OSCILOSCOPUL NUMERIC

Medierea „în ferestre fixe“

Dezavantaj:

trebuie să se aştepte de fiecare dată un număr de M cicluri

de achiziţie până să se obţină o nouă imagine pe ecran

greu de urmărit eventualele schimbări ale semnalului

Medierea „în ferestre glisante“

(engl. Moving Average sau Rolling Average)

se doreşte o imagine la fiecare achiziţie

Dezavantajul: necesitate de memorie suplimentară

La medierea „în ferestre fixe”: 1 celulă de memorie / M eșantioane

notăm xi[k]=xi (nu vom mai specifica elementul temporal)

trebuie stocate toate cele M eşantioane aferente unei celule

temporale: M celule / M eș.

formulă de recurenţă:

1

10

1 1 1M

i i k i i i Mk

m x m x xM M M

−

− − −=

= = + −∑

Medierea continuă

1

1

1 1 , .

1 1 , .

i i i

i i i

im m x pt i Mi i

Mm m x pt i MM M

−

−

−= + <

−= + ≥

demonstrăm că pentru i<M, algoritmul ne dă media aritmetică pe i

eşantioane:

1 1

1 22 1 2

3 1 2 31 23 2 3

,1 12 2 22 1 23 3 2 3 3 3

m xx xm m x

x x x xx xm m x

=+

= + =

+ ++= + = + =

presupunem proprietatea adevărată pentru i-1

1

11

11

i

i jj

m xi

−

−=

=− ∑

1 1

1 1

1 1 1 11

i i

i j i jj j

im x x xi i i i

− −

= =

−⇒ = + =

− ∑ ∑

Răspunsul osc. (în mediere continuă) la aplicarea unui salt de

amplitudine

să presupunem că se aplică un salt de amplitudine U la momentul

i=M:

0 ,,i

i Mx

U i M<

= ≥

nouă origine de timp (numerotare a eşantioanelor) începând cu

momentul i=M

aplicăm transformata Z relaţiei de recurenţă:

11 1

i i iMm m x

M M−

−= +

( ) ( ) ( )11 1MM z z M z X zM M

−−= +

( )( )

( )1

11

1 11

X z zMM z X zM MMz zM M

−= = ⋅

− −− −

deoarece ix este semnal treaptă:

( ) { [ ]} [ ] n

nX z x n x n z

∞−

=−∞

= Ζ = ∑ ( )1

UzX zz

⇒ =−

( ) 11 1

z UzM z MM zzM

= ⋅ ⋅− −−

facem transformata Z inversă:

( )

11

1

1

1 1( )12 2 1

11 111 11 1

ii

i

i

i

U zm z M z dz dzMj j M z z

M

MU MM UM MM M

M M

π π

+−

+

+

= = =− − −

− − = − = − − − − −

∫ ∫

notăm:

( )

111 (e )

11 ln 1 ( 1)

iiM

M

i iM

α

α

+− +− ≅

+ − = − +

21 1 1ln 1

2M M Mα − − = − ≅ −

22

2 1 1 1 122 0,5

2 12 1

MMMM MM

MM

α += = = ≅

−−++

11 exp0,5iim U

M + ⇒ = − − −

acestă mediere se mai numeşte „mediere exponenţială”

o variaţie a eşantionului din celula temporală k apare cu valoarea

sa U pe ecran după un număr de cicluri de achiziţie.

dacă U=Uref al sistemului de conversie şi impunem o eroare de cel

mult 2 nrefU U−∆ = , rezultă:

11 exp 20,5

nref ref

iU UM

− + − − ≤ −

1exp 20,5

niM

−+ − ≤ −

1 ln 20,5

i nM

+≥

− ( 0,5) ln 2 1 0,7( 0,5) 1i M n M n≥ − − = − −

De exemplu, pentru n=8 biți 5,6( 0,5) 1 5i M M≥ − − ≅

Observaţii

Comportarea faţă de zgomot asemănătoare cu medierea în ferestre

fixe, pentru acelaşi M

Avantajul faţă de medierea în fereastră glisantă: nu e necesară

mărirea substanţială a capacităţii memoriei de achiziţie, decât

eventual cu o celulă(pentru contorul i)

Medierea impune însă mărirea numărului de biţi de memorie

aferentă unui eşantion (altfel ar rezulta depăşire la însumare)

medierea nu afectează banda osciloscopului sau timpul de creştere

al răspunsului la impuls, deoarece se prelucrează eşantioane din

cicluri de achiziţie diferite

Modul de mediere Hi-Res (medierea BoxCar)

Exemplu:

• Average: la CX dat, osc. folosește fS < fSmax, de ex. fS = fSmax / 4

• Hi-Res: osc. folosește fS = fSmax și mediază cele 4 eșantioane

Comparație moduri Hi-Res vs. Average:

• Hi-Res: folosim fSmax (la fel ca în Peak Detect)

• Average: folosim fS calculat

sursa: Tektronix

Avantaje/dezavantaje Average vs. Hi-Res

Average: • necesită semnal periodic • durează mai multe cicluri de ac., încetinește viteza de răspuns • nu are efect asupra alierii (nu reduce riscul) • elimină și glitch-urile neperiodice, nu doar zgomotul • disponibil la orice valoare CX

Hi-Res (mediere BoxCar): • merge și pe semnal neperiodic • durează doar TS (= nTS min; 4TS min în ex. anterior) • reduce riscul alierii datorită folosirii fS mai mare • nu elimină glitch-urile • nu e disponibil la CX mici la care oricum se folosește fs max

Ambele sunt forme de mediere care au efect de FTJ → elimină

zgomotul, dar și comp. de înaltă frecvență ale semnalului

Modul de lucru “anvelopă“(detecţie de impulsuri- peak detect)

permite vizualizarea unor impulsuri foarte scurte, de durată mai

mică decât perioada de eşantionare corespunzătoare lui Cx

presupunem x xmC C>

eşantionarea cu frecvenţa maximă, fsmax, indiferent de Cx

numărul de eşantionări în fereastra de vizualizare este mai mare

decât NS

dacă Cx=MCxm Nt=MNS

♦ NS eşantioane memorate în memoria de achiziţie

♦ grupuri de 2M NS/2 grupuri

♦ pentru fiecare grup eş. de valoare maximă şi cel de valoare

minimă din grup NS eş. memorate

♦ posibilitate de extindere pe mai multe cicluri de achiziţie (ca şi

mediere)

♦ număr reglabil de cicluri de achiziţie

♦ număr infinit de achiziţii (căutând în permanenţă eşantionul

maxim şi cel minim pentru fiecare celulă temporală vizualizată)

Aplicaţii

descoperirea unor variaţii rapide (impulsuri scurte existente peste

semnal, eventual cu apariţie puţin frecventă)

Evidenţierea / măsurarea zgomotului:

Detectarea alierii

achiziţie normală mod de lucru anvelopă

♦ imaginea apare ca o bandă luminoasă, aşa cum ar fi ea şi pe un

osciloscop obişnuit

Aplicație: Cu osciloscopul Tektronix TDS1001 cu Nn=2500pct,

fsmax=1GHz, CX= 10μs/div se vizualizează un semnal sinusoidal de

frecvență fx = 24.95 MHz. Să se determine frecvențele de eșantionare

folosite de osciloscop în modurile de lucru Normal și Peak Detect și

imaginile afișate pe ecran în cele două moduri de lucru și frecvențele

lor.

Filtrare numerică

pentru semnale cu o lărgime de bandă mai mică decât fN=fs/2, se

poate utiliza un FTJ numeric

FTJ:

• lasă semnalul util practic nemodificat

• reduce zgomotul total

• măreşte nef

presupunem că zgomotul este alb densitate spectrală de putere

constantă cu frecvenţa

FTJ ideal, cu banda ft

puterea zgomotului este redusă în raportul ft/fN

puterea semnalului rămâne neschimbată, dacă acesta nu

are componentele spectrale de frecvenţă mai mare ca ft

dacă ft/fN=1/4, rezultă o îmbunătăţire de 4 ori a RSZ, deci 1 bit

efectiv câştigat în plus. De ce?

operaţie de filtrare se face asupra eşantioanelor corespunzătoare

unui ciclu de achiziţie

filtru RFI (nerecursiv) efectuând o operaţie de tipul:

[ ] [ ] [ ]M

i My k h i x k i

=−

= −∑

[ ]h i - coeficienţii filtrului (coeficienţii funcţiei pondere)

[ ]( )M

k

k MH z h k z−

=−

= ∑ - funcţia de transfer

comportarea în domeniul frecvenţă pentru je sTz ω= :

[ ]( )s s

Mj T jk T

k MH e h k eω ω−

=−

= ∑

FTJ cu câştig unitar în banda de trecere:

[ ]0( ) 1M

j

k MH e h k

=−

= =∑

la intrare avem zgomot alb [ ]n i cu:

• valoare medie nulă

• varianţa ( )2 2E n σ=

pentru zgomotul de la ieşire avem:

[ ] [ ] [ ]M

oi M

n k h i n k i=−

= −∑

[ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] ( )

2

,

2 2

,

E E

E E [ ] [ ]

M

oi j M

M M

i M i j Mi j

n k h i n k i h j n k j

h i n k i h i h j n k i n k j

=−

=− =−≠

= − − =

= − + − −

∑

∑ ∑

zgomotul alb eşantioanele de zgomot sunt necorelate:

[ ] [ ]( )2

E0

i jn i n j

i jσ =

= ≠

Puterea medie a zgomotului la ieşire este deci

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]2 2 2 2 2 2E E EM

o o o oi M

n k n k n k h iσ σ=−

= − = = ∑

Exemplu: un filtru de fază liniară simetric de lungime L=3 M=1:

[ ] [ ]h =h M-1-nn

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]

0

2 2 2 2 2 2

h 1 =h -1 =0,25; h 0 0,5

( ) 1

3(0,25 0,0625 0,0625) 0,3758

Mj

i MM

o i i i ii M

H e h i

h iσ σ σ σ σ

=−

=−

⇒ =

⇒ = =

⇒ = = + + = =

∑

∑

factorul de creştere a RSZ:

sgn2 2

2sgn

2

83

o o i

i o

i

PRSZI PRSZ

σ σσ

σ

= = = =

FTJ numeric nu e un filtru ideal reducere şi a frecvenţelor utile

caracteristica sa este:

[ ]1

1( ) 0,25 0,25 0,5

0,5(1 cos )

s s s sj T jk T j T j T

k

s

H e h k e e e

T

ω ω ω ω

ω

− −

=−

= = + + =

= +

∑