CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ...

188
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI CONTRIBUŢII LA MODELAREA STRUCTURILOR DE BETON ARMAT PENTRU EVALUAREA RĂSPUNSULUI SEISMIC Teză de doctorat Doctorand : Şef lucrări ing. Cristian RUŞANU Conducător ştiinţific: Prof. Univ. Dr. Ing. Tudor POSTELNICU 2012

Transcript of CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ...

Page 1: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII

BUCUREŞTI

CONTRIBUŢII LA MODELAREA

STRUCTURILOR DE BETON ARMAT PENTRU

EVALUAREA RĂSPUNSULUI SEISMIC

Teză de doctorat

Doctorand : Şef lucrări ing. Cristian RUŞANU

Conducător ştiinţific: Prof. Univ. Dr. Ing. Tudor POSTELNICU

2012

Page 2: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

i

CUPRINS

1. INTRODUCERE ....................................................................................................1

1.1. Consideraţii generale privind calculul structurilor de beton armat .....................1

1.2. Elemente folosite în analiza neliniară a structurilor de beton armat....................2

1.2.1. Elemente cu zone plastice concentrate..................................................................2

1.2.2. Elemente cu plasticitate distribuită .......................................................................4

1.3. Modelarea interacţiunii moment-forţă axială – forţă tăietoare ............................6

1.4. Obiectivele şi organizarea tezei ............................................................................ 11

2. ELEMENTE FINITE CU PLASTICITATE DISTRIBUITĂ ............................. 13

2.1. Introducere ............................................................................................................ 13

2.2. Teorii de grindă..................................................................................................... 13

2.2.1. Formularea problemei ........................................................................................ 13

2.2.2. Blocajul la forţă tăietoare ................................................................................... 16

2.3. Tipuri de formulare .............................................................................................. 21

2.3.1. Convenţii şi notaţii ............................................................................................. 21

2.3.2. Elemente cu formulare în deplasări .................................................................... 26

2.3.3. Elemente cu formulare în forţe ........................................................................... 29

2.3.4. Modelul de bară cu fibre .................................................................................... 35

2.4. Probleme legate de folosirea elementelor neliniare cu plasticitate distribuită ... 38

3. TEORII BAZATE PE FISURAREA DISTRIBUITĂ ......................................... 45

3.1. Introducere ............................................................................................................ 45

3.2. Formularea Teoriei Modificate a Câmpului de Compresiune (Vecchio şi Collins,

1982) ...................................................................................................................... 48

3.2.1. Ipoteze ............................................................................................................... 48

3.2.2. Relaţiile de compatibilitate în MCFT ................................................................. 49

3.2.3. Relaţiile de echilibru în MCFT ........................................................................... 50

3.2.4. Legile constitutive ale materialelor în MCFT ..................................................... 52

3.2.5. Condiţiile locale în dreptul fisurilor în MCFT .................................................... 57

3.3. Formularea Teoriei Câmpului de Compresiune Perturbat (Vecchio 2000) ....... 61

3.3.1. Relaţiile de compatibilitate în DSFM ................................................................. 62

3.3.2. Relaţiile de echilibru în DSFM ........................................................................... 64

Page 3: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

ii

3.3.3. Legile constitutive ale materialelor în DSFM ..................................................... 65

3.3.4. Condiţiile locale în dreptul fisurilor în DSFM .................................................... 67

3.4. Dimensionarea elementelor la forţă tăietoare folosind MCFT ........................... 67

3.5. Observaţii privind eforturi tangenţiale în lungul fisurilor .................................. 71

3.6. Varianta simplificată a MCFT folosită în această lucrare .................................. 75

3.7. Observaţii şi concluzii ........................................................................................... 78

4. IMPLEMENTAREA TEORIILOR BAZATE PE FISURAREA DISTRIBUITĂ

ÎN PROGRAMELE DE ELEMENT FINIT ........................................................ 80

4.1. Introducere ............................................................................................................ 80

4.2. Formularea matriceală a MCFT pentru încărcări monoton crescătoare ........... 81

4.2.1. Formularea bazată pe matricea de rigiditate secantă ........................................... 81

4.2.2. Formularea bazată pe matricea de rigiditate tangentă.......................................... 83

4.2.3. Comparaţii între cele două formulări .................................................................. 85

4.3. Formularea matriceală a MCFT pentru încărcări ciclice ................................... 88

4.3.1. Formularea ciclică a MCFT ............................................................................... 89

4.4. Răspunsul la nivel secţional folosind MCFT........................................................ 97

4.4.1. Consideraţii generale privind influenţa forţei tăietoare asupra răspunsului

secţional ...................................................................................................................... 97

4.4.2. Metode bazate pe o distribuţie fixă ..................................................................... 99

4.4.3. Metode bazate pe echilibru între fibre .............................................................. 100

4.5. Modelul secţional implementat în Open Sees .................................................... 104

4.6. Concluzii şi observaţii ......................................................................................... 107

5. IMPLEMENTAREA MODELULUI PROPUS ÎN PLATFORMA OPENSEES

............................................................................................................................. 109

5.1. Descrierea platformei OpenSees ........................................................................ 109

5.2. Modele de grindă cu formulare în deplasări implementate în OpenSees ......... 112

5.3. Implementarea modelului propus în OpenSees ................................................. 116

5.3.1. Subclasa DispBeamColumn2dTim ................................................................... 117

5.3.2. Subclasa FiberMCFT ....................................................................................... 121

5.3.3. Subclasa NdMCFT .......................................................................................... 124

5.1. Concluzii şi observaţii ......................................................................................... 130

Page 4: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

iii

6. VALIDAREA MODELULUI IMPLEMENTAT ÎN OPENSEES .................... 132

6.1. Descrierea modului de validare .......................................................................... 132

6.2. Observaţii privind modul de desfăşurare a analizei în OpenSees ..................... 132

6.3. Simulări numerice pentru grinzi solicitate monoton crescător ......................... 133

6.3.1. Grinzile testate de Bresler şi Scordelis (Bresler şi Scordelis, 1964) .................. 133

6.3.2. Grinzile testate de Tompos şi Frosch (Tompos şi Frosch 2002) ........................ 139

6.4. Simulări numerice pentru pereţi solicitaţi ciclic ................................................ 142

6.4.1. Pereţii încercaţi de Oesterle (Oesterle et al. 1976) ............................................ 142

6.4.2. Pereţii încercaţi de Adamantia Athanasopoulou (Athanasopoulou 2010) .......... 148

6.5. Concluzii şi observaţii ......................................................................................... 151

7. CONCLUZII ŞI RECOMANDĂRI ................................................................... 153

7.1. Problematica tezei ............................................................................................... 153

7.2. Contribuţii proprii .............................................................................................. 158

7.3. Direcţii viitoare de dezvoltare ............................................................................ 158

BIBLIOGRAFIE .......................................................................................................... 160

ANEXA A ..................................................................................................................... 171

ANEXA B ..................................................................................................................... 174

Page 5: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

iv

Lista figurilor

Figura 1.1. Moment – rotire. (a) Element structural; (b) Ciclu histeretic biliniar; ................3

Figura 1.2. Model de bară cu resoarte în paralel (Giberson, 1967) ......................................3

Figura 1.3. Element de tip grindă cu resort neliniar pentru forţă tăietoare ...........................7

Figura 1.4. Modelul histeretic « Origin Oriented Model » ..................................................8

Figura 1.5. Element de perete modelat cu TVLM (Vulcano şi Bertero, 1987) ................... 10

Figura 1.6. Elementul MVLM şi modelarea unui perete structural cu MVLM (Orakcal et

al., 2006) .......................................................................................................................... 10

Figura 2.1. Ipoteze cinematice pentru elemente de tip grindă: a) Notaţii; .......................... 13

Figura 2.2. Sistemele de referinţă şi variabilele în aceste sisteme...................................... 21

Figura 2.3. Variabilele în coordonate secţionale ............................................................... 22

Figura 2.4. Forţele care actionează asupra elementului ..................................................... 24

Figura 2.5. Procesul iterativ de rezolvare a ecuaţiilor de echilibru .................................... 29

Figura 2.6. Procedeul iterativ Newton Raphson la nivelul structurii (Taucer et al., 1991) . 32

Figura 2.7. Procesele iterative de la nivelul elementului şi la nivelul secţiunii (Taucer et al.,

1991) ............................................................................................................................... 34

Figura 2.8. Procesul iterativ de rezolvare a ecuaţiilor de echilibru pentru elementele cu

formulare în forţe (adaptat după Filippou, 1999) .............................................................. 35

Figura 2.9. Elementul finit cu fibre în sistemul local şi discretizarea secţiunii în fibre

(adaptat după Taucer, 1991) ............................................................................................. 36

Figura 2.10. Relaţiile efort unitar – deformaţii specifice pentru cilindrii ........................... 39

Figura 2.11. Test de compresiune cu control în deplasări (Coleman şi Spacone, 2001) ..... 39

Figura 2.12. Variaţia ductilităţii în funcţie de lungimea zonei de moment constant (Weiss

et al., 2001) ...................................................................................................................... 40

Figura 2.13. Variaţia curburii şi a relaţiile forţă-deplasare pentru elemente funcţie de tipul

răspunsului secţional a) cu consolidare b) elastic – perfect plastic c) cu rigiditate

postelastică negativă (Coleman şi Spacone, 2001) ............................................................ 41

Figura 2.14. Efectul de localizare a deformaţiilor plastice în cazul elementelor cu răspuns

secţional de tip elastic-perfect plastic (Coleman şi Spacone, 2001) ................................... 42

Figura 3.1. Distribuţia eforturilor şi deformaţiilor a) model cu orientare fixă a fisurilor; b)

orientare variabilă a fisurilor ............................................................................................ 46

Figura 3.2. Element de membrană din beton armat (Vecchio, 2000) ................................. 48

Page 6: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

v

Figura 3.3. Deformaţii specifice pentru un element de beton armat (Vecchio şi Collins,

1986) ............................................................................................................................... 49

Figura 3.4. Cercul lui Mohr pentru deformaţiile specifice (Vecchio şi Collins, 1986) ....... 50

Figura 3.5. Echilibrul unei părţi din element: a) pe direcţia x; b) pe direcţia y (Vecchio şi

Collins, 1986) .................................................................................................................. 50

Figura 3.6. Cercul lui Mohr pentru eforturile unitare în beton (Vecchio şi Collins, 1986) . 51

Figura 3.7. Înfăşurătoarea modelului Seckin pentru oţel (Seckin, 1981)............................ 52

Figura 3.8. Starea biaxială de eforturi a) curba limită de interacţiune; b) domeniu l

compresiune-întindere (Kupfer et al., 1969) ..................................................................... 53

Figura 3.9. Efectul de „compression softening” (Vecchio şi Collins, 1986) ...................... 53

Figura 3.10. Modele de „compression softening” pentru beton (Vecchio şi Collins, 1993)55

Figura 3.11. Orientarea barei de armătură (cazul general) ................................................. 58

Figura 3.12. Eforturi medii şi locale în fisură a) panou de beton armat fisurat; b) eforturi

medii între fisuri (armătură ortogonală); c) eforturi locale în fisuri (armătură ortogonală);

d) eforturi medii între fisuri (armătură pe o direcţie oarecare); e) eforturi locale în fisuri

(armătură pe o direcţie oarecare) (adaptat după Vecchio, 2000) ........................................ 58

Figura 3.13. Transmiterea eforturilor tangenţiale în fisuri prin mecanismul de încleştare

(Vecchio şi Collins, 1986) ................................................................................................ 60

Figura 3.14. Relaţia efort – deformaţie specifică pentru betonul întins (Vecchio, 2000) .... 60

Figura 3.15. Distanţele medii între fisuri (Kaufmann şi Marti, 1998) ................................ 61

Figura 3.16. Predicţii MCFT şi rezultate experimentale pentru două panouri de beton

armat: a) Panou puternic armat (PV23); b) panou slab armat (PB20) (Vecchio, 2000) ...... 62

Figura 3.17. Deformaţiile datorate lunecărilor în fisuri (Vecchio, 2000) ........................... 63

Figura 3.18. Legea constitutivă pentru modelul de „tension softening” (Vecchio, 2000) ... 66

Figura 3.19. Efectul momentului, forţei tăietoare şi a forţei axiale asupra deformaţiei

specifice longitudinale (Vecchio şi Collins, 1988) ............................................................ 68

Figura 3.20. Determinarea deformaţiei specifice longitudinale (CSA23.3-04) .................. 70

Figura 3.21. Modelul Stevens pentru bare înglobate în beton (Stevens et al, 1991) ........... 71

Figura 3.22. Modelul Belarbi – Hsu pentru bare inglobate în beton (Belarbi şi Hsu, 1994)

........................................................................................................................................ 72

Figura 3.23. Modelul Tirantului a) legea constitutivă a oţelului; b) distribuţia eforturilor de

aderenţă şi de întindere din armătură şi beton (Kaufmann, 1998) ...................................... 73

Figura 3.24. Relaţiile 𝜏𝑥𝑦 − 𝛾𝑥𝑦 obţinute experimental şi analitic pentru panoul PV23 ... 76

Page 7: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

vi

Figura 4.1. Modulii secanţi ai materialelor a) beton – compresiune; b) beton – întindere; c)

oţel................................................................................................................................... 82

Figura 4.2. Procesul iterativ pentru un pas de încărcare .................................................... 85

Figura 4.3. Schema logică de determinare a eforturilor unitare şi deformaţiilor specifice

pentru metoda rigidităţii secante ....................................................................................... 87

Figura 4.4. Relaţia 𝜏𝑥𝑦 − 𝛾𝑥𝑦 şi numărul de iteraţii pentru fiecare pas de încărcare

(panoul PV23).................................................................................................................. 88

Figura 4.5. Conceptul de deformaţie plastică pentru beton................................................ 89

Figura 4.6. Aplicarea cercului lui Mohr pentru deformaţiile plastice ................................ 91

Figura 4.7. Aplicarea cercului lui Mohr pentru deformaţiile maxime a) de compresiune; b)

de întindere ...................................................................................................................... 93

Figura 4.8. Modelul histeretic Seckin pentru oţel (Seckin, 1981) ...................................... 94

Figura 4.9. Modelul histeretic Menegoto-Pinto pentru oţel (după Orakcal et al., 2006) ..... 95

Figura 4.10. Curbele de reîncărcare la compresiune conform Modelului Vecchio ............. 96

Figura 4.11. Moduri de încărcare-descărcare la întindere a) încărcare la întindere; b)

încărcare după un ciclu anterior de compresiune; c) descărcare ........................................ 97

Figura 4.12. Soluţia Juravski pentru eforturile tangenţiale din grinzi ................................ 98

Figura 4.13. Discretizarea secţiunii, secţiunile de control şi schema forţelor pe o fibră în

analiza secţională duală (Vecchio şi Collins, 1988) ........................................................ 100

Figura 4.14. Punctele de integrare pentru o fibră de beton (Bentz 2000) ......................... 104

Figura 4.15. Discretizare secţiunii prin fibre şi modul de comportare al acestora ............ 105

Figura 4.16. Eforturi unitare acţionând asupra unei fibre ................................................ 106

Figura 4.17. Modalitatea de definire a procentelor de armare longitudinale .................... 107

Figura 5.1. Componentele (obiectele) principale în platforma OpenSees (Fenves et al.

2004) ............................................................................................................................. 110

Figura 5.2. Organizarea claselor de tip Element şi de tip Domain ................................... 111

Figura 5.3. Sistemele de referinţă în poziţia nedeformată şi deformată a elementului ...... 113

Figura 5.4. Definirea centrului de rotire.......................................................................... 115

Figura 5.5. Funcţiile clasei DispBeamColumn2dTim ..................................................... 117

Figura 5.6. Schema logică pentru clasa DispBeamColumn2dTim ................................... 120

Figura 5.7. Abstractizările principale ale clasei Material şi subclasele acestora ............... 121

Figura 5.8. Funcţiile clasei FiberMCFT .......................................................................... 122

Page 8: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

vii

Figura 5.9. Răspunsul pentru încărcare-descărcare uniaxială de întindere ....................... 125

Figura 5.10. Cicluri de încărcare la care solicitarea iniţială este de întindere .................. 126

Figura 5.11. Cicluri de încărcare la care solicitarea iniţială este de compresiune ............ 126

Figura 6.1. Detalii grinzi Bresler-Scordelis (Bresler şi Scordelis 1964) .......................... 134

Figura 6.2. Modelarea grinzilor Bresler-Scordelis .......................................................... 135

Figura 6.3. Rezultate grindă XB-I .................................................................................. 135

Figura 6.4. Rezultate grindă CA-I .................................................................................. 136

Figura 6.5. Rezultate grindă CB-I ................................................................................... 136

Figura 6.6. Rezultate grindă CC-I ................................................................................... 137

Figura 6.7. Rezultate grindă RA-I .................................................................................. 137

Figura 6.8. Rezultate grindă RB-I ................................................................................... 138

Figura 6.9. Rezultate grindă RC-I ................................................................................... 138

Figura 6.10. Detalii armare grinzi Tompos Forsch (Tompos şi Frosch 2002) .................. 140

Figura 6.11. Distribuţia şi modul de cedare la grinzile Tompos Forsch (Tompos şi Frosch

2002) ............................................................................................................................. 140

Figura 6.12. Rezultate grindă V36-3............................................................................... 141

Figura 6.13. Rezultate grindă V18-2............................................................................... 142

Figura 6.14. Geometria pereţilor PCA (Oesterle et al. 1976)........................................... 143

Figura 6.15. Dispunerea armăturii în pereţii PCA (Oesterle et al. 1976).......................... 144

Figura 6.16. Modul de discretizare al pereţilor PCA ....................................................... 145

Figura 6.17. Curba forţa - deplasare perete R1................................................................ 145

Figura 6.18. Curba forţa - deplasare perete R2................................................................ 146

Figura 6.19. Curba forţa - deplasare perete B1................................................................ 146

Figura 6.20. Curba forţa - deplasare perete B2................................................................ 147

Figura 6.21. Curba forţa - deplasare perete B3................................................................ 147

Figura 6.22. Curba forţa - deplasare perete B5................................................................ 148

Figura 6.23. Geometria şi armarea pretelui S6 ................................................................ 149

Figura 6.24. Curba forţa - deplasare obţinută numeric .................................................... 150

Figura 6.25. Curba forţa - deplasare obţinută experimental ............................................. 151

Figura B.1. Fereastra principala a programului ............................................................... 174

Figura B.2. Modul de introducere a caracteristicilor betonului ........................................ 175

Page 9: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

viii

Figura B.3. Modul de introducere a caracteristicilor oţelului .......................................... 175

Figura B.4. Fereastra cu opţiuni privind modul de desfăşurare a analizei ........................ 176

Figura B.5. Relaţia efort tangenţial – deformaţie tangenţială determinată deterimnată prin

folosirea controlului în forţe ........................................................................................... 176

Figura B.6. Relaţia efort tangenţial – deformaţie tangenţială deterimnată prin folosirea

controlului în deplasări ................................................................................................... 177

Figura B.7. Relaţia efort tangenţial – deformaţie tangenţială, înainte şi după fisurare,

deterimnată folosind control în deplasări ........................................................................ 177

Figura B.8. Relaţia efort tangenţial – deformaţie normală pe direcţia X .......................... 178

Figura B.9. Relaţia efort tangenţial – efort unitar în armătură pe direcţia X .................... 178

Figura B.10. Relaţia efort unitar – deformaţie specifică pentru direcţia principală de

întindere ......................................................................................................................... 179

Figura B.11. Relaţia efort unitar – deformaţie specifică pentru direcţia principală de

compresiune ................................................................................................................... 179

Lista Tabelelor

Tabelul 3.1 Deformaţii specifice pentru panoul PV23 ...................................................... 76

Tabelul 3.2. Caracteristicile panourilor încercate de Vecchio şi Collins ............................ 77

Tabelul 3.3 Rezultate exeprimentale şi analitice ............................................................... 78

Tabelul 6.1. Rezistenţele betonului şi dimensiunile ........................................................ 134

Tabelul 6.2. Procente de armare şi rezistenţe armătură ................................................... 134

Tabelul 6.3. Comparaţii între rezultatele experimentale şi cele analitice ......................... 139

Tabelul 6.4. Rezistenţele betonului şi dimensiunile ........................................................ 139

Tabelul 6.5. Procente de armare şi rezistenţe armătură ................................................... 140

Tabelul 6.6. Caracteristici materiale pereţi PCA ............................................................. 144

Page 10: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

1

1. Introducere

1.1. Consideraţii generale privind calculul structurilor de beton

armat

Comportarea complexă a structurilor de beton armat în cazul acţiunilor seismice şi

cunoaşterea răspunsului seismic al acestora a necesitat adaptarea metodelor de

calcul şi a modelelor teoretice folosite de aceste metode astfel încât să se obţină o

corelare cât mai bună între predicţiile lor şi rezultatele obţinute experimental sau în

urma unor seisme cu magnitudini importante.

În general codurile de proiectare antiseismică prevăd o comportare neliniară a

structurilor, chiar dacă evaluarea solicitărilor se bazează pe metode de calcul care au

ca ipoteză de bază o comportare liniară a modelelor de calcul. Deşi nu ţine seama de

o seamă de efecte specifice materialelor din care sunt realizate structurile, analiza

liniar-elastică este considerată suficientă dacă structurile respectă prevederile din

codurile de proiectare. În cazul structurilor de beton armat, asigurarea comportării

neliniare se consideră îndeplinită dacă sunt îndeplinite regulile constructive

prevăzute de către normative, iar armarea este concepută astfel încât ruperea

elementelor să fie una ductilă.

Acumularea cunoştinţelor privind comportarea neliniară a structurilor de beton

armat, a observaţiilor făcute după evenimente seismice importante şi accesul la

mijloace şi programe de calcul avansate pentru structuri fac posibilă tendinţa actuală

a codurilor de proiectare de a trece la o proiectare bazată pe criterii de performanţă,

în detrimentul metodelor bazate pe forţe. Evaluarea performanţelor seismice ale

clădirilor nu se poate face fără utilizarea metodelor statice sau dinamice neliniare.

Chiar dacă la ora actuală există suficiente programe de calcul care permit efectuarea

de analize neliniare, rezultatele furnizate de aceste analize depind în mod direct de

modelele folosite pentru reproducerea comportării neliniare a elementelor

structurale. Programele moderne de calcul se bazează în general pe metoda

elementului finit.

Metoda elementului finit, datorită caracterului generalist permite diverse tipuri de

abordări. Din punct de vedere al modelării elementelor de beton armat se pot

distinge două tipuri de elemente:

- Macroelemente (elemente linare sau combinaţii ale acestora);

- Microelemente (elemete de suprafaţă sau de volum).

Page 11: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

2

Macroelementele reprezintă elemente finite care pot reproduce, la nivel de

ansamblu, comportarea diverselor componente structurale din structurile de beton

armat sub diverse tipuri de solicitări. Avantajul major al unei astfel de abordări îl

constituie nivelul relativ scăzut al efortului de calcul şi evaluarea răspunsului local

şi global al structurilor de beton armat.

Abordarea cu microelemente se axează pe folosirea de elemente finite care permit

modelarea cât mai fidelă a materialelor componente, beton şi armătură, precum şi a

interacţiunii dintre acestea (e.g. aderenţa). Folosirea micromodelelor constă în

discretizarea fiecarui subansamblu din structură într-un număr mare de elemente

finite, ceea ce implică diverse dezavantaje cum ar fi volumul mare de muncă

necesar introducerii datelor, viteza redusa de calcul dar şi problemele de stabilitate

numerică.

Având în vedere dezavantajele evidente ale abordării cu micromodele, care se

utilizează în general la studierea comportării izolate a subansamblelor, la evaluarea

răspunsului local şi global al structurilor de beton armat se preferă folosirea

macromodelor.

Caracterul neliniar al comportării structurilor de beton armat a necesitat dezvoltarea

de modele care să reproducă cât mai fidel legile constitutive ale elementelor

acestora. Legile de comportare a elementelor sunt introduse fie la nivel de element,

fie la nivel de secţiune şi, în consecinţă, sunt posibile două tipuri de formulări:

elemente cu zone plastice concentrate şi elemente cu zone plastice distribuite.

1.2. Elemente folosite în analiza neliniară a structurilor de beton

armat

1.2.1. Elemente cu zone plastice concentrate

Elementele cu zone plastice concentrate la capete sunt primele tipuri de elemente

folosite la analiza neliniară a structurilor. Apariţia lor in anii ’60 ai secolului trecut a

plecat de la modelarea structurilor în cadre de beton armat, la care zonele cu

comportare neliniară se concentrează în general la capetele grinzilor şi stâlpilor.

Prin urmare, zonele cu comportare neliniară au fost modelate prin intermediul unor

articulaţii plastice neliniare sub forma unor resoarte dispuse în serie sau în paralel.

Primul model cu resoarte în serie a fost propus de Clough şi Johnston în 1966

(Clough şi Johnston, 1966) şi permitea folosirea unei relaţii biliniare pentru relaţia

moment-rotire. Elementul consta din două resoarte dispuse în paralel aşa cum este

Page 12: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

3

arătat în figura 1.1. Matricea de rigiditate a elementului se obţine prin însumarea

rigidităţilor celor două componente.

Modelul cu resoarte în paralel a fost propus de Giberson (Giberson, 1967) şi constă

într-un element liniar elastic cu câte un resort neliniar la fiecare cap, aşa cum este

reprezentat în figura 1.2. În comparaţie cu modelul Clough, avantajul major al

acestui model îl constitue posibilitatea adoptării de legi constitutive diverse pentru

cele două resoarte neliniare.

Figura 1.1. Moment – rotire. (a) Element structural; (b) Ciclu histeretic biliniar;

(c) Componenta elastică; (d) Componenta elasto-plastică

Figura 1.2. Model de bară cu resoarte în paralel (Giberson, 1967)

Mai multe legi constitutive pentru resoartele neliniare au fost propuse până acum.

Primul model pentru elemente de beton armat supuse la încovoiere a fost cel propus

de Clough şi Benushka (Clough şi Benushka, 1967), model care include degradarea

Mi

fi k

i

i

i’

j

j’

Mi

Mj

Mj

Mi

Mj

fj k

i j

k=4EI/l

i =i’i

j =j’j

l

Zona de

lungime

egala cu 0

j

(b) (c) (d)

M,θ EI

L

M Mp

θ θ θ

M M

1 L

EIa

4

a1

2Mp

(a)

1 a1=pa

1 a2=qa

Page 13: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

4

de rigiditate. O extindere a modelului care să includă pe lângă o extindere a legilor

de degradarea de rigiditate şi efectul fisurării a fost propusă de Takeda (Takeda et

al. 1970). Mai multe variante ale acestui model au fost propuse, cele mai cunoscute

fiind cele prezentate de Otani în 1974 (modelul Takeda modificat) şi Saiidi şi Sozen

în 1979 (modelul Q-Hyst). Includerea efectului forţei tăietoare şi a lunecării

armăturii în zona de ancorare, au fost propuse de Banon (Banon et al., 1981), Otani

(Otani, 1974) şi Roufaiel-Meyer (Roufaiel şi Meyer, 1987).

Problemele întâmpinate în utilizarea acestui tip de modele constă în dificultatea

calibrării parametrilor care le guvernează, datorită faptului că aceştia nu depind doar

de forma secţiunii, ci şi de istoria încărcării. Mai mult, toate aceste modele

neglijează interacţiunea moment – forţă axială, iar momentul şi forţa tăietoare, chiar

dacă sunt considerate simultan, sunt necuplate şi se bazează pe reguli determinate

empiric.

Includerea efectului interacţiunii dintre moment şi forţa axială s-a făcut în general

prin adoptarea pentru articulaţiile concentrate a unor suprafeţe de curgere cu reguli

de plastificare specifice teoriei clasice a plasticităţii. Această abordare nu ţine cont

de comportarea reală a elementelor de beton armat supuse la încovoiere cu forţă

axială.

Pentru a înlătura acest neajuns, Lai a propus în 1984 un model de fibră pentru

articulaţiile concentrate de la capătul unui element elastic. Pentru modelarea

armăturii se folosesc patru resoarte dispuse la colţuri, iar betonul este modelat

printr-un resort central care este activ doar la compresiune.

1.2.2. Elemente cu plasticitate distribuită

În mod evident, o modelare mult mai adecvată constă în folosirea modelelor cu

plasticitate distribuită.

Variantele iniţiale de modelare cu plasticitate distribuită se bazau pe folosirea de

elemente cu articulaţii concentrate, dispuse în serie. Un exemplu îl constituie

modelul propus de Takayangi şi Schnobrich în 1979 (Takayangi şi Schnobrich,

1979). Conform acestui model, elementul este împărţit în segmente modelate prin

resoarte ale căror caracteristici depind de momentul încovoietor la mijlocul lor.

Un pas important în utilizarea modelelor cu plasticitate distribuită a fost făcut prin

formularea de elemente care utilizează funcţii polinomiale de interpolare a

Page 14: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

5

deplasărilor de tip Hermite. În general, funcţiile de interpolare se determină pornind

de la deformaţiile elastice ale elementelor. Câmpul de deplasări (deformaţiile

secţionale) în lungul elementelor se determină folosind funcţiile de interpolare a

deformaţiilor pe baza deplasărilor nodale. Cunoscând câmpurile de deplasare din

punctele de integrare, se poate determina răspunsul secţional al acestora şi, prin

integrare numerică, răspunsul la nivel de element.

În mod evident, folosirea unor funcţii de interpolare determinate folosind

deformaţiile elastice duce la aproximaţii în modul de distribuire a eforturilor şi la

nerespectarea echilibrului static, mai ales în zonele de deformaţii plastice.

Polinoamele cubice de tip Hermite duc la o distibuţie liniară a curburii în lungul

elementelor, ceea ce contrazice, mai ales în cazul elementelor de beton armat,

rezultatele experimentale. Obţinerea unui răspuns adecvat se poate realiza prin

modelarea elementelor structurale cu incursiuni în domeniul postelastic prin mai

multe elemente.

Deoarece elementele cu formulare în deplasări sunt sensibile la modul de

discretizare şi, în general, nu respectă echilibrul static, s-a impus dezvoltarea unor

elemente care să înlăture acest inconvenient. Astfel, soluţia evidentă este de a

introduce funcţii de interpolare a forţelor care să satisfacă condiţiile de echilibru

static.

Pornind de la ecuaţiile de echilibru static se pot determina aceste funcţii de

interpolare. Evident, aceste funcţii depind de condiţiile de capăt şi de forţele care

acţionează asupra elementelor. Problema acestor elemente constă însă în modul de

implementare în programele de element finit. Deoarece marea majoritate a

programelor de element finit se bazează pe metoda clasică a matricii de rigiditate,

rezolvarea sistemului de ecuaţii de echilibru se reduce la determinarea deplasărilor

nodale. Având în vedere că la elementele cu formulare în forţe nu se pot determina

în mod direct deformaţiile secţionale, implementarea lor într-un program de element

finit necesită un procedeu iterativ atât la nivel secţional cât şi la nivel de element.

Atât elementele cu formulare în deplasări cât şi cele cu formulare în forţe pot folosi

pentru răspunsul secţional fie relaţii empirice, fie modelări de tip fibră, care permit

Page 15: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

6

determinarea acestuia pornind de la legile constitutive ale materialelor. Modelarea

cu elemente de tip fibră ţine cont, în mod implicit, de interacţiunea moment-forţă

axială şi de migrarea axei neutre.

Dacă pentru elemente supuse preponderent la încovoiere cu sau fără forţă axială

rezultatele obţinute folosind elemente cu plasticitate distribuită sunt satisfăcătoare,

acestea nu reuşesc să prezică răspunsul structural pentru elementele la care influenţa

forţei tăietoare este importantă.

1.3. Modelarea interacţiunii moment-forţă axială – forţă tăietoare

În mod evident, comportarea elementelor de beton armat depinde de interacţiunea

moment – forţă axială – forţă tăietoare. Clasificarea elementelor de beton armat în

funcţie de sensibilitatea lor la forţă tăitoare se face de obicei după braţul normalizat

al forţei tăietoare:

𝒂 =𝑴

𝑽 𝒉 (1.1)

unde:

h = înălţimea secţiunii

M = momentul maxim

V = forţa tăietoare

În funcţie de braţul normalizat al forţei tăietoare, elementele de beton armat se

împart în:

- elemente zvelte, la care a>5 iar efectul forţei tăietoare este neglijabil.

- elemente medii, la care braţul normalizat al forţei tăietoare este cuprins

între 2.5 şi 5, iar modul de cedare este influenţat de efectul combinat al

momentului şi forţei tăietoare. În cazul solicitărilor ciclice, capacitatea de

disipare a energiei acestor elemente este redusă de fenomenul de

strangulare (pinching) a curbei forţă – deplasare a elementului, fenomen

datorat forţei tăietoare.

Page 16: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

7

- elemente scurte, cu un braţ normalizat al forţei tăietoare inferior valorii

de 2.5, cu un mod de cedare casant, din forţă tăietoare, care se atinge

înainte de epuizarea capacităţii la încovoiere.

Abordările folosite pentru a introduce efectul forţei tăietoare depind de tipul de

element finit folosit.

În cazul elementelor cu articulaţii concentrate la capete, influenţa forţei tăietoare s-a

introdus fie la nivelul legilor constitutive ale resoartelor neliniare de încovoiere, ca

în modelul Roufaiel-Meyer, fie prin intermediul unor resoarte suplimentare, aşa

cum este arătat în figura 1.3.

Figura 1.3. Element de tip grindă cu resort neliniar pentru forţă tăietoare

Mai multe legi histeretice au fost propuse pentru resoartele neliniare care introduc

efectul forţei tăietoare, însă cea mai folosită este «Origin Oriented Hysteretic

Model» (OOHM) (Kabeyasawa et al., 1982) care de altfel este şi cel mai criticat

(Vulcano şi Bertero, 1987).

a) Element de grinda elastica

b) Resoarte neliniare de încovoiere

c) Resort neliniar pentru forţă tăietoare

Page 17: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

8

Figura 1.4. Modelul histeretic « Origin Oriented Model »

Dacă OOHM este criticabil din punct de vedere al legii histeretice şi al relaţiilor

empirice folosite pentru calibrarea acestora, Sezen a propus legi calibrate pe

rezultate experimentale, obţinute pe stâlpi de beton armat, care ţin cont de nivelul

forţei axiale, de cantitatea de armătură transversală şi de ductilitatea elementului.

Chiar dacă modelul propus de Sezen dă rezulate bune pentru stâlpii care au forţă

axială constantă, utilizarea acestora la structuri multietajate nu este recomandată.

În cazul elementelor finite cu plasticitate distribuită, pentru introducerea efectului

forţei tăietoare s-au folosit mai multe tipuri de abordări.

O primă famile de elemente finite de tip multifibră (fiber models) sunt cele care

folosesc modele de grinzi cu zăbrele (strut and tie truss models), pentru

determinarea efectelor din forţă tăietoare.

Un alt tip de abordare s-a bazat pe folosirea unor modele de beton care fie

modelează o stare multiaxială de eforturi folosind relaţii uniaxiale, cum sunt

elementele finite de tip multifibră, care folosesc modelul microplanului, fie modele

de beton cu degradare. Familia de modele care utilizează teoria microplanului se

bazează pe constrângerile cinematice existente între deformaţiilor specifice

exterioare şi cele ale unor planuri interioare caracterizate de legi constitutive

uniaxiale. În acest fel se poate obţine o stare de eforturi multiaxială pornind de la

mai multe relaţii uniaxiale.

În cazul elementelor bazate pe modele ce folosesc beton cu degradare, importantă

este legea constitutivă a betonului. Aceste legi se bazează pe mecanica degradării

care introduce conceptul de efort unitar efectiv, concept care stipulează că efortul

unitar aplicat zonelor nedegradate ale materialului este mai mare decât efortul unitar

macroscopic. Eforul unitar efectiv se defineşte folosind principul echivalenţei

Page 18: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

9

deformaţiilor, care impune egalitatea între deformaţia produsa într-o anumită

direcţie de efortul unitar efectiv în materialul nedegradat şi deformaţia produsă de

efortul unitar macroscopic în materialului degradat.

O altă abordare este cea bazată pe aşa numitele teorii de fisurare distribuită cum ar

fi Metoda Câmpului de Compresiune Modificată (Modified Compression Field

Theory sau MCFT) şi Modelul Grinzii cu Zăbrele cu Unghi Variabil (Rotating

Angle Softened Truss Model sau RASTM). Rezultatele obţinute cu aceste teorii

dezvoltate pentru a putea reda comportarea elementelor de beton armat fisurate,

supuse la forfecare, se coreleză foarte bine cu cele experimentale, dificultatea

majoră a implementării acestora în elemente de tip grindă constă în faptul că

materialul este considerat ortotrop, ceea ce impune adoptarea unor simplificări la

nivel secţional (diferite distribuţii ale eforurilor tangenţiale sau ale deformaţiilor

specifice).

O problemă specifică este cea a pereţilor structurali de beton armat. Datorită

faptului că elementele cu articulaţii concentrate la capete nu pot să surprindă

anumite aspecte specifice de comportare a pereţilor structurali, s-a impus, încă de la

începutul dezvoltării modelelor neliniare pentru beton armat, necesitatea unor

modele specifice pentru aceştia.

Un pas important l-a constituit modelul cu trei resoarte în paralel (TVLM) propus

de Kabeyasawa în 1982 (Kabeyasawa et al., 1982). Acest tip de element este în

realitate un macromodel, care poate modela un perete structural prin trei elemente

verticale, legate la capete prin intermediul a două grinzi infinit rigide (fig. 1.5a).

Cele două elemente de tip bară de la extremităţi modelează rigiditatea la deformaţii

axiale a bulbilor de la capetele peretelui, iar elementul central compus din trei

resoarte, unul vertical, unul orizontal şi unul pentru încovoiere, dispuse la bază,

modelează aportul inimii peretelui. Pentru elementul central există totuşi şi variante

cu cele trei resoarte dispuse la o anumită distanţa ch de grinda infinit rigidă de la

bază (fig. 1.5b). Modelul de comportare axială pentru elementele verticale, propus

iniţial de Kabeyasawa, este descris de o lege de comportare hystererică determinată

experimental. O primă îmbunătăţire a macroelementului a fost adusă de Vulcano şi

Bertero care au propus o abordare diferită pentru determinarea răspunsului

resoartelor verticale, care să elimine caracterul empiric al legilor constitutive

folosite pentru acestea în formularea iniţială. Şi pentru acest macroelement, forţa

tăietoare este decuplată de moment şi forţa axială şi este descrisă de o lege de tip

OOHM.

Page 19: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

10

a) Macromodel perete cu resoarte b) Relaţia între deplasarea relativă

legate în paralel de încovoiere şi rotirea relativă

Figura 1.5. Element de perete modelat cu TVLM (Vulcano şi Bertero, 1987)

O primă extindere a modelului a fost introdusă de Vulcano şi a constat în înlocuirea

elementului central cu mai multe resoarte verticale (Multiple Vertical Lines Model),

ideea fiind preluată şi de Orakcal şi îmbunătăţită prin modelarea comportării

elementelor verticale pornind de la legile constitutive ale materialelor.

Figura 1.6. Elementul MVLM şi modelarea unui perete structural cu MVLM

(Orakcal et al., 2006)

Page 20: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

11

Aşa cum se observă din descrierea macromodelelor de mai sus, acestea nu ţin cont

de interacţiunea moment - forţă tăietoare, şi o modificare a lor care să includă

această interacţiune devine necesară.

1.4. Obiectivele şi organizarea tezei

Un aspect important în ceea ce priveşte modelarea corectă a comportării structurilor

cu pereţi îl constituie migrarea axei neutre cu impact major asupra deformaţiilor şi

eforturilor structurale. Dacă elementele cu articulaţii concentrate nu sunt capabile să

surprindă acest fenomen, elementele de tip multifibră permit modificarea poziţiei

axei neutre şi includerea deformaţiilor din forţă tăietoare prin adoptarea elementelor

de grindă de tip Timoshenko. De asemenea, interacţiunea dintre forţa tăietoare şi

moment constituie un aspect important în evaluarea rigiditătii şi rezistenţei

elementelor la care forţa tăitoare are un rol major.

Prezenta teză îşi propune implementarea unui element finit care să includă aspectele

menţionate anterior şi anume:

- Implementarea unui element finit cu plasticitate distribuită de tip

multifibră care să permită introducerea fenomenului de migrare a axei

neutre într-un program de tip “Open –Source”;

- Folosirea unei formulări de tip Timoshenko care să ţină cont de

deformaţiile produse de forţa tăietoare;

- Sustenabilitatea implementării la nivel secţional a unei teorii de tip

fisurare distribuită;

- Validarea elementului formulat prin comparaţii cu rezultatele

experimentale şi prin folosirea unor modele deja existente.

Teza este organizată în şapte capitole şi 2 anexe.

Capitolul 2 prezintă în prima parte teoriile de grindă Euler şi Timoshenko şi

fenomenul de blocaj la forţă tăietoare pentru elementele de tip Timoshenko cu

formulare în deplasări şi modul de evitare a acestuia. În cea de-a doua parte a

capitolului sunt prezentate bazele teoretice ale elementelor cu plasticitate distribuită,

atât pentru elementele cu formulare în deplasări cât şi pentru cele cu formulare în

forţe, cât şi problemele pe care le au aceste elemente, mai ales fenomenul de

localizare şi modurile în care acestea se pot evita.

Capitolul 3 prezintă în prima parte aspectele teoretice legate de dezvoltarea şi

folosirea teoriilor de fisurare distribuită cu accent pe Teoria Câmpului de

Page 21: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

12

Compresiune Modificată iar în cea de-a doua parte este prezentată o variantă

simplificată a acesteia.

Capitolul 4 se axează pe modalităţile de implementarea a MCFT în programele de

element finit şi pe modul de abordare a acestei teorii în cazul elementelor de tip

grindă şi prezintă metoda adoptată pentru implementarea la nivel secţional.

Capitolul 5 prezintă platforma de element finit în care s-a implementat elementul şi

modul în care s-a realizat acestă implementare.

Capitolul 6 se axează pe validarea elementului, prezentând comparativ rezultatele

obţinute analitic cu cele experimentale prezentate în literatura de specialitate.

Capitolul 7 prezintă concluziile şi direcţiile viitoare de cercetare în domeniul forţei

tăietoare.

Page 22: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

13

2. Elemente finite cu plasticitate distribuită

2.1. Introducere

Capitolul este structurat în două parţi. În prima parte sunt prezentate teoriile de

grindă, tipul de formulare şi modul lor de implementare în programele de element

finit. Partea a doua a capitolului se ocupă de problemele legate de folosirea

elementelor nelinire de tip grindă sub acţiuni ciclice, accentul fiind pus pe

fenomenul de localizare.

2.2. Teorii de grindă

2.2.1. Formularea problemei

Cea mai simplă teorie pentru calcul grinzilor este cea de tip Euler –Bernoulli.

Principala ipoteză a acestei teorii constă în faptul că secţiunile rămân plane şi

normale la axa elementului (fig. 2.1a şi 2.1b) .

Figura 2.1. Ipoteze cinematice pentru elemente de tip grindă: a) Notaţii;

b) Grindă de tip Euler-Bernoulli; c) Grindă de tip Timoshenko

y

z

x

y

y

x

zxz

u

'

y

x

z

u

'

a) b)

c)

Page 23: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

14

Condiţiile cinematice pentru un element de grindă 3D se pot descrie prin

intermediul unui câmp de deplasări de forma:

𝑠𝑥 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑢 𝑥 + 𝑧𝜃𝑦 𝑥 − 𝑦𝜃𝑧(𝑥) (2.1a)

𝑠𝑦 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝜈 𝑥 − 𝑧𝜃𝑥 𝑥 (2.1b)

𝑠𝑧 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑤 𝑥 + 𝑦𝜃𝑥 𝑥 (2.1c)

unde:

- sx, sy şi sz sunt deplasările în direcţiile x, y, z ale oricărui punct dintr-o

secţiune care are centrul de greutate la o distanţă x în lungul axei

elementului;

- u(x), (x), w(x) sunt deplasările centrului de greutate al secţiunii după

direcţiile x, y şi z;

- x(x), y(x), z(x) sunt rotirile axei elementului în sistemul x, y şi z.

Dacă se neglijează rotirea datorată torsiunii x(x), deformaţiile normale şi

tangenţiale sunt:

휀𝑥𝑥 𝑥 =𝑑𝑠𝑥

𝑑𝑥= 𝑢′ 𝑥 + 𝑧𝜃𝑦

′ 𝑥 − 𝑦𝜃𝑧′ 𝑥 (2.2a)

휀𝑥𝑦 𝑥 =1

2 𝑑𝑠𝑦

𝑑𝑥+

𝑑𝑠𝑥

𝑑𝑦 =

1

2 𝜈′ 𝑥 − 𝜃𝑧 𝑥 (2.2b)

휀𝑥𝑧 𝑥 =1

2 𝑑𝑠𝑧

𝑑𝑥+

𝑑𝑠𝑥

𝑑𝑧 =

1

2 𝑤 ′ 𝑥 + 𝜃𝑦 𝑥 (2.2c)

Folosind ipotezele din teoria Euler-Bernoulli rezultă:

𝜈′ 𝑥 − 𝜃𝑧 𝑥 = 0 => 휀𝑥𝑦 𝑥 = 0 şi 𝜙𝑧 𝑥 = 𝜈" (𝑥) (2.3a)

𝑤 ′ 𝑥 + 𝜃𝑦 𝑥 = 0 => 휀𝑥𝑧 𝑥 = 0 şi 𝜙𝑦 𝑥 = −𝑤" (𝑥) (2.3b)

unde 𝜙𝑧 𝑥 şi 𝜙𝑦 𝑥 sunt curburile secţiunii.

În mod evident formularea Euler-Bernoulli este capabilă să reproducă în mod corect

răspunsul elementelor supuse la moment încovoietor şi forţă axială, iar forţa

tăietoare este dedusă din condiţiile de echilibru static. Această teorie este corectă

atâta timp cât nivelul eforturilor tangenţiale este redus.

Page 24: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

15

Atunci când eforturile şi deformaţiile tangenţiale nu se pot neglija trebuie utilizate

teorii cum este teoria Timoshenko a barelor. Această teorie presupune, în mod

asemănător cu teoria Euler-Bernoulli, că secţiunile plane rămân plane dar nu mai

sunt normale la axa barei, ci sunt rotite la un anumit unghi (vezi figura 2.1c):

𝜈′ 𝑥 − 𝜃𝑧 𝑥 ≠ 0 => 휀𝑥𝑦 𝑥 ≠ 0 (2.4a)

𝑤 ′ 𝑥 + 𝜃𝑦 𝑥 ≠ 0 => 휀𝑥𝑧 𝑥 ≠ 0 (2.4b)

Chiar dacă se consideră rotirea suplimentară a secţiunii, relaţiile 2.2 rămân valabile

iar rotirile şi curburile se pot scrie sub forma:

𝜃𝑧 = 𝜈′ 𝑥 − 𝛾𝑥𝑦 (𝑥) (2.5)

𝜃𝑦 = −𝑤 ′ 𝑥 + 𝛾𝑥𝑧 (𝑥) (2.6)

𝜙𝑧 𝑥 = 𝜃𝑧′ (𝑥) (2.7)

𝜙𝑦 𝑥 = 𝜃𝑦′ (𝑥) (2.8)

cu 𝛾𝑥𝑦 (𝑥) = 2휀𝑥𝑦 (𝑥) şi 𝛾𝑥𝑧(𝑥) = 2휀𝑥𝑧 (𝑥)

Deşi caracterul mai general al elementelor de bară formulate după teoria

Timoshenko este evident, utilizarea acestora în programele de element finit a fost şi

este încă restrânsă. Acest lucru se datorează pe de o parte unei probleme de ordin

teoretic, pe de alta parte unei probleme de ordin numeric.

Din punct de vedere teoretic, conform teoriei clasice a Rezistenţei Materialelor,

eforturile tangenţiale şi deformaţiile tangenţiale variază pe înălţimea secţiunii pe

cand în teoria Timoshenko a barelor aceste eforturi sunt constante. Remedierea

acestei probleme se poate face prin introducerea unui coeficient de corecţie la forţă

tăietoare , care, conform lui Reissner se poate calcula pornind de la echivalenţa

între energia internă de deformţie U1, asociată unei distribuţii exacte a eforturilor

tangenţiale pe secţiunea reală a grinzii A şi energia de deformaţie internă U2,

asociată unei distribuţii constante acţionând pe o secţiune redusă Ag (aria efectivă la

forţă tăietoare).

Problema de ordin numeric este cunscută în literatura de specialitate (Reddy, 1997)

ca problema blocajului la forţă tăietoare („Shear Locking”). Acest fenomen constă

Page 25: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

16

într-o supraestimare a rigidităţii la forfecare a grinzilor zvelte în cazul folosirii unor

elemente finite cu funcţii liniare de interpolare a deplasărilor.

2.2.2. Blocajul la forţă tăietoare

Pentru simplitate se va considera în ceea ce urmează cazul bidimensional al unei

grinzi de tip Timoshenko dintr-un material liniar elastic cu secţiune constantă.

Relaţiile între eforturile secţionale şi deformaţiile generalizate pentru o secţiune

oarecare se pot scrie sub forma:

𝑺 𝑥 = 𝒌𝑠𝒆(𝑥) (2.9)

𝑺 𝑥 𝑇 = 𝑁(𝑥) 𝑉𝑦(𝑥) 𝑀𝑧(𝑥) (2.10)

𝒆 𝑥 𝑇 = 𝑢′(𝑥) 𝑣 ′ 𝑥 − 𝜃𝑧(𝑥) 𝜃𝑧′ (𝑥) (2.11)

Matricea de rigiditate secţională se poate scrie ca:

𝒌𝑠 =

𝐸𝑑𝐴𝐴

0 − 𝐸𝑦𝑑𝐴𝐴

𝜅 𝐺𝑑𝐴𝐴

0

𝑠𝑖𝑚. 𝐸𝑦2𝑑𝐴𝐴

(2.12)

În cazul secţiunilor simetrice matricea de rigiditate secţională este:

𝒌𝑠 = 𝐸𝐴 0 0

𝜅𝐴𝐺 0𝑠𝑖𝑚. 𝐸𝐼

(2.13)

Deoarece în teoria Timoshenko este valabilă ecuaţia 2.4, folosind funcţii de

interpolare liniare se pot aproxima separat 𝑢 𝑥 , 𝑣 𝑥 şi 𝜃𝑧(𝑥) în funcţie de

deplasările nodale 𝑢𝑖 , 𝑣𝑖 şi 𝜃𝑧 ,𝑖 (i = 1,2):

𝑢 𝑥

𝑣 𝑥

𝜃𝑧 𝑥 =

𝑁1 0 0 𝑁2 0 00 𝑁3 0 0 𝑁4 00 0 𝑁5 0 0 𝑁6

𝑢1

𝜈1

𝜃1

𝑢2

𝜈2

𝜃2

(2.14)

Page 26: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

17

cu:

𝑁1,3,5 = 1 −𝑥

𝐿 (2.15)

𝑁2,4,6 =𝑥

𝐿 (2.16)

Deformaţiile generalizate se pot scrie fie sub forma:

𝒆 𝑥 𝑇 = 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑟𝑜𝑡 (2.17)

𝑒𝑥 = 𝑢′ 𝑥 = −1

𝐿𝑢1 +

1

𝐿𝑢2 = 𝑁1

′𝑢1 + 𝑁2′𝑢2 (2.18a)

𝑒𝑦 = 𝜈′ 𝑥 − 𝜃𝑧 𝑥 = 𝑁3′𝜈1 + 𝑁4

′𝜈2 − 𝑁5𝜃1 − 𝑁6𝜃2 (2.18b)

𝑒𝑟𝑜𝑡 = 𝜃𝑧′ 𝑥 = 𝑁5

′𝜃1 + 𝑁6′𝜃2 (2.18c)

fie sub formă matriceală:

𝒆(𝑥) =

𝑁1′ 0 0 𝑁2

′ 0 0

0 𝑁3′ −𝑁5 0 𝑁4

′ −𝑁6

0 0 𝑁5′ 0 0 𝑁6

𝑢1

𝜈1

𝜃1

𝑢2

𝜈2

𝜃2

(2.19)

fie în formă restrânsă:

𝒆 𝑥 = 𝑩 𝑥 𝒖 (2.20)

Ecuaţia lucrului mecanic virtual considerând o încărcare liniară py(x), distribuită în

lungul elementului, se poate scrie sub forma:

𝛿휀𝑥𝑥𝜎𝑥𝑥 + 2𝛿휀𝑥𝑦𝜎𝑥𝑦𝑑𝑉 =𝑉

𝑝𝑦 𝑥 𝛿𝜈 𝑥 𝑑𝑥𝐿

0 (2.21)

Iar prin folosirea ecuaţiilor (2.2) pentru cazul bidimensional rezultă:

𝜎𝑥𝑥 𝛿𝑢

′ 𝑥 − 𝑦𝛿𝜃𝑧′ 𝑥 +

𝐴𝜎𝑥𝑦 𝛿𝜈

′ 𝑥 − 𝛿𝜃𝑧′ 𝑥 𝑑𝐴𝑑𝑥

𝐿

0

= 𝑝𝑦 𝑥 𝛿𝜈 𝑥 𝑑𝑥𝐿

0

(2.22)

Page 27: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

18

Folosind ecuaţiile clasice pentre eforturile secţionale ecuaţia anterioară se reduce la:

𝑁𝛿𝑢′ 𝑥 + 𝑉𝑦𝛿𝛾𝑥𝑦 𝑥 + 𝑀𝑧𝛿𝜃𝑧 𝑥 𝑑𝑥𝐿

0= 𝑝𝑦 𝑥 𝛿𝜈 𝑥 𝑑𝑥

𝐿

0 (2.23)

relaţie care se mai poate scrie şi sub forma:

𝛿𝒆 𝑥 𝑆 𝑥 𝑑𝑥𝐿

0= 𝑝𝑦 𝑥 𝛿𝜈 𝑥 𝑑𝑥

𝐿

0=>

𝛿𝒆 𝑥 𝑘𝑠𝑒 𝑥 𝑑𝑥𝐿

0= 𝑝𝑦 𝑥 𝛿𝜈 𝑥 𝑑𝑥

𝐿

0 (2.24)

Rezultă de aici matricea de rigiditate a elementului :

𝑲𝑒 = 𝑩𝑇𝒌𝑠𝑩𝑑𝑥𝐿

0 (2.25)

Prin integrare se obţine o matrice de rigiditate de forma:

𝑲𝑒 =

𝐸𝐴

𝐿0 0 −

𝐸𝐴

𝐿0 0

0𝜅𝐴𝐺

𝐿

𝜅𝐴𝐺

20 −

𝜅𝐴𝐺

𝐿

𝜅𝐴𝐺

2𝐸𝐼

𝐿+

𝜅𝐴𝐺𝐿

30 −

𝜅𝐴𝐺

2−

𝐸𝐼

𝐿+

𝜅𝐴𝐺𝐿

6𝐸𝐴

𝐿0 0

𝜅𝐴𝐺

𝐿−

𝜅𝐴𝐺

2

𝑠𝑖𝑚.𝐸𝐼

𝐿+

𝜅𝐴𝐺𝐿

3

(2.26)

Considerând cazul unei console cu secţiune dreptunghiulară b x h încărcată cu o

forţă laterală P la extremitatea liberă, rezulatatele date de soluţia analitică şi cea

numerică prin folosirea unui singur element sunt următoarele:

a) Analitic

i. Rotirea la capătul liber 𝜃 𝑥 = 𝐿 =𝑃𝐿2

2𝐸𝐼

ii. Deplasarea la capătul liber 𝜈 𝑥 = 𝐿 =𝑃𝐿3

3𝐸𝐼+

𝑃𝐿

𝜅𝐺𝐴

b) Numeric

i. Rotirea la capătul liber 𝜃 𝑥 = 𝐿 =𝑃𝐿2

2𝐸𝐼𝛼

Page 28: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

19

ii. Deplasarea la capătul liber 𝜈 𝑥 = 𝐿 =𝑃𝐿3

4𝐸𝐼𝛼 +

𝑃𝐿

𝜅𝐺𝐴

cu 𝛼 =1

1+𝐿2𝜅𝐺

𝑕2𝐸

Fenomenul de blocaj la forţă tăietoare în cazul elementului finit prezentat anterior

se poate pune în evidenţă prin scăderea rotirii atunci când raportul L/h creşte. Spre

exemplu, atunci când raportul L/h =10 => 𝜃 𝑥 = 𝐿 = 0,303𝜃𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐 .

In mod evident, utilizarea unui număr mare de elemente reduce diferenţa dintre

rezultatele teoretice şi cele numerice, dar acest lucru face ca rezultatele obţinute prin

utilizarea acestui tip de element să fie sensibile la nivelul de discretizare.

În ultimii 30 de ani s-au propus mai multe soluţii de evitare a blocajului la forţă

tăietoare, abordările adoptate fiind următoarele:

- Integrare selectivă – constă în integrarea analitică a termenilor care

depind de încovoiere şi integrarea separată a termenilor care depind de

forţa tăietoare (Hughes et al., 1977);

- Presupunerea unei deformaţii constante la forţă tăietoare (Hughes şi

Tezduyar, 1981);

- Folosirea unor funcţii de tip “ bubble » (Ibrahimbegovic şi Wilson,

1991);

- Folosirea unor funcţii de interpolare de ordin superior, în care variabilele

𝜈 𝑥 şi 𝜃(𝑧) nu mai sunt independente. Aceste funcţii au fost dezvoltate

pornind de la faptul că toate elementele bazate pe integrare separată a

deplasărilor şi rotirilor 𝜈 𝑥 şi 𝜃(𝑧) sunt supuse fenomenului de blocaj

(Stolarski şi Belitschko, 1983, Friedman şi Kosmatka, 1993).

Un tip de element care foloseşte funcţii de interpolare de ordin superior a fost

propus de Friedman şi Kosmatka în 1993.

Funcţiile de interpolare a deplasărilor sunt derivate din ecuaţiile de echilibru:

𝐸𝐼𝜃" (𝑥) + 𝜅𝐺𝐴(𝜈′(𝑥) − 𝜃(𝑥)) = 0 (2.27)

𝜅𝐺𝐴(𝜈"(𝑥) − 𝜃′(𝑥)) = −𝑝𝑦 (2.28)

şi din faptul că, pentru a fi îndeplinită prima relaţie de echilibru, trebuie impusă

condiţia ca polinomul de interpolare pentru deplasările transversale 𝜈 𝑥 să fie

superior cu un ordin celui folosit pentru rotire 𝜃(𝑥). Pentru cazul bidimensional

Page 29: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

20

rezultă următoarele relaţii (derivarea funcţiilor este dată în anexa A pentru cazul

tridimensional):

𝑢 𝑥

𝑣 𝑥

𝜃𝑧 𝑥 =

𝑁1 0 0 𝑁2 0 00 𝑁3 𝑁4 0 𝑁5 𝑁6

0 𝑁7 𝑁8 0 𝑁9 𝑁10

𝑢1

𝜈1

𝜃1

𝑢2

𝜈2

𝜃2

(2.29)

𝑁1 = 1 − 𝑥/𝐿

𝑁2 =𝑥

𝐿

𝑁3 =1

1+𝜙 2

𝑥

𝐿

3

− 3 𝑥

𝐿

2

− 𝜙 𝑥

𝐿 + 1 + 𝜙

𝑁4 =𝐿

1+𝜙

𝑥

𝐿

3

− 2 +𝜙

2

𝑥

𝐿

2

+ 1 +𝜙

2

𝑥

𝐿

𝑁5 = −1

1+𝜙 2

𝑥

𝐿

3

− 3 𝑥

𝐿

2

− 𝜙 𝑥

𝐿

𝑁6 =𝐿

1+𝜙

𝑥

𝐿

3

− 1 −𝜙

2

𝑥

𝐿

2

−𝜙

2 𝑥

𝐿

𝑁7 =6

1+𝜙 𝐿

𝑥

𝐿

2

− 𝑥

𝐿

𝑁8 =1

1+𝜙 3

𝑥

𝐿

2

− 4 + 𝜙 𝑥

𝐿 + 1 + 𝜙

𝑁9 =6

1+𝜙 𝐿

𝑥

𝐿

2

− 𝑥

𝐿

𝑁10 =1

1+𝜙 3

𝑥

𝐿

2

− 2 − 𝜙 𝑥

𝐿

(2.30)

Unde 𝜙 este raportul dintre rigiditatea la încovoiere şi rigiditatea la forfecare a

elementului:

𝜙 =12

𝐿 𝐸𝐼

𝜅𝐺𝐴 (2.31)

Matricea de rigiditate a elementului determinată prin folosirea acestor funcţii de

interpolare este una exactă, rezultatele obţinute prin folosirea unui singur element

cu două noduri fiind identice cu cele din metoda analitică.

Page 30: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

21

2.3. Tipuri de formulare

2.3.1. Convenţii şi notaţii

În figurile 2.2 şi 2.3 sunt reprezentate cele trei sisteme de referinţă folosite în

metoda elementului finit: sistemul global de referinţă (X, Y, Z), sistemul local al

elementului (x, y, z) şi cel secţional (xs, ys, zs).

Figura 2.2. Sistemele de referinţă şi variabilele în aceste sisteme

X

Y

Z

MZG

FZG

FXG

MXG

Q1E

Q2E

2

(QG , uG) (QE , uE)

a) Sistemul global si variabilele nodale

globale

b) Variabilele nodale globale ale

elementului

MYG

FYG

1

Q1f

Q2f

(Qf , uf)

d) Variabilele locale ale elementului la capetele zonelor infinit rigide

(cu miscarea de corp rigid inclusa)

Q1

Q2

x

y

z (Q, u)

e) Variabilele locale ale elementului

la capetele zonelor infinit rigide

(fara miscarea de corp rigid inclusa)

Q1e

Q2e

(Qe , ue)

c) Variabilele nodale locale ale

elementului

2

1

E2

E1

E2

E1

Page 31: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

22

Figura 2.3. Variabilele în coordonate secţionale

Translaţiile şi rotirile nodale sunt notate cu uξ, respectiv θξ, unde ξ reprezintă

sistemul de coordonte în care sunt scrise deplasările nodale. În mod asemănător,

forţele şi momentele sunt notate cu Fξ respectiv Mξ. Componentele pozitive ale

acestora sunt orientate în sensul pozitiv al axelor. Indicii superiori sunt folosiţi

pentru a indica nodurile elementului (pentru tot elementul, inclusiv zonele infinit

rigide) sau secţiunile care delimitează partea flexibilă a acestuia (fără zonele infinit

rigide).

Conform figurii 2.2a, vectorii forţelor şi deplasărilor în sistemul global se pot scrie:

𝑸𝐺 = 𝐹𝑋𝐺 𝐹𝑌

𝐺 𝐹𝑍𝐺 𝑀𝑋

𝐺 𝑀𝑌𝐺 𝑀𝑍

𝐺 𝑇 (2.32)

𝒖𝐺 = 𝑢𝑋𝐺 𝑣𝑌

𝐺 𝑤𝑍𝐺 𝜃𝑋

𝐺 𝜃𝑌𝐺 𝜃𝑍

𝐺 𝑇 (2.33)

La nivelul elementului, acestea se pot scrie în funcţie de sistemul ales :

- în sistem global:

𝑸𝐸 = 𝑄1𝐸

𝑄2𝐸 (2.34)

𝒖𝐸 = 𝑢1𝐸

𝑢2𝐸 (2.35)

𝑸𝑖𝐸 = 𝐹𝑋𝑖

𝐸 𝐹𝑌𝑖𝐸 𝐹𝑍𝑖

𝐸 𝑀𝑋𝑖𝐸 𝑀𝑌𝑖

𝐸 𝑀𝑍𝑖𝐸

𝑇 (2.36)

𝒖𝑖𝐸 = 𝑢𝑋𝑖

𝐸 𝑣𝑌𝑖𝐸 𝑤𝑍𝑖

𝐸 𝜃𝑋𝑖𝐸 𝜃𝑌𝑖

𝐸 𝜃𝑍𝑖𝐸

T (2.37)

- în sistemul local al elementului:

a) la nivelul nodurilor

Mz

x

y

z (Q , u)

E1 xs

Vz

My

Vy

ns Nx Mx

zs

ys

Page 32: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

23

𝑸𝑒 = 𝑄1𝑒

𝑄2𝑒 (2.38)

𝒖𝑒 = 𝑢1𝑒

𝑢2𝑒 (2.39)

𝑸𝑖𝑒 = 𝐹𝑥𝑖

𝑒 𝐹𝑦𝑖𝑒 𝐹𝑧𝑖

𝑒 𝑀𝑥𝑖𝑒 𝑀𝑦𝑖

𝑒 𝑀𝑧𝑖𝑒 𝑇 (2.40)

𝒖𝑖𝑒 = 𝑢𝑥𝑖

𝑒 𝑣𝑦𝑖𝑒 𝑤𝑧𝑖

𝑒 𝜃𝑥𝑖𝑒 𝜃𝑦𝑖

𝑒 𝜃𝑧𝑖𝑒 𝑇 (2.41)

b) la extremităţile părţii flexibile a elementului

𝑸𝑓 = 𝑄1𝑓

𝑄2𝑓 (2.42)

𝒖𝑓 = 𝑢1𝑓

𝑢2𝑓 (2.43)

𝑸𝑖𝑓

= 𝐹𝑥𝑖𝑓

𝐹𝑦𝑖𝑓

𝐹𝑧𝑖𝑓

𝑀𝑥𝑖

𝑓𝑀𝑦𝑖

𝑓𝑀𝑧𝑖

𝑓 𝑇 (2.44)

𝒖𝑖𝑓

= 𝑢𝑥𝑖𝑓

𝑣𝑦𝑖𝑓

𝑤𝑧𝑖

𝑓𝜃𝑥𝑖𝑓

𝜃𝑦𝑖𝑓

𝜃𝑧𝑖𝑓 𝑇 (2.45)

c) în sistemul de coordonate al elementului, la extremităţile părţii flexibile a

acestuia fără mişcarea de corp rigid inclusă

𝑸 = 𝑄1

𝑄2 (2.46)

𝒖 = 𝑢1

𝑢2 (2.47)

𝑸𝑖𝑓

= 𝐹𝑥𝑖 𝐹𝑦𝑖 𝐹𝑧𝑖 𝑀𝑥𝑖 𝑀𝑦𝑖 𝑀𝑧𝑖 𝑇 (2.48)

𝒖𝑖 = 𝑢𝑥𝑖 𝑣𝑦𝑖 𝑤𝑧𝑖𝜃𝑥𝑖 𝜃𝑦𝑖 𝜃𝑧𝑖

𝑇 (2.49)

iar i = 1,2.

La nivel secţional, vectorii eforturilor, deformaţiilor specifice şi ai deplasărilor se

scriu în sistemul local după cum urmează:

𝑺 = 𝑺 𝑥 = 𝑁𝑥𝑠 𝑉𝑦𝑠 𝑉𝑧𝑠 𝑀𝑥𝑠 𝑀𝑦𝑠 𝑀𝑧𝑠 𝑇 (2.50)

Page 33: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

24

𝒆 = 𝒆 𝑥 = 휀𝑥𝑠 𝛾𝑥 ,𝑦𝑠 𝛾𝑥 ,𝑧𝑠 𝜙𝑥𝑠 𝜙𝑦𝑠 𝜙𝑧𝑠 𝑇 (2.51)

𝒂 = 𝒂 𝑥 = 𝑢𝑥𝑠 𝑣𝑦𝑠 𝑤𝑧𝑠 𝜃𝑥𝑠 𝜃𝑦𝑠 𝜃𝑧𝑠 𝑇 (2.52)

În general, sistemul de coordonate secţional (xs, ys, zs) se consideră coliniar cu

sistemul elementului, astfel încât se poate renunţa la acesta. Vectorul unitar normal

ns defineşte sistemul local al secţiunii şi, implicit, direcţiile pozitive pentru eforturi

unitare, deformaţii specifice şi deplasări.

Forţele exterioare se pot încadra în:

- forţe nodale şi/sau deplasări nodale impuse;

- forţe exterioare aplicate în lungul elementelor, aşa cum este arătat în

figura 2.4, respectiv în ecuaţiile 2.53 şi 2.54.

𝒑 = 𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑝𝑧 𝑚𝑥 𝑚𝑦 𝑚𝑧 𝑇 (2.53)

𝑷 = 𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑃𝑧 𝜇𝑥 𝜇𝑦 𝜇𝑧 𝑇 (2.54)

Figura 2.4. Forţele care actionează asupra elementului

Pentru situaţiile curente, momentele distribuite sau concentrate se pot neglija, iar

relaţiile 2.22 şi 2.23 devin :

𝒑 = 𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑝𝑧 𝑇 (2.55)

𝑷 = 𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑃𝑧 𝑇 (2.56)

y z

x E1 ns pz

Pz

Py

L

x

E2

Px px

py my

mx

mz

y

Py

x

z

Page 34: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

25

Pentru scrierea ecuaţiilor de echilibru este necesară definirea rezultantei date de

forţele şi de momentele care acţionează asupra elementului. Vectorul forţelor

rezultante care acţionează pe o distanţă x de la extremitatea E1 a părţii flexibile a

elementului se scrie astfel:

𝑹 = 𝑹 𝑥 = 𝑅𝑥 𝑅𝑦 𝑅𝑧 𝑀𝑥 𝑀𝑦 𝑀𝑧 (2.57)

Rezultanta forţelor distribuite pe toată lungimea elementului se poate scrie ca:

𝑹 = 𝑹 𝐿 = 𝑅𝑥𝐿 𝑅𝑦

𝐿 𝑅𝑧𝐿 𝑀𝑥

𝐿 𝑀𝑥𝐿 𝑀𝑥

𝐿 (2.58)

Relaţiile între variabilele definite în cele cinci sisteme de coordonate se deduc din

condiţiile topologice, geometrice, de echilibru şi de compatibilitate.

Relaţiile topologice fac legătura între variabilele definite în sistemul global (QG,u

G)

cu cele din sistemul global al elementului (QE,u

E), aceste relaţii fiind deduse

folosind metodele din analiza matriceală a structurilor.

Relaţiile geometrice constau în transformări geometrice de rotire şi fac legătura

între sistemul global (QE,u

E) al elementului şi cel local (Q

e,u

e).

Transformările din sistemul local al elementului (Qe,u

e) în sistemul local al părţii

flexibile a acestuia (Qf,u

f) se fac pe baza ecuaţiilor de echilibru a zonelor infinit

rigide:

𝑸𝑒 = 𝑻𝑟𝑸𝑓 şi 𝒖𝑓 = 𝑻𝑟 𝑇𝒖𝑒 (2.59)

unde Tr este matricea de transformare dată de relaţia:

𝑻𝑟 =

𝐼 0 0 0 𝑇1

𝑟 𝐼 0 0

0 0 𝐼 0

0 0 𝑇2𝑟 𝐼

(2.60)

cu 𝑻1𝑟 =

0 0 00 0 −𝑙10 𝑙1 0

, 𝑻2𝑟 =

0 0 00 0 −𝑙20 𝑙2 0

şi 0 , I matrici zero, respectiv

identitate, cu dimensiunea de (3x3). Lungimile l1 si l2 reprezintă lungimile zonelor

infinit rigide.

Variabilele locale ale elementului la capetele zonei flexibile fără mişcarea de corp

rigid inclusă se deduc cu relaţiile:

Page 35: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

26

𝑸𝑓 = 𝑻𝑏𝑸 + 𝑸𝑝𝑓 (2.61)

cu:

𝑻𝑏 =

1 0 0 0 0 0

0 0 01

𝐿0

1

𝐿

0 0 −1

𝐿0 −

1

𝐿0

0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0−1 0 0 0 0 0

0 0 0 −1

𝐿0 −

1

𝐿

0 01

𝐿0

1

𝐿0

0 −1 0 0 0 00 0 −1 0 0 00 0 0 −1 0 0

şi 𝑸𝑝𝑓

=

0𝑀𝑧𝐿

𝐿

−𝑀𝑦𝐿

𝐿

000

−𝑅𝑋𝐿

−𝑅𝑥𝐿 −

𝑀𝑧𝐿

𝐿

−𝑅𝑧𝐿 +

𝑀𝑦𝐿

𝐿

−𝑀𝑥𝐿

𝐿

0

Presupunând ipoteza deformaţiilor mici, relaţia între deformaţiile cu şi fără mişcare

de corp rigid se poate scrie:

𝒖 = 𝑻𝑏 𝑇𝒖𝑓 (2.62)

2.3.2. Elemente cu formulare în deplasări

În cazul elementelor cu formulare în deplasări este necesară folosirea funcţiilor de

interpolarea a deplasărilor pentru a aproxima deformaţiile interioare ale

elementului, funcţie de deplasările nodale cu mişcare de corp rigid. Notând cu

incrementul variabilelor semnificative, aproximarea deplasărilor şi a câmpului de

deformaţii se face cu relaţiile:

∆𝒂 𝑥 = 𝑵 𝑥 ∙ Δ𝒖𝑓 (2.63)

Δ𝒆 𝑥 = 𝜕Δ𝒂 𝑥 (2.64)

Din cele două relaţii de mai sus se poate deduce relaţia între incrementul

deformaţiilor secţionale şi cel al deplasărilor nodale.

Δ𝒆 𝑥 = 𝑩 𝑥 ∙ Δ𝒖𝑓 (2.65)

Page 36: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

27

unde:

N(x) – repezintă matricea funcţiilor de interpolare a deplasărilor

B(x) = ∂N(x) – reprezintă matricea funcţiilor de interpolare a deformaţiilor

secţionale

Incrementul vectorului eforturilor secţionale se poate determina folosind relaţia

liniară între matricea de rigiditate secţională ks(x) şi incrementul deformaţiilor

secţionale e(x):

Δ𝑺 𝑥 = 𝒌𝑠(𝑥)Δ𝒆 𝑥 (2.66)

Relaţia între incrementul forţelor elementului şi cel al eforturilor secţionale se poate

deduce din aplicarea principiului lucrului mecanic virtual:

𝛿𝒖𝑓 𝑇 ∙ Δ𝑸𝑓 = 𝛿𝒆𝑇(𝑥) ∙ Δ𝑺 𝑥 𝑑𝑥𝐿

0 (2.67)

Substituind relaţia 2.66 în relaţia 2.67 se obţine relaţia clasică din metoda

deplasărilor:

Δ𝑸𝑓 = 𝑲𝑓Δ𝒖𝑓 (2.68)

unde Kf este matricea de rigiditate a elementului dată de relaţia:

𝑲𝑓 = 𝑩𝑇(𝑥) ∙ 𝒌𝑠(𝑥) ∙ 𝑩𝑇(𝑥)𝑑𝑥 𝐿

0 (2.69)

Forţele interioare ale elementului se pot deduce tot din relaţia 2.67, funcţie de

eforturile secţionale:

𝑸𝑟𝑓

= 𝑩𝑇 𝑥 ∙ 𝑺𝑟 𝑥 𝑑𝑥𝐿

0 (2.70)

Ecuaţiile de echilibru pentru o structură cu comportare liniară sau neliniară se poate

pune sub forma QrG(uG)=QG, unde QrG reprezintă forţele interioare ale structurii

exprimate în funcţie de deplasările acesteia, uG, iar QG este vectorul forţelor

exterioare. În cazul structurilor cu comportare neliniară, rezolvarea sistemului de

ecuaţii presupune un proces iterativ care, datorită faptului că programele de element

finit se bazează pe scrierea directă a matricii de rigiditate, se exprimă sub forma:

𝑸𝑟𝐺,𝑖 + 𝑲𝑡

𝑖−1Δ𝒖𝐺,𝑖 = 𝑸𝐺,𝑘 (2.71)

Page 37: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

28

unde:

𝑸𝑟𝐺,𝑖

– reprezintă vectorul forţelor interioare la pasul i al iteraţiei;

𝑲𝑡𝑖−1 – reprezintă matricea de rigiditate a structurii la pasul i-1 al iteraţiei;

Δ𝒖𝐺 ,𝑖 – reprezintă incrementul vectorului deformaţiilor la i;

QG,k

– vectorul forţelor exterioare la pasul k de încărcare.

Procedeul iterativ de rezolvare a ecuaţiilor de echilibru este de tip Newton- Raphson

sau variaţii ale acestuia, care, în cazul elementelor cu formulare în deplasări, se face

parcurgând următoarele etape care sunt schematizate şi în figura 2.5:

- folosind matricea de rigiditate a structurii (iniţială, tangenţială sau secantă,

în funcţie de algoritmul folosit) pentru un anumit increment al încărcării

ΔQG,K ( sau o corecţie a pasului de încărcare) se poate obţine o estimare a

incrementului vectorului de deplasări ΔuG şi vectorul deplasărilor u

G;

- cunoscând vectorul deplasărilor structurale în sistemul global, se pot

determina deplasările nodale şi, prin intermediul relaţiei (2.65), deformaţiile

secţionale e(x);

- legile constitutive ale secţiunii sunt, în general, scrise în funcţie de e(x),

ceea ce permite determinarea matricii de rigiditate secţională ks(x) şi a

eforturilor secţionale Sr(x);

- folosind relaţiile 2.70 şi 2.69 se pot determina forţele interioare (𝑸𝑟𝑓) şi

matricea de rigiditate a elementului (Kf);

- forţele interioare şi matricile de rigiditate ale elemetelor se asamblează la

nivelul structurii şi se verifică îndeplinirea ecuaţiilor de echilibru.

În cazul elementelor cu formulare în deplasări, funcţiile de interpolare a

deformaţiilor sunt în general deduse pornind de la elemente cu secţiune

dreptunghiulară, considerând o comportare elastică a acestora. Prin urmare, aceste

funcţii de interpolare sunt valide doar în aceste cazuri. Folosirea lor în calculul

neliniar trebuie însoţită de o discretizare a elementului, aproximaţiile induse de

funcţiile de formă reducându-se pe ansamblul elementului. Chiar şi în cazul folosirii

unei discretizări, problemele legate de supraevaluarea rezistenţei şi rigidităţii şi de

neîndeplinirea condiţiilor de echilibru rămân şi trebuie eliminate printr-o calibrare a

elementului aşa cum este descris în paragraful 2.4.

Page 38: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

29

Figura 2.5. Procesul iterativ de rezolvare a ecuaţiilor de echilibru

pentru elementele cu formulare în deplasări (adaptat după Filippou, 1999)

2.3.3. Elemente cu formulare în forţe

Pentru elementele cu formulare în forţe, funcţiile de interpolare a deplasărilor nu

mai sunt folosite şi se introduc funcţii de interpolare a forţelor determinate din

ecuaţiile de echilibru.

Ecuaţiile diferenţiale de echilibru în stare nedeformată, considerând un element de

lungime infinitezimală, se scriu sub forma:

𝜕𝑁

𝜕𝑥+ 𝑝𝑥 𝑥 = 0 (2.72)

𝜕𝑀𝑦

𝜕𝑥+ 𝑝𝑧 𝑥 = 0 (2.73)

𝜕𝑀𝑧

𝜕𝑥+ 𝑝𝑦 𝑥 = 0 (2.74)

Aşa cum se observă, ecuaţiile de mai sus nu depind de deformaţiile elementului sau

de modul de comportare (elastic sau inelastic).

In cazul particular al elementelor fără forţe exterioare distribuite în lungul lor,

aceste ecuaţii permit scrierea eforturilor secţionale în funcţie de forţele nodale:

Q𝑟k,i = BT(x) ∙ Sr

i (x)dx

𝐿

0

K𝑓 ,𝑖 = BT (x) ∙ ksi (x) ∙ BT (x)dx

𝐿

0

e S S

Secţiune

𝑆𝑟𝑖 x

Element

Q

Q

u u

Q𝑟𝐺 u𝐺 = QG

Q𝑟k,i + K𝑡

k,i−1ΔuG,i = QG,k

K𝑡k,i = A Kf,i si Q𝑟

k,i = A Qf,i

𝑘𝑠𝑖 x

Str

uctu

e𝑖 x = B(x)u𝑓 ,𝑖

Q𝑟k,i + K𝑡

k,i−1ΔuG,i = QG,k

u𝐺,𝑖 = u𝐺,𝑖−1 + Δu𝐺,𝑖

u𝐺 ,𝑖 → u𝑓 ,𝑖

Page 39: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

30

𝑺 𝑥 = 𝒃 𝑥 𝑸 (2.75)

iar în cazul general, prin scrierea ecuaţiilor de echilibru pentru o parte din element,

cuprinsă între extremitatea E1 şi o secţiune aflată la distanţa x, rezultă următoarea

relaţie:

𝑺 𝑥 = 𝒃 𝑥 𝑸 + 𝑺𝒑(𝑥) (2.76)

𝒃 𝑥 =

−1 0 0 0 0 0

0 0 0 −1

𝐿0 −

1

𝐿

0 01

𝐿0

1

𝐿0

0 −1 0 0 0 00 0 −1 0 0 00 0 0 −1 0 0

(2.77)

𝑺𝒑 𝑥 =

−𝑅x𝐿

−𝑀𝑧𝐿

𝐿− 𝑅y

𝐿

𝑀𝑦𝐿

𝐿− 𝑅z

𝐿

−𝑀𝑥

x My

L

L − My

x Mz

L

L − Mz

(2.78)

unde matricea b(x) reprezintă matricea funcţiilor de interpolare a forţelor.

Relaţia între deformaţiile şi eforturile secţionale depinde doar de formularea aleasă

(secţiuni de tip multifibră sau legi constitutive) şi se poate scrie în formă

incrementală funcţie de matricea de flexibilitate a secţiunii:

∆𝒆 𝑥 = 𝒇𝑠(𝑥) ∙ ∆𝑺(𝑥) (2.79)

În cazul unei comportări inelastice, matricea de flexibilitate depinde de starea de

deformaţii şi de istoria acestora, astfel încât, aplicarea directă a relaţiei (2.79) nu

este posibilă, un proces iterativ fiind necesar la nivel secţional în toate punctele de

integrare.

Folosind principiul lucrului mecanic virtual se poate determina relaţia dintre

incrementul deplasărilor nodale Δ𝒖 şi al deformaţiilor secţionale Δ𝒆:

𝛿𝑸𝑇 ∙ Δ𝒖 = 𝛿𝑺𝑇(𝑥)𝐿

0∙ Δ𝒆 𝑥 𝑑𝑥 (2.80)

Page 40: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

31

Prin substituirea relaţiilor 2.75 şi 2.79 în relaţia 2.80 se obţine relaţia clasică din

metoda forţelor:

Δ𝒖 = 𝑭Δ𝑸 (2.81)

unde F este matricea de flexibilitate a elementului dată de relaţia:

𝑭 = 𝒃𝑇(𝑥) ∙ 𝒇𝑠(𝑥) ∙ 𝒃𝑇(𝑥)𝑑𝑥 L

0 (2.82)

Ecuaţia 2.81 se poate rescrie în funcţie de deplasările de la extremităţile părţii

flexibile a elementului şi de deformaţiile secţionale, astfel încât să se obţină relaţia

dintre aceste:

𝒖 = 𝒃𝑇 𝑥 𝒆 𝑥 𝑑𝑥𝐿

0 (2.83)

Pentru a obţine matricea de rigiditate este necesară inversarea matricii de

flexibilitate (K=F-1

) şi transformarea din sistemul de coordonate al părţii flexibile

fără mişcare de corp rigid în cel al părţii flexibile cu mişcare de corp rigid:

𝑲𝒇 = 𝑻𝑏 𝑇 ∙ 𝑲 ∙ 𝑻𝑏 (2.84)

Asamblarea matricii de rigiditate a structurii (KG) se face pornind de la matricea de

rigiditate a fiecărui element în coordonate globale (KE), matrice care se obţine prin

transformarea geometrică (schimbarea de bază) a matricii elementului din

coordonate locale (Ke). Matricea elementului în coordonate locale este dată de

relaţia:

𝑲𝒆 = 𝑻𝒓 𝑻 ∙ 𝑲𝒇 ∙ 𝑻𝒓 (2.85)

În ceea ce priveşte acest tip de elemente se impun câteva comentarii:

- Datorită formulării elementului plecând de la relaţiile de echilibru, aceste

elemente au asigurat echilibru la nivel secţional, indiferent de stadiul de

comportare în care se află, ceea ce le face atractive din punct de vedere al

acurateţii rezultatelor, cu observaţia că în funcţiile de interpolare trebuie

introduse şi soluţiile particulare în cazul existenţei unor forţe uniform

distribuite sau punctuale aplicate de-a lungul elementelor.

- Folosirea funcţiilor de interpolare a forţelor permite determinarea

distribuţiei eforturilor în lungul elementelor (în punctele de integrare) şi

Page 41: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

32

impune un proces iterativ de determinare a deplasărilor şi deformaţiilor

secţionale, proces iterativ care intervine atât la nivelul secţiunii, cât şi la

nivelul elementului. Acest lucru duce la o implementare dificilă a unor

astfel de elemente în programele de element finit, bazate în general pe

metoda deplasărilor. Evident, etapele de implementare într-un program de

element finit diferă de cele descrise la punctul 2.3.2.

Spre deosebire de elementele cu formulare în deplasări, care permit determinarea

directă a deplasărilor şi a deformaţiilor secţionale şi, implict, caracteristicile

elementului (matricile de rigiditate secţională a secţiunilor de integrare şi matricile

de rigiditate ale elementului), la cele cu formulare în forţe procesul iterativ de la

nivelul structurii trebuie dublat de alte două procese iterative: unul la nivelul

elementului şi unul la nivelul secţiunii.

Determinarea caracteristicilor elementului la un pas de încărcare a fost stabilită de

Taucer ( Taucer et al. 1991) şi este prezentat în ceea ce urmează.

Pentru pasul k de încărcare al structurii şi pentru un pas i al iteraţiei de la nivelul

acesteia (vezi figura 2.6), se determină incrementul deplasărilor nodale Δ𝒖𝐺,i

folosind rigiditatea structurii din pasul anterior i-1 şi relaţia 2.81.

Deplasările nodale totale se determină însumând deplasările din pasul i-1 cu

incrementul determinat anterior. Cunoscând deplasările nodale la nivelul structurii,

se pot determina prin transformări succesive deplasările la extremităţile elementelor

(𝒖i).

Figura 2.6. Procedeul iterativ Newton Raphson la nivelul structurii (Taucer et al., 1991)

QG

uG

QG,k

QG,i

QG,i-1

QG,k-1

uG,i-1

uG,i

uG,i+1

uG,k

QG,i+1

A

B

D

A, B, D – pasul „i” al

iteraţiei din procedeul

iterativ Newton-Raphson

la nivelul structurii în

pasul de încărcare „k”

Page 42: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

33

Pornind de la deplasările la extremităţile elementelor se poate începe propriu-zis

procesul iterativ la nivelul elementului. Matricea de flexibilitate a elementului este

cea de la sfârşitul iteraţiei i-1 de la nivelul structurii (𝑭𝑖 ,0 = 𝑭𝑖−1) la fel ca şi

matricile de flexibilitate ale secţiunilor de integrare (fsi,0=fsi-1). Pentru simplitate, se

renunţă la indicele i al iteraţiilor la nivelul structurii, iar pentru iteraţiile la nivelul

elementului şi secţiunii se va folosi indicele j. Procesul începe cu punctul A din

figura 2.7a iar primul increment al forţelor aplicat elementului este calculat folosind

relaţia 𝛥𝑸𝑗=1 = 𝑭0 𝛥𝒖𝒋=𝟏 unde incrementul deplasărilor nodale este 𝛥𝒖1 = 𝒖𝑖 −

𝒖𝑖−1. Se impune precizarea că incrementul deplasărilor la nivelul elementului

trebuie să rămână constant pe tot parcursul procesului iterativ la nivel de element.

Funcţiile de interpolare a forţelor (b(x)) permit determinarea incrementului

eforturilor secţionale ΔS 1(x) (ΔS 1

(x)=b (x) ΔQ 1(x)) şi a predicţiilor incrementului

deplasării Δe1(x) (Δe 1

(x)=f 0(x) ΔS

1(x)). Se pot actualiza în acest fel eforturile (S

1(x)) şi deformaţiile secţionale (e

1(x)) (punctul B din figura 2.7b).

Forţa interioară (Sr1(x)) şi o nouă matrice de flexibilitatea secţională (f

1) se pot

determina pornind de la modelul secţiunii (model multifibră sau lege constitutivă)

prin folosirea deformaţiei secţionale prezise anterior (e 1(x)). Deoarece echilibrul

secţiunii trebuie îndeplinit în mod obligatoriu, procesul iterativ continuă până când

eforturile secţionale reziduale (S 1(x) - (S r

1(x)) se anulează sau sunt inferioare unor

toleranţe impuse. Atunci când ecuaţia de echilibru nu este îndeplintă, deplasarea

reziduală produsă de forţa reziduală (S 1(x) - (S r

1(x)) se determină folosind relaţia

forţă – deformaţie a secţiunii 𝛥𝒆𝑟1(𝑥) = 𝒇1 𝑥 𝑺1 𝑥 − 𝑺𝑟

1 𝑥 .

Dacă la nivelul secţiunii sunt admise deformaţii reziduale conform relaţiei (2.53) şi

la nivelul elementului trebuie să apară deplasările reziduale

Δ𝒖𝒓𝟏 = 𝒃𝑇 𝑥 Δ𝒆𝑟

1(𝑥)dxL

0, iar starea de eforturi şi deplasări ale secţiunilor şi

elementului trebuie să se actualizeze prin deplasarea în punctul B’ (fig. 2.7a şi b).

Cum condiţiile de compatibilitate cinematică împiedică apariţia unor astfel de

deplasări reziduale, pentru anularea acestora asupra elementului trebuie aplicat un

vector forţă de corectare a acestora, Δ𝐐2 = 𝑭1 −1 ∙ −Δ𝒖𝐫𝟏 . Acest vector va

constitui incrementul forţei pentru cea de-a doua iteraţie (j=2). Sub acţiunea acestor

forţe, elementul şi secţiunea ajung în punctul C, iar procesul iterativ continuă până

când deformaţiile reziduale ajung sub o anumită toleranţă.

Page 43: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

34

In figura 2.7, echilibrul se atinge în punctul D, care dă forţele interioare ale

elementului Qi pentru deplasările impuse u

i, iar iteraţia i+1 din procedeul iterativ de

tip Newton – Raphson se poate iniţializa.

Figura 2.7. Procesele iterative de la nivelul elementului şi la nivelul secţiunii (Taucer et

al., 1991)

∆urj−1

= bT 𝐱 ∆er−1 𝐱 d𝐱

L

0

∆𝐮j>1 = 𝟎

∆𝐐j = 𝐅j−1 −1 ∙ ∆𝐮j − ∆𝐮rj−1

𝐐i = 𝐐i + ∆𝐐j

conv .

j =1

Element

Condiţii iniţiale (j=1):

F0=F

i-1 şi ∆u1 ∆u

n

Iteraţie curentă

Qi-1

Q

u u

i-1

Q2

ui

A

B

D

B’

C C’

F0 F

1 F2

Q3

Q1

Qj

ur2

ur1

a) Procedeul iterativ la nivelul elementului

S

u

Si-1

ei-1

S2

e1 ... e

n

A

B

D ∆𝐒j = b∆𝐐j

𝐒i = 𝐒i−1 + ∆𝐒j

conv .

j=1

∆𝐞j = 𝐟 j−1 ∙ ∆𝐒j + ∆𝐞rj−1

𝐞i = 𝐞i−1 + ∆𝐞j

conv .

j=1

∆𝐞rj−1

= 𝐟sj∙ 𝐒j − 𝐒r

j

Secţiune

Condiţii iniţiale (j=1):

fs0= fs

i-1 şi er

0=

Iteraţie curentă

B’

C

C’

fs0 fs

1

fs2

er1 Sr

1

er2

S3

S1

S1

S2

S3

Si

e1

b) Procedeul iterativ la nivelul secţiunii

Page 44: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

35

Pentru evitarea acestor procese iterative la nivelul elementelor şi al secţiunilor de

control, Neuenhofer şi Filippou (Neuenhofer şi Filippou, 1997) au propus o

modificare în ceea ce priveşte eliminarea forţelor reziduale de la nivelul secţiunilor.

Forţele reziduale de la nivelul secţiunii, dintr-un pas de încărcare „i”, (S i(x) - (Sr

i(x))

sunt tranformate în deformaţii reziduale 𝛥𝒆𝑟𝑖 (𝑥) = 𝒇𝑖 𝑥 𝑺𝑖 𝑥 − 𝑺𝑟

𝑖 𝑥 care se

traduc la nivelul elemntului într-o deplasare reziduală 𝛥𝒖𝒓𝒊 = 𝒃𝑇 𝑥 𝜟𝑒𝑟

𝑖(𝑥)𝑑𝑥𝐿

0 ,

care sunt apoi transformate în forţe nodale de corectare care se includ în vectorul

forţelor interioare (figura 2.8). Procedeul propus de Filippou, deşi elimină

procesele iterative la nivelul elementelor, măreşte numărul de iteraţii la nivelul

structurii.

Figura 2.8. Procesul iterativ de rezolvare a ecuaţiilor de echilibru pentru elementele cu

formulare în forţe (adaptat după Filippou, 1999)

2.3.4. Modelul de bară cu fibre

Modelul de element finit cu fibre a aparut în acelaşi timp cu dezvoltarea

elementelor neliniare de bară şi a metodelor de rezolvare a acestora (Kaba şi Mahin,

1984). Ideea modelării cu fibre constă în discretizarea elementului în fibre

longitudinale, aşa cum este prezentat în figura 2.9. Ca ipoteze de calcul se consideră

ipoteza secţiunilor plane (în teoria de grindă Bernoulli) şi a conlucrării perfecte între

beton şi armătură. Ultima ipoteză nu este valabilă în cazul elementelor de beton

𝐐𝑟k,i + K𝑡

k,i−1Δ𝐮G,i = 𝐐G,k

𝐮𝐺,𝑖 = 𝐮𝐺,𝑖−1 + Δ𝐮𝐺,𝑖

𝐮𝐺,𝑖 → 𝐮𝑖

e S S

Secţiune

Str

uctu

Element Q

Q

u u

𝐐𝑟𝐺 𝐮𝐺 = 𝐐𝐆

𝐐𝑟i + K𝑡

i−1Δ𝐮G,i = 𝐐G,k

K𝑡i = A Ki si 𝐐𝑟

i = A 𝐐i

𝐮𝑖−1 + 𝐅𝐢−𝟏Δ𝐐𝑖 = 𝐮𝑖

𝐒𝑖 = 𝐛 x 𝐐𝑖−1 + 𝚫𝐐𝑖

𝐒i−1 x + 𝐤si−1 x Δ𝐞i(x) = 𝐒i x

𝐞i x = Δ𝐞i−1 + Δ𝐞i x

Δeri x = 𝐤s

i x 𝐒i x − 𝐒ri x

𝐒ri x

𝐤si x

𝐐i = 𝐐i−1 + Δ𝐐i + 𝐅i −1Δ𝐮𝐫𝐢

Δ𝐮𝐫𝐢 = 𝐛T x 𝚫er

i (𝑥)dxL

0

F𝑖 = bT x ∙ ksi x −1 ∙ bT x dx

𝐿

0

Page 45: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

36

armat supuse la încărcări alternante, datorită degradării aderenţei dintre beton şi

armătură în zonele cu deformaţii postelastice. Studii recente (Limkatanyu şi

Spacone 2002) au arătat însă că deteriorarea aderenţei se poate introduce în

modelele de element finit cu fibre, fie prin afectarea relaţiilor constitutive ale

elementului, fie prin modificarea matricilor de flexibilitate sau rigiditate.

Ideea de bază a acestui model constă în a nu introduce o lege histeretică predefinită

pentru secţiune, ci în a determina răspunsul secţional funcţie de legile constitutive

ale materialelor atribuite fibrelor prin care este discretizat elementul. Este evident că

răspunsul secţional depinde în cazul acestui model de nivelul de discretizare al

secţiunii şi trebuie găsit un echilibru între nivelul de acurateţe dorit şi cel al

efortului de calcul.

Figura 2.9. Elementul finit cu fibre în sistemul local şi discretizarea secţiunii în fibre

(adaptat după Taucer, 1991)

Implementarea unui astfel de model într-un program de element finit presupune

formularea matriceală a relaţiilor forţă-deplasare pentru secţiunile elementului de

bară care definesc punctele de integrare. Pentru simplitate, în ceea ce urmează se

prezintă doar cazul unei formulări în cazul elementelor de grindă de tip Euler -

Bernoulli.

Vectorii forţelor si deformaţiilor secţionale sunt daţi de relaţiile 2.86 şi 2.87, iar

deformaţiile specifice şi eforturile unitare în fibre sunt descrise în formă vectorială

de relaţiile 2.88 şi 2.89:

𝑺 = 𝑺 𝑥 = 𝑁𝑥 𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝑇 (2.86)

Page 46: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

37

𝒆 = 𝒆 𝑥 = 휀𝑥𝑠 𝜙𝑦𝑠 𝜙𝑧𝑠 𝑇 (2.87)

𝒆𝒇 𝑥 =

휀1 𝑥 ⋮

휀𝑖 𝑥 ⋮

휀𝑛 𝑥

(2.88)

𝑬 𝑥 =

𝜎1 𝑥 ⋮

𝜎𝑖 𝑥 ⋮

𝜎𝑛 𝑥

(2.89)

Considerând ipoteza secţiunilor plane, relaţia între deformaţiile specifice ale fibrelor

şi deformaţiile secţiunii este dată de relaţia 2.90, în care l(x) este o matice

geometrică de transformare liniară (relaţia 2.91):

𝒆𝒇 𝑥 = 𝒍 𝑥 𝒆(𝑥) (2.90)

𝒍 𝑥 =

1 𝑧1 𝑦1

⋮ ⋮ ⋮1 𝑧𝑖 𝑦𝑖⋮ ⋮ ⋮1 𝑧𝑛 𝑦𝑛

(2.91)

Matricea de rigiditate secţională ks(x) se poate scrie sub forma:

𝒌𝒔 𝑥 = 𝒍 𝑥 𝑇 𝑬 𝑥 𝐴 𝒍(𝑥) (2.92)

ks x =

EiAini=1 EiAizi

ni=1 EiAiyi

ni=1

EiAizini=1 EiAizi

2ni=1 EiAiziyi

ni=1

EiAiyini=1 EiAiziyi

ni=1 EiAiyi

2ni=1

(2.93)

unde A este o matrice diagonală de dimensiune n×n care stochează valoriile ariilor

pentru cele n fibre.

Matricea de flexibilitate secţională se poate deduce, în cazul elementelor cu

formulare în forţe, prin inversarea directă a matricii de rigiditate.

Vectorul eforturilor secţionale se determină prin însumarea directă:

𝑺 𝑥 = 𝒍 𝑥 𝑇 ∙ 𝑨 ∙ 𝑬 𝑥 (2.94)

Page 47: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

38

Care se mai poate scrie şi sub următoare formă:

𝑺 𝑥 =

EiAini=1

𝜎𝑖𝐴𝑖𝑧𝑖𝑛𝑖=1

𝜎𝑖𝐴𝑖𝑦𝑖𝑛𝑖=1

(2.95)

2.4. Probleme legate de folosirea elementelor neliniare cu

plasticitate distribuită

Folosirea elementelor cu plasticitate distribuită la analiza neliniară a structurilor de

beton armat este una din tendinţele actuale, datorate pe de o parte caracterului

generalist al acestor elemente şi pe de altă parte evoluţiei rapide a puterii de calcul.

După fundamentarea teoretică a modului de implementare, au fost dezvoltate o serie

de programe care conţin librării de elemente bazate pe ambele formulări descrise

mai sus, unele dintre ele fiind accesibile în mod gratuit (Seismostruct, 2008) sau cu

acces liber la codul sursă (OpenSees, 2008). Totuşi folosirea acestor elemente

evidenţiază o serie de probleme legate fie de rezultatele obţinute, fie de modul de

interpretare al acestora.

Una din problemele majore o constitue fenomenul de localizare, care afectează atât

elementele de tip bară descrise în acest capitol, cât şi elementele de tip placă sau

volum folosite în calculul neliniar al structurilor de beton armat.

Fenomenul de localizare, împreună cu efectul de scară („size effect”), sunt concepte

fundamentale din mecanica ruperii. Conform acestor concepte, degradarea şi

colapsul unui element sunt localizate într-o anumită zonă limitată (fenomen de

localizare), iar legea constitutivă a materialului nu depinde doar de proprietăţile

acestuia, ci şi de dimensiunile elementului (efect de scară) .

Fenomenul de localizare este evident în cazul elementelor din beton simplu supuse

la întindere, colapsul producându-se prin apariţia unei singure fisuri. Acest fenomen

este mai puţin evident în cazul elementelor de beton supuse la compresiune, însă

împreună cu efectul de scară explică diferenţele care apar între rezulatele obţinute

pe specimene cu dimensiuni diferite (van Mier, 1996).

În cazul încercărilor la compresiune pe două epruvete care diferă doar ca lungime,

relaţiile efort unitar – deformaţie specifică nu sunt identice (Borges et al., 2004),

mai ales după atingerea valorii maxime a efortului unitar (fig. 2.10).

Comportarea diferită se poate explica (Markeset şi Hillerborg, 1995) prin

descrierea modului de rupere a unui cilindru de beton supus la o încercare de

Page 48: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

39

compresiune cu control în deplasări (figura 2.11). Zona B este zona în care se

produce ruperea, numită şi zonă de degradare a betonului. Degradarea betonului în

această zonă se produce iniţial prin apariţia unor fisuri longitudinale, proces care

continuă până la ruperea elementului printr-o lunecare în lungul unui plan înclinat.

În afara acestei zone, betonul nu este puternic degradat şi nu a atins efortul unitar

maxim.

Figura 2.10. Relaţiile efort unitar – deformaţii specifice pentru cilindrii

cu aceeaşi secţiune şi lungimi diferite (Borges et al., 2004)

Figura 2.11. Test de compresiune cu control în deplasări (Coleman şi Spacone, 2001)

Acest concept de localizare a fost pus în evidenţă şi în cazul elementelor de beton

armat (Weiss et al. 2001), folosind grinzi de beton armat cu aceeaşi secţiune şi

armare, supuse la încovoiere pură pe diferite lungimi. S-a constat în acest fel că,

deşi momentul de curgere, momentul ultim şi lungimea zonei degradate (zona în

care se produce ruperea) sunt constante, deformaţia specifică medie şi ductilitatea

elementului depind de lungimea zonei de moment constant (figura 2.12).

/L

Relaţia /L globală

L

A

A

B

Zona B

Zona A

Zona

degaradată

a) b)

a

b

Page 49: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

40

Figura 2.12. Variaţia ductilităţii în funcţie de lungimea zonei de moment constant (Weiss

et al., 2001)

Fenomenul de localizare în cazul elementelor finite se referă la problemele

numerice care apar în cazul folosirii de modele bazate pe legi constitutive care

prezintă rigidităţi negative după atingerea efortului maxim. Acest fenomen se

manifestă în general printr-o localizare a deformaţiilor într-o anumită zonă şi

depinde de modul de formulare a elementului. El este evident şi în cazul

elementelor de tip bară cu plasticiatate distribuită (Coleman şi Spacone, 2001).

Utilizarea elementelor cu plasticitate distribuită, deşi pare facilă mai ales în cazul

elementelor de tip multifibră, nu duce întotdeauna la rezultatele preconizate şi pot

apărea probleme de natură numerică.

În cazul unui răspuns secţional caracterizat de o consolidare în zona de comportare

inelastică, elementele dau rezultate obiective, atât la nivel secţional cât şi la nivel de

element (figura 2.13a).

Dacă răspunsul secţional este de tip elastic - perfect plastic, obţinerea unor rezultate

numerice obiective depinde de numărul de punctele de integrare ales, în cazul

elementelor cu formulare în forţe, sau de numărul de elemente în cazul elementelor

cu formulări în deplasări (figura 2.13b). La elementele cu formulare în forţe

creşterea numărului de puncte de integrare are ca efect localizarea deformaţiilor

plastice (curburilor) în primul punct de integrare (figura 2.14).

La elemente cu răspuns secţional caracterizat de rigidităţi negative în zona

postelastică, răspunsul secţional şi la nivel de element este afectat de erori evidente

sau de instabilităţi numerice (figura 2.13c).

Zona degradată

a

b

c

Zona degradată

c b a

Page 50: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

41

Figura 2.13. Variaţia curburii şi a relaţiile forţă-deplasare pentru elemente funcţie de tipul

răspunsului secţional a) cu consolidare b) elastic – perfect plastic c) cu rigiditate

postelastică negativă (Coleman şi Spacone, 2001)

Forţă

laterală

Curbură Deplasare,

3 PI

4 PI

5 PI

5 PI

4 PI

3 PI

3, 4, 5

Puncte de

Integrare (PI)

element din

beton armat

P (constant)

c)

3, 4, 5, 6, 7, 8 PI

3 PI 4 PI 5 PI 6 PI 7 PI 8 PI

Forţă

laterală

3, 4, 5, 6, 7, 8

Puncte de

Integrare (PI)

Curbură Deplasare, b)

3 PI

4, 5, 6, 7, 8 PI

Curbură Deplasare,

3, 4, 5, 6, 7, 8

Puncte de

Integrare (PI)

3 PI 4 PI

5, 6, 7, 8 PI

Forţă

laterală

a)

Page 51: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

42

Figura 2.14. Efectul de localizare a deformaţiilor plastice în cazul elementelor cu răspuns

secţional de tip elastic-perfect plastic (Coleman şi Spacone, 2001)

O primă încercare de determinare a unor tehnici de regularizare a fost descrisă de

Coleman şi Spacone (Coleman şi Spacone, 2001), pornind de la tehnicile de

regularizare a elementelor de tip membrană, care folosesc teorii de fisurare

distribuită. Prin folosirea unei tehnici similare, bazată pe energia constantă de

rupere la compresiune, autorii au stabilit o regulă de modificare a legilor

constitutive, astfel încât în locul folosirii unei legi de beton constante pe toată

lungimea elementului, legile constitutive să varieze în dreptul secţiunilor de control

(punctelor de integrare). Soluţia folosită se bazează pe energia de rupere la

compresiune determinată experimental. Dacă în cazul betonului neconfinat acestă

energie este dată în anumite studii experimentale, în cazul betonului confinat acest

lucru nu mai este valabil, autorii presupunând o energie de rupere de şase ori mai

mare decât cea a betonului simplu.

Mai mult decât atât, modificarea legilor constitutive în lungul elementului trebuie

asociată cu zonele în care se produc degradări importante la nivelul elementelor

(zonele de articulaţii plastice). Prin urmare, lungimile de integrare asociate

secţiunilor de control susceptibile să aibă incursiuni importante în domeniul

postelastic trebuie alese astfel încât acestea să corespundă pe cât posibil lungimii

reale a articulaţiei plastice. Din punct de vedere al abordării practice, acest lucru

implică modificarea elementelor implementate în programele existente, care să

permită variaţii ale legilor de material în secţiunile de control.

a)

3 Puncte de Integrare

c)

5 Puncte de Integrare

b)

4 Puncte de Integrare

Moment Curbură

Mp p

punct de integrare

Gauss-Lobatto

Mp p Mp p

Page 52: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

43

O soluţie alternativă este cea propusă de Scott şi Fenves (Scott şi Fenves, 2006),

care constă de fapt în formularea unui element cu zone plastice distribuite la capete

şi un element central cu comportare elastică.

O sistematizare a regulilor de calibrare a elementelor cu plasticitate distribuită a fost

făcută de Calabrese (Calabrese, 2008) care a dedus următoarele reguli.

a) Pentru elementele cu formulare în forţe

i. Dacă răspunsul elementului este unul cu consolidare în domeniul

postelastic nu este necesară o calibrare a elementului dar numărul de

puncte de integrare folosite pentru un element trebuie să fie de minim

4 iar regula de integrare recomndată este Gauss-Lobbatto.

ii. Dacă răspunsul elementului este unul cu degradare de rigiditate în

domeniul postelastic, creşterea numărului punctelor de integrare duce

la un răspuns nerealist, observându-se o scădere accentuată a

rigidităţii după atingerea forţei maxime, iar curbura se localizează în

dreptul primului punct de integrare.

iii. Calibrarea elementelor cu formularea în forţe constă în estimarea

lungimii zonei care care se comportă inelasatic şi alegerea unei reguli

de integrare sau a unui număr de puncte de integrare astfel încât

lungimea asociată primului punct de integrare să fie cât mai apropiată

de aceasta. În general această lungime se consideră egală cu lungimea

articulaţiei plastice.

b) Pentru elementele cu formulare în deplasări

i. Dacă răspunsul elementului este unul cu consolidare în domeniul

postelastic nu este necesară o calibrare, dar numărul de elemente finite

necesare pentru modelarea unui element structural nu trebuie să fie

mai mic decât patru. In general două puncte de integrare pe element

sunt suficiente dacă se foloseşte regula de integrare Gauss-Legendre.

ii. Dacă răspunsul elementului este unul cu degradare de rigiditate în

domeniul postelastic, datorită faptului că deformaţiile plastice din

elementul finit cu formularea în deplasări se localizează în primul

punct de integrare, este bine ca, în cazul folosirii a două puncte de

integrare Gauss Legendre, lungimea elementelelor de capăt să fie

egală cu de două ori lungimea articulaţiei plastice.

Se poate observa că metodele folosite pentru calibrarea elementelor cu plasticitate

distribuită, calibrare necesară pentru considerarea corectă a fenomenului de

Page 53: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

44

localizare, presupun tehnici de discretizare speciale. Alegerea modului de

discretizare (în cazul elementelor cu formulare în deplasări) sau a regulii şi

numărului punctelor de integrare (în cazul elementelor cu formulare în forţe),

funcţie de poziţia şi lungimea zonelor critice, impune stabilirea, în mod aprioric, a

zonelor cu comportare postelastică, fapt care reduce caracterul aparent generalist al

elementelor cu plasticitate distribuită.

Page 54: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

45

3. Teorii bazate pe fisurarea distribuită

3.1. Introducere

Modul de apariţie, distribuţia, evoluţia fisurilor şi modul în care prezenţa acestora

influenţează comportarea elementelor de beton armat a fost şi este o preocupare

majoră şi a fost subiectul numeroaselor studii teoretice şi experimentale care stau la

baza modelelor actuale de dimensionare şi verificare a elementelor de beton armat.

Acest aspect a făcut ca şi modelarea fisurilor în teoria de element finit să fie un

subiect abordat încă de la apariţia acestei metode de calcul. Două tipuri de abordări

s-au impus pentru modelarea fisurilor: modelarea cu fisuri discrete şi cea bazată pe

teoriile de fisurare distribuită.

Modelarea discretă a fisurilor s-a bazat iniţial (Ngo şi Scordelis, 1967) pe separarea

marginilor elementelor finite, ceea ce duce la următoarele incoveniente: traseele şi

distribuţiile fisurilor sunt predefinite iar evoluţia acestora se face prin schimbarea

continuă a legăturilor nodale. O îmbunătăţire a metodei a constat în impunerea

automată a discontinuităţii la interfaţa dintre două elemente adiacente în care

eforturile medii îndeplinesc criteriile de fisurare (Ingraffea şi Saouma, 1985). În

acest caz traseul şi distribuţia fisurilor nu mai sunt predefinite dar sunt dependente

de modul de discretizare. Abordările recente au surmontat şi acest impediment prin

introducerea automată a unor elemente şi noduri suplimentare. Toate aceste tipuri

de abordări presupun însă prezenţa unor perechi de noduri şi elemente de-o parte si

de alta a unei fisuri discrete şi modificarea topologiei modelului.

Teoriile de fisurare distribuită (smeared crack) se bazează pe ipoteza că fisurile sunt

distribuite iar comportarea elementelor se determină plecând de la răspunsul mediat

pe o zonă în care sunt prezente mai multe fisuri (Rashid, 1968, Cervenka şi Gerstle,

1971, 1972). Acesta ipoteză a făcut ca implementarea acestor teorii în programele

de element finit bazate pe metoda deplasărilor să fie mult mai atractivă. Deoarece

ipoteza care stă la baza acestor teorii exclude modelarea directă a fisurilor,

problemele legate de modificarea geometriei modelului funcţie de modul de apariţie

şi evoluţie al fisurilor dispar iar apariţia fisurilor impune doar modificări la nivelul

relaţiilor constitutive ale materialelor în punctele de integrare.

Din punct de vedere al orientării fisurilor, aceste teorii se împart în teorii bazate pe

orientare fixă a fisurilor („fixed angle smeared crack aproach”) şi cele bazate pe

orientare variabilă a acesora („rotating angle smeared crack aproach”). Ambele

Page 55: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

46

teorii se bazează pe faptul că fisurile apar atunci când rezistenţa la întindere a

betonului este atinsă.

În teoriile bazate pe orientarea fixă a fisurilor, direcţia acestora rămâne fixă şi este

cea dată de direcţia eforturilor principale la iniţierea fisurării (Cervenka, 1985).

Această direcţie care rămâne fixă este axa de ortotropie a materialului indiferent de

variaţia ulterioară a încărcărilor (axa 2 din figura 3.1a). În general, direcţiile

principale ale deformaţiilor specifice nu coincid cu axele de ortotropie, ceea ce duce

la apariţia de eforturi tangenţiale în lungul fisurilor. Acest lucru face ca direcţiile

principale ale eforturilor şi cele ale deformaţiilor specifice să nu coincidă.

(a) (b)

Figura 3.1. Distribuţia eforturilor şi deformaţiilor a) model cu orientare fixă a fisurilor; b)

orientare variabilă a fisurilor

Teoriile bazate pe orientarea variabilă a fisurilor presupun că acestea îşi schimbă

direcţia în mod gradual. Direcţia fisurilor coincide în acest caz cu direcţia eforturilor

şi deformaţiilor principale, iar în lungul fisurilor nu apar eforturi tangenţiale (fig.

3.1 b). Simplitatea acestor teorii constă în faptul că, nefiind necesară o modelare a

transferului de eforturi tangenţiale în lungul fisurilor, doar legile constitutive ale

betonului după cele două direcţii principale sunt necesare. Coincidenţa între

direcţiile principale de eforturi şi cele de deformaţii reprezintă o ipoteză

simplificatoare dar rezultatele obţinute arată o corelare satisfăcătoare cu cele

obţinute experimental (Vecchio şi Collins, 1986).

Indiferent de tipul de abordare folosit în teoriile cu fisurare distribuită, acestea nu au

un caracter exhaustiv, iar acoperirea multitudinii de detalii de armare şi tipuri de

solicitare cu o singură teorie rămâne un deziderat. Oricum, aplicarea lor în

x

y

1

2 2

1

c2

c1 c

c

x

y

1,1

2,2

c2

c1

Page 56: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

47

problemele legate de comportarea la forţă tăietoare a elementelor de beton armat s-a

dovedit eficientă.

Din punct de vedere cronologic dezvoltarea acestor teorii a început la sfârşitul

anilor ’70 ai secolului trecut, prima fiind cea a Câmpului de Compresiuni (Collins,

1978). Pornind de la încercări pe panouri de beton armat, prima teorie care a arătat o

corelaţie satisfăcătoare cu rezultatele experimentale a fost cea dezvoltată de Collins

şi Vecchio (Vecchio şi Collins, 1986), numită Teoria Modificată a Câmpului de

Compresiune. Dezvoltată iniţial pentru cazuri de solicitare biaxială sub încărcări

monoton crescătoare, această teorie a fost extinsă, fiind folosită atât pentru cazuri de

solicitare triaxială cât şi pentru încărcări ciclice.

În literatură se găsesc mai multe astfel de teorii, bazate fie pe orientarea fixă, fie pe

orientarea variabilă a fisurilor, cele mai cunoscute fiind:

1. Teoria Câmpului de Compresiuni (Compression Field Theory sau CFT,

Collins, 1978);

2. Teoria modificată a câmpului de compresiuni (Modified Compression

Field Theory sau MCFT, Vecchio şi Collins, 1986)

3. Modelul de grindă cu zăbrele cu unghi variabil (Rotated angle softened

truss model sau RASTM, Belarbi şi Hsu, 1994)

4. Modelul de grindă cu zăbrele cu unghi fix (Fixed angle softened truss

model sau FASTM, Pang şi Hsu, 1996)

5. Modelul de membrană fisurată (Cracked membrane model, Kaufmann şi

Marti, 1999)

6. Teoria Câmpului de Compresiune Perturbat (Disturbed Stress Field

Model sau DSFM, Vecchio, 2000)

Dintre teoriile enunţate mai sus cea care s-a impus a fost Teoria modificată a

câmpului de compresiune, datorită îmbunătăţirilor continue şi a extinderii acesteia

la cazuri de solicitare triaxială sau ciclică. Mai mult, recunoaşterea acestei teorii a

culminat cu introducerea ei în norma canadiană pentru dimensionarea elementelor

de beton armat şi precomprimat CSA A23.3-04, în norma americană AASHTO din

2004 şi Model Code 2010.

Deoarece Teoria modificată a câmpului de compresiune (abreviată în continuare cu

MCFT) este folosită în prezenta lucrare pentru modelarea interacţiunii dintre

moment şi forţa tăietoare, o expunere a acesteia şi a teoriilor derivate din aceasta

este necesară.

Page 57: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

48

3.2. Formularea Teoriei Modificate a Câmpului de Compresiune

(Vecchio şi Collins, 1982)

3.2.1. Ipoteze

Această teorie a fost dezvoltată pornind de la încercări de forfecare pe panouri de

formă pătrată, armate cu două plase ortogonale dispuse paralel cu laturile

elementului. Încărcările aplicate panourilor sunt uniform distribuit pe laturile

acestora. Prin urmare formularea teoretică iniţială consideră un element de beton cu

grosime constantă, armat cu o plasă ortogonală. Încărcările sunt reprezentate printr-

o distribuţie uniformă a eforturilor unitare nomale (𝜎𝑥 ,𝜎𝑦) şi a celor tangenţiale

(𝜏𝑥𝑦 ) pe laturile elementului (figura 3.2) iar deformaţiile acestuia sunt descrise de

deformaţiile specifice normale (휀𝑥 , 휀𝑦) şi cele tangenţiale (𝛾𝑥𝑦 ). Deşi iniţial

armătura a fost considerată paralelă cu axele elementului, formulările ulterioare

permit considerarea oricărei direcţii pentru aceasta (figura 3.2).

Figura 3.2. Element de membrană din beton armat (Vecchio, 2000)

Ipotezele care stau la baza formulării MCFT sunt următoarele:

1. Armătura este distribuită pe întregul element;

2. Eforturile aplicate elementului sunt uniform distribuite;

3. Eforturile unitare totale depind doar de deformaţiile specifice totale şi nu

depind de istoria încărcării;

4. Nu există lunecare între beton şi armătură (conlucrare perfectă);

τxy

σx

σy

i

𝜎𝑦𝛼𝑖 , 𝜌𝛼𝑖 ,𝐸𝑠𝛼𝑖

Armătură

𝑓𝑐 , 휀𝑐0,𝑓𝑡 ,𝐸𝑐

Beton

Page 58: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

49

5. Direcţiile principale ale eforturilor unitare şi ale eforturilor specifice

coincid indiferent de tipul de încărcare;

6. Relaţiile constitutive ale betonului şi armăturii sunt independente;

7. Fisurile sunt distribuite şi au voie să se rotească;

8. Efortul unitar de întindere din beton, transmis în lungul fisurilor, depinde

de rezerva de rezistenţă a armăturii în dreptul acestora.

MCFT constă în trei seturi de relaţii: relaţii de compatibilitate a deformaţiilor

specifice pentru beton şi armătură, relaţii de echilibru şi relaţii care descriu legile

constitutive ale armăturii şi betonului.

3.2.2. Relaţiile de compatibilitate în MCFT

Într-un element de lungime egală cu 1, deformaţiile medii sunt deformaţiile mediate

într-o zonă cu mai mult de două fisuri. Având în vedere ipoteza conlucrării perfecte

dintre beton şi armătură, deformaţiile medii din beton şi armătură sunt egale:

휀𝑥 = 휀𝑐𝑥 = 휀𝑠𝑥휀𝑦 = 휀𝑐𝑦 = 휀𝑠𝑦

(3.1)

Figura 3.3. Deformaţii specifice pentru un element de beton armat

(Vecchio şi Collins, 1986)

Dacă se cunosc cele trei deformaţii specifice 휀𝑥 , 휀𝑦 şi 𝛾𝑥𝑦 după direcţiile

elementului, prin aplicarea relaţiilor date de cercul lui Mohr se poate determina

deformaţia de întindere 휀1 şi deformaţia de compresiune 휀2 după direcţiile

principale precum şi unghiul făcut de direcţia principlă 1 în raport cu axa „x” a

elementului (figura 3.4).

𝛾𝑥𝑦

2

𝛾𝑥𝑦

2

y

1

x 1

x

y

y

x

1

2

c

Page 59: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

50

휀1,2 =휀𝑥+휀𝑦

2± 휀𝑦 − 휀𝑥

2+ 𝛾𝑥𝑦

2

1

2 (3.2)

𝜃 =1

2tan−1

𝛾𝑥𝑦

휀𝑥−휀𝑦 (3.3)

Figura 3.4. Cercul lui Mohr pentru deformaţiile specifice (Vecchio şi Collins, 1986)

3.2.3. Relaţiile de echilibru în MCFT

Dacă elementul se află în echilibru, relaţiile între eforturile aplicate elementului

(𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 şi 𝜏𝑥𝑦 ) şi cele din beton (𝑓𝑐𝑥 , 𝑓𝑐𝑦 , v𝑐𝑥𝑦 ) şi armătură (𝑓𝑠𝑥 , 𝑓𝑠𝑦 ) se deduc din

scrierea ecuaţiilor de echilibru pe direcţiile x şi y pe o porţiune de element (figura

3.5).

a) b)

Figura 3.5. Echilibrul unei părţi din element: a) pe direcţia x; b) pe direcţia y

(Vecchio şi Collins, 1986)

x

y

y

sx

cx

cxy xy

x

y

x

sy

cy

cxy

xy

xy/2

1

2

x

y

휀1 휀2

휀𝑥

2𝜃

휀𝑦 /2

2𝜃𝑐

Page 60: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

51

Pentru elementele la care armătura este paralelă cu laturile elementelor, ecuaţiile de

echilibru se pot scrie sub forma:

𝜎𝑥 = 𝜎𝑐𝑥 + 𝜌𝑥𝜎𝑠𝑥 (3.4)

𝜎𝑦 = 𝜎𝑐𝑦 + 𝜌𝑦𝜎𝑠𝑦 (3.5)

𝜏𝑥𝑦 = τ𝑐𝑥𝑦 (3.6)

unde 𝜌𝑥 şi 𝜌𝑦 sunt coeficienţii de armare pe cele două direcţii. Relaţia 3.6 indică

faptul că eforturile tangenţiale aplicate elementului sunt echilibrate doar de către

beton, eforturile tangenţiale preluate de armătură prin efect de dorn fiind neglijate.

Şi în cazul eforturilor din beton se poate aplica cercul lui Mohr (figura 3.6), ceea ce

permite scrierea următoarelor relaţii:

𝜎𝑐𝑥 = 𝜎𝑐1 − 𝜏𝑐𝑥𝑦 cot 90 − 𝜃 (3.7)

𝜎𝑐𝑦 = 𝜎𝑐2 − 𝜏𝑐𝑥𝑦 tan 90 − 𝜃 (3.8)

𝜎𝑐2 = 𝜎𝑐1 − 𝜏𝑐𝑥𝑦 tan 90 − 𝜃 + cot 90 − 𝜃 (3.9)

Figura 3.6. Cercul lui Mohr pentru eforturile unitare în beton (Vecchio şi Collins, 1986)

c2

cx

c1

cy

cxy

2𝜃

2𝜃𝑐 1 2

x

y

𝜏c

c

Page 61: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

52

3.2.4. Legile constitutive ale materialelor în MCFT

Relaţiile constitutive ale materialelor pentru solicitări uniaxiale, şi mai ales cele

pentru beton, nu se pot aplica în mod direct elementelor de beton armat.

În cadrul MCFT, legile constitutive folosite la întindere şi compresiune s-au calibrat

pornind de la rezultatele şi observaţiile experimentale obţinute pe panouri de beton

armat supuse la forfecare.

3.2.4.1. Legile constitutive pentru oţel

Pentrul cazurile de încărcare monotonă, legea constitutivă folosită de MCFT pentru

oţel este cea elastic perfect-plastică, iar în cazul încărcărilor ciclice s-a optat pentru

modelul Seckin (Seckin 1981), caracterizat de o curba triliniară care modelează

consolidarea ce apare după palierul de curgere printr-un segment de dreaptă (figura

3.7).

Figura 3.7. Înfăşurătoarea modelului Seckin pentru oţel (Seckin, 1981)

3.2.4.2. Legile constitutive pentru beton

a) Relaţiile efort – deformaţii pentru beton la compresiune

În cazul solicitărilor biaxiale sau triaxiale, legile constitutive ale betonului sunt

diferite de cele din cazul solicitărilor uniaxiale. Încercările de solicitare biaxială

realizate de Kupfer în anii ’60 folosind platane de presă în perie au dat primele

rezultate satisfăcătoare privind rezistenţele betonului la întindere şi compresiune

pentru astfel de solicitări (Kupfer et al., 1969). Aşa cum o arată şi diagramele de

interacţiune propuse de Kupfer (figura 3.8a), în domeniul compresiune-întindere,

reducerea rezistenţei betonului la compresiune creşte pe măsură ce eforturile de

întindere cresc (figura 3.8b).

Acest fenomen de reducere a rezistenţei la compresiune datorită eforturilor

transversale de întindere, cunoscut sub numele de „compression softening”, este

Es

Esh

Page 62: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

53

diferit în cazul betonului armat faţă de cel simplu, aşa cum o demonstrează şi

Kaufmann. De aceea calibrarea rezistenţei la întindere a fost făcută în cadrul MCFT

pornind de la încercări pe panouri armate. În principiu efectul de „compression

softening ” este considerat prin modificarea curbei uniaxiale a betonului, mai exact

prin reducerea rezistenţei la compresiune şi a deformaţiei specifice la vârf, în

funcţie de eforturile transversale de întindere (figura 3.9).

a) b)

Figura 3.8. Starea biaxială de eforturi a) curba limită de interacţiune; b) domeniul

compresiune-întindere (Kupfer et al., 1969)

Figura 3.9. Efectul de „compression softening” (Vecchio şi Collins, 1986)

𝜎𝑐2

c2

fp

Cilindru

Panou fisurat

𝜎𝑐2

𝑓𝑐

p c0

Page 63: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

54

Rezistenţa la compresiune nu ţine cont de efectul de confinare dat de eforturile

transversale de compresiune, în acest caz fiind folosită legea uniaxială a betonului.

În formularea iniţială (Vecchio şi Collins, 1986), curba betonului este parabola de

tip Hognestad (figura 3.10 a). Rezistenţa şi deformaţia specifică la vârf sunt afectate

cu un parametru , care depinde de raportul între deformaţiile specifice pe cele două

direcţii principale :

𝜎𝑐2 = 𝑓𝑝 2 휀𝑐2

휀𝑝 −

휀𝑐2

휀𝑝

2

휀𝑐2 ≤ 0 (3.10)

𝑓𝑝 = 𝛽𝑓𝑐 şi 휀𝑝 = 𝛽휀𝑐0 (3.11)

unde:

𝛽 =1

0.85−0.27∙ 휀𝑐1 휀𝑐2 ≤ 1 (3.12)

Pentru a facilita utilizarea modelului de „compression softening” în procedurile de

dimensionare a grinzilor la forţă tăietoare, o simplificare a modelului s-a realizat

prin modificarea parametrului , care se aplică doar rezistenţelor (figura 3.10 b).

𝛽 =1

0.80−0.34∙ 휀𝑐1 휀𝑐0 ≤ 1 (3.13)

Plecând de la considerentul că parabola de tip Hognestad nu este adecvată pentru

betoanele de înaltă rezistenţă iar la cele de rezistenţă joasă subestimează valorile

intermediare, Vecchio şi Collins (Vecchio şi Collins, 1993) au propus adoptarea a

două modele bazate pe o curbă de tip Thorenfeldt, calibrată de Collins şi Porasz.

𝜎𝑐2 = −𝑓𝑝𝑛 −

휀2휀𝑝

𝑛−1 + −휀2휀𝑝 𝑛𝑘 (3.14)

cu:

𝑛 = 0.80 +𝑓𝑝

17 (3.15)

𝑘 = 1,0 pentru 𝜺𝒑 < 𝜺𝟐 < 0 (3.16)

Page 64: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

55

𝑘 = 0.67 +𝑓𝑝

62 (3.17)

Figura 3.10. Modele de „compression softening” pentru beton (Vecchio şi Collins, 1993)

Primul model (Modelul A), care este prezentatat în figura 3.10 c, impune efectul de

„compression softening” atât la nivelul eforturilor unitare, cât şi la nivelul

deformaţiilor specifice prin următoarea expresie a coeficientului :

𝛽 =1

1.0+𝐾𝑐𝐾𝑓 (3.18)

unde:

𝐾𝑐 = 0.35 −휀1

휀2− 0.28

0.8

(3.19)

şi

𝐾𝑓 = 0.1825 𝑓𝑐 (3.20)

𝛽𝑓𝑐

𝛽𝑓𝑐

c0 c0

𝛽 = 𝑓 휀2 휀1

c0 2 c0

𝛽 = 𝑓 휀1

c0 2

𝛽𝑓𝑐

𝑓𝑐

-c2 Parabola

Hognestad

Parabola

Hognestad

-c2

𝛽𝑓𝑐

𝑓𝑐

c0

2 c0

2

𝛽 = 𝑓 휀2 휀1 𝛽 = 𝑓 휀1

2> 0

c0

Curba

Thorenfeldt

Curba

Thorenfeldt

c2

c2

a) Model 1982 b) Model 1986

c) Model A - 1993 d) Model B - 1993

𝑓𝑐

-c2

𝑓𝑐

-c2

Page 65: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

56

În relaţiile de mai sus rezistenţele sunt exprimate în MPa.

Modelul B impune efectul de „compression softening” doar la nivelul eforturilor

unitare (figura 3.10 d), expresia coeficientului de diminuare a eforturilor de

compresiune fiind:

𝛽 =1

1.0+𝐾𝑐 (3.21)

cu:

𝐾𝑐 = 0.27 −휀1

휀0− 0.37

0.8

(3.22)

b) Relaţiile efort – deformaţii pentru beton la întindere

Înainte de fisurare betonului, datele experimentale permit folosirea unei relaţii liniar

elastice de tipul:

𝜎𝑐1 = 𝐸𝑐 ∙ 휀𝑐1 pentru 0 < 휀1 < 휀𝑡 (3.23)

unde:

휀𝑡 - deformaţia specifică la fisurare a betonului pentru încercări uniaxiale

În lipsa unor date experimentale, relaţiile recomandate de autorii MCFT pentru

rezistenţa la întidere 𝑓𝑡′ şi deformaţia specifică corespunzătoare sunt următoarele:

𝑓𝑡 = 0.33 𝑓𝑐 (3.24)

휀𝑡 =𝑓𝑡

𝐸𝑐 (3.25)

iar modul de elasticitate iniţial al betonului se poate calcula în funcţie de tipul de

curbă folosit pentru relaţiile între eforturile şi deformaţiile de compresiune după

cum urmează:

1. pentru curbe de tip Hognestad:

𝐸𝑐 =2𝑓𝑐

휀𝑐0 (3.26)

2. pentru curbe de tip Thornfeldt:

Page 66: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

57

𝐸𝑐 = 3320 𝑓𝑐 + 6900 (3.27)

cu 𝑓𝑐 şi 𝐸𝑐 în MPa.

După fisurarea betonului, apariţia fenomenului de „tension stiffening” face necesară

evaluarea eforturilor care iau naştere în betonul dintre fisuri. Relaţia iniţială efort

unitar de întindere – deformaţie specifică după fisurare a fost dedusă în mod

experimental şi a fost pusă sub următoarea formă:

𝜎𝑐1 =𝑓𝑡

1+ 200휀𝑐1 pentru 휀𝑐1 > 휀𝑡 (3.28)

Ulterior, pentru a obţine o mai bună corelare între datele experimentale obţinute pe

panouri de dimensiuni mari şi cele teoretice, Collins şi Mitchell (Collins şi Mitchell,

1987) au propus o relaţie alternativă:

𝜎𝑐1 =𝑓𝑡

1+ 500휀𝑐1 pentru 휀𝑐1 > 휀𝑡 (3.29)

3.2.5. Condiţiile locale în dreptul fisurilor în MCFT

Aşa cum s-a precizat anterior, MCFT foloseşte eforturi medii de întindere în beton

şi armătură. În realitate, între două fisuri efortul din armătură scade, acesta fiind

transferat la beton prin eforturi tangenţiale de aderenţă. Având în vedere faptul că

efortul maxim din armătură în dreptul fisurilor nu poate depăşi valoarea de curgere,

efortul unitar mediu de întindere trebuie limitat. Presupunând o dispunere

ortogonală a armăturilor după direcţiile x şi y, limitarea efortului unitar mediu în

beton se poate exprima sub forma:

𝜎𝑐1 ≤ 𝜌𝑥 𝑓𝑦𝑥 − 𝜎𝑠𝑥 cos2 𝜃 + 𝜌𝑦 𝑓𝑦𝑦 − 𝜎𝑠𝑦 sin2 𝜃 (3.30)

unde 𝑓𝑦𝑥 şi 𝑓𝑦𝑦 sunt limitele de curgere ale armăturilor iar 𝜎𝑠𝑥 şi 𝜎𝑠𝑦 sunt eforturile

medii din armături între fisuri.

Pentru cazul general, când sunt mai multe armături care fac un unghi 𝛼𝑖 cu direcţia

x (figura 3.11), relaţia se poate pune sub forma:

𝜎𝑐1 ≤ 𝜌𝛼𝑖 𝑓𝑦𝛼𝑖 − 𝜎𝑠𝛼𝑖 cos2(𝜃 − 𝛼𝑖) 𝑛𝑖=1 (3.31)

Page 67: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

58

Figura 3.11. Orientarea barei de armătură (cazul general)

Figura 3.12. Eforturi medii şi locale în fisură a) panou de beton armat fisurat; b) eforturi

medii între fisuri (armătură ortogonală); c) eforturi locale în fisuri (armătură ortogonală);

d) eforturi medii între fisuri (armătură pe o direcţie oarecare); e) eforturi locale în fisuri

(armătură pe o direcţie oarecare) (adaptat după Vecchio, 2000)

Eforturile în armături în dreptul fisurilor se pot determina din relaţia de echilibru pe

direcţia normală la fisură „1” (figura 3.12 b şi c):

y

x y

xy

x

xy x

xy

xy y

1

y y

x x y

xy y xy

x

xy

x

xy

c1

sy

sx

1 1

sycr

sxcr

ci

c c

2

2

1

1

y y

x x y

xy y xy

x

xy

x

xy

c1

1 1 scri

ci

c c

i i

si

a) b) c)

d) e)

𝜃

𝛼𝑖

Page 68: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

59

𝜎𝑐1 = 𝜌𝑥 𝜎𝑠𝑥𝑐𝑟 − 𝜎𝑠𝑥 cos𝜃 sin 𝜃 +

+𝜌𝑦 𝜎𝑠𝑦𝑐𝑟 − 𝜎𝑠𝑦 cos(90 − 𝜃) sin(90 − 𝜃) (3.32)

unde 𝜎𝑠𝑥𝑐𝑟 şi 𝜎𝑠𝑥𝑐𝑟 sunt eforturile din armături în dreptul fisurilor.

În cazul general (figura 3.12 d şi e), pentru n armături care sunt orientate la un

unghi oarecare 𝛼𝑖 în raport cu direcţia x, relaţia 3.32 devine:

𝜎𝑐1 = 𝜌𝛼𝑖 𝜎𝑠𝑐𝑟𝛼𝑖 − 𝜎𝑠𝛼𝑖 cos2(𝜃 − 𝛼𝑖)𝑛𝑖=1 (3.33)

unde 𝜎𝑠𝑐𝑟𝛼𝑖 este efortul în armătura i în dreptul fisurii, iar 𝜎𝑠𝛼𝑖 este efortul mediu în

armătura i.

În lipsa unor astfel de eforturi tangenţiale în lungul fisurilor, considerând cele două

planuri din figura 3.12 a, eforturile medii din planul 1 şi cele din planul 2 trebuie să

producă acelaşi efort în direcţiile x şi y, condiţie care duce la următoarea relaţie:

𝜌𝑥 𝜎𝑠𝑐𝑟𝑥 − 𝜎𝑠𝑥 = 𝜌𝑦 𝜎𝑠𝑐𝑟𝑦 − 𝜎𝑠𝑦 = 𝜎𝑐1 (3.34)

În mod evident, dacă eforturile medii din armături sunt mari, condiţia de echilibru

de mai sus nu se poate respecta, rezolvarea propusă de Vecchio şi Collins fiind cea

de introducere a eforturilor tangenţiale în lungul fisurilor. Valoarea acestor eforturi

tangenţiale se deduce din ecuaţia de echilibru pe direcţia fisurii şi are expresia:

- în cazul cu armătură ortogonală:

τ𝑐𝑖 = 𝜌𝑥 𝜎𝑠𝑥𝑐𝑟 − 𝜎𝑠𝑥 cos𝜃 sin𝜃 +

+𝜌𝑦 𝜎𝑠𝑦𝑐𝑟 − 𝜎𝑠𝑦 cos(90 − 𝜃) sin(90 − 𝜃) (3.35)

- în cazul general:

τ𝑐𝑖 = 𝜌𝛼𝑖 𝜎𝑠𝑐𝑟𝛼𝑖 − 𝜎𝑠𝛼𝑖 cos(𝜃 − 𝛼𝑖)𝑛𝑖=1 sin(𝜃 − 𝛼𝑖) (3.36)

Aceste eforturi tangenţiale sunt limitate de capacitatea de transmitere prin

mecanismul de încleştare, valoarea efortului tangenţial maxim fiind cea propusă de

Walraven :

τ𝑐𝑖 ≤ τ𝑐𝑖 ,𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑐

0.31+24𝑤

𝑎+16

(3.37)

Page 69: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

60

unde w este deschiderea fisurii, iar a este dimensiunea maximă a agregatului (figura

3.13).

Figura 3.13. Transmiterea eforturilor tangenţiale în fisuri prin mecanismul de încleştare

(Vecchio şi Collins, 1986)

Având în vedere că efortul tangenţial maxim este limitat, în cazul în care acesta

depăşeşte limita admisă ci , max, efortul mediu de întindere din beton trebuie redus

cu raportul ci,max/ci. Prin limitarea efortului mediu de întindere, relaţia efort-

deformaţie specifică pe direcţia principală de întindere prezintă trei domenii

distincte (figura 3.14): o zonă ascendentă de tip liniar până la fisurarea betonului, o

curba descendentă descrisă de ecuaţia 3.28 sau 3.29, şi o a doua curbă decendentă

datorată fie atingerii curgerii, fie limitării efortului tangenţial în fisură.

Figura 3.14. Relaţia efort – deformaţie specifică pentru betonul întins (Vecchio, 2000)

Determinarea deschiderii medii a fisurilor se poate exprima ca produsul dintre

deformaţia specifică medie de întindere a betonului şi distanţa medie între fisuri:

ft

c1

t y c1

Page 70: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

61

𝑤 = 휀1 ∙ 𝑠𝑚𝜃 (3.38)

unde distanţa medie între fisuri este definită ca:

𝑠𝑚𝜃 =1

cos 𝜃

𝑠𝑚𝑥+

sin 𝜃

𝑠𝑚𝑦

(3.39)

Distanţele medii între fisuri pe direcţiile x şi y (figura 3.15) se pot determina în

funcţie de caracteristicile care influenţează aderenţa si modul de dispunere a

berelor, fiind egale cu distanţele între fisuri dacă panoul este supus la întindere pe

direcţia x, respectiv pe directia y.

Figura 3.15. Distanţele medii între fisuri (Kaufmann şi Marti, 1998)

3.3. Formularea Teoriei Câmpului de Compresiune Perturbat

(Vecchio 2000)

Această teorie a fost propusă (Vecchio, 2000) ca o extindere a MCFT. Compararea

rezultatelor experimentale cu cele obţinute folosind MCFT a arătat că această teorie

nu dă rezultate bune în următoarele cazuri:

1. la panourile armate puternic supuse la compresiune şi forfecare, MCFT

subestimează atât rezistenţa la forţă tăietoare cât şi rigiditatea (figura

3.16 a);

2. la panouri slab armate, MCFT supraestimează atât rezistenţa la forţă

tăietoare cât şi rigiditatea (figura 3.16 b).

y

x

1

2

c

smy

smy

sm

Page 71: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

62

Figura 3.16. Predicţii MCFT şi rezultate experimentale pentru două panouri de beton

armat: a) Panou puternic armat (PV23); b) panou slab armat (PB20) (Vecchio, 2000)

Mai mult, s-a observat experimental că în anumite cazuri există un decalaj între

direcţiile principale ale eforturilor şi cele ale deformaţiilor. Având în vedere că

MCFT impune condiţia ca aceste direcţii să fie identice, eliminarea acestei restricţii

în DSFT s-a făcut prin includerea explicită a deformaţiilor de lunecare în fisuri în

condiţiile cinematice. Prin includerea acestor deformaţii de lunecare în fisuri, a fost

posibilă şi eliminarea limitării efortului tangenţial în fisuri (relaţia 3.37).

În ceea ce urmează vor fi prezentate, ca şi în cazul MCFT, setul de relaţii care

alcătuiesc DSFT: condiţiile de compatibilitate, de echilibru şi legile constitutive ale

materialelor.

3.3.1. Relaţiile de compatibilitate în DSFM

Pentru condiţiile de compatibilitate, ipoteza principală constă în separarea

deformaţiilor totale (sau aparente) în două componente: componenta care se

datorează deformaţiilor din beton, ca material contiunu, şi componenta dată de

lunecările din fisuri. Eforturile din beton sunt cauzate doar de prima componentă.

Prin urmare pentru a lua în considerare acest fenomen, în DSFM deformaţiile totale

휀𝑥 , 휀𝑦 şi 𝛾𝑥𝑦 sunt descompuse în deformaţiile betonului 휀𝑐𝑥 , 휀𝑐𝑦 şi 𝛾𝑐𝑥𝑦 şi cele de

lunecare 휀𝑥𝑠 , 휀𝑦

𝑠 şi 𝛾𝑥𝑦𝑠 :

휀𝑥 = 휀𝑐𝑥 + 휀𝑥𝑠 (3.40)

휀𝑦 = 휀𝑐𝑦 + 휀𝑦𝑠 (3.41)

𝛾𝑥𝑦 = 𝛾𝑐𝑥 + 𝛾𝑥𝑦𝑠 (3.42)

Deformaţie tangenţială (x10-3) Deformaţie tangenţială (x10-

3)

Efo

rt t

angen

ţial

(M

pa)

Efo

rt t

angen

ţial

(M

pa)

a) b)

Page 72: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

63

Folosind cercul lui Mohr se pot determina deformaţiile specifice în cele două

direcţii principale şi direcţia eforturilor de întindere principale:

휀1 =휀𝑐𝑥 +휀𝑐𝑦

2+

1

2 휀𝑐𝑥 + 휀𝑐𝑦

2+ 𝛾𝑥𝑦

2 (3.43)

휀2 =휀𝑐𝑥 +휀𝑐𝑦

2−

1

2 휀𝑐𝑥 + 휀𝑐𝑦

2+ 𝛾𝑥𝑦

2 (3.44)

𝜃 = 𝜃𝜎 =1

2tan

𝛾𝑐𝑥𝑦

휀𝑐𝑥−휀𝑐𝑦 (3.45)

Deformaţiile datorate lunecării se determină folosind deformaţia medie de lunecare

în fisuri (figura 3.17), definită ca:

𝛾𝑠 =𝛿𝑠

𝑠𝑚𝜃 (3.46)

unde 𝑠𝑚𝜃 este distanţa medie între fisuri determinată conform relaţiei 3.39.

Figura 3.17. Deformaţiile datorate lunecărilor în fisuri (Vecchio, 2000)

Deformaţia medie de lunecare în fisuri se poate calcula folosind expresia lui

Walraven (Walraven 1981):

𝛿𝑠 =τ𝑐𝑖

1.8∙𝑤−0.8 +(0.234∙𝑤−0.707−0.20)∙𝑓𝑐𝑐 (3.47)

s

δs

w

x

y

θ

Page 73: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

64

unde τ𝑐𝑖 este efortul tangenţial în fisură, definit conform relaţiei 3.35, w este

dechiderea medie a fisurii, iar 𝑓𝑐𝑐 este rezistenţa la compresiune pe cub calculată ca

𝑓𝑐𝑐 = 1.2𝑓𝑐 .

Cunoscând deformaţia medie de lunecare în fisuri, se pot evalua deformaţiile

datorate lunecării:

휀𝑥𝑠 = −

𝛾𝑠

2sin 2𝜃 (3.48)

휀𝑦𝑠 =

𝛾𝑠

2sin 2𝜃 (3.49)

𝛾𝑥𝑦𝑠 = 𝛾𝑠 cos 2𝜃 (3.50)

Direcţia deformaţiilor principale de întindere se poate determina folosind cercul lui

Mohr aplicat deformaţiilor totale:

𝜃휀 =1

2tan

𝛾𝑥𝑦

휀𝑥−휀𝑦 (3.51)

Deşi DSFM poate să ţină cont de un număr oarecare de armături, în formularea

originală s-a considerat doar cazul cel mai întâlnit, cel cu armare ortogonală paralelă

cu laturile elementului. Pentru acest caz, spre deosebire de MCFT, în DSFM

deformaţiile specifice ale armăturilor 휀𝑠𝑥 şi 휀𝑠𝑦 nu mai sunt egale cu deformaţiile

betonului 휀𝑐𝑥 şi 휀𝑐𝑦 , ci cu cele totale:

휀𝑠𝑥 = 휀𝑥 (3.52)

휀𝑠𝑦 = 휀𝑦 (3.53)

unde 휀𝑥 şi 휀𝑦 sunt deformaţiile totale.

În cazul general deformaţiile armăturilor se pot determina cu relaţia:

휀𝑠𝑖 =휀𝑥+휀𝑦

2+

휀𝑥−휀𝑦

2cos 2𝛼𝑖 +

𝛾𝑥𝑦

2sin 2𝛼𝑖 (3.54)

3.3.2. Relaţiile de echilibru în DSFM

Ca şi în MCFT, relaţiile de echilibru se scriu sub forma:

𝜎𝑥 = 𝜎𝑐𝑥 + 𝜌𝑥𝜎𝑠𝑥 (3.55)

Page 74: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

65

𝜎𝑦 = 𝜎𝑐𝑦 + 𝜌𝑦𝜎𝑠𝑦 (3.56)

𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑐𝑥𝑦 (3.57)

Iar din cercul lui Mohr se pot determina eforturile medii în beton:

𝜎𝑐𝑥 = 𝜎𝑐1 − τ𝑐𝑥𝑦 cot 90 − 𝜃 (3.58)

𝜎𝑐𝑦 = 𝜎𝑐2 − τ𝑐𝑥𝑦 tan 90 − 𝜃 (3.59)

3.3.3. Legile constitutive ale materialelor în DSFM

Pentru oţel legile folosite în cadrul MCFT au fost păstrate, dar pentru beton acestea

au fost modificate pentru a ţine seama de scăderea de rigiditate datorată introducerii

deformaţiilor de lunecare din fisuri.

a) Relaţiile efort – deformaţii pentru beton la compresiune

Având în vedere reducerea de rigiditate menţionată anterior, factorii care introduc

efectul de «compression softening» au fost revizuiţi în cadrul DSFM. Astfel pentru

modelul A propus de Vecchio şi Collins în 1993 coeficientul se calculează după

cum urmează:

𝛽 =1

1+𝐶𝑠∙𝐶𝑑≤ 1.0 (3.60)

Coeficientul 𝐶𝑑 ţine cont de raportul 휀𝑐2/휀𝑐1 şi, funcţie de nivelul de acurateţe dorit,

s-au propus două relaţii. Prima relaţie presupune calcule iterative şi este

recomandată pentru implementarea în programele de element finit:

𝐶𝑑 = 0.35 ∙ −휀𝑐2

휀𝑐1− 0.28

0.8

(3.61)

A doua fiind o variantă simplificată pentru calcule manuale:

𝐶𝑑 = 0.27(−휀𝑐2

휀𝑐0− 0.37) (3.62)

Page 75: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

66

Coeficientul 𝐶𝑠 care introduce efectul lunecărilor din fisuri, considerat egal cu 1.00

în MCFT, a fost redus la valoarea de 0.55, deoarece DSFM acest efect este

determinat în mod explicit.

Spre deosebire de MCFT, în DSFM atât efortul unitar cât şi deformaţiile specifice

sunt reduse cu coficientul (relaţiile 3.11).

b) Relaţiile efort – deformaţii pentru beton la întindere

În cazul întinderii, relaţia liniară între eforturi şi deformaţii se păstrează (relaţia

2.23), dar expresia rezistenţei la întindere se modifică:

𝑓𝑡 = 0.65 𝑓𝑐 0.33 (3.63)

După fisurare, betonul poate să preia eforturi de întindere prin două mecanisme

independente: „tension softening” şi „tension stiffening”.

Bazându-se pe mecanismul de rupere descris de Darwin et al., efortul de întindere

din beton datorat efectului de „tension softening” se poate determina pe baza

deformaţiei ultime la întindere 휀𝑡𝑠 (figura 3.18):

𝜎𝑐1𝑎 = 𝑓𝑡(1 −

휀𝑐1−휀𝑐𝑟

휀𝑡𝑠−휀𝑐𝑟) (3.64)

cu:

휀𝑡𝑠 = 2.0𝐺𝑓

𝑓𝑡 ∙𝐿𝑟 (3.65)

Unde 𝐺𝑓 este energia de rupere considerată egală cu 75N/m, indiferent de clasa

betonului, iar 𝐿𝑟 este lungimea caracteristică.

Figura 3.18. Legea constitutivă pentru modelul de „tension softening” (Vecchio, 2000)

𝑓𝑡′

𝜎𝑐1𝑎

cr ts c1

Page 76: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

67

Pentru mecanismul de „tension stiffening” relaţiile propuse iniţial în MCFT au fost

modificate plecând de la observaţiile lui Bentz (Bentz, 2000), care a demonstrat că

efectul de „tension stiffening” depinde de coeficienţii de armare şi de diametrul

barelor. Relaţiile propuse de Bentz au fost modificate pentru cazul general cu n

armături, iar efortul de întindere din beton datorat mecanismului de „tension

stiffening” se poate evalua cu următoarea expresie:

𝜎𝑐1𝑏 =

1

1+ 𝑐𝑡 ∙휀𝑐1 (3.66)

cu:

𝑐𝑡 = 2.2 𝑚 (3.67)

1

𝑚=

4𝜌𝑖

𝑑𝑏𝑖∙ cos𝜃𝑛𝑖

𝑛𝑖=1 (3.68)

𝜌𝑖 - coeficientul de armare pentru armătura i

𝑑𝑏𝑖 - diametrul armăturii i

𝜃𝑛𝑖 = 𝜃 − 𝛼𝑖 - unghiul pe care îl face armatura i cu direcţia 1

Valoarea efortului mediu de întindere s-a considerat ca maximul între valorile

furnizate de cele două mecanisme descrise anterior.

𝜎𝑐1 = max(𝜎𝑐1𝑎 ;𝜎𝑐1

𝑏 ) (3.69)

3.3.4. Condiţiile locale în dreptul fisurilor în DSFM

Ca şi în cazul MCFT, limitarea efortului mediu de întindere din beton trebuie

îndeplinită, relaţia 3.30 rămânâd valabilă. Efortul din armături în dreptul fisurilor se

determină din ecuaţia de echilibru pe direcţie normală fisurii (relaţia 3.34 sau 3.35).

În ceea ce priveşte eforturile tangenţiale de lunecare din fisuri, acestea se evaluează

la fel ca în MCFT (relaţia 3.34 sau 3.35) dar limitarea acestora la un efort tangenţial

maxim nu mai este necesară datorită includerii explicite a deformaţiilor de lunecare.

3.4. Dimensionarea elementelor la forţă tăietoare folosind MCFT

Aplicarea directă a MCFT la dimensionarea elementelor de beton armat este dificilă

datorită calculelor iterative care sunt necesare pentru determinarea stării de eforturi.

Page 77: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

68

Pentru folosirea metodei Collins et al. (1996) au propus o variantă simplificată a

MCFT care impune următoarele două ipoteze simplificatoare:

1. Distribuţia eforturilor tangenţiale pe secţiunea activă 𝑏v𝑑v la forţă

tăietoare este constantă;

2. Deformaţia specifică logitudinală 휀𝑥 necesară determinării deformaţiei de

principale de întindere 휀1 se consideră egală cu deformaţia specifică

logitudinală maximă (figura 3.19).

휀𝑥 =

𝑀𝑢𝑑v

+0.5𝑁𝑢+0.5𝑉𝑢 cot 𝜃

𝐸𝑠𝐴𝑠 (3.70)

Figura 3.19. Efectul momentului, forţei tăietoare şi a forţei axiale asupra deformaţiei

specifice longitudinale (Vecchio şi Collins, 1988)

Folosind cele două ipoteze se poate deduce expresia forţei tăietoare:

𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 = 𝜎1𝑏v𝑑v cot𝜃 +𝐴v 𝑓𝑠𝑦

𝑠 𝑑v cot𝜃 (3.71)

care se pune sub forma:

𝑉𝑛 = 𝛽 𝑓𝑐𝑏v𝑑v +𝐴v 𝑓𝑦

𝑠 𝑑v cot𝜃 (3.72)

Mu

As

𝑇 = 𝑀𝑢 𝑑𝑣

C

Moment

휀𝑥 =𝑀𝑢 𝑑𝑣

𝐸𝑠𝐴𝑠

Vu

0.5𝑁𝑣 = 0.5𝑉𝑢 cot𝜃

0.5𝑁𝑣

Forţă tăietoare

휀𝑥 =0.5𝑉𝑢 cot𝜃

𝐸𝑠𝐴𝑠

0.5Nu

0.5Nu

Nu

Forţă axială

휀𝑥 =0.5𝑁𝑢𝐸𝑠𝐴𝑠

Page 78: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

69

unde factorul 𝛽, denumit factor al eforturilor de întindere, se poate determina din

relaţiile 3.29 şi 3.33:

𝛽 =0.33

1+ 500휀1 ≤

0.18

0.3+24𝑤

𝑎+16

(3.73)

Pentru dimensionarea etrierilor cu relaţia 3.70, valorile lui 𝛽 şi 𝜃 trebui determinate

în prealabil. Folosind presupunerea că efortul de compresiune 𝑓2 se poate detemina

în mod acoperitor în funcţie de efortul tangenţial mediu (relaţia 3.73) iar din relaţiile

de compatibilitate şi modelul de „compression softening” se poate exprima

deformaţia de întindere pe direcţia principală în funcţie de unghiul de înclinare al

fisurilor şi efortul tangenţial mediu (relaţia 3.75) s-au dedus valori acoperitoare

pentru 𝜃𝑐 şi 𝛽.

𝑓2 = 𝜈 tan 𝜃𝑐 + cot𝜃𝑐 (3.74)

cu

𝜈 =𝑉𝑛

𝑏v𝑑v (3.75)

휀1 = 휀𝑥 +

+ 휀𝑥 + 0.002 1 − 1 −𝜈

𝑓𝑐′ tan 𝜃𝑐 + cot𝜃𝑐 0.8 + 170휀1 cot2 𝜃𝑐 (3.76)

Acestea au fost sintetizate în formă tabelară, atât pentru grinzi cu armătură

transversală cât şi pentru cele fără armătură transversală, în funcţie de deformaţia

longitudinală maximă 휀𝑥 şi efortul tangenţial mediu, normalizat 𝜈/𝑓𝑐 . Algoritmul de

dimensionare presupune următoarele etape:

1. Calculul deformaţiei specifice logitudinale 휀𝑥 ;

2. Determinarea lui 𝜃𝑐 şi 𝛽 în funcţie de 휀𝑥 şi 𝜈/𝑓𝑐 ;

3. Determinarea armăturii transversale din relaţia 3.69.

O versiune îmbunătăţită a acestei metode simplificate a fost propusă de Bentz et al.

(Bentz et al., 2006) şi inclusă în codul canadian CSA 23.3-04 şi în Model Code

2010.

Spre deosebire de varianta iniţială pentru determinarea deformaţiei specifice de

întindere 휀1, se foloseşte deformaţia longitudinală medie (figura 3.21). Pentru

Page 79: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

70

calculul deformaţiei specifice medii pe secţiune 휀𝑥 , o primă simplificare constă în

folosirea unui unghi 𝜃 = 30°, ceea ce duce la următoare expresie:

휀𝑥 =

𝑀𝑢𝑑v

+0.5𝑁𝑢+𝑉𝑢

2𝐸𝑠𝐴𝑠 (3.77)

Ecuaţia 3.75 presupune că secţiunea este fisurată, dar în anumite cazuri (forţă axială

de compresiune mare, forţe de precomprimare) aplicarea acesteia poate duce la

valori negative. În acest caz secţiunea se consideră nefisurată şi fie se poate

presupune în mod acoperitor că 휀𝑥 = 0 sau se recalculează 휀𝑥 considerând şi

rigiditatea la forţă axială a betonului din zona întinsă:

휀𝑥 =

𝑀𝑢𝑑v

+0.5𝑁𝑢+𝑉𝑢

2(𝐸𝑠𝐴𝑠+𝐸𝑐𝐴𝑐𝑡 ) (3.78)

Figura 3.20. Determinarea deformaţiei specifice longitudinale (CSA23.3-04)

Determinarea parametrului 𝛽 şi a unghiului 𝜃 se face în mod direct din deformaţia

specifică longitudinală medie şi o distanţă echivalentă medie între fisuri care are

valoarea 𝑠𝑧𝑒 = 300 mm.

𝛽 =0.4

1+1500휀𝑥

1300

1000+𝑠𝑧𝑒 (3.79)

𝜃 = 29 + 7000휀𝑥 (3.80)

În expresia lui 𝛽, raportul 1300/(1000 + 𝑠𝑧𝑒 ) include influenţa „efectului de

scară „ care, aşa cum a fost determinat şi experimental, presupune că cedarea

grinzilor cu înălţime mare se face la un efort tangenţial mediu mai mic decât la

grinzile cu înălţime mică şi acelaşi procent de armare longitudinală. Raportul

0.4/(1 + 1500휀𝑥 ) ţine cont de „efectul deformaţiei longitudinale” asupra

capacităţii betonului de a prelua forţa tăietoare, creşterea deformaţiei specifice

x

0.5h

0.5h

dv

Act

As

bv

Page 80: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

71

orizontale ducând la diminuarea efortului principal de întindere în beton. Deşi cele

două efecte sunt interdependente, autorii metodei au preferat simplificarea metodei

prin introducerea separată a acestora.

3.5. Observaţii privind eforturi tangenţiale în lungul fisurilor

Una aspect criticabil al MCFT constă în presupunerea unor eforturi tangenţiale în

lungul fisurilor. Această ipoteză, introdusă pentru a explica creşterea eforturilor din

armături în dreptul fisurilor, are o explicaţie fizică evidentă, dar contrazice ipoteza

direcţiilor principale aliniate cu direcţiile fisurii. Cauza nerespectării condiţiilor de

echilibru în cazul absenţei eforturilor tangenţiale în fisuri (ecuaţia 3.34) constă în

faptul că eforturile medii din armături se calculează folosind relaţiile efort unitar –

deformaţii specifice pentru oţel simplu, fară considerarea eforturilor de aderenţă

care apar în lungul barelor între fisuri.

O primă încercare de a remedia acest neajuns a fost făcut de Stevens et al. (Stevens

et al., 1991), acesta propunând reducerea efortului din armături prin modificarea

legii constitutive a oţelului simplu aşa cum este arătat în figura 3.21.

Figura 3.21. Modelul Stevens pentru bare înglobate în beton (Stevens et al, 1991)

O soluţie alternativă pentru remedierea acestui neajuns a fost propusă şi de Belarbi

şi Hsu în cadrul RASTM (Belarbi şi Hsu, 1994) prin modificarea legilor constitutive

pentru armături pornind de rezultate experimentale. În locul folosirii unei relaţii

Es 1

Ep 1

2∆𝜎𝑦𝑐𝑟 1 − 𝑒−𝐸𝑠−𝐸𝑝2∆𝜎𝑦𝑐𝑟

∙ 휀𝑠−휀𝑠0

s0 s

fy-3 ycr

fy

s

-(fy-3 ycr)

-fy

∆𝜎𝑦𝑐𝑟 =75

𝑑𝑏𝑓𝑐𝑟

Page 81: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

72

triliniare pentru oţelul simplu, autorii RASTM au folosit o relaţie biliniară (figura

3.22) care să ţină cont de efectul eforturilor de aderenţă, legea fiind în fapt o relaţie

aproximativă între eforturile şi deformaţiile medii ale barelor de oţel înglobate în

beton:

𝜎𝑠 = 𝐸𝑠휀𝑠 pentru 휀𝑠 ≤ 휀𝑦′ (3.81)

𝜎𝑠 = 0.91 − 2𝐵 𝑓𝑦 + (0.02 + 0.25𝐵) 𝐸𝑠휀𝑠 pentru 휀𝑠 > 휀𝑦′ (3.82)

cu

𝐵 =1

𝜌 𝑓𝑐𝑟

𝑓𝑦

1.5

(3.83)

𝑓𝑦′ = 0.93 − 2𝐵 𝑓𝑦 (3.84)

휀𝑦′ =

𝑓𝑦′

𝐸𝑠 (3.85)

Prin utilizarea acestei legi constitutive, în cadrul RASTM eforturile tangenţiale în

dreptul fisurilor se pot neglija, iar limitarea eforturilor medii de întindere după

direcţia principală nu mai este este necesară.

Figura 3.22. Modelul Belarbi – Hsu pentru bare inglobate în beton (Belarbi şi Hsu, 1994)

În acelaşi scop, Kaufmann (Kaufmann, 1998) a folosit ideea propusă de Belarbi, dar

modul de abordare este mult mai coerent din punct de vedere teoretic. Ideea de bază

folosită de Kaufman reprezintă de fapt explicaţia fenomenului de „tension

stiffening”. Plecând de la faptul că, în faza de fisurare stabilizată, efortul maxim în

beton nu poate depăşi rezistenţa betonului la întindere, dacă se cunoaşte distribuţia

휀𝑦′

휀𝑦 휀𝑠𝑕

𝑓𝑦

𝑓𝑦′

𝜎𝑠

휀𝑠

modelul Belarbi-Hsu

Model triliniar

experimental

Page 82: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

73

eforturilor de aderenţă în lungul barei şi distanţa între fisuri, se poate determina

distribuţia eforturilor din armătură şi din beton. Determinarea acestora se face

rezolvând ecuaţiile diferenţiale de echilibru, punând condiţiile la limită. În faza de

fisurare stabilizată, pentru un tirant de beton armat solicitat la întindere şi

considerând o conlucrare perfectă între beton şi armătură, condiţiile la limită

constau în faptul că, din motive de simetrie, efortul de aderenţă se anulează la

jumătatea distanţei între fisuri şi nu există deformaţii relative între beton şi

armătură. Totuşi, datorită faptului că expresiile eforturilor de aderenţă propuse de

diverşi cercetători fac imposibil de rezolvat analitic ecuaţiile diferenţiale de

echilibru, se preferă adoptarea unor distribuţii simplificate a eforturilor de aderenţă,

tehnică utilizată şi de Kaufmann. Acesta a utilizat un model numit Modelul

tirantului care presupune o relaţie biliniară cu consolidare pentru oţel şi o distribuţie

în trepte a eforturilor de aderenţă între două fisuri aşa cum este indicat în figura

3.23. Efortul maxim de aderenţă 𝜏𝑏0 este egal cu 2𝑓𝑡′ iar efortul minim de aderenţă

𝜏𝑏1 este egal cu 𝑓𝑡′ , amândouă fiind distribuite pe distanţe egale cu 𝑠𝑟𝑚 /4, unde 𝑠𝑟𝑚

este distanţa medie între fisuri.

Figura 3.23. Modelul Tirantului a) legea constitutivă a oţelului; b) distribuţia eforturilor de

aderenţă şi de întindere din armătură şi beton (Kaufmann, 1998)

𝜏𝑏0 𝜏𝑏1

𝜏𝑏

𝜎𝑠

𝜎𝑠𝑐𝑟

𝜎𝑐1

𝜆𝑓𝑡′

𝑠𝑚

𝑁

𝐸𝑠

𝐸𝑕𝑠

1

1

𝑓𝑠𝑢

𝑓𝑠𝑦

휀𝑠𝑦 휀𝑠𝑢

𝜎𝑠

𝜎𝑠𝑚𝑖𝑛

b) a)

Page 83: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

74

Folosind acest model, Kaufmann a dedus următoarele expresii pentru eforturile din

armături în dreptul fisurilor. În cazul în care efortul maxim din armătură este

inferior limitei de elasticitate a oţelului, atunci distribuţia eforturilor de aderenţă se

consideră constantă (𝜏𝑏 = 𝜏𝑏0):

𝜎𝑠𝑐𝑟 = 𝐸𝑠휀𝑠𝑚 +𝜏𝑏0𝑠𝑟𝑚

𝜙 (3.86)

𝜎𝑠𝑚 = 𝐸𝑠휀𝑠𝑚 (3.87)

𝜎𝑐𝑚 =𝜏𝑏0𝑠𝑟𝑚

𝜙

𝜌

1−𝜌 (3.88)

În cazul în care pe o anumită lungime armătura dintre fisuri ajunge la curgere,

eforturile devin:

𝜎𝑠𝑐𝑟 = 𝑓𝑠𝑦 + 2

𝜏𝑏0𝑠𝑟𝑚𝜙

− 𝐴

𝜏𝑏0𝜏𝑏1

−𝐸𝑠𝐸𝑠𝑕

(3.89)

cu:

𝐴 = 𝑓𝑠𝑦 − 𝐸𝑠휀𝑚 𝜏𝑏1𝑠𝑟𝑚

𝜙 𝜏𝑏0

𝜏𝑏1−

𝐸𝑠

𝐸𝑠𝑕 +

𝐸𝑠

𝐸𝑠𝑕𝜏𝑏0𝜏𝑏1

𝑠𝑟𝑚2

𝜙2 (3.90)

𝜎𝑠𝑚 = 𝑓𝑠𝑦 − 𝜎𝑠𝑐𝑟 −𝑓𝑠𝑦

2𝜙

4𝜏𝑏1𝑠𝑟𝑚 𝜏𝑏1

𝜏𝑏0− 1 + 𝜎𝑠𝑐𝑟 − 𝑓𝑠𝑦

𝜏𝑏0

𝜏𝑏1−

𝜏𝑏0𝑠𝑟𝑚

𝜙 (3.91)

𝜎𝑐𝑚 = 𝜎𝑠𝑐𝑟 − 𝜎𝑠𝑚 𝜌

1−𝜌 (3.92)

Atunci când pe distanţa între două fisuri armătura a ajuns la curgere pe toată

lungimea ei, eforturile devin:

𝜎𝑠𝑐𝑟 = 𝑓𝑠𝑦 + 𝐸𝑠𝑕 휀𝑚 −𝑓𝑠𝑦

𝐸𝑠 +

𝜏𝑏1𝑠𝑟𝑚

𝜙 (3.93)

𝜎𝑠𝑚 = 𝑓𝑠𝑦 + 𝐸𝑠𝑕 휀𝑚 −𝑓𝑠𝑦

𝐸𝑠 (3.94)

𝜎𝑐𝑚 =𝜏𝑏1𝑠𝑟𝑚

𝜙

𝜌

1−𝜌 (3.95)

În expresiile de mai sus 휀𝑚 reprezintă deformaţia specifică medie. Explicaţia lui

Kaufmann referitoare la alegerea exprimării lui 𝜎𝑠𝑐𝑟 în funcţie de 휀𝑚 constă în

Page 84: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

75

faptul că de efortul maxim din armătură depinde rezistenţa tirantului, iar de

deformaţiile medii depind verificările legate de deschiderea fisurilor şi deformaţiile

elementelor de beton armat la starea limită de serviciu.

Modele prezentate anterior simplifică aplicarea MCFT şi au un avantaj major în

cazul implementării lor în programele de element finit. Acesta constă în eliminarea

verificărilor privind limitarea efortului de întindere din beton şi, mai mult, elimină

necesitatea determinării şi verificării eforturilor tangenţiale. Aşa cum s-a precizat

anterior, introducerea eforturilor tangenţiale a fost un artificiu care permite

determinarea eforturilor în armături în dreptul fisurilor dar implică o inconsecvenţă

teoretică (direcţia eforturilor principale coincide cu direcţia deformaţiilor

principale). Deşi MCFT permite obţinerea unor rezultate teoretice foarte apropiate

de cele experimentale, ipoteza transferării unei părţi semnificative din forţa tăietoare

printr-un mecanism de încleştare a agregatelor nu este specifică teoriilor de fisurare

distribuită cu unghi variabil, această ipoteză fiind în general folosită în cazul celor

cu unghi fix.

3.6. Varianta simplificată a MCFT folosită în această lucrare

În prezenta lucrare s-au eliminat verificările legate de eforturile de întindere din

beton şi de eforturile tangenţiale care apar în lungul fisurilor pentru oţel folosindu-

se legea propusă de Belarbi şi Hsu.

Folosind un program de calcul dezvoltat de autor conform principiilor descrise în

capitolul patru s-au comparat rezultatele obţinute experimental cu cele determinate

analitic. În program au fost implementate MCTF aşa cum a fost formulată de

Vecchio şi Collins cât şi metoda simplificată menţionată anterior.

O primă verificare a rezultatelor obţinute pe cale analitică a constat în compararea

curbelor deformaţie – efort tangenţial şi a deformaţiile specifice pe direcţiile x, y şi

2 (direcţia axei principale de compresiune) cu cele obţiunte pentru un panou

experimental testat de Vecchio şi Collins (Vecchio şi Collins, 1986). În figura 3.24

sunt trasate curbele deformaţie – efort tangenţial care pun în evidenţă un faptul că

atât MCFT cât şi varianta simplificată folosită în această teză subestimează

rezistenţa panoului PV23, care este un panou puternic armat. Se observă însă că

rezulatatele obţinute în acest caz cu cele două metode analitice sunt aproximativ

identice. În tabelul 3.1 se poate observa că deformaţiile după axele x şi y obţinute

experimental sunt diferite, chiar dacă raportul încărcărilor (𝜏𝑥𝑦 : 𝜎𝑥 :𝜎𝑥 =

1.00:−0.39:−0.39) folosit la testare ar conduce în celor două metode la valori

Page 85: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

76

egale. Acest lucru reprezintă o dovadă experimentală a faptului că în realitate

direcţiile principale ale deformaţiilor specifice şi cele ale eforturilor nu coincid.

Tabelul 3.1 Deformaţii specifice pentru panoul PV23

휀𝑥 (‰) 휀𝑦 (‰) 휀𝑐2 (‰)

Experimental 0.93 1.13 2.66

MCFT 1.068 1.068 2.58

MCFT

simplificat 1.055 1.055 2.303

Figura 3.24. Relaţiile 𝝉𝒙𝒚 − 𝜸𝒙𝒚 obţinute experimental şi analitic pentru panoul PV23

Verificările suplimentare s-au realizat folosind rezultatele experimentale obţinute de

Vecchio şi Collins pe o serie de panouri cu armătura dispusă paralel cu laturile

acestora. În tabelul 3.2 sunt date caracteristicile panourilor – procente de armare,

rezistenţele materialelor – şi raportul încărcărilor.

Comparaţiile între rezulatele obţinute experimental şi cele obţinute analitic sunt date

în tabelul 3.3. Se poate observa din acest tabel că rezulatele obţinute pe cale

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8

Efo

rt tan

gen

tial

xy

(MP

a)

Deformatie tangentiala xy (‰)

Exp.

MCFT simplif.

MCFT - Vecchio

Page 86: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

77

analitică sunt apropiate de cele experimentale. În general apar diferenţe mai mari în

cazul panourilor la care cedarea s-a datorat anumitor defecte (panourile PV9 şi

PV25) sau cedării prinderilor (PV1, PV5, PV7, PV8, PV14, PV19 şi PV24).

De asemenea, se observă că rezultatele obţinute cu cele două metode analitice sunt

apropiate, rezistenţele obţinute cu MCFT fiind în general mai mari.

Tabelul 3.2. Caracteristicile panourilor încercate de Vecchio şi Collins

Panou

Raportul

încărcărilor

(xy:x:y)

Armare

direcţia X Armare direcţia Y

x fy,x y fy,y

PV1 1:0:0 0.0179 483 0.0168 483

PV3 1:0:0 0.0048 662 0.0048 662

PV4 1:0:0 0.0106 242 0.0106 242

PV5 1:0:0 0.0074 621 0.0074 621

PV6 1:0:0 0.0179 266 0.0179 266

PV7 1:0:0 0.0179 453 0.0179 453

PV8 1:0:0 0.0262 462 0.0179 462

PV9 1:0:0 0.0179 455 0.0179 455

PV10 1:0:0 0.0179 276 0.01 276

PV11 1:0:0 0.0179 235 0.0131 235

PV12 1:0:0 0.0179 469 0.0045 269

PV14 1:0:0 0.0179 455 0.0179 455

PV16 1:0:0 0.0074 255 0.0074 255

PV18 1:0:0 0.0179 431 0.0032 412

PV19 1:0:0 0.0179 458 0.0071 299

PV20 1:0:0 0.0179 460 0.0089 297

PV21 1:0:0 0.0179 458 0.013 302

PV22 1:0:0 0.0179 458 0.0152 420

PV23 1:-0.39:-0.39 0.0179 518 0.0179 518

PV24 1:-0.83:-0.83 0.0179 492 0.0179 492

PV25 1:-0.69:-0.69 0.0179 466 0.0179 466

Page 87: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

78

Tabelul 3.3 Rezultate exeprimentale şi analitice

Panou 𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑒𝑥𝑝

𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑀𝐶𝐹𝑇

𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑀𝐶𝐹𝑇 ,𝑆𝑖𝑚𝑝

𝜏𝑥𝑦 ,𝑢𝑒𝑥𝑝

𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑀𝐶𝐹𝑇

𝜏𝑥𝑦 ,𝑢𝑒𝑥𝑝

𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑀𝐶𝐹𝑇 ,𝑠𝑖𝑚𝑝

𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑀𝐶𝐹𝑇

𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑀𝐶𝐹𝑇 ,𝑠𝑖𝑚𝑝

(Mpa) (Mpa) (Mpa)

PV1 8.02 8.36 8.01 0.959 1.001 1.044

PV3 3.07 3.16 3.01 0.972 1.020 1.050

PV4 2.89 2.66 2.9 1.086 0.997 0.917

PV5 4.24 4.59 4.2 0.924 1.010 1.093

PV6 4.55 4.76 4.3 0.956 1.058 1.107

PV7 6.81 8.09 7.5 0.842 0.908 1.079

PV8 6.67 8.45 8.39 0.789 0.795 1.007

PV9 3.74 4.29 4.3 0.872 0.870 0.998

PV10 3.97 3.76 3.56 1.056 1.115 1.056

PV11 3.56 3.62 3.5 0.983 1.017 1.034

PV12 3.13 2.68 3.1 1.168 1.010 0.865

PV14 5.24 6.24 6.2 0.840 0.845 1.006

PV16 2.14 1.88 2.4 1.138 0.892 0.783

PV18 3.04 2.91 2.8 1.045 1.086 1.039

PV19 3.95 3.75 3.7 1.053 1.068 1.014

PV20 4.26 4.23 4.1 1.007 1.039 1.032

PV21 5.03 5.13 4.9 0.981 1.027 1.047

PV22 6.07 5.87 5.9 1.034 1.029 0.995

PV23 8.87 7.75 7.9 1.145 1.123 0.981

PV24 7.94 9.05 8.9 0.877 0.892 1.017

PV25 9.12 8.63 8.3 1.057 1.099 1.040

Valoare medie 0.990 0.995 1.010

Abaterea medie standard 0.106 0.093 0.075

3.7. Observaţii şi concluzii

În acest capitol au fost prezentate cele două teorii bazate pe fisurarea distribuită

dezvoltate de Vecchio, fiind prezentate atât ipotezele folosite pentru relaţiile de

compatibilitate şi echilibru împreună cu legile constitutive ale materialelor folosite

pentru aceste două terorii, cât şi modul de folosire al acestor teorii în dimensionarea

la forţă tăietoare a elementelor de beton armat.

Deşi MCFT a fost prima teorie care a introdus conceptul de „tension stiffening”

pentru analizarea elementelor de tip membrană supuse la forfecare, folosirea

relaţiei constitutive a oţelului simplu pentru eforturile medii din armătura distribuită

a necesitat introducerea unor verificări suplimentare a eforurilor în dreptul fisurilor

şi introducerea unor eforturi de forfecare în lungul acestora. Eforturile de forfecare

Page 88: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

79

din lungul fisurilor justifică, conform MCFT, forţa tăietoare preluată de beton însă

prezenţa lor este contrară ipozelor folosite.

Pentru a evita acest neajuns în prezenta lucrare s-a folosit o abordare mai simplă, în

care s-au eliminat verificările eforturilor în dreptul fisurilor şi prezenţa eforturilor de

forfecare în lungul acestora. Spre deosebire de MCFT, pentru a include efectul de

„tension stiffening”, legea constitutivă folosită pentru armătura distribuită este cea

propusă de Belarbi şi Hsu (Belarbi şi Hsu, 1994), care ţine cont de faptul că relaţia

între eforturile şi deformaţiile medii ale barelor de armătură nu coincide cu cea

otelului simplu.

Rezultatele numerice obţinute folosind metoda simplificată arată o corelare

satisfăcătoare a acestora cu rezultatele obţinute experimental, valorile obţinute fiind,

în general, apropiate de cele obţinute folosind MCFT.

Page 89: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

80

4. Implementarea teoriilor bazate pe fisurarea distribuită

în programele de element finit

4.1. Introducere

Implementarea teoriilor bazate pe fisurare distribuită în programele de element finit

a fost o preocupare constantă a cercetătorilor din acest domeniu. Iniţial,

implementarea acestor teorii s-a făcut în programele de element finit pentru

elemente de tip membrană (Vecchio, 1989 ,Stevens, 1991), iar mai târziu s-a

încercat implementarea acestora şi pentru elemente de tip bară (Benz, 2000).

Două tipuri de abordări s-au făcut remarcate în implementarea a teoriilor bazate pe

fisurarea distribuită: implementări care folosesc matricea de rigiditate tangentă a

materialului şi cele bazate pe matricea de rigiditate secantă. Dacă formulările care

folosesc matricea tangetă a materialui au fost uşor acceptate, datorită simplităţii în

implementare şi caracterului lor generalist, implementările bazate pe matricea

secantă au fost privite cu reţinere, mai ales în cazul folosirii lor pentru încărcări

ciclice. În prima parte a acestui capitol sunt prezentate cele două formulări, modul

lor de implementare în programele de element finit şi o analiză comparativă.

Folosirea teoriilor de fisurare distribuită în cazul elementelor de tip bară a fost

posibilă datorită apariţiei modelelor de tip multifibră. Folosind modele pentru

materiale bazate pe astfel de teorii s-au putut dezvolta elemente de tip bară care să

ţină cont de prezenţa forţei tăietoare. Dacă în cazul elementelor care nu ţin cont de

prezenţa forţei tăietoare ipotezele folosite de elementele de grindă de tip Bernoulli

impun condiţii cinematice directe între deformaţiile secţionale şi deformaţiile

specifice ale fibrelor, în cazul elementelor care se bazează pe teorii de fisurare

distribuită, fibrelor care modelează betonul trebuie să le fie asociată o stare plană de

eforturi şi, implicit, o stare plană de deformaţii. Aceasta necesită introducerea unor

constângeri cinematice suplimentare (e.g. ipoteze cinematice pentru grinzi de tip

Timoshenko) sau introducerea unor distribuţii prestabilite ale eforturilor tangenţiale.

O serie de elemente au fost dezvoltate în ultimii douăzeci de ani, fie folosind

diverse distibuţii ale deformaţiilor tangenţiale pe înălţimea secţiunii, fie folosind

distribuţii prestabilite ale eforturilor tangenţiale sau considerând condiţiile de

Page 90: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

81

echilibru dintre fibre. Aceste tipuri de abordări vor fi prezentate şi analizate în cea

de-a doua parte a prezentului capitol.

4.2. Formularea matriceală a MCFT pentru încărcări monoton

crescătoare

4.2.1. Formularea bazată pe matricea de rigiditate secantă

Pentru elementele finite cu formulare în deplasări, relaţia generală folosită pentru

determinarea matricei de rigiditate a elementului este de tipul:

𝑘 = 𝐵 𝑇 𝐷 𝐵 𝑑𝑉 (4.1)

Unde [𝐵] este matricea funcţiilor de deplasare care depind de ordinul elementului,

iar [𝐷] este matricea de rigiditate a materialului. Pentru un material elastic într-o

stare de tensiuni plană matricea de rigiditate a materialului are expresia:

𝐷 =𝐸

1−𝜈2

1 𝜈 0𝜈 1 0

0 01−𝜈

2

(4.2)

iar relaţia dintre eforturi şi deformaţiile specifice se poate pune sub forma:

𝜎 = 𝐷 휀 (4.3)

unde:

𝜎 = 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝑇 (4.4)

휀 = 휀𝑥 휀𝑦 𝛾𝑥𝑦 𝑇 (4.5)

Având în vedere că betonul armat are o comportare neliniară relaţia 4.2 nu se poate

aplica. Bazându-se pe faptul că în direcţiile principale betonul simplu se comportă

ca un material ortotrop pentru aceste direcţii, folosind o formulare secantă, Vecchio

a propus următoarea matrice de rigiditate a betonului după cele două direcţii:

Page 91: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

82

𝐷 𝑐′ =

𝐸𝑐2 0 0

0 𝐸𝑐1 0

0 0 𝐺𝑐

(4.6)

unde 𝐸𝑐1,𝐸𝑐2 şi 𝐺𝑐 sunt modulii secanţi ai betonului. Pentru o anumită stare de

eforturi aceştia se pot determina ca în figura 4.1a şi b sau se pot evalua cu expresiile

următoare:

𝐸𝑐1 = 𝜎𝑐1/휀𝑐1 (4.7)

𝐸𝑐2 = 𝜎𝑐2/휀𝑐2 (4.8)

𝐺𝑐 =𝐸𝑐1 ∙𝐸𝑐2

𝐸𝑐1+𝐸𝑐2 (4.9)

Figura 4.1. Modulii secanţi ai materialelor a) beton – compresiune; b) beton – întindere;

c) oţel

Pentru armături orientate la un unghi 𝛼𝑖 , având în vedere faptul că barele de

armătură preiau doar eforturi de întindere şi compresiune, matricea de rigiditate a

materialului pe direcţia acestora se determină cu relaţia:

𝐷 ′𝑠𝑖 = 𝜌𝛼𝑖𝐸𝑠𝛼𝑖 0 0

0 0 00 0 0

(4.10)

c

c2

1

𝐸 𝑐2

c2 c

c

c 1

𝐸 𝑐1

c1

𝑓𝑡′

c1 si

1

𝐸 𝑠𝛼𝑖 si

si

si

fyi

i=1,n

(a) (b) (c)

Page 92: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

83

Betonul armat fiind un material compozit, matricea de rigiditate se obţine prin

însumarea rigiditătilor celor două materiale:

𝐷 = 𝐷 𝑐 + 𝐷 𝑠𝑖𝑛𝑖=1 (4.11)

unde 𝐷 𝑐 şi 𝐷 𝑠𝑖 sunt matricile de rigiditate ale materialelor după direcţiile locale

ale elementului (x,y). Aceste matrici se pot exprima în funcţie de matricile de

rigiditate cu relaţiile 4.6 şi 4.8 prin transformări geometrice:

𝐷 𝑐 = 𝑇 𝑐𝑇 𝐷 𝑐

′ 𝑇 𝑐 (4.12)

cu

𝑇 𝑐 = cos2 𝜃 sin2 𝜃 sin 𝜃 cos𝜃 sin2 𝜃 cos2 𝜃 − sin 𝜃 cos𝜃

−2 sin𝜃 cos𝜃 2 sin 𝜃 cos𝜃 cos2 𝜃 − sin2 𝜃 (4.13)

𝐷 𝑠𝑖 = 𝑇 𝑠𝑖𝑇 𝐷 𝑠𝑖

′ 𝑇 𝑠𝑖 (4.14)

cu

𝑇 𝑠𝑖 =

cos2 𝛼𝑖 sin2 𝛼𝑖 sin𝛼𝑖 cos𝛼𝑖

sin2 𝛼𝑖 cos2 𝛼𝑖 − sin 𝛼𝑖 cos𝛼𝑖−2 sin 𝛼𝑖 cos𝛼𝑖 2 sin𝛼𝑖 cos𝛼𝑖 cos2 𝛼𝑖 − sin2 𝛼𝑖

(4.15)

Aşa cum se poate observa în metoda rigidităţii secante, matricile de rigiditate sunt

simetrice, atât pe direcţiile principale cât şi pe direcţiile care definesc coordonatele

locale ale elementului.

4.2.2. Formularea bazată pe matricea de rigiditate tangentă

În formularea secantă din paragraful anterior, relaţia între eforturi şi deformaţiile

specifice este una directă. Abordările folosind matricile tangente trebuie să

folosească o abordare incrementală iar relaţiile între eforturi şi deformaţiile

specifice trebuie exprimate sub formă diferenţială:

𝑑𝜎 =𝜕𝜎

𝜕휀∙ 𝑑휀 = 𝐷 ∙ 𝑑휀 (4.16)

Page 93: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

84

de unde se poate deduce expresia generală a matricei de rigidiate a materialului:

𝐷 =

𝜕𝜎𝑥

𝜕휀𝑥

𝜕𝜎𝑥

𝜕휀𝑦

𝜕𝜎𝑥

𝜕𝛾𝑥𝑦

𝜕𝜎𝑦

𝜕휀𝑥

𝜕𝜎𝑦

𝜕휀𝑦

𝜕𝜎𝑥

𝜕𝛾𝑥𝑦

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕휀𝑥

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕휀𝑦

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝛾𝑥𝑦

(4.17)

Ca şi în cazul metodei bazate pe rigiditatea secantă, având în vedere ipoteza

compatibilităţii deformaţiilor, matricea de rigiditate se poate descompune în două

matrici: una reprezentând rigiditatea betonului iar cealaltă rigiditatea armăturilor.

In cazul armăturilor, matricea de rigiditate a materialului pe direcţia acestora se

poate exprima sub forma:

𝐷 ′𝑠𝑖 = 𝜌𝛼𝑖

𝜕𝜎𝑠𝛼𝑖

𝜕휀𝛼𝑖0 0

0 0 00 0 0

(4.18)

Se poate observa că, în cazul armăturilor, matricile de rigiditate se pot obţine direct

din legea constitutivă a oţelului.

Pentru beton matricea de rigiditate în direcţiile (x,y) se pune sub forma:

𝐷 𝑐 =

𝜕𝜎𝑐𝑥

𝜕휀𝑥

𝜕𝜎𝑐𝑥

𝜕휀𝑦

𝜕𝜎𝑐𝑥

𝜕𝛾𝑥𝑦

𝜕𝜎𝑐𝑦

𝜕휀𝑥

𝜕𝜎𝑐𝑦

𝜕휀𝑦

𝜕𝜎𝑥𝑐

𝜕𝛾𝑥𝑦

𝜕𝜏𝑐𝑥𝑦

𝜕휀𝑥

𝜕𝜏𝑐𝑥𝑦

𝜕휀𝑦

𝜕𝜏𝑐𝑥𝑦

𝜕𝛾𝑥𝑦

(4.19)

Aşa cum au demonstrat Bažant (1983) şi Cristfield (1989), pe direcţiile principale

matricea de rigiditate a unui material ortotrop se poate scrie sub forma:

𝐷 𝑐′ =

𝜕𝜎𝑐1

𝜕휀1

𝜕𝜎𝑐1

𝜕휀20

𝜕𝜎𝑐2

𝜕휀1

𝜕𝜎𝑐2

𝜕휀20

0 01

2

(𝑓𝑐1−𝑓𝑐2)

휀1−휀2

(4.20)

Spre deosebire de matricea de rigiditate secantă, matricea de rigiditate tangentă nu

mai este simetrică 𝜕𝜎𝑐1

𝜕휀2≠ 0,

𝜕𝜎𝑐2

𝜕휀1≠ 0 . Mai mult decât atât, trebuie precizat că

Page 94: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

85

orice variaţie a deformaţiei specifice pe una din direcţiile principale produce o

variaţie a deformaţiei specifice pe cealaltă direcţie. Chiar dacă în teorie

determinarea matricei tangente pare facilă, în practică aceasta necesită folosirea

unor metode numerice, relaţiile analitice fiind complicate deoarece depind în mod

direct de expresiile legilor constitutive adoptate pentru beton la compresiune şi

întindere.

4.2.3. Comparaţii între cele două formulări

În cazul analizei statice neliniare, principalii paşi în determinarea deplasărilor

nodale şi a eforturilor structurale folosind un algoritm de tip Newton - Raphson sunt

identici cu cei descrişi în capitolul 2, paragraful 2.3.2. Este evident că, dacă în cazul

clasic al folosirii matricei de rigiditate tangente la fiecare iteraţie dintr-un pas de

încărcare, fie se foloseşte matricea de rigiditate din pasul precedent (procedeul

Newton Raphson Modificat), fie matricea de rigidiate din iteraţia anterioară

(procedeul Newton Raphson clasic), în cazul folosirii matricilor secante pentru

materiale, matricile de rigiditate pentru structură şi pentru elemente sunt şi ele

matrici secante. În acest caz, criteriul folosit de Vecchio pentru verificarea

convergenţei s-a pus la nivelul coeficienţilor din matricea de rigiditate a materialui.

Dacă se compară calitativ soluţia iterativă la nivelul unui pas de încărcare (figura

4.2), se observă că numărul de iteraţii pentru cele două metode poate să difere

considerabil, numărul de iteraţii necesare pentru obţinerea convergenţei fiind

considerabil mai mare dacă se foloseşte rigiditatea secantă.

Figura 4.2. Procesul iterativ pentru un pas de încărcare

a) folosind rigiditatea secantă; b) folosind rigiditatea tangentă

Q

δ

Qi

Qi+1

Q

Qi

Qi+1

δ a) b)

Page 95: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

86

Pentru verificarea acestei supoziţii am dezvoltat un program care analizează un

panou folosind doar matricea de rigiditate a materialul de tip beton armat. Deoarece

într-un panou de beton armat supus la o încercare de forfecare eforturile şi

deformaţiile obţinute folosind MCFT trebuie să fie aceleaşi în toate punctele,

rezultatele obţinute cu acest program se pot valida direct cu rezulatele

experimentale.

În program s-au implementat ambele tipuri de formulări, iar schema logică pentru

implementarea bazată pe matricea secantă este dată în figura 4.3.

În cazul folosirii matricei de rigiditate tangente schema logică este asemănătoare,

diferenţa apărând la modul în care se evaluează matricile de rigiditate pentru beton

şi armături şi din faptul că relaţiile sunt scrise sub formă incrementală. Aşa cum s-a

explicat anterior, determinarea matricilor de rigiditate se face în acest caz folosind

un procedeu numeric care conţine următorii paşi:

- Se defineşte un increment suficient de mic al deformaţiilor

(e.g. 𝛿휀 = 휀𝑐𝑟/100).

- Pornind de la deformaţiile specifice determinate anterior se calculează doi

vectorii incrementeaţi ai acestora 휀𝑖𝑛𝑐𝑥1 = {휀𝑥 + 𝛿휀 휀𝑦 𝜏𝑥𝑦 } şi

휀𝑖𝑛𝑐𝑥2 = {휀𝑥 − 𝛿휀 휀𝑦 𝜏𝑥𝑦 }

- Aplicând MCFT se detemină vectorii eforturilor unitare 𝜎𝑖𝑛𝑐𝑥1 şi 𝜎𝑖𝑛𝑐𝑥

2

- Se determină prima coloană a matricei de rigiditate din relaţia

𝐷 1: 3,1 = 𝜎𝑖𝑛𝑐𝑥1 − 𝜎𝑖𝑛𝑐𝑥

2 /2𝛿휀

- Se repetă aceleaşi operaţiuni pentru coloanele 2 şi 3 incrementând pe rând

휀𝑦 şi 𝜏𝑥𝑦 .

În cazul particular în care armăturile sunt orientate după axele x şi y procedeul se

aplică doar la nivelul matricei de rigiditate a betonului 𝐷 𝑐 , pentru armături

obţinerea matricilor de rigiditate făcându-se direct din legile constitutive folosite

pentru oţel.

Se observă că în cazul folosirii matricei de rigiditate tangente, pentru determinarea

acesteia este necesară aplicarea de trei ori a MCFT în cursul unei iteraţii, ceea ce

reduce eficienţa numerică a acestei formulări.

Page 96: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

87

Figura 4.3. Schema logică de determinare a eforturilor unitare şi deformaţiilor specifice

pentru metoda rigidităţii secante

STOP

Introducere date

Actualizare eforturi unitare {𝜎}

휀 = 𝐷 −1{𝜎}

Determinare deformaţii specifice

휀1, 휀2,𝜃,𝜎𝑐1,𝜎𝑐2,𝐸𝑐1,𝐸𝑐2,𝐺𝑐 ,𝐸𝑠𝑥 ,𝐸𝑠𝑦

Aplicare MCFT

||

\/

Determinare matrici de rigiditate 𝐷 𝑐′ , 𝐷 𝑠𝑥

′ şi 𝐷 𝑠𝑦′

Asamblarea matricei materialului 𝐷 = 𝐷 𝑐 + 𝐷 𝑠𝑖𝑛𝑖=1

Eforturi interioare 𝜎 𝑅 = 𝐷 {휀}

Nu

Salvare rezultate

𝜎 − 𝜎 𝑅 < 𝑇𝑜𝑙 Verificare convergenta

Da

Incrementare eforturi

Nu

Da

Page 97: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

88

O comparaţie grafică privind numărul de iteraţii pentru panoul PV23 testat de

Vecchio este prezentată în figura 4.4. Pentru acest panou s-a realizat o analiză

numerică folosind un pas de încărcare de 𝑑𝜎 = 0.039 0.039 0.1 𝑇 (în MPa),

numărul total de paşi obţinuţi fiind de 77.

Din acestă figură se poate observa că numărul de iteraţii într-un pas de încărcare

creşte în două situaţii: la fisurarea elementului şi pe măsură ce rigiditatea

elementului scade. Aceste observaţii sunt valabile pentru ambele formulări, însă

sunt mult mai evidente în cazul formulării secante.

Dacă din punct de vedere al numărului de iteraţii formularea tangentă a fost în

medie de 10 ori mai rapidă, din punct de vedere al timpului de calcul acesta a fost

doar de trei ori mai eficientă (15 milisecunde timp de execuţie cu formularea

tangentă raportat la 46 milisecunde în formularea secantă).

Concluzia evidentă este că formulările bazate pe matricea de rigiditate tangentă sunt

mult mai eficiente din punct de vedere numeric în cazul încărcărilor monoton

crescătoare.

Figura 4.4. Relaţia 𝝉𝒙𝒚 − 𝜸𝒙𝒚 şi numărul de iteraţii pentru fiecare pas de încărcare (panoul

PV23)

4.3. Formularea matriceală a MCFT pentru încărcări ciclice

Pentru cazul încărcărilor monoton crescătoare, în formularea originală a MCFT nu

se ţine cont de istoria încărcării pentru determinarea eforturilor şi deformaţiilor

specifice ale materialelor. Relaţiile constitutive ale materialelor dau o valoare unică

Page 98: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

89

a eforturilor pentru orice valoare a deformaţiilor specifice. Dacă acest lucru este

valabil în cazul încărcărilor monoton crescătoare, în cazul încărcărilor ciclice acestă

abordare trebuie modificată datorită răspunsului histeretic al materialelor. Prin

urmare formulările descrise anterior trebuie modificate pentru a se obţine un

răspuns adecvat.

4.3.1. Formularea ciclică a MCFT

Pentru a ţine cont de comportarea histeretică a materialelor, Vecchio (Vecchio,

1999) a extins formularea iniţială folosind legile constitutive, condiţiile de

compatibilitate şi echilibru ale MCFT. Astfel, pentru a putea realiza acest lucru,

legile constitutive ale materialelor au fost extinse pentru cazul încărcărilor ciclice,

iar ideea modificării algoritmului bazat pe matricea secantă, care se aplică şi

formulării bazate pe matricea tangentă, a constat în aplicarea conceptului conform

căruia deformaţiile specifice totale ale betonului şi oţelului se pot considera ca suma

dintre o componentă elastică şi una plastică:

휀 = 휀𝑒 + 휀𝑝 (4.21)

Figura 4.5. Conceptul de deformaţie plastică pentru beton

Acest concept trebuie aplicat atât la nivelul materialelor cât şi la nivelul vectorului

deformaţiilor totale din sistemul de referinţă (x,y), acesta fiind scris sub forma:

휀 = 휀𝑒 + 휀𝑝 (4.22)

Dacă se lucrează în sistemul de referinţă descris de direcţiile principale,

deformaţiile totale ale betonului se exprimă sub forma:

휀1 = 휀𝑐1𝑒 + 휀𝑐1

𝑝 (4.23)

휀2 = 휀𝑐2𝑒 + 휀𝑐2

𝑝 (4.24)

휀𝑝 휀𝑒 휀

𝜎

Page 99: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

90

iar coeficienţii matricei de rigiditate se deduc folosind doar componenta elastică a

deformaţiei:

𝐸𝑐1 = 𝜎𝑐1/휀𝑐1𝑒 (4.25)

𝐸𝑐2 = 𝜎𝑐2/휀𝑐2𝑒 (4.26)

Totuşi deformaţiile plastice pe direcţiile principale se deduc din deformaţiile

plastice din sistemul de coordonate folosind transformările specifice cercului lui

Mhor:

휀𝑐𝑝 = 휀𝑐𝑥

𝑝휀𝑐𝑦𝑝

𝛾𝑐𝑦𝑝 𝑇 (4.27)

O observaţie importantă este faptul că determinarea unghiului 𝜃 pentru direcţiile

principale se face folosind componenta elastică a deformaţiilor totale, doar acestă

componentă a deformaţiilor fiind cea care produce o modificare a stării de eforturi.

Pentru armături, considerând cazul general al unor armături orientate la un unghi 𝛼𝑖

în raport cu axa x, vectorul deformaţiilor plastice în sistemul de referinţa (x,y) se

poate scrie sub forma:

휀𝑠𝑝 𝑖 =

휀𝑠𝑥𝑝

휀𝑠𝑦𝑝

𝛾𝑠𝑦𝑝

=

휀𝑠𝛼𝑖𝑝

∙ 1 + cos 2𝛼𝑖 2

휀𝑠𝛼𝑖𝑝

∙ 1 − cos 2𝛼𝑖 2

휀𝑠𝛼𝑖𝑝

∙ sin 2𝛼𝑖

(4.28)

Aplicând acelaşi principiu ca şi în cazul betonului, modulul de elasticitate secant se

determină tot prin folosirea deformaţiei elastice 휀𝑠𝛼𝑖𝑒 (휀𝑠𝛼𝑖 = 휀𝑠𝛼𝑖

𝑒 + 휀𝑠𝛼𝑖𝑝

):

𝐸𝑠𝛼𝑖 = 𝜎𝑠𝛼𝑖/휀𝑠𝛼𝑖𝑒 (4.29)

Relaţiile între eforturi şi deformaţii se pot scrie în următoarea formă matriceală:

𝜎 = 𝐷 ∙ 휀 − 휀𝑝 (4.30)

𝜎 = 𝐷 휀 − 𝜎𝑝 (4.31)

𝜎𝑝 = 𝐷𝑐 휀𝑐𝑝 + 𝐷𝑠 𝑖 휀𝑠

𝑝 𝑖𝑛𝑖=1 (4.32)

Page 100: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

91

Folosirea relaţiei dintre eforturi şi deformaţii sub forma dată de ecuaţia 4.30 implică

apariţia unui vector de pseudo-eforturi plastice care are ca scop doar corectarea

vectorului eforturilor obţinut prin înmulţirea matricei de rigiditate secante cu

vectorul deformaţiilor totale.

Cerinţa fundamentală a unui formulări ciclice constă în determinarea înfăşurătoarei

deformaţiilor plastice indiferent de direcţie, chiar dacă sistemul definit de direcţiile

principale se roteşte.

Folosind transformările date de cercul lui Mohr, deformaţiile plastice pe direcţiile

principale ale elementului se pot scrie în funcţie de deformaţiile plastice din

sistemului de referinţă (figura 4.6):

휀𝑐1𝑝

=휀𝑐𝑥𝑝

+휀𝑐𝑦𝑝

2+

휀𝑐𝑥𝑝−휀𝑐𝑦

𝑝

2cos 2𝜃 +

𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝

2sin 2𝜃 (4.33)

휀𝑐2𝑝

=휀𝑐𝑥𝑝

+휀𝑐𝑦𝑝

2−

휀𝑐𝑥𝑝−휀𝑐𝑦

𝑝

2cos 2𝜃 −

𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝

2sin 2𝜃 (4.34)

Deformaţiile plastice sunt folosite pentru determinarea eforturilor unitare din

relaţiile histeretice ale betonului.

Figura 4.6. Aplicarea cercului lui Mohr pentru deformaţiile plastice

Într-un anumit pas de încărcare pot să apară deformaţii plastice suplimentare.

Notând cu Δ휀𝑐1𝑝

şi Δ휀𝑐2𝑝

incrementele deformaţiilor plastice pe direcţiile principale,

se poate actualiza înfăşurătoarea deformaţiilor plastice în sistemul de referinţă

folosind expresiile:

/2

𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝

2

𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝

2

휀𝑐𝑥𝑝

휀𝑐1𝑝

1 x

2

휀𝑐2𝑝

휀𝑐𝑦𝑝

Page 101: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

92

휀𝑐𝑥

𝑝 ′= 휀𝑐𝑥

𝑝+

∆휀𝑐1𝑝

2 1 + cos 2𝜃 +

∆휀𝑐2𝑝

2 1 − cos 2𝜃

휀𝑐𝑦𝑝 ′

= 휀𝑐𝑦𝑝

+∆휀𝑐1

𝑝

2 1 − cos 2𝜃 +

∆휀𝑐2𝑝

2 1 + cos 2𝜃

𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝 ′

= 𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝

+ ∆휀𝑐1𝑝 sin 2𝜃 − ∆휀𝑐2

𝑝 sin 2𝜃

(4.35)

unde 휀𝑐𝑥𝑝

, 휀𝑐𝑦𝑝

şi 𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝

sunt deformaţiile specifice din pasul precedent.

Pe lângă înfăşurătoarea deformaţiilor plastice, legile histeretice folosite pentru

materiale depind şi de deformaţiile maxime de compresiune (휀𝑐𝑚𝑥 , 휀𝑐𝑚𝑦 , 𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦 ) şi

întindere (휀𝑡𝑚𝑥 , 휀𝑡𝑚𝑦 ,𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦 ) atinse în paşii precedenţi.

La fiecare pas de încărcare deformaţiile maxime totale de compresiune ale betonului

휀𝑐𝑚𝑥 , 휀𝑐𝑚𝑦 ,𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦 sunt salvate şi apoi transformate în deformaţii maxime totale de

compresiune după direcţiile principale, folosind cercul lui Mohr pentru deformaţii:

휀𝑐𝑚1 =휀𝑐𝑚𝑥 +휀𝑐𝑚 𝑦

2+

휀𝑐𝑚𝑥 −휀𝑐𝑚𝑦

2cos 2𝜃 +

𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦

2sin 2𝜃 (4.36)

휀𝑐𝑚2 =휀𝑐𝑚𝑥 +휀𝑐𝑚𝑦

2−

휀𝑐𝑚𝑥 −휀𝑐𝑚𝑦

2cos 2𝜃 −

𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦

2sin 2𝜃 (4.37)

Dacă deformaţiile totale pe direcţiile principale depăşesc defomaţiile maxime atinse

anterior, atunci acestea trebuie incrementate cu diferenţa dintre acestea:

∆휀𝑐𝑚1 = 0 dacă 휀𝑐1 > 휀𝑐𝑚1

휀𝑐1 − 휀𝑐𝑚1 dacă 휀𝑐1 < 휀𝑐𝑚1

(4.38)

∆휀𝑐𝑚2 = 0 dacă 휀𝑐2 > 휀𝑐𝑚2

휀𝑐2 − 휀𝑐𝑚2 dacă 휀𝑐2 < 휀𝑐𝑚2

(4.39)

La sfârşitul unui pas de încărcare deformaţiile maxime de compresiune

(휀𝑐𝑚𝑥′ , 휀𝑐𝑚𝑦

′ ,𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦′ ) în sistemul de referinţă al elemetului se actualizează plecând de

la deformaţiile maxime anterioare (휀𝑐𝑚𝑥 , 휀𝑐𝑚𝑦 ,𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦 ) şi incremenţii determinaţi

anterior pentru direcţiile principale:

휀𝑐𝑚𝑥′ = 휀𝑐𝑚𝑥 +

∆휀𝑐𝑚 1

2 1 + cos 2𝜃 +

∆휀𝑐𝑚 2

2 1 − cos 2𝜃

휀𝑐𝑚𝑦′ = 휀𝑐𝑚𝑦 +

∆휀𝑐𝑚 1

2 1 − cos 2𝜃 +

∆휀𝑐𝑚 2

2 1 + cos 2𝜃

𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦′ = 𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦 + ∆휀𝑐𝑚1 sin 2𝜃 − ∆휀𝑐𝑚2 sin 2𝜃

(4.40)

În mod asemănător se determină şi se actualizează deformaţiile maxime de întindere

în sistemul de referinţă al elementului:

Page 102: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

93

휀𝑡𝑚𝑥′ = 휀𝑡𝑚𝑥 +

∆휀𝑡𝑚 1

2 1 + cos 2𝜃 +

∆휀𝑡𝑚 2

2 1 − cos 2𝜃

휀𝑡𝑚𝑦′ = 휀𝑡𝑚𝑦 +

∆휀𝑡𝑚 1

2 1 − cos 2𝜃 +

∆휀𝑡𝑚 2

2 1 + cos 2𝜃

𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦′ = 𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦 + ∆휀𝑡𝑚1 sin 2𝜃 − ∆휀𝑡𝑚2 sin 2𝜃

(4.41)

cu

휀𝑡𝑚1 =휀𝑡𝑚𝑥 +휀𝑡𝑚𝑦

2+

휀𝑡𝑚𝑥 −휀𝑡𝑚𝑦

2cos 2𝜃 +

𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦

2sin 2𝜃 (4.42)

휀𝑡𝑚2 =휀𝑡𝑚𝑥 +휀𝑡𝑚𝑦

2−

휀𝑡𝑚𝑥 −휀𝑡𝑚𝑦

2cos 2𝜃 −

𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦

2sin 2𝜃 (4.43)

∆휀𝑡𝑚1 = 0 dacă 휀𝑐1 < 휀𝑡𝑚1

휀𝑐1 − 휀𝑡𝑚1 dacă 휀𝑐1 > 휀𝑡𝑚 1

(4.44)

∆휀𝑡𝑚2 = 0 dacă 휀𝑐2 < 휀𝑡𝑚2

휀𝑐2 − 휀𝑡𝑚2 dacă 휀𝑐2 > 휀𝑡𝑚2

(4.45)

Figura 4.7. Aplicarea cercului lui Mohr pentru deformaţiile maxime a) de compresiune; b)

de întindere

2

1

y

2

x

cmx

cm1

cm2

cmy

𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦

2

𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦

2

tm1

tmx

tm2

tmy

2

1

y

x

𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦

2

𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦

2

2

(a) (b)

Page 103: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

94

4.3.1.1. Legile constitutive ale materialelor

Legea constitutivă a oţelului pentru armături

Legea constitutivă a oţelului propusă de Vecchio pentru cazul încărcărilor ciclice

este preluată din modelul Seckin (Seckin, 1981), înfăşurătoarea fiind caracterizată

de o curba triliniară care modelează consolidarea ce apare după palierul de curgere

printr-un segment de dreaptă (figura 4.8). Relaţiile folosite pentru cazurile de

descărcare şi încărcare sunt următoarele:

- Descărcare

𝜎𝑠 휀𝑠𝛼𝑖 = 𝜎𝑠𝛼𝑖−1 + 𝐸𝑠𝑟 휀𝑠𝛼𝑖 − 휀𝑠𝛼𝑖−1 (4.46)

- Încărcare

𝜎𝑠 휀𝑠𝛼𝑖 = 𝐸𝑠𝑟 휀𝑠𝛼𝑖 − 휀𝑠𝑝 +

𝐸𝑚−𝐸𝑠𝑟

𝑁𝑠 휀𝑚−휀𝑠𝑝 𝑁𝑠−1

휀𝑠𝛼𝑖 − 휀𝑠𝑝 𝑁𝑠 (4.47)

unde:

𝑁𝑠 = 𝐸𝑚−𝐸𝑠𝑟 ∙ 휀𝑚−휀𝑠

𝑝

𝑓𝑚−𝐸𝑠𝑟 휀𝑚−휀𝑠𝑝

(4.48)

𝐸𝑠𝑟 =

𝐸𝑠 dacă 휀𝑚 − 휀𝑠

𝑝 < 휀𝑦

𝐸𝑠 1.05 − 0.05휀𝑚−휀𝑠

𝑝

휀𝑦 dacă 휀𝑦 < 휀𝑚 − 휀𝑠

𝑝 < 4휀𝑦

0.85𝐸𝑠 dacă 휀𝑚 − 휀𝑠𝑝 > 4휀𝑦

(4.49)

Figura 4.8. Modelul histeretic Seckin pentru oţel (Seckin, 1981)

K

N 𝜎𝑠

A

B

C,M

E,I

H

G

F D L

J

휀𝑚− εs

p+

1

1 1

1

Esr

Es Esr

Esh 𝜎 m fy

휀𝑚+ 휀𝑠

𝑝− s

Page 104: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

95

Aşa cum s-a menţionat în capitolul precedent, în formularea originală a MCFT s-a

folosit relaţia constitutivă a oţelului simplu, fără a se lua în calcul prezenţa

eforturilor de aderenţă. Prin urmare, în această lucrare s-a folosit modelul

Menegoto-Pinto (Menegotto şi Pinto, 1973), care, spre deosebire de modelul

Seckin, foloseşte o curbă înfăşurătoare biliniară care se poate adapta la modificările

limitei de curgere şi a modulului de rigiditate postelastică din modelul Belarbi şi

Hsu.

În modelul Menegoto-Pinto, ca şi în modelul Seckin, trebuie definite deformaţiile

plastice necesare determinării rigidităţii secante a oţelului (figura 4.9).

Figura 4.9. Modelul histeretic Menegoto-Pinto pentru oţel (după Orakcal et al., 2006)

Legea constitutivă a betonului

Pentru compresiune curba înfăşurătoare poate fi de tip Hognestad sau Popovics,

modificată astfel încât să ţină cont de efectul de „compression softening”. Pentru a

putea folosi metoda expusă anterior trebuie definită o deformaţie plastică

instantanee, care corespunde de fapt deformaţiei remanente atunci când betonul este

decărcat. Această deformaţie instantanee se determină cu relaţia:

휀𝑐𝑝

= 휀𝑐 − 휀𝑝 0.87

휀𝑐

휀𝑝 − 0.29

휀𝑐

휀𝑝

2

dacă 휀𝑐 > 1.5휀𝑝

휀𝑐 − 0.001305 휀𝑝

0.002 dacă 휀𝑐 < 1.5휀𝑝

(4.50)

La descărcare, conform modelului Vecchio, eforturile urmează o dreaptă definită de

o pantă 𝐸𝑐𝑚 = 𝜎𝑐𝑚 /(휀𝑐𝑚 − 휀𝑐𝑝

) aşa cum este arătat în figura 4.10.

Page 105: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

96

Într-un ciclu de reîncărcare la compresiune pentru care se cunoaşte deformaţia

plastică a betonului, efortul de compresiune se poate determina cu relaţia:

𝑓𝑐 휀𝑐 =

0 dacă 휀𝑐 > 휀𝑐𝑝

sau 휀𝑐 > 0

휀𝑐 − 휀𝑐𝑝 ∙

𝜎𝑐𝑚

휀𝑐𝑚 −휀𝑐𝑝

dacă 휀𝑐𝑝

> 휀𝑐 > 휀𝑐𝑚

𝜎𝑏𝑐 휀𝑐 dacă 휀𝑐 < 휀𝑐𝑚

(4.51)

unde 휀𝑐𝑚 , 𝑓𝑐𝑚 sunt deformaţia maximă şi valoarea corespunzătoare acesteia atinsă

în ciclu anterior, iar 𝑓𝑏𝑐 휀𝑐 reprezintă efortul în beton determinat din curba de bază

a betonului. În figura 4.10 sunt arătate curbele de reîncărcare posibile conform

modelului lui Vecchio.

Figura 4.10. Curbele de reîncărcare la compresiune conform Modelului Vecchio

Modelul propus de Vecchio nu consideră o deformaţie plastică remanentă la

întindere. La cicluri de încărcare - descărcare la întindere, răspunsul betonului s-a

considerat ca fiind liniar, aşa cum este arătat în figura 4.11, şi se poate evalua cu

relaţiile următoare:

- Încărcare

𝜎𝑐 휀𝑐 =

휀𝑐−휀𝑐𝑝

휀𝑡𝑚 −휀𝑐𝑝 ∙ 𝑓𝑡𝑚 pentru 휀𝑐

𝑝< 휀𝑐 < 휀𝑡𝑚

𝜎𝑏𝑡 휀𝑐 pentru 휀𝑡𝑚 < 휀𝑐

(4.52)

- Descărcare

𝜎𝑐 휀𝑐 = 𝐸𝑡𝑚 휀𝑐 =𝜎𝑡𝑚

휀𝑡𝑚 ∙ 휀𝑐 (4.53)

A B

C D

𝜎𝑐𝑚′

cm

𝛽𝑓𝑐𝑚′

휀𝑐𝑚′ p cm c

fc

C D

𝜎𝑐𝑚′

cm

𝛽𝑓𝑐𝑚′

휀𝑐𝑚′ p cm c

fc

B

휀𝑐𝑝

Curba betonului

considerând efectul de

compression-softening

Curba betonului

considerând efectul de

compression-softening

Page 106: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

97

Figura 4.11. Moduri de încărcare-descărcare la întindere a) încărcare la întindere; b)

încărcare după un ciclu anterior de compresiune; c) descărcare

4.4. Răspunsul la nivel secţional folosind MCFT

4.4.1. Consideraţii generale privind influenţa forţei tăietoare asupra

răspunsului secţional

Atunci când o secţiune este supusă pe lângă moment şi la forţă tăietoare, pentru

cazul clasic al unui material elastic, expresiile eforturilor tangenţiale se pot deduce

folosind expresia lui Juravski (1856). Prezenţa forţei tăietoare duce la o variaţie a

momentului încovoietor, ceea ce impune la nivelul unei fâşii de lungime

infinitezimală dx o variaţie a eforturilor unitare normale. Aceste eforturi unitare

sunt echilibrate de eforturi tangenţiale orizontale (figura 4.12) iar ecuaţia de

echilibru la nivelul fâşiei se poate scrie sub forma:

𝜕𝜎

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑦= 0 (4.54)

Pornind de la această ecuaţie se poate determina în mod direct efortul tangenţial în

orice punct al secţiunii:

𝜏𝑥𝑦 𝑦 = −1

𝑏 𝑦

𝜕𝜎

𝜕𝑥

𝑦

−𝑦𝑏𝑏 𝑦 𝑑𝑦 (4.55)

cu yb coordonata fibrei inferioare a secţiunii.

Pentru un material omogen ecuaţia de mai sus se reduce la clasica expresie a lui

Jourawski:

c

c

tm

𝑓𝑡′

tm

c

c

tm

𝑓𝑡′

tm 휀𝑐′

c

c

tm

𝑓𝑡′

tm

Etm 1

a) b) c)

Page 107: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

98

𝜏𝑥𝑦 𝑦 = −1

𝑏 𝑦

𝑉

𝐼

𝑦

−𝑦𝑏𝑏 𝑦 𝑦𝑑𝑦 =

𝑉𝑆 𝑦

𝐼𝑏(𝑦) (4.56)

unde S(y) rezprezintă momentul static al părţii de secţiune cuprinse între fibra

inferioară şi punctul y, b(y) reprezintă lăţimea secţiunii la punctul y.

Folosind conceptul de arie efectivă la forţă tăietoare (Ag=A) şi relaţia între

deformaţiile şi eforturile tangenţiale, se poate deduce următoarea relaţie:

𝛾𝑥𝑦 𝑦 =𝐴𝑔𝑆(𝑦)

𝑏𝐼𝛾0 (4.57)

cu 𝛾0 = 𝑉/(𝐴𝑔𝐺), unde G este modulul de elasticitate tangent.

Relaţia 4.56 reprezintă o condiţie cinematică pentru deformaţiile tangenţiale care, în

cazul materialelor elastice, nu depind de interacţiunea moment - forţă tăietoare, ci

doar de caracteristicile geometrice ale secţiunii.

Figura 4.12. Soluţia Juravski pentru eforturile tangenţiale din grinzi

În cazul elementelor de beton armat, astfel de relaţii cinematice, care ţin cont doar

de caracteristicile geometrice, nu se pot aplica. Datorită fisurilor înclinate care apar

în prezenţa forţei tăietoare, comportarea materialului este una anizotropă, fibrele

longitudinale prezentând deformaţii de alungire (datorate eforturilor normale) şi de

forfecare (datorate eforturilor tangenţiale). Prin urmare dezvoltarea unor astfel de

relaţii cinematice trebuie să includă şi deformaţiile normale datorate alungirii şi

curburii.

y

dx

2V dx

M+dM M V V

d

db∙dx

bdx

b∙dy db∙dy

M

V

Page 108: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

99

4.4.2. Metode bazate pe o distribuţie fixă

Aşa cum s-a precizat la începutul capitolului, în paragraful 4.1, la dezvoltarea

elementelor de tip grindă s-au folosit două tipuri de metode care să ţină cont de

interacţiunea între moment, forţă axială şi forţă tăietoare: metode bazate pe o

distribuţie fixă aplicată eforturilor sau deformaţiilor tangenţiale şi metode care se

bazează pe echilibrul dintre fibre.

Metodele bazate pe o distribuţie fixă folosesc fie o distribuţie fixă a eforturilor, fie

distribuţie fixă a deformaţiilor tangenţiale pe secţiune indiferent de nivelul de

solicitare. Eforturile sau deformaţiile tangenţiale în orice punct al secţiunii se

determină prin înmulţirea valorii date de distribuţia considerată cu o un efort sau o

deformaţie specifică generalizată a secţiunii, acesta depinzând în mod direct de

nivelul de încărcare. Aceste distribuţii fixe se pot scrie sub forma:

- pentru distibuţii fixe ale deformaţiilor tangenţiale

𝛾𝑥𝑦 𝑦 = 𝐹 𝑦 𝛾0 (4.58)

- pentru distribuţii fixe ale eforturilor tangenţiale

𝜏𝑥𝑦 𝑦 = 𝐹 𝑦 𝑉 (4.59)

Aceste distribuţii fixe permit considerarea unei stări de eforturi bidimensionale

pentru orice fibră din interiorul secţiunii. În orice caz, alegerea unei astfel de

distribuţii depinde în mod direct de modul de alcătuire al secţiunii (forma, modul de

dispunere al armăturii etc.) fapt care reduce gradul de generalitate al acestor

metode.

Pentru ambele tipuri de distibuţii trebuie impuse condiţii suplimentare pentru a

putea determina starea de eforturi şi deformaţii din fiecare fibră. În cazul în care se

foloseşte o distribuţie constantă a deformaţiilor specifice tangenţiale, pornind de

deformaţiile generalizate ale secţiunii, se pot determina doar două deformaţii: cea

normală la planul secţiunii 휀𝑥 şi cea tangenţială 𝛾𝑥𝑦 . Pentru a putea determina starea

de eforturi în fibră ar trebui cunoscută şi deformaţia normală la axa elementului. În

general acest lucru se poate realiza presupunând că în lipsa unor forţe care

acţionează perpendicular pe axa elementului, eforturile normale transversale sunt

nule. Această condiţie este folosită şi în cazul utilizării unor distribuţii fixe ale

Page 109: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

100

eforturilor tangenţiale, când la nivelul fibrelor se cunosc deformaţiile normale

longitudinale 휀𝑥 şi efortul tangenţial 𝜏𝑥𝑦 .

Indiferent de tipul de distribuţie folosită, datorită faptului că eforturile tangenţiale

sunt valori medii, condiţia de echilibru exprimată în relaţia 4.54 nu se poate asigura.

4.4.3. Metode bazate pe echilibru între fibre

Prima metodă care foloseşte condiţia de echilibru dintre fibre este cea propusă de

Vecchio şi Collins în 1988, care este de altfel şi prima implementare a MCFT

pentru elemente de tip grindă. Această metodă numită „Analiză secţională duală” se

bazează pe determinarea aproximativă a gradientului eforturilor normale dintr-o

fibră cu o lungime finită S delimitată de două secţiuni (fig. 4.13).

Figura 4.13. Discretizarea secţiunii, secţiunile de control şi schema forţelor pe o fibră în

analiza secţională duală (Vecchio şi Collins, 1988)

Folosind ipoteza secţiunilor plane şi faptul că forţele produse de eforturile

tangenţiale pe feţele comune a două fibre sunt egale şi de semn contrar, dacă se

휀𝑡

𝑓𝑐′ , 𝑓𝑐𝑟 , 휀𝑐

𝑏𝑖 ,𝑕𝑖 ,𝜌𝑡𝑖

𝑦𝑐𝑖

𝐴𝑠𝑗 , 𝑓𝑥𝑦𝑗 ,𝐸𝑠𝑗

휀𝑡

휀𝑐𝑥𝑖 𝜈𝑐𝑖

𝑦𝑐𝑖

S ≈ d/6

Ck2

Vk

Fk

Fk-1

Ck1

Vk hk N

M

V Fâşie ‘k’

Secţiunea 2 Secţiunea 1

Secţiune de

beton Discretizarea cu

fibre de beton

Armături Distribuţia

deformaţiilor

specifice

longitudinale

Distribuţia

eforturilor

tangenţiale

Element de grindă şi

sectiuni de control

Forţele care acţionează

pe o fibră

Page 110: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

101

cunosc cele două forţe de compresiune sau întindere dintr-o fibră i, notate cu Ck,1

respectiv Ck,2, se pot deduce următoarele relaţii:

𝐹𝑘−1 = Ci,1 − Ci,2 𝑘−1𝑖=1 (4.60)

𝐹𝑘 = Ck,1 − Ck,2 + 𝐹𝑘−1 (4.61)

Pentru cazul în care forţa tăietoare este constantă pe lungimea S a elementului,

forţele tăietoare de la capetele fibrei se pot determina dintr-o ecuaţie de moment

scrisă în raport cu unul din capetele fibrei de înălţime hk:

𝑉𝑘 =𝐹𝑘−𝐹𝑘−1

2∙𝑕𝑘

𝑆 (4.62)

Pentru rezolvarea problemei, având în vedere că fiecare fibră se consideră ca fiind

un element bidimensional cu o stare de eforturi plană uniformă, se foloseşte un

procedeu iterativ în care se presupune o distribuţie iniţială a eforturilor tangenţiale.

Acestă distribuţie este corectată până când se obţine o convergenţă a acesteia,

dublată în mod evident de îndeplinirea condiţiilor de echilibru între forţele

exterioare şi cele interioare.

Ceea ce face dificil de implementat această analiză secţională duală în programele

de element finit îl constituie faptul că metoda nu este una strict secţională iar în

cazul elementelor de bară, indiferent de formulare, matricile rigidităţilor secţionale

şi eforturile sunt calculate independent pentru fiecare punct de integrare din lungul

elementului.

Mai mult decât atât, Bentz (Bentz, 2000) a demonstrat că această metodă nu este

una stabilă şi are dificultăţi în a prezice în mod adecvat distribuţia eforturilor

tangenţiale. Trei tipuri de probleme pot să apară în cazul analizei secţionale duale:

- Distribuţia eforturilor tangenţiale nu este una închisă (eforturi tangenţiale

diferite de zero la partea superioară sau inferioară a secţiunii) lucru care

se datorează erorilor numerice care intervin în evaluarea numerică a forţei

axiale în cele două secţiuni;

- Discontinuităţi accentuate ale eforturilor tangenţiale datorate înălţimii

diferite a fisurilor în cele două secţiuni;

- Distanţa între fisuri are o influenţă semnificativă asupra distribuţiei

eforturilor tangenţiale.

Page 111: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

102

Pentru a evita aceste probleme, Bentz a propus o metoda coerentă din punct de

vedere matematic şi mult mai stabilă din punct de vedere numeric. În această

metodă, denumită Metoda rigidităţii secţionale, se consideră un element de lungime

infinitezimală dx, iar variaţia eforturilor normale este determinată ca derivata

acestora, folosind regula derivării în lanţ.

Metoda presupune folosirea în primul pas de încărcare a unei distribuţii iniţiale de

tip Jourawski pentru deformaţiilor tangenţiale asemănătoare cu cea din expresia

4.56:

𝛾𝑥𝑦 𝑦 =𝐴𝑆(𝑦)

𝑏𝐼𝛾𝑚 (4.63)

𝛾𝑥𝑦 𝑦 = 𝐹𝛾 𝑦 𝛾𝑚 (4.64)

Diferenţa faţă de relaţia 4.56 constă în faptul că autorul a folosit aria brută a

secţiunii în locul ariei efective. În ceilalţi paşi distribuţia folosită este cea obţinută

într-un pas anterior.

Folosirea unei astfel de distribuţii împreună cu ipoteza secţiunilor plane permite

obţinerea unei relaţii directe între deformaţiile unei fibre şi deformaţiile specifice

ale secţiunii:

휀𝑥(𝑦)𝛾𝑥𝑦 (𝑦)

= 1 −𝑦 00 0 𝐹𝛾(𝑦)

휀𝑥𝑠𝜙𝑧𝑠𝛾𝑚

(4.65)

Relaţia se poate pune şi sub forma:

휀 𝑦 = 𝑙 𝑦 𝑒 (4.66)

La nivelul fiecărei fibre relaţiile între deformaţii şi eforturi unitare se pot scrie în

cazul folosirii matricei de rigiditate tangente aşa cum este indicat în relaţia 4.16.

Având în vedere că eforturile normale pe direcţia y (direcţia normală la axa

longitudinală a elementului) ecuaţia 4.16 în formă extinsă devine:

𝑑𝜎𝑥0

𝑑𝜏𝑥𝑦

=

𝐷11 𝐷12 𝐷13

𝐷21 𝐷22 𝐷23

𝐷31 𝐷32 𝐷33

𝑑휀𝑥𝑑휀𝑦𝑑𝛾𝑥𝑦

(4.67)

Page 112: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

103

Relaţia se poate rescrie eliminând 𝑑휀𝑦 , şi se obţine o matrice de rigiditate

modificată a materialului:

𝑑𝜎𝑥𝑑𝜏𝑥𝑦

= 𝐷11 −

𝐷12𝐷21

𝐷22𝐷13 −

𝐷12𝐷23

𝐷22

𝐷31 −𝐷32𝐷21

𝐷22𝐷33 −

𝐷32𝐷23

𝐷22

𝑑휀𝑥𝑑𝛾𝑥𝑦

(4.68a)

𝑑𝜎𝑥𝑑𝜏𝑥𝑦

= 𝐷 𝑑휀𝑥𝑑𝛾𝑥𝑦

(4.68b)

Folosind această matrice de rigiditate modificată se poate determina derivata

eforturilor unitare în funcţie de deformaţiile specifice ale secţiunii:

𝜕𝜎

𝜕𝑥=

𝜕𝜎

𝜕휀

𝜕휀

𝜕𝑒

𝑑𝑒

𝑑𝑥= 𝐷 𝑙(𝑦)

𝑑𝑒

𝑑𝑥 (4.69)

Derivatele eforturilor secţionale sunt determinate apoi prin integrare directă:

𝑑𝑁

𝑑𝑥𝑑𝑀𝑧

𝑑𝑥𝑑𝑉𝑦

𝑑𝑥

= 1 0−𝑦 00 1

𝐴

𝑑𝜎𝑥𝑑𝜏𝑥𝑦

𝑑𝐴 (4.70a)

𝑑𝑆

𝑑𝑥= 𝑙𝑇

𝐴(𝑦)𝐷 𝑙 𝑦 𝑑𝐴

𝑑𝑒

𝑑𝑥= 𝑲𝑠

𝑑𝑒

𝑑𝑥 (4.70b)

unde Ks este matricea de rigiditate secţională, A(y) este o matrice de integrare a

eforturilor secţionale. Deoarece matricile A(y) şi l(y) nu sunt identice, iar matricea

de rigiditate a materialului nu este simetrică, atunci matricea de rigiditate a secţiunii

nu va rezulta simetrică.

Din punct de vedere al asigurării echilibrului între fibrele secţiunii, tehnica adoptată

de Bentz a constat în determinarea matricilor de rigiditate ale materialului în puncte

de integrare care se intoduc la interfaţa dintre fibre şi la mijlocul înălţimii acestora

(fig. 4.14). Acest lucru asigură echilibru între fibre, iar matricea de rigiditate se

poate determina în mod cât mai exact, fibrele putând avea o secţiune sub formă de

trapez. Determinarea rigidităţii unei fibre s-a făcut prin integrarea rigidităţilor

nodale folosind regula Simpson, iar din punct de vedere numeric matricea de

rigiditate secţională se poate determina prin insumarea matricilor de rigiditate ale

fibrelor.

Page 113: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

104

Matricea de rigiditate a secţiunii este folosită în mod direct pentru determinarea

variaţiei eforturilor unitare 𝜕𝜎/𝜕𝑥. Considerând că se aplică secţiunii doar o forţă

tăietoare 𝑉 = 𝑑𝑀𝑧/𝑑𝑥, atunci deformaţiile specifice ale secţiunii se pot deduce din

formula 4.70b:

𝑑𝑒

𝑑𝑥= 𝐾𝑠

−1 0𝑉0 (4.71)

iar prin înlocuirea în relaţia 4.68 se obţine variaţia eforturilor normale. Folosind

aceste valori ale variaţiei eforturilor normale din fibre se pot determina prin

integrarea numerică a relaţiei 4.54 eforturile tangenţiale.

Figura 4.14. Punctele de integrare pentru o fibră de beton (Bentz 2000)

4.5. Modelul secţional implementat în Open Sees

Implementarea în Open Sees a unui element de grindă multifibră bidimensional care

să ţină cont de interacţiunea între moment şi forţă tăietoare prin intermediul MCFT

s-a făcut considerând următoarele ipoteze:

- Betonul este modelat sub formă de fibre (fâşii) cu comportare

bidimensională (aflate într-o stare plană de tensiuni), folosind o formulare

bazată pe matricea secantă;

- Fibrele care modelează armăturile au o comportare uniaxială la care se

neglijează efectul de dorn;

- Ipotezele cinematice la nivel secţional sunt cele folosite grinzile de tip

Timoshenko, acestea fiind prezentate în capitolul 2.

- Distribuţia constantă a deformaţiilor tangenţiale pe înălţimea secţiunii.

y3 y2 y1

y

Axa

neutră

Fâsia i b3

b1

Page 114: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

105

Figura 4.15. Discretizare secţiunii prin fibre şi modul de comportare al acestora

Folosirea MCFT pentru beton impune o stare plană de deformaţii iar determinarea

stării de eforturi necesită cunoaşterea celor trei componente ale vectorului

deformaţiilor specifice. Folosind ipotezele cinematice ale grinzilor de tip

Timoshenko şi o distribuţie constată a deformaţiilor tangenţiale, la nivelul unei fibre

se pot determina doar două deformaţii specifice:

휀𝑥 (𝑦)𝜏𝑥𝑦 (𝑦)

= 1 −𝑦 00 0 1

휀𝑥𝑠𝜙𝑧𝑠𝛾𝑥𝑦𝑠

(4.72a)

𝜺(𝑦) = 𝒍(𝑦)𝒆(𝑥) (4.72b)

deformaţia transversală 휀𝑦 rămânând necunoscută.

Relaţia 4.72 corespunde unei distribuţii constate a deformaţiilor tangenţiale pe

secţiune, însă această relaţie se poate modifica cu uşurinţă pentru implementarea

unei alte distribuţii, modificând termenul l(2,3) din matricea de transformare

geometrică l(y).

Dacă nu există forţe normale la axa grinzii care acţioneză simultan la fibra

supreioară şi inferioră, producând eforturi normale de compresiune sau întindre pe

direcţie transversală, se poate admite ca la nivelul fiecărei fibre efortul normal pe

direcţia y să fie egal cu zero. Acest lucru implică de fapt că eforturile normale pe

direcţie transversală din beton sunt echilibrate de forţele din armătura transversală

(figura 4.16), ceea ce duce la relaţia următoare:

𝜎𝑦 = 𝜎𝑐𝑦 + 𝜌𝑦𝜎𝑠𝑦 = 0 (4.73)

z

y

y

x

x

y xy

xy

xy

xy

y

x

x

y xy

xy

xy

xy

x x

x

Armătură Beton Secţiune

Page 115: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

106

Figura 4.16. Eforturi unitare acţionând asupra unei fibre

Impunerea acestei condiţii implică la nivelul fibrelor de beton un calcul iterativ. În

mod curent acest lucru se face considerând o valoare iniţială a deformaţiilor unitare

휀𝑦 , necesară pentru determinarea matricei de rigiditate a fibrei şi verificarea

condiţiei de echilibru iar în iteraţiile ulterioare aceasta valoare este luată egală fie cu

cea din pasul precedent, fie se poate determina ca fiind egală cu:

휀𝑦 = −𝐷21휀𝑥+𝐷23𝛾𝑥𝑦

𝐷22−

𝜎𝑐𝑦𝑝

+𝜎𝑠𝑦𝑝

𝐷22 (4.74)

Datorită faptului că materialele sunt implemetate folosind o formulare secantă,

trebuie specificat că, în formula 4.74 este nevoie să se introducă pseudo-efortul

plastic din ecuaţia 4.30.

Barele de armătură pe direcţia x sunt modelate ca fibre independente cu o

comportare uniaxială, însă ele influenţeză comportarea fibrelor de beton. Zona de

influenţă a armăturilor longitudinale depinde şi de tipul de solicitare (compresiune

sau întindere) şi de diametrul acestora. În zona întinsă a secţiunii, conform Model

Code 90, zona de beton care este influenţată de prezenţa armăturilor întinse este de

aproximativ 7.5db, unde db este diametrul barei (vezi figura 4.17). Deoarece această

valoare se foloseşte în general pentru zona întinsă a grinzilor iar din cunoştinţele

autorului nu există studii experimentale sau teoretice privind zona de influenţă a

armăturii datorită eforturilor de aderenţă pentru elemente sau zone supuse la

compresiune, în prezenta teză s-a folosit această valoare pentru toate armăturile din

secţiune. Pentru fibrele care se găsesc în zona de influenţă a armăturii procentul de

armare pe direcţia x se determină ca în figura 4.16. Fibrele care nu se găsesc în zona

de influenţă a armăturilor din secţiune au un procent de armare longitudinal (x)

egal cu zero.

𝜏𝑐𝑥𝑦

𝜎𝑐𝑥

𝜎𝑠𝑦

𝜎𝑐𝑦

Page 116: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

107

Procentul de armare pe direcţie transversală se poate considera identic pentru toate

fibrele care se află la interiorul etrierilor, respectiv egal cu zero în zona de

acoperire.

Figura 4.17. Modalitatea de definire a procentelor de armare longitudinale

În cazul fibrelor care includ o armătură distribuită pe direcţie longitudinală,

matricea de rigiditate a fibrei folosită pentru determinarea matricei de rigiditate

secţională nu trebuie să includă şi aportul acesteia, expresia matricei de rigiditate

fiind în acest caz următoarea:

𝑫 = 𝑘11 𝑘12

𝑘21 𝑘22 =

𝐷11 − 𝐷𝑠𝑥 −𝐷12𝐷21

𝐷22𝐷13 −

𝐷12𝐷23

𝐷22

𝐷31 −𝐷32𝐷21

𝐷22𝐷33 −

𝐷32𝐷23

𝐷22

(4.75)

unde

𝐷𝑠𝑥 =σsx

e

휀𝑠𝑥e

(4.76)

Acelaşi lucru este valabil şi în cazul eforturilor, pe direcţia x considerându-se doar

eforturile de întindere şi compresiune din beton.

4.6. Concluzii şi observaţii

Dezvoltarea unui model de grindă multifibră de tip Timoshenko bazat pe fisurarea

distribuită necesită pe de o parte formularea matricială a legilor constituive ale

matrialelor care compun secţiunea, aceasta fiind într-o stare de eforturi şi deformaţii

biaxiale, iar pe de altă parte o ipoteză privind modul de distribuţie al eforturilor sau

7.5db

7.5db

7.5db

7.5db

Ac,ef , x= Ac,ef /Asy

Asy

Asy

Ac,ef , x= Ac,ef /Asy

Arie de beton

efectivă

Page 117: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

108

deformaţiilor tangenţiale. Deoarece din ipotezele cinematice ale grinzilor multifibră

de tip Timoshenko se pot obţine la nivelul fibrelor care alcătuiesc secţiunea doar

două deformaţii specifice, la nivelul fiecarei fibre trebuie impusă o condiţie de

echilibru suplimentară pentru obţinerea deformaţiilor specifice pe direcţia normală

axei longitudinale a elementului.

Formularea matricială a legilor constituive conform MCFT este prezentată în prima

partea a acestui capitol, fiind discutate atât modul de implementare bazat pe

matricea de rigiditate secantă cât şi cel bazat pe matricea de rigiditate tangentă.

Deşi în cazul solictărilor statice folosirea matricei tangente are avantajul unui timp

de calcul scăzut, în cazul încărcărilor ciclice folosirea acesteia poate să ducă la

instabilităţi numerice (Palermo, 2003). Din acest motiv pentru implementarea

elementului în platforma OpenSees am preferat folosirea matricei de rigiditate

secante.

Din punct de vedere al implementării la nivel secţional, aşa cum este prezentat în

cea de-a doua parte a capitolului se pot folosi fie metode bazate pe o distribuţie fixă

a eforturilor sau deformaţiilor tangenţiale, fie metode bazate pe echilibru dintre

fibre. Având în vedere că distribuţie fixă a eforturilor impune cunoaşterea forţei

tăietoare, iar metodele bazate pe echilibrul dintre fibre necesită iteraţii suplimentare

la nivel secţional, am optat pentru o distribuţie fixă a deformaţiilor tangenţiale.

Modul de determinare al răspunsului secţional este prezentat în ultima parte a

capitolului, acesta alcătuind, împreună cu funcţiile de interpolare a deplasărilor

propuse de Friedman şi Kosmatka (Friedman şi Kosmatka, 1993), modelul teoretic

de grindă multifibră care ţine cont de interacţiunea moment – forţă tăietoare

dezvoltat în prezenta lucrare.

Page 118: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

109

5. Implementarea modelului propus în platforma OpenSees

5.1. Descrierea platformei OpenSees

Platforma OpenSees (Open System for Earthquake Engineering) a fost dezvoltată în

cadrul PEER (Pacific Earthquake Engineering Research Center) începând cu anul

1995 cu scopul de a sigura o soluţie modernă de determinare a răspunsului seismic

al structurilor şi a interacţiunii sol-structură. Conceperea acestei platforme într-o

manieră modulară de tip „open source” a avut în vedere atragerea unui număr cât

mai mare de cercetători care să participe la dezvoltarea, testarea şi îmbunătăţirea

platformei.

Folosirea unei tehnici de programare moderne (cea mai mare parte a codului fiind

scris în C++) a permis elaborarea unei platforme de element finit mult mai flexibile.

Spre deosebire de programele clasice, dezvolatate preponderent în Fortran şi care au

o organizare procedurală, în platforma OpenSees programarea folosind un limbaj

orientat spre obiecte a permis elaborarea unor componente cât mai independente,

între care schimbul de informaţii este perfect controlat.

În cadrul platformei OpenSees obiectele reprezintă componente ale sistemului care

este modelat matematic, acestea fiind concepute astfel încât să poată descrie

matematic ecuaţiile din metoda elementului finit. Acest mod de lucru specific

limbajelor de programare orientate pe obiect permite definirea de obiecte abstracte

(clase) şi funcţii specifice ale acestora care sunt recunoscute de celelalte tipuri de

obiecte. Pe lângă obiectele abstracte, cele derivate prin „moştenire” (inheritance),

denumite în continuare subclase, sunt folosite pentru definirea diverselor modele

fizice, algoritmi de rezolvare etc. Cel mai simplu exemplu de obiect îl constitue

obiectul abstract de tip Element. În mod general, pentru o anumită stare de deplasări

nodale, acest tip de obiect abstract trebuie să furnizeze în cadrul unei analize cu

element finit forţele interioare şi matricea de rigiditate. Deoarece în modelarea

structurilor este nevoie de elemente punctuale, liniare, de suprafaţă sau de volum cu

formulări în forţe sau în deplasări, acestea se implementează în OpenSees sub forma

unor subclase, derivate din obiectul abstract de tip Element şi care moştenesc

funcţiile de ansamblu care îl definesc pe acesta şi asigură legătura cu celelalte tipuri

de obiecte. Acest mod de abordare simplifică adăugarea de elemente, materiale sau

tipuri de algoritmi, fără a interveni asupra celorlalte tipuri de obiecte.

Principalele componenete (obiecte) care alcatuiesc platforma OpenSees sunt

Page 119: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

110

enumerate mai jos iar în figura 5.1 este dată diagrama de interdependenţă dintre

acestea:

- ModelBuilder – este o clasă abstractă care iniţializează modelul de analiză

(tipul problemei: unidimensional, bidimensional sau tridimensional) şi crează

prin intermediul subclaselor modelul de element finit;

- Domain – este clasa creată de ModelBuilder care stochează starea modelului la

un anumit pas al analizei;

- Analysis - clasa care analizează modelul şi care interacţionează în mod direct

cu componenta Domain;

- Recorder – componenta care monitorizează şi stochează informaţiile din

Domain (informaţiile despre componentele modelului şi starea acestora), mai

precis rezultatele necesare pentru postprocesare.

Figura 5.1. Componentele (obiectele) principale în platforma OpenSees

(Fenves et al. 2004)

Clasele care alcătuiesc modelul de element finit sunt cele tipice pentru un astfel de

program:

- Clasa de tip Nod care reprezintă un obiect de tip nod din modelul de element

finit. Această clasă stochează informaţiile legate de coordonatele locale şi

gradele de libertate ale nodului şi includ metode şi funcţii care furnizează sau

impun anumite deformaţii nodale.

- Clasa de tip Element care, aşa cum s-a precizat anterior, are ca funcţionalitate

de bază furnizarea informaţiilor despre matricea de rigiditate, de masă, de

amortizare şi eforturile interioare ale elementrului pe care îl modelează.

Această clasă este una abstractă şi furnizează metodele care trebuie

implementate în subclase care sunt derivate din ea, aşa cum este indicat în

figura 5.2;

ModelBuilder Domain Analysis

Recorder

Page 120: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

111

- Clasa de tip Constraint care este o clasă menită să modeleze constrângerile

geometrice aplicate unuia (SP_Constraint) sau mai multor puncte

(MP_Constraint).

- Clasa de tip LoadPattern care permite aplicarea unor încărcări care sunt fie de

tip nodal (NodalLoad), fie asociate unui element (ElementLoad) fie de tip

accelerogramă (UniformExcitation sau MultipleSupport).

Clasa de tip Domain asamblează clasele precedente formând modelul de

element finit (figura 5.2b).

Figura 5.2. Organizarea claselor de tip Element şi de tip Domain

În ceea ce priveşte determinarea răspunsului structural, clasa Analysis este compusă

din cinci subclase care definesc modul în care este rezolvat sistemul de ecuaţii care

guvernează starea modelului la un anumit moment:

- Clasa Algorithm este clasa care impune algoritmul numeric folosit la

determinarea răspunsului structural într-un pas de încărcare (de ex. Newton-

Raphson, Kyrilov etc);

Domain

Node Element SP_Constraint MP_Constraint LoadPattern

NodalLoad ElementalLoad UniformExcitation MultipleSupport

Element

Truss Beam2d (3d) Disp/forceBeamColumn Shell/Quad StdBrick

Page 121: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

112

- Clasa Integrator este clasa care impune în cazul analizelor static neliniare

modul în care este pilotată încărcarea (cu control în forţe, LoadControl sau în

deplasări, DispControl sau de tip ArcLength) iar în cazul analizelor dinamice

metoda de integrare a ecuaţiilor de mişcare (Newmark, HHT etc);

- Clasa ConstraintHandler impune metoda de rezolvare a sistemului de ecuaţii

în cazul constrângerilor geometrice (Metoda Multiplicatorilor Lagrange,

Metoda funcţiei de penalizare sau Metoda eliminării);

- Clasa Numberer care impune modul de renumerotare a gradelor de libertate

cu efect direct asupra formei matricei de rigiditate;

- Clasa SystemOfEqn care asamblează sistemul de ecuaţii şi impune solverul

necesar pentru rezolvarea acestuia.

Din punct de vedere a utilizatorilor, platforma este compilată sub forma unui

executabil independent care permite introducerea datelor fie prin intemediul

TCL/Tk, care este un limbaj de scripting bazat pe şiruri de caractere interpretate la

rulare, fie prin diverse interfeţe de tip grafic precum BuildinTcl, OpenSees

Navigator etc. Spre deosebire de alte programe de cercetare (DRAIN, ANSR sau

IDARC) limbajul de scripting folosit de OpenSees are avantajul unei flexibilităţi

sporite în introducerea datelor şi posibiliatea efectuării de studii parametrice.

5.2. Modele de grindă cu formulare în deplasări implementate în

OpenSees

Pentru a explica modul de implementare a elementului de grindă tip Timoshenko,

trebuie prezentat în prealabil modul de implementare a elementelor cu formulare în

deplasări din OpenSees. Două astfel de elemente sunt deja implementate şi anume:

DispBeamColumn şi DispBeamColumnInt.

În cazul elementului DispBeamColumn, care se bazează pe teoria de grindă de tip

Bernoulli, funcţiile de deplasare fiind scrise relativ la sistemul de coordonate care

defineşte poziţia deformată a elementului aşa cum este indicat în figura 5.3. Pentru

funcţiile de deplasare s-au folosit polinoame de tip Hermite valabile pentru

elemente de bară cu secţiune constantă şi comportare elastică. Pentru simplitate, în

ceea ce urmează este prezentat doar cazul bidimensional deşi în platformă este

implementat şi modelul tridimensional.

Page 122: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

113

Figura 5.3. Sistemele de referinţă în poziţia nedeformată şi deformată a elementului

Relaţiile între deplasările nodale şi cele secţionale folosite pentru acest element se

scriu sub forma:

𝐮 𝑥 = 𝐍 𝑥 𝐮 (5.1)

cu

𝐮 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑇 (5.2)

𝐍 𝑥 = 𝑁1 0 00 𝑁2 𝑁3

(5.3)

𝑁1 =

𝑥

𝐿

𝑁2 = 𝑥 −2𝑥2

𝐿+

𝑥3

𝐿2

𝑁3 = −𝑥2

𝐿+

𝑥3

𝐿2

(5.4)

𝒖 = 𝑢2 𝜃1 𝜃2 𝑇 (5.5)

iar din relaţiile 2.2 se poate deduce relaţia între deplasările nodale şi deformaţiile

secţionale:

𝐞 𝑥 = 𝐁(𝑥)𝐮 (5.6)

unde

𝐞 𝑥 = 휀𝑥 𝜙𝑧 𝑇 = 𝑢′ 𝑥 𝑣"(𝑥) 𝑇 (5.7)

1 2

xE

yE

L

1

2 x

y

L

Page 123: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

114

𝐁 𝑥 = 𝑁1′ 0 0

0 𝑁2′′ 𝑁3

′′ (5.8)

În principiu, elementul presupune o distribuţie liniară a curburii şi, datorită modului

de organizare al platformei OpenSees, răspunsul secţional este obţinut în funcţie de

tipul secţiunii (de tip multifibră sau de tip lege constitutivă).

Elementul DispBeamColumnInt a fost dezvoltat de Massone (Massone, 2006) ca o

extindere a macroelementului MVLM propus de Vulcano (Vulcano şi Bertero,

1987). Pentru a putea ţine cont de interacţiunea între moment şi forţă tăietoare,

Massone a folosit la nivelul elementului funcţii de formă specifice grinzilor de tip

Timoşenko, acestea fiind determinate astfel încât să reproducă în mod fidel

distribuţia deformaţiilor dintr-un macroelement MVLM. Deşi relaţia 5.1 este

valabilă în mod formal, spre deosebire de DispBeamColumn s-a folosit sistemul de

coordonate al elementului în poziţia nedeformată iar relaţiile între deplasările

nodale şi cele secţionale sunt următoarele:

𝑢 𝑥

𝑣 𝑥

𝜃𝑧 𝑥 =

𝑁1 0 0 𝑁2 0 00 𝑁3 𝑁4 0 𝑁5 𝑁6

0 0 𝑁7 0 0 𝑁8

𝑢1

𝑣1

𝜃1

𝑢2

𝑣2

𝜃2

(5.9)

cu

𝑁1,3 = 1 −

𝑥

𝐿

𝑁2,5 = 𝑥/𝐿

𝑁4 = 1 − 𝑐 𝑥 + ( 3𝑐 − 2 𝑥2)/𝐿 + 1 − 2𝑐 𝑥3/𝐿2 N6 = −N4

𝑁7 = 1 + 2(3𝑐 − 2)𝑥/𝐿 + 3 1 − 2𝑐 𝑥/𝐿 2

N8 = −2(3𝑐 − 2)𝑥/𝐿 − 3 1 − 2𝑐 𝑥/𝐿 2

(5.10)

Din ipotezele cinematice ale grinzilor de tip Timoshenko s-a dedus relaţia între

deplasările nodale şi deformaţiile secţionale:

Page 124: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

115

𝐞 𝑥 = 𝐁 𝑥 𝐮 =

𝑁1′ 0 0 𝑁2

′ 0 0

0 𝑁3′ 𝑁4

′ −𝑁7 0 𝑁5′ 𝑁6

′ − 𝑁8

0 0 𝑁7′ 0 0 𝑁8

𝑢1

𝑣1

𝜃1

𝑢2

𝑣2

𝜃2

(5.11)

cu

𝐞 𝑥 = 휀𝑥 𝛾𝑥𝑦 𝜙𝑧 𝑇 (5.12)

Coeficientul 𝑐 este folosit pentru definirea unui punct, denumit de autor centru de

rotire şi are semnificaţia geometrică dată în figura 5.4. Valoarea coeficientului a fost

stabilită plecând de la încercări experimentale pe pereţi structurali în consolă şi

coincide cu valoarea folosită de Vulcano pentru MVLM. Aceste ipoteze folosite de

Massone la dezvoltarea elementului impun folosirea pentru DispBeamColumnInt a

unui singur punct de integrare numerică.

Din expresia deformaţiilor secţionale se poate deduce că în modelul propus de

Massone curbura îşi păstrează semnul pe toată lungimea unui element. Acest lucru,

împreună cu ipotezele folosite la determinarea funcţiilor de formă, limitează

aplicarea DispBeamColumnInt la pereţi în consolă.

Figura 5.4. Definirea centrului de rotire

cL (1-c)L

x

cL (1-c)L x

v

v

Centru de rotire

Δ𝜃 = 𝜙𝑑𝑥

𝐿

0

𝑐𝐿 = 𝜙𝑥𝑑𝑥 𝐿

0

𝜙𝑑𝑥 𝐿

0

Page 125: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

116

Spre deosebire de DispBeamColumn, care se poate folosi împreună cu orice tip de

model secţional care respectă ipotezele cinematice ale grinzilor de tip Euler,

DispBeamColumnInt se poate folosi doar cu un singur tip de secţiune, dezvoltat

special pentru acesta.

În modelul implementat de Massone secţiunea trebuie discretizată astfel încât

centrul de greutate al fibrelor de beton să coincidă cu cel al armăturilor, iar modul

de determinarea al răspunsului secţional se face folosind o distribuţie fixă a

deformaţiilor tangenţiale pe înălţimea secţiunii. Aşa cum s-a precizat în capitolul 4,

paragraful 4.4.4, folosind condiţiile cinematice date de ipoteza secţiunilor plane,

pentru fiecare fibră se pot determina direct deformaţiile specifice 휀𝑥 şi 𝜏𝑥𝑦 ,

deformaţia specifică 휀𝑦 trebuind determinată printr-un proces iterativ. Condiţia care

s-a impus în DispBeamColumnInt pentru determinarea lui 휀𝑦 este ca 𝜎𝑦 = 0 în

fiecare dintre fibre.

În modelul secţional implementat de Massone fibrele de beton sunt modelate ca

materiale cu comportare uniaxială şi bazate pe o formulare tangentă. Acest mod de

abordare a limitat modelul doar la aplicarea lui în cazul încărcărilor monoton

crescătoare, deşi materialele au fost implementate şi pentru încărcări uniaxiale

ciclice.

5.3. Implementarea modelului propus în OpenSees

Pentru implementarea în OpenSees a modelului de grindă Timoshenko care să ţină

cont de interacţiunea între moment şi forţă tăietoare a fost necesară implementarea

a trei clase:

- DispBeamColumn2dTim – subclasă de tip Element în care sunt

implementate ipotezele cinematice pentru o grindă de tip Timoshenko cu

funcţii de interpolare de tip Friedman şi Kosmatka;

- FiberMCFT – subclasă de tip Section care implementează răspunsul secţional

printr-o secţiune de tip multifibră ;

- NdMCFT – subclasă de tip Material folosită pentru determinarea răspunsului

fibrei de beton aflată într-o stare plană de tensiuni folosind relaţiile constitutive

ale MCFT.

În ceea ce urmează sunt prezentate la nivel conceptual modul de dezvoltare al

acestor clase şi relaţiile dintre acestea.

Page 126: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

117

5.3.1. Subclasa DispBeamColumn2dTim

Fiind derivată din clasa abstractă de tip Element, subclasa DispBeamColumn2dTim

urmează modul de organizare şi funcţiile specifice acesteia. Deşi clasa Element

conţine un număr semnificativ de metode, implementarea unei clase pentru un

element nou se poate face folosind un model tip prezent în codul sursă, denumit

NewElement. Acest model tip are definite constructorul (funcţia care iniţializează

variabilele folosite la nivelul elementului), destructorul (funcţia care eliberează din

memorie variabilele iniţializate la nivelul constructorului) şi funcţiile care conţin

operaţiile specifice necesare determinării stării (matrice de rigiditate, starea de

eforturi şi deformaţii etc.) elementului la un anumit moment al analizei.

În principiu, funcţiile care trebuie definite la nivelul elementului se împart în şase

categorii:

- Funcţii care adaugă (iniţializează) elementul în clasa Domain şi care creează

referinţe (pointeri) către nodurile la care este conectat elementul;

- Funcţii care preiau informaţii despre nodurile la care este conectat elementul

(numarul de noduri, gradele de libertate);

- Funcţii care determină starea elementului în timpul analizei (actualizează

deplasările nodale într-o iteraţie, transmit informaţii despre atingerea

convergenţei într-un pas de încărcare etc.);

- Funcţii care actualizează matricea de rigidiatea a elementului (calculul matricei

de rigiditate);

- Funcţii pentru determinarea forţelor interioare ale elementului;

- Funcţii care se ocupă de stocarea rezultatelor.

Figura 5.5. Funcţiile clasei DispBeamColumn2dTim

DispBeamColumn2dTim

Funcţii care iniţializează elementul

( setDomain )

Funcţii care preiau informaţii despre noduri

(getNumExternalNodes, getExternalNodes, getNodePtrs,

getNumDOF)

Funcţii care determină starea elemntului în timpul analizei

(update , commitState, revertToLastCommit, revertToStart)

Funcţii care actualizează matricea de rigidiatea a elementului

(getTangentStiff, getInitialStiff)

Funcţii pentru determinarea forţelor interioare ale elementului

(getRestoringForce)

Page 127: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

118

Din funcţiile enumerate în figura 5.5, funcţiile care alcătuiesc nucleul clasei sunt

funcţiile update, getTangentStiff şi getRestoringForce.

Pentru fiecare iteraţie dintr-un pas de încărcare, funcţia update preia deplasările

nodale din clasa Domain şi determină deformaţiile secţionale ale punctelor de

integrare date de relaţia:

𝐞 𝒙𝒊 = 𝐁 𝒙𝒊 𝐮 (5.13a)

𝐞 𝑥𝑖 =

𝑁1′ 0 0 𝑁2

′ 0 0

0 𝑁3−′ 𝑁7 𝑁4

′ −𝑁8 0 𝑁5′ −𝑁9 𝑁6

′ −𝑁10

0 𝑁7′ 𝑁8

′ 0 𝑁9′ 𝑁10

𝑢1

𝑣1

𝜃1

𝑢2

𝑣2

𝜃2

(5.13b)

unde 𝑁1…10 sunt funcţiile de interpolare ale modelului Friedman şi Kosmatka iar 𝑥𝑖

reprezintă coordonatele punctelor de integrare (secţiunilor de control) determinate

în funcţie de regula de integrare aleasă (Gauss Lobatto, Legendre etc). În mod

implicit elementul foloseşte regula de integrare Gauss Lobatto cu 4 puncte de

integrare.

Funcţiile de interpolare ale modelului Friedman şi Kosmatka pentru grinzi de tip

Timoshenko depind de raportul între rigiditatea la încovoiere şi rigidiatatea la

forfecare, 𝜙, care se deduce din expresia 2.31. În mod evident, în cazul unui

element cu comportare neliniară acest raport variază, însă în modelul implementat

s-a utilizat o valoare constată dată de soluţia elastică.

După ce sunt calculate deformaţiile secţionale ale punctelor de control, acestea sunt

transmise clasei FiberMCFT pentru determinarea rigidităţii secţionale.

În cazul elementelor cu formulare în deplasări, evaluarea matricei de rigiditate

pentru o iteraţie dintr-un pas de încărcare se realizează în cazul programelor de

element finit prin integrarea numerică a relaţiei 2.69:

𝑲𝒇 = 𝐁𝐓 𝒙 𝐊𝒔 𝒙 𝐁(𝒙)𝑳

𝟎𝒅𝒙 ≅ 𝑳 𝒘𝒊 𝐁

𝑻 𝒙𝒊 𝐊𝒔 𝒙𝒊 𝐁(𝒙𝒊)𝒎𝒊=𝟏 (5.14)

unde 𝑤𝑖 reprezintă factorii de pondere ai punctelor de integrare care, ca şi

coordonatele acestora, depind de regula de integrare.

Page 128: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

119

Această determinare numerică a matricei de rigiditate a elementului este efectuată

de funcţia getTangentStiff, care preia pentru fiecare punct de control matricea

secţională calculată în cadrul clasei FiberMCFT.

Cu ajutorul funcţiei getRestoringForce se determină forţele interioare ale

elementului, folosind relaţia 2.70 pusă în formă numerică:

𝑸𝒓𝒇

= 𝑩𝑻 𝒙 ∙ 𝑺𝒓 𝒙 𝒅𝒙𝑳

𝟎≅ 𝐋 𝒘𝒊 𝐁

𝑻 𝒙𝒊 𝐒𝒓 𝒙𝒊 𝒎𝒊=𝟏 (5.15)

în care 𝐒𝑟 𝑥𝑖 reprezintă vectorul eforturilor secţionale în punctul de integrare 𝑖.

Schema logică de calcul pentru element este dată în figura 5.6:

Page 129: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

120

Figura 5.6. Schema logică pentru clasa DispBeamColumn2dTim

DispBeamColumn2dTim::update

Deplasări nodale u

Pentru fiecare punct Gauss i=1,m

𝐵 𝑥𝑖

𝑒 𝑥𝑖 = 𝐵 𝑥𝑖 𝐮 i=i+1

𝐅𝐢𝐛𝐞𝐫𝐌𝐂𝐅𝐓

DispBeamColumn2dTim:: getTangentStiff

𝑘𝑠 𝑥𝑖

Pentru fiecare punct Gauss i=1,m

𝐾𝑓 = 𝐿 𝑤𝑘 𝐁𝑇 𝑥𝑘 𝐊𝑠 𝑥𝑘 𝐁(𝑥𝑘)

𝑖

𝑘=1

i=i+1

𝐒𝑟 𝑥𝑗

DispBeamColumn2dTim:: getRestoringForce

Pentru fiecare punct Gauss i=1,m

𝑸𝒓𝒇

= 𝐿 𝑤𝑘 𝐁𝑇 𝑥𝑘 𝐒𝑟 𝑥𝑘

𝑖

𝑘=1

i=i+1

Domain

Page 130: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

121

5.3.2. Subclasa FiberMCFT

In OpenSees, pentru a nu afecta formulările folosite pentru elemente, răspunsul

secţional este determinat prin intermediul unor subclase care alcătuiesc clasa

generică denumită Material. Această abstractizare permite determinarea

răspunsului secţional independent de formularea elementului, clasa Material fiind

alcătuită din trei tipuri de subclase abstracte:

- UniaxialMaterial este o clasă abstractă folosită pentru definirea interfeţei

necesare construirii de materiale cu răspuns uniaxial de tip efort unitar-

deformaţie specifică sau forţă-deplasare;

- NDMaterial, este o generalizare a clasei UniaxialMaterial folosită pentru

definirea interfeţei necesare implementării legilor constitutive pentru răspunsul

unui material aflat într-o stare de eforturi şi deformaţii multiaxială;

- SectionForceDeformation este clasa folosită pentru definirea interfeţei

necesare implementării răspunsului secţional al elementelor de tip grindă sau

placă.

Fiecare din clasele enumerate mai sus includ subclase specifice, aşa cum este

indicat în figura 5.7, iar rigidităţile, deformaţiile şi eforturile depind de tipul clasei

(valori scalare pentru subclasele de tip UniaxialMaterial, matrici şi vectori în

cazul subclaselor de tip NDMaterial şi SectionForceDeformation).

Figura 5.7. Abstractizările principale ale clasei Material şi subclasele acestora

Material

UniaxialMaterial NDMaterial SectionForceDeformation

ElasticMaterial

Concrete01

⋮ Concrete07

Steel01

Steel02

ElasticIsotropic2D

ElasticIsotropicPlaneStrain2D

ElasticIsotropicPlaneStress2D

DruckerPrager

J2Plasticity

ElasticSection2D(3D)

ElasticShearSection2D(3D)

FiberSection2D(3D)

ElasticPlateSection

Page 131: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

122

Subclasa FiberMCFT a fost creată pornind de la subclasa FiberSection2d, care

este o clasă folosită pentru elementele de grindă de tip Euler-Bernoulli. Spre

deosebire de FiberSection2d, unde răspunsul secţional şi determinarea matricei de

rigiditate se face prin integrarea numerică a răspunsului individual al tuturor fibrelor

cu comportare uniaxială, în cazul FiberMCFT răspunsul fibrelor este unul

multiaxial, fibrele care modelează betonul fiind într-o stare plană de tensiuni.

Din punct de vedere al programării, sublasa de tip FiberMCFT, pe lângă

constructorul şi destructorul necesar oricărei clase în C++, conţine mai multe

categorii de funcţii:

- Funcţii care sunt folosite la definirea secţiunii din punct de vedere geometric

prin stocarea poziţiei fibrelor şi a ariilor acestora, atribuirea materialelor

specifice fibrelor şi determinarea caracteristicilor geometrice principale

(centrul de greutate şi aria secţiunii);

- Funcţii care determină starea secţiunii într-o iteraţie dintr-un pas de încărcare;

- Funcţii care transmit către element matricea de rigidiate sau eforturile

secţionale;

- Funcţii care sunt folosite pentru stabilirea rezultatelor şi salvarea acestora;

Figura 5.8. Funcţiile clasei FiberMCFT

Pentru secţiuni determinarea stării de eforturi secţionale se face plecând de la

vectorul deformaţiilor secţionale care, în cazul OpenSees, este preluat din cadrul

subclasei de tip Element. Funcţia de bază a unei clase de tip

SectionForceDeformation este cea SetTrialSectionDeformation. Acestă funcţie

FiberMCFT

Funcţii folosite la definirea secţiunii

( addfiber )

Funcţii pentru determinarea stării secţiunii

(SetTrialSectionDeformation)

Funcţii care transmit către element matricea de rigiditate secţională (getSectionTangent) sau eforturile secţionale

(getStressResultants)

Funcţii care actualizează matricea de rigiditatea a elementului

(getTangentStiff, getInitialStiff)

Funcţii care sunt folosite pentru stabilirea rezultatelor

(setResponse) şi salvarea acestora (getResponse, Print)

Page 132: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

123

este apelată de element în cadrul funţiei update, unde, pentru o iteraţie dintr-un pas

de încărcare, deformaţiile secţionale ale punctelor de integrare sunt calculate în

funcţie de deplasările nodale şi funcţiile de interpolare.

In cadrul acestei funcţii, pentru o secţiune cu o geometrie oarecare, compusă din n

fibre de beton şi m fibre de oţel (pentru armăturile longitudinale), determinarea

matricii de rigidiate şi a eforturilor secţionale se face conform paşilor descrişi mai

jos:

- Pentru fiecare fibră în parte se determină vectorul deformaţiilor specifice cu

ajutorul relaţiei 4.66:

휀𝑖 = 휀𝑥 ,𝑖

𝛾𝑥𝑦 ,𝑖 = 𝑙 𝑦𝑖 𝑒 =

1 𝑦𝑖 00 0 1

휀𝑥𝑠𝜙𝑧𝑠𝛾𝑥𝑦𝑠

, cu i=1…n – pentru beton

휀𝑗 = 휀𝑥 ,𝑗

𝛾𝑥𝑦 ,𝑗 = 𝑙 𝑦𝑖 𝑒 =

1 𝑦𝑗 0

0 0 1

휀𝑥𝑠𝜙𝑧𝑠𝛾𝑥𝑦𝑠

cu j=1…m – pentru oţel

- Pentru fibrele care modelează armăturile longitudinale, deformaţia tangenţială

este neglijată, răspunsul fiind uniaxial, obţinându-se cu ajutorul unei clase de

tip NDMaterial matricea de rigiditate şi efortul unitar:

𝑫 𝒔,𝒋 = 𝑨𝒔,𝒋𝑬 𝒔,𝒋 𝟎

𝟎 𝟎 (5.16)

𝜎𝑠,𝑗 = 𝜎𝑠,𝑗 0 𝑇 (5.17)

Punerea sub forma de mai sus este strict formală, ca şi folosirea unei clase de

tip NDMaterial pentru oţel. Răspunsul fiind unul uniaxial, rigiditatea barei şi

efortul uniaxial sunt de fapt scalari, dar determinarea matricii de rigiditate

descrisă mai jos necesită folosirea acestei forme.

- Pentru fibrele care modelează betonul, determinarea stării de eforturi se face

impunând condiţia din relaţia 4.73. Cum deformaţia specifică 휀𝑓𝑦 ,𝑖 nu este

cunoscută, determinarea acesteia astfel încât să fie îndeplinită condiţia 4.73

necesită un proces iterativ la nivelul fibrei. Pentru prima iteraţie se poate

considera o valoare oarecare, care, în modelul implementat s-a considerat egală

cu zero iar în iteraţiile ulterioare aceasta se determină cu relaţia 4.74.

Page 133: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

124

Atunci când condiţia 4.73 este îndeplinită se poate determina matricea de

rigiditate secantă a fibrei dată de relaţia 4.75 şi vectorul eforturilor unitare:

𝐷 𝑐 ,𝑖 = 𝑘𝑐11,𝑖 𝑘𝑐12,𝑖

𝑘𝑐21,𝑖 𝑘𝑐22,𝑖 (5.18)

𝜎𝑐 𝑖 = 𝜎𝑐 ,𝑖 𝜏𝑐 ,𝑖 𝑇 (5.19)

- Determinarea eforturilor secţionale se face prin integrare numerică a relaţiei

4.77:

𝑆𝑟 =

𝑁𝑀𝑧

𝑉𝑦

=

𝐴𝑐 ,𝑖𝜎𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1 + 𝐴𝑠,𝑗𝜎𝑠,𝑗

𝑚𝑗=1

𝐴𝑐 ,𝑖𝜎𝑐 ,𝑖𝑦𝑖𝑛𝑖=1 + 𝐴𝑠,𝑗𝜎𝑠,𝑗𝑦𝑗

𝑚𝑗=1

𝐴𝑐 ,𝑖𝜏𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1

(5.20)

- Evaluarea numerică a matricei de rigiditate secţională se face cu relaţiile

următoare:

𝑲𝑠 = 𝑙𝑇 𝑦𝑖 𝐷 𝑐 ,𝑖𝑙 𝑦𝑖 𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1 + 𝑙𝑇 𝑦𝑗 𝐷 𝑠,𝑖𝑙 𝑦𝑗 𝐴𝑠,𝑗

𝑚𝑗=1 (5.21)

𝑲𝑠 =

𝐾𝑠11 𝐾𝑠12 𝐾𝑠13

𝐾𝑠21 𝐾𝑠22 𝐾𝑠23

𝐾𝑠31 𝐾𝑠32 𝐾𝑠33

(5.22)

𝐾𝑠11 = 𝑘𝑐11,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖

𝑛𝑖=1 + 𝐸 𝑠,𝑗𝐴𝑠,𝑗

𝑚𝑗=1

𝐾𝑠12 = 𝑦𝑖𝑘𝑐11,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1 + 𝑦𝑗𝐸 𝑠,𝑗𝐴𝑠,𝑗

𝑚𝑗=1

𝐾𝑠13 = 𝑘𝑐12,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1

𝐾𝑠21 = 𝑦𝑖𝑘𝑐11,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1 + 𝑦𝑗𝐸 𝑠,𝑗𝐴𝑠,𝑗

𝑚𝑗=1

𝐾𝑠22 = 𝑦𝑖2𝑘𝑐11,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖

𝑛𝑖=1 + 𝑦𝑗

2𝐸 𝑠,𝑗𝐴𝑠,𝑗𝑚𝑗=1

𝐾𝑠23 = 𝑦𝑖𝑘𝑐12,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1

𝐾𝑠31 = 𝑘𝑐21,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1

𝐾𝑠32 = 𝑦𝑖𝑘𝑐21,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1

𝐾𝑠33 = 𝑘𝑐22,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1

(5.23)

5.3.3. Subclasa NdMCFT

Aşa cum s-a precizat anterior, starea de eforturi multiaxială a fibrelor de beton

necesită dezvoltarea unei subclase de tip NdMaterial, denumită NdMCFT,

subclasă necesară determinării matricei de rigiditate condensate 𝐷 𝑐 şi a vectorului

eforturilor unitare 𝜎𝑐 = {𝜎𝑐𝑥 𝜏𝑐𝑥𝑦 }.

Page 134: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

125

Această subclasă este definită prin proprietăţiile materialelor, beton şi oţel, iar

modul de organizare este asemănător cu cel descris în paragraful precedent.

Deformaţiile specifice sunt transmise clasei NdMCFT din subclasa FiberMCFT

iar prin intermediul funcţiei SetTrialDeformation, care preia aceste deformaţii

specifice, sunt calculate eforturile unitare şi matricea de rigiditate a fibrei.

Două funcţii specifice determină răspunsul materialelor funcţie de istoria încărcării

şi de deformaţiile specifice curente transmise de subclasa FiberMCFT.

Pentru oţel, modelul Menegoto – Pinto descris în capitolul 4, care este deja

implementat în OpenSees şi la care doar modul de definire a rigidităţii s-a

modificat, în loc de rigiditatea tangentă fiind folosită rigiditatea secantă.

Pentru beton s-a folosit o curbă de bază de tip Thorenfeldt iar modelul ciclic

implementat a urmat regulile propuse de Vecchio. Deşi modelul este unul

simplificat, care nu ţine cont de mai multe fenomene specifice comportării ciclice a

betonului (închiderea fisurilor, degradarea de rigiditate la descărcare etc.) opţiunea

pentru modelul Vecchio s-a datorat simplităţii implementării numerice. Deformaţia

plastică a betonului la întindere nu se consideră, aceasta fiind valabilă doar în cazul

compresiunii. In figura 5.9 este reprezentat răspunsul obţinut cu acest model pentru

o solicitare de tip încărcare-descărcare uniaxială de întindere.

În cazul încărcărilor ciclice, curba înfăşurătoare la întindere are originea în punctul

de coordonate 휀 = 0, 𝜎𝑐 = 0 (figura 5.10) dacă solicitarea iniţială este de întindere.

Dacă solicitarea iniţială este de compresiune, pentru a ţine cont de faptul că se

dezvoltă deformaţii plastice, curba înfăşurătoare la întindere are originea în punctul

de coordonate 휀 = 휀𝑐𝑖 , 𝜎𝑐 = 0, unde 휀𝑐

𝑖 este deformaţia plastică iniţială,

corespunzătoare primei descărcări la compresiune (figura 5.11).

Figura 5.9. Răspunsul pentru încărcare-descărcare uniaxială de întindere

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800

c

(MP

a)

c (x10-3)

Primul ciclu

Al doilea ciclu

Page 135: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

126

Figura 5.10. Cicluri de încărcare la care solicitarea iniţială este de întindere

Figura 5.11. Cicluri de încărcare la care solicitarea iniţială este de compresiune

Calcularea eforturilor unitare 𝜎𝑖 = 𝜎𝑥 ,𝑖 𝜎𝑦 ,𝑖 𝜏𝑥𝑦 ,𝑖 şi a matricei de rigiditate

𝐷𝑖 pentru o iteraţie curentă (notată cu i) dintr-un pas de încărcare constă în

determinarea acestora pornind de la deformaţiile specifice din iteraţia curentă

휀𝑖 = 휀𝑥 ,𝑖 휀𝑦 ,𝑖 𝛾𝑥𝑦 ,𝑖 şi următoarele deformaţii şi eforturi din iteraţia anterioară:

- 휀𝑖−1 = 휀𝑥 ,𝑖−1 휀𝑦 ,𝑖−1 𝛾𝑥𝑦 ,𝑖−1 - vectorul deformaţiilor specifice ale

materialului compozit;

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

-0.0035-0.003-0.0025-0.002-0.0015-0.001-0.000500.00050.001

c

(MP

a)

c

Primul ciclu

Al doilea ciclu

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

-0.0035-0.003-0.0025-0.002-0.0015-0.001-0.000500.00050.001

c

(MP

a)

c

Primul ciclu

Al doilea ciclu

Page 136: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

127

- 휀𝑐 ,𝑖−1𝑝

= 휀𝑐𝑥 ,𝑖−1𝑝

휀𝑐𝑦 ,𝑖−1𝑝

𝛾𝑐𝑥𝑦 ,𝑖−1𝑝

- vectorul deformaţiilor plastice ale

betonului;

- 휀𝑐𝑚 ,𝑖−1 = 휀𝑐𝑚𝑥 ,𝑖−1 휀𝑐𝑚𝑦 ,𝑖−1 𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦 ,𝑖−1 - vectorul deformaţiilor maxime

ale betonului la compresiune;

- 휀𝑡𝑚 ,𝑖−1 = 휀𝑡𝑚𝑥 ,𝑖−1 휀𝑡𝑚𝑦 ,𝑖−1 𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦 ,𝑖−1 - vectorul deformaţiilor maxime

ale betonului la întindere;

- 𝜎𝑐 ,𝑖−1 = 𝜎𝑐𝑥 ,𝑖−1 𝜎𝑐𝑦 ,𝑖−1 𝜏𝑐𝑥𝑦 ,𝑖−1 – vectorul eforturilor unitare în beton;

- 휀𝑠𝑥 ,𝑖−1 şi 휀𝑠𝑦 ,𝑖−1 deformaţiile specifice ale oţelului în direcţiile x şi y;

- 𝑓𝑠𝑥 ,𝑖−1 şi 𝑓𝑠𝑦 ,𝑖−1 eforturile unitare ale oţelului în direcţiile x şi y;

- 휀𝑠𝑥 ,𝑖−1𝑝

şi 휀𝑠𝑦 ,𝑖−1𝑝

deformaţiile plastice ale oţelului în direcţiile x şi y;

- 휀𝑠𝑚𝑥 ,𝑖−1+ , 휀𝑠𝑚𝑦 ,𝑖−1

+ , 휀𝑠𝑚𝑥 ,𝑖−1− şi 휀𝑠𝑚𝑦 ,𝑖−1

− deformaţiile maxime pozitive şi

negative ale oţelului în direcţiile x şi y;

Algoritmul de calcul utilizat presupune mai mulţi paşi care sunt detaliaţi mai jos.

Pasul 1 – Determinarea deformaţiilor specifice elastice şi unghiul direcţiilor

principale pentru beton

1.1 Se presupune că incrementul deformaţiilor specifice este un increment

elastic de unde rezultă:

𝜺𝒊𝒆 = 𝜺𝒊 − 𝜺𝒄,𝒊−𝟏

𝒑

1.2 Se determină deformaţiile specifice elastice în direcţiile principale

휀𝑐1,𝑖𝑒 şi 휀𝑐2,𝑖

𝑒 cu ajutorul relaţiei 3.2, în care se folosesc deformaţiile

elastice determinate la pasul 1.1;

1.3 Folosind deformaţiile elastice, cu relaţia 3.3 se determină unghiul

direcţiilor principale 𝜃𝑖 .

Pasul 2 – Determinarea deformaţiilor şi eforturilor în beton în direcţiile principale

2.1 Pentru fiecare direcţie principală eforturile şi deformaţiile specifice

din beton sunt calculate folosind modelului Vecchio pentru beton.

Având în vedere că direcţiile principale se pot roti, variabilele de care

depinde modelul Vecchio sunt salvate în memorie pentru direcţiile x şi

y iar, pentru a determina noua stare de eforturi, componentele

deformaţiilor specifice şi eforturilor din iteraţia anterioară după

direcţiile principale ale iteraţiei curente 𝜃𝑖 trebuie determinate folosind

Page 137: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

128

transformările date de cercul lui Mohr sau cele din starea plană de

deformaţii sau din starea plană de eforturi:

- 휀𝑐,𝑖−1𝑝

→ cu 𝜃𝑖 → 휀𝑐1,𝑖−1𝑝

, 휀𝑐2,𝑖−1𝑝

(din relaţiile 4.33 şi 4.34);

- 휀𝑐𝑚 ,𝑖−1 → cu 𝜃𝑖 → 휀𝑐𝑚1,𝑖−1, 휀𝑐𝑚2,𝑖−1 (din relaţiile 4.36 şi 4.37);

- 휀𝑡𝑚 ,𝑖−1 → cu 𝜃𝑖 → 휀𝑡𝑚 1,𝑖−1, 휀𝑡𝑚2,𝑖−1 (din relaţiile 4.42 şi 4.43);

- 휀𝑖 → cu 𝜃𝑖 → 휀𝑐1,𝑖 , 휀𝑐2,𝑖 (din relaţia de transformare pentru starea

plană de deformaţii);

- 휀𝑖−1 → cu 𝜃𝑖 → 휀𝑐1,𝑖−1, 휀𝑐2,𝑖−1 (din relaţia de transformare pentru

starea plană de deformaţii);

- 𝜎𝑖−1 → cu 𝜃𝑖 → 𝜎𝑐1,𝑖−1, 𝜎𝑐2,𝑖−1 (din relaţia de transformare pentru

starea plană de eforturi);

2.2 Folosind modelul Vecchio pe fiecare din cele două direcţii se obţin

eforturile medii 𝜎𝑐1,𝑖 şi 𝜎𝑐2,𝑖 şi noile deformaţii specifice

휀𝑐1,𝑖𝑝

, 휀𝑐2,𝑖𝑝

, 휀𝑐𝑚1,𝑖 , 휀𝑐𝑚2,𝑖 , 휀𝑡𝑚1,𝑖 , 휀𝑡𝑚2,𝑖. Incrementele deformaţiilor

plastice Δ휀𝑐1,𝑖𝑝

şi Δ휀𝑐2,𝑖𝑝

se deduc din diferenţa între deformaţiile

plastice instantanee calculate cu relaţia 4.50 şi deformaţiile plastice

din pasul anterior (휀𝑐1,𝑖−1𝑝

, 휀𝑐2,𝑖−1𝑝

). Incrementele deformaţiilor

maxime de compresiune (Δ휀𝑐𝑚1,𝑖 ,Δ휀𝑐𝑚2,𝑖) se determină cu relaţiile

4.38 şi 4.39 iar incrementele deformaţiilor maxime de întindere

(Δ휀𝑡𝑚1,𝑖 ,Δ휀𝑡𝑚 2,𝑖) se determină cu relaţiile 4.44 şi 4.45.

Pasul 3 – Determinarea eforturilor în oţel

Determinarea eforturilor în oţel pe direcţia x sau y se face folosind modelul

Menegoto – Pinto.

3.1 Se determină deformaţiile specifice ale oţelului în cele două direcţii:

- 휀𝑠𝑥 ,𝑖 = 휀𝑥 ,𝑖

- 휀𝑠𝑦 ,𝑖 = 휀𝑥 ,𝑖

3.2 Folosind ca date de intrare deformaţiile din iteraţia curentă (휀𝑠𝑥 ,𝑖 şi

휀𝑠𝑦 ,𝑖), eforturile (𝜎𝑠𝑥 ,𝑖−1 şi 𝜎𝑠𝑦 ,𝑖−1) şi deformaţiile (휀𝑠𝑚𝑥 ,𝑖−1+ , 휀𝑠𝑚𝑦 ,𝑖−1

+ ,

휀𝑠𝑚𝑥 ,𝑖−1− şi 휀𝑠𝑚𝑦 ,𝑖−1

− ) din iteraţia anterioară, cu ajutorul modelului

Menegoto – Pinto se determină noile valori ale eforturilor unitare (𝑓𝑠𝑥 ,𝑖

şi 𝑓𝑠𝑦 ,𝑖), ale deformaţiilor plastice (휀𝑠𝑥 ,𝑖𝑝

şi 휀𝑠𝑦 ,𝑖𝑝

) şi ale deformaţiilor

maxime (휀𝑠𝑚𝑥 ,𝑖+ , 휀𝑠𝑚𝑦 ,𝑖

+ , 휀𝑠𝑚𝑥 ,𝑖− şi 휀𝑠𝑚𝑦 ,𝑖

− ).

Page 138: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

129

Pasul 4 – Determinarea matricei de rigiditate a materialului

4.1 Se determină modulii secanţi pentru beton şi oţel:

- 𝐸 𝑐1,𝑖 = 𝜎𝑐1,𝑖/(휀𝑐1,𝑖 − 휀𝑐1,𝑖𝑝

)

- 𝐸 𝑐2,𝑖 = 𝜎𝑐2,𝑖/(휀𝑐2,𝑖 − 휀𝑐2,𝑖𝑝

)

- 𝐺 𝑐 ,𝑖 = 𝐸 𝑐1,𝑖𝐸 𝑐2,𝑖/(𝐸 𝑐1,𝑖 + 𝐸 𝑐2,𝑖)

- 𝐸 𝑠𝑥 ,𝑖 = 𝜎𝑠𝑥 ,𝑖/(휀𝑠𝑥 ,𝑖 − 휀𝑠𝑥 ,𝑖𝑝

)

- 𝐸 𝑠𝑦 ,𝑖 = 𝜎𝑠𝑦 ,𝑖/(휀𝑠𝑦 ,𝑖 − 휀𝑠𝑦 ,𝑖𝑝

)

4.2 Se determină matricile de rigidiatate pentru beton şi oţel:

- 𝐷 𝑐 ,𝑖′ =

𝐸 𝑐2,𝑖 0 0

0 𝐸 𝑐1,𝑖 0

0 0 𝐺 𝑐 ,𝑖

- 𝑇 𝑐𝑖 =

cos2 𝜃𝑖 sin2 𝜃𝑖 sin𝜃𝑖 cos𝜃𝑖

sin2 𝜃𝑖 cos2 𝜃𝑖 − sin 𝜃𝑖 cos𝜃𝑖−2 sin 𝜃𝑖 cos𝜃𝑖 2 sin 𝜃𝑖 cos𝜃𝑖 cos2 𝜃𝑖 − sin2 𝜃𝑖

- 𝐷 𝑐 ,𝑖 = 𝑇 𝑐 ,𝑖𝑇 𝐷 𝑐 ,𝑖

′ 𝑇 𝑐 ,𝑖

- 𝐷 𝑠𝑥 ,𝑖 = 𝜌𝑥𝐸 𝑠𝑥 ,𝑖 0 0

0 0 00 0 0

- 𝐷 𝑠𝑦 ,𝑖 = 0 0 00 𝜌𝑦𝐸 𝑠𝑦 ,𝑖 0

0 0 0

- 𝐷 𝑖 = 𝐷 𝑐 ,𝑖 + 𝐷 𝑠𝑥 ,𝑖 + 𝐷 𝑠𝑦 ,𝑖

- 𝐷 𝑖𝑟𝑒𝑑 = 𝐷 𝑐 ,𝑖 + 𝐷 𝑠𝑦 ,𝑖

Pasul 5 – Determinarea eforturilor unitare

Eforturile unitare din oţel se determină cu modelul Menegoto – Pinto în pasul 3.

5.1 Se determină eforturile unitare din beton

- 𝜎𝑐 ,𝑖 = 𝐷 𝑐 ,𝑖 휀𝑖 − 휀𝑐,𝑖𝑝

Page 139: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

130

5.2 Se determină eforturile unitare totale

- 𝜎𝑖 = 𝐷 𝑖 휀𝑖 − 𝐷 𝑐 ,𝑖 휀𝑐 ,𝑖𝑝 − 𝐷 𝑠𝑥 ,𝑖 휀𝑠𝑥 ,𝑖

𝑝 − 𝐷 𝑠𝑦 ,𝑖 휀𝑠𝑦 ,𝑖

𝑝

5.3 Se determină eforturile unitare fără aportul armăturii pe direcţia x

- 𝜎𝑖 𝑟𝑒𝑑 = 𝜎𝑖 − 𝐷 𝑠𝑥 ,𝑖( 휀𝑠𝑥 ,𝑖 − 휀𝑠𝑥 ,𝑖

𝑝 )

Pasul 6 – Salvarea variabilelor necesare pentru următoarea iteraţie.

Se observă că în pasul 4.2 se calculează o matrice de rigiditate 𝐷 𝑖𝑟𝑒𝑑 care nu ţine

cont de aportul de rigiditate dat de armătura pe direcţia x iar în pasul 5.3 un vector

al eforturilor 𝜎𝑖 𝑟𝑒𝑑 care nu ţine cont de efortul din aceasta. Acest lucru se

datorează faptului că, aşa cum s-a precizat şi în capitolul 4, determinarea matricei de

rigiditate secţională şi a eforturilor secţionale se face în funcţie de poziţia,

deformaţia specifică, rigiditatea şi efortul armăturilor.

5.1. Concluzii şi observaţii

În prima parte a acestui capitol este prezentată succint platforma OpenSees, pundu-

se în evidenţă componenetele principale ale acesteia şi modul lor de interacţiune.

Din descriere platformei se observă avantajul major pe care în oferă programare

acesteia într-un limbaj orientat pe obiecte: modularitatea. Acest caracteristică a

platformei OpenSees permite implementarea ierarhizată a unui element finit

folosind mai multe clase specifice pentru fiecare nivel al anlizei: clase pentru

analiza la nivel de material, de secţiune sau de element.

Prezentarea modului în care a fost implementat elementul dezvoltat în teză este

structurată pornind de la clasele care-l compun:

- Clasa DispBeamColumn2dTim care permite determinarea forţelor interioare,

a matricei de rigiditate a elementului şi a deformaţiilor secţionale;

- Clasa FiberMCFT care permite determinarea eforturilor secţionale şi a

matricei de rigiditate;

- Clasa NdMCFT care permite determinarea eforturilor unitare şi a matricei de

rigiditate a materialului unei fibre.

Page 140: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

131

Pentru fiecare clasă în parte sunt prezentate funcţiile cele mai importante şi, acolo

unde este cazul, este prezentat şi modul de interacţiune dintre clase (de exemplu

modul în care sunt transformate deplasările nodale în deformaţii secţionale sau

modul de asamblare a matricii de rigiditate a elementului pornind de la matricea de

rigiditate secţională a punctelor de integrare).

Page 141: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

132

6. Validarea modelului implementat în OpenSees

6.1. Descrierea modului de validare

Validarea modelului s-a realizat prin compararea rezultatelor analitice cu cele

obţinute experimental, folosindu-se rezultatele încercărilor preluate din literatura de

specialitate.

O primă serie de simulări numerice a fost făcută pentru elemente supuse la solicitări

statice. Au alese pentru validare încercările pe grinzi realizate de Bresler şi

Scordelis (Bresler şi Scordelis 1964) şi încercările realizate de Tompos şi Frosch

(Tompos şi Frosh 2002).

Pentru încărcări ciclice a fost realizată o a doua serie de simulări numerice pe

elemente de tip pereţi. Încercările folosite pentru validarea modelului la încărcări

ciclice s-au ales astfel încât influenţa forţei tăietoare să fie importantă. Astfel au fost

considerate încercările pe pereţi efectuate de Oesterle et al. (Oesterle et al. 1976)

pentru Portland Cement Association la care braţul normalizat la forţă tăietoare a

(𝑎 = 𝑀/(𝑉𝑕) este 2.50 şi un perete încercat Athanasopoulou (Athanasopoulou

2010) unde a este de 1.50.

Pentru fiecare simulare numerică sunt prezentate detaliile specimenelor testate –

geometrie, armare etc.-, modelul de element finit iar rezultatele obţinute

experimental sunt comparate cu cele obţinute analitic sub forma unor curbe de tip

forţă –deplasare.

6.2. Observaţii privind modul de desfăşurare a analizei în OpenSees

Folosirea programelor de element finit pentru calculul static neliniar necesită câteva

observaţii referitoare la modul în care elementele sunt discretizate. În analizele

statice şi dinamice neliniare, spre deosebire de analizele elastice folosirea unui

număr ridicat de segmente (elemente finite) pentru un element structural poate

genera instabilităţi numerice sau poate conduce la rezultate eronate. Aşa cum s-a

menţionat în capitolul doi elementele de tip bară, indiferent de modul de formulare

pot duce la rezulate eronate în funcţie de modul lor de discretizare. Modelul propus

în prezenta lucrare se bazează pe o formulare în deplasări, iar ca metodă de

integrare numerică s-a folosit de metoda Gauss-Legendre, chiar dacă, datorită

flexibilităţii platformei OpenSees, se pot folosi mai multe reguli de integrare. În

ceea ce priveşte numărul de puncte de integrare acesta a fost egal cu 2 în toate

Page 142: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

133

simulările numerice. Deoarece în toate cazurile răspunsul secţional a fost unul cu

consolidare, fenomenul de localizare nu s-a manifestat în nici una din simulările

numerice efectuate. Indiferent de tipul solicitării (monoton crescătoare sau ciclică)

numărul de elemente folosit a fost stabilit plecând de la un caz de încărcare

monoton crescătoare cu control în deplasări, deplasarea maximă considerată fiind

deplasarea maximă obţinută experimental.

6.3. Simulări numerice pentru grinzi solicitate monoton crescător

Validarea la încărcări statice s-a realizat pentru grinzi la care, deşi braţul normalizat

la forţă tăietoare este mai mare de 2.5, cantitatea de armătură longitudinală

prevăzută a făcut ca ruperea să fie una din forţă tăietoare. Aşa cum s-a menţionat

anterior au fost folosite rezultatele experimentale din două serii de teste: testele

clasice efectuate de Bresler şi Scordelis în 1964 (Bresler şi Scordelis, 1964) şi cele

efectuate de Tompos şi Frosch (Tompos şi Frosch, 2002).

6.3.1. Grinzile testate de Bresler şi Scordelis (Bresler şi Scordelis, 1964)

Cele zece grinzi testate de către Bresler şi Scordelis în 1964 au constat din patru

serii de câte două, respectiv trei grinzi, fiecare serie de grinzi având valori ale

procentelor de armare longitudinală şi transversală, dimensiunile secţiunii şi

rezistenţele betonului şi armăturii diferite. Toate grinzile au avut secţiuni

dreptunghiulare, la care înălţimea secţiunii a fost păstrată constantă. În cazul

grinzilor cu armătură transversală s-au folosit etrieri închişi, procentul de armare

transversală variind de la 0.00 % la 0.20 %. Pentru a evita pierderea aderenţei

barelor longitudinale datorită unei ancorări insuficiente acestea au fost prelungite

pâna la extremităti şi au fost fixate de de placi metalice cu grosime de 35mm.

Pentru o serie de grinzi armătura de pe rândul 2 a fost întreruptă la o distanţă de 635

mm de la capătul grinzii.

Toate grinzile au fost supuse la o încărcare monoton cerescătoare aplicată la

mijlocul deschiderii, încercările fiind pilotate cu control în forţe.

Rezistenţele betonului şi dimensiunile grinzilor sunt date în tabelul 6.1 iar

procentele de armare longitudinala sunt date în tabelul 6.2. Modul de armare al

elementelor este dat în figura 6.1.

Page 143: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

134

Figura 6.1. Detalii grinzi Bresler-Scordelis (Bresler şi Scordelis 1964)

Tabelul 6.1. Rezistenţele betonului şi dimensiunile

Grinda

fc' ft b h d L 𝑎 =𝑀

𝑉𝑕

(Mpa) (Mpa) (mm) (mm) (mm) (mm)

XB-I 24.55 3.94 229 552 457 3658 3.31

CA-I 26.69 4.50 305 552 457 3658 3.31

CB-I 24.76 4.00 229 552 457 3658 3.31

CC-I 27.24 4.02 152 552 457 3658 3.31

RA-I 24.90 3.93 305 552 457 3658 3.31

RB-I 24.62 3.96 229 552 457 3658 3.31

RC-I 29.17 3.87 152 552 457 3658 3.31

Tabelul 6.2. Procente de armare şi rezistenţe armătură

Grinda l fy w fyw

(%) (MPa) (%) (MPa)

XB-I 2.44 665 0.55 345

CA-I 1.83 665 0.37 345

CB-I 2.47 665 0.55 345

CC-I 1.85 665 0.75 345

RA-I 1.66 655 0.38 345

RB-I 2.21 655 0.55 345

RC-I 1.63 655 0.74 345

457

305 552

343

63.5

552

343

63.5

229

457

552

457

343

63.5

152

305

552

343

6

3.5

552

343

6

3.5

229

457

63

.5

152

552

CA-I CB-I (XB-I) CC-I

RA-I RB-I RC-I

457

457

Page 144: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

135

Modelarea grinzilor s-a realizat conform schemei din figura 6.2a, doar jumătate din

grindă fiind modelată. Aşa cum s-a menţionat anterior, analiza neliniară s-a realizat

folosind controlul în deplasări, nodului corespunzător încastrării glisante

impunândui-se un increment al deplasării pe verticală egal cu 1/100 din săgeata

maximă obţinută experimental. La grinzile CA-1, CB-1 şi CC 1 primele două

segmente au s-au folosit doar două bare la partea inferioara pentru a ţine cont de

faptul că jumătate din armături se întrerup (figura 6.2b).

Figura 6.2. Modelarea grinzilor Bresler-Scordelis

În paralel cu analiza neliniară efectuată folosind modelul implementat s-a realizat şi

o analiză folosind elementul DispBeamColumn descris în capitolul anterior. În

figurile 6.3...6.9 sunt prezentate rezultatele obţinute experimental şi numeric.

Figura 6.3. Rezultate grindă XB-I

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

Fo

rta

(kN

)

Sageata (mm)

Experimental

DispBeamTimosh.

DispBeamColumn

1 2 3 4 5

elemetele 1 şi 2 elemetele 3,4 şi 5 b) Secţiunile folosite pentru grinzile CA-I, CB-I şi CC-I

a) Modul de discretizare a grinzii

Page 145: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

136

Figura 6.4. Rezultate grindă CA-I

Figura 6.5. Rezultate grindă CB-I

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

Fo

rta

(kN

)

Sageata (mm)

Experimental

DispBeamTimosh.

DispBeamColumn

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

Fo

rta

(kN

)

Sageata (mm)

Experimental

DispBeamTimosh.

DispBeamColumn

Page 146: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

137

Figura 6.6. Rezultate grindă CC-I

Figura 6.7. Rezultate grindă RA-I

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20

Fo

rta

(kN

)

Sageata (mm)

Experimental

DispBeamTimosh.

DispBeamColumn

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

Fo

rta

(kN

)

Sageata (mm)

Experimental

DispBeamTimosh.

DispBeamColumn

Page 147: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

138

Figura 6.8. Rezultate grindă RB-I

Figura 6.9. Rezultate grindă RC-I

Din figurile de mai sus se observă că în cazul modelului propus există o

supraestimare a capacităţii grinzii, lucru care este normal având în vedere

formularea în deplasări a elementului. Spre deosebire de modelul care nu ţine cont

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15 20

Fo

rta

(kN

)

Sageata (mm)

Experimental

DispBeamTimosh.

DispBeamColumn

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 5 10 15 20

Fo

rta

(kN

)

Sageata (mm)

Experimental

DispBeamTimosh.

DispBeamColumn

Page 148: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

139

de influenţa forţei tăietoare, care supraestimează atât rigiditatea cât şi rezistenţa,

analiza neliniară cu modelul implementat duce la valori apropiate de cele

experimentale.

Tabelul 6.3. Comparaţii între rezultatele experimentale şi cele analitice

Grindă 𝑃𝑢 ,𝑒𝑥𝑝 𝑃𝑢 ,𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐 𝑃𝑢 ,𝑒𝑥𝑝

𝑃𝑢 ,𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐

XB-1 400.32 424.58 1.061

CA-1 330.04 341.36 1.034

CB-1 351.39 373.48 1.063

CC-1 220.18 255.54 1.161

RA-1 400.32 425.08 1.062

RB-1 400.32 421.62 1.053

RC-1 275.33 298.64 1.085

Valoare medie 1.062

Abaterea pătratică medie 0.010

6.3.2. Grinzile testate de Tompos şi Frosch (Tompos şi Frosch 2002)

Testele efectuate de Tompos şi Frosch pe grinzi au avut ca scop punerea în evidenţă

a efectului de scară. O primă serie de încercări s-a realizat pe două grinzi

dimensionate conform ACI 318-99, la care înălţimea secţiunii s-a ales astfel încât să

coincidă cu valoarea maximă a înălţimii grinzilor pentru care, conform ACI 318-99

nu este nevoie de armături laterale pentru prevenirea fisurării. Cea de-a doua seria

de teste s-a efectuat pe patru grinzi la care laturile secţiunilor au fost luate de două

ori mai mici decât cele din prima serie. La ambele serii de grinzi coeficientul de

armare longitudinală a fost păstrat constant, având valoare de 1,00%.

În figura 6.11 sunt figurate geometria şi modul de armare ale celor două grinzi

considerate în analiza numerică, iar în tabelele 6.4 şi 6.5 sunt indicate

caracteristicile materialelor.

Tabelul 6.4. Rezistenţele betonului şi dimensiunile

Grinda

fc' ft b h d L 𝑎 =𝑀

𝑉𝑕

(Mpa) (Mpa) (mm) (mm) (mm) (mm)

V36-3 42.7 3.51 457 914 850.7 5104 2.80

V18-2 35.86 3.51 229 457 425.4 2552 2.80

Page 149: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

140

Tabelul 6.5. Procente de armare şi rezistenţe armătură

Grinda l fy w fyw

(%) (MPa) (%) (MPa)

V36-3 1.00 483 0.084 537

V18-2 1.00 551 0.149 538

Figura 6.10. Detalii armare grinzi Tompos Forsch (Tompos şi Frosch 2002)

Schema de statică şi modul de încărcare au fost asemenătoare cu cele din testele

efectuate de Bresler şi Scordelis, dar încercarea a fost pilotată în deplasări. Modul

de rupere a fost însă unul casant, caracterizat la ambele grinzi de avansarea fisurii

din forţă tăietoare în zona comprimată a grinzii aşa cum este indicat în figura 6.11.

Figura 6.11. Distribuţia şi modul de cedare la grinzile Tompos Forsch (Tompos şi

Frosch 2002)

457 229

850.7

914

457

425

V36-3 V18-2

Page 150: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

141

Modelarea s-a realizat folosind accelaşi mod de discretizare a grinzii indicat în

figura 6.2a. Rezultatele obţinute în urma analizei numerice sunt comparate grafic în

în figurile 6.12 şi 6.13.

Aşa cum se poate observa din figura 6.12, în cazul grinzii V36-3 apare o

supraevaluare a rezistenţei, forţa maximă înregistrată în analiza numerică

obţinându-se la o deplasare mai mică decât în cazul încercării experimentale.

Datorită degradării de rigiditate forţa corespunzătoare deplasării maxime are, în

mod accidental, o valoare foarte apropiată de forţa maximă obţinută experimental.

La grinda V18-2 apare o supraestimare a rezistenţei, dar spre deosebire de grinda

V36-3 nu mai apare o pantă descendentă în curba forţă deplasare. Acest lucru se

poate explica prin faptul că relaţiile de calcul pentru fenomenele de tension

stiffening şi de reducere a eforturilor de compresiune în stare biaxială de solicitare

au fost calibrate pentru betoane obişnuite.

Figura 6.12. Rezultate grindă V36-3

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 5 10 15 20

Fo

rta

(kN

)

Sageata (mm)

Experimental

DispBeamTimosh.

DispBeamColumn

Page 151: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

142

Figura 6.13. Rezultate grindă V18-2

6.4. Simulări numerice pentru pereţi solicitaţi ciclic

Scopul principal al acestei lucrări a constat în implementarea unui tip de element

finit care poate modela interacţiunea dintre forţă tăietoare şi moment încovoietor,

atât în cazul încărcărilor monoton crescătoare cât şi ciclice. Dacă în cazul

încărcărilor monoton crescătoare valoarea braţului normalizat al forţei tăietoare a

fost mai mare de 2.5, alegerea ca elemente de referinţa a unor pereţi la care această

valoare să fie de 2.5 sau mai mică s-a considerat absolut necesară pentru a pune în

evidenţă influenţa forţei tăietoare asupra rezistenţei şi capacităţii de deformare

postelastică în cazul solicitărilor ciclice.

6.4.1. Pereţii încercaţi de Oesterle (Oesterle et al. 1976)

Rezultatele experimentale pentru pereţii încercaţi de Oesterle et al. pentru Portland

Cement Association sunt considerate ca fiind reprezentative şi au fost folosite de

mai mulţi cercetători pentru calibarea unor formulări teoretice. Pereţii testaţi au fost

dimensionaţi conform ACI 318 şi reprezintă modele scara 1/3 a unor pereţi pentru o

cladire cu 5 niveluri.

Trei tipuri de secţiuni au fost folosite în programul experimental dar pentru

validarea numerică au fost considerate doar secţiunile rectangulare şi de tip halteră.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2 4 6 8 10 12

Fo

rta

(kN

)

Sageata (mm)

Experimental

DispBeamTimosh.

DispBeamColumn

Page 152: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

143

Geometria elementelor este detalită în figura 6.14, iar modul de dispunere al

armăturii verticale este dat în figura 6.15. Caracteristicile materialelor sunt indicate

în tabelul 6.6.

Armătura verticală din inima pereţilor R1, R2, B1 şi B3 a fost realizată din bare cu

diametru de 6mm dispuse la pas de 228.6 mm, asigurându-se un procent de armare

de 0.29%. Bare de acelaşi diametru au fost folosite şi pentru armătura orizontală. La

pereţii R1, R2, B1, B3 barele orizontale au fost dispuse la o distanţă interax de

203mm, iar la pereţii B2 şi B5 procentul de armare s-a dublat prin reducerea pasului

dintre bare la jumătate.

Pentru zonele de capăt a pereţilor cu secţiune dreptunghiulară procentele de armare

au de 1.10% (R1), respectiv 3.9% (R2), iar la pereţii de tip halteră s-au prevăzut

valori asemănătoare: 1.09% pentru B1 şi B3, respectiv 3.68% pentru B2 şi B5.

Figura 6.14. Geometria pereţilor PCA (Oesterle et al. 1976)

1220

3050

1910

1220

2360

4570

1220

3050

1910

1220

2360

4570

610

305 102

203 203

Geometria pereţilor B1,

B2, B3 şi B5

Geometria pereţilor R1,

şi R2

610

Page 153: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

144

Figura 6.15. Dispunerea armăturii în pereţii PCA (Oesterle et al. 1976)

Tabelul 6.6. Caracteristici materiale pereţi PCA

Perete fc

Armatura verticala Armtura

Orizontala Inima Bulbi/Z.C.

(Mpa) (Mpa) (Mpa) (Mpa)

R1 44.8 522 512 522

R2 46.4 535 450 535

B1 53.0 521 450 521

B2 53.6 532 410 532

B3 47.3 479 438 479

B5 45.3 502 444 502

102

216 140

216 70 70

102

305

305

305

305

Perete R1

Perete R2

Pereţii B1 şi B3

Pereţii B2 şi B5

Page 154: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

145

În modelele de calcul pereţii au fost discretizaţi prin 6 elemente pentru zona curentă

a peretelui şi un element pentru blocul superior de beton.

Pentru zonele de capăt şi la bulbi, rezistenţele betonului au fost modificate în cazul

pereţilor R2, B3 şi B5 pe o distanţă egală cu jumătate din lungimea acestora

(primele 3 elemente) pentru a ţine cont de efectul de confinare asigurat de

prevederea unor etrieri cu diametru de 6 mm dispuşi la o distanţă de aproximativ 34

mm.

Figura 6.16. Modul de discretizare al pereţilor PCA

Rezultatele obţinute analitic şi cele experimentale sunt reprezentate în figurile

6.17...6.22.

Figura 6.17. Curba forţa - deplasare perete R1

-150

-100

-50

0

50

100

150

-120 -80 -40 0 40 80 120

Fo

rta

late

rala

(kN

)

Deplasare laterala (mm)

Numeric

Experimental

1 2 3 4 5 6 7

Page 155: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

146

Figura 6.18. Curba forţa - deplasare perete R2

Figura 6.19. Curba forţa - deplasare perete B1

-300

-200

-100

0

100

200

300

-150 -100 -50 0 50 100 150

Fo

rta

late

rala

(kN

)

Deplasare laterala (mm)

Numeric

Experimental

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

-150 -100 -50 0 50 100 150

Fo

rta

late

rala

(kN

)

Deplasare laterala (mm)

Experimental

Numeric

Page 156: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

147

Figura 6.20. Curba forţa - deplasare perete B2

Figura 6.21. Curba forţa - deplasare perete B3

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

-150 -100 -50 0 50 100 150

Fo

rta

late

rala

(kN

)

Deplasare laterala (mm)

Experimental

Numeric

-300

-200

-100

0

100

200

300

-150 -100 -50 0 50 100 150

Fo

rta

late

rala

(kN

)

Deplasare laterala (mm)

Experimental

Numeric

Page 157: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

148

Figura 6.22. Curba forţa - deplasare perete B5

Analizarea curbelor forţă – deplasare indică faptul că răspunsul numeric se

caracterizează printr-o rigiditatea mai mare la descărcare (la schimbare sensului

forţei) iar efectul de ”pinching” este mai puţin accentuat. Aceste lucruri pot avea

mai multe cauze:

- modelul de beton, la care descărcarea la compresiune şi întindere este liniară;

- eventualele lunecări care apar în fisuri nu sunt surprinse de modelul teoretic;

- eventualele degradări ale aderenţei pentru barele longitudinale.

Trebuie remarcat că, în toate situaţiile, la cicluri cu deplasare maximă constantă s-a

înregistrat o degradare de rezistenţa observată şi experimental.

6.4.2. Pereţii încercaţi de Adamantia Athanasopoulou (Athanasopoulou

2010)

Peretele care a fost considerat în această lucrare a fost un perete de beton armat cu

armătură clasică, Athanasopoulou încercând atât pereţi de beton armat cât şi pereti

de beton armat în care s-a adaugat şi o armătură dispersă. Peretele S6 ales ca

referinţă este un perete la care braţul de forţă tăietoare normalizat este de 1.30. Deşi

s-s încercat şi simulări pentru pereţi la care braţul de forţă este egal cu 1.00,

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

-140 -70 0 70 140

Fo

rta

late

rala

(kN

)

Deplasare laterala (mm)

Experimental

Numeric

Page 158: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

149

problemele de stabilitate numerică au facut practic imposibilă compararea

rezultatelor numerice cu cele experimentale.

Geometria şi armarea peretelui încercat este detaliată în figura 6.23.

Betonul folosit a avut o rezistenţă la compresiune de 46 Mpa iar limitele de curgere

raportate de Athanasopoulou pentru barele folosite la armarea peretelui sunt

următoarele armăturii sunt următoare:

- 𝑓𝑦 = 671 𝑀𝑃𝑎 pentru barele No. 2;

- 𝑓𝑦 = 481 𝑀𝑃𝑎 pentru barele No. 5;

- 𝑓𝑦 = 491 𝑀𝑃𝑎 pentru barele No. 6;

Figura 6.23. Geometria şi armarea pretelui S6

Page 159: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

150

Modelarea s-a realizat folosind aceaşi discretizare a peretelui ca şi în cazul

precedent, discretizare indicată în figura 6.16. Ca şi în cazul pereţilor PCA, pentru

zonele de capăt rezistenţa betonului au fost modificată pentru a ţine cont de efectul

confinării.

Din cauza faptului că curbele forţă - deplasare laterală nu s-au putu digitiza

rezultatele obţinute în urma analizei numerice şi cele numerice sunt prezentate

separat în figurile 6.24 şi 6.25.

Figura 6.24. Curba forţa - deplasare obţinută numeric

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

-30 -20 -10 0 10 20 30

Fo

rta

late

rala

(kN

)

Deplasare laterala (mm)

Page 160: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

151

Figura 6.25. Curba forţa - deplasare obţinută experimental

Cele mai importante observaţii care se pot face din compararea celor două curbe

constau în faptul că în analiza numerică apare o degradare destul de accentuată a

rezistenţei iar rezistenţa în sens negativ este subevaluată.

În cazul acestui perete rezultatele obţinuţe în urmă analizei coroborat şi cu

încercările nereuşite de a analiza pereţi cu raportul laturilor egal cu 1 dovedesc

faptul că modelul nu este suficient de performant în asemenea cazuri.

6.5. Concluzii şi observaţii

Validarea modelului de tip grindă multifibră implementat în OpenSees, prin

efectuarea de analize numerice pentru elemente de tip grindă supuse la încarcări

statice monoton crescătoare şi pentru elemente de tip pereţi solicitaţi ciclic, impune

următoarele concluzii privind comportarea numerica a acestuia şi modul lui de

folosire:

- Pentru elemente la care braţul normalizat al forţei tăietoare este mai mare de

1.50, rezultatele numerice sunt în general apropiate de cele obţinute

Page 161: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

152

experimental, atât pentru cazurile de încărcare ciclică cât şi cele monoton

crescătoare;

- În cazul în care braţul normalizat al forţei tăietoare este egal cu 1.50

rezulatele numerice sunt caracterizate printr-o subevaluare a rezistenţei şi

degradări de rigiditate care nu s-au obţinut experimental;

- Pentru la care braţul normalizat al forţei tăietoare este egal cu 1.00, analiza

numerică nu s-a putut realiza datorită instabilităţilor numerice;

- În general elementul prezintă o supraestimare a rigidităţii şi rezistenţei, dar

care este mult mai mică decât cea obţinută cu un element care nu ţine cont de

interacţiunea între moment şi forţă tăietoare;

- La cicluri succesive cu deplasare maximă egală elementul surprinde

degradare de rezistenţa observată experimental.

Page 162: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

153

7. Concluzii şi recomandări

7.1. Problematica tezei

Evaluarea analitică a răspunsului structural al construcţiilor în cazul acţiunii

seismice necesită folosirea programelor de calcul bazate pe metoda elementului

finit. Rezultatele obţinute folosind aceste programe de calcul sunt satisfăcătoare în

cazul comportării elastice, dar, în cazul unei comportări neliniare, rezultatele

obţinute cu astfel de programe depind de tipurile de elemente neliniare

implementate prezente în program şi de parametrii folosiţi pentru aceste elemente.

Pentru a reproduce analitic comportarea neliniară a elementelor de beton armat au

fost în general folosite două elemente:

- Macro-modele;

- Micro-modele.

În cazul folosirii macro-modelelor, structra se modelează ca un ansamblu de

elemente liniare interconectate la noduri, elemente care descriu coportarea neliniară

a unui subansamblu structural (grindă, stâlp sau perete structural). Comportarea

neliniară în cazul macro-modelelor se introduce la nivel de element sau la nivel de

secţiune.

Folosirea micro-modelelor impune discretizarea fiecărui subansamblu structural

într-un număr mare de elemente finite, de suprafaţă sau de volum, iar comporatarea

neliniară se introduce la nivel de lege constitutivă pentru materialele atribuite

elementelor finite.

Aşa cum am menţionat în primul capitol, cele două tipuri de modele prezintă

avantaje şi dezavantaje, însă pentru analiza neliniară de ansamblu a structurilor

folosirea macro-modelelor este preferată pe de o parte datorită efortului redus de

calcul, iar pe de altă parte uşurinţei în interpretărea rezultatelor.

Macro-modelele dezvoltate iniţial (Clough şi Johnston, 1967, Giberson, 1967) au

constat în elemente simple, alcătuite în general dintr-un element cu comportare

elastică şi resoarte cu comportare neliniară dispuse la capetele elementului

(articulaţii plastice), dezvoltarea acestora pornind de la modelarea structurilor în

cadre de beton armat, la care zonele cu comportare neliniară se concentrează în

general la capetele grinzilor. Aceste modele au fost numite şi modele cu plasticitate

concentrată.

Page 163: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

154

Comportarea neliniară a elementului depinde în mod direct de legile constitutive

folosite pentru resoartele neliniare. Aceste legi au fost deduse prin calibrarea

rezultatelor experimentale şi sunt specifice pentru un anumit tip de solicitare

(moment, forţă tăietoare sau forţă axială). Aşa cum s-a menţionat în primul capitol

macro-modelelor cu plasticitate concentrată au două mari dezavantaje:

imposibilitatea determinării unor legi constitutive care să ţină cont de interacţiunea

între eforturi (moment – forţă axială şi/sau forţă tăietoare) şi poziţia predefinită a

zonelor cu comportare neliniară.

În cazul elementelor cu articulaţii concentrate, modelarea interacţiunii dintre forţă

axială şi moment încovoietor se bazează în general pe teoria plasticităţii care s-a

dovedit neviabilă în cazul elementelor de beton armat (Taucer et al. 1991). Pentru a

putea surprinde interacţiunea dintre moment şi forţă axială, s-au dezvoltat modele

de grindă de tip multifibră la care determinarea răspunsului secţional se face prin

discretizarea secţiuni în fibre, fiecare fibră având atribuită o lege constitutivă

specifică materialului din care este alcătuită. În mod evident această abordare

reduce caracterul empiric al legilor constitutive folosite pentru resoartele neliniare

utilizate în cazul modelelor cu plasticitate concentrată şi, în general, s-au dovedit

suficient de precise în determinarea răspunsului la nivel secţional sau de ansamblu

în cazul elementelor supuse concomitent la moment şi forţă axială.

Modelele de tip multifibră au fost asociate în mod curent cu elementele de tip bară

cu plasticitate distribuită, la care răspunsul elementului se determină prin integrarea

numerică a răspunsului secţional din fiecare punct de integrare. Se poate considera

în acest fel că poziţia zoneleor cu comportare neliniară nu mai este predefinită ceea

ce constitue un avantaj în raport cu elementele cu plasticitate concentrată.

Dacă în formularea clasică a elementelor de tip multifibră problema interacţiunii

dintre moment şi forţă axială este în general rezolvată, o provocare majoră constă în

includerea efectului forţei tăietoare asupra comportării neliniare a elementelor de

beton armat.

Având în vedere avantajele elementelor cu plasticitate distribuită bazate pe modele

secţionale de tip multifibră, lucrarea de faţa a avut ca scop dezvoltarea unui element

de grindă Timoshenko de tip multifibră care să includă interacţiunea dintre moment

şi forţă tăietoare şi implementarea acestuia într-o platformă de element finit.

Spre deosebire de elementele solicitate preponderent la moment cu sau fără forţă

axială, la care modelare se poate realiza cu modele de grindă de tip Euler, în cazul

Page 164: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

155

elementelor la care aportul forţei tăietoare este semnificativ trebuie folosite

elemente de grindă bazate pe teoria Timoshenko. Ipotezele folosite pentru grinzile

de tip Timoshenko şi problemele legate de folosirea acestor tipuri de elemente, în

special fenomenul de blocaj la forţă tăietoare, sunt prezentate la începutul

capitolului 2.

Evitarea fenomenului de blocaj la forţă tăietoare se poate face folosind diferite

abordări, însă una din cele mai simple rezolvări o constituie folosirea unor funcţii de

interpolare a deplasărilor de ordin superior. Soluţia adoptată şi prezentată în această

lucrare constă în folosire funcţiilor de interpolare de tip Friedman-Kosmatka

(Friedman şi Kosmatka, 1993).

În cea de-a doua parte a capitolului 2 sunt sintetizate aspectele legate de cele două

formulări folosite pentru elemente de bară cu plasticitate distribuită: formularea în

forţe şi formularea în deplasări. Sunt prezentate atât ipotezele cât şi modul de

implementare al acestor elemente în programele de element finit şi problemele

legate de folosirea acestora în determinarea răspunsului neliniar, accentul fiind pus

pe fenomenul de localizare. Comparând cele două tipuri de formulări se poate trage

concluzia că elemetele cu formulare în forţe sunt superioare celor cu formulare în

deplasări însă modul de determinare al răspunsului la nivel secţional şi de element

este mult mai laborios, ceea ce a determinat autorul să le prefere pe cele din urmă.

Includerea efectului forţei tăietoare în modelarea elementelor de beton armat a

suscitat un interes crescut (Kabeyasawa et al., 1983, Roufaiel şi Meyer, 1987,

Vecchio şi Collins, 1988). În cazul elementelor cu plasticitate concentrată, efectul

forţei tăietoare este modelat prin intermediul unor resoarte cu comportare neliniară,

a căror lege constitutivă este, în general, stabilită empiric. Pe lângă caracterul

empiric al legilor constitutive, acest mod de abordare nu include fenomenul de

interacţiune dintre moment şi forţă tăietoare.

Pe lângă adoptarea unor ipoteze cinematice de tip Timoshenko, prezenţa forţei

tăietoare produce o stare de eforturi biaxială care, în cazul elementelor de tip grindă

multifibră trebuie inclusă la nivel secţional.

Comportarea elementelor de beton armat supuse la o stare de eforturi biaxială este

redată cu sufiecientă acurateţe de teoriile bazate pe fisurarea distribuită, cele mai

cunoscute fiind Teoria Modificată a Câmpului de Compresiune (MCFT) şi Teoria

Câmpului de Eforturi Perturbate. Ipotezele şi aplicarea în practică a acestor două

teorii sunt expuse pe larg în capitolul 3. Deşi comparaţiile între rezultatele teoretice

Page 165: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

156

obţinute cu MCFT şi cele experimentale au arătat o concordanţă satisfăcătoare,

inconsecvenţele teoretice produse de ipoteza prezenţei eforturilor tangenţiale în

lungul fisurilor şi verificările legate de acestea justifică folosirea unei variante

simplificate a MCFT, care nu contrazice condiţiile de compatibilitate şi echilibru.

În MCFT eforturile în armătură se deduc folosind legea constitutivă a oţelului

simplu şi nu se ţine cont de răspunsul mediu al barelor de armătură înglobate în

beton. Atât experimental cât şi analitic se poate dovedi că răspunsul unei bare

înglobate diferă de cel al unei bare simple, răspuns care este caracterizat printr-o

reducere a limitei de curgere şi o creştere a rigidităţii postelastice. Varianta

simplificată folosită în teză elimină verificările în dreptul fisurilor şi foloseşte

pentru oţel legea constitutivă propusă de Belarbi şi Hsu. Folosind un program

dezvoltat special, s-au comparat rezultatele obţinute numeric folosind MCFT şi

varianta simplificată a acesteia cu cele experimentale, observându-se o corelare

satisfăcătoare cu acestea (vezi capitolul 3).

Modul de implementare al MCFT într-un program de element finit este prezentat pe

larg în capitolul 4, fiind prezentate cele două tipuri de formulări folosite în general

pentru teoriile bazate pe fisurarea distribuită: formulărea bazată pe matricea de

rigiditate secantă, metodă prezentată şi promovata de Vecchio pentru MCFT, şi cea

bazată pe metoda matricei de rigiditate tangentă, soluţie folosită în general în

programele de element finit. Cele două formulări sunt comparate din punct de

vedere al eficienţei numerice pentru cazul de încărcare monoton crescătoare,

folosind programul menţionat anterior, observându-se o viteză superioară de calcul

în cazul formulării bazate pe matricea de rigiditate tangentă.

În cea de-a doua parte a capitolului sunt prezentate modalităţile de implementare a

MCFT în cazul elementelor de grindă multifibră, fiind descrise atât metodele de

implementare bazate pe o distribuţie fixă a eforturilor sau deformaţiilor tangenţiale,

cât şi metodele bazate pe echilibrul dintre fibre. Pentru implementarea în programul

de element finit s-a preferat în această lucrare folosirea unei distribuţii fixe a

deformaţiilor specifice. Deşi metodele bazate pe echilibrul dintre fibre sunt mult

mai exacte însă presupun, pe lângă iteraţiile la nivel de fibre şi iteraţii la nivel

secţional chiar în cazul folosirii unui element cu formulare în deplasări.

Implementarea elementului propus în teză s-a realizat în platforma OpenSees, care

este prezentată în prima partea a capitolului 5. Alegerea acestei platforme s-a

datorat faptului că este o platformă dechisă, cu acces liber la codul sursă, iar

Page 166: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

157

modularitatea asigurată de folosirea unui limbaj orientat pe obiecte permite

implementarea diverselor elemente fără modificări de ansamblu.

Modul de implementare al elementului cu formulare în deplasări bazat pe funcţii de

interpolare de tip Friedman-Kosmatka, al secţiunii de tip multifibră bazată pe

varianta simplificată a MCFT şi modul de interacţiune dintre aceste sunt prezentate

în cea de-a doua parte a capitolului 5.

Validarea modelului s-a realizat prin compararea rezultatelor analitice cu cele

obţinute experimental, folosindu-se rezultatele încercărilor prezentate în literatura

de specialitate.

O primă serie de simulări numerice s-a făcut pentru elemente supuse la solicitări

statice. S-au ales ca încercări experimentale, încercările pe grinzi realizate de

Bresler şi Scordelis şi încercările realizate de Tompos şi Frosch. Simulările

numerice s-au realizat atât cu modelul implementat cât şi cu un model de tip

multifibră care nu ţine cont de interacţiunea moment-forţă tăietoare. Rezultatele

obţinute numeric folosind modelul implementat sunt în general apropiate de cele

obţinute experimental, fiind din acest punct de vedere superioare rezultatelor date

de modelul care nu ţine cont de interacţiunea moment-forţă tăietoare. În general s-a

constat o supraestimare a rezistenţei şi rigidităţii, lucru de altfel normal în cazul

elementelor cu formulare în deplasări.

Validarea în cazul încărcărilor ciclice s-a realizat pentru elemente de tip pereţi, fiind

folosite încercările pe pereţi efectuate de Oesterle et al. pentru Portland Cement

Association, la care braţul normalizat la forţă tăietoare a (𝑎 = 𝑀/(𝑉𝑕)) este 2.50 şi

un perete încercat de Adamantia Athanasopoulou unde a este de 1.50.

Comparaţiile între rezultatele experimentale şi cele numerice obţinute pentru pereţii

PCA pun în evidenţă faptul că în general modelul estimează satisfăcător rezistenţa

şi surprinde fenomenul de scădere al rezistenţei pentru cicluri cu aceeaşi

amplitudine însă supraestimează rigiditatea la descărcare, lucru care este datorat

modelului de beton folosit pentru fibrele de beton.

În cazul peretelui încercat de Adamantia Athanasopoulou, rezultatele obţinute sunt

în general nesatisfăcătoare, observându-se o subestimare a rezistenţei şi o degradare

de rezistenţă la încărcarea în sens negativ. Acest lucru, coroborat cu faptul că

simulările numerice pe pereţi cu braţ normalizat la forţă tăietoare mai mic sau egal

cu 1 au evidenţiat un răspuns instabil, indică faptul că elementul implementat nu

este indicat pentru astfel de elemente.

Page 167: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

158

7.2. Contribuţii proprii

În prezenta teză principalele contribuţii ale autorului la dezvoltarea cunoştinţelor în

analiza neliniară a elementelor de beton armat la care forţa tăietoare are o influenţă

considerabilă sunt următoarele:

- Prezentarea extinsă a Teoriei Modificate a Câmpului de Compresiune şi a

Teoriei Câmpului de Eforturi Perturbate, dublată de o analiză critică privind

inconsistenţele teoretice ale acestora;

- Prezentarea modului de implementare în programele de element finit a MCFT;

- Realizarea unui program de calcul care implementează MCFT şi o variantă

simplificată a acesteia, program folosit la validarea numerică a variantei

simplificate a MCFT şi la analiza efortului de calcul în cazul formulărilor

bazate pe matricea de rigiditate tangentă, respectiv pe matricea de rigiditate

secantă;

- Formularea unui element finit de grindă multifibră cu formulare în deplasări

folosind ipotezele grinzilor Timoshenko şi funcţii de interpolare de tip

Friedman – Kosmatka la care interacţiunea dintre moment şi forţa tăietoare

este luată în considerare prin folosirea unei teorii de fisurare distribuită;

- Implementarea elementului de grinda Timoshenko în platforma OpenSees;

- Validarea numerică a modelului de element finit implementat la încărcări

monoton crescătoare şi ciclice.

7.3. Direcţii viitoare de dezvoltare

Problematica calculului la forţă tăietoare, cât şi modelele de element finit care

includ efectul forţei tăietoare, reprezintă încă o provocare.

O primă direcţie de dezvoltare constă în implementare unui element finit de grindă

Timoshenko cu formulare în forţe, avantajul acestora privind asigurarea echilibrului

făcându-l superior elementelor cu formulare în deplasări.

Deşi s-au făcut progrese în domeniul teoriilor bazate pe fisurarea distribuită,

inconsecvenţele care apar în cadrul acestora, cum ar fi faptul că efectul de „tension

stiffening” este introdus prin legi empirice sau verificări în dreptul fisurilor, trebuie

înlăturate prin dezvoltarea de modele teoretice coerente care să ţină cont de aderenţa

între beton şi armătură. Aceste modele trebuie să includă nu doar modificarea legii

Page 168: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

159

constitutive a oţelului la încărcări monoton crescătoare, ca în cazul legii propuse de

Belarbi şi Hsu, dar şi degradarea aderenţei în cazurile de încărcare ciclice.

De asemenea legile de comportare pentru beton trebuie modificate şi corelate cu

încercările experimentale pentru a reproduce cât mai fidel degradările de rigiditate

şi rezistenţă şi fenomenul de închidere al fisurilor.

Page 169: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

160

Bibliografie

[1] AASHTO, (2007), „AASHTO LRFD Bridge Design Specifications”,

American Association of State and Highway Transportation Officials,

Washington D.C.

[2] Anagnostopoulos, S., (1981), „Inelastic Beams for Seismic Analysis of

Structures”, Journal of Structural Engineering, ASCE, 107(ST7), p. 1297-

1311.

[3] Athanasopoulou, A., (2010), „Shear Strength and Drift Capacity of

Reinforced Concrete and High-performance Fiber Reinforced Concrete Low-

rise walls subjected to displacement reversals”, Teză de doctorat, University

of Michigan, 302p. [4] Banon, H., Briggs, J., Irvine, M., (1981), „Seismic Damage in Reinforced

Concrete Frames”, Journal of Structural Engineering, ASCE, 107(ST9), p.

1713-1729.

[5] Bathe, K. J., Wilson, E. L., (1976), „Numerical Methods in Finite Element

Analysis”, Prentice-Hall, 528 p.

[6] Belarbi, H., and T. C. C. Hsu., (1994), „Constitutive laws of concrete in tension

and reinforcing bars stiffened by concrete” ACI Structural Journal Vol. 91, Nr. 4,

p 465-474.

[7] Bentz, E. C., (2000), „Sectional Analysis of Reinforced Concrete Members”,

Teză de doctorat, Department of Civil Engineering, University of Toronto,

310 p.

[8] Bentz, E. C., (2005), „Explaining the Riddle of Tension Stiffening Models

for Shear Panel Experiments”, ASCE Journal of Structural Engineering, Vol.

131, Nr. 9, p. 1422-1425.

[9] Bentz, E. C., Collins, M. P., Vecchio, F. J., (2006), „The Simplified MCFT

for Calculating the Shear Strength of Reinforced Concrete Elements”, ACI

Structural Journal, Vol. 103, Nr. 4, p. 614-624.

[10] Bertero, V. V., Aktan, A., Charney, F. & Sause, R., (1984), „Earthquake

Simulator Tests and Associated Experimental, Analytical and Correctional

Studies of One-Fifth Scale Model”, Earthquake Effects on Reinforced

Concrete Structures, American Concrete Institute, SP-84-13, Detroit, p. 375-

424.

Page 170: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

161

[11] Borges, J.U.A., Kolluru, V.S., Weiss, W.J., Shah, S.P., Bittencourt, T.N.

(2004), „Length effect on ductility of concrete in uniaxial and flexural

compression”, ACI Structural Journal, Vol. 101, Nr. 6, p. 765-772.

[12] Brancaleoni, F., Ciampi, V., Di Antonio, R. (1983), „Rate-Type Models for

Non Linear Hysteresis Structural Behaviour,” EUROMECH Colloquium,

Palermo, Italy.

[13] Bresler, B., Scordelis, A.C., (1964), „Shear strength of reinforced concrete

beams –Series II”, Raport Nr. 64-2, Structural Engineering Laboratory,

University of California, Berkeley, 67p.

[14] Bresler, B., Scordelis, A.C., (1966), „Shear strength of reinforced concrete

beams –Series III”, Raport Nr. 65-10, Structural Engineering Laboratory,

University of California, Berkeley, 91p.

[15] Calabrese, A., (2008), „Numerical Issues in Distributed Inelasticity

Modelling of RC Frame Elements for Seismic Analysis”, Teză de masterat,

Istituto Universitario di Studi Superiori di Pavia, Università degli Studi di

Pavia, 132p.

[16] CEB-FIP, (1990), „Model Code for Concrete Structures”, Design Code,

Comité EURO-International du Béton, 437 p.

[17] CEB-FIP, (2010), „Model Code 2010 - First complete draft, Volume1”, CEB

- FIB Bulletin Nr. 55, 318p.

[18] CEB-FIP, (2010), „Model Code 2010 - First complete draft, Volume2”, CEB

- FIB Bulletin Nr. 56, 312p.

[19] CEB-FIP, (2008), „Practitioners' Guide to Finite Element Modeling of

Reinforced Concrete Structures,” CEB - FIB Bulletin Nr.45.

[20] Cervenka, V., Gerstle, K., (1971), „Inelastic analisys of reinforced concrete

panels: Theory” IABSE, Vol. 31-00, p. 32-45;

[21] Cervenka, V., Gerstle, K., (1972), „Inelastic analisys of reinforced concrete

panels: Experimental verification and application” IABSE, Vol. 32-II, p. 26-

39;

[22] Cervenka, V., (1985), „Constitutive Model for Cracked Reinforced

Concrete,” Journal of the American Concrete Institute, Vol. 82, Nr. 6, p. 877-

882

Page 171: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

162

[23] Charney, F., Bertero, V. V., (1982), „An Evaluation of the Design and

Analytical Seismic Response of a Seven Story Reinforced Concrete Frame-

Wall Structure”, Earthquake Engineering Research Center, University of

California, Berkeley, Raport Nr. UCB/EERC–82/08, 196 p.

[24] Ciampi, V., Nicoletti, M., (1986), „Parameter Identification for Cyclic

Constitutive Models for Stiffness and Strength Degradation”, 8th

European

Conference on Earthquake Engineering, Lisabona, Portugalia, 7.1, p. 73-80

[25] Clough, R., Johnston, S. (1966), „Effect of Stiffness Degradation on

Earthquake Ductility Requirements”, Transaction of Japan Earthquake

Engineering Symposium, Tokyo, p. 195-198.

[26] Clough, R., Benushka, L. (1967), „Nonlinear Earthquake Behaviour of Tall

Buildings”, Journal of Mechanical Engineering, ASCE, 93(EM3), p. 129-146

[27] Clough, R. W., Penzien, J., (1993), „Dynamics of Structures”, McGraw-Hill,

Inc, 2nd

Ed., 648 p.

[28] Collins, M. P, Mitchell, D., (1980), „Shear and Torsion Design of Prestressed

and Non-Prestressed Concrete Beams”, PCA Journal, Vol. 25, Nr. 25, p. 32-

100; Discussion and Closure, PCI Journal, Vol. 26, Nr. 6, Nov-Dec 1981, p.

96-118.

[29] Coleman, J., Spacone, E., (2001), „Localization Issues in Nonlinear Force-

Based Frame Elements." ASCE Journal of Structural Engineering, Vol. 127,

Nr. 11, p. 1257-1265.

[30] CSA A23.3-04, (2004), „Design of Concrete Structures”, Canadian Standards

Association, Mississauga, Ontario, Canada, 214 p.

[31] Darwin, D., Pecknold, D. A., „Analysis of RC Shear Panels Under Cyclic

Loading,” ASCE, Journal of the Structural Division, Vol. 102, No. ST2, 1976, p.

355-369.

[32] El-Tawil, S., Deierlein, G. G. (2001), „Nonlinear Analysis of Mixed Steel-

Concrete Moment Frames. Part I – Beam-Column Formulation. Part II –

Implementation and Verification”, ASCE, Journal of Structural Engineering,

Vol. 127, Nr. 6, p. 647-665.

[33] EN 1992-1-1 (2004), „Design of Concrete Structures Part 1-1: General Rules

and Rules for Buildings”, European Standard, European Committee for

Standardization, Brussels, 225 p.

Page 172: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

163

[34] Filippou, F. C., Issa, A., (1988), „Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete

Frames under Cyclic Load Reversals”, Earthquake Engineering Research

Center, University of California, Berkeley, UCB/EERC–88/12, 120 p.

[35] Filippou, F. C., D’Ambrisi, A., Issa, A. (1992), „Nonlinear Static and

Dynamic Analysis of Reinforced Concrete Subassemblages”, Earthquake

Engineering Research Center, University of California, Berkeley, Raport Nr.

UCB/EERC–92/08, 184 p.

[36] Filippou, F. C., (1999), „Analisys Platform and Member models for

Performance-Based Engineering”, Raport PEER 1990/10, Pacific Earthquake

Engineering Research Center, College of Engineering, University of

California,Berkeley p. 95-106.

[37] FIP (1998), Commission 3 on FIP 1996 Recommendations for „Practical

Design of Structural Concrete”, Federation Internationale de la Precontrainte,

Mai, 113 p.

[38] Friedman, Z., Kosmatka, J.B., (1993), „An improved two-node Timoshenko

beam fiinte element “, Vol. 47, Nr. 3, p. 473-481.

[39] Giberson M. F. (1967), „The Response of Nonlinear Multi-Storey Structures

Subjected to Earthquake Excitations”, Teză de doctorat, California Institute

of Technology, Pasadena, 232 p.

[40] Hillerborg, A., (1990), „Fracture mechanics concepts applied to moment

capacity and rotational capacity of reinforced concrete beams”, Engineering

Fracture Mechanics, Vol. 35, Nr. 1/2/3, p. 233-240.

[41] Hsu, T.T.C., (1988), „Softened Truss Model Theory for Shear and Torsion,”

ACI Structural Journal, Vol. 85 Nr.6, p. 624-635.

[42] Hsu. T. T. C., Zhang., (1996), „Tension stiffening in reinforced concrete

membrane elements” ACI Structural Journal Vol. 93, Nr. 1, p. 108-115.

[43] Hsu, T. T. C., and R. R. H. Zhu, (2002), „Softened membrane model for

reinforced concrete elements in shear” ACI Structural Journal Vol. 99, Nr. 4,

p 460-469.

[44] Hughes, T.J.R, Taylor, R.L., Kanoknukulchai, W., (1977), „A simple and

efficient finite element for plate bending”, Inter. J. Numer. Methods Eng, Vol.

11, p. 1529-1543.

Page 173: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

164

[45] Hughes, T.J.R, Tezduyar T.E., (1981), „Finite elements based upon mindlin

plate theory with particular reference to the four node bilinear

isoparametric element” J. Appl. Mech., Vol. 48, p. 587-596.

[46] Ibrahimbegovic A., Wilson E.L., (1991), „Thick shell and solid finite

elements with independent rotation fields” Int. J. Numer. Methods Eng, 31,

1393-1414.

[47] Ingraffea, AR, Saouma, V., (1985), „Numerical modelling of discrete crack

propagation in reinforced and plain concrete” Fracture Mechanics of

Concrete, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, p. 171–225

[48] Iwan, W., (1978), „Application of Nonlinear Analysis Techniques”, Iwan W.

ed., Applied Mechanics in Earthquake Engineering, ASME, AMD, 8, New

York, p. 135-161.

[49] Jansen, D.C., Shah, S.P., (1997), „Effect of length on compressive strain

softening of concrete”, Journal of Engineering Mechanics, Vol. 123, Nr. 1, p.

25-35.

[50] Kaba, S., Mahin, S. A., (1984), „Refined Modelling of Reinforced Concrete

Columns for Seismic Analysis,” Earthquake Engineering Research Center,

University of California, Berkeley, Raport Nr. UCB/EERC–84/03, 104 p.

[51] Kabeyasawa, T., Shiohara, H., Otani, S., Aoyama, H., (1983), „Analysis of the

full-scale seven-story reinforced concrete test structure” Journal of the Faculty

of Engineering, The University of Tokyo, Vol. 37, Nr. 2, p. 431-478.

[52] Kaufmann, W., (1998), „Strength and deformations of structural concrete

subject to in-plane shear and normal foces”, Teza de doctorat, Institute of

structural Engineering, ETH Zürich, 147p.

[53] Kaufmann, W., and Marti, P., (1998), „Structural Concrete: Cracked

Membrane Model,” Journal of Structural Engineering, ASCE, Nr. 124 Vol. 12,

p. 1467-1475.

[54] Kent, D.C. & Park, R. (1971), „Flexural Members with Confined Concrete,”

ASCE Journal of the Structural Division, Vol. 97, Nr. ST7, Proc. Paper 8243,

p. 1341-1360.

[55] Kupfer, H., Hilsdorf, H. K. & Rusch, H. (1969), „Behavior of Concrete under

Biaxial Stress”, ACI Journal, Vol. 87, Nr. 2, p. 656-666.

[56] Lemaitre, J., (1992), „A course on damage mechanics”, Springer Verlag Eds.

Page 174: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

165

[57] Limkatanyu, S., Spacone, E., (2002), „R/C Frame Element with Bond

Interfaces. Part 1: Displacement-Based, Force-Based and Mixed

Formulations.” ASCE Journal of Structural Engineering, Vol.128, Nr. 3, p.

346-355.

[58] Limkatanyu, S., Spacone, E., (2002), „R/C Frame Element with Bond

Interfaces. Part 2: Element State Determination and Numerical Validation.”

ASCE Journal of Structural Engineering, Vol.128, Nr. 3, p. 356-364.

[59] Marini, A., and Spacone, E., (2006), „Analysis of R/C Elements Including

Shear Effects.” ACI Structural Journal, Vol. 103, Nr.5, p. 645-655.

[60] Markeset, G., Hillerborg, A., (1995), „Softening of concrete in compression

- localization and size effects”, Cement and Concrete Research, Vol. 25, Nr. 4,

p. 702-708.

[61] Massone, L.M., Wallace, J. W, (2004), „Load-deformation responses of

slender reinforced concrete walls” ACI Structural Journal Vol. 101, Nr. 1, p.

103-113.

[62] Massone, L. M., (2006), „RC Wall Shear–Flexure Interaction: Analytical and

Experimental Responses” Teză de doctorat, University of California, Los

Angeles, California

[63] Menegotto M., Pinto P.E., (1973), „Method of analysis for cyclically loaded

reinforced concrete plane frames including changes in geometry and non

elastic behavior of elements under combined normal force and bending”.

IABSE symposion on resistance and ultimate deformability of structures

acted on by well-defined repeated loads, Final Report, Lisbon.

[64] Mostafaei, H., (2006), „Axial-Shear-Flexure Interaction Approach for

Displacement-Based Evaluation of Reinforced Concrete Elements”, Teză

doctorat, Architecture Department, University of Tokyo, Tokyo, Japan, 255

p.

[65] NBCC, (2005), „National Building Code of Canada”, Institute for Research

for Construction (IRC), National Research Council of Canada, Ottawa, 1167

p.

[66] Neuenhofer, A., Filippou, F.C., (1997), „Evaluation of nonlinear frame finite-

element models”, Journal of Structural Engineering, Vol. 123, Nr. 7, p. 958-

966.

Page 175: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

166

[67] Neuenhofer, A., Filippou, F.C., (1998), „Geometrically nonlinear

flexibility-based frame finite element”, Journal of Structural Engineering,

Vol. 124, Nr. 6, p. 704-711.

[68] Ngo, D., Scordelis, A.C., (1967), „Finite element analysis of reinforced

concrete beams” Journal of the American Concrete Institute Vol. 64 p 152–

163.

[69] Oesterle, R. G., Fiorato, A. E., Johal, L. S., Carptenter, J. E., Russell, H. G.,

and Corley, W. G., (1976), „Earthquake-Resistant Structural Walls-Tests of

Isolated Walls,” Report to National Science Foundation, Construction

Technology Laboratories, Portland Cement Association, Skokie, Ill, 315 p.

[70] Okamura, H. & Maekawa, K., (1991), „Nonlinear Analysis and Constitutive

Models of Reinforced Concrete”, Giho-do Press, University of Tokyo,

Tokyo, 182 p.

[71] OpenSees, (2008), „Open System for Earthquake Engineering Simulation”

http://opensees.berkeley.edu.

[72] Orakcal, K., Wallace, J.W., Conte, J. P., (2004), „Nonlinear modeling and

analysis of slender reinforced concrete walls”, ACI Structural Journal Vol.

101, Nr. 5, p. 688-699.

[73] Orakcal, K., Massone, L.M, Wallace, J.W., (2006), „Analitycal Modeling of

Reinforced Concrete Walls for Predicting Flexural and Coupled-Shear

Flexural Responses”, Raport PEER 2006/7, Pacific Earthquake Engineering

Research Center, College of Engineering, University of California,Berkeley,

231p.

[74] Otani, S., (1974), „Inelastic Analysis of R/C Frame Structures”, Journal of

Structural Division, ASCE, 100 (ST7), p. 1433-1449.

[75] Palermo, D., Vecchio, F. J., (2003), „Compression Field Modeling of

Reinforced Concrete Subjected to Reversed Loading: Formulation” ACI

Structural Journal, Vol. 100, Nr. 5, Sept.-Oct., p. 616-625.

[76] Palermo, D., Vecchio, F. J., (2004), „Compression Field Modeling of

Reinforced Concrete Subjected to Reversed Loading: Verification”, ACI

Structural Journal, Vol. 101, Nr. 2, Mar.-Apr., p. 155-164.

[77] Pang, X-B, Hsu, T. T. C., (1996), „Fixed Angle Softened Truss Model for

Reinforced Concrete”, ACI Structural Journal, Vol. 93(2), p. 197–207

Page 176: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

167

[78] Paulay, T., Priestley, M. J. N., (1992), „Seismic Design of Reinforced

Concrete and Masonry Buildings”, Wiley Interscience Publications, New

York, USA, 744 p.

[79] Petrangeli, M., Pinto, P. E., Ciampi, V. (1999), „Fiber Element for Cyclic

Bending and Shear of RC Structures. I: Theory”, ASCE Journal of

Engineering Mechanics, Vol. 125, Nr. 9, p. 994-1001

[80] Popovics, S., (1973), „A Numerical Approach to the Complete Stress-Strain

Curve of Concrete”, Cement and Concrete Research, Vol. 3, Nr.5, p. 583-

599.

[81] Prakash, V. (1992), „Dynamic Response Analysis of Inelastic Building

Structures: The DRAIN Series of Computer Programs”, Teză doctorat,

University of California Berkeley, Department of Civil Engineering, 291 p.

[82] Przemieniecki, J.S., (1968), „Theory of matrix structural analysis”, McGraw-

Hill, New York.

[83] Rashid, Y.R., (1968), „Analisys of prestressed pressure vessels”, Nuclear

Engineering Design, Vol. 7, Nr. 4, p. 334-344.

[84] Reddy, J. N., (1993), „An Introduction to the Finite Element Method”, 2nd

Edition, McGraw Hill Book Company, New York, 684 p.

[85] Reddy, J. N., (1997), „On Locking-free Shear Deformable Beam Finite

Elements”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.

149, p. 113-132.

[86] Richart, F.E., Brandtzaeg, A., Brown, R.L., (1928), „A Study of the Failure

of Concrete under Combined Compressive Stresses”, Buletin Nr. 185,

University of Illinois Engineering Experimental Station, Urbana, Illinois, 104

p.

[87] Rokugo, K., Koyanagi, W., (1992), „Role of compressive fracture energy of

concrete on the failure behaviour of reinforced concrete beams”, Capitolul 17

din “Application of Fracture Mechanics to Reinforced Concrete”, E&FN

Spon, Londra.

[88] Roufaiel, M. S. L., Meyer, C., (1987), „Analytical Modelling of Hysteretic

Behaviour of R/C Frames,” Journal of Structural Engineering. ASCE, Vol.

113, Nr. 3, p. 429-444.

Page 177: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

168

[89] Saiidi, M., Sozen, M .A., (1979), „Simple and Complex Models for Non-

linear Seismic Response of Reinforced Concrete Structures.” Structural

Research Series 465, Civil Engineering Studies, University of Illinois,

Urbana

[90] Scott, M.H., Fenves, G.L., (2006), „Plastic hinge integration methods for

force-based beam-column elements”, Journal of Structural Engineering, Vol.

132, Nr. 2, p. 244-252.

[91] Seckin, M., (1981), „Hysteretic Behaviour of Cast-in-Place Exterior Beam-

Column Sub-Assemblies,” Teza de doctorat, University of Toronto, 266 p.

[92] SeismoSoft, (2008), „SeismoStruct - A computer program for static and

dynamic nonlinear analysis of framed structures” .

http://www.seismosoft.com.

[93] Spacone, E., Filippou, F.C., Taucer, F.F., (1996), „Fiber Beam-Column

Model for Nonlinear Analysis of R/C Frames. I: Formulation” Earthquake

Engineering and Structural Dynamics, Vol. 25, Nr. 7, p. 711-725.

[94] Spacone, E., Filippou, F.C., Taucer, F.F., (1996), „Fiber Beam-Column

Model for Nonlinear Analysis of R/C Frames. II: Applications” Earthquake

Engineering and Structural Dynamics, Vol.. 25, Nr. 7, p. 727-742.

[95] Stevens N. J., Uzumeri, S. M., Collins, M. P., and Will, G. T., (1991),

„Constitutive Model for Reinforced Concrete Finite Element Analysis”, ACI

Structural Journal, Vol. 88, Nr. 1, p. 49-59.

[96] Stevens N. J., Uzumeri, S. M., Collins, M. P., (1991), „Reinforced

Concrete Subjected to Reverse Cyclic Shear-Experiments and

Constitutive Model”, ACI Structural Journal, V. 88, Nr. 2, p. 135-146.

[97] Stolarski H., Belytschko, (1982), „Membrane locking and Reduced

integration for Curved elements”. J. Appl. Mechanics, Vol. 49, p. 172-176.

[98] Stolarski H., Belytschko, (1983), „Shear and membrane locking in C°

elements". Computers methods in Applied Mechanics and Engin., Vol. 41.

[99] Takayanagi, T., Schnobricch, W. C., (1976), „Computed Behavior of

Reinforced Concrete Coupled Shear Walls,” Structural Research Series no.

434. Civil Engineering Studies, University of Illinois, Urbana.

Page 178: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

169

[100] Takeda, T., Sozen, M. A., Nielsen, N., (1970), „Reinforced Concrete

Response to Simulated Earthquakes”, Journal of Structural Engineering,

ASCE, 96(ST12), p. 2557-2573.

[101] Taucer, F., Spacone, E., Filippou F. C. (1991), „A Fiber Beam-Column

Element for Seismic Response Analysis of Reinforced Concrete Structures”,

Earthquake Engineering Research Center, College of Engineering, University

of California, Berkeley, UCB/EERC-91/17, 136 p.

[102] Tompos, E.J., Frosch, R.J., (2002), „Influence of Beam Size, Longitudinal

Reinforcement, and Stirrup Effectiveness on Concrete Shear Strength”, ACI

Structural Journal, Vol. 99, Nr. 5, p. 559-567

[103] van Mier, J.G.M., (1997), „Fracture Processes of Concrete: Assessment of

Material Parameters for Fracture Models”, CRC Press, Boca Raton, Florida,

464p.

[104] Vecchio, F. J., Collins, M. P. (1986), „The Modified Compression-Field

Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear”, ACI Journal,

Vol. 83, Nr. 2, p. 219-231.

[105] Vecchio, F. J., (1987), „Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete Frames

Subjected to Thermal and Mechanical Loads”, ACI Structural Journal, Vol.

84, Nr. 6, Nov.- Dec., p. 492-501.

[106] Vecchio, F. J., Collins, M. P., (1988), „Predicting the Response of Reinforced

Concrete Beams Subjected to Shear Using Modified Compression Field

Theory”, ACI Structural Journal, Vol. 85, Nr. 3, p. 258-268.

[107] Vecchio, F. J., (1989), „Nonlinear Finite Element Analysis of Reinforced

Concrete Membranes”, ACI Structural Journal, Vol. 86, Nr. 1, p. 26-35.

[108] Vecchio, F. J., (1992), „Finite Element Modeling of Concrete Expansion and

Confinement”, ASCE Journal of Structural Engineering, Vol. 118, Nr. 9, p.

46-56.

[109] Vecchio, F. J., (1999), „Towards Cyclic Load Modeling of Reinforced

Concrete”, ACI Structural Journal, Vol. 96, Nr. 2, Mar.-Apr., p. 132-202.

[110] Vecchio, F. J., (2000), „Analysis of Shear-Critical Reinforced Concrete

Beams”, ACI Structural Journal, Vol. 97, Nr. 1, p. 102-110.

Page 179: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

170

[111] Vecchio, F. J., (2000), „Disturbed Stress Field Model for Reinforced

Concrete: Formulation”, Journal of Structural Engineering, Vol. 126, Nr. 9,

p. 1070-1077.

[112] Vecchio, F. J., Balopoulou, S., (1990), „On the Nonlinear Behaviour of

Reinforced Concrete Frames”, Canadian Journal of Civil Engineering, Vol.

17, Nr. 5, p. 698-704.

[113] Vecchio, F. J., Emara, M.B., (1992), „Shear Deformations in Reinforced

Concrete Frames”, ACI Structural Journal, Vol. 89, Nr. 1, p. 46-56.

[114] Vecchio, F. J., Bentz, E.C., Collins, M.P., (2004), „Tools for Forensic

Analysis of Concrete Structures”, Computers and Concrete, Vol. 1, Nr. 1, p.

1-14

[115] Vecchio, F. J., Shim, W. (2004), „Experimental and Analytical

Reexamination of Classic Concrete Beam Tests” ASCE Journal of Structural

Engineering, Vol. 130, Nr. 3, p. 460-469.

[116] Vulcano, A., Bertero, V. V., (1987), „Analytical models for predicting the

lateral response of RC shear walls: evaluation of their reliability” Raport

Nr. UCB/EERC-87/19, Earthquake Engineering Research Center, University

of California. Berkeley, California.

[117] Walraven, J. C., (1981), „Fundamental Analysis of Aggregate Interlock”,

Proceedings, ASCE, Vol. 107, STH, Nov., p. 2245-2270.

[118] Weiss, W.J., Güler K., Shah, S.P., (2001) „Localization and size-dependent

response of reinforced concrete beams”, ACI Structural Journal, Vol. 98, Nr. 2,

p. 686-695.

[119] Zeris, C. A. & Mahin, S. A., (1988), „Analysis of Reinforced Concrete

Beam-Columns under Uniaxial Excitations”, Journal of Structural

Engineering, ASCE, 114(ST4), p. 804-820.

[120] Zeris, C. A. & Mahin, S. A., (1991), „Behaviour of Reinforced Concrete

Structures Subjected to Biaxial Excitations”, Journal of Structural

Engineering, ASCE, Vol. 117, Nr. ST9, p. 2657-2673.

Page 180: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

171

Anexa A

Determinarea funcţiilor de interpolare Friedman – Kosmatka

Aşa cum s-a specificat în capitolul 2, paragraful 2.2.1 funcţiile de interpolare a

deplasărilor sunt derivate din ecuaţiile de echilibru.

Pentru deformaţiile axiale funcţiile de formă sunt cele clasice, în care deformaţia

axială se consideră că variază liniar:

𝒖 𝒙 = 𝟏 − 𝝃 𝒖𝟏 + 𝝃𝒖𝟐 = 𝑵𝟏𝒖𝟏 + 𝑵𝟐𝒖𝟐 (A.1)

𝑵𝟏 = 𝟏 − 𝝃𝑵𝟐 = 𝝃

(A.2)

unde 𝜉 este egal cu raportul 𝑥/𝑙.

Pentru a fi îndeplinită prima relaţie de echilibru, trebuie impusă condiţia ca

polinomul de interpolare pentru deplasările transversale 𝜈 𝑥 să fie superior cu un

ordin celui folosit pentru rotire 𝜃(𝑥) :

𝒗 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟑𝒙

𝟑 (A.3)

In cazul unei grinzi Timoshenko deformaţia tangenţială este constantă 𝛾𝑥𝑦 =

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝛾0 iar din relaţia 2.5 rotirea se poate exprima în funcţie de coeficienţii

𝑎0…3:

𝜽𝒛 𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝟐𝒂𝟐𝒙 + 𝟑𝒂𝟑𝒙𝟐 − 𝜸𝟎 (A.4)

Folosind relaţiile între moment şi curbură (A.5a), respectiv între forţa tăietoare şi

deformaţia tangenţială (A.6) combinate cu ecuaţia între moment şi forţă tăietoare

(A.7) se poate exprima deformaţia tangenţială în funcţie de coeficienţii de 𝑎0…3 şi

caracteristicile geometrice ale secţiunii:

𝑴𝒛 = −𝑬𝑰𝒛𝝆𝒛 = −𝑬𝑰𝒛𝝏𝜽𝒛

𝝏𝒙 (A.5a)

𝑀𝑧 = −𝐸𝐼𝑧(2𝑎2 + 6𝑎3𝑥) (A.5b)

𝑽𝒚 = 𝜿 𝑮𝑨𝜸𝟎 (A.6)

𝒅𝑴𝒛

𝒅𝒙− 𝑽𝒚 = 𝟎 (A.7)

𝜸𝟎 = −𝟔 𝑬𝑰𝒛

𝜿 𝑮𝑨 𝒂𝟑 (A0.8)

Notând cu 𝜆 raportul (𝐸𝐼𝑧)/(𝜅 𝐺𝐴) expresia rotirii devine:

𝜽𝒛 𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝟐𝒂𝟐𝒙 + 𝟑𝒂𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝝀𝒂𝟑 (A.9)

Expresiile coeficienţilor 𝑎0…3 se deduc din condiţiile la limită:

Page 181: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

172

𝒗 𝟎 = 𝒗𝟏𝒗 𝒍 = 𝒗𝟐𝜽𝒛 𝟎 = 𝜽𝒛𝟏𝜽𝒛 𝒍 = 𝜽𝒛𝟐

(A.10)

Inlocuind în relaţiile A.10 expresiile lui 𝑣(𝑥) şi 𝜃𝑧(𝑥) date de ecuaţiile A.3 şi A.9

rezultă :

𝒂𝟎 = 𝒗𝟏 (A.11)

𝒂𝟏 =𝟏

𝟏+𝝓 −

𝝓

𝒍𝒗𝟏 + 𝟏 +

𝝓

𝟐 𝜽𝒛𝟏 +

𝝓

𝒍𝒗𝟐 −

𝝓

𝟐𝜽𝒛𝟐 (A.12)

𝒂𝟐 =𝟏

𝟏+𝝓 −

𝟑

𝒍𝟐𝒗𝟏 −

𝟏

𝒍 𝟐 +

𝝓

𝟐 𝜽𝒛𝟏 +

𝟑

𝒍𝟐𝒗𝟐 −

𝟏

𝒍 𝟏 −

𝝓

𝟐 𝜽𝒛𝟐 (A.13)

𝒂𝟑 =𝟏

𝟏+𝝓 𝟐

𝒍𝟑𝒗𝟏 −

𝟏

𝒍𝟐𝜽𝒛𝟏 −

𝟐

𝒍𝟑𝒗𝟐 +

𝟏

𝒍𝟐𝜽𝒛𝟐

(0.14)

unde

𝝓 = 𝟏𝟐𝝀

𝒍𝟐= 𝟏𝟐

𝑬𝑰𝒛

𝒍𝟐 (A.15)

Substituind expresiile coeficienţilor 𝑎0…3 în relaţia A.3 se ajunge la relaţia :

𝒗 𝝃 =𝟏

𝟏+𝝓 𝟏 − 𝟑𝝃𝟐 + 𝟐𝝃𝟑 + 𝝓 𝟏 − 𝝃 𝒗𝟏 +

𝒍

𝟏+𝝓 𝝃 − 𝟐𝝃𝟐 + 𝝃𝟑 +

𝝓

𝟐 𝝃 − 𝝃𝟐 𝜽𝒛𝟏 +

𝟏

𝟏+𝝓 𝟑𝝃𝟐 − 𝝃𝟑 + 𝝓𝝃 𝒗𝟐 +

𝒍

𝟏+𝝓 −𝝃𝟐 + 𝝃𝟑 +

𝝓

𝟐 −𝝃 + 𝝃𝟐 𝜽𝒛𝟐 (A.16)

Relaţia anterioară se poate scrie şi sub forma :

𝒗 𝝃 = 𝑵𝟑𝒗𝟏 + 𝑵𝟒𝜽𝒛𝟏 + 𝑵𝟓𝒗𝟑 + 𝑵𝟔𝜽𝒛𝟒

(0.17)

Unde

𝑵𝟑 =

𝟏

𝟏+𝝓 𝟏 − 𝟑𝝃𝟐 + 𝟐𝝃𝟑 + 𝝓 𝟏 − 𝝃

𝑵𝟒 =𝒍

𝟏+𝝓 𝝃 − 𝟐𝝃𝟐 + 𝝃𝟑 +

𝝓

𝟐 𝝃 − 𝝃𝟐

𝑵𝟓 =𝟏

𝟏+𝝓 𝟑𝝃𝟐 − 𝝃𝟑 + 𝝓𝝃

𝑵𝟔 =𝒍

𝟏+𝝓 −𝝃𝟐 + 𝝃𝟑 +

𝝓

𝟐 −𝝃 + 𝝃𝟐

(A.18)

În mod asemănător se poate deduce şi expresia lui 𝜃𝑧 𝜉 :

𝜽𝒛 𝝃 =𝟔

𝒍 𝟏+𝝓 −𝝃 + 𝝃𝟐 𝒗𝟏 +

𝟏

𝟏+𝝓 𝟏 − 𝟒𝝃 + 𝟑𝝃𝟐 + 𝝓 𝟏 − 𝝃 𝜽𝒛𝟏 +

𝟔

𝒍 𝟏+𝝓 𝝃 −

𝝃𝟐 𝒗𝟐 +𝟏

𝟏+𝝓 −𝟐𝝃 + 𝟑𝝃𝟐 + 𝝓𝝃 𝜽𝒛𝟐

(0.19)

𝜽𝒛 𝝃 = 𝑵𝟕𝒗𝟏 + 𝑵𝜽𝟐𝜽𝟖 + 𝑵𝟗𝒗𝟑 + 𝑵𝟏𝟎𝜽𝒛𝟒 (A.20)

unde

Page 182: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

173

𝑵𝟕 =

𝟔

𝒍 𝟏+𝝓 −𝝃 + 𝝃𝟐

𝑵𝟖 =𝟏

𝟏+𝝓 𝟏 − 𝟒𝝃 + 𝟑𝝃𝟐 + 𝝓 𝟏 − 𝝃

𝑵𝟗 =𝟔

𝒍 𝟏+𝝓 𝝃 − 𝝃𝟐

𝑵𝟏𝟎 =𝟏

𝟏+𝝓 −𝟐𝝃 + 𝟑𝝃𝟐 + 𝝓𝝃

(A.21)

Inlocuind în expresiile A.2, A18 şi A.21 𝜉 cu 𝑥/𝑙 se obţin relaţiile 2.30

Page 183: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

174

Anexa B

Descrierea unui program de analiză a panourilor supuse la forfecare

Pentru a putea compara rezultatele obţinute cu MCFT şi varianta simplificată a

acesteia folosită în această teză s-a dezvolta un program de calcul care

implementează ambele metode (figura B.1).

Figura B.1. Fereastra principala a programului

Mai multe legi contitutive pentru beton (figura B.2) propuse în literatura de

specialitate au fost implemnetate, pentru oţel folosindu-se legi de tip biliniar (figura

B.3).

Page 184: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

175

Figura B.2. Modul de introducere a caracteristicilor betonului

Figura B.3. Modul de introducere a caracteristicilor oţelului

Programul permite introducerea alegerea metodei de calcul, a tipului de formulare

(tangentă sau secantă) şi raportul încărcărilor aplicate.

Page 185: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

176

Figura B.4. Fereastra cu opţiuni privind modul de desfăşurare a analizei

Programul permite atât controlul în forţe şi controlul în deplsări. Pentru controlul în

deplasări s-a folosit metoda clasică, dezvoltată de Batoz şi Dhatt (1979), iar

folosirea acestei metode permite depăşirea punctelor limită, de maxim sau minim

local (figurile B.5 şi B6).

Figura B.5. Relaţia efort tangenţial – deformaţie tangenţială determinată

deterimnată prin folosirea controlului în forţe

Page 186: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

177

Figura B.6. Relaţia efort tangenţial – deformaţie tangenţială deterimnată prin

folosirea controlului în deplasări

În figura B.7 este prezentată degradarea de rigiditate după fisurare, obţinută folosind

controlul în deplasări.

Figura B.7. Relaţia efort tangenţial – deformaţie tangenţială, înainte şi după

fisurare, deterimnată folosind control în deplasări

Page 187: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

178

Deformaţiile şi eforturile unitare sunt determinate atât pe direcţiile principale ale

deformaţiilor cât şi în sistemul elementului. În figurile B.8-B11 sunt prezentate

grafic diverse relaţii între eforturi unitare şi/sau deformaţii specifice.

Figura B.8. Relaţia efort tangenţial – deformaţie normală pe direcţia X

Figura B.9. Relaţia efort tangenţial – efort unitar în armătură pe direcţia X

Page 188: CONTRIBUŢII LA MODELAREAdigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ de construcŢii bucureŞti contribuŢii la modelarea structurilor de beton armat

179

Figura B.10. Relaţia efort unitar – deformaţie specifică pentru direcţia principală de

întindere

Figura B.11. Relaţia efort unitar – deformaţie specifică pentru direcţia principală de

compresiune