩B ⊂ B ⇒ sup(A ∩B) ≤ supB. Deci sup(A ∩B) ≤ min{supA, supB}.d) Se procedeaza anlog ca la c).Fie A = [−2, 3] ⊂ IR si b = [0, 4] ⊂ IR. Atunci A ∩ B = [0, 3] deci

sup(A∩B) = 3 = min{supA, supB} si inf(A∩B) = 0 = max{inf A, inf B}.Pentru A = { 1

n |n ∈ IN∗} ⊂ IR si b = [0, 12) ⊂ IR avem sup(A ∩B) = 1

3 <12 = min{supA, supB}. Daca A = {n−1

n |n ∈ IN∗} ⊂ IR si B = (12 , 1] ⊂ IR,

atunci inf(A ∩B) = 23 > 1

2 = max{inf A, inf B}.

1.60 Notam supA = α ∈ IR, inf A = β ∈ IR. Atunci pentru orice x ∈A, β ≤ x ≤ α si −α ≤ −x ≤ −β. Rezulta

(22) supx∈A

|x| ≤ max{|α|, |β|}.

Pentru orice x ∈ A,−|x| ≤ x ≤ |x|. Conform propozitiei 1.28 si problemei1.57 -a), avem:

− supx∈A

|x| = infx∈A

(−|x|) ≤ infx∈A

x ≤ supx∈A

x ≤ supx∈A

|x| ⇒

⇒ − supx∈A

|x| ≤ β ≤ supx∈A

|x| ⇒

(23) |β| ≤ supx∈A

|x|.

De asemenea se obtine: − supx∈A

|x| ≤ α ≤ supx∈A

|x| ⇒

(24) |α| ≤ supx∈A

|x|

57

Din (23) si (24) rezulta: max{|α|, |β|} ≤ supx∈A

|x|, care ımpreuna cu (22)

rezolva problema.

1.61 Fixam b ∈ B. Atunci a < b pentru orice a ∈ A, deci A este majoratasi fie supA = α ∈ IR. Analog se obtine ca B este minorata si fie inf B =β ∈ IR. Vom arata ca supA = β folosind teorema 1.26. Fie a ∈ A. Conformi), a 0 arbitrar. Din ii), exista aε ∈ A si bε ∈ B astfel ıncat bε − aε <ε ⇒ aε > bε − ε ≥ β − ε. Astfel,

(26) ∀ε > 0, ∃aε ∈ A, a.ı. aε > β − ε.

Din (25) si (26) rezulta ca supA = β = inf B.

1.62 a) Deoarece α este majorant pentru A, avem xn ≤ α pentru oricen ∈ IN.

Fie ε > 0. Intrucat xn → α, conform propozitiei 2.7, exista nε ∈ INastfel ıncat |xn−α| = α−xn < ε,∀n ≥ nε. Rezulta ca xn > α− ε,∀n ≥ nε.Deci pentru orice ε > 0 exista xnε ∈ A astfel ıncat xnε > α − ε. Utilizandteorema 1.26 se obtine ca α = supA.

b) Se demonstreaza analog.

1.63 Multimea A este minorata de −2 si majorata de 5 deci este mar-ginita. Cum 5 ∈ A, rezulta supA = 5 = maxA. Sa aratam ca inf A = −2.Intai, −2 este minorant pentru A. Apoi, fie ε > 0. Daca ε ≥ 7, atunci−2 + ε ≥ 5 si exista xε ∈ A (de exemplu xε = 4) astfel ıncat xε < −2 + ε.Daca 0 < ε < 7, atunci −2 < −2 + ε < 5 si fie xε = −2 + ε

2 . Atunci−2 < −2 + ε

2 < −2 + ε < 5. Deci xε ∈ A si xε < −2 + ε. Conform teoremei1.26, inf A = −2. In plus, nu exista minA. Sa presupunem prin reducere laabsurd, ca exista minA = a ∈ A. Atunci a ∈ (−2, 5]. Fie b = a−2

2 . Atunci−2 < b ⇔ −2 < a−2

2 ⇔ −2 < a, adevarat. Analog, b < a ⇔ a−22 < a ⇔

−2 < a, adevarat. Deci −2 < b < a ≤ 5 ⇒ b ∈ A. Deci exista b ∈ A astfelıncat b < a ceea ce contrazice presupunerea facuta.

Pentru multimea B se obtine ca minB = inf B = −√7. Aratam ca B nueste majorata folosind teorema 1.26-ii). Fie ε > 0. Daca ε < 4, atunci existaxε = 4 ∈ B astfel ıncat xε = 4 > ε. Daca ε ≥ 4, atunci exista xε = ε+1 ∈ Bastfel ıncat xε = ε + 1 > ε. Multimea B nu are maximum.

58

Pentru multimea C se procedeaza la fel si se gaseste: minC = inf C =2, supC = 7 si nu exista maximum pentru C.

Demonstram acum pentru D = { 1n + (−1)n|n ∈ IN∗} = { 1

n + 1|n =2k, k ∈ IN∗} ∪ { 1

n − 1|n = 2k + 1, k ∈ IN}. Sa notam an = 1n + 1, bn = 1

n − 1pentru orice n ∈ IN∗. Atunci D = {a2k|k ∈ IN∗}∪{b2k+1|k ∈ IN}. Se observaca ∀n ∈ IN∗, −1 < 1

n − 1 < 1n + 1 ≤ 1

2 + 1 = a2, de unde se obtine ca Deste marginita. Cum a2 = 3

2 ∈ D si 32 este un majorant pentru D, rezulta

ca supD = 32 = maxD. Mai observam ca an+1 < an si bn+1 < bn pentru

orice n ∈ IN∗. Sa aratam acum ca inf D = −1. Intai, −1 este minorantpentru D. Apoi, fie ε > 0. Sa determinam n ∈ IN∗, n impar astfel ıncat1n − 1 < −1 + ε ⇔ 1

n < ε ⇔ n > 1ε . Fie n′ε = [1ε ] + 1 si luam nε ∈ IN, nε

impar astfel ıncat nε ≥ n′ε. Deci exista bnε = 1nε− 1 ∈ D astfel ıncat

bnε < −1 + ε. Conform teoremei 1.26, inf D = −1. Nu exista minD.

Analog se demonstreaza pentru multimile E,F, G. Astfel, minE =inf E = 1

5 , supE = 23 si E nu are maximum, minF = inf F = −4

3 simaxF = supF = 2, iar minG = inf G = −1 si maxG = supG = 1.

Pentru multimea H, sa notam xn = −n3 + 1, ∀n ∈ IN. Observam caxn+1 < xn ≤ x0 = 1 pentru orice n ∈ IN. Deci H este majorata de 1 si cumx0 = 1 ∈ H rezulta ca supH = 1 = maxH. Aratam ca H nu este minorata.Fie ε > 0. Sa determinam n ∈ IN astfel ıncat −n3 +1 < −ε ⇔ n3 > 1+ ε ⇔n > 3

√1 + ε. Fie atunci nε = [ 3

√1 + ε] + 1. Deci pentru orice ε > 0, exista

nε ∈ IN astfel ıncat xnε < −ε, ceea ce spune ca H nu este minorata. In plus,nu exista minH.

La fel se procedeaza pentru multimea I. Astfel, min I = inf I = 43 , I nu

este majorata si nu admite nici supremum, nici maximum.Pentru multimea J sa notam am

n = 12n + 1

7m , ∀n,m ∈ IN. Atunci 0 <am

n ≤ 2 = a0 ∈ J,∀n,m ∈ IN, deci J este marginita si maxJ = supJ = 2.Se observa ca 0 este minorant pentru J si exista sirul yn = an

n = 12n + 1

7n ∈J,∀n ∈ IN astfel ıncat yn → 0. Conform problemei 1.62-b), inf J = 0. Saaratam ca J nu are minimum. Presupunem, prin absurd, ca exista b ∈ Jastfel ıncat b = min J. Rezulta 0 < b ≤ am

n , ∀n,m ∈ IN. In particular, areloc

(27) 0 < b ≤ ann = yn =

12n

+17n

, ∀n ∈ IN.

Facand n → ∞ ın (27) si folosind teorema clestelui (propozitia 2.26-vi)),rezulta ca b = 0 ceea ce este absurd pentru ca 0 /∈ J.

Sa aratam egalitatea K = {0} : ∀n ∈ IN∗, 0 ∈ [0, 1n ] deci {0} ⊂ K.

Pentru incluziunea inversa, fie a ∈ K. Rezulta 0 ≤ a ≤ 1n pentru orice

59

n ∈ IN∗. Conform problemei 1.53, a = 0. Deci K = {0} si ın consecinta,inf K = min K = max K = supK = 0.

1.64 Se observa ca A este majorata de 2. Presupunem prin reducere laabsurd ca exista supA = b ∈ Q. Avem trei posibilitati:

I) b2 = 2. Atunci b =√

2 /∈ Q.II) b2 < 2. Sa gasim n ∈ IN∗ astfel ıncat (b + 1

n)2 < 2 ⇔ (2 − b2)n2 −2nb− 1 > 0.

∆ = 8 > 0 ⇒ n1 =2b−√82(2− b2)

=b−√22− b2

=−1

b +√

2< 0 si

n2 =2b +

√8

2(2− b2)=

b +√

22− b2

=1√

2− b> 0.

Fie n0 = [n2] + 1 ∈ IN∗ astfel ıncat(b + 1

n0

)2< 2. Cum b + 1

n0∈ Q, rezulta

ca b + 1n0∈ A. Dar b + 1

n0> b, absurd pentru ca b = supA.

III) b2 > 2. Fie c = b2 + 1

b ∈ Q. Atunci c2= b2

4 +1+ 1b2

= 2+(

b2−1

b

)2> 2.

Avem x2 < 2 < c2 pentru orice x ∈ A. Astfel c este majorant pentru A.

Avem c < b ⇔ b

2+

1b

< 2 ⇔ 1b

<b

2⇔ 2 < b2 care este adevarat. Deci

c este un majorant pentru A mai mic decat b, ceea ce contrazice faptul cab = supA.

Asadar, A nu admite supremum ın Q.

1.65 Fie x, y ∈ IR cu x < y si fie α ∈ IR\Q. Atunci x − α < y − α siconform teoremei 1.32 (densitatea lui Q ın IR), exista r ∈ Q astfel ıncatx − α < r < y − α. Rezulta x < r + α < y. Deci exista z = r + α ∈ IR\Qastfel ıncat x < z < y.

1.66 Fie x, y ∈ IR cu x < y. Atunci exista r ∈ Q astfel ıncat x < r < y(din densitatea lui Q ın IR). Apoi, din acelasi motiv, exista s ∈ Q astfelıncat r < s < y. Fie zn = 1

nr +(1− 1

n

)s ∈ Q pentru orice n ∈ IN∗. Avem

r < zn < s deci x < zn < y,∀n ∈ IN∗. Se observa ca zn 6= zm oricare ar fin,m ∈ IN∗, n 6= m.

La fel se arata ca ıntre orice doua numere reale diferite exista o infinitatede numere irationale.

1.67 Fie ε > 0 arbitrar. Aratam mai ıntai ca ıntre 0 si ε exista un numarde forma mα + n cu m,n ∈ Z. Pentru t ∈ (0, ε), exista n ∈ IN∗ astfelıncat nt > 1 deci putem ımparti intervalul [0, 1) ıntr-un numar finit de

60

intervale de lungime t < ε. Pentru orice m ∈ Z, exista n ∈ Z astfel ıncatmα + n ∈ [0, 1). Multimea Z fiind infinita, exista doua numere diferite deforma z1 = m1α + n1, z2 = m2α + n2 (presupunem z1 < z2) care se aflaıntr-un interval de lungime t < ε. Rezulta m1 6= m2 si fie cε = z2 − z1 =(m2 −m1)α + (n2 − n1). Evident cε ∈ (0, ε) si cε are forma ceruta.

Fie acum x, y ∈ IR cu x < y. Fie ε ∈ (0, y−x2 ). Conform celor de mai

sus, exista cε = mα + n (cu m,n ∈ Z) astfel ıncat cε ∈ (0, ε). Rezulta ca

0 < cε < y − x. Atunci ycε− x

cε=

y − x

cε> 1 deci exista p ∈ Z astfel ıncat

p ∈(

xcε

, ycε

). Notand pcε = z, se obtine z ∈ (x, y) si z = (pm)α + (pn) este

ın forma cautata.

1.68 Folosind densitatea lui Q ın IR, pentru orice γ ∈ Γ exista rγ ∈ Q∩Iγ .Atunci functia f : Γ → Q, definita prin f(γ) = rγ , este injectiva si conformproblemei 1.35-a), card Γ ≤ card Q = ℵ0.

1.69 Fie E = {x|x ∈ [a, b] si x ≤ f(x)}.f(a) ∈ [a, b] ⇒ a ≤ f(a) ⇒ a ∈ E deci E 6= ∅. Cum E este majorata de

b, din axioma lui Cantor-Dedekind, exista supE = x0 ∈ IR. Cum E ⊂ [a, b],rezulta x0 ∈ [a, b] (conform propozitiei 1.27). Fie x ∈ E. Atunci x ≤ x0 sideoarece f este crescatoare, avem f(x) ≤ f(x0). Pentru orice x ∈ E avemx ≤ f(x) ≤ f(x0). Rezulta ca f(x0) este un majorant pentru E deci are loc

(28) x0 ≤ f(x0).

Intrucat f este crescatoare, rezulta ca f(x0) ≤ f(f(x0)). Astfel f(x0) ∈ Esi prin urmare,

(29) f(x0) ≤ x0 .

Din (28) si (29) se obtine concluzia teoremei.

1.70 Fie ∅ 6= M ⊂ IR o multime bine ordonata. Fie x ∈ M astfel ıncat xsa nu fie cel mai mare element al lui M (daca acesta exista, ıl notam cu m).Atunci multimea {z ∈ M |x < z} este nevida si deci are cel mai mic element,notat s(x).

Pentru x < s(x), exista rx ∈ Q astfel ıncat x < rx < s(x). Fie functiaf : M\{m} → Q definita prin f(x) = rx. Aratam ca f este injectiva: fiex, y ∈ M\{m}, x 6= y (presupunem fara a micsora generalitatea ca x < y).Atunci x < rx < s(x) ≤ y < ry < s(y). Deci f(x) 6= f(y). Deoarecef este injectiva, rezulta card(M\{m}) ≤ card Q = ℵ0, de unde obtinemcardM ≤ ℵ0.

61

1.71 a) Fie x ∈ ⋃i∈I

(−∞, ai). Atunci exista i0 ∈ I astfel ıncat x ∈(−∞, ai0) ⇒ x < ai0 ≤ α deci x ∈ (−∞, α). Reciproc, fie x ∈ (−∞, α) ⇔x < α. Conform teoremei 1.26, exista ai1 ∈ A astfel ıncat x < ai1 < α. Decix ∈ (−∞, ai1) ⊂

⋃i∈I

(−∞, ai).

La fel se arata ii).iii) Presupunem β ∈ A ⇒ β = min A = ai0 .Fie x ∈ ⋂

i∈I

(−∞, ai). Rezulta ca x ∈ (−∞, ai) pentru orice i ∈ I, deci

x ∈ (−∞, ai0). Invers, fie x ∈ (−∞, ai0). Rezulta ca x < ai0 ≤ ai, ∀i ∈ I.Deci x ∈ (−∞, ai), ∀i ∈ I adica x ∈ ⋂

i∈I

(−∞, ai).

Presupunem β /∈ A. Fie x ∈ ⋂i∈I

(−∞, ai) deci x ∈ (−∞, ai) pentru orice

i ∈ I. Daca am avea x > β = inf A, atunci din teorema 1.26 ar rezulta caexista ai1 ∈ A astfel ıncat x > ai1 > β ceea ce ar contrazice alegerea lui x.Astfel x ≤ β deci x ∈ (−∞, β].

iv) Se arata analog.b) Incluziunea

⋃i∈I

(−∞, ai) ⊂ IR este evidenta. Invers, fie x ∈ IR. Deoa-

rece A nu este majorata, exista ai0 ∈ A astfel ıncat ai0 > x. Deci existai0 ∈ I astfel ıncat x ∈ (−∞, ai0) ⊂

⋃i∈I

(−∞, ai).

Sa aratam ca⋂i∈I

(ai, +∞) = ∅. Presupunand contrariul, fie x ∈ ⋂i∈I

(ai, +∞).

Atunci x > ai, ∀i ∈ I si ar rezulta ca A este majorata, absurd.c) Se demonstreaza asemanator.

Capitolul 2

SIRURI DE NUMERE REALE

Definitia 2.1. Se numeste sir de numere reale o functie f : IN → IR.

Valoarea functiei f ın n ∈ IN, f(n), se noteaza cu xn sau yn, zn, s.a.m.d.iar sirul definit de f se noteaza (xn) sau, respectiv, (yn), (zn). Uneori, unsir va fi indexat ıncepand cu un rang n0 ∈ IN∗. Vom indica aceasta situatieprin scrierea (xn)n≥n0 .

In acest capitol cuvantul “sir” desemneaza un sir de numere reale ınsensul definitiei de mai sus.

Definitia 2.2. Un sir se numeste majorat (minorat, marginit) dacamultimea termenilor sai este majorata (minorata, marginita), adica functiacorespunzatoare este majorata (minorata, marginita).

Definitia 2.3. Un sir (xn) se numeste crescator (strict crescator, des-crescator, strict descrescator) daca pentru orice n ∈ IN, xn+1 ≥ xn (xn+1 >xn, xn+1 ≤ xn, xn+1 < xn). Un sir crescator sau descrescator se numestemonoton.

Definitia 2.4. Se numeste subsir al sirului (xn) un sir (yk) cu propri-etatea ca pentru orice k ∈ IN, yk = xnk

, unde (nk) este un sir strict crescatorde numere naturale.

Definitia 2.5. O submultime V ⊂ IR se numeste vecinatate a punctuluix ∈ IR daca exista ε > 0 astfel ıncat (x − ε, x + ε) ⊂ V. Multimea tuturorvecinatatilor lui x se noteaza cu V(x).

Definitia 2.6. Un sir (xn) se numeste convergent daca exista x ∈ IR cuproprietatea:

∀V ∈ V(x), ∃nV ∈ IN, a.ı. ∀n ≥ nV : xn ∈ V.

62

63

Numarul x se numeste limita lui (xn).Vom folosi notatiile xn → x, lim

n→∞xn = x sau, mai simplu, limxn = x

pentru a descrie situatia din definitia precedenta. Are loc urmatorul rezultatde caracterizare:

Propozitia 2.7. Un sir (xn) este convergent la limita x ∈ IR daca sinumai daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ IN a.ı. ∀n ≥ nε, |xn − x| < ε.

Definitia 2.8. a) O submultime V ⊂ IR se numeste vecinatate a lui +∞daca exista ε > 0 astfel ıncat (ε,∞] ⊂ V. Multimea tuturor vecinatatilor lui∞ se noteaza cu V(∞).

b) O submultime V ⊂ IR se numeste vecinatate a lui −∞ daca existaε > 0 astfel ıncat [−∞,−ε) ⊂ V. Multimea tuturor vecinatatilor lui −∞ senoteaza cu V(−∞).

Definitia 2.9. a) Spunem ca sirul (xn) are limita +∞ daca

∀V ∈ V(+∞), ∃nV ∈ IN a.ı. ∀n ≥ nV , xn ∈ V.

b) Spunem ca sirul (xn) are limita −∞ daca

∀V ∈ V(−∞), ∃nV ∈ IN a.ı. ∀n ≥ nV , xn ∈ V.

Rezultatele corespunzatoare de caracterizare sunt urmatoarele.

Propozitia 2.10. a) Un sir (xn) are limita +∞ daca si numai daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ IN a.ı. ∀n ≥ nε, xn > ε.

b) Un sir (xn) are limita −∞ daca si numai daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ IN a.ı. ∀n ≥ nε, xn < −ε.

Definitia 2.11. Sirul (xn) se numeste sir Cauchy sau fundamental daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ IN a.ı. ∀n,m ≥ nε, |xn − xm| < ε.

Definitia de mai sus poate fi reformulata astfel: (xn) este sir Cauchydaca:

64

∀ε > 0,∃nε ∈ IN a.ı. ∀n ≥ nε, ∀p ∈ IN, |xn+p − xn| < ε.

Definitia 2.12. Un sir care nu este convergent se numeste divergent.In particular, daca (xn) are limita +∞ sau −∞, atunci el este divergent.

Prezentam mai jos rezultate referitoare la operatii cu siruri care aulimita.

Propozitia 2.13. Fie (xn), (yn), (zn) siruri de numere reale, x, y, a ∈ IR.

i) daca xn → x, yn → y, atunci xn + yn → x + y, xnyn → xy;ii) daca xn → x, atunci axn → ax, |xn| → |x| ;iii) daca xn → x 6= 0, atunci sirul ( 1

xn) este bine definit de la un rang

ıncolo si are limita 1x ;

iv) daca xn →∞ si (yn) este marginit inferior, atunci xn + yn →∞;v) daca xn → −∞ si (yn) este marginit superior, atunci xn + yn → −∞;vi) daca xn → ±∞ si yn → y ∈ IR\{0}, atunci xnyn → ±∞ · sgn(y);vii) daca xn → ∞ si yn → y, atunci sirul ( yn

xn) este bine definit de la un

rang ıncolo si are limita 0;viii) daca xn > 0, xn → 0 si yn → y ∈ IR\{0}, atunci yn

xn→ +∞ · sgn(y).

Definitia 2.14. Fie (xn)n≥0 un sir. Se numeste limita superioara asirului (xn) elementul din IR dat prin

lim supxn= infn∈IN

supk≥n

xk.

Se numeste limita inferioara a sirului (xn) elementul din IR dat prin

lim inf xn= supn∈IN

infk≥n

xk.

Cele doua concepte definite mai sus se mai numesc si limitele extremeale sirului (xn).

Propozitia 2.15. Au loc relatiile: lim sup(−xn) = − lim inf xn silim inf(−xn) = − lim supxn.

Prezentam ın continuare principalele proprietati ale sirurilor de numerereale si cateva criterii de convergenta.

65

Propozitia 2.16. Orice sir convergent este marginit.

Observatia 2.17. Reciproca acestei propozitii este falsa. Contraexem-plu: xn = (−1)n, ∀n ∈ IN.

Teorema 2.18. (Cauchy) Un sir este convergent daca si numai dacaeste fundamental.

Observatia 2.19. Conform teoremei 2.18 putem proba convergentaunui sir demonstrand o relatie ıntre termenii sai, deci fara a-i gasi efectivlimita.

Teorema 2.20. Orice sir monoton are limita ın IR. Daca, ın plus, siruleste marginit, atunci el este convergent. Daca este nemarginit, atunci arelimita +∞ sau −∞ dupa cum este crescator sau descrescator.

Teorema 2.21. (Weierstrass) Orice sir marginit si monoton este con-vergent.

Observatia 2.22. Reciproca teoremei 2.21 este falsa. Contraexemplu:xn = (−1)n

n , ∀n ∈ IN∗.

Teorema 2.23. (Cesaro) Orice sir marginit are un subsir convergent.

Teorema 2.24. Un sir este convergent la limita x ∈ IR daca si numaidaca orice subsir al sau este convergent la limita x.

Teorema 2.25. Un sir (xn) are limita ın IR daca si numai daca

lim supxn = lim inf xn;

ın aceasta situatie, valoarea limitei este egala cu valoarea comuna a celordoua limite extreme.

Urmatoarea propozitie grupeaza mai multe rezultate fundamentale.

Propozitia 2.26. Fie (xn), (yn), (zn) siruri de numere reale, x, y ∈ IR sin0 ∈ IN.

i) (trecerea la limita ın inegalitati) daca xn → x, yn → y si xn ≤ yn,∀n ≥ n0, atunci x ≤ y;

ii) (criteriul majorarii) daca |xn − x| ≤ yn, ∀n ≥ n0 si yn → 0, atuncixn → x;

66

iii) daca xn ≥ yn, ∀n ≥ n0 si yn → +∞, atunci xn → +∞;iv) daca xn ≥ yn, ∀n ≥ n0 si xn → −∞, atunci yn → −∞;v) daca (xn) este marginit si yn → 0, atunci xnyn → 0;vi) (teorema clestelui) daca xn ≤ yn ≤ zn, ∀n ≥ n0 si xn → x, zn → x

atunci yn → x;vii) xn → 0 ⇔ |xn| → 0 ⇔ x2

n → 0.

Observatia 2.27. In propozitia 2.26-i) daca ıntre termenii a doua siruriavem inegalitate stricta aceasta nu se transmite si la limite. Exemplu: xn =0 si yn = 1

n , ∀n ∈ IN∗.

Propozitia 2.28. Fie (xn) un sir de numere reale pozitive astfel ıncatexista lim xn+1

xn= x. Daca x < 1, atunci xn → 0 iar daca x > 1, atunci

xn → +∞.

Propozitia 2.29. Fie (xn) un sir de numere reale pozitive. Atuncilim inf xn+1

xn≤ lim inf n

√xn ≤ lim sup n

√xn ≤ lim sup xn+1

xn. In particular,

daca exista limn→∞

xn+1

xn= x, atunci exista si lim

n→∞n√

xn = x.

Propozitia 2.30. (Stolz-Cesaro). Fie (xn) si (yn) siruri de numerereale astfel ıncat (yn) este strict crescator si cu limita +∞. Daca existalim xn+1−xn

yn+1−yn= x ∈ IR, atunci exista lim xn

ynsi este egala cu x.

Daca (xn) este un sir de numere reale, notam multimea punctelor salelimita prin L((xn)) = {x ∈ IR | x = lim xnk

, (xnk) subsir al lui (xn)}.

Propozitia 2.31. Fie (xn) un sir de numere reale. Atunci

lim inf xn = minL((xn)),

iarlim supxn = max L((xn)).

Observatia 2.32. Cum un sir este o functie f : IN → IR, daca aceastafunctie este data explicit uneori este util sa se considere o functie f :[0, +∞) → IR a carei restrictie la multimea numerelor naturale sa fie f. Uneleproprietati ale sirului definit de f pot fi deduse din proprietatile lui f : dacaf este crescatoare (descrescatoare) atunci sirul este crescator (descrescator),daca f are limita x ∈ IR la +∞ atunci sirul are limita x. Avantajul uneiasemenea abordari este acela ca ın conditiile ın care f este derivabila putemfolosi derivata ın studiul proprietatilor mentionate.

67

Teorema 2.33. Pentru orice x ∈ IR, exista un sir (yn) ⊂ Q astfel ıncatyn → x si exista un sir (zn) ⊂ IR\Q astfel ıncat zn → x.

Observatia 2.34. Reamintim ın ıncheierea acestei prezentari doua li-mite fundamentale.

(L1) Fie P (n) = apnp+ap−1n

p−1+...+a1n+a0, Q(n) = bsns+bs−1n

s−1+... + b1n + b0, unde p, s ∈ IN, ai, bj ∈ IR, ∀i = 1, p, ∀j = 1, s, ap 6= 0, bs 6= 0.

limP (n)Q(n)

=

0, daca s > pap

bs, daca s = p

+∞ · sgn(ap

bs), daca s 1,nu exista, daca a ≤ −1.

.

Este de remarcat ca, totusi, daca a < −1, atunci lim 1an = 0.

Observatia 2.35. Reamintim de asemenea cateva inegalitati foarteimportante, utilizate ın multe dintre aplicatiile care urmeaza.

(I1) [x] ≤ x < [x] + 1, ∀x ∈ IR;(I2) x− x2

2 ≤ ln(x + 1) ≤ x,∀x ≥ 0;(I3) x + 1 ≤ ex,∀x ∈ IR;(I4) sinx ≤ x,∀x ≥ 0;(I5) (Bernoulli) (1 + x)n > 1 + nx, ∀x ≥ −1, x 6= 0, ∀n ∈ IN, n ≥ 2.

68

Probleme

2.1 Fie xn = 2n−13n+2 , ∀n ∈ IN. Demonstrati ca exista np ∈ IN∗ astfel ıncat,

pentru orice n ≥ np sa avem xn ∈ (23 − 1

10p , 23 + 1

10p ) pentru fiecare dincazurile p = 1, 2, 3.

Demonstrati apoi ca xn → 23 , folosind definitia.

2.2 Folosind propozitiile 2.7 si 2.10 aratati ca:

a) limn→∞

3n + 15n + 3

=35;

b) limn→∞

3n2 + 22n2 + 1

=32;

c) limn→∞

2n2 + 13n3 + 1

= 0;

d) limn→∞

n2 + 2n + 52n + 3

= ∞;

e) limn→∞

n2 − 3n

3− 2n= −∞.

2.3 Fie (xn) un sir de numere reale pozitive astfel ıncat exista lim xn+1

xn=

x. Aratati ca daca x < 1, atunci xn → 0 iar daca x > 1, atunci xn → +∞.(Propozitia 2.28).

2.4 Studiati convergenta urmatoarelor siruri:

a) xn = n√

n, n ∈ IN, n ≥ 2;b) xn = n

√a, a > 0, n ∈ IN, n ≥ 2;

c) xn =lnn

nk, n ∈ IN∗, k ∈ IN∗;

d) xn =nk

an, n ∈ IN, |a| > 1;

e) xn =an

n!, n ∈ IN, a ∈ (1,∞) ;

f) xn = nkan, n ∈ IN, |a| < 1.

2.5 Fie sirurile : xn =(1 + 1

n

)n, yn =

(1 + 1

n

)n+1, zn = 1+ 1

1! +12! + . . .+

1n! , n ∈ IN∗. Demonstrati ca:

a) sirul (xn) este strict crescator iar (yn) este strict descrescator (folosind,de exemplu, inegalitatea lui Bernoulli sau inegalitatea mediilor sau con-siderand functia auxiliara f (x) =

(1 + 1

x

)x, x ∈ (0,∞));

69

b) sirurile (xn) , (yn) sunt convergente si limxn = lim yn. Limita comunase noteaza cu e si este baza logaritmului natural. Deduceti inegalitatea(1 + 1

n

)n< e <

(1 + 1

n

)n+1, ∀n ∈ IN∗;

c) demonstrati ca (zn) converge si lim zn = e. Aratati ca e ∈ (2, 3) sideduceti ca e este un numar irational procedand prin reducere la absurd sievaluand diferenta e− zn;

d) aratati ca are loc inegalitatea: 1n+1 < ln (n + 1)−lnn < 1

n , n ∈ IN∗, fiefolosind sirurile (xn) , (yn), fie aplicand teorema lui Lagrange (vezi capitolul6) unei functii convenabil alese si aratati ca sirul un = 1 + 1

2 + 13 + ... + 1

n ,n ∈ IN∗ are limita ∞, iar sirul vn = un − lnn, n ∈ IN∗ este convergent.

2.6 Fie (an)n∈IN un sir strict crescator de numere naturale. Sa se arate casirul xn = 1

a0! + 1a1! + ... + 1

an! este convergent iar limita sa este un numarirational.

2.7 Sa se studieze monotonia si convergenta urmatoarelor siruri:

a) xn =(−1)n n3 + 3−n

n3, n ∈ IN∗;

b) xn =sinn

n, n ∈ IN∗;

c) xn = en (sinn + 2) , n ∈ IN.

2.8 Fie (xn) si (yn) siruri de numere pozitive astfel ıncat xn = y1y2...yn,∀n ≥ 1. Daca yn → l ∈ (0, 1), atunci xn → 0 iar daca yn → l ∈ (1,∞),atunci xn →∞.

2.9 Determinati urmatoarele limite:

a) limn→∞(n3(

47)n + n2 sin

2π

3n);

b) limn→∞

nn√

n!;

c) limn→∞

25

59......

(3n− 1)(4n + 1)

;

d) limn→∞

12 ln 2 + 1

3 ln 3 + ... 1n lnn

n√

n;

e) limn→∞(

1n2 + 1

+2

n2 + 2+ ... +

n

n2 + n);

f) limn→∞(

12

n3 + 1+

22

n3 + 2+ ... +

n2

n3 + n);

70

g) limn→∞(n− 3

√n3 − 3n2 + 2)n;

h) limn→∞n[(1 +

1n

)k − 1], k ∈ IN∗;

i) limn→∞

1k + 2k + ... + nk

nk+1, IN∗

j) limn→∞

[na]n

, unde a ∈ IR;

k) limn→∞n( n

√a− 1), unde a ∈ IR∗+;

l) limn→∞

n( n√

n− 1)ln n

.

2.10 Determinati urmatoarele limite de siruri:

a) limn→∞(

1n + 1

+1

n + 2+ ... +

1kn

), k natural, mai mare decat 2;

b) limn→∞

1n2

n∑

k=1

kekn ;

c) limn→∞

∫ 1

0sinn x dx;

d) limn→∞

∫ 1

0xn sinx dx;

e) limn→∞

1n

n√

(n + 1)(n + 2)...2n;

f) limn→∞ sin(

√n2 + 1π);

g) lim cos(nπ 2n√

e);

h) lim[a] + [32a] + ... + [(2n− 1)2a]

n3, a ∈ IR;

i) limn→∞

12

34...

(2n− 1)2n

;

j) limn→∞

a(a + 1)...(a + n− 1)n!

, a ∈ (0, 1);

k) limn→∞n

∫ 1

0xnf(x) dx, unde f : [0, 1] → IR este o functie derivabila, cu

derivata continua pe [0, 1].

2.11 Aratati ca sirul xn =∫ π/20 sinn xd x,∀n ∈ IN este convergent si

determinati limita sa.

2.12 Determinati limn→∞

12

34 ... (2n−1)

2n

√2n + 1.

71

2.13 Demonstrati ca orice sir nemarginit de numere reale are un subsircu limita +∞ sau −∞.

2.14 Demonstrati ca daca sirul (xn) de numere reale este convergent lalimita x atunci sirul mediilor aritmetice ale termenilor sai este convergentla aceeasi limita. Aceeasi problema pentru sirul mediilor geometrice aleunui sir de numere pozitive si pentru sirul mediilor armonice ale unui sir denumere pozitive. Sunt reciprocele adevarate?

2.15 Daca f : [1,∞) → [0,∞) este o functie continua, descrescatoare, pe[1,∞) atunci sirul f (1) + f (2) + . . . + f (n)− ∫ n

1 f (x) dx este convergent.Sa se arate ca urmatoarele siruri sunt convergente: 1 + 1

2 + 13 + ..... 1

n −ln n(n ∈ IN∗); 1 + 1√

2+ ... + 1√

n− 2

√n, n ∈ IN∗; 1 + 1

2 ln 2 + ... + 1n ln n −

ln (ln n) , (n ∈ IN\{0, 1}).

2.16 Sa se determine limn→∞ n

(an +

√n2 + bn + c

)si lim(

n→∞a√

n+b√

n + 1+

c√

n + 2), unde a, b, c ∈ IR; discutie dupa a, b, c.

2.17 Sa se calculeze:

limn→∞

(1 +

1n2

) (1 +

2n2

)...

(1 +

n

n2

).

2.18 Sa se demonstreze ca sirul xn = cosnα, n ≥ 1, α ∈ R, converge dacasi numai daca α = 2kπ, k ∈ Z. Studiati convergenta sirului yn = sinnα,n ≥ 1.

2.19 Studiati convergenta urmatoarelor siruri:

a) xn+1 = (1− 14n2

)xn, ∀n ≥ 1, x1 = 1;

b) xn+1 = x2n − 2xn + 2, n ∈ IN∗, x1 = a > 0;

c) xn+1 = e−1+xn , n ≥ 1, x1 ∈ (0,∞) .

2.20 Fie x0 ∈ IR\{0, 1} si sirul (xn) dat prin xn+1 = 1 − 1xn

,∀n ∈ IN.Studiati convergenta sirului (xn).

2.21 Dati un exemplu de sir divergent (xn) astfel ıncat limn→∞(xn+p−xn) =

0 pentru orice p ∈ IN∗ fixat.

2.22 Aratati ca sirul xn = nπ−2narctgn este convergent si sa se calculezelimita sa.

72

2.23 Fie an = n(nz+√

n2 + nx + y), x, y, z ∈ IR. Daca lim an = 1, atunciexista un unic numar real α cu proprietatea limnα ln an ∈ IR∗.

2.24 Fie sirul (xn) dat prin relatia de recurenta xn+1 = xn− x2n, ∀n ∈ IN,

x0 ∈ [0, 1]. Studiati convergenta acestui sir si a sirului (yn), yn =n∑

k=0

x2k.

2.25 a) Studiati convergenta sirului (xn) dat prin relatia de recurentaxn+1 = xn + x2

n, n ≥ 1, x1 ∈ IR.b) Fie sirul (xn) dat prin relatia de recurenta yn+1 = y2

n − (2a− 1)yn +a2, n ≥ 1, y1, a ∈ IR. Studiati convergenta acestui sir.

2.26 Studiati convergenta sirului (xn) dat prin xn+1 = 12(xn + a

xn), n ≥

1, a, x1 > 0.

2.27 Studiati convergenta sirului (xn) dat prin xn+1 =√

6− xn, n ≥ 0,x0 ∈ [0, 6].

2.28 Studiati convergenta sirului (xn) dat prin xn+1 =√

xn + 2, n ≥ 0,x0 ∈ [−2,∞].

2.29 Fie xn → x si yn → y astfel ıncat x < y. Aratati ca exista n0 ∈ INıncat pentru orice n > n0, xn < yn. Ramane adevarata afirmatia daca x ≤ y?

2.30 Fie (xn) si (yn) siruri marginite astfel ıncat xnyn

→ 1. Aratati caxn − yn → 0. Este esentiala ipoteza de marginire?

2.31 Fie (xn) ⊂ IR, xn+1 = xn(1− xnn ), ∀n ≥ 1.

a) Sa se arate ca pentru x1 < 0, xn → −∞.

b) Sa se arate ca pentru x1 ∈ [0, 1], xn → 0.

c) Ce se ıntampla pentru x1 > 1?(Concursul “Traian Lalescu” - etapa locala, Iasi-2002).

2.32 Fie (xn) un sir marginit de numere reale, astfel ıncat xn+2 ≤ xn+1+xn

2 ,∀n ≥ 0 si yn = max{xn,xn+1}, ∀n ≥ 0. Aratati ca (yn) este convergent. Este(xn) convergent?

2.33 Fie (xn) un sir dat prin x1 = 1, xn+1 = xn + 1xn

, ∀n ≥ 1 si yn =xn√2n

, ∀n ≥ 1. Studiati convergenta lui (yn).

73

2.34 Fie (xn)n∈IN∗ ⊂ IR, xn = axn−1 + b,∀n ≥ 2 unde a, b sunt parametrireali. Determinati termenul general al sirului (xn) si studiati convergentasa.

2.35 Fie (xn)n∈IN∗ ⊂ IR, xn = axn−1 + bxn−2, ∀n ≥ 2 unde a, b suntparametri reali. Determinati termenul general al sirului (xn) si studiaticonvergenta sa.

2.36 Determinati expresia termenului general al sirurilor date prin:

a) x0 = 0, x1 = 1, xn = xn−1 + xn−2, ∀n ≥ 2 (sirul lui Fibonacci);b) x0 = 1, x1 = 2, xn+1 = 2xn − xn−1, ∀n ≥ 1;c) x0 = 1, x1 = 1, xn+1 = xn − xn−1, ∀n ≥ 2;d) x0 = 3, x1 = 4, (n + 1)(n + 2)xn =

= 4(n + 1)(n + 3)xn−1 − 4(n + 2)(n + 3)xn−2, ∀n ≥ 2.

2.37 Fie (xn)n, (yn)n ⊂ IR date prin x0 = x > 0, y0 = y > 0, xn =12(xn−1 + yn−1), yn = √

xn−1yn−1, ∀n ≥ 1. Sa se arate ca cele doua sirurisunt convergente si au aceeasi limita.

2.38 Fie a, b ∈ IR, f : [a, b] → [a, b] o functie continua si (xn) sirul datprin x0 ∈ [a, b], xn+1 = f(xn), ∀n ≥ 0. Aratati ca:

(i) daca f este crescatoare, atunci sirul (xn) este monoton, iar limita saeste un punct fix al lui f (un numar x este punct fix pentru f dacaf(x) = x) ;

(ii) daca f este descrescatoare, atunci subsirurile (x2n) si (x2n+1) suntmonotone de monotonii diferite si convergente.

Studiati cazurile particulare: (a) x0 = 1, xn+1 = sinxn, ∀n ≥ 0; (b)x0 = 1

2 , xn+1 = (xn − 1)2, ∀n ≥ 0; (c) xn+1 = 1 + lnxn, x0 > 0.

2.39 Sa se demonstreze convergenta sirurilor:

a) xn = 1 +122

+ ... +1n2

, n ≥ 1;

b) xn =cosx

2+

cos 2x

22+ ... +

cosnx

2n, n ≥ 1;

c) xn =cosα

12+

cos 2α

22+ ... +

cosnα

n2, n ≥ 1;

d) xn =a1

1p+

a2

2p+ ... +

an

np, n ≥ 1; p ≥ 2, p ∈ R, (an)n sir marginit de

numere reale;

74

e) xn = a1 +a2q+a3q2 + ...anqn+1, n ≥ 1, q ∈ (−1, 1) , (an)n sir marginit

de numere reale;

f) xn = 1− 12

+ ... + (−1)n+1 1n

;

g) xn =n∑

k=1

arctg k

3k.

2.40 Sa se demonstreze divergenta sirurilor:

a) xn = 1 +12

+ ... +1n

;

b) xn = 1 +1√2

+ ... +1√n

.

2.41 Fie (an) un sir convergent la numarul real a, (bn) un sir de numere

pozitive si cn =2n∑

k=n+1

bk, ∀n ∈ IN. Stiind ca (cn) este convergent la un numar

real c, demonstrati ca sirul xn =2n∑

k=n+1

akbk este convergent si are limita ac.

2.42 Determinati infn∈IN

xn si supn∈IN

xn pentru sirurile definite prin:

a) xn =n + 2n + 1

;

b) xn =1n

n(−1)n+ sin

nπ

2;

c) xn =1 + (−1)n

2+

n

n + 1.

2.43 Determinati lim sup si lim inf pentru sirurile:

a) xn = cosnπ

3;

b) xn = (−13)n + (−1)n;

c) xn =n

2n + 1sin

nπ

2;

d) xn = cosnπ

2+ (1 +

1n

)(−1)nn;

e) xn = (−1)[n3] + sin

nπ

4.

75

2.44 Fie sirul

xn =

{ m

k, daca exista m, k ∈ IN∗ astfel ıncat n = 2k3m

0, ın rest.

Sa se arate ca L((xn)) = [0,∞). Dati un exemplu de sir (yn) astfel ıncatL((yn)) = {1} ∪ [4, 5].

2.45 Fie (xn) si (yn) siruri de numere reale astfel ıncat xn − yn → 0.Aratati ca L((xn)) = L((yn)); ın particular, limitele extreme ale celor douasiruri coincid.

2.46 Fie (xn), (yn) si (zn) siruri de numere reale astfel ıncat yn → 1 sizn = xnyn. Aratati ca L((xn)) = L((zn)); ın particular, limitele extreme alecelor doua siruri coincid.

2.47 Fie sirul (xn). Aratati ca:a) Daca L ∈ IR, atunci

lim supxn = L ⇔{∀c > L,∃nc, a.ı. ∀n ≥ nc, xn < c,∀c < L,∀n′ ≥ 1,∃n > n′, a.ı. xn > c.

b) Daca l ∈ IR, atunci

lim inf xn = l ⇔{∀c < l,∃nc, a.ı. ∀n ≥ nc, xn > c,∀c > l,∀n′ ≥ 1, ∃n > n′, a.ı. xn < c.

Formulati si demonstrati caracterizari similare pentru cazul lim inf xn = −∞si lim supxn = +∞.

2.48 Fie (xn) un sir de numere reale pozitive. Aratati ca:

lim supn

(xn+1 + 1

xn− 1

)≥ 1.

2.49 Daca (xn) , (yn) sunt siruri marginite, atunci:

a) lim inf xn + lim inf yn ≤ lim inf(xn + yn) ≤ lim sup(xn + yn) ≤lim supxn + lim sup yn;

b) daca (xn) ≥ 0, (yn) ≥ 0, atunci lim inf xn · lim inf yn ≤ lim inf xnyn ≤lim supxnyn ≤ lim supxn · lim sup yn;

76

c) dati exemple de siruri pentru care inegalitatile de la a) si b) sa fiestricte.

2.50 Fie sirul (xn) marginit de numere reale. Sa se arate ca (xn) este con-vergent daca si numai daca pentru orice sir (yn) de numere reale lim inf xn +lim inf yn = lim inf(xn + yn). Aceeasi problema pentru lim sup .

2.51 Fie (xn) un sir de numere reale. Atunci infk≥n

xk ≤ lim inf xn ≤lim supxn ≤ sup

k≥nxk, ∀n ∈ IN. Scrieti aceaste inegalitati pentru n = 0 si

dovediti ca pot fi stricte.

2.52 Fie (xn) un sir de numere reale. Atunci:

(a) lim supxn < +∞ daca si numai daca (xn) este majorat;

(b) lim inf xn > −∞ daca si numai daca (xn) este minorat.

2.53 Fie (xn) un sir astfel ıncat xm+n ≤ xm +xn, ∀m,n ∈ IN∗. Aratati casirul yn = xn

n , ∀n ∈ IN∗ are limita ın IR.

2.54 Fie A si B submultimi nevide ale lui IR astfel ıncat pentru oricex ∈ A si orice y ∈ B avem x < y. Aratati ca urmatoarele afirmatii suntechivalente:

a) supA = inf B.

b) Exista (xn) ⊂ A si (yn) ⊂ B astfel ıncat yn − xn → 0.

77

Solutii

2.1 Fie p = 1. Trebuie ca xn ∈ (23 − 1

10 , 23 + 1

10), ∀n ≥ n1, adica 1730 <

2n−13n+2 < 23

30 . Prima inegalitate se scrie 51n + 34 < 60n − 30, echivalent cu9n > 64, adica n > 64

9 . A doua inegalitate devine 60n − 30 < 69n + 46,echivalent cu 9n > −76, ceea ce este adevarat pentru orice numar natural.Asadar ambele inegalitati sunt satisfacute pentru n > 64

9 , deci este suficientsa consideram n1 = 8.

Fie p = 2. Trebuie ca xn ∈ (23 − 1

100 , 23 + 1

100), ∀n ≥ n2, adica 197300 <

2n−13n+2 < 203

300 . Prima inegalitate se scrie 591n+394 < 600n−300, echivalent cu9n > 694, adica n > 694

9 . A doua inegalitate devine 600n−300 < 609n+406,echivalent cu 9n > −706, ceea ce este adevarat pentru orice numar natural.Asadar ambele inegalitati sunt satisfacute pentru n > 694

9 , deci, tinand contde partea a doua a inegalitatii (I1) din observatia 2.35, este suficient saconsideram n2 = [694

9 ] + 1 = 78.Fie p = 3. Trebuie ca xn ∈ (2

3 − 11000 , 2

3 + 11000), ∀n ≥ n3, adica 1997

3000 <2n−13n+2 < 2003

3000 . Prima inegalitate se scrie 5991n+3994 < 6000n−3000, echiva-lent cu 9n > 994, adica n > 994

9 . A doua inegalitate devine 6000n− 3000 <6009n + 4006, echivalent cu 9n > −7006, ceea ce este adevarat pentru oricenumar natural. Asadar ambele inegalitati sunt satisfacute pentru n > 994

8 ,deci este suficient sa consideram n3 = [994

9 ] + 1 = 111.Fie acum ε > 0, arbitrar. Conform definitiei limitei unui sir trebuie sa

punem ın evidenta un numar natural nε astfel ıncat∣∣xn − 2

3

∣∣ < ε, ∀n ≥ nε.

Inegalitatea se scrie∣∣∣2n−13n+2 − 2

3

∣∣∣ < ε, adica 79n+6 < ε, ceea ce revine la n >

7−6ε9ε . Ca mai sus este suficient sa luam nε = [7−6ε

9ε ] + 1 daca 7 − 6ε > 0 sinε = 0 daca 7− 6ε ≤ 0 pentru a avea ındeplinita cerinta.

2.2 a) Fie ε > 0. Dorim sa aratam ca, ıncepand cu un anumit rang,∣∣xn − 35

∣∣ < ε, unde (xn) este sirul din enunt. Inecuatia (ın variabila n) sescrie, 4

25n+15 < ε, de unde deducem 4 < 25nε+15ε, adica n > 4−15ε25ε . Alegem

nε = [ 425ε − 3

5 ] + 1 ∈ IN. Folosind din nou inegalitatea (I1) din observatia2.35, pentru orice n ≥ nε, are loc relatia din definitia limitei.

b) Fie ε > 0 si (xn) sirul din enunt. Conditia∣∣xn − 3

2

∣∣ < ε se scrie∣∣∣3n2+22n2+1

− 32

∣∣∣ < ε, adica 14n2+2

< ε. Obtinem n2 > 1−2ε4ε . Evident, daca ε > 1

2 ,

ultima inecuatie are ca solutie orice numar natural, deci putem lua nε = 0.Daca ε ≤ 1

2 , inecuatia ın discutie are ca solutii numerele naturale n > 1−2ε4ε ,

si deci este suficient sa consideram nε = [1−2ε4ε ] + 1.

c) Fie ε > 0 si (xn) sirul din enunt. Conditia |xn − 0| < ε se scrie 2n2+13n3+1

<ε. Acesta inecuatie este dificil de rezolvat, motiv pentru care vom folosi

78

urmatoarea scriere, valabila pentru orice numar natural nenul: 2n2+13n3+1

=n2(2+ 1

n2 )

n3(3+ 1n3 )

≤ 33n = 1

n (am majorat numaratorul, tinand cont de inegalitatea1n2 ≤ 1, ∀n ∈ IN∗ si am minorat numitorul, pentru ca 1

n3 > 0,∀n ∈ IN∗). Estedeci suficient sa gasim nε ıncat pentru n ≥ nε,

1n < ε. Aceasta inecuatie este

usor de rezolvat. Putem alege nε = [1ε ] + 1.d) Fie ε > 0 si (xn) sirul din enunt. Trebuie dovedit ca exista nε ∈ IN,

ıncat pentru n ≥ nε, xn > ε. Procedand ca la punctul precedent, pentru

orice numar natural nenul avem n2+2n+52n+3 = n(n+2+ 5

n)

n(2+ 3n

)> n+2

5 . Este suficient

sa rezolvam inecuatia n+25 > ε. Gasim n > 5ε − 2. Evident, daca ε < 2

5 ,ultima inecuatie are ca solutie orice numar natural, deci putem lua nε = 1.Daca ε > 2

5 , este suficient sa consideram nε = [5ε− 2] + 1.

e) Fie ε > 0 (oricat de mare) si (xn) sirul din enunt. Trebuie dovedit caexista nε ∈ IN, ıncat pentru n ≥ nε, xn < −ε, adica n2−3n

3−2n < −ε. Inmultindcu (−1), inecuatia devine n2−3n

2n−3 > ε. Demonstratia continua ca la punctuld).

2.3 Consideram situatia x < 1. Fie ε > 0 astfel ıncat x+ε < 1 si x−ε > 0(de exemplu ε = min(1−x

2 , x2 )). Conform definitiei, pentru acest numar ε,

exista nε ∈ IN, astfel ıncat, pentru orice n ≥ nε,∣∣∣xn+1

xn− x

∣∣∣ < ε, ceea ce este

echivalent cu −ε < xn+1

xn− x < ε, adica x − ε < xn+1

xn< x + ε. Vom scrie

aceasta inegalitate ıncepand cu primul rang pentru care este valabila, adicanε si mergand pana la un rang n > nε, arbitrar. Avem:

0 <xnε+1

xnε

< x + ε,

0 <xnε+2

xnε+1< x + ε,

...

0 <xn+1

xn< x + ε.

Prin ınmultirea acestor relatii obtinem, 0 < xn+1

xnε< (x+ε)n−nε+1. Tinand

cont de (L1) din observatia 2.34, limita ultimului membru este 0 pentru cax + ε < 1. Folosind propozitia 1.3-vi), concluzionam ca xn+1

xnε→ 0. Cum xnε

este o constanta, xn+1 → 0, adica xn → 0.

Cazul x > 1 se rezolva similar, considerand un numar ε > 0 astfel ıncatx− ε > 1.

79

2.4 a) Avem xn = n√

n > 1, ∀n ≥ 2. Putem scrie,

n = (xn)n = (1 + (xn − 1))n =

= C0n + C1

n(xn − 1) + C2n(xn − 1)2 + ... + Cn

n (xn − 1)n.

Toti termenii dezvoltarii binomiale sunt pozitivi, deci n > C2n(xn − 1)2,

adica (xn − 1)2 < 2n−1 . Din propozitia 2.26-vi) si vii), rezulta succesiv ca

(xn − 1)2 → 0 si, ın consecinta, xn − 1 → 0, adica xn → 1.

b) Presupunem pentru ınceput ca a > 1. Exista na ∈ IN astfel ıncatna > a. Evident 1 < xn < n

√n, ∀n ≥ na. Din punctul precedent si propozitia

2.26 -vi) obtinem ca limxn = 1. Sa observam ca o demonstratie a acestui faptfolosind direct definitia este de asemenea posibila: inegalitatea |xn − 1| < εse scrie a < (1 + ε)n. Dar, conform inegalitatii lui Bernoulli, (1 + ε)n >1 + nε,∀n ≥ 2. Inecuatia a < 1 + nε, are ca solutii numerele naturale,n > a−1

ε , deci pentru n ≥ nε = [a−1ε ] + 1, a < 1 + nε < (1 + ε)n, adica

concluzia.Fie a ∈ (0, 1). Consideram numarul a1 = 1

a > 1. Atunci | n√

a− 1| =∣∣∣ n√

a1−1n√

a1

∣∣∣ < n√

a1 − 1. Cum n√

a1 − 1 → 0, rezulta n√

a → 1.

Pentru a = 1, sirul este constant 1 si deci are limita 1.

c) Avem xn = ln nnk = 1

nk lnn = ln n1

nk = ln(n1n )k = ln( n

√n)k → ln 1k = 0.

Pentru trecerea la limita am folosit punctul a).

d) Cum xn = nk

an , |xn| = nk

|a|n . Vom folosi propozitia 2.28 pentru sirul denumere pozitive (|xn|). Calculam raportul si avem:|xn+1||xn| = (n+1)k

|a|n+1|a|nnk = (n+1

n )k 1|a| → 1

|a| < 1. Putem aplica rezultatul amintitpentru a obtine ca lim |xn| = 0, adica limxn = 0.

e) Procedam ca la punctul precedent. Obtinem limxn = 0.

f) Este suficient sa notam a1 = 1a . Atunci |a1| > 1 si xn = nk

an1→ 0,

conform punctului d).Toate limitele din acest exercitiu vor fi considerate ın continuare limi-

te fundamentale si vor fi utilizate fara a mai considera necesare justificarisuplimentare.

2.5 a) Vom justifica monotonia celor doua siruri ın mai multe moduri.Evident termenii sirurilor (xn) si (yn) sunt pozitivi. Prima demonstratie ofacem considerand raportul dintre doi termeni consecutivi si comparandu-l

80

cu 1. Astfel pentru (xn) avem:

xn+1

xn=

(1 + 1n+1)n+1

(1 + 1n)n

=(n+2

n+1)n+1

(n+1n )n

=(n+2

n+1)n+1

(n+1n )n+1

n + 1n

=

=[n(n + 2)(n + 1)2

]n+1 n + 1n

=(

n2 + 2n

n2 + 2n + 1

)n+1n + 1

n=

=(

1− 1(n + 1)2

)n+1 n + 1n

>

>

[1− (n + 1)

1(n + 1)2

]n + 1

n= 1, ∀n ∈ IN∗.

Pentru obtinerea inegalitatii am folosit inegalitatea lui Bernoulli (I5) dinobservatia 2.35 cu x = − 1

(n+1)2> −1, ∀n ∈ IN∗. In concluzie, xn+1 > xn,

∀n ∈ IN∗.Pentru sirul (yn) procedam asemanator. Avand ın vedere ca trebuie sa

demonstram ca sirul este descrescator, calculam

yn

yn+1=

(1 + 1n)n+1

(1 + 1n+1)n+2

=(n+1

n )n+1

(n+2n+1)n+2

=(n+1

n )n+1

(n+2n+1)n+1

n + 1n + 2

=

=[

(n + 1)2

n(n + 2)

]n+1n + 1n + 2

=(

n2 + 2n + 1n2 + 2n

)n+1n + 1n + 2

=

=(

1 +1

n2 + 2n

)n+1 n + 1n + 2

>

[1 + (n + 1)

1n2 + 2n

]n + 1n + 2

=

=n2 + 3n + 1

n2 + 2n

n + 1n + 2

=n3 + 4n2 + 4n + 1

n3 + 4n2 + 4n> 1, ∀n ∈ IN∗.

S-a folosit din nou inegalitatea lui Bernoulli. Asadar, yn+1 < yn, ∀n ∈IN∗.

O alta demonstratie se poate da folosind inegalitatea mediilor. Pentrusirul (xn) folosim inegalitatea dintre media geometrica si media aritmeticapentru numerele pozitive a1 = (1+ 1

n), a2 = (1+ 1n),..., an = (1+ 1

n), an+1 =1. Cum n+1

√a1a2...an+1 < a1+a2+...+an+1

n+1 (inegalitate stricta pentru ca macar

doua dintre numere sunt diferite, an 6= an+1), obtinem n+1

√(1 + 1

n)n <

(1+ 1n

)n+1

n+1 , adica n+1

√(1 + 1

n)n < n+2n+1 , de unde, (1 + 1

n)n < (1 + 1n+1)n+1.

Pentru (yn) folosim inegalitatea dintre media armonica si media ge-ometrica pentru numerele pozitive a1 = (1 + 1

n−1), a2 = (1 + 1n−1),...,

81

an = (1 + 1n−1), an+1 = 1. Cum n+1

1a1

+ 1a2

+...+ 1an+1

< n+1√

a1a2...an+1, (inegali-

tate stricta pentru ca macar doua dintre numere sunt diferite, an 6= an+1),

obtinem n+11+n 1

1+ 1n−1

< n+1

√(1 + 1

n−1)n, adica n+1n < n+1

√(1 + 1

n−1)n, de unde,

(1 + 1n)n+1 < (1 + 1

n−1)n.

A treia demonstratie pe care o prezentam este bazata pe observatia 2.32.Astfel, consideram functia f : [1, +∞) → IR, f(x) = (1 + 1

x)x si studiemmonotonia sa. Calculul primei derivate a lui f se face mai simplu scriindf(x) = ex ln(1+ 1

x). Obtinem,

f ′(x) = ex ln(1+ 1x)

[ln(1 +

1x

)− 1x

11 + 1

x

]=

= ex ln(1+ 1x)

[ln(1 +

1x

)− 1x + 1

].

Trebuie sa stabilim semnul lui f ′ pe [1,∞). Notam h(x) = ln(1+ 1x)− 1

x+1

si avem h′(x) = − 1x2

11+ 1

x

+ 1(x+1)2

= − 1x(x+1) + 1

(x+1)2= − 1

x(x+1)2< 0,

∀x ≥ 1. Deducem ca h este strict descrescatoare pe intervalul [1,∞) si cumlim

x→∞h(x) = 0, rezulta ca h este pozitiva pe [1,∞) si deci f ′ este pozitiva.

In concluzie functia f este strict crescatoare (vezi consecintele teoremei luiLagrange (cap. 6)), deci f(n) < f(n+1), ∀n ∈ IN, adica sirul (xn) este strictcrescator.

In cazul sirului (yn) procedam asemanator: consideram g : [1, +∞) → IR,g(x) = (1 + 1

x)x+1 si demonstram ca este strict descrescatoare.b) Sirurile (xn) si (yn) sunt monotone. Cum

yn = (1 +1n

)xn

iar (1 + 1n) > 1, ∀n ∈ IN∗, deducem ca xn < yn, ∀n ∈ IN∗. Dar (xn)

este marginit inferior (de termenul x1) pentru ca este un sir crescator, iar(yn) este marginit superior (de y1) pentru ca este un sir descrescator si, ınconcluzie, ambele siruri sunt marginite. Conform teoremei lui Weierstrass2.21, ambele siruri sunt convergente. Daca notam cu x limita lui (xn), cuy limita lui (yn) si trecem la limita ın relatia de mai sus obtinem y = x.Sa notam aceasta limita comuna cu e. Din monotonia sirurilor rezulta caxn < e < yn, ∀n ∈ IN∗, adica inegalitatea de demonstrat.

c) Demonstram mai intai ıncadrarea 2 < e < 3. Prima inegalitate esteclara: 2 = x1 < e, conform punctului precedent. Pentru a doua vom calcula

82

termeni ai lui (yn) pana obtinem unul mai mic decat 3. Astfel gasim e <y5 = 46656

15625 < 3.Pentru a studia convergenta sirului (zn), studiem legatura sa cu sirul

(xn). Folosind binomul lui Newton, avem:

xn = (1 +1n

)n = 1 + C1n

1n

+ C2n

1n2

+ ... + Ckn

1nk

+ ... + Cnn

1nn

=

= 1 +n

n+

n(n− 1)2!n2

+ ... +n(n− 1)...(n− k + 1)

k!nk+ ... +

n(n− 1)...1n!nn

=

= 1 + 1 +12!

(1− 1n

) + ... +1k!

(1− 1n

)...(1− k − 1n

) + ...+

+1n!

(1− 1n

)...(1− n− 1n

).

Pe de o parte, avand ın vedere ca toate parantezele sunt subunitare putemscrie xn < 1 + 1 + 1

2! + ... + 1k! + ... + 1

n! , adica xn < zn, ∀n ∈ IN∗. Pe de altaparte, fixand k ∈ IN∗, avem xn ≥ 1+1+ 1

2!(1− 1n)+ ...+ 1

k!(1− 1n)...(1− k−1

n )si trecand la limita dupa n → ∞, avem e ≥ 1 + 1 + 1

2! + ... + 1k! . Cum k a

fost ales arbitrar, deducem e ≥ zn, ∀n ∈ IN∗, deci xn < zn ≤ e, ∀n ∈ IN∗.Din teorema clestelui 2.26-vi) rezulta ca zn → e.

Presupunem acum, prin reducere la absurd ca e ∈ Q. Atunci e poate fiscris ın forma e = m

p , unde m, p ∈ IN∗, p 6= 1 (pentru ca e /∈ IN) si decipe ∈ IN∗ unde p este un numar natural fixat. Evident sirul (zn) este strictcrescator (deci, ın particular, zn < e, ∀n ∈ IN) si pentru orice k ∈ IN∗ putemscrie

0 < zk+p − zp =1

(p + 1)!+

1(p + 2)!

+ ... +1

(p + k)!=

=1

(p + 1)!

[1 +

1p + 2

+ ... +1

(p + 2)(p + 3)...(p + k)

]≤

≤ 1(p + 1)!

[1 +

1p + 2

+ ... +1

(p + 2)k−1

]=

=1

(p + 1)!

1− ( 1p+2)k−1

1− 1p+2

=

[1− ( 1

p+2)k−1](p + 2)

(p + 1)!(p + 1)<

<p + 2

(p + 1)!(p + 1)<

1p!p

.

Prima inegalitate a rezultat din majorarea fractiilor (prin minorarea nu-mitorilor), iar ultima inegalitate se poate verifica direct, fiind echivalenta cu

83

p(p + 2) < (p + 1)2. Asadar, 0 < zk+p− zp < 1p!p , ∀k ∈ IN∗. Facem k →∞ si

obtinem 0 < e−zp ≤ 1p!p . Deducem 0 < p!e−p!zp ≤ 1

p < 1. Dar p!e ∈ IN si deasemenea, p!zp ∈ IN. Avem asadar o diferenta dintre doua numere naturalecuprinsa ın intervalul (0, 1), ceea ce este o contradictie. Presupunerea facutaeste falsa, deci e /∈ Q.

d) Aplicam functia logaritm natural inegalitatii (cum e > 1 aceastafunctie este monotona) (1 + 1

n)n < e, demonstrata la punctul a). Avemn ln n+1

n < 1, deci ln(n + 1) − ln n < 1n . Aplicam functia logaritm natural

inegalitatii (cum e > 1 aceasta functie este monotona) e < (1 + 1n)n+1 si

obtinem 1 < (n + 1)[ln(n + 1) − ln n], deci 1n+1 < ln(n + 1) − ln n. Scriem

succesiv aceasta dubla inegalitate pentru k = 1, 2, ..., n.

12

< ln 2− ln 1 <11,

13

< ln 3− ln 2 <12,

...

1n + 1

< ln(n + 1)− lnn <1n

.

Sumand relatiile, avem 12 + 1

3 + ... + 1n+1 < ln(n + 1) < 1 + 1

2 + ... + 1n ,

∀n ∈ IN∗. Cum lim ln(n + 1) = ∞, ultima inegalitate implica faptul calim un = ∞. (S-a aplicat propozitia 2.26 -iii)). Consideram sirul (vn) sistudiem monotonia sa. Avem vn+1 − vn = 1

n+1 − ln(n + 1) + lnn < 0, deci(vn) este descrescator. In particular, (vn) este marginit superior. Pe de altaparte, vn = 1 + 1

2 + ... + 1n − ln(n + 1) + ln(n + 1)− ln n > 0, ∀n ∈ IN∗, deci

(vn) este marginit si inferior. Din teorema lui Weierstrass 2.21 rezulta ca(vn) este convergent.

2.6 Aceasta problema este o generalizare a punctului c) din problemaprecedenta. Consideram sirul (zn) din problema 2.5. Cum (an) este un sirstrict crescator de numere naturale, an ≥ n, ∀n ∈ IN. Prin urmare avemrelatiile 0 < xn ≤ zn < e, deci (xn) este marginit. Evident sirul este strictcrescator, prin urmare este convergent. Notam limita sa cu l. Mai ıntai saobservam ca acest numar nu poate fi natural. Intr-adevar, daca 0 si 1 suntprimii doi termeni ai lui (an), atunci 2 < xn < e, si cum (xn) este crescator,l ∈ (2, 3). Daca doar unul dintre numerele 0 si 1 este termen al lui (an),atunci 1 < xn < zn+1 − 1 < e − 1, si deci l ∈ (1, 2). In sfarsit, daca nici 0nici 1 nu sunt termeni ai lui (an), avem 0 < xn < zn+2 − 2 < e − 2, si decil ∈ (0, 1). Deci l /∈ IN. Presupunem prin reducere la absurd ca l ∈ Q. Atunci

84

e poate fi scris ın forma e = mp , unde m, p ∈ IN∗, p 6= 1 (pentru ca l /∈ IN)

si deci pe ∈ IN∗ unde p este un numar natural fixat. Pentru orice k ∈ IN∗

putem scrie

0 < xk+p − xp =1

ap+1!+

1ap+2!

+ ... +1

ap+k!=

=1

ap+1!

[1 +

1(ap+1 + 1)...ap+2

+ ... +1

(ap+1 + 1)...ap+k

]≤

≤ 1ap+1!

[1+

1ap+1+1

+1

(ap+1+1)(ap+1+2)+...+

1(ap+1 + 1)...ap+k

]≤

≤ 1ap+1!

[1 +

1ap+1 + 1

+1

(ap+1 + 1)2... +

1(ap+1 + 1)ap+k−ap+1

]=

=1

ap+1!

1− ( 1ap+1+1)ap+k−ap+1

1− ( 1ap+1+1)

≤ 1ap+1!

ap+1 + 1ap+1

<1

ap!ap.

Prima inegalitate a rezultat din adaugarea unor termeni pozitivi supli-mentari, a doua din majorarea fractiilor (prin minorarea numitorilor), iarultima inegalitate se poate verifica direct, fiind echivalenta cu ap(ap+1+1) <ap+1ap(ap + 1)...ap+1, evident adevarata. Asadar, 0 < xk+p − xp < 1

ap!ap,

∀k ∈ IN∗. Facem k → ∞ si obtinem 0 < l − xp ≤ 1ap!ap

. Deducem 0 <

ap!e − ap!xp ≤ 1ap

< 1. Dar ap!l ∈ IN si de asemenea, ap!xp ∈ IN. Avemasadar la fel ca la problema precedenta o diferenta dintre doua numere na-turale cuprinsa ın intervalul (0, 1), ceea ce este o contradictie. Presupunereafacuta este falsa, deci l /∈ Q.

2.7 a) Se disting doua subsiruri cu comportari diferite (subsirul formatdin termenii de rang par si subsirul format din termenii de rang impar).Astfel,

x2n =(2n)3 + 3−2n

(2n)3= 1 +

1(2n)332n

→ 1

si este evident descrescator si

x2n+1 =−(2n + 1)3 + 3−(2n+1)

(2n + 1)3= −1 +

1(2n + 1)332n+1

→ −1

si este tot descrescator. Cum cele doua subsiruri nu au aceeasi limita, sirulnu este convergent. In plus,

...x2n+1 < x2n−1 < ... < x1 < 0 < ... < x2n < x2n−2 < ...x2

85

de unde se observa ca sirul nu este monoton.b) Sirul nu este monoton: x1 = sin 1

1 > 0, pentru ca 1 ∈ (0, π) x4 =sin 4

4 < 0, pentru ca 4 ∈ (π, 2π), iar x7 = sin 77 > 0, pentru ca 7 ∈ (2π, 3π).

Deci x1 > x4 < x7, ceea ce ınseamna ca sirul nu este nici crescator, nicidescrescator. Observam totusi ca sirul este convergent si are limita 0, pentruca functia sin este marginita, iar 1

n → 0 (vezi propozitia 2.26-v)).c) Pentru a studia monotonia sirului consideram functia f : [0,∞) → IR,

f(x) = ex(sinx + 2). Atunci, f ′(x) = ex(sinx + cos x + 2) ≥ 0, ∀x ∈ [0,∞).Prin urmare functia este crescatoare, deci sirul este crescator. Aratati caxn →∞.

2.8 Calculand raportul xn+1

xn, avem

xn+1

xn=

y1y2...ynyn+1

y1y2...yn= yn+1 → l.

Ambele concluzii rezulta din propozitia 2.28.

2.9 a) Folosind exercitiul 2.4-f), limn3(47)n = 0. Pe de alta parte,

lim n2 sin 2π3n = lim sin 2π

3n2π3n

2π3n n2 = 0; am folosit pe rand limita fundamentala

de functii limx→0

sin xx = 1 si exercitiul 2.4-d). Asadar limita cautata este 0.

b) Fie an sirul din enunt. Putem scrie an = nn√

n!= n

√nn

n! . Suntem ın

situatia ın care putem aplica propozitia 2.29: notam xn = nn

n! si este suficient

sa determinam lim xn+1

xn. Avem xn+1

xn= (n+1)n+1

(n+1)!n!nn = (n+1

n )n = (1+ 1n)n → e.

Limita cautata este e.

c) Este usor de vazut ca putem aplica propozitia 2.28 (sau exercitiul 2.8)pentru xn = 2

559 ...... (3n−1)

(4n+1) . Astfel, xn+1

xn= 3n+2

4n+5 → 34 < 1 si deci limxn = 0.

d) Vom aplica propozitia 2.30 (criteriul Stolz-Cesaro). Notam an =12 ln 2+ 1

3 ln 3+... 1n lnn si bn = n

√n. Evident sirul (bn) este strict crescator si

cu limita +∞. Atunci an+1−an

bn+1−bn=

1n+1

ln(n+1)

(n+1)√

n+1−n√

n= ln(n+1)

n+1(n+1)

√n+1+n

√n

(n+1)3−n3 =ln(n+1)

n+1(n+1)

√n+1+n

√n

3n2+3n+1= 0 (conform exercitiului 2.4-c) si limitei (L1) din

observatia 2.34).e) Fie xn = 1

n2+1+ 2

n2+2+ ... + n

n2+n. Vom majora si minora fractiile

folosind acelasi numitor (cel mai mare ın cazul minorarii si cel mai mic ıncazul majorarii). Astfel, xn > 1

n2+n+ 2

n2+n+ ... + n

n2+n= 1+2+...+n

n2+n=

n(n+1)2(n2+n)

= 12 si xn < 1

n2+1+ 2

n2+1+ ... + n

n2+1= 1+2+...+n

n2+1= n(n+1)

2(n2+1)→ 1

2 .

Folosind teorema clestelui, concluzionam ca limxn = 12 .

86

f) Folosim aceeasi tehnica ca la punctul precedent: utilizam formula12 + 22 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)

6 ; obtinem limita 13 .

g) La prima vedere, ın paranteza, avem o nedeterminare de tip ∞−∞.Pentru a examina mai bine natura sirului, amplificam expresia din parantezacu conjugata sa care este n2 + n 3

√n3 − 3n2 + 2 + 3

√(n3 − 3n2 + 2)2. Astfel

xn = (n− 3√

n3 − 3n2 + 2)n =

=

(n3 − n3 + 3n2 − 2

n2 + n 3√

n3 − 3n2 + 2 + 3√

(n3 − 3n2 + 2)2

)n

=

=

(3n2 − 2

n2 + n 3√

n3 − 3n2 + 2 + 3√

(n3 − 3n2 + 2)2

)n

Acum este clar ca avem de solutionat o limita de tip 1∞. Procedam ınmaniera cunoscuta de rezolvare a acestui tip de limita:

lim xn = lim(1 + n− 3

√n3 − 3n2 + 2− 1

)n=

= lim[(

1 + n− 3√

n3 − 3n2 + 2− 1) 1

yn

]nyn

=

= elim nyn ,

unde am notat yn = n− 3√

n3 − 3n2 + 2− 1.Dar

limn(n− 1− 3√

n3 − 3n2 + 2) =

= lim n[(n− 1)3 − n3 + 3n2 − 2]

(n− 1)2 + (n− 1) 3√

n3 − 3n2 + 2 + 3√

(n3 − 3n2 + 2)2=

= lim n3n− 1

(n− 1)2 + (n− 1) 3√

n3 − 3n2 + 2 + 3√

(n3 − 3n2 + 2)2= 1.

In concluzie limita cautata este e.h) Limita este de tip (∞·0). Putem proceda ın mai multe moduri. Cum

k este numar natural, avem (1 + 1n)k = 1 + C1

k1n + C2

k1n2 + ... + Ck

k1

nk si

xn = n

[(1 +

1n

)k − 1]

= n(k

n+

C2k

n2+ ... +

Ckk

nk) =

= k +C2

k

n+ ... +

Ckk

nk−1→ k.

87

Putem de asemenea sa folosim limita de functii limx→0

(1+x)r−1x = r. Avem

xn = (1+ 1n

)k−11n

si cum 1n → 0, obtinem din nou limita k.

i) Fie an = 1k + 2k + ... + nk si bn = nk+1. Suntem ın conditiile criteriu-lui Stolz-Cesaro; an+1−an

bn+1−bn= (n+1)k

(n+1)k+1−nk+1 = (n+1)k

C1k+1nk+C2

k+1nk−1+...+1→ 1

k+1 .

Deci limita sirului initial este 1k+1 .

j) Conform inegalitatii (I1), na − 1 < [na] ≤ na, ∀n ∈ IN, ∀a ∈ IR, decina−1

na < [na]n ≤ a. Din teorema clestelui rezulta ca lim [na]

n = a.

k) xn = n( n√

a − 1) =n√a−1

1n

→ ln a, conform limitei fundamentale

limx→0

ax−1x = ln a.

l) Putem scrie xn = n( n√n−1)ln n =

n√n−11n

ln n=

n√n−1ln n√n

→ 1, pentru ca n√

n−1 →0 (vezi exercitiul 2.4-a)) si lim

x→0

ln(x+1)x = 1.

2.10 a) Vom folosi sirul (vn) de la exercitiul 2.5. Astfel,

lim(1

n + 1+

1n + 2

+ ... +1kn

) =

= lim[1 +

12

+ ... +1

n + 1+ ... +

1nk

− (1 +12

+ ... +1n

)]

=

= lim[(1 +

12

+ ... +1

n + 1+ ... +

1nk

− lnnk)−

−(1 +12

+ ... +1n− ln n) + lnnk − lnn

]=

= lim(vnk − vn + ln k) = ln k.

b) Vom arata ca sirul xn = 1n2

n∑k=1

kekn se poate pune sub forma unei sume

Riemann pentru o functie continua (deci integrabila) pe un interval pe care ılvom determina. Reamintim ca daca f : [a, b] → IR este o functie si ∆ = (a =x0 < x1 < ... < xn = b) este o diviziune a intervalului [a, b], luand un sistemde puncte intermediare ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) astfel ıncat ξi ∈ [xi−1, xi], ∀i ∈ 1, n,suma Riemann a functiei f asociata diviziunii ∆ si sistemului de puncte

intermediare ξ este σ(f, ∆, ξ) =n∑

i=1f(ξi)(xi−xi−1). Daca atunci cand norma

diviziunii tinde catre 0 (unde norma diviziunii ∆ este ‖∆‖ = maxi∈1,n

(xi−xi−1)),

suma Riemann tinde catre un numar real I (pentru orice alegere a punctelorξ), atunci f este integrabila Riemann si

∫ ba f(x)dx = I. In cazul nostru,

88

xn = 1n

n∑k=1

kne

kn este suma Riemann atasata functiei f : [0, 1] → IR, f(x) =

xex pentru ∆ = (0, 1n , 2

n , ..., 1) si ξ = ( 1n , 2

n , ..., nn). Cum ‖∆‖ = 1

n → 0,

xn →∫ 10 f(x)dx. Dar

∫ 1

0xexdx = xex

∣∣10 −

∫ 1

0exdx = e− ex

∣∣10 = 1.

Asadar xn → 1.c) Este clar ca [0, 1] ⊂ [0, π

2 ], deci functia sin este pozitiva pe [0, 1] si ınconsecinta, (xn) este un sir de numere pozitive. In plus, folosind inegalitatea

(I5) din observatia 2.35, avem xn ≤∫ 1

0xndx = xn+1

n+1

∣∣10 = 1

n+1 → 0. Aplicand

din nou teorema clestelui, rezulta ca limxn = 0.d) Din nou, ca mai sus, sirul este format din numere pozitive. In plus,

cum functia sin este marginita superior de 1, avem xn =∫ 10 xn sinx dx ≤∫ 1

0 xn dx = xn+1

n+1

∣∣10 = 1

n+1 → 0, deci limxn = 0.

e) Fie xn = 1n

n√

(n + 1)(n + 2)...2n = n

√(n+1)(n+2)...2n

nn . Notam an =(n+1)(n+2)...2n

nn si aplicam propozitia 2.29. Astfel,

an+1

an=

(n + 2)(n + 3)...2n(2n + 1)(2n + 2)(n + 1)n+1

nn

(n + 1)(n + 2)...2n=

=(

n

n + 1

)n 2(2n + 1)n + 1

→ 4e.

Deci limxn = 4e .

f) Fie xn = sin(√

n2 + 1π). Avem

|xn| =∣∣∣sin(

√n2 + 1π − nπ)

∣∣∣ =∣∣∣∣sin

(π√

n2 + 1π + nπ

)∣∣∣∣ → 0.

Conform propozitiei 2.6-vii), xn → 0.g) Procedam similar punctului precedent. Fie xn = cos(nπ 2n

√e).

|xn| =∣∣cos(nπ 2n

√e− nπ)

∣∣ =

∣∣∣∣∣cos

(nπ

e12n − 1

12n

12n

)∣∣∣∣∣ →∣∣∣cos

π

2

∣∣∣ = 0.

Deci, xn → 0.h) Folosim succesiv inegalitatea x − 1 < [x] ≤ x, ∀x ∈ IR, similara cu

(I1) din observatia 2.35, pentru fiecare din termenii sumei. Adunam apoirelatiile si folosim teorema clestelui. Obtinem limita 4

3 .

89

i) Este usor de vazut ca nu se poate aplica propozitia 2.28. Folosimurmatoarea inegalitate evidenta:

(k − 1)(k + 1) < k2, ∀k ∈ IN.

Inlocuim succesiv pe k cu toate numerele pare de la 2 la 2n. Avem:

1 · 3 < 22

3 · 5 < 42

...

(2n− 1)(2n + 1) < (2n)2.

Inmultind relatiile avem 1 ·32 ·52 · ... ·(2n−1)2(2n+1) < 22 ·42 · ... ·(2n)2, deci1·32·52·...·(2n−1)2

22·42·...·(2n)2< 1

2n+1 si prin urmare xn < 1√2n+1

,∀n ∈ IN∗. In consecinta,xn → 0.

j) Fie xn = a(a+1)...(a+n−1)n! , a ∈ (0, 1). Este usor de verificat ca sirul

este decrescator si marginit inferior de 0, deci este un sir convergent. Pen-tru a-i determina limita, logaritmam sirul si folosim urmatoarea varianta ainegalitatii (I2) din observatia 2.35: lnx < x− 1, ∀x ≥ 1. Astfel,

ln xn = lna(a + 1)...(a + n− 1)

n!= ln

a

1a + 1

2...

a + n− 1n

=

= ln a + lna + 1

2+ ... + ln

a + n− 1n

<

< (a− 1) + (a + 1

2− 1) + ... + (

a + n− 1n

− 1) =

= (a− 1)(1 +12

+ ... +1n

) → −∞

pentru ca a− 1 < 0 si, conform exercitiului 2.5-d), lim 1 + 12 + ... + 1

n = ∞.Astfel, conform propozitiei 2.6-iv), lim lnxn = −∞, deci limxn = 0.

k) Fie xn = n∫ 10 xnf(x)dx.

Putem scrie xn = nn+1

∫ 10 (n + 1)xnf(x) dx = n

n+1

∫ 10 (xn+1)′f(x)dx.

Integrand prin parti obtinem xn = nn+1f(1) − n

n+1

∫ 10 xn+1f ′(x)dx. Din

ipoteza f ′ este continua pe [0, 1], deci conform teoremei lui Weierstrass 5.46(vezi capitolul 5) este marginita: deci exista M > 0 astfel ınat |f ′(x)| ≤ M,

90

∀x ∈ [0, 1]. Atunci,∣∣∣∣∫ 1

0xn+1f ′(x)dx

∣∣∣∣ ≤∫ 1

0xn+1|f ′(x)|dx ≤ M

∫ 1

0xn+1dx =

= Mxn+2

n + 2

∣∣∣∣1

0

=M

n + 2→ 0.

In consecinta,∫ 10 xn+1f ′(x)dx → 0, si, revenind la xn, avem limxn = f(1).

2.11 Sirul este format din termeni pozitivi. Avand ın vedere ca sinn+1 x ≤sinn x, ∀n ∈ IN, ∀x ∈ [0, π

2 ], sirul este descrescator. In consecinta siruleste convergent. Se observa ca forma sirului este asemanatoare celei dela exercitiul 2.10-c). Totusi, metoda folosita acolo nu mai functioneaza pen-tru determinarea limitei pentru ca lim (π

2)n

n+1 = ∞. Vom face un calcul directal valorii integralei. Avem:

xn =∫ π/2

0sinn xd x = xn =

∫ π/2

0(− cosx)′ sinn−1 xdx=

= − cosx sinn−1∣∣∣π/20 +

∫ π/2

0(n− 1) cos2 x sinn−2 xdx =

= (n− 1)∫ π/2

0(1− sin2 x) sinn−2 xdx = (n− 1)xn−2 − (n− 1)xn.

Deci, nxn = (n− 1)xn−2, adica xn = n−1n xn−2, ∀n ≥ 2. Aplicam aceasta

relatie pentru valori pare si respectiv impare ale rangului. Astfel,

x2n =2n− 1

2nx2n−2 =

2n− 12n

2n− 32n− 2

x2n−4 = ... =

=2n− 1

2n

2n− 32n− 2

...12x0 =

1 · 3 · ... · (2n− 1)2 · 4 · ... · (2n)

π

2

si

x2n+1 =2n

2n + 1x2n−1 =

2n

2n + 12n− 22n− 1

x2n−3 = ... =

=2n

2n + 12n− 22n− 1

...23x1 =

2 · 4 · ... · (2n)3 · 5 · ... · (2n + 1)

,

valorile pentru x0 si x1 calculandu-se direct. Conform exercitiului 2.10-i),limx2n = 0. Folosind aceeasi metoda ca ın exercitiul mentionat (ınlocuind

91

de aceasta data pe k cu volori impare), obtinem x2n+1 → 0. In consecinta,lim xn = 0.

2.12 Fie (xn) sirul din problema precedenta si (yn) sirul din problema defata. Evident sirul (yn) este format din termeni pozitivi si

yn+1

yn=

2n + 12n + 2

√2n + 3√2n + 1

=√

8n3 + 20n2 + 14n + 3√8n3 + 20n2 + 16n + 1

≤ 1, ∀n ∈ IN∗,

deci sirul este descrescator si ın consecinta este convergent. Conform cal-culelor facute ın problema precedenta,

x2n

x2n+1=

1 · 3 · ... · (2n− 1)2 · 4 · ... · (2n)

π

23 · 5 · ... · (2n + 1)

2 · 4 · ... · (2n)= y2

n

π

2.

Dar din relatia de recurenta, xnxn−2

= n−1n , deducem ca lim xn−1

xn= 1. Cum

(xn) este descrescator, xn−2 > xn−1 > xn, de unde, folosind criteriul cles-

telui, lim xnxn−1

= 1. Obtinem deci ca lim y2n

π2 = 1, adica lim yn =

√2π .

2.13 Fie (xn)n∈IN un sir nemarginit de numere reale. Atunci (xn)n∈IN estenemarginit inferior sau superior. Presupunem, fara a restrange generalitateaca este nemarginit superior. Aceasta ınseamna, negand definitia, ca pentruorice M > 0, exista nM ∈ IN astfel ınat xnM > M. Pentru M = 1, existan1 ∈ IN astfel ıncat xn1 > 1. Consideram acum sirul (xn)n>n1 . Acest sir,obtinut prin ındepartarea unui numar finit de termeni din sirul initial esteın continuare nemarginit superior (contrar (xn)n∈IN este marginit superior).Pentru M = 2, exista n2 > n1 astfel ıncat xn1 > 2. Consideram acumsirul nemarginit (xn)n>n2 si luam M = 3. Procedand similar obtinem un sirstrict crescator de numere naturale (nk)k≥1 astfel ıncat xnk

> k,∀k ≥ 1. Saaratam ca (xnk

)k≥1 are limita +∞. Fie ε > 0; exista kε ∈ IN astfel ıncatkε > ε. Atunci ∀k > kε, xk > k > kε > ε, adica exact caracterizarea cu εa faptului ca xnk

→ ∞. Similar, daca sirul initial este nemarginit inferior,atunci va avea un subsir cu limita −∞.

2.14 Fie (xn)n≥1 un sir de numere reale convergent la x ∈ IR, iar an =x1+x2+...+xn

n , sirul mediilor aritmetice asociat. Pentru determinarea limiteisirului (an) putem utiliza criteriul Stolz-Cesaro: obtinem lim an= limxn+1=x. Reciproca este falsa: consideram urmatorul contraexemplu: xn = (−1)n,∀n ∈ IN∗. Atunci a2n = 0

2n = 0, iar a2n+1 = −12n+1 , ∀n ∈ IN∗, deci an → 0,

dar (xn) este divergent.

92

Fie acum (xn)n≥1 un sir de numere reale pozitive convergent la x ∈ IRsi gn = n

√x1x2...xn, n ≥ 2 sirul mediilor geometrice asociat. Folosind

propozitia 2.29, avem lim gn = limxn+1 = x. Reciproca este falsa. Con-sideram sirul xn = 1

n , daca n este numar par nenul si xn = 1, daca n este

impar. Atunci g2n = 2n

√1

nn =√

1n , ∀n ≥ 1 si g2n+1 = 2n+1

√1

nn ,∀n ≥ 2. Inconsecinta gn → 0, dar (xn) este divergent.

Fie acum (xn)n≥1 un sir de numere reale pozitive convergent la x ∈ IR, iarhn = n

1x1

+ 1x2

+...+ 1xn

sirul mediilor armonice. Folosind criteriul Stolz-Cesaro

pentru sirul ( 1hn

) (sunt ındeplinite conditiile aplicarii acestui criteriu) esteusor de vazut ca lim 1

hn= lim 1

xn+1= 1

x , deci limhn = x. Reciproca este dinnou falsa. Este de ajuns sa consideram urmatorul contraexemplu: xn = 1

2 ,daca n este numar par nenul si xn = 1

3 , daca n este impar.

2.15 Fie xn = f (1) + f (2) + . . . + f (n)−∫ n

1f (x) dx, ∀n ≥ 1. Studiem,

pe rand monotonia si marginirea sirului. Monotonia se studiaza facanddiferenta dintre doi termeni consecutivi ai sirului si comparand-o cu 0. Avem

xn+1 − xn = f(n + 1)−∫ n+1

1f (x) dx +

∫ n

1f (x) dx =

= f(n + 1)−∫ n

1f (x) dx−

∫ n+1

nf (x) dx +

∫ n

1f (x) dx =

= f(n + 1)−∫ n+1

nf (x) dx.

Stim ca functia f este descrescatoare; atunci pentru orice x ∈ [n, n + 1],f(x) ≥ f(n + 1), de unde, prin integrare obtinem∫ n+1n f (x) dx ≥ ∫ n+1

n f (n + 1) dx = f(n+1)·x ∣∣n+1n = f(n+1). Prin urmare,

xn+1 − xn ≤ 0, ∀n ≥ 1, deci (xn) este descrescator. Este suficient sa maidemonstram ca sirul este marginit inferior. Pentru aceasta scriem

xn = f (1) + f (2) + . . . + f (n)−∫ 2

1f (x) dx−

−∫ 3

2f (x) dx− ...−

∫ n

n−1f (x) dx =

= f(1) + (f(2)−∫ 2

1f (x) dx) + (f(3)−

93

−∫ 3

2f (x) dx) + ... + (f(n)−

∫ n

n−1f (x) dx).

Prin ipoteza, f(1) ≥ 0, iar fiecare paranteza contine o expresie de tip f(k)−∫ kk−1f (x) dx despre care se arata ca mai sus ca este nenegativa (f(k) ≤

f(x), ∀x ∈ [k − 1, k]). Prin urmare xn ≥ 0, ∀n ≥ 1. Folosind teorema luiWeierstrass 2.21 concluzionam ca sirul (xn) este convergent.

Pentru a obtine convergenta sirului 1+ 12 + 1

3 + ..... 1n− lnn particularizam

rezultatul de mai sus pentru f : [1,∞) → IR, f(x) = 1x , functie care verifica

toate ipotezele cerute.Pentru sirul 1 + 1√

2+ ... + 1√

n− 2

√n luam functia f : [1,∞) → IR,

f(x) = 1√x. In sfarsit, pentru 1 + 1

2 ln 2 + ... + 1n ln n − ln (ln n) luam f :

[2,∞) → IR, f(x) = 1x ln x . Evident sirul xn = f (2)+ . . .+f (n)−

∫ n

2f (x) dx

este de asemenea convergent (ca mai sus) si difera de sirul dat doar printr-oconstanta. Asadar sirul considerat este convergent.

2.16 Discutam limita

limn→∞n

(an +

√n2 + bn + c

)= lim

n→∞n2

(a +

√1 +

b

n+

c

n2

).

Evident, pentru a < −1, limita este −∞, iar pentru a > −1 limita este +∞.Consideram a = −1. Pentru a < 0 avem ın paranteza o nedeterminare detipul (∞−∞), motiv pentru care amplificam paranteza cu expresia conju-gata. Astfel,

limn(−n +

√n2 + bn + c

)= lim n

n2 − n2 − bn− c√n2 + bn + c + n

=

= lim−bn2 − cn√

n2 + bn + c + n.

Daca b 6= 0 limita este −∞ · sgn(b), iar daca b = 0 limita este − c2 .

Discutam cea de-a doua limita. Scoatem factor comun√

n. Avem

lim(a√

n + b√

n + 1 + c√

n + 2) = lim√

n

(a + b

√1 +

1n

+ c

√1 +

2n

)

Se observa ca daca a + b + c 6= 0 limita este +∞ · sgn(a + b + c). Dacaa + b + c = 0, atunci c = −a− b si avem

94

lim(a√

n + b√

n + 1 + c√

n + 2) =

= lim(a√

n + b√

n + 1− a√

n + 2− b√

n + 2) =

= lim[a(√

n−√n + 2) + b(√

n + 1−√n + 2)]

=

= lim[a

−2√n +

√n + 2

+ b−1√

n + 1 +√

n + 2

]= 0.

2.17 Fie xn =(1 + 1

n2

) (1 + 2

n2

)...

(1 + n

n2

), n ≥ 1. Dupa o metoda deja

folosita, logaritmam sirul si utilizam inegalitatea (I2) din observatia 2.35.

lnxn = ln(

1 +1n2

)+ ln

(1 +

2n2

)+ ... +

(1 +

n

n2

).

Atunci

1n2− 12

2n4+

2n2− 22

2n4+ ... +

n

n2− n2

2n4≤ ln xn ≤ 1

n2+

2n2

+ ... +n

n2.

Efectuam calculele si obtinem

n(n + 1)2n2

− n(n + 1)(2n + 1)2n4

≤ lnxn ≤ n(n + 1)2n2

.

Cum ambii membri care ıncadreaza lnxn au limita 12 , lim lnxn = 1

2 , adicalimxn = e

12 .

2.18 Fie sirurile xn = cosnα si yn = sin nα. Vom trata simultan pro-blema convergentei celor doua siruri. Presupunem ca xn → x. Din for-mula trigonometrica cos(n + 1)α = cosnα cosα− sinnα sinα, avem xn+1 =xn cosα− yn sinα. Daca α 6= kπ, k ∈ Z (adica sinα 6= 0) avem

yn =xn cosα− xn+1

sinα,

ceea ce ınseamna ca (yn) este convergent (operatii cu siruri convergente).Notand limita sa cu y avem

x = x cosα− y sinα.

Pe de alta parte, sin 2nα = 2 sin nα cosnα si trecand la limita obtinemy = 2xy, deci y = 0 sau x = 1

2 .

95

Cazul y = 0. Din formula sin2 nα + cos2 nα = 1, avem x2 + y2 = 1,deci x = 1 sau x = −1. Din relatia de mai sus obtinem cosα = 1, adicaα = ±π

2 +2kπ. Dar, ın oricare dintre aceste cazuri, xn = cos nπ2 , sir divergent

(pentru ca subsirurile de rang 4p si 4p + 1 au limite diferite).Cazul x = 1

2 . Obtinem y = ±√

32 si 1

2 = 12 cosα∓

√3

2 sinα. De exemplu, ınsituatia ın care luam semnul +, avem 1

2 = 12 cosα +

√3

2 sinα, adica cos π3 =

cos(π3 + α). Ajungem la contradictia α = 2kπ, k ∈ Z (am luat α 6= kπ) sau

α = −2π3 + 2kπ, k ∈ Z, caz ın care (xn) nu este convergent. Celalalt caz se

rezolva la fel. Sirul nu este convergent.In final, tratam cazul α = kπ, k ∈ Z. Daca α = 2kπ, k ∈ Z, atunci x = 1

si y = 0. Daca α = (2k + 1)π, k ∈ Z, xn = cosn(2k + 1)π = cosnπ = (−1)n,sir divergent. Prin urmare sirul (xn) este convergent doar daca α = 2kπ, k ∈Z. Sirul (yn) este convergent doar daca α = kπ, k ∈ Z.

Reciproca este imediata.

2.19 a) xn+1 = (1− 14n2 )xn, ∀n ≥ 1, x1 = 1. Cum x1 > 0 si 0 < (1− 1

4n2 ) <1 pentru orice n ≥ 1, rezulta prin inductie ca xn > 0, ∀n ≥ 1 si (xn) estedescrescator. Obtinem ca sirul este convergent. Se poate arata ca limitaeste 0.

b) xn+1 = x2n−2xn +2, n ∈ IN∗, x1 = a > 0. Avem xn+1−1 = (xn−1)2.

Notam xn − 1 = yn. Deci yn+1 = y2n,∀n ∈ IN∗, y1 = a − 1 > −1. Studiem

monotonia sirului (yn). Avem yn+1− yn = yn(yn− 1). Distingem mai multesituatii.

Daca y1 > 1, atunci prin inductie se obtine pe baza relatiei de recurentaca toti termenii sirului sunt supraunitari, deci yn+1 − yn ≥ 0, adica siruleste crescator. Prin urmare sirul are limita ın IR. Presupunand ca sirul arelimita reala y si trecand la limita ın relatia de recurenta, avem y2 = y, adicay = 0 sau y = 1. Un sir de numere supraunitare si crescator nu poate aveanici una dintre aceste limite, deci sirul are limita +∞, adica este divergent.Revenind la (xn), concluzionam ca acest sir este divergent daca a > 2.

Daca y1 = 1, atunci yn = 1, ∀n ∈ IN, deci lim yn = 1. Deci, pentru a = 2,lim xn = 2.

Daca y1 ∈ (0, 1), atunci prin inductie se obtine ca toti termenii siruluisunt ın acest interval si deci diferenta yn+1 − yn este negativa; sirul estedescrescator. Prin urmare sirul este convergent. Ca mai sus obtinem casingura limita posibila este 0. Deci pentru a ∈ (1, 2), (xn) este convergent la1.

Daca y1 = 0, yn = 0, ∀n ∈ IN, deci lim yn = 0. Deci, pentru a = 1,lim xn = 1.

96

Daca y1 ∈ (−1, 0), atunci y2 = y21 ∈ (0, 1) si practic revenim la unul din

cazurile anterioare: toti termenii sirului, ıncepand cu ragul 2, sunt ın (0, 1).Sirul (yn) este convergent la 0. Deci pentru a ∈ (0, 1), (xn) este convergentla 1.

c) xn+1 = e−1+xn , n ≥ 1, x1 ∈ (0,∞) . Evident, toti termenii sirului suntpozitivi. Din inegalitatea ex−1 ≥ x,∀x ∈ IR (egalitate pentru x = 1), rezultaca sirul este crescator Sirul are limita ın IR. Distingem urmatoarele cazuri.

Daca x1 > 1, atunci xn > 1, ∀ n ≥ 1. Presupunand ca limita sirului estenumarul real x, avem ex−1 = x, adica x = 1, contradictie. Prin urmare siruleste divergent (are limita ∞).

Daca x1 = 1, atunci sirul este constant 1, deci este convergent la 1.Daca x1 < 1, sirul este marginit superior de 1 pentru ca toti termenii

sunt subunitari (inductie). Limita sirului este 1.

2.20 Daca x0 < 0, atunci x1 > 1, deci x2 ∈ (0, 1), adica x3 < 0. Prininductie, rezulta ca subsirul (x3k)k este format din numere negative, iar(x3k+1)k din numere supraunitare. Sirul nu poate fi convergent. Celelaltesituatii se trateaza asemanator.

2.21 Fie xn = 1 + 12 + ... + 1

n , n ∈ IN∗. Am demonstrat ca limita acestuisir este +∞. Fie p ∈ IN∗ fixat. Avem

0 ≤ xn+p − xn =1

n + 1+

1n + 2

+ ... +1

n + p≤ p

n + p→ 0,

deci limn→∞(xn+p − xn) = 0.

2.22 Studiul convergentei sirului nu se poate face prea usor prin metodeleutilizate pana acum. Vom apela la functia f : [1,∞) → IR, f(x) = πx −2x arctg x. Studiem monotonia functiei, calculand derivata de ordinul ıntai.Astfel,

f ′(x) = π − 2 arctg x− 2x

1 + x2.

Pentru a determina semnul derivatei ıntai vom calcula derivata a doua.

f ′′(x) = −21

1 + x2− 2− 2x2

(1 + x2)2=

−4(1 + x2)2

< 0,∀x ≥ 1.

Deci derivata ıntai este o functie strict descrescatoare. Cum limx→∞f ′(x) = 0,

deducem ca f ′(x) > 0,∀x ≥ 1, adica functia f este crescatoare. Prin urmare

97

sirul (xn) este crescator, deci are limita ın IR. Pentru a determina limitasirului este suficient sa calculam

limx→∞f(x) = lim

x→∞π − 2 arctg x

1x

= limx→∞

−21+x2

− 1x2

= 2.

Sirul este convergent si are limita 2.

2.23 Mai ıntai determinam constantele x, y, z astfel ıncat limita sirului(an) sa fie 1. Evident, daca z ≥ 0, an → ∞. Deci z < 0. Atunci avem derezolvat (ın paranteza) o nedeterminare de tip ∞−∞.

an = n(√

n2 + nx + y + nz) = nn2 + nx + y − n2z2

√n2 + nx + y − nz

=

=n3(1− z2) + n2x + ny√

n2 + nx + y − nz.

Pentru ca lim an sa fie 1 trebuie sa avem 1− z2 = 0, x = 0, y = 1− z, adicaz = −1, x = 0, y = 2. Prin urmare an = n(

√n2 + 2− n). Acum

lim nα ln an = lim ln(an)nα.

Daca α ≤ 0, lim nα ln an = 0, prin urmare este necesar ca α > 0. In acestcaz sub logaritm avem o nedeterminare de tip 1∞. Deci

limnα ln an = lim ln(1 + n√

n2 + 2− n2 − 1)nα=

= lim ln[(1 + n

√n2 + 2− n2 − 1)

1

n√

n2+2−n2−1

]nα(n√

n2+2−n2−1)

=

= ln elim nα(n√

n2+2−n2−1) =

= limnα(n√

n2 + 2− n2 − 1) = limnα n4 + 2n2 − n4 − 2n2 − 1n√

n2 + 2 + n2 + 1=

= limnα −1n√

n2 + 2 + n2 + 1.

Pentru ca ultima limita sa fie finita si nenula trebuie ca α = 2, caz ın carelimita este −1

2 .

2.24 Din relatia de recurenta avem xn+1 − xn = −x2n ≤ 0, ∀n ∈ IN, deci

sirul este descrescator. Pe de alta parte, xn+1 = xn(1−xn). Cum x0 ∈ [0, 1],se obtine usor prin inductie ca xn ∈ [0, 1], ∀n ∈ IN, deci sirul este marginit.

98

In concluzie (xn) este convergent. Trecand la limita ın relatia de recurenta,avem limxn = 0. Cum x2

k = xk−xk+1, avem yn = x0−xn+1, sir convergentcu limita x0.

2.25 a) Evident, sirul (xn) este crescator. Pe de alta parte, xn+1 =xn(1 + xn), ∀n ≥ 1. In functie de pozitia primului termen fata de −1 si 0distingem urmatoarele situatii.

Daca x1 > 0, atunci xn > 0,∀n ≥ 1. Presupunand ca sirul are limita unnumar real x, obtinem din relatia de recurenta x = 0, ceea ce este imposibil.Deci limita este +∞.

Daca x1 = 0, atunci sirul este constant 0, deci convergent la 0.Daca x1 ∈ (−1, 0), atunci prin inductie se arata imediat ca toti ter-

menii sirului sunt ın acest interval, deci sirul este marginit si ın consecintaconvergent. Limita sa este 0.

Daca x1 = −1, atunci x2 = 0 si xn = 0, ∀n ≥ 2. Sirul are limita 0.Daca x1 < −1, atunci x2 > 0 si revenim la primul caz.b) Se observa ca yn+1 − a = (yn − a) + (yn − a)2. Problema se reduce la

cazul precedent cu sirul (yn − a) ın loc de (xn).

2.26 Se observa ca toti termenii sirului sunt pozitivi. Aplicand inega-litatea mediilor ın relatia de recurenta obtinem ca xn ≥ √

a pentru oricen ≥ 2. Studiem monotonia sirului:

xn+1 − xn =12(

a

xn− xn) =

12xn

(a− x2n) ≤ 0.

Prin urmare, sirul este monoton descrescator. Cum (xn) este si marginitinferior, rezulta ca este convergent. Trecand la limita ın relatia de recurentaobtinem limita

√a (valoarea −√a nu poate fi limita sirului pentru ca −√a <

0 si termenii sirului sunt pozitivi).

2.27 Se arata fara dificultate ca toti termenii sirului sunt ın intervalul[0, 6] (inductie), deci sirul este marginit. Studiem monotonia sirului

xn+1 − xn =√

6− xn − xn =6− xn − x2

n√6− xn + xn

=(2− xn)(3 + xn)√

6− xn + xn.

Trebuie sa studiem asadar pozitia sirului fata de 2. Incepem cu x0.

Daca x0 < 2, atunci x1 =√

6− x0 > 2, x2 =√

6− x1 < 2. Inductiv,obtinem ca x2k < 2,∀k ∈ IN si x2k+1 > 2, ∀k ∈ IN. Studiem monotonia

99

subsirului (x2k).

x2k+2 − x2k =√

6−√6− x2k − x2k =6−√6− x2k − x2

2k√6−√6− x2k + x2k

=

=36− 12x2

2k + x42k − 6 + x2k

(√

6−√6− x2k + x2k)(6− x22k +

√6− x2k)

.

Cum numitorul este pozitiv, trebuie sa decidem semnul expresiei de lanumarator. Avem

x42k − 12x2

2k + x2k + 30 = (x2k − 2)(x32k + 2x2

2k − 8x2k − 15) =

= (x2k − 2)[x2k(x2

2k + 2x2k − 8)− 15]

> 0,

deci acest subsir este crescator. Similar se arata ca subsirul (x2k+1) estedescrescator. Demonstratia monotoniei celor doua subsiruri se poate facesi prin inductie! Deci cele doua subsiruri considerate sunt convergente.Notam cele doua limite cu l1 si respectiv l2. Din relatia de recurenta obtineml1 =

√6− l2 si l2 =

√6− l1, de unde rezulta l1 = l2 = 2. Sirul (xn) este

convergent la 2. Cazul x0 > 2 se rezolva similar. Daca x0 = 2, atunci siruleste constant. A se vedea exercitiul 2.38 pentru alta solutie.

2.28 Studiem monotonia:

xn+1 − xn =√

xn + 2− xn =xn + 2− x2

n√xn + 2 + xn

=(2− xn)(1 + xn)√

xn + 2 + xn.

Trebuie sa comparam termenii sirului cu 2. Daca x0 > 2, atunci (inductie)xn > 2,∀n ∈ IN. Sirul este descrescator ın acest caz, deci convergent; limitasa este 2. Daca x0 = 2 sirul este constant, deci convergent la 2. Daca x0 < 2,termenii sirului sunt mai mici decat 2 si sirul este crescator. Din nou limitasirului este 2.

2.29 Daca x < y, exista ε > 0 astfel ıncat x + ε < y − ε (de exempluε = y−x

4 ). Cum xn → x, exista n0 ∈ IN, astfel ıncat ∀n ≥ n0, |xn − x| < ε,adica x− ε < xn < x + ε. Asemanator exista n1 ∈ IN, astfel ıncat ∀n ≥ n1,|yn − y| < ε, adica y−ε < yn < y+ε. Asadar, pentru orice m ≥ max(n0, n1),xm < x + ε < y − ε < ym, adica ceea ce trebuia sa aratam. Daca x = yconcluzia nu mai este adevarata: este suficient sa luam sirurile xn = (−1)n 1

nsi yn = (−1)n+1 1

n , care au ambele limita 0.

100

2.30 Putem scrie

xn − yn = yn

(xn

yn− 1

)→ 0,

pentru ca (yn) este marginit. Daca (yn) este nemarginit, rezultatul nu se maipastreaza. Dam un contraexemplu: xn = n+1, yn = n. Evident, lim xn

yn= 1,

dar xn − yn = 1 → 1.

2.31 Avem urmatoarea relatie: xn+1 − xn = −x2nn ≤ 0, ∀n ≥ 1, deci (xn)

este descrescator.a) Daca x1 < 0, atunci toti termenii sirului sunt negativi. Prin urmare

sirul are limita ın IR. Deci x2n ≥ x2

1, ∀n ≥ 1. Avem

xn − xn+1 =x2

n

n≥ x2

1

n, ∀n ≥ 1.

Deci

x1 − x2 ≥ x21

1

x2 − x3 ≥ x21

2...

xn − xn+1 ≥ x21

n.

Prin adunarea acestor relatii obtinem

x1 − xn+1 ≥ x21(1 +

12

+ ... +1n

),

decixn+1 ≤ x1 − x2

1(1 +12

+ ... +1n

) → −∞,

de unde deducem ca limita lui (xn) este −∞.b) Daca x1 ∈ [0, 1], atunci x2 = x1(1 − x1) ∈ [0, 1]. Inductiv, obtinem

ca sirul este cuprins ıntre 0 si 1, deci este marginit. Prin urmare sirul esteconvergent si notam l = limxn. Daca x1 = 0, atunci sirul este constant0, deci cu limita 0. Daca x1 = 1, atunci x2 = 0 si sirul este constant 0ıncepand cu acest rang. Limita este din nou 0. Daca x1 ∈ (0, 1), atunci,folosind criteriul Stolz-Cesaro avem:

l = limxn+1 = limnxn − x2

n

n= lim

(n + 1)xn+1 − x2n+1 − nxn + x2

n

1=

= lim [n(xn+1 − xn) + xn+1] = lim(−x2n + xn+1) = −l2 + l.

101

Prin urmare limita este 0.c) Daca x1 > 1, atunci x2 < 0 si revenim la primul caz. Limita sirului

este −∞.

2.32 Avem

xn+2 ≤ xn+1 + xn

2≤ 2max{xn,xn+1}

2= yn, ∀n ≥ 0.

Cum (xn) este marginit, (yn) este minorat.Fie n fixat. Daca xn+1 ≥ xn+2, atunci yn+1 = xn+1 ≤ max{xn,xn+1} =

yn; daca xn+1 < xn+2, atunci yn+1 = xn+2 ≤ yn, din relatia de mai sus.Prin urmare sirul (yn) este descrescator. Concluzionam ca sirul (yn) esteconvergent. Sa studiem convergenta sirului (xn). Adunand xn+1

2 la relatiaxn+2 ≤ xn+1+xn

2 , obtinem xn+2+xn+1

2 ≤ xn+1+ xn2 , ∀n ≥ 0. Prin urmare sirul

zn = xn+1 + xn2 este monoton descrescator si marginit ((xn) este marginit),

deci este convergent. Notam limita sa cu l. Pentru orice ε > 0, exista nε ∈ INastfel ıncat pentru orice n ≥ nε, l − ε < zn < l + ε, adica,

l − ε < xn+1 +xn

2< l + ε.

Putem presupune, fara a restrange generalitatea ca relatiile de mai sus auloc pentru orice n ∈ IN. Pasii de urmat ın continuare sunt urmatorii: sescrie relatia de mai sus pentru k = 0, n si se ınmulteste fiecare convenabilpentru a se obtine prin adunare o suma telescopica: prima cu (−1

2)n−1, adoua cu (−1

2)n−2 s.a.m.d. Prin sumare obtinem o ıncadrare care ne permitesa concluzionam ca limxn = 2l

3 .

2.33 Se obtine usor prin inductie ca xn > 0, ∀n ∈ IN. Scriem relatia derecurenta pentru (xn) pentru k ∈ 1, n si prin adunare obtinem

xn+1 = x1 + (1x1

+1x2

+ ... +1xn

).

Ridicand la patrat relatia de recurenta, avem x2n+1 = x2

n + 1x2

n+ 2. Scriem si

aceasta relatie pentru k ∈ 1, n si prin adunare obtinem

x2n+1 = x2

1 + (1x2

1

+1x2

2

+ ... +1x2

n

) + 2n =

= (x21 +

1x2

1

) + (1x2

2

+ ... +1x2

n

) + 2n ≥ 2n + 2.

102

Prin urmare x2n > 2n,∀n ≥ 2, adica 1 ≤ xn√

2n. Revenind la prima relatie

dedusa prin adunare, avem

xn+1 = 2 +1x2

+ ... +1xn

≤ 2 +n∑

k=2

1√2k

=

= 2− 1√2

+n∑

k=1

1√2k

≤ 2− 1√2

+n∑

k=1

2√2k +

√2k − 2

=

= 2− 1√2

+n∑

k=1

(√

2k −√

2k − 2) = 2− 1√2

+√

2n.

Prin urmare xn+1 ≤ 2− 1√2+√

2n, ∀n ≥ 1, adica xn ≤ 2− 1√2+√

2n− 2, ∀n ≥2, deci

xn√2n

≤2− 1√

2+√

2n− 2√

2n→ 1.

Din teorema clestelui obtinem ca xn√2n→ 1.

2.34 Daca a = 1, atunci sirul (xn) este o progresie aritmetica de ratie b siprin urmare, xn = x1 +(n− 1)b. Acest sir are limita x1, daca b = 0 si limita(sgn b)(+∞) ın caz contrar.

Daca a 6= 1, atunci xn−1 = axn−2 + b, de unde deducem

xn − xn−1 = a(xn−1 − xn−2) = a2(xn−2 − xn−3) = ... =

= an−2(x2 − x1), ∀n ≥ 2.

Deci

x2 − x1 = x2 − x1

x3 − x2 = a(x2 − x1)

x4 − x3 = a2(x2 − x1)...

xn − xn−1 = an−2(x2 − x1).

Adunand aceste egalitati obtinem ın final

xn = an−1x1 +an−1 − 1

a− 1b.

Convergenta se studiaza acum ın functie de a, b, x1 folosind limita (L1) dinobservatia 2.34.

103

2.35 Vom tranforma relatia de recurenta pentru a reduce problema laproblema precedenta. Mai ıntai observam ca daca b = 0 suntem ıntr-un cazparticular al problemei precedente. Presupunem b 6= 0. Scriem relatia derecurenta sub forma xn−axn−1− bxn−2 = 0 ın care ınlocuim a = α+β, b =−αβ (i.e. α, β sunt solutiile, posibil complexe, ale ecuatiei x2− ax− b = 0).Obtinem

xn − αxn−1 − βxn−1 + αβxn−2 = 0,

adicaxn − αxn−1 = β(xn−1 + αxn−2),∀n ≥ 2.

Luand yn = xn−αxn−1 avem yn = βyn−1,∀n ≥ 2. Obtinem ca yn = βn−1y1,adica

xn − αxn−1 = βn−1y1, ∀n ≥ 1.

Fie sirul zn = xnβn (remarcam ca β 6= 0 pentru ca b 6= 0). Atunci

zn =α

βzn−1 +

y1

β, ∀n ≥ 1.

Daca α 6= β, din problema precedenta avem

zn =(

α

β

)n−1

z1 +(α

β )n−1 − 1αβ − 1

y1

β

de unde deducem

xn =αn − βn

α− βx1 − αβ

αn−1 − βn−1

α− βx0,∀n ≥ 1.

Daca α = β ın relatia de mai sus scriem ın loc de αn−βn

α−β

αn−1 + αn−2β + ... + αβn−1 + βn−1

si analog pentru αn−1−βn−1

α−β .

Convergenta se studiaza ın functie de a, b, x1, x0 folosind limita (L1) dinobservatia 2.34.

Concluzionand, termenul general al sirului are forma de mai sus, undeα si β sunt solutiile ecuatiei x2 − ax − b = 0, numita ecuatia caracteristicaa sirului.

2.36 Folosim execitiul precedent.

104

a) Ecuatia caracteristica a sirului lui Fibonacci este x2 − x − 1 = 0, deunde obtinem α = 1+

√5

2 , β = 1−√52 . Din exercitiul precedent, obtinem

xn =1√5

[(1 +

√5

2

)n

−(

1−√52

)n], ∀n ∈ IN.

b) Ecuatia caracteristica asociata sirului (xn) este x2 − 2x + 1 = 0, deciα = β = 1. Obtinem

xn = (αn−1 + αn−2β + ... + αβn−1 + βn−1)x1−− (αn−2 + αn−3β + ... + αβn−3 + βn−2)x0 == n + 1,∀n ∈ IN.

c) Ecuatia caracteristica asociata sirului (xn) este x2 − x + 1 = 0, deciα = cos 2π

3 + i sin 2π3 si β = cos 2π

3 − i sin 2π3 (am scris numerele ın forma

trigonometrica pentru a putea efectua mai usor calculele). Obtinem

xn =2√3

[sin

2nπ

3− i sin

2(n− 1)π3

],∀n ∈ IN.

d) x0 = 3, x1 = 4, (n + 1)(n + 2)xn = 4(n + 1)(n + 3)xn−1− 4(n + 2)(n +3)xn−2, ∀n ≥ 2. Impartind relatia de recurenta prin (n + 1)(n + 2)(n + 3),obtinem

xn

n + 3= 4

xn−1

n + 2− 4

xn−2

n + 1si notand yn = xn

n+3 , avem

yn = 4yn−1 − 4yn−2,∀n ≥ 2.

Ecuatia caracteristica asociata sirului (yn) este x2 − 4x + 4 = 0, deci α =β = 2. Efectuand calculele obtinem

yn = 2n−1(−n + 2), ∀n ∈ IN,

deciyn = (n + 3)(2− n)2n−1, ∀n ∈ IN

2.37 Este clar ca termenii ambelor siruri sunt pozitivi. Daca x0 = y0,atunci se constata fara dificultate ca sirurile sunt constante si problema esterezolvata. Presupunem acum ca y0 < x0. Folosim urmatoarele inegalitaticunoscute (si usor de probat): ∀a > b > 0, b < a+b

2 < a, b <√

ab < b si

105

√ab < a+b

2 . Astfel x1 = x0+y0

2 ∈ (y0, x0), y1 =√

x0y0 ∈ (y0, x0) si y1 < x1.Asadar, y0 < y1 < x1 < x0. Prin inductie se arata ca sirul (yn) este crescator,iar sirul (xn) este descrescator. Ambele siruri sunt marginite, deci suntconvergente. Trecand la limita ıntr-una din relatiile de recurenta, obtinemca limitele celor doua siruri sunt egale. Cazul y0 > x0 se trateaza analog.Pentru amanunte privind limita comuna precum si pentru generalizari aleacestei probleme a se vedea cartea “Privelisti matematice”, a autorului IsaacJ. Schoenberg [16].

2.38 (i) Pentru ınceput sa observam ca nu putem preciza pozitia lui x1 =f(x0) fata de x0, asa ca vom considera doua cazuri. Daca x1 ≥ x0, atuncifolosind monotonia functiei putem scrie

x2 = f(x1) ≥ f(x0) = x1.

Inductiv se arata ca (xn) este crescator. Daca x1 ≤ x0, atunci se arataca sirul este descrescator. Evident, din definitia functiei f toti termeniisirului (xn) sunt ın intervalul [a, b], deci sirul este marginit si prin urmareconvergent. Notand limita sa cu x, trecand la limita ın relatia de recurentasi folosind continuitatea functiei f, obtinem ca x = f(x), adica limita lui(xn) este un punct fix al lui f .

(ii) Cum f este descrescatoare, f ◦ f este crescatoare. Evident, x2n =(f ◦ f)(x2n−2), ∀n ≥ 1 si x2n+1 = (f ◦ f)(x2n−1), ∀n ≥ 1. In plus, dacax2 ≥ x0, atunci x3 ≤ x1, iar daca x2 ≤ x0, atunci x3 ≥ x1. Aplicandpunctul precedent subsirurilor (x2n) si (x2n+1) obtinem ca ele sunt monotonede monotonii diferite si convergente. Evident, pentru ca sirul (xn) sa fieconvergent trebuie ca cele doua limite sa fie egale.

Studiem cazurile particulare.(a) x0 = 1, xn+1 = sinxn, ∀n ≥ 0. Consideram functia f : [0, 1] → [0, 1],

f(x) = sinx. Acesta functie este continua si crescatoare pe intervalul dedefinitie. Aplicand punctul (i), obtinem ca sirul este monoton descrescator(x1 = sin 1 < 1 = x0) si convergent la solutia ecuatiei sinx = x care este 0.

(b) x0 = 12 , xn+1 = (xn − 1)2,∀n ≥ 0. Consideram functia f : [0, 1] →

[0, 1], f(x) = (x − 1)2. Acesta functie este continua si descrescatoare peintervalul de definitie. Aplicand punctul (ii), obtinem ca subsirul (x2n)este monoton crescator (x2 = 9

16 > x0), iar subsirul (x2n+1) este monotondescrescator (x1 = 1

4 > x3 = 49256). Ambele subsiruri converg la limitele

notate a si respectiv b. Constatam ca a 6= b pentru ca a > 12 si b < 1

4 . Sirul(xn) este divergent. Cum x2n+1 = (x2n−1)2 si x2n+2 = (x2n+1−1)2 obtinemb = (a− 1)2 si a = (b− 1)2. Facand calculele si tinand cont de inegalitatilede mai sus se obtine a = 1, b = 0.

106

(c) Se procedeaza ca la punctul (a).Sa mai remarcam ca sirurile de la exercitiile 2.27 si 2.28 puteau fi tratate

si prin metoda expusa la acest exercitiu.

2.39 Studiem convergenta sirurilor de la acest exercitiu folosind teoremalui Cauchy: demonstram ca sirurile sunt fundamentale.

a) Fie ε > 0; trebuie sa determinam un numar natural nε astfel ıncatpentru orice n ≥ nε si orice p ∈ IN, sa aiba loc relatia |xn+p − xn| < ε.Evaluam diferenta |xn+p − xn| :

|xn+p − xn| =∣∣∣∣1 +

122

+ ... +1n2

+1

(n + 1)2+ ...+

+1

(n + p)2− 1− 1

22− ...− 1

n2

∣∣∣∣ =

=1

(n + 1)2+

1(n + 1)2

+ ... +1

(n + p)2.

Pentru a putea continua calculele facem majorarea 1k2 < 1

k(k−1) = 1k−1 −

1k , ∀k ≥ 2. Astfel

|xn+p − xn| < 1n− 1

n + 1+

1n + 1

− 1n + 2

+ ... +1

n + p− 1− 1

n + p=

=1n− 1

n + p<

1n

, ∀p ∈ IN.

Am obtinut o majorare independenta de p si, ın plus, 1n → 0, deci, conform

definitiei, exista nε ∈ IN astfel ıncat pentru orice n ≥ nε,1n < ε. Prin urmare

sirul nostru este fundamental, deci convergent.b) Fie ε > 0 si n, p ∈ IN. Avem

|xn+p − xn| =∣∣∣∣cosx

2+

cos 2x

22+ ... +

cosnx

2n+ ...+

+cos(n + p)x

2n+p− cosx

2− ...− cosnx

2n

∣∣∣∣ =

=∣∣∣∣cos(n + 1)x

2n+1+ ... +

cos(n + p)x2n+p

∣∣∣∣ ≤

≤∣∣∣∣cos(n + 1)x

2n+1

∣∣∣∣ + ... +∣∣∣∣cos(n + p)x

2n+p

∣∣∣∣ ≤

107

≤ 12n+1

+1

2n+2+ ... +

12n+p

=1

2n+1

1− (12)p

1− 12

=

=12n

[1−

(12

)p]<

12n

, ∀p ∈ IN.

Am tinut seama de faptul ca modulul sumei este mai mic sau egal decatsuma modulelor si de faptul ca functia cos ia valori ıntre −1 si 1. Din nouam obtinut o majorare independenta de p si, ın plus, 1

2n → 0, deci, conformdefinitiei, exista nε ∈ IN astfel ıncat pentru orice n ≥ nε,

12n < ε. Prin

urmare sirul nostru este fundamental, deci convergent.

c) Se procedeaza ca la punctele precedente.

d) Scriem faptul ca sirul numeric (an) este marginit: exista M > 0 astfelıncat pentru orice n ∈ IN, |an| ≤ M. Fie ε > 0 si n,m ∈ IN. Avem

|xn+m − xn| =∣∣∣∣a1

1p+

a2

2p+ ... +

an

np+

an+1

(n + 1)p+ ...+

+an+m

(n + m)p− a1

1p− a2

2p− ...− an

np

∣∣∣∣ =

=∣∣∣∣

an+1

(n + 1)p+ ... +

an+m

(n + m)p

∣∣∣∣ ≤

≤∣∣∣∣

an+1

(n + 1)p

∣∣∣∣ + ... +∣∣∣∣

an+m

(n + m)p

∣∣∣∣ =

=|an+1|

(n + 1)p+ ... +

|an+m|(n + m)p

≤

≤ M

(n + 1)p+

M

(n + 2)p+ ... +

M

(n + m)p≤

≤ M

(n + 1)2+

M

(n + 2)2+ ... +

M

(n + m)2=

= M(1

(n + 1)2+

1(n + 2)2

+ ... +1

(n + m)2) <

< M(1n− 1

n + m) <

M

n, ∀m ∈ IN

si concluzia rezulta.

e) Procedam ca la punctele precedente.

108

f) Fie ε > 0 si n, p ∈ IN. Atunci

|xn+p − xn| =∣∣∣∣(−1)n+2 1

n + 1+ (−1)n+3 1

n + 2+ ... + (−1)n+p+1 1

n + p

∣∣∣∣ =

=∣∣∣∣

1n + 1

− 1n + 2

+ ... + (−1)p−1 1n + p

∣∣∣∣ .

Daca p este par, atunci

|xn+p − xn| = 1n + 1

− (1

n + 2− 1

n + 3)− ...− (

1n + p− 2

− 1n + p− 1

)−

− 1n + p

<1

n + 1<

1n

,

iar daca p este impar,

|xn+p−xn| = 1n + 1

− (1

n + 2− 1

n + 3)− ...− (

1n + p− 1

− 1n + p

) <1n

.

Din nou sirul este fundamental, deci convergent.g) Folosind faptul ca arctg n ∈ [0, π

2 ), ∀n ∈ IN problema se reduce lapunctul b).

2.40 Este suficient sa demonstram ca sirurile nu sunt fundamentale, adica∃ε > 0 a.ı. ∀n ∈ IN∗, ∃p ∈ IN a.ı. |xn+p − xn| ≥ ε.

a) Pentru sirul xn = 1 + 12 + ... + 1

n avem

|xn+p − xn| = 1n + 1

+1

n + 2+ ... +

1n + p

>p

n + p.

Luand ε = 12 , n ∈ IN∗ arbitrar si p = n, obtinem |xn+p − xn| ≥ ε. Sirul

nu este fundamental, deci este divergent. In plus, pentru ca sirul este strictcrescator, putem trage concluzia ca are limita +∞.

b) In cazul sirului xn = 1 + 1√2

+ ... + 1√n

putem sa procedam ca lapunctul precedent sau sa constatam ca termenii acestui sir sunt mai maridecat termenii corespunzatori ai sirului precedent, deci sirul are limita +∞.

2.41 Sirul (cn) este convergent, deci majorat: ∃M > 0 a.ı. cn < M,∀n ∈IN. In plus, ancn → ac, iar (an) este sir fundamental. Prin urmare, ∀ε >0, ∃n0 ∈ IN a.ı. ∀p ∈ IN, |ancn − ac| < ε

2 si |an+p − an| < ε2M . Putem scrie

109

(pentru n ≥ n0)

|xn − ac| ≤ |xn − ancn|+ |ancn − ac| < |xn − ancn|+ ε

2=

= |an+1bn+1 + ... + a2nb2n − anbn+2 − ...− anb2n|+ ε

2≤

≤ bn+1 |an+1 − an|+ ... + b2n |a2n − an|+ ε

2<

<ε

2M(bn+1 + ... + b2n) +

ε

2≤ ε

2MM +

ε

2= ε

si demonstratia este ıncheiata.

2.42 a) Se arata fara dificultate ca sirul este strict descrescator. Deciinf

n∈INxn = lim xn = 1, iar sup

n∈INxn = x0 = 2.

b) Pentru a studia sirul ıl vom partitiona ın mai multe subsiruri con-vergente. Tinand cont ca functia sin are perioada 2π vom studia sepa-rat subsirurile (x4k) , (x4k+1) , (x4k+2) , (x4k+3) . Este clar ca orice termen alsirului este termen al unuia dintre aceste subsiruri. Astfel

x4k = 1 + 0 = 1. Evident, infk∈IN

x4k = supk∈IN

x4k = 1.

x4k+1 = 1(4k+1)2

+ sin(2kπ + π2 ) = 1

(4k+1)2+ 1. Acest sir este strict des-

crescator si are limita 1. Deci infk∈IN

x4k+1 = 1 si supk∈IN

x4k+1 = x1 = 2.

x4k+2 = 1 + sin(2kπ + π) = 1; infk∈IN

x4k+2 = supk∈IN

x4k+2 = 1. (Puteam sa

tratam ıntr-un singur subsir (x2k) subsirurile (x4k) si (x4k+2)).x4k+3 = 1

(4k+3)2+ sin(2kπ + 3π

2 ) = 1(4k+3)2

− 1; evident, acest sir estestrict descrescator si are limita −1. Deci inf

k∈INx4k+3 = −1 si sup

k∈INx4k+3 =

x3 = −89 . Din problema 1.59 putem trage concluzia ca inf xn este minimul

infimumurilor subsirurilor considerate, adica −1, iar supxn este maximulsupremumurilor considerate, adica 2.

c) Procedam la fel: ımpartim sirul ın doua subsiruri (x2n) si (x2n+1). Seobtine inf x2n = 1 si supx2n = 2, iar inf x2n+1 = 1

2 si supx2n+1 = 1. Deciinf xn = 1

2 si supxn = 2.

2.43 Metoda de determinare a celor doua limite extreme pe care o vomfolosi este urmatoarea: partitionam sirul ın subsiruri convergente si apoialegem dintre aceste limite pe cea mai mare care va fi limita superioara sipe cea mai mica care va fi limita inferioara.

a) Tinand cont de periodicitatea functiei cos si de numitorul 3 vomımparti sirul ın cele 6 subsiruri corespunzatoare claselor de resturi modulo6. Astfel

110

x6k = cos(2kπ) = 1 → 1; x6k+1 = cos(2kπ + π3 ) = 1

2 → 12 ; x6k+2 =

cos(2kπ + 2π3 ) = −1

2 → −12 ; x6k+3 = cos(2kπ + π) = −1 → −1; x6k+4 =

cos(2kπ + 4π3 ) = −1

2 → −12 si x6k+5 = cos(2kπ + 5π

3 ) = 12 → 1

2 . Prin urmarelim supxn = 1 si lim inf xn = −1.

b) Consideram subsirurile (x2n) si (x2n+1) care au limitele 1 si respectiv−1. Deci lim supxn = 1 si lim inf xn = −1.

c) Consideram subsirurile (x4n), (x4n+1), (x4n+2) si (x4n+3). Obtinemlim supxn = 1

2 si lim inf xn = −12 .

d) Consideram subsirurile (x4n), (x4n+1), (x4n+2) si (x4n+3). De exemplusubsirul (x4k) are limita 1 + e.

e) xn = (−1)[n3] +sin nπ

4 . Pentru a epuiza toate situatiile posibile trebuiesa consideram subsirurile (x12k), ..., (x12k+11).

2.44 Fie x = 0; luand de exemplu subsirul (x5n)n, acest subsir este formatdoar din termeni nuli, deci limita sa este 0; prin urmare, 0 ∈ L((xn)). Fiex ∈ (0,∞). Daca x ∈ Q, atunci exista m, k ∈ IN∗ astfel ıncat x = m

k .Subsirul (x2kp3mp)p este constant x, deci are limita x. Prin urmare, (0,∞)∩Q ⊂ L((xn)). Fie acum x ∈ (0,∞)\Q. Conform teoremei 2.35, exista unsir de numere rationale (rl)l = (ml

kl)l → x, unde (ml) si (kl) sunt siruri

de numere naturale nenule. Subsirul (x2kl3ml )l coincide cu sirul (rl), deciare limita x. Obtinem ca [0,∞) ⊂ L((xn)). Cum sirul (xn) este format dinnumere nenegative, nu poate contine un subsir cu limita negativa si deciL((xn)) ⊂ [0,∞), de unde rezulta egalitatea.

Rationand ca mai sus se poate arata ca sirul

yn =

{ m

k, daca exista m, k ∈ IN∗, 4k ≤ m ≤ 5k astfel ıncat n = 2k3m

1, ın rest

satisface conditia L((yn)) = {1} ∪ [4, 5].

2.45 Fie x ∈ L((xn)); conform definitiei, exista un subsir (xnk)k conver-

gent la x. Atunci (xnk− ynk

)k este subsir al lui (xn− yn)n, deci are limita 0.Prin urmare lim

k→∞ynk

= x, deci x ∈ L((yn)). Am demonstrat ca L((xn)) ⊂L((yn)). Schimband rolurile celor doua siruri, obtinem incluziunea inversa,deci egalitatea. Cum lim inf xn = minL((xn)) si lim supxn = maxL((xn))(vezi propozitia 2.31) rezulta imediat si egalitea limitelor extreme.

2.46 Se rationeaza ca la exercitiul precedent.

2.47 a) Pornim de la definitie: L = lim supxn = infn∈IN

supk≥n

xk. Fie c > L,

adica c > infn∈IN

supk≥n

xk. Din definitia marginii inferioare, rezulta ca exista nc ∈

111

IN astfel ıncat c > supk≥nc

x, deci c > xn, ∀n ≥ nc. Fie c < L; rezulta ca pentru

orice n ∈ IN, supk≥n

xk > c, deci exista k > n astfel ıncat xk > c. Am demonstrat

ambele proprietati. Invers, presupunem ca L satisface proprietatile. Primadintre ele ınseamna ca pentru orice c > L, c ≥ sup

k≥nc

x ≥ infn∈IN

supk≥n

xk, deci

L ≥ lim supxn, iar a doua ınseamna ca pentru orice c < L, c ≤ supk≥n

xk

pentru orice n, deci c ≤ infn∈IN

supk≥n

xk si prin urmare L ≤ lim supxn. Obtinem

egalitatea.b) Se procedeza la fel.

2.48 Notam yn = n(xn+1+1xn

−1) si presupunem prin reducere la absurd calim sup yn < 1. Din caracterizarea limitei superioare (exercitiul precedent)rezulta ca exista n0 ∈ IN∗ astfel ıncat pentru orice n ≥ n0, yn < 1. Facandcalculele obtinem ca pentru n ≥ n0, n < (n + 1)xn − nxn+1. Prin ınmultirecu 1

n(n+1) obtinem

1n + 1

<xn

n− xn+1

n + 1,∀n ≥ n0.

Scriind succesiv aceasta relatie pentru k ∈ n0, n si sumand obtinem

1n0 + 1

+1

n0 + 2+ ... +

1n

<xn0

n0− xn+1

n + 1<

xn0

n0.

Cum limn→∞( 1

n0+1 + 1n0+2 + ... + 1

n) = ∞, relatia de mai sus este absurda, decipresupunerea facuta este falsa.

2.49 a) Fie (xnk+ ynk

)k un subsir al sirului (xn + yn)n convergent lalim inf(xn + yn) (conform propozitiei 2.31 un asemenea subsir exista). Sub-sirul (xnk

) este marginit si prin urmare admite un subsir convergent, (xnkp)p.

Evident limxnkp≥ lim inf xn. Subsirul (ynkp

)p este de asemenea convergentpentru ca (xnkp

+ynkp)p este subsir al sirului (xnk

+ynk)k, deci xnkp

+ynkp→

lim inf(xn + yn). Din nou lim ynkp≥ lim inf yn. Prin urmare

lim inf(xn + yn) = lim(xnkp+ ynkp

) = limxnkp+ lim ynkp

≥≥ lim inf xn + lim inf yn.

Prima inegalitate este dovedita. Inegalitatea a doua este evidenta. Cea de-atreia inegalitate se arata la fel ca prima. Demonstrati si folosind definitiilelimitelor extreme.

112

b) Procedam ıntocmai ca la punctul precedent.c) Pentru punctul a) consideram xn = 2 · (−1)n si yn = (−1)n+1. Cum

xn + yn = (−1)n, ∀n ∈ IN, avem lim inf xn + lim inf yn = −3 < lim inf(xn +yn) = −1 < lim sup(xn + yn) = 1 < lim supxn + lim supn = 3.

Pentru punctul b) luam xn = 2 + (−1)n si yn = 1 + (−1)n+1. Atuncixnyn = 3 + (−1)n+1. Se constata ca inegalitatile sunt stricte.

2.50 Presupunem ca xn → x. Atunci lim inf xn = x. Din exercitiul prece-dent stim ca x + lim inf yn ≤ lim inf(xn + yn). Demonstram inegalitateainversa. Fie (ynk

)k → lim inf yn. Atunci (xnk+ ynk

) → x + lim inf yn ≥lim inf(xn + yn) pentru ca limita inferioara a unui sir este minimul multimiipunctelor limita ale acelui sir. Asadar x + lim inf yn = lim inf(xn + yn). In-vers, stim ca pentru orice sir (yn) are loc lim inf xn+lim inf yn = lim inf(xn+yn), deci, ın particular, are loc egalitatea si pentru sirul (−xn). Obtinemlim inf xn +lim inf(−xn)=0, adica lim inf xn− lim supxn=0, deci lim inf xn=lim supxn, deci sirul este convergent. Pentru lim sup se procedeaza analog.

O proprietate asemanatoare are loc si pentru ınmultire, corespunzatorpunctului b) din exercitiul precedent. Scrierea si demonstrarea acestei pro-prietati este lasata pe seama cititorului.

2.51 Toate inegalitatile rezulta direct din definitiile limitelor extreme.Astfel, de exemplu, lim supxn = inf

n∈INsupk≥n

xk ≤ supk≥n

xk,∀n ∈ IN. Pentru n = 0

inegalitatile devin

inf xn ≤ lim inf xn ≤ lim supxn ≤ supxn.

Pentru a dovedi ca aceste inegalitati pot fi stricte consideram urmatorul e-xemplu: xn = (−1)n n−2

2n−3 . Se arata ca la exercitiile precedente ca lim inf xn =−1

2 , lim supxn = 12 , supxn = x0 = 2

3 , iar inf xn = x1 = −1.

2.52 a) Pentru ınceput presupunem ca lim supxn = L < +∞. Din carac-terizarea limitei superioare (exercitiul 2.45), avem

∀c > L,∃nc ∈ IN, a.ı. ∀n ≥ nc, xn < c.

Fie c > L fixat. Luam M = max{c, x0, x1, ..., xnc−1}. Atunci xn ≤ M,∀n ∈IN, adica sirul este majorat.

Invers, presupunem ca sirul este majorat, adica supxn < ∞. Din pro-blema precedenta, lim supxn ≤ supxn < ∞ si demonstratia este ıncheiata.

b) Procedam analog.

113

2.53 Fie y = inf yn ∈ IR ∪ {−∞}. Daca y > −∞, conform caracterizariimarginii inferioare,

∀ε > 0, ∃m ∈ IN∗ a.ı.xm

m< y + ε.

Pentru ε fixat, fie n ≥ m. Din teorema ımpartirii cu rest exista q, r ∈ INastfel ıncat n = mq + r, r ∈ {0, 1, 2, ...,m− 1}. Avem

xn = xmq+r ≤ xmq + xr ≤ qxm + xr.

Obtinem

xn

n<

qxm + xr

n=

xm

m

mq

n+

xr

n=

xm

m

mq

mq + r+

xr

n< y + ε +

xr

n.

Deci, trecand la lim sup, avem lim sup yn ≤ y + ε. Cum

y = inf yn ≤ lim inf yn ≤ lim sup yn ≤ y + ε, ∀ε > 0

rezulta ca exista lim yn = y.Daca y = −∞, atunci ∀ε > 0, ∃m ∈ IN∗ a.ı. xm

m < −ε. Ca mai sus searata ca

xn

n< −ε +

xr

n, ∀n ≥ m,

deci lim sup yn ≤ −ε,∀ε > 0. Prin urmare, lim sup yn = −∞, deci existalim yn = −∞.

2.54 Presupunem ca a) este adevarata, adica supA = inf B. Din carac-terizarea marginii superioare si marginii inferioare deducem ca pentru oricenumar natural nenul exista xn ∈ A astfel ıncat

supA− 1n

< xn.

si yn ∈ B astfel ıncat

yn < inf B +1n

.

AstfelsupA− 1

n< xn ≤ yn < inf B +

1n

, ∀n ∈ IN∗,

deci0 ≤ yn − xn <

2n

ceea ce implica yn − xn → 0.

114

Presupunem ca este adevarata conditia b). Din ipoteza asupra multi-milor A si B avem supA ≤ inf B. Daca supA < inf B, atunci pentru orice(xn) ⊂ A si pentru orice (yn) ⊂ B avem

yn − xn ≥ inf B − supA > 0,∀n ∈ IN.

Cum inf B−supA este o constanta, nu putem avea yn−xn → 0, contradictie.

Capitolul 3

SERII NUMERICE

Definitia 3.1. Fie (an)n≥n0(n0 ∈ IN) un sir de numere reale si (sn)n≥n0

sirul definit prin:

sn0 = an0 ,

sn0+1 = an0 + an0+1,

sn0+2 = an0 + an0+1 + an0+2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

sn = an0 + an0+1 + ... + an, n ∈ IN, n ≥ n0.

Se numeste serie de numere reale (sau serie numerica) perechea

{(an)n, (sn)n}

formata din sirurile (an)n si (sn)n.an se numeste termenul general al seriei, iar (sn)n se numeste sirul

sumelor partiale asociat sirului (an)n.Vom nota seria prin:∞∑

n=n0

an,∑

n≥n0

an sau an0 + an0+1 + an0+2 + ... + an + ....

Definitia 3.2. Fie∞∑

n=n0

an (n0 ∈ IN) o serie numerica si (sn) sirul

sumelor partiale.

a) Seria∞∑

n=n0

an se numeste convergenta (sau seria∞∑

n=n0

an converge)

daca (sn) este convergent. In acest caz, limita sirului (sn) se numeste

suma seriei si se noteaza prin∞∑

n=n0

an.

115

116

b) Seria∞∑

n=n0

an se numeste divergenta (sau seria∞∑

n=n0

an diverge) daca

nu este convergenta deci daca (sn) este divergent. Daca limita sirului(sn) este +∞ sau −∞, atunci se spune ca suma seriei este +∞ sau

−∞ si se noteaza∞∑

n=n0

an = +∞ sau∞∑

n=n0

an = −∞.

Observatia 3.3. (Serii remarcabile)

a) Seria geometrica de ratie q:∞∑

n=0qn, q ∈ IR (q0 = 1).

Daca q ∈ (−∞,−1], atunci seria este divergenta.

Daca q ∈ (−1, 1), atunci seria este convergenta si are suma∞∑

n=0qn =

11−q .

Daca q ≥ 1, atunci seria este divergenta si are suma∞∑

n=0qn = +∞.

b) Seria armonica generalizata:∞∑

n=1

1nα , α ∈ IR.

Daca α > 1, atunci seria este convergenta.

Daca α ≤ 1, atunci seria este divergenta. Pentru α = 1, seria∞∑

n=1

1n se

numeste seria armonica.

Observatia 3.4. Fie seria∞∑

n=0α cu termen general an = α ∈ IR, ∀n ∈ IN

(sirul (an) este constant).Daca α = 0, atunci seria este convergenta si are suma 0.Daca α 6= 0, atunci seria este divergenta.

Definitia 3.5. Fie (bn)n≥n0(n0 ∈ IN) un sir de numere reale. O serie

de forma∞∑

n=n0+1(bn − bn−1) se numeste serie telescopica. In acest caz, sirul

sumelor partiale este sn = bn − bn0 , ∀n ∈ IN∗, n ≥ n0 + 1.

Definitia 3.6. Daca doua serii∞∑

n=n0

an si∞∑

n=n0

bn (n0 ∈ IN) au aceeasi

natura (adica sunt ın acelasi timp convergente sau divergente), atunci vom

nota∞∑

n=n0

an ∼∞∑

n=n0

bn.

117

Teorema 3.7. (Conditia necesara de convergenta)

Daca seria∞∑

n=0an (n0 ∈ IN) este convergenta, atunci lim

n→∞ an = 0.

In consecinta, rezulta:

Corolar 3.8. Daca (an)n este convergent si limn→∞ an 6= 0 sau daca (an)

este divergent (ceea ce vom nota prin an 9 0), atunci seria∞∑

n=n0

an este

divergenta.

Propozitia 3.9. (Proprietati generale ale seriilor convergente)

i) Fie seria∞∑

n=n0

an (n0 ∈ IN). Daca din sirul (an) se elimina sau se

adauga un numar finit de termeni, atunci natura seriei nu se schimba(dar ın caz de convergenta, suma seriei se modifica). Astfel, vom faceconventia de a nota o serie prin

∑an atunci cand ne va interesa doar

natura seriei (nu si suma seriei).ii) Daca ıntr-o serie convergenta se asociaza termenii seriei ın grupe finite,

cu pastrarea ordinii termenilor, atunci se obtine tot o serie convergentasi cu aceeasi suma. Daca seria este divergenta, atunci rezultatul nu se

mai pastreaza. De exemplu, fie seria divergenta∞∑

n=1(−1)n−1 si seria:

(1) [1 + (−1)] + [1 + (−1)] + ... + [1 + (−1)] + ....

obtinuta prin asocierea termenilor ın grupe de cate doi termeni. Seobserva ca seria (1) este convergenta si are suma 0.

iii) Fie seria∞∑

n=n0

an (n0 ∈ IN) si k ∈ IN∗. Atunci∞∑

n=n0

an ∼∞∑

n=n0

an+k. In

caz de convergenta, daca∞∑

n=n0

an = s, atunci∞∑

n=n0

an+k = s − (an0 +

an0+1 + ... + an0+k−1). Invers, daca∞∑

n=n0

an+k = t, atunci∞∑

n=n0

an =

t + (an0 + an0+1 + ... + an0+k−1).

iv) Fie∞∑

n=n0

an (n0 ∈ IN) o serie numerica si pentru orice p ∈ IN, fie seria

∞∑n=n0+p+1

an. Atunci∞∑

n=n0

an ∼∞∑

n=n0+p+1an. In caz de convergenta, se

118

noteaza∞∑

n=p+1an=rp (numit restul de ordin p al seriei

∞∑n=n0

an) si avem

limp→∞ rp = 0.

Teorema 3.10. (Teorema lui Cauchy de caracterizare)

O serie∞∑

n=n0

an (n0 ∈ IN) este convergenta daca si numai daca ∀ε > 0,

∃N(ε) = N ∈ IN, astfel ıncat ∀n ≥ N,n ≥ n0 si ∀p ∈ IN∗, |an+1 + an+2 +... + an+p| < ε.

Observatia 3.11. Daca seria∞∑

n=n0

an (n0 ∈ IN) are proprietatea ca

an ≥ 0, ∀n ≥ n0, atunci sirul sumelor partiale este crescator. In acest caz,se spune ca seria este cu termeni nenegativi.

Teorema 3.12. Fie∑

an o serie cu termeni nenegativi si (sn) sirulsumelor partiale. Atunci seria

∑an este convergenta daca si numai daca

(sn) este majorat.

Observatia 3.13.

a) O serie cu termeni nenegativi∞∑

n=n0

an (n0 ∈ IN) este divergenta daca

si numai daca (sn) este nemajorat ceea ce este echivalent cu faptul calim

n→∞ sn = +∞.

b) O serie cu termeni nenegativi are ıntotdeauna suma ın [0, +∞].

Teorema 3.14. (Criteriul de comparatie de specia I)Fie

∑n≥n0

an si∑

n≥n0

bn (n0 ∈ IN) serii cu termeni nenegativi astfel ıncat an ≤bn, ∀n ≥ n0.

i) Daca seria∑

bn converge, atunci seria∑

an converge.

ii) Daca seria∑

an diverge, atunci seria∑

bn diverge.

Teorema 3.15. (Criteriul de comparatie de specia a II-a)Fie seriile

∑n≥n0

an si∑

n≥n0

bn (n0 ∈ IN) astfel ıncat an > 0, bn > 0 si an+1

an≤

bn+1

bnpentru orice n ≥ n0.

i) Daca seria∑

bn este convergenta, atunci seria∑

an este convergenta.

119

ii) Daca seria∑

an este divergenta, atunci seria∑

bn este divergenta.

Teorema 3.16. (Criteriul de comparatie cu limita)Fie

∑an si

∑bn serii cu termeni pozitivi astfel ıncat exista limita

limn→∞

an

bn= λ ∈ [0,+∞].

i) Daca λ ∈ (0, +∞), atunci∑

an ∼∑

bn.ii) Pentru λ = 0,

• daca seria∑

bn converge, atunci seria∑

an converge;

• daca seria∑

an diverge, atunci seria∑

bn diverge.iii) Pentru λ = +∞,

• daca seria∑

an converge, atunci seria∑

bn converge;

• daca seria∑

bn diverge, atunci seria∑

an diverge.

Corolar 3.17. Fie seria∞∑

n=n0

anbn (n0 ∈ IN) unde an > 0, bn > 0, ∀n ≥n0. Daca exista limita lim

n→∞ bn = λ si λ ∈ (0, +∞), atunci∑

anbn ∼∑

an.

Teorema 3.18. (Criteriul lui Cauchy de condensare)Fie

∑an o serie cu termeni nenegativi astfel ıncat sirul (an) este descresca-

tor. Atunci∑

an ∼∑

2na2n .

Teorema 3.19. (Criteriul radacinii cu marginire)Fie seria

∑n≥n0

an (n0 ∈ IN) cu termeni nenegativi.

i) Daca exista M < 1 astfel ıncat n√

an ≤ M , ∀n ≥ n0, atunci seria∑

an

converge.ii) Daca exista M ≥ 1 astfel ıncat n

√an ≥ M , ∀n ≥ n0, atunci seria

∑an

diverge.

Teorema 3.20. (Criteriul radacinii cu limita superioara)Fie

∑an o serie cu termeni nenegativi.

i) Daca lim supn→∞

n√

an < 1, atunci seria∑


ii) Daca lim supn→∞

n√

an > 1, atunci seria∑

an este divergenta.

Teorema 3.21. (Criteriul radacinii cu limita)Fie seria

∑an cu termeni nenegativi astfel ıncat exista limita lim

n→∞n√

an = α.

120

i) Daca α < 1, atunci seria∑

an converge.ii) Daca α > 1, atunci seria

∑an diverge.

Teorema 3.22. (Criteriul raportului cu marginire)Fie

∑n≥n0

an (n0 ∈ IN) o serie cu an > 0 pentru orice n ≥ n0.

i) Daca exista M < 1 astfel ıncat an+1

an≤ M,∀n ≥ n0, atunci seria

∑an

este convergenta.ii) Daca exista M ≥ 1 astfel ıncat an+1

an≥ M,∀n ≥ n0, atunci seria

∑an

este divergenta.

Teorema 3.23. (Criteriul raportului cu limite extreme)Fie

∑n≥n0

an (n0 ∈ IN) o serie cu an > 0 pentru orice n ≥ n0.

i) Daca lim supn→∞

an+1

an< 1, atunci seria

∑an converge.

ii) Daca lim infn→∞

an+1

an> 1, atunci seria

∑an diverge.

Teorema 3.24. (Criteriul raportului cu limita)Fie

∑n≥n0

an (n0 ∈ IN) o serie cu an > 0 pentru orice n ≥ n0 astfel ıncat exista

limita limn→∞

an+1

an= α.

i) Daca α < 1, atunci seria∑

an este convergenta.ii) Daca α > 1, atunci seria

∑an este divergenta.

Teorema 3.25. (Criteriul lui Raabe - Duhamel)Fie

∑n≥n0

an (n0 ∈ IN) o serie cu an > 0 pentru orice n ≥ n0 astfel ıncat exista

limita limn→∞n

(an

an+1− 1

)= β.

i) Daca β > 1, atunci seria∑

an converge.ii) Daca β < 1, atunci seria

∑an diverge.

Teorema 3.26. (Criteriul lui Gauss)Fie seria

∑

n≥n0

an (n0 ∈ IN) cu an > 0 pentru orice n ≥ n0 astfel ıncat anan+1

se

poate scrie ın forma: anan+1

= 1 + βn + xn

n1+α , ∀n ≥ n0, unde α, β ∈ IR, α > 0si (xn) ⊂ IR este un sir marginit.

121

i) Daca β > 1, atunci seria∑

an converge.ii) Daca β ≤ 1, atunci seria

∑an diverge.

Corolar 3.27. (Gauss) Fie seria∑

n≥n0

an (n0 ∈ IN) cu an > 0 pentru

orice n ≥ n0 avand proprietatea:

an

an+1= 1 +

P1(n)Q1(n)

+P2(n)Q2(n)

+ · · ·+ Pk(n)Qk(n)

+xn

n1+α,

∀n ≥ n0, unde Pi, Qi sunt polinoame cu coeficienti reali astfel ıncat:grad Qi− grad Pi = 1, ∀i = 1, k, α ∈ (0,∞) si (xn) ⊂ IR este un sir marginit.Notand cu bi respectiv ci, coeficientul dominant al polinomului Pi respectiv

al polinomului Qi, ∀i = 1, k si cu β =k∑

i=1

bi

ci, avem:

• pentru β > 1, seria∑

an converge,• pentru β ≤ 1, seria

∑an diverge.

Teorema 3.28. (Criteriul lui Dirichlet)Fie seria

∑n≥n0

anbn (n0 ∈ IN) care verifica conditiile:

i) seria∑

n≥n0

an are sirul sumelor partiale (sn) marginit (adica exista α ≥0 astfel ıncat |sn| ≤ α,∀n ≥ n0),

ii) (bn) este un sir descrescator cu limn→∞ bn = 0.

Atunci seria∑

anbn este convergenta.

Teorema 3.29. (Criteriul lui Abel)Fie

∑anbn o serie pentru care au loc afirmatiile:

i) seria∑

an este convergenta,ii) (bn) este un sir monoton si marginit.

Atunci seria∑

anbn este convergenta.

Definitia 3.30. O serie numerica∑

n≥n0

an (n0 ∈ IN) se numeste serie

alternata dacaan · an+1 < 0, ∀n ≥ n0.

In acest caz, an se mai scrie ın forma an = (−1)nbn pentru orice n ≥ n0

sau an = (−1)n+1bn pentru orice n ≥ n0, unde bn > 0 pentru orice n ≥ n0

(se observa ca bn = |an| pentru orice n ≥ n0).

122

Teorema 3.31. (Criteriul lui Leibniz)Fie

∑n≥n0

(−1)nbn (n0 ∈ IN) o serie alternata (bn > 0, ∀n ≥ n0) astfel ıncat

sirul (bn) este descrescator si limn→∞ bn = 0. Atunci seria

∑n≥n0

(−1)nbn este

convergenta.

Definitia 3.32.

a) O serie∑

an se numeste absolut convergenta daca seria∑ |an| este

convergenta.b) Seria

∑an se numeste semiconvergenta (sau conditionat convergenta)

daca seria∑

an este convergenta, iar seria∑ |an| este divergenta.

Teorema 3.33. Daca o serie∑

an este absolut convergenta, atunci seria∑an este convergenta.

Observatia 3.34.

a) Reciproca teoremei 3.33 nu este adevarata (vezi problema 3.1-10).b) Daca se aplica criteriul raportului sau cel al radacinii pentru seria∑ |an| si aceasta este divergenta, atunci si seria

∑an este divergenta

(vezi problema 3.5).

Teorema 3.35. (Produs cu un scalar)Fie seria

∑n≥n0

an (n0 ∈ IN) si λ ∈ IR. Daca λ 6= 0, atunci∑

(λan) ∼ ∑an

si ın caz de convergenta avem∑

n≥n0

(λan) = λ∑

n≥n0

an.

Teorema 3.36. (Suma a doua serii)Fie seriile

∑n≥n0

an si∑

n≥n0

bn (n0 ∈ IN).

i) Daca ambele serii sunt convergente, atunci si seria∑

(an + bn) esteconvergenta si

∑n≥n0

(an + bn) =∑

n≥n0

an +∑

n≥n0

bn.

ii) Daca seria∑

an converge si seria∑

bn diverge (sau invers), atunciseria

∑(an + bn) diverge.

Definitia 3.37. (Produsul Cauchy al doua serii)

Fie seriile∞∑

n=0an,

∞∑n=0

bn si fie (cn) sirul definit prin:

c0 = a0b0,c1 = a0b1 + a1b0,

123

c2 = a0b2 + a1b1 + a2b0,.........................................,

cn = a0bn + a1bn−1 + ... + anb0 =n∑

k=0

akbn−k, ∀n ∈ IN.

Atunci seria∞∑

n=0cn se numeste produs Cauchy al seriilor

∞∑n=0

an si∞∑

n=0bn.

Teorema 3.38. (Mertens)

Fie∞∑

n=0an si

∞∑n=0

bn serii convergente. Daca cel putin una dintre serii este

absolut convergenta, atunci seria produs Cauchy,∞∑

n=0cn, este convergenta si

∞∑n=0

cn =( ∞∑

n=0an

)( ∞∑n=0

bn

).

Daca an = bn, ∀n ∈ IN, atunci vom nota( ∞∑

n=0an

)( ∞∑n=0

bn

)prin

( ∞∑n=0

an

)2.

A ridica seria∞∑

n=0an la patrat ınseamna a efectua produsul Cauchy al seriei

∞∑n=0

an cu ea ınsasi.

Corolar 3.39. (Teorema lui Cauchy)

Daca doua serii∞∑

n=0an si

∞∑n=0

bn sunt absolut convergente, atunci seria produs

Cauchy,∞∑

n=0cn, este absolut convergenta si

∞∑n=0

cn =( ∞∑

n=0an

)( ∞∑n=0

bn

).

Observatia 3.40. (Calculul aproximativ al sumelor de serii)

Fie∞∑

n=0an o serie convergenta cu suma s. In acest caz, sirul sumelor partiale

sn = a0 + a1 + · · · + an converge la s iar restul de ordin n al seriei,

rn =∞∑

k=n+1

ak = s− sn, converge la 0. Pentru determinarea cu aproximatie

a sumei s, se poate folosi formula de aproximare:

s ∼= sn,

fiind necesara o evaluare a erorii absolute |rn| = |s− sn|.De exemplu:

a) Presupunem ca exista n0 ∈ IN si λ ∈ (0, 1) astfel ıncat∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ ≤ λ

pentru orice n ≥ n0. Atunci |an+1| ≤ λ|an|, |an+2| ≤ λ|an+1| ≤ λ2|an|,

124

|an+3| ≤ λ3|an|, · · · , |an+p| ≤ λp|an|, ∀p ∈ IN∗. Conform problemei 3.19,

|s − sn| = |rn| =

∣∣∣∣∣∞∑

k=n+1

ak

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

k=n+1

|ak| ≤ |an| ·∞∑

k=1

λk = |an| · λ

1− λ. Deci

|s− sn| ≤ |an| · λ

1− λ, ∀n ≥ n0.

Sa presupunem ca vrem sa calculam s cu o aproximatie data ε > 0.Pentru aceasta, vom determina N ∈ IN, N minim si N ≥ n0 astfel ıncat

|an| · λ

1− λ≤ ε pentru n ≥ N . Atunci s ∼= sN .

b) Fie (an) un sir descrescator de numere pozitive, cu an → 0 astfel ıncat

seria∞∑

n=0(−1)nan este convergenta si are suma s. Sa aratam ca |rn| ≤ an+1,

∀n ∈ IN. Fixand n ∈ IN, pentru orice k ∈ IN∗ avem:

an+1 − an+2≤an+1 − an+2 + · · ·+ (−1)k+1an+k + (−1)k+2an+k+1≤an+1.

Trecand la limita pentru k →∞ se obtine an+1−an+2 ≤ (−1)n+1rn ≤ an+1.Rezulta |s − sn| = |rn| ≤ an+1, ∀n ∈ IN. Daca vrem sa calculam s cu oaproximatie data ε > 0, atunci vom determina N ∈ IN, N minim astfelıncat an+1 ≤ ε pentru orice n ≥ N . Atunci s ∼= sN .

Scrierea p−adica a numerelor reale

Urmatoarele enunturi au fost extrase din cartea d-nei prof. dr. AncaMaria Precupanu, Bazele Analizei Matematice [14].

Teorema 3.41. Fie p ∈ IN, p ≥ 2 si (an)n∈IN∗ ⊂ Z cu proprietatea

0 ≤ an ≤ p− 1, ∀n ∈ IN∗. Atunci seria∞∑

n=1

an

pneste convergenta iar suma sa

este un numar a ∈ [0, 1].

Teorema 3.42. Fie p ∈ IN, p ≥ 2 si a ∈ (0, 1]. Atunci exista un sir(an)n∈IN∗ ⊂ Z, cu an 6= 0 pentru o infinitate de valori ale lui n, astfel ıncat

0 ≤ an ≤ p− 1, ∀n ∈ IN∗ si∞∑

n=1

an

pn= a.

Definitia 3.43. Seria∞∑

n=1

an

pndin teorema precedenta se numeste dez-

voltare p−adica a numarului a. Se mai scrie a = 0,p a1a2a3....Vom spune dezvoltare diadica ın cazul p = 2.Daca p = 10, atunci se obtine dezvoltarea zecimala obisnuita a numarului

a.

125

Numerele din (0, 1] pot avea mai multe dezvoltari p−adice.

Teorema 3.44. Fie p ∈ IN, p ≥ 2, a ∈ (0, 1] si a =∞∑

n=1

an

pndezvoltarea

p−adica a lui a.

Daca (bn)n∈IN∗ ⊂ Z, 0 ≤ bn ≤ p − 1 pentru orice n ∈ IN∗ si a =∞∑

n=1

bn

pn,

atunci exista n0 ∈ IN∗ astfel ıncat:

i) bn = an, 1 ≤ n < n0:ii) bn0 = an0 + 1;iii) an = p− 1, bn = 0, n > n0,

adica a are o singura dezvoltare p−adica cu elemente nenule. Mai mult, aare doua dezvoltari p−adice daca si numai daca exista m,n0 ∈ IN∗ astfelıncat a =

m

pn0unde a < pn0 .

126

Probleme

3.1 Stabiliti natura urmatoarelor serii folosind definitia 3.2 si ın caz deconvergenta determinati sumele lor:

1.∞∑

n=1

14n2 − 1

;

2.∞∑

n=1

1(n + x)(n + x + 1)

, x > 0;

3.∞∑

n=1

(1n

+ lnn + 1

n

);

4.∞∑

n=1

1√n +

√n + 1

;

5.∞∑

n=0

arctg1

n2 + n + 1;

6.∞∑

n=1

n2 + n− 1(n + 1)!

;

7.∞∑

n=1

(1n

+ lnn

n + 1

);

8.∞∑

n=1

(n− 1)!(n + p)!

, p fixat din IN∗;

9.∞∑

n=1

2n + 1√(2n)!!(2n + 2 +

√2n + 2)

, unde (2n)!! = 2 · 4 · 6 · · · (2n);

10.∞∑

n=1

(−1)n−1

n;

11.∞∑

n=0

(n + 1)xn, x ∈ IR;

12.∞∑

n=0

xn

3n+2, x ∈ IR;

13.∞∑

n=0

(2a + 33a− 1

)n

, a ∈ IR \{

13

}.

3.2 Aratati ca seria∞∑

n=1

n+1n2·n!

este convergenta si calculati suma seriei cu

aproximatie de 10−2.

127

3.3 Demonstrati ca seria∞∑

n=0

(−1)n

(2n+1)3este convergenta si calculati suma

seriei cu aproximatie de 10−3.

3.4 Sa se studieze convergenta urmatoarelor serii folosind teoremele pre-cizate.

Corolarul 3.8:

1.∞∑

n=1

(n2 − n + 1n2 + n + 1

)n

;

2.∞∑

n=1

5n

n3 + 5n;

Teorema lui Cauchy de caracterizare (3.10):

3.∞∑

n=0

cosn

7n;

4.∞∑

n=1

n√

n

n2 + 1;

Teorema 3.12:

5.∞∑

n=0

1(n + 1) · 3n

;

6.∞∑

n=1

1 + sin n

n2 + 3n + 4;

Criteriul de comparatie de specia I (3.14):

7.∞∑

n=1

arctg1n3

;

8.∞∑

n=1

n

n2 + cos2 n;

Criteriul de comparatie de specia a II-a (3.15):

9.∞∑

n=1

(2n + 1)!!(2n)!! · √n + 1

, unde (2n + 1)!! = 1 · 3 . . . (2n + 1);

10.∞∑

n=2

(2− e12 )(2− e

13 )...(2− e

1n );

128

Criteriul de comparatie cu limita (3.16, 3.17):

11.∞∑

n=1

n+32n4+1

;

12.∞∑

n=1

n2 + 2n√

n3 + 4√

n7

3√

n4 + n3√

n + 3;

13.∞∑

n=1

3√

n + 3− 3√

n + 13√

n2 + 4;

Criteriul lui Cauchy de condensare (3.18):

14.∞∑

n=2

1n lnn

;

15.∞∑

n=2

1(lnn)ln n

;

Criteriul radacinii cu marginire (3.19):

16.∞∑

n=1

(8n + 1n3 + 2

)n

;

Criteriul radacinii cu limita superioara (3.20):

17.∞∑

n=0

an, unde an =13n

pentru n par si an =17n

pentru n impar;

Criteriul radacinii cu limita (3.21):

18.∞∑

n=1

(√n + 2−√n + 1

)n;

19.∞∑

n=1

(12 + 22 + ... + n2

n2− n

3

)n

;

Criteriul raportului cu marginire (3.22):

20.∞∑

n=0

32n

(n + 1)!;

Criteriul raportului cu limita (3.24):

21.∞∑

n=1

1 · 3 · 5 . . . (2n− 1)2 · 5 · 8 . . . (3n− 1)

;

129

22.∞∑

n=1

n!nn

;

Criteriul lui Raabe - Duhamel (3.25):

23.∞∑

n=1

2 · 7 · 12 . . . (5n− 3)3 · 8 · 13 . . . (5n− 2)

;

24.∞∑

n=1

(2n)!(n!)2 · 22n

;

Criteriul lui Gauss (3.26, 3.27):

25.∞∑

n=1

12 · 52 · 92 . . . (4n− 3)2

32 · 72 · 112 . . . (4n− 1)2.

Observatiea) Daca M 6= 1 ın criteriul radacinii cu marginire, atunci se poate aplica

criteriul radacinii cu limita superioara sau criteriul radacinii cu limita. Ast-fel, daca M < 1 si n

√an ≤ M pentru orice n ≥ n0, atunci lim sup

n→∞n√

an ≤M < 1, iar daca M > 1 si n

√an ≥ M pentru orice n ≥ n0, atunci

lim supn→∞

n√

an ≥ M > 1 si se obtin concluziile din criteriul radacinii cu limita

superioara sau din criteriul radacinii cu limita daca exista limn→∞

n√

an.La fel stau lucrurile si ın cazul criteriului raportului.Pentru M = 1, exista serii pentru care se poate aplica criteriul radacinii

cu marginire dar criteriul radacinii cu limita superioara (sau criteriul rada-cinii cu limita) nu poate preciza natura seriei. De exemplu, fie seria

∞∑

n=1

en · n2n

(n + 1)2n.

Atunci n√

an = e·nn

(n+1)n = e(1+ 1

n)n ,∀n ∈ IN∗ si conform criteriului radacinii

cu marginire, seria data este divergenta. Dar limn→∞

n√

an = 1 si nu se poatefolosi criteriul radacinii cu limita.

Aceeasi situatie are loc pentru M = 1 ın criteriul raportului. De exem-

plu, fie seria∞∑

n=0

2·5·8·...·(3n+2)1·4·7·...·(3n+1) . Avem an+1

an= 3n+5

3n+4 > 1, ∀n ∈ IN si conform

criteriului raportului cu marginire, seria este divergenta. Dar limn→∞

an+1

an= 1

si nu putem aplica criteriul raportului cu limita.

130

b) Este evident ca criteriul radacinii cu limita (respectiv criteriul rapor-tului cu limita) implica criteriul radacinii cu limita superioara (respectiv cri-teriul raportului cu limite extreme) deoarece daca exista lim

n→∞n√

an(respectiv

limn→∞

an+1

an), atunci

lim supn→∞

n√

an = limn→∞

n√

an

(respectiv lim supn→∞

an+1

an= lim inf

n→∞an+1

an= lim

n→∞an+1

an).

Exista ınsa situatii ın care se poate folosi criteriul radacinii cu limitasuperioara (respectiv criteriul raportului cu limite extreme) si nu se poateaplica criteriul radacinii cu limita (respectiv criteriul raportului cu limita).

De exemplu, pentru seria din exercitiul 3.4-17,∞∑

n=0an cu an = 1

3n pentru

n par si an = 17n pentru n impar, se vede ca nu exista lim

n→∞n√

an (deci nu

putem utiliza criteriul radacinii cu limita), dar lim supn→∞

n√

an = 13 < 1 si

conform criteriului radacinii cu limita superioara, seria este convergenta.c) Criteriul raportului cu limita (sau cu limite extreme) implica cri-

teriul radacinii cu limita (sau cu limita superioara) si acest lucru rezulta dinpropozitia 2.29. Astfel daca an > 0,∀n ∈ IN, atunci

(2) lim infn→∞

an+1

an≤ lim inf

n→∞n√

an ≤ lim supn→∞

n√

an ≤ lim supn→∞

an+1

an.

Dar exista situatii ın care natura unei serii se poate preciza cu criteriulradacinii si nu cu criteriul raportului. Astfel, seria de la b) este convergentaconform criteriului radacinii cu limita superioara. Dar lim inf

n→∞an+1

an= 0 < 1

si lim supn→∞

an+1

an= ∞ > 1 si nu se poate aplica criteriul raportului cu limita

sau cu limite extreme.d) Daca lim

n→∞an+1

an= 1, atunci din (2) rezulta ca si lim

n→∞n√

an = 1 sinu se poate utiliza nici criteriul raportului cu limita, nici criteriul radacinii

cu limita. Spre exemplu, fie seria∞∑

n=2

1n ln n . Avem lim

n→∞an+1

an= 1 deci

nu merge aplicat nici criteriul raportului, nici criteriul radacinii. Trebuiegasit un alt criteriu, de exemplu criteriul lui Cauchy de condensare. Astfel

2n · a2n = 2n · 12n·ln 2n = 1

n ln 2 si seria∞∑

n=2

1n ln 2 este divergenta. Rezulta ca si

seria∞∑

n=2

1n ln n este divergenta.

e) Criteriul raportului cu limita implica criteriul lui Raabe-Duhamel.

131

Intr-adevar, daca limn→∞

an+1

an= α 6= 1, atunci

limn→∞n

(an

an+1− 1

)=

{−∞, daca α > 1+∞, daca α < 1

si putem aplica criteriul lui Raabe-Duhamel.Exista serii pentru care lim

n→∞an+1

an= 1 deci nu putem folosi criteriul ra-

portului cu limita dar se poate utiliza criteriul lui Raabe-Duhamel. De exem-plu, pentru seria din exercitiul 3.4-23, lim

n→∞an+1

an= 1 dar lim

n→∞n(

anan+1

− 1)

=15 < 1 si conform criteriului lui Raabe-Duhamel, seria diverge.

3.5 Sa se arate ca daca seria∑

n≥n0

an (n0 ∈ IN) ındeplineste una din

urmatoarele conditii:

(i) ∃M ≥ 1 a.ı.|an+1||an| ≥ M,∀n ≥ n0,

(ii) lim inf|an+1||an| > 1,

(iii) ∃ limn→∞

|an+1||an| = α si α > 1,

(iv) ∃M ≥ 1 a.ı. n√|an| ≥ M, ∀n ≥ n0,

(v) lim sup n√|an| > 1,

(vi) ∃ limn→∞

n√|an| = α si α > 1,

atunci seria∑

n≥n0

an este divergenta.

3.6 Determinati natura urmatoarelor serii:

1.∞∑

n=1

e−n3 ·

(n + 1

n

)n2

;

2.∞∑

n=1

(3√

n3 + n2 + 2− 3√

n3 − n2 + 2)n

;

3.∞∑

n=2

1ln(n!)

;

4.∞∑

n=1

sin3 1n

;

132

5.∞∑

n=1

11 +

√2 + 3

√3 + . . . + n

√n

;

6.∞∑

n=1

arctg1n

;

7.∞∑

n=1

(2n)n

√(4n2 + 3n + 1)n+1

;

8.∞∑

n=2

lnn · ln(

1 +1n

)· ln

(1 +

1n2

);

9.∞∑

n=1

1n

lnn + 1

n;

10.∞∑

n=1

1 + 12 + . . . + 1

n

n2;

11.∞∑

n=2

1[n + (−1)n]2

;

12.∞∑

n=0

5 + sin 4n2n

;

13.∞∑

n=1

(2n− 1)!!(2n)!!

· 12n + 1

;

14.∞∑

n=1

1[3 + (−1)n]n

;

15.∞∑

n=1

nn

en · n!;

16.∞∑

n=1

(1

n2 + 2+

2n2 + 4

+ ... +n

n2 + 2n

)n

;

17.∞∑

n=2

ln(n + 1)n2

.

3.7 Precizati natura seriilor urmatoare ın functie de parametrii respectivi:

1.∞∑

n=1

n

xn, x > 0;

2.∞∑

n=1

1n(1 + x + x2 + . . . + xn)

, x > 0;

133

3.∞∑

n=1

a√

n, a > 0;

4.∞∑

n=1

aln n, a > 0;

5.∞∑

n=2

nα ln n, α ∈ IR;

6.∞∑

n=1

(an2 + n + 1

n2

)n

, a > 0;

7.∞∑

n=1

an

n√

n!, a > 0;

8.∞∑

n=1

(an)n

n!, a > 0;

9.∞∑

n=1

(2n + 1)[

α(α− 1) . . . (α− n + 1)(α + 1)(α + 2) . . . (α + n)

]2

, α ∈ IR \ {−1,−2,−3, . . .};

10.∞∑

n=2

ln(1 + xn)nα

, x > 0, α ∈ IR;

11.∞∑

n=2

(√

n + 1−√n)α · ln n + 1n− 1

, α ∈ IR;

12.∞∑

n=1

a1+ 12+...+ 1

n , a > 0;

13.∞∑

n=1

(−1)n+1

nα+ 1n

, α ∈ IR;

14.∞∑

n=2

1n(lnn)α

, α ∈ IR.

3.8 Studiati convergenta urmatoarelor serii folosind teoremele precizate:

a) Criteriul lui Dirichlet:∞∑

n=1

cosnx√n

, x ∈ IR;

b) Criteriul lui Abel:∞∑

n=1

cosn · cos 1n

7√

n3;

c) Criteriul lui Leibniz:∞∑

n=2

(−1)n

ln n;

134

d) Teorema 3.33:∞∑

n=1

(−1)n2+n

2 · n

5n.

3.9 Dati exemple de serii divergente a caror suma sa fie:

a) convergenta;b) divergenta.

3.10 Dati exemple de:

a) serie alternata divergenta,∑

n≥n0

(−1)nan (an > 0, ∀n ≥ n0), cu propri-

etatea an → 0;b) serie alternata convergenta care nu verifica conditiile din criteriul lui

Leibniz.

3.11 Fie seria∞∑

n=1an si seria

(∗)(a1 + a2 + ... + an1) +(an1+1 + an1+2 + ... + an2) + . . .

... + (ank+1 + ank+2 + ... + ank+1) + ...

obtinuta prin gruparea termenilor ın grupe finite, cu pastrarea ordinii ter-menilor, astfel ıncat termenii din fiecare grupa au acelasi semn. Aratati cadaca seria (∗) este convergenta, atunci si seria

∑an este convergenta si are

aceeasi suma.

Aplicatie: stabiliti natura seriei∞∑

n=1

(−1)[√

n]

n.

3.12 Studiati natura seriilor:

1.∞∑

n=1

sinn cosn2

n +√

n;

2.∞∑

n=0

(−1)n

3 + sinn;

3.∞∑

n=1

(−1)n−1 ln(5 + e3n)ln(3 + e5n)

;

4.∞∑

n=1

(1 + 12 + ... + 1

n) sinnx

n, x ∈ IR;

135

5.∞∑

n=1

(n!)2 · xn

(2n)!, x ∈ IR;

6.∞∑

n=1

(√

n2 + 1− a√

n2 − 1) · xn, a, x ∈ IR

(Prof. dr. A.M. Precupanu, examen Analiza matematica I);

7.∞∑

n=1

(b · n + a

n + a− 1

)n

; a, b ∈ IR;

8.∞∑

n=1

(−1)n(n+1)(n+2)

3 ·(

n

4n + 1

)n

;

9.∞∑

n=1

nα · an; a, α ∈ IR;

10.∞∑

n=1

xn

1− xn, x ∈ IR \ {1,−1};

11.∞∑

n=2

xn

xn +√

n, x ∈ IR;

12.∞∑

n=1

xn

(1 + x)(1 + x2) . . . (1 + xn), x ∈ IR \ {−1};

13.∞∑

n=1

an · bn

an + bn; a, b ∈ IR cu a + b 6= 0;

14.∞∑

n=1

1 + (−1)n

n· xn, x ∈ IR;

15.∞∑

n=1

xn − 1n

· yn; x, y ∈ IR;

16.∞∑

n=1

nx + 3ny + 7

· an; x, y, a ∈ IR;

17.∞∑

n=1

n! · an

α(α + 1) . . . (α + n); a ∈ IR, α > 0;

18.∞∑

n=1

an

n(1 + bn); a ∈ IR, b > 0


19.∞∑

n=1

(√

n2 + 1− an) · xn; a, x ∈ IR


136

20.∞∑

n=1

(√n2 + 1− αn− β

n

)· xn; α, β, x ∈ IR


21.∞∑

n=1

[(2n− 1)!!

(2n)!!

]α

· xn; α, x ∈ IR;

22.∞∑

n=1

x(x + 1) . . . (x + n)y(y + 1) . . . (y + n)

· an; a ∈ IR, 0 < x < y;

23.∞∑

n=1

(α− 1)(α− 2) . . . (α− n + 1)√

n

(α + 1)(α + 2) . . . (α + n), α ∈ IR \ Z−;

24.∞∑

n=1

n!b(b + 1) . . . (b + n) · nα

; α ∈ IR, b > 0;

25.∞∑

n=1

(−1)n(n+1)

2e · √e · 3

√e... n

√e

nα, α ∈ IR;

26.∞∑

n=1(a− 2)n · (1 + 1

n

)n2

, a ∈ IR, a > 2

(Examen de Licenta-iunie 2004).

3.13 Criteriul logaritmicFie seria

∑n≥n0

an (n0 ∈ IN) cu an > 0,∀n ≥ n0.

a) Daca lim infln 1

an

ln n> 1, atunci seria

∑an converge.

b) Daca lim supln 1

an

ln n< 1, atunci seria

∑an diverge.

c) Presupunand ca exista limn→∞

ln 1an

ln n= α, avem:

• daca α > 1, atunci seria∑

an este convergenta;

• daca α < 1, atunci seria∑

an este divergenta.

3.14 Folosind criteriul logaritmic (problema 3.13), studiati convergentaseriilor:

a)∞∑

n=1

(1

n3 + n + 3

)ln(n+1)

;

b)∞∑

n=2

1(lnn)α

, α ∈ IR.

137

3.15 Precizati natura seriei∞∑

n=1(√

n + a√

n + 1 + b) · cn, unde a, b, c ∈ IR

si determinati suma seriei ın cazul a=− c, b=1, |c|<1.(Prof. dr. A.M. Precupanu, examen Analiza matematica I).

3.16 Fie sirul bn = nα ·√

an +√

n, n ∈ IN∗, a, α ∈ IR, a > 0.

a) Determinati a si α astfel ıncat (bn) sa fie convergent si calculati limn→∞ bn.

b) Pentru a = 1, studiati natura seriei∞∑

n=1bn · xn, x ∈ IR.

3.17 Sa se studieze natura seriei∞∑

n=1

(2n + 1)(a− 1)(a− 2) . . . (a− n + 1) · xn

(a + 1)(a + 2) . . . (a + n + 1)

unde a, x ∈ IR si pentru a = 0, x = 1 sa se calculeze suma seriei.(Prof. dr. A.M. Precupanu, examen Analiza matematica I).

3.18 Fie seria convergenta∞∑

n=1an cu an > 0, ∀n ∈ IN∗. Aratati ca seriile

∞∑n=1

√anan+1 si

∞∑n=1

(a−1n + a−1

n+1)−1 sunt convergente.

3.19 Daca seria∞∑

n=n0

an (n0 ∈ IN) este convergenta, atunci

∣∣∣∣∣∞∑

n=n0

an

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=n0

|an|.


n=1an cu an > 0, ∀n ∈ IN∗. Aratati ca

∞∑n=1

an ∼∞∑

n=1

an1+an

.

3.21 Fie∞∑

n=1an o serie cu an > 0, ∀n ∈ IN∗ si sn =

n∑k=1

ak pentru orice

n ∈ IN∗. Aratati ca:

a) daca seria∞∑

n=1an converge, atunci seriile

∞∑n=1

ansn

si∞∑

n=1

ans2n

sunt conver-

gente;

b) daca seria∞∑

n=1an diverge, atunci seria

∞∑n=1

ansn

diverge si∞∑

n=1

ans2n

converge.

138

3.22 Daca (an)n∈IN∗ ⊂ (0,∞), precizati natura seriilor:

a)∞∑

n=1

an

1 + a3n

;

b)∞∑

n=1

an

1 + nαan, α ∈ IR.

3.23 Sa se arate ca daca seria∞∑

n=1nan este convergenta, atunci si seria

∞∑n=1

an converge.

3.24 Daca seria∞∑

n=1a2

n este convergenta, care este natura seriei∞∑

n=1

ann ?

3.25 Fie∞∑

n=1an o serie cu termeni nenegativi.

a) Teorema lui Olivier: daca seria∞∑

n=1an este convergenta si (an) este

descrescator, atunci limn→∞nan = 0.

b) Aratati ca ipoteza de monotonie este esentiala.c) Reciproca teoremei lui Olivier este adevarata?


n=1an cu termeni pozitivi astfel ıncat an → 0, fie sn =

n∑k=1

ak termenul general al sirului sumelor partiale si tn = sn − [sn] (partea

fractionara a lui sn), n ∈ IN∗. Sa se arate ca seria∞∑

n=1an este convergenta

daca si numai daca sirul (tn)n este convergent.(Concursul studentesc “Traian Lalescu”, faza finala Constanta - 2003)

3.27 Aratati ca∞∑

n=1

1n2 = π2

6 si∞∑

n=1

1n4 = π4

90 .

3.28 Dati exemple pentru urmatoarele situatii:

a) doua serii convergente care au produsul Cauchy divergent;b) doua serii divergente pentru care produsul Cauchy este absolut con-

vergent.

139

3.29 Sa se efectueze produsul Cauchy al seriilor∞∑

n=0

1n! si

∞∑n=0

(−1)n

n! si sa se

deduca de aici suma seriei∞∑

n=0

(−1)n

n! .

3.30 Demonstrati ca( ∞∑

n=0

1n!

) ( ∞∑

n=0

(−1)n · 1(√

2)n

)= e(2−

√2).

3.31 Sa se ridice la patrat urmatoarele serii, sa se arate ca seriile obtinutesunt convergente si sa se determine sumele lor:

a)∞∑

n=0

(−1)n · 15n

;

b)∞∑

n=1

nan cu a ∈ (−1, 1);

c)∞∑

n=1

n− 12n+1

.

3.32 Daca |x| < 1 (x0 = 1), aratati ca

( ∞∑

n=0

xn)2

=∞∑

n=0

(n + 1) · xn.

3.33 Aratati ca seria∞∑

n=0

xn

n! este absolut convergenta pentru orice x ∈ IR

(x0 = 1) si apoi, notand cu E(x) suma acestei serii, demonstrati relatia:E(x + y) = E(x) · E(y), ∀x, y ∈ IR.

3.34 Sa se demonstreze ca seriile∞∑

n=0(−1)n · x2n

(2n)! si∞∑

n=0(−1)n · x2n+1

(2n+1)!

sunt absolut convergente pentru orice x ∈ IR si apoi, notand sumele lor cuC(x) si respectiv S(x), sa se arate ca: S(x + y) = S(x)C(y) + C(x)S(y) siC(x + y) = C(x)C(y)− S(x)S(y), ∀x, y ∈ IR.

3.35 Fie f : [0,+∞) → [0, +∞) o functie continua si descrescatoare. Fie

seria∞∑

n=0an cu termen general an = f(n), n ∈ IN. Sa se arate ca seria

∞∑n=0

an

este convergenta daca si numai daca limita limn→∞

∫ n0 f(x)dx exista si este

finita.

140

Solutii

3.1 1. Seria este telescopica avand an = 12

(1

2n−1 − 12n+1

), ∀n ∈ IN∗.

Atunci sn =n∑

k=1

14k2−1

=n∑

k=1

12

(1

2k−1 − 12k+1

)= 1

2

(1− 1

2n+1

). Se observa

ca limn→∞ sn = 1

2 deci seria este convergenta si are suma 12 .

2. Seria este telescopica: an = 1n+x − 1

n+x+1 ,∀n ∈ IN∗. Rezulta sn =1

1+x − 1n+x+1 ,∀n ∈ IN∗ deci seria este convergenta cu suma 1

1+x .3. an = 1

n + ln(n + 1) − ln n, sn = 1 + 12 + . . . + 1

n + ln(n + 1) → +∞deci seria diverge.

4. an = 1√n+√

n+1=√

n + 1−√n, ∀n ∈ IN∗ (serie telescopica). Rezulta

sn =√

n + 1− 1 → +∞ deci seria este divergenta.5. an = arctg(n + 1)− arctgn (serie telescopica). Rezulta

∞∑n=0

arctg 1n2+n+1

= π2 .

6. Este o serie telescopica: an = 1(n−1)! − 1

(n+1)! , ∀n ∈ IN∗. Atunci∞∑

n=0

n2+n−1(n+1)! = 1.

7. an = 1n +lnn− ln(n+1), ∀n ∈ IN∗ ⇒ sn = 1+ 1

2 + . . .+ 1n− ln(n+1) =

vn + ln nn+1 → c, unde vn = 1 + 1

2 + . . . + 1n − lnn → c (constanta lui Euler),

conform problemei 2.5-d).

8. an = 1p

[1

n(n+1)...(n+p−1) − 1(n+1)(n+2)...(n+p)

], ∀n ∈ IN∗ (avem o serie

telescopica). Astfel suma seriei este 1p·p! .

9. an = 1√(2n)!!

− 1√(2n+2)!!

, ∀n ∈ IN∗ (serie telescopica). Suma seriei este1√2.

10. an = (−1)n−1

n si sn = 1 − 12 + 1

3 − . . . + (−1)n−1

n , ∀n ∈ IN∗. Avems2n = 1− 1

2 + 13 − . . .− 1

2n =(1 + 1

2 + 13 + . . . + 1

2n

)−2(

12 + 1

4 + . . . + 12n

)=

v2n + ln(2n)− vn − ln n = v2n − vn + ln 2 → ln 2 si s2n+1 = 1− 12 + 1

3 − 14 +

. . . − 12n + 1

2n+1 = s2n + 12n+1 → ln 2. Deci seria converge si are suma ln 2.

Se observa ca seria∞∑

n=1|an| =

∞∑n=1

1n este divergenta. Astfel seria

∞∑n=1

(−1)n−1

n

este convergenta dar nu este absolut convergenta.

11. Pentru x = 1, seria devine∞∑

n=0(n+1) care diverge pentru ca termenul

general nu tinde la 0 (conform corolarului 3.8). Pentru x 6= 1, sn = 1 +

2x + 3x2 + . . . + (n + 1)xn = (x + x2 + x3 + . . . + xn+1)′ =(x1−xn

1−x

)′=

141

1−(n+1)xn+n·xn+1

(1−x)2care converge la 1

(1−x)2daca |x| < 1 si este divergent daca

x ∈ (−∞,−1] ∪ (1,∞).

12. an = 132 ·

(x3

)n si conform teoremei 3.35,∞∑

n=0an ∼

∞∑n=0

(x3

)n care

este seria geometrica cu ratia q = x3 (vezi observatia 3.3-a)). In consecinta,

seria∞∑

n=0an este convergenta cu suma 1

32 · 11−x

3= 1

3(3−x) daca si numai daca∣∣x3

∣∣ < 1 adica pentru x ∈ (−3, 3) si divergenta pentru x3 ∈ (−∞,−1]∪ (1,∞)

adica pentru x ∈ (−∞,−3] ∪ [3,∞).13. Este o serie geometrica cu ratia q = 2a+3

3a−1 .

3.2 Fie an = n+1n2·n!

. Atunci an+1

an= n2(n+2)

(n+1)4→ 0 < 1 si din criteriul

raportului cu limita rezulta ca seria converge. Se observa ca an+1

an≤ 1

2 ,∀n ≥1. Aplicand observatia 3.40-a) cu λ = 1

2 vom avea |an| · λ1−λ = n+1

n2·n!≤

10−2 ⇔ 100(n+1) ≤ n2 ·n!, ∀n ≥ 5. Putem atunci considera N = 5 si astfels ∼= s5 = a1 + a2 + . . . + a5 = 2

1 + 322·2!

+ 432·3!

+ 542·4!

+ 652·5!

∼= 2, 46.

3.3 Fie an = (−1)n

(2n+1)3si bn = 1

(2n+1)3> 0,∀n ∈ IN. Se observa ca sirul (bn)

este descrescator si cu limita 0 deci seria∞∑

n=0an este convergenta datorita

criteriului lui Leibniz. Sa determinam n minim astfel ıncat 1(2n+3)3

≤ 10−3

(vezi observatia 3.40-b)). Ultima inegalitate este echivalenta cu (2n + 3)3 ≥103 care este adevarata pentru n ≥ 4. Atunci |s− sn| = |rn| ≤ an+1 < 10−3

pentru n ≥ 4. Prin urmare, s ∼= s4 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 = 1− 133 + 1

53 −173 + 1

93∼= 0, 969.

3.4 1. limn→∞

(n2−n+1n2+n+1

)n= lim

n→∞

(1 + −2n

n2+n+1

)n= e

limn→∞

−2n2

n2+n+1 = e−2 6= 0deci seria diverge.

2. limn→∞

5n

n3+5n = limn→∞

1n3

5n +1= 1 6= 0 si seria este divergenta.

3. Daca an = cos n7n ,∀n ∈ IN∗, atunci |an+1 + an+2 + . . . + an+p| =∣∣∣ cos(n+1)

7n+1 + cos(n+2)7n+2 + . . . + cos(n+p)

7n+p

∣∣∣ ≤ 17n+1 + 1

7n+2 + . . . + 17n+p =

17n+1

(1 + 1

7 + . . . + 17p−1

)= 1

7n+1 · 1− 17p

1− 17

= 16·7n

(1− 1

7p

)< 1

6·7n , ∀p ∈ IN∗.

Dar limn→∞

16·7n = 0 si atunci pentru orice ε > 0, exista n0 ∈ IN astfel ıncat

16·7n < ε pentru orice n ≥ n0. Rezulta |an+1+an+2+. . .+an+p| < ε, ∀n ≥ n0

si ∀p ∈ IN∗. Astfel seria este convergenta.

142

4. Fie an = n√

nn2+1

, ∀n ∈ IN∗. Se observa ca an ≥ 1n+1 , ∀n ∈ IN∗. Atunci

|an+1 + an+2 + . . . + an+p| = (n+1)√

n+1(n+1)2+1

+ (n+2)√

n+2(n+2)2+1

+ . . . + (n+p)√

n+p(n+p)2+1

≥1

n+2+ 1n+3+. . .+ 1

n+p+1 ≥ pn+p+1 . Pentru p = n, p

n+p+1 = n2n+1 ≥ 1

3 , ∀n ∈ IN∗.Deci exista ε = 1

3 > 0 astfel ıncat pentru orice n ∈ IN∗, exista p = n cuproprietatea |an+1 + an+2 + . . . an+p| ≥ 1

3 . Astfel seria este divergenta.5. Fie an = 1

(n+1)·3n ,∀n ∈ IN. Atunci sn = a0 + a1 + a2 + . . . + an =

1+ 12·3 + 1

3·32 + . . . 1(n+1)·3n ≤ 1+ 1

3 + 132 + . . .+ 1

3n =1− 1

3n+1

1− 13

=32

(1− 1

3n+1

)<3

2 ,

∀n ∈ IN si conform teoremei 3.12, seria∞∑

n=0an converge.

6. Observam ca an = 1+sin nn2+3n+4

≥ 0,∀n ∈ IN∗ si avem

sn=n∑

k=1

1+sin kk2+3k+4

≤n∑

k=1

2k2+3k+4

≤ 2n∑

k=1

(1

k+1 − 1k+2

)=2

(12− 1

n+2

)<1,

∀n ∈ IN∗. Deci (sn) este majorat si teorema 3.12 arata ca seria este conver-genta.

7. Fie an = arctg 1n3 > 0, ∀n ∈ IN∗. Avem an = arctg 1

n3 ≤ 1n3 , ∀n ∈

IN∗, iar∞∑

n=1

1n3 este seria armonica generalizata cu α = 3 > 1 care este

convergenta (vezi observatia 3.3-b)). Criteriul de comparatie de specia I

stabileste atunci ca si seria∞∑

n=1an este convergenta.

8. Avem an = nn2+cos2 n

≥ 1n+1 = bn > 0, ∀n ∈ IN∗ si cum seria

∞∑n=1

1n+1

este divergenta, acelasi criteriu de comparatie de specia I ne arata ca seria∞∑

n=1an diverge.

9. Fie an = (2n+1)!!

(2n)!!√

n+1> 0, ∀n ∈ IN∗. Avem an+1

an= (2n+3)

√n+1

(2n+2)√

n+2≥ n

n+1 =1

n+11n

, ∀n ∈ IN∗, iar seria∞∑

n=1

1n este divergenta. Din criteriul de comparatie

de specia a II-a se obtine ca si seria∞∑

n=1an este divergenta.

10. Fie an = (2 − e12 )(2 − e

13 ) . . . (2 − e

1n ) > 0,∀n ≥ 2. Avem an+1

an=

2−e1

n+1 . Se stie ca e <(1 + 1

n

)n+1, ∀n ∈ IN∗. Rezulta ca e

1n+1 < 1+ 1

n , ∀n ∈IN∗. Atunci an+1

an> 2 − 1 − 1

n = n−1n =

1n1

n−1

, ∀n ≥ 2, iar seria∞∑

n=2

1n−1 este

divergenta. Conform criteriului de comparatie de specia a II-a, seria∞∑

n=2an

diverge.

143

11. an = n+32n4+1

=n(1+ 3

n)n4

(2+ 1

n4

) = 1n3 · bn, unde bn = 1+ 3

n

2+ 1n4

. Avem limn→∞ bn =

12 ∈ (0,∞) si conform corolarului 3.17 obtinem ca

∑an ∼ ∑ 1

n3 . Cumseria

∑ 1n3 este convergenta (este seria armonica generalizata cu α = 3 > 1)

rezulta ca si seria∑


12. an = n2+2n√

n3+4√

n7

3√n4+n3

√n+3

= n2+2n52 +n

74

n43 +n

72 +3

= n52 (n−

12 +2+n−

34 )

n72 (n−

136 +1+3n−

72 )

= 1n ·bn, unde

bn = n−12 +2+n−

34

n−136 +1+3n−

72. Avem lim

n→∞ bn = 2 ∈ (0,∞) si conform corolarului 3.17,∑

an ∼∑ 1

n . Dar seria armonica∑ 1

n este divergenta deci si seria∑

an

este divergenta.13.

an =3√

n + 3− 3√

n + 13√

n2 + 4=

=2

3√

n2 + 4[ 3√

(n + 3)2 + 3√

(n + 3)(n + 1) + 3√

(n + 2)2]=

=2

n23 3

√1 + 4

n2 · n23

[3

√(1+ 3

n

)2 + 3

√(1+ 3

n

) (1+ 1

n

)+ 3

√(1+ 1

n

)2]=

1

n43

· bn,

unde bn = 2

3√

1+ 4n2

[3√

(1+ 3n)2

+ 3√

(1+ 3n)(1+ 1

n)+ 3√

(1+ 1n)2

] . Avem limn→∞ bn = 2

3 ∈

(0, +∞) si la fel ca la seria precedenta, obtinem ca∑

an ∼∑ 1

n43

care este

convergenta (ca serie armonica generalizata cu α = 43 > 1). Astfel seria∑

an converge.14. Fie an = 1

n ln n > 0, ∀n ≥ 2. Se observa ca (an) este descrescator.

Aplicand criteriul lui Cauchy de condensare,∞∑

n=2an ∼

∞∑n=2

2n · a2n . Fie

bn = 2n · a2n = 1n ln 2 . Conform teoremei 3.35,

∑bn ∼ ∑ 1

n care estedivergenta. In consecinta, seria

∑an diverge.

15. Fie an = 1(ln n)ln n > 0,∀n ≥ 2. Sirul (an) fiind descrescator, putem

aplica criteriul lui Cauchy de condensare, deci∞∑

n=2an ∼

∞∑n=2

2n · a2n . Fie

bn = 2n · a2n = 2n · 1(n ln 2)n ln 2 = 1

(ln 2)ln 2 · 2n

nn ln 2 . Conform teoremei 3.35,∑bn ∼

∑ 2n

nn ln 2 . Pentru seria∑ 2n

nn ln 2 se aplica criteriul radacinii cu limita.Astfel, daca notam cn = 2n

nn ln 2 , avem limn→∞

n√

cn = limn→∞

2nln 2 = 0 < 1. Rezulta

ca seria∑

cn este convergenta si, prin urmare, seria∑

an este de asemeneaconvergenta.

144

16. Fie an =(

8n+1n3+2

)n> 0, n ∈ IN∗. Avem n

√an = 8n+1

n3+2≤ 1

2 < 1 pentrun ≥ 4. Rezulta ca seria este convergenta.

17. Pentru n par, n√

an = 13 si pentru n impar, n

√an = 1

7 . Rezulta calim sup

n→∞n√

an = 13 < 1. Astfel seria este convergenta.

18. Notand an = (√

n + 2−√n + 1)n > 0 pentru n≥1, avem limn→∞

n√

an=

limn→∞(

√n + 2 − √n + 1) = lim

n→∞1√

n+2+√

n+1= 0 < 1. Rezulta ca seria con-

verge.19. Fie an =

(12+22+...+n2

n2 − n3

)n. Se stie ca 12 + 22 + . . . + n2 =

n(n+1)(2n+1)6 ,∀n ∈ IN∗. Atunci lim

n→∞n√

an = limn→∞

(n(n+1)(2n+1)

6n2 − n

3

)=

limn→∞

3n+16n = 1

2 < 1 si seria este convergenta.

20. Fie an = 32n

(n+1)! > 0, ∀n ∈ IN. Avem an+1

an= 9

n+2 ≤ 12 < 1 pentru

n ≥ 16. Conform criteriului raportului cu marginire, seria converge.21. Fie an = 1·3·5...(2n−1)

2·5·8...(3n−1) , ∀n ∈ IN∗. Atunci an+1

an= 2n+1

3n+2 → 23 < 1 si

seria este convergenta.22. Fie an = n!

nn , ∀n ∈ IN∗. Atunci an+1

an= nn

(n+1)n = 1(1+ 1

n)n → 1

e < 1.

Astfel seria converge.23. Daca an = 2·7·12...(5n−3)

3·8·13...(5n−2) , se observa ca an+1

an= 5n+2

5n+3 → 1. Atunci

limn→∞n

(an

an+1− 1

)= lim

n→∞n(

5n+35n+2 − 1

)= 1

5 < 1 si conform criteriului luiRaabe-Duhamel, seria diverge.

24. Fie an = (2n)!(n!)2·22n . Avem an+1

an= 2n+1

2(n+1) → 1. Atunci

limn→∞n

(an

an+1− 1

)=

12

< 1

si seria este divergenta.25. Fie an = 12·52·92...(4n−3)2

32·72·112...(4n−1)2. Se observa ca an+1

an= (4n+1)2

(4n+3)2→ 1,

n(

anan+1

− 1)

= 16n2+8n16n2+8n+1

→ 1 si astfel nu putem aplica criteriul lui Raabe-

Duhamel. Atunci scriem anan+1

ın forma anan+1

= 1 + 44n+1 + 4

(4n+1)2= 1 +

44n+1 +

1

4+ 2n + 1

n2

n2 ,∀n ∈ IN∗. In criteriul lui Gauss (corolarul 3.27), avemβ = β1

β2= 4

4 = 1, α = 1 > 0 si xn = 14+ 2

n+ 1

n2care converge la 1

4 deci este

marginit. Deoarece β = 1 rezulta ca seria diverge.

3.5 (i) Din |an+1||an| ≥ M ≥ 1, ∀n ≥ n0 se obtine |an+1| ≥ |an|, ∀n ≥ n0

adica sirul |an| este crescator. Atunci |an| 9 0 ceea ce implica an 9 0 siconform corolarului 3.8, seria

145

(ii) daca lim inf |an+1||an| = sup

n∈INinfk≥n

|ak+1||ak| > 1, atunci exista n0 ∈ IN astfel

ıncat infk≥n0

|ak+1

|ak| > 1. Rezulta ca exista n0 ∈ IN astfel ıncat |ak+1||ak| > 1 pentru

orice k ≥ n0. Astfel exista n0 ∈ IN astfel ıncat |ak+1| > |ak|, ∀k ≥ n0. Deaici se obtine ca |an|9 0 deci an 9 0 si seria


(iii) Rezulta din (ii) deoarece lim inf |an+1||an| = lim

n→∞|an+1||an| > 1.

(iv) Din n√|an| ≥ M ≥ 1, ∀n ≥ n0, rezulta |an| ≥ 1, ∀n ≥ n0 si deci

|an|9 0. Aceasta implica an 9 0 si conform corolarului 3.8, seria∑

an estedivergenta.

(v) lim sup n√|an| = inf

n∈INsupk≥n

k√|ak| > 1 ⇒ ∀n ∈ IN, sup

k≥n

k√|ak| > 1 ⇒

∀n ∈ IN,∃kn ≥ n a.ı. kn√|akn | > 1 ⇒ ∀n ∈ IN,∃kn ≥ n a.ı. |akn | > 1 ⇒

|an|9 0 ⇒ an 9 0. Astfel seria∑

an diverge.(vi) rezulta din (v) ıntrucat lim sup n

√|an| = lim

n→∞n√|an| > 1.

3.6 1. Fie an = e−n3 · (n+1

n

)n2

, ∀n ∈ N∗. Aplicam criteriul radacinii culimita: lim

n→∞n√

an = limn→∞ e−

13

(1 + 1

n

)n = e23 > 1 si seria este divergenta.

2. Se aplica criteriul radacinii cu limita:

limn→∞

n√

an =

= limn→∞( 3

√n3 + n2 + 2− 3

√n3 − n2 + 2) =

= limn→∞

(n3 + n2 + 2)− (n3 − n2 + 2)3√

(n3+n2+2)2+ 3√

(n3+n2+2)(n3−n2+2)+ 3√

(n3−n2+2)2=

=23

< 1.

Rezulta ca seria converge.3. Avem n! ≤ nn,∀n ≥ 2 ⇒ ln(n!) ≤ n ln n,∀n ≥ 2 ⇒

(1)1

ln(n!)≥ 1

n lnn,∀n ≥ 2.

Am aratat (ın problema 3.4-14) ca seria∞∑

n=2

1n ln n este divergenta. Atunci

din (1) si criteriul de comparatie de specia I, rezulta ca seria∞∑

n=2

1ln(n!) este

de asemenea divergenta.4. Fie an = sin3 1

n > 0 si bn = 1n3 ,∀n ∈ IN∗. Avem lim

n→∞anbn

=

limn→∞

(sin 1

n1n

)3

= 1. Conform criteriului de comparatie cu limita,∑

an ∼

146

∑ 1n3 care este seria armonica generalizata cu α = 3 > 1 deci convergenta.

Astfel seria∑

an converge.5. Fie an = 1

1+√

2+ 3√3+...+ n√n> 0, ∀n ∈ IN∗.

Solutia 1. Fie bn = 1n , n ∈ IN∗. Avem bn

an= 1+

√2+ 3√3+...+ n√n

n . Folosim

criteriul lui Stolz-Cesaro (propozitia 2.30): limn→∞

bn+1−bn

an+1−an= lim

n→∞n+1√n+1

1 =

1 ⇒ limn→∞

bnan


an ∼∑bn. Cum seria

∑bn este divergenta, rezulta ca seria

∑an diverge.

Solutia a 2-a.Stim ca n

√n < 2, ∀n ∈ IN∗. Rezulta ca 1 +

√2 + 3

√3 + . . . + n

√n <

2(n + 1), ∀n ∈ IN∗. De aici obtinem an > 12(n+1) ,∀n ∈ IN∗ si cum seria

∞∑n=1

12(n+1) este divergenta, conform criteriului de comparatie de specia I,

seria∞∑


6. Fie an = arctg 1n si bn = 1

n , ∀n ∈ IN∗. Atunci limn→∞

anbn

= 1 si din

criteriul de comparatie cu limita, seria∑

an diverge.7. Termenul general se scrie

an =nn · 2n

nn+1 ·√(

4 + 3n + 1

n2

)n ·√

4 + 3n + 1

n2

=

=1n· 1√(

1 + 34n + 1

4n2

)n ·√

4 + 3n + 1

n2

=1n· bn,

unde bn = 1√(1+ 3

4n+ 1

4n2

)n·√

4+ 3n

+ 1n2

. Avem limn→∞ bn = 1√

e34

· 12 si conform

criteriului de comparatie cu limita,∑

an ∼∑ 1

n . Seria∑ 1

n fiind divergenta,rezulta ca si seria


8. Fie an = ln n · ln (1 + 1

n

)ln

(1 + 1

n2

). Utilizand inegalitatile lnx ≤

x,∀x > 0 si ln(1 + x) ≤ x,∀x ≥ 0, rezulta: an ≤ 1n2 ,∀n ≥ 2. Cum seria∑ 1

n2 este convergenta, din criteriul de comparatie de specia I se obtine caseria

∑an converge.

9. Se procedeaza ca la 8. Va rezulta ca seria este convergenta.10. Se scrie termenul general ın forma: an = vn

n2 + ln nn2 , unde vn = 1+ 1

2 +. . .+ 1

n− ln n. Notam xn = vnn2 si yn = ln n

n2 . Sirul (vn) fiind convergent rezultaca este marginit deci exista α > 0 astfel ıncat |vn| ≤ α,∀n ∈ IN∗. Atunci|xn| ≤ α

n2 , ∀n ∈ IN∗. Seria∑ 1

n2 fiind convergenta, conform criteriului decomparatie de specia I, seria

∑ |xn| este convergenta. Folosind teorema

147

3.33, rezulta ca seria∑

xn converge. Sirul (yn) este descrescator. Dincriteriul lui Cauchy de condensare,

∑yn ∼

∑2n · y2n =

∑ n·ln 22n care este

convergenta datorita criteriului radacinii cu limita: limn→∞

n

√n ln 22n = 1

2 < 1.

Astfel seria∑

yn converge. In sfarsit, conform teoremei 3.36, seria∑

an

este convergenta.11. Fie an = 1

[n+(−1)n]2> 0, ∀n ≥ 2. Avem an ≤ 1

(n−1)2pentru orice

n ≥ 2, iar din criteriul de comparatie cu limita,∑ 1

(n−1)2∼ ∑ 1

n2 care esteconvergenta. Atunci criteriul de comparatie de specia I asigura faptul caseria

∑an este convergenta.

12. Avem 0 ≤ 5+sin 4n2n ≤ 6

2n ,∀n ∈ IN, iar∑ 6

2n ∼ ∑ 12n care converge

(ca serie geometrica cu ratia q = 12). Conform criteriului de comparatie de

specia I, seria∑ 5+sin 4n

2n converge.13. Notam cu an termenul general al seriei. Se aplica criteriul lui Raabe-

Duhamel si se obtine limn→∞n

(an

an+1− 1

)= 3

2 > 1 deci seria converge.

14. Analog cu seria din 11 se demonstreaza ca seria∞∑

n=1

1[3+(−1)n]n este

convergenta.15. Fie an = nn

en·n! , n ∈ IN∗. Se utilizeaza criteriul de comparatie de

specia a II-a: an+1

an= (1+ 1

n)n

e >(1+ 1

n)n

(1+ 1n)n+1 = 1

1+ 1n

= nn+1 =

1n+1

1n

, iar seria∑ 1

n diverge. Rezulta ca si seria∑

an diverge.16. Fie an > 0 termenul general al seriei. Se aplica criteriul radacinii

cu limita: n√

an =n∑

k=1

kn2+2k

. Pentru orice 1 ≤ k ≤ n si n ∈ IN∗, kn2+2n

≤k

n2+2k≤ k

n2+2. Rezulta

n∑k=1

kn2+2n

≤n∑

k=1

kn2+2k

≤n∑

k=1

kn2+2

, ∀n ∈ IN∗. Avem:

limn→∞

n∑k=1

kn2+2n

= limn→∞

1n2+2n

· n(n+1)2 = 1

2 si analog, limn→∞

n∑k=1

kn2+2

= 12 .

Conform teoremei clestelui (propozitia 2.26-vi)), limn→∞

n√

an = 12 < 1 si seria∑

an converge.17. Notam an = ln(n+1)

n2 , n ≥ 2. Se scrie an = ln(n+1)ln n · ln n

n2 si se observa

ca limn→∞

ln(n+1)ln n = 1. Conform corolarului 3.17,

∞∑n=2

an ∼∞∑

n=2

ln nn2 . Am aratat

la seria de la punctul 10 ca seria∞∑

n=2

ln nn2 este convergenta. In consecinta,

seria∑


3.7 Convenim sa notam termenul general al seriilor cu an.

148

1. Se aplica criteriul radacinii cu limita: limn→∞

n√

an = limn→∞

n√nx = 1

x .

Pentru 1x < 1 ⇔ x > 1, seria converge iar pentru 1

x > 1 ⇔ x < 1, seriadiverge. Pentru 1

x = 1 ⇔ x = 1, ınlocuind ın an obtinem an = n 9 0 deciseria diverge. In concluzie, seria converge pentru x > 1 si diverge pentru0 < x ≤ 1.

2. Pentru x = 1, an = 1n(n+1) . Aplicand criteriul de comparatie cu limita

se obtine:∑

an ∼∑ 1

n2 care este convergenta. Deci seria∑

an converge.Pentru x > 1, an = x−1

n(xn+1−1)> 0. Conform criteriului radacinii cu limita,

limn→∞

n√

an = 1x < 1 deci seria

∑an converge. Pentru x < 1, an = 1−x

n(1−xn+1).

Intrucat limn→∞

1−x1−xn+1 = 1 − x ∈ (0,∞), folosind criteriul de comparatie

cu limita, rezulta ca∑

an ∼ ∑ 1n care este divergenta deci si seria

∑an

diverge. Astfel: seria converge pentru x ≥ 1 si diverge pentru x < 1.3. Daca a ≥ 1, atunci an ≥ 1, pentru orice n ≥ 1 deci an 9 0 de unde

rezulta ca seria∑

an diverge. Daca a < 1 se aplica criteriul lui Raabe-Duhamel:

limn→∞n

(an

an+1− 1

)= lim

n→∞n(a√

n−√n+1 − 1)

= limn→∞n

(a

−1√n+√

n+1 − 1)

=

= limn→∞

−n√n +

√n + 1

· a−1√

n+√

n+1 − 1−1√

n+√

n+1

= −∞ · ln a = +∞ > 1

si rezulta ca seria∑

an converge. Deci seria diverge pentru a ≥ 1 si convergepentru a ∈ (0, 1).

4. Daca a ≥ 1, atunci an ≥ 1,∀n ≥ 1 deci an 9 0 si seria∑

an diverge.Daca a < 1, se aplica criteriul lui Raabe-Duhamel:

limn→∞n

(an

an+1− 1

)= lim

n→∞n[aln n−ln(n+1) − 1

]=

= limn→∞n ln

n

n + 1· aln n

n+1 − 1ln n

n+1

=

= limn→∞ ln

(n

n + 1

)n

· aln nn+1 − 1

ln nn+1

= (−1) · ln a = ln a−1 = ln1a.

Daca ln 1a < 1 ⇔ a > 1

e , seria∑

an diverge, iar daca ln 1a > 1 ⇔ a < 1

e , seria∑an converge. Pentru ln 1

a = 1 ⇔ a = 1e se obtine an =

(1e

)ln n = 1n si seria

∞∑n=1

1n este divergenta. In concluzie, daca a ∈ (

0, 1e

)seria este convergenta

iar daca a ∈ [1e ,∞) seria este divergenta.

149

5. Daca α ≥ 0, atunci limn→∞nα ln n = +∞ si astfel seria

∑an diverge.

Pentru α < 0, exista n0 ∈ IN astfel ıncat an ≥ an+1 pentru n ≥ n0. Folosind

criteriul lui Cauchy de condensare avem∞∑

n=2an ∼

∞∑n=2

2n · a2n . Fie bn =

2n · a2n = n · 2n(1+α) · ln 2. Pentru seria∑

bn se aplica criteriul radacinii culimita: lim

n→∞n√

bn = 21+α. Daca 21+α < 1 ⇔ α < −1, seria∑

bn converge

deci si seria∑

an converge. Daca 21+α > 1 ⇔ α ∈ (−1, 0), seria∑

bn

diverge. Rezulta ca∑

an diverge. Daca 21+α = 1 ⇔ α = −1, bn = n ln 2 90 deci seria

∑bn este divergenta si seria

∑an este la fel: divergenta. Rezulta

ca seria converge pentru α < −1 si diverge pentru α ∈ [−1,∞).6. Se aplica criteriul radacinii cu limita: lim

n→∞n√

an = a. Daca a < 1, seria∑an converge, iar daca a > 1, seria

∑an diverge. Pentru a = 1, lim

n→∞ an =

limn→∞

(1 + n+1

n2

)n = e 6= 0 si seria∑

an este divergenta. Deci pentru a ∈ (0, 1)

seria este convergenta si pentru a ∈ [1,∞) seria este divergenta.7. Presupunem ıntai a ≥ 1. Atunci an = an

n√n!≥ 1

n√n!≥ 1

n ,∀n ≥ 1. Cum

seria∑ 1

n este divergenta, din criteriul de comparatie de specia I rezulta caseria

∑an diverge. Daca a ∈ (0, 1), atunci an

n√n!≤ an, iar seria geometrica∑

an este convergenta. Conform criteriului de comparatie de specia I, seria∑an este convergenta. In concluzie, seria converge pentru a ∈ (0, 1) si

diverge pentru a ≥ 1.

8. Se aplica criteriul raportului cu limita:

limn→∞

an+1

an= lim

n→∞an+1·(n+1)n+1

(n+1)! · n!an·nn =

= limn→∞

a(n + 1)n

nn= lim

n→∞ a

(1 +

1n

)n

= ae.

Daca ae < 1 ⇔ a < 1e , seria

∑an converge iar daca ae > 1 ⇔ a > 1

e , seria∑

an diverge. Pentru a = 1e , an+1

an= (1+ 1

n)n

e . Conform problemei 2.5 -b),

e <(1 + 1

n

)n+1. Rezulta an+1

an>

(1+ 1n)n

(1+ 1n)n+1 = 1

1+ 1n

= nn+1 =

1n+1

1n

, ∀n ≥ 1,

iar seria∑ 1

n este divergenta. Datorita criteriului de comparatie de speciaa II-a, seria

∑an este de asemenea divergenta. Astfel, daca a ∈ (1, 1

e ) seriaeste convergenta, iar daca a ≥ 1

e seria este divergenta.9. Se aplica criteriul lui Raabe-Duhamel:

limn→∞n

(an

an+1− 1

)= lim

n→∞n

[(2n + 1)(α + n + 1)2

(2n + 3)(α− n)2− 1

]= 4α + 1.

150

Daca 4α+1 > 1 ⇔ α > 0, seria∑

an converge iar daca 4α+1 < 1 ⇔ α < 0,seria

∑an diverge. Pentru α = 0, an = 0 pentru orice n ≥ 1 si seria

∑an

este convergenta. Asadar, seria converge pentru α ≥ 0 si diverge pentruα < 0.

10. I) Daca x ∈ (0, 1), se aplica criteriul raportului cu limita:lim

n→∞an+1

an= lim

n→∞

(n

n+1

)α· ln(1+xn+1)

ln(1+xn) = x < 1 si seria∑

an converge.

II) Daca x = 1, an = ln 2nα . Astfel seria

∑an converge pentru α > 1 si

diverge pentru α ≤ 1.

III) Daca x > 1, se scrie an =ln xn(1+ 1

xn )nα = ln x

nα−1 +ln(1+( 1

x)n)nα = bn + cn,

unde bn = ln xnα−1 si cn =

ln(1+( 1x)n)

nα . Deoarece 1x < 1, folosind I) rezulta ca

seria∑

cn este convergenta pentru orice α ∈ IR. Seria∞∑

n=2

ln xnα−1 ∼

∞∑n=2

1nα−1

care converge pentru α−1 > 1 ⇔ α > 2 si diverge pentru α−1 ≤ 1 ⇔ α ≤ 2.Conform teoremei 3.36, avem:

• α > 2 ⇒ ∑an converge si

• α ≤ 2 ⇒ ∑an diverge.

In concluzie, daca

• x ∈ (0, 1) si α ∈ IR, seria converge;

• x = 1 si α > 1, seria converge;

• x = 1 si α ≤ 1, seria diverge;

• x > 1 si α > 2, seria converge;

• x > 1 si α ≤ 2, seria diverge.

11.an = 1

(√

n+1+√

n)α · ln(1 + 2

n−1

)=

=1

n−1

(√

n+1+√

n)α ·ln(1+ 2

n−1)1

n−1

=

= 1(n−1)(

√n+1+

√n)α ·

ln(1+ 2n−1)

1n−1

Fie bn = 1n(√

n)α = 1

n1+ α2, n ≥ 2. Atunci lim

n→∞anbn

= 12 si din criteriul de

comparatie cu limita,∑

an ∼∑

bn care este seria armonica generalizata.Astfel, pentru 1 + α

2 > 1 ⇔ α > 0, seria∑

bn converge deci si seria∑

an

151

converge si pentru 1 + α2 ≤ 1 ⇔ α ≤ 0, seria

∑bn diverge si deci seria∑

an diverge. Prin urmare, seria∑

an este convergenta pentru α > 0 sidivergenta pentru α ≤ 0.

12. Daca a ≥ 1, atunci an ≥ 1 pentru orice n ≥ 1 deci an 9 0 si rezultaca seria

∑an diverge. Daca a ∈ (0, 1), se aplica criteriul lui Raabe-Duhamel:

limn→∞n

(an

an+1− 1

)= lim

n→∞n(a−1

n+1 − 1)

= limn→∞

−nn+1 · a

−1n+1−1−1

n+1

= (−1) ln a.

Pentru − ln a > 1 ⇔ a < 1e , seria

∑an converge.

Pentru − ln a < 1 ⇔ a > 1e , seria

∑an diverge.

Pentru − ln a = 1 ⇔ a = 1e , an = 1

e1+12+...+ 1

n= 1

e1+12+...+ 1

n−ln n+ln n= 1

evn ·n ,

unde vn = 1 + 12 + . . . + 1

n − ln n → c. Atunci evn → ec ∈ (0,∞) si conformcriteriului de comparatie cu limita,

∑an ∼

∑ 1n care este divergenta. Deci

si seria∑

an diverge. Astfel, seria∑

an converge pentru a ∈ (0, 1e ) si diverge

pentru a ≥ 1e .

13. Fie α ≤ 0. Atunci limn→∞ |an| =

{+∞, α < 0,

1 α = 0. Rezulta ca an 9 0

deci seria∑

an diverge. Pentru α > 0, limn→∞

1

nα+ 1n

= 0 si exista n0 ∈ IN astfelıncat an ≥ an+1, pentru orice n ≥ n0. Din criteriul lui Leibniz obtinem caseria

∑an este convergenta. Deci seria diverge pentru α ≤ 0 si converge

pentru a > 0.14. Daca α = 0, an = 1

n si seria∑

an este divergenta. Daca α > 0, an

este un sir descrescator si se aplica criteriul lui Cauchy de condensare. Astfel∑an ∼

∑2n · a2n . Avem 2n · a2n = 1

nα·(ln 2)α , iar∑

2n · a2n ∼ ∑ 1nα . Deci

daca α > 1, seria∑

an converge iar daca α ≤ 1, seria∑

an diverge. Dacaα < 0, lim

n→∞an1n

= +∞ si conform criteriului de comparatie cu limita, seria∑an este divergenta. Asadar, seria converge pentru α > 1 si diverge pentru

α ≤ 1.

3.8 a) Daca x = 2kπ(k ∈ Z), atunci seria devine∞∑

n=1

1√n

care diverge.

Pentru x 6= 2kπ(k ∈ Z), fie an = cosnx si bn = 1√n, n ≥ 1. Sirul (bn) este

descrescator si cu limita 0, iar

| cosx + cos 2x + . . . + cosnx| =

=|2 sin x

2 cosx + 2 sin x2 cos 2x + . . . + 2 sin x

2 cosnx|2| sin x

2 |=

152

=| sin 3x

2 − sin x2 + sin 5x

2 − sin 3x2 + . . . + sin (2n+1)x

2 − sin (2n−1)x2 |

2| sin x2 |

=

=| sin (2n+1)x

2 − sin x2 |

2| sin x2 |

≤ 1| sin x

2 |, ∀n ∈ IN∗.

Astfel, sunt ındeplinite conditiile din criteriul lui Dirichlet deci seria∞∑

n=1

cos nx√n

este convergenta.b) Fie an = cos n

7√n3

si bn = cos 1n , n ∈ IN∗. Folosind criteriul lui Dirichlet

se arata (ca la punctul a)) ca seria∑ cos n

7√n3

este convergenta. Din faptul ca

−1 ≤ cos 1n ≤ 1 pentru orice n ≥ 1, rezulta ca (bn) este marginit. Functia

cosinus fiind descrescatoare pe [0, π2 ] iar sirul 1

n este descrescator, conformpropozitiei 1.37, sirul (bn) este crescator. Deoarece sunt ındeplinite conditiile

din criteriul lui Abel, seria∑ cos n·cos 1

n7√

n3converge.

c) Fie an = 1ln n , n ≥ 2. Avem an > 0 pentru orice n ≥ 2, sirul (an) este

descrescator si limn→∞ an = 0. Din criteriul lui Leibniz, seria

∞∑n=2

(−1)n

ln n este

convergenta.

d) Fie an = (−1)n2+n

2 · n5n , n ≥ 1. Se considera seria modulelor

∞∑

n=1

|an| =∞∑

n=1

n

5n

si pentru aceasta serie se aplica criteriul radacinii cu limita: limn→∞

n√|an| =

limn→∞

n√n5 = 1

5 < 1 deci seria∑ |an| este convergenta. Aplicand teorema 3.33,

rezulta ca si seria∑

an converge.

3.9 a) Seriile∞∑

n=0an =

∞∑n=0

(−3)n si∞∑

n=0bn =

∞∑n=0

(−1)n+1·3n sunt divergente

pentru ca sirurile (an) si (bn) nu converg la zero. Atunci an + bn = (−3)n +

(−1)n+1·3n = (−3)n[1+(−1)] = 0 pentru orice n ∈ IN∗ deci seria∞∑

n=1(an+bn)

este convergenta.

b) Seriile∞∑

n=0n2 si

∞∑n=0

n sunt divergente pentru ca limn→∞n2 = lim

n→∞n = ∞,

iar seria∞∑

n=0(n2 + n) este divergenta din acelasi motiv.

3.10 a) Fie seria alternata 1 − 17 + 1

2 − 172 + 1

3 − 173 + . . . + 1

n − 17n + . . .

si notam sirul sumelor partiale cu (sn). Se observa ca an → 0 dar seria

153

este divergenta pentru ca limn→∞ s2n = lim

n→∞(1− 17 + 1

2 − 172 + . . . + 1

n − 17n ) =

limn→∞

[(1 + 1

2 + . . . + 1n

)− (17 + 1

72 + . . . + 17n

)]= +∞.

b) Fie seria alternata∞∑

n=1(−1)n−1an = 1− 1

22 + 133 − 1

42 + 153 − 1

62 + . . . +

1(2n−1)3

− 1(2n)2

+ . . ., unde an = 1n3 pentru n impar si an = 1

n2 pentru n par.Avem |(−1)n−1an| ≤ 1

n2 pentru orice n ∈ IN∗ si cum seria∑ 1

n2 este con-vergenta, conform criteriului de comparatie de specia I, seria

∑ |(−1)n−1an|converge. Atunci teorema 3.33 asigura faptul ca si seria

∑(−1)n−1an con-

verge. Se observa ca limn→∞ an = 0 dar (an) nu este descrescator.

3.11 Sa notam prin (sn) sirul sumelor partiale pentru seria∞∑

n=1an, prin

(tk) sirul sumelor partiale pentru seria (∗) si prin t suma seriei (∗). Decit = lim

k→∞tk ⇔ (∀ε > 0, ∃k0(ε) = k0 ∈ IN∗ a.ı. t − ε < tk < t + ε,∀k ≥ k0).

Pentru ca ın seria (∗), termenii din fiecare grupa au acelasi semn, avemtk−1 < sn < tk sau tk < sn < tk−1, n ∈ {nk−1+1, . . . , nk}, unde tk−1 = snk−1

si tk = snk. Pentru k ≥ k0 + 1, avem t − ε < tk−1 < tk < t + ε sau

t− ε < tk < tk−1 < t + ε. Rezulta ca t− ε < sn < t + ε, ∀n ≥ nk0 + 1 adica

limn→∞ sn = t sau altfel spus, seria

∞∑n=1

an converge si are suma t.

Pentru aplicatie:∞∑

n=1

(−1)[√

n]

n = −1− 12 − 1

3 + 14 + 1

5 + 16 + 1

7 + 18 − 1

9 − . . ..

Notam an = (−1)[√

n]

n , n ≥ 1. Fie [√

n] = k ∈ IN∗ ⇔ k ≤ √n < k + 1 ⇔

k2 ≤ n < (k + 1)2 ⇔ k2 ≤ n ≤ (k + 1)2 − 1 = k2 + 2k. Atunci pentrun ∈ {k2, k2+1, . . . , k2+2k}, termenii an au acelasi semn. Grupand termeniicu acelasi semn (ca ın problema precedenta), obtinem seria alternata:

(2)

−(

1 +12

+13

)+

(14

+15

+16

+17

+18

)−

−(

19

+110

+ . . . +115

)+ . . . =

∞∑

k=1

(−1)k

[1k2

+ . . . +1

k2 + 2k

]

Sa notambk = 1

k2 + . . . + 1k2+2k

=(

1k2 + . . . + 1

k2+k−1

)+

(1

k2+k+ . . . + 1

k2+2k

)=

xk + yk, unde xk = 1k2 + . . . + 1

k2+k−1si yk = 1

k2+k+ . . . + 1

k2+2k. Avem

1k2 + k

+ . . . +1

k2 + k︸︷︷︸de k ori

≤ xk ≤ 1k2

+ . . . +1k2︸︷︷︸

de k ori

154

si1

(k + 1)2+ . . . +

1(k + 1)2︸︷︷︸

de k+1 ori

≤ yk ≤ 1k2 + k

+ . . . +1

k2 + k︸︷︷︸de k+1 ori

⇒

kk2+k

≤ xk ≤ kk2 si k+1

(k+1)2≤ yk ≤ k+1

k2+k⇒ 1

k+1 ≤ xk ≤ 1k si 1

k+1 ≤ yk ≤ 1k .

Prin adunare se obtine 2k+1 ≤ xk + yk ≤ 2

k ⇔ 2k+1 ≤ bk ≤ 2

k ,∀k ∈ IN∗.Rezulta lim

k→∞bk = 0 din teorema clestelui (propozitia 2.6-vi)). In plus, din

inegalitatile de mai sus avem: 2k+2 < bk+1 < 2

k+1 < bk < 2k , ∀k ∈ IN∗ de

unde rezulta ca sirul (bn) este descrescator. Din criteriul lui Leibniz, seria(2) este convergenta. Folosind acum problema 3.11 rezulta ca si seria

∑an

converge.

3.12 1. Sa notam an = sin n cosn2 si (bn) = 1n+√

n, n ≥ 1. Atunci (bn)

este descrescator cu limn→∞ bn = 0. Apoi avem

|a1 + a2 + . . . + an| =

= 12

∣∣∣∣n∑

k=1

[sin k(k + 1)− sin k(k − 1)]∣∣∣∣ = 1

2 | sinn(n + 1)| ≤ 12 , ∀n ≥ 1

si se aplica criteriul lui Dirichlet. Rezulta ca seria∑ sin n cos n2

n+√

neste conver-

genta.2. Fie an = (−1)n

3+sin n , n ∈ IN. Din faptul ca −1 ≤ sinn ≤ 1 pentru oricen ∈ IN se obtine 1

4 ≤ |an| ≤ 12 pentru orice n ∈ IN de unde rezulta ca an 9 0

si conform corolarului 3.8, seria diverge.3. Fie an = (−1)n−1 · ln(5+e3n)

ln(3+e5n), n ≥ 1. Avem lim

n→∞ |an| = limn→∞

ln(5+e3n)ln(3+e5n)

=35 . Deci an 9 0 si seria

∑an diverge.

4. Se aplica criteriul lui Dirichlet. Fie an = sin nx si bn = 1+ 12+...+ 1

nn , n ≥

1. Se arata la fel ca ın seria din problema 3.8-a), ca seria∞∑

n=1sinnx are sirul

sumelor partiale marginit. Pentru a calcula limita sirului (bn) se aplica

criteriul Stolz-Cesaro (propozitia 2.30): limn→∞

(1+ 12+...+ 1

n+1)−(1+ 12+...+ 1

n)(n+1)−n =

limn→∞

1n+1

1 = 0. Rezulta ca limn→∞ bn = 0. Pentru monotonie: bn+1 − bn =

−n(n+1)2

< 0 pentru orice n ≥ 1 deci sirul (bn) este descrescator. Deoarecesunt ındeplinite conditiile din criteriul lui Dirichlet, seria

∑anbn converge

pentru orice x ∈ IR.

155

5. Pentru x = 0, seria evident converge. Presupunem x 6= 0. Fie an =(n!)2·xn

(2n)! , n ≥ 1. Se aplica criteriul raportului cu limita pentru seria modulelor.

Avem limn→∞

|an+1||an| = |x|

4 . Astfel, daca |x| < 4, seria∑

an converge iar daca

|x| > 4, seria∑

an diverge. Pentru |x| = 4, avem |an+1||an| = 2n+2

2n+1 > 1, ∀n ≥ 1.Conform problemei 3.5-(i), seria

∑an diverge. Prin urmare, seria converge

pentru x ∈ (−4, 4) si diverge pentru x ∈ (−∞,−4] ∪ [4,∞)6. Fie an = (

√n2 + 1− a

√n2 − 1) · xn, n ≥ 1. Se aplica criteriul rapor-

tului cu limita pentru seria modulelor. Avem limn→∞

|an+1||an| = |x|.

Pentru |x| < 1, seria∑ |an| este convergenta si conform teoremei 3.33,

seria∑

an este convergenta.Pentru |x| > 1 se utilizeaza problema 3.5-(ii) si seria

∑an diverge.

Daca |x| = 1 si a 6= 1, atunci an 9 0 si seria∑

an diverge.Pentru x = 1 si a = 1, an = 2√

n2+1+√

n2−1. In acest caz, aplicand criteriul

de comparatie cu limita, seria∞∑

n=1an are aceeasi natura cu seria

∞∑n=1

1n deci

seria∑

an diverge.Daca x = −1 si a = 1, atunci an = (−1)n

√n2+1+

√n2−1

si seria∑

an este

convergenta datorita criteriului lui Leibniz. In concluzie:

• daca |x| < 1 si a ∈ IR, atunci seria converge;• daca |x| > 1 si a ∈ IR, atunci seria diverge;• daca |x| = 1 si a 6= 1, atunci seria diverge;• daca x = 1 si a = 1, atunci seria diverge;• daca x = −1 si a = 1, atunci seria converge.

7. Sa notam cu an termenul general al seriei. Se aplica criteriul radaciniicu limita pentru seria modulelor si avem lim

n→∞n√|an| = |b|.

Pentru |b| < 1, seria∑ |an| converge deci si seria

∑an converge.

Pentru |b| > 1 se foloseste problema 3.5-(ii) si seria∑

an diverge.Pentru |b| = 1, lim

n→∞ |an| = e 6= 0 deci seria∑

an este divergenta.

8. Fie an = (−1)n(n+1)(n+2)

3 ·(

n4n+1

)n, n ≥ 1. Conform criteriului radaci-

nii cu limita pentru seria modulelor, limn→∞

n√|an| = 1

4 < 1 deci seria∑ |an|

converge si conform teoremei 3.33, seria∑

an este convergenta.9. Fie an = nα ·an, n ≥ 1. La fel ca la seria precedenta, lim

n→∞n√|an| = |a|.

Astfel, seria∑

an converge pentru |a| < 1 si diverge pentru |a| > 1. Pentru

a = 1 se obtine seria armonica generalizata∞∑

n=1

1n−α care converge pentru

156

−α > 1 ⇔ α < −1 si diverge pentru −α ≤ 1 ⇔ α ≥ −1. Pentru a = −1 siα ≥ 0, an 9 0 deci seria

∑an diverge. Pentru a = −1 si α < 0, seria

∑an

converge datorita criteriului lui Leibniz.Deci pentru:

• |a| < 1 si α ∈ IR, seria converge;• |a| > 1 si α ∈ IR, seria diverge;• a = 1 si α < −1, seria converge;• a = 1 si α ≥ −1, seria diverge;• a = −1 si α ≥ 0, seria diverge;• a = −1 si α < 0, seria converge.

10. Sa notam an = xn

1−xn , n ≥ 1. Daca |x| > 1, atunci an 9 0 si seria∑an diverge. Daca |x| < 1, lim

n→∞|an+1||an| = |x| < 1 si criteriul raportului cu

limita stabileste ca seria∑ |an| converge deci si seria

∑an converge. Asadar,

seria converge pentru x ∈ (−1, 1) si diverge pentru x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞).11. Sa notam an = xn

xn+√

nsi sirul sumelor partiale cu (sn)n≥2.

Pentru |x| > 1, an 9 0 deci seria∑

an diverge.Pentru |x| < 1, lim

n→∞|an+1||an| = |x| < 1 si seria

∑an converge.

Pentru x = 1, seria devine∞∑

n=2

1√n+1

care diverge pentru ca are aceeasi

natura cu seria∞∑

n=2

1n1/2 (conform criteriului de comparatie cu limita).

Pentru x = −1, an = (−1)n

(−1)n+√

nsi

s2n =1√

2 + 1+

−1√3− 1

+1√

4 + 1+

−1√5− 1

+1√

6 + 1+ . . .+

+−1√

2n− 1 + 1+

1√2n + 1

<1√

2 + 1+

−1√3− 1

+1√

3 + 1+

+−1√5− 1

+1√

5 + 1+ . . . +

−1√2n− 1 + 1

+1√

2n− 1 + 1=

=1√

2 + 1−

(1 +

12

+13

+ . . . +1

n− 1

)→ −∞

(vezi problema 2.5-d)). Rezulta, conform propozitiei 2.26-iv), ca sn → −∞si, prin urmare, seria

∑an diverge.

12. Notam cu an termenul general al seriei. Avem |an+1||an| =

∣∣∣ x1+xn+1

∣∣∣ .

Daca |x| < 1, atunci limn→∞

|an+1||an| = |x| < 1 si seria

∑an converge.

157

Daca |x| > 1, atunci limn→∞

|an+1||an| = 0 < 1 deci seria

∑an este convergenta.

Daca x = 1, atunci seria devine∞∑

n=1

12n care converge (ca serie geometrica

cu ratia 12).

13. Fie an = an·bn

an+bn , n ≥ 1. Avem |an+1||an| = |ab| ·

∣∣∣ an+bn

an+1+bn+1

∣∣∣ , n ≥ 1.

I) Cazul |a| < |b|. Atunci limn→∞

|an+1||an| = |a|.

Daca |a| < 1, seria∑

an converge.Daca |a| > 1, seria

∑an diverge.

Daca |a| = 1 < |b|, atunci an 9 0 deci seria∑

an diverge.II) Cazul |a| > |b| se trateaza analog.III) Cazul |a| = |b| ⇔ a = b. In acest caz, an = an

2 si seria∑

an esteconvergenta pentru |a| < 1 si divergenta pentru |a| ≥ 1.

14. Fie an = 1+(−1)n

n · xn, ∀n ∈ IN∗. Pentru x = 0, seria este evident

convergenta. Sa presupunem ca x 6= 0. Pentru n par, n√|an| = n

√2n · |x| > 0

si pentru n impar, n√|an| = 0. Rezulta ca lim sup n

√|an| = |x|.

Daca |x| < 1, atunci se aplica criteriul radacinii cu limita superioara.Rezulta ca seria

∑ |an| converge deci si seria∑

an converge.Daca |x| > 1, atunci se aplica problema 3.5-(v) si se obtine ca seria

∑an

diverge.Daca |x| = 1, atunci an = 1

n + (−1)n

n . Cum seria∑ 1

n este divergentasi seria

∑ (−1)n

n este convergenta (din criteriul lui Leibniz), rezulta conformteoremei 3.36 ca seria

∑an diverge.

15. Seria converge pentru x = 1 sau y = 0. Presupunem x 6= 1 si y 6= 0.Fie an = xn−1

n · yn, n ≥ 1. Rezulta an+1

an= y · n

n+1 · xn+1−1xn−1 .

I. |x| < 1 ⇒ limn→∞

|an+1||an| = |y|.

(i) Daca |y| < 1, seria∑

an este convergenta.(ii) Daca |y| > 1, seria


(iii) Daca y = 1, an = xn

n − 1n = bn + cn, unde bn = xn

n si cn =−1n , n ≥ 1. Seria

∑cn este evident divergenta. Pentru seria

∑bn avem

limn→∞

n√|bn| = |x| < 1 si conform criteriului radacinii cu limita, seria

∑bn

converge. Aplicand teorema 3.36, se obtine ca seria∑

an diverge.(iv) Daca y = −1, an = (−1)n·xn

n + (−1)n+1

n = xn + yn, unde xn = (−1)n·xn

n

si yn = (−1)n+1

n , n ≥ 1. Ca mai sus se arata ca seria∑

xn converge, iar seria∑yn este convergenta utilizand criteriul lui Leibniz. Aplicand teorema 3.36,

obtinem ca seria∑

an converge.II. |x| > 1 ⇒ lim

n→∞|an+1||an| = |xy|.

158

(i) Daca |xy| < 1, seria∑

an converge.(ii) Daca |xy| > 1, seria

∑an diverge.

(iii) Daca y = 1x , atunci an = xn−1

n · 1xn = −( 1

x)n−1

n cu∣∣ 1x

∣∣ < 1 si sereduce la cazul I-(iii).

(iv) Daca y = −1x , atunci an = xn−1

n · (−1)n

xn =(−1)n+(−1)n+1·( 1

x)n

n cu∣∣ 1x

∣∣ < 1 si se reduce la cazul I-(iv).III. Daca x = 1, atunci an = 0 pentru orice n ≥ 1 si seria

∑an converge.

IV. Daca x = −1, atunci an = (−1)n−1n · yn si

∞∑n=1

an ∼∞∑

n=1

1−(−1)n

n · yn.

Fie bn = 1−(−1)n

n ·yn, n ≥ 1. Atunci lim sup n√|bn| = |y|. Conform criteriului

radacinii cu limita superioara, seria∑

bn converge pentru |y| < 1 si diverge

pentru |y| > 1. Daca |y| = 1, atunci an = (−1)n

n − 1n . Cum seria

∞∑n=1

(−1)n

n

este convergenta (din criteriul lui Leibniz) iar seria∞∑

n=1

1n este divergenta,

rezulta conform teoremei 3.36 ca seria∞∑


16. Fie an = nx+3ny+7 · an, n ≥ 1. Daca a = 0, atunci an = 0, ∀n ≥ 1 si

seria∑

an converge. Pentru a 6= 0 avem an+1

an= (n+1)x+3

nx+3ny+7

(n+1)y+7 · a si

limn→∞

|an+1||an| = |a|. Rezulta ca seria

∑an converge pentru |a| < 1 si diverge

pentru |a| > 1.Daca a = 1, an = nx+3

ny+7 , n ≥ 1. Avem urmatoarele situatii:(i) x ≥ y. Atunci an 9 0 deci seria

∑an diverge.

(ii) 0 < x < y. Atunci∞∑

n=1an ∼

∞∑n=1

1ny−x (conform criteriului de

comparatie cu limita) deci converge pentru y − x > 1 si diverge pentruy − x ≤ 1.

(iii) x < 0 ≤ y. Atunci∞∑

n=1an ∼

∞∑n=1

1ny (conform criteriului de compara-

tie cu limita) deci converge pentru y > 1 si diverge pentru y ≤ 1.(iv) x < y < 0. Atunci an 9 0 si seria


Daca a = −1, an = nx+3ny+7 · (−1)n, n ≥ 1.

(i) Daca x ≥ y, atunci an 9 0 si seria∑

an diverge.(ii) Daca 0 < x < y sau x < 0 < y, atunci lim

n→∞nx+3ny+7 = 0 iar sirul nx+3

ny+7

este descrescator. Utilizand criteriul lui Leibniz, seria∑

an converge.(iii) Daca x < y ≤ 0, atunci an 9 0 si seria


17. Sa notam cu an termenul general al seriei. Pentru a = 0, seriaconverge. Presupunem a 6= 0. Avem an+1

an= a(n+1)

α+n+1 si limn→∞

|an+1||an| = |a|.

159

I. Pentru |a| < 1, seria∑

an converge conform criteriului raportului culimita pentru seria

∑ |an|.II. Pentru |a| > 1, seria

∑an diverge conform problemei 3.5-(iii).

III. Pentru a = 1 se aplica criteriul lui Raabe-Duhamel:lim

n→∞n(

anan+1

− 1)

= α.

(i) Daca α > 1, atunci seria∑

an este convergenta.(ii) Daca 0 < α < 1, atunci seria


(iii) Daca α = 1, atunci an = 1n+1 si seria

∑an diverge.

IV. Pentru a = −1, an = (−1)n·bn, unde bn = n!α(α+1)·...·(α+n) > 0, ∀n ≥ 1.

Avem bn+1

bn= n+1

α+n+1 < 1, ∀n ≥ 1 deci bn este descrescator. Aplicand de douaori teorema lui Stolz-Cesaro (propozitia 2.30) sirului bn, obtinem lim

n→∞ bn =

0. Prin urmare, seria∑

an este convergenta cu criteriul lui Leibniz.18. Fie an = an

n(1+bn) , n ≥ 1. Atunci an+1

an= a · n

n+1 · 1+bn

1+bn+1 si avemcazurile:

I. 0 1, seria


(iii) Pentru a = 1, an = 1n(1+bn) si

∞∑n=1

an ∼∞∑

n=1

1n (conform criteriului de

comparatie cu limita) deci seria∑

an diverge.(iv) Pentru a = −1, an = (−1)n

n(1+bn) . Avem limn→∞

1n(1+bn) = 0, sirul 1

n(1+bn)

este descrescator si aplicand criteriul lui Leibniz se obtine ca seria∑

an

converge.II. b = 1 ⇒ lim

n→∞|an+1||an| = |a| deci seria

∑an converge pentru |a| < 1 si

diverge pentru |a| > 1.

Daca a = 1, atunci an = 12n si seria

∑an diverge.

Daca a = −1, atunci an = (−1)n

2n si seria∑

an converge (din criteriul luiLeibniz).

III. b > 1 ⇒ limn→∞

|an+1||an| = |a|

b deci seria∑

an converge pentru |a| b.

Daca a = b, atunci an = bn

n(1+bn) = 1n[1+( 1

b )n] , unde 1

b ∈ (0, 1) si se reduce

la cazul I -(iii).Daca a = −b, atunci an = (−1)n·bn

n(1+bn) = (−1)n

n[1+( 1b )

n] , unde 1b ∈ (0, 1) si se

reduce la cazul I-(iv).19. Fie an = (

√n2 + 1− an) · xn, n ≥ 1. Avem lim

n→∞|an+1||an| = |x|.

160

I. Pentru |x| < 1, seria∑

an converge conform criteriului raportului culimita pentru seria

∑ |an|.II. Pentru |x| > 1, seria


III. x = 1.

(i) Daca a 6= 1, atunci an 9 0 si seria∑

an diverge.

(ii) Daca a = 1, atunci an = 1√n2+1+n

si conform criteriului de comparatie

cu limita,∞∑

n=1an ∼

∞∑n=1

1n . Cum seria

∑ 1ndiverge, rezulta ca si seria

∑an diverge.

IV. x = −1.

(i) Daca a 6= 1, atunci an 9 0 si seria∑

an diverge.

(ii) Daca a = 1, atunci an = (−1)n√

n2+1+nsi seria

∑an este convergenta din

criteriul lui Leibniz.

20. Fie an = (√

n2 + 1−αn− βn) ·xn, ∀n ∈ IN∗. Avem lim

n→∞n√|an| = |x|.

I. Daca |x| < 1, atunci conform criteriului radacinii cu limita, seria∑ |an|

converge deci si seria∑

an converge (din teorema 3.33).II. Daca |x| > 1, atunci seria

∑an diverge conform problemei 3.5-(vi).

III. Daca |x| = 1 si α 6= 1, atunci an 9 0 si seria∑

an diverge.IV. Daca x = 1 si α = 1, atunci an =

√n2 + 1 − n − β

n . Se observa ca∑an ∼

∑ 1n (conform criteriului de comparatie cu limita). Cum seria

∑ 1n

diverge, rezulta ca si seria∑

an diverge.V. Daca x = −1 si α = 1, atunci an = (

√n2 + 1 − n − β

n) · (−1)n =(−1)n

n+√

n2+1− β · (−1)n

n . Cum seriile∑ (−1)n

n+√

n2+1si

∑ (−1)n

n sunt convergente(din criteriul lui Leibniz), rezulta ca seria

∑an este convergenta conform

teoremelor 3.35 si 3.36.21. Fie an =

[(2n−1)!!(2n)!!

]α· xn, n ≥ 1. Avem lim

n→∞|an+1||an| = |x| deci seria∑

an converge pentru |x| < 1 si diverge pentru |x| > 1.

I. x = 1 si α ≤ 0 ⇒ an+1

an=

(2n+12n+2

)α≥ 1, ∀n ≥ 1 ⇒ an este crescator

deci an 9 0 si seria∑

an diverge.II. x = 1 si α > 0. Se pot demonstra prin inductie urmatoarele ine-

galitati:

(3)1

2√

n≤ 1 · 3 · . . . · (2n− 1)

2 · 4 · . . . · (2n)≤ 1√

2n + 1, ∀n ∈ IN∗.

161

Rezulta ca 12α·nα/2 ≤ an ≤ 1

(2n+1)α/2 ,∀n ∈ IN∗ si aplicand criteriul de

comparatie de specia I se obtine ca∞∑

n=1an ∼

∞∑n=1

1nα/2 care converge pen-

tru α > 2 si diverge pentru α ≤ 2.

III. x = −1 si α ≤ 0 ⇒ |an+1||an| ≥ 1,∀n ≥ 1. Rezulta ca sirul |an| este

crescator deci an 9 0 si seria∑

an diverge.

IV. x = −1 si α > 0. Atunci an = (−1)n ·bn, unde bn =[

1·3·...·(2n−1)2·4·...·(2n)

]α>

0,∀n ≥ 1. Sirul (bn) este descrescator ıntrucat bn+1

bn=

(2n+12n+2

)α< 1, ∀n ≥

1. Din (3) rezulta ca 0 < bn < 1(2n+1)α/2 , n ≥ 1, iar lim

n→∞1

(2n+1)α/2 =

0. Din teorema clestelui (propozitia 2.26-vi)) se obtine ca limn→∞ bn = 0. In

consecinta, seria∑

an este convergenta cu criteriul lui Leibniz.

22. Fie an = x(x+1)·...·(x+n)y(y+1)·...·(y+n) a

n, ∀n ∈ IN∗. Avem limn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = |a|.I. Daca |a| < 1, atunci conform criteriului raportului cu limita, seria∑ |an| converge deci si seria

∑an converge (din teorema 3.33).

II. Daca |a| > 1, atunci seria∑

an diverge conform problemei 3.5-(iii).III. Daca a = 1, atunci lim

n→∞an+1

an= lim

n→∞x+n+1y+n+1 = 1 si aplicam criteriul

lui Raabe-Duhamel.Avem lim

n→∞n(

anan+1

− 1)

= y− x deci seria converge pentru y− x > 1 sidiverge pentru y − x < 1. Daca y − x = 1 ⇔ y = x + 1, atunci an = x

x+n+1

si ın acest caz,∑

an ∼∑ 1

n (conform criteriului de comparatie cu limita).Cum seria

∑ 1n este divergenta, rezulta ca seria

∑an este de asemenea

divergenta.IV. Daca a = −1, atunci an = (−1)n · bn, unde bn = x(x+1)·...·(x+n)

y(y+1)·...·(y+n) >

0,∀n ∈ IN∗.Avem bn+1

bn= x+n+1

y+n+1 < 1, ∀n ∈ IN∗ deci sirul (bn) este descrescator.Aplicand sirului (bn) de doua ori criteriul lui Stolz-Cesaro (propozitia 2.30),obtinem ca lim

n→∞ bn = 0. Conform criteriului lui Leibniz, seria∑

an esteconvergenta.

23. Notam cu an termenul general al seriei. Avem an+1

an=

√n+1√

n·

α−nα+n+1 , n ≥ 1.

I. Pentru α > 14 se aplica criteriul lui Raabe-Duhamel pentru seria

∑ |an|si avem: lim

n→∞n( |an||an+1| − 1

)= 4α+1

2 > 1. Rezulta ca seria∑ |an| este con-

vergenta si conform teoremei 3.33, seria∑

an converge de asemenea.II. Pentru α ≤ −1

4 , |an+1||an| ≥ 1, ∀n ≥ 1 deci sirul |an| este crescator. Atunci

an 9 0 si seria∑

an diverge.

162

III. Pentru α = 14 , an = (−1)n−1bn, unde bn = 4 · 3·7·11··...·(4n−5)

5·9·13·...·(4n−3) ·√

n4n+1 >

0, n ≥ 2. Sirul (bn) este descrescator deoarece bn+1

bn≥ 1,∀n ≥ 2. Pen-

tru a determina limita sirului (bn) se foloseste inegalitatea 3·7·11·...·(4n−5)5·9·13·...·(4n−3) ≤

2√4n−1

, ∀n ≥ 2, de unde rezulta ca 0 < bn ≤ 8√

n

(4n+1)√

4n−1, ∀n ≥ 2. Din teo-

rema clestelui (propozitia 2.26-vi)) obtinem limn→∞ bn = 0. Astfel seria

∑an

converge cu criteriul lui Leibniz.

IV. Pentru α ∈ (−14 , 1

4), an = (−1)n · bn, unde

bn =(1− α)(2− α) . . . (n− 1− α)

√n

(1 + α)(2 + α) . . . (n + α)> 0,∀n ≥ 2.

Avem bn+1

bn≤ 1, ∀n ≥ 2 deci (bn) este descrescator si lim

n→∞ bn = 0. Conform

criteriului lui Leibniz, seria∑


24. Notand cu an termenul general al seriei, utilizam criteriul lui Gausssi scriem: an

an+1=

(1 + 1

n

)α(1 + b

n+1

), n ≥ 1. Se aplica formula lui Taylor

ın punctul 0 cu restul Lagrange de ordinul 2 (teorema 6.26) functiei f(x) =(1 + x)α si obtinem: pentru orice n ∈ IN∗, exista tn ∈

(0, 1

n

)astfel ıncat(

1 + 1n

)α = 1 + αn + α(α−1)

2n2 (1 + tn)α−2. Atunci vom putea scrie anan+1

=

1 + α+bn + xn

n2 , n ≥ 1, unde xn = α(α−1)2 (1 + tn)α−2 este un sir marginit.

Astfel, din criteriul lui Gauss, seria∑

an converge pentru α + b > 1 sidiverge pentru α + b ≤ 1.

25. Fie an = (−1)n(n+1)/2 · bn, unde bn = e·√e· 3√e·...· n√enα = e1+1

2+...+ 1n

nα .

Daca α ≤ 0, atunci an 9 0 deoarece limn→∞ bn = +∞. Astfel seria

∑an

este divergenta.

Daca α > 0, atunci se aplica criteriul lui Dirichlet: seria∞∑

n=1(−1)n(n+1)/2

are sirul sumelor partiale marginit iar sirul (bn) este descrescator cu limita0. Rezulta ca seria

∑an converge.

26. Notam an = (a − 2)n · (1 + 1n

)n2

> 0, ∀n ∈ IN∗ si aplicam criteriulradacinii cu limita: lim

n→∞n√

an = (a− 2)e.

I. Daca (a− 2)e < 1 ⇔ a < 2 + 1e , atunci seria

∑an converge.

II. Daca (a− 2)e > 1 ⇔ a > 2 + 1e , atunci seria

∑an diverge.

III. Daca (a− 2)e = 1 ⇔ a = 2 + 1e , atunci an = 1

en ·(1 + 1

n

)n2

, n ∈ IN∗.

163

Conform problemei 2.5-b), e <(1 + 1

n

)n+1,∀n ∈ IN∗. Atunci avem:

en <

(1 +

1n

)(n+1)n

⇒ 1en

>1

(1 + 1

n

)(n+1)n⇒

⇒ an >

(1 + 1

n

)n2

(1 + 1

n

)n2+n=

1(1 + 1

n

)n , ∀n ∈ IN∗.

Dar limn→∞

1

(1+ 1n)n = 1

e de unde rezulta ca an 9 0 deci seria∑

an este diver-

genta.

3.13 a) Alegem α astfel ıncat 1 < α < lim infln 1

anln n . Din definitia limitei

inferioare rezulta ca exista n0 ∈ IN∗ astfel ıncatln 1

anln n > α pentru orice

n ≥ n0. Rezulta ca an < 1nα ,∀n ≥ n0 si conform criteriului de comparatie

de specia I, seria∑

an converge.b) Se procedeaza analog.c) Rezulta din a) si b) folosind teorema 2.25.

3.14 a) Daca notam an =(

1n3+n+3

)ln(n+1), n ≥ 1, atunci lim

n→∞ln 1

anln n =

∞ > 1 deci seria∑


b) Fie an = 1(ln n)α , n ≥ 2. Atunci lim

n→∞ln 1

anln n = 0 < 1 deci seria

∑an

diverge.

3.15 Fie an = (√

n + a√

n + 1 + b) · cn, n ≥ 1. Avem limn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = |c|.I. Daca |c| < 1, atunci seria

∑ |an| converge conform criteriului rapor-tului cu limita. Atunci si seria

∑an converge (datorita teoremei 3.33).

II. Daca |c| > 1, atunci seria∑

an diverge conform problemei 3.5-(iii).III. Daca |c| = 1 si a 6= −1, atunci an 9 0 si seria

∑an diverge.

IV. Daca |c| = 1, a = −1 si b 6= 0, atunci an = (√

n−√n + 1+b) ·cn 9 0si seria

∑an diverge.

V. Daca c = 1, a = −1 si b = 0, atunci an =√

n−√n + 1 si seria∑

an

este telescopica. In acest caz, sn = a1 + . . . + an = 1 − √n + 1 → −∞ siseria

∑an diverge.

VI. Daca c = −1, a = −1 si b = 0, atunci an = (√

n−√n + 1) · (−1)n =(−1)n+1√

n+√

n+1si seria

∑an converge conform criteriului lui Leibniz.

In cazul a = −c, b = 1 si |c| < 1, sn = a1+a2+. . .+an = c−cn+1√

n + 1+c · 1−cn

1−c , n ≥ 1. Suma seriei este limn→∞ sn = 2c−c2

1−c .

164

3.16 a) bn = nα+ 12

√a +

√n

n , n ≥ 1.

Daca α + 12 < 0 ⇔ α < −1

2 , atunci limn→∞ bn = 0.

Daca α + 12 = 0 ⇔ α = −1

2 , atunci limn→∞ bn =

√a.

Daca α + 12 > 0 ⇔ α > −1

2 , atunci limn→∞ bn = ∞.

b) an = nα(√

n +√

n) · xn, n ≥ 1. Avem limn→∞

|an+1||an| = |x|.

Daca |x| < 1, atunci seria∑ |an| converge conform criteriului raportului cu

limita. Folosind teorema 3.33 obtinem ca si seria∑

an converge.Daca |x| > 1, atunci seria


Pentru x = 1, an = 1

n−α− 12·√

1 +√

nn , n ≥ 1 si lim

n→∞

√1 +

√n

n = 1. Din cri-

teriul de comparatie cu limita se obtine ca∞∑

n=1an ∼

∞∑n=1

1

n−α− 12

care converge

pentru −α− 12 > 1 si diverge pentru −α− 1

2 ≤ 1.

Pentru x = −1, an = (−1)n · bn, n ≥ 1.

Daca α ≥ −12 , atunci bn 9 0 (vezi punctul a)), deci an 9 0 si seria

∑an

diverge.Daca α < −1

2 , atunci bn → 0 (conform a)). Pentru a demonstra ca sirul (bn)este descrescator, sirului (bn) i se asociaza functia f : [1,∞) → IR, f(x) =bx = xα

√x +

√x (vezi observatia 2.32) si se studiaza monotonia functiei f .

Avem f ′(x) = xα− 12 [(4α+2)

√x+(4α+1)]

4√

x+√

x. Cum α < −1

2 , avem 4α + 2 < 0 deci

f ′(x) < 0 pentru x >(

4α+1−4α−2

)2. Atunci f este descrescatoare pe intervalul[(

4α+1−4α−2

)2,∞

). Rezulta ca exista n0 ∈ IN∗ astfel ıncat bn ≥ bn+1, ∀n ≥ n0

(adica sirul (bn) este descrescator ıncepand cu un anumit rang n0 ∈ IN∗).Acum putem aplica criteriul lui Leibniz si seria

∑an converge.

3.17 Notam cu an termenul general al seriei.Avem an+1

an= 2n+3

2n+1 · n−an+a+2 · x, n ≥ 1 si lim

n→∞|an+1||an| = |x|.

I. Pentru |x| < 1, seria∑ |an| converge (din criteriul raportului cu limita)

si conform teoremei 3.33, seria∑

an converge.II) Pentru |x| > 1, seria


III) Pentru |x| = 1 si a > 0, limn→∞n

( |an||an+1| − 1

)= 2a + 1 > 1 si din cri-

teriul lui Raabe-Duhamel, seria∑ |an| converge deci si seria

∑an converge.

IV) Pentru |x| = 1 si a ≤ −12 , |an+1| ≥ |an| pentru orice n ∈ IN. Rezulta

ca an 9 0 si seria∑

an este divergenta.

165

V) Pentru x = 1 si a = 0 seria devine∞∑

n=1

2n+1n(n+1) care are aceeasi natura

cu seria∞∑

n=1

1n (din criteriul de comparatie cu limita) deci seria diverge.

VI) Pentru x = 1 si a ∈ (−12 , 0), an = (−1)n · (2n+1)(1−a)(2−a)...(n−1−a)

(1+a)(2+a)...(n+1+a) sifolosind criteriul lui Leibniz seria

∑an converge.

VII) Pentru x = −1 si a = 0 seria devine∞∑

n=1

(2n+1)(−1)n

n(n+1) care este con-

vergenta cu criteriul lui Leibniz.VIII) Pentru x = −1 si a ∈ (−1

2 , 0), anan+1

= 1+ −22n+3 + 2a+2

n−a − 2(2a+2)(2n+3)(n−a) .

Se aplica criteriul lui Gauss (corolarul 3.27). Avem β = −1 + 2a + 2 =2a + 1 < 1 de unde rezulta ca seria

∑an diverge.

3.18 Rezulta din inegalitatile mediilor:

21

an+ 1

an+1

≤ √anan+1 ≤ an + an+1

2, n ≥ 1

si din criteriul de comparatie de specia I.

3.19 Notam cu (sn)n≥n0 sirul sumelor partiale pentru seria∑

n≥n0

an si cu

(tn)n≥n0 sirul sumelor partiale pentru seria∑

n≥n0

|an|. Avem

(4) |sn| = |an0+an0+1+. . .+an| ≤ |an0 |+|an0+1|+. . .+|an| = tn,∀n ≥ n0.

Conform observatiei 3.13-b), exista limn→∞ tn ∈ [0, +∞]. Trecand ın (4) la

limita se obtine | limn→∞ sn| ≤ lim

n→∞ tn, adica | ∑n≥n0

an| ≤∑

n≥n0

|an|.

3.20 Este suficient de aratat ca seria∑

an converge daca si numai dacaseria

∑ an1+an

converge.i) Presupunem ca seria

∑an converge. Din inegalitatea an

1+an< an,∀n ∈

IN∗ si din criteriul de comparatie de specia I rezulta ca seria∑ an

1+ancon-

verge.ii) Daca seria

∑ an1+an

este convergenta, atunci limn→∞

an1+an

= 0. Rezultaca lim

n→∞ an = 0. De aici se obtine limn→∞

anan

1+an

= 1 si conform criteriului de

comparatie cu limita, seria∑


3.21 a) Presupunem ca seria∞∑

n=1an este convergenta. Rezulta ca sirul (sn)

este crescator si majorat. Fie tn =n∑

k=1

aksk

sirul sumelor partiale pentru seria

166

∞∑n=1

ansn

. Pentru ca s1 ≤ sk,∀k ∈ IN∗, avem tn ≤n∑

k=1

aks1

= sns1

, ∀n ∈ IN∗ deci

(tn) este majorat. Conform teoremei 3.12, seria∞∑

n=1

ansn

este convergenta.

Pentru seria∞∑

n=1

ans2n

se procedeaza la fel.

b) Daca seria∞∑

n=1an diverge, atunci sirul (sn) este nemajorat (din obser-

vatia 3.13) si sn → +∞. Rezulta ca pentru orice n ∈ IN∗, exista p ∈ IN∗

astfel ıncat sn+p ≥ 2sn. Utilizam teorema lui Cauchy de caracterizare:an+1

sn+1+ an+2

sn+2+ . . . + an+p

sn+p≥ sn+p−sn

sn+p≥ 1

2 . Astfel seria∑ an

sndiverge. Analog

se arata pentru seria∞∑

n=1

ans2n. Astfel

∣∣∣∣an+1

s2n+1

+ an+2

s2n+2

+ . . . + an+p

s2n+p

∣∣∣∣ ≤ an+1

sn·sn+1+

an+2

sn+1·sn+2+ . . . + an+p

sn+p−1·sn+p= 1

sn− 1

sn+1+ 1

sn+1− 1

sn+2+ . . . + 1

sn+p−1− 1

sn=

1sn− 1

sn+p< 1

sn,∀p ∈ IN∗. Dar 1

sn→ 0 si conform teoremei lui Cauchy de

caracterizare, seria∞∑

n=1

ans2n

converge.

3.22 a) Sa notam bn = an1+a3

n, n ≥ 1.

I. Daca seria∞∑

n=1an converge, atunci lim

n→∞ an = 0. Rezulta ca∑

bn ∼∑

an din criteriul de comparatie cu limita deci seria∑

bn converge.

II. Daca seria∞∑

n=1an diverge, atunci nu se poate spune nimic despre

seria∑

bn. Astfel, daca an = n pentru orice n ≥ 1, atunci bn = n1+n3 si

∞∑n=1

bn ∼∞∑

n=1

1n2 (conform criteriului de comparatie cu limita) deci seria

∑an

converge. Iar daca an = 1 pentru orice n ≥ 1, atunci bn = 12 si seria

∑bn

este divergenta.b) Fie bn = an

1+nαan, n ≥ 1 si (sn) sirul sumelor partiale pentru seria

∞∑n=1

bn.

I. Daca seria∑

an converge, atunci din faptul ca bn < an, ∀n ≥ 1 si dincriteriul de comparatie de specia I se obtine ca seria

∑bn converge.

II. Presupunem ca seria∑

an diverge si α > 1. Avem bn < 1nα ,∀n ≥ 1.

Cum seria∞∑

n=1

1nα este convergenta, rezulta ca seria

∑bn este convergenta

(conform criteriului de comparatie de specia I).III. Presupunem ca seria

∑an diverge si α = 1.Avem mai multe situatii:

167

1) Sirul (nan) este majorat. Atunci exista M > 0 astfel ıncat nan ≤M,∀n ∈ IN∗. Se obtine bn = an

1+nan≥ 1

1+M an,∀n ∈ IN∗. Cum seria∑

an

diverge, rezulta ca si seria∑ 1

1+M an diverge. Atunci seria∑

bn diverge,conform criteriului de comparatie de specia I.

2) nan → +∞. In acest caz, bn = an1+nan

= nan1+nan

· 1n pentru orice

n ∈ IN∗, iar limn→∞

nan1+nan


bn ∼ ∑ 1n . Cum seria

∑ 1n este divergenta, rezulta ca seria

∑bn este

divergenta.3) (nan) nu este majorat si nan 9 +∞. Atunci exista (nkank

)k∈IN∗ unsubsir al sirului (nan)n astfel ıncat lim

k→∞nkank

= +∞. Conform cazului 2),

seria∞∑

k=1

ank1+nkank

este divergenta. Notand cu (tk)k sirul sumelor partiale

pentru seria∞∑

k=1

ank1+nkank

, avem limk→∞

tk = +∞. Dar snk≥ tk, ∀k ∈ IN∗, de

unde rezulta ca limk→∞

snk= +∞. Deci (sn) este divergent si ın consecinta,

seria∑

bn este divergenta.IV. Presupunem ca seria

∑an diverge si α < 1. Atunci nα < n si de

aici rezulta ca bn = an1+nαan

≥ an1+nan

, ∀n ∈ IN∗. Conform cazului III, seria∑ an1+nan

diverge. Utilizand criteriul de comparatie de specia I, obtinem caseria

∑bn diverge.

3.23 Se scrie an = nan · 1n , n ∈ IN∗ si se utilizeaza criteriul lui Abel.

3.24 Conform ingalitatii∣∣an

n

∣∣ ≤ 12a2

n+ 12n2 , n ≥ 1 si criteriului de compara-

tie de specia I, seria∞∑

n=1

ann converge.

3.25 a) Seria∞∑

n=1an fiind convergenta, din criteriul lui Cauchy de ca-

racterizare rezulta: ∀ε > 0,∃n0(ε) = n0 ∈ IN∗ a.ı. ∀n ≥ n0 si ∀m >n, an+1 + an+2 + . . . + am < ε

2 . In particular, pentru m > 2n0 si deoarece(an) este descrescator, avem:

m2 am < (m− n0)am < an0+1 + an0+2 + . . . + am < ε

2 ⇒⇒ mam < ε,∀m > 2n0 ⇒ nan → 0.

b) Intr-adevar, pentru an =

{1n , n = 3k,1n2 , n 6= 3k

168

seria∞∑

n=1an este convergenta, sirul (an) nu este descrescator iar nan 9 0.

c) Reciproca este falsa. De exemplu, daca an = 1n ln n pentru n ≥ 2,

atunci (an) este descrescator, limn→∞nan = 0 dar seria

∞∑n=2

an este divergenta.

3.26 Presupunem ca seria∞∑

n=1an converge deci (sn) este convergent, strict

crescator si majorat. Daca [sn] este partea ıntreaga a lui sn, atunci [sn] ≤[sn+1], ∀n ∈ IN∗ deci sirul ([sn]) este de asemenea crescator. Din inegalitatea[sn] ≤ sn, ∀n ∈ IN∗, rezulta ca sirul ([sn]) este si majorat si prin urmare,este convergent. Atunci sirul (tn) este convergent.

Presupunem ca sirul (tn) este convergent. Avem an+1 = sn+1 − sn =[sn+1] − [sn] + tn+1 − tn, de unde obtinem lim

n→∞([sn+1] − [sn]) = 0. Cum

[sn+1] − [sn] ∈ IN pentru orice n ∈ IN∗, rezulta ca sirul ([sn]) este constantde la un rang ıncolo deci este convergent. Dar sn = [sn] + tn,∀n ∈ IN∗. In

consecinta, sirul (sn) este convergent. Astfel seria∞∑

n=1an converge.

3.27 Aceasta solutie se gaseste ın Iaglom A.M., Iaglom I.M. [10].In primul rand, din inegalitatea: sinx < x < tgx,∀x ∈ (0, π

2 ) rezulta

(5) ctg2 x <1x2

< 1 + ctg2 x,∀x ∈ (0,π

2) si

(6) ctg4 x <1x4

< 1 + 2 ctg2 x + ctg4 x,∀x ∈ (0,π

2).

In al doilea rand, pentru determinarea radacinilor ecuatiei:

(7) C12n+1X

n − C32n+1X

n−1 + C52n+1X

n−2 − . . . = 0,

se utilizeaza binomul lui Newton pentru (cosx+ i sinx)2n+1 = cos(2n+1)+i sin(2n+1)x = cos2n+1 x+ iC1

2n+1 · cos2n x sinx+ i2C22n+1 cos2n−1 x sin2 x+

. . . . De aici, pentru sinx 6= 0 se obtinesin(2n+1)x = sin2n+1 x(C1

2n+1 ctg2n x−C32n+1 ctg2n−2 x+C5

2n+1 ctg2n−4 x−. . .). Rezulta ca radacinile ecuatiei (7) sunt ctg2 kπ

2n+1 , k = 1, n. Conformrelatiilor lui Viete, avem

(8)n∑

k=1

ctg2 kπ

2n + 1=

C22n+1

C12n+1

=n(2n− 1)

3si

169

(9)n∑

k=1

ctg4 kπ

2n + 1=

(C3

2n+1

C12n+1

)2

− 2C5

2n+1

C12n+1

,

Pentru x = kπ2n+1 , k = 1, n din (5) rezulta

n∑

k=1

ctg2 kπ

2n + 1<

(2n + 1)2

π2·

n∑

k=1

1k2

< n +n∑

k=1

ctg2 kπ

2n + 1, ∀n ∈ IN∗.

Din (8) se obtine:

(10)n(2n− 1)π2

3(2n + 1)2<

n∑

k=1

1k2

<nπ2

(2n + 1)2+

n(2n− 1)π2

3(2n + 1)2, ∀n ∈ IN∗

Trecand la limita pentru n →∞ ın (10) si din teorema clestelui (propozitia

2.26-vi)) rezulta∞∑

n=1

1n2 = π2

6 . Analog, folosind (6) si (9) se obtine:∞∑

n=1

1n4 =

π4

90 .

3.28 Aceste exemple se gasesc ın Gelbaum B.R., Olmsted J.M.H. [9].

a) Pentru an = bn = (−1)n√

n+1, n ∈ IN, seria

∞∑n=0

an este convergenta (din

criteriul lui Leibniz). Notand prin∞∑

n=0cn seria produs Cauchy al seriilor

∞∑n=0

an si∞∑

n=0bn (conform definitiei 3.37), avem:

|cn| = 1√1√

n + 1+

1√2 · √n

+1√

3 · √n− 1+ . . . +

1√n · √2

+1√

n + 1 · √1.

Utilizand inegalitatea 1√ab≥ 2

a2+b2, a > 0, b > 0 pentru fiecare termen din

|cn| se obtine: |cn| ≥ 2n + 2

+2

n + 2+ . . . +

2n + 2︸︷︷︸

de n+1 ori

= 2(n+1)n+2 ≥ 1,∀n ∈ IN∗,

de unde rezulta ca seria∞∑

n=0cn este divergenta.

b) Fie a1 = 2, a2 = 2, a3 = 22, . . . , an = 2n−1, . . . si b1 = −1, bn = 1

pentru n ≥ 2. Evident seriile∞∑

n=1an si

∞∑n=1

bn sunt divergente. Avem:

170

c1 = a1b1 = −1

c2 = a1b2 + a2b1 = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cn = a1bn + a2bn−1 + . . . + an−1b2 + anb1 = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

deci seria∞∑

n=1cn este absolut convergenta.

3.29 Seriile∞∑

n=0

1n! si

∞∑n=0

(−1)n

n sunt absolut convergente si conform teore-

mei lui Cauchy (3.39), seria produs Cauchy∞∑

n=0cn este absolut convergenta

si

(11)∞∑

n=0

cn =

( ∞∑

n=0

1n!

)( ∞∑

n=0

(−1)n

n!

).

Conform problemei 2.5-c), are loc∞∑

n=0

1n! = e. Avem c0 = 1, cn = 0 pentru

n ≥ 1 deci∞∑

n=0cn = 1 si din (11) rezulta ca

∞∑n=0

(−1)n

n! = 1e .

3.30 Se procedeaza ca ın problema precedenta, observand ca seria∞∑

n=0(−1)n · 1

(√

2)n este seria geometrica cu ratia −1√2.

3.31 a) Seria geometrica cu ratia −15 este absolut convergenta si are suma

∞∑n=0

(−1)n 15n = 1

1+ 15

= 56 . Se aplica teorema lui Mertens (3.38) si se obtine:

( ∞∑n=0

(−1)n

5n

)·( ∞∑

n=0

(−1)n

5n

)=

∞∑n=0

(−1)n · n+15n =

(56

)2 = 2536 .

Pentru b) si c) se rationeaza analog.

3.32 Sa notam an = xn, n ∈ IN. Seria∞∑

n=0xn este absolut convergenta si

se aplica teorema lui Mertens 3.38. Avem cn =n∑

k=0

ak · an−k = (n + 1)xn

pentru orice n ∈ IN, de unde rezulta concluzia problemei.

171

3.33 Pentru x ∈ IR notam an = xn

n! , n ∈ IN. Se aplica criteriul raportu-

lui cu limita pentru seria∞∑

n=0|an| si se obtine ca seria

∞∑n=0

an este absolut

convergenta. Pentru y ∈ IR, fie bn = yn

n! , n ∈ IN. Conform teoremei lui

Mertens 3.38, seria produs Cauchy al seriilor∞∑

n=0an si

∞∑n=0

bn, notata∞∑

n=0cn,

este convergenta si are loc:∞∑

n=0cn =

( ∞∑n=0

an

)( ∞∑n=0

bn

)= E(x)E(y). Dar

cn =n∑

k=0

ak · bn−k =n∑

k=0

xk

k! · yn−k

(n−k)! = 1n!

n∑k=0

Ckn · xkyn−k = (x+y)n

n! , ∀n ∈ IN.

Rezulta ca∞∑

n=0cn =

∞∑n=0

(x+y)n

n! = E(x + y) si de aici se obtine relatia din

enunt.

3.34 Folosind criteriul raportului cu limita pentru seriile modulelor seobtine ca ambele serii sunt absolut convergente. Pentru x, y ∈ IR, notam

an = (−1)n · x2n+1

(2n+1)! , bn = (−1)n · y2n

(2n)! , n ∈ IN. Daca notam prin∞∑

n=0cn

seria produs Cauchy al seriilor∞∑

n=0an si

∞∑n=0

bn, conform teoremei lui Cauchy

3.39, seria∞∑

n=0cn este absolut convergenta si

∞∑n=0

cn =( ∞∑

n=0an

)( ∞∑n=0

bn

)=

S(x)C(y). Avem cn =n∑

k=0

akbn−k = (−1)n

(2n+1)!

n∑k=0

C2k+12n+1 ·x2k+1 · y2n−2k, n ∈ IN.

In mod analog rezulta C(x)S(y) =∞∑

n=0dn, unde dn = (−1)n

(2n+1)!

n∑k=0

C2k2n+1 ·x2k ·

y2n−2k+1, n ∈ IN. Utilizand teorema 3.36 obtinem:

S(x)C(y)+C(x)S(y) =∞∑

n=0

(cn +dn) =∞∑

n=0

(−1)n

(2n + 1)!(x+y)2n+1 = S(x+y).

A doua relatie se arata analog.

3.35 Fie sn =n∑

k=0

ak si yn =∫ n0 f(x)dx, n ∈ IN. Deoarece f este des-

crescatoare, avem f(k + 1) ≤ f(x) ≤ f(k), ∀x ∈ [k, k + 1], ∀k ∈ IN. Cum feste continua, rezulta

(12) ak+1 = f(k + 1) ≤∫ k+1

kf(x)dx ≤ f(k) = ak, ∀k = 0, n, n ∈ IN.

172

Adunand inegalitatile (12), rezulta can∑

k=0

ak+1 ≤∫ n+10 f(x)dx ≤

n∑k=0

ak,

adica sn+1 − a0 ≤ yn+1 ≤ sn,∀n ∈ IN. De aici se obtine usor concluzia.

Capitolul 4

NOTIUNI DE TOPOLOGIE IN IRp

Fie p ∈ IN∗ si IRp = IR× IR× ...× IR︸︷︷︸de p ori

. Un element x al lui IRp va fi un

p−uplu de numere reale, (x1, x2, ..., xp).

Definitia 4.1. O functie d : IRp × IRp → IR se numeste distanta saumetrica pe IRp daca satisface urmatoarele conditii:

(D1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ IRp si d(x, y) = 0 ⇔ x = y;(D2) d(x, y) = d(y, x),∀x, y ∈ IRp;(D3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ IRp.

Definitia 4.2. O functie ‖·‖ : IRp → IR se numeste norma pe IRp dacasatisface urmatoarele conditii:

(N1) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ IRp si ‖x‖ = 0 ⇔ x = (0, 0, . . . , 0)︸︷︷︸de p ori

= 0;

(N2) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖ ,∀x ∈ IRp, ∀α ∈ IR;(N3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , ∀x, y ∈ IRp.

O norma ‖·‖ defineste o distanta d prin relatia d(x, y) = ‖x− y‖ . Ingeneral vom considera pe IRp norma euclidiana:

‖x‖ =√

x21 + x2

2 + ... + x2p, ∀x = (x1, x2, ..., xp) ∈ IRp

si distanta indusa de aceasta. Pe IR aceasta norma se reduce la functiamodul.

Daca x ∈ IRp si A ⊂ IRp este o multime nevida, se defineste distanta dela punctul x la multimea A prin d(x,A) = inf{‖x− a‖ | a ∈ A}. Distantadintre doua submultimi nevide A, B ⊂ IRp se defineste prin d(A, B) =inf{‖a− b‖ | a ∈ A, b ∈ B}.

173

174

Alte exemple importante de norme pe IRp sunt urmatoarele: ‖x‖1 =max(|x1|, |x2|, ..., |xp|), ‖x‖2 = |x1|+ |x2|+ ... + |xp|.

Definitia 4.3. Fie x ∈ IRp si ε > 0.(a) Se numeste bila deschisa de centru x si raza ε multimea B(x, ε) =

{y ∈ IRp | d(x, y) < ε};(b) Se numeste bila ınchisa de centru x si raza ε multimea D(x, ε) =

{y ∈ IRp | d(x, y) ≤ ε}.Se observa ca ın definitia 4.3 bila deschisa (ınchisa) depinde de metrica

folosita.

Definitia 4.4. a) Fie x ∈ IRp. O submultime V a lui IRp se numestevecinatate a lui x daca exista o bila deschisa cu centrul ın x continuta ın V.

b) O submultime V ⊂ IR se numeste vecinatate a lui x = +∞ (respectivx = −∞) daca exista a ∈ IR astfel ıncat (a,+∞] ⊂ V (respectiv [−∞, a) ⊂V ).

Notam cu V(x) multimea tuturor vecinatatilor lui x ∈ IRp. Are locurmatoarea proprietate de separatie, numita separatie Hausdorff.

Teorema 4.5. (de separatie Hausdorff) Fie x, y ∈ IRp, x 6= y. Atunciexista U ∈ V(x) si V ∈ V(y) astfel ıncat U ∩ V = ∅.

Are loc urmatorul rezultat cu privire la vecinatatile unui punct dintr-unspatiu euclidian produs.

Propozitia 4.6. Fie x ∈ IRp, y ∈ IRq si V ⊂ IRp+q = IRp × IRq, (x, y) ∈V. Atunci V ∈ V((x, y)) daca si numai daca exista V1 ∈ V(x), V2 ∈ V(y)astfel ıncat V1 × V2 ⊂ V.

Definitia 4.7. Fie x ∈ IRp. O familie U de submultimi ale lui IRp senumeste sistem fundamental de vecinatati ale lui x daca:

(a) U ⊂ V(x);(b) ∀V ∈ V(x), ∃U ∈ U a.ı. U ⊂ V.

Definitia 4.8. O submultime D ⊂ IRp se numeste deschisa daca D =∅ sau D este vecinatate pentru orice punct al sau. Notam cu τ0 familiamultimilor deschise ale lui IRp. τ0 se numeste topologia uzuala a lui IRp.

Daca ∅ 6= X ⊂ IRp, atunci o multime A ⊂ X se numeste deschisa ın Xdaca A = X ∩D cu D ∈ τ0. In acest caz, familia τ0(X) = {X ∩D | D ∈ τ0}se numeste topologia uzuala indusa pe X.

175

Definitia 4.9. O submultime F a lui IRp se numeste ınchisa daca IRp\Feste deschisa.

Daca ∅ 6= X ⊂ IRp, atunci o multime F ⊂ X se numeste ınchisa ın Xdaca X\F ∈ τ0(X).

Teorema 4.10.(i) Orice reuniune de multimi deschise este o multime deschisa.(ii) Intersectia unui numar finit de multimi deschise este o multime des-

chisa.(iii) Orice intersectie de multimi ınchise este multime ınchisa.(iv) Reuniunea unui numar finit de multimi ınchise este multime ınchisa.

O multime A ⊂ IRp se numeste de tip Gδ daca se poate reprezenta ca ointersectie numarabila de multimi deschise.

O multime A ⊂ IRp se numeste de tip Fσ daca se poate reprezenta ca oreuniune numarabila de multimi ınchise.

Definitia 4.11. O submultime a lui IRp se numeste marginita dacaexista o bila ınchisa cu centrul ın origine care sa o contina.

Definitia 4.12. Fie A ⊂ IRp. Un punct x ∈ IRp se numeste punctinterior multimii A daca A ∈ V(x).

Multimea tuturor punctelor interioare ale lui A se noteaza cu◦A. Uneori,

din motive de scriere, vom mai nota interiorul unei multimi A cu intA.

Propozitia 4.13. Fie A ⊂ IRp. Atunci◦A este o multime deschisa,

◦A ⊂ A, iar A este deschisa daca si numai daca A =

◦A.

Definitia 4.14. Fie A ⊂ IRp. Un punct x ∈ IRp se numeste punctaderent multimii A daca ∀V ∈ V(x), V ∩A 6= ∅.

Pentru ca x sa fie aderent multimii A este necesar si suficient ca pentruorice ε > 0, B(x, ε) ∩A 6= ∅.

Multimea tuturor punctelor aderente ale lui A se noteaza cu A si senumeste aderenta (sau ınchiderea) lui A.

Propozitia 4.15. Fie A ⊂ IRp. Atunci A este o multime ınchisa , A ⊂ A,iar A este ınchisa daca si numai daca A = A.

Propozitia 4.16. Fie A ⊂ IRp. Atunci au loc relatiile int(IRp\A) =IRp\A si IRp\A = IRp\ intA.

176

Definitia 4.17. Fie A ⊂ IRp. Se numeste frontiera multimii A multimea

FrA = A\◦A = A ∩ IRp\A.

Evident, Fr(IRp\A) = FrA.

Definitia 4.18. Fie A ⊂ IRp. Un punct x ∈ IRp se numeste punct deacumulare pentru multimea A daca ∀V ∈ V(x), (V \{x}) ∩A 6= ∅.

Daca A ⊂ IR si x = +∞ sau x = −∞ definitia se pastreaza neschimbata.

Pentru ca x sa fie punct de acumulare pentru multimea A este necesar sisuficient ca pentru orice ε > 0, (B(x, ε)\{x})∩A 6= ∅. Multimea punctelor deacumulare ale multimii A se noteaza cu A′ si se numeste multimea derivataa lui A.

Un punct din A care nu este de acumulare pentru multimea A se numestepunct izolat al multimii A.

Propozitia 4.19. Fie A ⊂ IRp. Atunci A = A ∪ A′. Multimea A esteınchisa daca si numai daca A′ ⊂ A.

Notiunea de sir de puncte ın IRp se defineste similar cu cea de sir denumere reale: o functie f : IN → IRp. Conceptele de sir marginit si subsir auıntelesuri similare cu cele din cazul descris ın capitolul 2.

Definitia 4.20. Un sir (xn) ⊂ IRp este convergent daca exista un punctx ∈ IRp cu proprietatea ca pentru orice V ∈ V(x), exista nV ∈ IN astfelıncat pentru orice n ≥ nV , xn ∈ V. Elementul x se numeste limita sirului(xn).

Vom nota x cu limn→∞xn sau limxn.

Propozitia 4.21. Un sir (xn) ⊂ IRp este convergent la x ∈ IRp daca sinumai daca sirul de numere reale (d(xn, x))n este convergent la 0.

Au loc urmatoarele proprietati generale.

Propozitia 4.22.(i) Un sir convergent ın IRp are limita unica.(ii) Daca un sir este convergent ın IRp, atunci orice subsir al sau este

convergent la aceeasi limita.(iii) Orice sir convergent ın IRp este marginit.

Fie (xn) = ((x1n, x2

n, ..., xpn)) ⊂ IRp un sir de puncte, unde (x1

n), (x2n), ..., (xp

n)sunt siruri de numere reale, numite siruri coordonate. Are loc urmatoareateorema.

177

Teorema 4.23. Sirul (xn)⊂IRp converge la limita x=(x1, x2, . . . , xp)daca si numai daca sirurile (x1

n), (x2n), . . . , (xp

n) sunt convergente respectiv lalimitele x1, x2, . . . , xp.

Teorema 4.24. Sirul (xn) ⊂ IRp este marginit daca si numai dacasirurile (x1

n), (x2n), ..., (xp

n) sunt marginite.

Urmatoarele caracterizari ale punctelor aderente si de acumulare cu aju-torul sirurilor sunt foarte importante.

Propozitia 4.25. Fie A ⊂ IRp si x ∈ IRp.

(i) x este aderent multimii A daca si numai daca exista un sir de punctedin A convergent la x;

(ii) x este punct de acumulare pentru multimea A daca si numai dacaexista un sir de puncte din A\{x} convergent la x.

Definitia 4.26. Un sir (xn) ⊂ IRp se numeste Cauchy sau fundamentaldaca satisface proprietatea:

∀ε > 0, ∃nε ∈ IN, a.ı. ∀n,m ≥ nε, d(xn, xm) < ε.

Luand m = n + p, definitia de mai sus se poate rescrie astfel: un sir(xn) este Cauchy daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ IN, a.ı. ∀n ≥ nε, ∀p ∈ IN, d(xn, xn+p) < ε.

Teorema 4.27. Un sir (xn) ⊂ IRp este Cauchy daca si numai daca esteconvergent.

Definitia 4.28. O submultime A ⊂ IRp se numeste

a) compacta daca este marginita si ınchisa;b) secvential compacta daca orice sir de puncte din A admite un subsir

convergent la un punct din A.

Teorema 4.29. Fie A ⊂ IRp. Urmatoarele afirmatii sunt ehivalente:

(i) A este compacta;(ii) A este secvential compacta;(iii) din orice acoperire cu multimi deschise a lui A se poate extrage o

subacoperire finita (adica ∀(Di)i∈I ⊂ τ0 cu A ⊂ ⋃i∈I

Di, exista J ⊂ I, J

finita astfel ıncat A ⊂ ⋃j∈J

Dj).

178

Definitia 4.30. O submultime A ⊂ IRp se numeste conexa daca nuexista doua multimi deschise D1 si D2 ın IRp cu proprietatile: D1 ∩ A 6= ∅,D2 ∩A 6= ∅, A ⊂ D1 ∪D2, D1 ∩D2 ∩A = ∅.

Definitia 4.31. O submultime A ⊂ IRp se numeste conexa prin arcedaca pentru orice a1, a2 ∈ A, exista c, d ∈ IR, c < d si f : [c, d] ⊂ IR → IRp,continua (a se vedea capitolul 5) astfel ıncat f(c) = a1, f(d) = a2 si f(t) ∈ Apentru orice t ∈ [c, d].

Definitia 4.32. O submultime A ⊂ IRp se numeste convexa daca

∀a1, a2 ∈ A, {αa1 + (1− α)a2 | α ∈ [0, 1]} ⊂ A.

Teorema 4.33.

(i) Orice multime convexa este conexa prin arce.(ii) Orice multime deschisa din IRp este conexa prin arce daca si numai

daca este conexa.

Teorema 4.34. O submultime nevida A ⊂ IR este conexa daca si numaidaca este interval.

179

Probleme

4.1 Fie d : IR× IR→IR, d(x, y) = |x−y|1+|x−y| . Sa se arate ca d este o metrica

pe IR care nu provine dintr-o norma.

4.2 Fie d : IRp× IRp→IR, d(x, y) =p∑

i=1

12i

|xi−yi|1+|xi−yi| , unde x = (x1, x2, ..., xp)

si y = (y1, y2, ..., yp). Sa se arate ca d este o metrica pe IRp care nu provinedintr-o norma.

4.3 Sa se determine normele de pe IR.

4.4 Sa se scrie si sa se reprezinte grafic B((a, b), ε) si D((a, b), ε) unde(a, b) ∈ R2, ε > 0 pentru urmatoarele norme considerate pe IR2: ‖(x, y)‖1 =max(|x|, |y|), ‖(x, y)‖2 = |x| + |y|, ‖(x, y)‖ =

√|x|2 + |y|2. Determinati cele

mai mari constante a, c si cele mai mici constante b, d astfel ıncat a ‖(x, y)‖1≤‖(x, y)‖ ≤ b ‖(x, y)‖1 si c ‖(x, y)‖2 ≤ ‖(x, y)‖ ≤ d ‖(x, y)‖2 pentru orice(x, y) ∈ IR2.

4.5 Daca d este o distanta pe IRp, sa se arate ca:

a) d(x, y) ≤ d(x, x1) + d(x1, x2) + ... + d(xn, y), ∀x, y, x1, x2, ..., xn ∈ IRp;b) |d(x, y)− d(y, z)| ≤ d(x, z), ∀x, y, z ∈ IRp;c) |d(x, y)− d(x′, y′)| ≤ d(x, x′) + d(y, y′), ∀x, y, x′, y′ ∈ IRp.

4.6 Fie f : [0,∞) → IR cu proprietatile: a) f(x) = 0 ⇔ x = 0; b) f(x +y) ≤ f(x) + f(y),∀x, y ∈ IR; c) f crescatoare. Sa se arate ca daca d este ometrica pe IRp atunci d′ = f ◦d este de asemenea o metrica pe IRp. Aplicatie:aratati ca urmatoarele functii reale de o variabila reala satisfac proprietatilea),b),c): f1(x) =

√x, f2(x) = ln(x+1), f3(x) = x/(x+1), f4(x) = min(1, x).

Scrieti metricile asociate acestor functii si distantei euclidiene.

4.7 Sa se determine aderenta, interiorul, multimea derivata, frontiera,aderenta interiorului, interiorul aderentei pentru multimile de mai jos. Sase precizeze de asemenea ın fiecare caz daca multimea este marginita saucompacta.

a) A ⊂ IR, A = [2, 3) ∪ {4} ∪ (5, 7);b) A ⊂ IR, A = { 1

n | n ∈ IN∗};c) A ⊂ IR, A = {n+1

n sin nπ2 | n ∈ IN∗};

d) A ⊂ IR, A = (IR\Q)∩[−1, 5];e) A ⊂ IR2, A = {(x, y) | 0 < y < x + 1};

180

f) A ⊂ IR2, A = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 2, x ≥ 0};g) A ⊂ IR2, A = {(x, y) | x sau y este numar irational};h) A ⊂ IR2, A = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1}\{(x, y) | x = 0, y ∈ [0, 1]} ∪ {(2−

1n , 2 + 1

n), n ∈ IN∗};i) A ⊂ R2, A = {(x, y) | x2 + y2 < 2y, x ≥ 0} ∪ {(1 + (−1)n, 1

n)|n ∈ IN∗}.

4.8 Fie A ⊂ IRp, B ⊂ IRq submultimi nevide. Aratati ca A×B = A×B,int(A×B) = intA× intB, Fr(A×B) = (FrA×B)∪ (A×FrB), (A×B)′ =(A′ ×B) ∪ (A×B′).

4.9 Fie multimile A = [0, 1)×(0, 1] ⊂ IR2, B = { nn+1 sin nπ

3 +(1+ (−1)n

n )n ∈IR, n ∈ IN∗}, C = A × B ⊂ IR3. Sa se determine

◦A,

−A,

◦B,

−B, FrC. Sunt

multimile A si B compacte? Dar conexe?

4.10 Fie α, β : P(IRp) → P(IRp), α(A) = intA, β(A) = intA. Aratati ca:

a) daca A este deschisa, atunci A ⊂ α(A);b) daca A este ınchisa, atunci β(A) ⊂ A;c) ∀A ⊂ IRp, α(α(A)) = α(A) si β(β(A)) = β(A).

Dati exemplu de multimi A pentru care multimile A, intA, A, α(A),β(A), α(intA), β(A) sunt toate diferite ıntre ele.

4.11 Aratati ca A ⊂ IRp este deschisa daca si numai daca A ∩ FrA = ∅iar A este ınchisa daca si numai daca FrA ⊂ A.

4.12 Stabiliti daca urmatoarele siruri sunt convergente.

a) xn = ( sin nn , sin 1

n , n sin 1n), n ∈ IN∗ ın topologia uzuala a lui IR3;

b) xn = (1+√

2+ 3√3+... n√nn√

n,

n√n!

n ), n ∈ IN∗ ın topologia uzuala a lui IR2;

c) xn = (( nn+1)n, sin nπ

3 , n√

n), n ∈ IN∗ ın topologia uzuala a lui IR3;d) xn = (sinn, cosn), n ∈ IN∗ ın topologia uzuala a lui IR2;e) xn = (cos 1

n , 3−n, 1(−3)n ), n ∈ IN∗ ın topologia uzuala a lui IR3;

f) xn = ( 113+2

+ 123+2

+ ... + 1n3+2

, sin3 nln n ), n ∈ IN∗ ın topologia uzuala ın

IR2;g) xn = ( cos x

1 + cos 2x3√2

+ ... + cos nx3√n

, 12 + −1

3 + ... + (−1)n+1

n ), n ∈ IN∗, x ∈ IR

ın topologia uzuala a lui IR2.

4.13 Fie sirul de puncte din IR3, xn = (cos nπ2 , 3n(2

1n − 1), (−1)n n+1

n+2),∀n ∈ IN∗.

181

a) Precizati daca sirul (xn) este convergent.b) Studiati marginirea sirului (xn).

4.14 Fie (xn) un sir de puncte din IRp. Aratati ca multimea

L((xn)) = {x ∈ IRp | x = lim xnk, (xnk

) subsir al lui (xn)}

este ınchisa.

4.15 Fie sirul (xn) ⊂ IRp un sir si An = {xm | m ≥ n}. Aratati ca (xn) esteconvergent daca si numai daca diamAn → 0, unde diamA = sup

x,y∈Ad(x, y)

reprezinta diametrul submultimii nevide A a lui IRp.

4.16 Fie a ∈ IR. Aratati ca multimile de forma (a − 2ε, a + ε), ε > 0formeaza un sistem fundamental de vecinatati pentru punctul a. Aceeasiproblema pentru multimile (a− 3

n , a + 1n+1), n ∈ IN∗.

4.17 Sa se arate ca multimile Bε = {(x, y) ∈ IR2 | max(|x|, |y|) < ε},ε > 0 formeaza un sistem fundamental de vecinatati pentru origine ın IR2.Aceeasi problema pentru multimile Cε = {(x, y) ∈ R2 | |x|+ |y|) < ε}, ε > 0.

4.18 Fie f : IRp→IRp cu proprietatea ca exista o constanta L ∈ (0, 1)astfel ıncat

∀x, y ∈ IRp, ‖f(x)− f(y)‖ ≤ L ‖x− y‖ .

Fie sirul (xn) definit prin x0 ∈ IRp, xn+1 = f(xn), ∀n ≥ 0. Aratati ca(xn) este convergent, iar limita sa este un punct fix al lui f. Deduceti cao functie cu proprietatea de mai sus admite un punct fix unic. Ramanadevarate rezultatele daca L = 1?

4.19 Sa se arate ca daca D ⊂ IRp este o multime deschisa, iar A ⊂ IRp

este o multime arbitrara, atunci multimea A + D = {a + d | a ∈ A, d ∈ D}este deschisa.

4.20 Fie A,D doua submultimi ale lui IRp. Sa se arate ca daca D estedeschisa, atunci D ∩A ⊂ D ∩A. Sa se arate ca ipoteza asupra submultimiiD este esentiala.

4.21 Fie A,D doua submultimi ale lui IRp. Sa se arate ca daca D estedeschisa, atunci D ∩ A 6= ∅ daca si numai daca D ∩ A 6= ∅. Sa se arate caipoteza asupra submultimii D este esentiala.

182

4.22 Fie A,D doua submultimi ale lui IRp. Sa se arate ca daca D estedeschisa, atunci D + A = D + A. Sa se arate ca ipoteza asupra submultimiiD este esentiala.

4.23 Fie A,B doua submultimi compacte ale lui IRp. Sa se arate ca A+Beste compacta. Demonstrati ın trei moduri: cu acoperiri deschise, cu siruri,cu definitia multimilor compacte ın IRp.

4.24 Aratati ca orice reuniune finita de multimi compacte este compactasi orice intersectie de multimi compacte este multime compacta. Este oricereuniune de multimi compacte o multime compacta?

4.25 Fie (xn) ⊂ IRp un sir convergent si A = {xn | n ∈ IN} ∪ {limxn}. Sase arate ca A este compacta.

4.26 Fie A ⊂ IRp o multime marginita, atunci A si A′ sunt compacte.

4.27 Fie A ⊂ IRp, B ⊂ IRq multimi compacte, nevide si D ⊂ IRp+q

deschisa astfel ıncat A × B ⊂ D. Aratati ca exista D1 ⊂ IRp, D2 ⊂ IRq

deschise astfel ıncat A×B ⊂ D1 ×D2 ⊂ D.

4.28 Fie A,B ⊂ IRp multimi nevide, disjuncte. Sa se arate ca daca A esteınchisa si B compacta, atunci d(A,B) > 0. Ramane adevarata proprietateadaca B este doar ınchisa?

4.29 Fie A o submultime convexa a lui IRp cu interiorul nevid. Sa se arateca intA este multime convexa si intA = A.

4.30 Aratati ca pentru orice submultime A a lui IRp exista o submultimeB a lui IRp cel mult numarabila astfel ıncat B ⊂ A ⊂ B.

4.31 Aratati ca pentru orice multime ınchisa A ⊂ IRp exista un sir depuncte (xn) astfel ıncat L((xn)) = A (reciproca exercitiului 4.14).

4.32 Sa se arate ca pentru orice submultime a lui IRp multimea punctelorizolate este cel mult numarabila.

4.33 Fie A ⊂ IRp nevida, cel mult numarabila. Sa se arate ca (IRp\A)′ =IRp.

4.34 Fie A ⊂ IR nenumarabila. Sa se arate ca A′ 6= ∅.

4.35 Fie A ⊂ IRp nevida, cel mult numarabila. Sa se arate ca intA = ∅.

183

Solutii

4.1 Verificam cele trei axiome ale distantei pentru aplicatia d.(D1) Evident, pentru orice x, y ∈ IR, d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 ⇔ |x− y| =

0 ⇔ x = y.(D2) Este clar ca pentru orice x, y ∈ IR, d(x, y) = d(y, x) pentru ca

|x− y| = |y − x| .(D3) Fie x, y, z ∈ IR. Trebuie sa dovedim ca

|x− z|1 + |x− z| ≤

|x− y|1 + |x− y| +

|y − z|1 + |y − z| .

Un calcul direct ar fi dificil. Consideram functia f : [0,∞) → [0,∞), f(t) =t

1+t . Se arata prin calcul direct ca f este functie strict crescatoare. Cum|x− z| ≤ |x− y|+ |y − z| , obtinem f(|x− z|) ≤ f(|x− y|+ |y − z|), deci

|x− z|1 + |x− z| ≤

|x− y|+ |y − z|1 + |x− y|+ |y − z| =

=|x− y|

1 + |x− y|+ |y − z| +|y − z|

1 + |x− y|+ |y − z| ≤

≤ |x− y|1 + |x− y| +

|y − z|1 + |y − z| ,

adica ceea ce trebuia aratat. Prin urmare, d este metrica. Presupunem prinreducere la absurd ca ar exista o norma ‖·‖ din care aceasta metrica provine.Atunci d(x, y) = ‖x− y‖ pentru orice x, y ∈ IR, deci d(x, 0) = ‖x‖ pentruorice x ∈ IR. Prin urmare, ‖x‖ = |x|

1+|x| . Se constata ca aceasta aplicatie nusatisface proprietatea (N2) a normei:

‖λx‖ =|λ| · |x|

1 + |λ| · |x| 6=|λ| · |x|1 + |x| = |λ| · ‖x‖ ,

(de exemplu nu are loc egalitatea pentru λ = 2 si x = 1). Deci metrica d nuprovine dintr-o norma.

4.2 Urmam aceiasi pasi ca la exercitul precedent. Primele doua axi-ome ale distantei sunt evident verificate. Pentru a treia axioma luam x =(x1, x2, . . . , xp), y = (y1, y2, . . . , yp), z = (z1, z2, . . . , zp) ∈ IRp si utilizaminegalitatile (deduse ca mai sus)

|xi − zi|1 + |xi − zi| ≤

|xi − yi|+ |yi − zi|1 + |xi − yi|+ |yi − zi| ≤

≤ |xi − yi|1 + |xi − yi| +

|yi − zi|1 + |yi − zi| , ∀i = 1, p,

184

pe care le ınmultim respectiv cu 12i si le sumam. Rezulta ca d este o distanta.

Aceeasi contradictie ca la exercitiul precedent demonstreaza ca metricad nu provine dintr-o norma.

4.3 Determinam ın primul rand functiile f : IR → [0,∞) cu proprietateaf(αx) = |α| · f(x), ∀x, α ∈ IR. Facand x = 1, obtinem f(α) = f(1) · |α| .Notand f(1) = a, obtinem functia fa(x) = a |x| . Deorece fa trebuie sa aibavalori nenegative, a ≥ 0. Pentru a fi norma, fa trebuie sa se anuleze doar ın0, deci a > 0. Se observa ca functiile de forma fa(x) = a |x| , a > 0 verificasi a treia axioma a normei, deci sunt singurele norme pe IR. Norma uzuala(functia modul) se regaseste ın aceasta familie pentru a = 1.

4.4 Pentru norma ‖·‖1 avem (indicele va desemna norma ın raport cu carese considera bila)

D1((a, b), ε) = {(x, y) ∈ IR2 | ‖(x, y)− (a, b)‖1 ≤ ε} =

= {(x, y) ∈ IR2 | max(|x− a| , |y − b|) ≤ ε} =

= {(x, y) ∈ IR2 | |x− a| ≤ ε si |y − b| ≤ ε} =

= {(x, y) ∈ IR2 | x ∈ [a− ε, a + ε] si y ∈ [b− ε, b + ε]} == [a− ε, a + ε]× [b− ε, b + ε].

Reprezentarea grafica va fi patratul cu varfurile ın punctele (a−ε, b−ε), (a−ε, b+ε), (a+ε, b−ε), (a+ε, b+ε), considerat cu tot cu interiorul sau (ın sensgeometric). Analog, B1((a, b), ε) = (a−ε, a+ε)×(b−ε, b+ε); reprezentareagrafica va consta din interiorul patratului mentionat (fara laturi).

Pentru norma ‖·‖1 avem

D2((a, b), ε) = {(x, y) ∈ IR2 | ‖(x, y)− (a, b)‖2 ≤ ε} =

= {(x, y) ∈ IR2 | |x− a|+ |y − b| ≤ ε}.

pentru a putea reprezenta grafic aceasta multime consideram cazurile:(i) x ≥ a, y ≥ b. Inegalitatea se scrie x − a + y − b ≤ ε, adica x + y ≤

a + b + ε. Reprezentarea geometrica este triunghiul cu varfurile ın (a, b),(a, b + ε), (a + ε, b), cu tot cu interiorul sau geometric.

(ii) x ≥ a, y ≤ b. Inegalitatea se scrie x − y ≤ a − b + ε. Reprezentareageometrica este triunghiul cu varfurile ın (a, b), (a, b − ε), (a + ε, b), cu totcu interiorul sau geometric.

(iii) x ≤ a, y ≥ b. Inegalitatea se scrie −x+y ≤ −a+b+ε. Reprezentareageometrica este triunghiul cu varfurile ın (a, b), (a − ε, b), (a, b + ε), cu totcu interiorul sau geometric.

185

(iv) x ≤ a, y ≤ b. Inegalitatea se scrie −x−y ≤ −a−b+ε. Reprezentareageometrica este triunghiul cu varfurile ın (a, b), (a − ε, b), (a, b − ε), cu totcu interiorul sau geometric.

In final, D2((a, b), ε) este patratul cu varfurile ın (a, b−ε), (a+ε, b), (a−ε, b), (a, b+ε), cu tot cu interiorul sau geometric. B2((a, b), ε) este interiorulgeometric al patratului precizat.

Ultima norma este norma euclidiana.

D((a, b), ε) = {(x, y) ∈ IR2 | ‖(x, y)− (a, b)‖ ≤ ε} =

= {(x, y) ∈ IR2 |√|x− a|2 + |y − b|2 ≤ ε} =

= {(x, y) ∈ IR2 | |x− a|2 + |y − b|2 ≤ ε2}.

Reprezentarea grafica este discul ınchis (ın sens geometric) cu centrul ın(a, b) si de raza ε. B((a, b), ε) este interiorul geometric al acestui disc.

Dupa cum putem ınscrie sau circumscrie bilele corespunzatoare normeloruna alteia putem scrie

√2

2 ≤ ‖(x,y)‖‖(x,y)‖1 ≤ 1, ∀(x, y) ∈ IR2 deci a =

√2

2 si b = 1.

De asemenea 1 ≤ ‖(x,y)‖‖(x,y)‖1 ≤

√2,∀(x, y) ∈ IR2 deci c = 1 si d =

√2.

4.5 a) Se obtine prin inductie din proprietatea (D3) a distantei.b) Fie a, b ∈ IR. Vom tine cont de faptul ca inegalitatea |a| ≤ b este

echivalenta cu a ≤ b si -a ≤ b. Fie x, y, z ∈ IRp. Avem

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),

de unded(x, z)− d(y, z) ≤ d(x, y).

De asemenea,d(y, z) ≤ d(y, x) + d(x, z),

decid(y, z)− d(x, z) ≤ d(x, y).

Cum d(x, y) = d(y, x), obtinem concluzia.c) Fie x, y, x′, y′ ∈ IRp. Putem scrie, tinand cont de a),

d(x, y) ≤ d(x, x′) + d(x′, y′) + d(y′, y),

decid(x, y)− d(x′, y′) ≤ d(x, x′) + d(y, y′).

186

Analog se obtine

d(x′, y′)− d(x, y) ≤ d(x, x′) + d(x′, y′),

de unde concluzia.

4.6 Verificam proprietatile distantei pentru aplicatia d′.(D1) d′(x, y) = f(d(x, y)). Cum d(x, y) ≥ 0, f(0) = 0 si f este crescatoa-

re, rezulta ca d′(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ IRp. Egalitatea d′(x, y) = 0 este echivalentacu d(x, y) = 0, deci cu x = y (d este o distanta).

(D2) d′(x, y) = f(d(x, y)) = f(d(y, x)) = d′(y, x),∀x, y ∈ IRp.(D3) Fie x, y, z ∈ IRp. Avem d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Folosind pro-

prietatile lui f putem scrie

d′(x, z) = f(d(x, z)) ≤ f(d(x, y) + d(y, z)) ≤≤ f(d(x, y)) + f(d(y, z)) = d′(x, y) + d′(y, z).

Prin urmare, d′ este o metrica.Se verifica usor, prin calcul direct, ca functiile date ca aplicatii satisfac

proprietatile cerute. De exemplu, pentru distanta euclidiana si functia f1

obtinem distanta

d′(x, y) = 4

√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + ... + (xp − yp)2.

Precizam ca pentru distanta uzuala pe IR si functia f3 se obtine metrica dela exercitiul 4.1.

4.7 Pentru rezolvarea acestui exercitiu vom face uz de definitiile punctelorinterioare, aderente, de acumulare fara a le mai preciza de fiecare data.

a)◦A = (2, 3) ∪ (5, 7), A = [2, 3] ∪ {4} ∪ [5, 7], A′ = [2, 3] ∪ [5, 7],

FrA = {2, 3, 4, 5, 7}. Evident, A ⊂ D(0, 7) = [−7, 7], deci A este marginita.Multimea A nu este compacta pentru ca nu este ınchisa (A 6= A).

b) Multimea este formata din termenii unui sir de numere reale cu limita0. Pentru a deduce A,A′ putem utiliza si caracterizarea cu siruri a punctelor

aderente si de acumulare. Astfel◦A = ∅ deoarece nu exista nici o bila deschisa

(adica interval deschis, pentru ca lucram pe IR) inclusa ın A; A = A ∪ {0};A′ = {0}; FrA = A. Multimea A este marginita: A ⊂ D(0, 1) = [−1, 1] sinu este compacta, nefiind ınchisa.

Problema se poate generaliza astfel: daca (xn) ⊂ IR, (xn) este monoton,

convergent la x ∈ IR si A este multimea termenilor sai, atunci◦A = ∅, A =

A ∪ {x}, A′ = {x},FrA = A.

187

c) Multimea este formata din termenii unui sir divergent de numere reale.Pentru a studia punctele aderente este nevoie sa determinam punctele limitaale sirului. Fie xn = n+1

n sin nπ2 . Atunci x2k = 0, x4k+1 = 4k+2

4k+1 → 1 si

x4k+3 = −4k+44k+3 → 1. Prin urmare,

◦A = ∅ (ca mai sus), A = A ∪ {−1, 1},

A′ = {−1, 1}, FrA = A. A este marginita dar nu este compacta.d) Tinand cont de densitatea multimilor Q si IR\Q ın IR se obtine

◦A = ∅ (ın orice interval deschis exista atat numere rationale cat si nu-mere irationale), A = [−1, 5], A′ = [−1, 5], FrA = [−1, 5]. Multimea estemarginita dar nu este ınchisa, deci nu este compacta.

e) Reprezentand grafic ın plan multimea A se obtine interiorul (geome-tric) al unghiului cu varful ın (−1, 0) si avand ca laturi semidreptele y = 0,

x ≥ −1 si y = x + 1, x ≥ −1. Se obtine direct din definitii:◦A = A,

A = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x+1}, adica interiorul unghiului ımpreuna cu laturile,A′ = A, FrA = {(x, y) | y = 0,−1 ≤ x} ∪ {(x, y) | y = x + 1, y > 0}.Multimea nu este marginita, deci nu este compacta.

f) Multimea este formata din semicercul situat ın cadranele I si II dincercul de centru (0, 0) si raza

√2, reunit cu segmentul situat pe axa 0y avand

ca extremitati punctele (0,−√2), (0,√

2). Avem◦A = {(x, y) | x2 + y2 <

2, x > 0}, A = A, A′ = A, FrA = {(x, y) | x2 + y2 = 2, x > 0} ∪ {(x, y) |x = 0,−√2 ≤ y ≤ √

2}. A este marginita (A ⊂ D(0,√

2)) si ınchisa, decieste compacta.

g)◦A = ∅, A = IR2, A′ = IR2, FrA = IR2.

h) Reprezentarea grafica a multimii este urmatoarea: discul de centru(0, 0) si raza 1, din care se “scoate” segmentul de pe axa 0y cu capetele ın0, 1, la care se “adauga” termenii unui sir cu limita (2, 2). Avem:

◦A = {(x, y) | x2 + y2 < 1}\{(x, y) | x = 0, y ∈ [0, 1]};A = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1} ∪ {(2− 1

n , 2 + 1n), n ∈ N∗} ∪ {(2, 2)};

A′ = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1}∪{(2, 2)};FrA = {(x, y) | x2 + y2 = 1} ∪ {(x, y) | x = 0, y ∈ [0, 1]} ∪ {(2 − 1

n , 2 +1n), n ∈ N∗} ∪ {(2, 2)}. Multimea A este marginita (de exemplu, A ⊂ D(0, 4),dar nu este compacta).

i) Se procedeaza ca mai sus.

4.8 Aratam ca A×B = A×B. Demonstram dubla incluziune. Fie (x, y) ∈A×B, x ∈ IRp, y ∈ IRq. Exista un sir de puncte din A×B, (xn, yn) → (x, y)cu (xn) ⊂ A, (yn) ⊂ B. Convergenta ın spatiul produs este echivalenta cuconvergenta pe coordonate, deci xn → x si yn → y. Rezulta ca x ∈ A siy ∈ B, deci A×B ⊂ A×B. Pentru incluziunea inversa procedam similar.

188

Fie (x, y) ∈ int(A × B). Exista V ⊂ A × B, V ∈ V((x, y)). Conformpropozitiei 4.6 exista V1 ∈ V(x), V2 ∈ V(y) astfel ıncat V1 × V2 ⊂ V ⊂A × B, adica V1 ⊂ A si V2 ⊂ B. Deci x ∈ intA si y ∈ intB. Prin urmareint(A×B) ⊂ intA× intB. Incluziunea inversa este imediata.

Fie A,B,C, D multimi arbitrare; se poate arata prin dubla incluziuneurmatoarea egalitate

(C ×D)\(A×B) = ((C\A)×D) ∪ (C × (D\B)).

Obtinem

Fr(A×B) = A×B\ int(A×B) = (A×B)\(intA× intB) =

= ((A\ intA)×B) ∪ (A× (B\ intB)) =

= (FrA×B) ∪ (A× FrB).

Pentru ultima egalitate de demonstrat folosim tot un rationament cusiruri care reia, cu mici diferente, rationamentul din cazul primei egalitatidemonstrate.

4.9 Pentru multimile A si B se procedeaza ca la exercitiul 4.7, iar pentruC se foloseste exercitiul precedent. Multimea A este conexa, iar B nu esteconexa.

4.10 a) Daca A este deschisa, atunci intA = A ⊂ A, deci intA ⊂ intA =α(A).

b) Daca A este ınchisa, atunci A = A, deci β(A) = intA ⊂ intA ⊂ A.c) Deorece α(A) este deschisa, α(A) ⊂ α(α(A)). Dar A este ınchisa, deci

β(A) ⊂ A, de unde rezulta int(β(A)) ⊂ α(A), adica α(α(A)) ⊂ α(A). Areloc egalitatea. Pentru cealalta egalitate se procedeaza analog.

Fie A = [0, 1) ∪ (1, 2] ∪ {3} ∪ [Q ∩ (4, 5)]. Aceasta multime verifica pro-prietatile cerute.

4.11 Avem echivalentele:

A ∩ FrA = ∅ ⇔ A ∩ (A\◦A) = ∅ ⇔ A ∩ (A ∩ (IRp\

◦A)) = ∅ ⇔ (A ∩ A) ∩

(IRp\◦A) = ∅ ⇔ A ∩ (IRp\

◦A) = ∅ ⇔ A ⊂

◦A ⇔ A deschisa

siA este ınchisa ⇔ IRp\A este deschisa ⇔ IRp\A ∩ Fr(IRp\A) = ∅ ⇔

Fr(IRp\A) ⊂ A ⇔ FrA ⊂ A.

4.12 Conform teoremei 4.23, studiul convergentei unui sir de puncte dinIRp se reduce la studiul convergentei celor p siruri de pe coordonate. Daca

189

sirurile coordonate sunt convergente, atunci sirul initial este convergent si arelimita p−uplul format din limitele sirurilor coordonate. Daca cel putin unuldintre sirurile coordonate este divergent, atunci sirul initial este divergent.

a) Avem x1n = sin n

n → 0, x2n = sin 1

n → 0 si x3n = n sin 1

n = sin 1n

1n

→ 1.

Prin urmare sirul (xn) este convergent si are limita (0, 0, 1).

b) x1n = 1+

√2+ 3√3+... n√n

n√

n→ 0 (calculul limitei se face cu criteriul Stolz-

Cesaro) , x2n =

n√n!

n → 1e (vezi capitolul 2). Sirul (xn) este convergent la

(0, 1e ).c) Sirul x2

n = sin nπ3 este divergent. Prin urmare sirul (xn) este divergent,

chiar daca celelalte doua siruri de pe coordonate sunt convergente la 1e si

respectiv 1.d) Ambele siruri coordonate sunt divergente (vezi capitolul 2), prin ur-

mare (xn) este divergent.e) x1

n = cos 1n → 1, x2

n = 3−n → 0 si x3n = 1

(−3)n → 0. Prin urmare sirul(xn) este convergent si are limita (1, 0, 0).

f) x1n = 1

13+2+ 1

23+2+ ...+ 1

n3+2. Se observa ca acest sir este sirul sumelor

partiale al seriei∞∑

n=1

1n3+2

care este convergenta, avand aceeasi natura cu

seria convergenta∞∑

n=1

1n3 . Deci (x1

n) este convergent. Evident x2n → 0, deci

sirul (xn) este convergent.g) Sirul x1

n = cos x1 + cos 2x

3√2+ ...+ cos nx

3√neste sirul sumelor partiale al seriei

∞∑

n=1

cos nx3√n

care este convergenta pentru x 6= 2kπ (k ∈ Z) si divergenta pentru

x = 2kπ (k ∈ Z) (vezi capitolul 3). Deci, pentru x = 2kπ (k ∈ Z) sirul (xn)este divergent. Pentru x 6= 2kπ (k ∈ Z) (xn) este convergent pentru ca sirul

x2n = 1

2 + −13 + ... + (−1)n+1

n este sirul sumelor partiale al seriei∞∑

n=2

(−1)n

n care

este convergenta (criteriul lui Leibniz).

4.13 a) Sirul (xn) este divergent: de exemplu (x1n) este divergent.

b) Sirul (x1n) este marginit; la fel sirul (x3

n):∣∣x2

n

∣∣ = n+1n+2 < 1, ∀n ∈ IN∗.

Studiem sirul (x2n) :

limx3n = lim 3n(2

1n−1) = lim 3n 2

1n−1

1n

1n

= ln 2 lim3n

n= ∞.

Prin urmare sirul (x3n) este nemarginit. Tinand cont de inegalitatea

190

√x2 + y2 + z2 ≥ |y| , ∀x, y, z ∈ IR,

obtinem ca ‖xn‖ ≥∣∣x2

n

∣∣ →∞. Prin urmare (xn) este nemarginit.

4.14 Fie x ∈ IRp\L((xn)). Exista ε > 0 astfel ıncat B(x, ε) nu contine niciun element al sirului (xn). Aratam ca B(x, ε

2) ⊂ IRp\L((xn)); din aceastaincluziune rezulta ca IRp\L((xn)) este deschisa, deci L((xn)) este ınchisa.Intr-adevar, daca exista y ∈ B(x, ε

2) ∩ L((xn)), atunci B(y, ε2) ar contine o

infinitate de termeni ai sirului; cum B(y, ε2) ⊂ B(x, ε), aceasta reprezinta o

contradictie.

4.15 Remarcam ca daca n ≤ p, atunci Ap ⊂ An, deci diamAp ≤ diamAn.Presupunem ca (xn) este convergent; atunci (xn) este sir fundamental:

pentru orice ε > 0, exista nε ∈ IN, ıncat pentru orice n,m ≥ nε, ‖xn − xm‖ <ε. Aceasta ınseamna ca supm,n≥nε

‖xn − xm‖ ≤ ε, adica diamAnε ≤ ε. Cumpentru orice n ≥ nε, diamAn ≤ diamAnε ≤ ε, rezulta ca diamAn → 0.

Invers, presupunem ca diamAn → 0. Pentru orice ε > 0, exista nε ∈ IN,ıncat pentru orice n ≥ nε, diamAn < ε, adica pentru orice m, p ≥ nε,‖xm − xp‖ < ε. Prin urmare sirul (xn) este fundamental, deci convergent.

4.16 Vom verifica cele doua proprietati ale sistemelor fundamentale devecinatati. Astfel pentru orice ε > 0, (a− ε, a + ε) ⊂ (a− 2ε, a + ε) si prinurmare (a− 2ε, a + ε) ∈ V(a). Fie acum V ∈ V(a); conform definitiei, existaε > 0 astfel ıncat (a − ε, a + ε) ⊂ V. Atunci intervalul (a − ε, a + ε

2) areforma cautata si este inclus ın V. Prin urmare, familia (a− 2ε, a + ε), ε > 0formeaza un sistem fundamental de vecinatati pentru punctul a.

Evident, (a− 1n+1 , a+ 1

n+1) ⊂ (a− 3n , a+ 1

n+1), ∀n ∈ IN∗, deci (a− 3n , a+

1n+1) ∈ V(a). Fie V ∈ V(a); exista ε > 0 astfel ıncat (a − ε, a + ε) ⊂ V.

Cautam un numar natural n astfel ıncat (a − 3n , a + 1

n+1) ⊂ (a − ε, a + ε).Este de ajuns sa gasim n cu proprietatea 3

n ≤ ε. Un astfel de numar esten = [3ε ] + 1. Obtinem concluzia.

4.17 Putem folosi observatiile de la demonstratia exercitiului 4.4 asupranormelor ‖·‖1 si ‖·‖2 si a relatiilor lor cu norma euclidiana pentru a obtineconcluzia sau putem rationa direct.

4.18 Fie x0 ∈ IRp, xn+1 = f(xn), ∀n ≥ 0. Aratam ca sirul (xn) este sirCauchy. Avem

‖x2 − x1‖ = ‖f(x1)− f(x0)‖ ≤ L ‖x1 − x0‖ ,

‖x3 − x2‖ = ‖f(x2)− f(x1)‖ ≤ L ‖x2 − x1‖ ≤ L2 ‖x1 − x0‖ .

191

Prin inductie rezulta ca

‖xn+1 − xn‖ ≤ Ln ‖x1 − x0‖ , ∀n ∈ IN∗.

Fie acum n, p ∈ IN∗. Avem inegalitatile

‖xn − xn+p‖ ≤ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ ... + ‖xn+p−1 − xn+p‖ ≤≤ Ln ‖x1 − x0‖+ Ln+1 ‖x1 − x0‖+ ... + Ln+p−1 ‖x1 − x0‖ =

= ‖x1 − x0‖ (Ln + Ln+1 + ... + Ln+p−1) = ‖x1 − x0‖Ln 1− Lp

1− L≤

≤ ‖x1 − x0‖ Ln

1− L.

Daca x1 = x0, din relatia de mai sus deducem ca sirul este constant si decilimita sa este x0; ın plus x0 = f(x0), adica x0 este punct fix al functiei f.Daca x1 6= x0, atunci deoarece limLn = 0 obtinem ca pentru orice ε > 0,exista nε ∈ IN∗ astfel ıncat pentru orice n ≥ nε si pentru orice p ∈ IN∗ areloc

‖xn − xn+p‖ ≤ ‖x1 − x0‖ Ln

1− L< ε.

Prin urmare sirul (xn) este fundamental, deci convergent. Sa notam limitasa cu x. Avem:

‖x− f(x)‖ ≤ ‖x− xn+1‖+ ‖xn+1 − f(x)‖ = ‖x− xn+1‖++ ‖f(xn)− f(x)‖ ≤ ‖x− xn+1‖+ L ‖xn − x‖ → 0.

Deducem ca ‖x− f(x)‖ = 0, adica x este punct fix al functiei f. Prespunandca ar exista doua puncte fixe x, y, x 6= y ale functiei f se obtine contradictia

‖x− y‖ = ‖f(x)− f(y)‖ ≤ L ‖x− y‖ < ‖x− y‖ .

Punctul fix este unic. Daca L = 1 rezultatele nu sunt adevarate. De exemplufunctia f : IR → IR, f(x) = x+1 (L = 1) nu are puncte fixe si orice sir definitca mai sus este divergent la +∞.

4.19 Putem scrie A + D =⋃

a∈A

(a + D) unde a + D = {a + d | d ∈ D}.Avand ın vedere ca orice reuniune de multimi deschise este multime deschisa,este suficient sa aratam ca a + D este deschisa pentru orice a ∈ A. Fiea + d ∈ a + D (i.e. d ∈ D). Cum D este deschisa, exista ε > 0 astfel ıncatB(d, ε) ⊂ D. Dar a+B(d, ε) = B(a+d, ε); ıntr-adevar daca y ∈ a+B(d, ε),atunci y − a ∈ B(d, ε), deci ‖y − a− d‖ < ε, adica y ∈ B(a + d, ε). Invers,

192

daca y ∈ B(a + d, ε), atunci ‖y − a− d‖ < ε, deci y − a ∈ B(d, ε), adicay ∈ a + B(d, ε). Cum a + B(d, ε) ⊂ a + D, obtinem ca acesta multime estedeschisa, adica ceea ce doream sa aratam.

4.20 Fie x ∈ D ∩A, adica x ∈ D si x ∈ A. Fie V ∈ V(x). Atunci, cum Deste deschisa, D ∈ V(x), deci D ∩ V ∈ V(x). Prin urmare A ∩ (D ∩ V ) 6= ∅,deci (A ∩ D) ∩ V 6= ∅. Cum vecinatatea V a fost aleasa arbitrar, obtinemx ∈ D ∩A. Daca D nu este deschisa incluziunea nu se pastreaza. Fie deexemplu D = (0, 1] si A = (1, 2). D ∩A = {1} si D ∩A = ∅.

4.21 Presupunem ca D ∩ A 6= ∅, adica exista x ∈ D ∩ A. Cum D estedeschisa, D ∈ V(x) iar din x ∈ A obtinem D ∩ A 6= ∅. Presupunem acumca D ∩ A 6= ∅. Cum D ∩ A ⊂ D ∩ A, rezulta ca D ∩ A 6= ∅. Daca D nueste deschisa proprietatea nu mai este adevarata. Putem considera acelasiexemplu ca la exercitiul precedent.

4.22 Este clar ca D +A ⊂ D +A. Ramane sa aratam incluziunea inversa.Fie x ∈ D + A; exista d ∈ D si a ∈ A astfel ıncat x = a + d. Cum a ∈ A,exista un sir (an) ⊂ A, an → a. Dar a − an + d → d ∈ D si cum D estedeschisa, exista n0 ∈ IN ıncat pentru orice n ≥ n0, a − an + d ∈ D. Atuncia + d = an + (a − an + d) ∈ A + D. Rezulta egalitatea dorita. Daca D nueste deschisa proprietatea nu este adevarata. Fie D = [0, 1] si A = (0, 1].D + A = (0, 2] si D + A = [0, 2].

4.23 Demonstratia este imediata.

4.24 Fie A1, A2, ..., An multimi compacte si (xn) ⊂n⋃

k=1

Ak. Avand ın

vedere ca multimea termenilor sirului este numarabila si ca avem un numarfinit de multimi, exista o multime Ai care sa contina un numar infinit determeni ai sirului. Atunci (xn) are un subsir inclus ın Ai. Deoarece Ai estecompacta, exista un subsir al acestui subsir (deci un subsir al sirului (xn))

convergent la un punct x ∈ Ai ⊂n⋃

k=1

Ak. Asadar orice sir dinn⋃

k=1

Ak are un

subsir convergent la un punct dinn⋃

k=1

Ak, adican⋃

k=1

Ak este compacta. O

solutie chiar mai simpla poate fi data aratand can⋃

k=1

Ak este marginita si

ınchisa. O reuniune arbitrara de multimi compacte nu este compacta: de e-

xemplu∞⋃

n=1[−n, n] = IR. Fie acum (Ai)i∈I o familie arbitrara de multimi

193

compacte. Evident⋂i∈I

Ai este ınchisa (intersectie de multimi ınchise) si

marginita (este inclusa ın Ai, ∀i ∈ I). Rezulta ca⋂i∈I

Ai este compacta.

4.25 Orice sir de elemente din A este convergent la limxn ∈ A, deci A estecompacta. Remarcam ca pentru un sir (xn) convergent multimea termenilorsai nu este neaparat compacta, nefiind ınchisa. De exemplu xn = 1

n , n ∈ IN∗.

4.26 Daca A este marginita, exista M > 0 astfel ıncat A ⊂ D(0,M).Atunci A′ ⊂ A ⊂ D(0,M) (D(0,M) este multime ınchisa), deci A′ si A suntmarginite. Evident A este ınchisa, deci este compacta. Fie x /∈ A′. Dacax ∈ A, atunci x este punct izolat al multimii A, deci exista ε > 0 astfel ıncatB(x, ε) ∩A = {x}. Fie y ∈ B(x, ε

2). Cum B(y, ε2) ⊂ B(x, ε), rezulta ca

B(y,

ε

2

)∩A =

{∅, daca y 6= x

{x}, daca y = x

adica y /∈ A′. Daca x /∈ A, atunci exista ε > 0 astfel ıncat B(x, ε) ∩ A = ∅.Fie y ∈ B(x, ε

2). Cum B(y, ε2) ⊂ B(x, ε), rezulta ca B(y, ε

2) ∩ A = ∅. Prinurmare, complementara lui A′ este deschisa, deci A′ este ınchisa. Obtinemca A′ este compacta.

4.27 Fie x ∈ A fixat; pentru orice y ∈ B, D ∈ V((x, y)), deci (propozitia4.6) exista Uy ∈ V(x), Vy ∈ V(y) astfel ıncat Uy×Vy ⊂ D. Familia de multimi(Vy)y∈B formeaza o acoperire deschisa a multimii B care este compacta.Putem extrage o subacoperire finita: exista n ∈ IN∗ si y1, y2, ..., yn astfel

ıncat B ⊂n⋃

i=1Vyi . Fie Ex =

n⋂i=1

Uyi . Ex este multime deschisa care contine

pe x si {x} × B ⊂ Ex × Fx ⊂ D, unde am notat Fx =n⋃

i=1Vy1 . Multimile

(Ex)x∈A formeaza o acoperire deschisa a multimii A care este compacta.Putem extrage o subacoperire finita: exista m ∈ IN∗ si x1, x2, ..., xm astfel

ıncat A ⊂m⋃

j=1

Exj Fie D1 =m⋃

j=1Exj si D2 =

m⋂j=1

Fxj . Multimile D1 si D2 sunt

deschise si A×B ⊂ D1 ×D2 ⊂ A×B.

4.28 Fie A,B multimi compacte nevide. Presupunem prin reducere la ab-surd ca d(A,B) = 0, adica inf

a∈A,b∈B‖a− b‖ = 0. Din caracterizarea marginii

inferioare, pentru orice n ∈ IN∗, exista an ∈ A, bn ∈ B astfel ıncat ‖an − bn‖ <1n , deci an − bn → 0. Deoarece B este compacta, sirul (bn) admite un subsir

194

(bnk)k convergent la un punct x ∈ B. Atunci ank

→ x ∈ A. Cum A esteınchisa, rezulta ca x ∈ A, adica x ∈ A ∩B, contradictie.

Daca multimile sunt ınchise, proprietatea nu se pastreaza. De exempluA = {√n + 1 | n ∈ IN} si B = {√n | n ∈ IN}. Multimile sunt ınchise sinemarginite iar d(A,B) ≤ (

√n + 1−√n) → 0, deci d(A,B) = 0.

4.29 Fie a, b ∈ intA, α ∈ [0, 1] si x = αa+(1−α)b. Exista ε > 0 astfel ıncatB(a, ε) ⊂ A. Aratam ca B(x, αε) ⊂ A. Fie y ∈ B(x, αε), adica ‖y − x‖ ≤ αε;deci ‖y − αa− (1− α)b‖ ≤ αε. Prin urmare

∥∥α−1(y − (1− α)b)− a∥∥ ≤ ε,

deci α−1(y−(1−α)b) ∈ B(a, ε) ⊂ A. Exista u ∈ B(a, ε) astfel ıncat α−1(y−(1−α)b) = u, adica y = αu+(1−α)b ∈ A. Am demonstrat ca B(x, αε) ⊂ A,deci x ∈ intA care este o multime convexa. In demostratie am folosit doarca b ∈ A.

Incluziunea intA ⊂ A este evidenta. Fie x ∈ A. Exista (xn) ⊂ A,xn → x. Fie u ∈ intA (am presupus ca intA este nevid). Ca mai susrezulta ca 1

nu+(1− 1n)xn ∈ intA. Trecand la limita pentru n →∞, obtinem

x ∈ intA.

4.30 Daca A = ∅ luam B = ∅ si proprietatea este verificata. Presupunemca A 6= ∅. Multimea numerelor rationale este numarabila si atunci Qp estenumarabila (vezi capitolul 1); o putem pune ın forma Qp = {r1, r2, ..., rn...}.Evident Qp = IRp. Fie multimile Bn,q = B(rn, q), q ∈ Q∗. Atunci IRp =⋃n∈IN∗,q∈Q

Bn,q. Evident,

A = A ∩ IRp = A ∩⋃

n∈IN∗,q∈Q

Bn,q =⋃

n∈IN∗,q∈Q

(A ∩Bn,q).

Fie I = {(n, q) ∈ IN∗ × Q | A ∩ Bn,q 6= ∅}. Pentru fiecare i ∈ I, alegemxi ∈ A∩Bn,q si luam B = {xi | i ∈ I}. Evident, B este cel mult numarabilasi B ⊂ A. Fie a ∈ A; cum Qp = IRp, pentru orice ε > 0, exista rn ∈ Qp astfelıncat ‖a− rn‖ < ε

2 . Fie q ∈ Q astfel ıncat ‖a− rn‖ < q < ε2 . Rezulta ca a ∈

Bn,q. Fie y elementul din A∩Bn,q. Atunci ‖a− y‖ ≤ ‖a− rn‖+‖rn − y‖ < ε.Rezulta ca putem construi un sir de puncte din B cu limita a, adica A ⊂ B.

4.31 Folosind exercitiul precedent, exista o multime cel mult numarabilaB astfel ıncat A = B. Putem exprima multimea B ın forma B = {bn | n =1, 2, · · · }. Fie sirul

(xn) = (b1, b1, b2, b1, b2, b3, b1, b2, b3, b4, b1, b2, b3, b4, b5, · · · ) .

Pentru acest sir multimea punctelor limita coincide cu A.

195

4.32 Fie A ⊂ IRp. Conform exercitiului 4.30, exista B astfel ıncat B ⊂A ⊂ B. Fie a un punct izolat al multimii A; atunci exista V ∈ V(x) astfelıncat V ∩A = {a}. Dar x ∈ B, deci B ∩ V 6= ∅. Dar B ∩ V ⊂ V ∩A = {a},ceea ce ınseamna ca a ∈ B. Asadar multimea punctelor izolate ale lui A esteinclusa ın B, deci este cel mult numarabila.

4.33 Presupunem prin reducere la absurd ca exista x ∈ IRp\(IRp\A)′.Atunci exista ε > 0 astfel ıncat B(x, ε)\{x}∩ (IRp\A) = ∅, ceea ce ınseamnaca B(x, ε)\{x} ⊂ A. Cum B(x, ε)\{x} este nenumarabila am ajuns la ocontradictie.

4.34 Presupunem prin reducere la absurd ca A′ = ∅. Pentru orice n ∈ IN∗

definimAn = {x ∈ A | d(x,A\{x}) ≥ 1

n}.

Aratam ca∞⋃

n=1An = A : ın caz contrar, exista x ∈ A\

∞⋃n=1

An, adica pentru

orice n ∈ IN∗, d(A\{x}, x) < 1n , deci exista xn 6= x, xn ∈ A, cu‖xn − x‖ < 1

n .Aceasta implica faptul ca xn → x, deci x ∈ A′, contradictie. Fie acum x ∈An. Atunci B(x, 1

2n)∩A = {x} iar daca y ∈ A, y 6= x, B(x, 12n)∩B(y, 1

2n) = ∅.Cum Qp = IRp putem alege qx ∈ Qp ∩ B(x, 1

2n). Daca x 6= y, qx 6= qy.Definim functia injectiva fn : An → Qp, f(x) = qx. Cum Qp este numarabila,

rezulta ca An este cel mult numarabila. Prin urmare,∞⋃

n=1An este cel mult

numarabila, deci A este cel mult numarabila. Am ajuns la o contradictie,deci problema este rezolvata.

4.35 Daca interiorul multimii A ar fi nevid, atunci A ar trebui sa continao bila deschisa; cum orice bila deschisa este nenumarabila, rezulta ca nupoate fi continuta ın A.

Capitolul 5

LIMITE DE FUNCTII. CONTINUITATE

Definitia 5.1. Fie f : A → IRq, A ⊂ IRp si a punct de acumulare pentruA. Spunem ca elementul l ∈ IRq este limita functiei f ın punctul a, dacapentru orice V ∈ V(l), exista U ∈ V(a) astfel ıncat daca x ∈ U ∩ A, x 6= a,are loc f(x) ∈ V. In acest caz vom scrie lim

x→af(x) = l.

Teorema 5.2. Fie f : A → IRq, A ⊂ IRp, l ∈ IRq si a = (a1, a2, . . . , ap)punct de acumulare pentru A. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) limx→a

f(x) = l;

(ii) pentru orice B(l, ε) ⊂ IRq, exista B(a, δ) ⊂ IRp astfel ıncat daca x ∈B(a, δ) ∩A, x 6= a, are loc f(x) ∈ B(l, ε) (caracterizarea cu bile);

(iii) pentru orice ε > 0, exista δ > 0, astfel ıncat daca ‖x − a‖ < δ, x ∈A, x 6= a are loc ‖f(x)− l‖ < ε (caracterizarea ε− δ);

(iv) pentru orice ε > 0, exista δ > 0, astfel ıncat daca |xi − ai| < δ, pentruorice i ∈ 1, p, unde x = (x1, x2, .., xp) ∈ A, x 6= a are loc ‖f(x)−l‖ < ε;

(v) pentru orice (xn) ⊂ A \ {a}, xn → a implica f(xn) → l (caracterizareacu siruri).

Observatia 5.3. Daca exista doua siruri (x′n), (x′′n) ⊂ A\{a}, x′n →a, x′′n → a astfel ıncat f(x′n) → l′, f(x′′n) → l′′ si l′ 6= l′′, atunci functia f nuare limita ın a ∈ A′.

Teorema 5.4. Fie f : A → IRq, A ⊂ IRp, f = (f1, f2, ..., fq) si a punctde acumulare pentru A. Atunci f are limita l = (l1,l2, .., lq) ∈ IRq ın punctula daca si numai daca exista lim

x→afi(x) = li, pentru orice i ∈ 1, q.

Definitia 5.5. Fie a ∈ IR, A ⊂ IR si notam As = A ∩ (−∞, a], Ad =A ∩ [a,∞). Punctul a se numeste punct de acumulare la stanga (respectiv

196

197

dreapta) pentru A, daca este punct de acumulare pentru multimea As (res-pectiv Ad). Vom nota multimea punctelor de acumulare la stanga (respectivdreapta) cu A′s (respectiv A′d).

Definitia 5.6. Fie f : A → IRq, A ⊂ IR si a punct de acumularela stanga (respectiv dreapta) pentru A. Spunem ca elementul l ∈ IRq estelimita la stanga (respectiv dreapta) a functiei f ın punctul a daca pentruorice vecinatate V ∈ V(l) exista U ∈ V(a), astfel ıncat daca x ∈ U ∩ As

(respectiv x ∈ U ∩ Ad), x 6= a, are loc f(x) ∈ V. In acest caz vom scrielimx→ax<a

f(x) = l (respectiv limx→ax>a

f(x) = l).

Vom mai nota uneori limx→ax<a

f(x) = ls si limx→ax>a

f(x) = ld.

Teorema 5.7. Fie f : I → IRq, I ⊂ IR, I interval deschis, a ∈ Isi l ∈ IRq. Atunci exista lim

x→af(x) = l daca si numai daca exista limitele

laterale (la stanga si la dreapta) ın a si sunt egale. In acest caz toate celetrei limite sunt egale: lim

x→ax<a

f(x) = limx→ax>a

f(x) = l.

Teorema 5.8. (Criteriul majorarii) Fie f : A → IRq, A ⊂ IRp,g : A → IR si a ∈ A′. Daca exista l ∈ IRq si U ∈ V(a) astfel ıncat ‖f(x)−l‖ ≤g(x) pentru orice x ∈ U∩A, x 6= a si lim

x→ag(x) = 0, atunci exista lim

x→af(x) = l.

Teorema 5.9. (Trecerea la limita ın inegalitati). a) Fie f, g : A →IR, A ⊂ IRp, a ∈ A′ astfel ıncat exista lim

x→af(x) = l1 si lim

x→ag(x) = l2, finite.

Daca exista U ∈ V(a) astfel ıncat oricare ar fi x ∈ U ∩A, x 6= a, f(x) ≤ g(x)(sau f(x) < g(x)) atunci l1 ≤ l2.

b) Fie f : A → IR, A ⊂ IRp, a ∈ A′ astfel ıncat exista limx→a

f(x) = l,

finita. Daca exista U ∈ V(a) astfel ıncat oricare ar fi x ∈ U ∩ A, x 6= a,α ≤ f(x) ≤ β (sau α < f(x) < β) atunci α ≤ l ≤ β.

Teorema 5.10. (Operatii cu limite de functii) Daca functiile f, g :A → IRq, A ⊂ IRp, au limita finita ın punctul a ∈ A′, iar α ∈ IR, atuncifunctiile f + g, αf au limita ın a si au loc relatiile:

(i) limx→a

(f(x) + g(x)) = limx→a

f(x) + limx→a

g(x)

(ii) limx→a

(αf(x)) = α limx→a

f(x),

In cazul q = 1 avem si:(iii) functia f · g are limita ın a si lim

x→a(f(x)g(x)) = lim

x→af(x) lim

x→ag(x).

198

(iv) Daca ın plus, limx→a

g(x) 6= 0, atunci exista U ∈ V(a) astfel ıncat oricare

ar fi x ∈ U ∩ A, x 6= a, sa avem g(x) 6= 0, functia fg are limita ın a si

limx→a

f(x)g(x) =

limx→a

f(x)

limx→a

g(x) .

Teorema 5.11. Fie f, g : A → IR, A ⊂ IRp si a ∈ A′. Daca limx→a

f(x) =

0 si exista U ∈ V(a) astfel ıncat g este marginita pe U , atunci existalimx→a

f(x)g(x) = 0.

Teorema 5.12. Fie f : A → IR, A ⊂ IRp si a ∈ A′. Daca existalimx→a

f(x) = l, l > 0 (respectiv l < 0), atunci exista U ∈ V(a) astfel ıncat

pentru orice x ∈ U ∩A, x 6= a, are loc f(x) > 0 (respectiv f(x) < 0).

Teorema 5.13. Fie f : A → IR, A ⊂ IRp si a ∈ A′. Daca existalimx→a

f(x) = l ∈ IR, atunci exista U ∈ V(a) astfel ıncat f este marginita pe

U (adica exista M > 0 astfel ıncat pentru orice x ∈ U, are loc |f(x)| ≤ M).

Propozitia 5.14. Fie l ∈ IRq, f : A → IRq, A ⊂ IRp, B ⊂ A si a ∈ B′.Daca exista lim

x→af (x) = l, atunci exista si lim

x→a(f |B) (x) = l. In acest caz

vom nota limx→a

(f |B) (x) = limx→ax∈B

f (x) .

Definitia 5.15. Fie f : A → IR, A ⊂ IRp si a ∈ A′. Spunem ca functiaf are limita ∞ (respectiv −∞) ın punctul a, daca pentru orice V ∈ V(∞)(respectiv V ∈ V(−∞)), exista U ∈ V(a) astfel ıncat pentru orice x ∈ U ∩A,x 6= a, are loc f(x) ∈ V. In acest caz vom scrie lim

x→af(x) = ∞ (respectiv

limx→a

f(x) = −∞).

Teorema 5.16. Fie f : A → IR, A ⊂ IRp si a ∈ A′. Atunci existalimx→a

f(x) = ∞ (respectiv limx→a

f(x) = −∞), daca si numai daca oricare ar fi

ε > 0, exista δε > 0, astfel ıncat daca ‖x − a‖ < δε, x ∈ A, x 6= a are locf(x) > ε (respectiv f(x) < −ε).

Definitia 5.17. Fie f : A → IRq, A ⊂ IR, astfel ıncat ∞ (respectiv −∞)este punct de acumulare pentru A. Spunem ca elementul l ∈ IRq este limitafunctiei f ın punctul ∞ (respectiv −∞), daca pentru orice V ∈ V(l), existaU ∈ V(∞) (respectiv U ∈ V(−∞)) astfel ıncat pentru orice x ∈ U ∩ A, areloc f(x) ∈ V. In acest caz vom scrie lim

x→∞f(x) = l (respectiv limx→−∞f(x) = l).

199

Teorema 5.18. Fie l ∈ IRq, f : A → IRq, A ⊂ IR, astfel ıncat ∞(respectiv −∞) este punct de acumulare pentru A. Atunci exista lim

x→∞f(x) =

l (respectiv limx→−∞f(x) = l) daca si numai daca oricare ar fi ε > 0, exista

δ > 0, astfel ıncat daca x > δ (respectiv x < −δ), x ∈ A are loc

‖f(x)− l‖ < ε.

Definitia 5.19. Fie f : A → IR, A ⊂ IR, astfel ıncat ∞ (respectiv −∞)este punct de acumulare pentru A. Spunem ca limita functiei f ın punctul∞ (respectiv −∞ ) este ∞, daca pentru orice V ∈ V (∞) , exista U ∈ V (∞)(respectiv U ∈ V (−∞)) astfel ıncat pentru orice x ∈ U∩A, are loc f (x) ∈ V.In acest caz vom scrie lim

x→∞f (x) = ∞ (respectiv limx→−∞f (x) = ∞).

Teorema 5.20. Fie f : A → IR, A ⊂ IR, astfel ıncat ∞ (respectiv −∞)este punct de acumulare pentru A. Atunci exista lim

x→∞f (x) = ∞ (respectiv

limx→−∞f (x) = ∞) daca si numai daca oricare ar fi ε > 0, exista δε > 0, astfel

ıncat daca x > δε (respectiv x < −δε), x ∈ A are loc f (x) > ε.

Teorema 5.21. Fie f, g : A → IR, A ⊂ IR, a ∈ A′ si exista limx→a

f(x) = ∞(respectiv lim

x→ag(x) = −∞). Daca exista U ∈ V(a) astfel ıncat oricare ar fi

x ∈ U ∩ A, x 6= a, f(x) ≤ g(x), atunci exista limx→a

g(x) = ∞ (respectiv

limx→a

f(x) = −∞).

Definitia 5.22. Fie f : A → IR, A ⊂ IR astfel ıncat ∞ (respectiv −∞)este punct de acumulare pentru A. Spunem ca dreapta y = l, l ∈ IR, esteasimptota orizontala la +∞ (respectiv −∞) pentru functia f daca existalim

x→∞f(x) = l (respectiv limx→−∞f(x) = l).

Definitia 5.23. Fie f : A → IR, A ⊂ IR astfel ıncat ∞ (respectiv −∞)este punct de acumulare pentru A. Spunem ca dreapta y = mx + n, m, n ∈IR, m 6= 0, este asimptota oblica la +∞ (respectiv −∞) pentru functia f ,daca exista lim

x→∞|f(x)−mx− n| = 0 (respectiv limx→−∞|f(x)−mx− n| = 0).

Teorema 5.24. Fie f : A → IR, A ⊂ IR astfel ıncat ∞ (respectiv −∞)este punct de acumulare pentru A. Dreapta y = mx + n,m, n ∈ IR, m 6= 0,este asimptota oblica la +∞ (respectiv −∞) pentru functia f daca si numai

200

daca exista limx→∞

f(x)x = m si lim

x→∞(f(x)−mx) = n (respectiv limx→−∞

f(x)x = m

si limx→−∞(f(x)−mx) = n).

Definitia 5.25.

a) Spunem ca dreapta x = a este asimptota verticala la stanga (respectivdreapta) pentru functia f : A → IR, A ⊂ IR, a ∈ A′s (a ∈ A′d) dacaexista lim

x→ax>a

f(x) = +∞ sau −∞ (respectiv limx→ax<a

f(x) = +∞ sau −∞).

b) Spunem ca dreapta x = a este asimptota verticala pentru functiaf : A → IR, A ⊂ IR, a ∈ A

′daca ea este asimptota verticala la stanga

sau asimptota verticala la dreapta pentru f.

Observatia 5.26. Urmatoarele limite fundamentale trebuie retinute siaplicate direct:

i) limx→∞(1 + 1

x)x = e;

ii) limx→0

(1 + x)1x = e;

iii) limx→0

ln(1+x)x = 1;

iv) limx→0

ax−1x = ln a, a > 0;

v) limx→0

sin xx = 1;

vi) limx→0

tgxx = 1;

vii) limx→0

arcsin xx = 1;

viii) limx→0

arctgxx = 1;

ix) limx→∞

ln xx = 0;

x) limx→∞

xn

ax = 0, n ∈ IN, a > 1.

Observatia 5.27. Eliminarea nedeterminarilor se face, de obicei, astfel:

(i) Cazurile 00 , ±∞±∞ se elimina fie folosind limitele fundamentale, fie cu

regula lui L′Hospital (vezi capitolul 6).

(ii) Cazurile 0 · ∞, 0 · (−∞) se reduc la cazurile 00 , ±∞±∞ astfel: fie

f, g : A → IR, a ∈ A′, astfel ıncat exista limx→a

f(x) = 0, limx→a

g(x) =

∞(−∞) si exista U ∈ V(a) astfel ıncat, f(x) 6= 0, g(x) 6= 0, ∀x ∈U \ {a}; putem scrie f(x)g(x) = f(x)

1g(x)

si astfel nedeterminarea data

se reduce la o nedeterminare 00 sau f(x)g(x) = g(x)

1f(x)

si vom obtine o

nedeterminare ∞∞ .

201

(iii) Cazul∞−∞ se reduce, de obicei, la cazul 0·∞ astfel: fie f, g : A → IR,a ∈ A′, astfel ıncat exista lim

x→af(x) = ∞, lim

x→ag(x) = ∞ si exista

U ∈ V(a) astfel ıncat f(x) 6= 0, ∀x ∈ U \ {a}; putem scrie (f(x) −g(x)) = f(x)(1− g(x)

f(x)). Daca limx→a

g(x)f(x) = 1, atunci nedeterminarea data

se reduce la o nedeterminare 0 · ∞; daca limx→a

g(x)f(x) > 1(< 1), atunci

limx→a

(f(x)− g(x)) = −∞(+∞).

(iv) Cazurile 00,∞0 se reduc la cazul 0 · ∞ astfel: fie f, g : A → IR,a ∈ A′, astfel ıncat exista lim

x→af(x) = 0 (+∞), lim

x→ag(x) = 0 si e-

xista U ∈ V(a) astfel ıncat f(x) > 0, ∀x ∈ U ∩ A \ {a}. Putem scrief(x)g(x) = eg(x) ln f(x) si limita de la exponent este o nedeterminare0 · (−∞) (respectiv 0 · ∞).

(v) Cazul 1∞ se reduce tot la cazul 0 ·∞ fie prin metoda de la punctul iv),fie astfel: daca f, g : A → IR, a ∈ A′, astfel ıncat exista lim

x→af(x) = 1,

limx→a

g(x) = ∞ si exista U ∈ V (a) astfel ıncat , f(x) 6= 1, ∀x ∈ U \ {a},atunci vom scrie f(x)g(x) = {[1 + (f(x)− 1)]

1f(x)−1 }g(x)(f(x)−1). Avem

limx→a

[1+(f(x)−1)1

f(x)−1 = e, iar limx→a

g(x)(f(x)−1) este o nedeterminare0 · ∞.

Definitia 5.28. Fie f : A → IRq, A ⊂ IRp si a ∈ A. Spunem ca functiaf este continua ın punctul a daca oricare ar fi V ∈ V(f(a)), exista U ∈ V(a)astfel ıncat pentru orice x ∈ U ∩A, are loc f(x) ∈ V.

Daca f nu este continua ın a, vom spune ca f este discontinua ın a sauca a este punct de discontinuitate al functiei f .

Teorema 5.29. Fie f : A → IRq, A ⊂ IRp si a ∈ A′ ∩ A. Atunci f estecontinua ın a daca si numai daca exista lim

x→af(x) = f(a).

Teorema 5.30. Fie f : A → IRq, A ⊂ IRp si a ∈ A. Urmatoareleafirmatii sunt echivalente:

(i) f este continua ın a;(ii) pentru orice B(f(a), ε) ⊂ IRq, exista B(a, δ) ⊂ IRp astfel ıncat pentru

orice x ∈ B(a, δ)∩A, are loc f(x) ∈ B(f(a), ε) (caracterizarea cu bile);(iii) pentru orice ε > 0, exista δ > 0, astfel ıncat daca ‖x− a‖ < δ, x ∈ A,

sa rezulte ‖f(x)− f(a)‖ < ε (caracterizarea ε− δ);

202

(iv) pentru orice (xn) ⊂ A, xn → a implica f(xn) → f(a) (caracterizareacu siruri).

Teorema 5.31. Fie f : A → IRq, A ⊂ IRp, f = (f1, f2, ..., fq) si a ∈ A.Atunci f este continua ın punctul a daca si numai daca functiile fi suntcontinue ın a, pentru orice i ∈ 1, q.

Definitia 5.32. Fie f : A → IRq, A ⊂ IR si a ∈ A. Spunem ca functiaf este continua la stanga (respectiv dreapta) ın punctul a, daca oricare arfi V ∈ V(f(a)), exista U ∈ V(a) astfel ıncat daca x ∈ U ∩ As (respectivx ∈ U ∩Ad) are loc f(x) ∈ V.

Teorema 5.33. Functia f : A → IRq, A ⊂ IR este continua la stanga(respectiv la dreapta) ın a ∈ A, punct de acumulare la stanga (respectiv ladreapta) pentru A, daca si numai daca exista lim

x→ax<a

f(x) = f(a) (respectiv

limx→ax>a

f(x) = f(a)).

Teorema 5.34. Fie f : I → IRq, I ⊂ IR, I interval deschis si a ∈ I.Atunci f este continua ın a daca si numai daca f este continua la stanga sila dreapta ın a.

Definitia 5.35. Fie f : I → IR, I ⊂ IR, I interval, a ∈ I si presupunemca exista V ∈ V(a) astfel ıncat f este marginita pe V ∩ I. Numim oscilatiafunctiei f ın punctul a numarul

ωf (a) = inf {diam (f (V ∩ I)) |V ∈ V (a)} .

Pentru ∅ 6= A ⊂ Rp, se noteaza diamA = sup{d(x, y) | x, y ∈ A}, numitdiametrul multimii A.

Teorema 5.36. Fie f : I → IR, I ⊂ IR, I interval, a ∈ I. Functia f estecontinua ın a daca si numai daca ωf (a) = 0.

Definitia 5.37. Spunem ca functia f : A → IRq, A ⊂ IRp este continua(pe A), daca f este continua ın orice punct a ∈ A.

Teorema 5.38. (de caracterizare a continuitatii globale) DacaA ⊂ IRp, f : A → IRq, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) f este continua pe A;

203

(ii) pentru orice multime deschisa D ⊂ IRq, f−1(D) este multime deschisaın A;

(iii) pentru orice multime ınchisa F ⊂ IRq, f−1(F ) este multime ınchisa ınA;

(iv) pentru orice multime B ⊂ A, are loc f(BA) ⊂ f(B) (unde notatia BA

semnifica aderenta multimii B ın topologia indusa pe A).

Teorema 5.39. Daca f, g : A → IRq, A ⊂ IRp sunt functii continue peA, λ ∈ IR atunci:

(i) f ± g, λf sunt functii continue pe A;

In cazul q = 1 avem si:

(ii) f · g este continua pe A;

(iii) fg este continua pe multimea A\{x ∈ A | g(x) = 0};

(iv) |f |, min(f, g),max(f, g) sunt functii continue pe A.

Teorema 5.40. Fie f : A → B ⊂ IRq, A ⊂ IRp, g : B → IRs.

(i) Daca f este continua ın a ∈ A, iar g este continua ın f(a), atunci g ◦feste continua ın a.

(ii) Daca f este continua pe A, iar g este continua pe B atunci g ◦ f estecontinua pe A.

Teorema 5.41. Daca f : A\{a} → IRq, A ⊂ IRp, a ∈ IRp si exista

limx→a

f(x) = l ∈ IRq, atunci functia f(x) =

{f(x), x ∈ A\{a}l, x = a

este continua

ın a (f se numeste prelungirea prin continuitate a functiei f).

Definitia 5.42. Functia f : IRp → IRq, se numeste homeomorfism dacaf este bijectiva si f, f−1 sunt functii continue.

Definitia 5.43. Fie f : I → IR, I ⊂ IR, I interval si a ∈ I. Spunem caa este punct de discontinuitate de specia I daca exista limitele laterale ın a siele sunt finite. In caz contrar vom spune ca a este punct de discontinuitatede specia a II-a.

Teorema 5.44. Daca f : I → IR, I ⊂ IR, I interval, este o functiemonotona atunci:

(i) punctele sale de discontinuitate sunt de specia I;(ii) multimea acestor puncte este cel mult numarabila.

204

Teorema 5.45. Daca A ⊂ IRp, f : A → IRq este continua si K este osubmultime compacta ın IRp, K ⊂ A, atunci f(K) este compacta ın IRq.

Teorema 5.46. (Weierstrass) Daca f : K → IR este continua, K ⊂IRp, K o multime compacta, atunci f este marginita pe K si ısi atingemarginile (adica exista a, b ∈ K, astfel ıncat sup

x∈Kf(x) = f(a) si inf

x∈Kf(x) =

f(b)).

Teorema 5.47. Daca A ⊂ IRp, f : A → IRq, este continua si C ⊂ A esteo submultime conexa ın IRp, atunci f (C) este conexa ın IRq.

Definitia 5.48. Spunem ca functia f : I → IR, I ⊂ IR, I interval,are proprietatea lui Darboux daca pentru orice a, b ∈ I, a < b si orice λ ∈(f(a), f(b)) sau λ ∈ (f(b), f(a)) exista cλ ∈ (a, b) astfel ıncat f(cλ) = λ.

Teorema 5.49. Fie I ⊂ IR, I interval. Daca functia f : I → IR, areproprietatea lui Darboux si a, b ∈ I, a < b, astfel ıncat f(a)f(b) < 0, atunciecuatia f(x) = 0 are cel putin o solutie ın intervalul (a, b).

Teorema 5.50. Fie I ⊂ IR, I interval. Functia f : I → IR are propri-etatea lui Darboux daca si numai daca pentru orice J ⊂ I, J interval, f (J)este interval.

Teorema 5.51. Fie I ⊂ IR, I interval. Daca f : I → IR este continua,atunci f are proprietatea lui Darboux.

Teorema 5.52. Fie I ⊂ IR, I interval. Daca f : I → IR are proprietatealui Darboux, atunci f are numai discontinuitati de specia a II-a.

Teorema 5.53. Fie I ⊂ IR, I interval. Daca f : I → IR are proprietateaDarboux si f este monotona, atunci f este continua.

Teorema 5.54. Fie I, J ⊂ IR, I, J intervale. Daca f : I → J , fsurjectiva, continua si strict monotona, atunci f este inversabila si f−1 estecontinua.

Definitia 5.55. Functia f : A → IRq, A ⊂ IRp se numeste uniformcontinua pe multimea B ⊂ A daca pentru orice ε > 0, exista δ > 0 astfelıncat pentru orice x, y ∈ B, ‖x− y‖ < δ are loc ‖f(x)− f(y)‖ < ε.

Definitia 5.56. Fie d1, d2 doua distante pe IRp, respectiv IRq. Functiaf : A → (IRq, d2), A ⊂ (IRp, d1) se numeste uniform continua daca, pentru

205

orice ε > 0, exista δ > 0, astfel ıncat pentru orice x, y ∈ A, d1(x, y) < δ, areloc d2(f(x), f(y)) < ε.

Teorema 5.57. Fie f : A → IRq, A ⊂ IRp o functie uniform continua peA si B ⊂ A. Atunci:

a) f este continua pe A;b) f este uniform continua si pe multimea B.

Definitia 5.58. Functia f : A → IRq, A ⊂ IRp se numeste lipschitziana,daca exista L > 0 astfel ıncat: ‖f(x) − f(y)‖ ≤ L‖x − y‖, pentru oricex, y ∈ A (L se numeste constanta Lipschitz a functiei f).

Teorema 5.59. Daca f : A → IRq, A ⊂ IRp este lipschitziana, atunci feste uniform continua.

Teorema 5.60. (Cantor). Daca f : A → IRq, A ⊂ IRp este continua,iar A este compacta, atunci f este uniform continua.

Teorema 5.61. Fie f : A → IRq, A ⊂ IRp, A marginita, f continua.Atunci f este uniform continua daca si numai daca f se poate prelungi princontinuitate la A.

206

Probleme

5.1 Fie f : IR → IR, f(x) = 3x− 2. Demonstrati ca:a) exista δ > 0 astfel ıncat daca x ∈ (2− δ, 2 + δ), atunci

f (x) ∈ (4− 1

100 , 4 + 1100

);

b) exista δ1 > 0 astfel ıncat daca |x− 2| < δ1, atunci |f(x)− 4| < 11000 ;

c) demonstrati, folosind caracterizarea ε− δ, ca limx→2

f(x) = 4.

5.2 a) Dovediti ca exista δ > 0 astfel ıncat daca |x− 1| < δ atunci

x2 + x ∈(

2− 1100

, 2 +1

100

).

b) Demonstrati, folosind caracterizarea ε − δ iar apoi caracterizarea cusiruri, ca lim

x→1(x2 + x) = 2.

5.3 Demonstrati ca:a) exista α ∈ IR+ astfel ıncat daca x > α, sa rezulte

2x + 3x + 4

∈(

2− 1103

, 2 +1

103

);

b) limx→∞

2x+3x+4 = 2, folosind caracterizarea ε− δ;

c) limx→∞

x+12x+3 = 1

2 , folosind definitia.

5.4 Folosind caracterizarea ε−δ, iar apoi caracterizarea cu siruri, doveditica:

a) limx→∞

x2+1x+1 = ∞;

b) limx→−∞

x2+22x+1 = −∞.

5.5 Demonstrati ca exista α, m ≥ 0, astfel ıncat pentru orice x ≥ α

∣∣∣∣2x3 + 5x + 15x7 + 2x3 + 1

∣∣∣∣ ≤m

x4.

5.6 Demonstrati ca functiile urmatoare nu au limita ın punctele indicate:a) f(x) = sinx la ∞;b) f(x) = cos 1

x2−xın 0;

c) f(x) =[

1x

]ın 0, la dreapta.

5.7 Calculati limitele laterale ın punctele precizate:

207

a) f(x) = e1

4−x2 , x = 2;b) f(x) = 1

1+21

x2−1

, x = 1;

c) f(x) = x[

1x

], x = 0;

d) f(x) = ln∣∣∣12 − sin(x−1)

(x−1)2

∣∣∣ , x = 1.

5.8 Calculati, fara a folosi regula lui L ′Hospital:a) lim

x→0

1−cos3 xsin2 x

;

b) limx→0

(2sin2 x−1

)ln(1+x2)

arcsin(x4+x);

c) limx→0x>0

x3+1x2+1

ln x;

d) limx→∞

x3+1x2+1

1ln x ;

e) limx→∞

(x3ex − 2x

);

f) limx→∞ (x− ln (x + 1)) ;

g) limx→∞

(x+√

xx−√x

)√x;

h) limx→0

(2x + sin x)1x ;

i) limx→1x<1

(e

1x−1

)sin(x−1)2

;

j) limx→0x>0

(1x

)ln(1+sin2 x) ;

k) limx→∞

(xα+x+1

xβ−1

)γx−√x2−x, α, β, γ ∈ IN∗ (Examen Definitivat Profesori-

august 1999).

5.9 Fie functia f : IR → IR, f(x) =

{sin 1

x , x 6= 0α, x = 0

a) f este continua ın punctele x = 1p , unde p ∈ IN∗?

b) Determinati α ∈ IR, astfel ıncat : i) f sa fie continua; ii) f sa aibaproprietatea lui Darboux.

c) Aceeasi problema pentru functia f1 (x) =

{sinx sin 1

x , x 6= 0α, x = 0

. Ge-

neralizare.

208

5.10 Precizati daca urmatoarele functii sunt continue si daca au propri-etatea lui Darboux:

a) f(x) =

{e−

1x2 sin 1

x , x < 0x2

x+1 cosx + β, x ≥ 0, β ∈ IR;

b) f(x) =

{x2, x ∈ Qx3, x ∈ IR\Q ;

c) f (x) = limn→∞

cos x+|x−1|enx

1+enx .

d) f (x) =

{1q , x=p

q , p, q∈IN∗, (p, q)=1, p ≤ q

0, x ∈ [0, 1] \Q sau x = 0.(functia lui Riemann) .

5.11 Fie A ⊂ IRp, A 6= ∅, f : A → IR, continua. Atunci f = 0 daca sinumai daca pentru orice a ∈ A si orice V ∈ V (a) , exista x ∈ V ∩ A astfelıncat f (x) = 0.

5.12 Daca f : IR → IR, f(x + r) = f(x), pentru orice x ∈ IR, r ∈ Q si feste neconstanta, demonstrati ca f este discontinua ın orice punct x ∈ IR.Dati un exemplu de astfel de functie.

5.13 Fie f : I → R, I ⊆ R, I interval, a ∈ I. Atunci au loc urmatoareleafirmatii:

a) f este continua ın a daca si numai daca ωf (a) = 0.b) oricare ar fi ε > 0 multimea Aε = {x ∈ I|ωf (x) ≥ ε} este ınchisa.c) multimea Df , a punctelor de discontinuitate ale lui f , este de tip Fσ.

5.14 a) Exista functii f : IR → IR, continue pe Q si discontinue pe IR−Q?b) Exista functii f : [0, 1] → IR, continue pe [0, 1]− Q si discontinue pe

[0, 1] ∩ Q ?

5.15 Fie functia f : {(x, y) ∈ IR2| y 6= 0} → IR, f(x, y) = x4

y .

a) Dati un exemplu de sir (xn,yn) convergent la (1, 2). Calculatilim

n→∞ f(xn, yn).

b) Demonstrati ca functia f este continua ın punctul (1, 2) folosind ca-racterizarea cu siruri.

209

c) Termenii sirului ( 1n , λ

n4 ) sunt situati pe o curba γ a carei ecuatie secere determinata (desenati aceasta curba). Calculati lim

n→∞ f( 1n , λ

n4 )

(λ ∈ IR∗). Exista lim(x,y)→(0,0)

f(x, y)?

5.16 Fie functia f : IR2 → IR, f(x, y) =

{3x + y, y > 02, y ≤ 0

a) Fie sirul ((1, (−1)n 1n))n∈IN,convergent la (1, 0). Exista lim

n→∞ f(xn, yn)?

Dar lim(x,y)→(1,0)

f(x, y)?

b) Notand A = {(x, y) y > 0} , B = {(x, y) ; y ≤ 0} , dati exemple de siruri((xn, yn))n∈IN ⊂ A, ((xn, yn))n∈IN ⊂ B, convergente la (2, 0) . Calculatilim

n→∞ f(xn, yn) ın fiecare caz. Precizati daca f este continua ın punctul

(2, 0);c) Determinati x0 ∈ IR, astfel ıncat f sa fie continua ın punctul (x0, 0).d) Calculati lim

n→∞ f( 121000 − 1

n , 121000 − 1

n). Demonstrati ca f este continua

ın punctul ( 121000 , 1

21000 ) folosind caracterizarea cu siruri;e) Calculati lim

n→∞ f(− 121000 + 1

n ,− 121000 + 1

n). Demonstrati ca f este con-

tinua ın punctul (− 121000 ,− 1

21000 ) folosind caracterizarea cu siruri;f) Scrieti multimea punctelor de continuitate ale functiei f.


{√9− x2 − y2, x2 + y2 < 4

α, x2 + y2 ≥ 4

a) Fie (x0, y0) ∈ IR2, x20 + y2

0 = 4 si (xn, yn) → (x0, y0) . Determinatilim

n→∞ f(xn, yn), atunci cand ((xn, yn)) este situat ın interiorul geome-

tric (notat intg C), respectiv exteriorul geometric (notat extg C), alcercului C((x0, y0), 2). Cand este f continua ın (x0, y0)?

b) Fie (xn, yn) un sir oarecare convergent la (32 , 5

4). Exista limn→∞ f(xn, yn)?

Demonstrati ca f este continua ın punctul (32 , 5

4).c) Precizati multimea punctelor de continuitate ale functiei f .


{xy2

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

a) Determinati o functie g, astfel ıncat |f(x, y)| ≤ g(x, y) pentru orice(x, y) ∈ IR2 \{(0, 0)} si lim

(x,y)→(0,0)g(x, y) = 0.

210

b) Demonstrati ca functia f este continua ın punctul (0, 0).

5.19 Fie f : IR2 → IR, f(x, y) =

{xy

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

a) Calculati lim(x,y)→(0,0),

(x,y)∈d

f(x, y), d fiind o dreapta ce trece prin origine. Ce

rezulta?b) Calculati limitele iterate ale functiei f ın punctul (0, 0) , adica

limx→0

(limy→0

f(x, y)), limy→0

( limx→0

f(x, y)).

5.20 Fie functia f : D → IR, f(x, y) = x5

x5+y2 (D fiind domeniul maximde definitie al functiei), (dλ) dreapta de ecuatie y = λx, iar (Pλ) parabolade ecuatie y = λx2λ ∈ IR, (λ 6= 0). Demonstrati ca lim

(x,y)→(0,0),(x,y)∈dλ

f(x, y) = 0 si

ca lim(x,y)→(0,0),

(x,y)∈Pλ

f(x, y) = 0. Putem trage concluzia ca lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0?

Demonstrati ca limita functiei ın (0, 0) nu exista.

5.21 a) Demonstrati ca exista δ > 0 astfel ıncat daca |x− 3| < δ si|y + 2| < δ atunci |5x + 3y − 9| < 1

1000 .

b) Demonstrati ca lim(x,y)→(3,−2)

(5x + 3y) = 9, folosind definitia limitei cu

vecinatati.

5.22 Folosind caracterizarea ε−δ, iar apoi caracterizarea cu siruri a limiteiunei functii ıntr-un punct, demonstrati ca:

a) lim(x,y)→(−1,2)

(3xy − 2x + y) = −2;

b) lim(x,y)→(1,2)

x−yx+y = −1

3 ;

c) lim(x,y)→(1,1),

xy>1

xy+1xy−1 = ∞.

5.23 a) Pentru functia de la exercitiul 5.16 determinati un numar realδ1 > 0 astfel ıncat daca

∣∣x− 23

∣∣ < δ1, |y − 1| < δ1 sa rezulte |f(x, y)− 3| <1

100 .

b) Determinati un numar real δ2 > 0 astfel ıncat daca ‖(x, y)− (23 , 1)‖ <

δ2, sa rezulte |f(x, y)− 3| < 1100 .

211

5.24 Pentru functia de la exercitiul 5.17 determinati un numar real δ >0 astfel ıncat daca ‖(x, y) − (0, 0)‖ < δ sa rezulte |f(x, y)− 3| < 1

100 .Demonstrati apoi ca f este continua ın (0, 0) folosind caracterizarea ε− δ.

5.25 Calculati urmatoarele limite:

a) lim(x,y)→(0,0)

sin(x3+y3)x2+y2 ;

b) lim(x,y)→(0,0)

earcsin(x2+y2)−1|x|+|y| ;

c) lim(x,y)→(0,0)

(1

x2+y2

)x2y.

5.26 Studiati continuitatea functiilor f : IR2 → IR :

a) f(x, y) =

{x2y−y3

x2+y2 , (x, y) 6= 0

0, (x, y) = 0;

b) f(x, y) =

{sin

(x2 + y2

), x2 + y2 ≤ 4

1, x2 + y2 > 4;

c) f(x, y) =

{y sin 1

x , x 6= 00, x = 0;

d) f(x, y) =

{sin xy

x , x 6= 01, x = 0;

e) f(x, y) =

{x2yx+y , x + y 6= 0

1, x + y = 0;

f) f(x, y) =

{x3y − x2, x ∈ Q si y ∈ Qy2 − xy3, x ∈ IR\Q sau y ∈ IR\Q.

5.27 Demonstrati ca functia f : IR2 → IR,

f(x, y) =

{x2y

x6+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0) ,

este nemarginita pe orice vecinatate a punctului (0, 0) si determinati puncte-le de continuitate ale lui f .

5.28 Precizati o conditie suficienta asupra parametrilor α, β ≥ 0 astfelıncat functiile:

212

a) f(x, y) =

{ |x|α|y|βx2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

b) f(x, y) =

{ |x|α+|y|βx2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)sa fie continue.

5.29 Studiati continuitatea functiilor:

a) f : IR2 → IR2, f(x, y) =

{(sin xyx2+y2 , x2y2

|x|+|y|)

, (x, y) 6= (0, 0)

(0, 0), (x, y) = (0, 0);

b) f : IR2 → IR2, f(x, y) =

=

(1−cos(xy)x2+y2 , (1 + sinxy)

1√|x|+

√|y| ), (x, y) 6= (0, 0)

(0, 0), (x, y) = (0, 0).

5.30 Fie f, g : IR → IR functii continue pe IR, astfel ıncat f(x) = g(x)pentru orice x ∈ Q. Aratati ca f = g.

5.31 Fie α, β ∈ IR, α < β si f : IRp → IR, o functie continua. Demonstratica multimile:

A = {x ∈ IRp|f(x) > α} ,

B = {x ∈ IRp|f(x) < β} ,

C = {x ∈ IRp|α < f(x) < β} sunt deschise,iar multimile

D = {x ∈ IRp|f(x) ≥ α} ,

E = {x ∈ IRp|f(x) ≤ β} ,

F = {x ∈ IRp|α ≤ f(x) ≤ β} sunt ınchise.

5.32 a) Studiati continuitatea functiei:

f : IR2 → IR, f(x, y) =

{x2−y2−2x+1

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

b)i) Demonstrati ca multimea A =

{(x, y) ∈ IR2|f(x, y) > 0

}este deschisa

fara a o determina;ii) Gasiti apoi A efectiv si demonstrati ca este deschisa folosind definitia.

213

5.33 a) Demonstrati ın doua moduri ca multimea solutiilor ecuatieicosxy − x2y − ex−y = 0 este o multime ınchisa. Este ea compacta?

b) Aceeasi problema pentru ecuatia: y sinx2y − ye1−y − 1 = 0.

5.34 Demonstrati ca multimea

A =

{(x, y) ∈ IR2| sin

(xy +

14

)+

(1

1 + x2 + y2

)2

≤ 1

}

este o multime nenumarabila, ınchisa. Este ea compacta?

5.35 Demonstrati ca functia f : A → IR,A = {(x, y) |x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ x + y ≤ 1} , f(x, y) = (x + y) exy, ısi atingemarginile si determinati aceste margini.

5.36 Sa se determine multimea tuturor valorilor sumei:

a

a + b + d+

b

a + b + c+

c

b + c + d+

d

a + c + d,

atunci cand a, b, c, d sunt pozitive.

5.37 Demonstrati ca ecuatia ın doua variabile:

(x sinxy − 1) (1− y) + (y sinxy − 1) (x− 1) =12

admite:

a) cel putin o solutie ın multimea [0, 1]× [0, 1];b) o infinitate de solutii ın [0, 1]× [0, 1].

5.38 Demonstrati ca daca f : IRp → IRq atunci urmatoarele afirmatii suntechivalente:

a) f este continua;

b) ∀B ⊂ IRq, f−1(◦B) ⊂ int f−1(B);

c) ∀B ⊂ IRq, f−1 (B) ⊂ f−1(B

).

5.39 a) Daca f : IRp → IRq este continua, este adevarat ca pentru oriceA ⊂ IRp are loc f

(A

) ⊃ f (A)?b) Daca f este bijectiva, atunci f este homeomorfism daca si numai daca

∀A ⊂ IRp, f(A) = f(A).

214

5.40 Determinati multimile A ⊂ IRp cu proprietatea ca functia caracte-ristica asociata, ϕA, este continua pe IRp.

5.41 Daca A 6= ∅, A ⊂ IRp, A ınchisa, f : A → IRq este continua, atuncigraficul sau, Gf , este o multime ınchisa ın A × IRq. Reciproca nu esteadevarata (exemplu!).

5.42 a) Daca f : [a,∞) → IR este continua, iar graficul lui f admiteasimptota la +∞, atunci f este uniform continua.

b) Daca f : IR → IR este continua, iar graficul lui f admite asimptota la+∞ si la −∞, atunci f este uniform continua.

c) Daca f : (a,∞) → IR este continua, iar graficul lui f admite asimptotaverticala la stanga ın x = a, atunci f nu este uniform continua.

5.43 Daca f : IR → IR este continua si periodica atunci f este uniformcontinua.

5.44 Sa se studieze continuitatea uniforma a functiilor:a) f(x) = 1

x−2 pe intervalele:(3, 4]; (2, 4]; [1, 4]; [4,∞);

b) f(x) = x2−1x pe intervalele: (1, 2); (1,∞); (0,∞);

c) ex, ln x, sinx, cosx, tgx, arctgx, sinx2,√

x2 + x + 1 pe domeniul maximde definitie.

5.45 Studiati continuitatea uniforma a functiilor:

a) f(x) =

{ln x ln (1− x) , x ∈ (0, 1)ctg (x− 1)− 1

x−1 , x ∈ (1, 2);

b) f(x) =

{ax−asin x

x3 , x ∈ (−π2 , 0

)(

2π arccos x

) 1x , x ∈ (0, 1)

, a > 0;

c) f(x) =

{arctg(1+x)−arctg(1−x)

2x−2sin x , x ∈ (0, 1)

α +( tgx

x

) 1x , x ∈ (−π

4 , 0) ;

d) f : (1, 2)× (1, 2) → IR, f (x, y) = xy ;

e) f : (0, 1)× (0, 1) → IR, f (x, y) = x−yx+y ;

f) f : [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] → IR; f (x, y, z) = x2 + ey + y sin z;

g) f : IRp → IRp, f(x, y) =

{‖x‖, ‖x‖ ≤ 1

x‖x‖ , ‖x‖ > 1.

215

h) f : D → IR, D ={(x, y) ∈ IR2|x2 + y2 ≤ 1, y ≥ x

},

f(x, y) =

{x2y3

x4+y4 , (x, y) 6= 0

0, (x, y) = 0.

5.46 Studiati continuitatea uniforma a functiei f : IR2 → IR:

f(x, y) =

{x3y

x4+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

pe multimea D ={(x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 ≤ cosx2 + cos y2

}.

5.47 Sa se arate ca o functie f : D → IRq, D ⊂ IRp, uniform continua,transforma sirurile Cauchy ın siruri Cauchy. Dati un exemplu de functiecontinua pentru care proprietatea nu este adevarata.

5.48 Fie d : IRp× IRp → IR+ distanta euclidiana, A ⊂ IRp, A 6= ∅, y ∈ IRp

(fixat). Demonstrati ca:a) Daca d (x, A) = 0 atunci x ∈ A.

b) Functia f : (IRp, d) → IR, f (x) = d (x, y) este uniform continua.c) Functia f : (IRp, d) → IR, f (x) = d (x,A) este uniform continua.d) Daca A este compacta x ∈ IRp, atunci exista a ∈ A astfel ıncat

d(x,A) = d(x, a). Este a unic? Daca A este doar ınchisa rezultatulse mai pastreaza?

e) Daca A este ınchisa (respectiv deschisa) atunci A este o multime detip Gδ (respectiv Fσ).

5.49 Fie d distanta euclidiana pe IRp; A,B ⊂ IRp; A,B 6= ∅, A ∩ B = ∅.Sa se arate:

a) daca cel putin una din multimile A,B este compacta, iar cealaltaınchisa, atunci d(A,B) > 0.

b) exista A,B ınchise astfel ıncat d(A,B) = 0.

5.50 Fie d distanta euclidiana pe IRp, A ⊂ IRp, A 6= ∅, A compacta. Sa searate ca exista x0, y0 ∈ A astfel ıncat diamA = d (x0,y0) .

5.51 Fie f : IR2 → IR, f (x, y) =

{sin xyp , y 6= 0

0, y = 0, p ∈ Z.

a) Studiati continuitatea functiei f.

216

b) FieA =

{(x, y) ∈ IR2|x2 + y2 − 8y + 15 ≤ 0

}∪∪{

(x, y) ∈ IR2| |x− 3|+ |y − 4| ≤ 2}

.

Demonstrati ca f(A) este un interval ınchis si marginit din IR.

c) Studiati natura seriei∞∑

n=1f

(n, 1

n

).

(Examen de Licenta-februarie 2001)

5.52 a) Studiati continuitatea functiei

f : IR2 → IR, f (x, y) =

{ln(1+|xy|)

x2+y2 , (x, y) 6= 0

0, (x, y) = 0.

b) Stabiliti natura seriei

∞∑

n=1

nλf (en − 1, en + 1) , λ ∈ IR.

(Examen de Licenta-iunie 2001)

5.53 Studiati continuitatea functiei f : IRp → IR,

f (x1, x2, .., xp) =

{ln(1+|x1x2...xp|)x21+x2

2+...+x2p

, (x1, x2, .., xp) 6= 0

0, (x1, x2, .., xp) = 0, p ∈ IN∗.

5.54 Demonstrati urmatoarea reciproca a teoremei lui Weierstrass: dacaK ⊂ IRp si orice functie continua f : K → IR este marginita, atunci K estecompacta.

5.55 Daca f : IR → IR este continua si f ◦ f admite puncte fixe, atunci sif admite puncte fixe.

217

Solutii

5.1 a) Are loc echivalenta

f (x) ∈(

4− 1100

, 4 +1

100

)⇐⇒

{3x− 2 > 4− 1

1003x− 2 < 4 + 1

100

Multimea solutiilor acestui sistem este S =(2− 1

300 , 2 + 1300

). Vom alege

δ > 0, astfel ıncat (2− δ, 2 + δ) ⊂ S, de exemplu δ = 1300 . Daca x ∈(

2− 1300 , 2 + 1

300

), atunci x ∈ S si deci f (x) ∈ (

4− 1100 , 4 + 1

100

). Sunt

si alte valori posibile pentru δ?b) Avand ın vedere ca

|x− 2| < δ1 ⇐⇒ x ∈ (2− δ1, 2 + δ1)

si

|f (x)− 4| < 11000

⇐⇒ f (x) ∈(

4− 11000

, 4 +1

1000

)

rezolvarea este similara cu cea de la punctul a).c) Fie ε > 0. Relatia |f (x)− 4| < ε se mai scrie |x− 2| < ε

3 sau echiva-lent, x ∈ (

2− ε3 , 2 + ε

3

). Notam S = (2 − ε

3 , 2 + ε3). Orice δ ≤ ε

3 (δ > 0),verifica conditia din ipoteza: daca x ∈ (2− δ, 2 + δ) rezulta ca x ∈ S si deci|f (x)− 4| < ε, ceea ce trebuia demonstrat.

5.2 a) Are loc echivalenta

x2 + x ∈(

2− 1100

, 2 +1

100

)⇐⇒

{x2 + x > 2− 1

100x2 + x < 2 + 1

100

Multimea solutiilor acestui sistem este

S =(−1

2− 1

20

√904,−1

2− 1

20

√896

)∪

(−1

2+

120

√896,−1

2+

120

√904

).

Dar relatia |x− 1| < δ este echivalenta cu x ∈ (1− δ, 1 + δ) si pentru ca(1− δ, 1 + δ) ⊂ S este suficient ca δ < −1

2+ 120

√904−1 (> 0!). Cu un δ astfel

ales, daca |x− 1| < δ va rezulta x ∈ S si deci x2 + x ∈ (2− 1

100 , 2 + 1100

).

b) i) Considerand ε > 0, fixat, trebuie demonstrat ca exista δ > 0 astfelıncat pentru orice x cu |x− 1| < δ, are loc

∣∣x2 + x− 2∣∣ < ε.

Varianta I. Avem:∣∣x2 + x− 2

∣∣ = |x− 1| |x + 2| < δ |(x− 1) + 3| ≤ δ2 + 3δ ≤ 4δ,

218

ultima inegalitate fiind adevarata ın ipoteza δ ≤ 1 (care nu restrange genera-litatea!). Alegand acum δ < min

(ε4 , 1

)va rezulta 4δ<ε si deci,

∣∣x2+x−2∣∣

< ε.Varianta a II-a. Rezolvarea este similara cu cea de la punctul a).ii) Vom considera un sir arbitrar (xn) ⊂ IR\{1}, xn → 1 si calculam:

limn→∞f (xn) = lim

n→∞(x2

n + xn

)= 2.

5.3 a) Notam(2− 1

103 , 2 + 1103

)= V si avem

2x + 3x + 4

∈ V ⇐⇒∣∣∣∣2x + 3x + 4

− 2∣∣∣∣ <

1103

⇐⇒∣∣∣∣

5x + 4

∣∣∣∣ <1

103

⇐⇒ |x + 4| > 5000 ⇐⇒ x > 4996 sau x < −5004.

Deci pentru α = 4996, daca x ≥ α are loc |x + 4| > 5000 si deci 2x+3x+4 ∈ V.

b) Deoarece x → ∞ putem presupune ca x > 0. Avem: limx→∞

2x+3x+4 = 2

daca pentru orice ε > 0, exista α > 0, astfel ıncat daca x > α are loc2x+3x+4 ∈ (2− ε, 2 + ε) . Dar aceasta relatie este echivalenta cu x > 5

ε −4. Deciexista α = 5

ε − 4, astfel ıncat este verificata relatia din definitie.

5.4 a) i) Vom demonstra ca pentru orice A > 0, exista δA > 0 astfelıncat daca x > δA are loc f (x) > A. Fara a restrange generalitatea putempresupune ca A > 1, x > 0 si avem echivalentele:

x2 + 1x + 1

> A ⇔ x2 −Ax + 1−A > 0 (x + 1 > 0!)

⇔ x ∈(−∞,

A−√A2 + 4A− 42

)∪

(A +

√A2 + 4A− 4

2,∞

)= S.

Impunem conditia (δA,∞) ⊂ S si obtinem ca δA ≥ A+√

A2+4A−42 . De exem-

plu, putem lua δA = A+√

A2+4A−42 . Intr-adevar daca x > δA, atunci x ∈ S

si, ın final, x2+1x+1 > A, ceea ce trebuia demonstrat.

5.5 Relatia data se mai scrie:∣∣∣2x7+5x5+x4

5x7+2x3+1

∣∣∣ ≤ m,x ≥ α. Notand 2x7+5x5+x4

5x7+2x3+1

= f (x) si observand ca limx→∞f (x) = 2

5 , rezulta ca exista o vecinatate [α,∞]

a punctului ∞, astfel ıncat pentru orice x ∈ [α,∞) are loc |f (x)| ≤ m(teorema 5.13), ceea ce trebuia demonstrat.

5.6 a) Rezolvand ecuatiile sinx = 0 si sinx = 1 obtinem solutiile: x =kπ, k ∈ Z si x = π

2 + kπ, k ∈ Z. Considerand sirurile x′n = nπ → ∞, x′′n =

219

π2 + 2nπ →∞, observam ca f (x′n) = 0, ∀n ∈ IN si f (x′′n) = 1, ∀n ∈ IN. Prinurmare f (x′n) → 0, f (x′′n) → 1 si, conform observatiei 5.3, rezulta concluzia.

b) La fel ca ın exercitiul anterior gasim

x′n =12

(1−

√1 +

42nπ

)→ 0, x′n < 0,

x′′n =12

(1−

√1 +

42nπ + π

2

)→ 0, x′′n < 0, ∀n ∈ IN∗.

Avem f (x′n) → 1, f (x′′n) → 0 si deci nu exista limx→0x<0

f (x) . Demonstrati ca nu

exista nici limx→0x>0

f (x) .

c) Demonstram ca limx→0x>0

f (x) = ∞. Conform definitiei functiei parte

ıntreaga,[

1x

]= k, daca k ≤ 1

x < k + 1, pentru orice x ∈ IR∗. Dacax → 0, x > 0 din k+1 > 1

x rezulta k →∞, adica limx→0x>0

[1x

]= ∞. Demonstram

analog ca limx→0x<0

f (x) = −∞. In final, concluzionam ca nu exista limx→0

f (x) .

5.7 a) Daca x → 2, x < 2, atunci(4− x2

) → 0, 4 − x2 > 0 si avem

ls = e1

0+ = e∞ = ∞. Daca x → 2, x > 2 atunci 4 − x2 → 0, 4 − x2 < 0 siavem ld = e

10− = e−∞ = 0. O alta varianta ar fi sa substituim 4 − x2 = y,

caz ın care limita la stanga devine: ls = limy→0y>0

e1y = e∞ = ∞.

b) Se procedeaza ca la punctul a) si gasim ls = 1 si ld = 0.

c) 1x − 1 <

[1x

] ≤ 1x , ınmultind cu x > 0 obtinem: 1 − x < x

[1x

] ≤ 1,deci lim

x→0x>0

f (x) = 1. Calculati si limita la stanga.

d)

limx→1x<1

ln∣∣∣∣12− sin(x− 1)

(x− 1)2

∣∣∣∣ = limy→0y<0

ln∣∣∣∣12− sin y

y

1y

∣∣∣∣ = ∞.

5.8 a) Este o nedeterminare 00 care se elimina folosind limitele fundamen-

220

tale (observatia 5.26):

limx→0

1− cos3 x

sin2 x= lim

x→0

(1− cosx)(1 + cos x + cos2 x

)

sin2 x

= 3limx→0

2 sin2 x2

sin2 x= lim

x→0

32

sin2 x2(

x2

)2 limx→0

x2

sin2 x=

32.

b) Limita devine:

limx→0

2sin2 x − 1sin2 x

· sin2 x

x2· x4 + x

arcsin (x4 + x)· ln

(1 + x2

)

x2· x4

x4 + x= (ln 2) · 0 = 0.

d) Este o nedeterminare 0 · ∞; ea se poate elimina folosind limitelefundamentale:

limx→∞

x3 + 1x2 + 1

1lnx

= limx→∞

x3 + 1x3 + x

limx→∞

x

ln x= 1 · ∞ = ∞;

e)

limx→∞

(x3ex − 2x

) ∞−∞= limx→∞x3ex

(1−

(2e

)x 1x3

)= ∞ · (1− 0) = ∞.

g) Cu substitutia√

x = y obtinem o nedeterminare 1∞. Avem:

limy→∞

(y2 + y

y2 − y

)y

= limy→∞

(1 +

2y − 1

)y

= elim

y→∞2y

y−1 = e2.

i) Este o nedeterminare 00. Calculam

limx→1x<1

ln(e

1x−1

)sin(x−1)2

= limx→1x<1

[sin (x− 1)2

]1

x−1 = 0, deci

limx→1x<1

(e

1x−1

)sin(x−1)2

= 1.

5.9 a) Evident exista Vp ∈ V(

1p

) (de exemplu Vp =

(0, 2

p

))astfel ıncat

0 /∈ Vp, oricare ar fi p ∈ IN∗ si atunci f (x) = sin 1x , pentru orice x ∈ Vp.

Functia f fiind o compunere de functii elementare pe Vp, va fi continua peVp, ceea ce antreneaza continuitatea lui f ın punctul x = 1

p , pentru oricep ∈ IN∗.

221

b) i) Demonstrati ca f nu are limita la stanga (dreapta) ın punctul x = 0si astfel pentru orice α ∈ IR, f nu este continua ın 0.

ii) Vom demonstra, mai ıntai, ca daca α ∈ [−1, 1] atunci f are pro-prietatea lui Darboux, adica: ∀a, b ∈ [−1, 1] si ∀λ ∈ (f (a) , f (b)) sau(f (b) , f (a)) , ∃cλ ∈ (a, b) astfel ıncat f (cλ) = λ.

Sa presupunem, mai ıntai, ca a < b < 0 sau 0 < a < b. In ambelesituatii, f este continua pe [a, b] , deci are proprietatea lui Darboux pe [a, b]si relatia de mai sus este verificata. Fie acum a ≤ 0 < b si λ ∈ (f (a) , f (b)) .Sa observam ca λ ∈ [−1, 1] (α ∈ [−1, 1]!) si ca exista n ∈ IN astfel ıncat[

2(2n−1)π , 2

(2n+1)π

]⊂ (a, b) .

Dar f([

2(2n−1)π , 2

(2n+1)π

])= [−1, 1], prin urmare

∃cλ ∈[

2(2n− 1)π

,2

(2n + 1)π

]⊂ (a, b) astfel ıncat f (cλ) = λ

(determinati efectiv cλ!), ceea ce trebuia demonstrat. Cazul a < 0 ≤ b serezolva analog. Sa presupunem acum ca α /∈ [−1, 1] , de exemplu α > 1, a =0 < b, si sa luam un λ0 ∈ (1, α) ⊂ (f (b) , α) . Cum ∀x ∈ (a, b) = (0, b) ,f (x) ∈ [−1, 1] rezulta ca ∀x ∈ (a, b) , f (x) 6= λ0 si astfel nu este verificatadefinitia.

Generalizarea poate fi facuta ın doua sensuri: considerand

f(x) =

{g

(1x

), x 6= 0

α, x = 0, unde g : IR → IR este periodica, de perioada

principala T > 0, pentru functia de la punctul a) sau

f1(x) =

{g (x) sin 1

x , x 6= 0α, x = 0

, g : IR → IR, g continua, pentru functia de la

punctul c).

5.10 a) Functia f este continua pe IR\ {0} fiind aici o compunere de functiielementare. Studiem continuitatea ın punctul x = 0 : ls = 0; ld = β. Decif este continua ın 0 daca si numai daca β = 0. Daca β = 0, atunci f econtinua (pe IR) si va avea proprietatea Darboux; daca β 6= 0, atunci f areın x = 0 o discontinuitate de specia I, prin urmare f nu are proprietatea luiDarboux.

b) Fie x0 ∈ IR si (x′n) ⊂ Q, (x′′n) ⊂ IR\Q, x′n → x0,x′′n → x0. Atunci

f (x′n) → x20, f (x′′n) → x3

0 si pentru ca f sa fie continua ın x0, o conditienecesara este ca x2

0 = x30, sau echivalent x0 = 0 sau x0 = 1. Sa demonstram

ca f este continua ın x0 = 1: daca sirul (xn) ⊂ IR are un numar finitde termeni din Q (sau din IR\Q) atunci eliminand acesti termeni obtinem

222

limn→∞f (xn) = x2

0 = 1 (respectiv limn→∞ f(xn) = x3

0 = 1). Daca sirul are o

infinitate de termeni din Q si o infinitate de termeni din IR\Q, atunci notamcu

(x1

n

)subsirul termenilor din Q si cu

(x2

n

)subsirul termenilor din IR\Q.

Calculam limn→∞f

(x1

n

)= 1, lim

n→∞f(x2

n

)= 1, prin urmare exista lim

n→∞f (xn) =

1 si deci limx→1

f (x) = 1. Cum f (1) = 1 rezulta ca f este continua ın x0 = 1.

Analog se demonstreaza ca f este continua ın x0 = 0.

c) Notand limn→∞enx = l, avem: (i) l = ∞ daca x > 0; (ii) l = 1, daca

x = 0; (iii) l = 0, daca x < 0.i) x > 0 (nedeterminare ∞

∞). Avem:

f (x) = limn→∞

enx(

cos xenx + |x− 1|)

enx(1 + 1

enx

) = |x− 1| ,

ii) x = 0, f (0) = 1; iii) x < 0, f (x) = cosx. Prin urmare f : IR → IR, estecontinua si are proprietatea lui Darboux.

d) i)Oricare ar fi x0 ∈ [0, 1] , exista (xn) ⊂ [0, 1] ∩ (IR\Q) , astfel ıncatxn → x0 ; ın aceasta situatie f (xn) → 0. Daca x0 = p0

q0∈ (0, 1]∩Q, (p0, q0) =

1, atunci f (x0) = 1q06= 0, prin urmare f nu va fi continua ın x0. Vom

demonstra acum ca f este continua ın punctele x0 ∈ [0, 1]∩(IR\Q) . Fie ε > 0si qε ∈ IN∗, astfel ıncat 1

qε< ε. Pentru orice q ∈ {1, 2, .., qε} , exista m ∈

IN, astfel ıncat x0 ∈(

mq , m+1

q

). Notand acest interval cu Iq, sa remarcam

ca el nu contine nici un numar rational cu numitorul q, oricare ar fi q ∈{1, 2, .., qε} . Daca I =

⋂1≤q≤qε

Iq, x = pq ∈ I, atunci, conform observatiei

precedente, q ≥ qε + 1 si vom avea :

|f (x)− f (x0)| = |f (x)| =∣∣∣∣f

(p

q

)∣∣∣∣ =1q≤ 1

qε + 1<

1qε

< ε.

In cazul cand x ∈ I ∩ (IR\Q) , f (x) = 0 si inegalitatea anterioara esteevidenta. Am demonstrat astfel ca, oricare ar fi ε > 0, exista I ∈ V (x0) ,astfel ıncat daca x ∈ I, rezulta ca |f (x)− f (x0)| < ε, prin urmare f estecontinua ın x0. In mod asemanator se demonstreaza ca f este continua ınx0 = 0. Sa mai observam ca, daca schimbam valoarea functiei f ın x = 0, deexemplu f (0) = 1, functia obtinuta va fi continua pe [0, 1] \Q si discontinuape [0, 1] ∩ Q.

d) ii) Avand ın vedere ca f ([0, 1]) nu este un interval, urmeaza ca f nuare proprietatea lui Darboux.

223

5.11 Implicatia directa este evidenta. Pentru implicatia reciproca, fiea ∈ A, arbitrar ales si

Vn = B(a,1n

) ∈ V (a) , n ∈ IN∗.

Din ipoteza, exista xn ∈ Vn∩A astfel ıncat f (xn) = 0, pentru orice n ∈ IN∗.Dar xn ∈ Vn ∩ A antreneaza ‖xn − a‖ < 1

n , oricare ar fi n ∈ IN∗, adicaxn → a. Cum f este continua, rezulta f (xn) → f (a) , deci f (a) = 0.

5.12 Vom presupune ca f este continua ın x ∈ IR, x0 ∈ IR, (rn) ⊂ Q,rn → x−x0. Faptul ca x0 + rn → x antreneaza lim

n→∞f (x0 + rn) = f (x) , iar

egalitatile f (x0 + rn) = f (x0) , n ∈ IN implica limn→∞f (x0 + rn) = f (x0) .

Prin urmare f (x) = f (x0) si cum x a fost ales arbitrar, rezulta ca f esteo functie constanta, contradictie! Functia lui Dirichlet verifica proprietateadin enunt.

5.13 a) Daca f este continua ın a si ε > 0, atunci exista V ∈ V(a) astfelıncat pentru orice x ∈ V ∩I sa rezulte |f(x)−f(a)| < ε/2. Daca x′, x′′ ∈ V ∩Ivom avea:

|f(x′)− f(x′′)| ≤ |f(x′)− f(a)|+ |f(a)− f(x′′)| < ε

si trecand la supremum dupa x′, x′′, obtinem diam (f (V ∩ I)) ≤ ε. Trecemdin nou la infimum, dar ın raport cu V si avem ωf (a) ≤ ε, pentru oriceε > 0 ceea ce implica ωf (a) = 0. Demonstrati singuri reciproca!

b) Vom demonstra ca Aε ⊂ Aε, asa ıncat fie x ∈ Aε si V ∈ V (x) .Exista D, multime deschisa, astfel ıncat x ∈ D ⊂ V, D ∩ Aε 6= ∅; fiey ∈ D si y ∈ Aε, prin urmare diam(f(D ∩ I)) ≥ ωf (y) ≥ ε. Dar atuncidiam(f(V ∩ I)) ≥ diam(f(D ∩ I)) ≥ ε, ∀V ∈ V(x), deci x ∈ Aε.

c) Df = {x ∈ I|ωf (x) > 0} = ∪n∈IN∗

{x ∈ I|ωf (x) ≥ 1

n

}= ∪

n∈IN∗A 1

nsi,

conform punctului b), concluzia rezulta. Sa mai observam ca daca I este in-terval deschis, atunci multimea punctelor de continuitate Cf este o multimeGδ. Intr-adevar Cf = I\Df = I ∩ c(

⋃n∈IN∗

A 1n) =

⋂n∈IN∗

(I ∩ cA 1n).

5.14 a) Nu exista, deoarece multimea Q nu este o multime Gδ (vezi pro-blema 5.13).

b) Da, de exemplu functia lui Riemann, modificata ın x = 0 (veziexercitiul 5.10 d)).

5.15 a) limn→∞f

(1 + 1

n , 2 + 1n

)= lim

n→∞(

n+1n

)4 n2n+1 = 1

2

224

b) Fie (xn, yn) → (1, 2), arbitrar; limn→∞f (xn, yn) = lim

n→∞x4

nyn

= 12 =

limn→∞x4

n

limn→∞ yn

= f (1, 2), deci f este continua ın (1, 2) .

c) Daca (x, y) ∈ γ, avem ca x = 1n , y = λ

n4 si eliminand n ıntre celedoua relatii obtinem ecuatia curbei: y = λx4. Calculam lim

n→∞f(

1n , λ

n4

)= 1

λ

si daca λ ia valori diferite atunci limitele obtinute vor fi diferite. Conformobservatiei 5.3, f nu va avea limita ın (0, 0) .

5.16 a) Notam an = f(1, (−1)n 1

n

), n ∈ IN∗. Daca n este par, atunci an =

3+ 1n , iar daca n este impar atunci an = 2 si avem lim

k→∞a2k = 3, lim

k→∞a2k+1 =

2. Prin urmare, nu exista limn→∞an = lim

n→∞f(1, (−1)n 1

n

)si avand ın vedere

caracterizarea cu siruri (teorema 5.2 (v)) nu exista nici lim(x,y)→(1,0)

f(x, y).

b) Se rezolva analog cu a).c) Consideram sirurile ((x′n, y′n)) , ((x′′n, y′′n)) convergente la (x0, 0) astfel

ıncat y′n > 0, y′′n < 0. Atunci vom avea: limn→∞f (x′n, y′n) = lim

n→∞ (3x′n + y′n) =

3x0 si limn→∞f (x′′n, y′′n) = lim

n→∞2 = 2, prin urmare pentru ca f sa fie continua

ın (x0, 0) , este necesar ca 3x0 = 2. Va propunem sa demonstrati ca aceastaconditie este si suficienta.

d) Pentru a calcula f( 121000 − 1

n , 121000 − 1

n) trebuie sa stabilim semnulnumarului bn = 1

21000 − 1n . Dar cum n → ∞ urmeaza ca daca n ≥ 21000

vom avea bn ≥ 0 si deci f (bn, bn) = 3bn + bn = 4bn. Atunci limn→∞f (bn, bn) =

4 limn→∞bn = 4

21000 . Sa demonstram ca f este continua ın(

121000 , 1

21000

). Fie

(xn, yn) → (1

21000 , 121000

); cum yn → 1

21000 , rezulta ca exista n0 ∈ IN astfelıncat n ≥ n0 sa implice yn > 0 si vom avea

limn→∞f (xn, yn) = lim

n→∞ (3xn + yn) =4

21000= f

(1

21000,

121000

).

Cum (xn, yn) a fost ales oarecare, concluzia urmeaza.f) Va propunem sa demonstrati ca f este continua ın punctele (x0, y0) ∈

IR2, y0 6= 0. Coroborand acest rezultat cu punctul c) concluzionam ca multi-mea ceruta este {(x, y) | y 6= 0} ∪ {(2

3 , 0)}.

5.17 a) Daca ((xn, yn)) ⊂ intg C, atunci x2n + y2

n < 4 si avem


n→∞√

9− x2n − y2

n =√

9− x20 − y2

0 =√

5.

225

Daca ((xn, yn)) ⊂ extg C, atunci x2n + y2

n ≥ 4 si avem limn→∞f (xn, yn) =

limn→∞α = α. Pentru ca f sa fie continua ın (x0, y0) , o conditie necesara este

ca α =√

5. Pentru a demonstra ca este si suficienta fie ((xn, yn)) ⊂ IR2,arbitrar ales, (xn, yn) → (x0, y0) . Daca ((xn, yn)) contine un numar finit determeni ın intg C (sau ın extg C), atunci eliminand acesti termeni ajungemın situatia de la punctul a). Daca ((xn, yn)) contine o infinitate de termeniın intgC si o infinitate de termeni ın extg C, atunci se demonstreaza la fel caın exercitiul 5.10 -b) ca lim

n→∞f (xn, yn) =√

5 = f(x0, y0).

b) Cum(

32 , 5

4

) ∈ intg C ((0, 0) , 2) = B ((0, 0) , 2) obtinem ca B ((0, 0) , 2)este o vecinatate a punctului

(32 , 5

4

). Din (xn, yn) → (

32 , 5

4

), rezulta ca exista

n0 ∈ IN, astfel ıncat pentru orice n ≥ n0, (xn, yn) ∈ B ((0, 0) , 2) .

Atunci


n→∞

√9−

(32

)2

−(

54

)2

= f

(32,54

).

Cum ((xn, yn)) a fost ales oarecare obtinem ca f este continua ın(

32 , 5

4

).

c) Functia f este continua ın fiecare punct

(x0, y0) ∈ IR2\{(x, y) | x2 + y2 = 4} (∀α ∈ IR!) ,

deoarece exista V ∈ V ((x0, y0)) astfel ıncat f este definita pe V printr-osingura regula de asociere, regula obtinuta prin compunerea unor functiielementare. Daca α =

√5, atunci f este continua si pe multimea

{(x, y) | x2 + y2 = 4} (conform punctului a)), prin urmare f este continuape IR2.

5.18 a) Majorarea pentru f poate fi facuta astfel:

|f (x, y) | ≤ 12|y| = g (x, y) ,∀ (x, y) ∈ IR2\ {(0, 0)} .

b) Concluzia este imediata folosind criteriul majorarii (teorema 5.8).Demonstrati ca f este continua ın (0, 0) folosind si caracterizarea cu siruri.

5.19 a) Ecuatia dreptei d fiind y = λx, ∀x ∈ IR, λ ∈ IR, limita data vafi egala cu: lim

(x,y)→(0,0),y=λx

f (x, y) = limx→0

λx2

x2(1+λ2)= λ

1+λ2 . Cum aceasta limita

depinde de λ, rezulta ca limita functiei ın (0, 0) nu exista.

226

b) Desi limita globala a functiei f nu exista, totusi limitele iterate exista:

limx→0

(limy→0

f(x, y)) = limx→0

0x2

= 0; limy→0

( limx→0

f(x, y)) = limy→0

0y2

= 0.

5.20 Avem: lim(x,y)→(0,0),

y=λx

f(x, y) = limx→0

x5

x5+λ2x2 = 0;

lim(x,y)→(0,0),

y=λx2

f (x, y) = limx→0

x5

x5+λ2x4 = 0. Totusi, lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) nu exista:

ıntr-adevar, daca γ este curba de ecuatie y = λx52 , atunci

lim(x,y)→(0,0),

y=λx52

f (x, y) = limx→0

x5

x5+λ2x5 = 11+λ2 si urmeaza concluzia.

5.21 a) Avem:

|x− 3| < δ ⇔ x ∈ (3− δ, 3 + δ) ;

|y + 2| < δ ⇔ y ∈ (−2− δ,−2 + δ) .

Rezulta ca 5x+3y−9∈ (−8δ, 8δ) . Este suficient ca (−8δ, 8δ)⊂ (− 11000 , 1

1000

),

adica 8δ ≤ 11000 sau δ ≤ 1

8000 . Daca, de exemplu, δ = 18000 si

|x− 3| < 18000 , |y + 2| < 1

8000 , atunci 5x + 3y − 9 ∈ (− 11000 , 1

1000

), adica

|5x + 3y − 9| < 11000 .

b) Fie V =(9− ε, 9 + ε)∈V (9) . Sa demonstram ca exista U ∈ V ((3,−2))(de exemplu U=(3− δ, 3 + δ)×(−2− δ,−2 + δ)) astfel ıncat daca (x, y)∈U,(x, y) 6=(3,−2) , atunci f (x, y)∈V. Din (x, y)∈U rezulta x ∈ (3− δ, 3 + δ) ,y ∈ (−2− δ,−2 + δ) si procedand analog ca la punctul a), din I ⊂ (9 −ε, 9 + ε), vom obtine ca exista δ ≤ 1

8ε (δ > 0) care verifica conditiile cerute.

5.22 a) Fie ε > 0, fixat si sa demonstram ca exista δ1 > 0 (δ1 depinzand deε) astfel ıncat daca ||(x, y)− (−1, 2)|| < δ1 sa rezulte |3xy − 2x + y + 2| < ε.Vom gasi mai ıntai un δ > 0 astfel ıncat din |x + 1| < δ, |y − 2| < δ saobtinem: |3xy − 2x + y + 2| < ε. Sa punem ın evidenta (x + 1) si (y − 2) :

|3xy − 2x + y + 2| = |3y (x + 1)− 2 (x + 1)− 2 (y − 2)|≤ 3 |y| |x + 1|+ 2 |x + 1|+ 2 |y − 2| < 3 |y| δ + 2δ + 2δ.

Din y ∈ (2− δ, 2 + δ) si presupunand ca δ < 1 vom obtine |y| < 3. Atunci|3xy − 2x + y + 2| < 13δ si, evident, putem gasi un δ > 0 astfel ıncatdaca δ < 1 si 13δ < ε sa rezulte relatia dorita. Luand δ1 = δ, relatia

227

||(x, y)− (−1, 2)|| < δ1 = δ implica |x + 1| < δ si |y − 2| < δ si, ın final,|3xy − 2x + y + 2| < ε, ceea ce trebuia aratat. Sa folosim acum caracteri-zarea cu siruri: fie (xn) ⊂ IR \ {−1} , (yn) ⊂ IR \ {2} , (xn, yn) → (−1, 2).Atunci lim

n→∞ (3xnyn − 2xn + yn) = −6 + 2 + 2 = −2 si rezulta concluzia.

b) Sa demonstram ca

∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x− 1| < δ, |y − 2| < δ ⇒∣∣∣∣x− y

x + y+

13

∣∣∣∣ < ε.

Fie ε > 0. Avem:∣∣∣∣x− y

x + y+

13

∣∣∣∣ =∣∣∣∣4 (x− 1)− 2 (y − 2)

3 (x + y)

∣∣∣∣

≤ 13 |x + y| (4 |x− 1|+ 2 |y − 2|) <

13 |x + y|6δ.

Relatiile |x− 1| < δ, |y − 2| < δ implica x + y ∈ (3− 2δ, 3 + 2δ). Alegand0 < δ < 1, vom avea x+y ∈ (1, 5) si deci 1

|x+y| ≤ 1. Prin urmare, daca δ < 1

rezulta∣∣∣x−yx+y + 1

3

∣∣∣ < 2δ. Orice δ > 0, care verifica simultan δ < 1, 2δ < ε vafi o solutie.

c) Trebuie sa demonstram ca pentru orice ε > 0, exista δ > 0, astfel ıncatdaca |x− 1| < δ, |y − 1| < δ, xy > 1, atunci xy+1

xy−1 > ε. Putem presupune caε > 1 si avem: xy+1

xy−1 > ε, echivalenta cu xy < 1 + 2ε−1 , relatie adevarata

daca, de exemplu, x, y ∈(0,

√1 + 2

ε−1

). Daca avem 1+δ <

√1 + 2

ε−1 , ceea

ce antreneaza δ <√

1 + 2ε−1 − 1 (> 0!) , atunci din |x− 1| < δ, |y − 1| < δ

va rezulta x, y <√

1 + 2ε−1 , iar δ < 1 este suficienta pentru ca x, y > 0.

In concluzie, alegand δ < min(√

1 + 2ε−1 − 1, 1

)si xy > 1 conditia din

definitia limitei va fi satisfacuta.

5.23 a) Cum |y − 1| < δ1 este echivalenta cu y ∈ (1 − δ1, 1 + δ1), faraa restrange generalitatea, putem presupune ca δ1 < 1, deci y > 0. Atuncif (x, y) = 3x + y si rezolvarea este similara cu cea de la exercitiul 5.21.

b) Putem lua δ2 = δ1, deoarece relatia ‖ (x, y)−(23 , 1

) ‖ < δ2 = δ1 implica|x− 2

3 | < δ1, |y − 1| < δ1 si concluzia rezulta conform punctului a).

5.24 Functia f este continua ın (0, 0) daca si numai daca

∀ε > 0, ∃δ > 0 : ‖ (x, y)− (0, 0) ‖ < δ ⇒ |f (x, y)− 3| < ε.

228

Fie ε > 0. Avem:

‖ (x, y)− (0, 0) ‖ < δ ⇔ x2 + y2 < δ2 ⇔ x2 + y2 ∈ [0, δ2

).

Putem presupune δ < 2, deci x2 + y2 < 4 si urmeaza ca

f (x, y) =√

9− (x2 + y2) ∈ (√

9− δ2, 3].

Impunand conditia ca (√

9− δ2, 3] ⊂ (3− ε, 3 + ε) obtinem:√

9− δ2 > 3− ε ⇔ (presupunem ε < 3)9− δ2 > (3− ε)2

⇔δ2 < 9− (3− ε)2 ⇔ δ<√

9− (3− ε)2 (observam ca 9− (3− ε)2 > 0).

In concluzie, daca numarul δ ∈ (0, 2) si verifica ultima conditie, atunci el vafi o solutie.

5.25 a) Daca x3 + y3 = 0 atunci x + y = 0 si sin(x3 + y3

)= 0; limita

dupa curba de ecuatie x3 + y3 = 0 va fi 0. Daca x3 + y3 6= 0 atunci

lim(x,y)→(0,0)

sin(x3+y3)x2+y2 = lim

(x,y)→(0,0)

sin(x3+y3)x3+y3

x3+y3

x2+y2 = limu→0

sin uu lim

(x,y)→(0,0)

x3+y3

x2+y2

= lim(x,y)→(0,0)

x3

x2+y2 + lim(x,y)→(0,0)

y3

x2+y2 (am notat x3 + y3 = u). La fel ca ın

exercitiul 5.17, demonstrati ca cele doua limite ramase sunt egale cu 0. Inconcluzie limita ceruta este 0.

c) Fiind o nedeterminare ∞0 vom calcula lim(x,y)→(0,0)

x2y ln(

1x2+y2

)=

− lim(x,y)→(0,0)

x2yx2+y2 lim

(x,y)→(0,0)

(x2 + y2

)ln

(x2 + y2

)= 0 (lim

u→0u ln u = 0, am

notat x2 + y2 = u). Prin urmare, limita cautata este 1.

5.26 a) f este continua pe multimea IR2\ {(0, 0)} fiind aici o compunerede functii elementare. Studiem continuitatea ın (0, 0) :

|f (x, y)− f (0, 0)| ≤∣∣∣∣

x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ +∣∣∣∣

y3

x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 2 |y| , ∀ (x, y) ∈ IR2\{(0, 0)},

prin urmare, conform criterului majorarii (teorema 5.8), functia f este con-tinua si ın (0, 0) .

b) Se rezolva analog cu exercitiul 5.17 si se gaseste ca f este continua pemultimea IR2\{(x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 = 4}.

c) Functia f este continua pe multimea IR2\ {(x, y) | x = 0} , fiind o com-punere de functii elementare. Studiem continuitatea ıntr-un punct de forma(0, y0) . Exista limita lim

(x,y)→(0,y0)y sin 1

x?

229

Cazul 1. Daca y0 6= 0 atunci limita nu exista (demonstrati!), prin urmaref nu e continua ın nici un astfel de punct.

Cazul al 2-lea. Daca y0 = 0, atunci lim(x,y)→(0,y0)

y sin 1x = 0 = f (0, 0) ,

deci f este continua ın (0, 0) . In concluzie f este continua pe multimea{(x, y) |x 6= 0} ∪ {(0, 0)} . Ca exercitiu, va propunem sa calculati limiteleiterate ale functiei f ın punctul (0, 0) .

e) Studiem continuitatea ın punctele de forma (x0, y0) , x0+y0 = 0. Dacax0 > 0, atunci lim

(x,y)→(x0,−x0)

x2yx+y nu exista, deoarece lim

(x,y)→(x0,−x0)x+y>0

x2yx+y = −∞

si lim(x,y)→(x0,−x0)

x+y<0

x2yx+y = +∞. Analog daca x0 < 0. In cazul x0 = 0, vom

considera x2yx+y = λ, λ ∈ IR \ {0} , relatie care antreneaza y = λx

x2−λ, pentru

x2−λ 6= 0. Alegem (xn, yn) ⊂ IR2, astfel ıncat xn → 0 si yn = λxnx2

n−λ; evident

yn → 0. Calculam

limn→∞f(xn, yn) = lim

n→∞λx3

n

x3n

= λ,

ceea ce implica ca f nu are limita ın (0, 0) . In concluzie, f este continua pemultimea IR2 \ {(x, y) |x + y = 0} .

f) Fie (x0, y0) ∈ IR2 si ((x′n), (y′n)) ⊂ Q × Q, ((x′′n), (y′′n)) * Q × Q,(x′n, y′n) → (x0, y0) , (x′′n, y′′n) → (x0, y0). Daca f e continua ın (x0, y0) atunci:

limn→∞f(x′n, y′n) = lim

n→∞f(x′′n, y′′n) ⇔⇔ x3

0y0 − x20 = y2

0 − x0y30 ⇔ (x0y0 − 1)

(x2

0 + y20

)= 0

⇔ (x0, y0) = (0, 0) sau (x0, y0) ∈ H,

unde H ={(x, y) ∈ IR2| xy = 1

}este o hiperbola echilatera. Pentru a de-

monstra ca aceasta conditie este si suficienta procedati analog ca ın execitiul5.10 b).

5.27 Functia f este nemarginita pe V ∈ V ((0, 0)) daca oricare ar fi n ∈IN exista (xn, yn) ∈ V astfel ıncat |f (xn, yn)| ≥ n sau, echivalent, exista((xn, yn)) ⊂ V astfel ıncat lim

n→∞ |f (xn, yn)| = ∞. Calculam limita functiei

|f | atunci cand (x, y) → (0, 0) , si (x, y) ∈ γ ∩ V, γ fiind curba de ecuatiey = λx3, x > 0 :

lim(x,y)→(0,0)

(x,y)∈γ

|f (x, y)| = limx→0x>0

∣∣∣∣λx5

x6 + λ2x6

∣∣∣∣ = limx→0x>0

∣∣∣∣λ

x (1 + λ2)

∣∣∣∣ = +∞.

230

Prin urmare, daca luam ((xn, yn)) ⊂ γ∩V , vom obtine limn→∞ |f (xn, yn)| = ∞

si astfel rezulta ca f este nemarginita pe V, oricare ar fi V ∈ V((0, 0)), ceeace antreneaza discontinuitatea lui f ın (0, 0) . Functia f este continua pemultimea IR2\ {(0, 0)} .

5.28 a) Functia este continua pe IR2\ {(0, 0)} . Daca presupunem ca existalim

(x,y)→(0,0)y=λx

f (x, y) = 0, atunci va exista si

limx,y→(0.0)

y=λx

f (x, y) = limx→0

|λ|β1 + λ2

|x|α+β−2 = 0,

ceea ce antreneaza ca α + β − 2 > 0 (aceasta este deci o conditie necesara).Conditia este si suficienta:

i) Daca α ≥ 2, atunci avem: 0 ≤ |x|α|y|βx2+y2 = |x|2|y|β

x2+y2 ·|x|α−2 ≤ |y|β ·|x|α−2 →0, (nu putem avea α = 2, β = 0 simultan!) si rezulta ca lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) = 0.

ii) Daca α ∈ (0, 2) vom avea:

0 ≤ |x|α |y|βx2 + y2

=|x|α |y|2−α

x2 + y2|y|α+β−2 ≤ |y|α+β−2 , ∀(x, y) ∈ IR2\{(0, 0)}

si cum limy→0

|y|α+β−2 = 0, rezulta ca lim(x,y)→(0,0)

|x|α|y|βx2+y2 = 0. Inegalitatea

|x|α|y|2−α

x2+y2 ≤ 1, folosita anterior, se demonstreaza astfel: ın inegalitatea lui

Young (vezi problema 6.15, capitolul 6) luam a = |x|α , b = |y|2−α , p = 2α >

1, q = 22−α > 1 si vom avea:

|x|α |y|2−α ≤ α

2(|x|α)

2α +

2− α

2

(|y|2−α

) 22−α =

α

2x2 +

2− α

2y2 ≤ x2 + y2, ∀x, y ∈ IR.

b) Functia f este continua daca si numai daca α > 2 si β > 2.

5.29 a) Fie f1, f2 : IR2 → IR, f1 (x, y) = sin xyx2+y2 pentru orice (x, y) ∈

IR2\{(0, 0)}, f1(0, 0) = 0, f2 (x, y) = x2y2

|x|+|y| , pentru orice (x, y) ∈ IR2\{(0, 0)},f2(0, 0) = 0, functiile coordonate ale functiei f . Ele sunt continue peIR2\ {(0, 0)} si va rezulta ca f este continua pe aceasta multime. Cum

231

lim(x,y)→(0,0)

f1 (x, y) nu exista (demonstrati!), f1 nu e continua ın (0, 0) si deci,

nici f nu va fi continua ın (0, 0) .

b) f e continua pe IR2.

5.30 Fie x ∈ IR. Atunci exista (yn)n∈IN ⊂ Q astfel ıncat yn → x. Cum fsi g sunt continue, avem f(yn) → f(x) si g(yn) → g(x). Dar f(yn) = g(yn),pentru orice n ∈ IN si din unicitatea limitei unui sir rezulta f(x) = g(x).

5.31 Multimea A este egala cu f−1 ((α,∞)) si cum (α,∞) este o multimedeschisa, conform teoremei de caracterizare a continuitatii globale 5.38,rezulta ca A este deschisa. Multimea D este contraimaginea multimii ınchise[α,∞) , prin urmare ea este o multime ınchisa. Am putea demonstra ca Deste ınchisa si astfel: fie (xn) ⊂ D, xn → x0 si sa demonstram ca x0 ∈ D.Relatiile xn ∈ D, ∀n ∈ IN, antreneaza f (xn) ≥ α, ∀n ∈ IN si trecand lalimita pentru n →∞, rezulta ca f (x0) ≥ α, adica x0 ∈ D.

5.32 a) Functia f este continua pe multimea IR2\ {(0, 0)} .

b) i) Notam f restrictia lui f la IR2\{(0, 0)} si sa observam ca multimeaA = {(x, y) ∈ IR2 − {(0, 0)} | f (x, y) > 0} = f−1 ((−∞, 0)) . Cum f estecontinua si (−∞, 0) este deschisa, rezulta ca A este deschisa ın topologiaindusa pe IR2\ {(0, 0)} adica exista D0 multime deschisa ın topologia uzuala,astfel ıncat A =

(IR2\ {(0, 0)}) ∩ D0. Este evident ca A este o multime

deschisa ın topologia uzuala, fiind intersectia a doua multimi deschise, ceeace trebuia demonstrat.

ii) Multimea A ={(x, y) ∈ IR2 | |x− 1| > |y|} este deschisa daca oricare

ar fi (x0, y0) ∈ A, exista r > 0 astfel ıncat B ((x0, y0) , r) ⊂ A (demonstrati!).

5.33 a) Varianta I: Daca notam f : IR2 → IR, f (x, y) = cosxy−x2y−ex−y,observam ca multimea solutiilor S = f−1 ({0}) si cum f este continua, eaeste ınchisa.

Varianta a II-a: fie ((xn, yn)) ⊂ S, (xn, yn) → (x0, y0) si sa demonstramca (x0, y0) ∈ S. Avem:

(xn, yn) ∈ S,∀n ∈ IN ⇒ cosxnyn − x2nyn − exn−yn = 0, ∀n ∈ IN.

Trecand la limita pentru n →∞, rezulta cosx0y0 − x20y0 − ex0−y0 = 0, deci

(x0, y0) ∈ S.

Vom demonstra ca multimea S nu este marginita, deci ea nu va fi nicicompacta. Pentru ınceput sa fixam y = α ∈ IR, arbitrar, si sa demonstramca ecuatia obtinuta cosαx−αx2− ex−α = 0 are solutii ın intervalul (−1, 0) .

232

Notand f (x) = cosαx − αx2 − ex−α, f : IR → IR avem: i) daca notam[π2 + 2nπ, 3π

2 + 2nπ]

= An si luam α ∈ ∪n∈IN

An atunci cosα ≤ 0 si f (−1) =

cosα− α− e−1−α < 0; ii) f (0) = 1− e−α; cum α ∈ ⋃n∈IN

An avem f (0) > 0.

In aceasta situatie, f (−1) f (0) < 0 si astfel ecuatia are cel putin o solutieın intervalul (−1, 0) , pe care o notam xα. Astfel pentru orice α ∈ ∪

n∈INAn,

ecuatia f (x) = 0 admite o solutie (xα, α), prin urmare S este nemarginita.Studiati daca intS 6= ∅!

5.34 a) Notam f : IR2 → IR, f (x, y) = sin(xy + 1

4

)+

(1

1+x2+y2

)2, si din

faptul ca lim(x,y)→

(1√2, 1√

2

)f (x, y) = sin 34 + 1

4 < 34 + 1

4 = 1, rezulta ca exista

V ∈ V((

1√2, 1√

2

))astfel ıncat pentru orice (x, y) ∈ V are loc f (x, y) < 1.

Prin urmare A ⊃ V, deci A este o multime nenumarabila.b) Cum A = f−1 ((−∞, 1]) si f continua urmeaza ca A este ınchisa.

Demonstrati ca A este ınchisa folosind si caracterizarea cu siruri.c) Studiem marginirea multimii A. Exista ın multimea A siruri nemargi-

nite? Observam ca f (0, n) = sin 14 + 1

(1+n2)2≤ 1,∀n ∈ IN∗, prin urmare

(0, n) ∈ A, oricare ar fi n ∈ IN∗. Dar ||(0, n)|| = n → ∞ si astfel, A nu estemarginita, deci nici compacta.

5.35 Functia f este continua pe o multime compacta ceea ce implica,conform teoremei lui Weierstrass 5.46, faptul ca f este marginita si ısi atingemarginile. Relatiile 0 ≤ xy ≤ 1

4 , ∀ (x, y) ∈ A implica 0 ≤ f (x, y) ≤ e14 ,

∀ (x, y) ∈ A si deci, maxx∈A

f (x) = e14 (atins pentru x = y = 1

2) si minx∈A

f (x) = 0

(atins pentru x = y = 0).

5.36 Fie f : D → IR, f (a, b, c, d) = aa+b+d + b

a+b+c + cb+c+d + d

a+c+d ,D = (0,∞) × (0,∞) × (0,∞) × (0,∞) . Imaginea multimii conexe D prinfunctia continua f, f (D) , este un interval al lui IR (conform teoremei 5.47).Adunand relatiile

aa+b+d > a

a+b+c+d , ba+b+c > b

a+b+c+d , cb+c+d > c

a+b+c+d , da+c+d > d

a+b+c+dobtinem f (a, b, c, d) > 1, pentru orice (a, b, c, d) ∈ D. Din

aa+b+d < a

a+d , da+c+d < d

a+d si ba+b+c < b

b+c ,c

b+c+d < cb+c rezulta ca

f (a, b, c, d) < 2 si deci, f (D) ⊂ (1, 2) . Daca presupunem a, b constante,lim

(c,d)→(0,0)f (a, b, c, d) = a

a+b+0 + ba+b+0 = 1 si atunci inff (D) = 1. Daca

233

presupunem b, d constante,

lim(a,c)→(0,0)

f (a, b, c, d) =b

0 + b + 0+

d

0 + 0 + d= 2;

atunci supf (D) = 2 si, ın final, f (D) = (1, 2) .

5.37 a) Notam f : [0, 1]× [0, 1] → IR,

f (x, y) = (x sinxy − 1) (1− y) + (y sinxy − 1) (x− 1)− 12.

Imaginea multimii conexe [0, 1]×[0, 1] prin functia continua f este o multimeconexa din IR, adica un interval I. Din

f (1, 0) = −32∈ I, f (0, 1) =

12∈ I ⇒

[−3

2,12

]⊂ I

⇒ 0 ∈ I ⇒ ∃ (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1] : f (a, b) = 0.

b) Vom demonstra ca pentru orice y0 ∈(

12 , 1

)ecuatia ın x, f (x, y0) = 0,

admite cel putin o solutie ın [0, 1] . Notam f (x, y0) = g (x) , g : [0, 1] → IR.Avem g (0) = y0 − 1

2 > 0, g (1) = (1− y0) (sin y0 − 1) − 12 si vom studia

semnul lui g (1) . Fie functia h : [0, 1] → IR,

h (y) = (1− y) (sin y − 1)− 12;

h′ (y) = 1− sin y + (1− y) cos y > 0, ∀y ∈ [0, 1] .

Prin urmare h este strict crescatoare si avem: h (y) < h (1) < 0, pentru oricey ∈ [0, 1] ; ın particular h (y0) = g (1) < 0, deci g (0) g (1) < 0. Rezulta caecuatia g (x) = 0 admite cel putin o solutie ın (0, 1) si, astfel, ecuatia initialava avea o infinitate de solutii ın [0, 1]× [0, 1].

5.38 i) Sa demonstram a ⇒ b. Vom folosi ın mod esential caracterizarea:f este continua daca si numai daca

(1) ∀D ⊂ IRq, multime deschisa, f−1 (D) este deschisa ın IRp.

Fie B ⊂ IRq. Avem implicatiile

(2)◦B ⊂ B ⇒ f−1(

◦B) ⊂ f−1(B) ⇒ intf−1(

◦B) ⊂ intf−1(B)

234

si luand ın (1) D =◦B (care este deschisa), va rezulta ca f−1(

◦B) deschisa si

deci intf−1(◦B) = f−1(

◦B). Relatia (2) devine astfel:

(3) f−1(◦B) ⊂ int f−1(B).

ii) Sa demonstram b ⇒ a. Pentru a demonstra relatia (1) fie D ⊂ IRq, D

deschisa. In (3) luam B = D =◦D si avem f−1 (D) ⊂ int f−1 (D) , relatie

care antreneaza faptul ca f−1 (D) deschisa.iii) Echivalenta a ⇔ c se demonstreaza la fel cu echivalenta a ⇔ b, dar

folosind caracterizarea globala a continuitatii cu multimi ınchise (teorema5.38).

5.39 a) Nu este adevarat: functia continua f : IR → IR,

f(x) =

{sin x

x , x 6= 01, x = 0

si multimea A = {2nπ + π2 |n ∈ IN} nu verifica relatia

data. Intr-adevar f(A) = f(A) = { 12nπ+π

2|n ∈ IN}, iar f(A) = f(A) ∪ {0}.

b) ”⇒” Presupunem ca f este un homeomorfism. Incluziunea f(A) ⊂f(A) este adevarata conform teoremei 5.38. Functia f−1 este continua dacasi numai daca

(4) ∀B ⊂ IRq, f−1(B) ⊂ f−1(B).

Luand ın aceasta relatie B = f(A), obtinem: f−1(f(A)) ⊂ A si aplicand f,rezulta f(A) ⊂ f(A).

”⇐” Presupunem acum ca ∀A ⊂ IRp, f(A) = f(A). Din f(A) ⊂ f(A)rezulta ca f este continua. Fie B ⊂ IRq; folositi incluziunea inversa, f(A) ⊃f(A), pentru a demonstra (4).

5.40 Daca D este o multime deschisa din IR, atunci ϕ−1A (D) = IR, daca

0, 1 ∈ D; ϕ−1A (D) = IR\A, daca 0 ∈ D, 1 /∈ D; ϕ−1

A (D) = A, daca 0 /∈D, 1 ∈ D si ϕ−1

A (D) = ∅, daca 0 /∈ D, 1 /∈ D. Functia f va fi continua dacasi numai daca A si IR\A sunt deschise sau, echivalent, A este simultan siınchisa si deschisa. Rezulta ca A = ∅ sau A = IR, ın caz contrar multimeaIR = A ∪ (IR\A) nu ar fi conexa, ceea ce este fals.

5.41 Sa demonstram ca Gf ⊂ Gf . Fie (x0, y0) ∈ Gf si ((xn, yn)) ⊂Gf , (xn, yn) → (x0, y0) . Cum (xn) ⊂ A si A este ınchisa, din xn → x0

urmeaza ca x0 ∈ A. Continuitatea functiei f antreneaza ca yn = f (xn) →f (x0) , adica y0 = f (x0) . Asadar (x0, y0) ∈ Gf , ceea ce trebuia demonstrat.

235

Reciproca nu este, ın general, adevarata. Functia

f : IR → IR, f(x) =

{1x , x 6= 00, x = 0

nu este continua, dar Gf este o multime

ınchisa (se demonstreaza folosind caracterizarea cu siruri).

5.42 a) Vom presupune, pentru ınceput, ca a > 0. Stim ca exista l ∈ IRastfel ıncat oricare ar fi ε > 0, exista A ∈ IR cu proprietatea ca pentruorice x ≥ A, x ∈ [a,∞) rezulta |f (x)− l| < ε

2 . Fie ε > 0 (fixat), x, y ≥A, |x− y| < δ, δ > 0, ales arbitrar. Atunci:

(5) |f (x)− f (y)| ≤ |f (x)− l|+ |f (y)− l| < ε.

Fie x < A, |x− y| < δ si sa alegem δ < ε. Avem: y = |y| ≤ |x− y| + |x| <δ+A < ε+A si prin urmare x, y ∈ [a,A + ε] . Functia f este uniform continuape [a,A + ε], prin urmare pentru ε > 0 (fixat anterior) exista δ1 > 0 astfelıncat:

(6) ∀x, y ∈ [a,A + ε] , |x− y| < δ1 ⇒ |f (x)− f (y)| < ε.

Alegand δ < δ1 atunci ∀x, y ∈ [a,∞) , |x− y| < δ are loc una din relatiile (5)sau (6) adica concluzia. Solutia cazului y < A este asemanatoare. Rezolvatisinguri cazul a ≤ 0!

c) Daca presupunem ca f este uniform continua pe (a,∞) , atunci f va fiuniform continua pe (a, b] , b ∈ IR, a < b. Conform teoremei 5.61 f se poateprelungi prin continuitate ın x = a, adica exista lim

x→ax>a

f (x) ∈ IR, fals!

5.43 Daca T > 0 este perioada principala a functiei, atunci f este uniformcontinua pe multimea [0, 2T ] , adica

∀ε > 0, ∃δ′ > 0 : ∀x′, y′ ∈ [0, 2T ], |x′ − y′| < δ′ ⇒ |f(x′)− f(y′)| < ε.

Trebuie sa demonstram ca f este uniform continua pe IR, adica: ∀ε >0,∃δ > 0 : ∀x, y ∈ IR, |x− y| < δ ⇒ |f (x)− f (y)| < ε. Sa demonstrammai ıntai urmatoarea afirmatie: daca x, y ∈ IR, |x− y| < T, atunci existan0 ∈ IN astfel ıncat x − n0T, y − n0T ∈ [0, 2T ]. In primul rand existam0 ∈ IN astfel ıncat x ∈ [m0T, (m0 + 1)T ] si sa presupunem ca x ≤ y.Atunci y ∈ [m0T, (m0 + 2)T ] si relatia de mai sus este adevarata cu n0 =m0. Cazul x > y se rezolva similar. Fie ε > 0. Sa alegem acum δ >0, δ < min(T, δ′), x, y ∈ IR : |x− y| < δ, si sa notam x′ = x − n0T, y′ =y − n0T. Avem |x′ − y′| = |x− y| < δ′ ceea ce implica |f (x)− f (y)| =

236

|f (x− n0T )− f (y − n0T )| =∣∣∣f(x

′)− f(y

′)∣∣∣ < ε si, astfel, relatia dorita

este demonstrata.

5.44 a) i) Intervalul (3, 4] este marginit, f se prelungeste prin continuitateın x = 3 (exista lim

x→3f (x) = 1) si din teorema 5.61 rezulta ca f este uniform

continua pe (3, 4] .ii) f nu este uniform continua pe (2, 4] (vezi problema 5.41-c)).iii) [1, 4] ⊃ (2, 4], prin urmare f nu este uniform continua pe [1, 4].iv) Vezi problema 5.41-a).c) i) Vom demonstra ca functia f : IR → IR, f (x) = ex nu este uniform

continua, folosind negatia definitiei. Deoarece f este uniform continua peun compact de tipul [0, b] , ∀b > 0, va fi necesar sa consideram doua siruricu limita ∞.

Varianta I: Fie x′n = n, x′′n = n + 12n ,∀n ∈ IN∗. Evaluam

|f(x′n)− f(x′′n)| = en+ 12n − en = en(e

12n − 1) > en 1

2n> 1,∀n ∈ IN∗

(pentru ultimele doua relatii am folosit inegalitatile: ex > 1 + x,∀x > 0 sirespectiv ex > 2x,∀x > 1; acestea pot fi demonstrate, de exemplu, folosindderivata). Asadar exista ε0 = 1 si (x′n), (x′′n) astfel ıncat pentru orice n ∈IN∗, |x′n − x′′n| < 1

n si |f (x′n) − f (x′′n) | ≥ ε0; prin urmare f nu este uniformcontinua.

Varianta a II-a: se considera sirurile x′n = lnn, x′′n = 1n + lnn, etc.

Demonstrati ca f este uniform continua pe (−∞, b) ,∀b ∈ IR.

iii) Avem: |sinx− sin y| =∣∣2 sin x−y

2 cos x+y2

∣∣ ≤ 2∣∣sin x−y

2

∣∣ ≤ |x− y| ,∀x, y ∈ IR; functia f : IR → IR, f (x) = sinx este lipschitziana si deciuniform continua. Aceasta concluzie rezulta si pe baza exercitiului 5.43.O alta solutie se poate da folosind propozitia 6.16.

vii) Functia f : IR → IR, f (x) = sinx2 nu este uniform continua (re-zolvarea este analoaga cu cea de la punctul c) i).

viii) Observam ca f ′(x) = 2x+12√

x2+x+1, f ′ : IR → IR este marginita, ceea ce

antreneaza ca f este lipschitziana (conform propozitiei 6.16), deci uniformcontinua.

5.45 a) Vom studia daca f se prelungeste prin continuitate ın punctele0, 1, 2, adica la multimea (0, 1) ∪ (1, 2) = [0, 2] (teorema 5.61). Calculam maiıntai : lim

x→0x>0

ln x ln (1− x) ∞·0= limx→0x>0

ln(1−x)−x · −x

ln x = − limx→0x>0

xln x = 0 (ultima fiind o

limita fundamentala). Asadar f se prelungeste prin continuitate la dreapta

237

punctului x = 0. Printr-o substitutie, calculam limx→1x<1

ln x ln (1− x) = 0. Sa

determinam acum

limx→1x>1

(cos (x− 1)sin (x− 1)

− 1x− 1

)∞−∞= lim

y→0y>0

(ctg y − 1

y

)=

= limy→0y>0

y cos y − y + y − sin y

y sin y= lim

y→0y>0

cos y − 1sin y

+ limy→0y>0

y − sin y

y sin y=

= limy→0y>0

cos y − 1y

+ limy→0y>0

y − sin y

y2= 0.

Deci f se prelungeste prin continuitate ın punctul x = 1. Functia f areaceeasi proprietate si la stanga punctului x = 2, deoarece existalimx→2x<2

(ctg (x− 1)− 1

x−1

)= ctg 1 − 1. In concluzie f este uniform continua.

d) Functia f : [1, 2] × [1, 2] → IR, f (x, y) = xy este continua pe o multime

compacta, deci este uniform continua. Atunci f, restrictia lui f la (1, 2) ×(1, 2) este de asemenea uniform continua.

e) Functia f nu se poate prelungi prin continuitate ın punctul (0, 0) (nuexista lim

(x,y)→(0,0)f (x, y)) prin urmare, conform aceleiasi teoreme 5.61, ea nu

este uniform continua.g) Fie x, y ∈ IRp. i) Daca ‖x‖ ≤ 1, ||y|| ≤ 1, atunci

||f (x)− f (y)|| = | ‖x‖ − ‖y‖ | ≤ ‖x− y‖ ≤ 2‖x− y‖.ii) Daca ||x|| ≥ 1, ||y|| ≥ 1, atunci

‖f (x)− f (y) ‖ =∥∥∥∥

x

‖x‖ −y

‖y‖

∥∥∥∥ =∥∥∥∥

x

‖x‖ −y

‖x‖ +y

‖x‖ −y

‖y‖

∥∥∥∥

≤ 1‖x‖‖x− y‖+ ‖y‖

∣∣∣∣1‖x‖ −

1‖y‖

∣∣∣∣≤ ‖x− y‖+ | ||x|| − ||y|| | ≤ 2‖x− y‖.

iii) Daca ‖x‖ ≤ 1, ‖y‖ > 1, atunci:

‖f (x)− f (y) ‖ =∥∥∥∥‖x‖ − y + y − y

‖y‖

∥∥∥∥

≤ ‖x− y‖+ ‖y‖∣∣∣∣1−

1‖y‖

∣∣∣∣ = ‖x− y‖+ ‖y‖(

1− 1‖y‖

)

= ‖x− y‖+ ‖y‖ − 1 ≤ 2‖x− y‖.

238

iv) Daca ‖x‖ > 1, ‖y‖ ≤ 1, rezolvarea este analoaga cu cea de la punctuliii). In concluzie ‖f (x) − f (y) ‖ ≤ 2‖x − y‖,∀x, y ∈ IRp si astfel f estelipschitziana, deci uniform continua.

h) Multimea D este compacta, f este continua pe D (demonstrati!), prinurmare f este uniform continua.

5.46 Sa observam ın primul rand ca multimea D este nevida deoarececontine elementul (0, 0) (sau, mai mult: daca x, y ∈ [

0,√

π6

], atunci cosx2+

cos y2 ≥ √3 > π

3 ≥ x2 + y2, prin urmare[0,

√π6

] × [0,

√π6

] ⊂ D). Sademonstram ca D este compacta. Mai ıntai, daca (x, y) ∈ D atunci x2+y2 ≤2, prin urmare D este marginita. Pentru a demonstra ca D este ınchisasa consideram (x0, y0) ∈ D. Exista ((xn, yn)) ⊂ D, (xn, yn) → (x0, y0) sitrecand la limita ın relatia x2

n+y2n ≤ cosx2

n+cos y2n, n →∞, vom obtine x2

0+y20 ≤ cosx2

0 + cos y20. Dar aceasta ınseamna ca (x0, y0) ∈ D si concluzionam

ca D este ınchisa. Va propunem sa aratati ca D este ınchisa si ın alt mod.Se demonstreaza apoi ca f este continua pe D, D este multime compacta siconform teoremei lui Cantor, f este uniform continua pe D.

5.47 Functia f este uniform continua pe D, deci

∀ε > 0, ∃δε > 0 : ∀x, y ∈ D, ||x− y|| < δε ⇒ ||f (x)− f (y)|| < ε.

Fie (xn) ⊂ D un sir Cauchy si sa demonstram ca (f (xn)) este un sir Cauchyadica : ∀ε > 0,∃nε ∈ IN : ∀n,m ≥ nε ⇒ ||f (xn)− f (xm)|| < ε. Fie ε > 0.Pentru acest ε, ∃nε ∈ IN : ∀n,m ≥ nε ⇒ ||xn − xm|| < ε. Daca ın primarelatie luam δε = ε si x = xn, y = xm, atunci pentru n,m ≥ nε va rezultaca ||f (xn)− f (xm)|| < ε, adica concluzia.

Sa analizam urmatorul exemplu: functia f : (0, 1) → IR, f (x) = 1x este

continua si transforma sirul Cauchy (xn)n∈IN∗ = ( 1n)n∈IN∗ , n ≥ 1 ın sirul

(f (xn))n∈IN∗ = (n)n∈IN∗ care nu este sir Cauchy.

5.48 a) Au loc echivalentele:

d (x,A) = 0 ⇔ infa∈A

d (x, a) = 0 ⇔ ∃ (an) ⊂ A : limn→∞d (x, an) = 0 ⇔ x ∈ A.

b) Sa observam mai ıntai ca ın IRp, topologia este cea indusa de metricad. Functia f este uniform continua daca si numai daca

∀ε > 0, ∃δε > 0, : ∀x, x′ ∈ IRp : d(x, x′) < δε ⇒∣∣f(x)− f(x′)

∣∣ < ε.

Fie ε > 0, sa alegem δε = ε si fie x, x′ ∈ IRp astfel ıncat d(x, x′) < δε = ε.Ultima relatie ımpreuna cu inegalitatea |d (x, y)− d(x′, y)| ≤ d(x, x′) antre-neaza |f (x)− f (x′)| < ε.

239

c) Vom demonstra mai ıntai relatia:

|d (x,A)− d(x′, A)| ≤ d(x, x′), ∀x, x′ ∈ IRp.

Aceasta relatie se rescrie astfel: −d(x, x′) ≤ d (x,A) − d(x′, A) ≤ d(x, x′).Pentru a demonstra inegalitatea din dreapta, ın relatia d (x, a) ≤ d(x, x′) +d(x′, a), x, x′ ∈ IRp, a ∈ A, trecem la infimum dupa a ∈ A. Cum d(x, x′) =‖x− x′‖, rezulta ca f este lipschitziana, deci uniform continua.

d) Functia g : A → IR, g (y) = d (x, y) este continua pe o multimecompacta, deci conform teoremei lui Weierstrass g ısi atinge infimumul pe A,adica exista a ∈ A astfel ıncat g (a) = inf

y∈Ag (y), ceea ce trebuia demonstrat.

Daca A este ınchisa, rezultatul de la punctul d) se pastreaza. Intr-adevarfie r > d(x,A) si sa notam A1 = A ∩D (x, r) . Multimea A1 este compactasi aplicand rezultatul anterior exista a ∈ A1 ⊂ A astfel ıncat d (x, a) =d (x,A1) . Dar d (x,A1) = d (x,A) (demonstrati!) si concluzia urmeaza.

e) i) Fie A ⊂ IRp, ınchisa si

Dn ={

x ∈ IRp | d (x,A) <1n

}, n ∈ IN∗

care sunt multimi deschise pentru orice n ∈ IN∗. Sa demonstram acumrelatia A =

⋂n∈IN∗

Dn. Evident A ⊂ Dn, ∀n ∈ IN∗, prin urmare A ⊂ ⋂n∈IN∗

Dn.

Invers:x ∈

⋂

n∈IN∗Dn ⇒ x ∈ Dn, ∀n ∈ IN∗ ⇒ 0 ≤ d (x,A) <

<1n

, ∀n ∈ IN∗ ⇒ d (x, A) = 0 ⇒ x ∈ A = A.

e) ii) Daca A este deschisa, atunci cA este ınchisa, prin urmare, conformpunctului i), exista (Dn) un sir de multimi deschise, astfel ıncatcA = ∩

n∈INDn. Dar atunci, A = c( ∩

n∈INDn) = ∪

n∈INcDn, (cDn) fiind un sir de

multimi ınchise, ceea ce trebuia demonstrat.

5.49 a) Presupunem ca A este compacta si B ınchisa. Functia f : A →IR, f (a) = d (a, B) , este continua pe compactul A, prin urmare exista am ∈A astfel ıncat d (am, B) = inf

a∈Ad (a,B) = d (A,B) . Daca presupunem prin

reducere la absurd ca d (am, B) = 0, atunci am ∈ B = B si astfel am ∈ A∩B,fals!

b) De exemplu, putem lua A = IN∗, B ={n + 1

n | n ≥ 2}

, iar d distantaeuclidiana.

240

5.50 Functia distanta d este continua (ca functie de doua variabile) pemultimea compacta A × A, deci ea ısi atinge infimumul pe A × A, adicaexista x0, y0 ∈ A astfel ıncat d(x0, y0) = sup

x,y∈Ad(x, y) = diamA.

5.51 a) Functia este evident continua ın punctele (x0, y0) cu y0 6= 0. Sastudiem acum continuitatea ıntr-un punct (x0, 0), x0 ∈ IR. Daca x0 6= 0atunci vom analiza subcazurile:

i) p > 0, p numar par. Vom avea:

lim(x,y)→(x0,0)

f (x, y) =sinx0

0+= sgn (sinx0) · ∞.

ii) p > 0, p numar impar. In aceasta situatie, limita ın (x0, 0) nu exista.iii) p = 0. In acest caz: lim

(x,y)→(x0,0)f (x, y) = sinx0 6= 0, prin urmare f nu

este continua ın (x0, 0) .iv) p < 0. Vom avea: lim

(x,y)→(x0,0)f (x, y) = 0 si f este continua ın (x0, 0) .

Daca x0 = 0 atunci avem:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = lim(x,y)→(0,0)

sinx

x

x

yp= lim

(x,y)→(0,0)

x

yp

(cu subcazurile p ≤ 0, p > 0).b) Functia f este continua pe multimea {(x, y) ; y > 0} ⊃ A. Multimea A

este conexa(ea fiind reuniunea a doua multimi conexe cu intersectia nevida),prin urmare f (A) este o multime conexa ın IR, adica un interval. Teorema5.45 ne asigura ca imaginea lui A este si compacta.

c) Seria obtinuta,∞∑

n=1np sinn, este cu termeni oarecare. Daca p ≤ −2,

atunci seria este absolut convergenta, daca p = −1, seria este semiconver-genta, iar daca p ≥ 0 ea este divergenta (np sinn nu converge la 0).

5.52 a) Functia este evident continua pe IR2� {(0, 0)} , fiind aici o com-punere de functii elementare. Daca notam A = {(x, y) |x 6= 0 si y 6= 0} sipresupunem ca exista lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) , atunci, conform propozitiei 5.14,

va exista si limita

lim(x,y)→(0,0)

f |A (x, y) = lim(x,y)→(0,0)

ln (1 + |xy|)x2 + y2

=

= lim(x,y)→(0,0)

ln (1 + |xy|)|xy|

|xy|x2 + y2

= lim(x,y)→(0,0)

|xy|x2 + y2

.

241

Dar aceasta limita nu exista, prin urmare nu exista nici lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) si

astfel f nu este continua ın (0, 0) .

b) Notand λ + 1=α∈IR, trebuie sa studiem convergenta seriei∞∑

n=1

nα

e2n+1.

Cum limn→∞ n2 nα

e2n+1= 0, exista n0 ∈ IN, astfel ıncat pentru orice n ≥ n0, sa

avem n2 nα

e2n+1≤ 1 sau echivalent: nα

e2n+1≤ 1

n2 , pentru orice n ≥ n0, prinurmare seria data este convergenta.

5.53 Functia f este evident continua pe IRp\ {(0, .., 0)} . Sa studiem con-tinuitatea lui f ın punctul (0, ..., 0) . Daca notam

A ={(x1, x2, .., xp) ∈ IRp|xi 6= 0,∀i ∈ 1, p

},

atunci putem scrie (cu notatia (x1, x2, .., xp) = x):

limx→0

f |A (x1, x2, .., xp) =limx→0

ln (1 + |x1x2...xp|)x2

1 + x22 + ... + x2

p

=limx→0

ln (1 + |x1x2...xp|)|x1x2...xp| · |x1x2...xp|

x21 + x2

2 + ... + x2p

=limx→0

|x1x2...xp|x2

1 + x22 + ... + x2

p

(daca aceasta ultima limita exista!). Dar

|x1x2...xp|x2

1 + x22 + ... + x2

p

≤ 1p|x1x2...xp|1−

2p ,∀x 6= (0, . . . , 0)

si astfel, daca p ≥ 3, atunci limx→0

f |A (x) = 0 si f |A este continua si ın

x = 0. Desigur, f |IRp\A este identic zero, prin urmare aceasta restrictie este,de asemenea, continua. Folosind acum definitia, se demonstreaza ca f estecontinua si ın x = (0, . . . , 0), deci, ın final, pe multimea IRp. Cazul p = 2constituie problema 5.52-a), iar cazul p = 1 vi-l propunem ca tema.

5.54 Demonstram, mai ıntai, ca multimea K este marginita. Functia f :K → IR, f (x) = ‖x‖, este continua si deci multimea f (K) = {‖x‖ |x ∈ K}este marginita. Dar asta ınseamna exact marginirea multimii K. Pentru ademonstra ca multimea K este ınchisa, vom presupune prin absurd ca existaa ∈ K, a /∈ K. Functia f : K → IR, f (x) = 1

||x−a|| , este continua si prinurmare, f (K) este marginita, adica exista M > 0 astfel ıncat 1

‖x−a‖ ≤ M,

242

oricare ar fi x ∈ K. Cum a ∈ K, exista (xn) ⊂ K, astfel ıncat xn → a; daratunci lim

n→∞1

‖xn−a‖ = ∞, contradictie.

5.55 Daca presupunem ca f nu admite puncte fixe, atunci, din ipoteza decontinuitate rezulta ca, fie f (x) > x, pentru orice x ∈ IR, fie f (x) < x, pen-tru orice x ∈ IR. In prima situatie, trecand x ın f (x) obtinem: f (f (x)) >f (x) > x, pentru orice x ∈ IR, deci (f ◦ f) (x) > x, pentru orice x ∈ IR; prinurmare, f ◦ f nu admite puncte fixe, fals!

La fel se rezolva situatia f(x) < x, pentru orice x ∈ IR.

Capitolul 6

FUNCTII DERIVABILE

Definitia 6.1. Spunem ca functia f : A → IR, A ⊂ IR are derivata ınpunctul a ∈ A′ ∩A, daca exista ın IR limita lim

x→a

f(x)−f(a)x−a . Vom nota aceasta

limita cu f ′(a). Daca f ′(a) ∈ IR vom spune ca f este derivabila ın a.

Definitia 6.2. Spunem ca functia f : A → IR, A ⊂ IR este derivabilape multimea B ⊂ A, daca f este derivabila ın fiecare punct din B. Functianotata f ′, f ′ : B → IR, care asociaza fiecarui punct x ∈ B derivata f ′(x) senumeste derivata functiei f pe multimea B.

Propozitia 6.3. Daca f : A → IR, A ⊂ IR este derivabila ın punctula ∈ A′ ∩A, atunci f este continua ın a.

Observatia 6.4. Reciproca propozitiei anterioare nu este adevarata.Astfel, functia f : IR → IR, f(x) = |x| este continua ın punctul x = 0, darnu este derivabila ın acest punct.

Definitia 6.5. Spunem ca functia f : A → IR, A ⊂ IR, are derivata lastanga ın punctul a ∈ A′s ∩ A daca exista ın IR limita lim

x→ax<a

f(x)−f(a)x−a . Vom

nota aceasta limita cu f ′s(a). Daca f ′s(a) ∈ IR vom spune ca f este derivabilala stanga ın a. Analog se definesc notiunile de derivata la dreapta ın a sifunctie derivabila la dreapta ın a.

Teorema 6.6. Functia f : A → IR, A ⊂ IR este derivabila ın punctula ∈ A′s ∩ A′d daca si numai daca f este derivabila la stanga si la dreapta ına si f ′s(a) = f ′d(a). In acest caz ele sunt egale si cu f ′(a).

Teorema 6.7. (Derivabilitatea functiilor compuse). Fie I, J ⊂IR, I, J intervale. Daca functia u : I → J, este derivabila ın a ∈ I, iar

243

244

functia f : J → IR este derivabila ın punctul u(a) ∈ J, atunci compusa lorf ◦ u este derivabila ın a si (f ◦ u)′(a) = f ′(u(a))u′(a).

Teorema 6.8. (Derivabilitatea functiei inverse-varianta locala).Fie I, J ⊂ IR, I, J intervale, functia f : I → J, strict monotona si surjectiva.Daca f este derivabila ın a ∈ I si f ′(a) 6= 0, atunci functia inversa f−1 estederivabila ın b = f(a) ∈ J si (f−1)′(b) = 1

f ′(a) .

Teorema 6.9. (Derivabilitatea functiei inverse-varianta globala).Daca functia f : I → J, I, J ⊂ IR, I, J intervale, este strict monotona,surjectiva, derivabila si f ′(x) 6= 0, pentru orice x ∈ I, atunci functia inversaf−1 este derivabila si (f−1)′(y) = 1

f ′(f−1(y)), ∀y ∈ J.

Definitia 6.10. Fie A ⊂ IR si f : A → IR. Spunem ca a ∈ A estepunct de minim (respectiv maxim) local pentru f daca exista o vecinatateV a punctului a astfel ıncat f(a) ≤ f(x) (respectiv f(a) ≥ f(x)), pentruorice x ∈ A ∩ V. Punctele de maxim sau de minim local se numesc punctede extrem local.

Daca f(a) ≤ f(x) (respectiv f(a) ≥ f(x)) pentru orice x ∈ A, se maispune ca a este punct de minim (respectiv maxim) absolut (sau global).

Teorema 6.11. (Fermat). Fie I ⊂ IR, I interval, a ∈ int I. Dacaf : I → IR este derivabila ın a, iar a este punct de extrem local pentru f,atunci f ′(a) = 0.

Teorema 6.12. (Rolle.) Daca a, b ∈ IR, a < b, f : [a, b] → IR este ofunctie continua pe [a, b], derivabila pe (a, b) si f(a) = f(b), atunci existac ∈ (a, b) astfel ıncat f ′(c) = 0.

Teorema 6.13. (Lagrange.) Daca a, b ∈ IR, a < b, f : [a, b] → IR esteo functie continua pe [a, b], derivabila pe (a, b), atunci exista c ∈ (a, b) astfelıncat f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Propozitia 6.14. Fie I ⊂ IR, I interval, f : I → IR, derivabila.(i) Daca f ′(x) = 0 pentru orice x ∈ I, atunci f este constanta pe I.

(ii) Daca f ′(x) > 0 (respectiv f ′(x) ≥ 0) pentru orice x ∈ I, atunci f estestrict crescatoare (respectiv crescatoare) pe I.

(iii) Daca f ′(x) < 0 (respectiv f ′(x) ≤ 0), pentru orice x ∈ I, atunci f estestrict descrescatoare (respectiv descrescatoare) pe I.

245

Propozitia 6.15. Fie I ⊂ IR, I interval, a ∈ I, f : I → IR, f continua.Daca f este derivabila pe I\{a} si exista lim

x→af ′(x) (finita sau infinita), atunci

exista derivata functiei f ın a, f ′(a) si f ′(a) = limx→a

f ′(x).

Propozitia 6.16. Daca f : I → IR, I ⊂ IR, I interval, este o functiederivabila cu derivata marginita, atunci f este lipschitziana.

Teorema 6.17. (Cauchy.) Daca a, b ∈ IR, a < b, f, g : [a, b] → IRsunt doua functii continue pe [a, b], derivabile pe (a, b) si g′(x) 6= 0, pentruorice x ∈ (a, b), atunci g(b) − g(a) 6= 0 si exista c ∈ (a, b) astfel ıncatf(b)−f(a)g(b)−g(a) = f ′(c)

g′(c) .

Teorema 6.18. (Darboux.) Fie I ⊂ IR, I interval. Daca f : I → IReste o functie derivabila pe I, atunci derivata sa f

′are proprietatea lui

Darboux.

Teorema 6.19. (Cauchy.) Fie f, g : I → IR, I ⊂ IR, I interval, a ∈ I,care verifica conditiile:

(i) f(a) = g(a) = 0;(ii) f, g sunt derivabile ın a;(iii) g′(a) 6= 0.

Atunci exista V ∈ V(a) astfel ıncat g(x) 6= 0, pentru orice x ∈ V \{a}si lim

x→a

f(x)g(x) = f ′(a)

g′(a) .

Teorema 6.20. (Regula lui L′Hospital-cazul 00 .) Fie f, g : I\{a} →

IR, I ⊂ IR, I interval, a ∈ I ′, f, g derivabile, care verifica conditiile:(i) lim

x→af(x) = lim

x→ag(x) = 0;

(ii) g′(x) 6= 0,∀x ∈ I\{a};(iii) exista lim

x→a

f ′(x)g′(x) = L ∈ IR.

Atunci exista limx→a

f(x)g(x) = L.

Teorema 6.21. (Regula lui L′Hospital-cazul ∞∞ .) Fie f, g : I\{a} →IR, I ⊂ IR, I interval, a ∈ I ′, f, g derivabile care verifica conditiile:

(i) limx→a

|g(x)| = ∞;

(ii) g′(x) 6= 0, ∀x ∈ I\{a};(iii) exista lim f ′(x)

g′(x) = L ∈ IR.

246

Atunci exista limx→a

f(x)g(x) = L.

Teorema 6.22. (Sirul lui Rolle.) Fie I ⊂ IR, I interval si f : I → IR,o functie derivabila. Daca x1, x2 ∈ I, x1 < x2 sunt radacini consecutive alederivatei f ′ (adica f ′(x1) = 0, f ′(x2) = 0 si nu exista x ∈ (x1, x2) astfelıncat f ′(x) = 0) atunci:

(i) daca f(x1)f(x2) < 0, ecuatia f(x) = 0 are exact o radacina ın inter-valul (x1, x2);

(ii) daca f(x1)f(x2) > 0, ecuatia f(x) = 0 nu are nici o radacina ınintervalul (x1, x2);

(iii) daca f(x1) = 0 sau f(x2) = 0, atunci x1 sau x2 este o radacina multiplaa ecuatiei f(x) = 0 si ecuatia nu are nici o radacina ın intervalul(x1, x2).

Definitia 6.23. Spunem ca functia f : A → IR, A ⊂ IR, A multimedeschisa, este derivabila de doua ori ın punctul a ∈ A, daca f este derivabilaıntr-o vecinatate a punctului a si functia derivata f ′ este derivabila ın a. Inacest caz derivata lui f ′ ın a se numeste derivata a doua a lui f ın a si senoteaza f ′′(a).

Definitia 6.24. Spunem ca functia f : A → IR, A ⊂ IR, A multime des-chisa, este derivabila de n ori ın punctul a ∈ A (n ∈ IN, n ≥ 2), daca f (n−1)

este derivabila ıntr-o vecinatate a punctului a si functia derivata f (n−1) estederivabila ın a. In acest caz derivata lui f

(n−1)ın a se numeste derivata de

ordin n a lui f ın a si se noteaza f (n)(a).

Teorema 6.25. (Formula lui Taylor cu restul lui Peano.) FieI ⊂ IR, I interval deschis si n ∈ IN∗. Daca f : I → IR este o functie de nori derivabila ın a ∈ I, atunci exista o functie α : I → IR cu proprietatealimx→a

α(x) = α(a) = 0, astfel ıncat

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)2!

(x− a)2 + .....+

+f (n)(a)

n!(x− a)n + α(x)

(x− a)n

n!,

pentru orice x ∈ I.

Vom nota: Tn(x) = f(a)+ f ′(a)1! (x−a)+ f ′′(a)

2! (x−a)2+. . .+ f (n)(a)n! (x−a)n,

Rn(x) = α(x) · (x−a)n

n! , n ∈ IN∗ si le vom numi polinomul Taylor, respectivrestul lui Peano, de ordin n ın punctul a.

247

Teorema 6.26. (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange.) FieI ⊂ IR, I interval deschis, a ∈ I si n ∈ IN. Daca f : I → IR este o functie de(n + 1) ori derivabila pe I, atunci pentru orice x ∈ I, x 6= a exista c ∈ (x, a)sau c ∈ (a, x) astfel ıncat

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)2!

(x− a)2 + .....+

+f (n)(a)

n!(x− a)n +

f (n+1)(c)(n + 1)!

(x− a)n+1.

Particularizand a = 0, se obtine formula lui MacLaurin. Vom nota Rn(x) =f (n+1)(c)(n+1)! · (x− a)n, n ∈ IN si-l vom numi restul lui Lagrange de ordinul n ın

punctul a.

Teorema 6.27. (Puncte de extrem.) Fie I ⊂ IR, interval deschisf : I → IR, o functie de n ori derivabila ın a ∈ I, (n ∈ IN, n ≥ 2), astfelıncat f ′(a) = 0, f ′′(a) = 0, ..., f (n−1)(a) = 0, f (n)(a) 6= 0.

(i) Daca n este par, atunci a este punct de extrem, mai exact: punct demaxim local daca f (n)(a) < 0 si punct de minim local daca f (n)(a) > 0.

(ii) Daca n este impar, atunci a nu este punct de extrem.

Definitia 6.28. a) Fie f : I → IR, I interval deschis, I ⊂ IR. Spunemca f este diferentiabila ın a ∈ I daca exista c ∈ IR si α : I → IR continua ına, lim

x→aα(x) = 0, astfel ıncat

f(x) = f(a) + c(x− a) + α(x)(x− a),

pentru orice x ∈ I.b) Spunem ca f este diferentiabila pe I daca f este diferentiabila ın orice

punct a ∈ I.

Teorema 6.29. Daca I ⊂ IR, I interval deschis, atunci f : I → IR estediferentiabila ın a ∈ I daca si numai daca f este derivabila ın a. In acestcaz, c = f ′(a) (c ∈ IR fiind constanta din definitia 6.28).

Definitia 6.30. Fie I ⊂ IR, I interval deschis, f : I → IR derivabila ına ∈ IR. Functia notata df(a), df(a) : IR → IR, df(a)(h) = f ′(a)h, ∀h ∈ IR,se numeste diferentiala functiei f ın punctul a.

Definitia 6.31. Fie f : A → IR, A ⊂ IR, A multime deschisa, n ∈ IN∗.Spunem ca f este de clasa Cn pe A, daca f este de n ori derivabila pe A,

248

iar derivata de ordin n, f (n), este continua pe A. Vom nota Cn(A) = {f |f :A → IR, f este de clasa Cn pe A}, n ∈ IN∗ si, prin conventie, C0(A) ={f | f : A → IR, f continua pe A}.

Definitia 6.32. Spunem ca f : A → IR, A ⊂ IR, A multime deschisa,este de clasa C∞ pe A daca f este derivabila de orice ordin pe A. Vom notaC∞(A) = {f |f : A → IR, f este de clasa C∞ pe A}.

249

Probleme

6.1 Studiati continuitatea si derivabilitatea functiilor:

a) f(x) =

{x3 − x2, x ∈ Q0, x ∈ IR\Q . Generalizare.

b) f(x) =

{xn cos 1

x , x 6= 00, x = 0.

, n ∈ IN.

6.2 Fie f : D → IR, D ⊂ IR, D multime deschisa, f derivabila ın a ∈ D.Atunci pentru orice doua siruri (xn), (yn) ⊂ D cu proprietatea xn < a <

yn, pentru orice n ∈ IN, xn → a, yn → a, avem limn→∞

f(yn)−f(xn)yn−xn

= f ′(a).

6.3 Fie f : I → IR, I ⊂ IR, I interval deschis, a ∈ I.

a) Daca f este continua ın a si f(a) 6= 0, atunci |f | este derivabila ın adaca si numai daca f este derivabila ın a.

b) Daca f(a) = 0, atunci |f | este derivabila ın a daca si numai daca feste derivabila ın a si f

′(a) = 0.

c) Aplicatie pentru functia f : IR → IR, f(x) = |(x− α) sinx|, α ∈ IR.

6.4 a) Exista valori a, b, c ∈ IR, astfel ıncat functiei

f(x) =

{ax2 + bx + c, x ∈ [−1, 0]arcsin x

x , x ∈ (0, 1], sa-i putem aplica teorema lui Rolle?

Dar pentru functiile:

b) f(x) =

{arctg x

x , x ∈ [−1, 0)ax + b

√1− x2, x ∈ [0, 1]

;

c) f(x) =

{ax2 + b, x ∈ [−1, 0]x2 lnx, x ∈ (0, 1]

;

d) f(x) =

{| sinx|√α2 − x2, x ∈ [−α, α]− {0}a, x = 0

; a ∈ IR, α ∈ (0,∞)?

6.5 Daca ak, bk ∈ IR, k = 0, n(n ∈ IN∗), atunci ecuatian∑

k=1

(ak sin kx +

bk cos kx) = 0 are cel putin o solutie ın (0, 2π).

6.6 Daca 1 < a < b, f : [a, b] → IR este derivabila, f(a) = f(b) = 0,f(x) 6= 0, oricare ar fi x ∈ (a, b) atunci exista un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat|f ′(c)f(c) | < 1

a ln a .

250

6.7 Demonstrati inegalitatile:

a)b− a

cos2 a< tg a− tg b <

b− a

cos2 b, 0 < a < b < π

2 ;

b) eb2−ab

b2+1 <

√b2 + 1a2 + 1

< eab−a2

a2+1 , 1 < a < b;

c) a <1e

(bb

aa

) 1b−a

< b, 0 < a < b (Examen de Admitere la Facultatea

de Informatica– 1999).

6.8 a) Calculati limitele laterale ale functiei f(x) = x2(e1x − e

1x+1 ) ın

punctele x = 0, x = −1 si limx→∞f(x).

b) Calculati limn→∞(nα + 1)(2

1n − 2

1n+1 ), α ∈ IR.

c) Aplicand teorema Lagrange functiei f(x) = e1x pe intervalul [t, t +

1], t > 0 se obtine punctul c(t). Calculati limt→∞

1t2

c2(t).

6.9 a) Daca A = {α ∈ IR|arctg x < αx,∀x > 0}, demonstrati ca A 6= ∅ sideterminati inf A.

b) Demonstrati ca oricare ar fi a > 0, exista α > 0, astfel ıncatarctg x > αx,∀x ∈ (0, a).

c) Daca h : (0,∞) → IR, h(a) = sup{α > 0|arctg x > αx,∀x ∈ (0, a)},calculati lim

a→0a>0

h(a) si lima→∞h(a).

d) Studiati convergenta sirului an = (arctg ◦ ... ◦ arctg)(x) (compunerease face de n ori), n ∈ IN∗, x ∈ IR.

6.10 Determinati punctele de extrem ale urmatoarelor functii:a) f : [−10, 10] → IR, f(x) = |x2 − 3x + 2|;

b) f : [0, 2π] → IR, f(x) =

| sinx|, x ∈[0,

3π

2

]

4π2

(x− 2π), x ∈(

3π

2, 2π

] ;

c) f : [0, 4] → IR, f(x) =

10x

3(x2 + 1), 0 ≤ x ≤ 3

ln(x + e− 3), 3 < x ≤ 4;

(Prof. dr. Anca Precupanu, Examen Analiza matematica I.)

d) f : IR → IR, f(x) =

{x3, x ≤ 0

x3 + e−1

x2 , x > 0;

e) f : IR\{−2, 1} → IR, f(x) =mx + 1

x2 + x− 2,m ∈ IR;

251

f) f : IR → IR, f(x) = e−x(ax2 + bx + b), a, b ∈ IR;

g) f : IR → IR, f(x) =12(x2 + x + 2)−

(sin 2x

4− cosx

).

6.11 a) Determinati punctele de extrem ale functiei

f : IR → IR, f(x) =

{sin 1

x , x 6= 02, x = 0

.

b) Exista V ∈ V(0) astfel ıncat f sa fie monotona pe V ∩ (0,∞)?

6.12 Fie I ⊂ IR, I interval, f : I → IR, continua. Demonstrati ca dacaa, b ∈ I sunt puncte de maxim local, atunci exista c ∈ (a, b), punct de minimlocal. Proprietatea se pastreaza daca I nu este interval?

6.13 Fie f : [a, b] → IR, continua pe [a, b], derivabila ın punctele a, b astfelıncat f ′(a) < 0 si f ′(b) > 0. Sa se arate ca f admite un punct de minimlocal ın (a, b).

6.14 a) Determinati m ∈ IR, astfel ıncat ecuatia m arctg (x−1)+arctg xx−2 =

−π4 , x ∈ IR, sa aiba o infinitate de solutii.b) Rezolvati ecuatia 2arctgx + arcsin 2x

1+x2 = π, x ∈ IR.

6.15 a) Aratati ca daca α > 1, atunci xα ≥ 1 + α(x− 1), ∀x > 0 (inegali-tatea lui Bernoulli), iar daca α ∈ (0, 1), atunci xα ≤ 1 + α(x− 1), ∀x > 0.

b) Deduceti inegalitatea lui Young: ap

p + bq

q ≥ ab, oricare ar fi a, b ≥ 0 sip, q > 1, 1

p + 1q = 1.

6.16 Fie f(x) = 3x +ax − 4x − 6x, x ∈ IR. Determinati a > 0, astfel ıncatf(x) ≥ 0, oricare ar fi x ∈ IR.

6.17 Daca a > 0, atunci ax ≥ xa, pentru orice x > 0, daca si numai dacaa = e.

6.18 Fie a1, a2, ..., an > 0. Demonstrati ca ax1 + ax

2 + .... + axn ≥ n, pentru

orice x ∈ IR, daca si numai daca a1a2...an = 1.

6.19 Demonstrati inegalitatea (x + 1) cos πx+1 − x cos π

x > 1, pentru oricex ≥ 2.

6.20 a) Demonstrati : x − x2

2 ≤ ln(1 + x) ≤ x − x2

2 + x3

3 , pentru oricex ≥ 0.

252

b) Calculati limx→0x>0

x−ln(x+1)x2 prin doua metode.

c) Definim sirurile un+1 = ln(1 + un), n ≥ 0, u0 = 1 si vn = 1un

, n ≥ 0.Determinati: i) limun

n→∞; ii) lim(vn+1 − vn)

n→∞d) Demonstrati ca oricare ar fi x ∈ (0, 1] are loc inegalitatea:

12− 3

16x ≤ 1

ln(1 + x)− 1

x≤ 1

2

e) Deduceti ca 14 ≤ vn+1 − vn ≤ 1

2 , ∀n ∈ IN si 2n+2 ≤ un ≤ 4

n+4 ,∀n ∈ IN;f) Demonstrati ca oricare ar fi n ∈ IN, 1

4 + 15 + ... + 1

n+3 < ln(n + 3) sicalculati apoi lim

n→∞nun.

6.21 Fie functia f : IR → IR, f(x) = x3 + 3x2 + 3mx + 5, m ∈ IR.a) Determinati m astfel ıncat functia sa fie crescatoare pe: i) IR; ii) (0,∞).b) Daca m = 0 si I = (−∞,−2) demonstrati ca restrictia f : I → f(I)

este inversabila, iar f−1 este derivabila de doua ori pe f(I). Calculati(f−1)′(5), (f−1)′′(5).

c) Determinati m ∈ IR cu proprietatea ca exista I, J vecinatati ale lui 0,respectiv 5 astfel ıncat f : I → J sa fie bijectiva. In acest caz calculati(f−1)′(5), (f−1)′′(5).

6.22 a) Demonstrati ca functia f : IR → IR, f(x) = x3 + x + 1 + 4πarctgx,

este inversabila, cu inversa derivabila de doua ori pe IR.b) Calculati: (f−1)′(4) si (f−1)′′(4).c) Calculati lim

x→∞x−[f−1(x)]3√

x−f−1(x).

6.23 Fie f : [a, b] → IR, o functie derivabila, avand derivata f ′ strictcrescatoare.

a) Demonstrati ca ∀x ∈ (a, b], exista si este unic determinat un numarcx ∈ (a, x) astfel ıncat f(x)− f(a) = (x− a)f ′(cx).

b) Definim functia g : [a, b] → IR, g(t) = f(t)−f(a)t−a , pentru orice t ∈ (a, b] si

g(a) = f ′(a). Sa se arate ca g este continua pe [a, b] si strict crescatoarepe (a, b].

c) Definim functia ϕ : [a, b] → IR, ϕ(a) = a, ϕ(x) = cx, unde cx estenumarul definit la punctul a). Sa se demonstreze ca ϕ este strictcrescatoare pe [a, b], iar multimea valorilor functiei este [a, ϕ(b)].

d) Daca ın plus, presupunem ca f este de doua ori derivabila pe [a, b], f ′′

continua si f ′′(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b], atunci ϕ este derivabila cu derivatacontinua.

253

6.24 Determinati a ∈ (0,∞) astfel ıncat asimptotele functieif : IR\{− ln a} → IR, f(x) = 3x− 3 ln |aex − 1|, sa fie concurente.

6.25 Fie f : [a, b] → IR, derivabila astfel ıncat f(a) ≤ f(x) ≤ f(b), pentruorice x ∈ (a, b). Atunci exista o functie f : IR → [f(a), f(b)] derivabila pe IRsi f(x) = f(x), pentru orice x ∈ [a, b] daca si numai daca f ′(a) = f ′(b) = 0.

6.26 Daca f : (−1, 1) → IR, f derivabila ın 0 si g : (−1, 1) → IR, g(x) =f(| sinx|), atunci g este derivabila ın 0 daca si numai daca f ′(0) = 0.

6.27 Determinati functia polinomiala P astfel ıncat functia

f : IR → IR, f(x) =

{e

1x2−1 , |x| < 1

P (x), |x| ≥ 1sa fie de clasa C∞ pe IR.

(Examen Titularizare Profesori-2000).

6.28 Fie functia f : IR \ {α1, α2, ..., αn} → IR, f(x) = a1x−α1

+ a2x−α2

+.... +an

x−αn− b, α1, α2, ..., αn, b ∈ IR, b 6= 0, a1, a2, .., an > 0, αi 6= αj , ∀i, j ∈ 1, n,

i 6= j. Demonstrati ca ecuatia f(x) = 0 are toate solutiile reale.

6.29 Fie I ⊂ IR, I interval deschis, 0 ∈ I, f : I → IR, f continua, f(0) = 0,

f derivabila la dreapta ın x = 0. Atunci limn→∞

n∑k=1

f( kn2 ) = 1

2f′d(0).

6.30 Fie f : IR → IR o functie derivabila. Presupunem ca f ′(x) > f(x),pentru orice x ∈ IR si f(0) = 0. Aratati ca f(x) > 0, pentru orice x > 0.

6.31 Sa se determine functiile f : IR → IR, derivabila si g : IR → IR,marginita, care verifica relatia f (x + y) − f (x− y) = y2g (xy) + y, oricarear fi x, y ∈ IR.

6.32 Fie f : IR → IR o functie continua, derivabila pe IR∗, cu proprietatiletf

′(t) > 0, pentru orice t ∈ IR∗ si lim

t→∞f(t) = limt→−∞f(t) = +∞.

a) Aratati ca pentru orice x ∈ IR∗, exista y ∈ IR∗, y 6= x, astfel ıncatf(x) = f(y). Notam elementul y prin ϕ(x) si consideram ϕ(0) = 0.

b) Aratati ca ϕ : IR → IR este bijectiva si ϕ−1 = ϕ.

c) Aratati ca ϕ este continua pe IR.

d) Aratati ca ϕ este derivabila pe IR∗.(Examen de Licenta-iunie, 1996).

6.33 Aplicand reguli de tip L′Hospital, calculati:

254

a) limx→0x>0

xα ln x, α ∈ IR;

b) limx→0x>0

xα(− lnx)β; α, β > 0;

c) limx→0x>0

(− ln x)β

xα;α, β > 0;

d) limx→1

xx − x

ln x− x + 1;

e) limx→∞

P (x)eax

, P polinom, a ∈ IR;

f) limx→0x>0

(1

sinx− xα), α ∈ IR;

g) limx→0x>0

sinx lnx;

h) limx→0x>0

xtgx;

i) limx→0

(cosx)1

x2 ;

j) limx→0

(x

arctgx)

1x2 ;

k) limx→0

sin 3x− sinx

x− sinx;

l) limx→0

e3x − 3ex + 2x2(x + 1)

;

m) limx→0

1x2

ln1 + x

1− x;

n) limx→0

3√

1 + x4 − 1x4

;

o) limx→e

xe − ex

(x− e)2;

p) limx→0

f(x)g(x)

, f(x) =

{e−

1x2 sin2 x, x < 0

x3, x ≥ 0si g(x) = ln cosx;

r) limx→π

4

(tgx)tg2x;

s) limx→0

xn − sinn x

xn+2;

t) limx→∞( n

√xn + axn−1 − n

√xn − axn−1).

6.34 Demonstrati ca pentru orice α ≥ 0, exista m ≥ 0 astfel ıncat x4e−x <1

xα , pentru orice x ≥ m.

255

6.35 Calculati limx→0

ex−esin x

x−sin x :

a) aplicand regula lui L′Hospital de 3 ori;b) folosind limite fundamentale.Acelasi exercitiu pentru lim

x→0

tgx−arctgxsin x−x cos x .

6.36 Aratati ca reciproca teoremei lui L′Hospital nu este adevarata pentrufunctiile:

a) f(x) =

{x2 sin 1

x , x 6= 00, x = 0

si g(x) = ln(1 + x) ın x = 0;

b) f(x) =

{x2 cos 1

x , x 6= 00, x = 0

si g(x) = sinx ın x = 0.

6.37 Sa se arate ca nu se poate aplica regula lui L′Hospital (cazul ∞∞)

functiilor:a) f(x) = e−2x(cosx + 2 sinx), g(x) = e−x(cosx + sin x);b) f(x) = e−2x(cosx + 2 sinx) + e−x2

sin2 x, g(x) = e−x2;

c) f(x) = x− sinx, g(x) = x + sin x.

6.38 Se poate aplica teorema lui Cauchy functiilor de mai jos ın punctulx = 0 ?

a) f : IR → IR, f(x) =

{x3, x ∈ Q0, x ∈ IR\Q si g : [−1, 1] → IR, g(x) =

arcsinx;

b) f , g : IR → IR, f(x) =

{x2 sin 1

x , x 6= 00, x = 0

si g(x) = sin x;

c) f : IR → IR, f(x) =

{sin2 x, x < 0x2, x ≥ 0

si g : (−π2 , π

2 ) → IR, g(x) =

ln cosx.

6.39 Calculati urmatoarele limite:a) lim

n→∞tgn(π4 + 1

n);

b) limn→∞( 2

πarctgn)n;

c) limn→∞[cos(sin 1

n)]n2.

d) limn→∞

[(n + 1) n+1

√n + 1− n n

√n].

6.40 Scrieti formula lui Taylor de ordinul n(n ∈ IN∗) pentru functiile:

256

a) f(x) = (1 + x)α, f : (−1,∞) → IR, α ∈ IR, ın x = 0. Particularizatiın cazul α = 1

2 .

b) f(x) =√

2 + x ın punctul x = −1;c) f(x) = 1

x , ın x = 1;d) f(x) = arcsinx, f : [−1, 1] → IR ın x = 0;e) f(x) = sinx ın x = π

2 .

6.41 A) Fie f : IR → IR, f(x) = ex.

a) Scrieti formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin n pentru functiaf , ın punctele x = 0, x = 1.

b) Determinati n ∈ IN∗, astfel ıncat polinomul Taylor Tn asociat functieif ın punctul x = 0 sa aproximeze f ın intervalul [−1, 1] cu o preciziede 3 zecimale exacte.

c) Daca n = 4 sa se determine p ∈ IR+, astfel ıncat T4 sa aproximeze fın intervalul [−p, p] cu o precizie de 0, 001.

d) Calculati 3√

e cu o precizie de 0, 001.

B) Aceeasi problema pentru functiile f : (−1,∞) → IR, f(x) = ln(1+x);g : (−1,∞) → IR, g(x) =

√1 + x, h : IR → IR, h(x) = sinx.

6.42 Sa se calculeze limitele de la exercitiul 6.33, punctele k, l, m, n, t,folosind formula lui Taylor.

6.43 a) Sa se determine cel mai mare n ∈ IN∗, astfel ıncat functiei f(x) =|x| ln(1 + |x|), f : IR → IR sa i se poata aplica formula lui Taylor cu restLagrange (Peano) de ordin n ın punctul x = 0. Scrieti formula ın acest caz.

(Prof. dr. Anca Precupanu, Examen Analiza matematica I).Aceeasi problema pentru functiile:

b) g : IR → IR, g(x) = ln(2− sinx) + |x|3(x + 1);(Examen Analiza matematica I).

c) h : IR → IR, h(x) = x3e1+2|x|.

6.44 Exista valori a, b, c ∈ IR, astfel ıncat functiei

f(x) =

{e−x2+x, x < 1ax2 + bx + c, x ≥ 1

sa-i putem aplica formula lui Taylor cu restul

lui Peano (respectiv Lagrange) de ordin 2?

6.45 Exista ai∈IR, i=0, 1, 2, 3 astfel ıncat x3− 2x2+5x+4=3∑

i=0ai(x− 1)i ?

257

6.46 Determinati α ∈ IR astfel ıncat seria∞∑

n=1( 1

n − sin 1n)α sa fie conver-

genta.

6.47 Sa se determine limita sirului an = sin 1n2 +sin 2

n2 +...+sin nn2 , n ∈ IN∗.

6.48 Studiati uniforma continuitate a functiei f : (0,∞) → IR, f(x) = xα,α ∈ IR.

6.49 Fie f : IR → IR, de clasa C∞ pe IR, astfel ıncat f( 1n) = 0 si

|f (n)(x)| ≤ 2, pentru orice x ∈ IR si n ∈ IN∗. Atunci f(x) = 0, pentruorice x ∈ IR.

6.50 Fie a ∈ IR, f : (a,∞) → IR, o functie de clasa C3, astfel ıncat existalim

x→∞f (x) = 1 si limx→∞f

′′′(x) = 0. Demonstrati ca lim

x→∞f′(x) = lim

x→∞f′′(x) =

0.

6.51 Se considera s, t ∈ IN∗, a ∈ (0,∞) , a 6= 1, functia f : IR → IR,f (x) = ax si numerele reale 0 < a1 ≤ a2 ≤ .. ≤ as, 0 < b1 ≤ b2 ≤ .. ≤ bt.Notam Ak = k

√a1 + k

√a2 + .. + k

√as, Bk = k

√b1 + k

√b2 + .. + k

√bt, oricare ar

fi k ∈ IN, k ≥ 2. Se stie ca Ak = Bk, oricare ar fi k ∈ IN, k ≥ 2.a) Sa se calculeze lim

n→∞ An.

b) Sa se arate ca s = t.c) Sa se arate ca f (n) (x) = ax (ln a)n , oricare ar fi n ∈ IN∗, x ∈ IR.

d) Sa se calculeze limx→0

f(x)−f(0)x .

e) Sa se arate ca limx→0

f(x)−(

f(0)+f ′(0)

1!x+

f ′′(0)21

x2+...+f(n)(0)

n!xn

)

xn+1 = f (n+1)(0)(n+1)! ,

oricare ar fi n ∈ IN∗.f) Sa se arate ca (ln a1)

n + (ln a2)n + ... + (ln as)

n = (ln b1)n + (ln b2)

n +... + (ln bs)

n , oricare ar fi n ∈ IN.g) Sa se arate ca ak = bk, oricare ar fi k ∈ {1, 2, .., s} .(Examen Titularizare-Profesori I, 2004).

258

Solutii

6.1 a) i) Studiul continuitatii se face la fel ca ın exercitiul 5.10-b).ii) Vom studia derivabilitatea doar ın punctele ın care f este continua,

adica ın punctele x0 = 0 sau x0 = 1. Functia f este derivabila in x = x0,daca functia g : IR\{x0} → IR, g(x) = f(x)−f(x0)

x−x0admite limita finita ın

punctele x = x0 ∈ {0, 1}. Fie (xn) ⊂ Q, xn → x0;

l1 = limn→∞g(xn) = lim

n→∞x3

n − x2n − x3

0 − x20

xn − x0= 3x2

0 − 2x0.

Daca (xn) ⊂ IR − Q, xn → x0, l2 = limn→∞g(xn) = lim

n→∞0

xn−x0= 0. Conditia

l1 = l2 este verificata daca si numai daca x0 = 0. Fie acum (xn) ⊂ IR, xn →x0, astfel ıncat (xn) contine o infinitate de termeni din Q si o infinitatede termeni din IR\Q. La fel ca ın exercitiul 5.10-b) demonstram ca existalim

n→∞g(xn) = 0. In concluzie, f este derivabila ın punctul x0 = 0.

b) In mod evident, functia f este continua si derivabila pe multimeaIR \ {0} , fiind aici o compunere de functii elementare. Daca n = 0, functiaf nu are limita ın x = 0, prin urmare nu este continua si nici derivabilaın acest punct. Daca n = 1, lim

x→0x cos 1

x = 0 (conform teoremei 5.11) si f

este continua ın x = 0. Observand ca limx→0

x cos 1x−0

x−0 nu exista, concluzionam

ca f nu este derivabila ın x = 0. In mod analog, se demonstreaza ca, dacan ≥ 2, atunci f este derivabila ın x = 0. In cazul n = 2, va propunem sademonstrati ca functia derivata, f ′, nu este continua ın x = 0.

6.2 Avem:

∣∣∣∣f(yn)− f(xn)

yn − xn− f ′(a)

∣∣∣∣ =

=∣∣∣∣

yn − a

yn − xn(f(yn)− f(a)

yn − a− f ′(a))− xn − a

yn − xn(f(xn)− f(a)

xn − a− f ′(a))

∣∣∣∣ ≤

≤ yn − a

yn − xn|f(yn)− f(a)

yn − a− f ′(a)|+ a− xn

yn − xn|f(xn)− f(a)

xn − a− f ′(a)| ≤

≤ |f(yn)− f(a)yn − a

− f ′(a)|+ |f(xn)− f(a)xn − a

− f ′(a)| → 0 (n →∞),

prin urmare concluzia are loc. Studiati daca are loc proprietatea reciproca.

259

6.3 a) Daca, de exemplu, f(a) > 0 atunci exista V ∈ V(a), astfel ıncatpentru orice x ∈ V sa avem f(x) > 0 (teorema 5.12). Presupunand ca feste derivabila ın x = a putem scrie:

limx→a

|f(x)| − |f(a)|x− a

= limx→ax∈V

|f(x)| − |f(a)|x− a

= limx→ax∈V

f(x)− f(a)x− a

= f ′(a)

si concluzionam ca |f | este derivabila ın x = a. Implicatia inversa rezultaanalog.b) i) Daca f este derivabila in x = a si f ′(a) = 0 vom avea:

limx→ax>a

|f(x)| − |f(a)|x− a

= limx→ax>a

| f(x)x− a

| = | limx→ax>a

f(x)x− a

| = |f ′(a)| = 0

si astfel, |f | este derivabila la dreapta ın x = a, cu (|f |)′d(a) = |f ′(a)| =0. Analog lim

x→ax<a

|f(x)|−|f(a)|x−a = − lim

x→ax<a

|f(x)x−a | = −|f ′(a)| = 0 si astfel, |f | este

derivabila si la stanga ın x = a, cu (|f |)′s(a) = −|f ′(a)| = 0. Prin urmare |f |este derivabila ın x = a si (|f |)′(a) = 0.ii) Sa presupunem acum ca |f | este derivabila ın x = a. Relatiile (|f |)′(a) =limx→ax>a

|f(x)|x−a ≥ 0 si (|f |)′(a) = lim

x→ax<a

|f(x)|x−a ≤ 0 implica (|f |)′(a) = 0. O alta

varianta pentru a demonstra ca (|f |)′(a) = 0 este urmatoarea: |f |(x) ≥|f |(a) = 0, pentru orice x ∈ I si concluzia rezulta cu teorema lui Fermat.Avem:

limx→ax>a

|f(x)|x−a = 0 ⇔ lim

x→ax>a

|f(x)x−a | = 0 ⇔

⇔ limx→ax>a

f(x)x− a

= 0 ⇔ limx→ax>a

f(x)− f(a)x− a

= 0,

prin urmare f este derivabila la dreapta ın x = a si f ′d(a) = 0. Analog sedemonstreaza ca exista f ′s(a) = 0.

6.4 a) Pe fiecare din intervalele [−1, 0) si (0, 1], f este continua, fiind ofunctie elementara. Pentru ca f sa fie continua ın x = 0 trebuie ca c = 1;conditia f(−1) = f(1) antreneaza ca a−b = π

2 −1. Functia f este derivabila

pe [−1, 1] \ {0} si f ′(x) =

{2ax + b, x ∈ [−1, 0)x−√1−x2 arcsin x

x2√

1−x2, x ∈ (0, 1]

;

260

Studiem acum derivabilitatea functiei ın punctul x = 0. Avem:

f′s (0) = lim

x→0x<0

ax2 + bx + c− c

x− 0= b;

f′d (0) = lim

x→0x>0

arcsinx− x

x2= lim

x→0x>0

1√1−x2

− 1

2x=

limx→0x>0

1−√1− x2

2x= lim

x→0x>0

x2

2x(1 +

√1− x2

) = 0,

prin urmare f este derivabila ın x = 0 daca si numai daca b = 0.In concluzie, daca a = π

2 − 1, b = 0, c = 1, vom putea aplica teorema luiRolle. Determinati ξ ∈ [−1, 1] astfel ıncat f ′(ξ) = 0.

d) Studiem continuitatea lui f ın punctul x = 0 :limx→0

f(x) = limx→0

| sinx|√α2 − x2 = 0; conditia f(0) = limx→0

f(x) implica a = 0.

Pentru a studia derivabilitatea functiei f avem doua variante:Varianta I.Scrierea functiei f ın forma f (x) =

∣∣∣sinx√

α2 − x2∣∣∣ , x ∈ [−1, 1] , ne su-

gereaza sa aplicam exercitiul 6.3. Functia g (x) = sinx√

α2 − x2, x ∈ [−α, α]este derivabila pe intervalul (−α, α) , g′ (x) = cosx

√α2 − x2 − sinx x√

α2−x2.

Functia f este derivabila ın x = 0, daca exista g′ (0) = 0, relatie echivalentacu α = 0, fals!

Varianta a II-a. Explicitam f si obtinem:

f(x) =

{− sinx

√α2 − x2, x ∈ [−α, 0]

sinx√

α2 − x2, x ∈ (0, α]..

Functia f este derivabila la stanga, ın x = 0, deoarece exista limita

limx→0x<0

f(x)− f(0)x

= limx→0

− sinx√

α2 − x2

x= −α ∈ IR(f ′s(0) = −α);

analog f este derivabila la dreapta ın x = 0 si f ′d(0) = α. Asadar f va fiderivabila ın x = 0 daca si numai daca α = 0, fals! Rezulta ca nu putemaplica teorema lui Rolle functiei f !

6.5 Consideram functiile f : [0, 2π] → IR, f(x) =n∑

k=1

(ak sin kx+bk cos kx)

si F : [0, 2π] → IR, F (x) =n∑

k=1

(−akk cos kx + bk

k sin kx) (F este de fapt o

261

primitiva a functiei f, adica F ′(x) = f(x), ∀x ∈ IR). Functiei F ıi aplicamteorema lui Rolle: F este derivabila pe [0, 2π], deci si continua pe [0, 2π],

F (0) = F (2π) = −n∑

k=1

1kak; rezulta ca exista c ∈ (0, 2π) astfel ıncat F ′(c) =

0 sau echivalent f(c) = 0, ceea ce trebuia demonstrat.

6.6 Aplicand functiei g : (1,∞) → IR, g(x) = f(x) ln x, teorema lui Rollepe intervalul [a, b] va exista c ∈ (a, b) astfel ıncat g′(c) = 0. Aceasta relatieantreneaza |f ′(c)f(c) | = 1

c ln c < 1a ln a .

6.7 a) Aplicand functiei tangenta teorema lui Lagrange pe intervalul [a, b]rezulta ca exista ξ ∈ (a, b), astfel ıncat tg b − tg a = 1

cos2 ξ(b − a). Functia

cos este descrescatoare pe (a, b) ⊂ (0, π2 ) si cum a < ξ < b urmeaza ca

1cos2 a

< 1cos2 ξ

< 1cos2 b

. Inmultind cu (b− a) concluzia este imediata.b) Aplicand functia logaritm relatiei date, obtinem :

2b

b2 + 1(b− a) < ln(b2 + 1)− ln(a2 + 1) <

2a

a2 + 1(b− a).

Vom aplica teorema lui Lagrange functiei f(x) = ln(x2 + 1) pe intervalul[a, b] si va rezulta existenta unui punct ξ ∈ (a, b) cu proprietatea:

ln(b2 + 1)− ln(a2 + 1) =2ξ

ξ2 + 1(b− a).

Dar functia g : (1,∞) → IR, g(ξ) = 2ξξ2+1

este strict descrescatoare si cuma, b ∈ (1,∞), urmeaza concluzia.

6.8 a) i) Avem:

limx→0x>0

f(x) = limx→0x>0

x2e1x

0·∞= limy→∞

ey

y2= ∞;

limx→0x<0

f(x) = limx→0x<0

x2e1x = 0 · e−∞ = 0.

ii) Limitele laterale ın x = −1 se calculeaza asemanator.iii)

limx→∞x2(e

1x − e

1x+1 ) = lim

x→∞x2e1

x+1 (e1x− 1

x+1 − 1) =

= limx→∞[(e

1x(x+1) − 1)x(x + 1)] lim

x→∞x2

x(x + 1)lim

x→∞e1

x+1 = ln e = 1.

262

b)

limn→∞(nα + 1)(2

1n − 2

1n+1 ) = lim

n→∞nα(21n − 2

1n+1 )

si limita se calculeaza analog cu cea de la punctul a) –iii).Limita va fi 0 pentru α < 2, ln 2 pentru α = 2 si ∞ pentru α > 2.

c) Avem:

e1t − e

1t+1 =

1c2(t)

e1

c(t) , c(t) ∈ (t, t + 1),

decic2(t) = e

1c(t) (e

1t − e

1t+1 )−1,

de unde,

1t2

e1

t+1 (e1t − e

1t+1 )−1 <

1t2

c2(t) <1t2

e1t (e

1t − e

1t+1 )−1.

Darlimt→∞

1t2

e1

t+1 (e1t − e

1t+1 )−1 = lim

t→∞1t2

e1t (e

1t − e

1t+1 )−1 = 1

(conform punctului a)), prin urmare limt→∞

1t2

c2(t) = 1.

6.9 a) Cu siguranta ca problema va fi pe jumatate rezolvata, daca trasamgraficul functiei arctg si dreapta y = αx, α ∈ IR. Definim f : IR→IR,f (x) =arctgx − αx si va trebui sa determinam α ∈ IR, astfel ıncat pentruorice x > 0, f (x) < 0. Aceasta inegalitate este echivalenta cu arctgx

x < α,

oricare ar fi x > 0 si gasim o conditie necesara, 1 ≤ α. In aceasta situatie,f′(x) = 1

x2+1− α < 0, oricare ar fi x > 0 si constatam ca f este strict

descrescatoare pe (0,∞) , deci pentru orice x > 0, f (x) < 0. Concluzionamca A = [1,∞) si inf A = 1.

b) Vom demonstra ca exista α = arctg aa astfel ıncat arctg x > arctg a

a x,pentru orice x ∈ (0, a) si este clar ca monotonia functiei g : (0, a] → IR,g(x) = arctg x

x ne va oferi raspunsul. Constatam ca g este descrescatoare, prinurmare pentru orice x ∈ (0, a), arctg x

x > arctg aa ceea ce ıncheie demonstratia.

c) Vom determina multimea B = {α > 0|arctg x > αx,∀x ∈ (0, a)}.Daca 0 < α ≤ arctg a

a , atunci αx ≤ arctg aa x < arctg x, pentru orice x ∈ (0, a),

deci (0, arctg aa ] ⊂ B. In cazul ın care α > arctg a

a , vom avea f(a) = arctg a−αa < 0 si cu teorema 5.12, va rezulta existenta unui interval (a′, a′′), 0 <a′ < a < a′′, astfel ıncat pentru orice x ∈ (a′, a′′), f(x) < 0. Concluzionamca α /∈ B si B = (0, arctg a

a ]. In final lima→0a>0

h(a) = 1, iar lima→∞h(a) = 0.

263

d) Adaugam sirului (an) elementul a0 = x, ceea ce nu schimba naturalui. Daca x > 0, vom avea a0 > a1 si, prin inductie, se demonstreazaca an > an+1,∀n ∈ IN. Sirul fiind marginit inferior, el va fi convergent;trecand la limita ın relatia de recurenta (an+1 = arctgan, n ∈ IN∗) obtinemlim

n→∞an = 0. Cazul x < 0 se rezolva analog.

6.10 a) Studiul functiei explicitate

f(x) =

{x2 − 3x + 2, x ∈ [−10, 1] ∪ [2, 10]−(x2 − 3x + 2), x ∈ (1, 2)

ne arata ca f este derivabila pe [−10, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 10] si

f ′(x) =

{2x− 3, x ∈ [10, 1) ∪ (2, 10]−2x + 3, x ∈ (1, 2).

Punctele de extrem se determina astfel: i) cele situate ın interiorul inter-valelor de derivabilitate ale functiei (ın cazul nostru (−10, 1), (1, 2), (2, 10))se gasesc printre punctele critice (conform teoremei lui Fermat); ele se deter-mina apoi, fie folosind monotonia functiei, fie cu derivata a doua a functiei.ii) ın plus, mai pot fi puncte de extrem extremitatile intervalelor de deri-vabilitate ale functiei f (ın cazul nostru x = ±10, x = 1, x = 2).

i) Pentru a determina punctele critice vom rezolva, mai ıntai, ecuatiaf ′(x) = 0. Daca x ∈ [−10, 1) ∪ (2, 10], obtinem 2x − 3 = 0 si solutia nuconvine; daca x ∈ (1, 2), obtinem −2x + 3 = 0 si x = 3

2 este punct critic.Functia este crescatoare la stanga si descrescatoare la dreapta punctuluix = 3

2 (faceti tabelul de variatie), prin urmare el este punct de maxim.ii) Sa studiem daca x = −10 este punct de extrem. Functia f este

descrescatoare la dreapta punctului x = −10, deci exista V ∈ V(−10) astfelıncat pentru orice x ∈ V ∩ [−10, 10], f(x) ≤ f(−10), adica x = −10 estepunct de maxim. Analog x = 10 este punct de maxim. Studiem daca x = 1este punct de extrem. Pentru x < 1, f ′(x) < 0 si astfel, f este descrescatoarepe [−10, 1); pentru x ∈ (1, 3

2), f ′(x) > 0 si f este crescatoare pe (1, 32).

In concluzie x = 1 este punct de minim. Demonstrati ca si x = 2 estepunct de minim.

b) Se expliciteaza functia si se studiaza derivabilitatea lui f ın punctelex = π, x = 3π

2 ; rezolvarea este apoi analoaga cu cea de la punctul a). In final,vom obtine ca x = 0, x = π sunt puncte de minim, iar x = π

2 , x = 3π2 , x = 2π

sunt puncte de maxim (x = π2 este punct critic; x = π, x = 3π

2 sunt puncteın care functia nu este derivabila).

c) Avem f ′(x) = 10(1−x2)3(x2+1)2

, pentru x ∈ [0, 3) si f ′(x) = 1x+e−3 , pentru

x ∈ (3, 4]. Studiem derivabilitatea ın punctul x = 3 : observam ca functia

264

g : IR → IR, g(x) = 10x3(x2+1)

admite derivata ın x = 3, deci f ′s(3) = g′s(3) =

g′(3) = 10(1−32)3(32+1)2

= − 415 . Analog f ′d(3) = 1

e si concluzionam ca f nu estederivabila ın x = 3. Rezolvand ecuatia f ′(x) = 0 ın cazurile x ∈ [0, 3)si x ∈ (3, 4] gasim punctul critic x = 1, iar studiul monotoniei functiei nearata ca f este descrescatoare pe intervalul [1, 3] si crescatoare pe intervalele[0, 1) si (3, 4]. Prin urmare x = 0 este punct de minim, x = 4 este punct demaxim (desi ele nu sunt puncte critice!), x = 1 este punct de maxim, el fiindo radacina a derivatei, iar punctul x = 3 este si el punct de extrem, desi elnu este punct de derivabilitate al functiei.

d) Avem f ′(x) =

{3x2, x < 0

3x2 + 2x3 e−

1x2 , x > 0

si studiem derivabilitatea ın

x = 0, folosind o consecinta a teoremei lui Lagrange (propozitia 6.15).Functia f este continua; lim

x→0x<0

f ′(x) = 0, limx→0x>0

f ′(x) = 0+ limu→∞

u3

eu2 = 0 (u = 1x).

Astfel va exista limx→0

f ′(x) = 0 si rezulta ca f este derivabila ın x = 0,

f ′(0) = 0. Singurul punct critic este x = 0, dar f este crescatoare si lastanga si la dreapta acestuia, prin urmare x = 0 nu este punct de extrem.

f) Calculam f ′(x) = e−x[−ax2+(2a−b)x] si aflam punctele critice x = 0si x = 2a−b

a (daca a 6= 0) sau x = 0 (daca a = 0). In primul caz ambelepuncte critice sunt puncte de extrem (faceti tabelul de variatie!). Dacaa = 0, atunci x = 0 nu este punct de extrem.

g) Calculam f ′(x) = x + 12 − ( cos 2x

2 + sinx) si folosind sirul lui Rolle, searata ca singurul punct critic este x = 0. Calculam: f ′′(x) = 1 + sin 2x −cosx, f ′′(0) = 0; f ′′′(x) = 2 cos 2x + sinx, f ′′′(0) = 2 6= 0 si, conformteoremei 6.27, rezulta ca x = 0 nu este punct de extrem. Sa remarcam ca ınacest caz, studiul monotoniei functiei f ıntr-o vecinatate a punctului x = 0este destul de complicat.

6.11 a) Observam mai ıntai ca f nu este derivabila ın x = 0. Rezolvandecuatia f ′(x) = 0, obtinem solutiile x = 2

(2k+1)π , k ∈ Z (punctele critice).Analizand semnul derivatei constatam ca f este crescatoare pe fiecare dinintervalele [ 2

(4k+3)π , 2(4k+1)π ], k ∈ Z\{0}, si descrescatoare pe fiecare din in-

tervalele [ 2(4k+5)π , 2

(4k+3)π ], k ∈ Z. Astfel punctele x = 2(4k+1)π vor fi puncte

de maxim, iar x = 2(4k+3)π puncte de minim. Deoarece f(x) ≤ f(0) pentru

orice x ∈ IR, punctul x = 0 este punct de maxim (desi f nu este nici macarcontinua ın 0). Demonstrati ca daca valoarea functiei f ın punctul x = 0 arfi 0, atunci x = 0 nu ar fi punct de extrem.

b) pentru orice V ∈ V(0), exista k ∈ Z, k > 0 astfel ıncat (0, 2(4k+3)π ) ⊂

265

V ∩ (0,∞) si avand ın vedere punctul a), f nu este monotona pe V ∩ (0,∞).

6.12 Fie a, b ∈ I, a < b, puncte de maxim local pentru f . Restrictia luif la intervalul [a, b] (pe care o notam tot f ) este o functie continua pe uncompact, prin urmare ısi atinge marginea inferioara, adica exista xm ∈ [a, b],astfel ıncat inf

x∈[a,b]f(x) = f(xm). Evident, xm este punct de minim local

pentru f pe intervalul [a, b]. Daca xm ∈ (a, b) atunci problema e rezolvata.Daca xm = a, atunci exista V ∈ V(a), astfel ıncat f(x) ≥ f(xm) = f(a)si f(x) ≤ f(a), pentru orice x ∈ V ∩ (a, b). Rezulta ca f(x) = f(a) pentruorice x ∈ V ∩ (a, b) si astfel, orice punct x ∈ V ∩ (a, b) este un punct deminim local situat ıntre a si b. Cazul xm = b se rezolva analog. Daca I nueste interval, proprietatea nu se pastreaza, un exemplu fiind functia

f : [−1, 0) ∪ (0, 1], f(x) =

{x+1

x , x ∈ [−1, 0)x−1

x , x ∈ (0, 1],

care este continua, x = −1, x = 1 sunt puncte de maxim local, dar ea nuadmite nici un punct de minim local pe I.

6.13 Relatia f ′(a) < 0 antreneaza ca exista V ∈ V(a) astfel ıncat, pentruorice x ∈ V ∩ (a, b], sa avem f(x)−f(a)

x−a < 0 sau, echivalent, f(x) < f(a). Decix = a este punct de maxim local pentru f. Analog se demonstreaza ca x = beste tot punct de maxim local pentru f. Concluzia rezulta acum conformproblemei precedente.

6.14 a) Notam x− 1 = t si definim :

f(t) = marctgt + arctgt + 1t− 1

, ∀t ∈ IR\{1}.

Atunci f ′(t) = m−11+t2

oricare ar fi t ∈ IR\{1}. Daca m = 1, atunci f(t) = c1 ∈IR, ∀t ∈ (−∞, 1) si particularizand t = 0 obtinem c1 = −π

4 ; de asemeneaf(t) = c2 ∈ IR, ∀t ∈ (1,∞), c2 = arctg2 + arctg3. Astfel, ecuatia data vaavea o infinitate de solutii, mai exact toate valorile x ∈ (−∞, 2) (cores-punzatoare valorilor t ∈ (−∞, 1)). Daca m < 1 vom avea f ′(t) < 0, deci feste strict descrescatoare pe intervalele (−∞, 1) si (1,∞). Rezulta ca ecuatiadata admite cel mult o solutie pe fiecare din aceste intervale, altfel spus celmult doua solutii pe IR \ {2}. Cazul m > 1 se rezolva analog.

6.15 a) Sa presupunem ca α > 1 si sa consideram functia f : [0,∞) → IR,f(x) = xα−α(x−1)−1. Studiul monotoniei functiei se face astfel: f ′(x) > 0

266

este echivalenta cu α(xα−1 − 1) > 0 sau cu x > 1, prin urmare f estecrescatoare pe intervalul (1,∞) si descrescatoare pe intervalul (0, 1). Rezultaca f(x) ≥ f(1) = 0, ∀x > 0, adica inegalitatea lui Bernoulli. Cea de-adoua inegalitate se poate demonstra la fel ca mai sus sau astfel: ın primainegalitate notam α = 1

β , β ∈ (0, 1) si trecem x ın xβ. Vom obtine:

x ≥ 1β

(xβ − 1) + 1 ⇔ xβ ≤ β(x− 1) + 1,∀x > 0, β ∈ (0, 1)

si a doua inegalitate este demonstrata.b) Varianta I. In cea de-a doua inegalitate de la punctul a) facem α = 1

p ,p > 1, x = a

b , a > 0, b > 0 si avem:

(a

b

) 1p − 1

p

a

b≤ 1

q⇔ a

1p b

1q ≤ a

p+

b

q.

Trecem apoi a ın ap si b ın bq si inegalitatea lui Young este demonstrata.Varianta a II-a. Vom da si o demonstratie directa a inegalitatii. Con-

sideram functia f : (0,∞) → IR, f(a) = ap

p + bq

q − ab ( b > 0, fixat) sistudiem variatia acestei functii. Rezolvand ecuatia f ′(a) = 0, obtinemsolutia a = b

1p−1 care este punct critic. Studiem apoi semnul derivatei:

f ′(a) > 0 daca si numai daca a > b1

p−1 , prin urmare f este strict crescatoarepe intervalul (b

1p−1 ,∞) si strict descrescatoare (0, b

1p−1 ) si, astfel, b

1p−1 este

punct de minim pentru f . Urmeaza ca

f(a) ≥ f(b1

p−1 ) =1pb

pp−1 +

bq

q− b

1p−1

+1 =1pbq +

bq

q− bq = 0, ∀a > 0,

adica concluzia.

6.16 Ipoteza f(x) ≥ 0, ∀x ∈ IR, implica faptul ca x = 0 este punct de

minim al functiei f si cum 0 ∈◦IR, urmeaza ca f ′(0) = 0. Aceasta relatie

antreneaza a = 8, conditie necesara. Inlocuind ın f obtinem:

f(x) = 3x + 8x − 4x − 6x = (4x − 3x)(2x − 1) ≥ 0,∀x ∈ IR,

deci conditia este si suficienta.

6.17 Avem:

ax ≥ xa,∀x > 0 ⇔ x ln a ≥ a ln x,∀x > 0 ⇔ ln x

x≤ ln a

a, ∀x > 0.

267

Prin urmare, x = a este punct de maxim pentru functia f (x) = ln xx pe in-

tervalul (0,∞) si deci, f ′ (a) = 0. Ultima relatie antreneaza a = e. Reciproc,daca a = e, va trebui sa demonstram ca pentru orice x > 0, are loc ex ≥ xe

sau echivalent x− e lnx ≥ 0. Functia g : (0,∞) → IR, g (x) = x− e ln x, areminimul absolut ın x = e, prin urmare g (x) ≥ g (e) = 0, pentru orice x > 0,ceea ce trebuia demonstrat.

6.18 Implicatia “⇒ ” se rezolva analog cu cea de la problema 6.17. Re-ciproc, presupunand ca a1a2...an = 1 si scriind inegalitatea mediilor avem:ax

1 + ax2 + .... + ax

n ≥ n (ax1ax

2 ...axn)

1n = n, pentru orice x ∈ IR.

6.19 O abordare ın maniera problemelor precedente nu va da rezultateın acest caz. Aplicand functiei f : [2,∞) → IR, f(t) = t cos π

t , teorema luiLagrange pe intervalul [x, x+1], rezulta ca exista cx ∈ (x, x+1), astfel ıncatf(x + 1)− f(x) = cos π

cx+ π

cxsin π

cx. Pentru a evalua aceasta expresie, vom

studia variatia functiei g(y) = cos y+y sin y, y ∈ (0, π2 ]. Functia g este strict

crescatoare, deci g(y) > g(0) = 1, ∀y ∈ (0, π2 ]. Luand ın particular y =

π

cx,

obtinem f(x + 1)− f(x) > 1, adica concluzia.

6.20 a) Notam f(x) = ln(x + 1)− x + x2

2 , x ≥ 0 si avem f ′(x) = x2

x+1 ≥ 0,pentru orice x ≥ 0. Rezulta ca f este crescatoare pe [0,∞), deci f(x) ≥f(0) = 0, pentru orice x ≥ 0. A doua inegalitate se rezolva analog.

b) Conform punctului a) avem:

12− x

3≤ x− ln(x + 1)

x2≤ 1

2,∀x ≥ 0

si trecand la limita pentru x → 0, obtinem limx→0x>0

x−ln(x+1)x2 = 1

2 .

Limita se poate calcula si folosind regula lui L′Hospital.c) i) Prin inductie rezulta imediat ca un > 0, pentru orice n ∈ IN.

Avand ın vedere inegalitatea ln(1 + x) < x, pentru orice x > 0, urmeazaca un+1 = ln(1 + un) < un, pentru orice n ∈ IN, adica (un) este strictdescrescator. Concluzionam ca (un) este convergent si fie lim

n→∞un = l ≥ 0.

Trecand la limita ın relatia de recurenta obtinem l = ln(1 + l) cu solutiaunica l = 0.

268

c) ii) Avem

limn→∞(vn+1 − vn) = lim

n→∞un − ln(1 + un)un ln(1 + un)

= limn→∞

un − ln(1 + un)u2

n

limn→∞

un

ln(1 + un)

= limx→0

x− ln(x + 1)x2

limx→0

x

ln(1 + x)=

12.

d) Inegalitatea din stanga este echivalenta cu :

ln(x + 1) ≤ 16x

−3x2 + 8x + 16, x ∈ (0, 1].

Considerand functia h : [0, 1] → IR, h(x) = ln(1+x)− 16x−3x2+8x+16

se demon-streaza h′(x) < 0, ∀x ∈ [0, 1] ceea ce implica h(x) < 0, ∀x ∈ [0, 1]. Inegali-tatea din dreapta rezulta analog.

e) i) In inegalitatea de la punctul d) luam x = un ∈ (0, 1], ∀n ∈ IN siobtinem 1

2 − 3un16 ≤ vn+1 − vn ≤ 1

2 ,∀n ∈ IN; pentru a demonstra parteastanga a inegalitatii din enunt, ramane sa aratam ca 1

2 − 3un16 ≥ 1

4 , ∀n ∈ INrelatie echivalenta cu un ≤ 4

3 , ∀n ∈ IN, adevarata!ii) Scriem inegalitatile anterioare pentru n = 0, 1, ..., p− 1, sumam de la

0 la p− 1 si vom avea:

p

4≤ vp − v0 ≤ p

2, ∀p ∈ IN ⇔ 2

p + 2≤ up ≤ 4

p + 4, ∀p ∈ IN.

f) Prima afirmatie rezulta din exercitiul 2.5-d). Pentru a gasi limn→∞nun,

vom determina o ıncadrare a sirului, iar apoi vom aplica teorema clestelui(propozitia 2.26-vi). In inegalitatile 1

2 − 3uk16 ≤ vk+1 − vk ≤ 1

2 , k ∈ IN facemk = 0, n− 1 si sumand vom obtine:

n

2− 3

16(u0 + u1 + .. + un−1) ≤ vn − v0 ≤ n

2,∀n ∈ IN∗.

Dar conform celei de a doua inegalitati de la punctul e) avem:

u0 + u1 + .. + un−1 ≤ 4(14

+15

+ .. +1

n + 3) ≤ 4 ln(n + 3), ∀n ∈ IN

si rezulta ca: n2 − 3

4 ln(n + 3) ≤ vn − v0 ≤ n2 , oricare ar fi n ∈ IN. Inlocuind

vn = 1un

, v0 = 1 vom gasi ıncadrarea pentru sirul (nun) :

12− 3

4ln(n + 3)

n+

1n≤ 1

nun≤ 1

2+

1n

, ∀n ∈ IN.

269

La limita, pentru n → ∞, rezulta ca limn→∞

1nun

= 12 si lim

n→∞nun = 2. Saobservam ca, folosind criteriul Stolz-Cesaro, putem calcula mult mai simplulimita sirului ( 1

nun) :

limn→∞

1nun

= limn→∞

1un

n= lim

n→∞

(1

un+1− 1

un

)= lim

n→∞(vn+1 − vn) =12.

6.21 a) Functia f este crescatoare pe IR daca si numai daca f ′(x) ≥ 0,pentru orice x ∈ IR, ceea ce antreneaza ca ∆ ≤ 0, adica m ≥ 1. Pentru ca fsa fie crescatoare pe (0,∞), ın plus fata de situatia anterioara, vom considerasi cazul cand ∆ > 0 (m < 1). Radacinile derivatei sunt x1,2 = −1±√1−msi impunand conditia (0,∞) ⊂ (x2,∞), obtinem si solutia m ∈ [0, 1). Infinal, m ∈ [0, 1) ∪ [1,∞) = [0,∞).

b) Scrieti tabelul de variatie al functiei si observati ca f(I)=(−∞, f(−2))= (−∞, 9). Functia este surjectiva si, fiind strict crescatoare, este si injec-tiva. Ecuatia f ′(x) = 0 are solutiile x = 0 si x = −2, prin urmare f−1 estederivabila pe multimea (−∞,−2) (teorema 6.9). Avem (f−1)′(5) = 1

f ′(−3) =19 , iar

(f−1)′′(y) = (1

f ′(f−1(y)))′ = − 1

[f ′(f−1(y))]2f ′′(f−1(y))[f−1(y)]′

= − 1[f ′(f−1(y))]3

f ′′(f−1(y)) = −f ′′(x)f3(x)

, ∀x ∈ (−∞,−2), y = f(x),

deci (f−1)′′(5) = 1253 = 12

125 .

6.22 a) Functia f este strict crescatoare pe IR, fiind suma a trei functiistrict crescatoare pe IR (sau deoarece f ′(x) = 3x2 + 1 + 4

π1

1+x2 > 0, pen-tru orice x ∈ IR). Ea este de asemenea continua si lim

x→−∞f(x) = −∞,

limx→∞f(x) = ∞. Asadar f este surjectiva si cum f ′(x) 6= 0, oricare ar fi

x ∈ IR, rezulta ca f−1 este derivabila pe IR (teorema 6.9).La fel ca ın exercitiul precedent se demonstreaza ca f−1 este derivabila

de doua ori pe IR.b) Se rezolva analog cu problema 6.21-b).c) Notand f−1 (x) = u, observam ca, lim

x→∞f−1 (x) = ∞ si avem:

limx→∞

x− [f−1 (x)

]3

√x− f−1 (x)

= limx→∞

f (u)− u3

√f (u)− u

=

270

= limx→∞

u + 1 + 4πarctgu√

u3 + u + 1 + 4πarctgu− u

=

= limu→∞

u(1 + 1

u + 4π

arctguu

)

u32

(√1 + 1

u2 + 1u3 + 4

πarctgu

u3 − 1√u

) = 0

(lim

u→∞arctgu

u =π2∞ = 0!

).

6.23 a) Existenta numarului cx este asigurata de teorema lui Lagrange.Daca am presupune ca c1

x, c2x ∈ (a, x), c1

x < c2x, sunt doua numere care

verifica teorema atunci ar rezulta ca f ′(c1x) = f ′(c2

x). Dar cum f ′ este strictcrescatoare, vom avea f ′(c1

x) < f ′(c2x), contradictie!

b) i) Functia g este continua pe intervalul (a, b] ca o compunere de functiicontinue; egalitatea lim

t→ag(t) = lim

t→a

f(t)−f(a)t−a = f ′(a) = g(a) ne asigura ca g

este continua si ın t = a.b) ii) Este suficient sa demonstram ca g′(t) > 0, ∀t ∈ (a, b]. Avem:

g′(t) =f ′(t)(t− a)− (f(t)− f(a))

(t− a)2> 0, ∀t ∈ (a, b] ⇔

⇔ f ′(t) >f(t)− f(a)

t− a,∀t ∈ (a, b] ⇔ f ′(t) > f ′(ct), ∀t ∈ (a, b],

ultima relatie fiind adevarata deoarece ct < t si f ′ strict crescatoare.c) i) Functia f ′ : [a, b] → [f ′(a), f ′(b)] este inversabila, prin urmare egali-

tatea f ′(ϕ(x)) = f ′(cx) = g(x), ∀x ∈ [a, b] implica ϕ(x) = (f ′)−1(g(x)),∀x ∈[a, b]. Dar f ′ si g sunt strict crescatoare si astfel rezulta concluzia.

c) ii) Faptul ca ϕ este strict crescatoare antreneaza caϕ([a, b]) ⊂ [ϕ(a), ϕ(b)] = [a, ϕ(b)]. Reciproc sa demonstram ca ∀y ∈ [a, ϕ(b)],exista x ∈ [a, b] astfel ıncat y = ϕ(x). Aceasta ultima egalitate fiind echiva-lenta cu f ′(y) = f ′(ϕ(x)) = g(x), daca am demonstra ca f ′(y) ∈ [g(a), g(b)],atunci numarul cautat va fi x = g−1(f ′(y)). Intr-adevar constatam ca g(a) ≤f ′(a) ≤ f ′(y) ≤ f ′(ϕ(b)) = f ′(cb) = g(b), ceea ce ıncheie demonstratia.

d) Cum ϕ = (f ′)−1 ◦ g, vom studia daca (f ′)−1 si g sunt derivabile cuderivata continua. Functia g este evident derivabila, cu derivata continuape (a, b]. Relatiile

limx→ax>a

g(t)− g(a)t− a

= limx→ax>a

f(t)− f(a)− f ′(a)(t− a)(t− a)2

=

= limx→ax>a

f ′(t)− f ′(a)2(t− a)

=12f ′′(a)

271

ne dovedesc derivabilitatea ın x = a, iar

limx→ax>a

g′(t) = limx→ax>a

f ′(t)(t− a)− f(t) + f(a)(t− a)2

=12f ′′(a) = g′(a)

continuitatea lui g′ ın x = a. Sa observam acum ca f ′ este derivabila,(f ′)′(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b], prin urmare, conform teoremei 6.9, (f ′)−1 estederivabila; ın plus, deoarece f ′′ este continua, derivata este chiar continua.In concluzie, ϕ este derivabila cu derivata continua.

6.24 Studiem existenta asimptotelor:

limx→−∞f(x) = lim

x→−∞(3x− 3 ln |aex − 1|) = −∞,

prin urmare nu avem asimptote orizontale la −∞. Calculam: limx→−∞(f(x)−

3x) = limx→−∞(−3 ln |aex − 1|) = 0 si, conform definitiei 5.23, concluzionam

ca dreapta y = 3x este asimptota oblica la −∞. Egalitatile

limx→∞f(x) = lim

x→∞(3x− 3 ln ex|a− 1ex|) = lim

x→∞(−3 ln |a− 1ex|) = −3 ln a,

dovedesc ca dreapta y = −3 ln a este asimptota orizontala la +∞. Observamca f este definita atat la stanga cat si la dreapta punctului x = − ln a, deciputem calcula limita:

limx→− ln a

= (3x− 3 ln |aex − 1|) = −3 ln a− 3 ln(0+) = +∞.

Prin urmare dreapta x = − ln a, este asimptota verticala pentru f. Ob-servam ca cele trei asimptote sunt concurente pentru orice a > 0.

6.25 Pentru implicatia directa, presupunem ca exista f : IR → [f(a), f(b)],cu proprietatile mentionate. In acest caz, f(x) ≥ f(a) = f(a), pentru oricex ∈ IR, deci x = a este punct de minim pentru f . Rezulta ca f ′(a) = 0 sicum f ′(a + 0) = f ′(a + 0) = f ′(a), ın final f ′(a) = 0. Analog f ′(b) = 0.

Invers, definim f : IR → [f(a), f(b)],

f(x) =

f(a), x < a

f(x), x ∈ [a, b]f(b), x > b

si se demonstreaza ca f este derivabila pe IR si are proprietatile cerute.

272

6.26 Explicitam functia g : g(x) =

{f(− sinx), x ∈ [−1, 0]f(sinx), x ∈ (0, 1]

si calculam:

g′s(0) = limx→0x<0

g(x)− g(0)x− 0

= limx→0x<0

f(− sinx)− f(0)x− 0

= limx→0x<0

f(− sinx)− f(0)− sinx− 0

limx→0x<0

− sinx− 0x− 0

= − limy→0y>0

f(y)− f(0)y − 0

= −f ′d(0)(y = − sinx!).

Analog g′d(0) = f ′d(0). Vom avea:

∃g′(0) ⇔ −f ′d(0) = f ′d(0) ⇔ f ′d(0) = 0 ⇔ f ′(0) = 0.

6.27 Functia f este indefinit derivabila pentru |x| > 1 si f (n)(x) =P

(n)(x) , oricare ar fi n ∈ IN∗. Sa demonstram acum prin inductie, ca f este

indefinit derivabila pe multimea |x|<1 si f (n) (x)=Qn (x)(x2 − 1

)−2ne

1x2−1 ,

oricare ar fi n ∈ IN∗, Qn fiind un polinom. In cazul n = 1, f este derivabilasi f

′(x) = − 2x

(x2−1)2e

1x2−1 , |x| < 1. Daca presupunem propozitia adevarata

pentru n, atunci, ın mod evident, f (n) este derivabila, deci f este de (n + 1)ori derivabila si

(f (n)

)′(x) =

(Qn (x)

(x2 − 1

)−2ne

1x2−1

)′=

= Qn+1 (x)(x2 − 1

)−2n−2e

1x2−1 = f (n+1) (x) , |x| < 1.

Asadar f este indefinit derivabila pe multimea IR \ {−1, 1} . Pentru ca f (n)

sa fie derivabila ın x = 1 (n ∈ IN) , este necesar ca ea sa fie continua ın acestpunct. Avem:

limx→1x>1

f (n) (x) = limx→1x>1

P(n)

(x) = P(n)

(1) si

limx→1x<1

f (n) (x) = limx→1x<1

Qn (x)(x2 − 1

)−2ne

1x2−1 = Qn (1) lim

u→−∞u2neu = 0,

unde am notat 1x2−1

= u. Prin urmare, P(n)

(1) = 0, oricare ar fi n ∈ IN.

Analog, P(n)

(−1) = 0. Presupunem prin reducere la absurd ca P 6= 0 si

273

fie m gradul lui P. Atunci P(m)

(1) 6= 0, fals, deci P = 0. Vom demonstraacum prin inductie ca, daca P = 0, functia f este derivabila de n ori ınx = 1, oricare ar fi n ∈ IN. In cazul n = 1, functia f este continua ın x = 1,exista lim

x→1f′(x) = 0 ceea ce implica, conform unei consecinte a teoremei

lui Lagrange (teorema 6.15), ca f este derivabila ın x = 1 si f′(1) = 0.

Presupunem acum ca f este derivabila de n ori ın x = 1 si sa demonstramca este derivabila de (n + 1) ori ın acest punct. Aceeasi consecinta a teoremeilui Lagrange este utila: functia f (n) este continua ın x = 1; relatiile

limx→1x<1

f (n+1) (x) = limx→1x<1

Qn+1 (x)(x2 − 1

)−2n−2e

1x2−1 = 0 = lim

x→1x>1

f (n+1) (x)

justifica faptul ca exista limx→1

f (n+1) (x) = 0 si concluzionam ca f (n) este

derivabila ın x = 1 si(f (n)

)′(1) = f (n+1) (1) = 0. Analog se demonstreaza

ca f este indefinit derivabila ın x = −1 .

6.28 Avem f ′(x) = − a1(x−α1)2

− ... − an(x−αn)2

si, fara a restrange ge-neralitatea, putem presupune ca α1 < α2 < ... < αn. Deoarece f(α1 +0)= lim

x→α1x>α1

f(x) = ∞, rezulta ca exista x1 > α1, astfel ıncat f(x1) > 0; analog

exista x2 < α2, astfel ıncat f(x2) < 0. Deci f(x1)f(x2) < 0 si urmeaza caexista c1 ∈ (x1, x2) ⊂ (α1, α2) astfel ıncat f(c1) = 0. Sa mai observam ca, ffiind strict descrescatoare pe (α1, α2), radacina c1 este unica ın acest inter-val. La fel ca mai sus se demonstreaza ca exista ci ∈ (αi, αi+1), astfel ıncatf(ci) = 0, ∀i = 2, .., n− 1. Daca b < 0, f(−∞)f(α1− 0) < 0, iar daca b > 0,f(αn+0)f(+∞) < 0; prin urmare a n− a radacina a lui f exista ın intervalul(−∞, α1) sau ın intervalul (αn, +∞), unde s-a notat f(−∞) = lim

x→−∞f(x)

si analog pentru f(+∞).

6.29 Din definitia derivabilitatii la dreapta ın x = 0, rezulta ca

limn→∞(

k

n2)−1 · [f(

k

n2)− f(0)] = f ′d(0), k ∈ 1, n.

Rezulta ca oricare ar fi ε > 0, exista nε ∈ IN, astfel ıncat pentru oricen ≥ nε si orice k ∈ 1, n sa avem:

k

n2(f ′d(0)− ε) < f

(k

n2

)<

k

n2(f ′d(0) + ε)

(demonstrati ca nε nu depinde de k).

274

Prin sumare rezulta f ′d(0)−ε

n2 · n(n+1)2 <

n∑k=1

f(

kn2

)<

f ′d(0)+ε

n2 · n(n+1)2 si

trecand la limita pentru n →∞, obtinem ca:

limn→∞

∣∣∣∣n∑

k=1

f(k

n2)− 1

2f ′d(0)

∣∣∣∣ ≤ε

2< ε,

ceea ce antreneaza concluzia.

6.30 Consideram functia g : IR → IR, g(x) = e−xf(x); avem

g′(x) =f ′(x)ex − f(x)ex

e2x> 0, ∀x ∈ IR.

Prin urmare g este strict crescatoare, deci pentru orice x > 0, g(x) > g(0) =0 si rezulta concluzia.

6.31 Pentru y 6= 0, avem

f (x + y)− f (x)y

+f (x− y)− f (x)

−y= yg (xy) + 1,

oricare ar fi x, y ∈ IR; trecand la limita pentru y → 0, vom obtine f′(x) +

f′(x) = 1 si, ın final, f (x) = 1

2x + c, c ∈ IR. Inlocuind acum f ın relatiainitiala si luand y = 1, rezulta g (x) = 0, oricare ar fi x ∈ IR.

6.32 Relatia tf ′(t) > 0 antreneaza faptul ca f este strict descrescatoarepe (−∞, 0) si strict crescatoare pe (0,∞). Sa demonstram ca f este strictdescrescatoare chiar pe (−∞, 0]. Este suficient sa aratam ca pentru oricex < 0, f(x) > f(0). Fie sirul (yn), strict crescator, yn → 0, x < yn <0, ∀n ∈ IN; avem f(x) > f(yn) si, la limita, f(x) > f(yn) ≥ lim

n→∞f(yn) =

f(0), ceea ce trebuia demonstrat. Analog se demonstreaza ca f este strictcrescatoare pe [0,∞). Functia f1, restrictia lui f la (−∞, 0], este inversabila,f−11 fiind continua pe (−∞, 0] si derivabila pe (−∞, 0) (justificati). Analog

f2, restrictia lui f la [0,∞), este inversabila, f−12 fiind continua (pe [0,∞))

si derivabila pe (0,∞).Sa observam ca f1([0,∞)) = [f1(0),∞) = [f(0),∞) = [f2(0),∞) =

f2([0,∞)).a), b) Fie x ∈ (−∞, 0); cum f(x) ∈ (f(0),∞) = f2((0,∞)), urmeaza

ca exista y > 0 (unic), astfel ıncat f2(y) = f(y) = f(x), ceea ce trebuia

275

demonstrat. De fapt, y = f−12 (f1(x)). Analog, daca x > 0, exista y < 0

(unic), mai exact y = f−11 (f2(x)) astfel ıncat f(y) = f(x). Functia

ϕ : IR → IR, ϕ(x) =

f−12 (f1(x)), x < 0

f−11 (f2(x)), x > 0

0, x = 0

este bijectiva. Pentru y < 0, ϕ−1(y) = x, astfel ıncat ϕ(x) = y, x > 0. Darultima relatie este echivalenta cu

(f−11 ◦ f2)(x) = y ⇔ f2(x) = f1(y) ⇔ x = (f−1

2 ◦ f1)(y) = ϕ(y)

si rezulta ca ϕ−1(y) = ϕ(y). Egalitatea se demonstreaza analog daca y > 0.c), d) Functia ϕ este evident derivabila pe (−∞, 0) si pe (0,∞) fiind o

compunere de functii derivabile. Studiem continuitatea ın x = 0 :

limx→0x<0

ϕ(x) = f−12 (f1(0)) = f−1

2 (f(0)) = 0;

analog limx→0x>0

ϕ(x) = 0, deci ϕ este continua si ın x = 0.

6.33a) Daca α ≤ 0, atunci lim

x→0x>0

xα ln x = −∞. Daca α > 0, atunci

limx→0x>0

xα ln x = limx→0x>0

lnx

x−α

si avem o nedeterminare ∞∞ . Vom aplica regula lui L′Hospital, cazul ∞

∞ :functiile f, g : (0,∞) → IR, f(x) = lnx, g(x) = 1

xα , sunt derivabile,limx→0x>0

|g(x)| = ∞, g′(x) 6= 0, ∀x ∈ (0,∞). Existenta limitei

limx→0x>0

f ′(x)g′(x)

= limx→0x>0

1x

−αx−α−1= lim

x→0x>0

1−αx−α

= 0

antreneaza faptul ca exista si limita limx→0x>0

f(x)g(x) = 0;

b) Avem: limx→0x>0

xα(− ln x)β = limx→0x>0

(−xαβ lnx)β = 0β = 0 (conform punctu-

lui a)!).

276

d) Aplicam regula lui L′Hospital pentru cazul 00 : functiile f, g : (0,∞) →

IR, f(x) = xx−x, g(x) = lnx−x+1 sunt derivabile, limx→1

f(x) = limx→1

g(x) = 0,

g′(x) = 1x − 1 6= 0, ∀x ∈ (0,∞) \ {1}. Calculam

limx→1

f ′(x)g′(x)

= limx→1

xx lnx + xx − 11x − 1

= limx→1

xx+1 lnx

1− x

− limx→1

x(xx − 1)x− 1

= limx→1

ln x

1− x− lim

x→1

xx − 1x− 1

.

Limitele obtinute se calculeaza tot cu regula lui L′Hospital, cazul 00 :

limx→1

ln x1−x = lim

x→1

1x−1 = −1; lim

x→1

xx−1x−1 = lim

x→1

xx ln x+xx

1 = 1. Revenind la limita

initiala, deoarece exista limx→1

f ′(x)g′(x) = −2, va rezulta ca exista si lim

x→1

f(x)g(x) = −2.

e) Vom calcula mai ıntai l = limx→∞

xn

eax , n ∈ IN∗. Daca a > 0, aplicand

regula lui L′Hospital (cazul ∞∞ ) de n ori obtinem ca:

limx→∞

xn

eax= lim

x→∞nxn−1

aeax= ... = lim

x→∞n!

aneax= 0.

Daca a ≤ 0 atunci l = ∞. Fie acum P (x) =p∑

k=0

ap−kxk, p ∈ IN∗;

Daca a > 0, limx→∞

P (x)eax =

p∑k=0

ap−k limx→∞

xk

eax = 0.

Daca a ≤ 0, atunci limx→∞

P (x)eax = (sgn a0) · ∞.

f) Fie l = limx→0x>0

( 1sin x − xα), α ∈ IR. Daca α > 0, atunci l = 1

0+ − 0 = +∞;

daca α = 1, l = ∞. Daca α < 0, atunci avem o nedeterminare ∞ − ∞.Notam

xα =1xβ

, β > 0; l = limx→0x>0

1xβ

(xβ

sinx− 1)

= limx→0x>0

1xβ

(x

sinxxβ−1 − 1).

Daca 0 < β < 1, atunci l = ∞(∞− 1) = ∞; daca β > 1, l = −∞; dacaβ = 1, obtinem o nedeterminare ∞ · 0 :

limx→0x>0

1x

(x

sinx− 1) = lim

x→0x>0

x− sinx

x sinx= lim

x→0x>0

x− sinx

x2=

= limx→0x>0

1− cosx

2x= lim

x→0x>0

sinx

2= 0.

277

j)

limx→0

(x

arctg x)

1x2 = lim

x→0[(1 +

x− arctg x

arctg x)

arctg xx−arctg x ]

x−arctg xarctg x

· 1x2

= elimx→0

x−arctg xarctg x

· 1x2

= elimx→0

x−arctg x

x3 = elimx→0

1− 11+x2

3x2 = e13 .

k) limx→0

sin 3x−sin xx−sin x = lim

x→0

3 cos 3x−cos x1−cos x = lim

x→0

−9 sin 3x+sin xsin x = −26.

l) limx→0

e3x−3ex+2x3+x2 = lim

x→0

3e3x−3ex

3x2+2x= lim

x→0

9e3x−3ex

6x+2 = 3.

m) In acest caz nu putem aplica regula lui L′Hospital pentru ca limita

limx→0

f ′(x)g′(x) = lim

x→0

21−x2

2x = limx→0

1x nu exista (atentie! nu rezulta ca nu exista

limx→0

f(x)g(x) ). Vom avea:

limx→0x>0

1x2

ln1 + x

1− x= lim

x→0x>0

ln(1 + 2x1−x)

2x1−x

limx→0x>0

2x

1− x· 1x2

= 2 limx→0x>0

1x

= +∞;

analog limx→0x<0

1x2 ln 1+x

1−x = −∞ si, ın concluzie, limita nu exista.

n) limx→0

3√1+x4−1x4 = lim

x→0

13(1+x4)−

23 4x3

4x3 = 13 .

p) Vom calcula limitele laterale astfel:

ls(0) = limx→0x<0

e−1

x2 sin2 x

ln(cosx)= lim

x→0x<0

e−1

x2 x2

ln(cosx)

= limx→0x<0

e−1

x2 2x3 x2 + e−

1x2 2x

− sin xcos x

= − limx→0x<0

e−1

x2

x2limx→0x<0

(2 + 2x2) limx→0x<0

x

sinx

= −2 limx→0x<0

e−1

x2

x2= lim

u→∞u

eu=0 (u =

1x2

);

ld(0) = limx→0x>0

x3

ln(cosx)= lim

x→0x>0

3x2

− sin xcos x

= 0.

Prin urmare limita ceruta este 0.r) Este o nedeterminare 1∞ si calculam:

limx→π

4

ln f(x) = limx→π

4

tg2x ln tgx = limx→π

4

ln[1 + (tgx− 1)]tgx− 1

limx→π

4

(tgx− 1)tg2x

278

Prima limita se calculeaza astfel:

limx→π

4

ln[1 + (tgx− 1)]tgx− 1

= limy→0

ln(1 + y)y

= 1;

cea de-a doua este o nederminare 0 · ∞, care se transforma ıntr-una 00 , iar

apoi se aplica regula lui L′Hospital:

limx→π

4

(tgx− 1)tg2x = limx→π

4

tgx− 11

tg2x

= limx→π

4

1cos2 x

− 1tg22x

1cos2 2x

2= −1.

O alta varianta, dar fara a folosi regula lui L′Hospital, este:

limx→π

4

(tgx− 1)tg2x = limx→π

4

(tgx− 1) · 2tgx

1− tg2x= lim

x→π4

−2 sin x

sinx + cos x= −1.

s) Varianta I.

limx→0

xn − sinn x

xn+2= lim

x→0

1− ( sin xx )n

x2= lim

x→0

−n( sin xx )n−1 x cos x−sin x

x2

2x=

= −n

2limx→0

x cosx− sinx

x3=

n

6.

Varianta a II a.Avem:

limx→0

xn − sinn x

xn+2=

=(x− sinx)

(xn−1 + xn−2 sinx + ... + x sinn−2 x + sinn−1 x

)

xn+2=

=limx→0

x− sinx

x3

(1 +

sinx

x+

sin2 x

x2+ ... +

sinn−1 x

xn−1

)=

= n limx→0

1− cosx

3x2= n lim

x→0

sinx

6x=

n

6.

6.34 Fie α ≥ 0. Inegalitatea se rescrie xα+4 < ex sau, notand α + 4 = β,

xβ < ex. Aplicand regula lui L′Hospital, se demonstreaza ca limx→∞

xβ

ex = 0 si,din definitia limitei, rezulta ca exista m ≥ 0 astfel ıncat pentru orice x ≥ m,xβ

ex < 1, ceea ce trebuia demonstrat.

279

6.35 a) Avem

limx→0

ex − esin x

x− sinx= lim

x→0

ex − esin x cosx

1− cosx= lim

x→0

ex − esin x(cos2 x− sinx)sinx

=

= limx→0

ex − esin x(cos3 x− 3 cos x sinx− cosx)cosx

= 1.

b)

limx→0

ex − esin x

x− sinx= lim

x→0

esin x(ex−sin x − 1)x− sinx

=

= limx→0

esin x · limx→0

ex−sin x − 1x− sinx

= 1 · ln e = 1.

6.36 a) Observam ca exista limx→0

f(x)g(x) = lim

x→0

x2 sin 1x

xx

ln(1+x) = 0, dar dacapresupunem ca exista

limx→0

f ′(x)g′(x)

= limx→0

2x sin 1x − cos 1

x1

1+x

= − limx→0

cos1x

,

atunci rezulta ca exista limx→0

cos 1x , fals!

6.37 a) Cu teorema 5.11 rezulta ca exista limx→∞f(x) = 0 si lim

x→∞g(x) = 0.Calculam

f ′(x) = −2e−2x(cosx + 2 sinx) + e−2x(− sinx + 2 cosx) = −5e−2x sinx

g′(x) = −e−x(cosx + sin x) + e−x(− sinx + cos x) = −2e−x sinx.

Avem limx→∞


x→∞52e−x = 0, dar lim

x→∞f(x)g(x) = lim

x→∞e−x 1+2tgx1+tgx nu exista

(demonstrati!). Regula nu se poate aplica, deoarece pentru orice α ∈ IR,conditia g′(x) 6= 0,∀x ∈ (α,∞) nu este ındeplinita.

c) Nu se poate aplica regula pentru ca nu exista limx→∞


x→∞1−cos x1+cos x .

Totusi exista limx→∞

f(x)g(x) = lim

x→∞x(1− sin x

x)

x(1+ sin xx

)= 1.

6.38 a) Sunt ındeplinite conditiile de aplicare ale teoremei lui Cauchy 6.19(f(0) = g(0) = 0, exista f ′(0) = 0, g′(0) = 1 6= 0), deci exista lim

x→0

f(x)g(x) =

f ′(0)g′(0) = 0. Sa mai observam ca x = 0 este singurul punct de derivabilitate alfunctiei f, deci ın acest caz nu putem aplica regula lui L′Hospital, cazul 0

0 .

280

b) Aplicand tot teorema lui Cauchy, rezulta ca limx→0

f(x)g(x) = f ′(0)

g′(0) = 0.

Nici ın acest caz nu putem aplica regula lui L′Hospital, deoarece nu existalimx→0

f ′(x)g′(x) .

c) Se rezolva analog cu punctul a).

6.39 a) Notam

l = limn→∞tgn(

π

4+

1n

) = limx→∞tgx(

π

4+

1x

) = elim

x→∞x ln tg(π4+ 1

x)

si calculam

limx→∞x ln tg(

π

4+

1x

) = limx→∞

ln tg(π4 + 1

x)1x

= limx→∞

1cos2(π

4 + 1x)

= 2.

Prin urmare l = e2. Calculati limita si ın alt mod!d) Avem o nedeterminare∞−∞. Este clar ca metoda data de observatia

5.27 nu este aplicabila, asa ıncat vom evalua termenul an cu ajutorul teo-remei lui Lagrange. Fie functia f : (0,∞) → IR, f (x) = x1+ 1

x ; ea satisfaceconditiile teoremei pe intervalul [n, n + 1] , oricare ar fi n ∈ IN∗, prin urmareexista ξn ∈ (n, n + 1) , astfel ıncat f (n + 1)−f (n) = f ′ (ξn) , sau echivalentan = f ′ (ξn) , oricare ar fi n ∈ IN∗. Dar

limx→∞ f ′ (x) = lim

x→∞

[(1 +

1x

)x

1x − x1+ 1

x

(− 1

x2

)ln x

]=

= limx→∞ x

1x lim

x→∞

(1 +

1x

+ln x

x

)= lim

x→∞ eln xx = 1.

Cum limn→∞ ξn = ∞, va rezulta ca exista lim

n→∞ f ′ (ξn) = limn→∞ f ′ (x) = 1 si

deci, limn→∞ an = 1.

6.40 a) Calculam

f (n)(x) = α(α− 1)...(α− n + 1)(1 + x)α−n, ∀n ∈ IN∗, x > −1,

deci pentru orice x > −1, exista ξ ∈ (0, x) sau ξ ∈ (x, 0) astfel ıncat are locdezvoltarea binomiala:

(1 + x)α = 1 +α

1!x +

α(α− 1)2!

x2 + ... +α(α− 1)...(α− n + 1)

n!xn+

+α(α− 1)...(α− n)

(n + 1)!(1 + ξ)α−n−1xn+1.

281

In cazul α = 12 , dezvoltarea binomiala devine:

√1 + x = 1 +

11!2

x− 12!22

x2 + ... + (−1)n−1 1 · 3 · ... · (2n− 3)n!2n

xn+

+(−1)n 1 · 3 · .. · (2n− 1)(n + 1)!2n+1

(1 + ξ)12−n−1xn+1.

b) Daca scriem formula lui Taylor ın punctul x = −1, polinomul Taylorva contine puterile lui (x + 1). Folosind dezvoltarea precedenta, obtinem caoricare ar fi x > −2, exista ξ ∈ (0, x + 1) sau ξ ∈ (x + 1, 0) astfel ıncat

√2 + x =

√1 + (1 + x) = 1 +

11!2

(x + 1)− 12!22

(x + 1)2 + ...

... + (−1)n−1 1 · 3 · ... · (2n− 3)n!2n

(x + 1)n+

(−1)n 1 · 3 · .. · (2n− 1)(n + 1)!2n+1

(2 + ξ)12−n−1(x + 1)n+1.

c) Varianta I. Prin inductie: f (n)(x) = (−1)nn! 1xn+1 , ∀x 6= 0 ceea ce

ınseamna ca pentru orice x ∈ IR, exista ξ ∈ (1, x) sau (x, 1) astfel ıncat

f(x) =n∑

k=0

(−1)k(x− 1)k + (−1)n+1 1ξn+2

(x− 1)n+1.

Varianta a II-a. Scriem 1x = 1

1+(x−1)= 1

1+y (am notat x − 1 = y) si ındezvoltarea binomiala luam α = −1 si trecem x ın y. Obtinem ca pentruorice y > −1, exista ξ1 ∈ (0, y) sau ξ1 ∈ (y, 0) astfel ıncat

11 + y

= 1− y + y2 − ... + (−1)nyn + (−1)n+1(1 + ξ1)−n−2yn

si, ınlocuind y = x− 1, regasim formula pentru functia f.

6.41 A) a) Determinam f (n)(x) = ex, f (n)(0) = 1, pentru orice n ∈ IN∗,deci pentru orice x ∈ IR, exista ξ ∈ (0, x) sau (x, 0) astfel ıncat :

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ .. +

xn

n!+

eξ

(n + 1)!xn+1.

b) Sa remarcam, ın primul rand, ca daca x ∈ [−1, 1], atunci ξ ∈ (−1, 1).Eroarea de aproximare este

|ex − Tn(x)| = |Rn(x)| = | eξ

(n + 1)!xn+1| ≤ eξ

(n + 1)!≤ e

(n + 1)!.

282

Impunand conditia e(n+1)! < 1

1000 rezulta n ≥ 6.

c) |R4(x)| ≤ eξp5

5! ≤ epp5

5! < 11000 . De exemplu, p = 1

2 este o alegereconvenabila; cu cat p este mai mic, cu atat aproximarea este mai buna.

d) Cum, ın acest caz, x = 13 ∈ [− 1

2 , 12 ], rezulta ca T4(1

3) aproximeaza pe3√

e cu precizia dorita; gasim ca 3√

e=1, 3955.

B) Fie acum functia f(x) = ln(x + 1). Prin inductie gasim

f (n)(x) = (−1)n−1(n− 1)!(1 + x)−n,∀x ∈ (−1,∞),∀n ∈ IN∗;

obtinem f (n)(0) = (−1)n−1(n − 1)!, deci pentru orice x ∈ (−1,∞), existaξ ∈ (0, x) sau ξ ∈ (x, 0) astfel ıncat:

ln(1 + x) = x− x2

2+ ... + (−1)n−1 xn

n+

(−1)nxn+1

(n + 1)(1 + ξ)n+1.

Pentru cerinta de la punctul b), spre deosebire de functia precedenta vomconsidera x ∈ [−p, p], p ∈ (0, 1) (fixat). Eroarea este :

| ln(1 + x)− Tn(x)| = |Rn(x)|

=∣∣∣∣

(−1)nxn+1

(n + 1)(1 + ξ)n+1

∣∣∣∣ ≤pn+1

(n + 1)(1 + ξ)n+1

si trebuie sa gasim o majorare pentru 1(1+ξ)n+1 . Dar (1+ξ) ∈ (1−p, 1+p); prin

urmare 11+ξ ≤ 1

1−p si |Rn(x)| ≤ 1n+1( p

1−p)n+1, oricare ar fi n ∈ IN∗, oricare arfi x ∈ [−p, p]. Observam ca exista n0 ∈ IN∗ astfel ıncat 1

n+1( p1−p)n+1 < 1

1000 ,

pentru orice n ≥ n0, daca si numai daca p1−p ≤ 1, adica p ≤ 1

2 . De exempludaca luam p = 1

2 vom obtine n ≥ 1000. Pentru cerinta de la punctul c) este

suficient ca 15( p

1−p)5 < 11000 , ceea ce antreneaza p <

5√2001+ 5√200

.

6.42 k) Scriem formula lui Taylor cu rest Peano de ordinul 3 ın punctulx = 0:

sinx = x− x3

3!+ α1(x)x3, x ∈ IR, lim

x→0α1(x) = 0;

sin 3x = 3x− (3x)3

3!+ α1(3x)(3x)3, x ∈ IR, lim

x→0α1(3x) = 0.

283

Avem:

limx→0

sin 3x− 3 sin x

x− sinx=

= limx→0

3x− (3x)3

3! + α1(3x)(3x)3 − 3x + 3x3

3! − 3α1(x)x3

x− x + x3

3! − α1(x)x3=

= limx→0

x3[−4 + 27α1(3x)− 3α1(x)]x3(1

6 − α1(x))= −24.

l) Se procedeaza analog cu punctul precedent.m) Scriem mai ıntai f(x) = 1

x2 [ln(1+x)−ln(1−x)] si aplicam formula luiTaylor cu rest Peano de ordinul 2 pentru fiecare logaritm: exista functiileα1, α2 : IR → IR, lim

x→0α1(x) = 0, lim

x→0α2(x) = 0 astfel ıncat ln(x + 1) =

x− x2

2 + α1(x)x2, ln(1− x) = −x− x2

2 + α2(x)x2, ∀x ∈ (−1, 1). Egalitatile

limx→0x>0

f(x) = limx→0x>0

1x2

[2x + α1(x)x2 − α2(x)x2] = limx→0x>0

2x

= +∞

si limx→0x<0

f(x) = −∞ implica faptul ca limita data nu exista.

n) Aplicam formula lui Taylor, dar cu rest Peano de la exercitiul 6.40-a); luam n = 1, α = 1

3 si trecem x → x4. Vom obtine: 3√

1 + x4 = 1 +13

11!x

4 + α(x) · x4, pentru orice x ∈ IR, limx→0

α(x) = 0 si limita devine:

limx→0

1x4

[13

11!

x4 + α(x) · x4

]=

13.

t) Vom aplica din nou dezvoltarea binomiala (exercitiul 6.40 -a)).

limx→∞

(n√

xn + axn−1 − n√

xn − axn−1)

= limx→∞x

(n

√1 +

a

x− n

√1− a

x

)=

= limx→∞x

[1 +

11!n

a

x+

12!

1n

(1n− 1

) (a

x

)2+ .. + α

(a

x

)(a

x

)n−

−(

1− 11!n

a

x+

12!

1n

(1n− 1

) (a

x

)2− .. + α

(−a

x

)(−a

x

)n)]

=

= limx→∞x

[2n

a

x+

23!

1n

(1n− 1

) (1n− 2

)(a

x

)3+ ..

]=

2a

n

284

(lim

x→∞α(

ax

)= 0, lim

x→∞α(−a

x

)= 0!

).

6.43 a) Pentru a aplica formula lui Taylor cu rest Peano (respectiv La-grange) f trebuie sa fie derivabila de n ori ın x = 0 (respectiv de (n + 1) oripe IR). Explicitam f si studiem derivabilitatea ın x = 0:

f ′s(0) = limx→0x<0

−x ln(1− x)x

= 0, f ′d(0) = limx→0x>0

x ln(1 + x)x

= 0.

Prin urmare f este derivabila ın x = 0;

f ′(x) =

{− ln(1− x) + x

1−x , x ≤ 0ln(1 + x) + x

1+x , x > 0.

Analog se arata ca exista f ′′(0) = 2 si f ′′(x) =

{2−x

(1−x)2, x ≤ 0

2+x(1+x)2

, x > 0. Studiem

derivabilitatea de ordinul 3 ın punctul x = 0 :

f ′′′s (0) = limx→0x<0

1x− 0

[2− x

(1− x)2− 2] = 3;

analog f ′′′d (0) = −3. Concluzionam ca n maxim pentru care putem aplicaformula lui Taylor cu rest Peano (respectiv Lagrange) este n = 2 (respectivn = 1).

6.44 Procedam la fel ca ın exercitiul 6.43.

6.45 Cum p(x) = x3 − 2x2 + 5x + 4 este polinom, rezulta ca ın formulalui Taylor cu rest Peano de ordinul 3, ın x = 1, restul este 0, prin urmare

ai =p(i)(1)

i!,∀i = 0, 3.

6.46 Vom scrie, mai ıntai, formula lui Taylor cu rest Peano de ordinul 3pentru functia f(x) = sinx, ın punctul x = 0, ın care vom trece x ın 1

n :

sin1n

=1n− 1

3!(1n

)3 + α(1n

)(1n

)3,∀n ∈ IN∗, limn→∞α(

1n

) = 0.

Vom aplica criteriul de comparatie cu limita:

limn→∞

( 1n − sin 1

n)α

[( 1n)3]α

= limn→∞

[ 13!(

1n)3 − α( 1

n)( 1n)3]α

[( 1n)3]α

= (13!

)α ∈ (0,∞)

285

pentru orice α ∈ IR, deci seria data are aceeasi natura cu serian∑

k=0

( 1n)3α,

care este convergenta pentru α > 13 si divergenta pentru α ≤ 1

3 .

6.47 Vom ıncerca sa gasim o ıncadrare a functiei sin ıntre doua polinoame.Scriind formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordinul 3, ın punctul x = 0,pentru functia sin vom avea:

sinx = x− x3

3!+

x4

4!sin ξ, ξ ∈ (0, x) sau(x, 0).

Daca x ∈ (0, π), atunci sin ξ > 0 si obtinem ca x− 13!x

3 ≤ sinx,∀x ∈ [0, π].Relatia sinx ≤ x,∀x > 0 este cunoscuta. Luand x = k

n2 ın aceste douainegalitati si sumand pentru k ∈ 1, n obtinem

n(n + 1)2n2

− 13!

[n(n + 1)]2

4n6≤ an ≤ n(n + 1)

2n2, ∀n ∈ IN∗

si, ın final, limn→∞an = 1

2 . Sa mai observam ca o alta solutie se poate obtinefolosind exercitiul 6.29.

6.48 i) Daca α < 0, atunci f admite ın x = 0 asimptota verticala lastanga, deci, conform exercitiului 5.42, ea nu este uniform continua.

ii) Daca α > 1, vom demonstra ca f nu este uniform continua.Varianta I. Pentru y > x > 0, avem ca yα − xα = αξα−1 (y − x) ≥

αxα−1 (y − x) , unde ξ ∈ (x, y) . Luand xn = n, yn = n +(

1n

) 11−α , avem ca

yn − xn → 0 si f (yn)− f (xn) ≥ α. Deci, f nu este uniform continua.Varianta a II-a. Considerand β ∈ IR, 0 < β < α − 1, xn = n + 1

nβ ,yn = n, n ∈ IN∗, egalitatea

limn→∞ |f (xn)− f (yn)| = lim

n→∞nα

∣∣∣∣(

1 +1

n1+β

)α

− 1∣∣∣∣

ne sugereaza scrierea dezvoltarii binomiale de ordin m ∈ IN∗ cu rest Peano,trecand x ın 1

n1+β :

(1 +

1n1+β

)α

= 1 +α

1!1

n1+β+

α (α− 1)2!

(1

n1+β

)2

+ ...+

+α (α− 1) .. (α−m + 1)

m!

(1

n1+β

)m

+ Rm

(1

n1+β

),

286

unde Rm

(1

n1+β

)= g

(1

n1+β

) (1

n1+β

)m, lim

n→∞g(

1n1+β

)= 0. Astfel limita ante-

rioara devine:

limn→∞nα−β−1

∣∣∣∣α

1!+

α (α− 1)2!

1n1+β

+ ... + g

(1

n1+β

)(1

n1+β

)m∣∣∣∣ = ∞,

si rezulta concluzia.iii) Daca α ∈ [0, 1] , atunci f este uniform continua pe (0, 1]; pe in-

tervalul [1,∞) f este lipschitziana, fiind derivabila cu derivata marginita(∣∣∣f ′ (x)∣∣∣ =

∣∣αxα−1∣∣ ≤ α,∀x ∈ [1,∞)

), prin urmare f este si aici uniform

continua.Vom demonstra acum ca f este uniform continua pe (0,∞) adica oricare

ar fi ε > 0, exista δε > 0, astfel ıncat oricare ar fi x, y ∈ (0,∞) , |x− y| < δε,sa rezulte |f (x)− f (y)| < ε. Pentru ca f este uniform continua pe (0, 1] ,oricare ar fi ε > 0, exista δ′ε > 0, astfel ıncat oricare ar fi x, y ∈ (0, 1] ,|x− y| < δ′ε, sa avem |f (x)− f (y)| < ε. In mod analog oricare ar fi ε > 0,exista δ′′ε > 0, astfel ıncat oricare ar fi x, y ∈ [1,∞) , |x− y| < δ′′ε , sa avem|f (x)− f (y)| < ε. Fie acum δε = min (δ′ε, δ′′ε ) , x ∈ (0, 1] , y ∈ [1,∞) , astfelıncat |x− y| < δε. In primul rand sa observam ca vom avea si |x− 1| <δε ≤ δ′ε, |y − 1| < δε ≤ δ′′ε , ceea ce, ın virtutea relatiilor anterioare, vaantrena |f (x)− f (y)| ≤ |f (x)− f (1)| + |f (1)− f (y)| < 2ε si concluziaeste imediata.

6.49 Vom demonstra, mai ıntai, prin inductie ca f (p)(0) = 0, pentru oricep ∈ IN. Din f( 1

n) = 0, oricare ar fi n ∈ IN∗ si f continua rezulta ca f(0) = 0.Presupunem ca f(0) = 0, f ′(0) = 0, ..., f (p)(0) = 0 si sa demonstram caf (p+1)(0) = 0. Pentru aceasta vom scrie formula lui Taylor cu rest Lagrangede ordin (p + 1) : pentru orice x ∈ IR, exista ξp ∈ (0, x) sau ξp ∈ (x, 0) astfelıncat

f(x) =f (p+1)(0)(p + 1)!

xp+1 +f (p+2)(ξp)(p + 2)!

xp+2.

Luand x = 1n obtinem |f (p+1)(0)| = | 1

p+2f (p+2)(ξp) 1n | ≤ 2

p+21n , pentru orice

n ∈ IN∗ si, trecand la limita pentru n → ∞, rezulta f (p+1)(0) = 0. Asadarf (p)(0) = 0, pentru orice p ∈ IN. Rescriem prima relatie:

0 = |f(x)| = |f(p+2)(ξp)(p + 2)!

xp+2| ≤ | 2(p + 2)!

xp+2|, ∀p ∈ IN

si pentru p →∞, vom avea f(x) = 0, pentru orice x ∈ IR, adica concluzia.

287

6.50 Consideram un sir (an) avand limita ∞, astfel ıncat an > a+1,∀n ∈IN si scriem formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin 3, ın punctul an :

(1)f (an + 1) = f (an) +

f ′ (an)1!

+f ′′ (an)

2!+

f ′′′ (ξn)3!

,

ξn ∈ (an, an + 1) , n ∈ IN

(2)f (an − 1) = f (an)− f ′ (an)

1!+

f ′′ (an)2!

− f ′′′ (ηn)3!

,

ηn ∈ (an − 1, an) , n ∈ IN .

Egalitatea

f (an + 1)− f (an − 1) = 2f ′ (an) +f ′′′ (ξn)

3!+

f ′′′ (ηn)3!

,

obtinuta prin scaderea relatiilor (1) si (2) justifica existenta limitei limn→∞f ′(an)

si, trecand la limita, obtinem ca limn→∞f ′ (an) = 0. Cum sirul (an) a fost ales

oarecare, rezulta ca exista limx→∞f ′ (x) = 0. In mod analog se demonstreaza

ca limx→∞f ′′ (x) = 0.

6.51 a) Avem:

limn→∞ An = lim

n→∞ ( n√

a1 + n√

a2 + .. + n√

as) =

= limn→∞

n√

a1+ limn→∞

n√

a2 + ..+ limn→∞

n√

as = s.

b) In mod analog:

limn→∞ Bn = lim

n→∞

(n√

b1 + n√

b2 + .. + n√

bt

)=

= limn→∞

n√

b1+ limn→∞

n√

b2 + ..+ limn→∞

n√

bt = t,

si avand ın vedere egalitatile Ak = Bk, oricare ar fi k ∈ IN, k ≥ 2, rezulta cas = t.

c) Folosind metoda inductiei matematice, rezolvarea este imediata.d) Limita ceruta este f ′ (0) = ln a.e) Scriind formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin n, ın punctul

x = 0, pentru functia f , rezulta ca oricare ar fi x ∈ IR, exista ξx ∈ (0, x)sau ξx ∈ (x, 0) astfel ıncat f (x) = f (0) + f ′(0)

1! x + f ′′(0)2! x2 + ... + f (n)(0)

n! xn +

288

f (n+1)(ξx)(n+1)! xn+1. Observand ca, daca x → 0, atunci ξx → 0, vom avea: lim

x→0

f(x)−(

f(0)+f ′(0)

1!x+

f ′′(0)21

x2+...+f(n)(0)

n!xn

)

xn+1 =limx→0

f (n+1)(ξx)(n+1)! = f (n+1)(0)

(n+1)! oricare ar

fi n ∈ IN (ultima egalitate fiind justificata de continuitatea functiei f (n+1)).f) Notand g (x) = ax

1 + ax2 + .. + ax

s − bx1 − bx

2 − .. − bxs , x ∈ IR, g este

indefinit derivabila, g (0) = 0, g(

1k

)= 0, oricare ar fi k ∈ IN, k ≥ 2, si

trebuie sa demonstram ca g(n) (0) = 0, oricare ar fi n ∈ IN∗.Varianta I. Folosind punctul e) se arata ca

limx→0

g (x)−(g (0) + g′(0)

1! x + g′′(0)21 x2 + ... + g(n)(0)

n! xn)

xn+1=

g(n+1) (0)(n + 1)!

,

oricare ar fi n ∈ IN. Sa presupunem acum ca g(k) (0) = 0, oricare ar fi

k ∈ IN∗. Avem: g(n+1)(0)(n+1)! =lim

x→0

g(x)xn+1 = lim

k→∞g( 1

k )( 1

k )n+1 = limk→∞

0 = 0, ceea ce

implica g(n+1) (0) = 0. Prin urmare, conform metodei inductiei matematice,rezulta concluzia.

Varianta a II-a. Exista doua constante c,M ∈ IR, astfel ıncat∣∣g(n) (x)

∣∣ ≤cMn, oricare ar fi x ∈ [−α, α] , α ∈ IR, deci g este dezvoltabila ın serie Taylorpe IR, ın jurul punctului x = 0. Multimea zerourilor lui g are un punct deacumulare, x = 0, ceea ce antreneaza ca g este identic zero.

g) Sa presupunem, mai ıntai, ca as < bs, deci vom avea si ln as < ln bs.Impartim relatia de la punctul f) prin (ln bs)

n si trecem la limita pentrun →∞ :

limn→∞

[(ln a1

ln bs

)n

+(

ln a2

ln bs

)n

+ ... +(

ln as

ln bs

)n]=

= limn→∞

[(ln b1

ln bs

)n

+(

ln b2

ln bs

)n

+ ... +(

ln bs−1

ln bs

)n

+ 1]

.

Dar limita din stanga este 0, iar cea din dreapta, mai mare sau egala cu1, contradictie! Daca as > bs, obtinem de asemenea o contradictie si ast-fel, as = bs. Egalitatea de la punctul f) devine (ln a1)

n + (ln a2)n + ... +

(ln as−1)n = (ln b1)

n +(ln b2)n + ...+(ln bs−1)

n , oricare ar fi n ∈ IN si analog,se arata ca as−1 = bs−1. In final, vom obtine concluzia.

Note istorice

Prezentam ın continuare un scurt istoric al catorva notiuni utilizate ın acestvolum. Mentionam ca sursa acestor note o constituie cartile scrise de Bour-baki [3], Florica Campan [5], [6], Solomon Marcus [12], Dan I. Papuc [13] siIsaac Schoenberg [16].

Este firesc sa precizam pentru ınceput semnificatia acestui domeniu fun-damental al Matematicii, cel al Analizei matematice. Cuvantul Matematicaprovine din grecescul matima care ınseamna cunoastere, stiinta, iar termenulde Analiza a fost introdus ın Matematica de Viete (1540-1603), cu sensul sauobisnuit si anume: cercetarea unui fenomen prin determinarea si analizareafiecarui element al sau.

1. Multimea numerelor reale

Probabil ca primele elemente stiintifice de astronomie, biologie sau me-dicina au aparut ınca din preistorie, acum aproximativ trei milioane de ani.Sunt consemnate primele desene rupestre, multe continand figuri geome-trice. Aspectele practice ale vietii primitive, nevoia de a evalua si comparaau condus la introducerea conceptului de numar. Au fost descoperite tablitedatate acum cinci mii de ani (ce constituiau adevarate dictionare) carecontin clasificari si cunostinte despre animale, plante, elemente de medicina,astronomie dar si elemente de matematica, de exemplu: tabele numericesau probleme si solutii concrete, particulare ale acestora, neexistand ınsademonstratii globale. Exista documente vechi de peste doua mii de anidespre existenta numerelor rationale pozitive care erau cunoscute de catreegipteni si babilonieni. Grecii antici foloseau denumirea de numar pentrunumar natural si marime pentru numar rational pozitiv. In matematicagreaca era admisa ideea ca lungimea unui segment poate fi reprezentata

289

290

doar prin numere sau marimi. Eudoxos din Cnid (408-355 ı.H.) a scris oteorie completa a numerelor rationale. Un rezultat remarcabil este obtinutde matematicienii din Scoala lui Pitagora (sec. 6-5 ı.H.): existenta seg-mentelor a caror lungime nu este nici numar (numar natural), nici marime(numar rational pozitiv), pe care le-au numit segmente incomensurabile, iarlungimile acestora marimi incomensurabile (de fapt numere irationale). S-ademonstrat prin reducere la absurd ca lungimea diagonalei unui patrat nupoate fi nici numar natural, nici numar rational pozitiv. In Elementele luiEuclid se scrie ca: ”marimile incomensurabile nu sunt rapoarte de numere”.Mai tarziu, odata cu descoperirea a doua sensuri diferite pentru anumitemarimi, au fost introduse si numerele negative. Aceste numere apar ınlucrarile lui Diofante din Alexandria (sec. 3 d.H.). Prin descoperirea nu-merelor irationale si a numerelor negative s-a ajuns la multimea numerelorreale (denumite asa probabil ın sec. 16-17, odata cu descoperirea numerelorimaginare ın analiza complexa). Un numar real era definit ca lungime aunui segment de dreapta masurat cu un segment unitate fixat. Aceastadefinitie geometrica (numar real = lungimea unui segment) avea sa fie uti-lizata pana ın secolul 19 cand s-a realizat o teorie riguroasa a numerelorreale prin constructiile1 lui Weierstrass (1815-1897), Cantor (1845-1918)si Dedekind (1831-1916). In 1900, Hilbert (1862-1943) a dat o definitieaxiomatica a structurii numerelor reale (fara a utiliza multimea numerelorrationale), definitie care este folosita ın mod curent (definitia 1.22).

La mijlocul secolului 19 s-au introdus numerele reale algebrice si nu-merele reale transcendente (termenul transcendent a fost definit de Leibnizın 1679). In 1844, Liouville (1809-1882) a demonstrat existenta numerelortranscendente, construind efectiv astfel de numere, numite numere Liou-ville. In 1937, Mahler a aratat ca exista numere transcendente care nu suntnumere Liouville. Gelfond ın 1934 si Schneider ın 1935 au demonstrat caorice numar de forma ab (unde a este un numar algebric diferit de 0 si 1, iarb este un numar algebric irational) este un numar transcendent.

Existenta numarului π a fost banuita ınca din preistorie, cand s-a con-statat ca raportul dintre lungimea unui cerc si diametrul sau era apropiat de3. Astfel, pe tablitele de lut ars descoperite ın Mesopotamia apare valoareaπ = 3. Egiptenii, aproximand aria cercului cu aria octogonului regulatınscris ın cerc, au gasit π = 4

(89

)3 = 3, 16 valoare care, desi nu oferea oaproximatie satisfacatoare, reprezenta un mare progres. Arhimede (287-212 ı.H.) a determinat primele doua zecimale corecte si anume π = 3, 14.In secolul 5 d.H., Aryabhatta folosea valoarea π = 3, 1416 ca sa constru-

1vezi Precupanu A.M. [14] si Macovei E. [11]

291

iasca un tabel de sinusuri. Matematicianul chinez Tzu Ciun-Ciji (430-501)a stabilit primele sase zecimale exacte ale numarului π, prin inegalitatea3, 1415926 < π < 3, 1415927. In 1882, Lindemann (1852-1939) a demonstratca π este transcendent, aratand astfel imposibilitatea realizarii cuadraturiicercului si anume, construirea unui patrat cu arie egala cu aria unui cercdat.

Numarul e a fost introdus pentru prima data ın 1748 de catre Euler(1707-1783) ca baza a logaritmilor naturali. Convergenta sirului xn =(1 + 1

n

)n a fost pusa ın evidenta ın 1728 de catre Daniel Benoulli (1700-1782), rezultat generalizat ın 1743 de catre Euler pentru ex. Irationalitatealui e a fost demonstrata ın 1815 de catre Fourier (1768-1830). Mai mult,Hermite (1822-1901) a demonstrat ın 1873 ca numarul e este transcendent.Faptul ca sirul un = 1 + 1

2 + 13 + . . . + 1

n este divergent a fost stabilit ın 1689de catre Iacob Bernoulli (1654-1705). Euler a fost cel care a demonstratconvergenta sirului vn = 1+ 1

2 + . . .+ 1n − lnn ın 1734 si a notat limita sa cu

c, constanta care ıi poarta numele; tot el a obtinut valoarea aproximativa alui c cu 16 zecimale exacte: 0,5772156649015329. Nu se cunoaste ınca dacac este un numar rational sau nu.

Numarul irational Φ = 1+√

52 = 1, 6180339887... este numit numarul de

aur pentru ca simbolizeaza armonia si frumusetea. Numarul de aur apare ınconstructia laturii pentagonului regulat. Proprietatile acestui poligon, stu-diate de Scoala lui Pitagora, au contribuit probabil la alegerea pentagonuluiregulat stelat ca semn de recunoastere pentru membrii acestei scoli. Instudiul rapoartelor si proportiilor, Eudoxos din Cnid a numit acest raportsectiunea de aur (sectio aurea): a+b

a = ab = Φ.

a b

La grecii antici, un om era considerat frumos daca anumite distante din-tre partile corpului se aflau ın raportul de aur. Pictorul olandez Mondrian afolosit ın tablourile sale dreptunghiul de aur cu raportul de 1,6 ıntre lungimeasi latimea laturilor tabloului. Numarul de aur se regaseste si ın sirul (xn)definit de Fibonacci (1170-1240): lim

n→∞xn+1

xn= Φ (vezi problema 2.36-a)).

Regulile de calcul cu ∞ au fost stabilite de Wallis (1616-1703). Cer-cetarea riguroasa a infinitului a ınceput ın secolul 19, odata cu lucrarea”Paradoxurile infinitului” a lui Bolzano (1781-1848) publicata postum ın1850. O contributie esentiala la dezvoltarea teoriei multimilor a fost adusade matematicianul german Cantor (1845-1918). In 1873 el a publicat lu-crarea ”Grundlegen allgemeinen Mannigfoltigkeitslehre” (Fundamentele unei

292

teorii generale a multimilor) ın care introduce notiunile de relatie, element,multime, relatia ”a apartine” ıntre element si multime, operatii cu multimisi defineste notiunile de relatie de echipotenta si cardinal, punand bazeleTeoriei multimilor. Cu ajutorul notiunii de cardinal a putut fi posibila cerce-tarea si cunoasterea infinitului. Cantor a obtinut rezultate uluitoare despremultimile infinite, de exemplu: multimea numerelor reale cuprinse ıntre 0 si1 este echivalenta cu multimea punctelor planului si echivalenta de aseme-nea cu multimea punctelor spatiului. Sau multimea numerelor algebrice estemai mica decat multimea numerelor transcendente, afirmatie care a provo-cat o polemica aprinsa pentru ca ın acea vreme nu se cunosteau prea multeexemple de numere transcendente. Lumea matematica a fost ımpartita ındoua tabere: cei care admiteau noua teorie a lui Cantor si cei care o con-testau. Cantor a enuntat ın 1878 celebra ipoteza a continuumului: ıntre ℵ0

si c nu exista alte cardinale (cu alte cuvinte, nu exista nici o multime A cuproprietatea ℵ0 < card A < c). Ipoteza continuumului va deveni o axiomaindependenta ın sistemul de axiome ce stau la baza teoriei multimilor. Ast-fel, Godel ın 1940 si Cohen ın 1963 au aratat ca ipoteza continuumului nueste nici adevarata nici falsa. Pot fi construite doua structuri ale multimilor:una ın care propozitia este adevarata si alta ın care aceeasta propozitie estefalsa.

2. Siruri numerice. Serii numerice

Studiul sirurilor si al seriilor numerice dateaza din secolul 17, desi noti-unile de convergenta si divergenta nu erau clar precizate. Erau consideratemai ales cazuri particulare de siruri sau serii, stabilindu-se prin metodeconcrete convergenta sau divergenta acestora. Convergenta sirurilor si aseriilor a fost riguros definita si studiata ın 1812 de catre Gauss (1777-1855) si ın 1821 de catre Cauchy (1789-1857). Convergenta seriilor alter-nate cu termen general tinzand la zero a fost stabilita de Leibniz (1646-1716). Cauchy a definit notiunile de sir convergent si de sir fundamentalın IR. A fost studiata problema aproximarii numerelor reale cu siruri denumere rationale de catre Dirichlet (1805-1859), Liouville, Cebısev (1821-1894), Kronecker (1823-1891), Minkowski (1864-1909). Au fost stabilitecriterii de convergenta pentru serii de catre Abel (1802-1829), Dirichlet,Raabe (1801-1859), Kummer (1810-1893). Simpla convergenta si absolutaconvergenta a seriilor numerice au fost studiate de Cauchy, Dirichlet, Rie-mann (1826-1866). Spre sfarsitul secolului 19, Poincare (1854-1912), Borel(1871-1956), Stieltjes (1856-1894), Hadamard (1865-1963) si-au ındreptatatentia si spre studiul seriilor divergente care i-au intrigat atat de mult pematematicieni.

293

3. Topologie

Termenul de topologie a fost introdus prima data ın 1847 de catre Listing(1808-1882). Dar primele elemente de topologie apar ın 1640 la Descartes(1596-1650), apoi la Euler ın 1752, la Leibniz si Gauss. Cantor a definitnotiunile de punct de acumulare, multime deschisa si multime ınchisa. Toatecercetarile erau ınsa facute ın cadrul spatiilor euclidiene. Cel care a trecut dela spatii euclidiene la spatii abstracte a fost Riemann care ın 1857 a definitsi studiat ın mod riguros topologia ın spatii abstracte ca teorie matematica.Contributii esentiale ın teoria spatiilor topologice au avut Frechet (1878-1973) ın 1906, Riesz (1880-1956) ın 1907, Hausdorff (1868-1942) ın 1914,Moore (1862-1932) ın 1916 si Kuratowski (1896-1980) ın 1922.

4. Functii

Functiile erau cunoscute ınca ınainte de Hristos sub forma corespon-dentelor ıntre marimi definite prin tabele. Egiptenii si grecii au folositexpresia ariei unui cerc ca functie de diametru si expresia unei progresiiaritmetice ca functie de primul termen, ratie si numarul termenilor. In anul499, matematicianul indian Aryabhatta (476-550) elaboreaza un manuscriscu tabele de sinusuri si consinusuri. La sfarsitul secolului 15 s-a observatca relatia n 7→ an stabileste o legatura ıntre adunarea numerelor ıntregisi ınmultirea a doua puteri cu exponent ıntreg. Aceasta observatie a dusla definirea logaritmilor de catre Stiffel ın 1544. In 1614, Napier (sauNeper) (1550-1617) defineste logaritmii naturali (numiti si logaritmi nepe-rieni), alcatuind primul tabel de logaritmi. In timpul lui Descartes (1596-1650) si Fermat (1601-1665) s-au considerat functii algebrice definite prinpolinoame, fractii rationale, functii trigonometrice si inversele lor, functialogaritmica si cea exponentiala. In terminologia utilizata de Newton (1642-1727), functia era o fluenta (adica o cantitate care se scurge cu timpul),fiind numita fluxiune. Leibniz a introdus termenul de ”functie” ın 1694.In 1714, Johann Bernoulli (1667-1748) a introdus notatia fx care ın 1734va fi transformata ın f(x) de catre Euler si Clairaut (1713-1765). Definitiauzuala a unei functii, folosita ın prezent (definitia 1.7) a fost data de catreDirichlet ın 1837 pentru functii definite pe multimi de numere reale, cuvalori ın IR. Forma generala a definitiei a fost posibila abia dupa aparitiateoriei multimilor a lui Cantor.

Desi erau banuite cu mult ınainte, notiunile de limita si continuitateau fost definite ın mod riguros mult mai tarziu, ın secolul 19. Inca dinantichitate, ın secolul 5 ı.H., s-a facut un prim pas ın operatia de trecere lalimita, prin metoda exhaustiei, atribuita lui Democrit din Abdera, Hipocrate

294

din Chios, Eudoxos din Cnid si Antifon. Aceasta metoda era utilizata pentrua demonstra ca doua marimi sunt egale, aratand ca diferenta lor poate fifacuta oricat de mica. Teorema lui L′Hospital (1661-1764) despre calculullimitelor a fost enuntata si demonstrata de catre acesta ın 1696. Notiunilede limita a unei functii ın limbaj ε − δ si de functie continua ın IR au fostdefinite de catre Cauchy ın 1821. Contributii importante la definirea acestorconcepte au mai avut Lacroix (1765-1843), Bolzano (1781-1848) si Dirichlet.

Calculul diferential si integral apare ca domeniu nou si distinct al mate-maticii ın a doua jumatate a secolului 17. O serie de probleme din ge-ometrie (de exemplu: calculul ariilor determinate de curbe plane, proble-ma existentei tangentei la o curba arbitrara) sau din mecanica (si anume:studiul traiectoriei, vitezei si acceleratiei ın miscarea punctului material) aucondus la aparitia teoriei calculului diferential si integral. Un instrumentutil ın edificarea acestei teorii l-a constituit metoda utilizarii coordonatelorunui punct din plan, cu toate ca metoda trecerii la limita, vitala pentrunotiunea de derivata, nu era ınca cristalizata. Cei care au pus bazele calcu-lului diferential si integral pot fi socotiti, fara ındoiala, Leibniz si Newton.Printre fondatori merita amintit si Fermat care a studiat unele problemede extremum. Leibniz a definit conceptele de derivata, diferentiala si inte-grala, utilizand notatiile dx, d2x,

∫f(x)dx. Atat Leibniz, cat si Newton au

fost condusi la definirea derivatei de o serie de probleme practice. Astfel,Leibniz a pornit de la problema existentei tangentei ıntr-un punct la grafi-cul unei functii si derivata reprezenta panta unei curbe, ın timp ce Newtonpleca de la diverse probleme de reprezentari mecanice iar derivata reprezentaviteza unui mobil. Newton a observat relatiile dintre derivate si integralesi a enuntat si demonstrat la sfarsitul secolului 17 teorema fundamentala acalculului diferential si integral. Acest rezultat a fost obtinut ın mod inde-pendent si de Leibniz, ceea ce a generat o serie de discutii pentru prioritateıntre cei doi (celebre ın epoca) si care a ımpartit lumea matematica ın douatabere.

Matematicianul francez Rolle (1652-1719) a obtinut o serie de rezultateprivind separarea radacinilor unei ecuatii algebrice, descoperind sirul careıi poarta numele. In 1712, Taylor (1685-1731) a prezentat rezultate despredezvoltarea ın serie a functiilor.

In 1742, scotianul MacLaurin (1698-1746) a stabilit dezvoltarea ın seriede puteri a functiilor, dezvoltare ce-i poarta numele.

In 1741, Clairaut a introdus notiunea de diferentiala totala a unei functiide mai multe variabile.

Odata cu definirea functiilor continue si a functiilor derivabile, a aparut

295

problema stabilirii relatiilor dintre ele. Astfel, ın 1872, Weierstrass a prezen-tat un exemplu de functie continua care nu este derivabila ın nici un punct

din domeniul sau de definitie si anume, f(x) =∞∑

n=0bn cos(anπx), unde b este

un numar ıntreg impar si a ∈ (0, 1) astfel ıncat ab > 1 + 3π2 .

In secolul 16 a fost introdus logaritmul. Logaritmul este o functie ce sta-bileste un izomorfism ıntre grupul multiplicativ al numerelor reale pozitivesi grupul aditiv al numerelor reale, cu ajutorul careia operatia de ınmultirea numerelor reale pozitive se poate ınlocui cu adunarea numerelor reale.Astfel, logaritmii s-au dovedit deosebit de utili ın astronomie, la efectuareaunor calcule complicate si probabil aceasta a fost una din ratiunile care aucondus la definirea logaritmilor. In 1614, Napier a definit logaritmul natu-ral, alegand numarul e ca baza a logaritmului. Fiind date doua progresii,prima aritmetica si a doua geometrica:

(1) 0, r, 2r, . . . , nr, . . . cu ratia r > 0,(2) 1, q, q2, . . . , qn, . . . cu ratia q > 1,

se observa ca produsul a doi termeni din seria (2) se poate ınlocui cu sumatermenilor corespunzatori din seria (1):

qn · qm = qn+m 7→ nr + mr = (n + m)r.

Sa consideram progresiile (ak)k∈IN si (bk)k∈IN (prima aritmetica si a douageometrica):

(1′) 0, 1n , 2

n , . . . , n−1n , 1, n+1

n , . . .

(2′) 1, 1 + 1n ,

(1 + 1

n

)2, . . . ,

(1 + 1

n

)n−1,

(1 + 1

n

)n,

(1 + 1

n

)n+1, . . . .

cu ratiile r = 1n si respectiv q = 1 + 1

n .Napier numeste logaritm al unui termen din seria (2′) ca fiind termenul deacelasi rang din seria (1′) deci log bk+1 = ak+1, adica log

(1 + 1

n

)k = kn . El

numeste baza a logaritmului acel termen bk+1 cu proprietatea ca ak+1 = 1,echivalent cu log bk+1 = 1. Dar acest lucru se ıntampla pentru k = n decibaza ar fi bn+1 =

(1 + 1

n

)n. Ideea este de a reduce operatia de ınmultire adoi termeni din (2′) la operatia de adunare a doi termeni din (1′). Pentrua face acest lucru cu cat mai multi termeni, ar trebui ca n sa fie cat maimare (adica q sa fie cat mai apropiat de 1). Se ajunge ın felul acesta lalim

n→∞(1 + 1

n

)n, adica la e.

Teste tip examen

In final lansam catre cititor provocarea (dar si placerea, speram) de a re-zolva cateva teste tip (pentru examenul de Analiza matematica din anul Ial Facultatii de Matematica din Universitatea ”Al.I. Cuza” Iasi).

Test A

1. Fie A ⊂ IRp, A nevida. Aratati ca A′ este multime ınchisa.2. Studiati uniforma continuitate a functiei

f(x) =

(π

2x + 1

)cos πx2x+1

, x ∈ (0, 1)

(−x)ln(1+x), x ∈ (−1, 0).

3. Trasati graficul functiei f : IR → IR, f(x) = limn→∞

√x2n+2

22n + x2n.

Test B

1. Fie a ∈ IRp si r ∈ (0, +∞). Aratati ca B(a, r) = D(a, r).

2. Cercetati natura seriei∞∑

n=1

an

n2

(x + 1

x

)n

, a ∈ IR, x ∈ IR\{0}.

3. Fie f : A → IR, ∅ 6= A ⊂ IR, f(x) = (x + 1)1

ln x .

a) Determinati A, domeniul maxim de definitie pentru f .

296

297

b) Calculati limitele functiei f ın punctele din A′\A.

Test C

1. Fie a ∈ IRP si r ∈ (0, +∞). Aratati ca int D(a, r) = B(a, r).

2. Cercetati natura seriei∞∑

n=1

(−1)n−1

nα· xn

1 + xn, α ∈ IR, x ∈ IR\{−1}.

3. Studiati uniforma continuitate a functiei

f(x) =

arcsin 2x− arcsinx

x3, x ∈ [−1

2 , 0),

α +(

ln1x

)x

, x ∈ (0, 1)., α ∈ IR.

Test D

1. Studiati convergenta sirului xn = nα( 4√

n + 4√

n − 4√

n− 4√

n), α ∈ IR siın caz de convergenta determinati lim

n→∞xn.

2. Fie A = {(x, y) ∈ IR2|x2 + y2 < 3, x ≥ 0} ∪ {(−1, 0)}. Determinati◦A, A,A′, F r A si multimea puntelor izolate pentru A. Este A marginita?Este A compacta? Este A compacta?3. Studiati continuitatea functiei f : IR2 → IR,

f(x, y) =

ln(1 + x2 + y2)|x|+ |y| , (x, y) 6= (0, 0),

a, (x, y) = (0, 0)

, a ∈ IR.

Test E

1. Determinati inf xn, supxn, lim inf xn, lim supxn pentru sirul

xn =1 + (−1)[

n3]

2+ cos

nπ

2, n ∈ IN.

2. Fie functia f : IR2 → IR,

f(x, y) =

√7− x2 − y2, x2 + y2 ≤ 7,

0, x2 + y2 > 7

298

a) Studiati continuitatea functiei f .b) Aratati ca f este uniform continua pe multimea

{(x, y) ∈ IR2 | |x|+ |y| ≤ 10}.

c) Este f uniform continua pe IR2 ?

3. Calculati, cu ajutorul formulei lui Taylor, limita limx→0

cosx− e−x2

2

x4.

Test F

1. Precizati daca multimea

A = {(x, y) ∈ IR2|x3 + y2 ≤ 1} ∪ {(x, y) ∈ IR2|x < y}

este ınchisa ın IR2.

2. Fie f : D → IR, f(x) =

ln2(1− x), x ∈ D ∩ (−∞, 0),

tg2x, x ∈ D ∩ [0, +∞).. Determinati

D, domeniul maxim de definitie pentru f si cercetati daca f este de clasaC2 pe D.

3. Studiati natura seriei∞∑

n=1

cosnx sinx

n, x ∈ IR.

Bibliografie

1. Arama L., Morozan T. – Culegere de probleme de calcul diferentialsi integral, vol. I, Editura Tehnica, Bucuresti, 1964.

2. Batinetu D.M. – Siruri, Editura Albatros, Bucuresti, 1979.

3. Bourbaki N. – Elements de mathematique, Paris, 1954-1961.

4. Bucur Gh., Campu E., Gaina S. – Culegere de probleme de calculdiferential si integral, vol. II, Editura Tehnica, Bucuresti, 1966.

5. Campan F. – Din istoria catorva numere de seama, Editura Alba-tros,Bucuresti, 1973.

6. Campan F. – Povestiri despre probleme celebre, Editura Albatros, Bu-curesti, 1987.

7. Costinescu O. – Elemente de topologie generala, Editura Tehnica,Bucuresti, 1969.

8. Costinescu O., Amihaesei C., Bırsan T. – Topologie generala.Probleme, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1974.

9. Gelbaum B.R., Olmsted J.M.H. – Contraexemple ın analiza, Edi-tura Stiintifica, Bucuresti, 1973.

10. Iaglom A.M., Iaglom J.M. – Probleme neelementare tratate elemen-tar, Bucuresti, 1962.

11. Macovei E. – Metode de constructie pentru corpul numerelor reale,Editura Universitatii ”Al.I. Cuza”, Iasi, 1982.

299

300

12. Marcus S. – Notiuni de analiza matematica, Editura Stiintifica, Bu-curesti, 1967.

13. Papuc D.I. – Universul matematic al civilizatiei umane, EdituraMarineasa, Timisoara, 2003.

14. Precupanu A.M. – Bazele Analizei Matematice, Editura Universitatii”Al.I. Cuza”, Iasi, 1993.

15. Precupanu A.M., Florescu L., Blendea Gh., Cuciureanu M. –Spatii metrice. Probleme, Editura Universitatii ”Al.I. Cuza”, Iasi, 1990.

16. Schoenberg I.J. – Privelisti Matematice, Editura Tehnica, Bucuresti,1989.

17. Siretchi Gh. – Calcul diferential si integral, vol. I, II, EdituraStiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1985.

18. Tamas V., Leoreanu V. – Curs de Aritmetica, Matrix Rom, Bu-curesti, 2002.

19. Vasilache S. – Elemente de teoria multimilor si a structurilor alge-brice, Editura Academiei Romane, 1956.

Index

Aacoperire, 177aderenta, 175aderenta ın topologia indusa, 203asimptota oblica, 199asimptota orizontala, 199asimptota verticala la dreapta, 200asimptota verticala la stanga, 200

Bbila deschisa, 174bila ınchisa, 174

Ccardinal, 13clasa de echivalenta, 6contraimagine, 4criteriul

de comparatie cu limita, 119de comparatie de specia a II-a, 118de comparatie de specia I, 118lui Abel, 121lui Cauchy de condensare, 119lui Dirichlet, 121lui Gauss, 120lui Leibniz, 122lui Raabe-Duhamel, 120majorarii, 197raportului cu limita, 120raportului cu limite extreme, 120raportului cu marginire, 120radacinii cu limita, 119radacinii cu limita superioara, 119radacinii cu marginire, 119

Dderivata, 243

derivata la dreapta, 243derivata la stanga, 243diametrul unei multimi, 202diferentiala, 247distanta, 173

Eelement maximal, 7element minimal, 7

Fformula lui Taylor

cu restul lui Lagrange, 247cu restul lui Peano, 246

frontiera unei multimi, 176functie

bijectiva, 5continua, 201continua la dreapta, 202continua la stanga, 202crescatoare, 11cu proprietatea lui Darboux, 204de clasa Cn, 247de clasa C∞, 248derivabila, 243derivabila la dreapta, 243derivabila la stanga, 243descrescatoare, 11diferentiabila, 247injectiva, 5inversabila, 5lipschitziana, 205monotona, 11periodica, 12strict crescatoare, 11strict descrescatoare, 11strict monotona, 11

301

302

surjectiva, 5uniform continua, 204

Hhomeomorfism, 203

Iinfimum, 7interiorul unei multimi, 175

Iınchidere, 175

Llimita

inferioara a sirului, 64superioara a sirului, 64la dreapta a unei functii, 197la stanga a unei functii, 197unei functii, 196unui sir, 63

Mmajorant, 7margine inferioara, 7margine superioara, 7maximum, 7metrica, 173minimum, 7minorant, 7multime

a numerelor reale, 8cel mult numarabila, 14compacta, 177conexa, 178conexa prin arce, 178convexa, 178derivata, 176deschisa, 174finita, 13infinita, 14ınchisa, 175majorata, 7marginita, 7minorata, 7numarabila, 14secvential compacta, 177

multimi echipotente, 13

multimi cardinal echivalente, 13

Nnorma, 173

Ooscilatie, 202

Pperioada a unei functii, 12polinom Taylor, 246prelungirea prin continuitate, 203produsul Cauchy al doua serii, 122proprietatea lui Arhimede, 10punct

aderent, 175de acumulare, 176de acumulare la dreapta, 197de acumulare la stanga, 196de discontinuitate de specia a II-a,

203de discontinuitate de specia I, 203de maxim absolut (sau global), 244de maxim local, 244de minim absolut (sau global), 244de minim local, 244

puterea continuului, 15

Rregula lui L′Hospital, 245relatie

antisimetrica, 6de echipotenta, 13de echivalenta, 6de ordine, 7reflexiva, 6simetrica, 6totala, 6tranzitiva, 6

restul lui Lagrange, 247restul lui Peano, 246

Sserie

absolut convergenta, 122alternata, 121armonica, 116armonica generalizata, 116

303

convergenta, 115de numere reale (sau serie numerica),

115divergenta, 116geometrica, 116semiconvergenta (sau conditionat con-

vergenta), 122telescopica, 116

sistem fundamental de vecinatati, 174subsir, 62supremum, 7

Ssir

al sumelor partiale, 115Cauchy sau fundamental, 63convergent, 62crescator, 62de numere reale, 62descrescator, 62divergent, 64majorat, 62monoton, 62Rolle, 246strict crescator, 62strict descrescator, 62strict monoton, 62

Tteorema

clestelui, 66de caracterizare a continuitatii glo-

bale, 202de existenta si unicitate a partii ıntregi,

10de separatie Hausdorff, 174lui Cauchy (pentru produsul Cauchy

al doua serii), 123lui Cauchy de caracterizare pentru

serii, 118lui Cantor, 205lui Cauchy pentru functii, 245lui Cesaro, 65lui Darboux, 245lui Fermat, 244lui Lagrange, 244lui Mertens, 123lui Rolle, 244lui Stolz-Cesaro, 66

lui Weierstrass pentru siruri, 65lui Weierstrass pentru functii, 204

Vvecinatate, 62, 63

Culegere Croitoru Durea Vaideanu

Documents

Transcript of Culegere Croitoru Durea Vaideanu