Comunicatii Cu Modulatie Liniara

COMUNICAŢII CU MODULAŢIE LINIARǍ

179

CAPITOLUL VI

COMUNICAŢII CU MODULAŢIE LINIARĂ In sistemele de comunicaţii modulaţia este o tehnică de o deosebită importanţă, care asigură

convertirea semnalului purtător de informaţie într-o formă adecvată transmisiei pe un canal de comunicaţie. Se introduc notaţiile:

o s(t) – semnalul modulat, o x(t) – semnalul purtător de informaţie (în banda de bază), o c(t) – purtătoarea CW (Continuous Wave);

Vom presupune în continuare că c(t) este un semnal sinusoidal c(t) = Acos2πf0 t. Putem defini modulatorul ca un circuit ce realizează o funcţie: )](),([)( tctxfts = (6.1)

Noţiunea de modulaţie este în antiteză cu cea de semnal în banda de bază, prin care înţelegem semnalul original, produs de sursa de informaţie, cu spectrul de frecvenţă nemodificat, cu excepţia unei eventuale filtrări trece-jos (limitare de bandă).

Modulaţia liniară, cunoscută curent sub denumirea de modulaţie de amplitudine (MA), este un proces de convertire liniară a valorilor instantanee ale semnalului modulator x(t) în variaţii proporţionale ale amplitudinii instantanee sau anvelopei (înfăşurătoarei) semnalului modulat s(t). Astfel, )()()( tctxts ⋅= şi de obicei )2(cos)()( 0 θπ +⋅= tftxts (6.2)

Vom presupune în continuare pentru comoditate θ = 0.

VI.1 Tipuri de modulaţie de amplitudine

În esenţă, modulaţia MA asigură o translare a spectrului semnalului modulator x(t), din banda de bază, în jurul frecvenţei purtătoare f0 .

VI.1.1 Semnalul MA – Banda laterală dublă

Dacă semnalul x(t) are componenta de c.c. nulă (x(t) = 0) şi spectrul limitat, atunci, la ieşirea modulatorului MA, care teoretic este un multiplicator ideal, obţinem un spectru tip bandă laterală dublă (BLD), centrat pe frecvenţa purtătoare f0. Putem scrie atunci, MjXtx ωωω >== 0)()]([F (6.3)

unde )]([ txF – transformata Fourier (TF) a semnalului x(t),

MM fπω 2= ; fM - frecvenţa maximă din spectrul semnalului x(t). Din teoria TF se ştie că:

[ ] )()( 00 ωωω jjXetx tj −=F (6.4)

Atunci,

Capitolul VI

180

)(21)(

21)(

21)(

21]cos)([ 000

00 ωωωωω ωω jjXjjXetxetxttx tjtj ++−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⋅ −FF (6.5)

Rezultă deci că şi spectrul funcţiei ttxts 0cos)()( ω⋅=

va fi limitat (figura 6.1), spectrul fiind descris de relaţia: )()]([ ωjSts =F (6.6)

Dacă este îndeplinită şi condiţia: Mo ff >> (6.7) se poate vizualiza şi anvelopa semnalului MA (figura 6.2). Întrucât ttxts 0cos)()( ω⋅= se observă că zerourile lui s(t) sunt determinate atât de cosωot cât şi de x(t). Dacă x(t) trece prin zero, de la o valoare pozitivă la una negativă în semnalul s(t), purtătoarea

ttc 0cos)( ω= suferă un salt de fază de 180°. Evident, dacă

x(t) < 0, atunci

)cos()(cos)(cos)( 000 πωωω +⋅=⋅−=⋅ ttxttxttx (6.8) Semnalul MA descris de rel.(6.8) şi (6.5) prezintă un

spectru în care există ambele benzi laterale, dar cu purtătoarea suprimată, şi este denumit BLD-PS (bandă laterală dublă şi purtătoare suprimată sau DSBSC – Double SideBand Suppressed Carrier).

VI.1.2 Semnalul MA clasic

Suprimarea purtătoarei se datoreşte faptului că semnalul x(t) are componenta de c.c. nulă.

Figura 6.1 Spectrul semnalului MA cu purtătoare suprimată

Figura 6.2 Modulaţie de amplitudine

Figura 6.3 Spectrul semnalului MA-BLD


181

Dacă această condiţie nu este îndeplinită, sau în locul multiplicatorului se foloseşte un alt tip de modulator MA, se poate obţine un semnal MA-BLD cu purtătoare, denumit semnal MA clasic, descris de relaţia: ttmxAts 0cos)](1[)( ω+= (6.9)

unde 1)( <tx

m – indicele de modulaţie, Mff >0

La semnalul modulator x(t) s-a adăugat o componentă de c.c., iar spectrul semnalului MA devine:

=+= ]cos)([]cos[)]([ 00 ttAxtAts ωω FFF +++−= )()( 00 ωωπδωωπδ AA

)(2

)(2 00 ωωωω jjXAmjjXAm

++− (6.10)

şi este reprezentat în figura 6.3. În aceste condiţii, putem considera amplitudinea

semnalului MA dată de: )](1[)( tmxAtA += (6.11) şi variază liniar cu semnalul modulator x(t) (figura 6.4).

În cazul supramodulaţiei (m >1), în forma de undă MA apare un salt de fază de 180° al purtătoarei, la fel ca în semnalul MA BLD-PS, precum şi o distorsionare a anvelopei semnalului.

Remarcăm două proprietăţi importante ale semnalului MA:

1. Semnalul prezintă simetrie în jurul frecvenţei purtătoare f0 (simetrie pară pentru amplitudine şi impară pentru fază – figura 6.5);

2. Banda necesară pentru transmisie este MM fπω 2=

VI.1.3 Semnalul QAM

Am văzut că semnalul MA poate fi obţinut cu un multiplicator ideal (figura 6.6). Demodularea sau translarea semnalului MA în banda de bază, poate fi realizată tot cu un multiplicator (figura 6.7), atacat de semnalul MA s(t) şi purtătoarea c(t). Atunci,

22cos1)(

cos)()()()(

0

02

ttx

ttxtctstyω

ω+

=

==⋅= (6.12)

Figura 6.4 Modulaţii MA-PS -BLD

Figura 6.5 Simetrie în jurul frecvenţei purtătoare

Capitolul VI

182

Prin filtrarea trece-jos a semnalului obţinem x(t), adică semnalul modulator original (în banda de bază). Procedeul ilustrat de figura 6.7 şi relaţia (6.12) poartă denumirea de detecţie sincronă şi implică utilizarea la recepţie a unei purtătoare, în sincronism cu cea de la emisie.

Dacă ])cos[()(')( 0 θωω +Δ+=≠ ttctc (6.13) atunci, la ieşirea multiplicatorului obţinem:

])2cos[()(

21)cos()(

21

])cos[(cos)()(

0

00

θωωθω

θωωω

+Δ+++Δ

=+Δ+=

ttxttx

tttxty (6.14)

Se observă că semnalul original x(t) suferă o translaţie în frecvenţă cu Δω şi o defazare cu θ. Considerând semnalul modulator x(t) un sunet armonic, cu frecvenţa fundamentală de 1000 Hz, remarcăm că prin translarea de frecvenţă, sunetul original cu componentele 1000 Hz + 2000 Hz + 3000 Hz +..., se transformă în 1010 Hz + 2010 Hz + 3010 Hz +…, dacă Δf = 10 Hz, şi evident 2010 nu este armonica a 2-a a lui 1010 Hz, 3010 nu este armonica a 3-a, adică sunetul nu mai este armonic.

Dacă reuşim ca decalajul de frecvenţă Δf (offset) să fie nul, dar θ ≠ 0, atunci θcos)(5,0)(' txty = Dacă, 0)('902/)()('0 =→==→= tytxty oθθ

Rezultă de aici că, pe acelaşi canal, putem transmite în mod independent două semnale, conform schemei din figura 6.8. Această tehnică este denumită QAM (Quadrature Amplitude Modulation) şi se bazează pe utilizarea semnalelor ortogonale sinω0t şi cos ω0t. Evident,

ttxttxty

ttxttxty

ttxttxty

iq

qi

qi

002

2

002

1

00

2sin)(5,0sin)()(

2sin)(5,0cos)()(

sin)(cos)()(

ωω

ωω

ωω

+=

+=

+=

(6.15)

Prin filtrare trece-jos ţinând cont că:

02sin2/1sincos 002

02 === tiartt ωωω (6.16)

obţinem

2/)()('

2/)()('

2

1

txtytxty

q

i

==

(6.17)

Figura 6.6 Modulator MA Figura 6.7 Demodulator sincron MA

Figura 6.8 Transmisia pe purtătoare ortogonale


183

Se observă că dacă la detecţie semnalul suferă o eroare de fază Φ, amplitudinea semnalului detectat scade cu cosΦ şi apare diafonie (contribuţia celuilalt canal), lucru ce nu deranjează dacă Φ este mic şi constant. Dacă Φ variază, sunt necesare circuite care să menţină în sincronism purtătoarea de la recepţie c’(t) cu cea de la emisie c(t).

Am presupus până acum că semnalul MA prezintă o simetrie pară de amplitudine (figura 6.9), )()( 00 ffAffA −=+ (6.18)

Dacă adăugăm şi o componentă cu simetrie impară, de tipul: )()( 00 ffAffA −−=+ (6.19) obţinem un semnal QAM (figura 6.9), simetria pară fiind asociată purtătoarei de tip cosinus: )cos(cos θθ −= iar cea impară purtătoarei de tip sinus: )sin(sin θθ −−=

Informaţia fiind transportată în mod egal cu ambele benzi laterale, iar detecţia sincronă aducând în banda de bază informaţia conţinută în ambele benzi laterale, putem reduce banda transmisă la o singură bandă laterală, sau se poate introduce o simetrie impară în jurul frecvenţei f0 (figura 6.10), atenuând o BL în vecinătatea purtătoarei şi în compensare transmiţând o parte din cealaltă BL.

Obţinem astfel un semnal RBL – rest de bandă laterală sau VSB (Vestigial SideBand) iar la limită un semnal BLU – bandă laterală unică sau SSB (Single SideBand).

Figura 6.10 Simetrie VSB Figura 6.11 Semnal BLU ca sumă a 2 semnale MA

Figura 6.9 Simetrii pentru semnalele QAM

Capitolul VI

184

Putem considera că acestea sunt cazuri particulare de semnale QAM, cu modulaţie în cuadratură. În figura 6.11 este ilustrat cazul semnalului BLU, obţinut din reunirea a 2 semnale MA în cuadratură. Dacă semnalul modulator x(t) este un ton cosinusoidal – cosωmt, atunci:

tttAttctxts

mm

m

)cos(5,0)cos(5,0coscos)()()(

00

0

ωωωωωω

++−=⋅⋅=⋅=

(6.20)

Semnalul BLU, în acest caz ia una din formele: tm )cos(5,0 0 ωω − BLI (banda laterală inferioara) tm )cos(5,0 0 ωω + BLS (banda laterală superioara)

Să considerăm că semnalul MA se obţine cu ajutorul schemei prezentate în figura 6.12, iar filtrul trece-bandă prezintă o caracteristică H(f) cu simetrie reziduală în jurul lui f0, satisfăcând criteriul I al lui Nyquist. Astfel, 1)()( 00 =−++ ffHffH (6.21) pentru un anumit domeniu de frecvenţă.

Fie semnalul modulator x(t) de forma tfAtx mm π2cos)( = (6.22)

Atunci,

5.0)(5.0)(5.0)(

0

0

0

=−=−+=+

fHaffHaffH

m

m

(6.23)

Semnalul obţinut la ieşirea circuitului multiplicator din figura 6.12 va fi: ])cos[()cos[(5,0cos)( 00000 ttAAtAtx mmm ωωωωω ++−= iar la ieşirea FTB se obţine semnalul: ])cos()5,0()cos()5,0[(5,0)( 000 tataAAty mmm ωωωω +++−−= sau tattAAty mmm ωωωω sinsin2coscos(5,0)( 000 −= (6.24)

Se poate remarca faptul că datorită simetriei impare a caracteristicii de transfer a filtrului în jurul frecvenţei purtătoare f0 , au apărut componentele în cuadratură - tta mωω sinsin2 0⋅ .

BLUMAsemnaltAAtya

PSMAsemnalttAAtya

mm

mm

−−+=→=−−=→=

)cos(5,0)(5.0coscos5,0)(0

00

00

ωωωω

Semnalul VSB apare ca un caz intermediar între semnalele MA-PS şi BLU, plecând de la un semnal MA-PS, care este filtrat cu ajutorul unui filtru având caracteristica H(f) reprezentată în figura 6.13. Condiţia impusă filtrului este: )(2)'()'( 000 fHffHffH =++− (6.25) în întreg domeniul f0 ± B, B - banda semnalului modulator.

Putem remarca faptul că banda transmisă este egală cu: FT BBB 5,0+= (6.26) unde BF este banda regiunii de traziţie a filtrului.

Dacă BF << B, semnalul VSB se aseamănă cu semnalul BLU,

BF = 2B → semnalul VSB se aseamănă cu semnalul MA-PS. Aceste cazuri pot fi urmărite în cele ce urmează, plecând de la schema de modulator MA

reprezentată în figura 6.12. Semnalul MA de ieşire y(t) se poate obţine în funcţie de răspunsul la impuls h(t) al filtrului, prin convoluţia lui h(t) cu ttxA 00 cos)( ω .

Figura 6.12 Semnal VSB

Figura 6.13 Filtru VSB


185

0 0 0 0( ) ( ) [ ( ) cos ] ( ) ( ) cos ( )y t h t A x t t h A x t t dω τ τ ω τ τ+∞

−∞= ∗ = − −∫

0 0 0

0 0 0

( ) cos ( ) ( ) cos

sin ( ) ( )sin

y t A t h x t d

A t h x t d

ω τ τ ω τ τ

ω τ τ ω τ τ

+∞

−∞

+∞

−∞

= − +

−

∫∫

sau 0 0 0 0( ) ( ) cos ] ( ) sin ]s qy t t A t t A tξ ω ξ ω= ⋅ + ⋅ (6.27)

unde )(]sin)([)()(]cos)([)(

0

0

txtthttxttht

qs

s

∗⋅=∗⋅=

ωξωξ

(6.28)

Termenii în paranteze pătrate din rel. (6.28) pot fi consideraţi ca provenind din filtrul cu funcţia de transfer H(f)

[ ] [ ]

[ ] [ ])()(21sin)()(

)()(5,0cos)()(

000

000

ffHffHj

tthfH

ffHffHtthfH

q

s

+−−==

++−==

ω

ω

F

F (6.29)

unde F reprezintă transformata Fourier,

[ ] )()( fHth =F şi s-a aplicat teorema translaţiei frecvenţei.

Considerând filtrul ca fiind ideal pentru a permite obţinerea semnalelor BLU, având banda de trecere 00 ffBf ≤≤− , sau Bfff +≤≤ 00 , unde B este banda semnalului în banda de bază

(figura 6.10), avem evident:

)(

21)(

2/1)(

fsignumj

fH

fH

q

s

±=

= (6.30)

Se remarcă pentru spectrul semnalului MA că există simetrie în jurul frecvenţei purtătoare f0 – simetrie pară pentru amplitudine şi impară pentru fază. Din relaţiile (6.28) rezultă:

[ ] )(21)(

21)()()(*]cos)([)( 11

0 txfXfXfHtxttht ss =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=⋅=⋅= −− FFωξ

[ ])()()(*]sin)([)( 10 fXfHtxttht qq ⋅=⋅= −Fωξ (6.31)

Dar, 110 2

1)(21sin)( −− =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=⋅ tfsignum

jtth

πω ∓F

Se cunoaşte din teoria transformatei Fourier că fsignumjt −→π/1 tth π/1)( =

h(t) - răspunsul la impuls al unui circuit de defazare în cuadratură.

[ ]

)()2/1(

)()()( 1

txt

fXfHt qq

∗=

=⋅= −

π

ξ

∓F

)(5,0)( txtq ∓=ξ (6.32) unde )(tx este transformata Hilbert a semnalului modulator x(t).

Din ec. (6.27) rezultă: Figura 6.14 Obţinerea semnalului VSB

Capitolul VI

186

)]sin)(cos)([5,0)( 000 ttxttxAty ωω ∓= (6.33) sau )]sin)(cos)([5,0)( 000 ttqttxAty ωω ∓= (6.34)

Se disting următoarele cazuri limită: 1. 0)( =tq - semnal MA-PS

ttxAty 00 cos)(5,0)( ω⋅= 2. )()( txtq =

ttx mωsin)( = iar ttx mωcos)( = tAty m )sin(5,0)( 00 ωω +⋅=

Ecuaţia (6.34) reprezintă un semnal QAM pe purtătoarele în cuadratură cosω0t şi sinω0t, cu semnalele modulatoare independente x(t) şi q(t).

Semnalul RBL (VSB) poate fi obţinut şi cu ajutorul schemei din figura 6.14. Prin sumarea celor două semnale se obţine un rest de BL superioară, iar prin scăderea lor un rest de BL inferioară.

VI.2 Metode de generare a semnalelor BLU

Pentru generarea semnalelor BLU (SSB) se folosesc următoarele 3 metode:

1. metoda compensării în fază; 2. metoda filtrărilor succesive; 3. metoda Weaver.

VI.2.1 Metoda compensării în fază

Ea este ilustrată în figura 6.15. Semnalul în banda de bază este aplicat la intrarea unui circuit defazor cu 90°, într-o bandă largă. Semnalul original şi replica sa defazată la 90°, sunt aplicate la intrările a doua modulatoare MA, atacate pe celelalte intrări de semnale pe frecvenţa purtătoare, defazate de asemenea în cuadratură.

Semnalele obţinute la ieşirile modulatoarelor MA, au două benzi laterale în fază şi două în antifază: tttt )sin(5,0)sin(5,0cossin 000 ωωωωωω −++=⋅ tttt )sin(5,0)sin(5,0sincos 000 ωωωωωω −−+=⋅ (6.35)

Figura 6.15 Metoda compensării în fază

Figura 6.16 Obţinerea semnalelor BLU


187

Semnalul BLU se obţine prin adunarea sau scăderea celor 2 semnale ca BLS, respectiv BLI. Replica defazată la 90° a semnalului modulator x(t) reprezintă transformata sa Hilbert (vezi anexa II) şi este mai greu de implementat practic, sistemul fiind necauzal. Procesul este ilustrat în figura 6.16.

Practic, metoda este implementată ca în figura 6.17, defazajul de 90° între cele două semnale de intrare variind în jurul acestei valori în gama de frecvenţă f1 – f2, iar semnalul BLU va prezenta distorsiuni de fază. Metoda compensării în fază, datorită distorsiunilor de fază introduse, nu este indicată pentru TD dar, urechea umană fiind insensibilă la fază, dă rezultate foarte bune în telefonie.

VI.2.2 Metoda filtrărilor succesive

Aceasta este reprezentată, în principiu la nivel de schemă bloc, în figura 6.18.

Semnalul modulator este convertit într-un semnal MA BLD-PS cu purtătoarea pe o frecvenţă intermediară în gama 0,1-1 MHz, şi transformat prin filtrare într-un semnal BLU; cu un FTB cu înaltă selectivitate (filtru cu cuarţ). Semnalul BLU astfel obţinut este translat prin mixări şi filtrări succesive pe frecvenţa dorită. Nu se poate folosi o singură translare de frecvenţă, deoarece FTB implicat ar rezulta cu o selectivitate prea mare, foarte greu de realizat practic.

VI.2.3 Metoda Weaver Aceasta elimină dezavantajele metodelor anterioare (defazor de bandă largă sau FTB foarte

selectiv, care implică o proiectare îngrijită şi componente de precizie ridicată). În plus, imperfecţiunile de filtrare şi defazare, sau micile dezechilibre ce pot apare în funcţionarea modulatoarelor ehilibrate nu produc BL în afara benzii de trecere. Metoda se bazează pe fenomenul de

Figura 6.18 Ilustrarea metodei filtrărilor succesive

Figura 6.17 Implementarea metodei de compensare în fază

Capitolul VI

188

Fold-over sau de reflectare a BLI din domeniul frecvenţelor negative în al celor pozitive, cu simetrie impară pentru purtătoarea tip sinus şi pară pentru cea tip cosinus (figura 6.19).

Prima frecvenţă de translare – frecvenţa pilot – se alege egală cu frecvenţa medie a spectrului audio transmis. De exemplu, dacă spectrul semnalului în banda de bază este cuprins între 300 şi 2700 Hz, se alege fp = (300 + 2700)/2 = 1500 Hz. La ieşirile modulatoarelor echilibrate se obţin două BL ale semnalului translat între 1800 – 4200 Hz şi 0 – 1200 Hz.

Filtrele trece-jos, cu frecvenţa de tăiere 1200 Hz, au regiunea de tranziţie între 1200 şi 1800 Hz, unde nu există semnal transmis, şi pot fi realizate fără probleme. Ele înlătură banda laterală superioară.

După prima translaţie se obţine: tttttu ppp )cos(5,0)cos(5,0sinsin)(11 ωωωωωω +−−=⋅=

tttttu ppp )sin(5,0)sin(5,0sincos)(12 ωωωωωω −−+=⋅= După FTJ se obţin BL inferioare, care datorită faptului că au o jumătate de bandă în domeniul

frecvenţelor negative, vor ocupa numai jumătate de bandă în domeniul frecvenţelor pozitive (frecvenţele negative se reflectă şi apar ca pozitive). ttu p )cos(5,0)('11 ωω −=

ttu p )sin(5,0)('12 ωω −−= (6.36)

Figura 6.19 Metoda Weaver de obţinere a semnalului BLU


189

Pentru o realizare uşoară a FTJ trebuie ca spectrul semnalului în banda de bază să nu aibă componente de joasă frecvenţă. Cele două semnale obţinute în urma primei translaţii suferă o nouă translare de frecvenţă, utilizând iar purtătoare în cuadratură. Se obţine un semnal cu BL superioare în fază, iar cele inferioare în antifază. tttttu pcpcpc )sin(25,0)sin(25,0)cos(sin5,0)(21 ωωωωωωωωω +−+−+=−⋅=

tttttu pcpcpc )sin(25,0)sin(25,0)sin(cos5,0)(22 ωωωωωωωωω +−+−+−=−⋅−= (6.37) Sumarea celor 2 semnale produce semnalul BLU dorit (BLS) pe purtătoarea fictivă fc - fp, întrucât fc

se găseşte la mijlocul benzii, iar BLI este înlăturată prin compensare. ttututu pc )sin(5,0)()()( 22212 ωωω +−=+= (6.38)

În mod similar, BLI se obţine pe purtătoarea fictivă fc + fp, prin scăderea celor 2 semnale: ttututu pc )sin(5,0)()()( 22212 ωωω −+=−= (6.39)

Dacă cele două FTJ nu au caracteristici de fază şi amplitudine identice, cele două benzi laterale nedorite nu se compensează exact, iar resturile BL nedorite, spre deosebire de celelalte metode, se vor găsi în aceeaşi bandă de frecvenţă cu BL dorită, suprapunându-se peste aceasta şi distorsionând semnalul BLU transmis.

VI.3 Variante de transmisie MA; eficienţa

Am văzut că semnalele MA pot lua următoarele forme: 1. MA clasic – P+2BL; 2. BLD-PS sau DSBSC; 3. RBL sau VSB; 4. BLU sau SSB; 5. QAM sau MA în cuadratură.

Vom analiza aceste variante de transmisie d.p.d.v. al eficienţei comunicaţiei, definită ca raportul dintre puterea semnalului purtător de informaţie PS şi puterea totală transmisă P. PPs /=η (6.40)

Dacă semnalul modulator este x(t) şi considerăm o rezistenţă normalizată de 1 Ω, 2 /P U R= , iar

P devine numeric egală cu 2U . În telecomunicaţii ne interesează următoarele puteri:

1. puterea instantanee )()( 2 txtp =

2. puterea medie ∫=T

med dttxT

p0

2 )(1

3. puterea de vârf (a anvelopei) pP

Puterea de vârf a anvelopei poate fi definită ca puterea medie a unui semnal sinusoidal, având aceeaşi valoare de vârf ca şi x(t). Dacă x(t) are valoarea de vârf Ap atunci

( ) 2/2/ 22

ppp AAP == (6.41) Raportul dintre Pp şi puterea medie ne arată cât de eficient

sunt utilizate dispozitivele electronice din amplificatoarele finale de putere, având în vedere faptul că anvelopa, deci şi nivelul, variază odată cu semnalul modulator x(t). Acest raport reprezintă un coeficient de supradimensionare.

Figura 6.20a Randamentul MA

Capitolul VI

190

Semnalul MA clasic poate fi scris ca: ttxtAts 00 cos)(cos)( ωω ⋅+⋅= (6.42) iar puterea medie livrată într-o rezistenţă de 1 Ω este valoarea medie pătratică a lui s(t),

ttxAttxtAts 0022

0222 cos)(2cos)(cos)( ωωω ⋅⋅+⋅+⋅=

Dacă x(t) = 0, cum s-a presupus şi până acum, atunci

2/)(2/cos)(cos)( 220

220

222 txAttxtAts +=⋅+= ωω (6.43) Evident,

)(5,02/ 220 txAPPP S +=+= (6.44)

iar

2

2 2

( )( )

sP x tP A x t

η = =+

(6.45)

În cazul modulaţiei cu ton cosinusoidal, ttmAts m 0cos]cos1[)( ωω ⋅⋅+= sau 0 0( ) cos coss t A t m A tω ω= ⋅ + ⋅ ⋅ (6.46) iar,

2 2 2 21 1 1( ) ( )2 2 2

x t A m A= +

şi )2/( 22 mm +=η (6.47)

Dacă 1 (50%) 11% 1(100%) 33 %2

m mη η= → ≅ = → ≅

Se observă că în cazul modulaţiei produse de un ton sinusoidal eficienţa variază, atingând în cel mai mai bun caz pentru semnalul MA clasic, o valoare maximă de numai 33%. În figura 6.20a este prezentată variaţia puterii transportate de purtătoare (1 - η) şi de cele două benzi laterale (η), în funcţie de indicele de modulaţie m al semnalului MA.

Semnalul MA, produs de un ton sinusoidal (rel. 6.46) poate fi scris ca: tmAtmAtAts mm )cos()2/()cos()2/(cos)( 000 ωωωωω −⋅++⋅+⋅= iar puterea medie se obţine sumând puterile celor 3 componente, considerate ca semnale ortogonale, dacă purtătoarea este o armonică a semnalului modulator:

( ) ( ) ( ) 2/2/12/2/2/2/2/ 22222 mAmAmAAP +=++= (6.48) Cele 3 componente ale semnalului MA, modulat de un ton

cosinusoidal, sunt ilustrate în diagrama fazorială din figura 6.21. De remarcat că rezultanta celor două BL este în fază cu purtătoarea.

Definim puterea P0 transportata de purtătoare:

20 / 2P A= (6.49)

iar ( )20 1 / 2P P m= + (6.50)

Valoarea de vârf a anvelopei MA este A(1 + m), iar puterea de vârf a anvelopei, prin definiţie este: 2

022 )1(2/)1( mPAmPp +⋅=+= (6.51)

Supradimensionarea este raportul Pp /P , iar în cazul MA cu ton

Fig.6.20b Supradimensionarea şi P/P0

Figura 6.21 Diagramă fazorială


191

sinusoidal: )2/1/()1(/ 22 mmPPp ++= (6.52)

Raportul 0/ PPp conform rel.(6.51) şi supradimensionarea, conform rel. (6.52), sunt ilustrate in

figura 6.20 b. Se observă că la valori mici ale indicelui de modulaţie m puterea medie creşte foarte puţin cu m, în timp ce puterea de vârf creşte substanţial. Pentru m = 100%, puterea medie este 1,5 P0, în timp ce puterea de vârf este 4P0. În tabelul VI.1 sunt prezentate rezultatele pentru semnale BLD, BLU şi MA clasic modulate cu ton sinusoidal.

TABELUL VI.1 – Puterea de vârf si eficienţa Varianta P Pp Pp / P η

BLD A2 / 4 A2 / 2 2 100% BLU A2 / 2 A2 / 2 1 100%

MA 0

2

21 Pm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ( ) 0

21 Pm+ ( )

2/11

2

2

mm

+

+ 2

2

2 mm+

m = 1 1.5·P0 4·P0 2.667 33% m = 0.5 1.25·P0 2.25·P0 2 11%

EXEMPLUL VI.1 Să calculăm PS, P0, η şi Pp pentru un emiţător MA (P+2BL), cu o putere totală de 100 kW şi indicele de modulaţie m = 0,707.

( ) kWmPPmPP 802/2/1211/100)2/1/()

211(

220

20 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=+=

kWmPP

PPP

p 8.232})2/1(1(80)1(

%20100/)80100(/)(22

0

0

=+=+=

=−=−=η

Deducerea relaţiilor pentru cazurile BLD şi BLU este simplă. Rezultatele sunt valabile numai pentru semnal modulator sinusoidal, semnalul BLU fiind o sinusoidă de frecvenţă fie fo + fm (BLS) sau fo - fm, (BLI), iar puterea medie coincide cu puterea de vârf. În cazurile practice, semnalul modulator este diferit de sinusoidă, iar puterea de vârf este evident mai mare decât cea medie şi în cazul BLU.

Prin suprimarea purtătoarei, eficienţa transmisiei în cazurile BLU sau BLD devine 100%. De remarcat că în toate cazurile, mai puţin BLU-PS, se poate extrage din semnalul recepţionat o componentă pe frecvenţa purtătoare, care este folosită pentru detecţia MA sincronă.

VI.4 Modulatoare MA

Pentru obţinerea semnalului MA de forma ttxts 0cos)()( ω⋅= există mai multe metode:

1. Multiplicare analogică; 2. Modulaţie prin choppare; 3. Folosirea dispozitivelor cu caracteristică de transfer neliniară; 4. Modulaţia pe circuit acordat.

VI.4.1 Multiplicarea analogică

Metoda implică folosirea unui circuit de multiplicare, atacat pe intrări de

Figura 6.22 MA folosind circuite cu caracteristică pătratică

Capitolul VI

192

semnalele x(t) şi cosω0t, care dă la ieşire produsul semnalelor aplicate pe cele două intrări. Limitările practice ale metodei se referă la nivelului şi frecvenţa maximă a semnalelor ce pot fi

aplicate la intrări. Multiplicarea analogică se poate obţine şi cu ajutorul schemei din figura 6.22, care implică două dispozitive cu caracteristica de transfer pătratică. Considerând semnalele de intrare A şi B, ieşirea este

kABBAkBAk 4)()( 22 =−⋅−+⋅ (6.53) proporţională cu produsul celor 2 semnale de la intrare.

Dacă caracteristica de transfer este semi-pătratică, adică de forma:

⎩⎨⎧

≤>

=0002

xxkx

y (6.54)

apare constrângerea ca A + B să fie pozitive. Presupunând:

tAB

txmAA i

00 cos)](1[

ω=⋅+=

rezultă pentru: 0)1( 0 ≥−− AmAi sau

ttxmAts

AAm i

0

0

cos)](1[)(/1

ω⋅+=−≤

(6.55)

unde iAkAA 04=

Se observă din rel. (6.55) că deoarece A0 > 0, iar m rezultă mai mic decât unitatea, circuitul nu poate produce semnal MA-PS.

Indicele de modulaţie m poate fi însă crescut artificial, prin scăderea unei fracţiuni de purtătoare - tr 0cosω⋅ din semnalul de

ieşire s(t). Astfel,

0

0

0

( ) cos

( ) 1 ( ) cos

'[1 ' ( )] cos

s t r tA mA r s t tA r

A m s t t

ω

ω

ω

− ⋅ =

⋅⎡ ⎤− + ⋅⎢ ⎥−⎣ ⎦= + ⋅

(6.56)

VI.4.2 Modulaţia prin choppare

Aceasta implică eşantionarea cu urmărire a semnalului modulator x(t) – choppare – urmată de filtrarea trece-bandă a semnalului choppat cu un FTB cu frecvenţa centrală f0 (figura 6.23). Chopperul este practic un comutator cu funcţia de comutaţie c(t) tip undă rectangulară simplu curent, de forma:

⎩⎨⎧

<≥

=0cos00cos1

)(0

0

tt

tcωω

(6.57)

Figura 6.23 Modulaţia MA cu chopper simplu


193

Descompunând în serie Fourier pe c(t) avem: ++−+= ttttc 000 5cos)5/1(3cos)3/1()(cos/2(2/1)( ωωωπ (6.58)

++−+=⋅= ttxttxttxtxtctxty 000 5cos)(523cos)(

32cos)(2)(

21)()()( ω

πω

πω

π

iar [ ] )cos()()()/2()( 0 θωπ +∗= tthtxts F unde hF(t) este răspunsul la impuls al FTJ echivalent, iar θ defazajul introdus de filtru.

Pentru un filtru fără distorsiuni,

)cos()0()(2)( 0 θωπ

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= tHtxts F (6.59)

unde H(f) este transformata Fourier a lui h(t).

Pentru ca filtrul să poată separa componentele

spectrale centrate pe ω0 de celelalte (figura 6.24), x(t) trebuie să aibă un spectru limitat la fm, iar condiţia impusă de teorema eşantionării (Nyquist) să fie satisfăcută: f0 > 2fm. Cu această schemă se pot genera şi semnale MA-PS.

Dacă funcţia de comutare c(t) simplu curent, se înlocuieşte cu una dublu curent de forma:

⎩⎨⎧

<−≥+

=0cos10cos1

)(0

0

tt

tcωω

(6.60)

formele de undă asociate chopper-ului sunt ilustrate în figura 6.25. Atunci,

++−= ttttc 000 5cos513cos

31(cos4)( ωωω

π Se observă că semnalul modulator x(t) este multiplicat alternativ cu +1 şi –1 (rel 6.59), în ritmul frecvenţei purtătoare. Această operaţie poate fi realizată cu circuite dublu echilibrate de tipul modulatorului în inel (figura 6.26a) sau celui din figura 6.26b.

Elementele care lucrează în regim de comutaţie şi inversează sensul tensiunii induse sunt, în primul caz, grupurile de diode D1, D2 şi D3, D4 iar în al doilea caz tranzistoarele T4 şi T2.

VI.4.3 Dispozitivele cu caracteristica de transfer neliniară

Acestea produc modulaţie de amplitudine dacă la intrarea lor se aplică semnalul rezultat din sumarea semnalului modulator x(t) cu purtătoarea. Semnalul de ieşire filtrat trece-bandă cu un FTB de frecvenţă centrală f0 este tocmai semnalul MA dorit.

Figura 6.24 Spectru MA - purtătoare rectangulară

Figura 6.25 Modulaţie MA-PS prin choppare

Capitolul VI

194

Să considerăm drept dispozitiv neliniar o diodă semiconductoare care funcţionează într-o regiune restrânsă a caracteristicii VA (figura 6.27). Semnalul de ieşire, descompus în serie Mac Laurin este:

2 30 1 2 3( ) ( ) n

e i i i n iu t i t R a a v a v a v a v= ⋅ = + + + + + (6.61)

unde 0

!1

=∂∂

=iv

ni

en

n vu

na (6.62)

Dacă BAvi += (6.63) şi ne limităm la primii 3 termeni din dezvoltarea în serie, 2 2 3 2 2 3

0 1 2 3( ) ( 2 ) ( 3 3 )eu a a A B a A AB B a A A B AB B= + + + + + + + + + (6.64) iar, 0 0cos ( )A A t B x tω= =

rezultă 2 2

2 22 0 20 1 2 0 0 1 2 0 0( ) ( ) cos [ 2 ( )] cos 2

2 2ea A au a a x t a x t A t a a x t A tω ω= + + + + + + (6.65)

În relaţia (6.65) se observă 3 componente:

o prima este un semnal de joasă frecvenţă,

o a doua este semnalul MA cu purtătoarea f0,

o a treia reprezintă un semnal MA pe purtătoarea 2 f0 .

Întrucât x2(t) are spectrul limitat la 2f0, dacă x(t) are spectrul limitat la fm condiţia de nesuprapunere a spectrelor (non-aliasing) se scrie: mm fff −< 02 sau 0 / 3mf f< (6.66)

Figura 6.26 Circuite dublu echilibrate

Figura 6.27 Modulator MA cu diodă


195

Termenii de ordinul 3 şi superior din dezvoltarea în serie Mac Laurin au fost presupuşi egali cu zero; ei produc intermodulaţie şi modulaţie încrucişată.

Dacă, tAtAB

tAA

2211

00

2coscoscos

ωωω

+==

(6.67)

termenul 3223 33 BABBAA +++ produce componente spectrale de tipul: 20100 2,2, fffff ±± , ..

)(),( 210210 ffffff −±+± care se pot afla în banda semnalului MA şi apar ca semnal distorsionat,

ce nu poate fi separat prin filtrare. Pentru eliminarea produselor de modulaţie nedorite de ordin par se foloseşte schema de modulator echilibrat, cu două diode, reprezentată în figura 6.28.

VI.5 Modulatoare MA cu circuite integrate

Circuitele modulatoare MA, prezentate anterior erau disponibile, până nu demult, sub formă de circuite integrate în tehnologie monolitică, având performanţe superioare de rejecţie a purtătoarei sau a semnalului modulator.

VI.5.1 Multiplicatorul analogic

Acesta are la bază o pereche de tranzistoare , cu cuplaj în emitor şi sursă de curent constant (figura 6.29); exemple: CI tip CA 3005, μA 703 sau ROB 740, produse în anii ‘80.

Curenţii de ieşire sunt daţi de:

T

id

T

id

UU

EEC

UU

EEC

e

II

e

II−+

+

=

+

=

1121

iar

TUidU

theeeeee

eeeeI

eeeeIIII

TidTidTidTidTidTid

TidTidTidTid

TidTid

TidTid

UUUUUUUUUUUU

UUUUUUUU

EE

UUUU

UUUU

EECCC

22/2/2/2/2/2/

2/2/2/2/

//

//

21

))(())((

]1][1[

=+++−

=++

−=−=Δ

−−−

−−

−

−

(6.68)

expresie reprezentată în figura 6.29b. Dacă Uid << UT, ştiind că

+−=3

3xxxth (6.69)

atunci TUidUTUidUth 2/)2/( ≅ (6.70) şi TUidUEEC II 2/=Δ (6.71)

Dacă printr-un convertor tensiune-curent (figura 6.29c) se realizează ))(( 20 onUukI BEiEE −= (6.72) atunci,

Figura 6.28 Modulator MAechilibrat

Capitolul VI

196

TBEiidC UonUuukI 2/))(( 20 −=Δ (6.73) Deci circuitul funcţionează ca

multiplicator în condiţiile 2 ( )id T i BEu U si u U on< > şi 02 >iu , evident.

De aici rezultă că multiplicatorul funcţionează numai în două cadrane. Pentru funcţionarea în 4 cadrane se utilizează schema de multiplicator Gilbert, ilustrată în figura 6.30, obţinută prin legarea în cascadă a unei perechi cu cuplaj în emitor cu alte perechi cu cuplaj în emitor, legate în cruce.

Conform figurii 6.29, putem deduce:

TT

TT

UUC

CUUC

C

UUC

CUUC

C

eII

eII

eII

eII

/2

6/2

5

/1

4/1

3

11

11

11

11

+=

+=

+=

+=

−

−

Dar exprimând IC1 şi IC2 în funcţie de IEE, conform (6.67) obţinem:

TT UU

EECUU

EEC e

IIeII /2/1 2121 11 +

=+

= −

)1)(1()1)(1( //3//3 2121 TTTT UUUU

EECUUUU

EEC ee

IIee

II −−− ++=

++= (6.74)

)1)(1()1)(1( //6//5 2121 TTTT UUUU

EECUUUU

EEC ee

IIee

II++

=++

= −

Curentul diferenţial la ieşire va fi: )()( 546346536453 CCCCCCCCCC IIIIIIIIIII −−−=+−+=−=Δ −− )2/()2/( 21 TTEEc UUthUUthII ⋅⋅=Δ (6.75)

Prin introducerea degenerării în emitor (rezistenţele R în figura 6.29d) se poate mări gama de valori a lui ui, ce permite o funcţionare liniară. Pe baza ec. (6.75), distingem trei cazuri de funcţionare:

1. MULTIPLICATOR ANALOGIC

210

2121 )4/(uuku

uuUIIUusiUu TEECTT

⋅⋅=⋅=Δ→<<

(6.76)

Pentru a mări domeniul dinamic al tensiunilor de intrare, se poate compensa neliniaritatea, introducând la intrare un bloc neliniar, cu caracteristica th-1, care predistorsionează semnalul.

2. MODULATOR ECHILIBRAT

T

T

UuUu

><

2

1 (6.77)

Semnalul aplicat pe una din intrări este mare în raport cu UT, iar circuitul funcţionează ca un chopper (purtătoarea sinusoidală se transformă în undă rectangulară), iar multiplicarea cu ±1 este echivalentă cu păstrarea sau inversarea semnului semnalului.

Figura 6.29 Multiplicator analogic în două cadrane


197

3. DETECTOR DE FAZĂ

T

T

UuUu

>>

2

1 (6.78)

Ambele semnale de intrare sunt mari în raport cu UT, iar tranzistoarele Q1-Q6 se comportă ca nişte comutatoare nesaturate.

VI.6 Detecţia MA

Demodularea sau detecţia semnalelor MA se afectuează prin:

a. detecţie sincronă sau coerentă; b. detecţie de anvelopă sau necoerentă.

VI.6.1 Detecţia sincronă

Detecţia sincronă a fost ilustrată în figura 6.7 şi relaţiile (6.13) şi (6.14), precum şi în figura 6.8 şi relaţiile (6.15 - 17), pentru semnalele QAM. Ea implică obţinerea la recepţie a unui semnal c(t), replica fidelă a purtătoarei din semnalul recepţionat, semnalul c(t) de la emisie fiind afectat de un decalaj de frecvenţă şi distorsiuni de fază, introduse de canalul de comunicaţie. În cazul QAM, dacă purtătoarele reconstituite la recepţie sunt afectate de o eroare de fază Φ , relaţia (6.16) devine:

)2sin()2sin()()2sin()2cos()()(

)2cos()2sin()()2cos()2cos()()(

00

002

00

001

Φ+⋅⋅+Φ+⋅⋅=

Φ+⋅⋅+Φ+⋅⋅=

tftftxtftftxty

tftftxtftftxty

q

i

q

i

ππππ

ππππ

(6.79)

Prin filtrare trece-jos,

Φ⋅+Φ⋅=

Φ⋅−Φ⋅=

cos)(21sin)(

21)(

sin)(21cos)(

21)(

2

1

txtxty

txtxty

qi

qi

(6.80)

Se observă că a apărut diafonie, iar amplitudinea semnalului se reduce cu cosΦ , faţă de cazul (6.17). Performanţele transmisiei vor depinde deci de funcţionarea corectă a circuitului de sincronizare (vezi paragraful VI.7).

VI.6.2 Detecţia de anvelopă

Detecţia de anvelopă este cea mai simplă metodă de demodulare MA. Ea poate fi realizată pe mai multe căi:

1. Redresare dublă alternanţă şi filtrare trece.-jos,

2. Redresare monoalternanţă şi filtrare trece-jos,

3. Detecţia valorii de vârf a semnalului MA şi menţinerea ei.

Figura 6.31 Detecţia de anvelopă

Figura 6.30 Multiplicator Gilbert

Capitolul VI

198

În primul caz semnalul MA )(tyr redresat devine:

0( ) ( ) cos[ ( )]ry t R t t t tω ω= ⋅ − Δ +Φ

( ) ( ) cosry t R t z= ⋅ (6.81)

Descompunând în serie Fourier pe ⎜cos z ⎜ obţinem:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−++

−+

−+=

142cos

144cos

122cos

214cos 222 k

kzzzzπ

(6.82)

unde )(0 tttz Φ+Δ−= ωω (6.83) Semnalul obţinut după filtrare trece-jos va fi:

( ) (2 / ) ( )ry t R tπ= (6.84) În cazul ideal rezultă

( ) (2 / ) ( ) cos ( )ry t x tπ β= ⋅ ⋅ Φ − (6.85) Dacă ωτβ = , adică defazajul este proporţional cu

frecvenţa, sau caracteristica de fază este o dreaptă care trece prin origine, atunci: )]()([cos)()/2()( ωθτωπ +−⋅= ttxatyr (6.86) deci semnalul xr(t) reproduce semnalul x(t), atenuat cu 2/π şi întârziat cu τ - timpul de propagare.

În figura 6.31 este reprezentat procesul de detecţie de anvelopă bazat pe redresarea dublă alternanţă. Din rel. (6.84) se observă că yr(t) este proporţional cu R(t) numai dacă aceasta este pozitivă. Dacă R(t) trece prin zero luând şi valori negative, ca în cazul semnalului MA cu purtătoare suprimată, semnalul yr(t) de la ieşirea detectorului de anvelopă nu mai reproduce pe R(t) – vezi figura 6.32.

În acest caz trebuie să se recurgă la detecţia sincronă. Totuşi, se poate ar3ta că în cazul semnalelor BLU sau RBL, prin adăugarea unei componente sinfazice cu purtătoarea Acosω0t la semnalul recepţionat (fig.6.33), se obţine un semnal ce poate fi demodulat prin detecţie de anvelopă.

Astfel, considerând semnalul MA ce conţine atât o componentă sinfazică P(t) cât şi o componentă în cuadratură Q(t), variaţiile de amplitudine ale semnalului rezultant se datoresc în principal componentei în cuadratură.

Figura 6.32 Detecţia de anvelopă pentru semnalul MA-PS şi MA clasic

Figura 6.33 Componentă sinfazică


199

Pentru a se reduce influenţa ei şi a face ca variaţiile rezultantei R(t) să depindă în principal de componenta sinfazică P(t), se introduce componenta P0 în fază cu P(t) – vezi fig.6.33. Arcul de cerc de rază r, 0PPr += intersectează pe OR în B , iar perpendiculara din A pe OR în C. Se observă că:

θsin

)(⋅=<

+−=−=QCRBR

PPROBORBR o

Deci, ε++= 0PPR (6.87)

unde PP

QtgQQ+

=⋅<⋅<0

2

sin θθε (6.88)

Dacă PP >0

Atunci, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−< 2

0

2

00

2

1PP

PP

PQε (6.89)

Din (6.89) rezultă că ε poate fi făcut oricât de mic crescând pe P0, iar dacă P şi Q sunt mici în raport cu P0, rezultă din (6.88) că R diferă de P + P0 cu ε < Q / ( P + P0).

În cazul redresării monoalternanţă semnalul yr(t) are amplitudinea redusă la jumătate, valoarea medie a sinusoidei redresate monoalternanţă fiind 1/π - vezi figura 6.34.

Dioda semiconductoare folo-sită ca redresor mono-alternanţă funcţionează ca un comutator ideal acţionat de semnalul de comandă s(t).

Detecţia de anvelopă cu detector pentru valoarea de vârf şi menţinerea ei este reprezentată în figura 6.35. Dioda joacă rolul unui comutator ideal ce se închide pe durata cât tensiunea de intrare este mai mare decât cea de ieşire, semnalul de ieşire reproducând pe cel de intrare, şi care este deschis în rest.

VI.7 Sincronizarea de purtătoare în transmisiile MA Dacă purtătoarele de la emisie c(t) şi recepţie c’(t) nu sunt perfect sincronizate, semnalul

recepţionat are amplitudinea scăzută cu cosΦ , iar dacă Φ variază aleator, evident transmisia este perturbată.

În cazul semnalelor BLD-PS, în spectrul semnalului nu există o linie pe frecvenţa purtătoare f0, care să poată fi extrasă cu un FTB de bandă îngustă sau un PLL şi să permită detecţia sincronă.

Existenţa celor 2 benzi laterale, care conferă semnalului MA o simetrie pară pentru amplitudine, permite însă ca prin metode neliniare să se asigure sincronizarea pe dublul frecvenţei purtătoare 2f0.

VI.7.1 Bucla pătratică Fie circuitul reprezentat în figura 6.36, denumit buclă pătratică. Semnalul de intrare este un semnal

MA-BLD-PS, de forma: tftxAts 02cos)()( π⋅⋅= (6.90)

Figura 6.34 Redresare monoalternanţă

Figura 6.35 Funcţionarea detectorului de anvelopă

Capitolul VI

200

La ieşirea circuitului cu caracteristica de transfer pătratică obţinem:

2 2 2 20( ) ( ) ( ) cos 2y t s t A x t f tπ= = ⋅ ⋅

sau 2 20( ) ( ) (1 cos 4 ) / 2y t A x t f tπ= ⋅ ⋅ + (6.91)

Bucla PLL joacă rolul unui FTB de bandă îngustă, centrat pe frecvenţa 2f0, care extrage componenta discretă pe frecvenţa 2f0 astfel creată.

Prin divizarea cu 2 a frecvenţei, folosind un bistabil de tip T, obţinem două semnale pe frecvenţa f0, dar în antifază, şi nu se ştie care semnal trebuie ales, problemă cunoscută sub denumirea de ambiguitate de fază. Chiar dacă s-a ales corect faza, un impuls perturbator de nivel suficient de mare, aplicat la intrarea bistabilului de tip T, poate provoca o basculare suplimentară şi deci inversarea fazei.

In comunicaţiile telefonice, urechea fiind insensibilă la fază, ambiguitatea de fază nu deranjează. În transmisiile de date ea trebuie înlăturată, deoarece conduce la complementarea (negarea) informaţiei. În acest scop se utilizează coduri diferenţiale (NRZ-M, NRZ-S sau NRZI), codul Miller, etc.

VI.7.2 Bucla Costas

În semnalul MA-BLD-PS purtătoarea prezintă salturi de fază de 180° la trecerea prin zero a semnalului modulator x(t), semnalul MA fiind descris de rel.(6.93). Multiplicând cu x(t), obţinem, tftxAtstxtftxAts 0

201 2cos)()()(2cos)()( ππ ⋅⋅==⋅⋅⋅= (6.92)

iar zerourile lui s1(t) sunt determinate numai de cele ale lui cosω0t. Bucla Costas se bazează pe obţinerea purtătoarei prin multiplicarea semnalului modulat (modulaţia

produsă de semnalul x(t)) cu semnalul demodulat x(t) şi este implementată ca în figura 6.37. Dacă bucla este în sincronism, OCT oscilează pe frecvenţa f0, pe ramura de sus semnalul este

demodulat şi obţinem 0,5 ( )Ax t iar pe cea de jos, datorită ortogonalităţii obţinem un semnal 0. Dacă OCT este defazat cu ϕ faţă de această situaţie, la ieşirile celor două FTJ apar semnalele 0,5 ( ) cosAx t ϕ⋅ şi

0,5 ( ) sinAx t ϕ⋅ , iar semnalul de eroare

ϕϕ ktxA ≈⋅ 2sin)()8/( 2 (6.93) deci proporţional cu defazajul ϕ, iar bucla va acţiona pentru reducerea acestuia la zero. Bucla Costas nu funcţionează dacă semnalul nu este modulat. S-a presupus x(t) un semnal binar antipodal, ce ia valorile ±1 .

VI.7.3 Alte metode

Eliminarea decalajului de frecvenţă şi de fază pentru purtătoarea folosită în detecţia sincronă MA se poate vedea şi din figura 6.38; ea reprezintă o extensie a circuitului cuadricorelator şi a buclei Costas.

Figura 6.37 Bucla Costas

Figura 6.36 Bucla pătratică


201

Circuitul din stânga liniei punctate este practic o buclă Costas, iar cel din dreapta, împreună cu cel din stânga, formează un circuit ce a fost descris la tehnicile de achiziţie rapidă PLL cu componenta de c.c. exterioară.

VI.8 Multiplexarea canalelor în frecvenţă

O soluţie tehnică de folosire în comun a canalului sau liniei de transmisie de mai mulţi utilizatori este multiplexarea, separând semna-lele în frecvenţă, timp sau în cod.

Cantitatea de informaţii transportată fiind proporţională cu banda semnalelor şi durata emisiei (timpul), metodele de multiplexare (figura 6.39) sunt următoarele:

o multiplexare cu separarea căilor în frecvenţă (SCF sau FDMA in cazul accesului multiplu); o multiplexare cu separarea căilor în timp (SCT sau TDMA); o multiplexare cu separarea căilor în cod (CDMA).

Sistemele cu SCF folosesc, pentru transmiterea mesajelor, purtătoare sinusoidale modulate în amplitudine, frecvenţă sau fază, motiv pentru care se mai numesc şi sisteme de curenţi purtători.

Tehnica de SCF este specifică radiocomunicaţiilor şi telefoniei clasice; în telefonie sistemele cu SCF au fost înlocuite de sisteme cu SCT, iar în telefonia celulara cu sisteme CDMA. Prin modulaţia MA (figura 6.40), informaţia este transpusă în banda de frecvenţe dorită (translare de frecvenţă), iar la recepţie are loc operaţia inversă.

Eficacitatea economică a unei linii de transmisiuni sau comunicaţii telefonice se apreciază prin preţul de cost al unui km de circuit telefonic. Linia folosită numai în frecvenţă vocală (circuitul de

Figura 6.39 Multiplexarea canalelor în frecvenţă şi timp

Figura 6.38 Extensia buclei Costas

Figura 6.40 Multiplexarea în frecvenţă a n canale

Capitolul VI

202

frecvenţă vocală) se caracterizează printr-un coeficient slab de utilizare a circuitului referitor la banda de frecvenţă transmisă şi corespunzător, are şi cel mai ridicat preţ de cost/km relativ.

Acest indicator economic s-a micşorat mult prin transmiterea mai multor canale telefonice pe

aceeaşi linie de transmisiune (sisteme multiplex). Pe linia în cablu simetric s-a putut transmite un grup de 120 sau 180 de canale sau un flux de date cu viteze de ordinul a câtorva Mbiţi/s la distanţe de ordinul kilometrilor – ADSL sau zeci de Mbiţi/s la distanţe de ordinul zecilor de metri – VDSL.


203

Liniile în cabluri coaxiale puteau fi folosite economic până la 50 MHz (maximum 10000 canale), iar pe liniile de radioreleu pot funcţiona sisteme telefonice de curenţi purtători cu circa 2700 canale.

Schema bloc a unui sistem de transmisie cu SCF este prezentată în figura 6.40. În telefonie, toate cele n semnale sunt aduse în acelaşi loc fizic, în timp ce în radiocomunicaţii emiţătoarele sunt plasate în diferite locuri (exemplu tipic – radiodifuziunea sonoră şi TV).

Translarea de frecvenţă a semnalelor telefonice se făcea în mai multe trepte, grupându-se treptat căile şi obţinând grupe de căi tot mai mari, după fiecare translaţie. Aceste grupe sunt denumite grupuri primare, secundare, terţiare, etc. şi sunt normalizate prin avizele CCITT.

GRUPUL PRIMAR (GP) cuprinde 12 canale, transpuse în banda 12-60 kHz sau 60-108 kHz, denumite grup de bază A şi respectiv B şi are diagrama de frecvenţă din figura 6.41.

Banda de frecvenţă ocupată de GP este 48 kHz. GP era folosit în sistemele de curenţi purtători cu 12 căi pe cablu simetric sau linie aeriană. În cazul sistemelor cu 24, 36, 48 sau 60 căi pe cablu simetric se foloseau variantele date în figura 6.41 notate ca A, B, C, D, E sau ca 1, 2, 3, 4, 5.

GRUPUL SECUNDAR (GS) - este format din cinci grupuri primare, conţinând deci 60 de canale şi ocupă o bandă de frecvenţe de 240 kHz (5 x 48 kHz).

Pentru formarea GS se translau mai întîi cele cinci grupuri primare în banda 312-552 kHz, formându-se astfel GS de bază (figura 6.41). Celelalte GS se obţin prin translaţia grupului GS de bază.

GRUPUL TERŢIAR (GT)– se compune din cinci GS, deci în total 300 de canale. GT de bază este situat în banda 812-2044 kHz (figura 6.40). GT se foloseau în sistemele cu mai mult de 16 GS.

GRUPUL CUATERNAR – conţine trei grupuri terţiare, adică 900 de canale telefonice şi se folosea în cazul sistemelor cu 2700 căi telefonice sau mai multe (figura 6.41).

VI.9 Probleme VI.1 Fie semnalul MA tftxmAty 02cos)](.1[)( π+= , cu x(t) un semnal modulator real, de bandă B.

a. În ce condiţii semnalul [ ] tfjetxmAty 021 )(.1)2/()( π+= reprezintă porţiunea din y(t) aflată în

domeniul frecvenţelor pozitive? b. Dacă sunt satisfăcute condiţiile de la punctul a, arătaţi că [ ]1( ) ( ) ( ) / 2y t A y t j y t= + , )(ty e

transformată Hilbert a lui y(t). VI.2 La intrarea circuitului din figura 6.42 se aplică un semnal x(t), de bandă limitată (B = 100 Hz) şi f = 1000Hz.

a. Deduceţi d.s.p. a semnalului de ieşire, pentru o anumită d.s.p. a semnalului de intrare. b. Găsiţi formula d.s.p. la ieşire în funcţie de cea de la intrare, dacă circuitul continuă la infinit.

VI.3 În figura 6.43 se prezintă schema bloc a unui sistem de măsurare a vitezei, bazat pe efectul Doppler (radar Doppler). Emiţătorul emite pe frecvenţa f0, iar semnalul reflectat de ţintă este pe frecvenţa f0 + fd . Aici fd este deviaţia Doppler, care este direct proporţională cu componenta radială a vitezei: 0(2 / ) cosdf f c v θ= , v este viteza ţintei, iar c viteza de propagare a luminii (aproximativ

egală cu cea a UEM). Cele două FTJ sunt identice şi au frecvenţa de tăiere fd < ft < f0 . Arătaţi că semnalul de ieşire y are ampitudinea direct proporţională cu v, iar semnul său depinde de sensul de mişcare al ţintei faţă de emiţător (apropiere sau depărtare).

Figura 6.42 Circuit de modulare

Capitolul VI

204

VI.4 În figura 6.44 este prezentată schema unui oscilator de bătăi BFO (beat frequency oscilator). a. Descrieţi funcţionarea sa. b. Comparaţi variaţia de frecvenţă relativă la purtătoare

în semnalul de ieşire y(t) şi cel de intrare, dacă frecvenţa f2 este constantă. VI.5 Fie semnalul modulator: 1 2 1 2 0( ) 5cos 2 9cos 2 [ ],x t f t f t V f f fπ π= + < < ,

aplicat unui modulator MA-BLU. Să se determine: )(tx – transformata Hilbert (TH) a lui x(t), ex-

presia semnalului MA-BLU (BLI, BLS), puterea livrată unei rezistenţe de 100 Ω, x – TH a lui )(tx . VI.6 Fie semnalul MA: tftxty 02cos).()( π= unde:

a. 0][2cos.5)( ffVtftx mm <<= π

b. 0][2cos.35)( ffVtftx mm <<+= π

c. x(t) este o undă rectangulară de frecvenţă fm şi amplitudine 1. 1. Să se determine amplitudinea şi frecvenţa componentelor sale spectrale în toate cele trei cazuri. 2. Să se determine puterea dezvoltată de purtătoare şi benzile laterale, în toate cele trei cazuri, când semnalul s(t) se aplică unei antene având rezistenţa Z = 100 Ω în vecinătatea lui f0. VI.7 Fie semnalul MA: tftfmAty m 02cos].2cos.1[)( ππ+= aplicat la bornele unui rezistor R.

a. Cât la sută din puterea totală disipată provine din purtătoare şi cât din benzile laterale? b. Dacă semnalul este MA-PS, de câte ori creşte bătaia legăturii radio faţă de cazul când se

utilizează semnalul MA clasic, cu aceeaşi putere radiată de 1 kW.

VI.8 Fie amplificatorul din figura 6.45. Între tensiunile u1 şi u2 există relaţia: 212112 uAuAu +=

pentru variaţii mici ale tensiunii de intrare. Dacă A1 = 10, şi A2/A1 = 0,05, a. Ce frecvenţe apar la ieşire? b. Cum se poate folosi circuitul ca dublor de frecvenţă? c. Să se determine raportul dintre amplitudinea armonicii a doua şi cea a fundamentalei.

VI.9 Fie semnalul tftxAty 02cos)].(1[)( π+= , ce trebuie translat pe frecvenţa fff Δ+= 00 ' , sub

forma: tftxAty '2cos)].(1'.[)(' 0π+= . Arataţi că un multiplicator ce realizează ftty Δπ2cos).(

îndeplineşte această cerinţă. Desenaţi schema bloc şi alegeţi FTB pe f0 + Δf. sau f0 - Δf .

Figura 6.44 Oscilator de bătăi BFO

Figura 6.45 Circuit neliniar

Figura 6.43 Sistem de determinare a vitezei bazat pe efectul Doppler

Comunicatii Cu Modulatie Liniara

Documents

Transcript of Comunicatii Cu Modulatie Liniara