clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie...
Transcript of clasa VIII-a II - cdn4.libris.ro - Clasa 8. Sem II... · CAPITOLUL 1 @ Noliunea de funclie...
Mircea FIANU . Marius PERIANU
loan BALICA . Dumitru SAVULESCU
Matematiceclasa a VIII-a
II
Cuprins
Cap.l - Funcfii1.1. Notiunea de funclie1.2. Funolii definite pe mullimi.finite.............1.3.Funolia /:R -+IR, -f(x) =ox*b, c,DeIR
Teste de evalu ore...........
1.4. Probleme Gu caracter aplicativ...1.5. Probleme pentru performanti gcolari gi olimpiade
Cap. 2 - Ecuatii, inecualii 9i sisteme de ecualii
2.1. Ecualii echivalente cu ecualia de forma ax + b = 0, a,D e R
2.2. Ecuafia degradulintii cu doui necunoscute 45
2.3. Sisteme de doui ecualii de gradul I cu doui necunoscute....'........... 48
2.4. Ecualia de gradul al doilea cu o necunoscuti............. 51
2.5.lnecualii de gradul intii cu o necunoscuti.................. 56
2.6. Probleme Gare se rezolvi cu aiutolul ecualiilor, inecualiilor 5ial sistemelor de ecualii. 58
Teste de evo1uare...........,..... 61
2.7. Probleme pentru performanfi gcolari 9i olimpiade 65
Cap.3 - Poliedre3.1. Prisma dreapti. Paralelipipedul dreptunghic............'.3.2. Cubul3.3. Prisma regulati......
Teste de evolu are.................
3.4. Piramida regulati...3.5. Trunchiul de piramidi regulati
Teste de evalua rc.................
35. Probleme cu Garacter aplicativ...3.7. Probleme pentru performanfi gcolari 9i olimpiade
Cap.4- Corpuri rotunde4.1. Cilindrul4.2. Conul circfiiar drept....4.3. Trunchiul de con circular drePt.................
4.4. Sfera....Teste de eva1uare.................... .......'.......'................
4.5. Probleme cu cara(ter aplicativ...4.6. Probleme pentru performanli gcolari 9i olimpiade
4'l
713
17
2531
35
6972757881
88929598
I
(ol
103 =
115119'123
125
107111
r!(o
g1,,
lr,F
=IIF
=3
Cap.5 -Subiecte pentru evaluririle finale5.l.Variante de subiede pentru tezi5.2. Variante de subiecte pentru evaluarea fina1i.............. 1325.3. Variante de subiecte pentru examenul de Evaluare Nationali........ 137
'129
^;';::;:ir,
1.1. Noliunea de funcgie
1.2. Func[ii definite pe mulfimi finite1.3. Funclia de gradul I1.4. Funclia / : IR + R, "f(x) = ax* b, a,D e iR
Teste de evaluare1.5. Probleme cu caracter aplicativ1.6. Probleme pentru performanli gcolari gi olimpiade
CAPITOLUL 1
@ Noliunea de funclie
Definilie. Fiel gi B dou[ mullimi nevide. Pinfunclief definitd pe mulfimea Acu valori in mullimea B se inlelege orice lege (regul6, procedeu, convenfie) princare fiecdrui element x e A ise asociazi un singur element y = f(x) e B .
Pnn f : A -+ B vom nota o funclie defrniti pe A at valori in B. Mutimea,4 se
numegte domeniul de definigie al funclieil mu[imea B se numeqte domeniul de
valori sat codomeniul finclieif, iar procedeul (regula) y = f (x) se numeqte legea
de coresponden{d a funcfiei f. Dacd x e A , elemextul f (x) eB se numeqte
imaginea lui x prin firncfia/sau valoareafuncliei f in punctul.r.
lmaginea funcJiei. Fie f : A-+ B o funcge. Imaginea (sau mult'mea valorilor)
fimcfei / este mult'mea: Im f = {f t*l I x e A\ . in mod evident, Im f c. B .
Putemscrie qiastfel: Im/ :{r.Blaxe Aa.i. y= f@)1.
Graficulfungiei. Fie f :A-+B ofi.nc1ie.Mu[imea Gy={(x,f(x))lxe,a} se
numeste graficul funcliei f. Avem gi C t = {@, il x e A, y = f @\l c. Ax B .
Fun{ia numerici este o fimcfie al clrei domeniu de definit'e 9i domeniu de valoriale unei funqtii sunt zubmulf,mi ale lui IR (mu[imi de numere ).
Reprezentarea geometricd a graficului. Dacd f :A-+B este o funcFe
numericS, fieclrui elernent (*,y). G, ii putern asocia un ptmct M(x,y) int-un reper
cafie:aan Submulf,mea planului formati din toate punctele M(x,y) , cu (x,y) e G, se
nume$te repruentareo geometricd a graficului firncfiei IFunclii egale. DouI funclii f :A-+B Si g:C-+D smt egale dacd A=C,
B = D ;i f(x) =g(-r), oricarearfi xe I .Notftu f = g .
Moduri de definire a unei funclii. Funcfiile pot fi descrise in diverse moduri:
1. Printr-o diagramd. 2. Prntr-tntabel.l0), g: {- l;0;2;51 -+ {1;2;3\.
3. Prin una sau mai multe formule analitice:
tt :{0,2,+)-+ {0,4,16}, h(x) = f ; u :jR + IR, "(i ={:..?,ffi ;:l
=I
l!l
|!t!sIJ
L'
=qt
=
f:{-2;-1;0;3}
&,\
1. Precizali care dintre urmltoarele diagrame definesc funclii:
=tvlutf
rn
=vE
o
vJ
totr(!o
fzsE,UIo)(!
==zsIL!!oU.=
=
3. Precizati dacl scrierea
funclie.f :{-l;0;l;2\ -+ {0;l;2;3;4), f(x)= x*|, reprezinti o
4. tn imaginea aldturati este descrisd funclia
f:A^+8.a) Precizali elementele mullimilor ,{ qi B.
D) Scrieli elementele mu$imii Im/.c,) Scrie,ti elementele mu[imii G7 .
S.Tabloul al5turat descrie o funclie , I -t I O I t I Z I : I
f:A-+8.a,) Determinali mu[imea l.6/ Scrieli mullimea Imfc,) Descrieli corespondenla x -+ /(x) printr-o formull.
6. Explicali dacd mullimea indicatd reprezinti graficul unei func1ii definite pe
mullimea {1;-l;0;l;2} cu valori tn R.. in caz afrmativ, descriefi funcfia
printr-o diagramd.
a) G f = {(-2;0); (-1;0);(0;1);(l;1);(2;2)} ;
b) G s : {(-2; - 1); (-2; 0); (-1; - 1); (0; - 1); (1; 2)} ;
c) G n = {(-2; 1); (- l; - l); (0; - 1); (1; 1); (t;2); (2;t)l .
7. a) Descriefi trei funcfii definite pe mullimea .E a elevilor din clasa voastrd cu
valori in mullimea S = {f ;b} .
D,) Descriefi trei funclii definite pe mul,timea E a elevilor din clasa voastrd cuvalori in mullimea N.lndicafie. f : E --> N , ,f(e) = nurndnrl cwent din catalog al elevului e.
8. Descrieli trei funclii defrnite pe mullimea 1t1 = {23;157;4;2000;1451 cu valori
in mullimea g: {0;l;2;3;4;5;6;7;8;9} ;
lndicalie. Ultima ciffi a numdrului 23 este 3. Definim u(23) =3 .
es@€m04ma) b) c) d) e)
2. Explicali de ce tabelul aliturat nudescrie o funcfie.
9. Descrieli trei funclii s definitS pe mullimea N -- {157;59;1002;8} cu valori in
mullimea 5 = {l;4;8;9; l3;l4l .
lndicafie. Suma cifrelor numirului 157 este egal6 cu 13. Definim s(157) = 13 .
10. Descrieli, in mod natural, o funclie f definitd pe mullimea
r ={E}a,[!,?4] cu valori in mulrimea , ={2,?,1,?)- lzq' sr's6'rzs) -- -- L5'3'8 t4)
lndicatie. "t'=t.'2481 1 . Stabilili pentru care din urmdtoarele funcfii are loc relalia -2 elm f :
a/ /:N-+1R.,/(x) =x' -ll; b) f :{'2,-1,0,1}-+JR, f(x)=2x+3'
c) f :l-3,2)-+lR, /(x) =4x-3; d) f '[-],**l-+lR, /(x) =4x+3 '\4 )
lndicalie. a) Daci -2elmf , atunci existi xeN astfel irLcdt f(x):+' adica
x' - ll = -2, de unde x = 3 . A$adar, deoarece f (3) = -2, renllti -2 e Im f '
.L.l-/t ,\
r2. Fie mullimile o={1ror!t+r-rr-zl;Jro} 9i 7 = {-3;-1;l; 2;3;4\ -
t"3" lo' )-a) Descrie,ti prin tabel qi precizali imaginea funcliei i: R -+ I , i(x) =lxl '
D) Scrieli elementele mu$imii G,.
1 3. Fie mugimile a = {t,zSf,,s,
- 1, 4, - 1} li r : {0; 0,2;0, 5; 0, 6; 0, (6)}'
c) Descrieli prin tabel 9i precizali imaginea funcliei z: R -+ F , z(x) = {x\ '
D) Scrieli elementele mullimii G, .
14. Se consider[ mullimile 14 ={28;55;27;39} qi 1t{:{9;17;13;4;5} . Verificagi
dac6asocierea:..oricare xe M, x-+y=f(x)eN, unde /(r)este divizoral
lui x", reprezintd o func1ie definiti pe mul,timea M c]uvaloi in mu[imea i/'
15. Se considerl mullimile t ={-z;l;-n,o,.6} si S = {-1;0;l}. IL5)=[-t,pentnrx<O :
a) Descrieliprintr-un tabel funcfia o ; A-+S, o(x)=] O,pentru x:0 EI l,pentru x>0 :
b) Preciza\iimaginea funcfiei o gi scrieli elementele mullimii G" ' E16. Se considerl mu(imile A = {-3;-2;-1;0;l;2;3\ Si M = {0;l;23 a}
=a,) Descrieli prin tabel gi precizali imaginea funcliei m : A -+ M, m (x) = I x I''
=--
3r,,rnut
ra
=.=EJo
tJ
octEo
32OEIlto.)'=(E
==zsILl!oTJ.=
=
6) Scrie,ti elementele mu[imii G,.c) Reprezentali geometric mullimea G. .
17. Se considerd mullimea e={o;t;*;t};rc,2+il} ei tuncfia r:l-+rR.,
r@)=rfi.a) Scrieli elementele mullimii Im r qi efectuali QnlmrD) Descrieti printr-o formulI o funclie p:Im r -> A.
18. Se considerd mullimea u = {30o,45o,60"} . Determinali imaginile funcfiilor:a) s:U -+iR, s(x)=sinx; b) t:U-+lR , t(x)=1gr.
le.Fie ,={+laex*,6eN*,(a;D)=r} sttunctia f :r-+N, /f{l =x*v.fb I
2 )\-'7-' -) '"*'-r- r '- '"' '\y) '"'r'
a) Deterrninafi imaginea mullimii ,l : {1 qq. tS:1rSruv.uuri'u, "-lt, I ,152J.
b) Ardta[icd, oricare ar fr ne N,z > l, existl r e 1 astfel incdt f(t) = n .
20. Se consider6 funclia s : lR x lR -+ JR, s(x;y) - x+ y. Calculali:a) s(0;-3); b) s(3;-3); c) s(-8;-7);
at ,(o,s;|); e) s(t-Ji;-z*Ji), , ,[#,-*)21. Se consider6 funclia p : IR x JR -+ lR -+ lR, p(x;y) - x.y . Calculafi:
a1 p(1;-t); b) p(-2;-2); c) ,(r;,-i),at p(J1;-J-za); d p(Jr-Jr;Ji+Ji); n p(zJi;-S).
22. Ardtati ci urmltoarele firnclii sunt egale:u) f,g:Z-+R, f(x):{x} 9i g(x)=(r-l.rl)(r+l.rl), unde {al repreztntipaxtea fraclionarl a numlrului real a;
b) f ,s: (-t,o)u(o,l) -+ R , f (*)= [x] ei c@) =EP, unde [a] repreanti,
part€a inteage amrmirului real a ;c) f,s:[-t,t] -+ IR., /(r) =lt-xl+lr+xl si s(x) =max(2,r+l) ;
d) f,g:f1,2f-+R, f(x)=lz-xl-lz+xl ti e(x)=mn(-zx,+)e) f ,g:(O,t)-+lR, ./(x)=*ir(r,r') Si s(r)=**(r',r').
fl f ,s:lR -+ JR, f (x) =zlrl li s(x) : (JF *t)' -t[C .rf ,
23. Fie functia /: N -+ N, "/(x) : ultima cifrd a numirului natural x.
a) Determrna[i mu[imea Im/ .
D.) Calculati suma S = f (0)+ f (l)+ f (2)+...+ f (105) .
24. Fie funclia / : N -+ N, /(n) : ultima cifr6 a numirului nataral 2" '
a,) Determinali mulfimea Im /.h) Carculalisuma S : /(0) + /(1) + f(2) + /(3) + -. - + f(2012)'
25. a,) Descrie{i trei funclii definite pe mullimea z a triunghiurilor din planul cr
cu valori in mullimea C a cercurilor din planul cr .
D,) Descrieli trei funclii definite pe mulimea triunghiurilor 7 din planul o cu
valori in mullimea P a punctelor din planul o .
c) Fie A un pgnct dat in planul a . Se considerl mullimea Cn a cercutilor din
planul o care contin punctulI gi mu[imea T a triunghiurilor din planulcr.
Descrieli trei funclii definite pe mu$imea c7 cu valori in mu[imea 2[
Exemple: a) o : T -+ C, o(t) = cercul circumscris tiunghiului f, oricare ar fi l e 7 .
b) h : T -+ P, ft (r) = et1o"** tiunghiului t' oticaxe ar fi t e T'c) e : C 1-+ I , unde e (c) = 5ilrnghful echilateral lXIz inscris in cercul c'
J.&&,\ ,t ,t
26. a) Deseiefl prin diagrame toate funcliile care pot
1= {a;b;c) cu valori in multimea B: {0;1} .
D) Descrieli prin diagrame toate funcliile care pot
1= {a;b\ cu valori in mullimea 3 = {-1;0;1} .
2T.Determinaf imaginea tuncliei /:lR+1R., f (*)=(-r)td, unde [a] reprezinti
parteaintreagi a num5rului real a.
28' Dacr func1ia /: JR -+ lR verificd relafa f(2x+1)=-2x+s ' pentu orice x e lR '
determinaf; valoarea numirului f (2011) .
29. Funclia /: (0,o) -+ lR verificd relalia f (x2) =2x+5 , penfiu orice x > 0 '
Detenninafivaloareanumdrului f (l)+ f(2)+ f g)+ f $) .
30. Stabilifi care dintre urmdtoarele funclii sunt egale:
a) .f ,g:lR +lR. , f(x)=*3 -3*2 +Zx+l si g(r)=r(x-lXr-2)+1;
b) f ,g:Ns-+N , ,f(r) =u(4' ) Si S(z)=5+(-l)' , unde u(a) tepreznti
ultima ciffi anumlrului natural a .
c) f ,g: N* -+ N , ,f(ra) =u(gn ) si g(r) = 5+4'(-1)'*l , unde u(a) repteio,.ti
ultima cifr[ a numdrului natural a .
d) f,s:N*-+N, f(n)=u(6")-u(5") si g(n)=1, rmde u(a) rcpteznt,-
ultima ciffi a numinrlui natural a .
flr definite pe mu[imea
fi definite pe mullimea
3L.,r,utf
rn
EE
o
IJ
oc.Eo
fzsEutG
'=lU
=f=lLl!ou
=
31. Determinali numerele a, b, c, d,penta care funcflile f Si g sd fie egale , unde:a) f :l-3;a7-+ IR, /(r) = (3c-2)x-5 ,
S:[b;ll]-+ IR., g(x) =7x+ d -4;b) f :[2a - 5;13] -+ IR, f (x) = 5x - 4c -17 ,
g:[3;2b+l)-+ IR, g(x) = dx-l;c) f :la-1,31-+ IR, /(x):bx-l, _
g :fc -3,2a +11 -+ IR, g(x) = 2x+ d -5 .
Probleme de gapte stele32. Demonstati ca, pentu orice ftnclie f :Z-+2, f(x)=qtc*b, rmde a,beZ,
este adev5ratdrelalia d-b I f @)- f (b) .
33. Funclia /:N -+ N areproprietifile:
a) f(0)=1;t) f (f (n))= f (n)+1, penruorice z e N.
Determinali f (2011).
34. a,) Se consideri mullimile 1={O;l;2;-.;12} 9i 3={-1;0;l} . Determinafinumirul de func{ii ce pot fi definite pe mu[imea A cuvaloiin mu[imeaB.b) Ardltati c6, dacd mu{imea A are n elemente, n)1, iar mu[imea B are melemente, m) I , atlulrLci numIrul de funclii care se pot defini pe mu[imea I cu
valori in mu{imea B este egal crt m' .
c,) Se consider[ mu[imile finite gi nevide A Si B. Dacd numdrul de funclii care
pot fi definite pe mullimea A cu valori in mulfimea,B este 4s, determinalicardl gi card B . Analizalivariantele posibile.
35. Pentru fiecare funcfie f :{0;l;2;...;12} + {-1;0;l}, notim:S, = f (0) + f (t) + f (2) + ...+ f (12) .
a,) Descriefi o tunclie o: {0;l;2;...;l2l -+ l-l;0;l} pentru caxe ,So = 0 '
D,) Descrieli o funclie m:{0;l;2;...;12} -+ {-1;0;l} pentru care S, are valoarea
maximi.c) Ardtali cd, dacd o tunclie f :{0;l;2;...;12)-+{-l;O;l} are proprietatea cd
f (0). f (r). f (2)..... f(12) * 0, atunci S, * 0 .
; TEsTE DE EVALUARE
Testul 1
1. Enumera{i cele trei elemente ale unei funclii.
2.Dacd AxB ={(o;r);(o;s); (z;r);(z;s);(:;t);(:;s)}, determinali elementele
mu[imilorl qiB.3.Determinati num[rul de tunc1ii f :{l;2;3}-+{-2;-l;0;l;2;3;4\ cu proprietatea
f(l)=0, f(2)=4 si f(3)=a'4. Determinali valorile m e lR pentru care punctul M(m;11) nu apar,tine
reprezentirii grafice a funcflei /: JR-+ IR, "f(r) :l2x+8 ?
5. Determinali numerele reale a, b, c qi d penta care funcliile f :[l;a]-) lR ,
f(x):cx+8 9i g:[D;10]-+JR., g(x) =6x+9-d suntegale'
6. Reprezentaf, grafic func{ia /:JR+ lR, "f(r) =2x-5 .
T.Reprezentarea graficd a funcliei /:R.-+JR conline punctele A(0;-2) 9i
B(3;0) . Reprezentali punctele in plan gi trasa{i graficul funcfieil
8. Se considerd funcfia / : JR + IR, ,f (r) = 2x + 3. Calculali suma:
S = f(t)+ f(2)+ f (3)+...+/(100).
9.Se consider[ funclia g:]R-+lR, g(r):+. Determinafi punctele de pe5
graficul funcliei g caxe au coordonatele egale.
NOTA: Timp de lucru 50 minute. Se acordd 10 puncte din oficiu.
Testul 21. Scrie,ti coordonatele punctelor A Si B reprezentate
in figura aldturati.
2. Calculali perimetrul triunghiului AOB rqrezerfiatin figura aldturatd.
3. Aflali numirul real lla pentru care punctul A(m;5) Haparfine graficului funcliei /: IR.+ IR, -f(r) =2x+3 .
4. Reprezentaf, grafic funclia f :l-2;51+ R , /(x) :2x+l.5. Determinati coordonatele punctului de interseclie al graficelor funcfilor
/ : IR -+ R, .f(x) = 9 x +13 9i g : IR.-+ lR, g(x) = -7 x + 45 g : IR' -+ IR.
6. Exprimali printr-o formuld legea de coresponden!5 a funcliei g: IR. -+ IR a clrei
T(!a(!(o
!IJTJF
=ulF
=