clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie...

11
Mircea FIANU . Marius PERIANU loan BALICA . Dumitru SAVULESCU Matematice clasa a VIII-a II

Transcript of clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie...

Page 1: clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea A cu valori in

Mircea FIANU . Marius PERIANU

loan BALICA . Dumitru SAVULESCU

Matematiceclasa a VIII-a

II

Page 2: clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea A cu valori in

Cuprins

Cap.l - Funcfii1.1. Notiunea de funclie1.2. Funolii definite pe mullimi.finite.............1.3.Funolia /:R -+IR, -f(x) =ox*b, c,DeIR

Teste de evalu ore...........

1.4. Probleme Gu caracter aplicativ...1.5. Probleme pentru performanti gcolari gi olimpiade

Cap. 2 - Ecuatii, inecualii 9i sisteme de ecualii

2.1. Ecualii echivalente cu ecualia de forma ax + b = 0, a,D e R

2.2. Ecuafia degradulintii cu doui necunoscute 45

2.3. Sisteme de doui ecualii de gradul I cu doui necunoscute....'........... 48

2.4. Ecualia de gradul al doilea cu o necunoscuti............. 51

2.5.lnecualii de gradul intii cu o necunoscuti.................. 56

2.6. Probleme Gare se rezolvi cu aiutolul ecualiilor, inecualiilor 5ial sistemelor de ecualii. 58

Teste de evo1uare...........,..... 61

2.7. Probleme pentru performanfi gcolari 9i olimpiade 65

Cap.3 - Poliedre3.1. Prisma dreapti. Paralelipipedul dreptunghic............'.3.2. Cubul3.3. Prisma regulati......

Teste de evolu are.................

3.4. Piramida regulati...3.5. Trunchiul de piramidi regulati

Teste de evalua rc.................

35. Probleme cu Garacter aplicativ...3.7. Probleme pentru performanfi gcolari 9i olimpiade

Cap.4- Corpuri rotunde4.1. Cilindrul4.2. Conul circfiiar drept....4.3. Trunchiul de con circular drePt.................

4.4. Sfera....Teste de eva1uare.................... .......'.......'................

4.5. Probleme cu cara(ter aplicativ...4.6. Probleme pentru performanli gcolari 9i olimpiade

4'l

713

17

2531

35

6972757881

88929598

I

(ol

103 =

115119'123

125

107111

r!(o

g1,,

lr,F

=IIF

=3

Page 3: clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea A cu valori in

Cap.5 -Subiecte pentru evaluririle finale5.l.Variante de subiede pentru tezi5.2. Variante de subiecte pentru evaluarea fina1i.............. 1325.3. Variante de subiecte pentru examenul de Evaluare Nationali........ 137

'129

Page 4: clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea A cu valori in

^;';::;:ir,

1.1. Noliunea de funcgie

1.2. Func[ii definite pe mulfimi finite1.3. Funclia de gradul I1.4. Funclia / : IR + R, "f(x) = ax* b, a,D e iR

Teste de evaluare1.5. Probleme cu caracter aplicativ1.6. Probleme pentru performanli gcolari gi olimpiade

Page 5: clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea A cu valori in

CAPITOLUL 1

@ Noliunea de funclie

Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea Acu valori in mullimea B se inlelege orice lege (regul6, procedeu, convenfie) princare fiecdrui element x e A ise asociazi un singur element y = f(x) e B .

Pnn f : A -+ B vom nota o funclie defrniti pe A at valori in B. Mutimea,4 se

numegte domeniul de definigie al funclieil mu[imea B se numeqte domeniul de

valori sat codomeniul finclieif, iar procedeul (regula) y = f (x) se numeqte legea

de coresponden{d a funcfiei f. Dacd x e A , elemextul f (x) eB se numeqte

imaginea lui x prin firncfia/sau valoareafuncliei f in punctul.r.

lmaginea funcJiei. Fie f : A-+ B o funcge. Imaginea (sau mult'mea valorilor)

fimcfei / este mult'mea: Im f = {f t*l I x e A\ . in mod evident, Im f c. B .

Putemscrie qiastfel: Im/ :{r.Blaxe Aa.i. y= f@)1.

Graficulfungiei. Fie f :A-+B ofi.nc1ie.Mu[imea Gy={(x,f(x))lxe,a} se

numeste graficul funcliei f. Avem gi C t = {@, il x e A, y = f @\l c. Ax B .

Fun{ia numerici este o fimcfie al clrei domeniu de definit'e 9i domeniu de valoriale unei funqtii sunt zubmulf,mi ale lui IR (mu[imi de numere ).

Reprezentarea geometricd a graficului. Dacd f :A-+B este o funcFe

numericS, fieclrui elernent (*,y). G, ii putern asocia un ptmct M(x,y) int-un reper

cafie:aan Submulf,mea planului formati din toate punctele M(x,y) , cu (x,y) e G, se

nume$te repruentareo geometricd a graficului firncfiei IFunclii egale. DouI funclii f :A-+B Si g:C-+D smt egale dacd A=C,

B = D ;i f(x) =g(-r), oricarearfi xe I .Notftu f = g .

Moduri de definire a unei funclii. Funcfiile pot fi descrise in diverse moduri:

1. Printr-o diagramd. 2. Prntr-tntabel.l0), g: {- l;0;2;51 -+ {1;2;3\.

3. Prin una sau mai multe formule analitice:

tt :{0,2,+)-+ {0,4,16}, h(x) = f ; u :jR + IR, "(i ={:..?,ffi ;:l

=I

l!l

|!t!sIJ

L'

=qt

=

f:{-2;-1;0;3}

Page 6: clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea A cu valori in

&,\

1. Precizali care dintre urmltoarele diagrame definesc funclii:

=tvlutf

rn

=vE

o

vJ

totr(!o

fzsE,UIo)(!

==zsIL!!oU.=

=

3. Precizati dacl scrierea

funclie.f :{-l;0;l;2\ -+ {0;l;2;3;4), f(x)= x*|, reprezinti o

4. tn imaginea aldturati este descrisd funclia

f:A^+8.a) Precizali elementele mullimilor ,{ qi B.

D) Scrieli elementele mu$imii Im/.c,) Scrie,ti elementele mu[imii G7 .

S.Tabloul al5turat descrie o funclie , I -t I O I t I Z I : I

f:A-+8.a,) Determinali mu[imea l.6/ Scrieli mullimea Imfc,) Descrieli corespondenla x -+ /(x) printr-o formull.

6. Explicali dacd mullimea indicatd reprezinti graficul unei func1ii definite pe

mullimea {1;-l;0;l;2} cu valori tn R.. in caz afrmativ, descriefi funcfia

printr-o diagramd.

a) G f = {(-2;0); (-1;0);(0;1);(l;1);(2;2)} ;

b) G s : {(-2; - 1); (-2; 0); (-1; - 1); (0; - 1); (1; 2)} ;

c) G n = {(-2; 1); (- l; - l); (0; - 1); (1; 1); (t;2); (2;t)l .

7. a) Descriefi trei funcfii definite pe mullimea .E a elevilor din clasa voastrd cu

valori in mullimea S = {f ;b} .

D,) Descriefi trei funclii definite pe mul,timea E a elevilor din clasa voastrd cuvalori in mullimea N.lndicafie. f : E --> N , ,f(e) = nurndnrl cwent din catalog al elevului e.

8. Descrieli trei funclii defrnite pe mullimea 1t1 = {23;157;4;2000;1451 cu valori

in mullimea g: {0;l;2;3;4;5;6;7;8;9} ;

lndicalie. Ultima ciffi a numdrului 23 este 3. Definim u(23) =3 .

es@€m04ma) b) c) d) e)

2. Explicali de ce tabelul aliturat nudescrie o funcfie.

Page 7: clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea A cu valori in

9. Descrieli trei funclii s definitS pe mullimea N -- {157;59;1002;8} cu valori in

mullimea 5 = {l;4;8;9; l3;l4l .

lndicafie. Suma cifrelor numirului 157 este egal6 cu 13. Definim s(157) = 13 .

10. Descrieli, in mod natural, o funclie f definitd pe mullimea

r ={E}a,[!,?4] cu valori in mulrimea , ={2,?,1,?)- lzq' sr's6'rzs) -- -- L5'3'8 t4)

lndicatie. "t'=t.'2481 1 . Stabilili pentru care din urmdtoarele funcfii are loc relalia -2 elm f :

a/ /:N-+1R.,/(x) =x' -ll; b) f :{'2,-1,0,1}-+JR, f(x)=2x+3'

c) f :l-3,2)-+lR, /(x) =4x-3; d) f '[-],**l-+lR, /(x) =4x+3 '\4 )

lndicalie. a) Daci -2elmf , atunci existi xeN astfel irLcdt f(x):+' adica

x' - ll = -2, de unde x = 3 . A$adar, deoarece f (3) = -2, renllti -2 e Im f '

.L.l-/t ,\

r2. Fie mullimile o={1ror!t+r-rr-zl;Jro} 9i 7 = {-3;-1;l; 2;3;4\ -

t"3" lo' )-a) Descrie,ti prin tabel qi precizali imaginea funcliei i: R -+ I , i(x) =lxl '

D) Scrieli elementele mu$imii G,.

1 3. Fie mugimile a = {t,zSf,,s,

- 1, 4, - 1} li r : {0; 0,2;0, 5; 0, 6; 0, (6)}'

c) Descrieli prin tabel 9i precizali imaginea funcliei z: R -+ F , z(x) = {x\ '

D) Scrieli elementele mullimii G, .

14. Se consider[ mullimile 14 ={28;55;27;39} qi 1t{:{9;17;13;4;5} . Verificagi

dac6asocierea:..oricare xe M, x-+y=f(x)eN, unde /(r)este divizoral

lui x", reprezintd o func1ie definiti pe mul,timea M c]uvaloi in mu[imea i/'

15. Se considerl mullimile t ={-z;l;-n,o,.6} si S = {-1;0;l}. IL5)=[-t,pentnrx<O :

a) Descrieliprintr-un tabel funcfia o ; A-+S, o(x)=] O,pentru x:0 EI l,pentru x>0 :

b) Preciza\iimaginea funcfiei o gi scrieli elementele mullimii G" ' E16. Se considerl mu(imile A = {-3;-2;-1;0;l;2;3\ Si M = {0;l;23 a}

=a,) Descrieli prin tabel gi precizali imaginea funcliei m : A -+ M, m (x) = I x I''

=--

Page 8: clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea A cu valori in

3r,,rnut

ra

=.=EJo

tJ

octEo

32OEIlto.)'=(E

==zsILl!oTJ.=

=

6) Scrie,ti elementele mu[imii G,.c) Reprezentali geometric mullimea G. .

17. Se considerd mullimea e={o;t;*;t};rc,2+il} ei tuncfia r:l-+rR.,

r@)=rfi.a) Scrieli elementele mullimii Im r qi efectuali QnlmrD) Descrieti printr-o formulI o funclie p:Im r -> A.

18. Se considerd mullimea u = {30o,45o,60"} . Determinali imaginile funcfiilor:a) s:U -+iR, s(x)=sinx; b) t:U-+lR , t(x)=1gr.

le.Fie ,={+laex*,6eN*,(a;D)=r} sttunctia f :r-+N, /f{l =x*v.fb I

2 )\-'7-' -) '"*'-r- r '- '"' '\y) '"'r'

a) Deterrninafi imaginea mullimii ,l : {1 qq. tS:1rSruv.uuri'u, "-lt, I ,152J.

b) Ardta[icd, oricare ar fr ne N,z > l, existl r e 1 astfel incdt f(t) = n .

20. Se consider6 funclia s : lR x lR -+ JR, s(x;y) - x+ y. Calculali:a) s(0;-3); b) s(3;-3); c) s(-8;-7);

at ,(o,s;|); e) s(t-Ji;-z*Ji), , ,[#,-*)21. Se consider6 funclia p : IR x JR -+ lR -+ lR, p(x;y) - x.y . Calculafi:

a1 p(1;-t); b) p(-2;-2); c) ,(r;,-i),at p(J1;-J-za); d p(Jr-Jr;Ji+Ji); n p(zJi;-S).

22. Ardtati ci urmltoarele firnclii sunt egale:u) f,g:Z-+R, f(x):{x} 9i g(x)=(r-l.rl)(r+l.rl), unde {al repreztntipaxtea fraclionarl a numlrului real a;

b) f ,s: (-t,o)u(o,l) -+ R , f (*)= [x] ei c@) =EP, unde [a] repreanti,

part€a inteage amrmirului real a ;c) f,s:[-t,t] -+ IR., /(r) =lt-xl+lr+xl si s(x) =max(2,r+l) ;

d) f,g:f1,2f-+R, f(x)=lz-xl-lz+xl ti e(x)=mn(-zx,+)e) f ,g:(O,t)-+lR, ./(x)=*ir(r,r') Si s(r)=**(r',r').

fl f ,s:lR -+ JR, f (x) =zlrl li s(x) : (JF *t)' -t[C .rf ,

23. Fie functia /: N -+ N, "/(x) : ultima cifrd a numirului natural x.

Page 9: clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea A cu valori in

a) Determrna[i mu[imea Im/ .

D.) Calculati suma S = f (0)+ f (l)+ f (2)+...+ f (105) .

24. Fie funclia / : N -+ N, /(n) : ultima cifr6 a numirului nataral 2" '

a,) Determinali mulfimea Im /.h) Carculalisuma S : /(0) + /(1) + f(2) + /(3) + -. - + f(2012)'

25. a,) Descrie{i trei funclii definite pe mullimea z a triunghiurilor din planul cr

cu valori in mullimea C a cercurilor din planul cr .

D,) Descrieli trei funclii definite pe mulimea triunghiurilor 7 din planul o cu

valori in mullimea P a punctelor din planul o .

c) Fie A un pgnct dat in planul a . Se considerl mullimea Cn a cercutilor din

planul o care contin punctulI gi mu[imea T a triunghiurilor din planulcr.

Descrieli trei funclii definite pe mu$imea c7 cu valori in mu[imea 2[

Exemple: a) o : T -+ C, o(t) = cercul circumscris tiunghiului f, oricare ar fi l e 7 .

b) h : T -+ P, ft (r) = et1o"** tiunghiului t' oticaxe ar fi t e T'c) e : C 1-+ I , unde e (c) = 5ilrnghful echilateral lXIz inscris in cercul c'

J.&&,\ ,t ,t

26. a) Deseiefl prin diagrame toate funcliile care pot

1= {a;b;c) cu valori in multimea B: {0;1} .

D) Descrieli prin diagrame toate funcliile care pot

1= {a;b\ cu valori in mullimea 3 = {-1;0;1} .

2T.Determinaf imaginea tuncliei /:lR+1R., f (*)=(-r)td, unde [a] reprezinti

parteaintreagi a num5rului real a.

28' Dacr func1ia /: JR -+ lR verificd relafa f(2x+1)=-2x+s ' pentu orice x e lR '

determinaf; valoarea numirului f (2011) .

29. Funclia /: (0,o) -+ lR verificd relalia f (x2) =2x+5 , penfiu orice x > 0 '

Detenninafivaloareanumdrului f (l)+ f(2)+ f g)+ f $) .

30. Stabilifi care dintre urmdtoarele funclii sunt egale:

a) .f ,g:lR +lR. , f(x)=*3 -3*2 +Zx+l si g(r)=r(x-lXr-2)+1;

b) f ,g:Ns-+N , ,f(r) =u(4' ) Si S(z)=5+(-l)' , unde u(a) tepreznti

ultima ciffi anumlrului natural a .

c) f ,g: N* -+ N , ,f(ra) =u(gn ) si g(r) = 5+4'(-1)'*l , unde u(a) repteio,.ti

ultima cifr[ a numdrului natural a .

d) f,s:N*-+N, f(n)=u(6")-u(5") si g(n)=1, rmde u(a) rcpteznt,-

ultima ciffi a numinrlui natural a .

flr definite pe mu[imea

fi definite pe mullimea

Page 10: clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea A cu valori in

3L.,r,utf

rn

EE

o

IJ

oc.Eo

fzsEutG

'=lU

=f=lLl!ou

=

31. Determinali numerele a, b, c, d,penta care funcflile f Si g sd fie egale , unde:a) f :l-3;a7-+ IR, /(r) = (3c-2)x-5 ,

S:[b;ll]-+ IR., g(x) =7x+ d -4;b) f :[2a - 5;13] -+ IR, f (x) = 5x - 4c -17 ,

g:[3;2b+l)-+ IR, g(x) = dx-l;c) f :la-1,31-+ IR, /(x):bx-l, _

g :fc -3,2a +11 -+ IR, g(x) = 2x+ d -5 .

Probleme de gapte stele32. Demonstati ca, pentu orice ftnclie f :Z-+2, f(x)=qtc*b, rmde a,beZ,

este adev5ratdrelalia d-b I f @)- f (b) .

33. Funclia /:N -+ N areproprietifile:

a) f(0)=1;t) f (f (n))= f (n)+1, penruorice z e N.

Determinali f (2011).

34. a,) Se consideri mullimile 1={O;l;2;-.;12} 9i 3={-1;0;l} . Determinafinumirul de func{ii ce pot fi definite pe mu[imea A cuvaloiin mu[imeaB.b) Ardltati c6, dacd mu{imea A are n elemente, n)1, iar mu[imea B are melemente, m) I , atlulrLci numIrul de funclii care se pot defini pe mu[imea I cu

valori in mu{imea B este egal crt m' .

c,) Se consider[ mu[imile finite gi nevide A Si B. Dacd numdrul de funclii care

pot fi definite pe mullimea A cu valori in mulfimea,B este 4s, determinalicardl gi card B . Analizalivariantele posibile.

35. Pentru fiecare funcfie f :{0;l;2;...;12} + {-1;0;l}, notim:S, = f (0) + f (t) + f (2) + ...+ f (12) .

a,) Descriefi o tunclie o: {0;l;2;...;l2l -+ l-l;0;l} pentru caxe ,So = 0 '

D,) Descrieli o funclie m:{0;l;2;...;12} -+ {-1;0;l} pentru care S, are valoarea

maximi.c) Ardtali cd, dacd o tunclie f :{0;l;2;...;12)-+{-l;O;l} are proprietatea cd

f (0). f (r). f (2)..... f(12) * 0, atunci S, * 0 .

Page 11: clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea A cu valori in

; TEsTE DE EVALUARE

Testul 1

1. Enumera{i cele trei elemente ale unei funclii.

2.Dacd AxB ={(o;r);(o;s); (z;r);(z;s);(:;t);(:;s)}, determinali elementele

mu[imilorl qiB.3.Determinati num[rul de tunc1ii f :{l;2;3}-+{-2;-l;0;l;2;3;4\ cu proprietatea

f(l)=0, f(2)=4 si f(3)=a'4. Determinali valorile m e lR pentru care punctul M(m;11) nu apar,tine

reprezentirii grafice a funcflei /: JR-+ IR, "f(r) :l2x+8 ?

5. Determinali numerele reale a, b, c qi d penta care funcliile f :[l;a]-) lR ,

f(x):cx+8 9i g:[D;10]-+JR., g(x) =6x+9-d suntegale'

6. Reprezentaf, grafic func{ia /:JR+ lR, "f(r) =2x-5 .

T.Reprezentarea graficd a funcliei /:R.-+JR conline punctele A(0;-2) 9i

B(3;0) . Reprezentali punctele in plan gi trasa{i graficul funcfieil

8. Se considerd funcfia / : JR + IR, ,f (r) = 2x + 3. Calculali suma:

S = f(t)+ f(2)+ f (3)+...+/(100).

9.Se consider[ funclia g:]R-+lR, g(r):+. Determinafi punctele de pe5

graficul funcliei g caxe au coordonatele egale.

NOTA: Timp de lucru 50 minute. Se acordd 10 puncte din oficiu.

Testul 21. Scrie,ti coordonatele punctelor A Si B reprezentate

in figura aldturati.

2. Calculali perimetrul triunghiului AOB rqrezerfiatin figura aldturatd.

3. Aflali numirul real lla pentru care punctul A(m;5) Haparfine graficului funcliei /: IR.+ IR, -f(r) =2x+3 .

4. Reprezentaf, grafic funclia f :l-2;51+ R , /(x) :2x+l.5. Determinati coordonatele punctului de interseclie al graficelor funcfilor

/ : IR -+ R, .f(x) = 9 x +13 9i g : IR.-+ lR, g(x) = -7 x + 45 g : IR' -+ IR.

6. Exprimali printr-o formuld legea de coresponden!5 a funcliei g: IR. -+ IR a clrei

T(!a(!(o

!IJTJF

=ulF

=