CLASE DE MODELE - continuare parametri constanti. 2.pdf · 19.02.2016 2 Pentru sistemelor cu...
Transcript of CLASE DE MODELE - continuare parametri constanti. 2.pdf · 19.02.2016 2 Pentru sistemelor cu...
19.02.2016
1
În cazul sistemelor dinamice liniare invariante in timp utilizarea modelele
intrare-iesire permite aplicarea avantajoasă a transformarilor integrale
Laplace si Fourier.
4. Modele invariante si variante in timp
Modelele invariante in timp au parametri constanti. Modelele
sistemelor variante in timp necesita metode speciale de identificare
recurgând la algoritmi de estimare in timp real a parametrilor.
5. Modele discrete în timp si modele in timp continuu
Modelele continue sunt mai putin manevrabile din punct de vedere numeric decât modelele discrete. Procesele industriale sunt in
majoritate continue. Un sistem discret trebuie considerat in general ca o
aproximaţie a unui sistem continuu.
6. Modele in domeniul timp si in domeniul frecventelor
Modele in domeniul timp sunt: ecuatii diferentiale in timp
continuu, ecuatii cu diferente in timp discret.
CLASE DE MODELE - continuare
Modele in domeniul frecventelor sunt functiile de transfer si caracteristicile de frecventa.
7. Modele deterministe si modele stocastice
Pentru un model determinist marimea de iesire poate fi
calculata exact cât timp marimea de intrare este un semnal
cunoscut.
Un model stocastic contine termeni care fac imposibil
calculul exact al marimii de iesire; acesti termeni constituie
descrieri ale perturbatiilor.
Prin exploatarea proprietatilor sistemelor stocastice se pot
obtine strategii de control care sa minimizeze actiunea
perturbaţiilor. 8. Modele cu parametri concentrati si modele cu parametri
distribuiti
Modelele sistemelor cu parametri concentrati sunt
constituite din sisteme cu numar finit de ecuatii
diferentialeordinare.
19.02.2016
2
Pentru sistemelor cu parametri distribuiti corespund
modele care contin fie un numar infinit de ecuatii
diferentiale ordinare fie un numar finit de ecuatii cu derivate
partiale.
9. Modele cu o singura intrare, o singura iesire
(SISO) si modele multivariabile (MIMO)
Sistemele multivariabile pot avea mai multe intrari si
o singura iesire (MISO) sau mai multe intrari si mai multe
iesiri (MIMO).
Procesele industriale sunt in marea lor majoritate neliniare;
dar in multe cazuri intereseaza comportarea dinamica la
mici variatii in jurul unui punct static de functionare,
situatie in care un model liniar poate aproxima suficient de
bine comportarea procesului real.
2.2. Modele ale sistemelor monovariabile
2.2.1. Modele intrare - iesire deterministe pentru
sisteme monovariabile continue
Pentru un sistem dinamic liniar monovariabil, invariant în
timp, cu parametri concentraţi cu marimea de intrare u(t) si
marimea de iesire y(t), prezentat în fig. 2.1, comportarea
dinamica in timp continuu este descrisa de ecuatia
diferentiala cu coeficienti constanti, care face parte din
clasa de modele (M1)
)()( )(
0
)(
0
tubtyaj
m
jj
in
ii
(M1)
(2.7)
)()()()( tupQtypP sau
)(
)(
td
dp
p - este operatorul de derivare, iar Q si P sunt polinoame
prime intre ele, de forma
19.02.2016
3
1a ;.........)(
.........)(
001
01
apapapP
bpbpbpQ
nn
mm
(2.8)
Modelul corespunde unui sistem fizic realizabil daca m < n;
sistemul este stabil daca radacinile ecuatiei caracteristice
P(p) = 0 sunt in semiplanul Re(s) < 0 al planului complex s.
Modelul (2.7) este parametric pentru ca este descris prin
intermediul vectorului parametrilor , ce contine coeficientii
ecuatiei diferentiale:
Tmn bbbaaa ] ... ... [ 1021 (2.9)
Pentru solutionarea ecuatiei (2.7) este necesara cunoasterea
intrarii u(t), a conditiilor initiale y(0), y(i)(0), )1(,1 ni
precum si parametrii concentrati in vectorul .
Gradele polinoamelor P si Q se numesc indici de structura
şi determină dimensiunea vectorului .
Comportarea dinamica a unui sistem liniar poate fi descrisa
cu ajutorul functiei raspuns la impuls (functia pondere), h(t).
Stiind h(t) , pentru o marime de intrare u(t) oarecare, marimea
de iesire y(t) se determina cu integrala de convolutie, care
defineşte clasa de modele (M2)
0,)()()()()(0
dtuhduthtyt
(M2) (2.10)
Modelul (M2) constituie un model neparametric care este
complet specificat daca se cunosc valorile functiei pondere h(t).
Deoarece timpul este continuu, modelul este infinit
dimensional, pentru că necesita precizarea unei infinitati de
valori ale functiei pondere. Pentru un sistem asimptotic
stabil 0)(lim th
t
19.02.2016
4
Aplicând transformata Laplace, pentru conditii initiale nule, din
ecuatia (2.7) se obtine functia de transfer, ce aparţine clasei
de modele (M3) :
)(
)(
)(
)()(
0
0
sP
sQ
sa
sb
tuL
tyLsH
n
i
ii
m
j
jj
(M3) (2.11)
care este modelul parametric in domeniul frecventelor pentru
un sistem liniar monovariabil (SISO). Functia de transfer este o
fractie rationala care poate fi pusa in diferite forme:
)1(
)1(
)1()(
)1()(
)(
)(
)(
1
1
11
11
1
1
i
n
i
j
m
j
i
n
ii
n
i
j
m
jj
m
jm
i
n
i
j
m
jm
sT
s
k
sTpa
szb
psa
zsb
sH
nn
(2.12)
unde zj si pi sunt zerourile si respectiv polii functiei de transfer,
iar k este factorul de amplificare, j
şi Ti sunt constante de timp
Relatia (2.12) se obtine in ipoteza ca toti polii si zerourile sunt reali.
În reprezentarea prin functii de transfer timpul mort Tm se
pune in evidenta prin multiplicarea cu exponentiala msTe
msTesP
sQsH
)(
)()(
(2.13)
În mediul de programare MATLAB funcţia de transfer H(s)
din relaţia (2.11) se defineşte numai prin coeficienţii
polinoamelor numărătorului şi numitorului, care sunt
componentele vectorilor notaţi, de obicei, cu num pentru
numărător, respectiv den pentru numitor
(2.14)
Trecerea de la funcţia de transfer - funcţie raţională, relaţia
(2.11), la forma poli-zerouri, relaţia (2.12), se obţine
cu instrucţiunea tf2zp din MATLAB
]1 ... [
] ... [
121
011
aaaaden
bbbbnum
nn
mm
19.02.2016
5
),(2],,[ dennumzptfkpz (2.15)
unde z,p sunt vectori ai căror componente sunt zerourile
mjz j ,1, , respectiv polii nipi ,1, ai funcţiei de transfer şi
k este factorul de amplificare.
De la forma poli-zerouri (2.15) se poate trece la forma raţională
cu instrucţiunea zp2tf.
),,(2],[ kpztfzpdennum (2.16)
Transformata Fourier a functiei pondere h(t) reprezinta
raspunsul la frecventă H(j) al sistemului liniar monovariabil
continuu in timp si este modelul neparametric in domeniul
frecventelor, ce aparţine clase de modele (M4)
)]([)( thFjH (M4) (2.17)
Raspunsul la frecventa se poate obtine si din functia de
transfer H(s) inlocuind s = j
)()(arg
0
0 )()((
)(
)(
)(
jjHj
ii
n
i
kk
m
k eMejH
ja
jb
jH
(2.18)
Raspunsul la frecventa este echivalent cu caracteristicile
de frecventa.
)(arg)(
)()()(
jH
jHAM
(2.19)
unde : M(ω) este modulul răspunsului la frecvenţă, φ(ω)
este faza răspunsului la frecvenţă.
În coordonate logaritmice se obţin caracteristicile
logaritmice de frecvenţă sau diagrama Bode, ce constituie
tot un model neparametric din clasa de modele (M5).
19.02.2016
6
)(arg)(
)(lg20)(lg20)(
jH
jHMAdB
(M5) (2.20)
În MATLAB, funcţiile nyquist şi bode permit determinarea
răspunsului la frecvenţă al unui sistem liniar continuu
reprezentat prin funcţia de transfer sau prin ecuaţiile intrare-
stare-ieşire. Partea reală HR(ω) şi partea imaginară HI(ω) a
răspunsului la frecvenţă se obţin cu instrucţiunea nyquist
),,(],[ dennumnyquistHH IR (2.21)
unde num, den sunt vectorii coeficienţilor numărătorului şi
numitorului funcţiei de transfer H(s) ; ω este vectorul
frecvenţelor în care este calculat răspunsul la frecvenţă.
Cu instrucţiunea bode se pot determina modulul M()=mod şi
faza () = faz
),,(][mod, dennumbodefaz (2.22)
2.2.2. Modele intrare-ieşire deterministe pentru
sisteme monovariabile discrete in timp
Daca in ecuatia (2.7) se inlocuiesc derivatele marimilor de
iesire y(t) si de intrare u(t) prin rapoartele dintre cresterile
functiilor si cresterea timpului, considerata egala cu perioada
de esantionare T a semnalelor:
)]()1(...)()([1
)(
)]()1(...)()([1
)(.
)]2()(2)([1)()(
)(
)()()(
1)(
1)(
2
)1()1()2(
)1(
jTtuCTtuCtuT
tu
iTtyCTtyCtyT
ty
TtyTtytyTT
Ttytyty
T
Ttytyty
jj
jjj
j
iii
ii
i
(2.23)
se obţine ecuaţia cu diferenţe
19.02.2016
7
1a );()(...)(
)()(...))1(()(
001
011
tubTtubmTtub
tyaTtyaTntyanTtya
m
nn
(2.24)
tkT
kT
T
t
Timpul t ia valori discrete : t = 0; T; 2T; kT. Dacă se
foloseşte “timpul normalizat”
(adică timpul real împărţit la perioada de eşantionare T,
atunci t sau k vor lua valori în mulţimea numerelor
întregi : t=k =0, 1, 2….
Se introduce operatorul de întârziere cu un pas q-1;
astfel se pot utiliza notaţiile :
)()()()(
)()()()(
)1()1()()(1
ikyityiTtytyq
jkujtujTtutuq
kutuTtutuq
noti
notj
not
(2.25)
Notând n = na şi m = nb, ţinând seama de notaţiile de mai
sus, ecuaţia cu diferenţe (2.23) se scrie în forma
)()(....)()(
)()(....)()(
01
1)1(
1
01
1)1(
1
kubkuqbkuqbkuqb
kyakyqakyqakyqa
nbnb
nbnb
nana
nana
(2.26)
sau în forma compactă
)()()()( 11 kuqBkyqA (M6) (2.27)
nbnb
nbnb
nana
nana
qaqbqbbqB
qaqaqaqA
)1(1
110
1
)1(1
11
1
....)(
....1)((2.28)
nbnb
nana
bbbbB
aaaaA
.......
] ... 1[
110
121
(2.29)
19.02.2016
8
Ecuaţiile (2.23), (2.26), (2.27) sunt forme generale pentru un
model discret liniar al unui sistem dinamic monovariabil, din
clasa de modele (M6).
La un sistem stabil rădăcinile polinomului A(q-1) trebuie
să fie în exteriorul cercului cu centrul în origine de rază
unitară din planul z.
Sistemul (2.27) este de fază minimă dacă polinomul B(q-1)
are toate zerourile în exteriorul cercului de rază unitară din
planul z , fig.2.3.
Dacă în comportarea sistemului intervine şi timpul mort Tm
= niT, atunci ecuaţia (2.27) devine
)()()()( 11 kuqBqkyqA ni (2.30)
Dacă se consideră timpul mort egal cu unitatea, ni =1,
atunci se poate considera b0 = 0, în ecuaţia (2.27)
nbnbqbqbqbqB ....)( 2
21
11
(2.31)
Im(z)
Planul z
Re(z)
1
0
Fig. 2.3
Această presupunere nu este restrictivă, singurul ei scop
fiind simplificarea notaţiilor. Astfel, dacă timpul mort al
sistemului este Tm =niT, atunci prin simplă translare a mărimii
de intrare:
u(t – Tm) u(t – T) u(t –niT) u(t – T)
u(t –niT) u (k – 1) u(k –ni) u( k – 1)
se obţine un model de forma (2.27) cu polinomul B(q-1)
de forma (2.31).
19.02.2016
9
Modelul cu diferenţe este specificat dacă se cunosc indicii
de structură (na, nb), timpul mort ( dat de numărul ni de
intervale de eşantionare care întârzie acţiunea intrării) şi
condiţiile iniţiale şi este complet specificat dacă se cunosc
parametrii cuprinşi în vectorul T
nbna bbbaaa ] .... .... [ 2 121
Considerând modelul (M6), (2.27), acesta poate avea forme
particulare şi anume :
1.A(q-1) y(k) =q-niu(k) – model autoregresiv (AR);
2. y(k) = q-ni B(q-1)u(k) – model de medie alunecătoare (MA);
Forma generală (2.27) este de fapt un model autoregresiv şi
de medie alunecătoare (ARMA).
Denumirea de model autoregresiv provine din faptul că y(k)
este o combinaţie în care intră valorile anterioare ale mărimii
de ieşire y(k – 1), y(k – 2)…,iar cea de medie alunecătoare
din faptul că ieşirea este o medie ponderată alunecătoare a intrării la momente de timp anterioare
Considerând condiţii iniţiale nule şi aplicând proprietăţile
transformatei Z
)2()1()()2(
)1()()1(
)()()(
12
1
0
fzfzFzkfZ
fzFzkfZ
zkfkfZzF k
k
din ecuaţia cu diferenţe (2.27) se obţine funcţia de transfer
discretă, care face parte din clasa de modele (M7)
a
b
n
i
ii
n
j
jj
za
zb
kuZ
kyZzH
0
01
)}({
)}({)((M7) (2.32)
19.02.2016
10
În acest caz, secvenţa de ponderare poate fi interpretată
ca fiind transformata Z inversă a funcţiei de transfer
discrete )]([)( 11
zHZkh (2.33)
h(k) este răspunsul sistemului la impulsul unitar discret
0 1
0 0)(
k
kk (2.34)
Ţinând seama de operatorul de întârziere q-1, din ecuaţia
(2.27) se poate explicita y(k) (pentru b0=0 n i = 1)
)(....)2()1(
)(....)2()1()(
21
21
nbkubkubkub
nakyakyakyaky
nb
na
(2.35)
Se definesc vectorii :
T
Tnbna
nbkukunakykyk
bbbaaa
)]( ... )1( )( ... )1([)(
] ... ... [ 2121
(2.36)
Ecuaţia (2.35) se poate scrie atunci
)()( kky T (2.37)
Un model de forma (2.37) în care y(k) este o cantitate
măsurabilă (ieşirea din procesul tehnologic), (k) este un
vector n dimensional ale cărui elemente sunt cunoscute, iar
este un set de mărimi necunoscute (parametri), este un
model de regresie liniară [24], [28], [73]. Elementele vectorului
(k) sunt denumite variabile de regresie (sau regresori) iar
y(k) se numeşte variabilă regresată.
În cazurile de mai sus variabila k înseamnă timpul, dar în
cazul general poate avea şi alte semnificaţii. Exemple de modele de regresie
Exemplul 2.2. Modelarea răspunsului indicial w(t) al unui
sistem continuu ca o combinaţie de exponenţiale este un model
de regresie:
19.02.2016
11
)(.....)()( 21
21 teCeCeCtytw Ttn
tt n
)(.....)()( 21
21 teCeCeCtytw Ttn
tt n
unde Exemplul 2.3 Modelul (M2), integrala de convoluţie,
pentru sisteme continue în timp, relaţia (2.10), devine în
domeniul timpului discret suma de convoluţie, care
aparţine clasei de modele (M8) :
)()()()()(0
ikuihiuikhkyk
oii
(2.38) (M8)
în care h(k), k= 0,1 …este secvenţa de ponderare.
Pentru sisteme asimptotic stabile 0)(lim kh
k
si secvenţa de ponderare poate fi trunchiată la un
număr finit N de termeni. Notând
T
T
Nkukukuk
Nhhh
)1( ..... )1( )()(
)1( ... )1( )0(
)()( kky Tse obţine deci tot un model de regresie liniară
Observaţie : Vectorul în cazul unui model de regresie poate
reprezenta fie parametrii, ca în cazul modelului (M6), fie valori ale
funcţiei pondere discrete, ca în cazul modelului (M8).
2.2.3. Modele stocastice ale sistemelor monovariabile
În numeroase probleme, semnalele aplicate unor sisteme
(procese) tehnologice industriale sunt formate din două
componente: una de comandă, u(t) şi una perturbatoare
v(t), fig.2.4 v(t)
y(t)
Sistem
u(t)
+
+ y(t)
v(t)
u(t)
S1 S2
+
+
a. b.
Fig. 2.4
Componenta aleatoare v(t) poate acţiona oriunde în sistem ,
ca în fig.2.4.a; în virtutea liniarităţii perturbaţia v(t) este
transferată la ieşire, fig.2.4.b.
19.02.2016
12
În cazul în care perturbaţia v(t) (zgomotul) influenţează
puţin mărimea de ieşire y(t) (raport zgomot/semnal
nesemnificativ), aceasta poate fi ignorată în controlul
procesului tehnologic; atunci când performanţele impuse
mărimii de ieşire sunt de nivel ridicat trebuie luată în
considerare şi calea prin care se propagă perturbaţia spre
ieşire, deci este necesar şi modelul matematic al căii de
zgomot.
În acest caz evoluţia mărimii de ieşire poate fi determinată
dacă se cunosc modelele celor două căi (de control şi de
zgomot), semnalul de intrare u(t) şi caracteristicile statistice
ale zgomotului v(t).
1.Proprietăţile statistice ale semnalelor aleatoare
•Densitatea de probabilitate şi funcţia de repartiţie
Pentru un semnal aleator x(t), fig.2.5.a, se numeşte
densitate de probabilitate si se noteaza