Formarea competenţelor specifice la disciplina Informatica, cl XII. Calcul Numeric

Sergiu Corlat

Mulţumesc pentru atenţie!

Contact: scorlat@gmail.com

Compartimentele majore

Elemente de modelare Erori în calculul numeric Rezolvarea ecuaţiilor algebrice şi

transcendente Calculul determinanţilor, sisteme de

ecuaţii liniare Calculul integralei definite.

Modernizări

Axarea pe competenţe Evidenţierea componentei

algoritmice şi aplicative Apropierea de problemele reale Excluderea componentelor de

demonstraţie matematică / ecuaţii, sisteme, integrale /

Universalizarea instrumentelor de instruire

Elemente de modelare

aplicarea criteriilor de clasificare a modelelor

elaborarea modelelor matematice; motivarea importanţei modelării în

activitatea economică şi viaţa socială identificarea soluţiilor analitice şi soluţiilor

de simulare; selectarea tipului adecvat al soluţiei în

dependenţă de natura problemei; planificarea şi rezolvarea problemelor la

calculator;

Erori în calcul numeric

identificarea valorilor exacte şi a aproximărilor acestora;

determinarea erorii absolute şi a erorii relative;

evaluarea erorilor de calcul, generate de erorile datelor de intrare; / problemă, metodă

estimarea erorilor, generate de particularităţile reprezentării numerelor în calculator;

/ aproximare, rotunjire

Ecuaţii algebrice şi transcendente

utilizarea algoritmilor elementari pentru separarea soluţiilor pe un interval dat;

identificarea condiţiilor de aplicare a metodei bisecţiei (coardelor, Newton);

elaborarea într-un limbaj de programare de nivel înalt a programelor de calcul iterativ al soluţiei ecuaţiei algebrice sau transcendente prin metoda bisecţiei (coardelor, Newton);

alegerea metodei de rezolvare a ecuaţiilor algebrice şi transcendente (bisecţiei, coardelor, Newton) adecvate pentru o problemă dată;

Sisteme de ecuaţii liniare

elaborarea subprogramelor pentru calculul numeric al determinanţilor;

selectarea tehnicii de implementare a algoritmului;

elaborarea într-un limbaj de programare de nivel înalt, a subprogramelor pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare;

Calculul integralei definite

elaborarea programelor (subprogramelor) pentru calculul numeric al integralelor prin metoda dreptunghiurilor în funcţie de un număr de divizări, stabilit apriori;

identificarea problemelor, rezolvarea cărora se reduce la calculul unei integrale definite;

Etapele principale:

Descrierea metodei Formularea algoritmului Implementarea Verificarea rezultatelor Aplicarea metodei pentru probleme

din viaţa reală.

Resurse: (metode, algoritmi, implementări)

Resurse tipărite:

1. Corlat S., Ivanov L., Calcul numeric. Curs de lecţii la Informatică pentru clasa a XII-a. Chişinău, CCRE Presa, 2004.

2. Botoşanu M., Sacara A., Covalenco I., Zavadschi V. Informatică. Manual pentru clasa a 12-a. Epigraf, Chişinău, 2008.

Resurse web:www.slideshare.net , http://sites.google.com/site/labinfosc www.didactic.ro wikipedia.org

Resurse (rezolvări, verificări on line)

www.solvemymath.com www.mathway.com

calculatoare matematice online. Rezolvare ecuaţii, sisteme, determinanţi, calcul integrale, etc.

Exemplu: sisteme de ecuaţii liniare. Metoda Gauss

Descrierea metodei: exemplu, apoi generală: etapa directă (excluderea consecutivă a necunoscutelor), etapa inversă – formarea soluţiei după componente.

Algoritmul – rezultă direct din metodă Programul – nemijlocit din algoritm.

Tot setul de resurse pe http://www.slideshare.net/scorlat/metoda-gauss

Verificarea rezultatelor www.solvemymath.com

Problemă reală

Întreprinderea A produce trei tipuri de încălţăminte: adidaşi, pantofi, cizme. La producţia fiecărui produs se folosesc trei tipuri de materie primă: piele, cauciuc, stofă sintetică. Cantităţile necesare pe tipuri de produse şi livrările zilnice sunt date în tabel :

Să se determine volumul zilnic al producţiei pentru fiecare tip de produs, în condiţiile consumului integral al resurselor.

Norma de consum zi

Adidaşi Pantofi Cizme

Piele 5 3 4 2700

Cauciuc 2 1 1 800

Stofă 3 2 2 1600

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5 3 4 2700

2 900

3 2 2 1600

x x x

x x x

x x x

Producţia zilnică de adidaşi - x1 , de pantofi - x2

de cizme - x3

Se obţine sistemul:

Rezolvând, obţinem:adidaşi - 200pantofi - 300cizme - 200

Exemplu: (integrala definită)

Fie că cererea pentru o marfă este descrisă de curba D ( f(x) ), iar oferta producătorilor - de curba S ( g(x) ).Punctul (x0,p0) este punctul de echilibru al pieţii şi reprezintă preţul real al mărfii. Există consumatori, care sunt de acord să achite o sumă p>p0 pentru marfa procurată (la fel şi producători, care pot realiza marfa cu un preţ mai mic). Care este câștigul fiecărei categorii?Din schemă rezultă direct câştigul consumatorilor – aria zonei C, delimitată de curba D şi dreptele x=x0, p=p0. Deoarece figura reprezintă un trapez curbiliniu, pentru determinarea câştigului se pot folosi metodele de calcul ale integralei definite:

Din schemă rezultă direct câştigul consumatorilor – aria zonei C, delimitată de curba D şi dreptele x=0, x=x0, p=p0. Deoarece figura reprezintă un trapez curbiliniu, pentru determinarea câştigului se pot folosi metodele de calcul ale integralei definite:0

0 0

0

( )x

C f x dx p x La fel, câştigul producătorilor – aria zonei P, delimitată de curba S şi dreptele x=0, x=x0, p=p0.

0

0 0

0

( ) .x

P p x g x dx

Notă: de cele mai multe ori funcţiile f, g sunt descrise tabelar, ceea ce constituie un argument în plus pentru calculul numeric al integralei.

Problema ” Mere”

Cererea pe piaţa internă pentru merele din R. Moldova, este descrisă de funcţia

f(x)=116 –x2.

Oferta este descrisă de funcţia

g(x)=5/3 x +20.

Să se determine câștigurile producătorilor şi ale consumatorilor în condiţiile echilibrului pieţii.

Determinarea punctului de echilibru:

Calculul câştigurilor

21 2

0 0 0 0

5 32116 20 ; 9;

3 39; 35. 315.

x x x x

x p x p

0

0 0

0

( )x

C f x dx p x 0

0 0

0

( ) .x

P p x g x dx 67,5486

Studiul de caz în bază de problemă

Etapele ciclului de învăţare în SCBP

Etapa 1. Studiul situaţiei: analiza situaţiei generale şi identificarea situaţiei problematice.

Etapa 2. Analiza problemei: De la ipoteze, prin întrebări: Ce cunosc? Ce pot să presupun? Ce întrebări apar? De ce resurse am nevoie?

Etapa 3. Cercetarea domeniului: Căutarea şi selectarea informaţiilor de perspectivă din domeniu, relevante pentru rezolvarea problemei.

Etapa 4. Dezvoltarea resurselor: Identificarea resurselor pentru buna soluţionare a problemei

Etapa 5. Repere de testare: analiza critică, evaluarea ipotezelor, posibila reformulare a concluziilor. Determinarea soluţiilor optime.

Etapa 6. Propuneri: Prezentarea soluţiei. Dezvoltarea problemei.

Studiu de caz: algoritmii de calcul a determinanţilor numerici

Realizarea algoritmilor de calcul Integrarea în cadrul unui program

Lansarea pe seturi identice de date Compararea rezultatelor Determinarea procentului de

diferenţe

Stabilirea calitativă a diferenţelor Explicarea cauzelor diferenţelor de

rezultat

Învăţarea în bază de proiect:

Elevii se angajează în rezolvarea problemelor complexe din lumea reală; dacă este posibil, selectează sau definesc probleme semnificative pentru ei.

Implică elevii în activităţi de cercetare, crează abilităţi de planificare, dezvoltă gândirea critică, şi de rezolvare a problemelor - crează competenţe pentru finalizarea proiectului

Crează aptitudini / standarde specifice şi cunoştinţe în contexul activităţilor realizate în proiect

Facilitează învăţarea şi aplicarea abilităţilor de comunicare interpersonală, lucru în echipă.

Permite elevilor utilizarea practică a unei game de competenţe necesare pentru dezvoltarea profesională şi carieră (planificarea timpului / resurselor; responsabilitatea individuală etc)

Include perspective de atingere a finalităţilor de studii (referite le curricula) stabilite la începutul proiectului.

Incorporează activităţi de reflecţie ale elevilor pentru analiza critică a experienţelor în cadrul proiectului şi de corelare a experienţelor la standardele specifice de învăţare

Finalizează cu o prezentare sau un produs care să demonstreze realizarea sarcinilor de învăţare.

Etape dezvoltare proiect

1

•Determinare problemă reală

•Formare echipă. Stabilire roluri.

•Analiza problemei. Stabilirea planului de acţiuni.

2

•Activităţi comune în funcţie de rol

•Activităţi de coordonare

3•Preze

ntare produs final.

Mon

itoriza

re p

rofe

sor (g

rup

de

pro

fesori)

Model proiect

Aplicaţii interactive (regim grafic / text) pentru cercetarea modelelor sistemelor mecanice.

Combinarea metodelor tangentelor şi coardelor pentru rezolvarea ecuaţiilor algebrice şi transcendente