Cubul Magic Part 1

8/13/2019 Cubul Magic Part 1

1/101

Dr.arh. Cristian Dumitrescu

CUBUL MAGIC

Culegere de exercitii de desen tehnic

i reprezentari geometrice

Colecfia "LICEU"

EDITURA POLITEHNICATIMIOARA ! ##$


2/101


3/101

Cu%ant inainte

Cu-ul fm%arte* fm%reuni cu sfera*%ri,ile'iul at/t )e %re=ios al unei %erfec=iuni'eometrice si estetice ine'ala-ile fn lumeai)eaia a cor%urilor 'eometrice. Cu-ulre%re+inta %erfecfiunea formelor %lane* sfera%e a celor cur-e* am-ele recunoscute )eclasicii 'eometriei si arhitecturii elene i%er%etuate %ana fn +ilele noastre.

/u%ort al )iferitelor orientari 'eometrice siincarcat )e conotafii sim-olice* cu-ul a stat la-a+a unor orientari stilistice in e,olufia artelorsi a arhitecturii* 'eneran) reali+ariremarca-ile.

Dar cu-ul %oate ser,i* asa cum arata silucrarea )e fa>a* si ca %artener in formarea,e)erii in s%afiu* a )eslusirii tainelorre%re+entarilor -i)imensionale a formelors%afiale* in )esa,ar=irea unui lim-a= 'raflc in)esenul tehnic* %entru to>i cei care caut/ s9

comunice %rin el.Cu-ul* acest erou al lucrarii )e failor)e a ima'ina si a re%re+enta %lan* )i,erseleo-iecte )in s%afiu.

Cu-ul formati, )in acest ,olum %oate ficonsi)erat o continuare a =ocurilortan'ramelor chine+esti sau )ominoului )inre%re+entarile %lane* a cu-ului /oma sau eel allui Ru-i2* fn ,ariantele s%afiale.

Cu-ul /oma in,entat )e )ane+ul Piet Heineste format )in sa%te %iese* alcatuite )in treisau %atru cu-uri li%ite intre ele* ce %ot alcatui

)iferite forme s%afiale* iar eel al arhitectuluima'hiar Erno Ru-i2 )in 4 )e cu-ulefe caretre-uie rotite %ana c)n) fefele cu-ului maresunt la fel colorate.

Lucrarea )e fa=a constituie o meto)a)i)actica* %erfecfionata %e %arcursul multor ani)e acti,itate la cate)ra.

Ima'inile %lane ale )iferitelor elementes%a=iale sunt re%re+entate tn e%ura*a;onometrie si* in final* in %ers%ecti,a fntr!oanumita relafie cu un cu- ca)ru. Cu acesteima'ini a%oi se efectuea+a anumite o%era=ii )e

,i+uali+are* %o+ifionare si %relucrare* 'ru%atein 5ca%itole %e o anumita tematica.

Astfel* )u%? ce se %re+inta no=iunileintro)ucti,e %ri,in) re%re+entarea fn e%ura sia;onometrie a formelor s%afiale @ca%. 5* elesunt ,i+uali+ate )in )iferite +one s%a=iale

@ca%.* %o+ifionate @ca%. 9 si construite fns%a>iu %lecan) )e la anumite elementecom%onente @ca% 6* fnscrise unele fn altelesau tan'ente @ca%.$* )esfasurate %e un %lan@: sau transformate 'eometric @4* sech7onate@?* rotite @8 sau intersectate cu )iferitecor%uri %line sau 'oluri @5#.

Ca%itolul 55 fnfafisea+a aceste ,olume fntr!o%roiec=ie conica %rin ima'ini %ers%ecti,e* iar fnultimul ca%itol se %re+inta com%arati, toateaceste re%re+entari %lane ale elementelors%a=iale e%ura* a;onometrie si %ers%ecti,ali-era.

Lucrarea se fncheie cu o serie )e construcfii

'rafice* 'ru%ate %e )iferite cate'orii la care se,a a%ela )e cite on este ne,oie.

Toate aceste o%eratii* reali+ate %e ,olume)in ce fn ce mai com%le;e* sunt )e+,oltate sirelafionate astfel incat formea+a* la eel careare tenacitatea si %uterea s9 le %arcur'a*a-ilita c)t maiconcis fm%reuna cu o-iecti,ele urmarite*cu*nostin>ele necesare si meto)a o%tima %entrure+ol,area lui* %recum si criteriile )e e,aluare.

Ma=oritatea e;ercifiilor sunt re+ol,ate* fie fncu%rinsul aceleiasi %a'ini* fie %e %a'inaalaturata* %entru a facilita com%arareare+ultatelor o-finute cu cele corecte.

O-iecti,ele )i)actice urmarite )e %re+entalucrare se refera la urmatoarele )omenii

4 cognitiv, le'at )e %achetul )e cunostinfeteoretice transmise

4 afectiv, le'at )e interiori+area unor normesau ,alori formale

4 psihomotor, a;at %e formarea unor)e%rin)eri fn re%re+entarea s%afiului

Relafionarea fn ca)rul cule'erii* a acestore;erci=ii* 'ra)ul lor )e )ificultate la unmoment )at* eft i calea )e re+ol,are


4/101

moment )at* eft i calea )e re+ol,are%reconi+ata cores%un) unor %rinci%ii* norme s.ire'uli )i)actice %erfec=ionate fn tim%.

Cu toate ca sunt s%ecifice si altor meto)e)i)actice* aceste %rinci%ii alcatuiesc aceanormalitate s%ecifics oric/rui %roces )ein,a=are si formare* reflecta anumite le'ita=io-=ecti,e si confirmate %ractic* au ca%atat,aloarea unor linii orientati,e. tn ca+ulmeto)ei )e fafa ele sunt

4 principiul participant con$tiente fiactive, cere e;istenfa moti,ate necesare fnre+ol,area e;ercifiilor eft si a mo)alit/filor%ractice )e reali+are a acestui sco%

4 principiul intuifiei, -a+at %e unclea%titu)ini nati,e* cu un rol im%ortant fnnofiunile teoretice* re%re+entarile s%afiale* sia-ilitafile %e care i le formea+/ su-iectul

principiul studiului sistematic ficontinuu, cere ca toate cunotin@ele* %rice!

%erile si )e%rin)erile sil fie fnsusite fntr!oanumita or)ine lo'ica* )u%a un anumit sistemcares& asi'ure i o fn,a=are %ro'resi,a* moti,%entru care este in)icata res%ectarea or)iniie;erci=iilor

principiul insujirii temeinice acunoftinfelor =i deprinderilor, materiali+at%rintr!o limitare cantitati,a a ,olumului )estu)iu* ,erificari ime)iate a re+ol,aiilor 'asitei un tim% o%tim %entru sta-ili+areacunoslinfelor si* mai ales* a )e%rin)erilor

principiul accesibitttdfii fi individualizSrtt exercifiilor, %otri,it caruiare+ol,area lor tre-uies& se fac trecan) )e la

necunoscut la cunoscut* )e la usor la 'reu. )ela sim%lu la com%le;* -a+an)u!se %e%osi-ilita=ile reale ale ele,ului* @inan)u!seseama )e %re'atirea anterioara )in liceu si )e)eose-irile in)i,i)uate* )e %oten%alulintelectual si fi+ic al fiecarui su-=ect fn %arte

principiul conexiunii inverse (feed back)ce e;%rima cerin=a refntoarcerii si aim-unata=irii )in mers a re+ultatelor* are,enirii la acele e;ercifii care au creat%ro-leme fntr!o anumita eta%a )e stu)iu.

Re+ol,area e;erci>iilor %oate fi facutisin'ular )e catre fiecare ele, a,an) lafn)emana soluFiile %entru fiecare ca+* sau su-fn)rumarea unui %rofesor care sa @ina seama fn

'ra)area lor* )e cuno=tinfele* a%titu)inile simoti,afia ele,ului.

Meto)a fn sine este acti,!%artici%ati,a%entru c/ a=uta ele,ul sa caute* sa cercete+e is afle sin'ur solu>ii la e;ecifiile %ro%use* s/%relucre+e )atele* a=un'/n) la reconstituiri siresistemati+ari )e forme fn lumina noilore;%erience* ce con)uc fn ultima instan=a laformarea a-ilitafii )e a ,e)ea in s%a>iu =i )e a!5re%re+enta.

In e,aluarea re+ultatelor se ,a >ine seama )ecorectitu)inea re+ol,arii* )e numarul Gi felul're=elilor constatate* eft i )e inter,alul )etim% fn care ele au fost re+ol,ate.

Toate e;ercitiile %re+entate si re+ol,ate inmare %arte* se -a+ea+/ %e cunostinfeelementare )e 'eometric )escri%ti,a*%re+entate atat ct. este ca+ul la fnce%utulfiecarui ca%itol.

Aceasta 'eometric )escri%ti,a ce asi'ura

cores%on)enfa s%atfu!%lan %rin %roiecfiileorto'onale )in e%ura* re%re+inta -a+a%roiectarii fn )omeniul tehnic* arhitectura $5construcu7i i re%re+inta* fn esen=a* un mi=loc)e comunicare* lim-a=ul %rocesului )e creafie.

olumele fnscrise fn cu-* cu care seo%erea+a in aceste e;ercifii* sunt cele %e careun a-sol,ent )e liceu le cunoas. te* )in cate'onaformelor %olie)rate sau a celor )e rotate.

Pentru a!i atin'e sco%ul este necesara =i ofle;i-ili+are formati,a* o a)a%tare )i)actica aconfinutului acestor e;ercifii la ca%acita


5/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5 AONOMETRIE

E!E5E$TAI GE"MET)CE 6$

E!UA ) A7"$"METIE

)&)& Generalit89O)ata cu %ro'resul tehnic* ce a %atruns in

toate )omeniile acti,itafii umane* a crescut sirolul )esenului tehnic ca lim-a= 'rafic.Toatereali+arile contem%orane %rin stu)ii i calculese -a+ea+a %e re%re+entari 'rafice %recum)esene )e e;ecute* %lanuri )e ansam-lu*)i,erse )etalii etc.

E;istin) la ince%ut re'uli em%irice )ee;%rimare %rin )esen a o-iectului ce unrta sa

fie e;ecutat* in )ecursul tim%ului ele au e,oluat*%entru ca asta+i )esenul tehnic sa ai-a re'uli%recis sta-ilite i unanirn acce%tate* -a+ate %ere%re+entari 'eometrice clare* ce fac le'aturaintre conce%>ie* %roiectare si e;ecute.

Re+ulta astfel* ca o-iectul )esenului tehniceste )e a e;%une norme si re'uli )ere%re+entare 'eometrica a unui o-iect )ins%a=iu intr!o ima'ine %lana* %rin re%re+entariin epura, axonometrie sau perspectiva, cua=utorul a )oua sisteme %roiecti,e..

Cores%on)en=a -iuni,oca intre %unctele )in%lan fa>a )e cele )in s%aJiu* )etermina cao%erafiile 'rafice ce se %ot reali+a in s%a>iu sa

se %oata efectua i intr!o re%re+entare-i)imensionala.

In consecin=a re%re+ent/rile 'eometriceutili+ate in )esenul tehnic sunt le'ate )irect )etehnica* in ceea ce %ri,efte sursa si a%licafiile*iar in %ri,infa meto)elor )e re+ol,are sunt

le'ate )e matematica* )e 'eometria )escri%ti,asi* in mo) s%ecial* )e 'eometria %lana si ins%afiu.

Pentru tofi cei care lucrea+a in )omeniultehnic ! atit in %roiectare clt si in e;ecute!aceste re%re+entari 'eometrice contri-uie lamo)elarea 'in)irii* formea+a in)eminarea*

%reci+ia Gi si'uran=a necesara re+ol,arii 'raficea tuturor %ro-lemelor a%arute in acti,itatea )e

%roiectare* con)uce la )e+,oltarea ca%acitafii)e K a vedea in spafiu "

Aceast a%titu)ine se o-fine %rin insusirea)e%rin)erii )e a re%re+enta cor%urile )in s%atiu

%rin ima'ini %lane si* in,ers* )e a ima'ina,olumele )in s%a=iu %rin sim%la ,,citire" a)esenelor.

Acesta este si rolul actualei cule'eri )ee;ercitii* ce urmarete fonnarea a%titu)inilor)e re%re+entare -i)imensionala a s%a=iului* cua=utorul unei meto)e )i)actice -a+ata %ere%re+entarea* ,i+uali+area* %o+ifionarea*secfionarea si intersectarea unor eiemente'eometrice inscrise intr!un cu- ca)ru.

In acest ca%itol se %re+inta succint nofiunileteoretice si a%licatiile aferente lor %ri,in)re%re+entarile in e%ura i a;onometrie ale unoreiemente 'eometrice %rimare %unct* )rea%ta*

%lan si ,olume sim%le @fi'. 5.5* toate intr!orelate )irecta cu un cu- su%ort.

Fig.1.1.


6/101

)&,& :isteme de proiec6iiClasificarea )esenelor tehnice %oate fi

facuta )u%a mai multe criterii* )intre care unuleste s. i mo)ul in care sunt reali+ate %roiecfiile.

Proiecfia re%re+int/ ima'inea unui element'eometric )in s%afiu trimisa %e un %lan* numit

%lan )e %roiecfie* cu a=utorul unor )re%tenumite %roiectante.

Domeniul re%re+entarilor 'eometrice Gi al)esenului tehnic utili+ea+$ )oua ti%uri )esisteme )e %roiecfie

centrala sau conica %aralel/ sau cilin)rica.

;&,&;&Proiecfia centraa sau conicaIn acest ca+ %roiectantele care urmaresc

conturul o-iectului )in s%afiu se a)un/ toate

intr!un %unct Q, numit centru )e %roiecfie.In fi'. 5.. a este aratata %roiecfia centralaa-c a unui triun'hi ABC )in s%afiu.

/e %ot constata urmatoarele unui %unct )in s%afiu i cores%un)e un

sin'ur %unct )in %lanul )e %roiecfie P cores%on)enfa nu este Insa -iuni,oca*

)eoarece %entru un %unct )in %lanul )e%roiecfie* %o+ifia )in s%afiu este ne)eterminata

%aralelismul a )oua )re%te nu se%astrea+/* )ar se %astrea+a concurenfa lor

concilia necesara s.i suficienta ca )oua)re%te )in s%afiu sa ai-a %roiecfiile conice

%aralele este ca ele sa mtilneasca o )rea%ta

%araleli cu %lanul )e %roiecfie P i care satreaca toto)ata %rin centrul )e %roiecfie Q.

!,"#"# Proiecfia paralela sau cilindricaA%are in ca+ul cln) centrul )e %roiecfie este

aruncat la infinit intr!o )irecfie A cu care%roiectantele )e,in %aralele.

In ca+ul in care %roiectantele sunt%er%en)iculare %e %lanul )e %roiecfie* %roiecfiacilin)rica este ortogonala sau dreapta @ fi'.5..C* iar cin) ele sunt o-lice* %roiecfia senumeste oblica @fi'. 5.. -. Aceasta %roiecfieeste )efinita )e %lanul )e %roiecfie Gi )e)irecfia A cu care %roiectantele sunt %aralele*

%resu%unn)u!se ca aceasta nu este %aralela cu%lanul )e %roiecfie P.

In acest sistem )e %roiecfie se constata un %unct are %roiecfia tot un %unct* iar o

)rea%ta se %roiectea+a )e asemenea tot )u%a o)rea%ta* afar$ )e ca+ul cin) ea este %aralela cu

)irecfia %roiectantelor i In acest ca+* la fel ca in ca+ul%roiecfiei centrale* cores%on)enfa )intre%unctele )in s%afiu i cele ale %lanului nu este-iuni,oca* intr!un %unct )in %lan %roiectin)u!setoate %unctele )e %e )irecfia %roiectantei

)oua )re%te %aralele ramm tot %aralele*iar cele concurente is. %astrea+a concurenfa*)eoarece au in comun %unctul )e intersectie i

%roiectanta acestuia %e %lanul P. In ca+ul can)%roiecfiile sunt confun)ate* %lanul )eterminat)e )re%tele concurente este %aralel cu )irecfia)e %roiecfie A

o fi'ura %lana %aralela cu %lanul )e

%roiecfie se %roiectea+a cilin)ric in a)e,aratamarime.

CU3UL MAIC


7/101

)&1& !roprietati proiecti%e+ a6ine simetrice

Intre elementele 'eometrice )in s%a=iu sicele %roiectate se sta-ilesc o serie )e rela=ii

-a+ate %e urmatoarele ti%uri )e %ro%rietati

!##!# Proprietati proiectiveA%ar in ca+ul %roiectiei conice* cm) o

%ro%rietate a fi'urii )in s%atiu se mentine si in%roiecfie.

Ca+urile u+uale )e %ro%rietati %roiecti,e serefera la concuren=a a )oua sau mai multor)re%te si la colinearitatea a trei sau mai multor

%uncte.Pro%rietafile referitoare la lun'imi* in

'eneral* nu sunt %roiecti,e* )ar ra%ortularmonic a %atru %uncte colineare ! e;%resiemetrica care se construieste cu a=utorul

lun'imilor ! este totusi %roiecti, @ fi'* 5.9. a.AstfelAC/BC < AD/BD = ac/'c ie %aralela* se %astrea+a simetria fata )eun %unct.

Intre elementele 'eometrice continute in)oua %lane care se interectea+a )u%a o a;a o;*se sta-ileste o cores%on)enta -iuni,oca*numita si cores%on)enfa %ers%ecti, ! afina* incare se %astrea+a coliniaritatea* ra%ortul sim%lusi ra%ortul armonic.

!### Proprietati metrice/unt acele %ro%rieta>i ale unei fi'uri in care

a%ar lun'imi si un'hiuri. Ele nu sunt nici%roiecti,e si nici afine* )eoarece nu se men=innici in %roiec)a conica si nici in cea cilin)rica.

Astfel* )aca )oua )re%te )in s%atiu sunt%er%en)iculare* %roiecfiile lor %e un %lan%aralel cu una )in ele sunt tot %er%en)iculare@fi'. 5.9. c.

Reci%roca este )e asemenea a)e,arata )oua)re%te )in s%afiu sunt %er%en)iculare* )aca

%roiec)ile lor %e un %lan %aralel cu una )inele* sunt %er%en)iculare.

Pro%rietate metrice se refera in 'eneral laca+urile )e %aralelism ale elementelor'eometrice )in s%atiu cu %lanul )e %roiecfie.

Pe ele se ,or -a+a meto)ele 'eometriei)escri%ti,e* atunci cin) )orim sa aflam

a)e,aratele marimi ale elementelor s%atiale.

REPRE1ENTARI IN EPURA /I AONOMETRIE

Fig.1.3.


8/101

)&0& Tipologia reprezentarilor

'idimensionale

Ti%olo'ia re%re+entarilor s%afiului %e un%lan este strins le'ata )e cea a sistemelor )e%roiecfie. Acestea %ot fi

%pura, care este o-finuta %rin %roiecfiacilin)rica )rea%ta a ,olumelor )in s%afiu* %e unsistem )e trei %lane %er%en)iculare )oua cite)oua* )eoarece %roiecfia %e un sin'ur %lan nu)etermine o-iectul @fi'. 5.6. a.

olumul care urmea+a sa fie %roiectat* sea=ea+a in trie)rul )e referinfa Intr!o %o+ifie

%articulara* a)ica eel %ufin o muchie sau o fafa aacestuia sa fie %aralela sau %er%en)icularafafa )e eel %utin unul )in %lanele )e %roiecfie.

Cea mai sim%la re%re+entare orto'onalaeste e%ura lui Mon'e* o-finuta %rin )oua

%roiecfii* ce %astrea+a toate relafiile metrice*inclusi, su%rafefele si un'hiurile.

E%ura %re+inta 'ra)ul eel mai Inalt )ea-stracti+are si se m)e%artea+a eel mai mult )e

%erce%fia ,i+uala a o-iectului )in s%afiu.Re%re+entarea -i)imensionala este )e fa%t o

)esfasurata a celor trei %lane )e %roiecfie %rinra-aterea a )oua )intre ele %e %lanul ,ertical.

&xonometria, care re%re+inta %roiecfiacilin)rica sau conica a unui o-iect )in s%afiu

%e un %lan fafa )e care nu se afla Intr!o %o+ifie%articulara.

Ea este mai a%roa%e )e %erce%fia ,i+uala ao-iectului )in natura* oferin) o ima'inecalitati,a )e ,olum.

Din %acate* fiin) o %roiecfie %e un sin'ur%lan* nu se %astrea+a toate relafiile metricereale.

Din ,arietatea ima'inilor a;onometrice* celemai utili+ate sunt re%re+entarile

izometrica, cin) a;ele %roiectate fac intreele un'hiuri )e 5# si unitafile )e masura %e

ele sunt e'ale* u Q u&Q u+@fi'. 5.6. - dimetrica, in care )oua a;e sunt %er%en!

)iculare iar a treia se 'aseste in %relun'irea-isectoarei a,in) %e ea la =umatate unitafile )emasura u;Q u&Q u+@fi'. 5.6 c.

Aceste )oua ti%uri ,or fi utili+ate In lucrarea)e fafa* %rima a,tn) a,anta=ul unei e;ecufiimai facile* )ar o ,i+uali+are )ificila %e )irecfia)ia'onalelor.

Perspectiva, ce re%re+inta a treia %osi-i!litate )e re%re+entare -i)imensionala ao-iectelor )in s%afiu si cea mai a%ro%iata )erealitate* Aceasta a%ro%iere se o-fine in )auna

relafiilor metrice @lun'imi* su%rafefe* un'hiuricare se )eformea+a* facin) )ificila inter%re!tarea sau **masurarea" o-iectului re%re+entat.

E;ista* si In acest ca+* mai multe mo)alitafi)e re%re+entare a o-iectului )in s%afiu* intr!o

%ers%ecti,efrontala, reali+ata cu a=utorul unui %unct

numit %unct )e )istanfa la doua puncte de fuga, %e un ta-lou

,ertical @fi'. 5.6. ) la trei puncte de fuga, cin) ta-lou I

%ers%ecti, este un %lan Inclinat.La ultimele )oua ca+uri* ,ariantele cele mai

uoare )e construcfie i masurare se reali+ea+a

cu a=utorul unui %unct numit **%unct )emasura".

Aceste trei ,ariante )e %re+entare %ers%ec!ti,e ,or fi )etaliate In ca%itolul 55.

CU3UL MAIC5#


9/101

)&-& Linii >i scari de marline utilizate indesenul tehnic

Ela-orarea unui %roiect al unui o-iect* fieca re%re+inta o %iesa tehnica sau o casa*

com%orta o serie )e eta%e succesi,e in care*%rin )esene* se reali+ea+a ima'inea conce%utace a%rofun)ea+a tema* )e la ansam-lu la)etaliu.

Bie ca re%re+inta %lanuri* ,e)eri* secfiunisau ima'ini s%afiale* a;onometrice sau in

%ers%ecti,a* aceste )esene se reali+ea+a %rintrasarea unor linii* la o anumita scara.

;&-&;&'inii utilizate in desenul tehnicIn )esenul tehnic* in 'eneral* conform /TA/

5696!?9 sunt utili+ate mai multe ti%uri )e liniicontinua* intreru%ta* linia %unct si linia )oua

%uncte* a,ln) trei 'rosimi @ -* -* -6 .

In arhitectura* in 'eneral* si %articulari+in)la lucrarea )e fa>a* ,om utili+a urmatoarelecate'orii )e linii

'inia continua groasa ( b )

A ! linia )e contur a %arfilor sec>ionate* 3 !linia chenarului )e )esen

mijlocie ( b/) C ! muchii ,a+ute in,e)ere sau sectiune

M sub(ire(b/!)D ! linii )e cota si a=utatoare* linii )e

constructie %entru ,olumeE ! hasuri %entru in)icarea su%rafefelorsec=ionate sau in a)e,arata marime.@ in ca+ul

lucrarii ele sunt inlocuite cu tente %late iniaintrerupta

B ! muchii ne,a+ute ascunse )u%a %lanul )esecfionare sau aco%erite )e alte elemente saumateriale @ - ! -6

55

'inia punct# $ traseele )e sec=ionare a,in) ca%etele cu

linie 'roasa @- ! -6H ! orice fel )e a;e*cu e;ce%=ia a;elor )e

'oluri @- ! -6.rosimea liniilor se ale'e )in urmatorul sir

)e ,alori e;%rimat in mm !5*6!5!#*4!#*$!#*9$!#*$!#*5? .

La linia intreru%ta lun'imea se'mentelor seia )e cca. 6 ori s%atiul )intre se'mente.

La linia %unct* lun'imea se'mentelor)e%in)e )e scara )esenului* cu menfiunea caince%e si se termina in mo) o-li'atoriu cuse'mente )e linie.

Ca linie )e -a+a a unui )esen se consi)erslinia continua 'roasa @- cu care se trasea+aconturul %aitilor secrionate* toate celelalte liniifun) corelate cu aceasta.

La acelasi )esen reali+at in creion* serecoman)a folosirea numai a celor trei 'rosimirelati,e )e linii* )ar la )esenele in tu se %otutili+a mai multe 'rosimi )e linii.

;&-&,&Scara unui desen/cara 'rafica a )esenului re%re+inta ra%ortul

)intre marimea reala a o-iectului i a celui)esenat si se ale'e in funcfie )e fa+a )e

%roiectare* )e sco%ul urmarit sau )ecom%le;itatea %iesei.

/carile utili+ate frec,ent in )esenul tehnicsunt 55###* 5$##* 5##* 55##* 5$#* 5#*55#* 5$* 5 %, 55. De e;em%lu* la scara 5$#un metru )in realitate re%re+inta %e )esen )oicentimetri.

In toate )esenele si ima'inile folosite inaceasta lucrare* fin) ,or-a )e cor%uri ,irtuale*scara )esenului este mai %u=in rele,anta.


Fig. 1.5.


10/101

)&.& eprezentarea in epura s? axonomctrie)&.&)& Generalit8

%pura re%re+inta %roiecfia cilin)ricaorto'onala a o-iectului* %e un sistem )e )ouasau trei %lane )e %roiectie* %er%en)iculare intreele si %aralele cu a;ele )e coor)onate s%afiale.

Cea mai sim%la re%re+entare in e%ura a%areintr!un sistem )u-lu orto'onal @Mon'e*format )in )oua %lane %er%en)iculare )e

%roiectie unul ,ertical S i altul ori+ontalSH.

Drea%ta )e intersectie ox )intre aceste )oua%lane se numeric,,linia de pamint".

Pentru mfele'erea si re)area mai com%leta aformei o-iectului re%re+entat* se intro)uce unal treilea %lan )e %roiectie* %er%en)icular %ecelelalte )oua* numit %lan lateral SL.

In aceasta re%re+entare orice o-iect )ins%atiu ,a a,ea trei %roiectii

%roiectia ,erticala sau ,e)erea )in fa@a %roiec@ia ori+ontala sau ,e)erea )e sus %roiectia laterala sau ,e)erea )in stan'a.Pentru a fi re%re+entate in )oua )imensiuni*

)eci %e un %lan* %roiectiile ori+ontala si lateralase se%ara )e!a lun'ul a;ei o8 si sunt a)use in

%lanul %roiectiei ,erticale* rotin)u!se in =urula;elor ox si res%ecti, o& @fi'.l.:.-*c.

A)use astfel in acelasi %lan* se %oateo-ser,a usor cores%on)enfa celor trei %roiec>ii.

E%ura* %rin %roiectiile sale orto'onale*%astrea+a relafiile metrice ale o-iectuluire%re+entat )ar* %re+inta 'ra)ul eel mai inalt )ea-stracti+are )intre toate re%re+entarile

-i)imensionale si se in)e%artea+a eel mai mult)e %erce%fia ,i+uala a o-iectului )in s%a=iu.

&xonometria este mai a%roa%e )e aceasta%erce%tie ,i+uala* insa* fun) o %roiecfie %e unsin'ur %lan* nu %ermite toate ti%urile )emasuratori si nu %astrea+a o serie )e relatiimetrice cum sunt su%rafetele si un'hiurile*care a%ar )eformate.

In fi'. 5.:. a* este %re+entata a;onometria)imetrica a unui ,olum inscris fntr!un cu-ca)ru* im%reuna cu %roiec@iile %e cele trei

%lane* In fi'. 5.:. -* e%ura re+ultata im%reuna

cu conturul %lanelor )e %roiectie* iar in fi'.5.:. c* numai %roiecfiile inscrise in cu-ulca)ru* asa cum ,or fi %re+entate in ma=oritateae%urelor )in lucrarea )e fata* im%reuna cunotatiile a;elor )e %roiectie.

R E PR E 15 CU3UL MAIC

?$.a1

a'=x a"=y,

Fig. 1.6.


11/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5AONOMETRE$

)&.&,& eprezentarea in epur: si axono@metrie a punctuluiPo+ifia unu i %unct A ) in s%af iu e ste

)eterminata )e trei coor)onate )escri%ti,e alesale* care sunt a-scisa* )e%artarea i cota&bscisa %un ctu lui este )is tan fa sa fa>a )e

%lanul late ral )e %roiecfle SL i se masoara %ea;aox+(ep)rtarea%unctului este )is tanfa sa fa=a )e

%lanul ,er tical )e %ro iec=ie S i se masoara %ea;ao8&

*ota%unctului este )is tan =a sa fafa )e %lanulori+ontal )e %roiecfie SH i se masoara%e a;aoz&

In fi'. 5.4. a se %re+inta a;onometria )ime!trie< a unui %unct A )in s%afiu* )e la care* %rin%ro iectii cil in) rice )re%te * se o-=in ima'ini le a*

a7si a".Prin se%ararea %lanului ori+ontal SHT )e eel

lateral SLT i ra-aterea acestora %e %lanul,ertical )e %roiectie ST* se o-tine ore%re+entare -i)imensionala a %unctului )ins%atfu* %rin cele trei %roiectii ale sale* numit/e%ur/.

/e o-ser,a ca* atit in a;onometrie* cit si fne%ufa se'mentele )e )rea%ta care masoaraa-scisa* )e%artarea si cota lui A* se aflares%ecti, %e a;ele ox+ o8+ oz&+ )ar se %otm)sura in mai multe feluri* %e laturile %aralelecu cele trei a;e ale %araleli%i%e)ului )e %o+i=ieal %unctului A care se formea+a.

Alaturi )e e%ura %unctului A se %re+inta%entru com%ara-le i e%urele %unctelor 3 Gi Csituate si ele %e muchiile cu-ului ca)ru. Coor)onatele %unctului A au toate ,alori

%o+iti,e i se scriu fntr!o %arante+a mica inor)inea %re+entata A@9#*6#*6#.

CTn) una )intre coor)onate are ,aloarea #Inseamn/ ca %unctul se afl/ situat fntr!unul)in %lanele )e %roiecfie.

fn lucrarea )e fa nu ,om lucra cucoor)onatele elemeritelor 'eometrice )ins%a>iu* s%ecifice 'eometriei )escri%ti,e ci ,omcauta o %o+i%onare a lor %e )i,i+iunile la sfertale muchiilor cu-ului ca)ru un)e acestea sunt

%o+ifionate* ori'inea fiin) la un coif @fi'. 5.4. cfn felul acesta* nelucrin) cu coor)onatele

)escri%ti,e* e;ercifiile %re+entate sunt )e)omeniul 'eometriei %roiecti,e.

59C U 3 U L MA I C

.

1.6.

Fig. 1.7.


12/101

)&.&1& eprezentarea dreptei 6n epura iaxonometrieO )rea%ta D )in s%a)u %oate fi )eterminata

fie )e )oua %uncte* fie )e un %unct i o )irec)e)ata.

O )rea%ta care nu este nici %aralela* nici%er%en)iculars %e unul )in %lanele )e %roiectieeste o )rea%ta oarecare i are trei %roiectii

@) ! %roiectia ori+ontala %e %lanul S H @)7 ! %roiectia ,erticals %e %lanul S @)" ! %roiectia lateral %e %lanul S L

+rmele drepteiPunctele )e intersectie ale unei )re%te cu

%lanele )e %roiectie se numesc urmele )re%tei.Urmele ori+ontal/* ,erticala i laterals sunt

)e fa%t %unctele )re%tei care au res%ecti, cota*

)e%artarea sau a-scisa nule. Urmele )re%tei senotea+a )e o-icei #h+h+ @,* ,7* L@l* 57)eci a,in) aceeas.i notatie ca si %lanul )e

%roiectie cu care se intersectea+a.In fi'. 5.?. este %re+entata a;onometria $5

e%ura unei )re%te oarecare @D* la care au fostfi'urate urma ori+ontal/ H i ,erticala .

n ca+ul e;ercitiilor )in %re+enta lucrare se,a a%ela mai %utin la urmele )re%tei* )arin=ele'erea lor este necesar/ %entru clarificareare+ol,arilor.

eterminarea unui punct situatpe dreapta/e cere sa se )etermine %e )rea%ta oarecare

@D un %unct M a,tn) cota )ata./e )uce in e%ura o %aralela la linia )e%amint la cota )ata i se '/ses.te %roiectia m7 ia%oi* %rin cores%on)enia ori+ontala m* i cea laterals m".

!ozi6iile particulare ale drepteiIn fi'urile )in %a' 5$ sunt re)ate* in

a;onometrie )imetrica* si e%ura %o+i=iile%articulare ale )re%tei in sistemul )e %roiecfietriorto'onal* a=utin)u!ne )e un cu- su%ort.

Pentru com%aratie se %oate ,e)ea )rea%taoarecare AD @fi'. 5.8*5#..

Po+i=iile %articuare se refera la )re%tele%aralele i %er%en)iculare %e %lanele )e%roiectie.

Astfel* )re%tele %aralele cu %lanele S H *S5 i S L sunt* res%ecti,* )re%tele ori+ontala*frontala Gi )e %rofil* iar )re%tele %er!

%en)iculare %e %lanele )e %roiectie sunt* inaceeas= or)ine )rea%ta ,erticala* )e ca%at i ceafronto!ori+ontala @fi'. 5. 55*5*59*56*5$*5:..

As.a cum se %oate o-ser,a* )rea%ta fronto!ori+ontala este* in acela=i tim%* i ori+ontala ifrontala* )rea%ta )e ca%at este simultanori+ontala i )e %rofil* iar )rea%ta ,erticala estein acela=i tim%* )rea%ta frontala s.i )e %rofil.

Po(ia relativa a doua drepteDoua )re%te )in s%aiu sa fie %aralele* este ca

%roiec)ile lor )e acelai nume sa fie %aralele.Con)itia necesara i suficienta ca )oua

)re%te s$ fie concurente in s%atiu* este ca%roiec)ile lor )e acelai nume sa fie

concurente* res%ecti, in )oua %uncte situate %eaceeas= linie )e or)ine %er%en)icualra %e ox&

Dac/. aceasta con)irie nu este in)e%linitaa,em situa)a a )oua )re%te oarecare.

R E P R E 1 E N T56 CU3UL MAIC

\Fig. 1.9.

D r e a p t a o r

a'

b'

D r e a p t a

d'

f=

Fig. 1.8.


13/101

REPRE1ENTARI fN EPURA 5 AONOMETRIE

Dreapta orizontald [|| H]

b"

a"

tFig. 1.11.

Dreapta frontal [|| !]

Fig. 1.1".Dreapta de profil [|| #]

$ %&

Fig. 1.13.

5$

Dreapta oareare

a7

Fig. 1.1(.Fig. 1.9.

b1a'

Dreapta $ertiala [)H]

f f"

Dreapta de apt [) !] Dreapta fronto *

a e"=k"

Fig. 1.16.


14/101

)&.&0& eprezentarea planului in epura siaxonometrie

efinirea unui planUn %lan %oate fi )efinit %rin )oua )re%te

%aralele* )oua )re%te concurente sau un %unctsi o )rea%ta.

Unin) urmele ori+ontale a )oua )re%te care)etermina un %lan P* se )etermina urmaori+ontala PHa %lanului. Tot astfel se %oate)etermina urma ,erticals !8 si urma laterals!L+ cele trei urme forman) un triun'hi ins%afiu usor )e infeles @fi'. 5.54..

Planul %oate fi re%re+entat at/t in e%ura catsi in a;onometrie* fie %rin urmele sale* fie

%rintr!un contur s%atial* ultima ,ariants fun)utili+ata frec,ent in lucrarea )e fafa.

Punct i dreapta confinuta de un planO )rea%ta D este confinuta intr!un %lanoarecare P* )aca urmele sale se '/sesc %eurmele )e acelasi nume ale %lanului.

Un %unct M se afla confinut intr!un %lanoarecare P* )aca se '/seste %e o )rea%ta Dconfinuta in acel %lan.

In fi'. 5.5?. se %re+inta in a;onometrie)imetrica si e%ura o )rea%ta D si un %unct M*confinute in %lanul oarecare P.

De fa%t* %rintr!un %unct M care se afla intr!un %lan se %ot trasa* in afar/ )e )re%teleoarecare, urmatoarele )re%te %articulare*

%aralele cu %lanele )e %roiecfie orizontala,

frontala si )eprofit.

Pozifii particulare ale planuluiPo+ifiile %articulare ale unui %lan in ra%ort

cu %lanele )e %roiecfie se refera la ca+urile )e%aralelism si %er%en)icularitate fafa )e aceste%lane* iar )enumirile sunt i)entice cu ale)re%telor %articulare e;ce%tin) ca+ul %lanului

%er%en)icular %e %lanul lateral.Aceste %o+ifii sunt urmatoarele %lan )e nivel,%aralel cu SH* fi'. 5.58. plan frontal,%aralel cu S* fi'. 5.#. %lan de profit,%aralel cu SL* fi'. .5. %lan vertical,%er%en)icular %e SH* fi'.

5.. %lan )e capat,%er%en)icular %e S* fi'.

5.9. %lanparalel cu aa o,%er%en)icular %e

SL* fi'. 5.6.

repte -iplane paraleleDoua %lane %aralele ,or a,ea intot)eauna

urmele )e acelasi fel* %aralele intre ele.O )rea%ta DI%aralela cu un %lan P* )usa

%rintr!un %unct e;terior %lanului* ,a fi %aralelacu o )rea%ta D, confinuta in acel %lan. Pro-le!ma are o infinitate )e solufii

In,ers* un %lan %aralel cu o )rea%ta DI)usa%rint!un %unct e;terior ei* ,a tre-ui sa confina o)rea%ta D,%aralela cu )rea%ta DI& Once %lan ceconfine )rea%ta ', confine o solufie a

%ro-lemei care este astfel ne)eterminata.

5: CU3UL MAIC

Fig. 1.17. Fig. 1.18.


15/101


+lan orizontal [|| H] +lan frontal \\\ !]

z z

V L

Pv

o

PH

HFig. 1.21.

+lan de 'apt [1 !] + lan paralel ', ox [1 #]

+

- +H

CU3UL MAIC54

leplanuluiale unui %lan in ra%ortse refera la ca+urile )esularitate fafa )e acestesunt i)entlce cu aletce%tin) ca+ul %lanuluilateral. rm/toarele lei cuSH* fi'. 5.58. )cuST*fi'. 5.#. alelcufLT* fi'.5.5. %en)icular %e SHT*fi'.

%en)icular %e ST* fi'. a

o&,%er%en)icular %e

r l e

,or a,ea in to t)eaunaalele intre ele.5" cu un% la n P * )usa l anu lu i*,a f i %ara le la( in acel% la n . Pro -le !tii cu o )rea%taD I)usai*

, a t re - ui s a c o nf in aI rea% taD I& Orice %lanc on fin e o s olu >ie ane)eterminata.

+lan de profil [n #]

+

V Pv L PL

o

H Fig. 1.19.

V oL PL

J

PHHFig. 1.20.

+lan $ertial [i H]

K- *


16/101

+$+# +$

Fig. 1."". Fig. 1."3.Fig. 1."/.


17/101

Exercitiul )&)%nunf, obiective/e cere sa se %re+inte in e%ura %roiecfiile

unor elemente 'eometrice sim%le* %o+i=ionate%e un cu- ca)ru si %re+entate in a;onometrie)imetrica.

/e urmareste formarea )e%rin)erilor )ecorelare a unei ima'ini s%afiale a;onometricecu e%ura )e 'eometric %roiecti,a si fi;areamo)ului )e %o+itionare in e%ura a %roiecfiilorunor elemente 'eometrice -a+ice %unct*)rea%ta* %lan.

*unostinfe necesareLinii utili+ate in )esenul tehnic* sisteme )e

%roiectii* re%re+entarea in e%ura si a;onometrie aelementelor 'eometrice sim%le.

.etoda de rezolvare

/e utili+ea+a cele trei %roiec=ii su- forma )e%atrat ale cu-ului ca)ru i relafia )intre)i,i+iunile la sfert ale muchilor atestuia ielementele 'eometrice.

/e ,a urmari ra-aterea %lanelor )e %roiec=ieori+ontal s.i lateral in continuarea celui ,ertical*

%entru corecta %o+ifionare a acestor elemente.Punctele au fost %o+ifionate in 'eneral* %e

col=urile si muchiile cu-ului ca)ru %entru afacilita re%re+entarea in e%ura.

Dre%tele se %re+inta su- forma unei liniifrante alcatuite )in ma;imum trei %arfi* fiecare

%utin) fi sau un se'ment )e )rea%t/* sau o%orfiune )e cere @sfert* =umatate* sau trei

sferturi. Linia frinta are )oua ca%ete li-ere s.inu formea+a un contur inchis* can) ar %utea'enera un %lan.

Planele sunt )eterminate )e trei %uncte%o+ifionate %e )i,i+iunile muchiilor cu-uluica)ru i* %entru infele'erea lor* su%rafafaacestora a fost e,i)enfiata cu o tenta %lata.

Alaturat* in fi'urile 5. $* :* 4* ?* se%re+inta* relafionate in e%ura i a;onometrie)imetrica* aceste elemente 'eometrice* iar lae;ercifiile ce urmea+a sunt %re+entate ire+ol,arile in e%ura* %e aceea=i %a'ina sau %e

%a'ini alaturate.*riterii de apreciere

Corecta relationare a celor trei %roiecfii inca)rul e%urei Gi %o+i>ionarea corecta aelementelor 'eometrice in ca)rul fiecarei

%roiec>ii.

CU3UL MANI5?

Fig. 1."5.

Fig. 1."8.


18/101


Exercitiul )&)& a @ Enunt rezol%are/e cere sa se re%re+inte in e%ura cele trei %roiec=ii orto'onale ale unor %uncte* )re%te sau %lane*

%o+ifionate %e un cu- ca)ru i %re+entate m a;onometrie )imetrica.

58CU3UL MANIC

m5

3ig& )&,-&

m

3ig& )&,.&

!3ig& )&,;&

3ig& )&,2&


19/101

Exerci6iul )&)& ' @ Enunt/e cere sa se re%re+inte in e%ura cele trei %roiecfii orto'onale ale unor %uncte* )re%te sau %lane*

%o+ifionate %e un cu- ca)ru si %re+entate In a;onometrie )imetrica.

# CU3UL MANI

m

m.


20/101


Exerci6iul )&)& ' @ ezol%aree%re+inta mai =os in e%ura cele trei %roiecfii orto'onale ale unor %uncte* )re%te sau %lane*

%o+ifionate %e un cu- ca)ru si infafi=ate in a;onometrie )imetrica %e %a'ina anterioara.

C U3 UL M A5

uncte* )re%te sau %lane*


21/101

E;ercifiu 5..*nunf, obiective/e %re+inta in e%ura %roiecfiile unor linii

frfnte %o+ifionate %e un cu- ca)ru./e cere ima'inea lor s%afiala" fntr!o

a;onometrie )imetric/* in corelare cu aceea aunui cu- su%ort.

+unoi/tinfe necesareLinii utili+ate in )esenul tehnic* sisteme )e

%roiecfii* re%re+entarea in e%ura $5 a;onometrie aelementelor 'eometrice sim%le.

etod- de rezolvare/e )esenea+a cele trei %$trate care

re%re+inta e%ura cu-ului ca)ru s.i* funcfie )emuchiile Gi )i,i+iunile lor* se re+o,a

%roiecfiile flecarei linii.

In acest ca+ se reali+ea+a )rumul in,ers faff/)e e;ercifiul anterior* ale'fn)u!se e;em%lecare mer' )e la sim%lu la com%le;. Astfel*toate liniile cutate sunt frfnte* )eschise*alcatuite )in trei %arfi* care se transformssuccesi,* )in se'mente )e )rea%t/* in liniicur-e ce re%re+inta" fra'mente )e cere @sferturi*

=um/ta=i $5 trei sferturi.fn felul acesta se e;ersea+a7 $5" construcfia

unui cere Inscris in %atratul fefei cu-ului* atatfn a;onometrie )imetrica cat si i+ometric/.Aceste construcfii 'rafice sunt %re+entate inane;a )e la sflrs.itul lucrarii i utili+ea+a)ia'onalele i me)iatricele fefelor %/trate.

Este necesar* %entru aflarea ima'iniia;onometrice* si %ri,im fn acelafi tim% toatecele trei ,e)eri %entru corecta %o+ifionare fns%a@iu a liniei

Astfel* fn e%urele %re+entate fn fi'.l. 8* 9#*95* 9* liniile frame %re+entate au se'mente)re%te* la %rimee* %entru a a,ea numai cur-urila ultimele.

La e;ercifiul 5.. a* %e aceeas= %a'ina se'asesc e%urele* %recum $5 re+ol,$rile a;ono!metrice* iar la e;ercifiul 5.. -* acestea a%ar %e

%a'ini )iferite.+riterii de evaluareCorecta )erulare a traseului )re%tei si

%o+ifionarea acesteia fn s%afiu alaruri )econstrucfia e;act in a;onometrie a %orfiunilorcur-e.

R E PR E 1 E 5

Exerci6i

/e cere a;se )$ e u

CU3UL MAIC


22/101


Exerci6iul )&,& a @ Enun si rezol%are

/e cere a;onometria )imetric/ a unor linii frante continute )e fe=ele unui cu- ca)ru arunci c/n) se)a e%ura acestora.

CU3UL MAIC9

#


23/101

Exerci6iul )&,& ' @ Enun6

e cere a;onometria )imetric/ a unor linii Mnte confinute )e fe@ele unui cu- ca)ru atunci can) se)$ e%ura acestora.

6 CU3UL MAIC


24/101

REPRE1ENTARI fN EPURA 5 AONOMETRIE

Exerci6iul )&,& ' @ ezol%are/e %re+inta mai =os a;onometria )imetrica a unor linii frante confinute )e fe=ele unui cu- ca)ru*)esenate in e%ura %e %a'ina anterioara.

2%CU3UL MAIC

&1

&


25/101

Exerci6iul )&1&%nunf, obiectivee )a a;onometria i+ometrica a mai multor

cor%uri %line* Tnscrise fn cu-uri su%ort./e cere e%ura in cele trei %roiecfii

orto'onale.*unoftinfe necesare/isteme )e %roiecfie* ti%olo'ia

re%re+entarilor -i)imensionale a s%afiuiui*re%re+entarea in e%ura $5 a;onometrie.

.etoda de rezolvarePentru re%re+entarea com%leta a unui

cor%* %entru a fi mfeles* se %ot efectua maimulte %roiecfii.

Pentru a ,e)ea mo)ul cum se reali+ea+adispunerea proiecfiilor unui o-iect si

relafionarea lor* se consi)era o-iectul %lasat ininteriorul unui cu-@fi'. 5.94 . /e %roiectea+aorto'onal %e cele sase fefe ale cu-ului*o-finin)u!se sase %roiecfii care %rimescurmatoarele )enumiri* termenul )e %roiecfiefiin) mlocuit u+ual cu acela )e ,e)ere

,e)erea )in fafa @ A ,e)erea )e sus @3 ,e)erea )in stin'a @C ,e)erea )in )rea%ta @ D ,e)erea )e =os @E

,e)erea )in s%ate @B. Du%a %roiectareacor%ului %e cele sase fete* ele se ra-at cafefele unui cu- )e carton* %ina a=un' in

continuarea ,e)erii )in fafa care esteconsi)erata %roiecfia %rinci%als* forman)e%ura.

De o-icei %entru re%re+entarea unui cor%in e%ura* sunt suficiente %rimele trei %roiecfii

%entru a fi infeles. Daca nu* insemna7 ca are totfelul )e 'oluri si atunci sunt necesare )i,ersesec=iuni* care ,or fi tratate in ca%. ?.

In fi'.5.99* 96* 9$* 9: este re%re+entatae%ura in trei %roiecfii a %atru ,olume*

%re+entate s%afial in a;onometrie i+ometrica*iar in fi'. 5.94* 9? )is%unerea tuturor

%roiecfiilor %entru )oua ,olume* unui cu fefe%lane si altul cu su%rafele )e rotafie* %entru a

infele'e mecanismul or)onarii lor.*riterii de evaluareRelafionarea corecta a %roiecfiilor in

ca)rul )is%unerii 'enerale a lor* cit si corecta%o+ifionare a fiecareia )intre ele.

: CU3UL MAIC

3ig& )&1.&


26/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5 AONOMETRffi

Tre-uie remarcat la dispunerea proiecfiilor

ca ele sunt simetrice fa>a )e ,e)erea )in fa>a careeste consi)erate %roiec>ia %rinci%als.

O atenfie s%ecials tre-uie acor)ata ,e)erii )e=os* care* )u%/ ce se %roiectea+W %e ca%acul )esus al cu-ului ca)ru* se ra-ate fn %lanul ,ertical)e %roiec>ie tn =urul muchiei %aralel/ cu o;.

e)erea )in s%ate se %oate %o+ifiona incontinuarea oricarei ,e)eri laterale* nea,an) o%o+ifie -ine %reci+ata.

C U3 UL M AIC

4

Fig. 1.33.

Fig. 1.'%. Fig. 1.38.Fig. 1.'(.


27/101


28/101

Exerci6iul )&1& a @ Enun6

/e cere e%ura in trei %roiecfii orto'onale ale urmatoarelor ,olume inscrise intr!un cu- ca)ru si%re+entate in a;onometrie i+ometrica.

CU3UL MAIC?


29/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5AONOMETRIE

Exerci6iul )&1& a @ ezol%are/e %re+inta e%ura in trei %roiecfii orto'onale ale ,olumelor Tnscrise intr!un cu- ca)ru infafisate ina;onometrie i+ometrica %e %a'ina anterioara.

8CU3UL MANI

ise Intr!un cu- ca)ru si

)

)


30/101

Exerciiul )&1& ' @ Enun6/e cere e%ura in trei %roiectii orto'onale ale urmataorelor ,olume inscrise intr!un cu- ca)ru

%re+entate in a;onometrie i+ometricl.

CU3UL MAIC0

i

)

y

)


31/101


Exerciiul )&1& ' @ ezol%are/e %re+inta e%ura in trei %roiecfii orto'onale ale ,olumelor inscrise intr!un cu- ca)ru infa>iate ina;onometrie i+ometrica %e %a'ina anterioara.

CU 3U L M A 95

ie intr!un cu- ca)ru

+,-

)

L


32/101

Exerci6iul )&0&%nunf, obiective/e )a %roiecfia ,erticals sau ,e)erea )in

faf/ a unei mulfimi )e ,olume a,in) o'eometric cit mai sim%la.

/e cer %re+entate in a;onometrie i+ometrica+ece ,ariante care sa cores%un)a %roiecfiei)ate.

/e urmare=te )e+,oltarea -a'a=ului formalutili+at )e ,iitorul %roiectant* relafionarea unei

%roiecfii orto'onale cu o mulfime )e ,olume%re+entate a;onometrie si* nu in ultimul rin)* oclasificarea i o ierarhi+are a ,olumelorcunoscute si stu)iate %ina la aceast/ )ata.

*unogtinfe necesare/isteme )e %roiecfii* re%re+eiitarea in e%ura

si a;onometrie a ,olumelor %rimare*cunostinfe )e 'eometric %lan/ si in s%afiu*acumulate in anii )e liceu.

Cate'oriile )e cor%uri cu care se o%erea+/in e;erci>iile ce urmea+a le %utem 'ru%a Tnurmatoarele familii %araleli%i%e)ul @cu-ul*

%risma* %irami)a* cilin)rul* conul* sfera*,olume )e rotafie sau translate* altele )ecitultimele clase @e;. torul. olumele )e rotate*funcfie )e %o+ifia lor in s%afiu* %ot %re+entacon,e;itafi sau conca,Mfi orientate catre)irec=ia )e %ri,ire* iar muchiile in,i+i-ile se

%re+inta in )esen..etoda de rezolvare

Cu cit numarul )e %roiecfii )intr!o e%uraeste mai mic* cu atit mai mare ,a fi numarul,ariantelor s%afiale. La trei %roiec>ii u+uale;ist$ o ,ariants unica* la )ou/ numarul lorcreste %entru ca la o sin'ur/ %roiecfie* cea,erticals* s/ %oat/ e;ista +eci )e ,ariante.

Din li%sa )e s%afiu am selectat numai 56,ariante* alese )in toate cele 4 familii )e,olume %re+entate mai sus. In 'eneral* am ales,ariantele cele mai sim%le )in toate cate'oriile)e ,olume %re+entate @fi'.l. 98.

Este %osi-il ca unele familii* la %roiecfia)at/ s/ nu ai-/ nici un re%re+entant* asa cumaltele* )e e;em%lu cele cilin)rice* %ot a,ea

numeroase ,ariante.*riterii de evaluare

Cores%on)enfa )intre ,olumul %re+entat si%roiecfia ,erticals )at/* ,arietatea isim%litatea cor%urilor %re+entate.

CU3UL MAIC2

Fig. 1.39.


33/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5AONOMETRIE

Exerci6iul )&0& @ Enun6/e cer cat mai multe ,ariante s%a=iale %re+entate In a;onometrie i+ometrica ale unor ,olumecare sa cores%un)a urmatoarelor %roiecfii ,erticale @,e)erea )in fa>X.

Pentru ca.formele s%afiale sunt infinite si )in moti,ul ca lucrarea )e fafa sea)resea+a In %rimul ran) a-sol,en>ilor )e liceu* se ,a cauta e,i)entierea unor,olume care sa cores%un)a ni,elului )e cuno=tinfe acumulate In acestmoment* a)ica cor%uri care sa faca %arte )in )oua mari clase )e forme'eometrice )e -a+a forme poliedrate @cu-* %risma* %irami)a siforme derotafie ( cilin)ru* con* sfera* tor In ,ariantele con,e;e i conca,e fafa )e)irecfia )e %ri,ire. In mo) cu totul acci)ental* %e %arcursul lucrarii ,or fiutili+ate s= forme de translate, re+ultate )in )e%lasarea unei cur-e cu

%arametrii constan>i %e o )irectoare )rea%ta sau cur-a.

CU3UL MANIC 99

. 1.39.


34/101

Exerciiul )&0& @ ezol%are

/e %re+inta mai =os ,ariantele s%afiale )esenate in a;onometrie i+ometrica care cores%un)

urmatoarelor )oua %roiecfti ,erticale @5 si 6 )ate in enunhil e;ercitiului.

REPRE1EOTA/ CU3UL MANI

/e %re+inta mai

urmatoarelor )ouii


35/101


Exerci6iul )&0& @ ezol%are/e %re+inta mai =os ,ariantele s%afiale )esenate in a;onometrie i+ometrica care cores%un)urmatoarelor )ou/ Droiectii ,erticale ( si ?" )ate In enuntul e;ercitiului.

9$CU3UL MAIC

ie i+ometrica care cores%un)ifiului.


36/101

Exerci6iul )&0& @ ezol%are/e %re+inta mai =os ,ariantele s%afiale )esenate in a;onometrie i+ometrica care cores%un)urmatoarelor )oua %roiecfii ,erticale @ 59 si 56 )ate in enunful e;ercifiului.

9: CU3UL MAIC


37/101


Exerci6iul )&0& @ ezol%are

/e %re+inta mai =os ,ariantele s%a=iale )esenate In a;onometrie i+ometric/ care cores%un)urmatoarelor )oua %roiec>ii ,erticale @5$ si 5: )ate in enun>ul e;erci=iului.

CU 3U L M A I94

ometr ca care cores%unilui.


38/101

E;ercifiul 5.$.*nunf, obiective

/e %re+inta )u-la %roiecfie orto'onala aunor cor%uri 'eometrice sim%le Tnscrise Tncu-uri )e muchie )ata.

/e cere 'asirea celei )e!a treia %roiecfii i%re+entarea ,olumului 'asit Tn a;onometriei+ometrica Intr!o ,ariants cat mai sim%la.

/e urmareste )e+,oltarea ,e)erii in s%afiu si

fi;area cate'oriilor )e cor%uri cu care se %oateo%era* e,i)enfiate In e;ercifiul anterior.

+unoftinfe necesareRe%re+entarea In e%ura si a;onometrie a

,olumelor 'eometrice sim%le* cate'oriileformale cu care se %oate o%era @%araleli%i%e)*

CU3UL MAIC


39/101

%risma* %irami)a* cilin)ru* con* sfer/* cor%urire+ultate )in translate sau rotafie.

etoda de rezolvareolumele care sa ras%un)/ %roiecfiilor )ate

au fost 'ru%ate In sa%te clase* enumerateanterior si se cauta %rin e;clu)ere ,ariantaceruta.

Dificultatea consta In fa%tul ca la cor%urile)e rotafie nu a%ar nici un fel )e linii )econstruc>ie a=utatoare @'eneratoare* linii )ecur-ura a%arente etc care sa in)ice cate'oria)in care face %arte ,olumul i /9 fac/ maiusoara )e%istarea lui.

In 'eneral* e;ista mai multe ,ariante%osi-ile* )in care a fost %re+entata una.

Datorit/ s%afiului restrins al lucrarii Tn uneleca+uri se renun=X la %re+entarea ,ariantelorinfafisate anterior.

In e;em%lele %re+entate alaturat Tn fi'. 5.6#*5.65. se e,i)enfiea+a* atat Tn a;onometrie

i+ometrica* cat si Tn e%ura* )oua ,olume care%re+inta o anumita )ificultate )e re+ol,are* sianume cele care %ro,in )in cor%ul comunre+ultat )in intersecFia a )oi sau trei cilin)ri

%er%en)icular7 si )e ra+9 e'aia.In continuare Tn fi'. 5.6* 69* 66* 6$ se

%re+inta cate trei ,ariante )e re+ol,are Ina;onometrie a cor%urilor %re+entate In )u-la

%roiecfie orto'onala.+riterii de evaluateCores%on)en>a celor trei %roiecfii )in e%ura*

sim%litatea ,olumetrica a ,ariantei alese Gicorectitu)inea re%re+entarii a;onometrice.


40/101


98CU3UL MAIC


41/101

)

) )

)


42/101


Exerci6iul )&-& a @ ezol%are

/e %re+inta mai =os a treia %roiec=ie i ima'inea a;onometric/ i+ometrica a unei ,ariante )ere+ol,are a ,olumelor )in e;ercifiul %re+entat %e %a'ina anterioar/.

65CU3UL MAIC

))


43/101


44/101

WU3UL MAIC

5/in< ,ariant* . IE I 7


45/101

Exercitiul !#/# c 0 Enunt/e cere a treia %roiecfie i a;onometria i+ometric/ intr!o sin'ur/ ,ariants aurmatoarelor ,olume %re+entate in )u-l/ %roiecfie orto'onala.

l

/Jf!

CU3UL MAIC//


46/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5 AON OMETR IE

Exerci6iul )&-& c @ ezol%are

/e %re+inta mai =os a treia %roiecfie i ima'inea a;onometric/ i+ometrica a unei ,ariante dere+ol,are a ,olumelor )in e;erci=iul %re+entat %e %a'ina anterioara.

6$CU3UL MANIC


47/101

CU 3U L MAN ICExercitiul )&-& d @ Enun6

/e cere a treia %roiecfie si a;onometria i+ometrica sntr!o sin'ur/ ,ariants aurm/toarelor ,olume %re+entate in )u-ia %roiecfie orto'onal/.

I 7 Y

6:


48/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5 A ONOMETRIE

Exercitiul )&-& d @ ezol%are

/e %re+int/ mai =os a treia %roiecfie i ima'inea a;onometric/ i+ometrica a unei ,ariante )ere+ol,are a ,olumelor )in e;ercitiul %re+entat %e %a'ina anterioar/.

/&CU3UL MANIC


49/101

Exercitiul )&-& e 0 Enun6/e cere a treia %roiecfie i a;onometria i+ometrica intr!o sin'ur/ ,arianta aurm/toarelor ,olume %re+entate in )u-la %roiectie orto'onala.

/ CU 3U L M A I


50/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5 AO NOM ETRIE

Exerciiul !#/, e 0 ezol%aree%re+inta mai =os a treia %roiecfie i ima'inea a;onometrica i+ometrica a unei ,ariante )ere+ol,are a ,olumelor )in e;ercifiul %re+entat %e %a'ina anterioara

68C U3 UL M AIC


51/101

Exercitiul )&-& 6 @ Enun6

/e cere a treia %roiec=ie si a;onometria i+ometrica intr!o sin'ura ,ariants aurm/toarelor ,olume %re+entate in )u-ia %roiec=ie orto'onal/.

$# CU3UL MAIC REPRE1


52/101

REPRE1ENTARI IN EPURA /I AON OME TRIE

Exerci6iul )&-& 6 @ ezol%are/e %re+inta mai =os a treia %roiec=ie i ima'inea a;onometrica i+ometrica a unei ,ariante )ere+ol,are a ,olumelor )in e;erci=iul %re+entat %e %a'ina anterioar/.

CU3UL MANIC $5


53/101

Exercitiul )&-& g @ Enun6/e cere a treia %roiecfie si a;onometria i+ometric) fntr!o sin'ura ,ariants aurmatoarelor ,olume %re+entate in )u-ia %roiecfie orto'onala.

H

CU 3U L M A I%2

H

$

2341


54/101


Exerci6iul )&-& g @ ezol%are/e %re+int/ mai =os a treia %roiecfie i ima'inea a;onometrici i+ometric/ a unei ,ariante )ere+ol,are a ,olumelor )in e;ercifiul %re+entat %e %a'ina anterioar/.

CU3UL MAIC $9

u rW , ar ia n t


55/101

Exercitiul )&-& h @ Enunt

/e cere a treia %roiecfie Gi a;onometria i+ometrica intr!o sin'ur/ ,ariants aurm/toarelor ,olume %re+entate in )u-ia %roiectie orto'onala.

$6 CU3UL MAIC


56/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5 AONO METRIE

Exerci6iul )&-& h @ ezol%are/e %re+inta mai =os a treia %roiecfie i ima'inea a;onometric/ i+ometrica a unei ,ariante )ere+ol,are a ,olumelor )in e;ercifiul %re+entat %e %a'ina anterioar/.

%%CU3UL MANI


57/101

Exercitiul )&-& i 0 Enunt &/e cere a treia %roiecfie $5" a;onometria i+ometrica7 Tntr!o sin'ur/ ,ariants a Zurm/toarelor ,olume %re+entate in )u-la" %roiecfie orto'onal/. / 0

$: CU3UL MAIC

1


58/101

REPRE1ENTARI IN EPURA /I AON OMET RIE

E;ercifiul 5.$. i ! Re+ol,are/e %re+inta mai =os a treia %roiecfie $5 ima'inea a;onometrica i+ometrica a unei ,ariante )ere+ol,are a ,olumelor )in e;ercifiul %re+entat %e %a'ina anterioara.

$4CU3UL MANIC


59/101

Exercitiul )&-& ? @ Enunt

/e cere a treia %roiec=ie i a;onometria i+ometrica intr!o sin'ura ,arianta aurmatoarelor ,olume %re+entate in )u-ia %roiectie orto'onala.

$? C U3 UL M A

567'"'... r


60/101

Exercitiul )&-& F @ Enunt

/e cere a treia %roiec=ie i a;onometria i+ometric/ tntr!o sin'ura ,ariants aurmXtoarelor ,olume %re+entate in )u-I/ %roiec>ie orto'onala.

:# C U3 UL M AI

8 r\


61/101

REPRE1ENTARI IN EPURA /I AON OMET RIE

Exerci6iul )&-& F @ ezol%are/e %re+inta mai =os a treia %roiecfie i ima'inea a;onometrica i+ometrica a unei ,ariante )ere+ol,are a ,olumelor )in e;ercifiul %re+entat %e %a'ina aiiterioar/.

:5CU3UL MAIC

sin'ura ,arianta a


62/101

Exercitiul )&-&) @ Enun6

/e cere a treia %roiectie =i a;onometria i+ornetric/ intr!o sin'ur/ ,ariants aurmatoarelor ,olume %re+entate in )u-la %roiectie orto'onala.

: CU3UL MANIC


63/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5 AON OME TRIE

Exerci6iul )&-&) @ ezol%are/e %re+inta mai =os a treia %roiectie =i ima'inea a;onometrica i+ometrica a unei ,ariante )ere+ol,are a ,olumelor )in e;ercifiul %re+entat %e %a'ina anterioara.

CU3UL MAIC:9

D ' ur / , ar ia n


64/101

C U 3 U L M A I CExercitiul )&-& m 0 Enun6

/e cere a treia %roiecfie i a;onometria i+ometric/ intr!o sin'ur/ ,ariants

urmatoarelor ,olume %re+entate in )u-la %roiec>ie orto'onal/.

.0


65/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5 AONOM ETRIE

Exerci6iul )&-& m 4 ezol%aree%re+inti mai =os a treia %roiecfie i ima'inea a;onometrica i+ometrica a unei ,ariante )ere+ol,are a ,olumelor )in e;ercifiul %re+entat %e %a'ina anterioara.

:$CU3UL MAIC

,ariants a


66/101

Exercitiull&-& n @ Enun6

/e cere a. treia %roiec=ie i a;onometria i+ometric/ Tntr!o sin'ura ,arianta aurmatoarelor ,olume %re+entate in )u-l/ %roiectie orto'onala.

:: C U 3 U L M A


67/101

R E PR E 1 E N T A R I IN E PU R A /I A O N O ME T R I E

Exerci6iul )&-& n @ ezol%are/e %re+inta mai =os a treia %roiec=ie i itna'inea a;onometric/ i+ometrica a unei ,ariante )ere+ol,are a ,olumelor )in e;ercifiul %re+entat %e %a'ina anterioara.

CU3UL MANIC :4


68/101

Exercitiul )&.&

%nunf, obiective/e %re+inta tri%la %roiec>ie orto'onaia a

unor cor%uri 'eometrice sim%le* inscrise incu-uri )e aceiai marime.

/e cere ima'inarea unui ,olum care sacores%un)a %roiec=iilor )ate i %re+entarea luiin a;onometrie i+ometrica.

/e urmareste relationarea %roiec=iilor )ine%ura cu o ima'ine a;onometrica i formarea si)e+,oltarea ca%acita>ii )e selec%e )in cele )ouamari cate'orii )e forme @%olie)rate si )e rotatiea re+ol,arilor %osi-ile.

+unoftinte necesareRe%re+entarea in e%ura si a;onometrie

i+ometrica a ,olumelor sim%le* %recum si

a%rofun)area caracteristicilor lor 'eometrice siconstructi,e.etodd de rezolvareDatorita numarului mai mare )e %roiectii*

ale'erea ,ariantei corecte este mai usor )ereali+at )ecat in ca+ul )u-lei %roiectiiorto'onale.

Urmarin) relationarea ,e)erilor* morfolo'ia'enerals a fiecarei %roiectii ! conturul 'eneralcat si liniile interioare* re%re+entan) atat muchii,i+i-ile* cat si in,i+i-ile ! se cauta formareaunor re%ere in selectarea ,ariantei corecte* care'enerea+a* in ultima* instan=a formarea ,e)eriiin s%atiu.

Astfel* se cauta intai Tnca)rarea ,olumului%re+entat intr!una )in familiile )e forme%re+entate anterior* )u%a care* %e -a+aelementelor constituti,e se construie=te in)etaliu intre'ul ,olum. O atenfie )eose-itatre-uie )ata ,olumelor )e rotatie* atat con,e;ecat si conca,e* un)e nu sunt %re+entate alteelemente constituti,e necesare %entruin=ele'erea cur-urii.

In fi'urile 5.6:* 64* 6?* 68 sunt %re+entate,ariante %osi-ile in a;onometrie la %atru e%ureale unor ,olume inscrise intr!un cu- ca)ru.

In 'eneral* ,arianta %re+entata in re+ol,areeste o solufie sim%ia* ele,ul a,an) %osi-ilitatea

)e a intre'i suita )e ,ariante %osi-ile.+riterii de evaluareCorectitu)inea ,ariantei %ro%use %recum si

acuratefea constructiei a;onometrice.

CU3UL MAIC(

Fig.1./9.


69/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5 AON OMETRIE

Exerciiul )&.& a @ Enunt si rezol%are

/e cere o ,ariants s%afiala )esenata in a;onometrie i+ometrica a unor ,olume inscrise intr!un cu-ca)ru* care s9 cores%un)a celor o%t e%ure com%use )in tri%la %roiectie Orto'onala.

CU3UL MAIC :8


70/101

Exerci?iul )&.& ' @ Enun6/e cere o ,ariants s%a>ial9 in a;onometrie i+ometrica a unor ,olume fnscrise Tntr!un cu- ca)ru*care s/ cores%un)a celor 5 e%ure formate )intr!o tri%ia %roiec@ie orto'onala.

C U3 UL M A&0

)

))

)


71/101

REPRE1ENTAR I IN EPURA 5 AON OME TRIE

0xerifi,l 1.6. % * ezol$are

/e %re+inta mai =os o ,arianta s%afiala in a;onometrie i+ometrica a unor ,olume fnscrise Tntr!uncu- ca)ru* care s9 cores%un)a la cele 5 e%ure %re+entate %e %a'ina anterioara.

CU3UL MAIC&1

fnscrise fntr!un cu- ca)

to'onaia.

)'


72/101

Exercitiul )&;&

%nunf, obiective/e )a ,e)erea )e sus a unei com%o+ifii

formate )in trei ,olume cu o 'eometric sim%ia*inscrise intr!un cu- ca)ru si %re+entate m)u-la %roiecfie orto'onaia in %artea )e sus a

%a'inii./e cere com%letarea celorlalte )oua

%roiecfii ale e%urei com%o+itiei formata )incele trei ,olume.

/e )oreste formarea )e%rin)erilor )erela=ionare in ca)rul unei e%ure a uneicom%o+ifii ,olumetrice

*unoftinfe necesareRe%re+entarea tn e%ura si a;onometrie*

)is%unerea %roiecfiilor.

.etod1 de rezolvare/e sta-ileste %o+ifia fiec/rui ,olum in ca)rulcom%o+ifiei* Tn relate cu celelalte )oua* )u%9cere se trece la 'asirea celorlalte )oua

%roiecfii. /e ,a a,ea in ,e)ere c9 toate,olumele sunt inscri%ti-ile intr!un cu-* )eci si

%roiecfiile lor ,or fi Tnca)rate intr!un %atrat.Pentru a ,eni in s%ri=inul celor care cauta

re+ol,area* se o-ser,a ca fiecare com%o+ifieeste alcatuita )in )oua forme %olie)rate si una)e rotafie.

m%ortanta in acest ca+ este i re%re+entareatuturor muchiilor in,i+i-ile* in ca)rul fiecarei

%roiecfii* %entru a lamuri relafionarea s%afiala a

,olumelor.Po+ifionarea s%afiala a fiecarui ,olum in

ca)rul com%o+ifiei %oate fi )iferita )e aceea)in ca)rul %re+entarii inifiale a celor trei,olume.

In fi'urile )in aceasta %a'ina se %re+inta*or)onate %e ,erticala* %roiecfia ori+ontaia acom%o+i%ei cu toate ,olumele ce o com%un*iar =os* re+ol,area com%leta a e%urei.

La e;ercifiile 5.4.a i 5.4.c* %e aceeaGi%a'ina se %re+inta %e ori+ontaia atX enun=ul*c$t si re+ol,area lui* iar la e;ercitiul 5 .- elese 'asesc in %a'ini se%arate.

*riterii de evaluateCores%on)enfa )intre cor%uri In ca)rul

fiecarei %roiecfii si a %roiecfiilor in ca)rule%urei com%o+ifiei* e,i)enfierea tuturormuchiilor in,i+i-ile si* nu in ultimul ran)*ra%i)itatea cu care a fost re+ol,at e;ercifiul.

4 C U3 UL M AIC

3ig& )&-)&


73/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5 AON OMETR IE

Exe rci6 iul ) &;& a @ En unA Gi rezol%are

/e cere )esena rea celorlal te )oua %roiecfi i ale e%urei a )ou/ com %o+ifi i formate )in t rei ,olume simfnscrise fntr!un cu- ca)ru s i %re+en tate fn )u-ia %roiect ie orto'onaia* % lecfin) )e la %roiecfia ori+ont

&


74/101

Exerci6iul )&;& ' @ EnunH/e cere )esen area celorlalte )ou/ %roiecfii ale e%urei la %atru com %o+ifii form ate )in trei ,olume sinfnscrise fntr!un cu- ca)ru i %re+entate fn )u-ia %roiecfie orto'onal/* %lecan) )e la %roiecfia ori+onlalil

&/ C U 3 U L MA I C

o)

9:)


75/101

REPRE1ENTARI IN EPURA 5 AONOM ETRIE

Exerci6hil )&;& ' @ ezol%are/e %re+in ta ma i =os e%ura com%le te a %a t ru com%o+ t @ ii fo rmate ) in t r ei ,o lume s im%le fnsc ri se in tca)ru si % re+entate f iecare fn )u- la %roiec@ ie or to'onaia * %lecan) ) e la %roiecf i i le lor o r i+ontale)esenate %e

%a' in a a nt er io ara.

&%CU3UL MAIC

Bormate )in tre i ,olume sim%leto) )e la %roiecf ia or i+ontal/ a

9 9

:

)


76/101

Excrcitiul )&;& c @ Enun6 >i rczol%are

/e cere )esenarea celor la lte )oua %roiec=i i a le e%urei a )oua com %o+it i i formate )in tre i ,olum e sim%le 5tnscr ise intr !un cu- ca)ru i %re+entate in )u-la %roiectie or to'onala * %lecan) )e la %roiectia or i+ontal/a =

C U 3 U L MA I&(


77/101

JUALI5AIA7"$"METICE

Am ,/+ut c9 %entru a o-tine e%ura unui,olum este necesar un sistem )e %lane )e

%roiecfie %er%en)iculare Tntre ele* )ou9 cate)ou/* i care se intersectea+a )u%a a;ele )e

%roiecfieox+ o& i o+.Dac/ aceste %lane se continue s.i )incolo

)e aceste a;e* se %oate o-ser,a in fi'. ".5. c?s%afiul este )i,i+at in o%t +one numitetrie)re* numerotate cu cifre romane ihtr!oor)ine stan)ar)i+ata.

/9 %resu%unem* acum* c9se %re+inta ina;onometrie i+ometrica un ,olum a=e+at in

%rimul trie)ru.Parcur'an) succesi, fiecare )in aceste+one* sa Incerc/ms& schifam in a;ono!raetrie i+ometrica ,olumul )at* care r/manefi;* %ri,it insa )in fiecare +onl

Po+ifia noastr/ in s%afiu %oate fi in)icatafie %rin numarul trie)rului* fie %rin %o+ifiaa;elor )e coor)onate ale %rimului trie)ru*care fn 'eometria )escri%ti,e au ,alori

%o+iti,e* fie %ri, in) )e!a lun'uE unei)ia'onale a cu-ului ca)ru.

/e %re+inta astfel* la cu-ul ca)ru )in ima'ine)ia'onala iuterioara AB&

Pri,in) )e!a lun'ul )ia'onalei AB+ astfel caaceasta s9 se ,a)/ ca un %unct* inseamna ca%ri,im ,olumul )in trie)rul II. In schim-* )aca%ri,im ,olumul )e!a lun'ul )ia'onalei BA+ nesituarn In trie)rul III.

E;ercitiile )e ,i+uali+are )in acest ca%ifoo%erea+a cu ,olume asimetrice* care %re+inta o+on/ Ii%s$ Gi un orificiu interior* suficienteelemente formale %entru a 'asi re%ere s%afiale inre%re+enfarea corecta a acestuia.

La irna'inile %re+entate in fi'..5. au fost)esenate %atru ,i+uali+flri a;onornetrice aleaceiuia=i ,olum in or)ine* )in trie)rele II* III* I*i II* )an)u!se i %o+ifiile caracteristice alea;elor %rimului trie)ru* iar in fi'. .* Gi 9.*,i+uali+arile aceluia


78/101


79/101


80/101

0xer'ifi,ll.l.

*nunf, obiective/e )a a;onometria i+ometrica a unui

,olum %re+entat in %rimul trie)ru s= inscrisintr!un cu- ca)ru* im%reun/ cure%re+entarea a;elor )e %roiec=ie.

/e cer re%re+entate inc9 trei ima'inia;onometrice ale aceluias= ,olum* %ri,it )inalte trei trie)re* in)icate %rin %o+ifiiles%afiale ale a;elor %rimului trie)ru.

/e urmareste formarea )e%rin)erilor )ere%re+entare s%afia/ a aceluias= ,olum

%ri,it )in +one )iferite s.i* im%licit* aformarii ,e)erii i orientarii s%afiale.

+unoftinfe necesareRe%re+entarea in a;onometrie a

,olumclor )e rotatie* constructii 'raficereferitoare la cere.etodti de realizareIn %rimul ran)* tre-uie format un sistem

)e orientare s%afiala %entru a ne )a seama)e trie)rul )in care este ,i+uali+at ,olumul.Aceasta %o+i>ionare s%atiala in lucrarea )efa>/ este relarionata cu a;ele )e %roiecfie ale

%rimuiui trie)ru* care in 'eometria )escri%!tlv& au ,alori %o+iti,e i* )e fa%t* re%re+inta

%o+ifia s%atiala a trei se'mente e'ale* )intrecare unul este intot)eauna ,ertical @o+.

/e trece a%oi la conturarea a;onometrieifiec9rei %o+ifii in %arte* in e;em%lele

%re+entate fiin) )esenate ,i+uali+arile )intrie)rele I* I* I si II.

Pe aceasta %a'in/. in fi'ura .6. au fost%re+entate ima'inile a;onometrice aleaceluias= ,olum ,i+uali+at )in trie)rele I* s=I* %re+ente si in ca)rul e;erci>iilor.

olumele %re+entate* %entru ca e;ercifiuls/!=i afin'a sco%ul* %re+inta %orfiunicirculare* 'oluri in %artea centraia* nu suntsimetrice $5" au o %arte Ii%s$.

Ele,ii %ot cauta ,i+uali+ari Gi )in altetrie)re )ecat cele %re+entate in ca)rule;ercifiilor.

+rtterii de apreciere

Corecta re%re+entare a;onometricft a,olumelor in fiecare %o+i=ie* e,i)entierea

%artilor ,i+i-ile i a muchiilor in,i+i-ile*acuratefea $ %reci+ia 'rafic/.

CU3UL MANIC0

Fig. "./.


81/101

1

Exerci6iul ,&)& a @ Enun6 >i rezol%are

/e cere s se %re+inte %atru %o+ifii a;onometrice ale unui ,olum ihscris fntr!un cu- ca)ru

conform %o+ifiei a;elor ima'ine ale %rimului trie)ru* %re+entate al/turat.

H I 1 U A L I 1 A R I


82/101

Exerci6iul ,&)& ' @ Enun6 -9 rezol%are/e cere sa se %re+inte %atru %o+ifii a;onometrice ale unui ,olum inscris intr!un cu-conform %o+ifiei a;elor ima'ine ale %rimului trie)ru* %re+entate alaturat.

? C U 3 U L M A :


83/101

S E;ercifiul .5. c ! Enunf si re+ol,are

i e cere sa se %re+inte %atru %o+ifii a;onometrice ale unui ,olum fnscris fntr!un cu- ca)ru* conform %o+ifiei a;elor ima'ine ale %rimului trie)ru* %re+entate alaturat.I!7

I H E U A L I 1

nserts intr!un cu- ca)ru.


84/101

Exerci6iul ,&)& d @ Enun6 i rezol%are

/e cere s$ se %re+inte %atru %o+ifii a;onometnce ale unui ,olum inscris intr!un cu- ca)nconform %o+ifiei a;elor ima'ine ale %rimului trie)ru* %re+entate alaiurat.

C U3 UL M AIC I/


85/101

Du%a ce am ,a+ut cum se re%re+inta un ,olumsi cum se ,e)e el )in )iferite +one )in s%a fiu* saincercam acum sa!l %o+itionam )iferit in s%afiu*

%9 st ra n) acee aG i re la =ie )einscriere intr!un cu-ca)ru.

P rim u l a s% ec t c e tr e- uie c la rific at T lr e% re+ in ta ca te' or ii le ) e , o lu m e ca re % o t f iin s cr is e i n cu - s i a% oi ca re s un t % o +i fi il e

%a rtic ulare ale acestu ia.Datori ta )imensiuni lor lucr/ri i )e fa@9* ,om

Inscrie in cu- numai %ol ie)re* a)ica cor%uri cufe@e %lane* s i anume* %ol ie)rele re'ulate si celesemire'ulate* %e care le ,om cunoaste cuaceastaoca+ie.

n acest sens * %e r fn) * ,om %re+enta acesteclase )e %olie)re * cate,a) in %ro%rietXfile lor'eometr ice s i a%oi cons trucfia lor in e%ura s ia;onom etrie* intr!o stransa relatie cu c u-ulca)ru.

Ul tima clasa es te a %olie)relor nere'ulate *in fi nite c a n um / r*) i n ca re am a les ca te, ae;em%le.

Al )oilea as%ect care tre-uie lamurit Tlre%re+inta fi;area %o+ifiilor caracteristice*

%articulare* re%re+entati,e %entru fiecare%olie)ru $5 )in care acesta %oate fi usorrecunoscut.

Am ales )in aceste %o+ifii %articulare %ecele le'ate )e elementele 'eometriceconstituti,e a)icft o faf/* o muchie si un ,arf inanumite ,ariante s%a%7ale.

Toate aceste ,ariante sunt le'ate )irect )e%o+itia cu-ului ca)ru.In acest sens* la %o+ifia %e o muchie* am

utili+at in s%ecial ca+ul can) )ouW )ia'onale )efe


86/101

1&)& !"LIEDE EGULATE a&

Generalitati

Un %olie)ru este un cor% 'eometricmar'init )e fete %lane.

Polie)rele re'ulate au urm/toarele%ro%rietati

toate fetele lor sunt %oli'oane re'ulatee'ale

,arfurile lor sunt un'hiuri soli)e re'ulatee'ale

sunt inscri%ti-ile in sfer/ in ele se %oate inscrie o sferii.O-%nerea lor niatematic/ se )atorea+/ lui

Thetet @%e la 9:8 5C )in coala lui Platon*care* la ran)u!i* le consi)era ca esenfiale in

or'ani+area naturii* %ans la atomi* moti, %entrucare au fost nurnite cor%urile lui Platon.Cele cinci %olie)re re'ulate sunt4Tetraedrul regulat @T* care are 6 fete

triun'hiuri echilaterale. @fi'. 9..a.4Cu'ul @C* are : fefe %atrate @fi'. 9..-4 "ctaedruK regulat @#* care are ? fete

triun'hiuri echilaterale @fi'.9..c Dodccaedrul regulat @D. care are 5 fete

%enta'oanc re'ulate @fi'. 9..)4 IcosaedruK regulat @I* care are # )e fete

triun'hiuri echilaierale @fi'. 9..e.Aceste %olie)re re'ulate sunt 'u,ernate )e

formula lui Euler In care

!

numarul e ,arfuriM Q numarul )e muchiiB Y numaml )e fefei care arata astfel

! M [ B Q Aceast/ relatie se %oate ,erifica )in ta-elulTetrae)rul re'uiat @TCu-ul @COctae)rul re'ulat @ODo)ecae)rul re'ulat@DIcosae)rul re'ulal @I

Biecare )intre aceste%olie)re re'ulate* ,a fire%re+entat m continuare m

a;onornetrie intr o relafie )e Tnscriere intr!uncu- ca)ru* in e%ur/. in %o+ifii %articulare %e ofafa* %e o muchie sau %e un ,arf* %recum s.i)esf/=urata fefelor sale.

C U 3 U L M A (

Fig. 3./.

Fig. 3.".

V

/

(

#5

B6:

M(

559#9#

5#


87/101

'& eprezentarea tetraedruiui regulat

Tetrae)ml re'ulat are 6 fe>e triun'hiuri

echilaterale* cate 9 la ,arf* 6 ,arfuri si :muchii.Prin numarul s/u mic )e fete* %rin ,arfurile

sale %enetrante* el e,oca in antichitateusc/ciunea* forma )istructi, a focului.

In fi' 9.9. este re%re+entat/ a;onometria)imetric/ a acestuia s= se constati mo)alitateain care el se %oate inscrie in cu-* fiin) ase+al

%e una )in muchiile sale. In aceasta %o+ifie*%roiecfiile sale nu mai sunt triun'hiuri* ci%atrate @fi'.9.$. c* in care )ia'onalele suntmuchiile teliae)rului.

In fi' 9.6. se %re+inta )esfasurarea fetelorsale* ca o reiatie intre %atru triun'hiuri

echilaterale e'ale.Cele trei %o+ifii )e -a+a )m e%ura se

construiesc astfel %e o fa> se construieste triun'hiul

echilateral a-c* iar ,7 se o-fine consi)eran)muchia C ca o frontala @fi'. 9*$.a

%e un ,arf este in,ersul situatieianterioare @fi'.9.$.b.)2

%e o rnuchie se %omeste )e la inscriereatetrae)ruiui re'ulat fntr!an cu-* can)

%roiecfiile sale surit %atrate@ti'.9.9.i.

tt a

PO1If lONAR I /PATI &CU3UL MAIC

3 . 3 .

3./.

(c)


88/101

c& eprezentarea cu'ului

He;ae)rul re'ulat* numit cu-* notat @C are :

fefe %atrate* cate 9 la fiecare ,/rf* ? ,arfuri f i 5muchii

Prin sta-ilitate* soli)itate* rectitu)ine $ %oatei %rin fa%tul cum ii arunc/ um-ra* cu-ul

=i!a clti'at )re%tul* In antichitate* )e are%re+enta %amantul.

In fi'. 9.:. este re%re+entat a;onometric*e,i)entin)u!se sec%7unea %er%en)iculars %e o)ia'onal< interioara %rin centrul cu-ului* care*asa cum se %oate o-ser,a este un he;a'onre'ulat.

Desfasurarea fefelor sale* Intr!una )in,anantele cele mai cunoscute* este %re+entata

in fi'ura urmatoare @fi'. 9.4..In fi'. 9.?. a* -* c sunt %re+entate In )u-ia%roiecfie orto'onaia %o+ifiile %articulare astfel

%e o fa@a* can) %roiec=ia ori+ontala esteun %atrat @a

%e o muchie situata In %lanul ori+ontal*a,an) )oua )ia'onale )e fefe in %oifieori+ontala @-

%e un ,arf situat in %lanul ori+ontal cu o)ia'onala interioara ,erticaia @c* can)construc>ia lui %orne=te )e la construcfiatiun'hului echilateral al )ia'onalelor )e fefe in

%roiecfia ori+ontala* un)e acestea se%roiectea+a In a)e,arata marime.

C U 3 U L M A

Bi'.3..

3 I ??

4i g. 3 .5

F i g * * '2ig#1&2


89/101

d& eprezentarea octaedrului regulatOctae)rul re'ulat* notat @O* are ? fete

triun'hiuri echilaterale* cate 6 la ,arf* : ,/rfurisi 5 muchii.

Este interesant )e remarcat le'/tura )intre%/m/nt @cu- si aer @octae)ru sta-ilit/ %rin)ualitatea celor )ou/ ,olume* lucru constatat)e=a )e 'reci. Aceasta fnseamn/ c&, )aca unimcentrele fefelor unui cu-* o-tinem un octae)rure'ulat si in,ers @fi'. 9.8..

Octae)rul a%are ca format )in )ou/%irami)e cu -a+a un %/trat* li%ite la -a+a*constatare ce a=ut/ la o-finerea )esf/suratei@fi'.9.5#. Gi e%urei acestuia.

Astfel* in fi' 9.55. se %re+int/ %o+ifiile%articulare cn) el este ase+at %e

un ,arf* c/n) )ia'oanla interioara este,erticaia* si e'aia cu )ia'onala %atratului )in

%roiectie ori+ontal/ @a o muchie* cUn) o )ia'onals interioara

este ori+ontala Gi %/tratul me)ian se afl/ fntr!o%o+ifie ,erticals @-

o fafa* cn) conturul %roiecfiei ori+ontaleeste un he;a'on re'ulat @c.

/e %oate usor o-ser,a ca* fn %atru %o+itii)in cele %re+entate fn e%urele alaturate* seo-fine aceea=i %oiecfie* ceea ce a=uta lare%re+entarea acestuia.

?8PO1ITIONARI/PAIALECU3UL MAIC

3ig&$#3#

3ig& 1&)*+


90/101

d& eprezentarea dodecaedrului regulat&

Do)ecae)rul re'ulat* notat cu @D* are 5fete %enta'oane re'ulate* cate 9 la fiecare ,arf*9# )e muchii i # )e ,arfuri.

Cunoscut cu mult fnainte* )e %e ,remeacelfilor si a etruscilor* sim-oli+an) inantichitate uni,ersul* a fost construit %rima)ata )e catre %ita'orieni.

In fi'.9.I si 9.59 se %re+inta ima'inea saa;onometrica %rin relafia )e inscriere intr!uncu- i a%oi )esfa=urarea fefelor sale.

/e %re+inta a%oi in fi'. 9.56. e%ura%o+itiilor sale %articulare* aGe+at %e

o fata @a* can) -a+a sa su%erioaraABCDE a%are in a)e,irata marime. De aici se

o-tin relati, uGor* in %roiectie ,erticaia%unctele E= Gi Ci* Gtiin) c& )ia'onale %araleleale %enta'oanelor sunt e'ale i a%oi %unctul DI+folosin) %aralelismul )intre o )ia'onaia a unui

%enta'on re'ulat Gi latura ei o%usa o muchie @-* can) e%ura cores%un)e

%o+itiei a;onometrice %re+entat/ anterior %e ,arf @c* can) se rotete conturul

,ertical o-=inut anterior %ana can) )ia'onaiasa interioara este ,erticaia.

/e %oate o-ser,a i in acest ca+ c%atru)in cele ase %o+itii %re+entate in e%ura sunti)entice* ceea ce sim%lifica mult re%re+entarea

acestuia.

C U 3 U L M A 8#

Fig. '.12.

Fig. .1.

Fig. 3.16.

2Fig. '.1/. Flfl. 3.17.


91/101

e& eprezentarea icosaedrului regulatIcosae)rul re'ulat* notat @I* are # )e fetetriun'hiuri echilaterale* cate $ la ,arf* 9# )emuchii =i 5 ,arfuri i re%re+enta in antichitatea%a.

In fi'. 9.5$ se %re+inta ima'inea saa;onometrica in %o+ifia %e muchie si* Tnacela=i tim%* inscri%ti-ilitatea sa Tntr!un cu-ca)ru. Relafia 'rafica cu muchia cu-ului a fost

%re+entata tntr!o fi'ura %rece)enta @fi'.9../e %re+inta* a%oi* in fi'. 9.5:. o ,arianta )e

)esfs.urare a celor # )efe0e triun'hiulare.In fi' 9.54. se %re+inta %o+itiile %articulare

)in e%ura ae+at %e o fata @a* can) conturul %roiectiei

ori+ontale este un he;a'on re'ulat o muchie @-* cUn) %roiecfiile coinci) cu

irna'inea a;onometrica %re+entata anterior un ,arf @c* can) in %roiectie ori+ontala

a%ar )oua secfiuni %enta'onale rotite* la care)oua laturi sunt %er%en)iculare %e a;a o;. In

%roiecfia ,erticaia se )etermina ,arful )atorita situ9rii fefei A3 mtr!un %lan )eca%at Gi %alierele HIsi #,&

/e %oate o-ser,a =i aici ca* )in cele ]^ase%roiecfii ale %o+ifiilor %articulare* %atru sunti)entice )ar rotite* astfel incat sa cores%un)a

%o+itiei cerute.

CU3UL MAICP01ITIONARI /PATIALE 85

3.15.

3.16

3.17

,7


92/101

9. !"LIEDELE :EMIEGULATE

/unt %olie)re con,e;e ale caror fete sunt%oli'oane re'ulate )e mai multe feluri* cele )eacelasi fel sunt e'ale* muchiile i un'hiurilesoli)e sunt e'ale* sunt inscri%ti-ile )ar nu se

%ot circumscrie unei sfere.Au fost )esco%erite )e catre Arhime)e

@?4!5 iHr care a aratat ca numarul lor este)e 59 si se %ot ot&ine )in %olie)rele re'ulate.

In fi'. 9.58. sunt %re+entate toate %olie)relesemire'ulate s*i %olie)rul re'ulat )in care seo->in* iar in fi' 9.5?. %atru )intre aceste %oli!e)re sunt rela


93/101

7 IONARI /PAIA 89

3 i g &9 . 5 .


94/101

86 C U 3 U L M A

Pentru o mai -una In=ele'ere* fe>ele%olie)relor semire'ulate relafionate cu un cu-ca)ru* %e care le ,om re%re+enta in e%ur/ i

a;onometrie* le ,om nota cu Ba* B6* 4t sau B/*)u%a cum ele sunt triun'hiuri echilaterale*%atrate* he;a'oane sau octo'oane re'ulate.

Astfel* In fi'urile 9.#* 5* )in aceasta%a'ina este %re+entat in a;onometrie )imetric/si e%ura im%reun/ cu )esfasurarea fe=elore;terioare* un tetrae)ru trunchiat.

Acesta se o-fine %rin trunchiere )intetrae)ru 5 re'ulat* %re+entat in a;onometriease+at %e o muchie* e'ala cu )ia'onala fefeicu-ului ca)ru.

Prin taierea ,/rfurilor acestui tetrae)ru* la otreime %e fiecare muchie* se )u-lea+/ num$rul)e muchii %e fiecare fa* astfel ca triun'hiul

echilateral )e,ine he;a'on. /e o-=in* astfel*%atru fe>e he;a'onale la care se a)au'/ %atrufefe triun'hiulare in cele %atru ,arfuri @6Ba [6B=.

In e%ura se %re+inta %o+iJiile %articulare aleacestui tetrae)ru trunchiat @fafa* muchie* ,arf%ornin) )e la %o+itiile tetrae)rului re'ulat )incare a re+ultat* in relate )irects cu un cu-ca)ru in care acesta a fost inserts.

Fig. 3."/.

2

Fig. 3."5.Fig. 3."".


95/101

P #"ITIO N A RI/ P A TIA LE

(- 1&1

!"LIEDE $EEGULATE

Alaturi )e %o lie)rele re'ulate si sem i!re'ulate%re +e ntam in co ntin uar e* in re lafie cu un cu -

c a) ru * i u n e ;e m %lu ) in f am ilia%olie )re lo rnere'ulate.

Aceste %olie)re au una ) in fefe * m uchii sau,arfu ri con finu te )e una ) in fefel e unui cu-su%ort* ceea ce face ca re%re+entarea lor* atatine%ur/*c& t s. i In a;onometrie* sa fie le'ata )ere%re+entarea cu-ului.

Astfel* la %olie)rul nere'ulat %re+ematfn f i' .9 ."9 * ca re a re com un cu cu-u lca)ru eel %ufin unul )in elementele saleconstituti,e* se %re+inta atat a;onometria)imetrica* cat = i %o+ifi i le %art iculare Tne%ur/* a=utat )efnscrierea sa fn cu-*

P en tr u ) es f/ =u ra re a f etc fo r s ale

e;terioarese %orne=te )e la )esfi/=urareacu-ului * in ca+ulin care fefe le sa le se'/sesc fnscrise in ale cu-ului ca)ru* iar

%en tru af la rea m ar im iior lacelelalteelemente aflate fn interiorul ui* acestea serelafionea+ cu muchiile cu-ului.

In ca+ul fn care %olie)rul nere'ula ta re n um ai , a_ fu rile s ale % e fe fe lecu-ului ca)ru* %entru aflareaa)e,/ratelor m)rimi ale rnuchiilof se ,oruti l i+ameto)ele 'eometriei )escri%ti,e*care ,or fi % re+ente fn ca%itolulurmator.

fig# 1&,0&

N 1&,-&


96/101

Exercitiul 1&)&%nunf, obiective/e cere sa se re%re+inte Tn e%ura si

a;onomerie i+ometrica un %olie)ru re'ulat@tetrae)ru* ocatae)ru* )o)ecae)ru si icosae)ruase+at %e o fafa* muchie sau un ,arf* a,/n) o)ia'onaia interioara ,erticaia. /e ,or com%letare%re+entarile cu )esfasurarea acestuia.

/e urmareste formarea )e%rin)erilor )ere%re+entare in e%ura si a;onometrie a

%olie)relor re'ualte in relate cu un cu- ca)ruin care sunt Inscrise.

*uno-tin(e necesareRe%re+entarea %olie)relor re'ulate in e%ura

si a;onometrie* construcfii 'rafice referitoarela %oli'oane re'ulate.

.etodfi de realizarePo+i=ionarea s%a=iala a acestor %olie)rere'ulate este strans le'ata )e %o+i=ionareas%afiaia a cu-ului ca)ru in care ele au fostinscrise.

In acest sens se ,or cunoaste mo)alita


97/101

Exerci6iul 1&)& a @ Enun6 si rezol%are

/e cere s se re%re+inte in a;onometrie i+ometric/ i e%ur octae)rul re'ulat ma;im inscris fntr!un cu- ca)ru* in urmatoarele %o+i=ii %articulare %e fa>$* muchie i ,arf* tm%reun/ cu

)esfisurarea fetelor e;terioare.

PO1I IONAR I /PATIALE 84CU3ULMAGI


98/101

Exerciiul 1&)& ' @ Enun >i rezol%are

/e cere sa se re%re+inte in a;onometrie i+ometrica i e%ura )o)ecae)rul re'ulat ma;im inserts Iintr!un cu- ca)ru* in urmatoarele %o+i=ii %articulare %e fafa* muchie i ,arf* im%reuna cuJ

)esfasurarea feZelor e;terioare.

CU3ULMAIC8?


99/101

P O 1 T T I O N A R I / P A T I A L E

E;erci=iul 9.5. c ! Enunf Gi re+ol,are/e cere s/ se re%re+inte fn a;onometrie i+ometric/ $5 e%uri/ icosae)rul re'ulat ma;im inscrisihtr!un cu- ca)ru* in urm/toarele %o+ifii %articulare %e fa>9* muchie i ,/rf* fm%reuna cu)esfasurarea fetelor e;terioare.

CU3UL MAIC

nil re'ulat ma;im fnscrise =i ,a"rf* fm%reuna cu

88


100/101

Exercitiul 1&,&%nunt, obiectivee cere s9 se re%re+inte in e%ura si

a;onometrie i+ometrica un %olie)ru semi!re'ulat inscris fntr!un cu- @tetrae)rul trunchiat*cu-octae)ru* octae)rul trunchiat sirom-ocu-octae)rul ase+ate %e o faf/* %e omuchie sau %e un ,a_f* a,an) o )ia'onalsinterioara ,erticaia.

/e ,a re%re+enta* )e asemenea* si )esfau!rarea fetelor e;terioare ale acestor %olie)re.

/e urmareste cunoasterea caracteristicior'eometrice $5 formarea a%titu)inilor )ere%re+entarere in e%ura si a;onometrie a unora)in %olie)rele semire'ulate* relationate cu uncu- ca)ru fn care ele sunt fnscrise.

+unffftinte necesareRe%re+entarea %olie)relor re'ulate sisemire'ulate in e%ura si a;onometrie*constructii 'rafice referitoare la %oli'oanelere'ulate.

etoda de realizareLa %o+itionarea s%afiala a acestor %olie)re

semire'ulate se ,a tine cont )e %o+itionareas%atiala a cu-ului ca)ru fn care ele au fostfnscrise.

/e ,or urm/ri fns9 %o+itiile %articulare ale%olie)rului semire'ulat si nu ale cu-ului ca)ru*e;istan) ca+uri cn) acestea nu coinci).

Astfei* %o+ifia %e o faf9 a cu-octae)rului

coinci)e cu %o+ifia %e ,arf a cu-ului ca)ru*%entru c/ o fata triun'hi echilateral a %rimuluire%re+inta )e fa%t o sectiune %er%en)iculara %e)ia'onala interioara a cu-ului.

Pentru )esfasurare se ,a urmari ca fefeleacestor %olie)re semire'ulate alcatuite )in)oua ti%uri )e %oli'oane re'ulate* s9 ai-acomuna o latura.

/%re e;em%lificare* fn fi'. 9.4. se %re+intaa;onometria )imetrica* )esfasurarea fefelore;terioare si e%ura cu-ului trunchiat* @taiereacolturilor astfei ca fetele s9!si )u-le+e numarul)e laturi ase+at fn acest ca+ %e o fata.

+riterii de evaluate

E;actitatea re%re+ent/rilor -i)imensionalesi acuratefea 'rafica a )esenului* e,i)enfiin)cu linie 'roasa muchiile %olie)ruluisemire'ulat si cu inie su-fire %e cele alecu-ului ca)ru.

5## CU3 UL M

4 \y ;

g.'.2&.


101/101

Exerci6iul 1&,& a @ Enun6 >i rezol%are/e cere sa se re%re+inte fn a;onometrie i+ometrica si e%ur/ cu-octae)rul inscris fntr!un cu-ca)ru* fn urm/toarele %o+ifii %articulare %e fa>/* muchie i ,/rf* fm%reuna cu )esfiGurarea

fO1T lONAR I /PA4TALE 5#5CU3UL MAIC

Cubul Magic Part 1

Documents

Transcript of Cubul Magic Part 1