Culegere Alg 8(CD)

To my grandchildren, Maria, Anna, Thomas and Sarah Copeland

Prefaţă

Cunoştinţele matematice se descoperă, se înţeleg şi se aprofundează prin activitatea de rezolvare de exerciţii şi probleme. Cartea de faţă este destinată cunoştinţelor mate-matice propuse de noul curriculum la matematică şi în particular de cartea „Matemati-că. Manual pentru clasa a VIII-a“, Editura Prut Internaţional, 2003.

Conţinutul urmăreşte conţinutul manualului amintit: I. Recapitulare şi completări, II. Puteri şi radicali, III. Calcul algebric, IV. Ecuaţia de gradul II, V. Funcţii, VI. Şi-ruri numerice.

Fiecare capitol are un preambul de informaţii teoretice. Pe lângă cunoştinţelor pre-văzute de curriculum, aici se află şi informaţii matematice suplimentare, destinate ele-vilor pasionaţi de matematică. Uneori aici se află şi date din istoria matematicii. Capi-tolele II−VI sunt împărţite în paragrafe.

Exerciţiile şi problemele (939) sunt distribuite pe trei niveluri: un nivel de bază sau de fixare (nivelul I); două niveluri de dezvoltare (II şi III). Fiecare paragraf se termină cu unul sau două teste.

Majoritatea exerciţiilor şi problemelor importante au 4–6 variante clonate. Pentru prima variantă se oferă indicaţii sau răspunsul. Acolo unde am considerat necesar, am oferit modele de rezolvare în partea teoretică sau în cadrul enunţului exerciţiului.

Pentru individualizarea învăţării, numărul variantelor clonate ce trebuie rezolvate de către un elev depinde de performanţele atinse de acesta.

Cei pasionaţi de matematică pot afla: − ce sunt numerele algebrice şi numerele transcendente; − despre reprezentarea numerelor reale în fracţii continue; − care este numărul de aur şi câteva proprietăţi ale lui; − şirul lui Fibonacci şi câteva proprietăţi ale lui.

Şi acesta poate fi numai începutul!

Victor Raischi 11 noiembrie 2003

3

Cuprins Prefaţă .......................................................................................................................................... 3 Capitolul I. Recapitulare şi completări .................................................................................... 4

Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................... 17 Evaluare formativă ......................................................................................................... 18

Capitolul II. Puteri şi radicali ................................................................................................. 19 1. Puteri cu exponent întreg ................................................................................................. 20

Evaluare formativă ......................................................................................................... 23 2. Radicali ............................................................................................................................ 24


Capitolul III. Calcul algebric .................................................................................................. 31 1. Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere ............................................................. 32

Evaluare formativă ......................................................................................................... 37 2. Formule de calcul ............................................................................................................ 37


3. Descompuneri în factori ................................................................................................... 44 Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................... 50 Evaluare formativă ......................................................................................................... 51

Capitolul IV. Ecuaţia de gradul II .......................................................................................... 52 1. Ecuaţii. Rezolvarea ecuaţiei de gradul II ..........................................................................55


2. Relaţii între rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II ....................................... 65 Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................... 76 Evaluare formativă ......................................................................................................... 77

Capitolul V. Funcţii ................................................................................................................. 78 1. Noţiunea de funcţie. Proprietăţi ale funcţiilor ...................................................................79


2. Funcţii numerice particulare ............................................................................................ 85 Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................... 92 Evaluare formativă ......................................................................................................... 93

Capitolul VI. Şiruri numerice ................................................................................................. 94 1. Definirea unui şir ..............................................................................................................96

Evaluare formativă ......................................................................................................... 99 2. Progresii aritmetice .........................................................................................................100

Evaluare formativă ....................................................................................................... 103 3. Progresii geometrice .......................................................................................................104

Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................. 108 Evaluare formativă ....................................................................................................... 109

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri ........................................................................................... 110 Cap. I. .................................................................................................................................110 Cap. II.1. ............................................................................................................................ 113

2. .................................................................................................................................. 113 Cap. III.1. ............................................................................................................................115

2. .................................................................................................................................. 115 3. .................................................................................................................................. 117

Cap. IV.1. ............................................................................................................................119 2. .................................................................................................................................. 125

Cap. V.1. .............................................................................................................................126 2. .................................................................................................................................. 127

Cap. VI.1. ........................................................................................................................... 129 2. .................................................................................................................................. 129 3. .................................................................................................................................. 130

132

Matematica este o activitate creatoare, confruntată cu rezolvarea unor probleme. De la aceste probleme trebuie pornit, iar pentru rezolvarea lor trebuie puse în joc facultăţi dintre cele mai variate: iniţiativă, in-venţie, intuiţie, analogii îndrăzneţe.

Solomon Marcus

Capitolul I. Recapitulare şi completări Mulţimi. Operaţii cu mulţimi: 1) reuniunea mulţimilor A şi B este A ∪ B = {x | x

∈ A sau x ∈ B}; 2) intersecţia mulţimilor A şi B este A ∩ B = {x | x ∈ A şi x ∈ B}; 3) diferenţa mulţimilor A şi B este A \ B = {x | x ∈ A şi x ∉ B}; 4) produsul cartezian al mulţimilor A şi B este A × B = {(x, y) | x ∈ A şi x ∈ B}. Relaţii între mulţimi: inclu-ziunea (A ⊂ B dacă orice element al mulţimii A aparţine mulţimii B); egalitatea (A = B dacă A ⊂ B şi B ⊂ A). Mulţimile A şi B se numesc disjuncte, dacă nu au elemente comune, adică au intersecţia egală cu ∅. Cardinalul unei mulţimi finite este numărul elementelor acelei mulţimi.

Mulţimi de numere. Mulţimea numerelor naturale este N = {0, 1, 2, …}. Mul-ţimea numerelor naturale nenule este N*. Mulţimea numerelor întregi este Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Mulţimea numerelor întregi nenule este Z*. Dacă a şi b

sunt numere întregi şi b ≠ 0, atunci ba este o fracţie. Mulţimea numerelor raţionale

este Q = {x | x este un număr ce poate fi scris sub formă de fracţie}. Mulţimea nume-relor iraţionale este {x | x este un număr ce nu poate fi scris sub formă de fracţie}. Mulţimea numerelor reale este R = {x | x este un număr raţional sau x este un număr iraţional}. Mulţimea numerelor iraţionale se notează I sau R \ Q. Numerele raţionale pot fi scrise ca numere zecimale cu număr finit de zecimale, sau ca numere zecimale periodice (simple sau compuse), iar numerele iraţionale pot fi scrise ca număr zecimal neperiodic cu un număr infinit de zecimale.

Teorema împărţirii întregi (fără rest). Fie numerele întregi a şi b. Atunci există numai numerele întregi c şi r, astfel încât a = bc + r, r ≥ 0, r < | c |.

Formule de calcul prescurtat. 1) Formula pătratului sumei cu doi termeni: 2)( ba + = 2) Formula diferenţei pătratului: = .2 22 baba ++ 2)( ba − .2 22 baba +−

3) Formula produsului sumei cu diferenţa: (a + b)(a − b) = .22 ba −Intervale de numere reale. Fie numerele reale a şi b, astfel încât a < b. Intervalul

închis cu capetele (extremităţile) a şi b este [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}. Intervalul deschis cu capetele a şi b este (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}. Intervalul deschis la stânga şi închis la dreapta cu capetele a şi b este (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}. Intervalul în-chis la stânga şi deschis la dreapta cu capetele a şi b este [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}. Intervale nemărginite: (− ∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}, (− ∞, a) = {x ∈ R | x < a}, [a, ∞) = {x ∈ R | x ≥ a}, (a, ∞) = {x ∈ R | x > a}.

Aproximarea numerelor reale. Dacă a ∈ (b, b + ε), atunci b este o aproximare prin lipsă cu ε a numărului a, iar b + ε este aproximarea prin adaos cu ε a numărului a. Dacă b este o aproximare prin lipsă cu ε a lui a, atunci b este o ε-aproximare prin

Cap. I. Recapitulare şi completări 4

lipsă a lui a; dacă c este o aproximare prin adaos cu ε a lui a, atunci c este o ε-aproxi-mare prin adaos a lui a.

Trunchiere. Aproximarea prin lipsă cu 0,1 a numărului n sau 0,1-aproximarea prin lipsă se mai numeşte trunchiere la zecimi sau valoarea cu o zecimală exactă a numărului n. Aproximarea prin lipsă cu 0,01 a numărului n sau 0,01-aproximarea prin lipsă se numeşte trunchiere la sutimi sau valoarea cu două zecimale exacte a numă-rului n. De exemplu, 1,41 este valoarea lui 2 cu două zecimale exacte. În general, la executarea calculelor erorile se cumulează.

Reprezentarea intervalelor de numere reale. În desen sunt prezentate mai multe variante de ilustrare a intervalelor [a, b] şi (a, b) şi ele pot fi extinse la celelalte tipuri de intervale. Pentru a rezolva grafic intersecţia a două sau mai multe intervale sunt mai sugestive variantele I şi III (considerate de sus în jos), iar pentru intersecţie vari-antele II şi III.

Modulul unui număr real. | x | = max {− x, x} = 2x = Pro-⎩⎨⎧

≥<−

.0dacă,0dacă,

xxxx

prietăţi ale modulului numerelor reale: 1) | x | = 0 ⇔ x = 0; 2) | x | > 0 pentru orice x ∈ R*; 3) | x | = | −x |; 4) = 5) dacă a > 0, atunci |2x ;2|| x x | ≤ a ⇔ x ∈ [−a, a]; 6) dacă a > 0, atunci | x | < a ⇔ x ∈ (−a, a); 7) dacă a > 0, atunci | x | ≥ a ⇔ x ∈ (−∞, a] ∪ [a, ∞); 8) dacă a > 0, atunci | x | > a ⇔ x ∈ (−∞, a) ∪ (a, ∞); 9) | x | − | y | ≤ | x + y | ≤ | x | +

| y |.

Suplimentar. Mulţimea părţilor sau submulţimilor unei mulţimi cu n elemente are n2 elemente. O partiţie a unei mulţimi A este formată din două sau mai multe sub-

mulţimi nevide ale mulţimii A, disjuncte oricare două, a căror reuniune este A. Mulţimile 2Z = {2k | k ∈ Z} şi 2Z + 1 = {2k + 1 | k ∈ Z} formează o partiţie a mulţimii Z. Mulţimile 3Z, 3Z + 1 şi 3Z + 2, definite în mod analog, formează, de asemenea o partiţie a mulţimii Z.

Numere naturale mari: 910 bilion (miliard), trilion, quadrilion, quintilion, sexti-

lion, septilion, octilion, nonilion, decilion, undecilion, tredecilion, quatuordecilion etc. Numere naturale foarte mari: un googol; un googolplex. 10010 googol10

Restul împărţirii la 10 a unui puteri naturale a unui număr natural (ultima cifră) este egal cu restul împărţirii la 10 a puterii cu acelaşi exponent a numărului format de ultima cifră a acelui număr. Pentru aceasta este suficient să se afle ultima cifră a primelor 5 sau 6 puteri naturale consecutive ale numărului format de ultima cifră.

Restul împărţirii la 100 a unui puteri naturale a unui număr natural (ultimele două cifre) este egal cu restul împărţirii la 100 a puterii cu acelaşi exponent a restului


împărţirii la 100, r, a acelui număr. Exemple: 1) Restul împărţirii la 10 (sau ultima cifră) a numărului n = + 457523

8712827 este u(n) = + Fie a)3( 457u ).7( 8712u MOD b (se citeşte „a modulo b“) restul împărţirii numărului întreg a la numărul întreg b. Atunci 457 MOD 4 = 3, iar 2 871 MOD 4 = 3. Se ţine cont că ) = 1 şi = 1, de unde rezultă că u(n) = 3( 4u )7( 4u )3( 3u+ = u(7 + 3) = 0. 2) Restul împărţirii la 100 a numărului n = este z(n) = )7( 3u 196413

).13( 196z Aflăm cea mai mică putere a lui 13 care are ultima cifră 1 şi obţinem z(n) = )13( 494 ⋅z = = Înregistrăm resturile împărţirii la 100 ale pu-)56128( 49z ).61( 49z

terilor naturale nenule ale lui 61 şi constatăm că ele sunt în ordine: 61, 21, 81, 41, 1, după care se repetă din cinci în cinci. Deoarece 49 MOD 5 = 4, rezultă că = )61( 49z

)61( 495 +⋅z = = = 41. Prin urmare z(n) = 41. 3) Restul împărţirii la )611( 49 ⋅z )61( 4z1 000 a numărului n = este s(n) = Aflăm cea mai mică putere a 8172375 ).237( 817slui 237 care are ultima cifră 1. Evident, este vorba despre puterea a 4-a. Deoarece 817 = 4⋅204 + 1, obţinem s(n) = = Înregistrăm resturile )237( 12044 +⋅s ).237561( 204 ⋅sîmpărţirii la 1 000 ale puterilor naturale nenule ale lui 561, care sunt în ordine: 561, 721, 481, 841, 801 etc. Deoarece restul împărţirii la 100 a oricărei puteri naturale a lui 801 este 1, rezultă că = = = )561( 204s )561( 4405 +⋅s )561)561(( 4405 ⋅s ).841801( 40 ⋅sConstatăm că resturile împărţirii la 1 000 ale puterilor naturale nenule ale lui 801 sunt în ordine: 801, 601, 401, 201, 1, după care se repetă din cinci în cinci. Prin urmare,

)561( 204s = s(1⋅841) = 841. Rezultă că s(n) = = s(841⋅237) = 317. )237561( 204 ⋅s

Sume concentrate. 1) 4434421n

1...111 ++++ [ = n implică ∑=

n

i 1

1 44 344 21n

aaaa ++++ ... =

∑=

n

i

a1

= = na. 2) 1 + 2 + 3 + ... + n [ = ∑=

n

i

a1

1 in

i∑=1 2

)1( +nn implică: 2 + 4 + 6 + ...

+ 2n = = in

i∑=1

2 in

i∑=1

2 =2

)1(2 +⋅

nn = n(n + 1); 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) =

)12(0

+∑=

in

i

= + = + ∑ = n(n + 1) + (n + 1) = ceea ce in

i∑=0

2 ∑=

n

i 0

1 in

i∑=1

2+

=

1

1

1n

i

,)1( 2+n

se constată practic adunând primele 2 numere naturale impare, primele 3 numere naturale impare etc.

Divizibilitatea numerelor naturale. Numărul prim este numărul cu exact doi divi-zori, adică este un număr diferit de 1 care nu are divizori proprii. Numerele prime între ele sau relativ prime nu au divizori proprii comuni. Dacă n este un număr natural, atunci ϕ(n), funcţia sau indicatorul lui Euler, este egal cu numărul numerelor naturale inferioare lui n, relativ prime cu n.

Teoremă (Euclid). Există o infinitate de numere prime. Conjectura lui Goldbach (1690−1764). Orice număr natural superior lui 2 poate


fi scris ca sumă de numere prime. (I se spune conjectură pentru că este o presupunere ce se constată a fi adevărată în multe cazuri particulare, dar nu a putut fi demonstrată.)

Teoremă (Euler). Numărul descompunerilor unui număr natural în sumă de nu-mere diferite este egal cu numărul descompunerilor în sumă de numere impare.

Teoremă (Euler). Dacă descompunerea în factori primi a lui n este atunci ,pkbaϕ(n) = (a − 1)(b − 1). 11 −− pk ba

Proprietăţi ale indicatorului lui Euler. 1) Indicatorul unui număr natural mai mare decât 2 este un număr par. 2) Dacă n > 1, atunci ϕ(n) ≤ n − 1. 3) Dacă n − 1 se divide cu ϕ(n), atunci n este prim. 4) Suma indicatorilor tuturor divizorilor unui nu-măr natural dat este egal cu acel număr natural. 5) Suma numerelor naturale prime cu n ∈ N şi mai mici decât el este 0,5nϕ(n).

Teoremă (Fermat). Dacă p este un număr prim şi a ∈ Z*, atunci p divide − 1. 1−paTeoremă (Euler). Dacă n este un număr natural prim cu numărul întreg a, atunci n

divide − 1. 1)( −naϕ

Teoremă (Wilson). Fie numărul natural n mai mare decât 1. Atunci n este un număr prim dacă şi numai dacă (n − 1)! + 1 se divide cu n.

Numerele prime gemene sunt cele care au diferenţa egală cu 2. Un număr perfect are suma divizorilor inferiori lui, egală cu acel număr. Primele

două numere perfecte sunt 6 şi 28; numerele perfecte cunoscute sunt pare şi se termi-nă în 6 sau în 28. Nu se cunosc numere perfecte impare şi nu se ştie dacă numărul lor este infinit. În 1995 se cunoşteau 33 de numere perfecte, iar în 1999 numărul lor a ajuns la 38.

Teoremă. Dacă 1 şi n sunt numere prime, atunci este număr 2 −n )12(2 1 −− nn

perfect. Două numere naturale sunt prietene, dacă adunând 1 tuturor divizorilor proprii ai

unuia dintre ele obţinem celălalt număr. Cele mai mici numere prietene sunt 220 şi 284. Alte perechi de numere prietene: 1 184 şi 1 210, 2 620 şi 2 924 etc. Euler a pus la punct o metodă de descoperire a numerelor prietene şi a găsit aproape 60 de perechi de numere prietene.

Numerele 12 496, 14 288, 15 472, 14 536, 14 264 se numesc numere sociabile, de-oarece formează un lanţ de numere cu proprietatea că adunând 1 cu toţi divizorii proprii ai unui număr din lanţ obţinem următorul număr, iar adunând 1 cu toţi divizo-rii proprii ai ultimului număr din lanţ obţinem primul număr din lanţ. Numărul 14 316 este primul dintr-un lanţ de 28 de numere sociabile.

Fracţii continue. Fie numărul 3,7. Atunci 3,7 = 3 + 107 = 3 +

7101 = 3 +

731

1

+ = 3

+

3711

1

+ = 3 +

3711

1

+ = 3 + .

312

11

1

++

Spunem că am scris 3,7 sub formă de fracţie

continuă. Se notează 3,7 = [3; 1, 2, 3]. Procedând la fel cu ,2 obţinem 2 =


)12(1 −+ = 1 + 21

1+

= 1 +

21111

1

+++

= 1 +

21111

12

1

+++

+ = 1 +

2112

12

1

++

+ = 1 +

...12

12

12

12

1

++

++

= [1; 2, 2, 2, ...] = [1; (2)]. Deoarece 2 se

repetă de un număr nelimitat de ori, apare între paranteze ca la scrierea perioadei numerelor zecimale periodice. Procedând la fel se găseşte că 3 = [1; (1, 2)].

În 1767 Lambert a demonstrat că numărul π este un număr iraţional, iar în 1882 Lindemann a demonstrat că π este un număr transcendent, adică un număr ce nu poate fi rădăcină a unui polinom cu coeficienţi raţionali. Un alt număr transcendent este numărul e = 2,7182818..., a cărui scriere ca fracţie continuă este [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...]. Constatăm astfel că scrierea lui ca fracţie continuă (şi această observaţie este valabilă pentru orice număr transcendent) diferă de scrierea numerelor algebrice (raţionale sau iraţionale) sub formă de fracţie continuă. Prin urmare, scrierea sub formă de fracţie continuă permite separarea numerelor transcendente de numerele algebrice.

Partea întreagă a numărului real a este numărul întreg n dacă a ∈ [n, n + 1) şi se notează [a], partea neîntreagă sau zecimală a numărului n este a − [a].

− I −

1. Aflaţi A ∪ B, A ∩ B şi A \ B, dacă: a) {−2, 1, 3, 8} şi {−3, 1, 3, 7}; b) {−7, −3, 4, 9} şi {−7, 5, 9, 11}; c) {−9, −2, 4, 12} şi {−9, 1, 4, 5}; d) {−14, −5, 7, 13} şi {−5, 13, 16, 19}.

2. Aflaţi A × B, dacă: a) {−8, −2, 5} şi {−1, 1}; b) {−9, −7, 12} şi {− 4, 15}; c) {−9, 15, 18} şi {−17, 5}; d) {−26, −3, 13} şi {−36, 42}.

3. Aflaţi numerele x şi y astfel încât: a) {−3,2; 2,4} = {x, y}; b) {−1,7; 3,9} = {x, y}; c) {−8,7; 9,4} = {x, y}.

4. Fie mulţimea D = {−5, −2, 1, 3, 7}. Aflaţi submulţimea mulţimii D ale cărui ele-mente sunt:

a) numere mai mari decât 1; b) numere mai mici decât 3; c) numere cuprinse între −7 şi 2; d) numere pare negative; e) numere impare pozitive.

5. Examinaţi diagramele! Reprezentaţi sintetic mulţimea:

a) A, B şi C; b) A ∩ B, B ∩ C, A ∩ C;


c) A \ B, B \ C, A \ C; d) A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C; e) A ∪ B ∪ C şi A ∩ B ∩ C.

6. Aflaţi 3 elemente ale mulţimii: a) {3n − 4 | n ∈ N}; b) {5n − 1 | n ∈ N}; c) {7n − 5 | n ∈ N}; d) {8n − 3 | n ∈ N}; e) {9n − 4 | n ∈ N}; f) {6n − 7 | n ∈ N}.

7. Aflaţi A ∪ B şi A ∩ B, dacă: a) A = {3n + 1 | n ∈ Z} şi B = {3n + 1 | n ∈ N}; b) A = {4n + 3 | n ∈ N} şi B = {4n + 3 | n ∈ Z}; c) A = {7n + 3 | n ∈ Z} şi B = {7n + 3 | n ∈ N}; d) A = {5n + 3 | n ∈ N} şi B = {5n + 3 | n ∈ Z}.

8. Reprezentaţi sintetic (prin enumerarea elementelor) mulţimea resturilor împărţirii întregi la: a) −19; b) −32; c) −29; d) −51; e) −101.

9. Stabiliţi o relaţie între mulţimile A şi B, dacă: a) A = {3n + 2 | n ∈ Z} şi B = {3n − 1 | n ∈ Z}; b) A = {7n + 1 | n ∈ Z} şi B = {7n − 6 | n ∈ Z}; c) A = {8n + 3 | n ∈ Z} şi B = {8n − 5 | n ∈ Z}; d) A = {10n + 3 | n ∈ Z} şi B = {10n − 3 | n ∈ Z}; e) A = {11n + 2 | n ∈ Z} şi B = {11n − 9 | n ∈ Z}.

10. Reprezentaţi sintetic şi analitic mulţimea: a) {3n | n ∈ Z} ∩ {−2n | n ∈ Z}; b) {3n | n ∈ Z} ∩ {−5n | n ∈ Z}; c) {6n | n ∈ Z} ∩ {−5n | n ∈ Z}; d) {4n | n ∈ Z} ∩ {−7n | n ∈ Z}; e) {8n | n ∈ Z} ∩ {−3n | n ∈ Z}; f) {−9n | n ∈ Z} ∩ {4n | n ∈ Z}.

11. Reprezentaţi sintetic şi analitic mulţimea: a) {2n | n ∈ Z} ∩ {−5n | n ∈ Z} ∩ {−6n | n ∈ Z}; b) {3n | n ∈ Z} ∩ {−7n | n ∈ Z} ∩ {−9n | n ∈ Z}; c) {4n | n ∈ Z} ∩ {−3n | n ∈ Z} ∩ {−10n | n ∈ Z}; d) {5n | n ∈ Z} ∩ {−15n | n ∈ Z} ∩ {−6n | n ∈ Z}.

12. Convertiţi în număr zecimal:

a) ;1523− b) ;

1139− c) ;

1258− d) ;

4547− e) .

20311−

13. Examinaţi lista şi selectaţi numerele zecimale ce pot fi convertite în fracţii: 2,15, −3,7142135..., −1,(3), −9,(18656), −11,34(91), ,43 ,15− −0,135...

14. Convertiţi în fracţie numărul: a) −3,183; b) −32,017; c) 24,00107; d) −12,5627.

15. Convertiţi în fracţie numărul: a) −9,(18); b) −21,(217); c) −39,(2197); d) −19,(29876).

16. Convertiţi în fracţie numărul: a) −2,12(071); b) −5,13(8); c) −16,301(2); d) −27,023(71).

17. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: a) {x ∈ R | 94 ≤ x ≤ 97,8}; b) {x ∈ R | 10,5 ≤ x ≤ 51,16}; c) {x ∈ R | −8,5 ≤ x ≤ 32,7}; d) {x ∈ R | 3,3 ≤ x ≤ 5,19}; e) {x ∈ R | 2,(8) ≤ x ≤ 13,(12)}; f) {x ∈ R | −12 ≤ x ≤ 7,2(19)}.


18. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: a) {x ∈ R | 3,9 < x ≤ 5,7}; b) {x ∈ R | 6,9 < x ≤ 11,8}; c) {x ∈ R | −7,1 < x ≤ 9,1}; d) {x ∈ R | 7,4 ≤ x < 8,7}; e) {x ∈ R | 3,(2) ≤ x < 9,(17)}; f) {x ∈ R | −3,1≤ x < 9,5(43)}.

19. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: a) {x ∈ R | 2,7 < x < 3,6}; b) {x ∈ R | 4,1 < x < 5,19}; c) {x ∈ R | −3,01 < x < 7,2}; d) {x ∈ R | 0,4 < x < 9,5}; e) {x ∈ R | 8,3 < x < 9,04}; f) {x ∈ R | −53,8 < x < −1,7}.

20. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: a) {x ∈ R | x ≤ −7,5}; b) {x ∈ R | x ≤ −1,39}; c) {x ∈ R | x ≤ −28,2}; d) {x ∈ R | x ≤ −32,14}.

21. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: a) {x ∈ R | x < −1,6}; b) {x ∈ R | x < 23,04}; c) {x ∈ R | x < 17,18}; d) {x ∈ R | x < −85,(4)}.

22. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: a) {x ∈ R | x ≥ 14,8}; b) {x ∈ R | x ≥ −5,18}; c) {x ∈ R | x ≥ −55,9}; d) {x ∈ R | x ≥ −205,(14}.

23. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: a) {x ∈ R | x > 1,06}; b) {x ∈ R | x > −8,03}; c) {x ∈ R | x > 33,4(2}; d) {x ∈ R | x > −502,4(1}.

24. Scrieţi analitic intervalul: a) [−3,1; 4,7]; b) [−7,9; −3,5]; c) [−8,4; 1,35].

25. Scrieţi analitic intervalul: a) (−5,3; 9,4]; b) (−4,1; 11,2]; c) (−2,(3); 13,6].

26. Scrieţi analitic intervalul: a) [5,2; 12,3); b) [−2,7; −1,16); c) [−17,13; 4,25).

27. Scrieţi analitic intervalul: a) (2,6; 9,1); b) (−1,9; −1,04); c) (−9,06; 3,11).

28. Scrieţi analitic intervalul: a) (−∞, 4,7]; b) (−∞, −1,3]; c) (−∞, 2,(14)]. 29. Scrieţi analitic intervalul: a) (−∞, 8,1); b) (−∞, −1,04); c) (−∞, −12,6). 30. Scrieţi analitic intervalul: a) [2,14, ∞); b) [−3,05, ∞); c) [−5,71, ∞). 31. Scrieţi analitic intervalul: a) (−8,08, ∞); b) (−1,93, ∞); c) (−3,48, ∞). 32. Reprezentaţi pe axă: a) [−1,4; 2,3]; b) [−2,5; 12,3]; c) [−1,8; 2,9]. 33. Reprezentaţi pe axă: a) (−2,5; 11,7]; b) (−3,01; 6,7]; c) (−8,(4); 11,4]. 34. Reprezentaţi pe axă: a) [2,8; 15,3); b) [−4,1; −2,01); c) [−14,09; 2,63). 35. Reprezentaţi pe axă: a) (26,9; 28,5); b) (−7,4; −5,29); c) (−3,06; 2,7). 36. Reprezentaţi pe axă: a) (−∞, −1,6]; b) (−∞, −2,8]; c) (−∞, 3,(51)]. 37. Reprezentaţi pe axă: a) (−∞, 3,7); b) (−∞, −4,12); c) (−∞, 10,3). 38. Reprezentaţi pe axă: a) [5,14, ∞); b) [−2,38, ∞); c) [−4,72, ∞). 39. Reprezentaţi pe axă: a) (−33,1, ∞); b) (−14,2, ∞); c) (−5,19, ∞). 40. Recunoaşteţi intervalele reprezentate pe axă.


41. Recunoaşteţi intervalele reprezentate pe axă.






47. Scrieţi ca interval mulţimea: a) {x ∈ R | | x | ≤ 1,6}; b) {x ∈ R | | x | ≤ 0,01}; c) {x ∈ R | | x | ≤ 0,003}; d) {x ∈ R | | x | ≤ 4,82}; e) {x ∈ R | | x | ≤ 3,71}.

48. Rotunjiţi la întregi: a) 3,4 şi −3,4; b) 7,1 şi −7,1; c) 12,4 şi −12,4. 49. Rotunjiţi la întregi: a) 14,5 şi −14,5; b) 19,5 şi −19,5; c) 37,5 şi −37,5. 50. Rotunjiţi la întregi: a) 17,6 şi −17,6; b) 26,7 şi −26,7; c) 82,8 şi −82,8. 51. Aproximaţi prin adaos cu 0,1 (0,1-aproximarea prin adaos) numărul:

a) 37,526; b) 48,723; c) 1,874; d) 5,352; e) 17,284; f) 12,639. 52. Aproximaţi prin adaos cu 0,01 (0,01-aproximarea prin adaos) numărul:

a) −11,534; b) −21,593; c) −3,945; d) −7,225; e) −8,743; f) −19,458. 53. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01 (0,01-aproximarea prin lipsă) numărul:

a) 24,184; b) 27,274; c) 38,462; d) 82,571; e) 91,504; f) 13,842. 54. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01 (0,01-aproximarea prin lipsă) numărul:

a) −17,164; b) −38,528; c) −41,363; d) −9,484; e) −15,737; f) −24,636. 55. Calculaţi cu două zecimale exacte (0,01-aproximarea prin lipsă) numărul:

a) ;10 b) ;13 c) ;15 d) ;19 e) ;21 f) ;26 g) .31 56. Dacă se poate, scrieţi mai simplu A ∪ B pentru:

a) A = [2; 7,3] şi B = [−1,2; 4,1]; b) A = [−3,1; 2,4] şi B = [−2,7; 5,8]; c) A = [−5; 4,6] şi B = [−3,2; 9,2]; d) A = [2; 7,3] şi B = [−1,2; 4,1]; e) A = [−1,4; 8,3] şi B = [2,5; 10,3]; f) A = [−7,6; 2,5] şi B = [−3,9; 6,4].

57. Dacă se poate, scrieţi mai simplu A ∩ B pentru: a) A = [−5, 11] şi B = [−1, 15]; b) A = [−3, 27] şi B = [7, 33]; c) A = [−18, 16] şi B = [−6, 23]; d) A = [−9, 29] şi B = [−11, 17]; e) A = [−13, 14] şi B = [−4, 22]; f) A = [−24, 8] şi B = [−13, 12].

58. Dacă se poate, scrieţi mai simplu A \ B pentru: a) A = [−33, 2] şi B = [−35, −5]; b) A = [−11, 38] şi B = [3, 19]; c) A = [3, 18] şi B = [−5, 11]; d) A = [−13, 16] şi B = [7, 21]; e) A = [19, 54] şi B = [−17, 25]; f) A = [−42, 32] şi B = [−3, 56].


59. Enumeraţi numerele întregi din intervalul: a) [−23, 5]; b) [−16, 8]; c) [−11, 29]. 60. Enumeraţi numerele întregi din intervalul:

a) [−3,6; 7); b) [−6,2; 7); c) [−32,1; 15); d) [−8,18; 23); e) [−24,5; 17). 61. Enumeraţi numerele întregi din intervalul:

a) (−15,4; 18); b) (−19; 8,3); c) (−32; 14,2); d) (−19,6; 3,17); e) (−38; 25,2). 62. Enumeraţi numerele întregi din intervalul:

a) (−∞, 7,5]; b) (−∞, −15,8]; c) (−∞, 9,1]; d) (−∞, 18,4]; e) (−∞, 37,6]. 63. Enumeraţi numerele întregi din intervalul:

a) (−∞, 16,7); b) (−∞, −23,6); c) (−∞, 11,8); d) (−∞, 29,1); e) (−∞, 33,9). 64. Enumeraţi numerele întregi din intervalul:

a) [−32,1, ∞); b) [−42,3, ∞); c) [−19,4, ∞); d) [−5,16, ∞); e) [−2,732, ∞). 65. Enumeraţi numerele întregi din intervalul:

a) (−56, ∞); b) (−109, ∞); c) (−75, ∞); d) (−28, ∞); e) (−7, ∞). 66. Enumeraţi numerele reale care au modulul: a) 3,8; b) 7,3; c) 11,8; d) 18,9. 67. Scrieţi opusul numărului:

a) ;72− b) ;1016 c) −34,2; d) 13,2(19); e) −7,4(12). 68. Scrieţi opusul numărului:

a) ;133114 − b) ;6253 − c) ;5627 − d) ;2837 − e) .6758 − 69. Scrieţi ca fracţie inversul numărului:

a) −3,2(19); b) −19,4(38); c) −15,5(43); d) −2,17(302); e) −1,163(24). 70. Executaţi:

a) 4x(2a + 3); b) 2a(3z + 4); c) 7x(3c + 2); d) 5y(4a + 7); e) 8b(7x + 4). 71. Executaţi:

a) 2x(9a − 11); b) 3a(8z − 5); c) 9x(7c − 9); d) 13y(2a − 9); e) 15b(7x − 4). 72. Executaţi:

a) (2a + 3)(3b + 5); b) (4x + 5)(2a + 3); c) (8z + 7)(5b + 3); d) (6y + 7)(2c + 3); e) (9x + 4)(7y + 6); f) (11z + 4)(2d + 9).

73. Executaţi: a) (6a − 5)(2b + 3); b) (7x − 3)(4a + 5); c) (10z − 3)(4b + 9); d) (7y − 4)(4c + 5); e) (8x − 5)(2y + 9); f) (12z − 5)(5d + 2).

74. Executaţi: a) (3a − 5)(2b − 7); b) (8x − 3)(3a − 2); c) (12z − 5)(3b − 2); d) (8y − 3)(9c − 4); e) (9x − 4)(5y − 7); f) (15z − 4)(4d + 3).

75. Executaţi cu ajutorul unei formule: a) (2a + 5)(2a − 5); b) (8x + 3)(8x − 3); c) (12b + 5)(12b − 5); d) (5c + 7)(5c − 7); e) (6d + 5)(6d − 5); f) (10a + 7)(10a − 7).

76. Aplicând formula pătratului sumei, executaţi: a) (3a + 2)2 ; b) (4b + 3)2 ; c) (5c + 2)2 ; d) (6a + 5)2 ; e) (7a + 3)2.

77. Aplicând formula pătratului diferenţei, executaţi: a) (9a − 4)2 ; b) (3b − 2)2 ; c) (6c − 5)2 ; d) (7a − 2)2 ; e) (8a − 3)2.

78. Fie numărul real a. [a] = n dacă şi numai dacă a ∈ [n, n + 1). Aflaţi [a], dacă: a) a = 13,712; b) a = 28,17; c) a = 12 251; d) a = 3,1(28) ; e) a = 9,5(16).

79. Aflaţi [a], dacă: a) a = −7; b) a = 57; c) a = −11; d) a = 9; e) a = −12.


80. Aflaţi [a], dacă: a) a = −8,3; b) a = −7,2; c) a = −11,5; d) a = −9,8; e) a = −0,4.

81. Aflaţi a − [a], dacă: a) a = 5,12; b) a = 42,51; c) a = 76,31; d) a = 29,43; e) a = 19,371.

82. Aflaţi a − [a], dacă: a) a = −2,37; b) a = −5,17; c) a = −1,62; d) a = −34,134; e) a = −0,642.

83. Aproximaţi prin adaos cu 0,1: a) ;517 − b) ;519 − c) ;633 − d) ;747 − e) .861 −

84. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01: a) ;523 − b) ;626 − c) ;635 − d) ;741 − e) .863 −

85. Aproximaţi prin adaos cu 0,01: a) ;1715 − b) ;2221 − c) ;3735 − d) ;4341 − e) .6563 −

− II −

86. Aflaţi mulţimile X cu card X = 3, astfel încât X ⊂ }.7,5,3,2{− Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 87. Aflaţi numerele x şi y astfel încât {−5, −3, 12, 19, x} = {−5, y, −3, 4, 12}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 88. Reprezentaţi într-un sistem de axe ortogonale mulţimea A × B, dacă A = {−3,

−1, 4} şi B = {−2, 3}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 89. Fie mulţimile A şi B. Aflaţi card A ∪ B şi card ((A ∪ B) × (A ∩ B)) dacă card A

= 5, card B = 13 şi card A ∩ B = 3. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 90. Fie mulţimile A şi B. Aflaţi card A ∩ B şi card ((A ∪ B) × (A ∩ B)), dacă card A

= 15, card B = 42 şi card A ∪ B = 50. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 91. Reprezentaţi sintetic mulţimile X şi Y care verifică relaţiile: X ∪ Y = {1, 2, 3, 5,

7, 8, 10, 15}, X ∩ Y = {5, 7}, X \ Y = {1, 2, 3}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 92. Aflaţi mulţimea tuturor submulţimilor mulţimii M = {−3, −2, 11}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 93. Aflaţi zecimala de rang 200 a numărului: a) −1,(2984235); b) −7,832(2157326). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 94. Decideţi fără să calculaţi în ce tip număr zecimal (cu număr finit de zecimale,

număr zecimal periodic simplu, număr zecimal periodic mixt) se converteşte numărul:

a) ;125

1− b) ;

5121

− c) ;156

1− d) .

411

−

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 95. Aflaţi numerele raţionale a şi b pentru care numărul 53723 ba +−− este

număr raţional. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.


97. Explicitaţi modulul numărului: a) ;5473 − b) .103112 − Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 98. Rezolvaţi în R inecuaţia:

a) 3x + 7 < 3(x − 1) + 5; b) 3x + 7 < 3(x − 1) + 5; c) 8x + 12 < 5(x − 2) + 15. 99. Rezolvaţi în R inecuaţia:

a) 2(x + 8) − 14 < 4(x − 3) + 19; b) 9(x + 4) − 21 < 5(x − 8) + 31. 100. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii:

a) b) ⎩⎨⎧

−<++>−

;15851212553

xxxx

⎩⎨⎧

−<+−>−

.181171592178

xxxx

101. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii:

a) b) ⎩⎨⎧

−−<−−+−≤−−

;7)5(422)4(321)3(513)2(2

xxxx

⎩⎨⎧

−−<−−+−≤−−

.16)6(935)2(98)2(72)7(5

xxxx

102. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii:

a) b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−<++≤−

+>−

;3592451711158

15492

xxxx

xx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−<++≤−+>−

.296913541711

38183

xxxx

xx

103. Calculaţi media aritmetică a numerelor: a) 8,3 şi 12,7; b) a şi b. 104. Calculaţi media ponderată a numerelor:

a) 12 cu ponderea 1,2 şi 15 cu ponderea 2; b) a cu ponderea 0,8 şi b cu ponderea 0,6.

105. Calculaţi media geometrică a numerelor: a) 2,4 şi 4,8; b) a şi b. 106. Calculaţi media armonică a numerelor: a) 8,2 şi 12,6; b) a şi b. 107. Reprezentaţi sintetic mulţimea numerelor întregi care împărţite la −58 dau

câtul 39 şi împărţite la 56 dau câtul −41. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 108. Aflaţi câte numere naturale mai mici decât 2 000 se divid cu cel puţin unul

dintre numerele: 3, 5, 7. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 109. Scrieţi ca interval mulţimea:

a) {x ∈ R | | x + 0,7 | ≤ 5}; b) {x ∈ R | | x − 13 | ≤ 38}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 110. Scrieţi ca interval mulţimea:

a) {x ∈ R | | 2x + 9 | ≤ 19}; b) {x ∈ R | | 3x − 7 | ≤ 23}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 111. Scrieţi cu ajutorul intervalelor mulţimea:

a) {x ∈ R | | x | ≥ 5}; b) {x ∈ R | | 3x | ≥ 17}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 112. Scrieţi cu ajutorul intervalelor mulţimea:

a) {x ∈ R | | x + 18 | ≥ 32}; b) {x ∈ R | | x − 11 | ≥ 45}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 112. Scrieţi cu ajutorul intervalelor mulţimea:

a) {x ∈ R | | 5x + 3 | ≥ 11}; b) {x ∈ R | | 7x − 6 | ≥ 19};


c) {x ∈ R | | 5x + 4 | > 18}; b) {x ∈ R | | 9x − 14 | > 34}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

− III −

113. Fie card A = 41, card B = 25, card C = 32, card A ∩ B = 10, card A ∩ C = 9, card B ∩ C = 7 şi card A ∩ B ∩ C = 5. Calculaţi card A ∪ B ∪ C.

114. Aflaţi x pentru care {2x + 3, 5x − 8, 4x + 3} = {6x − 7, 3x − 2, 3x + 2}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 115. Reprezentaţi sintetic mulţimea { MOD 10 | n ∈ N}. n352Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 116. O culegere de probleme are 256 de pagini. Câte cifre s-au folosit la numerota-

rea paginilor cărţii, dacă numerotarea începe cu 3. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 117. Pentru numerotarea paginilor unui dicţionar s-au folosit 3 431 de cifre. Câte

pagini are cartea, dacă numerotarea începe cu pagina a 3-a? Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 118. Aflaţi zecimala de rang 3 650 a numărului: a) −7,12345...; b) −2,5455565758... Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 119. Fie numărul a = −8,71711173117... Descoperiţi succesiunea zecimalelor şi

apoi decideţi dacă numărul a este raţional. 120. Aflaţi exponentul lui 7 din descompunerea în factori primi a numărului 2 500! Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

121. În ce număr zecimal se poate converti numărul ,2

11

11+

++

+nnn

n ∈ N?

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 122. Ordonaţi crescător numerele:

a) m, n şi media aritmetică a numerelor m şi n; b) m, n şi media geometrică a numerelor m şi n; c) m, n şi media ponderată a numerelor m şi n cu ponderile 2 şi respectiv 3; c) m, n şi media armonică a numerelor m şi n.

123. Demonstraţi că: a) − 3,(7) = ;973− b) −5,2(15) = .

9902135−

124. Fie intervalul (a, b), t ∈ (0, 1) şi x = at + (1 − t)b. Ordonaţi crescător numerele a, b, x.

125. Fie intervalul (a, b), t ∈ (0, 1) şi x = .11 bt

tat

⋅−

+⋅ Ordonaţi crescător nume-

rele a, b, x.

126. Fie intervalul (a, b), t ∈ (0, 1) şi x = .1

11

bt

at

t⋅

−+⋅

−− Ordonaţi crescător nu-

merele a, b, x. 127. Cercetaţi dacă ecuaţia = 4 are soluţii întregi. 22 65 yx −128. Cercetaţi dacă există pătrate perfecte de forma 111...1. 129. Reprezentaţi într-un sistem de axe ortogonale mulţimea [−2, 3] × (−1, 4).


130. Rezolvaţi în R: a) b) ⎢⎣

⎡−≥−

−<−);134(7)14(5

)53(273xx

xx

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+<−−≥−

−<−

).716(2)95(8)56(3)92(8

)38(729

xxxx

xx

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

131. Cercetaţi dacă ,)1(...51

41

31

21

n

n−++−+− n ∈ N, este

număr întreg. 132. Aflaţi următorii doi termeni ai şirului:

4, −3, −5, 0, 14. 133. Examinaţi desenul! Pătratele reţelei au laturile de 1.

Aflaţi lungimile segmentelor reprezentate. 134. Calculaţi cât mai simplu:

a) ...;100

11011 +++ b) ...

81

41

211 ++++

135. Cercetaţi dacă există numărul m astfel încât ...41

31

211 ++++ < m.

136. Calculaţi suma tuturor „cifrelor “ primelor 10 000 de numere naturale. 137. Într-un tabel de 100 × 100 fiecare număr este media armonică a numerelor cu

care se învecinează. Unul dintre numere este .115 Aflaţi celelalte numere din tabel. 138. Reprezentaţi într-un sistem de axe ortogonale mulţimea {(x, y) ∈ Z × Z | | x +

4 | + | y − 6 | = 5}. 139. Cercetaţi dacă există numere întregi x şi y pentru care

.57834)37()113( 8233762857842 =−+− yx 140. Fie numărul întreg n. Notăm ordinul (numărul cifrelor) numărului n cu o(n).

Aflaţi )).57(( 0003o

Exerciţii suplimentare 141. Aflaţi restul împărţirii la 100 a numărului: a) b) ;2 3572 .532 3451

142. Aflaţi restul împărţirii la 100 a numărului: a) b) ;7 4512 .257 8731

143. Aflaţi restul împărţirii la 1 000 a numărului: a) b) ;2 3571 .102 3411

144. Aflaţi restul împărţirii la 1 000 a numărului .114567

145. Cu ajutorul simbolului sumei concentrate, scrieţi cât mai simplu:

a) ;1...31

211

n++++ b) .

21...

81

41

21

n++++

146. Calculaţi cât mai simplu:

a) b) ∑=

+n

i

n1

);23( ∑= +

n

i nn1

.)1(

1

147. Aflaţi câte numere mai mici decât 3 000 nu se divid cu nici unul dintre nume-rele 3, 5, 7.


148. Aflaţi numărul numerelor naturale inferioare lui 24 şi relativ prime cu 24, ϕ(24). Comparaţi rezultatul cu numărul fracţiilor ireductibile subunitare, cu numitorul 24.

149. Aflaţi ϕ(720) şi comparaţi rezultatul cu numărul tuturor numerelor mai mici decât 720 care nu se divid cu nici unul dintre divizorii lui 720.

150. Cu ajutorul rezultatelor anterioare, verificaţi teorema lui Euler: n = ⇒

ϕ(n) = (a − 1)(b − 1) =

pkba11 −− pk ba ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ban 1111 .

151. Fie a = . Controlaţi pentru care dintre valorile lui n: 3, 4, 5, 6, 7, este adevărată propoziţia: n divide a.

12 1 −−n

152. (Wilson) Fie a = (n − 1)! + 1. Controlaţi pentru care dintre valorile lui n: 3, 4, 5, 6, 7, este adevărată propoziţia: n divide a dacă şi numai dacă n este număr prim.

153. Fie a = Cercetaţi pentru care dintre valorile lui n: 2, 3, 4, 5, nu-mărul a este perfect.

).12(2 2 −− nn

154. Scrieţi sub formă de fracţie continuă numerele raţionale: a) 5,27; b) 3,(7); c) 6,2(5).

155. Scrieţi sub formă de fracţie continuă numerele iraţionale: a) ;5 b) ;7 c) ;10 d) .11

156. Scrieţi sub formă de fracţie continuă numărul de aur, ϕ = .2

51+

157. Scrieţi cât mai simplu:

a) ;

814

12

15

13

++

++ b) .

...616

16

12

++

++

158. Dezvoltaţi scrierea: a) [3; 1, 7, 8]; b) [11; (4)]; c) [9; (2, 3)]. 159. Fie [2; 1, 9, 8], [5; 4, 3, 1, 7, ...], [14; (5)], [10; 4, 7, 2], [9; (3, 8)]. Identificaţi

din listă numerele: a) raţionale; b) numerele iraţionale; c) numerele transcendente. 160. Controlaţi conjectura lui Goldbach pentru numerele naturale 21, 22, ..., 30. 161. (Euclid) Demonstraţi că există o infinitate de numere prime. 162. Demonstraţi că numărul 15 nu este raţional. 163. (Fermat) Fie p = 3. Controlaţi dacă pentru a număr natural par, 3 < a < 9, p

divide − 1. 1−pa

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Un număr care … se numeşte număr raţional. 2. Un număr raţional poate fi convertit în număr zecimal … 3. Un număr care … se numeşte număr iraţional. 4. Un număr zecimal … este un număr iraţional. 5. a) [c, d] = …; b) [m, n) = ... 6. (m − n)(m + n) = ...


7. a) = ...; b) = ... 2)( dc + 2)( cm −8. {x ∈ R | | x | ≤ a, a > 0} = ... 9. {x ∈ R | | x | ≥ b, a > 0} = ... Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 15 minute.

EVALUARE FORMATIVĂ

1. Convertiţi în fracţie numărul: a) −3,(37); b) −5,3(42). 2. Aproximaţi cu 0,01: a) prin lipsă

4,3762; b) prin adaos 2,5193. 3. Enumeraţi numerele raţionale din

lista: −1,00452452245222..., −7,2(178), ,16− ,9,4− 3,891, −13,69(2).

4. Scrieţi ca interval mulţimea {x ∈ R | | x | ≤ 3,(2)}. 5. Scrieţi cât mai simplu mulţimea A

∩ B pentru: a) A = [−7, 12] şi B = [−3, 18]; b) A = [−5, 26) şi B = [−1, 45). 6. Aproximaţi cu 0,01: a) prin lipsă ;637 − b) prin adaos .979 − 7. Aflaţi zecimala de rang 250 a nu-

mărului: a) −12,(19738); b) −32,12(8234). 8. Scrieţi cu ajutorul intervalelor: a) {x ∈ R | | 2x + 5 | ≤ 14};

b) ⎩⎨⎧

−<+−>−

.3115916432213

xxxx

9. Scrieţi cu ajutorul intervalelor: a) {x ∈ R | | 6x − 5 | ≥ 9};

b) ⎢ ⎣

⎡−<+−>−

.2431134924517

xxxx

1. Convertiţi în fracţie numărul: a) −8,(23); b) −9,1(72). 2. Aproximaţi cu 0,01: a) prin lipsă

6,328; b) prin adaos 4,1732. 3. Enumeraţi numerele raţionale din

lista: −3,00123112311123..., −8,3(253), ,5,2− ,81− 6,518, −14,26(7).

4. Scrieţi ca interval mulţimea {x ∈ R | | x | ≤ 4,(5)}. 5. Scrieţi cât mai simplu mulţimea A

∩ B pentru: a) A = [−9, 15] şi B = [−8, 24]; b) A = [−7, 38) şi B = [−2, 68). 6. Aproximaţi cu 0,01: a) prin lipsă ;863 − b) prin adaos .982 − 7. Aflaţi zecimala de rang 250 a nu-

mărului: a) −23,(31429); b) −19,46(7315). 8. Scrieţi cu ajutorul intervalelor: a) {x ∈ R | | 3x + 2 | ≤ 27};

b) ⎩⎨⎧

−<+−>−

.2624733941125

xxxx

9. Scrieţi cu ajutorul intervalelor: a) {x ∈ R | | 9x − 2 | ≥ 4};

b) ⎢⎣

⎡−<+−>−

.13512351142813

xxxx

Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 40 minute.

Un leneş mergea şi se plângea că nu îi ajung banii. La capătul unui pod îi sare în faţă cu dracul. „Vrei să faci rost de nişte bani?“ „Da!“ „Uite cum facem, de câte ori treci podul suma de bani pe care o ai se dublează şi îmi dai mie 56 lei.“ „De acord!“

Leneşul trece de trei ori podul şi rămâne fără bani. Ce sumă de bani a avut leneşul iniţial?


Capitolul II. Puteri şi radicali Operaţii cu numere reale. Adunarea şi înmulţirea numerelor reale au proprietăţi-

le adunării şi înmulţirii numerelor întregi. Adunarea: 1) este asociativă; 2) are 0 ele-ment neutru; 3) pentru fiecare număr real a există opusul său −a, astfel încât a + (−a) = 0; 4) este comutativă. Înmulţirea: 1) este asociativă; 2) are 1 element neutru; 3) ori-

ce număr real nenul a are un invers a1 = astfel încât ,1−a

a⋅a1 = 1; 4) este comutativă; 5) este distributivă faţă de

adunare. Reprezentarea radicalilor. Aplicând teorema lui Pita-

gora, se pot reprezenta segmente de lungimi ,2 3 etc. când se dă un segment de lungime 1 (v. reprezentarea geometrică).

Puteri întregi ale numerelor reale. 1) 1 = 1 pentru orice număr întreg m. 2) m m0

= 0 pentru orice număr întreg nenul m. 3) ( = m)1−⎩⎨⎧−

par.r num

imparr num

ă este dacă,1ă este dacă,1

mm

4) Dacă a ∈ R*, k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k⋅a m = a k + m. 5) Dacă a ∈ R*, k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k : a m = a k – m. În particular, = 1. 6) Dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, 0aatunci a 7) Dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, atunci mab)( = . .mmb mba ):( = : mm ba

8) nn a

a−=

1 pentru orice număr întreg n. Sgn x = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<−

.dac

dac

dac

0ă,10ă,00ă,1

xxx

Atenţie! nu are sens. 00Radicali. Fie numărul nenegativ a. Rădăcina pătrată a numărului a sau radi-

calul de ordinul 2 din a este numărul nenegativ b al cărui pătrat este a. Se scrie b = .a Pentru orice a ≥ 0, 2)( = a. Rădăcina pătrată a unui număr nenegativ se află a

prin extragerea rădăcinii pătrate. Prin extragerea rădăcinii pătrate cu o zecimală exactă se aproximează rădăcina pătrată prin lipsă cu 0,1, iar prin extragerea rădăcinii pătrate cu două zecimale exacte se aproximează rădăcina pătrată prin lipsă cu 0,01.

Formule de calcul cu radicali. Dacă a ≥ 0, b ≥ 0, atunci: 1) ;baab ⋅=

2) pentru b ≠ 0, ;ba

ba= 3) .2 baba = În general, dacă b ≥ 0, atunci:

;2 baba ||= ba = sgn a⋅ .2ba

Formulele radicalilor compuşi. ba + = ,22

22 baabaa −−+

−+ iar

ba − = .22

22 baabaa −−−

−+ Ele se aplică dacă a − b = 2 .2c

Cap. II. Puteri şi radicali 19

Raţionalizarea numitorilor unor rapoarte. Dacă numitorul unui raport este de forma: ,ba − atunci după amplificarea lui cu ba + se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a − b; ,ba + atunci după amplificarea lui cu ba − se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a − b.

Suplimentar. Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi raţionali sunt numere alge-brice. Numerele reale care nu sunt algebrice se numesc transcendente. În 1844 Joseph Liouville (1809−1882) a demonstrat că există numere transcendente. Numerele tran-

scendente ale lui Liouville sunt de forma 10A + 210

A + 610A + ... + !10n

A + ..., unde A

este un număr real nenul. În 1882 C.L.F. Lindemann (1852−1939) a demonstrat că π este un număr transcendent.

Fie C ∈ [AB] astfel încât .ACAB

BCAC

= Valoarea rapoartelor este egală cu numărul

de aur ϕ = 2

51+ = 1,6180339...

1. Puteri cu exponent întreg − I −

1. Enumeraţi baza şi exponentul puterii: a) (−2,5)5; b) (−7,(3))4; c) (−12,8(12))6; d) (−34,11)7.

2. Enumeraţi baza şi exponentul puterii: a) (−23,17(15))−3; b) (−234,3)−2; c) (456,8(29))−5; d) (276,11)−8.

3. Enumeraţi baza şi exponentul puterii:

a) ;173 11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− b) ;

232 19

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− c) ;

295 18

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− d) .

3129 56

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

4. Calculaţi: a) (−1)157; b) (−1)279; c) (−1)589; d) (−1)381; e) (−1)693; f) (−1)865.

5. Calculaţi: a) (−1)236; b) (−1)328; c) (−1)884; d) (−1)772; e) (−1)196; f) (−1)994.

6. Aplicând înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază, calculaţi: a) b) c) d) ;)1()1( 346235 −⋅− ;)1()1( 117826 −⋅− ;)1()1( 442339 −⋅− .)1()1( 688763 −⋅−

7. Aplicând înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază, calculaţi: a) b) c) d) . ;)1()1( 543123 −⋅− ;)1()1( 871619 −⋅− ;)1()1( 117533 −⋅− )1()1( 995961 −⋅−

8. Aflaţi sgn x, dacă x este: a) 782,1; b) 381,5; c) 991,6; d) 183,51; e) 945,12; f) 624,17.

9. Aflaţi sgn x, dacă x este: a) −26,(197); b) −18,3(14); c) −73,9(26); d) −154,(56); e) −284,(41).

10. Aflaţi sgn x, dacă x este: a) (−1,32)73; b) (−71,(49))591; c) (−58,(148))81; d) (−91,816)701.

11. Aflaţi sgn x, dacă x este: a) (−8,94)86; b) (−52,(65))96; c) (−63,(204))36; d) (−108,751)916.


12. Aflaţi sgn x, dacă x este: a) b) c) d) ;)7()5( 834673 −⋅− ;)5()3( 236381 −⋅− ;)8()9( 873344 −⋅− .)6()10( 899346 −⋅−

13. Aflaţi sgn x, dacă x este: a) b) c) d) ;)5()2( 911281 −⋅− ;)9()7( 653541 −⋅− ;)8()9( 873344 −⋅− .)13()15( 331775 −⋅−

14. Aplicând înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază, scrieţi ca putere: a) b) c) ;4,24,24,2 31174 ⋅⋅ ;7,37,37,3 462317 ⋅⋅ ;9,59,59,5 472318 ⋅⋅

d) e) f) ;2,82,82,8 873216 ⋅⋅ ;3,73,73,7 634538 ⋅⋅ .6,46,46,4 683188 ⋅⋅15. Aplicând înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază, aduceţi la forma cea mai simplă:

a) b) ;)6,3()6,3()6,3( 325613 −⋅−⋅− ;)9,1()9,1()9,1( 674325 −⋅−⋅−

c) d) ;)4,2()4,2()4,2( 814878 −⋅−⋅− .)5,4()5,4()5,4( 235481103 −⋅−⋅−16. Aplicând împărţirea puterilor cu aceeaşi bază, scrieţi ca putere:

a) b) c) ;5,1:5,1:5,1 133492 ;4,3:4,3:4,3 3826105 ;8,2:8,2:8,2 4872206

d) e) f) ;7,4:7,4:7,4 1665108 ;9,6:9,6:9,6 131124307 .3,5:3,5:3,5 152136452

17. Aplicând împărţirea puterilor cu aceeaşi bază, scrieţi ca putere: a) b) ;1,8:)1,8(:1,8 29113299 − ;4,7:)4,7(:4,7 54253341 −

c) d) ;3,9:)3,9(:3,9 106383537 − .2,6:)2,6(:2,6 231427845 −18. Scrieţi ca raport:

a) 3,(41) : (−23,12); b) 12,(34) : (−51,35); c) 75,(46) : (−68,13). 19. Scrieţi rezultatul simplificării raportului ca putere:

a) ;5,135,13

32

59

b) ;18,718,7

42

98

c) ;17,617,6

41

74

d) ;28,528,5

81

102

e) ;16,316,3

45

127

f) .24,424,4

112

137

20. Scrieţi rezultatul simplificării raportului ca putere:

a) ;13,913,9

185

121

b) ;1,421,42

283

215

c) ;27,727,7

245

183

d) ;95,895,8

741

642

e) ;53,253,2

526

452

f) .6,346,34

318

246

21. Scrieţi ca putere întreagă:

a) ;18,41

723 b) ;35,21

472 c) ;27,81

382 d) ;3,961

154 e) ;12,71

523 f) .9,521

528

22. Scrieţi ca putere inversul numărului: a) (−3,92)37; b) (−41,(38))81; c) (−54,(183))77; d) (−309,751)831.

23. Scrieţi ca putere inversul numărului:

a) ;8,311

384 b) ;4,461

882 c) ;3,851

217 d) ;1,151

335 e) ;6,241

456 f) .4,601

671

24. Scrieţi inversul numărului:

a) ;15,44,3

32

24

b) ;23,57,6

78

65

c) ;1,696,8

54

71

d) ;1,157,2

335

39

e) ;4,34

25,1153

38

f) .32,746,9

226

331

25. Scrieţi inversul numărului: a) b) c) d) e) f) . ;3,47 345− ;18,7 197− ;19,5 276− ;2,68 921− ;34,9 710− 4,10 375−

26. Efectuaţi: a) b) ;32 1911153 xaxa ⋅ ;26 34182117 xaxa ⋅


c) d) ;47 52268122 xaxa ⋅ .58 926735 xaxa ⋅27. Efectuaţi:

a) b) c) d) );7(8 7515 XX −⋅ );5(9 3885 XX −⋅− );9(6 8692 XX −⋅ ).11(4 9561 XX −⋅28. Efectuaţi:

a) b) c) ;733253 xxxx ⋅⋅⋅ − ;8523815 yyyy ⋅⋅⋅ − .23522914 aaaa ⋅⋅⋅ −

29. Efectuaţi: a) b) c) ;)()( 1613825124 −⋅ yxyx ;)()( 17811182116 −⋅ yxyx .)()( 271935221824 −− ⋅ yxyx

30. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;3248

3719

4514

yxyx b) ;

4596

4452

3147

yxyx c) ;

1365

4564

5285

yxyx d) .

78104

11575

12663

yxyx

31. Utilizând puterile cu exponent negativ, aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;4

12155

193

yxyx b) ;

1224

766

648

yxyx c) ;

1456

7321

5428

yxyx d) .

2472

6156

9645

yxyx

32. Scrieţi ca putere întreagă: a) a lui 2 numărul b) a lui 5 numărul ;0625,08 225 ⋅ ;0016,0125 318 ⋅

c) a lui 3 numărul d) a lui 6 numărul . ;)370(0,081 724 ⋅ )629(004,02961 916 ⋅33. Calculaţi:

a) n ∈ N; b) n ∈ N; c) n ∈ N; ,)1( 16 −− n ,)1( 34 −− n ,)1( 58 −− n

d) n ∈ N; e) n ∈ N; f) n ∈ N. ,)1( 16 −− n ,)1( 72 −− n ,)1( 710 −− n

34. Scrieţi folosind numai puteri cu exponenţi numere naturale: a) b) c) d) ;7 8533 −−− cba ;9 3979 −−− cba ;8 7625 −−− cba .13 13761414 −−− cba

35. Aflaţi numărul x pentru care: a) b) c) ;2256 2 x=− ;3729 3 x=− ;2512 4 x=−

d) e) f) ;5625 3 x=− ;6216 4 x=− .7343 5 x=−

− II −

36. Folosind numai puteri cu exponenţi numere naturale, aduceţi la forma cea mai simplă:

a) b) ;)(:)( 51229195853 −−−− cbacba .])[(:])[( 715895635511462923 −−−− cbacba37. Calculaţi:

a) ;5,0

7334

037

−

− −⋅ b) ;4,0

43

74

1

23

−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

c) .56

1])56[(:])56[(1

9374−

−−−− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

38. Calculaţi ,)1(

61

89:

325

742

372

−−

−

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

m

m ∈ N.


39. Aflaţi numărul raţional x pentru care: a) b) ;36216 7 x=− .625125 48 x=−

40. Aflaţi mulţimea numerelor reale x pentru care: a) | 5−x | = ;5−x b) | 7−x | = .7 x−

41. Aflaţi numerele reale x, y, z pentru care | 113−x | + | 62 −y | + | 53 −z | = 0.

− III −

42. Calculaţi n ∈ N, m ∈ N. ,2)1()1()1( 23)1(7)1( ⋅−+−−− −−− nmmnn

43. a) Calculaţi cât mai simplu .2...222 003232 ++++b) Aflaţi într-un mod asemănător .3...333 003232 ++++

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Procedând ca la rezolvarea exerciţiului 43 b), calculaţi .... 003232 nnnn ++++45. Calculaţi cât mai simplu:

a) ;2

1...21

21

21

004232 ++++ b) .5

1...51

51

51

004232 ++++

46. Comparaţi numerele: a) şi 33002− −200; b) şi 201100− .200 101−

47. Calculaţi:

.00421

00321

00221...

31

211...

001211

002211

003211

1111 ++++++

+++

++

++ −−−−

48. Aflaţi ecuaţia de grad minim care are coeficienţi raţionali şi are o soluţie .23 +

49. Fie numărul de aur ϕ = .2

51+

a) Aflaţi ecuaţia de grad minim care are ca soluţie numărul de aur. b) Ce relaţie există între şi ϕ + 1? 2ϕ

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Aplicând înmulţirea puterilor cu

aceeaşi bază, aduceţi la forma cea mai simplă .)5,1()5,1()5,1( 1097441 −⋅−⋅−

2. Aplicând împărţirea puterilor cu aceeaşi bază, scrieţi ca putere

.3,2:3,2:3,2 254278

3. Scrieţi ca putere întreagă .2,381

638

4. Scrieţi ca putere inversul număru-

lui: a) (−5,24)64; b) .2,451

426

5. Efectuaţi: a) ;125 6531749 xaxa ⋅

1. Aplicând înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază, aduceţi la forma cea mai simplă .)1,7()1,7()1,7( 569437 −⋅−⋅−

2. Aplicând împărţirea puterilor cu aceeaşi bază, scrieţi ca putere

.4,6:4,6:4,6 5172148

3. Scrieţi ca putere întreagă .2,761

552

4. Scrieţi ca putere inversul număru-

lui: a) (−9,38)137; b) .37,61

518

5. Efectuaţi: a) ;136 56498211 xaxa ⋅


b) .26512812 −− ⋅⋅⋅ bbbb6. Aflaţi opusul inversului număru-

lui: a) (−91,2)39; b) .4,281

518

7. Folosind numai puteri cu expo-nenţi numere naturale, aduceţi la forma cea mai simplă

. )(:)( 31641347598 −−−− cbacba8. Aflaţi numărul raţional x pentru

care: a) b) ;16512 9 x=− .81243 75 x=−

9. Calculaţi cât mai simplu

.7

1...71

71

71

002232 ++++

b) .58735325 −− ⋅⋅⋅ cccc6. Aflaţi opusul inversului numărului:

a) (−87,4)57; b) .38,71

725

7. Folosind numai puteri cu exponenţi numere naturale, aduceţi la forma cea mai simplă

.)(:)( 421532664713 −−−− cbacba 8. Aflaţi numărul raţional x pentru

care: a) b) ;64256 12 x=− .243729 54 x=−

9. Calculaţi cât mai simplu

.6

1...61

61

61

001232 ++++


2. Radicali − I −

1. Eliminaţi radicalul: a) ;1352 b) ;1312 c) ;1462 d) ;4592 e) ;6112 f) .4222

2. Eliminaţi radicalul: a) ;7,34 6 b) ;35,6 4 c) ;26,4 8 d) ;7,59 12 e) ;45,1 10 f) .9,2 28

3. Eliminaţi radicalul: a) ;)15,2( 2− b) ;)23,7( 2− c) ;)5,81( 2− d) ;)1,94( 2− e) .)3,59( 2−




a) ;1691 b) ;

25241 c) ;

64571 d) ;

81191 e) ;

144251 f) .

169271

7. Aplicând algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate (radicalului de ordinul doi), calculaţi cu o zecimală exactă:

a) ;71 b) ;57 c) ;85 d) ;95 e) ;102 f) .123 8. Aplicând algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate (radicalului de ordinul doi),

calculaţi cu o zecimală exactă : a) ;1,34 b) ;7,46 c) ;2,93 d) ;3,71 e) ;1,68 f) .4,49

9. Aplicând algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate (radicalului de ordinul doi),


calculaţi cu două zecimale exactă : a) ;35 b) ;45 c) ;79 d) ;91 e) ;105 f) .114

10. Aplicând algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate (radicalului de ordinul doi), calculaţi cu două zecimale exactă :

a) ;4,13 b) ;8,17 c) ;2,47 d) ;9,89 e) ;6,94 f) .8,195 11. Aflaţi numerele reale x pentru care există:

a) ;9,7−x b) ;8,3−x c) ;4,9+x d) ;7,13+x e) .4,39−x 12. Aflaţi numerele reale x pentru care există:

a) ;53 +x b) ;154 −x c) ;176 −x d) ;8,528 +x e) .6,385 −x 13. Aflaţi numerele reale x pentru care există:

a) ;)7,25( 6+x b) ;)8,57( 10+x c) ;)2,69( 14+x d) .)167,2( 18+x 14. Aflaţi numerele reale x pentru care există:

a) ;)3,23( 11−x b) ;)6,49( 13+x c) ;)7,86( 17−x d) .)1,245( 39+x 15. Eliminaţi radicalul:

a) ;)94,1( 2−x b) ;)72,5( 2−x c) ;)86,7( 2−x d) .)159,3( 2−x 16. Eliminaţi radicalul:

a) ;)9,76( 8+x b) ;)3,27( 4−x c) ;)6,55( 16−x d) .)7,238( 20−x 17. Eliminaţi radicalul:

a) ;)147,4( 10+x b) ;)151,3( 6−x c) ;)239,4( 22−x d) .)449,5( 26−x 18. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;175,131713178,3 +− b) ;154,17152,24154 +− c) ;233,82328239,15 +− d) .412,154151414,32 +−

19. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;7115117658 ++− b) ;11593271128315 +−− c) ;1435229149218 −+− d) .1443319514161371 +−−

20. Scoateţi factori de sub radical: a) ;156 b) ;448 c) ;656 d) ;728 e) ;864 f) .968

21. Scoateţi factori de sub radical: a) ;5 2a b) ;6 2x c) ;11 2c d) ;7 2y e) ;13 2d f) .17 2z

22. Scoateţi factori de sub radical: a) ;2 4x b) ;3 8y c) ;15 20d d) ;14 24c e) ;19 16z f) .19 12z

23. Scoateţi factori de sub radical: a) ;12 6x b) ;18 10y c) ;20 22d d) ;8 10c e) ;50 30z f) .28 14z

24. Scoateţi factori de sub radical: a) ,2 26x x > 0; b) ,5 2a a > 0; c) ,3 18y y > 0;

d) ,2 6z z > 0; e) ,7 38b b > 0; f) ,13 10c c > 0. 25. Scoateţi factori de sub radical:


a) ,32 10x x < 0; b) ,72 42a a < 0; c) ,98 6y y < 0;

d) ,75 14z z < 0; e) ,45 70b b < 0; f) ,80 74c c < 0. 26. Introduceţi factori sub radical:

a) ;514 b) ;615 c) ;716 d) ;318 e) ;219 f) .1121 27. Introduceţi factori sub radical:

a) ;722− b) ;523− c) ;625− d) ;1024− e) ;1126− f) .1427− 28. Introduceţi factori sub radical:

a) ;112 2a b) ;133 6b c) ;74 8c d) ;25 10x e) ;56 12y f) .67 14z 29. Introduceţi factori sub radical:

a) ,153x x < 0; b) ,19a a < 0; c) ,237y y < 0; d) ,2611z z < 0; e) ,2113b b < 0; f) ,2615c c < 0.

30. Aflaţi n ∈ N astfel încât: a) n < 231 < n + 1; b) n < 137 < n + 1; c) n < 213 < n + 1; d) n < 437 < n + 1; e) n < 527 < n + 1; f) n < 638 < n + 1.

31. Comparaţi numerele: a) 75 şi ;38 b) 117 şi ;68 c) 146 şi ;154 d) 311 şi ;58 e) 216 şi ;312 f) 517 şi .322

32. Ordonaţi crescător numerele: a) ,113 24 şi ;35 b) ,134 38 şi ;56 c) ,69 213 şi ;311 d) ,615 1311 şi .517

33. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;18072 − b) ;32045 − c) ;16298 − d) ;44863 − e) ;810160 − f) .275176 −

34. Executaţi: a) );711(3 + b) );136(5 + c) );115(7 + d) );103(13 + e) );713(11 + f) ).1551(17 −

35. Executaţi: a) );1733(3 − b) );1465(5 − c) );3935(7 − d) );1055(11 − e) );1139(13 − f) ).511(14 −

36. Executaţi: a) );11573(32 + b) );34112(75 + c) );13934(28 + d) );5762(114 + e) );11437(59 + f) ).7358(63 +

37. Executaţi: a) ;3:)6215( − b) ;5:)10153( − c) ;7:)21146( − d) ;5:)35308( − e) ;11:)55332( − f) .13:)65398( −

38. Efectuaţi aplicând o formulă de calcul: a) );1915)(1915( −+ b) );1517)(1517( −+


c) );1917)(1917( −+ d) );1921)(1921( −+ e) );1922)(1922( −+ f) ).2623)(2623( −+

39. Efectuaţi aplicând o formulă de calcul: a) );2157)(2157( −+ b) );2368)(2368( −+ c) );2679)(2679( −+ d) );29511)(29511 −+ e) );317118)(31118( −+ f) ).34139)(34139( −+

40. Efectuaţi aplicând o formulă de calcul: a) ;)115( 2+ b) ;)133( 2+ c) ;)116( 2+ d) ;)117( 2+ e) ;)1311( 2+ f) ;)1115( 2+ g) ;)1517( 2+ h) .)1019( 2+

41. Efectuaţi aplicând o formulă de calcul: a) ;)1113( 2− b) ;)1011( 2− c) ;)1013( 2− d) ;)1115( 2− e) ;)1317( 2− f) ;)1119( 2− g) ;)1523( 2− h) .)1726( 2−

42. Efectuaţi aplicând o formulă de calcul: a) ;)11234( 2+ b) ;)5927( 2+ c) ;)56311( 2+ d) ;)52713( 2+ e) ;)3576( 2+ f) .)23514( 2+

43. Efectuaţi aplicând o formulă de calcul: a) ;)7235( 2− b) ;)2756( 2− c) ;)7538( 2− d) ;)53211( 2− e) ;)37213( 2− f) .)711315( 2−

44. Raţionalizaţi numitorul raportului:

a) ;734 b) ;

567 c) ;

17115 d) ;

23138 e) ;

10719 f) .

191318


a) ;115211 b) ;

13837 c) ;

6274 d) ;

17111512 e) ;

197178 f) .

142139

− II −

46. Eliminaţi radicalul: a) ;)11253( 2− b) .)5473( 2− Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 47. Scoateţi factori de sub radical: a) ;)13235(8 6− b) .)3627(27 10− Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 48. Aflaţi numerele reale x pentru care:

a) .13)1135()1135(13 714 −=− xx

b) .2)257()572(2 1122 xx −=− 49. Scoateţi factori de sub radical:

a) ,)13(56 6−x dacă x ≥ 0,(3); b) ,)35(156 6−x dacă x ≤ 0,6. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.


50. Scoateţi factori de sub radical: a) ;)13(68,3 3−x b) .)52(48 7−x Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

51. Scoateţi factori de sub radical: a) ;32

53

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

xx b) .

265723

5

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

xx

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 52. Aduceţi la forma cea mai simplă

.2736273632233223 +⋅−⋅+⋅− 53. Scrieţi cât mai simplu inversul numărului:

a) ;5 b) ;37 c) ;111− d) ;723 − e) .3523 − 54. Aflaţi un număr x pentru care:

a) 17x ∈ Q; b) 85x ∈ Q; c) x)58( + ∈ Q; d) x)5132( + ∈ Q; e) x)7356( − ∈ Q.


a) ;71

2−

b) ;623

5+

c) ;5113

24−

d) .2732

215−+

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 56. Reproduceţi şi completaţi:

a) ;)......(1027 2+=+ b) .)......(21210 2−=− Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 57. Ordonaţi crescător numerele 27, 15 şi mediile lor: aritmetică, geometrică şi ar-

monică.

− III −

58. Aflaţi numerele reale x pentru care 22 )153()173( −+− xx = 32. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 59. Aflaţi numerele reale x pentru care .1533)33()15( 22 −=−+− xx Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 60. Aflaţi numerele reale x pentru care .4)11()15( 22 =−−+ xx Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 61. Aflaţi numerele reale x pentru care

.36)323()352()3( 222 =−+++− xxx Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

62. Demonstraţi formula: a) ba + = ;22

22 baabaa −−+

−+

b) ba − = .22

22 baabaa −−−

−+

63. Reproduceţi şi completaţi .)......(558 2+=+


64. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;7408218718882181...402131027 −+−++−+−

b) ;00520032

199910012

1...315

113

1+

++

+++

++

c) .0231264

1899260

1...1528

1324

1+

++

+++

++

65. Rezolvaţi în R inecuaţia .0)1537()112( 8856 ≤++− yx

66. Rezolvaţi în R inecuaţia .3)293,1(4)175,2(1 304290 ≥+−+−− yx

67. Rezolvaţi în R inecuaţia .5)154,23(16

8)35,19(1

3728896

≤−−

+−− yx

68. Pentru a, b, c numere nenegative, stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei: a) a + b + c ≥ ;acbcab ++ b) 3a + 2b + 5c ≥ .15106 acbcab ++

69. Aflaţi rădăcina pătrată a numărului .0032:0032...531

002100420032

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++++−

70. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei: .00921

00520012

99719931...

2117

139

51

<⋅⋅⋅⋅⋅

71. Fie numărul ϕ ′ = .2

51− Aflaţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi raţionali,

care este verificată de ϕ ′. 72. a) Demonstraţi că 15 nu este număr raţional.

b) Scrieţi 15 ca fracţie continuă.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE

1. ⎩⎨⎧

=−......

)1( n

2. Inversul numărului real nenul a este … 3. = ... pentru orice număr întreg m; = ... pentru orice număr întreg nenul m. m1 m04. Dacă a ∈ R*, k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k⋅a m = ...; dacă a ∈ R*, k ∈ Z şi m ∈ Z,

atunci a k : a m = ... În particular, = ... 0a5. Dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, atunci = ...; dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈

Z, atunci = ...

mab)(mba ):(

6. na1 = ...

7. Rădăcina pătrată a numărului a sau ... din a este numărul nenegativ b ...


8. Dacă a ≥ 0, b ≥ 0, atunci: 1) ab = ...; 2) pentru b ≠ 0, ba = ...; 3) ba2 = ...

9. Dacă b ≥ 0, atunci: ba2 = ...; ba = ... Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 20 minute.

EVALUARE FORMATIVĂ

1. Calculaţi cu o zecimală exactă: a) ;643 b) .8,37

2. Aflaţi numerele reale x pentru care există:

a) ;5x− b) .32 x− 3. Eliminaţi radicalul:

a) ;)3,25( 2−x b) .)4,73( 4−x 4. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;119,4117,3 − b) .3,185,1123,155,13 +−−

5. Scoateţi factori de sub radical: a) ;11 24xa b) ,)3( 6−x x < 3.

6. Introduceţi factori sub radical: a) ;73− b) .3 22 aab

7. a) Ordonaţi crescător ,193,175 .116

b) Aduceţi la forma cea mai simplă: −343 ;448 ).754(63 −

8. a) Scoateţi factor de sub radical: ,)34(5 142 −xx 0 < x < 0,75.

b) Raţionalizaţi numitorul şi adu-ceţi la forma cea mai simplă

.5273

1521−+


24211− + 104221− + ... +

.124112211−

1. Calculaţi cu o zecimală exactă: a) ;753 b) .3,84

2. Aflaţi numerele reale x pentru care există:

a) ;11x− b) .75 x− 3. Eliminaţi radicalul:

a) ;)5,18( 2−x b) .)5,56( 8−x 4. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;135,7138,5 − b) .3,259,1153,2119,17 +−−

5. Scoateţi factori de sub radical: a) ;13 28 yb b) ,)7( 6−y y < 7.

6. Introduceţi factori sub radical: a) ;75− b) .5 24 xxb

7. a) Ordonaţi crescător ,194,156 .68

b) Aduceţi la forma cea mai simplă: −216 ;486 ).563(75 −

8. a) Scoateţi factor de sub radical: ,)45(7 142 −xx 0 < x < 0,8.

b) Raţionalizaţi numitorul şi adu-ceţi la forma cea mai simplă

.73132

1426−+


1429− + 84219− + ... +

.914102209−



Capitolul III. Calcul algebric Operaţii cu expresii algebrice. Adunarea expresiilor algebrice se execută apli-

când proprietăţile adunării numerelor întregi. Monoamele asemenea sunt monoamele cu aceeaşi parte literală. Reducerea monoamelor asemenea constă în înlocuirea a două sau mai multe monoame asemenea cu un monom asemenea cu ele, având coefi-cientul egal cu suma algebrică a coeficienţilor monoamelor asemenea date. Termenii asemenea sunt expresii algebrice construite ca şi monoamele asemenea. În particular, monoamele asemenea sunt termeni asemenea. Reducerea termenilor se execută ca şi reducerea monoamelor asemenea. Exemple de monoame asemenea: 2X, −5X, −1,4X. Exemple de termeni asemenea: 7 ,4 3tx ,7 3tx− ;)4(, 3tx ,34− ,38,3 ,34− ;32 2(3a − 5), −3,2(19)(3a − 5).

Înmulţirea expresiilor algebrice. Înmulţirea expresiilor algebrice se execută apli-când proprietăţile înmulţirii numerelor întregi şi regulile de calcul cu puteri.

Înmulţirea a două polinoame. Forma canonică a unui polinom de gradul n are cel mult n + 1 termeni. Gradul produsului a două polinoame este egal cu suma grade-lor celor două polinoame.

Formule de calcul. Formulele de calcul se obţin aplicând regulile anterioare şi distributivitatea înmulţirii faţă de aduna-re şi scădere: 1) a(b + c) = ab + ac; 2) a(b − c) = ab − ac. Ambele formule se demonstrează geometric aplicând proprietăţile ariei dreptunghiului (v. de-senul). La fel se demonstrează că a(b + c + d) = ab + ac + ad.

Formule de calcul prescurtat. 1) Formula pătratului sumei cu doi termeni: 2)( ba + = 1′) .2 22 baba ++ 2)( ba + = a + ab2 + b. 2) Formula diferenţei pă-

tratului: = . 2′) 2)( ba − 2 22 baba +− 2)( ba − = a − ab2 + b. 3) Formula pro-dusului sumei cu diferenţa: (a + b)(a − b) = 3′) .22 ba − ))(( baba −+ = a − b. 4) Pătratul sumei de trei termeni: = + 2ab + 2bc + 2ac. 5) 2)( cba ++ 222 cba ++

Cubul sumei cu doi termeni: = 6) Cubul diferenţei: 3)( ba + .33 3223 babbaa +++3)( ba − = 7) = 8) (a − b) + .33 3223 babbaa −+− ))(( 22 bababa +−+ .33 ba + 2(a

ab + = 9) (Facultativ) Cubul sumei de trei termeni = )2b .33 ba + 3)( cba ++333 cba ++ + 3(a + b)(b + c)(a + c) = + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) − 333 cba ++

3abc. 10) (Facultativ) = − )...)(( 133221 nnnnnn babbababaaba ++++++− −−−− 1+na.1+nb 11) (Facultativ) = )...)(( 212332222122 nnnnnn babbababaaba +−+++−+ −−−−

12 +na + 12) Inegalitatea mediilor: m.12 +nb arm ≤ mg ≤ marit. Descompunerea în factori. Descompunerea în factori primi a unui polinom con-

stă în scrierea polinomului ca produs de polinoame prime. În cazurile studiate în acest moment polinoamele prime sunt, în afară de polinomele de gradul I, polinoamele de

Cap. III. Calcul algebric 31

forma unde a ∈ R. În cazul expresiilor algebrice ce conţine rapoarte alge-,22 aX +brice, descompunerea în factori se foloseşte cu precădere la aducerea lor la forma cea mai simplă. Pentru alte situaţii de descompunere în factori a unei expresii algebrice oarecare enunţul exerciţiului trebuie să conţină precizări suplimentare, deoarece în acest caz nu are sens noţiunea de factori primi.

Metode de descompunere în factori. 1) Metoda factorului comun constă în apli-carea formulei ab + ac = a(b + c). 2) Metoda grupării termenilor constă în gruparea convenabilă a termenilor expresiei date astfel încât să se poată aplica în continuare metoda factorului comun. 3) Aplicarea formulelor de calcul: = 22 2 baba ++ 2)( ba +sau = (restrângerea pătratului unei sume cu doi termeni sau a 22 2 baba +− 2)( ba −pătratului diferenţei); = (a + b)(a − b) (diferenţa pătratelor); + 22 ba − 222 cba ++2ab + 2bc + 2ac = (restrângerea sumei de trei termeni); + 2)( cba ++ 3a ba23 +

23ab + = sau − − = (restrângerea cubului 3b 3)( ba + 3a ba23 + 23ab 3b 3)( ba −sumei de trei termeni sau cubului diferenţei); = (suma 33 ba + ))(( 22 bababa +−+

cuburilor); = (diferenţa cuburilor) etc. 4) Metodele com-33 ba − ))(( 22 bababa ++−binate se aplică în situaţii nestandard.

1. Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere − I −

1. Înlocuiţi numărul care se repetă în expresia: a) 3⋅12 − 5⋅12 + 4⋅12 cu a; b) 8⋅3,5 − 11⋅3,5 + 17⋅3,5 cu b; c) 9⋅2,4 − 23⋅2,4 + 21⋅2,4 cu x; d) 1,4⋅5,8 − 1,9⋅5,8 + 16,9⋅5,8 cu y.

2. Înlocuiţi numărul care se repetă în expresia: a) 4⋅2,5 − 1,9⋅5,7 + 7⋅2,5 − 8⋅5,7 cu a sau b; b) 2,9⋅4 − 17,3⋅8 + 12,2⋅4 − 19,4⋅8 cu x sau y; c) 6,2⋅17 − 3,8⋅35 + 13,7⋅17 − 91⋅35 cu a sau b; d) 8,8⋅9 − 53,11⋅14,6 + 29,4⋅9 − 9,58⋅14,6 cu x sau y.

3. Înlocuiţi numărul care se repetă în expresia: a) 153 − 137,3 + 156,1 − 138,2 cu a sau b; b) 7,29 − 1,42,15 + 7,21,4 − 1,45,29 cu x sau y; c) 5,113,7 − 6,44,11 + 5,113,2 − 6,413,5 cu a sau b; d) 12,32,38 − 19,491 + 12,34,61 − 19,41,30 cu x sau y.

4. Înlocuiţi numărul care se repetă în expresia:

a) 31

572,1+

⋅ − 78

5213,9−

⋅ − 31

573,7+

⋅ + 78

5223,5−

⋅ cu a sau b;

b) 117

34,8−

⋅ − 25

342,13−

⋅ − 117

31,32−

⋅ + 25

3443,9−

⋅ cu x sau y;


c)3,43

1915,3−

⋅ − 221326,322,4

−⋅ −

3,43193,18−

⋅ + 221326,34,6

−⋅ cu a sau b;

d)7,33,1

132,6−

⋅ − 4,55,3141052,0

−⋅ −

7,33,1135,2−

⋅ + 4,55,3

141059−

⋅ cu x sau y.

5. Scrieţi perimetrul unui triunghi cu laturile de lungimi: a) a, b şi c; b) x, y şi z; c) a, c şi m; d) m, n şi p; e) c, d şi k.

6. Scrieţi perimetrul unui patrulater cu laturile de lungimi: a) a, b, c şi d; b) m, n, p şi q; c) a, c, m şi n; d) b, k, m şi p.

7. Scrieţi perimetrul unui pentagon cu laturile de lungimi: a) a, b, c, d şi e; b) m, n, p, q şi r; c) d, k, m, d şi s; d) c, p, m, r şi t.

8. Aflaţi perimetrul triunghiului cu laturile de: a) 2x, 5x şi 4x; b) 1,6x, 3,7x şi 2,5x; c) 6,2x, 3,8x şi 5,1x; d) 8x, 4,6x şi 9,7x; e) 15x, 14x şi 19x; f) 45x, 63x şi 31x.

9. Aflaţi perimetrul pătratului cu laturile de: a) 1,4x; b) 3,8a; c) 7,12x; d) 17,4x; e) 8,13x.

10. Aflaţi perimetrul rombului cu laturile de: a) 1,8x; b) 4,9a; c) 3,28x; d) 41,8x; e) 6,76x.

11. Aflaţi perimetrul paralelogramului cu laturile de: a) 4x şi 5y; b) 7a şi 8b; c) 11m şi 24n; d) 17p şi 51q.

12. Aflaţi perimetrul dreptunghiului cu laturile de: a) 2x şi 9y; b) 3a şi 5b; c) 89m şi 53n; d) 27p şi 43q.

13. Aflaţi perimetrul triunghiului isoscel cu laturile de: a) 2,4x, 2,4x şi 7,1a; b) 3,7x, 3,7x şi 8,3b; c) 5,2x, 5,2x şi 6,2c.

14. Aflaţi perimetrul trapezului isoscel cu: a) bazele de 3x, 1,3x şi laturile neparalele de 3,6m; b) bazele de 6x, 2,7x şi laturile neparalele de 4,2m; c) bazele de 8,5x, 3,05x şi laturile neparalele de 5,1m; d) bazele de 9,4x, 5,8x şi laturile neparalele de 10,4m; e) bazele de 11,5x, 9,4x şi laturile neparalele de 6,6m.

15. O sumă algebrică este formată din trei termeni asemenea. Adăugaţi încă doi ter-meni, dacă unul dintre ei este:

a) b) c) d) e) ;1,3 23 yx− ;25,4 35ba− ;38,6 411nm− ;3,7 28 pa− .6,8 56 yb−16. O sumă algebrică este formată din trei radicali asemenea. Adăugaţi încă doi ter-

meni, dacă unul dintre ei este: a) ;38,18,4− b) ;17,41,9− c) ;53,72,3− d) ;11,65,8− e) .21558−

17. Adăugaţi încă două monoame asemenea cu: a) ;3 45YX− b) ;6 29YX− c) ;11 313YX− d) ;2 612YX− e) .7 87YX−

18. Reduceţi termenii asemenea: a) 3x + 1,5x − 1,4x + 2,6x − 2,9x; b) 12x + 3,8x − 7,7x + 8,1x − 12,1x; c) 15x + 2,1x − 11x + 4,7x − 8,3x; d) 6,5x + 18x − 31,3x + 4,1x − 8,2x.

19. Reduceţi termenii asemenea: a) 2,6x5 − 4,1x3 − 14x5 + 52x3; b) 5,1y3 − 27y − 2,1y3 + 31,6y; c) 5,9z7 − 3,2z2 − 6,1 z7 + 8,7 z2; d) 10,4a13 − 4,1a10 − 30,1 a13 + 75,2 a10.


20. Aduceţi la forma cea mai simplă expresia: a) 5a − 7b + 12c − (13a − 4b + 7c); b) 12a − 15b + 32c − (44a − 29b + 53c); c) 41a − 62b + 4c − (31a − 9b + 2c); d) 53a − 24b + 9c − (57a − 29b + 71c).

21. Scrieţi în forma canonică: a) b) );212(52 4545 XXXX −−+− );1483(2975 10121012 YYYY −−−+−

c) d) );2153(67 6868 ZZZZ −−+− ).7225(3593 11151115 YYYY −−−+−22. Aduceţi la forma cea mai simplă (reduceţi radicalii asemenea):

a) );8,51,313(8,571,38 −−+− b) );5,3186,413(5,396,45 −−+− c) );194177(193179 −−+− d) ).53168213(5358211 −−+−

23. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 7a − 4,2b − 5(11a − 3b); b) 13a − 5,6b − 4(13a − 7b); c) 15a − 8,4b − 6(13a − 9b); d) 52a − 10,5b − 8(5a − 12b).

24. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 2(3x − 15y) − 4(7x − 18y); b) 9(5x − 29y) − 8(3x − 31y); c) 5(4x − 29y) − 7(9x − 25y); d) 12(10x − 5y) − 35(8x − 17y); e) 6(14x − 11y) − 3(21x − 32y); f) 16(2x − 40y) − 18(50x − 11y).

25. Aflaţi aria dreptunghiului cu laturile de: a) 3x şi 1,5y; b) 7a şi 1,1b; c) 32m şi 4,5n; d) 85p şi 2,4q.

26. Aflaţi aria dreptunghiului cu laturile de: a) 4x şi 3 + 2y; b) 5a şi 6 + 7b; c) 12m şi 4 + 3,9n; d) 19p şi 6,8 + 3q.

27. Aflaţi aria pătratului cu laturile de: a) 1,2x; b) 2,5a; c) 3,2m; d) 1,9p; e) 4,6b; f) 3,5n.

28. Aflaţi aria dreptunghiului cu laturile de: a) 7x şi 3x + 5y; b) 8a şi 4a + 9b; c) 5m şi 7m + 6n; d) 4p şi 9p + 2q.

29. Aflaţi aria dreptunghiului cu laturile de: a) 7x + 8y şi 7x − 8y; b) 3a + 11b şi 3a − 11b; c) 11m + 9n şi 11x − 9y; d) 13x + 2y şi 13x − 2y; d) 16c + 5d şi 16c − 5d; e) 17p + 4r şi 17p − 4r.

30. Aflaţi volumul cubului cu muchiile de: a) 6a; b) 8b; c) 5m; d) 7p; e) 11b; f) 9n.

31. Aflaţi paralelipipedului dreptunghic cu muchiile de: a) 2a, 3b şi 5c; b) 3x, 7y şi 8z; c) 8m, 9n şi 11p; d) 10d, 11e şi 12f.

32. Aflaţi paralelipipedului dreptunghic cu muchiile de: a) 11a, 4a şi 7a; b) 2x, 13x şi 9x; c) 4b, 12b şi 11b; d) 10d, 13d şi 15d.

33. Efectuaţi: a) );151020(5 +− b) );211015(6 +− c) );352114(7 +− d) ).773355(11 +−

34. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 3a(3a + 4b); b) 5x(7x + 2y); c) 6c(2c + 5d); d) 9z(5z + 4b).

35. Efectuaţi: a) 9a(7a − 3b); b) 8x(3x − 5y); c) 7c(9c − 8d); d) 6z(11z − 4b).



a) (x + 5)(x + 4); b) (a + 7)(a + 3); c) (b + 8)(b + 6); d) (y + 9)(y + 5). 37. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) (x − 3)(x + 9); b) (a − 5)(a + 9); c) (b − 4)(b + 7); d) (y − 8)(y + 6). 38. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) (x − 7)(x − 8); b) (a − 9)(a − 5); c) (b − 8)(b − 4); d) (y − 5)(y − 11). 39. Efectuaţi:

a) );26665)(1315( +−− b) );39691)(2621( +−− c) );61055)(1522( +−− d) ).141030)(4235( +−−

40. Efectuaţi: a) b) );41335(3 45125 −+−− XXXX );17879(11 782310 −+−− YYYYc) d) );31154(17 13143111 −+−− ZZZZ ).65311(23 12153656 −+−− XXXX

41. Efectuaţi: a) );16842)(2( 234 ++++− XXXXXb) );124816)(12( 234 ++++− XXXXXc) );243812793)(3( 2345 +++++− XXXXXXd) );1392781243)(13( 2345 +++++− XXXXXXe) );625151253625125255)(5( 23456 ++++++− XXXXXXXf) ).1525125625125362515)(15( 23456 ++++++− XXXXXXX

42. Efectuaţi: a) );16842)(2( 234 +−+−+ XXXXXb) );124816)(12( 234 +−+−+ XXXXXc) );625151253625125255)(5( 23456 +−+−+−+ XXXXXXXf) ).1525125625125362515)(15( 23456 +−+−+−+ XXXXXXX

43. Efectuaţi: a) );2(:)31545( 1016171819 xxxxx −−+−

b) );5(:)8131614( 2929303132 xxxxx −−+−

c) );4(:)10252318( 3737383940 xxxxx −−+−

d) ).8(:)16284935( 5757585960 xxxxx −−+−44. Efectuaţi:

a) b) ;)(:)( 326675 yxyx −− ;)(:)( 7545912 yxyx −−

c) d) ;)(:)( 67432635 yxyx −− .)(:)( 310832842 yxyx −−45. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul folosind numai puteri naturale:

a) b) ;)(:)( 10437108 yxyx −− ;)(:)( 394182114 yxyx −−

c) d) ;)(:)( 43265924 yxyx −− .)(:)( 951110328 yxyx −−46. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere:

a) b) c) d) ;)35( 1515 yxa + ;)54( 2323 bax + ;)72( 3131 zxy + .)97( 4343 dcb +


47. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere: a) b) c) d) . ;)27( 4545 yaa − ;)35( 3434 axx − ;)56( 5252 byy − )49( 6767 czz −

48. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere: a) b) c) ;)11()4( 1717 ++ xx ;)8()3( 1919 ++ aa ;)9()8( 2323 ++ bbd) e) f) ;)13()7( 5454 ++ cc ;)12()8( 7171 ++ dd .)16()6( 8585 ++ yy

49. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere: a) b) c) ;)12()7( 3333 −− xx ;)15()4( 3939 −− aa ;)5()11( 5858 −− bbd) e) f) ;)16()9( 6767 −− cc ;)19()5( 4444 −− dd .)8()13( 2828 −− yy

50. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere: a) b) c) ;)15(:)4( 5656 −+− xx ;)18(:)7( 4848 −+− xx ;)14(:)9( 6868 −+− bbd) e) f) ;)6(:)17( 5151 −+− cc ;)21(:)8( 3636 −+− dd .)24(:)5( 7373 −+− yy

− II −

51. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) x + 2x + 3x + 4x + ... + 100x; b) 2x + 4x + 6x + 8x + ... + 1 000x.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 52. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) b) ;... 10032 xxxx ++++ .... 10032 xxxx −−+−Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 53. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) b) ;... 50032 xxxx ⋅⋅⋅⋅ .... 800799321 −−−− ⋅⋅⋅⋅⋅ xxxxxFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

− III −

54. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) b) ;100...32 10032 xxxx ++++ ;100...32 10032 xxxx −−+−

c) ;200...43219932 xxxx

++++ d) .202...54320032 xxxx

−−+−


55. Reprezentaţi sintetic mulţimea ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈+−

∈ ZZ532

nnnn .


56. Stabiliţi dacă fracţia 3713

++

nn este ireductibilă pentru orice n ∈ N.


a) ...;121

121

121

32 +++ b) ...,11132 +++

xxx x > 1.

58. Produsul polinoamelor P(X) şi Q(X) are gradul 51. Ce grade pot avea cele două polinoame?


EVALUARE FORMATIVĂ

1. Reduceţi termenii asemenea: a) 4x − 13x + 9x − 19x; b) 3,7x − 8,2x + 6,4x − 5,6x.

2. Reduceţi termenii asemenea: a) 7a − 23b + 16a − 8b; b) .12182113 22 xxxx +−−

3. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 11a − 5d − 2(8a − 9d); b) 9(11x − 7z) − 5(12x − 13d).

4. Efectuaţi: a) 6x(15a − 13b); b) 35x(12x − 7y).

5. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (a + 18)(a + 4); b) (x − 13)(x − 14).

6. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) );64164)(4( 23 +++− xxxxb) ).139)(13( 2 ++− xxx

7. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) );255)(5( 2 +−+ bbbb) (6b + 1)⋅

).16362162961( 234 +−+− bbbb 8. Scrieţi cât mai simplu:

.15...151515 12032 ++++ 9. Reprezentaţi sintetic mulţimea

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈+−

∈ ZZ472 2

nnnn .

1. Reduceţi termenii asemenea: a) 22x − 17x + 16x − 45x; b) 6,2x − 5,9x + 7,8x − 4,5x.

2. Reduceţi termenii asemenea: a) 3a − 48b + 21a − 19b; b) .33161425 22 xxxx +−−

3. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 18a − 9d − 3(9a − 7d); b) 8(13x − 6z) − 6(11x − 14d).

4. Efectuaţi: a) 9a(13b − 11c); b) 28y(14y − 8y).

5. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (z + 17)(z + 5); b) (b − 15)(b − 12).

6. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) );2793)(3( 23 +++− yyyyb) ).1636)(16( 2 ++− xxx

7. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) );497)(7( 2 +−+ aaab) (5a + 1)⋅

).1525125625( 234 +−+− aaaa 8. Scrieţi cât mai simplu:

.17...171717 13032 ++++ 9. Reprezentaţi sintetic mulţimea

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈+−

∈ ZZ794 2

nnnn .


2. Formule de calcul − I −

1. Efectuaţi: a) (a + 5)(a − 5); b) (x + 7)(x − 7); c) (y + 11) (y − 11); d) (b + 9)(b − 9); e) (c + 8)(c − 8); f) (d + 13) (d − 13).

2. Efectuaţi: a) (3a + 2b)(3a − 2b); b) (7x + 3a)(7x − 3a); c) (9y + 5b)(9y − 5b);


d) (6a + 5b)(6a − 5b); e) (8x + 7a)(8x − 7a); f) (11y + 8b)(11y − 8b). 3. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi:

a) (11a + 9b)(11a − 9b); b) (12x + 7a)(12x − 7a); c) (13y + 8b)(13y − 8b); c) (17x + 4y)(17x − 4y); e) (19b + 8c)(19b − 8c); f) (21c + 11d)(21c − 11d).

4. Calculaţi rapid: a) 1 035⋅965; b) 2 027⋅1 973; c) 3 056⋅2 944; d) 5 082⋅4 916; e) 6 046⋅5 954; f) 7 024⋅6 976.

5. Calculaţi: a) );57)(57( −+ b) );23)(32( −+ c) );35)(53( −+ d) );310)(103( −+ e) );713)(137( −+ f) ).215)(152( −+

6. Calculaţi: a) );72113)(72113( −+ b) );58107)(58107( −+ c) );133104)(104133( −+ d) );152148)(152148( −+ e) );510611)(510611( −+ f) ).312513)(312513( −+

7. Efectuaţi: a) b) c) d) e) ;)13( 2+a ;)14( 2+x ;)15( 2+b ;)17( 2+y .)19( 2+z

8. Efectuaţi: a) b) c) d) e) ;)23( 2−a ;)24( 2−x ;)25( 2−b ;)27( 2−y .)29( 2−z

9. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: a) b) c) d) e) ;)32( 2+x ;)43( 2+a ;)65( 2+y ;)57( 2+b .)38( 2+z

10. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: a) b) c) d) e) ;)95( 2−x ;)37( 2−a ;)58( 2−y ;)114( 2−b .)113( 2−z

11. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi cât mai simplu: a) b) c) d) e) ;0152 2 ;0243 2 ;0414 2 ;0175 2 .0456 2

12. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi cât mai simplu: a) b) c) d) e) ;9852 2 ;9253 2 ;9454 2 ;9656 2 .9357 2

13. Reproduceţi şi completaţi: a) = − = ...; )93)(3( 2 ++− aaa )93( 2 ++ aaa )

))

)

93(3 2 ++ aab) = − = ...; )164)(4( 2 ++− bbb )164( 2 ++ bbb 164(4 2 ++ bbc) = − = ...; )255)(5( 2 ++− ccc )255( 2 ++ ccc 255(5 2 ++ ccd) = − = ... )366)(6( 2 ++− mmm )366( 2 ++ mmm 366(6 2 ++ mm

14. Reproduceţi şi completaţi: a) = = ...; )964)(32( 22 aaxxax ++− 33 (...)(...) −

b) = = ...; )252016)(54( 22 bababa ++− 33 (...)(...) −

c) = = ...; )16129)(43( 22 dcdcdc ++− 33 (...)(...) −

d) = = ...; )252016)(54( 22 bababa ++− 33 (...)(...) −

e) = = ... )363025)(65( 22 yxyxyx ++− 33 (...)(...) −


15. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: a) b) );41449)(27( 22 yxyxyx ++− );25159)(53( 22 bababa ++−

c) d) );644025)(85( 22 dcdcdc ++− );495664)(78( 22 nmnmnm ++−

e) f) );816349)(97( 22 yayaya ++− ).1216636)(116( 22 zpzpzp ++−16. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi cât mai simplu:

a) b) c) d) ;40042 33 − ;50053 33 − ;60064 33 − ;70075 33 −

e) f) g) h) ;80086 33 − ;90091 33 − ;20027 33 − .10019 33 −17. Reproduceţi şi completaţi:

a) = + = ...; )124)(12( 2 +−+ aaa )124(2 2 +− aaa )124( 2 +− aab) = + = ...; )139)(13( 2 +−+ bbb )139(3 2 +− bbb )139( 2 +− bbc) = + = ...; )1749)(17( 2 +−+ ccc )1749(7 2 +− ccc )1749( 2 +− ccd) = + = ... )1864)(18( 2 +−+ mmm )1864(8 2 +− mmm )1864( 2 +− mm

18. Reproduceţi şi completaţi: a) = = ...; )647281)(89( 22 yxyxyx +−+ 33 (...)(...) +

b) = = ...; )816349)(97( 22 bababa +−+ 33 (...)(...) +

c) = = ...; )644025)(85( 22 nmnmnm +−+ 33 (...)(...) +

d) = = ...; )253549)(57( 22 qpqpqp +−+ 33 (...)(...) +

e) = = ... )1219981)(119( 22 tststs +−+ 33 (...)(...) +19. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi:

a) b) );203549)(57( 22 yxyxyx +−+ );163681)(49( 22 bababa +−+

c) d) );644025)(85( 22 dcdcdc +−+ );92464)(38( 22 nmnmnm +−+

e) f) );364249)(67( 22 qpqpqp +−+ ).1697836)(136( 22 fefefe +−+20. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi cât mai simplu:

a) b) c) d) ;29982 33 + ;59953 33 + ;99914 33 + ;119895 33 +

e) f) g) h) ;39976 33 + ;49961 33 + ;89927 33 + .69949 33 +21. Reproduceţi şi completaţi:

a) = = (...) + ... + ...) = ...; 3)15( +a 2)15)(15( ++ aa 225( ab) = = (...) + ... + ...) = ...; 3)17( +m 2)17)(17( ++ mm 249( mc) = = (...) + ... + ...) = ...; 3)18( +x 2)18)(18( ++ xx 264( xd) = = (...) + ... + ...) = ...; 3)19( +p 2)19)(19( ++ pp 281( pe) = = (...) + ... + ...) = ...; 3)16( +b 2)16)(16( ++ bb 236( bf) = = (...) + ... + ...) = ... 3)14( +n 2)14)(14( ++ nn 216( n

22. Reproduceţi şi completaţi: a) = (...)3)73( yx + 3 + 3(...)2(...) + 3(...)(...)2 + (...)3 = ...;


b) = (...)3)25( ba + 3 + 3(...)2(...) + 3(...)(...)2 + (...)3 = ...; c) = (...)3)34( zy + 3 + 3(...)2(...) + 3(...)(...)2 + (...)3 = ...; d) = (...)3)56( cb + 3 + 3(...)2(...) + 3(...)(...)2 + (...)3 = ...; e) = (...)3)67( ed + 3 + 3(...)2(...) + 3(...)(...)2 + (...)3 = ...; f) = (...)3)38( tz + 3 + 3(...)2(...) + 3(...)(...)2 + (...)3 = ...

23. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi rapid: a) b) c) d) e) ;)25( 3ax + ;)34( 3by + ;)47( 3cz + ;)56( 3db + .)49( 3dc +

24. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi cât mai simplu: a) b) c) d) e) f) ;0052 3 ;0013 3 ;0024 3 ;0035 3 ;0051 3 .0016 3

25. Reproduceţi şi completaţi: a) = = (...) − ... + ...) = ...; 3)13( −a 2)13)(13( −− aa 29( ab) = = (...) − ... + ...) = ...; 3)17( −x 2)17)(17( −− xx 249( xc) = = (...) − ... + ...) = ...; 3)16( −m 2)16)(16( −− mm 236( md) = = (...) − ... + ...) = ...; 3)15( −d 2)15)(15( −− dd 225( de) = = (...) − ... + ...) = ...; 3)19( −n 2)19)(19( −− nn 281( nf) = = (...) − ... + ...) = ... 3)18( −p 2)18)(18( −− pp 264( p

26. Reproduceţi şi completaţi: a) = = (...) − ... + ...) = ...; 3)23( −a 2)23)(23( −− aa 29( ab) = = (...) − ... + ...) = ...; 3)37( −x 2)37)(37( −− xx 249( xc) = = (...) − ... + ...) = ...; 3)56( −m 2)56)(56( −− mm 236( md) = = (...) − ... + ...) = ...; 3)35( −d 2)35)(35( −− dd 225( de) = = (...) − ... + ...) = ...; 3)29( −n 2)29)(29( −− nn 281( nf) = = (...) − ... + ...) = ... 3)38( −p 2)38)(38( −− pp 264( p

27. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi rapid: a) b) c) d) e) ;)35( 3yx − ;)34( 3ba − ;)74( 3dc − ;)58( 3fe − .)49( 3zy −

28. Efectuaţi:

a) ;313

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

aa b) ;

212

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx c) ;

515

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

bb

d) ;616

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

zz e) ;

717

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

dd f) .

818

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

yy

29. Efectuaţi:

a) ;919

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xx b) ;

515

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

aa c) ;

414

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

bb


d) ;313

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

cc e) ;

616

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

dd f) .

717

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

mm

30. Efectuaţi:

a) ;212

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

aa b) ;

313

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx c) ;

414

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

bb

d) ;515

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

zz e) ;

616

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

dd f) .

717

3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

yy

31. Efectuaţi:

a) ;616

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xx b) ;

414

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

aa c) ;

717

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

cc

d) ;818

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

zz e) ;

919

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

dd f) .

11111

3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

yy

− II −

32. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: .711711 −⋅+ Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Aflaţi numerele întregi a şi b pentru care baba −⋅+ 1818 ∈ N. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 34. Aflaţi cifra zecilor numărului: a) b) ;827456 2 .329362 3

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 35. Raţionalizaţi numitorul raportului:

a) ;57

1−

b) ;613

1+

c) .73133

1+

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) + b) − 2)57( ba + ;)57( 2ba − 2)311( yx + .

.

)311( 2yx −Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) + b) − 3)25( dc + ;)25( 3dc − 3)58( yx + )58( 3yx −Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 38. Ordonaţi crescător numerele 3a2, 2b2 şi mediile lor: aritmetică, geometrică şi ar-

monică. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 39. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) 6⋅8⋅50⋅2 402; b) ).)...()()()(( 323222 yxyxyxyxyx ++++−

40. Completaţi până la un pătrat: a) sumă ; b) diferenţă 94 44 ba + .25 68 yx +

41. Aduceţi la forma cea mai simplă: .22322327 +−⋅++⋅+


42. Justificaţi printr-un desen dezvoltarea pătratului: a) sumă ; b) diferenţă )23( 2yx + .

2)( zyx ++

)4( 2yx −Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Justificaţi printr-un desen rezultatul produsului (5x + 3y)(5x − 3y). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Reproduceţi desenul şi descoperiţi cu ajutorul lui

dezvoltarea pătratului sumei de trei termeni . )( 2zyx ++Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 45. Controlaţi rezultatul anterior reproducând şi com-

pletând: = = ... 2)]([ zyx ++

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 46. Aplicaţi formula de mai sus pentru a dezvolta:

a) b) ;)523( 2cba ++ .)326( 2cba +−Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 47. Comparaţi:

a) şi 12ab; b) 22 94 ba + 2

2

2

2

9169

+ şi 2. 16 a

bba


− III −

48. Aduceţi la forma cea mai simplă .10299

1...85

152

1+

+++

++

49. Calculaţi ,abc dacă a = ,22 + b = 3 + ,27 + c = 3 − .27 + 50. Aduceţi la forma cea mai simplă

a) ;497502

1...1712

1712

172

1+

++

++

++

b) .79792198

1...47222

145214

1526

1+

++

++

++

51. Stabiliţi paritatea cifrei zecilor pătratului unui număr întreg cu ultima cifră: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

52. Stabiliţi paritatea cifrei zecilor cubului unui număr întreg cu ultima cifră: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

53. Fie numărul a = + 2n, n ∈ N. Aflaţi penultima cifră a numărului a, dacă ultima sa cifră este: 0, 3, 4, 5, 8, 9.

2n

54. Fie numărul a = n3 + 3n2 + 3n, n ∈ N. Aflaţi penultima cifră a numărului a, dacă ultima sa cifră este: 0, 3, 4.

55. Stabiliţi dacă există pătrate perfecte de forma: a) 3k + 2, k ∈ Z; b) 5k + 4, k ∈ Z. 56. Demonstraţi că orice număr de forma: a) + 1, n ∈ Z, este suma a trei pătra-

te perfecte; b) + 2, n ∈ Z, este suma a trei pătrate perfecte.

23n26n


57. Demonstraţi că nu există pătrate perfecte de forma − 4n + 2, n ∈ Z. 24nFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 58. Demonstraţi că nu există cuburi perfecte de forma:

a) + 3n + 2, n ∈ Z; b) + 12n + 7, n ∈ Z. 23 3nn + 23 6nn +Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 59. Aflaţi numerele n ∈ Z pentru care + + 240 să fie pătrat perfect. 4n 233nFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 60. Arătaţi că orice număr de forma + 3n + 1, n ∈ Z, este diferenţa a două

cuburi perfecte.

23n

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 61. Arătaţi că numărul ,2452 234 ++++ nnnn n ∈ Z, este iraţional. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemă-

nător. 62. Reproduceţi desenul şi descoperiţi cu

ajutorul lui dezvoltarea cubului sumei de trei termeni .)( 3cba ++

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemă-nător.

63. Controlaţi rezultatul anterior reprodu-când şi completând:

3)( zyx ++ zyx ++

))

= [ = ... 3)](Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemă-

nător. 64. Aplicaţi formula de mai sus pentru a

dezvolta: a) b) ;)32( 3zyx ++ .)453( 2cba +−


TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Monoamele asemenea au ... 2. Gradul produsului a două polinoame este egal cu … 3. a) a(b + c) = ...; b) a(b − c) = ... 4. (a + b)(a − b) = ... 5. a) = ...; b) = ... 2)( ba + 2)( ba −6. a) = ...; b) = ... 3)( ba + 3)( ba −7. = ... )(( 22 bababa ++−

8. = ... )(( 22 bababa ++−

9. = ... 2)( cba ++Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 20 minute.


EVALUARE FORMATIVĂ

1. Aplicând o formulă, executaţi: a) (4x + 3y)(4x − 3y); b) 325⋅275.

2. Aplicând o formulă, executaţi: a) b) ;)37( 2ba + .)45( 2ba −

3. Aplicând o formulă, calculaţi: a) b) ;0152 2 .9703 2

4. Aplicând o formulă, executaţi: a) b) ;)25( 3dc + .)34( 3zy −


6. Aplicând o formulă, executaţi: a) );24)(2( 22 aaxxax +−+

b) ).253036)(56( 22 nmnmnm ++−7. Raţionalizaţi numitorul raportului:

a) ;743

4−

b) .3527

6−


.10199

1...75

153

1+

+++

++


.10199

1...75

153

1⋅

++⋅

+⋅

1. Aplicând o formulă, executaţi: a) (5a + 2b)( 5a − 2b); b) 415⋅385.

2. Aplicând o formulă, executaţi: a) b) ;)56( 2yx + .)27( 2yx −


4. Aplicând o formulă, executaţi: a) b) ;)53( 3ma + .)45( 3db −


6. Aplicând o formulă, executaţi: a) );39)(3( 22 bbyyby +−+

b) ).162849)(47( 22 mkmkmk ++−7. Raţionalizaţi numitorul raportului:

a) ;634

5−

b) .2738

6−


.10098

1...64

142

1+

+++

++


.102100

1...86

164

1⋅

++⋅

+⋅


3. Descompuneri în factori − I −

1. Descompuneţi în factori aplicând metoda factorului comun: a) 3ab + 5bc; b) 8cd + 5ac; c) 17ax + 5ay; d) 13xz + 6xy.

2. Descompuneţi în factori aplicând metoda factorului comun: a) 9ay − 4az; b) 8cx − 5cy; c) 15ab − 7ac; d) 17mn − 7mp.

3. Calculaţi aplicând descompunerea în factori: a) b) ;21181215 22 ⋅−⋅ ;12212814 22 ⋅−⋅

c) d) . ;12301520 22 ⋅−⋅ 15423528 22 ⋅−⋅4. Descompuneţi în factori aplicând metoda grupării:

a) 7ax + 2ay + 14bx + 4by; b) 5cy + 8cz + 15by + 24bz;


c) 6am + 5an + 24bm + 20bn; d) 2mc + 9md + 10nc + 45md; e) 9mx + 5nx + 18my + 10ny; f) 7nz + 8nt + 21mz + 24mt.

5. Calculaţi aplicând descompunerea în factori: a) 8⋅17 + 8⋅33 + 9⋅17 + 9⋅33; b) 13⋅37 + 13⋅63 + 17⋅37 + 17⋅63; c) 11⋅41 + 11⋅59 + 19⋅41 + 19⋅59; d) 21⋅23 + 21⋅77 + 29⋅23 + 29⋅77; e) 23⋅19 + 23⋅41 + 27⋅19 + 27⋅41; f) 39⋅43 + 39⋅57 + 61⋅43 + 61⋅57.

6. Descompuneţi în factori aplicând metoda grupării: a) 9mx − 7my + 27nx − 21ny; b) 9az − 11at + 36bz − 44at; c) 11ap − 13bp + 33ac − 39bc; d) 12cx − 13cz + 60dx − 65dz; e) 13mz − 14mt + 65nz − 70nt; f) 12cx − 13cz + 60dx − 65dz.

7. Calculaţi aplicând descompunerea în factori: a) 11⋅23 − 11⋅47 + 19⋅23 − 19⋅47; b) 31⋅13 − 31⋅57 + 59⋅13 − 59⋅57; c) 13⋅33 − 13⋅67 + 87⋅33 − 87⋅67; d) 53⋅59 − 53⋅21 + 27⋅59 − 27⋅21.

8. Descompuneţi în factori aplicând metoda factorului comun: a) − 5n(2x + 5y); b) − 8p(5a + 2b); 2)52(8 yxm + 2)25(3 bas +

c) − 13c(4m − 9n); d) − 7b(8p − 3q). 2)94(11 nmd − 2)38(6 qpa −9. Descompuneţi în factori raţionali:

a) b) c) d) e) ;4 22 yx − ;9 26 ba − ;4 28 nm − ;9 62 qp − .16 102 db −10. Descompuneţi în factori raţionali:

a) b) c) d) e) ;35 42 nm − ;67 24 yx − ;52 26 qp − ;35 42 nm − .1011 28 ba −11. Descompuneţi în factori primi:

a) b) c) d) e) ;37 3 XX − ;48 3 XX − ;56 35 XX − ;32 46 XX − .49 79 XX −12. Descompuneţi în factori iraţionali:

a) b) c) ;114 yx − ;98 ba − ;1316 dc − d) ;1719 nm − e) .2325 qp −13. Calculaţi prin descompunere în factori:

a) b) c) d) e) ;1773 22 − ;1377 22 − ;1981 22 − ;1684 22 − .3367 22 −14. Calculaţi prin descompunere în factori:

a) b) c) d) e) ;13113 22 − ;24224 22 − ;56356 22 − ;57457 22 − .19519 22 −15. Reproduceţi şi completaţi până la un pătrat perfect:

a) + ... + b) + ... + c) + ... + 64x ;2y 49a ;8b 1025m ;9 2bd) + ... + e) + ... + f) + ... + 225 p ;6q 636c ;2d 849q .4r

16. Reproduceţi şi completaţi până la un pătrat perfect: a) − ... + 9; b) − ... + 36 c) − ... + 49; 8425 yx 244 ba 689 nm

d) − ... + 25; e) − ... + 9; f) − ... + 16. 10264 qp 2816 nm 6481 yx17. Restrângeţi pătratul:

a) b) c) ;4129 236 yyxx ++ ;94249 224 bbaa ++ ;1236 8424 yybb ++

d) e) f) ;42025 428 ++ amam ;94864 422 dcdc ++ .1881 2612 ppaa ++18. Restrângeţi pătratul:

a) b) c) ;92416 25410 +− baba ;120100 6122 +− axxa ;122121 326 +− yaya


d) e) f) ;819025 224 +− xbxb ;43681 5102 +− mppm .25120144 362 +− bccb19. Reproduceţi şi completaţi:

a) = b) = 33 ......125 ba +++ ;...)5( 3+a 63 ......64 ax +++ ;...)4( 3+xc) = d) = 96 ......27 cb +++ ;...)3( 32 +b 612 ......8 zy +++ ;...)2( 33 +ye) = f) = 315 ......216 md +++ ;...)6( 35 +d 1518 ......343 tz +++ ....)7( 36 +z

20. Restrângeţi cubul: a) b) ;6128 3223 babbaa +++ ;27279 32246 yyxyxx +++

c) d) ;8126 643269 nnmnmm +++ ;92727 324812 qqpqpp +++

e) f) ;1257515 96323 dcddcc +++ .125752464 1510523 tzttzz +++21. Reproduceţi şi completaţi:

a) = b) = 36 ......343 ba −+− ;...)7( 32 −a 96 ......125 ax −+− ;...)5( 32 −xc) = d) = 912 64...... dc −+− ;...)( 34 −c 1215 ......27 tz −+− ;...)3( 35 −ze) = f) = 318 216...... nm −+− ;...)( 36 −m 1821 729...... yx −+− ....)( 37 −x

22. Restrângeţi cubul: a) b) ;18108216 181246812 yyxyxx −+− ;123664 1283469 bbabaa −+−

c) d) ;21147343 2416623 dcddcc −+− ;27279 643269 nnmnmm −+−

e) f) ;8126 96323 qpqqpp −+− .000130030 128541015 ttztzz −+−23. Reproduceţi şi completaţi:

a) = 33 827 yx + ...);...9)(23( 2 +−+ xyxb) = 63 27125 ba + ...);...25)(35( 22 +−+ abac) = 93 72964 nm + ...);...16)(94( 23 +−+ mnmd) = 312 8343 dc + ...);...49)(27( 84 +−+ cdce) = 915 2764 qp + ...);...16)(34( 1035 +−+ pqpf) = 324 12564 yz + ...)....16)(54( 168 +−+ zyz

24. Descompuneţi în factori primi polinomul: a) b) c) d) e) ;83311 6 +X ;1125 6 +X ;2764 3 +X ;6427 6 +Y .8125 3 +Z

25. Descompuneţi în factori raţionali: a) b) c) d) e) ;1343 63 +xa ;127 93 +yb ;1125 129 +mc ;1216 153 +nb .164 183 +qp

26. Reproduceţi şi completaţi: a) = 63 6427 yx − ...);...9)(43( 22 ++− xyxb) = 69 278 nm − ...);...4)(32( 623 ++− mnmc) = 312 8125 ba − ...);...25)(25( 84 ++− abad) = 324343 nm − ...);...49)(7( 168 ++− mnme) = 315216 qp − ...);...36)(6( 105 ++− pqp


f) = 273 64125 dc − ...)....25)(45( 29 ++− cdc27. Descompuneţi în factori primi polinomul:

a) b) c) d) e) ;343 25 XX − ;125 4 YY − ;64 69 XX − ;27 710 YY − .8 811 ZZ −28. Descompuneţi în factori raţionali:

a) b) c) d) e) ;12563 −xa ;21639 −cb ;34396 −ym ;27312 −zc .729315 −pd29. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;)32(

322yx

ayax−− b) ;

)54(54

322

22

yxmymx

−− c) ;

)75(75

423

23

yxbybx

−− d) ;

)38(38

545

45

yxcycx

−−

e) ;)49(

4952

2

yxdydx

−− f) ;

)23(23

675

7353

yxynxn

−− g) ;

)74(74

658

5888

yxypxp

−− h) .

)53(53

257

6272

yxyqxq

−−


a) ;25452

22 yxyx

−− b) ;

16943

22 baba

−+ c) ;

253656

22 nmnm

−− d) ;

25953

22 dcdc

−−

e) ;491674

22 qpqp

−− f) ;

162545

22 srsr

−+ c) ;

44927

22 utut

−− d) .

98139

22 wvwv

−+


a) ;169

132 ++

+xx

x b) ;11025

1524

2

+++

xxx c) ;

44236

3

+++xx

x

d) ;1816

1448

4

+++xx

x e) ;6416

8214

7

+++xx

x f) .12122

1136

3

+++xx

x


a) ;4129

232 +−

−xx

x b) ;25204

5224

2

+−−xx

x c) ;16249

4336

3

+−−xx

x

d) ;42025

2548

4

+−−

xxx e) ;

2530953214

7

+−−xx

x f) .49284

7236

3

+−−xx

x


a) ;16128

1223 ++++

xxxx b) ;

19272713

23 ++++

xxxx c) ;

272793

23 ++++

xxxx

d) ;1124864

1423 ++++

xxxx e) ;

6448124

23 ++++

xxxx f) .

12575155

23 ++++

xxxx


a) ;8365427

2323 −+−−

xxxx b) ;

275436832

23 −+−−

xxxx c) ;

112486414

23 −+−−

xxxx

d) ;11575125

1523 −+−−

xxxx e) ;

1181082161623 −+−

−xxx

x f) .1257515

523 −+−−

xxxx


a) ;12521656

33 yxyx

++ b) ;

3436474

33 baba

++ c) ;

5122783

33 dcdc

++ d) ;

12534357

33 nmnm

++


e) ;6472949

33 qpqp

++ f) ;

6434347

33 srsr

++ g) .

12551258

33 vuvu

++


a) ;72951298

33 yxyx

−− b) ;

51272987

33 baba

−− c) ;

12572959

33 nmnm

−− d) ;

5122783

33 dcdc

−−

e) ;12521656

33 qpqp

−− f) ;

729892

33 srsr

−− g) .

1256454

33 susu

−−


a) ;278

96433

22

yxyxyx

++− b) ;

1256425201633

22

bababa

++− c) ;

125216253036

33

22

nmnmnm

++−

d) ;2764

9121633

22

qpqpqp

++− e) ;

3432749219

33

22

srsrsr

++− f) .

64343162849

33

22

vuvuvu

++−


a) ;6427

1612933

22

yxyxyx

−++ b) ;

6412516202533

22

bababa

−++ c) ;

273439214933

22

qpqpqp

−++

d) ;27216

9183633

22

tststs

−++ e) ;

27000193010033

22

nmnmnm

−++ f) .

834341449

33

22

vuvuvu

−++


a) ;1319

6−

b) ;1923

4−

c) ;2126

5−

d) .2931

2−

− II −

40. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;3021135212 −++ b) .4221370217 −−+

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Descompuneţi în factori:

a) până la radicali compuşi ;256 444 yxa −

b) primi polinomul .481 4 −XFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Descompuneţi în factori raţionali:

a) b) ;)35()47( 22 yxyx +−− .)94(9)56(36 22 baba +−−Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Descompuneţi în factori raţionali:

a) b) ;)54(25)92(4 22 yxyx +−− .16)37(

1 22 b

ba−

−

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Descompuneţi în factori raţionali .16)4( 22222 yxyx −+Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.


45. Descompuneţi în factori raţionali: a) ;)2(2)2( 22 ayxayx +−−−

b) .)23()23)(54(2)54( 22 yxyxyxyx −+−+−+Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 46. Descompuneţi în factori raţionali:

a) ;25204)103( 222 yxyxyx −+−+

b) .4202581364 2222 bbyyaaxx −−−+−Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 47. Descompuneţi în factori raţionali:

a) ;)13(3)13(3)13( 3223 yxyxyx +−+−+−

b) .8)27(6)27(12)27( 3223 xyxxyxxyx −−+−−−Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 48. Descompuneţi în factori raţionali:

a) ;)25()25)(38(3)25()38(3)38( 3223 +++−++−+− xxyxxyxyxb) .)67()67)(52(3)67)(52(3)52( 3223 yxyxyxyxyxyx +−+++++−+

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 49. Descompuneţi în factori raţionali:

a) b) ;27)59( 33 xyx +− .8)311( 33 yyx −+Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 50. Descompuneţi în factori raţionali:

a) b) ;)1()32(27 33 ++− xyx .)4()56(8 33 −−+ yyxFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 51. Descompuneţi în factori primi:

a) b) c) d) ;11122 ++ XX ;21102 +− XX ;7742 −+ XX .10452 −− XX52. Descompuneţi în factori primi:

a) b) c) ;11544 2 ++ XX ;11760 2 +− XX .1627 2 −− XX53. Aduceţi la forma cea mai simplă şi precizaţi dacă se modifică DVA:

a) ;94

)8()53(22

22

yxyxyx

−−−− b) .

25309259

22

22

yxyxyx++

−

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 54. Aduceţi la forma cea mai simplă şi precizaţi dacă se modifică DVA:

a) ;64259081)43()456(

22

22

−+−−−−−

yxyxxyx b) .

)292()637(64366025

22

22

+−−−−−++yxyx

yxyx

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 55. Aduceţi la forma cea mai simplă şi precizaţi dacă se modifică DVA:

a) ;343735525125

27)25(3223

33

yxyyxxyyx+++

+− b) .27)38(

272722512533

3223

xyxyxyyxx

−−−+−



56. Aduceţi la forma cea mai simplă şi precizaţi dacă se modifică DVA:

a) ;1582110

2

2

++++

xxxx b) ;

1661369

2

2

−−−+

xxxx c) ;

11865121117

2

2

++++

xxxx d) .

1133612099

2

2

+−+−

xxxx


− III −

57. Aflaţi numerele întregi x pentru care 3

12

−++

xxx este număr întreg.


58. Se ştie că x

x 1+ = 28. Calculaţi 2

2 1x

x + şi .13

3

xx +

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 59. a) Dezvoltaţi cu ajutorul unui desen b) Verificaţi rezultatul an-

terior prin calcul. .)( 2tzyx +++

60. Aduceţi la forma cea mai simplă .1212 −−+−+ xxxx Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 61. Descompuneţi în factori primi polinomul:

a) b) ;13 24 +− XX .13 24 ++ XXFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 62. Descompuneţi în factori primi polinomul:

a) b) c) ;124 ++ XX ;124 +− XX ;148 ++ XXFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 63. Descompuneţi în factori primi polinomul:

a) b) c) ;18 −X ;18 +X .116 −XFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 64. Pentru orice x ∈ R comparaţi cu 0:

a) b) ;12 ++ xx .12 +− xx65. Descompuneţi în factori primi polinomul:

a) b) ;)( 3333 ZYXZYX −−−++ .3)( 3333 XYZZYXZYX +−−−++66. Scrieţi ca sumă infinită:

a) ;1

1x+

b) ;1

1x−

c) .1

12xx ++

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. 22 YX − ... 2. 22 2 YXYX ++ = … 3. 22 2 YXYX +− = … 4. = … 3223 33 YXYYXX +++5. = … 3223 33 YXYYXX −+−


6. 33 YX + = ... 7. 33 YX − = ... 8. XZYZXYZYX 222222 +++++ = ... 9. (Facultativ) = ... ))()((3333 XZZYYXZYX ++++++Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 20 minute.

EVALUARE FORMATIVĂ

1. Descompuneţi în factori raţionali: a) b) ;2 64 yx − .34 22 YX −

2. Aplicând descompunerea în fac-tori, calculaţi:

a) 17⋅74 − 17⋅28 + 17⋅54; b) .27773 22 −

3. Descompuneţi în factori raţionali: a) ;3612 24 ++ aab) .81182 +− bb

4. Descompuneţi în factori raţionali: a) b) ;827 33 ax + .64 33 md −


.34327146

33

2

yxxyx

−−

6. Descompuneţi în factori raţionali: a) ;4)23( 22 xx −−

b) .)34(9 222 −− xyyx7. Descompuneţi în factori raţionali:

a) ;8126 64223 axaaxx +++

b) .92727 32246 bbxbxx −+−8. Aduceţi la forma cea mai simplă

şi precizaţi DVA:

.1640253616256036

222

222

aayyxayxyx

−+−−+−

9. Aflaţi numerele întregi x pentru

care 5

20102

−+−


1. Descompuneţi în factori raţionali: a) b) ;3 46 ba − .95 22 YX −

2. Aplicând descompunerea în fac-tori, calculaţi:

a) 19⋅83 − 19⋅35 + 19⋅52; b) .65835 22 −

3. Descompuneţi în factori raţionali: a) ;6416 24 ++ xxb) . 49142 +− by

4. Descompuneţi în factori raţionali: a) b) ;278 33 cb + .64 33 ba −


.27343

153533

2

yxxyx

−−

6. Descompuneţi în factori raţionali: a) ;9)35( 22 xx −−

b) .)29(4 222 −− xyyx7. Descompuneţi în factori raţionali:

a) ;92727 3246 aaxaxx +++b) . 1268 62423 bxbbxx −+−

8. Aduceţi la forma cea mai simplă şi precizaţi DVA:

.42436254366025

222

222

aayyxayxyx

−+−−+−

9. Aflaţi numerele întregi x pentru

care 6

29122

−+−




Capitolul IV. Ecuaţia de gradul II Ecuaţia de gradul I în R. Fie polinomul de gradul I cu coeficienţi reali aX + b.

Evident că a ≠ 0. Atunci ecuaţia ataşată acestui polinom, ax + b = 0, este o ecuaţie de

gradul I. Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei de gradul I ax + b = 0 este S = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

ab .

Rădăcina unui polinom de gradul I este soluţia ecuaţiei ataşate lui. Ecuaţia afină ax + b = 0 are coeficienţii reali a şi b. Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei afine ax + b =

0 este: S = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

ab , dacă a ≠ 0; S = R, dacă a = b = 0; S = ∅, dacă a = 0 şi b ≠ 0. La

rezolvarea unei ecuaţii afine se aplică proprietăţile egalităţii numerelor reale. Ecuaţia de gradul II în R. Fie polinomul de gradul II cu coeficienţi reali +2aX

bX + c. Evident că a ≠ 0. Atunci ecuaţia ataşată acestui polinom, + bx + c = 0, 2axeste o ecuaţie de gradul II. La rezolvarea unei ecuaţii de gradul II se aplică proprietă-ţile egalităţii numerelor reale şi teorema: un produs de numere reale este egal cu 0 dacă şi numai dacă cel puţin unul dintre factorii produsului este egal cu 0.

Ecuaţii de gradul II forme incomplete. 1) Ecuaţia = 0 are mulţimea soluţii-2axlor S = {0}. 2) Fie ecuaţia + bx = 0. + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0. Ecuaţia are 2ax 2ax

mulţimea soluţiilor S = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

ab,0 . 3) Fie ecuaţia + c = 0. Atunci + c = 0 ⇔ 2ax 2ax

2ax = − c ⇔ = 2x .ac

− a) Dacă ac < 0, atunci ecuaţia are S =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−ac

ac , .

b) Dacă ac > 0, atunci ecuaţia nu are soluţii reale sau S = ∅.

Ecuaţia de gradul II forma completă. Fie ecuaţia + bx + c = 0 cu a, b, c 2axnumere reale nenule. + bx + c = 0 ⇔ + 4abx + 4ac = 0 ⇔ + 4abx 2ax 224 xa 224 xa+ − + 4ac = 0 ⇔ − ) = 0. Numărul ∆ (se citeşte „delta“) = 2b 2b 2)2( bax + 4( 2 acb −

acb 42 − este discriminantul (realizantul) ecuaţiei. a) Dacă ∆ > 0, atunci = 1x

ab

2∆−− şi = 2x ,

2ab ∆+− iar S =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∆+−∆−−

ab

ab

2,

2. În particular, dacă: b =

2b′, atunci = 1x acbb −′−′− 2 şi = 2x ,2 acbb −′+′− iar S = ,2{ acbb −′−′−

}2 acbb −′−′− ; a = 1, atunci = 1x2

42 cbb −−− şi = 2x ,2

42 cbb −+− iar S =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∆+−∆−−

ab

ab

2,

2. b) Dacă ∆ = 0, atunci = = 1x 2x ,

2ab

− iar S = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

ab

2.

c) Dacă ∆ < 0, atunci ecuaţia nu are soluţii reale, S = ∅.

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II 52

Teoremă. Mulţimea soluţiilor în R ale unei ecuaţii de gradul II: a) are două ele-mente dacă şi numai dacă discriminantul său este mai mare decât 0 (∆ > 0); b) un sin-gur element dacă şi numai dacă discriminantul său este egal cu 0 (∆ = 0); c) mulţimea vidă dacă şi numai dacă discriminantul său este mai mic decât 0 (∆ < 0).

Rădăcinile reale ale polinomului de gradul II cu coeficienţi reali P(X) = 2aX+ bX + c. Numărul r este rădăcină a polinomului P(X), dacă P(r) = 0. a) Dacă ∆ > 0,

atunci polinomul are rădăcinile =1x ab

2∆−− şi =2x .

2ab ∆+− În particular, dacă: b

= 2b′, atunci polinomul are rădăcinile = 1x acbb −′−′− 2 şi = 2x ;2 acbb −′+′−

a = 1, atunci el are = 1x2

42 cbb −−− şi = 2x .2

42 cbb −+− b) Dacă ∆ = 0,

atunci rădăcinile polinomului sunt = = 1x 2x .2ab

− c) Dacă ∆ < 0, atunci polinomul

nu are rădăcini reale. Teoremă. Un polinom de gradul II: a) are două rădăcini reale diferite dacă şi

numai dacă are discriminantul mai mare decât 0 (∆ > 0); b) două rădăcini reale egale dacă şi numai dacă are discriminantul egal cu 0 (∆ = 0); c) nu are rădăcini reale dacă şi numai dacă are discriminantul mai mic decât 0 (∆ < 0).

Descompunerea polinomului de gradul II cu coeficienţi reali P(X) = + bX 2aX+ c. Dacă ∆ > 0, atunci P(X) = ),)(( 21 xXxXa −− unde rădăcinile şi sunt rădă-1x 2xcinile reale ale polinomului.

Teorema lui Viète pentru rădăcinile polinomului de gradul II + bX + c. 2aX

a) Dacă ∆ > 0, atunci polinomul are rădăcinile = 1xa

b2

∆−− şi = 2x .2a

b ∆+−

Suma rădăcinilor este s = = 21 xx + ,ab

− iar produsul rădăcinilor este p = = 21xx .ac

b) Dacă ∆ = 0, atunci rădăcinile polinomului sunt = = 1x 2x .2ab

− Suma rădăcinilor

este s = = 21 xx + ,ab

− iar produsul rădăcinilor este p = = 21xx .ac

Alte relaţii între coeficienţii şi rădăcinile polinomului de gradul II + bX 2aX+ c. Fie s = 21 xx + şi p = 1) Suma pătratelor rădăcinilor este = = .21xx )2(s 2

221 xx +

221 )( xx + − = − 2p. 2) Suma cuburilor rădăcinilor este = = 212 xx 2s )3(s 3

231 xx +

321 )( xx + − )( 2121 xxxx + = − 3sp. 3) + c = 0 ⇒ 3s 1

21 bxax + 1

21 x

abx + +

ac = 0 ⇒

121 sxx − + p = 0, (1). Analog se obţine relaţia + p = 0, (2). Înmulţind relaţia 2

22 sxx −

(1) cu obţinem + = 0, (3). Înmulţind relaţia (2) cu obţi-,21−nx 1

11−− nn sxx 2

1−npx ,2

2−nx

nem + = 0, (4). Adunând relaţiile (3) şi (4), obţinem − 122−− nn sxx 2

2−npx )( 21

nn xx +


)( 12

11

−− + nn xxs + = 0, de unde rezultă − + = 0, (5). )( 22

21

−− + nn xxp )(ns )1( −nss )2( −npsPolinom de gradul II cu rădăcinile date şi coeficientul dominant 1. Polinomul

de gradul II în nedeterminanta X cu coeficientul dominant 1 şi rădăcinile m şi n este 2X − sX + p, unde s = m + n şi p = mn. Relaţii între coeficienţii şi soluţiile ecuaţiei de gradul II + bx + c = 0. Dacă 2ax

∆ ≥ 0, atunci ecuaţia are soluţiile = 1xa

b2

∆−− şi = 2x .2a

b ∆+− Suma soluţiilor

este s = = 21 xx + ,ab

− iar produsul soluţiilor este p = = 21xx .ac

Alte relaţii între coeficienţii şi soluţiile ecuaţiei de gradul II + bx + c = 0. 2axFie s = şi p = 1) Suma pătratelor soluţiilor este = = − 2p. 21 xx + .21xx )2(s 2

221 xx + 2s

2) Suma cuburilor rădăcinilor este = = − 3sp. 3) + c = 0 ⇒ )3(s 32

31 xx + 3s 1

21 bxax +

121 x

abx + +

ac = 0 ⇒ + p = 0, (1). Analog se obţine relaţia + p = 0, 1

21 sxx − 2

22 sxx −

(2). Înmulţind relaţia (1) cu obţinem + = 0, (3). Înmulţind ,21−nx 1

11−− nn sxx 2

1−npx

relaţia (2) cu obţinem + = 0, (4). Adunând relaţiile (3) şi (4), ,22−nx 1

22−− nn sxx 2

2−npx

obţinem − + = 0, de unde rezultă − )( 21nn xx + )( 1

21

1−− + nn xxs )( 2

22

1−− + nn xxp )(ns

)1( −nss + = 0, (5). )2( −npsEcuaţia de gradul II cu soluţiile date. Ecuaţia de gradul II cu soluţiile m şi n este

2x − sx + p, unde s = m + n şi p = mn. Ecuaţia bipătrată. Ecuaţia de gradul IV de forma = 0 este o ecua-cbxax ++ 24

ţie bipătrată. O ecuaţie bipătrată se rezolvă cu ajutorul substituţiei = y. Soluţiile 2xreale ale ecuaţiei bipătrate se află rezolvând în R ecuaţiile = şi = unde 2x 1y 2x ,2y

1y şi sunt soluţiile reale ale ecuaţiei + by + c = 0. 2y 2ay

Numărul de aur. (Suplimentar) Fie punctul C ∈ (AB) astfel încât BCAC = .

ABBC

Considerăm AB = l şi BC = x şi se obţine x

xl − = lx = ϕ sau

ϕ1 − 1 = ϕ. După ce se

rezolvă ecuaţia de gradul II se obţine valoarea rapoartelor proporţiei, care este numă-

rul de aur ϕ = .2

51+ Pentru vechii greci, dreptunghiul cu raportul dimensiunilor ϕ

încântă privirea. Punctul C de mai sus împarte segmentul AB în „medie şi extremă raţie“. Numărul de aur a fost folosit atât de veche arhitectură greacă cât şi de arta şi arhitectura Renaşterii. În 1650 î.Hr. papirusul Rhind se referă la un „raport sacru “. De exemplu, raportul dintre înălţimea piramidei Gizeh şi lungimea laturii bazei sale este 1,618.


1. Ecuaţii. Rezolvarea ecuaţiei de gradul II − I −

1. Recunoaşteţi gradul polinomului: a) + 4X + 2; b) 5X23X− + 17; c) + + 2X + 5. 37X− 23X

2. Scrieţi ecuaţia ataşată polinomului: a) −7X + 2; b) −9X + 26; c) −12X − 13; d) −8X + 19.

3. Scrieţi ecuaţia ataşată polinomului: a) + 7X + 9; b) + 9X + 12; c) 28X− 25X− 22X− + 17X + 31.

4. Enumeraţi coeficienţii ecuaţiei în x, de forma ax + b = 0: a) 4x + 5 = 0; b) −11x + 9 = 0; c) 17x − 18 = 0; d) −19x + 11 = 0.

5. Enumeraţi coeficienţii ecuaţiei în y: a) −5y + 3 = 0; b) −23y + 7 = 0; c) 28y − 15 = 0; d) 16y − 7 = 0.

6. Enumeraţi coeficienţii ecuaţiei în x, de forma ax + b = 0: a) 3mx − 2(1 − 4m) = 0; b) 2(m − 1)x + 5(2 + 3m) = 0; c) 7(m + 1)x − 8(9 − 5m) = 0; d) 13(m − 8)x − 6(5m − 6) = 0.

7. Construiţi ecuaţia în x de forma ax + b = 0, echivalentă cu: a) 5x − 7 = 5; b) 9x − 11 = 2; c) 10x − 14 = 17; d) 15x − 58 = 21.

8. Construiţi ecuaţia în x de forma ax + b = 0, echivalentă cu: a) 8x + 15 = 3x + 12; b) 9x + 18 = 3x + 17; c) 91x + 37 = 51x + 43; d) 11x + 3 = 7x + 15; e) 26x + 4 = 7x + 83; f) 58x + 32 = 55x + 72.

9. Construiţi ecuaţia în x de forma ax + b = 0, echivalentă cu: a) (3x + 5)(3x − 5) = + 4x; b) (5x + 2)(5x − 2) = + 11x; 29x 225xc) (4x + 3)(4x − 3) = + 5x; d) (7x + 2)(7x − 2) = + 19x. 216x 249x

10. Construiţi ecuaţia în x de forma ax + b = 0, echivalentă cu: a) = b) = 2)32( +x ;)42( 2−x 2)12( +x ;)32( 2−xc) = d) = 2)14( +x ;)34( 2−x 2)15( +x ;)25( 2−xe) = f) = 2)23( +x ;)43( 2−x 2)16( +x .)56( 2−x

11. Construiţi ecuaţia în x de forma ax + b = 0, echivalentă cu: a) = (4x + 1)(4x − 1); b) = (2x + 3)(2x − 3); 2)74( +x 2)12( +xc) = (5x + 1)(5x − 1); d) = (3x + 4)(3x − 4); 2)15( +x 2)23( +xe) = (5x + 2)(5x − 2); f) = (6x + 5)(6x − 5). 2)35( +x 2)16( +x

12. Construiţi ecuaţia în x de forma x = ,ab

− echivalentă cu:

a) 3x + 5 = 0; b) 9x + 2 = 0; c) 7x + 3 = 0; d) 6x + 7 = 0; e) 5x + 12 = 0. 13. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) 5x + 12 = 7; b) 9x + 43 = 29; c) 12x + 17 = 26; d) 18x + 31 = 25. 14. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) 2x + 11 = 3x − 4; b) 3x + 15 = 7x − 13; c) 35x + 46 = 37x − 19; d) 7x + 33 = 9x − 14; e) 21x + 42 = 25x − 8; f) 41x + 26 = 45x − 48.


15. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 3(7x + 2) = 4(3x − 2); b) 5(2x + 3) = 2(7x − 5); c) 4(6x + 5) = 5(2x − 3); d) 5(9x + 1) = 7(2x − 3); e) 8(2x + 3) = 6(2x − 5); f) 9(5x + 3) = 8(7x − 2).

16. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 2x(5x + 1) = (2x − 1)(5x − 1); b) 4x(3x + 2) = (3x − 1)(4x − 1); c) 7x(2x + 3) = (2x − 3)(7x − 2); d) 3x(5x + 7) = (3x − 2)(5x − 2); e) 9x(2x + 5) = (2x − 1)(9x − 1); f) 8x(3x + 1) = (3x − 1)(8x − 1).

17. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (3x + 2)(5x + 1) = 5x(3x − 4); b) (2x + 1)(3x + 1) = 3x(2x − 1); c) (6x + 1)(2x + 1) = 4x(3x − 5); d) (3x + 5)(7x + 1) = 7x(3x − 5); e) (5x + 2)(3x + 1) = 5x(3x − 8); f) (8x + 1)(3x + 2) = 6x(4x − 7).

18. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (2x + 3)(2x − 3) = b) (3x + 4)(3x − 4) = ;)52( 2+x ;)43( 2+xc) (2x + 5)(2x − 5) = d) (4x + 3)(4x − 3) = ;)32( 2+x ;)34( 2+xe) (5x + 2)(5x − 2) = f) (6x + 1)(6x − 1) = ;)35( 2+x .)56( 2+x

19. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) | x | = 11; b) | x | = 14; c) | x | = 56; d) | x | = 29; e) | x | = 43.

21. Rezolvaţi în R: a) | x − 1 | = 9; b) | x − 2 | = 3; c) | x − 3 | = 5; d) | x − 5 | = 15.

22. Rezolvaţi în R: a) | 2x − 3 | = 2; b) | 3x − 2 | = 5; c) | 4x − 3 | = 7; d) | 5x − 4 | = 8.

23. Rezolvaţi în R: a) = 2; b) = 7; c) = 10; d) = 26; e) = 31. 2x 2x 2x 2x 2x

24. Aflaţi lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic cu lungimile catetelor de: a) 2 cm şi 7 cm; b) 8 cm şi 3 cm; c) 12 cm şi 5 cm; d) 8 cm şi 13 cm.

25. Aflaţi lungimea unei catete a unui triunghi dreptunghic cu lungimea celeilalte catete şi lungimea ipotenuzei respectiv egale cu:

a) 3 cm şi 11 cm; b) 4 cm şi 15 cm; c) 5 cm şi 17 cm; d) 8 cm şi 19 cm. 26. Aflaţi lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic,

dacă lungimea unei catete şi lungimea proiecţiei sale pe ipotenuza triunghiului res-pectiv egale cu:

a) 13 cm şi 12 cm; b) 15 cm şi 11 cm; c) 31 cm şi 4 cm; d) 21 cm şi 5 cm; e) 17 cm şi 6 cm; f) 22 cm şi 7 cm.

27. Aflaţi lungimea unei catete a unui triunghi dreptunghic, dacă lungimea proiec-ţiei sale pe ipotenuza triunghiului şi înălţimea corespunzătoare ipotenuzei lui sunt respectiv egale cu:

a) 14 cm şi 5 cm; b) 5 cm şi 12 cm; c) 8 cm şi 13 cm; d) 15 cm şi 8 cm. 28. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) = −9; b) = −16; c) = −25; d) = −81. 2x 2x 2x 2x29. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) = 9; b) = 16; c) = 81; d) = 25; 2)4( −x 2)7( −x 2)5( −x 2)8( −x


e) = 36; f) = 49; g) = 64; h) = 4. 2)9( −x 2)11( −x 2)12( −x 2)13( −x30. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) = 4; b) = 16; c) = 9; d) = 25. 2)12( −x 2)13( −x 2)14( −x 2)15( −x31. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) = −2; b) = −5; c) = −7; d) = −9. 2)15( −x 2)13( −x 2)14( −x 2)16( −x32. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) (x + 4)(x + 7) = 0; b) (x + 5)(x + 9) = 0; c) (x + 11)(x + 17) = 0. 33. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) − 16 = 0; b) − 9 = 0; c) − 25 = 0; d) − 49 = 0. 2x 2x 2x 2x34. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) − 19 = 0; b) − 21 = 0; c) − 35 = 0; d) − 71 = 0. 2x 2x 2x 2x35. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului:

a) 2X − 11; b) 2X − 17; c) 2X − 26; d) 2X − 67; e) 2X − 73. 36. Rezolvaţi în R:

a) − 39 = 0; b) − 44 = 0; c) − 30 = 0; d) − 42 = 0. 23x 24x 25x 27x37. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului:

a) 22X − 27; b) − 42; c) 23X 24X − 52; d) − 35; e) − 66. 25X 26X38. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului:

a) 2X− + 9; b) 2X− + 4; c) 2X− + 16; d) 2X− + 49; e) 2X− + 81. 39. Aflaţi polinomul ale cărui rădăcini sunt soluţii ale ecuaţiei:

a) − 20 = 0; b) − 17 = 0; c) − 14 = 0; d) − 18 = 0. 29x 24x 225x 225x40. Aflaţi polinomul ale cărui rădăcini sunt soluţii ale ecuaţiei:

a) = 35; b) = 5; c) = 11; d) = 3; e) = 17. 24x 216x 29x 225x 264x41. Aflaţi polinomul ale cărui rădăcini sunt soluţii ale ecuaţiei:

a) = 19; b) = 21; c) = 15; d) = 18. 2)87( −x 2)43( −x 2)84( −x 2)116( −x42. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) + 25 = 0; b) + 64 = 0; c) + 49 = 0; d) + 64 = 0. 2x 2x 2x 2x43. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului:

a) 2X + 28; b) 2X + 29; c) 2X + 41; d) 2X + 59. 44. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) + 961 = 0; b) + 325 = 0; c) + 841 = 0; d) + 562 = 0. 26x 25x 27x 28x45. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului:

a) + 22; b) 2423X X + 76; c) 25 + 46; d) 29 + 48. X X46. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) (x + 1)(x + 2,3)(x − 1,7(31)) = 0; b) (x + 5)(x + 4,8)(x − 2,2(42)) = 0; c) (x + 6)(x + 4,7)(x − 9,3(57)) = 0; d) (x + 9)(x + 8,3)(x − 4,6(27)) = 0.

47. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) − 3 = 23; b) − 4 = 36; c) − 7 = 75; d) − 12 = 8; 2x 2x 2x 2xe) − 5 = 92; f) − 8 = 28; g) − 9 = 95; d) − 26 = 34. 2x 2x 2x 2x


48. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) − 11 = 2; b) − 15 = 6; c) − 38 = 4; d) − 95 = 3. 29x 27x 25x 28x

49. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 2x(4x + 3) = 0; b) 7x(5x + 2) = 0; c) 9x(3x + 8) = 0; d) 6x(8x + 7) = 0.

50. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) 11x(5x − 7) = 0; b) 5x(3x − 7) = 0; c) 4x(8x − 5) = 0; d) 7x(5x − 9) = 0.

51. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) − 5x = 0; b) − 7x = 0; c) − 7x = 0; d) − 8x = 0. 23x 25x 26x 29x

52. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) − 8x = 0; b) − 4x = 0; c) − 9x = 0; d) − 5x = 0. 213x 237x 229x 242x

53. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) 2X + 7X; b) 2X + 15X; c) 2X + 29X; d) 2X + 31X.

54. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) − 5X; b) − 9X; c) − 15X; d) 29 − 16X. 26X 27X 28X X

55. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) 24X− − 7X; b) − 4X; c) 25X− 22X− − 71X; d) − 93X. 28X−

56. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) − 16 = 0; b) − 81 = 0; c) − 121 = 0; 2)1( −x 2)2( −x 2)5( −xd) − 256 = 0; c) − 169 = 0; d) − 196 = 0. 2)8( −x 2)6( −x 2)7( −x

57. Aflaţi polinomul ale cărui rădăcini sunt soluţii ale ecuaţiei: a) − 124 = 0; b) − 192 = 0; c) − 951 = 0; 2)13( −x 2)85( −x 2)94( −xd) − 156 = 0; e) − 16 = 0; f) − 351 = 0. 2)127( −x 2)192( −x 2)76( −x

58. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) + 7 = 0; b) + 6 = 0; c) − 261 = 0. 2)25( −x 2)94( −x 2)78( −x

59. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) + 9 = 0; b) + 21 = 0; c) + 258 = 0. 2)152( −x 2)27( −x 2)114( −x

60. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) = 0; b) = 0; c) = 0. 2)115( −x 2)134( −x 2)76( −x

61. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) (x + 8)(x + 5) = 0; b) (x + 7)(x + 9) = 0; c) (x + 6)(x + 8) = 0.

62. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) (x − 11)(x + 4) = 0; b) (x − 13)(x + 3) = 0; c) (x − 15)(x + 6) = 0.

63. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) (x − 9)(x − 12) = 0; b) (x − 4)(x − 18) = 0; c) (x − 7)(x − 21) = 0.

64. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) 2X + 6X + 9; b) 2X + 8X + 16; c) 2X + 10X + 25.

65. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) 2X − 12X + 36; b) 2X − 14X + 49; c) 2X − 18X + 81.

66. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) 24X − 12X + 9 ; b) − 12X + 4; c) − 24X + 9. 29X 216X


67. Separaţi pătratul unui binom în polinomul: a) 2X + 10X + 26; b) 2X + 12X + 37; c) 2X + 14X + 50.

68. Separaţi pătratul unui binom în polinomul: a) 2X + 8X + 1; b) 2X + 16X + 80; c) 2X + 20X + 99.

69. Separaţi pătratul unui binom în polinomul: a) 2X − 10X + 23; b) 2X − 16X + 67; c) 2X − 22X + 123.

70. Enumeraţi coeficienţii ecuaţiei de forma + bx + c = 0: 2axa) − 7x + 2 = 0; b) − 9x + 8 = 0; c) − 10x + 13 = 0. 23x 25x 22x

71. Construiţi ecuaţia de forma + bx + c = 0 având coeficienţii: 2axa) a = 12, b = 9, c = −1; b) a = 5, b = 13, c = −7; c) a = 16, b = 34, c = −9.

72. Stabiliţi dacă are soluţii reale ecuaţia: a) + 3x + 15 = 0; b) + 9x + 26 = 0; c) + 12x + 10 = 0. 2x 2x 2x

73. Stabiliţi dacă are soluţii reale ecuaţia: a) − 11x + 24 = 0; b) − 17x + 70 = 0; c) − 19x + 90 = 0. 2x 2x 2x

74. Stabiliţi dacă are soluţii reale ecuaţia: a) − 13x − 30 = 0; b) − 19x − 42 = 0; c) − 23x − 50 = 0. 2x 2x 2x

75. Stabiliţi dacă are soluţii reale ecuaţia: a) + 9x − 20 = 0; b) + 8x − 105 = 0; c) + 9x − 191 = 0. 2x 2x 2x

76. Stabiliţi dacă are soluţii reale ecuaţia: a) + 5x − 7 = 0; b) + 9x − 2 = 0; c) + 17x − 3 = 0. 22x 25x 27x



79. Stabiliţi dacă are rădăcini reale polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) − 12x + 6 = 0; b) − 18x + 15 = 0; c) − 14x + 17 = 0. 25x 27x 29x

80. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) − 7x + 12 = 0; b) − 9x + 20 = 0; c) − 11x + 28 = 0; 2x 2x 2xd) − 9x + 18 = 0; e) − 12x + 35 = 0; f) − 14x + 40 = 0. 2x 2x 2x

81. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) + 10x + 24 = 0; b) + 12x + 20 = 0; c) + 14x + 40 = 0; 2x 2x 2xd) + 16x + 39 = 0; e) + 18x + 45 = 0; f) + 20x + 51 = 0. 2x 2x 2x

82. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) − 12x − 28 = 0; b) − 14x − 51 = 0; c) − 10x − 50 = 0; 2x 2x 2xd) − 12x − 45 = 0; e) − 12x − 48 = 0; f) − 12x − 105 = 0. 2x 2x 2x

83. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) + 4x + 1 = 0; b) + 7x + 1 = 0; c) + 8x + 1 = 0; 23x 26x 27xd) + 9x + 1 = 0; e) + 12x + 1 = 0; f) + 14x + 1 = 0. 28x 211x 213x




86. Aflaţi m astfel încât una dintre soluţiile ecuaţiei: a) − 5x + m = 0 să fie 3; b) − 4x + m = 0 să fie 1; 26x 27xc) − 7x + m = 0 să fie 2; d) − 5x + m = 0 să fie 3. 23x 26x

87. Aflaţi m astfel încât una dintre soluţiile ecuaţiei: a) − mx + 5 = 0 să fie −2; b) − mx + 7 = 0 să fie −1; 23x 24xc) − mx + 8 = 0 să fie −3; d) − mx + 21 = 0 să fie −4. 22x 25x

88. Aflaţi m astfel încât una dintre soluţiile ecuaţiei: a) − 7x + 9 = 0 să fie 6; b) − 3x + 10 = 0 să fie 3; 2mx 2mxc) − 9x + 4 = 0 să fie 4; d) − 8x + 15 = 0 să fie 5. 2mx 2mx

89. Aflaţi m astfel încât polinomul: a) − 11X + 2 să nu aibă rădăcini reale; 2mXb) − 111X + 10 să nu aibă rădăcini reale; 2mXc) − 12mX 111X + 100 să nu aibă rădăcini reale; d) − 112mX 111X + 1 000 să nu aibă rădăcini reale.

90. Aflaţi m astfel încât polinomul: a) 22X − 35X + 5m să aibă rădăcini reale diferite; b) − 335X + 4m să aibă rădăcini reale diferite; 225Xc) − 3 335X + 8m să aibă rădăcini reale diferite; 250Xd) − 33 335X + 5m să aibă rădăcini reale diferite. 240X

91. Aflaţi m astfel încât polinomul: a) 24X − 67mX + 50 să aibă rădăcini egale; b) − 667mX + 5 să aibă rădăcini egale; 240Xc) − 6 667mX + 20 să aibă rădăcini egale; 250Xd) − 66 667mX + 50 să aibă rădăcini egale. 2200X

92. Aflaţi m astfel încât mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei: a) − 15x + 2m = 0 să aibă două elemente; 23xb) − 45x + 5m = 0 să aibă două elemente; 24xc) − 65x + 5m = 0 să aibă două elemente; 26xd) − 85x + 8m = 0 să aibă două elemente. 25x

93. Aflaţi m astfel încât mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei: a) − 10mx + 5 = 0 să aibă un element; 26xb) − 100mx + 8 = 0 să aibă un element; 25x


c) − 200mx + 40 = 0 să aibă două elemente; 25xd) − 2 000mx + 5 = 0 să aibă două elemente. 28x

94. Aflaţi m astfel încât mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei: a) − 12x + 6 = 0 să nu aibă elemente; 25mxb) − 24x + 20 = 0 să nu aibă elemente; 23mxc) − 18x + 40 = 0 să nu aibă elemente; 27mxd) − 20x + 5 = 0 să nu aibă elemente. 28mx

95. Examinaţi desenul! Aplicând teoremele triunghiului dreptunghic completaţi tabelul:

a b c m n h 70 3 84 5 65 8 105 8 126 5

96. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) − + 12 = 0; b) − + 14 = 0; c) − + 18 = 0; 4x 27x 4x 29x 4x 211xd) − + 36 = 0; e) − + 27 = 0; f) − + 24 = 0. 4x 213x 4x 212x 4x 211x

97. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) + + 18 = 0; b) + + 32 = 0; c) + + 45 = 0; 4x 211x 4x 212x 4x 214xd) + + 28 = 0; e) + + 32 = 0; f) + + 64 = 0. 4x 216x 4x 218x 4x 220x

98. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) − − 64 = 0; b) − − 72 = 0; c) − − 39 = 0; 4x 212x 4x 214x 4x 210xd) − − 105 = 0; e) − − 120 = 0; f) − − 48 = 0. 4x 212x 4x 212x 4x 213x

− II −

99. Rezolvaţi pe mulţimea maximă de numere reale ecuaţia 3

5−x

= 7.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător

100. Rezolvaţi pe mulţimea maximă de numere reale ecuaţia .2

43

2+

=− xx



1232

+−

=−−

xx

xx



1525

+−

=−+

xx

xx

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 103. Construiţi ecuaţia de gradul II echivalentă cu ecuaţia:


a) | x | = 39; b) | x − 5 | = 2; c) | 2x − 5 | = 7. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 104. Scrieţi ca sumă sau diferenţă de pătrate polinomul:

a) 2X + 6X + 5; b) + 24X + 19. 29XFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 105. Fără să aplicaţi formule stabiliţi dacă are rădăcini reale polinomul:

a) 2X + 12X + 30; b) 24X + 28X + 54. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 106. Aflaţi pentru ce valori ale lui m polinomul:

a) + 3mX + 2 are rădăcini egale; 2)1( Xm −

b) + (2m + 3)X + m are rădăcini reale diferite. 2)14( Xm −Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

107. Aflaţi raportul ,710000010051ba

ba+− dacă se ştie că

baba

+− = .

53

108. Aflaţi valoarea expresiei 42x + + +312x 223x 15x + 2, dacă + 3x – 52x = 0.

− III −

109. Rezolvaţi în R ecuaţia cu necunoscuta x: a) 3mx + 7 = 0; b) (m − 2)x + 2m = 0.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 110. Fără să aplicaţi formule, aflaţi rădăcinile polinomului:

a) 24X + 8X − 9; b) + 17X + 23. 25XFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

111. Aflaţi numerele reale x pentru care valoarea raportului 1535106

2

2

++++

xxxx este un

număr întreg. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 112. Pentru ce valori naturale ale lui n numărul + 1 este număr prim? 24 nn +113. Demonstraţi că > 2, dacă se ştie că a + b > 2. 22 ba +114. Aflaţi toate numerele de trei cifre, scrise în baza 10, care prin eliminarea cifrei

zecilor se obţin numere de 13 ori mai mici. 115. Setilă bea o sticlă cu apă în 6 minute, iar Flămânzilă în 30 minute. Ei încep să

bea în acelaşi timp. Peste cât timp trebuie să schimbe sticlele pentru ca să termine de băut în acelaşi timp?

116. Cauciucurile din spate ale unui automobil se uzează complet după ce se parcurg 1 200 km, iar cele din faţă – după ce se parcurg 1 300 km. Ce distanţă maximă poate parcurge automobilul, dacă porneşte cu toate cauciucurile noi şi se permite ca o singură dată roţile din faţă să fie schimbate cu cele din spate?

117. Fie polinomul − (m + 2)X + 1. Aflaţi m astfel încât polinomul: 23Xa) să aibă rădăcini reale; b) să nu aibă rădăcini reale.


EXERCIŢII SUPLIMENTARE 118. Calculaţi:

a) ,...2222 ++++ unde „ ...“ indică repetarea la infinit a radicalilor;

b) ,...3333 ++++ unde „ ...“ indică repetarea la infinit a radicalilor;

c) ,...6666 ++++ unde „ ...“ indică repetarea la infinit a radicalilor. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător exerciţiului de la punctul c) al

cărui rezultat să fie: d) 4,5; e) un număr natural diferit de 2. 119. Rezolvaţi în R ecuaţia − x − 1 = 0. 2x

a) Recunoaşteţi numărul remarcabil ce este una dintre soluţiile ecuaţiei date.

b) Aplicând rezultatul anterior, calculaţi ,...1111 ++++ unde „ ...“ indică repetarea la infinit a radicalilor.

120. Aplicând rezultatul de la punctul a) al exerciţiului anterior, scrieţi sub formă de

fracţie continuă numărul de aur, ϕ = .2

51+

121. Aflaţi valoarea lui n pentru care ...++++ nnnn = ϕ (numărul de aur).

122. Comparaţi numerele ...1111 ++++ şi 1 + .

...11

11

1

++

123. Aflaţi valoarea lui n pentru care ...++++ nnnn = 1.

124. Rezolvaţi sistemul de ecuaţii ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

.352732

xzyzxyxzyzxy

125. Aflaţi numerele prime a, b şi c, dacă a + b = 108 şi a – b – c = 32. 126. Aflaţi soluţiile întregi ale ecuaţiei + 3y = + 8. 29x 2y127. Rezolvaţi ecuaţia + + – 1) = 0. 22 )1( ++ xx 2)1(12 −x 3(7 x128. Demonstraţi că pentru orice număr n ∈ N* are loc inegalitatea

731⋅

+ 95

1⋅

+ 1171⋅

+ … + )52)(12(

1++ nn

< .152

129. Rezolvaţi ecuaţia ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

31x = ,

21−x unde [a] este partea întreagă a numărului a.

130. Rezolvaţi în Z × Z ecuaţia + 1. 22 yx =

x yB EDF

A

C

131. Rezolvaţi ecuaţia ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

835 x = ,

5715 −x unde [a]

este partea întreagă a numărului a.


132. În desen triunghiul ABC este dreptunghic în A. a) Ordonaţi crescător AE, AF, AD. b) Aplicând relaţiile între elementele unui triunghi dreptunghic, interpretaţi alge-

bric relaţiile de la a).

133. Demonstraţi că, dacă ,1=+

++

++ ca

cca

bcb

a atunci ,0222

=+

++

++ ca

cca

bcb

a

unde a, b, c ∈ R.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Polinomului aX + b i se asociază ecuaţia … 2. Polinomului + bX + c i se asociază ecuaţia … 2aX3. Coeficienţii ecuaţiei ax + b = 0 sunt … 4. Coeficienţii ecuaţiei + bx + c = 0 sunt … 2ax5. Un produs de doi factori este egal cu 0 dacă şi numai dacă … 6. Discriminantul ecuaţiei + bx + c = 0 este … 2ax7. Soluţiile ecuaţiei + bx + c = 0 sunt… 2ax8. Un polinom de gradul II are două rădăcini reale distincte dacă şi numai dacă … 9. Un polinom de gradul II:

a) are două rădăcini egale dacă şi numai dacă …; b) nu are rădăcini reale dacă şi numai dacă …

Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 15 minute.

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) 3x + 4 = 0; b) 5x − 7 = 2. 2. Rezolvaţi în R ecuaţia

(2x + 5)(2x − 5) = .)32( 2−x3. Rezolvaţi în R ecuaţia

(3x + 2)(3x − 2) = .)43( 2−x4. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) | x − 2 | = 5; b) − 55 = 0. 2x

5. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) − 17x + 42 = 0; 2xb) − 16x − 57 = 0. 2x

6. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) − 5x − 3 = 0; 2xb) + 4x + 1 = 0. 23x

7. Fie polinomul − 2mX + 2. Aflaţi m astfel încât polinomul să aibă

23X

1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4x + 3 = 0; b) 4x − 5 = 3.

2. Rezolvaţi în R ecuaţia (3x + 7)(3x − 7) = .)23( 2−x

3. Rezolvaţi în R ecuaţia (5x + 3)(5x − 3) = .)45( 2−x

4. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) | x − 3 | = 4; b) − 53 = 0. 2x

5. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) − 19x + 70 = 0; 2xb) − 15x − 100 = 0. 2x

6. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) + 5x − 3 = 0; 2xb) − 3x + 2 = 0. 22x

7. Fie polinomul 24X − 2mX + 1. Aflaţi m astfel încât polinomul să aibă


rădăcini egale. 8. Fie polinomul 22X − 2mX + 5.

Aflaţi m astfel încât polinomul să nu aibă rădăcini reale.

9. Aflaţi numerele reale x pentru

care valoarea raportului xx

xx32

71282

2

−+−

este un număr întreg.

rădăcini egale. 8. Fie polinomul 22X − 2mX + 3.

Aflaţi m astfel încât polinomul să nu aibă rădăcini reale.

9. Aflaţi numerele reale x pentru care

valoarea raportului xx

xx23

5632

2

−+− este un

număr întreg. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 40 minute.

2. Relaţii între rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II − I −

1. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) 2X + 54X; b) 2X + 13X; c) 2X + 27X; d) 2X + 194X.

2. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) 2X − 73X; b) 2X − 38X; c) 2X − 53X; d) 2X − 62X.

3. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) 2X − 16; b) 2X − 64; c) 2X − 81; d) 2X − 144.

4. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) 2X + 13X + 30; b) 2X + 17X + 70; c) 2X + 29X + 100.

5. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) 2X − 15X + 50; b) 2X − 34X + 120; c) 2X − 39X + 210.

6. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) 2X + 31X − 66; b) 2X + 42X − 135; c) 2X + 48X − 100.

7. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) 2X − 19X − 42; b) 2X − 26X − 66; c) 2X − 34X − 240.

8. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) 24X + 5X + 1; b) + 7X + 1; c) + 15X + 1. 210X 236X

9. Aflaţi m şi n, dacă: a) 2X − mX + n = b) 2;)5( 2−X X − mX + n = ;)9( 2−X

c) 2X − mX + n = d) 2;)4( 2−X X − mX + n = .)15( 2−X10. Aflaţi m şi n, dacă:

a) 2X − mX + n = b) 2;)7( 2+X X − mX + n = ;)13( 2+X

c) 2X − mX + n = d) 2;)37( 2+X X − mX + n = .)89( 2+X11. Aflaţi m şi n, dacă:

a) 2X − mX + n = X (X + 6); b) 2X − mX + n = X (X + 30); c) 2X − mX + n = X (X + 23); d) 2X − mX + n = X (X + 51).


12. Aflaţi m şi n, dacă: a) 2X − mX + n = X (X − 15); b) 2X − mX + n = X (X − 28); c) 2X − mX + n = X (X − 201); d) 2X − mX + n = X (X − 321).

13. Aflaţi m şi n, dacă: a) 2X − mX + n = (X + 6)(X − 6); b) 2X − mX + n = (X + 12)(X − 12); c) 2X − mX + n = (X + 9)(X − 9); d) 2X − mX + n = (X + 43)(X − 43).

14. Aflaţi m şi n, dacă: a) 2X − mX + n = (X − 2)(X − 5); b) 2X − mX + n = (X − 7)(X − 9); c) 2X − mX + n = (X − 6)(X − 9); c) 2X − mX + n = (X − 10)(X − 11).

15. Aflaţi m şi n, dacă: a) 2X − mX + n = (X + 9)(X − 3); b) 2X − mX + n = (X + 10)(X − 12); c) 2X − mX + n = (X + 7)(X − 6); d) 2X − mX + n = (X + 4)(X − 15).

16. Aflaţi m şi n, dacă: a) 2X − mX + n = (X + 8)(X + 9); b) 2X − mX + n = (X + 12)(X + 15); c) 2X − mX + n = (X + 10)(X + 7); d) 2X − mX + n = (X + 14)(X + 20).

17. Aflaţi a, b şi c, dacă: a) + bX + c = b) 2aX + bX + c = 2aX ;)7(3 2−X ;)6(4 2−Xc) + bX + c = d) 2aX + bX + c = 2aX ;)13(5 2−X .)11(8 2−X

18. Aflaţi a, b şi c, dacă: a) + bX + c = b) 2aX + bX + c = 2aX ;)4(5 2+X ;)5(3 2+Xc) + bX + c = d) 2aX + bX + c = 2aX ;)3(7 2+X .)8(4 2+X

19. Aflaţi a, b şi c, dacă: a) + bX + c = 3(X + 9)(X − 9); b) + bX + c = 5(X + 11)(X − 11); 2aX 2aXc) + bX + c = 7(X + 2)(X − 2); d) + bX + c = 4(X + 13)(X − 13). 2aX 2aX

20. Aflaţi a, b şi c, dacă: a) + bX + c = 3(X − 1)(X − 2); b) + bX + c = 5(X − 2)(X − 3); 2aX 2aXc) + bX + c = 6(X − 3)(X − 5); d) + bX + c = 7(X − 5)(X − 8). 2aX 2aX

21. Aflaţi a, b şi c, dacă: a) + bX + c = 4(X − 3)(X + 5); b) + bX + c = 2(X − 1)(X + 3); 2aX 2aXc) + bX + c = 3(X − 2)(X + 7); d) + bX + c = 5(X − 4)(X + 14). 2aX 2aX

22. Aflaţi a, b şi c, dacă: a) + bX + c = 5(X + 4)(X + 9); b) + bX + c = 3(X + 2)(X + 7); 2aX 2aXc) + bX + c = 6(X + 3)(X + 8); d) + bX + c = 4(X + 6)(X + 5). 2aX 2aX

23. Calculaţi rădăcinile polinomului de forma + bX + c şi comparaţi suma ră-

dăcinilor cu

2aX

,ab

− iar produsul rădăcinilor cu :ac

a) 2X + 30X; b) 2X + 55X; c) 2X + 40X; d) 2X + 50X; e) 2X + 60X. 24. Calculaţi soluţiile ecuaţiei de gradul II de forma + bx + c şi comparaţi su-2ax


ma rădăcinilor cu ,ab


a) + 36x = 0; b) + 22x = 0; c) + 47x = 0; d) + 64x = 0. 2x 2x 2x 2x25. Calculaţi rădăcinile polinomului de forma + bX + c şi comparaţi suma ră-

dăcinilor cu

2aX

,ab


a) 2X − 74X; b) 2X − 85X; c) 2X − 52X; d) 2X − 63X; e) 2X − 107X. 26. Calculaţi soluţiile ecuaţiei de gradul II de forma + bx + c şi comparaţi

suma rădăcinilor cu

2ax

,ab


a) − 4,8x = 0; b) − 4,1x = 0; c) − 3,2x = 0; d) − 5,4x = 0. 2x 2x 2x 2x27. Calculaţi rădăcinile polinomului de forma + bX + c şi comparaţi suma ră-

dăcinilor cu

2aX

,ab


a) 2X − 126; b) 2X − 245; c) 2X − 713; d) 2X − 438; e) 2X − 923. 28. Calculaţi soluţiile ecuaţiei de gradul II de forma + bx + c şi comparaţi su-

ma rădăcinilor cu

2ax

,ab


a) − 57 = 0; b) − 43 = 0; c) − 91 = 0; d) − 83 = 0. 2x 2x 2x 2x29. Calculaţi rădăcinile polinomului de forma + bX + c şi comparaţi suma ră-

dăcinilor cu

2aX

,ab


a) 2X + 64; b) 2X + 81; c) 2X + 100; d) 2X + 121; e) 2X + 169. 30. Calculaţi soluţiile ecuaţiei de gradul II de forma + bx + c şi comparaţi

suma rădăcinilor cu

2ax

,ab


a) + 25 = 0; b) + 9 = 0; c) + 49 = 0; d) + 16 = 0. 2x 2x 2x 2x31. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teo-

rema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) 2X + 15X; b) 2X + 84X; c) 2X + 76X; d) 2X + 83X; e) 2X + 91X.

32. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei:

a) + 3,6x = 0; b) + 5,3x = 0; c) + 8,1x = 0; d) + 3,7x = 0. 2x 2x 2x 2x33. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teo-

rema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) 2X − 3,6X; b) 2X − 7,3X; c) 2X − 9,3X; d) 2X − 2,4X.

34. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei:

a) − 3,9x = 0; b) − 4,8x = 0; c) − 5,7x = 0; d) − 7,2x = 0. 2x 2x 2x 2x


35. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teo-rema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului:

a) 2X − 4,1; b) 2X − 5,2; c) 2X − 3,5; d) 2X − 4,7; e) 2X − 5,8. 36. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui

Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) − 2,3 = 0; b) − 4,4 = 0; c) − 2,9 = 0; d) − 3,6 = 0. 2x 2x 2x 2x


a) 2X − 5X + 6; b) 2X − 9X + 18; c) 2X − 10X + 16; d) 2X − 12X + 35. 38. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui

Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) − 19x + 84 = 0; b) − 19x + 60 = 0; c) − 19x + 34 = 0. 2x 2x 2x


a) 2X + 12X + 32; b) 2X + 12X + 35; c) 2X + 12X + 42. 40. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui

Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) + 31x + 58 = 0; b) + 31x + 108 = 0; c) + 31x + 130 = 0. 2x 2x 2x


a) 2X + 11X − 60; b) 2X + 11X − 70; c) 2X + 11X − 180. 42. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui

Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) + 31x − 140 = 0; b) + 31x − 58 = 0; c) + 31x − 140 = 0. 2x 2x 2x


a) 2X − 12X − 160; b) 2X − 12X − 220; c) 2X − 12X − 325. 44. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui

Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) − 21x − 100 = 0; b) − 21x − 46 = 0; c) − 21x − 78 = 0. 2x 2x 2x


a) 22X − 4X − 3; b) 24X − 5X − 2; c) 22X − 6X − 4; d) − 8X − 5. 23X46. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui

Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) − 17x − 4 = 0; b) − 15x − 2 = 0; c) − 19x − 3 = 0. 25x 24x 23x


a) 22X − 7X + 3; b) − 12X + 3; c) − 12X + 5. 27X 26X48. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui

Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) − 14x + 6 = 0; b) − 16x + 6 = 0; c) − 15x + 7 = 0. 24x 23x 25x



a) + 9X − 2; b) + 10X − 4; c) + 18X − 4; d) 25X 23X 23X 24X + 11X − 3. 50. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui

Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) + 22x − 2 = 0; b) + 3x − 4 = 0; c) + 5x − 7 = 0. 27x 25x 24x


a) + 10X + 2; b) + 12X + 3; c) 23X 25X 24X + 14X + 9; d) + 15X + 7. 26X52. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui

Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) + 12x + 3 = 0; b) + 12x + 5 = 0; c) + 15x + 5 = 0. 28x 27x 29x

53. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teo-rema lui Viète), construiţi polinomul:

a) 2X + mX + n cu rădăcinile egale cu 0,8; b) 2X + mX + n cu rădăcinile egale cu 0,5; c) 2X + mX + n cu rădăcinile egale cu 0,4; d) 2X + mX + n cu rădăcinile egale cu 0,2.

54. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II:

a) + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {1,2}; 2xb) + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {−2,2}; 2xc) + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {3,1}; 2xd) + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {−1,5}. 2x


a) 22X + mX + n cu rădăcinile egale cu 3; b) + mX + n cu rădăcinile egale cu −2; 23Xc) 24X + mX + n cu rădăcinile egale cu 5; d) + mX + n cu rădăcinile egale cu −3. 25X


a) + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {0,1}; 23xb) + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {0,2}; 22xc) + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {0,8}; 27xd) + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {0,4}. 24x


a) 2X + mX + n cu rădăcinile 3 şi ;3− b) 2X + mX + n cu rădăcinile 5 şi ;5−


c) 2X + mX + n cu rădăcinile 6− şi ;6 d) 2X + mX + n cu rădăcinile 11 şi .11−


a) + mx + n = 0 cu soluţiile 2x 7 şi ;7− b) + mx + n = 0 cu soluţiile 2x 13 şi ;13− c) + mx + n = 0 cu soluţiile 2x 21 şi ;21− d) + mx + n = 0 cu soluţiile 2x 15 şi .15−


a) + mX + n cu rădăcinile 26X 11 şi ;11− b) + mX + n cu rădăcinile 23X 17 şi ;17− c) 24X + mX + n cu rădăcinile 19 şi ;19− d) + mX + n cu rădăcinile 25X 23 şi .23−


a) + mx + n = 0 cu soluţiile 22x 15 şi ;15− b) + mx + n = 0 cu soluţiile 23x 14 şi ;14− c) + mx + n = 0 cu soluţiile 24x 26 şi ;26− d) + mx + n = 0 cu soluţiile 25x 33 şi .33−


a) 2X + mX + n cu rădăcinile 8 şi −1,5; b) 2X + mX + n cu rădăcinile 3 şi −2,1; c) 2X + mX + n cu rădăcinile 2 şi −1,4; d) 2X + mX + n cu rădăcinile 4 şi −3,1.


a) + mx + n = 0 cu soluţiile −5 şi 2,4; 2xb) + mx + n = 0 cu soluţiile −3 şi 4,5; 2xc) + mx + n = 0 cu soluţiile −6 şi 5,1; 2xd) + mx + n = 0 cu soluţiile −7 şi 1,1. 2x


a) 24X + mX + n cu rădăcinile 3 şi 4; b) + mX + n cu rădăcinile 2 şi 7; 23Xc) + mX + n cu rădăcinile 2 şi 11; d) 26X 22X + mX + n cu rădăcinile 8 şi 5.



a) + mx + n = 0 cu soluţiile 8 şi 10; 25xb) + mx + n = 0 cu soluţiile 3 şi 12; 23xc) + mx + n = 0 cu soluţiile 5 şi 13; 26xd) + mx + n = 0 cu soluţiile 4 şi 15. 24x


a) 2X + mX + n cu suma rădăcinilor 17 şi produsul lor 30; b) 2X + mX + n cu suma rădăcinilor 21 şi produsul lor 38; c) 2X + mX + n cu suma rădăcinilor 15 şi produsul lor 39; d) 2X + mX + n cu suma rădăcinilor 25 şi produsul lor 46.


a) + mx + n = 0 cu suma soluţiilor 17 şi produsul lor 60; 2xb) + mx + n = 0 cu suma soluţiilor 18 şi produsul lor 72; 2xc) + mx + n = 0 cu suma soluţiilor 17 şi produsul lor 42; 2xd) + mx + n = 0 cu suma soluţiilor 17 şi produsul lor 70. 2x


a) + mX + n cu suma rădăcinilor −7 şi produsul lor −78; 23Xb) 22X + mX + n cu suma rădăcinilor −8 şi produsul lor −105; c) 24X + mX + n cu suma rădăcinilor −9 şi produsul lor −136; d) + mX + n cu suma rădăcinilor −11 şi produsul lor −126. 25X


a) + mx + n = 0 cu suma soluţiilor −7 şi produsul lor −120; 24xb) + mx + n = 0 cu suma soluţiilor −20 şi produsul lor −125; 23xc) + mx + n = 0 cu suma soluţiilor −14 şi produsul lor −120; 26xd) + mx + n = 0 cu suma soluţiilor −13 şi produsul lor −140. 27x


a) în nedeterminata X cu suma rădăcinilor −13 şi produsul lor −168; b) în nedeterminata X cu suma rădăcinilor −14 şi produsul lor −480; c) în nedeterminata X cu suma rădăcinilor −15 şi produsul lor −126; d) în nedeterminata X cu suma rădăcinilor −16 şi produsul lor −420.


a) cu necunoscuta x, cu suma soluţiilor −11 şi produsul lor −60; b) cu necunoscuta x, cu suma soluţiilor −12 şi produsul lor −120; c) cu necunoscuta x, cu suma soluţiilor −13 şi produsul lor −140; d) cu necunoscuta x, cu suma soluţiilor −14 şi produsul lor −127.


71. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teo-rema lui Viète), construiţi polinomul: a) X 2 + mX + n cu rădăcinile −2 şi 18;

b) X 2 + mX + n cu rădăcinile −5 şi 12; c) X 2 + mX + n cu rădăcinile −7 şi 13. 72. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui

Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) x2 + mx + n = 0 cu soluţiile 3 şi −12; b) x2 + mx + n = 0 cu soluţiile 7 şi −15; c) x2 + mx + n = 0 cu soluţiile 9 şi −8.


a) + mX + n cu rădăcinile 5 şi −3; 26Xb) + mX + n cu rădăcinile 8 şi −5; 23Xc) 24X + mX + n cu rădăcinile 6 şi −2; d) 22X + mX + n cu rădăcinile 9 şi −4.


a) + mx + n = 0 cu soluţiile −2 şi 9; 22xb) + mx + n = 0 cu soluţiile −7 şi 11; 23xc) + mx + n = 0 cu soluţiile −9 şi 12; 24xd) + mx + n = 0 cu soluţiile −6 şi 13. 25x


a) 2X + mX + n cu rădăcinile −5 şi −14; b) 2X + mX + n cu rădăcinile −7 şi −10; c) 2X + mX + n cu rădăcinile −9 şi −11; d) 2X + mX + n cu rădăcinile −8 şi −13.


a) + mx + n = 0 cu soluţiile −12 şi −20; 2xb) + mx + n = 0 cu soluţiile −11 şi −14; 2xc) + mx + n = 0 cu soluţiile −13 şi −15; 2xd) + mx + n = 0 cu soluţiile −16 şi −18. 2x


a) + mX + n cu rădăcinile −24 şi −8; 26Xb) + mX + n cu rădăcinile −11 şi −5; 27Xc) + mX + n cu rădăcinile −12 şi −13; 25Xd) 22X + mX + n cu rădăcinile −24 şi −5.


a) + mx + n = 0 cu soluţiile −35 şi −8; 23x


b) + mx + n = 0 cu soluţiile −11 şi −4; 22xc) + mx + n = 0 cu soluţiile −13 şi −9; 24xd) + mx + n = 0 cu soluţiile −14 şi −16. 25x


a) 2X + mX + n cu rădăcinile 51− şi ;51+ b) 2X + mX + n cu rădăcinile 71− şi ;71+ c) 2X + mX + n cu rădăcinile 31− şi ;31+ d) 2X + mX + n cu rădăcinile 61− şi .61+


a) + mx + n = 0 cu soluţiile 2x 111− şi ;111+ b) + mx + n = 0 cu soluţiile 2x 131− şi ;131+ c) + mx + n = 0 cu soluţiile 2x 141− şi ;141+ d) + mx + n = 0 cu soluţiile 2x 151− şi .151+


a) 212X + mX + n cu rădăcinile 72 − şi ;72 + b) + mX + n cu rădăcinile 215X 53− şi ;53+ c) + mX + n cu rădăcinile 28X 64 − şi ;64 + d) 211X + mX + n cu rădăcinile 25− şi .25+


a) + mx + n = 0 cu soluţiile 25x 113− şi ;113+ b) + mx + n = 0 cu soluţiile 23x 65− şi ;65+ c) + mx + n = 0 cu soluţiile 24x 34 − şi ;34 + d) + mx + n = 0 cu soluţiile 26x 76 − şi .76+


a) 22X− + mX + n cu rădăcinile 23− şi ;23+ b) + mX + n cu rădăcinile 23X− 37 − şi ;37 + c) + mX + n cu rădăcinile 25X− 75− şi ;75+ d) + mX + n cu rădăcinile 27X− 114 − şi .114 +


a) + mx + n = 0 cu soluţiile 27x− 25− şi ;25+ b) + mx + n = 0 cu soluţiile 28x− 710 − şi ;710 +


c) + mx + n = 0 cu soluţiile 24x− 611− şi ;611+ d) + mx + n = 0 cu soluţiile 26x− 1112 − şi .1112 +

85. Descompuneţi cât mai simplu în factori primi polinomul: a) 2X + 7X + 10; b) 2X + 16X + 48; c) 2X + 16X + 55.

86. Descompuneţi cât mai simplu în factori primi polinomul: a) 2X − 15X + 26; b) 2X − 19X + 70; c) 2X − 21X + 68.

87. Descompuneţi cât mai simplu în factori primi polinomul: a) 2X − 15X − 126; b) 2X − 17X − 390; c) 2X − 17X − 200.



90. Descompuneţi cât mai simplu în factori primi în polinomul: a) 22X − 4X + 3; b) 22X − 5X + 5; c) 22X − 6X + 7.

91. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teo-rema lui Viète), aflaţi m, dacă:

a) −5 este una dintre rădăcinile polinomului 2X + mX + 13; b) −8 este una dintre rădăcinile polinomului 2X + mX + 15; c) −9 este una dintre rădăcinile polinomului 2X + mX + 18; d) −10 este una dintre rădăcinile polinomului 2X + mX + 10.

92. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi m, dacă:

a) −3 este una dintre soluţiile ecuaţiei + mx + 18 = 0; 2xb) −5 este una dintre soluţiile ecuaţiei + mx + 17 = 0; 2xc) −7 este una dintre soluţiile ecuaţiei + mx + 28 = 0; 2xd) −8 este una dintre soluţiile ecuaţiei + mx + 45 = 0. 2x

93. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teo-rema lui Viète), aflaţi m, dacă:

a) 2 + 3 este una dintre rădăcinile polinomului − 12X − m; 23Xb) 3 + 2 este una dintre rădăcinile polinomului 24X − 8X − m; c) 4 + 5 este una dintre rădăcinile polinomului − 14X − m; 25Xd) 5 + 6 este una dintre rădăcinile polinomului − 16X − m. 26X

94. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi m, dacă:

a) 3 − 5 este una dintre soluţiile ecuaţiei − 12x + m = 0; 22xb) 4 − 6 este una dintre soluţiile ecuaţiei − 14x + m = 0; 22xc) 5 − 7 este una dintre soluţiile ecuaţiei − 16x + m = 0; 23xd) 6 − 11 este una dintre soluţiile ecuaţiei − 18x + m = 0. 25x

95. Aflaţi două numere reale, dacă suma şi produsul lor sunt respectiv egale cu:


a) 20 şi 91; b) 7 şi − 60; c) −17 şi 66; d) −15 şi −184; e) −8 şi 16.

− II −

96. Construiţi polinomul cu rădăcinile soluţii ale ecuaţiei: a) | x | = 3,2; b) | x − 2 | =1,2; c) | 2x − 7 | = 11.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător 97. Aflaţi m, dacă −3 este soluţie a ecuaţiei + 7x + 3(m − 2) = 0. 2xFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 98. Aflaţi m, dacă −5 este o rădăcină a polinomului 2X + (3m − 1)X +18 = 0. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 99. Aflaţi m astfel încât ecuaţia + 5x + 2(m − 3) = 0: 2x

a) cardinalul mulţimii soluţiilor egal cu 1; b) să nu aibă soluţii reale.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 100. Aflaţi m astfel încât ecuaţia + 5x + 2(m − 3) = 0: 2x

a) să aibă cardinalul mulţimii soluţiilor egal cu 1; b) să nu aibă soluţii reale.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 101. Aflaţi m astfel încât ecuaţia + (m − 1)x + 2(m − 3) = 0 să aibă soluţii egale. 2xFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 102. Aflaţi ecuaţia de grad minim şi coeficienţi raţionali cu o soluţie 2 − .53 Ce

soluţii mai are ecuaţia obţinută? Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 103. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;65182615

2

2

+−+−

xxxx b) .

2810242153

2

2

−−−+

XXXX


− III −

104. Fie ecuaţia + (m − 2)x + 5m = 0. Construiţi ecuaţia ale cărei soluţii: 2xa) sunt cu 2 mai mari decât soluţiile ecuaţiei date; b) sunt opusele soluţiilor ecuaţiei date; c) sunt inversele soluţiilor ecuaţiei date.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 105. Fie ecuaţia + (2m − 1)x + 3 = 0. Aflaţi m astfel încât: 2x

a) ecuaţia să nu aibă soluţii reale; b) ecuaţia să aibă soluţii reale.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 106. Fie ecuaţia + 8x − 7 = 0. Fără că calculaţi soluţiile ecuaţiei, calculaţi: 23x

a) suma opuselor soluţiilor ecuaţiei date; b) suma inverselor soluţiilor ecuaţiei date; c) suma pătratelor soluţiilor ecuaţiei date;


d) suma cuburilor soluţiilor ecuaţiei date. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 107. Fie ecuaţia + 4mx + m − 1= 0. Aflaţi m astfel încât: 2x

a) suma inverselor soluţiilor ecuaţiei date să fie egală cu 7; b) suma pătratelor soluţiilor ecuaţiei date să fie egală cu 5; c) suma cuburilor soluţiilor ecuaţiei date să fie egală cu 0.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 108. Fie ecuaţia − 5mx + 2m − 3= 0. Aflaţi: 2x

a) suma pătratelor inverselor soluţiilor ecuaţiei date; b) suma inverselor cuburilor soluţiilor ecuaţiei date.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 109. Aflaţi două numere reale, dacă:

a) suma lor este 21 şi suma inverselor lor este ;367

b) suma lor este 8 şi suma pătratelor lor este 274; c) suma lor este −10 şi suma cuburilor lor este −370.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 110. Fie ecuaţia − 8x − 4= 0. Aflaţi o relaţie de recurenţă (legătură) între mai

multe sume de puteri naturale consecutive ale ecuaţiei date. 23x

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 111. Fie ecuaţia − 9x − 3= 0. Aflaţi o relaţie de recurenţă (legătură) între mai

multe sume de puteri întregi consecutive ale ecuaţiei date. 25x

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 112. Fie ecuaţia − 3mx + 5m − 2= 0. Aflaţi m astfel încât: 2x

a) soluţiile ecuaţiei date să fie direct proporţionale cu 3 şi 5; b) soluţiile ecuaţiei date să fie invers proporţionale cu 2 şi 7.


TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Suma rădăcinilor reale ale polinomului + bX + c este … 2aX2. Produsul rădăcinilor reale ale polinomului + bX + c este … 2aX3. Suma soluţiilor reale ale ecuaţiei + bx + c = 0 este … 2ax4. Produsul soluţiilor reale ale ecuaţiei + bx + c = 0 este … 2ax5. Descompunerea în factori primi a polinomului + bX + c cu rădăcinile reale şi este …

2aX1x 2x

6. Pentru a afla două numere reale cu suma s şi produsul p se rezolvă ecuaţia ... 7. O ecuaţie de gradul II are soluţiile numere opuse, dacă … 8. O ecuaţie de gradul II are soluţiile numere inverse, dacă … 9. Dacă s este suma soluţiilor unei ecuaţii de gradul II şi p este produsul acestor

soluţii, atunci suma pătratelor soluţiilor este ..., iar suma cuburilor soluţiilor este ... Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 20 minute.


EVALUARE FORMATIVĂ 1. Aflaţi suma şi produsul rădăcini-

lor polinomului: a) 22X + 5X; b) − 7. 23X

2. Aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei:

a) ;0852 =−− xxb) .0794 2 =−− xx

3. Construiţi polinomul 2X + mX + n cu rădăcinile egale cu:

a) 8; b) −3 şi 7. 4. Construiţi polinomul + mX +

n cu rădăcinile egale cu: 23X

a) 9; b) −5 şi 12. 5. Descompuneţi în factori primi:

a) 2X − 28X + 75; b) 22X + 7X − 4.

6. Aflaţi două numere reale, dacă: a) suma lor este 11 şi produsul lor

este 30; b) suma lor este −13 şi produsul

lor este −48. 7. Fie ecuaţia + (m − 3)x − 2m +

1 = 0 cu o soluţie −3. Aflaţi m şi a doua soluţie a ecuaţiei.

23x

8. Fie ecuaţia + 5x − 3 = 0. Fără să rezolvaţi ecuaţia, aflaţi:

22x

a) suma pătratelor soluţiilor ecua-ţiei;

b) suma cuburilor soluţiilor ecua-ţiei.

9. Aflaţi două numere reale, dacă su-ma lor este −4 şi suma pătratelor lor este egală cu 170.

1. Aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului:

a) 24X + 7X; b) − 8. 25X

2. Aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei:

a) ;0692 =−− xxb) .09125 2 =−− xx

3. Construiţi polinomul 2X + mX + n cu rădăcinile egale cu:

a) 9; b) −5 şi 4. 4. Construiţi polinomul + mX +

n cu rădăcinile egale cu: 23X

a) 10; b) −3 şi 8. 5. Descompuneţi în factori primi:

a) 2X − 29X + 100; b) + 5X − 2. 23X

6. Aflaţi două numere reale, dacă: a) suma lor este 12 şi produsul lor

este 27; b) suma lor este −16 şi produsul

lor este −57. 7. Fie ecuaţia + (m − 2)x − 3m +

1 = 0 cu o soluţie −5. Aflaţi m şi a doua soluţie a ecuaţiei.

22x

8. Fie ecuaţia + 5x − 2 = 0. Fără să rezolvaţi ecuaţia, aflaţi:

23x

a) suma pătratelor soluţiilor ecua-ţiei;

b) suma cuburilor soluţiilor ecua-ţiei.

9. Aflaţi două numere reale, dacă su-ma lor este −5 şi suma pătratelor lor este egală cu 157.



Capitolul V. Funcţii Noţiunea de funcţie. Fie mulţimile nevide A şi B. Se numeşte corespondenţă

între mulţimile A şi B o submulţime nevidă a produsului cartezian A × B. O funcţie f definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B este o corespondenţă între cele două mulţimi, care asociază fiecărui element al mulţimii A un singur element al mulţimii B. Funcţia f definită pe A cu valori în B se notează f : A → B. Dacă f asociază lui x ∈ A elementul y ∈ B, atunci f(x) = y şi imaginea lui x prin funcţia f este y; x este variabilă independentă, iar y este variabilă dependentă. Elementele unei funcţii sunt: domeniul de definiţie (funcţia f : A → B are domeniul de definiţie A); domeniul valorilor (func-ţia f : A → B are domeniul valorilor B); legea de corespondenţă sau regula de asociere (funcţia f : A → B are legea de corespondenţă f). Mulţimea valorilor funcţiei f este Im f = E(f) = {y ∈ B | y = f(x)}. Graficul funcţiei f este = {(x, y) | y = f(x), x ∈ A} fGsau reprezentarea acestei mulţimi într-un sistem de axe ortogonale. O funcţie numeri-că are domeniul de definiţie şi domeniul valorilor mulţimi de numere.

Moduri de definire a unei funcţii. O funcţie poate fi definită: sintetic (printr-o diagramă, un tabel, un grafic); analitic (o formulă, o regulă etc.).

Funcţii speciale. 1) Funcţia modul f(x) = | x | = 2) Funcţia semn ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<−

.0dacă,0dacă,00dacă,

xxxxx

(signum) f(x) = sgn x = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=

<−

.0dacă,10dacă,0

0dacă,1

xx

x

Zeroul unei funcţii. Funcţia f are zeroul m, dacă f(m) = 0. Funcţii monotone. Fie funcţia f : A → B. 1) f este crescătoare pe submulţimea C

a mulţimii A, dacă < implică ≤ pentru orice elemente şi 1x 2x )( 1xf ),( 2xf 1x 2xale mulţimii C; 2) f este strict crescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă < 1x

2x implică < pentru orice elemente şi ale mulţimii C; 3) f este )( 1xf ),( 2xf 1x 2xdescrescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă 1x < 2x implică )( 1xf ≥ ),( 2xf pentru orice elemente şi ale mulţimii C; 4) f este strict descrescătoare pe sub-1x 2xmulţimea C a mulţimii A, dacă < implică > pentru orice elemen-1x 2x )( 1xf ),( 2xfte şi ale mulţimii C; 5) f este monotonă pe submulţimea C a mulţimii A, dacă 1x 2xeste sau crescătoare sau descrescătoarea pe C; 6) f este monotonă dacă C = A.

Funcţii afine. Funcţiile f : R → R, f(x) = ax + b, a şi b numere reale, se numesc funcţii afine. Funcţiile f : R → R, f(x) = b, b număr real, sunt funcţii constante. Func-ţiile f : R → R, f(x) = ax, a număr real nenul, sunt funcţii liniare. O relaţie de forma y = ax defineşte numerele direct proporţionale cu coeficientul a. Funcţiile f : R → R, f(x) = ax + b, a şi b numere reale, a ≠ 0, se numesc funcţii de gradul I.

Funcţia de gradul I. Fie funcţia de gradul I f : R → R, f(x) = ax + b. Atunci: 1) f este strict descrescătoare, dacă a < 0; 2) f este strict crescătoare, dacă a > 0. Semnul

Cap. V. Funcţii 78

funcţiei f este înregistrat în tabelul: a < 0 a > 0

x −∞ ab

− ∞

x −∞ ab

− ∞

f(x) + + + 0 − − − f(x) − − − 0 + + + Graficul funcţiei afine. Fie funcţia afină f : A → R, A ⊆ R, f(x) = ax + b, a şi b

numere reale. Reprezentarea graficului funcţiei f într-un sistem de axe ortogonale este o mulţime de puncte: 1) conţinută de o dreaptă paralelă cu axa Ox, dacă a = 0; 2) con-ţinută de o dreaptă concurentă cu axa Ox în origine dacă a ≠ 0 şi b = 0; 3) conţinută de o dreaptă concurentă cu axa Ox într-un punct diferit de ori-gine dacă a ≠ 0 şi b ≠ 0.

y = ax + b este ecuaţia dreptei de pantă a.

Funcţii f : R* → R, f(x) =

,xk k ∈ R*. Graficul funcţiei f

este o hiperbolă (vezi desenul din dreapta). 1) Pentru k < 0 funcţia f este strict crescătoare pe intervalele (−∞, 0) şi (0, ∞). 2) Pentru k > 0 funcţia f este strict descres-cătoare pe intervalele (−∞, 0) şi (0, ∞). Relaţia y =

xk defineşte numerele invers proporţionale cu coefi-

cientul k. Funcţia f : [0, ∞) → R, f(x) = .x Funcţia f

este strict crescătoare. Graficul (vezi desenul din dreapta) funcţiei f este simetric graficului funcţiei g : [0, ∞) → R, g(x) = .2x

1. Noţiunea de funcţie. Proprietăţi ale funcţiilor − I −

1. Reprezentaţi sintetic mulţimea A × B, dacă: a) A = {0, 2, 5} şi B = {−2, 4}; b) A = {−5, 0, 2} şi B = {−5, −3}; c) A = {−1, 1, 2} şi B = {6, 10}; d) A = {−3, −2, 0} şi B = {9, 11}.

2. Reprezentaţi sintetic corespondenţele ilustrate prin diagrame.

Cap. V. Funcţii 79

3. Examinaţi diagramele şi selectaţi corespondenţele ce sunt funcţii. 4. Ilustraţi printr-o diagramă corespondenţa:

a) {(−3, 4), (−2, 4), (−1, 4), (0, 3)}; b) {(−3, 1), (−2, 1), (−4, 3), (−2, 2)}; c) {(−7, 4), (−8, 5), (−9, 5), (−8, 4)}; d) {(−3, 2), (−2, 1), (−1, 2), (0, 1)}.

5. Examinaţi corespondenţele din exerciţiul anterior şi identificaţi funcţiile. 6. Reprezentaţi sintetic corespondenţa între mulţimi reprezentată în tabelul:

a) x 1 2 3 4 y −1 −1 0 1 şi 0 b) x −3 −1 1 3 y 1 3 2 3 c) x −5 −2 0 5 y 2 0 şi 4 2 4 d) x −7 −2 2 7 y −5 1 −5 e) x −2 −1 1 2 y 1 2 3 4

7. Examinaţi corespondenţele din exerciţiul anterior şi selectaţi funcţiile. 8. Reprezentaţi prin diagrame corespondenţele din ex. 6. 9. Examinaţi desenul şi precizaţi pentru fiecare situaţie dacă reprezintă sau nu

graficul unei funcţii. 10. Reprezentaţi prin diagrame corespondenţele ilustrate la exerciţiul anterior. 11. Reprezentaţi prin tabele corespondenţele ilustrate la ex. 9. 12. Examinaţi graficele şi precizaţi despre fiecare dintre ele dacă reprezintă sau nu

graficul unei funcţii.

13. Scrieţi cât mai simplu funcţia f definită:

a) pe mulţimea {−3, −1, 0, 5} cu valori în mulţimea R, de forma f(x) = −2x + 3; b) pe mulţimea {−5, −3, −2, 0} cu valori în mulţimea R, de forma f(x) = 7x − 6; c) pe mulţimea {−7, −2, 0, 1} cu valori în mulţimea R, de forma f(x) = −5x − 3; d) pe mulţimea {0, 1, 3, 5, 7} cu valori în mulţimea R, de forma f(x) = 9x − 0,3.

14. Enumeraţi elementele funcţiei:

Cap. V. Funcţii 80

a) f : Z → Z, f(x) = −2x − 8; b) f : Q → Q, f(x) = − 0,5x − 4; c) f : N → Z, f(x) = 5x − 11; d) f : Q → R, f(x) = −9,2x + 5.

15. Fie funcţia cifra unităţilor u : Z → {0, 1, 2, …, 9}, care asociază fiecărui număr întreg restul împărţirii la 10 a acestui număr sau cifra unităţilor lui.

Aflaţi: a) u(2); b) u(320); c) u(8 261); d) u(92 958). 16. Fie funcţia cifra zecilor (de ordinul 2) z : Z \ {−9, −8, ..., −1, 0, 1, 2, …, 9} →

{0, 1, 2, …, 9}, care asociază fiecărui număr întreg de cel puţin ordinul 2 cifra zecilor acestui număr. Aflaţi: a) z(−85); b) z(−952); c) z(3 207); d) z(−37 746).

17. Fie funcţia modul. Aflaţi: a) | −0,45 |; b) | −9,51 |; c) | 295,03 |; d) | −7 642,519 |. 18. Fie funcţia f definită printr-un tabel. Decideţi dacă funcţia este monotonă (cres-

cătoare sau descrescătoare) sau nu este monotonă: a) x 0 1 2 3 f(x) −1 −1 0 −2 b) x −2 −1 0 1 f(x) 1 3 2 1 c) x −3 −2 0 2 f(x) 2 0 −1 −3 d) x −2 −1 3 5 f(x) −5 1 2 6 e) x −2 −1 1 2 f(x) −3 −3 −3 −3

19. Examinaţi desenul şi identificaţi funcţia: constantă, nemonotonă, monoton des-crescătoare, strict crescătoare.

20. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că func-

ţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. x −2 4 7 x −5 −2 1

f(x) 3 5 −3 f(x) −1 −2 4

x −7 0 1 x −9 −5 9 f(x) 4 2 −1 f(x) −2 −1 3

21. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că func-ţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval.

x −∞ 1 6 x −∞ 3 −1 f(x) −∞ −2 1 f(x) −∞ −8 −12

Cap. V. Funcţii 81

x −∞ 0 13 x −∞ −5 14 f(x) ∞ 2 17 f(x) −∞ −3 41

22. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că func-ţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval.

x −11 4 ∞ x −15 3 ∞ f(x) −2 5 −∞ f(x) 2 16 −∞

x −24 −30 ∞ x 1 19 ∞ f(x) 2 −11 ∞ f(x) −22 −3 ∞

23. Asociaţi fiecărui tabel de valori de mai jos una dintre funcţiile reprezentate gra-fic.

x −∞ 1 ∞ x −∞ 2 ∞ ... ∞ −1 −1 ... ∞ −1 ∞

x −∞ 1 ∞ x −∞ 1 ∞ ... 4 4 −∞ ... −∞ 6 −∞ 24. Stabiliţi domeniul maxim de definiţie în mulţimea R a funcţiei definită de for-

mula:

a) f(x) = ;52

3−xx b) f(x) = ;

738,2−xx c) f(x) = ;

857,3−xx d) f(x) = .

989,4−xx

25. Stabiliţi domeniul maxim de definiţie în mulţimea R a funcţiei definită de for-mula:

a) f(x) = ;3613

522 +−

−xx

x b) f(x) = ;4013

342 +−

−xx

x c) f(x) = .4213

752 +−

−xx

x

26. Stabiliţi domeniul maxim de definiţie în mulţimea R a funcţiei definită de for-mula: a) f(x) = ;83 −x b) f(x) = ;132 −x c) f(x) = .258 −x

27. Fie funcţia f : R → R:

a) şi calculaţi f(−4), f(−2), f(1), f(2), f(4); ⎩⎨⎧

∈+−∈+

=),1(ă,12]1,(ă,2

)('

'xx

xxxf

dac

dac

b) şi calculaţi f(−1), f(0), f(2), f(3), f(4); ⎩⎨⎧

∈+−∈−

=),2(ă,3

]2,(ă,12)(

''

xxxx

xfdac

dac

c) şi calculaţi f(−3), f(−1), f(−2), f(1), f(2). ⎩⎨⎧

−∈+−−∈−

=),2(ă,13]2,(ă,4

)('

'xx

xxxf

dac

dac

Cap. V. Funcţii 82

28. Aflaţi zerourile funcţiei f : R → R: a) f(x) = 5x − 2; b) f(x) = 4x − 3; c) f(x) = 8x − 5; d) f(x) = 4x − 7.

29. Aflaţi zerourile funcţiei f : R → R: a) f(x) = − 8x + 15; b) f(x) = − 9x + 18; c) f(x) = − 23x + 60. 2x 2x 2x

− II −

30. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x) = 3x − 2.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 31. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x)

= .25 −x Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 32. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu:

a) f(x) = ;52

+−

xx b) f(x) = .452 2 +− xx

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula f(x) = | 4x − 3 |. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 34. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula:

a) f(x) = sgn (5x − 2); b) f(x) = sgn (3 − 2x). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

− III −

35. Explicitaţi funcţia f, f(x) = pentru x ∈ N. ),2( xuFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Fie corespondenţa între mulţimile N şi Z, definită de regula f(x) + f(1 − x) = x + 1.

Decideţi dacă f este o funcţie. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 37. Fie corespondenţa între mulţimea R şi ea însăşi, definită de regula f(x) + 2f(1 − x)

= x + 1. Decideţi dacă f este o funcţie. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x)

= − 4x + 6. 2xFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 39. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x)

= − 19x + 64. 2xFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 40. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = max {2x + 3, 5 – 3x}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = min {7x − 1, 3 – 2x}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula f(x) = .|453| 2 ++ xx

Cap. V. Funcţii 83

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula f(x) = .|45| 2 +− xxFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula f(x) = sgn ).232( 2 +− xxFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 45. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula f(x) = sgn ).352( 2 +− xxFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. O corespondenţă între mulţimile nevide A şi B este o submulţime nevidă a … 2. O funcţie definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B este corespondenţă între

A şi B care asociază fiecărui ... 3. Funcţia f definită pe A cu valori în B se notează ... 4. Dacă f : A → B este o funcţie, atunci ... este domeniul de definiţie al funcţiei f, iar

B este ... 5. Fie funcţia f : A → B. Valoarea lui f în x ∈ A este ... 6. Mulţimea valorilor funcţiei f : A → B este ... 7. Funcţia f are zeroul a, dacă ... 8. Fie funcţia f : A → B. a) f este crescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă < implică ..., pentru orice elemente şi ale mulţimii C; b) f este strict

crescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă < implică ..., pentru orice ele-mente şi ale mulţimii C.

1x 2x 1x 2x

1x 2x

1x 2x9. Fie funcţia f : A → B. a) f este strict descrescătoare pe submulţimea C a mulţimii

A, dacă < implică ..., pentru orice elemente şi ale mulţimii C; b) f este ... pe submulţimea C a mulţimii A, dacă este sau crescătoare sau descrescătoarea pe C; c) f este monotonă dacă ...

1x 2x 1x 2x


EVALUARE FORMATIVĂ

1. Reprezentaţi sintetic mulţimea va-lorilor funcţiei f : {−2, −1, 2, 3} → R, f(x) = 3x − 4.

2. Examinaţi graficele şi precizaţi despre fiecare dintre ele dacă reprezintă sau nu graficul unei funcţii.

3. Aflaţi domeniul maxim de defini-

1. Reprezentaţi sintetic mulţimea va-lorilor funcţiei f : {−2, −1, 2, 3} → R, f(x) = 2x − 5.

2. Examinaţi graficele şi precizaţi despre fiecare dintre ele dacă reprezintă sau nu graficul unei funcţii.

3. Aflaţi domeniul maxim de defini-

Cap. V. Funcţii 84

ţie (în R) a funcţiei definită de:

a) f(x) = ;34

3+xx

b) f(x) = .12

12 ++

xx

4. Examinaţi graficele reprezentate şi identificaţi funcţia monotonă:

5. Examinaţi graficul funcţiei g, re-

prezentate mai sus, ilustraţi într-un tabel de valori monotonia ei pe intervale.

6. Aflaţi zerourile funcţiei f : R → R: a) f(x) = −2x + 3; b) f(x) = + 11x + 28. 2x

7. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula: a) f(x) = sgn (8x − 3);

b) f(x) = sgn ).652( 2 +− xx8. Aflaţi domeniul maxim de defi-

niţie a funcţiei definite de formula: a) f(x) = ;152 −x b) f(x) = .36132 +− xx

9. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei f definite pe domeniul maxim de definiţie de formula f(x) = − 7x + 6. 23x

ţie (în R) a funcţiei definită de:

a) f(x) = ;25

5+xx

b) f(x) = .13

72 ++

xx

4. Examinaţi graficele reprezentate şi identificaţi funcţia monotonă:

5. Examinaţi graficul funcţiei f, re-

prezentate mai sus, ilustraţi într-un tabel de valori monotonia ei pe intervale.

6. Aflaţi zerourile funcţiei f : R → R: a) f(x) = −5x + 4; b) f(x) = + 12x + 27. 2x

7. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula: a) f(x) = sgn (10x − 9);

b) f(x) = sgn ).256( 2 +− xx8. Aflaţi domeniul maxim de definiţie

a funcţiei definite de formula: a) f(x) = ;172 −x b) f(x) = .40132 +− xx

9. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei f definite pe domeniul maxim de definiţie de formula f(x) = − 9x + 7. 23x


2. Exemple de funcţii numerice − I −

1. Aflaţi zeroul funcţiei f : R → R: a) f(x) = 2,7x; b) f(x) = 5,2x; c) f(x) = −7,9x; d) f(x) = −9,3x.

2. Aflaţi zeroul funcţiei f : R → R: a) f(x) = −x + 3,1; b) f(x) = x − 4,2; c) f(x) = −x − 2,5; d) f(x) = −x + 5,8.

3. Aflaţi zeroul funcţiei f : R → R: a) f(x) = 2x + 5; b) f(x) = 3x − 4; c) f(x) = 4x − 5; d) f(x) = 5x − 8.

4. Aflaţi zeroul funcţiei f : R → R: a) f(x) = −2x + 7; b) f(x) = −3x − 8; c) f(x) = −4x + 9; d) f(x) = −5x + 9.

Cap. V. Funcţii 85

5. Aflaţi zeroul funcţiei f : R → R şi completaţi semnul într-un tabel, dacă: a) f(x) = 3x + 5; b) f(x) = 4x − 11; c) f(x) = 5x + 12; d) f(x) = 6x − 18.

6. Aflaţi zeroul funcţiei f : R → R şi completaţi semnul într-un tabel, dacă: a) f(x) = −4x + 9; b) f(x) = −3x − 15; c) f(x) = −7x + 14; d) f(x) = −3x − 9.

7. Marcaţi într-un tabel monotonia funcţiei f : R → R, dacă: a) f(x) = 15x + 1; b) f(x) = 12x − 1; c) f(x) = 3,1x + 1; d) f(x) = 4,2x − 1.

8. Marcaţi într-un tabel monotonia funcţiei f : R → R, dacă: a) f(x) = −3x + 1; b) f(x) = −8x − 1; c) f(x) = −3,7x + 1; d) f(x) = −17x − 1.

9. Construiţi graficul funcţiei f : R → R: a) f(x) = 3x după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ 0 1 ∞ f(x) −∞ ∞

b) f(x) = 5x după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −∞ 0 1 ∞

f(x) −∞ ∞ c) f(x) = 2x după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ 0 1 ∞ f(x) −∞ ∞

10. Construiţi graficul funcţiei f : R → R: a) f(x) = −1,5x după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ 0 2 ∞ f(x) ∞ −∞

b) f(x) = −2,5x după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −∞ 0 2 ∞

f(x) ∞ −∞ c) f(x) = −0,5x după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ 0 2 ∞ f(x) ∞ −∞

11. Construiţi graficul funcţiei f : R → R: a) f(x) = x + 2 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −2 0 ∞ f(x) −∞ ∞

b) f(x) = x − 3 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −∞ 0 3 ∞

f(x) −∞ ∞ c) f(x) = x − 2 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ 0 2 ∞ f(x) −∞ ∞

Cap. V. Funcţii 86

12. Construiţi graficul funcţiei f : R → R: a) f(x) = −x − 3 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −3 0 ∞ f(x) ∞ −∞

b) f(x) = −x + 2 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −∞ 0 2 ∞

f(x) ∞ −∞ c) f(x) = −x − 4 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −4 0 ∞ f(x) ∞ −∞

13. Construiţi graficul funcţiei: a) f : [1, ∞) → R, f(x) = x + 5; b) f : [−1, ∞) → R, f(x) = x − 2; c) f : [2, ∞) → R, f(x) = x − 3; d) f : [−2, ∞) → R, f(x) = x − 4.

14. Construiţi graficul funcţiei: a) f : [1, 9) → R, f(x) = −x + 5; b) f : [−1, 10) → R, f(x) = −x − 3; c) f : [−2, 12) → R, f(x) = −x − 4; d) f : [−3, 7) → R, f(x) = −x − 6.

15. Construiţi graficul funcţiei: a) f : (−∞, 1) → R, f(x) = −2x + 5; b) f : (−∞, 4) → R, f(x) = −3x + 4; c) f : (−∞, 6) → R, f(x) = −x + 5; d) f : (−∞, 4) → R, f(x) = −2x + 6.

16. Aflaţi panta dreptei: a) y = 2x + 3; b) y = 5x − 4; c) y = 8x − 3; d) y = 7x + 3; e) y = 5x − 4.

17. Aflaţi panta dreptei: a) y = −9x + 8; b) y = −8x − 7; c) y = −13x − 4; d) y = −21x + 15.

18. Aflaţi a, dacă dreapta: a) y = ax + 3 conţine punctul (−1, 7); b) y = ax − 7 conţine punctul (−2, 2); c) y = ax − 11 conţine punctul (−3, 1); c) y = ax + 12 conţine punctul (−4, 3).

19. Aflaţi a, dacă dreapta: a) y = −4x + a conţine punctul (−2, 5); b) y = −3x + a conţine punctul (−3, 6); c) y = −5x + a conţine punctul (4, −2); c) y = −7x + a conţine punctul (6, −3).

20. Aflaţi a şi b dacă dreapta: a) y = ax + b conţine punctele (−2, 0) şi (1, 3); b) y = ax + b conţine punctele (0, 3) şi (−2, −4); c) y = ax + b conţine punctele (−5, 1) şi (−3, 0); d) y = ax + b conţine punctele (−7, 0) şi (−1, 4).

21. Aflaţi a şi b dacă funcţia f : R → R, f(x) = ax + b şi graficul funcţiei f conţine punctele:

a) (−3, 0) şi (2, 3); b) (−3, 1) şi (0, −2); c) (3, −5) şi (4, 0). 22. Fie funcţia f : R+ → R. Ce puteţi spune despre numerele a, b, c, dacă:

a) f(x) = 2,4x şi (a, 2), (b, 5), (c, 7) sunt puncte ale graficului funcţiei f; b) f(x) = 4,3x şi (a, 3), (b, 7), (c, 8) sunt puncte ale graficului funcţiei f; c) f(x) = 6,2x şi (a, 4), (b, 9), (c, 11) sunt puncte ale graficului funcţiei f ?

Cap. V. Funcţii 87

23. Fie funcţia f : R+ → R. Aflaţi f(x), dacă f descrie faptul că numerele: a) 3 şi m sunt direct proporţionale cu numerele 5 şi 8; b) 5 şi m sunt direct proporţionale cu numerele 2 şi 25; c) 15 şi m sunt direct proporţionale cu numerele 8 şi 17.

24. Fie funcţia f : R* → R. Ce puteţi spune despre numerele a, b, c, dacă:

a) f(x) = x

12 şi (a, 2), (b, 3), (c, 7) sunt puncte ale graficului funcţiei f;

b) f(x) = x


c) f(x) = x


d) f(x) = x

20 şi (a, 2), (b, 4), (c, 10) sunt puncte ale graficului funcţiei f ?

25. Construiţi graficul funcţiei f : R* → R:

a) f(x) = x6 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −6 −3 −2 −1 0 1 2 3 6 ∞ f(x) 0 −∞ || ∞ 0

b) f(x) = x8 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −8 −4 −2 −1 0 1 2 4 8 ∞ f(x) 0 −∞ || ∞ 0

c) f(x) = x

10 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −10 −5 −2 −1 0 1 2 5 10 ∞ f(x) 0 −∞ || ∞ 0

d) f(x) = x

12 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −12 −6 −2 −1 0 1 2 6 12 ∞ f(x) 0 −∞ || ∞ 0

26. Construiţi graficul funcţiei f : R* → R:

a) f(x) = x

12− după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −12 −6 −4 −2 0 2 4 6 12 ∞ f(x) 0 ∞ || −∞ 0

b) f(x) = x


x −∞ −14 −7 −2 −1 0 1 2 7 14 ∞ f(x) 0 ∞ || −∞ 0

Cap. V. Funcţii 88

c) f(x) = x


x −∞ −16 −8 −4 −2 0 2 4 8 16 ∞ f(x) 0 ∞ || −∞ 0

d) f(x) = x


x −∞ −18 −9 −3 −1 0 1 3 9 18 ∞ f(x) 0 ∞ || −∞ 0

27. Construiţi graficul funcţiei f : D → R: a) f(x) = ,2−x după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x ... 3 6 11 ∞ f(x) ... ∞

b) f(x) = ,1−x după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x ... 2 5 10 ∞

f(x) ... ∞ c) f(x) = ,3−x după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x ... 4 7 12 ∞ f(x) ... ∞

d) f(x) = ,4−x după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x ... 5 8 13 ∞

f(x) ... ∞ 28. Construiţi graficul funcţiei f : D → R:

a) f(x) = ,2 x− după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −∞ −7 −2 1 ...

f(x) ∞ ... b) f(x) = ,1 x− după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −8 −3 1 ... f(x) ∞ ...

c) f(x) = ,3 x− după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −∞ −6 −1 2 ...

f(x) ∞ ... d) f(x) = ,4 x− după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −5 0 3 ... f(x) ∞ ...

29. Construiţi graficul funcţiei f : D → R: a) f(x) = ,2,0 x după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x ... 5 20 ∞ f(x) ... ∞

Cap. V. Funcţii 89

b) f(x) = ,5,0 x după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x ... 2 8 18 ∞

f(x) ... ∞ c) f(x) = ,4,0 x după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x ... 2,5 10 ∞ f(x) ... ∞

30. Construiţi graficul funcţiei f : D → R: a) f(x) = ,2,0 x− după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −20 −5 ... f(x) ∞ ...

b) f(x) = ,5,0 x− după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −8 −2 ... f(x) ∞ ...

c) f(x) = ,4,0 x− după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

x −∞ −10 −2,5 ... f(x) ∞ ...

− II −

31. Construiţi graficul funcţiei f : R → R: a) f(x) = 3x − 4; b) f(x) = −5x + 3.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 32. Aflaţi punctele de intersecţie ale graficului funcţiei afine f : R → R al cărui gra-

fic conţine punctele (−3, 2) şi (2, −3) cu axele de coordonate. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Aflaţi ecuaţia dreptei ce conţine punctele (−1, 3) şi (1, −3) şi aflaţi punctele de

intersecţiei ale dreptei cu axele de coordonate. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 34. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R:

a) b) ⎩⎨⎧

∈+−∈+

=);,1(ă,12]1,(ă,2

)('

'xx

xxxf

dac

dac

⎩⎨⎧

−∈+−−−∈+−

=).,1[ă,13)1,(ă,3

)('

'xx

xxxf

dac

dac

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 35. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R:

a) f(x) = | 3x − 6 |; b) f(x) = | −x + 3 |. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R:

a) b) ⎩⎨⎧

∈+−∈+−

=);,2(ă,1

]2,(ă,3)(

''

xxxx

xfdac

dac

⎩⎨⎧

−∈+−−−∈−

=).,1(ă,2

]1,(ă,12)(

''

xxxx

xfdac

dac

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 37. Construiţi graficul funcţiei f : D → R cu domeniul maxim de definiţie D şi:

Cap. V. Funcţii 90

a) f(x) = ;1

6−x

b) f(x) = .2

6x−


a) f(x) = ;3

8|| −x

b) f(x) = .412

|| x−−


a) f(x) = ;4+x b) f(x) = .52 +− x Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 40. Construiţi graficul funcţiei f : D → R cu domeniul maxim de definiţie D şi:

a) f(x) = ;12 +x b) f(x) = .122 +− x Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Reprezentaţi grafic relaţia dintre distanţa pe care o parcurge o maşină care se

deplasează cu 40 km/h în funcţie de timp. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Reprezentaţi grafic relaţia dintre valorile vitezei cu care o maşină parcurge dis-

tanţa de 60 km şi valorile intervalelor de timp corespunzătoare. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Explicitaţi funcţia f : R → R:

a) f(x) = | 3x − 6 | + b) f(x) = |;3,652 || +− xx 5 − 2x | − .572 |3| +− xxFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Rezolvaţi în R inecuaţia:

a) ;0133

1511223

2

>−+−

+−xxx

xx b) .03,253

81262

23

≤++

−+−xx

xxx


− III −

45. Aflaţi m astfel încât graficul funcţiei f : R → R:

a) f(x) = să fie un unghi; ⎩⎨⎧

−∈−−−∈+),2(ă,13

]2,(ă,3'

'xxxmx

dac

dac

b) f(x) = să fie un unghi. ⎩⎨⎧

∈−−∈−

),3(ă,32]3,(ă,2

''

xxxmx

dac

dac

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 46. Construiţi graficul funcţiei f : R → R:

a) f(x) = | 2x − 4 | + | x + 3 |; b) f(x) = | 2x − 6 | − | x + 4 |. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 47. Rezolvaţi în R inecuaţia:

a) ≤ 0; b) 60172 −− xxx

x41553

−− ≥ 0.


Cap. V. Funcţii 91

48. Rezolvaţi în R inecuaţia:

a) 1811

3072

2

−+−−−xx

xx ≤ 0; b) 253

2522

2

−−−+−

xxxx ≥ 0.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 49. Fie funcţia f : R → R, f(x) = −3,8. Aflaţi f(f(f(x))). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 50. Fie funcţia f : R → R, f(x) = −2x + 3. Aflaţi f(f(f(x))). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 51. Aflaţi f(x) astfel încât graficul funcţiei f : R → R să fie unghiul BAC cu punctele

B(−3, 2), A(1, −2) şi C(5, 8). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 52. La ora 8:00 din localitatea A porneşte spre localitatea C o maşină ce se depla-

sează cu viteza medie de 60 km/h. În acelaşi moment, din localitatea B aflată între localităţile A şi C la 20 km de A porneşte spre C, o maşină ce se deplasează cu viteza medie de 45 km/h. Reprezentând grafic două funcţii afine, aflaţi distanţa dintre A şi C, dacă cele două maşini se întâlnesc în C.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 53. Fie funcţia f : R → R, f(x) = −3x + 1. Stabiliţi dacă graficul funcţiei f conţine:

a) un punct cu coordonatele egale; b) un punct cu abscisa egală cu dublul ordonatei.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 54. Fie funcţia f : R → R, f(5x) = 2x + 1. Aflaţi f(x) şi stabiliţi dacă graficul funcţiei

f conţine: a) un punct cu coordonatele egale; b) un punct cu abscisa egală cu triplul ordonatei.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 55. Fie funcţia f : R → R, f(3x − 2) = 2x + 3. Aflaţi f(x) şi stabiliţi dacă graficul

funcţiei f conţine: a) un punct cu coordonatele egale; b) un punct cu abscisa egală cu dublul ordonatei.


a) f(x) = ;|23 −x| b) f(x) = .23|2 |+− x Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Funcţia f : R → R, f(x) = … se numeşte funcţie afină. 2. Funcţia f : R → R, f(x) = … se numeşte funcţie de gradul I. 3. Funcţia f : R → R, f(x) = … se numeşte funcţie liniară. 4. Ecuaţia dreptei de pantă a este y = ... 5. O relaţie de forma ... descrie proporţionalitatea directă. 6. O relaţie de forma ... descrie proporţionalitatea inversă. 7. a) Funcţia f ..., f(x) ... are reprezentarea grafică o hiperbolă.

b) Funcţia f ..., f(x) ... are reprezentarea grafică o parabolă.

Cap. V. Funcţii 92

8. Fie funcţia f : R → R, f(x) = ax + b. Monotonia funcţiei f. 1) dacă a < 0, atunci funcţia f este ...; 2) dacă a > 0, atunci funcţia f este ...

9. Fie funcţia f : R → R, f(x) = ax + b. Semnul funcţiei f. 1) dacă a < 0, atunci funcţia f este ...; 2) dacă a > 0, atunci funcţia f este ...


EVALUARE FORMATIVĂ

1. Aflaţi zerourile funcţiei f : R → R: a) f(x) = 5x − 2; b) f(x) = .44152 +− xx

2. Marcaţi într-un tabel monotonia funcţiei f : R → R:

a) f(x) = 2x − 7; a) f(x) = −3x + 18.

3. Marcaţi într-un tabel semnul func-ţiei f : R → R:

a) f(x) = 11x − 3; b) f(x) = −5x + 12.

4. Construiţi graficul funcţiei (repre-zentaţi grafic funcţia) f : R → R:

a) f(x) = 2x − 6; b) f(x) = −3x + 9.

5. Construiţi graficul funcţiei (repre-zentaţi grafic funcţia):

a) f : (−2, ∞) → R, f(x) = x − 8; b) f : (−3, ∞) → R, f(x) = −x + 7.

6. Aflaţi panta dreptei: a) y = 2x − 13; b) y = −3x + 7.

7. Construiţi pe domeniul maxim de definiţie, graficul funcţiei f : D → R:

a) f(x) = ;3

1−x

b) f(x) = .8−x

8. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = | x − 4 | + | x + 5 |.

9. Rezolvaţi în R inecuaţia

7352

+−

xx < 1.

1. Aflaţi zerourile funcţiei f : R → R: a) f(x) = 7x − 3; b) f(x) = .66172 +− xx

2. Marcaţi într-un tabel monotonia funcţiei f : R → R:

a) f(x) = 5x − 2; a) f(x) = −4x + 7.

3. Marcaţi într-un tabel semnul func-ţiei f : R → R:

a) f(x) = 12x − 4; b) f(x) = −2x + 10.

4. Construiţi graficul funcţiei (repre-zentaţi grafic funcţia) f : R → R:

a) f(x) = 4x − 12; b) f(x) = −2x + 8.

5. Construiţi graficul funcţiei (repre-zentaţi grafic funcţia):

a) f : (−3, ∞) → R, f(x) = x − 4; b) f : (−2, ∞) → R, f(x) = −x + 9.

6. Aflaţi panta dreptei: a) y = 3x − 15; b) y = −5x + 10.

7. Construiţi pe domeniul maxim de definiţie, graficul funcţiei f : D → R:

a) f(x) = ;4

1−x

b) f(x) = .9−x

8. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = | x − 5 | + | x + 4 |.

9. Rezolvaţi în R inecuaţia

3725

+−

xx < 1.


Cap. V. Funcţii 93

Capitolul VI. Şiruri Noţiunea de şir şi moduri de definire ale unui şir. Dacă f : N → R este o func-

ţie, atunci f(1), f(2), f(3), ... este un şir de numere reale. f(n) = se numeşte termenul nageneral al şirului definit de funcţia f sau termenul de rang n al şirului. Un şir poate fi definit prin formula termenului general sau printr-o relaţie de recurenţă (când se dau k termeni ai şirului şi o relaţie între un termen al şirului şi precedenţii k termeni ai lui).

Şirul lui Fibonacci. (Suplimentar) Matematica antică grecească a început cu înfi-inţarea de către Thales din Milet (cca. 634−548 î.Hr.), pe când avea 40 ani, a primei şcoli greceşti pe malurile mării Mediterane, vestul Turciei de astăzi. În 387 î.Hr. Platon a înfiinţat Academia din Atena, iar mai târziu Ptolemeu a înfiinţat Şcoala din Alexandria la care a lucrat şi Euclid. Justinian I, împăratului Imperiului Roman de Est, a ordonat în 529 desfiinţarea tuturor şcolilor filozofice păgâne. A urmat o perioa-dă lungă în care rezultatele şcolilor greceşti de matematică au fost preluate şi conti-nuate de către arabi. Matematica europeană a stagnat până în 1494 când călugărul ita-lian Lucas Pacioli a scris cartea „Summa de Arithmetica“ în care a încercat să prezin-te cunoştinţele de matematica acumulate până atunci. În secolul următor, XVI, au urmat Tartaglia, Copernic, Cardano şi alţii. În toată perioada cuprinsă între 529 şi 1494, Leonardo din Pisa zis Fibonnaci (cca 1170−1240) este o figură luminoasă. Scri-erea romană răspândită în Europa era foarte anevoioasă pentru calcule. Fiind neguţă-tor, el a circulat în imperiul Bizantin. A vizitat Egiptul, Grecia, Sicilia şi Siria. A în-văţat matematica şi metode de calcul. În 1202 a publicat prima dintre cele patru cărţi ale sale „Liber abacci“ în care a folosit sistemul de numărare hindo-arabic. Aici a in-trodus în Europa numerele indiene 0, 1, 2, ..., 9. În aceeaşi carte Fibonacci a propus problema care l-a făcut celebru: „O pereche de iepuri se maturizează într-o lună şi o pereche de iepuri maturi dă naştere într-o lună unei perechi de iepuri. Aflaţi câte pe-rechi de iepuri poate avea peste 12 luni cineva care are în acest moment o pereche de iepuri tineri.“ Înregistrând numărul perechilor de iepuri după fiecare lună (t − tineri, m − maturi), obţinem: I (1 t, total 1); II (1 m, total 1); III (1 m + 1 t, total 2); IV (2 m + 1 t, total 2 + 1 = 3); V (3 m + 2 t, total 3 + 2 = 5); VI (5 m + 3 t, total 3 + 5 = 8) ş.a.m.d. În felul acesta se construieşte şirul de numere 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, unde fiecare termen, începând cu al treilea, este suma celor doi termeni pre-cedenţi, iar primii doi termeni sunt egali cu 1. Am obţinut şirul lui Fibonacci care se defineşte astfel: ,12 ++ += nnn FFF 21 FF = = 1.

Se constată că 1

2

FF = 1,

2

3

FF = 2,

3

4

FF = 1,5,

4

5

FF = 1,(6),

5

6

FF = 1,6,

6

7

FF = 1,625,

7

8

FF = 1,61538 etc., rapoartele termenilor consecutivi aproximează din ce în ce mai

bine numărul de aur ϕ = .2

51+ Câteva relaţii interesante: + + + ... = 1F 2F 3F

2+nF − 1; + + + ... + = − 1; = − 1; + + + ... + 2F 4F 6F nF2 12 +nF 2+nF 1F 3F 5F

12 −nF = termenul general al şirului este: ;2nF

Cap. VI. Şiruri numerice 94

nF = .5

251

251

nn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

Fie şirul 1, 4, 5, 9, 14, 23, ... Ca şi pentru şirul lui Fibonacci, raportul termenilor consecutivi aproximează pentru n din ce în ce mai mare din ce în ce mai bine numărul de aur ϕ.

Progresii aritmetice. Un şir se numeşte progresie aritmetică, dacă diferenţa a doi termeni consecutivi ai lui este constantă, adică fiecare termen al şirului este mai mare cu acelaşi număr decât precedentul său. Diferenţa a doi termeni consecutivi ai progre-siei aritmetice se numeşte raţie. O progresie aritmetică este definită când se cunoaşte primul său termen, şi raţia sa, r. Formula termenului general al progresiei aritme-,1atice , ..., se află adunând relaţiile = + r, = + r, ..., = ,1a ,2a 3a na 2a 1a 3a 2a 1−na

2−na + r, = + r, şi se obţine = + (n − 1)r. Termenii extremi ai na 1−na na 1aprogresiei aritmetice cu n termeni sunt şi iar termenii progresiei egal depăr-1a ,nataţi de termenii extremi ai ei sunt: şi şi ...; şi 2a ;1−na 3a ;2−na ka .1+−kna

Teorema 1. Suma termenilor egal depărtaţi de termenii extremi ai unei progresii aritmetice este egală cu suma termenilor extremi ai progresiei.

Corolar. Dacă a, b, c sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice, atunci b este media aritmetică a numerelor a şi c.

Teorema 2. Fie progresia aritmetică , ..., cu raţia r. Suma terme-,1a ,2a 3a na

nilor progresiei este .2

])1(2[2

)( 121 rnanaanSn−+

=+

=

Corolar. 1 + 2 + 3 + ... + n = .2

)1( +nn

Progresii geometrice. Şirul definit de relaţiile = , ∈ R*, q ∈ R*, se na 1qan− 1anumeşte progresie geometrică. Numărul q se numeşte raţia progresiei geometrice. O progresie geometrică este definită când se cunoaşte primul său termen, şi raţia sa, ,1aq. Formula termenului general al progresiei geometrice , ..., se află ,1a ,2a 3a naînmulţind relaţiile = = ..., = = şi se obţine 2a ,1qa 3a ,2

2qa 1−na ,2qan− na ,1qan−

na = Termenii extremi ai progresiei geometrice cu n termeni sunt şi .11

−nqa 1a ,naiar termenii progresiei egal depărtaţi de termenii extremi ai ei sunt: şi şi 2a ;1−na 3a

;2−na ...; şi ka .1+−knaTeorema 1. Produsul termenilor egal depărtaţi de termenii extremi ai unei pro-

gresii geometrice este egal cu produsul termenilor extremi ai progresiei. Corolar. Dacă a, b, c sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice,

atunci b este media geometrică a numerelor a şi c. Teorema 2. Fie progresia geometrică , ..., cu raţia q. Suma terme-,1a ,2a 3a na

nilor progresiei este .1

)1(1

11

−−

=−−

=qqa

qaqaS

nn

n


Corolar. nX − 1 = (X − 1) ).1...( 21 ++++ −− XXX nn

Teorema 3. (Progresii geometrice cu modulul raţiei mai mic decât 1.) Dacă | q | <

1, atunci 1 + q + + + ... = 2q 3q .1

1q−

Observaţii. (Suplimentar) 1) q = 101 = 0,1 implică 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... =

1,(1) = 191 =

910 =

9,01 = .

1,011

− 2) q =

21 =

)2(101 = se obţine 1 + )2(1,0 )2(1,0 +

)2(01,0 + + ... = = 1 + )2(001,0 )2()1(,112

1−

= 12 =

211 =

211

1

− = 2. 3) q =

x1 =

)(1,0 x implică 1 + +)(1,0 x )(01,0 x + + ... = = 1 + )(001,0 x )()1(,1 x 11−x

= .1−x

x 4) Ob-

servaţiile anterioare oferă o justificare a formulei din concluzia teoremei 3, aplicând modul în care se converteşte un număr zecimal periodic în fracţie şi extinderea lui pentru numere scrise în alte baze. În acelaşi timp, dacă justificăm formula altfel, atunci o putem aplica la demonstrarea modului în care poate fi convertit un număr zecimal periodic în fracţie. 5) Formula din teoremă poate fi demonstrată aplicând descompunerea în factori: 1 = 1 − x + x − + − + − + ... = (1 − x) + 2x 2x 3x 3x 4x

x(1 − x) + + + ... implică )1(2 xx − )1(3 xx −x−1

1 = 1 + x + + + ... 2x 3x

1. Definirea unui şir − I −

1. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 2, 2, 2, ...; b) −1, −1, −1, ...; c) −5, −5, −5, ...; d) 11, 11, 11, ...

2. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 1, 4, 7, ...; b) 3, 8, 13, 18, ...; c) 2, 8, 14, 20, ...; d) 11, 18, 25, 32, ...

3. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 1, 2, 4, 1, 2, 4, ...; b) 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ...; c) 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ...

4. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 1, 0, −1, 1, 0, −1, ...; b) −2, 0, 2, −2, 0, 2, ...; c) −3, 0, 3, −3, 0, 3, ...

5. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 3, ,3 ...; b) 2, , ...; c) 5, ,5 ...; d) 7, ,7 ... ,32 3 ,22 23 ,52 3 ,72 3

6. Adăugaţi trei termeni şirului: a) −10, , ...; b) −8, , ...; c) −10, ... ,102 103− ,82 83− ,102 ,103−

7. Adăugaţi trei termeni şirului:

a) ,21 ,

43 ,

65 ...; b) ,

31 ,

75 ,

119 ...; c) ,

41 ,

107 ,

1613 ...

8. Adăugaţi trei termeni şirului: Cap. VI. Şiruri numerice 96

a) 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, ...; b) 2, 2 + 4, 2 + 4 + 6, ...; c) 3, 3 + 6, 3 + 6 + 9, ... 9. Adăugaţi trei termeni şirului:

a) 121, 12321, 1234321, ...; b) 212, 32123, 4321234, ... 10. Adăugaţi trei termeni şirului:

a) ,21 ,

41

− ,81 ...; b) ,

31 ,

91

− ,271 ...; c) ,

41 ,

161

− ,641 ...

11. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 1, 1, 2, 3, 5, ...; b) 2, 2, 4, 6, 10, ...; c) 3, 3, 6, 9, ...; d) 5, 5, 10, 15, ...


a) ,21

1⋅

,32

1⋅

,43

1⋅

...; b) ,31

1⋅

,53

1⋅

,75

1⋅

...; c) ,41

1⋅

,74

1⋅

,117

1⋅

...


a) ,31

1+

,53

1+

...; b) ,61

1+

,176

1+

...; c) ,71

1+

,137

1+

...

14. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: a) = 3n, n ∈ N; b) = 4n, n ∈ N; c) = 5n, n ∈ N. na na na

15. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: a) = 3n + 2, n ∈ N; b) = 4n − 3, n ∈ N; c) = 7n − 5, n ∈ N. na na na

16. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: a) = − 1, n ∈ N; b) = − 2, n ∈ N; c) = − 3, n ∈ N. na 22n na 23n na 24n

17. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general:

a) = na ,12

1+n

n ∈ N; b) = na ,13

1−n

n ∈ N; c) = na ,14

1−n

n ∈ N.


a) = na ,12n

n ∈ N*; b) = na ,13n

n ∈ N*; c) = na ,14n

n ∈ N*.


a) = na ,)1(

1−nn

n ∈ N, n > 1; b) = na ,)1(

1+nn

n ∈ N*.

20. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: a) = 1 + 2 + ... + n, n ∈ N; b) = 2 + 4 + ... + 2n, n ∈ N. na na

21. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: a) = + ... + n ∈ N; b) = + + ... + n ∈ N. na 21 + 22 ,2n na 31 32 ,3n

22. Scrieţi primii patru termeni ai şirului definit de relaţiile: a) = + 3, n > 1, = 5, n ∈ N*; na 1−na 1ab) = + 5, n > 1, = 2, n ∈ N*; na 1−na 1ac) = + 5, n > 1, = 2, n ∈ N*. na 1−na 1a

23. Scrieţi primii patru termeni ai şirului definit de relaţiile: a) = n > 1, = 2, n ∈ N*; b) = n > 1, = 3, n ∈ N*; na ,5 1−na 1a na ,4 1−na 1ac) = n > 1, = 5, n ∈ N*; d) = n > 1, = 4, n ∈ N*. na ,2 1−na 1a na ,3 1−na 1a


24. Scrieţi primii patru termeni ai şirului definit de relaţiile: a) = n > 2, = = 1, n ∈ N*; na ,21 −− + nn aa 1a 2ab) = n > 2, = = 2, n ∈ N*; na ,21 −− + nn aa 1a 2ac) = n > 2, = = 3, n ∈ N*; na ,21 −− + nn aa 1a 2ad) = n > 2, = = 4, n ∈ N*. na ,21 −− + nn aa 1a 2a

25. Scrieţi primii patru termeni ai şirului definit de relaţiile: a) = n > 2, = 1, = 3, n ∈ N*; na ,2 21 −− − nn aa 1a 2ab) = n > 2, = 3, = 2, n ∈ N*; na ,3 21 −− − nn aa 1a 2ac) = n > 2, = 5, = 2, n ∈ N*. na ,4 21 −− − nn aa 1a 2a

− II −

26. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 1, 3 + 5, 7 + 9 + 11, ...; b) 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, ... Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 27. Fie şirul 0, 1, 2, 0, 1, 2, ... Aflaţi formula termenului general al şirului dat. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

− III −

28. Scrieţi trei termeni ai şirului resturilor împărţirii la 10 a puterilor naturale ale numerelor ,7a a = .9,1



31. Adăugaţi trei termeni şirului 2, 3, 9, 20, ... Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 32. Cercetaţi dacă şirul 3, 13, 1113, 3113, 2123, ... este periodic. 33. Într-o reţea de pătrate se construiesc pătrate cu laturile de 1, 2, 3, ... şi se notează

numărul pătratelor ce se identifică în fiecare desen: 1, 5, 14, ... a) Completaţi şirul ce se obţine cu următorii trei termeni. b) Pentru şirul ce se obţine, aflaţi formula termenului general. b) Aflaţi numărul tuturor pătratelor ce se pot identifica pe o tablă de şah.

34. Într-o reţea de pătrate se construiesc cuburi cu muchiile de 1, 2, 3, ... şi se notează numărul cuburilor ce se identifică în construcţie: 1, 9, 36, ...

a) Completaţi şirul ce se obţine cu următorii trei termeni. b) Aflaţi formula termenului general. c) Cu ajutorul rezultatului anterior descoperiţi cum se scrie mai simplu suma cu-

burilor primelor n numere naturale: 1 + + ... + 32 + 33 .3n35. Fie şirul resturilor împărţirii la 10 ale lui Aflaţi formula termenului general. .2n

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Fie un dreptunghi. Se notează numărul dreptunghiurilor ce se identifică, de fie-

care dată, după ce se construieşte un segment paralel cu două laturi opuse. Se obţine un


şir de numere. Aflaţi formula termenului general. 37. Fie ecuaţia − 8x + 2 = 0. Aflaţi relaţia de recurenţă ce defineşte suma

puterilor soluţiilor ecuaţiei date.

25x

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 38. Fie şirul de numere naturale definit de relaţiile = nx ab şi = 3b + a. Aflaţi: 1+nx

a) primii 5 termenii ai şirului, dacă = 19; 1xb) dacă şirul de la punctul anterior este periodic; c) pentru ce valori ale numărului ab şirul este constant.

39. Utilizând ecuaţia de gradul II cu coeficienţi reali pe care o verifică numărul de

aur ϕ = ,2

51+ transformaţi şirul 1, ϕ, , ... într-un şir ai cărui

termeni nu conţin puteri ale lui ϕ.

,2ϕ ,3ϕ ,4ϕ 5ϕ

40. O specie de bacterii naşte o bacterie după 30 minute şi trăieşte o oră. Se con-sideră o bacterie din această specie la ora 9. Înregistrând numărul de bacterii la ora 9:30, 10:00, 10:30 etc., se obţine un şir de numere. Cum se defineşte acest şir?

41. (Şirul lui Fibonacci) O pereche de iepuri se maturizează într-o lună şi perioada de gestaţie este de o lună. Având o pereche de iepuri, înregistrăm numărul de iepuri după fiecare lună şi obţinem un şir de numere. Cum se defineşte acest şir?

EVALUARE FORMATIVĂ

1. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 3, 5, 9, 3, 5, 9, ...; b) 2, −2, 2, −2, ...

2. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 11, 15, 19, ...; b) 9, 4, −1, −6, ...

3. Scrieţi primii trei termeni ai şiru-lui cu termenul general:

a) = 8n − 3; b) = −12n + 7. na na4. Scrieţi primii trei termeni ai şiru-

lui cu termenul general: a) = b) = na ;35 n⋅ na .52 2−⋅− n

5. Scrieţi primii trei termeni ai şiru-lui cu termenul general:

a) = na ;13

5−nn b) = na .

54

+−

nn

6. Scrieţi primii trei termeni ai şiru-lui definit de relaţiile:

na = + 8, n > 1, = 2, n ∈ N*. 1−na 1a7. Scrieţi primii trei termeni ai şiru-

lui definit de relaţiile: na = n > 1, = 2, n ∈ N*. ,7 1−− na 1a

1. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 1, 2, 9, 1, 2, 9, ...; b) −5, 5, −5, 5, ...

2. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 12, 18, 24, ...; b) 13, 7, 1, −5, ...

3. Scrieţi primii trei termeni ai şirului cu termenul general:

a) = 9n − 4; nab) = −15n + 6. na


a) = b) = na ;29 n⋅ na .83 2−⋅− n


a) = na ;16

2−nn b) = na .

45

+−

nn

6. Scrieţi primii trei termeni ai şirului definit de relaţiile:

na = + 7, n > 1, = 6, n ∈ N*. 1−na 1a7. Scrieţi primii trei termeni ai şirului

definit de relaţiile:


8. Fie a = . Aflaţi restul îm-părţirii numărului a la 100.

4 7641

9. Fie unghiul ascuţit AMB. Se con-struieşte o semidreapta deschisă MC în interiorul unghiului AMB şi se află nu-mărul de unghiuri ce se identifică; se mai construieşte semidreapta deschisă MD şi se află numărul unghiurilor ce se identifică etc. Definiţi şirul ce se obţine în acest mod.

na = ,8 1−− na n > 1, = 3, n ∈ N*. 1a8. Fie a = . Aflaţi restul împăr-

ţirii numărului a la 100. 6 7641

9. Fie triunghiul ABC. Se construieşte ceviana AD (D ∈ (BC)) şi se află numă-rul de triunghiuri ce se identifică; se mai construieşte ceviana AE şi se află nu-mărul triunghiurilor ce se identifică etc. Definiţi şirul ce se obţine în acest mod.


2. Progresii aritmetice − I −

1. În vacanţă Mircea s-a decis să rezolve în fiecare zi 5 exerciţii. Aflaţi câte exerciţii rezolvate va avea Mircea după:

a) 3 zile; b) 7 zile; c) 9 zile; d) 12 zile. 2. Familia D are 5 200 lei la o bancă şi depune lunar câte 450 lei. Aflaţi suma de

bani pe care o va avea: a) o lună; b) două luni; c) cinci luni; d) opt luni.

3. Examinaţi şirurile următoare şi identificaţi progresiile aritmetice: 1, 3, 5, 7, ...; 2, 6, 2, 6, ...; 7, 9, 13, 18, ...; 18, 15, 12, ...; 7, 5, 8, 6, 9, ...

4. Recunoaşteţi o progresie aritmetică după termenul general:

na = 5n + 2, = 3n + = 4n − 11, = nb ,)1( n− nc nd ,5

2+nn = + 3. ne 25n

5. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei aritmetice: a) = 5n + 12; b) = 7n + 14; c) = 13n + 8; d) = 15n + 6. na na na na

6. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei aritmetice: a) = 7n − 25; b) = 5n − 11; c) = 3n − 32; d) = 8n − 35. na na na na

7. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei aritmetice: a) = −3n + 57; b) = −6n + 49; c) = −9n + 62; d) = −21n + 81. na na na na

8. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei aritmetice: a) = −9n − 4; b) = −7n − 24; c) = −27n − 11; d) = −33n − 19. na na na na

9. Aflaţi termenul general al unei progresii aritmetice cu: a) primul termen 3 şi raţia 5; b) primul termen 12 şi raţia 7; c) primul termen 2 şi raţia 9; d) primul termen 16 şi raţia 9; e) primul termen 8 şi raţia 3; f) primul termen 34 şi raţia 11.

10. Aflaţi termenul general al unei progresii aritmetice cu: a) = 12 şi r = 0,5; b) = 15 şi r = 0,7; c) = 24 şi r = 0,8; 1a 1a 1ad) = 32 şi r = 1,2; e) = 26 şi r = 2,5; f) = 33 şi r = 1,6. 1a 1a 1a


11. Aflaţi termenul: a) 30 al progresiei aritmetice cu = 4n − 5; nab) 25 al progresiei aritmetice cu = 3n − 36; nac) 36 al progresiei aritmetice cu = 21n − 26; nad) 52 al progresiei aritmetice cu = 6n − 25. na

12. Aflaţi termenul lipsă din progresia: a) 38, ..., 57; b) 27, ..., 59; c) 78, ..., 96; d) 102, ..., 275; e) 292, ..., 305.

13. Aflaţi termenul lipsă din progresia: a) 79, ..., 12; b) 91, ..., 35; c) 82, ..., 73; d) 901, ..., 543; e) 842, ..., 715.

14. Aflaţi primul termen al progresie aritmetice cu: a) r = 10 şi = 110; b) r = 12 şi = 192; c) r = 14 şi = 452; 22a 31a 35ad) r = 23 şi = 789; e) r = 41 şi = 900; f) r = 27 şi = 262. 39a 42a 19a

15. Aflaţi termenul general al unei progresii aritmetice cu: a) termenul al 5-lea 17 şi termenul al 10-lea 28; b) termenul al 9-lea 24 şi termenul al 17-lea 128; c) termenul al 12-lea 38 şi termenul al 22-lea 86; d) termenul al 11-lea 47 şi termenul al 27-lea 111.

16. Fie o progresie aritmetică. Ştiind că: a) cu = 7 şi = 183, aflaţi 1a 23a ,2a ;3ab) cu = 13 şi = 223, aflaţi 1a 36a ,2a ;3ac) cu = 24 şi = 420, aflaţi 1a 45a ,2a ;3ad) cu = 16 şi = 640, aflaţi 1a 53a ,2a .3a

17. Calculaţi suma primelor: a) 37 de numere naturale nenule; b) 106 numere naturale nenule; c) 78 de numere naturale nenule; d) 157 numere naturale nenule.

18. Comparaţi suma termenilor extremi cu suma termenilor egal depărtaţi de ex-tremi, dacă se dă progresia aritmetică:

a) 12, 15, 18, 21, 24, 27; b) 53, 73, 93, 103, 123, 143; c) 39, 50, 61, 72, 83, 94; d) 24, 55, 86, 117, 148, 179.

19. Comparaţi suma termenilor extremi cu suma termenilor egal depărtaţi de ex-tremi, dacă se dă progresia aritmetică:

a) 97, 85, 73, 71, 59, 47; b) 248, 226, 204, 182, 160, 138; c) 74, 69, 64, 59, 54, 49; d) 534, 527, 520, 513, 506, 499.

20. Aflaţi suma termenilor unei progresii aritmetice: a) cu = 12 şi ultimul termen = 145; 1a 24ab) cu = 9 şi ultimul termen = 191; 1a 28ac) cu = 24 şi ultimul termen = 204; 1a 31ad) cu = 35 şi ultimul termen = 183. 1a 38a

21. Fie o progresie aritmetică. Aflaţi suma primilor: a) 20 de termeni ai unei progresiei, dacă = 7 şi raţia ei este 8; 1ab) 24 de termeni ai unei progresiei, dacă = 5 şi raţia ei este 12; 1a


c) 32 de termeni ai unei progresiei, dacă = 24 şi raţia ei este 5; 1ad) 15 de termeni ai unei progresiei, dacă = 9 şi raţia ei este 12; 1ae) 12 de termeni ai unei progresiei, dacă = 18 şi raţia ei este 13. 1a

22. Fie o progresie aritmetică. Aflaţi suma primilor: a) 20 de termeni ai unei progresiei, dacă = 26 şi raţia ei este −6; 1ab) 34 de termeni ai unei progresiei, dacă = 9 şi raţia ei este −5; 1ac) 16 de termeni ai unei progresiei, dacă = 15 şi raţia ei este −4; 1ad) 18 de termeni ai unei progresiei, dacă = 19 şi raţia ei este −3; 1ae) 25 de termeni ai unei progresiei, dacă = 52 şi raţia ei este −11. 1a

23. Calculaţi suma: a) primilor 36 de termeni ai progresiei aritmetice cu = 5n + 13; nab) primilor 36 de termeni ai progresiei aritmetice cu = 4n + 7; nac) primilor 36 de termeni ai progresiei aritmetice cu = 3n + 8; nad) primilor 36 de termeni ai progresiei aritmetice cu = 6n + 5. na

24. Calculaţi suma: a) primilor 81 de termeni ai progresiei aritmetice cu = −3n + 14; nab) primilor 75 de termeni ai progresiei aritmetice cu = −6n + 11; nac) primilor 70 de termeni ai progresiei aritmetice cu = −5n + 12; nad) primilor 56 de termeni ai progresiei aritmetice cu = −7n + 15. na

− II −

25. Arătaţi că şirul cu termenul general: a) = 7n + 3 este o progresie aritmetică; nab) = −3n + 12 este o progresie aritmetică. na

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 26. Stabiliţi monotonia şirului:

a) = 11n − 7; b) = −5n + 8. na naFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 27. Evidenţiaţi raţia şi primul termen al progresiei aritmetice:

a) = 14n − 9; b) = −7n + 12. na naFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 28. Calculaţi suma primelor:

a) 250 de numere naturale nenule pare; b) 375 de numere naturale impare; c) 496 de numere naturale nenule, multipli ai lui 7.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 29. Rezolvaţi în N ecuaţia:

a) 1 + 2 + 3 + ... + x = 1 653; b) 3 + 6 + 9 + ... + x = 4 293. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 30. Calculaţi suma primilor 50 de termeni ai progresiei aritmetice cu = 58 şi = 211.

3a

12a Cap. VI. Şiruri numerice 102


− III −

31. Demonstraţi cum se află, fără să se aplice formula, termenul general al unei pro-gresii aritmetice cu = 8 şi r = 5. 1a

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 32. Fie o progresie aritmetică cu n termeni. Demonstraţi că suma termenilor egal

depărtaţi de termenii extremi ai progresiei este egală cu suma termenilor extremi ai acelei progresii.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Demonstraţi cum se află, fără să se aplice formula, suma celor 100 de termeni ai

unei progresii aritmetice cu = 15 şi r = −7. 1aFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 34. Decideţi dacă şirul cu termenul general = + 3, n ∈ N*, este o progresie

aritmetică. na 2n

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 35. Construiţi formula termenului general al şirului definit de relaţiile:

a) = + 5, n ∈ N*, = 12; b) = − 7, n ∈ N*, = −15. na 1−na 1a na 1−na 1aFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Scrieţi cât mai simplu, suma:

a) primelor n numere naturale pare; b) primelor n numere naturale impare; c) termenilor şirului 1, 2, 3, ..., (n − 1), n, (n − 1), ..., 3, 2, 1.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 37. Găsiţi numerele palindromice pătrate perfecte, cu proprietatea că suma cifrelor

lor este un pătrat perfect. 38. Identificaţi progresiile aritmetice dintre şirurile cu suma primilor n termeni: + 3n, 3n − 5, − 7n, + 10, n ∈ N*. 2n 2n 2nFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 39. Lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic sunt termenii unei progresii arit-

metice. Aflaţi lungimile laturilor triunghiului. 40. Aflaţi x astfel încât numerele + 1, ab + x, + x să fie termenii unei progresii

aritmetice.

2a 2b

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Scrieţi termenul general al progre-

siei aritmetice cu: a) = 16 şi r = 4; 1ab) = 8 şi r = −5. 1a

2. Aflaţi primul termen şi raţia pro-gresiei aritmetice cu termenul general

= 8n − 3. na3. Aflaţi termenul de rang 30 al pro-

1. Scrieţi termenul general al progre-siei aritmetice cu:

a) = 15 şi r = 6; 1ab) = 9 şi r = −4. 1a

2. Aflaţi primul termen şi raţia pro-gresiei aritmetice cu termenul general

= 7n − 8. na3. Aflaţi termenul de rang 30 al pro-


gresiei cu = 9n − 15. na4. Calculaţi suma primelor 350 de

numere naturale nenule. 5. Aflaţi termenul general al progre-

siei aritmetice cu: a) = 18 şi = 58; 1a 11ab) = 7 şi = −53. 1a 16a

6. Calculaţi suma termenilor unei progresii aritmetice cu = 15 şi = 135.

1a 31a

7. Calculaţi suma primilor 48 de ter-meni ai progresiei aritmetice cu = 11 şi r = 6.

1a

8. Demonstraţi că şirul cu termenul general = 11n − 23 este o progresie aritmetică.

na

9. Stabiliţi dacă şirul cu suma primi-lor n termeni − 7n este o progresie aritmetică.

2n

gresiei cu = 8n − 17. na4. Calculaţi suma primelor 450 de nu-

mere naturale nenule. 5. Aflaţi termenul general al progre-

siei aritmetice cu: a) = 17 şi = 77; 1a 11ab) = 6 şi = −44. 1a 16a

6. Calculaţi suma termenilor unei progresii aritmetice cu = 14 şi = 136.

1a 31a

7. Calculaţi suma primilor 52 de ter-meni ai progresiei aritmetice cu = 11 şi r = 7.

1a

8. Demonstraţi că şirul cu termenul general = 12n − 25 este o progresie aritmetică.

na

9. Stabiliţi dacă şirul cu suma primi-lor n termeni − 9n este o progresie aritmetică.

2n


3. Progresii geometrice − I −

1. Într-un tabel de 2 linii şi 3 coloane se scriu în ordine puteri naturale ale unor numere. Aflaţi numărul maxim din tabel, dacă primul număr este:

a) 1 şi fiecare este de 2 ori mai mare decât precedentul; b) 1 şi fiecare este de 3 ori mai mare decât precedentul; c) 1 şi fiecare este de 4 ori mai mare decât precedentul; d) 1 şi fiecare este de 5 ori mai mare decât precedentul.

2. Suprafaţa unui lac acoperită cu nuferi creşte în fiecare zi astfel încât după 5 zile suprafaţa lui este complet acoperită cu nuferi. Enumeraţi şirul ai cărui termeni indică a câta parte din suprafaţa lacului în fiecare zi, dacă:

a) în fiecare zi suprafaţa lacului acoperită s-a dublat; b) în fiecare zi suprafaţa lacului acoperită s-a triplat; c) în fiecare zi suprafaţa lacului acoperită s-a mărit de 4 ori; d) în fiecare zi suprafaţa lacului acoperită s-a mărit de 5 ori.

3. Examinaţi şirurile următoare şi identificaţi progresiile geometrice: 1, 3, 9, 27, ...; 3, 6, 9, 12, ...; 5, 25, 125, 625, ...; 32, 64, 96, ...

4. Recunoaşteţi o progresie geometrică după termenul general:

na = + 1, = = 7n − 13, = = 132 −⋅ nnb ,5n

nc nd ,43 1−⋅ nne .2 2n


5. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei geometrice: a) = b) = c) = d) = na ;32 1−⋅ n

na ;52 1−⋅ nna ;43 1−⋅ n

na .32 1−⋅ n

6. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei geometrice: a) = b) = c) = d) = na ;34 1−⋅ n

na ;67 1−⋅ nna ;45 1−⋅ n

na .511 1−⋅ n

7. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei geometrice: a) = b) = c) = d) = na ;4n

na ;7nna ;5n

na .11n

8. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei geometrice:

a) = na ;3

21−n b) = na ;

54

1−n c) = na ;6

71−n d) = na .

45

1−n

9. Construiţi termenul general al unei progresii geometrice cu: a) primul termen 3 şi raţia q = 7; b) primul termen 2 şi raţia q = 3; c) primul termen 4 şi raţia q = 9; d) primul termen 5 şi raţia q = 8.

10. Aflaţi termenul general al unei progresii geometrice cu: a) = 11 şi q = 5; b) = 5 şi q = 7; c) = 2 şi q = 9; 1a 1a 1ad) = 12 şi q = 11; e) = 8 şi q = 3; f) = 15 şi q = 4. 1a 1a 1a

11. Aflaţi termenul: a) 12 al progresiei geometrice cu = na ;42 1−⋅ n

b) 23 al progresiei geometrice cu = na ;54 1−⋅ n

c) 31 al progresiei geometrice cu = na ;73 1−⋅ n

d) 17 al progresiei geometrice cu = na .35 1−⋅ n

12. Aflaţi termenul lipsă din progresia geometrică: a) 15, ..., 375; b) 18, ..., 162; c) 45, ..., 405; d) 12, ..., 192; e) 28, ..., 1 372.

13. Aflaţi termenul lipsă din progresia:

a) ,43 ..., ;

643 b) ,

74 ..., ;

3434 c) ,

257 ..., ;

6257 d) ,

95 ..., .

815

14. Aflaţi primul termen al progresie geometrice cu: a) q = 3 şi = 162; b) q = 4 şi = 300; c) q = 3 şi = 384. 5a 4a 8a

15. Aflaţi termenul general al unei progresii geometrice cu: a) termenul al 3-lea 48 şi termenul al 6-lea 3 072; b) termenul al 4-lea 54 şi termenul al 7-lea 1 458; c) termenul al 3-lea 50 şi termenul al 5-lea 1 250.

16. Fie o progresie geometrică. Ştiind că: a) cu = 2 şi = 11a 5a 250, aflaţi b) cu = 4 şi = 972, aflaţi ;8a 1a 6a ;10ac) cu = 5 şi = 320, aflaţi d) cu = 3 şi = 768, aflaţi 1a 7a ;11a 1a 9a .12a

17. Aflaţi raţia unei progresii geometrice cu: a) = 3 şi = 11a 4a 029; b) = 5 şi = 11a 9a 280; c) = 4 şi = 21a 5a 500; d) = 2 şi = 11a 5a 458.

18. Comparaţi produsul termenilor extremi cu produsul termenilor egal depărtaţi de extremi, dacă se dă progresia geometrică:

a) 3, 15, 75, 375, 1 875, 9 375; b) 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1 458;


c) 4, 20, 100, 500, 2 500, 12 500; d) 5, 55, 86, 117, 148, 179. 19. Comparaţi produsul termenilor extremi cu suma termenilor egal depărtaţi de ex-

tremi, dacă se dă progresia geometrică: a) 6 561, 2 187, 729, 243; b) 15 625, 3 125, 625, 125, 25; c) 16 807, 2 401, 343, 49; d) 13 122, 1 458, 162, 18, 2.

20. Scrieţi cât mai simplu suma termenilor unei progresii geometrice: a) cu = 3 şi ultimul termen = 1a 18a ;53 17⋅

b) cu = 4 şi ultimul termen = 1a 27a ;34 26⋅

c) cu = 5 şi ultimul termen = 1a 35a ;25 34⋅

d) cu = 7 şi ultimul termen = 1a 43a .67 42⋅21. Fie o progresie geometrică. Scrieţi cât mai simplu suma primilor:

a) 20 de termeni ai unei progresiei, dacă = 7 şi raţia ei este 8; 1ab) 24 de termeni ai unei progresiei, dacă = 5 şi raţia ei este 12; 1ac) 32 de termeni ai unei progresiei, dacă = 24 şi raţia ei este 5; 1ad) 15 de termeni ai unei progresiei, dacă = 9 şi raţia ei este 12; 1ae) 12 de termeni ai unei progresiei, dacă = 18 şi raţia ei este 13. 1a

22. Fie o progresie geometrică. Scrieţi cât mai simplu suma primilor: a) 20 de termeni ai unei progresiei, dacă = 5 şi raţia ei este −6; 1ab) 32 de termeni ai unei progresiei, dacă = 9 şi raţia ei este −5; 1ac) 16 de termeni ai unei progresiei, dacă = 3 şi raţia ei este −4; 1ad) 18 de termeni ai unei progresiei, dacă = 2 şi raţia ei este −3; 1ae) 28 de termeni ai unei progresiei, dacă = 7 şi raţia ei este −11. 1a

23. Scrieţi cât mai simplu: a) primilor 36 de termeni ai progresiei geometrice cu = na ;117 1−⋅ n

b) primilor 43 de termeni ai progresiei geometrice cu = na ;35 1−⋅ n

c) primilor 57 de termeni ai progresiei geometrice cu = na ;52 1−⋅ n

d) primilor 49 de termeni ai progresiei geometrice cu = na .73 1−⋅ n

24. Scrieţi cât mai simplu: a) primilor 76 de termeni ai progresiei geometrice cu = na ;)3(2 1−−⋅ n

b) primilor 84 de termeni ai progresiei geometrice cu = na ;)5(3 1−−⋅ n

c) primilor 52 de termeni ai progresiei geometrice cu = na ;)7(5 1−−⋅ n

d) primilor 96 de termeni ai progresiei geometrice cu = na .)2(7 1−−⋅ n

− II − 25. Arătaţi că şirul cu termenul general:

a) = este o progresie geometrică; na 158 −⋅ n

b) = este o progresie geometrică. na 1)2(5 −−⋅ n


Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 26. Stabiliţi monotonia şirului:

a) = b) = na ;152 1−⋅ nna .)3(11 1−−⋅ n

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 27. Evidenţiaţi raţia şi primul termen al progresiei aritmetice:

a) = b) = na ;8nna .)13( n−

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 28. Scrieţi cât mai simplu suma primelor:

a) 1 000 de puteri naturale ale lui 2; b) 1 000 de puteri naturale ale lui .21

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 29. Scrieţi cât mai simplu suma primilor:

a) 20 de termeni ai progresiei geometrice cu = 5 şi q = 1a ;32

b) 30 de termeni ai progresiei geometrice cu = 7 şi q = 1a .54

−

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 30. Scrieţi cât mai simplu suma primilor 50 de termeni ai progresiei geometrice cu = 50 şi = 313a 7a 250. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

− III −

31. Demonstraţi cum se află, fără să se aplice formula, termenul general al unei pro-gresii geometrice cu = 8 şi q = 5. 1a

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 32. Fie o progresie geometrică cu n termeni. Demonstraţi că produsul termenilor

egal depărtaţi de termenii extremi ai progresiei este egală cu produsul termenilor extremi ai acelei progresii.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Fie o progresie geometrică cu n termeni. Demonstraţi cum se află, fără să aplice

formula, suma termenilor progresiei, dacă = 11 şi q = −7. 1aFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 34. Decideţi dacă şirul cu termenul general = n ∈ N*, este o progresie geo-

metrică. na ,4n

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 35. Construiţi formula termenului general al şirului definit de relaţiile:

a) = n ∈ N*, = 3; b) = na ,7 1−na 1a na ,8

1−na n ∈ N*, = 5. 1a

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Identificaţi progresiile geometrice dintre şirurile cu suma primilor n termeni: − 7, 9n + 11, − 1, + 1, n ∈ N*. 2n n7 n6


Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 37. Descompuneţi în factori: a) b) ;15 −X 7X − .57

38. Calculaţi suma infinită:

a) ...;31

31

31

32 +++ b) ...125

8254

52

+++

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 39. Calculaţi suma infinită:

a) ...;41

41

41

32 −+− b) ...34327

499

73

−+−

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 40. Scrieţi cât mai simplu:

a) 1 + 2x + + + ... + 23x 34x ;)1( nxn +

b) 3 − 4x + − + ... + 25x 36x .)3()1( nn xn +−Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Scrieţi cât mai simplu:

a) b) ;...321 222 n++++ ....321 333 n++++42. Stabiliţi dacă 9 divide − 43421

cifre0001

1...1111 .2...2222cifre50043421

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Fie f : N → R. Atunci f(1), f(2), f(3), ... este … 2. Fie progresia aritmetică , ..., de raţie r. Formula termenului gene-

ral al progresiei este = ... ,1a ,2a 3a na

na3. Fie progresia aritmetică , ..., Atunci ,1a ,2a 3a .na naa +1 = + ... = + ... = + ... = + ...

2a 3a

4a 5a4. Suma primelor n numere naturale nenule este ... 5. Fie progresia aritmetică , ..., de raţie r. Atunci suma termenilor

progresiei este = ... ,1a ,2a 3a

2a 3a

na

nS6. Fie progresia geometrică , ..., de raţie q. Formula termenului gene-

ral al progresiei este = ... ,1a ,2a 3a na

na7. Fie progresia geometrică , ..., Atunci = ... = ... = ...

= ... ,1a ,2a 3a .na naa1 2a 3a 4a

5a8. Fie progresia aritmetică , ..., Atunci suma termenilor progresiei

este ... ,1a , .na

9. a) 1−nX = (...)(...). b) Dacă | q | < 1, atunci 1 + q + + ... 2q



EVALUARE FORMATIVĂ 1. Scrieţi termenul general al progre-

siei geometrice cu: a) = 3 şi q = 7; 1a

b) = 2 şi q = 1a .31

2. Aflaţi primul termen şi raţia pro-gresiei geometrice cu termenul general

= na .13n

3. Aflaţi termenul de rang 12 al pro-gresiei cu = na .152 1−⋅ n

4. Calculaţi suma primelor 35 de pu-teri naturale nenule ale lui 2.

5. Aflaţi termenul general al progre-siei geometrice cu:

a) = 4 şi = 1a 11a ;54 10⋅

b) = 7 şi = 1a 16a .74 15⋅−6. Scrieţi cât mai simplu suma primi-

lor 22 de termeni ai progresiei geome-trice cu = 5 şi q = 6. 1a

7. Scrieţi cât mai simplu suma terme-nilor unei progresii aritmetice cu = 3 şi =

1a

19a .43 18⋅8. Scrieţi cât mai simplu:

a) ...;33111

1211

111

+++

b) ...19721

1691

131

−+−

9. Stabiliţi dacă şirul cu suma primi-lor n termeni este o progresie geo-metrică.

n37

1. Scrieţi termenul general al progre-siei geometrice cu:

a) = 4 şi q = 3; 1a

b) = 5 şi q = 1a .41

2. Aflaţi primul termen şi raţia pro-gresiei geometrice cu termenul general

= na .31n

3. Aflaţi termenul de rang 12 al pro-gresiei cu = na .163 1−⋅ n

4. Calculaţi suma primelor 32 de pu-teri naturale nenule ale lui 2.

5. Aflaţi termenul general al progre-siei geometrice cu:

a) = 5 şi = 1a 11a ;75 10⋅

b) = 6 şi = 1a 16a .116 15⋅−6. Scrieţi cât mai simplu suma primi-

lor 22 de termeni ai progresiei geome-trice cu = 5 şi q = 6. 1a

7. Scrieţi cât mai simplu suma terme-nilor unei progresii aritmetice cu = 2 şi =

1a

19a .32 18⋅8. Scrieţi cât mai simplu:

a) ...;7291

811

91

+++

b) ...72911

1441

121

−+−

9. Stabiliţi dacă şirul cu suma primi-lor n termeni este o progresie geo-metrică.

n41



Capitolul 7. Elemente de teoria probabilităţilor Probabilitatea teoretică. Un proces de observaţie şi de măsurare în urma căruia

se obţin rezultate mai mult sau mai puţin previzibile este un experiment sau o expe-rienţă aleatoare. Exemple de experienţe aleatoare: cartea ce se extrage dintr-un pa-chet de cărţi de joc, numărul ce se obţine după aruncarea unui zar, între ce limite se vor afla temperaturile în ziua următoare etc. Orice repetare a unei experienţe aleatoare se numeşte probă. Rezultatele unei experienţe aleatore sunt numite evenimente. De exemplu, evenimentele aruncării unei monede sunt: apariţia banului (notat B) şi apari-ţia stemei (notat S). Fiecărei experienţe aleatoare i se asociază o mulţime de eveni-mente numit spaţiu probabilistic. De exemplu, spaţiul asociat aruncării unei monede este mulţimea {B, S}. Teoretic, se consideră că la aruncarea unei monede B şi S, fie-cărui eveniment i se asociază un număr de cazuri favorabile dintr-un număr de cazuri egal posibile. Evenimentul cu un singur caz favorabil se numeşte eveniment ele-mentar. Aruncarea unei monede are evenimentele elementare B şi S, iar numărul ca-zurilor egal posibile este 2. Un eveniment care se poate realiza întotdeauna se nu-meşte eveniment sigur. La aruncarea unui zar evenimentul „apariţia unei feţe cu un număr de puncte din intervalul [1, 6]“ este un eveniment sigur. Un eveniment ce nu se poate realiza niciodată se numeşte eveniment imposibil. Probabilitatea unui eveni-ment este raportul dintre numărul cazurilor favorabile realizării evenimentului şi nu-mărul cazurilor egal posibile.

Proprietăţi ale probabilităţii. 1) Probabilitatea unui eveniment este un număr din intervalul [0, 1]. 2) Suma probabilităţilor dintr-un spaţiu probabilistic este egală cu 1. Unei experienţe probabilistice i se pot asocia mai multe spaţii probabilistice. De exemplu, experienţei ce constă în aruncarea unei monede de două ori i se pot asocia spaţiile: {(B, B), (B, S), (S, B), (S, S)}, {(2B), (1B şi 1S), (2S)}. Al doilea dintre spaţiile enumerate nu este format numai din evenimente egal probabile.

Probabilitatea empirică. Aruncând o monedă de 100 de ori se constată că banul apare de 46 de ori. În aceste condiţii frecvenţa relativă a evenimentului B = 0,46 şi frecvenţa relativă a evenimentului S = 0,54. Dacă se consideră o experienţă aleatoare şi se fac n probe. Dacă evenimentul A se realizează în probe, atunci frecvenţa lui An

relativă este = )(Afn .n

nA

Elemente de statistică matematică. Statistica descriptivă se ocupă cu culegerea şi înregistrarea datelor. Statistica matematică se prelucrează datele, le grupează şi le interpretează. Organizarea datelor statistice parcurge următoarele etape: 1) colectarea datelor; 2) ordonarea lor; 3) frecvenţa de distribuţie. Dacă numărul datelor este mare, atunci ele grupează. O mulţime care face obiectul unei analize statistice este o populaţie statistică. Elementele unei populaţii statistice: mulţimea elevilor unei clase; mulţimea elevilor claselor a 8-a dintr-o şcoală; mulţimea băieţilor dintr-o şcoală etc. Aceste elemente se numesc unităţi statistice sau indivizi. Ceea ce urmăreşte o analiză statistică se numeşte caracteristică (cantitate) sau atribut (calitate). Rezultatele obţi-nute de elevii unei clase la un test de matematică pot fi supuse unei analize statistice. Indivizii sunt elevii, iar caracteristica este nota sau scorul obţinut de fiecare elev.

4

− I −

1. Notaţi cercul: a) de centru O şi rază 2 cm; b) de centru P şi rază 3 cm; c) de centru I şi rază 2,6 cm; d) de centru S şi rază 6 cm.

2. Construiţi şi notaţi pe desen: a) interiorul şi exteriorul C(O; 2,8 cm); b) interiorul şi exteriorul C(A; 4,1 cm); c) interiorul şi exteriorul C(B; 3,7 cm); d) interiorul şi exteriorul C(C; 3,6 cm).

3. Construiţi un semicerc cu diametrul: a) AB = 4,2 cm; b) CD = 5,8 cm; c) EF = 7,2 cm; d) GH = 9,4 cm.

4. Construiţi: a) arcul AC de 25°; b) arcul BR de 85°; c) arcul IP de 123°; d) arcul KN de 168°.

5. Construiţi: a) arcul AB de 235°; b) arcul CD de 290°; c) arcul EF de 310°; d) arcul GH de 320°; e) arcul JK de 197°; f) arcul LM de 238°.

6. Aflaţi prin măsurare: ) )BC ; c) m

)EG ; d) m

)FK ; e) m

)NP . a) m LD ; b) m

7. Aflaţi prin măsurare: )BFE ; c) m

)GIH ; d) m

)JLK ; e) m . )

MRN)

ADC ; b) ma) m8. Examinaţi desenul şi recunoaşteţi poziţia punctului:

a) C faţă de C(A, R); b) M faţă de C(I, R); c) L faţă de C(S, R). 9. Stabiliţi poziţia punctului:

a) P faţă de C(I; 3,2 cm), dacă PI = 3,02; b) A faţă de C(O; 6,2 cm), dacă AO = 6,2006 cm; c) B faţă de C(K; 7,5 cm), dacă BK = 7,5 cm; d) C faţă de C(S; 9,4 cm), dacă CS = 9,40001 cm.

10. Examinaţi desenul şi recunoaşteţi poziţia dreptei: a) a faţă de C(D, R); b) c faţă de C(M, R); c) d faţă de C(P, R).

11. Construiţi: a) dreapta a exterioară, dreapta b tangentă şi dreapta c secantă C(D; 3,6 cm); b) dreapta d exterioară, dreapta e tangentă şi dreapta f secantă C(B; 2,9 cm); c) dreapta g exterioară, dreapta h tangentă şi dreapta i secantă C(A; 4,1 cm)

12. Stabiliţi poziţia dreptei: a) a faţă de C(B; 4,6 cm), dacă d(B, a) = 4,06 cm; b) b faţă de C(A; 2,8 cm), dacă d(A, b) = 2,8 cm; c) c faţă de C(C; 5,3 cm), dacă d(C, c) = 4,06 cm; d) d faţă de C(E; 4,4 cm), dacă d(E, d) = 3,03 cm.

13. Examinaţi desenul şi recunoaşteţi poziţiile relative ale cercurilor reprezentate. 14. Construiţi cercurile:

a) exterioare C(A; 2,7 cm) şi C(B; 4,2 cm); b) tangente exterioare C(C; 3,5 cm) şi C(D; 4,8 cm); c) secante C(E; 2,6 cm) şi C(F; 5,2 cm); d) tangente interioare C(G; 4 cm) şi C(H; 5,6 cm);

5

e) interioare C(I; 2 cm) şi C(J; 6,2 cm); f) concentrice C(K; 5 cm) şi C(L; 3,2 cm).

15. Fie C(A, R) şi C(B, R′). Stabiliţi ce poziţie are un cerc faţă de celălalt, dacă: a) R = 3 cm, R′ = 4,6 cm şi AB = 7,61 cm; b) R = 5,1 cm, R′ = 2,4 cm şi AB = 7,505 cm; c) R = 7,2 cm, R′ = 2,3 cm şi AB = 9,5002 cm.

16. Fie C(A, R) şi C(B, R′). Stabiliţi ce poziţie are un cerc faţă de celălalt, dacă: a) R = 2,8 cm, R′ = 5,5 cm şi AB = 8,3 cm; b) R = 3,6 cm, R′ = 3,5 cm şi AB = 7,1 cm; c) R = 5,8 cm, R′ = 4,9 cm şi AB = 10,7 cm.

17. Fie C(C, R) şi C(D, R′). Stabiliţi ce poziţie are un cerc faţă de celălalt, dacă: a) R = 7,4 cm, R′ = 5,8 cm şi CD = 12 cm; b) R = 7,9 cm, R′ = 1,5 cm şi CD = 9 cm; c) R = 2,6 cm, R′ = 9,3 cm şi CD = 10,7 cm.

18. Fie C(E, R) şi C(F, R′). Stabiliţi poziţia unui cerc faţă de celălalt, dacă: a) R = 2,5 cm, R′ = 9,3 cm şi EF = 6,8 cm; b) R = 12,4 cm, R′ = 4,8 cm şi EF = 7,9 cm; c) R = 2,9 cm, R′ = 8,2 cm şi EF = 7,9 cm.

19. Fie C(G, R) şi C(H, R′). Stabiliţi ce poziţie are un cerc faţă de celălalt, dacă: a) R = 1,8 cm, R′ = 13,6 cm şi GH = 11,7 cm; b) R = 3,7 cm, R′ = 12,3 cm şi GH = 8,59 cm; c) R = 5,5 cm, R′ = 15,1 cm şi GH = 9,49 cm.

20. Notaţi: a) proiecţia punctului A pe dreapta d; b) proiecţia punctului B pe dreapta c; c) proiecţia punctului C pe dreapta a.

21. Reproduceţi desenul şi, utilizând procedeul îndoirii hârtiei, construiţi: a) pra M; b) prb P; c) prc F; d) prd G.

22. Utilizând rigla şi compasul, construiţi mediatoarea segmentului: a) AB de 4,7 cm; b) CD de 3,9 cm; c) EF de 5,3 cm; d) GH de 7,1 cm.

23. Utilizând rigla şi compasul, construiţi bisectoarea unghiului: a) MAI de 47°; b) NUC de 53°; c) TEL de 105°; d) ROK de 133°.

24. Utilizând rigla şi compasul, construiţi triunghiul: a) CET cu laturile de 3 cm, 4 cm şi 5 cm; b) GIP cu laturile de 3 cm, 5 cm şi 6 cm; c) HOL cu laturile de 5 cm, 7 cm şi 6 cm.

− II −

25. a) Fie teorema de echivalenţă: Dreapta a este exterioară cercului de centru O şi rază R dacă şi numai dacă d(O, a) > R.

Formulaţi teorema directă şi reciproca ei. Procedaţi la fel cu teorema de echivalenţă:

6

b) Dreapta a este tangentă cercului de centru O şi rază R dacă şi numai dacă d(O, a) = R.

c) Dreapta a este exterioară cercului de centru O şi rază R dacă şi numai dacă d(O, a) < R.

26. Fie teorema de echivalenţă: C(O, R) şi C(O′, R′) sunt cercuri exterioare dacă şi numai dacă OO′ > R + R′.

Formulaţi teorema directă şi reciproca ei. Procedaţi la fel cu teorema de echivalenţă:

b) C(O, R) şi C(O′, R′) sunt cercuri tangente exteriore dacă şi numai dacă OO′ = R + R′.

c) C(O, R) şi C(O′, R′) sunt cercuri secante dacă şi numai dacă OO′ < R + R′. d) C(O, R) şi C(O′, R′) sunt cercuri tangente interioare dacă şi numai dacă OO′

= |R – R′|. e) C(O, R) şi C(O′, R′) sunt cercuri interioare dacă şi numai dacă OO′ < |R – R′|. f) C(O, R) şi C(O′, R′) sunt cercuri concentrice dacă şi numai dacă OO′ < |R – R′|.

− III −

27. Fie cercurile exterioare C(O, R) şi C(O′, R′), {M} = C(O, R) ∩ (OO′) şi {N} = C(O′, R′) ∩ (OO′).

a) Comparaţi MO′ cu R′. b) Comparaţi NO cu R.

28. Fie cercurile interioare C(O, R) şi C(O′, R′), {A} = C(O, R) ∩ (OO′ şi {B} = C(O′, R′) ∩ (O′A.

a) Comparaţi AO′ cu R′. b) Comparaţi OA cu R.

29. Aplicând sugestia oferită de desen, construiţi mediatoarea segmentului AB de 29 cm.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Cercul este mulţimea … 2. Se numesc puncte conciclice … 3. Interiorul cercului de centru A şi raza r este … 4. Exteriorul cercului de centru B şi raza r este … 5. Discul circular de centru O şi rază este … r)6. Fie punctele M şi N ale C(O, r). AB este … 7. Fie punctul P şi C(I, r). Punctul P: aparţine cercului, dacă …; este exterior cercu-

lui, dacă …; aparţine interiorului cercului, dacă … 8. Fie dreapta d şi C(O, m). Dreapta d este: exterioară cercului, dacă …; tangentă

cercului, dacă …; secantă cercului, dacă … 9. C(O, a) şi C(I, b) sunt cercuri:

a) exterioare, dacă …; b) tangente exterioare, dacă …;

7

c) secante, dacă …; d) tangente interioare, dacă …; e) interioare, dacă …; f) concentrice, dacă …


TEST FORMATIV

1. Notaţi cercul de centru: a) A şi rază 2,2 cm; b) B rază d.

2. Notaţi interiorul şi exteriorul cer-cului de centru D şi rază 2,7 cm.

3. Construiţi arcul cu măsura: a) 54°; b) 209°.

4. Recunoaşteţi poziţia punctului:

a) F faţă de C(A, b); b) G faţă de C(B, b); c) J faţă de C(C, b).

5. Construiţi o dreaptă: a) a exterioară C(D; 2,1 cm); b) b tangentă C(E; 2,3 cm); c) c secantă C(F; 2,4 cm).

6. Notaţi şi construiţi proiecţia punc-tului N pe dreapta c.

7. Utilizând rigla şi compasul, con-struiţi:

a) mediatoarea segmentului CD de 3,5 cm;

b) bisectoarea unghiului IAR de 125°.

8. Construiţi cercurile: a) exterioare C(G, 2 cm) şi C(H;

2,3 cm); b) tangente interioare C(I; 1,5 cm)

şi C(J; 2,5 cm). 9. Fie C(D, r) şi C(L, r′). Stabiliţi

poziţia unui cerc faţă de celălalt, dacă: a) r = 3,5 cm, r′ = 4,7 cm şi DL =

8,2 cm; b) r = 5,2 cm, r′ = 3,6 cm şi DL =

1,57 cm.

1. Notaţi cercul de centru: a) B şi rază 6,7 cm; b) C rază r.

2. Notaţi interiorul şi exteriorul cer-cului de centru S şi rază 3,9 cm.

3. Construiţi arcul cu măsura: a) 72°; b) 294°.

4. Recunoaşteţi poziţia punctului:

a) P faţă de C(D, r); b) K faţă de C(E, r); c) L faţă de C(F, r).

5. Construiţi o dreaptă: a) d exterioară C(A; 3,2 cm); b) e tangentă C(B; 3,4 cm); c) f secantă C(C; 3,7 cm).

6. Notaţi şi construiţi proiecţia punc-tului R pe dreapta a.

7. Utilizând rigla şi compasul, con-struiţi:

a) mediatoarea segmentului AR de 5,7 cm;

b) bisectoarea unghiului JAN de 137°.

8. Construiţi cercurile: a) tangente exterioare C(M, 5 cm) şi

C(B; 4,1 cm); b) interioare C(I; 3,8 cm) şi C(P;

4,8 cm). 9. Fie C(S, r) şi C(T, r′). Stabiliţi

poziţia unui cerc faţă de celălalt, dacă: a) r = 15,6 cm, r′ = 14,7 cm şi ST =

30,29 cm; b) r = 23,5 cm, r′ = 53,1 cm şi ST =

29,6 cm. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 40 minute.

8

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri Cap. I. 1. a) A ∪ B = {−3, −2, 1, 3, 7, 8}, A ∩ B = {1, 3} şi A \ B = {−2, 8}. 2. A × B = {(−8, −1), (−2, 1), (−2, −1), (−2, 1), (5, −1), (5, 1)}. 3. a) {−3,2; 2,4} = {x, y} x = −3,2, y = 2,4 sau x = 2,4, y = −3,2. 4. a) {3, 7}. 5. A = {−9, −5, −3, 1, 2, 3, 8, 12, 17}, B = {−9, 2, 7, 16, 17, 19, 22, 41} şi C = {−8, −5, −3, 1, 2, 4, 7, 17, 19}. 6. a) −4, −1, 2. 7. a) Aflaţi A ∪ B = A şi A ∩ B = B. 8. a) {0, 1, 2, …, 18}. 9. a) 3n − 1 = 3n − 3 + 3 − 1 = 3(n − 1) + 2 ⇒ A = B. 10. a) {3n | n ∈ Z} ∩ {−2n | n ∈ Z} = {3n | n ∈ Z} ∩ {2n | n ∈ Z} = {6n | n ∈ Z}. 11. a) {2n | n ∈ Z} ∩ {5n | n ∈ Z} ∩ {6n | n ∈ Z} = {6n | n ∈

Z}. 12. a) 1523− = −3,1(3). 13. 2,15, −1,(3), −9,(18656), −11,34(91). 14. a) −3,183 =

.0001

1833− 15. a) −9,(18) = 99189− = .

1129− 16. a) −2,12(071) = −2 −

900991207112 − =

.90099059122− 17. a) {x ∈ R | 94 ≤ x ≤ 97,8} = [94; 97,8]. 18. a) {x ∈ R | 3,9 < x ≤ 5,7} =

(3,9; 5,7]. 19. a) {x ∈ R | 2,7 < x < 3,6} = (2,7; 3,6). 20. a) {x ∈ R | x ≤ −7,5} = (−∞; −7,5]. 21. a) {x ∈ R | x < −1,6} = (−∞; −1,6). 22. a) {x ∈ R | x ≥ 14,8} = [14,8; ∞). 23. a) {x ∈ R | x > 1,06} = (1,06; ∞). 24. a) [−3,1; 4,7] = {x ∈ R | −3,1 ≤ x ≤ 4,7}. 25. a) (−5,3; 9,4] = {x ∈ R | −5,3 < x ≤ 9,4}. 26. a) [5,2; 12,3) = {x ∈ R | 5,2 ≤ x < 12,3}. 27. a) (2,6; 9,1) = {x ∈ R | 2,6 < x < 9,1}. 28. a) (−∞, 4,7] = {x ∈ R | x ≤ 4,7}. 29. a) (−∞, 8,1) = {x ∈ R | x < 8,1}. 30. a) [2,14, ∞) = {x ∈ R | x ≥ 2,14}.

31. a) (−8,08, ∞) = {x ∈ R | x > −8,08}. 32. a)

33. a) 34. a)

35. a) 36. a) 37. a)

38. a) 39. a) 40. [−2,1; 1,4]. 41. (−9,2; 3,8]. 42. (−0,7; 9,3). 43. (−∞, 5,1]. 44. (−∞, 3,8). 45. [−5,8, ∞). 46. (−2,9, ∞). 47. a) {x ∈ R | | x | ≤ 1,6} = [−1,6; 1,6]. 48. a) 3 şi −4. 49. a) 15 şi −14. 50. a) 17 şi −16. 51. a) 37,6. 52. a) −11,53. 53. a) 24,18. 54. a) −17,17. 55. a) 3,16. 56. a) [−1,2; 7,3]. 57. a) [−1, 11]. 58. a) [−5, 2]. 59. a) −23, −22, −21, ... 4, 5. 60. a) −4, −3, ..., 5, 6. 61. a) −15, −14, ..., 16, 17. 62. a) ..., 5, 6, 7. 63. a) ..., 14, 15, 16. 64. a) −31, −30, −29, ... 65. a) −55, −54, ... 66. a) −3,8 şi 3,8.

67. a) .72 68. a) .133114 − 69. a) 3 + 990

2219 − = .9902173 70. a) 4x(2a + 3) = 8ax

+ 12x. 71. a) 2x(9a − 11) = 18ax − 22x. 72. a) (2a + 3)(3b + 5) = 2a(3b + 5) + 3(3b + 5) = 6ab + 10a + 6b + 15. 73. a) (6a − 5)(2b + 3) = 6a(2b + 3) − 5(2b + 3) = 12ab + 18a − 10b − 15. 74. a) (3a − 5)(2b − 7) = 3a(2b − 7) − 5(2b − 7) = 6ab − 21a − 10b + 35. 75. a) (2a + 5)(2a − 5) = − − 25. 76. a) (3a + 2)2)2( a 2)5( = 24a 2 = (3a) 2 +

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 110

2(3a)(2) + (2)2 = 9a2 + 12a + 4. 77. a) (9a − 4)2 = (9a) 2 − 2(9a)(4) + (4)2 = 81a2 − 72a + 16. 78. a) [a] = 13. 79. a) [a] = −7. 80. a) −9 < a < −8 ⇒ [a] = −9. 81. a) a − [a] = 0,12. 82. a) a − [a] = −2,37 − (− 3) = 0,33. 83. a) 4,1 < 17 < 4,2 ⇒ 4,1 − 5 <

517 − < 4,2 − 5 ⇒ −0,9 < 517 − < −0,8. Răspuns: −0,8. 84. a) 4,79 < 23 < 4,8 ⇒ 4,79 − 5 < 523 − < 4,8 − 5 ⇒ −0,21 < 523 − < −0,2. Răspuns: −0,21. 85. a) 3,872 − 4,123 < 1715 − < 3,873 − 4,123 ⇒ −0,251 < 1715 − < −0,25. Răspuns: −0,25. 86. Aflaţi mulţimile X cu card X = 3, astfel încât X ⊂

}.7,5,3,2{− X = },7,3,2{},5,3,2{{ −− },5,3,7{ }}.5,7,2{− 87. {−5, −3, 12, 19, x} = {−5, y, −3, 4, 12} ⇔ {19, x} = {y, 4} ⇒ x = 4 şi y = 19. 88. Reprezentaţi într-un sistem de axe ortogonale mulţimea {(−3, −2), (−3, 3), (−1, −2), (−1, 3), (4, −2), (4, 3)}. 89. card A ∪ B = card A + card B − card A ∩ B = 5 + 13 − 3 = 15 ⇒ card ((A ∪ B) × (A ∩ B)) = 15⋅3 = 45. 90. card A ∩ B = card A + card B − card A ∪ B = 15 + 42 − 50 = 7. 91. X = {1, 2, 3, 5, 7}, Y = {5, 7, 8, 10, 15}. 92. Mul-ţimea submulţimilor are 8 elemente. Se construiesc pe rând: submulţimea fără ele-mente, submulţimile cu 1 element, submulţimile cu 2 elemente, submulţimea cu 3 ele-mente. 93. a) Ţineţi cont că zecimalele se repetă ciclic din 7 în 7. 200 MOD 7 = 3. R: 8. 94. Dacă numitorul unei fracţii ireductibile se divide: numai cu 2 sau cu 5, atunci fracţia se converteşte într-un număr zecimal finit; cu numere prime diferite de 2 şi 5, atunci fracţia se converteşte în numere zecimale periodice simple; cu numere prime di-ferite de 2 şi 5, atunci fracţia se converteşte în numere zecimale periodice mixte. 95. 53723 ba +−− = (a − 7) 3 + 5b − 2 este număr raţional ⇔ a − 7 = 0 şi b = 0. 97. a) 5473 − < 0 ⇔ |5473 −| = .7354 − 98. a) 3x + 7 < 3(x − 1) + 5 ⇔ 3x + 7 < 3x − 3 + 5 ⇔ 7 < 2 ⇒ S = ∅. 99. a) 2(x + 8) − 14 < 4(x − 3) + 19 ⇔ 2x + 16 − 14 < 4x − 12 ⇔ 14 < 2x ⇔ 2x > 14 ⇔ x > 7 ⇒ S = (7, ∞).

100. a) ⇔ ⇔ ⇒ S = (−⎩⎨⎧

−<++>−

15851212553

xxxx

⎩⎨⎧

−<>−

204217

xx

⎩⎨⎧

−<−<

55,8

xx

∞; −8,5).

101. a) ⇔ ⇔

⇔ ⇒ S =

⎩⎨⎧

−−<−−+−≤−−

7)5(422)4(321)3(513)2(2

xxxx

⎩⎨⎧

−−<−−+−≤−−

742022123215151342

xxxx

⎩⎨⎧

−<−−+≤

7202212721327

xx

⎩⎨⎧

<≤

477537

xx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

756,' . 104. a) .

2,32152,112 ⋅+⋅

106. a) .6,122,86,122,82

+⋅⋅ 107. −58⋅39 + a = 56⋅(−41) + b, a ∈ {0, 1, 2, …, 57}, b ∈ {0, 1,

2, …, 55}. 108. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

39991 + ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

59991 + ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

79991 − ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

159991 − ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

219991 − ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

359991 +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

1059991 etc. 109. a) | x + 0,7 | ≤ 5 ⇔ −5 ≤ x + 0,7 ≤ 5 ⇔ −5,7 ≤ x ≤ 4,3 ⇒ S = [−5,7;

4,3]. 110. a) | 2x + 9 | ≤ 19 ⇔ −19 ≤ 2x + 9 ≤ 19 ⇔ −28 ≤ 2x ≤ 10 ⇒ S = [−14, 5]. 111. a) | x | ≥ 5 ⇔ x ≤ −5 sau x ≥ 5 ⇒ S = (−∞, −5) ∪ (5, ∞). 113. Card A ∪ B ∪ C =


card A + card B + card C − card A ∩ B − card A ∩ C − card B ∩ C + card A ∩ B ∩ C. 114. Se egalează primele elemente şi se controlează rezultatul. Se continuă în acelaşi mod. 116. Pentru numerotarea paginilor: 3−9 s-au folosit 7 cifre; 10−99 s-au folosit 180 de cifre etc. 119. Se studiază şirul zecimalelor numerelor. 120. Se calculează:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

75002 + ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

495002 + ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

3435002 + ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡40125002 . 121. [n, n + 1, n + 2] are şi alţi divizori

primi în afară de 2 sau 5, deci cel mai mic numitor comun al sumei are şi alţi divizori primi în afară de 2 sau 5. Prin urmare, rezultatul se poate converti în număr zecimal periodic mixt. 122. a) m < n ⇒ m < 0,5(m + m) < 0,5(m + n) < 0,5(n + n) < n ⇒ m <

0,5(m + n) < n. 123. a) 0,77... = a ⇒ 10a − 7 = a ⇒ a = .97 Atunci − 3,(7) = −3 − 0,(7)

= .973− 124. a < b ⇒ a <

ttbtat

−+−+

1)1( = at + (1 − t)b < b. 125. Din x = b

tta

t⋅

−+⋅

11

se găseşte a = tx + (1 − t)b. Exerciţiul anterior implică a < x < b. 127. = 4 ⇔ = + 4, (1). Dacă x şi y sunt numere întregi, atunci (1) implică x = 2k, k ∈ Z. Atunci = + 4 ⇔ = + 2, (2). În condiţiile menţionate anterior, y = 2n. Atunci = + 2 ⇔ = + 1, (3). Cercetaţi dacă există numere întregi care verifică ecuaţia (3). Pentru aceasta decideţi dacă membrul stâng al ei este de forma 6p − 1, dacă k ∈ {6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4, 6m + 5}. 128. Se cercetează cifra zecilor numerelor naturale

22 65 yx − 25x 26y220k 26y 210k 23y

210k 212n 210k 26n

2)1100( ba + şi se constată că cifra zecilor unui pătrat perfect este un număr par. 129. Se obţine interiorul unui dreptunghi reunit cu două laturi opuse ale dreptunghiului. 130. Se rezolvă fiecare ine-galitate a sistemului şi se reunesc mulţimile soluţiilor lor în R. 131. Numărul nu este întreg. 132. Se obţin pe rând mai multe şiruri ale diferenţelor termenilor consecutivi, ultimul fiind un şir constant. R: Termenii următori sunt 39 şi 77. 133. Fiecare segment este o latură a unui pătrat cu vârfurile în vârfuri ale reţelei. Lungimea segmentului se află după ce se calculează aria pătratului. 134. a) 1,(1). b) Se aplică scrierea binară.

135. ...41

31

211 ++++ = 1 +

21 + ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

41

31 + ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

81...

51 + ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

161...

91 + ... > 1 +

21 +

21 +

21 +

21 + ... care depăşeşte orice număr real m. 136. Se grupează convenabil

numerele de la 0 până la 9 999 astfel încât suma cifrelor a fiecare două numere să fie 36. 137. Toate numerele sunt egale cu .115 138. Se aplică descompunerea lui 5 în sumă a două numere naturale. 139. Puterea a 4-a a unui număr întreg este un număr na-tural cu cifra unităţilor: 0, 1, 5 sau 6, iar suma numerelor din membrul stâng al ecuaţiei este un număr natural cu cifra unităţilor: 0, 1, 2, 5, 6 sau 7. Deoarece = 8, nu există numere întregi x şi y care să verifice ecuaţia dată.

)57834( 82337u

140. Se constată imediat că 103 < 572 < 104 şi se ridică la puterea 1 500 etc. 141. a) Se află restul unei puteri a lui 16. 142. a) Se află restul unei puteri a lui 2 401. 143. a) Se află restul unei puteri a lui 4 096. 144. Aflaţi restul împărţirii la 1 000 a numărului


.114567 146. a) ∑ b) =

+n

i

n1

)23( = .12311

∑∑==

+n

i

n

i

n ∑= +

n

i nn1 )1(1 = ∑

=

n

i n1

1 − ∑= +

n

i n1 11 .

147. Aflaţi mai întâi câte numere mai mici decât 3 000 se divid cu cel puţin unul dintre numerele 3, 5, 7. 155. a) Procedaţi ca la p. 8. 157. a) [3; 5, 2, 4, 8]. Cap. II.1. 1. a) (−2,5)5 are baza −2,5 şi exponentul puterii 5. 2. a) (−23,17(15))−3 are

baza −23,17(15) şi exponentul puterii −3. 3. a) 11

173

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− are baza

173

− şi exponentul

puterii 11. 4. a) −1. 5. a) 1. 6. a) = (−1);)1()1( 346235 −⋅− 581 = −1. 7. a) = (−1)

543123 )1()1( −⋅−666 = 1. 8. a) 1. a) −1. 10. a) sgn ((−1,32)73) = −1. 11. a) 1. 12. a) −1. 13. a) 1.

14. a) = 2,431174 4,24,24,2 ⋅⋅ 52. 15. a) −3,6101. 16. a) 1,545. 17. a) −8,1157.

18. a) 3,(41) = 99338 şi −23,12 =

1003122

− ⇒ 3,(41) : (−23,12) = 3122

10099

338⋅ etc.

19. a) 32

59

5,135,13 = 13,527. 20. a) 9,13−64. 21. a) 4,18723. 22. a) (−3,92)−37. 23. a) 31,8−384.

24. a) .4,3

15,424

32

25. a) 47,3345. 26. a) 6a14x34. 27. a) −56X 90. 28. a) x2. 29. a) x100y300

x48y−208 = x148y92. 30. a) .23

5

8

xy 31. a) 3x−2y4. 32. a) 275⋅2−4

= 2−71. 33. a) −1. 34. a) .343 83

5

cab

35. a) (28)−2 = 2x ⇔ x = −16. 36. a) (a−15b25c40) : (a95b−145c−60) = a−110b170c100 = .110

100170

acb

37. a) 4

037

5,0733

−

− −⋅ = 4

4

213 − = 5. 38. .

3713 39. a) 6−21 = 62x ⇒ x = −11,5. S = {−11,5}.

40. a) ,5[ ∞). 41. x = ,113 y = ,65,0 z = .5)3(,0 42. Se obţine a = 1 − 1 + 2(−1)3n, n ∈ N. Dacă n este număr par, a = 2; dacă n este impar, a = −2. 43. a) S + 2 =

22 004 etc. 44. S + n(n − 1) = n2 004 etc. 45. 0042

0032

22...21 +++ etc. 46. Se compară inver-

sele numerelor. 47. 1003211

−+=

00420032 etc. 49. a) x2 − x − 1 = 0. b) = ϕ + 1. 2ϕ

Cap. II.2. 1. a) 135. 2. a) 34,73. 3. a) 2,15. 4. a) 34,12. 5. a) 11,63. 6. a) 1691 =

925 =

1,(6). 7. a) 8,4. 8. a) 5,8. 9. a) 5,91. 10. a) 3,66. 11. a) [7,9; ∞). 12. a) [−1,(6), ∞). 13. a) R. 14. a) [0,7(6); ∞). 15. a) | 1,4x − 9 |. 16. a) | 1,4x − 9 |4. 17. a) | 4,7x + 14 |

4. 18. a) .173,4 19. a) .75519 + 20. a) .392 21. a) .5|| a 22. a) .22x 23. a) .12|| 3x 24. a) .213x 25. a) .24 5x− 26. a) .980 27. a) .3883−

28. a) .44 4a 29. a) ,15 6x− x < 0. 30. a) 15. 31. a) 75 = 175 şi 19238 = ⇒ 75 < .38 32. a) 113 = ,99 24 = 32 şi 35 = 75 ⇒ 24 < 35 <


.113 33. a) 18072 − = .5626 − 34. a) .2133 + 35. a) .51113 − 36. a) .3310146 + 37. a) .325 − 38. a) 15 − 19 = −4. 39. a) 49⋅5 − 21 = 245 − 21 = 234. 40. a) 5 + 552 + 11 = 16 + .552 41. a) 13 − 1432 + 11 = 16 + .1432 42. a) 48 + 3316 + 44 = 92 + .3316 43. a) 75 − 2110 + 28 = 103 − .2110

44. a) .7214 45. a) .

522

552211

= 46. a) |11253| − = .11253 −

47. a) .)13235(22 3− 48. a) .13)1135()1135(13 714 −=− xx 5x − 113 ≥ 0

⇔ x ≥ .116,0 R: [ ,116,0 ∞). 49. a) .)13(142 3−x 50. a) (3x − 1) .)13(68,3 −x

51. a) .32

532

5+−

+−

xx

xx 52. Aplicaţi formula produsului sumei cu diferenţa.

53. a) .55 54. a) x = .17 55. a)

712

− =

71)71(2

−+ = − .

371+ 56. a) 1027 + =

.)25( 2+ 58. | 3x − 17 | + | 3x − 15 | = 32. 1) x ≤ 5 ⇒ 17 − 3x + 15 −3x = 32 ⇔ 32 − 6x = 32 ⇔ x = 0. 2) 5 < x < 5,(6) ⇒ 17 − 3x + 3x − 15 = 32 Fals. 3) x > 5,(6) ⇒ 3x − 17 + 3x − 15 = 32 ⇔ 6x − 32 = 32 ⇔ 6x = 64 ⇔ x = 10,(6). S = {0; 10,(6)}. 61. S = {0}. 62. a) Se ridică la pătrat egalitatea cu ambii membri pozitivi şi rezultă a + b = a

+ 4

222 baa +− şi se obţine o propoziţie adevărată. 63. 8 + 55 =

255216 + etc.

64. a) Se constată că 1027 − = 2)25( − = .25 − Procedând analog, se

obţine 7408218718882181...402131027 −+−++−+− = 25 −

+ 57 − + ... + 2931 − + 3133 − etc. b) Raţionalizând numitorul, se obţine

131+

= .2

13 − Se procedează în acelaşi mod cu toate rapoartele şi se adună

rezultatele. 65. Se ţine cont că în membrul stâng fiecare termen este un număr nenega-

tiv. 66. 290)175,2(1 −− x ≤ 1 şi 304)293,1(4 +− y ≤ 2 etc. 67. 896)35,19(1

3x−−

≥

3 şi 728)154,23(16

8y−−

≥ 4 etc. 68. a) Propoziţia este adevărată, deoarece

a + b + c ≥ acbcab ++ ⇔ 2a + 2b + 2c ≥ acbcab 222 ++ ⇔ 2a + 2b + 2c acbcab 222 −−− ≥ 0 ⇔ 2)( ba − + 2)( cb − + 2)( ca − ≥ 0. 69. Se ţine cont că suma primelor 1002 numere naturale impare este .0021 2

70. Fie a = .00520012

99719931...

2117

139

51

⋅⋅⋅⋅⋅ Atunci a < 00920052

00129971...

2521

1713

95

⋅⋅⋅⋅⋅ im-

plică 009212 <a etc. 71. x2 − x − 1 = 0.


Cap. III. 1. 1. a) 3a − 5a + 4a. 2. a) 4a − 1,9b + 7a − 8b. 3. a) 3a − 3,7b + 1,6a − 2,8b. 4. a) 1,2a − 9,13b − 7,3a + 5,23b. 5. a) a + b + c. 6. a) a + b + c + d. 7. a) a + b + c + d + e. 8. a) 2x + 5x + 4x = 11x. 9. a) 5,6x. 10. a) 7,2x. 11. a) 8x + 10y. 12. a) 4x + 18y. 13. a) 4,8x + 7,1a. 14. a) 3x + 1,3x + 2⋅3,6m = 4,3x + 7,2m. 15. a) −3,1x3y2 + 5,9 x3y2 − 11,8 x3y2. 16. a) 38,18,4− + 38,19,2 − .38,15,3 17. a) 453 YX− − 45YX +

18. a) 2,8x. 19. a) −11,4x.7,2 45YX 5 + 47,9x3. 20. a) 5a − 7b + 12c − 13a + 4b − 7c = −8a − 3b + 5c. 21. a) = −14X4545 21252 XXXX +−+−

5 + 7X 4. 22. a) 8,51,3138,571,38 +−+− = 1,321− + .8,58 23. a) 7a − 4,2b − 55a + 15b = 62a + 10,8b. 24. a) 6x − 30y − 28x + 32y = −22x + 2y. 25. a) 4,5xy. 26. a) 4x(3 + 2y) = 12x + 8xy. 27. a) 1,44x2. 28. a) 7x(3x + 5y) = 21x2 + 35xy. 29. a) 49x2 − 64y2. 30. a) 216a3. 31. a) 30abc. 32. a) 308a3. 33. a) 10 − 25 + .35 34. a) 9a2 + 12ab. 35. a) 63a2 − 27ab. 36. a) (x + 5)(x + 4) = x(x + 4) + 5(x + 4) = x2 + 4x + 5x + 20 = x2 + 9x + 20. 37. a) (x − 3)(x + 9) = x(x + 9) − 3(x + 9) = x2 + 9x − 3x − 27 = x2 + 6x − 27. 38. a) (x − 7)(x − 8) = x(x − 8) − 7(x − 8) = x2 − 8x − 7x + 56 = x2 − 15x + 56. 39. a) )26665(15 +− − )26665(13 +− = 395 − 103 + 390 −

513 + 78 − .213 40. a) −15X 17 + 9X 10 − 39X 9 + 12X 5. 41. a) X(X 4 + 2X 3 + 4X 2 + 8X + 16) − 2(X 4 + 2X 3 + 4X 2 + 8X + 16) = X 5 + 2X 4 + 4X 3 + 8X 2 + 16X − 2X 4 − 4X 3 − 8X 2 − 16X − 32 = X 5 − 32. 42. a) X(X);16442)(2( 234 +−+−+ XXXXX 4 − 2X 3 + 4X 2 − 8X + 16) + 2(X 4 − 2X 3 + 4X 2 − 8X + 16) = X 5 − 2X 4 + 4X 3 − 8X 2 + 16X + 2X 4 − 4X 3 + 8X 2 − 16X + 32 = X 5 + 32. 43. a) −2,5x9 + 2x8 − 7,5x7 + 1,5x6. 44. a) − x30y42 : (x18y6) = − x12y36. 45. a) − x;)(:)( 10437108 yxyx −− 56y70 : (x30y40) = − x26y30. 46. a) (5ax + 3ay)15. 47. a) (7a

2 − 2ay)45. 48. a) (x2 + 15x + 44)17. 49. a) (x2 − 19x + 84)33. 50. a) (x − 4)56(x + 15)56 = (x2 + 11x − 60)56. 51. a) 5 050x.

52. a) 1

)...)(1( 10032

−++++−

xxxxxx = .

11101

−−

xx 54. a) S1 =

S = Se calculează xS

,100...32 10032 xxxx ++++

.... 10032 xxxx ++++ 1 − S1. 55. 5

4040852

++−−+

nnnn = n − 8 +

.5

40+n

56. a = 3n + 1, b = 7n + 3. 7a − 3b = 7 − 9 = −2. Pentru orice număr natural

impar fracţia este reductibilă cu 2. 57. Ţineţi cont că 1 = (x − 1)(1 + x + x2 + ...). 58. Ţi-neţi cont de descompunerea în factori a lui 51. Cap. III.2. 1. a) a(a − 5) + 5(a − 5) = a

2 − 5a + 5a − 25 = a 2 − 25. 2. a) 3a(3a − 2b) +

2b(3a − 2b) = 9a 2 − 6ab + 6ab − 4b2 = 9a

2 − 4b2. 3. a) (11a)2 − (9b)2 = 121a 2 − 81b2. 4. a) 1 035⋅965 = (1 000 + 35)(1 000 − 35) = 1 000 000 − 1 225 = 998 775. 5. a) 7 − 5 = 2. 6. a) 99 − 28 = 71. 7. a) = a(a + 13) + 13(a + 13) = a2)13( +a

2 + 13a + 13a + 169 = a

2 + 26a + 169. 8. a) = a(a − 23) − 23(a − 23) = a2)23( −a 2 − 23a − 23a + 529

= a 2 − 46a + 529. 9. a) = (2x)2)32( +x 2 + 2(3)(2x) + (3)2 = 4x2 + 12x + 9.


10. a) = (5x)2)95( −x 2 − 2(9)(5x) + (9)2 = 25x2 − 90x + 81. 11. a) = (2 000 + 15)

201522 = 4 000 000 + 60 000 + 225 = 4 060 225. 12. (3 000 − 15)2 = 9 000 000 − 90 000

+ 225 = 8 910 225. 13. a) = − = a)93)(3( 2 ++− aaa )93( 2 ++ aaa )93(3 2 ++ aa 3 + 3a 2 + 9a − 3a 2 − 9a − 27 = a 3 − 27. 14. a) (2x)3 − (3a)3 = 8x3 − 27a3. 15. a) (7x)3 − (2y)3 = 343x3 − 8y3. 16. a) = 2 000(2 00433 40042 − 2 + 8 016 + 16) = 8 048 096 000. 17. a) + = 8a)124(2 2 +− aaa )124( 2 +− aa 3 − 4a 2 + 2a + 4a 2 − 2a + 1 = 8a 3 + 1. 18. a) (9x)3 + (8y)3 = 729x3 + 512y3. 19. a) (7x)3 + (5y)3 = 343x3 + 125y3. 20. a) 3 000(2 9982 − 5 996 + 4) = 26 946 036 000. 21. a) (5a + 1) + 10a + 1) = 125a

225( a3 + 50a2 + 5a + 25a2 + 10a + 1 = 125a3 + 75a2 + 15a + 1. 22. a) (3x)3 + 3(3x)2(7y)

+ 3(3x)(7y)2 + (7y)3 = 27x3 + 189x2y + 343y3. 23. a) (5x)3 + 3(5x)2(2a) + 3(5x)(2a)2 + (2a)3 = 125x3 + 150ax2 + 60a2x + 8a3. 24. a) 2 005(2 0002 − 10 000 + 25) = 2 005(2 0002 − 10 000 + 25) = 2 005⋅3 990 025. 25. a) = = (3a − 1) − 6a + 1) = 27a

3)13( −a 2)13)(13( −− aa 29( a3 − 18a2 + 3a − 9a2 + 6a − 1 = 27a3 − 27a2 + 9a − 1. 26. a) (3a −

2) − 12a + 4) = 27a29( a 3 − 36a2 + 12a − 18a2 + 24a − 8 = 27a3 − 54a2 + 36a − 8. 27. a) (5x)3 − 3(5x)2(3y) + 3(5x)(3y)2 − (3y)3 = 125x3 − 225x2y + 135xy2 − 27y3.

28. a) (3a)2 + 2(3a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

a31 +

2

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

a = 9a2 + 2 + .

91

2a 29. a) (9x)2 − 2(9x) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

x91 +

2

91

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x = 81x2 + 2 + .

811

2x 30. a) (2a)3 + 3(2a)2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

a21 + 3(2a)

2

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

a +

3

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

a = 8a3 +

6a + a23 + .

81

3a 31. a) (6x)3 + 3(6x)2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

x61 + 3(6x)

2

61

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x +

3

61

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x = 216x3 + 18x +

x21 + .

2161

3x 32. .114 33. ba2324 − ∈ N, dacă 324 − a2b ∈ {324, 289, 256, …, 1,

0} etc. 34. a) (100a + 27)2 = 10 000a2 + 200a⋅27 + 289 etc. 35. a) R: .44

57 +

36. a) 98a2 + 25b2. 39. a) (7 − 1)(7 + 1)(72 + 1)(74 + 1). 40. a) R: −12a2b2 sau 12a2b2. 41. 22322327 +−⋅++⋅+ = 27 + 27 − = .47 44. Aria pătratului mare este egală cu suma ariilor a trei pătrate şi suma ariilor a trei dreptunghiuri şi se obţine = x2)( zyx ++ 2 + y2 + z2 + 2xy +2xz + 2yz. 45. = = x2)( zyx ++ 2)]([ zyx ++ 2 + 2x(y + z) + (y + z)2 etc. 46. a) = (3a)2)523( cba ++ 2 + (2b)2 + (5c)2 + 2(3a)(2b) + 2(2b)(5c) + 2(3a)(5c) etc. 47. a) − 12ab = (2a − 3b)22 94 ba + 2 ≥ 0 ⇒ ≥ 12ab. 22 94 ba +

48. 10299

1...85

152

1+

+++

++

= 3

99102...3

583

25 −++

−+

− =

).2102(31

− 50. a) Se procedează ca la ex. 48. b) Numitorul fiecărui termen este


suma a doi radicali. 51. Se cercetează dezvoltarea pătratului (10a + c)2 cu a număr na-tural nenul şi c o cifră în baza 10, pentru fiecare valoare a lui c. 52. Se cercetează dezvoltarea cubului (10a + c)3 cu a număr natural nenul şi c o cifră în baza 10, pentru fiecare valoare a lui c. 53. Se ţine cont că a + 1 este pătratul unei sume cu doi termeni. 54. Se ţine cont că a + 1 este cubul unei sume cu doi termeni. 55. a) Un număr întreg poate fi de una dintre formele: 3n, 3n + 1, 3n + 2, n ∈ Z. 1) Fie a = 3n. Atunci =

iar = 3k + 2. Deoarece 3 nu divide 2, ultima propoziţie este falsă. 2) Fie a = 3n + 1. Atunci = + 6n + 1, iar + 6n + 1 = 3k + 2 ⇔ + 6n = 3k + 1. Ultima propoziţie este falsă. 3) Fie a = 3n + 2. Atunci = + 12n + 4, iar + 12n + 4 = 3k + 2 ⇔ + 12n = 3k − 2. Ultima propoziţie este falsă. Prin urmare, printre numerele de forma 3k + 2, k ∈ Z, nu se află pătrate perfecte. 56. a) +

+ = + 2n + 1 + − 2n + 1 + = + 1. 57. − 4n + 2 = (2n − 1)

2a,9 2n 29n

2a 29n 29n 29n2a 29n 29n

29n2)1( +n

2)1( −n 2n 2n 2n 2n 23n 24n2 + 1, n ∈ Z, nu este pătrat perfect. 58. a) + 3n + 2 = (n + 1)23 3nn + 3 + 1, n ∈ Z, nu

este cub perfect. 59. + + 240 = (n4n 233n 2 + 16)2 + n − 16 este pătrat perfect dacă şi numai dacă n = 16. 60. Se completează expresia până la cubul sumei a doi termeni. 61. Pentru orice n ∈ Z expresia de sub radical este o sumă cu doi sau trei termeni. 62. Volumul cubului este egal cu suma volumelor a trei cuburi şi a mai multor paralelipipede dreptunghice ce trebuie remarcate. Exerciţiul poate fi executat practic şi se obţine = + 3(a + b)(b + c)(a + c) = + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) − 3abc.

3)( cba ++ 333 cba ++ 333 cba ++

Cap. III.3. 1. a) R: b(3a + 5c). 2. a) R: a(9y − 4z). 3. a) 108(25 − 63) = −108⋅38 etc. 4. a) 7ax + 2ay + 14bx + 4by = a(7x + 2y) + 2b(7x + 2y) = (7x + 2y)(a + 2b). 5. a) 8⋅17 + 8⋅33 + 9⋅17 + 9⋅33 = 8(17 + 33) + 9(17 + 33) = 50⋅17 = 1 850. 6. a) m(9x − 7y) + 3n(9x − 7y) = (9x − 7y)(m + 3n). 7. a) 11(23 − 47) + 19(23 − 47) = (23 − 47)(11 + 19) = −24⋅30 = −720. 8. a) − 5n(2x + 5y) = (2x + 5y)[8m(2x + 5y) − 5n] = (2x + 5y)(16mx + 40my − 5n). 9. a) = (2x + y)(2x − y). 10. a) =

2)52(8 yxm +224 yx − 42 35 nm −

).35)(35( 22 nmnm −+ 11. a) =XX 37 3 − X(7X 2 − 3) = ).37)(37( −+ XXX

12. a) 4x − 11y = ).112)(112( yxyx −+ 13. a) 732 − 172 = (73 + 17)(73 − 17) = 90⋅56 = 5 040. 14. a) 1132 − 132 = (113 + 13)(113 − 13) = 126⋅100 = 12 600. 15. a) + 2x64x 3y + 16. a) − 2(5x.2y 8425 yx 2y4)(3) + 9. R: 30x2y4. 17. a) (3x3 + 2y)2. 18. a) (4a5b2 − 3)2. 19. a) = 20. a) 8a3223 1575125 babbaa +++ .)5( 3ba + 3 + 12a2b + 6a2b + b3 = (2a + b)3. 21. a) = (7a32246 27137343 bbabaa −+− 2 − b)3. 22. a) (6x4)3 − 3(6x4)2(y6) + 3(6x4)(y6)2 − (y6)3 = (6x4 − y6)3. 23. a) = (3x + 2y)(9x33 827 yx + 2 − 6xy + 4y2). 24. a) = (11X83311 6 +X 2 + 2)(121X 4 − 22X 2 + 4). 25. a) = (7ax1343 63 +xa 2 + 1)(49a2x4 − 7ax2 + 1). 26. a) = (3x − 2y)(9x63 6427 yx − 2 + 6xy + 1). 27. a) 343X 5 − X 2


= X 2(343X 3 − 1) = X 2(7X − 1)(49X 2 + 7X + 1). 28. a) a3x6 − 125 = (ax2 − 5)(a2x4 +

5ax2 + 25). 29. a) 2)32(32yxayax

−− = 2)32(

)32(yx

yxa−

− = .32 yx

a−

30. a) 22 25452

yxyx

−− =

)52)(52(

52yxyx

yx−+

− = .52

1yx +

31. a) 169

132 ++

+xx

x = 2)13(13

++

xx = .

131+x

32. a) 4129

232 +−

−xx

x = 2)23(23

−−

xx = .

231−x

33. a) 16128

1223 ++++

xxxx = 3)12(

12++

xx =

.)12(

12+x

34. a)8365427

2323 −+−−

xxxx = 3)23(

23−−

xx = .

)23(1

2−x 35. a) 33 125216

56yx

yx++

= )253036)(56(

5622 yxyxyx

yx+−+

+ = .253036

122 yxyx +−

36. a) 33 72951298

yxyx

−− =

)817264)(98(98

22 yxyxyxyx

++−− = .

8172641

22 yxyx ++ 37. a) 33

22

278964

yxyxyx

+++ =

)964)(32(964

22

22

yxyxyxyxyx

+−+++ = .

321

yx + 38. a) 33

22

642716129yx

yxyx−

++ =

)16129)(43(16129

22

22

yxyxyxyxyx++−

++ = .43

1yx −

39. a) 1319

6−

= 6

)1319(6 + = 19

+ .13 40. a) 35212 + = 2)75( + = 75 + şi 30211− = 56 − etc.

41. a) = (16a444256 yxa − 2x2 − y2) (16a2x2 + y2) = (4ax − y)(4ax + y)(16a2x2 + y2) = )2)(2( yaxyax +− (4ax + y)(16a2x2 + y2). 42. a) = (7x −

4y + 5x + 3y)( 7x − 4y − 5x − 3y) etc. 43. a) = (4x − 18y)

22 )35()47( yxyx +−−22 )54(25)92(4 yxyx +−− 2 −

(20x + 25y)2 etc. 45. a) R: (2x − y − a)2. 46. a) (3x + 10y)

;25204)103( 222 yxyxyx −+−+2 − (2x − 5y)2 etc. 47. a) Aplicaţi cubul sumei cu doi termeni. 49. a) + = (9x − 5y + 3x)[(9x − 5y)

3)59( yx −327x 2 − 3x(9x − 5y) + 9x2] etc. 51. a) 11122 ++ XX = X 2 +

11X + X + 11 = X(X + 11) + (X + 11) = (X + 11)( X + 1). 52. a) =

44X

11544 2 ++ XX 2 + 11X + 4X + 1 = 11X(4X + 1) + (4X + 1) etc. 53. a) 22

22

94)8()53(

yxyxyx

−−−− =

)32)(32()853)(853(

yxyxyxyxyxyx

−++−−−+− =

)32)(32()32)(134(

yxyxyxyx

−+−− =

yxyx

32134

+− pentru x ≠ 1,5y.

DVA se modifică.

54. a) 64259081)43()456(

22

22

−+−−−−−

yxyxxyx =

64)59()53)(859(

2 −−−−−

yxyxyx =

)859)(859()53)(859(

−−+−−−−

yxyxyxyx =

859539

+−−−

yxyxx pentru 9x − 5y ≠ 8. DVA se modifică.


57. 3

12

−++

xxx =

31312432

−+−+−

xxxx = x + 4 +

313−x

etc. 58. 22 1

xx + = 282 − 2 etc.

59. a) Aria pătratului cu laturile de lungime x + y + z + t este egală cu suma ariilor unor pătrate şi dreptunghiuri. = x2)( tzyx +++ 2 + y2 + z2 + t2 + 2xy + 2xz + 2xt + 2yz

+ 2yt + 2zt. 60. 1212 −−+−+ xxxx = || 11 +−x + || 11 −−x etc. 61. a) = (X13 24 +− XX 2 − 1)2 − X 2 etc. 63. a) X 4 + 1 = X 4 + 2X 2 + 1 − 2X 2 = (X 2 + 1)2 − 2X 2 = )12)(12( 22 +−++ XXXX şi X 4 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X 2 + 1) etc. 64. a) = (x + 0,5)12 ++ xx 2 + 0,75 > 0. 65. a) = (X + Y + Z − X)[(X + Y + Z)

3333)( ZYXZYX −−−++2 + X(X + Y + Z) + X 2] − (Y + Z)(Y 2 − YZ + Z 2) = (Y + Z)(X 2 + Y 2

+ Z 2 + 2XY + 2ZY + 2XZ + X 2 + XY + XZ + X 2 − Y 2 + YZ − Z 2) = (Y + Z)(3X 2 + 3XY + 3ZY + 3XZ) etc. 66. a) 1 = 1 + x − x − x2 + x2 + x3 − ... = (1 + x) − x(1 + x) + x2(1 + x)

− ... = (1 + x)(1 − x + x2 − ...) ⇒ x+1

1 = 1 − x + x2 − ...

Cap. IV.1. 1. a) R: Gradul 2. 2. R: a) −7x + 2 = 0. 3. a) −8x2 + 7x + 9 = 0. 4. a) 4 şi 5. 5. a) −5 şi 3. 6. a) 3m şi −2(1 − 4m). 7. a) 5x − 7 = 5 ⇔ 5x − 12 = 0. 8. a) 8x + 15 = 3x + 12 ⇔ 8x − 3x + 15 − 12 = 0 ⇔ 5x + 3 = 0. 9. a) (3x + 5)(3x − 5) = + 4x ⇔ 9x29x 2 − 25 = 9x2 + 4x ⇔ −4x −25 = 0 ⇔ 4x + 25 = 0. 10. a) = ⇔ 4x2)32( +x 2)42( −x 2 + 12x + 9 = 4x2 − 16x + 16 ⇔ 28x − 7 = 0. 11. a) = (4x + 1)(4x − 1) ⇔ 16x2)74( +x 2 + 56x + 49 = 16x2 − 1 ⇔ 56x + 50 = 0. 12. a) 3x + 5 = 0 ⇔ x = −1,(6). 13. a) 5x + 12 = 7 ⇔ 5x + 5 = 0 ⇔ x = −1 ⇒ S = {−1}. 14. a) 2x + 11 = 3x − 4 ⇔ 2x − 3x = −4 − 11 ⇔ −x = −15 ⇒ S = {15}. 15. a) 3(7x + 2) = 4(3x − 2) ⇔ 21x + 6 = 12x − 8 ⇔ 9x + 14 = 0 ⇔ x = −1,(5) ⇒ S = {−1,(5)}. 16. a) 2x(5x + 1) = (2x − 1)(5x − 1) ⇔ 10x2 + 2x = 10x2 − 2x − 5x + 1 ⇔ 9x = 1 ⇔ x = 0,(1) ⇒ S = {0,(1)}. 17. a) (3x + 2)(5x + 1) = 5x(3x − 4)

⇔ 15x2 + 6x + 10x + 2 = 15x2 − 20x ⇔ 36x = −2 ⇔ x = 181

− ⇒ S = {−0,0(5)}.

18. a) (2x + 3)(2x − 3) = ⇔ 4x2)52( +x 2 − 9 = 4x2 + 20x + 25 ⇔ 20x = −34 ⇔ x = −1,7 ⇒ S = {−1,7}. 19. a) | x | = 11 ⇔ x = −11 sau x = 11 ⇒ S = {−11, 11}. 21. a) | x − 1 | = 9 ⇔ x − 1 = −9 sau x − 1 = 9 ⇒ S = {−8, 10}. 22. a) | 2x − 3 | = 2 ⇔ 2x − 3 = −2 sau 2x − 3 = 9 ⇒ S = {0,5; 6}. 23. a) = 2 ⇔ |2x x | = 2 ⇔ x = − 2 sau x = 2 ⇒ S = {− ,2 2 }. 24. a) R: 53 cm. 25. a) 112 − 32 = 8⋅14. R: 74 cm. 26. a) R: 5 cm. 27. a) Aflăm lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic cu catetele 14 cm şi 5 cm: 142 + 52 = 221. R: 221 cm. 28. a) R: S = ∅. 29. a) = 9 ⇔ |2)4( −x x − 4 | = 3 ⇔ x − 4 = −3 sau x − 4 = 3 ⇒ S = {1, 7}. 30. a) = 4 ⇔ |2)12( −x 2x − 1 | = 2 ⇔ 2x − 1 = −2 sau 2x − 1 = 2 ⇒ S = {−0,5; 1,5}. 31. a) R: S = ∅. 32. a) (x + 4)(x + 7) = 0 ⇔ x + 4 = 0 sau x + 7 = 0 ⇒ S = {−4, −7}. 33. a) − 16 = 0 (x + 4)(x − 4) = 0 ⇔ x + 4 = 0 sau x − 4 = 0 ⇒ S = {−4, 4}. 34. a) − 19 = 0 ⇔ (x +

2x2x )19 (x − )19 =

0 ⇔ x + 19 = 0 sau x − 19 = 0 ⇒ S = {− ,19 }.19 35. a) Se rezolvă ecuaţia x2


− 11 = 0. Rezultă (x + )11 (x − )11 = 0 ⇔ x + 11 = 0 sau x − 11 = 0 ⇒ S = {− ,11 }.11 36. a) − 39 = 0 ⇔ x23x 2 − 13 = 0 etc. S = {− ,13 }.13 37. a) Se rezolvă ecuaţia 2x2 − 27 = 0. Rezultă x2 − 13,5 = 0 etc. 38. a) Se rezolvă ecuaţia −x2 + 9 = 0. Rezultă x2 − 9 = 0 etc. S = {−3, 3}. 39. a) − 20 = 0 ⇔ x29x 2 − 2,(2) = 0 etc. S = {− ,)2(,2 }.)2(,2 40. a) R: 4X 2 − 35 = 0. 41. a) 49X 2 − 112X + 64. 42. a) + 25

> 0 ⇒ S = ∅. 43. a)

2x2X + 28 ⇒ x2 + 28 = 0. R: Polinomul nu are rădăcini reale.

44. a) + 961 > 0 ⇒ S = ∅. 45. a) R: Polinomul nu are rădăcini reale. 46. a) (x + 1)(x + 2,3)(x − 1,7(31)) = 0 ⇔ x + 1 = 0 sau x + 2,3 = 0 sau x − 1,7(31) ⇒ S = {−1, −2,3, 1,7(31)}. 47. a) − 3 = 23 ⇔ x

26x

2x 2 = 26 ⇔ | x | = 26 ⇔ x = − 26 sau x = 26 ⇒ S = {− ,26 }.26 48. a) − 11 = 2 ⇔ 9x29x 2 − 13 = 0. R: 9X 2 − 13. 49. a) 2x(4x + 3) = 0 ⇔ x = 0 sau 4x + 3 = 0 ⇒ S = {−0,75; 0}. 50. a) 11x(5x − 7) = 0 ⇔ 11x = 0 sau 5x − 7 = 0 ⇒ S = {0; 1,1}. 51. a) − 5x = 0 ⇔ 3x(x − 5) = 0 ⇔ 3x = 0 sau x − 5 = 0 ⇒ S = {0, 5}. 52. a) R: Polinomul este 13X

23x 2 − 8X. 53. a) Se rezolvă ecuaţia x2 +

7x = 0. Rezultă x2 + 7x = 0 etc. S = {−7, 0}. 54. a) Se rezolvă ecuaţia 6x2 − 5x = 0. Rezultă 6x2 − 5x = 0 etc. S = {0; 0,8(3)}. R: Rădăcinile polinomului sunt soluţiile ecu-aţiei. 55. a) Se rezolvă ecuaţia −4x2 − 7x = 0. Rezultă 4x2 + 7x = 0 etc. S = {−1,75; 0}. R: Rădăcinile polinomului sunt soluţiile ecuaţiei. 56. a) − 16 = 0 ⇔ (x − 1)2)1( −x 2 = 16 ⇔ | x − 1 | = 16 ⇔ x − 1 = −4 sau x − 1 = 4 ⇒ S = {−3, 5}. 57. a) − 124 = 0 se ataşează polinomului 9X

2)13( −x 2 − 6X + 1 − 124 sau 9X 2 − 6X − 123. 58. a) Ecua-

ţia + 7 = 0 nu are soluţii reale. 59. a) + 9 = 0 se ataşează polinomu-lui 4X

2)25( −x 2)152( −x 2 − 60X + 225 + 9 sau 4X 2 − 60X + 334. 60. a) Ecuaţia = 0 se ataşează

polinomului 25X

2)115( −x 2 − 110X + 121. 61. a) (x + 8)(x + 5) = 0 se ataşează polinomului X 2 +

5X + 8X + 40 sau X 2 + 13X + 40. 62. a) (x − 11)(x + 4) = 0 se ataşează polinomului X 2 + 4X − 11X + 44 sau X 2 − 7X + 44. 63. a) (x − 9)(x − 12) = 0 se ataşează polinomului X 2 − 12X − 9X + 108 sau X 2 − 21X + 108. 64. a) Rădăcinile polinomului 2X + 6X + 9 sunt soluţiile ecuaţiei x2 + 6x + 9 = 0 ⇔ (x + 3)2 = 0 ⇒ S = {−3}. R: Polinomul are două rădăcini egale cu 2. 65. a) Rădăcinile polinomului 2X − 12X + 36 sunt soluţiile ecuaţiei x2 − 12x + 36 = 0 ⇔ (x − 6)2 = 0 ⇒ S = {6}. R: Polinomul are două rădăcini egale cu 6. 66. a) Rădăcinile polinomului 4X 2 − 12X + 9 sunt soluţiile ecuaţiei 4x2 − 12x + 9 = 0 ⇔ (2x − 3)2 = 0 ⇒ S = {−1,5}. R: Polinomul are două rădăcini egale cu −1,5. 67. a) 2X + 10X + 26 = X 2 + 10X + 25 + 1 = (X + 5)2 + 1. 68. a) 2X + 8X + 1 = X 2 + 8X + 16 − 15 = (X + 4)2 − 15. 69. a) 2X − 10X + 23 = X 2 − 10X + 25 − 2 = (X − 5)2 − 2. 70. a) Ecuaţia − 7x + 2 = 0 are coeficienţii: a = 3, b = −7, c = 2. 71. a) R: 12x

23x2 + 9x − 1 = 0. 72. a) + 3x + 15 = 0 are ∆ = b2x 2 − 4ac = 9 − 60 < 0. R: Ecuaţia nu

are soluţii reale. 73. a) − 11x + 24 = 0 are ∆ = b2x 2 − 4ac = 121 − 96 > 0. R: Ecuaţia are soluţii reale. 74. a) − 13x − 30 = 0 are ∆ = b2x 2 − 4ac = 169 + 120 > 0. R: Ecuaţia are soluţii reale. 75. a) + 9x − 20 = 0 are ∆ = b2x 2 − 4ac = 81 − 80 > 0. R: Ecuaţia are


soluţii reale. 76. a) + 5x − 7 = 0 are ∆ = b22x 2 − 4ac = 25 + 56 > 0. R: Ecuaţia are soluţii reale. 77. a) − 3x + 3 = 0 are ∆ = b2x 2 − 4ac = 9 − 12 < 0. R: Ecuaţia nu are soluţii reale. 78. a) − 8x + 4 = 0 are ∆′ = b′25x 2 − ac = 16 − 20 < 0. R: Ecuaţia nu are soluţii reale. 79. a) − 12x + 6 = 0 are ∆′ = b′25x 2 − ac = 36 − 30 > 0. R: Ecuaţia are

soluţii reale. 80. a) − 7x + 12 = 0 are ∆ = b2x 2 − 4ac = 49 − 48 = 1. = 1xa

b2

∆−− =

3, = 2xa

b2

∆+− = 4 ⇒ S = {3, 4}. 81. a) + 10x + 24 = 0 are ∆′ = b′2x 2 − ac = 25 +

24. = 1xa

b ∆′−′− = 4, = 2xa

b ∆′+′− = 6 ⇒ S = {4, 6}. 82. a) − 12x − 28 = 0

are ∆′ = b′

2x

2 − ac = 36 + 28 = 64. = 1xa

b ∆′−′− = −2, = 2xa

b ∆′+′− = 14 ⇒ S =

{−2, 14}. 83. a) + 4x + 1 = 0 are ∆′ = b′23x 2 − ac = 4 − 3 = 1. = 1xa

b ∆′−′− = −1,

= 2xa

b ∆′+′− = −0,(3) ⇒ S = {−1; −0,(3)}. 84. a) − 5x + 1 = 0 are ∆ = b26x 2 −

4ac = 25 − 24 = 1. = 1xa

b2

∆−− = 12

15 − = 0,(3), = 2xa

b2

∆+− = 12

15 + = 0,5 ⇒ S

= {0,(3), 0,5}. 85. a) − 7x + 3 = 0 are ∆ = b26x 2 − 4ac = 49 − 72 < 0 ⇒ S = ∅. 86. a) 54 − 15 + m = 0 ⇔ m = −39. 87. a) 12 + 2m + 5 = 0 ⇔ m = −8,5. 88. a) 36m − 42 + 9 =

0 ⇔ m = .1811 89. a) − 11X + 2 nu are rădăcini reale dacă ∆ = b2mX 2 − 4ac = 121 − 8m

< 0. Rezultă 8m > 121 ⇔ m > 15,125. R: Polinomul − 11X + 2 nu are rădăcini reale dacă m ∈ (15,125, ∞). 90. a)

2mX22X − 35X + 5m are rădăcini reale diferite dacă ∆ =

b2 − 4ac = 1 225 − 40m > 0. Rezultă 40m < 1 225 ⇔ m < 30,625. R: Polinomul 22X − 35X + 5m are rădăcini reale diferite, dacă m ∈ (−∞; 30,625). 91. a) 24X − 67mX + 50 are rădăcinile egale, dacă ∆ = b2 − 4ac = 4 489m2 − 800 = 0. Rezultă 4 489m2 = 800 ⇔

| m | = .67

220 R: Polinomul 24X − 67mX + 50 are rădăcini reale egale, dacă m ∈

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−67

220,67

220 . 92. a) − 15x + 2m = 0 are două soluţii (diferite) dacă şi numai

dacă b

23x

2 − 4ac = 225 − 24m > 0. Atunci 24m < 225 ⇔ m < 9,375 sau m ∈ (−∞; 9,375). 93. a) Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei − 10mx + 5 = 0 are un element dacă şi numai dacă ∆′ = b′

26x2 − ac = 25m2 − 30 = 0. Atunci m2 = 1,2 ⇔ | m | = 1,2. R: m ∈

{− ,2,1 }.2,1 94. a) Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei − 12x + 6 = 0 nu are elemente dacă şi numai dacă ∆′ = b′

25mx2 − ac = 36 − 30m < 0. Atunci m > 1,2. R: Ecuaţia

nu are soluţii reale dacă m ∈ (1,2; ∞). 95. Fie a = x. Aplicând teorema catetei triunghiului ABC dreptunghic în A, obţinem b2 = an, de unde 70 = x(x − 3). Ecuaţia are


soluţiile 7 şi 10. Rezultă a = 10, n = 7, h = .21 96. a) Fie y = x2 > 0. Ecuaţia y2 − 7y + 12 = 0 are ∆ = b2 − 4ac = 49 − 48 = 1 şi soluţiile 3 şi 4. Rezolvând ecuaţiile x2 = 3 şi x2 = 4 se obţin soluţiile reale ale ecuaţiei − + 12 = 0. R: S = {−2, −4x 27x ,3 ,3 2}. 97. a) Fie y = x2 > 0. Ecuaţia y2 + 11y + 18 = 0 are ∆ = b2 − 4ac = 121 − 72 = 49 şi soluţiile −9 şi −2. Ecuaţia + + 18 = 0 nu are soluţii reale. R: S = ∅. 98. a) Fie y = x

4x 211x2 > 0. Ecuaţia y2 − 12y − 64 = 0 are ∆′ = b′2 − ac = 36 + 64 = 100 şi soluţiile −4 şi

16. Rezolvând ecuaţia x2 = 16 se obţin soluţiile reale ale ecuaţiei − − 64 = 0. R: S = {−4, 4}. 99. Pe DVA = R \ {3} se rezolvă ecuaţia 5 = 7(x − 3).

4x 212x

100. Pe DVA = R \ {2, 3} se rezolvă ecuaţia 2(x + 2) = 4(x − 3). 103. a) | x | = 39 ⇔ x2 − 1 521 = 0. 104. a) 2X + 6X + 9 − 4 etc. 105. Se scrie polinomul ca sumă sau dife-renţă de pătrate. a) 2X + 12X + 30 = (X + 6)2 − 6 are două rădăcini reale. 106. a) m se

află din condiţia ∆ = 0. 107. baba

+− =

53 ⇒ 5a − 5b = 3a + 3b sau a = 4b. Se

înlocuieşte în raport şi se obţine valoarea lui. 108. + + +42x 312x 223x 15x + 2 = + + + 2 = + 30x + 27 = + 27 =

50 + 27 = 77. 109. a) 3mx + 7 = 0. Dacă m = 0 ecuaţia nu are soluţii (S = ∅). Dacă m ≠

0, S =

)3(2 22 xxx + )3(6 2 xxx + )3(5 2 xx + 210x )3(10 2 xx +

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

m37 . b) (m − 2)x + 2m = 0. 110. a) 24X + 8X − 9 = (2X + 2)2 − 17 etc.

111. 1535106

2

2

++++

xxxx =

1533)153(2

2

2

+++++

xxxx etc. 112. + 1 = =

= Deoarece + 1 este număr prim, atunci − n + 1 = 1, de unde n = 0 sau n = 1. Dacă n = 0, atunci + 1 = 1, care nu

este număr prim. Dacă n = 1, atunci + 1 = 3. Deci numărul + 1 este prim numai pentru n = 1.

24 nn + 224 12 nnn −++

222 )1( nn −+ ).1)(1( 22 +++− nnnn 24 nn +2n 24 nn +

24 nn + 24 nn +

113. a + b > 2 ⇒ > 4, (1). ≥ 0 ⇒ ≥ 0, (2). Adunând relaţiile (1) şi (2), obţinem > 4 ⇔ a

22 2 baba ++ 2)( ba − 22 2 baba +−22 22 ba + + b > 2.

114. Fie numărul căutat .xyz Atunci xyz = 13⋅ xz sau 100x + 10y + z = 130x + 13z, de unde y = 3x + 1,2z şi x, y, z cifre în baza 10. Sunt posibile cazurile: z = 0, z = 5. Dacă z = 0, atunci xyz ∈ {130, 260, 390}. Dacă z = 5, atunci xyz ∈ {195}. 115. Fie x minute intervalul de timp până la schimbarea borcanelor şi y minute interva-

lul de timp până se termină mierea din borcane. Atunci ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=+

161

301

1301

61

yx

yx ⇔

⇔ ⇔ 116. Până la schimbarea roţilor automobilul

parcurge x km şi y km parcurge până la uzarea completă a cauciucurilor. Atunci ⎩⎨⎧

=+=+

305305

yxyx

⎩⎨⎧

=+=

10yxyx

⎩⎨⎧

==

.55

yx


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=+

11200

11300

1

11300

11200

1

yx

yx ⇔ ⇒ 25x + 25y = 31200 ⇒ x + y = 1248.

⎩⎨⎧

=+=+

156001312156001213

yxyx

Automobilul poate parcurge maximum 1 248 km. 117. a) (m + 2)2 − 12 ≥ 0 ⇔ | m + 2 | ≥ 12 etc.

118. a) Fie x = ,...2222 ++++ unde „ ...“ indică repetarea la infinit a

radicalilor. Atunci x2 = 2 + ...2222 ++++ sau x2 − x − 2 = 0 şi se alege numai

soluţia 2. 119. a) Numărul de aur. b) Numărul de aur. 120. 1 + .

...11

11

1

++

121. 1.

122. ...1111 ++++ = 1 + .

...11

11

1

++

123. 0. 124. Adunând ecuaţiile, obţinem

2(xy + yz + xz) = 94 ⇔ xy + yz + xz = 47. Ultima ecuaţie şi fiecare dintre ecuaţiile

sistemului implică (∗) Înmulţind ecuaţiile, obţinem = 3600 sau

|

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

.122015

xzyzxy

222 zyx

xyz | = 60. | x | = 3, | y | = 4, | z | = 5. Deoarece produsele xz, zy şi xy sunt pozitive,

rezultă că x, y, z au acelaşi semn şi deci soluţiile sistemului sunt şi ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

543

zyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=−=

.543

zyx

125. a, b numere prime şi a + b = 108 ⇒ a şi b sunt numere impare. Atunci, a – b – c

= 32 ⇒ c = 2. Prin urmare, ⇔ ⇔ ⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−−

=+

2322

108

cbaba

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−=+

23108

cbaba

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

27421422

cba

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

.23771

cba

126. + 3y = + 8 ⇔ + 12y = + 32 ⇔ − = 23 ⇔ − = 23 ⇔ (6x + 2y − 3)(6x − 2y + 3) = 23. Ţinem cont că x şi y sunt numere întregi, iar 23 = 1⋅23 = 23⋅1 = (−1)⋅(−23) = (−23)⋅(−1). Soluţiile ecuaţiei se

obţin rezolvând sistemele:

S = {(2, 7), (−2, 7), (2, −4), (−2, −4)}.

29x 2y 236x 24y 236x )9124( 2 +− yy236x 2)32( −y

⎩⎨⎧

=−+=+−

;233261326

yxyx

⎩⎨⎧

=++=+−

;132623326

yxyx

⎩⎨⎧

−=++−=+−

;132623326

yxyx

⎩⎨⎧

−=++−=+−

.132623326

yxyx

127. Deoarece – 1 = (x − 1) + + – 1) = 0 3x ),1( 2 ++ xx 22 1)( ++ xx 2112 )( −x 37 x(


⇔ + 7(x − 1) + = 0. Fie = t. Atunci + 7(x − 1)t + = 0. ∆ = = ⇒

22 1)( ++ xx )1( 2 ++ xx 2112 )( −x 12 ++ xx 2t2112 )( −x 22 )1(48)1(49 −−− xx 2)1( −x

t = 2

1)1(7 || −−−− xx sau t = .2

1)1(7 || −+−− xx Rezultă 1 = −4(x − 1) sau

= −3(x − 1). = −4x + 4 ⇔ + 5x − 3 = 0 ⇔ x =

2 ++ xx

12 ++ xx 12 ++ xx 2x2

375 −− sau

x = .2

375 +− 1 = −3(x − 1) ⇔ 1 = −3x + 3 ⇔ + 4x − 2 = 0 ⇔ x

=

2 ++ xx 2 ++ xx 2x

2624 −− sau x = .

2624 +− S =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−−+−−− 62,62,2

375,2

375 .

128. 52

112

1+

−+ nn

= )52)(12(

1252++−−+

nnnn =

)52)(12(4

++ nn ⇒

)52)(12(1

++ nn =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+ 521

121

41

nn.

731⋅

+ 95

1⋅

+ 117

1⋅

+ … +)32)(12(

1+− nn

+ ))(( 5212

1++ nn

=

41

⎜⎝⎛ −

−+

+−

−+

−−

−++−+−+−+−

121

121

321

121

521...

131

91

111

71

91

51

71

31

nnnnn

⎟⎠⎞

+−

++

+ 521

121

321

nnn =

41

⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

+−

−−+

521

321

51

31

nn =

41

⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞++

+−

)52)(32(84

158

nnn

= )52)(32(

2152

+++

−nn

n < .152

129. Fie

21−x = t ∈ Z. Obţinem ecuaţia ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

322t = t, de

unde 0 ≤3

22 +t− t < 1 ⇔ 0 ≤

32 t− < 1 ⇔ 0 ≤ 2 − t < 3 ⇔ −1 < t ≤ 2 ⇒ t ∈ {0, 1, 2}.

Atunci ⇔ ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=−=−

412101

xxx

⎢⎢⎢

⎣

⎡

===

.531

xxx

130. + 1 ≥ 1, de unde x ≥ 0, deci x ∈ N. Dacă x = 0, atunci + 1 = ⇔ + 1 = 1 ⇔ = 0 ⇔ y = 0. Dacă x = 1, atunci + 1 = ⇔ + 1 = 2 ⇔ = 1 ⇔ y = 1 sau y = −1. Dacă x > 1, atunci este un număr par, deci şi + 1 este număr par. Prin urmare y este număr impar. Fie y = 2k + 1. Atunci + 2, (1). Pentru x ∈ N, x > 1, propoziţia (1) este falsă pentru orice k ∈ Z. Răspuns: S = {(0, 0), (1, −1), (1, 1)}.

22 yx = 2y 02 2y2y 2y 12 2y 2y

x2 2yx2 = )(4 2 kk +

130. Fie 5

715 −x = t ∈ Z. Obţinem ecuaţia ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

12011730t = t, de unde 0 ≤

12011730 +t − t

< 1 ⇔ 0 ≤ 120

90117 t− < 1 ⇔ 0 ≤ 117 − 90t < 120 ⇔ 301

− < t ≤ 1013 ⇒ t ∈ {0, 1}.


Atunci ⇔ ⎢⎣

⎡=−=−

57150715

xx

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

.54157

x

x 132. Înmulţind 1=

++

++

+ cac

cab

cba cu a + b + c,

obţinem ca

baccca

cabbcb

cbaa+

+++

+++

++

++ )()()( 222

= a + b + c ⇔

cca

cbca

bacb

a+

+++

+++

+

222

= a + b + c ⇔ ca

cca

bcb

a+

++

++

222

= 0.

Cap IV.2. 1. a) 2X + 54X are rădăcinile −54 şi 0. Suma rădăcinilor este −54 şi produsul lor este 0. 2. a) 2X − 73X are rădăcinile 0 şi 73 etc. 3. a) R: s = 0 şi p = 16. 4. a) R: Rădăcinile sunt −3 şi −10; s = −13, p = 30. 5. a) R: Rădăcinile sunt 5 şi 10; s = 15, p = 50. 6. a) R: Rădăcinile sunt −33 şi 2; s = −31, p = −66. 7. a) R: Rădăcinile sunt −2 şi 21; s = 19, p = −42. 8. a) R: Rădăcinile sunt 0,25 şi 1; s = 1,25, p = 0,25. 9. a) R: Rădăcinile sunt egale cu 5; m = 10, n = 25. 10. a) R: Rădăcinile sunt −7; m = −14, n = 49. 11. a) R: Rădăcinile sunt 0 şi −6; m = 6, n = 0. 12. a) a) R: Rădăcinile sunt 0 şi 15; m = 15, n = 0. 13. a) a) R: Rădăcinile sunt −6 şi 6; m = 0, n = −36. 14. a) R: Rădăcinile sunt 2 şi 5; m = 7, n = 10. 15. a) a) R: Rădăcinile sunt −9 şi 3; m = −6, n = −27. 16. a) R: Rădăcinile sunt −9 şi −8; m = 17, n = 72. 17. a) R: a = 3, b = −42, c = 147. 18. a) R: a = 5, b = 40, c = 80. 19. R: a = 3, b = 0, c = 243. 20. R: a = 3, b = −9, c = 6.

21. R: a = 4, b = 8, c = −60. 22. R: a = 5, b = 65, c = 180. 23. a) s = −30 = ,ab

− p = 0

= .ac 24. a) R: s = −36 = ,

ab

− p = 0 = .ac 25. a) R: s = 74 = ,

ab

− p = 0 = .ac 26. a)

R: s = 4,8 = ,ab

− p = 0 = .ac 27. a) R: s = 0 = ,

ab

− p = −126 = .ac 28. a) R: s = 0 =

,ab

− p = −57 = .ac 29. a) Polinomul nu are rădăcini reale. 30. a) Ecuaţia nu are rădă-

cini reale. 31. a) R: s = ab

− = −15, p = ac = 0. 32. a) R: s =

ab

− = −3,6, p = ac = 0.

33. a) R: s = ab

− = 3,6, p = ac = 0. 34. a) R: s =

ab

− = 3,9, p = ac = 0. 35. a) R: s

= ab

− = 0, p = ac = −41. 36. a) R: s =

ab

− = 0, p = ac = −2,3. 37. a) R: s =

ab

− =

5, p = ac = 6. 38. a) R: s =

ab

− = 19, p = ac = 84. 39. a) R: s =

ab

− = −12, p = ac

= 32. 40. a) R: s = ab

− = −31, p = ac = 58. 41. a) R: s =

ab

− = −11, p = ac = −60.

42. a) R: s = ab

− = −31, p = ac = −140. 43. a) R: s =

ab

− = 12, p = ac = 160. 44.


a) R: s = ab

− = 21, p = ac = −100. 45. a) R: s =

ab

− = 2, p = ac = −1,5. 46. a) R: s

= ab

− = 3,4, p = ac = 0,8. 47. a) R: s =

ab

− = 3,5, p = ac = 1,5. 48. a) R: s =

ab

−

= 3,5, p = ac = 1,5. 49. a) R: s =

ab

− = −1,8, p = ac = −2. 50. a) R: s =

ab

− =

− ,713 p =

ac = − .

72 51. a) R: s =

ab

− = −3,(3), p = ac = 1,5. 52. a) R: s =

ab

− =

−1,5, p = ac = 0,375. 53. a) R: m = −1,6, n = 0,64. 54. a) R: m = −2,4, n = 1,44. 55. a)

R: m = 12, n = 12. 56. a) R: m = −0,8, n = 0,08. 57. a) R: m = 0, n = 5. 58. a) R: m = 0, n = 7. 59. a) R: m = 0, n = 66. 60. a) R: m = 0, n = 30. 61. a) R: m = −6,5, n = −12. 62. a) R: m = 2,6, n = −12. 63. a) R: m = −28, n = 48. 64. a) R: m = −90, n = 400. 65. a) R: m = −17, n = 30. 66. a) R: Se înlocuieşte m = −17 şi n = 60. 67. a) R: Se înlocuieşte m = 21 şi n = 234. 68. a) R: Se înlocuieşte m = 28 şi n = −480. 69. a) R: kX 2 + 13kX − 168k, k ∈ R*. 70. a) R: x2 + 11x − 60= 0. 71. a) R: X 2 − 16X − 36. 72. a) R: + 11x − 36 = 0. 73. a) R: − 12X − 90. 74. a) R: − 14x − 36 = 0. 75. a) R:

2x26X 22x 2X + 19X

+ 70. 76. a) R: + 32x + 240 = 0. 77. a) R: + 192X + 1 152. 78. a) R: + 280x + 840 = 0. 79. a) R:

2x 26X 23x2X − 2X − 4. 80. a) R: − 2x − 10 = 0. 81. a) R: 2x 212X −

48X − 36. 82. a) R: − 30x − 10 = 0. 83. a) R: 25x 22X− + 12X − 14. 84. a) R: + 70x − 161 = 0. 85. a)

27x−2X + 7X + 10 are rădăcinile −5 şi −2. R: (X + 5)(X + 2). 86. a)

X 2 − 15X + 26 are rădăcinile 2, 13. R: (X − 2)(X − 13). 87. a) 2X − 15X − 126 are rădăcinile −6 şi 21. R: (X + 6)(X − 21). 88. a) R: (X + 4)(X − 21). 89. a) Aflaţi rădăcinile şi aplicaţi formula de descompunere. 90. a) R: Polinomul este ireductibil în R. 91. a) A doua rădăcină este 13 : (−5) = −2,6. m = 7,6. 92. a) A doua soluţie este −6 şi m = 9. 93. a) Suma rădăcinilor este 4 şi cealaltă rădăcină este 2 − .3 R: m = −3. 94. a) Suma rădăcinilor este 6 şi cealaltă rădăcină este 3 + .5 R: m = 8. 95. a) Nume-rele sunt soluţii ale ecuaţiei x2 − 20x + 91 = 0. R: 7 şi 13. 96. a) Toate polinoamele de gradul II cu rădăcinile −3,2 şi 3,2. Cap. V.1. 1. a) A × B = {(0, −2), (2, −2), (5, −2), (0, 4), (2, 4), (5, 4)}. 2. a) {(−1, 5), (−2, 1), (−2, 5), (−3, 1)}. 3. b) şi d). 4. Procedaţi ca la ex. 3. 5. a) şi d). 6. a) {(1, −1), (2, −1), (3, 0), (4, 1), (4, 0)}. 7. b) şi e). 9. R: a) Funcţie. 11. Identificaţi coordonatele punctelor reprezentate. 12. a) Funcţie. 13. a) f : {−3, −1, 0, 5} → R, f(x) = −2x + 3. 14. a) Domeniul de definiţie este Z; domeniul valorilor este Z; regula de asociere f. 15. a) u(2) = 2. 16. a) z(−85) = 8. 17. a) | −0,45 | = 0,45. 18. a) Nu este monotonă. 19. a) f este funcţie strict crescătoare. 20. f este crescătoare pe (−2, 4) şi descrescătoare pe (4, 7).

x −2 4 7 f(x) 3 5 −3

21. În primul tabel funcţia este strict crescătoare. 22. În primul tabel funcţia este strict crescătoare pe (−11, 4) şi strict descrescătoare pe (4, ∞). 23. Funcţiei f îi corespunde


tabelul din dreapta sus. 24. a) R \ {2,5}. 25. a) R \ {4, 9}. 26. a) R \ {2,(6)}. 27. a) f(−4) = −2, f(−2) = 0, f(1) = 3, f(2) = 5, f(4) = 9. 28. a) Funcţia are zeroul 0,4. 29. a) Funcţia are zerourile 3 şi 5. 30. Domeniul maxim de definiţie este R şi mulţimea valo-rilor funcţiei f este R. 31. Domeniul maxim de definiţie este [0,4; ∞) şi mulţimea valo-

rilor funcţiei f este [0, ∞). 32. a) Domeniul maxim de definiţie este R \ {−5}. y = 52

+−

xx

⇒ x = .1

25y

y−+ Mulţimea valorilor este R \ {1}. 36. f nu este funcţie. 37. Se substituie x

cu 1 − x şi se obţine un sistem. 38. Pentru a afla mulţimea valorilor lui f se ţine cont că − 4x + 6 = (x − 2)2x 2 + 2.

Cap. V.2. 1. a) Zeroul lui f este 0. 2. a) R: 3,1. 3. a) R: −2,5. 4. a) R: 3,5. 5. a) V. tab. x −∞ −1,(6) ∞

f(x) − 0 + 6. a) V. tabelul semnului lui f.

x −∞ 2,25 ∞ f(x) + 0 −

7. a) Monotonia funcţiei este indicată în tabel ştiind că coeficientul lui x > 0.

x −∞ ∞ f(x) −∞ ∞

8. a) Coef. lui x < 0 ⇒ f este strict descrescătoare. x −∞ ∞

f(x) ∞ −∞ 9. a) V. tabelul completat şi graficul lui f.

x −∞ 0 1 ∞ f(x) −∞ 0 3 ∞

10. a) V. tabelul completat şi graficul lui f. x −∞ 0 2 ∞

f(x) ∞ 0 −3 −∞ 11. a) V. tabelul completat şi graficul lui f.

x −∞ −2 0 ∞ f(x) −∞ 0 2 ∞

13. a)V. tabelul completat şi graficul lui f. x 1 2 ∞

f(x) [6 7 ∞ 16. a) R: Panta este 2. 17. a) R: Panta este −9. 18. a) 7 = −a + 3 ⇔ a = −10. 19. a) 5 = 8 + a ⇔ a = −3. 20. a) 0 = −2a + b şi 3 = a + b ⇔ b = 2a şi a + b = 3. R: a = 1, b = 2. 21. a) 0 = −3a + b şi 3 = 2a + b. R: a = 0,6, b = 1,8. 22. a) Numerele a, b, c sunt direct proporţionale cu numerele 2,

5, 7. 23. a) R: f(x) = 0,6x. 24. a) a) Numerele a, b, c sunt invers proporţionale cu


numerele 2, 3, 7. 25. a) V. tabelul completat. V. graficul de la p. 79 pentru k > 0. x −∞ −6 −3 −2 −1 0 1 2 3 6 ∞

f(x) 0 −1 −2 −3 −6 −∞ || ∞ 6 3 2 1 0 26. V. tabelul completat. V. graficul de la p. 79 pentru k < 0.

x −∞ −12 −6 −4 −2 0 2 4 6 12 ∞ f(x) 0 1 2 3 6 ∞ || −∞ −6 −3 −2 −1 0

27. a) Domeniul de definiţie este [2, ∞). Graficul este deplasat spre dreapta cu 2 unităţi faţă de cel de la p. 79. V. tabelul completat. Funcţia este strict crescătoare.

x 2 3 6 11 ∞ f(x) 0 1 2 3 ∞

28. a) Domeniul de definiţie este (−∞, 2]. Graficul este simetric graficului funcţiei de la ex. 27a). V. tabelul completat. Funcţia este strict descrescătoare.

x −∞ −7 −2 1 2 f(x) ∞ 3 2 1 0

29. a) Domeniul de definiţie este [0, ∞). Graficul este mai turtit decât cel de la p. 79. V. tabelul completat. Funcţia este strict crescătoare.

x 0 5 20 ∞ f(x) 0 1 2 ∞

30. a) Domeniul de definiţie este (−∞, 0]. Graficul este simetric graficului funcţiei de la 29a). Funcţia este strict descrescătoare.

x −∞ −20 −5 0 f(x) ∞ 2 1 0

32. Se înlocuiesc coordonatele în f(x) = ax + b şi se obţine un sistem de două ecuaţii în a şi b. 33. Se înlocuiesc coordonatele în y = ax + b şi se obţine un sistem de două ecua-ţii în a şi b. Dreapta conţine originea sistemului de coordonate. 34. a) Graficul funcţiei este un unghi. Tabelul de valori:

x −∞ −1 1 2 ∞ f(x) 0 1 3](3 5 ∞

35. a) Graficul funcţiei este un unghi. 36. a) Graficul funcţiei este reuniunea unei semi-drepte închise cu o semidreaptă deschisă. 37. a) D = R \{1}. Graficul funcţiei este o hiperbolă deplasată spre dreapta faţă de cea de la p. 79. 41. Graficul mişcării este semidreapta y = 40x, unde x este timpul. 42. Graficul este ramura din cadranul I a

hiperbolei y = ,60x

x este timpul. 43. a) Funcţia are numai două ramuri, deoarece 3x2 −

5x + 6,3 este o sumă de pătrate. 44. a) Numărătorul raportului este o sumă de pătrate, iar numitorul este (x − 1)3. R: S = (1, ∞). 45. a) m se află din condiţia ca −2m + 3 = −7. 46. a) După explicitarea expresiei funcţiei se calculează valorile funcţiei f în: −4, −3, 2, 3. Graficul este o „linie poligonală“ deschisă cu două laturi semidrepte.

x −∞ −4 −3 0 2 3 ∞ 2x − 4 − − 0 + x + 3 − 0 + +

1 − 3x | 7 − x | 3x − 1


f(x) 13 10 5 8 47. a) x2 − 17x − 60 ≤ 0 ⇔ 4x2 − 68x − 240 ≤ 0 ⇔ (2x − 17)2 − 529 ≤ 0 ⇔ | 2x − 17 | ≤ 23 etc. 48. Aplicaţi sugestia din ex. 47. 49. f(f(f(x))) = f(f(−3,8)) = f(−3,8) = −3,8. 50. Fie funcţia f : R → R, f(x) = −2x + 3. Aflaţi f(f(f(x))) = f(f(−2x + 3)) = f(−2(−2x + 3)

+ 3) etc. 51. Se consideră şi a, b, c, d se află din con-

diţiile date în enunţ. 52. Ecuaţiile de mişcare ale celor două corpuri sunt y = 60(x − 8) şi y = 45(x − 8) + 20. Se reprezintă grafic cele două drepte şi se obţine coordonatele punctului comun: ora de întâlnire şi distanţa AC. 55. Se înlocuieşte 3x − 2 cu x şi x cu 0,(3)(x + 2). 56. Graficul funcţiei f are două ramuri simetrice de dreapta x = 0,(6).

⎩⎨⎧

∈+−∈+

=),1(ă,

]1,(ă,)(

''

xdcxxbax

xfdac

dac

Cap. VI.1. 1. a) Toţi termenii şirului sunt egali cu 2. 2. a) 1, 4, 7, 10, 13, 16, ... 3. a) 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, ... 4. a) 1, 0, −1, 1, 0, −1, 1, 0, −1, ... 5. a) 3, ,3 3,32 3 4, 35, 36, ...

6. a) −10, , 10,102 103− 4, −105, 106, ... 7. a) ,21 ,

43 ,

65 ,

87 ,

109 ,

1110 ... 8. a) 1, 1 + 2,

1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, ... 9. a) 121, 12321,

1234321, 123454321, 12345654321, 1234567654321, ... 10. a) ,21 ,

41

− ,81 ,

161

−

,321 ... 11. a) Fiecare termen este suma celor doi termeni ce îl preced. 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13, ... 12. a) ,21

1⋅

,32

1⋅

,43

1⋅

,54

1⋅

,65

1⋅

,76

1⋅

... 13. a) ,31

1+

,53

1+

,75

1+

,97

1+

,119

1+

... 14. a) 0, 3, 6, 9. 15. a) 2, 5, 8, 11. 16. −1, 1, 7, 17.

17. a) 1, ,31 ,

51 .

71 18. a) 1, ,

41 ,

91 .

161 19. a) ,

211⋅

,32

1⋅

,43

1⋅

.54

1⋅

20. a) 1, 1 +

2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4. 21. a) 1, 1 + 22, 1 + 22 + 32, 1 + 22 + 32 + 42. 22. a) 5, 8, 11, 14. 23. a) 10, 50, 250, 1 250. 24. a) 1, 1, 2, 3, 5. 25. a) 1, 3, 5, 7. 26. a) Şirul dat este 1, 8, 27, ..., adică şirul cuburilor perfecte. 27. an = (n − 1) MOD 3, n ∈ N. 29. Şir constant. 31. Construim succesiv şirurile diferenţelor 2, 3, 9, 20 → 1, 6, 11 → 5, 5, 5. Adăugând doi termeni ultimului şir, se adaugă câte trei termeni şirului al doilea şi, apoi − trei termeni primului şir: 36, 57, 83. 32. Fiecare termen al şirului descrie în cifre precedentul termen. Şirul este periodic. 33. a) Se constată că 5 = 1 + 4 = 1 + 1 + ... 34. a) Se constată că 9 = 1 + 36 = 1 + , ... etc. 31. Adău-

gaţi trei termeni şirului 2, 3, 9, 20, ... 36. a

22 =22 + ,23 ,23 32 + 33

n = .2

)1( +nn 37. 5s(n) − 8s(n−1) + 2s(n−2) = 0,

s(1) = s = 1,6. 39. Utilizaţi ecuaţia de gradul II cu o soluţie ϕ. 40. 1, 1, 2, 3, ... 41. 1, 1, 2, 3, ... Cap. VI.2. 1. a) 5 + 10 + 15 = 30 de exerciţii. 2. a) 5 650 lei. 3. 1, 3, 5, 7, ... 4. = 5n + 2 şi = 4n − 11. 5. a) a

na

nc 1 = 17 şi raţia r = 5. 6. a) a1 = −18 şi raţia r = 7. 7. a) a1 = 54 şi raţia r = −3. 8. a) a1 = −13 şi raţia r = −9. 9. a) an = 5(n − 1) + 3. 10. a) an = 0,5(n −


1) + 12. 11. a) a30 = 120 − 5 = 115. 12. Termenul lipsă este media aritmetică a celorlalţi doi termeni. 14. a) a22 = 210 + a1, deci 110 = 210 + a1. 15. a) a10 − a5 = 5r, deci 5r = 11 etc. 16. a) a23 − a1 = 22r. Se află r şi apoi, termenii 17. Se aplică formula 1 + 2 + ... + n = 0,5n(n + 1). 18. a) 12 + 27 = 15 + 24 = 18 + 21.

,2a .3a

19. a) 97 + 47 = 85 + 59 = 73 = 71. 20. a) 0,5⋅24(12 + 145) etc. 21. Aplicaţi una dintre

formulele .2

])1(2[2

)( 121 rnanaanSn−+

=+

= 23. a) a1 = 11 şi a36 = 188. S36 = 0,5⋅36

(11 + 188) etc. 24. a) a1 = 11, a81 = −226, S36 = 0,5⋅81 (11 − 226) etc. 25. a) Se arată că diferenţa a doi termeni consecutivi este constantă. 26. a) Şirul este strict crescător. 27. a) = 14(n − 1) − 23. 28. a) 0,5⋅250(1 + 250) etc. na29. a) 0,5x(x + 1) = 1 653 etc. 30. Se află raţia din diferenţa celor doi termeni, primul termen şi termenul de rang 50. 31. a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, ..., an−1 = an−2 + r, an = an−1 + r. Adunând egalităţi şi reducând termenii asemenea, se obţine formula termenului ge-neral. 32. a2 + an−1 = a1 + r + an − r = a1 + an, a3 + an−2 = a1 + 2r + an − 2r = a1 + an etc. 33. a1 + a2 + a3 + ... + a99 + a100 = a1 + a1 + r + a1 + 2r + ... + a1 + 98r + a1 + 99r = 100a1 + (1 + 2 + ... + 99)r etc. 34. Nu este progresie aritmetică, deoarece diferenţa a doi termeni consecutivi nu este constantă (depinde de n). 35. a) V. ex. 31a).

36. a) etc. 37. 121, 12321, ..., 12345678987654321. 38. Fie + 3n. a∑=

n

k

k1

2 = ∑=

n

k

k1

2 2n 1

= 4, a2 = 10. Se verifică dacă suma a n termeni ai unei progresii aritmetice cu a1 = 4 şi r = 6 este + 3n. 39. Se aplică teorema lui Pitagora. 40. Termenul al 2-lea trebuie să fie media aritmetică a celorlalţi doi.

2n

Cap. VI.3. 1. a) Tabelul conţine 9 numere: 1, 2, 22, ..., 28. 2. a) ,21

4 ,21

3 ,21

2 ,21 1.

3. 1, 3, 9, 27, ... şi 5, 25, 125, 625, ... 4. = şi = 5. a) anb n5 nd .43 1−⋅ n1 = 2 şi q = 3.

6. a) a1 = 4 şi q = 3. 7. a) a1 = 4 şi q = 4. 8. a) a1 = 2 şi q = 3−1. 9. a) an = 10. a) a

.73 1−⋅ n

n = 11. a) a.511 1−⋅ n12 = 12. Termenul care lipseşte este media geometrică a

celorlalţi doi termeni. a) 15, 75, 375. 13. a)

.42 11⋅

,43 ,

163 .

643 14. a) q = 3 şi a5 = =

162. a

143 a

1 = 2 15. a) a1q2 = 48 şi a1q5 = 3 072 implică q3 = 64. q = 4, a1 = 3, an = .43 1−⋅ n

16. a) a5 = implică q = 5 sau q = −5. a42q 8 = implică a72q 8 = 2⋅57 sau a8 = −2⋅57. 17. a) a4 = 3q3 ⇒ q = 7. 18. a) 3⋅9 375 = 15⋅1 875 = 75⋅375 = 28 125. 19. a) 6 561⋅

243 = 2 187⋅729 = 1 594 323. 20. a) q = 5, S18 = 1

)1( 181

−−

qqa = .

4)15(3 18 − 21. a) S20 =

1)1( 20

1

−−

qqa = .

4)18(7 20 − 22. a) S20 =

1)1( 20

1

−−

qqa =

7)16(5 20

−− = .

7)61(5 20− 23. a) a1 =

7, q = 11. S36 = 1

)1( 361

−−

qqa = .

10)111(7 36 − 24. a) a1 = 2, q = −3. S76 =

1)1( 76

1

−−

qqa =


4)13(2 76

−− = .

2431 76− 25. a) Raportul a doi termeni consecutivi este constant. Şirul este

o progresie geometrică. 26. a) Şirul este strict crescător. 27. a) = 8⋅8na n − 1.

28. a) 29. a) S.12 0001 − 20 = 1

)1( 201

−−

qqa = .

32

1325

20

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

30. Se află a1 şi q, apoi se

aplică formula de calcul a sumei. 31. Se scriu relaţiile de definiţie pentru a2, a3, a4, ..., an − 1, an şi se înmulţesc. 32. a2an−1 = a1qan : q = a1an etc. 33. Se aduce la forma cea mai simplă qSn − Sn. 34. Raportul termenilor consecutivi este constant. 36. − 1 şi +

1, n ∈ N*. 37. a) (X − 1)(X

n7 n6

4 + X 3 + X 2 + X + 1). 38. a) ...31

31

31

32 +++ =

311

31

− etc.

40. a) S = 1 + x + x2 + ... + xn, S1 = 1 + 2x + + + ... + Se aduce la forma cea mai simplă S

23x 34x .)1( nxn +

1 − xS1.

41. a) + 3 + 3 + ∑ ⇒ 1 + (n + 1)∑=

+n

k

k1

3)1( = ∑=

n

k

k1

3 ∑=

n

k

k1

2 ∑=

n

k

k1 =

n

k 1

1 3 = 3∑ + =

n

k

k1

2

2)1(3 +nn + n etc. În final se obţine ∑ =

=

n

k

k1

2 .6

)12)(1( ++ nnn

42. = 1 + 10 + 100 + ... + = 43421cifre0001

1...1111 99910 ,9

1101000 − iar = 2(1 + 10 + 100 +

... + =

43421cifre500

2...2222

)10499 .9

1102500 −

⋅


Culegere Alg 8(CD)

Documents

Transcript of Culegere Alg 8(CD)