Clase de grupuri si subgrupuri Autor: prof. Frecus Viorica...

5
Clase de grupuri si subgrupuri Autor: prof. Frecus Viorica, C.N.M.B.Constanta Consideratii generale Fie G un grup. Admitem cunoscute urmatoarele afirmatii: 1. DacaG este grup finit de ordin n, at:unci pentru oricex din G, xn =1, 1 fiind elementul neutru al grupului. 2. Daca G este grup cu ordinul egal cu 2p, p prim impar, atunci exista un element de ordin 2 si exista un element de ordinp. 3.Dacax, y suntelemente arbitrare din G, atunci ord(xy):ord(yx). 4.DacaG areordinuln, attncipentru orice m natural ord (x'\--- !- ' (*,n)' 5. Daca x, y din G au ord(x):m, ord(y):n, (m,n):I si xy--yxatunci ord(xy):mn. 6. Teorema lui Lagrange: Pentru oricegrup G finit si llsubgrup al sau avemca ordinul lui lldivide ordinullui G. 7. Teorema fundamentala de izomorfism:Daca G, K grupuri sif:G -> K morfism de grupuri, atunci G/Ker f esteizomorf cu Im f. l. Grupuri de permutari Fie M o multime nevida. Notam S(M) multimea tuturor functiilor/ bijective "fM -> M. Aceasta multime impreuna cu operatia de compunere formeaza un grup numit grupul simetricpe multimea M sau grupul permutarilor lui M. Propozitia I : Daca intre M si M' exista o bijectie, atuncigrupurileS(M) si S(M') suntizomorfe. . Demonstratie: Fief: M -> M bijectiesi fie F. S(M) -> S(M'), F(x)= f r f-'. F este morfism de grupurisi in plus este bijectiva. Admitem fara demonstratie teorema lui Cayley:Orice grup G esteizomorf cu un grup de permutari pe multimea G (adicaesteizomorf cu un subgrup al grupului S(G)). Daca M contine n elemente,grupul sau de permutari se noteaza ,S, si se numestegrupul de permutari de grad n. Observatia 1: Fie l<m<n T :5. y(i) : x(i), dacai:1,2, ..., m siy(i) : i, daca i>m-ll . T estemorfism injectiv de grupuri, deoarece Ker T : {e}, iar din teorema de izomorfism ,S, este izomorf cu Im(T) deci ,S, este privit ca un subgrup al lui ,S, si anume cu acele permutaricarelasainvariante numerele mIl . .... n. Propozitia 2: Fie n >2elN si €.'Sn -> {-1, +f, semnul permutarii.Atunci S,lKere este izomorfcu {-1, +l}iar Kerf este An, permutarilepare si An are + elemente. L Vom introduce permutarile ciclice. Fie o€S, . Pe {1, 2, ..., n} definim i-"i daca si numaidaca exista ft intregcu oo 1t1= i. Aceasta este o relatie de echivalenta: 1) i-oiee\i)=t' 2) i-" j+ j -,i deoarece daca i:s,k1;7 atunci i=o-k(i).

Transcript of Clase de grupuri si subgrupuri Autor: prof. Frecus Viorica...

Page 1: Clase de grupuri si subgrupuri Autor: prof. Frecus Viorica ...math.univ-ovidius.ro/Doc/Admitere/CentruPregatire/2006/mate/14_Clase_de_grupuri.pdf · Evident, D,={l , simetria

Clase de grupuri si subgrupuri

Autor: prof. Frecus Viorica, C.N.M.B. Constanta

Consideratii generale

Fie G un grup. Admitem cunoscute urmatoarele afirmatii:1. Daca G este grup finit de ordin n, at:unci pentru orice x din G, xn =1, 1 fiind elementul neutru algrupului.2. Daca G este grup cu ordinul egal cu 2p, p prim impar, atunci exista un element de ordin 2 siexista un element de ordinp.3.Dacax, y sunt elemente arbitrare din G, atunci ord(xy):ord(yx).

4.DacaG are ordinul n, attncipentru orice m natural ord (x'\--- !-' ( * , n ) '

5. Daca x, y din G au ord(x):m, ord(y):n, (m,n):I si xy--yx atunci ord(xy):mn.6. Teorema lui Lagrange: Pentru orice grup G finit si llsubgrup al sau avem ca ordinul lui lldivideordinul lui G.7. Teorema fundamentala de izomorfism: Daca G, K grupuri sif:G -> K morfism de grupuri, atunciG/Ker f este izomorf cu Im f.

l. Grupuri de permutari

Fie M o multime nevida. Notam S(M) multimea tuturor functiilor/ bijective "fM -> M. Aceastamultime impreuna cu operatia de compunere formeaza un grup numit grupul simetric pe multimeaM sau grupul permutarilor lui M.

Propozitia I : Daca intre M si M' exista o bijectie, atunci grupurile S(M) si S(M') sunt izomorfe. .Demonstratie: Fief: M -> M bijectie si fie F. S(M) -> S(M'), F(x)= f r f-'. F este morfism degrupuri si in plus este bijectiva.

Admitem fara demonstratie teorema lui Cayley: Orice grup G este izomorf cu un grup de permutaripe multimea G (adica este izomorf cu un subgrup al grupului S(G)).

Daca M contine n elemente, grupul sau de permutari se noteaza ,S, si se numeste grupul depermutari de grad n.

Observatia 1: Fie l<m<n T :5.y(i) : x(i), daca i:1,2, ..., m siy(i) : i, daca i>m-ll . T este morfism injectiv de grupuri,

deoarece Ker T : {e}, iar din teorema de izomorfism ,S, este izomorf cu Im(T) deci ,S, esteprivit ca un subgrup al lui ,S, si anume cu acele permutari care lasa invariante numerelemI l . . . . . n .

Propozitia 2: Fie n >2elN si €.'Sn -> {-1, +f, semnul permutarii. Atunci S,lKere este

izomorf cu {-1, +l}iar Kerf este An, permutarilepare si An are + elemente.L

Vom introduce permutarile ciclice. Fie o€S, . Pe {1, 2, ..., n} definim i-"i daca si numai dacaexista ft intreg cu oo 1t1= i. Aceasta este o relatie de echivalenta:1 ) i - o i e e \ i ) = t '

2) i-" j+ j -, i deoarece daca i:s,k1;7 atunci i=o-k(i).

Page 2: Clase de grupuri si subgrupuri Autor: prof. Frecus Viorica ...math.univ-ovidius.ro/Doc/Admitere/CentruPregatire/2006/mate/14_Clase_de_grupuri.pdf · Evident, D,={l , simetria

3) i-" j t i j -"1 atunci i- ,1 deoarece daca j=oo(i) si t=oo(i) atunci l=oo*o (i).

Clasele de echivalenta din {1, 2, ...,nf se numesc orbitele lui a.O orbita se numeste netriviala daca are cel putin doua elemente.

Definitie: c se numeste ciclu sau permutare ciclica daca si numai daca are o singura orbitanetriviala.

Definitie: Daca o este un ciclu si orbita sa netriviala are cardinalul / atunci / se numeste lungimeaciclului.

Ex.I : Oice transpozitie este ciclu de lungime 2.Solutie: Intr-adevar daca (ij) este o transpozitie si k+i si k+ j atunci k:lkl (trivial) deci

i= i =lyi, ij si transpozitia are o singura orbita netriviala de lungime 2. Apoi, orice ciclu delungime 2 este o transpozitie, evident.

Fie acum o ciclu din ,S, si oo orbita sa netriviala.Daca i nu este in orbita, atunci o(l):i iar daca i0 este in oo atunci o,:?o=lj,i -,i]. Fie

(" ) grupulgeneratde u in ,S, ad ica (o) : {e ,o,a2, . . . ,o*- ' } undelaeste ord(o) .

Ex.2: lncondi t i i le de mai sus ok( i )+ot ( to) pentru or ice k+1,0<k, l<m-1.

Solutie: Fie k<1. Daca ok(io;=6/1,'01 atunci o'-o1io\=io Daca i nu este in orbita sa, atunci

o'-o 1i1=i iar dacai este in orbita atunci i:oo (io), p intreg deci

o'-o(i1=6'-o(oo(ir))=oo(o'-o(io)):oo(io)=i, adica o/-r estepermutareaidentica, ofi l-k<m : o r d ( o ) .

Ex. 3: Fie o ciclu din ,S, si oo orbita sa netriviala. io un element din oo iar m:ord( o ).Atunci orbita este oo:{io.o ( io),. . . , o'-t( io)J.

Solutie; Observam ca o":fok(i),keZ]. Aratam ca ooc{io.o(io;,. . . ,o'-t( i)} pentru ca

restul rezulta din Ex.l. Fie deci ieoo. Atunci i-oio deci i=o"(io). Dar o"e(o) deci

o ' - o ' c u 0 < r < m - 1 .

Fieacum o ciclu.Atunci ord(o) : lungime( o ):m.Deci o poatefiscrisa:/ . \( 1 6 , 1 1 , . , , , 1 - - t ) ,

Definitie: Doua cicluri se numesc disjuncte daca orbitele lor netriviale sunt disjuncte.

Propozitia 3: Daca 2 cicluri din ,S, sunt disjuncte, atunci ele comuta.Demonstratie: Fie ie.{1,2,...,n1. Daca i nu este in orbita nici unuia, atunci relatia este evidenta.Fie acum ieooUo, si fie i in oo. (nu poate fi in amandoua deoarece sunt disjuncte). Atunci

q ( ( i ) = o ( e ( , ) ) : o ( i ) i a r ( o ( i ) : ( ( o ( ; ) ) : o ( ; )

Admitem fara demonstratie urmatoareaTeorema: Orice permutare o din ,S, diferita de e se descompune in produs finit de cicluridisjuncte in mod unic, abstractie facand de ordinea factorilor.Consecinta: Oricecicluesteprodusdetranspozit i i . Intr-adevar,daca o:( i1, i1,.. . , i^-r) atunci:

o : ( i o , i - - r ) ( i o , i , - r ) . . . ( i o , i ) ( i o , i ) .Ex. 4: Fie ,Sn grupul permutarilor de grad n si p este prim cup nu divide n.Daca (ro=e atuncie x i s t a a e { | . 2 , . . . . n } c u o ( a ) = q .

Page 3: Clase de grupuri si subgrupuri Autor: prof. Frecus Viorica ...math.univ-ovidius.ro/Doc/Admitere/CentruPregatire/2006/mate/14_Clase_de_grupuri.pdf · Evident, D,={l , simetria

Solutie: Din teorema o:o 1cz...ot, cicluri disjuncte care comuta intre ele. Atunci oP=e deci

op1...o{=s . Daca exista un i intre I si t cu o!+e, atunci exista xe{1,2,.. . , r} cu

o!(x)+x deci x apartine orbitei ciclului oi. Cum orbitele sunt disjuncte,

crl(x)=...:o!-r(x)=s,f*1(x)=...- of.a?)= x deoarece x nu apartine orbitelor celorlalti cicli.

x :e(x)=oor . . .o ! - rc !* t . . .o l (x) :o ! (x)+x Contradic t ie , dec i o f :ooz. . .=o!=e. Pr in urmare

ordinele lui o1,...,o, sunt divizori ailui p. Atunci sunt cicli de lungimep. Reuniunea orbiteloreste o multime cu pt elemente inclusa in {I,z,...,nJ. Reuniunea orbitelor este formata dinelementele neinvariate de o . pt*n deci exista elemente invariate de c adica o(a): s.

Ex. 5: Sa se demonstreze ca nu exista n >$r astfel incat a':e, V oe Sn.

Solutie: Daca n impar atunci pentru orice transpozitie e avem C' + e. Daca n par atunci n:2p.

Fie o uncicludelungime 2p-l,atunci o2p:o+e.

Grupuri diedrale

Fie fplanul euclidian.Definitie: e: E2

Y x,Y eE' , a@(x) ,E(Y))=d(x,Y) , unde deste d is tanta d int re 2 puncte.

Observatie: Este suficient ca A sa fie surjectiva.Definitie: Izom(E2) : { E: E'Observatie: Izom(4z) este subgrup al grupului ^S(E') al permutarilor lui E2 .Fie n>3 natural si P n un poligon regulat cu n latwi din planul E2 . Notam:

D, : { EeIzom(E2) cu e(P,) :P, } .Teorema: O izometrie Z cu proprietatea T(4:A, T(B):8, T(C):C unde A, .8, C sunt punctenecoliniare din plan este transforrnarea identica.Demonstrafre: Folosim congruente de triunghiuri.Consecinta.' Daca T si U sunt doua izometrii si A, B, C sunt puncte necoliniare cu T(A):U(A),T(B):U(B), TG):U(C), atunci T:U.Deci o izometrie este perfect definita daca stim imaginile a 3 puncte necoliniare din plan.Definitie: D, se numeste grupul diedral de grad n. Descriem elementele lui D, . Fie O centrulpoligonului,(C).centrulcerculuicircumscrispoligonului,/razasasi 1r,A2,... ,A, varfuri lesale.

4 d(A, ,O)=r ,Y ie ln ; daca a es te o izometrie din D, atunci Q(P n)= P n,d(A ,O)< r , d (EQ4, q (0 ) )< r . A tunc i cp (0 ) :0 s i E (A , )e {A ' ,A r , . . . ,An } ad i ca a

transforma varfurile lui P, tot in varfuri. Prin urmare rP induce o permutare @ definita peDn cu valori in ,Sn este un morfism de grupuri. Cum orice izometrie este unic determinata de

imaginile a 3 puncte necoliniare (de exemplu Ar,A2,A3 ) atunci morfismul este injectiv. Asadargrupul D, sepoatescufundaingrupuldepermutari ,S,. Daca Pn esteregulat cunlaturisineste par atunci o dreapta care trece prin mijloacele a doua laturi opuse este axa de simetrie, iar dacan este impar atunci o dreapta care trece printr-un varf si mijlocul laturii opuse este axa de simetrie alui Pn.

Observam ca rotatia O: O+ in jurul lui O si simetria e fata de una din axele de simetrie ale lui

P, sunt elemente ale lui Dn. Obtinem 2n elemente distincte:

T r P , P2"" , Pn-' , € , P € , P' e , " ' P"- ' € '

I ,p,p2'.. . ,p"- ' sunt rotati i in jurul lui O iar €,p€,ptr,. . .p"- 'e sunt simetri i fata de axele de

simetrie ale lui P n. Vom arata ca D,={l,q , p' ' . . . , pn-l , €, p€ , p2 € ,. . . p"- ' e} .O izometrie permuta intre ele varfurile deci pentru a defini un QeD, exista n posibilitati pentru

A@). Atunci AU) are numai doua posibilitati si anume varfurile adiancente lui

/"r*4/

ryo

4 ,o 0{t,"/friflt=

) -

&.{ rc 4(/,0f .a,,t- /# fre P.o// YP) ,0A= (1 O"l ^ b,4h Q- P"o

Page 4: Clase de grupuri si subgrupuri Autor: prof. Frecus Viorica ...math.univ-ovidius.ro/Doc/Admitere/CentruPregatire/2006/mate/14_Clase_de_grupuri.pdf · Evident, D,={l , simetria

E(A)=A, deoarece d(E(Ar),EU)) este egala cu latura iar distanta dintre doua varfurineadiacente este mai mare ca latura. Apoi izometria este unic determinata de imaginile a 3 punctenecoliniare deci A esteirnic determinata daca stim AQr),AU) iar <p(0)=0. prin urrnare

D, nupoa teaveama imu l tde 2ne lemen tead ica D ,= { l , p ,p2 ' . . . , pn - t , e ,pe ,p2e , . . . p " - re } cup" = l , en=l iar gp E pn- t e .

Ex. l : Dr-Sr.Ex. 2: Sa se demonstreze ca grupul transformarilor unui dreptunghi care nusi este izomorf cu K grupul lui Klein.Observatie: Izometriile planului care invariazageometrice.

e patrat are 4 elemente

transformarile figuriio figura se numesc

Demonstratie: Fie (x), (y) cele doua axe de simetrie ale dreptunghiului. Transformariledreptunghiului sunt aplicatia identica a lui E2 simetria ̂ ! fata de (x), simetria T fata de (y),simetria in raport cu centrul o carc este o rotatie in jurul lui o de r(, deci 1, E I pn.

S2:rr2=I,p'.:I, deci orice element are ordin 2. Fie a o alta izometrie a planului careinvariaza dreptunghiul. AO:OB:OC:OD:r deci d (E (A), A @D=r si pentru Mpe dreptunghi

in afara de varfuri MO<rd e c i d ( E ( M ) , E @ ) ) < rca si in cazul poligonului regulat Aeste perfect determinata daca stim

q ( A ) , a ( B ) s i 9 ( 0 ) = 0 . C a m a isus, A va fi una din cele 4 izometrii.

i (v)1 l

oD

B

(x)

C

Prin definitie, consideram D2 ca fiind grupul transformarilor dreptunghiului care nu e patrat. Deasemenea, Dt este multimea transformarilor care transforma un segment inchis in el insusi.Evident, D,={l , simetria fata de mijlocul segmentului} .Ex. 3: Sa se demonstreze ca grupul transformarilor unui tetraedru regulat este izomorf cu ,S4.Demonstratie: Transforrnarea tetraedrului este perfect determinata daca stim imaginile varfurilor l,B, C, D ale tetraedrului. Fie A o transformare a lui ABCD, AU) poate fi una din cele 3 pozitiiramase neocupate de A,la fel C si D. Deci avem 4.3.2.1:24 posibilitati de a obtine transformaridistincte ale tetraedrului. Daca A este o izometrie care invari aza tatraedrul regulat ABCD si

notam punctele A, B, C, D cu l, 2, 3, 4 atunci e=( l. 2 3 4

e( r ) aQ) aQ) ag l dec i g rupu l

transformarilor tetraedrului este izomorf cu grupul ,S4.

Ex. 4: Grupul diedral de grad n>3 are un singur subgrup ciclic de ordin n.Demonstratie: (p):{1, p ,..., p"-'} Acesta este unic fiindca toate celelalte elemente au ordinul 2.

Ex. 5: Fie Aut (D,) grupul automorfismelor grupului diedral de grad n. Atunci:ord (Aut(O"))=E@).n unde Efu) este indicatorul lui Euler

(Viviana Ene 1988)

Demonstratie: Cum D, este generat de p si e este suficient sa stim f (p) si -f (r) , undef eAut(D"). cum p are ordinul egal cu n, "f (p) are ordinul tot n deci -f (p):p' cu

(Ln):l adica f (p) poate lua Efu) valori. Cum e este de ordin 2, f (e) este tot de ordin 2

Page 5: Clase de grupuri si subgrupuri Autor: prof. Frecus Viorica ...math.univ-ovidius.ro/Doc/Admitere/CentruPregatire/2006/mate/14_Clase_de_grupuri.pdf · Evident, D,={l , simetria

deci f (e): pr-e. adica n valoi.

BibliograJie

[1] C. Nastasescu, C. Nita, C. Vraciu: Bazele algebrei, Editura Academiei Republicii SocialisteRomania, 1986;[2] Gh. Andrei, C. Caragea, V. Ene: Algebra, culegere de probleme pentru concursurile deadmitere si olimpiadele scolare, Editura Scorpion, Bucuresti 1995;[3] Revista Gazeta Matematica 2000.